Н.Н.Моисеев
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
Н.Н.Моисеев
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................ 7
Глава I. Некоторые вопросы вспомогательного характера . .	.	11
§ 1	Метод фазовой плоскости и некоторые свойства нелинейных
колебаний......................................................... 11
1 Фазовые траектории (11) 2 Линейные системы (12) 3 Фазовая плос-
кость уравнения Дюффинга (16) 4 Пример периодической фазовой плос-
кости (18)
§ 2.	Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга....................... 19
1 Некоторые сведения из теории эллиптических функций (20) 2 Выра-
жение общего интеграла уравнений Дюффинга (21) 3 Формула для пери
ода (22)
§ 3.	Примеры колебаний систем с переменными параметрами ...	25
1 Предварительные замечания (25) 2 Случай, когда возвращающая сила
стремится к нулю (26) 3 Колебания с диссипативными силами (27) 4.
Случай когда возвращающая сила ограничена (28)
§ 4	О некоторых достаточных условиях ограниченности колебаний 30
1 Критерий устойчивости для случая, когда возвращающая сила изменя-
ется монотонно (30) 2 Устойчивость колебаний ракеты (32) 3 Основная
лемма (33) 4 Критерий устойчивости для уравнения (3 8) (34)
§ 5	Теорема Пуанкаре....................•	.................. 35
1 Формулировка (35) 2 Доказательство утверждения I (38) 3 Замечание
об аналитичности правых частей (40)
Глава II. Метод Ляпунова—Пуанкаре......................................41
§ 1.	Система Ляпунова — случай одной степени свободы.............. 41
1 Консервативные системы (41) 2 Система Ляпунова (42) 3 Приведение
к каноническому виду (43) 4 Преобразование интеграла Н (44) 5 Пери-
одичность решений системы Ляпунова (45) 6 Вычисление периода (46)
7 Одно свойство периода (48) 8 Формулировка теоремы Ляпунова (49).
§ 2.	Условия существования периодических решений.................. 49
1 Предмет исследования (49) 2 Необходимые и достаточные условия
периодичности (50) 3 Случай, когда фундаментальные решения уравнения
(2 2) — периодические функции времени (51) 4 Пример (52) 5 Одно урав-
нение второго порядка (53) 6 Одно уравнение второго порядка Случай
непериодических фундаментальных решений (55)
§ 3	Метод Ляпунова............................................... 58
1 Пример (58) 2 Обсуждение алгоритма (60) 3 Расчет приближенного
решения (63) 4 Уравнение Дюффицга (64) 5 Пример неконсерватийной(
системы (66),
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4	Система Ляпунова. Случай произвольного числа степеней сво-
боды .............................................................. 67
1.	Определение (68). 2. Приведение к каноническому виду (68). 3. Теорема
Ляпунова (70). 4. Метод Ляпунова (71). 5. Консервативные системы про
извольного числа степеней свободы (75). 6. Метод Ляпунова в иелиней
ных консервативных системах (77).
§ 5.	Автоколебания................................................  79
1.	Пример автоколебаний (79). 2. Формулировка математической задачи
(82). 3. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае ква-
зилинейных систем (метод Пуанкаре) (83). 4. Алгоритм построения авто-
колебательных режимов в случае систем, близких к консервативным (90).
5.	Пример (92). 6. Автоколебания в квазилинейных системах со многими
степенями свободы (93).
§ 6.	Метод Г. В. Каменкова......................................... 96
1.	Квазилинейная теория. Теорема Г. В. Каменкова (97). 2. Квазилинейная
теория. Расчет периодических решений (101).
§ 7.	Неавтономные квазилинейные системы. Метод Пуанкаре. . . . 103
1.	Замечание о линейных системах (103). 2. Колебания вдалн от резонанса
(105). 3. Резонансные колебания. Случай одной степени свободы (108). 4.
Пример: уравнение Ваи-дер-Поля (112). 5. Один специальный случай (114).
6. О резонансе n-го рода (116). 7. О квазилинейной трактовке нелинейных
уравнений (119).
§ 8. Неавтономные системы второго порядка, близкие к системам
Ляпунова. Метод Малкина............................................121
1. Предварительный анализ (121). 2. Решения х° и у0. Нерезонаисиый слу-
чай (123). 3. Пример расчета нерезоиансных решений (125). 4. Резонансные
режимы в системах, близких к системе Ляпунова (126). 5. Примеры рас-
чета резонансных решений уравнения Дюффинга (131). 6. Еще один при-
мер решений (133). 7. О решениях, близких к нетривиальным реше-
ниям системы Ляпунова (135).
§ 9, Заключительные замечания......................................138
Глава III. Асимптотические	методы разделения движений..................140
Введение...........................................................140
§ 1. Метод Ван-дер-Поля............................................141
1. Предварительные замечания (141). 2. Переменные Ваи-дер-Поля Н42).
3. Схема В. М. Волосова (143). 4. Укороченные уравнении (144). 5. Стацио-
нарные режимы (145). 6. Пример разрывных правых частей (147). 7. Дисси-
пативная система (150). 8. Автоколебательная система (152). 9. Эквивалент-
ная линеаризация в консервативных системах (153). 10. Замечание об ис-
следовании устойчивости (156).
§ 2. Метод Ван-дер-Поля в системах, близких к консервативным 157
1. Замена переменных (157). 2. Укороченные уравнения (159). 3. Пример (161).
4. Другой подход к решению той же задачи (162). 5. Примечания (166).
§ 3. Системы с медленным временем..................................165
1. Вывод укороченных уравнений (166). 2. Адиабатические инварианты (168).
3. Интеграл действия (169). 4. Пример использования адиабатических ин-
вариантов (170). 5. Вычисление амплитуды и энергии (171). 6. Некоторые
обобщения (172). 7. Задача о маятнике переменной массы (174).
§ 4. Описание алгоритма асимптотического интегрирования для
случая одной быстрой переменной .................................. 175
1. Преобразование переменных (175). 2. Определение членов разложений
(177). 3. Построение приближенного решения (181). 4. Оценка точности (182),
5. Независимость точности приближенного решения от выбора функций
и (185). 6. Замечание о характере приближенных формул (188). 7. Ме-
тод последовательных приближений (188). 8. Система стандартного вида
(190). 9. О возможных обобщениях(190). 10. Замечание рб исследовании
стационарных режимов (191),
ОГЛАВЛЕНИЕ
б
§ 5. Алгоритм асимптотического интегрирования. Случай не-
скольких быстрых переменных......................................191
1. Система с двумя вращающимися фазами (191) 2 Метод Фурье (193)
3 Описание алгоритма в нерезоиансном случае (194) 4 Резонансный слу-
чай (197) 5 Исследование главного резонанса в сзучае постоянных частот
(197) 6 Общий случай главного резонанса (200) 7 Комбинационные резо-
нансы (202). 8 Установившиеся режимы (203) 9 Вынужденные колеба-
ния квазилинейных систем (204) 10 Резонансные решения уравнения Дюф-
финга (206) 11 О кратных резонансах в колебательных системах (207)
12 Один пример колебательной системы с большим числом степеней
свободы (210)
§ 6 Исследование стационарных точек и устойчивости................211
1 Предварительные замечания (211) 2 Исследование устойчивости (212)
3 Устойчивость тривиального решения системы (6 6) (213) 4 Заме щнпя
(214) 5 Трактовка результатов (216)
§ 7. Вращательные движения маятника................................217
1 Замечания об изучении колебательных движений маятника (217) 2 Но-
вые независимые переменные (219) 3 Построение асимптотики порожда-
ющего решения (220) 4 Вращательные движения математического маят-
ника (224) 5 Пример маятника, возвращающая сипа которого разрывна
(225) 6 Система с вращающимся звеном (226) 7 Маятник с переменной
возвращающей силой (227) 8 Теория возмущений (22°) 9 Уравнение Ван
дер-поля (230) 10 Особенности резонансных явлений в системах с вра
щающимися звеньями (232) 11 Метод В М. Волосова в теории враща-
тельных движений (238) 12 Заключение (241)
§ 8 Приложения к задачам динамики орбитальных аппаратов . . 241
1 Предварительные замечания (241) 2 Возмущения кеплеровских орбит
(242) 3 Задача о трансверсальной тяге (249) 4 Задача о движении спут-
ника иа последних оборотах (253) 5 Задача о движении спутника в
конце последнего оборота (259) 6 Резонансные задачи в динамике нс
кусствеиных спутников (267)
§ 9 Асимптотические методы усреднения в задачах теории опти-
мального управления................................................273
1 Частичное усреднение (273) 2 О возможных постановках задач опти-
мального управления для уравнений в стандартной форме (274) 3 При-
мер (277)
Глава IV. Асимптотические методы в теории линейных уравнений,
содержащих большой параметр.................. ...	279
§ 1 Одно уравнение второго порядка ....................... 281
1 WBKJ-решения (281) 2 Связь с методом усреднения (283) 3 Асимпто
тический характер приближенных формул (284) 4 Другой метод построе-
ния приближенных решений (288)
§ 2.	Однородные системы второго порядка. Случай простых кор-
ней ................................................................290
1	Асимптотические решения для одного уравнения второго порядка (290)
2	Уравнение произвольного ранга (293) 3 Система второго порядка (295)
4 Некоторые частные случаи (298) 5 Система произвольного ранга (299)
6	Возможные модификации алгоритма построения асимптотических ря-
дов (301)
§ 3	Однородные системы второго порядка. Случай кратных корней 303
1 Предварительные замечания (303) 2 Случай простых элементарных де-
лителей (307) 3 Один пример механической системы с двумя степенями
свободы (309) 4 Системы произвольного ранга (314) 5 Пример колеба
тельной системы, элементарные делители которой непростые (315)
§ 4	Неоднородные уравнения.........................................317
1 Одно уравиеиие второго порядка (317) 2 Система произвольного ран
га (318) з Основная теорема (318) 4 Случай, когда внешние силы осцил-
лируют (321)
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5	Общий случай линейной системы произвольного порядка . . . 324
1 Общее решение однородной системы в том случае, когда корни про-
стые (324) 2 Случай кратных корней (327) 3 Частные решения неодно-
родных систем (328)
§ 6.	Задача о движении гироскопа под действием момента, изме-
няющегося во времени..............................................  329
1 Вывод уравнений (329) 2 Линеаризация (332) 3 Случай постоянных
параметров Элементарная теория гироскопа (334) 4 Гироскоп в поле пе-
ременной напряженности (335) 5 Уравнения баллистики (337) 6 Иссле-
дование системы (6 33) (341)
§ 7.	Особые случаи (асимптотика и окрестности точек возврата) . . 343
1 Предварительные замечания (343) 2 Эталонное уравнение, формальное
построение асимптотических рядов (345) 3 Асимптотика решений в окре-
стности точек возврата в которых корни характеристического уравнения
обращаются в нуль (348) 4 Асимптотические разложения в окрестности
точки возврата, где элементарные делители перестают быть про-
стыми (350)
§80 некоторых способах построения асимптотических представ-
лений в случае кратных элементарных делителей характерис-
тической матрицы ...................................................351
1 Система с одним элемешарным делителем произвольной кратности
(352) 2 Пример 1 (358) 3 Пример 2 (359) 4 Случай когда ат1 = 0, но
ams=£0 (361) 5 Случай, когда ат1 = ат2 = 0, но ams^0 при s > 2 (363)
§ 9. Асимптотические методы большого параметра и теория опти-
мальной коррекции........................................  365
1 Постановка задачи Примеры (365 ) 2 Некоторые свойства управ тения
консервативными системами (373) 3 Асимптотическое представчение ре
шений одной частной задачи коррекции (374)
Предметный указатель . ......................................  .	378
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга возникла из лекций, которые автор чи-
тал студентам Московского физико-технического института. За-
главие книги совпадает с названием соответствующего курса,
обязательного для студентов, специализирующихся в области
прикладной математики.
Стандартный курс дифференциальных уравнений знакомит
студента лишь с основами этой теории. В то же время практи-
ческая деятельность математика, занимающегося прикладными
задачами, обычно требует знания целого ряда вопросов, далеко
выходящих за рамки программы. К их числу относятся прежде
всего разнообразные вопросы асимптотического поведения ре-
шений. Поэтому, когда стала очевидной необходимость чтения
курса дополнительных глав обыкновенных дифференциальных
уравнений, то было решено основное внимание сосредоточить на
изложении методов асимптотического анализа. Любые исследо-
вания имеют дело с моделями реальных процессов. Это значит,
что уравнения, оказывающиеся в распоряжении математика,
дают лишь приближенное описание явлений, которые предста-
вляют собой объект изучения... Исследователь всегда «упрощает
задачу», отбрасывая слагаемые и понижая порядок системы.
Возможность такого упрощения обычно оправдывается мало-
стью того или другого параметра. Однако не всякую малую ве-
личину можно отбросить, не искажая смысла задачи. Поэтому
математик, который занимается подобными вопросами, должен
владеть методами, позволяющими изучать зависимость решений
от параметров задачи и прежде всего асимптотическое поведе-
ние решений при их малых значениях. С подобными вопросами
математику приходится сталкиваться независимо от того, в ка-
кой области он применяет математические методы исследования.
Они в равной степени актуальны в физике и в баллистике, тео-
рии колебаний и экономике и т. д.
Значение асимптотических методов возросло в последние де-
сятилетия в связи с развитием вычислительных машин. Очень
часто высказывается мысль, что благодаря развитию вычис-
лительной техники и методов вычислительной математики
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
уменьшается значение аналитических методов. Автор этой книги
является категорическим противником подобной точки зрения и
убежден, что эффективные вычислительные методы решения той
или иной задачи, экономные с точки зрения затраты машинного
времени, всегда должны использовать информацию об аналити-
ческой природе задачи. Приведем один пример. Пусть речь идет
о задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Если нам известно заранее, что решение предста-
вляет собой медленно меняющуюся, функцию, то любой числен-
ный метод решения задачи Коши, например метод Рунге —
Кутта, оказывается удовлетворительным. Предположим теперь,
что решение — быстроколеблющаяся функция. Для ее отыска-
ния формально может быть применен любой численный метод.
Однако шаг разностной схемы для обеспечения заданной точ-
ности должен быть выбран очень малым, т. е. для обеспечения
заданной точности мы должны разбить изучаемый интервал не-
зависимого переменного на очень большое число шагов. В то
же время большое количество шагов в свою очередь приводит
к накоплению ошибки и, следовательно, понижает точность
окончательного результата. Кроме того, дробление шага значи-
тельно увеличивает машинное время, затрачиваемое на решение
задачи. Выход из этого положения состоит в использовании
асимптотических методов. Они'позволяют произвести предвари-
тельную обработку уравнений, отбросить некоторые «малые сла-
гаемые» и ввести новые переменные. Эти переменные будут уже
медленно изменяющимися функциями и могут быть точно и
быстро вычислены на машине.
Исследования асимптотических решений обыкновенных диф-
ференциальных уравнений представляют собой обширное и раз-
витое направление этой теории. Поэтому при разработке курса
асимптотических методов стал вопрос об отборе материала.
Здесь возможен целый ряд решений, и окончательный вариант,
вероятно, носит достаточно субъективный характер.
Прежде всего представлялось необходимым познакомить сту-
дента, специализирующегося в области прикладной математики,
с основами теории малого параметра Ляпунова — Пуанкаре.
Эта теория лежит в основе целого ряда методов в астрономии,
теории колебаний и т. д. Ее значение состоит не только в том,
что она дает метод отыскания периодических решений квазили-
нейных уравнений. Для целого ряда задач, которые решаются
в рамках этой теории, сейчас имеются более эффективные ме-
тоды, пригодные, кроме того, для более широкого класса урав-
нений. Дело заключается в другом: эта теория дает очень много
для понимания того, как должны строиться методы исследова-
ния новых задач. Изучение генезиса целого ряда современных
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
исследований может показать, что у их истоков находятся идеи
и методы, впервые сформулированные в теории Ляпунова —
Пуанкаре. Эффективным подтверждением этой мысли является
метод Лайтхилла — Го в газовой динамике. Теории Ляпунова —
Пуанкаре посвящена вторая глава предлагаемой книги.
В третьей главе содержится изложение «асимптотических ме-
тодов разделения движений». В начале двадцатых годов этого
века голландский инженер Ван-дер-Поль открыл качественно
новый подход к изучению колебательных движений и положил
начало новой и важной области в теории колебаний. Н. М. Кры-
лов и Н. Н. Боголюбов сумели посмотреть на весь предмет с со-
вершенно новой точки зрения. Это позволило им разработать
асимптотический метод, который в качестве первого слагаемого
давал решение, которое можно было получить методом Ван-дер-
Поля, носившим эвристический характер. Эти работы положили
начало новому большому направлению в теории асимптотиче-
ских методов. Оно глубоко проникло в различные области тео-
ретической физики, в прикладную астрономию, динамику кос-
мических аппаратов и т. д. В последнее время стала очевидной
его связь с теорией адиабатических инвариантов, которая разви-
валась независимо.
Последняя глава книги содержит изложение теории боль-
шого параметра — классической теории, ведущей свое начало от
работы Лиувилля 1837 г. После работ Биргхоффа и Я. Д. Та-
маркина проблема асимптотического поведения интегралов си-
стем линейных уравнений, содержащих большой параметр,
превратилась в обширную математическую теорию, широко
используемую в различных приложениях. Метод WBKJ является
одним из ее небольших разделов. Эта теория позволяет прово-
дить эффективное изучение линейных систем с медленно ме-
няющимися коэффициентами.
Перечисленные вопросы составляют основное содержание
книги. Им предпосылается небольшая глава, содержащая во-
просы вспомогательного или вводного характера: метод фазовой
плоскости, примеры нелинейных уравнений, теорема Пуанкаре
об аналитической зависимости решения от параметров и неко-
торые теоремы об ограниченности решений линейных уравнений
с переменными коэффициентами.
Перечисленные вопросы совершенно не исчерпывают содер-
жания предмета, стоящего в заголовке книги. Целый ряд важ-
ных вопросов, к сожалению, не нашел своего места. К их числу
относится прежде всего проблема параметрического резонанса,
теория уравнений типа Хилла и теория решений типа погранич-
ного слоя. Ограниченный объем книги исключал саму мысль
о возможности придать ей энциклопедический характер.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Как это видно из приведенного перечисления, предлагаемая
книга посвящена дополнительным главам обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. Тем не менее в ее заглавии стоят слова
«нелинейная механика». Для этого есть несколько причин. Пер-
вая из них состоит в том, что формально значительная часть
изучаемых вопросов совпадает с традиционным понятием «нели-
нейная механика». Далее (и это более важно), книга рассчи-
тана на лиц, которые прилагают свои усилия в прикладной
сфере. Поэтому все изложение ведется на языке нелинейной
механики и иллюстрируется примерами из механики. И, нако-
нец, последнее. В книге используется «Физический уровень стро-
гости». Приводится доказательство только небольшого числа
самых простых теорем. Основное внимание уделяется структуре
вычислительного алгоритма. Вопросы сходимости или оценок
только упоминаются. По каждому из разделов этой книги на-
писано много первоклассных исследований, содержащих об-
стоятельное изложение трудных вопросов математического ха-
рактера. К ним автор и отсылает читателя, у которого возник-
нет желание более глубоко изучить излагаемые вопросы.
Однако данная книга значительно отличается от известных
курсов нелинейной механики. Прежде всего она содержит це-
лый ряд вопросов, обычно не включаемых в курсы. Это вопросы
асимптотики большого параметра, приложение к вариационным
задачам и некоторые другие. Основное же отличие, как нам ка-
жется, состоит в самом духе изложения. Автор избегает боль-
шого числа примеров и не тратит времени на их детальный ана-
лиз. Не задачи теории нелинейных колебаний, а методы являют-
ся объектом анализа.
Настоящая книга по замыслу автора должна служить учеб-
ным руководством, которое с небольшой затратой времени по-
зволит ввести читателя в круг изучаемых вопросов и показать
возможности излагаемых методов.
Думая о читателях, автор прежде всего имел в виду своих
слушателей — студентов Физико-технического института и спе-
циалистов аналогичного профиля, которые занимаются приме-
нением математических методов в естествознании, технике и
экономике. Автор надеется, что предлагаемая книга может быть
полезна инженерам и физикам, поскольку чисто математиче-
ские вопросы в ней находятся на втором плане и изложение
вполне элементарно.
Автор искренне благодарен Владимиру Марковичу Воло-
сову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему много
замечаний, которые позволили устранить ряд неточностей и усо-
вершенствовать изложение,
ГЛАВА 1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
В этой главе, носящей вводный характер, рассматриваются
несколько примеров, иллюстрирующих богатство возможных
форм движения, описываемых нелинейными уравнениями и
уравнениями с переменными коэффициентами. Некоторые из
них нам будут служить в дальнейшем в качестве примеров, на
которых мы будем демонстрировать эффективность изучаемых
методов.
Одновременно на этих примерах мы излагаем метод фа-
зовой плоскости — метод, имеющий большое прикладное зна-
чение.
В этой книге он будет иметь вспомогательный характер
главным образом для пояснений полученных результатов.
Несколько примеров из теории линейных колебаний систем
с переменными параметрами имеет своей целью показать чита-
телю, начинающему изучать предмет, новые качественные осо-
бенности движения систем, возникающие в тех случаях, когда
ее параметры становятся функциями времени.
Последний параграф вводной главы содержит изложение
теоремы Пуанкаре об аналитической зависимости решения от
параметра. Этот фундаментальный результат аналитической
теории дифференциальных уравнений будет много раз исполь-
зоваться в книге.
§ 1.	Метод фазовой плоскости и некоторые свойства
нелинейных колебаний
1.	Фазовые траектории. Рассмотрим уравнение второго по-
рядка
(1.1)
Обозначим х=у и вычислим
d2x _ dy_ dy
dt2 ~ dt~~dxy-
12
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ !
Тогда уравнение (1.1) можно представить в виде
ф(*; у> ту\=^
или

Общий интеграл этого уравнения
ЧЧх, у, С)=0
(1-2)
описывает в плоскости (х, у) некоторое однопараметрическое
семейство кривых
i/ = cp(x, С).
Плоскость (х, у) будем называть фазовой плоскостью уравне-
ния (1.1), а кривую у=<[>(х, С) — фазовой траекторией этого
уравнения. Решение уравнения	..........
дет называться изображающей
(1.1) — точка {*(/); y(t)} — бу-
точкой. Если уравнение (1.1)
трактовать как уравнение,
описывающее движение мате-
риальной точки, то изобра-
жающая точка определяет в
каждый момент времени i по-
ложение и скорость этой точ-
ки. При изменении аргумента
t изображающая точка будет
двигаться вдоль фазовой тра-
ектории (рис. 1).
Так как в верхней полупло-
скости dxldt=x>0, то изобра-
верхней полуплоскости перемещается в сторо-
значений
жающая точка в
ну возрастающих значений х, а в нижней полуплоскости
(х<0) — в сторону убывающих значений х. Следовательно, ра-
диус-вектор изображающей точки в случае фазовой траектории,
показанной на рис. 1, в первом квадранте вращается против
часовой стрелки, а в четвертом — по часовой стрелке.
Если движение, описываемое уравнением (1.1), периодиче-
ское, то соответствующая ему фазовая траектория будет замк-
нутой. Придавая параметру С в формуле (1.2) всевозможные
действительные значения, мы получим всю совокупность воз-
можных движений, описываемых уравнением (1.1).
2.	Линейные системы. Напомним теперь некоторые
линейных уравнений второго порядка. Рассмотрим
уравнение гармонического осциллятора
свойства
сначала
х + <г>2х = 0.
(1.3)
§ 1] МЕТОД ФАЗОВОЙ плоек, и СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ 13
Выпишем для него интеграл (1.2), который будем называть ин-
тегралом энергии
х2 а>2х2 _ р
2 + 2
(1.4)
Здесь С носит название постоянной энергии.
Так как уравнение (1.3) допускает группу преобразований
сдвига t' — t+h, то без ограничений общности можно принять,
что либо х(0)=0, либо х(0)=0*). Поэтому в качестве постоян-
ной энергии будем принимать либо начальное значение кинети-
ческой энергии С = Т (0) = х2(0), либо начальное значение по-
^02 у2 (0)
тенциальной энергии С = П (0) =----. Разрешая (1.4), отно-
сительно х, получим
х= ± /2С-/?(х),	(1.4')
где
F (х) — 2 J со2х dx = со2х2.
Рассмотрим фазовую плоскость уравнения (1.3). Фазовые
траектории этого уравнения определяются из интеграла энер-
гии. Как уже указывалось, они образуют некоторое однопара-
метрическое семейство кривых, завися-
щих от постоянной С. В плоскости (F, х)
начертим сначала кривую F = F(x). Про-
ведем затем прямую F=2C, разность
2С— F(x) будет равна х2. Порядок по-
строения этих кривых ясен из рис. 2.
Легко убедиться в том, что фазовые тра-
ектории целиком заполняют плоскость
(х, у=х)—каждой паре значений х и у
отвечает единственное значение постоян-
ной энергии С.
Мы видим, что все фазовые траекто-
рии — замкнутые кривые. Это значит,
что все решения уравнения (1.3) перио-
дические. Поясним еще раз это обстоятельство. Двигаясь вдоль
фазовой траектории, изображающая точка через некоторое вре-
мя снова вернется в исходное состояние х=х0, х=уо. Поскольку
уравнение (1.3) не содержит времени, то условия х=^т, x—yQ
будут порождать то же движение, которое только что Закончи-
лось в этой точке. Так как изображающая точка в верхней
*) Последнее означает, что любое движение с заданной энергией С, опи-
сываемое уравнением (1.3), можно получить из найденного простой заменой
f-И + й, где й— некоторая постоянная.
14
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ I
полуплоскости движется (при изменении /) в сторону возра-
стающих значений переменного х, а в нижней — в сторону убы-
вающих х, то вдоль фазовой траектории изображающая точка
движется в направлении, указанном стрелкой (см. рис. 2).
Для данного значения постоянной энергии С действительные
ветви кривой (1.4) существуют только для тех х, для которых
F(x)>2C. Точка х=х = 0 определяет положение равновесия.
В самом деле, поскольку при х = 0 ускорение х = 0 также равно
нулю, то точка, имеющая скорость, равную нулю, и занимаю-
щая в некоторый момент положение х = 0, будет оставаться
всегда в этом положении.
Точка х = х=0 будет особой точкой для уравнения (1.3), по-
скольку в ней не определено значение касательной к фазовой
траектории
dx____<о2х
dx х
Особая точка, в любой достаточно малой окрестности которой
все фазовые траектории замкнуты, называется центром, следо-
вательно, точка х=х=0 яв-
ляется особой точкой типа
центр.
Из определения следует,
что всегда можно задать на-
чальное положение изобра-
жающей точки (не совпадаю-
щей с центром) так, чтобы в
любой момент времени эта
точка осталась бы в заданной
окрестности центра. Поэтому
центр является устойчивой
особой точкой.
Если в уравнении (1.3) мы
изменим знак перед вторым
членом, то это приведет к из-
менению знака функции Е(х).
Фазовая плоскость для этого
Рис. 3.
случая изображена на рис. 3.
Мы видим, что все траектории будут незамкнутыми, т. е. соот-
ветствующие им движения — апериодические. Точка х=х = 0
также будет особой точкой уравнения (1.3) и будет определять
положение равновесия. Особая точка, в окрестности которой
фазовые траектории ведут себя подобно тому, как это показано
на рис. 3, называется седлом. Фазовые траектории, отвечающие
значению С=С3, проходят через начало координат (через сед-
§ I] МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСК. И СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ 15
ловую точку). Они образуют кривую, называемую сепаратри-
сой (от французского слова separer— разделять). Ветви сепа-
ратрисы отделяют фазовые траектории, пересекающие ось абс-
цисс, от области, занятой фазовыми траекториями, которые ось
абсцисс не пересекают. Изображающая точка, не лежащая на
сепаратрисе и начальное положение которой сколь угодно близ-
ко к особой точке типа седла, за достаточно большой промежу-
ток времени всегда выйдет из любой окрестности этой точки.
Поэтому седло является неустойчивой особой точкой. Итак, в
зависимости от знака перед о)2х уравнение
х±(о2х = 0	(1.5)
имеет либо замкнутые фазовые траектории (либрационные или
периодические движения), либо неограниченные (апериодиче-
ские) .
Разумеется, этот результат можно получить непосредственно,
поскольку решение уравнения (1.5) выписывается в явном виде
х = А cos (at + h)
в случае, если перед вторым слагаемым стоит знак плюс, или
x=Cleai + C2e-u>i
в случае знака минус. Отсюда для колебательных движений пе-
риод 7’ = 2л/(о, т. е. он определяется только интенсивностью воз-
вращающей силы w и не зависит от энергии системы.
Таким образом, амплитуда — максимальное отклонение от
положения равновесия и период колебаний в линейных систе-
мах друг от друга не зависит. Как следует из (1.4), максималь-
ное отклонение от положения равновесия определяется только
постоянной энергии (при заданном со). В самом деле, макси-
мальное отклонение изображающей точки от положения рав-
новесия будет при х = 0. Следовательно,
- 1
Хтах — у q2 •
Таким образом, период колебаний Т и максимальное отклоне-
ние (амплитуда) не связаны между собой. Такое свойство ли-
нейных колебательных систем (независимость периода от энер-
гии) называется изохронностью.
Напомним еще о характере вынужденных колебаний линей-
ного осциллятора. Рассмотрим уравнение
Х + (О2Х=|Л cos о t,	(1.6)
общее решение которого имеет вид
х = M2^.q2 cos + Л cos (о/+ /г).	(1-6')
16
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
Отсюда следует, что при о—для любого фиксированного зна-
чения времени t стационарное решение (1.6') стремится к беско-
нечности. Это значит, что при о=<в решений вида (1.6') урав-
нение (1.6) не допускает. Известно, что в этом случае решение
уравнения (1.6) содержит слагаемое
и/ .	,
х = sin Gt
и, следовательно, будет неограниченно возрастать при t—»оо.
3.	Фазовая плоскость уравнения Дюффинга. Рассмотрим те-
перь простейшее нелинейное уравнение — так называемое урав-
нение Дюффинга
х + (о2х + цх3 = 0.	(1.7)
Изучим структуру его фазовой пло-
скости. Интеграл энергии для уравне-
ния (1.7) имеет вид
{f+n=c,
где П — потенциальная энергия
п _ 0)2x2 , рх4
2 + 4 •
Рис. 4.
Следовательно,
х = ± /2 (С - П).
Таким образом, фазовая траектория уравнения (1.7) состоит из
двух ветвей, причем действительные участки ветвей будут су-
ществовать только для тех значений х, для которых П<С. Пусть
[i>0 и о)2>0. Для этого случая фазовая плоскость изображена
на рис. 4. Графическое построение нам показывает, что все фа-
зовые траектории замкнуты, т. е. все решения уравнения (1.7)
периодические. Таким образом, фазовая плоскость (1.7) будет
идентична фазовой плоскости линейного осциллятора. Однако,
как мы увидим ниже, колебания, описываемые уравнением (1.7),
обладают одним свойством, качественно отличающим эти дви-
жения от линейных колебаний: период движений, изображен-
ных на рис. 4, зависит от амплитуды.
Если ц<0, то фазовая плоскость перестает быть похожей
на фазовую плоскость линейного осциллятора. Она изображена
на рис. 5. Мы видим, что малым энергиям системы соответ-
ствуют периодические движения в окрестности положения рав-
новесия и движение в этом случае качественно напоминает гар-
монические колебания. Этого можно было ожидать заранее,
поскольку для малых отклонений роль слагаемого цх3 мала.
§ 1} МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСК. И СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ 17
При увеличении начальной энергии системы, замкнутая кри-
вая в фазовой плоскости все больше будет отличаться от эл-
липса. Существует критическое значение энергии С* такое, что
для любой начальной энергии С>С* в системе, которая описы-
вается уравнением (1.7), не могут существовать периодические
движения. Значение С* нетрудно вычислить. Оно равно макси-
муму П. Этот максимум достигается при х= ± -^=- и равен
С* = -<и*- . Если С>С*, то движения становятся неограничен-
4 | Ц. I
ными: |х| —> оо при /->оо. Как это видно из чертежа, неогра-
ниченные движения могут сущест-
вовать также и при значениях С,
меньших критического. В самом де-
ле, для любого С<С* можно ука-
зать такое х, что разность С—П(х)
будет положительной. Но этим дви-
жениям при х = 0 соответствуют
большие начальные отклонения х0,
т. е. поле, напряженность которого
равна (о2х— |р.|х3, выталкивает
точку, если она находится доста-
точно далеко от начала координат.
Значению С —С* соответствует
фазовая траектория, которая явля-
ется сепаратрисой. Сепаратриса, в
частности, отделяет область началь-
ных состояний, которым соответст-
Рис. 5.
вуют периодические движения, от области начальных условий,
которым соответствуют неограниченные движения.
Сепаратриса пересекает ось Ох, точка пересечения сепара-
трисы с осью абсцисс также является положением равновесия
(х=0 и i’=0). Как это видно из чертежа, эта точка является
седлом, т. е. в ее окрестности система, описываемая нелинейным
уравнением (1.7), ведет себя, как линейный осциллятор, у кото-
рого изменен знак внешней силы.
Рассмотрим еще одно видоизменение уравнения Дюффинга
х — о>2х + рх3=0,
(1-8)
где ц>0, а со2 по-прежнему положительно. Фазовая плоскость
этого уравнения изображена на рис. 6.
Мы видим, что в этом случае фазовая плоскость содержит два
положения устойчивого равновесия — это точки СМ-------/=, 0)
18
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
и ОЦ , 0J, в окрестности которых фазовые траектории
имеют форму, близкую к эллипсу. Кроме того, на фазовой пло-
скости есть еще одно положение равновесия. Это начало ко-
ординат. Точка О определяет неустойчивое положение равнове-
сия. Действительно, изображающая точка, которая в начальный
момент находится сколь угодно близко к началу координат,
с течением времени удалится
времени число
мало 6 ни было.
такое движение
Фазовая траекто-
от начала координат на конечное
расстояние. Пусть, например,
изображающая точка в началь-
ный момент имеет координаты
(О, 6). Эта точка будет двигать-
ся вдоль фазовой траектории, и
ее расстояние до начала коорди-
нат будет превосходить в отдель-
ные отрезки
/Q как бы
Очевидно, что
неустойчиво.
рия, которая проходит через на-
чало координат является сепа-
ратрисой. В этом случае она от-
деляет одну область периодических движений от другой области
движений, также периодических, так как система (1.8) допу-
скает только периодические движения.
4.	Пример периодической фазовой плоскости. В заключение
рассмотрим еще один пример
я + sin х = 0.
(1-9)
Уравнение (1.9) описывает движение математического маят-
ника. Интеграл энергии уравнения (1.9) можно записать так:
где
у х2 = С - П,
П = 1 — cos х.
Фазовая плоскость уравнения (1.9), изображенная на рис. 7, в
этом случае будет иметь периодическую структуру. В окрестно-
стях точек х3 = 2л/ (/=0±1, ±2, ...) движения будут периоди-
ческими. Через точки xk = kn (k= ±1, ±3, ...) проходит сепа-
ратриса, которая отделяет области периодических движений от
областей неограниченных движений.
Фазовой плоскостью рассмотренного типа будет, очевидно,
обладать любая колебательная система, которая описывается
§ 2]
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЮФФИНГА
19
уравнением вида
x+f (х) =0,
где f(x) —периодическая функция х периода Т и такая, что
т
Jf(x) dx = Q.
о
Рассмотренных примеров достаточно, чтобы убедиться в огром-
ном разнообразии возможных типов движений, описываемых
нелинейными уравнениями.
Примечание. Мы рассмотрели метод фазовой плоскости
на примерах линейного уравнения и уравнения Дюффинга. Этот
метод применим при исследовании широкого класса дифферен-
циальных уравнений второго порядка, включая уравнения с раз-
рывными правыми частями. В самом деле, все рассуждения
этого параграфа могут быть проведены для уравнения
x+f(x) =0
при единственном условии существования интеграла
П = J f (х) dx.
о
§ 2.	Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга
В этом параграфе мы продолжим изучение уравнения Дюф-
финга. Запишем его в виде
х + (о2х — (лх3=0.	(2,1)
2о	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЁСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [ГЛ. I
В отличие от предыдущего параграфа, где изучение проводилось
качественными методами, в этом параграфе установим некото-
рые количественные закономерности. Мы воспользуемся при
этом тем обстоятельством, что интеграл уравнения (2.1) можно
записать в эллиптических функциях.
1.	Некоторые сведения из теории эллиптических функций.
Выпишем некоторые воспомогательные формулы из теории эл-
липтических функций Якоби.
а)	Функция 2 = sn (и, k) (эллиптический синус) определяется
так:
г = эп (и, k) =sin <р(&) = sin am и,
где амплитуда <p = amw определяется как обращение эллиптиче-
ского интеграла
<р
Здесь k — число, которое называется модулем эллиптической
функции, sin <р — периодическая функция периода 2л. При из-
2л
менении ф на 2л величина и изменяется на ?’„=	"7~—=-
v	J Kl-fe2sin2g
и обратно: при изменении и на Ти амплитуда ф изменяется
на 2л. Следовательно, sn (u, k) — периодическая функция и пе-
риода Ти. Величина
л/2
^(fe)=f—А==-	(2.3)
J У 1 — k2 sin2 £
называется полным эллиптическим интегралом первого рода.
Так как
л/2	л
f	f
J Kl - fe2 Sin2 g Kl - k2 sin2 g
TO
Ta = 4K(k).	(2.4)
б)	Функция z=cn (u, k)—эллиптический косинус, опреде-
ляется равенством
z = cn(u, k) =cos ф=соэ am и.
в) Функция дельта амплитуды
2 = dn (u, k) = Аф = Y1 — k2 sin2 ф = Y1 — k2 sin am и.
§ 2]	ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЮФФИНГА	21
Эллиптический синус, косинус и дельта амплитуды называются
эллиптическими функциями Якоби.
г)	Связь между функциями Якоби
sn2u + cn2u=l, dn2 u+&2sn2 и= 1.	(2.5)
д)	Формулы дифференцирования
4-	sn и = сп и • dn и, dn и = — k2 sn и сп и,
d‘	t “	(2.6)
-г- СП и — — sn и dn и.
аи
2.	Выражение общего интеграла уравнения Дюффинга. Ис-
пользуя выписанные формулы, покажем, что общий интеграл
уравнения (2.1) можно представить в виде
x = Csn[o(/+/i), k],	(2.7)
В это выражение входят четыре постоянные С, о, h и k. Одна
из постоянных, которая входит в общий интеграл этого уравне-
ния, должна быть аддитивной. В самом деле, если функция x(t)
удовлетворяет уравнению, то, каково бы ни было число g, функ-
ция х(t + g) также является решением. В выражении (2.7) ад-
дитивную постоянную мы обозначили буквой h. Три другие по-
стоянные определяются двумя числами со и ц. Это значит, что
они должны быть связаны двумя соотношениями. Следователь-
но, в их определении имеется еще один произвол. Итак, в выра-
жении (2.7) имеются лишь две постоянные, которые могут быть
выбраны по произволу, причем одна из них аддитивная постоян-
ная h.
Вычислим теперь х и х:
~ = Со сп и dn и,
at	1
= — Со2 (sn и dn2 и + k2 sn и сп2 и).
Используя (2.5), преобразуем полученное выражение к виду
= — Со2[(1 — &2sn2u) sn и + k2 (1 — sn2u) sn и] =
= — Co2(l + k2) sn м T 2Ca2k2 sn3 u.
Наконец, вспоминая, что
C sn и = х,
получим окончательно
^ + o41+fe2)x-^? = 0.	(2.8)
22
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
Сопоставляя это уравнение с уравнением (2.1), мы видим, что
его решение можно представить в форме (2.7), если параметры
о, С и k подчинить двум условиям
о2 (1 + &2) = со2,
2a2fe2
С2 (i‘
(2.9)
(2.Ю)
Таким образом, мы показали, что общий интеграл уравне-
ния (2.1) имеет форму (2.7), если только параметры С, о и k
удовлетворяют соотношениям (2.9) и (2.10).
Постоянная h занимает особое место среди произвольных по-
стоянных. В самом деле, предположим, что мы нашли некоторое
частное решение уравнения (2.1), зависящее от одной произ-
вольной постоянной
х=Х(С, 0;
тогда мы сразу можем выписать общее решение этого урав-
нения
х=Х(С, t+h).
Таким образом, в случае систем, параметры которых не зависят
от времени, нам достаточно изучить только некоторый однопара-
метрический класс частных решений. Пользуясь этим обстоя-
тельством, рассмотрим решение уравнения (2.1) вида
х = С sn (at, k).
По аналогии с линейными системами числа С и о будем назы-
вать «амплитудой» и «частотой». Так как ot=u, то при /=0,
u — Q и, следовательно,
х(0)=0.
Обозначим х(0)=Д где X— произвольное число. И так как
сп(0) = dn(0) = 1,
то получим
х (0) =Х = оС.
(2.П)
Соотношение (2.11) устанавливает зависимость «амплитуды» С
и «частоты» о от начальной энергии Т = х2/2. Соотношения (2.9),
(2.10) и (2.11) позволяют определить параметры о, k и С.
3.	Формула для периода. Для того чтобы нагляднее предста-
вить физический смысл изучаемого явления и роль различных
параметров, удобно перейти к безразмерным переменным. Для
этого надо прежде всего выбрать определяющие масштабы.
В качестве таки,х величин можно выбрать, например, начальную
энергию и отклонение от положения равновесия. Тогда весь
§ 2]
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЮФФИНГА
23
СО
процесс будет определяться только характеристиками силового
поля, т. е. числами со и ц. Однако такой выбор масштабов не-
удобен, так как, варьируя параметры о» и ц, мы будем все время
получать различные фазовые плоскости. Поэтому в качестве оп-
ределяющих масштабов удобнее выбрать сами величины со и ц.
Пусть безразмерное отклонение g и безразмерное время т опре-
деляется равенствами
со .	, т
х = -т=-Е,	г =—.
/и
В этих переменных уравнение (2.1) будет иметь вид
Ш-£3 = 0.	(2.12)
Уравнения для определения о, k и С будут теперь такими:
о2 (! + k2) = 1,	(2.13)
2-^-=1,	(2.14)
<уС = 1,	(2.15)
где / = Отсюда видно, что характер процесса опреде-
со2
ляется только одной безразмерной величиной — безразмерной
энергией /2. Найдем зависимость периода колебаний Т от этой
величины. Модуль эллиптической функции k также определяется
только числом I. Сначала найдем эту связь. Из (2.14) и (2.15)
находим
R 2а4 •
Подставляя это значение k в (2.13), находим
о4 - о2 + Y = О,
откуда
,	1 ± /1 - 2/2
° ~	2
В этом выражении следует выбирать определенным образом
знак перед корнем. Выбираем знак +, поскольку при /—>0
(т. е. зс(0) —>0 или ц —> 0, или со-*оо) задача должна перехо-
дить в линейную *), т. е.
lim ст (/) = 1.
z->o
*) Используя периодичность эллиптических функций, нетрудно показать,
что решение, которое соответствует тому случаю, когда перед корнем взят
знак— (минус), получается из исследуемого сдвигом на период Ти.
24
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
Подставляя это значение о в выражение для k2, окончательно
получаем
k2= ______Ж______
(1 + у 1 - 2/2)2 '
Теперь мы можем определить зависимость периода от начальной
энергии. На основании формулы (2.3) получим
Л/2
(2.16)
rftp________
2Z2	~~
-----г -V Sin Ф
(1 +К1 -2/2)
Из формулы (2.17) легко найти период по времени Tt, так как
в нашем случае u = <jt, т. е. Tt = ^Ta:
_	л/2
7 _	4^2 f
' У 1+УТ^2Р j
(2.17)
о
rftp_________
2Z2 sin2 <р
(1 +/1 — 2/2)2
Формула (2.18) содержит основной результат данного пара-
графа — она в явном виде дает зависимость периода колебаний
от начальной энергии /2, т. е. дает ко-
личественное выражение одному из
основных свойств нелинейных колеба-
ний—его неизохронности. Зависи-
мость Tt(l) приведена на рис. 8. При
ц. = 0 мы имеем линейную задачу и
безразмерный период колебаний ра-
вен 2л. Таким образом,
lim Т = 2л.
При I —> 1/]/2 период Tt стремится к
бесконечности. Маятник, который опи-
(2.12), обладает тем свойством, что при
сывается уравнением
некотором значении начальной энергии движение изображаю-
щей точки в фазовой плоскости происходит по сепаратрисе.
Как было показано в предыдущем параграфе, это крити-
ческое значение энергии достигается для уравнения (1.7) при
х = ± со/У^ц" и равно о)4/4| . В нашем случае <в = 1, ц = —1 и
критическое значение энергии С = 121'2. Отсюда 1= \/У 2. Таким
образом, попутно мы установили, что движение по сепаратрисе,
если его рассматривать как колебательное, имеет бесконечный
период.
§ 3] ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 25
В предыдущем параграфе качественными методами мы уста-
новили, что уравнение Дюффинга, помимо периодических реше-
ний, допускает также решения апериодические. Характер коле-
баний определяется только начальной энергией. Если начальная
энергия меньше С*, то процесс, описываемый уравнением, носит
колебательный характер, в противном случае — апериодический.
Таким образом, уже качественное рассмотрение позволило нам
установить отсутствие изохронности колебательного процесса,
описываемого уравнением Дюффинга. Теперь мы установили ха-
рактер этой закономерности и до конца решили вопрос об этом
важном свойстве нелинейных колебаний, описываемых уравне-
нием Дюффинга.
Мы видим, что существуют такие нелинейные системы, у ко-
торых характер движения очень напоминает гармонические ко-
лебания. Однако эти колебания оказались неизохронными: с из-
менением амплитуды изменилась и частота. Мы обнаружили
также, что существуют движения и качественно непохожие на
линейные колебания.
Существует и еще целый ряд явлений, в которых проявляется
качественное различие линейных и нелинейных колебаний. На-
пример, поведение при резонансе. Даже само понятие резонанса
в нелинейных системах, строго говоря, не имеет смысла. В са-
мом деле, в линейных системах резонансом называют явления,
возникающие в линейной системе под действием внешней перио-
дической силы, частота которой совпадает с частотой свободных
колебаний системы. В условиях резонанса амплитуда колебаний
линейной системы непрерывно возрастает. Таким образом, внеш-
няя возбуждающая сила в этих условиях непрерывно вносит
энергию в линейную систему. В нелинейной системе с измене-
нием амплитуды немедленно изменяется частота собственны к
колебаний. Следовательно, «резонансная» ситуация, если она
имела место, немедленно разрушится. Эти рассуждения наво-
дят на мысль о том, что могут существовать нелинейные си-
стемы, у которых для любых частот возмущающих воздействий
могут существовать установившиеся колебательные режимы ко-
нечной амплитуды. Уже в следующей главе мы убедимся в
справедливости подобного прогноза и изучим методы, позволяю-
щие определить резонансные режимы в нелинейных системах.
§ 3.	Примеры колебаний систем с переменными параметрами
1.	Предварительные замечания. Рассмотрим теперь несколь-
ко примеров колебаний систем, параметры которых меняются со
временем. Мы будем рассматривать только простейший случай
колебаний системы одной степени свободы, которые описываются
26
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
линейным уравнением вида
£+f(l)x=O,	(3.1)
где f(t) —некоторая заданная функция времени. Можно гово-
рить, что уравнение (3.1) описывает малые колебания пружин-
ного маятника, жесткость которого изменяется со временем.
Пусть f(t) >0 для любого />0; тогда, рассуждая по анало-
гии с линейными колебаниями, можно было бы ввести понятие
мгновенной частоты
®(0 = v7W	(3.2)
и утверждать, что колебания нашего маятника представляют со-
бой в каждый момент времени гармонические колебания и про-
исходят с мгновенной частотой (3.2). Такого типа рассуждения
иногда встречаются при решении инженерных задач. Можно
указать целый ряд задач, когда такой упрощенный подход,
именуемый иногда принципом замораживания коэффициентов,
дает результаты, точность которых вполне удовлетворительна
с практической точки зрения. Однако в общем случае судить
о свойствах системы с переменными параметрами по свойствам
системы с замороженными коэффициентами нельзя. Это может
привести не только к количественным, но и к грубым качествен-
ным ошибкам.
2.	Случай, когда возвращающая сила стремится к нулю.
Рассмотрим маятник, колеблющийся под действием возвращаю-
щей силы, обратно пропорциональной квадрату времени
х + -р- = 0.	(3.3)
Разыскивая решение в виде x = tK и подставляя это выражение
в (3.3), получаем характеристическое уравнение
Л.2 — л,+ 1 =0,
откуда
х = 4±|/3.
Таким образом, линейно независимые решения уравнения (3.3)
имеют вид
*! = Cjexp |1п/[у + у "|/з]|-,
х2 = с2 exp {In / [у - у У^З ](
§ 3] ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 27
или, переходя к действительным величинам, получим
х* = А{ ]/Т cos In t) ’
x* = A2]// sin In/),
(3.4)
где Ai, A2 и Ci, C2— произвольные постоянные.
Таким образом, колебательный процесс, описываемый урав-
нением (3.3), можно представить как суперпозицию двух коле-
бательных процессов, определяе-
мых формулами (3.4). Характер
колебательного процесса, который
описывается уравнением (3.3), изо-
бражен на рис. 9.
Этот пример наглядно показы-
вает, насколько далеко от истины
нас может увести рассуждение «по
аналогии'с системами, имеющими
постоянные параметры». Несмотря
на то, что возвращающая сила
маятника всегда отрицательна, т. е.
Рис. 9.
всегда направлена против отклоне-
ния х в сторону положения равно-
весия, амплитуда колебаний маятника (величина, пропорцио-
нальная]//) неограниченно возрастает.
Если мы введем понятие мгновенной частоты
со =
/з In t
2t
(3.5)
то увидим, что частота со с течением времени уменьшается и
стремится к нулю при /—»оо, а амплитуда неограниченно уве-
личивается.
3.	Колебания с диссипативными силами. Предположим те-
перь, что на маятник (3.3) действует диссипативная сила, про-
порциональная 1//. Уравнение, описывающее движение маят-
ника будет теперь таким:
.. . % . х п
х + — + = 0.
(3.6)
Разыскивая его решение снова в виде x — t\ найдем, что А, удо-
влетворяет следующему уравнению:
Л2+ I =0.
28
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
Таким образом, общее решение уравнения (3.6) можно пред-
ставить в виде
x—Aj cos In t+A sin In/.	(3.7)
Характер колебательного процесса для этого случая изображен
на рис. 10. Мы видим, что, несмотря на действие диссипативных
сил, колебание маятника происходит с постоянной амплитудой,
а не затухает, как было бы в том случае, если бы параметры
системы были бы постоянны. «Мгновенная» частота колебаний
(3.7), точно так же как и в предыдущем случае, стремится
к нулю при неограниченном возраста-
нии времени.
Можно привести примеры систем,
колебательное движение которых про-
исходит при наличии диссипативных
сил и тем не менее амплитуда колеба-
ний неограниченно растет со време-
нем. К числу таких примеров относят-
ся колебания неуправляемой оперен-
рис 10	ной ракеты, движущейся вертикально
вверх с постоянной скоростью. Нали-
чие оперения создает возвращающий
аэродинамический момент. Таким образом, такая ракета, как
говорят в динамике полета, имеет запас статической устойчи-
вости. Кроме восстанавливающего аэродинамического момента,
на ракету действует демпфирующий аэродинамический момент.
Несмотря на эти обстоятельства, движение такой ракеты не-
устойчиво: амплитуда колебаний неограниченно возрастает со
временем. Причина состоит в том, что с увеличением высоты
полета плотность воздуха р экспоненциально убывает, а следо-
вательно, неограниченно убывают и оба момента аэродинамиче-
ских сил. Разумеется, в подобной задаче метод «заморажива-
ния» коэффициентов никакой полезной информации о поведе-
нии ракеты дать не может.
В следующем параграфё мы приведем некоторые условия,
которые надо наложить на параметры системы, достаточные для
того, чтобы амплитуда колебаний маятника, параметры кото-
рого изменяются со временем, были ограничены во все моменты
времени.
4.	Случай, когда возвращающая сила ограничена. Мы рас-
смотрели колебания маятника, у которого возвращающая сила
с течением времени стремится к нулю, и установили, что эго об-
стоятельство может служить причиной неустойчивости (неогра-
ниченного возрастания амплитуды). Однако неограниченное воз-
растание амплитуды может иметь место и для колебаний такого
§ 3] ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 29
маятника, у которого интенсивность возвращающей силы огра-
ничена снизу для любого момента времени.
Рассмотрим пример маятника, колебание которого описы-
вается уравнением
х+(1+<р(0)х = 0.	(3.8)
Поставим вопрос о том, какие условия надо наложить на функ-
цию <р(/), чтобы решение уравнения (3.8) было ограничено.
Кажется, что для этого достаточно, например, потребовать,
чтобы
lim <р (/) = 0.	(3.9)
<->оо
Однако это предположение неверно. Более того, если одновре-
менно с условием (3.9) выполнено еще условие
lim-—- = 0	(fc>l),	(3.10)
f->oo dtK
то и это не является гарантией ограниченности решения уравне-
ния (3.8).
Предположим, что <р(/) имеет вид
q> = 3gsin/ — g cost—g2cos2t,	(3.11)
где g(t) —произвольная функция. Нетрудно убедиться прямым
вычислением, что функция
х — ехр
/
| g (т) cos т dx
о
cos t
(3.12)
является решением уравнения (3.8), если <р имеет вид (3.11).
Колебательный процесс (3.12) можно записать в виде
х = Л(/) cos t,
где
t
А = ехр | g (т) cos т dx.
о
Величину Л(/) будем называть амплитудой.
Примем теперь, что
/j.\ cos t
g(t) =—.
Тогда амплитуда имеет вид
t
А = ехр j -c°s т dx,
О
(3.13)
30
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
Но величина интеграла в выражении (3.13) неограниченно ра-
стет вместе с верхним пределом.
Примечание. Заметим, что в рассмотренном примере не
только сама функция <р —>0 при t—> оо, но и любая ее произ-
водная стремится к нулю при неограниченном возрастании вре-
мени.
Можно привести еще целый ряд подобных примеров. Осо-
бенно интересен пример математического маятника, у которого
точка подвеса колеблется по периодическому закону. Движение
этого маятника описывается уравнением
х+ (ы2+е cos pt)x = 0,	(3.14)
где o) = const, р — частота, а е — амплитуда колебаний точки
подвеса маятника.
Уравнение (3.14) называется уравнением Матье. Его теория
значительно сложнее теории тех уравнений, которые были рас-
смотрены в этом параграфе. Здесь мы не можем рассмотреть
уравнение Матье и за всеми подробностями отсылаем читателя
к тем руководствам, где изложена теория этого уравнения *)-.
Здесь мы укажем только на одно из замечательных свойств ко-
лебаний этого маятника.
При определенных соотношениях между величинами е, р и со
колебания маятника (3.14) устойчивы. Они происходят с огра-
ниченной амплитудой. Однако при фиксированном со существует
счетное число областей в плоскости (е, р), каждая точка кото-
рых определяет такое соотношение параметров маятника, при
котором его колебания неустойчивы, т. е. происходят с неогра-
ниченно возрастающей амплитудой.
§ 4.	О некоторых достаточных условиях
ограниченности колебаний
1.	Критерий устойчивости для случая, когда возвращающая
сила изменяется монотонно. В предыдущем параграфе мы рас-
смотрели два примера неустойчивых колебаний маятников. Про-
блема устойчивости колебательных движений систем с пере-
менными параметрами в общем случае очень сложна. До сих
пор не существует условий, которым должны удовлетворять ко-
эффициенты уравнения — необходимые и достаточные для устой-
чивости его нулевого решения. Результаты, которые здесь су-
ществуют, относятся только к некоторым специальным классам
уравнений. Мы приведем два простых критерия, соответствую-
*) См, например, Дж. Стокер, Нелинейные колебания в механических
4 электрических системах, ИЛ, Москва, 1952.
§ 41
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОСТИ КОЛЕБАНИЙ
31
щих обоим типам уравнений, рассмотренным в предыдущем па-
раграфе. Они являются только достаточными критериями. Не-
смотря на это, они представляются полезными с прикладной
точки зрения.
Рассмотрим маятник, описываемый уравнением
x+g'(/)x + o)2(/)x = 0,	(4.1)
и предположим, что функция <o(Z) положительная и монотонно
изменяющаяся.
В уравнении (4.1) сделаем замену независимого переменного
t
т '= J со (a) ds.	(4.2)
о
После замены (4.2) уравнение (4.1) примет вид
4!£ + (±^_+ П^£ + х = 0.	(4.3)
dr2 \ со dr со / dr	'
Обозначим через
„	1 Г/ dx \2	о)
2 L\dT)	J
энергию колебательного движения маятника (4.3) и вычислим
ее производную в силу уравнения (4.3)
dE dx d2x , dx / dx \2 Г dco , 1 1	. . ..
dT=d?^ + x d7 = -ld?)	(4-4)
Из равенства (4.4) видно, что для того, чтобы величина Е не
возрастала, достаточно, чтобы квадратная скобка в выраже-
нии (4.4) была не отрицательна, или
-^^ + -^>0.	(4.5)
dr со	' '
Если величина Е остается ограниченной, то и каждая из вели-
чин dxjdr и |х| остается ограниченной при т-*оо. Так как
т — монотонная функция t, то это утверждение сохраняет силу
и относительно переменной t.
Итак, возвращаясь к переменному t, мы можем сформули-
ровать следующую теорему.
Теорема. Для ограниченности решений уравнения (4.1)
достаточно, чтобы для любого момента времени коэффициенты
уравнения (4.1) удовлетворяли неравенству
d In со
dt
+ ё 0.
(4.6)
32
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ I
Легко проверить, что коэффициенты уравнения (3.6) удовле-
творяют этому условию. В самом деле, величины о) и g в этом
уравнении такие:
я(0 = т'.	®(0 = у
и, следовательно,
показать, что колебательное движение опе-
Точно так же легко
ренной ракеты, взлетающей вертикально вверх с постоянной
скоростью, не удовлетворяет условию устойчивости (4.6).
2. Устойчивость колебаний ракеты. Плоские колебания опе-
ренной ракеты около своего центра тяжести с определенной сте-
пенью точности можно
схематизировать как колебание маят-
ника, происходящее под действием
двух аэродинамических моментов: вос-
станавливающего М\ и демпфирующе-
го Л12 (рис. 11). Момент ЛД всегда на-
правлен так, что создаваемое им ус-
корение стремится вернуть ракету в
положение равновесия, при котором
ее ось симметрии совпадает с напра-
влением скорости центра тяжести v:
Mi= —k\x.	(4.7)
Действие демпфирующего момента М2 уменьшает скорость ко-
лебательного движения
М2= — k2x.	(4.8)
Таким образом, малые колебания ракеты, центр тяжести кото-
рой движется прямолинейно, можно описать уравнением
1х= — k2x — kix.	(4.9)
Величина х в выражениях (4.7) и (4.9), характеризующая от-
клонение ракеты от ее положения равновесия, называется углом
атаки. Коэффициенты kt и k2 зависят от конструктивных пара-
метров ракеты, ее скорости движения и линейным образом от
плотности атмосферы р. (Заметим, что гипотеза прямолинейного
движения центра тяжести ракеты оказывается справедливой в
случае вертикального взлета ракеты.)
Условимся, кроме того, считать, что центр тяжести ракеты
движется с постоянной скоростью. Тогда все параметры, кроме
плотности атмосферы, оказываются постоянными, а плотность —
экспоненциальной функцией высоты (а следовательно, и вре-
мени, поскольку скорость вертикального взлета постоянна). На
§4] О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОСТИ КОЛЕБАНИЯ 33
этом основании формулы (4.7) и (4.9) можно переписать в сле-
дующем виде:
М\=—Jb2e~atx, M2-=—Jae~atx,
где размерные величины а и Ь2 считаются постоянными, J — мо-
мент инерции ракеты — также условимся считать величиной по-
стоянной. Итак, в простейшей схематизации колебательного
движения оперенной ракеты мы пришли к исследованию следую-
щего дифференциального уравнения второго порядка:
х + ae~atx + b2e~atx=0.
Так как в данном случае
-Та/
со = be 2 , g = ае~°\
то левая часть неравенства (4.6) имеет в рассматриваемом слу-
чае следующий вид:
— ±-a + ae~at.	(4.10)
Начиная с некоторого момента времени С = — 1п выраже-
ние (4.10) всегда становится отрицательным. Таким образом,
в этом случае достаточное условие устойчивости оказывается
невыполненным.
3. Основная лемма. Рассмотрим теперь уравнение (3.8) и по-
ставим вопрос о том, какие условия следует наложить на функ-
цию <р(/) для того, чтобы гарантировать ограниченность коле-
баний, описываемых этим уравнением. Докажем сначала для
этого одну вспомогательную лемму, которая нам понадобится
еще и в дальнейшем.
Лемма. Пусть и и v — неотрицательные функции, а С — по-
ложительная постоянная, причем для любого t 0 выполняется
неравенство
t
и С С + J uvdt.	(4.11)
о
Тогда
t
u^Cexp^vdt.	(4.12)
о
Для доказательства умножим неравенство (4.11) на о и пере-
пишем его в следующем виде:
UV
с + uv dt
о
34
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
ИЛИ
(4.13)
Умножая (4.13) на dt и интегрируя, получим
откуда
t	1
С + J uv dt С ехр J v dt
о	о
(4.14)
Согласно (4.11) мы только усилим неравенство (4.14), если его
левую часть заменим функцией и. Итак, справедливость нера-
венства (4.12) доказана.
4. Критерий устойчивости для уравнения (3.8). Вернемся те-
перь к уравнению (3.8), считая |<р( < 1. Умножим его на х и пе-
репишем в следующем виде:
d х2 + х2
(4.15)
Проинтегрируем уравнение (4.15):
или
t
4+4(1+ф)=с+4	(4.16)
о
где
с=(4 + -т<‘+<а>°-
Так как величина х2 всегда неотрицательна, то из (4.16) сле-
дует, что
t
4(1+ф)<С + у] |ф|х2(/Л	(4.17)
6
Предположим, что <р(/) —>0 при t—> оо, тогда для
большого значения t будет иметь место неравенство
1 +ф>4-.
достаточно
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
35
§ 51
Следовательно, мы только усилим неравенство (4.17), если пе-
репишем его так:
t
+ | /|ф|4^.	(4.18)
о
Если в неравенстве (4.18) мы положим х2/4 = м, 2| ф | — и, то ока-
жемся в условиях, когда может быть применена доказанная
нами лемма, что дает
t
^-^Сехр J 2| ф \dt.
о
Отсюда вытекает следующий результат.
Теорема. Для ограниченности решения уравнения (3.8)
достаточно, чтобы интеграл
t
/ I Ф I dt
о
сходился.
§ 5. Теорема Пуанкаре
1. Формулировка. Теорема Пуанкаре относится к числу ос-
новных результатов аналитической теории дифференциальных
уравнений. Одновременно она имеет большое значение и для
приложений, поскольку выясняет основные свойства уравнений
в вариациях. В отдельных случаях она сама может являться
источником эффективных вычислительных алгоритмов.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого
порядка
x=f(x, t, е),	(5.1)
где х — вектор размерности п, t — скалярный аргумент —
время, а е—малый параметр. Предполагается, что функция f
является аналитической функцией переменной х и параметра е.
Для системы (5.1) поставим задачу Коши: определить функ-
цию x(t, е), удовлетворяющую системе (5.1) и начальным усло-
виям
х(/0)=х0.	(5.2)
Для того чтобы задача (5.2) для уравнения (5.1) имела смысл,
нам нет необходимости требовать аналитичности по перемен-
ной t. Будем предполагать, что правая часть уравнения (5.1)
удовлетворяет условиям, гарантирующим существование реше-
ния локальной задачи Коши. Например, пусть f(x, t, е) будет
36
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
удовлетворять условию Липшица ио переменному х. Наряду
с уравнением (5.1) будем рассматривать уравнение
z = f(z, t, 0).	(5.3)
Уравнение (5.3) условимся называть порождающим. Для обоих
уравнений будем рассматривать одну и ту же задачу Коши
(5-2).
В уравнении (5.1) сделаем замену переменных
x — z+y.
Вектор у будет удовлетворять уравнению
y = ((z+y, t, e) — f(z, t, 0)	(5.4)
и нулевым начальным условиям
у(0)=0.	(5.5)
Так как правая часть уравнения (5.4) — аналитическая функ-
ция переменных у и е, то мы можем ее разложить в ряд Тей-
лора по этим переменным, считая их достаточно малыми по аб-
солютной величине. Это позволит нам переписать уравнение
(5.4) в следующем виде:
у = Ау + г + В (у, е, t).	(5.6)
Здесь А =	— квадратная матрица первых частных произ-
водных
HOI'
и х{— i-я компонента векторов f и х соответственно,
вектор (матрица-столбец) с компонентами (у-) . В (i
совокупность членов более высокого порядка: разложение функ-
ции В (у, е, t) начинается со вторых степеней ее аргументов,
(F)o обозначает, что значения функции F(х, е) вычислены при
условии x=z, е = 0.
Будем считать, что решение задачи Коши для порождаю-
щего уравнения известно. Тогда А и ^-будут известными функ-
циями времени.
Будем искать решение уравнения (5.6) в виде ряда
со
у = 2 ур1.
Iе 1
(5.7)
5 51
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
37
Подставляя ряд (5.7) в уравнение (5.6) и сравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях параметра е, получим следую-
щую -систему уравнений для определения неизвестных функ-
ций у,:
У1 = ^У1 + О,,
у2=Ду2Н D2,
У к — Аук + Dk,
(5-8)
В этих уравнениях Z>i =	— известная функция времени.
Функция О2 содержит квадратичные члены разложения функции
В (у, е, t) по у и е, т. е. в нее входит только функция у4 и не
входят функции у,- для i>l. В самом деле, функцию В (у, е, t)
можно представить в виде
В (у, е, t) = В00у2 + В01уе + Вце2 + ...
Подставляя в это выражение ряд (5.7), приведем его к виду
В (у, е, t)=^e2[B00y2l + Bolyt + Вн) + е3(....) + ...
Очевидно, что и любая функция Dh зависит только от тех функ-
ций у,, для которых i<k.
Таким образом, если решать последовательно уравнения
(5.8), то функции Dk следует считать известными функциями
времени. Функции у; удовлетворяют нулевым начальным усло-
виям
i/i(/o)=O.	(5.9)
Таким образом, определение коэффициентов разложения реше-
ния у(/)ч т. е. функций yi(t), сводится к последовательному
решению задач Коши для системы (5.8).
Теперь мы можем сформулировать теорему Пуанкаре. Она
состоит из двух утверждений:
I.	Если общий интеграл порождающей системы (5.3) изве-
стен, то решение системы (5.8) может быть найдено при по-
мощи операций дифференцирования и взятия квадратур.
II.	Решение уравнения (5.1) —аналитическая функция пара-
метра е, т. е. ряды (5.7) сходятся при достаточно малых по
абсолютной величине значениях е и, следовательно, предста-
вляют собой интегралы уравнения (5.1), разложенные М сте-
пеням параметра е.
Будем называть некоторый ряд формальным решением, если
он удовлетворяет системе дифференциальных уравнений. Этот
ряд будем называть решением, если он сходится в некоторой
38
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. I
области значений параметра. Таким образом, первая часть тео-
ремы формулирует некоторые суждения о структуре алгоритма
построения формального решения. Вторая часть теоремы утвер-
ждает, что формальное решение (5.7) является решением.
2. Доказательство утверждения I. Докажем только первое
из этих утверждений. Доказательство второго утверждения при-
водить не будем, так как оно достаточно громоздко*).
Пусть
z=F(t, С),	(5.9)
где С — произвольная постоянная (вектор размерности п.) есть
общий интеграл порождающего уравнения (5.3). Это значит,
что функция F удовлетворяет уравнению (5.3)
~ = f[F(t, С), /, 0]	(5.10)
при любом значении постоянной С. Через обозначим вектор
dF(Z.C)	(5И)
Ы дС(
где С1 — Ля компонента вектора С. Вычислим
_ rf dF = д dF
dt ~ di dCl ~ dC! dt ’
Используем тождество (5.10)
= С)’ f’ = =
Здесь df/dF—квадратная матрица, причем очевидно, что
> = Л.
dF
Таким образом, вектор-функция £{ удовлетворяет системе ли-
нейных дифференциальных уравнений
Система уравнений
й = /1м	(5.12)
называется уравнениями в вариациях для системы (5.1) и пред-
ставляет собой систему линейных уравнений с переменными ко-
эффициентами. Никаких общих рецептов интегрирования таких
уравнений нет. Однако уравнения в вариациях обладают одним
*) См., например, В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории
дифференциальных уравнений, изд. 2, Москва, 1950.
§ 5]
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
39
замечательным свойством, которое мы только что доказали. Это
свойство можно сформулировать в виде следующей леммы.
Лемма. Если общий интеграл порождающего уравнения
известен, то частные решения уравнений в вариациях могут быть
выписаны в явном виде при помощи одной операции дифферен-
цирования в соответствии с формулами (5.11).
Итак, формулы (5.11) определяют систему фундаментальных
решений уравнений в вариациях. Теперь решение задачи Коши
(5.9) для системы уравнений (5.8) можно получить в квадрату-
рах, используя метод вариации произвольных постоянных. При-
ведем эти вычисления. Система уравнений (5.8) имеет вид
г/ = Лу + О,	(5.13)
где D — известная функция времени. Решение уравнения (5.13)
будем искать в виде
y=Ya,	(5.14)
где а—некоторый неизвестный вектор, а У—матрица фун-
даментальных решений уравнений в вариациях
где Ц ~ компонента вектора номер которой равен /. Таким
образом,
4г	<5-|5>
Дифференцируя (5.14) и подставляя в (5.13), получим
Ya = D.	(5.16)
При выводе (5.16) мы использовали (5.15). Итак,
a.= Y~lD,
откуда окончательно получим
t
y=Y(t)\ J У-1 (т) D (т) dr + С
. о
Для того чтобы удовлетворить начальным условиям (5.9), про-
извольную постоянную С* следует принять равной нулю. Итак,
t
у= | У (t) У"1 (т) D (г) dr.	(5.17)
о
Матрица У(£)У-1(т) называется матрицей Грина. Первая часть
теоремы Пуанкаре доказана полностью, поскольку выражение
(5.17) получено путем дифференцирования и взятия квадратур.
40
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
[ГЛ. 1
3. Замечание об аналитичности правых частей. Во всех рас-
суждениях, которые были приведены, основным предположе-
нием было предположение об аналитичности правых частей
уравнения (5.1) по параметру е и функции х.
Последнее предположение очень существенно. Теорема Пуан-
каре перестает быть верной для уравнений (5.1), если пара-
метр е входит в ее правую часть неаналитически. Покажем это
обстоятельство на примере. Рассмотрим уравнение второго по-
рядка
или
ех = (е+\)х — х.	(5.18)
Порождающее уравнение будет таким:
Z=z,
а его общий интеграл имеет вид
z=Ce'.	(5.19)
Общий интеграл уравнения (5.18) легко выписать в явном виде
x = Cle^ + C2et.	(5.20)
Мы видим, что функция (5.20) не может быть разложена в ряд
по положительным степеням параметра е в окрестности точки
е=0. Более того, решение (5.20) при е—>0 вообще не стремится
к решению порождающего уравнения ни для каких i, отличных
от нуля.
ГЛАВА ll
МЕТОД ЛЯПУНОВА-ПУАНКАРЕ
Настоящая глава посвящена изложению основ классической
теории периодических решений дифференциальных уравнений,
правые части которых являются аналитическими функциями
своих переменных. Эта теория возникла из работ Ляпунова и
Пуанкаре в конце прошлого века и в последующие десятилетия
получила дальнейшее развитие. В ней появились новые точки
зрения, расширился круг изучаемых вопросов. Наряду с иссле-
дованиями теоретического характера продолжалась дальнейшая
разработка методов эффективного построения периодических
решений.
Начиная с двадцатых годов теория Ляпунова — Пуанкаре
благодаря работам Андронова и Мандельштама находит широ-
кое применение в теории колебаний. Большой вклад в даль-
нейшее развитие классической теории периодических решений
сделали наши соотечественники. Здесь прежде всего следует
назвать имена И. Г. Малкина и Г. В. Каменкова.
В настоящей главе мы рассматриваем только некоторые из-
бранные вопросы, которые, как нам кажется, представляют наи-
больший интерес для приложений, причем основное внимание
сосредоточено на изложении самих алгоритмов построения пе-
риодических решений.
§ 1. Система Ляпунова — случай одной степени свободы
1. Консервативные системы. В предыдущей главе мы рас-
смотрели несколько примеров консервативных систем с одной
степенью свободы и убедились, что при известных условиях
фазовые траектории в окрестности положения равновесия пред-
ставляют собой замкнутые кривые, т. е. движения, которые они
описывают, являются периодическими. Несмотря на то, что этот
факт был продемонстрирован на частных примерах, он имеет
вполне общий характер.
Рассмотрим уравнение

42
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. П
где функция f(z) такова, что f(0)=0, а потенциальная энергия
П = J f (г) dz
в точке г = 0 имеет изолированный минимум. Тогда из инте-
грала энергии мы находим
г = /2(С-П),
где С — постоянная энергии. Применяя метод фазовой плоско-
сти, сразу убеждаемся, что траектории этой системы в доста-
точно малой окрестности положения рав-
новесия замкнутые. В самом деле, функция
П(г) имеет в окрестности точки г=0 вид,
изображенный на рис. 12, где показана
также структура фазовой плоскости этого
уравнения. Таким образом, все решения
в окрестности минимума потенциальной
энергии периодические. Этот факт был по-
лучен при весьма общих предположениях
о функции f(z): она должна быть инте-
грируемой.
2. Система Ляпунова. В этом параграфе
будет изучен класс систем, называемых
системами Ляпунова. Они обладают мно-
гими свойствами консервативных систем,
которые являются их весьма частным слу-
чаем. Так же как и консервативные систе-
мы, в окрестности положения равновесия при известных усло-
виях они описывают периодические движения.
Для этих систем А. М. Ляпуновым разработан эффективный
аналитический метод отыскания периодических движений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-^- = a11g + a12T] + X’(g, П). |
= a2ig + «22П + У* (£, П). j
(1.1)
где X*(g, т]) и У*(£, t|) —аналитические функции своих пере-
менных в окрестности точки £ = т] = 0 и такие, что их разложение
по степеням £ и т] начинается с членов, порядок которых не
ниже второго:
х’ & П) = Ы2 + W + Мп + М3 + .... 1
Г (|, п) = М2 + W + MnTM3 + J
СИСТЕМА ЛЯПУНОВА — СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
43
§ И
Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выпол-
нены следующие два условия:
а)	уравнение
«1) у й|2
= о	(1.3)
«21	а22 - у
имеет чисто мнимые корни ±iX;
б)	система (1.1) допускает аналитический первый интеграл
Н(1, г]) =const,	(1.4)
разложение которого по степеням переменных g и г] начинается
с членов второго порядка малости, т. е. функция Н в окрест-
ности точки £=т] = 0 является аналитической функцией своих
переменных и представима в следующем виде:
Н = а* + а^2 + а*2т]2 +	+ ...
Система Ляпунова как частный случай содержит консерва-
тивные системы. Например, уравнение
z + f (z) = 0,
где f(z) = ©2z + a2z2 + ... заменой £= —©q, z = g приво-
дится к виду (1.1)
£ = - ат],
П = а? + — 52 + ...
Если функция f(z) аналитическая, то интеграл энергии и будет
аналитическим интегралом (1.4).
Однако к числу систем Ляпунова относятся также многие
встречающиеся в технике и физике неконсервативные системы.
В одном из следующих параграфов мы рассмотрим пример
системы Ляпунова, не являющейся консервативной.
3.	Приведение к каноническому виду. Рассмотрим вспомога-
тельную систему уравнений
5 = «п5+ «12П> 1	..
• С. 1	I	(1 ’5)
Т] = Й215 + «22^- J
Система (1.5) описывает колебание с постоянной амплитудой,
поскольку ее характеристическое уравнение имеет пару чисто
мнимых корней.
Исключая из уравнения (1.5) переменную ц, получим
| ~ |(«11 + «22) + 5(«22«11 — «21«1г) =0.	(1-6)
44
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Для того чтобы удовлетворить условию а), коэффициент при
g должен быть равен нулю, т. е. должно быть аи = —«22 и, кро-
ме того, должно иметь место неравенство
Х2 = Й22а11 — Й21а12^>0-
Сделаем замену
£=х, х = —ку,	(1.7)
где А — арифметическое значение корня Уа22а,л — а21а12. При
помощи замены (1.7) уравнение (1.6) сводится к эквивалент-
ной системе двух уравнений
х = —ку, у = Хх.
Поэтому, если в исходной системе (1.1) сделать замену (1.7),
то эта система будет приведена к виду
х= - ку + Х(х, у), )
у = Кх + Y (х, у),	/
где X и У — аналитические функции своих переменных, разло-
жения которых начинаются с членов второго порядка малости.
Таким образом, вместо системы (1.1) нам достаточно рассмо-
треть систему (1.8).
4.	Преобразование интеграла Н. Остановимся еще на выра-
жении интеграла Н. Согласно предположению б) его предста-
вление имеет вид
Н = Ах2+Ву2 + Сху + .. ,=ц,
где ц— некоторая постоянная. Так как Н— первый интеграл,
то в силу уравнений (1.8) ~^~=0, что позволяет вычислить
коэффициенты А, В, С и т. д. Найдем
~ = (2Ах + Су+ ...)(-^ + Х(х, у)) +
+ (2Ву + Сх+ ...) (Хх 4- У (х, у)).
Сравнивая коэффициенты при х2, у2 и ху, получим
СХ=0,	—2ДХ+2ВХ=0.
Отсюда А = В, С = 0. Не нарушая общности, можно принять
А=В=\.
Итак, интеграл Н можно представить в виде
H^x2+y2 + W(x, у) =[д2,	(1.9)
где W — аналитическая функция своих переменных, разложе-
ние которой начинается с членов не ниже третьего порядка
(> I) СИСТЕМА ЛЯПУНОВА-СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ 45
малости, ц2— некоторая постоянная, которую всегда мы мо-
жем считать положительной для достаточно малых |х| и \у\.
5.	Периодичность решений системы Ляпунова. Докажем те-
перь, что решения системы (1.8) для достаточно малых значе-
ний р, — периодические функции t. Для этого достаточно до-
казать, что фазовые траектории в плоскости (х, у) замкнутые
и 0 сохранят знак.
Введем полярные координаты
x=pcos0;	i/ = psin0
и заметим, что любая замкнутая траектория р(0) должна быть
периодической функцией аргумента 0. Составим выражение
для Н:
Н = р2 (1 + W (р cos 0, р sin 0)) = [х2.	(1.Ю)
Здесь W — аналитическая функция р, разложение которой
имеет вид
W(x, (/) = а30х3 + а2,х2г/+ ••• +аптхпут + ... =
= p3(a3ocos30 4- a21 cos2 0 sin 0 + a12cos 0 sin20 4-aO3sin30) + ...
... + Pn+m (a„+m, о cos"+m 0 + ... + a0, n+m sinn+OT 0) + ...
Следовательно, в формуле (1.10) функция	0) может
быть представлена в виде ряда
уЛр, 0) = pa,(0) + p2a2(0) + ....
причем все коэффициенты а,(0)—полиномы от sin© и cos0,
т. е. периодические функции 0. Таким образом, выражение
(1.10) можно переписать так:
рД+раДО)-!- ...)'/2-ц.
Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для
определения р(0). Используя аналитичность функций, которые
в него входят, будем функцию р разыскивать в виде ряда
р=и + 62(0)и2 + 6з(0)р3 + ...	(1.П)
Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты
в разложении (1.11) являются полиномами от sin 0 и cos 0. Так,
например,
62=“Уа1>	63 = ai J a2> •••
46	МЕТОД ЛЯПУНОВА —ПУАНКАРЕ	(ГЛ. II
Таким образом, коэффициенты 6, — степенные функции коэф-
фициентов а{, а последние в свою очередь являются полино-
мами от sin 0 и cos 0. Вследствие такой структуры коэффициен-
тов ряд (1.11) определяет периодическую функцию 0 периода
2л, т. е. при изменении 0 на 2л величина р возвращается к свое-
му исходному значению. Если при этом окажется, что 0 сохра-
няет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория
замкнутая. Ниже мы в этом убедимся (см. формулу (1.16)).
Таким образом, решения системы (1.8)—функции x(t) и
y(t) —будут периодическими функциями времени.
Функции x(t) и y(t) являются аналитическими по пара-
метру р.. В самом деле, в силу аналитичности правых частей
системы (1.8) ее решения будут аналитическими функциями
начальных значений
х(0)=с,	1/(0) =6.
Постоянная р. также определяется этими значениями
tf=c2+b2+W(c, b).	(1.12)
Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то
без ограничений общности начальные условия можно принять
в виде
х(0)=с,	1/(0) =0.	(1.13)
Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой
аналитические функции с, а также и ц, поскольку из (1.12) сле-
дует, что р, — аналитическая функция с:
р = с + р2С2+...	(1.14)
6.	Вычисление периода. Для вычисления периода составим
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют пере-
менные р и 0. Вычислим
x = pcos0 — pGsinO, z/ = p sin 0 + pGcos 0.	(1.15)
Заменяя в системе (1.15) производные х и у их выражениями
из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относи-
тельно производных х и у, найдем искомые уравнения
-^2- = X (р cos 0, р sin 0) cos 0 + Y (р cos 0, р sin 0) sin 0, (1.16)
"5Г ~ p" № (P cos 9» P s’n cos ® — % (P cos 9’ P s*n в) s’n 9}’
Из второго уравнения определим t:
е
j _ f __________________P ^0__I /	/1 1 *7\
“J Ap + Y (p cos 0, p sin 0) cos 0 — X (p cos 0, p sin 0) sin 0	°’ '	'
0
§ 1]
СИСТЕМА ЛЯПУНОВА — СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
47
Для того чтобы удовлетворить условиям (1.13), необходимо
константу в (1.17) принять равной нулю. Используем теперь
тот факт, что р — аналитическая функция ц (см. представление
р, в виде ряда (1.11)). Это позволит разложить подынтеграль-
ную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням ц
t =
Л
е
0+ J [|х#, (9) +	(0) + ...]d0
О
(1.17')
где ОДО) —периодические функции 0 периода 2л. Следова-
тельно, подынтегральная функция в (1.17') также периодиче-
ская функция 0 периода 2л. Следовательно, интеграл
е0+2л
I = | [и&1 (0) + р2,&2 (0) + • • • ] ^0
е„
не зависит от 0О и его можно записать в виде
/ = 2л (p/i! + \>?h2 + ...),
где hi — вполне определенные числа. Таким образом, при изме-
нении 0 на 2л время t получает приращение Т
Г = -^(1 +p/i,+p2/i2+ ...),	(1.18)
не зависящее от 0о- Пусть теперь Ф(0) — некоторая периодиче-
ская функция 0 периода 2л, тогда
Ф(0+2л) =Ф(0).	(1.19)
Рассматривая ее как функцию t, будем иметь
Ф(/ + Т)=Ф(/).	(1.20)
Равенство (1.19) справедливо для любых 0, следовательно, и
равенство (1.20) справедливо для любых t, т. е. Ф(/)—перио-
дическая функция t. Значит, величина Т, определенная форму-
лой (1.18) как функция |х, и есть период решения.
Используя (1.17), мы можем записать его в следующем
виде:
в0+2л
Т (|Х> 0о) J %р + Y (р cos 0, р sin 0) cos 0 — X (р cos 0, р sin 0) sin 0 ’
Op
(1-17')
при [x—*0 период Т стремится к периоду линейных колебаний
Зя/Л. т- е. к периоду колебаний в системе (1.8) при 0,
48
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
7.	Одно свойство периода. Покажем теперь, что Т — четная
функция [х. Вернемся снова к интегралу (1.10). Рассматривая
его как уравнение относительно р, мы получаем в окрестности
точки р = 0 два решения. Одно из них дается рядом (1.11)
р = ц + 62(0)р-2 + ^з(0)р3+- • •;
к другому решению приходим, если в (1.11) заменить ц на—|х:
р = _и + 62(0)р2-63(0)И3 + ...	(1.21)
Теперь заметим, что левая часть уравнения (1.10) не изменится,
если заменим р на —р и 0 на 0 + л. Следовательно, на основа-
нии (1.П) будем иметь
—р=|х + ^2 (0 + л) Р-2 + ^з(0+л) |х3+...	(1.22)
Значение р, определенное рядом (1.22), будет корнем уравнения
(1.10), не совпадающим с (1.11) (хотя бы потому, что для ма-
лых р из (1.11) следует р = ц + О(ц2), а из (1.22) р = —ц + О(ц2).
Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21). Сравни-
вая (1.21) и (1.22), получаем
&г(0) =—^г(0+л),	&з(0) = &з(0 + л)
и т. д.
Отсюда следует, что если в выражении (1.11) заменить ц на
—[х, а 0 на 0 + л, то величина р примет свое значение с обрат-
ным знаком:
р(—р, 0+л) =—р(|х, 0).
Выпишем теперь выражение для периода Т. На основании
(1.17) имеем
2л
(Н> 0) J %р + Y (р cos 0, р sin 0) cos 0 — X (р cos 0, р sin 0) sin 0	’^3)
о
Сделаем в (1.23) замену р, на —[х, а 0 на 0+л. Тогда получим
величину
л+2л
'__________р ( — [X, 0 +л) rf0_____
Ар (— [X, 0 + л) + Y cos (0 + л) — X sin (0 + л)
л
Согласно доказанному величины р cos 0 и р sin 0 сохраняют
свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и
о функциях X и У. В то же время р, cos 0 и sin 0 изменят свои
знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный,
но и числитель изменит знак на обратный. Следовательно,
Г(И, 0)=7'(-|х, л).
Т(- щ л)= j
$ 21	УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ	49
Но подынтегральная функция в выражении (1.23)—периоди-
ческая функция переменной 0 периода 2л, и, следовательно,
?’(—ц, л) = Г(—ц, 0).
Итак,
Г(-ц, 0)=Г(ц, 0),
т. е. период — четная функция величины ц.
8.	Формулировка теоремы Ляпунова. Мы доказали следую-
щую теорему.
Теорема Ляпунова. Если постоянная ц достаточно
мала, то все решения системы уравнения (1.8) —периодические
функции t, причем период — четная функция величины ц и при
р,—>0 стремится к 2л/Х. Решения системы (1.8) являются ана-
литическими функциями величины с — начального отклонения
переменной х.
Имея в виду формулу (1.14), выражение периода (1.18)
можно переписать в следующем виде:
Г = ^(1 + c2h2 + c3h3 +	(1.24)
§ 2. Условия существования периодических решений
1.	Предмет исследования. Все рассуждения этой главы будут
так или иначе связаны с умением решать вопрос о существова-
нии периодических решений в системе линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
x = atix +al2y +Ft (/), 1
У = й21х 4- а22у 4- F2 (/), J
где аг, и Ft — некоторые периодические функции времени пе-
риода 2л. В этом параграфе мы рассмотрим условия, которые
должны быть наложены на функции Ft и F2, необходимые и до-
статочные для того, чтобы система уравнений (2.1) допускала
периодические решения периода 2л. Особое внимание при этом
мы уделим тому специальному случаю, когда уравнения
х = atlx 4- а12у, )
.	(2-2)
y = a2lx + a22y J
представляют собой систему уравнений в вариациях для си-
стемы Ляпунова, о которой шла речь в предыдущем параграфе.
Вопросы, которые рассматриваются в этом параграфе, носят
вспомогательный характер, однако они имеют и самостоятель-
ный интерес. Поэтому мы их рассмотрим несколько подробнее,
нежели это необходимо для дальнейшего изложения,
50
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
(ГЛ. II
2.	Необходимые и достаточные условия периодичности. Рас-
смотрим систему (2.1), не делая сначала никаких предположе-
ний о природе коэффициентов a,j(/), кроме предположения об
их периодичности по t.
Пусть х(/) и y(t)— решение системы (2.1), удовлетворяю-
щее следующим данным Коши:
х(О)=хо, 1/(0) =Уо.
Для того чтобы это решение было периодическим с периодом
2л, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следую-
щим условиям:
х(2л)=х0,	t/(2n)=t/0.	(2.3)
Очевидно, что условия (2.3) необходимы, так как функция на-
зывается периодической, если она удовлетворяет условиям
х(/0+2л) =х(/0), 1/(/о+2л) = «/(/о),	(2.3')
каково бы не было to- Условия (2.3) являются частным случаем
(2.3') при /о=О- Эти условия являются также и достаточными.
В самом деле, правые части системы (2.1)—периодические
функции времени периода 2л и, следовательно, они инвариант-
ны относительно замены переменного t —»/' + 2л, тогда в силу
(2.3) по t и /' мы будем иметь одну и ту же задачу Коши и,
следовательно,
%(/')=%(/); «/(/')=«/(/)
или
х(/' + 2л) =x(t'); y(t' + 2л) =«/(/').
Так как это равенство справедливо для любых /', то оно совпа-
дает с (2.3') и, следовательно, функции x(t) и «/(/) — периоди-
ческие.
Предположим далее, что система фундаментальных решений
системы (2.2) нам известна. Обозначим эти функции через xlt
х2, i/i и t/г и решение системы (2.1) будем искать методом ва-
риации произвольных постоянных, полагая
x = Axi + Bx2, y = Ayt+By2,	(2.4)
где А и В — некоторые функции времени, подлежащие опреде-
лению.
Подставим выражения (2.4) в (2.1). Принимая во внимание,
что функции Х\, х2, i/i и у2 удовлетворяют системе (2.2), мы полу-
ЧНМ следующие уравнения для определения функций А и В;
АХ]+Вх?=Рь Ayi-\-By2=F<^
§ 2]
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
51
откуда
А = J F^~F*X2 di + С,
О
В = J F*Xl-Fl4l dt + D,
(2.5)
где С и D — новые произвольные постоянные, а А — определи-
тель Вронского
У\
х2
У2
%1

