/
Автор: Фавар Ж.
Теги: математика геометрия дифференциальная геометрия задачи по дифференциальной геометрии
Год: 1960
Текст
Ж. Ф А В А Р
КУРС
локальной
дифференциальной
геометрии
и * л
Издательство
иностранной
литературы
*
CAHIERS SCIENT1FIQUES
Publies sous la direction de M. Gaston Julia
FASCICULE XXIV
COURS DE GEOMETRIE
DIFFERENTIELLE LOCALE
par
J. FAVARD
Professeur a la Faculte des Sciences de Paris
et a l'Ecole Polytechnique
PARIS
Gauthier-Villars
1957
Ж. ФАВАР
КУРС
ЛОКАЛЬНОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
Ю. А. РОЖАНСКОИ и С. П. ФИНИКОВА,
ПРЕДИСЛОВИЕ
С. П. ФИНИКОВА
И ЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1960
АННОТАЦИЯ
Предлагаемая книга написана на основе курса лекций по
основным вопросам дифференциальной геометрии, читанных
автором в Сорбонне. Материал в ней излагается в
нестандартной форме: автор стремился изложить классические
результаты в свете идей современной математики (главным
образом теоретико-множественных и теоретико-групповых)
и, с другой стороны, максимально приблизить читателя к
вопросам, разрабатываемым в настоящее время.
Книга будет интересна в первую очередь математикам,
особенно геометрам, — студентам старших курсов
университетов и педагогических институтов, аспирантам,
преподавателям и научным работникам.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга Фавара представляет собой курс лекций, посвященный
основным вопросам дифференциальной геометрии. От большинства
сочинений этого рода она отличается тем, что автор поставил себе
задачу включить классическую локальную дифференциальную
геометрию в круг идей, сыгравших значительную роль в развитии
математики за последнее полустолетие. Мы имеем в виду в первую
очередь идеи, связанные с теоретико-множественной и групповой
точками зрения на вопросы математики. В дифференциальную
геометрию эти идеи вошли, как известно, прежде всего через теорию
римановых пространств и принцип относительности, затем через
теорию непрерывных групп и метод Картана.
Все это и отражено в-настоящей книге, представляющей собой
вместе с тем и учебник, в котором систематически излагаются вопросы
локальной дифференциальной геометрии.
Замысел книги оригинален, и его можно приветствовать. Следует
отметить интересное и ясное изложение вводной части, особенно
теории групп, как абстрактных, так и непрерывных. Однако не всегда
автору удается сделать убедительной необходимость введения тех
или иных понятий. Так, например, некоторые понятия топологии —
размерность, канторово и обычное многообразие — в сущности
остаются почти без приложений. Не вполне удались автору и
некоторые главы, например глава о преобразованиях касания и глава
о параметризации. Тяжеловато изложение методом Картана начал
теории кривых и поверхностей как в эвклидовом, так и в аффинном
случае, но зато сам метод на этом простом материале становится очень
ясным и выпуклым. Оригинально написана глава об огибающих.
Несмотря на указанные недостатки, книга написана очень
интересно не только по замыслу, но и по выполнению. По ней можно
научиться методу Картана и другим методам современной
дифференциальной геометрии, она побуждает читателя к размышлениям об
основах этой науки.
Главы I и II введения, часть I, главы I и II первого раздела и
главы I и II второго раздела части II, а также часть III перевела
К). А. Рожанская; остальные главы перевел С. П. Фиников.
С. Я. Фиников
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
«Дифференциальная геометрия готова утонуть в океане
выкладок», — сказал мне один из моих товарищей. «Когда открываешь книгу
по математическому анализу,—сказал другой,—видишь много
рисунков, и не так уж много выкладок, когда же открываешь книгу по
геометрии, наоборот, рисунков почти не находишь, бросаются в глаза
выкладки, поселяющие ужас среди наиболее усердных учащихся и
приводящие в уныние профессиональных метематиков с не слишком
акцентированными научными интересами. Не находится ли
дифференциальная геометрия в состоянии упадка и не обязано ли
нерасположение, которое некоторые к ней проявляют, тому, что она
состарилась и что ее можно приукрасить лишь с помощью средств, столь же
банальных, как румяна и драгоценности кокетки?»
Лично я этого не думаю; скорее я вижу в геометрии кризис
роста, вызванный слишком быстрым ее развитием после успехов
теории относительности. Теперь, когда усиленное производство работ
приостановилось, можно выбрать время, чтобы подумать об
основаниях и довести до совершенства методы, перед тем как отправиться
дальше по новым путям.
Не говоря о глобальной дифференциальной геометрии, которая
в части, соприкасающейся с алгебраической геометрией, сейчас
находится в полном расцвете, в локальной дифференциальной геометрии
в ее современном состоянии также имеется немало важных
проблем, требующих решения; в ней имеются и курьезные пробелы —
например, обычная кинематическая геометрия с числом параметров
более двух до сих пор не получила своего развития, хотя,
казалось бы, уже давно надо было заполнить этот пробел. Что же
касается оснований дифференциальной геометрии, то о них едва-
едва начали думать; я делаю здесь свой вклад в разработку этого
вопроса, но он далеко еще недостаточный (например, с моей точки
зрения, основания теории огибающих все еще неудовлетворительны).
Как, скажут мне, в книге, претендующей на модернизацию
преподавания, вы считаете нужным еще говорить о теории касания, об
огибающих, о преобразованиях касания — словом, о таких старых
вопросах? Да! Я излагаю здесь эти теории и имею слабость находить
их важными даже сегодня; что касается первой из них, то я считаю
ее даже основной, ибо что такое локальная дифференциальная гео-
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
7
метрия, как не учение об элементах касания? Я не откажусь от
моей точки зрения, пока мне не покажут, как можно преподавать
анализ, не излагая или не предполагая известной „старую* теорию
действительных чисел.
Хотя во многих вопросах я решительно порвал с традициями,
я все же старался сохранить переходный характер изложения, чтобы
облегчить понимание многочисленных книг и работ, написанных
в другом стиле.
К сожалению, сейчас в дифференциальной геометрии нет единого,
всеми принятого метода, необходимо выбирать один из многих; и я
остановился на методе Эли Картана, который мне кажется наилучшим;
я думаю, что этот метод позволит без большого труда объединить
в более обширном трактате наиболее трудоемкие результаты
дифференциальной геометрии, получаемые теперь ценою изнурительных
выкладок, причем эти выкладки в большинстве случаев значительно
сократятся.
Мои намерения здесь более скромны — на пороге мирового
кризиса, который готов охватить преподавание основ математики, я
хотел бы внести свой вклад в дело сближения преподавания и научных
исследований, и я полагаю, что прежде всего можно попытаться
это сделать в дифференциальной геометрии, где отставание
преподавания, пожалуй, менее велико, чем в анализе.
Всегда опасно писать книги для преподавания, ибо критика таких
книг особенно легка: обучать — значит выбирать, направлять, а это
трудные искусства. Как сказано выше, я решил написать книгу
переходного характера, которая, я надеюсь, может принести пользу.
Кое-кто мне поставит в упрек, что я придаю слишком много
значения классической геометрии; я мог бы перенести всю ее в
упражнения после общей теории вложенных многообразий, которой
заканчивается введение, но я решил, что это было бы преждевременно
и даже чрезмерно. Другие, напротив, будут сожалеть о прекрасных
страницах, которые некогда посвящались теории асимптотических
линий и линий кривизны; я рассудил, что это — уже прошлое, но
некоторые результаты в этом направлении включил в упражнения.
Книга содержит введение, где первая глава (ее можно пропустить
при первом чтении) посвящена основаниям; мне казалось, что
требовательность в отношении аксиоматики, характерная для
современных курсов анализа, должна в какой-то мере найти отзвук и в
дифференциальной геометрии.
Первая часть содержит, наряду с изложением классических вопросов
прямой геометрии, существенные указания по проблемам
параметризации.
Во второй части, посвященной изложению эвклидовой, аффинной
унимодулярной и проективной геометрий, я должен был, естественно,
ограничивать себя, и, быть может, кое-кто найдет, что я отвел
слишком много места метрической эвклидовой геометрии.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В третьей части я излагаю теорию параллельного переноса в
пространствах аффинной связности и римановых пространствах.
Желая сделать книгу, для пользы учащихся, не очень
объемистой, я должен был отказаться от мысли поместить в ней изложение
теории гексагональной конфигурации (которая представляет интерес
хотя бы для демонстрации того, что прямая геометрия не окаменела,
как слишком часто думают), аффинной и проективной линейчатой
геометрии, а также теории пространств Финслера и Кавагучи.
Наоборот, повторения казались мне необходимыми, поэтому понятия
параллельного переноса и ковариантной производной излагаются
сначала при изучении линейного элемента ds2 поверхности, а потом
повторяются с общей точки зрения в третьей части.
Моя цель будет достигнута, если мне удастся зародить у
читателя чувство неудовлетворенности, создать впечатление
незаконченности, одновременно возбуждая интерес и любопытство,
Я благодарю Декомба, ныне читающего университетский курс
в Лилле, за помощь при редактировании старого литографированного
издания этого курса, благодарю Деама и Хаддада, воспитанников
Высшей Нормальной Школы, которые просмотрели рукопись курса,
аббата Мирге и Гальвани, профессора университета в Гренобле,
которые пожелали прочесть корректуры.
Г. Жюлиа включил эту книгу в серию „Cahiers Scientifiques",
которой он руководит, — я приношу ему здесь свою благодарность.
Я признателен также издательству Готье-Вийар, которое
осуществило издание и проявило обычное внимание к набору книги.
Ж. Ф.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ
Книга содержит введение и три части; вторая часть делится
на три раздела. Ссылки даются следующим образом: введение
обозначается знаком 0, части — римскими цифрами I, II и III; разделы
цторой части обозначаются индексами наверху: II1, II2, II3; номера
глав обозначаются после этого римскими цифрами, номера
параграфов— арабскими цифрами; наконец, вторая арабская цифра
указывает номер соотношения в данном параграфе, к которому относится
ссылка.
Например, (О, III, 9.7) — ссылка на формулу (9.7), которая
находится в параграфе 9 главы III введения.
Когда идет речь о ссылке на ту же часть, номер этой части
в ссылке не обозначается; например, (III, 9.7) означает, что надо
искать формулу (9.7) в главе III той же части. Если речь идет
о ссылке на ту же главу, то и номер главы опускается.
Чтобы облегчить розыски, номер параграфа всегда повторяется
перед номером формулы.
ВВЕДЕНИЕ
Глава I
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
1. Предупреждение. Прежде чем пытаться говорить, что такое
геометрия и какими объектами она занимается, и, более узко, прежде
чем говорить, что такое дифференциальная геометрия, мы начнем
с того, что дадим несколько точных определений, ибо расплывчатая
общая идея, высказанная вначале на нескольких строчках, была бы
только попыткой скрыть пренебрежение к основам и создавала бы
впечатление теории, которая строится при помощи фантазии. Между
тем дифференциальная геометрия уже не стоит на этой ступени
развития; об этом можно сожалеть, ибо это признак ее зрелости.
Речь в этой книге будет идти только о геометриях, имеющих
базой бесконечное множество элементов (таким образом, мы
опускаем, например, геометрии, вытекающие из рассмотрения полей
Галуа), связанных соотношениями, из которых наиболее важно
соотношение близости (Мы почти целиком оставляем в стороне
геометрии, опирающиеся только на отношения и операции алгебры.)
2. Топологические пространства. Пусть Е, F, ...—множества
элементов, (е, е\ ...),(/,/',...),...; мы' напомним следующие обозначения
из теории множеств:
Запись е £ Е (читается: е принадлежит Е) означает, что элемент е
входит в множество Е.
Запись EczF (читается: Е содержится в F) и запись F"Z)E (читается:
F содержит Е) означают, что всякий элемент из Е является также
элементом из F; говорят также, что Е есть подмножество множества F.
Через E\JF обозначается множество элементов, принадлежащих Е или F,
т. е. объединение множеств Е и F.
Через E[\F обозначается множество элементов, принадлежащих как Е,
так и F, т. е. пересечение множеств Е и F.
Ничто как объект мысли, или пустое множество, будет обозначаться
знаком 0.
Через Е—F обозначается множество тех элементов из Е, которые не
принадлежат F; если FczE, то множество Е—F называется дополнением
множества F в Е (или просто дополнением к F, если нет оснований
опасаться недоразумений) и обозначается через CF.
Пусть теперь Е—непустое множество и 6 — некоторое множество его
подмножеств; говорят, что Q определяет топологическую структуру, или
топологию, на Е, если 6 обладает следующими свойствами:
Аксиома I. Объединение множеств, каждое из которых
принадлежит б, также принадлежит 6; пустое множество также входит в Q.
12
ВВЕДЕНИЕ
Аксиома II. Пересечение конечного числа множеств,
принадлежащих б, также принадлежит б; само множество Е принадлежит Q.
Множества из б называются открытыми множествами топологии,
определенной на множестве Е\ при этом Е получает название топологического
пространства, а элементы из Е называются точками.
Произвольное непустое множество Е всегда можно снабдить
топологической структурой, например такой, что б образовано из всего множества Е
и пустого множества (топология наиболее слабая), или такой, которая
получается, если б составить из всех множеств в Е, содержащих только одну
точку (топология наиболее сильная, или дискретная).
Пусть И—подмножество в Е; всякое подмножество в Et содержащее
открытое множество О, заключающее //, называется окрестностью
множества И. Если Н состоит только из одной точки р, то всякая его окрестность
называется окрестностью точки р.
Если множество открытое, то. оно является окрестностью каждой своей
точки, и наоборот.
Точка р называется внутренней точкой множества //, если Н есть ее
окрестность. Множество внутренних точек множества //, или внутренность
множества //, может быть пустым множеством.
Точка р называется внешней по отношению к //, если она является
внутренней точкой его дополнения СН=Е—Н.
Два топологических пространства Е и Е' называются гомеоморфными*
если существует взаимно однозначное отображение Е на Е'
р' = Пр\ р = ГЧр')>
которое переводит открытые множества пространства Е в открытые
множества пространства Е', и наоборот; такое отображение называется
гомеоморфизмом.
Дополнение открытого множества называется замкнутым множеством.
Опираясь на определение дополнения, из аксиом I и II получаем:
1° Пересечение любого числа замкнутых множеств есть множество
замкнутое', все пространство Е замкнуто.
2° Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто*,
пустое множество замкнуто.
Точка /?, всякая окрестность которой содержит точку данного
множества И (с £), называется точкой прикосновения множества Н. Множества
точек прикосновения множества Я называется также его замыканием и обо.
значается через Н\ говорят также, что для всякой точки из Н существуют
точки из //, сколь угодно близкие к ней, так как всякая точка, не
принадлежащая к //, будет внешней по отношению к Н.
Замыкание множества есть замкнутое множество; если множество
замкнутое, то его замыкание совпадает с ним самим, и наоборот.
Операция замыкания — монотонная неубывающая операция, т. е. из На J
следует HaJ; она дистрибутивна по отношению к объединению, т. е.
77ц7 = //и7.
Точка, принадлежащая к Н и к С//, называется граничной точкой
множества Н; множество граничных точек образует границу; граница,
следовательно, есть множество Н[\СН.
Множество Н называется плотным в замкнутом множестве /, если
/ = Н. Оно называется всюду плотным, если оно плотно в Е.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
13
Из операций, относящихся к топологическим пространствам, мы отметим
прямое, или топологическое, произведение. Напомним, что произведением
Ei X Е2 двух множеств Е1 и Е2 называется множество пар (рь p9)t где
Pi £ Е{. Если Е± и Е2 — топологические пространства, то топологию в Е± X Е%
определяют, принимая за открытые множества объединения множеств вида
0\ X #2 (гДе 0< — открытые множества в Е{). Легко проверить, что аксиомы
I и II при этом удовлетворяются. Множество Et X £?, снабженное этой
топологией, называется топологическим произведением-пространств Е1 и £2.
3. Подпространства. Пусть И — подмножество топологического
пространства Е; множество следов открытых множеств пространства Е в //,
т. е. множеств вида Н(]0 (О — открытое множество в Е), удовлетворяет
аксиомам I и II, как это непосредственно видно; оно определяет,
следовательно, на Н топологическую структуру, называемую топологией,
индуцированной пространством Е на Н> или относительной топологией.
Множество //, снабженное этой топологией, называется
подпространством пространства Е.
Переходя к дополнениям, мы видим, что всякое множество, замкнутое
в //, является пересечением Н и некоторого замкнутого множества в Е.
Пусть /—подмножество в подпространстве //пространства Е;
топология на /, индуцированная пространством //, совпадает с топологией,
индуцированной на / непосредственно пространством Е.
4. Непрерывные функции. Пусть р' = f(p) — функция, определенная
в топологическом пространстве Е(р£Е), значения которой принадлежат
топологическому пространству £'(/?'££') (£' может, впрочем, совпадать
с Е). Функция называется непрерывной в точке /?, если каждой
окрестности V (/?') точки /?'=/(/?) можно поставить в соответствие окрестность
V(p), такую, что
q'=f(q)£V' для q£ V,
откуда следует, что f(V)d V [или Кс/"1 (V)]. Иначе говоря, какова бы
ни была окрестность V точки /?', множество/^(V) будет окрестностью
точки р. __
Если р£Н (с Е) и /—функция, непрерывная в точке р, то /(/?)€/(//).
Действительно, в противном случае существовала бы окрестность V точки/?',
не содержащая точек из /(Я); но тогда множество /-1(V), будучи
окрестностью точки /?, не содержало бы ни одной точки иЗ //, что противоречит
условию.
Функция /(/?)> не являющаяся непрерывной в точке /?, называется
разрывной.
Функция называется непрерывной на множестве На Е, если она
непрерывна в каждой точке множества Н.
Если отображение рг = /(/?) пространства Е в Е' непрерывно в точке/?
и отображение //' = g(p') пространства Ег в Ё" непрерывно в точке /?', то
результат композиции этих двух отображений р" = h (/?) = g [/(/>)]
непрерывен в точке р. Действительно, пусть W — окрестность точки рР = h (p) =
= g(Pr)\ тогда V = g"1 (V") будет окрестностью точки р' и V = /~1(V) =
= /~1£""1(К//) = Л""1(У//) будет окрестностью точки /?.
Если отображение /?'=/(/?) непрерывно в Е (/?' £ £'), то полный
прообраз всякого открытого множества пространства Е' будет открытым
множеством пространства Е, так как всякое открытое множество, будучи
окрестностью каждой из своих точек, имеет прообразом множество,
обладающее тем же свойством, т. е. открытое множество.
Обратно, если отображение/(р) таково, что всякое открытое множество
пространства Е' имеет полным прообразом открытое множество в Е, то/ — не-
14
ВВЕДЕНИЕ
прерывная функция в Е\ действительно, если V—окрестность точки р' = f(p),
то V содержит открытое множество О' и мы имеем
Р£Г1 {О') с ГНУ).
Но множество /-1 (О') открыто и содержит р\ следовательно, /-1(V/) есть
окрестность точки р.
Переходя к дополнениям, можно сказать также, что необходимое и до-
статочное условие для того, чтобы функция /?'=/(/?) была непрерывна в Е,
состоит в том, что полный прообраз всякого замкнутого множества в Ег
должен быть замкнутым множеством в Е.
Пусть Н—подмножество пространства Е\ говорят, что функция f(p)
непрерывна в точке р на Н, если эта функция, рассматриваемая только
на подпространстве Н, негрерывна в р. Все предыдущие понятия и
результаты можно переформулировать в
терминах относительной топологии.
В качестве приложения опишем
одну операцию над топологическими
пространствами, которой будем часто
пользоваться в дальнейшем.
Рассмотрим топологическое
пространство Е и допустим, что его точки
„уу, ^ухл распределены по классам так, что каж-
\%Л\Ул К^%х^ ды** класс содержит не менее одной
Х/УУ/УУЛ УУУ/уО'уА точки и каждая точка принадлежит
только одному классу. Каждому классу у,
содержащему точки (р, q, ...),
поставим в соответствие одну, и только одну,
Рис. 1. точку с =/(р) = /(<7) = . •. нового
пространства С (причем двум
различным классам сопоставим две различные точки). Топология в этом
пространстве определяется следующим образом: открытым множеством является
всякое множество Г, прообраз которого /-1(Г) открыт в Е. Аксиомы I и II,
как это сразу видно, удовлетворяются, и функция с — f(p) непрерывна.
В частности, всякая окрестность VG(e) будет содержать открытое
множество Г, содержащее точку с, полный прообраз которого есть открытое
множество, содержащее точки р, q, ... из у. Отсюда следует, что всякая
окрестность точки с содержит сбраз объединения некоторых окрестностей VE(p)>
VE(q)
Говорят, что пространство С получается из пространства Е
отождествлением точек внутри каждого класса т (на рис. 1 каждый класс содержит одну
или две точки из Е).
5. Гомеоморфизм. Взаимно однозначное отображение р' = /(/?)
пространства Е на Е' называется взаимно непрерывным, если оно само и
обратное к нему отображение р = f~l (/?') = g (pr) непрерывны.
Чтобы взаимно однозначное отображение Е на Е' было
гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы оно было взаимно непрерывным.
Действительно, для того чтобы / было гомеоморфизмом, необходимо и
достаточно, чтобы образ открытого множества и прообраз открытого множества
были открытыми множествами, т. е. чтобы / и f~l были непрерывны.
Понятие гомеоморфизма легко приспособить к относительной топологии:
если отображение р' = /(/?) пространства Е на Е' ставит во взаимно
однозначное соответствие точки подпространства НаЕ и точки пространства Н'аЕ'
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
15
и если функции / и f~l непрерывны в подпространствах Я и Я'
соответственно, то Я гомеоморфно Я'.
Гомеоморфизм транзитивен: если Е гомеоморфно £', а Е'
гомеоморфно Е", то Е гомеоморфно Е". Это очевидно, если заметить, что
результат композиции двух взаимно однозначных отображений будет взаимно
однозначным отображением, которое, кроме того, непрерывно, если оба исходных
отображения непрерывны.
Следовательно, гомеоморфизм есть- отношение эквивалентности) это
основное отношение эквивалентности в топологии.
В топологии два гомеоморфных пространства рассматривают как
пространства, отличающиеся только названием их элементов, и объект
топологии — изучение свойств топологических пространств с точностью до
гомеоморфизма, т. е. она занимается определениями, свойствами,
операциями, уравнениями, числами и т. д., инвариантными относительно
гомеоморфизма.
Приведем несколько простых примеров, приняв для этого несколько
хорошо известных определений. На обычной эвклидовой плоскости
внутренности треугольника, круга и эллипса гомеоморфны. Поверхности куба и
сферы гомеоморфны в обычном трехмерном пространстве. Можно доказать,
что на плоскости внутренность круга и внутренность кругового кольца не
гомеоморфны и что в пространстве поверхность и внутренность сферы не
гомеоморфны соответственно поверхности и внутренности тора.
Непрерывное отображение р' = /(/?) пространства Е в пространство Ef
называется локальным гомеоморфизмом в точке р, если существует
окрестность V(p), такая, что отображение окрестности V на ее образ V' = /(V)
есть гомеоморфизм.
Гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом во всякой точке,
но отображение pr = /(/?) может быть локальным гомеоморфизмом в каждой
точке и не быть при этом гомеоморфизмом. Так, если любой точке прямой
поставить в соответствие точку окружности, на которой выбраны начало и
направление обхода, приняв за ее криволинейную абсциссу абсциссу точки
на прямой, мы получим соответствие, которое хотя и будет локальным
гомеоморфизмом, но не будет просто гомеоморфизмом. Позднее мы встретимся
с другими примерами.
Если начать с топологии — наиболее общей геометрии близости, — то
остальные геометрии получаются из нее при частных предположениях
одновременно относительно рассматриваемых топологических пространств и
относительно рассматриваемых в них непрерывных отображений (или
преобразований) 1); последние всегда будут локальными гомеоморфизмами всюду, за
исключением некоторых множеств точек. Эти точки либо оставляют в
стороне — потому, что они не представляют интереса, или потому, что принятые
гипотезы слишком широки, чтобы позволить их изучение, — и тогда
получается локальная геометрия (например, прямая инфинитезимальная геометрия,
см. часть I); либо же эти точки изучают отдельно как наиболее важные
элементы: например, точки ветвления в теории римановых поверхностей 2) или
особые точки кремоновых преобразований в алгебраической геометрии 3)ф
х) Это, очевидно, приведет к потере в общности, но к выигрышу в
богатстве свойств.
*) См. S t о i 1 о w, Lecons sur les principes topologiques de la theorie des
toncUons analytiques, Gauthier-Villars, Paris, 1938.
л/л! ' 4м* Q о d e a u x L., Les transformations birationelles du plan, Gauthier-
Vdlars, Paris, 1927.
16
ВВЕДЕНИЕ
При этом на пространства, которые мы будем рассматривать, будет
наложено и другого рода ограничение: кроме определенной топологической
структуры, они будут снабжены некоторой другой структурой,
алгебраической или аналитической, и преобразования, которые нам предстоит
рассматривать, должны будут сохранять эту структуру, по крайней мере локально.
Разбору всех этих условий будет посвящена остальная часть этой
главы, однако уже сейчас мы отметим в качестве примера, что элементарная
метрическая геометрия обычной эвклидовой плоскости определяет на ней
структуру, инвариантную относительно перемещений и симметрии. Эта
структура алгебраическая, и если к ней присоединить обычную
топологическую структуру (см. § 9), то перемещения и симметрии окажутся
гомеоморфизмами. Изучение свойств линий, инвариантных относительно этих
преобразований, составляет часть элементарной дифференциальной геометрии
плоскости. Расстояние между двумя точками, угол между двумя
направлениями, площадь треугольника являются понятиями элементарной геометрии
на плоскости. Касательная к кривой, длина дуги окружности или кривой —
понятия элементарной дифференциальной геометрии. В обычном
пространстве определение объема многогранника базируется на принципе Кавальери,
в основе которого лежит, по существу, топологический принцип. Впрочем,
всякий раз, когда в элементарной- геометрии обращаются к аксиоме
непрерывности, тем самым постулируют топологическую структуру плоскости или
пространства.
6» Метрические пространства. Множество Е называется метрическим
пространством, если всякой паре его различных или совпадающих элементов
р и q, называемых точками, поставлено в соответствие число | pq |,
называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами:
1° Из | pq | = 0 следует, что р и q совпадают, и наоборот.
2° Неравенство треугольника: \pq\*C\pr\-\-\qr\, каковы бы ни были
точки р, q n г множества Е. Для р = q это неравенство дает 2 | рг | !> 0;
иначе говоря, расстояние между двумя точками положительно или равно
нулю. В силу свойства 1° расстояние между различными точками
положительно.
Полагая в неравенстве треугольника г = р, мы получим, что \pq\^.\qp\
для любых точек р и q; но справедливо и обратное неравенство | pq | !> | qp |,
откуда | pq \ = | qp \. Таким образом, расстояние есть неотрицательная и
симметричная 1) функция пары точек. Шаром с центром р и радиусом р > 0
называют множество таких точек q из Е, что | pq | < р.
Это понятие позволяет ввести в множество Е топологическую
структуру: подмножество О из Е будет называться открытым, если для любой
точки р £ 0 существует шар с центром р (сферическая окрестность точки /?),
все точки которого принадлежат О.
Неравенство треугольника показывает прежде всего, что шар — открытое
множество, и ясно, что аксиома I § 2 удовлетворена. Что касается аксиомы II,
то пусть 0{(1=1, 2,..., п)— открытые множества. Всякая точка р их
пересечения О, рассматриваемая как точка, принадлежащая к О*, будет центром
шара радиуса р*, лежащего в О*. Шар с центром р и радиусом, равным
наименьшему из р^, содержится в множестве О, которое, следовательно, будет
открытым. Таким образом,, аксиома II удовлетворена. Множество Е становится,
1) Обычное определение Фреше метрического пространства содержит
три аксиомы: аксиому (1°), аксиому симметрии и аксиому треугольника,
записываемую в иной, несимметричной, форме: | pq | < | рг \ + | rq |. — Прим.
перев.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
17
таким образом, топологическим пространством, определенным его метрикой,
т. е. заданием расстояния между его точками, которое называется
метрическим пространством. Всякое подпространство метрического
пространства есть метрическое пространство.
Одна и та же топология может быть индуцирована на множестве Е
введением двух разных метрик. Чтобы две метрики индуцировали одну и
ту же топологию, необходимо и достаточно, чтобы всякий шар,
определяемый первой метрикой, содержал шар с тем же центром, определенный
второй метрикой, и наоборот. Так как сферические окрестности в первой
топологии являются открытыми множествами этой топологии, то непосредственно
видно, что они будут открытыми множествами и второй топологии, и
наоборот. Этого достаточно, чтобы установить указанный результат, ибо как
в той, так и в другой топологии всякое открытое множество есть
объединение шаров.
Диаметром множества А в метрическом пространстве Е называется
верхняя грань расстояния между двумя точками р и q этого множества,
если она существует (если же эта грань не существует, то говорят, что
множество имеет, бесконечный диаметр).
Рассмотрим несколько свойств метрических пространств.
1° Возьмем две разные точки р и q, и пусть \pq\ = d. Шары с
центрами в точках р и q радиуса dj2 не имеют бощих точек, и они будут
окрестностями точек р и q. Следовательно, у любых двух различных точек р
и q метрического пространства имеются непересекающиеся окрестности.
Топологическое пространство, удовлетворяющее этому условию, называют
отделимым или хауедорфовым. Следствием отделимости является тот факт,
что множество, состоящее из одной точки, замкнуто.
Говорят, что последовательность точек \рп) (л=1, 2, ...) сходится
к точке р или имеет р пределом, если каждой окрестности V точки р
соответствует такой индекс N, что для п> N имеем рп 6 V.
Последовательность {рп} называется тогда сходящейся.
В отделимом пространстве сходящаяся последовательность имеет
единственный предел.
Пишут:
Нтп рп=Р, или рп-+р.
П-> ОО
Следствие. Всякая подпоследовательность, выделенная из
последовательности, сходящейся к точке р, сама сходится к р.
2° Пусть р' = /(/?)— непрерывная функция, определенная в метрическом
пространстве Е, со значениями р' тоже в метрическом пространстве Ег.
Непрерывность функции в точке р выражается словами: всякому е > 0 можно
поставить в соответствие такое число 5 > 0, что
из \pq\ < 5 следует \p'q'\<* (р'=/(Р), q'=f{q)).
Понятие сходимости последовательности функций, понятие равномерной
сходимости, тот факт, что равномерно сходящаяся'последовательность {fn(P)}
функций, непрерывных в Е -со значениями в Е\ сходится к непрерывной
функции /(р), — все это легко переносится на метрические пространства.
3° Замыкание шара | pq | < р с центром р содержится в множестве
I РЯ К р, так как если г такая точка, что | рг \ > р, то шар с центром г и
телИусом 'pr I — V не содержит ни одной точки шара | pq \ < р,
следовательно, г не принадлежит к замыканию этого шара.
лтл/ГТСЮДа сл»едУет» что всякая окрестность точки в метрическом
пространстве содержит замкнутую окрестность.
18
ВВЕДЕНИЕ
Топологическое пространство, обладающее этим свойством, называется
регулярным.
4° В дальнейшем мы будем иметь дело с метрическими пространствами,
в которых существует счетное всюду плотное множество D. Такие
пространства называются сепарабельными. Рассмотрим шары S(rt а) с
рациональными радиусами о и с центрами в различных точках г из D;
множество этих шаров тоже будет счетным множеством, поскольку множества
положительных рациональных чисел счетно.
Всякое открытое множество О есть объединение таких шаров. В самом
деле, точка р множества О является центром шара радиуса р,
содержащегося в О, а в шаре радиуса р/3 с центром р существует точка г из D,
поскольку D плотно. Шар с центром г такого рационального радиуса а, что»
Р 2р
■5* < а < -£» содержит точку р и сам содержится в О. Множество О есть„
таким образом, объединение шаров S (г, а).
Всякое подпространство И сепарабельного метрического пространства Е
сепарабельно. Действительно, достаточно выбрать по точке из Н в каждом
шаре S (г, а), пересечение которого с Н непусто; мы получим тогда счетное
множество, плотное в Н.
Пространства, которые мы будем в дальнейшем рассматривать, всегда
будут предполагаться сепарабельными.
5° Сепарабельное метрическое пространство обладает следующим
свойством: для двух замкнутых множеств без общих точек можно всегда
найти два содержащих их открытых множества без общих точек-
Топологические пространства, которые обладают этим свойством,
называются нормальными.
*
7. Полные пространства. Компактные пространства и множества»
Пусть {рп} — последовательность точек метрического сепарабельного
пространства Е. Если она сходится к точке р, то для всякого е, как мы видели,
можно найти такое число N, что
\PnPK-j при n>N,
следовательно, в силу неравенства треугольника,
\РтРп\<* при mtn>N.
Говорят, что последовательность {рп} удовлетворяет условию Кошиг
если для произвольного положительного е можно найти такое
натуральное N, что имеет место предыдущее неравенство. Всякая сходящаяся
последовательность удовлетворяет условию Коши, но обратное не всегда имеет
место. Если же, напротив, всякая последовательность, удовлетворяющая
условию Коши, сходится в Е, то говорят, что Е—полное пространство-
Это понятие, впрочем, не является топологическим. Если пространства
Е таково, что всякая бесконечная последовательность его точек содержит
сходящуюся подпоследовательность, то это свойство в противоположность
полноте, очевидно, сохраняется при гомеоморфизмах; тогда говорят, чта
пространство компактно. Это можно выразить также словами: всякая
бесконечная последовательность различных точек пространства Е имеет по крайней
мере одну предельную точку, или точку накопления, т. е. точку, всякая
окрестность которой содержит бесчисленное множество точек последовательности»
Компактное пространство полно.
Говорят, что множество С, содержащееся в пространстве Е, компактно,
если подпространство С компактно.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 19
К компактным множествам причисляют и те множества, которые
содержат только конечное число точек, и пустое множество.
Пространство называется локально компактным в точке р, если
существует компактная окрестность точки р. Пространство называется
локально компактным, если оно локально компактно в каждой своей точке.
Приведем некоторые свойства компактных множеств:
1° Всякое компактное множество замкнуто.
2° Объединение конечного числа компактных множеств есть ком-
пактное множество.
3° В компактном множестве всякое замкнутое подмножество
компактно.
4° Всякое компактное множество имеет конечный диаметр.
5° Лемма Бореля — Лебега. Пусть Ф — семейство открытых
множеств, образуюи их покрытие компактного множества С (т. е.
всякая точка из С принадлежит какому-нибудь открытому множеству из Ф).
Тогда можно выделить из Ф конечную систему множеств, образующих
покрытие С.
Последнее свойство характеризует компактные пространства. Отсюда
следует, что всякий непрерывный образ компакта есть компакт.
6° Равномерная непрерывность. Пусть
/?'=/(/?)—непрерывное отображение компактного метрического пространства С на компактное
метрическое пространство С. Всякому числу е > О можно поставить в
соответствие число Ъ, такое, что
из \pq\<b следует |p'q' | = |/(р), f{q) \ < е.
В этом и состоит свойство равномерной непрерывности непрерывных
функций на компактных множествах.
8. Связные пространства и множества. Пространство называется-
связным, если оно не является объединением двух непересекающихся
открытых непустых множеств. Когда пространство несвязно, два открытых
множества, объединением которых оно является, будут также замкнутыми, так
что можно сказать, что пространство связно, если оно не является
объединением двух непересекающихся замкнутых непустых множеств.
Пространство, состоящее из одной точки, связно; пространство,
состоящее из конечного числа точек, большего 1, несвязно.
Множество С, содержащееся в пространстве Е, называется связным,
если подпространство С связно.
Компонентой связности, или связной компонентой, точки р из С
называют наибольшую связную часть множества С, содержащую р. Легко»
показать, что:
объединение двух связных множеств, имеющих общую точку, есть
связное множество;
непрерывный образ связного пространства есть связное пространство.
Связное компактное пространство (или множество) называется конти-
нУУмом. Непрерывный образ континуума есть континуум.
Открытое связное множество называется областью.
Пусть А — подмножество пространства Е\ если С А несвязно, то мы
говорим, что А разбивает Е или что А есть купюра Е.
9. Эвклидово аморфное пространство. Обозначив через п
натуральное число, будем называть точкой всякую совокупность п действительных
20
ВВЕДЕНИЕ
чисел, взятых в определенном порядке:
р = {х\ х* хпу
Число xh будет называться &-й координатой точки р.
Интервалом (п измерений) называется можество точек /?, выделяемое
неравенствами
(9.1) ah<xh<b\ h = 1,2 п
(где числа ah и bh таковы, что ah < bh).
На множестве всех точек р следующим образом определяется
топология:
открытыми множествами будут интервалы, их объединения и пустое
множество.
Легко проверить, что этим действительно определяется топологическое
пространство. Оно называется аморфным эвклидовым n-мерным
пространством и обозначается через Rn (Rl называется прямой, R* — плоскостью).
Различные пространства Rn являются основными пространствами
дифференциальной геометрии.
Замыкание интервала (9.1) есть множество таких точек р, что ah^.xh^b\
и называется (л-мерным) сегментом. Пусть р и q — две точки:
Р = {а\ а»), Я = {Ы bn);
мы видим, что каждая из величин
(9.2) \РЯ\= max |a* — Ь*\,
Л-1, ..., п
(9.3) \pq\i = jt\ah-bh\> \P9\*= 1/ !>»-**)»
1 У 1
определяет расстояние, индуцирующее только что описанную топологию.
Начиная с этого момента мы будем рассматривать пространство Rn
как метрическое пространств), метрика в котором определена с помощью
одного из этих расстояний.
Отображение р' = /(/?), ставящее в соответствие точке р = (xh)
подпространства Е пространства /?* точку р' — (yJ) пространства Rmt записы-
вается с помощью т числовых функций от п переменных
yj = fj(xit ..., хп) y = i m)t (jfi x»)£E.
Непрерывность этого отображения в точке р определяется следующим
образом: всякому е > 0 можно поставить в соответствие число 5 так, что
(9.4) \fj (*i х») -fj(xn х'п) | < £ U = 1 т)
при
\хЬ — х'н\<Ъ (Л=1 /г), (x'h)£E,
или число 5' так, что неравенства (9.4) выполняются при
l
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
21
или же число Ъ" так, что (9.4) выполняются при
1
Отображения пространства Rn на себя
x'h = x*+a* (h = l л),
где ah — произвольные числа, являются гомеоморфизмами Rn на себя, при
помощи которых можно перевести заданную точку в любзю другую точку;
по этой причине пространство называется однородным.
В каждом интервале можно найти точку г = (г* гл), для которой:
rh—рациональные числа; отсюда следует, что множество точек с
рациональными координатами плотно в пространстве Rnt которое вследствие этого
является сепарабельным, как и все его подпространства. Будучи
метрическим, пространство Rn, как и все его подпространства, будет отделимым,
регулярным и нормальным. Кроме того, оно полно.
Множество EdRn ограничено, если существует число М, такое, что
| xh | < М для всякой точки (xh) € Е, Всякое компактное множество, поскольку
оно имеет конечный диаметр, непременно ограничено. Обратно, всякое
множество, ограниченное и замкнутое, будет компактным, как это вытекает из
следующего результата:
Лемма Больцано — Вейерштрасса. В пространстве Rn всякое
бесконечное ограниченное множество точек имеет по крайней мере
одну предельную точку.
Мы не приводим доказательства этой леммы, которое можно найти
в любом курсе анализа.
Из нее следует, что пространство Rn локально компактно.
Назовем линейным многообразием I измерений (/•</*—1), или
1-мерным линейным многообразием, множество точек с координатами
I
*Ьв 2^ + в'* (Л = 1 л),
где с£, сь — постоянные, a t —действительные переменные и где матрица
|4| (А=1 л;Ы /)
имеет ранг / (имеется минор порядка /, не равный нулю, и все миноры
порядка / + 1 равны нулю). Линейное многообразие / измерений гомеоморфно R1.
При 1 = п—1 это многообразие называется также гиперплоскостью (или
просто плоскостью). При / = 1 мы имеем прямую
xh = ^cH+cfh (2lc*l>0
Гиперплоскости xh = 0 называются координатными гиперплоскостями'*
совокупность их образует так называемый координатный п-эдр. Прямая
jci = ... = *ь-1 = *ь+1 = ... = хп = О
называется h-й осью координат', точка xh = 0 (h=\ п) —началом
координат.
22
ВВЕДЕНИЕ
10. Симплексы. Комплексы. Точки рк пространства Rn (k = 1 / +1)
называются линейно независимыми, если они не содержатся ни в каком
линейном многообразии размерности < /. Они определяют в этом случае
лгинейное многообразие / измерений.
Множество Т1 точек р, определяемых уравнениями
V0.1) ** = !>*-*£ Ык>0> Ц^1
называется симплексом I измерений, или 1-мерным симплексом,
определенным этими / -\- 1 линейно независимыми точками (это понятие является
обобщением понятия тетраэдра, треугольника, сегмента прямой). Гранью
размерности тп си*мплекса Т1 называется всякий симплекс определенный m-f-1
точками из тех / -|~ 1 точек, которые определяют Т1. Грани размерности 1
называются также ребрами; грани размерности нуль (иначе говоря, точки рд,
определяющие 7**) называются также вершинами симплекса.
Два симплекса одной и той же размерности гомеоморфны. Вообде,
топологическим симплексом (или просто симплексом) j* называется
гомеоморфный образ симплекса Тп в топологическом пространстве.
Рассмотрим в пространстве g два симплекса J*n и J"n, полученные из
симплексов Тп и Т'п пространства Rn гомеоморфными преобразованиями
q = f(p) и ^'=/'(/?'). Точке q€j*n f| <J"n соответствуют две точки из
Rn:p=f~\q) и p'=f~l(q). Говорят, что симплексы J*n и J"n равны,
если выполнены одновременно два следуюдих условия:
1° J"* и J"n, рассматриваемые как множества точек g, совладают.
2° Соответствие между р и рг есть линейное преобразование, т. е.
координаты точки р' получаются из координат точки р по формулам
*'» = £<***+«2+1-
1
Условившись об этом, мы назовем комплексом Кп размерности п
топологическое пространство, которое может быть разбито следуюдчм образом:
1° fC1 есть объединение конечного или счетного множества
топологических образов симплексов различных размерностей от нуля до /г, причем
существует по крайней мере один симплекс размерности п.
2° Всякая точка принадлежит по крайней мере одному симллексу и не
принадлежит более чем конечному числу симплексов.
3° Для любых двух симплексов верно следующее: или они не имеют
общих точек, или один из них есть грань другого, и тогда симплексы
называются инцидентными, или же они имеют обдую грань, причем два
симплекса, составляющих эту обдую грань, равны.
4° Открытое множество Кп содержит вместе с точкой р объединение
окрестностей точки р во всех симплексах, которым р принадлежит.
Такое разбиение комплекса Кп называется симплициальным.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
23
п
Сегмент аь^х^Ьп, сфера п — 1 измерений ^ (xhy* = 1, шар откры-
1
п
тый (или замкнутый) ^ (хпУ* < 1 (или < 1) являются комплексами (рис 2).
1
Само пространство Rn как объединение бесчисленного множества кубов
есть комплекс.
Комплекс всегда локально компактен. Конечный комплекс (объединение
конечного числа симплексов) есть компактное пространство; бесконечный
комплекс не компактен, так как множество центров тяжести всех его
симплексов не имеет предельной точки [центр тяжести V симплекса,
определенного в (10.1), есть точка, определяемая равенствами р.& = ■ .
В комплексе Кп рассмотрим симплекс Т0 и множество всех
симплексов Т, которые могут быть соединены с Го конечной цепью симплексов
(10.2) Г0, Тх Тк = Т,
такой, что два последовательных симплекса этой цепи инцидентны.
Объединение этих симплексов вместе с Т0 образует открытое множество в /Сп, так
Рис. 2.
как, очевидно, оно содержит вместе с каждой точкой и ее окрестность:
дополнение к этому множеству также открыто по аналогичной причине;
итак, рассматриваемое множество одновременно открыто и замкнуто. Отсюда
вытекает, что в связном комплексе два любых симплекса можно соединить
цепью вида (10.2).
Комплекс К™ называется чистым (размерностно-однородным), если
всякий его симплекс размерности k < п является гранью по крайней мере
одного симплекса размерности п\ это понятие топологически инвариантно.
Наконец, комплекс Кп однороден, если любая его точка имеет окрестность,
п
гомеоморфную шару У^(хп)* < 1, или внутренности симплекса Tnt что одно
1
и то же, как легко видеть.
Однородный связный комплекс К?г мы назовем многообразием*).
П. Размерность. Кривые и поверхности. Канторовы многообразия*
Основным топологическим инвариантом сепарабельных метрических
пространств является размерность.
х) Другое определение многообразия см. в книге А 1 ex a n drof f P.,.
°pf H., Topologie I, Springer, 1935. — Прим. перев.
24
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Е—метрическое сепарабельное пространство; всякой его точке р
мы ставим в соответствие целое число (или бесконечность), называемое
размерностью Е в точке р (&\трЕ). Далее самому пространству Е ставим
в соответствие целое число (или бесконечность), называемое его
размерностью (dim £), следующим образом:
1° Пустое пространство, и только оно, имеет размерность — 1.
2° а) (ЫгПрЕ^п (/г>0), если всякая окрестность точки р содержит
открытую окрестность, граница которой имеет размерность <! п—1.
b) dim £•< л, если д\трЕ4^п в каждой точке.
3° a) dinip£ = /z, если dimpE^n и если, кроме того, не выполняется
неравенство dlmpE-^n — 1.
b) dim Е=п, если dim E^n и не выполняется неравенства
dim £</г— 1.
4° dim E = оо, если ни при каком п не выполняется неравенство dim E-^n.
Эти определения показывают с очевидностью инвариантность понятия
размерности относительно гомеоморфизмов. Определения рекуррентны
(индуктивны): сначала определяются пространства размерности нуль, что
позволяет придать смысл выражению „пространство Е имеет размерность 1
в точке р*. Далее придается смысл выражению: „пространство Е имеет
размерность Iй и т. д. Нас будут интересовать только пространства конечной
размерности.
Пространство /?п. было названо л-мерным потому, что его точки можно
задавать с помощью п чисел (координат); это определение не имеет
топологически инвариантной формы, и a priori нельзя утверждать, что
окрестность точки р пространства Rn не является гомеоморфнои окрестности
точки рг пространства Rn', где п Ф п'\ тем не менее это верно, ибо
справедлив следующий результат1): размерность пространства Rn равна п
в каждой его точке.
Число п имеет, таким образом, топологический смысл.
Можно доказать также, что всякое множество размерности п sRn
содержит открытое множество и что всякое пространство размерности п может
быть погружено в пространство Rin+1 (т. е. в R2n+1 можно реализовать^
пространство, гомеоморфное рассматриваемому пространству).
Можно также доказать, что всякая купюра пространства Rn имеет
размерность ;>л — 1.
Канторовым многообразием п измерений (п !> 1) называется
компактное пространство размерности /г, которое нельзя разбить (на несвязные
части) никаким подмножеством размерности ^/г — 2; отсюда следует, что-
такое множество имеет размерность п в каждой своей точке.
Следует рассматривать это понятие как естественное обобщение
понятий кривой и поверхности, которые мы определим как канторовы
многообразия размерностей 1 и 2 соответственно. Кривая еще может быть
определена как континуум размерности 1.
С интуитивной точки зрения недостаточно сказать, что поверхность есть-
континуум размерности 2 в каждой своей точке; так, на рис. 3 пять
заштрихованных треугольников образуют множество, разбиваемое любой парой вер-
1) Относительно этого результата, а также и дальнейших см.,
например, F a v a r d J., Espace et Dimension, Albin Michel, Paris.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
25
шин пятиугольника abode (т. е. множеством размерности нуль). Это
множество обычно не рассматривается как поверхность.
Канторовым многообразием является всякое компактное многообразие *);
обратное неверно. Так, например (рис. 4). в R* множество, определяемое-
условиями
х* = sin — для 0 < л:1< я,
— 1<лг2<1 для лг1 = 0,
есть канторово многообразие размерности 1 (кривая), относительно которой:
можно доказать, что это не комплекс, в частности не многообразие.
\
0
tl
>
l\l
JU
(\
\ / *'*
Рис. 3. Рис. 4.
12. Дифференцируемые многообразия. Основные пространства, с
которыми мы будем иметь дело, всегда будут многообразиями Vw,
удовлетворяющими следующим условиям:
1° Существует покрытие Q многообразия Vn с помощью конечного или
счетного множества открытых множеств Oft, гомеоморфных внутренности
шара
;£(**)» <i.
1
причем точки множеств Ои отнесены к локальным системам координат
х\ (Л=1 п; k = \t 2,...).
2° Для всякой пары пересекающихся множеств Ojc и 0%
преобразование координат в ОкПОь позволяющее переходить от координат в Ojc к
координатам в 0%, имеет вид
(Ш) *?=<РЛ(4 •*") (Л = 1,2 п).
*) В оригинале автор утверждает, что всякий чистый конечный
комплекс является канторовым многообразием. Это неверно: противореча ций
пример дает тот же рис. 3. — Прим. перев.
26
ВВЕДЕНИЕ
где функиии срЬ имеют непрерывные частные производные, примем якобиан
D(xk)
отличен от нуля.
В силу известных свойств дифференцируемых функций и
функциональных определителей, переход от 0% к Ок производится с помощью функций
(12. Г) **-♦*(*! хг)<
имеющих также непрерывные производные с якобианом
Р№ ._ 1 /0
£><*,) "ГД(т>)] ^и*
LD(xk)}
Определение, таким образом, симметрично относительно Oft и О;.
Непосредственно очевидно, что если произвести, например, в Ои взаимно
однозначное преобразование координат
(12.2) уЬ = 6*(4,'..., *£)>
где функции 0Л имеют непрерывные частные производные с якобианом
Я(6Л)
D(xk)
фО,
то переход от (у^) к (xf) будет осуществляться с помощью преобразования
вида (12.1) с функциями, удовлетворяющими тем же условиям, что и
система <(Л
Многообразие Vй, для которого можно найти покрытие Q и в каждом Ок
из Q систему локальных координат (•*£)> такую, что выполнены предыдущие
условия, называется дифференцируемым многообразием класса 1 (или
многообразием класса &). Если существует покрытие Q и системы
локальных координат (.*£), такие, что функции <рЛ, кроме того, допускают
непрерывные частные производные до порядка т, то говорят, что многообразие Vn
является дифференцируемым класса т (или многообразием класса Ст)\
если возможно добиться того, чтобы <рЛ были аналитическими функциями, то
многообразие называется аналитическим (говорят также многообразие
класса С°°» оставляя в стороне случай, когда <рЛ имеют частные
производные всех порядков и не являются аналитическими). Преобразования
вида (12.2), допускаемые в каждом классе, легко определить.
Не известно, будет ли всякое многообразие дифференцируемым; но эта
задача выходит за пределы дифференциальной геометрии, многообразия,
с которыми в ней имеют дело, всегда предполагаются
дифференцируемыми надлежащего класса. Чаще же всего они будут предполагаться
аналитическими.
13. Общие свойства групп. Группой называется непустое множество
элементов G = (at Ь х, у, г, ...), обладающее следующими свойствами.
Аксиома I. Имеется закон композиции элементов группы G,
^называемый умножением, который каждой паре элементов (х, у\
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
27
заданных в этом порядке, различных или совпадающих ставит в
соответствие третий элемент z, называемый произведением х на у справа,
или у на х слева:
z = ху.
Аксиома II. Умножение ассоциативно, т. е. каковы бы
ни были х, у, z,
х (yz) = (xy) z.
Аксиома III. В группе G существует по крайней мере один
элемент е, нейтральный относительно умножения на него справа, т. е.
такой, что
хе = х.
Он называется правым нейтральным элементом, или правым единичным
элементом, или правой единицей.
Аксиома IV. Всякий элемент х из G имеет по крайней мере
один правый обратный элемент х', определяемый равенством
хх' = е.
Следствиями этих аксиом являются следующие предложен ия:
1° Правый обратный к х элемент х' будет также левым обратным, т. е.
х'х = е.
Действительно, пусть х" — правый обратный к х'\ мы имеем сначала
х' = х'е = х' (хх') = (х'х) х',
откуда, умножая справа на х" крайние члены этих равенств, получим
е = (х'х) (х'х") = (х'х) е = х'х.
2° Нейтральный элемент е будет двусторонним и единственным
нейтральным элементом (или единицей). Действительно, мы имеем
ех = (хх') х = х (х'х) = хе = х,
т. е. е — двусторонняя единица. Пусть е' — другой нейтральный элемент,
например, правый; по определению ег имеем
ее9 = е
и# далее,
ее' = е',
так как е — левая единица, откуда е = е'. Заметим также, что элемент,
обратный к е, есть е. Отсюда следует, что е = е'* = е*= ..., где мы
положили
е* = ее\ еъ = еее
Вообще, положим
х* = хх, х* = ххх
3° Справедливо правило сокращения справа (или слева)
из ха = у а (или ах = ау) следует х = у.
28
ВВЕДЕНИЕ
Чтобы доказать первое правило, умножим обе части на элемент а\
обратный справа к а\ получим
хааг = х (ааг) = хе = х = уааг = у (аа') = уе = у.
Второе правило проверяется таким же образом.
4° Имеется только один элемент, обратный к х; это позволяет нам
говорить просто об элементе, обратном к xt и обозначить его через х~\
причем
хх-1 = лг-1* = е.
Группа, в которой умножение коммутативно,
ху = ух,
называется абелевой группой.
Подмножество Н группы (7, которое само является группой, называется
подгруппой группы G; всякая группа имеет подгруппу, образованную
из одного элемента — единицы е.
Обозначив через а фиксированный элемент, мы назовем преобразование,
переводящее х в ах, левым сдвигам х посредством а (аналогично
определяется правый сдвиг); множество всех ах будет обозначаться aG. Если
заданы два подмножества А и В из (7, то множество элементов ху (х £ А,
у £В) будет обозначаться А • В; обозначения А • В • С, хАу понятны без
дальнейших пояснений.
Прямым произведением двух групп
G = (x, у, ...), <?' = (*', у', ...)
называется и обозначается через GXG' множество пар
Х=\х, У)
с правилом композиции
Х.К = (лг, лг')(у, У') = (ху, х'у').
Легко видеть, что мы получаем таким образом группу, единицей которой
является
Е=(е, е'\
Две группы G = (x, у, ...) и G' — (х', у', ...) называются
изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение G на G'
x' = f(x)t х = Г\х'),
такое, что образ произведения двух элементов из G является произведением
образов сомножителей:
(13.1) f(x)f(y) = f{*y)>
что влечет за собой равенства
/<*)/<*-!) = /(«) = «', f(x-l) = [/(ЛГ)Г1.
То же соотношение справедливо для обратной функции, так как
Г1 (*') Г1 (У) = ab = Г1 [f(ab)} =f-i{a'b')>
т. е. группа G' изоморфна группе G.
Нейтральному элементу группы G соответствует нейтральный элемент
группы G'.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТАЯ. ОСНОВАНИЯ
29
Если G изоморфна G' и G' изоморфна G", то, очевидно, G
изоморфна G".
Итак, изоморфизм есть отношение эквивалентности; это основное
отношение эквивалентности в теории групп. Две изоморфные группы
отличаются только названиями своих элементов.
Изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом.
Можно проверить, что отображения аха~1 = f(x), где а есть
фиксированный, но произвольный элемент группы G, будут автоморфизмами; они
называются внутренними автоморфизмами группы G; в абелевой группе они
сводятся к тождественному отображению.
Пусть снова G и G' — две группы; допустим, что существует
отображение х' = f(x) группы G на Gr (не обязательно взаимно, однозначное),
удовлетворяющее соотношению (13.1); оно называется гомоморфизмом
группы G в группу G'.
Рассмотрим в этом случае множество //с G, такое, что f(h) = e' для
h£H, где е' — единица группы G'. Легко проверить, что Н есть подгруппа
группы G и что xhx-i £ Н для всякого х, если & 6 //, так как
f(xhx-t) = f(x)f(h)f(x-i)=f(x) e'f(x-i) = /(*)/(«*-!) = /<*> = *'•
Таким образом, имеем хНх-^ = Н (или хН = Нх), каково бы ни было х.
Мы говорим в этом случае, что Н—нормальный делитель, или
инвариантная подгруппа в G. .
Пусть х' — элемент из <3', а х — элемент из (7, такие, что
х' = /(*).
Для всякого h £ Н имеем
f(xh) = f(x)f(h) = х'е' = х'
[и точно так же f(hx) = x']\ с другой стороны, если /(у) = х', имеем
f{yx-i) = f(y)f(x-i) =х'х'~1 = е';
значит, yx-i = h£H, следовательно, у = xh (можно доказать также, что
существует такое h', что у = h'x).
Обозначим через X множество (или класс) хН: это множество
элементов из G, имеющих образом х'. Пусть Y—yH — другой класс, имеющий
образом у'\ в силу (13.1) и полученного выше результата множество хуН
есть класс, имеющий образом х'у', мы назовем его классом Х- Y, вводя
таким образом закон композиции классов.
Легко проверить, что с этим правилом множество классов становится
группой, называемой фактор-группой группы G по Н (и обозначаемой
через О/Я), изоморфной группе G'.
14. Преобразования. Группы преобразований. Пусть £=(<*, р, ...) —
некоторое множество. Говоря о преобразовании, мы будем иметь в виду
взаимно однозначное отображение множества Е на себя
(14.1) а'=х(а).
Положим a = ;t-i(a'). Тождественное преобразование е отображает
каждый элемент а на себя:
а = е (а).
Пусть у — другое преобразование; положим
и условимся говорить, что а" получается из а преобразованием ух.
30
ВВЕДЕНИЕ
Пусть теперь G—множество взаимно однозначных преобразований,
содержащее е, содержащее х-i вместе с х и ху вместе с х и у;
непосредственно очевидно, что выполняется закон ассоциативности. Тогда
G образует группу преобразований множества Е. Элементы множества Е
называются объектами, на которых действует группа.
Группа G называется транзитивной, если для любых двух объектов
в Е существует преобразование из G, переводящее один объект в другой;
если это преобразование единственно для всякой пары объектов из Д то
группа G называется просто транзитивной. В частности, рассмотрим-
в качестве множителя Е саму группу G и положим х (у) = ху; эта группа
преобразований просто транзитивна.
Вообще, пусть транзитивная группа G действует на множестве Е;
выберем в Е элемент а. Множество преобразований из G, оставляющих а
инвариантным, образует, очевидно, подгруппу Н; пусть теперь р— другой
элемент из Д и х — преобразование группы G, такое, что х (а) = Р;
множество преобразований, переводящих а в р, есть хН; оно не зависит
от л: и зависит только от р, если а задано: можно сказать, что это множество
составляет репер элемента р.
Группа, не являющаяся транзитивной, называется интранзитивной.
Пусть а — элемент множества Д а Е^ — множество образов элемента а при
преобразованиях группы G; Е\ может быть определено, начиная с любого
из своих элементов, так же, как оно было определено, начиная с элемента а,
и G действует транзитивно на множестве Еь которое называется классом
транзитивности множества Е. Предполагается, что Et не исчерпывает Е;
существует, следовательно, элемент р, не принадлежащий Еь он определяет
класс £2» на котором G действует транзитивно. Классы Е± и Е2 не имеют
общих элементов. Таким образом, можно продолжать расслоение Е на
классы транзитивности.
Реперирование элемента множества Е происходит так: указывается,
к какому классу он принадлежит, и указывается его положение внутри
своего класса.
Рассмотрим, наконец, две группы преобразований Gt = (хъ ...) и
<j2=(jc2, ...), действующих соответственно на множествах EL=(ab ...) и
Е2 = (а2, ...); предположим, что существует взаимно однозначное
соответствие между Е1 и Е2
a2=/(ai) [ai=/"1(a2)]
и взаимно однозначное соответствие между Gt и (72
*2 = £(*i) [*i = ЗГ-1 С*2)],
такие, что
*2(«?) = /[*l(al)]-
Мы скажем тогда, что две группы G1 и (72, необходимо являющиеся
изоморфными, действуют подобно над объектами множеств Et и Е?, соответственно
или что две группы преобразований G± и G2 подобны. Как группы
преобразований, G± и (72 отличаются только названиями их элементов и названиями
элементов, на которых они действуют; это становится еще более ясным, если мы
условимся рассматривать / и /-1 как два преобразования (Е± на Е2 и
£2 на Е1 соответственно) и писать
*2 = Ai/"1.
Понятие подобия, очевидно рефлексивное и симметричное, является
также транзитивным; следовательно, это — отношение эквивалентности, и
оно является основным отношением эквивалентности в теории групп
преобразований.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 31
15. Топологические группы. Мы называем топологической группой
множество G, снабженное одновременно структурой группы и топологией,
совместной с этой структурой; это значит, что топология группы должна
удовлетворять двум следующим аксиомам:
Аксиома I. Пусть GxG — топологическое произведение G на себя,
(х, у) — элемент этого пространства;, тогда отображение G X G на G
(х, у)-+ху,
ставящее в соответствие элементу (х, у) произведение ху, непрерывно*.
Аксиома И. Симметрия х-*-х-}9 ставящая в соответствие
элементу х обратный ему элемент, есть непрерывное отобраэюение G
на себя.
Значение аксиомы II очевидно; что касается аксиомы I, то необходимость»
ее требует пояснений. Пусть Vxy— окрестность элемента ху; в силу,
аксиомы I это непрерывный образ окрестности W элемента (х, у) из G X G;
но мы видели, что эта последняя окрестность содержит окрестность-
вида Vx X Vyt где Vx — окрестность элемента х, a Vy — окрестность
элемента у. Следовательно, из аксиомы I вытекает, что всякая окрестность VXy
содержит окрестность вида Vx- Vy; это одна из причин, по кЪторым
принята эта аксиома.
Если а — заданный элемент, отображение х ->■ (а, х) непрерывно, к
так как отображение (а, х) ->• ах также непрерывно в силу аксиомы I, то»
отсюда следует, что отображение х-**ах непрерывно. Аналогично
показывается, что отображение х -> ха непрерывно, и оба. этих отображения будут
гомеоморфизмами G на себя. То же самое справедливо относительно
отображения х -*- л:-* и отображения х -> ахЬ, где Ь также задано.
Пусть О — открытое множество (или замкнутое) и а — любая точка
из G; тогда множества аО, Оа, О"1 открыты (или замкнуты). Если А и В
произвольны, а О открыто, то АО, ОА, АОВ также открыты, как
объединения открытых множеств.
Пусть V—окрестность нейтрального элемента е; тогда VA и А V
являются окрестностями множества А.
Мы будем тогда и только тогда говорить, что топологические группы G
и G' изоморфны, когда существует гомеоморфизм G на G', который
является одновременно изоморфизмом группы G на группу G'. Ограничение*
наложенное здесь на понятие изоморфизма, не следует терять из виду.
Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом; отображения
х-+аха-\ где а — произвольная заданная точка, называются внутренними
автоморфизмами.
Две группы G = (x, у, ...) и G' = (х', у', ...) называются локально
изоморфными, если существует локальный гомеоморфизм
x' = f(x), x = rl(x') = g(x')
окрестности V нейтрального элемента е группы G на окрестность V
нейтрального элемента е' группы Gr, такой, что для всякой пары точек
х* У € V, для которых произведение ху £ V, мы имеем
/(*)/(У) = /<*У>
и для х\ у' £ V'9 x'y' £ V имеем также
Две локально изоморфные топологические группы могут не быть
изоморфными.
32
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н—подгруппа группы G; легко видеть, что пространство G
индуцирует в Н топологию, совместную со структурой группы: всегда
имеется в виду именно эта топология, когда говорят о подгруппе
топологической группы.
Понятия, введенные для топологических пространств, распространяются
на топологические группы; если, в частности, топология в G определена
с помощью расстояния, то группа Q отделима и регулярна; можно говорить
о сходимости последовательности точек в группе, о полной группе, о
компактной или локально компактной группе, о связной группе.
Мы не будем останавливаться на следствиях из этих различных гипотез.
Сделаем, однако, несколько замечаний.
Если Н—подгруппа группы (7, то ее замыкание Н—также подгруппа.
Действительно, если х и у— две точки из //, то всякая окрестность Vxy
произведения ху содержит окрестность вида Vx • Vyt т. е. всякая окрестность
точки ху содержит точки, являющиеся произведениями точек,
принадлежащих каждому из этих множеств, т. е. принадлежит //.
С помощью сдвигов убеждаемся, что если подгруппа Н содержит одну
внутреннюю точку, то и все ее точки внутренние, т. е. подгруппа будет
открытым множеством. Всякая открытая подгруппа является одновременно
замкнутой; действительно, пусть Н—эта группа, ее дополнение СИ может
быть записано в виде СН-Н; значит, это открытое множество, т. е. //также
замкнуто.
Пусть V= V~x — симметричная окрестность единицы; рассмотрим
множество произведений конечных последовательностей элементов,
принадлежащих V:
х±х2 ... хп, где xh £ V (h = 1, 2 /г).
Это множество образует группу, которая является открытой, так как она
содержит V; значит, это открытая (и замкнутая) подгруппа //, содержащая,
следовательно, единицу. Если G связно, то Н совпадает с (3. Компонента
связности Н единицы е есть нормальная замкнутая подгруппа группы G.
Действительно,"всякая точка прикосновения компоненты связности
принадлежит этой компоненте, а, с другой стороны, компонента связности точки х
есть класс хН (или Нх\ так что хН= Нх.
16. Группы Ли. Определение непрерывной группы отличается от того
определения, которое напрашивается, а именно, что эта связная и
компактная группа; обычно говорят, что непрерывная группа —это локально
компактная и связная группа.
Мы будем также изучать группы, у которых компонента связности
нейтрального элемента есть континуум.
Мы не будем рассматривать следствий, которые вытекают из гипотезы,
что группа непрерывна, и перейдем к топологическим группам, называемым
группами Ли, или непрерывными конечными группами. Это такие группы,
окрестность единицы которых (а следовательно, и окрестность любой точки)
гомеоморфна r-мерному шару, тогда как сама группа гомеоморфна г-мер-
ному аналитическому многообразию 1^*, называемому пространством
параметров (г называется порядком группы).
Пусть а = (а\ а? аг) и b=(b\ б2 br) — два элемента группы,
принадлежащие одному и тому же шару и отнесенные к одной и той же
системе координат. Положим с = ab, где с = (с\ с9, ..., сг) и принадлежит
тому же шару, что и элементы а и Ь. Группа определяется посредством
соотношений вида
(16.1) с* = №(а\ ..., лг|&1 ЪП (/i = l, 2 г),
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
33
которые мы будем писать сокращенно в форме
(16.1') сЬ = 0Л(я|б),
где 0Л — аналитические функции своих аргументов, удовлетворяющие
некоторым дополнительным условиям, на которых мы не будем останавливаться.
Можно условиться, что единичный элемент соответствует нулевым
значениям параметров.
Эти группы будут употребляться как группы преобразований,
действующие на некоторой области Q}, лежащей внутри шара на некотором
многообразии Vnl), точки х которого заданы с помощью координат х1 хп.
Преобразование а группы переводит точку х в точку х\ определяемую
уравнениями
(16.2) х'к = ср* (*1 хп | а\ ..., a?) (k = 1, 2 л),
где <рл будут аналитическими функциями от п-\-г переменных х* и аК
[Пишут кратко х' = ср (х \ а), или еще х' = Та (х) ].
Из условия взаимной однозначности вытекает, что якобиан 0(?)/О(х)ф0.
Следовательно, мы можем разрешить уравнения (16.2) относительно хк и
получить формулы обратных преобразований
х = Т-1(х'\
Произведение двух преобразований
ТьТа(х)=Тъ[Та{х)] = Тс(х)
задается формулами (16.2), где параметры ah должны быть заменены
параметрами с\ заданными формулами (16.1).
В уравнениях (16.2) всякая точка х из @ имеет координатами п чисел
х\ ..., хп. Вообще, репером в & называют всякое взаимно однозначное
и взаимно непрерывное отображение области Qf в числовое
пространство Rr. Пусть Т—аналитическое преобразование области <& на себя,
допускающее обратное преобразование Г-1. Мы назовем образом репера #0
при преобразовании Т репер & = ТЯ0, в котором точка Т(х) имеет те же
координаты, что точка х в #0. Множество образов репера при
преобразованиях из группы G называется подвижным репером группы
преобразований.
Пусть Т — преобразование, действующее на области Qft определенное,
скажем, уравнениями
лг'Л= фЛ(л:1 хп).
Будем искать уравнения, определяющие его в репере U%0t где U
обозначает преобразование, имеющее обратное. Относительные координаты
точки Т (х) в репере £/#0 будут координатами точки U~lT(x) —
= (U~1TU)U~1(x) в репере #0. Но координаты U~l(x) в точности те же,
что координаты точки х в репере U%0. Итак, в репере Uft0
преобразование Т выражается уравнениями преобразования U~lTU, называемого
преобразованием Т посредством U.