Постоянные С и D определяются из начальных условий х = х0,
У = Уа при / = 0. Так как интегральные слагаемые в выражениях
(2.5) при /=0 обращаются в нуль, то постоянные С и D опреде-
ляются из уравнений
Сх, (0) + Dx2 (0) = х0, 1
Cyi (0) + Dy2 (0) = у0. J
(2.6)
Используя полученные выражения, выпишем теперь условия
периодичности (2.3)
%!(2л) J -F^2-~-2X2 dt + х2(2л) J F^x^F'y^ dt +
о	о
4- Cxi (2л) -|- £)х2(2л) = х0»
2л	2л
Ух (2л) J F^2~F2X2 dt + у2 (2л) J	di +
о	о
+ Су} (2л) + Dy2 (2л) = уй.
(2-7)
Для того чтобы система (2.1) допускала периодические реше-
ния, необходимо и достаточно, чтобы функции Fi и F2 удовлет-
воряли условиям (2.7).
Изучим теперь эти условия для некоторых специальных слу-
чаев.
3.	Случай, когда фундаментальные решения уравнения
(2.2) — периодические функции времени. Рассмотрим сначала
тот частный случай, когда фундаментальные решения x2(t),
Хг(/), //1(0 и 1/г(0 — периодические функции. Заметим, что
уравнения в вариациях, отвечающие изохронным системам, т. е,
52
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
системам, период колебаний которых не зависит от начальных
условий, всегда имеют периодические решения.
Так как С и D — постоянные числа, то в силу периодичности
функций x-t и z/t- из (2.6), мы получаем следующие условия:
C%i(2n) 4- Dx2(2n) = х0, 1	t
Cyi(2n) + Dy2 (2л) = у0 J	(2’6/)
Равенства (2.6х) позволяют упростить систему (2.7), которую
можно теперь рассматривать как систему однородных алгебраи-
ческих уравнений относительно интегралов
2Л
f Fty2-F2x2
J А
271
dt,
0
FiXi-Fiyi
A
Перепишем эту систему в следующем виде:
+^2^2 = 0,	f/l^l+Z/2^2 = 0.	(2.8)
Определитель системы (2.8) есть определитель Вронского
для функций Xi, х2, yi и у2. В силу независимости этих функций
он отличен от нуля. Таким образом, система (2.8) имеет только
тривиальное решение. Поэтому
2п
f dt = о
(2.9)
Итак, мы пришли к следующему результату: если фундамен-
тальное решение системы (2.2) выражается периодическими
функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1)
было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы функции
Fi и F2 удовлетворяли условиям (2.9).
4.	Пример. Рассмотрим тот частный случай, когда система
(2.1) имеет вид
x = -z/ + F1(/),	y = x + F2(t).	(2.10)
Система (2.10) сводится к уравнению колебаний математиче-
ского маятника под действием периодической внешней силы
х 4- х = F’(0>
где
Г = А 4 F2.
S 2!
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
53
(2.11)
Линейно независимые решения системы (2.10) имеют вид
Х| = cos/, x2 = sinf,
Ух = sin t, у2 = — cos t.
Вронскиан этих функций равен единице, поэтому условия (2.9)
будут приведены к такому виду:
2Л
J (У7! cos t + F2 sin t) dt = 0,
0
2П
J (F2 cos t — Fx sin t) dt = 0.
о
(2.12)
Условие (2.12) будет играть в дальнейшем изложении особую
роль.
5.	Одно уравнение второго порядка. Предположим, что мы
рассматриваем одно уравнение второго порядка вида
x+<p(t)x=F(t),	(2.13)
где <р(/), ^(0 —периодические функции периода 2л и хД/),
х2(/) — фундаментальная система решений однородного урав-
нения
х + <р(/)х = 0.	(2.14)
Решение системы (2.13) будем снова искать методом вариации
произвольных постоянных. Для этого положим
х = Ахх + Вх2,	х = Ахх + Вх2.	(2.15)
Дифференцируя первое из условий (2.15) и приравнивая вто-
рому, получаем условие совместности формул (2.15)
Дх1+Вх2=0.	(2.16)
Подставляя второе из условий в (2.13) и учитывая (2.14), по-
лучаем
Aii +Вх2=F (t).	(2.17)
Заметим, что в данном случае определитель
Хх х2
есть величина постоянная, что является следствием известной
теоремы Лиувилля и того факта, что уравнение (2.13) не
54
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
|ГЛ II
содержит первой производной. Из системы уравнений (2.16),
(2.17) находим
t	t
А = — J Fx2dt + С], В = “ J-Fx, dt + С2.
о	о
Таким образом, в окончательной форме решение системы
запишем так:
Х = Т
-X,J
о
(2.13)
(2.18)
о
Так как, согласно второй из формул (2.15),
-д J Fx.2dt -f- С]
о
+ х2
то необходимые и достаточные
х(2л) =х(0),
могут быть записаны в следующем
Г	2Л
условия периодичности
х(2л) =х(0)
виде:
2Л
X] (2л)
= ХО,
X] (2л)
о
2Л
| Fx2dt + Ci +х2(2л)
о
2Л
= х0-
(2.19)
Для определения
вия:
постоянных Cj и С2 имеем следующие
усло-
xi (0) С, + х2 (0) С2 = х0,
Xj (0) С; 4" х2 (0) С2 = х0.
(2.20)

А
6
О
о
2
2
Условия, которые надо наложить на функцию F для того, чтобы
решения уравнения (2.13) были периодическими функциями
времени, существенно зависят от того, являются или нет фунда-
ментальные решения xt и х2 периодическими функциями. Если
Xi и х2 — периодические функции, то, согласно (2.20),
Xj(2n)Ci-l х2(2л)С2 = х0,
X] (2л) С] 4~ х2 (2л) С2 = Xq
§ 2]
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
55
и уравнения (2.19) принимают вид
2Л	2Л
—	X] (2л) | Fx2 dt + х2 (2л) | Fxt dt = О,
о	о
2Л	2Л
—	X] (2л) | Fx2 dt + х2 (2л) | Fxj dt = 0.
о	о
(2.21)
Система (2.21) может рассматриваться как система однород-
ных уравнений относительно двух неизвестных
2п	2п
— J Fx2 dt и | FX\ dt.
о	о
Ее определитель — это детерминант Вронского функций xt и х2,
отличный от нуля. Следовательно, система (2.21) имеет только
нулевые решения. Итак, если фундаментальные решения урав-
нения (2.14)—периодические функции, то для существования
периодических решений уравнения (2.13) необходимо и доста-
точно, чтобы функция F удовлетворяла следующим соотноше-
ниям:
2Л	2Л
J Fxidt = 0,	J Fx2dt = G,	(2.22)
о	о
т. е. чтобы функция, стоящая в правой части уравнения (2.13)
была ортогональна частным решениям системы (2.14).
6. Одно уравнение второго порядка. Случай непериодических
фундаментальных решений. В теории колебаний неизохронных
систем мы обычно сталкиваемся с гораздо более сложным слу-
чаем, когда одно из фундаментальных решений уравнения в ва-
риациях не является периодической функцией времени. В этом
случае условия разрешимости будут выглядеть совсем иначе.
Итак, рассмотрим уравнение (2.13) и предположим, что оно
является уравнением в вариациях для уравнения
z + f(z)=0.	(2.23)
Общий интеграл уравнения (2.23), согласно теореме предыду-
щего параграфа, для достаточно малых энергий, является пе-
риодической функцией времени некоторого периода Т = 2л/ю(с)
и аналитической функцией величины с=х(О)=хо:
2=С<Р1(Ф)+ с2<р2(ф)+ ...,	(2.24)
где
ф = ад(с) (Жр),
56
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
1ГЛ. II
со (с) называется частотой. Эта функция определяется таким
образом, что функции ф,(ф) оказываются периодическими функ-
циями аргумента ф с периодом, равным 2л.
Согласно лемме, доказанной в последнем параграфе главы I,
частные решения уравнения (2.13) имеют вид
*	dz	, .dz
х, =	® (с) тт,
1	dt0	' ' дф ’
* _ dz _ dz , dz dco ,
X2 Qc de дф de :
где dzjdc означает дифференцирование по явно входящему ар-
гументу с. Эта функция будет периодической функцией времени.
Так как функция <5г/с?ф— периодическая функция, то их*(/) —
также периодическая функция периода 2л по аргументу ф. Что
касается функции х*(/), то она будет периодической функцией
тогда и только тогда, когда dmjdc=m = 0. Введем обозначения
1 dz
со
1’
V = —-5-
со de
и введем новую систему линейно независимых решений урав-
нения (2.13) в виде
1 . 1
х1 = йх1 = м’ I
Х2=^Х2=« + М/> j
(2.25)
где и и v — периодические функции времени. Перепишем те-
перь условия периодичности (2.19)
и (2л)
2л
"if ^(v + ut)dt + CI
о
+ (v (2л) + 2ли (2л))
(2л
— — j F(v + ut)dt + Ct
1	0
+ (v (2л) + 2л«(2л) + и (2л))
2л
| J Fu dt + С2
О
(2.19')
2л
J Fu dt + С2
о
= ХО.
1
м = —х
S 2]
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
57
Выпишем еще условия (2.20)
и (0) Ci + v (0) С2 = х0,
й (0) С\ + (г) (0) + и (0)) С2 — х0.
(2.26)
Так как рункции и и v периодические, то условия (2.26) сохра-
няют свою силу при изменении аргумента на 2л
и (2л) Ci + v (2л) С2 = х0,
й (2л) Ci + (у (2л) + и (2л)) С2 = х0.
Это позволяет упростить условия (2.19)
2л	2л
J* F(v+ut)dt+v (2я) + 2я“(2я) J Fu dt =
о	о
= — С22ли(2л),
2л
У F(v + ut) dt +
о
+ *(2") + М2л)+.2лй(2л) j Fudt==^c2u(2n).2n.
о
(2.27)
Разрешим систему уравнений (2.27) относительно интегралов,
которые входят в ее левую часть. Принимая во внимание, что
А — вронскиан функций Xi = u и х2=у + «/ есть величина по-
стоянная, находим
2Л
| F (/) (у (/) + tu (/)) dt — 2лДС2,
о
2л
J F(t)u(t)dt = O.
о
(2.28)
Таким образом, функция F, так же как и в предыдущем случае,
должна быть ортогональной тому фундаментальному решению,
которое является периодической функцией времени.
Величина С2, так же как и А, определяется начальными
значениями функций и и у и начальными значениями х0 и х0.
Из уравнений (2.20) находим
Ч- д .
58
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Итак, окончательно условия (2.28) можно переписать в виде
2л
J F (/) и (0 dt = О,
О
2л	[
J F (О {у (0 + tu (/)} dt = 2л (xou (0) + хой (0)).
о
(2.29)
§ 3.	Метод Ляпунова
1.	Пример. В § 1 этой главы мы установили ряд общих ре-
зультатов, относящихся к системам Ляпунова. Мы установили,
в частности, что для достаточно малых значений постоянной с
решения системы (1.8)—периодические функции t. Однако
пока еще мы ничего не говорили о методах построения этих
периодических решений. Ляпунов предложил простой и очень
эффективный алгоритм построения этих решений. Алгоритм Ля-
пунова использует аналитичность искомых решений по пара-
метру с и дает правило построения решений в форме рядов
специального вида, расположенных по степеням этого пара-
метра.
Итак, на основании теоремы, доказанной в § 1, решение си-
стемы уравнений (1.8) можно искать в виде
X (/) = 2 ckxk (0, У (0 = 2 ckyk (0.	(3.1)
По доказанному для достаточно малых значений |с| ряды (3.1)
сходятся и определяют решение системы (1.8). Однако исполь-
зовать решения в форме (3.1) оказывается неудобным. Пояс-
ним это обстоятельство.
Как уже было установлено для достаточно малых значений
ц (или, что то же самое, для достаточно малых значений |с|),
все решения системы (1.8)—периодические периода Т’(с). Сле-
довательно, функции, определенные рядами (3.1), удовлетво-
ряют соотношениям
СО	OQ
х (t + Т) = 2 Ckxk (t + T) = 2	(/) = X (t),
k-\	k-\
(3-2)
y(J + T)~ ^ckyk(t + T)^ ^ckyk{t) = y^.
s-i	fe=i
Равенства (3.2) справедливы для любых (но достаточно ма-
лых) значений |с|. Однако из этого нельзя сделать заключения,
§ 3]
МЕТОД ЛЯПУНОВА
59
что функции Xi(t) и yi(t) периодические, т. е. что
x{(t+T)	yi(t + T)=yi(t).
В самом деле, период Т в общем случае также является функ-
цией параметра с. Следовательно, хотя представление (3.1) и
определяет периодическую функцию, члены этих рядов периоди-
ческими функциями в общем случае не являются.
Для пояснения рассмотрим пример системы
х = — у,	у=х+х3.	(3.3)
Подставляя в эту систему ряды (3.1) и сравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях с, получаем следующие си-
стемы уравнений для определения функций Xj и yt:
*\=-Уь	У\ = Х\,	(3.4)
*2=-г/г,	У 2 = *2,	(3.5)
Х3 =	у3,	у3 = Х3 + Х|	(3.6)
И т. д.
Начальными условиями для системы (3.3) будут условия
(1.13). На этом основании начальные условия для системы
(3.4), (3.5), (3.6) мы можем принять в виде
t = 0: xt = 1, ух = 0,	1
хг = 0, ^ = 0	(/ = 2,3,...)./	(3‘7)
Условия (3.7) единственным образом определяют функции х(,
*2, У1 и i/2
Xi = cos /, у\ = sin t, х2 = 0, у2 = 0.	(3.8)
Перепишем теперь систему (3.6) с учетом (3.8)
х3=—Уз, y3=xs + cos31.	(3.9)
Исключая из (3.9) функцию ys, мы придем к следующему урав-
нению второго порядка:
Яз + *3 = СО53 t
или, заменяя cos3 / его разложением по косинусам кратных дуг,
3	1
х3 + х3 = -у cos / + cos 3/.	(3.10)
Общее решение системы (3.10) будет
3	1
х3 = A cos t + В sin t + у / sin t — -g cos 3/.	(3.11)
Здесь постоянные А и В должны быть выбраны так, чтобы удо-
влетворить условиям (3.7).
Итак, мы видим, что функция х3 содержит вековое слагае-
мое / sin / и, следовательно, не является периодической. Легко
60
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
убедиться, что и последующие члены рядов (3.1) будут также
sin,
содержать члены вида »п »•
Таким образом, построение решения в форме рядов (3.1)
приводит к тому, что периодические функции x(t) и y(t) пред-
ставляются в виде рядов по непериодическим функциям. Такое
представление неудобно во многих отношениях и не может быть
использовано в прикладных целях. В самом деле, на практике
мы не имеем возможности оперировать с бесконечными рядами
и вынуждены заменять их конечными отрезками. Но эти конеч-
ные отрезки не будут периодическими функциями и, следова-
тельно, даже приближенно не будут содержать необходимой
информации, такой, например, как зависимость периода Т от
«амплитуды» с.
2.	Обсуждение алгоритма. Мы уже видели, что причина не-
удачи, которая нас постигла при попытке разыскать периодиче-
ские решения в форме рядов (3.1), состояла в том, что период
решения Т зависел от с. Поэтому, естественно, возникает во-
прос: нельзя ли видоизменить масштаб времени так, чтобы ре-
шения полученной системы имели фиксированный период, не
зависящий от с (например, равный 2л).
Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что
если сделать замену
/ = у(1 +c2h2 + c3h3+ ...),	(3.12)
то период колебаний по переменной т будет равен 2л. Сделав
в системе уравнений (1.8) замену (3.12), получим
^-|-Я, + Л(х.у)]	+
-g- = [Ах + У (х, у)] ,!+^ + ^з + ••
(3.13)
Так как правые части системы (3.13) мы умножили на анали-
тические функции параметра с, то решения этой системы, так
же как и системы (1.8), аналитические по с и для любого до-
статочно малого |с| периодические по т. Но период по незави-
симой переменной теперь уже фиксирован, он равен 2л.
Периодические решения системы (3.13) будем искать в виде
рядов
X = 2 ckx^ (т), у = 2 Cky^ (т).	(3.14)
fe-i	s=i
Подставим ряды (3.14) в систему уравнений (3.13) и сравним
коэффициенты при одинаковых степенях параметра с. Функции
МЕТОД ЛЯПУНОВА
61
§ 3]
хФ(т) и у(,)(т) будут удовлетворять следующей системе урав-
нений:
-^=-//(1)(т),	^ = Х<»(Т).	(3.15)
В самом деле, функции X и Y, будучи аналитическими функ-
циями своих переменных, таковы, что их разложение начи-
нается с членов второго порядка малости. Следовательно, при
подстановке в эти функции рядов (3.14) функции X и У не бу-
дут содержать членов, линейных относительно с. Начальные
значения для системы (3.13) определены равенствами (1.13)
/ = 0: х = с,	у = 0.
Следовательно, функции х(|) и будут соответствовать сле-
дующим начальным условиям:
т=0: х<')= 1,	^>=0.	(3.16)
Функции х<2> и у<2> будут удовлетворять системе уравнений
dx<2) = _ u(2) . J. у(2)
dx У + А л ’
Щ/<2>	(2) , 1 у(2)	(ЗЛ7)
—5— = х(2) + v У(2),
ат	к
где Х(2) и У(2) — квадратичные члены разложения функций X
и У по степеням параметра с. Так как X и У—аналитические
функции переменных х и у, причем их разложение начинается
с квадратичных членов, то Х<2) и У(2) являются квадратичными
формами переменных х<’> и у^\
Точно так же каждая пара функций xW и y(ll\ входящая
в разложение (3.14), определяется системой уравнений
^L^-y^ + 1-X^-h^yW, ]
=	+уУ^’-Р/г^х*1»,	[	(ЗЛ8)
ат	г*	J
причем функции Х*Х> и У<й> будут содержать величины х<Л и г/6')
только тех номеров /, которые меньше чем k.
Кроме того, функции ХЮ и У(/г) будут содержать величины
hj, причем / = 2, 3, ..., k — 2. Заметим, что величины h входят
в правые части (3.18) только уравнений относительно х<-3) и y(s\
для которых s > 3:
^- = х<3’ + |у(3’ + /г2х<1>	(ЗЛ9)
и т. д
62
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ II
Из условий (1.13) следует, что функции x<ft> и у№ при /г>1
удовлетворяют начальным условиям
xW(0)=0,	//(ft)(0)=0.	(3.20)
Вернемся снова к уравнениям (3.13). Хотя числа hi нам неиз-
вестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова (п. 8
§ 1 этой главы) определяются однозначно для данной системы
и не зависят ни от параметра с, ни от начальных условий.
Далее члены рядов (3.14) также определяются однозначно,
причем x<h’(r) и (г) — периодические функции переменного
т периода 2л. В самом деле, х(т) и у(х) —периодические функ-
ции, следовательно,
S c*x<S) (т + 2л) = х (т + 2л) = х (т) = У ckx{k} (т), |
2с*г/(*’(т + 2л) = I/(т + 2л) = I/(т) = 2с‘у(‘’(т). J
Так как функции x<ft> и yw не зависят от параметра с, а равен-
ства (3.21) справедливы для любого малого с, то
х<й)(т + 2л) =х<А’(т), у№ (т + 2л) = г/(А’(т).
Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции
xW(t) и у^(х), которые определяются как решение задачи
Коши (3.20) для системы уравнений (3.18), будут периодиче-
скими функциями времени периода 2л. С другой стороны,урав-
нения (3.18) относятся к виду (2.10), где
F, = |	- hk^ym, F2 =--1 Y<*> + hk_]X^
Л	Л
являются периодическими функциями времени, поскольку
они определяются периодическими функциями х<0, ..., х^-'\
у<1\ ..., Мы установили, что система вида (2.10) имеет
периодическое решение тогда и только тогда, когда функции F,
удовлетворяют условиям (2.12). На этом основании можно
сформулировать следующее вспомогательное утверждение:
функции XW, YW и числа Агй—1 всегда удовлетворяют условиям
2я	2л	2л
J cos t dt + J F2 sin t dt = у J {(X(S) — Xh.k-ly{i)) cos t +
0	0	0
+ (У<*> + Khk.tX^) sin 0 dt = 0,
2л	2л	2л
J F2cos tdt- j" FI sin tdt^ j J {(/<*> + M^x*1’) cos t -
0	0	0
— (X{k} — Л/гй_[1/(1)) sin t} dt = 0.
(3.22)
§ з]
МЕТОД ЛЯПУНОВА
63
3. Расчет приближенного решения. Рассмотрим теперь под-
робнее процедуру расчета коэффициентов разложения рядов
(3.14). Условия (3.16) выделяют единственное решение уравне-
ний (3.15)
x(1)=cost,	y(6 = sinT.	(3.23)
Далее рассмотрим систему уравнений (3.17). Функции Х(2) и
У<2' будут квадратичными формами от sin т и cost. На основа-
нии предыдущего эта система имеет периодическое решение,
которое может быть построено одним из известных способов
или, например, методом вариации произвольных постоянных
или представлением решения в виде отрезка ряда Фурье
х(2) = д cos т + В sin т + ф1,
у(2) = A sin т — В COS Т + ф2,
где функции ф1 и фг имеют вид
Ф1 = а,0 + а,, cos 2т + а12 sin 2
Ф2 = “го + a2i cos 2т + а22 sin 2
(3.24)
(3.25)
В самом деле, так как функции Х(2) и У(2) содержат только вто-
рые степени функций и х<2>, то разложение А'(2) и У<2> в ряд
Фурье не будет содержать первых гармоник. Коэффициенты ац
в разложении (3.25) однозначно определяются коэффициентами
разложения функций Х<2) и У(2). Числа А и В в выражениях
(3.24) определяются начальными условиями (3.20). Аналогично
вычисляются и остальные члены разложения (3.14).
Рассмотрим теперь более подробно условия (3.22). Прини-
мая во внимание выражения (3.23) для х(1) и х<2>, можно эги
условия переписать так:
2л
j {X(ft) (/) cos t +	(t) sin t} dt = 0,
0
2л
hk-i = f {^(fr> (t) sin t — У(/г) (f) cos t} dt.
c
(3.26)
Второе из этих равенств позволяет вычислить поправку на ча-
стоту hk-i- Изложенная процедура расчета показывает, что для
определения первой поправки на частоту необходимо провести
вычисления первых трех приближений.
Примечание. В предыдущем пункте было установлено,
что функции ХЮ и У(А) таковы, что они всегда удовлетворяют
условиям существования периодических решений. Этот факт
64
МЕТОД ЛЯПУНОВА—ПУАНКАРЕ
[ГЛ II
У
(3.27)
легко проверить, непосредственно пользуясь структурой .этих
функций. Так, например, функции ¥<2> и У<2> имеют представле-
ния типа (3.25). Подставляя подобное выражение в (3.26), убе-
ждаемся в том, что оно удовлетворяется тождественно по a{j.
Мы показали, что ряды (3.14) являются формальным реше-
нием системы уравнений (3.13), но, согласно теореме Ляпунова,
решение этой системы является аналитической функцией пара-
метра с в окрестности точки с=0. Это значит, что для доста-
точно малых значений |с| ряды (3.14) сходятся и дают ре-
шение.
Итак, метод Ляпунова позволяет построить решение в виде
рядов (3.14). Возвращаясь к переменному /, получим
— (+ А<” (Т^7.’)	....
тХйЧ + (.XX..)+А~>+-
где xW и — периодические функции своего аргумента
А (/ + /0)	п
1+А2С2+ ... периода 2л.
Любой отрезок, состоящий из конечного числа членов рядов
(3.27), мы можем использовать для приближенного описания
колебательного процесса. Заметим одновременно, что, посколь-
ку частоту мы всегда определяем с некоторой погрешностью, то
с увеличением времени t ошибка в вычислении фазы будет все
время накапливаться. Метод Ляпунова не дает, таким образом,
возможности получить равномерное приближение по фазе на
всем бесконечном интервале времени.
Выражение (3.27) дает общий интеграл системы Ляпунова,
поскольку правые части (3.27) содержат две произвольные по-
стоянные: амплитуду с и аддитивную постоянную tQ. Следова-
тельно, метод Ляпунова позволяет исследовать эти системы
в окрестности положения равновесия с исчерпывающей пол-
нотой.
В заключение рассмотрим два примера.
4. Уравнение Дюффинга. В безразмерных координатах урав-
нение Дюффинга имеет вид
х + х — х3 = 0.	(3.28)
Это уравнение изучалось в главе I; тогда мы построили его
точное решение в эллиптических функциях. Метод Ляпунова
позволяет легко найти его приближенное решение в тригоно-
метрических функциях.
Начальные условия зададим в виде
/ = 0: х = с, у=0.
(3.28')
§ з]
МЕТОД ЛЯПУНОВА
65
Уравнение Дюффинга описывает колебание некоторой консер-
вативной системы, а поскольку последняя является частным
случаем системы Ляпунова, то для ее исследования можно ис-
пользовать метод Ляпунова.
При решении задач, сводящихся к одному уравнению вто-
рого порядка, нет необходимости переходить к системе урав-
нений первого порядка.
В уравнении (3.28) сделаем замену (3.12), после чего оно
примет вид
-g- = (x3-x)(l +2/г2с2 + ...).
Положим
х = сх('> + с2х(2>+. . .
Функции х<г> удовлетворяют следующим уравнениям:
rf2x(3)	,
^-=-x^-2h2x^ +x<‘)s
ат2
И Т. Д.
Начальные условия для этих систем определяются так:
/ = 0: х0)=1, x(i)=x<2)=x(2)=.. . = 0.	(3.30)
Первое и второе уравнения системы (3.21) с учетом начальных
условий (3.30) нам дадут
х(б —cost, хй = 0.
Тогда третье уравнение системы (3.29) примет вид
-	,  = — х{Л> — 2/г2 cos т + cos3 г.
dx2	z
Так как
О	3	1	Q
COS X — -Г COS Т + -7 cos Зт,
4	4
то
d2x<3)	(04	3\	1	„	/0 0,1
-	= — х(3) — cos т 12/г2 — у I + -j cos Зт. (3.31)
Для того чтобы уравнение (3.31) имело периодическое решение
периода 2л, необходимо и достаточно, чтобы в правой части
этого уравнения не было слагаемых, содержащих cos т или
sin т. Отсюда
/г2 = у.
Итак,
^L=_x(3)_1cos3t.	(3.32)
66
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Периодическим решением уравнения (3.32), удовлетворяющим
начальным условиям (3.30), будет функция
Х(3> = “COS т - cos Зт.
Собирая полученные результаты, общее решение уравнения
Дюффинга мы можем записать в форме
х = с cos (--Z + ----+ с3
I 14-ДС2+... I
\ о	/
32 C0S
-4>cos(—\ I+с5{...}+... (3.33)
5. Пример неконсервативной системы. Класс систем Ляпуно-
ва значительно шире класса консервативных систем, и в при-
кладных задачах подобные системы встречаются довольно ча-
сто. Рассмотрим уравнение, которое встречается в теории волн,
возникающих на поверхности тяжелой вязкой жидкости, сте-
кающей по наклонному лотку,
х — 0хх + А,2х = О.	(3.34)
Точка х.=х~0 является положением равновесия. Убедимся, что
уравнение (3.34) относится к числу систем Ляпунова. Для этого
нам надо проверить два условия: первое — корни характери-
стического уравнения линеаризованной системы должны быть
чисто мнимыми; второе — система (3.34) должна иметь первый
интеграл, аналитический в окрестности положения равновесия.
Первое из этих условий очевидно. Для выяснения второго
обозначим
х=у
и перепишем уравнение (3.34) в следующем виде:
У^ = ^У-^Х-	(3-35)
В этом уравнении переменные разделяются, и после
вания мы получаем
1п (₽//-X2) = х2 + Сх,
^-F^ln(Z2-p//) = x2 + C2,
интегриро-
(3.36)
Выражения (3.36) показывают, что первый интеграл, кото-
рый допускает уравнение (3.34), будет аналитическим в окрест-
§ 4] СИСТЕМА ЛЯПУНОВА ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 67
ности точки х=у = 0. Итак, уравнение (3.34), согласно теореме
Ляпунова, имеет в окрестности положения равновесия периоди-
ческие решения. В этом можно убедиться также и анализируя
фазовую плоскость. Обозначая
^ + ^ln(P//-Z2)
для У>~^-,
U (У) 2у 2Z,2 . ,.2 о \
у + -02- In (V - $у)
к2
для У<-^ ,
мы можем записать первый инте-
грал в виде
х=± V Щу)-С . (3.37)
Выражение (3.37) нам позволя-
ет построить обычными способа-
ми фазовую плоскость уравне-
ния (3.34). Рис. 13 показывает,
что полуплоскость у<-J- запол-
Рис. 13.
йена замкнутыми траекториями,
которые расположены несимметрично относительно оси Ох. Для
нахождения этих решений может быть использован метод Ля-
пунова. Вычисления проведем, следуя той же схеме, которую
мы использовали при построении решений уравнений Дюф-
финга.
§ 4.	Система Ляпунова. Случай произвольного числа
степеней свободы
В предыдущих параграфах рассматривались некоторые свой-
ства обобщенных консервативных систем, или, как мы их на-
звали, систем Ляпунова. При этом мы ограничились изучением
только систем второго порядка. Однако изложенные методы
позволяют изучить некоторые свойства систем произвольного
порядка. В частности, метод Ляпунова может быть распростра-
нен и на общий случай систем Ляпунова. Однако его возмож-
ности при этом становятся более ограниченными. В случае си-
стем второго порядка метод Ляпунова позволяет получить ис-
черпывающую информацию о поведении системы. Как мы
это увидим ниже, в случае систем произвольного порядка этот
метод позволяет отыскивать только определенный класс
68
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ II
периодических решений. Несмотря на ограниченный характер,
метод Ляпунова в ряде случаев является едва ли не единствен-
ным способом, который имеется в руках исследователя для
эффективного построения периодических решений нелинейных
колебательных систем со многими степенями свободы.
1.	Определение. Систему дифференциальных уравнений
=	, хп) (i=l, 2, ..., п) (4.1)
будем называть системой Ляпунова, если она удовлетворяет
следующим условиям:
а)	Функции Ft — аналитические функции своих аргументов
в окрестности точки 3^ = 0
F{ = Sa^ + F^x,, .... х„),	(4.2)
здесь a,j — постоянные числа, F* — аналитические функции, раз-
ложение которых начинается с членов второго порядка
F\=	2	.... Xs".
s1 + s2+... + s„=2
б)	Уравнение
D(Z)=|az/-rd{| = 0	(4.3)
имеет по крайней мере одну пару чисто мнимых корней ±iK,
величина б/ —символ Кронекера; d{= 1, если / = / и б£ = О,
если i =# /.
в)	Корни ±iZ простые и, кроме того, среди корней уравне-
ния (4.3) нет корней вида ±ipK, где р — произвольное целое
число.
г)	Система (4.1) имеет аналитический первый интеграл
H(xi, Х2, .... xn)=const.	(4.4)
2.	Приведение к каноническому виду. Впредь вместо системы
(4.1) мы будем рассматривать систему следующего вида:
х = - Ку + X (х, у, Zi, ..., zm),
y = Kx + Y(x, у, zt, ..., zm),
™	(4-5)
25 Jy b^jZ] 4- Xs (x, у, 24, .. •, 2:m)
(s=l, 2, ..., m; tn — n — 2).
Рассмотрение системы (4.5) вместо (4.1) не нарушает общ-
ности, так как система (4.1) может быть всегда приведена
§ 4] СИСТЕМА ЛЯПУНОВА. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 69
к виду (4.5) линейным преобразованием переменных. Для того
чтобы это показать, рассмотрим систему уравнений
L- = 2 М/	(4.6)
и введем новую переменную
п=2л&;	(4.7)
1 = 1
здесь А, — некоторые числа, выбранные таким образом, чтобы
для любых имело место равенство
= (4,8)
«	И
где р, — некоторое, специальным образом подобранное число.
Следовательно, величины Л,- удовлетворяют системе алгебраи-
ческих уравнений
2лН-а</) = 0	(/=1, 2, .... п),	(4.9)
1 = 1
где di — символ Кронекера. Для того чтобы система (4.9) допу-
скала нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы
ц было корнем уравнения (4.3).
Вычислим теперь производную fj в силу уравнений (4.6)
П = 2
i.
Используя (4.8), находим
П = I* 2 А&г = ЦТ}.
i
Таким образом, каждому из чисто мнимых корней уравнения
(4.3) можно поставить в соответствие функции тц и т)2, удовле-
творяющие уравнениям
=	т}2 = - Д-Пг.
причем величины гц и г)2 определяются равенствами
п	п
vIUX n2“2^‘%
i = l	» = 1
где числа А? и А{? определены из уравнений (4.9) при ц==Д
и ц=-ik соответственно. Вместо переменных т}1 и т)з> которые
70
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
удовлетворяют уравнениям с мнимыми коэффициентами, удоб-
но ввести другие переменные
Х=Т11+Т12,	У = 1(у\2~ Т]1)-
Эти величины удовлетворяют системе уравнений
х=—ну, у =
Если теперь в системе уравнений (4.1) сделать замену пере-
менных
x^i^ + ^K
tel
(=1
Zj = X/ (7 = 1, 2, ..п — 2),
то она будет приведена к виду (4.5).
Форму уравнений (4.5) мы будем называть канонической
формой систем Ляпунова.
Первый интеграл (4.4) в этих переменных может быть при-
веден к виду
х2+у2 + UZ(2lf ..., zn)+S(x, у, zi, z„)=p2, (4.10)
где W—квадратичная форма своих переменных, a S — анали-
тическая функция, разложение которой начинается с членов
третьего порядка малости.
3.	Теорема Ляпунова. Пусть точка х = у = z{ = ... = zm = 0
является положением равновесия. Повторяя дословно рассу-
ждения, приведенные в § 1 этой главы, приходим к следующей
теореме.
Система (4.5) допускает в окрестности начала координат
x=y=zl — ... = zm — 0 периодическое решение, аналитически за-
висящее от одного параметра. В качестве такого параметра
может быть принято начальное значение величины х: х(0)=с.
Начальное значение величины у может считаться при этом рав-
ным нулю. Начальные значения величин Zj определяются одно-
значно и являются также аналитическими функциями парамет-
ра с. Период решения Т — тоже аналитическая функция этой
величины, причем функция Т имеет вид
1=^(1 + h2c2 + h3c3 + ...)	(4.11)
§ 41 СИСТЕМА ЛЯПУНОВА. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 71
и, следовательно,
limT = -^-.
с->0 л
Само периодическое решение является аналитической функцией
параметра с и обращается в тривиальное при с=0.
Таким образом, система Ляпунова произвольного числа сте-
пеней свободы также обладает периодическими решениями
в окрестности начала координат. Однако в случае системы с од-
ной степенью свободы они исчерпывают все возможные движе-
ния, которые описывает система Ляпунова. В случае произволь-
ного числа степеней свободы они выделяют только однопара-
метрическое семейство таких решений. Полный набор решений
должен зависеть от л—1 параметра (поскольку одна из по-
стоянных аддитивна), но свойства остальных решений зависят
уже от других точек спектра матрицы ||а^||.
Примечание. Пусть мы определили однопараметрическое
семейство периодических решений
Х(/, С), (/(/), Z] (/, с),.. ., zm(t, с).
Очевидно, что решением будет также и такая система функций
x(t + h, с), y(t + h,c), Zi(t + h,c),... ,zm(t + h,c)
для любого h. Таким образом, метод Ляпунова позволяет выде-
лить двупараметрическое семейство периодических решений.
4.	Метод Ляпунова. Метод, использованный для построения
периодических решений системы (1.8), может быть использо-
ван и для решения более сложной задачи — отыскания перио-
дических решений системы (4.1). Сделаем сначала стандарт-
ную замену независимой переменной (3.12)
t = -д- (1 + h2c2 + h3c3 + ...),
где h( — числа, подлежащие определению.
Система (4.1) тогда заменится следующей:
dx г ,	, ,, ,	., 1 + h2c2 4- ...
— = [-Х// + Х(х, у, zlt ..., zm)]-----------------
= [U -I- Y (х, у, Zi, zm)J
(4-12)
(s = 1, 2, . . ., tn).
72
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Периодические решения системы (4.12) будем искать в виде
рядов
х = 2	(т),
fe=i
.	(4.13)
Zs = 2	(т)
k=l s
(s = 1, 2, ..tn).
Подставим ряды (4.13) в систему (4.12) и сравним коэффи-
циенты при одинаковых степенях параметра с. Функции х(1),
уФ и г(1) будут удовлетворять системе дифференциальных
уравнений
-й=т1М’ (5=1, 2, .... tn).
Для функции х®, у® и г® получим следующую систему урав-
нений:
Ут. А
' г»>(л Л
u I	Л
I “	I	<4л6>
+	4»)
f=l
(s = 1, 2, ..., tn).
Выпишем еще систему уравнений третьего приближения
= - z/(3)+ ‘ Х(2)(х(|), х®, у®, у®, z®, г®)-Л,у®,
-^ = Х®+у-Г®(х®, х®, у®, у®, z®, z®)+/i2x®,
= v S bstzT + т z® (х<1)’х(2)> ут>у{2)’	+	(4,16)
т
+ (s=1> 2- •••> "»)•
i-i
§4) СИСТЕМА ЛЯПУНОВА. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 73
В качестве начальных значений для определения функций х(/)
и yw примем
х«>=1,	=	=	= Q (k^l).	(4.17)
Первые два уравнения системы (4.14) и начальные условия
(4.17) единственным образом определяют функции х(1) и г/(1)
x(1) = cost z/(1) = sinr.	(4.18)
Начальные условия для не заданы. Мы должны их подо-
брать так, чтобы функции были периодическими функ-
циями т периода 2л. Так как, по предположению, среди соб-
ственных чисел матрицы ||6г/|| нет кратных А,, то среди не-
тривиальных решений системы
dzw 1 v,
TT-tSM” <»-'• 2..................»0	W
/=1
нет периодических искомого периода. В самом деле, периодиче-
ские решения системы (4.19) периода 2л должны иметь вид
x(b = eltr
S	S
и, следовательно, (4.19) сводится к следующей алгебраической
системе:
2 bsjr] = ikrs (s=l, 2, ..., tri).	(4.20)
/=i
Но равенство (4.20) возможно тогда и только тогда, когда
</.— собственное число матрицы ||6,-;||.
Таким образом,
z<» = 0.
Следовательно, разложения функций zs по степеням параметра
с начинается с членов второго порядка малости.
Перейдем теперь к системе (4.15). Ее правые части, если
в них подставить решения (4.18) и положить z(n=0, будут не-
которыми известными периодическими функциями т.
Рассмотрим первые два уравнения этой системы. Они имеют
форму уравнений (3.17) и, следовательно, для существования
периодических решений х(2>(т) и у(2)(т) необходимо и достаточно
выполнения условий (3.22). Однако в силу теоремы о суще-
ствовании периодических решений эти условия должны
74
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
выполняться автоматически. Поэтому искомое периодическое
решение имеет вид
х(2) = A cos т + В sin т + ф] (т), 1
г/(2) = Л sin т — В cos т + ф2(т), J	(4-21)
где ф1 и фг — частные решения системы (4.15), которые строят-
ся известным способом, а числа А и В выбираются так, чтобы
функции х(2) и z/<2) удовлетворяли нулевым начальным усло-
виям.
Рассмотрим ту часть системы (4.15), которая описывает из-
менение функции z®
dz(2)	1	1
......»>). (4-22)
/=1
где Zs” — известные периодические функции т периода 2л. Так
как среди собственных чисел матрицы нет кратных X, то
у системы (4.22) существует единственное периодическое реше-
ние периода 2л. Это решение строится известными методами
(например, методом неопределенных коэффициентов), причем
для начальных значений z@> получаются вполне определенные
значения.
После того как мы построили решение х(2>, г/2) и z<_2>, в пер-
вых двух уравнениях системы (4.16) функции Х& и И2) будут
известными периодическими функциями периода 2л. Условия
(3.22) существования периодических решений запишутся в виде
j Х<2> cos т dx + J Y(2) sin х dx = О,
о	о
2Л	2л
— /г2 +	( X(2) sin х dx — тДг- f Y(2) cos xdx = 0.
2 2лХ J	2лХ J
о	0
(4.23)
Первое из этих условий должно выполняться автоматически.
Второе из условий (423) позволяет вычислить число h2- Если
число h2 выбрано надлежащим образом, первые два уравнения
систем.ы (4.16) допускают периодические решения типа (4.21).
Что касается функций z*3*, то они удовлетворяют системе урав-
нений типа (4.22), которая в свою очередь допускает единствен-
ное периодическое решение г^3*(т), причем начальные значения
этих функций получаются вполне определенными. Легко видеть,
что процесс может быть неограниченно продолжен и любые
члены рядов (4.13) могут быть вычислены. Заметим, что на
§ 4] СИСТЕМА ЛЯПУНОВА. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 75
каждом шаге нам приходится определять число hk. Так как
уравнение для определения hh линейное, то hh определятся и
притом однозначно.
Итак, изложенный метод позволяет построить периодические
решения системы Ляпунова произвольного порядка. В случае
систем второго порядка этот метод дает возможность построить
общий интеграл системы, т. е. для достаточно малых значений с
позволяет проводить исчерпывающее исследование задачи.
В случае систем n-го порядка метод Ляпунова дает возмож-
ность построить только семейство частных решений, зависящих
от двух произвольных постоянных: параметра с и аддитивной
постоянной h. Несмотря на то, что метод Ляпунова позволяет
в случае систем произвольного порядка получить на первый
взгляд результат очень ограниченный, тем не менее его значе-
ние для теории колебаний весьма велико. Для пояснения ска-
занного рассмотрим консервативные системы.
5. Консервативные системы произвольного числа степеней
свободы. Рассмотрим колебания консервативной системы около
положения равновесия. Предположим, что положением равно-
весия является начало координат. В этом случае кинетическая
и потенциальная энергия могут быть записаны в виде
Т = 2 aijXiXj,
i, i
П = 2 bijXiX, + W (xh ..., xn),
i, 1
где ац = ауг, Ь^=Ьц и разложение функции Д’ начинается с ве-
личин третьего порядка малости. (Мы рассматриваем задачи
только с аналитическими функциями.) Уравнения движения
этой системы могут быть записаны в форме Лагранжа
— -^ + ^ = 0	(4.25)
dt dxt дх,
или в раскрытом виде
2 сц jXj + 2 b{ jXj + ф(- = 0 (i = 1, 2, ..., п),	(4,26)
/= i	i- 1
где фг — компоненты вектора
(4.24)
являются нелинейными функциями своих аргументов, разложе-
ние которых начинается с членов второго порядка малости.
Обозначим через М, Аг, •. •, корни уравнения
(—+	=0.	(4.27)
76
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. П
Уравнение (4.27) называется вековым. Так как квадратичная
форма 2 «//*/*/ положительно определенная, то, согласно из-
вестной теореме, корни векового уравнения действительны. Чис-
ла А,,- могут быть как положительными, так и отрицательными.
Повторим теперь рассуждения, которые нас привели к систе-
ме (4.5).
Введем новые переменные
хь = S A(i}aijXj,	(4.28)
i. i
где числа Л’Д' определяются так, чтобы равенство
У А^ац-Xj = ~ У ЬцА(^Х!
1,1	i,I
имело место для любых х/, т. е. чтобы А{® удовлетворяли
системе однородных уравнений
^2^4 = 2^)/	(/ = 1, 2, .... п).	(4.29)
i	i
Система уравнений (4.29) разрешима, так как Kk — корень
уравнения (4.27).
Итак, для каждого корня Ай мы определяем систему чисел
А® и новую переменную xk. Рассматривая равенства (4.28) как
систему уравнений относительно получим
х, = 'Za^Xk (j= 1, 2, ..п).	(4.30)
A=i
Можно показать, что системы (4.28) — (4.30) невырожденные.
Составим теперь дифференциальные уравнения, которым удо-
влетворяют новые переменные
= 2 4%,-х = -
i. I	«. /
где
i
Используя определения чисел А{® и делая замену (4.30),
получим
xk + ^kXk = 4>k (хь .... хп),	(4.31)
где
фН-Ч.....*„) = Фа (-4 (*i. •••, хп), ..., х„(хь ..., х„))
представляют собой аналитические функции своих переменных,
разложение которых начинается с членов второго порядка ма-
лости.
§ 4] СИСТЕМА ЛЯПУНОВА. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 77
Функции xh{t) называются главными координатами систе-
мы (4.26), а числа <oft = УКк (для Zft>0)—собственными (или
главными) частотами. Если ограничиться линейными членами,
то система (4.31) примет вид
Xft + Xftxft = 0	(6=1, 2, ..., п).	(4.32)
Форма системы (4.32) показывает, что линейные колебания кон-
сервативных систем можно представить как суперпозицию ко-
лебаний математических маятников (4.32).
Кинетическая и потенциальная энергия системы (4.32) имеет
вид
Т’ = 2х|, П = 2М.	(4.33)
fe	k
Таким образом, при помощи преобразования (4.30) формы
Т = ^iaiixixi и П — ^bijXiXj
i,i	i,l
приведены одновременно к диагональному виду.
Выражение для энергий (4.33) показывает, что энергия ка-
ждого из маятников (4.32) остается все время постоянной. Ни-
какого обмена энергии между главными колебаниями линейных
систем не существует. В нелинейных системах (4.31) ситуация
значительно более сложная.
6. Метод Ляпунова в нелинейных консервативных системах.
Этот метод позволяет определить колебания системы, близкие
к главным колебаниям. Повторим рассуждения п. 3 этого пара-
графа для случая консервативных систем.
Фиксируем некоторое число k, для которого Х/г>0, и сделаем
замену независимой переменной (3.12)
/ = yL,(l + c%, + C3A3+...),
где с — это значение хк (0).
Система (4.31) примет вид
-!^ + xft(l+C2A2+...)2 = <pft(xb .... xre)^ + c2y---)2
d2Xs Xs	I	42 __ I у	x 4 1* +c2/z2+ .. .)2
dr2 + Kk +C • • •'	• • •’ x"' Kk
(s=Ak).
(4.34)
Решение ищем в виде рядов
со
х(. = У сгх^' (т)	(/=1,2,..., п).	(4.35)
78
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Подставляя
ния для xf
ряды (4.35) в уравнения (4.34), получаем уравне^
d2x(/>
dr2
+ х<» = О,
d2x^
dx2
+хН'>=0’
если i = k,
если i=£ k,
(4.36)
d2x<2>	1
—т-~ + x<2> = -г— ф(.’> (х’.1’), если i = k,
dx2 i	1	1 '
d2x(2)	Л	1
-^4- + xf = -г- ф<!> (х?), если ik,
dx2	Лк » Лк т> \ < >
(4.37)
А(.3>	1
—J-J- + х(3> = -т— qWxf.1*, х®) — 2Л2хр>, если i = k,
dx2 2 &k 1 ' 1	* '	1 1
rf2 (3)	X	1
•—4-+ — х<3) =	cp<2’(х’11, х<2’) — 2й2х<.1), если i=£k,
dx2	Лк 1 Лк ‘	‘	'	21
и т. д. Здесь ф^"1* — коэффициенты разложения функции <рг
в ряды.
Начальные условия для х^> имеют вид
х<»(0)=1, х£>(0) = 0, 1
х(р(О) = 4>(О) = О, j	(4-39)
если г > 1.
Начальные условия для х® (i=£k) должны быть надлежащим
образом подобраны.
Условимся рассматривать случай отсутствия кратных кор-
ней, т. е. будем предполагать, что если &=#s. Тогда един-
ственным периодическим решением периода 2л системы (4.36),
удовлетворяющей условиям (4.39), будет
х^1* = cos т, 1
х(>) = 0	(4-40>
S	J
Подставляя формулы (4.40) в правые части системы (4.37) и
разлагая функции фр* в ряд Фурье, получаем при s^=k
d2x(2)
"dx2 I"x<^ = a*° a*2 cos
d2x® Л,
dx2 +~ЛкХ?> = a*° + “*2 C0S 2т‘
Периодические решения этой системы, удовлетворяющие уело-
§ 5]
АВТОКОЛЕБАНИЯ
79
виям (4.39), определяются однозначно. Они имеют при s^=k вид
xk = ak0 - (aw - cos т - cos 2т,
х® =	- 7Д- cos 2т.
Первое из уравнений системы (4.38) может быть представлено
в форме
А®
dx2  + х® = cos т + cos 2т + cos Зт — 2/г2 cos т.
Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение,
необходимо и достаточно, чтобы постоянная /г2 определялась
равенством
2л
A2=4^ = iif q>(^(0cosa)dt (4.41)
о
Продолжая аналогичные выкладки, мы сможем вычислить лю-
бой член в разложениях (4.35).
Таким образом, метод Ляпунова дает возможность разыски-
вать периодические решения, близкие к главным колебаниям
линейной системы. Эти колебания нелинейных систем есте-
ственно по аналогии с линейными колебаниями также называть
главными колебаниями.
Предположим теперь, что все ^>0, тогда мы можем разы-
скивать все главные колебания изучаемой нелинейной системы.
Если бы речь шла о линейных колебаниях, то решение задачи
о главных колебаниях исчерпало бы всю проблему, поскольку
любое движение линейной системы можно получить суперпози-
цией главных колебаний. В нелинейных колебаниях принцип
суперпозиции отсутствует. Поэтому, несмотря на то, что мы
умеем строить п однопараметрических семейств частных реше-
ний, мы еще очень далеки от полного решения задачи. Напри-
мер, в рамках теории Ляпунова мы не можем ответить на во-
прос о том, существуют ли, кроме рассмотренных, другие перио-
дические решения данной консервативной системы, и находить
решение задачи Коши с фиксированными начальными данными.
§ 5.	Автоколебания
1.	Пример автоколебаний. Рассмотрим уравнение
х+/(х)=0,	(5.1)
в котором функция f удовлетворяет условиям
Н°) = » » (-7rL>«-
80
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Уравнение (5.1) описывает движение некоторой консервативной
системы с одной степенью свободы. В малой окрестности поло-
жения равновесия (х=х = 0) уравнение (5.1) определяет коле-
бательные движения, которые происходят с постоянной ампли-
тудой. Фазовая плоскость этого уравнения в окрестности этой
точки целиком заполнена замкнутыми кривыми. Будем называть
некоторую силу ф(х), зависящую только от скорости, диссипа-
тивной, если для любого х¥=0 она удовлетворяет условию
ф(х)х<0.
(5-2)
Предположим теперь, что колебания маятника происходят под
действием консервативной силы—f(x) и диссипативной силы
еф(.г), где е — некоторый малый па-
раметр
x+f(x) = еф(х). (5.3)
Если теперь умножить (5.3) на х, то
оно примет вид
dE ,.. .
-^- = 8Ф(Х)Х,
где Е — полная энергия маятника
Е =	[ f (x)dx.
Так как имеет место неравенство
(5.2), то в любой момент времени
— <0
dt
причем равенство имеет место только для тех значений t, для
которых х = 0. Таким образом, колебания, происходящие под
действием консервативной и диссипативной силы затухают. Рас-
смотрим фазовую плоскость уравнения (5.3).
Пусть в некоторый момент времени t = tQ система находится
в состоянии х = 0, т = хо>О. Начальное значение энергии будет
Е0 = %2/2. По прошествии некоторого времени изображающая
точка, двигаясь вдоль фазовой траектории, совершит полный
оборот вокруг начала координат и снова пересечет ось ординат
в некоторой точке £ъ причем Ei<Eq. Следовательно, xi<xq. За-
метим еще, что две фазовые траектории не могут пересекаться —
через каждую точку фазовой плоскости, которая не является
особой, проходит только одна фазовая траектория. Система
(5.3) имеет только одну особую точку —начало координат. Та-
ким образом, фазовый портрет уравнения (5.3) имеет вид, изо-
браженный на рис. 14. Начало координат является особой точ-
кой типа фокус. Изображающая точка движется в направлении,
АВТОКОЛЕБАНИЯ
81
§ 5]
указанном стрелкой. Фазовые траектории наматываются на фо-
кус. Следовательно, в рассматриваемом случае фокус будет
устойчивой особой точкой.
Рассмотрим теперь несколько более сложный пример. Усло-
вимся дополнительно, что |ф(х)|—монотонно возрастающая
функция (рис. 15), и предположим, что на точку действует не-
которая активная сила ф(х, х), причем ф(0, 0)=0. Пусть эта
сила обладает тем свойством, что за каждый период колебаний
она вносит в систему некоторую порцию энергии. Таким обра-
зом, при отсутствии диссипативной силы энергия в системе все
время возрастала бы и, следовательно, никакие стационарные
режимы, кроме состояния покоя, в ней были бы невозможны.
Попробуем теперь представить себе характер колебаний в
такой системе:
x+f(x) = е[ф(х) +ф(х, х)],	(5.4)
предполагая, что сила ф тем сильнее «раскачивает» маятник,
чем ближе его состояние к положению равновесия, т. е. чем
меньше амплитуда х. На рис. 16 изображена зависимость пор-
ции энергии поступающей в систему за один период, от
амплитуды колебаний.
Таким образом, колебание происходит под действием сил,
одна из которых является консервативной, вторая диссипатив-
ная— она рассеивает энергии за один период тем больше, чем
больше амплитуда, и третья, которая вносит тем больше энергии
в систему, чем меньше амплитуда.
Положение равновесия этой системы находится в точке
(х*, 0), где х* — корень уравнения,
f(х*) = еф(х*, 0),
и пусть вначале изображающая точка находится вблизи поло-
жения равновесия. В этом случае энергия, которая рассеивается
за один оборот, будет меньше энергии, которая поступает в си-
стему. Следовательно, в непосредственной близости положения
равновесия амплитуда колебаний с будет увеличиваться.
82
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Предположим теперь, что в начальный момент изображаю-
щая точка находится достаточно далеко от начала координат.
Тогда за один оборот будет рассеиваться энергии больше, чем
поступать в систему. В этом случае амплитуда с будет умень-
шаться.
Таким образом, если начальная амплитуда колебаний боль-
шая, то колебания затухают, т. е. амплитуда убывает, а если
величина амплитуды малая, то она с течением времени возрас-
тает. Это дает основание думать, что в системе может устано-
виться такой режим колебаний (с та-
х I	кой постоянной амплитудой с*), при
—	котором энергия, поступившая в си-
стему за одно колебание, будет равна
/	энергии, которая за это же время рас-
/ /у /fсеивается диссипативной силой. Этот
I II II 111 ।	режим называется автоколебатель-
I I I 11 у t j J I ным. На фазовой плоскости ему соот-
\ \\	J/j /	ветствует некоторая замкнутая кри-
\	/ вая, называемая предельным циклом.
Фазовая плоскость автоколебательной
системы (5.4) изображена на рис. 17.
Стрелка показывает направление дви-
Рис. 17.	жения изображающей точки. Положе-
ние равновесия будет неустойчивым
фокусом. Фазовые траектории будут сматываться с фокуса и
наматываться изнутри на предельный цикл. Траектории, кото-
рые находятся вне предельного цикла, также будут наматы-
ваться (извне) на предельный цикл. Таким образом, автоколе-
бательный режим в рассматриваемом случае будет устойчивым.
2.	Формулировка математической задачи. Рассматриваемый
пример является очень частным случаем автоколебательных си-
стем, имеющих одно положение равновесия и один определен-
ный цикл. Существуют системы, значительно более сложные,
например такие, которые имеют бесчисленное множество пре-
дельных циклов.
Математическая задача построения автоколебательных ре-
жимов в системах с одной степенью свободы сводится к отыска-
нию возможных периодических решений уравнения
x+f(х) =eF(x, х),	(5.5)
где е — параметр. Функции F и f будем считать аналитическими
функциями своих переменных. В этой книге мы ограничимся
изучением только тех периодических решений, которые при
е = 0 переходят в периодические решения порождающего урав-
нения (5.1).
§ 5]	АВТОКОЛЕБАНИЯ	83
Если энергия системы достаточно мала, то, как мы знаем,
любое решение системы (5.1) является периодическим. Но при-
мер, рассмотренный в начале параграфа, показывает, что не
всякое решение порождающего уравнения является «порождаю-
щим». В общем случае существуют только исключительные ре-
шения уравнения (5.1), которые являются пределом (при б=0)
периодических решений уравнения (5.5). Их то мы и будем на-
зывать порождающими. В рассмотренном примере существо-
вало только единственное решение порождающего уравнения
(5.1), характеризуемое параметром с*, в окрестности которого
существовали периодические решения уравнения (5.5).
Таким образом, задача, которая рассматривается в этом па-
раграфе, состоит в том, что мы должны одновременно разыскать
периодические решения уравнения (5.5) как функции времени
и параметра е и те из периодических решений уравнения (5.1),
в которые переходят периодические решения уравнения (5.5)
при е —»0. Существует много методов решения этой задачи.
В настоящем параграфе мы будем изучать метод, предложен-
ный Пуанкаре. С некоторыми из других методов мы познако-
мимся позднее.
3.	Алгоритм построения автоколебательных режимов в слу-
чае квазилинейных систем (метод Пуанкаре). Начнем изучение
эффективных методов построения автоколебательных режимов
с исследования квазилинейных уравнения вида
х + Х2х = е/7(х, х).	(5.6)
Следует ожидать, что период автоколебательного режима зави-
сит от параметра е:
Г = Г(6)=-^Ц-,
' ’ <о (е)
причем <о(е) условимся называть частотой. Будем искать ре-
жимы, частота которых обладает следующим свойством:
lim со (б) = Л.
е->0
На этом основании положим
иМ“1+8,. + е„-+...	<5-л
и сделаем замену независимого переменного
t= -у(1 +gie + g2e2+ ...).
(5.8)
84
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
1ГЛ. II
Значению t=T отвечает значение т = 2л, т. е. период искомого
решения относительно новой переменной теперь снова фикси-
рован — он равен 2л. Числа g-, должны быть определены в про-
цессе построения решения. Перепишем уравнение (5.6), сделав
в нем замену (5.7) :
d‘X <	< „ „ 1	\2. „с dx	к \ (l+gi8+...)2
—+ х(1+^,е+ ...) ~sF\x,	.
(5.9)
Поскольку уравнения (5.6) и (5.9) не содержат времени и урав-
нение (5.9) инвариантно относительно преобразования t-*t+h,
нам достаточно рассмотреть следующую задачу Коши:
/ = 0: х = хс(е), -g = 0.	(5.10)
Заметим, что величина х0(е) также заранее неизвестна. Итак,
мы пришли к задаче отыскания числа х0(е) и периодического
решения уравнения (5.9) периода 2л, которое определяется этим
числом. Решение такой задачи будем искать в виде ряда, рас-
положенного по степеням параметра е,
.г=х(°) + ех(‘)(т) +е2х(2)(т) + . ..	(5.11)
Функции х<!) удовлетворяют следующим уравнениям:
-5^ + х(о) = О>	(5J2)
+ х<>) = F (х<°>,	(5.13)
Выпишем общее решение уравнения (5.12)
х(0) = с cos т + d sin т,
но в силу (5.10) d — 0, т. е.
x(0) = ccost.	(5.14)
Величина с — амплитуда порождающего решения — нам неиз-
вестна На этом шаге алгоритма она остается неопределенной.
Рассмотрим теперь уравнение (5.13). Его можно переписать
в виде
+ х(1) = Fw — 2g]ccos т,	(5.15)
где
F(1) = Tj- F (с cos т, — Xcsinx)
является некоторой периодической функцией т периода 2л. Для
того чтобы уравнение (5.15) допускало периодические решения,
<> 5}
автоколебания
85
необходима и достаточна ортогональность правой части этого
уравнения функциям sin т и cos т:
2л
I (с)== J F (с cost, — Zcsin r)sin тб/т = 0,	(5.16)
о
2л
(с) — j* F (с cos т, — Ac sin т) cos xdt. (5.17)
о
Первое из этих уравнений представляет собой некоторое транс-
цендентное уравнение для определения с — амплитуды порож-
дающего решения. Уравнение (5.16) может вообще не иметь ре-
шений Это будет в том случае, когда система (5.5) не допу-
скает автоколебательных режимов, например в том случае,
когда сила F является диссипативной. Уравнение (5.16) может
иметь конечное число решений, как это было в примере, рас-
смотренном в п. 1 этого параграфа. Уравнение (5.16) может ока-
заться тождеством, справедливым для любого значения с. Такая
ситуация имеет место всякий раз, когда «возмущающая» функ-
ция F является консервативной. В самом деле, пусть F = F(x);
тогда
2л
I (с) = J F (с cos т) sin т dx.
о
Функция F (с cost)—четная периодическая функция т пе-
риода 2л. Следовательно, она разлагается в ряд Фурье, содер-
жащий только cos kx и, следовательно, в силу ортогональности
sin х и cos kx для любого k
i(c)==Q.
Условимся в дальнейшем считать, что с — это отличный от нуля
корень уравнения (5.16) кратности единицы*). Тогда уравне-
ние (5.17) определяет единственное значение gi(с), Таким обра-
зом, на этом шаге алгоритм позволяет определить амплитуду
порождающего решения и первую поправку на частоту, т. е.
полностью рассчитать нулевое приближение. Если ограничиться
нулевым приближением, то мы получим приближенное решение
в виде
х<0) = с cos -г-—— .	(5.18)
1 + ще	v ’
*) Могут быть рассмотрены н более общие случаи Однако при этом
может оказаться, что решение нельзя представить в виде рядов (5.11):
функция х(с) должна быть представлена в виде ряда, расположенного по
дробным степеням параметра с.
86
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Вернемся теперь снова к уравнению (5.13). Определив с и gi
из уравнений (5.16) и (5.17), мы пришли к уравнению, в кото-
ром правая часть — это периодическая функция времени. Эта
функция обладает тем свойством, что она не содержит первых
членов разложения в ряд Фурье. Уравнение (5.13) теперь можно
переписать в виде
d2x(1>
- , 2— + х(1) = Foo + F02 cos 2т + F12 sin 2т + F13 cos 3т + ...,
где Fa — некоторые известные числа.
Его решение имеет вид
х<1) = ф1(т) 4-М1 cos т+М sin т,	(5.19)
где ф1(т) —периодическая функция, разложение которой не со-
держит sin т и cos т;
Ч’Г’ = F<x>~ cos	—"з1 sin 2т — ... —	) cos мт —
Функция х(1) удовлетворяет условию
которое позволяет вычислить постоянную N
N^If12 + ^F13+ ...+-^TFin+ ...	(5.20)
Постоянная Afi в этом приближении определена быть не может.
Следовательно, для того чтобы определить решение с точностью
до членов, содержащих е2, необходимо рассмотреть второе при-
ближение.
Уравнение для х<2> имеет вид
-rf f (2.+ х(2) = F(2) — 2g2 cos т,	(5.21)
где
F(2> = - 2g1x<1) +	х(1) +
1 dF dxO) (2)
причем F® — функция, не содержащая величин g2 и х(|)
Р(2) = _ х°ц2 - dF- о dxW + — F2et
х gi	X dx' gi di + V rzgl<
Здесь x' означает производную по аргументу т. Функции F,
dF[dx и dF/dx' вычислены при х = х(0).
§ 5]
АВТОКОЛЕБАНИЯ
87
Преобразуем уравнение (5.21), заменив в нем величины х(0)
и х(1> их выражениями (5.14) и (5.19):
а£~г~ + х<2) = — 2g2 с cos т — 2giM j cos T — 2g-1Af]SinT +
+ (Mi cos т + AT, sin t) +
+(—Mi sin т + АЛ cos t) + F®, (5.22)
где
y?(2) = pt*) — 2gq> +~—a>,+ — —
** r2 z«r₽i + v дхф1^ X dx' dx
является известной функцией времени. Заметим, что величина
.Vi, входящая в уравнение (5.22), также известна; она опреде-
ляется формулой (5.20).
Выпишем теперь условия существования периодических ре-
шений. Их можно представить в следующем виде:
2л
п п nt । Afj Г ( dF	, dF .	\	,
-2g2-2giMi + ^- J cos т — A,sin т} cos т t/т +
0
2л
, Nt Г (dF .	, . dF \	, ,
4----4—Sin т + Л-г-7 COST COST ОТН-
ЯЛ2 J \ dx	dx )
2л
4- 4" f F® cos т dx = 0,
Л J **
0
2л
n . Mi Г (dF	, dF .	\ .	, ,
- 2gtNt + J (-57cosT-A^rsinT)sinTdT +
0
2Л
, Ni Г (dF •	, <1	\ .	, ,
H—V2	sin т + л -Д— cos т sin т ar +
лл2 J \ dx	dx )
0
2Л
+ ~ [ F® sin т dx = 0.
я J **
0
(5.23)
Преобразуем уравнения (523). Сначала рассмотрим второй ин-
теграл, входящий в первое из этих уравнений, и проинтегрируем
88
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
его по частям:
2л
Г (dF .	, , dF \	,
—TV	-5— SHIT + л COST cos т dx =5
лЛ2 J \ дх	дх' )
о
2л
Ni Г dF (с cos т, — Лс sin т) ,
~	1---------cos т ат =
лл2с J	dr
о
2я
= — J F (с cos т, — Кс sin т) sin т dx = О,
о
поскольку амплитуда с является корнем уравнения (5.16). Пре-
образуем теперь первый из интегралов, входящих в это урав-
нение:
2Л
, Mi Г (dF	, dF .	\	,
1[=—5V	COST — Л-5-7 sin т cos тот.
1 лЛ2 J \ дх	дх )
о
Для этого заметим сначала, что
dF (с cos т, — Лс sin т) dF	'dF .
----1---т---------= -5— cos т — Л -3-7 sin т,
дс----------------дх	дх
т. е. выражение /1 можно переписать так:
2л
/	Л/1 f dF А
1! = —rj- -д— COS Т dx.
1 лЛ2 J дс
о
Рассмотрим теперь равенство (5.17) и перепишем его в следую-
щей форме:
2л
FcosTdT = 2g|CM|.
О
Дифференцируя это выражение по с, получим
Таким образом, первое из уравнений (5.23) в окончательном
виде будет иметь следующую форму:
2Л
^ = ^1-^+2^! F^cosTdT.	(5.24)
о
§ 5]
АВТОКОЛЕБАНИЯ
89
Преобразуем теперь второе уравнение (5.23). Прежде всего пе-
репишем его в виде
2Л	2л
.. , Г dF .	, Nt С dF .	,
-2g^i + -^J	—sinTdT +
0	0
2Л
+ 4" f F(2 sin т dr = 0.
JI J **
0
Используя (5.16), получим
2л
f dF .	, dl
-г- sin x dx = -7-.
J de	de
0
Далее
2л	2л
1 Г 3F .	,	— 1 f „ j п
—гт- -г- sin х dx = —г? F cos x dx = —
cnZ2 J dx	cm,2 J	S1
о	0
Таким образом, в окончательном виде это уравнение будет
иметь следующий вид:
2л
J F«sinT(/T-	(5-25)
о
Так как с — простой нуль функции /(с), ю dlldc4=Q, и уравне-
ние (5.21) определяет единственное значение Mt. После опреде-
ления Mi величина g2 определяется также единственным обра-
зом по формуле (5.24).
Определив М} и §2 согласно (5.24) и (5.25), мы обеспечим
разрешимость уравнения (5.21):
x(2)=(p2(T) 4-Л42 cos t + 2V2 sin т,
где фг(т) — некоторая периодическая функция т периода 2л. По-
стоянная N2 определяется из условия
Постоянная М2 в этом приближении остается неопределенной.
Если мы хотим построить решение, учитывающее второе при-
ближение, то нужно рассмотреть также и третье приближение
и т. д.
Легко видеть, что этот процесс можно неограниченно про-
должить и вычислить любой член разложения (5.11). Заметим,
что только на первом шаге нам приходится решать нелинейное
90
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
уравнение 1(c)— 0, которое имеет, вообще говоря, произвольное
количество решений. Но определив амплитуду порождающего
решения, мы в дальнейшем имеем дело только с линейными
уравнениями и все остальные искомые величины определятся
однозначно. Заметим еще, что найденное решение удовлетворяет
следующим начальным условиям:
/7*-
^- = 0, x(0) = c + b(<P1(0) + M1) + b2(<P2(0) + M2)+ ....
где с — это корень уравнения 1 (с) =0. Это решение при е = 0
переходит в решение уравнения
л: + Х2х = 0,	(5.6')
определенное начальными условиями
хо = 0, х0 - с,
т. е. в решение
х = с cos Kt.
Ряды (5.11), как это показал Пуанкаре, сходятся для доста-
точно малых значений параметра е.
4. Алгоритм построения автоколебательных режимов в слу-
чае систем, близких к консервативным. Рассмотрим теперь
общий случай уравнения (5.5). Период искомого решения будет
снова функцией малого параметра е. Кроме того, он будет за-
висеть от того, какой окажется амплитуда порождающего ре-
шения с, т. е. Т — Т(с, е). Период и частота этого колебания
будут аналитическими функциями этих параметров. Положим
/х	Л (с)
О) (с, е) =  --—5 ,
1 + eg! (с) + e2g2 (с) + ...
где К(с)—частота колебаний «порождающего» решения. Сде-
лаем далее замену независимого переменного
Уравнение (5.5) примет теперь вид
d2x (1 +gie+ ...)2 , , , = р / dx К (с)	\ (1 +g!S+ ...)2
с/т2	V(c) ' v 1 Г’ dx И-g^+..J V(c)
(5.26)
При e = 0 уравнение (5.26) переходит в следующее:
У2Х(0) _L j <х(0>) _ Q	/С 27}
dx2 + Л2 (с) U'
Заметим, что для достаточно малых значений с все решения
уравнения (5.27) периодические, причем период этих решений
§ 5]
АВТОКОЛЕБАНИЯ
91
равен 2л и не зависит от амплитуды с. Согласно результатам
§ 3 этой главы решение уравнения (5.27) можно представить
в виде
х<о)=с cos т+с2ф2(т) + ...,	(5.28)
где ф,(т) —периодические функции т периода 2л. Обе произ-
водные
ф(1) (с, т) = -Хдс~ = cos т + 2сф2 (т) + Зс2ф3 (т) + ..., |
ф(2) (с, т) =	= - с sin т + с2 d^2 (т) + ... I
т '	' от	ат	)
будут периодическими функциями т периода 2л. Используя это
обстоятельство, мы можем построить алгоритм вычисления пе-
риодических решений, следуя схеме, которая была использована
в предыдущем пункте этого параграфа.
Периодическое решение системы (5.26) будем искать в виде
ряда (5.11). Положим
х = 2
/=о
Для функций х(/) будем иметь следующие уравнения:
= ~ WFf(%(0))’	<5-27')
(XI	/V ) \ ил /	*''	\	(X I / /V
(5.30)
и т. д.
Функции х<г) удовлетворяют условиям (5.10). Периодическое
решение уравнения (5.27) периода 2л, удовлетворяющее усло-
вию (5.10), обозначим через
x(°) = Q(c, т),
где постоянная с в этом приближении остается неопределенной.
Рассмотрим теперь уравнение (5.30). Так как функция
Q(c, т) является периодической функцией т периода 2л, то пра-
вая часть этого уравнения и функция (d^Jx^) также яв-
\ ах х=хР
ляются периодическими функциями г периода 2л.
Уравнение
d2X<‘>
dx2
I х(1) = 0
х-х°
является уравнением в вариациях для уравнения (5 27), и его
фундаментальные решения — функции и ф(2)— известны.
92
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ И
Они определяются формулами (5.29) и являются периодиче-
скими функциями т периода 2л.
Для того чтобы уравнение (5.30) имело периодические ре-
шения, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого
уравнения была ортогональна функциям и ф<2>, т. е. чтобы
она удовлетворяла условиям (2.22)
2л	2Л
gi(c) j f(QH(1)(T)dT= j f(q,	(г) dr,
о	о
2Л	2Л
gi(c)j f(QH(2)(r)dr= j f(Q,	(т)г/т.
о	о
(5.31)
Получена система двух трансцендентных уравнений (5.31) от-
носительно двух искомых величин: «амплитуды» с и «поправки
на частоту» g\. Определив эти величины, мы можем найти ре-
шение нашей задачи в нулевом приближении
х = Q (с, ,Ус)*}.	(5.32)
Для того чтобы получить функцию (5.32), мы должны были ре-
шить систему двух уравнений, в которые g\ входит линейно.
Исключив эту величину, мы приходим к некоторому трансцен-
дентному уравнению. Каждому корню этого уравнения отвечает
одно вполне определенное значение поправки на частоту gi(e).
Процедура построения последующих приближений совер-
шенно ясна, она является почти дословным повторением про-
цедуры, рассмотренной в предыдущем пункте этого параграфа.
Если с является простым и отличным от нуля корнем уравнения
(5.31), то расчет каждого последующего приближения сводится
к решению линейных уравнений и эти уравнения всегда разре-
шимы.
Примечание. Условие, что с является простым корнем,
существенно. Отказ от этого условия резко усложняет теорию и
делает изложенную схему расчета в общем случае просто не-
верной. Разложения типа (5.11) перестают быть справедли-
выми. Решения представимы в этих случаях в виде рядов, рас-
положенных по дробным степеням параметра е. Изложение
подобных теорий далеко выходит за рамки элементарного учеб-
ника, каким является эта книга.
5.	Пример. В качестве примера для приложений методов
данного параграфа рассмотрим известное уравнение Ваи-дер-
Поля
х+Л2х = е(1 — ах2)^
(5.33)
АВТОКОЛЕБАНИЯ
93
§ 5]
и построим его возможные периодические режимы в нулевом
приближении. После преобразования (5.7) уравнение (5.33)
примет вид
-^- + х(1 +2giB+ .. ,) = е(1 -ах2)-^—.	(5.34)
Разыскивая решение в виде ряда (5.11), где функции удо-
влетворяют условиям (5.10), мы найдем, что
х(0) = с cos т,
а х(1) удовлетворяет уравнению
d+ xll) = —(1 — ас2 cos2 т) с sin т — 2^iccos т. (5.34')
Раскладывая правую часть уравнения (5.34х) в ряд Фурье,
получим
—I- х(1) = jsin т (1 —— sin Зт-^-| — 2^^ cost.
(5.35)
Для того чтобы уравнение (5.35) имело периодические решения
периода 2л, необходимо и достаточно, чтобы разложение правой
части в ряд Фурье не содержало первых гармоник, т. е. чтобы
коэффициенты при sinr и cost были равны нулю. Это дает'
два уравнения для определения с и gi, откуда
[ cj = О,
= 0, с = 1	2
S	I С2 = -_.
I У а
Таким образом, уравнение (5.35) имеет два стационарных ре-
жима
2
х^О,	.r2 = —t^cost.	(5.36)
V а
Первый из стационарных режимов — это состояние покоя. Вто-
рой стационарный режим — это режим автоколебаний.
Мы видим, что уравнение (5.33) допускает автоколебатель-
ный режим только в том случае, когда а положительно.
6.	Автоколебания в квазилинейных системах со многими
степенями свободы. Исследование автоколебаний в системах
большого числа степеней свободы сталкивается с целым рядом
трудностей. Прежде всего, эта теория очень громоздка. Кроме
94
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
(ГЛ п
того, достаточно общее изложение такой теории требует предва-
рительного изучения ряда вопросов теории линейных уравнений.
Поэтому здесь мы ограничимся рассмотрением одной частной
задачи этой теории — задачи об автоколебаниях квазилинейной
системы в том случае, когда порождающая система консерва-
тивна.
Использование канонических переменных позволяет ограни-
читься рассмотрением следующей системы уравнений:
хг + А2х/ = еГ<(х1, ....	..., х„)
(/= 1, 2, ..., д).	(5.37)
При е=0 в этой системе существуют периодические решения —
главные колебания с частотами А,, поэтому в рамках теории
малого параметра имеет смысл следующая задача: определить
возможные периодические решения системы (5.37), которые при
е —> 0 переходят в одно из главных колебаний системы
х. + Арс = 0 (i = I, 2, ..о, п).	(5.38)
Для определенности условимся разыскивать периодическое ре-
шение системы (5.37), переходящее в первое главное колеба-
ние системы (5.38). Условимся при этом, что все Aj взаимно
простые.
Сделаем замену независимого переменного (5.8):
/ = -^-(1 +£ie + £2e2+ ...).
После этой замены система уравнений (5.37) примет вид
-^- + Xi(l+ 2^ie+ ...) =
Г» /	dX\
- eFi(Xi, ..., хп, • 1+gi8+ ... > • • •
dxn _____Ki_____\ 1 + 2g;S + . . .
dx 1 + £j6 + • • • J	A/2
(5.39)
i _ P 1 +2gl6 + • • •
.2 + ,2 Xs ~	j 2
dx	Л ।	A j
(s = 2, 3, 4, ..., n).
Решение системы (5.39) будем искать в виде рядов
= + ех<? е2х<«2 + • • •
(5.40)
§ 51
АВТОКОЛЕБАНИЯ
95
Функции х)4) удовлетворяют следующим системам уравнений:
л2 (0)
„ ‘ _ + х(о) = о
dT2 + *1 и>
j2(0)	>2
1^ + 4х®> = 0;
dr2	s
(5.41)
d2x^
dx2
1 !	dx®
+ W”.................Ч». -^1,.
A j	\	Civ
dx(G) \
...,	-2g,x®,
’ dx >/	«11’
1 I ,	, dx®
TF x®, ..., X®, —-Z., ...
s\ 1	n	dx 1
dx® \
....-^-Aj-2glx® (s = 2, 3, .... n)
(5.42)
И T. Д.
Начальные условия для функций х{ мы должны надлежащим
образом подобрать. Однако, используя тот факт, что правые
части системы (5.39) не зависят от времени, мы можем потре-
бовать, чтобы при т=0
4^-=0.
dx
Отсюда находим, что при т = 0
dxW
-^ = 0	(6 = 0, 1, 2, ...).	(5.43)
Периодическое решение системы (5.41), удовлетворяющее на-
чальным условиям (5.43), единственно и имеет вид
х® = с cost, х® = 0 (s = 2, 3, ..., п),	(5.44)
где с — произвольная постоянная, которая определяется в сле-
дующем приближении.
Система (5.42) с учетом (5.44) может быть переписана в
следующей форме:
d2x\1'	<,	1	/
---s-+ X " =-5-Л (с cos т, 0, ..., 0,
dx2	1
— cAj sin т, 0, ..., 0) — 2g!C cos т,
d2x(6	Л2	1
—— + ту4° = ТГ Fs(ccost, 0, ..., 0,
иТ	Л।	Л1
(5.45)
— c^sinr, 0.....0)	($ = 2, 3, . .., п).
96
МЕТОД ЛЯПУНОВА—ПУАНКАРЕ
[ГЛ И
Для того чтобы система (5.45) имела периодические решения,
необходимо и достаточно, чтобы
2Л
| Fi (с cost, 0, ...» О, — cXjsinr, 0, ...» 0)siriTdT = 0,
о
2Л
gi =—/Mccost,
S1 2лсЛ? J
1 О
(5.46)
О, ..., О,
— c^sinr, 0, ..., 0)costdt.
Первое из этих уравнений служит для определения амплитуды
порождающего главного колебания, второе определяет первую
поправку на частоту. Определив эти величины, мы находим
функцию х)0 в виде (5.19), причем может быть определена,
так как эта функция должна удовлетворять условию (5.43).
Итак,
х)1» = <₽! (т) + М! COS Т + sin т,
где функция <₽! — некоторая вполне определенная периодиче-
ская функция, Mi — постоянная, которая определяется из сле-
дующего приближения.
Решение уравнения для х^ имеет вид
где <ps(x)—вполне определенные периодические функции пе-
риода 2л. Аналогично вычисляются и остальные члены разло-
жения рядов (5.40).
Примечание. Для построения периодических решений мы
использовали каноническое представление порождающей си-
стемы. В такой форме все вычисления значительно упрощаются.
Разумеется при решении конкретных задач в процедуре предва-
рительного выбора канонических переменных необходимости нет.
§ 6. Метод Г. В. Каменкова
В предыдущих параграфах были изложены методы отыска-
ния периодических решений,- использующие разложение в ряды
специального вида, расположенные по степеням малого пара-
метра. Эти методы были разработаны в конце прошлого века
Ляпуновым и Пуанкаре и послужили источником многочислен-
ных исследований. Иной подход к решению этих же задач был
предложен совсем недавно Г. В. Каменковым. Этот метод обла-
дает высокой эффективностью. Его возможности, по-видимому,
§ 6]	МЕТОД Г. В КАМЕНКОВА	97
не исчерпываются теми задачами, для которых он был создан.
Для иллюстрации метода Г. В. Каменкова рассмотрим две про-
стейшие задачи отыскания периодических решений, ограничи-
ваясь при этом изложением только формальной стороны во-
проса.
1. Квазилинейная теория. Теорема Г. В. Каменкова. Рассмот-
рим систему дифференциальных уравнений вида
х = - hy + pXi (х, у) + р2Х2 (х, у) 4- . .., 1
z) = Хх4-рУ1(х, г/)4-р2У2(х, у)+ .... J
где р — малый параметр, X,- и У< — однородные полиномы от-
носительно переменных х и у.
Пусть х=0 и у = 0 — единственная особая точка системы
(6.1) для достаточно малых значений параметра р.
Введем полярные координаты
x=rcos0, z/ = rsin0	(6.2)
и составим дифференциальные уравнения, которым удовлетво-
ряют новые независимые переменные гиб. Дифференцируя
(6.2) и используя (6.1), получим
г cos 0 — rG sin 0 = — hr sin 0 + piXi (r cos 0, r sin 0) 4-
4- p2X2 (r cos 0, r sin 0)4- ...,
r sin 0 4- rG cos 0 = hr cos 0 4- рУ1 (r cos 0, r sin 0) 4-
4- р2У2 (r cos 0, r sin 0) 4- ... .
Разрешая эти уравнения относительно гиб, мы придем к си-
стеме уравнений следующего вида:
г = р/?, (г, 0) 4- р2Р2 (г, 0) 4- ...,
6 == X 4- р/д (г, 0) 4- p2F2 (г, 0) 4- ...,
где
Rk = Xk (г cos 0, г sin 0) cos 0 4- Yk(r cos 0, r sin 0) sin 0,
Fk — у [Yk (r cos 0, r sin 0) cos 0 — Xk (r cos 0, r sin 0) sin 0],
функции Rk и Fj —полиномы от г некоторой степени mk
Rk = rR^ (0) 4- r2Rf (0) + ... 4- rm*R^ (0),
^==/?lO>(0) + r/?ft)(0)+ ••• + rm^F^~l'> (0).
(6.3)
98
МЕТОД ЛЯПУНОВА-ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Здесь функции RP и Fp — некоторые полиномы относительно
sin 0 и cos 0.
Определим функцию V (г, 0) при помощи равенства
г = у+ (г(у£7<1)-1-VW+ ... +У'"‘С7(Г)) +
+ li2(l/t/2) + 1/2С7®+ ... +Vm2U(2m^+ ....	(6.5)
Где t//'* — некоторые полиномы относительно sin 0 и cos 0, кото-
рыми мы будем распоряжаться в процессе решения задачи.
Заметим, что для достаточно малых р. функция V, опреде-
ленная при помощи равенства (6.5), будет определенно положи-
тельной функцией г, каково бы ни было 0.
Разрешив уравнение (6.5) относительно V, получим
V=r+|iVi(r, 0)+ц2Р2(г, 0)+...	(6.5')
Так как С7,- — полиномы от sin 0 и cos 0, то и функции V,-—
также полиномы от тех же величин. В этом легко убедиться не-
посредственной проверкой, рассматривая (6.5) как уравнение
относительно V и разыскивая его решения в форме ряда (6.5').
Таким образом, функция V(r, 0) в общем случае будет периоди-
ческой функцией 0 периода 2л.
Вернемся теперь к выражению (6.5) и положим в нем V=c,
где с — заданная постоянная, тогда мы получим
г = Ф(с, щ 0) = c + li(ct7(11)+ ... +с'"'С7(1'"1)) + Ц2( )+.., (6.6)
где Ф — периодическая функция 0 периода 2л. .Уравнение (6.6)
эпределяет в этом случае в фазовой плоскости некоторую зам-
кнутую кривую — цикл. Таким образом, для данной конкретной
системы функций U(P каждому значению с формула (6.6) ставит
в соответствие в фазовой плоскости некоторую замкнутую траек-
торию. На основании замечания, которое мы сделали при вы-
воде (6.5'), мы можем утверждать, что для достаточно малых ц,
двум различным значениям постоянной с отвечают два непере-
секающихся цикла, причем цикл, который отвечает меньшему
значению постоянной, лежит внутри другого цикла.
Идея, лежащая в основе метода Г. В. Каменкова, состоит в
следующем. Предположим, что нам удалось подобрать периоди-
ческие функции UP(Q) таким образом, что производная dVjdt,
вычисленная в силу уравнений (6.3), будет равна 0, т. е. V бу-
дет интегралом движения. Тогда кривая, заданная уравнением
(6.5), будет искомым периодическим решением.
§ 6]
МЕТОД Г. В. КАМЕНКОВА
99
Продифференцируем (6.5) в силу уравнений (6.3)
р. [г/г‘11’ (0) + ... +	(0)] 4 Ц2 [^2* (0) + ... + rm’R(2mi (0)] +
dU\l)
dV	dU\l}
dU1?	m dU(m'}
-dT+ •••
„  dU\n	m dU(m'y	dl№
+ y^p,+ ... +r“^r-F1 + ™-^-+ ...
••• +ут^~Чё- +н3[...]+ ....
(6.7)
где
Н = 1 + цМ1* + 2VU?’, .... tniVm'~l+
+ H?(t4n+ ... +tn2Vm2~lU(2m2}) + Н (•••)+ ... (6.«)
Заметим, что для достаточно малых ц величина Н строго
больше нуля. Заменим в равенстве (6.7) величину г при по-
мощи (6.5); тогда (6.7) можно привести к следующему виду:
’	du\m'}' I ,! Г ,n	dU(2l}'
... +Vm m‘ (0) — A, —J | 4-p.2| V [/?2n(0W -15"]+ •••
... +ym^<^(0)-x-^-] J+ ...	(6.9)
Используем теперь произвол функций иТ и распорядимся ими
так, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобках, были
некоторыми постоянными числами. Это значит, что функции
должны удовлетворять уравнениям
^-^- = /?</)(0)-^/).	(6.10)
где £</* —некоторые постоянные, которые должны быть нами
определены так, чтобы функции <7iZ) были периодическими-
Для функций Vk (£>1) мы имеем уравнения, аналогичные
(6.10), где вместо периодической функции стоит некоторая
сумма функции Rk ' (0) и некоторой другой периодической функ-
ции, которая может быть вычислена.
Функции U(i!) должны удовлетворять уравнениям (6.10). Но
с другой стороны, они должны быть периодическими, а для
этого необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правой
100
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. И
части за период 2л было равно нулю. Это условие единственным
образом определяет постоянную в виде
2Л
=	tf'i'We.	(6.11)
6
Из аналогичных соображений вычисляются и другие постоян-
ные g(£} (k = 2, 3, ...). Функции U\l} определяются теперь квад-
ратурой
е
= т J м + С(А (6-12)
о
где постоянные с)'* произвольны. Не ограничивая общности, мы
можем положить их равными нулю. Это будет означать, что
все Uil}(0) = 0. Итак, для производной функции dV/dt мы полу-
чаем следующее выражение:
Н^=рЦУ)+Ы) + ...,	(6.13)
где
L1(V) = ^1) + V2g‘2) + ... + Vm'g™,
L2(V)=V$+ ... +Vm2gf\
Рассмотрим уравнение
L,(V) = 0.	(6.14)
Г. В. Каменковым доказана следующая теорема *).
Если система уравнений (6.1) такова, что уравнение (6.14)
имеет k положительных корней нечетной кратности, то каждому
из этих корней будет соответствовать по крайней мере одно пе-
риодическое решение системы (6.1).
Итак, существование периодических решений в случае кор-
ней нечетной кратности уравнения (6.14) определяется исключи-
тельно свойствами полинома £i(V) и не зависит от структуры
полиномов Lt (/>1). Если же корни уравнения (6.14) имеют
четную кратность, то, как показал Г. В. Каменков, для решения
вопроса о существовании циклов необходима более полная ин-
формация о природе правой части уравнения (6.13).
*) См Г. В. Каменков, Исследование нелинейных колебаний с по-
мощью функций Ляпунова, Труды Университета дружбы народов им. Патри-
с4 Лумумбы, т. XV, 1966, стр. 3—35.
МЕТОД Г. В. КАМЕНКОВА
101
§ 6]
2. Квазилинейная теория. Расчет периодических решений.
Метод Г. В. Каменкова позволяет не только исследовать вопрос
о существовании периодических решений, но и дает способ эф-
фективного построения периодических решений. Покажем, как
это можно сделать в простейшем случае простых корней урав-
нения (6.14).
Обозначим через V* корень уравнения (6.14) и корень урав-
нения
M(V)+pL2(V)+... =0	(6.15)
будем искать в виде ряда
V=V* + iuV1 + r2V2+ ...
Тогда Vi будет удовлетворять линейному алгебраическому урав-
нению
Vi^ = L2(V').	(6.16)
Производная в уравнении (6.16) вычислена для значения V=V*.
Так как V*, по предположению, простой корень уравнения
(6.14), то dLildV^pO и уравнение (6.16) однозначно разрешимо.
Легко убедиться в том, что и остальные слагаемые удо-
влетворяют уравнению типа (6.16)
где Et — некоторое известное число, зависящее от величин
V*, Vi,..., Vi-i.
Итак, пусть с некоторой точностью мы определили корень
уравнения (6.15). Обозначим его через V**
К’’ = у‘+2 Уг1Л	(6.17)
г-1
Подставляя теперь выражение (6.17) в уравнения (6.5), мы по-
лучим с определенной точностью искомое периодическое реше-
ние
r = V* + p(Vi +/(7<11) + /2(7<12)+ ...) + р2(...)+ ....
где коэффициенты U{P (0) определяются формулами (6.12).
В заключение заметим, что уравнению (6.14) можно придать
несколько иной вид. Рассмотрим интеграл
в
1 — j [Xi (V cos 0, V sin 0) cos 0 + Yi (lz cos 0, V sin 0) sin 0] dt.
о
102
МЕТОД ЛЯПУНОВА —ПУАНКАРЕ
[ГЛ. И
Согласно обозначениям, введенным в уравнениях (6:3), этот
интеграл мы можем переписать в виде
Z=J я, (у, 0)d0=J (VR(i} (0) + V2R? (0) + ... + Vm'R\m,} (0)} dQ
о	0
или, принимая во внимание равенство (6.11),
/ = 2л + У^ + ... +	(П
Таким образом, уравнение (6.14) эквивалентно следующему:
2п
j [Xi (V cos 0, V sin 0)cos 0 + Yi (V cos 0, V sin 0)sin 0]d0 = 0. (6.18)
о
В следующей главе мы установим, что уравнение (6.15) нам
даст значение стационарной амплитуды, если ее определять ме-
Рис. 18.
пересекают внешний
тодом осреднения и ограничиться
при этом первым приближением
(приближением Ван-дер-Поля).
Идея метода Г. В. Каменкова
имеет простой геометрический
смысл. Мы уже знаем, что каждому
постоянному значению величины V
в фазовой плоскости отвечает зам-
кнутая кривая (рис. 18). Пусть мы
имеем две такие кривые, отвечаю-
щие Vi и V2<Vi и обладающие
тем свойством, что производные
dV/dt, вычисленные при V=Vt и
У=У2 в силу уравнений (6.1) име-
ют разные знаки. Это означает, что
фазовые траектории системы (6.1)
замкнутый контур извне внутрь, а вну-
тренний контур изнутри во вне, как это показано стрелками
на рис. 18. Тогда, согласно теореме Бенедиксона, суще-
ствует по крайней мере один такой замкнутый контур
который является предельным циклом уравнения (6.1). Он ле-
жит между контурами y=Vt и У=У2. На рис. 18 он показан
пунктиром. Г. В. Каменков указал эффективный способ опре-
деления величины У**.
Итак, процедура расчета периодических решений в методе
Каменкова состоит в решении трансцендентного уравнения
(6.18), которое позволяет определить значение V*, и вычислении
квадратур (6.11) и (6.12).
§ 7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Ц)3
В данной книге мы рассмотрели только одну из задач, кото-
рая может быть изучена в рамках метода Г. В. Каменкова,—
задачу расчета периодического решения в квазилинейных систе-
мах. Г. В. Каменков в своей статье, цитированной на стр. 100,
рассмотрел еще целый ряд задач, в том числе задачу построе-
ния периодического решения в системах, близких к некоторой
консервативной. Его метод позволяет также исследовать неко-
торые задачи теории неавтономных систем.
§ 7. Неавтономные квазилинейные системы.
Метод Пуанкаре
Изучение неавтономных систем мы начнем с рассмотрения
квазилинейных систем. Они имеют некоторые особенности, кроме
того, задача изучения квазилинейных систем гораздо проще об-
щей задачи и поэтому может быть изучена со значительно боль-
шей полнотой.
1. Замечание о линейных системах. Рассмотрим линейный
осциллятор, подверженный действию внешних периодических
сил:
х + о)2х = F(t).	(7.1)
Период функции F(t), не ограничивая общности, мы можем при-
нять равным 2л. Функция F(/) разлагается в ряд Фурье
F (/) = «о + 2 «s cos kt + У, bk sin kt.	(7.2)
ft=i	ft-i
Условимся, что число (о не есть целое. Решение уравнения (7.1)
можно представить в виде
х = х + х*,
где х — общее решение однородного уравнения,
х = А cos at + В sin ы/,	(7.3)
а х* — частное решение уравнения (7.1). Эта функция имеет
период внешней силы F(t),
оо	со
х* = с0 + 2 ck cos kt + У dAsin kt.	(7.4)
ft-i	ft-i
Подставляя выражение (7.4) в уравнение (7.1) и используя
(7.2), легко находим коэффициенты ck и dlt:
P)=>,	=	=	(fe=l, 2, ...). (7.5)
104
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Так же просто рассматривается и общий случай линейных си-
стем произвольного числа степеней свободы
+ 2 ai ix I = Fi	(/=1,2,..., n),	(7.6)
/-I
где Ft(t) представимы в виде рядов Фурье
Fi (t) = до* + 2 <4г) cos kt -f- 2 sin kt.
k=\	k=i
Для отыскания частного решения системы (7.6), период кото-
рого равен 2л, полагаем
оо	оо
х* = cl>l) + 2 4Z) cos kt + 2 dk’ sin kt.	(7.7)
S = I	s=i
Для определения коэффициентов разложений (7.7) получаем
следующие системы линейных уравнений:
где dj—символ Кронекера. В дальнейшем мы будем рассма-
тривать только такие системы вида (7.6), которые при Ft^0
превращаются в консервативные системы. Но в этом случае в
системе существуют главные координаты и вместо изучения си-
стемы вида (7.6) достаточно рассмотреть систему
х{ + a2ixi = F{(t)	(i=l, 2, . . ., п),	(7.9)
где Ft(t)—обобщенная внешняя сила, отнесенная к главной
координате Х{. Решение этих систем имеет вид (7.4), причем ко-
эффициенты разложений определяются формулами (7.5).
Решение линейной системы представимо в виде суммы двух
функций. Первая из этих функций имеет период внешней силы,
а другая является суперпозицией главных колебаний. Наиболь-
ший практический интерес представляет изучение первой функ-
ции. В самом деле, хотя мы рассматриваем консервативную си-
стему, но при этом понимаем, что речь идет о некоторой модели
реальной системы, т. е. системы, которая находится всегда под
§ 7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ 105
действием некоторых (пусть очень малых) сил, рассеивающих
энергию. Следовательно, свободные колебания системы неиз-
бежно затухнут с течением времени. Что касается вынужденных
колебаний, то они все время будут поддерживаться действием
внешних сил и, следовательно, через некоторый промежуток вре-
мени наблюдатель будет отмечать в системе только те колеба-
ния, которые генерированы внешним воздействием. Поэтому
основное внимание в дальнейшем мы посвятим изучению част-
ных решений систем вида (7.6) или (7.9), имеющих период
внешних воздействий (который, по предположению, равен 2л).
Формулы (7.5) и (7.8) имеют смысл лишь тогда, когда среди
собственных частот отсутствуют частоты, равные целым нату-
ральным числам. В противном случае в системе (7.6) не могут
быть индуцированы периодические колебания: частные решения
системы будут содержать вековые слагаемые. Это значит, что
амплитуда колебаний, которые возбуждаются, неограниченно
возрастает. В этом случае говорят о явлении резонанса в линей-
ных случаях. Переходя к изучению квазилинейных систем, есте-
ственно поставить следующие вопросы.
а)	Пусть среди собственных частот нет частот, равных целым
числам. Этот случай называется нерезонансным. Какой в этих
условиях будет форма колебаний, генерируемых внешними воз-
действиями?
б)	Предположим, что имеет место резонанс, т. е. среди соб-
ственных колебаний есть колебания, период которых равен (или
кратен) 2л. Может ли существование малой нелинейности при-
вести к возможности генерирования в системе колебаний пе-
риода 2л?
в)	Какие другие формы периодических движений могут воз-
никать в квазилинейной системе под действием внешних перио-
дических сил?
2. Колебания вдали от резонанса. Начнем изучение квазили-
нейных систем с наиболее простого вопроса а. Для этого рас-
смотрим систему с одной степенью свободы
x + (a2x = F(t) +е<р(х, х).	(7.9')
Функцию F(/) условимся брать в виде
F(t)=a cos t.
Не представляет никакого труда рассмотреть и общий случай.
Излагаемый метод позволяет функцию <р также считать перио-
дической функцией времени t периода 2л
^ = ^(х, х, i).
106
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Будем рассматривать решения уравнения (7.9'), которые при
е—>0 переходят в решения порождающего уравнения
х= — <о2х + а cos t	(7.10)
периода 2л.
Положим
X = Xq + 8X1 + 82Х2 + . . .	(7.11)
Подставляя ряд (7.11) в уравнение (7.9'), раскладывая
функцию ф в ряд Тейлора по степеням параметра 8
8ф (х, х) = 8ф(х0, Хо) + е2 [фхх( + ф^х,] + ... = еф0 + 82ф, + ...
и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, мы по-
лучаем следующие уравнения для определения неизвестных
функций Xi (t= 1, 2, ...):
х» + ®2х0 = a cos t, )
X, + ®2х, = ф01
ХА + ®2Xft = фй_[,
(7.12)
Легко убедиться в том, что величина, стоящая в правой части
уравнения номера k, зависит от функций хг(/), причем 1=
= 1,2, ..., k—1. Следовательно, решая последовательно урав-
нения (7.12). мы можем определить любой член разложения
(7.11).
Так как по условию ® =г 1, то единственное периодическое
решение периода 2л которое допускает первое из уравнений си-
стемы (7.12), имеет вид
хо =cos Л	(7.13)
Подставляя функцию (7.13) в выражение для фо, убеждаем-
ся, что функция фо будет периодической периода 2л и, следова-
тельно, представима в виде ряда Фурье
со	со
Фо = Too + S <Ро* cos kt + 2 Tofe sin kt-
k=\	S=1
Следовательно, второе уравнение системы (7.12) также допу-
скает решение периода 2л
Too . V ToS Л и 1 V	о,-п А/	/-7
Xi со2 Т-	и2 — ^2 cos kt + ш2 _ £2 sin kt,	(7.14)
ft=!	Й=1
поскольку ®2У=£ (k= 1, 2, ...).
§ 7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Ю7
Решения остальных уравнений
получены по этой же схеме.
Итак, решение уравнения (7.9')
следующем виде:
системы (7.12) могут быть
может быть представлено в
оо
a 4 .
х = —;—г cos t + е
со2 — 1
Фор I ФрЕ
ю2 "Г Z4 со2 - k2
s=i
COS kt +
+	sin kt
©2 — k2
k~\
+ e2{...} + ...
Это решение удобно переписать в форме
х = А0 + Ai cos (t + O'I) + Л2 cos 2 (/ + О'г) + ...,
где
4>= ^-{ефоо + е2ф|О+
А ~ ш2_ । {« + еФо1 + е2 (...) + ...},
^=-^^|еКф^+Фо1 +е2(...)+ ...|,
А = arctg I s~ + е2(. ..) + ...к
I*	J
•&k ~ arctg I + е (...) + ...к
(7.15)
(7.15')
Формулы (7.15') показывают, что в нерезонансном случае
все отличие вынужденных колебаний квазилинейной системы от
колебаний линейной системы, вызванных той же силой, сво-
дится к следующему:
1.	Величина амплитуды А, основной гармоники изменяется
на величины порядка 0(e).
2.	Возникает разность фаз th вынужденных колебаний по
сравнению с фазой внешней силы. Этот сдвиг также имеет по-
рядок 0(e).
3.	Имеет место систематическое смещение Л о, т. е. колеба-
ния происходят около положения, смещенного относительно по-
ложения равновесия. Это смещение также имеет первый порядок
малости.
4.	Появляются высшие гармоники, амплитуда которых имеет
порядок 0(e).
Итак, мы видим, что в нерезонансном случае малая нели-
нейность вносит в характер колебаний системы лишь малые
количественные изменения. Поэтому в рассматриваемом случае
108
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
линейная трактовка задачи приводит только к небольшим коли-
чественным ошибкам: качественный характер квазилинейных
колебаний будет таким же, как и в линейном случае. На первый
вопрос, поставленный в предыдущем пункте, мы ответили пол-
ностью.
Мы рассмотрели колебания в системе с одной степенью сво-
боды. Однако легко убедиться в том, что изложенная схема мо-
жет быть использована для исследования колебаний систем про-
извольного числа степеней свободы, если только среди корней
характеристического уравнения нет целых чисел.
3. Резонансные колебания. Случай одной степени свободы.
Рассмотрим снова системы (7.9') и предположим, что со2 = 1.
В предыдущем разделе мы рассматривали задачу отыскания пе-
риодических решений системы (7.9'), которые при е—*0 пере-
ходят в периодическое решение порождающего уравнения (7.10).
В том случае, когда «=1, такая постановка не имеет смысла,
поскольку порождающее уравнение не имеет периодических ре-
шений. Поэтому в теореме Пуанкаре рассматриваются только
те задачи, в которых интенсивность внешнего возбуждения мала.
Будем рассматривать уравнение
x + (i)2x = ea cos ^ + е<р(х, х)	(7.16)
и предположим, что
(о2= 1 — еб.
Примечание. Метод, который будет изложен, может быть
без каких-либо оговорок перенесен на случай уравнения
х + со2х = е [a cos nt + qtx, t)] + F(Z),	(7.16')
где
со2 = п2 — еб,
F(t) = F0 + 2 F(k}coskt+ 2 Fklsinkt.
k^n	k^n
В самом деле, для этого достаточно принять х = х+х*, где х* —
частное решение уравнения
x + (o2x = F(Z),
имеющее период 2л. Функция х после такой замены будет удо-
влетворять уравнению типа (7.16).
Рассмотрим порождающее уравнение
х+х=0.	(7.17)
Уравнение (7.17) допускает двупараметрическое семейство пе-
риодических решений периода 2л
х=М cos t + N sin t.	(7.18)
§ 7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Ю9
В предыдущем случае порождающее уравнение имело только
одно периодическое решение указанного периода. В данном слу-
чае любое его решение периодическое.
Попробуем отыскать периодическое решение уравнения
(7.16), которое при е—>0 переходит в одно из решений семей-
ства (7.18). Другими словами, считая М и N величинами, кото-
рыми мы можем распоряжаться, постараемся их подобрать так,
чтобы в окрестности решения (7.18) уравнения (7.17) обеспе-
чить существование искомого периодического решения уравне-
ния (7.16).
Решение будем искать в виде ряда
х = х(0) + ех<1>-1-е2х(2)+ ...,	(7.19)
где х<°)— одна из функций семейства (7.18). Функция х<') удо-
влетворяет уравнению
x(1)-f-x(1) = tz cos t + ф(Л1 cos t + N sin t, — M sin t + N cos t) +
+ 6A1 cos t + f»N sin t.	(7.20)
Для того чтобы уравнение (7.20) допускало периодические ре-
шения, необходимо и достаточно, чтобы разложение правой ча-
сти в ряд Фурье не содержало членов вида A cos t + B sin t. Эти
условия нам дают два уравнения для определения неизвестных
чисел М и N
Р(М, N)^a + Mb +
2Л
+ (AT cos t + Xsin t; — M sin t + N cos t) cos t dt = 0,
N)=Nb +	(7,21)
2Л
+ ~ J <p(M cos t+ Msin /; — M sin / + M cos/) sin / d/= 0.
о
Таким образом, для того чтобы уравнение (7.20) имело пе-
риодические решения периода 2л, необходимо, чтобы уравне-
ния (7.21) имели действительные корни М и 2V.
В этом случае функция
x = Afcos t + N sin t
может быть пределом периодических решений уравнения (7.16)
при е—♦ О.
Если М = М и N=N, то периодические решения уравнения
(7.20) имеют вид
х(1) = ф(1)-рЛ11 cos t + ^i cos t.	(7.22)
по
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ И
где М| и А/,— произвольные числа, а ФФ—частное решение,
которое определяется по формулам п. I этого параграфа, по-
скольку разложение функции
a cos t + 6 (М cos t + N sin t) + q> (M cos t + N sin t,
— M sin t + N cos /) = 2 (фй’ cos kt + Ф® sin kt) (7.22')
в ряд Фурье, в силу выбора величин Я и 2V, не содержит первых
гармоник.
Рассмотрим уравнение для х&
х(2) + х(2) = 6(Ф(1) + cos t + JVj sin /) +
-I” W1 cos s’n + ®(1>) +
+	(- M, sin t + У, cos t + Ф(1)). (7.23)
Производные и вычислены для значений х = х(0) и
х = х(0>; таким образом, правая часть этого уравнения является
периодической функцией времени периода 2л. Следовательно,
для существования периодических решений этой системы не-
обходимо и достаточно, чтобы постоянные М\ и A/j были вы-
браны так, чтобы разложение правой части уравнения (7.23)
в ряд Фурье не содержало первых гармоник. Таким образом,
постоянные М\ и /Vi удовлетворяют следующей системе линей-
ных алгебраических уравнений:
1
2л
Ai|	6 + —	] ^cos2/ —	^cos/sin	t\	dt +
1 л J	I dx	dx	J
L о
2л
0
2л
sin t cos t + 4?- cos21\dt =
dx J
(4^- ф(1)+4®- ф(1) У c°s t dt^^i (o,
( dx	dx j	1 v n
о
2Л
I -! 4®- cos i sin t — 4?- sin2/ \dt +
J I dx	ox J
0
2л
4-A/i 6 + — f 14^ sin2/+ 4^ cos/sin/Id/ =
1 л J I dx	dx	J
о	J
2л
= --[ J-^oUl + ^d^lsin/d/^T^/).
л J I dx dx )	'
о
(7.24)
§7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Щ
При составлении системы (7.24) было учтено, что разложение
функции Ф(|) в ряд Фурье не содержит первых гармоник.
Системе (7.24) можно придать следующий вид:
1 дМ	1 dN	1 I
Af|^- + 7V14^ = 'F2. j
1 дм	1 dN	2 I
(7-25)
Для разрешимости системы (7.25) необходимо и достаточно,
чтобы ее детерминант
дР_ дР_
дМ dN
dQ dQ
dM dN
D (P, Q)
D (M, N)
(7.26)
был отличен от нуля.
Элементы этого определителя вычислены при М = М и N=N.
Следовательно, условие (7.26) означает, что величины Я и N
являются простыми корнями системы уравнений (7.21).
Итак, для того чтобы уравнение второго приближения допу-
скало периодические решения достаточно выполнения неравен-
ства (7.26). В этом случае постоянные Mt и Ni будут опреде-
лены из уравнений (7.25), которые образуют линейную систему
алгебраических уравнений. Функция х<2> в этом случае будет
определена формулой типа (7.22)
х(2)=ф(2) + М2 cos t + N2 sin t,	(7.27)
где Мг и /V2 — произвольные постоянные, которые могут быть
определены только в третьем приближении.
Проведенные рассуждения нетрудно продолжить по индук-
ции и показать, что задача построения периодического решения
уравнения номера k сводится к решению алгебраической си-
стемы вида
4^ = 4r|W>
я 1 dM R ' dN 1 ’
Mk-i -fg- +	= 4f>.
К 1	к I	*
(7.28)
Система (7.28) всегда разрешима, если только М и N — про-
стые корни системы уравнений (7.21).
Итак, мы приходим к следующему результату (Пуанка-
ре). Если система уравнений (7.21) имеет простые корни, то
112
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ II
каждой системе простых корней М и 2V соответствует ряд
(7.19), каждый член которого может быть эффективно вычис-
лен при помощи изложенной процедуры.
Пуанкаре доказал также, что при условии аналитичности
правой части уравнения (7.16) ряды (7.19) сходятся для доста-
точно малых значений е. В этом случае уравнение (7.16) до-
пускает предельный цикл (периодическое решение). Число пе-
риодических решений соответствует числу простых корней си-
стемы (7.21).
Примечание. Тот случай, когда уравнение (7.21) имеет
кратные корни, несколько более сложен для изучения. Однако
он также тщательно изучался рядом авторов. В общем случае
ряды, которые представляют периодические решения, должны
быть расположены уже не по целым, а по дробным степеням
параметра *).
Вернемся снова к уравнению (7.16). Если w¥=l, то мы имеем
нерезонансный случай и амплитуды вынужденных колебаний,
как мы это видели, имеют порядок внешней возмущающей силы,
т. е. порядок 0(e). Если <о~1, то амплитуда вынужденных ко-
лебаний имеет порядок I. Поэтому явлением резонанса в нели-
нейных системах естественно назвать возникновение интенсив-
ных вынужденных колебаний при условии, что частота возму-
щающей силы близка к собственной частоте линейных коле-
баний.
В заключение напомним еще раз, что в линейных системах
вдали от резонанса амплитуда вынужденных колебаний также
имеет порядок 0(e). Существенное влияние малой нелинейности
проявляется только в условиях, близких к резонансу.
4. Пример: уравнение Ван-дер-Поля. В качестве примера
рассмотрим систему, которая описывается уравнением Ван-дер-
Поля
х+ы2х = ер cos/+(а — у2х2)х,	(7.29)
и изучим ее колебания под действием внешних периодических
сил. Условимся рассматривать резонансные колебания, т. е.
предположим, что выполнено условие
й)2= I — 86.
Решение порождающего уравнения для этой системы имеет вид
(7.18), где постоянные М и N определяются из уравнений (7.21),
*) См, например, А. П. Проскуряков, Периодические решения не-
линейных систем в виде рядов по дробным степеням параметра, ПММ,
т. XXV, в. 5 (1961).
§7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ ЦЗ
которые в данном случае принимают следующий вид:
2Л
Р (М, N) = Mi> + J [а — у2 (Л1 cos t + N sin /)2] X
о
X [— Л1 sin Z 4- M cos /] cos t dt = O,
2Л
Q (M, N)=Ni> + ~~ J [a — y2(M cos t + AT sin /)2] X
о
X [ — M sin t + N cos sin tdt = Q.
Проводя очевидные выкладки, мы придем к следующей системе
двух кубических уравнений:
Р + Мб + м[а--|-(М2 + М2)1 = 0, |
Г v 11	<7-30)
Ni> - М [a - -J (М2 - N2)\ = 0. j
В уравнении (7.30) сделаем замену
Л1=А cos <р,	М—A sin <р.	(7.31)
Физический смысл величины А очевиден — это амплитуда по-
рождающего решения. Таким образом, нас интересуют только
положительные значения этой величины.
После замены (7.31) уравнение (7.30) примет вид
{/	iy2 \ Ъ
б cos <р + sin <р I a —Щ Л21 > = — р,
б sin <р — cos ср I а —j- А21 > = 0.
Возводя в квадрат и складывая эти уравнения, мы исключим
фазу <р
A2 j б2 + (a - А2)2} = р2.	(7.32)
Таким образом, величина А2 удовлетворяет кубическому урав-
нению. Так как кубическое уравнение имеет всегда хотя бы один
корень, то система Ван-дер-Поля допускает по крайней мере
один резонансный режим (исключая те сочетания параметров а,
Р, у и б, при которых уравнение (7.32) имеет кратные корни).
Может оказаться, в частности, что уравнение (7.32) имеет три
действительных корня. В этом случае в системе (7.29) воз-
можно существование трех резонансных режимов. Исследование
этих вопросов требует более детального анализа уравнения
(7.32).
114
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
5. Один специальный случай. Особенность задачи отыскания
резонансных режимов состоит в том, что порождающее решение
заранее неизвестно. Множество решений порождающего урав-
нения образует семейство, зависящее от нескольких параметров
(в случае, который рассматривался в п. 3 этого параграфа, се-
мейство порождающих решений зависело от двух параметров).
В процессе решения задачи мы должны отыскать те значения
параметров, которые определяют порождающие решения.
Рассмотрим одну специальную задачу, которая иногда ветре;
чается в приложении: определить периодические решения урав-
нения
х = еф(х, х, t, в),	(7.33)
где ф— периодическая функция времени периода 2л, аналити-
ческая по переменным х, х и в. Подставим задачу отыскания
периодического решения уравнения (7.33) периода 2л.
Общее решение порождающего уравнения
х = 0	(7.34)
имеет вид
x — M + Nt.	(7.35)
И, следовательно, только при N=Q решение (7.35) будет пе-
риодическим периода 2л. Таким образом, функции, среди кото-
рых мы можем разыскивать порождающие решения уравнения
(7.35), будут образовывать однопараметрическое семейство
В этом и состоит основное отличие рассматриваемой задачи от
задачи, которая изучалась в предыдущих пунктах этого пара-
графа. Однако, несмотря на это, методы, развитые ранее, могут
быть использованы для отыскания периодического решения
уравнения (7.33).
Положим
х = М + е%(1)(/) +е2Х(2)(/) + ...
Функция будет удовлетворять дифференциальному уравне-
нию
хб)=ф(/, М, 0, 0),	(7.36)
где ср — периодическая функция t.
Для того чтобы уравнение (7.36) допускало периодическое
решение периода 2л, необходимо и достаточно, чтобы
2.1
ф = J ф (t, М, О, 0) dt = 0.	(7.37)
о
§ 7j НЕАВТОНОМНЫЕ КЙАЗИЛИНЕЙНЫЁ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Ц5
В самом деле, пусть <р=#0, тогда функция ср может быть раз-
ложена в ряд Фурье вида
оо
ф — Ф + 2 («* cos kt + bk sin kt),
fe=i
где ф — некоторая постоянная, отличная от нуля, и, следова-
тельно, общее решение уравнения (7.36) будет иметь вид
оо
х(1) = х(1) (0) + c1(Z) + -^- + ^-p-(6*sin^/ — akcoski), (7.38)
fe=i
т. е. оно будет содержать вековые слагаемые независимо от вы-
бора начальных условий.
Итак, для существования периодического решения уравне-
ния (7.36), а следовательно, и для существования периодиче-
ского решения уравнения (7.33), аналитического по е, необхо-
димо, чтобы неизвестная постоянная М была корнем уравне-
ния (7.37).
Из вида общего решения (7.38) сразу следует, что условие
ф=0 достаточно для существования периодического решения
уравнения (7.34). В самом деле, мы всегда можем подобрать
начальное условие лё*1) (0)
fe=l
которое при любом х<1)(0)=^'И1 гарантирует условие ct = 0.
Итак, функция определяется формулой
Х(1)=Л41 +ф! (0,	(7.39)
где ф1 — периодическая функция времени требуемого периода,
a Mi — постоянная, которая должна быть определена в следую-
щем приближении.
Составим теперь уравнение для определения х<2>(0
Х(2) = 4J [Л1. + ф! (/)] + > Ф. +	.	(7.40)
Производные ду/дх и ду)дх вычислены при условии, что х=М,
е = 0, где М — корень уравнения (7.37):
ф(Л0 =0.	(7.370
Для существования периодического решения уравнения х№ не-
обходимо и достаточно, чтобы
2П
И {^[М1 + Ф1(01 + >Ф1 + -Й-и = 0.	(7.41)
116
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Легко видеть, что уравнению (7.41) можно придать следующий
вид:
=	(7.42)
где
2Я
F1=__L [ (_|ф ф1 + >ф, + 4*\dt.
1 2л J \ дх Т1 дх т де )
о
Уравнение (7.40)—это линейное уравнение относительно неиз-
вестной постоянной Л1|. Если дф/дМ =#0, то оно имеет единствен-
ное решение. Условие дф/дМ ф 0 означает, что постоянная М
является простым корнем уравнения (7.37). Функция х<® в этом
случае имеет вид
X(2) = A12 + ^2(O,
где М2 — постоянная, которая определяется в следующем при-
ближении, а 4>2(0 — периодическая функция.
Легко продолжить рассуждения и показать, что в любом
приближении периодическое решение имеет вид
xW(t) =Mh+^h(t),
где Mh — решение уравнения
я дМ
причем число Fh определяется по первым k — 1 приближениям.
Для достаточно малых е ряды, которые представляют решение,
сходятся.
Итак, мы пришли к следующему результату. Для существо-
вания периодического решения уравнения (7.33) , аналитического
по параметру е, необходимо и достаточно, чтобы уравнение
ф(М) =0
имело простые корни.
Примечание. Изложенный метод без каких-либо измене-
ний позволяет изучать периодические решения системы
i’i = e<Pi(-Vi,. .., хп, t, е)
произвольного порядка, если функция <р, («=1, 2,... , п) —ана-
литические функции по е, Xi и периодические функции по t пе-
риода 2л. .
6. О резонансе n-го рода. В рамках квазилинейной теории
удается установить одну замечательную особенность нелиней-
ных систем — возможность существования резонанса n-го рода.
Мы уже знаем, что в тех случаях, когда на квазилинейный
осциллятор действует внешнее периодическое возбуждение ин-
§7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Ц7
тенсивностью 0(e), в осцилляторе могут возникнуть вынужден-
ные колебания, амплитуды которых имеют порядок 1. Возник-
новение интенсивных колебаний, как это было показано, может
осуществиться, если частота внешней возбуждающей силы
близка к собственной частоте. Это явление мы называли резо-
нансом. Условимся теперь называть его главным резонансом.
Это уточнение необходимо потому, что интенсивные вынужден-
ные колебания (амплитуда которых равна 0(1)) квазилиней-
ного осциллятора возможно и тогда, когда частота возмущаю-
щей силы (интенсивность которой имеет теперь порядок 0(e))
близка к шл, где со — собственная частота, а п — некоторое це-
лое число.
Рассмотрим снова квазилинейное уравнение (7.9) и для уп-
рощения всех рассуждений ограничимся изучением его частного
случая
х + х = а cos nt + eq>(x, х, t),	(7.43)
где п — целое число, а функция ф — периодическая функция
времени периода 2л. Согласно терминологии, которая была нами
принята, соотношение частот возмущающей силы и собствен-
ных колебаний определяет нерезонансный случай. Если, следуя
изложенной методике, мы начнем разыскивать решения урав-
нения (7.43), периода 2л, то мы должны будем искать это ре-
шение в форме ряда
x=x0 + eXi + e2x2+	,
где х0 — решение порождающего уравнения
х0 = - П2а_г cos nt.	(7.44)
Решение, которое будет найдено этим способом, будет иметь пе-
риод Т* = 2п/п. Однако помимо решения (7.44), порождающее
уравнение
х+х=а cos nt
допускает еще двупараметрическое семейство периодических ре-
шений периода 2л
х = М cos t+N sin ^+ф((),	(7.45)
где ф(() определяется формулой (7.44). Это обстоятельство по-
зволяет предположить, что среди периодических решений урав-
нения (7.43) периода 2л, кроме решений, определяемых алго-
ритмом п. 2 этого параграфа, могут быть решения также и дру-
гого типа. Попробуем разыскать решения уравнения (7.43),
которые при е—>0 переходят в решения (7.45) при условии, что
хотя бы одно из чисел М или АГ отлично от нуля.
118
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. И
Для ЭТОГО ПОЛОЖИМ
х = х + еХ[ + ...	(7.46)
Процедура отыскания решения вида (7.46) ничем не отли-
чается от процедуры отыскания решения в окрестности главного
резонанса. Подставляя ряд (7.46) в уравнение (7.43), мы полу-
чаем уравнения для xt. Функция х{ удовлетворяет уравнению
±'i+Xi = (p(x, х, t).
(7.47)
Для того чтобы уравнение (7.47) допускало периодические ре-
шения периода 2л, необходимо, чтобы числа М и АГ удовлетво-
ряли следующей системе трансцендентных уравнений:
2Л
P(N, М)= j ср (М cos / 4- AZ sin t 4- ф;
о
— М sin t 4- АГ cos t 4- ф; t) cos tdt = O,
2Л
Q (M, A9= j ср (M cos t 4- AT sin t 4- ф;
о
(7.48)
— M sin t 4- AT cos t 4- -ф, t) sin t dt = Q.
Пусть теперь M и АГ— простые корни системы (7.48), тогда,
как это следует из теории, изложенной в п. 3 настоящего пара-
графа, определение последующих приближений потребует ре-
шения уже только линейных уравнения типа (7.25):
м-—- + V,— = 4f(i)
дМ dN ’
М{ — 4- Nt — = Ф(/)
(7.25')
где и Ф(1) — некоторые известные числа.
В силу сделанных предположений о природе корней системы
уравнений (7.48) система (7.25') всегда разрешима.
Система уравнений (7.48) аналогична системе уравнений
(7.21) и может рассматриваться как частный случай такой си-
стемы. Она обладает следующей, особенностью: если функция
<р(х, х, t) имеет по t период T=2nfn, то система (7.48) всегда
допускает тривиальное решение М = N == 0.
В самом деле, поскольку в этом случае, т. е. при М = А^=0
функция (7.45) будет в качестве своего наименьшего периода
иметь период Т* = 2л/п, то таким же периодом будет обладать
и функция ср (Ж, х, t), и следовательно, ее разложение в ряд
Фурье будет содержать только гармоники, имеющие частоту,
§7] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПУАНКАРЕ Ц9
кратную п, т. е. условие ортогональности (7.48) выполняется ав-
томатически.
Это обстоятельство можно использовать для сокращения вы-
кладок при эффективном определении интересующих нас ре-
шений.
Заметим, что все рассуждения остаются в силе и для того
частного случая, когда амплитуда возмущающей силы имеет
порядок 0(e). Таким образом, даже малые воздействия на ква-
зилинейную систему периодическими возмущающими силами
кратной частоты могут возбудить в ней интенсивные колебания,
происходящие с частотой собственных колебаний. Такое явле-
ние называется резонансом n-го рода. Впервые исследованиями
подобных колебаний занимались Л. И. Мандельштам и Н. Д. Па-
палекси.
7. О квазилинейной трактовке нелинейных уравнений. В фи-
зике и технике имеют широкое распространение методы, кото-
рые основаны на предположении, что исследуемое нелинейное
уравнение в некотором смысле близко к линейному. И в настоя-
щем параграфе мы изучали уравнения вида
х + ®2х = еср(х, х, t, б),	(7.49)
которые при б = 0 переходят в линейные и для малых значе-
ний параметра е развивали методы, позволяющие эффективно
вычислять периодические движения.
Такая точка зрения, как мы это видели, богата разнообраз-
ными возможностями: она не только позволяет «уточнить» по-
рождающее решение, но и дает возможность обнаружить такие
свойства уравнений (7.49), которые полностью утрачиваются,
если принять е=0.
В технике и физике далеко не всегда уравнения оказы-
ваются в «готовом квазилинейном виде» типа (7.49). Разумеет-
ся, достаточно часто встречаются задачи с малыми возмуще-
ниями и малыми нелинейностями. Но очень часто мы умыш-
ленно трактуем нашу задачу как квазилинейную, предполагая
использовать мощные средства анализа подобных задач. По-
пробуем на простом примере пояснить смысл редукции задачи
к квазилинейной и область применимости подобной трактовки.
Рассмотрим уравнение
y + Q(y) =ыр(У, У, *).	(7.50)
Предположим, что точка y = y = Q определяет положение равно-
весия и функция Q(y) в окрестности этой точки является ана-
литической
Q(y) = ы2У — ьгУ2 — ьзУ:{+.-..
120
МЕТОД ЛЯПУНОВА—ПУАНКАРЕ
[ГЛ II
При е—>0 это нелинейное уравнение переходит снова в некото-
рое нелинейное уравнение. Для того чтобы уравнение (7.50)
можно было трактовать как квазилинейное, сделаем замену
переменных	_
у=\/~ех, е = рА	(7.51)
Уравнение (7.50) перейдет теперь в следующее:
х + о)2х = рф*(х, х, I, р),	(7.52)
где
<р* = <р(рЛ, цх, t) +Ь2х2 + цЬ3х3 + . . .
Уравнение (7.52) уже относится к рассмотренному типу урав-
нений (7.49).
Как это видно из формул (7.51), возможность квазилинеа-
ризации основана на предположении, что отклонение от поло-
жения равновесия мало. Таким образом, квазилинейная трак-
товка может быть использована для изучения только малых
колебаний нелинейной системы. Для изучения колебаний с боль-
шими амплитудами изложенный подход не имеет смысла.
Однако может оказаться, что квазилинейная трактовка не
будет пригодна даже для исследования малых колебаний. В са-
мом деле, мы сделали замену (7.51). Но уже одним этим мы
наложили известные ограничения на класс функций, внутри ко-
торого мы разыскиваем интересующее нас решение. И может
случиться, что периодическое решение, которое допускает урав-
нение (7.50), не содержится внутри этого класса и, следователь-
но, в подобной ситуации квазилинейная трактовка не дает ни-
какой полезной информации.
Рассмотрим простейший пример. Поставим задачу отыска-
ния резонансных решений уравнения
у+у — a2y2 = s cos t.	(7.53)
Рассматривая это уравнение как квазилинейное, заменой
(7.51), мы приводим его к виду
х+х = ц (cos t + a2x2).	(7.54)
Применим к уравнению (7.54) метод отыскания периодических
решений, изложенный в этом параграфе. Для этого положим
х=М cos t+N sin/ + цХ1 + ц2х2 + - • •	(7.55)
Функция Xi удовлетворяет следующему уравнению:
%; + Xi = cos t + а2 jу GM2 + N2) + (М2 - N2) cos 2t + MN sin 2t j-=
(7.56)
§ 8]	НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА	[21
Для того чтобы уравнение (7.56) имело периодическое реше-
ние, необходимо так выбрать параметры М и W, чтобы правая
часть этого уравнения была ортогональна sin t и cos t. Но легко
видеть, что этого сделать нельзя. В самом деле,
2Я
j f(M, N, t) cos t dt — л
о
и не зависит от М и N.
Таким образом, на основании квазилинейной теории мы
должны утверждать, что уравнение (7.53) не допускает пе-
риодических решений. Тем не менее, как мы это увидим в сле-
дующем параграфе, периодические решения этого уравнения
существуют в окрестности положения равновесия. Только эти
решения нельзя представить в форме ряда (7.55). Итак, если
квазилинейная теория не дает возможности определить перио-
дические решения нелинейного уравнения, то это еще не значит,
что исходное уравнение не имеет подобных решений.
Отказ от квазилинейной трактовки задачи приводит к рез-
кому усложнению задачи. Существует очень немного методов,
позволяющих в отдельных случаях рассмотреть другие классы
нелинейных уравнений. Один из таких методов принадлежит
покойному профессору Свердловского университета И. Г. Мал-
кину. Метод, который разработал И. Г. Малкин, позволяет рас-
пространить методологию Пуанкаре на изучение широкого
класса систем, близких к системам Ляпунова *).
§ 8.	Неавтономные системы второго порядка,
близкие к системам Ляпунова. Метод Малкина
1.	Предварительный анализ. В предыдущем параграфе мы
изучали квазилинейные системы. При построении вычислитель-
ных алгоритмов существенным образом использовалось то об-
стоятельство, что порождающее уравнение линейно и, следова-
тельно, нам известен весь возможный набор его решений.
Основная черта метода Пуанкаре, да и любых методов не-
линейной механики состоит в том, что рассматриваются урав-
нения, которые в том или ином смысле близки к уравнениям
с известными решениями. Поэтому, отказываясь от квазилиней-
ной трактовки, мы должны рассматривать уравнения, близкие
не к линейным уравнениям, а к некоторым другим, для изуче-
ния которых мы имеем необходимую рецептуру. Известно очень
*) И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний,
Москьа, 1956.
122
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
1ГЛ. 11
немного типов уравнений, для которых существуют эффективные
аналитические методы построения решений. К ним относятся
прежде всего системы Ляпунова. Естественно, что следующим
после изучения квазилинейной теории должно быть изучение
систем, близких к ляпуновским. Как мы увидим ниже, этот шаг
приведет к значительному расширению возможных типов уста-
новившихся режимов нелинейных систем.
Итак, в этом параграфе мы будем изучать системы вида
х= -ку + Х(х, г/) + р,К,(х, у, t), 1
у = Кх + Y (х, у) + рК2(х, у, t), J
где Ft — функции, аналитические по х и у и периодические по t
периода Т. Не ограничивая общности, можем принять Г = 2л.
При р = 0 система переходит в систему Ляпунова
t = -bi + X(g, Я), |
п=ч+уа, п).	/
Поставим задачу отыскания периодических решений системы
(8.1), период которых равен периоду возмущающих сил 1\ и F2
и которые при р —>0 переходят в периодические решения поро-
ждающего уравнения (8.2). Порождающее уравнение, согласно
теореме Ляпунова, имеет семейство периодических решений
g = g(c, t + h), т] = г](с, t+h),
зависящее or двух параметров: «амплитуды» с и «сдвига
фазы» — h. Согласно теореме Ляпунова период этого решения
имеет вид
7’ = -^(1+/z2c2fe +/г3с24+' + ...),
где через h-> мы обозначили первый из коэффициентов в разло-
жении периода, который отличен от нуля. Из теоремы Ляпу-
нова мы знаем, что младшая степень амплитуды с в разложе-
нии периода всегда будет четная.
Мы будем изучать задачу отыскания периодического реше-
ния системы (8.1), которое при любом, достаточно малом р
имеет период, равный 2л. Следовательно, и предельное решение
при р = 0 будет также иметь период 2л или 2л/р, где р — неко-
торое целое число. Таким образом, период порождающего ре-
шения, так же как и в квазилинейной теории, мы знаем заранее:
-y = -^(l+/z2c24+/zjC2t+1+ ...).	(8.3)
Однако соотношение (8.3) позволяет определить также и пара-
метр с — амплитуду порождающего решения. Это обстоятель-
§ 81	НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА	123
ство качественно отличает изучаемую задачу от задач квази-
линейных. В квазилинейных задачах объектом исследования
как раз и является амплитуда порождающего решения, здесь
же она известна заранее. Однако, как мы увидим ниже, этот
факт отнюдь не приводит к упрощению задачи.
Различие обеих теорий —• квазилинейной и рассматривае-
мой — в этом параграфе состоит в том, что в первой решения
порождающего уравнения изохронны. Порождающее решение
в рассматриваемой теории является нелинейным и поэтому в
общем случае уже не является изохронным.
Уравнение (8.3) мы можем представить в следующем виде:
h2c2k + /г3с2&+1 + . . . = — р-,
или, извлекая корень 2/г-й степени, получим
'+wc2+-Гл?-	<8-4>
Уравнение (8.4) для каждого значения р и для каждого зна-
чения корня имеет бесконечное количество комплексных ре-
шений. Среди этих решений может оказаться и бесчисленное
количество действительных решений. Каждому из этих действи-
тельных корней может, вообще говоря, отвечать некоторое
искомое периодическое решение исходной системы (8.7). Уже
это одно показывает сколь сложной является поставленная за-
дача.
Если 1г2 > 0, то уравнение (8.4) для каждого р < X имеет
только два действительных решения, одно из которых положи-
тельное, а другое — отрицательное. Если h2 < 0, то два действи-
тельных решения существуют для любого р > X. Эти решения
системы (8.1) будем обозначать л<₽) и у(р). Порождающие ре-
шения, соответствующие им, обозначим через £(р)(с, t + h) и
т]№)(с, t + h).
Порождающая система (8.2) всегда имеет тривиальное ре-
шение, которое мы можем считать периодическим любого пе-
риода Т. Поэтому может оказаться, что система (8.1) допу-
скает такие периодические решения, которые при ц—*0 пере-
ходят в тривиальные решения порождающей системы (8.2). Эти
решения условимся обозначать х<°) и
2.	Решения х<°) и у<°). Нерезонансный случай. Рассмотрим
сначала решения х<°) и Так как эти решения при ц—>0 пе-
реходят в тривиальные, то будем их искать в форме рядов
х(0) = цх{0) + р2.г® + . . .,
^ = Иу<(’)+(Л/(<’)+ ...	(8-5)
124
.МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. и
Так как разложения функций X и У начинаются с членов вто-
рого порядка малости, то функции и у)0* будут удовлетво-
рять следующим системам:
х(о) = _	+ Fi (о, 0, t), |
у(о) = я,х(о) + р2 (0, 0, 0.	I	(8’6)
х® = - Ку^ + Х2(4>',	+
+ ^0)^ + ^0)<^-М0) + Л2(0)
у® = U<o) + у2(х(о), г/®) + X® + у(о) -^Wx<°) + F22 (t)
(8.7)
и т. д.
Здесь Fij — периодические функции периода 2л. Возможны
два случая. Первый случай — это тот, когда X не равно целому
числу. В этом случае однородная система
х<°) = - Лу(о), у<0» = Лх<°>
не имеет решений периода 2л (Х=#р) и, следовательно, периоди-
ческое решение системы (8.6) мы можем построить обычными
методами. Все последующие члены разложений (8.5) удовлетво-
ряют системам дифференциальных уравнений, совершенно иден-
тичным системе (8.6). Таким образом, в том случае, когда X
не равно целому числу, вычисление решения х<°) и t/<°> не пред-
ставляет труда.
Если Х=р (р = 1, 2, ...), т. е. равно целому числу, то суще-
ствования периодических решений необходимо и достаточно,
чтобы функции Ei и F2 удовлетворяли следующим условиям:
2Л
Ц (Fb ^2) = J (0, 0> 0 cos pt dt +
о
2Л
+ J 0, £)sinp£ dt = 0,
о
/2(ЕЬ F2)= J Л(0, 0, Osinpfctt-
о
2Л
— J Е2 (0, 0, /) cos р/d/= 0.
о
(8.8)
§ 8]	НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА	125
Если условия (8.8) выполнены, т. е. функции Ft и F2 ортого-
нальны sin pt и cos pt, то решения системы (8.8) находятся од-
ним из стандартных способов, например методом Фурье.
Тот случай, когда функции F\ и F2 удовлетворяют условиям
(8.8), является исключительным. Следовательно, в общем слу-
чае при А,=р система (8.6) не будет иметь периодических реше-
ний вида (8.5). Таким образом, если решения х<°) и у(°1 системы
(8.1) существуют, то их следует разыскивать в форме, отлич-
ной от (8.5).
Первый случай, когда (или когда выполнены оба усло-
вия (8.8)), условимся называть нерезонансным. В этом случае
учет членов порядка ц2 в уравнении (8.1) приводит только к ко-
личественным уточнениям. Решение системы (8.1) оказывается
«качественно близким» соответствующему решению уравнений
Ляпунова, которое формально также можно разыскивать в виде
рядов (8.5).
Новые качественные особенности возникают во втором слу-
чае, когда К = р и хотя бы один из функционалов Д или /2 не
равняется нулю. Этот случай мы условимся называть резо-
нансным.
3.	Пример расчета нерезонансных решений. Проведем рас-
чет нерезонансных решений х<°> для уравнений
х + <в2х = ц sin t + ах3,	(8.9)
х + <в2х = jxsin t + ах2	(8.10)
при условии, что со=#1. Согласно изложенной теории периоди-
ческие решения периода 2л уравнений (8.9) и (8.10), обращаю-
щиеся в тривиальные решения порождающего уравнения при
ц—>0, следует искать в виде рядов
х=цх1 + ц2х2+ц3хз+.. .
Функция Xi в обоих случаях удовлетворяет уравнению
fi+®2Xi=sin t.	(8.11)
Так как со¥=1, то единственное периодическое решение уравне-
ния (8.11), имеющее период 2л, будет
*i = T?~TsinZ-	(8.12)
Уравнение для х2 в случае (8.9) имеет вид
х2+со2Х2 = 0.	(8.13)
Уравнение (8.13) не допускает периодического решения перио-
да 2л, кроме тривиального. Итак, х2 = 0. Уравнения для х3
х3 + ш2х3 = | -J- sin t - - Sin 3t j ,2_-1)3
126
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
имеет решение
(За . , а . О,1	1
J I 4(<о2— 1)	4(ш2 —9) J (ш2—I)3
и т. Д.
Итак, периодическое решения уравнения (8.9) имеет вид
и. . , , , ( За sin t	а	. о, 1	1
Х ~ <о2— 1 Sin f + и 1 4(ш2- 1) “ 4 (ш2- 9) Sin 3Ч (ш2 -1)3 + • ' •
(8.14)
Периодическое решение уравнения (8.10) находится столь же
просто
[х . , , ix2 (а а cos 2/ 1 .	,о ,
Х~ <о2 — I sln^+ (<о2-1)2 ( 2	2 (ш2 — 4)	•••	(8-15)
Если мы сделаем попытку построить нерезонансные периодиче-
ские решения уравнений (8.9) и (8.10) методом Пуанкаре, рас-
сматривая уравнения (8.9) и (8.10) как квазилинейные, то, как
нетрудно убедиться, мы придем к тем же результатам. Таким
образом, в рассматриваемом случае обе трактовки «квазили-
нейная» и «квазиляпуновская», оказываются, дают одно и то же.
4.	Резонансные режимы в системах, близких к системе Ля-
пунова. Рассмотрим теперь случай резонансных колебаний в си-
стеме (8.1), т. е. будем считать, что X близко к целому числу
р: k — p + jik. Система (8.1) тогда может быть приведена к виду
х = - ру + X (х, у) + рФ1 (х, у, t), 1
у = рх + Y (х, у) + цФ2 (х, у, t), J
где
Ф1=Е1 — ky, Ф2=/?2+/гх.
Мы условились рассматривать резонансный случай. Это зна-
чит, что хотя бы одно из соотношений (8.8) не выполняется. Та-
ким образом, будем считать, что один из функционалов
Л(Ф1, Фг) или /2(Ф1, Ф2) отличен от нуля.
Сделаем несколько предварительных замечаний:
а)	При ц = 0 порождающая система (8.2) допускает перио-
дические решения, период которых Т является четной аналити-
ческой функцией «постоянной энергии» Н
х2+у2+ W(х, у) =Н.
Напомним, что W (х, у) — аналитическая функция своих пере-
менных, разложение которой начинается с членов третьего по-
рядка. Итак,
т=—(1 + W+ ...),
(8.17)
неавтономные системы второго порядка
127
§ 81
причем, как мы это видели в п. 4, постоянная h2 в разложении
(8.17) та же, что и в разложении (8.3).
б)	Задача определения возможных периодических решений
системы (8.16) состоит в определении постоянных а и b— на-
чальных значений переменных х и у
х(0)=а,	у(0)=&,	(8.18)
которые удовлетворяют следующим условиям:
х(2л, а, Ь, ц)=а, у= (2л, а, Ь, ц)=Ьу (8.19)
поскольку условия (8.19) необходимы и достаточны для суще-
ствования периодических решений исходной системы.
При ц = 0 любая пара чисел а и Ь, достаточно малых по аб-
солютной величине, будет определять некоторое периодическое
решение. Период этого решения будет Т (см. (8.17)). Следова-
тельно,
х(Т, a, b, 0)=а, у(Т, a, b, Q)=b.
Очевидно, что эти соотношения сохраняют силу, если заменить
Т на qT, где q — любое целое число
x(qT, a, b, 0)=а, y(qT, а, Ь, 0)=Ь.	(8.20)
Используя обозначения (8.18) и принимая во внимание, что
разложение функции W (а, Ь) начинается с членов третьего по-
рядка малости, выражение для Т можно переписать в следую-
щем виде:
Т = -у(1 +h2(a2 + b2)k+	(8.21)
где невыписанные члены имеют порядок малости более высо-
кий, чем О(а2А) и O(b2h).
в)	Функции х и у — аналитические функции а, b и ц, т. е.
они могут быть представлены в форме рядов следующего вида:
х (t, а, Ь, ц) = А[й + В[Ь + Сщ + ..., 1
у (t, а, Ь, |1) = А2а + В2Ь + С2у + ... J
Ряды (8.22) можно записать еще и так:
x(t, а, Ь, ц) = х(/, а, Ь, 0) + ц (С[ + Ч^), 1
y(t, a, b, y.) = y(t, а, Ь, 0) + ц (С2 + Ч^), |	(8.23)
где ЧГ1 и Чг2 — аналитические функции переменных а, b и ц,
обращающихся в нуль при a = b = [i = 0; .4Ь А2, Bi... — функ-
ции времени. Для их определения надо ряды (8.23) подставить
в систему уравнений (8.16) и приравнять коэффициенты при
128
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
одинаковых степенях неизвестных а, b и ц. Например, для и
С? мы получим следующую систему уравнений:
-^ = - рС2 + Ф((0, о, о, I
ас	(8-24)
*%- = pCx + <S>2(Q,Q,t). I
Так как х(0)=а и z/(O)=b, то функции Сх и С2 должны удовле-
творять нулевым начальным условиям
СД0)=0,	С2(0)=0.	(8.25)
Определим Сх и С2 методом вариации произвольных постоян-
ных, положив
Ci = a cos sin pt, С2 = а sin pt — 0 cos pt.
Считая аир новыми неизвестными, определим их из уравне-
ний (8.24). Используя начальные условия (8.25), получим окон-
чательно следующие выражения для искомых функций Сх и С2:
Сх = cos pt J Ф1 cos pt dt + J O2sin ptdt +
.о	о
' t	t
+ sin pt J Ф) sin ptdt — J Ф2 cos pt dt ,
. о
о
C2 = sin pt{ j Ф1 cos ptdt+ j Ф2 sin ptdt} +
lo	о	J
[ t	t
+ cos pt ’> J Ф2 cos ptdt — J Ф1 sin pt dt
l о	о
Вычислим еще значения Ct (2л) и С2(2л). Легко видеть, что
С1(2л)=/1(Ф1, Ф2),	С2(2л)=/2(Ф1, Ф2).	(8.26)
Мы условились, что хотя бы одно из чисел 1Х или /2 не равно
нулю. Поэтому либо Ct (2л), либо С2(2л) не равно нулю.
После этих предварительных рассмотрений перейдем к до-
казательству существования резонансных решений х<°) и у<У> и
нахождению их структуры. Для этого рассмотрим снова си-
стему уравнений (8.19). Перепишем эти уравнения, используя
представления (8.23):
х(2л, а, Ь, 0) + ц [С| (2л) +'PJ = ц, 1
у (2л, а, Ь, 0) + ц [С2(2л) 4- 45;] = b. /	(8.27)
§'8]	НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА	129е
Равенство (8.21) может быть переписано в следующей форме:
2л=рГ(1 — h2(a2+b2)h + ...).
Сделаем тождественное преобразование
2л=рТ — pTh2(a2+b2)h + .. .=рТ — 2nh2(a2+b2)^ + ...
Таким образом, величину х(2л, а, Ь, 0) мы можем представить
в форме следующего ряда:
х (2л, а, Ь, 0) = х (рТ — 2л/г2(а2 + Ь2)к + .. ., а, Ь, 0) =
= х(рТ, а, Ь, 0) — 2л/г2(а2 + &2)*-^-+ Ф*, (8.28)
где Ф[ — сумма членов более высокого порядка. Воспользуемся
теперь равенствами (8.20) и тем обстоятельством, что
~ РУ + х <Х’ ”
и, следовательно,
t~pT
Это позволяет разложение (8.28) представить в форме
х (2л, а, Ь, 0) = а + 2ah2pb (а2 + Ь2)* + Ф, ,
где Ф, — сумма членов более высокого порядка по отношению
а и Ь. Подобное разложение можно написать и для функции
у (2л, а, Ь, 0):
у (2л, а, Ь, 0) = b — 2nh2pa (а2 + Ь2)* + Ф2 .
Эти равенства позволяют теперь систему (8.27) записать
в форме
2nh2pb (а2 + Ь2)к + Ф1 + ц [Ct (2л) + Ч^] = 0,
— 2л/г2ра (а2 + Ь2)* + Ф2 + [1 [Сг(2л)+Ч^] = 0.
Итак, систему уравнений, которая позволяет определить на-
чальные значения переменных х и у, порождающие периодиче-
ские решения системы (8.1), мы привели к виду (8.29), где
выделены низшие степени относительно искомых чисел а и Ь.
Соотношения (8.29) показывают, что для периодических реше-
ний эти числа должны зависеть от ц и по условию обращаться
в нуль при ц = 0, поскольку мы ищем решение, которое при
ц—>0 превращается в тривиальное.
1зо
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. П
Так как наименьшая степень чисел а и b равна 2Й4-1, то
ряды, которые определяют а и b через р должны быть распо-
________________________________________i
ложены по степеням параметра v = p24+1. Поэтому сделаем
еще одну замену переменных
a — av,	b = fJv.	(8.30)
Тогда система (8.29) примет следующий вид:
2лй2рр (а2 + р2)* + (2л) + - ФГ 4- Tj = 0,
,	(8-31)
— 2лй2ра (а2 + Р2)* + С2 (2л) 4— Ф2 4- 'Г2 = 0.
н
Напомним, что через Ф1 , Ф2 и Т], Тг обозначены совокуп-
ности членов, порядок которых более высокий относительно ab
и у,. Следовательно, мы можем утверждать, что они обращают-
ся в нуль при v = 0. Из аналитичности этих функций следует,
что разложения этих функций начинаются с членов первого по-
рядка малости по v
±O« + ^ = vxf+ ...	(/=1,2).
г*
Левые части уравнений (8.31)—аналитические функции
своих переменных. Поэтому решения этой системы будут анали-
тическими функциями параметра v
а = а0 + voi 4-	4- .. ., ’i
Р = Ро + v₽, + v2P24- ... J	(8,32)
Уравнения (8.31) будут иметь только одно действительное
решение, причем ссо и fjo в этом случае удовлетворяют системе
алгебраических уравнений
2лй2Р0(а2 + р2)4=-С1(2л),
2лй2а0(а24-р2)л = С2(2л). j	(8>33)
Разделив первое из уравнений (8.33) на второе, найдем
С2 о
а0 = -^-р0.
Подставив затем это выражение во второе, из уравнений си-
стемы (8.33) найдем величину р0:
Ро-~ 2fe+1		(8.34)
V 2л/г2р [С2 + С2]*
§ 8]	НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА	[31
Аналогичным образом мы найдем и величину а0
„ __ _____^2 (2л)____	/О
«о — 24+1___________ •	(8.35)
2ith2p [С? + Cg] *
В равенствах (8.34) и (8.35) берется арифметическое значение
корня. Среди чисел а0 и fjo по крайней мере одно отлично от
нуля, так как мы уже установили, что одна из констант G(2n)
или С2(2л) необходимо отлична от нуля. Уравнения для опре-
деления последующих членов разложений (8.32) будут линей-
ными и всегда разрешимыми. Итак, мы пришли к следующему
фундаментальному результату.
Теорема (И. Г. Малкин). Пусть число 2k— младшая сте-
пень величины с в разложении периода
Т = -у-(1 + h2c2k + ...)
порождающего решения. Тогда при главном резонансе суще-
ствует одно и только одно периодическое решение системы (8.1),
которое обращается в нуль при ц = 0. Это решение является ана-
литической функцией параметра v = ц24+1.
Эта теорема является фундаментальной теоремой теории ре-
зонансных решений. Она не только устанавливает факт суще-
ствования резонансных решений, но и указывает путь их по-
строения. Эти решения, как явствует из теоремы, следует искать
в виде рядов, расположенных по степеням параметра
1_
V = [1 2/г+1.
5. Примеры расчета резонансных решений уравнения Дюф-
финга. Вернемся теперь к расчету установившихся режимов
в примерах, рассмотренных в п. 3 настоящего параграфа. Рас-
смотрим сначала уравнение (8.9) при со= 1. Это уравнение до-
пускает резонансное решение вида
х — М cos t + N sin t + [iXj + ц2х2"h• • •	(8.36)
Решение (8.36) может быть построено методом, изложенным
в предыдущем параграфе. .Однако, согласно теореме Малкина,
кроме решения (8.36) уравнение (8.9) может допускать также
и решение вида
x=Xi[ir+x2p2r+.. .	(8.37)
Решение (8.37) может быть построено, следуя изложенному ме-
тоду. Для этого прежде всего надо определить показатель Г
в разложении (8.37Д
9*
132
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Рассмотрим порождающее уравнение
х+х = ах3.	(8.38)
Решение уравнения (8.38) мы будем искать, следуя методу Ля-
пунова. Сделаем сначала замену независимого переменного
t=т( 1 +/г2с2+/г3с3 +. ..).
Тогда уравнение (8.38) примет вид
-g- + x(l+ 2/i2c2 + ...) = ах3(1 + 2/г2с2 + ...).	(8.39)
Согласно методу Ляпунова решение этого уравнения следует
искать в виде
х — с cos т+с2х2+с3х3+.. .
Функция х2(/) будет удовлетворять следующему уравнению:
Д^ + х2“°-
Так как функции х2 должны удовлетворять условиям (см. § 2)
^(0) = 0; (>^-0,
то очевидно, что х2 = 0. Для х3 получим следующее уравнение:
+x3 = acos3x — 2/i2cost.	(8.40)
Для того чтобы уравнение (8.40) допускало периодические ре-
шения, необходимо и достаточно выбрать постоянную /г2 так,
чтобы правая часть этого уравнения не содержала cos t. Легко
видеть, что
, __ За2
Л2~—•
Итак, /г2¥=0. Согласно теореме Малкина
r= 2fe+l ’
где 2k — младшая степень величины с в разложении периода.
В нашем случае это показатель степени при с в слагаемом, со-
держащим h2, т. е. г=1/3. Теперь решение уравнения (8.9) бу-
дем искать в виде ряда
,У=х1|Д3+х2р2/3+...	(8.41)
НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
133
§ 8]
Для функций Xi имеем следующие уравнения:
Xi + Xi = О,
х2 + х2 = О,
х3 + х3 = sin t + axj
(8.42)
И т. д.
Из первых двух уравнений (8.42) находим
xt = Mi cos t + sin t,
x2 = M2 cos / + sin t,
где Mi и Nf — числа, которыми мы имеем право распоряжаться.
Для функции х3 мы будем иметь следующее уравнение:
х3 + х3 = sin t + a [М3 COS3 /	cos2 / sjn f	cos f sjn2 /j
(8.43)
Постоянные Mi и Ni мы должны подбирать так, чтобы правая
часть уравнения (8.43) не содержала первых гармоник. Про-
водя очевидные выкладки, находим
з/ 4
Afi = O,	Ni = V
1	1 г	а
Расчет последующих членов разложения (8.41) проводится
аналогично.
Итак, в условиях главного резонанса, когда частота внеш-
него возбуждения совпадает с собственной частотой, уравнение
Дюффинга (8.9) допускает по меньшей мере два решения, по-
лучаемых из квазилинейной теории Пуанкаре и теории Мал-
кина, если а<0.
6. Еще один пример решений х(0). Рассмотрим теперь урав-
нение (8.10). В предыдущем параграфе мы установили, что
в рамках квазилинейной теории не удается построить резонанс-
ного решения уравнения (8.10). Это значит, что не существует
решений вида (8.36). Попробуем теперь определить резонанс-
ные решения методом Малкина.
Для этого надо в первую очередь определить степень г
в разложении (8.37). Рассматривая предыдущее уравнение и
повторяя вычисления предыдущего пункта, мы CHQsa устано-
вим, что г=1/3. Итак, получим
х = р1/3Х1 + |х2%+рх3+..,	(8,44)
134
МЕТОД ЛЯПУНОВА — ПУАНКАРЕ
[ГЛ. И
Для членов разложения (8.44) мы получаем следующие урав-
нения:
i2 + х2 =
х3 + хз = 2xtx2 + sin t
(8.45)
Из первого уравнения находим
Xi=Mi cos t+Ni sin t.
Тогда второе уравнение (8.45) примет вид
х2 + х2 = a pW2cos2/ + 2Af [TVj cos t sin t + Af2sin2/}. (8.46)
Разложение правой части в ряд Фурье имеет вид
До(Л4,, ^)+A(M1! NJ cos2t+B(Mi, NJ sin 2/,
где
До = 4(М? + ЛГ1),	Д = у(М?-У?), В = аМ1У,.
-4	4
Таким образом, уравнение (8.46) допускает периодические ре-
шения при любых Mi и Ni. Общее решение этого уравнения
примет вид
х2 = До — 4- М cos 2/ + В sin 2/] + М2 cos t + N2 sin Л
где M2 и N2 — числа, которыми мы имеем право распоряжаться.
Третье из уравнений (8.45) можно теперь переписать в форме
х3 + х3 = sin t + 2 (Alt cos t + N\ sin /)-> До— -$-(Д cos2/+B sin 2/)l+
+ 2 (Al! cos t + N\ sin t) (M2 cos t + N2 sin t). (8.47)
Так как разложение в ряд Фурье последнего слагаемого пра-
вой части уравнения (8.47) не будет содержать первых гармо-
ник, то вопрос о существовании периодических решений урав-
нения (8.47) будет решаться независимо от величин М2 и Л/2.
Для существования периодических решений периода 2л урав-
нения (8.47) необходимо и достаточно, чтобы разложение в ряд
Фурье правой части уравнения (8.47) не содержало первых
гармоник. Это дает два кубических уравнения относительно чи-
сел Mi и Аь Они всегда имеют хотя бы одно действительное
решение. Например, в одном из решений всегда M(=Q. Тогда
§ 81	НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА	135
Итак, теория Малкина позволяет обнаружить периодические ре-
шения в тех случаях, когда при помощи квазилинейной теории
этого сделать не удается.
7. О решениях, близких к нетривиальным решениям системы
-Ляпунова. Мы рассмотрели только решения х<°> и у<°>', но в на-
чале параграфа было показано, что, помимо решений, которые
при р,—>0 обращаются в тождественный нуль, в системе могут
существовать решения, которые при р—»0 переходят в нетри-
виальные решения порождающей системы.
Общая теория таких решений достаточно сложна. Читателя,
интересующегося подробностями этой теории, можно отослать
к уже неоднократно цитировавшейся книге И. Г. Малкина*).
Здесь мы ограничимся обсуждением простейшей из задач этого
класса.
Рассмотрим уравнение
х + f(x) = р cos t,	(8.48)
где f (х) — аналитическая функция, имеющая вид
f (х) =№х + а2х2 + а3х3 + ...
Таким образом, при р—>0 мы получаем порождающее уравне-
ние, которое является частным случаем уравнений Ляпунова.
Поставим задачу отыскания периодических решений уравнения
(8.48) периода
7 — J-5L
~ Р '
где р — целое число, переходящее в нетривиальное решение по-
рождающего уравнения
To + f(xo)=O.	(8.49)
Все решения уравнения (8.49) в достаточно малой окрест-
ности положения равновесия хо=хо=О являются периодиче-
скими. Они представимы в виде ряда
х0=Сф1(ф)+с2ф2(ф)-Vo(c, ф),	(8.50)
где
ф = ы(с) (t + h),
h — произвольная постоянная, ф1(ф)=созф, со (с) —частота ко-
лебаний, служащая нормирующим множителем, который выби-
рается из тех условий, чтобы функции <рг были периодическими
функциями переменной ф. Таким образом, период Т* по пере-
менной t определяется формулой
Г =	(8-51)
) См сноску на стр. 121.
136
МЕТОД ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Для ©(c), согласно теории Ляпунова, мы имеем выражение
и(с) = □-а 2 Л ------------------------•	(8-52)
' '	1 + h2c2 + Л3с3 + ...	v '
Поскольку период (решения уравнения (8.48)) Т задан, то за-
дан и период порождающего решения, так как
Т=Т*
что позволяет, согласно (8.4), получить уравнение для определе-
ния «амплитуды» с порождающего решения
с + -й-с2+ •••
2п2	г р™2
Таким образом, для существования действительных решений
необходимо, чтобы
sign (X — р) =sign h2.
Предположим, что это условие выполнено: ограничиваясь про-
стейшим случаем р=1, зафиксируем один из действительных
корней уравнения (8.4). Тогда периодическое решение уравне-
ния (8.48) естественно искать в виде ряда
x=Xo+fiXi+fi2x2+...	(8.53)
Подставляя ряд (8.53) в уравнение (8.48), мы придем к сле-
дующим уравнениям относительно неизвестных xh х2, ...:
%1 +	*1 = cos Л	(8.54)
х2+(^)оХ2 = ф2(/)	(8.55)
и т. д.
Здесь означает, что производная вычислена при х = х0
(•^)o = V + 2а2Х0 + 3аЗ*0 + • • 
Принимая во внимание представление (8.50), можно написать
где F — некоторая периодическая функция t периода 2л, с —
заданное число, ah — произвольное число, которым мы можем
распоряжаться.
Функция Ф2 определяется только функциями х0 и Хь Все по-
следующие уравнения имеют вид
*'+Ш-ф‘№
НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
137
§ 8)
где Фг определяется функциями х0, xit х,^. Следовательно,
если эти функции определены, то все Фг могут считаться из-
вестными функциями времени.
Рассмотрим уравнение (8.54), представляющее собой урав-
нение с периодическими коэффициентами. Полная система фун-
даментальных решений однородного уравнения
£+F(c, / + й)х=0	(8.56)
нам известна, так как уравнение (8.56) является уравнением
в вариациях для порождающего уравнения (8.49). Эти решения,
как было показано (см. формулы (2.25)), можно представить
в виде
^=^^- = «(c,co(C)(/ + A)),
где и и v при данном с — периодические функции времени пе-
риода 2л.
Для того чтобы уравнение (8.54) допускало периодические
решения, необходимо и достаточно выполнение условий (2.29),
которые для интересующего нас случая будут иметь следующий
вид:
2л
J и (с, со (с) (t + й)) cos t dt = 0,	(8.58)
о
2л
J {ц (с, и (с) (t + h)) + tu {с, и (с) (t + h))} cos t dt =
0
= 2n(x10u(0) — х10й(0)), (8.59)
где x10 и iio— значение искомой функции хД/) и ее производ-
ной при / = 0.
Уравнение (8.58) — это некоторое трансцендентное уравне-
ние для определения аддитивной постоянной h. Оно может во-
все не иметь решений, иметь конечное или бесконечное число
решений.
Пусть теперь h— корень уравнения (8.58). Тогда порождаю-
щее решение х0(/), которое описывается формулой (8.50), ста-
новится полностью определенным.
Решение уравнения (8.54) — функцию xt — можно предста-
вить как
Xi = Cnu(t) + C12(u + fu) +yi(t),	(8.60)
где yi(f) — это некоторая функция, полученная методом ва-
риации произвольных постоянных. Постоянные СИ и С12 выра-
жаются линейным образом через начальные значения функции
138
МЕТОД ЛЯПУНОВА—ПУАНКАРЕ
[ГЛ. II
Хю и ее производной хю. Но эти величины нам заранее не из-
вестны. Для их определения мы имеем только одно уравнение
(8.59), поэтому на этом этапе процедуры дальнейшее уточнение
решения Xi(t) невозможно. Рассмотрим теперь уравнение (8.55).
Для того чтобы оно имело периодическое решение, необхо-
димо и достаточно выполнение условия типа (8.58)
2л
|ф2ц<Д = 0.	(8.61)
о
Так как Ф2 зависит от xi0 и хю, то выражение (8.61) можно рас-
сматривать как уравнение для определения этих величин. Вме-
сте с уравнением (8.59) они дают систему двух уравнений для
определения двух искомых величин х10 и хю и т. д.
Мы рассмотрели схему вычислений периодического режима
неавтономной системы, близкой к некоторой консервативной.
При этом мы ограничились случаем одной степени свободы.
Переход к более общей задаче — отысканию периодических ре-
жимов в системах с большим числом степеней свободы — не-
тривиально. Дело в том, что, рассматривая систему первого по-
рядка, мы всегда можем построить с помощью метода Ляпу-
нова фундаментальную систему решений для уравнений в
вариациях. Переходя к системе произвольного порядка, мы
сталкиваемся со следующей трудностью: для эффективной реа-
лизации вычислительной процедуры мы должны иметь в своем
распоряжении полную систему интегралов порождающей си-
стемы.
§ 9. Заключительные замечания
Теория, элементы которой были изложены в этой главе, воз-
никла в конце XIX века. В настоящее время ее аппарат разра-
ботан весьма детально, что позволяет решать разнообразные
задачи, в том числе и широкий круг задач, возникающих в при-
кладной науке и технике. Несмотря на то, что в последние
десятилетия появились новые подходы и более сильные методы,
значение изложенной теории достаточно велико: можно указать
целый ряд задач, для которых методы Ляпунова — Пуанкаре
являются и до сих пор едва ли не единственным средством по-
лучения эффективного решения. Тем не менее рамки теории Ля-
пунова — Пуанкаре весьма ограничены. Эта теория ставит себе
одну задачу — задачу отыскания периодических решений. При
всей ее важности эта задача является все-таки очень специаль-
ной. Тем не менее теория периодических решений имеет внутри
себя еще очень много проблем (в этой книге рассмотрены толь-
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
139
§ 9]
ко самые простые задачи). И все время появляются исследова-
ния, которые обогащают теорию Ляпунова — Пуанкаре, не вы-
водя ее из круга первоначальных идей. Одновременно делаются
попытки распространить идеологию и методы теории Ляпуно-
ва — Пуанкаре на более широкий круг задач и прежде всего
на отыскание почти периодических решений. Однако целый ряд
очень важных задач теории колебаний и теории нелинейных
дифференциальных уравнений остается вне пределов ее инте-
ресов. Среди таких задач, имеющих особое практическое значе-
ние, можно указать, например, задачу определения закона из-
менения амплитуды колебаний под действием внешних возму-
щений. Эта и другие задачи отыскания «переходных режимов»
в колебательных системах настоятельно требуют развития более
универсальной теории — аппарата, который одновременно с оты-
сканием периодических режимов был бы приспособлен для изу-
чения переходных режимов в нелинейных системах.
Аппарат теории Ляпунова — Пуанкаре основан на использо-
вании свойств аналитичности правых Настей изучаемых диффе-
ренциальных уравнений. Питательной средой, в которой созда-
валась эта теория в XIX веке, были разнообразные проблемы,
небесной механики, в которых предположения об аналитичности
были естественными. Однако в теории колебаний различных ин-
женерных конструкций, при изучении сложных физических
явлений и во многих других случаях предположение об ана-
литичности становится весьма обременительным. В рамках тео-
рии малого параметра делаются попытки отказаться от этого
условия. Некоторые из результатов подобного рода приведены
в книге И. Г. Малкина, которую мы неоднократно цитировали.
Вместо разложения в ряды в этом случае предполагаются не-
которые специальные способы использования последовательных
приближений. Однако вычислительные схемы, которые здесь
возникают, оказываются весьма сложными, и большого прак-
тического значения подобные исследования, по-видимому, не по-
лучили. Таким образом, «универсальная теория» должна удо-
влетворять еще одному требованию. Она должна распростра-
няться на широкий класс дифференциальных уравнений, не
стесненный требованием аналитичности.
Одним из возможных претендентов на роль такой «универ-,
сальной теории» является теория, использующая идеи усредне-.
ний. Эта теория приобретает все большую и большую популяр-
ность, и сфера ее использования все более и более расширяется.
Ее изложению посвящена следующая глава.
ГЛАВА III
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
Введение
В этой главе рассматриваются асимптотические методы, ис-
пользующие осреднение правых частей дифференциальных урав-
нений по некоторым из переменных. Эти методы часто назы-
вают методами осреднения или методами разделения движений.
Они играют большую роль при изучении уравнений вида
х= еХ (х, у, е),	1
У = То (х, У) + еУ (х, у, е), J
где х и у — некоторые векторы, а е — малый параметр. Подоб-
ные уравнения часто встречаются в различных задачах физики
и механики. В частности, они типичны для широкого класса за-
дач теории колебаний. Их особенность состоит в том, что часть
переменных (компоненты вектора х) меняется медленно, а дру-
гая часть переменных (компоненты вектора у) — быстро. Эти
переменные мы будем называть соответственно медленными и
быстрыми.
Теория, которая изучается в этой главе, имеет своим исто-
ком работы голландского инженера Ван-дер-Поля, который раз-
работал довольно эффективный способ решения нелинейных
задач теории колебаний систем с одной степенью свободы.
Как мы увидим ниже, он, во-первых, предложил простую
схему редукции задачи теории колебаний к исследованию од-
ного частного случая уравнения (*) и, во-вторых, систему (*)
заменил упрощенной системой, полученной из (*) усреднением
правых частей по «быстрому» переменному. Для формального
применения метода Ван-дер-Поля не требовалось, в отличие от
методов предыдущего параграфа, никаких ограничительных
предположений о природе сил, под действием которых проис-
ходит колебательный процесс. В равной степени он мог быть
использован и для исследования установившихся движений и
для исследования переходных процессов.
Метод Ван-дер-Поля обладал к тому же большой нагляд-
ностью и был удобен для проведения расчетов. Поэтому он бы-
стро завоевал популярность у инженеров. Однако этот метод
МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
141
§ 11
носил чисто интуитивный характер. Ни его автор, ни его после-
дователи даже не сделали попытки дать какое-либо обоснова-
ние новому методу. Поэтому он долгое время (подобно методу
Хевисайда) оставался вне математики *).
В тридцатых годах Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов пред-
ложили некоторый общий подход для исследования уравнений
типа (*). Его основное содержание сводится к построению та-
кой замены переменных, которая позволяет отделить «быстрые»
переменные от «медленных». Эта замена переменных позволяет
также представить решение в виде асимптотического ряда, пер-
вый член которого совпадает с решением, полученным по ме-
тоду Ван-дер-Поля (для тех задач, которые могут быть решены
этим методом). В последующие годы метод Крылова — Бого-
любова получил, главным образом благодаря работам учени-
ков Н. Н. Боголюбова (Ю. А. Митропольского, Д. Н. Зубарева
и др.) дальнейшее развитие. Он был распространен на новые
типы задач (например, на задачи исследования поведения си-
стемы под действием периодических возмущений), был доказан
целый ряд теорем, превративший этот метод в строгую мате-
матическую теорию. В послевоенное время метод разделения
движений начал использоваться очень широко, находя приме-
нение в самых различных областях инженерной практики и фи-
зики. Данная глава может рассматриваться как введение в тео-
рию асимптотических методов разделения движений.
В настоящее время существует несколько вариантов интер-
претации этих методов. Та, которая используется в данной
книге, по существу идентична интерпретации, предложенной
в работах В. В. Волосова.
§ 1.	Метод Ван-дер-Поля
1.	Предварительные замечания. Истоки метода усреднения
находятся в работах Ван-дер-Поля. Поэтому изложение целе-
сообразно начать с рассмотрения последних, тем более, что
метод Ван-дер-Поля сам по себе имеет широкую область при-
менения.
В этом параграфе мы будем исследовать колебательные
движения, описываемые одним уравнением второго порядка
z + (o2z=e<p(z, z).	(1.1)
Здесь со — некоторая действительная постоянная, а 8 — малый
параметр. Уравнение (1.1) условимся называть квазилинейным,
*) В конце двадцатых годов Мандельштам и Папалекси дали оценки
точности метода Ван-дер-Поля. Подробнее см. Андронов, Хайкин и
Витт, Теория колебаний. Физматгиз, Москва, 1961.
142
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. HI
а колебания, которые оно описывает, — квазилинейными коле-
баниями.
Уравнение
z + co2z=O,	(1.2)
которое описывает гармонические колебания, будем, как и
раньше, называть порождающим.
Функция <р может быть весьма общего вида и, в частности,
даже разрывной. Естественно потребовать, чтобы она была
ограниченной.
2.	Переменные Ван-дер-Поля. Общее решение порождаю-
щего уравнения имеет вид
z=xcosy,	(1.3)
где y=a(t + tQ), х и t0—произвольные постоянные. Оно опи-
сывает некоторый колебательный процесс, обладающий часто-
той со. Число х называется амплитудой, а функция y(t) —
фазой.
Естественно предположить, что в случае малых значений в
решение уравнения (1.1) будет описывать также некоторый ко-
лебательный процесс вида (1.3). Однако следует ожидать, что
амплитуда этого процесса х уже не будет (в общем случае)
постоянным числом, а будет изменяться, причем тем медлен-
нее, чем меньше число в. Скорость изменения фазы также бу-
дет изменяться со временем. Таким образом, если в каждый
момент времени исследуемый процесс носит колебательный ха-
рактер, то его полностью определяют мгновенные значения ам-
плитуды х и фазы у. Поэтому в качестве переменных, описы-
вающих процесс, можно принять амплитуду колебаний и фазу.
Тогда одно из переменных — амплитуда — будет меняться мед-
ленно.
Итак, в задаче (1.1) будем в качестве новых переменных
рассматривать функции x(t) и y(t). Для того чтобы определить
эти переменные, к соотношению (1.3) надо добавить еще одно.
Используя идею вариации произвольных постоянных, потре-
буем, чтобы х и у были связаны, кроме (1.3), еще следующим
соотношением:
2=—cox sin у,	(1.4)
которое всегда имеет место для постоянной амплитуды.
Составим теперь дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют функции x(t) и y(t). Дифференцируя (1.3) и
приравнивая к (1.4), получим
х cos у — л у sin у + шх sin у = 0.	(1.5)
МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
143
§ И
Условие (1.5)—это условие совместимости формул (1.3) и
(1.4). Дифференцируя далее (1.4) и подставив в (1.1), получим
еще одно уравнение
—хи sin у — аху cos у+ха2 cos у=е<р(х cos у, —ox sin у). (1.6)
Система (1.5) — (1.6)—это система двух уравнений первого
порядка относительно двух неизвестных функций х и у. Раз-
решая ее относительно производных х и у, имеем
х = —— <р (х cos у, — хи sin у) sin у - — <pj (х, у),
“	8	}	<L7)
у = и - — ф (х cos у, - хи sin у) cos у = и - — ф2 (х, у).
шЛи	шЛ
Система двух уравнений (1.7) полностью эквивалентна уравне-
нию (1.1).
Система (1.7) является частным случаем системы (*), при-
веденной во введении к данной главе. Роль медленного пере-
менного играет амплитуда х, а роль быстрого переменного —
фаза у.
Заметим, что правые части системы (1.7) являются периоди-
ческими функциями фазы у, какова бы ни была функция
Ф(х, у).
3.	Схема В. М. Волосова. Итак, введем переменные Ван-дер-
Поля, амплитуду х и фазу у, мы свели задачу исследования
одного уравнения второго порядка к изучению системы двух
уравнений первого порядка (1.7). Осуществляя эту редукцию,
мы следовали классической схеме метода вариации произволь-
ных постоянных.
В. М. Волосов предложил другой способ этой редукции, ана.-
логичный выводу уравнений для оскулирующих элементов в не-
бесной механике. Переменные Ван-дер-Поля связаны с величи-
ной z равенствами (1.3) и (1.4), которые можно переписать
в следующем виде:
х = ]Д2 + -^, у= -arctg -^.	(1.3')
Благодаря выбранной вариации произвольных постоянных эти
соотношения справедливы в равной степени как для порождаю-
щего уравнения, так и для уравнения (1.1). В первом случае
величина z меняется в силу уравнений (1.2) и при этом вели-
чина х остается постоянной, а у = <о. Найдем теперь закон изме-
нения этих величин в интересующем нас случае. Продифферен-
цируем равенство (1.3') в силу уравнения (1.1) и рассмотрим
144
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ilf
сначала первое из этих равенств
х =
zz г (— <в2г + е<р) _
х	а>2х ~
его . е
= —7- z=----------<р sin У.
<В2Х	® т
т. е.
Х = Т(₽1^’ у^‘
Таким образом, мы получили первое из уравнений системы
(1.7). Дифференцируя подобным образом второе из равенств
(1.3'), мы получим второе из уравнений этой системы.
Рассуждения В. М. Волосова имеют то преимущество перед
стандартными, что они исключают необходимость разрешать
систему уравнений (1.5), (1.6) относительно производных х и у.
4.	Укороченные уравнения. Первое из уравнений системы
(1.7) показывает, что переменное х меняется медленно, так как
ее производная имеет порядок е. Следовательно, за одно коле-
бание (за время, в течение которого фаза у изменится на вели-
чину, равную 2л) амплитуда и характер колебаний изменятся
мало. Поэтому можно ожидать, что мы не сделаем большой
ошибки, если заменим правые части системы (1.7) их средними
значениями за период, т. е. вместо системы (1.7) станем рас-
сматривать систему
х--------^Ф1(х)>
У = ® ~ 577 Ф2 (х),
где
2п
Ф1W = J Ф (х cos У> ~ sin У>sin У dy’
о
ф2 (х) = J <р (х cos у, — Х6) sin у) cos у dy.
о
(1.8)
(1.9)
Уравнения (1.8) будем называть укороченными уравнения-
ми или уравнениями Ван-дер-Поля. Они значительно проще ис-
ходной системы (1.7), поскольку первое уравнение может быть
проинтегрировано независимо от второго. В системе (1.8) мед-
ленные и быстрые движения разделены. Интегрируя первое из
уравнений этой системы, мы находим закон изменения ампли-
туды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно
МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
145
§ 1]
найти только зависимость амплитуды от времени. В рассмат-
риваемой теории для этого достаточно найти решение уравне-
ния первого порядка (в общем случае нелинейного).
Определение фазы сводится к квадратурам. Наибольший ин-
терес обычно представляет не сама фаза, а скорость ее изме-
нения в зависимости от амплитуды. Ответ на этот вопрос дает
непосредственно второе уравнение системы (1.8).
Итак, метод Ван-дер-Поля решения уравнения (1.1) состоит
в переходе от переменной г к переменным х и у (которые мы
будем называть переменными Ван-дер-Поля) и к замене точ-
ных уравнений (1.7) укороченной системой (1.8).
5.	Стационарные режимы. Система уравнений (1.8) позво-
ляет найти возможные стационарные (автоколебательные) ре-
жимы, т. е. режимы, при которых амплитуда остается неизмен-
ной. Полагая х = 0, находим, что стационарная амплитуда долж-
на быть корнем трансцендентного уравнения
2Я
j <р (х cos у, — ах sin у) sin у dy = 0.	(1-10)
о
Заметим, что уравнение (1.10) совпадает с тем уравнением,
которое мы получили бы, если бы рассматривали уравнение
(1.1) как квазилинейное и разыскивали периодические решения
методом Пуанкаре.
Второе из уравнений (1.8) позволяет найти зависимость уг-
ловой скорости у от амплитуды х
2л
У ==а~-2^-cos у) cosy dy.	(1.11)
о
Рассмотрим в качестве примера уравнение Дюффинга
z + <o2z=eaz3.	(1-12)
В этом случае <p(z)=az3, и уравнение (1.11) нам дает
2Я
ва Г о л	Зеах2
У = <*~2^7 J x3cos4ydy = (0-------
о
откуда
где
х= /у (со-у),
8<В
— Зец ’
(1.13)
(1-14)
146
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ill
-Кривые, дающие зависимость амплитуды от частоты, назы-
ваются амплитудными кривыми. Они имеют вид, изображенный
на рис. 19.
Характер кривой зависит от знака у (т. е. знака а). В слу-
чае а<0 система называется жесткой. В противном случае си-
стема называется мягкой. Эти названия связаны с тем, что
уравнение (1.12) мы можем интерпретировать как уравнение,
описывающее колебание пружинного
х	маятника
z+F(z)=0,
^v>Z7	/
Ч. /	где возвращающая сила пружины
'Ч /	F (z) такова:
\/ж * *	F (z) = <o2z — eaz3.
п	CtJ	ц
* Трансцендентное уравнение (1.10)
Рис. 19.	может совсем не иметь действитель-
ных решений. Это будет означать, что
в системе стационарные колебания невозможны. Уравнение
(1.10) может иметь одно или несколько решений, в некоторых
случаях оно удовлетворяется тождественно. Так, например, об-
стоит дело, когда система консервативна. В самом деле, в этом
случае функция <р зависит только от переменной г, поэтому
уравнение (1.10) примет вид
2я
J <р (х cos у) sin ydy = Q.
(1.15)
Так как sin ydy= — dcos у,
-полный дифференциал
то под знаком интеграла стоит
2я
J <р(х cosy) sinydy =
о
2я
у J <р (х cos у) d (х cos у).
о
Обозначим через F (£) — неопределенный интеграл
(I)	= У Ф (п) ^1-
о
Тогда
2л	2л
Г	1 Г	1	12я
<р (х cos у) sin у dy ---dF =----------F (х cos у) = 0,
J	X J	X	Io
о	0
т. e. уравнение (1.15) удовлетворяется тождественно по х.
§ ч
метод ван-деР-поля
14?
Итак, теория Ван-дер-Поля позволяет отыскивать прибли-
женные значения амплитуд стационарных решений и, в част-
ности, решить задачу об автоколебаниях, причем значение ам-
плитуды, найденное согласно этой теории, будет таким же, как
и значение амплитуды первого приближения в теории Ляпуно-
ва — Пуанкаре, (если, разумеется, метод Пуанкаре в этом слу-
чае применим). Если а<0, то с увеличением смещения возвра-
щающая сила растет (жесткость пружины возрастает). Если
а>0, то с увеличением смещения возвращающая сила умень-
шается. В первом случае система называется жесткой, во вто-
ром случае — мягкой.
Те же результаты мы получили, исследуя уравнение Дюф-
финга методом Ляпунова — Пуанкаре и ограничиваясь пер-
выми тремя приближениями.
6. Пример разрывных правых частей. Использование метода
Ван-дер-Поля для исследования уравнения Дюффинга нас при-
вело к результатам, которые могут быть получены методом Ля-
пунова. Однако метод Ляпунова применим только к тем зада-
чам, в которых правые части уравнений — аналитические
функции. Метод Ван-дер-Поля применим к уравнениям более
общего типа. Для того чтобы это показать, рассмотрим один
пример, в котором возмущающая сила <р не является анали-
тической.
Рассмотрим маятник, описываемый уравнением (1.1), в ко-
тором функция q>(z, г)=<р(г) имеет вид, изображенный на
рис. 20.
Возвращающая сила — функция Е(г)=<о2г — еф(г) — изо-
бражена на рис. 21. Составим для этой системы укороченные
уравнения Ван-дер-Поля. Так как система консервативна, то
+л
Ф1 (х) =	| Ф (X cos у) sin ydy = O.
— Л
(1.16)
Следовательно, амплитуда x=const.
148
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Вычислим далее
+л
Ф2 W = J Ф (х COS у) cos у dy.
—я
(1.17)
Рассмотрим подробнее функцию
Ф*(у) = ф(х cos У),	х = const.
Предположим сначала, что амплитуды, которые нас интересуют,
достаточно малы x<d. Тогда, как это видно из рис. 20, ф*(у) =
= 0 для любых у, поскольку в этом случае |z| =x|cosz/|<^x < d.
Следовательно, на колебания с малыми амплитудами возму-
щающая сила ф не будет оказывать влияния, и колебания на-
шего маятника будут совпадать с
обычными линейными колебания-
ми с постоянной частотой у = ы.
Совсем иначе будет обстоять
дело для колебаний с доста-
точно большими амплитудами
x~>d.
Как это видно из рис. 22,
функция ф* (у) определяется сле-
дующими соотношениями:
у е (— л, yj ф* = d + х cos у,
У	е (Уъ У2) ф* = 0,
У	^(У2, Уз)	ф’ = xcosz/-d,
У	^(Уз> У*)	Ф* = 0-
Рис. 22.	л) ф’ = Й + ХСО5у.
Здесь значения аргумента yt такие:
у{ = arccos
у2 = arccos
Z/jG (~Л, -у л
z/2	| л, О);
/ d \	/п 1
у3 = arccos I — I, z/з е ^0, у nJ,
у4 = arccos(- у), у(е|ул, л).
После того как составлено выражение для ф*, легко можно
§ И
Метод вАн-дер-поля
149
вычислить ф2(х)
Уз	Уз
ф2 (х) =	J (d + х cos у) cos ydy + j (х cos y — d) cos ydy +
“Л	У2
П
+ -y j" (d + x cos y) cos у dy.
Уз
Проводя вычисления, получим
Ф2 (X) = -2^- { d [sin у I - sin y3+sin y2 - sin t/,J +
+ у [2n+z/1 + y3-y2-y4]+-j-[sin 2y{ + sin2y3 - sin 2y2 - sin 2y4].
Обозначим arccos у-= а; тогда
Z/i = - (n - a), y2 = - a, y3 = a, у4 = л-а.
Поэтому
У\ + Уз ~ Уз ~ У4= — 2П +	= — 2л + 4 arccos -у.
Далее, используя выражение у{, мы найдем, что
sin ух = - -у У х2 - d2,	sin у2 =	- — Ух2 —d2, X '	’
sin у3 = ~ У х2 — d2,	sin yi =	|yx2-d2,
sin 2ух = У а2 — d2,	sin 2y2 —	-^-yx2-d2,
sin 2у3 = + yj- У х2 - d2,	sin 2y4 =	-^Vx2-d2.
Собирая все эти результаты, получим окончательно
=	/x2-d2 + 2xarccos уJ-.	(1.18)
Таким образом, колебание изучаемого нелинейного осциллято-
ра в рамках теории Ван-дер-Поля можно рассматривать как
колебание гармонического маятника
z=x cos Qt
с постоянной частотой Q. Отличие от гармонического осцилля-
тора состоит лишь в том, что частота й
р
Й (х) = со - 2^ ф2 (х),	(1.19)
150
Асимптотические методы разделения движений
[ГЛ. иг
согласно (1.18), зависит от амплитуды х
<в при x-^d,
й(х) =
<в — -т-|— [arccos — —— УхЕ 2 — d2] при х d.
4л.а>х L	хх	J 
С
График этой зависимости приведен на рис. 23.
Рассмотренная' нами система, согласно введенному опреде-
лению, является мягкой — с увеличением амплитуды частота ее
колебаний уменьшается.
7. Диссипативная система. Перейдем теперь к изучению дис-
сипативных систем, т. е. систем, в которых происходит рассеи-
вание энергии.
Рассмотрим уравнение типа (1.1)
z + co2z=e<p(z).	(1.20)
Полная энергия маятника, движе-
ние которого описывает уравнение
(1.20), определяется формулой
Е = у (z2 + <o2z2).
Рис. 23.	Для того чтобы рассматриваемая
механическая система была дисси-
пативной, т. е. для того чтобы вдоль траектории производная
— была отрицательной, достаточно, чтобы функция <p(z) удо-
влетворяла условию
sign<p(z)=—sign z.	(1-21)
Для доказательства вычислим производную полной энергии
в силу уравнения (1.20)
= zz + <o2zz = е<р (z) z.
На основании (1.21) получим
-^<0.
Рассмотрим теперь для уравнения (1.20) укороченные урав-
нения (1.8). Функция ф2(х) имеет вид
2л
ф2(х) = J ф(— ха sin у) cos у dy = 0.	(1.22)
о
Таким образом, диссипативная система вида (1.20) обладает
свойством изохронности — частота колебаний не зависит от
амплитуды.
МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
151
§ И
Этот результат носит приближенный характер, поскольку
он получен не из полного уравнения (1.20), а на основании ис-
следования приближенных уравнений Ван-дер-Поля.
Вычислим еще функцию ф1 (х)
2Я
ф! (х) =	J <р (— х<в sin у) sin у dy.
о
Функция ф(«), согласно (1.21), обладает свойством
sign ф(—и) =sign и.
Отсюда сразу следует, что подынтегральное выражение всегда
положительно. Итак, функция ф1 (х) всегда положительна. Сле-
довательно,
(1-23)
Таким образом, амплитуда колебаний х—монотонно убываю-
щая функция. Для определения зависимости x(t) мы должны
проинтегрировать еще нелинейное уравнение (1.23).
В качестве примера рассмотрим колебание маятника при на-
личии малого вязкого трения
ф(г) = — kz.
Тогда
2л
WktoX ["  ?	, kcox
= J sin2ydy = -2-.
о
Интегрируя затем уравнение (1.23), получим
ekt
х = хое 2 ,
где х0— начальная амплитуда. Таким образом, уравнения Ван-
дер-Поля позволяют представить колебательный процесс, опи-
сываемый уравнением (1.20), в следующем виде:
£.kt
х = хое 2 cost»/.	(1.24)
Для того случая, когда ф(г) =—kz, хорошо известно точное ре-
шение
&ki	/-------уг
z = xQe 2 cos'!/ <в2 —е2-^-/.	(1.25)
Сопоставляя (1.24) и (1.25), мы видим, что ошибка, которая
возникает из-за замены точных уравнений укороченными, имеет
152
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
второй порядок малости по отношению к интенсивности возму-
щений е.
В качестве второго примера рассмотрим задачу о колеба-
нии маятника в среде, сопротивление которой пропорционально
квадрату скорости. Уравнение движения в этом случае имеет
вид
z + е а | z | z+<о 2z = О,
т. е.
<p(z) =—az|z|.
Составим первое из укороченных уравнений Ван-дер-Поля.
Проведя необходимые выкладки, получим
и, следовательно, будем иметь следующую зависимость ампли-
туды от времени:
х	*0
. 4еасох0 ’
+ Зя
8. Автоколебательная система. Покажем, как метод Ван-дер-
Поля может использоваться для отыскания автоколебательных
режимов. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
z+z = e(l — bz2)z.	(1.26)
Это уравнение мы уже рассматривали в предыдущей главе ме-
тодом Пуанкаре. Применим теперь метод Ван-дер-Поля для
отыскания его стационарных решений. Согласно изложенной
теории для этого нам достаточно выразить функцию ф^х)
2л
Ф1 (х) = ~ J (1 ~ bx2 cos2 у) х sin2 у dy (1.27)
о
и определить корни уравнения
ф1(х) =0.
Вычисляя (1.27), находим
Ф,(х) = у(-^-1).	(1.28)
Корни уравнения (1.28) будут
х} = 0, х2 = 2	(1.29)
§ П
МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
153
Таким образом, уравнение Ван-дер-Поля допускает при 6>0
два стационарных режима: состояние покоя №0 и автоколе-
бательный режим с амплитудой
^=2/ т-
Если 6<0, то единственным стационарным решением будет со-
стояние покоя х == 0.
Аналогичный результат мы установили ранее, используя ме-
тод Пуанкаре. Метод Ван-дер-Поля позволяет получить тот же
результат, но более экономным способом.
9. Эквивалентная линеаризация в консервативных системах.
До сих пор мы рассматривали колебательные системы
z + F(z, z)=0,
где функция F(z, 1) имела вид
F (z, z) = cd2z — вер (z, z).
(1.30)
(1-31)
Метод решения задач теории колебаний существенным обра-
зом использовал тот факт, что функция F(z, z) близка к линей-
ной. Она отличается от o2z только членами, порядок которых
равен 0(e). Именно это обстоятель-
ство служило нам оправданием для
F(z)
представления решения в форме z=	d____________
=xcosy, где х и у — at— величины,
медленно меняющиеся. Задачи теории_______________________
колебаний, в которых функция F(z,z)	г
имеет форму (1.31), мы условились
называть квазилинейными.	--------d
Квазилинейная трактовка задачи
вполне оправдана, если речь идет о	Рис. 24.
системах, движение которых происхо-
дит под действием сил, являющихся аналитическими функция-
ми фазовых координат. Тогда функцию F (z, z) всегда можно
представить в виде
F(z, z) =a2z+kz + aiozz+aliz'2 + ..,
(1.32)
Квазилинейная трактовка (т. е. возможность представить функ-
цию F в виде (1.31)) будет означать в этом случае только
одно; мы ограничиваемся рассмотрением лишь малых колеба-
ний, при дополнительном условии, что интенсивность сил, рас-
сеивающих энергию, также мала.
Предположим теперь, что возвращающая сила имеет вид,
изображенный на рис. 24. Функция F(z) не является аналити-
ческой. Следовательно, для нее не существует представления
(1.32). На первый взгляд кажется бессмысленным сам вопрос
154	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ III
о возможности изучения колебаний такой существенно нелиней-
ной системы в рамках квазилинейной теории. С другой сторо-
ны, уравнение (1.30) и в этом случае описывает колебательный
процесс. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно устано-
вить, что уравнение (1.30) допускает интеграл энергии
£Цг2 + |Нг)Цс,
2
где с — произвольная постоянная, а V — 2 j F (z) dz, и no-
fl
строить фазовую плоскость (рис. 25). Мы видим, что фазовые
траектории рассматриваемой системы
\	_ замкнутые, т. е. все решения уравнения
z+F (г) = 0	(1.30')
।	периодические. Качественный характер
.	решений уравнения (1.30), естественно,
\z	наводит на мысль о целесообразности
' —|-----'	аппроксимировать его решения выраже-
нием
) z	г~х cos	(1-33)
3-^ где х — некоторая постоянная. Величина
'	Q также постоянная, но она должна за-
Рис 25.	висеть от амплитуды х, так как система
(1.30х) не изохронна и время полного
обхода изображающей точки вокруг начала координат вдоль
фазовой траектории зависит от положения фазовой траектории.
Другими словами, величина Q должна считаться функцией ам-
плитуды
й = й(х).	(1.34)
Таким Образом, вопрос о возможности аппроксимировать ре-
шение уравнения (1.30) выражением (1.33) свелся к возмож-
ности определить надлежащим образом функцию (1.34).
Функция (1.33) удовлетворяет уравнению
z + Q2z = 0,	(1.35)
описывающему колебательные движения под действием возвра-
щающей силы
Q2 (х) г=Q2 (х) х cos Q (х) t.
Функция F(z) в этом случае имеет вид F(xcosQ/), т. е. являет-
ся четной периодической функцией времени и может быть раз-
ложена в ряд Фурье
F (z) = а((х) cos Qt+a2(x) cos2Q/ + ...,	(1.36)
§ 1]	МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ	155
где
2Л
а* = 1л I F (Х C0S C0S У dy- 
О
Положим теперь
F(z) = Q2(x)z — еср(г)	(1-37)
и подберем функцию Q(x) так, чтобы решение укороченных
уравнений для случая, когда функция F(z) имеет вид (1.37),
совпадало бы с решением уравнения (1.35). Легко видеть, что
для этого достаточно принять
Q2(x) -x = ai(x),	(1.38)
откуда	_____
Q(x) = j/ ^-М.
В самом деле, в этом случае
еср (z) = — [а2 (х) cos 2у + а3 (х) cos Ъу + ... ].
Следовательно,
2л.
еФг (х) =	| ф (х cos у) cos у dy = О,
о
т. е.
У = й (х).
Итак, фиксируя амплитуду х, мы находим частоту эквивалент-
ных линейных колебаний по формуле
/	2Л
Й(х) = 1/ 2^7 j Р (х cos У) cos у dy. (1.38х)
г	0
Эта формула определяет зависимость частоты колебаний от
амплитуды.
Итак, метод эквивалентной линеаризации состоит в замене
уравнения (1.30) линейным уравнением (1.35), где Q(x) дается
формулой (1.38). Напомним, что амплитуда х здесь считается.
заданной постоянной.
Методы эквивалентной линеаризации разработаны сейчас
не только для консервативных систем. Подробное изложение
этих вопросов содержится в монографии Н. Н. Боголюбова и
Ю. А. Митропольского *).
*) Н. Н. Боголюбов, Ю. А, Митропольский, Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний, фидматгиз, 1958.
156
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
10. Замечание об исследовании устойчивости. Метод Ван-
дер-Поля позволяет не только отыскать стационарные режимы,
но и изучить характер колебаний системы в окрестности этих
режимов.
Пусть х* — некоторый стационарный режим, и пусть в мо-
мент /=0 значение амплитуды не совпадает с х*; тогда возни-
кает задача об исследовании поведения амплитуды, если откло-
нение амплитуды дх=х— х* от стационарного значения неве-
лико.
Составим уравнение в вариациях для укороченных уравне-
ний (1.8)
бх=- —-^-^-бх.	(1.39)
о dx	'	'
Отсюда сразу следует, что характер изменения величины бх
„ rfcpi (х)
определяется только знаком производной —	, вычисленной
для стационарного значения амплитуды х*. Если >0, то
амплитуда х убывает и стремится к своему стационарному зна-
чению, в противном случае x(t) растет.
Проведенные рассуждения очень часто называют исследова-
нием устойчивости. Однако укороченные уравнения Ван-дер-
Поля являются приближенными, и мы исследуем устойчивость
не исходного процесса, а некоторого решения уравнений Ван-
дер-Поля. Тем не менее это рассуждение может быть очень по-
лезным для изучения тенденции изменения х на некотором ко-
нечном (и, вообще говоря, достаточно большом) интервале вре-
мени.
Следует заметить, что предлагаемая процедура «исследова-
ния устойчивости» очень проста. Для решения вопроса об устой-
чивости нам достаточно вычислить производную в точке х=х*.
Рассмотрим, например, уравнение (1.26). Функция фДх)
определяется формулой
Вычислим
(1.40)
Мы знаем, что движение, которое описывается уравнением
(1.26), имеет две стационарные точки х=0 и х = 2/1/&. Так как
§ 2] МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В СИСТЕМАХ. БЛИЗКИХ К КОНСЕРВАТИВНЫМ 157
то положение равновесия х = 0 неустойчиво. Вычислим далее
Таким образом, предельный цикл оказывается устойчивым.
Уравнение (1.39) легко интегрируется
= 6х0 ехр { -	~^х(х) / }•.	(1.41)
Формула (1.41) нам дает закон изменения амплитуды в случае
малых отклонений от стационарного режима. Столь же просто
можно определить изменение частоты со временем. Линеаризуя
второе из уравнений (1.8), мы определим
y = Q(x‘ + 6x) = Q(x‘)+^{-^--^-lexp{--?-^W/k
v '	'	' 7 шх* I х* dx J r I со dx J ’
(1.42)
где
Й(х) = со--^-ср2(х).
Формулы (1.41) и (1.42) описывают переходный процесс при
малых начальных отклонениях. Для изучения произвольного
переходного процесса мы должны найти численное решение пер-
вого из уравнений (1.8), что нам даст закон изменения ампли-
туды. Второе из этих уравнений позволит тогда в явном виде
вычислить скорость изменения фазы y = Q(t).
§ 2. Метод Ван-дер-Поля в системах,
близких к консервативным
1. Замена переменных. Ван-дер-Поль и его последователи
разработали эффективные методы исследования квазилинейных
задач теории колебаний. В этом случае порождающим является
линейное уравнение. Однако не представляет существенного
труда распространить метод Ван-дер-Поля на более общие за-
дачи теории нелинейных колебаний. В этом параграфе мы бу-
дем изучать колебания в системах, близких к произвольным
консервативным, когда порождающим является уже некоторое
нелинейное уравнение. Мы убедимся, что в том случае, когда
его общее решение известно, решение исходного уравнения мо-
жет быть получено при помощи стандартных рассуждений пре-
дыдущего параграфа.
Итак, рассмотрим уравнение
=e<P(2i).	(2.1)’
158	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ Ш
где е — малый параметр. Порождающим уравнением является
z+f(z)=O.	(2.2)
Относительно уравнения (2.2) будем предполагать, что его об-
щий интеграл нам известен и может быть выписан в явном виде
z=Q*(x, t + t0),	(2.3)
где х и /о — произвольные постоянные. Кроме того, мы будем
считать, что f (0) =‘0, и рассматривать ту область фазовых пере-
менных, в которой все решения уравнения (2.2) — периодиче-
ские функции времени.
Итак, функция Q* будет периодической функцией t перио-
да Т. Период будет зависеть (в общем случае) от постоянной
х, которую мы условимся называть амплитудой. Для того чтобы
иметь дело с функцией одного периода, введем новую пере-
менную
р=и(х) (t + to).
Здесь множитель <о(х) выбран таким образом, чтобы функция
Q(x, у) = Q*(x, t+ta)
была периодической по у периода 2л. Этим условием величина
й(х) определяется однозначно. Она является нормирующим
множителем. По аналогии с линейными системами условимся
называть ее частотой, а у — фазой.
Заметим, что функция Q(x, у) тождественно, т. е. при любых
значениях х и t0, удовлетворяет порождающему уравнению
(2.2). Таким образом,
z+f(z) =^Qyy+f(Q) = 0.	(2.4)
Первый шаг при реализации метода Ван-дер-Поля состоит
в замене одного уравнения второго порядка системой двух урав-
нений первого порядка. Для этого используется классический
метод вариации произвольных постоянных.
1 В качестве новых переменных в предыдущем параграфе мы
использовали амплитуду и фазу. Точно так же мы можем по-
ступить и в данном случае. Итак, мы имеем
z^Q(x, у).	(2.5)
Положим, кроме того,
z = ti)Qy(x, у).	(2.6)
Равенства (2.5) и (2.6) определяют замену переменных. Соста-
вим теперь уравнения, которым удовлетворяют новые перемен-
ные. Дифференцируя (2.5) и приравнивая полученное выраже-
§ 2] МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К КОНСЕРВАТИВНЫМ ) 59
ние выражению (2.6), составим первое из соотношений между
производными новых переменных
Qxx + Qvy — coQ!/=0.	(2.7)
Это уравнение представляет собой условие совместности опре-
делений (2.5) и (2.6). Второе уравнение получим, подставляя
выражение (2.6) в уравнение (2.1):
(Qy®'+<oQxy)f + u>yQyV+f (Q) =ecp(Q, ®Qy),	(2.8)
,	rfco (x)
где и означает производную —.
Система (2.7), (2.8) представляет собой систему двух диф-
ференциальных уравнений относительно функций х и у. Для
дальнейшего нам надо разрешить эти уравнения относительно
производных х и у. После очевидных преобразований получим
- {«?„ +1 (Q)) Q, - - еф (Q.
- {®Q, (m'Q, +	/ (Q) Q,} «= -	(Q, <oQu) Q,.
Введем обозначение
Д =	® — a'Qy-
Далее замечаем, что в силу тождества (2.4) вторая фигурная
скобка в первом из уравнений (2.9) равна нулю. Точно так же
может быть упрощено второе слагаемое во втором из уравне-
ний (2.9). Для этого мы заменим функцию f(Q) ее выражением
из (2.4)
f(Q) ——^>2Qyy‘,
тогда получим
+ “QxJ + KQ) Qx=® + ®(QxyQy - QxQJ] = - wA-
Итак, система (2.9) может быть теперь переписана в виде-
Х = — -^(pQy, У = м (*) + -у ф<2х-	(2.10)
Система двух уравнений первого порядка (2.10) эквивалентна
исходному уравнению второго порядка (2.1) *)
2.	Укороченные уравнения. Система (2.10) совершенно ана-
логична системе (1.7). Подобно ей она также представляет со-
бой систему с вращающейся фазой. Ее правые части являются
*) Мы предполагали, что функция Q является периодической. Для вы-
вода уравнений (2.10) это предположение не требуется. Замена (2.5), (2.6)
нас приведет к уравнениям (2.10), каковы бы ни были функции Q и о.
160
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
периодическими функциями у периода 2л, поскольку таковыми,
по предположению, является функция Q и ее частные производ-
ные. Следовательно, для исследования этой системы мы можем
применить рассуждения Ван-дер-Поля и заменить систему (2.10)
укороченными уравнениями, которые в рассматриваемом случае
будут иметь следующий вид:
2л
х == —tQw dyt
о
2л
у = со (х) + J cpQx dy.
о
(2.11)
При выписывании системы (2.11) мы вынесли функцию А из-
под знака интеграла. Мы не сделали при этом ошибки, по-
скольку, как мы сейчас покажем, функция А не зависит от пе-
ременной у.
Лемма. Функция А зависит только от одной независимой
переменной — от амплитуды х.
Для доказательства выпишем выражение полной энергии по-
рождающей системы
2
£ = 4“ + / f(z)dz.
о
Или, используя общий интеграл порождающего уравнения —
функцию Q(x, у), получим
Q
о
Но функция Q удовлетворяет уравнению (2.4)
®2Q„ + f(Q) = 0
для любых х. Поэтому, вычисляя Еу, будем иметь
Q
Еу = ^2QyQyy + ~^ f(Q)dQ^ = Qy {^Qyy + f (Q)) = 0.
Следовательно, функция F не зависит от фазы у, она зависит
только от амплитуды х; Е—Е(х). Отсюда следует, что и А также
§ 2) МЕТОД ВАИ-ДЕР-ПОЛЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К КОНСЕРВАТИВНЫМ [61
не зависит от фазы у. В самом деле, последняя величина свя-
зана с величиной Е очень простым соотношением. Вычислим
Ех = Н + J f (Q) dQ =	+ ^Qfiyx + Qxf (Q).
\ d /
Заменяя f(Q) его выражением из (2.4), получим
Ех = - ® {[QxQw - О AJ ®	= -“(*) а.
откуда сразу следует, что величина А является функцией одной
только амплитуды х.
Итак, мы показали, что для нелинейного уравнения второго
порядка также могут быть составлены укороченные уравнения
Ван-дер-Поля, если только в нашем распоряжении есть интеграл
порождающего уравнения (точный или приближенный).
3.	Пример. Рассмотрим в качестве примера задачу о линей-
ном демпфировании нелинейных колебаний. Пусть движение
описывается уравнением
z+f (г) = — ecz,
где с — некоторая положительная постоянная. Это уравнение
является частным случаем рассмотренного выше уравнения
(2.1), когда функция ср(г, г) =—сг=—CaQy. Напишем для этой
задачи первое из укороченных уравнений
2Л
'-SR''»'	<2-12»
О
В явном виде мы не можем проинтегрировать в общем случае
это уравнение, но можем сделать некоторые заключения. Инте-
грал в уравнении (2.12) — всегда положительное число
2л
/ (?ydy = ®(x)>b.
о
Далее, со(х)>0 по смыслу своего определения. Теперь отметим,
что х — это некоторое новое переменное, которое при е = 0 пре-
вращается в постоянную интегрирования порождающего урав-
нения. Мы назвали ее условно амплитудой по аналогии с тео-
рией линейных колебаний. В этом есть определенный смысл.
В самом деле, мы только что установили, что полная энергия
порождающего уравнения зависит только от этой постоянной.
Значит точно так же, как амплитуда в линейных колебаниях,
162
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
именно эта постоянная или любая ее однозначная функция оп-
ределяют энергию системы. Следовательно, она играет ту же
роль, что и амплитуда.
Предположим теперь, что в начальный момент времени энер-
гия Е в системе была равна некоторому значению Ев, и пусть
в течение некоторого времени она находилась под действием
диссипативной силы <р= — ecz. Вычислим производную в силу
укороченных уравнений (2.12), принимая во внимание найден-
ное выше выражение £х= — <d(x)A:
~ = Ехх = - соАх = --^Ф(х)<0.	(2.13)
Следовательно, под действием силы <р= —eCz энергия системы
непрерывно убывает.
Формула (2.13) позволяет для каждого фиксированного зна-
чения «амплитуды» х определить скорость убывания энергии.
Что касается величины «амплитуды» х, то она в этом случае
может и не убывать. Характер изменения этой величины, как
это следует из уравнения (2.12), определяется только знаком
А(х). Это обстоятельство подчеркивает тот факт, что физиче-
ский смысл «амплитуды» может не иметь никакого отношения
к максимальному отклонению от положения равновесия, кото-
рое всегда убывает под действием диссипативной силы.
4.	Другой подход к решению той же задачи. В этом парагра-
фе мы изложили естественное обобщение метода Ван-дер-Поля
на класс задач, которые можно назвать существенно нелиней-
ными. Мы ввели аналоги амплитуды и фазы и составили урав-
нения, которым должны удовлетворять эти величины. Для
вывода наших уравнений мы воспользовались стандартной про-
цедурой варьирования произвольных постоянных. Все эти рас-
суждения основывались на предположении о том, что интеграл
порождающего уравнения нам известен в виде, разрешенном
относительно неизвестной функции
z=Q(x, t + tB).	(2.14)
Порождающее уравнение (2.2) —это общее нелинейное уравне-
ние второго порядка, не содержащее первой производной. Оба
его интеграла могут быть всегда выписаны в форме квадратур.
Однако явное выражение (2.14) может быть получено только
в исключительных случаях.
Возможны два пути преодоления этой трудности. Первый —
строить приближенные представления для функции Q(x, t).
Для этого мы можем, например, рассматривать порождающее
уравнение (2.2) как квазилинейное и находить его общий ин-
теграл тем или иным способом, в частности методом осредне-
§ 2] МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К КОНСЕРВАТИВНЫМ 163
ния. Такой подход пригоден только для случая малых энергий.
Вторая возможность состоит в следующем (она предложена
В. М. Волосовым) *).
Порождающее уравнение (2.2) допускает следующие инте-
гралы:
z2 + U (z) = а,
, ,	. if dz	t ,	, Q (2.15)
ib (z, a) =-- r ' -......- =------F const = 6,
Г(а) J Ka-l/(z) Г (a)
где
U (z) = 2 j f (z) dz.
Примем в качестве новых переменных при изучении уравне-
ния (2.1) величины аир. Они характеризуют колебательный
процесс с той же полнотой, что и величины х и у, принятые в
этом параграфе. Но, дифференцируя (2.15), в силу уравнения
(2.1) мы всегда можем составить уравнения для аир. Для
этого, как увидим, нам не надо явного представления решения
в виде z = Q(x, t). Итак,
.	«... , dU .
a = 2zz + -г- z,
dz
HO
z= - f(z) + eqp(z, z), -^- = 2f(z),
поэтому
провести
a = 2eq> (z, У a — [/ (z)) Уa — U (z).
Аналогично находим
Р =	+	=	+ 2е ф (z’	У« ~ t/ (z).
Поскольку z является периодической по времени, то этим свой-
ством обладает и величина р. Поэтому мы можем
усреднение правых частей этих уравнений по р:
₽о+Т
“ =	/ 45 ’ Va~u (z)
Зо
Мт
₽ = -ш+т%г J
Зо
где T(a) — период функции z(t + t0, а).
(2.15')
(2.16)
*) В. М. Волосов, Некоторые виды расчетов в теории нелинейных
колебаний, связанных с усреднением, Журнал вычислительной математики ц
математической физики, К° 1, 1963,
164
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
В том виде, в каком мы получили систему уравнений (2.16),
ее еще нельзя непосредственно использовать для исследования
уравнения (2.1), поскольку в правую часть входит функция
z(a, р), интегрирование ведется по 0, а связь между этими
величинами в явном виде нам не зада-
на. Но, используя интеграл энергии
(2.15), мы можем перейти в уравнениях
(2.16) от интегрирования по переменно-
му р к интегрированию по переменному
z. Для того чтобы проделать необходи-
мые выкладки, заметим, что
dz =	— U (z) d& — в верхней полупло-
скости фазовой плоскости
и
dz = — j/a — U (z) d$ — в нижней полупло-
скости.
Рис- 26-	В самом деле, (см. рис. 26), изображаю-
щая точка движется вдоль фазовой
траектории по часовой стрелке, и следовательно, в верхней по-
луплоскости dz>0, а в нижней dz<Q.
Имея в виду это обстоятельство, перепишем уравнения (2.16)
в следующем виде:
a =
2е
Т (а)
Z
J Ф (z, z) dz
z
(2.17)
1____28
Т(а) + Г (a)
z
г
z
Первый из интегралов берется по верхней ветви фазовой траек-
тории (т. е. вдоль той ветви, где величина z = Уа— U(z)),
а второй — вдоль нижней ветви (т. е. где z = —	— (J (z)).
В уравнениях (2.17) появились новые величины z и z—
максимальное и минимальное отклонения от положения равно-
весия. Заметим прежде всего, что эти величины не независимы:
НМ отвечает одно и то же значение потенциальной энергии U(z)
U(z) = U(z)=^
(2.18)
§ 2] МЕТОД ВАН-ДЕР ПОЛЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К КОНСЕРВАТИВНЫМ 165
Далее вместо энергии а удобно взять в качестве переменного
одну из этих величин, например z. Тогда на основании (2.18)
й=Шг_Л=2^(?)^
и поэтому уравнение для z будет таким:
Ф (z, z) . Г <р (г, г)
(z) az J f(z)
(2.19)
Замечая еще, что
дф = дФ f
дг да 1 ( h
мы можем аналогичным
уравнений (2.17)
образом преобразовать и второе из
7(z)f(z)
(2.20)
Z
Z
В системе уравнений (2.19), (2.20) период T(z) также опреде-
ляется квадратурами
2	£
<2-21)
£	z
Уравнение (2.19) определяет нам закон изменения максималь-
ного отклонения системы от положения равновесия. Полученные
выражения показывают, что эта важная характеристика может
быть найдена без знания общего интеграла порождающего урав-
нения.
Вычисления значительно упрощаются, если колебания сим-
метричны. В этом случае нет необходимости определять реше-
ние трансцендентного уравнения (2.18), так как
Z=z.
Изложенная здесь схема рассуждений уже использовалась в
§ 1 для квазилинейных уравнений. Однако в этом случае она
приводила только к упрощению вывода уравнений Ван-дер-
Поля, ничего не меняя по существу. В общем случае нелиней-
ных уравнений рассуждения В. М. Волосова позволяют получить
качественно новые результаты.
166
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
5.	Примечания. 1) Мы предположили, что функция Q пе-
риодическая. Для построения укороченных уравнений Ван-дер-
Поля мы использовали более слабое предположение о том, что
периодическими функциями фазы — переменного у являются
производные Qx и Qy. Поэтому изложенный метод может быть
распространен на более сложные случаи и, в частности, он мо-
жет быть использован при изучении не только колебательных,
но и, как мы увидим ниже, вращательных движений нелиней-
ного маятника.
2) В этом параграфе было показано, каким образом метод
Ван-дер-Поля может быть использован для изучения суще-
ственно нелинейных колебаний. Мы рассмотрели случай кон-
сервативных систем. Совершенно аналогично может быть рас-
смотрен и общий случай систем, близких к системам Гамиль-
тона, и еще более широкий класс задач, допускающих первые
интегралы типа интеграла энергии.
§ 3. Системы с медленным временем
В этом параграфе мы будем изучать системы с переменными
параметрами. Первые существенные результаты этой теории,
полученные методом усреднения, принадлежат Ю. А. Митро-
польскому, которому также принадлежит первое математическое
изложение теории колебаний систем, параметры которых мед-
ленно изменяются *).
1. Вывод укороченных уравнений. Рассмотрим теперь урав-
нение следующего вида:
z+f(z, r)=eq)(z, z, т),	(3.1)
где т — «медленное время»: T=eZ+const. Таким образом, в от-
личие от уравнения (2.1) уравнение (3.1) описывает колеба-
тельные процессы в системе с медленно меняющимися параме-
трами. При е = 0 уравнение (3.1) превращается в порождающее
z+f(z, т)=0,	(3.2)
где т — некоторая постоянная.
Методы, развитые в предыдущем параграфе, без каких-либо
существенных изменений могут быть использованы для исследо-
вания уравнения (3.1).
Общий интеграл порождающего уравнения, как и в преды-
дущем параграфе, будем считать известным, однако теперь он
будет зависеть не только от х и у, но и от параметра т:
z=Q(x, у, т),
’) Ю. А. Митропольский, Проблемы асимптотической теории неста-
ционарных колебаний, «Наука», М., 1964,
§ 3]	СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ	167
где, как и раньше, t/==<o (х, т) (Z + ^o). Заметим при этом, что те-
перь частота со будет функцией не только амплитуды х, но и
медленного времени т: со = со(х, т).
Функция Q будет удовлетворять уравнению
w2Qra + /(Q)=0	(3.3)
тождественно по х и т.
Так же, как и в предыдущем параграфе, решение уравнения
(3.1) будем искать в виде (2.5)
z — Q (х, у, т),	(2.5')
z = co(x, x)Qy(x, у, х).	(2.6')
Другими словами, вместо переменной z мы введем новые
переменные х и у при помощи равенств (2.5') и (2.6'). Уравне-
ния (2.7) и (2.8) в нашем случае будут иметь следующий вид:
Qxx + Qvy — coQ!/+eQT = O,
(g>xQj, + g>QXj,) x + ayQyy + f (Q, r) + e (coTQy + coQyT) = e<p.
Разрешая эти уравнения относительно х и у и используя опре-
деления Д и тождество (3.3), мы получим
хД + е {сох (QTQyy + QxQyX) - coTQ2} = - ecpQ^,
- у lx + соД + e {co (QXQXJ, - Q^Qyt) + coA.QyQT - co^Qj = - eq)Qx
или окончательно
8	1
* = - -д {<pQy	+	£i(*.	у, t)},	[
e	|	(ЗЛ)
У = “ (x, т) +	д	{<pQx	+ b (x, у, t)}, j
где
£1 = “(QxQyy ~ QyxQy) ~
^2 ~ ® (QvQxy QxQyx) т ®xQyQx axQxQy
Система (3.4) отличается от системы (2.10) лишь тем, что ее
правые части зависят не только от переменных х и у, т. е. не
только от амплитуды и фазы, но и от времени. Существенно,
однако, что правые части являются по условию медленно из-
меняющимися со временем. Поэтому основные соображения
о возможности усреднения правых частей по периоду изменения
быстрой переменной остаются в силе, так как за время, в тече-
ние которого фаза изменяется на 2л, величина т изменяется
мало.
168
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. HI
Итак, и в этом случае мы также сможем составить систему
укороченных уравнений
2я
О
2л
У = со (х, т) + J {<pQx + U dy.
О
(3.5)
Таким образом, процедура Ван-дер-Поля формально применима
к системам с медленно меняющимися правыми частями при ус-
ловии, что функция Q(x, у, т) описывает некоторый колебатель-
ный процесс (т. е. правые части системы (3.4) являются перио-
дическими функциями «быстрой» переменной у). В этом случае
мы можем заменить исходное уравнение (3.1) укороченными —
системой (3.5).
2.	Адиабатические инварианты. В системах с медленно ме-
няющимися параметрами рассматриваются величины, называе-
мые адиабатическими инвариантами.
Предположим, что некоторая величина /(х, у) является ин-
тегралом порождающего уравнения. Это значит, что производ-
ная dl/di, вычисленная в силу порождающего уравнения, равна
нулю.
Предположим, что система (3.1) не подвержена действию
внешних сил, т. е. <р = 0, и вычислим в этом случае производ-
ную dl/dt в силу укороченных уравнений Ван-дер-Поля. В об-
щем случае эта величина будет зависеть от переменных хит
и, следовательно, будет отлична от нуля при е¥=0.
Условимся называть функцию /(х, у) адиабатическим инва-
риантом системы (3.1) относительно укороченных уравнений
Ван-дер-Поля, если ее полная производная по времени, вычис-
ленная в силу этих уравнений, равна нулю.
Ниже будет показано, что уравнения Ван-дер-Поля опреде-
ляют решение с точностью до величин 0(e). Следовательно, ве-
личину /(х, у, т) мы называем адиабатическим инвариантом,
если
f = Q(e*), k>l.
Другими словами, адиабатический инвариант — это некоторая
функция амплитуды и фазы, которая изменяется медленнее, не-
жели параметры системы.
§ 3]	СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ	169
3.	Интеграл действия. Рассмотрим функцию /(х, т), опреде-
ленную равенством
2Л
I (х, т) = j* ш (х, т) Q2 (х, у, т) dy. (3.6)
о
Функция (3.6) называется интегралом действия. Свое назва-
ние это выражение оправдывает тем, что Цх, т) является ин-
тегралом порождающего уравнения. В самом деле, при т=const
«амплитуда» — величина постоянная, поэтому и I(х, т) также
является постоянной.
Покажем, что интеграл действия является адиабатическим
инвариантом. Для этого найдем полную производную по вре-
мени
di ,  , ,
— = /хх + 1хг.
Вычислим частные производные 1Х и /т и подставим их в это
выражение. В результате мы получим
2л	2л
f=-s J	+-s- J j <3j)
о	0
Преобразуем второе слагаемое в первом интеграле, проинтегри-
ровав его по частям
2л	2л
J QgQxy dy = QyQx ~ / QyyQx dy.
о	о
Но первое слагаемое равно нулю, поскольку Q — периодическая
функция; следовательно,
2л	2л
J QyQxy dy — J QyyQx dy.
о	0
Используя это выражение, мы можем преобразовать первый
из интегралов, входящих в правую часть (3.7)
2л
О
2Л
- -R / (»А - “АА - «АЛ
О
170
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ill
Но по определению
“^-co(Qy!/Qx-QyQJ= - А.
Таким образом,
2л	2л
4 f (».<?> + dy - - ± J A dy.
о	о
Величина А от фазы у не зависит, поэтому
2л
| (Qyco* + 2coQaQxy) dy= - хА.
о
Аналогично проведем вычисление второго слагаемого
2л
6 = J (ит<?» + 2coQyQaT) dy =
о
2Л	2Л
= J (®tQ« - coQ^Qr + aQyQyx)dy = - J (x, у, т) dy.
о	о
Итак, окончательно
2л
-^- = -Ах-^ j\(x, //, tW	(3.8)
О
Подставляя в (3.8) выражение для х, которое дается первым
из уравнений (3.4)
2л	2Л
i=-^K^Qydy~^^idy'
о	о
получим
2л
=	/ <р(*. У> ^Qydy.
о
Отсюда сразу следует, что если <р^нО, то величина интеграла
действия сохраняет свое значение. Итак, интеграл действия яв-
ляется адиабатическим инвариантом порождающего уравнения.
4.	Пример использования адиабатических инвариантов.
Использование адиабатических инвариантов позволяет в неко-
торых случаях получать ответы на интересующие нас вопросы,
минуя интегрирование системы.
§ 3]	СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ	171
В качестве примера рассмотрим уравнение
z+g(eOz = O.	(3.9)
В этом случае
z=xcosy, z=—сох sin у,
где	_____
Таким образом,
Q(x, У)=хсо$У, Qv= — х sin у.
Составим выражение адиабатического инварианта
4-л	+л
Z =	= j Vg(e/) х2 sin2 у dy =--8	. (3.10)
— Л	—л
На основании сказанного выше мы имеем / = /o=const. Таким
образом, если ставится вопрос об исследовании зависимости ам-
плитуды х от времени, то из (3.10) мы сразу находим
Кg (6/)
Этот результат может быть получен разными методами, но
применение теории адиабатических инвариантов позволяет его
получить, по-видимому, наиболее простым способом.
5.	Вычисление амплитуды и энергии. Формула (3.11) являет-
ся выражением значительно более общего результата. Пусть мы
имеем произвольное нелинейное уравнение вида
z+f(z, е0=0,	(3.12)
у которого решение
z = Q(x, у, st)	(3.13)
является периодической функцией у периода 2л. Тогда зависи-
мость амплитуды от времени может быть получена без инте-
грирования уравнения (3.12). В самом деле, для уравнения
(3.12) интеграл действия будет адиабатическим инвариантом,
т. е.
2л
J со(х, et)Qy(x, у, e,t) dy = const.	(3.14)
о
Выражение (3.14) является некоторым трансцендентным
уравнением, которое связывает величины хи!
Ф(х, 0=0	(3.14х)
и представляет собой неявное задание функции x(t).
172
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. HI
Полная энергия системы не является адиабатическим инва-
риантом, хотя она определяется так же, как и интеграл дей-
ствия, только амплитудой. Однако, имея в распоряжении зави-
симость х(еО и используя то обстоятельство, что
^=_дх + е£т,
мы можем легко подсчитать изменение энергии системы вслед-
ствие изменения параметров системы. Нетрудно убедиться в
том, что dE/dt имеет порядок величины е.
Процедура вычисления энергии может быть и не связана
с нахождением корней трансцендентного уравнения (3.14'). Для
этой цели следует использовать рассуждения предыдущего па-
раграфа. Найдем производную величины а = 2£
a = z’2+ U(г, т),
где
Z
U (г, т)= | /(г, x)dz.
Так как
z= — f(z, т),
то производная da/dt, вычисленная в силу этого уравнения,
будет
a = eUx
или после усреднения
₽о + Т
а = 77- I
Т(а) J
Ро
Z	Z
Z7T dz f	Ux dz
" /а - Uz J Va - U (z)
-	z
где гиг являются корнями уравнения U(z) =0.
6.	Некоторые обобщения. Мы рассмотрели процедуру приме-
нения схемы Ван-дер-Поля для нахождения приближенных ре-
шений уравнения (3.1). Она может быть легко обобщена на
широкий класс систем уравнений, близких к гамильтоновским;
Одним из представителей таких систем является уравнение
(т (т) г) + f (z, т) = е<р (г, г, т).	(3.15)
Для этого случая повторим все рассуждения данного пара-
графа. Считая, как и раньше, что решение порождающего урав-
нения
mz + f(z, т) =0, T==const,
нам известно:
г=<?(х, у, т),
§ 3]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ
173
сделаем замену переменного (2.5') и (2.6'). Выписав уравнение
совместности и подставив эти функции в уравнение (3.15), мы
получим
Q%X + Q уУ ®(}у ®Qr»
тх(а&у + (i>Qxy) + maQyyi) + f(Q, t) =
= eqp — z{axmQy + comQ^ + mt(oQj,}.
Разрешая эти уравнения относительно х и у и используя вы-
ражения для А, |1 и &>. мы придем к следующей системе урав-
нений:
* = ~ ~тК ~	+ тК mx(i,Qy’
е	в в	<ЗЛ6)
У “ “ +	+ "д	m^QyQx-
Система (3.16) совершенно аналогична системе (3 4). Про-
водя операцию осреднения, мы получим систему укороченных
уравнений
2л	2л	2л
х = — -о- е-.- [ yQudy — -^-г I dy +	[ coQ2 dy,
2лтД J a 2лД J bl a 2nmA J
0	0	о	I
2л	2л	2л	(3.17)
у = со + т,—[ q>Qxdy -I- 75^7- I "t^dy —	f ®QuQxdy.
3	2nmA J » 2лД J s a 2лт\ J	у
ООО
Нетрудно проверить, что для уравнения (3.15) выражение
2л
/(х, т) = ^-^(х, T)Q2^	(3.18)
О
является также адиабатическим инвариантом. Найдем для этого
^- = х/л + е/г.	(3.19)
Повторяя вычисления предыдущих пунктов этого параграфа,
мы получим
х/х = — хт А,	)
2л	2Л	I
I ет f t Л 8/Пт Г „2 Л ‘	(3.20)
e/^=-^J Si^ + -2T J ^Q2ydy.
О	0	1
174
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ill
Заменяя в этих выражениях величину х из системы (3.17) и
подставляя величины (3.20) в равенство (3.19), получим
2л	2л	2л
= J <’Р<г^ + БГ J	®ФУау-
ООО
2л	2л	2л
~ ‘2л’ J dU + ~2л~ J dy = J ФQy dy.
0	0	о
Таким образом, при отсутствии внешних воздействий величина
/, определяемая формулой (3.18), остается постоянной, если
считать, что величина х изменяется, следуя уравнениям (3.17).
7.	Задача о маятнике переменной массы. Рассмотрим малые
колебания математического маятника, масса которого изме-
няется со временем. Если предположить, что скорость отделе-
ния частиц бесконечно мала (или что система реактивных сил
образует нулевой юрсор), то уравнение движения такого маят-
ника имеет вид
— (т (т) z) -I- т (т) glz = 0,	(3.21)
где g— напряженность гравитационного поля, / — длина маят-
ника. Рассчитать приближенно изменения амплитуды колебаний
такого маятника можно, не интегрируя уравнения (3.21). Для
этого надо вспомнить, что величина
2л
о
является адиабатическим инвариантом.
В нашем случае
(o=|/g/, Q = xcosy, Qy= — xsinz/.
Подставляя эти величины в выражение (3.18), мы получим
уравнение для определения амплитуды
т ^8l х2 = const,
откуда
Заметим, что закон изменения амплитуды (3.22) сохраняет
свою силу также и для уравнения
(т (т) г) + т (т) glz = eqp (г),
где (г) — произвольная функция.
§ 4]	СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	175
В самом деле, изменение величины / подчиняется уравне-
нию
2Л
%dy'
о
Следовательно, / сохраняет свое значение не только тогда,
когда qp O, но и при условии ортогональности и Qy, что
в нашем случае соблюдается
2л	2л
J qpQs dy = — х J qp (х cos у) sin у dy = 0.
о	о
Итак, мы показали, как может быть использована идея Ван-
дер-Поля об осреднении в задачах нелинейных колебаний. Она
позволяет исследовать широкий круг вопросов этой теории при
помощи укороченных уравнений.
Таким образом, теория Ван-дер-Поля позволяет получить
только некоторые приближенные решения, причем она не содер-
жит никаких методов, позволяющих оценить степень точности
полученных решений. Точно так же в рамках теории Ван-дер-
Поля мы не можем уточнить полученные решения. Наконец, еще
одним существенным недостатком изложенного подхода яв-
ляется то, что он приспособлен для исследования только одно-
мерных задач и не допускает непосредственного обобщения на
многомерные задачи в системах с числом степеней свободы
больше чем одна.
Для преодоления всех указанных трудностей необходима бо-
лее общая теория, содержащая новый взгляд на проблему ус-
реднения. Она впервые возникает в работах Н. М. Крылова и
Н. Н. Боголюбова, опубликованных в тридцатых годах. К ее из-
ложению мы сейчас и переходим.
§ 4. Описание алгоритма асимптотического интегрирования
для случая одной быстрой переменной
1. Преобразование переменных. Вернемся теперь к задаче,
поставленной во введении. Рассмотрим частный случай системы
(*), которую мы условились называть системой с вращающейся
фазой:
х — е.Х(х, у, е),
у = <в(х) -|- еУ (х, у, е),
где х— вектор размерности п, а у — скаляр. Функции X и Y бу-
дем предполагать периодическими функциями переменной у
периода Т. Не ограничивая общности, можно принять Т=2п.
(4.1)
176
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
Поставим задачу отыскания такой замены переменных, ко-
торая позволила бы отделить быстрые движения от медленных.
Для этого вместо х и у введем новые переменные х и у при по»
мощи формул
х = х + еи1(^, у)4-82и2(х, р)+..., 1
y = y + wl(x, y) + e2v2(x, у) + ... J	' ‘ J
Функции Ui(x, у) и Vi(x, у) пока еще неизвестны и должны
быть определены в процессе решения задачи.
Потребуем, чтобы в результате замены переменных, опреде-
ляемой формулами (4.2), вектор-функция x(t) удовлетворяла
системе уравнений, не содержащей «быстрой» переменной y(t).
Точно так же потребуем, чтобы и скалярная функция y(t) удо-
влетворяла уравнению, правая часть которого не содержит y(t)'
другими словами, потребуем, чтобы новые переменные х и у
удовлетворяли системе уравнений вида
х = еА (х, е) = eA[ (х) + е2А2 (х) + ...,	$
у = со* (х, е) = (о (х) + еВ] (х) + е2В2 (х) + ...
Функции А и со, входящие в эти уравнения, а следовательно,
и коэффициенты их разложений по степеням 8 также заранее
неизвестны.
Если нам удастся найти интересующую нас замену перемен-
ных, то мы придем к системе уравнений (4.3), которая значи-
тельно проще исходной. В самом деле, в системе (4.3) медлен-
ное движение, скорость которого имеет порядок 0(e), полностью
отделено от быстрого, скорость которого имеет порядок 1. По-
этому система уравнений, определяющая вектор х, интегри-
руется независимо от уравнения, определяющего скаляр у. По-
скольку производная х мала, а правые части этого векторного
уравнения не зависят от у, то оно может интегрироваться
с большим шагом по времени. Определив x(t), мы найдем пе-
ременную y(t), вычислив квадратуру.
Для того чтобы сделать задачу определенной, подчиним
функции Uj и vf дополнительному ограничению: будем их счи-
тать ограниченными функциями у при у—>оо. Такое ограниче-
ние на класс допустимых функций естественно, поскольку оно
позволяет для любых у считать величины ehuh и ehvk малыми
порядка О (8й).
Итак, задача отыскания преобразования (4.2) состоит в оп-
ределении функций щ(х, у), Vi(x, у), ЛДх) и Вг(х). Функции
А,(х) и иг(х, у)—это вектор функции своих переменных,
а Вг(х) и Vi(x, у) — скаляры.
§ 4]	СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	(77
2. Определение членов разложений. Будем считать X, Y и <о
дифференцируемыми функциями своих переменных столько раз,
сколько членов рядов (4.2) мы собираемся вычислить.
Для определения функций, входящих в правые части ра-
венств (4.2) и уравнений (4.3), подставим ряды (4.2) в систему
уравнений (4.1) и заменим производные х и у их выражениями
(4.3). Кроме того, заметим, что
+ ^-(ш(х) + еВ1 + е!В!+...).
Перепишем теперь уравнения (4.1) с учетом сделанных заме-
чаний
еД] (х) 4- в2Л2 (х) 4- ... +е-|у-(еД1(х) + . ..) +
+ е (w (х) + eBj (х) + е2В2 (х) + ...) +
О*/
4* е2-^-(еД] (х) 4- . ,.)4-е2-^-(<в(х)4-...) =
= еХ (х 4- euj 4- e2u2 4- ..., у 4- euj 4- е2и2 4- ..., е),
<в(х)4-еВ1(х)4-е2В2(х)4- ... 4-е-^-(еД14- ...) +
(<в(х) 4- еВ] (х) 4- е2В2 (х) 4- ...) +
О*/
+ е2|^(еД1(х)4- ...) 4-е2-|^-(<в(х) 4- ...) =
= <в (х 4- ей] (х, у) + е2и2 (х, у) 4- ...) 4-
+ eY (х + EUi 4- e2u2 4- ..., у 4- evj 4- е2и2 4- ..., е).
Правые части этих уравнений разложим по степеням пара-
метра е и сравним коэффициенты при одинаковых степенях
этого параметра. В результате мы придем к следующей системе
уравнений, определяющей искомые функции:
св (х) = X (х, у, б) - А, (х) = gi (х, у) - Ai (х),
04/
<в (х) = Y (х, у, 0) 4- Di (Uj) - Bl (х) = hi (х, у) - Bi (х),
ди2	дХ , дХ , дХ ди, .
Х) = ~дх“1 + ~ду V> + W~^TA1~	(4.4)
Bi- A2(x)?=g2(x, у)-A2(x),
dv2	dY , dY dY	dv,	D
3 j - (B (x) = U t 4*	V ] 4- “Ч-В ] 4*
dy	' ’ dx	1 dy	1 de	dy 1
+ Di (w2) 4- D2 (ui) -B(x) = h2 (x, y) - B2 (x)
и T. Д.
178
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ill
Общий вид систем уравнений для определения uh, vh, А,{
и Вл будет такой:
° й = gk (х, у) - Ak (х),
dvk <4-5)
ю (*)	= hk (х, y) — Bk(x).
Так как функции gk и hh определяются предыдущими прибли-
жениями, то они должны считаться заданными функциями
своих переменных. Напомним, что величины х, uh и Ak— век-
торы с компонентами х(/), u'k и А^ соответственно, у, vh и
Bh — скаляры. Точно так же X — это вектор-функция своих ар-
гументов. а У и го — скалярные функции. Следовательно, ди^ду,
dXjdy, dY/dx — это векторы с компонентами du^fdy, дХ^/ду
и dY/dx^ соответственно, дХ/дх — это квадратная матрица
с элементами дХ^/дх^ и т. д. Кроме того, в уравнениях фигу-
рируют операторы Di (и) и D^u). Они имеют следующий смысл:
°i (u)=S т?гн</)> °2 м=4 2 vS (/> •
дх”	2 дх'я,дхц>
7=1	k, s
Присутствие этих членов связано с разложением функции w(x)
в ряд Тейлора.
Все производные в уравнениях (4.4) вычислены при е = 0.
Рассмотрим первое из уравнений (4.4). Это уравнение в
частных производных первого порядка, разрешенное относи-
тельно производной неизвестной функции дщ/ду, причем это
уравнение содержит еще одну неизвестную функцию Л1(х). Ин-
тегрируя это уравнение, получим
у
Щ (х, у) =	/ Ui (*> У) ~ Ai (•*)}	+ Ф (х),	(4.6)
Ун
где <р(х) — произвольная функция х.
Мы условились разыскивать решение в классе функций, удо-
влетворяющих условию ограниченности
Нт | и{ (х, у) |< ОО.
У~> оо
Под знаком интеграла в выражении для щ(х, у) стоит некото-
рая периодическая функция у, поскольку gi(x, у) —периодиче-
ская функция у и величина А не зависит от у. Период этой
§ 4]
СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
179
функции по у равен 2л. Предположим теперь, что ее среднее
значение за период
Уо+2л
gi - Д = j (g, (X, у) -	(х)) dy = с (х) =£ 0.
th
Тогда
lim «j (х, w0 + 2л&) = —Ur lim 2лс (х) k — ±
к ->оо
Выбор знака плюс или минус зависит от знака с(х). Таким об-
разом, для ограниченности необходимо и достаточно, чтобы
с(х)=0	(4.7)
для любого X.
Интеграл в равенстве (4.6) содержит неизвестную функцию
Д1(х). Условия (4.7) достаточно для ее однозначного определе-
ния. В самом деле, из равенства (4.7) сразу следует, что сред-
нее значение функции g
2л
= J S(x, y)dy
о
должно равняться Итак,
4(х) =gi(x)=X(x).
Интегрируя теперь первое из уравнений (4.4), мы получим вы-
ражение для Ui(x, у) в виде квадратур от известных функций
В выражение (4.8) входит функция ф1(х), являющаяся «по-
стоянной» интегрирования и выбираемая по произволу.
Существуют различные способы рационального задания этой
функции. Например, если мы решаем задачу Коши, т. е. отыски-
ваем решение системы (4.1) по условиям
х = х0,
при t = t0 {
I У = Уо>
то часто бывает удобно потребовать, чтобы функции хну удо-
влетворяли тем же условиям, что и функции х и у, т. е. чтобы
х(/о)=х(/о), У(*о) =y(to)-
Отсюда сразу следует, что Ui(xo, уо)=0, т. е. qpi(xo) =0. Если,
кроме того, потребовать, чтобы при у = уо имело место равен-
ство х=х, то функцию ф1(х) следует принять равной нулю.
180
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. III
Существуют и другие способы выбора произвольных функ-
ций. Например, при исследовании систем Гамильтона бывает
целесообразно потребовать, чтобы система (4.3) была также
системой Гамильтона. Это требование даст другой способ за-
дания функции ф1(х). В дальнейшем будет показано, что точ-
ность построения приближенного решения не зависит от выбора
этих функций. Таким образом, преобразование (4.2) может быть
реализовано не единственным образом.
Примечание. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем фак-
том, что реализация процедуры построения решения возможна
не единственным образом. Однако такая ситуация типична для
всех асимптотических теорий. Мы будем строить конечные агре-
гаты, которые и будем называть приближенными решениями.
Установленная нами неединственность реализаций означает
только одно: существует целое семейство агрегатов, состоящее
из одинакового количества слагаемых, приближающих решение
с одной и той же степенью точности в том смысле, что разность
точного и приближенного решения стремится к нулю вместе
с величиной е независимо от того, какой из представителей се-
мейства аппроксимирующих агрегатов нами рассматривается.
Перейдем теперь к исследованию остальных уравнений си-
стемы (4.4). Рассуждая совершенно аналогично тому, как мы
это делали при исследовании первого из уравнений (4.4), най-
дем, что	_
В] (х) = й] = У 4- £>]U],
и. (х, у) = ------
1' ’	® (х)
где ф1(х) —также
В общем случае
(х, у) =
У
Уо
произвольная функция
у
/ gi (х, 1) dt, - gty
So
+ Ф1 (х),
своего
+ ЧР/ (Д
аргумента.
(4.9)
Л — ёь
Bt — й/,