Если преобразование U определено уравнениями
дг'Л = хЛ(л:1 **),
1) Следует заметить, что, если группа G задана, многообразие Vn
не может быть взято произвольно, и наоборот.
34
ВВЕДЕНИЕ
то искомые уравнения получатся разрешением относительно х,п уравнений
ХМ*'1 х'п) = фЛ [Х1 (ЛГ1 xn)t ...tJn(Xi xn)i
Если £/ фиксировано и Т описывает все преобразования группы Gr
то U~XTU также описывает группу, называемую преобразованием группы G
посредством U. Действительно, в силу закона ассоциативности, имеем
(p-^aU) Ш^пи) = и-1татъи\ Ш"1тиТх = и~хт-1и.
В силу интерпретации, которую мы только что рассматривали, эта группа
подобна группе G.
Если U — преобразование из (7, то э^а группа есть сама группа G.
Отсюда следует, что группа, отнесенная к реперу #0 и выражаемая
уравнениями (16.2), выражается теми же уравнениями по отношению к
реперу Яи. Действительно, это будет множеством преобразований Т~хТаТи, тех
преобразований, которые можно отождествить с произвольными
преобразованиями Тъ группы (достаточно взять Та — ТиТъТ~гу
Это можно сформулировать следующим образом: уравнения группы
не меняются при переходе от абсолютных координат к
относительным координатам.
17. Геометрические объекты. Транзитивность и интранзитивность.
Ориентация. Пусть G — группа преобразований, действующая на области &
многообразия Vй. Геометрическим объектом а> называется семейство
функций, определенных на группе G и принимающих числовые значения:
т>*(Г), T£G.
Первый пример: точка. Пусть Р — точка из Q}, Т(Р) — ее образ
при преобразовании Т £ G. Координаты (jCy) точки Т (Р) в фиксированном
репере #0 составляют геометрический объект. Эти координаты (xty являются
также координатами точки Р в репере Т"1{2И0). Условимся присоединять
к каждому преобразованию Т £ G репер Т"1 %0* Геометрический объект,
который мы определили, отождествляется с точкой Р.
Пусть о) — геометрический объект; значение его для преобразования Т
[т. е. совокупность чисел тц(Т)] будем обозначать через 7V Образом о>
при преобразовании 7^ £ G называется геометрический объект, значение
которого для Т £ G есть ТТ^ [пример: образ точки Р в преобразовании Тг
есть Т^Р)].
Второй пример: скаляр и функция точки. Геометрический
объект, равный всем своим образам, называется инвариантом. Семейство*
функций, которые его определяют, будет семейством постоянных: ^(Г) = ^.
В частности, инвариантный объект, определяемый одной постоянной,
называется скаляром. Инвариантный объект, определяемый системой констант,
связанных с различными точками Р области В, например функция /(Р),
называется скалярным полем, или функцией точки.
Размерность п есть геометрический объект группы гомеоморфизмов.
Классом называется геометрический объект, который вместе с
объектом оо0 содержит все его образы при преобразованиях из группы G.
Возьмем теперь в качестве G группу Ли. Мы будем рассматривать
почти исключительно группы, действующие транзитивно над точками
многообразия V7\ и чаще всего классы Q геометрических объектов <о,
определяемых конечным числом N чисел (у1, у2,..., yN)> которые могут принимать
по крайней мере все значения из области Л числового пространства R .
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 35
Попустим сначала, что G действует транзитивно в Q. Определив один
г- ект * класса Q с помощью репера #0> связанного с этим объектом,
расхотим преобразование Т группы G, которое переводит а>0 в другой
объект <«> Тогда множество ТН, где Я—подгруппа, оставляющая о>0
фиксированным, переводит <о0 в <*; присоединим к <о множество реперов ТНй^\
гда, чтобы два объекта были тождественными, необходимо и достаточно,
ч?обы они имели общий репер.
Следует отметить важный случаи, который часто встречается в примерах:
ппдгмппа Н может не быть связной. Пусть тогда #' — связная
компонента ее единицы; семейство реперов //'#0 составляет геометрический
объект <4> преобразование которого посредством группы G образует класс а/;
эта операция, выполненная над классом Q, называется ориентацией, и
объект <«>о называется ориентированным объектом <*>0; вообще, ТН'%0
определяет объект <о', который является ориентированным объектом а>.
Объект <«> называется носителем объекта о>\ Чаще всего объекту <о
соответствует конечное число ориентированных объектов <*/ (обычно два), причем
образы объекта о/ при преобразованиях группы G содержат все объекты
to' с носителем <о.
Если G действует интранзитивно в классе й, рассмотрим преобразования
объекта <»0. Они образуют класс Хо с: &, в котором G действует транзитивно.
По условию существуют объекты, не содержащиеся в Хо> пусть ©j — один
из них. Он порождает класс Хь не имеющий с Хо общих элементов.
Таким образом, класс Q разбивается на классы транзитивности х>
которые в наиболее элементарном случае реперируются системой чисел,
называемых инвариантами', класс определяется с помощью его инвариантов,
' а объект в своем классе — так, как это было объяснено выше.
Разовьем несколько^ более эти общие замечания.
В пространстве RN объектов класса Q преобразования группы G
записываются уравнениями вида
(7) у'Ь = фЛ(у1 yN\a\ a') (h = 1,2 N).
Многообразие, описываемое объектами Г(о)0), получается исключением
параметров ак из уравнений
У* = +*(У$ УоЛ>Х «Г>
(где yj обозначают координаты объекта о>0) или, что то же, из уравнений
уЙ = ФЛ(у1 yN\al «0.
Таким образом получается многообразие V%~k размерности п — k
(предполагается, что k > 0), которое мы будем считать заданным аналитическим
представлением в окрестности некоторой точки.
Теория неявных функций учит нас, что можно сделать преобразование
координат в пространстве RN9 например
г" = 6" (у1 у*),
так, чтобы объект <о0, если его отнести к координатам z^t описывал
многообразие
*? = ** (Л = 1,2,..., Л); *£ «**(** z*\al аг) (Л=»* + 1 N).
Первые k координат объекта <о0 будут инвариантными относительно
преобразований группы. Говорят, что они составляют систему инвариантов
36
ВВЕДЕНИЕ
объекта. Следует заметить, что всякая другая система чисел, таких, что
и» = чЦг\з» **) (Л=1 k\ -gg^=^o,
составляет также систему инвариантов, которая может описывать класс,
содержащий объект о>0. В многообразии уп~к объект может быть
определен, как это было указано выше.
Разбиение некоторого класса Q на классы транзитивности является
одной из наиболее важных задач геометрии, индуцированной в
многообразии Vn группой G.
Аналитическая геометрия изучает такие классы, когда реперирование
классов транзитивности можно осуществить с помощью конечного числа
инвариантов (в общем так, как мы это сделали выше). Дифференциальная
геометрия, определяемая группой G (группой Ли), изучает такие классы, когда
классы транзитивности реперируются с помощью функций, с помощью
дифференциальных форм, удовлетворяющих некоторым условиям дифферен-
цируемости (так, например, в метрической эвклидовой плоскости кривые,
равные заданной кривой, характеризуются заданием кривизны в виде
функции длины дуги; здесь класс транзитивности характеризуется инвариантной
функцией, а не конечной системой чисел).
Мы встретим далее (см. часть III) геометрические объекты другого
рода: объекты неголономные} которые можно получить, приняв за элементы
базиса в Vn не точки, а кривые (множество, которое мы могли бы
рассматривать как пространство бесконечного числа измерений).
18. Группы Ли классических геометрий. Среди групп Ли, действующих
в пространстве Rn (или в пополненном пространстве в случае проективной
группы), три группы привели к важным исследованиям в аналитической
геометрии. Это, в порядке возрастающей общности, группа движений и
подобий, аффинная группа с важной унимодулярной подгруппой и,
наконец, проективная группа.
Эти три группы являются линейными в том смысле, что их можно
представить уравнениями вида (16.2), линейными относительно координат и
параметров.
Мы напишем общую форму преобразования, но не будем проверять,
что речь идет о группе; читатель может легко восполнить этот пробел.
Затем мы напомним в качестве упражнения некоторые, хорошо
известные понятия из геометрии этих групп, рассматривая их с нашей общей
точки зрения, которая, таким образом, будет пояснена примерами.
19. Группа движений. Это группа <^л, определяемая в пространстве Rn
уравнениями
(19.1) x'h = J±a$xf+bh (Л= 1, 2 я).
где Ji и Ьп — параметры, причем а% таковы, что матрица |л?|| ортогональна
и нормирована, т. е.
и, кроме того,
(19.3) A = det|4| = l.
Мы видим, что матрица, обратная матрице ||я*||. скажем матрица ||-А£||,
будет транспонированной из нее матрицей: Ah = а\\ это позволяет выпи-
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
37
сать преобразование, обратное к преобразованию (19.1) в виде:
^ = 2М (*''-**>•
Другое следствие из соотношений (19.2) состоит в том, что Л3 = 1.
Условие (19.3) сводится к исключению из преобразований (19.1) тех, для
которых А = — 1 и которые вместе с движениями образуют новую группу
(с двумя связными компонентами), а именно группу движений и движений
с преобразованиями симметрии. Число параметров а% и bh равно /г(/г+1);
соотношений ^19.2) имеется /г(л+1)/2. Следовательно, группа зависит
от п(п+\)/2 параметров.
Всякое движение является гомеоморфизмом пространства Rn\
пространство Rn, в котором мы воздержимся от других преобразований, кроме
движений, или, как говорят, пространство Rn, снабженное структурой группы
движений, называется эвклидовым метрическим пространством ЕР. Группа
действует транзитивно на точках, а также на линейных подпространствах
одной и той же размерности.
Два геометрических объекта, таких, что можно перейти от одного
к другому с помощью преобразования этой группы, называются равными.
На множестве геометрических объектов, состоящих из rap точек, группа
не действует транзитивно; существует, следовательно, по крайней мере один
инвариант пары точек (с точностью до функции!); легко показать, что такой
инвариант только один и что для пары точек х и х' он является функцией от
*(*.*')= j/Jc**-*'*)2
Величина d(xt x') является расстоянием между двумя точками1). Как
мы видели, расстояние дает возможность определить топологию в Е*1 (для
произвольно фиксированного d > О множество сфер радиуса d образует
класс объектов, эквивалентных точкам). Множество движений, оставляющих
одну точку неподвижной, образует группу #Л, называемую группой
вращений вокруг этой точки; для вращений вокруг начала координат эта группа
состоит из преобразований (19.1) с bh = 0; эта группа непрерывна.
Определим подгруппу, оставляющую неподвижной прямую. Мы можем
выбрать в качестве этой прямой ось хп\ последнее из уравнений (19.1)
сводится в этом случае, в силу условий (19.2), к
(19.4) х'п= ±хп + Ьп,
а п—1 первых уравнений (19.1) определяют ортогональное и нормированное
преобразование в пространстве Еп~1(х1 х11"1) с bh = 0. Множество
этих преобразований будет в ЕР*~Х группой движений и движений вместе
с симметрией; оно не связно. Мы приходим к определению нового
геометрического объекта: ориентированной прямой, или оси, причем каждая прямая
является носителем двух осей, из которых каждая остается инвариантной
относительно группы, изоморфной #Л-1. Семейство реперов,
присоединенных к оси, которую мы будем называть положительной (другая будет
называться отрицательной), — это семейство, получаемое из основного репера
пространства Еп операциями предыдущей группы. Множество реперов,
*) Можно доказать, что преобразования (19.1) и (19.2), у которых,
следовательно, Д = ±1, — единственные преобразования, сохраняющие d (xt x')
38
ВВЕДЕНИЕ
симметричных к предыдущим (получаемых преобразованием х'п =— хп),
будет семейством реперов, присоединенных к отрицательной оси.
Положительная ось называется осью хп\ она может быть определена также с
помощью двух точек хп = О и хп = d с заданным d > О, взятых именно
в этом порядке; первая из них называется началом, вторая концом.
Множество преобразований рассматриваемой группы преобразует их в новый объект:
хп ___ £т^ хп ___ frn _j_ д Qjn произвольно). Мы получаем таким образом новый
объект, который назовем скользящим вектором длины d и той же
ориентации, что и ось.
Рассмотрим теперь две точки, взятые в порядке хп — Ьп и хп = Ьп + d,
где d на этот раз отрицательно; мы скажем, что они определяют скользящий
вектор на прямой хп длины \d\ и ориентации,
противоположной.ориентации оси хп.
Преобразования х'п = хп + Ьп, сохраняющие скользящие векторы на
прямой хпЛ образуют группу с одним параметром (Ьп) — группу переносов
параллельно прямой хп.
Рассмотрим теперь множество прямых
(19.5) xh = Xq [h = 1, 2 п— 1; jcJ — произвольные постоянные).
Движения, сохраняющие это множество, образуют группу, являющуюся
произведением группы преобразований (19.4) на Q}n~l. Геометрический
объект (19.5) называется направлением прямой (в частности, направлением
прямой хп). Прямые (19.5) называются параллельными. Связная группа —
произведение группы преобразований х,п = хп + Ьп на Q}n~l — преобразует
ось, лежащую на прямой х11 (например, положительную ось), в ось, лежащую
на прямой (19.5), причем мы говорим, что эта ось имеет ту же ориентацию,
что и ось, выбранная нами на прямой хп.
Рассмотрим также скользящий вектор на прямой хп\ предыдущая группа
преобразует его в скользящий вектор той же длины и той же ориентации
на произвольной прямой (19.5). Геометрическое понятие, определенное таким
образом, называется свободным вектором. Он определяется своей
ориентацией и своей длиной; аналитически он определяется разностями координат
его конца х\ и начала х\\
yh „Л Jh>
Ух — Лg Л j,
которые называются его компонентами. Совокупность движений,
сохраняющих множество всех свободных векторов, есть группа
(19.6) х'ь = xh + b\
называемая группой переносов (операция группы называется параллельным
переносом).
Совокупность двух точек х и х\ взятых в этом порядке, например
{хЬ — {\ /у'Л — о
хП=0> <■*->{,-_<,; с*-1-2 «-1*
сохраняется группой, изоморфной группе ^п"1\ Это геометрическое
понятие называется связанным вектором с началом х и концом х''. Связанный
вектор определяет свободный вектор. Два связанных вектора, принадлежащих
одному и тому же свободному вектору, называются эквивалентными.
Движения, оставляющие неподвижной плоскость, например плоскость
хп = 0, состоят из движений группы ^Л-1 и движений группы <^л"~\
комбинируемых с симметрией х,п = —х11. Они образуют группу, которая не
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
39
будет связной. Следовательно, можно рассматривать плоскость как
носитель двух ориентированных плоскостей.
Множество плоскостей хп=х%, где х%— произвольная постоянная,
инвариантно относительно произведения преобразований предыдущей группы
на переносы хгп = хп + Ьп. Эти плоскости называются параллельными,
а объект, который этим определяется, называется направлением
плоскости хп.
Мы не будем больше останавливаться на преобразованиях, сохраняющих
линейные многообразия.
Рассмотрим теперь множество пар пересекающихся прямых. Так как
группа Qfn не действует транзитивно на этом множестве, то существует
инвариант пары пересекающихся прямых (наиболее обычный — квадрат
тангенса их угла, определяемого с точностью до знака и с точностью до я
для п > 2).
В случае двух пересекающихся осей положение вещей такое же, и
существует инвариант двух осей, обычно — косинус угла между ними.
Используя понятия параллельных прямых или параллельных осей, можно
обобщить предыдущие понятия и говорить об угле между двумя осями
(заключенном между нулем и тс)1); при этом порядок, в котором задаются
эти оси, не имеет значения.
Пусть v — свободный вектор с компонентами xh; свободный вектор
с компонентами txh будет обозначаться t\, и эта операция называется
умножением на скаляр t Вектор (—l)v = — v называется
противоположным к v. Это понятие лишено смысла для t = 0; мы придадим ему смысл,
условившись, что две совпадающие точки также определяют свободный
вектор, а именно нулевой вектор 0 (или просто 0), и будем писать 0 • v = 0.
Нулевой вектор не имеет ориентации. Тем не менее в некоторых случаях
приходится приписывать ему некоторую ориентацию, которую можно выбрать
произвольно.
Если заданы два свободных вектора v (xh) и v' (xfli)t то свободный
вектор v" (лг//Л), где хпЬ — xh + x'h> называют их геометрической суммой
и пишут у" = v + v'. Эта операция называется сложением векторов.
Сложение коммутативно и ассоциативно; умножение на скаляр дистрибутивно
относительно сложения. Для вектора w, решения уравнения v + w = v',
имеем, как это непосредственно видно, w = v'+ (—v), равенство, которое
записывается в виде w = v' — v. Таким образом определяется вычитание—
операция, обратная сложению.
Если ifc — вектор длины 1, лежащий на оси xh (h = l, 2, ..., /г), то, как
легко видеть,
v = jc41 + jc42+ ... +xnin.
Квадрат длины вектора tv-\-t'v' равен
р 2 W+2W 2 x*x'h+г2 2 с*'Л)2
ill
для произвольно заданных t и t'; эта величина инвариантна относительно
всех преобразований из @п\ так как 2 (*Л)2 и 2 (Х'Ь)2 также инвариантны,
то отсюда следует, что величина
(19.7) 2 xhx'h
1
!) Для случая п = 2 угол между двумя осями может быть определен
с точностью до 2я. Мы оставим в стороне эти детали.
40
ВВЕДЕНИЕ
есть инвариант совокупности двух векторов v и v'. Его называют скалярным
произведением этих векторов и пишут
п
(19.7') vv' = 2jAc'\
1
Это выражение показывает, что скалярное умножение коммутативно*
V • V' = V' • V.
Поскольку оно билинейно по xh и x'h, оно дистрибутивно относительна
сложения:
v (v' + v") = v • v' + v • v",
и если t означает скаляр, то
(19.8) (*v)v' = *(v.v').
Если произведение v • v' равно нулю, векторы v и v' называются
ортогональными, или перпендикулярными, друг другу. Из (19.8) следует, что
в этом случае два любых вектора, направления которых совпадают с
направлениями v и v', также ортогональны. Направления прямой или
определяющие их ориентации осей будут тогда также называться ортогональными
(или перпендикулярными).
Репер #0, составленный из осей xnt образован попарно ортогональными
осями; то же самое справедливо относительно реперов Т&0, полученных
из #о преобразованием из группы Q}n. Кроме указанных, реперами с попарно
ортогональными осями будут только те реперы, которые получаются из
реперов Г#0 симметрией.
Заметим также, что если обозначить через | v | длину вектора v, то
скалярное произведение v • v, которое записывается в виде v3, равно | v |?.
Наконец, в силу (19.8), величина
V • V' 1
]/%№]/'%
rh\2
(x'h)
не меняется, если заменить v и v' на tv и t'\r соответственно, где t > 0>
f > 0. Эта величина будет, таким образом, инвариантом совокупности двух
направлений осей, определяемых векторами v и v'. Это — косинус угла
между ними
(19.9) cos(v, v')=[v^,r
В заключение рассмотрим пример другого рода.
Пусть F {х\ ..., хп) — неприводимый многочлен. Тогда уравнение
F(xi х") = 0
определяет, вообще говоря, многообразие, и легко показать, что степень этого
многочлена остается неизменной при любом преобразовании группы З?*1.
Это первый инвариант, связанный с многообразием. Что касается отыскания
других инвариантов, то мы ограничимся случаем, когда степень F равна 2;
многообразие называется тогда многообразием второго порядка, или
квадрикой. Мы знаем, что в этом случае можно записать F в форме суммы
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
41
не более п -f-1 квадратов линейно независимых многочленов первого порядка
(при этом число также рассматривается как линейный многочлен), из
которых Р взято со знаком +, а остальные N со знаком —. Два числа Р и N
суть инварианты, которые геометрически интерпретируют как инварианты
квадрики (род квадрики). В том частном случае, когда уравнение квадрик»
можно привести к виду
/С*1 xn) = h
где /—форма, имеющая вид суммы п взятых со знаком + квадратов
линейно независимых форм, квадрика будет эллипсоидом. В этом случае
можно показать, что существует по крайней мере один репер, в котором
уравнение эллипсоида имеет вид
(а*)* "" '
где ah — положительные константы, образующие систему инвариантов
эллипсоида (длины полуосей).
Группа подобий. Комбинируя операции группы Q)n с
преобразованиями x'h = txh, где t означает параметр, отличный от нуля (t Ф 0)г
мы получаем новую группу, называемую группой подобий (для п = 3 это
группа элементарной геометрии).
Два объекта, такие," что можно перейти от одного к другому
преобразованием этой группы, называются подобными. При таком преобразовании
две точки, лежащие на расстоянии d друг от друга, переходят в две точки,
лежащие на расстоянии \t\d друг от друга, а углы не меняются 1).
20. Аффинная группа. Эта группа, обозначаемая <Ап, определяется
уравнениями
п
(20.1) х'11= ^ а!}х* + Ьь
г = Х
с единственным условием А = det I с& I > 0. Эта группа, как легко видеть»
непрерывна. Комбинируя эти преобразования с преобразованиями хп = — хгп,
мы получаем все преобразования (20.1) с А ф 0, но эта группа несвязна.
Пространство Rn, снабженное структурой группы <Ап, называется аффинным
пространством и обозначается Ап. Преобразование (20.1) называется
аффинитетом.
Эта группа действует транзитивно на совокупности пар точек, поэтому нет
инварианта пары точек. Наоборот, над совокупностью троек точек,
расположенных на одной прямой, эта группа не действует транзитивно 3),
следовательно, существует инвариант такой совокупности. Пусть а (а1, ..., ап),
Ь (61 Ьп), с\с\ ..., с71) — три такие точки. Из формул (20.1) следует,
!) Предупреждение. Нам придется в дальнейшем иногда
рассматривать точки с комплексными координатами, векторы, компоненты
которых комплексные числа, преобразования типа (20.1) с комплексными
коэффициентами и т. п. Так как при этом мы ограничимся почти очевидными
обобщениями, то нет нужды говорить об этом подробнее.
*) Но она действует транзитивно на тройках точек, не лежащих на одной
прямой (для п > 1).
42
ВВЕДЕНИЕ
что отношение
ch — ф '
не зависящее от Л (&= 1,2 л), является инвариантом преобразований (20.1).
Этот инвариант называют отношением вектора ab к вектору ас и пишут
ab = Лас.
Мы обобщим это понятие.
Прежде всего понятия оси, направления прямой или оси, параллельных
прямых или осей, эквивалентных векторов, свободного вектора могут быть
легко определены так же в пространстве Ап.
Пусть, далее, ab и а'Ь'— два вектора, лежащие на параллельных
прямых, (Xh) и (X'h)— их соответственные компоненты; тогда отношение
k = Х'Ь/Х1* не зависит от Л и является инвариантом преобразований группы
<Лп. Векторы ab и а'Ь' будут представителями свободных векторов,
например векторов v и v'; пишут также v' = kw.
Заметим еще, что для поверхностей второго порядка единственными
инвариантами будут P-\-N и \Р—N\, так что уравнение эллипсоида
f(x\ ...,*») = 1
(где /— сумма квадратов п линейно независимых форм) всегда может быть
представлено в форме
2(*Л)2 = 1.
1
Преобразование (20.1) определяет также, как мы видели, замену репера,
переводя репер & (х* хп) в репер #', определенный координатными
плоскостями x,lh = 0. Точка (х* хп) имеет в новом репере координаты
(3ci J"),
где
(20.2) *ь= 2 i4g (**—**>
л* — h
ЛП д~»
Те* к
а£ — алгебраическое дополнение *) элемента я£ в определителе А, так что
2 *№
откуда
-а-м-и: ч+л
det 141=4-'
1) Мы называем алгебраическим дополнением (в подлиннике —
минором. — Прим. перев.) в определителе А коэффициент при а\ в разложении Д.
Часто это число называется кофактором для а\.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
43
Что касается компонент вектора, который мы будем называть здесь
контравариантным вектором, то мы получим их из (20.2)
— п
(20.3) Хъ = 2 A\Xk.
Мы скажем, что система двух параллельных плоскостей Р и Р\ взятых
в этом порядке, определяет ковариантный вектор и что два ковариант-
ных вектора V и V эквивалентны, если параллельный перенос
переводит V в V (или обратно); векторы, эквивалентные одному и тому же
вектору V, образуют свободный ковариантный вектор.
—>.
Свободный ковариантный вектор V может быть представлен ковариант-
ным вектором V, первая плоскость которого Р (начало) проходит через
начало координат, а вторая Р' имеет уравнение вида
1
Числа uh будем называть компонентами, или координатами, ковариант-
ного вектора. Легко проверить, что при преобразовании (20.2)
_ п
(20.4) uh= ^а\ип.
Два закона преобразований (20.3) и (20.4) лежат в основе теории
тензоров, которую мы изложим в следующей главе.
В метрическом пространстве Е11 всякому свободному контравариантному
вектору можно поставить во взаимно однозначное соответствие свободный
ковариантный вектор: достаточно рассмотреть две плоскости,
перпендикулярные к прямой, определенной связанным вектором, представляющим
свободный контравариантный вектор, и проходящие через концы этого вектора.
Унимодулярная группа. Это подгруппа группы <Ап, такая,
что Д = 1. В то время как общая аффинная группа действует транзитивно
над системами из п -f-1 точек, не расположенных в одной плоскости, в
унимодулярнои подгруппе существует инвариант такого множества. Вообще,
рассмотрим п контравариантных векторов у;J (а = 1, 2 п).
Определитель I xj I инвариантен относительно унимодулярнои подгруппы и называется
ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на этих п
векторах.
21. Проективная группа. Рассмотрим систему /г-f-l действительных
/П+1 \
чисел (xh) (h = 1,2 п +1), из которых не все равны нулю ( 2 I xh I > 0 )»
как аналитическую точку в аморфном л-мерном проективном пространстве Рп.
Две аналитические точки (xh) и (x'h) определяют одну и ту же
геометрическую точку, когда
л* _ х* _ _ хп+*
44
ВВЕДЕНИЕ
(если xh равно нулю, то x'h тоже должно быть равно нулю, и наоборот).
Аморфное проективное пространство Рп есть множество этих
геометрических точек.
Так как по условию не все хп равны нулю, то при лгл+i ф 0,
например, соответствующую геометрическую точку можно определить, положив
хп+\ — 1.
Последовательность точек \рк = (-*£)} будет называться сходящейся
к точке (•**)» если существует такая последовательность чисел {t }, что
при всех h
lim tkx% = xl
k >oo
Если, например, л:?+1 = 1, то начиная с некоторого значения k, tkxk+1 Ф О,
значит, xk+1 Ф О, и мы можем тогда взять х%+1 = 1 для определения
геометрической точки рк, т. е. tk = 1. Условие сходимости приводится к виду
lim х\ -х% (п = 1,2 п\ х%+1 = х?+1 = \,
Л->оо
а это — условие сходимости в пространстве Rn.
Мы скажем теперь, что множество точек (xh), таких, что
\xh — х*\<а, хп+1 = \
(где а — заданная произвольная положительная постоянная ббразует
(открытую) окрестность точки jcj в Рп. Мы определили тем самым некоторую
топологию в Рп, и это определение показывает, что Рп локально гомеоморфно Rn
(в частности, Р4 имеет размерность /г).
Покажем, что пространство Рп компактно. Заметим прежде всего,
что можно нормировать координаты точки так, что
(21.1) тах|л:Ь| = 1, тахд:Ь = 1.
h h
Пусть теперь Iffy = С**)}—последовательность точек, координаты
которых нормированы предыдущим способом; существует значение Л, для которого-
равенство х\ = 1 имеет место бесчисленное множество раз; пусть для
определенности h = п + 1.
Из последовательности рк можно выбрать подпоследовательность, в
которой х%+1 = * для всех значении & Предположим для упрощения
обозначений, что это уже сделано. Тогда, поскольку из (21.1) имеем
41 <i. ^+1=i.
то по теореме Больцано — Вейерштрасса мы можем выбрать из [рЛ
сходящуюся подпоследовательность.
Линейным многообразием т измерений (т <! п — 1) называется
множество геометрических точек, определенных уравнениями
7Я+1
а=1
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
45
где tk — действительные переменные. При этом с\ — константы, такие, что
матрица ||с£| имеет ранг (т +1).
Линейное многообразие т измерений гомеоморфно пространству Рт.
Линейное многообразие п—1 измерений (или гиперплоскость) определяется
также уравнением вида
П+1
(21.2) 2 uhxh = 0.
1
Линейное многообразие размерности 1, или прямая, определяется уравнениями
(21.2') х71 = c^t1 + c%t2.
Можно также сказать, что точка прямой может определяться с помощью
одного параметра t = fl/P, который может принимать и значение t = oo,
соответствующее точке xh = с\ (t2 = 0).
В аморфном проективном пространстве Рп вводим группу
преобразований
П+1
(21.3) х,ь = ^ а\хк
ft = i
с определителем
(21.4) Л = det | а\ \ ф 0.
Это будут гомеоморфизмы пространства на себя. Пространство, снабженное
этой структурой, называется проективным пространством РЛ, а
множество преобразований (21.3) — n-мерной проективной группой <Рп.
Эта группа зависит от (п+1)2 — 1 = л(/г + 2) параметров.
Если п четное, то при изменении знака всех параметров а\
определитель Л меняет знак, но с геометрической точки зрения преобразование (21.3)
не меняется, поскольку все координаты х'ь меняют знак; следовательно,
группа преобразований (21.3) связная. Этот факт выражают еще, говоря,
что Рп не ориентируемо для четного п.
Если п нечетно, А не меняет знака при замене знака у
коэффициентов а\, и группа разбивается на две связные компоненты. Та из них,
которая содержит тождественное преобразование (единицу), соответствует
определителю Л > 0 и образует подгруппу, рассмотрение которой будет для
нас достаточно в общем случае; ее преобразования можно нормировать,
положив А = 1. Говорят, что Рп ориентируемо для нечетного п.
С помощью преобразования проективной группы всякое линейное
многообразие преобразуется в линейное многообразие той же размерности.
Группа &1 есть группа.дробно-линейных преобразований, действующих
но одной переменной:
ах + Ь
х ~ cx + d »
где а, Ь, с, d — постоянные, ad — be Ф 0 *).
1) Множество действительных чисел должно быть пополнено
присоединением числа сю, с условием lim хп =* оо, когда | хп \ неограниченно
п->-оо
■возрастает; при этом получается компактное множество.
46 ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим подгруппу группы (21.3), сохраняющую некоторую
гиперплоскость, скажем, гиперплоскость лгл+1 = 0. Можно всегда допустить, что-
не принадлежащая ей точка р, координаты которой нормированы равенством
лг»+1=:1, преобразуется в точку р' с лг'Л+1=1; мы имеем тогда а%+1 = О,
k= 1 п, a£+J = l, и преобразования (21.3) приводятся к виду
(21.3') *'*= 2****+ *£+!•
fc-i
Это аффинные преобразования, действующие в Ап. Таким образом:
Аффинное пространство Ап получается из пространства Рп, если
удалить из него точки одной гиперплоскости и рассматривать только
проективные преобразования, сохраняющие эту гиперплоскость.
Говорят также, что можно, наоборот, получить пространство РЛ,
отправляясь от пространства Ап и присоединяя к нему точки гиперплоскости,
называемой бесконечно удаленной гиперплоскостью, и продолжая группу
аффинитетов до группы, преобразующей всякое линейное многообразие в линейное
многообразие.
Группа <Рп действует транзитивно на множестве троек точек, лежащих,
на одной прямой, но не на множестве четверок таких точек. Пусть-
рк (k = 1, 2, 3, 4) — четыре точки прямой (21.2'), взятые в этом порядке,.
tk—соответствующие значения параметра t\ величина
является инвариантом этой четверки точек, взятых в том же порядке,,
называемом их двойным, или ангармоническим, отношением.
Важное свойство проективного пространства связано с двойственностью-
(дуальностью).
Рассмотрим плоскость (21.2). Преобразование (21.3) преобразует ее
в плоскость
2 uhx'h = 0,
где uh будут решениями уравнений
n+i
(21.5) ик= 2«К-
Назовем иЛ координатами гиперплоскости (21.2); они определены с
точностью до множителя, и всякой системе чисел {uh} (h = 1 л-)-1),
кроме системы {0 0}, соответствует гиперплоскость.
Всякой плоскости соответствует, таким образом, взаимно однозначно
точка проективного пространства {#/>}. С- другой стороны,
преобразования (21.5) образуют проективную группу в этом пространстве.
Двойственность как раз и заключается в этом замечании. Действительно, отсюда
следует, что всякому проективному свойству, относящемуся к множеству точек,
отвечает свойство, относящееся к множеству плоскостей.
22. Группы дифференциальной геометрии. Мы знаем, что
преобразование вида
(22.1) Xth = срЬ (Х\ х* хп) с срЬ (0, 0 0) = 0,
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
47
где ч>н—функции, имеющие непрерывные первые частные производные
в окрестности начала координат, преобразуют взаимно однозначно некоторую
окрестность начала О (<р) в пространстве Rn (х\ jc2 xn) в другую
окрестность О' (<р), если якобиан
D(vh) л I дч>н I
(22.2) 7T7^=det Ti
отличен от нуля в начале координат (а следовательно, и в некоторой его
окрестности).
Комбинируя преобразование (22.1) с преобразованием того же типа
(22.1') х"п = фь (лг'1 х'п\
мы получаем снова преобразование того же типа
(22.1//) х"п = фЛ [cpi срп] = 6Л (*1 лг«),
но, вообще говоря, О (6) с: О (ср) и эти два множества не совпадают.
Мы не можем поэтому, собственно говоря, сказать, что
преобразования (22.1) образуют группу, поскольку нельзя указать окрестность начала,
в которой они все определены. Однако можно утверждать, что множества
систем (22.1) образуют группу ®хп (или просто 01),- которая и является
основной группой прямой дифференциальной геометрии.
То, что было сказано об окрестности начала, можно повторить
относительно окрестности любой другой точки пространства Rn. Свойства, которые-
устанавливаются в прямой геометрии, имеют место в окрестности некоторой
точки Rn или, чаще, точки некоторого многообразия Vn, причем в общем
случае мы не можем точнее определить, где именно (наоборот, мы всегда
сможем уточнить это в каждом частном случае).
В многообразии Vn, наделенном в каждой точке структурой группы д>\
основной локальный объект в точке р (х1 хп) представляет собой
систему дифференциалов {dxh}t которые, если их рассматривать как новые
переменные, порождают пространство Rn. Замена переменных (22.1) дает
п
(22.3) dx'k = 2 |§ dxk [h = 1, -2, ..., л).
В &*■ величины dyhldxk могут принимать произвольные значения а£, конечно,
при условии, что | а\ I ф 0. [С точностью до обозначений
преобразования (22.3) будут аффинными преобразованиями вида (20.1) с параметрами'
Ьп = 0 и А Ф 0]. Пространство Rn с такой структурой называется центро-
аффинным пространством (У1: это пространство, называют линейным
пространством, касательным к многообразию V71 в точке р.
В качестве другого важного геометрического объекта отметим
совокупность первых частных производных инварианта/^1 хп).
Действительно,
df _ V <У fly* .
dxh ~ dx'k dxh
Л—1
это закон преобразования совокупности dfjdx\ которая будет, таким образом^
геометрическим объектом (§ 17).*
Можно сузить группу (22.1), потребовав дополнительно, чтобы срЬ имели,
непрерывные частные производные до порядка т включительно; мы полу-
48
ВВЕДЕНИЕ
чаем таким образом группу @т, в которой т основными геометрическими
объектами в точке многообразия Vn являются совокупности дифференциалов
</>=1 гп)
dxh, d2xh,..., dPxb (h = 1, 2,..., n).
Такая совокупность называется элементом касания порядка р в
рассматриваемой точке.
Формулы (22.3), если их продифференцировать достаточное число раз,
показывают сразу, что эти совокупности будут геометрическими объектами;
но формулы получаются сложные, и интерпретация их не так
непосредственно очевидна, как для случая р = 1.
Инвариант / дает нам также для р — 1, 2, ..., т объекты
df d2f dPf
дх^ ' dxhidxh*' " " dxV.. dxhP '
при условии, что эти производные существуют и непрерывны; это следует
из формул преобразования переменных*).
Важной подгруппой, еще более узкой, является аналитическая
подгруппа <А\ она соответствует случаю, когда <рЛ аналитичны в окрестности
рассматриваемой точки. Объектами этой группы будут все объекты группы 3}т
для любого т.
23. Дополнение о коллинеациях. Мы видели (§ 21), что
преобразования проективной группы являются коллинеациями в пространстве Рп, т. е.
переводят всякую прямую в прямую. Вообще 3) мы покажем, что всякое
непрерывное отображение пространства Рп (л*, ..., хп+х) на другое проективное
пространство Рх(х\ -*?+1) непременно будет проективным
преобразованием, т. е. будет иметь форму
П+1
если только оно переводит систему п +1 линейно независимых точек
пространства Рп также в линейно независимую систему точек пространства Р|\
а прямые переводит в прямые.
Мы проведем доказательство для п = 3. Проективные преобразования
пространства Р3 в пространство Р\ зависят от 15 параметров. Пусть Т —
такая коллинеация, что точки а, Ь, с, d из Р3, образующие истинный
тетраэдр, имеют образами в Р^ точки alt blt cv dv также образующие
истинный тетраэдр.
Пусть, далее, m — точка плоскости abct образующая вместе с этой
тройкой точек истинный четырехугольник. Я утверждаю, что ее образ т\
составляет вместе с аь Ьх, сх также истинный четырехугольник.
Действительно, если бы, например, точка mj лежала на прямой Ь^съ а т, скажем, внутри
треугольника abct то прямые bml и cm] (I на ас, a j на ab, см. рас. 5) имели
!) Так, с одной стороны, множество первых производных, с другой
стороны, множество первых и вторых производных от / будут
геометрическими объектами. Множество одних вторых производных не является
геометрическим объектом, поскольку формулы преобразований вторых
производных содержат и первые и вторые производные.
2) Для п > 1.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ- ОСНОВАНИЯ
49
бы образом прямую Ь^т^с^ Следовательно, прямая tj имела бы образом
также прямую ЬхСъ поэтому точка т\ лежащая на ij и am между а и т,
имела бы также образом точку т± Мы можем повторить наши рассуждения,
начиная с точки т'\ мы нашли бы тогда точку т" между т и т', также
имеющую mi своим образом, и т. д. Но точки т, т\ т" стремятся к точке а,
имеющей образом alt и в то же время все точки последовательности имеют
своим образом точку т±\ наше преобразование не было бы непрерывным.
Пусть, далее, ар и ар' — две различные прямые, проходящие через
точку я, причем точки р и р' лежат с точкой Ь на одной прямой, не
содержащей сторон треугольника (рис. 6); пусть рх — образ точки р\ тогда фигура а^руС^
будет треугольником, и точка р[, образ р , не лежит, как мы видим, на
сторонах этого треугольника. В частности, она не лежит на axPlt т. е. две
прямые — образы прямых ар и ар' — различны. Повторяя это рассуждение
для точек Ь и с, мы видим, что две разные прямые, проходящие через одну
и ту же вершину треугольника abc, имеют различные образы; отсюда тотчас
же следует, что две разные точки плоскости abc имеют различные образы
в плоскости а-ф^С\.
Рассуждения и результаты эти непосредственно распространяются на
пространство.
Пусть Н— проективное отображение пространства Р\ на
пространство Р3, переводящее четверку точек аь Ьь сь mlt составляющих
четырехугольник в плоскости аф^с^ соответственно в точки а, 6, с, т
пространства Р3. Преобразование НТ будет преобразованием пространства Р3 на
себя, переводящим прямые в прямые и имеющим двойными (неподвижными)
точки я, Ь, с, т. Прямые, попарно соединяющие эти точки, будут своими
собственными образами.
В частности, точки е, /, /, /, kt отмеченные на рис. 7, также будут
двойными. Соединяя /с точкой /, мы получим новую прямую, являющуюся двойной
при преобразовании НТ, причем она пересекает аЬ в новой двойной точке,
расположенной на чертеже между а и Ь, тогда как прямые ]с и km дают
нам две новые Двойные точки, также расположенные на ab, но вне
сегмента аЬ. Можно повторить рассуждение, начиная с произвольной пары
Двойных точек на аЬ. Таким образом, на прямой аЬ внутри или вне
произвольного сегмента, ограниченного парой двойных точек, существует всегда
по крайней мере одна новая двойная точка преобразования НТ. Отоода
следует, что множество. двойных точек преобразования НТ плотно на ab.
Гак^ как это преобразование непрерывно, то прямая ab сплошь состоит из
Двойных точек. То же самое справедливо относительно любой другой прямой,
50
ВВЕДЕНИЕ
проведенной на чертеже, например относительно тройки прямых ab, be, са.
Так как всякая отличная от них прямая, не проходящая через точки а,
Ь, с, образует четырехугольник вместе с предыдущими, мы снова можем
повторить наше рассуждение и получить, что эта прямая состоит из
двойных точек. Прямая, проходящая через а, из тех, что изображены на
чертеже, образует четырехугольник с тройкой прямых be, cm, mb. Итак, это
опять прямая, состоящая из двойных точек. Аналогичное рассуждение
показывает, что то же самое имеет место для прямых, проходящих через b и с.
с е
Рис. 6.
Рис. 7.
Окончательно мы получаем, что преобразование НТ оставляет
инвариантными все точки плоскости abc.
Так как мы использовали только 3X3 + 2 = 11 параметров (3 для
каждой из точек а, Ь, с и только 2 для точки т, которая уже лежит
в плоскости abc), мы располагаем еще четырьмя параметрами. Мы
употребим три из них, чтобы обеспечить преобразование при помощи Н точки dt
в точку dt и последний параметр для того, чтобы перевести точку р{
прямой dxmi в точку р (где pt отлична от dt и от т{)*
Тогда Н будет вполне определено.
В плоскости adm преобразование НТ имеет
четыре двойные точки: a, d, p и пересечение аг
прямых am и be. Эти точки образуют истинный
четырехугольник (рис. 8). На основании
предыдущего все точки этой плоскости будут двойными.
В частности, прямая da' состоит из двойных точек.
Рассматривая на этой прямой точку, отличную от
d и а', мы получим в этой плоскости четыре
двойные точки, образующие четырехугольник, т. е.
плоскость bed состоит из двойных точек. Тогда
произвольная плоскость, проходящая через ad>
есть снова плоскость, состоящая из двойных
точек, поскольку она содержит две прямые,
состоящие из двойных точек, а именно прямые пересечения этой плоскости
с плоскостями abc и bed. На этих прямых можно расположить четверку
точек, образующих четырехугольник. Беря, в частности, плоскость,
проходящую через ad и другую точку пространства, мы видим окончательно,
что последняя есть двойная точка преобразования НТ. Итак, все точки
пространства Я3 двойные, т. е. преобразование НТ есть тождественное
преобразование; отсюда следует, что Т = Я""1 есть проективное преобразование.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
51
Упражнения
1. Рассмотрим пространство Г* (гильбертов параллелепипед) —
множество точек со счетным множеством координат
р = (х\ х* *»,...), где |x»|< —.
Показать, что выражение
d(p,p')=y |](*«-*'П)2
может быть принято за расстояние.
Рассматривая топологию, индуцируемую в Г* этим расстоянием, доказать
следующие утверждения:
1° Множество D точек с рациональными координатами, обращающимися
в нуль, начиная с некоторого номера счетно и плотно в 7*°.
2° Всякое открытое множество есть объединение открытых шаров с
центрами в точках D и с рациональными радиусами.
3° /ш компактно.
4° Рассмотрим пространство Р<*> — множество точек q = (у1, у\ .. *
..., уЛ, ...), где |ул|<!1 и топология введена расстоянием
„„.,.,„ 2 ь^1
1
(сначала нужно показать, что это действительно расстояние). Показать, что
пространства ГиРш гомеоморфны.
2. Для 0 < х < 1 положим
d{xt y) = ^-J + -^sini (t=\x-y\).
Показать, что d — расстояние. Пусть хх, х2, хъ> лг4 — четыре точки; положим
d}j = d (xit xj). Тогда неравенство (Птолемея) ^i2^34 -^ ^13^24 + ^14^23 не
всегда выполняется (Haantjes, Colloque de Geometrie differentielle, Lou-
vain, 1951).
3. Определить группы: 1° из р элементов (р — простое число); 2° из
четырех элементов.
4. Найти все преобразования пространства Rn в себя, переводящие
систему 5 из л+Л линейно независимых точек в аналогичную систему S'
и сохраняющие эвклидовы расстояния
Решение. Пусть x'h = ср& (*1 хп) — преобразование,
удовлетворяющее условиям этой задачи. Можно свести все к случаю, когда
<РЛ (0, ..., 0) = 0 и когда начало координат принадлежит системе S. Мы
52
ВВЕДЕНИЕ
получаем отсюда
1 1
Беря в качестве х+ те п точек х± хп, которые вместе с началом
образуют систему S, мы видим, что <рЛ должны быть линейными и
однородными относительно хК Определение срЛ происходит далее без
затруднений.
5. Найти различные типы приведенных уравнений квадрик в унимо-
дулярном пространстве Ап.
6. Показать, что, отождествляя диаметрально противоположные точки
П+1
сферы 2 (xh)2 ■= 1 пространства £w+1, мы получим пространство, гомео-
1
морфное Рп. Вывести отсюда симплициальное разбиение Рп на 2п
симплексов.
7. Доказать аналитически теорему о коллинеациях, установленную
в параграфе 23.
Замечание. Напоминаем, что всякое непрерывное решение
функционального уравнения f{x + y) =f(x) +f(y) есть линейная функция.
Глава II
ДОПОЛНЕНИЕ К АЛГЕБРЕ. ТЕНЗОРЫ
1. Векторное центро-аффинное пространство С*. Мы видели
(1,22), что в точке многообразия Vn основным объектом
дифференциальной геометрии является касательное центро-аффинное
пространство. В этом пространстве группа ggl индуцирует центро-аффинную
структуру С": группу аффинных преобразований, оставляющих
неподвижным начало.
Можно отождествить это пространство с пространством
свободных контравариантных векторов пространства Лп, условившись брать
в качестве представителя свободного вектора вектор, который
проходит через начало координат.
Мы ввели (1,19) понятия суммы двух свободных векторов,
нулевого вектора, вектора, противоположного данному вектору,
придав тем самым пространству структуру абелевой группы (операция
обозначается знаком -f-); затем ввели понятие умножения вектора
на число. Совокупность этих двух операций придает пространству С11
структуру, называемую векторным пространством.
Мы видели, кроме того (1,20), что законы преобразований
координат свободного контравариантного вектора (точки пространства С11)
отличны от законов преобразования координат свободного ковариант-
ного вектора (плоскости пространства С\ не проходящей через
начало).
Мы сначала вернемся к этим понятиям, чтобы далее развить их.
Векторы, или контравариантные векторы, или точки
пространства С", будут обозначаться буквами х, у, ...; р контравариантных
векторов (хг хр) называются линейно независимыми, если
v
из 2 ' Хл = 0 следует th = 0 (А = 1, 2, .. . р).
1
В пространстве С4 лфбые п-\-\ контравариантных векторов
всегда линейно зависимы, но существуют системы п линейно
независимых контравариантных векторов, называемых базисными. Пусть
ел (А= 1, 2, . .., п) — одна из этих систем, х — произвольный кон-
травариантный вектор; тогда существуют числа xh (определяемые
единственным образом), которые называются координатами вектора х,
54
ВВЕДЕНИЕ
такие, что
ал)
х = 2**еА.
Если для задания х мы берем другой базис, то
(1.2) < = 1>£еЛ. ™е (Ы|а»|=£0,
ИЛИ
(1-20 е» = 2л&.
Л*
ah*
det|4| '
где а1* — алгебраическое дополнение элемента а^;
2 aiAh = 2 а/И* = К-
i - г
Преобразования (1.2) образуют группу Qn, называемую центро-
аффанной группой. Полагая
(1.2) x = 2jc,Vft,
мы получаем
(1.3)
hk
Переходя к ковариантным векторам, мы определим
сумму двух векторов и умножение вектора на скаляр.
Пусть х и у— два ковариантных непараллельных
сначала
вектора
(рис. 9), определенных плоскостями р и q. Плоскости р' и q'9
параллельные соответственно р и q и проходящие через начало О,
пересекают q и р соответственно по многообразиям г n s
размерности (п — 2). Многообразия г и s определяют поэтому плоскость
и, следовательно, ковариантный вектор z, называемый суммой
ковариантных векторов х и у,
Рассмотрим теперь два параллельных вектора х и у, опреде-
-> —>
ленные плоскостями р и q. Прямая, проходящая через начало О,
пересекает их в точках а и Ь. Отношение OalOb = t не зависит
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
55
от выбранной прямой; это по определению есть отношение у к х1):
y = tx.
Отсюда легко определить произведение ковариантного вектора
на скаляр и сумму двух параллельных ко вариантных векторов.
Добавим к совокупности ковариантных векторов нулевой кова-
риантный вектор о, состоящий из одной произвольной плоскости,
проходящей через начало; второй же плоскости он не имеет (или,
как иногда говорят, она находится в бесконечности).
Введенные операции обладают свойствами операций с тем же
названием, определенных для контравариантных векторов.
Рис. 9.
В Сп любые п-\-\ ковариантных векторов всегда линейно
зависимы. Существуют системы п линейно независимых векторов eh9
или базисы, например система векторов eh (рис. 9), где eh — век-
-> —>
тор, определенный плоскостью, проходящей через конец вектора еЛ
и параллельной векторам (ег ^л-i» ел+1 еп)-
Этот базис называется дуальным к базису ел. Всякий ковариант-
ный вектор и может быть записан (единственным способом) в виде
(1.4)
и = У\ uheh :
Л=1
числа uh называются координатами ковариантного вектора; этот
вектор определяется плоскостью
(1.5)
2 Hxh= 1-
Л=1
1) Это определение в некотором смысле обратно определению
отношения двух контравариантных векторов.
56
ВВЕДЕНИЕ
Чтобы получить закон преобразования базиса eh в базис e'hy дуаль-
напишем
ный для е^, мы напишем
Л, ft
откуда
(1.6) "i = 2*Aa*
ft
и
(1.7) И = 24Л или ** = 24е'*.
-> Л -> -> ft
Ковариантному вектору £л поставим в соответствие
контравариантный вектор е& пространства С*л и вектору и —
контравариантный вектор и*, определяемый равенством
(1.4*) «*=J3v;.
затем преобразованию (1.7) поставим в соответствие в С*п замену
базиса
(1.2*) еГ = 24е*;
к
полагая и* = 2алед» ^ез тРУда виДим, что u'h определяется
преобразованием (1.6).
Итак, если пространству С* поставить в соответствие
пространство С*Л, условившись, что всякому преобразованию (1.2) первого
соответствует преобразование (1.2*) в С*п9 то всякому ковариантному
(контравариантному) вектору пространства Сп будет взаимно однозначно
соответствовать контравариантный (ковариантный) вектор
пространства С*п. Пространство С** называется дуальным к С*. В
пространстве С**п, дуальном к С*п, преобразованию (1.2) соответствует
преобразование
ел —2лап*к*
к
которое с точностью до обозначений совпадает с заменой базиса (1.2).
Всякому контравариантному (ковариантному) вектору Сп взаимно
однозначно соответствует контравариантный (ковариантный) вектор
пространства С**Л, имеющий те же координаты. Следовательно, мы
можем условиться отождествлять пространства С**п и Сп.
2. Тензорные произведения центро-аффинных пространств»
Тензоры. Мы определим новые геометрические объекты, исходя
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
57
из двух центро-аффинных пространств Da и Еь> размерностей а и Ь.
Мы сопоставим им пространство Da®E размерности ab,
называемое их тензорным произведением, введя в нем группу
преобразований, являющуюся подгруппой центро-аффинной группы,
изоморфной прямому произведению двух центро-аффинных групп Qa и Qb.
Пусть dh и eft (h = 1 a; k=l b) — два базиса кон-
травариантных векторов соответственно в Da и Еь. Тогда базисом
контравариантных векторов в Da®Eb будет по определению базис,
составленный из всех пар (dh, eft), которые мы запишем в виде
<*л ® *к = W
Каждой паре векторов
(2.1) х = 2**<*л из ^
У = 2У^л из Еь
мы поставим в соответствие в Da®E вектор
(2.2) х ® у = 2 х*уЧт = 2 W».
Л, ft Л, к
называемый тензорным произведением этих двух векторов.
Непосредственно видно, что эта операция обладает следующими
свойствами:
х®(У1 + у2) = х®у1 + х®у2,
(2.3) (х1 + х2)®у = х1®уН-х2®у,
(&х) ® у = х® (fcy) = k (x® у)
(k — константа).
Пусть (в обозначениях пункта 1)
а ъ
(2.4) d'h = 2 4' <W, ек= 2 *Ге*'
Л' = 1 ft' = l
— замены базисов в Da и Е ; тогда
/ ' ^t^ Ь,' к'
<1л®е* = 2u ahh dh>®ek>.
h' = l a
ft'-Ь ...,b
Полагая fM = d^®^, мы поставим в соответствие
преобразованиям (2.4) замену базиса в Da®Eb, а именно
(2.5) fiuk = 2 ah fa h'k' .
Мы получаем таким образом группу преобразований, являющуюся
подгруппой центро-аффинной группы. Эта группа и определяет
структуру в Da®Eb.
58
ВВЕДЕНИЕ
Тензором, построенным над пространствами Da и Еь, называется
теперь всякий контравариантный вектор пространства Da®Eb. Это,
следовательно, элемент вида
Л, ft
hk
где t —произвольные числа, называемые координатами или ком-
понентами тензора. Если после допустимой замены базиса вида (2.5)
он будет иметь компоненты t'hk, то
Л, Л Л, Л
Л', ft'
откуда
t ahok =t
Л, ft
или еще
(2.6) f»= 2**'*'л£в£.
fc'ft'
To, что мы проделали с двумя пространствами, может быть
обобщено на любое конечное число центро-аффинных пространств Da»
Еь, F° Например, в случае трех пространств Da, Еь, Fc с
базисами соответственно dh, е&, fj мы поставим этим базисам в
соответствие в пространстве Da(&Eb®Fc базис
и припишем этому пространству структуру с помощью формул
*hkl = 2 ah *ft Cl Jh'k'l'*
Л', ft', Г
если
(2.7) dfc = 2afcdu'' e^=2*fteftf» fj = 2cj'r-
Л' k' V
Тензором, построенным на пространствах Da, Eb, F°t называется
всякий объект, определяемый посредством abc чисел thklt называемых
компонентами или координатами тензора, таких, что при замене
базиса (2.7) они переходят в новые координаты t,hkl, определяемые
формулами
*'*» = S tb'k'l'AlBkvC\.
h\ k', V
(A'=l a; k'=l b\ /'=1 c).
3. Аффинные тензоры. По правде говоря, понятие тензора в том
виде, как оно было изложено, во всей его общности совсем не
употребляется в дифференциальной геометрии. Чаще всего ограничиваются,
ГЛ. И. ТЕНЗОРЫ
59
и это мы в яальнейшем сделаем, случаем, когда каждое из
пространств-сомножителей тензорного произведения совпадает с
фиксированным пространством Сп или с дуальным к нему
пространством С*я, причем каждое из этих пространств предполагается
отнесенным к одному и тому же базису для Сп или дуальному
базису для С*я.
Мы получаем, таким образом, новые геометрические объекты,
относящиеся к пространству С", называемые афинными тензорами
или попросту тензорами 1).
Рассмотрим, например, тензорное произведение
(3.1) С*п ® С*п ®Сп®Сп® С*л.
Контравариантный вектор этого пространства записывается в форме
Т = 2 tn^: 'hs ehl ® e** ®eha ® e*4 ® **■
и определяет в Сп дважды ковариантный, дважды контравариантный
и один раз ковариантный тензор валентности 5 = 2 -(- 2 -)-1
(число индексов), имеющий пь компонент.
Ковариантные индексы всегда будут записываться внизу,
контравариантные — наверху.
Что касается закона преобразований компонент тензора Т при
преобразовании (1.2) и обратном к нему (1.2'), то, обозначая через £'
его компоненты в новой системе координат, имеем
I ft,, ..., къ=1 п
(3*2) | ,. . Л3Л4 . _ ^у J . к3к< AkiAk*nh*„biл*в
\ th, h* . . hs = 2j tk1 ft2 . . k^h^h^a^au^A^.
[ ftx, ..., ft5=l n
Заметим, что эти формулы зависят только от числа контрава-
риантных и ковариантных индексов. Они были бы теми же, например,
для тензора t'h, r^ л5^4» и можно непосредственно установить взаимно
однозначное соответствие между векторами пространства (3.1) и
векторами пространства С*п ®С*п ®С*п ®Сп ®Сп.
В вопросах, которыми мы будем заниматься, не будет
представлять интереса различие между тензорами, возникающими в
этих различных тензорных произведениях, так что тензор будет
определяться лишь числом его ковариантных и контравариант-
ных индексов, и мы условимся отождествлять два тензора,
подобных приведенным выше. Мы будем записывать такой тензор
1) Под именем тензоров мы введем также далее (III часть) величины,
связанные с пространством Rn, в котором введена структура некоторой
подгруппы группы Qn.
60
ВВЕДЕНИЕ
в виде f^Ajiaig» или thl h2 hsh*hx, или в еще более сжатой форме
^fih (^i* *••' ^5—1 п)1)- Такой тензор называется
тензором ( « ) (2 раза контравариантным, 3 раза ковариантным).
Мы будем называть нулевым тензором и обозначать нулем
тензор, все компоненты которого равны нулю.
Тензоры f 0 J и I - J будут соответственно контравариантными и
ковариантными векторами. Удобно также называть скаляр тензором
валентности нуль.
Если задан геометрический объект, определенный посредством пь
величин t*j^h , бывает интересно узнать, является ли он тензором ( « j
в том случае, когда не заданы непосредственно формулы (3.2),
выражающие закон преобразования компонент при замене базиса.
Пусть Xh, и xh2 — координаты двух произвольных ковариант-
ных векторов, a xh*, xh* и xh* — координаты трех контравариант-
ных векторов, также произвольных. Тогда величина
«1, ", Л5=1 П
есть скаляр, или инвариант,, если t^2h —компоненты
тензора (о)* {1 не зависит от выбора репера в пространстве Сп>
но, очевидно, зависит от выбора векторов х^, .... xh*.)
Действительно, при замене базиса (1.2) и (1.2') / переходит в
Ihk I) 3 * s l ^ 8 4 * l J 2 2 3 4 5
но в силу соотношений
а-, г
для правой части равенства имеем
2 №н xi xi J**1**1*1: «НЧ^о?1 = 2 №\ хК хь xh*xh<xh* = /.
Обращение этого результата дает критерий тензорности объекта.
!) Только для эвклидовых тензоров (см. ниже п°10) места индексов
имеют значения, в этом случае мы употребляем первое обозначение.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
61
Допустим, что пъ величин t^h* определяющих
геометрический объект в пространстве Сп9 таковы, что I будет
инвариантом, каковы бы ни были ковариантные векторы xhx и х^ и
контравариантяые векторы xh*, xh*, xh&. Тогда этот объект есть
тензор L).
В самом деле, равенства
— У /*»*■ х х хк*хк'хк*
~м *Л*« kl k*
дают в силу того, что х^ х** произвольны,
/Ма ^ ,/hJli kx пЪ* дЬз Ah< Ahs
**вМ. — fiJ lhuhihsa7hah2/±k/ik/lkst
а это с точностью до обозначений — формулы второй строки (3.2).
Результат установлен.
Приведем один более общий результат.
Если t^h и s***" — два тензора, то величины
ЛаЛ4
являются компонентами тензора (9).
Действительно, формулы преобразований дают
8 fuhU т\ 5 х 2 Лз Л4 Л5 т»! Wa Ла
= 22 4ti *Г'г' Аг14s 4' 4L' =
=2«k^:<«Wv
что и доказывает результат.
Критерий тензорности, который дает обратная теорема,
формулируется следующим образом:
Если геометрический объект определен в пространстве Сп
системой из пь величин tf?xJ4,, такой, что, каков бы ни был тен-
Л3Л4Л8
зор I . 1 $л , величины u^xhl, определенные формулами (3.3),
62
ВВЕДЕНИЕ
являются компонентами тензора ( 2 J, то геометрический объект,
определенный величинами t^h , есть тензор ( о ) •
Детали доказательства предоставляем читателю.
Конечно, можно варьировать и обобщать многими способами
критерии тензорности, приведенные выше. Сказанного достаточно, чтобы
дать об этом полное представление.
Наконец, упомянем, что так же, как мы определяли векторное
поле в множестве D точек пространства Лп, можно определить поле
тензоров, сопоставив к каждой точке множества D тензор. Вообще,
в каждой точке подмножества D многообразия Vn определяется
поле тензоров, если условиться, что каждой точке множества D
соответствует тензор касательного центро-аффинного пространства.
4. Соглашение об обозначениях. Предыдущие формулы длинны
и громоздки в силу того, что мы каждый раз указывали точно, по-
каким индексам производится суммирование. Они принимают
значения от 1 до /г, и мы замечаем, что эти индексы встречаются один
раз наверху и один раз внизу в каждом одночлене.
Мы упростим запись, условившись опускать знак суммы и
считать, что суммирование должно быть произведено каждый
раз, когда один и тот оюе индекс, приписанный разным буквам
одного и того оюе одночлена, встречается один раз наверху и
один раз внизу (обозначения Эйнштейна).
Мы запретим употреблять один и тот же индекс более двух раз.
Это соглашение всегда будет выполняться в дальнейшем, даже тогда,
когда дело идет об объектах, не являющихся тензорами.
Индексы суммирования называются немыми индексами. Другие
индексы указывают компоненты одного и того же объекта (здесь
тензора). Наконец, мы также употребляли третий вид индексов
(например, индексы 1 и 2 для ковариантных вектбров xh^ и х^. Эти
последние индексы, предназначенные отличать друг от друга
различные объекты (часто одной и той же природы), не обязательно-
изменяются от 1 до п и иногда называются индексами,
определяющими объект.
При этом соглашении, которое, как это установлено на опыте,
позволяет лучше читать и понимать тензорные формулы, мы
напишем, например, вместо основных формул (1.2), (1.3) и (1.6)
(4.1) aU? = a?i4i = &
(4.2) x'h = AUk;
(4.3) *к = *1* •
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
6&
5. Операции над аффинными тензорами. Предыдущие
определения и результаты позволят нам без труда определить следующие,
операции над тензорами.
Г Сложение. Умножение на скаляр.
В пространстве (Сп)р & (С*п) умножение тензора на скаляр с и
/ р\ пх л
сложение двух тензоров ставят в соответствие тензору I J: tk р
А» •••» ь q
тензор ctk kpt произведение первого на скаляр с, и двум тензо-
(п \ Л, h h» ..., h
а )•*&!, ...,ft и skti...fk тензоР того же вида, называемый их
суммой, с компонентами
Л|, • •., hM hi, ..., h„ , Л., ..., h„
и #—/ PJ—S P.
к» ...У к ft,, ..., ft kl9 ..., ft *
2° Тензорное умножение. В пространстве
(СY+r ® (C*w)"+S = (С*)* ® {C*nf ® (С*)г & (C*n)8
векторы получаются тензорным умножением вектора из (Сп)р (& (С**1)*
на вектор (СЛ)Г & (C*W)S.
Это дает следующий результат:
Пусть заданы тензор lP)- tk ' кр и тензор f J: skp+v
Тогда величины
hit ..., hp+r hu ...,hp hp^_i hp+r
fti, •••, ftqr+8 ftl»»">ftg ftg-^-1, •••» ftg_^S
являются компонентами тензора ( T )» называемого произвел
дением двух предыдущих.
Умножение тензоров, очевидно, есть операция коммутативная и
ассоциативная. Умножение тензора на скаляр можно рассматривать
как частный случай предыдущей операции, а именно как умножение
тензора на тензор валентности нуль.
3° Умножение со свертыванием. Метод, примененный
в параграфе 3 для получения результата, сжато выражаемого
формулой (3.3), легко обобщается и позволяет утверждать, что если мы
зададим тензор у \:t\\\ и тензор I ):u'.'/.t то величины
v"\ =t\\'*\\\u\\\h.\\
kq+s
64
ВВЕДЕНИЕ
суть компоненты тензора ( Т i ) • ^н получается выделением
одного из контравариантных индексов, вполне произвольного,
у одного из тензоров и выделением одного ковариантного индекса,
также произвольного, у другого тензора, после чего для заданных
значений других индексов берется сумма произведений компонент
этих двух тензоров, для которых выделенные индексы равны. Этот
тензор называется свернутым произведением двух тензоров,
полученным свертыванием по двум выделенным индексам. Эта операция
может быть обобщена: можно выделять некоторое число ковариант-
ных индексов и некоторое число контравариантных индексов в одном
тензоре и такие же числа контравариантных индексов и ковариант-
ных индексов в другом тензоре. Так, например, в формуле (3.3) мы
выделяли один ковариантный индекс и один контравариантный в
каждом из тензоров.
Ниже мы рассмотрим эту операцию с другой точки зрения.
4° Единичный тензор. Свертывание. Рассмотрим
величины
ук Г 0 для Нфк,
1 для h = k.
Если задана система координат, то эти числа можно рассматривать
как компоненты тензора ( - ). Формулы (4.1) показывают тогда, что
во всякой другой системе координат мы имеем
Этот тензор, называемый единичным тензором второй валентности,
или символом Кронекера, имеет компоненты, инвариантные
относительно замены базиса. Причина первого наименования непосредственно
очевидна: умножение со свертыванием этого тензора на
контравариантный вектор хп или на ковариантный вектор xh дает
bUh==xk или Ьлхк = хп,
т. е. тот же самый вектор. Вообще, мы получаем равенства
следующего типа:
Умножая единичный тензор второй валентности р раз на себя,
получаем единичный тензор валентности 2р
klt ..., kp Л, ^kp
»i, ..., Up пх hp
гл. ii. тензоры Q5
Рассмотрим теперь тензор у \ (р>1, ?>1) и выделим один
ковариантный индекс h и один контравариантный индекс к. Тогда
умножение со свертыванием по этим двум индексам этого тензора
.ft.
t'"k'" на единичный тензор валентности 2 дает
..h...$k ^...h.
.к.
t-Z~4 = r
и мы получаем таким образом тензор (;? i ). Эта операция
называется свертыванием тензора t'"k'" по индексам h и &, а
полученный тензор называется свернутым тензором.
Конечно, эту операцию можно обобщить и свертывать по р ко-
вариантным и р контравариантным индексам. Эта операция сводится
к умножению со свертыванием по этим системам индексов на единичный
тензор валентности 2р. Если взять, в частности, тензоры ** №
то величины £*, t™, t1^ будут инвариантами.
После того как мы определили умножение тензоров, мы могли бы
начать с понятия свертывания (показав при этом прямо, что
свертывание порождает новые тензбры) для определения умножения со
свертыванием.
Примечание. Сказанное позволяет рассматривать тензоры как
операторы. Отметим, в частности, формулы
**** = /. tlxk = zht
где th—ь заданный тензор ( - 1. Они ставят в соответствие контра-
вариантному или ковариантному вектору вектор того же вида,
причем это соответствие линейное. Точно так же формулы
'**** = .Ул. **** = *.
где tm — тензор (о) и *Ы — TeH3°P (0 Ь дают закон линейного
соответствия между контравариантным вектором и ковариантным или
наоборот.
6. Симметричные и антисимметричные тензоры. Допустим,
что тензор (ft):^ft имеет в некотором базисе координаты,
симметричные по h и к : t7* = tkh. Это свойство сохраняется в любом
базисе, так как
(6.1) t'lm=thkAlhAk=tkhA%Alh = t'ml.
66
ВВЕДЕНИЕ
Следовательно, свойство симметрии есть свойство самого тензора
и не зависит от выбора системы координат. Такой тензор t1ik
называется симметричным по h и k.
Так, например, сумма
x®y-f-y®x,
где х имеет компоненты xh, а у — компоненты ук, есть тензор
с компонентами
thk = xhyk -\- xkyh,
очевидно, симметричный.
Вообще, рассмотрим тензор, имеющий по крайней мере р контра-
вариантных индексов hx hp,
Л» h2> • • о hp> • • «
и предположим, что, какова бы ни была перестановка (alf a2 ар}
р первых чисел (индексов), в некоторой системе локальных координат
А' й«» .... Лр, ... Ь>ах> Л^ ha , ...
Легко показать, что совокупность таких равенств остается
справедливой в произвольной системе координат. Тензор называется тогда
симметричным, по отношению к р выделенным контравариант-
ным индексам.