У
J ht (х, I) dl - hty
Уй
+ ф/ (Д
Выражения (4.9) исчерпывают задачу, сформулированную в на-
чале раздела: они дают возможность вычислить все функции,
входящие в преобразование (4.2), и определить правые части
уравнений (4.3),
§ 4]	СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	181
3. Построение приближенного решения. Итак, предположим,
что мы определили искомые функции «г-, vit At и В{. Теперь для
построения приближенного решения мы должны поступить сле-
дующим образом: возьмем первые п членов в первом из урав-
нений системы (4.3) и обозначим через хп функцию, которая
будет определена нелинейным уравнением
хп = 2 еМ, (хп).	(4.10)
i=i
Если мы хотим получить приближенное решение задачи Коши,
то следует проинтегрировать это уравнение (например, чис-
ленно). После этого функцию yn(t) мы определим квадратурой
t
Уп(*) = Уо + j {(o(xn) + eB1(x„)+	(4.10')
о
Определив функции хп и уп, подставим их затем в ряды (4.2),
в которых удержим также конечное число членов. Выражения
лч
X (/) = Хп (/) + 2 eOTum (хп, уп),
X	(4-11)
y(t) = yn(t)+ 2 emym(xn, уп)
m=i
мы примем в качестве приближенного решения исходной си-
стемы. Числа Nt и А/2 должны быть также выбраны по опреде-
ленным правилам, о которых речь будет идти ниже.
Формулы (4.11) при определенных условиях являются асимп-
тотическими, т. е. функции, которые они определяют, стремятся
при е -» 0 к точным решениям.
Примечание. Уравнение (4.10) обычно оказывается слож-
ным нелинейным уравнением и только в исключительных слу-
чаях может быть проинтегрировано в явном виде. В общем слу-
чае его приходится интегрировать численно. Заметим, что числен-
ное интегрирование системы (4.10) (хп — это вектор-функция)
значительно проще интегрирования исходной системы (4.1).
Дело даже не в том, что порядок системы (4.10) на единицу
меньше порядка системы (4.1). Система уравнений (4.10)
определяет медленно изменяющиеся переменные. Следова-
тельно, ее интегрирование может быть проведено с большим
шагом по аргументу и, следовательно, с малой затратой машин-
ного времени. Заметим также, что во многих прикладных зада-
чах оказывается достаточным вычислить величины хп(/); вели-
чины уп часто не представляют практического интереса.
182
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
• Рассмотрим теперь тот частный случай, когда х— скаляр,
а со—величина постоянная. Ограничимся при этом рассмотре-
нием только первого члена ряда (4.3); тогда
Х = Х{,	y = yi,
причем
Xi = х = е.Х, yi = y = a> + eY.	(4.12)
Уравнения (4.12) с точностью до обозначений совпадают с уко-
роченными уравнениями Ван-дер-Поля (1.8). Итак, метод Ван-
дер-Поля для того частного случая систем (4.1), когда х — ска-
ляр дает возможность вычислить первые члены разложений
(4.3). Ниже будет сформулирована теорема, которая утвер-
ждает, что ряды, построенные в этом параграфе, являются при
определенных условиях асимптотическими: в общем случае они
расходятся, но их конечный отрезок любой длины дает прибли-
женное решение, т. е. функция, которая им определяется, стре-
мится к точному решению при е~*0. Поэтому установленный
результат весьма важен. Он показывает, что метод Ван-дер-
Поля, введенный чисто эвристическим образом, является «пра-
вильным»: в тех случаях, когда алгоритм, изложенный в этом
параграфе, дает приближенное решение, метод Ван-дер-Поля
также дает приближенное решение.
Таким образом, метод Ван-дер-Поля позволяет построить
приближенное решение, однако он не дает никаких указаний на
то, каким образом можно уточнить это решение. Изложенный
алгоритм позволяет, как мы увидим в следующем пункте, с лю-
бой степенью точности проводить расчет.
4. Оценка точности. Рассмотрим теперь вопрос о точности
приближенного решения, полученного изложенным способом.
Согласно общей схеме функция х должна быть заменена функ-
цией хп, удовлетворяющей уравнению (4.10). Эту аппроксима-
цию мы будем рассматривать на большом интервале времени,
длина которого имеет порядок О(1/е). Так как в уравнении
(4.10) отброшены члены, порядок которых O(en+1), то при вы-
числении производной мы допустим ошибку того же порядка.
Следовательно, при интегрировании уравнения (4.10) на интер-
вале длины, равной 1/е, мы совершим ошибку порядка О(е").
Итак,
х = хп + О(еп).
В частном случае
x=xi + O(e).
Следовательно, если ограничиться первым приближением, то
при интегрировании на больших отрезках времени ошибка в оп-
§ 4]	СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	183
ределении вектор-функции х(/) будет иметь порядок ее произ-
водной.
Обратимся теперь к уравнению (4.10). Предположим, что
величину х мы определили с погрешностью порядка еп; тогда
величина <о(х) также определяется с погрешностью порядка е”,
т. е.
й)(х) =(1)(5ц) +0(8").
Следовательно, при интегрировании этой величины на интер-
вале, длина которого имеет порядок О(1/е), мы будем иметь
следующую оценку:
t	t
j a(x)dt = J <a(xn)dt + О (e"'1).	(4.13)
о	о
Следовательно, в подынтегральном выражении формулы (4.10')
следует удержать только те члены, порядок которых после ин-
тегрирования будет равен О(е"-2). Следовательно, и в выраже-
нии для у слагаемое епВп(х) должно быть отброшено, так как
t
е" J Bn(xn)dt = O&~'),
о
т. е. оно имеет порядок ошибки в (4.13).
Следовательно, квадратуру (4.10') мы должны писать в та-
ком виде:
t
yn(t) = y(O)+ J {о(х„) + еВ1(х)+ ... +e"-,B„_1(x„)}d/.	(4.14)
о
Точно так же в рядах (4.2) мы должны удержать только те
члены, порядок которых не превосходит порядка ошибки. Та-
ким образом, если речь идет о формулах п-го приближения, т е.
если х определяется с ошибкой порядка 8", а у — с ошибкой
порядка О(е"-1), то формула (4.2) должна быть записана в сле-
дующем виде:
х = х + еи,(х, у) + ... +е"-1ц„_1(х, у), |
у = у + ео,(х, у)+ ... +8'!-2о„_2(х, у). /
Итак, если вектор х определяется с точностью до величин по-
рядка О(е"), то скаляр у, который мы будем называть фазой,
определяется с меньшей точностью.
Рассмотрим частный случай, когда п = 1, т. е.
х=xt + O (е).
184
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ IH
Тогда на основании формул (4.15) будем иметь
х~х, Jf + eXU),	(4.16)
Примечание 1. Рассуждения этого раздела показывают,
что при составлении укороченных уравнений Ван-дер-Поля
(2.11) для нелинейных уравнений, близких к консервативным,
мы включаем в правые части слагаемые, порядок которых равен
порядку отброшенных членов. Теперь мы установили, что урав-
нения (2.11) без потери точности могут быть заменены такими:
2Л
* = “ 2ЙА J	(2 1 1')
о	V •	/
z/ = ®(x),
если только частота w зависит от х.
Специального рассмотрения требует тот случай, когда «ча-
t
стота» о) не зависит от х. В этом случае величина j и dt — at
о
вычисляется точно. Это дает возможность величину у вычис-
лить с меньшей погрешностью. В этом случае все величины
Вг(хп) вычисляются с погрешностью О(еп). Следовательно, ве-
личина е|в,(х)с?/ вычисляется с погрешностью О(е"). Все
прочие слагаемые подынтегрального выражения (4.11) будут
вычислены с еще большей точностью. В том случае, когда со
предполагалась функцией х, максимальная точность, которой
мы могли добиться, вычисляя величину у, была О(е"-1). В слу-
чае о = const порядок ошибки на единицу меньше. Следова-
тельно, мы должны удержать в (4.11) все те члены, порядок
которых О(е”_|). Так как
t
еп j Вп (х) dx = О (&п),
о
то в отличие от предыдущего случая теперь это слагаемое долж-
но быть удержано.
Итак, в случае w = const формулы (4.15) имеют следующий
вид:
х = х + ей,(х, у) + ... + en”'«rt_1(x, у),
у = у + ещ(х, у)+ ... +еп-1о„_1(х, у),
х = еЛ,(х)+ ... + егаД„(х),	(4-17)
у = и + еВ] (х) + ... + ъпВп (х).
§ 4]	СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	(85
В частном случае, когда га=1, мы получим следующий аналог
формул (4.16):	_
х—х, х — е,Х(х).	(4.18)
Уравнения (4.18) в случае, когда размерность вектора х равна
единице, совпадают с укороченными уравнениями Ван-дер-Поля.
Примечание 2. Заметим, что изложенная процедура со-
храняет члены более высокого порядка, которые без потери точ-
ности могли бы быть отброшены. Поясним сказанное на при-
мере расчета второго приближения*). Система уравнений для
вектора х2 в этом случае будет
%2= вД] (х2) + е2Д2 (^г)-	(4. 19)
Уравнение (4.19) позволяет вычислить х2 с ошибкой О(е2) (так
как производная х2 определена с ошибкой О(е3)). Величина
е2Д2(х2) сама имеет порядок О(е2). Следовательно, величину
Д(х2) мы можем вычислить с погрешностью 0(e). Таким обра-
зом, вместо системы (4.19) мы можем рассмотреть такую:
Х2=еЛ] (хг)+е2Д2(51),	(4.20)
где Xi определяется уравнением
Х1 = еЛ1(Х]).	(4.21)
Такая замена может в некоторых случаях оказаться полезной
при разработке схемы численного интегрирования.
В некоторых случаях удобно использовать методы теории
возмущений, положив x2=xt+f>x. Подставив это выражение в
(4.19) и отбрасывая произведения е2бх, поскольку дх = О(е),
мы сведем задачу к решению уравнения (4.21) и решению ли-
нейного уравнения
= е (4г) -	<4-22>
где dA/dx — производная оператора А в точке х—х}. Вектор х
в рассматриваемом случае мы можем записать в виде
x=xi + 6x + eu1 (хь г/]).	(4.23)
Рассуждения подобного рода могут быть проведены и для ана-
лиза более общих случаев.
5.	Независимость точности приближенного решения от выбо-
ра функций <рг и ф/**). Вернемся теперь к вопросу о выборе про-
извольных функций <р1 и фг, появляющихся при интегрировании
♦) В М Волосов, ЖВМ и МФ, № t (1963).
•’) См В М. В о л о с о в, ЖВМ и МФ, № 4 (1963).
186
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ш
уравнений (4.5), и покажем, что выбор этих функций не влияет
на точность получаемых приближенных формул. Этот факт яв-
ляется следствием того обстоятельства, что определение вели-
чин Ai+i и Вг+1 производится с учетом величии <рг и
Проведем все рассуждения на примере расчета второго при-
ближения. Предположим, что мы имеем два различных выра-
жения для функции И1(г, у): utl и ui0, причем
«и = «ю+<р (х),	(4.24)
т. е. мы предполагаем, что эти величины отличаются на произ-
вольную функцию «медленного» переменного х.
Так как величина не входит в выражение первого прибли-
жения, то выбор произвольной функции <р(х) не влияет на точ-
ность первого приближения. Он может сказаться только на
значении второго приближения. В рамках точности, гарантиро-
ванной этим приближением, выражение (4.24) мы можем за-
менить через
«и = «ю+<р(*1),	(4.24')
где Xi определяется уравнением
xi = e/li(xi).
Рассмотрим теперь выражение для Д2- Выпишем в развернутом
виде уравнение (4.9), которое определяет эту функцию; согласно
(4.4) мы будем иметь
. дХ	дХ дХ dut .	dut D	,.
Д2 (х) = -s^«i + V, + -ч-----А, —В,.	(4.25)
1 ' ' дх 1	ду 1 де дх 1	ду 1	v '
Полагая в формуле	(4.25)	один раз м = Цю,	а другой	« = «ц,
мы найдем величину
6^2=^21 — ^420-
Она определяется равенством
дД2 = -^<р(х1)--^Х.
2 дх *' дх
Теперь рассмотрим формулу (4.23). Перепишем ее в следующих
двух вариантах:
х = Xi + дх + ец]0 (хь у^,
х — х, + дх* + е«10 (х„ ух} + е<р (х^
и условимся, что х (0) =х*(0). Первая из этих формул опреде-
ляет значение х, соответствующее ul = ui0, а вторая Ui = uH. По-
кажем, что с точностью, которую гарантирует второе прибли-
жение, х = х*. Введем обозначения
2= дх* — дх.
(4.26)
§ 4]
СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
187
Прежде всего заметим, что из условия х(0)=х*(0) сразу сле-
дует, что
г(0) = — е<р(х1(0)).	(4.27)
Далее, в рамках точности второго приближения величины дх и
бх* = бх+2 удовлетворяют следующим уравнениям (см. (4.22)):
“ е (4г) б* + е2Л20’	<4-28>
d(6l+2) - в (^-) (вх 4- 2) 4- е2 (Д20 4- 6А2О)-	(4-29)
Учитывая (4.28) и принимая во внимание выражение для
6А2, мы можем составить дифференциальное уравнение, кото-
рому удовлетворяет вектор-функция z(t):
дг = е(4г)2 + е21г<Р(х>)-е2^$--	<4-30)
где	_
dA	dX .
dx	dx ’
согласно (4.27) функция z(t) должна удовлетворять условию
2(0) = —<р(х(0)). Заметим далее, что уравнение (4.30) допу-
скает решение
z(t)= — е<р(х).	(4.31)
Для того чтобы показать справедливость этого равенства,
вычислим
	  d<p dx _  о ^Ф л____2 ^Ф V
dt______________________________dx dt	dx 1_dx '	( • )
Подставляя (4.31) и (4.31х) в уравнение (4.30), мы убеждаемся,
что функция — e<p(xi) удовлетворяет этому уравнению. Так как,
кроме того, функция z(t) удовлетворяет начальному условию
(4.27), то мы заключаем, что (4.31) —это и есть искомое ре-
шение уравнения (4.30).
Подставляя теперь (4.31) во второе из уравнений (4.26), мы
убеждаемся в тождественности величин х и х*. Мы показали,
что выбор функции ф1 не влияет на точность расчета вели-
чины х, если использовать второе приближение, т. е. х=х*4-
4-0 (е2). Аналогично доказывается и общий факт: выбор функ-
ций <р< и ф, не влияет на точность определения вектора х и ска-
ляра у, если они определяются г'4-1 приближением-
188
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ III
Итак, выбор функций <рг и ф; совершенно произволен. Сле-
довательно, вопрос о выборе этих функций чисто методический.
Их следует выбирать, исходя из удобства и целей исследования.
Ранее мы уже указали некоторые из способов выбора этих
функций.
6. Замечание о характере приближенных формул. Вопросам
обоснования изложенного метода асимптотического интегриро-
вания системы (4.1) посвящен целый ряд исследований. Первые
работы в этом направлении принадлежали Н. М. Крылову и
Н. Н. Боголюбову и относились к тому частному виду систем
(4.1), для которых о)=1, У=0 (система нормальной формы).
В дальнейшем целый ряд важных результатов был получен
Ю. А. Митропольским, В. М. Волосовым и другими. В настоя-
щее время теория алгоритмов, подобных тем, которые изла-
гаются в этом параграфе, представляет собой обширную главу
теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой
появляются все новые и новые результаты. Здесь мы не будем
излагать этой теории. Отметим только один частный случай,
позволяющий представить себе круг вопросов, которым посвя-
щена указанная теория. Будем считать, что X и У — периодиче-
ские функции у периода 2л, причем как функции х они огра-
ничены в некоторой области D вместе со своими производными
до порядка п — I включительно. Тогда теория, развитая для
уравнений типа (4.1) позволяет утверждать, что решение хп и
уп является асимптотическим в Том смысле, что для любого t
из интервала длиной порядка 1/е справедлива оценка
|х —=О(е”), \у — уп\ = О(еп-1),
где xv и уп определяются формулами (4.15).
7. Метод последовательных приближений. Метод построения
асимптотических рядов, которые дают приближенное решение
системы (4.1), опирался на разложение в ряд функций X и У,
и следовательно, при его реализации предполагалось, что эти
функции имеют производные нужных порядков. Окончательный
результат формулировался при этом в форме интегралов. По-
этому, естественно, возникает вопрос о том, насколько необхо-
димы введенные ограничения (поскольку они были связаны
с самим методом построения решения, а не с окончательным ре-
зультатом). Может быть, предположения о дифференцируемо-
сти функций X и У являются лишними? Действительно, оказы-
вается, что приближенное решение может быть построено без
использования операций дифференцирования. Для этого надо
только вместо разложения в ряды использовать метод последо-
вательных приближений.
§ 4]
СЛУЧАЙ ОДНОЙ БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
189
Рассмотрим снова систему (4.1), но преобразование (4.2)
запишем теперь в форме
х = х + ей (х, у, е), ]
'	(4.32)
у = у -1 ev (х, у, е). J
Точно так же уравнения для х и у., которые мы хотим полу-
чить, будем писать в форме
х = еА(х, е),	)
(4.33)
у = и (х) + еВ (х, е). 1
Подставим теперь выражения (4.32) и (4.31) в систему
сокращая е, будем иметь
А(х, е) + е-5Гл(*> е) + -||(и(х) + еВ(х, у)) =
= Х(хА ей, y + ev; е),
и (х) + еВ (х, е) + е2	А (х, е) +
+ е (со (х) + еВ (х, у)) = и (х + ей) +
+ eY (х + ей, у + ev, е).
(4.1);
(4.34)
Систему уравнений (4.34) будем изучать методом последова-
тельных приближений, используя для этого следующую итера-
ционную схему:
-^-co(x) = gft- A k},
^La(x)=hk-Bik),
где
gk = X[x + eu y + ev'	e) —e—t— A 1 — e
4	3	dx	dy
hk =	+	+ у +	- 4	e) _
(4.35)

dx	dy
Система (4.35) совершенно аналогична системе (4.5). Следова-
тельно, повторяя рассуждения, мы снова придем к формулам
(4-9).
Если функции X и У достаточное количество раз дифферен-
цируемы, то решение, которое при этом получается, отличается
От решения, которое было нэ'йдено выше, только малыми более
190
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. Ill
высокого порядка. Однако в отличие от метода построения, из-
ложенного выше, данный метод имеет то преимущество, что он
не требует дифференцируемости функций X и У и применим,
вообще говоря, к уравнениям даже с разрывными правыми ча-
стями.
8.	Система стандартного вида. Н. Н. Боголюбовым и его уче-
никами изучались системы
х = еХ(х, t, е).	(4.36)
Системы (4.36) называются системами стандартного вида. Не-
трудно видеть, что они приводятся к системам с вращающейся
фазой *), причем являются частным случаем последних. Для до-
казательства достаточно записать систему (4.36) в виде
-^ = еХ(х, у, в),
Система (4.1) совпадает с системой (4.37), когда со = 1, У = 0.
Если вектор-функция Х(х, t, е) —периодическая функция аргу-
мента t, то метод, изложенный в этом параграфе, без каких-либо
оговорок может быть применен для исследования систем вида
(4.36).
Примечание. Представляет определенный интерес рас-
смотрение систем, в которых вектор X не есть периодическая
функция аргумента у. При известных условиях (например, если
функция X почти периодическая) приближенное решение мы по-
лучим, проводя усреднение по бесконечному отрезку времени.
Аналог уравнений Ван-дер-Поля в этом случае имеет вид
а
х = е lim — X (х, y)dy,
а->оо а J
—а
+а
у = и + е lim У (х, у) dy.
а -> оо u ♦'
—а
9.	О возможных обобщениях. Естественным обобщением си-
стемы (4.1) будет система, в которой не только величина х —
вектор, но и величина у — также вектор. Еще более сложным
является тот случай, когда изменение вектора у описывается
системой
у = а(х, y)+eY(x, у, е).	(4.38)
*) Системы с вращающейся фазой впервые начал изучать ученик
Н. Н. Боголюбова Л. Н. Зубарев,
§ 5]	АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ	191
Такие случаи также изучались. Ряд результатов, относящихся
к системам (4.38), принадлежит В. М. Волосову. Ниже мы
остановимся на некоторых частных случаях этой задачи.
10.	Замечание об исследовании стационарных режимов.
Вернемся снова к системе (4.1). Изложенный метод позволяет
исследовать периодические и стационарные решения этой си-
стемы.
Предположим, что хп — корень уравнения
Л] (хп) +еЛ2(хп) + . .. +еп-1Л (хп) =0.
Тогда (4.17) нам дает
хп = 0, т. е. xn = const.	(4.39)
Для функции уп получим
= и*/+ у (0),
где
со* = со(хп) +SeftBfe(xn).
Функции иДхп, уп) и оДхп, уп) —периодические функции пе-
ременной у, следовательно, в данном случае они также будут
периодическими функциями времени периода 2л/со*. Таким об-
разом, функция
х = хп + 2 ekuk (х, у) = х„ + 2 ekuk (хп, у (0) + и’ (х„) t) (4.39')
будет периодической функцией времени.
В начале этой главы мы показали, что в том случае, когда
исследования проводятся в рамках первого приближения, из
уравнения (4.39') для х мы получаем стационарное решение.
В общем случае этот прием позволяет построить некоторые пе-
риодические решения. Они могут быть использованы для аппро-
ксимации стационарных режимов.
§ 5.	Алгоритм асимптотического интегрирования.
Случай нескольких быстрых переменных
1.	Система с двумя вращающимися фазами. В предыдущем
параграфе была изложена процедура асимптотического интегри-
рования систем нелинейных дифференциальных уравнений,
содержащих одну быстро изменяющуюся переменную — одну
вращающуюся фазу. Там мы указали на то, что естественным
обобщением развитой в нем теории будет теория, изучающая
системы, содержащие несколько быстрых переменных, т. е. си-
стемы типа (4.1), в которых вектором является не только пере-
менная х, но и переменная у. Подобное обобщение, как мы
192
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ III
увидим ниже, отнюдь не является тривиальным. Системы вида
(4.1), в которых переменная у является вектором (размерности
большей чем единицы), обладают целым рядом новых особен-
ностей. Теория таких систем оказывается весьма сложной. В на-
стоящее время она еще очень далека от завершения.
В данном параграфе мы укажем лишь некоторые способы,
которые в отдельных случаях (правда, достаточно важных с
прикладной точки зрения) дают возможность построить асимп-
тотическое решение. Для определенности будем рассматривать
систему с двумя вращающимися фазами. Этим термином усло-
вимся называть систему вида
х = е,Х (х, у, z, е),
у = и (х) + еУ (х, у, г, е),
г = X (х) + &Z (х, г/, z, е),
(5.1)
где х — по-прежнему векторная переменная произвольной раз-
мерности, a y(t) и z(t) — скалярные функции.
Будем считать X, Y и Z периодическими функциями перемен-
ных у и г периодов Ту=2п/1 и Tz=2n/m соответственно. Задачи
типа (5.1) часто встречаются в технике и физике. Например,
к их числу относится задача о поведении нелинейного осцилля-
тора, параметры которого зависят от времени и который нахо-
дится под действием периодической внешней силы. Движение
такого маятника описывается уравнением
Z'+(022—&ф(2, z, t),
где <р—периодическая функция времени t периода Т = 2п/т.
Используя переменные Ван-дер-Поля, т. е. полагая
z=xcosz/, z= — сох sin у,
мы можем свести уравнение осциллятора к системе следующего
вида:
х = еХ(х, у, s),
у = и + еУ (х, у, s),
s = 1.
(5.1')
Функции X и У будут иметь период Ту = 2л по переменной у и
период Та = 2п/т по переменной $. В системе (5.Г) две быстрые
переменные у и s.
В одном из предыдущих параграфов мы так же рассматри-
вали систему, параметры которой изменяются со временем. Но
там мы предполагали, что параметры системы изменяются мед-
§ 51
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
193
ленно. Это позволило свести задачу к изучению системы вида
х = еХ (х, у, $),
у = <в (х) + еУ (х, у, $),	(5.1")
s = е.
Система (5. Г') содержит только одну быструю переменную и,
в отличие от системы (5.Г), может быть изучена методами, из-
ложенными в предыдущем параграфе.
2,	Метод Фурье. На некоторое время мы снова вернемся
к системе (4.1). В предыдущем параграфе был изложен метод
ее асимптотического интегрирования. Существенным элементом
изложенного алгоритма была задача определения функции
F(x, У)> удовлетворяющей следующему дифференциальному
уравнению в частных производных Первого порядка:
-^^- = V(x, y) — D(x),	(5.2)
где V(x, у) —периодическая функция у периода Т. Особенность
этой задачи состояла в том, что функция D(x) также была не-
известной и находилась из условия ограниченности функции
F(х, у) при у—♦ оо. В предыдущем параграфе мы изложили спо-
соб решения этой задачи. Ее можно решить также и методом
Фурье, к изложению которого мы переходим.
Так как функция V(x, у) периодическая по у, то она может
быть представлена в виде ряда Фурье
k*= 4-оо
V (х, У)= S ak (х) elkl\
k*= —ОО
ЯД
где Z = 2л/Т, причем а0 = J V (х, y)dy — V (х). Уравнение (5.2)
-л/г
перепишем теперь в следующем виде:
= 2 ak (х) eikly + V (х) - D (х).	(5.3)
МО
Функция F, производная которой по у имеет вид (5.3), может
быть представлена в форме ряда
ft=+°o
F(x, #)= 5 bk (х) eikly + с (х) у.	(5.4)
k*= — оо
Если подставить ряд (5.4) в уравнения (5.3) и сравнить коэф-
фициенты при одинаковых степенях экспоненты, то найдем не-
известные функции bk(x) и с(х)
Мх)=^-	с(х)=7(х)-0(х).	(5.4')
194
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. tit
Функция Ь0(х) определена быть не может — это произвольная
постоянная интегрирования.
Из представления (5.4) сразу следуют результаты, которые
нами уже были получены другим путем: для того чтобы реше-
ние уравнения (5.2) было ограничено при у -> ± оо, необходимо
и достаточно, чтобы с^О, т. е. чтобы имело место равенство
П(х)=Г(х).
При выполнении этого условия решение уравнения (5.2), т. е.
функция F(x, у), оказывается периодической функцией у.
3. Описание алгоритма в нерезонансном случае. Перейдем
теперь к рассмотрению системы с двумя вращающимися фа-
зами. Подобно тому как мы это делали в предыдущем пара-
графе, снова будем разыскивать некоторую замену переменных
х = х + е«[ (х, у, z) + е2«2 4- • • • >
y = y + evl(x, у, з) + е2ц2+
z = z + ewt (х, у, z) + e2w2 + ...,
(5.5)
которая позволяет уравнения для медленных движений отде-
лить от уравнений для быстрых движений. Другими словами,
система относительно новых переменных х, у и z должна иметь
вид
х = еЛ, (х) + е2А2 (х) 4- ...,
у = (£> (х) + еВ[ (х) + е2 В2 (х) 4- ....
z = Л (х) + еС[ (х) 4- е2С2 (х) 4- ... .
(5.6)
Функции Ui(x,y,z), Vt(x,y,z) и Wi(x,y,z) будем считать огра-
ниченными функциями у и z при у —► ± оо и z —> ± оо.
Подставляя ряды (5.5) и (5.6) в уравнения (5.1) и сравни-
вая коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, полу-
чим уравнения для определения неизвестных функций, входя-
щих в выражения (5.5) и (5.6).
Выпишем только уравнения первого приближения
-|1<й(х) + ^-Л(х) = Х(х, у, z, 0)-^(x),
^-<й(х) + ^Л(х) = У(х, у, z, 0)4-
4-	ахих (х, у, zj — B^x),
-^-<d(x) + -^Z(x)=Z(x, у, z, 0)4-
4-	МДх, у, z)-Cx(x).
(5.7)
§ 5]	АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ	195
Уравнения последующих приближений имеют такой же вид.
Таким образом, вычисление каждого из членов рядов (5.5) сво-
дится к интегрированию уравнения
— (у г)- ® (X) + -др (хдгу'^ А (х) = и (х, у, z) - D (х), (5.8)
где U — функция периодическая по у и z с периодами Ту = 2я!1
2л
и Тг— — соответственно.
_ m
Рассмотрим первое из уравнений системы (5.7). Функция X
по условию является периодической по переменным у и z. Сле-
довательно, ее можно представить в виде двойного ряда Фурье
Х(х, у, z)= У У aW (%) ez .	(5.9)
Jfe=s —ОО S=“ °О
Для отыскания ограниченного решения уравнения (5.8) мы мо-
жем воспользоваться методом Фурье, схема которого изложена
в предыдущем пункте данного параграфа. Для этого заметим,
что функция Ui(x, у, z), которая удовлетворяет этому уравне-
нию, представима в виде
&=4-оо 5=4-оо
ы,(х, у, г) = 2	2 bks (х) ехр (ikly + ismz) + с(х) у + d (х) z.
k — ’—oo 5=—оо
(5.10)
Подставляя выражения для X и щ в первое из уравнений (5.7)
и сравнивая коэффициенты при экспонентах с одинаковыми по-
казателями, получим
(х) .	+ sm^ >
с (х) cd (х) + d (х) Л (х) = «оо (х) — Л, (х).
(5.Н)
Величина 6оо(х) остается неопределенной.
Как показывает выражение (5.10), для ограниченности и.\
необходимо принять с = 0 и d = 0. Но это мы можем сделать
лишь в том случае, когда
Л1 = «00=Х(х).
Здесь усреднение проводится по обеим быстрым переменным
т, т2
X (х) = уту J J	0) ^У dz,
1' 2 о о
196
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ III
Аналогично исследуются и другие уравнения системы (5.7).
Итак, из рассмотрения первого приближения мы получаем сле-
дующие выражения:
Ai = X,
B\ = Y + <йхи{ (х, у, z),
С, = Z +	(х, у, Z),
„	а<Х) (j)
«1= Z i (klv + smM eXP f {kly + sm^ + a0X) <&’
s,
(x)
v>= Z H^n^exPI,(^ + s^) + aog)w’
V4	(x)
Z i (k£+ sm>.) eXP 1 № + Sm^ +	(X)-
s, k^O
Здесь a!fs и — коэффициенты разложений в ряд Фурье
функций Y — axUt и Z — ^xut соответственно, а^>, а(оу> и а(ог~> —
произвольные функции. Эти функции могут быть выбраны по
произволу, и их выбор не отражается на точности решения. Со-
вершенно аналогично вычисляются последующие приближения.
Для того чтобы формулы (5.12), а также и вся процедура
имели смысл, необходимо, чтобы ни один из знаменателей не
обращался в нуль, т. е. чтобы не существовало целых чисел k
и s таких, что
kla) + sm). = Q.
Этот случай условимся называть нерезонансным.
Итак, мы изложили схему расчета приближенного решения
системы, имеющей две быстрые переменные в нерезонансном
случае. Выпишем уравнения, определяющие первое приближе-
ние х = х,
Г1 г,
x = j*A(x, У’	(5.13)
1 2 о о
Уравнение (5.13) естественно назвать уравнением Ван-дер-Поля
в случае двух быстрых переменных. Для его составления нам
оказалось достаточным привести осреднение независимо по
обеим переменным.
Определив (например, численно) решение нелинейного урав-
нения (5.13), мы можем найти неизвестные у и z, как и в про-
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
197
§ 5]
стейшем случае одной быстрой переменной, при помощи квад-
ратур.
4. Резонансный случай. Мы уже заметили, что для реализа-
ции изложенного способа разделения движений во всяком слу-
чае необходимо, чтобы ни один из знаменателей в формулах
(5.12) не обращался в нуль. Другими словами, алгоритм по-
строения асимптотического решения, сводящийся к независи-
мому осреднению по обеим быстрым переменным, имеет смысл
только в том случае, если в процессе изменения медленной пе-
ременной х последняя не окажется корнем уравнения
klb)(x) +smK(x) =0,	(5.14)
где k и s — произвольные целые взаимно простые числа — по-
ложительные или отрицательные. Так как заранее нельзя опи-
сать эту область изменения переменной х, то в процессе инте-
грирования уравнения (5.13) мы должны все время проверять,
не оказалась ли величина х в окрестности корня уравнения
(5.14). Только в том частном случае, когда величины со и К не
зависят от х, условие применимости изложенного алгоритма
можно проверить до интегрирования системы (5.13).
Случаи, в которых может быть использован данный алго-
ритм, мы условились называть нерезонансными. Резонансной
мы будем называть ситуацию, которая возникает в том случае,
когда «амплитуда» х оказывается в окрестности корня уравне-
ния (5.14). Если «частоты» со и Л не зависят от х, то резонансом
условимся называть явления, возникающие в системе тогда,
когда частоты со и Л связаны условием
^/co4-smZ=0,
где k и s — любые целые числа, положительные или отрица-
тельные.
Ситуацию, при которой \k \ = [s|, т. е. когда
/со±/пЛ=0,
будем называть главным резонансом. Случай произвольных k
и s называется обычно комбинационным резонансом (в част-
ности, дробным или кратным).
5. Исследование главного резонанса в случае постоянных
частот. Величину
h* = kid) (х) +'stnK (х)
обычно называют расстройкой. Условимся называть окрестно-
стью резонанса такое соотношение параметров, при котором
величина расстройки h* мала:	В окрестности резонанса
198
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. III
также может быть построен процесс асимптотического интегри-
рования. Однако в этом случае асимптотика будет иной, нежели
та, которая дается формулами (5.12) и (5.13).
Итак, будем предполагать, что мы изучаем движение в ок-
рестности точки х = х*, где х* — корень уравнения (5.14), кото-
рое мы можем писать в форме
<d(x’) = ^Z(x‘),
(5.15)
поскольку взаимно простые целые числа s и k могут быть и по-
ложительными и отрицательными. Изучение резонансных явле-
ний начнем с анализа главного резонанса s = fe=l при допол-
нительном условии, что частоты со и X не зависят от «ампли-
туды» х. Тогда положим
и выпишем исходную систему уравнений в виде
х = еХ (х, у, г),
у — (о + еУ (х, у, z),
1<а ,	( „,	. . h 1
z =------h е< Z(x, у, z)-i---->,
т I ' v ' т
(5.16)
где X и У являются периодическими функциями у и z периода
2л// и 2л/;п соответственно.
В рассматриваемом случае частоты со и X удовлетворяют
уравнению (5.15) тождественно по х, т. е. резонансная сутуация
имеет место для любой «амплитуды» х. Прямое использование
алгоритма асимптотического интегрирования, изложенного в
предыдущем пункте, смысла не имеет. Поэтому вместо перемен-
ной у введем новое переменное 0 (сдвиг фазы)
а т
Q^-z-y.
Оно будет удовлетворять уравнению
0 = —ей’(х, yz-0, z),	(5.17)
где &* имеет вид
fr’(x, 0, z) = e|[z(x, y-z —0, z) + ^-]y - У (x, y-z —0, z)}.
Остальные уравнения системы (5.16) мы перепишем так:
х = еХ (х, у z — 0, zj,
Zco , f „ ( т п , h )
2 = 7+Т|Х’ TZ~9’ Tmf
§ 5]
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
199
Итак, систему уравнений (5.16) можно теперь представить в
следующем виде:
х = е,Х” (х, 0, z),
o = е, 2),	(618)
*-=тг+е{г’<х’ е’
где смысл обозначений X*, и Z* совершенно очевиден. Функ-
ции X*, и Z* являются периодическими по z. Переменная z
входит в правые части системы (5.18) двумя способами. Во-пер-
вых, самостоятельно и, во-вторых, в комбинации (mll)z — 0.
Правые части системы (5.18) будут периодическими функциями
переменной z, выступающей в своем первом качестве, периода
Т2 = 2л/т, а также периодическими функциями комбинации
(m/l)z— 0 периода Ту=2лЦ. Следовательно, они являются пе-
риодическими функциями переменной z, выступающей во вто-
/I 2эт
ром качестве, периода Tz = — Ту = —. Итак, оказывается, что
функции X*, й* и Z*, рассматриваемые как функции перемен-
ной г, имеют период 2л/т.
Скалярная величина 0 является медленно изменяющейся пе-
ременной. Поэтому система (5.18), в отличие от системы (5.16),
является системой с одной, а не двумя вращающимися фазами
и, следовательно, ее изучение может быть проведено методами
общей теории, изложенной в предыдущих параграфах. Если мы
ограничимся изучением первого приближения, то должны выпи-
сать укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые имеют сле-
дующий вид:
х = х, х = еХ* (х, б),
(5.19)
0 = 6, б = еГ (х, б).
Для определения быстрой переменной следует вычислить квад-
ратуру
t
z = z0 + M -1- е J Z* (x, 6, z)dt.	(5.20)
о
Усреднение в этих формулах производится по периоду Т2, т. е.
2Л/т
Г(х, 0) = -^- j г (х, 0, z)dz
о
И т. д.
200
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ Ш
Примечания. 1. Важным частным случаем рассмотрен-
ной задачи является тот, в котором со = Х и Т2 = ТУ. Этот случай
будет специально рассмотрен ниже. К нему сводится задача
о главном резонансе в квазилинейных системах.
2. Движения, которые описываются уравнениями (5.19) и
(5.20), называются резонансными. Среди этих движений особое
значение имеют установившиеся резонансные движения. Поло-
жив х = 0 = О, мы получим систему трансцендентных уравнений
Х*(х, 6) =0, д*(х, 0)=О.
Левые части этих уравнений зависят от параметра 1г расстройки.
Главное, что представляет интерес для техники, это зависимость
стационарных значений х и 0 от значения параметра h.
Мы рассмотрели явление главного резонанса для того част-
ного случая, когда частоты X и со не зависят от амплитуды х.
Основная его особенность состоит в том, что резонансная ситуа-
ция не изменяется при изменении амплитуды х.
6. Общий случай главного резонанса. Рассмотрим более
общий случай, когда частоты ш и Z зависят от х, т. е. ю = (о(х),
Х=Х(х). Предположим сначала, что периоды по обеим быстрым
переменным совпадают. Тогда условие главного резонанса бу-
дет иметь вид
X(x)=w(x)+ed(x).
Обозначим через х* корень этого уравнения при h = 0 и ограни-
чимся рассмотрением только той области изменения амплитуды,
которая находится в окрестности точки х*. Другими словами,
разность х—х* условимся считать малой величиной первого
порядка.
Рассмотрим систему
х = еХ (х, у, 2),
= <о (х) + еУ (х, у, г),
z = X(x) + eZ (х, у, 2)
и снова сделаем замену y = z — 0. Тогда, полагая
?Дх) — со(х) =e/i(x),
мы придем к системе уравнений вида
х = еХ* (х, 0, z ,
0 = ед’ (х, 0, 2),
z = К (х) + eZ* (х, 0, 2), .
(5.21)
(5.22)
где смысл обозначений X, д* и Z* очевиден. Например,
d*=Z(x, 2 — 0, г) — У(х, 2— 0, г) +/г(х).
§ 5]
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
201
Формально система (5.22) совершенно аналогична системе
(5.18), и для построения асимптотического решения нам доста-
точно провести усреднение по быстрому переменному z. Од-
нако по существу эти задачи существенно отличаются друг от
друга. Представим себе, что мы решаем задачу Коши для си-
стемы (5.22) и пусть в начальный момент имела место резонанс-
ная ситуация, т. е. пусть при / = 0 разность Х(х(0))— со(х(0))
была величиной малой. Однако с течением времени величина
этой разности может как угодно измениться, и тогда все рассу-
ждения потеряют смысл. Тот факт, что все исследование прово-
дится только в е-окрестности точки х*, позволяет сделать неко-
торые упрощения. Предположим, что мы ограничиваемся рас-
смотрением уравнений первого приближения. Тогда
х = еХ* (х, 0),
0 = e$‘(x, 0) = e{Z*(x, 0) — У* (х, 0)} + е/г(х),
z = Л (х) + eZ’ (х, 0).
(5.23)
Усреднение в системе (5.23) произведено по переменной z. Мы не
изменим точности приближения, если в величинах порядка 0(e)
допустим ошибку порядка 0(e). Поэтому в рамках принятой
точности мы можем положить е/г(х) = (х — х*)(Хж(х*)—юж(х*))
и заменить систему (5.23) такой:
х = еХ‘(х‘, 0),
0 = (х — х*) (Хж (х‘) —	(х*)) + е {Z* (х*, 0) — У* (х*, 0)},
г = Х(х) +eZ*(x‘, 0).
(5.24)
Ниже мы еще не один раз будем возвращаться к системе (5.24)
и убедимся в ее преимуществах перед системой (5.23).
В заключение остановимся на общем случае главного резо-
нанса, когда периоды Тг и Ту не равны друг другу
„2л	„ 2л , ,
ту = Т ’	Гг==^Т’
В этом случае условие главного резонанса имеет вид
M4 + J^ = X(x).
m m ' '
Обозначим снова через х* корень уравнения
-у- X (х*) — со (х‘) = О
202
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ill
и вместо переменной у введем сдвиг фаз 0. Замена переменных
теперь будет иметь вид
0 = -yZ-i/.	(5.25)
Следовательно, зависимость 0(/) будет описываться следующим
уравнением:
л Л ,	( „ / т	\ т / т n \ 1
б==6т +е12Г’ Т2-0’ г)~~У(Х’ Z)f =
= (х — х*) (-у Zx(x‘) — <d(x‘) j + е| Z (х, y-z —0, zj -у —
— У^х, ^-z — 8, z) | + О (е2) = ед’ (х, z, 0). (5.26)
После замены (5.25) переменная z будет входить в правые ча-
сти уравнений (5.21) самостоятельно и в комбинации {mjl^z— 0.
Правые части будут периодическими функциями z периода 2л/т
и периодическими функциями величины (m//)z периода 2л//.
Следовательно, период по аргументу z, входящему в комбина-
цию (mll)z — 0, также будет равен 2л/т. Таким образом,
функции X*, д* и Z* будут иметь период по переменной z, рав-
ный 2л/т, и при переходе к укороченной системе мы должны
усреднять по этому периоду.
7.	Комбинационные резонансы. Мы рассмотрели способы
построения асимптотических уравнений в случае главного резо-
нанса. Последний является наиболее важным с прикладной
точки зрения. Однако в теории колебаний и некоторых других
областях физики и механики мы сталкиваемся с необходимо-
стью изучения также и комбинационных резонансов. В этом
случае соотношение частот и и Z определяется формулой (5.15).
Следовательно, мы будем считать, что
X (х) = — со (х) + е ,
' ' sm ' ' т
где k и s — целые числа положительные или отрицательные.
Изучение комбинационных резонансов можно проводить по
изложенной схеме. Прежде всего сделаем замену типа (5.25)
л sm
^ = (х-х’)(-^-Хх(х’)-о)Дх‘)).
(5.27)
§5]
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
203
Уравнение (5.26) будет теперь таким:
0 = (х-х*)(^Мх’)-<оЖ)) +
+ etez(x, -^-z-0, г)-Г(х, -^-z-0,	z, 0).
( kl \ kl	I \ kl	/)
Таким образом, после замены (5.27) переменная z будет вхо-
дить в правые части (5.21) дважды: как самостоятельная пере-
менная и по этой переменной правые части будут периодиче-
скими функциями периода Tz = 2nlm и в виде комбинации
(smlkl)z — 0. Правые части системы (5.21) будут периодиче-
скими функциями переменной (sm/kl)z периода Tz = 2n/l. Сле-
довательно, по переменной z, которая входит в эту комбинацию,
функции будут иметь период
т* _ т | fe | / _ 2л ] fe |
г~ | s | m | s | m ’
Период Tz правых частей системы (5.21) по переменной z будет,
таким образом, равен наименьшему кратному периодов
т _ 2л	* _ 2л | fe |
* m	£ I s J m
Значит, правые части системы (5.21) после замены (5.25) оста-
нутся периодическими функциями быстрой переменной г, но их
период Т2 будет теперь равен
_ 2л | fe |
г m ’
и при переходе к укороченным уравнениям усреднение следует
проводить по периоду Tz.
8.	Установившиеся режимы. В рамках теории первого при-
ближения рассмотрим задачу об отыскании установившихся ре-
жимов в системах с двумя вращающимися фазами. Если в си-
стеме (5.1) частоты <в(х) и Л(х) не удовлетворяют соотношению
резонанса, то соответствующая укороченная система имеет вид
(см. (5.13))
х = еХ (х),
1/ = <о(х) + еУ (х),
(5.28)
z = Л (х) + eZ (х),
где усреднение проведено по обеим быстрым переменным у и z.
Отыскание стационарных «амплитуд» х сводится к отысканию
решения трансцендентного уравнения
Х(х)=0.	(5.29)
204
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Так как х— векторная величина, то уравнение (5.29) —это си-
стема трансцендентных уравнений, количество которых равно
размерности вектора х. Последние два скалярных уравнения по-
зволяют определить скорость вращения фаз как функцию ам-
плитуды
£2 (х) = со (х) + еУ (х), ]
_	(5.30)
Л (х) = Л (х) + eZ (х). J
Такой же способ рассуждения применим и в резонансном слу-
чае, только к числу величин, стационарное значение которых мы
должны будем определить, следует теперь отнести также и сдвиг
фазы 0.
Рассмотрим общий случай комбинационного резонанса
(о(х) = -^-Л(х)	(5.31)
и выпишем уравнения, определяющие стационарные режимы
Г(х, б) = 0,
I— чт ~	11	(5.32)
-^-Л(х)-<о(х) = е{У(х, 6)--^-Z*(x, 0)|.
Разрешив эту систему, мы по формулам (5.30) определяем ско-
рости вращения фаз Q(x) и Л(х). Заметим, что нам достаточно
вычислить только одну из этих величин, так как сдвиг фаз по-
стоянен в условиях стационарного режима. Так как
Л sm .
то из этого равенства сразу следует, что
Щх) = ^Л(*).
Итак, в общем случае задача определения стационарных резо-
нансных режимов сводится к отысканию решения системы п+1
трансцендентного уравнения.
В том случае, когда скорости вращения фаз а и ?. зависят
от х, мы должны искать установившийся режим в окрестности
величины х*. Это обстоятельство дает возможность несколько
упростить процедуру отыскания стационарного режима. С этим
обстоятельством мы познакомимся на примере.
9.	Вынужденные колебания квазилинейных систем. Рассмот-
рим теперь задачу, которая послужила толчком к созданию тео-
рии, изложенной в этом параграфе.
§ 5]
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
205
Рассмотрим задачу о колебании квазилинейного осцилля-
тора, подверженного действию внешних периодических сил
£ + co2g = ^(g.£)+ef(0,	(5.33)
где f (t) — периодическая функция времени t.
Положим для упрощения выкладок
£ = xcos у
система (5.33), как известно (см. формулу (1.7)), окажется при-
веденной к следующему виду:
х “ — £ ф (х cos у, — xw sin у) sin у - f (t) sin у, }
г	в	(5-34>
= ®- —ф(хс°5 1/, — Х(0 sin у) cost/- — f(t) cost/J
Положим для упрощения выкладок
f(t) = acosM	(5.35)
и перепишем систему (5.34) в виде
е . еа •
Х =---------------------ф sin у------cos z sin w,
<в v s <o	s
.	e	ea
y = (0---ф cos у---------cos z cos y,
V	(OX V V <0	17
z = A.
Главный резонанс возникает в системе (5.34) в том случае,
когда А = (о, т. е. частота внешнего возбуждения совпадает с ча-
стотой колебаний линеаризованной системы. Рассмотрим сна-
чала этот случай.
Итак, пусть A = (o + e/i. Сделаем стандартную замену
У=г — 0
и составим укороченные уравнения. После очевидных выкладок
получаем
е
2<ол
2Л
J ф (х cos (z — 0),
— xw sin (z — (0)) X
X sin (z — 0) dz — ал sin 0j-,
12Л
J Ф (x cos (z - 0), — xwsin(z —0)) X
0
X cos (z — 9)dz + ал cos 0 > -F eh.
(5.36
205
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ill
Поскольку z не входит в выражения <р sin у и ф cos у, то в этих
выражениях можно не делать замены y = z— 0 и, следовательно,
записать уравнения (5.36) так:
е
2ле
2Л
j qp(xcosz/, —xcosin у) sin у dy — ап sin 0
о
о = тА-
2Л
J Ф (х cos у, — х<о sin у) cos ydy + cm cos 0 + eh.
Для определения стационарных режимов х, б будем иметь
следующую систему тригонометрических уравнений:
2Л
sm0 = — ф sin уау,
о
cos 0 = —
1
ла
2Л
h+ J фсоз ydy
о
(5.37)
Совершенно аналогично составляются уравнения в случае ком-
бинационных резонансов.
Рассмотрим теперь два примера, иллюстрирующих примене-
ние указанной процедуры.
10. Резонансные решения уравнения Дюффинга. Рассмотрим
уравнение типа (5.33)
t' +to2g= — е^ + еа cos kt,	(5.38)
где функция
ф= — s3-
Составим уравнения относительно амплитуды и фазы
х = —{х3 cos3 у sin у + a cos z sin у},
у = со —	{х3 cos4 у + a cos z cos у},
z = k.
(5.39)
Рассмотрим сначала главный резонанс, положив
Z=w+e/i, y=z — 0.
(5.40)
§ 5]
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
207
Исключая переменную у из уравнений (5.39) и проводя усред-
нение, получим
в
Х = о---
2л(о
2Л
J х3 cos3ф sin i|,	+ an sin 0
(5.41)
0 = —	( J *3 cos4 Ф ^Ф — cos 0 j + e/i.
Интегралы, входящие в уравнение (5.41), легко вычисляются, и
мы получаем окончательно
х = ал sin 0,
д в ( 3 з	Q) . .	(5.42)
0 =----г----< -г х3 — ал cos 0 > + e/i.
2лшх I 4	J J
Для отыскания стационарных режимов положим х=0=О. От-
сюда следует, что
sin 0 = 0, х3 — -|-л(о/1Х — у ал cos 0 = 0.	(5.43)
При изучении резонансных режимов наибольший интерес пред-
ставляет так называемая резонансная кривая, определяющая
зависимость амплитуды от расстройки h. Эта кривая характе-
ризует поведение колебательной системы
при прохождений через резонанс.
Положим в системе (5.43) 0 = 0. Тогда
искомая зависимость может быть опреде-
лена из кубического уравнения
х3—лы/гх — -4ал = 0.	(5.44)
и	О
Нетрудно убедиться в том, что зависимость
х(/г) в окрестности точки /г = 0 имеет вид,	Рис- 27•
изображенный на рис. 27. По самому смы-
слу усреднения амплитуды величина х положительна. Поэтому
нам достаточно рассмотреть только ту часть кривой /г(х), кото-
рая изображена на чертеже. Мы видим, что при стремлении
расстройки к нулю амплитуда стремится к конечному значению
(5.45)
Случай 0 = л, который тоже удовлетворяет системе (5.45), мы
рассматривать не будем, так как при малых значениях рас-
стройки h получаются отрицательные значения для амплитуды.
11. О кратных резонансах в колебательных системах. Крат-
ный резонанс — это частный случай комбинационного резонанса,
208
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ III
когда отношение k/s в формуле (5.15) равно целому числу. По-
нятие о кратном резонансе у нас уже встречалось не только в
этом параграфе. В предыдущей главе мы рассмотрели несколько
задач такого рода и изложили схему вычислений по методу
Пуанкаре, которая позволяет обнаружить установившийся ре-
жим. В этом параграфе мы снова дали определение кратного
резонанса. Нетрудно убедиться в том, что оно несколько отли-
чается от введенного в предыдущей главе.
Рассмотрим снова уравнение типа (5.33)
! + cog = е<р (£, £) + a cos Kt.	(5.46)
Преобразование Ван-дер-Поля нас приведет к системе уравне-
ний
. е . а , , .
X —---------ф sin W--------cos Kt sin w,
Ш u co
•	8	(2	л j
У = (0---------qp cos у---------COS At COS y.
(5-47)
В этом параграфе мы говорили, что в системе (5.47) возникает
кратный резонанс, если выполнены следующие условия:
a)	K = qa, q— целое число;
б)	амплитуда внешнего возмущения а — малая величина по-
рядка е: а = О(е).
Последнее утверждение мы не формулировали в явном виде,
но оно использовалось самым существенным образом. В самом
деле, вся процедура осреднения, как мы знаем, основана на
предположении о медленном изменении амплитуды. Таким об-
разом, для формального применения теории, изложенной в пре-
дыдущих пунктах этого параграфа, мы обязаны предположить
малость амплитуды а.
В главе II мы рассматривали ситуацию, которая возникает
в системе (5.46), когда амплитуда а конечна. Пусть K = q^. Тогда
мы говорили, что имеет место резонанс q-ro рода, если в си-
стеме (5.46) возмущающая сила частоты K=qa индуцирует ко-
лебания частоты со.
Для того чтобы исследовать этот вопрос методами, изложен-
ными в данном параграфе, нам надо сначала представить ре-
шение уравнения (5.46) в виде
g = go + T],
где
|0 =	Д2_ q2 cos
§ 5]
АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
209
Тогда новая переменная ц удовлетворяет уравнению
П + ®2П = Еф (т] - у2 ° cos U, ц + sin = е<р’ (т], f|, М).
(5.47')
К уравнению (5.47') мы можем применить стандартную мето-
дику. Для этого положим
т| = х cos у,	2. = ?<о + eh.
Уравнения для новых переменных будут иметь следующий вид:
х = — qp* (х cos у, — ха sin у, z) sin у,
у = а — -^у(х cos у, — ха sin у, z) cos у, (5.48)
z = A.
Правые части этой системы являются периодическими функ-
циями у и z периода 2л. Для исследования системы (5.48)
можно уже использовать методы данного параграфа. Полагая
0 = — z — у,
Я у
мы придем к следующей системе уравнения относительно ам-
плитуды х и разности фаз 0:
х =—ф‘ (х cos — 0j; —xcosin^ — 0); z) cos z — 0j, ]
0 = e ф* (x cos —0^; —xcosin^-—0^; zj sin^y— 0^ + /i|. j
(5.49)
Правые части системы (5.49) — периодические функции z. Не-
трудно установить, что период равен 2л?. Следовательно, уко-
роченные уравнения Ван-дер-Поля будут иметь вид
2Л<7
х = —	— ф* cos (— — 0) dz = еХ (х, 0),
2л^ш J \q )	' ’ >*
о
2Л<7
0 =	— [ ф* sin (— — 0) dz + eh = eft (x, 0).
2л?шх J \ q )	' ’ ’
0
Полагая x = 0 = O, мы придем, разумеется, к тем же результа-
там, которые получаются методом Пуанкаре, если в нем огра-
ничиться вычислением нулевого приближения,
210
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
12. Один пример колебательной системы с большим числом
степеней свободы. Рассмотрим систему уравнений второго по-
рядка
Zi + Fi(zlt zn) =0	(i=l, 2, ..., п) (5.50)
в квазилинейной постановке, предполагая, что точка Zj=0 яв-
ляется устойчивым положением равновесия. Для этого можно,
например, сначала линеаризовать систему (5.50) и вычислить ее
главные координаты, которые существуют в силу принятых пред-
положений. Эти величины будут линейными комбинациями пе-
ременных Zi
L- = S ai jzj.
Приняв величины в качестве новых переменных, мы получим
уравнения следующего вида:
|/ + ®& = е<Р@Р •••> U (1 = 1,2..........п).	(5.51)
В системе (5.51) произведем преобразование Ван-дер-Поля
Zi = xt cos yt,	ii= — sin yit
и тогда эта система уравнений заменится следующей:
Xi = —	cos yh ..., xn cos yn-, — x[a>isini/[ ...)sint/o
yi = (i>i--~(f>(.x[cosyl, ..., x„cosf/„; — x,®, sin y{, ...
. . ., — Хп(0п5Ш1/„)сО8.Уг.
(5.52)
Система (5.52) относится к тому типу систем, которые изучались
в этом параграфе. Если «собственные частоты» несоизмеримы,
то для получения укороченных уравнений нам достаточно осред-
нить правые части этой системы по всем быстрым перемен-
ным i/i, ..., уп-
Предположим, что функции фг имеют вид
M2i.......гп) = МгА +
S9 j	5, /, ft
Тогда нетрудно заметить, что уравнения первого приближения
(укороченные уравнения) для системы (5.52) будут такими:
х; = 0,
=	— ~2^-{ f \	\ Ьщ + -j Ьщ\.
\/ ¥= i / * I	1
§6] ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК И УСТОЙЧИВОСТИ 211
Таким образом, любое колебательное движение будет происхо-
дить с постоянной амплитудой, а частота колебания каждой из
координат никак не зависит (в этом приближении) от квадра-
тичных членов разложения.
§ 6.	Исследование стационарных точек и устойчивости
В предыдущих параграфах этой главы мы уже несколько
раз обращали внимание на вопрос исследования стационарных
режимов и проблему устойчивости. Тогда мы рассматривали
только некоторые специальные случаи. В данном параграфе мы
приведем анализ общего случая произвольного числа степеней
свободы.
1.	Предварительные замечания. Будем рассматривать систе-
му уравнений
х = еХ (х, у, е),	)
у = со (х) + eY (х, у, е), /	(6'1)
где х — вектор размерности п; у — вектор размерности m; X и
Y — периодические функции у. Ограничимся изучением только
первого приближения и предположим сначала, что мы имеем
дело с нерезонансным случаем. Тогда вектор х удовлетворяет
системе уравнений первого приближения
х = еХ(х, е),	(6.2)
причем усреднение производится по всем компонентам вектора у
независимо друг от друга. Таким образом, медленные перемен-
ные в нерезонансном случае удовлетворяют системе дифферен-
циальных уравнений первого порядка.
(Черточки над переменными в уравнениях (6.2) мы не ста-
вим, так как в рамках первого приближения х=х.)
Предположим теперь, что мы имеем дело с резонансным слу-
чаем. В предыдущем параграфе было показано, что тогда число
медленных переменных возрастает. Так, например, если размер-
ность вектора у равна 2, то размерность вектора медленных пе-
ременных возрастает на 1. Во всяком случае, и в условиях резо-
нанса задача в первом приближении сводится к исследованию
системы уравнений типа (6.2). Только в качестве вектора х
здесь будет выступать вектор большей размерности: его ком-
понентами, помимо компонент вектора х из уравнений (6.1), бу-
дут также величины, характеризующие сдвиг фаз.
В прикладных задачах обычно основной интерес предста-
вляет изучение «медленных» переменных и закон изменения ча-
стоты «быстрых» переменных. Для этой цели достаточно изучать
только систему усредненных уравнений (6.2).
212
асимптотические методы разделения движений
[ГЛ ш
Итак, мы будем изучать систему (6.2). Условимся называть
ее стационарной точкой х* корень уравнения
Х(х*, е) =0.	(6.3)
Значение координаты х = х* иногда будем называть стацио-
нарной амплитудой, так как при изучении колебательных про-
цессов амплитуда является одной из медленных переменных.
В случае стационарной точки «быстрая» переменная у* бу-
дет являться «равномерно вращающейся фазой». В самом деле,
в этом случае у* = const и, следовательно,
У*—Уо+ [<о(х*) + еУ(х*, e)]t=t/o + Q^,	(6.4)
где
Q=<o(x*)+еУ(х*, e)=Q(x*).
Введенная терминология, как мы это видели при изложении
метода Ван-дер-Поля, оправдана тем, что все используемые по-
нятия (так же, как и метод) возникли из теории колебаний.
Определение стационарных состояний сводится к решению
системы трансцендентных уравнений. Система этих уравнений
может не иметь корней — это значит, что система (6.1) не имеет
стационарных точек. Система (6.3) может иметь конечное или
бесконечное число решений, а также может удовлетворяться и
тождественно. Последнее означает, что любое из состояний си-
стемы (6.1) стационарное. С этим явлением мы сталкиваемся
всякий раз, когда изучаемая система является консервативной.
2.	Исследование устойчивости. Основной вопрос, который
возникает при изучении стационарных состояний — это вопрос
об их устойчивости. Мы не будем здесь давать какие-либо стро-
гие определения и остановимся только на одном простом во-
просе. Предположим, что начальное состояние отличается от
стационарного, т. е.
х(0) = х* + бх(0).	(6.5)
Тогда естественно поставить вопрос о том, как исследовать
изменение вектора x(t), удовлетворяющего условиям (6.5). Если
вектор бх(0) достаточно мал, то мы можем положить
х=х* + бх
и составить для бх линеаризованные уравнения, т. е. составить
для системы (6.2) уравнения в вариациях.
После очевидных вычислений получим
бх=Лбх,	(6.6)
где А — матрица	_
А-II Чч
§ 61 ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК И УСТОЙЧИВОСТИ 213
Элементы этой матрицы будут постоянными величинами
- (д*1
dxj
где Xi и — компоненты векторов X и х соответственно. Таким
образом, поведение усредненной системы в окрестности стацио-
нарной точки может быть изучено при помощи системы линей-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами.
В начале этой главы мы рассмотрели задачу об устойчиво-
сти для системы с одной степенью свободы. В том случае вместо
векторной системы (6.6) мы имеем одно скалярное уравнение
dx = qdx.	(6.7)
Для асимптотической устойчивости тривиального решения урав-
нения (6.7) необходимо и достаточно выполнения неравенства
Я = Ш <°>	<6-8>
\ ах /
т. е. для исследования устойчивости^ нам достаточно проверить
только знак производной функции Х(х) в точке х=х*.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.
3.	Устойчивость тривиального решения системы (6.6). Умно-
жим обе части уравнения (6.6) скалярно на вектор 6х. Так как
(sx.dx)=44sx2=^4-S6xb
то уравнение (6.6) мы можем записать в виде
^- = 2(Дбх-бх).	(6.9)
Здесь через р обозначен радиус сферы «вариаций»
Р=/2М.
Далее заметим, что
2 (А ёх • dx) = S qij ёХг &Xj + У qJ{ ёх{ ёх,=
i. I	И
= У ri} &Xi f>Xj = (R(>x  dx),
«, /
где R — уже симметричная матрица, так как =	+
Итак, выражение (6.9) имеет следующий вид:
^- = (7?бх.бх).	(6.10)
214
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
(ГЛ. III
Отсюда видно, что для асимптотической устойчивости тривиаль-
ного решения (6.6) (т. е. для того чтобы р2—>0 при t—> оо) до-
статочно, чтобы квадратичная форма (/?бх • fix) была знакооп-
ределенно отрицательной. Следовательно, условиями устойчи-
вости стационарного решения будут условия знакоопределенной
отрицательности этой квадратичной формы.
Вспомним теорему Сильвестра: для того чтобы квадратичная
форма У aijXiXj была определенно положительной, необходимо
i, I
и достаточно, чтобы ее коэффициенты ац удовлетворяли следую-
щим неравенствам:
Ai =	Яц>0,		
	а11	а12	>0,	
Д2 =			
	а21	а22		
	а11	а12	• •• alk	
Aft =	tfftl aft2	• • • flftft	>0.
(6.Н)
Для того чтобы квадратичная форма (Rftx • fix) была знако-
определенно отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы
форма— (R8x • fix) была определенно положительной. Но, если
положить — гц = а{з, то
и вообще
А1 = Гц = —Ai, А2 =
Г 21
Гц
г 22
=д2
Дй = (-1 Рас-
Поэтому из условий (6.11) мы сразу находим достаточные усло-
вия устойчивости
А,<0
А2>0
Ас
если k четное,
если k нечетное,
(6.12)
где k — размерность матрицы А.
При k=l условия (6.12) сводятся к одному условию (6.8).
4. Замечания, а) Изложенные рассуждения могут быть ис-
пользованы и для изучения устойчивости нестационарных задач.
Рассмотрим снова систему (6.2), и пусть х* — некоторое
частное решение этой системы. Поставим вопрос об устойчивости
§ 5]
ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК И УСТОЙЧИВОСТИ
215
этого решения. Подобные вопросы возникают во многих при-
кладных задачах, например при исследовании переходных ре-
жимов в колебательных системах.
Замена (6.5) нас снова приводит к уравнению (6.6), но
только теперь элементы матрицы А будут уже не постоянными
числами, а некоторыми известными функциями времени.
Повторяя рассуждения данного раздела, мы опять можем со-
ставить уравнение (6.10). Функция р2 играет роль функции Ля-
пунова для уравнения с переменными коэффициентами
бх=Л(06х.	(6.6')
Согласно теореме Ляпунова для асимптотической устойчиво-
сти тривиального решения уравнения (6.6') достаточно суще-
ствования такой определенно положительной функции W(Ъх),
не зависящей от времени, что для любого 6х и любого момен-
та времени t имеет место неравенство
— (Ябх- бх)> Г(бх).
В качестве функции № мы можем принять функцию
1^=р(бх-бх),
где ц — любое положительное число. Тогда для устойчивости
нам достаточно потребовать, чтобы квадратичная форма
— (/?бх>бх) — ц(бх- бх)
была определенно положительной. Отсюда в силу неравенства
Сильвестра, мы получаем следующие достаточные условия
устойчивости:
П1 г12  • • г14 < — Р*>
rk\ rk2 ... rkk >J?,
(6.13)
если k нечетное,
если k четное.
б) Условия (6.12) определяют требования, которым должны
удовлетворять коэффициенты системы (6.6) для того, чтобы
обеспечить устойчивость решения. Изложенный способ иссле-
дования устойчивости является вариантом прямого метода
Ляпунова, а функция р2, как указывалось, является функцией
Ляпунова.
В прикладных задачах широко используются и другие ме-
тоды исследования устойчивости. Например, если матрица А
216
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
постоянная, то можно разыскивать решение уравнения (6.6) в
виде
&х=уеи.	(6.14)
Подставляя (6.14) в (6.6), мы получаем уравнение для X
|Л — ХЕ|=0.
Характеристический определитель |Д—КЕ\ представляет собой
некоторый полином от X. Для асимптотической устойчивости
решения 6х=0 необходимо и достаточно, чтобы корни этого по-
линома имели отрицательные действительные части. Условия,
которым должны удовлетворять коэффициенты этого полинома,
необходимые и достаточные для того, чтобы его корни имели
отрицательные действительные части, даются теоремой Гур-
вица*). Метод, использующий теорему Гурвица, совершенно
эквивалентен изложенному с точки зрения окончательного ре-
зультата.
в) Мы составили условия асимптотической устойчивости три-
виального решения уравнения (6.6). По теории Ляпунова из
этого факта следует и более сильный результат. Если условия
(6.13) имеют место, то мы можем утверждать, что решение х*
нелинейной системы (6.2) устойчиво в смысле Ляпунова (но не
асимптотически устойчиво).
5. Трактовка результатов. В данном параграфе мы обсуж-
дали возможности исследования устойчивости некоторого реше-
ния системы усредненных уравнений (6.2). Мы подошли к этому
вопросу совершенно формально, описав общепринятый способ
исследования устойчивости решений и понимая под устойчиво-
стью устойчивость в смысле Ляпунова. Устойчивость в этом
смысле предполагает исследование поведения решения на беско-
нечном интервале времени. Такое исследование и было прове-
дено для системы (6.6). Если решение этой системы асимптоти-
чески устойчиво, то, согласно теореме Ляпунова, из устойчивости
линеаризованного уравнения (6.6) следует устойчивость в
смысле Ляпунова решения х* системе (6.2). Но сама система
(6.2) является приближенной. Она с некоторой точностью (по-
рядка 0(e)) описывает решение исходной системы (6.1), и то
только на некотором конечном отрезке времени (порядка
0(1/8)).
В силу перечисленных обстоятельств без дополнительных ис-
следований никаких суждений об устойчивости в смысле Ляпу-
нова решений исходной системы (6.1) из наших рассмотрений
непосредственно сделать нельзя. Тем не менее использование
*) Н. Г. Ч е т а е в, Устойчивость движения. Работы по аналитической
механике, АН СССР, 1962.
§ Я
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЙ МАЙТНИКА
21?
описанного способа рассуждения дает много для технических
задач. Дело в том, что асимптотический метод исследования
уравнений имеет смысл применять только тогда, когда мы хотим
изучать поведение системы на конечном (хотя и большом) ин-
тервале времени. Следовательно, информация, которую доста-
вляет приведенный способ рассуждения, может оказаться вполне
достаточной для решения тех или других технических задач.
Примечание. Следует заметить, что в некоторых специ-
альных случаях, изучавшихся Н. Н. Боголюбовым и его учени-
ками, по устойчивости решения усредненных уравнений удается
судить об устойчивости решения исходных уравнений.
§ 7. Вращательные движения маятника
1. Замечания об изучении колебательных движений маятни-
ка. Маятником мы условимся называть систему, движение кото-
рой описывается уравнением
z+/(z)=0,	(7.1)
где f(z)—периодическая функция своего аргумента. Не огра-
ничивая общности, мы можем принять, что период этой функции
равен 2л и f(0)=0; кроме
того, мы будем считать, что
среднее значение / будет
2л
f = i = (7-2)
о
Все движения, описывае-
мые уравнением (7.1), ус-
ловимся называть собствен-
ными движениями маят-
ника.
Кроме собственных дви-	Рис. 28.
жений маятника, мы будем
еще рассматривать вынужденные движения, происходящие под
действием внешних возмущений. Такие движения мы будем
описывать уравнением
z+f(z) — e<p(z, z, t),	(7.3)
где e — малый параметр.
Фазовая плоскость уравнения (7.1) имеет вид, изображен-
ный на рис. 28. Замкнутые ветви сепаратрисы ограничивают об-
ласти значений гиг, соответствующие периодическим (колеба-
тельным) движениям. Незамкнутые фазовые траектории описы-
вают вращательные движения.
218
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ш
Во всех примерах этой главы мы рассматривали колебатель-
ные движения. Методы, развитые в этой главе, позволяют рас-
смотреть следующие задачи:
а)	Квазилинейные колебания. В этом случае колебания счи-
таются малыми, и уравнение (7.3) заменяется таким:
г4-<а2г = е<р(г, z, t).
Выбор постоянной ю в том случае, когда /(г) —аналитическая
функция, очевиден — это коэффициент при первом числе тейло-
ровского разложения функции f(s). Если f (г) не аналитическая
функция, то величина <» определяется методом эквивалентной
линеаризации. В этом случае величина <» зависит от ампли-
туды х. Разность
f(z) — (о2г=еф*(2)
относится к возмущающим силам.
б)	Колебания с малой энергией. Квазилинейные колебания
являются частным случаем таких систем. Однако на эту задачу
можно посмотреть и с более общей точки зрения. Предположим,
что мы снова представили функцию f(z) в виде
f(z) =ы2г — рф*(г),
где ц— некоторый малый параметр, не зависящий от е. Тогда
и уравнение возмущенного движения (7.3) будет
z + (i)2s — цф*(г) =е<р(г, 1, t).	(7.4)
Уравнение (7.4) содержит два малых параметра. При е=0 мы
получаем порождающее уравнение
г + (1)2г=цф*(г).	(7.5)
Если энергия системы мала, то можно построить приближенное
решение (7.5) с любой точностью относительно ц
z=Q(x, ы(х) (t + c)).	(7.6)
Используя решение (7.6), мы можем теперь построить решение,
асимптотическое по е.
Такой подход к исследованию уравнений (7.3) является более
гибким, чем тот, который дает квазилинейная теория. Исполь-
зование двух малых параметров позволяет обнаружить в неав-
тономных системах такие решения, которые нельзя определить
методом квазилинейной теории. Тем не менее его возможности
ограничены только малыми амплитудами.
в)	В том случае, если амплитуды колебательного процесса
велики, фазовая траектория уже близка к сепаратрисе, и мы
должны использовать для построения асимптотики общие ме-
§ 7]	ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА	219
тоды, которые были изложены в § 2 этой главы. Заметим, од-
нако, что если при увеличении энергии период колебаний будет
неограниченно увеличиваться (период движения вдоль сепара-
трисы бесконечно большой), то точность асимптотических пред-
ставлений будет уменьшаться.
Таким образом, методы данной главы позволяют с большой
точностью изучить всю область колебательных движений, за
исключением узкой полосы, примыкающей к сепаратрисе.
В настоящем параграфе мы рассмотрим вращательные дви-
жения маятника. Оказывается, что методы осреднения позво-
ляют для больших энергий построить теорию, по меньшей мере
не более сложную, чем изложенная теория нелинейных колеба-
ний. Изучение вращательных движений мы начнем с рассмотре-
ния собственных движений (<р=лО).
2. Новые независимые переменные. Перейдем теперь к изу-
чению тех движений системы (7.1), которые изображаются не-
замкнутыми фазовыми траекториями. Они соответствуют боль-
шим значениям начальной энергии.
Рассмотрим нова рис. 28 и какую-либо из кривых, описы-
вающих вращательное движение. Она пересекает ось 02 в точке
z = Q, и фазовая т- >ектория, соответствующая этому уровню
энергий, представл> л собой волнообразную кривую, лежащую
в окрестности прямой z=Q. Поэтому в уравнении (7.1)
ственно сделать замену переменных
dz „ ,
dt - Q + x.
Положим еще t=es, где e=l/Q. Тогда уравнение (7.7)
приведено к системе двух уравнений первого порядка
х' = —ef(z), 1
z' = 1 + ex, J
где принято обозначение q>'=dq/ds. Эта система уравнений от-
носится к рассматриваемому типу уравнений: она содержит одну
медленно изменяющуюся переменную — угловую скорость вра-
щения х и одну быстро изменяющуюся переменную z, которую
можно интерпретировать как угол между нитью маятника и
некоторой прямой, фиксированной в пространстве. Кроме того,
правые части являются периодическими функциями «быстрой»
переменной z. Таким образом, для изучения системы (7.8) могут
быть использованы методы, развитые в этой главе.
Для системы (7.1) условимся рассматривать следующую 33’
дачу Коши:
dz
при / = 0: -g- = Q, z = Q
есте-
(7.7)
будет
(7-8)
220
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. III
ИЛИ
(7.П)
(7.12)
при / = 0: х = 0 z = 0.	(7.9)
Так как система (7.1) не содержит явно времени, то рассмотре-
ние такой специальной задачи Коши не ограничивает общности.
Если мы найдем ее решение
z=z(Z, Q),
то общий интеграл уравнения (7.1) запишется в форме
z=z(t + t0, Q),	(7.10)
где Q и t0 — произвольные постоянные.
3. Построение асимптотики порождающего решения. Следуя
общей схеме, положим
x = x + eu!(x, z) + e2u2(x, z) + ...
z = z + evt(x, z) + e2v2(x, z)+ ...
где функции x и z удовлетворяют следующим уравнениям:
х = eAt (х) + е2А2 (х) + ...
z = 1 + еВ, (х) + е2В2(х) +
Как и во всех других случаях, мы будем считать функции п, и
Vj ограниченными. Далее, для того чтобы удовлетворить усло-
виям (7.9), примем
Ui(x, 0)=иДх, 0) =0.	(7.13)
Уравнение для определения функций uit vit А{ и В,- будут в этой
задаче такими:
^- = f(z)-At(x), ^ = х-В1(х),
dz dz 1 дх 1 dz 1	2'
dz 1 dx 1 dz 1	2' ’
И т. Д.
Рассмотрим первое из уравнений системы (7.14). Для огра-
ниченности функций «1 необходимо и достаточно, чтобы
А(х) = — J.
Но, согласно условию (7.2), /=0. Таким образом,
4, = 0.
(7.14)
(7-15)
Отсюда
Z
Ui (х, z) = — J f (z) dz + С (x),
о
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
221
§ П
где С(х) —произвольная функция х. Однако условие (7.13) нам
сразу дает
С(х)	0.
Введем обозначение
п	я
h)> j	(n) dt\ = Ф (г]).	(7.16)
о	о
Тогда мы можем написать
M1(z)=-W(z).	(7.17)
Повторяя рассуждения для второго из уравнений системы
(7.14), получим
Bi=x	(7.18)
и, следовательно,
»! = 0.	(7.19)
Используя результаты (7.17), (7.18) и (7.19), перепишем третье
уравнение системы (7.14)
откуда
Л2(х) = ^х = К=0	(7.20)
и, следовательно,
г
и2(х, z) = x j f (z) dz = xW (z).	(7.21)
о
Перепишем, наконец, последнее из уравнений системы (7.14)
с учетом полученных результатов
> = -^(г)-В2(х),
откуда	_
В2(х)=— ¥,	(7.22)
й, следовательно, используя обозначения (7.16), получим
v2(x, z)= — Ф(г)+Т-г.	(7.23)
Продолжив эту процедуру, легко получить, что Л3 = 0, и т. Д.
222
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ III
Ограничиваясь в наших вычислениях членами порядка О(е2),
придадим уравнениям (7.11) и (7.12) вид
х = х — s4; (z) + е2хЧ; (z) 4- ....
z = z — е2 (Ф (z) — ^z),
х' = О,
(7.24)
z' = 1 4- ex — e24f.
Интегрируя третье из уравнений (7.24) и учитывая начальные
условия (7.9), получим
х^О.	(7.25)
На основании равенства (7.25) остальные уравнения системы
(7.24) будут иметь следующий вид:
х = — s4; (z),
z = z + е2 (z4; — Ф (z)),
z'= l-e2^.
(7.26)
Перепишем формулы (7.26), возвращаясь к переменному / = s/Q,
и положим е= 1/Q
г=(й--^ФЬ+-^]ф(й-1Ф)/-ф( (Q - *
\	ей /	Ьй (	\	йй /	\\	йй /	/ J
*—тч’((£!-4ч')')'
(7.27)
Продолжив эту процедуру, мы можем получить решение с лю-
бой степенью точности относительно 1/Q.
Так как Ч; является постоянной, не зависящей от Q, го
удобно ввести новую постоянную
Тогда асимптотическое представление общего интеграла уравне-
ния (7.1) для случая больших энергий будет иметь вид:
z = А, (/ + /0) + уг { Т • Л (/ + /0) - ф (X (/ + /0))} 4- О (J3-) *).	(7.28)
Решение (7.28) содержит две произвольные постоянные Л и tn.
*) При выводе (7.28) мы использовали то обстоятельство, что
_!_=± + 0Ш
Л2 й2 \КЧ
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
223
§71
Примечания. 1. Итак, асимптотическое представление
общего интеграла уравнения (7.1) для случая больших энергий
может быть приведено в форме квадратур. Таким образом, в
этом случае мы имеем ту же самую ситуацию, которую мы
имели для малых энергий. В самом деле, если рассматривать
уравнение (7.1) как квазилинейное
г + «й2г=еф(г)= — (f (г) — ы2г),
то мы должны принять
z=xcost/,	х=const.
Тогда у удовлетворяет уравнению
2л
У = ® + 2^- / If cos у) - и2х cos у] cos у dy,
О
т. е.
2л
Z) = Q (х) = у +1 f (х cos у) cos ydy
о
и асимптотическое представление общего интеграла будет
z=xcos й(х) (/+/о),	(7.28')
где х и to — две произвольные постоянные.
Следовательно, формула (7.28) является аналогом (7.28'),
а формула (7.7) играет ту же роль при изучении вращательных
движений маятника, какую играет преобразование Ван-дер-Поля
в случае колебательных движений.
2. Для построения формул (7.28) мы использовали разложе-
ние функций в ряды и связанные с этой процедурой операции
дифференцирования. В § 4 этой главы было показано, что фор-
мула типа (7.28) может быть получена методом последователь-
ных приближений, реализация которого не требует предположе-
ния о дифференцируемости (и даже непрерывности) правой
части уравнения (7.1). Схема метода последовательных прибли-
жений применительно к данному случаю сводится к следую-
щему.
Вместо замены переменных (7.11), (7.12) мы полагаем
х = х + ей (х, z, е), 1
z = z + ev(x, z, е), j	(^-И)
х = еА (х, е),
(7.12')
z = 1 + еВ (х, е).
224 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ 111
Подставляя (7.1Г) и (7.12') в исходные уравнения (7.8), мы
получаем
А + еицА + Uz (1 + еВ) = — f (z + еv),
В + RVxB + Vz (1 + eB) = x + ей.
Решение' этой системы проводится по следующей итерационной
схеме:
u(k) ^_f(z + ev(k-i))_ eu(k-i)^-i) _	_ дю
уЮ = x +	— B^.
Нетрудно убедиться в том, что, использовав заданные начальные
условия, а также условия ограниченности функций и и v и про-
водя два шага итерационного процесса, мы придем к формуле
(7.28).
4. Вращательные движения математического маятника. В ка-
честве простейшего примера рассмотрим вращательные движе-
ния математического маятника
z + sinz=0.	(7.29)
В этом случае
f (z) =sin z
и, следовательно,
4r(z) = l— cos z, 4r=l, O(z)=z — sin z.
Используя эти выражения, составим выражение (7.28)
z = М + -р- sin Kt + О (уз-).	(7.30)
Решение уравнения (7.29) выражается через эллиптические
функции, поэтому асимптотику уравнения (7.30) можно по-
строить, опираясь на свойства эллиптических функций.
Примечание. Если правая часть уравнения (7.1)—ана-
литическая функция z, то приближенное решение в случае боль-
ших энергий может быть построено и другими способами. На-
пример, полагая в уравнении (7.1)
z = Qt + a, £lt = s, ~ = е,
мы приведем его к виду
^ = _e7(s + a).
Правая часть данного уравнения зависит от малого параметра е,
причем эта зависимость аналитическая, поэтому его решение
можно искать в виде ряда по степеням е, опираясь на теорему
§7J
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
225
Пуанкаре. Применяя подобные рассуждения к уравнению (7.29),
мы получим
( |	К	)
z = Й/ + sin	— -fgo2-+ ...> +
( №	low2	J
+ sin2й/|"дог + ...| + sinЗШ1 48Q*	••• (7-31)
Первые члены разложений (7.30) и (7.31) совпадают.
5. Пример маятника, возвращающая сила которого разрыв-
на. В § 4 этой главы мы уже обсуждали применимость методов
усреднения к тому случаю, когда функция f(z), входящая в
уравнение (7.1), не допускает разложения в ряды. Покажем на
примере, какие результаты могут
быть получены в том случае,
когда функция f(z) разрывна. _________ ________
Пусть f(z) — периодическая
функция z периода 2л, причем--------—-------------
(+1, ге(0, л),	—1	--- --------
(-1, ге(-я, 0).
График функции f(z) изображен	рис. 29.
на рис. 29.
Так как /=0, то фазовая плоскость уравнения (7.1) будет
в этом случае периодическая, т. е. иметь структуру, изображен-
ную на рис. 28.
Вычислим
2
T(z)=|f(z)rfz = {
о	1
Следовательно,
Ф = J-
2л
Далее
z, ге(0, л),
— z, z	(—л, 0).
5»2
Z«=(0, Л),
2€=(-Л, 0).
Ф(г) =
Теперь для этого случая составим выражение (7.28)
W + W /е(°- т)’
Л	L	л	J	\ Л /
, , , 1	Г л	, .	, Л2/2 1	. / л
Л/ +	2	A.Z	+ 2 j,	/ е ( — —,	0).
(7.32)
226
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Движения, которые определяются формулами (7.32), изобра-
жены на рис. 30, где
X=tg (р.
6. Система с вращающимся звеном. Методика, изложенная
в этом параграфе, может быть использована без каких-либо су-
, шественных изменений для исследования уравнений значительно
более общего вида, чем рассмо-
тренный.
Предположим теперь, что
вместо уравнения (7.1) мы рас-
сматриваем такое:
z+f(z, g)=0,	(7.33)
где g — вектор, изменение кото-
рого описывается системой диф-
ференциальных уравнений
£ = Ш г).	(7.34)
По-прежнему будем предполагать, что функция f(z, g) периоди-
ческая по z периода 2л для любого g, причем
Л
— Л
каково бы ни было g.
Функцию R также будем считать периодической функцией
переменной z периода 2л (в частности, не зависящей от z). Бу-
дем предполагать далее, что
z(0)=Q
есть некоторое большое число.
Систему (7.33), (7.34) при этих условиях мы будем назы-
вать системой с вращающимся звеном. Такие системы часто
встречаются в приложениях. Например, как мы это увидим в
следующем параграфе, общая задача движения спутника, т. е.
задача исследования совместного движения центра инерции
спутника и его движения относительно центра инерции во мно-
гих случаях сводится именно к исследованию системы с вращаю-
щимся звеном (или с вращающимися звеньями).
После замены
t = es, е = ту, z = Q + х
§71
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
227
мы приведем систему (7.33), (7.34) к следующему виду:
V = eR (£, z),
х' = —efU, z),
z' = 1 + ex,
(7.35)
где ' — штрих означает дифференцирование по новому незави-
симому переменному s.
Для системы (7.35) рассмотрим задачу Коши с начальными
данными
(7.36)
g(0)=a,	х(0)=0,	z(0)=0.
Эта задача может быть изучена стандартным методом. Быстрая
переменная z при этом исключается, и мы приходим к системе
уравнений, порядок которой равен п+1. Однако в этом случае
результат уже не может быть представлен в столь компактной
форме, какую нам удалось получить в задаче о вращательном
движении маятника.
7. Маятник с переменной возвращающей силой. Частным
случаем систем с вращающимся звеном является маятник, дви-
жение которого имеет вид
z + f(z, t) =0
(7.37)
при условии, что его начальная энергия велика. Эта задача сво-
дится к системе типа (7.33), (7.34) заменой
t=t, i=i.
Тогда система уравнений типа (7.35), соответствующая этому
уравнению, будет иметь следующий вид:
V = е,
Х'= — ef(z, I),
z' = 1 + ex.
(7.38)
Повторяя дословно все те рассуждения, которые были приве-
дены в начале параграфа, мы легко получим для этого случая
формулы типа (7.15), (7.17) —(7.19), (7.20), (7.22) и (7.23).
Возвращаясь затем к старым переменным, найдем
z(Z)= (п --^ччф+-^{^)ф -^Wo))-
-фр, (я -Аччф]}
или, вводя новое обозначение для произвольной постоянной
А = Й-^(У,
228	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. III
получим окончательно для величины отклонения маятника сле-
дующую асимптотическую формулу:
z (0 = W + {ф (t) М - ф (/, А/)}.	(7.39)
Заметим, что асимптотическая формула (7.39) была получена
без каких-либо предположений о скорости изменения параме-
тров маятника (7.36). Это обстоятельство является отличитель-
ной особенностью задач асимптотики больших энергий. В этих
задачах усреднение производится по периоду вращательного
движения, который мал, и, следовательно, параметры системы
за время одного оборота не успевают получить значительных
приращений, даже если их производные и не являются малыми
в «реальном масштабе времени».
В качестве примера рассмотрим вращательные движения ма-
тематического маятника в поле переменной гравитации. Его
уравнение можно записать как
z+g(/)sin z=0.	(7.29')
Применяя формулу (7.39), мы получим следующий аналог фор-
мулы (7.30):
z = kt + sin kt.	(7.30/)
Примечание. Решение уравнения (7.29) мы могли полу-
чить в эллиптических функциях, и формулу (7 30) можно было
вывести и из точного решения, не прибегая к асимптотической
теории. Уравнение (7.29') уже не интегрируется в элементарных
функциях.
Колебательные движения, изученные в предыдущих парагра-
фах,— это некоторый класс движения в окрестности положения
равновесия. Движения, которые мы рассматриваем в этом пара-
графе, — это класс движений, близких к равномерному враще-
нию и имеющих также колебательный характер. Поэтому и здесь
уместно ввести понятие амплитуды—максимального отклоне-
ния от равномерного вращения. В данном случае, как это сле-
дует из формулы (7.30'), амплитуду a(t) можно определить
Формулой
1
Из этого выражения видно, что амплитуда при вращательном
движении растет с увеличением напряженности гравитационного
поля. Напомним, что в случае колебательных движений ампли-
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
229
§ 71
туда с увеличением интенсивности гравитационного поля умень-
шалась по закону
**—4____•
Kg (О
Сопоставление этих двух формул указывает на существование
качественных различий в характере колебательных движений в
окрестности положения равновесия и равномерного вращения.
8. Теория возмущений. Рассмотрим теперь уравнение
z+f(z, r)=|i(p(z, z, t),	т=|т/+т0	(7.40)
и будем предполагать, что энергия этой системы достаточно ве-
лика. Таким образом, предполагается, что при ц=0 движение
маятника (7.40) вращательное.
Параметры Q, характеризующий энергию системы, и ц, ха-
рактеризующий возмущающие воздействия, считаются независи-
мыми; поэтому для исследования уравнения (7.39) можно по-
строить теорию, аналогичную той, которая была развита в § 2
этой главы, опираясь на асимптотические решения порождаю-
щего уравнения (7.1)
z+f(z, to) =0.
Будем считать, что решение порождающего уравнения (7.1)
имеет вид
z=Q(x, у, т),
где
Q = «/+Z(x, у, т),	(7.41)
здесь х—произвольная постоянная, а
*/ = <о(Х, т)
w(x, т)—нормирующий множитель, выбранный так, чтобы
функция Z была периодической функцией переменного у пе-
риода 2л. Сопоставляя выражение (7.41) с асимптотическим
представлением (7.28), мы получим
, 1 1 1
со — Л, х —	, ®	, ,	j
/1\	/|\ Н7Л2)
Z(x, у, т) = Т(т)1/-Ф(1/, T) + o(p-j = Z(y, т) + О (-£3-). j
Таким образом, с точностью до 0(1 /X3) функция Z не зависит
от х. Определим еще Z:
Z = i»Zv>	(7.43)
230
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ III
или, используя формулы (7.42),
2 = 7^^-	(7-44)
Используя замену переменных, определенную формулами (7.41)
и (7.44), составим уравнения относительно новых переменных х
и у (см. § 3 этой главы):
X = — -у {<₽Qy + £1} = pZ (х, у, т),
(7.45)
У = И + -у {ф<2х + £1) =	(х, у, т),
li = -axQ2+(QxQyy-QyxQy)a,	।
£2 = — ^rQyQx + ®jcQyQx + ® (QrQxy ~ QyxQx)’ |	(7-46)
^-^(QxQyy-QM-^Q2y	J
Используя далее формулы (7.42), получим
Q = у + xZ (у, т),
Qy = 1 + xZy,
?уу = х%уу>
Qr = xZr,
Q2 = l + 2xZy + x2Z2,
Qxy = ^у,	== 0,
Qyx = xZyX,
и, следовательно, выражения (7.46) можно переписать в сле-
дующем виде:
д = --±=- +/х (zz --z2U-®3 + -(zz --z2),
2 Ух3	\ у 2 у! 2 а> \ у 2 у]
£1 = /х [ Zyx + х (ZxZyy ZyXZy)],
Zx	г — / ZyZx	\
=	+ ^x \2 ZZyT
Из формул (7.47) следует, что
A = V®3+0 (—1
2	\ со /
ИЛИ
Д = ?Т7+0(^)-
(7.47)
(7.48)
9. Уравнение Ваи-дер-Поля. В этой книге мы не раз обра-
щались к уравнению Ван-дер-Поля
г + г = р(1 -yz2)z.	(7.49)
4 71
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
231
Используем его в качестве примера для иллюстрации излагае-
мых методов. Напомним некоторые результаты, -относящиеся
к уравнению (7.49).
Если разыскивать решение этого уравнения в виде
z=cos у,
то первое из укороченных уравнений будет иметь вид
* =	(7.50)
откуда сразу следует, что существуют две стационарные ампли-
туды
Х1 = 0, х2 = -^.	(7.51)
V ь
Для проверки устойчивости стационарных решений (7.51) нам
достаточно определить знак производной правой части уравне-
ния (7.50)
бх2 уп
4
d
dx
Из этих неравенств следует, что стационарное решение не-
устойчиво, а х2 устойчиво.
Уравнение (7.49)—это квазилинейное уравнение. Его ана-
логом для произвольных отклонений z естественно считать урав-
нение
z + sin z = (i(1—6sin2z)z.	(7.52)
Порождающее уравнение, которое получается при ц=0, нами
уже изучено. Его общее решение можно представить в виде
z = y+xZ(x, у),	(7.53)
где у —tat, со=~4=, Z— периодическая функция переменной у
V х
периода 2л. Величину х — отклонение от равномерного враще-
ния — будем называть амплитудой.
Решение (7.53) допускает, как мы знаем, асимптотическое
представление
z(x, у) = sin у + О (-U.
232
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. III
Величины х и у будем рассматривать как новые переменные и,
применяя методику предыдущего пункта, получим
z=Q(x, у} =у+х sin г/,
z = (i>Qy = -/L-C + xcos у),	Д = —L-.
Выпишем первое из уравнений системы (7.45)
х = — -£• <pQj, = — 2цх {I — b sin2 (у + х sin у)} {1 + х cos у}2.	(7.54)
Правая часть уравнения (7.54) — периодическая функция пере-
менной у периода 2л. Прежде чем проводить осреднение по этой
переменной, представим правую часть уравнения (7.54) в виде
ряда, расположенного по степеням х:
х = — 2цх{L — b sin2 i/-|-x(2cos у — 4b cos у sin2 у) +
+х2( cos2 y + b sin3 у cosy — 6b sin2 у cos2 y) +*3(...)+...}.
Усредняя правую часть этого уравнения, имеем
х = — 2рхр— 4 + х2(т-Т ь) + х*(-- •)+ •• •}•
Удержим в фигурных скобках только величины нулевой и вто-
рой степени относительно амплитуды х
х = -2рх{ 1—Ьт+ *2(4-т)4	(7-55)
и в этой приближенной постановке найдем стационарные ампли-
туды
х, = 0, х2 = -|/2-^-.	(7.56)
Так как при выводе уравнения (7.55) мы приняли предположе-
ние о малости амплитуды, то формула (7.56) имеет смысл
только для значений коэффициента Ь, близких к двум (но 5<2).
Для исследования устойчивости вычислим
Отсюда следует, что решение Xj устойчиво, а решение х2 не-
устойчиво.
10. Особенности резонансных явлений в системах с вращаю-
щимися звеньями. Задачи исследования резонансных явлений
в системах с вращающимися звеньями имеют целый ряд особен-
§ ?]
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
233
ностей. Продемонстрируем этот факт на одном простом при-
мере.
Рассмотрим частный случай уравнений (7.39)
где
z+f(z) =<p(z, /),
(7.57)
<p(z, t) =ф(<т/) — 2vz,
здесь v — некоторая положительная постоянная, а число <т по-
добрано так, что функция ф(<т/) является периодической функ-
цией периода 2л по переменному at. Предположим, кроме того,
что средние значения периодических функций ф и Z равны нулю
ф=0,	Z=0.
Ограничимся рассмотрением случая главного резонанса и вос-
пользуемся общей методикой § 5 этой главы. Для этого сделаем
прежде всего замену
z = Q (х, у) = у + xZ (у), z = <&Qy =	(1 + xZy)
и заменим уравнение (7.57) следующе-й системой (см. уравне-
ния (7.45)):
х = - % vQy = - 2|*х’/г{ ф(I) - (I + xZy) } (1 + xZy),
у = й + у <pQjr = x~'!i + 2цх’/з {ф(|) — р=- (1 + xZy) j Z,
(7.58)
Мы условились рассматривать случай главного резонанса.
Это значит, что амплитуда х изменяется в окрестности значе-
ния х°, являющегося корнем уравнения
1
т=г = а.
(7.59)
При этом предположении преобразуем систему уравнений
(7.58), сделав стандартную замену переменных
f/ = l + 6.	(7.60)
После замены (7.60) правые части системы (7.59) окажутся
периодическими функциями переменной £ периода 2л. Далее
проведем усреднение по быстрой переменной |, в результате
234
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
получим следующую систему' уравнений первого приближения:
{2л	2л
i	оН ^)Zy(l + Q)dl-
J	^Jv
о	0
2Л
т=У 0 + ixZ>«+e) + '’WW . P.6I)
r	0
0 = -г^ — ст + 2цх3/2
V x
2л
j\(l)z(g + o)^-
0
2Л
f (z(g + e) + xzy(g + e)z(g + e))^
F X 2л "
Систему (7.61) можно значительно упростить. Так как в рас-
сматриваемой теории предполагается, что х — х°=О(р), то
1
—^ — о = —
V X
X — Xй
2 У”х°3
+ <Ж)-
Поскольку мы изучаем уравнения первого приближения, то
слагаемое порядка О(ц2) можно отбросить. На этом же осно-
вании в правых частях системы (7.61) мы можем заменить х
на х°. Далее мы будем пренебрегать величинами х2 по сравне-
нию с единицей.
Заметим, кроме того, что:
1)	по условию
2Л
О
2)	в силу того, что функция Z(y) периодическая, имеем
2л
Jz„U+0)^ = ^-{Z(2«+0)-Z(O)} = O;
О
3)	на том же основании
2Л
|z„(g+0)Z(g +0)^ = 0;
о
§ 71	ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА	235
4)	по условию и в силу периодичности Z(y)
2л
^JzfS+eNE-o.
О
Введем еще следующие обозначения:
2л
/^№)ZHU6)^ = Fi(6),
О
2Л
j\(l)Z(l+0) ^ = F2(0).
о
Используя эти замечания и введенные обозначения, перепишем
систему (7.61) в форме
х = — 2ц /х03 ( x°Fi (0)-
(	V х°
0 = —	 + 2ц Vx^F2 (0).
2 У х°3
Возможные стационарные режимы резонансных «колебаний»
х' и 0* определяются системой уравнений
(7.62)
х* = х° + 4цх°3£2 (0*)>
которая получается из (7.62) при х=0 = О.
Первое из уравнений (7.63), определяющее сдвиг фаз при
резонансе, является нелинейным уравнением и может иметь
сколько угодно корней (в том числе и ни одного). Определив О*,
находим резонансную амплитуду х* однозначно.
В качестве примера рассмотрим уравнение (7.57), в котором
f(z)=sinZ, ip(o/)=sinoZ.
Тогда
Z = sin г/,	Zy=cost/,
2л
^1(0) =2^ / sin g cos (g+0)dg= — ysinO,
0
2Л
F2 (0) = 2^ / sin В sin (I + 0) = у cos 0.
0
236
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. Ш
Величина х° определяется равенством
Соотношения, описывающие стационарное решение в данном
случае, мы можем представить в следующем виде:
sin 6* -----= — 4w3,
V X»3
Первое из уравнений (7.64) нам показывает, что существуют
только два резонансных режима 6J и 0*. Эти величины лежат
во втором и четвертом квадрантах, т. е. cos 6* и cos 6* имеют
разные знаки. Следовательно, одна из резонансных амплитуд
больше чем х°, а вторая меньше.
Рассмотрим теперь устойчивость стационарных решений х*
и 6*, которые определяются формулами (7.63). Для этого мы
должны составить систему уравнений в вариациях для системы
(7.62).
Положим
х=х*+бх, e=e*+se.
Подставляя эти величины в (7.62) и линеаризуя относительно
вариаций 6х и 66, получаем
6х = — 2|т №	б6-
66 =-----+ 2|i /х03	66.
2 и de
Составим характеристическое уравнение этой системы
А
Вычислим производную dF2ldb для значений 6 = 6’, удовлетво-
ряющих первому из уравнений (7.63):
2л	2л
4г = i J z & + е’) i J + е‘)^ = f > <6*)-
о	о
§ 7]	ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА	237
Заменяя далее FJ0’) по формулам (7.63), мы приводим ура-
внение (7.65) к виду
V - 4pvA -	= 0.	(7.66)
Для того чтобы вычислить производную dFJdQ, необходимо кон-
кретизировать задачу. Например, в том частном случае, кото-
рый мы рассматривали в качестве примера
и уравнение (7.66) имеет следующий вид:
V - 4pvX + cos 6‘ = 0.	(7.67)
Заметим, однако, что для суждения об устойчивости нет не-
обходимости конкретизировать вид функции dFJdQ. Каковы бы
ни были величина и знак dFJdQ, оба корня уравнения (7.66)
имеют положительные действительные части, т. е. мы имеем в
этом случае совершенно общий результат: стационарные резо-
нансные режимы у вращающегося маятника при наличии
трения неустойчивы.
Впервые этот результат для частного случая математиче-
ского маятника, когда решение может быть получено в эллип-
тических функциях, был установлен Ф. Л. Черноусько. Исполь-
зование асимптотики больших энергий показывает его универ-
сальность.
На основании общих соображений мы можем высказать
только суждение о неустойчивости. Изучение характера разви-
тия изменения амплитуды и фазы требует использования более
детальной информации.
Рассмотрим снова пример вращательных движений матема-
тического маятника. Мы знаем, что эта система имеет два ста-
ционарных режима	и х\<х° Первому из этих режи-
мов, согласно формулам (7.64), отвечает такое значение0Ь что
cos 01 > 0.
Следовательно, в этом случае
2 — 2pvX ± j/"4pV — cos 0’ .
В зависимости от соотношения величин, входящих в подкорен-
ное выражение, неустойчивость может быть либо колебательной,
либо апериодической. Если
4p2v2 < cos 0*,
238
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ.; lit
то Xi, 2 будут комплексно сопряженными и мы имеем колеба-
тельную неустойчивость. В противном случае неустойчивость бу-
дет апериодической.
Режиму х* отвечает такое значение стационарной фазы
0’, что cos 0^ <0. Легко видеть, что этому случаю всегда отве-
чает апериодическая неустойчивость.
Итак, резонансные режимы в условиях вращательного дви-
жения маятника всегда неустойчивы, если только на маятник
действует диссипативная сила (v>0). Если v = 0, то мы имеем
нейтральный случай. Оба корня характеристического уравнения
чисто мнимые. Это значит, что для суждения об устойчивости
мы должны рассмотреть более сложную задачу о колебании
с учетом нелинейных членов. Во всяком случае, из изложенной
теории следует, что диссипативные слагаемые играют дестаби-
лизирующую роль. Это обстоятельство указывает на существо-
вание качественных различий между колебательным движением
около положения равновесия и колебательным движением около
равномерного вращения.
Причина этого различия очевидна. В первом случае диссипа-
тивные силы никак не влияют на сам характер невозмущенного
движения (состояние покоя), а во втором случае они разрушают
само невозмущенное движение.
Для того чтобы были правомерно рассмотрены аналогии ме-
жду этими двумя типами движений, необходимо в случае вра-
щательного движения приложить к маятнику некоторый по-
стоянный момент, компенсирующий в среднем действие дис-
сипативных сил.
11. Метод В. М. Волосова в теории вращательных движений.
До сих пор все наши рассуждения основывались на предполо-
жении, что энергия велика и теория, которая была развита,—
это асимптотическая теория больших энергий. Ее выводы тем
точнее, чем больше угловая скорость вращательного движения.
Поэтому излагаемую здесь теорию можно еще назвать асимпто-
тикой быстрых вращений.
Теперь представим себе, что речь идет об исследовании вра-
щательных движений, у которых угловая скорость вращения еще
не настолько велика, чтобы можно было использовать асимпто-
тическую теорию быстрых вращений. В этом случае можно вос-
пользоваться методом В. М. Волосова и найти приближенное
выражение интегралов иевозмущенного движения. В § 2 этой
главы мы уже изложили подход В. М. Волосова для изучения
существенно нелинейных колебательных движений. Этот подход
может быть с успехом применен и для исследования вращатель-
ных движений. Более того, в теории вращательных движений
реализация этой схемы даже проще, чем в случае колебатель-
§ 7]
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
239
ных движений. Повторим рассуждения п. 4 § 2 этой главы
с учетом тех особенностей, которые связаны с вращательным
характером изучаемых движений.
Итак, рассмотрим снова уравнение
z+"f(z) =е<р(гг),	(7.68)
где е>0 — малый параметр, f (z) — периодическая функция пе-
риода 2л.	и
Так как мы рассматриваем	' 7
вращательные движения, то
речь идет об изучении части
фазовой плоскости, заполнен-
ной неограниченными движе-
ниями (рис. 31). При [1=0
уравнение (7.68) допускает
следующие два интеграла:
z2 + U (z) =а,
Рис. 31.
где
l/(z) = 2 |/(г) dz,
if dz _
7 (а) J Va-U(z) ~
= t + const = p.
качестве новых пе-
при изучении урав-
Ф(з, <х) =
Примем в
ременных
нения (7.68) величины а и р, и
личин в силу уравнения (7.68)
d = 2г (z + f (z)) = 2еср(г, У а — U (г))Уа — U (г) =
= 2еср* (г, а) |/а — U (г),
р = 4^- г + 4^- а =	, + 2еф* (г, а)	У а — U (г) .
r dz да Т (а) т ' да '	' '
вычислим производные этих ве-
(7.69)
Правые части системы (7.69) являются периодическими функ-
циями t периода Т(а), а следовательно, и переменной р. По-
этому для того, чтобы получить уравнения первого приближе-
ния, достаточно осреднить правые части системы (7.69) по пе-
ременной р
т
* = 1^а) / ф*(2’ а) Va~U (z)
О
(7.70)
О
240
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Но дифференциалы dz и d$ связаны соотношением
dz = ± /а - U (z) d$,	(7.71)
где плюс соответствует движению в верхней полуплоскости, ми-
нус — движению в нижней полуплоскости.
Производя в уравнениях (7.70) замену (7.71), получим
а = ± J Ф* dz>
Z
Z
$ == V7T ± т('\ f 4^" ф* а)
r Т (а) Т (а) J да v 4	7
г
(7.72)
Интегрирование в этих выражениях производится вдоль фазо-
вой траектории, ордината которой в случае вращения является
периодической функцией переменной г периода 2л. Поэтому
в качестве г можно взять z=0, тогда z = 2n.
Вычисление периода Т(а) также сводится к квадратуре
2Л
Т (а) = f ^.-dz - .	(7.73)
J Va~U(z)	’
Для величины d и f) можно получить и другие приближен-
ные формулы, опираясь на уравнения (7.69).
Так как правые части этих уравнений являются в случае
вращательных движений периодическими функциями z периода
2л, то, усредняя по г, мы получим аналог формул (7.72)
2Л	}
a = J ip* (z, а) У а — U (z) dz,
о
2Л
о
(7.74)
Помимо d и (I, можно вычислить еще целый ряд важных харак-
теристик. Например, представляет интерес знать изменения
максимальной величины z=z(0). Так как
di	., .
- еФ - / (z)
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 241
и, по предположению, /=0, то, осредняя по г, получаем сле-
дующую явную формулу:
2Л
<7-75>
о
12. Заключение. Итак, мы видим, что изучение вращательных
движений может, несмотря на их существенно нелинейный ха-
рактер, быть проведено стандартными методами нелинейной
механики. В некотором отношении изучение вращательных дви-
жений даже легче, чем колебательных.
Изучение вращательных движений в последние годы значи-
тельно продвинулось: рассмотрен целый ряд прикладных задач
и, в частности, значительно усовершенствована методика их ре-
шения. Продвинут вперед и целый ряд теоретических вопросов,
что касается прежде всего теории резонансных решений. Из
числа авторов, внесших существенный вклад в эту область,
следует прежде всего упомянуть В. М. Волосова, Б. И. Моргу-
нова и Ф. Л. Черноусько.
§ 8. Приложения к задачам динамики
орбитальных аппаратов
1. Предварительные замечания. Асимптотическая теория раз-
делений движения выросла из теории колебаний, которая дол-
гое время была единственным поставщиком материала для ее
формирования. Однако в последние годы методы излагаемой
теории проникли в самые разнообразные области физики и ме-
ханики. Настоящий параграф имеет своей целью проиллюстри-
ровать ее возможности в такой новой области механики, ка-
кой является динамика космических орбитальных аппаратов.
Задачи, которые здесь возникают, по существу являются много-
мерными. Поэтому они очень трудны для какого-либо качествен-
ного анализа. В динамике космических аппаратов мы практи-
чески не имеем аналитических решений. Даже в случае кепле-
ровского движения в поле одного притягивающего центра связь
координат и времени сводится к громоздкой квадратуре. По-
этому в динамике космических аппаратов особую роль играют
численные методы.
Одна из важных задач, которую в теории колебаний решал
метод разделения движений, — это дать такое приближенное
описание колебательного процесса, которое обеспечивало бы
наглядное представление о его природе. Поскольку в динамике
космических аппаратов подобные задачи не играют существен-
ной роли, то методы разделения движения здесь в первую
242
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
очередь используются для построения рациональных вычисли-
тельных схем.
В данном параграфе рассматривается ряд простейших пло-
ских задач динамики, выбор которых определяется исключи-
тельно методическими соображениями. Задачи, с которыми
приходится сталкиваться инженеру при расчете и проектиро-
вании орбит, значительно сложнее рассмотренных здесь. Автор
следовал в основном своему докладу на XIV Международном
конгрессе по астронавтике в г. Варна в 1962 г., целью которого
было проиллюстрировать возможности метода усреднения для
построения эффективных вычислительных схем как в проблеме
расчета орбит вне атмосферы, так и при исследовании атмо-
сферного участка траектории*). В последние годы были полу-
чены новые и важные результаты в этой области. В числе авто-
ров, внесших вклад в эту область, в первую очередь следует
назвать имена Ю. М. Евтушенко, Г. Е. Кузмака, Ф. Л. Черно-
усько.
Возможности и перспективы асимптотических методов в этой
теории основываются на следующем обстоятельстве. Существует
большое число задач динамики космических аппаратов, в ко-
торых имеется по меньшей мере два различных характерных
масштаба времени. Например, действие возмущающих сил
внешних планет мало, и результат их действия становится за-
метным только по прошествии значительного отрезка времени,
в течение которого спутник совершит много витков по своей ор-
бите. Таким образом, в течение одного витка параметры орбиты
изменяются очень незначительно. Другой пример: вследствие
случайных импульсных моментов, действующих на аппарат в
момент его отделения от последней ступени, движение нестаби-
лизированного аппарата носит вращательный характер. Может
оказаться, что период этого вращательного движения во много
десятков раз меньше времени полного обхода орбиты. Число
таких примеров можно значительно увеличить.
Существование нескольких характерных масштабов времен
позволяет развить соответствующие асимптотические теории и,
следовательно, во многих случаях получить полезную информа-
цию о природе движения. Кроме того, и это еще более важно,
с помощью асимптотических методов удается построить эко-
номные и более точные схемы численного расчета.
2. Возмущения кеплеровских орбит. Рассмотрим плоское дви-
жение материальной точки в гравитационном поле Земли. Если
ее движение происходит вне атмосферы, то основной силой, дей-
*) Н. Н. Моисеев, Methods поп-linear mechanics in the problems of the
dynamics of setellites, Trans of XfV-th Astronautical congress, 1962.
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 243
ствующей на точку, будет сила притяжения Земли. Поэтому
движение рассматриваемой точки будет описываться уравне-
нием
— = - +
dt2 г3 r + EJ’
(8.1)
где г—радиус-вектор точки, [х— гравитационная постоянная,
ef — вектор возмущающих сил, в — малый параметр (обозна-
чения даны на рис. 32). Первое слагаемое, стоящее в правой
части уравнения (8.1), — это напряженность гравитационного
поля одного притягивающего центра. В действительности, силы
притяжения Земли несколько отлича-
ются от этой величины, поскольку Зем-
ля не представляет собой точечную
массу. Разность вектора напряжен-
ности реального поля Земли и вели-
чины (ц/г3)г является одной из со-
ставляющих вектора ef. Кроме того,
к числу составляющих этого вектора
мы отнесем притяжение Луны и пла-
нет, сопротивление атмосферы и т. д.
Может оказаться также, что аппарат
(который мы схематизируем как ма-
териальную точку) находится под дей-
ствием тяги двигателя «малой тяги».
Рис. 32.
В этом случае ускорение, которое создается этим двигателем,
мы также отнесем к числу возмущающих сил.
Перепишем уравнение (8.1) в проекциях на оси полярной
системы координат