Симметрия по отношению к некоторым ковариантным индексам
определяется совершенно таким же образом.
Пусть, далее, thk — тензор ( 0 ) • Небольшое видоизменение в
формуле (6.1) показывает, что если в некотором базисе для любых ft
и к имеем
p* = — tkh,
то это равенство сохраняется при любом преобразовании базиса;
тензор называется тогда антисимметричным.
Вообще, задавая тензор t х v " , в котором выделено р
первых контравариантных индексов, говорят, что он антисимметричный
по отношению к этой совокупности индексов, если
10 ^".Аг.".".йр;;>°'
когда по крайней мере два индекса из hxh2 hp равны,
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
67
когда индексы hv h2, ..., hp попарно различны; здесь е имеет
значение 0, если (alt a2 <xv) есть четная перестановка системы
(1, 2 р), и значение 1, если эта перестановка нечетная. Можно
показать, что это свойство, не зависит от выбора базиса.
В силу этого определения тензор, антисимметричный по
отношению к р контравариантным индексам, может быть отличен от нуля
только при р<*Сп.
Для ковариантных индексов имеем аналогичное определение.
7. Антисимметричные контравариантные тензоры.
Мультивекторы. Пусть 2й* — антисимметричный тензор. Он определяется
значениями своих С« = п(п —1)/2 компонент, у которых /г < ft;
эти компоненты называются главными. Найдем закон
преобразования этих компонент. Имеем
Лк j.rlrnhk 'V *rf™„hk V ^ilh к
t =r агат= 2л * aiam— 2j t агат,
Km J> m
откуда, переставляя индексы l и т во второй сумме, найдем
\ahak
Km Km I "» "»
<*=2/*"(At-tfaW=2<-
rim
(A < ft).
Вообще, антисимметричный контравариантный тензор thl' Лз hp
(р^Сп) будет определяться своими С£ компонентами, у которых
Ai < h2 < ... < Ар-, они называются главными, и можно проверить,
как выше, что закон их преобразования имеет вид
(7 Л) ^А ftp= ^ f
*i> Ъ кр
кг<кй<...<кр
акг акх ••• ак*
hi Jh hn
%ъ cij. ... аьр
кР кР кР
Важный частный случай таких тензоров — мультивекторы.
Рассмотрим два контравариантных вектора х и у. Внешним произведем
нием х Д У этих векторов, взятых в этом порядке, или бивектором,
определенным векторами х и у, называется антисимметричный
тензор
хЛУ==х®у —у®х.
Если xh n yk — компоненты векторов х и у, то он имеет
компонентами
fhk — xhyk — xkyh.
Внешнее произведение обладает следующими свойствами:
1° хДУ = — УЛХ (антикоммутативность; отсюда х Л * = 0),
68 ВВЕДЕНИЕ
2° xA(y+z) = xAy + xAz, (x + y)Az = xAz + yAz
(дистрибутивность относительно сложения).
3° Если с — константа, то
(сх) Л у = х Л (су) = с (х Л У).
Вообще, если хх хр—контравариантные векторы, то внешним
произведением этих р векторов, взятых в этом порядке, называется
тензор
(7.2) ХхДхгЛ ••• Лхр = 2(—l/xe^x.,® ... ®х« ,
где сумма распространяется на все перестановки (ах ар)
системы р индексов (1, 2 р) и где е = 0, если эта перестановка
четная, и е=1, если она нечетная.
Свойства антикоммутативности и дистрибутивности аналогичны
этим свойствам в случае р = 2. В частности, имеем
(7.3) х«, Л х«, Л • • ■ Л хЯр = (— l)e Xi Л х2 Л • • • Л хр
[е = 0, если перестановка (ах, <%, ..., оср) четная, и е=1, если она
нечетная].
Пусть х*— компоненты вектора ха; тогда компонентами
тензора (7.2) будут
xi ••• xp
XXP ... xpP |
Отсюда следует, что для того, чтобы внешнее произведение р
векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти
векторы определяли линейное многообразие размерности <р, т. е.
чтобы они были линейно зависимы.
Если р векторов линейно независимы, то в аффинном
пространстве Ап, из которого получено Сп, их концы определяют линейное
многообразие размерности р—1. Обратно, линейное
многообразие Lp~l размерности р—1 может быть определено системой р
линейно независимых векторов (xt xp), концы которых лежат
в Lp~1; всякий другой вектор, конец которого лежит в Lp"1, есть
линейная комбинация этих р векторов. Отсюда следует, что если мы
определим Lp~l с помощью р других векторов (х^, ..., х^), то
их внешнее произведение будет равно схг/\х2/\ • • • AXP, где
с—константа. Локальная система координат в Lp~ задается тогда
тензором (7.4) с точностью до множителя. Эта система называется
системой плюккеровых, или грассмановых. координат
многообразия Lp~\
(7.4)
thl hP =
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
69
Заметим, наконец, что, рассматривая внешние произведения
векторов базиса, мы можем записать всякий контравариантный
антисимметричный тензор в виде
^•*» — *реЛ1Лей.Л
hx<Th< ... <&„
л%=
= ^rt
1 jhlt 7h» ...f h
^Ле^Л ... A*hp.
[В правой части равенства использованы сокращенные
обозначения (§ 4).]
8. Антисимметричные ковариантные векторы. Внешние формы.
Рассмотрим теперь ковариантный антисимметричный тензор порядка
p(^r0:hl,rh,...th • Он также определен своими главными
компонентами— теми, для которых Нг < h2 < ... < hpt и соображения,
аналогичные предыдущим, доказывают, что закон их преобразования
имеет вид
(8.1)
'*„ • ••» ър — 2и *klk2i ~"кт
*,<*.<... <*
р
4*1
hi
•• 4f
„*.
р
Внешнее произведение р ковариантных векторов х1, х2, ..
определяется также формулой
(8.2) л^Л^Л ... Л^=2(—О'-^Л^Л ... Л*Х
хр
и всякий ковариантный антисимметричный тензор записывается, если
использовать внешние произведения векторов дуального базиса,
в форме
(8.3)
h,<h,<... <h
'»,.*. h/'Aeh'A ... Лел*-.
Р-> •*• ->■
Р
р-> •>
[справа применены сокращенные обозначения (§ 4)].
Если производится замена базиса
(8.4)
то, как и выше, мы видим, что
en = aU'*, или е'
А%е\
(8.5)
'** пр— 2d
tult ...,*
fti<ft2< ... <л
р
«*
hx
.*.
Л «*»
70
ВВЕДЕНИЕ
Теперь рассмотрим вместо (8.3) выражение, зависящее от п
переменных х1, х2 хп:
(8.6) F(x\ х2 хп)= J] thltha hpxh^/\x^/\.. .f\xhP=
л,<л2<...<л^
=jr thlt ь,.... hp*hi л^ал...л xhp,
которое мы назовем внешней формой степени р относительно
этих п переменных, условившись, что внешние произведения,
содержащиеся здесь, суть элементы алгебры, которую мы сейчас
определим:
1° Допустимы замены переменных, аналогичные (8.4):
(8.40 хп = а%х'к (или x'h = A\xk, det\а\\ф 0).
2° Внешние произведения, которые мы ввели, ведут себя как
внешние произведения ковариантных векторов в отношении
умножения на скаляр, антикоммутативности и дистрибутивности
относительно сложения.
В частности, внешнее произведение, в котором две переменных
тождественны, равно нулю; перестановка двух последовательных
переменных меняет знак внешнего произведения.
Вообще, мы назовем внешней формой степени р всякое
выражение
Я** у^л^л-.. л А
условившись, что она тождественна форме
2 ^,...,%^л^л ... л***.
с коэффициентами, приведенными к виду
К,..., hp = jx 2 (— !)Х v
где (at ар) — перестановка системы индексов (hx hp)
и где е равно нулю или единице в зависимости от того, четна или
нечетна эта перестановка.
Форма, все члены которой равны нулю, либо потому, что ее
приведенные коэффициенты нули, либо потому, что те члены,
коэффициенты в которых не равны нулю, соответствуют нулевым
внешним произведениям, называется нулевой формой и обозначается
нулем.
Форма степени 1 есть линейная форма. Степень ненулевой формы
не превосходит п, и форма степени п есть одночлен; она может
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
71
всегда быть представлена в виде
cxlf\x2f\ ... /\хп,
где с обозначает константу.
Внешняя алгебра в пространстве Сп, или алгебра п
измерений1), вводится следующими операциями на совокупности внешних
форм.
Умножение на скаляр:
cF = ±cthu...thpxhiA ... Л*Нр U—l)F = — F].
Сложение двух форм одной степени: если
P = j[t*. у**Л ...Л*** и G = ±shl hpxh'A ... Л***.
то
F + 0 = ^{thi,...,hp + shl Нр)х*Л ... Ах\
Далее, полагаем /7 + (—G) = F— G, и две формы F и О называем
равными, если F — G будет нулевой формой.
Внешнее умножение формы F на форму О не обязательно
той же степени: если
F = ±thu.,.thjxh> f\ ... лА 0 = jfSklt...tkqxkiA ... Л А
то
F л ° = ji ji th" •••• Vfc' ****' Л • • • Л ***Л**' Л • • • Л**а.
Отсюда следуют свойства
FAG = (—1)MGAF,
F A (Gx-hG2) = FA Oi-hF А О».
(Л + ^) Л G = Fi A G + F2 А О.
9. Внешние квадратичные формы. Теорема Картана.
Рассмотрим внешнюю квадратичную форму, отличную от тождественного
нуля:
Р = Ъ*КкХЛЛ** (*»-И** = 0).
1) Заметим, что можно было бы построить внешнюю алгебру, исходя из
контравариантных антисимметричных тензоров: это внешняя алгебра в
дуальном пространстве С*7*.
72
ВВЕДЕНИЕ
например, с tX2 Ф 0. Можно записать
F = (x*+^x*+ ... +^»)д(^+ ... +tlnx»)-\-0,
и очевидно, что О зависит только от переменных л:3, ..., хп.
Положим
х +***.& + ... + -£*■*» = Х1,
Форма F— X1/\ X'1 зависит самое большее от п — 2 переменных,
и если она не обращается тождественно в нуль, то мы можем
поступить с ней так же, как с формой F: вычесть из нее произведение
вида Х2/\Х'2, получив форму не более чем п — 4 переменных,
и т. д. до тех пор, пока не придем к нулевой форме. Заметим,
что формы X1 и X'1 линейно независимы и что формы X2 и X'2
(если приходится их рассматривать) не зависят линейно от X1 и X'1.
В итоге мы можем высказать следующий результат:
Всякая внешняя квадратичная форма может быть приведена
к каноническому виду
F! = Xi /\X*i+X* ЛХ'2+ ... +ХГ /\Х*\
где 2г(^я) линейных форм Xh и Xh линейно независимые
Покажем, что число 2г, ранг формы, есть инвариант, т. е. если
мы имеем равенство вида
Л-1 ft-1
где Xh и X/hf с одной стороны, и Yk и к'л, с другой стороны,—
ft 'ft
линейно независимые формы, то r = s; более того, Y и Y
—линейные комбинации форм Xh и Xh. Действительно, допуская,
например, что Y1 не зависит от Хп и X'h> мы могли бы выбрать базис,
содержащий Xh, Xh, Y1 и, возможно, еще другие формы. Но после
упрощения правой части равенства осталось бы непременно внешнее
произведение вида Y1 /\ Z с Z Ф 0, так как иначе Yk и Y*k не были
бы линейно независимы, и предыдущее равенство было бы
невозможно. Итак, Yk и к'*— линейные комбинации форм Xh и Xth.
Но обратное также имеет место, так что число этих форм одно
и то же, т. е. r = s.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
73
и достаточно, чтобы формы X'h были линейными комбина-
Рассмотрим, наконец, г линейно независимых форм X (А = 1,
2 г), и пусть Х*н — линейные формы, такие, что
(9.1) 2*Лд*,Л=о.
Справедлив, следующий результат (теорема Картана):
Для того чтобы равенство (9.1) имело место, необходимо
достаточно, ч
циями форм Xh:
(9.2) X'h= 2 c\Xk,
причем матрица коэффициентов должна быть симметричной
ГЬ rk
°k °h-
Действительно, присоединим к формам Хп еще п — г других
форм Xr+l Xй, чтобы составить базис. Мы получаем тогда
равенства вида
(9.20 Х'н=% chkXk.
Равенство (9.1) переходит в равенство
,Q1,x 2 chkXhAXk = 0,
(9.1 ) л-i,..., г
Л—1 П
коэффициент при члене Xh Д Xй для k > г есть ск, поэтому прежде
всего необходимо, чтобы с% = 0 для к > г. Равенства (9.2'), таким
образом, имеют вид (9.2), а равенство (9.1') переписывается в форме
(9.1") ~2 ^ (с* — Сп)Х /\Х —0,
h, ft-1 г
откуда с£ = с*, как и указано в формулировке теоремы.
10. Эвклидовы тензоры. Если в пространстве Rn введена
структура группы вращений вокруг начала [формулы (I, 19.1) с &Л = 0],
то вместо Еп мы получаем пространство Я7*—центро-эвклидово
пространство. Это — пространство свободных (контравариантных)
векторов пространства Еп: всякой точке пространства Н71
соответствует свободный вектор в пространстве Еп, и обратно.
Во многих вопросах интересно заставить действовать на Нп общее
преобразование центро-аффинной группы Qn, но тогда, вообще
74
ВВЕДЕНИЕ
товоря, оси* составляющие основной /г-эдр, теряют- свойство
ортогональности.
Пусть в некотором ортогональном репере xh и yh— компоненты
двух векторов х и у. После преобразования
хь = а\х'к, yh = afy'1
скалярное произведение х • у записывается в виде
п
1 Л, ft, I ft, I
где gkl — константы (g£I = g£ft); нетрудно видеть, что
и что форма g?klx'kx'1 положительно определенная1).
Возвращаясь к исходным обозначениям хп (вместо x'h)t мы
назовем центро-эвклидовым пространством Я7* пространство Сп
в котором задана квадратичная форма
п
(ЮЛ) 2 gut**** (g?x = gm)>
ft, fc«=l
у которой
(Ю.2) * = det|ft*|^0,
представляющая собой инвариант; здесь хп — координаты
произвольного вектора х.
Ввиду (10.2) эта форма есть сумма квадратов п линейно
независимых форм, снабженных знаком -+- или —. Нам следовало бы
прибавить, что все квадраты снабжены знаком +, но это требование
оказывается излишним для того, о чем мы будем говорить; поэтому
мы не будем его накладывать.
Значение формы (10.1) для вектора х будет называться
скалярным квадратом или просто квадратом вектора х и обозначаться х2.
Мы будем называть длиной вектора х и обозначать через | х |
величину
ix|=vi*q.
1) Это вытекает из того, что уравнение 2 ёых х l = 1 представляет
ft, l
сферу радиуса 1
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
75
Пусть xh и у*,— координаты двух векторов х и у; квадрат
длины вектора Xx-f-|xy, где X и |х— произвольные константы, равен
2 g» № 4- wft) (***+Wft) =
Л, к
=*2 2 gi****+2Хр. 2 gKkxhy*+и2 2 «^.y*..
Так как первый и последний члены правой части инвариантны, то
отсюда следует, поскольку X и |х произвольны, что билинейная
форма
(10.3) х.у=2г^*
Л, ft
также инвариантна. Она называется скалярным произведением двух
векторов. Когда оно равно нулю, векторы называются
ортогональными. Скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат
этого вектора.
Из этой инвариантности следует (§ 3), что ghk— компоненты
симметричного тензора ( 2 )» называемого основным тензором.
Непосредственно видно, что еЛ«еЛ = ^гЛЛ. Базис называется
ортогональным, или прямоугольным, если gm = 0 для h Ф k, и
ортонормированным, если, кроме того, grfefc= ±1. Если форма (10.1)
положительно определенная (истинное центро-эвклидово
пространство), то мы имеем х)
/ ч Х'У 8ккхКУ*
COS (X V) — ~~ — —-
I х | -1 у I Yg^xhxh Yg^yhyh '
Рассмотрим ковариантный вектор, определенный равенством
(Ю.4) gbkx* = ghhx* = xh.
Всякому контравариантному вектору х мы ставим таким образом
в соответствие ковариантный вектор х с координатами xh, и это
соответствие взаимно однозначно, поскольку g Ф 0. Это
соответствие, будучи, очевидно, линейным, сохраняет умножение на скаляр
и сумму. Так как вектор х, с другой стороны, может быть так же
хорошо определен посредством чисел хп, как и посредством чисел хп,
то мы условимся отождествлять два объекта лихи говорить,
->
что xh — ковариантные координаты вектора х, а хп — его
контравариантные координаты.
В пространстве Нп, таким образом, не будет ковариантных или
контравариантных векторов, а будут только векторы, определенные
его ковариантными или контравариантными координатами.
*) Начиная с этого места, мы возвращаемся к сокращенным
обозначениям (§ 4).
76
ВВЕДЕНИЕ
Равенство (10.4) показывает, что xh есть величина ортогональной
проекции вектора х на ось хп (рис. 10, я = 2). В нормированных
равенствами ghh==\ прямоугольных координатах ковариантные
координаты вектора равны контравариантным координатам с
соответствующими номерами. Полагая
(10.5) g?k = ?f>
где g^k — алгебраическое дополнение элемента gbk в
определителе \gw\> так чта
(10.5') gMg^ = gMg* = glhg><* = gm^ = 8».
мы получаем решение системы (10.4) в виде
(10.40 &*хк = х\
и ghk будут компонентами тензора (0). Формулы (10.4) и (10.40
позволяют переходить от контравариантных координат вектора к его
ковариантным координатам и обратно. При этом соглашении
формула (10.3) принимает простой вид
(10.30 х • у = xhyh = xbyh (в частности, х2 = xhxh).
Наше соглашение сводится к тому, что мы отождествляем
элемент eh базиса дуального пространства С*п с элементом ghkek простран-
""*" ства Сп [формула (10.40]. Вообще, условимся
отождествлять элемент eh* ® eh* простран-
-> ■>
ства (С*м)2 с элементом gMig^e^ & е*2,
пространства (Ся)2, и аналогично для
тензорных произведений с большим числом
множителей, так что всякий контравариант-
ный вектор пространства (Сп)р® (С*м)« будет
отождествляться с контравариантным
вектором пространства (Cn)p+q. Это все равно, что
р 10 сказать, что всякий тензор у\
пространства Нп будет отождествляться с тензором
\ о/" Множество всех тензоров, тождественных одному тензору,
называется эвклидовым тензором.
Эвклидов тензор не имеет специфического характера ковариант-
ного или контравариантного тензора, он может быть охарактеризован
его порядком r—p-\-q, суммой порядков контравариантности и
ковариантности одного из его представителей. Его различные
представления (в числе 2Г с пг координат каждое), напротив, имеют
ГЛ. IL ТЕНЗОРЫ
77
каждое специфический характер контравариантности или
ковариантности. Так, например, тензор Т третьего порядка имеет восемь
представлений:
/та jhkl j kl Ji I Jik j I jh j к >
КЧ t , th , t k , t j, thk, t и, thjt tbkb
Для аффинных тензоров нам нужно было только точно знать
названия и места ковариантных индексов в последовательности этих
индексов и названия и места контравариантных индексов в
последовательности этих индексов. В случае же эвклидовых тензоров,
напротив, нужно заботиться о том, чтобы все индексы сохраняли
свои места. Так, например, исходя из представления thkl предыдущего
тензора, мы получаем представление!,):^ , опуская индекс Л,
я представление t\l, также (-), получаем, опуская индекс &.
Переходя от одного представления к другому, мы уточняем
& iiameft записи места индексов, которые были опущены или подняты,
т. е. которые перешли из состояния контравариантности в состояние
ковариантности, или наоборот.
Основная задача, с которой мы з^'чь сталкиваемся, — это задача
перехода от одного представления к др.) тому, т. е. задача опускания
или поднятия индексов.
Эта задача разрешена формулами (10.4) и (10.4') и соотношениями
между базисами С1 и С*Л, которые мы. дали. Пусть, например, надо
опустить второй индекс в тензоре 7\ записанном в контравариантной
форме thkl. Имеем
Т = №eh ®ek%ez = t™eh ® (gkme™) ® е, =
= thklgkm*n ® em 2> ez = t\leh &ек%ег,
откуда после замены обозначений
(10.6) 'Y = '*w,«r**-
Для поднятия индекса можно получить таким же образом
формулу
(10.60 thM = thJgmk9
Вообще, мы имеем формулы следующего типа:
/.. ..fc..Z.. — /..Л' р- crkk' rrlV
1 h —1 к' V ЬЛЛ'Ь S •
Эти формулы показывают, в частности, что контравариантное
представление основного тензора ghk дается в виде ghk [формула (10.5)1;
что касается его смешанных представлений: gk и g£, то в силу (10.50
78
ВВЕДЕНИЕ
имеем
т. е. тензор g£ (или gkh) будет единичным тензором валентности 2.
Заметим также, что'в силу симметрии g^ и ghk, если тензор
является симметричным или антисимметричным по отношению к
некоторым индексам, записанным на контравариантных местах, то же
самое будет справедливо и для его представления, в котором эти
индексы стоят на ковариантных местах, и наоборот.
Относительно операций над эвклидовыми тензорами можно сделать
следующие замечания:
1° Можно складывать два тензора одного порядка: берем два
подобных представления этих тензоров, например контравариантные
представления, и контравариантное представление суммы получаем,
складывая соответственные контравариантные компоненты этих
тензоров.
2° Пусть заданы два тензора Т и S для определенности порядка
3 и 2 своими представлениями, скажем thkl и sm ; тогда тензор
U k p — T kS p
называется произведением тензоров Т и S, взятых в этом
порядке; он не зависит от представлений, выбранных для множителей.
3° Пусть задан тензор Т порядка г>1; выбрав произвольна
два его индекса, приведем один из них в ковариантное, другой
в контравариантное положение и свернем полученный тензор па
этим двум индексам. Мы получим новый тензор валентности г—2,
называемый тензором, полученным из Т свертыванием по двум
выбранным индексам.
Пусть, например, нужно свернуть тензор thklm по индексам к
и т. Начинаем с того, что образуем представление thklm; тогда
свертывание дает нам тензор
shl==z fh Ik^
Исходя из другого представления тензора thklm, мы получили бы
другое представление тензора $Л*.
Эти результаты легко доказать, исходя из соотношений (10.6)
и (10.60 и принимая во внимание симметрию основного тензора.
В заключение рассмотрим одно приложение.
При замене базиса имеем
&Кк — апак £h'kr>
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
79
полагая det| g'hk\ = g', выводим отсюда, что
g' = tfg, где A = det|a*|.
Допустим, теперь, что g > 0, и ограничимся преобразованиями,,
которые сохраняют ориентацию базиса Д > 0. Имеем
1 =д 1
Следовательно, в силу формул (7.1) величины
дЛь •••.лЛ = (—\f—-~ (a^i hn = 0t если два индекса равны)
У g
[е = 0 или 1 в зависимости от четности перестановки (ht hn)}
будут контравариантными компонентами антисимметричного тензора
валентности п. Проверяется без труда, что его ковариантные
компоненты равны
«,,„...,* =(-i)Vi-
п
Рассмотрим теперь антисимметричный тензор Т валентности г ^.п.
Пусть thlt '"'hr—одно из его представлений. Тензор 7* валентности
п — г, получаемый умножением со свертыванием тензора Т на
предыдущий тензор, называется присоединенным к Т. Имеем
Л+1 Лп = 1/' VAr+l йя/й h
у* * _, j.hly ..., h
Ч+i нп =7j **...-.. VW— *n'
Тензором, присоединенным к T*t будет Т. Тензор,
присоединенный к вектору, есть антисимметричный тензор валентности п — 1,
и наоборот.
В обычном трехмерном эвклидовом пространстве всякому
антисимметричному тензору валентности 2 можно, таким образом,
поставить в соответствие вектор. Рассмотрим, в частности, случай
бивектора хДУ и предположим, что базис ортонормированный:
. Г 0, если h Ф к,
ёьк = *hk — \Л . ,
\ 1, если Л = &.
Ненулевые компоненты бивектора выражаются следующими
формулами, в которых хп и уь обозначают компоненты векторов х и у:
/23 _ /32 _ х2уЗ X3y2f
t*1 = _ /13 = х*у1 — *\y3,
ti2 = — t2X = хху2 — х2уК
80
ВВЕДЕНИЕ
Присоединенный вектор z имеет компоненты
zi = x2yz — х*у2,
z2 = xzyl — x1y'i,
z* = x1y2 — x2yl.
Он называется векторным, произведением двух векторов х и у.
Путаница в обозначениях, которая теперь приобрела силу привычки,
привела к тому, что этот вектор обозначают х/\у.
Вектор z таков, что три направления х, у, z образуют правый
триэдр. Длина вектора z равна
|х|. |у| sin(х, у).
Если перейти к случаю антисимметричного тензора валентности п,
имеющего только одну главную компоненту /1»2>---»Л> то
присоединенный к нему тензор будет скаляром £1>2>--'n. в случае если
тензор будет внешним произведением п векторов х1/\х2А ••• Л *п»
этот скаляр называется смешанным произведением п векторов
и обозначается через (хх, х2 хЛ). Обозначая через х1*
координаты вектора xft, мы имеем
(Xt, х2 xw) = det|*ft|.
Смешанное произведение обладает всеми свойствами линейности
и антикоммутативности внешнего произведения. Когда оно равно
нулю, п векторов определяют линейное многообразие размерности
^.п— 1. Оно представляет ориентированный объем параллелепипеда,
построенного на п векторах.
Для /г = 3 также пишут (из-за путаницы в обозначениях)
(xlf х2, х3) = (xt Л х2) х3 = х1(х2Лх3)=
11. Элементарный тензорный анализ. Рассмотрим (в С1 или Нп)
контравариантный вектор х(и), зависящий от одной действительной
переменной и, которая принимает, для определенности, все значения
из некоторого сегмента. Обозначим через хп (и) компоненты
вектора х(й). Из данных раньше определений следует, что х(и)
непрерывен при и = и0, когда функции хп(и) непрерывны в точке и0,
и наоборот.
Если вектор
х (и + Аи) — х (п)
Аи
имеет при и = и0 предел х'(я0), когда Ля стремится к нулюдо
говорят, что х (и) имеет производную при и = и0, равную х' (и0).
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
81
Принимая во внимание, что координаты предыдущего вектора равны
xh(u + \u) — xh(u)
Ли
мы видим, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы
х(и) имел производную при и = и0, заключается в том, чтобы его
координаты были дифференцируемы при и = и0, и координаты
вектора х'(и0) будут равны [xh(u0)]'. Если производная х (и) существует
для некоторого множества значений а, то сама эта производная
будет функцией от а. Ее обозначают через х'(и) или dxjdu.
Компонентами производной будут [xh(u)]', или dx*fdu.
Можно таким же образом определить производные более
высоких порядков, если они существуют. Они обозначаются через х" (и)
или d2x/du2 и т. д.
Для вектора, зависящего от нескольких действительных
переменных, например для вектора х(а, v), мы определяем аналогично
его частные производные, если они существуют:
дх дх д*х
да9 dv' ди*9
Для тензора, зависящего от одной или нескольких
действительных переменных, можно дать аналогичные определения. Пусть,
например, задан тензор thjci(u, v)\ его частная производная по и, если
она существует в некоторой области плоскости (u,.v), есть предел
тензора . .
<*ы(и + А«, v)-thkl(u, v)
Ли
при Ли —► (). Эта частная производная будет также тензором („ \
с компонентами dt\i(u, v)/da.
Понятия сходимости последовательности и ряда немедленно
обобщаются на последовательности и ряды тензоров.
Имеет место формула Тейлора, которую мы напомним только
для случая вектора х(и): допустим, что х(и) имеет непрерывные
производные до порядка п в интервале, заключающем и0, и что
производная х(л+1)(я0) существует; тогда в этом интервале
x(a) = x(«0) + («-«o)x,(«o)4- ••• + (»-"<>>V>(h0) +
+ (а(7+1)Г tx(n+1)("o)+^1.
где т) обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с \и — tfol1)»
1) Допуская существование х^п+1)(а) в рассматриваемом интервале, мы
не можем, вообще говоря, представить выражение, стоящее в квадратных
скобках в последнем члене формулы Тейлора, в виде х*Л+1) [и0 + 0 (и—uQ)]t
О < 0 < 1, как это возможно в случае числовых функций.
•>
82
ВВЕДЕНИЕ
Можно также говорить об аналитических тензорах, зависящих
от одного или нескольких параметров. Так, вектор х (и) называется
аналитическим в окрестности и0, если существует такое число R > 0>
что
х(и) = х(и0) + (и-и0)х'(и0) + ... +(в"/»(п)(«(>)+..м
где ряд в правой части сходится для \и — и0|</?.
Что касается правил дифференцирования, относящихся к
операциям над тензорами, то мы прежде всего сделаем следующее общее
замечание. Пусть, например, F{T, S) — тензор-функция как от Г,
так и от 5, т. е. выполняются соотношения
F(cT, S) = cF(T, 5), /*(7\+Г2, S) = F(TV S)-\-F(T2t S)
и, аналогичные соотношения по S. Допустим, что Т и S будут,
например, функциями действительной4 переменной и в некотором
интервале, где Т (и) и S(u) имеют производные. Будем искать
производную сложной функции F[T(u), S(u)]. Имеем
*-{F[T(u + La). S(a + ba)\ — F\T{a). S(u)]} =
= F[T*+^u-T*\ S(u + /iu)] + F[Tiu). *<« + *%-3<«>];
переходя к пределу, получаем отсюда формулу
dFlT{UJu S{U)] = FlT'(u)> S(u)] + FlT(a), S'(и)],
аналогичную формуле для производной от произведения.
Можно ее обобщить на случай линейных функций более двух
аргументов и на случай нескольких переменных для частных
производных.
Рассматривая, например, вектор-функции одной действительной
переменной в Яп, можно вывести отсюда такие формулы:
(х, + х^)' = х[ + xj, (хх • х2)' = х[ • х2 + хг • х£,
(хг Л х2)' = х[ Л х2 + х, Л х£,
(Х1» Х2 Хп) = (Х1» Х2 Хп) "I ' ' ' "Ь (Х1» Х2 Хп)*
Относительно интегрирования (для определенности в смысле Ри-
мана) можно развить аналогичные соображения. Пусть, например,
thk(u, v) — функции, интегрируемые в области А плоскости (и, v),
являющиеся компонентами тензора для всякой точки (и, v) области А.
Выражения
0hk=f thk(ut v)dudv
А
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
83
будут компонентами тензора ( 0 ) • Но если thk, например, есть
внешнее произведение вида хДУ» то тензор
J х Л ydadv
А
не обязательно будет внешним произведением.
Формулы интегрирования по частям приводят к равенствам вида
и, щ
f F[T{u)ydS{u)\ = F\T{u\ Sill)]]*— fF[dT, 5],
и щ
где F линейно по S и 7\
Упражнения
1. Можно рассматривать всякий ковариантный вектор как линейный
функционал ^(х) над контравариантными векторами, т. е. как число,
обладающее свойствами
F(x + y) = F(x) + F(y)t
F(tx) = tF(x),
откуда
Функционал будет определен, если задать F(eh) = uh. Множество этих
функционалов получает структуру векторного пространства посредством
определений:
H=F+G означает Н(х) = F(x) +G(x);
K=cF означает /С(х) = cF (х).
2. Для того чтобы внешняя форма F степени р (8.6) была тождественно
равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы формы
FAxhlA ... Л***-Р (/*i /*л_р=1, 2 п)
были тождественно равны нулю.
3. Линейные многообразия, на которых внешняя
форма обращается в нуль. 1° Рассмотрим линейное многообразие
размерности q
к = 1
где с\—константы, такие, что матрица |]с£|| имеет ранг q. Заменяя хп
в форме F степени р (8.6) выражениями (1) и рассматривая yh как
переменные внешней алгебры размерности qt мы преобразуем F во внешнюю
форму степени р:
a = yiK *p'*t-e*p л...лу*
(эта форма равна нулю, если q < р).
84
ВВЕДЕНИЕ
Если при #■>/? форма G тождественно обращается в нуль, то говорят,
что линейное многообразие (1) удовлетворяет уравнению /7=0. Доказать, что
условия того, чтобы это имело место, могут быть при q=p записаны в виде
'*, */■ ** = о(
" ' р
где g образуют систему плюккеровых координат многообразия (1); факт
обращения G тождественно в нуль не зависит, таким образом, от
представления (1) многообразия*
2° Для того чтобы многообразие (1) было решением уравнения /7=0
при q > p, необходимо и достаточно, чтобы всякое линейное многообразие
размерности р, в нем содержащееся, также было решением /7 = 0. Показать,
что это можно записать в виде
. htt ...» hM, h^,<t •••! h„ л
1» У р
4. Частные производные внешней формы.
Ассоциированная система. 1° Частная производная формы F (8.6) по
переменной xhl будет, по определению, формой степени р — 1:
гГ = /i *h ь. х Л...Л*Р.
Отсюда следует, что
dxh>
где F^1 — форма степени /?, в которую xhl не входит. Эту операцию можно
повторить. Показать, что
д / dF \ = d*F = _ d*F
dxh> \ дхк*) dxhl дх^ dxh* dxh> '
2° Системой, ассоциированной с F, называется система линейных форм,
полученная приравниванием нулю частных производных порядка р — 1
формы F. (Каждая из этих производных, не равная нулю, определена с
точностью до знака, но система уравнений вполне определена.) Форма F
называется одночленом, если она является внешним произведением р линейных
форм. Доказать, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы
форма была одночленом, состоит в том, чтобы ее ассоциированная система
имела рангр (где р — степень формы).
3° Ассоциированная система внешней квадратичной формы имеет
четный ранг (§ 9).
5. Рассмотрим h внешних форм F± Fh, не обязательно одной
степени. Рассмотрим, далее, совокупность внешних форм
H=FXAG1+ ... +FhAGht
где G — внешние формы, такие, что одночлены предыдущей суммы имеют
все одну и ту же степень, но в остальном произвольные. Всякая форма этой
совокупности, очевидно, обращается в нуль на всяком линейном
многообразии, являющемся решением системы F± = ... = F^ = 0. Обратное вообще
неверно. Доказать, что это будет верно, если формы F линейны.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
85
В общем случае, предполагая формы F линейно независимыми,
доказать, что условием для того, чтобы форма Н обращалась в нуль на всяком
линейном многообразии, являющемся решением системы F± = ... = F^ = 0,
служит равенство
АЛ ... AFhAH=0.
6. В ортонормированных координатах в обычном эвклидовом
пространстве (ghh=\) компоненты тензора не зависят от природы индексов: они
одни и те же как для верхних индексов, так и для нижних индексов.
7. 1° Построить теорию метрики в пространстве эвклидовых тензоров
фиксированного порядка /?: построить основную форму, скалярное
произведение, скалярный квадрат тензора, (для р = 2 выражение thkStfc есть
скалярное произведение тензоров № и Sj#). Проверить формулу
(называемую формулой Лагранжа)
x2.yS = (x.y)* + -i(xAy)*.
2° Построить теорию метрики в пространстве антисимметричных
тензоров, у которых рассматриваются лишь главные компоненты [для р = 2
основная квадратичная форма имеет коэффициентами
ghkglm — ghmglk (* < т)].
8. Показать, что в Н?
[(xAy)*Az]* = -x(y.z) + y(z..x).
Этот вектор неправильно обозначается через (xAy)Az.
9. Гиперкомплексные числа. Рассмотреть тензор ^ и
операцию (обозначаемую ф), которая двум векторам х и у из Сп ставит в
соответствие третий вектор z = х О у с компонентами
1° Выяснить условия, при которых эта операция ассоциативна:
(x<>y)Oz = xO(yOz).
(В этом случае мы будем иметь кольцо гиперкомплексных чисел.)
2° Предположив, кроме того, что нет делителей нуля (из х О у = О
следует х = О или у = 0), показать, что п необходимо будет четным, что
из уравнений афх = Ь,-у<>а = Ь каждое имеет единственное решение,
что существует единичный вектор и что каждый вектор имеет обратный.
Это кольцо, являющееся группой относительно векторного сложения,
будет также группой относительно операции ф. Говорят, что оно образует
тело, вообще говоря не коммутативное (так как х ф у Ф у О х).
3° Случай п = 2. Пусть ei — единица. Показать, что можно найти
другой вектор, образующий вместе с ej базис, такой, что е2 О е2 = — е1-
(Тело коммутативно и изоморфно телу комплексных чисел.)
4° Случай п = 4. Соотношения
eiOeh = e^<>ei = eh (Л=1, 2, 3, 4); еЛ<>ей = — et (Л = 2, 3, 4);
©з О е4 = — е4 О е8 = е2; е4 О е2 = —■ е2 О е4 = е3;
е2Оез = — е3<>е2 = е4
86
ВВЕДЕНИЕ
определяют тело кватернионов. Имеем
(xiet + jc?e2 + *3е3 + лг4е4) (хХе± — х?е2 — хЧъ — х4е4) =
10. Построить теорию тензоров в пространстве Сп, предположив
дополнительно следующее:
Г Сохраняется некоторая линейная форма ghxh (можно всегда
допустить, что сохраняется х\ изменив, если нужно, базис). (Проективные
тензоры, III, I, 17.)
2° Сохраняются р линейно независимых уравнений:
**** = <> (* = 1 р).
3° Сохраняются линейные многообразия (ei, ..., ер) и (ep+i, ..., ew).
Следует ввести два сорта индексов; одни обозначить латинскими
буквами, другие — греческими (см. III, I, 8).
11. Указать преобразования в СЛ, которые сохраняют две различные
квадратичные формы.
12. Найти преобразования в С3, сохраняющие x1x^x^t и
преобразования, сохраняющие х1 [(*2)2 + (-*3)2].
[Алгебраические формы, сохраняющиеся при преобразованиях
транзитивной подгруппы группы G п% будут определены позднее для п = 2 и 3
(И, аффинная геометрия)].
13. Показать, что квадрат объема параллелепипеда, построенного в Еп
на п векторах х^ хЛ, имеет величину
хх xi' х2 • • • xi * хп
2
Х2 ' Х1 Х2 • • • х2 ' Хл
I Хп * Х1 Хп " Х2 * * * Хп I
Вывести отсюда запись соотношения, связывающего расстояния между
парами точек множества из (п + 2) точек в Еп.
14. Рассматриваются преобразования из Qn, которые с точностью до
множителя сохраняют форму
gWixbxk (det I gjik I Ф 0, gHfc = gkh)
(группа гомотетий, или подобных преобразований); ghjc после
преобразования с определителем А переходит в g'h1t =■ Д2£лл = ^Shk-
Полагают ghkXk = xh, откуда выводится правило преобразования
индексов.
Оказалось интересным (пространство Вейля, III, I) обобщить понятие
тензора, считая тензором геометрический объект, компоненты которого
зависят от ковариантных или контравариантных индексов и умножаются на Х^
при гомотетии. Число р называется весом тензора. Координаты вектора xh
рассматриваются как тензор, имеющий вес нуль. Тензор g^ имеет вес 1,
так же как и ковариантные компоненты вектора х^. Тензор ghk имеет
вес — 1. Величины Xjjx^x^ можно рассматривать как ковариантные
компоненты вектора веса нуль.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ
87
15. Косые эвклидовы метрики. Принимая в Сп в качестве
основного тензора тензор gf^ с определителем j g^ | ф О, не обязательно
симметричный, полагают
ghk*k = xh
и рассматривают х^ как ковариантные координаты вектора с контравариант-
ными координатами хК Определяют gh^ с помощью формул (10.5'), откуда
следуют правила преобразований индексов тензора. Полагают х- у = xhy^
{следовательно, вообще, х • у Ф у • х). Подгруппой группы Q п относительно
этой метрики будет подгруппа, которая сохраняет билинейную форму х • у.
Изучить частный случай, когда х2 = 0 для всякого х.
16. Произведение вращений и произведение
кватернионов. Вращение вокруг оси, определенной ее направляющими
косинусами а, р, y и углом 2ср, будет представляться кватернионом
q = et cos cp + sin cp (ae2 + Ре3 + 7е4).
Показать, что произведение двух вращений, представленных соответственно
кватернионами q и q', представляется кватернионом q О Ч' (см*
упражнение 9).
17. Тензорные емкости и плотности. В пространстве Сп
контравариантный антисимметричный тензор порядка п называется
скалярной емкостью. Он определяется величиной его главной компоненты
t1* 2 Л = с. Тензорной емкостью называется произведение такого
тензора на произвольный тензор, например
Л 4J'.
Эта тензорная емкость определяется величинами cSj .
Антисимметричный ковариантный тензор порядка п называется
скалярной плотное/пью. Он определяется величиной его главной компоненты
tx 2 ^ Л = d. Как и выше, определяются тензорные плотности. Эти
понятия представляют интерес в математической физике.
Глава III
ДОПОЛНЕНИЯ К АНАЛИЗУ: ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРУППАМ ЛИ И К ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
1. Внешние дифференциальные формы. В гл. I (§ 22) мы
определили касательное линейное пространство в точке (л:1 хп)
многообразия Vn как центро-афинное пространство Сп,
определяемое переменными dxh; допустимые замены переменных
(1.1) y* = fh(x\ ..., х«), где ||g-
¥■0,
дают, действительно,
<*-%&<*■
К различным точкам окрестности 7° рассматриваемой точки
многообразия Vn (или к точкам пространства Rn), если окрестность 7°
достаточно мала, что всегда можно предположить, можно
присоединить объекты касательного пространства; тогда в окрестности 7*
будет задано поле объектов; таким полем будет, например, поле
тензоров tlhlc (х1 хп), компоненты которых в общем случае
зависят от точки (л:1 хп). Мы хотим изучить здесь поля
внешних форм, в которых переменными будут дифференциалы dxh;
внешней дифференциальной формой степени р (^п) мы будем
называть выражение вида
(1.2) (0 = 2^ hp(xx xn)dx^/\dx^/\ ... /\dxhP =
= а) (х | dx).
Мы видели (II, 8), что всегда можно принять в качестве
коэффициентов а%х h компоненты антисимметричного тензора ( \
и можно было бы сказать, что понятия, которые мы будем
вводить, относятся к полям тензоров этого рода; но формализм
внешних дифференциальных форм для нас предпочтительнее.
Удобно говорить, что функция переменных xh (инвариант, или
тензор нулевого порядка) будет дифференциальной формой нулевой
степени.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 89
Мы предположим, что коэффициенты ahlt..., л имеют
непрерывные частные производные до некоторого порядка т\ допустимые
замены переменных (1.1) будут тогда класса Qf™. Порядок т
в дальнейшем не уточняется: надо предполагать его
достаточным для выполнимости операций, которые мы будем описывать,
или для теорем существования, на которые мы будем ссылаться.
По определению, мы будем называть внешним дифференциалом
формы о форму степени р+1
(1.3) d«> = 2idahl,...thpAdxh>A ••• Л dx%
[если речь идет о функции / (дифференциальной форме нулевой
степени), то df будет дифференциалом этой функции].
Это определение будет действительно полезным только в
случае, если мы докажем, что при преобразовании формы w(x\dx)
в форму <t)(y\dy) посредством (1.1) внешний дифференциал du>
переходит во внешний дифференциал dm. Это следует из
нескольких простых замечаний, которые интересны и сами по себе.
Заметим прежде всего, что внешний дифференциал от
дифференциала функции равен нулю. Действительно, полагая
МЫ ВИДИМ, ЧТО
(1.4) Л-^ЗГОГ^Л^'^
Это можно записать также в форме
d(df) = 0.
Пусть теперь о и б — две внешние дифференциальные формы
соответственно степеней р и q\ тогда
(1.5) d(o,A9) = rf(oAH(— If<*> Л db.
Действительно, полагая
o) = 2^... h dxh>A .-• Adxhp;
Q = 2lbkl...kqdx**A ... f\dx\
получим
со Л 8 = 2 Дь,... п bkl... ft dx^ Л • • • Л dxhP Л dx** Д ... Л dx\
90
ВВЕДЕНИЕ
откуда, в силу определения (1.3),
<*(» Л в) = 2 bkl... kq dahi... hp Л <***' Л ... Л Ак*« +
+ S Л*.... л <***,... ftg Л d**1 Л ... Л ^*ff =
=(S^ft.... hp Adx^A • • • Л dx*p)A(2bkl...*qdx**A - - • Л<**4+-
+(— if (2^...л/^Л ... Adxhp)A&dbkl...kqAdxk>... Л*Л)»
ибо, чтобы поместить дифференциал dbkl,,.k на то место, которое
он должен занять во втором члене, надо совершить р перестановок
и каждая из них будет менять знак.
В качестве частного случая получаем из формулы (1.5),
обозначив через а функцию, что
(1.5') d (шо) = a da)-f- da А <° = #do) + (—1)ро) Л da\
мы видим также, что равенства rfo) = 0 и dQ — О имеют
следствием d(a) Дб) = 0.
Рассмотрим теперь одночленную форму.
(1.6) * = dPAdf*A ... Adf*.
где все fh—произвольные функции; тогда do) = 0. Действительно,
это верно для р = \ (1.4); допустим, что это верно для р—1,
и положим
dPA ••• Adfp = e-
тогда можно записать w = df1 А в и формула (1.5) даст do) = 0.
Возвращаясь к форме (1.2), мы имеем в силу (1.5')» будут ли xh
независимыми переменными или нет,
du> = %dahl... hp A dxh> A • • • A dx% +
-h%ah>...bpd(dxb>A ... Adxnp).
Это выражение в силу предыдущего результата приводится к виду (1.3),
а это и есть то, что мы хотели доказать.
Наконец, из того, что для каждой формы вида (1.6) do) = 0,
и из очевидной дистрибутивности внешнего дифференцирования по
отношению к сложению следует теорема (Пуанкаре):
Для каждой внешней дифференциальной формы о1)
d(da)) = 0.
*) Справедлива и обратная теорема (см. упражнение 1).
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 91
Напомним еще следующую формулу, обобщающую хорошо
известные формулы Грина и Стокса1):
(1.7) Jo) = Jrfo),
F(D) В
где о) — форма степени р, D означает область размерности р+1,
F(D) — ее граница; излагать здесь допущения относительно области
и ее границы и условий ориентации неуместно.
2. Система Пфаффа. Теорема Фробениуса. Рассмотрим в
открытой окрестности 7° некоторой точки многообразия Vn
дифференциальную систему, называемую системой Пфаффа, образованную
из &(<я) линейных дифференциальных форм
п
(2.1) о>*=2 аЦх1 xn)dxh = 0 (a=l k),
которые мы всегда можем предполагать линейно независимыми,
допуская, например, что определитель |а*| (Л=1 k) отличен
от нуля в окрестности 7°.
Говорят, что г-мерное многообразие
(2.2) **> = /* (У уг)
будет интегральным многообразием, или интегралом системы (2.1),
если после замены хп и dxh их выражениями в виде функций
от у1 и dylt получаемых из (2.2), все формы со* относительно dyl
обратятся тождественно в нули (а = 1, ..., k).
Из этого определения следует, что всякое подмногообразие,
содержащееся в интегральном многообразии, само будет интегральным.
*) Пусть, например (в классическом случае и в классических
обозначениях),
<» = Pdx + Qdy + Rdz,
где Р, Q, R— функции от х, у, z\ тогда
rfco = dP Л dx + dQ Л dy + dR Л dz =
-(£-£h^+(#-£b*"+(£-§)*-<*
и формула Стокса запишется в виде
( Pdx+Qdy + Rdz= С f dP Adx + dQ Ady + dR /\dz.
С s
Здесь С — замкнутая кривая с выбранным направлением обхода,
S—двусторонняя поверхность, на которой соответствующим образом выбрана одна
сторона (по правилу, изложенному в любом курсе анализа).
92
ВВЕДЕНИЕ
Не может существовать интегральное многообразие более чем
п — к измерений, так как в точке такого многообразия
дифференциалы dxh не могли бы удовлетворять к линейно независимым
соотношениям.
Нас будут интересовать исключительно интегральные
многообразия размерности п — k, и мы будем говорить, что система (2.1)
вполне интегрируема, если через каждую точку окрестности У*
проходит единственное (п — k)-мерное интегральное многообразие.
Так как для всякого интегрального многообразия системы (2.1)
формы о)а тождественно равны нулю, то внешние дифференциалы
этих форм тоже равны нулю. Это сводится к тому, что всякое
решение системы линейных уравнений (2.1) относительно
дифференциалов dxh будет также решением системы d(ma = 0, так как,
поскольку система (2.1) вполне интегрируема в окрестности 7*,
такое решение эффективно представляет вектор линейного
многообразия, касательного в точке хп и интегральному многообразию,
проходящему через эту точку.
Присоединив теперь к совокупности (2.1) формы, которые мы-
будем обозначать тоже через o)e (a = fc+1, ..., я), такие, что п
форм (оа будут линейно независимыми в окрестности 7°, и выразив
линейно дифференциалы dxh через оа, мы можем написать
du>* = 2 сРт<ор Л <*>т (с^ + с^ = 0).
Но формы rfa)a должны обращаться в нуль вместе с формами со"
(а=1, ..., k)\ следовательно, коэффициенты с^ равны нулю для
Р = £-|-1 п; поэтому мы можем сказать1):
Чтобы система (2.1) била вполне интегрируема, необходимо
существование линейных форм 6* таких, что
к
(2.3) Ао«=2юРЛ0р («=1. •••• *)•
P-i
Эти условия также и достаточны (теорема Фробениуса); прежде
чем приступить к доказательству этой теоремы, сделаем несколько
замечаний.
1° Всякая замена переменных сохраняет соотношения (2.3).
2° Если придать переменным х1, ..., xV постоянные значения
jc1 хР и положить dxx= ... = ^л;2:=0, то система (2.1),
!) См. также выше (гл. II, упражнение 5). Условие (2.3) может быть
записано в форме
<^ Л ... Л <«>* Л d<*>« = 0 (a = .l к).
Можно выразить, вообще говоря, условия интегрируемости, записав,
что эти формы тождественно равны нулю.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 93
удовлетворяющая условиям (2.3), перейдет в систему,
удовлетворяющую аналогичным условиям, которые получаются заменой в (2.3)
переменных х1 хр выбранными значениями, а дифференциалов
этих переменных—нулями.
3° Всякая система, алгебраически эквивалентная системе (2.1),
удовлетворяет соотношениям вида (2.3), если им удовлетворяет
система (2.1).
Действительно, такая система имеет вид
_ к
<2.4) ш»-=2^(*1 • *п)»р *(<1ефр|^0 в Г); .
и в силу (1.5) "••;.....
dZ* = 2 bldit? — 2 ^ A db\ = 2 b\tf A 9? — S ®* A db* =
= 2»7л№—л;Ь
получив теперь из (2.4)
о>а = 2'£ра)Р»
будем иметь
р(йй* = 2 «>* л bj [*gtf—л:] = 2 ^5 Л й.
м»« -
Переходим теперь к доказательству сформулированного выше
результата. Мы видим прежде всего, что система (2.1) вполне
интегрируема при 6 = л— 1 (п — k= 1), так как, поскольку система (2.1)
разрешима относительно п—1 переменных dxht она эквивалентна
системе
dxh (h t .
''# ~~~ Х*{х\ ..., хп) — ''' W—i /г),
т. е. системе обыкновенных дифференциальных уравнений; допуская,
как обычно, что параметры а удовлетворяют надлежащим условиям
(например, что они имеют непрерывные частные производные), мы
получим, что через всякую точку окрестности 7° проходит один,
и только один, интеграл системы (2.1), определяемый первыми
интегралами
yh(x1 хп) = с*
(ch — произвольные постоянные; h=\ п—1).
Применяя индукцию, предположим, что результат уже доказан
для пар п и k, таких, что п — k=p—1 (р>1). Рассмотрим
систему (2.1), удовлетворяющую уравнениям (2.3) и такую, что
л — k=p; положим в ней хп = х%9 dxn = 0 (x% обозначает
константу, такую, что в 7° существуют точки с хп = х%); система (2.1)
94
ВВЕДЕНИЕ
становится тогда вполне интегрируемой системой с п — 1
переменными (х1 хп-х), которая допускает ft различных первых
интегралов, скажем
у* (х1, ..., xn~l) = const (а = 1 ft).
Предполагая теперь (этого всегда можно добиться), что
det
ду«
дх*
ФО в Т (а, р=1 ft),
можно в системе (2.1) заменить переменные ха, выразив их через у*
(а=1 ft) и оставив все остальные переменные хк+1, ..., хп
без изменения; система (2.1) будет тогда эквивалентна системе
dya = 0 при хп = х%, dxn = 0, а это означает, если снова ввести;
переменные хп и dxn, что система (2.1) эквивалентна системе
(2.10 <De=dy« — z*dxn=0 (а=1, ..., ft),
где все z*— функции от (у1, ..., ук, хк+1 хп).
Но система (2.1') удовлетворяет условиям (2.3); это дает, если
обозначить через тй линейные дифференциальные формы,
dua = — dz* Л dxn =
=-twdy^dxn-%^dxlAdxn=
p=i i=k+i
к п к
Р=1 1=к+1 р=1
Последнее равенство возможно только при
dz«
dxi
= 0 (а=1, ..., ft; / = ft+l. .... п— 1);
следовательно, 2а будут функциями только от уа и л;п; система (2, Г)
будет поэтому системой обыкновенных дифференциальных
уравнений относительно переменных у* и хп.
После интегрирования мы получим, следовательно, что
система (2.1) эквивалентна системе вида
dua—0 (a=l, . .., ft),
что и доказывает теорему.
В качестве примера рассмотрим условие, при котором линейная
дифференциальная форма о будет полным дифференциалом; для
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 95
этого необходимо, чтобы уравнение
dy — о) = 0
было вполне интегрируемо; необходимое условие do) = 0 будет,
в силу теоремы Фробениуса, также и достаточным.
3. Группы Ли. Инфинитезимальные преобразования.
Относительные и абсолютные компоненты. Рассмотрим г-параметри-
ческую группу Ли (г > I)1), действующую в окрестности 7° точки
многообразия Vn (или пространства Rn)\ в обозначениях (1,16) эта
группа будет определяться уравнениями
3.1) x'h=yb(x1 xtl\a1 ar) (h=l п)
с законом композиции
(3.2) с* =9* (а1 аГ\Ь1 br) (А=1 г),
что мы будем также писать короче:
х' = Та(х); ТьТа=Тс.
Мы будем изучать группу в окрестности одного из ее
преобразований и начнем с окрестности тождественного преобразования,
которое, как мы предположим, получается при ах= ... =аг = 0.
При преобразовании, близком к тождественному со значениями:
параметров dah, точка хп преобразуется в точку
г h
(3.3) x* + ixh = xh + ^?l-<*Wlda* (A=l п).
Эти равенства определяют геометрическое соответствие между
векторами аффинного пространства, касательного к многообразию'
параметров группы в точке а1= ... =ar = 0t и векторами
аффинного пространства, касательного к многообразию Vй в точке xh.
Если обозначить через Tda это соответствие, то формулы (3.3)
дают правило композиции этих преобразований, называемых
бесконечно малыми, или инфинитезимальными, преобразованиями группы;
это правило пишется в виде TdbTda=Tda.hdbt так что
преобразованием, обратным к преобразованию Т^, будет T_da.
*) Мы будем предполагать, что эти г параметров существенны, т. е. что-
у группы не меньше г параметров.
Случай, когда г = 1, не представляет трудностей; он будет рассмотрен,
в упражнении 4.
96
ВВЕДЕНИЕ
Можно иначе объяснить формулы преобразований (3.3), вводя
скалярное поле /(л:1 хп) и рассматривая инвариант
п г
(3.30 8/= S^T^= ^Xk(f)idaK
где положено
(5.4) ^w-id3¥ да а^г-J-
Форма (3.3') получается, как мы видим, заменой в функции /
переменных xh через x'h [формула (3.1)], нахождением
дифференциала этой функции, причем xh предполагаются фиксированными,
а в окончательном результате параметры а1 аг полагаются
равными нулю; эта формула показывает, что при заданных xh
величины Xk(f) будут компонентами ковариантного вектора в
пространстве, касательном к многообразию параметров в точке
а>= ... =а' = 0.
Вообще, инфаяатезимальным преобразованием называется
всякий оператор над функциями /(х1 хп), имеющими непрерывные
первые частные производные, вида
п
Х(/) = %ФНх1 *»)^-;
это, следовательно, линейный однородный оператор; всякая
линейная комбинация инфинитезимальных преобразований будет инфини-
тезимальным преобразованием.
Формулы (3.4) дают г инфинитезимальных преобразований,
линейно независимых (мы в этом убедились), присоединенных
к группе (3.1); еще недавно рассмотрение этих преобразований
было первой необходимостью в теории групп; но в этой книге
мы будем употреблять их не очень часто.
Пусть теперь cR — репер, §la = TaSl — подвижный репер группы.
Преобразованием, переводящим репер cRa в репер e&a+da* будет
Ta+daTai; если его отнести к реперу eRa, то оно будет иметь вид
TZ1{Ta+daTaV)Ta = Ta1Ta+da. Это преобразование близко к
единичному; обозначим его через Т{й(а\аау где &(a\da) — вектор в
линейном пространстве, касательном к многообразию параметров
в точке а (а1 аг)\ этому преобразованию соответствует
в силу (3.3) бесконечно малое преобразование вида
(3.5) bf=^^(a\da)Xk(f)t
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 97
где все (uk(a\da) будут линейными дифференциальными формами
(относительно дифференциалов dak), которые называются
относительными компонентами репера cRa.
Формы (о* линейно независимы в каждой точке многообразия
параметров, ибо если записать для данного а
что сводится к равенству
*a+da== 'a*db>
то задание дифференциалов dbk позволяет вычислить
дифференциалы dak, поскольку дело касается группы; величины dbk можно,
следовательно, выбрать произвольно, что и доказывает наше
утверждение.
Отсюда следует также, что инфинитезимальные
преобразования Xk(f) линейно независимы в том смысле, что никакая
их линейная комбинация с постоянными коэффициентами не
может быть равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю.
Действительно, если
S^*(/)=o
вдоль кривых, таких, что
iuk(a\da) = \kdt,
где dt означает дифференциал новой переменной, то Та остается
фиксированным и группа будет зависеть менее чем от г параметров.
Вернемся теперь к преобразованиям Ta+daTa =^(aicia)' п03в°-
ляющим перейти от репера cRa к реперу Sla+da, но отнесенными
к реперу gR0; мы будем записывать bf в виде
и будем называть формы о)л абсолютными компонентами репера
группы; доказывается, как выше, что они линейно независимы.
Мы сейчас увидим, как можно вычислить абсолютные
компоненты репера Sla, исходя из относительных компонент.
Полагая Та1 = Т~, имеем (поскольку здесь идет речь о
бесконечно малых величинах, удерживаются лишь выражения, линейные
относительно дифференциалов)
'a+da'a —' a+da1a * a+da1 a+da-da j a ' a-da*
98
ВВЕДЕНИЕ
Это тождество позволяет написать
о) (а | da) = — о (а \ da),
или, поскольку а и а входят в это равенство симметрично,
со (а | da) = — а) (а | da).
Эти формулы позволяют переходить от относительных компонент
к абсолютным, и наоборот (в дальнейшем мы будем использовать
почти исключительно относительные компоненты).
Вычисление относительных компонент подвижного репера
производится следующим образом: «полагая
Х + Ъх=Та1Та+*а(х),
имеем
Ta(x + lx) = Ta+da(x).
Отправляясь от (3.1), можно записать это равенство в виде
h=l ft-1
эту систему разрешают относительно дифференциалов bxh и вносят
последние в выражение
которое должно быть выражением типа (3.5); в частности, мы имеем
г
(3.7) &*ь = 2(Л^(л;Ь).
fc-i
Абсолютные компоненты вычисляются аналогично, если ввести
координаты точки Т^х(х).
Заметим, наконец, что если рассматривать неподвижную точку х^
то ее относительные координаты хп в репере §1а удовлетворяют
равенствам
x* = vh(x\a)t
откуда
Л=1 Л=1
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 99
Сравнивая это равенство с соотношениями (3.6) и (3.7), получаем-
г
(3 8) dxh + 2 <ЛХ* (*h) = 0;
v ' fc-i
это дифференциальная система, которой удовлетворяют относительные
координаты неподвижной точки многообразия Vn.
4. Первая теорема Ли. Существование относительных (или
абсолютных) компонент для инфинитезимальных преобразований
подвижного репера группы означает, что функции срл удовлетворяют
некоторым уравнениям в частных производных (которые нет
надобности выписывать); обратно, можно себя спросить, будет ли
существование относительных (или абсолютных) компонент для
инфинитезимального преобразования Та Ta+da (или Ta+daTal) иметь
следствием существование их и для множества преобразований,
таких, как (3.1); но предварительно необходимо уточнить
постановку проблемы.
Мы будем рассматривать теперь в некоторой окрестности на
многообразии Vn совокупность преобразований вида (3.1), где
параметры ак (& = 1, ..., г) пробегают окрестность TV* точки
пространства (а1, ..., аг), например начальной точки ак = 0; затем мы
определим в этой точке инфинитезимальные преобразования Xk(f)
посредством уравнений (3.3) и (3.3'); мы будем предполагать, что
операторы Xk(f) линейно независимы (в смысле, указанном в § 3).
Вычислим теперь значения Ъхп при помощи формул (3.6) и внесем
их в дифференциал 8/ = 2j л~1Г ^xh* если ПРИ любом а £7^° можно
написать
V = 2V(*|A0**(/).
fc-i
где Xk(f) те же, что и выше, то мы скажем, что
инфинитезимальные преобразования совокупности допускают относительные
компоненты (аналогичные соображения можно высказать для абсолютных
компонент). Чтобы увидеть, что вытекает из такой гипотезы, мы
будем продвигаться по этапам.
1° Рассмотрим в многообразии Vn семейство реперов eRa,
получаемых из репера cR^, присоединенного к преобразованию 70, которое
соответствует началу пространства параметров ак, и обратим внимание
на два семейства реперов §1и и §tv, содержащихся в семействе eRa
(и и v — краткие записи для обозначения совокупности независимых
переменных), и предположим, что существует взаимно однозначное
соответствие между реперами §1и и §lv, определяемое
преобразованием Т (принадлежащим или не принадлежащим семейству Та) таким
100
ВВЕДЕНИЕ
образом, что
cRM = TSlv
или что эквивалентно,
(4Л) TU = TTV.
Мы имеем, следорательно, также
' u+du=1 * * v+dw
откуда
(4,2) / и Ти+аи = Тv Tr+(jV.
Положим теперь
о>* [а (и) | da (и)] = кк (и \ du)t mk [a (v) \ da (v)] = р* (v j dv)\
равенство (4.2) запишется тогда в виде
(4f3) Tzk(u\du) = f{v\dv) (k=l, ..., г);
это равенство показывает, что взаимно однозначное соответствие,
рассматриваемое между и и v, устанавливает равенство
относительных компонент реперов этих двух семейств.
Обратно, равенства (4.3) влекут за собой равенство (4.2), которое
можно записать также в виде
*u+du*v+dv == *UTV I
это соотношение показывает, что ТиТ„х есть фиксированное
преобразование 7\ откуда и следует (4.1); мы получили, таким образом,
следующую теорему, основную для дифференциальной геометрии, где
изучение семейств реперов играет важную роль:
Чтобы фиксированное преобразование Т позволяло перейти
от репера одного семейства §1и к реперу другого семейства §lvt
необходимо и достаточно, чтобы можно было найти взаимно
однозначное соответствие меоюду параметрами и и v, приводящее
к равенству относительных> компонент репера §1^ и репера eRv.
2° Если }fi — константы, то система
(4.4) a>k(a\da) = \kdt
позволяет вычислить dak/dt\ наложим еще на коэффициенты форм ю*
условие, обеспечивающее существование и единственность решения
системы (4,4), скажем, в окрестности точки ak = 0 (й = 1, ..., г)
и £ = 0; для определенности предположим, что коэффициенты всех тк
являются аналитическими функциями параметров ак.
В силу известных результатов из, теории систем
дифференциальных уравнений, в многообразии (я1 аг) существует тогда такая
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 101
окрестность начала ЖхаЖ, что для всякой точки а^Ж1 и для
всякой системы параметров \к, нормированных посредством
неравенства вида
(4.5) 2(^)2<^2.
где т — достаточно малое число, система (4.4) допускает одну,
и только одну, интегральную кривую, содержащуюся в окрестности 75^°,
выходящую из точки а (а1, ..., аг) и определенную Для значений
параметра t в сегменте 0<^/<;i; эти кривые образуют окрестность
Ж°аЖ начала; мы потребуем, кроме того, чтобы те кривые,
которые выходят из начала и образуют, следовательно, окрестность этой
точки, покрывали окрестность Ж1.
3° Пусть теперь а (а1 аг) и b{bl br) — две точки
окрестности Ж1; существуют две системы констант \к и |Afc,
удовлетворяющие неравенству (4.5) и такие, что соответствующие интегралы
системы (4.4) ak(t) и bk(t)t определенные в интервале 0<;/<;1>
удовлетворяют условиям
а*(0) = 0, ак(\) = ак, £*(0) = 0, bk(\) = bk.
Если исходить из точки а, то система (4.4), где \к заменены
на \ьк, будет допускать решение ск (t) (0 ^ t *С 1) с ск (0) = ак;
положим ск(\) = ск\ точка ск принадлежит окрестности Ж0.
Возвращаясь к преобразованиям Та и реперам cRa, мы поставим
в соответствие реперу §lb(t) репер gRC(# [b(f) и c(t) означают
соответственно точки bk(t) и ck(t)]\ относительные компоненты реперов
этих двух семейств равны; следовательно, в силу 1°, можно перейти
от репера §lb (<) к реперу 31с (<) посредством преобразования, не
зависящего от t и совпадающего с тем, которое позволяет перейти
от репера gR0 к cRa; пусть, например, Sa = TaTo1\ мы имеем
cRa = Sa3l0,
Полагая t = 1, мы получим далее
cRe = SacR& = SaSb&l0 = 5ccn0 \SC = TCT0 ),
что дает
{TaTo1) (ТьТо1) = TcTol (a, Ь£Ж\ с£ Ж%
Таким образом, произведение двух преобразований Sa и Sb, где а
и b принадлежат окрестности Ж1, есть преобразование Sc, где с
принадлежит окрестности Ж0.
4° Отправляясь теперь от окрестности Ж1, можно установить
таким же образом существование окрестности начала TJ^2, такой
102
ВВЕДЕНИЕ
что произведение двух преобразований Sa и Sb, где а и Ъ принадлежат
окрестности Ж2, будет преобразованием Sc, где с принадлежит
окрестности Ж1, отсюда следует, что произведение из /?(^4)
преобразований Sa, где все а принадлежат окрестности Ж2, есть
преобразование Sc, где с принадлежит окрестности Ж0. Можно
повторять это рассуждение и определить окрестность Ж*1 начала,
такую, что произведение из p(^.2q) преобразований Sa, где все а
принадлежат окрестности ТУ*1, будет преобразованием Sc, где с
принадлежит окрестности Ж0. Такая совокупность преобразований
образует ядро группы.
Таким образом, совокупность преобразований Та вообще не
образует ядра группы, но если Т0 означает какое-нибудь
преобразование совокупности, то ToTq1 образуют его; в частности, если
совокупность Та содержит тождественное преобразование, то это —
ядро группы. Можно, наконец, сформулировать первую основную
теорему теории групп, принадлежащую Софусу Ли, в форме,
которую ей придал Э. Картан:
Теорема. Чтобы непрерывное семейство преобразований,
зависящих от конечного числа параметров, обладающее обратными,
содержащее тождественное преобразование, было ядром группы,
необходимо и достаточно, чтобы инфинитезималъное
преобразование его подвижного репера обладало относительными
компонентами.
Замечания. 1° Мы оперируем в окрестности одного
преобразования Т0 совокупности Та и пользуемся только локальными
результатами теории дифференциальных уравнений; вот почему
в окончательной фоРмУлиРОвке мы говорим только о ядре группы,
а не о всей группе.
Чтобы можно было говорить о группе, следовало бы обеспечить
возможность продолжения положений репера cRa, а также
преобразований Та: здесь вступают в силу вопросы глобальной теории,
которые мы оставляем в стороне. Заметим, однако, что пространство
группы Ли есть многообразие и что всякое преобразование группы
получается перемножением конечного числа преобразований,
принадлежащих некоторой окрестности тождественного преобразования.
2° Мы исходили из существования относительных компонент
для смещений репера cita; тот факт, что преобразования Sa образуют
ядро группы, показывает, что бесконечно малое смещение репера cRa
обладает также абсолютными компонентами. Мы видим, следовательно,
что существование относительных компонент влечет существование
абсолютных компонент; обратная теорема тоже верна; следовательно,
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЮЗ
в предыдущей теореме можно заменить относительные компоненты
абсолютными.
3° Пусть дано г инфинитезимальных преобразований ^(/)
(& = 1 г), относительно которых мы знаем, что они являются
инфинитезимальными преобразованиями группы; можно, следовательно,
поставить задачу образования ядра группы.
Рассмотрим для этого дифференциальную систему
где Vе обозначают произвольные константы; рассмотрим окрестность
точки Xfc = 0, где эта система допускает единственный интеграл
xh = xh (t), определенный в интервале 0 < t ^ 1 и принимающий
при t = 0 значения хп = хь (0), содержащиеся в окрестности 7°
многообразия V™. Точке xh(0) сопоставим точку xh{\)\ мы имеем, таким
образом, совокупность преобразований, зависящую от г параметров
и принадлежащую группе; они образуют, следовательно, ядро этой
группы, так как содержат тождественное преобразование,
получающееся при Х* = 0.
б. Группа параметров. Рассмотрим группу параметров (просто
транзитивную), присоединенную к группе преобразований (3.1) и
изоморфную ей, определяемую уравнениями (3.2), которые мы
коротко запишем в виде
(5.1) с = Ра(Ь).
Если сохранять а фиксированным, то это соотношение
показывает, что между b и с существует взаимно однозначное соответствие,
переводящее репер cRft в репер gRc; мы имеем вследствие (4.3)
(5.2) ^(b\db) = ^(c\dc) (£ = 1 г).
Но если b и с заданы, то существует преобразование Ра, для
которого имеет место соотношение (5.1), так как группа параметров
транзитивна; уравнения (5.2) выражают, следовательно, предложение;
Линейные дифференциальные формы
u*(a\da) (k = l г)
инвариантны относительно преобразований группы параметров.
Поскольку эти формы независимы, всякая дифференциальная
форма, линейная относительно da1, может быть записана в виде
г
а) (а | da) = 2 ел (я) <»к (а I da)>
к=1
104
ВВЕДЕНИЕ
где все бл(а) являются функциями от а1; для того чтобы такая
форма была инвариантна относительно группы, необходимо, чтобы
для любых а и Ъ имело место
г г
2в*(л)ю*(а|йа) = 2вй(*)ю*(*|й*),
или, в силу (5.2),
г
2[9*(я) — еЛ(*)]ю*(а|А0 = 0,
что дает, поскольку формы оЛ линейно независимы, Qjt(a) = dk(b),
т. е. что функции вк (а) должны быть постоянными. Таким образом:
Всякая дифференциальная форма, инвариантная относительно
преобразований группы параметров, является линейной
комбинацией с постоянными коэффициентами форм wk(a\da).
Отсюда следует, что если рассматривать две группы
преобразований, имеющих одну и ту же группу параметров, то относительные
компоненты реперов второй группы будут линейными комбинациями
с постоянными коэффициентами относительных компонент первой.
Выясним, наконец, каковы будут преобразования пространства
параметров, которые оставляют г форм а)Л инвариантными.
Рассмотрим для этого систему Пфаффа из г уравнений
относительно 2г переменных
(s>b(b\db) — «>b(c\dc) = 0 (А> = 1 г).
Через точку (Ь0, с0) проходит интегральное многообразие Ра(Ь) = с
размерности г(=2г — г), где а определяется посредством
соотношения Ра(Ь0) = с0. Эта система, следовательно, вполне интегрируема,
и мы видим, что в этом случае (§ 3) через точку (Ь0, с0) проходит
одно, и только одно, интегральное многообразие г измерений; при
этом уравнение Ра(р0) = с0 определяет только одну точку а, так
как группа просто транзитивна; следовательно:
Всякое преобразование пространства параметров, оставляю-
щее инвариантными формы о>Л, есть преобразование группы
параметров.
Замечание. Если обозначить буквой J преобразование
пространства параметров, которое переводит точку а в точку а (Г-=Т~
и, следовательно, У=У-1), то совокупность преобразований
Qa = JPaJ
образует вторую группу параметров; мы имеем аналогичные
результаты, но уже с абсолютными компонентами вместо относительных.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 105
6. Уравнения структуры Эли Картана. Если линейные
дифференциальные формы (Qk(a\da) с г переменными а1 линейно
независимы, то все dak могут быть линейно выражены через о)л; отсюда
следует, что внешние дифференциалы dmfi могут быть линейно
выражены через внешние произведения о)*Да)*, и мы будем писать
г
dts>k(a\da)=--~ J] tfm(a)rf(P\da)A<*m(a\da)9
где
(6Л> tL-HL = 0 (в частности, Тк = 0)-
С другой стороны, если группа параметров оставляет
инвариантными формы о)л, то она оставляет инвариантными и их внешние
дифференциалы (§ 1); мы имеем, следовательно,
2 [т?«(*)—TL(*)]a)'(alrfa)A^w(«l^) = o,
lf m
что дает
tL(«)=tL(*).
т. е. все rfm будут постоянными, которые называются постоянными
структуры группы1), и мы напишем, наконец,
г
(6.2) d<o* = l ^ ТЙУЛ»-.
эти уравнения называются уравнениями структуры Картана2).
Мы имеем, таким образом, условия, необходимые для того,
чтобы г линейных форм были относительными компонентами репера
группы. Эти условия также локально достаточны; действительно,
мы покажем, что если г линейно независимых дифференциальных
форм с- г переменными удовлетворяют системе вида (6.2) с
постоянными коэффициентами rfm, то преобразования, которые оставляют
их инвариантными, образуют в окрестности тождественного
преобразования ядро группы.
1) Принимая во внимание (6.1), мы видим, что число постоянных
структуры равно г* (г —1)/2. _
2) Оперируя с абсолютными компонентами ш&, найдем также уравнения
структуры:
106
ВВЕДЕНИЕ
Действительно, рассмотрим систему Пфаффа
(6.3) ic* = »*(ft|d&) — a>k(c\dc) = 0 (fc=l г)
с 2г переменными Ь1 и с*; эта система вполне интегрируема, так
как из уравнений (6.2) легко получить
d*k = i I] Т*« 1^Л«>т(Ь | rfft) — тг^Л<*>'(с | Л)];
таким образом, условие (2.3) удовлетворено. Следовательно,
существует интегральное многообразие г измерений, проходящее через
произвольно заданную точку некоторой окрестности точки
пространства (Ь, с) размерности 2г, где условия регулярности для
коэффициентов форм соЛ обеспечивают существование и единственность
такого интеграла. Форма уравнений (6.3) показывает, впрочем, что
можно взять в качестве этой окрестности произведение
окрестности У(Ь0) в пространстве Ъ на такую же окрестность 7°(с0)
в пространстве с, если принять Ь0 = с0.
Общая интегральная поверхность определяет тогда преобразование
вида (5.1), зависящее от г параметров ак (& = 1 г), которое
оставляет инвариантными формы о)Л; эта совокупность преобразований
содержит тождественное преобразование, определяемое точкой Ь0 = с0.
Эта совокупность образует, следовательно, ядро группы;
полученный результат составляет вторую теорему Ли, в той форме,
которую придал ей Картан:
Теорема. Чтобы преобразования, оставляющие инвариант-
ными г линейно независимых дифференциальных форм аак с г
переменными (а1 аг), образовывали ядро группы, необходимо
и достаточно, чтобы эти формы удовлетворяли уравнениям
структуры вида (6.2).
Рассмотрим, наконец, г линейных дифференциальных форм w* (u\du)
с переменными (и1 us) (s*Cr) и предположим, что, подобно
формам (ak(a\da), они удовлетворяют уравнениям структуры (6.2);
система Пфаффа с г -\-s переменными
(о* (a\da) — со* (и \ du) = 0
вполне интегрируема, в чем можно убедиться, как выше;
следовательно, по крайней мере в некоторой окрестности пространства
переменных айв некоторой окрестности пространства
переменных и можно провести через каждую точку (а, и) интегральное
многообразие 5 измерений. Это значит, что можно найти такие
функции ак{и) (&=1 г), что ак(и0) = ак, где точки а0(=ак) и
переменные и выбираются произвольно.
Рассмотрим теперь формы &k(a\da) как относительные
компоненты инфинитезимальных перемещений репера ядра группы преобразо-
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ю7
ваний; тогда этот результат будет означать, что существуют
семейства реперов с s параметрами, инфинитезималъные
перемещения которых имеют компонентами формы a>k(u\du). Эти семейства
зависят от координат а0, т. е. могут получаться одно из другого
посредством преобразования группы (этот последний результат был
уже получен в § 4).
Замечание. Кроме соотношений (6.1), постоянные структуры
удовлетворяют другим соотношениям, которые можно получить,
записывая d(dwk) = 0; это дает
1,т 1,т
= 2 T*m d(flZ Л со"» = j 2 Т&Лг*'»1' Л »m/ Л <»w =
= ж 2 Г2 №&..+TzVtL-™+тйЛо! шГ л 0,,п' л **•
ш, Г, w' L I J
поскольку формы о)Л линейно независимы, отсюда следует в силу (6.1),
что
(6.4) g(TS.7,,v+^TS..,.+ T^7,«,0e=O <*• ''• m> ж'=1 г>'
Можно доказать (третья теорема Ли), что соотношения (6.2) и (6.4)
необходимы и достаточны для того, чтобы постоянные f*m были
постоянными структуры группы.
7. Уравнения структуры классических групп. 1°
Проективная группа. Установим несколько элементарных понятий;
л-f-l геометрических точек пространства Рл, скажем тг, с
координатами х\ (k, 1 = 1 ft-f-1) называются линейно
независимыми, если
(7.1) det \х* | = [тг тп+1] Ф 0;
это означает, что эти точки не принадлежат линейному
многообразию размерности п—1. Детерминант (7.1) определен с точностью
до множителя (=£0), когда заданы эти п-\-\ геометрических точек,
так как их координаты задаются с точностью до множителя.
Репер §10 в пространстве Рп образован п-\-\ линейно
независимыми точками и еще одной точкой, относительные координаты
которых заданы (всегда с точностью до множителя). Таким образом,
если рассматривать точки тг с координатами 8*, то эти точки сами
по себе не образуют репера; надо еще задать, например, точку
108
ВВЕДЕНИЕ
тп+2 с координатами (1 1), которая не принадлежит
никакому линейному многообразию размерности п—1, определяемому п
точками из тг. Совокупность реперов, имеющих базой точки
щ (/=1 п-\-1), зависит от п параметров; можно представить
их в виде
где можно принять, например, tv t2 ... tn+l — l, что означает
отождествление реперов
[Щ гпп+1] и [tmv . .., tmn+1l
Рассмотрим теперь преобразования
п+1
(7.2) х'п = 2 <£**. Д = det | а\ | Ф 0;
нас интересует здесь не совокупность этих аналитических
преобразований, а совокупность геометрических преобразований, которые
им соответствуют; два аналитических преобразования с
геометрической точки зрения тождественны, если геометрической точке хп
они ставят в соответствие одну и ту же геометрическую точку хгП.
Мы видим, что условие, необходимое и достаточное* для того, чтобы
это было так, состоит в том, чтобы коэффициенты этих
преобразований были пропорциональны: af^ = ta^t откуда Д' = tn+1 Д. Мы
получаем, следовательно, связную компоненту единицы в группе
геометрических проективных преобразований, полагая х)
(7.3) A = det|a*| = l,
причем остаются произвольными п(п-\-2) параметров.
Отправляясь теперь от фиксированного репера cR0, мы можем
задать переменный репер eRa координатами п-\-\ точек, которые
его определяют (а не п + 2, как было раньше); репер 31а+аа будет
определяться относительными координатами точек, которые его
определяют и которые записываются в виде
">*(* 1*0 + 8*. (/*, ft = l д + 1),
где о)£—линейные дифференциальные формы. Эти (я+1)2 форм
с /г (я+ 2) переменными связаны между собой посредством соот-
!) Мы получаем все преобразования проективной группы для п четного
(пространство Рп неориентируемо). Для п нечетного (пространство Рп
ориентируемо), группа несвязна; кроме связной компоненты тождественного
преобразования (Д = 1), существует другая компонента, которую можно
нормировать, полагая А =* —1.
ГЛ. Ш. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ю9
ношения, выражающего, что А=1, а именно
П+1
det {o)ft (a|da)+ ^} = 1+2 a>2 +члены 2"го порядка,
1
что дает
п+1
(7.4) 2^ = 0.
Точка тк имеет дифференциалом х)
п+1
записывая, что d(dmk) = 0, находим
п+1 п+1 п+1 / п+1 \
коэффициент при ть следовательно, равен нулю; откуда, меняя
обозначения, имеем
Л+1
(7.5) <Ч = 2ЧЛ<
Вместе с соотношением (7.4) эти уравнения образуют
уравнения структуры проективной группы.
2° Аффинная группа. В пространстве Ап% структура
которого задается посредством уравнений (I, 20.1)
отправляясь от репера cit0, определенного началом (хъ = 0) и осями
координат Охь, переменный репер можно образовать заданием
начальной точки m и п линейно независимых векторов eft (k=l п),
и, как выше, можно записать
(7.6)
П
dm = 2 ю*еЛ,
п
dek = ^^eh,
Л-1
*) Эту краткую запись мы будем постоянно употреблять вместо
П+1
dxk = H<4A e=i n+i).
1
по
ВВЕДЕНИЕ
где о)л и о)|—линейные дифференциальные формы от п (п -j- 1)
переменных а% и bh. Условия интегрируемости немедленно дают
уравнения структуры
[ Л
(7.7)
ft=i
■
Уравнения структуры пространства Сп получаются, если точку m
зафиксировать в начале координат (о)Л = 0); это будут уравнения
второй системы (7.7).
Для унимодулярной группы, det | а% | = 1, необходимо
прибавить к (7.7) соотношение
(7.8) 2Х = 0.
3° Группа движений. Эта группа является подгруппой
аффинной группы; к уравнениям (7.7) надо присоединить те, которые
получаются, если принять во внимание соотношения
е*-&Л*-( i (Д = Л)>
или
что дает
(7.9) (0* + ц)£ = 0;
таблица форм о)£ кососимметрична [в частности, а)£ = 0, откуда
следует (7.8)].
8. Элементы касания, погруженные в многообразие.
Продолжение группы преобразований. Рассмотрим многообразие v
измерений V\ погруженное в многообразие Vй (у < п), определяемое,
например, уравнениями
(8.1) *л = фЛ(я1 «г) (А=1, ..., /г);
мы будем предполагать, что функции фЛ имеют непрерывные
частные производные до порядка N «Соо) и что матрица
£|| <*=! * a=l,...,v)
имеет ранг v в некоторой окрестности пространства Rm точек {и1 и*);
обобщая то, что мы сказали в (I, 22), будем называть элементом
касания размерности n и порядка р «! N) для многообразия V\ по-
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Щ
груженного в многообразие Vя, в точке и (и1 и*) совокупность
хь% dxh, d2xh dPxh (h=\ n)\
она может быть задана посредством частных производных
dqxh
ди*1, ...tduq я
Выполним над переменными (иа)-замену переменных группы 3 :
«•=с(в1 *о [-щ5у=*0];
из равенств
dxh J m V4 dxh
^=££>-=£^
a-1 o=l
следует, что
(8-2) wr_^-sr^'
и эти формулы определяют центро-аффинное пространство,
касательное к многообразию Vv в точке хп как подпространство центро-
аффинного пространства Сп, касательного к Vй.
Для производных высшего порядка закон преобразования более
сложен; например, для вторых производных имеем
8 3. д V* _ у d2xh да?* ди& . у дхп аУ
Pi» Pi P
Мы будем называть элементом касания порядка р и размерности vr
погруженным в Vn, совокупность чисел вида
[ [h = 1 /г; av 0^ ap = 1 v),
где матрица ||l£|| имеет ранг v и числа ?£ a (q^Cp) не зависят
от порядка индексов (at ap) (иначе говоря, величины Sajt(4f...,a
обладают теми же свойствами симметрии, что и частные
производные порядка q функции от v переменных).
В силу элементарных свойств функций от v переменных, тогда
существуют многообразия V\ погруженные в Vm, т. е. функции фл,
такие, что при значениях и\ и^ переменных имеем
112
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим теперь другой элемент касания того же порядка и
той же размерности:
(8.5) (н;) т\ <,..., < ^
Мы будем говорить, что он равен элементу (Sj,) (Sp = Hj,),
если существуют такие постоянные
4 <„ < ,р с det|a£|^0 (P. at ap=l v),
где а? имеют те же свойства симметрии по отношению к ин-
дексам ах ад, что и частные производные порядка q функции v
переменных, и такие, что
ч* = 2 &Р,«+2^
(8.6)
•ajOj,
a,^,
Это определение, означает, что после замены параметров,
принадлежащей к группе 3jn, на многообразии V*, допускающем элемент
касания, определяемый числами системы SJ, этот последний будет
определяться числами системы By, из этого замечания следует (но
это также легко доказать непосредственно), что отношение
равенства, которое мы только что определили, есть отношение
эквивалентности.
Допустим теперь, что многообразие Vn может быть снабжено
структурой группы О, определяемой уравнениями (3.1) и (3.2), и
присоединим к многообразию Vn эту структуру.
Два многообразия Vv и V*, погруженные в многообразие Vя,
будут называться равными, если можно перейти от одного
к другому преобразованием группы О; основная задача
дифференциальной геометрии в многообразии Vn, снабженном такой
структурой, состоит в том, чтобы характеризовать классы ийтранзитивности
в совокупности многообразий V\ которые допускают в каждой точке
элемент касания . достаточно высокого порядка1) — порядка, для
которого легко указать верхнюю границу в каждом частном случае
(при заданных Vn и G).
Доминирующая идея решения этой задачи состоит в
присоединении реперов к элементам касания многообразия VH
1) Мы не ставим здесь задачей отыскание наивысшего порядка
элементов касания, для которых многообразие Vй является носителем в заданной
точке. См. по этому поводу следующую главу (I. I).
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИЗ
в каждой из его точек и продолжении группы точечных
преобразований (3.1) в преобразования, оперирующие также а над
элементами касания по формулам
(8.7)
п
k,l
Иначе говоря, элементу касания (8.4) посредством
рассматриваемого преобразования ставится в соответствие элемент касания
EpV = Ep(a), определяемый числами системы
(8.8)
V.~~ Zj djcft, djc*t ' "■ ~*~ ^ ~~dxk ?ot» "■'
С законом композиции (3.2) преобразования (8.8) образуют,
очевидно, группу, оперирующую над заданными элементами касания
размерности v и порядка р. (Можно, впрочем, полагать р = оо.)
Важно отметить, что двум равным элементам касания Ер и Нр
преобразование (8.8) ставит в соответствие равные элементы
касания Ер и Нр; это легко обнаружить простым подсчетом
(упражнение 8).
Мы приходим к новому понятию: два элемента касания Щ, и Ер
будут называться равными в многообразии Vnt снабженном
структурой группы G (или просто равными), если существует
преобразование группы О, переводящее Щ> в элемент касания, равный
элементу Ер в предыдущем смысле (когда многообразие Vn не имеет
никакой иной структуры, кроме топологической); это новое понятие
также будет эквивалентностью.
Снабжение элемента касания репером будет производиться по
изложенным ранее принципам (I, 17), которые мы сохраним в силу
причин, важных для дальнейшего.
Допустим для определенности, что группа О действует транзи-
тивно над точками многообразия Vn; мы будем называть репером
нулевого порядка элемента касания Ер совокупность реперов,
присоединенных к точке lh (если cit0—основной репер,
присоединенный к точке х%, то совокупностью реперов нулевого порядка
будет 7gR0, где Т означает преобразование группы О, переводяще.е
114
ВВЕДЕНИЕ
точку х% в точку $л). Эти реперы преобразуются один в другой
посредством преобразований подгруппы G0czG (изоморфной
подгруппе, сохраняющей точку х^\\ если подгруппа О0 не связна, то
мы начнем с ориентации точек многообразия Vn, чтобы оставить из
подгруппы О0 только ее связную часть, содержащую тождественное
преобразование. Подгруппа О0 определяется приравниванием нулю
/*о = л (^г) линейных однородных комбинаций из форм о)Л; она
зависит от г — г0 параметров. Мы ее продолжаем в группу (линейную),
действующую над элементами $« по формулам (8.8); если эта группа
не действует транзитивно над этими величинами, мы ее разобьем на
классы, которые реперируем с помощью инвариантов (порядка 1).
Затем будем рассматривать подгруппу Ог подгруппы О0,
сохраняющую заданный элемент $*, причем оставим только связную
компоненту тождественного преобразования, ориентируя, если это
необходимо, элемент касания первого порядка. Подгруппа Ох
определяется приравниванием нулю гх — г0 линейных однородных
комбинаций форм о)Л, отличных от г0 предыдущих; таким образом,
подгруппа Ох будет зависеть от г — гх параметров. Реперы первого
порядка получатся, если мы будем действовать на выбранный репер
среди реперов нулевого порядка преобразованиями группы Gv
Теперь этот метод ясен: мы будем продолжать реперирование
элементов касания второго порядка таким же образом и так далее.
Мы остановимся на порядке р или на порядке w «^p), таком, что
группа Qw сведется к одному только тождественному
преобразованию (rw = r) и компоненты порядка выше w будут инвариантами.
Существует только один репер порядка w.
Важно отметить, что порядок w, вообще говоря, ограничен.
Поскольку матрица тгН имеет Ранг v» B Действительности можно
взять в качестве переменных, которые будут представлять
многообразие V4 в окрестности 7°, v переменных xhf например v первых
переменных; тогда будем иметь £« = &£ (а, (5=1 v).
Записывая, что заданный соотношениями (8.8) элемент SJ равен
элементу Е^, имеем
[0] E* = <p*(5|a),
Р=1 к = 1
Г21 V Ё?в а$Ф-4- V EW — V *тМ61*) .кф у 0^(6|а)£*
Р..Р. р klfk9 к
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 115
Из строчки [0] мы возьмем г0 = п соотношений между
величинами а, определяющими группу G0. Из строки [1] мы получим,
полагая h = 1 v,
„Р — д^ л- V д^ Рк'
а*~~дх^^~ 2и дхк' Ка '
откуда следуют условия
<м> Е^й+Е^*)-
Между тем, поскольку величины Ер имеют произвольные
значения, эти условия не будут тождественно удовлетворены в силу
уравнений строки [0], ибо это означало бы, как легко видеть, что
дсрЛ/дл:Л == 0, что невозможно, так как det | д<ръ1дхк | =£ 0. В
совокупности соотношений (8.9) существует, следовательно, по крайней
мере одно новое соотношение между величинами а. Из
соотношений строки [2] мы получим затем величины а\^ и, как выше,
придем к заключению, что вообще между величинами а существует
по крайней мере еще одно соотношение сверх тех, которые уже
получены.
Следовательно, вообще снабжение элементов касания реперами
будет закончено раньше, чем мы достигнем порядка г.
Обозначим через г±— г0 наибольшее число независимых
соотношений между величинами а, заданными посредством
уравнений (8.9) и независимых от г0 соотношений, данных уравнениями
строки [0J; элемент касания, для которого этот максимум
достигается, называется обыкновенным элементом (размерности v)
первого порядка.
Точно так же, если г2 — гх — наибольшее число новых
соотношений, получаемых из соотношений строки [2J, то элементы
касания, для которых этот максимум достигается, называются
обыкновенными элементами второго порядка; и так далее, вплоть до
порядка w «; г), при котором подгруппа Gw сводится к тождеству.
Обыкновенный элемент касания размерности n и порядка w
называется обыкновенным элементом размерности v.
Чтобы число различных соотношений между величинами а,
которые можно получить из равенств строчек [1J, [2] не
достигало максимумов гг— г0, г2 — гх необходимо, чтобы
координаты соответствующих элементов касания удовлетворяли известным
соотношениям; такие элементы касания будут называться особыми.
116
ВВЕДЕНИЕ
Они могут быть разных типов; тип элемента касания
характеризуется последовательностью (sv s2, ...) чисел независимых
соотношений между величинами а, получаемых последовательно из
строк [1], [2], ...; эти числа, начиная с некоторого ранга, будут
все равняться нулю; обозначив этот ранг через w' +1» будем иметь
если имеет место равенство, то элемент касания — конечного типа;
если имеет место неравенство, то он бесконечного типа; в этом
случае группы Qw будут все одни и те же, начиная с некоторого
ранга, и не приведутся к тождественному преобразованию.
Наконец, необходима еще последняя операция. В совокупности
обыкновенных элементов касания размерности v продолженная
группа вообще не действует транзитивно, в силу существования
инвариантов; отождествим среди них элементы одного и того же
класса транзитивности; тогда {и в этом цель рассуждения
настоящего параграфа) продолженная группа вплоть до порядка w будет
просто транзитивна во множестве обыкновенных элементов ка-
сания размерности v.
Рассмотрим теперь фиксированный обыкновенный элемент касания
\o&w) о£ » o^«i» • • •
и присоединим к нему фиксированный репер gR0; пусть Т —
преобразование, переводящее (0Е^) в элемент
мы присоединим к элементу (Е^,) репер 7gR0 и будем называть его
репером Френе1).
Для особых элементов конечного типа имеют место
аналогичные соображения; для особых элементов бесконечного типа можно
надеяться только отождествить элементы касания, у которых
группы Ow одни и те же.
9. Общая теория погруженных многообразий. Рассмотрим
многообразие Vv (8.1), погруженное в многообразие Vw, имеющее
в некоторой точке обыкновенный элемент касания; в окрестности 7°
этой точки элементы касания будут также обыкновенными, ибо,
как мы видели, чтобы элемент касания был особым, необходимо,
чтобы его координаты удовлетворяли некоторым равенствам;
к каждой точке окрестности 7° мы присоединим репер Френе со-
*) Здесь #0 означает произвольно выбранный репер. Практически #0
выбирается из соображений удобства, соображений, субъективных^ при
которых нет места никаким соображениям точной теории.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ц7
ответствующего элемента касания, или, что то же, соответствующее
преобразование Т группы О.
Относительные компоненты о)л (а \ da) инфинитезимального
перемещения репера совокупности TeR0 будут дифференциальными
формами с v переменными (и1, ..., и*), и, чтобы не усложнять
обозначений, мы будем писать
шл (а | da) = о)л (и | du).
Поскольку формы Mk(a\da) инвариантны относительно
преобразований группы О, формы u>k(u\du) будут одними и теми же
для двух равных многообразий; верно и обратное, в силу первой
теоремы § 4. Таким образом, мы имеем первую теорему равенства:
чтобы два многообразия V*(u) и Vl(uJ, допускающие только
обыкновенные элементы касания, были равными, необходимо и
достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное
соответствие между (и) и (uj, при котором o)fe = a)^ (&=1 г).
Поэтому формы а)л называются инвариантными линейными
дифференциальными формами многообразия V\ Среди них v
линейно независимых; действительно, их не может быть ни меньше
чем v, поскольку и4 являются независимыми переменными, ни
больше чем v, поскольку они содержат только v дифференциалов:
du1 duv. Допустим для определенности, что w1 wv
линейно независимы, а остальные г — v форм являются линейными
комбинациями предыдущих, коэффициенты в которых будут или
постоянными (не зависящими от многообразий), или инвариантами
многообразия. В силу предыдущего результата эти инварианты
образуют полную систему инвариантов, достаточных, чтобы
характеризовать многообразие, если известны формы о1 о>\ Всякая
инвариантная линейная дифференциальная форма на многообразии Vv
будет линейной комбинацией форм w1 wv с коэффициентами
из инвариантов» Если на многообразии V* задано скалярное поле
k(ul ttv), то можно написать, поскольку формы о1 о*
независимы,
dk = kt id)1 -|- k, 2<°2 + ... + ft, Ж;
здесь функции ft, i ft, v называются инвариантными частными
производными функции ft; поскольку ft является инвариантом, они
тоже будут инвариантами.
Так как точки многообразия Vv зависят от v параметров, то
существует не более v независимых инвариантов; мы сейчас увидим»
как можно определить число независимых инвариантов.
Рассмотрим сначала соотношения
v
(9.1) шь= 2/*(«)«* (k = t-\-l г);
118
ВВЕДЕНИЕ
ч:реди инвариантов ft(и) будет некоторое число независимых; если
их будет v, то незачем идти дальше. В противоположном случае
инвариантные частные производные тех инвариантов, которые были
независимыми, могут нам дать новые инварианты и эту операцию
надо продолжать до тех пор, пока мы либо получим v независимых
инвариантов, либо же обнаружим, что инвариантные частные
производные уже полученных независимых инвариантов будут
функциями от этих последних. Конечным числом операций мы придем,
таким образом, к [х (0^[х^%) независимым инвариантам, которые
получаются из координат элементов касания порядка ^Q.
Допустим сначала, что [x = v; многообразие Vv может быть
параметризовано посредством v независимых инвариантов, и мы
предположим, что речь идет в точности о параметрах (и1 ин).
Формы (du1 dW) будут инвариантными, и мы будем иметь
тогда соотношения вида
(9.2) rf«« = 2rt(a)a>* (а=1 [*),
(3=1 Р
где gl{u) — известные функции: инвариантные частные производные
от иа; они вводят инварианты порядка Q+1.
Система (9.2) относительно форм о>Р (Р=1 v) допускает
одно, и только одно, решение, так как формы' о)Р независимы;
знание величин gl позволяет, следовательно, вычислить эти формы;
соотношения (9.1) дают затем другие формы оЛ Таким образом:
Многообразие V* с v независимыми инвариантами
определяется заданием соотношений, которые существуют меэюду
инвариантами до порядка Q+1, где Q означает наибольший
порядок независимых инвариантов.
Число Q допускает минимум, который в общем случае
достигается; соответствующие многообразия называются тогда
обыкновенными. Чтобы число tQ превосходило этот минимум, должны
удовлетворяться некоторые условия в виде равенств между этими
инвариантами; многообразия, для которых это имеет место,
называются полусингулярными.
Перейдем теперь к случаю, когда [а<Ч; мы будем обозначать jx
независимых инвариантов через (и1 и*), а через (vl9 .... v*-v) —
остальные переменные реперирования многообразия V\ причем если
нужно будет подчеркнуть различные роли, которые играют эти
переменные, то мы будем писать &k(u, v\du, dv).
Формы со* удовлетворяют соотношениям вида (9.1) и (9.2);
единственная разница состоит в том, что функции /* и g% зависят
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ц9
только от (и1 и*) и в соотношениях (9.2) индекс а меняется
от нуля до [х < v.
Формы со* удовлетворяют уравнению структуры (6.2) группы О;
принимая во внимание соотношения (9.1), можно привести эти
уравнения к виду
(9.3) drf = {S <&.(«)»VW (&' + Ux = 0).
Х,Х' = 1
где коэффициенты с£х, являются функциями от а.
Если сделать замену форм
2Р== 2а5(й)ю«. где detlftSI^O.
<х=1
то непосредственно видно, что формы 2Р удовлетворяют системе
того же вида:
(9.4) <^=т2 Clv{u)&/\QV.
X, Х'-1
В силу (9.2) мы можем, например, положить
(9.5) Qa = du« (а=1 ji); Q* = J (Р = Ц+1 *).
Рассмотрим теперь второе многообразие V* с |х независимыми
инвариантами (и* и^; пусть другими переменными
координатами на нем будут (yl fj^)» и пусть на VI, как на
многообразии V\
p-i p-i
(функции /* и £" те же самые, что и на многообразии Vv).
Положим теперь иа = и% и рассмотрим систему Пфаффа
(9.6) Q?(a, v\du, dv) — Ql(ut vjdu, dvj = 0 ф = {х + 1 v),
где формы Or определяются равенствами (9.5). Из равенств (9.4)
получаем
d (&-($ = 2 <&<о)А*Л(Ох'-*.') +
X<pt<Xf
р.<Х<Х'
120
ВВЕДЕНИЕ
Система (9.6), следовательно, вполне интегрируема, и ее общий
интеграл можно записать в сжатой форме:
(9.7) ^ = ср(«, v\ax fl^.v),
где параметры ах a^_v являются произвольными постоянными.
Но система (9.6) эквивалентна системе
о)Р(и, v\du, ck>) —о)^(и, vj\du, dvj = 0 ф = 1 ^)>
ua = ul (a=l [x);
из уравнений (9.1) следует теперь, что между точками
многообразий Vv и V\ существует взаимно однозначное соответствие,
приводящее к равенству их инвариантных форм; в силу условия (9.7)
это соответствие зависит от p = v— [х параметров. Беря, в
частности, многообразие V* тождественным многообразию V*, получаем
отсюда, что многообразие V4 сохраняется подгруппой g? группы О
с р параметрами. Эти многообразия называются особенными
относительно группы g?\ в их совокупности можно еще отличить
полусингулярные многообразия. Всякая подгруппа g9 (р < п), не
действующая транзитивно на точках многообразия Vй, порождает
особенные многообразия; геометрическое место образов точки при
преобразованиях подгрупп gp образует многообразие р измерений,
поэтому собрание таких многообразий, зависящее от ja параметров,
образует многообразие размерности v = р—[-[*, особенное
относительно группы g9.
Заметим, наконец, что для v=l уравнения структуры (9.3)
исчезают.
Особые многоооразия дают место аналогичным соображениям.
Мы сформулируем полученные выше основные результаты
в виде теоремы:
Теорема равенства. Для того чтобы в многообразии Vn,
снабженном структурой данной группы О, два многообразия v
измерений V и V\t параметризованные посредством (и) и (ujt
были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало
взаимно однозначное соответствие между параметрами (и) и
(uj, такое, что:
1° или их инвариантные дифференциальные формы будут
равны:
а>* (и | du) = w* (и, | duj (k=l г),
2° или их инварианты до порядка, на единицу большего того,
при котором появляется наибольшее число независимых
инвариантов, будут связаны одной и той же системой соотношений.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 121
Мы ограничимся случаем неособенных многообразий и перейдем
к теоремам существования.
Обратимся сначала к условиям существования неособенного
многообразия V\ допускающего в качестве инвариантных форм г
заданных форм (uk(u\du) с v переменными (и1 ttv). Прежде всего
необходимо, чтобы они удовлетворяли уравнениям (6.2); тогда в силу
результата, полученного в § 6 (перед замечанием), существует
семейство реперов, зависящее от v параметров, относительными
компонентами инфинитезимального перемещения которых будут wfc (и | du)\
эти семейства получаются одно из другого преобразованием группы.
Указанный результат еще не обеспечивает того, чтобы формы со*
были относительными компонентами инфинитезимальных перемещений
репера Френе некоторого многообразия Vv; чтобы выразить это требЬ-
вание, допустим, как выше, что формы о)1 o)v независимы, и
напишем соотношения (9.1); вводя их в уравнения (6.2), мы заметим, что
эти последние должны приводиться к системе (9.3), что даст нам первую
систему соотношений между функциями /£(#); другая система
соотношений получается внешним дифференцированием уравнений (9.3)
и пишется в виде1)
)=о.
Если формы (о* удовлетворяют всем этим условиям, то,
рассматривая репер cR0» присоединенный к неподвижной точке х%, и семейство
реперов §1и = Ти310, компонентами инфинитезимальных перемещений
которых будут о)л, мы найдем, что геометрическое место точек Т(х^\
будет многообразием V , семейство реперов cRtt которого будет
семейством реперов Френе; таким образом, справедлива следующая
теорема:
Теорема существования I. Предположим заданными v
линейно независимых дифференциальных форм оа от v
переменных иа (а= 1, ..., v) и v(r — v) функций /£(и); рассмотрим г — v
форм o)fc, заданных равенствами (9.1), и допустим, что две
системы условий интегрируемости, написанные выше, будут
удовлетворены. Тогда все формы а)а и wfc будут относительными
компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе
многообразия V\ определяемого с точностью до преобразований
группы О2).
1) Эти две системы можно рассматривать как обобщение классических
уравнений Гаусса—Кодацции в эвклидовой теории поверхностей.
*) В случае v = 1 нет условий интегрируемости.
122
ВВЕДЕНИЕ
Вернемся теперь к инвариантам (и1 tfv) и соотношениям (9.2);
они напишутся, если ввести инвариантные производные, в виде
(9.9) ti^ = g-(a).
Мы видели, что они позволяют вычислить формы o)fc; имеем поэтому
следующий результат:
Теорема существования II. Чтобы существовало
неособенное многообразие Vs', определенное с точностью до
преобразований группы О, допускающее переменные иа в качестве
независимых инвариантов, инвариантные производные которых по
отношению к инвариантным формам со* (а=1 v) даются
уравнениями (9.9), необходимо и достаточно, чтобы формы со*
и формы (оЛ, которые получаются посредством (9.1),
удовлетворяли условиям интегрируемости из теоремы I.
Замечания. 1° Полученные результаты — локальные; их вывод
предполагает существование и непрерывность частных производных
до достаточно высокого порядка, чтобы обеспечить не только смысл
проведенных рассуждений, но и возможность применения теоремы
Фробениуса.
Мы отказываемся решать проблему равенства для
многообразий Vv, которые не допускают таких представлений.
2° На заданном многообразии Vv могут существовать точки,
образующие подмногообразия меньшей размерности, элементы касания
которых сингулярны. Наши результаты не приложимы в окрестности
таких точек, и возможность продолжения через эти подмногообразия
следует внимательно рассматривать в каждом случае1).
3° Существование особенных многообразий Vv связано с
существованием подгрупп g? группы О (р <; v); вполне возможен случай,
когда они не будут существовать для р> 1.
4° Глава (I, II) посвящена изучению частных случаев проблемы
касания, которые вытекают из соображений предыдущего параграфа
и состоят в следующем. Пусть даны два многообразия V*(и) и Vl(uJ;
допустим, что их точки и и и^ совпадают. В таком случае говорят,
что два многообразия будут иметь в этой точке касание порядка q,
если их элементы касания порядка q будут равны, тогда как их
элементы касания порядка <7+1 не равны (или не существуют).
!) В элементарных учебниках по этому поводу нередко формулируются
некорректные результаты.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 123
5° Мы встретимся также с проблемой наложимости1). Два
многообразия Vv(tf) и V\{u^ называются наложимыми порядка р, если
существуют:
a) взаимно однозначное соответствие между параметрами и и и^\
b) преобразование Т (и), принадлежащее группе О и переводящее
не только и в его образ и^ но также элемент касания порядка р
многообразия Vv в такой же элемент многообразия V*, причем
координаты хп (и) и xh (иф) соответствующих точек отличаются на бесконечно
малые не ниже' (р-|-1)-го порядка по отношению к приращениям
параметров и (для достаточно большого числа р проблема
наложимости сводится к проблеме равенства).
10. Метод подвижного репера Эли Картана. Как мы увидим,
основная проблема, которая ставится для погруженного
многообразия, это проблема разыскания его инвариантных форм;
соображения предыдущего параграфа позволяют нам указать общий метод,
в общем случае длинный и тяжелый.
Э. Картан наметил в одной из своих работ2) другой метод,
который мы воспроизведем с упрощениями и изменениями, чтобы
придать ему характер почти полной автоматичности.
Реперы нулевого порядка, присоединенные к точке
многообразия Vn, зависят от г — г0 параметров; г0 = я, если группа G тран-
зитивна, что мы предположим, чтобы сделать более удобным начало
нашего изложения (в противном случае имелись бы инварианты
нулевого порядка и нужно было бы начинать с соображений, аналогичных
тем, которые мы изложим для порядка 1).
Если в группе О, после того как сделана замена параметров так,
чтобы среди новых параметров было п переменных хп (например,
xh = ar_h), мы получим относительные компоненты инфинитезималь-
ных смещений репера нулевого порядка после замены dar_h нулями,
то будут существовать п линейных комбинаций из форм о>л,
содержащих только дифференциалы этих параметров, а именно
г
(юл) **=2^(а)«* (/==1 »)•
таких, что инфинитезимальные перемещения репера нулевого порядка
получаются наложением на компоненты a)fc условий вида тгг = 0.
Впрочем, в произвольных параметрах это перемещение задается
формами о)*, связанными системой соотношений вида тг* = 0.
Заметим теперь, что система izl = 0 эквивалентна системе dxh = 0;
следовательно, она будет вполне интегрируема, и мы имеем соотно-
*) Это старое слово сегодня кажется плохо выбранным.
2) Cartan Е., La theorie des groupes finis et continus et la geometrie
differentielle traitee par la methode du герёге mobile, Paris, Gauthier-Villars, 1937.
124
ВВЕДЕНИЕ
шения вида
(10.2) Жс» = 2 tL»*V\i*-|- 2 TLkW^A»*.
X<ti<n ' X<n, fc>n
если предположить, что, впрочем, является только вопросом
обозначений, что все к1 и o)fe для & > п линейно независимы.
Рассматривая теперь многообразие Vv и заменяя хп и dxn их
выражениями в виде функций переменных (и1 av) реперлрования,
которые мы будем называть главными параметрами, заметим, что к1
содержат только дифференциалы dua (a=l v), формы o)fc
вообще зависят от г — п других параметров, называемых вторичными:
определить репер Френе — значит освободиться от этих параметров
методами, изложенными в предыдущем параграфе, если это возможно,
или привести их к наименьшему числу.
Мы будем называть главными компонентами нулевого порядка
всякие линейные дифференциальные формы, не содержащие
дифференциалов вторичных параметров; это, следовательно, будут
линейные комбинации форм к1. Всякая форма о)Л разлагается в сумму
формы, содержащей только дифференциалы главных ч параметров,
и формы ек, содержащей только дифференциалы вторичных
параметров; поскольку формы к1 не содержат таких дифференциалов,
имеем
г
(10.3) 2&** = 0 (/=1 п)\
в силу сделанных предположений формы ек независимы для k > п.
Мы будем обозначать через 8 часть дифференциалов функций,
состоящую только из дифференциалов вторичных параметров.
Среди форм ъ1 только v форм будут независимыми, например v
первых, и мы имеем соотношения вида
v
(10.4) «»=2фс« (/ = v+l я);
а=1
уравнение (10.2) принимает теперь вид
(10.20 Жс*= 2 /L(a\c)^A^+ 2 /[к(а\с)^Л*к.
X < У- < v X < v, ft > п
где fl —полином второй степени относительно с™ и /*Л—полином
первой степени.
Внешнее дифференцирование уравнений (10.4) дает теперь
2 ду a^+IM^a»*=
=- 2 *V\ dc\+2 4(2 П^л*» -h 2 /^хл «>*),
ГЛ. Ш. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 125
+ 2„(/и-2«Л).*]=о.
Так как формы т:х независимы, то в силу теоремы Картана (II, 9)
квадратные скобки будут линейными комбинациями форм тгх с
симметричной матрицей коэффициентов; следовательно, эти скобки не
содержат дифференциалов вторичных параметров, и мы имеем
(Ю.6) ц+ 2 (/L-2*i/IfeV*=o.
Эти уравнения дают дифференциалы величин с\ при изменении
вторичных параметров, т. е. они представляют инфинитезимальные
преобразования группы О0, оперирующей над этими параметрами.
Существует v(n— v) величин с[, их совокупность образует
пространство #v(n~v), и в общем случае это пространство не при-
надлежит к числу тех, над которыми группа О0 оперирует
одинаково над всеми точками.
Пусть т — максимум размерности многообразий, описываемых
образами некоторой точки при преобразованиях группы О0;
совокупность точек, которые описывают многообразие размерности т,
вполне возможно, не заполняет пространство; это множество также
может не быть связным. Тогда в пространстве существуют точки,
которые описывают многообразия размерности меньше т\ в этом
множестве можно выделить множество таких точек, преобразования
которых группой О0 порождают многообразие наибольшей
размерности (< т), разделить их на связные множества и т. д. *)
Следуя этим указаниям, мы разобьем пространство #v(w~v)
на связные множества, порождающие многообразия одной
размерности; в силу результатов предыдущего параграфа число этих
множеств конечно.
Если группа О0 действует транзитивно на точках такого
множества, мы выберем фиксированную точку как представляющую
J) Вот два примера, когда эти особенности осуществляются:
a) В эвклидовом пространстве (л:1, х*, л:3) рассмотрим группу винтовых
движений вокруг оси Охв; все точки пространства будут описывать цилиндры
вращения, кроме точек оси Oxs; всякая точка имеьт представителем ^^0,
х* = 0, л:» = 0.
b) Для группы подобий одного переменного (х' = kx) точки х > 0 и
х < 0 порождают многообразия размерности 1; нельзя перейти от одного
из этих множеств к другому, не переходя через точку О, которая остается
фиксированной (порождает многообразие нулевой размерности); можно
принять в качестве представителей классов точки х = 1 для х > 0, х = — 1 для
х < 0 и х = 0.
или
(10.5)
126
ВВЕДЕНИЕ
это множество. Если нет, то мы будем представлять каждый класс
транзитивности посредством инвариантов: инвариантов порядка 1 этого
многообразия.
После того как коэффициенты с\ будут, таким образом,
фиксированы (это будут константы или функции от инварианта первого
порядка), мы должны будем положить в уравнениях (10.6) &с* = 0;
они дадут тогда некоторое число независимых соотношений между
формами ек, которые показывают, что формы, стоящие в
квадратных скобках в уравнениях (10.5) не содержат более вторичных
параметров, так что число их уменьшится после этих операций; это будут
соотношения
(ю.7) 2 (Л*-2<£Я*К=°-
к>п\ а )
которые вместе с уравнениями (10.3) образуют гх независимых
соотношений между ек.
Тогда будет существовать гг— п независимых главных
компонент первого порядка (не зависящих также и от компонент нулевого
порядка); это будут линейные комбинации форм, стоящих в скобках
в уравнениях (10.5):
A=d&+ 2 (А*-Ъс\Я*У+ 2 (Л*-2*«Я*И>
где нужно заменить дифференциалы dclx на
v
24.*".
вводя инвариантные производные от с* по отношению к формам те*.
С другой стороны, в силу теоремы Картана имеем
(ю.8) 4 = 24**' (4«=4х)-
а=1
Группа Qx получается теперь приравниванием нулю, кроме форм
(10.1), форм я*; эта система Пфаффа вполне интегрируема; мы
имеем, следовательно, уравнения вида (10.2), но в функциях / будут
встречаться также с\, с\ а, сгХа, и индексы k будут принимать только
г — /*! значений (можно предположить теперь, что k > rt).
Внешнее дифференцирование даст систему, аналогичную системе
(10.5), затем систему, аналогичную системе (10.6), и далее мы будем
поступать, как выше, определяя реперы второго порядка. Мы будем
продолжать это построение до тех пор, пока или не останется
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 127
вторичных параметров, или же уравнения, аналогичные системе
(10.7), станут тождествами.
Если это имеет место для порядка р, то группа Ор+1 совпадает
с группой 00; уравнения (10.8) дают просто инвариантные
производные до порядка р по отношению к формам гса; приведение не
может произойти, так как реперы порядка выше р совпадают с
реперами порядка р.
Если нет более вторичных параметров (Ор = Gw сводится к
тождественному преобразованию), то внешнее дифференцирование
уравнений (10.8) дает условия интегрируемости; если остаются вторичные
параметры, то это показывает, что в каждой точке многообразия Vv
элемент касания будет сингулярным бесконечного типа, многообразие
будет особым.
Замечания. 1° Каждому из множеств особенных точек в f^^n~^
и каждому из множеств точек, которые, возможно, придется
выделять в эвклидовых пространствах, вводимых на каждой стадии
приведения, соответствуют в принципе категория многообразий V\
отличная от других; однако может случиться, что число этих
категорий можно уменьшить соображениями ориентации.
2° На стадии р определение группы Ор часто не бывает
необходимым; если рассмотреть уравнения вида (10.6) и положить
где Ек — подходящим образом выбранные константы, то возможно
отсюда получить указания, позволяющие выбрать некоторые
константы е\ или выделить некоторые инварианты. Если это так, то
число уравнений вида (10.6) сократится, так же как число
независимых форм ек\ так можно действовать шаг за шагом.
3° Метод, который мы изложили, дает соотношения между
формами сол и инвариантами общего многообразия этой категории;
для многообразия заданной параметризации разыскание инвариантных
форм сводится всегда к процедуре, описанной в начале этого
изложения: введению переменных xh как параметров в уравнения группы
(или некоторых из них, если группа не транзитивна). Можно
употреблять с этой целью различные способы; наиболее обычный
состоит в вычислении некоторых алгебраических форм от
дифференциалов (обычно квадратичных или кубичных), которые
образуют, исходя из инвариантных линейных форм.
Примеры таких процедур можно найти во второй части этой
книги, которая, по сути, не что иное, как ряд приложений этих
теорий к частным случаям.
128
ВВЕДЕНИЕ
Упражнения
1. Всякая дифференциальная форма со, такая что dco = 0, является
внешним дифференциалом некоторой формы 0.
Решение. Пусть р — степень формы со, л — число ее переменных;
теорема верна для р — 1 (§ 2); положим
со = dX1 Л °*Х 4~ ш2>
где coj и со2 более не содержат dx1; тогда, в силу равенства dco = О,
da2 = dx1 Л d^i-
Рассматривая х1 как постоянную, получим dco2 = 0; если допустить, что
теорема верна для форм с числом переменных менее п, то при х1 = const,
т. е. dx1 = 0, имеем со2 = d%, а при dx1 Ф 0 можно написать
со2 = d% + dx1 Л ^з»
где 82 и со3 не содержат ^Л Тогда имеем
со = d*i Л К + <*>з) + dK
если предположить, что теорема верна для всех степеней </?, то
coj -|- со3 = dbi + rfJfl Д со4
и, наконец,
со = dxi Л <*91 + dh = ^ (-*1 <*0i + в*)-
Остается доказать этот результат для формы
со = a dx1 Л • • • Л <*■**
(этот результат — локальный).
2. Написать относительные компоненты инфинитезимальных
перемещений подвижного репера и затем соответствующие инфинитези.
мальные преобразования для следующих групп.
a) Группа линейных подстановок одного переменного: х' = ах + Ь.
b) Группа проективных преобразований одной переменной:
, ах + b . , , 1Ч
х' = j1—г- (ad — bc=\).
cx + d v '
с) Группа движений на плоскости:
Хг = X COS a — у sin a + Ь,
у' = х sin а -|- У COS a-\- с.
Проверить подсчет, выписывая уравнения структуры, которые можно
получить из результатов § 7.
3. В пространстве £" всякое инфинитезимальное преобразование
является комбинацией преобразований
хь=ш- х*ь=хПш-хкшн (Л'*=1 **<*)•
4. Определение групп. 1° Однопараметрические группы.
Имеется только одна относительная компонента со; уравнением структуры
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 129
будет d& = 0. Полагая <*> = da, видим, что всякая группа с одним параметром
будет локально изоморфна абелевой группе переносов: с = а + Ь. Всякая
непрерывная группа, которая не будет глобально изоморфна этой группе,
может получиться только отождествлением одного из предыдущих
преобразований с тождественным преобразованием, например с = Ь0 + а. Тогда
имеем компактную группу: она изоморфна группе вращений около точки
на плоскости.
2° Двупараметрические группы. Имеются две относительных
компоненты ©1 и со* и
^о)1 = ftw1 Л <«Л do>2 = Y2W1 Л ^2 (Yi> 7г — произвольные константы)*
Если 7i = 72 = О» то группа локально изоморфна группе параллельных
переносов:
^ С2 = #2 "Г *2'
Если fi» 72 не равны нулю одновременно, то линейная подстановка
с постоянными коэффициентами над формами col, со2 позволяет ограничиться
рассмотрением случая: Yi = 0, 72 = — 1- Положим о>1 = dajau тогда можно
показать, что форму <*>* можно привести к виду
о a da1
Тогда группой параметров будет
+ *2
Эта группа локально изоморфна группе линейных подстановок одного
переменного.
5. Об инфинитезимальных преобразованиях. 1° При
заданных двух инфинитезимальных преобразованиях
*(/)-2«»с*' **)&. у(л-2**й
показать, что (X, Y) (/) = X (Y (f)) — Y (X (f)) будет также инфинитезималь-
ным преобразованием (надо показать, что в этом выражении вторые
производные от / исчезают).
Показать, что при заданных трех инфинитезимальных преобразованиях
имеет место тождество (Якоби)
(X, (Y, Z)) + (Yt(Z, X)) + (Z,(X,Y)) = 0
(достаточно развернуть эти скобки). Можно заметить, что закон композиции
инфинитезимальных преобразований порождает алгебру, которая не будет
ассоциативной.
2° Система (3.8)f которой удовлетворяют относительные компоненты
неподвижной точки пространства Vnt снабженного структурой группы G
dx*+ 2 **Xk (*») = 0 откуда rf/= — 2 »*** (/) 1
*-i L ft-i J
130
ВВЕДЕНИЕ
вполне интегрируема; с помощью уравнений (6.2) отсюда получается, что
Km Ik J
откуда, так как формы а^Д©*» линейно независимы, квадратные скобки
обращаются в нуль; а поскольку xh являются независимыми переменными,
то имеем тождества (Ли):
к
6. Группы, оперирующие над одной переменной, Пусть
ХьГ=Фк(х)^ (*-1 г)
— независимые инфинитезимальные преобразования, определяющие группу
действующую над х; получаем
Используя замену переменных и линейные комбинации, можно
предположить, что
Ф1 = 1, Фк = хПк+ ...,
так что
Следовательно, число щ — 1 должно принадлежать к последовательности
чисел щ, и этой последовательностью будет 0, 1, 2 г—1.
Из равенства
(Xr-bXr)f = (x*r-i+...)£1
получаем, что
2г — 4<г — 1, т. е. г<3.
Для г = 1 имеем группу переносов.
Для г = 2 находим посредством комбинаций, что можно принять
и получаем группу линейных подстановок.
Для г — 3 заключаем аналогично, что можно принять
X9j-Xdx~> Хъ~х 57'
и приходим к группе проективных преобразований (§ 7).
7. Пространство группы. Так называют топологическое
пространство, гомеоморфное многообразию параметров группы Ли. Мы видели,
например (упражнение 4, 1°), что существуют два групповых пространства
одного измерения: пространство R1 и окружность РК
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 131
1° Пространствами групп движений в £2 и Еъ (пространствами
эвклидовых кинематических геометрий соответственно двух и трех измерений)
будут r*xp\ ^хяхя1.
Можно еще принять в качестве реализации первого пространства
пространство Яъ(х\ Л х% отождествляя точки (х\ х\ л:3) и (х\ х*, лгз -f- 2^тс)
(k — целое).
2° В пространстве £3 цилиндр и тор будут групповыми пространствами,
сфера не будет таким пространством (последний результат доказывается
из топологических соображений, которые выходят за пределы нашей темы)
8. Проверить, что преобразования (8.8) сохраняют равенство
элементов касания (случай элементов касания второго порядка, затем общий
случай).
9. Многообразие Vn снабжено структурой группы G— прямого
произведения двух групп Gx и (72; предполагается, что G действует
транзитивно на точках Vnt но что для G± это неверно. Действуем
на заданную точку всеми преобразованиями группы G^ показать, что
элементы касания, получаемого при этом многообразии, будут
бесконечного типа.
10. Многообразие Vй снабжено структурой группы G, которая
оперирует транзитивное ее действие продолэюается на многообразие
уп ^ ур Путем сопоставления точке (х, у) (х £ Vй % у £ Vp) посредством
преобразования T$G точки (Тх, у). Построить теорию многообразий
Vv (v < п), погруженных в многообразие Vn X Vp> предполагая
построенной теорию проектирования их в многообразие Vn.
Пример. Теория пространственных кривых в пространстве R* (х1, х\ л:3),
снабженном структурой группы плоских движений в (х\ л:2).
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
ПРЯМАЯ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I
ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
1. Проблема параметризации. Общие соображения. Чтобы
использовать дифференциальное исчисление, мы ограничили множество
канторовых многообразий многообразиями Vn, каждая точка которых
п
имеет окрестность, гомеоморфную шару 2 (*л)2 < 1 пространства Rn,
1
и которые являются дифференцируемыми до некоторого порядка т
(О, I, 12), называемого классом многообразия (говорят:
многообразие класса Ст).
На таком многообразии возникает только одна задача
параметризации— задача в целом: разыскание максимума числа т или
определение, будет ли это многообразие аналитическим или нет. Эта
проблема не решена.
Предполагая заданным многообразие Vn класса Ст, не имеющее
другой структуры, мы можем строить на нем только прямую
дифференциальную геометрию, порождаемую локальной группой ®г«
(О, I, 22), где q^m. Впрочем, поскольку мы будем заниматься
только локальными задачами, мы можем выбрать т произвольно
(даже взять группу t/l, так как шар п измерений является
аналитическим множеством). Мы можем даже взять пространство Rn
вместо Vn.
Если многообразие Vn снабжено структурой группы Ли О, то
никакой проблемы параметризации в общем случае не возникает.
Показать это можно только с помощью допустимой (адекватной)
системы координат. Но даже если система координат не является
допустимой, то отыскание такой системы не представит серьезных
трудностей х).
Напротив, если присоединить к Vn структуру, определяемую
одной или несколькими инвариантными дифференциальными формами
(обыкновенными 2 или внешними), то возникает проблема локальной
параметризации: найти систему локальных координат так, чтобы
коэффициенты дифференциальных форм структуры имели возможно
!) См. упражнение 1.
?) Обыкновенный дифференциал определяется в курсах анализа.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 133
более высокий порядок дифференцируемости [или стали
аналитическими; мы вернемся позднее к вычислению этих локальных
инвариантов (часть III)].
2. Вложенные многообразия. Основной локальный инвариант.
Обыкновенные точки. При изучении многообразий, погруженных
в некоторое пространство, немедленно возникает задача
параметризации: чтобы быть допустимым в дифференциальной геометрии,
многообразие V\ погруженное в V", должно иметь, как мы видели
(О, III, 9, примечание 1), элемент касания определенного порядка
в каждой точке, кроме, быть может, некоторого множества точек,
существование которых не мешает изучению всего многообразия,
когда такое изучение предпринято; структура этого
(исключительного) множества должна в каждом случае уточняться.
Мы говорили, что многообразие Vv имеет в точке т0 с
координатами х% элемент касания порядка р, если окрестность 7° (/я)
точки т на многообразии l/v допускает параметрическое
представление вида
(2.1) х* = х*(а1 a") (h=l п),
где точка т соответствует значениям (и* trf\ параметров,
функции xh имеют непрерывные частные производные до порядка р во
всякой окрестности точки и% в пространстве и* и, кроме того,
матрица г)
(2.2) |(2£) I (A=lf ..., л; а=1 v)
II ч диг 'о ||
имеет ранг \. Точка т из Kv называется тогда обыкновенной
порядка р (по крайней мере). Она будет в точности точкой порядка р,
если она не будет обыкновенной точкой порядка ^-р+1. В
прямой геометрии не может быть другого различия. Как мы уже
видели (О, III, 8), это понятие инвариантно при преобразованиях
группы др
(2.3) J = iP(ui9 ..., a*) (p=l, .... v),
1) Последнее условие должно обеспечить существование линейного
многообразия Cv, касающегося V в точке т, в линейном многообразии Сп,
касающемся Vй в той же точке. Поскольку
*"*-2 (£).*■
а
и дифференциалы dua произвольны, эти соотношения определяют линейное
многообразие v измерений в силу условия, наложенного на матрицу (2.2).
134
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
det
=£0 (р = 1 v).
где функции г>* имеют непрерывные частные производные до
порядка р и
(2.4) С^-1^0.
Если точка т многообразия Vv задана, то задачей, которая здесь
возникает, будет задача определения порядка тривиальности
(гладкости) /?, это — основной локальный инвариант в
дифференциальной геометрии.
Так как матрица (2.2) имеет ранг \, то по крайней мере один
определитель порядка v этой матрицы отличен от нуля, например
\ди*
Поскольку функции дх$/диа непрерывны, этот определитель будет
отличен от нуля в целой окрестности точки (и*\. В силу одной из
теорем теории неявных функций существует окрестность этой точки,
где соответствие между х$ и иа эзаимно однозначно, и можно тогда
выразить и* в виде функции от х$, причем эти функции будут иметь
непрерывные частные производные до порядка р, если это имеет
место для выражений х$ через и*.
Многообразие будет тогда определено уравнениями вида
xh = fn(x\ ..., **) (A = v+1 п),
где функции fh будут иметь непрерывные частные, производные по
крайней мере до порядка р включительно, и максимум этого
порядка и будет порядком тривиальности точки. Итак:
Порядок тривиальности некоторой точки многообразия V\
погруженного в V*\ может быть обнаружен, если взять за
параметры в окрестности этой точки v подходящим образом
выбранных координат (х1 jcv); параметризация будет тогда
допустимой (адекватной)х) в некоторой окрестности этой
точки.
В частности, множество точек V\ порядок тривиальности
которых ^р, открыто на \Л.
Примеры. В плоскости /?2 (jc, у) на кривой
х = и\ у = и3
все точки — обыкновенные бесконечного порядка, кроме начала координат.
На прямой у = х, параметризованной уравнениями
х — и\ у = и3,
1) При заданном свойстве Р Нередко приходится подбирать специальный
вид параметризации, чтобы обнаружить это свойство. Такие параметризации
будут называться адекватными свойству Р.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 135
все точки обыкновенные, хотя при данном представлении может казаться,
что это не имеет места для начала координат. На кривой
х = и3, у = и*
все точки обыкновенные, порядка 1.
3. Контингенция. Паратингенция. Поскольку многообразие
прежде всего есть точечное множество, мы должны попытаться дать
характеристическое свойство, связанное с точкой т множества,
позволяющее узнать, будет ли окрестность точки т в этом
множестве гомеоморфной элементу многообразия V\ на котором т будет
обыкновенной точкой (по крайней мере порядка 1).
Чтобы ответить на этот вопрос, определим сначала, что
называется контингенцией и паратингенцией бесконечного множества
точек Е в одной из его предельных точек т.
Пусть 7°(т)— окрестность этой точки в Rn (или в окрестности
многообразия Vn, гомеоморфной шару). Рассмотрим множество
направлений mm', получаемых соединением точки т с точками
множества Е, содержащимися в У*(т)\ мы будем обозначать через
С\Т{т)\ замыкание этого множества направлений, которое будет
компактным множеством направлений. Ясно, что если 7°с:7°', то и
замыкание С [Т (т)\<=.С [Т'(т)]. Множество общих элементов всех
С\Т(т)\ составляет то, что называется контингенцией множества Е
в точке т. Это множество непусто, так как, поскольку т есть
предельная точка, оно содержит все направления, предельные к
последовательности направлений (mmlt тт2, ...), где (mlt т2, ...)
обозначает последовательность точек из Е, стремящихся к т.
Рассмотрим теперь замыкание Р[Т{т)\ множества прямых,
соединяющих попарно точки т' и т" из Е, принадлежащие Т(т).
Мы имеем также Р[Т(т)]^Р[Т'(т)], когда УаТ', и Р[Т(т)\
компактно, если Т(т) ограничено. Общая часть всех Р[Т(т)]
называется паратингенцией множества Е в точке т. Она состоит из
прямых, проходящих через т, тогда как контингенция состоит
из полупрямых, выходящих из т.
Паратингенция содержит, очевидно, все прямые, являющиеся
носителями полупрямых контингенции, но может быть и более
обширной. Так, в случае плоской кривой, изображенной на рис. 11,
контингенция состоит из двух направлений т£х и т\г, тогда как
паратингенция содержит прямые, проходящие в углах \хт\ъ и Хгт\\.
Понятие контингенции не играет важной роли в
дифференциальной геометрии. Мы его изложили только для того, чтобы избежать
смешения с понятием паратингенции. Оба эти понятия принадлежат
Г. Булигану *).
*) Bouligand G., Introduction a la Geometrie infinitesimale directe
(Paris, Vuibert, 1932).
136
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Вернемся к многообразию (2.1) и рассмотрим две точки т'(и'а)
и т"(и"а), близкие к т. Применяя теорему о конечном
приращении, мы видим, что прямая, их соединяющая, имеет уравнения
r'h.
с^-*?)=< 2 [(£),+<] («"*- «*>■
где t — переменное, a tj* стремятся к нулю вместе с 2ltt"a—и'а\.
а
Она заключена в линейном многообразии
*-*-i Ш\+<] '•■
Устремляя т' и т" к т, мы получаем отсюда, что паратингенция
содержится в многообразии
о.!) *»-*»„= 2(£)/
<х-=1
Рис. 11.
Обратно, все прямые многообразия
(3.1), проходящие через т,
принадлежат паратингенции. Действительно,
такая прямая определяется, если
положить ta = taa, где а* — заданные
числа, не все равные нулю. Чтобы
получить желаемый результат,
достаточно взять т! и т!\ стремящиеся
к т при равных отношениях
ai
а"1
Итак, в точке т паратингенция V* состоит из всех прямых,
проходящих через т и содержащихся в многообразии (3.1).
Предположение, сделанное относительно частных производных,
показывает, кроме того, что эта паратингенция непрерывно изменяется
в окрестности точки т. Обращение этих утверждений составляет
локальную геометрическую характеристику многообразий, которые
нас интересуют; точнее:
Пусть V*—размерностно-однородный1) континуум
размерности v. Если во всей окрестности точки т он допускает
в каждой точке паратингенцию, представляющую собой линей-
*) Доказательство в неявной форме предполагает, что Vv—локально-
связный континуум. Именно автор допускает, что размерностно-одноролным
континуумом размерности v является не Vv, а окрестность У (т) точки т. —
Прим. перев.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 137
нов многообразие v измерений, то в этой окрестности
существует точка mlt некоторая окрестность которой в V есть
элемент многообразия v измерений, все точки которого
обыкновенные, порядка >.1.
Всегда можно допустить, что точка т совпадает с началом
координат (л;о = 0) и что паратингенцией к V в этой точке является
многообразие
(3.2) х*+1 = ... =хп = Ъ.
Далее, можно найти окрестность У*(т) точки т в Vv, такую, что
всякое многообразие
*• = &" (а=1 v)
имеет самое большее одну общую точку с У(т) при условии, что £*
достаточно малы по модулю, так как в противном случае паратинген-
ция в т содержала бы прямую многообразия ха = 0, что
противоречит допущению. У*(т) может тогда быть представлена-уравнениями
вида
(3.3) xh = fh(x\ .... х") (A = v+1 п\
где функция fh непрерывна на проекции W окрестности 7°</п) на
многообразие (3.2), если эта окрестность достаточно мала, так как
в противном случае существовали бы точки 7°(/я), в которых пара-
тингенция содержала бы прямые многообразия ха = 0.
Формулы (3.3) определяют, таким образом, взаимно однозначное
и взаимно непрерывное соответствие 7Р и 7°(m), т. е.
гомеоморфизм. Так как У*(т) имеет размерность v, то же самое имеет
место для гомеоморфной ей 7Р°. В силу одного из результатов
теории размерности, так как многообразие (3.2) имеет
размерность \, отсюда следует, что 7Р* имеет внутренние точки х). Заметим
теперь вместе с Г. Булиганом, что паратингенция обладает
полунепрерывностью сверху относительно включения, т. е. всякая
прямая, предельная для прямых, принадлежащих паратингенции в точках
последовательности {тк}> стремящихся к т, принадлежит к
паратингенции в т.
Предположение о том, что паратингенция в каждой точке
некоторой окрестности точки т многообразия Vv представляет собой
линейное многообразие v измерений, влечет непрерывность этого
многообразия. Мы можем потребовать, чтобы окрестность У{т) была
такова, что многообразие паратингенции в точке (xh) было бы вида
(3.4) X*—** = 2/>*(*"—*") (A = v+1 л).
*■) См., например, F a v а г d J., Espace et dimension, Albin Michel,
Paris, 1951. (Или Урысон П. С, Труды по топологии, Гостехиздат, М., 1951,
стр. 229. — Прим. перев.)
138
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
где X —текущие координаты на этом многообразии,
ръ—непрерывные функции.
Установив это, рассмотрим точку (х£\, лежащую внутри 75^.
Пусть Ж* — окрестность этой точки в (3.2), являющаяся проекцией
окрестности 7*(mJ точки т^ многообразия V*. Пусть (ха) — точка
из 7fft^9 она является проекцией точки (xh) из 7°\ Далее, пусть
(3.4) — многообразие паратингенции в этой точке. Соединим прямой
точку (xh) с точкой (xh-\-kxh) из Т(т^, проекция которой
(ха-\-кха) принадлежит 7^°#. Уравнениями этой прямой будут
Ха — xa = tkx* (a=l, ..., v),
Xh — xh = t[fh{xl + bxl л'+Дх*)—/*(*' *')] =
= tbfh (A=n+1 n).
Когда Дл:а стремится к нулю, эти прямые должны иметь
предельные элементы в многообразии (3.4). Мы утверждаем, что для того,
чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы
V V
(3.5) А/Л = 2 рп Ьхл -+-еЛ 2 | Ь*а |.