dvr
dt
(8.2)
Здесь vr и — проекции вектора скорости
V=4T=vrr°+ М°
на направление радиуса-вектора и трансверсаль
dr	dtp
Vr = ~di' V^rW-
(8.3)
(8.4)
Величина h, определенная равенством
h=Vxr,
244
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. IH
носит название секториальной скорости. Используя равенства
(8.3) и (8.4), легко найдем, что
й = г2^(р°ХГ°).
Вводя обозначение
можно выражение угловой скорости dq]dt записать так:
— = н2Л
dt и ""
(8.5)
Рассмотрим первое из уравнений (8.2). Заметим прежде всего,
что, используя (8.5), его можно представить в виде
^(дг) = м3/г2_|хм2 + е^-	(8.6)
Составим теперь уравнение, которому удовлетворяет функция
и(ф). Для этого проделаем следующие вычисления:
at б/ф	аф \ и !	б/ф ’
d(^\_dlh^u\ih=_u2h^dM_ + h^ut
dt \ at ) аф \ аф /	( дф дф дф2 J
Используя эти вспомогательные выражения и уравнение (8.6),
получим
d2u , 1 d« d/г	_JL__ efr	(я 7x
dtp2 h dtp dqj	h? u2h2 '	' ' '
Составим далее уравнение, которому удовлетворяет величина /г;
так как
то второе из уравнений системы (8.2) мы можем переписать
в виде
Ат (uh) = u2h2 + ef
dt ’	dq> 'Ч
Перехоця к переменному <р, найдем
d / *.  Г du , , dh ~| о,
-тг (uh) = -j— h + -т- и I u2h.
dt ' '	L dtp dip J
Из этих двух выражений получим искомое уравнение
dh. у
dtp u3h
(8.8)
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 245
Используя в свою очередь уравнение (8.8), мы можем исклю-
чить из уравнения (8.7) производную dhjdtp
d2u ц j fr du /ф \
~d^ + u==~h2~&(	+ ЛрHW J *	'8-9)
Уравнения (8.8) и (8.9) образуют замкнутую систему уравнений
относительно и и h. В результате ее интегрирования мы полу-
чаем элементы орбиты как функции полярного угла ф. Для
того чтобы перейти к аргументу t, необходимо еще вычислить
квадратуру
ч>
'-/я--	<81°)
о
При 8=0 система уравнений (8.8), (8.9) имеет точное решение
«(ср) = -тг + х cos ср,
h Т	(8.11)
h = const = Ло,
где х и ho — некоторые постоянные.
Следуя общей схеме метода усреднений, решение системы
(8.8), (8.9) будем искать в виде
« =-Jr + х cos г/,	^-=—xsin#,	(8.12)
где х и у — неизвестные функции угла ф. Из (8.12) находим
(8-13)
V-	<8J4>
“ h2
Дифференцируя (8.13), в силу уравнений (8.8) и (8.9) получим
dx	1 Г	d / р \	du / fr du fy \ 1
dq>	x L X C0S У dq> \ h2 )	dtp 8 \ u2h2 + dtp u3h2 / J
h2pfq>cos у	. г	fT	xsmyfu л
----------rj	F sin у  	------H-3—
j^-+xcosyl ft4--------------------------------+ x cos h2 l-^- + xcos(/J ft3
и окончательно
dx I 2р/фй2 cos у ( frh2 sin у	xf^h1 sin2 q> ]
dtp	8 t(p + xh.2 cos y)3 + (pi + xh2 cos y)2 (p + xh2 cos y)3 J~
= eFi(x, h, у, ф).	(8.15)
246
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Продифференцируем теперь равенство (8.14)
откуда после замены (9.12) получим
dy  _____1_
Дф	х2
X cos у
fr
и . V х.2
+ X COS у П2
X sin yftf
+ х sin у I — xsin у —
2цеДр
ft4 (--j +xcos у
или окончательно
dy_ _ Г frh2 cos у
Дф	8( х (ц + xh2 cos у)2
ftph4 sin 2ф	2ц^ф/г2 sin у 1
2 (ц + xh2 cos у)3 + х (ц + xh2 cos у)3 J
= l+eF3(x, h, у, <р).	(8.16)
Система уравнений (8.8), (8.15) и (8.16) может быть предста-
влена в виде
-^- = 8F1(x, h, у, ф),
-^ = sF2(x, h, у, ф),
(8.17)
= 1 + 8F3 (х, h, у, ф),
где
у
3 (ц + xh2 cos у)2
Если функции /ф, fr являются периодическими функциями по-
лярного угла ф, го система уравнений (8.17) относится к типу
уравнений, изучаемому в этой главе. Она содержит две медлен-
ные переменные х и h и две быстрые у и ф, поэтому для ее ис-
следования могут быть использованы изложенные выше методы
анализа. При изучении этой системы может встретиться вся
гамма случаев, изученных в этой главе. В системе (8.17) могут
возникать резонансные ситуации.
В том случае, когда возмущающие силы не зависят от по-
лярного угла ф, система (8.17) —это система с одной вращаю-
§ 81 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 247
щейся фазой. Укороченные уравнения Ван-дер-Поля можно
записать для нее в следующем виде:
А),
*)•
(8-18)
Переход от системы (8.17) к системе (8.18) связан с_операцией
усреднений по быстрой переменной у. Заметим, что Ft в общем
случае, когда fi зависит от х, h и у, — это некоторые довольно
сложные квадратуры. Таким образом, переход от системы (8.17)
к (8.18) приводит к отделению медленных переменных, что
позволяет при той же точности проводить интегрирование с
большим шагом и, следовательно, уменьшить число шагов чис-
ленного интегрирования. В то же время на каждый шаг числен-
ного интегрирования в системе (8.18) затрачивается значитель-
но большее число машинных операций, поскольку он требует
на каждом шаге вычисления квадратур. Отсюда следует, что
вопрос о целесообразности перехода от одной системы к другой
в каждом отдельном случае должен быть предметом специаль-
ного исследования.
Примечание. Метод численного интегрирования, по идее
близкий к изложенному, но не использующий непосредственно
приемов теории усреднений движения, был разработан еще
в 1960 г. Г. П. Таратыновой *). Метод осреднений в его стан-
дартном виде в траекторных задачах теории искусственных
спутников Земли, по-видимому, впервые был применен Лассом
и Лореллом **).
Рассмотрим снова систему (8.17) и предположим, что тре-
бования точности определяют величину шага по фазовым пе-
ременным. Пусть шаг Ау~6, АЛ~6. Тогда шаг по вре-
мени А/, если принять простейшую разностную схему, опреде-
лится из равенства
... |	Ах	Д/г
Ли —	ГП1П <	--гт;—,	1 \ \ \	-Г"—7-ГГТ »
1	I	8 max | Fi (х,	у, h)\	е max | F2 (x, у,	h) | ’
__________________I =_____6	~ б
1 + e max | F3 (x, y, h) | |	1 + e max | F31	’
*) Г. П. Tap а ты нова, Методы численного решения уравнения в ко-
нечных разностях и их применение к расчетам орбит искусственных спутников
Земли, сб. «Искусственные спутники Земли», № 4, 1960.
**) Н. Lass, J. L о г е 11, Low acceleration takeoff from a satellite
orbit, J. Amer Rocket. Soc., vol. 31, № 1 (1961}.
248
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
которое справедливо для достаточно малых значений е. Таким
образом, число шагов Ni определится так:
где Т — промежуток интегрирования.
Обозначим через число машинных операций, необходи-
мых для реализации одного шага численного интегрирования
системы (8.17). Тогда Rt — общее число операций, необходи-
мых для вычисления х и h, будет
Рассмотрим теперь систему (8.18) и поставим себе ту же за-
дачу: вычислить х(Г) h/i(T).
Теперь величина шага численного интегрирования будет
л/ 6
где
F ~ max {Fj (х, h), F2(х, h)}.
Обозначая через k2 число машинных операций, необходимых
для реализации одного шага численного интегрирования си-
стемы (8.18), мы получаем такую оценку R2 — числа операций:
Ri = у
Вопрос о целесообразности замены в процессе численного ин-
тегрирования системы (8.17) системой (8.18) может быть в дан-
ном случае решен сравнением чисел Ri и R2.
Примечания. 1. Для изучения задачи, рассмотренной
в данном параграфе, мы составили уравнения для величин х
и h, которые в случае е = 0 являются интегралами изучаемой
системы уравнений. Такие величины в небесной механике носят
название оскулирующих элементов. Выбранные оскулирующие
элементы были очень удобны для демонстрации процедуры при-
менения методов осреднения. Однако уравнения для этих эле-
ментов оказались довольно сложными: при усреднении возни-
кала проблема вычисления сложных вспомогательных квад-
ратур. Поэтому в прикладных расчетах используют обычно
другие оскулирующие элементы.
2. Заметим, что если величины возмущающих сил постоянны
(или не зависят от у), то квадратуры в уравнениях (8.18) вы-
числяются в явном виде.
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 249
3. Задача о трансверсальной тяге. Рассмотрим задачу о дви-
жении космического аппарата малой тяги, считая, что сила дви-
гателя направлена по трансверсали, т. е. перпендикулярно ра-
диусу-вектору космического аппарата, который считается ма-
териальной точкой. Будем считать, что движение аппарата
происходит в поле одного притягивающего центра, т. е. един-
ственной возмущающей силой является тяга двигателя. Система
уравнений (8.2) будет в этих предположениях иметь следующий
вид:
dr	dy Pq>
~di = Vr’ ~dt= — '
2	, л	(8.19)
rft,r..	1 dp<p -	,
dt r r2 ’ dt	r ’
где f теперь обозначает величину «моторного ускорения» — от-
ношение силы тяги двигателя к массе аппарата.
В этой задаче удобнее использовать оскулирующие элемен-
ты, отличные от тех, которые были введены в предыдущем раз-
деле, и мы получим пример иной реализации процедуры осред-
нения. Проведем вычисления, следуя в основном монографии
В. Н. Лебедева *).
В этой задаче мы приняли ц=1, что всегда можно сделать
выбором соответствующих масштабов.
В системе (8.19) перейдем к аргументу <р; тогда она примет
следующий вид:
dr vTr dvr	1
-   = —-—	---— = у —---------
dq * dq Ф
dvr[l	rf dt г
dq> r v4' dy pT
(8.20)
Вместо r, vr и v4 введем новые зависимые переменные
л _ г
2-ЧМ)’
а — rvv (и<р COS ф + VT sin ф) — COS ф,
Р — гиф (^Ф s*n ф — VT cos ф) - s*n Ф-
(8.21)
Введенные переменные имеют определенный физический смысл.
Как показывается в курсах небесной механики, А — отношение
большой полуоси оскулирующего эллипса к его начальному
значению, а и р— это компоненты вектора Лапласа, весьма
*) В. Н. Лебедев, Расчет движения космического аппарата с малой
тягой, Изд. ВЦ АН СССР, 1967.
250	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. III
просто связанные с величиной эксцентриситета, причем для эл-
липтического движения а2 + р2<1. Если величины Л, аир за-
даны, то радиус-вектор и величины скоростей легко опреде-
ляются по следующим формулам:
/(a sin ф — 8 cos ф)2
Л(1—а2 —р2)	’
_ / (а cos ф + р sin ф + I)2	/8 99)
и<₽- И А (1 - а2 - р2)	’	v '
г_д	1 — а2 — р2
а cos ф + р sin ф + 1 ’
Формулы (8.22) легко выводятся из формул (8.21). Вычислим
производные А, а и р в силу уравнений (8.20)
dA [2-r^ + 4)]+4i^ + 4) + 2rk^- + ^^r)|
аЛ ац) L \ г 4VJ L афv f 47	\ г ац) т аф /J
[2-г(п2 + п2)]2
dr / dvr До™ \
2 д^ +2r% 7F +
[2 — r (y2 + v2)] 2
Подставляя значения производных из (8.20), получим
dA = 2rsf
Дф [2 — г (n2 + n2)]2 '
Далее, первая из формул (8.21) может быть переписана в виде
2-ф; + ^) = т-
Поэтому
3?-2еМ2Л
Заменяя, наконец, величину г по первой из формул (8.22), по-
лучим окончательно
dA = е 2/(1—а2 —р2) Л3
Дф	1 + а cos ф + р sin ф ’	I • /
Аналогично составляются выражения для dajdy и dp/dqp
Да _ / (1 — а2 — р2)2 (2 cos ф + а cos2 ф + р sin ф cos ф + а) Л2 |
Дф	(1 + а cos ф + р sin ф)3	’ I	f
Др _ / (1 — а2 — Р2)2 (2 sin ф + р sin2 ф + а sin ф cos ф 4- Р) Л; | (8.23 )
Дф	(1 + а cos ф + р sin ф)3	‘ j
Система (8.23), (8.23') содержит три медленные переменные
<4, а и р и одну быструю <р.
§ 8J ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 251
Составим для этой системы уравнения первого приближения
da _ fA2 (1—а2 —P2) f 2 cos ф + a cos2 ф + p sin ф cos ф
dtp	2л	J	(1 + a cos ф + p sin ф)3
2Л
dA _ fA3 (1 — а2 —р2) Г ______________________йф___________
dtp	п J 1 + а cos q> + 0 sin q> ’
о
2Л
+ Ct
О	'
2Л
dp __ /Л2 (1 — а2 — р2) Г 2 sin ф + р sin2 ф + а sin q> cos ф + р
dtp — 6 2л J	(1 + a cos ф + p sin p)3
о
(8.24)
Усреднение здесь законно, если функция f— величина по-
стоянная или не зависит от <р. Оно остается законным также
и в том случае, если f — медленно меняющаяся функция поляр-
ного угла Дело обстоит сложнее, если величина тяги задана
как медленно изменяющаяся функция времени. В этом случае
мы должны еще привлечь последнее из уравнений системы
(8.20). Система уравнений, полученная при таком предполо-
жении, окажется уже значительно более сложной, поскольку
время t относится к числу быстрых переменных. Таким обра-
зом, окажется, что система уравнений содержит две быстрые
переменные t и <р.
Рассмотрим только тот случай, когда f постоянна. Инте-
гралы в правой части системы (8.24) относятся к числу таб-
личных и вычисляются в явном виде. Опуская выкладки, выпи-
шем окончательный результат:
-g =2еМ3/1 -а2-₽2,
44--4«м2/1-«2-₽!-₽.
(8.25)
Численное интегрирование этой системы не представляет ни-
какого труда и может быть выполнено с большим шагом по ар-
гументу ф. Изучим некоторые свойства решений системы (8.25).
Заметим прежде всего, что эта система уравнений допускает
два первых интеграла. В самом деле, переходя к аргументу А,
мы получим следующие два уравнения, которые не содержат
возмущающей силы f:
da _	3 a dp _ з р
dA ~	4 А ’ dA 4 А "
252	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. III
Эти уравнения легко интегрируются, и мы находим два первых
интеграла
а=аоЛА	р = Ро А~\	(8.26)
где ао и Ро — начальные значения величин аир соответственно.
Используя эти формулы, мы легко сведем интегрирование си-
стемы (8.25) к интегрированию нелинейного уравнения первого
порядка	______________
= 2в/Л3 /1 - (а* + р*) лЛ	(8.27)
Если функция f постоянна или является функцией только по-
лярного угла <р, то в уравнении (8.27) переменные разделяются
и задача сводится к квадратурам.
Рассмотрим подробнее один частный случай. Предположим,
что ао = Ро=О. Тогда, как это следует из (8.26), тождественно
для любого ф
а =2 р = 0.
Физическое содержание этого факта следующее. Если а=
= Р = 0, то это означает, что эксцентриситет е = 0, т. е. движение
происходит по круговой орбите. Таким образом, если старт
аппарата происходит с круговой орбиты, т. е. если ао = Ро=0, то
и в течение всего времени движения аппарата под действием
трансверсальной тяги будут происходить по круговой орбите.
Этот вывод сделан на основе исследования уравнений пер-
вого приближения. Следовательно, мы можем говорить только
о том, что в течение относительно большого промежутка вре-
мени порядка 1/е оскулирующая орбита аппарата будет близка
к круговой.
Уравнение (8.27) в этом случае примет вид
(8.28)
Если f — величина постоянная, то уравнение интегрируется
в явном виде
Заметим, что при е=0 величина большой полуоси оскулирую-
щей орбиты аппарата — это просто радиус-вектор аппарата.
Таким образом, формула (8.29) дает закон изменения радиуса-
вектора (рис. 33). При ф=ф*, где
* 1
Ф =7j-.
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 253
радиус-вектор обращается в бесконечность. Эта формула пере-
стает быть справедливой при ф—*ф*. Заметим прежде всего, что
<р* достаточно велико (порядка 1/е), а вся теория осреднения
имеет смысл только на интервалах изменения независимого пе-
ременного порядка 1/е. Таким образом, условие <р = <р* означает
только то, что мы подходим к границе допустимого интервала,
и, следовательно, теория в окрестности ф=ф* теряет смысл.
Легко понять также и физическое
С увеличением радиуса орбиты вре-
мя полного оборота непрерывно
возрастает и, следовательно, те ве-
личины, которые за один обход
окружности малого радиуса не ус-
пели значительно измениться, силь-
но изменяются при обходе орбиты
большого радиуса.
Формула (8.29) дает зависи-
мость Л(ф). Представляет опреде-
содержание этого факта.
Рис. 33.
ленный интерес найти также зави-
симость Л (0- Для этого вернемся сначала к формулам (8.22),
При а=р=0 мы имеем
г=А, и(р=Л-1/2,	иг=0.
Используя (8.30), можно
системы (8.20) в виде
переписать последнее из уравнений
— = д’/г
dtp
(8.30)
Для того чтобы получить интересующую нас зависимость,
следует исключить из уравнений (8.28) и (8.30) переменную <р
-^=2еМ’/2,
откуда при постоянном f получаем
А =	1
(1 —е//)2’
(8.31)
Разумеется, качественный характер полученной зависимости
такой же, как и той, которая дается формулой (8.29).
4. Задача о движении спутника на последних оборотах. За-
дачи, рассмотренные в первых разделах этого параграфа, отно-
сились к теории возмущений кеплеровского движения. При со-
ставлении этих уравнений мы игнорировали целый ряд важ-
ных обстоятельств. Например, мы не принимали во внимание
присутствие атмосферы. На последних оборотах, которые про-
исходят на высотах порядка 100 км над поверхностью Земли,
254	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. III
спутника относительно его
вращательного движения.
и
влияние аэродинамического сопротивления перестает играть
роль возмущающего фактора и становится одной из сил, опре-
деляющих весь характер движения.
В этих условиях аппарат уже нельзя рассматривать как ма-
териальную точку, поскольку величина аэродинамической силы,
точнее коэффициент аэродинамического сопротивления, будет
существенно зависеть от ориентации
скорости.
Если спутник не стабилизирован специальным образом, то
он будет находиться в состоянии
Рассмотрим этот класс движений, когда вращение происходит
с достаточно большой угловой скоростью. В это понятие вкла-
дывается следующий смысл: уг-
ловая скорость вращения спут-
ника во много раз больше угло-
вой скорости вращения спутника
вокруг Земли. 3 этом случае в
задаче появляется малый пара-
метр — отношение времени од-
ного оборота спутника вокруг
своего центра инерции ко време-
ни полного обхода спутником
своей орбиты.
Итак, будем рассматривать
плоское движение аппарата под
действием гравитационного поля,
ее момента относительно центра
аэродинамической силы
инерции аппарата.
Движение центра инерции аппарата описывается векторны-
ми уравнениями
dr _ v dV_
dt ~ V' dt
4^° + F.
г2 ’
(8.32)
где r—радиус-вектор центра инерции аппарата, а V—его ско-
рость.
Для составления скалярных уравнений введем систему коор-
динат, изображенную на рис. 34. Перепишем первое из уравне-
ний (8.32) в виде
где r°, р°, V0 обозначают единичные векторы соответствующих
направлений. Из рис. 34 сразу находим величины скалярных
произведений
(r°yJ) = sin 0, (p°V°) =—cos 0,	(8.33)
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 255
угол 0 обозначает угол наклона вектора скорости к горизонту
в данной точке.
Используя (8.33), получим скалярные уравнения
dr . „ d<p v n
-7- = wsm0, -77 =---------COS0.
at	at r
(8.34)
Уравнения (8.34) будем называть кинематическими соотно-
шениями. Рассмотрим теперь второе из уравнений системы
(8.32). Проекция вектора F на направление скорости назы-
вается лобовым сопротивлением. Проекция вектора F на напра-
вление нормали к траектории (вектора п°) называется подъем-
ной силой. Условимся для простоты, что величиной подъемной
силы можно пренебречь. Тогда выра-
жение для вектора F запишем в сле-
дующем виде:
г, а) Г».
Здесь р — плотность атмосферы (она
зависит от высоты орбиты и, следова-
тельно, от величины г), т — масса
аппарата, S — характерная площадь
(например, площадь сечения Миде-
ля), сх — аэродинамический коэффициент. Кроме других вели-
чин, этот коэффициент зависит от угла атаки а—угла, который
составляет некоторое выбранное направление на аппарате с
вектором скорости (рис. 35); сх является четной функцией угла
атаки а.
Перепишем теперь второе из уравнений (8.32)
dV
dt
V° + v пп = - 4 r° - SCtV".
dt	dt	г2 2т х
Здесь л обозначает угол наклона вектора скорости к некото-
рому фиксированному в пространстве направлению — оси Ох
(см. рис. 35). Замечая, что
(г° • п°) =cos 0,
и используя (8.33), перепишем это уравнение в проекциях на
направление и п°
dv	ц . „ ри2 „ г ,	.	.
-77 =— 4 Sin 0 —-7—Sc	v, 0, а),
dt	г2	2,п х ' 1 '	’
dZ	р
dt	TV C°S	о-
(8.35)
256
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Для дальнейшего удобно исключить из уравнений (8.35) вели-
чину X. Для этого заметим, что (см. рис. 34)
0 = Л +	--ф^ ,
откуда сразу находим
£ = - cos 0 (-£- -	= f2 (г, v, 0).	(8.35')
Уравнение, описывающее движение аппарата относительно цен-
тра масс, мы получим, применяя теорему моментов
^ = M(v, г, а),	(8.36)
где М обозначает аэродинамический момент, отнесенный к еди-
нице массы и также зависящий от угла атаки. Величина на-
зывается углом тангажа. Это угол, под которым ось аппарата
наклонена к оси Ох. Из рис. 35 находим связь
О = а+Х.
Используя уравнения (8.34) и (8.35), вычислим d^K/dt2
^==7Vsin0f2(r, v, 0) + i sin 20 + ft (r, v, 0, a).
Подставляя это выражение в уравнение (8.36), мы можем
записать его в виде
~- = f3(r, v, 0, a),	(8.37)
где
f3 = M(r, v, a)--[-i-sin0f2(v, г, 0) +
+ ^510 20 + -^-f,(г, v, 0, а)}.
Итак, система уравнений (8.34), (8.35) и (8.37) описывает
плоское движение аппарата. Это система шестого порядка. Од-
нако в силу того, что функция ф не входит в правые части урав-
нений этой системы, нам достаточно разработать метод инте-
грирования системы пятого порядка.
Введем обозначение
da
-dF^^ + z,
где coo — угловая скорость вращения аппарата в некоторый
фиксированный момент времени t0.
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 257
Согласно нашему основному предположению время Т =
= 2л/ио мало по сравнению со временем полного обхода аппа-
ратом своей орбиты вокруг Земли (за один оборот вокруг
Земли аппарат совершает много оборотов вокруг своего центра
инерции), т. е. <в0 велико.
Введем малый параметр
и сделаем замену независимого переменного
T=coot.
Тогда система уравнений (8.34), (8.35) и (8.37) примет сле-
дующий вид:
— = efi(r, v, 0, a),	-^- = ef2(r, v, 0),
-J- = eWsm0, -^ = е/3(г, о, 0, а),
(8.38)
Уравнение относительно полярного угла <р в силу соображений,
высказанных ранее, мы не выписываем.
Система (8.38) содержит одну вращающуюся фазу — угол
а и четыре медленных переменных. Для ее исследования мо-
жет быть использована стандартная процедура.
Остановимся только на анализе уравнений первого прибли-
жения
Д7 = еЛ(г, v, 0),
-g- = ef3(r, v, 0).
Остальные уравнения мы не выписываем, так как их правые
части не содержат угла атаки а и, следовательно, после осред-
нения останутся без изменений.
Рассмотрим первое из уравнений системы (8.39). Величина
Д имеет вид
fi(r, v, 0) = — -^rsin0--|^-Scx(r, о).
Так как сх — обычно четная функция угла атаки, то величина
сх заведомо не равна нулю.
Величина момента М(ц, г, а) обычно бывает нечетной функ-
цией угла атаки а, поэтому функцию f3 мы можем записать
258
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ III
в следующем виде:
/3(г, v, 0) = —j ^-sin0f2(r, v, 0)--^-sin20 + -^-f1(r, v, 0)}.
Таким образом, в первом приближении мы должны проинте-
грировать систему трех уравнений. Выпишем эти уравнения,
возвращаясь к старому масштабу времени:
4? = fi (г, v, 0), — = f2 (г, V, 0),
dr . п
-гт = V Sin 0.
at
(8,40)
Определив эти величины, мы находим оставшиеся при помощи
квадратур
%-Ыг, V. 0).
Итак, в первом приближении уравнения движения центра
масс могут быть отделены от уравнений движения относительно
центра масс. При этом аэродинамическая сила, которая входит
в эти уравнения, получается простым усреднением ее по углу
атакйГ
Определив движение центра масс, мы можем затем рассчи-
тать характер изменения вращательного движения. Особен-
ность этого приближения состоит еще и в том, что величина
угла атаки и угловая скорость вращения аппарата не оказы-
вают никакого влияния на движение центра масс. В свою оче-
редь характер вращательного движения аппарата целиком
определяется особенностями движения центра масс. Для более
тонкого изучения взаимного влияния движения центра масс и
вращения вокруг центра масс необходимо рассмотреть более
высокие приближения.
Примечание. Мы предполагали, что аэродинамическая
сила сводится только к силе лобового сопротивления Учесть
влияние подъемной силы не представляет особого труда (это
будет сделано в следующем параграфе). Однако в рамках
первого приближения ее учет приведет к нулевому эффекту,
поскольку подъемная сила является нечетной функцией угла
атаки и ее среднее значение будет нулем. Таким образом, си-
стема уравнений (8.40) и (8.41) может быть использована для
изучения движения аппарата в атмосфере, если только мы счи-
таем достаточно точными уравнения первого приближения.
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 259
5. Задача о движении спутника в конце последнего оборот^.
Будем изучать движение осесимметричного спутника, входя-
щего в плотные слои атмосферы. Условимся считать, что спут-
ник имеет большой запас статической устойчивости. Как мы это
увидим ниже, данное предположение существенно.
Задача, рассматриваемая в этом разделе, очень близка
к предыдущей: точно так же основными силами, действую-
щими на спутник, будет сила тяжести и аэродинамические
силы. Однако в этой задаче есть одна существенная особен-
ность, качественно отличающая характер
от того, которое было изучено в пре-
дыдущем разделе. Если аппарат, об- У
ладающий аэродинамической стабили-
зацией, входит в плотные слои атмо-
сферы, то хаотическое вращение посте-
пенно замедляется и переходит в ко-
лебательное движение. Следователь-
но, в конце последнего оборота (при
подходе к Земле) движение спутника
будет носить не вращательный, а ко-
лебательный характер. Это обстоя',
тельство качественно отличает осо-
бенности асимптотики, которая будет
изучаться в этом разделе от той, что
изучаемого движения
была рассмотрена ранее.
Уравнение движения мы снова можем записать в виде
(8.32). Однако последний отрезок траектории аппарата, прохо-
дящий в плотных слоях атмосферы, невелик, и поле тяготения
можно считать постоянным, поэтому нет необходимости исполь-,
зовать полярную систему координат.
Введем обычную декартову систему координат (рис. 36), и
уравнения движения запишем тогда в виде
dr	d®	п . гу
(8.4-2)
где г и v, как и ранее, обозначают радиус-вектор jy скорость
центра масс аппарата относительно выбранного начала отсчета^,
величина g — это напряженность гравитационного поля, a F —
аэродинамическая сила. Кинематические условия мы получим,
записывая первое из уравнений системы (8.42) в проекциях на
оси декартовой системы координат
ил	п
-тг — vcosO,
at
dy • л
= usin 0.
at
(8.43)
260	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ Ill
Аэродинамическую силу F, действующую на аппарат, мы пред-
ставим в следующем виде:
F =---Р(у)£_ Sc (и у а) К°+ р v Scy(v, у, а) и0.
2m * v ’	2т	,
Первое слагаемое, стоящее в правой части, — это уже извест-
ное нам лобовое сопротивление. В его выражении сохранены
обозначения предыдущего пункта. Второе слагаемое — это
подъемная сила, величина су называется коэффициентом
подъемной силы. Эту безразмерную величину будем считать не-
четной функцией угла атаки а. Подъемная сила направлена по
нормали к траектории вдоль вектора п°. На рис. 36 пунктирный
вектор |
На этом
атаки а;
в данной
движной осью Ох, то
dv	dv n , d0 n
-ЙГ = -ЙТ v + ° Zh n
dt	dt	dt
дает направление оси аэродинамической симметрии,
чертеже показано также направление отсчета угла
т, как и ранее, обозначает массу аппарата. Так как
задаче линия местного горизонта совпадает с непо-
и, следовательно, динамические уравнения, которые получаются
из второго уравнения системы (8.42), если его записать в проек-
циях на оси Ох и Оу, будут в этом случае такими:
4г= — g sin 0 — ~^-Scx{y, v, 0,) = ^, 0, у, a),
d0 gcos 0 , po o .	.	. ,	„	.
-dT = — —v—+2kSc^>	a) = Mw> 6> У, a).
(8.44)
Уравнение моментов аналогично (8.36) запишем в виде
/	db\
(8.45)
Отличие уравнения (8.45) от (8.36) состоит в том, что те-
перь му необходимо должны учесть зависимость аэродинами-
ческого момента от угловой скорости колебаний, поскольку по-
следняя велика, а атмосфера достаточно плотная.
В прикладной аэродинамике величину аэродинамического
момента обычно представляют в виде двух слагаемых
А1(п, У, а,	Slmz(v, у, а) + ^- Slmz(v, у)-^-. (8.46)
I	ul /	CL I
Первое слагаемое иногда называется статическим моментом,
второе — демпфирующим, J — полярный момент инерции аппа-
рата, mz(v, у, а)—безразмерный коэффициент аэродинамиче-
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 261
скоро момента, / — некоторый характерный линейный размер
db
(например, длина аппарата). Величина т“ (п, у)~^~ опреде-
ляет основную характеристику демпфирующего момента. Зави-
симость величины демпфирующего момента от угловой скорости
обычно считается линейной. Величину 0- принято называть уг-
лом тангажа.
Так как углы О, а и 9 связаны конечным
рис. 36)
О = а + 0,
соотношением (см.
(8-47)
то
где
rf2fr	d2a d2G
dt2	dt2 + dt2
da
~dt
d2a
-^г + чЦе, v, у,
d ( e cos 0
Ф = -tt < — ---------
r dt ( v
Используя равенства (8.46) и (8.47), перепишем уравнение мо-
ментов в виде
+	+ У> «) = й(«, 0, у),	(8.48)
где
ро	ро дси
'з 2J г 2т да ’
„ рч2 ,	(	d )
f. = Sltn-----------z—) pg sin 0 — -т- (pw) L
u 27 г 2m (.t s	dt 1 ’ J ’
д2 sin 20
a- 2v2	‘
Система уравнений шестого порядка (8.43), (8.44) и (8.48)
дает полное описание плоского движения. Мы условились изу-
чать движение аппарата, обладающего большим запасом ста-
тической устойчивости. В этом случае величина ft всегда по-
ложительна и велика. Следовательно, мы можем положить
f4 = Mf4,
где %2 — некоторый большой параметр.
Далее мы снова сделаем замену независимой переменной
, т
После этой замены система (8.43), (8.44) и (8.48) примет
262
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ, III
следующий вид:
dx	г, du	• п
——— = еу cos 0, ~г~ = еу sin 0,
dr	dr
-^- = еЛ(и, 0, у, a),	^- = ef2(v, 0, у, а),
'S‘ + e^3W 0> У' а) = е«-
При е = 0 из системы (8.49) получаем
^£ + h(v> 0. У’ а) = °> v = const = о0, |
0 = const = 0O, у = const = y0.	J
(8.49)
(8.50)
Будем считать, что решение системы (8.50) при условии, что
все величины V, 0 и у — некоторые постоянные, нам известно
и что оно имеет вид
а=</(с, ф, v, 0, у),
где
ф=<в(с, о, 0, у) (т+т0);
здесь с —постоянная интегрирования, которую мы будем назы-
вать амплитудой, то—аддитивная постоянная. Так как движе-
ние, по предположению, является колебательным, то функция q
будет периодической функцией переменной т некоторого перио-
да Т’(с). Величина <в(с, V, 0, у) служит нормирующим множите-
лем: функция q по переменной ф имеет период, равный 2л.
Знание общего решения системы в предположении, что n = const,
0 = const и y = const позволяет использовать стандартную про-
цедуру метода осреднения.
Для того чтобы не усложнять изложения, ограничимся изу-
чением только того случая, когда колебания малы и функцию
f4 можно представить в виде
fi(v, 0, у, а)=«2(у, 0, у) а.
В этом случае
а = ссоэф,	ф = со(п, 0, у) (т+то),	(8.51)
и уравнение (8.50) будет теперь таким:
-со2а.	(8.50')
Так как у тела, обладающего аэродинамической симметрией,
тг и Су—нечетные функции угла атаки, то линеаризация этих
функций допустима и в том случае, когда мы рассматриваем
квадратичную теорию, поскольку, отбросив в уравнении (8.50)
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 263'
члены третьего порядка малости относительно угла атаки а,
мы тем не менее придем к уравнению (8.50').
В системе (8.49) перейдем теперь от переменной а к пере-
менным с И ip. Для этого к равенству (8.51) добавим еще такое:
-^ = — С® (о, 0, у) sin 1р.
Из равенств (8.51) и (8.52) находим
С = 1/ а2 Н-т-.—g—- — ,
у ®2 (и, 0, у) \ dx / ’
।	4. 1 1 da )
ip = —arctg<-------i- >.
т	ь I ®а dx |
(8.52)
(8.53)
Вычислим производную первой из величин, определяемых равен-
ством (8.53), в силу уравнений (8.49)
da	da	d2a	1____/	da \2'(	da	dv da	dQ	da	dy	)	1
de	a	dx	dx	dx2	®2	\	dx ) (	dv	dx dQ	dx	dy	dx	J	w3
'dx	~	_	Г~	I	/ da\2	“
e	/3	/	da \2	da	_	(da \2 Г da	c .	da	t .	da	.	„1	1 ]
= — ( — -Ч- -j- +-j-a—H- H— fi + -To-f2 + ^— USinO —г4 =
c	|	a2	\	dx /	dx	\ dx /	L dv	11	00	12	dy	J	<a3 J
• 2	। 1c	.	1 Г da	. ,	da	c ,	da	.	„11
= - zc sin + й M W+ й? D s,n el I
— easinipa = — ecsin2ipf5(y, 0, у, ccosip). (8.54)
Продифференцируем второе из уравнений (8.53)
dip
dx
d2a
da	( da , , da ,	da
w —e-т—a< — fi + -Ч7Г h + T~ p sin
dx	) 0x '	00 '	dy
1
w2a2
a2a2
1 f о g . e .	• r.,	22 ec2® • г, Г da «
------гт ( — ® c + tt fi sin 2ib • c2co2 — —sin 2a -3— f, 4-
a2c2 I	2 Y	2	Ido'1
, da r . da . nl ) ’ e _
+ Sa- fi + -5- Д sin 9 >-a cos ip
00 12 dy J J wc
и окончательно
di|> 3 • о, f t I Г 0® c . 0® t , 0®	. _11
J = a__sin2ip^3--[17fI + -5g-f2 + wvsinej}-
—a cos ip = co — e {/5(0, 0, y, ccosip) sin 2ip +a cos ip
(8.55)
Таким образом, вместо системы (8.49) мы пришли к другой
системе, в которой последнее, уравнение. второго порядка!
264
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
заменили двумя уравнениями первого порядка (8.54) и (8.55),
а в правых частях второго и третьего уравнений вместо а под-
ставлено его выражение с cos ф. Преобразованная система
вполне эквивалентна исходной, но является системой с вра-
щающейся фазой; она содержит пять медленных переменных
х, у, v, 0, с и одну быструю — ф. Правые части этой системы
представляют собой периодические функции ф периода 2л.
Заметим, что первое уравнение этой системы интегрируется не-
зависимо от других, так как х не входит в правые части осталь-
ных уравнений. Теперь ее исследование может быть проведено
с использованием стандартной процедуры разделения движе-
ния. Ограничимся рассмотрением только первого приближения;
для этого достаточно осреднить правые части по быстрой пе-
ременной ф.
Первые два уравнения не содержат угла атаки и останутся
без изменения; их удобно записать, возвращаясь к перемен-
ному t:
= v cos 0,	-^7 — v sin 0.	(8.56)
at	at	'	'
Рассмотрим третье уравнение этой системы. Используя выра-
жение для fi, после усреднения мы его приведем к следующему
виду:
2Л
~ = — g sin 0 - J сх (у, v, с cos ф) с/ф. (8.57)
о
Коэффициент подъемной силы для малых значений угла ата-
ки а выражается как
сж = <\о + йа2,	fe>0.
Следовательно, после усреднения уравнение (8.57) примет
форму
do	• о po2S / kc2 \	,Q -о.
dF = -£sin0 --^г(с-о + —)	(8-58)
или, если мы ограничиваемся линейной теорией, то
— gsin0--^-cxO(a, у, 0).	(8.58')
Рассмотрим теперь четвертое уравнение системы (8.49), по-
лагая в нем су = с*-а. После осреднения оно примет вид
d0 _	g cos 0	,я
4t~-------<8-59>
Итак, если мы принимаем линейную теорию, то движение
центра масс в первом приближении может быть описано неза-
висимо от движения относительно центра масс, причем урав-
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 265
нение в проекциях на нормаль (8.59) записывается так, как
если бы движение происходило в пустоте и все действие аэро-
динамических сил сводилось к лобовому сопротивлению, вычис-
ляемому для нулевого угла атаки. В квадратичной теории урав-
нение для проекций на касательную к траектории (8.58) со-
держит квадрат амплитуды. Поэтому в этом случае уже в
первом приближении нельзя разделить движение центра масс
и движение относительно центра масс.
Рассмотрим уравнение (8.54). После осреднения оно примет
следующий вид:
de	ecf3	ее ( да , , да » , да	. „)	/о
=-----— -Z— 471 +-53-/г +-я- ° sin 0>.	(8.60)
dx	2	2<в ) dv 11 д0 ' * ду	у	'	'
При осреднении_ слагаемого, содержащего Д, была принята
линейная теория: ft означает, что в выражении лобового со-
, g cos 0	~	,
противления мы приняли сх = сх0, f2 =— —-—. Таким обра-
зом, величина, стоящая в фигурной скобке, равна	ГДе
производная угловой скорости <о вычислена в силу уравнений
(8.56), (8.58') и (8.59). На этом основании уравнение (8.60)
мы перепишем в виде (возвращаясь к аргументу t)
1 de_____1_.___1 d<o
с dt ~	2 '3	2а dt '
В этом уравнении переменные разделены, и после интегриро-
вания мы получаем
t
-у f hdt
о ,	(8.61)
где Со—произвольная постоянная — в данном случае началь-
ное значение амплитуды угла атаки.
Таким образом, в линейной теории первое приближение
осредненных уравнений позволяет рассчитать траекторию цент-
ра масс независимо от колебательного движения аппарата и
найти, следовательно, зависимость со(/) и f3(t). Для расчета
амплитуды колебательного движения мы должны только вы-
числить одну квадратуру j f3dt, после чего для амплитуды
колебаний с получим явное выражение.
В квадратичной теории переменные в уравнении (8.60) уже
не разделяются. Рассмотрим снова уравнение (8.59) и перепи-
шем его с учетом членов второго порядка
de	( с . о । , е sin2 4 da с sin2 г|> pv2 2	9.1
— = - е [cf3 sin2 ф + —------------— • Sfec2 cos2 ,
266
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[Г-Л. III
где dtssldl по-прежнему означает производную величины со
в силу уравнений (8.56), (8.58') и (8.59). После осреднения это
уравнение принимает вид
de______с_ f___с_ d(o с3 pv2Sk	_
dt ~	2 '3 2w dt + 8<о 2т '	(в.О2)
Мы видим, что в уравнении (8.62) переменные уже не разде-
ляются. Для определения закона изменения амплитуды нам
придется в этом случае численно интегрировать уравнение
(8.62).
Рассмотрим, наконец, последнее из уравнений, описываю-
щих движение аппарата—уравнение {-8.55), которое дает за-
кон изменения фазы. В линейном случае оно выглядит очень
просто
dib
= ®,
dx ’
откуда
t
1р7) = ф0 + Л J a(t)dt.	(8.63)
о
В рамках квадратичной теории выражение (8.63) несколько
усложнится за счет слагаемого в выражении fit которое содер-
жит множителем величину с2№ cos2 ф.
Подведем теперь некоторые итоги. Предположим, что мы
ограничиваемся первым приближением. Тогда в линейной тео-
рии нам достаточно численно рассчитать решение системы трех
уравнений первого порядка (напомним, что уравнение, опреде-
ляющее дальность х, интегрируется независимо), после чего рас-
чет колебательного движения производится по формулам
(8.61) и (8.63), требующим расчета квадратур.
В квадратичной теории мы вынуждены совместно интегри-
ровать систему четырех уравнений
= д sin 0,
dt
dv	. о po2S /	, fee2 \
-7- = — g Sin 0 — -^5----- Cx0 + —X~ ,
dt b	2m	2 j ’
dQ _ g cos 6
dt	v ’
de  ______c_	1 das \	c3 pu2 „
dt	2 V3	w dt /	8w 2m
(8.64)
Дальность x и фаза ф определяются квадратурами.
Для исследования более точных эффектов, например для
изучения влияния подъемной силы, на величину дальности в
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 267
предположении колебательного движения, мы должны изучить
следующее приближение. Заметим также, что первое прибли-
жение линейной теории не может дать никакой информации
о рассеивании элементов траектории вследствие колебательного
движения, поскольку среднее значение подъемной силы в этом
приближении равно нулю. Все подобные вопросы должны ре-
шаться в следующем приближении.
6. Резонансные задачи в динамике искусственных спутников.
В предыдущих разделах этого параграфа мы рассмотрели це-
лый ряд задач динамики искусственных спутников, которые
описываются системой уравнений с одной вращающейся фазой.
Однако существует много интересных задач, которые сводятся
к системе с двумя вращающимися фазами. В начале этого
параграфа мы уже заметили, что если возмущающая сила за-
висит от времени, то мы приходим к системе уравнений с двумя
быстрыми переменными. Такие задачи естественным образом
возникают в динамике искусственных спутников Земли. К их
числу относится, например, задача возмущения орбит высоких
спутников Луной. В этой ситуации возмущения, вызываемые
Луной, будут некоторыми периодическими функциями времени
и, следовательно, полная система уравнений будет содержать
две быстрые переменные. В том случае, когда период обраще-
ния спутника Т и Луны Тд будут связаны соотношением
Тл= kT,
где k — целое число, мы будем иметь резонансный случай.
Можно привести еще целый ряд интересных резонансных
задач подобного рода. Много новых задач, в которых имеет
место резонансная ситуация, нам доставляет изучение относи-
тельного движения спутника в центральном поле.
Если тело не обладает сферической симметрией, то на него
в центральном поле действует некоторый момент, так называе-
мый гравитационный момент. Под действием этого момента
тело, движущееся по орбите вокруг Земли, совершает колеба-
тельное движение. Это движение в плоском случае может быть
описано следующим уравнением *):
(1 + е cosO)-^gj- — 2е sin 0 -^ + За2 sin 6 = 4<? sin 0.	(8.65)
Здесь приняты следующие обозначения:
*) В. В. Белецкий, О либрации спутника, сб. «Искусственные спут-
ники Земли», № 3, 1959.
268
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 1П
В — момент инерции аппарата относительно оси перпендикуляр-
ной плоскости орбиты спутника, А и С — моменты инерции ап-
парата относительно осей инерции, лежащих в плоскости орби-
ты, причем А>С, т. е. а-^1; 6 = 2ф, где ф— это угол между
радиусом-вектором центра инерции аппарата и осью инерции,
относительно которой момент инерции равен С, т,е. наиболее
длинной из осей инерций, лежащих в плоскости орбит (см.
рис. 37, где даны обозначения), 0 — угловое расстояние между
радиусом-вектором центра инерции
х аппарата и направлением на пери-
гей, е — эксцентриситет орбиты
_____________________ спутника.
"ж. Заметим, что если е=0, то урав-
'	) пение (8.65) принимает вид
у
зУт 4-За2 sin 6 = 0.	(8.66)
o'	ахз	’
Уравнение (8.66) допускает два
Рис- 37-	стационарных режима 6=0 и 6=л.
Устойчивым является первый ре-
жим 6 = 0, соответствующий тому случаю, когда наиболее длин-
ная ось инерции коллинеарна радиусу-вектору. Этот факт впер-
вые был установлен известным французским астрономом Тис-
сераном. В случае 6 = л (или ф = л/2) более длинная ось инер-
ции перпендикулярна радиусу-вектору.
Предположим теперь, что эксцентриситет е — величина ма-
лая, тогда уравнение (8.65) перепишем так:
4- За2 sin 6 = е ^4 sin 0 4- 2 sin 0	+ За2 cos 0 sin6^ 4- О(е2). (8.67)
Уравнение (8.67) получается из (8.65), если сделать замену
е cos 0	= е cos 0 (— За2 sin 6 4- О (е)),
оно представляет собой типичный пример для приложения из-
лагаемой теории. При е = 0 оно переходит в уравнение (8.66)
и может быть проинтегрировано в эллиптических функциях
6 = <7(х, у),
где х—максимальное отклонение, а у — фаза; z/ = 04-0o- Все
вычисления могут быть проделаны, следуя общей методике.
Здесь мы ограничимся рассмотрением того частного случая,
когда ось инерции с моментом инерции С совершает малые
колебания около своего положения равновесия (6 = 0). Этот слу-
§ 81 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 269
чай был проанализирован в уже цитированной работе В. В. Бе-
лецкого *).
Линеаризуя уравнение (8.67) и отбрасывая малые, порядок
которых выше первого относительно е, мы получим
+ ®2б = е ^4 sin 6 + 2 sin 0-^g- + ®2 cos 0б),	(8.68)
где
®2 = За2.
Заметим, что частота со определяется исключительно гео-
метрическими характеристиками спутника — соотношением его
моментов инерции.
Полагая как обычно
.	dd
б = X COS У, -JQ- = — <£>Х Sin у,
заменим уравнение (8.68) следующей системой:
— —— (4 sin 6 — 2 sin 6 sin у ах + cos 6 cos у <о2х) sin у,
= со-----— (4 sin 6 — 2 sin 6 sin у ах + cos 6 cos у co2x)cos у,
de
dT
(8.69)
Система (8.69) —это система с двумя быстрыми переменными
6 и у. В зависимости от частоты со (т. е. от соотношений мо-
ментов инерции) в системе (8.69) может возникать или не воз-
никать резонансная ситуация.
При отсутствии резонанса первое приближение для системы
(8.69), которое получается усреднением по обеим быстрым пе-
ременным, нам дает
х= const,	y = yo + at,
т. е. с точностью до величины порядка О(е2) спутник будет со-
вершать гармонические колебания около положения равнове-
сия 6 = 0.
Если а — ]/"з/3, то со=1, и мы имеем случай главного ре-
зонанса. Исследуем это явление. Для этого прежде всего сде-
лаем стандартную замену
y = Q + z,	a = \+eh
*) В. В. Белецкий, Движение искусственного спутника относительно
центра масс, «Наука», 1965.
270
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ tit
и перепишем систему (8.69)
{4 sin 9 sin (0 + z) — 2®х sin2 (0 + z) sin 0 +
+ ®2 x cos 0 cos (0 + z) sin (0 + z)},
dz e	(8-7°)
d? = ~ 77 <4 sin 0 C0S (0 + Z> ~
— 2®x sin 0 sin (0 4- z) cos (0 4- z) + ®2x cos 0 cos (0 + z)}.
Система (8.70) содержит теперь только одну быструю перемен-
ную 0, по этой переменной мы и должны провести усреднение.
Преобразуем правые части уравнений (8.70), используя
замену
sin 0 = sin (0 + z) cos z — cos (0 + z) sin z,
cos 0 = cos (0 + z) cos z + sin (0 + z) sin z.
Получим
— = —{4sin2(0 + z)cosz—4 cos (0 + z) sin (0 + z)sinz—
— 2&x sin3 (0 + z) cos z + 2®x cos (0 + z) sin2 (0 + z) sin z +
-I- ®2x cos2(0 + z)sin (0 + z) cosz + ®2xsin2(0 + z) cos (0 4- z)sin z},
-77- =---— {4 sin (0 + z) cos (0 + z) cos z — 4 cos2 (0 + z) sin z —
w TT	(OX
— 2®xsin2(0 + z)cos(0 4-z)cosz + 2®xcos2(0 4-z)sin(0 + z)cosz +
+ ®2x cos3 (0 + z) cos z + ®2x sin (0 + z) cos2 (0 + z) sin z} + eh.
Так как
2Л	2Л+2
А.|ф(0 + гМ0 = .^ J
0	z
то мы можем провести
в результате получим
dx _
dx
dz _
dx
усреднение по переменной
z,
Че
------cos z,
<в
Че
------ sin z + eh.
<вх
(8.71)
Система (8.71) допускает два стационарных режима:
I	п
I. Z— 2 ,
ПЛ
• z= - у,
2
Х = —-г-,
ап ’
2
ah
§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ОРБИТАЛЬНЫХ АППАРАТОВ 271
Мы видим, что при /г = 0 эти решения теряют смысл: система
не допускает установившихся режимов. Этот результат следо-
вало ожидать, поскольку исходное уравнение (8.68) было ли-
нейным, а в рамках линейной теории исследовать поведение
системы в точке резонанса нельзя.
Для того чтобы исследовать характер колебания при нуле-
вой расстройке, при упрощении уравнения (8.67) мы должны
удержать члены более высокого порядка относительно д. Заме-
ним в левой части этого уравнения
sin 6 = 6 — 4- 63.
О
В правой части положим sin 6 = 6 (это значит, что мы пре-
небрегли величиной еб3 по сравнению с б3) и проделаем обыч-
ные для квазилинейной теории преобразования., переписав
уравнение (8.67) в следующем виде:
где
+ ®26 = е (4 sin 0 + 2 sin 0	+ со26cos 6 + об3),
а(г	\	dv	/
со2
а =-----.
е
В этих предположениях система (8.70) запишется так:
{4 sin 0 sin (0 + z) — 2сох sin 0 sin2(0 + z) +
+ со2х cos 0 cos (0 + z) sin (0 + z) + ax3 cos3 (0 + z) sin (0 + z)},
~ =--------— {4 sin 0 cos (0 + z) —
dx	cox 1	'	'
— 2 cox sin 0 sin (0 + z) cos (0 + z) + co2x cos 0 cos2(0 + z) +
+ ax3 cos4 (0 + z)} + eh.
(8.72)
После усреднения системы (8.72) мы получим следующий ана-
лог системы (8.71):
dx
dx
Че
— COS z,
со
dz	Че I .	,3	о'\ ,	,
d? = -^(S,nz+8-aX) + e/z-
(8.73)
Система (8.73), в отличие от системы (8.71), допускает стацио-
нарные режимы и при нулевой расстройке й = 0:
Д/ДГ
х = — у .
г За
т л
I. 2 = -,
II. Z=-f,
272
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
Итак, один случай, когда уравнение (8.65) может быть ис-
черпывающим образом изучено методами асимптотической тео-
рии,— это случай малых эксцентриситетов (е<С1). В классиче-
ской литературе по астрономии подробно изучен случай е = 0.
Случай малых эксцентриситетов орбиты, как показал впервые,
по-видимому, В. В. Белецкий, не обнаруживает никаких но-
вых качественных особенностей. Учет эксцентричности орбиты
несколько изменяет характер параметров колебательного дви-
жения орбиты, не изменяя в сущности основного характера
движения. Так, например, в случае е = 0 устойчивым будет то
положение тела, при котором его наибольшая ось инерции кол-
линеарна радиусу-вектору. В случае 1 устойчивым является
то положение равновесия, при котором наибольшая ось инер-
ции коллинеарна радиусу-вектору центра инерции в апогее и
перигее. Во всех остальных типах орбиты ось будет составлять
некоторый малый угол с радиусом-вектором. Этот результат
справедлив, разумеется, только для малых значений эксцентри-
ситета. Изложенная теория без каких-либо принципиальных
трудностей может изучить случай произвольных углов б, одна-
ко при одном условии малости эксцентриситета.
Ф. Л. Черноусько обратил внимание, что асимптотические
методы усреднения могут быть использованы еще в одном слу-
чае, когда а'<С1. В этом случае собственные колебания тела
происходят с очень малой частотой. Если период этих колеба-
ний значительно больше периода обращения тела по орбите, то
за время одного обхода орбиты ориентация тела в пространстве
существенно не изменится. Это обстоятельство и используется
для построения асимптотической теории.
Случай не содержит ограничений на величину эксцен-
триситета. В рамках такого рассмотрения могут быть изучены
колебания тела, летящего по очень вытянутой эллиптической
орбите. Исследование этого случая позволяет обнаружить це-
лый ряд новых свойств движения, качественно отличающих его
от случая малых эксцентриситетов, который был изучен выше.
Например, если е>ео = О,68, то устойчивым положением равно-
весия оказывается то, при котором в перигее и апогее наиболь-
шая ось инерции перпендикулярна радиусу-вектору. Изложе-
ние этой интересной работы выходит далеко за рамки данной
книги. За подробностями мы отсылаем читателя к оригиналу*).
Мы изложили несколько примеров, показывающих эффек-
тивность применения методов усреднения в задачах динамики
*) Ф. Л. Черноусько, Резонансные явления при движении спутника
относительно центра масс, Журнал вычислительной математики и математи-
ческой физики, т. 3, № 3 (1963), 528—538.
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛ. 273
космических аппаратов. Число этих примеров легко умножить.
Но уже изложенного достаточно для того, чтобы продемон-
стрировать возможности используемого математического ап-
парата.
§ 9. Асимптотические методы усреднения в задачах
теории оптимального управления
1. Частичное усреднение. Рассмотрим систему уравнений
х = еХ(х, t, и),	(9.1)
где X — периодическая функция времени t периода 2л, а и —
некоторая медленно меняющаяся функция х и t (управление).
Ее изменение может быть описано уравнением
м = Е<р(х, t, и),	(9.2)
здесь х и и — это некоторые векторы размерностей п и т соот-
ветственно. Для исследования системы (9.1) — (9.2) может быть
использован метод Ван-дер-Поля: так как за время одного пе-
риода переменные хин изменятся мало, то уравнение (9.1)
можно заменить усредненным
х = еХ(х, и),	(9.3)
где
2Л
Х(х, и) = -~ [ Х(х, t, u)dt,
о
и вместо системы (9.1), (9.2) рассматривать систему (9.3),
(9.2).
Можно формально построить процесс, аналогичный тому,
который был изложен в § 4 настоящей главы; для этого доста-
точно сделать замену
x=x + eg((x, t, и)+е2£2(А t, u) + ...,
где
x = еЛ((x, u) + e2A2 (x, u) +...
Тогда	_
Ai = X,
2 dx dx 1 du
t
= J {X (x, t, и) — X (x, u)} dt
и т. д.
274
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. III
В первом приближении мы получим систему уравнений
(9.2), (9.3). Для второго приближения мы получим систему
уравнений
х2 = еА। (х2, и) + е2А2 (х2, и),
й = е<р(х2 + ^, О
И г. д.
Представляет определенный интерес также рассмотрение
систем и более общего вида, например
(9.4)
х = гХ (х, t, у, и),
у — а(х, и, t) + еУ (х, t, у, и),
й = е<р(х, /),
(9.5)
где правые части X и У — периодические функции скалярных
аргументов t и у. Такие системы содержат уже две быстрые
переменные t и у. Для их исследования может быть формально
использован весь аппарат данной главы. В системах уравне-
ний типа (9.5) возможно существование резонансных режимов.
2. О возможных постановках задач оптимального управле-
ния для уравнений в стандартной форме. Построение теорий,
позволяющих найти приближенное решение задач оптималь-
ного управления для систем уравнений, содержащих малые па-
раметры, представляет интерес во всех отношениях. Прежде
всего, существует большой класс технических задач, в которых
дифференциальные уравнения, описывающие движение упра-
вляемой системы, содержат малые параметры, и поэтому во-
прос о соответствии решения, которое получено при нулевых
значениях параметров, точному решению всегда актуален. Бо-
лее того, практически всегда мы имеем дело с идеализирован-
ными моделями управляемых систем, и поэтому развитие тео-
рии оптимального управления в том случае, когда дифферен-
циальные ограничения содержат малые параметры, предста-
вляется важным с прикладной точки зрения. Далее, задачи
оптимального управления относятся к числу некорректных за-
дач. По-видимому, отбрасывание малых величин в некоторых
случаях может привести к появлению новых качественных осо-
бенностей.
В данной работе мы рассматриваем только один простей-
ший пример таких систем, который относится к частному типу
задач, охватываемых излагаемой теорией.
Рассмотрим задачу отыскания такой функции u(t), кото-
рая доставляет минимум функционалу
т
/ = J F (х, и) dt	(9.6)
о
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИЙ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛ. 275
при следующих ограничениях:
а) дифференциальные связи
	x = eX(t, х, и),	(9.7)
б)	фазовые ограничения	
	xf=Gx,	(9.8)
В)	ограничения на управление	
	u^Gu.	(9.9)
Здесь х и и — некоторые векторы размерностей пит соответ-
ственно, вектор х называется фазовым вектором, и — управляю-
щим вектором или управлением, Gx и Gu — некоторые мно-
жества.
К перечисленным условиям должны быть добавлены еще
условия при t=0 и t=T. Условимся их фиксировать
/ = 0
t = T
X = ха,
х — хТ.
(9.10)
В такой постановке рассматриваемая задача допускает про-
стую механическую интерпретацию: найти такое управление
«(/), которое переводит систему, движение которой описывается
системой уравнений (9.7), за время Т из состояния х0 в со-
стояние хт так, чтобы функционал / (стоимость перехода из х0
й хт) был минимален и чтобы фазовая траектория этой си-
стемы не покидала допустимой области Gx.
Предположим теперь, что множество Gu включает только
такие' функции u(t), производная которых мала, а функция
X(t, х, и) является периодической функцией времени I перио-
да 2л. Тогда возникает та ситуация, о которой говорилось в
предыдущем разделе.
В этом случае мы можем получить приближенное решение
задачи, заменяя уравнения (9.7) осредненными
х=еХ(х, и).	(9.11)
Предположим, что Gu не содержит ограничений на произ-
водную функцию u(t). Тогда методы усреднения можно ис-
пользовать одним из следующих способов.
а) Решаем задачу, в которой система уравнений (9.7) за-
менена системой (9.11); в результате находим функцию «(/),
Если окажется апостериори, что производная функция u(t)
мала, то у нас есть интуитивная уверенность в том, что уп-
равление, найденное при помощи процедуры усреднения си-
стемы (9.7), есть некоторое допустимое управление, близкое
276	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ [Гл Ш
к оптимальному. Заметим, что для широкого класса технических
задач такое «решение задачи» оказывается достаточным.
б) Если в результате решения оптимальной задачи произ-
водная функция «(/) оказывается большой (например, функ-
ция «(/) может просто оказаться разрывной), то метод усред-
нения неприменим. Тем не менее описанная процедура может
оказаться полезной для построения возможных управлений.
Предположим, что и является скаляром. Введем при помощи
уравнения
й = Е<р(/),	(9.12)
где |<р| -^ф*, новое управление ф(/), а функцию u(t) отнесем
к числу фазовых координат, ф* — некоторое заданное число.
У
9>
Рис. 38.
Предположим, что вариационную за-
дачу с ограничениями (9.11), (9.12)
мы можем решить эффективно для
любого значения ф*. Тогда каждому
значению ф* будет отвечать некото-
рое значение функционала /(ф*). Ес-
ли эта зависимость имеет вид, изобра-
женный на рис. 38, т. е. величина про-
изводной dl/dtp* оказывается малой,
то в целом ряде технических задач
этого факта оказывается достаточно для построения возмож-
ного управления, близкого к оптимальному (по функционалу),
в) Введение ограничения (9.12) сужает множество G„.
Остановимся подробнее на том случае, когда подобное суже-
ние множества Gu сохраняет задачу в такой форме, что для
нее оказывается возможным использовать принцип максимума
Л. С. Понтрягина.
Согласно принципу максимума оптимальное управление
определяется из условия максимума функции
Н — еХ(х, u)p + eqq — F(x, и),
(9.13)
где р и q—множители Лагранжа” (импульсы), которые удо-
влетворяют следующей системе уравнений:
дН _ _ дХ (х,	и)	,	дР	I
дх	дх	V	дх ’ I
дН	дХ (х,	и)	,	dF	।
ди	ди	г	ди	]
(9.U)
Из вида функции Н следует, что
жно быть выбрано из условий
Ф = ф*, если
Ф = — Ф*, если
новое управление ф(/) дол-
<7>0, I
<7<0. J
(9.15)
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛ. 277
Итак, в рассматриваемом случае задача сводится к решению
некоторой краевой задачи для системы уравнений (9.11),
(9.12) и (9.13). Краевые условия — это условия трансверсаль-
ности. Например, если рассматривается задача о переходе си-
стемы из состояния Хо в состояние хт, то краевая задача будет
формулироваться следующим образом:
I х = х0,	( х = хт,
'-4,-0.	<916>
Примечание. Если исходная постановка вариационной
задачи допускает применение принципа максимума, то можно
сначала выписать всю систему уравнений сопряженной задачи
р=-е-^р,	(9.17)
где и определяется из условия
Н — max Н (х, р, и, /) = max {еХ (х, и, t) р — F (х, и)}. (9.18)
и	и
Правые части полученной системы уравнений будут периодиче-
скими функциями t. Множители Лагранжа будут функциями,
которые изменяются медленно. Условие (9.18) нам покажет,
будет ли функция и(/) также изменяться медленно. В послед-
нем случае мы сможем применить метод усреднения непосред-
ственно к (9.7) и (9.17).
3. Пример. В качестве примера рассмотрим задачу о движе-
нии космического аппарата под действием трансверсальной
тяги. Предположим дополнительно, что начальная орбита кос-
мического аппарата была круговой. В предыдущем параграфе
было показано, что уравнение, определяющее изменение ра-
диуса орбиты А, после осреднения примет вид (см. (8.28)).
(9.19)
где ef — тяга двигателя. Во все время эволюции орбита (как
это было показано) в первом приближении остается круговой.
Поставим следующую вариационную задачу: определить
управление — функцию f(<p), которая переводит аппарат с ор-
биты, радиус которой До, на орбиту радиуса А*, за время, в те-
чение которого аргумент <р изменится на фт, причем управление
f (ср) должно доставить минимум функционалу
ф»
I = е J f2 dq>.
о
278
асимптотические методы разделения ДВИЖЕНИЙ
(гл in
Составим функцию Гамильтона Н
H = 2efA3p — ер,	(9.20)
где р — множитель Лагранжа, удовлетворяющий уравнению
(9.21)
Из условия максимума функции И находим управление
f = A3p.	(9.22)
Рассмотрим теперь уравнения (9.19) и (9.21). Из этих урав-
нений легко находим
dp _ _ Зр
dA ~ А ’
откуда
с
Р~~АА'
где с — некоторая постоянная: с= (р(ф))ф==0. Подставляя полу-
ченное выражение в (9.22), находим
f = c.
Итак, оптимальное управление в этом случае постоянно.
Постоянная с определяется из условия
И(ф) )^т = л*-
Интегрируя уравнение (9.19), находим
А*= А° ________
V1 - еМоФт
откуда получаем окончательно
л *2 .о
(9.23)
еАдА <рг
Этот пример имел своей целью показать, что использование
усредненных уравнений позволяет в отдельных случаях полу-
чить решение в явном виде. Этот пример очень прост и резуль-
тат тривиален. Однако тем же приемом может быть рассмотрен
и целый ряд более сложных задач. Некоторые из них приве-
дены в монографии В. Н. Лебедева, цитированной выше на
стр. 249.
ГЛАВА fV
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
В этой главе излагаются асимптотические методы интегри-
рования линейных уравнений с переменными коэффициентами,
содержащими большой параметр. Эта теория возникла в связи
с обоснованием метода Фурье, которое потребовало изучения
асимптотического поведения собственных функций и собствен-
ных чисел линейных дифференциальных операторов. Частным
случаем этой задачи является задача о поведении решения
уравнения
у+А2со2(/)у = 0, ы>0	(*)
при ^,—>оо. Первые систематические рассмотрения этих задач
были проведены Лиувиллем в тридцатые годы прошлого века
В XX веке вопросы поведения решений уравнений типа (*) при
К—юо были предметом исследования ряда выдающихся мате-
матиков. Основные результаты этой теории связывают обычно
с именами Брикхоффа и Я. Д. Тамаркина *).
Одновременно с этими исследованиями чисто математиче
ского характера и независимо от них изучались различные спо
собы приближенного интегрирования уравнений вида (*).Пер
вой из работ этого цикла был мемуар капитана французской
артиллерии де Спарра, который построил приближенный спо-
соб интегрирования уравнений баллистики вращающегося ар-
тиллерийского снаряда. Де Спарр обратил внимание на то, что
при известных интуитивно оправданных гипотезах движение
артиллерийского снаряда относительно своего центра тяжести
может быть описано уравнением типа (•»). Это позволило де
Спарру развить теорию, опирающуюся на способ приближен-
ного интегрирования уравнения (•») при больших В даль-
нейшем подход де Спарра к построению баллистики вращаю-
щегося снаряда стал традиционным.
Значительное развитие подобная концепция получила затем
в работах покойного профессора Академии им. Жуковского
*) Я. Д. Тамаркин, О некоторых общих вопросах теории дифферен-
циальных уравнений и о разложении функций в ряды, Петроград, 1917.
280 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Д. А. Вентцеля. В. С. Пугачев, опираясь на результаты Бриг-
хоффа — Тамаркина, придал теории движения артиллерийского
снаряда вполне современный вид и превратил интуитивно оче-
видную схему в строгую математическую теорию. С именем
В. С. Пугачева связано также появление теории, позволяющей
строить асимптотические представления весьма общего вида*).
В послевоенное время появился ряд работ, в которых изу-
чались «сквозные асимптотики» уравнений типа (») в случае,
когда функции a>(t) могли в отдельных точках обращаться
в нуль (см., например, работу А, А. Дородницына**). Выяс-
нилась также возможность использования асимптотических
представлений для построения рациональных численных схем.
Независимо от этих исследований, начиная с работ Стокса
в физике, подробно изучался случай одного уравнения второго
порядка вида (-»). Разработанный приближенный способ полу-
чил название метода WBKJ (Wentzel, Brillouin, Kramers, Jeff-
reys).
В работах, посвященных методу WBKJ, главное внимание
уделялось изучению поведения решений уравнения (--) в раз-
личных областях плоскости комплексного переменного К, огра-
ниченных линиями Стокса
t
Im j /ы2(() dt = 0.
о
Значительный вклад в развитие асимптотических методов рас-
сматриваемого типа сделан в послевоенные годы украинскими
математиками И. М. Раппопортом, С. Ф. Фещенко и их учени-
ками.
Количество работ, посвященных методам большого пара-
метра, огромно, и замечания, которые мы сделали, отнюдь не
претендуют на роль научного обзора. Большая библиография
помещена в монографиях И. М. Раппопорта***) и С. Ф. Фещен-
ко****). Перечнем фамилий авторов мы просто отметили тот
круг вопросов, который имеет отношение к теории, излагаемой
*) В. С. П у г а ч е в, Общая задача о движении вращающегося артил-
лерийского снаряда в воздухе, Труды Военно-воздушной академии им Жу-
ковского, № 70, (1940).
**) А. А Дородницын, Асимптотические законы распределения соб-
ственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравне-
ний второго порядка, УМН, т. VII, вып. 6, (1952).
***) И. ЛА. Раппопорт, О некоторых асимптотических методах в тео-
рии дифференциальных уравнений, Изд. АН УССР, Киев, 1954.
****) С. Ф. Фещенко, Н. И. ШкилевиЛ. Д Николенко,
Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений^
Киев, «Наукова думка», 1966.
§ И
ОДНО УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
281
в этой главе. Выбор вопросов этой теории, которые рассматри-
ваются в данной монографии, определен прежде всего интере-
сами задач динамики. Поэтому все рассмотрения мы будем ве-
сти только в действительной области изменения переменного %.
§ 1. Одно уравнение второго порядка
1. WBKJ-решения. Подобно тому как изучение методов
осреднения мы начали с рассмотрения простейших примеров и
метода Ван-дер Поля, изложение асимптотических методов
большого параметра мы начнем также с рассмотрения простей-
ших асимптотических решений и проведем рассуждения, опи-
раясь на интуитивные соображения.
Рассмотрим уравнение (<»)
у + А2со2(/) у = 0.	(1.1)
Здесь А>0—большой параметр А_^>_ 1 и со2(/)	а>0. Если
бы функция со(/) была постоянной величиной, то решения урав-
нения (1.1) имели бы вид
У1,2=ехр
Кажется, что при достаточно большом А поведение решений при
<о = <о(/) должно хорошо описываться функцией
exp I ± iA j со (/) dt I.
' о	'
В самом деле, если А достаточно велико, то решения уравне-
ния (1.1) будут быстро осциллирующими функциями и за один
период осцилляции функция со(/) быстро измениться не сможет.
Значит, в каждый момент времени линейно независимые реше-
ния можно аппроксимировать функциями
У1, 2 ~ ехр(±с'Ай/),
где й —среднее значение функции со(/), причем й/ мало отли-
чается от J со (/) dt.
Используя эти наводящие соображения, будем искать реше-
ния уравнения (1.1) в виде
У1,2 = ехр
± с'А j со (/) dt z (t, А),
о
(1-2)
Экспоненциальный множитель в выражении (1.2) описывает
быструю осцилляцию. Поэтому можно ожидать, что функция
z(t, А) меняется медленно.
282 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Дифференцируя дважды (1.2), подставляя в (1.1) и сокра-
щая экспоненциальный множитель, мы получим уравнение от-
носительно z(t, А)
z ± 2/Лог ± zAcoz = 0
ИЛИ
у z ± 2iaz ± iiaz = 0.	(1.3)
Первая производная функции z(t, А) мала, вторая производная,
по-видимому, должна быть еще более малой величиной; к тому
же она умножается на величину 1/А, которая мала по условию.
Следовательно, мы не сделаем большой ошибки, если отбросим
в (1.3) слагаемое (1/A)z. Уравнение (1.3) после этой процедуры
превращается в уравнение первого порядка. Переменные в нем
разделяются, и мы получаем
z (/) = , f' - ,
где С — произвольная постоянная.
Таким образом,
ражения для обоих
(1-3):
мы получили следующие приближенные вы-
линейно независимых интегралов уравнения
t
ГК j*
о
ш	- ехр ±
W1'2	F
или в тригонометрической форме
t
у*. =-7=-cos |А <&\t)dt I,
К <о	I J	/
'	\ о	/
f t	\
(1-4)
(1-5)
у2 = —^= sin I A j а» (/) dt I,
' w \ о	/
где А и В — произвольные постоянные.
Функции (1.4) и (1.5) обычно называются WBKJ-решениями.
Мы предполагали, что ы2Д))> а>0. Но все рассуждения сохра-
няют свою силу и в том случае, когда w2(/)^a<0, т. е. когда
вместо уравнения (1.3) рассматривается уравнение
У - A2(B2 (t)y = O
при <о2(/)^а>0.
Для этого уравнения WBKJ-решения будут иметь вид
2
^2 = 7>exp
(1.57)
о
§ 1]
ОДНО УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
283
2. Связь с методом усреднения. Рассуждения, которые мы
использовали для вывода формул (1.5), не являются строгими.
В следующем параграфе мы установим погрешность этих фор-
мул. Далее будет показано, что прием, который мы использо-
вали, является частным случаем общего метода построения
асимптотических представлений решений дифференциальных
уравнений, содержащих большой параметр.
Заметим еще, что формулы (1.5) могут быть получены мето-
дом усреднения. В самом деле, сделаем в (1.1) замену незави-
симого переменного
, 1
t = ет, е = v.
Тогда уравнение (1.1) перейдет в следующее:
+ <о2 (ет) z/= 0.	(1.6)
Как мы знаем, из теории метода усреднения следует, что ин-
теграл действия
2П
/ =	®(ет)(2^ф	(1.7)
о
будет адиабатическим инвариантом, т. е. его производная в силу
уравнений первого приближения равна нулю. В выражении (1.7)
Q и Qtj, означает функции
Q=xcostfi, =—xsinip.
Следовательно,
2Я
7 (х) = —j х2 sin2 ф dty = const,
о
откуда
const
X = —р= .
К<а (et)
Далее, уравнение первого приближения для фазы имеет вид
41=«(-),
из которого следует, что
284 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Примечание. Из этого примера тем не менее совсем не
следует, что метод осреднения в каком-то смысле эквивалентен
методам, которым будет посвящена эта глава. Метод усреднения
не связан с линейностью задачи: так же, как и метод Пуанкаре,
он позволяет исследовать некоторые задачи для нелинейных си-
стем, близких к эталонным (решение которых нам известно и
которые в свою очередь тоже могут быть нелинейными). В то
же время метод усреднения может быть использован лишь для
изучения процессов, близких к периодическим. Методы, которые
рассматриваются в этой главе, относятся к линейным задачам,
но зато никак не связаны с предположениями о периодичности
решений.
3. Асимптотический характер приближенных формул. Вывод
формул (1.5) и (1.5') был основан на предположении о том, что
в уравнении (1.3) можно отбросить слагаемое (1/X)z, если Л до-
статочно велико. Это уравнение относится к классу уравнений,
содержащих малый параметр при старших производных. Отбра-
сывание членов, содержащих малый параметр, приводит к по-
нижению порядка системы. Решение такой системы меньшего
числа степеней свободы может, вообще говоря, не иметь ника-
кого отношения к решению исходной задачи. Тем не менее, как
мы увидим ниже, при известных условиях формулы (1.5) и (1.5')
действительно являются хорошей аппроксимацией точных реше-
ний уравнения (1.1).
Прежде чем переходить к доказательству этого факта, вве-
дем одно определение.
Функции z(t, X) будем называть '/.'-асимптотическим реше-
нием (или просто решением, асимптотическим по параметру Z),
если для любого t е [О, Г] искомое решение можно представить
в виде
y(t, K) = z(t, Z) + ^#,	(1.8)
где ф(/, X) ограничена при 2. —► оо.
Цель данного параграфа будет состоять в доказательстве
следующего утверждения
Теорема. Пусть функция со2(/) дважды дифференцируема
на отрезке [О, Т] и существует такая постоянная а>0, что для
любого t е [0, /]
со(Ц^ а.
Тогда для любого fe[0, Г] функция (1.5) является % асимпто-
тическим решением уравнения (1.1).
Доказательство этой теоремы опирается на два вспомога-
тельных утверждения.
ОДНО УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
285
Лемма I. Пусть и и v — положительные функции и С — по-
ложительная постоянная. Если для любого t^- 0 имеет место
неравенство
t
и С + J uv dt,	(1.9)
о
то для любого
(t	\
J vdt j.	(1-10)
о	'
Доказательство этой леммы приведено в § 4 главы I.
Лемма II. Если со > а>0 для любых t е [0, Т], то для лю-
бого X > р > 0 можно указать такую постоянную D> 0, зави-
сящую только от начальных условий и чисел а, р и Т, что
при любом t ge [0, Т] решение задачи Коши для уравнения
г/ + ХАо2(/)г/ = 0	(1.11)
удовлетворяет неравенству
\y\<D.
Для доказательства умножим (1.11) на у и проинтегрируем в
пределах от 0 до t, в результате получим
t
42-	+ V<o2-^ = f y^dt + ^M,	(1.12)
Л	£ J	Z
0
где
r/2 + VM2(0)£/2
a =------уг-----> 0.
Заменим равенство (1.12) неравенством
t
Z2co2t/2 a2Z2C + J 2i/2co| co \dt,
о
где
г/о , “2(°) £
C “ a2p2 + a2 ’
ИЛИ
t
t/2<C+ j* y^^-dt.	(1.13)
о
286 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Неравенство (1.13)
9	2<о I со I
удовлетворяет всем условиям леммы I, где
Следовательно, мы имеем оценку
т
У2<с (	=
J J а2р2
о
(1.14)
Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Рассмотрим
функции (1.4)
у\ 2 = -^ехр( ± /А
И ®
со dt
о
и составим дифференциальное уравнение, которому она удо-
влетворяет. Вычисляя вторую производную, находим
Г3 -г-	1 ..	„ 2
0=1, 2).
Следовательно, функции у* удовлетворяют уравнению
d2 *
-^- + (Х2со2 +ср (0)^ = 0,	(1.15)
где
1	.. з со2
ф(0 = тг coco — —г.
v’	2	4 со2
Таким образом, уравнению (1.15) удовлетворяют обе функции
у\ и у2. Значит, этому уравнению удовлетворяет также их про-
извольная линейная комбинация
Пусть теперь у — то частное решенье уравнения (1.11), которое
удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у*. Обозна-
чим
v—у — У*	(1.16)
и перепишем уравнение (1.11) так:
у+ (h2(a2 + q>)y = qy.	(1.17)
Вычитая из уравнения (1.17) уравнение (1.15) и используя
(1.16), получим уравнение, которому удовлетворяет функция v:
v+ (K2a>2 + <p)v — (f)(t)y.	(1.18)
Функция v по построению удовлетворяет нулевым начальным
условиям
v (0) — V (0) =0.
(1.19)
§ 1]
ОДНО УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
287
Уравнение (1.18) можно рассматривать как неоднородное урав-
нение относительно V. Частные решения однородного уравнения
(при <ру == 0) нам известны — это функции у* и у*. Следова-
тельно, функцию v мы можем выразить при помощи формулы
Лагранжа
t
v (t) — J G (t, т) ф (т) у (t) dx,	(1.20)
о
где G (t, т) — известная нам функция Грина
G т> = 4 {^2 (0 У? <т) - У*1 W Уг (ty ’
Д — определитель Вронского для функций у, и у”:
У! У*2
Л== dy\ dy2 •
dt dt
Дифференцируя (1.5), убеждаемся, что
у; = о(л).
Следовательно, имеем оценку
Д = О (Л),
откуда сразу следует и оценка для функции Грина
G = О (Г1).
В самом деле, формулы (1.4) показывают, что функции у*.
ограничены при X —» оо.
Рассмотрим теперь выражение (1.20). Функция ф(/) ограни-
чена в силу условий, наложенных на со(О- Для функции у(/)
априорная оценка дана леммой II. Следовательно, для любого
t е [0, Г]
ц(/) = 0(|).
Итак,
у = у‘ + 0(|),	(1.21)
что и требовалось доказать.
Формула (1.21) дает оценку точности приближенного реше-
ния, построенного при помощи формул (1.5). Позднее мы уви-
дим, что это решение может быть уточнено, а сам метод опреде-
ления приближенных решения может быть видоизменен таким
образом, что он окажется пригодным для построения асимптоти-
ческих решений систем произвольного порядка.
288 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
4. Другой метод построения приближенных решений. Суще-
ствует способ получения приближенных формул (1.5), отличный
от изложенного в начале параграфа. Этот способ основан на
сравнении исходного уравнения с некоторым эталонным. Такой
подход, как мы в этом убедимся, позволит нам построить асим-
птотические решения в тех случаях, когда функция со(/) обра-
щается в нуль.
В этом параграфе мы рассматриваем уравнение
ji + Vf (/)</=О,	(1.22)
где Л — большой параметр, а функция f(t) не меняет знака на
рассматриваемом интервале времени. Решение этого уравнения
мы разыскивали в форме (1.2), другими словами, предполага-
лось, что искомое решение близко к решению уравнения вида
х"±х—0,
где штрих означает дифференцирование по некоторому перемен-
ному т(0- Уравнение
х"+х = 0	(1.23)
условимся называть эталонным.
Сделаем замену независимого переменного
/ = /(т),
тогда
Используя формулу (1.24), перепишем уравнение (1.22)
у" -	+ 7 ,2у = 0.	(1.25)
Сделаем теперь такую замену зависимого переменного, которая
позволит исключить у'-.
у=УТ'г.
После этой замены уравнение (1.25) примет вид
z"+[x2f/7 +ф(т)] z = 0,
, .	3 (/")2	1
ф(т)	4 (//)2	2 i' •
(1-26)
где
Потребуем теперь, чтобы уравнение (1.26), если отбросить
<р(/), совпадало с эталонным уравнением (1.23). Для этого до-
статочно выбрать функцию /(т) таким образом, чтобы
Z2f(/)(/')2= 1,	(1.27)
§ 1]
ОДНО УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
289
откуда
т = ± Л, J /Д7) dt.	(1.28)
О
Оценим функцию <р(т) на основании (1.27)
dt =	1
dx
Используя это равенство, мы можем выразить функцию <р(т)
через функцию /(/) и ее производные
, х	9 (Г)2	1 f"
ф(Т)	16/2	4 f •
Это выражение показывает, что если функция Дт) изме-
няется медленно, т. е. ее производные много меньше единицы,
а ее значение на исследуемом интервале времени не обращает-
ся в нуль, то
'Ы«1
и в уравнении (1.26) слагаемое, содержащее функцию <р(/),
можно отбросить, поскольку первое слагаемое №f(t)(t')2 имеет
порядок единицы. Тогда уравнение (1.26) упрощается
s"+Vf(T)(//)2z=0
и после выбора /(т), согласно условию (1.27), мы получим эта-
лонное уравнение (1.23). Следовательно,
г=ехр {±/т}
или, возвращаясь к старому переменному,
г = ехр
t
± ZX J /ДД dt
о
Таким образом, для неизвестной функции y(t) мы получаем
const
г/= -4—ехр
t
± гЛ J Vf(ijdt
О
(1.29)
т. е. мы снова пришли к формулам (1.5).
Оба способа рассуждения, которые нас привели к формулам
(1.5) или (1.29), возникли при изучении прикладных задач и
каждый из них имеет свои достоинства.
290 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
§ 2.	Однородные системы второго порядка.
Случай простых корней
1.	Асимптотические решения для одного уравнения второго
порядка. В предыдущем параграфе мы рассмотрели уравнение
(1.1)
y + W(t)y = 0
при условии, что со2Д) (которая может быть как положитель-
ной, так и отрицательной функцией времени) сохраняет знак
для изучаемого промежутка времени. Для обоих частных реше-
ний этого уравнения мы вывели приближенные формулы (1.5).
Таким образом, мы научились находить приближенное предста-
вление для общего решения уравнения (1.1). Далее мы дока-
зали, что это решение носит асимптотический характер: оно
стремится к точному при X —»оо. Одновременно была дана
оценка остаточного члена; мы показали, что он имеет порядок
О(1/Х). Этот параграф будет посвящен изложению алгоритмов,
позволяющих отыскивать решения с произвольной точностью.
Вернемся снова к уравнению (1.1); его решение мы искали
в форме
у-ехр
t
% J ip(/) dt
о
• z (t, X),
(2.1)
где ц — корень «характеристического уравнения»
pi2 + со2 = 0.
Выберем определенное значение корня ц, например положим
р.= + ш. Тогда для функции z получим уравнение (см. (1.3))
z' + 2icoXz-|-iX(bz=0.	(2.2)
Естественно попытаться отыскать решение этого уравнения в
виде ряда по обратным степеням параметра X
гД, X) =z0(O -ЬХ-^Д/) +X-2z2(0 + ...	(2.3)
Подставляя ряд (2.3) в уравнение (2.2) й сравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях X, получаем следующие
уравнения для определения неизвестных функций зД/):
2(0 (t)zQ + Й20 = 0,
2(0 (Z)Z] + йг, = iz0,
2(о (Д zs + (bz5 = гг5_],
(2.4)
§ 21
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРОСТЫЕ КОРНИ 291
Интегрируя первое из уравнений системы (2.4), находим
20 = С<В"1''2,
где С — произвольная постоянная.
Используя метод вариации постоянной, находим решение
второго уравнения системы (2.4)
Zi (/) = С «г’'2
t
Do + ~ J‘(o-’/2-^-(o-,/2d/
о
где Do — новая произвольная постоянная, и т. д.
Таким образом, частное решение, соответствующее корню
ц4-г<в, можно представить в виде
Легко проверить, что частное решение уравнения (1.1), соот-
ветствующее второму корню характеристического уравнения,
имеет следующее представление:
С(2)
г/®(/) = -7^=
ехр
+ -р-(...)+ ...
(2.6)
х
Выражения (2.6) и (2.5) содержат «дополнительные» про-
извольные постоянные D^\ которые возникают при интегриро-
вании систем уравнений (2.4). Этими постоянными мы можем
распорядиться по нашему усмотрению, поскольку каждой со-
вокупности этих параметров будет отвечать свое частное реше-
ние, т. е. ряды (2.5) и (2.6) будут асимптотическими представле-
ниями того или другого решения уравнения (1.3) в зависимости
от значений постоянных Не ограничивая общности, мы мо-
жем принять их равными нулю.
Составим еще выражение для общего интеграла уравнения
(1.1) для случая <т>2>0. При этом мы заменим
ехр ! ± /Х [ <i>dt > = cos X j adt + i sin X | <&dt
292 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
и введем новые постоянные Л = С, + С2 и В = i (С, — С2). Тогда
А У = 17=\ V о)	г cosX J	t ®dt — -^~ sinX J	t CD dt f	(0“^ dt j	de1	+
	0	0	0	
(	t	t	t	
	sin Л J 0	cd dt + -Л- cos Л 2Л	J 0	cd dt J	®"'/2 dt 0	+ 0
(2.7)
Точно так же при помощи формул (2.6) может быть по-
строено общее решение этого уравнения для случая <т>2<0. Для
этого в этих формулах достаточно принять <т>=гф, где ф=
Формула (2.7) дает приближенное решение уравнения (1.1)
уже с большей точностью, чем WBKJ-решения. Его погрешность
имеет порядок	Рассматривая следующие уравнения си-
стемы (2.4), мы можем получить решения, погрешность кото-
рых будет иметь еще более высокий порядок.
Рассмотрим теперь несколько более общий случай
y + h2F(t, Л)«/ = 0,	(2.8)
где
F(t, ^) = f0(/) + -Lfl(t)+ ...
Ниже мы столкнемся с одним важным применением уравне-
ния (2.8). Подобному тому, как мы это делали в предыдущем
пункте, частное решение уравнения (2.8) будем искать в виде
У (Л А,) = ехр
t
Л J р (/) dt
о
(*о (0 + у (0 + • • •) >
(2.9)
где р(/) —один из двух корней уравнения
ix2(/) + fo(O = o,
которое мы условились называть характеристическим. Итак,
р(/)=±г/М0.
Подставляя разложение (2.9) в уравнение (2.8), получим сле-
дующие уравнения для определения функций z0(Z), гД/) и т. д.:
(H2 + fo(C)*o = O,
(|A2 + fo(O)*i= -[2zo|i + |XZo4-fiZo], .
(р-2 + f() (0 ) г2 = FZi
§ 2] ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРОСТЫЕ КОРНИ 293
где через Аз,- обозначен дифференциальный оператор первого
порядка относительно функций з,-. Коэффициенты этого выра-
жения являются известными функциями времени: они опреде-
ляются предыдущими приближениями.
Рассмотрим первое из уравнений системы (2.10). Так как
p2+fo = O, то, для того чтобы это уравнение имело смысл, вы-
ражение, стоящее в правой части, также должно обращаться
в нуль, т. е. функция z0 должна удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению
2z0p-|-|13o+f13o = 0.	(2.11)
Это уравнение отличается от первого из уравнений системы
(2.4) слагаемым fiZ0. Интегрируя (2.11), получим
2"w=WexpHJw'"j- <2Л2>
Функция 3j(Z) будет определена из второго уравнения системы
(2.10), которое нам дает
£31=0.	(2.13)
Уравнение (2.13) —это линейное дифференциальное уравнение
первого порядка с переменными коэффициентами, которые пол-
ностью определяются функциями f0, /4 и f2-
Этот процесс можно продолжать неограниченно, и любой
член ряда (2.9) может быть определен. Таким образом, каждому
из корней характеристического уравнения мы можем поставить
в соответствие ряд (2.9), который определяет формальное ре-
шение. Этот ряд определен не единственным образом. Поскольку
функции з, определяются как решения дифференциальных урав-
нений, эти ряды содержат произвольные постоянные, которыми
можно распорядиться как угодно.
Изложенный метод построения асимптотических решений
пригоден в равной степени для изучения уравнений, имеющих и
колеблющиеся решения (f0>0) и неколеблющиеся (fo<O).
2.	Уравнение произвольного ранга. Представляет известный
интерес рассмотреть уравнение более общего вида
y + k2PF(t, Z,)y = O,	(2.14)
где функция F(t, X) имеет тот же вид, что и раньше. Уравнение
(2.14) условимся называть уравнением ранга р (р всегда будем
считать целым положительным числом). Соответственно приня-
той терминологии уравнения (1.1) и (2.8) будут уравнениями
294 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
первого ранга. Разложение (2.9) следует в этом случае заме-
нить таким:
у = ехр j (лрц0 (0 + Лр"'|*1 (/) + ... + ZjXp-j (/)) dt X
х(го(0 + Г1г1(0+ ...).	(2.15)
Здесь ро—по-прежнему корень характеристического уравнения.
Подставляя разложения (2.15) в (2.14), мы получим урав-
нения для определения неизвестных функций pi, рг, .. . , pP-i,
z0, Zj и т. д. Первые (р—1) уравнений этой системы опреде-
ляют функции р;. Выпишем для примера первое из этих урав-
нений
(Но + fo) 2i = — (21W + f ,) z0.	(2.16)
Для того чтобы это уравнение имело смысл при zo=£O, необхо-
димо, чтобы
Функция рг(О определяется из следующего уравнения и т. д.
Заметим, что функция z0(O не определяется уравнением (2.16).
В остальных уравнениях, которые определяют функции
рг, рз,   , Рр-1, последние также не могут быть определены.
Функция Zo определяется из уравнения, которое мы получим,
приравнивая коэффициенты при'первой степени параметра к.
Уравнение для z0{t), как это нетрудно проверить, будет диффе-
ренциальным уравнением первого порядка типа уравнения
(2.11). Остальные функции Zi{t) будут находиться из аналогич-
ных уравнений первого порядка.
Уравнения, которые мы до сих пор рассматривали, не содер-
жали первой производной. Однако уравнения более общего вида
y + 2kp<D(t, k)y + k2PF(t, к)у = О	(2.17)
легко сводятся к рассмотренному стандартной заменой перемен-
ного
г/ = ехр
(2:18)
Уравнение для х (t) будет
x + k2p^F{t, Л)-Ф2(0 Л)--^-Ф(Л А,)}х = О. (2.19)
Рассмотрим для примера уравнен
у + kq>{t)y + k2f {t) у ~0,	{2.20)
§ 2] ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРОСТЫЕ КОРНИ 295
После преобразования (2.18) оно примет форму
х + л2(Н0-ф2(0-^)х = 0.
Для этого уравнения WBKJ-решение имеет вид
>2 — фdt' .
exp ± iZ, j
о
с
Х=1-----
Vf — ф2 — Ф
Следовательно, приближенные решения уравнения (2.20)
с
У = 1----------
К/2—<р2—я?
будут
(2.21)
о
Величину
Се °
К/2 - ф2 - ф
в случае колебательных движений (f —<р2 —ф>0) естественно
называть амплитудой. Таким образом, формула (2.22) опреде-
ляет закон «затухания» амплитуды.
Примечание. Для построения асимптотического решения
уравнения (2.17) замена (2.18) не является необходимой. Его
можно разыскивать непосредственно в виде (2.15).
3.	Система второго порядка. Перейдем теперь к изучению
системы второго порядка, содержащей большой параметр
У\ + ап ^) У1 + ^12 (^> ^) У 2= 0>
г/2 + ^21(^> ^) 1/1 + Й2г(^> ^) 1/2 = 0.
Предполагается, что функции az/ представимы в следующей
форме:
di/ (t, Л) = Z,az'/ (t) -F ац (t) + ... + Л /iZy (/, Л),
где Иц — функция ограниченная при |Л|->оо.
Уравнение
(2.21')
(2.22)
а'** + [х а<’2>
<4?	а(’2> + [х
= 0
(2.23)
(2.22).
и раз-
будем называть характеристическим уравнением системы
Его корки цД^) и цз(^) будем считать не равными нулю
личными на всем интервале [0, Т], на котором проводятся ис-
следования,
296 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Частные решения системы (2.22)		будем	искать в виде 	
	t			
Z/i = ехр	A j 0 t	• 2i (/,	V,	(2.24)
1/2 = ехр	A J ц (0 dt о	• z2 (t,	А),	
где р.(0 —один из корней уравнения (2.23), а и г2 мы пред-
ставляем в форме рядов
z^t, A) = z'10) (0 + Г'г'1’ + ....
z2(t, X) = z®(X) + rIz,2I,+ ...	(2>25)
Подставляя выражения (2.24) и (2.25) в систему уравнений
(2.22) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях па-
раметра А,, приходим к следующим системам уравнений для оп-
ределения функций г<л:
(а<’> + ц) г<°> + a^zf = О,
а(;>г(°’ + (а^ + |х)г(<» = 0.
(а)1/ + ц) z\l) + a^z^ = — z^ — a^z^ — a$z(°>,
a^z(» + (a<’> + p) z’” = — z<°) - aflz^ - a^z™.
f rfz(*-D
(a<P + p) z<p + a^z^ = — ( —--------H a^z^~l} +
+	+ ... +	+ a~^z^ J,
+ (a<>> + p) z^ = - {	+ a^z^-» +
+ a(°2>z^_1) + ... + a-^-^z® + a~<k~l)z(°) j-.
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Рассмотрим систему (2.26). Так как ц— корень уравнения
(2.23), то она представляет собой систему линейных однород-
ных алгебраических уравнений, определитель которой равен
нулю. Следовательно, она может допускать ненулевые решения,
причем одна из неизвестных, например функция z)01, может быть
задана произвольно, тогда функция z£0) определяется однозначно
Z<°) = kz«>\
§ 2]
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРОСТЫЕ КОРНИ 297
где
, «п + Н
k~ aw
a12
(2.29)
Таким образом, система (2.26) не позволяет определить функ-
цию z{0), которая в этом приближении остается произвольной.
Рассмотрим теперь систему (3.27), представляющую собой
систему двух неоднородных уравнений относительно z)'), причем
определитель системы равен нулю. Для ее разрешимости необ-
ходимо и достаточно, чтобы между величинами, стоящими в
правых частях системы (2.27), была такая же зависимость, как
и между элементами строк матрицы (2.23). Другими словами,
для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы ранг рас-
ширенной матрицы был равен рангу матрицы (2.23). Это усло-
вие можно записать в следующем виде:
dz(0)	(dz(0}	\
= C\-^ + a<^ + a^j,
(2.30)
где
„(О
q _ «11 + Н 	«12
«21	«22 + И
Принимая во внимание равенство (2.29), преобразуем
ние (2.30):
dz(0)
(l_Cfe)^- = Fo(O^>,
(2.3СГ)
уравне-
(2.31)
где
Fo (0 = Ck + Cafl - а<°) + k (Са$ - а™).
Таким образом, функция z(°> удовлетворяет однородному ли-
нейному дифференциальному уравнению первого порядка и,
следовательно, представима в форме квадратуры
{t	j
J ’	(2.32)
о J
где С® — произвольная постоянная.
Итак, обе функции z'0) и z®> определены. Эти функции дают
«нулевой член» асимптотического ряда.
Определив функцию z<°> по формуле (2.32), мы тем самым
обеспечим разрешимость системы (2.27). Так как определитель
этой системы равен нулю, го одна из искомых величин (напри-
мер, z)1)) остается неопределенной.
298 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Повторяя аналогичные рассуждения для уравнения следую-
щих приближений, мы убеждаемся в возможности определить
любой член разложения (2.25). При этом следует иметь в виду,
что функции находятся как решения дифференциального
уравнения и, следовательно, будут содержать произвольные по-
стоянные. Так как функции С, k и экспоненциальный множитель
в (2.24) зависят от значения ц, то двум различным значениям
корня характеристического уравнения будут отвечать два раз-
личных частных решения системы (2.22). Следовательно, как и
в случае одного уравнения второго порядка, данный метод по-
зволяет построить общий интеграл, т. е. составить матрицу фун-
даментальных решений.
4.	Некоторые частные случаи. Особенно простой вид приоб-
ретают выражения для определения членов разложений (2.24),
(2.25), если матрица |а<у| диагональная:
Тогда из (2.26) следует, что либо ц = —а)1’, либо ц = —	.
Пусть, например, имеет место первый случай, тогда сразу нахо-
дим z$,0) = 0, и система (2.27) принимает следующий вид:

Из первого уравнения этой системы находим z^:
z(p = С exp j — j dt
из второго уравнения *) определяем z^0):
Так как всякое уравнение второго порядка может быть сведено
к системе двух уравнений первого порядка, то формулы, полу-
ченные в начале параграфа, как частный случай следуют из
*) Напомним, что по условию корни характеристического уравнения раз-
личны для всех значений / из исследуемого промежутка времени и в нуль
не обращаются. Следовательно, написанное выражение имеет смысл для jpp-
ррго t е [О, Г].
§ 2] ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРОСТЫЕ КОРНИ 299
формул, установленных в предыдущем пункте. Покажем это на
простейшем примере.
Уравнение
у + Л2(о2у = О
эквивалентно системе
х+Л(о2у = 0,	у— Лх = 0.
Следовательно, характеристическое уравнение этой системы та-
кое:
[А (В2
1	= 0'
— 1 Н
Положим для определенности ц = |м = г<о и выпишем систему
(2.26)
+ <a2z^0) = О,
- z<0> +	= 0.
Далее,
21 ©
Для определения функции z<®, согласно общей схеме, следует
определить функцию
Функция Fo в уравнении (2.31) имеет вид Fo=—. Далее
Ck = — 1. Следов ательно,
zi0) = С;0* ехр
I "S’dt\ = С’0) ехр In ]Ао}=-^=.
J	У ©
Таким образом, мы снова пришли к результатам § 1.
5. Система произвольного ранга. Системы уравнений (2.22),
коэффициенты которых имеют вид
„ _ 1 Р„(Р) I jP"1 „(Р”1) -4-	-4- />(0) -I- 1 ~М-1> _4_
aif — л щ/ + л ctij т ... т ац л а,ц	...,
будем называть системами ранга р. Построение асимптотиче-
ских разложений решений таких уравнений требует незначитель-
ной модификации изложенной схемы.
300 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Частные решения системы (2.22) будем искать в виде
У\ = ехр
]ЛРр + Лр Р] + ... + dt I Z\,
{t	4
J [лрр + Xp~'pi + .. . + Zpp_J dt I z2,
о	J
(2.33)
где функции Zi разыскиваются в форме ряда
z. = z<0) +z<.” + ...	(2.34)
Функция р будет корнем характеристического уравнения, кото-
рое в этом случае имеет вид
<2(Р> + р
д(Р)	л/Р) I ..
U21	и22 + Ц
(2.35)
Функции цг- (г=1, 2, .. ., р— 1), входящие в выражение (2.33),
должны быть определены в процессе решения задачи.
Для того чтобы показать особенность этой задачи по срав-
нению с рассмотренной, нам достаточно проанализировать слу-
чай р = 2. Случай р>2 изучается аналогично.
Итак, пусть р = 2. Составим первые три системы уравнений,
приравнивая коэффициенты при второй, первой и нулевой сте-
пени параметра Z,
(а® + р) 2® + а® 2® = 0,
a®z<0) + (а® + р) 2® = 0.
(2.36)
(а® + р) 2® + а®2® = — {(а® + р,) г® + й®2®}, 1
0^2® + (а22 + Н) 22 ’ = ~ {а21)210> + (а22 + h) 220>}- I
(2.37)
Г dz(0)
(а® + р) г)2) +	+ а<°)г® + а®2® +
+ « + Р1)211) + а(1И)}>	(2.38)
( dz^
fl22l>2!(2> + (а22 + Н) = ~	+ а2°1)210) + а22220) +
+ ^)2(.I) + (^ + h)4I)}-
Так же, как и в предыдущем случае, из системы (2.36) мы мо-
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРОСТЫЕ КОРНИ 3Q]
§ 2]
жем найти только отношение искомых функций гр и г(°). Та-
ким образом, формула (2.29) остается справедливой.
Условие разрешимости системы (2.37) можно записать так:
(а<’> + р,) гр + аргр = С	+ (а$ + р,)г®)], (2.39)
где множитель С определяется формулой (2.30). Используя вы-
ражение (2.29), мы перепишем это условие в виде
гр {а’1,’ + Н, + kap - С [а<’> + k (а$ + ц,)]} = 0.	(2.40)
Так как гр 0, то равенство (2.40) нам позволяет опреде-
лить функцию щ (t);
С (ар + кар) — ар — kap
И1(^) = -^----------------1£.	(2.41)
Таким образом, в этом приближении функция гр (/) также не
определяется, она находится из системы (2.38).
Перепишем условие разрешимости указанной системы с уче-
том равенства (2.39)
Jz(0)	/ j2(0)	\
+ avzp = С (	+ аргр + аргр 1.	(2.42)
Равенство (2.42)—это дифференциальное уравнение первого
порядка относительно неизвестной гр.
Уравнения остальных приближений определяют функции
гр (Z = 1, 2; /г>0).
Случай произвольного ранга р>2 мало отличается от рас-
смотренного. Подставляя разложения (2.33) в исходную систему
уравнений, мы получим системы уравнений, которые определяют
искомые функции. Легко проверить, что первые р уравнений ос-
тавляют функции гр, гр........гр4) неопределенными, но зато
условие разрешимости этих систем нам дадут алгебраические
соотношения, из которых мы можем найти функции р.1 (0,
цг(0>	Первая из систем, позволяющая вычислить
функцию гр, будет та, которая получена сравнением коэффи-
циентов при значении параметров в нулевой степени.
6. Возможные модификации алгоритма построения асимпто-
тических рядов. Помимо изложенного, существуют различные
другие модификации методов построения асимптотических раз-
ложений решений дифференциальных уравнений, содержащих
большой параметр. Рассмотрим одну из таких модификаций на
примере системы первого ранга
У1 + (И ? + ар + ...) у{ + (Ла<у + ар + ...) у2 = 0,
У2 + (Рар + ар + ...)	+ а®> + ...) у2 = 0.
302 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. П
Обозначим через ц(0 какой-либо из корней характеристического
уравнения и решение будем искать в форме
{t	.
J (Zp + Ро +	+ • • -)dt I Zi(t, Z),
о	J
У2= ехр j J (z,p + pg + Z, Pi + ...) dt I z<i (t, Z),
10	J
(2.43)
где функции Zi(t, Z) задаются в виде рядов (2.11).
Уравнения первого приближения будут такими:
(а*1!» + р) z<0) + atyzf = 0, 1
a2i)2<i0) + (а22 + И) = °- |
Функция z(^(t) и z^>(t) связаны друг с другом соотношением
(2.29). Для того чтобы удовлетворить системе (2.44), мы можем
совершенно произвольно задать одну из функций. Например, си-
стеме (2.44) удовлетворяют следующие функции:
z(]°> (0 =	+ р, z!P> = —а<'>.	(2.45)
Рассмотрим теперь систему уравнений второго приближения
(dz(0)	1
(а*1/ + р) z<’> + а'ухФ = — [ ~ + (а(°> + щ) + a^z® j,
+ (а<’> + р) 4” = — { ^- +	+ (а% + р,) г<°>}.
(2.46)
Условие разрешимости системы (2.46) нам даст уравнение для
определения функции щ, поскольку функции г® (0 и zf> (0 уже
подобраны при помощи соотношения (2.45).
Так как функцию рД0 мы выбрали так, чтобы система
(2.45) была разрешима, то, задав одну из функций z(]1)(0 или
z^(0 по произволу, однозначно определяем другую функцию
по формуле (2.29).
Рассуждая подобным образом, мы убеждаемся в возможно-
сти определить все члены разложений (2.43): из третьего при-
ближения мы находим функцию р2(0 (она будет однозначно
определена функциями z(°>, z(20), z<l> и z^>, и затем можно вы-
числить функции z^ и z^>, одна из которых задается по про-
изволу и т. д.
Изложенный способ построения асимптотических рядов при-
водит в общем случае к другому выражению для приближенного
решения. Это отражает ют общий факт, что асимптотические
представления определяются не единственным образом. Однако
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАТНЫЕ КОРНИ 303
одинаковые отрезки асимптотических рядов обеспечивают одну
и ту же точность.
В § 1 этой главы мы вывели простейшие приближенные фор-
мулы и установили для некоторых частных случаев их асимпто-
тический характер: было показано, что ошибка, которую они
дают, имеет порядок О(1Д). В этом параграфе мы дали фор-
мальное описание алгоритма, позволяющего построить любое Л?
асимптотическое решение. Доказательство теоремы, которая
обосновывает асимптотический характер построенных рядов,
можно найти в известной монографии Я. Д. Тамаркина, цитиро-
ванной на стр. 279.
§ 3. Однородные системы второго порядка.
Случай кратных корней
1.Предварительные замечания. Мы изучали системы диффе-
ренциальных уравнений второго порядка
У\ + апу\ +	= 0, 1
У 2 + ^2i//i + агъУъ — 0, /
у которых коэффициенты аг-?- имели следующие представления:
Uij (t, 7) = 7/afj (t) + А,р '(t) + ... + aij (t) + ...
Развитый метод существенным образом опирался на предполо-
жение, что при изменении t в рассматриваемом интервале вре-
мени оба корня характеристического уравнения
aW + ц а<Р)
а<р) о@ + ц “°	(3’2)
были различны и не обращались в нуль.
Существование кратных корней может привести к появлению
внутренних резонансов; при этом наступает качественное изме-
нение поведения решений: колеблющиеся решения начинают
приобретать вековые изменения, у апериодических решений ме-
няется характер роста и т. д.
Однако не во всех случаях кратные корни бывают источни-
ком появления внутренних резонансов. Может оказаться, что
система, имеющая кратные частоты, ведет себя подобно системе
с некратными частотами. Примером такой системы является
сферический маятник: наличие кратных частот не приводит к по-
явлению вековых движений.
Прежде чем переходить к изложению некоторых результатов
этой теории, напомним ряд фактов из линейной алгебры.
Пусть мы имеем некоторое линейное невырожденное преоб-
разование
у~Аху	(3-3)
304 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где х и у — векторы n-мерного евклидова пространства Rn. Обо-
значим через Аь кг, .... Ал корни характеристического уравне-
ния
|Л — АЕ|=0,
где Е — единичная матрица. Матрицу ||Л — АД|| будем называть
характеристической.
В курсах линейной алгебры *) доказывается, что в простран-
стве Rn всегда можно выбрать систему координат таким обра-
зом, чтобы матрица линейного преобразования А имела в ^той
системе координат следующий вид:
A.J 1	0	...	0
0 A.J 1 ... 0
00 0 ... 1
00 0 ... м
Sj строк	0
А2 1 ... 0
о а2 ... о
 $2 стр
0 0 ... А2
о
kk	1	о	...	о
О	1	...	о
О	0	0	...
sk строк
Другими словами, существует такое невырожденное линейное
преобразование С, что матрица С (А — ХЕ)С~1 имеет вид
М — А, 1	$|
А2 А, 1
А& — А, 1 sk
*) См., например, И. М. Гельфанд, Лекции но -линейной алгебре.
Москва, 1948.
§ 3]
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА КРАТНЫЕ .КОРНИ 305
где
— Л, 1
Здесь $i+$2+ ... +sk = n. Среди величин кг могут быть равные.
Матрицы такого вида мы будем называть жордановым ящиком
или жордановой клеткой. Изображенная форма матрицы А на-
зывается нормальной жордановой формой. Представление мат-
рицы А в нормальной жордановой форме единственно.
Обозначим через £>а(Л,) общий наибольший делитель мино-
ров матрицы ||Л — Х£|| порядка k. Пусть теперь матрица А
имеет р ящиков порядка П[, п2, ..., nPl, соответствующих соб-
ственному значению М (причем П] > м2 ^ ... ^ пр), q ящиков
порядка m.i, mz, ... , mq (т.\ m2	т<у), соответствующих
собственному значению Лг и т. д. Тогда жорданова форма ма-
трицы А такая:
л, строк
п2 строк
пр, строк
тг строк
Ло f тр2 строк
Полиномы Dh(J.) имеют в этом случае следующий вид:
Dn(ty = Мр+п*+ - +ПР< - к2)т^+-"+тр^п (%),
Dn.t (%) = (Л —	- к2)т*+    +mP>Fn_x (Л),
306 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где Fh(E) —некоторые полиномы от к, не делящиеся на А— А] и
н а А — Аг-
Доказательство этого факта читатель может найти, напри-
мер, в указанной выше книге Гельфанда (для его доказатель-
ства используется метод индукции).
Большую роль играют многочлены £\(А), определяемые при
помощи равенства
£\(А) называются инвариантными множителями матрицы
А — КЕ. В ситуации, которая только что была рассмотрена, ин-
вариантные множители имеют вид
En = (K-Kt)n' (А-АгГ ....
£„_I = (A-AIf2(A-A2)m2 ...,
Последовательность инвариантных множителей полностью
определяет жорданову нормальную форму матрицы А, а раз-
меры ящиков, соответствующих собственному значению Ai,
равны «1, «г, • • • Аналогично размеры ящиков, соответствующих
собственному значению А?, равны mi, т2, .. . и т. д. Выражения
(А—А()Ч (А —А2)т', ... и т. д. называются элементарными
делителями инвариантного множителя £\(А).
Рассмотрим один пример, который нам потребуется при из-
ложении одного из последующих разделов этой главы.
Пусть жорданова форма матрицы А имеет вид
А =
А! 1 ... О
О А, ... .
О 0 ... Aj
Тогда легко убедиться, что £>,г=(А— Ai)n, Dn_.i=l и, следова-
тельно, Еп = (А — Ai)п, Es = 1 ($-<п).
Из сказанного выше мы получаем следующее важное след-
ствие.
Для того чтобы матрицу можно было привести к диагональ-
ному виду, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные мно-
жители этой матрицы имели простые корни. В этом случае эле-
ментарные делители всех инвариантных множителей матрицы
будут простыми, т. е. будут иметь вид
—Ai), (А — Аг)
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАТНЫЕ КОРНИ Зб7
После этих замечаний справочного характера вернемся снова
к изучаемому предмету.
Вопрос о том, как ведет себя система при наличии кратных
корней, зависит от того, являются ли элементарные делители
матрицы ||ц9р| кратными или простыми, т. е. от того, какой вид
имеет жорданова форма этой матрицы.
Если элементарные делители простые и имеется кратный ко-
рень yi = y2, то матрица имеет вид
II Yi 0 ||
im-| о J	<ЗЛ)
где у< — корни характеристического уравнения (3.2).
Если кратность элементарного делителя равна двум, то жор-
данова форма имеет вид
Y 1
О у
(3.5)
Хен я в обоих случаях, когда Yi=='Y2=Y> корень характеристи-
ческого уравнения имеет кратность, равную двум, поведение ре-
шений системы (3.1) и асимптотика при л—♦оо будут различ-
ными.
Общее исследование систем в том случае, когда характери-
стическое уравнение может иметь кратные корни, представляется
не только громоздким, но и трудным. Поскольку коэффициенты
характеристического уравнения зависят от времени, здесь могут
возникать разнообразные ситуации. В этом параграфе мы рас-
смотрим только самые простые случае, относящиеся к тому же
к системам второго порядка. Некоторые вопросы, относящиеся
к общему случаю, будут рассмотрены в конце главы.
2. Случай простых элементарных делителей. Предположим
сначала, что ранг системы (3.1) равен единице.
Для того чтобы не усложнять изложения, предположим
сразу, что независимые переменные выбраны так, что матрица
j || уже приведена к жордановой форме.
Рассмотрим последовательно случаи (3.4) и (3.5). Поскольку
характер корней, а следовательно, и вид жордановой формы за-
висят от времени, то такой подход имеет смысл только в том
случае, если рассматриваемая ситуация не изменяется в тече-
ние всего исследуемого промежутка времени.
Если корни кратные, но элементарные делители простые, то
систему уравнений (3.1) можно переписать в следующей форме:
У] +	+ а<н +	(а$ + .. .) у2 = О,
*/2 + (a2i + • • -)У1 +(^ + «22+ • • -М = о- <3'6)
308 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Точками обозначены члены более высокого порядка относитель-
но 1/Х.
Сделаем замену переменных
t	t
-X J ц (/) dt	-К J ц (f) dt
У\ = е 0 zx, y2 = e °	z2.	(3.7)
Система уравнений (3.6) после такой замены уже не будет со-
держать слагаемых первого порядка относительно к
*, + (<? + ...)?,+«+ ...)z2 = 0,
Z2 + (a2°i)+ •••)Zl+(a22+ •••)Z2 = °-
Если бы коэффициенты ац не содержали слагаемых порядка X'1
и более высокого, то задача построения асимптотики была бы
исчерпана. В самом деле, система (3.8) в этом случае была бы
следующего вида:
Zj + a^zl + a$z2 = 0, |
z2+a(°1)z1 + a(°2)z2 = 0. j	(3,9)
Обозначим через zH и (i=l, 2) фундаментальные решения
системы (3.8). Эти функции могут быть получены как результат
численного решения двух задач Коши со следующими началь-
ными данными:
( ?11(0) = 0,	( 212(0)=!,
Ll221(0)=L	111 I 222(0) = 0.
Тогда асимптотические представления общего интеграла си-
стемы (3.6) будут иметь вид
t
-X J ц (f) dt
У\=е 0 (CtZ22 + С2212),
t	(3.10)
-X J
У2 — е ° (CiZ2i + C2Z22).
Если разложения коэффициентов содержат отрицатель-
ные степени параметра X, то для построения функций zf можно
использовать методы теории возмущений, т. е. искать решение
системы (3.7) в виде рядов по степеням X-1.
Примечание. Предположим, что элементарные делители
не простые и жорданова нормальная форма имеет вид (3.5),
т. е. система (3.6) будет такой:
У1 + (Д-Н + ап + • • •) У\ + + a(i2 + • • •)^2 = 0> 1
i/2 + (а<°> + ...) z/j + (Хц + а$ + .. ,)#2 = 0. ]
(3.6')
§ 3]
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАТНЫЕ КОРНИ 309
Если решение системы (3.6') искать в форме (3.7), то си-
стема уравнений относительно z; будет содержать первые сте-
пени параметра А и, следовательно, представлять решения в
форме (3.10) в общем случае уже нельзя.
3. Один пример механической системы с двумя степенями
свободы. Среди задач динамики механических систем с одной
степенью свободы трудно найти интересный пример системы,
у которой корень характеристического уравнения двукратный,
а элементарные делители простые. В динамике систем со мно-
гими степенями свободы примеров таких систем очень много.
Прежде всего это любые консерва-
тивные колебательные системы с а
кратными собственными частотами.
Поэтому в качестве примера, ил-
люстрирующего приложение разви-
ваемой теории, мы рассмотрим
следующую систему уравнений:
х + А2©2 (/) х + кау = 0, 1
у + А2©2 (/) у + kbx — 0. J
(З.П)
Система (3.11) встречается в раз-
нообразных технических задачах.
Рассмотрим, например, колебатель-
ное движение оперенного снаряда. Если тело, изображенное на
рис. 39, движется в воздухе в направлении вектора z°, то на
него действует аэродинамический момент М. Этот момент при
наличии стабилизатора создает восстанавливающий аэродина-
мический момент, действующий в плоскости угла атаки v-угла,
заключенного между вектором z° и осью симметрии этого тела
£°, если оно ею обладает. Условимся считать, что тело не вра-
щается вокруг оси £°; тогда рассматриваемая система имеет две
степени свободы. В качестве обобщенных координат этой систе-
мы естественно принять направляющие косинусы вектора |°.
x = cos (|°х°) и z/ = cos (|°у°).
Если тело обладает осевой симметрией, то в линейной по-
становке (при малых углах атаки v) система уравнений дви-
жения распадается на два независимых уравнения относительно
обеих обобщенных координат
х + А2©2 (/) х = 0, 1
у + А2©2 (0 у = 0. J
(3.12)
Здесь А2©2 — отношение восстанавливающего момента к эква-
ториальному моменту инерции. Во многих случаях этот момент
310 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
предполагается большим, и следовательно, движение является
высокочастотным.
Если тело обладает малой асимметрией, то мы должны уже
рассматривать вместо системы (3.12) систему (3.11). Обозна-
чим
X = Xi, у=х3
й перепишем эту систему в следующем виде:
Xi = кх2, х2 = — ^а>2х1 — ах3,
х3 = кх4, х4 = — А<в2х3 — Ьх{.
(303)
Система (3.13) является обобщением рассмотренной: она имеет
два корня, кратность каждого из которых равна двум. При этом
элементарные делители характеристической матрицы простые.
В этом можно убедиться следующим образом. Сделаем в си-
стеме (3.11) замену переменных
х = L + £з, х — «Асо (£j — £3),
У = ?2 + ^4> У ~ г'^® (^2 — ^)-
Тогда система (3.11) преобразуется так:
ii =	+ ...,
£.2 =	+ ....
1з —	г’А<»^3 + ...,
= + . . . 
(ЗЛИ
Точками здесь обозначены члены, не содержащие А. Характери-
стическая матрица этой системы приведена к диагональной
форме
ш —р
id) — р
— id) — р
—id) — р
Вернемся снова к системе (3.13), которая удобнее для исполь-
зования, чем система (3.11). Ее характеристическое уравнение
имеет вид		
Д(ц) =	р	^1	0	0 со2	р	0	0 0	0	р	—1	= 0.	(3.14)
Корни уравнения (3.14) Hj=+/w,	Ц2 =	0	0	<о2 р таковы: = +/ш, рз= — t(0,	Р4= — id).
§ 3]
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАТНЫЕ КОРНИ 311
Итак, пусть ц — один из корней этого уравнения. Следуя об-
щей схеме, сделаем замену переменных
Xi — exp
t
К [ ц(/) dt
о*
(Z = 1, 2, 3, 4).
(3.15)
После замены (3.15) система (3.13) примет форму
P.Z1 - z2 = — (й2?! + p.Z2 =	1 . A 2|’ Y 1^2 + az3], 1 .	(3.16)
pz3 - z4 = -	T 2з’	
®2z3 + pz4 =		У lZ4 + ^,].	
Решение системы (3.16) будем искать в виде рядов, располо-
женных по обратным степеням параметра А
zi — zio + у + •••	(3.17)
Для функций zi0 мы получаем систему
p.Zio - Z2Q = О,
®2Zl0 "1“ Ц-^-20 = О,
п	(3.18)
p.z30 - z40 = О,
<b2z30 + pz40 = 0.
Так как ц2==®2, то система (3.18) всегда разрешима, причем два
из четырех неизвестных могут быть выбраны по произволу.
Условимся для определенности, что
ц. = /со,
тогда
Z20 = i®Zi0, 24f,= zcoz30.	(3.19)
Составим теперь уравнения для zn
р.гц -z21 = — zI0,
W2Z!! + pz21 = — z20 - az30,	(3 20)
|1?л — Z4| =	z30,
®2z31 + pz4, = — z40 - bzl0.
Система (3.20) распадается на две независимые системы урав-
няй, определитель каждой цз которых равен нулю. Условия
312 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
(3.21)
(3:22)
их разрешимости приводят к системе двух дифференциальных
уравнений первого порядка
- 210С02 + Ц22О + ap.z30 = О,
~ 23о®2 + |XZ40 + Z>|1Z1O = о.
Делая замену (3.19), получим
— 2z10co2 — <»d)z10 + iacoz3o = 0,
— 2i30©2 — соЙ230 + ib<ozt0 — 0.
Сделаем в этом уравнении еще одну замену
2 ю = iZio>
после чего система (3.22) будет выглядеть так:
— 2z’0<o2 — соЙ2*0 + a®z30 = 0,
~ 2z30®2 - ®й£30 ~ baz'i0 = 0.	(3’23)
Теперь в уравнении (3.21) положим
|.1= — 1(0
и соответственно
z2o = —tcoZio, z40 = —zcoz30,	(3.24),
в результате мы получим
— 2zI0 — <ойг|0 — iZ>coz30 = 0,
— 2z30 — <ойг30 — ibwzl0 = 0.
В этих уравнениях сделаем такую замену:
Zjo = izlQ.
Тогда эта система будет снова сведена к системе (3.23). Си-
стема уравнений (3.23) — это система двух линейных уравнений
первого порядка. Обозначим через
z;(,), z<->; z;(2>,
систему ее фундаментальных решений. В общем .случае эти ре-
шения нельзя получить ни в квадратурах, ни тем более в явном
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАТНЫЕ КОРНИ 313
виде. Однако решения системы (3.23) — это медленно меняю-
щиеся функции, и их определение численными методами не
представляет труда.
Построим теперь систему фундаментальных решений для
уравнения (3.13). Заметим сначала, что функции
х;, = ехр
t
ik j со (/) dt
о
и функции
{t
— it. J со (/) dt
о
*32= 4” еХР
t
— Л J со (/) dt
о
являются частными решениями системы (3.13). Вместо этих
функций введем другие
*п =
хн+х12
2
= sin
г;(,)
II х
12 =-----5----= COS
х32 =
Х3] ~ х32
2
= sin
Z(I)
й3 •

Вычисляя подобным способом остальные частные решения,
мы придем к следующему выражению для асимптотического
314 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИЙЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
представления общего решения:
г 1
(/) 4- В cos К j со (0 dt I г*(П (/) +
о J
г 1
A j со (0 dt z\{2' (f),
о J
г;(,)
Xj = A sin 1 Л J co (t)dt •;
I о
t
+ C sin A j co (t) dt \ z\(2} (t) + D cos
о	J
{t	V
A j co (t) dt\ z(^ (t) + В sin	j A j	co	(f) dt I z(.p (t) —
о	J	lol
{t	x	,	t	.
A	J co (t)	dt\	z® (0 + D	sin j	A j co (t)	dt	l	г® (/). .
о	J	l	о	J
(3.25)
Аналогичные выражения мы будем иметь и для переменных х2
и х4. Здесь А, В, С и D — произвольные постоянные.
Итак, применяя асимптотические методы, численное интегри-
рование системы четвертого порядка (3.11), решение которого
быстро осциллирует, мы свели к численному решению системы
второго порядка (3.23) относительно «медленных» переменных.
Примечание. Систему двух уравнений (3.11) мы за-
менили системой четырех уравнений (3.13). Разумеется, все вы-
числения могли быть проведены и для исходной системы.
4. Системы произвольного ранга. Рассмотрим теперь систему
произвольного ранга р>1, полагая по-прежнему, что характе-
ристическое уравнение системы имеет простые элементарные де-
лители; матрицу коэффициентов, порядок которых равен р, бу-
дем считать приведенной к диагональному виду
г/i + (цАр + ап х\р ' + ...) у\ + (аы !>АР 1 + . ..) у2 = 0, |
?2+(«Пи+	+	...)г/2 = о. J (3,26)
Сделав замену переменных (3.7), мы получим следующую си-
стему уравнений относительно функций гД/):
г1 + (А₽-'аГ>+ ...)г, + (ЛГ) + ...)г2 = 0,
+	...)г1 + (Ар-аГ,+ ...)г2 = 0.| ( ‘ }
Эта система уравнений имеет уже ранг, равный р— 1; при этом
может иметь место один из следующих трех случаев. Корни’
§ 3]
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАТМЫЕ КОРНИ 315
характеристического уравнения
+ х	я^-1’
я^-1)	+ х
(3.28)
могут быть: а) все различные, б) кратные, но элементарные де-
лители простые, в) кратные и элементарные делители непростые.
Если корни характеристического уравнения (3.28) все раз-
личны, то для построения асимптотических решений системы
(3.27) мы можем воспользоваться теорией, которад была изло-
жена в предыдущих параграфах этой главы.
Если корни кратные, но элементарные делители простые, то
для исследования системы (3.27) можно повторить уже проде-
ланную процедуру: произвести замену (3.7) и понизить ранг
системы еще на единицу.
Общий случай систем, имеющих кратные корни, элементар-
ные делители которых непростые, пока оставляем в стороне.
5. Пример колебательной системы, элементарные делители ко-
торой непростые. Для того чтобы продемонстрировать некото-
рые особенности асимптотических представлений; решений и воз-
можность их построения в том более сложном случае, когда
корни системы кратные, но элементарные делители непростые,
рассмотрим пример диссипативной системы следующего вида:
у + 2 (Ая0 + у + (А2я2 + А&,) у = 0.	(3.29)
Характеристическое уравнение этой колебательной системы
р2 + 2я0р + я2 = 0	(3.30)
имеет два равных корня
Ц1, 2= — я0.
Легко проверить, что элементарные делители системы (3.29) не-
простые.
Для этого достаточно в уравнении (3.29) сделать замену
	У = Х{-\-Х2,	]j~ — /Mi)X 1 + А'( 1 —Яо)Х2'
Переменные xt и х2 удовлетворяют системе
Х[ = — Аях, + Ах2 + ...,
х2 = — Аях2 4- ...
Точками обозначены члены, поряддк которых ниже А.
Сделаем в уравнении (3.29) замену переменного
У -ехр
J:fl0(/)d/ Z.(^.-.A).
(3.31)
— А
о
316 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Функция (3.31) удовлетворяет уравнению
z + 2a1z +А,со2г = 0,
(3.32)
где со2 = а0+aia0 — b{.
В системе (3.32) возможны две различные ситуации. Во-
первых, может случиться так, что со = 0. Тогда уравнение (3.32)
примет вид
z + 2fliz = 0.	(3.33)
Общее решение уравнения (3.33) может быть выражено через
две квадратуры
z = А + В | ехр I — 2 J а} (т) dx 1 rfg,
о I о J
где А и В — произвольные постоянные. Таким образом, асим-
птотическое представление общего решения уравнения (3.29)
в этом случае имеет вид
t
-К j а0(Ю^
О
z/ = exp
t ( I	ч -
А + В | ехр 1 — 2 j Ui (т) dx I d£
о I о	J
(3.34)
Таким образом, в этом исключительном случае, когда со = О,
процедура построения асимптотических решений совпадает
с той, которую мы применяли при отыскании решений в случае
систем с простыми элементарными делителями.
Если теперь со2(/) не обращается в нуль для ;е[0, Т], то
для построения решения может быть применен метод, изложен-
ный в первых параграфах. Мы без труда находим, (полагая
Л = Л1), что оба линейно независимых решения уравнения (3.32)
выражаются в форме
t
•?i,2 = -77===- ехр I— [ [«! (О ± А (0 + ...]<#).
V а> (/)	J
Итак, в этом случае решения уравнения (3.29) будут
^2=тйехр
t
|* [Ла0 + й1 ±	+ ... ] dt
о
(3.35)
Таким образом, асимптотические разложения в этом случае бу-
дут содержать дробные степени параметра Л. Этот факт, по-ви-
димому, первым установил Я- Д. Тамаркин.
НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
317
§ 4]
§ 4.	Неоднородные уравнения
1.	Одно уравнение второго порядка. Предыдущие параграфы
этой главы содержали изложение способов, которые позволяют
построить асимптотические представления для фундаментальных
решений однородной системы и, следовательно, получить при-
ближенное выражение общего интеграла однородной части этих
уравнений. Мы можем построить частное решение неоднородной
системы, следуя общему методу вариации произвольных по-
стоянных. Применение такой процедуры приведет нас к необхо-
димости вычисления квадратур.
Однако эта процедура может быть упрощена, если мы огра-
ничимся отысканием приближенного решения в виде отрезка
асимптотического ряда, расположенного по степеням малого
параметра. Оказывается, что асимптотическое представление
некоторого частного решения неоднородного уравнения (или
системы уравнений) может быть найдено только при помощи
одной операции дифференцирования.
Рассмотрим сначала случай одного уравнения второго по-
рядка
y + 2kay+K2(i)2y = ksf(t).	(4.1)
Будем искать решение в виде ряда
у — №~2и0 -f-Ks~Зи 1 + ...	(4.2)
Подставляя ряд (4.2) в уравнение (4.1) и сравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях X, сразу находим
f
«о = А-,
“	(О2
_ 2аа0
Ur — — -----5— ,
1	(О2
_ 2au, + йв
(4-3)
_____2aun;-i + йт-2
Um	(О2
Если речь идет об уравнении колебаний без демпфирования
у + ДАЛ/= И (О-	(4.4)
то частное решение можно записать в компактной форме
„-V-2H________________________________^r_L Л_Ш] _ I
У (ш2	Л2®2 Л2 \<о2/	Л4®2 rf/2 L<02 dt2 \ш2) J •••(’
(4.5)
318 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
2.	Система произвольного ранга. Изложенная схема построе-
ния рядов, которые являются формальными частными реше-
ниями, легко распространяются на случай линейных систем про-
извольного ранга. Рассмотрим систему
щ + (tjPafl + ЛР-'а’Р-1’ + ...) у{ + (Va<?> +	+ ...) у2 =
= tiff +	+ ...,
z/2 + (^а(2Р> + Ьр-Шр-1* + ...) ух + (Vag> + ХР-‘а(Р-‘> + ...) у2 =
= Vf<s> +	.
(4.6)
Частное решение системы уравнений (4.6) будем искать в виде
рядов
+ ...ч
1/2 = KS-PVO + V~P’1U1 + . . .
Легко видеть, что функции Н;(/) и о,(/) удовлетворяют следую-
щей системе алгебраических уравнений:
a\ptuo + с&гУо = fi\
a^iUo + агг г'о =
JP),. I	— /S-1)	,,	n(P~l'>
an Ui 4- Й22 Vi — /1 — Uoan — v^an ,
021 U1 + Й22 01 = /2	~ Uoa21 — О0Й22
И T. Д.
Если матрица || of] | невырожденная, то задача определения
функций Ui(t) и Vi(i) сводится к операции дифференцирования
и последовательному решению систем алгебраических уравне-
ний.
3.	Основная теорема. Ряды (4.2), (4.5) и (4.6) в общем слу-
чае расходятся, однако они носят асимптотический характер и
конечные отрезки этих рядов могут быть использованы для при-
ближенного представления частных решений. Это утверждение
легко доказывается для самого общего случая. Однако для того,
чтобы не загромождать изложения, мы поступим так же, как
и при исследовании однородной задачи, и проведем доказатель-
ство только для самого простого случая — уравнения (4.4).
Итак, докажем следующую теорему.
Если функции f(t) и (о(/) достаточное количество раз диф-
ференцируемы на отрезке [О, Г] и, кроме того, существует такая
положительная постоянная а, что для любых t е [О, Г]
w (/) > а,
§ 41
НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
319
то уравнение (4.4) допускает частное решение вида
г/ = ^-2(ио(/) + Г2и](О+ ••• +Г'!+2«П_2+Г'’п(/, X)), (4.8)
где функции ut(t) определяются равенствами
1 d2 ( f \
о2 Л2 \to2)’
(4.9)
а функция т|(X, t) ограничена для любого t е [О, Г] при X—» оо.
Для доказательства составим уравнение, которому удовле-
творяет функция ц (X, t). Подставляя ряд (4.8) в уравнение (4.4)
и используя формулы (4.9), получим
г) + Х2а2т] = Х2ф,	(4.19)
где
но-
Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что
любое частное решение уравнения (4.10) равномерно ограни-
чено на отрезке [0, Г] при X —* оо.
Заметим, что функция ф(/) не зависит от X: она определяется
полностью функциями и, f и их производными. Следовательно,
существует такая постоянная ф>0, что для любого t е [0, Г]
|ф(0 | < ф.
Обозначим через А вронскиан обоих линейно независимых
решений уравнения
ц + Х2о)2т] = 0.
Следовательно,
Д= 711 712 .
П1 П2
Функции ir]i и т|2, согласно результатам предыдущих парагра-
фов, имеют следующие представления:
П1(С	X) = sin	t К j со dt 0 t	Ф.(С 4	(4.11)
п>(С	X) — cos	К J co dt 0	Ф2(/,Х),	
где функции Ф1 и Ф2 ограничены при X —► оо.
320 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Используя далее формулу Лагранжа, выпишем общее реше-
ние уравнения (4.10)
т] = ц’ + А.2 / -р111 112 “711 712 dt' (4-12)
где ц* — решение однородного уравнения.
Принимая во внимание равенства (4.11), оценим величины,
входящие в (4.12). Вычислим
A = z(-^-+ V’F,(/, Л)),
где Fi(/, Л) — функция, ограниченная при Л—> оо, следовательно,
можно назначить такое Хо, что для всех Х>Х0
На этом основании получаем оценку

Функция т]* определяется начальными условиями: она зависит
от Л, но, согласно лемме II § 1, п. 3 существует такая постоян-
ная С, не зависящая от X, что
Так как функции Ць цг, Фц Фг, со и а ограниченные со своими
производными при t е [0, Г] и А, —► оо, то можно назначить такое
число D, что для всех А, > будет
|Ф1|<Д и т. д.
Тогда на основании (4.12) будем иметь следующую оценку:
| т) | С + 2Аа£) j sin A j со dx- Ф[ (т) dx +
+ cos A cod/j ®2(r)dr
§ 4]
НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
321
Оценим интегралы, входящие в правую часть неравенства; ин-
тегрируя по частям, получим
/sin
О
- t
* J w(s)^
_ о
Ф1 (т) dx
— cos
£
ф,(0  ф.(0) ,
<о (?) <о (0)
Ф<£> — (£>Ф ,
-------5— dx
(О2
а
Аналогичную оценку получаем и для второго интеграла. Соби-
рая эти оценки, находим окончательно
| т] |< С + 8£>2(1 +
Константа, стоящая в правой части неравенств, не зависит от X.
Теорема доказана полностью. Метод доказательства без каких-
либо существенных изменений переносится и на общий случай.
4.	Случай, когда внешние силы осциллируют. Рассмотрим
уравнение
t
a. at
у + Чау + ка>2у = k2f (t) е 0	‘	(4.13)
Уравнение (4.13) является примером, на котором легко проде-
монстрировать все особенности асимптотических представлений
в том случае, когда правая часть представляет собой быстро
осциллирующую функцию.
Частное решение уравнения (4.13) будем искать в виде
г/ = г(Л Л)ехр
t
ik j k (t) dt
о
для функции z(t, Л) получим следующее уравнение:
z -1- 4tkk (t) z + IKk (/) z — K2k2z +
+ 2a (z + tkk (/) z) + Л2г = K2f (/). (4.14)
322 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ IV
Предположим сначала, что z(t, А)—функция, которая изме-
няется медленно. Другими словами, примем, что
z(t, A) = zo(O + 4^1(O+ ...	(4.15)
Тогда для функций zt(Z) мы имеем следующие уравнения:
(со* (О-*2 (/))*« = МО,
(со2 (/) — k2 (t)) z{ = — iz0 (k — 2ak),	(4-16)
Формулы (4.15) позволяют последовательно вычислить все
члены разложения (4.15), если только на рассматриваемом ин-
тервале времени
А!(О=#<о(О-
Если есть хотя бы одна точка t=t*, где
^ (/*=)= со (/*),
то изложенная процедура теряет смысл. Следовательно, в этом
случае функцию z(t, А) уже нельзя считать медленно изменяю-
щейся.
Для построения асимптотики в этом случае расстройку бу-
дем считать малой. Другими словами, положим
co2(0-fe2(/)=A-1X(0.	(4.17)
а функцию z будем искать в виде
z(t, А) = Azq-f-Zj-f-А-*^2 + ...	(4.18)
Подставляя (4.17) и (4.18) в уравнения (4.14) и сравнивая ко-
эффициенты при одинаковых степенях А, приходим к следующим
уравнениям, которые позволят определить члены разложения
(4.18):
2ikz0 + (ifc + х + 2ak) z0 = f,	1
2ikzi + (ik + x + 2ak)Zt = — z0 4- 2az0, [	(4.19)
Каждое из этих уравнений является обыкновенным линейным
дифференциальным уравнением первого порядка и его решение
может быть получено в квадратурах. Так, например, частное
решение первого из уравнений системы (4.19) имеет вид
z0 = J ф (g) ехр J — J ср (?) d^, dg,	(4.20)
О	IE J -
§ 41
НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
323
где
f(g)
2ik (g)