а=1 " а«=1
где eh стремится к нулю вместе с 2 |Д*в|-
а=1
Это условие, очевидно являющееся достаточным, так же и
необходимо, так как если бы оно не было выполнено, можно было
бы найти последовательность приращений {Д*М, таких, что
I a I
имеет предел, конечный или бесконечный, но положительный по
крайней мере для одного значения h > %; отсюда мы немедленно
заключили бы, что существует прямая, принадлежащая
паратингенции,
Xh—xh = tah (A = l я),
для которой
!—_^ !> о
SKI
а
по крайней мере для одного значения h > v, что противоречит
предположению.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ- 139
Но (3.5) выражает просто, что функции fh дифференцируемы
в точке ха и что
дха Уа'
Мы видели, что ръ являются, кроме того, непрерывными
функциями. Целая окрестность точки тш состоит, таким образом, из
обыкновенных точек порядка >Л. Более того, представление (3.3)
допустимо для обыкновенных точек порядка > 1, поэтому изучение
дифференциальных свойств функций fh позволит узнать порядок
тривиальности точек в окрестности точки /тг#.
Замечания и частные случаи. Г В пространстве R* (х, у, г)
дана кривая *)
!х = х (в),
У = У (и).
( * = *(«),
имеющая и обыкновенной точкой. Предположим параметризацию
допустимой, что означает
т' (и) ф О или | х' | + | у' | + | г' \ > 0;
уравнения паратингенции (касательной), обозначив через X, Yt Z текущие
координаты, можно записать в форме
Х—х _ Y—y ^Z — z
х' ~~ yr z'
или, если р обозначает текущую точку2), в векторной форме
трЛт'(и) = 0.
Мы будем также рассматривать кривые, допускающие изолированные
точки, не являющиеся обыкновенными порядка 1 (особые точки), причем
мы ограничимся случаем, когда окрестность такой точки имеет
представление вида
m (и) = m (во) + (^~^o) (v + Т) (р — целое),
->-
где т0 = т (в0) — особая точка, v — вектор, отличный от нуля, и е —
вектор, стремящийся к нулю вместе с и—и0. Контингенция содержит
направление вектора v и только его, если /? четно, так как (и — и0)р
положительно и ш(«) — т(и0) в этом случае имеет направление V+ е- Точка т0
есть точка возврата на нашей кривой, она не может быть поэтому
обыкновенной точкой (рис. 12). Говорят, что кривая имеет в щ полукасательную.
*) m обозначает вектор От, где О — фиксированное, однако
произвольное начало.
2) Векторные операции, внешнее произведение, смешанное произведение,
точку р — все это нужно рассматривать в аффинном пространстве С3,
касательном к^в точке т.
140
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Если р нечетно, контингенция содержит направления v и —v. Можно
сказать, что существует касательная в т0, если обобщить данное
определение, но нельзя отсюда заключить, что т0 — обыкновенная точка, даже в том
случае, когда все точки целой окрестности точки т0, отличные от т0,
будут обыкновенными (упражнение 2).
Можно легко написать уравнения касательной, или носителя
полукасательной, когда m (и) имеет в окрестности точки и0, производные до Порядка/?
включительно, не все равные нулю.
2° Рассмотрим поверхность
{х = х(и, v),
у =у(и, v),
z = z(ut v)t
имеющую в m (и, v) обыкновенную точку порядка ;> 1; тогда допустимость
параметризации выражается в том, что векторы дт/ди и dm/dv не
обращаются в нуль и не коллинеарны, что записывается в виде
dm .dm
или
£>(у, z)\.\D(ztx)
D(u, v)\'T\D(ut v)
+|
D(x, y)
D(u, v)
г уравнение
X — х У—у Z — z
dx dy dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
= 0,
>o.
или
A dm A dm Л Г / dm dm \ 1
т»АжА1й = 0 Ги lmp' si9 ~dv-) = °y
В частности, если поверхность представляется уравнением
* = /(■*> У)»
где / имеет непрерывные частные производные в точке (х, у), то
уравнение касательной плоскости имеет вид
Z-z = p(X-x) + q(Y-y) (, = */, ? = g).
В случае, когда поверхность определена уравнением
F(xt у, <г) = 0,
точка (х% yf z) будет обыкновенной, если Fx, Fy и Fz непрерывны в
окрестности этой точки и не равны нулю одновременно:
grad/^0, или |^| + |^| + |^|>0.
Дифференцируя уравнение F = 0, мы получаем уравнение касательной
плоскости
(X-x)F'a) + (Y-y)F'y + (Z-z)F'z = Ot
или mp, grad F = 0.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 141
3° Пусть V^ — многообразие, погруженное в Vs (2.1), которое в свою
очередь погружено в Vn (p. < v < /г), определенное уравнениями
и« = и* (v1 vv-) (а = 1 v).
Допустим, что точка (v1 v^) из V* является обыкновенной
порядка S-P и что совпадающая с ней точка (и1 W*) из V* является
обыкновенной по крайней мере до того же порядка, причем параметры
допустимы. Тогда рассматриваемая точка на V\ погруженном в Vй, будет
также обыкновенной порядка ;>/? и представление (2.1)
Xh = xh[ul(v1 v*\ ...] C* = l,..., п)
будет допустимым: это непосредственное следствие результатов,
относящихся к замене переменных.
В частности, паратингенция V^ содержится в паратингенции Vv.
Паратингенция в обыкновенной точке многообразия V^, являющегося
пересечением многообразий V\l и V^2, на которых эта точка также является
обыкновенной, содержится в пересечении паратингенции VJ1 и VJ.
Например, в силу теории неявных функций, два уравнения
F(xt у, г) = 0, G(x, у, *) = 0
определяют в R* кривую, имеющую обыкновенную точку (х, у, z) (Z7 = О
G = 0), если F и G обладают непрерывными первыми частными
производными в окрестности этой точки и если, кроме того,
grad FAgrad G Ф 0, или
D (F, G) \ + \D(F, G)
D(y, z)\^\ D(z, x)
+ |Д<*в>|>о.
Тогда точка будет обыкновенной и на каждой из поверхностей F = 0 и
G = 0.
Касательная к этой кривой имеет уравнения
(X—x)F'a + (y-y)F'y + (Z — z)F'z = b или mp.gradF = 0,
(X— x)G'x + (Y— y)G'y + (Z — z)G'z = Q, или mp. gradG =0.
4. Аналитические многообразия. Регулярные точки. Пусть V*
многообразие, погруженное в аналитическое многообразие Vn,
наделенное локальной структурой группы Л аналитических
преобразований. Многообразие Vv называется аналитическим в точке т,
если окрестность этой точки допускает представление вида
<4Л) xh = xh(u1 w) (& = 1 п),
где функции хъ аналитичны в окрестности системы значений (ufyy
соответствующих точке т. Если, кроме того, такое представление
возможно с матрицей
(дх*\
>ди° )о\\*
id
142
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
имеющей ранг v, то такая обыкновенная точка порядка ^>1 На
многообразии Vv называется регулярной. Точка, не являющаяся
регулярной, называется особой.
Рассматривая матрицу
11 — 11
II ди* II
в окрестности точки (и^\ мы видим, что она не может иметь
тождественно ранг меньше v, ибо, если бы это было так, мы могли бы
выразить xh в виде аналитических функций от числа переменных,
меньшего v, и VH не имело бы размерности %.
Следовательно, в окрестности всякой аналитической точки т
существуют регулярные точки /и#. Тогда в окрестности такой точки
мы можем выразить п — v координат xh в виде аналитических
функций от v остальных координат (скажем, от v первых) и полу*
чить представление вида
Xh = fh(x1 лгО (/* = v-}-l /г),
где fh — аналитические функции аргументов х* — х%\ через х%
обозначены v первых координат точки тт. Регулярность точки может
быть обнаружена, если мы возьмем за параметры подходящую
систему v координат; из предыдущего представления следует, что
множество регулярных точек открыто.
От локального понятия, которое мы дали, переходят к понятию
аналитического многообразия в целом, начиная с элементов вида (4.1)»
с помощью процесса, аналогичного процессу, применяемому для
определения аналитической функции, начиная с ее элементов
(аналитическое продолжение). Детали можно найти в курсах анализа.
Заметим, однако, что в процессе продолжения в действительной
области мы можем натолкнуться на аналитическую нерегулярную
точку (или критическую алгебраическую точку) или на
неаналитическую точку. Дальнейшее продолжение становится невозможным,
если оставаться в действительной области, необходимо перейти
в комплексную область.
Значительно удобнее рассматривать аналитическое многообразие как
множество всех его комплексных точек [объемлющее многообразие
(пространство) Vй рассматривается как многообразие, имеющее п комплексных
измерений или 2/г действительных измерений; многообразие Vv имеет v
комплексных измерений, 2v действительных измерений].
Множество действительных точек такого многообразия может содержать
более одной полости (ветви для случая кривых, v = 1), или многообразия
размерности < v, или изолированные точки, которые только теория
аналитического продолжения в комплексной области позволяет рассматривать как
принадлежащие одному и тому же аналитическому многообразию.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 143
Легко доказать, что уравнения линейного многообразия, касательного
к заданному многообразию в некоторой точке, задан 1ые в действительной
области, сохраняют силу и для комплексной области.
Примеры. Будем рассматривать кривые в комплексной проективной
плоскости (х, у), для которых мы будем изучать действительные образы.
1° Прямая у = х, представленная параметрическими уравнениями
х = и3, у = Ф,
будет аналитической кривой, все точки которой регулярны, даже и начало,
хотя этого и не видно из ее параметрического представления.
Рис. 13.
2° Все точки аналитической кривой (рис. 13, I)
х = Ф, у = и*
являются аналитическими. Начало не является ни регулярной точкой, ни
обыкновенной точкой.
3° Для аналитической кривой (рис. 13, II)
х = и*, у = и\
начало не является регулярной точкой, но это обыкновенная точка порядка 1.
4° Начало — обыкновенная точка бесконечного порядка, но не
аналитическая, на аналитической кривой (рис. 13, III)
5° Если 4/?з + 27^< 0, то аналитическая кривая (рис. 13, IV)
y? = x*+px + q
имеет две различные ветви.
5. Элементы касания в аффинном пространстве. Чтобы закончить
эту главу, мы разовьем некоторые соображения, вытекающие не из прямой
геометрии, а из проективной геометрии. Это делается с целью дать уже
сейчас некоторые определения и результаты, которые перегрузили бы наше
изложение, если бы их ввести позднее. В то же время мы получим здесь
примеры элементов касания и многообразий, введенных в предыдущей,
главе (О, III, 8 и 9).
144
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Для простоты будем оперировать в аффинном пространстве Ап (**, ..., хч),
снабженном * структурой подгруппы «0**; наши рассмотрения легко
обобщаются на проективное пространство Рп.
Элементы касания можно классифицировать, следуя правилам, которые
хотя и менее полны, чем в общем случае, но зато более соответствуют
интуиции. Рассмотрим в Ап многообразие Vv
(5.1) m(tfi, Ф Ф)\ xh = xh(u\ и4*) (h=l п)
и предположим, что все его точки обыкновенные бесконечного порядка (для
определенности) и что его параметризация допустима. Мы видим, что для
заданных (аА aq) величины
£ = д1^. (Л = 1,...,л)
q ди1...ди*
являются координатами некоторого вектора. Если мы изменим
параметризацию, то формулы (О, III, 8. 6) показывают, что эти векторы преобразуются
в другие векторы, содержащиеся в линейном многообразии Lq,
порожденном векторами £? « (р=1, ...,#), так как эти формулы линейны от-
носительно £? й .
Hl> •••» Vp
Многообразие Lqt таким образом, инвариантно, оно не зависит от
параметризации, зависит только от Vv и от точки т. Мы имеем, очевидно,
Li a L2 с ... . Многообразие Lx имеет размерность vt = v, и если vg —
размерность Lq, то ^<>2<;..., и это все, что можно сказать. В общем
случае для многообразий Vv размерность v? многообразия Lq достигает
значения л, когда q достаточно велико. Для совокупности многообразий
размерности v, значения q, для которых это происходит, допускают минимум q0.
Если мы имеем Lq = Ап для q = q0 в точке т многообразия Vv, то
элемент касания называется обыкновенным размерности v. Если этого нет,
то либо Lq = An для q = qi>qo (и Lq=fcAn для q = qo) — тогда элемент
касания называется особым конечного типа, — либо Lq = As, каково бы
ни было q^qi (причем v <; 5 < л), и тогда он называется особым
бесконечного типа и порядка s1). Мы ставим задачу характеризовать
многообразия, на которых все элементы касания особые, порядка не более s
(причем для некоторых элементов порядок касания равен s). Такие
многообразия будут называться особыми порядка s.
а. Случай кривых (v = l). Пусть кривая V1 определена
вектором jn (и). Образуем внешние произведения
я?тЛЛпЛ...ЛЛп (/= 1, 2, ..., /г),
и пусть
dmAd2mA...Ads+1m = 0
— первое из этих произведений, тождественно равное нулю на V1.
Пусть т — точка, для которой
dmAd2mA... Adsm=£Q.
i) Повторяем, что сюда входят не все особые элементы (элементы, или
многообразия касания). Мы встретимся с другими такими элементами в Л3
и в Р3 (часть II). Некоторые элементы касания, которые здесь
классифицируются как обыкновенные, могут не быть таковыми в классификации,
данной в (О, III, 8 и 9).
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 145
Это неравенство имеет место во всей окрестности /я, которую мы и
будем рассматривать. В этой окрестности можно допустить, что
(5.2)
При этом имеем
dx1
dsxl
.. dxs
.. dsxs
. dxs dxs+*
ds+1xx ...ds+1x8 ds+lxs+t
Отсюда выводим равенства вида
ФО.
= 0 (s + t^n).
(5.3)
dkxs+t e 2 atdkxi {k=z\ S + X)t
l=i
где а]—функции от и. Дифференцируя эти равенства, мы получаем
последовательно соотношения
8
2 А*! <****=* 0 (* = 1 s).
l=i
В силу (5.2) эта система не имеет другого решения, кроме da\ = 0.
Величины а* являются, таким образом, постоянными, и интегрирование
системы (5.3) для k = 1 дает
rs+t _
2Х*Ч*<
(t= 1 /г — 5),
l=i
где bf — новая постоянная. Кривая расположена в линейном многообразии
размерности s. Но очевидно, что всякая кривая, проведенная в линейном
многообразии размерности 5, будет особой кривой порядка не выше s.
Особые кривые порядка 5 — это те кривые, которые лежат в линейном
многообразии размерности 5, но не лежат в линейном многообразии
размерности 5 — 1.
Ь. Общий случай. Заметим прежде всего, что многообразие V (у > 1),
все кривые которого являются особыми порядка ^s (или расположены на
линейных многообразиях размерности <; s)t само лежит на линейном
многообразии размерности <; s. Действительно, если бы это было не так,
мы могли бы найти на l/"s + 2 точки, которые не принадлежали бы одному
линейному многообразию размерности s, и могли бы провести через них
кривую, лежащую на многообразии так, что она не была бы особой
порядка <5.
Установив это, допустим, что Vv — особое многообразие порядка s. Все
кривые, лежащие на нем, — особые, порядка <;$. Из того, что мы видели,
следует, что Vv содержится в линейном многообразии размерности ^ s.
Если бы оно содержалось в линейном многообразии размерности < s, то
векторы £? „ лежали бы все в этом многообразии и Vv было бы особым
*» ар
порядка < s.
146
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Мы получили следующую характеристику особых многообразий
порядка s: это многообразия, которые могут быть погружены в
линейное многообразие размерности s, но не могут быть погружены в
линейное многообразие меньшей размерности^).
Вернемся к особым элементам касания, определенным условием, что Lq
не имеет на многообразии V4 той размерности, которую следовало бы
ожидать в общем случае.
Точка кривой, в которой мы имеем особый элемент касания для q = 2,
называется точкой со стационарной касательной (точка перегиба для
случая плоских кривых, п = 2). Она определяется равенствами
и для п > 2 в общем случае таких точек нет. Кривая^ все точки которой
имеют стационарную касательную, есть прямая. Точка, имеющая особый
элемент касания для q = 3, называется точкой со стационарной
соприкасающейся плоскостью) для п > 3 в общем случае таких точек нет. Кривая,
все точки которой имеют стационарную соприкасающуюся плоскость,
есть плоская кривая.
Выясним, что собой представляет на поверхности ш (и, v) особая точка
для q = 2. В общем случае пять первых и вторых производных векторов
от вектора m (и, v) определяют многообразие L2 пяти измерений для п ;> 5
и п измерений для 3-<л<5, т. е. /г = 3 или 4. Особыми точками будут те
точки, для которых размерность L2 равна 2, 3 или 4 для п !> 5 (и 2 для
п = 3; 2 или 3 для п = 4).
Итак, мы имеем один, два или три сорта таких особых точек, в
зависимости от того, равно ли п 3, 4 или 5. Различия, которые имеются для q > 2,
еще более сложны; такая классификация, в силу ее сложности, почти не
представляет интереса.
Единственный интересный случай — это случай, когда размерность
многообразия £2 равна двум, т. е. когда
/е лч dm A dm . d?m Л дт . дт Л д*т л dm A dm A д*т
(М> -ди-А-^А-диТ = 0* ^А~Ш-А-дШ = °> -5Гл-а^л-5^- = а
В этом случае точка на поверхности называется точкой уплощения. Мы
видим, что в общем случае на поверхности нет таких точек. Для п = 3
уравнения (5.4) записываются в виде
/ dm dm д2т \ _ ft / дт дт д?т \ _ А
\ ди ' dv ' ди* ) ~~ ' \ ди * dv ' ~du~dv) ~~ '
(5.4')
/ дт дт д9т \ 0
\ ди * dv ' da* J ~ a
*) Эти многообразия также определяются соотношением
dmAd2mf\...Ads+1m = 0.
Вывести полученный результат из одного этого соотношения, видимо,
трудная задача.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 147
6. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся полуплоскость
кривой в пространстве /Г3. Вогнутость. На кривой пространства & (х, у, г)*)
( х = х (и),
(6.1)
т(и)1 у= у (и),
\ z= z(u)
точка mo = П1 (и0) будет называться обыкновенной второго порядка, если
она является такой с точки зрения прямой геометрии и, кроме того, не
имеет стационарной касательной, что записывается в допустимой
параметризации так:
т'(и0)Ат"(и0)фО.
Рассмотрим три точки m(tti), т(и2), т(и3), близкие к такой точке ш0.
Плоскость, проходящая через эти три точки, определяется решением
однородной системы
(6.2)
( Ах (и{) + By (uL) + Cz (их) + D = О,
I Ax (и2) + By (и2) + Cz (и2) + D = О,
{ Ах(иг) + Ву(иг) + Сг(иг)+И = 0.
Допустим, что и\ < и2 < иъ. Вычтем в этой системе первое уравнение
из второго, второе из третьего и применим оба раза теорему о конечном
приращении. Мы получим два уравнения, которые могут заменить два
последних уравнения системы (6.2):
Ах' iVi) + By'(vl) + Cz'(vl) = 0 (их < vA < u2)t
Ах' (v2) + By' (v2) + Cz' (v2) = 0 (u2 < v2 < u3).
Вычитая второе из этих уравнений из первого, мы получаем тем же путем
уравнение
Ах" (wO + By" (wL) + Cz" (wx) = 0 (vx<wt< t/g,),
которое может заменить второе из предыдущих уравнений. Окончательно
уравнение плоскости может быть записано в виде
Х-х(их) У-У (и,) Z—zim)
х' (fi) / (*i> *' <«i>
x" (wx) y" (wL) z" (wt)
= 0.
В силу непрерывности левая часть этого уравнения не обращается
в нуль тождественно, если m(ui), т(и2), т(и3) достаточно близки к т0.
Когда эти три точки стремятся к щ, мы видим, что плоскость имеет предел,
называемый соприкасающейся плоскостью кривой в точке т0. Уравнение
ее имеет вид
Х-х(и0) Y-y(u0) Z-z(Uo)
х' (и0) у' (и0) z' (и0)
x"(ih) /Ч«о) *"("<>)
= 0.
*) Мы рассматриваем пространство Е? только для того, чтобы иметь
возможность использовать интуитивно более очевидные понятия и
обозначения. В пространствах Л3 и Р3 можно провести аналогичные рассмотрения.
148
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Мы напишем это уравнение в следующей форме, где значение параметра
не уточнено:
\Х — х Y—y Z — z\
(6.3)
х' у' z'
X" /' У
= 0.
Обозначив текущую точку через р(Х, Y, Z), можно записать это уравнение
в векторной форме:
(6.3') (рт, т', т") = 0.
В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость в любой из ее
точек будет плоскостью кривой.
Процессом, аналогичным проведенному здесь, можно показать, что
соприкасающуюся плоскость в точке щ можно определить *и как предел плоскости,
проходящей через касательную в щ и через близкую точку, а также как
предел плоскости, параллельной касательной в близкой точке, или как
предел плоскости, проходящей через щ и касательную в близкой точке.
Как и в случае касательной, можно при некоторых условиях обобщить
понятие соприкасающейся плоскости на некоторые случаи точек, не
являющихся обыкновенными точками; мы не будем останавливаться на этих
обобщениях.
Сделаем теперь замену параметра: v » v (и). Мы получим
/кич _dm_J^±_ d*m _d*m 1 1 dm ( 1 V М^гЛ
1 } dv ~ du v' > dv* -~ du* v'* "*" 2 du \v'*J \v' /
Последнее уравнение показывает нам, в силу наличия положительного
множителя I/?/2 перед d*mldv\ что полуплоскость, называемая
соприкасающейся полуплоскостью в рассматриваемой точке:
. dm . а"*т
(X и fA — действительные параметры, X произвольно, {а]>0), не зависит от
параметризации. Посмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого
явления.
Дадим и приращение Ди;~ точка m перейдет в m + Am, и мы будем иметь
. dm . , 1 (d*m . ->\ Л ,
где ч\ обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с Ди.
Рассмотрим теперь произвольную плоскость, проходящую через
касательную и отличную от соприкасающейся плоскости, определенную
вектором dmjdu и вектором А. Ее уравнение имеет вид
(тр'-ж-'А)=0-
Заменяя тр на Лт, имеем
Л dm Л 1 . 0/<**т . + dm Л
Это смешанное произведение имеет тот же знак, что и
(d^m dm \
\du* ' du ' А)'
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 149
или тот же знак, что и
/\ dm . d*m dm A\
для fA > 0, если Ди достаточно мало. Другими словами, точки кривой,
достаточно близкие к т, находятся в том же полупространстве, что и
соприкасающаяся полуплоскость по отношению к заданной плоскости.
Это значит, что если мы рассмотрим две полуплоскости, проходящие
через касательную и образующие как угодно малый двугранный угол,
содержащий внутри соприкасающуюся полуплоскость, то все точки кривой,
достаточно близкие к т, лежат внутри этого двугранного угла. Поэтому говорят;
что вогнутость кривой в точке т направлена внутрь соприкасающейся
полуплоскости.
Пусть кривая имеет в т обыкновенную точку порядка 3 в смысле
прямой геометрии, причем ее параметризация является допустимой; мы скажем,
что эта точка является обыкновенной порядка 3 в эвклидовой геометрии,
если соприкасающаяся плоскость в этой точке не стационарна, т. е.
/ dm d*m d?m\
\ du ' du> > du* у '
В эвклидовой геометрии точка называется обыкновенной порядка п > 3,
если она обыкновенная порядка п в смысле прямой геометрии и
обыкновенная порядка 3 в эвклидовом смысле. В этой геометрии всякое дальнейшее
различение становится излишним.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Плоскость R?(x\ х*) снабжена структурой-группы, изоморфной группе
плоских движений. Как нужно определить функции
X = X (х\ JC2), У — У (х\ ЛГ2),
чтобы группа определялась обычными уравнениями
X* = X COS а — у Sin а 4~ bt у' = X Sin а -f- у COS а -f- С?
2. Определить контингенцию и паратингенцию в точке (0, 0) кривой;
заданной уравнениями
у = л:2 sin— для хфО и у = 0 для х = 0.
3. Контрариантная точка. Рассмотрим в Е% дугу кривой
х = р cos 0, р = 0 + 6* |
'(1+^) (0<1<f)'
у = р sin 0, р = 0 для 0 = 0.
Отразим ее (симметрично) относительно оси Оу. Мы получим таким
образом дугу, имеющую касательную в начале координат (в широком смысле;
контингенция состоит из двух противоположно направленных полупрямых).
Показать, что нельзя найти параметрическое представление 0 = 0 (и), и = О
в начале координат, так чтобы I х' (0) 1 + | у' (0) I > 0 (V а 1 i г о п О., Nouv.
Ann. Math., t. 84, 1927).
150
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Точка кривой, для которой существует касательная в широком смысле,
но не в допустимом параметрическом представлении, называется контра-
риантной (Раис С, These, Paris, 1941). Шоке (Choquet G., These,
Paris, 1948) показал, что если кривая не имеет контрариантных точек, то
для нее можно найти допустимое параметрическое представление.
4. Выпуклые фигуры, выпуклые кривые в А\ Замкнутое
множество К с Л2 называется выпуклой фигурой, если вместе с любыми
двумя точками оно содержит отрезок прямой, их соединяющей. Отсюда
следует, что вместе с тройкой точек оно содержит замкнутый треугольник,
имеющий эти точки вершинами. Пересечение конечного или бесконечного
множества полуплоскостей есть выпуклая фигура (или одна точка, или
пустое множество).
Обратное вытекает из дальнейшего.
1° Доказать, что всякое выпуклое множество (в пространстве А*) без
внутренних точек есть сегмент, полупрямая или прямая.
В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые
множества /С, имеющие внутренние точки и не содержащие всю плоскость.
2° Если К содержит прямую, то это полоса или полуплоскость.
3° Мы называем выпуклым углом выпуклое множество, образованное
полупрямыми, исходящими из одной точки т.
Показать, что существует по крайней мере одна прямая (опорная
прямая), проходящая через т, любая точка которой не является внутренней
точкой множества К- (Если /С—полуплоскость, имеется лишь одна опорная
прямая; в противном случае опорных прямых бесчисленное множество.)
4° Выпуклой замкнутой кривой С (замкнутой кривой называется
топологический образ окружности) называется множество точек ограниченного
(выпуклого) множества /(, которые не являются внутренними.
Доказать, что С — континуум, что это граница множества К и что С
пересекается со всякой прямой плоскости в 0, 1 или 2 точках или же "имеет
с ней общий сегмент. Показать, что контингенция кривой С в точке т £ С
состоит из двух полупрямых, образующих границу выпуклого угла,
содержащего К (или С); опорные прямые этого угла называются опорными
прямыми кривой С (или фигуры К)- Если две полупрямые контингенции лежат
на одной прямой, то эта последняя есть паратингенция в т.
5° Выпуклой дугой называется простая дуга (топологический образ сег«.
мента прямой), которая в каждой точке имеет опорную прямую (по крайней
мере одну). Доказать, что такая выпуклая дуга вместе с хордой, стягивающей
ее концы, образует выпуклую замкнутую кривую.
Дуга кривой локально выпукла в т, если она является выпуклой
в окрестности точки т.
6° Изучить случай выпуклых не ограниченных фигур (отличных от углов
и полос).
5. Выпуклые тела, выпуклые поверхности в Л3. То же
определение, что и в А\ Всякое выпуклое множество без внутренних точек
есть плоскость. Пересечение конечного или бесконечного множества
полупространств есть выпуклое множество (или сводится к точке, или пусто),
и обратно.
Всякий выпуклый конус (выпуклое множество, составленное из
полупрямых, исходящих из одной точки, и не содержащее всего пространства)
имеет по крайней мере одну опорную плоскость. Пересекая его (конус)
плоскостью, параллельной опорной плоскости, мы получаем следующую
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 151
классификацию: конус есть полупространство (одна опорная плоскость), или
двугранный угол (бесчисленное множество опорных плоскостей, проходящих
через ребро этого двугранного угла), или настоящий конус (можно провести
плоскость, пересекающую конус по выпуклой ограниченной плоской фигуре).
Замкнутой выпуклой поверхностью называется граница ограниченного
выпуклого тела. Исходя из предыдущих замечаний, классифицировать точки
замкнутой выпуклой поверхности: обыкновенные точки (единственная
опорная плоскость, паратингенция), точки заострения (контингенция содержит
две полуплоскости) и конические точки.
Поверхность называется локально выпуклой в точке т, если существует
окрестность точки т, имеющая опорную плоскость в каждой точке.
6. Сферические выпуклые кривые в £з. На сфере
пространства Е? пересечение конечного или бесконечного множества полусфер
называется выпуклым множеством, если оно содержит более одной точки:
это пересечение сферы с выпуклым конусом, имеющим вершину в центре
сферы. Граница такого множества (не сводящаяся в дуге большого круга)
есть сферическая выпуклая кривая. Через каждую точку такой кривой
проходит по крайней мере одна опорная окружность большого круга. Понятие
локально выпуклой сферической дуги определяется без труда.
7. В пространстве Ап доказать, что если поверхность (v = 2) содержит
линию, состоящую из точек уплощения, то эта последняя есть плоская линия.
Решение. Пусть на кривой введен параметр и. Тогда два первых
соотношения (5.4) выражают тот факт, что д^т/ди? и д9т/ди dv лежат в
касательной плоскости. Записывая их в этом виде и дифференцируя первое по «,
мы показываем, что
dm А д?т А д*т _ п
8. Показать, что если на дуге кривой b.Z?
/ dm dm jta\ Q
\ dut * du2 * dtiz г
для различных значения щ, и2, щ, то (т', т", т"') не меняет Знака.
Указание. Проводим прямые через некоторую фиксированную точку
параллельно ориентированным касательным. Мы получаем конус, называемый
конусом касательных. Далее применяются рассуждения упражнения 6.
Глава II
ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
1. Предупреждение. Мы разовьем теорию касания только в
пространствах двух и трех измерений. Этого достаточно, чтобы выявить
ее идеи и в пространствах большего числа измерений. Для
определенности мы будем пользоваться терминологией пространств
Е2 и Е3. Но не следует терять из виду, что теория касания вытекает
из прямой геометрии; впрочем, мы это будем напоминать в
дальнейшем изложении.
2. Касание двух кривых, а. Определение. Вычисление.
Рассмотрим в £3 две кривые (^) и (8), имеющие общую обыкновенную
точку т0, и предположим, что существует допустимая
параметризация этих двух кривых т(и) и п(и) [т (и0) = п(и0) — т0], такая,
что производные порядка п существуют и непрерывны и что, кроме
того,
№.-№). "<'<*
Исходя из формул (6.4) предыдущей главы и из аналогичных
формул, нетрудно убедиться, что адекватная замена переменной
v = f(u), где / имеет производные до достаточно высокого порядка,
сохраняет равенства (2.1). Следовательно, эти формулы представляют
геометрическое свойство относительного положения двух кривых.
Это свойство, называемое порядком касания двух кривых, мы и
будем изучать. В рассмотренном выше случае говорят, что две
кривые имеют в точке mQ касание по крайней мере (или не ниже)
порядка п. Если нельзя найти параметризацию (?) и (8), такую, что
равенство производных в точке т0 имеет место до порядка п-\-\>
то говорят, что (т) и (8) имеют в т0 касание порядка п.
Касание порядка не ниже 1 означает, что две кривые имеют
одну и ту же касательную. Если две кривые имеют общую точку т0
и не касаются друг друга в этой точке, говорят, что они имеют
касание порядка нуль.
Мы будем предполагать, что все производные, которые нам
понадобятся, существуют и непрерывны, подразумевая при этом, что
операции, которые будут описаны, следует прекратить, когда вхо-
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
153
дящие в рассуждение производные перестают удовлетворять этому
условию.
Если мы имеем равенства (2.1), прежде всего нужно выяснить,
нельзя ли заменой параметра на одной из кривых добиться
положения, когда равенство производных будет иметь место до порядка,
большего п. Взяв некоторую функцию v от и, мы получаем
последовательно
dpm dpm 'p , .dm (p\
duP dvp dv
причем ненаписанные члены являются линейной комбинацией
векторов dqm/dvq (1<<7<р), обращающихся в нуль вместе с г/',
v'" гтр . Если мы хотим сохранить в точке т0 равенство
векторов dpm/dap и dpmjdvp до порядка /г, то мы шаг за шагом
убеждаемся в том, что следует взять
^=1, г£ = 0 4Л) = 0-
Чтобы упростить запись, мы положим здесь и0 = 0. Запишем
«0 = u-\-Un+1 ■
^+1)
"о
(л + 1)! ' ••••
тогда отсюда следует, что
(£^т\ _ ( dn+1m \ _fdm_\ r*+i)
\ dtP+4o~\du»+40 UJo '
Итак, касание не может быть порядка не ниже я-f-l, если вектор
(dn+1m \ I dn+1n \
W«w+1 /о W«w+1/o
не коллинеарен вектору
(dm \ (dn\
Наоборот, если
/ dn+1n \ ( dn+lm \ /dm\ ,
W*w+1/o V ^w+1/o \da)0 '
то, делая замену параметров
Хил+1
v = u-)r (/г+1)! на (Т), v=a на (8),
мы видим, что тогда по крайней мере до порядка /г —|— 1 имеют
место равенства
154
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
т. е. две кривые будут иметь в т0 касание порядка, по крайней
мере равного п-\-\.
Пусть пх — максимальный порядок* до которого имеют место
равенства (2.2). Если при этом вектор
не коллинеарен (-^—) , то пх есть порядок касания (?) и (8); в
противном случае мы продолжаем то же рассуждение.
Может случиться, что порядок касания бесконечен и что тем не менее
(Y) и (5) не совпадают. Это, например, имеет место для кривых
у = е~1/а* и у = О
в начале координат. Но в случае, когда m (и) и п (и) имеют производные
всех порядков, мы сделаем дополнительное предположение, что эти кривые
аналитические и что точка касания регулярна на каждой из них. Тогда
бесконечный порядок касания означает, что кривые совпадают.
Если кривые (т) и (8) различны, достаточно конечного числа
операций предыдущего типа, чтобы определить их порядок касания.
В декартовых координатах из равенств (2.1) следует равенство
производных dpx/dupt dpy/dupt dpz/dupt взятых по каждой из кривых
в точке т0(х0, у0, zQ)< для l^Cp^n, и обратно. Из этого
замечания и из определения следует, что порядок касания инвариантен
относительно преобразований вида
( Х=Х(х, у, г),
(2.3) Y = Y(x,y,z),
[ Z = Z(x, у, z),
где функции X, К, Z имеют непрерывные частные производные
до достаточно высокого порядка в окрестности точки т0 (xQ, y0, z0)»
D (X Y Z\
причем якобиан _Л '—'—М отличен от нуля в этой точке.
Действительно, пусть п — порядок касания кривых (?) и (8) в т0.
Обозначим через (Г) и (Д) образы (?) и (8) в пространстве (X, Y, Z).
Из наших допущений следует, что dpXldup, dpYjdupt dpZ\dup
одинаковы на (Г) и (Д) в образе точки т0. (Г) и (Д) имеют в этой
точке порядок касания N^n. Преобразование, обратное к
преобразованию (2.3), показывает по тем же причинам, что (?) и (8)
имеют в т0 порядок касания n^N\ итак, N = n.
Пусть кривые (?) и. (8) имеют в точке т0 порядок касания,
равный п, и пусть и—допустимый параметр. Сделаем замену переменных
u = f(v) на (?), u = g(v) на (8).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
155
Кривые (т) и Ф) получат представления m\f(v)], ti[g(v)]. Из
приведенных выше формул следует, что для того, чтобы параметр v
был допустимым в точке касания, необходимо и достаточно, чтобы
существовало значение v0, такое, что
/(*<>) = g(vQ) = и0 = О, f (v0) = g' (v0) Ф О,
/(р)(^о) = ^Ы (Кр<я).
Заключение будет то же самое, если мы заменим
v = (f(u) на (т) и v = ty(u) на (8).
Отсюда следует, что имеет место транзитивность: если
кривые (?) и (8), с одной стороны, (7) и (е), с другой стороны, имеют
в точке т0 порядок касания по крайней мере /г, то и кривые
(8) и (е) имеют в точке т0 порядок касания по крайней мере п.
Тот же параметр и на (т) может служить для определения
касания (т) с (8) и (у) с (е). Выразив кривую (е) в виде р(и), мы
запишем наши предположения в форме
т(и0) = п(и0) = р(и0),
№.-(£).- (SH2). <■<"<»>•
Отсюда следует, что
(SH5). <'<><*>-
Это доказывает наше утверждение.
й. Другое определение порядка касания. Пусть
кривые (?) и (8) представлены параметрически в виде т(и) и п(и) и
имеют в обыкновенной точке m0 = m (uQ) = n (и0) касание порядка п.
Пусть, далее, параметризация допустима. Рассмотрим точки
тх = т (я,, 4- Д#о)» пх = п (и0 + Д^).
Имеем
m0mx = mU«o+ ... +(тГ1>+^^^.
ПоП^пи^Ч- ... +U,+1)+t)^^.
где С и 7] — векторы, стремящиеся к нулю вместе с Ди0.
Следовательно,
m1n1 = Ln0 ; — т0 +^ —^J-^ртуТ'
156
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Так как mo = no=£0, то мы видим, что
(2.4)
\т0т1\ = (\т'0\-+-е1)\{±и0\,
тп0 \ по
где et и е2 стремятся к нулю вместе с Ди0. Отсюда мы выводим»
что | m^i | имеет порядок п ■+-1 относительно
Imotnil, когда тг стремится к т0 (ила
относительно [iionj, когда пх стремится
к По)1).
Верно и обратное, т. е. если касание
имеет порядок п, то, ставя в соответствие
точке mv близкой к то на (?), точку пи
стремящуюся к т0 вместе с тх на (8), мы
получаем, что порядок (ш^! не может
превзойти п-\-\.
В самом деле, возьмем, чтобы упростить
обозначения, и0 = 0 и напишем на время v
вместо и в п(и). Пусть точка т1 = т(я)
задана на (-j). Найдем точку p1 = n(tf) на (8)
на минимальном расстоянии от mv Эта точка
существует, так как множество точек дуги
(8), содержащее внутри себя т0, замкнуто, и
если тх достаточно близка к т0, то эта точка не совпадает с
концом дуги. Имеем
m(tt) = m0 + m0a-f-mo-2-+ ....
n(t;)=:m0 + no<i; + noJ^-+ ....
Рис. 14.
откуда
mn = Ho<0 — motf + no-Tj mo-g-H- ... [mo = no, tno-
Экстремумы величины mn2 определяются уравнением
dn Л
шж=0-
По,
ИЛИ
По-у —m0tt + n0-2 ню ~2—Ь ... Hno + n0tf-+- .. J = 0,
или
f(u, i>) = m0 (v — u)-\- ... =0.
!) Напомним, что через | mn | обозначается расстояние между
точками тип.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
157
В силу теоремы о неявных функциях, уравнение f(ut v) = 0
определяет в окрестности начала координат плоскости (и, v) единственную
функцию v от я1)» непрерывную, такую, что v = 0 для и = 0, и
имеющую в окрестности и = 0 непрерывные производные до
порядка п. Величина mn2 имеет только один экстремум, если т
достаточно близко к mQ, и мы видели, что это минимум. Отсюда следует,
что v как функция и, которую мы только что определили, приводит
к единственной точке pv ближайшей к т1 из точек кривой (8), при
условии, что тх достаточно близка к mQ. Итак, мы можем
параметризовать (8), вводя параметр а с помощью функции v. Положим
п(г>) = р(и). Если бы расстояние |m1p11 было порядка выше п-\-\,
это бы означало, что
mfe)(tt) = p(«)(tf) для 1<дг<я + 1,
т. е. что (?) и (8) имели бы в т0 касание порядка выше я, вопреки
предположению. Таким образом:
Для того чтобы две кривые (f) и (8), имеющие общую точку т0,
имели в этой точке касание порядка п, необходимо и
достаточно, чтобы кратчайшее расстояние от близкой к т0 точки тг
кривой (т) до кривой (8) имело порядок малости я-f-l
относительно linom^.
Если можно найти на кривой (8) такую точку п1% что | m^x |
имеет порядок п-\-\ относительно ImomJ, то ее порядок касания
с кривой (т) будет не меньше п.
В треугольнике тфхпх (рис. 14) имеем
ia&L = "toogig) > sin (wo.
| mini | sin (miptni)
так как sin (тхрхпх) ^ 1. Отношение этих двух длин, с другой
стороны, меньше 1, в силу определения рг; поэтому
Отсюда следует, что | т^ | и | tnxpi | — величины одного и того же
порядка малости, если угол (тхпхрх) не стремится к нулю, когда тх
стремится к т0. Так как сторона рхпх стремится к положению
касательной к кривой, это будет, в частности, иметь место, когда
!) Так как
158
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
прямая тхпх будет иметь предел, отличный от касательной в т0.
Этот результат дает геометрическую интерпретацию возможных
соотношений между точкой на (т) и точкой на (8), которые позволяют
вычислить порядок касания. Выше мы уже уточнили эти возможности.
с. Частные допустимые параметризации.
Соотношения (2.4) показывают, в частности, что можно взять в качестве
параметра и одну из декартовых координат, дающих допустимое
представление окрестности обыкновенной точки т0. Это видно также
из того, что было сказано выше, так как прямая тхпх имеет свои
предельные направления в плоскости, параллельной плоскостям с
выбранными координатами, и касательная в точке т0 к двум кривым
не лежит в этой плоскости, так как координата дает допустимое
представление.
Пусть, например, мы имеем представления
(Т) У = 9Л*)> * = Ы*)'
(8) у = у2(х), г = ф2(*).
В точке с абсциссой х0 порядок касания не ниже п, если
91 (*о) = ?2 (*о). «W (*о) = +2 (*о).
W (*о) = Ч*° (*о> Ф?° (*о) = <№* (*о) О < Р < ») •
при условии, что
К(*о)| = КЫ|>°;
касание будет в точности порядка п, если, кроме того,
I ?Г1} М - ?Г1} (*о) I+1 <Кп+1) Ы - йп+1) Ы I > °-
Чтобы проверить это, мы убеждаемся прежде всего в том, что
m(»+i)(x0)— п(л+1)(л;0) не коллинеарен т'(*0), так как компоненты
по х этих двух векторов соответственно равны 0 и 1;
соответствующими мы считаем здесь точки с одной и той же абсциссой
на (f) и (8), тхпх параллелен плоскости yOz.
Полагая теперь x = f(t), причем x0 = f(t0), f'(t0) ф О, мы можем
сопоставить точки, для которых параметр t принимает одно и то же
значение. Тогда порядок касания двух кривых
(X = f(t), (X = f(t),
(Т) \y = giV)- (8) \y = g2<?)'
[ z = h1(t), [ z = h2(t)
в точке tQ есть наименьшее из чисел п, таких, что
|Mn+1)('o)-^+1)(MI + lA("+1)(M-A3n+1)(QI > °-
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
159
Порядок касания п двух пространственных кривых требует
выполнения 2я + 2 условий (в плоскости число условий равно /г+1).
Параметр, который постоянно употребляется в метрической
геометрии, — криволинейная абсцисса — также является допустимым
параметром. Этот параметр определяется равенствами
s'2
=(ж)*на М- s=5° + / V{inrf da-
Отсюда следует, что s'Q Ф О, и так как, с другой стороны,
например, на (?)
с/е" — dm d*m
то мы видим, что значения s'Q, s^ sfr) совпадают на кривых (у) и
(8), когда эти кривые имеют в точке т0 касание порядка п. Этого
достаточно, чтобы утверждать, что 5 — допустимый параметр.
Определим кривые (у) и (8) уравнениями
(Т) F С*. У г г) = 0, Q(x,y,z) = 09
(8) x = l(t), y = i\(t), z = Z(t).
Допустим, что они имеют общую точку (х0, у0, z0),
соответствующую £ = 0 на (8), причем
(2.5) И'(0)| + |У(0)Ц-|С(0)|>0,
и что, например,
Предположим, кроме того, что (у) и (8) касаются друг друга
в этой точке, так что касание некоторого порядка действительно
имеется.
Обозначая индексом нуль величины, относящиеся к точке касания*
мы имеем
Fafco -f~ Fyi]o + Fz^o = 0,
о£Й+о^+ой=о.
Если бы мы имели Со = 0, то мы имели бы также, в силу
условия (2.6), So = 0, ijo = 0, что противоречит условию (2.5); следовательно*
м> Ф 0. Мы будем теперь искать параметризацию кривой (?) с по-
160
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
мощью трех функций
X = X(t), y = y(t). 2T = C(Q.
чтобы можно было свести задачу к предыдущему случаю.
Для определения x(t) и y(t) имеем уравнения
F(t-{-x — t, -ц+у — ц. С) =
(2 =FQ.>T\>V + {x-%)F'x + {y-Ti)Fy+ ... =0;
= о(?, 7],с)+(л:—6)o;+cv—т|)о;+ ••• =0;
они позволяют, в силу (2.6), вычислить л; — % и у — т) в окрестности
точки касания. Отсюда выводится, кроме того, порядок малости
х — 5 и у — т] по отношению к t.
Действительно, если мы положим
#~(t) = F$, т], С), #(0 = 0(5, т], С)
и если в окрестности £ = 0
<£Г(0 = о**+1+ ..., #(0 = М»+1+ .... |а| + |&|>0.
то мы получим
х —6 = 0**+*+ .... j; —т| = р<*+1+ •-.. |а| + |Р1>0'
так как соотношения (2.7) показывают, что если аир оба
обращаются в нуль, то это было бы справедливо и для а и Ь\ в точке
/ = 0 будет, таким образом, касание порядка п.
Итак, порядок касания есть минимум порядков функций
ST (f) и o?(t), уменьшенный на единицу.
d. Соприкасающиеся кривые. Рассмотрим фиксированную
пространственную кривую (у), определенную уравнениями
(Т) [ш(01: * = 5(*). у =-4(f). * = С(*).
и семейство (Г) кривых, зависящих от 2п-\-2 параметров:
F (х, у, г\ а19 а2 а2п+2) = О,
G(x,y,z; av a2 ^2п+2) = 0-
Пусть m0 = m(t0)— точка на (у). Поскольку мы располагаем
2^ + 2 параметрами, мы можем, вообще говоря, распорядиться ими
так, чтобы определить в семействе (Г) кривую (Г0), проходящую
через т0 и имеющую в этой точке касание по крайней мере
порядка п с кривой (у).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
161
Говорят, что кривая (Г0) есть кривая семейства (Г),
соприкасающаяся с (?) в точке т0.
Если семейство (Г) есть семейство прямых, то я=1 и прямая,
соприкасающаяся с (у) в некоторой точке, будет ее касательной.
Если семейство (Г) есть семейство окружностей, то п = 2 и мы
определяем в каждой обыкновенной точке порядка 2
соприкасающуюся окружность; мы найдем позднее ее элементы.
Для того чтобы кривая семейства (Г) имела с (f) касание порядка
я_|_1, требуются два дополнительных условия, а мы располагаем
только одним параметром — параметром точки на кривой (у); поэтому
в общем случае на кривой нет точек, в которых это имело бы место
(точек сверхсоприкосновения)х).
Покажем, что кривая, соприкасающаяся с (^) в т0, есть предел
кривой семейства (Г), проходящей через /г-J-l точек, близких
к т0. Действительно, пусть t0 = 0, и пусть ti (i=\ ^+1) —
точки, через которые мы хотим провести кривую из (Г). Положив
F[x(t), У (0* z(t)\ alt a2 a2n+2] = <^~ (*; <h. я2 Л2п+2).
G [х (t), y(t), z(t)\ alt a2 a2n+2]= & (t; av a2 a2n+2)t
мы должны иметь
qF(U\ alt a2, ..., a2n+2) = 0, & (h; av a^ a2n+2) = 0
(/ = 1. 2 я + 1).
В частности, мы видим, что имеют место равенства 3^ (t\
ах а2п+2) = ® при t = ti. Применяя несколько раз теорему
о конечном приращении, можно заменить эту систему равенств
системой
еГй; «1 Д2п+2) = 0. *Г'Фи л1§-..., а2л+2) = 0, ...,
<^{П)Фп> *1 Я2п+2) = 0,
где 0i—числа, заключенные в наименьшем сегменте, содержащем
значения t\. Если мы теперь устремим все ^ к нулю, то и 6$ будут
стремиться к нулю, и, в силу непрерывности производных, в
пределе мы будем иметь систему
оГ(0; а, а2л+2) = 0, еГ'Ф\ ах ^+2) = 0
<&~{п)(0; а, а2п+2) = 0.
1) На плоскости, так как там координат на одну меньше, п + 1 условий
обеспечивают касание порядка /г, и мы определяем кривые,
соприкасающиеся с .заданной кривой, исходя из семейства кривых, зависящих от п +1
параметров. Для прямых и окружностей мы получаем те же результаты,
что и выше. Наоборот, касание порядка /г + 1 требует только одного
дополнительного условия, т. е. в общем случае на плоской кривой имеются
изолированные точки сверхсоприкосновения.
162
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Произведя те же операции с системой, относящейся к <£?, мы
получим также в пределе
<^(0; ах а2п+2) = 0, #'(0; ах а2п+2) = 0, ...,
<^(п)(0; аг а2л+2) = 0.
Таким образом, в пределе получаются две системы, в точности
определяющие кривую, соприкасающуюся с (т) в точке т0, что мы
и хотели показать.
3. Касание кривой и поверхности. Определение.
Вычисление. Пусть (S) — поверхность, (*[)— кривая, заданные
параметрически:
(5) m (a, v),
(Т) п(*).
Допустим, что (т) и (5) имеют общую точку
т0 = т (а0. Щ) = п (*<>).
обыкновенную некоторого достаточно большого порядка на (у) к
на (5), причем наши параметрические представления допустимы.
Мы скажем, что (?) и (5) имеют в точке т0 касание в точности
порядка п, если возможно определить на (5) кривую (8), имеющую
с (f) касание порядка п в т0, и если нельзя определить кривой,
имеющей с (?) касание порядка п-\-1.
Касание порядка нуль означает только, что т0 — общая точка
(5) и (y). Касание порядка 1 означает, что кривая (т) касается
поверхности (5). Касание бесконечного порядка означает, что (^)
лежит на (5) [когда (у) и (S) аналитические и точка mQ регулярна
на обоих].
Чтобы определить порядок касания (^) и (5), нужно определить
кривую (8) на (5), т. е. выразить и и v в виде функций от £„
p(f) = m [«(*)» ^(OL таким образом, чтобы первые производные
от п(0 и р(/) совпадали в /0. Мы будем иметь уравнения
n(t0) = m(u0, v0)9
тмШ"ЫШ<'+
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
163
Первое из них выполняется по условию. Второе даст u'Q и v'Qt
если действительно имеется касание, причем решение будет
единственным, так как параметрическое представление на (5) является
допустимым и мы имеем
Подставляя эти величины в уравнение со вторыми производными,
мы определяем и'^ и и*, если это возможно, и т. д.
Допустим, что мы дойдем так до уравнения с производными
порядка /z —|— 1, которое уже не сможем разрешить, и пусть a(t)
и v{t) — две функции, принимающие в t0 вместе с их производными,
до порядка п найденные значения. Тогда кривая (8) на (5),
определенная уравнением p(/) = m[tf(/), я(ОЬ имеет с (?) порядок
касания п.
Мы видим, от какого произвола зависят кривые типа (8). Если
определено только несколько первых производных от и и v, то они все
имеют в точке т0 порядок касания по крайней мере п. Впрочем,
из транзитивности следует, что если две кривые (8) и (е) на (S)
имеют в т0 касание по крайней мере порядка п и если (8) имеет
с (?) касание порядка /г, то (е) имеет с (^) касание порядка па
крайней мере п. Порядок соприкосновения (*[) и (5) есть
уменьшенный на единицу порядок дифференцирования, встречающийся в
первом члене первого из неразрешимых уравнений (3.1).
Из системы (3.1) или непосредственно из определения получаем
также следующий результат: если две кривые (ух) и (у2) имеют в /%
касание порядка п и если (^t) имеет с (S) касание порядка /г, то (?2)
имеет с (S) касание порядка пр крайней мере п.
Наконец, как и в случае двух кривых, порядок касания (*[) и (5)
есть инвариант при точечных преобразованиях вида (2.3).
Как и для кривых, порядок касания кривой (у) и поверхности (5)
может быть определен и другим способом.
Пусть q — точка на (5), наиболее близкая к точке п на (у).
Доказывается, как и в случае кривых, что точка q единственна,
если п достаточно близка к mQt и что ее координаты (и, v)
определяются, если записать, что первые частные производные от mn2
по и и v равны нулю; это дает
[(4Н+-]Ш«-«*+(£)1<~•>+-
•••-(£)„«-'»>- ■■■]'"■
[&).+ •••][(£).<»-«•>+(£).<»-<*>+•••
164
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
ИЛИ
(3.2)
--(£Шг1«-<°>--=°-
° <«■»•<>={ШШ<°- *>+(£)> -««>+•• •
(дт
[dv
причем F(u0, v0, /0) = 0, O(u0l v0, t0) = 0; но для значений и0, v0, t0
якобиан г)
L D (и, v) Jo L\ da k A \ dv hi
отличен от нуля, так как представление (5) допустимо; мы можем
поэтому определить из уравнений (3.2) выражения для и— и0 и v — v0
как функций параметра t в окрестности t0, и эти функции будут
иметь непрерывные производные до порядка точки т0. Полагая
Й1=а&)„+*(ж)„'
"} (Ie| + l*|>0).
имеем |я| + |#|>0, так как (dnldt)Q есть ненулевой вектор
касательной плоскости. Получаем
a — a0 = a(t — t0)-\-
v — v0 = b(t — tQ)-\-
Функции, определенные уравнениями (3.2), задают на поверхности (5)
кривую (е), касательную к (*[) в точке т0 и имеющую в т0
обыкновенную точку. Порядок касания (е) с (т) в т0 не ниже п, так как для
всякой другой кривой ф): p{t) на (5) имеем |np|>.|nq|f и если (8)
имеет в т0 касание порядка п с кривой (у), то | np | имеет
порядок п-\-\ по отношению к |m0n|; следовательно, |nq| имеет
порядок по крайней мере /z-J-1. Порядок не может быть больше
этого числа, так как тогда (^) и (е) имели бы в т0 касание порядка
не ниже л—J— 1» т. е. (*[) имела бы с (5) порядок касания выше п.
Итак:
Порядок касания кривой (^) с поверхностью (5) в точке т0
есть уменьшенный на единицу порядок малости расстояния
от точки п кривой (т) до (S), относительно бесконечно малого
расстояния |m0n|, когда п стремится к /я0(|т0п| имеет
порядок |* — /0|).
!) В самом деле, имеет место тождество
(АЛВ)2 = А*.В2 — (А-В)*.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
165
Как и в случае кривых, мы видим, что |пр| — величина того же
порядка, что и |nq|, относительно |m0n|, если прямые пр не
допускают никакой предельной прямой в касательной плоскости к (5)
в точке т0. В частности, если касательная плоскость не
параллельна Oz, можно взять прямую пр параллельной Oz.
Представим (S) и (у), например, в форме
(5) /"(*. У> *) = <>,
(Т) * = 5(0. У = -чУ). * = С(0
и предположим, что точка (х0, у0, z0), в которой нужно
определить касание, соответствует значению *0 = 0 параметра t.
Если касательная плоскость к
поверхности (5) не параллельна оси
Oz, мы допустим, кроме того, что
J",(*o..v*o)*o;
получим
|5'(0)| + 1ч'(0)|>0.
Приняв во внимание
полученные нами результаты, ставим рис ^
задачу определения порядка
касания кривой (у) с кривой (В) поверхности (5), заданной уравнениями
* = $(*). У = Ш z = z(t),
() F№. т) (0, *(01 = 0.
Положим
&~® = F[l{t). т](О, С(ОЬ
Получим
/>(?, т], *) = /Ч?. т], с + (2г —С)]=^(0 + (2г —C)F;+ ... =0.
Пусть я-f-l—порядок &* if) относительно t:
^(/) = fl^l+1+ ... (я¥=0).
Мы находим из предыдущего уравнения
z — C=s=a^+1+ ... (a=£0),
т. е. (y) имеет с (8) и, следовательно, с (S) касание порядка п.
Порядок касания поверхности (S) и кривой (у) есть
уменьшенный на единицу порядок малости &~ if) относительно t.
Так как координата z не играет особой роли, то наше
заключение верно и для общего случая, когда
KJ+inj+KI><>. ISI+KI+iq>o-
166
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Поверхности, соприкасающиеся с к р и в о й. Касание
порядка п кривой и поверхности налагает п -f-1 условий на
поверхность.
Рассмотрим фиксированную кривую (?),
(Т) * = *(*). У = -Ч«). г = Ш
и семейство (Е) поверхностей, зависящих от п-\-\ параметров:
(2) F(x, у, z\ av a2 аЛ+1) = 0.
В общем случае можно найти для всякой точки t0 на (?)
поверхность семейства (Е), проходящую через эту точку и имеющую
касание порядка п с (-j).
Полагая
<аГ(*; <Ч, а2 an+1) = F[b(t), tj(0. С(0; Лр я2 дЛ+1],
определяют значения параметров из системы уравнений
сУ(*о"» ai» a2 an+i) — О»
dT' (*0; av а2 ап+1) = О,
<^(n)(V> «1. <*2 *n+i) = 0.
Рассмотрения, аналогичные проведенным в случае кривых,
показывают, что эта поверхность, называемая поверхностью
семейства (Е), сопракасающейся с кривой (?) в точке tQt есть предел
поверхностей из (Е), проходящих через л+ 1 точек кривой (т),
близких к точке t0> когда эти точки стремятся к точке t0.
Если семейство (Е) есть семейство плоскостей (три параметра),
то можно реализовать касание порядка 2, и мы найдем
соприкасающуюся плоскость в точке кривой.
Если семейство (Е) есть семейство сфер (четыре параметра), то
можно реализовать касание порядка 3, и мы получим
соприкасающуюся сферу в точке кривой; элементы этой сферы будут
определены далее.
Одно дополнительное условие обеспечивает касание порядка п-\-1.
Таким образом, в общем случае мы будем иметь изолированные
точки на (f), где это условие будет реализовано. Говорят, что
в этих точках имеет место сверхсоприкосновение.
Кривые, соприкасающиеся с поверхностью. Пусть
(5) — заданная поверхность:
(5)
Г(х, у, s) = 0;
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
167
rti0(Xo> Уо> zq) — обыкновенная точка на ней. Рассмотрим семейство (Г)
кривых, зависящих от п -|-2 параметров:
f х = х (t; av а2 ап+2)>
(Г) i y = y(t\ av а2 ап+2),
( z = z (t\ av a2 an+2).
Записав, что кривые этого семейства проходят через точку
(jc0, у0, z0)t мы получим три соотношения, из которых два позволят,
вообще говоря, выразить два из этих параметров (скажем, ап+1
# аЛ+2) через остальные, а третье даст значение t0(av a2 ап)
параметра t, соответствующее положению (л:0, у0, z0) точки на
кривой, также в виде функции этих параметров av a2 аЛ.
Полагая t = t0(av а2 #п)~г-т» мы получаем таким образом
семейство кривых от п параметров:
(Г)
#==£ (т; а19 а2 ап),
У = 'Ч (т- <*v а2 ап)>
г = С(т; av a2,..., ал),
причем значение нового параметра, соответствующее точке (xQt у0, z0)9
есть т = 0.
Записав
сГ(т; av а2 an) = F [t(t0-\-x\ av a2 ап), т), £],
имеем <^~(0; av a2 ап) = 0 и можем распорядиться
параметрами таким образом, чтобы реализовать условия
&*%(0; <ъ ап) = 0 (1 <р < п),
которые означают, что имеет место касание порядка п кривой (f)
из семейства (Г) с поверхностью (5) в точке (л:0, у0, z0).
Эта кривая называется кривой семейства (Г), соприкасающейся
с (S) в точке (х0, у0, z0). Касание более высокого порядка требует
еще одного дополнительного условия, лрэтому в общем случае будут
существовать только отдельные точки сверхсоприкосновения.
Если семейство (Г) есть семейство прямых (четыре параметра),
то можно реализовать в общем случае касание порядка не ниже 2.
Мы получаем, что в общем случае можно найти в касательной
плоскости к поверхности в некоторой ее точке два направления,
имеющих с поверхностью касание порядка не ниже 2. Они нам еще
встретятся далее под названием асимптотических направлений.
Если семейство (Г) есть семейство окружностей (шесть
параметров), то можно в общем случае реализовать касание порядка 4
*см. упражнение 4).
168
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
4. Касание двух поверхностей. Рассмотрим две поверхности
(S) m (я, v).
(S) п(я, v),
имеющие общую точку m0 = m (u0, v0) = n (u0, v0), обыкновенную
и достаточно высокого порядка на (S) и (I). Пусть параметрические
представления таковы, что
га 1ч / di+Jm \ ( di+Jn \ 1 ^- . • /
Эти равенства выражают геометрическое свойство, которое
называется касанием порядка не ниже п поверхностей (S) и (I)
в точке т0. Если при этом нельзя найти таких представлений, что
написанные выше равенства имеют место также для l-\-j = n-\-l,
то говорят, что поверхности имеют в т0 касание порядка п.
Определение точного порядка касания производится по уже
изложенным принципам.
Предположим, что наши представления позволяют констатировать
касание порядка по крайней мере п на (Е). Обозначим временно
через их и vx переменные и и v соответственно и посмотрим»
нельзя ли найти функции
а1 = а1(а, v)t v1 — v1(u, v)
таким образом, чтобы можно было убедиться в касании порядка
выше п. Мы имеем
(4 2) д*+*п = дп di+Jui I дп di+JVl I
ди* dvf дих ди*дуЗ dvx диг dvJ
du[dv{\du ) \dv ) ~*~
где ненаписанные члены содержат частные производные вектора п
порядка выше 1, коэффициенты при которых — произведения
частных производных функций их и vx — также порядка выше 1, или
dujdv, или dvjdu. Следовательно, если мы желаем сохранить
равенства (4.1), нужно положить в точке (uQ, vQ)
«i(«o. ^o) = tto» ^iK» vq) = vq>
(4H-- (Si-*- ш„=о. m0=>'
(l^L\ =o, (J^%) =0 <2</+7<я).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
169
Равенства (4.2) показывают тогда, что касание порядка /г —j— 1 может
иметь место только в том случае, если
\ да* dv3 /о \ дигdv* /0 гЧ да )0 ^ гЧ dv J0
(/+«/ = *+!).
где dij и Ь^ являются скалярами, и эти условия также являются
достаточными. Действительно, пусть для простоты и0 = 0, г>0 = 0;
замена переменных вида
п+1
a1 = a-\-^iliuivn+1-\
г=0
п+1
г=0
выявит касание порядка по крайней мере /г+1. В результате
конечного числа таких операций порядок касания будет определен,
если, конечно, (5) и (Е) различны.
Предположим, что поверхности (5) и (Е) имеют касание
порядка я, причем параметризация и, v допустима, и рассмотрим две
кривые
р (0 = т [«*(*), *(*)],
q(t) = n[u(t), v(t)l
проходящие через т0, первая на (5), вторая на (Е), предполагая,
что u(t) и v(f) обладают непрерывными производными до
достаточно высокого порядка в окрестности значения t0,
соответствующего точке касания, и
k'('o)H-K(W>0-
Формулы для вычисления производных сложных функций показывают,
что эти две кривые имеют в т0 касание по крайней мере порядка п,
иначе говоря, всякая кривая, проходящая на (Е) через mQ и
имеющая т0 обыкновенной точкой достаточно высокого порядка*
имеет с (5) касание по крайней мере порядка п.
Положим теперь
a = u0-\-\(t — tQ), v = v0-\-\i(t — tQ)t
где X и [х обозначают константы и t = t0-\-kt. Мы видим, что
pq V Г di+im di+in
У \^
д^п+i ^ \ди1дуЗ dtfdv*
t+j=n+l u
xv+
и если касание не имеет порядка п-\-1, то по крайней мере один
из коэффициентов при XV есть вектор, не лежащий в касательной
плоскости к (5) и (Е) в т0. Можно найти значения X и ц, такие,
170
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
что прямая pq имеет единственное предельное направление, не
расположенное в этой плоскости, когда р и q стремятся к т0.
Соответствующая кривая q(f) имеет с (5) касание в точности
порядка п. Итак:
Порядок касания двух поверхностей есть наименьший
порядок касания кривой, лежащей на одной поверхности (и
проходящей через точку касания), с другой поверхностью при условии,
что эта кривая имеет в точке касания обыкновенную точку
достаточно высокого порядка.
Можно также определить касание с помощью кратчайшего
расстояния от точки п поверхности (£) до (5). Как и раньше,
проверяется, что существует только
одна точка на (5), находящаяся
на минимальном расстоянии от
п, если п достаточно близко
к т0.
Предыдущие рассуждения
показывают, что это кратчайшее
расстояние имеет порядок
малости не ниже п -\- 1 относительно
| п0п | и что на (Е) существуют
кривые, вдоль которых оно
в точности порядка п-\-\. Итак:
Порядок касания
поверхностей (S) и (L) есть уменьшен-
Рис. 16. ный на единицу наименьший
порядок малости кратчайшего
расстояния от точки п на (Е) до (5) относительно |п0п|, когда
п стремится к п0 вдоль произвольной кривой поверхности (Е),
имеющей в п0 обыкновенную точку достаточно высокого порядка.
Этот порядок можно вычислить, ставя в соответствие точке п
точку m на (5), такую, что прямые mn не допускают никакой
предельной прямой в касательной плоскости в точке т0. В
частности, если касательная плоскость в т0 не параллельна Oz, можно
в окрестности точки т0 (с координатами xQt y0, z0) представить (S)
и (Е) в виде
(5) z = f(x,y) =
= *o + pi[(* — *оИ.У — Л)1+ ••• +Рп1* — *о)'(У — Уо)}+---*
(Е) г = ср(лг, у) =
= *<)+% К*—*о).Су— Уо)\+ ••• +*»[(* — *<>)> (у—Уо)]+ •••.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
171
где Р„ ^i представляют однородные многочлены по х— х0 и у— у0,
степени которых указаны индексами.
Если тождественно
^1 — ^1 Рп — ^п,
то в точке ш0 мы будем иметь касание по крайней мере порядка п.
Если, кроме того, Pn+i— Sn-i —не тождественный нуль, то мы
будем иметь касание в точности порядка /г.
Полученные результаты позволяют непосредственно высказать
следующие теоремы транзитивности:
1° Если кривая (т) имеет с поверхностью (S) касание порядка
по крайней мере п в некоторой точке т0 и если (5) имеет
с поверхностью (Е) касание по крайней мере порядка п в т0,
то (?) имеет с (Е) касание по крайней мере порядка п в т0.
2° Если поверхность (S) имеет с двумя поверхностями (£х)
и (£2) касание порядка по крайней мере п в одной и той же
точке т0, то (£х) имеет с (£2) касание порядка по крайней
мере п в т0.
Наконец, порядок касания двух поверхностей сохраняется при
точечных преобразованиях типа (2.3).
Задав поверхность (S) и семейство поверхностей, зависящих от
достаточного числа параметров, можно определить в точке на (5)
соприкасающуюся поверхность заданного семейства. Если это
семейство есть семейство плоскостей, то можно получить касание порядка 1:
мы получаем снова касательную плоскость. Если это семейство есть
семейство квадрик, то можно получить в общем случае касание
порядка 2, оно реализуется для семейства квадрик, зависящих от трех
параметров (см. часть II, Аффинная геометрия).
Упражнения
1. Две пространственные кривые имеют в точке ш0 касание первого
порядка (но не второго!). Показать, что геометрическое место точек, из
которых эти кривые проектируются на произвольную плоскость (не проходящую
через центр проекции) так, что две кривые-проекции имеют в образе точки т0
касание по крайней мере порядка 2, есть плоскость (плоскость Альфана).
Эта плоскость касательна в т0 ко всякой поверхности, проходящей
через (y) и (5) и имеющей в ш0 обыкновенную точку (см. § 2, я).
2. Обобщение. Рассмотрим в пространстве Rn k кривых mj (t) [/=1,...
..., k «; /г)], проходящих через одну и ту же точку т^ (0) = т0 и имеющих
попарно в этой точке касание порядка 1, но не порядка 2, причем
параметризация допустима, так что dm^ = ... = dmi — dm в m0.
1° Показать, что эти кривые определяют в общем случае в точке ш0
элемент касания первого, порядка размерности k (это центро-аффинное
пространство, определяемое векторами dm, d^m^ — d^mj (2 <;/<;&).
172
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
2° В этом пространстве Ак выберем базис ег и для k векторов Vj с
координатами х* положим
(vlf v2 vft) = det | x\ | (Л, / = 1 Л).
Выберем, кроме того, в Ак k векторов щ. Показать, что выражение
(d*mt — (Рт9 dbn1 — (Ртк, dm) (qlt ..., ик)к~ г
к
IX («1 «1-1. dm, щ+1 иЛ)
инвариантно относительно <^2.
3° Частный случай: л = 2, Л = 2. Если плоскость имеет структуру Е?
то выражение этого инварианта имеет вид
— (ctg at — ctg од) (rfet — d82),
где aj и a2 обозначают углы, образуемые двумя векторами щ и и2 с общей
касательной, а ^ и rf02— дифференциалы углов, на которые
поворачиваются касательные к каждой из кривых. (Bompiani E., Colloque de
Geometrie differentielle, Louvain, 1951.)
3. В <Р* в репере (m0, mls m2) рассмотрим кривую
m = m0 + xmx + ym2,
У~" 2 20 +280*7+ ••• e
Определить кривые третьего порядка, имеющие с данной кривой касание
порядка 7. Эти кривые третьего порядка образуют пучок. Не считая начала,
они будут иметь еще одну общую точку, которую следует найти. Среди этих
кривых есть одна, имеющая в т0 двойную точку, и одна из ее ветвей имеет
касание порядка б с кривой. Какова касательная в точке перегиба этой
кубической кривой? [Речь идет об определении проективной нормали в точке
кривой и об интерпретации проективной кривизны k (см. часть II,
Проективная дифференциальная геометрия).]
4. Пусть в £з задана поверхность
z = ах* + 2Ъху + су* + ал* + Зрлг*у + Зулгу2 + &у3 + гх* -f ... .
Существует, вообще говоря, окружность, касательная к Ох в точке О и
имеющая в этой точке соприкосновение с поверхностью порядка >• 3 (ее радиус г
и угол ф ее плоскости с плоскостью хОу заданы условиями 2ar = sin ф,
Ь cos ф + «г = 0).
Показать, что эта окружность имеет касание порядка >4 с
поверхностью, когда
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
173
Вывести отсюда, что в точке поверхности, обыкновенной порядка 4 и не
являющейся точкой округления (см. II1, II, 2), существует в общем случае
Ю окружностей, имеющих с поверхностью касание порядка !> 4 (достаточно
заметить, что, заменяя х и у через х cos ср — у sin <р и х sin ср -|- у cos ср
соответственно, мы получим, что новые коэффициенты при членах второго,
третьего и четвертого порядков суть однородные многочлены по cos ср и sin ср
порядка 2, 3, 4).
5. Рассмотрим в Л3 поверхность, касающуюся плоскости вдоль некоторой
кривой. Показать, что касательная к кривой имеет в каждой точке касание
с поверхностью порядка ;>3.
Глава III
ОГИБАЮЩИЕ
1. Основные теоремы1). Результаты, которые мы получим
вначале, описывают те множества точек, которые обязательно содержат
огибающую — понятие, которое мы определим. Эти результаты
установлены здесь не со всей желательной общностью2).
Теорема 1. Плоский континуум, паратингенция в каждой
точке которого состоит из единственной прямой, параллельной
фиксированному направлению, есть сегмент прямой.
Пусть Ох и Оу — две оси координат в плоскости. Допустим,
что континуум С, о котором идет речь, проходит через О и что
Ох— направление паратингенции в каждой из его точек. Прямые,
параллельные Оу, достаточно близкие к О, пересекают С не более
чем в одной точке, так как в противном случае прямая Оу
принадлежала бы паратингенции в точке О.
Достаточно малая окрестность точки О (на континууме) может
быть представлена соотношением вида
У =/(*)-
где f(x)— непрерывная функция3). Так как контингенция в каждой
точке этого континуума по допущению параллельна Ох, то отсюда
следует, что f'(x) существует и равна нулю, т. е. f(x) —
тождественный нуль, поскольку континуум проходит через О. Итак,
некоторая окрестность точки О представляет собой сегмент прямой,
лежащий на оси Ох. Предыдущее рассуждение можно повторить,
начиная с одной из концевых точек этого сегмента; отсюда нетрудно
заключить, что весь континуум действительно является сегментом
прямой. Этот результат немедленно переносится на случай
пространства. Мы его используем в следующей форме:
!) В этой главе мы будем употреблять в общем случае терминологию
пространств Е? и Е*.
9) Доказательства, справедливые в наиболее общих случаях, можно
разработать, отправляясь от результатов Шоке (G. С h о q u e t, These, 1946).
Мирге (J. Mirguet) сообщил мне доказательство более общего предложения,
чем теорема 1.
3) Как и в гл. I части I, здесь фактически предполагается, что
континуум С локально связный. См. примечание на стр. 136. — Прим. перев.
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
175
Не существует кривой, касательной ко всем прямым,
параллельным одному направлению.
Теорема 2. Элемент жордановой поверхности, все
внутренние точки которого обыкновенные и касательная плоскость
в каждой точке которого параллельна фиксированной плоскости,
есть плоский элемент.
Действительно, пусть хОу — фиксированное направление
касательной плоскости и т(и, v) — поверхность:
Ix = x(u, v),
у = у{и, v),
z — z(u, v),
причем представление будет допустимым.
В окрестности обыкновенной точки эта гипотеза эквивалентна
тому, что
du dv
Отсюда следует, что функция z постоянна во всей этой окрестности
и, следовательно, поверхность содержит плоскую область. Повторяя
это рассуждение шаг за шагом, можно заключить, что весь элемент
плоский.
Мы используем этот результат в следующей форме:
Не существует поверхности, касательной к плоскостям,
параллельным одному направлению.
Доказательство указывает на то, что мы под этим подразумеваем.
Теорема 3. Элемент жордановой поверхности, на кото -
ром все внутренние точки являются обыкновенными и
касательная плоскость в каждой точке параллельна заданному
направлению, есть элемент цилиндра с образующей, параллельной этому
направлению.
Действительно, пусть Oz — фиксированное направление, m {и, v)—
элемент поверхности с допустимой параметризацией. По условию»
в окрестности каждой точки имеем
D(u, v)
и дх/ди, dxjdv, ду[ди9 dyjdv — не тождественные нули, так как
иначе х и у были бы константами и мы имели бы дело с прямой,
а не с поверхностью. Из написанного выше равенства можно поэтому
выразить, например, у в виде непрерывной функции от х в окрест-
176
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
ности точки (и, v):
Поверхность содержит поэтому элемент цилиндра. Теорема
доказывается далее последовательным его продолжением.
Мы используем эту теорему в следующей форме:
Не существует поверхности, касательной ко всем прямым,
близким к заданной прямой и того же направления, что эта
прямая.
2. Огибающие плоских кривых. Пусть в плоскости хОу задано
семейство кривых Сх,
(2.1) (СО f{x. у. Х) = 0,
непрерывно зависящее от параметра X. Мы называем огибающей Е
кривых семейства совокупность кривых (£'), касающихся всех
кривых (Сх) в некоторой окрестности значений X (т. е. для Xq^X^X^
где Xq и Хх — константы). При этом точка касания, называемая
характеристической точкой Сх, изменяется вместе с X (так же как
и сама кривая Сх).
а. Общие результаты. Допустим, что f(x, у, X) имеет
непрерывные частные производные по х, у и X в области, где мы
оперируем. Координаты (х, у) точки, лежащей на кривой из (Е')
(составляющей часть огибающей) и на Сх, должны удовлетворять
уравнению (2.1). Мы утверждаем, что они, кроме того, удовлетворяют
уравнению
(2.2) f'x(x, у, Х) = 0,
если (х, у) — обыкновенная точка на Сх и если I /^|-f-| f'y\ > 0.
Пусть, в самом деле, (2.2) не имеет места в точке (х9 у),
которая является обыкновенной точкой на Сх и в которой |/^|-r~|/«| > 0-
Тогда уравнение (2.1) можно разрешить относительно X, и мы
находим в некоторой окрестности этой точки
Х = <р(л;, у),
где ср имеет непрерывные частные производные и l^ll^O, если
К1>°-
Сделаем теперь замену переменных
Х=х, Y = <f(x.y).
Имеем
D(X,Y)
D(x,y)
Ф0
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
177
в рассматриваемой окрестности. Преобразование взаимно однозначно
и сохраняет касание, как мы показали.
Но, в силу теоремы 1, в плоскости (Xt Y) не существует кривой,
касательной к прямым семействам К;=Х. Рассматриваемая точка
не может, следовательно, принадлежать огибающей. Огибающая может
располагаться только в множестве точек, где
{&) /=о. /;=о, /;=о.
или в множестве
Ф) / = 0. f[ = 0
[или в множестве (3J), которое мы оставили в стороне, где / не имеет
непрерывных производных],
Множество (£Р) есть в общем случае геометрическое место особых
точек кривых (Сх) и в обычных случаях не составляет часть
огибающей (но оно может содержать обыкновенные точки, и мы увидим
случаи, когда оно составляет часть огибающей).
Множество ($) включает в себя и неподвижные точки, если они
имеются, через которые проходят все кривые Сх, так как если (х0, у0)—
такая точка, то равенство f(x0, y0, Х) = 0 влечет за собой равенство
/((*о. Л. Х) = 0.
В зависимости от точки зрения, которая принимается, эти точки
можно рассматривать либо как принадлежащие к огибающей, либо
нет (в аналитической геометрии их рассматривают как составляющие
часть огибающей).
Рассмотрим точку (х, у), принадлежащую ($), но не
принадлежащую (^), и допустим, что в окрестности этой точки функция /х
имеет непрерывные частные производные, причем
Г2Л £МЦо
(2,<J) D(x,y) ф0-
Система $ определяет тогда в окрестности точки (х, у)
некоторую кривую (Е'у.
m (X): х = х (X), у = у (к).
Производные функций х(к) и yQC) существуют и, в силу (2.3),
определяются системой
(2.4)
У и у' не обращаются одновременно в нуль, если /£ Ф 0. Точка (х, у)
тогда будет обыкновенной на (£'); первое из уравнений (2.4)
выражает тот факт, что Сх и (Е') касаются друг друга; следовательно,
178
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
(£?') составляет часть огибающей. Замечая, что из условия (2.3)
следует, что точка (х, у) будет обыкновенная на Сх, мы можем сказать:
Если в точке множества ($) выполнены условия
то в некоторой окрестности этой точки система ($) определяет
кривую (£'), составляющую часть огибающей кривых
семейства Сх.
Более общо, если (Е') имеет в (лг, у) обыкновенную точку,
в окрестности которой, например, у можно выразить в виде
функции от х9 то, дифференцируя, мы получаем из равенства / = 0
соотношение
которое выражает факт касания. Этот результат имеет место, если
/'/£ Ф 0, но он может быть верен и в других случаях.
Если, например, /*=0 и уравнения (S) тем не менее позволяют
выразить у и X в виде функций от х, причем X имеет первые и вторые
непрерывные производные, то мы находим
В' на (£')
fa^fyin? — ^ ^+/^"57 = 0,
[/£ + 2/^ "57 + /^ уа?) J +f'y-d& = °-
Два первых соотношения показывают, что
якобиан
Я (*. У)
равен нулю; первое и третье из них будут
одинаковы для кривых (Я') и Сх; в рассматриваемой
точке значения dy/dx и d2y/dx2 соответственно
совпадают; (£') и Сх имеют в этой точке каса-
Рис. 17. кие по крайней мере второго порядка. (Если
эти условия выполняются для всех точек на (Е')>
то эту кривую можно рассматривать как кратную кривую огибающей.)
Допустим теперь, что множество (£Р) содержит кривую, имеющую
обыкновенные точки, в окрестности которых можно выразить у
и X через х. Дифференцируя первое из соотношений (^), мы получаем
J\dx u*
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 179
Это значит, что либо эта кривая составляет часть ($), либо, при
постоянном X, кривая Сх составляет часть (£?)1).
Кривые Сх, называемые стационарными, на которых f
тождественно обращается в нуль, образуют в общем случае часть ($),
но не часть огибающей. Итак:
Исключение X из двух уравнений (Л) дает множество кривых
#(jt, y) = 0f заключающее в общем случае (£?) и стационарные
кривые.
Следовательно, в общем случае огибающую нужно искать в
множестве R(x, y) = 0 и в множестве (®), где / перестает иметь
непрерывные производные.
Для произвольного значения X в характеристических точках
удовлетворяются уравнения ($). Если кривые Сх—алгебраические
степени п, то мы имеем в общем случае п2 (действительных или мнимых)
характеристических точек, но из этого числа надо вычесть число
неподвижных точек, если они есть, так же как и число особых
точек. Огибающая будет иметь, вообще, п2 ветвей, которые составят
части одной и той же аналитической кривой в аналитическом случае.
Для п=1, т. е» в случае семейства прямых, на каждой прямой
имеется лишь одна характеристическая точка. Геометрическое место
этих точек составляет огибающую семейства прямых. В случае
конических сечений имеем, вообще говоря, четыре характеристические
точки. Если конические сечения — окружности, то имеем лишь две
характеристические точки (действительные или мнимые), так как
окружности проходят через циклические точки плоскости.
Впрочем, в общем случае (2.4) характеристическая точка (х, у)
может быть определена и другим способом. Рассмотрим,
действительно, две близкие кривые С\ и Сх+дх« Их общие точки определяются
уравнениями
(2.6) /(*. у, Х) = 0, g(x, у, X, ДХ) =
= ^[/(*. У. Х + ДХ)—/(*. у, X)] =0.
Когда АХ стремится к нулю, g(x, yt X, ДХ) стремится к /£ и якобиан
^(/» g)/D(x> У) стремится к якобиану D(/, fr)jD{xt у), т. е.
*) Это будет случай, когда
D(x,y) -u*
так как тогда существует соотношение вида F(f, Д, А) = 0, интегрирование
которого показывает, что / есть функция от X и некоторой функции р (л:, у).
Система (g) дает тогда р (лг, у). Огибающая может быть расположена только
в множестве (0), где р (jc, у) перестает иметь непрерывные производные, или
на некоторых кривых С\ (стационарных кривых).
lap
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
к ненулевому значению. Существует, следовательно, единственное
решение системы (2.6): д;(ДХ), у(&к), стремящихся к х и у, когда ДХ
стремится к нулю. Итак:
В случае, когда выполняются предположения (2.5), точка
касания Сх с огибающей (Е') есть предел единственной общей
точки кривых Сх и Сх+дх» когда ДХ стремится к нулю.
(Допущение /£ Ф О нужно здесь только для того, чтобы обеспечить касание.)
Напротив, если мы имеем между С\ и огибающей (£') касание
второго порядка, то точка касания в общем случае либо будет
пределом двух общих точек кривых Сх и Сх+дх.
либо не будет пределом ни одной общей
точки; аналитическая точка зрения и только
она одна вносит ясность в этот вопрос, так
как в общем случае, если С\ и Сх+дх
аналитические и точка касания регулярна, она будет
пределом общих точек (действительных или
мнимых) Сх и Сх+дх-
Замечания. 1° Пусть нужно найти
Х+ДХ огибающую семейства кривых, зависящих от
двух параметров
/(*, У, X, fl) = 0,
Рис. 18.
связанных соотношением
g(K tO = o.
Находя, например, fi из второго уравнения и подставляя его в первое,,
имеем
> d\
** dk
откуда
£>(Л,ц) — и-
Это уравнение нужно присоединить к уравнениям
/=0 и g- = 0f
чтобы получить множество точек, содержащее огибающую.
2° Если кривые заданы в параметрической форме:
с<*>
m
г х = х (tf X),
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
181
то нужно искать t(X) таким образом, чтобы вектор m^/'+m£ был
коллинеарен вектору m'v что дает
%'Лш; = 0, или Щ$ = 0.
3° В виде исключения семейство кривых, зависящих от
нескольких параметров, может также иметь огибающую. Это, например,
случай окружностей, касающихся заданной кривой (два. параметра).
Ъ. Примеры. 1° Огибающие прямых. Рассмотрим семейство
касательных к кривой у = <р (х)
?'(Х)(*--Х) + <р(Х)-у = 0.
Дифференцируя это уравнение по X, получаем
4"(k)(x-l) = 0.
Кроме решения х — X, дающего характеристическую точку, мы находим
стационарные прямые <р" (X) = 0; они соответствуют точкам перегиба
заданной кривой и не входят в огибающую.
Если рассмотреть семейство прямых, заданное в виде
х cos в + у sin 0 = р (в),
где 0 — параметр, то для них эта аномалия уже не имеет места; это
происходит потому, что в точке перегиба переменное 0 имеет, вообще
говоря, экстремум и не может служить параметром для представления
окрестности такой точки.
2° Рассмотрим параболы
у = Х*(* — X)*.
Уравнение, которое нужно присоединить, чтобы получить огибающую,
запишется так:
Х(лг — Х)(лг —2Х) = 0.
Огибающая состоит из кривой у = ( —J и из оси Ох, получаемой при
X = 0 или при х = X. Здесь стационарная кривая составляет часть огибающей.
3° Кривые у8 = (х — X)5 имеют огибающей ось Ох, которая явля зтся
геометрическим местом их особых точек.
Для кривых
огибающая состоит из оси Ох, геометрического места их особых точек
с исключенным началом и прямой у = х также с исключенным началом.
Кривая семейства, проходящая через начало, сводится к пять раз взятой
оси Оу.
4° Огибающие окружностей. Рассмотрим семейство окружностей С*,
центры которых описывают кривую S (X) и радиусы R которых зависят от X.
Обозначая через Р текущую точку на окружности, имеем
(Q) SP2 = R\
182
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
(Дх)
Чтобы получить огибающую, нужно присоединить уравнение
dS
SP^T =
RdR
изображающее некоторую прямую D\, перпендикулярную касательной
в точке S к кривой S(X). Мы различаем три случая:
a. D\ пересекает окружность в двух действительных точках М± и Мъ
которые при этом будут симметричны по отношению к касательной в точке S
к S(X). Огибающая содержит две ветви, которые в аналитическом случае
являются двумя ветвями одной и той же аналитической кривой.
Если R постоянно, мы получаем точки М\ и iW2, откладывая на нормали
в точке S к кривой S(X) с той и с другой стороны длину R. Кривые Et и
Рис. 19.
Рис. 20.
#2 6УДУТ параллельны кривой S (X) и будут проходить на расстоянии R от
нее.
p. D\ пересекает окружность в двух мнимых точках. С
действительной точки зрения огибающей нет; это выражение имеет смысл лишь в
комплексной области.
Y- D\ все время касается окружности С\. Тогда огибаюдая содержит
только одну ветвь (которую можно рассматривать как двойную). Выберем
в качестве параметра на S (К) криволинейную абсциссу s вместо X.
Имеем
(£)'=•■
и условие касания записывается в виде
R^=±Rt т.е. #=±(s — so).
Мы выберем s таким образом, чтобы s0 было равно нулю, и выберем
направление обхода так, что R = s. Записывая тогда в прямоугольной
системе (х, у);
S(s)
\у = "П (5),
где е'»+1'* = 1>
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
183
и обозначая через (х, у) координаты текущей точки на окружности, имеем
f(x9y,S) = (x — S)2 + (y--/))2 — 52 = 0,
что дает для координат точки касания
(Е) х — £ = — sS', у — r\ = — sr\\
С другой стороны, уравнения (2.4) записываются здесь в форме
(х — 5)*' + (у — т,)у' = 0,
б'х' + тг)'/= 0.
Они совместны, но не определяют полностью значения хг и у', которые
можно вычислить непосредственно с помощью предыдущих формул. Мы
имеем тождественно
вдоль огибающей (£). Окружности имеют касание по крайней мере порядка
2 с (Е) и пересекают в общем случае эту кривую. Данное семейство есть,
таким образом, семейство соприкасающихся окружностей к одной из
эвольвент кривой S(s).
Рассмотрим, наконец, две точки St и S2, соответствующие значениям %
и 52 параметра, причем 0 < Sx < s2. Так как длина дуги больше длины ее
хорды, имеем
lSiS2\<s2—sl.
Отсюда следует, что окружность семейства с центром в Si лежит внутри
окружности с центром S2, а это показывает, что характеристическая точка
окружности семейства есть предел мнимых сопряженных точек, общих для
данной окружности и близкой к ней,
с. Предупреждение. Сравнительно подробные
рассмотрения, которые мы провели для случая огибающих плоских кривых,
не будут повторяться в следующих параграфах. Мы ограничимся
изучением общих случаев и простых примеров, однако не следует
забывать, что могут возникнуть те же трудности и всякий пример
должен рассматриваться со вниманием,
3. Огибающие поверхностей, зависящих от одного параметра.
Рассмотрим семейство поверхностей (Sx)
(3.1) (SO /(*, у, г. Х) = 0.
зависящее от одного параметра X. Чтобы некоторая поверхность
касалась каждой поверхности Sx в некоторой окрестности значений X,
очевидно, необходимо, чтобы касание имело место вдоль
некоторой кривой. Мы назовем огибающей (Е) семейства Sx
совокупность поверхностей (£'), касающихся каждой поверхности Sx для
некоторой окрестности значения X вдоль кривой Сх, называемой
184
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
характеристической кривой (или характеристикой) на Sx,
которая, как и Sx, непрерывно изменяется вместе с X.
а. Общие результаты. Мы предположим, что f(x, у, z, X)
имеет непрерывные частные производные по х, у, z и X.
Координаты точки (£) на Sx должны удовлетворять уравнению (3.1) и
уравнению
(3.2)
/'(*, у. г% Х) = 0,
если {х% у, z) — обыкновенная точка на 5Х (|/ж| + 1Л/1Ч--|/г| > °)*
Действительно, если (3.2) не имеет
места, то уравнение (3.1) можно
разрешить относительно X и в
некоторой окрестности этой точки написать
Х = ср(*» У* *)•
где <р им-еет непрерывные частные
производные, причем, например, у'гФ О
(если Уг Ф 0).
Сделаем замену переменных
Х=х,
Рис. 21.
Z = <p(*. у, z).
Мы
D (X Y Z)
имеем л; '——.^ Ф0 в окрестности рассматриваемой точки.
Преобразование будет взаимно однозначным и сохраняет касание
в этой окрестности. Семейство 6\ преобразуется в семейство
плоскостей Z=X, и вторая основная теорема показывает, что это
семейство не имеет огибающей.
Огибающая может быть расположена только в множестве точек,
где / не имеет непрерывных производных, или в множестве
(«?) /=о, /;=о, /;=о. гг=о,
или в множестве
(§) /=о, £=о.
Множество (£?) есть в общем случае геометрическое место
особых (не обыкновенных) точек поверхностей 5Х и в обычных
случаях не является частью огибающей.
Множество (§) содержит множество точек или кривых, общих
всем поверхностям Sx. В зависимости от принятой точки зрения
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
185
можно их рассматривать как составляющие часть огибающей или
нет.
Рассмотрим точку (х, у, z) из (§), не принадлежащую (£Р), "и
допустим, что в окрестности этой точки f'x допускает непрерывные
частные производные и что
D(f-K)\ , \D(f>ti)
D(x,y)
+
+
D(z,x)
ФО
D{y,z)
[откуда вытекает, в частности, неравенство | f'x I +1/' I -f-1 f'g 1 > О,
т. е. точка (х, у, z) — обыкновенная на Sx]. Система ($) определяет
в окрестности точки (х, у, z) поверхность (Е'), которая, если,
например, предположить, что
D(x.y) ^U'
может быть параметризована с помощью z и X, скажем, в виде
х = х (z, X), у = у (z, X).
Исходя из уравнений ($), с помощью дифференцирования получаен
Так как
D (z, х) _ дх
D (г, X) — дХ • D (z, X)
D(zt у)_ду
д\9
мы видим, что при условии /»ф0 и
дх
д\
+
ду
ах
имеет место неравенство
|Р(*, у)
D(z,l)
+
>0.
Р(у, дг)| ■ \D(zt х)
D(ztl) \'1r\D(zt X)
>0.
т. е. точка (х, у, z} является обыкновенной на (£')» и Два
уравнения первой строчки из (3.3) показывают, что два вектора
К- У'г' 1 И К- Ух- °«
определяющие касательную плоскость к (£'), касаются Sx. Итак, мы
действительно имеем касание в этой точке, и поверхность (£?')
составляет часть огибающей поверхностей (Sx). Она касается Sx
вдоль кривой Сх, определенной уравнениями (§) и имеющей в (х, у, z)
186
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
обыкновенную точку. Итак:
В окрестности всякой точка множества ($), для которой
(3.4)
DM\ , 1^(/>/01 , 1 Д(Л^)
#(*>У)
Я(У>*)
D (^ л)
>0 и /£*0,
система ($) определяет поверхность (£')» огибающую поверхностей
семейства (Sx). Касание имеет место вдоль характеристической
кривой Сх, и точка на ней, обыкновенная на Sx, также является
обыкновенной на (£')» и ## Сх.
Как и для огибающих плоских кривых, можно показать, что
характеристическая кривая Сх является в этом случае (в окрестности
точки х, yt z) пределом одной единственной кривой, общей для 5Х
и 5Х+ДХ, когда ДХ стремится к нулю. Допущение, что /£ = 0,
приводит также в некоторых случаях к касанию порядка 2.
Мы видим также, что поверхности, определенные уравнением
R(x, у, z) = 0, полученным исключением X в системе ($), заключают
огибающую, геометрическое место особых точек и стационарные
поверхности.
Замечания. Чтобы отыскать огибающую однопараметрического
семейства поверхностей, определенного уравнениями
/(*, у, z, X, [х) = 0, £(Х, [х) = 0,
нужно, как легко видеть, присоединить к этой системе уравнение
Da,?)—u-
Наконец, если семейство задано параметрически с помощью
вектор-функции m(tf, v, X), кривая Сх будет дана соотношением
v = v(ut X) и огибающая (Е) будет определена параметрами и и X.
Чтобы отыскать положение огибающей, нужно записать, что
касательные плоскости к поверхностям 5Х и (Е) совпадают. Но
касательная плоскость к (Е) определена векторами
дт . dm dv_ dm , dm dv
Ju~T~~dvdu$ dl*Wd\'
Первый из них лежит в касательной плоскости к 5Х, определенной
векторами -ч— и -г—. Для того чтобы второй также лежал в ней,
нужно, следовательно, чтобы
/дт дт дт\ ^
\ШГ' dv • Ж)~
Ь. Примеры. 1. Огибающие плоскостей. Пусть дано семейство
плоскостей, зависящих от параметра t:
их + vy + wz + h — 0 [и = и (t), v — v (t\ w = w (t)t h = h (t)].
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
187
Его огибающую получаем, присоединяя к этому уравнению соотношение
u'x + v'y + w'z + h' = 0,
представляющее точно так же плоскость. Характеристической кривой будет,
таким образом, прямая, огибающей же будет линейчатая поверхность,
называемая развертывающейся поверхностью. Мы вернемся далее к этому
вопросу (§ 5).
2. Огибающая сфер. Пусть дано семейство сфер, зависящих от одного
параметра t, с радиусом R(t) и центрами S, описывающими кривую S(t).
Если М обозначает текущую точку сферы, то имеем векторное уравнение
SM* = R*.
Характеристическая кривая есть пересечение сферы с плоскостью
значит, это — окружность, ось которой касательна к геометрическому месту
точек S. Эта окружность может быть действительной или мнимой и может
сводиться к точке; с действительной точки зрения огибающая имеется только
в первом случае, когда эта окружность действительная. Если R постоянно
1-^т-) = 0, характеристической окружностью будет окружность большого
круга сферы, расположенного в нормальной плоскости к кривой 5,
плоскости, которая нормальна и к огибающей вдоль этой окружности.
Огибающая называется каналовой поверхностью.
В случае, когда характеристическая окружность сводится все время
к точке, возьмем в качестве параметра криволинейную абсциссу s
геометрического места центров. Как и в случае плоскости, мы видим, что можно
взять #=— s. Обозначая через (£, г\, С) координаты точки S (S'2 + ?)'2 + С'3=1)г
мы видим, что приведенные выше уравнения запишутся в виде
(*-6)« + (у-Ч)1 + (2г-С)* = Л
6Ч*-6) + Ч'(У-Ч) + С'<2г--С) = --л
Единственной действительной точкой М характеристической окружности
будет точка
х — £ = — st't у — г\ = — sr\'t z —1 = — s¥.
Геометрическое место Г этих точек есть эвольвента крив ой S. Мы находим,
с другой стороны, из предыдущих уравнений
так что прикосновение между Г и сферой семейства, проходящей через М,
имеет, вообще говоря, порядок 2. Можно проверить, что вдоль всей кривой Г
ни одно из условий (3.4) не выполняется.
4. Огибающие поверхностей, зависящих от двух параметров.
Пусть дано семейство поверхностей, существенно зависящих от
двух параметров X и (i,
(4-1) (V fix, у, z,l, |0 = 0
188
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
(т. е. функцию / нельзя представить в виде f[x, у, z, <р(Х, ji)I). Мы
называем огибающей (Е) этого семейства совокупность
поверхностей (£')» касающихся всех поверхностей семейства (S^) Для
некоторой окрестности значений (X, (i) (т. е., например, для |Х — XqI-^л,
It1 — Ро I ^ a* гДе \)» t^o» a — постоянные, из которых последняя
положительна) в некоторой точке т^ называемой
характеристической точкой на S^ и изменяющейся, так же как S\^t вместе с X и ji»
а. Общие результаты. Пусть функция f(x, у, z, К ц)
имеет непрерывные частные производные по координатам и пара-
метрам. Мы утверждаем, что в точке т^ огибающей (Е),
обыкновенной на S\^ и (Е), имеют место соотношения
Действительно, допустим, что мы, напротив, имеем /£ Ф 0. Из
уравнения /=0 можно тогда найти X:
* = ?(*• У> z, (л).
Если на (Е) параметризация (и, v) допустима, то X и {i будут
функциями от и и v, однако мы временно предположим X функцией трех
переменных и, v и р. Условия касания поверхностей (Е) и 5Х^
записываются в виде
= 0.
дает
«+*#+<<=
дх о дХ о
ди ' dv
Итак, X есть функция одного только р, скажем Х = Ф(р). Это
соотношение определяет однопараметрическое семейство
поверхностей, выделенное из семейства S^, и поверхность (Е) касается
только поверхностей этого семейства.
Вне множества особых точек и множества, где частные
производные перестают быть непрерывными, огибающую (Е) нужно искать
в множестве
<«) /=о. /1=о. /;=о.
которое, очевидно, содержит множества (точки или кривые), общие
для всех поверхностей Sx .
Пусть т(х, у, z) — точка этого множества, такая, что
D(f'K'K) , 0
D(x,y,z) ^u*
откуда, в частности, | f'm | -\-1 f'y | -f-1 £ | > 0. т. е. т является
обыкновенной точкой поверхности S^, которой она принадлежит. В окрест-
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 189
ности точки т можно тогда разрешить систему (§) относительно
(л:, У» z)- Мы определим таким образом поверхность (£'),
параметризованную посредством X и [л. Дифференцируя по этим
параметрам, получаем
Эти условия выражают факт касания в точке (х, у, z), между
повархностями (£') и 5Xlfc, при условии, что точка т — обыкновенная
на (£') и параметризация (X, fx) допустима, что будет выполняться,
когда векторы с компонентами
К» у'х> К и К- К- <
не равны нулю и не коллинеарны.
Но дифференцируя уравнения /х = 0 и /^=0, имеем
fi<+ +/;=o. /^<+...+/:,=о.
Для того чтобы вектор (х'^ у[, zQ не обращался в нуль,
достаточно, чтобы /", и /* не были бы одновременно нулями. Точно
так же для того, чтобы вектор (х'9 y't zf\ не был нулем,
достаточно, чтобы f'{ и f" не были оба нулями. Более того, эти два
вектора не будут коллинеарны, если
и это условие влечет за собой два
предыдущих. Итак:
В окрестности точка
множества (&), для которой
Г42) D№Q ^ °<&Я ф0
система ($) определяет поверх- Рис. 22.
ность (Е'\ огибающую
поверхностей семейства (SXll); при этом характеристическая точка будет
обыкновенной на S^ и Е'.
Можно было бы показать, что на этот раз характеристические
точки т^ являются, вообще говоря, пределами точек пересечения
трех близких поверхностей: SXf ^, 5х+дх,^, 5Х> ^дц.
190
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Если исключить X и у, из уравнений ($)> то мы получим уравнение
R (х, у, z)=0, которое, вообще говоря, описывает огибающую и
геометрическое место особых точек.
Скажем, наконец, несколько слов о том случае, когда
тождественно
Pft/3-O
В этом случае векторы (#£, y'v zty и (х', y't z'\ коллинеарны и
множество (£') сводится к кривой» так как из равенств
г г г
3.—A_iL
/ — г —— /
XV- ^V *>
следует, например, что хну являются функциями от z (если
К1+К1>°>
В обыкновенной точке эта кривая касается поверхностей S^*
которые проходят через эту точку и на которых она также является
обыкновенной.
Замечания. Если семейство определяется уравнениями
/(*. У г Z, X, (1, N) = 0, g(\t Ц, V) = 0,
то уравнения, которые нужно присоединить, чтобы найти положение
огибающей, таковы:
D(X,v) — и' D(|ifv)— U'
или
г — т——г»
©Л &{Х бу
Наконец, если семейство задано вектор-функцией m(u, v, X, jx),
то нужно найти и и v в виде функций от X и (i так, чтобы векторы
Ш d\^ dv дХЧдХ * Ж^^<Ь "ф"1"""^
лежали в плоскости, определенной векторами
dm dm
ди dv '
что сводится к тому, что векторы dm/dX и dm/d[A должны лежать
в этой плоскости. Итак, для определения огибающей к уравнению
семейства поверхностей следует присоединить уравнения
/dm dm dm\ п (dm dm dm\ n
\Ж9 dv' d\)~U' [du* dv * <W •
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
191
^.Примеры. 1° Огибающие плоскостей. Пусть дано семейство»
плоскостей
их -f- vy + wz -f- h = О,
причем четыре однородных параметра и, v, wt h связаны однородным
соотношением F(u, v, wt h) = 0.
Езли h тождественно равен нулю, то семейство плоскостей проходит через
начало; в аналитической геометрии говорят, что семейство огибает начало.
Если h не равен тождественно нулю, то мы можем взять h = const и
огибающая определится присоединением к уравнению плоскости уравнений
х _ у __ z
F' ~~ р'~~ F''
1 и ' v J to
Но согласно формуле Эйлера для однородных функций, обозначая через т
показатель однородности функции F, мы имеем
uF'u + vF'v + wF'w + hF'h = mF=0.
Следовательно,
X __ у •_ _2_ __ UX + Vy + Wz __ 1
К Fv Fw —hFh Fh
Окончательно, огибающая будет получена исключением ut v, w, h из системы
уравнений
JL=JL = ^ L F=0
F F F F
Ги rv rw rh
Мы получили вновь метод перехода от тангенциальных координат
к точечным, излагаемый в аналитической геометрии. Исключение может
привести к одному, двум или трем соотношениям между х, у и z. В
первом случае имеем огибающую поверхность; во втором имеем кривую и
плоскости, проходящие через обыкновенную точку кривой, проходят через ее
касательную (говорят, что они касаются кривой); в третьем случае плоскости
проходят через фиксированную точку.
2° Огибающие сфер. Рассмотрим семейство сфер, зависящих от двух
параметров и и v, центры которых S описывают поверхность S (и, v). Пусть
М — текущая точка. Имеем
SM* = #2 [S = S(tf, v\ R = R(u, v)].
Уравнения, которые нужно просоединить для нахождения огибающей,
имеют вид
ди ди dv dv
Они представляют плоскости, соответственно нормальные к dSjdu и dSJdv,
пересечение которых есть, следовательно, прямая, параллельная нормали
к поверхности S {и, v) в точке S. Итак, имеем две характеристические
точки тг и /я2, симметричные относительно касательной плоскости в S к
поверхности S (и, v). Огибающая будет действительной, только если эти точки
действительны. Она содержит две полости, которые в аналитическом случае
являются, вообще говоря, частями одной аналитической поверхности. Может
случиться, что две характеристические точки все время сливаются; тогда,
как мы покажем далее, множество центров есть одна из полостей
поверхности центров кривизны огибающей.
192
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Когда R постоянно, две характеристические точки диаметрально
противоположны на сфере и расположены на нормали в S к геометрическому месту
центров. Мы получаем конфигурацию поверхностей, параллельных S (и, v).
Б. Огибающие пространственных кривых, зависящих от одного
параметра. Рассмотрим семейство кривых
(5.1) (СО /(*, у, z9 Х) = 0, g(x, у, z, Х) = 0,
зависящих от параметра X. Мы называем огибающей (Е) этого
семейства совокупность кривых (£'). касающихся каждой кривой
семейства (Сх) для некоторой окрестности значений X в точке,
меняющейся вместе с X, как и Сх.
а. Общие результаты. Мы сделаем относительно
дифференцируемое™ / и g те же предположения, что и выше. Вне
особого множества мы должны иметь на (Е)
(5.2) /; = 0, ^ = 0,
так как если, например, обыкновенная точка (#, у, z) на Сх
принадлежала бы (£) и в ней мы имели бы fx Ф 0, то, разрешая
уравнение / = 0 относительно X и внося получаемое выражение в
уравнение £ = 0, мы имели бы в окрестности этой точки
X = <p(*, у, z), $(х, у, z) = 0.
Замена переменных, допустимая при легко уточняемых условиях,
аналогичных условиям, уже несколько раз изложенным, £ именно
Х=х, К=ср, Z = <|>.
преобразует кривые (5Л), близкие к Сх, в семейство прямых
Г = Х, Z = 0,
которое не имеет огибающей (первая основная теорема).
Четыре уравнения (5.1) и (5.2) не имеют в общем случае решений,
кроме решений, не зависящих ни от какого параметра.
Следовательно, вообще говоря, огибающей нет.
Чтобы существовала огибающая, нужно прежде всего, чтобы эти
четыре уравнения свелись к трем, например чтобы уравнение grx = 0
было следствием трех других. Допустим это и предположим, что
в точке тх(х, у, z), в которой удовлетворяются уравнения
(5.3) / = 0, g = 0, /{ = 0.
имеем
D(x, у, г) ^и*
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
193
что влечет за собой неравенства
Dif.g)
D(x, у)
, D(/, g)[ ■
"f" D(y,z) |"f"
Д(/. g)
£)(2, дг)
>0.
т. е. эта точка — обыкновенная на Сх.
Система (5.3) позволяет выразить х, у, z через X в
окрестности этой точки и определяет кривую (£'), на которой,
дифференцируя два первых уравнения (5.3) и принимая во внимание (5.2),
имеем
Эти соотношения выражают касание кривых (£') и Сх, если только
|*/| + |.У'| + |2/| > 0. Но дифференцируя третье уравнение (5.3),
мы получаем
Точка тх будет, таким образом, регулярной на (£') и параметр X
является допустимым, если /£ Ф 0; кривая (£') будет составлять
часть огибающей кривых Сх.
Заметим еще, что если исключить X из уравнений (5.1), мы
получим уравнение
(5.5) h(xt .у, z) = 0,
не содержащее более X, которое может заменить уравнение g = 0
в системе (5.1). Таким образом, на первый взгляд кажется, что
условие совместности всегда удовлетворяется, так как /г£ = 0.
Но предположим, что мы находимся в окрестности
обыкновенной точки на Сх для некоторой окрестности значений X.
Уравнения (5.1) запишутся тогда, если, например, z допустимо следующим
образом:
x = x(z, X), y = y(z, X),
что дает параметрическое представление поверхности (5.5). Но
система (5.2) записывается тогда в виде
^(г,Х) = 0, y[(z, Х) = 0.
Она выражает, вообще говоря, тот факт, что огибающая (Е), если
ока существует, есть особая линия поверхности (5.5). Это
значит, что
к=*. к-0' <=°
вдоль этой линии. Изложенная теория не применима более, если
исходить из системы / = 0, /z = 0. Это, например, имеет место
194
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
в случае семейства равных кривых Сх, касающихся оси Oz и
получающихся из одной из них винтовым движением с осью Oz.
Может, однако, оказаться в частных случаях, что представление
поверхности (5.5) через (z, X) недопустимо вдоль (£') и что эта
линия не является особой на (5.5). В этом случае две инфинитези-
мально близкие кривые семейства (Сх) имеют общую точку, тогда
как этого нет в общем случае (предыдущий пример).
С другой стороны, исходя непосредственно из уравнений /=0
и А = 0, мы найдем, вообще говоря, огибающую. Это показывает,
что кривые Сх вообще не являются полным пересечением двух
предыдущих поверхностей.
Замечание. Если кривые Сх заданы вектор-функцией т(и, X),.
то, чтобы семейство допускало огибающую, необходимо, чтобы
можно было определить и как функцию от X так, чтобы векторы -^~
dmdu . дт * «
и ~д~Ж ' Ж" были коллинеарны. Если в декартовых координатах
т(я, X): х(и, X), у (и, X), z(u, X),
то это условие запишется в виде
/ / /
хи У_^_ ^м
/ / — ~ •
хх Ух Ч
Ь. Огибающая характеристик. Ребро возврата.
Характеристическая кривая или характеристика С\ поверхности S> семейства (3.1)
определяется уравнениями
(5.6) (Сх) /(*, у, г, X) = 0, f[ (*, у, гш X) = 0.
Она расположена на одной из поверхностей, получаемых исключением X иа
этих двух уравнений, пусть это будет поверхность R (х, у, z) = 0.
Чтобы получить огибающую семейства характеристик (С>), нужно
присоединить к системе (5.6) единственное уравнение
(5.7) /£=0.
Из того, что мы видели, следует, что в окрестности точки,
удовлетворяющей уравнениям (5.6) и (5.7), эти три уравнения определяют дугу
огибающей (£')> когда
D{x,y,z) *°' Ъф°'
Из первого условия следует, что две поверхности /=0 и Д = 0не;
касаются друг друга в этой точке. Уравнение (5.7) показывает, что
порядок касания (Ег) с S\ в обыкновенной точке для В и Sx не ниже 2.
Мы покажем, что (£'), вообще говоря, есть особая линия на
огибающей поверхностей 5Х> определенной уравнениями /=0и/( = 0.
Мы можем допустить, что точка, которую мы рассматриваем, совпадает-
с началом координат и что она соответствует значению X = 0. Пересечем:
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
195
огибающую поверхностей (S\) поверхностью g (х, у, г) = 0, проходящей через
начало, которое является на ней обыкновенной точкой. Сечение Г определено
уравнениями
(Г) /=0, /х' = 0, £ = 0,
и на нем X можно использовать в качестве параметра в окрестности начала,
если поверхность g = 0 не касается ни поверхности /=0, ни поверхности
у£ = 0, т. е. если
(5-8> В(х. у, г) * °-
Для вычисления первых производных от х (X), у (X), z (X) мы имеем
/>'+/>'+ &+К=о. или fj +/;/+/2v = о,
KS+0'+Л>' +/£ = о. «ли /;хх'+/;/+&=о,
Sxx +8уУ +Sz2 =0» или Sxx +8уУ +Szz = °>
откуда получаем, принимая во внимание (5.8), что
х' = 0, у' = 0, z' = 0.
Далее, имеем
W+fS+fy+tiS + -• +/^+[2]=0,
fl*"+ +flL*'+ ■■• +/£ + [2]=0.
g**"+ +[2]=0,
где через [2] обозначены (различные) выражения, являющиеся
квадратичными формами по х', у', z'. Дифференцируя еще один раз, получаем
//ч/;/ч^'"+2(/у+^"+/1/)+^+... =о,
&а>х +8уУ +8г2 + = °>
причем ненаписанные члены содержат в качестве множителей х', у' или z'.
Для вычисления вторых и третьих производных в начале координат
имеем, поскольку первые производные равны нулю,
fxx +fyy +Jz* = °»
ёх* +ёуУ +gzZ =°.
/>"'+/;/"+//" + 2(/^"+ ...)+/" = <>;
/^"Ч ... +2(/^"+ ...)+#-©.
g>"' + gvy'"gy' = o.
196
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Первая система показывает, что | х?г \ + | у" | + I г? | > 0, так какД3 ф 0.
Принимая во внимание второе уравнение первой системы, первое уравнение
второй системы можно, переписать в виде
fxx +fyy +fzz —2Д3=0,
который показывает, что мы имеем также | хш | + | у'." \ + | У" | > 0, и,
если сравнивать его с первым уравнением первой системы, что векторы
А(^, у", г") и В (хт, у'", 2ю) неколлинеарны. Наконец, в окрестности
начала получаем для кривой (Г) представление вида
ш(Х) = ^А + ~В+ ...,
причем
|А|>0, |В| >0, |АЛ >
и это показывает нам, что кривая (Г) имеет в начале координат точку
возврата. По этой причине кривая (£') называется ребром возврата огибающей
семейства поверхностей S\.
с. Линейчатые поверхности. Развертывающиеся
поверхности. Семейство прямых, зависящих от одного параметра t,
(5.9) M(0 + pD(*),
где р—параметр, фиксирующий точку на прямой, не имеет, вообще говоря,
огибающей, когда t изменяется. Эти прямые описывают линейчатую
поверхность. Если они имеют огибающую, можно найти р (t) таким образом, чтобы
два вектора М' (t) -f- pD' (t) и D (t) были коллинеарны, т. е. чтобы
(М', D', D) = 0,
и это условие не только необходимо, но и достаточно (кроме того случая,
когда D' коллинеарно D, т. е. когда прямые имеют фиксированное
направление и описывают цилиндр, но и тогда можно сказать, что их огибающей
будет бесконечно удаленная точка в направлении D). Множество прямых (5.9)
состоит из касательных к. пространственной кривой.
Впрочем, всегда касательные к пространственной кривой Г образуют
развертывающуюся поверхность. Действительно, пусть М (и) —
пространственная кривая. Ее соприкасающаяся плоскость имеет уравнение
(MP, M', М") = 0
(Р обозначает текущую точку). Характеристика получается присоединением
К этому уравнению соотношения, получаемого дифференцированием по и,
а именно
(MP, М', М'") = 0,
которое представляет плоскость, и очевидно, что касательная к этой
кривой, определенная уравнением MP = pM', принадлежит "этим двум
плоскостям. Ребро возврата получаем, дифференцируя еще один раз, что дает
(MP, М", М'") + (MP, M', M*V) = о.
В обыкновенной точке третьего порядка на кривой эти три уравнения дают
MP = 0. Следовательно, кривая Г есть ребро возврата развертывающейся
поверхности, описываемой ее касательными.
Наконец, всякая развертывающаяся поверхность описана касательными
к некоторой пространственной кривой. В самом деле, пусть имеется семей-
ГЛ. Ш. ОГИБАЮЩИЕ
197
ство плоскостей
(5.10) их + vy + wz + h = 0,
где и, v, wt h — функции от t. Характеристика и, далее,
характеристическая точка определяются уравнениями
(5.11) и'х + v'y + w'z + h' = 0,
(5.12) и"х + я/'у + w"z + h" = 0.
Разрешая уравнения (5.10), (5.11) и (5.12) относительно (х, y,z), мы
находим ребро возврата в виде х' = х (t), у = у (t), z = z (t). (Если вти
функции — константы, то Г сводится к одной точке и поверхность есть
конус.) Дифференцируя (5.10) и (5.11) по t и принимая во внимание (5.11)
и (5.12), мы получаем
(5.13) их' + vy' + wz' = 0,
(5.14) и'х' + v'y' + w'z' = 0.
Дифференцируя еще раз (5.13) и принимая во внимание (5.14), получаем
(5.15) их" + vy" + wz" = 0,
и уравнения (5.13) и (5.15) показывают, что плоскость (5.10) является
соприкасающейся к ребру возврата.
Окончательно мы видим, что линейчатая поверхность не является,
вообще говоря, развертывающейся и что развертываю щаяся поверхность
описывается касательными к ее ребру возврата.
Заметим, наконец, что касательная плоскость к линейчатой
поверхности (5.9) в точке (t, р) определяется двумя векторами ЛГ + pD' и D. Она
всегда содержит прямолинейную образующую и изменяется вместе с р,
кроме случая развертывающихся поверхностей, для которых она одна и та
же вдоль всей образующей (цилиндры и конусы* причисляются к
развертывающимся поверхностям).
Мы получаем характеристическое свойство развертывающейся
поверхности: ее касательная плоскость зависит только от одного
параметра.
6. Конгруэнции кривых. Конгруэнцией называется семейство
кривых, зависящих от двух существенных параметров X и [а
(6.1) (С¥) /(*.,у.*Д. ц) = 0. g(x,y,z,l,V>) = 0.
Мы сделаем относительно дифференцируемости / и g те же
допущения, что и выше.
Элемент поверхности, -касающейся всех кривых С^ для
некоторой окрестности значений (X, [х), называется элементом
фокальной поверхности конгруэнции. Мы ставим себе задачу определить
эти элементы. Мы предположим, что D(ft g)/D(\, fi) —
нетождественный нуль, так как в противном случае существовало бы
соотношение вида F(f, g, x, у, z) = 0, уравнения (6.1) имели бы
следствием F(0, 0, х, у, z) = 0; кривые CXlx принадлежали бы одной
и той же поверхности и задача не представляла бы интереса.
198
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
а. Общие результаты. Нетрудно показать, что вне особого
множества фокальные поверхности расположены в множестве точек,
определенном уравнениями (6.1) и уравнением
ОСА.!*)
Действительно, в противном случае можно разрешить уравнения
(6.1) относительно X. и ft
(6.2)
Х = <р(лг, у, z),
D (ь Ф) I
Я(У.*>
+
+
Р(Ь Ф)
D (х, у)
>0.
|А = ф (AT, J>, 2).
Далее,
Р(у, Ф)|
I D (-г, х) I
так как кривые СХа имеют по предположению обыкновенные точки
в целой окрестности (X, [х). Если, например, D(cp, ty)ID(x, у) ф О, то
точечное преобразование
*=ср, Y=A;t Z = z
переводит СХ;Х в прямые, параллельные OZ, следы которых на
плоскости XOY покрывают некотбрую область. В силу третьей
основной теоремы, не существует никакой поверхности,
касающейся всех этих прямых, и поэтому нет фокального элемента
в окрестности рассматриваемой точки (х, у, z).
Пусть F(x, у, z) — точка, принадлежащая CX|Jt, в которой
удовлетворяются уравнения
(6.3)
/=о.
D (К, |х)
причем, кроме того
(6.4)
откуда
D{f.g.h)
ФО,
D (/, g)
D{x,y)
+
D (х, у,
D(f,g)
D (у, z)
*)
+
-f~ ^»
D(f,g)
D (z, x)
>o.
т. e. F— обыкновенная точка на СХг Далее, можно разрешить
систему (6.3) в окрестности этой точки и выразить (х, у, z) через X
и [х. Для первых частных производных мы получим уравнения
(6.5)
и аналогичную систему для (х'9 у' 9 г'^. В силу (6Л), система (6.5)
определяет (х[, у'х, ty. Кроме того, эти три величины не равны
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
199
нулю в общем случае, так как если бы x'v y'v z[ были нулями,
то х, у, z не зависели бы от X; наша точка описывала бы кривую
(мы вернемся позднее к этому случаю). Те же заключения
справедливы относительно л/, у' z'. Чтобы уточнить это, допустим,
что в рассматриваемой точке
t*K\ 1Р(/.*)| ,
<6-6> 1щхг^| +
D (X, fx)
>0.
Отсюда следует, что векторы (#£, у'х, z'A и (х\ у', z'\ не колли-
неарны, так как в противном случае из (6.5) и аналогичной системы
по |х вытекало бы, что
A_£i — hJL
U 8* К
Уравнения (6.3) определяют, следовательно, в окрестности точки/1*
элемент поверхности Ф', для которой F — обыкновенная точка,
а параметризация (X, [х) является допустимой.
Но если CX[L параметризована допустимым образом, то ее
касательная в точке F определяется уравнениями
Гхх'+ГуУ+Г/=ъ>
Можно определить два чиола а и Ь, таких, что
(6.7) х' = ах[-\-Ьх'^ y' = ay'x + by'^ z' = az[ + bz'^
Действительно, обращаясь к (6.5) и к аналогичной системе по (i,
мы видим, что числа а и Ъ должны удовлетворять уравнениям
Эта система имеет ненулевые решения, в силу условия /z = 0. Из
нее определяется отношение а/Ь, и затем одно из уравнений (6.7)
позволяет найти и сами числа а и Ь. Уравнения (6.7) показывают, что
касательная к кривой С^ лежит в касательной плоскости к
поверхности Ф'. При выполнении условий (6.6) поверхность Ф'
является фокальной поверхностью конгруэнции. Точка F
называется фокусом кривой Сх^.
На поверхности Ф' в окрестности точки F определено поле
касательных направлений, которые в каждой точке касаются
кривых Сха. Существует, таким образом, вообще говоря, бесчисленное
множество семейств кривых, зависящих от одного параметра,
выбранных из конгруэнции CXlx и имеющих огибающую,
расположенную на Ф',
Рассматриваемая с этой новой точки зрения проблема ставится
следующим образом: выразить (i через X так, чтобы однопараметриче-
200
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
ское семейство, выделяемое таким способом, имело огибающую. Для
этого к системе (6.1) нужно добавить систему
(К9Л а/,д/ф_0 dg,dgdv._~
Исключение d^jdX из этой системы приводит к равенству /г = 0,
иначе говоря, огибающие расположены на фокальных элементах.
Исключение (х, у, z) из (6.1) и (6.8) приводит к
дифференциальному уравнению
(6.9) *(х.р, зЕ) = 0,
интегрирование которого определит различные семейства
(зависящие еще от одного параметра) кривых CXjx, которые имеют
огибающую.
Кривая Сх^ принадлежит в общем случае нескольким семействам,
и точки, где она касается одной из огибающих, суть ее фокусы.
В обычном случае, разобранном выше, число этих семейств равно
числу фокусов.
Рассмотрим, например (см. рис. 23), кривую С^ одного из
семейств (CXjx) [[а = [а(Х)], имеющего огибающую IV Кривая С^
Рис. 23.
касается 1\ в фокусе Fv расположенном на фокальной поверхности Ф1#
Пусть F2 — другой фокус этой кривой, лежащий на фокальной
поверхности Ф2. Когда кривая изменяется, точка Fx изменяется на 1\
и точка F2 описывает кривую А2 на Фг'» эта кривая, вообще говоря,
не касается в F2 кривой CXjx, но лежит на поверхности Е, описанной CXjx;
таким образом, поверхность Е касается всех фокальных
поверхностей, отличных от Фх, и из того, что мы видели в § 5, следует,
что кривая Tj является в общем случае особой линией этой
поверхности.
Если кривые СХа алгебраические, то уравнения (6.3) являются
алгебраическими по (л:, у, z). На кривой CXjx мы имеем конечное число
фокусов. При этом, так как уравнения (6.8) линейны по d^/dk, то
уравнение (6.9) будет многочленом по d^jdX. Мы будем иметь лишь
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
201
конечное число фокальных поверхностей, которые в общем
аналитическом случае будут полостями одной и той же аналитической
поверхности.
Так, когда С^ — прямые, уравнения/=0, # = 0 представляют
плоскости, а уравнение /z = 0 представляет поверхность второго
'порядка. На прямой конгруэнции мы будем иметь, вообще говоря,
два фокуса. Если С^ — конические сечения, можно взять в
качестве /=0 уравнение плоскости и в качестве g = 0 уравнение
поверхности второго порядка. Уравнение /z = 0 представляет тогда
поверхность третьего порядка, т. е. в общем случае на коническом
сечении конгруэнции будет шесть фокусов. В случае окружностей
два из них лежат на мнимом круге в бесконечности, который будет
двойной полостью фокальной поверхности, выродившейся в кривую,
и мы имеем только четыре изменяющихся фокуса.
Наконец, кривые 1\ поверхности Фх могут допускать огибающую Ht
на Фг, что соответствует случаю, когда уравнение (6.9) имеет по
крайней мере один особый интеграл. Кривые CXlx, касающиеся Hv
являющиеся особыми кривыми конгруэнции, составляют особое семейство,
имеющее огибающую, и описывают особую поверхность S.
Она является, вообще говоря, огибающей поверхностей £,
определенных, например, равенством {л = [а(Х, с), где с — произвольная
постоянная. Предполагая, что эти поверхности могут быть
допустимым образом параметризованы с помощью (z, X), мы получаем
(6.10)
и аналогичные уравнения для g.
Огибающая будет тогда получаться (§ 3, а, конец), если запи-
сать
сх Ух
= 0.
Это приводит к уравнению (6.2), которое реализуется, как мы
видели, на фокальных поверхностях, не содержащих кривых rlf на
это может иметь место также для -^=0, что соответствует
особому интегралу уравнения (6.9). Тогда имеем х'с = 0, у'с = 0.
Касательная плоскость к огибающей поверхности определена, в силу
^-=0, уже двумя первыми уравнениями (6.10), и аналогичными:
уравнениями для g, что доказывает результат.
Кривые А, соответствующие различным поверхностям £,
неимеют в общем случае огибающей на соответствующих полостях Ф^
202
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Соответствующие точки F описывают, вообще говоря, геометрическое
место особых точек кривых Д.
Поступая аналогичным образом, мы убеждаемся, что если
кривые А2 на Ф2 имеют огибающую, то кривые С^, опирающиеся на эту
огибающую, описывают особую поверхность '£ и соответствующие
точки Ft описывают кривую, которая, вообще говоря, есть
геометрическое место особых точек кривых 1\.
Наконец, не претендуя исчерпать список особых случаев,
отметим наиболее часто встречающиеся:
1° Среди кривых Сх„ некоторые могут быть особыми, в том
смысле, что уравнение п = 0 выполняется в каждой их точке.
Фокусы (их конечное число, если CX;JL алгебраические) суть точки,
в которых Сх,х касаются фокальных поверхностей.
2° Могут существовать особые семейства, имеющие огибающую
в особом множестве, вне всякой фокальной поверхности. В этом
случае могут существовать точки, через которые проходит
бесчисленное множество кривых СХх, зависящих от одного параметра.
Замечания. 1° Если кривые Сх^ заданы в форме М(я, X, [х),
то отыскивая функцию [х от X так, чтобы они имели огибающую,
мы приходим к условию
лСл(м(н-м;^)=о.
Уравнение фокусов получаем, исходя из этого уравнения, скалярным
умножением на М'. Оно записывается в виде
(К К м;)=о.
2° Теория конгруэнции кривых близка к теории систем
дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями одной
переменной. Кривые Сх^ играют роль общих интегралов, кривые
F—роль особых интегралов, зависящих от одного параметра, их
огибающие Н—роль особых интегралов, не зависящих ни от какого
параметра.
Ь. Случай вырождения. Может случиться, что
исключение X и [х из (6.3) приводит к двум соотношениям между х, у, z.
Это случай, когда из (6.3) следует, что
Мы можем допустить, что (jc, у, z), определенные из (6.3),
зависят от X, так как если бы они не зависели ни от X, ни от |х, то
(х, у, z) были бы константами и система (6.3) давала бы три соот-
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
203
ношения между (х, у, z). Кривые конгруэнции, принадлежащие
некоторой окрестности (X, fx), проходили бы тогда все через одну
фиксированную точку.
Уравнения (6.3) определяют в этом случае фокальную кривую Ф',
и уравнения (6.5) определяют (х'у у[, sty, так как, вообще говоря,
1/х|~"Н£х|"Н^х1 ^ °' и ^ бУдет Допустимым параметром в
окрестности такой точки. Что касается вектора (хг, у', zf\ то он,
в силу {6.11), будет коллинеарен предыдущему вектору или нулем.
Координаты (х, у, z) оказываются при этом функциями одной
переменной и = и(\, fx), так как
/ г г
х± — у± — гА
/ '— г г •
х* у» **
Через точку а0 кривой Ф' проходит, таким образом, бесчисленное
множество кривых семейства и (X, |х) = и0.
'Ж
но уравне-
Предыдущие отношения тогда равны — = -
и
ния (6.5) показывают также, что эти
отношения равны отношениям (6.11),
что дает, в частности,
т. е. систему (6.8). Другими словами,
и(Х, [х) есть первый интеграл
уравнения (6.9), и мы получаем семейство
поверхностей Е без интегрирования.
На кривой Ф' эти поверхности имеют,
вообще говоря, коническую точку.
Наконец, в случае, когда исклю- Рис. 24.
чение X и [х из (6.3) приводит
к трем соотношениям между (х, у, z), кривые проходят через
фиксированную точку и все однопараметрическое семейство кривых Сх^.
можно рассматривать как допускающее эту точку огибающей.
с. Конгруэнции прямых. Рассмотрим конгруэнцию
прямых Cuv, определенную с помощью векторов
(Cuv)
М(я, v)-{-pB(u, v),
где а и v — параметры, а р — параметр, определяющий общую
точку на прямой.
Мы видели, что на прямой конгруэнции имеются в общем случае
два фокуса Fx и F2, т. е. что прямые конгруэнции представляют собой
204
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
в общем случае общие касательные к двум поверхностям Фх и Ф2 —
геометрическим местам точек Ft и F2 соответственно. Мы видели
также, что каждая прямая Cuv содержится в двух семействах
прямых, выделенных из конгруэнции, имеющих огибающую. Это значит,
что через прямую конгруэнции проходят две развертывающиеся
поверхности St и £2, причем первая имеет ребро возврата 1\ на Фх с Ft
в качестве характеристической точки, вторая имеет ребро
возврата Г2 на Ф2 с F2 в качестве характеристической точки.
Касательные плоскости к поверхностям Ех и £2 вдоль прямой Cuv
называются фокальными плоскостями, это касательные плоскости
к поверхности Ф2 в точке F2 и к поверхности Фг в точке Fx.
Рис. 25.
Условие, для того чтобы однопараметрическое подсемейство
прямых Cuv имело огибающую, записывается, как мы это показали
в § 5, с, в виде
(<Ш, dD, D) = 0,
или
(6.12) ^-du^—dv, -du + ^dv, D) = 0,
где в левой части стоит квадратичная форма по du и dv.
Для значения р в фокусах имеем
(rfM + prfD)AD = 0,
или
кг+'©*+(г+'гнл»-о-
ам . dD
Умножая скалярно на -з~ + Р з- и предполагая, например, что
dv Ф 0- мы получаем уравнение
(дМ . dD дМ . dD ~\ n
W + P^T' ^ + ?дд> Dj = 0'
определяющее фокусы. Фокальные плоскости будут определены
векторами D и dD, где du и dv связаны, соотношением (6Л 2).
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ
205
В случае, когда одна из фокальных поверхностей Фх сводится
к кривой, мы получаем без интегрирования одно семейство
развертывающихся поверхностей: это конусы, описанные вокруг
поверхности Ф2, вершины которых лежат на Ф^ Если Ф2 сводится также к
кривой, то развертывающиеся поверхности представляют собой конусы,
вершины которых лежат на Ф! или на Ф2 и которые имеют
направляющей соответственно Ф2 или Фх. Они известны без интегрирования.
Дуальным преобразованием (например, преобразованием с
помощью взаимных поляр) предыдущие случаи переводятся в случай,
когда Ф! есть развертывающаяся поверхность, или в случай, когда
ФА и Ф2 — две развертывающиеся поверхности. Одно или два семейства
развертывающихся поверхностей конгруэнции находятся тогда без
интегрирования: это совокупности прямых конгруэнции, лежащие
в касательных плоскостях к развертывающейся поверхности (ребром
возврата будет тогда плоская кривая; прямые конгруэнции,
расположенные в этой плоскости, будут касательными к этой кривой).
Еще в одном случае два семейства развертывающихся поверхностей
получаются без интегрирования: это случай, когда одна из
фокальных поверхностей сводится к прямой, другая же Ф2 является
произвольной поверхностью (конгруэнции Кёнигса). Из двух семейств
развертывающихся поверхностей одно состоит из плоскостей,
проходящих через Фг, причем ребра возврата суть сечения Г2
поверхности Ф2 этими плоскостями. Другое семейство состоит из конусов,
описанных вокруг Ф2, вершины которых лежат на Ф^
Упражнения
1. Показать, что ребро возврата имеет в каждой точке касание второго
порядка с соответствующей огибаемой поверхностью.
2. Определить особые конгруэнции окружностей (такие конгруэнции,
что всякое однопараметрическое семейство, выделенное из конгруэнции,
имеет огибающую).
Замечание. Можно изучить случаи, когда плоскости окружностей
зависят от 0, 1 или 2 параметров. В первом или третьем случае речь идет
об окружностях, расположенных на сфере или на плоскости. В случае,
когда плоскости окружностей зависят только от одного параметра, сначала
показывают, что плоскости должны проходить через фиксированную прямую,
затем — что окружности проходят через две фиксированные точки этой
прямой.
3. Пусть Ф1 — сфера и Ф2 — окружность, лежащая вне <&lf ось которой
проходит через центр сферы Ф^ Окружность Ф2 предполагается настолько
далекой от Фь что существуют два круглых конуса С, и С2, описанные
около^ Фг и проходящие через Ф2. Конусы d и С2 касаются Ф, вдоль
окружностей, которые не являются огибающим ребер возврата развертывающихся
поверхностей конгруэнции прямых, касающихся Ф{ и проходящих через Ф9,
но являются геометрическим местом их особых точек. Более того, эти
окружности представляют собой огибающие окружностей прикосновения ко-
206
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
нусов, описанных вокруг Ф± и имеющих вершинами точки на Ф2. На
образующих конусов С^ или С2 соотношение (6.12) обращается в тождество — это>
особые прямые конгруэнции.
Теорию особых прямых, особых развертывающихся поверхностей и
огибающих общих развертывающихся поверхностей, отвечающих особым
интегралам уравнения (6.12), можно найти в книге G. Julia, Cours de Geo-
metrie infinitestimale, Gauthier-Villars, Paris.
4. Теорема Малюса. Рассмотрим два семейства сфер, зависящих or
двух параметров:
SM* = #2f SM2=-^f
/г2
где центр S сфер описывает поверхность S (и, v), радиус R есть функция iz
и v, а п обозначает положительную константу. Пусть М1 и М2 и Мх и М2—
характеристические точки сфер с центрами S. Допустим, что Мг и М%
лежат с одной и той же стороны от касательной плоскости в S к
поверхности S (и, v). Пусть SN — нормаль к этой касательной плоскости,
направленная в ту же сторону. Показать, что SMit SMX и SN лежат в одной
и той же плоскости и что, если положить
/ = (SN^SM,), г = (SAT, SM[) (о < /, г < -|),
то мы будем иметь
sin / = п sin r.
В оптике направления M^S образуют конгруэнцию лучей света,
падающих нормально геометрическому месту точек М±, ^называемому
поверхностью падающей волны. Направления MXS образуют конгруэнцию
преломленных лучей, нормальных геометрическому месту точек Мх, называемому
поверхностью преломленной волны, возникшей при прохождении волны через-
преломляющую поверхность S (и, v); n есть показатель преломления.
В случае отражения имеется соответствие между М% и Мг. Можно также
сказать, что мы берем п = — 1. Этот результат (теорема Малюса) будет
интерпретирован далее, причем мы докажем, что при отражении или
преломлении всякая конгруэнция нормалей преобразуется в конгруэнцию
нормалей (III, IV).
Глава IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
1. Примыкающие элементы касания. Оставляя в стороне
общее понятие элемента касания SJ,, погруженного в Rn (или в Vя),
данное в (О, III, 8), мы ограничимся случаями р=1 и v = /i—1
и будем называть такой элемент просто элементом касания1).
Мы предположим, кроме того, что я = 3, чтобы сократить
изложение, но это допущение не закрывает ни один из аспектов
рассматриваемого вопроса в применении к пространствам любого числа
измерений. Геометрическая интерпретация будет дана в предположении,
что пространство есть /?3(л:, у, z) и что оно имеет структуру В3.
Элемент касания состоит тогда из точки и плоскости,
проходящей через эту точку. Мы его определим пятью координатами:
координатами точки (л:, у, z) и координатами (/?, q) плоскости,
определенной уравнением 2)
Z — z=p(X—x) + q{Y — y).
Мы скажем, что множество элементов касания, зависящее от
некоторых параметров, составляет множество примыкающих элементов,
если имеет место соотношение
(1.1) dz—р dx — qdy = 0.
Легко видеть, что не существует множеств примыкающих
элементов, зависящих более чем от двух параметров. Однопараметри-
ческая совокупность примыкающих элементов, или полоса
касания, или многообразие Mv состоит либо из кривой и плоскостей,
!) Можно было бы попытаться изложить все дальнейшее, исходя из
общего понятия элемента касания Е* Это привело бы к длинным
рассуждениям, которые нигде еще не были полностью изложены и кажутся в
настоящее время мало полезными.
2) Мы отбрасываем элементы касания вида
a(X-x) + b(Y-y)=0 (|a| + |*|>0),
что не будет нас ограничивать с теоретической точки зрения. В
приложениях, однако, нужно принимать во внимание и эти элементы.
Из определения следует, что пространство элементов касания
пространства #з гомеоморфно /?3 X Р2- В этом пространстве мы рассмотрим
подпространство, гомеоморфное №
208
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
касающихся этой кривой, либо из плоскостей, проходящих через
фиксированную точку и огибающих конус (dx = dy = dz = 0).
Двупараметрическая совокупность примыкающих элементов, или
многообразие М2, составлено:
1° либо из поверхности и множества ее касательных плоскостей
(случай развертывающихся поверхностей имеем, когда р и q
фактически зависят только от одного параметра);
2° либо из кривой и множества ее касательных плоскостей
(множества плоскостей, проходящих через касательные к кривой);
3° либо из точки и множества плоскостей, которые через нее
проходят *).