т (S) + x(E)+2a(gH(g)
2ife (g)
Если ограничиться первым членом разложения, то частное
решение уравнения (4.13) мы представим в виде
y = z0 (/) ехр
t
/л J k (t) dt
о
(4.21)
Если функции, входящие в уравнение (4.13), будут постоянными
величинами, го формула (4.20) переходит в известное выраже-
ние, описывающее резонансные явления в колебательных систе-
мах с постоянными параметрами.
Для того чтобы в этом убедиться, положим й = 0. Кроме того,
примем для простоты, что х = 0, а = 0. Тогда <р = 0 и, следова-
тельно,
S/ = -^-fexp{iW}.	(4.21')
Рассмотрим теперь уравнение
у + 2ау + Л.2(о2г/ =	(/) cos
Полагая
t
Л. J fe (/) dt
о
ехр /Л, j k (t) dt I + exp j — IK j k (t) dt
_ о J l о
и используя линейность задачи, положим
У = У\ + У2,
где г/j и г/2 “ частные решения уравнении
i
у + 2ау + Л,2(о2г/ = K2f (t) ехр Гк j k (t) dt ,
о
{i
— ik j k (t) dt ,
о
ra)=^r-
Итак, мы продемонстрировали процедуру построения асим-
птотических представлений частных решений неоднородных
324 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
уравнений, когда внешние силы являются осциллирующими
функциями времени. Мы ограничились только тем случаем,
когда система имеет одну степень свободы. Все проведенные
рассуждения распространяются и на произвольные линейные си-
стемы вида
у = ЛЛ(/, tyy + f(/)exp
t
ik j k (t) dt
о
(4.22)
где у и f — векторы размерности п, А — матрица
A (t. Л,) = До(О +	(/) +Л,-2Лг(0 + ...
Если ни для какого t е [О, Г] где щ — корень уравнения
I Ло —	=0,
то расчет частного решения уравнения (4.22) сводится к после-
довательному решению системы алгебраических уравнений; если
для некоторых t е [0, Г] = то мы имеем резонансный случай,
и расчет асимптотических представлений приводит к необходи-
мости численно решать некоторую систему дифференциальных
уравнений.
§ 5. Общий случай линейной системы произвольного порядка
1. Общее решение однородной системы в том случае, когда
корни простые. Предыдущие параграфы содержали изложение
методов построения асимптотических решений для дифферен-
циальных уравнений второго порядка. Мы показали, что при из-
вестных ограничениях, наложенных на коэффициенты этих урав-
нений, их общее решение может быть выписано в форме квадра-
тур. В некоторых случаях оно может быть выписано даже в
явном виде.
Таким образом, мы получили эффективное средство решения
задачи Коши для систем второго порядка. В одном случае мы
рассмотрели также систему четвертого порядка.
Изложенная методика без каких-либо осложнений, перено-
сится и на общий случай систем линейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, содержащих большой параметр. По-
этому при изложении общего случая ограничимся только крат-
кой сводкой правил построения приближенных решений.
Систему n-линейных уравнений первого порядка
г/+Л(/ = О,	(5.1)
§ 5] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЙДКА 325
где у — вектор-функция размерности п, а Д = ||а,:)||— квадрат-
ная матрица, условимся называть системой ранга k, если ма-
трица А имеет вид
Д (Л, t) =№(AW(t)	+ ...
...+ГМ№-«)(/)+Х-8-1Я(/, Л,));	(5.1')
здесь ДИ — матрицы, элементы которых зависят только от вре-
мени, а матрица H(t, Л,) остается ограниченной при Л,—>оо для
любого t е [О, Г]. Предполагается, что матрица ДЮ невырож-
денная.
Частные решения системы (5.1) будем искать в виде
У = ехр
i	)
j (0 + (О + ... +	(01 dt z (к, t), (5.1)
о	J
где ц — корень характеристического уравнения
|ДТО + и£|=0,	(5.3)
Е — единичная матрица. Предполагается, что уравнение (5.3)
имеет на всем отрезке [0, Г] различные корни. Новая искомая
функция z ищется в виде
z(A, t) =zQ(t) +k~'Zi(t) + .,.	(5.4)
Цель алгоритма состоит в том, чтобы указать процесс, кото-
рый каждому корню уравнения (5.3) ставит в соответствие при-
ближенное (асимптотическое) выражение частного решения си-
стемы (5.1).
Проведем вычисления для случая k=2. Подставляя разло-
жения (5.2) и (5.4) в (5.1), получим следующие уравнения
относительно искомых величин:
(Д(2) + ц£)г(о) = О,	(5.5)
(Д(2) + p£)z(1) = — (Д<’> + p£)z(0),	(5.6)
(Д(2>+р£) z<2)= — {z<°)+ (Д(1) + g£) z(>)+Д(°>г(0)}	(5.7)
Так как р(/) —корень характеристического уравнения этой си-
стемы, то она разрешима, и компоненты вектора z<°> могут быть
определены с точностью до произвольного множителя. Послед-
нее эквивалентно тому, что одна из компонент вектора z(°>
остается неопределенной (.например, z^, а остальные могут
быть через нее выражены.
326 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ IV
В самом деле, система (5.5) может быть теперь переписана
в следующем виде:
(а® + ц) z<°> + a®zg” +...=- affz™
+(^з +Н)4О) + ••• = - a^zf\
а>2°’ + ... + (а<2> + р) z® = -	.
Обозначим через Ди алгебраические дополнения элементор пер-
вой строки определителя (5.3); тогда решения системы (5.8)
можно представить так:
= - 4^7 Z1O)	= 2- 3> • •  > «) •	(5.9)
Рассмотрим теперь систему (5.6). Поскольку определитель
этой системы равен нулю и ранг ее матрицы, по предположению
(кратные корни отсутствуют), равен п— 1, то для разрешимости
системы (5.6) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширен-
ной матрицы (матрицы с добавленным столбцом правых частей)
также был равен (п— 1).
Ранг матрицы Л+цЕ равен п—1. Следовательно, между
элементами ее строк существует линейная зависимость, кото-
рую, если воспользоваться разложением определителя |A(2J + цЕ|
по элементам первой строки, можно записать, например, сле-
дующим образом:
«(11’ + Р = с2а®+ с3а(2>+ ... + спа®,	(5.10)
ДЛ
где величины С/= — -д—.
Следовательно, для разрешимости системы (5.6) необходимо
и достаточно, чтобы между элементами столбца, стоящего в
правой части, также имела место зависимость (5.10)
(а>п + И1)2й + аа2)2(о)4-...+а^ =
= с2 + (а$ + и) 40) + • • • + а2п40)} + • • •
•••	•••	(5-Н)
Если теперь заменить в (5.11) величины z®, z£\ ..., z® их
выражениями (5.9), то величина z® может быть вынесена за
скобку и на нее можно сократить, поскольку нас интересуют
ненулевые решения. В результате мы получим соотношение, ко-
торое является алгебраическим уравнением первой степени от-
носительно неизвестной величины jxj. Заметим, что функция оп-
§ 5] ОЫЦИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 327
ределяется только коэффициентами матрицы цД/) и не зависит
от вектора z<°>.
Определив величину щ, мы может теперь выразить компо-
ненты вектора z*1) через функцию zf}(t). При этом компоненты
вектора снова могут быть определены с точностью до про-
извольной функции. В качестве такой произвольной функции
может рассматриваться функция z^(t). Перейдем теперь к си-
стеме (5.7). Выпишем условие ее разрешимости
dzm)
_1_ + а(0)г(0)+ ... +«(oXo) =
(dz(0*	I
= с„ I + c№z^ + . .. +	+ • • •
z I	Zl I	zzi n j
(dz<0>	1
4- r <--—-L	4-	4-	•
’ * ’ n ( dt «1 i т . .. т
(5.12)
Исключая z(°\ z(30), ..., z(® из (5.12) при помощи (5.9), полу-
чаем одно уравнение относительно неизвестной функции z<0)(/)-
Это уравнение будет линейным дифференциальным уравнением
первого порядка. Следовательно, его решение будет содержать
одну произвольную постоянную.
Уравнения следующих приближений нам дадут возможность
определить функции z(tl), zj2),... и т. д. Для определения этих
функций мы каждый раз будем получать дифференциальные
уравнения первого порядка. Следовательно, на каждом шаге
у нас будут появляться новые произвольные постоянные, кото-
рые могут быть выбраны по нашему усмотрению. Задав их оп-
ределенным образом, мы просто фиксируем начальные значения
для того вектора z, который определяет частное решение, соот-
ветствующее выбранному значению корня характеристического
уравнения.
Так как подобные рассуждения можно провести для любого
корня характеристического уравнения и, по предположению, все
его корни различны, то изложенный процесс позволяет построить
полную систему линейно независимых решений системы (5.1).
2. Случай кратных корней. Задача становится значительно
сложнее, если среди корней характеристического уравнения есть
кратные. В этом случае приходится использовать рассуждения,
аналогичные тем, которые были проведены ранее для случая
уравнения второго порядка.
Если мы имеем систему ранга k и некоторая функция р(Д
является кратным корнем характеристического уравнения, но
3§8 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ IV
таким, что ему соответствует простой элементарный делитель,
то решение уравнения (5.1) всегда можно искать в форме
у (t, k) = e~K^dtz(t, К).	(5.13)
Вектор z(t, X) будет удовлетворять системе того же порядка,
но ранг системы будет на единицу ниже. Если характеристиче-
ское уравнение этой новой системы не будет иметь кратных кор-
ней, то, используя общую методику, мы можем довести задачу
до конца. Если окажется, что характеристическое уравнение си-
стемы
2 + В(Х, Z)z=0,	(5.14)
которой удовлетворяет вектор z, имеет кратные корни, то мы мо-
жем понизить ее ранг, снова применяя преобразование (5.13).
Таким образом, если элементарные делители остаются про-
стыми, то последовательное применение преобразования (5.13)
исчерпывает проблему.
Если элементарные делители не простые, то дело может об-
стоять совершенно иначе. Пример, который был рассмотрен в
конце § 3, показывает, что в этом случае не все слагаемые стар-
шего ранга оказываются скомпенсированными. В этом случае
мы сталкиваемся с альтернативой: либо коэффициенты урав-
нения таковы, что после преобразования (5.13) коэффициенты
при членах старшего ранга обращаются в нуль, либо они в нуль
не обращаются. В первом случае ранг системы оказывается по-
ниженным на единицу и мы можем продолжать процесс дальше.
Во втором случае мы также можем построить асимптотические
представления, но при этом решения уже представляются в виде
рядов, расположенных по дробным степеням параметра X. Не-
которые вопросы теории для этих специальных случаев будут
изложены в одном из следующих параграфов.
3. Частные решения неоднородных систем. Рассмотрим те-
перь неоднородную систему
у + Ау = х,	(5.15)
где х — вектор-функция времени
x(t, Z) =№xp(l) + №~1xp_l(t) + ...,
а матрица А имеет вид (5.1').
Для того чтобы найти общее решение уравнения (5.15), нам
необходимо построить асимптотические представления для част-
ного решения этого уравнения. Для этого может'быть использо-
вана схема, изложенная в предыдущем параграфе.
§ 6] ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 329
Ищем решение в виде ряда
у(/, X) =Хр-М1>+XP-ft-1z<2>+ ...,
где функции z<1’ удовлетворяют следующим системам уравнений:
A^z(" = xr„
/|С)г(2) = _
Л(*)?(Р-*+1)== _	+ z(P-h+ ...} + xk
В этом параграфе мы остановились только на формальной
стороне вопроса. Однако можно доказать, что при известных
условиях гладкости матрицы А все рассуждения этого пара-
графа могут быть сделаны вполне строгими: полученные ряды
являются асимптотическими.
§ 6. Задача о движении гироскопа под действием
момента, изменяющегося зо времени
1. Вывод уравнений. Мы уже говорили о том, что методы,
излагаемые в этой главе, находят разнообразные приложения
в физике п технике. Одна из первых задач механики, рассмо
тренных асимптотическими методами, была задача о движении
гироскопа пс д действием опрокидывающего момента в предпо-
ложении, что этот момент медленно изменяется со временем. Эта
задача возникла в середине XIX века в связи с появлением на-
резной артиллерии. Нарезы на внутренней поверхности ствола
придают спаря ту вращательное движение вокруг оси симметрии.
Благодаря этому снаряд приобретает гироскопическую стабили-
зацию Кривизна траектории снаряда обычно мала, а изменение
угловой скорости вращения за счет трения о воздух незначи-
тельно. Вог почему для объяснения различных особенностей
движения артил терийского снаряда можно использовать теорию
свободного гироскопа. Первая теория движения артиллерийского
снаряда, использующая такую концепцию, была создана в сере-
дине прошлого века русским артиллерийским генералом Майев-
ским. Однако в его работах параметры гироскопа (снаряда) во
все время его движения считались постоянными. Капитан фран-
цузской артиллерии те Спарр был, по-видимому, первым, кто
отказался от подобного предположения и развил теорию, по су
ществу близкую к юн, которая развивается в этой главе.
Мы будем рассматривать классическую задачу Лагранжа —
Пуассона о твижешш осесимметричного волчка, неподвижная
330 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
точка которого лежит на оси собственного вращения. Предпола-
гается, что его движение происходит под действием опрокиды-
вающего момента М, направленного перпендикулярно плоско-
Рис. 40.
сти, проходящей через его ось
симметрии, направление кото-
рой определяет единичный век-
тор |° (рис. 40).
Обозначим через Q мгно-
венную угловую скорость ги-
роскопа, через (о — скорость
собственного вращения
ю = ю|°.	(6-1)
Положим
Q = ft) + ft)i. (6-2)
Рассмотрим подробнее, что
собой представляет вектор ©j.
Вращение гироскопа можно рассматривать состоящим из двух
вращательных движений, собственного вращения вокруг век-
тора |° и вращения вектора |°. Таким образом, oij—это мгно-
венная угловая скорость вектора |°.
Величина d^ldl — скорость конца вектора |°.	1 d$
Так как |° — единичный вектор, то	\ dt
'I-.,.",
где т° — единичный вектор касательной к годо-
графу вектора |° (рис. 41), a — абсолютная
величина вектора ®t. Так как т° — единичный
вектор, то
(6.3)
Вектор мгновенной угловой скорости враще-
ния вектора |° перпендикулярен плоскости, про-
ходящей через вектор |° и вектор линейной ско-
Рис. 41.
рости его конца. Следовательно, направление вектора совпа-
дает с направлением вектора
so v
? Х dt '
(6.4)
С другой стороны, оба вектора, входящие в это произведение,
перпендикулярны друг другу. Поэтому
I S0 у I = I I
л dt I | dt [•
§ 6) ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 331
Сопоставляя это равенство с (6.3), мы убеждаемся, что и по
величине, и по направлению вектор <oi совпадает с вектором
(6.4). Итак,
Х УД-	<6-4')
и, следовательно, вектор Q может быть представлен следующей
формулой:
Q = ^ + ^X^-.	(6.5)
Составим выражение для кинетического момента гироскопа
К=/Й,
где / — тензор инерции. Обозначим через А экваториальный,
а через С — полярный момент инерции рассматриваемого сим-
метричного гироскопа. Тогда очевидно, что
К=.4ю1 + Сю.
Описывать движение гироскопа будем при помощи уравнения
моментов
=	(6.6)
где L—момент внешней силы g(t). Будем считать, что эта
сила постоянна по направлению, которое задается единичным
вектором z°. Тогда момент этой силы относительно неподвижной
точки 0 будет
L = 1g (/) (?° х - г°) = х (t) (z° х 5°).	(6.7)
Вычислим теперь dKfdt. Для этого заметим, что
ДД1-£оу Д1Д ДД_ ДД?о+„Д1Д	zfiox
dt Х dt* ’ dt ~ dt	(6-8>
Используя выражения (6.7) и (6.8), можно переписать уравне-
ние (6.6) в Виде
л (^°х ^)+с (4Н°+“	=х (/) х ?0)- (6-9)
Уравнение (6.9) — общее векторное уравнение, описывающее
вращательное движение гироскопа Составим эквивалентную ему
систему скалярных уравнений.
Обозначим через х, у и z проекции вектора |° на неподвиж-
ные оси Ох, Оу и Oz (см. рис. 40), связанные с неподвижной
точкой О. Система координат Oxyz введена так, что ось Oz со-
впадает с направлением действующей силы.
332 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Умножим уравнение (6.9) скалярно сначала на единичный
вектор х°, а затем на у°:
A (yz — zy) + Сах + Сах = —х (/) у,
A (zx, — xz) + Cay + Cay — x (t)x.
(6.10)
Недостающее третье уравнение мы получим, умножив скалярно
уравнение (6.9) на вектор £°:
(6.Н)
Из уравнения (6.11) сразу находим <o = const. Полученное вы-
ражение является интегралом системы: скорость собственного
вращения остается постоянной независимо от характера изме-
нения внешнего момента.
Итак, задача сводится к исследованию системы двух диффе-
ренциальных уравнений относительно двух неизвестных функ-
ций x(t) и y(t). Перепишем уравнения (6.10) с учетом (6.11)
A (yz — zy) + Сах = — х (t) у,
A (zx — xz) + Cay = х (t) x.
(6.12)
В систему (6.12) входит еще одно неизвестное z. Но так как х,
у и z — это проекции единичного вектора £°, то функция z(t)
определяется из соотношения
z = У1 — х2 — у2.
Таким образом, система (6.12)—это замкнутая система двух
нелинейных уравнений второго порядка относительно двух неиз-
вестных величин х и у, она представляет собой точные урав-
нения, описывающие движение осесимметричного гироскопа
вокруг неподвижной точки, лежащей на оси симметрии. Если ве-
личина х постоянна, то полученная система может быть проин-
тегрирована в замкнутом виде (случай Лагранжа — Пуассона).
Заметим, что система (6.12) всегда допускает тривиальное ре-
шение x = соответствующее тому случаю, когда ось ги-
роскопа направлена вдоль вектора внешней силы g(t). В этом
случае движение гироскопа — это равномерное вращение вокруг
оси Oz.
2. Линеаризация. Изучим задачу в линейной постановке, для
этого условимся считать угол нутации v (угол, заключенный
между векторами z° и |°) малой величиной первого порядка ма-
лости
v= О (е).
§ 6] ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 333
Тогда величины х и у — проекции на оси Ох и Оу — мы также
должны считать величинами первого порядка малости (см.
рис. 42, па котором изображена плоскость,
вершину D вектора |° перпендикулярно оси
Oz)
х = О(е),	t/=O(e).
Отсюда следует, что
z = У 1 — х2 — у2 =1—0 (е2).
Производные х и у также будем считать
малыми первого порядка. Тогда
проходящая через
Рис. 42.
dz . , dz .	, 2.
г = х + у — О (е2).
дх ду v '
Сохраняя в уравнениях (6.12) члены первого порядка малости,
мы приходим к следующей системе двух линейных дифференци-
альных уравнений:
- Ау + Сах + ку = О, 1
Ах + Сау — хх = 0. J
Система уравнений (6.13) является приближенной, описывая
движение гироскопа при малых углах нутации. Если угол ну-
тации равен нулю, то говорят о спящем положении волчка.
В этом случае внешний момент равен нулю. Следовательно,
уравнения (6.13) описывают движение гироскопа в окрестности
его «спящего положения».
Система уравнений (6.13)—это система уравнений четвер-
того порядка. Однако она сводится к одному уравнению вто-
рого порядка, но с комплексными коэффициентами и относи-
тельно некоторой комплекснозначной функции действительного
аргумента.
Введем новое неизвестное
i — x + iy (i=|/—Г).
Умножим первое из уравнений системы (6.13) на i и сложим со
вторым
At, + С а (у — ix) + х£ = 0.
Но
- ix + у = - i (х + iy) = —
и поэтому окончательно система (6.13) приводится к следую-
щему уравнению второго порядка:
At,— iCa£ — х£=0.	(6.14)
334 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Обычно вводятся обозначения
К 9	С п
и уравнение (4.14) записывается в следующем виде:
g—2ieco£—га2£=0.	(6.15)
Итак, поставленная задача сведена к изучению уравнения
(6.15).
3.	Случай постоянных параметров. Элементарная теория
гироскопа. Если функция n(t) не зависит от времени, то уравне-
ние (4.14)—это уравнение с постоянными коэффициентами и
его решение элементарно. Полагая
получим характеристическое уравнение
р2— 2геюц — га2 = 0,
откуда	________
ц = iea ± Уп2 — е2ю2.	(6.16)
Равенство (6.16) показывает, что если условие
е2ю2> п2	(6.17)
не выполнено, то один из корней характеристического уравне-
ния будет иметь положительную действительную часть и, сле-
довательно, «спящее положение» гироскопа будет неустойчивым.
Условие (6.17) называется условием устойчивости гироскопа.
Предположим, что условие устойчивости (6.17) выполнено;
тогда общее решение уравнения (4.15) можно представить в
виде
£ = С\ ехр [г (ем + У а2е2 — п2) t} + С2ехр [i (ею — У ate2 — п2 )t },
где С] и С2 — произвольные постоянные, являющиеся комплекс-
ными числами
Ci = ] + iCI2, C2 = C21+iC22.
Так как t,=x+iy, то общий интеграл системы (4.13) можно
представить в следующем виде:
х — Сц cos (ею + Уе2ю2 — га2) t — C12sin (ею + |^e2ra2 — n2)t +
+ С21 cos (ею — Уе2ю2 — п2) t — С22 sin (ею — У е2ю2 — га2) /,
у — Сц sin (ею + Уе2ю2 — га2) t + С12 cos (ею + ]/ е2ю2 — га2) t +
-f- С2| sin (ею — |/ е2ю2 — га2) t + С22 cos (ею — V е2ю2»-га2 )/.
(6.18)
§ 6] ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 335
Формулы (6.18) можно переписать еще и так:
где
х(1) =	A	cos	{(ею +	У е2<о2 —	п2) t	+ <р],
t/(1) =	A	sin	{(eat +	Уе2<о2 —	п2) t	+ <р],
х<2> =	В	cos	{(е<о —	Уе2а>2 —	га2) t	+ -ф),
t/(2) =	В	sin	{(е<о —	Уе2<о2 —	п2 )t	+ ip),
(6.19)
здесь А, В, <р и ф — произвольные постоянные, связанные с по-
стоянными Cjh формулами
Xcos(p = CH,	Xsin<p = C12,
Всозф = С21,	Bsin'4>==C22.
Формулы (6.19) показывают, что движение точки пересече-
ния |° с плоскостью, перпендикулярной оси Oz, описывают не-
которую кривую, являющуюся суперпозицией двух вращатель-
ных движений. Вращательное движение по окружности с ра-
диусом, равным А, и угловой скоростью щ = еа + Уе2<о2 — га2,
именуемое быстрой прецессией, происходит вокруг точки, кото-
рая в свою очередь вращается вокруг начала координат по
окружности радиуса В с угловой скоростьюц2 = еа — Уе2<о2—га2.
Последнее движение называется медленной прецессией.
4.	Гироскоп в поле переменной напряженности. Предполо-
жим теперь, что напряженность внешней силы g (следовательно,
и величины га) медленно изменяется со временем
ra = ra(eQ,
где е — малый параметр.
Введем новую независимую переменную
x = e.t
и перепишем уравнение (6.15)
-§--2г><оЛ-^--Л2га2(т)? = 0.	(6.20)
Это уравнение имеет несколько более сложный вид, чем те урав-
нения, которые были рассмотрены в первых параграфах этой
главы, поскольку £—комплекснозначная функция. Однако об-
щая схема рассуждений остается неизменной.
Прежде всего в уравнении (6.20) сделаем замену перемен-
ных
£ = г| ехр{ Ае<о^).
336 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
После очевидных преобразований для новой неизвестной мы по-
лучим уравнение, которое уже не содержит первой производной
+ Л2 (Л)2 — га2) ц = 0.	(6.21)
Уравнение (6.21) относится к тому типу уравнений, которым
были посвящены первые параграфы этой главы:
•^- + Я,2Нт)т1 = 0.
Его линейно независимые решения имеют вид
{Т	Л
± г’Л J* У f (т) dx г	(г = 1,2).
°	J
Так как в нашем случае
f = е2<о2 —га2>0,
то общим решением уравнения будет
Теперь мы можем выписать общее решение уравнения (6.20)
£ = "4----------ехр
Ке2<о2 — я2
т
tkeal + ik j* Уе2<о2 — га2 dx
о
—  -ехр
У е2<о2 — я2
%
ikeat — iZ j* Уе2ю2 — га2 dx
о
(6.22)
Имея в распоряжении формулу (6.22) и повторяя рассуждения,
приведенные в конце предыдущего пункта, мы легко установим,
что, как и в случае постоянных коэффициентов, гир.оскоп совер-
шает сложное движение, которое представляет собой суперпози-
§ 6] ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 337
цию медленной и быстрой прецессии. Возвращаясь от перемен-
ного т к переменной t, легко установить, что быстрая прецессия
в данном случае описывается следующими формулами:
Для медленной прецессии мы получаем следующие выражения:
где А, В, ф и <р — произвольные постоянные.
В отличие от случая, рассмотренного ранее, как это показы-
вают формулы (6.23) и (6.24), движение происходит с пере-
менной амплитудой и переменной частотой.
Мы рассмотрели самую простую задачу о движении гиро-
скопа при условии, что его параметры медленно изменяются.
Однако изложенный метод допускает разнообразные обобщения
и позволяет решать значительно более сложные задачи, возни-
кающие в теории гироскопа, когда моменты внешних сил и его
параметры медленно изменяются во времени. К одной из таких
задач мы и переходим.
5. Уравнения баллистики. Рассмотрим простейшую из задач
баллистики вращающегося артиллерийского снаряда. Будем
считать, что на вращающийся артиллерийский снаряд действует
единственный внешний момент — аэродинамический. В такой по-
становке эта задача является моделью очень далекой от дей-
ствительности. Наша единственная цель — показать некоторые
установившиеся подходы для решения подобных задач, рацио-
нальное содержание которых подтверждается многолетней прак-
тикой.
Движение артиллерийского снаряда описывается двумя век-
торными уравнениями: уравнением количества движения и урав-
нением моментов. Первое из этих уравнений описывает движение
338 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
центра масс, а второе движение относительно центра массы
^=^+4’	(б-25)
=	(6.26)
Здесь г—радиус-вектор центра массы снаряда, g — напряжен-
ность гравитационного поля, R—вектор внешних сил, т —
масса снаряда, К—кинетический момент, L—момент внеш-
них сил.
Внешние силы R—это аэродинамические силы, зависящие
от угла нутации v. Основной задачей внешней баллистики на-
зывается задача определения траектории центра масс в пред-
положении, что угол нутации равен нулю. Эта траектория всегда
является плоской. Внешняя баллистика использует следующую
гипотезу: движение относительно центра тяжести может быть
изучено с большой степенью точности, если предположить, что
сам центр тяжести движется по траектории, являющейся реше-
нием основной задачи внешней баллистики.
Эта гипотеза играет важную роль, поскольку она позволяет
изучить уравнение (6.26) независимо от (6.25).
Итак, мы пришли к задаче исследования движения гироско-
па в подвижной системе координат oxyz. Эту систему координат
свяжем с направлением вектора скорости центра массы (см.
рис. 40). Вдоль вектора скорости направлена ось oz, ось ох на-
правлена по пересечению вертикальной плоскости XOY и пло-
скости, нормальной к оси oz. Ось оу лежит, таким образом, в
горизонтальной плоскости YOZ. Система координат OXYZ не-
подвижная, система координат oxyz вращается с некоторой
мгновенной угловой скоростью <в*.
Обозначим через dKjdt производную вектора К относи-
тельно подвижной системы координат. Тогда уравнение (6.26)
можно записать в следующем виде:
X К = L.	(6.27)
Согласно предыдущему
K=/4(Bi + C<i>,	(6.28)
где Ю1 — мгновенная угловая скорость вращения вектора
и = й)|0. Поэтому линейная скорость конца вектора |° будет
§ 6) ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 339
Перейдем теперь к вращающейся системе координат. Тогда
^ + <о* Х5О = ®, Х5°.
Обе части этого равенства умножим векторно слева на
х (®* х §°) = ®* (5° • 5°) - (?° • ®‘) = ®* - 5° (5° • ®’),
5°х(®, х^н®,-^0-®,).
Но последняя скобка равна нулю, поскольку векторы и g>i
ортогональные. Итак, формулу (6.4'), которую мы имеем в слу-
чае неподвижной системы координат, мы должны заменить та-
кой:
=	+	(6-29)
Используя выражения (6.28) и (6.29), преобразуем (6.27). При
этом мы условимся считать, что опрокидывающий момент L
определяется формулой (6.7), где х(/) —характеристика аэро-
динамической силы, которая зависит от скорости и, следова-
тельно, медленно изменяется со временем. В результате вместо
уравнения (6.9) мы получим следующее:
- ®* х + Д [ 5° х - 5° (§° • ®*)]}.
Собирая подобные члены, получим окончательно
с(4Но+ш^+ш<ю’х5о))+л{5ох^--
— 2^° (Е° • (i/’i — 5° (5° . rf<0 \ । do>* _
dt	dt /' dt
- (§» • <o‘) («о* X 5°) = x (t) (2° X 5°). (6.30)
В уравнении (6.30) функции x(Q и a*(f) должны считаться из-
вестными, поскольку они определены решением основной задачи
внешней баллистики. Так же, как и система (6.9), система (6.30)
допускает первый интеграл
co = const.	(6.31)
Используя это соотношение, мы можем упростить соотношение
(6.30) и записать его в проекциях на оси Ох и Оу. Проекции
340 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
векторов £ X —цг и вычислены ранее при выводе урав-
нений (6.12).
Рассмотрим теперь вектор подвижная система коорди-
нат может совершать вращательное движение только вокруг
осей Ох и Оу
й* = (оХ + о>у.
Вращение вокруг оси Ох приводит к изменению угла ф— угла,
который образует ось Oz с вертикальной плоскостью. Этот угол
условимся отсчитывать от оси Oz. Тогда	'
= - ф.
Аналогично
Итак,
м*= —фх° + 0у°.
Теперь мы легко вычислим проекции остальных векторов и
произведения, входящие в уравнение (6.30):
w’ X ;“= 6zx° + фгу° — (фг/ + Ox) z°,
^-=-фхо + 0у»,
(g° • й‘) = - фх + 0Z/,
(?° •	= - Ф* + St/-
Используя эти равенства, перепишем уравнение (6.30) в проек-
циях на оси Ох и Оу
A (yz — yz) + Ctox — 2Ах (бу — фх) — Ах (бу — фх) —
— Аф — CcoGz — A6z (бу — фх) = — х (/) у,
A (xz — zx) + Cay — 2Ау (бу — фх) — Ау (бу — фх) +	(6.32)
+ Аб + Стофг — Афг (бу — фх) = х (/) х.
Эти два уравнения совместно с интегралом (6.31) и условием
нормировки
x2 + y2+z2= 1
полностью описывают движение гироскопа в системе координат,
которая движется заданным образом.
Теперь линеаризуем эту систему. При этом мы будем счи-
тать, что и система координат oxyz вращается медленно, т. е.
что величины производных угловой скорости также малы.
§6] ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА 341
Кроме того, мы примем, что ф==0. Последнее означает, что в
качестве вертикальной плоскости OZX принята плоскость траек-
тории, найденной при решении основной задачи. В результате
мы получим следующую систему уравнений (сравним с (6.13)):
Ах + Cay — a(t) х = Аб, 1
х )	(6.33)
Ау — Сах — х(0 у= С<о6. J
Система (6.33) отличается от системы (6.13) только тем, что
в ее правой части стоят некоторые известные функции времени.
6. Исследование системы (6.33). Решение системы (6.33)
можно представить в виде
х=х+х*,	у=у+у*,	(6.34)
где х и у — решение однородной системы, определяемое форму-
лами (6.23) и (6.24); х* и у* — частное решение неоднородной
системы (6.33). Для отыскания этих функций снова можно ис-
пользовать метод асимптотического интегрирования. В § 4 этой
главы были даны приближенные формулы для определения част-
ных решений. Используя эти формулы, получим
ЛЙ *  С со 9
х (0 ’	х (I)
(6.35)
Дальнейшее исследование уравнений баллистики ведется
обычно по следующей схеме. Уравнения (6.25) выписываются
в проекциях на оси неподвижной системы координат OXYZ и
на оси подвижной системы координат oxyz.
Система скалярных уравнений имеет при этом следующий
вид:
dv	. „ R (х, у, У)
= _ g sin 0----------------L
dt b	m ’
dO _ _ g cos 9 Q. (x, у, X)
dt	v	mv ’
Q2 (x, у, X) dX . _ dY
~dT =--------YTv------ ДГ = У8,П0> -йГ = ^вшф,
= v V 1 — (sin2 0 + sin2 ф) = v /cos2 0 — sin2 ф ,
(6.36)
где X, Y, Z — координаты центра массы в инерциальной системе
координат. Первые три уравнения этой системы носят название
динамических уравнений: они описывают изменение вектора
V — скорости центра масс снаряда. Последние три уравнения
342 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
носят название кинематических: они позволяют определить по-
ложение центра масс, если известен вектор скорости.
В динамические уравнения входят функции /?, Qi н Q2; R —
сила лобового сопротивления, зависящая от квадрата угла ну-
тации
R=Ro + R* (х2 + У2),
Qi и Q2—это составляющие вектора подъемной силы. С боль-
шой степенью точности их можно считать линейными функ-
циями переменных хну
-Л- - № Т - W-	<6-37>
Предположим теперь, что в нашем распоряжении имеется ре-
шение основной задачи внешней баллистики и решение задачи
об относительном движении около центра массы, т. е. функ-
ции х и у, определенные формулами (6 34). Следующий этап
решения общей задачи баллистики состоит в том, чтобы опре-
делить влияние относительного движения на траекторию центра
массы. Этот вопрос подробно изучен в ряде книг*). Весьма об-
щий подход к решению поставленной задачи предложен
В. С. Пугачевым **). Решение может быть проведено также в
рамках теории возмущений. Для этого достаточно принять
v = о0 + Дц, 0 = 0°+ Д0, ф = ф" + Дф,
Х = Х° + АХ, У=У°4-ДУ, Z = Z° + AZ.
Подставим выражения (6.38) в систему уравнений (6.37) и
линеаризуем эту систему, считая малыми величинами первого
порядка все приращения До, Д0, Дф, ДХ, ДУ, AZ и составляю-
щие угла нутации — величины х и у. Отбрасывая малые вто-
рого порядка, мы придем к системе линейных уравнений отно-
сительно этих переменных. Анализ полученных таким способом
уравнений позволяет рассчитать влияние относительного дви-
жения вращающегося снаряда на его траекторию. Существуют
разнообразные приближенные способы подобных расчетов. За
всеми подробностями мы отсылаем читателя к специальным
руководствам по баллистике, цитированным выше. Здесь мы
сделаем только несколько замечаний.
(6.38)
*) См, например, Д А Вентцел ь, Внешняя балластика, М, 1940
**) В. С. Пугачев, Общая задача о движении вращающегося артил-
лерийского снаряда в воздухе, Труды Военно-воздушной академии им Жу-
ковского, № 70 (1940).
§ 7] ОСОБЫЕ СЛУЧАИ (АСИМПТОТИКА И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ВОЗВРАТА) 343
Рассмотрим вначале величины АО и Аф; их можно предста-
вить в виде	t	
	ДО = J К0 (/, т) х (т) dx,	
	0 t	(6.39)
	Дф = j Кф (/, т) у (т) dx, 0	
где Ка и Кф—элементы матрицы Грина для линеаризованной
системы. Функции Кв и определяются только характером
траектории в основной задаче внешней баллистики и не зависят
от возмущений. Величины x(t) и y(t) в этих выражениях опре-
деляются формулами (6.34). Определив величины А0 и Аф при
помощи формул типа (6.39), мы можем затем рассчитать ве-
личины АХ, АГ и AZ, т. е. определить полностью все эффекты,
связанные с вращением снаряда.
В рамках изложенной теории может быть решен и еще один
важный вопрос — какой должна выбираться угловая скорость
собственного вращения снаряда. Во-первых, она должна быть
достаточно велика, чтобы, во всяком случае, удовлетворить усло-
вию устойчивости, так как в противном случае снаряд начнет
кувыркаться на траектории и его движение будет далеко от рас-
счетного. Однако угловая скорость не должна быть и особенно
большой, так как в этом случае угловая скорость медленной
прецессии будет столь мала, что среднее значение координат х
и у будет иметь некоторые ненулевые составляющие и ось сна-
ряда будет плохо следить за касательной к траектории.
Итак, мы видим, что асимптотические методы большого па-
раметра являются естественным и очень эффективным средством
для решения практических задач типа задач баллистики.
§ 7.	Особые случаи (асимптотика и окрестности
точек возврата)
1.	Предварительные замечания. До сих пор мы изучали толь-
ко те системы уравнений, у которых корни характеристического
уравнения не обращаются в нуль внутри рассматриваемого ин-
тервала времени [0, 7]. Кроме того, при изучении случая крат-
ных корней мы предполагали, что рассматриваемая ситуация
(например, кратность корня и структура элементарных делите-
лей) сохраняется на всем отрезке времени [О, Г]. Точки, лежа-
щие внутри интервала или на его концах, где рассматриваемая
ситуация нарушается, условимся называть точками возврата.
Асимптотическое поведение решений в окрестности этих точек
344 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
уже не может описываться формулами, которые мы вывели в
предыдущих параграфах этой главы.
Вопрос о построении подобных асимптотик тесно связан
с другим общим вопросом. До сих пор мы изучали асимптотиче-
ские представления экспоненциального типа, например такие
г/~ехр Л j z(t, Л),
(7.1)
где z(t, X) —некоторая вектор-функция, представленная отрез-
ком ряда, расположенного по целым степеням величины 1Д.
Структура выражения (7.1) показывает, что природа решений
изучаемых систем такая же, как и у систем линейных уравнений
с постоянными коэффициентами, поскольку функция
ехр Д<р} • z,
где z — постоянный вектор, а <р — линейная функция времени,
может рассматриваться как частное решение некоторой системы
уравнений с постоянными коэффициентами
(7.2)
где А — постоянная матрица.
Естественно, возникает вопрос об исследовании асимптоти-
ческих представлений более общего вида
i/ = O(V<p)z(/, X),
(7-3)
где k — число, а Ф(х) —решение «эталонного» уравнения
(7.4)
в котором матрица В — это некоторая функция времени. Мы
увидим ниже, что асимптотические представления решений в
окрестности точек возврата окажутся среди представлений вида
(7.3).
В. С. Пугачев был, по-видимому, первым, который предпри-
нял систематическое изучение представлений вида (7.3) *). Им
была развита общая теория представлений вида (7.3) в пред-
положении, что на рассматриваемом отрезке времени система
не имеет ни точек возврата, ни кратных корней.
В 1948 г. автором этой монографии были изучены некото-
рые специального вида системы второго и четвертого порядка,
*) В. С. Пугачев, Об асимптотических представлениях интегралов си-
стем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих па-
раметр, Математ. сборник, т. 15 (57), № 1 (1944).
§ 7] ОСОБЫЕ СЛУЧАИ (АСИМПТОТИКА И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ВОЗВРАТА) 345
но в отличие от работы В. С. Пугачева была рассмотрена струк-
тура асимптотических представлений в окрестности точек
возврата. Позднее некоторые из этих результатов были исполь-
зованы для построения приближенных методов численного ин-
тегрирования *).
В 1953 г. А. А. Дородницын опубликовал подробное исследо-
вание асимптотического поведения собственных функций для
задачи Штурма — Лиувиля в тех случаях, когда рассматривае-
мое уравнение имеет точки возврата **). В этой работе рассма-
тривался тот специальный случай, когда корни характеристиче-
ского уравнения обращаются в нуль на границе или внутри
рассматриваемого отрезка времени.
В 1954 г. вышла монография И. М. Раппопорта***). Эта
книга явилась прежде всего сводкой результатов, в которой по-
следовательно проводилась некоторая единая концепция изуче-
ния асимптотических свойств решений; кроме того, она содер-
жала целый ряд оригинальных результатов.
Параллельно с перечисленными работами на западе появился
ряд исследований, посвященных тем же вопросам и содержащих
близкие результаты. Отметим здесь только одну из работ этого
цикла — работу Лангера ****).
За последнее десятилетие опубликовано довольно много ра-
бот, посвященных теории асимптотических представлений реше-
ний обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом пара-
графе мы рассмотрим только самые простые случаи систем вто-
рого порядка.
2.	Эталонное уравнение, формальное построение асимптоти-
ческих рядов. Условимся рассматривать уравнения вида
у+ [№a(t)+b (t)]y = O.	(7.5)
Мы видели, что к рассмотрению уравнения (7.5) сводится целый
ряд важных случаев. Например, уравнение
у+[X2 я+№]у = О
приводится к виду (7.5) заменой t = rlYk иХ=^|.
*) Н. Н. М о и с е е в, О приближенном интегрировании линейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка. Ученые записки Ростовского уни-
верситета, т. XVIII, в. 3 (1953).
**) А. А Дородницын, Асимптотические законы распределения соб-
ственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений
второго порядка. УМН, т. VII, в. 6 (1952).
***) И. М. Раппопорт, О некоторых асимптотических методах в тео-
рии дифференциальных уравнений. Изд. АН УССР, Киев, 1954.
****) Langer R., The asymptotic solution of ordinary linear differential
equations of the second order with special reference to a turning point, Trans.
Amer. Math. Soc., 67 (1949).
346 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Введем в рассмотрение функцию Ф(х), удовлетворяющую
уравнению
^ + /(х)Ф = 0.	(7.6)
Уравнение (7.6) условимся называть эталонным уравнением.
Функция f(x) такова, что интегралы системы могут быть вы-
писаны через известные функции. Во всех тех случаях, которые
уже рассматривались в этой главе, эталонным уравнением было
Решение эталонного уравнения будем считать известным. Сле-
дуя общей схеме, решение уравнения (7-5) ищем в виде
1/ = Ф(х(0)г(/, Л),	(7.8)
где Ф(х)— какое-либо из частных решений эталонного уравне-
ния (7.6). Функция х(/) нам заранее неизвестна. В тех случаях,
которые уже были рассмотрены, роль х(/) играла функция
i j [1 dt, выбором которой мы компенсировали члены, содержа-
0
щие старшие степени параметра Л.
Подставив выражение (7.8) в уравнение (7.5), мы получим
сравнение относительно функции z(t, Л.)
г'Ф + 2гФжх+г[Фжжх2 + Фжх + (Л2а + b) Ф]—0.
Принимая во внимание, что функция Ф(х) удовлетворяет
уравнению (7.6), получим
гФ + 2гФхх + z {[ — x2f (х) + Л2а (f)] Ф + Фхх + 6Ф} = 0. (7.9)
Мы скомпенсируем члены порядка Л.2, если выберем функцию
x(t) таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках
обратилось в нуль, т. е.
-^/ГйГ=л/7(0.	(7.10)
Уравнение (7.10) в том случае, когда f= 1 переходит в уравне-
ние х = ^уга. Полагая х = /Л j pdt для р(/), получим уравне-
____________	о
ние	=0, которое мы называли характеристическим.
На этом основании уравнение (7.10) также условимся называть
характеристическим.
§ 7] ОСОБЫЕ СЛУЧАИ (АСИМПТОТИКА И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ВОЗВРАТА) 347
Уравнение (7.10) в общем случае — это некоторое нелиней-
ное уравнение относительно неизвестной функции x(t). Предпо-
ложим, что нам удалось его решить и получить решение в виде
x(t) = АЛф (0,
тогда уравнение (7.9) можно будет переписать в форме
гФ + 2гФхХ®ф + г [ФД'ф + 6Ф] = 0.	(7.11)
Решение уравнения (7.11) естественно попытаться разыскать в
виде ряда, расположенного по обратным степеням величины АЛ
z=zo(0 + 7-s?i (t) +Х-2®^2(0 + • • •	(7-12)
Подставляя этот ряд в уравнение (7.11), мы получим следующие
уравнения для определения функций z0, zt,...:
2фг0 + Доф = 0,	(7.13)
2фг, +	~-g°Vx~'	<7Л4)
И т. д.
Решение уравнения (7.13) может быть получено в явном виде
го-pU.	(7.15)
Решения уравнения для zh z2 и т. д. могут быть представлены в
форме квадратур.
Обозначим через Ф) и Ф2 частные решения уравнения (7.6).
Тогда выражение
y(t, Х) = С1Ф1(ЛЧ(0)[41) + Г*д<11)+ ...] +
+ С2Ф2(А5|) (0) [z? + Z’Vi2) + ...], (7.16)
где функция д/’ЧО и z® (t) удовлетворяют дифференциальным
уравнениям (7.13) и (7.14) при условии, что Ф = Ф1 и Ф = Ф2
соответственно, дает формальное представление для общего ре-
шения уравнения (7.5).
В общем случае ряд (7.16) не только не является сходя-
щимся, но он и не асимптотический. Члены этого ряда вообще
могут не существовать. Причина этого обстоятельства состоит
в том, что в качестве эталонного уравнения мы приняли произ-
вольное уравнение второго порядка. Естественно предположить,
что изложенная процедура имеет какой-то смысл лишь в том
случае, когда решения эталонного уравнения в некотором
смысле «близки» к решениям изучаемых. Так обстояло дело
в тех параграфах этой главы, когда изучались уравнения, близ-
кие к уравнениям с постоянными коэффициентами.
348 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
3.	Асимптотика решений в окрестности точек возврата, в ко-
торых корни характеристического уравнения обращаются в нуль.
Рассмотрим теперь снова уравнение (7.5), предполагая, что
функция a(t) обращается в нуль в точке t = 0. В этом случае
характеристическое уравнение (в том смысле, в каком мы его
понимали в первых параграфах этой главы)
р2 + а(0 =0
будет иметь нулевые корни, и следовательно, теория, развитая
в начале этой главы, неприменима. Поэтому для построения
асимптотики в окрестности точки t=0, воспользуемся соображе-
ниями этого параграфа.
В качестве эталонного уравнения мы подберем уравнение,
коэффициенты которого имеют в точке t=0 такую же особен-
ность, как и функция a(t). Рассмотрим для определенности два
случая:
A) а(0 = tq (t),	4 (°) =/= 0;
Б) a(t) = t2q(t}, q(0)^0.
В качестве эталонных уравнений естественно принять следую-
щее:
для случая А)
45- + хФ = 0,	(7.17)
для случая Б)
~ + х2Ф = 0.	(7.18)
Характеристические уравнения	(7.10) будут соответственно
иметь следующий вид:
=	(7.19)
=	(7.20)
Рассмотрим сначала уравнение (7.19); оно легко интегрируется
в квадратурах, и мы находим функцию
/ i	\73
х(0 = Л2/’1| j Vtq(t)dt\ .	(7.21)
Таким образом, функция ф(0 будет такой:
/ t	,2/,
W) = (y / Vwt)dt\ .	(7.22)
\ о	/
§ 7] ОСОБЫЕ СЛУЧАИ (АСИМПТОТИКА И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ВОЗВРАТА) 349
Вычислим еще функцию ф(0
ф(/)=
(7.23)
Таким образом, на основании формулы (7.16) и (7.15) мы
можем написать следующее приближенное выражение для ли-
нейно независимых интегралов уравнения (7.5) в том случае,
когда a — tq (t):
Эта формула дает погрешность, порядок которой равен O(Z'2-3).
Функции Ф[,2(х)—это линейно независимые решения урав-
нения (7.17), которое называется уравнением Эйри. Функции
ФДх) называются функциями Эйри. Они достаточно хорошо
изучены, и имеются таблицы значений этих функций, почти
столь же подробные, как и таблица тригонометрических функ-
ций.
Функции определенные формулами (7.24), это прямой
аналог WBKJ-решений, которые рассматривались в § 1 этой
I лавы.
Рассмотрим теперь случай Б). Так же, как и в случае А), ха-
рактеристическое уравнение (7.20) легко интегрируется, и мы
находим
х(0 = л'/2ф(0, Ф(0=|/ 2j/a(0 dt,
о
(7.25)
Отбрасывая члены, порядок которых O(h~'h), мы получаем сле-
дующие приближенные представления для частных решений
350 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ, IV
уравнения (7.5) для того случая, когда a(t)=t2q(ty.
Функции Фг(0, которые входят в формулу (7.26), это ли-
нейно независимые решения уравнения (7.18). Полученное урав-
нение в свою очередь сводится к уравнению Бесселя. Общее
решение уравнения (7.18) можно представить в виде
Ф = С,Ф, (х) + С2Ф2 (х) = /xZ,z< (1 х2),	(7.27)
где
^1/4 (а) = С\11/4 (х) +C2Nl/t (х),
Ji/4 и TVi/4—функции Бесселя и Неймана соответственно.
Используя равенство (7.27), мы можем переписать формулу
(7.26) в форме
1/ \
У =	--------Zt/< I A, J Vа (/) dt .	(7.28)
Мы рассмотрели два уравнения типа (7.5), для которых был
выбран специальный вид эталонных уравнений. Нетрудно по-
казать, что в этих случаях ряды (7.16) являются асимптотиче-
скими.
4. Асимптотические разложения в окрестности точки возвра-
та, где элементарные делители перестают быть простыми. В од-
ном из параграфов мы рассматривали асимптотику уравнения
у+ 2кау+ №Ьу=0,	(7.29)
предполагая, что на всем интервале времени
Ь = а2.	(7.30)
Если условие (7.30) выполнено, то характеристическое уравне-
ние будет иметь кратные корни, а элементарные делители не бу-
дут простыми. Их кратность равна двум.
Предположим теперь, что условие (7.30) выполняется только
в некоторой точке to- Не ограничивая общности, мы можем при-
нять, что такой точкой является точка / = 0. Для упрощения вы-
кладок предположим, что
а — const.
§8] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 35]
В такой постановке уравнение (7.29) описывает колебание маят-
ника в переменном гравитационном поле, но с постоянным демп-
фированием.
Сделаем сначала замену
y=z(t, X) exp {—Kat};
тогда для z(t, К) мы будем иметь следующее уравнение:
z + K2(b — a2)z=0.	(7.31)
Предположим теперь, что
b2 = a2 + tq (t),
где <?(0)¥=0. Тогда уравнение (7.31) можно рассматривать как
относящееся к случаю А) предыдущего пункта и мы сразу мо-
жем выписать окончательный результат
6 / t
1/ I Kfr — a? dt
f J	f 2 /ч Г ______ \’/з1
2/i,2 = Ci,2exp{- at}--у---------Ф,. 2 к’1' у ЫЬ-а2 dt) .
Vb-a2
(7.32)
Мы рассмотрели несколько примеров, которые показывают,
что эффективное построение асимптотических представлений тре-
бует существования подробных таблиц решений эталонных
уравнений.
Заметим, что асимптотика рассматриваемого вида является
равномерными асимптотиками на всем рассматриваемом интер-
вале времени. Поэтому их называют также иногда «сквозными»
асимптотиками, позволяющими построить асимптотические пред-
ставления на всем интервале, включая окрестность точки воз-
врата.
§ 8. О некоторых способах построения
асимптотических представлений в случае кратных
элементарных делителей характеристической матрицы
В § 3 этой главы мы уже имели дело с тем случаем, когда
элементарные делители характеристической матрицы кратные;
было рассмотрено несколько случаев, которые встречаются при
исследовании систем второго порядка.
В числе рассмотренных был пример Я. Д. Тамаркина, кото-
рый интересен прежде всего тем, что он вскрывает новые осо-
бенности асимптотики, которые появляются в случаях, когда
элементарные делители кратные. Оказывается, что разложения
352 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
теперь уже могут содержать дробные степени параметра. На-
конец, уже из приведенного примера становилось ясным, что при
изучении асимптотического поведения, мы сталкиваемся с боль-
шим разнообразием возможных ситуаций, для каждой из кото-
рых возможен свой тип асимптотических представлений.
В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторый общий
подход к исследованию случаев кратных элементарных делите-
лей, ограничиваясь при этом анализом нескольких примеров*).
1. Система с одним элементарным делителем произвольной
кратности. Рассмотрим систему
т
Х[ = Ар (/) х, + Ах2 + 2 cij j (/) X/,
/-1
Характеристическая матрица системы (8.1) имеет один элемен-
тарный делитель ц — р,*, и его кратность равна т.
Положим
xk = ик (A, t) ехр
t
j [Ар (/) + <р (/, A)] dt
о
(8.2)
Тогда неизвестные функции uh (6=1, 2, ..., т) и ф(/, А)
должны удовлетворять следующим системам уравнений:
т
й\ + К1ф = Au2 + S />
/-1
т
+ “т-1Ф = ^ит + 2 am-b
/-1
т
+ “гиф = S
Предположим, что мы стали искать решение в виде
(8-3)
иг = A^uJ (A, t), ф = А%* (A, t),	(8.4)
*) Изложение этого параграфа следует заметке И- Н. Моисеева, опубли-
кованной в ДАН СССР.
§8] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 353
где и\ и <р’ ограничены и не обращаются в нуль при %—* оо.
Потребуем, чтобы члены, стоящие в правых частях системы
(8.3) и имеющие высшие степени %, компенсировались произве-
дениями и,ф.
Предположим, например, что в первом уравнении системы
(8.3) слагаемым, содержащим старшую степень X, будет член
Хиг, тогда это выражение должно быть компенсировано слагае-
мым г^ф, отсюда мы получим
k\ k—^2 4“ 1.
Рассуждая аналогично, для второго уравнения найдем
&2 4- k=kz 4-1
и т. д. Итак, мы приходим к следующей системе равенств:
k\ — k2 = 1 — k,
k2 — k3 = I — k,
km-\ ~ km — I — k,
km — kx = — k.
(8.5)
Равенства (8.5) будем рассматривать как систему уравнений
относительно Определитель этой системы, как легко прове-
рить, равен нулю, а ранг матрицы системы равен т—1. По-
этому для того чтобы она имела решение, необходимо и доста-
точно, чтобы ранг расширенной матрицы также равнялся т— 1.
Расширенная матрица в этом случае имеет вид
1-1	0	0	...	0(1	-ft)
0	1-1	0	...	0(1 — k)
0	0	1	- 1	...	0(1	-k)
0	0	0	0 ... - 1(1 -k)
- 1	0	0	0 ...	\-k
Мы видим, что сумма элементов каждого из первых т столб-
цов равна нулю. Следовательно, этим свойством должен обла-
Д0тц ц т+1 столбец. Из этого условия находим величину k
* =	(8-6)
354 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Не ограничивая общности, примем k\ = 0. Тогда
,	1	,	2	,	т — 1
Йо =-----, й3 = — —......... km =-----------
* т ’	т	т	т
Итак, сделав некоторые предположения относительно струк-
туры представлений (8.4) функций иг- и <р, мы пришли к сле-
дующим выражениям для функций Xk(t, А):
fe-i
хА(/, А) = А т u^(A, /)ехр
j [ац (0 + А т Ф* (%, /)] dt
о
Мы видим, что оно содержит целые степени величины А1/т.
Поскольку функции и* и ф* ограничены при А—>оо, будем их
искать в форме рядов, расположенных по отрицательным степе-
ням этого параметра
«; (*. v=«so (о+^usi (о+(о + • • • • ,й 7,
А __i	(8,7)
ф‘(А, 0 = ФО(0 + Л тФ1(/) + А тф2(0+ •••
Подставляя ряды (8.7) в уравнения (8.3) и сравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях А, получим следующие урав-
нения для определения функций us0 и фо:
«юФо-«2о = О,
«2оФо — «30 — 0,
«т-I, офо ~ «т-0 = 0,
«тофо «т!«10 = 0-
(8.8)
Условимся сначала рассматривать лишь тот случай, когда для
любых te[0, Т] коэффициент ат1¥=0. Ниже мы увидим, что отказ
от этого предположения приведет к другим выражениям для
асимптотических представлений.
Система (8.8) — это система однородных алгебраических
уравнений. Для того чтобы она допускала нетривиальные реше-
ния, необходимо и достаточно, чтобы функция фэ была корнем
уравнения
Фо — 1	0 ... 0
0 фо - 1 ... 0 = 0>
(8.9)
-ат1 0	0 ... фо
§8] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 355
откуда
т________________________________
Фо= V «ml-
Уравнение (8.9) будем называть разрешающим.
Обозначим через <р§ (s= 1,2,. .., т) какой-либо из кор-
ней разрешающего уравнения и примем ф0 = Фо>- Если одну из
функций (например, «ю) оставить произвольной, то система
(8.8) позволяет при таком выборе фо выразить все ui0 через ию
т____
и2о= Фо«ю = Vami «ю,
т______________
«ЗО=Фо«Ю = И «ml “10’
(8.10)
т ___
Mmo = %m’luio= “10-
Для функций «и будем иметь следующую систему алгебраи-
ческих уравнений:
Ицф0-«21= - «1оф1,
ит-2. 1Ф0 — ит-1, 1 = — ит-2, офь	(8.11)
«т-1, 1фо «mi “	«т-1, оФ1 4* «т-1, i«10,
«т1Фо «т!«11	«т0ф1 4* «т2«20-
Относительно искомых функций «и, «21,... , «mi система (8.1.1)
будет неоднородной системой алгебраических уравнений, опре-
делитель которой равен нулю. Для того чтобы эта система была
совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной
матрицы равнялся рангу матрицы системы (8.11).
Заметим, что если первую строку определителя ситемы (8.11)
мы умножим на 1, вторую — нафд1, третью—нафд2 и т. д., то
сумма элементов каждого столбца станет равной нулю. Следо-
вательно, тому же условию должны удовлетворять элементы
столбца правых частей. Умножая соотношение, которое мы по-
лучим таким образом на qff, приходим к следующему выраже-
нию:
Ф1 (Фот"’«1о + К’Чо 4- ... 4- ит0) = am_t 1И10ф0 + am2U20,
которое является уравнением относительно <pi.
Принимая во внимание равенство (8.10), имеем
„ ___ «т-1, 1 + ат, 2
Ф1-------------------
«Фо1 2
(8.12)
356 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Определив функцию <pi по формуле (8.12), можно найти реше-
ние системы (8.11) с точностью до произвольной функции. Счи-
тая произвольной функцию «ц, из уравнений (8.11), легко опре-
делить остальные неизвестные
Ы21 — «пфо + *Оофь )
2.0 I	(8-11')
«31“"иФо + 2“ю'Ро'Р1 J
и т. д.
Рассуждая далее, без труда установим, что для любого
/= 1, 2, ..	т-2
Чт-1, i + am-f+i, 2 + ••• + ат, |+1	,п
-------------------------------- • (8'13)
После того как величина ф;- определена, функция uSj определяет-
ся в явном виде.
Рассмотрим теперь систему для определения uit т_\. Эта си-
стема имет вид
«1, гп-1фо ^2, т-1 = — [«10 ”1“ ^11фт-2 "Р ^12фт-3 "Р . . •
... +«1. т-2Ф1] + ац«10 = Bit
и2, т-1Фо — «3, т-1 = ~ [«20 + ы21фт-2 + ы22фт-3 + • • •	(8 14)
... + и2> т-2<Р1] + а 12^11 + Й22м20 = ^2,
Мщ, т-1Фо	m-l ~ [^mO "Р ^т]фт_2 + ^т2фт-3 + • • •
••• + um.m-2<Pl] + am2u2,m-2+am3u3. т-з+ . . . + МттМтО—Вт. J
Условие разрешимости системы (8.14)
+ В2Ф0т"2 + ... +вга = о
можно переписать в следующем виде:
{ф[ [Фо* 'Ы1, т-2 "Р Фо1 2д/2, т-2 + • • • + ит, т-2] ~
— am2U2' т-2~ фоат-1, !ы1, т-2} +
+ {фг [фо* 'Ul, т-3 Фо" 2д/2, т-3 + ' • • + Um, m-з] — am3U3, т-3 ~
~ Фоат-1, 2U2, т-3 — Фо°т-2, 1Ы1. т-з) + • • •
• • • + (ф/п-2 [фот-1«11 + Фот‘Ч1 + • • • + «т1] - ат т_,ит{ + ...
. . . -р 3Я32Ы21 “Р Фо* 2a21Ul 1) ~ (^10 ~‘ а11Ы1о) Фо* ' ~
~ (“20 ~ а22Ы2о) Фо* 2 ~ ••• ~ (“тО ~ ammUmo) ~	(8.15)
Используя формулы (8.13), мы установим, что выражения,
стоящие в фигурных скобках, равны нулю, и равенство (8.15)
§8] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 357
можно переписать так:
£Н10	й10" —М10 [«11 + й22+ . . . + «mml+~~2~ «10 = 0- (8.16)
Таким образом, функция «ю удовлетворяет обыкновенному диф-
ференциальному уравнению первого порядка и, следовательно,
определяется квадратурой
, t
«ю = ' ехР | ~т / (Я11 °22	' • • *" атт^ &
(8.17)
где С — произвольная постоянная.
Определив функцию «ю по формуле (8.17), находим затем и,0
по формулам (8.10).
На следующем шаге мы определим иц, которая удовлетво-
ряет уравнению вида
Ьиц = Е(щ0)
и т. д.
Итак, показано, что все члены разложения (8.7) могут быть
эффективно вычислены либо в явном виде, либо в форме ква-
дратур.
Определив N членов разложения (8.7), мы можем построить
следующие функции:
(	k	1
v(s) _ 1 A k, (s) ,	, . 1 т (s)	1 v
Л1И ~ I A ‘Uio + . . . + A U/, N-l J X
X exp J (z,y. +	+ ... + Z,m<p£>_2}(8.18)
о
где ф^> и uff означают функции, соответствующие корню урав-
нения (8.9) номера s.
Матрица
IKII	(8.19)
может быть принята в качестве приближенного представления
матрицы фундаментальных решений системы (8.1). Основанием
для этого служит следующая теорема.
Теорема. Пусть	для любого /е[0, 7], тогда ма-
трица (8.19) дает равномерную на [0.7] аппроксимацию матри-
цы фундаментальных решений системы (8.1) в следующем
смысле: если частное решение системы (8.1) х/(0 и функция х\$
удовлетворяют одинаковым начальным условиям, то для любого
/е[0, 7]
|<(0- х&(0| = о(^~Я-
(8.20)
358 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
2.	Пример 1. Рассмотрим уравнение
х + Z2p2x=2Zpx + ’Ка*х.
Заменой
Х = Х\, .г = Zx2 + Zp.vl
это уравнение сводится к системе двух уравнений первого по-
рядка	Xi = Zpxi + Zx2, ) .	/	(8.21) x2 = Zpx2 + axlt J
где	a = a* — p.
Система (8.21) относится к рассмотренному типу, если только
а* = р.
Согласно теории, изложенной в этом разделе, асимптотику
решений системы (8.21) следует искать в виде
t
Х\ = (u!0 + V'/2uH + Z-1u!2 + .. .)exp J (Zp + ?.'/2фо) dt,
о
t
x2 = (Z"'/2u20 + Z~’u21 + ...) exp J (Zp + z'/2(p0) dt,
______	о
где фо = ± Ya .
Для функций Uio и u20 получаются выражения
u10 = 4c°ns—,	u20 = const Ya (t).
Ka (0
Таким образом, первые члены разложений обоих линейно
независимых решений будут иметь следующий вид:
Хц =	— ехр J (Zp (/) + Z'/2/а(0) dt,
/5W	0
4 ____ (
х2! = CiYa (t) ехр J (Zp (/) + Z72/^#) dt,
О
t
*12 = 4 Сг— exp J (Zp. (/) - Z'Va (/))
Ka(0 0
4 ______ t	!	___
t22 = CzYa (0 exP J (M (0 — Z'/2yra (/)) dt.
0
(8.22)
§8] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 359
Примечание. Выражения (8.22) могут оказаться неудоб-
ными, если величина а отрицательная. Тогда следует перейти к
действительным выражениям. Легко убедиться, что в этом слу-
чае асимптотическое представление общего интеграла системы
(8.21) будет таким:
где М и N—произвольные постоянные.
В наших рассуждениях было существенным предположение
о том, что а^О, т. е. Этот случай будет рассмотрен ниже.
3.	Пример 2. Рассмотрим еще один пример подобный си-
стемы
Xi = Арх । + А,х2,
х2 = Арх, + Ах3 + bxt,
х3 = Арх3 + ахг + сх2. .
(8.23)
Асимптотические представления должны иметь вид
t
Xi = («io + А,_,/з«ц + А”!/>«12 + ...) ехр J (Ар + л//зфо + ^/зФ1) dt,
о
t
х2 = (л,_'^«2о + A /3u21 + А *и22 + ...) ехр J (Ар + А^фо + А^ф|)dt,
о
t
х3 = (а,-2/’«30 + А-1«31 + А”'/’ыз2 + ...) ехр j (Ар + А,2/’ф0 + А,'/зф1) dt.
о
В этом случае
Фо = а/з
и уравнение (8.10) нам даст «2о = а'/з«ю, «зо = а2/а«1о и т. д. Урав-
нения относительно переменных иц, u2i и «21 будут такими:
«11Фо — «21 ~ «юфь
«21Фо = «3! 4" Ьи10 ф1«20»
«31фо ~ Д«ц + CU20 Ф1«зо- .
(8.24)
360 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Условие разрешимости системы (8.24)
Ф[ («1ОФо М2оФ1 Мзо) Ч0Ф0 СМ20
даст
Ь + с	Ь + с
Ф1 =--------= ^— .
Зфо	з/а”
Составим теперь уравнения, которым должны удовлетворять
функции ui2:
и !2<Ро — и22 и11ф1 — ^10,
и22фо = и32	Ы2>Ф1	^20 4" ^иН>
и32фо = #U[2	«31Ф1	^30 4* CU2\.
(8.25)
Условие разрешимости (8.25) выражается соотношением
Ф1 (ипф2 + и21ф0 + ц31) = &ипф0 + см2, - Й1оф2 - й20ф0 - й30.
Если теперь подставить в это выражение значение ф и величин
и21 = «пФо + «10Ф1.
из! “ “иФо + 2июФоФ1 ~ Ьию
и привести подобные члены, то мы увидим, что все слагаемые,
не содержащие производных, обратятся в нуль. Итак, условие
разрешимости будет приведено к следующему виду:
^зо 4" 1оФо° + ^2оФо= 0'	(8.26)
Заменяя в уравнении (8.26) «го и «з0 по формулам
Ы20= М1оФо’
^30 = ^юФо1
мы получим одно дифференциальное уравнение первого по-
рядка относительно функции щ0
^ыФо + «ыФо ~
откуда
Итак, первые члены разложений решения системы (8.23) мы
S S] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 361
можем представить в следующем виде:
I	3
-3-!— ехр j Мх + А.2/,/а(0’ + №
х2 = ехр f | Хр + A?’ Vа (/) + %'/з --,\ + с I dt,
V а2 (/) У I	V а (/) J
(8.26')
Придавая корню из a(t) все его три возможных значения, мы
получим полную систему линейно независимых решений системы
(8.23).
Примечание. Формулы (8.26) дают нам только первые
члены разложений каждой из функций Xj. Для того чтобы ис-
пользовать их для решения конкретных задач (например, за-
дачи Коши или краевой задачи), надо выписать величины X/
(1=1,2, 3) с одинаковой погрешностью. Если мы условились
удерживать члены порядка А.-2/», то в разложении Xi мы должны
вычислить три первых члена, в х2— два, а выражение х3 запи-
сать в том виде, в каком оно дано формулой (8.26).
4.	Случай, когда ат1 = 0, но 0. Исследуя систему (8.1),
мы предполагали, что ат1=#0. Это предположение было весьма
существенным. Как мы увидим ниже, структура частных реше-
ний при ami = 0 будет, вообще говоря, другая. Тем не менее ис-
пользованная схема рассуждений без каких-либо существенных
изменений позволит нам построить систему линейно независи-
мых решений и в этом случае. Рассмотрим для определенности
тот случай, когда ami = 0, но ат2=#0.
Итак, рассмотрим систему уравнений (8.2), в которой ami = 0:
т
Xj ==	(/) Х[ 4“ S ^1/ (0
т
х2 = Хц (0 х2 4" %Х3 + 2 <*2/(0 xh
т
%т-[ =	(0 ^т-\ 4" “Ь S j (0 *^/»
/=1
(8.1')
%т А,[1(/)хт 4"
т
362 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Решение этой системы мы снова будем искать в виде (8.2) и,
следовательно, для функций и{ и ф; получим снова систему (8.3).
Однако в последнем уравнении этой системы старшие слагае-
мые в правой части будут теперь ат2х2. Согласно общей схеме
оно должно быть компенсировано слагаемым umif. Эго нам даст
следующее соотношение для показателей km, k и k2-.
km+k = k2.
Таким образом, система уравнений (8.5) теперь будет такой:
= 1 — ^>
Z>2 ~ k3 = 1 — k,
km-i ~	1 -
km - k2 = - k.
(8.27)
Заметим, что в этой системе первое уравнение может быть рас-
смотрено независимо от других, которые образуют систему
т—1-го порядка относительно неизвестных k2, ks,..., km. Опре-
делитель этой системы равен нулю. Условие ее разрешимости,
как мы видели выше, при изучении системы (8.5), состоит в
том, что сумма членов в правом столбце должна равняться
нулю. Отсюда мы получаем значение k
Полагая снова &i = 0, мы находим
.	1	.	2
Ко —	— , Ко —-------— , . . • ,
т — 1 J т — 1
Теперь для функции хк будем иметь следующие представления:
fe—1	* j	т—2	1
xk = % u*k (Л, t) ехр J (Z41 (/) + %	<p* (X, t) J dt.
0
Для функций «*' и ф построим разложения типа (8.7). Под-
ставляя эти выражения в уравнения (8.Г), мы получим следую-
щую систему уравнений относительно функций им:
«Юфо U20 — 0>
и20ф0 ~ м30 = О»
«т-|фо- «то = О,
итОфо ~ am2ll2t) = О-
(8.28)
§8] О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 363
Составим разрешающее уравнение
Фо 0	-1 фо	0 . -1 .	. 0 . 0	= 0.
0	^m2	0 .	• фо	
Свертывая определитель, получим
%((Pom’'-«m2) = 0-	(8.29)
Уравнение (8.29) имеет один нулевой корень ф0 = 0 и т— 1
ненулевых корней
т-1________________________________
Фо = Уат2 (t).
Пусть сначала ф0 =# 0. Тогда, считая ы10 произвольной функ-
цией, находим
w2o = wio(₽o> •••> ито~ uio<fo‘ *•
Корню ф=0 отвечает следующая система решений уравнения
(8.28): «ю — произвольная функция, ы2о== «зо = • • • = 0. Расчет
последующих членов разложения может быть проведен по схеме,
которая была изложена выше.
5.	Случай, когда ат1 = ат2 = 0, HoaOTS¥=0 при s >2. Этот
случай имеет некоторые особенности, поскольку при s>2 асим-
птотические разложения содержат «вековые» слагаемые. Рас-
смотрим для определенности тот случай, когда атз¥=0.
Разрешающее уравнение будет таким:
Фо«-2-«тз) = О-	(8-29')
Уравнение (8.29') имеет т — 2 различных корня, соответствую-
т-2__________________________
щих значениям корня У ат3 (t). В этом случае вместо уравне-
ний (8.27) получим
— k2 = 1 — k,
k2 - k3 = 1 - k,
km-k3=-k,
откуда
364 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Теперь т — 2 — решения, отвечающие ненулевым корням, разре-
шающего уравнения (8.29'), мы можем получить стандартной
процедурой, описанной в этом параграфе.
Для того чтобы продемонстрировать процедуру построения
недостающих частных решений, ограничимся рассмотрением
примера
х! = Zpx( + Zx2,
Х2 ” Z|1X2 + А.Хд,
х3 = Ацх3 + Zx4,
х4 = Zpx4 + А,х5,
х5 = Zpx5 + ах3.
(8.30)
Система (8.30) относится к рассматриваемому типу систем.
Заметим, что старшие члены разложения исходной системы как
раз и удовлетворяют системе (8.20). Поэтому все особенности
методики построения асимптотических решений в случае изучае-
мого вырождения будут уже ясны из рассмотрения данного при-
мера.
Заметим, что (8.30) допускает систему частных решений,
где x3=x4=x5=0, a Xi и х2 удовлетворяют системе второго по-
рядка
Xi = АцХ] + Лх2, х2=А.цх2.	(8.30')
Одно из частных решений системы
х2=0, Х[ = С] ехр
(8.30') получается сразу
t
к | ]i(t)dt .
о
Другое частное решение мы
уравнений системы (8.30')
х2= Сехр
получим, интегрируя второе из
t
к j ц (0 dt .
о
Подставляя теперь х2 в первое
из уравнений, мы получим
Х[ = Ацх! + кС2 ехр
t
к j ц (f) dt
о
откуда легко находим
Xj = kC2t ехр
к J ц (f) dt
о
Таким образом, полная система частных решений определена.
§ 9]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА
365
§ 9. Асимптотические методы большого параметра
и теория оптимальной коррекции
В предыдущей главе мы уже встретились с приложениями
асимптотических методов к задачам оптимального управления.
Методы, которые развиваются в этой главе, предназначены для
решения линейных задач. Соответственно с этим мы будем рас-
сматривать один специальный класс задач оптимального управ-
ления, который сводится к исследованию системы линейных диф-
ференциальных уравнений.
1. Постановка задачи. Примеры. Задачей оптимальной кор-
рекции мы будем называть следующую задачу теории оптималь-
ного управления. Определить векторы x(t) (фазовый вектор) и
u(t) (управление), доставляющие минимум или максимум функ-
ционалу J(х, и) при следующих ограничениях:
а)	дифференциальные связи
i=Ax + Du\	(9.1)
б)	условия на концах
х(О)еео, х(Г)еег,	(9.2)
где ео и ет — некоторые заданные множества;
в)	ограничения на управления
tt<=Gu,	(9.3)
где Gu — также некоторое заданное множество. В частности, оно
может быть открытым, совпадать со всем пространством, а мо-
жет быть и замкнутым.
Время протекания процесса Т либо фиксировано, либо зара-
нее не задано; А и D — это некоторые заданные матрицы, эле-
менты которых в общем случае — функции времени.
Таким образом, задачей коррекции мы называем тот част-
ный случай задачи оптимального управления, в котором диффе-
ренциальные связи —это линейные дифференциальные урав-
нения.
В этом параграфе рассмотрим тот специальный класс задач
оптимальной коррекции, для которых система дифференциаль-
ных уравнений, полученных применением принципа максимума
Л. С. Понтрягина, также является линейной. Это накладывает
определенные ограничения на выбор функционалов. Прежде
всего условимся рассматривать только интегральные функцио-
налы
т
J = J F (х, u)dt.	(9.4)
о
Тогда к нашей задаче применим принцип максимума,
366 асимптотические методы в ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Для того чтобы вектор-функция х(1) и управление u(t) реа-
лизовали минимум функционала (9.4) при условиях (9.1) — (9.3),
необходимо существование функции p(t)
(9.5)
где функция Гамильтона
Н = (Ах-р) + (Du-p)— F(x,u),	(9.6)
а управление и определяется из условия максимума Н по u(t)
для любых х и р, т. е. и=и(х,р).
Таким образом, задача оптимальной коррекции сводится к
решению некоторой краевой задачи для системы уравнений
(9.1) и (9.5). Линейность системы (9.1) не гарантирует в общем
случае линейности системы (9.1) и (9.5). Эту систему уравнений
мы условимся называть л-системой.
Если размерность вектора х равна п, то размерность л-систе-
мы равна 2п.
Нетрудно убедиться, что существует широкий класс задач,
для которых л-система является линейной. Приведем некоторые
примеры.
Задача А. Управление с квадратичным функционалом
т
J (Си- и) dt,	(9.7)
о
где С — некоторая матрица. Задача управления с квадратичным
функционалом довольно часто встречается в технике. Интерес-
ным примером является задача оптимальной коррекции косми-
ческого аппарата, снабженного идеально регулируемым ядерным
двигателем *).
Составим функцию Н
Н= (Ах-р) + //*,
где
Н*= (Du • р) — (Си - и).
Считая, что Gu совпадает со всем пространством, мы легко най-
дем u(t) из условия максимума И по и. Это условие можно за-
писать следующим образом:
Dp = Wu,
*) О постановке подобных задач см. подробнее Г. Л. Гродзовский,
Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев, Механика космического полета с малой
тягой, изд. «Наука», Москва, 1966,
§ 9]	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА	367
где W=C + C (D и С обозначают транспонированные матрицы).
Таким образом,
u=W~^Dp.
Выпишем теперь л-систему
х — Ах + Bp, 1
(9.8)
р=-Ар, J
где
B = DW~lD.
Условия трансверсальности нам дадут 2п краевых условий.
Например, задача перехода системы из точки в точку за вре-
мя Т нам даст следующее условие типа (9.2):
х(О)=хо, х(Т)=хт.	(9.9)
Задача Б. Рассмотрим задачу Майера: определить мини-
мум функционала
/=(е-х(Т)),	(9.10)
где е—некоторый заданный вектор.
Если Gu совпадает со всем пространством, то рассматривае-
мая задача смысла не имеет. Если Gu — замкнутое множество,
то управление носит релейный характер и задача оказывается
нелинейной. Однако подобные задачи являются некорректными
в смысле А. А. Тихонова. Это свойство задачи состоит в том,
что малым изменениям функционала соответствуют большие из-
менения управляющей функции u(t). Вместо задачи Б будем
рассматривать задачу Б': определить минимум функционала
т
J = (e • х(7’)) + а J (Си • u)dt.	(9.11)
о
Для задачи (9.11) л-система будет линейной.
Составим функцию
Н = (Ах • р) — (е • Ах) + Н*,
Н* = (Du • р) —а (Си • и) — (е • Du).
Теперь управление может быть определено из уравнения
Ь(р — е) = aWu.
Выпишем л-систему
х = Ах + Вр — Ве, ]
’	(9.12)
Р^ - Ар,
368 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где
B = — DW~]D.
а
Заменой р — e = q задача Б' приводится к задаче А.
Можно привести еще целый ряд подобных примеров, показы-
вающих, что класс вариационных задач, сводящихся к исследо-
ванию л-системы типа (9.8), достаточно широк для того, чтобы
стать объектом специального исследования.
Если матрицы А и В постоянные, то общий интеграл систе-
мы (9.8) может быть записан в явном виде. Поэтому решение
краевой задачи (удовлетворение условий трансверсальности) и
вычисление управляющего воздействия сведется к решению не-
которой системы линейных алгебраических уравнений.
Если коэффициенты матриц А и В зависят от времени, то за-
дача становится значительно более сложной. В общем виде ее
решение может быть получено только численными методами.
Случай системы с постоянными коэффициентами был пред-
метом многочисленных исследований и является хорошо изучен-
ным. Методы, развитые в этой главе, позволяют столь же де-
тально изучить тот случай, когда матрица А и В зависят от
медленного времени е/=т:
А=А(т), В = В(т).
Этот случай достаточно распространен и заслуживает внимания.
К нему сводятся, например, многие задачи коррекции орбит
искусственных спутников, задачи управления в экономических
системах и т. д. Изучению этого случая и будет посвящен этот
параграф.
В системе (9.8) сделаем замену
r = et	(9.13)
и положим Х= 1/е.
После замены (9.13) система (9.8) примет следующий вид:
^ = Ы(т)х + АВ(т)р, ]
Система (9.14) является частным случаем систем, содержащих
большой параметр, — системой первого ранга. Для построения
ее общего интеграла могут быть использованы асимптотические
методы.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА
369
§ 91
Форма асимптотических представлений общего интеграла за-
висит от структуры элементарных делителей матрицы Г — уЕ
В
- А
А

О
Поэтому сначала мы должны установить некоторые свойства ма-
трицы Г в зависимости от свойств матриц А и В. Кроме того,
для удобства дальнейших исследований приведем систему (9.14)
к тому или другому каноническому виду.
Заметим в заключение, что систему (9.14) можно переписать
в виде
£ = ЖРН + ВР,
.	(9.15)
- Жхн,
ах
где
И = (Ах-р), Vz<p = -^-.
Рассмотрим некоторые свойства матрицы Г:
Г =
А В II
о - А II
Лемма. Совокупность корней характеристического уравне-
ния |Г — ц£| =0 представляет собой объединение совокупностей
корней уравнений |Д — ц£| =0 и | А + ц£ | = 0.
Доказательство. В самом деле, по теореме Лапласа,
разлагая определитель |Г—ц£| по всевозможным минорам
первых п столбцов, получим
| Г — ц£ | = | А — ц£ | • | — А — ц£ |= — | А — ц£ || А + ц£ | =
= -|Д-ц£|| Д + ц£|, (9.16)
откуда и следует утверждение леммы.
Отметим некоторые особенности спектра матрицы Г, выте-
кающие из уравнения (9.16).
1) Пусть ps —корень уравнения |Д — ц£|=0 кратности k.
Тогда —|ts является корнем уравнения |Д + ц£|=0 той же крат-
ности. Если при этом ни один из корней уравнения |Д — ц£|=0
не является корнем уравнения |Д + р£| =0, то мы будем гово-
рить, что имеет место условие а.
2) Пусть условие а не выполнено. В этом случае среди кор-
ней |.is характеристического уравнения |Д — pi£j=O найдутся
370 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
такие корни кратности k каждый, что

Тогда и будут корнями характеристического уравнения
|Г—р£|=0 кратности 2k каждый.
Вопрос о приведении матрицы Г к нормальной жордановой
форме в общем случае является сложным, так как структура
этой формы определяется не только свойствами матрицы А, но и
свойствами матрицы В. Покажем на некоторых простых приме-
рах, как можно осуществить такое приведение.
1) Пусть —различные корни уравнения |Л — ц£|=0 и
свойство а выполнено (р5=#0). Тогда Г всегда приводится к диа-
гональному виду. Покажем, как это сделать.
Пусть А уже приведена к диагональному виду. Тогда в но-
вых переменных и тр имеем
п
L = Hi£i + 2
где
In —Hnln + S dnir\h
<=1
П/ = -	1.
Пп= -Ц„Пп>
(9.17)
здесь F — матрица перехода от старого базиса к новому.
Линейное преобразование
" d-
приводит матрицу системы (9.17) к диагональному виду. Дей-
ствительно, имеем
п < .	п	п .
/=1 ‘	1 /=1	/-1 ' ’
2) Пусть свойство а не выполнено и среди корней ц5 урав-
нения |А — ц£)=0 имеется пара корней ps, Цл кратности еди-
ница каждый, причем
Ps.*=±o	(а#=0).
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА
371
Матрица Г в этом случае имеет два собственных значения вто-
рой кратности каждое. При этом в зависимости от структуры
матрицы В матрица Г может приводится либо к жордановой
форме, содержащей одну или две клетки второго порядка, либо
к диагональному виду.
Среди уравнений системы (9.17) найдутся следующие четыре:
tk — — aZk + S dkjX\j,
/=1
~ aiv
(9.18)
а)	Пусть dsk 0, dks #= 0.
Тогда линейное преобразование
n . , V d^ n . , V d^i
/-1	‘	i=i 1
n’ = <Vls>	(9.19)
приводит (9.18) к следующему виду:
ps = aps + л*, f); = ar\k,
Pk= ~ aP* + *L,
Таким образом, матрица Г, приведенная к нормальной жорда-
новой форме, должна содержать в этом случае две клетки вто-
рого порядка.
б)	Пусть dsh = 0, dhS=/=®. Тогда вместо (9.19) полагаем
= В этом случае, как нетрудно видеть, жорданова форма
матрицы Г содержит одну клетку второго порядка. То же будет,
если <4s=0, dsh^Q.
в)	Если, наконец, dsk=dka=0, то, полагая = tls==tls»
приведем Г к диагональному виду. Этот случай имеет место,
например, тогда, когда б=уЕ. Тогда ||d0|| = у£, т. е. все вне-
диагональные элементы равны нулю.
3) Пусть условие а выполнено, а среди корней уравнений
|Л — ц.Е|=0 имеется корень кратности два, причем стар-
ший инвариантный множитель матрицы А — рЁ содержит
372 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
(у. — Ц1)2, а все остальные инвариантные множители равны еди-
нице и все щ (i> 1) различны, В этом случае еместо системы
(9.17) имеем
£1= Hi£i + £2 + S
&2 = Hl?2 + 2 d.2jX\],
п
^i Pi^i ~1~	/"Иy>
(9.20)
f)i= ~ uni + Иг.
*12= -Ц1П2.
Hz = -ivnz-
В этом случае жорданова форма матрицы Г также содержит
клетки второго порядка
Hi 1
О
и
Hi II
- Hi 1
О	-И!
Нетрудно проверить, что соответствующее линейное преобразо- 
вание, приводящее Г к жордановой форме, имеет вид
где
pi—%i+Il
/=1
d\j + a{j
*
012 ~ r11 ~ d22 ~ "йг) ’
а,-2 = ^	(i>2),
aij==--^~	(/>3).
Это преобразование единственно.
§ 9J
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА
373
2. Некоторые свойства управления консервативными систе-
мами. Рассмотрим систему
z=A*z + u*,	(9.21)
где А — симметричная матрица. Не ограничивая общности, мы
можем считать, что матрица А имеет вид
А = А До + Ai + ...,
где Ао — диагональная матрица
Рг(О
р» (О
Для того чтобы привести систему к виду (9.16), положим
г,- = yt VTiT.	(9.22)
Тогда i-e уравнение системы (9.21) примет вид
у(-= ]/А*щ-	+ ’^ialjZJ + y=-(...)+ ... ,	(9.23)
где ait — элементы матрицы Д*.
Теперь вместо z{ и у, введем новые переменные x2i и X2i+i
•^21—1 = 2 i + Уг,	Х2г =	У г-
Эти функции будут удовлетворять следующим уравнениям:
*2Z-1 —	[X/ Х21-1 + ... ,
%2( — ~	А.*р,- Х21 + ...
Точки обозначают члены порядка 0(1), О
и т. д. Поло-
жим А= Va1 и запишем систему (9.24) в виде
где
X; — (АД0 + Ai + ...) х,
Pi
- Pi
(9.24)
(9.25)
- Р2
374 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Система (9.25) уже относится к изучаемому виду. Даже если
все и, — простые корни характеристического уравнения матри-
цы До, л-система
х = A Аох + АВ р,
р= - ААор
может обладать кратными элементарными делителями. Построе-
ние асимптотических представлений решений системы (9.25)
может быть приведено методами, изложенными в предыдущем
параграфе. Однако для практического построения разложений
решений системы типа (9.21) можно развить методы, не требую-
щие сведения этой системы к виду (9.25).
3. Асимптотическое представление решений одной частной
задачи коррекции. Предположим, что речь идет об управлении
системой
х=7,2Мх + Ах + 7.2и,	(9.26)
где А4 — диагональная матрица

А1 (0 =
Н22(/)

а А = \\a{j(/) || — произвольная матрица.
Управление и(0, переводящее систему из положения х0 в
хт за время Т, выбирается из условий минимума функционала
т
J = K2ju2dt.	(9.27)
о
Для составления л-системы положим х=у. Множители Лагран-
жа (импульсы), соответствующие переменным х<, обозначим
через pt, а соответствующие переменным //,• — через <?,. В этих
обозначениях функция Н будет иметь следующий вид:
Н = 2 ytpt + А2 2 y?ixiqt + 2 аих д. + А2 2 ulqi - А2 2 и2. (9.28)
i	i	i,j	i	i
Условие максимума
ми и импульсами
Н устанавливает связь между управления-
и( - 4
§ 91
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА
375
Используя эти выражения, выпишем систему необходимых усло-
вий
дН	, V
Pi = - -дГ. = -	“ 2j аИ^Г
Pi
дН
dyt
= - Pi-
Последнее из этих уравнений позволяет исключить Pi
^ = Л2р2<7£+ ^atjqr
(9.29)
Перепишем еще уравнение (9.26)
=	+	+	(9-30)
1
Итак, в данном случае л-система— это система уравнений
(9.29), (9.30).
Ограничимся рассмотрением только того случая, когда все
р?(/) для любого /е[0, Г] разные. Тогда характеристическая ма-
трица этой системы будет иметь двукратные корни. Кроме того,
уравнения для qt не содержат компонент вектора х. Следова-
тельно, мы сталкиваемся здесь с одним из случаев вырождения,
рассмотренных в предыдущем параграфе. Согласно развитой
там общей теории мы можем искать частные решения в виде
Хк = Vk (t, A) ехр
qk = uk (t, A) exp
« 1
A J jx(O^ , I
«	I
A f p,(t)dt , I
о	J
(9.31)
где ц совпадает с одним из значений ]/p2(/), a vk и uh пред-
ставимы в виде рядов, расположенных по обратным степеням
параметра 1/А.
Для определенности построим решение, соответствующее
корню pi, пусть, кроме тогор2>0 и j/p, = + |	|. Тогда первые
уравнения систем (9.29) и (9.30) после подстановки (9.31) при-
мут вид
Й! + гАр^! + ApjOj = J} а1/о/+-^-ы1,	(9.32)
/
lij + 2Z,pi1iii + Apj/Zj S ai\uj-	(9.33)
376 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Остальные уравнения этих систем будут иметь такой вид:
^2(Pi -	+ vs + 2A,p,ivs + *44», = J} a{jVj + ~ us, (9.34)
I
А2 (щ — щ) us + ils + 2Л|х1й, + Ap,Ms = 2 a^Uj.	(9.35)
i
Заметим, что уравнения (9.32)—(9.35) допускают систему част-
ных решений, в которой us ($= 1, 2,..., и) =0. В этом случае
система (9.32) и (9.34) примет вид
ti1 + 2A.|xoI4-A,|io1= Sai/»/,	,п
„	(9.36)
v (Pi - Pi) »i + ^ + Mivs + 2Аци4 =Z^aslVi.
Положим далее
vs = vso+A,-lvsi + . ..
Из системы (9.35) для старших членов разложения получим
2рйю+й10)о = 0>
(pi Ps)vso—0	($ 2, 3, ..., и).
Отсюда сразу следует
С,
Ml0“7Z’
($ = 2, 3, ..., п).
Таким образом, первые члены
решения будут такими:
С,
7Zexp
t
A J И(0
о
dt
разложения искомого частного
х3 = 0 ($ = 2, 3, ..., и),
«s0= 0
т. е. для X] получаем обычные формулы WBKJ-метода, а все
прочие координаты тождественно равны нулю.
Для вычисления последующих членов разложения функции
получаем обыкновенные линейные дифференциальные урав«
нения первого порядка
2ЩЙ1А+ inuih = <р (/),
решение которых находится в квадратурах.
Последующие члены разложенной функции us ($ = 2, 3,.,., и)
даются конечными формулами. Например,
_ Оцц10
р Pl-p,’
§9]	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОЛЬШОГО ПАРАМЕТРА	377
Итак, мы получим одну систему частных решений, соответствую-
щих корню |Xi= +	. Вторую систему решений можно вычис-
лить тем же способом, если положить ц =—pi.
Два других частных решения, соответствующих pj, мы полу-
чим из рассмотрения уравнений (9.33) и (9.35), которые допу-
скают два линейно независимых решения вида
Ui = .— + А. 'ыц + ...,
х-‘ ДцЕ?_+х-2 (...)+ ...
Подставляя затем эти выражения в правую часть уравнений
(9.32) и (9.34), найдем некоторую систему неоднородных урав-
нений, частное решение которой может быть получено извест-
ными методами.
Итак, мы указали способ, который позволяет для каждого из
чисел р2 построить группу четырех частных решений.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 79, 82, 93
Алгоритм Ляпунова 58
Аппарат космический 366
----- малой тягн 249
-----орбитальный 241
----- под действием трансверсальной
тяги 277
Гироскоп в поле перменной напря-
женности 335
— в спящем положении 333
—, его элементарная теория 334
— осесимметричный 329
— под действием момента, изменяю-
щегося во времени 329
Делители инвариантного множителя
элементарные 306
Демпфирование нелинейных колеба-
ний 161
Задача Лагранжа — Пуассона 329
Замораживание коэффициентов 26
Изохронность 15
Инварианты адиабатические 168, 170
Интеграл действия 169
Квазилннеаризация 119, 120
Колебания вдали от резонанса 105
— главные 79
— квазилинейные 142
— резонансные 108
Координаты главные 77
Коррекция оптимальная 365
Линеаризация эквивалентная 153, 155
Матрица Грина 39
— характеристическая 304
Маятник 31, 81, 147, 192, 217
— в среде, сопротивление которой
пропорционально квадрату скоро-
сти 152
Маятник, возвращающая сила кото-
рого разрывна 225
— гармонический 149
— математический 18
— — в поле переменной гравитации
228
----, его вращательные движения
228, 294
— — точка подвеса которого колеб-
лется по периодическому закону
30
— ,на который действует диссипатив-
ная сила 27
— под действием возвращающей си-
лы, обратно пропорциональной
квадрату времени 26
—------ограниченной возвращаю-
щей силы 26
— при наличии малого вязкого тре-
ния 151
— пружинный 146
----, жесткость которого изменяется
во времени 26
— с переменной возвращающей си-
лой 227
—	сферический 303
Метод Ван-дер-Поля 141
----в системах, близких к консер-
вативным 157
—	Волосова 143
----в теории вращательных движе-
ний 238
— Каменкова 96, 98
— Ляпунова 58, 71, 77
— Малкина 121
— малого параметра 135
— осреднения 140
—	последовательных приближений
188
—	Пуанкаре 103
—	разделения переменных 140
— Фурье 193
WBKJ 28Q
предметный указатель
379
Множители матрицы инвариантные
306
Орбиты кеплеровы, их возмущения
242
Осциллятор гармонический 12, 149
— квазилинейный 205
— линейный 15, 103
— нелинейный 149, 192
Переменные Ван-дер-Поля 142, 145
Плоскость фазовая 12
Приближение Ван-дер-Поля 102
Принцип замораживания коэффициен-
тов 26
— максимума Понтрягина 176
Ракета оперенная 28, 32
Расстройка 197
Резонанс 25, 117, 126, 131
— главный 117, 197, 201
— комбинационный 197, 202
—	кратный 207
—	n-го рода 119
Резонансная ситуация 197
Резонансный случай 105
Решение асимптотическое по пара-
метру А 284
Сепаратриса 15
Сила аэродинамическая 258, 259
— диссипативная 80
Система автоколебательная 152
— Гамильтона 180
— диссипативная 150, 315
— жесткая 146, 147
— линейная 12
— Ляпунова 67, 80
---, ее каноническая форма 70
— мягкая 146, 170
— с вращающейся фазой 175, 190
— с вращающимся звеном 226, 232
— с двумя вращающимися фазами
192, 194, 267
— с медленным временем 166
— с переменными параметрами 25
—	стандартного вида 190
Снаряд артиллерийский 329, 337
—	оперенный 309
Сопротивление аэродинамическое 254
Спутник искусственный 253, 259, 267
Теорема Каменкова 100
—	Ляпунова 70
—	Малкина 131
— Пуанкаре 37, 40
—	Сильвестра 214
Точка возврата 343
—	изображающая 12
—	особая 14
--- неустойчивая 15
---типа седло 14
—------фокус 80
------- центр 14
--- устойчивая 14
—	стационарная 212
Траектория фазовая 12
Управление оптимальное 274, 365
Уравнение Вап-дерПоля 92, 112
144
---в случае двух быстрых пере-
менных 196
—	вековое 76
— Дюффинга 16, 17, 19, 21, 25 64
131, 145, 206
—	квазилинейное 141
—	Матье 30
— порождающее 36, 42
Уравнения в вариациях 38
— укороченные 134, 160
—	Эйри 349
Форма жорданова нормальная 305
Функции Эйри 349
Цикл предельный 82
Частота мгновенная 26
Частоты собственные 77
Элементы оскулирующие 248, 249
Ящик жорданов 305