2. Преобразования касания. Мы называем преобразованием
касания преобразование, ставящее в соответствие одному элементу
касания пространства Е другой элемент касания пространства Ег
(которое может и совпадать с Е) так, что всякое многообразие
примыкающх элементов преобразуется снова в многообразие
примыкающих элементов.
Преобразование касания, ставящее в соответствие элементу
(х, у, z, p, q) элемент (xv yv zv pv q{), определяется пятью
соотношениями
в силу которых уравнение (1.1) должно иметь следствием
(2.2) dzx —рх dxx — q1 dyx = 0.
Мы предположим, что это преобразование не вырождается, т. е.
что существует обратное преобразование в окрестности точки (х, у, z,
р, q), где мы будем оперировать, или что
D(x, у, z, р, q) ^
Так как левая часть (2.2) будет после использования формул (2.1)
линейной формой относительно дифференциалов пяти координат,
1) Отыскание Мъ содержащихся в множестве элементов касания,
зависящих от четырех параметров, сводится к интегрированию одного
уравнения с частными производными первого порядка. Мы знаем, что эта задача
сводится к определению некоторых Mlt содержащихся в множестве.
Отыскание Мъ содержащихся в множестве элементов касания,
зависящих от трех параметров, сводится к интегрированию- уравнения в полных
дифференциалах.
Отыскание Mlt содержащихся в множестве элементов, зависящих от
двух параметров, не являющихся примыкающими элементами касания,
сводится к интегрированию дифференциального уравнения, когда точка (х, у, z)
описывает поверхность.
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
209
нужно, чтобы мы имели тождество вида
(2.3) йгг — /?! dxx — qx dy1 = \(dz—pdx — q dy),
где X есть функция координат, как это следует из соотношений (2.1).
X не равно нулю, так как в противном случае все
преобразованные элементы были бы примыкающими и составляли бы самое
большее многообразие М2, т. е. преобразование было бы вырожденным.
Преобразование касания переводит два многообразия, имеющие
общий элемент касания (или бесчисленное множество таких
элементов, зависящих от одного или двух параметров), в два многообразия,
имеющие общий элемент касания (или бесконечное множество
элементов, зависящих от одного или двух параметров).
Совокупность преобразования касания образует группу
преобразований [точно так же, как преобразования S)n образуют группу
(0, 1, 22)].
Исключив функции р и q из трех первых уравнений (2.1), мы
получим одно, два или три различных соотношения между (х, у,
z, xv yv 2j), называемых направляющими уравнениями
преобразования. Мы изучим эти различные случаи.
Первый случай. Продолжение точечных преобразований.
В случае, когда мы имеем три уравнения, т. е. (xlt yv zx) не
зависят в действительности от р и q, эти три уравнения
xl = xl(xt у, z), yi=yi(x> У> z)< zl = zl(x, yt z),
с
D (х, y,z) ^ U
определяют точечное преобразование, которое переводит две кривые
или две поверхности, касающиеся друг друга, в две кривые или
две поверхности, также касающиеся друг друга. Элементу касания
точечного пространства (х, у, z) оно ставит в соответствие элемент
касания пространства (xv yv zx)t который мы получаем, записывая
dxt = %£dx+^dy+?£(pdx+qdy), dyt=$£dx + ....
(dzl = )pldxl + qldy1=-g£dx-\-
Исключая dxt и dyx из этих уравнений, мы получаем соотношения,
дающие рх и qv Это будет просто замена переменных и функции,
определенная вышестоящими уравнениями. Всякое точечное
преобразование определяет, следовательно, преобразование касания,
называемое продолжением точечного преобразования.
Второй случай. Преобразования с одним направляющим
уравнением (преобразования первого класса). Если мы получаем
210
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
одно направляющее уравнение
(2.4Х) F(x, у, z, xv yt z1) = 0,
то одной точке (х, у, z) и множеству плоскостей, которые через
нее проходят, соответствуют поверхность и множество ее
касательных плоскостей. Поверхности и ее касательным плоскостям
соответствует двупараметрическое семейство поверхностей, каждая из
которых должна иметь элемент касания, общий с преобразованным
многообразием М2, так как поверхность имеет по крайней мере
одну общую касательную плоскость с многообразием М2, имеющим
одну из ее точек в качестве опоры. Образ поверхности и ее
касательных плоскостей есть многообразие Ж2, которое получается,
если взять огибающую поверхностей указанного семейства.
Другими словами, взяв z как функцию х и у, к уравнению (2.4Х)
нужно присоединить уравнения
Начиная рассуждение с рассмотрения точки (jclf ^1» Zi) и
множества плоскостей, которые через нее проходят, мы видим также,
что нужно присоединить уравнения
Вместе с (2.4Х) уравнения (2.5Х) и (2.5^) должны удовлетворяться
при преобразовании и позволяют, вообще говоря, определить его,
исходя из (2.4Х). Достаточно разрешить их относительно
переменных (xv yv zv pv qx). Итак, исходя из одного направляющего
уравнения, можно, вообще говоря, определить преобразование
касания.
При этом условия такой возможности — это условия,
обеспечивающие разрешимость системы (2.4Х), (2.5j) и (2.5J). [Мы видим,
в частности, что (2.43) должно непременно содержать все
переменные, но этого недостаточно, как показывает пример хх1-\-уу1-{-
+ zzx = 0.]
Уравнения (2.5!) и (2.5Г) могут быть получены и с аналитической
точки зрения. Уравнение dF = 0 должно быть следствием (1.1)
и (2.2). Но мы можем написать
dF = {F'!B+pF'z)dx + {F'y + qF'z)dy + {F'3!i+plF'z)dxl +
+ {F'Vl + bF*) *Л + К (dz —Pdx — q dy) -t-
+ F' (dZl — Pl dxt — 4l dyd,
(2-5;)
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
211
откуда
Так как dp и dq должны исчезнуть в этом равенстве, то мы
получаем, что
(^+^1)aa?+(n,+^.)t = 0-
Если г) ( 1? п\ ^ Ot то отсюда мы получаем соотношения (2.5i),
и вышестоящее равенство дает равенства (2.5!).
Мы утверждаем теперь, что равенство - * ь Уг' = 0 невозможно.
Действительно, иначе существовало бы соотношение между х, у,
z, хх и yv которое не было бы отлично от (2.4Х), так как это
единственное направляющее соотношение; возьмем его, например,
в виде
и запишем, что коэффициенты при dp и dq в выражении dzx—
—pxdxx— Q1dyl равны нулю; получим
др
Г) (2 X \
Мы имели бы, таким образом, также * u V = 0 и тем самым
г £>(Р> Я)
другое соотношение между х, у, z, xv yx, zv отличное от
предыдущего, что противоречит нашему допущению.
Третий случай. Преобразования с двумя направляющими
уравнениями (или второго класса). В- случае, когда имеются два
направляющих уравнения
(24г) J F(x, у, г\ xv yv zt) = 0,
\ G(x, у, z\ xv yv zt) = 0,
точке и множеству плоскостей, через нее проходящих,
соответствуют кривая и множество ее касательных плоскостей. Поверхности
и ее касательным плоскостям соответствует конгруэнция кривых,
каждая из которых должна иметь элемент касания, общий с
образом М2 поверхности. Это многообразие М2 состоит из фокальной
полости полученной конгруэнции. К уравнению (2.42) нужна
212
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
присоединить уравнение
(2.52)
К+рК Гу + яК
= 0.
(2.5Q
= 0.
(2.6)
&+РО'. °у + 1<К\
Проведя то же рассуждение, начиная с (xv yv zx)t мьг получаем
Кг+Р'К РЪ + ЯК
g'^+pK о'У1 + чК\
Это дает пока только четыре уравнения. Чтобы получить
последнее уравнение (вместе с двумя предыдущими), мы вернемся к
естественной аналитической точке зрения.
Преобразуя, как и выше, уравнения dF = 0 и dG = 0, имеем
( (/£ +pF'z) dx + (Fy + qF'z) dy + {F'Xl +PlF'2l) dxx +
(0'a,+p0*)dx+ . , . . =0.
Если бы две формы в левых частях этих равенств не были бы
пропорциональны, мы могли бы найти их линейную комбинацию,
содержащую самое большее три дифференциала. Допустим, что мы
получили, например, уравнение вида
Adx + Bdy-+-Cdx1 = Ot С Ф 0.
Заменяя хх его выражением, мы видим, что дх1[др = 0, dx1/dq = 0,
так как коэффициенты при dp и dq должны быть нулями; отсюда
следует, что хх является функцией одних х, у, z и первое из
уравнений (2.42), например, можно заменить уравнением
f(x, у, z) — xt = 0.
Заменяя хг его значением во втором уравнении и разрешая его,
мы можем написать эту систему в виде
g(x, у, z, уг)ш
(2-0
1*1 = ;
допуская при этом, что zt входит существенно1).
Переходя к дифференциалам, мы видим, что второе из
уравнений (2.6) дает
+[(*+«*)-л(^+«*)]^+(^-*)'л-о.
1) Случай, когда zx не входит существенно в (2.42), рассматривается
таким же образом и приводит к продолженному точечному преобразованию.
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
213
Приравнивая нулю коэффициенты при dp и dq, имеем
(*М~ — а\^— О ( dg а \ dyi — О
\дУ1 q4 dp -°- [ду± ЧЧ dq -°-
Следовательно, либо dyJdp — 0, dyjdq = 0t тогда j^ будет функцией
только (л:, yt z), и мы приходим к случаю продолжения точечного
преобразования, который исключили; либо
дУ1
■?i = 0.
Если последнее имеет место, то коэффициенты при dx и dy должны
быть нулями, что дает
f'x+Pf'z К + яК
Sx + PSz Sy + QSz
Другими словами, линейные формы относительно дифференциалов,
получаемые из (2.4а) так же как формы (2:6), получались из (2.42),
являются пропорциональными. Но так как система (2.42) не может,
вообще говоря, быть приведена к виду (2.42), то отсюда следует,
что во всех случаях формы (2.6) должны быть пропорциональны.
Итак:
Два направляющих уравнения (2.42) порождают, вообще
говоря, преобразование касания, получаемое присоединением к этим
уравнениям соотношений
(27) К + рК = Г'у + яК = Р'ъ+рК = Кг + lK
0'Х+Р0'г G'v + qG'z G'Xi + PlG'Zi G'yi -H^ "
Следует добавить, очевидно, предположение, что получаемая таким
образом система не является неопределенной.
3. Примеры. 1° Преобразования по принципу двойственности. Мы
называем так преобразование первого класса, определенное соотношением,
линейным по (х, у, z) и (jq, y^, z{), которое мы запишем в виде
(3.1) Xx+Yy + Zz + T = 0,
где X, Y, Z, Т — линейные многочлены по (xl9 ylt Zj). Точке пространства Е
и плоскостям, проходящим через эту точку, соответствуют плоскость в Е±
и точки этой плоскости и.обратно. Образ поверхности, рассматриваемой
как геометрическое место точек, в одном из пространств является в другом
пространстве огибающей плоскостей.
Общий метод дает прежде всего для определения (xl9 ylt z{) уравнения
(3.2) fX + pZ-0.
\Y+qZ = 0.
Определитель системы (3.1) и (3.2) по X, Y, Z отличен от нуля, и мы должны
поэтому иметь Т Ф 0, чтобы соотношение (3.1) определило преобразование
касания.
214
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Установив это, находим
X_= Y = Z = Т
р ~~ q —1 z — px — qy '
Мы получим затем (д^, ylf 2^), разрешая эту систему. Чтобы она была
совместна, необходимо, чтобы четыре выражения X, Y, Z, Т были линейно
независимы, и проективное преобразование (xtt yv zt) в (XjT, Y/T, ZjT)
будет тогда невырожденным. Но преобразование, определенное уравнением
Xx+Yy + Zz+1=0,
элементов касания пространства (х, у, z) в элементы касания пространства
(X, Y, Z) можно интерпретировать как преобразование взаимными полярами
по отношению к сфере
x* + y* + z*+l=0.
Итак, всякое преобразование по принципу двойственности есть
произведение преобразования с помощью взаимных поляр на проективное
преобразование.
2° Преобразование Ли. Среди преобразований второго класса
простейшими являются преобразования, определяемые двумя билинейными
соотношениями F = 0 и (7 = 0. Точке одного пространства соответствует прямая
в другом пространстве, и когда точка изменяется, прямая-образ описывает
комплекс1). Пусть /С—комплекс прямых, образов точек пространства Е±
в Е, /d — аналогичный комплекс в Ех. Прямая Dt — образ точки (х, у, z)
из Е в Et — получается, если взять пересечения плоскостей, определенных
двумя нашими уравнениями. Но эти плоскости находятся в проективном
соответствии, так как уравнения F=0 и (? = 0 линейны по (xl9 ylt zt).
Пересечения пар этих плоскостей, проходящих через точку из Elt образуют
конус второго порядка (действительно прямые, по которым каждая пара
пересекает фиксированную плоскость, будут находиться в проективном
соответствии, следовательно, геометрическое место точек их пересечения есть
коническое сечение). То же рассуждение применимо к комплексу К-
Следовательно*, два комплекса /С и К± будут вообще комплексами второго
порядка, и конус комплекса, проходящий через точку одного из пространств,
будет геометрическим местом прямых-образов точек другого пространства,
расположенных на прямой-образе вершины конуса.
Может случиться, что один из комплексов К или Кх (или оба)
вырождается в линейный комплекс; тогда конус комплекса сводится к плоскости.
Когда один из комплексов, например /С, линейный, a /flf кроме того, есть
комплекс изотропных прямых, то мы получим преобразование Ли.
Будем исходить из некоторой прямой D пространства Е; ей
соответствует в Ei линейчатая поверхность S, геометрическое место изотропных
прямых. Прямые комплекса /(, проходящие через одну и ту же точку т
прямой Д суть образы точек одной и той же изотропной прямой из S. Пусть
п — другая точка прямой Д тр и пр — две прямые из /С, расположенные
в одной и той же плоскости-, проходящей через Д тогда образ точки р есть
изотропная прямая, имеющая общую точку с образами т и л, так как
каждая из прямых тр и пр есть образ точки из Е.
Когда при фиксированном р точка п пробегает прямую Д прямые рп
все время принадлежат /С, поскольку /С линейный комплекс. Значит,
изотропная прямая-образ точки р встречает все образующие поверхности S,
Поэтому S имеет две системы прямолинейных образующих, причем каждая
из систем образующих состоит из изотропных прямых; следовательно,
5 есть сфера.
1) См. (II, V, 1). — Прим. перев.
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
215
Итак, образ прямой пространства Е и ее элементов касания есть сфера
и ее элементы касания в Ех.
Заметим, что если прямой* D из Е соответствует сфера S в Еь то
сфере 5 в Е1 будут соответствовать, вообще, две прямых в Е: прямая D
и геометрическое место ранее описанных точек р, которое также является
прямой.
Говорят, что преобразование Ли переводит прямые в сферы. В этой
форме важность этого преобразования очевидна: оно сводит геометрию сфер
к геометрии прямых, и наоборот. Оно преобразует линейчатую поверхность
в огибающую семейства сфер, две пересекающиеся прямые в две
касательные сферы, так как такие прямые имеют общий элемент касания,
состоящий из общей точки двух прямых и плоскости, их содержащей. Оно
переводит, следовательно, развертывающуюся поверхность Л в огибающую
семейства сфер, таких, что каждая из них касается бесконечно близкой сферы.
Характеристические окружности будут иметь нулевой радиус, кривая,
описанная их центрами, будет эвольвентой геометрического места С центров
сфер, следовательно, это будет ортогональная траектория образующих
развертывающейся поверхности Г с ребром возврата С1).
В качестве направляющих уравнений преобразования Ли можно взять
уравнения
хх + *У\ + x*i + z = О,
■*(** — tyi) — *1 + У = 0.
Применение общего метода приводит к соотношениям
x(z — px — qy) — zq
q— х *
Р + У
*х + *У\ =
Xl — /ух =
q-x'
px + qy
qx— 1
qx = — l
q + x •
Образ прямой
x = az + а', у = bz + b'
есть сфера
a (A + yl + 4) + (b — a')xt+i(b + a')yi — (ab'--ba'---\)z1 — b' = 0.
3° Дилатация. Это преобразование определено единственным
направляющим уравнением
(хх - х)* + (У1 - у Я + (гх - г)* = R\
где R постоянно. Уравнения (2.5j) запишутся здесь в виде
*) Понятие эвольвенты кривой рассматривается дальше (II1, 1.9).
216
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Они показывают, что поверхность 5 и ее образ Si имеют в
соответствующих точках одну и ту же нормаль. Направляющее уравнение показывает
тогда, что Si получается, если отложить на нормалях к S постоянную
длину R. Итак; поверхность S преобразуется в две поверхности, и мы
получаем вновь конфигурацию параллельных поверхностей (предыдущая
глава, § 4)
Упражнения
1. Подэра и антиподэра. Из фиксированной точки О опускаем
перпендикуляр ОР на касательную плоскость в точке М к поверхности S
(Р лежит в этой плоскости). Геометрическое место точек Р есть
поверхность 2, называемая подэрой поверхности S относительно О. Рассмотреть
построение касательной плоскости к 2 в точке Р и переход от 2 к S
(антиподэра поверхности 2).
2. Апсидальное преобразование. Соединяем фиксированную
точку О с точкой М поверхности S; пусть MN— нормаль в М к S. В
плоскости OMN восстановим в О перпендикуляр к ОМ и отложим на нем
ОР = ОРг = ОМ Преобразование М в Р (или в Р') есть преобразование
касания, называемое апсид альным. Рассмотреть построение касательной
плоскости к геометрическому месту 2 точек Р и обратное преобразование.
Найти образ сферы. Показать, что, когда S есть эллипсоид с центром в О,
2 есть волновая поверхность.
3. Всякое преобразование касания, переводящее элементы касания
некоторой плоскости в элементы касания точки, есть произведение поляритета Р
(преобразования взаимными полярами) на точечное преобразование р.
Всякое преобразование касания, переводящее элементы касания
плоскости в элементы касания плоскости, имеет форму РрР.
4. В анализе встречаются два следующих преобразования:
Преобразование Лежандра. Оно определяется уравнением
**i + >7i — 2 — *i = 0
(поляритет относительно поверхности х* + у2— 2z = 0).
Преобразование Ампера. Оно определяется уравнениями
xi = x. z*i — У — У1 = 0.
[Комплексы /С и /Ci (§ 3, 2°) оба являются специальными линейными
комплексами.]
5. Показать, что преобразование (х, у, z, p, q) в (xv yit zb рь qt),
сохраняющее уравнения Пфаффа
dx + р dz = 0, dy -f- q dz = 0,
есть точечное преобразование, продолженное с помощью этих двух
уравнений (мы здесь имеем дело с преобразованиями, переводящими две
касающиеся кривые в две касающиеся кривые).
6. Называя преобразованием касания второго порядка
хх = хх (х, у, z, p, q, г, 5, *)» • • •> к = h (• • •)
преобразование, сохраняющее систему Пфаффа
dz —pdx — qdy = 0, dp — rdx — sdy = 0, dq — s dx — t dy = 0,
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
217
показать, что такое преобразование есть продолженное преобразование
касания.
7. В силу замечания во второй сноске на стр. 205, § 1, аналитическое
изучение преобразований касания не будет полным, если мы не определим
элемент касания шестью координатами (х, у, z, и, v, w), считая три последние
однородными, т. е. считая два элемента (х, у, z, и, v, w) и (хг, у', z\ и', t/', wr)
равными, если х == х\ у = у', z = z' и —Г = —Г=—Гл
Преобразование касания, определенное уравнениями
х1 = х1(х, у, z, и, v, w), ..., wi = w1(...)t
где xlt Уъ zt однородны и степени (однородности) нуль по и, v, w; uv vt,
Wi однородны той же степени, должно сохранять уравнение Пфаффа
и dx + v dy + w dz = 0.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ
КЛАССИЧЕСКИЕ ГЕОМЕТРИИ
ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
Глава I
ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
1. Введение. Мы будем излагать метрическую
дифференциальную геометрию в Е3, применяя метод подвижного репера (здесь
подвижного триэдра). Однако мы дадим и содержательные указания
относительно классических методов, столько же ради результатов,
которые эти методы иногда дают в удобной форме, сколько и для
того, чтобы облегчить чтение большой литературы, написанной
в этом стиле.
В применении к теории пространственных кривых метод
подвижного репера не имеет, впрочем, преимуществ по сравнению с
классическим методом. Однако мы его применим для упражнения, а также
для того, чтобы сохранить единство изложения.
Напомним, что в пространстве Ег через elf e2, е3 обозначаются
три единичных, попарно ортогональных вектора и через т —
переменная точка, причем m есть обозначение вектора От, где О —
фиксированное начало. Имеем
(1.1)
dm = о)^! -f- о)2е2 -f- w3e3, (wn = о)22 = о)33 = О,
det= -* +wie2 + wie3 a>i = — a>i,
de2 = — a>?e! ■+- * + <*>l*s.
3 3 2
de3 = — coiei — a>aea + ■* щ
1 3
<*>3 = — a>i»
= — w2J.
Уравнения структуры группы движений (О, III, 7.7) и (О, III, 7.9)
запишутся в виде
(1.2)
(1.3)
Г dm1 = — а)2 Д w2 — о)3Л^
dv>2 = а)1 Д a)2 — о)3 Д со|
( dm3 = о)1 Д a>J -\- о2 Д о)**
< da* = — о)2 Д ©J,
I d<o* = со2 Д <о*.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
219
2. Формулы Серре—Френе. Рассмотрим в прямоугольной системе
координат кривую Г:
т(и): х = х(и), у = у(и), z = z(u),
где т(и) имеет непрерывные производные до достаточно высокого
порядка (для определенности до порядка 4), в сегменте и0^ и <; uv
Выберем направление обхода на кривой, например, направление
возрастания значений параметра и. С каждой точкой т(и) мы свяжем
триэдры, называемые триэдрами первого порядка, имеющие
началом эту точку и первой осью направление единичного вектора t
ориентированной полукасательной в точке т (t2=l). Таким
образом, мы имеем а)2 = о)3 = 0. Тогда о)1 не зависит более ни от
какого вторичного параметра, это инвариантная
дифференциальная форма кривой Г. Так как ш1 зависит только от одной
переменной, это точный дифференциал: cte = (D1.
Два последних уравнения (1.2) дают
( О)1 Д (02 = 0, ИЛИ Ц)2 = аа)1}
| (°1Л(01 = 0» или о)3 = £а)1.
Остался только один вторичный параметр е\, соответствующий
форме о)| (который выражает, что триэдры первого порядка
определены с точностью до вращений вокруг касательной); а и Ъ будут
функциями и и вторичного параметра.
Из (2.1) и (1.3) выводим
f (da — £(d|) Д w1 = 0, или da — Ьы\ = а1 о1,
(2'2) ( (db + aafyA *1 = 0. или db-\-av\ = Vat%
где а' и V — также функции и и вторичного параметра.
Что касается вариации а и b по вторичному параметру, то
уравнения (2.2) дают
Ьа — Ье62 = 0
ЪЬ-\-ае* = 0
, откуда аЪа + ЬЪЬ = ±Ъ(а2-\-Ь2) = 0.
Полагая а2-\-Ь2 = р2 (р > 0), мы видим, что р — инвариант
порядка 2, называемый кривизной. Полагая теперь а = р cos 6, ft ^= p sin 6,
мы получаем вариацию б из уравнения
80 + ^ = 0.
Группа, действующая на 0, есть, таким образом, группа переносов.
Чтобы фиксировать триэдр, мы можем дать 0 некоторое
произвольное значение. Мы возьмем 0 = 0 и получим таким образом
единственный триэдр второго порядка: это триэдр Френе.
220
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Сделав это, имеем £ = 0, или wj = 0, далее, а = р. Уравнения (2.2)
сводятся к одному, которое мы запишем в виде
п1
ltd)1
где х — инвариант третьего порядка, называемый кручением.
Обозначая через п и b единичные векторы, лежащие
соответственно на второй и третьей осях триэдра Френе, мы получаем
формулы Серре — Френе:
(2.3)
dm
ds
dt^
ds
dn
ds
db
ds
= t,
= pn,
= ^pt-hTb,
-ТП.
Наши рассуждения не применимы, когда a2-f-£2 = 0. В этом
случае, если а и Ъ — не нули, речь идет, как мы это увидим
в упражнении 1, о кривых, расположенных в изотропной плоскости.
Если а = Ь = 0, то редукция не может быть продолжена: триэдры
порядка 1 будут триэдрами Френе. Значит, мы имеем дело с особыми
кривыми. Между тем мы имеем dt/ds = 0, t есть постоянный
вектор, т. е. речь идет о прямых.
Наконец, в дальнейшем, мы рассмотрим теорию кривых, у
которых dm/du есть вектор нулевой длины (минимальные кривые); к ним
предыдущие рассуждения также не применимы (§ 10).
3. Триэдр Френе. Формулы (2.3) показывают прежде всего, что
ds2 = (о)1)2 = (dm)2 = dx2 + dy2 + dz2,
т. е. о)1 — дифференциал дуги кривой F. Выбрав точку т0 = т(а0)
в качестве начала на Г, мы можем определить положение любой
другой точки т(и) ее криволинейной абсциссой
т и и
т0
**0
«о
Длина дуги т'т" имеет величину
и"
J Vidm)2
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 221
откуда мы легко выводим, что
.. m7^" 1
Может оказаться удобным ввести несколько более общие
криволинейные абсциссы, сопоставив точке т0 произвольную
криволинейную абсциссу s0\ тогда абсциссой точки т будет s0 + 5 и на Г не
обязательно будет существовать точка с криволинейной абсциссой
нуль. 5 является натуральным параметром в теории
пространственных кривых эвклидовой геометрии, и этот параметр, является
допустимым по отношению к определению порядка точки. Мы имеем,
действительно, представление F в виде
m(s): x = x(s), y = y(s), z = z(s),
причем
*'2+У2-М'2 = 1.
Единичный вектор dm/ds = t, отложенный на ориентированной
полукасательной в направлении возрастания $, имеет направляющие
косинусы
dx й dy dz
ai — ~di> Pl — Is9 Tl — ~df
Как мы видели (1,1.6), вектор
d*m dX
-d&=!I = Pn
определяет вместе с касательной соприкасающуюся полуплоскость
к кривой Г в точке т, т. е. он направлен в сторону вогнутости
кривой. Так как он, с другой стороны, перпендикулярен
касательной, то мы его называем нормальным к кривой, и прямая, на которой
он расположен, называется главной нормалью к V в точке т.
Так как р положительно, вектор п также ориентирован в
направлении вогнутости кривой; мы обозначим его направляющие
косинусы через а2, р2, у2.
Что касается вектора b = t Л п» то он тоже нормален к F;
прямая, на которой он расположен, называется бинормалью к Г
в точке т *). Его направляющие косинусы суть
<*з = Р1Т2 — fcTi- Рз = ТЛ — T2<*i. Тз = ai?2 — ofePi.
!) Название это имеет следующее происхождение. Направление
бинормали есть предел направления, ортогонального к касательной в точке т и
касательной в точке т + Am, стремящейся к т* Действительно, направление
касательной в т (s + As) есть t + As == t -f- Aspn + .... Ортогональное
222
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Рис. 26.
Плоскость (т, t, n) называется соприкасающейся плоскостью,
плоскость (т, п, Ь) — нормальной плоскостью, плоскость (т, b, t) —
спрямляющей плоскостью. Когда мы меняем направление обхода
на Г, векторы t и b переходят в противоположные векторы, но
направление вектора п триэдра Френе инвариантно.
Классическая теория состоит в том,
что триэдр Френе определяется a priori
указанными выше свойствами, а затем
устанавливаются формулы (2.3).
4. Кривизна и кручение. Формулы
Серре — Френе показывают, что р и z
имеют размерность, обратную к длине.
Полагают обычно /? = 1 /р, Г=1/х и
называют R и Т соответственно
радиусами кривизны и кручения
кривой в точке т.
Кривизна допускает определение,
аналогичное тому, которое дано для
плоских кривых.
Из начала О проводим вектор 0[x = t. Когда т изменяется на Г,
[х описывает на сфере радиуса 1 с центром О кривую у,
называемую сферической индикатрисой касательных для кривой Г.
Направление обхода на индикатрисе индуцировано тем направлением
обхода, которое выбрано на Г. Положительная полукасательная
к кривой f в точке [х имеет направление вектора п.
Отображение кривой на ее индикатрису показывает прежде всего
геометрически, что направление вектора п инвариантно.
Действительно, пусть тг■= т(s + As) (As>0)— точка, соседняя с m(s)>
щ— ее сферическое изображение. Направление вектора п есть
предел направления вектора jx^. Если мы меняем направление обхода»
мы получаем в качестве сферической индикатрисы кривую у',
симметричную у относительно О. Пусть jj/ и ^ — сферические образы
точек т и mv Так как тх теперь предшествует т, то направление
dt/ds есть предел направления вектора \ь'\ь[, имеющего то же
направление, что и [х^.
Пусть теперь о — криволинейная абсцисса на сферической
индикатрисе, [л (а) — образ вектора т. Мы имеем
dz2 = dp = dt2,
направление к t и к t + At есть
tA(t + At) = pAstAn+ ... =PAsb+ ...,
где ненаписанные члены имеют порядок по крайней мере 2 относительно As.
Это направление стремится к Ь, когда As стремится к нулю.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
223
откуда, в силу (2.3),
f da V* _
,ds) —{
или, принимая во внимание, направление, выбранное на у,
do
Пусть т1 = т (s ■+- As) (As > 0) — точка, близкая к т, и пусть [11! =
= |i (a-f-Аа) — ее сферический образ. Имеем
hm -т—
д8->о л*
As->0 |W*1 I A* Д8-»0 A*
так как Ао/| ji^l, отношение длины дуги у к ее хорде, стремится
к 1. Рассматривая теперь наименьшую дугу большого круга сферы,
проходящую через [х и \*.v обозначим через А0 ее длину. Это в то же
Рис. 27.
время есть угол между касательными к Г в точках т и mv причем
отношение А0/| ^х\ точно так же стремится к 1. Отсюда следует, что
р = lim
As->0
1 WHi
As
= lim
As->0
1МЧ1
A6
A0 As
= lim
As>0
A6_
As
Кривизна, таким образом, есть предел отношения угла
смежности к длине дуги, когда точка т1 стремится к точке т (углом
смежности называется угол между касательными в т1 и т).
Что касается радиуса кривизны, то можно показать, что это
есть радиус соприкасающейся окружности к кривой в точке т
или круга кривизны. Действительно, окружность, проходящую через т,
можно определить как пересечение сферы, на которой эта
окружность является окружностью большого круга, и плоскости, прохо-
224
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
дящей через т и центр сферы с\ мы имеем уравнения
сш2 = /<?,
cm • А = 0,
где К обозначает радиус круга и А — некоторый вектор. С помощью
двух дифференцирований выводим отсюда
cm • t = 0, 1 -4- рп • cm = О,
t-A = 0, n-A = 0.
Мы видим прежде всего, что вектор А должен быть коллинеарен
вектору Ь, т. е. что точка с должна находиться в соприкасающейся
плоскости. Уравнение cm • t = 0 показывает тогда, что с лежит на главной
нормали, и соотношение 1+рп-сщ = 0 означает, что mc=/?n.
Мы имеем, следовательно, K = R. Радиус круга кривизны равен,
таким образом, /?, а его центр, называемый центром кривизны,
лежит на главной нормали.
Можно было бы также ввести понятие индикатрисы главных
нормалей и индикатрисы бинормалей. Первая не представляет
никакого интереса, последняя же выводится из индикатрисы касательных
конструкцией, называемой конструкцией с помощью дополнительных
конусов, и позволяет дать интерпретацию абсолютной величины
кручения как предела отношения угла между двумя близкими,
соприкасающимися плоскостями к дуге.
Перейдем к вычислению р их. Взяв за параметр криволинейную
абсциссу, мы имеем прежде всего из формул (2.3)
<4Л> р2=Ы) =Ы) +Ы) +Ы-) •
Для кручения, умножая dn/ds скалярно на Ь, имеем
или, заменяя b на tAn>
Но
откуда
dn
ds
Заменяя dn/ds этим значением в предыдущем смешанном
произведении и вспоминая, что смешанное произведение, в которое входят
(*-'п'-зг)=т-
1 d\
= 1 d4 dt /l \
р ds* "•"" ds \ р /
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
225
два коллинеарных вектора, равно нулю, мы получаем
JL(t ^L d4\ —
р« Y' ds ' ds*)~%1
откуда находим окончательно, заменяя р2 его значением,
(4.2)
Т =
dm d*m d*m\
ds ' ds* ' ds* )
I d*m \*
\ ds* )
При произвольной параметризации кривой m (и), обозначая штрихами
производные по и, имеем
/ . , dm ,
ds*
ds
ds*
В последнем равенстве ненаписанные члены являются линейной
комбинацией dm/ds и d2m/ds2. Отсюда получаем прежде всего
^/2 ,2
m'Am" = ps'3b,
2 (m'Am")? _ (dmAd*m)*
9 (m'2)3 (dm*)* '
откуда
(4.3)
В прямоугольных координатах это запишется так:
(x'2 + y'2 + z'2)*
(ААЛ 2 _ {y'z" - г'у")* + (*'*" - х'*)* + (х'Г -У'х>')*
К ' V /„,2 , „/2 |_ ^2\3
Имеем, далее,
(т, т , шО^, -^, "^г)*6-
Отсюда и из (4.2) получаем
(4.5)
_ (m't m", m'") _ (m't m", m'") __ (dm, d*m, d*m)
s'V (т'Лт")4*
или, в координатной форме,
(dmAd*m)*
(4.6)
х у
xr
xrrr yW zm
*" y" z"
(y'z? — z'y")* + (z'x" — x?z")* + (x'y" — у 'x")*
226
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Знак кручения совпадает со знаком смешанного произведения
(in', m", m'").
Кривизна и кручение будут функциями p(s) и x(s) точки на
кривой F; если Г — аналитическая кривая, то p(s) и z(s)—
аналитические функции.
Замечания. 1° В точке действительной кривой Г, в которой
кривизна равна нулю, пГДт" = 0 (что записывается также в форме dt/ds = 6).
Следовательно, пГ и т" колинеарны, касательная стационарна, точка не
является обыкновенной точкой второго порядка. Мы видели (I, I, 5), что
кривая, касательная к которой стационарна во всякой точке, есть прямая.
Прямые являются единственными действительными кривыми с нулевой
кривизной — результат, который был получен в § 2 из других соображений.
2° Точка, в которой кручение равно нулю, не является обыкновенной
точкой третьего порядка в силу (4.5) и соприкасающаяся плоскость в ней
стационарна. Мы видели (I, I, 5), что кривая, соприкасающаяся плоскость
которой стационарна в каждой точке, будет плоской. Итак, единственные
кривые, на которых кручение тождественно равно нулю, суть плоские
кривые.
5. Положение кривой в окрестности точки по отношению к
триэдру Серре — Френе. Знак кручения. В окрестности точки /я0,
криволинейную абсциссу которой мы предположим равной нулю, мы имеем, при
условии существования и непрерывности производных до достаточно высокого
порядка,
где индекс 0 указывает, что производные берутся в точке т0.
Дифференцируя второе из уравнений (2.3), имеем, с другой стороны,
-g^-pt + P'n + pxb.
Выбрав в качестве осей координат т0 (х, у, z) те оси, которые определены
триэдром Серре — Френе в точке /ио, мы получаем из приведенного выше
разложения
x = s + * — P0-5-+ ••• >
и это позволяет нам выяснить поведение проекций кривой на три
плоскости триэдра Серре — Френе в окрестности точки т0 при допущении, что
р их отличны от нуля в рассматриваемой точке (т. е. что точка
обыкновенная по крайней мере третьего порядка).
На соприкасающейся плоскости проекция касается в точке т0 оси т0х
и обращена вогнутостью в сторону вектора п. На нормальной плоскости
проекция имеет в т0 точку возврата первого рода с полукасательной пцу
и эта полукасательная расположена с той же стороны, что и п, относительно
оси Oz. Все это совпадает с интуитивной интерпретацией свойств
соприкасающейся полуплоскости, о которой мы уже упоминали в (I, 1,6), а именно,
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
227
что репер, имеющий ребром касательную и содержащий соприкасающуюся
полуплоскость, содержит целую окрестность точки гщ.
На спрямляющей плоскости в зависимости от знака «и мы имеем две
различные картины, что позволяет дать интерпретацию знака этой
величины. При обычной ориентации пространства наблюдатель, стоящий на
соприкасающейся плоскости в точке главной нормали, близкой к щ, видит,
что точка, описывающая кривую и поднимающаяся по отношению к
наблюдателю в окрестности точки т& вращается справа налево, когда т > 0, и
слева направо, когда т < 0. Обычный винт, который завинчивают слева
направо, имеет положительное кручение.
То>0
со<0
Рис. 28.
6. Определение кривой ее натуральными уравнениями. Мы
покажем, что пространственная кривая определяется с точностью до
перемещения заданием ее кривизны p(s) и ее кручения z(s) как
функции дуги, или, как говорят, ее натуральными уравнениями.
По правде говоря, этот результат будет частным случаем общей
теоремы, полученной нами* относительно вложенных многообразий
(0, 111,9). Однако небесполезно изучить в этом частном случае, как
ставится задача интегрирования.
Вернемся к формулам (1.1) и рассмотрим перемещение триортогональ-
ного триэдра, зависящее от одного параметра и. Полагая
о)1 = a1 du, со2 = a2 du, о>з = дз du,
o>j = г du, (of = — q du
мы запишем эти формулы в виде
dm
4-
р du,
(6.1)
\
du
det
du
de2
a^i -f- a*e2 + я3е3,
:re2 — qez,
™t + pes,
du
dea
или, обозначая через v (и) вектор с координатами (а1, а2, а8), называемый
скоростью точки т, и через со (и) вектор с координатами (р, q, r),
228
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
называемый мгновенной угловой скоростью триэдра1), в виде
dm
(6.2)
f dm_
I du
= v,
^®l "^ a ^e2
*>Ле2, -^f-== °>Ле3.
Задача, которую мы хотим решить, есть задача определения движения
триэдра по начальным условиям и заданным v (и) и со (а). Пусть в
фиксированной системе координат (О, X, Y, Z) координаты вектора е< (/=1,2,3)
суть (о<, (5$, Yi). Система (6.1) дает
(5а)
da-i
du
= га2 —?а3,
du
daz
du
= pa9 — ralt
(5P)
=*ЯЧ—Раь
ф-А-ПЬ (5t)
_^Рз
= ?Pi — /fe
ill
du
diz
<*7s
du
= ОГ2—4ПГ8.
Hi.
С точностью до обозначений эти три системы одинаковы и могут быть
записаны в виде
= гУ — qZ,
(S)
du
dY _ v
-т— = pZ — rX,
du r
В анализе доказывается, что если р, q, r — непрерывные функции от и,
то система S имеет единственное решение. Ее общий интеграл линейно
зависит от трех параметров. Легко проверить, что если (X, Y, Z\
(Xlt Yb Z%) — две системы решений, то мы имеем интегрируемые
комбинации
du ' du
du
X
dXt
du
■Y%L+Z&
du ' du
•X,
dX
du
1 du ' 1 du
Отсюда следует, что
X* + К* + Z« = const,
XXt + YYt + ZZ± = const.
Мы можем, следовательно, определить ei„ e2, e3 таким образом, чтобы
для начального значения и = Uq оТни были единичными и образовывали три-
ортогональный триэдр.
!) Эти выражения взяты из кинематики, где и обозначает время.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
229
Тогда все время будем иметь
«1 + «2 + «з =• *< «А + «2?2 + «зРз = 0;
Й + Ре + Р* = 1. Э1Т1 + Р2Т2 + РзТз = 0;
7? + т| + Тз = 1. Ti«i + ?2*2 + Тз«з = 0,
а это и значит, что векторы elf e2, е3 остаются единичными и все время
образуют триортогональный триэдр.
Присоединяя к системе (So) первый интеграл
(6.3) «1 + 4 + 4 = 1>
можно свести интегрирование этой системы к интегрированию уравнения
Риккати.
Действительно, выберем на сфере (6.3) в качестве координатных линий
прямолинейные образующие, полагая
(6.4) ^+^ = _1±«^ = х> ^±±l=±Z3_=_lLi
1 — ад аj — ia.t± 1 -[- ад а^ — ia^
что дает
,а сч 1 — Xfi , 1 + Хр. X + К-
Тогда (Sa) дает
^ (al + ^a2)
rftf
rl(a1 + ta2) — (q—pt)afi,
d(a±-ia2) =r/(gl_/g2)_(<y + ^)g3.
Из первой группы соотношений (6.4) имеем
<*(<*!+ **2) ^d[\(\ — a3)] ==/1__a ч <** tfoc3
rfa rftt v з; du du *
d(a1 — ia2) = ^[т(1+а8)] _^ l + ga rfX 1 rfgg
rftt rftt X2 du ~* \ du '
Подставляя эти выражения в предыдущие уравнения, умножая второе на X2
и складывая с первым, имеем
Если а3 не равен тождественно нулю, то X удовлетворяет уравнению
Риккати
(б.б) ^l±PL»-ir,+ <l=£L,
и нетрудно убедиться, что это верно и тогда, когда <х3 тождественно равен
нулю [показав, что одновременно d\/dt=: — /гХ и (q + pl)^ + (g — pl) = 0].
Аналогичный подсчет показывает, что {д. удовлетворяет тому же уравнению.
230
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Замечая, что для действительного триэдра число — 1/ц комплексно
сопряжено с X, мы видим, что в действительном случае дело сводится
к отысканию двух решений X и ц уравнения (6.6), таких, что X и —1/(*
комплексно сопряжены. Формулы (6.5) дают тогда аь а2, и а3.
Определив (а<, р$, ?<) и обозначая через (X, Y, Z) координаты точки т,
мы получаем из первого уравнения (6.1)
ЛХ , , * , * аУ ю i dZ 1 .
— «о^ + л.+а» -^ = ^1+ .... -^ = ^1+-..;
JT, У, Z определяются квадратурами, которые вводят три произвольные
постоянные переноса.
Окончательно мы видим, что движение триэдра определяется на-
чальными условиями и заданными векторами у (и) и со (и).
Возвращаясь к задаче определения кривой ее натуральными
уравнениями, мы видим, что формулы (2.3) являются частным случаем формул (6.1)
с векторами t, n, b вместо ец, е2, е3 и и = s — % причем точка т
описывает тогда кривую Г, двигаясь равномерно со скоростью, равной 1. Тогда
мы имеем
/? = х, 0 = 0, г = р,
причем вектор со находится в спрямляющей плоскости. Результат, который
мы получили, выражается следующей теоремой:
Кривая определяется с точностью до перемещения своими нату~
ральными уравнениями.
Эта теорема заканчивает метрическую теорию пространственных
кривых. Из нее следует, что точечные инварианты кривой суть функции от р
и х и их производных по криволинейной абсциссе.
7. Винтовые линии. Мы называем винтовой линией кривую,
касательная к которой образует постоянный угол с фиксированным
направлением, называемым осью винтовой линии. Пусть к — единичный вектор,
лежащий на этом направлении; тогда
(7.1) t • k = cos V,
где V—постоянный угол, значение которого заключено между нулем и те.
Но при изменении направления обхода на кривой вектор t меняется на —t
и cos V меняет знак. Поэтому на время можно предположить V
заключенным между нулем и те/2.
Сферическая индикатриса винтовой линии будет окружностью на сфере
радиуса 1. В предельном случае эта окружность вырождается в точку,
t имеет фиксированное направление и кривая сводится к прямой; в другом
предельном случае эта окружность превращается в окружность большого
круга; тогда b = ± к будет фиксированным вектором, и последнее
уравнение (2.3) показывает, что х = 0, т. е. что кривая плоская.
Исключив эти случаи, предположим, что (О, х, у, z)— триортогональ-
ный триэдр, такой, что к — единичный вектор, лежащий на Oz. Тогда для
винтовой линии будем иметь
(Я) М(5): x = x(s), y = y(s), z = z(s\
а-определяющее ее соотношение записывается в форме
(7.2) Ж = С08^
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
231
откуда
z = (s — s0) cos V.
Пусть т — ортогональная проекция вектора М на плоскость хОу. Имеем
М = m + zk,
что дает
*Ш = dm + k dz,
откуда, если обозначить через а криволинейную абсциссу на проекции (К)
кривой (//) на плоскость хОу,
ds* = d& + dz\
Отсюда, применяя (7.2), получаем, что da2 = ds* sin2 V, и, выбрав на (h)
направление обхода, индуцированное направлением, выбранным на (//),
получим, что
(7.3) da = ds sin V.
Итак, можно положить
a = s sin Vt
выбрав соответствующие друг другу начальные точки на двух кривых.
Из (7.2) и (7.3) находим, что
откуда
(7.4) -z = (a-a0)ctgK
Обратно, если, начиная с плоской кривой (&), мы построим кривую (//),
откладывая на перпендикуляре Oz к плоскости кривой (h) длину,
пропорциональную ее дуге, то (Н) будет винтовой линией с осью Oz, так как из
соотношения вида (7.4) мы выводим, что
ds* = da* + dz*=dzH\ + tg*V) = 1^t
откуда следует соотношение (7.2), причем направление обхода на (//)
индуцируется направлением обхода на (Л).
Итак, соотношение (7.4) характерно для винтовых линий и дает
способ их построения.
Вернемся к соотношению (7.1). Дифференцирование его дает pn»k = 0,
откуда, исключая случай прямых (р = 0), имеем
(7.5) п • к = 0.
Вектор п остается, таким образом, параллельным фиксированной плоскости
и это свойство также является характерным для винтовых линий, поскольку
соотношение (7.5) можно записать также в форме рп • к = 0 (исключая
всегда прямые), откуда интегрированием получается t • k = const, т. е.
соотношение, совпадающее с определением (7.1).
Уравнение (7.5) выражает, что соприкасающаяся плоскость винтовой
линии (//), определяемая векторами t и п, нормальна касательной плоскости
цилиндра, проектирующего (Я) на плоскость хОу, поскольку нормаль
к этому цилиндру будет параллельна вектору п. Говорят, что (//) является
геодезической линией цилиндра.
Обратно, всякая геодезическая линия цилиндра, т. е всякая кривая,
соприкасающаяся плоскость которой в каждой точке нормальна к цилиндру,
232
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
удовлетворяет уравнению (7.5). Следовательно, это винтовая, линия, которая,
однако, может сводиться к образующей или к ортогональному сечению.
Рассмотрим произведение b • к. Его производная — тп • к равна нулю.
Таким образом, это произведение есть константа, и обратно, всякая
пространственная кривая, у которой b • к постоянно, будет винтовой линией,
поскольку отсюда следует, что п • к = 0, так что кривая будет винтовой
линией, когда т Ф О, т. е. когда она неплоская. Рассмотрение триэдра Серре —
Френе в точке на кривой (//) дает немедленно значение этой константы.
Действительно, из (7.5) мы получаем, что бинормаль к ней лежит
в касательной плоскости к цилиндру, проектирующему (//) на плоскость
хОу. Так как она перпендикулярна t, то она образует с вектором к этой
плоскости угол (-=-— V) , или (-0-+ V). Следовательно,
b • к = ± sin V
и это соотношение, как мы видели, характеризует винтовые линии. Когда
мы меняем направление обхода на (//), правая часть равенства (7.1),
а также правая часть последнего оавенства меняют знак. Мы выберем
теперь определенный порядок обхода на (Я) таким образом, чтобы
(7.6) b • k = sin V,
причем угол V теперь будет заключен между нулем и ъ и в
формуле (7.1) cos V будет положителен или отрицателен.
Дифференцируем, наконец, соотношение (7.5). Получим
( — pt + Tb)k = 0,
или, принимая во внимание (7.1) и (7.6),
(7.7) — pcos K+xsin V=0, или tgV=—;
это соотношение также является характерным для винтовых линий, т. е.
кривая, для которой отношение кривизны к кручению постоянно, есть
винтовая линия. Действительно, можно написать это соотношение
в форме (7.7), где V обозначает угол, заключенный" между нулем и те.
После умножения на вектор п будем иметь
— рп cos V+ тп sin V = О,
или по формулам Серре — Френе
dX т. , db . тг л
-т— cos V + —т— sin V = О,
ds ' ds
откуда интегрированием получается равенство
tcos K + bsin K=k,
где к обозначает постоянный единичный вектор. Умножая скалярно это
соотношение на t, получаем
t • k = cos Kt2 = cos К,
т. е. мы снова приходим к определению винтовых линий.
Вернемся к соотношению
М = m + zk
между текущей точкой на (//) и ее проекцией (h) на ортогональную
к оси Oz плоскость. Дифференцируя, мы получаем сначала
t = tt 1^+k-l^tiSin K+kcosK.
ГЛ. L ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
233-
Второе дифференцирование дает
рп = piiii sin2 V,
где ti и щ обозначают единичные векторы касательной и главной нормали:
к кривой (Л), a pi —ее кривизну. Мы получаем сначала равенство
векторов п и щ, т. е. уравнение (7.5), и мы имеем, кроме того,
(7.8) р = Р! sin* V.
Это соотношение дает нам кривизну кривой (//) как функцию от кривизны
кривой (h) в соответствующей точке*). Этот результат позволяет определить
кривые постоянной кривизны и постоянного кручения. Так как отношение
этих величин для такой кривой постоянно, то она представляет собой
винтовую линию (//), проекция которой (h) на плоскость, перпендикулярную к ее
оси, имеет постоянную кривизну, получаемую из формулы (7.8). Итак, (п)
будет окружностью и (Я) — винтовая линия круглого цилиндра. Обратно,
в силу (7.8), винтовая линия круглого цилиндра всегда имеет постоянную
кривизну и постоянное кручение.
8. Конгруэнция нормалей к пространственной кривой.
Множество нормалей к пространственной кривой F зависит от двух
параметров, а именно от основания нормали на кривой и от ее
ориентации в нормальной плоскости. Эти нормали образуют,
следовательно, конгруэнцию, которую мы изучим.
а. Полярная поверхность. Одна из фокальных
поверхностей конгруэнции нормалей сводится к самой кривой Г, и одно из
семейств развертывающихся поверхностей конгруэнции, очевидно,
состоит из нормальных плоскостей. Поэтому второй фокальной
поверхностью будет огибающая нормальных плоскостей.
Если р — текущая точка нормальной плоскости кривой Г в ее
точке т, то уравнение этой плоскости может быть записано в виде
(8.1) Ыпр = 0.
Дифференцируя по s, мы получаем
рп • mp —12 = 0,
или
(8.2) п.тр = #.
Это уравнение плоскости, параллельной спрямляющей плоскости
и пересекающей нормальную плоскость вдоль ее характеристической
прямой. Но плоскость (8.2) пересекает главную нормаль как раз
в точке С с абсциссой R на п, т. е. С есть не что иное, как центр,
кривизны. Характеристической прямой нормальной плоскости будет,
таким образом, прямая, параллельная бинормали, проходящая через
центр кривизны. Эта прямая называется полярной прямой кривой Г
в ее точке т.
*) Это соотношение является частным случаем формулы Эйлера,
которую мы встретим далее при изучении поверхностей.
234
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Когда точка т описывает кривую Г, полярная прямая описывает
развертывающуюся поверхность, которая является второй фокальной
поверхностью конгруэнции нормалей к F и называется полярной
поверхностью кривой Г.
Будем искать точку 5, в которой полярная прямая касается
огибающей. Геометрическое место точек 5 будет ребром возврата
полярной поверхности. Эти точки определены уравнениями (8.1),
(8.2) и уравнением, полученным из (8.2) дифференцированием по s,
а именно
(— pt + xb)mp — n.t = -^-f
откуда
(8.3) Ъ-тр = Т-^-.
Отрезок, отсекаемый точкой 5 на полярной прямой, считая от С
в направлении Ь, равен T(dRfds).
Вот еще одно интересное геометрическое свойство точки 5.
Будем искать сферу, соприкасающуюся к кривой Г в точке т. Мы
видели (I, II, 36), что эта сфера имеет с Г касание порядка по
крайней мере 3. Пусть £— ее центр, р — текущая точка. Ее
уравнение запишется в виде
^2=Д2.
Уравнения, которые получаются, если записать, что производные
этого уравнения по 5 обращаются в нуль до третьего порядка,
определяют точку Е. Мы находим
t./nS = 0, n.^S = #, Ъ-т% = Т-^-.
С точностью до обозначений эти уравнения совпадают с (8.1),
(8.2) и (8.3). Поэтому точка Е совпадает с точкой 5, которая
является, таким образом, центром сферы, соприкасающейся к
кривой Г в точке т.
Ъ. Эволюты кривой. Будем теперь искать второе семейство
развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей к Г. Эти
поверхности опираются на Г и имеют ребро возврата на полярной
поверхности. Пусть
->-
v = n cos 6 -f- b sin 9
— единичный вектор нормали в точке т, образующий
ориентированный угол б с п. Текущая точка р Этой нормали определена
формулой
p = m-f-/v,
где / — скаляр. Чтобы найти развертывающуюся поверхность,
проходящую через эту нормаль, мы попытаемся определить 0 и / как
функции от 5 так, чтобы вектор dp/ds был коллинеарен вектору v.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
235
Но
-g- = t+-§t + /[(-pt+xb)cos6-xnsine] +
+ -j- (— n sin 6 -f- b cos 6).
Вектор
vx = — n sin 0 •+- b cos 6
есть единичный вектор нормальной плоскости, образующий с v
угол —f—ir/2. Векторы t, v, vt образуют поэтому триортогональный
триэдр, и написанное выше равенство запишется в виде
dp
IF
=(i-/pcos6)t+^+/(,+|);
Для того чтобы вектор dp/ds был коллинеарен вектору v,
необходимо и достаточно, чтобы
1— Zp cos 0 = 0, /(x4-|j) = 0.
Так как из первого условия следует, что / Ф 0, можно написать
/cos0 = #, т + -^ = 0.
1 as
Условие / cos b = R указывает, что точка р должна находиться
на полярной поверхности, как мы это уже знали. Второе условие
дает закон, по которому должны быть объединены нормали к Г,
чтобы образовать развертывающуюся поверхность. Интегрированием
получаем
0 = 0О — ft(s)ds.
Семейство развертывающихся поверхностей зависит от параметра 0С#
Если мы знаем одну из этих поверхностей, мы получим из нее все
остальные, заставляя образующие ее нормали поворачиваться на
произвольный фиксированный угол, каждую в той нормальной
плоскости к кривой Г, к которой она принадлежит.
Каждая из этих поверхностей имеет ребро возврата, являющееся
огибающей нормалей к F. Эти огибающие суть эволюты кривой Г,
которая имеет, таким образом, бесчисленное множество эволют,
зависящее от параметра 0О.
Когда кривая F плоская, т = 0 и, следовательно, 0 постоянно
для всякой развертывающейся поверхности. Эволюта,
рассматриваемая в геометрии на плоскости и расположенная в плоскости
кривой, соответствует значению 0=0. Полярная поверхность в этом
236
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
случае есть цилиндр, имеющий ортогональным сечением плоскую
эволюту кривой F. Пространственные эволюты Г расположены
на этом цилиндре; в силу постоянства угла 0 для каждой из них
они будут винтовыми линиями на цилиндре.
9. Замечания. 1° Задача, обратная предыдущей, — это задача отыскания
эвольвент, т. е. кривых А, эволютой которых будет заданная кривая Г, решается
немедленно, если мы заметим, что точка р на А, соответствующая точке т
на Г, лежит на касательной к Г в точке т; пусть
p = m + /tt
нужно определить / таким образом, чтобы t (dp/ds) = 0. Но
Умножение на t дает
откуда
/ = — (s — s0).
Итак, эвольвенты зависят от одного параметра % это ортогональные
траектории образующих развертывающейся поверхности, описанной
касательными к кривой Г.
2° Огибающая соприкасающихся плоскостей и огибающая нормальных
плоскостей к Г нами изучены, рассмотрим, наконец, огибающую
спрямляющих плоскостей; это третья плоскость триэдра Серре — Френе, ее
уравнение имеет вид
п • тр = 0,
поэтому ее характеристика получается присоединением к этому уравнению
уравнения, полученного дифференцированием, а именно
(— pt + тЬ) тр = 0.
Это уравнение плоскости, проходящей через главную нормаль и
пересекающей спрямляющую плоскость вдоль мгновенной оси вращения триэдра
Серре — Френе. В самом деле, линия пересечения этих плоскостей содержит
вектор с координатами (х, 0, р). Данная кривая Г обладает тем свойством,
что в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость нормальна к огибающей
спрямляющих плоскостей. Говорят, что она будет геодезической для этой
огибающей.
10. Изотропные кривые (или минимальные линии). Нам остается
развить теорию изотропных кривых (или минимальных линий),
касательные к которым суть изотропные прямые [(dm/du)* = 0].
а. Если такая кривая не сводится к изотропной прямой, то ее
индикатриса касательных будет бесконечно удаленной мнимой окружностью.
Отсюда следует, что ее соприкасающаяся плоскость будет изотропной
плоскостью, ибо она касается бесконечно удаленной мнимой окружности.
Кривая оказывается, таким образом, ребром возврата изотропной
развертывающейся поверхности (огибающей однопараметрического семейства
изотропных плоскостей). В прямоугольных координатах (х, у, z) такое
семейство может быть представлено в виде
(1 — и*) х + I (1 + и*) у — 2иг = 2//(и).
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
237
Дифференцируя это соотношение 2 раза по и и разрешая полученные
уравнения относительно координат, находим
(ЮЛ)
т(и){
-<[/-«/'-^4
у =/_«/' +
2
14- Ф
/",
* = -/(/*-«/").
Это не содержащие квадратур выражения, в которые входит произвольная
функция.
Ь. Циклические триэдры. Прямые, проходящие через некоторую
точку и ортогональные изотропной прямой, проходящей через эту точку,
образуют плоскость, содержащую саму эту прямую и касающуюся
изотропного конуса с вершиной в этой точке. Поэтому невозможно образовать
триортогональный триэдр, имеющий изотропное ребро.
Пусть теперь ej — изотропный вектор с началом /я; выберем в
качестве ез Другой изотропный вектор с тем же началом, который мы
нормируем с помощью условия ех • е3 = 1. Две касательные плоскости к изотропному
конусу с вершиной т пересекаются по некоторой прямой, на которой мы
выберем вектор е2, нормированный условием е2 = 1. В силу нашего
построения мы будем иметь также
et • е2 = е2 • е3 = 0.
Полученный таким образом триэдр называется циклическим; такой триэдр
мы и свяжем с каждой точкой изотропной кривой, и его движения мы и
будем изучать.
Равенство
(е-L, е2, е3)'
2 =
е2е
е3-е
3
3
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
• ея =
позволяет ориентировать вектор е2. Мы положим
(10.2) (ех, е2, е3) = /
и скажем, что получили прямой циклический триэдр [обратные
циклические триэдры получаются приравниванием смешанного произведения (10.2)
к —/]. Выводим отсюда
(10.3) ejAe2 = /et, е2Ле3 = /е3, е3Ле! = /е2.
Напишем также снова определяющие соотношения:
е* = 1, е| = 0,
е3.е!=1, е1-е2 = 0.
(Ю.4)
е? = 0,
е2. е3 = 0,
Циклические триэдры зависят от шести параметров: три параметра для
определения вершины, один для фиксирования направления elf другой—чтобы
фиксировать сам вектор, и один — чтобы фиксировать вектор е3.
С помощью движения можно перевести заданный прямой циклический
триэдр в произвольный прямой циклический триэдр.
238
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Рассмотрим формулы, дающие бесконечно малое перемещение
циклического триэдра (т, elt e2, е3). Их можно записать так:
dm = ole! + с°2е2 + <*>3е3,
з .
rfe*=2HeJ (л = 1'2, 3).
Принимая во внимание постоянство скалярных произведений (ел*/е^ +
+ е^- deh = 0) и их значения (10.4), находим
«? = |
„г _, 0, со* = 0, со* = 0,
(10.5)
о>1 -f- со* = 0, C0j -|- cog = 0, (02 -f" «з =
Итак, можно написать
[ dm = ^ех -}- со2е2 + соЗе3>
rfe2 =
и2сГ
des = — со*е2 -
• Ф»
■»ie.
lc3*
Внешним дифференцированием находим условия интегрируемости
Г flftO = СО Д <йг -f- СО Д 0)2, flfcOj = СО^Л С02,
(10.6) | rfco2 = со1 Л со2— со3Ло)^, </со2 = со|Лсо*?
I d<a = — со Лсох — аг/\<й19 dсо2 = со2 Д coj.
с. Пусть теперып (и) — представление изотропной кривой Г. С каждой ее
точкой свяжем циклические триэдры, у которых вершины совпадают с этой
точкой, а ее вектор et—с касательным вектором к кривой Г (триэдры первого
порядка). Эти триэдры зависят от двух параметров: один фиксирует
координаты elf а другой фиксирует е3.
Мы получим тогда dm = coie^, откуда со2 = о>з = 0, и col содержит только
дифференциал du главного параметра и не содержит дифференциалов
вторичных параметров.
Условия интегрируемости дают
(10.7)
со1Ло2 = 0, или ©J = а©1.
Имеем две вторичные компоненты е\ и е\, как и следовало ожидать.
С помощью внешнего дифференцирования соотношения (10.7) получим
(10.8)
(da — 2асо})д^1 = 0, или da — 2<oJ = — 2*to1,
и последняя форма показывает, что, варьируя вторичные параметры, мы
получаем
5а — 2а*| = 0.
Это значит, что а умножается на произвольный множитель. Поэтому либо
a = 0, либо можно выбрать вторичный параметр таким образом, что
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
239>
Избавимся сразу от случая #=-0. В этом случае редукция не может быть
продолжена. Мы имеем det = w}elf касательная остается параллельной
некоторому фиксированному направлению, и кривая будет изотропной прямой.
Если исключить этот случай, то при замене триэдра (elf е2, ез) на (—е*,
—ез, —е3) а> меняется на —д. Таким образом, можно всегда свести дело к
случаю" а = 1. Тогда (10.7) переходит в
(10.7') 0)2 = со1.
Полученные таким образом триэдры зависят еще от одного параметра, это
триэдры порядка 2; осталась лишь одна вторичная компонента е\.
Второе уравнение (10.8) превращается в
(10.8') со} = ^со1,
и (10.6) показывает, что duX = 0 или rfcoi = da. Таким образом, мы получаем
инвариантную дифференциальную форму кривой Г [она зависит от второй
производной т(и)]; а есть дуга, введенная Вессио.
Внешнее дифференцирование соотношения (10.8') дает
(10.9) db — ©£ = — k«>\
откуда для вариации Ь по вторичному параметру имеем
ЪЬ — е\ = 0.
Группа, действующая на Ь, есть группа переносов; b может принимать,
любое значение.
Среди триэдров второго порядка мы выделим триэдр Френе (порядка 3),
выбирая вторичный параметр таким образом, что b = 0. Формула (10.9) дает-
со1 == Ajco1,
где k — инвариант, называемый кривизной.
Формулы Френе запишутся так:
dm = rfaej,
de± = dae2,
de% = da (ke± — ез),
rfe3 = — dakez.
Задание k в виде функции от а (натуральное уравнение) определяет-
изотропную кривую с точностью до перемещения.
d. Что касается вычисления da и кривизны k, мы имеем сначала из (10.10)*
d*m
d&
(10.10)
/ d*m \2 ,
d*m \_ (d^rn у
da ' da* ' da* ) ~~ /; \ da* )
dm d*m d*m \ _ / d*m у = g
Ho
dm _ dm 1
da ШГ a' '
d*m d*m 1,1 dm ( 1 \'
+ "7u~\a>4 '
da* du* a'- 2
d*m d*m 1,3 d*m
da* du* a'3 ^ 2 drf
WV a' +2 rfaU'V a'*
240
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
откуда
(10.11) (-2^= а'4, или ^ = (Лп)«,
и
/ dm <Pm rf3m\ ,6
*\ du dii* du*)~Q ■
что дает
(dm, tf?m, d*m)
rfc« = /-
(rf»m)*
равенство, определяющее rfa с точностью до знака.
Для кривизны мы имеем далее
3 rf?m rf3m / 1 у ^m_ rf3m / 1 \"
du* di& \ c'2 / rftf rftf3 \ a'2 /
Дифференцируя 2 раза соотношение (dm/du)* = 0 и один раз (10.11),
мы легко проверяем, что
откуда
rfa»>/ + rfrt» rf«* J a'2 + rfa« da3 U'2 У + \ A* J V a'2 J '
что дает
/flf?m flfBm\2
__9* /e_0/^3m\2 ^?m ^m 15 \ du* du*)
I da* J
Выбрав представление изотропной кривой в виде (10.1), находим
da* = — lf»'(u)du*>
h __ 15 (f^f - 4/"'/F ^_ - 2/ [(/")'/<]"
8(/'")3 (/'"/л
Упражнения
1. Кривые, лежащие в изотропной плоскости. Вернемся
к уравнениям (2.1) и (2.2) и предположим, что а?-]-Ь* = 0 (Ь = ±at, афО);
отсюда следует, что Ьа + aie2 = 0. Итак, а определено с точностью до
множителя. Можно, следовательно, определить триэдр второго порядка, взяв
а = +1, так как мы здесь оперируем в комплексной области. Записав
тогда (2.2) в форме + l<*\ = ^с°1 и положив далее со* = ds, находим
dm de< , # . _ d\
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
241
Вектор I имеет фиксированное направление; это изотропный вектор. Кривая
будет плоской, она лежит в изотропной плоскости, содержащей I,
k—инвариант.
В плоскости у = 1х имеем
dz* dz*
В се кривые х = а£ (z) + bz -f- с (а, Ь, с — произвольные константы) равны
между собой.
2. Теория кривых в пространстве ЕР (только общий случай).
Формулы Френе могут быть написаны так:
dm fltei deh ,
If = e" 4f = не» ''" "5Г e - рл-1ел-1 + рлел+1
den
-^- = -Рп-1еЛ-1.
Величины рЛ суть кривизны, рЛ5>0 для h < п—1. Только pw_i может быть
либо положительной, либо отрицательной.
Находим:
/ л-1 л-2 \2 (dmAd2mA ... лЛп)2
[fi P2 • • • 9h-i) = dsh(h+i) '
Это выражение характеризует действительные кривые, такие, что р. = О
(А<п —1).
3. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы семейство
окружностей (сфер), зависящих от одного параметра, было семейством
соприкасающихся окружностей (соприкасающихся сфер) к некоторой кривой.
4. Найти кривые, в каждой точке которых соприкасающаяся сфера имеет
с кривой касание по крайней мере четвертого порядка (сферические кривые);
тот же вопрос для соприкасающихся окружностей, имеющих с кривой
касание третьего порядка (окружности).
5. Найти кривые, допускающие в каждой точке соприкасающуюся
обыкновенную винтовую линию, имеющую с кривой касание третьего порядка
(р постоянно) или четвертого порядка (винтовые линии круглого цилиндра).
6. Найти кривые, для которых радиус соприкасающейся сферы постоянен
(р постоянно, сферические кривые).
7. Винтовые линии с осью Oz, лежащие на параболоиде вращения
х* + У* = 2л£, имеют в качестве проекций на плоскость хОу эвольвенты
окружностей.
8. Кривые, главная нормаль которых образует постоянный угол с
фиксированным направлением, являются кривыми, для которых индикатрисами
касательных служат сферические винтовые линии.
9. Найти кривые, главные нормали которых являются бинормалями другой
кривой I [^ „•= const ). Обратно, найти кривые, бинормали которых суть
главные нормали другой кривой (-^ — « const, где а обозначает дугу
сферической индикатрисы J.
10. Найти прямые, .инвариантно связанные с триэдром Серре — Френе
и допускающие огибающую.
242
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. . ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Замечание. В общем случае такими свойствами обладают только
прямые, параллельные касательной, проведенные через фиксированную точку
бинормали. Отыскивая условие того, что прямые
О) p = m + .*t + >'n + /(at + pn + Tb),
где х, у, а, р, 7 — константы, допускают огибающую, находим
(ар — Тт) 7 — Р2т + (ах + ТР) [рР* — (аР — ГО У] = 0.
Показать, что обратно, если между р и х существует соотношение вида
(2) Ад + В% + Ср2 + 2Dpx + £*2 = 0,
где Л,..., Е—константы, то существуют прямые (1), допускающие
огибающую.
(Таким же образом поступают с прямыми, параллельными
соприкасающейся плоскости.)
Исследовать случай винтовых линий круглого цилиндра, общих винтовых
линий, кривых, обладающих тем свойством, что ap + bz -j- с = 0 (где
а, Ь, с — константы), или кривых Бертрана (см. ниже), и определить в
каждом случае множества прямых, допускающих огибающую (в случае кривых
Бертрана имеем бесчисленное множество конических сечений (2),
распадающихся на пару прямых, одна из которых фиксированная).
11. Найти кривые, соприкасающаяся плоскость которых касается некоторой
сферы. Показать, что их эвольвенты—сферические кривые, что спрямляющие
плоскости проходят через фиксированную точку (центр сферы) и что
х/р = as + b. Доказать обратные утверждения.
12. Со всякой точкой т пространства связываем вектор v (m) = v (О) +
+ со Л От, где О фиксировано и где т(О) и со — заданные векторы.
Рассматриваем кривые, такие, что v dm = 0 (кривые, касательные к которым
принадлежат некоторому линейному комплексу; плоскость комплекса,
проходящая через т, ортогональна v). Показать, что соприкасающаяся плоскость
такой кривой есть плоскость комплекса и что ее кручение имеет величину
х = (со. v)/v2 (оно одно и то же для всех кривых, проходящих через одну и
ту же точку).
Решение. Имеем d\ *= со Л dm, откуда d\ • dm = 0. Дифференцируя
соотношение v dm = 0, получаем v . а"*т = 0. Отсюда v = Xb. Далее,
(d\/ds)b — Xxn = coAt, откуда, умножая скалярно на п, находим
+> •>
— Хх = (со, t, П) = со • Ь.
Умножая, наконец, слева и справа на X, мы получаем нужную формулу.
13. Найти ортогональные траектории соприкасающихся плоскостей к
некоторой кривой.
Решение. Полагая р = m + xt + уъ* мы находим, записав что
dp коллинеарно п и обозначая через а дугу сферической индикатрисы;
1 + р£-ру = 0; p(*+g) = o.
откуда
•S-+y = pTo (для р*0)-
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 243
Обозначая через /(а) частное решение уравнения относительно у,
получаем
X = — /' (а) + A Sin (а— о0), у = /(а) + A COS (а — а0)
(а0 и Л — произвольные постоянные).
14. Кривые Бертрана. Рассмотрим кривую С, точку М этой
кривой и точку Мх главной нормали в М
ММ! = П/(5).
Определить кривую С и функцию /($) так, чтобы геометрическое место
точек Mi допускало MMi как главную нормаль в М^
Ответ. Мы найдем, что /(5)= const и кривая С удовлетворяет
уравнению
яр + Ь\ + с = 0.
Глава II
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ТРИЭДР ФРЕНЕ
1. Триэдр Френе. Рассмотрим в пространстве Еъ в
прямоугольных координатах элемент поверхности S,
\x = x(ut v\
(Ы) т(и, v)\y = y(u, v),
[z=z(u, v).
В качестве триортогональных триэдров порядка 1, связанных
с точкой т, мы выберем триэдры с началом в т, для которых
плоскость (elf e2) касательна к поверхности1). Имеем о>3 = 0.
Возвращаясь к уравнениям (1.1), (1.2) и (1.3) предыдущей главы,
мы находим из них
(о1 Д о)^ -|- о)2 Д o)j* = О,
откуда, в силу теоремы Картана (О, II, 9),
(1.2) о)^ = аа)1-г-йа)2, u)j* = boa1 -\- со)2.
Остаются только один вторичный параметр и одна вторичная
компонента е\. С помощью внешнего дифференцирования получаем
f о)1 Д [2*0)2 _ da^ ^.о)2 Д [(с — а)о)2 — db] = О,
(L3) j o)i Д [(с — а)о>2 — ^]-|-а)2Д[— 2£а)2 — dc] = 0.
Формы в скобках являются линейными комбинациями о)1 и о)2.
Поэтому, если главные параметры зафиксированы, а изменяются только
вторичные параметры, то эти формы обращаются в нуль, что дает
(1.4) Ъа = 2е\Ь, ЪЬ = е\(с — а), 5с = — 2e\b9
откуда
8 (а + с) = О, Ь (ас — Ь2) = 0.
I) Это невозможно для поверхностей, касательная плоскость которых
изотропна. Мы их изучим в упражнениях.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ
245
Итак, имеем два инварианта второго порядка
а-\-с = 2рт, ас — Ь2 = К,
рт называется средней кривизной, К—полной кривизной. Полагая
с — а = 2r cos 26, Ъ = г sin 20,
находим
Ьв = е\.
Итак, при вариации вторичного параметра величина 0 подвергается
переносу. Мы определим триэдр порядка 2 (триэдр Френе),
полагая b = 0, a = plf c = p2, так что
(1.5) (1)? = Р1(1)\ (i)a = p2(i)2, (Pi + P2 = 2pm. Pip2 = AT).
рх и р2 — инварианты второго порядка — называются главными
кривизнами поверхности в точке т. Направления о)1 = 0 и а)2 = 0
называются главными направлениями (или направлениями кривизны),
формы о)1 и о)2 — инвариантные линейные формы. Полагая далее
0)2 = TjO)1 -|- Г2(1)2
и вводя инвариантные частные производные некоторого инварианта /
по отношению к о1 и о)2, т. е. записывая
<*/ = У>1 + /,2«>2.
находим
(1.6) гх = - -, г2 =
Pi Р2 Pi — Р2
Уравнения структуры дают условия интегрируемости
doa1 = /^о)1 Л ю2» da2 = ''г001 Л (°2»
(1,7) ' /-!,, +Г,, 1 + (Г,)« + (Г^ = — р1р1
Два первых соотношения известны под названием формул Ко-
дацци, третье — под названием уравнения Гаусса1).
Формулы, дающие перемещения триэдра Френе, имеют вид
(1.8)
^m = o)1t1+(i)2t2,
dk = (^i0*1 + г2®2) Ъ + Pi«>ln.
dt2 = — (rjd)1 + r2d)2) tx + p2o)2n,
1 dll = pxO)1^ p2W2t2,
i) В форме, которой мы обязаны Лиувиллю.
246
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
где через tlt 12ип обозначены векторы elf е2 и е3 (tx и t2 —
векторы главных направлений и вектор п нормален к поверхности).
2. Особые случаи. Предыдущая редукция невозможна, когда
о = с = р и Ь = 0; триэдры Френе будут в этом случае триэдрами
порядка 1. Точки на поверхности, в которых имеют место эти
равенства (при р Ф 0), называются точками округления, или омби-
личехкама точками. Это, вообще говоря, изолированные точки,
так как должны удовлетворяться два равенства (а = с, Ь = 0).
Точки, где одновременно а = Ь = с = 0, называются точками
уплощения. Таких точек, вообще говоря, на поверхности нет, так как
должны удовлетворяться три равенства.
Если в каждой точке поверхности а = с = р, Ъ = 0, то мы имеем
дело с особой поверхностью, инвариантной относительно группы
с тремя параметрами, которая преобразует триэдры Френе в триэдры
Френе. Уравнения структуры дают
dm1 = — а)2 Д w*, d(n*== d (ро)1) = о)]До)^= ро)^ Д а)2 = рda)1,
откуда dp До)1 = 0, или р)2 = 0. Мы находим также р>1 = 0. Итак,
dp = 0 и р постоянно.
Если р = 0, то мы имеем и)^=а)<* = 0, откуда rfn = 0; n —
постоянный вектор, и так как по определению ndm = 0, мы
выводим отсюда, что величина От'П = /г, где О обозначает
фиксированную точку, постоянна: поверхность представляет собой плоскость,
ортогональную к п и находящуюся на расстоянии h от О.
Когда р Ф 0, имеем
d(m + fj = o)itl + «Л, —\ (рш^ + рш»Ы = 0.
Таким образом, вектор ш-| = с—постоянный, точка с —
фиксированная и мы имеем ст2=1/р2. Поверхность есть сфера
радиуса 1/| р|.
3. Поверхности, инвариантные Относительно группы
движений. Будем искать теперь поверхности, инвариантные относительно
группы с двумя параметрами. Движения, составляющие эту группу,
должны переводить триэдр Френе некоторой фиксированной точки
в триэдр Френе произвольной точки, следовательно, инварианты рх
и р2 должны быть постоянными, т. е.
P*,fc = 0 (А. Л=1, 2),
причем на этот раз рх Ф р2. Соотношения (1.6) дают прежде всего
г1 = г2 = 0, и последнее из соотношений (1.7) дает р1р2 = 0. Пусть,
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 247
например, р2 = 0. Уравнения (1.8) переходят в следующие:
dm = (йЧх + o)2t2,
dtx = p1(o1nf
dt2 = 0,
dn =— Pi^ti,
вектор t2 имеет фиксированное направление, и вдоль кривых о1 = 0
мы имеем
dt1 = dt2 = dn = 0.
Триэдр Френе подвергается переносу; траекториями его точек будут
прямые направления t2. Кривые о)2 = 0 ортогональны этим прямым;
приведенные выше уравнения показывают, что они плоские и имеют
кривизну pt (действительно, п есть их главная нормаль, если рх > О,
и последнее из написанных выше уравнений показывает, что эти
кривые имеют нулевое кручение); это будут окружности равных радиусов;
итак, искомые поверхности представляют собой цилиндры вращения.
Что касается поверхностей, инвариантных относительно одно-
параметрической группы, то мы знаем, что такая группа
представляет собой группу переносов фиксированного направления или
группу вращений вокруг некоторой оси или группу винтовых
перемещений вокруг некоторой оси.
В первом случае траектория точки есть прямая и поверхности
суть цилиндры. Во втором случае траектория точки есть окружность
с центром на оси вращения, поверхности суть поверхности
вращения вокруг этой оси.
В третьем случае траектория точки есть винтовая линия с
заданными осью и шагом. Поверхности получаются при винтовом
перемещении некоторой заданной кривой (с заданными осью и шагом).
Они называются геликоидами.
4. Теоремы равенства и существования. Вернемся к общему
случаю. Мы сформулируем теоремы равенства и существования (О, III, 9)
и дадим их прямые доказательства.
Пусть дани две линейно независимые дифференциальные формы
двух переменных о)1 и о>2; пусть рх и р2 — две функции этих
переменных. Если уравнения (1.7) удовлетворяются, то
существует поверхность, определенная с точностью до
произвольного перемещения, для которой о1 и о>2 — инвариантные формы,
а Pi u ?2 — главные кривизны.
Уравнения (1.7) суть не что иное, как условия интегрируемости
системы (1.8), которая определяет положение триэдра (т, tv t2, n)
по его начальному положению (/я0, t10, t20, n0). Интегрирование-
248
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
производится методами, изложенными в (1,6), и позволяет сделать
приведенные там замечания.
Далее, кроме некоторых поверхностей (называемых
поверхностями Вейнгартена, или поверхностями W), pt и р2 не связаны
никакими соотношениями и являются двумя независимыми функциями
(которые можно выбрать в качестве переменных). Четыре
инвариантные производные
Ph,k = fhk(Pl> Р2)
представляют собой функции рх и р2, и система
^Pi = Pi,iwl-f"Pi,2w2.
^P2=p2,l(°1-hp2>2(i)2
позволяет вычислить о)1 и о)2, так как ее определитель отличен
от нуля. Мы можем тогда применить предыдущую теорему, и в
результате получаем:
Поверхность, отличная от поверхности W, определяется
заданием четырех функций рь & = /&&(pi, Рг)» представляющих
собой инвариантные производные функций рг и р2.
Рассмотрим теперь случай поверхности W: p2 = f(pl).
Предположим сначала, что инвариантные производные pt t и plf 2 не являются
одновременно функциями только от plf т. е. что', например, рг и рг t
могут быть взяты в качестве независимых переменных. Тогда мы
запишем dp1 и dpx г и будем рассуждать, как и выше. Поверхность
определяется заданием plf v plt 2> рх 1Г> рх 12 в виде функций от pt
и Pi, 1х).
Остается изучить случай, когда plti = gn(pi)> pi, 2 = guipi)- Две
поверхности 5 и 5# могут быть равны только в том случае, если
три функции /, glv g12 будут одинаковы для обеих поверхностей.
Предположим, что это имеет место и что, например, gn Ф О,
Система
(4.1) Pi = pi2. <о2 = «>2
интегрируема, так как мы имеем
J dpx — dpu = gn (to1 — o)J) + g12 (о2 — о2),
<4'2) ( diii2 _ di»2 = Г2 Г col д ^2 _ ^ + ^1 _ ^ Д tt*j.
Из первого соотношения можно получить выражение для
(о1 — o)JV Подставляя его во второе соотношение, мы видим, чта
условие Фробениуса удовлетворяется.
!) Число Q (О, III, 9) в этом случае равно трем, а во всех других
случаях оно равно двум.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ
249
Система (4.1) имеет интеграл, зависящий от одного параметра.
Последнее соотношение (4.2) показывает тогда, что w1 = wj.
Следовательно, можно переходить от одной поверхности к другой с
помощью бесчисленного множества перемещений. Они равны, но,
кроме того, каждая из них инвариантна относительно однопарамет-
рической группы движений, следовательно, это цилиндры,
поверхности вращения или геликоиды.
5. Вычисление инвариантных линейных форм и кривизн»
Исходя из представления (1.1) поверхности 5, требуется найти
элементы редукции, введенные выше.
Возвращаясь к уравнениям (1.8), заметим, что
Г rfm2=((01)2 +((D2)2 = I,
(5Л) 1 —rfmrfn = p1(a)i)2 + p2(a)2)2==II.
Это две квадратичные формы относительно дифференциалов,
введенные Гауссом в теорию поверхностей и называемые с тех пор
основными квадратичными формами; их мы и вычислим в первую
очередь.
Кривая на поверхности 5 определяется заданием и и v в виде
функций одного и того же переменного. Если эти функции имеют
непрерывные первые производные, то кривая спрямляема и
дифференциал ее дуги ds задается формулой ds2 = dm2. Исходя из
уравнений (1.1), имеем
, дт , . дт ,
dm=^du+-§udv,
откуда
^ = $)% * + *%%"* + &)**> = ** + **+**•
Мы положим
(5.2) dm2 = ds2 = E da* -\-2F dudv-\-G dv2,
где
(5.3)
F dm dm dx dx i дуду . dz dz
~du dv du dv ' du dv ' du dv *
1°-ffl-$)'+W+ffl-
Часто употребляемая величина Н определяется равенством
(5.4) Н=УЁО=^ = \д£Ад£\'
причем для действительных поверхностей берется положительное
значение корня. В анализе доказывают, что площадь области D
поверхности 5 — образа квадрируемой области А плоскости (и, v) —
250
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
дается интегралом
//я*.*-./Л«=лй|*.*.-//*
Д A D
Легко доказать, что дифференциальный элемент
(5.5) da = H dudv,
или элемент площади, является инвариантом. Действительно, замена
параметров (и, v) параметрами (uv vt) дает
дт din дих . dm dvx dm
да dut ди * dvx ~ди * dv
откуда
dm
ди
и, наконец,
л dm /dm A дт\ Р(%, У\)
Л dv ~ [diii Л dvL ) ' D (и, v) '
dm л dm
W Л dt>
, , dm A dm D (alf 1/1) . ,
da dv = U— Л т-\\ г, / У dtf cto =
I dm A dm | . .
Вектор -g— Л -л- нормален к поверхности 5. Условившись
выбирать направление вектора п совпадающим с направлением этого
векторного произведения, чтб является соглашением об ориентации
поверхности 5, имеем
,- ~ч 1 dm А dm
<а-6> п=таА¥.
Что касается второй основной квадратичной формы, то заметим
прежде всего, что из соотношения ndtn = 0 получаем
дифференцированием
n d2m + dm dn = 0,
откуда
II = n d2m = — dmdn.
Дифференцируя соотношения
dm Л dm Л
п-т-:=0 и п-^—= 0,
du dv
находим
d*m
Записав
(5.7)
dn dm d2m dn dm
Ъй~Ш% dudv dulfu
d2m dn dm
n dv* ~ dv dv9
II = L da2 + 2Mdtidv-\-Ndv>,
dn dm
dv ~du
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 251
находим, исходя из (5.6),
(5.8)
д*т
dudv
dv*
1 (dm
' Н\ди9
1 (dm
' Н\ди*
}_(дт
= Н\ди*
дт
dv9
dm
dv1
dm
d?m\
du*)9
д*т
dudv
djm\
dv*)9
)•
или, используя представление (1.1),
(5.8')L=1
/
Уи
Уии
м
н
»=ъ
Получив две основные формы, мы определим далее формы о)1
и о)2, заметив, что
(5.9) р11-И = (р1-р2)(0,1)2. р21 - II =(p2-Pl) (О)*)*;
Pi и р2 являются, таким образом, такими значениями параметра р, что
форма pi — II имеет дискриминант, равный нулю, что дает
(5.10) (РЕ — L) (pO — N) — (pF — М? = 0,
откуда прежде всего
/к их о i EN — 2FM+GL „
(5.11) 2рш = Р1 + р2= EG — F* • К = №2~-
LN—M?
EG — F*
Соотношения (5.9) позволяют далее определить о)1 и о)2 с
точностью до знака. Пусть tx и t2— касательные соответственно
к кривым о)1 = 0 и (d2 = 0. Выберем направления векторов tx и t2
таким образом, что бы триэдр (т, tlf t2, n) был правым триэдром.
Тогда знаки о)1 и о)2 будут определены. Если мы заменим п на —п
(и, например, tx на — tlf чтобы триэдр остался правым), то форма II
меняет знак, рх и р2 также меняют знак.
Рассмотрим теперь две поверхности 5 и 5# и предположим,
что можно установить между ними точечное соответствие таким
образом, что их основные формы будут равны. Тогда можно найти
кривизны рх и р2, а далее с точностью до знака определить о)1
и о)2. Отсюда следует, что формулы (1.8) будут одинаковы для этих
двух поверхностей, при условии замены векторов tx или t2, или их
обеих на —tlf или —t2, причем одна такая замена эквивалентна
симметрии. Итак:
Две поверхности, допускающие одни и те же основные
квадратичные формы, равны или симметричны.
252
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Замечание, сделанное относительно знака формы II, позволяет
нам также сказать:
Для того чтобы две поверхности S и S# были равны или
симметричны, необходимо и достаточно, чтобы между ними
можно было установить взаимно однозначное точечное
соответствие, которое отождествляло бы I с 1^ и II с Н# или с —И#.
Теорема существования формулируется следующим образом:
Пусть заданы две дифференциальные квадратичные формы I
и II; вычислим Pi и р2 с помощью (5.10), затем о)1 и о)2 с
помощью (5.9); если условия интегрируемости (1.7) выполняются,
то существует поверхность, определенная с точностью до
перемещения и симметрии, допускающая эти формы в качестве
основных квадратичных форм,
6. Геодезические свойства. Внешние свойства. Среди свойств
или геометрических элементов, связанных с точкой,
множеством точек, кривой и т. д. заданной поверхности S,
некоторые зависят только от линейного элемента поверхности ds2,
т. е. могут быть определены, как только известны функции Е, F, G,
говорят, что это геодезические свойства или элементы поверхности
(свойства и элементы ее внутренней геометрии). Такими являются»
например, длина дуги кривой, проведенной на S, площадь области
поверхности 5.
Другие свойства или элементы требуют для своего определения
полного знания поверхности; мы их называем „внешними": ато%
например, угол между нормалями в двух различных точках.
В следующей главе мы займемся только геодезическими
элементами, или свойствами. Эта глава будет служить введением
в теорию римановых пространств, которую мы разовьем в третьей
части (гл. II), так как здесь, мы имеем дело с частным случаем
римановых пространств двух измерений.
„Внешние" свойства поверхности будут изучены в гл. IV.
Упражнения
1. Изотропные развертывающиеся поверхности.
Изотропные плоскости зависят от двух параметров и касаются мнимого круга
в бесконечности. Поэтому поверхность, касательные плоскости к которой,
являются изотропными, может быть только огибающей однопараметрического-
семейства. Это будет, следовательно, изотропная развертывающаяся
поверхность, составленная из касательных к минимальной, кривой. Изучение
такой поверхности сводится, таким образом, к изучению (уже ранее
проведенному) ее ребра возврата (I, 10). Тем не менее можно провести
исследование и непосредственно.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 253
С каждой точкой поверхности свяжем циклический касательный триэдр.
Возвращаясь к уравнениям (I, 10.5) и (I, 10.6), положим о>з = о, тогда
внешнее дифференцирование дает <о\ = аа"; далее, —da-\-au>\ — a?<ui=bo>*,
откуда Ьа — ае\ = 0. Мы видим, что можно определить триэдры порядка 2,
взяв либо а = 0, либо а = 1.
1°. а = 0 дает &\ = 0, редукция не может быть продолжена, триэдры
Френе суть триэдры порядка 2. Находим </о)3 = 0, rfo)J = 0. Полагая о)2 =
= dv, toj = rfX/X, находим
\(х>1 = du, Xo)i = v du + dw, ex = ХА,
е2=Аи + В (А2 = 0, А-В = 0, В*=1).
Отсюда следует, что dm = A d (w + uv) + В dv, поверхность будет
изотропной плоскостью.
2° д = 1 (<Oj = g)2). Внешнее дифференцирование равенства coj— а)1=£а>з
дает
db + 2^o)i = 2co)2,
т. е. 6 — инвариант. Мы получаем далее
db = ao)i + рсоЗ,
^2о)1 — ^o)g — СО)* — flfC = |3а)1 -(- Т032»
Следует различать два случая:
Если ЬфО, мы имеем Ьс — be\ = 0t можно взять с = 0, редукция
закончена.
Если b = 0, то триэдры Френе имеют порядок 2. Имеем dm = det,
и можно выбрать начало О так, что От = elf плоскости проходят через О,
поверхность будет изотропным конусом.
2. В каждой точке поверхности задаем триортогональный триэдр
порядка 1 (m, et, е2> е3) (при этом е3 — нормаль к поверхности, т. е. соЗ = 0).
Тогда имеем
0)3 = до)1 -f- Ьи>\ <oj* = tW + С0)2.
Полагаем далее и>\ = atoi -|- (ЗоА Условия интегрируемости имеют вид
д?о)1 = awl д (o?f flfo)2 = p<ol Д о)°,
*.l — «.2 + (« — C)a + 2^=0,
c,i — ^,2 + 2foz — (а — с) р = О,
— «>2+Р.1 + а2 + Р2 = — (ас — **) = — /С.
Последнее равенство имеет ту же форму, что и последнее равенство (1.7)
(Лиувилль).
3. Можно всегда записать инвариантные линейные формы поверхности
в виде
o)i =г а,\ du1, o)2 = а2 du\
254
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Тогда имеем
7,1 ~ ^ да*' 7,2~ a2dun*f
и условия (1.7) записываются следующим образом:
dlnai 1 dpi д In a0j _ 1 dp2 .
ди- ~" Pi — p2 дй* ' dtf1 ~~ Pi—p2 d#*'
i д /1 д in да i a /i a in gt \ i / a in at \« .
a2 da* U2 № )+ ax di£ Ui dtfi j"1" oJ\ <?и2 J +
. 1 / д In aa \a
4. Триэдр Френе многообразий размерности (л—1)
в Еп. Вернемся к уравнениям (О, III, 7.6, 7.7 и 7.9). Определим триэдры
Френе порядка 1, взяв <оп = 0; это дает
п-1
2
1
'* - 2 «««* ( «I = «&> (* < «- !)•
Внешним дифференцированием находим, что вариации по вторичным
параметрам задаются формулами
Ш—1
Можно проверить, что они соответствуют вариациям коэффициентов
квадратичной формы
Поворотом вокруг начала координат можно привести эту форму к виду
1
Таким образом, триэдр Френе представляет собой, вообще говоря,
триэдр второго порядка, причем со£= 9^* Рл — главные кривизны. Пола-
n-i
гаем далее w^= 2 гЫ^л Условия интегрируемости дают выражения для
Z-i
коэффициентов.
Вычисление pfc производится так же, как и при л = 3. Образуем
I = dm\ II = еп (Рт = — den dm
и ищем такие значения р, чтобы форма pi — II имела дискриминант,
равный нулю.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 255
5. Многообразия двух измерений в Е*. Возьмем триэдры
порядка 1, касательные к поверхности u>3 = <d4 = 0, откуда
3 1 1 # 2 4 /lit/2
(О* = ДСО1 -J" &<* i ®1 = а ® + О <°,
а>|* = Ьы1 + С<о2, о>2 = Ь со1 -f- с'«Л
Внешним дифференцированием находим вариации по вторичным
параметрам
— Ьа + 2Ье\ + ае\ = О, — Ъа + 2Ъ* е\ — ае\ = 0;
— ЬЬ + (с — а) ^ + &'*| = 0, — Л7 + (с' — а) е\ — £*£ = °5
— 5с — 2te? + с'4 = 0, — 5с' — 2b'e\ — с^ = 0.
Отсюда
Ъ[(а + с)* + (а' + с')2] = 0, Ъ[ (ас — Ь*) + (а'с' — Ь"*) ] = 0.
В общем случае можно нормировать репер, взяв а 4- с = 0, & — 0.
Глава III
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ
ФОРМА
1. Элементарные соображения. Вернемся к поверхности 5
(1.1) предыдущей главы и ее первой основной квадратичной форме
ds2 = Edu2-\-2Fdudv + Gdv2 = l
и рассмотрим две ориентированные кривые С и F, проведенные
на поверхности 5 и проходящие через точку т. Пусть
, дт , , дт , * дт * . dm *
— направления положительных полукасательных в точке т к
линиям С и Г соответственно; угол б (0 < б < тс) между этими двумя
кривыми определяется формулой
л Еdubu + F(dubv + dvЬи)-f Gdvbv
n ^ ~~ YEdtfl + 2Fdudv + G dv* VЕЪи* + 2Fbubv + G bv* _
Edubu + F(duby + dvЬи) -f- Gdvbv dm 5m
dsbs ds bs *
где ds и &s означают элементы дуги соответственно линий С и Г.
Числитель формулы (1.1) — билинейная форма относительно
(du, dv) и (Ъи, bv), полярная для квадратичной формы ds2\ чтобы
эти две кривые были ортогональны, необходимо и достаточно,
чтобы эта форма равнялась нулю.
Если рассмотреть на поверхности 5 однопараметрическое
семейство линий (Г), определяемое, например, уравнением
<р(и, г/) = С,
где ср — заданная функция и С — произвольная постоянная, и если
задаться функцией б (и, v) точки т, то соотношение (1.1) будет
дифференциальным уравнением относительно и, v и du/dv, которое
определяет семейство линий (С), пересекающих семейство (Г) под
углом б (я, v).
Например, ортогональные траектории семейства (Г) задаются
уравнением
Edu + Fdv Fdu + Gdv
ду дер
ди dv
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 257
В частности, ортогональные траектории линий v = C
определяются уравнением
Edu+Fdv = 0;
для того чтобы эти траектории были линиями и = С, необходимо
и достаточно, чтобы F тождественно равнялось нулю (это очевидно
a priori, так как F=-jr--^-). Следовательно, для того чтобы
координатные линии были ортогональны на поверхности S,
необходимо и достаточно, чтобы средний член квадратичной формы ds*
был равен нулю:
ds2 = Edu2 + Gdv2.
Вообще, присоединяя к каждой точке поверхности 5 триэдр
первого порядка, так что
dm = w^i + w2e2, откуда ds2 = (а)1)2 -(- (о)2)2,
и рассматривая две линии, такие что
dm = (o^i + (о2е2, Sm = о)^ + и>2е2,
непосредственно находим, что
0)10)1 Л_ й)90)2
COS 6 = ' -
Y(0)1)2 + (а)2)2 у (о)1)2 + (о)2)2
Примеры. 1° Пусть поверхность представлена в прямоугольных
координатах уравнением
*=/(■*. у);
тогда
I = ds* = (1 + />2) dx* + 2pq dx dy + (1 + ?2) ^2.
Непосредственно находим
H=Yl+p* + q*
и элемент площади будет
do = У"Г+7М~^2 dx dy.
2° Поверхности вращения. Пусть поверхность вращения задается
уравнениями
X = Г COS ср, у = Г Sin ср, Z = / (Г).
Находим
<fc* = (1 + /'2) dr* + г* rfcp2,
что можно записать как
ds* = г* Г 1 "*/'* rfr* + dvA ,
У\ _1_ /'2
или, полагая - —— dr = du, ср = t/ и Н(и) = г\ — как
^ = //(и)(</и* + ^).
258
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Обратно, всякий линейный элемент ds* этого вида принадлежит некоторой
поверхности вращения; достаточно положить
///=/•, tf = cp, 1+/'2 =
4/Л
Н'2 »
и эти уравнения определяют функцию /(г) с точностью до аддитивной
константы, т. е. определяют поверхность вращения с точностью до переноса
параллельно оси Oz.
Для сферы с радиусом R и центром в начале координат мы можем
положить
Г = R sin 0, z = R cos 0
и принять 0 за параметр; находим
ds* = R? И* + sin* 0 rfcp2).
Это можно написать так:
ds* = difl + sin* 4"dv* (^ = #0> * = ¥)•
Рассмотрим еще поверхность, которая называется псевдосферой (рис. 29)
и описывается линией на плоскости (z, r)
г = Я sin 0, z = R Tin tg -o-+ cos ol,
называемой трактрисой, или кривой равных
касательных; имеем
ds*
= ^(^nT2Trf02 + Sin20^2)'
откуда, полагая sin 0 = eulTt (R ctg 0 db = da), /? rfcp=
= dv, получаем
ds* = du* + e2u/Rdv*.
2. Минимальные линии (линии нулевой
длины). На всякой аналитической *)
поверхности имеется, вообще говоря, два семей-
Рис. 29. ства изотропных линий (или линий нулевой
длины); они даются уравнением ds2 = 0, это
дифференциальное уравнение распадается на два других:
Gdv + (F + iH)du = 0, Odv + (F — iH)du = 0,
каждое из которых показывает, что касательная к соответствующей
линии будет изотропной прямой касательной плоскости. В общем
случае эти два семейства различны и через каждую точку т проходит
!) Теоремы существования для дифференциальных уравнений,
употребляемые здесь, в действительности имеют место только в аналитическом
случае.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 259
одна минимальная линия каждого семейства. Пусть
(J(u, v) = const, V(u, v) = const
— уравнения этих семейств; принимая линии нулевой длины за
координатные линии, мы получим линейный элемент в виде
ds2 = 2F1(U. V)dUdV.
Для действительной поверхности можно выбрать в качестве U и V две
комплексно сопряженные функции. Полагая, например, U = U1-\-iU2>
можно написать уравнение первого семейства, как показывает
простой подсчет, в виде
если же заменить в этом соотношении / на —i, то мы увидим»
что Ux — iU2 удовлетворяет второму уравнению минимальных линий,
которое получается из первого заменой F — 1Н на F-^-iH; это и
доказывает предложение. Итак, U и V будут комплексно
сопряженными функциями и всякая действительная точка поверхности будет
иметь комплексно сопряженные минимальные координаты.
Все сказанное выше имеет место только для поверхностей,
у которых два семейства минимальных линий различны. Случай,
когда они совпадают, соответствует равенству Н=09 т. е.
/dm dm\2
\ди А dv) и'
касательные плоскости к поверхности изотропны, и линейный
элемент ds2 может быть приведен к виду ds2 = E du2. Мы уже
видели (II, упражнение 1), что такая поверхность будет изотропной
развертывающейся поверхностью.
Сдвоенное семейство минимальных линий представляет собой
семейство касательных к ребру возврата (которое будет особой
минимальной линией на поверхности); в дальнейшем мы исключим
из рассмотрения изотропные развертывающиеся поверхности.
Тогда, меняя обозначения, мы заметим, что всегда можно
привести линейный элемент ds2 поверхности к виду
(2.1) ds2 = 2F(u, v)dudv.
3. Конформное отображение одной поверхности на другую»
Изотермические координаты. Рассмотрим две поверхности 5 [т (и, v)]
и «SxUiix^, ^i)]; мы поставим задачу: существует ли такое точечное
отображение поверхности 5 на поверхность Sl9 при котором
минимальные линии соответствуют друг другу.
260
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Предположим, что 5 и 5Х отнесены к минимальным линиям, так
что
ds2 = 2F(ut v)dadv для S,
ds\ = 2F1(uv v1)du1dvl для Sv
Мы видим, что имеются две группы решений: либо линии а = const
и v = const поверхности 5 будут отвечать соответственно линиям
аг = const и vx = const поверхности Slf либо они будут отвечать
соответственно линиям vt = const и их = const.
Первая группа решений будет задана, если взять в качестве их
функцию одного переменного и, а в качестве vx — функцию одного
переменного v
Выбирая новые параметры (и, v), мы поставим в соответствие
точке (и, v) поверхности 5 точку (и, v) на поверхности 5lf или,
если угодно, мы можем положить a = ul9 v = vt и будем писать
для поверхности Sx
ds\ = 2Fl(a, v)dudv.
Поскольку имеем ds\/ds2 = F1IF, очевидно, что
(3.1) dst = X (a, v) ds (х2 = Щ,
т. е. отношение линейных элементов является функцией точки,
а не направления.
Угол в между двумя направлениями (da, dv) и (Ъи, bv) на
касательной плоскости поверхности 5 в точке (a, v) определяется
формулой [формула (1.1)]
0 _, ч du bv + dv Ъи
а угол 0t между двумя соответствующими направлениями на
поверхности Sx задается уравнением
а „ , ч du bv 4- dv Ъи ,9r:,dubv + dvbu
cos9X = />!(«. v) ^ =\*F ldJXbs ,
откуда
cos01 = cos6.
Следовательно, рассмотренное преобразование сохраняет углы;
говорят, что оно конформно.
Обратно, всякое конформное преобразование сохраняет
минимальные линии, так как оно преобразует изотропные направления
касательной плоскости в точке поверхности 5 в изотропные
направления касательной плоскости в соответствующей точке
поверхности Sv Впрочем, в этом можно также убедиться, записав выражение
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 261
для cos 6 в виде, не содержащем коэффициента F,
COS0:
F(dubv + dvbu) _
V2FdudvY2Fhubv
2 Lr dvbu^V dubvj 2^ ^e >'
следовательно,
откуда
6 ~V dvbu9
fl ± 1 - [da . Ьи\
В другой форме это соотношение известно в аналитической
геометрии под названием формулы Лагерра.
Рассмотрим вообще соответствие между двумя поверхностями
S[m(u, v)] и S1[ml(u, v)], при котором сопоставляются друг другу
точки с равными параметрами и ортогональным направлениям одной
поверхности сопоставляются ортогональные направления другой.
Положим
ds2 = dm2 = E da2 + 2F dadv+Q dv2,
ds\ = dm2 = Ex da2 + 2F1 da dv + Q1 dv2;
сделанное предположение эквивалентно тому, что соотношению
(Е d а + F dv) Ьа + (F da + G d v) bv = О
для произвольных Ьа и bv соответствует на St соотношение
(Ег da + Ft dv) Ьа + (Fx da + Ог dv) bv = Q,
иначе говоря,
Ex du + FA dv FA du + Gx dv
Edu + Fdv Fdu + Gdv
при любых da и dv; следовательно,
Ei F± £i \2
E~~ F ~ G —Л'
или же
dst = X ds.
Таким образом, соответствие будет конформным. (Это можно было
увидеть непосредственно, заметив, что изотропные направления, как
ортогональные самим себе, должны соответствовать самим себе.)
С более общей точки зрения, рассматривая задачу в
действительной области, предположим, что две поверхности S и Sx имеют
первые основные квадратичные формы в действительном представ-
262
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
лении (это означает, что координатные линии действительны)
( ds2 = Edu2A-2Fdudv4-Gdv2,
<3-2) 2 2 2
I ds\ = E1du\-\-2F1du1dv1-\-G1dv\.
Чтобы установить конформное соответствие между 5 и Su
необходимо определить две функции
и1 = и1(и, v), v1 = v1(u, v),
так, чтобы dsx было пропорционально ds (d$1=\dsy, имеем
Записывая это соотношение подробно, находим
•.(Й*'+Й*)№*-+Й*)+в.(Й*-+?5*)Г
Получаются три уразнения относительно av vx и X (вспомогательного
неизвестного, которое можно, впрочем, исключить).
Эта система, вообще говоря, имеет решения, и мы видели, какой
степенью общности они обладают. Но, рассматривая задачу в
действительных координатах, заметим прежде всего, что если
преобразование T{m) = mv ставящее в соответствие точке т поверхности 5
точку т1 поверхности Sv будет давать конформное отображение,
то обратное преобразование Т~1(т1) = т будет также определять
конформное отображение поверхности St на поверхность 5. Более
того, если Т1(т1) = т2 — конформное отображение поверхности St
на другую поверхность S2, то произведение этих двух
преобразований Т и 7\, или Т{Г(т) = тъ будет конформным отображением
поверхности 5 на поверхность 52.
Пусть теперь Р — фиксированная плоскость и 9 — конформное
преобразование поверхности 5 на плоскость Р, а вх — конформное
преобразование поверхности Sx на плоскость Р\ преобразование
Г=0~1Ф будет тогда конформным преобразованием поверхности 5
на поверхность Sx и обратно, если Т — конформное преобразование S
на Sv то преобразование 9Г"1 будет конформно отображать Sx на
плоскость Р.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 263
Отыскание конформных преобразований одной поверхности в
другую сводится, следовательно, к отысканию конформных
преобразований поверхности на плоскость. Пусть теперь 9 и 9' — два
конформных отображения поверхности 5 на плоскость Р; преобразование
9'9~1 = # будет конформным отображением плоскости Р на себя,
и обратно, если Н—конформное преобразование плоскости на себя,
то 9'= #9 будет конформным отображением поверхности 5 на
плоскость Р.
Следовательно, все конформные отображения поверхности на
плоскость можно получить, зная одно из них и комбинируя его с
конформным отображением плоскости на себя; отыскание этих
последних является классической задачей, решение которой мы сейчас
напомним.
В прямоугольной системе координат надо искать точечные преобразования
Х=Х(х, у), Y=Y(x, у),
такие, что
d X* + dY* = X* (dx* + dy*).
В более подробной записи имеем
(дХ \2 / дГ\2 __ /дХ \2 / dYY*
Vte) +да -Vbyj +\-by) ■
дХ дХ dY dY =Q
дх ду "■" дх ду
(дХ dY\
Это означает, что два вектора с компонентами соответственно I -^— , -^—}
/ дХ dY\
и 1-3—» -з—) имеют одну и ту же длину и взаимно ортогональны. Если
второй вектор образует с первым угол + тс/2, то будем иметь
д^^дУ^ дХ = dY
дх ду * ду дх '
Если он образует угол —тс/2, то будет
dX_=_dY^ дХ = dY
дх ~~ ду ' ду дх '
Первая группа соотношений представляет собой условия моногенности
Коши; она показывает, как известно, что X+tY есть аналитическая
функция от х-\-1у; преобразование сохраняет тогда углы и ориентацию.
Вторая группа получается из первой заменой К на — К, т. е. X— IY будет
аналитической функцией от х + 1у и преобразование второй группы будет
получаться из преобразования первой группы выполнением преобразования
симметрии относительно оси X в плоскости (X, К); эти преобразования,
следовательно, меняют ориентацию.
Если координатные линии на поверхности выбраны так, что
линейный элемент ds2 представляется в виде
ds2 = H(du*-\-dv>),
264
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
то мы получим конформное отображение поверхности на плоскость
(и, v)t сопоставив координатным линиям параллели к
ортогональным осям координат этой плоскости; семейство координатных
линий и = const (или v = const) образует тогда так называемое
изотермическое семейство. На поверхности вращения, например,
такой, как мы видели в § 1, параллели и меридианы образуют два
семейства ортогональных изотермических линий1).
Приложение к географическим картам. Картой называют
отображение поверхности на плоскость.
Географическими картами называют карты, которые отображают
всю или часть поверхности Земли; они бывают разного вида. Так,
например, карта, приспособленная к потребностям фиска (обложения
налогами), должна сохранять, насколько возможно, площади (это
случай старой французской карты). С другой стороны, в навигации
большой интерес представляют карты, сохраняющие углы.
Поскольку поверхность Земли приближенно представляет собой
поверхность сжатого эллипсоида вращения, мало отличающегося
от сферы, речь идет, следовательно, о конформном отображении
части сферы на плоскость (с некоторыми исправлениями, которые
в большинстве случаев не имеют значения)'. Несколько классических
примеров этого можно найти в упражнениях.
4. Изометрия. Полная кривизна. Две поверхности S[m(u, v)]
и S^[т^(и^ vj)] называются изометричными, если можно установить
между ними точечное соответствие, сохраняющее длины: ds^ = ds;
речь идет, следовательно, о локально взаимно однозначном и взаимно
непрерывном соответствии, которое, кроме того, должно быть
конформным, ибо оно соответствует случаю Х= 1 [формула (3.1) с
точностью до обозначений]2).
Сохраним для ds2 и d$% обозначения, аналогичные (3.2).
Отыскание изометричного соответствия сводится к разрешению системы,
аналогичной системе (3.3) с X2 = 1, — системе, составленной из трех
уравнений только с двумя неизвестными; следовательно, эта задача,
вообще говоря, неразрешима; таким образом:
Две заданные поверхности в общем случае не изометричны.
1) Результаты относительно конформного отображения установлены здесь
только для аналитических поверхностей. Более общие результаты были
получены сначала Лихтенштейном (L i с h t e n s t e i n L., Abhandl. Preuss. Akad.
Wlss. Berlin, 1911) и Корном (Когп A., Math. Abhandl. H. Schwarz ge-
widmet, 1914). Современные исследования принадлежат Винтнеру и Гартману.
2) Раньше такие поверхности называли налагающимися
поверхностями. В настоящее время предпочитают сохранить термин
„налагающиеся* для случая двух поверхностей S и S?;, обладающих тем
свойством, что можно найти непрерывную зависящую от одного параметра t
последовательность поверхностей 2^, таких, что 20 = S, 2Х = S* и линейный
элемент ds* любой 2$ не зависит от t.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 265
Мы обращаемся теперь к необходимым условиям изометрии.
К каждой точке поверхности 5 присоединим триэдр первого
порядка, такой что
dm = о)^! + о)2е2, ds2 = (со1)2 + Ю2-
На изометричной поверхности S* можно поставить в соответствие
этому триэдру триэдр первого порядка, такой, что
rfm# = a)Je* + o)2e*,
с формами
(4.1) o)1 = a)J, o)2 = o)|.
Формулы интегрируемости (I, 1.2) напишутся теперь так:
(4.2) du1 = — о)2Л^, с?о)2==а)1Л^;
если положить (и* = <х(й1-\-фи)2, то эти два соотношения будут
определять а и (3; следовательно, из формул (4.1) вытекает, что
(4.з) «>;=<.
С ломощью внешнего дифференцирования получим
(4.4) rfo)2 = — о)^ Д и>1 = — (ас— £2)а)1Л<*>2 = —К®1 Л®2»
откуда
(4.5) К = К.\
это основной результат, принадлежащий Гауссу:
Две изометричные поверхности в соответствующих точках
имеют одну и ту же полную кривизну.
Предыдущие формулы позволяют вычислить по.лную кривизну линейного
элемента ds*, заданного в общей форме, но мы предпочитаем провести это
вычисление другими методами; сейчас мы ограничимся исследованием
некоторых случаев, когда ds2 задается в специальной форме.
1° Полная кривизна в изотермических координатах. Если линейный
элемент ds* задан в виде
ds* = И (du* + dv*\
то мы положим 0)1=1^//^, о)2=У//^; уравнения (4.2) дадут
2 1 д In H Л , 1 д In H
аи+тг ~^~ <lv,
1 2 dv "" "Т" 2 ди
соотношение (4.4) даст затем
ив\ г l /д'1пЯ . д*ШН\
(4-6) к=-ш\-ш~ + -дФ-у
266
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
откуда следует
2° Полная кривизна в координатах линий нулевой длани. Если
линейный элемент ds* задан в виде
ds* = 2Fdudv,
то можно принять
col = ]/"^- (du + i dv), <о2 = / у *- (da +1 dv)9
2 / (d\nF . d\nF . \
отсюда
1 дМп/7
<47> K==-TJul*-
3° Случай, когда линейный элемент ds* задан в виде*)
ds* = du*+G dv*.
Можно принять «I = du, a&=Y G dv\ находим
2 dY~G .
of = —^ dv,
1 du
откуда
1 d**Y G
В случае сферы радиуса R мы видели, что G = sin2 (ujR), отсюда К = 1/#2;
полная кривизна действительной сферы будет положительной
константой, равной обратной величине квадрата ее радиуса.
В случае псевдосферы (§ 1) можно принять G = е2и^в, откуда /(=— 1/Я3;
полная кривизна псевдосферы равна отрицательной константе.
Наконец, плоскость имеет нулевую полную кривизну; это
непосредственно получается, если представить ее линейный элемент ds* в одной
из рассмотренных форм.
5. Изометричные поверхности. Обратимся теперь к задаче
определения, будут ли две заданные поверхности S и S# изометричны2).
Следует различать несколько случаев:
1° Кривизна /( переменна. Присоединим к каждой точке
поверхностей S и S.k триортогональный триэдр так, чтобы вектор еа (или е2) был
касательным к линиям, вдоль которых кривизна К постоянна; имеем3)
dK=Ki<*\ dK* = K*i*l
!) Как мы увидим далее (§ 10), это случай, когда координатные линии
ортогональны и одно семейство состоит из геодезических линий.
2) Следующее изложение принадлежит Э. Картану (С а г t a n E., La
theorie des groupes finis et continus et la geometrie differentielle traitees par
la methode du repere mobile, Gauthier — Villars, 1937).
3) При заданных двух, формах а>1 и <о2 Мы будем записывать
дифференциал функций переменных и и v
df = f1»i + fa*
без запятой, сохраняя обозначение с запятой для инвариантных
производных.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 267
Если поверхности S и 54 изометричны, то в соответствующих точках мы
должны иметь /C=/Q., отсюда
Мы будем различать еще несколько случаев:
a. Нет соотношений между К и К±, тогда эти величины можно
принять в качестве независимых переменных, и мы будем иметь на
поверхности S соотношения вида
tfii = Л (tf. tfi). K12 = Л (К. Ki)\
на поверхности S* должно быть также
Эти условия, необходимые для изометрии, будут также достаточными.
Действительно, мы осуществим изометрию посредствэм соответствия
К = К& К\= К1»
так как из этих соотношений получаем сначала /Си = Кни> К\ъ = К~лъ-
затем соотношения
rf/C=/C1a>1=/C*1a>J = rf/C*,
dKi = Кцы1 + /Ci2<°2 = К*п<»1 + К*12«>1 = dK*i
дают со1 = o>i и затем <о2 = ©J.
b. К\ является функцией от кривизны /C:/Ci=/(/C); тогда имеем
wi = dKlf(K), следовательно, аМ = 0, что дает а = О, откуда «о^ = роз2.
Мы подразделим этот случай на два:
Ь\. Коэффициент р не является функцией от кривизны К\ можно
принять р и К в качестве независимых переменных и положить
Pi=/i(*. Р). Р2 = /2(К, Р).
Для того чтобы поверхность S# была изометрична поверхности S,
необходимо, чтобы
**=/(*.). P*i=/i(/t, Р*), Р.2 = Л(К„Р.);
эти условия и достаточны. Изометрия реализуется соответствием
так как dKlf(K) = dKJf(K*), отсюда ш1 = <oJ, и из
следует <о2 = <о2.
#2- Коэффициент рявляется функцией от кривизны К:$ = g(/С). Для
изометрии необходимо, чтобы /Сд = /(/Q и р* = g(/Q; эти условия и доста-
268
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
точны, так как система
К = /£*, о)2 = <о*
вполне интегрируема и каждое решение реализует изометрию. Между
поверхностями S и S* существует тогда бесконечное множество изометрич-
ных соответствий, зависящее от одного параметра. Каждая из этих
поверхностей изометрична поверхности вращения. Действительно, положим
пю *~ »<ю '
из соотношений
У (Л) <р
лолучаем
d [сро)2] = 0;
полагая теперь ср<о* = dv, имеем
л..(..,.+м._^+^-^[(1«)'+«].
и, записывая, что ср dKlf = dut \j^ = H, получаем ds* в виде
ds* = H(u)[du* + dv*],
— это та самая форма, которую мы нашли в § 1 для линейного элемента ds*
поверхности вращения.
Мы будем называть ds* линейным элементом вращения, если его
можно записать в форме, которую мы только что получили [или же если
/(j =/(/(), р = #(/()]; изометрии этих линейных элементов ds* самим себе
могут быть сведены к виду
и^ = и, v^ = v + const,
2° Кривизна К постоянна. Условием, необходимым для изометрии,
будет равенство К = /С*; оно также достаточно. Действительно, присоединим
к каждой точке поверхностей S и S* триэдр первого порядка и рассмотрим
систему
(5.1) (o1 = (oi, o)2 = o)|, 0)^ = 0)^;
она вполне интегрируема; следовательно, изометрии зависят от трех
произвольных параметров.
Отсюда непосредственно следует, что поверхность постоянной кривизны
допускает трехпараметрическую группу изометричных преобразований,
уравнениями структуры которой будут уравнения (5.1).
Сравнивая этот результат с полученными ранее, мы можем
сформулировать следующее предложение:
Непрерывную группу изометричных преобразований допускают
только ds* следующего вида:
1° линейные элементы вращения, для которых эта группа зависит
от одного параметра)
2° линейные элементы постоянной кривизны, для которых она
зависит от трех параметров.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 269
6. Группа изометрии линейных элементов ds* постоянной
кривизны. Для /(==0 линейным элементом ds* будет линейный элемент
плоскости (§ 4); группа изометрии будет группой движений. Для К Ф 0 положим
о)1 + /©* = 2Qi, (oi — /(oa = 2Q2, откуда ds* = 4QiQ*
уравнения структуры напишутся так:
rfQ^/QV»;, dQ2 = — &2А<*1 d<*\ = — 2//CQ1A22.
Для того чтобы найти выражение для линейного элемента ds* в
координатах линий нулевой длины, достаточно найти частное решение F
уравнения (4.7) (с постоянным /С); отыскивая его в виде F(u + v),
/7 2 1
найдем, что г = —-^ -— д удовлетворяет уравнению; получим,
следовательно *),
2__ 4 flfaflfo
*5 /C(a-hv)1'
Изометрии могут быть двух видов: изометрии, сохраняющие семейства
и = const и v = const, и изометрии, переводящие их друг в друга. Последние
получаются, если переставить и и v и произвести преобразование первого
вида; следовательно, достаточно рассмотреть только этот случай. Если
заменить в (5.1) буквы со звездочками прописными буквами, то она перейдет
в систему
^тт w dV \ dv 1 .. , dU du
(U+V)* X (a + v)* ' 2 tf + V и + ^ *
Первое уравнение показывает, что X должно быть функцией
переменного и, второе — что выражение X"1 (£/-(- V)2/(u-\-v)2 должно быть
функцией переменного v\ следовательно, (U + V)/(a + v) должно быть
произведением функции одного переменного и на функцию переменного v. Третье
уравнение непосредственно показывает, что V должно быть дробно-линейной
функцией переменного v; по соображениям симметрии U должно быть
дробно-линейной функцией переменного и. Положим
аи-\-1 а'У + У
yi + Ъ' V " t'v + Ъ' '
Для того чтобы (U + V)/(# + tf) было произведением функции от и на
функцию от v, находим, что необходимо
р&' + р'5 = 0,
!) Отсюда вытекает, что общий интеграл уравнения (4.7) с постоянной
кривизной К будет
ЧЦ'У
KW+V)*'
где U и V обозначают произвольные функции переменной а и
переменной v, поскольку всякое ds* постоянной кривизны К может быть
представлено в форме, приведенной в тексте. Непосредственное интегрирование
будет проведено в упражнении (/г°2).
270
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Два первых соотношения показывают, что можно положить
а' = Ха, 7' = — ХТ.
а последнее дает
(X_fx)(ab-pY) = 0,
но аЬ — Py не может равняться нулю, так как тогда U было бы константой;
следовательно, имеем X = р..
Непосредственно проверяется, что эти условия достаточны и
совокупность изометричных преобразований линейного элемента ds* в себя,
сохраняющих семейства линий нулевой длины, дается формулами
аи + Р aV — p
u - Ти-и ' — т«> + & *
Б качестве примеров имеем:
плоскость для /С = 0;
сфера для К > 0;
псевдосфера для /С < 0.
7. Поверхности, изометричные плоскости. Как мы только что видели,
поверхности, изометричные плоскости, будут поверхностями нулевой
кривизны; сейчас мы их охарактеризуем*).
Вернемся к уравнениям (I, 1.8) и допустим, что Р2 = 0; тогда также
г2 = 0, так что вдоль линий a>i = 0 имеем соотношения
dm = <D*t2, dtx = dt2 = dn = 0,
показывающие, что эти линии — прямые, вдоль которых касательная
плоскость остается постоянной; речь идет, следовательно, о развертывающихся1
поверхностях.
Обратно, рассмотрим развертывающуюся поверхность, описанную
касательными к линии m (s). Если р обозначает текущую точку, мы напишем
р = щ -[- vt,
где параметрами будут s и v. Обозначая через р кривизну линии m (s),
имеем
dp = (ds + dv) t + *>p ds n, dt = p ds n,
отсюда q)j = p ds и da\ = 0; следовательно, К = 0 в силу (4.4).
Легко видеть, что /( = 0 также для конусов и цилиндров; таким образом:
Поверхности, изометричные плоскости^ являются развертываю-
щимися поверхностями, и обратно.
8. Вопросы анализа на поверхности. Пусть X — вектор
касательной плоскости, присоединенной к точке m поверхности S;
имеем равенство вида
v si dm f Е2 dm
1) Общая задача отыскания поверхностей, изометричных данной
поверхности, связана с уравнением в частных производных третьего порядка,
которое нам встретится в упражнении (/г°3).
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 271
где S1 и £2 — контравариантные компоненты, или координаты
вектора X (О, II, 10). Поскольку линейный элемент поверхности ds2
имеет вид
ds2 = Edu2 + 2F du dv-\-Gdv2,
числа
(8.1)
^=x-g. = /*+op
будут ко вариантными компонентами вектора X.
Таким образом, вектор dm имеет контравариантные компоненты
{du, dv) и ковариантные компоненты (Edu-\-F dv, F du-\-Gdv).
Из формул (8.1) выводятся формулы, позволяющие перейти
от ковариантных компонент к контравариантным,
(8.2)
^ = 7^ (GSi-n>).
Для скалярного произведения двух векторов X (S1, £2) и Y (fj1. У2)
имеют место формулы
(8.3) X • Y = Е&V + F (54f + Рщ1) + OPtf = i%. + ?Ъ =
и, в частности, для квадрата длины вектора
(8.4) X2 = Е (?i)2 + 2FV? + О (S2)2 = S4X + \Ч2 =
= -ЙГ [Оа1)2-2/7У2+£(У2].
При заданном векторе X с контравариантными компонентами
(£4 £2) вектор X* с ковариантными компонентами
?х=—т2, %=т
ортогонален вектору X и имеет, в силу (8.3), ту же длину, что и X;
мы будем говорить, что он получается из вектора X поворотом
на угол тг/2 в положительном направлении (или на угол -f-ir/2),
причем положительное направление вращения в касательной
плоскости выбрано от вектора дт/ди к вектору dm/dv. Обозначая
теперь буквой 6 угол между векторами X и Y, имеем сначала
Х-Y = |X| |Y|cos0,
затем
X*.Y = )X*| |Y|sin6;
272
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
отсюда получаются следующие формулы, определяющие угол 6:
гп-8 — бЧ + Ец* нпВ— **&*-***) — 1 (6i42-Mt)
coso— iXMYI' smo— |X||Y| — Я |X||Y| '
Рассмотрим теперь скалярную функцию точки (или инвариант)
f(u, v), определенный на поверхности 5. Это означает, что
функция не зависит от выбора параметра; дифференциал этой функции
будет, следовательно, инвариантом. Поскольку
и дифференциалы da и dv являются контравариантными
компонентами вектора dm, то df/da и df/dv будут ковариантнымй
компонентами вектора, который называется градиентом функции / (и
который будет записывать grad/1)). Контравариантные компоненты
градиента получаются по формулам (8.2); имеем
Если мы рассмотрим другую функцию точки g(u, v), то
скалярное произведение градиентов этих функций вводит новую
функцию точки, рассмотренную впервые Бельтрами
\ди dv ' dv da ) * да да\
и называемую смешанным дифференциальным параметром
функций f и g. В частности, при £=/ имеем первый
дифференциальный параметр Бельтрами, который представляет собой квадрат
длины градиента функции /
Дифференциальный параметр Дх(/) есть квадратичная форма
относительно df/du и df/dv, смешанный дифференциальный параметр
будет ее полярной формой.
В частности, имеем
*) Можно также сказать, что ковариантные компоненты вектора
преобразуются, как компоненты градиента, и что контравариантные компоненты
преобразуются, как дифференциалы du и dv.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 273
откуда получается следующее выражение для линейного элемента:
/Q гч ,/с2 _ At (у) dufi — 2Д (и, у) du dv + At (и) dv*
(8.D) as — A^Ai («)-[* («.«>]»
Рассмотрим теперь поле векторов X, касательных к
поверхности,
Y dm м , дт „
где V- и %2 — функции переменных и и v. Пусть С — замкнутая
кривая, граница области D на поверхности 5; выберем направление
обхода на кривой С таким образом, чтобы вектор пд, получаемый
из вектора t поворотом на угол +тг/2, был направлен внутрь
области D, и рассмотрим интеграл вдоль линии С в выбранном
направлении:
•/:
X • n^ ds,
с
который представляет собой поток вектора X через линию С.
Поскольку вектор t имеет контравариантными компонентами du/ds
и dv\ds> вектор п^ имеет ковариантные компоненты
тт dy rr du
V ^ = H4F> ^ = — HW
Пусть теперь у — образ линии С на плоскости (и, v), а Д — область,
имеющая D своим образом и f границей. Направление обхода,
выбранное на линии С, индуцирует на кривой у положительное
направление1), и мы имеем тогда по формуле Грина
!) Это положение доказывается следующим образом: рассмотрим точку
?п(и0, у0) линии С — образ точки jx0 на кривой ?> спроектируем на
касательную плоскость в точке тп0 окрестность точки тп0 на поверхности S; из
получаем
m0m
откуда
Р(Х, П_н
D(u, у)
Итак, преобразование плоскости (а, у) на плоскость (X, Y) сохраняет
направление отсчета углов на этих ориентированных плоскостях, поскольку
кривая 7 описывается в положительном направлении; направление нормали,
получаемое из направления касательной поворотом на угол + и/2, идет внутрь
области А; следовательно, пд входит внутрь проекции области D на
касательной плоскости в точке т0; это и требовалось доказать.
274
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Возвращаясь к поверхности «S, мы можем написать
(8.6, _/X.,V(S=//±[i^>+^],,
С D
где do означает элемент площади поверхности S. Рассмотрим
последовательность кривых Сл, содержащих внутри себя фиксированную
точку т(и, v) и стягивающихся к нулю по всем направлениям при
неограниченном возрастании п. Обозначая через аЛ площадь (также
стремящуюся к нулю), которую кривая Сп высекает на
поверхности 5, будем иметь, если только все производные, которые
здесь встречаются, непрерывны,
n->ooan^ 9 Hi ди ^ dv ]
Эта формула показывает, что правая часть является функцией точки,
которая называется (как и на плоскости) дивергенцией
рассматриваемого векторного поля в точке (и, v):
Формула (8.6) означает, что поток вектора X через С {изнутри
наружу) равен интегралу дивергенции вектора X.
Если ввести компоненты ($*, £*) вектора X*, получаемого из
вектора X поворотом на угол -f-TC/2, то можно записать, что
Мы видим, следовательно, меняя обозначения, что, исходя из поля
векторов X, можно ввести новое скалярное поле
1 / ае, , aet\
Н \ ди "*" dv )'
Непосредственно видно, что для тождественного обращения этого
поля в нуль, необходимо и достаточно, чтобы поле векторов X
было полем градиентов.
Отправляясь от функции точки, мы построили некоторое
векторное поле— поле градиентов; затем, отправляясь от векторного
поля, мы определили функцию точки. Последовательное повторение
этой процедуры позволяет нам выводить из функции точки или
из поля векторов новые функции точки или новые поля векторов.
Таким образом, например, отправляясь от функции точки /, мы
получаем новую функцию точки, рассматривая выражение
A2/=div(grad/),
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 275
называемое дифференциальным параметром Бельтрами второго
порядка и представляющее собой обобщение на случай
поверхностей понятия лапласиана на плоскости; имеем
А^=17
д ( ° ди F dv I . д | Е dv Fm J
ди \ Н '/-*"di;\ H /J
Приложения. 1° Моногенные функции на поверхности.
Изотермические координаты. Моногенные функции на комплексной плоскости
имеют в каждой точке производную, которая не зависит от выбранного
направления. Мы обобщим это понятие на поверхности следующим образом.
Обозначим через ds элемент дуги в направлении (du, dv) и через ф — угол
этого направления с вектором дт/ди. Будем говорить, что комплексная
функция U (и, v)-{-lV(u, v) является моногенной функцией, если отношений
dU + tdV
(dU . ,дУ\И . (dU , ,Э1Л .
е1* ds (cos ф + / sin ф) ds
имеет значение а -(- /р, не зависящее от угла ф. Но мы имеем
. , Edu+Fdv , . . Hdv
cos ф ds = т= , sIn Ф ds = —=z= ,
Ye Ye
отсюда
(8.7) dU + tdV= (<x + l$)\Y~Edu +^±4^- дЛ
что дает сначала
dU_ ,tdV_ <W , dK
du "* du dv ^ dv
E F + IH '
а, затем, если отделить действительные части от мнимых,
ди " //да + Я ди '
дК=£д^/_^д^7
да Иди Hdv*
Эта система, обобщающая систему Коши на плоскости, показывает, что
градиент функции К получается из градиента функции U поворотом на угол + тс/2.
Условие интегрируемости напишется так:
Д2£/ = 0
(мы найдем то же самое для К: Д2К=0); обратно, если имеется функция U,
являющаяся решением уравнения Д3£/ = 0, то предыдущая система даст нам
с точностью до аддитивной константы функцию К таким образом, что U + iV
будет моногенной функцией на поверхности.
Соотношение (8.7) показывает, что семейство минимальных линий
поверхности S отображается в семейство изотропных прямых плоскости (£/, V),
иначе говори, на поверхности S координаты (£/, V) будут
изотермическими,
2° Семейства изотермических кривых* Найдем условие того, что
семейство кривых
ср (U, V) = С
276
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
являетса изотермическим (С обозначает произвольную постоянную). В счлу
того, что мы видели, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти
функцию /(ср) = U, такую, что Аз/С?) = 0. Но имеем
grad/(cp) = /'(cp)gradcp
и, используя формулу дивергенции, получаем
А2 [/(?)] = div [grad/(cp)] = /' ft) Д, (ср) +/" (?) *i (?)-
Приравнивая эту величину нулю, видим, что отношение Д2<р/Д1ср должно
быть функцией только ср, например /*(<р); тогда получим /(ср), записывая
— уравнение, которое интегрируется непосредственно и дает /' (ср) с точностью
до постоянного множителя. Ортогональное семейство, которое дополняет
систему изотермических координат, будет задано посредством ф = const, где
функция ф определяется уравнениями
ди J к*}\ Hdv^Hdu)'
dv-J W>\Hdu Hdv)'
интегрирование которых совершается в квадратурах. Поскольку grad ф
получается из grad/(cp) поворотом на угол + тс/2, имеем
Д(ср, ф) = 0, Ai(4') = /'2A1cP.
Выбирая на поверхности координаты (ср, ф), имеем, следовательно,
в силу (8.5),
ds* = —L- W + -}— *Н = Х {[*/(*)]■ + *И.
М?) L /"(с?) J Ai(T)/ (T)
3° Линейные элементы вращения. Отсюда следует (см. § 1), что
для того, чтобы ds" было линейным элементом вращения, необходимо и
достаточно, чтобы можно было найти семейство изотермических кривых
ср = const, таких, что дифференциальный параметр Ai(<p) является функцией
только ср. Действительно, полагая /(ср) = и, ф = v, мы получим
ds* = H(a){du* + dv*), где Н(и) =* *
Между тем, чтобы семейство ср = const было изотермическим, при
дифференциальном параметре A.j (ср), зависящем только от ср, надо также, чтобы
Д2(ср) было функцией от ср, и это условие достаточно; мы можем,
следовательно, сказать:
Чтобы ds* было линейным элементом вращения, необходимо и
достаточно, чтобы можно было найти отличную от постоянной
функцию <р(и, v)t для которой Ах (ср) и Д2(ср) являлись бы функциями
переменной ср.
4° Инвариантные координаты. Возьмем линейный элемент ds* в виде
ds* = (o)i)2 + (о>2)* (dm = cole! + <°*e2),
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 277
полагая, как в § 4,
do)1 = ао^Д со2, do)2 = ро^Дю2 (о)2 = ао)1 + Р«2)
и записывая для функции точки
<*/ = /,! О1+/,2 "2
и для вектора
Для единичного вектора t, касательного к линии ?, можно положить
dm
ds
=s t = cos Gej + sin 0в2,
откуда
ng = — sin бв! + cos 0e2;
следовательно,
— X • ng ds = (XI sin 0 — X* cos 0) ds = X^^ — Л^оЛ
Мы будем иметь тогда
Г ^1о)2_ x*o)i = Г CdXiAо)2— dX*A<*i + Xidufl — X*rfo)i =
f*1! + X22 + pX1 - aZ2] с^Л со2 ;
-яр
поскольку 0)1 д0)2 является другой записью для элемента площади da, отсюда
следует
(8.8) div X = X]! + Х22 + р*1 — «X2.
В частности, можно писать
(8.9) Д2/=/, и+/, я + р/р 1-a/i 2.
9. Геодезические линии („внешняя"
теория). Пусть а и [} —две линии без общих
точек, нанесенные на поверхности 5.
Можно поставить себе задачу: найти на
поверхности 5 линию, реализующую
кратчайшее расстояние между а и (3;
в достаточно общих условиях
доказывается, что существует по крайней мере Рис. 30.
одна такая линия.
Здесь мы будем рассматривать только элементарный вид этой
задачи: отыскание линии со стационарным значением интеграла,
выражающего длину этой линии.
Пусть С будет такой линией, идущей из точки а линии а
в точку Ь линии р. Снабдим сначала поверхность 5 двумя
параметрами 5 и X [m(s, X)], причем 5 будет криволинейной абсциссой точки
линии С и кривая s = s0 будет пересекать дугу аЪ линии С в точке
с криволинейной абсциссой s0; всегда можно предположить, что
278
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
среди линий 5 = const встретятся кривые аир, соответствующие
значениям. sa и sb. Линии Х = const образуют другое семейство
координатных линий, причем кривая С соответствует значению Х = 0
(но s, вообще говоря, не будет криволинейной абсциссой на линиях
этого семейства, кроме линии С).
Длина отрезка аЪ представляет собой значение функции L(X)
*»- fVffl*
для Х = 0.
Допуская существование и непрерывность частных производных
вектора т, например до третьего порядка включительно, можно
дифференцировать под знаком интеграла и поступать так, как это
обыкновенно делается в вариационном исчислении.
Замечая, что
dm
ds
/(£)'
= t(5, X)
«-г- единичный вектор касательной в точке m(s, X) к линии Х.= const,
проходящей через эту точку, имеем
!ь дт д*т
«а У \ds) ° «а
откуда
L
■^НшЬ-(жЬ- f&U^
р обозначает кривизну и v — единичный вектор главной нормали
к дуге аЪ\ индексы указывают точки кривой, в которых подсчиты-
ваются связанные с ними элементы.
Вводя вариацию 8Х параметра X и полагая, как обычно,
имеем
bL = tbbh — ta8a— J pvbmds.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 279
Важно отметить, что эта формула справедлива для любого
семейства линий Х = const, содержащего кривую С при Х = 0.
Будем называть п^ вектор, получаемый из вектора t в некоторой
точке кривой поворотом на угол -Ьтс/2 в касательной плоскости;
1 /dm Л дт\
тогда единичный вектор нормали к поверхности п = -тт1^— Л-з—)
обладает тем свойством, что три вектора t, п^ и п образуют
правый ортогональный триэдр х); если мы обозначим через 0 угол век-
тора v с вектором п, то будем иметь
(9.1) v = n cos 0 -(- nff sin 0;
затем, поскольку
8m.n = 0,
имеем
pv 8m ds = р sin 0 п^ 8m ds = p^n^ 8m ds,
полагая
p^ = psin0;
эту величину мы будем называть геодезической кривизной линии С
в точке т\ окончательно напишем
(9.2) Ы = tb 8Ь — ta 8а — f ?gng 8т
ds.
В этой формуле встречаются только геодезические элементы,
за исключением, быть может, скаляра р^; но если, как мы имеем
право сделать, мы закрепим точки а и Ъ и примем 8т = 0 всюду
вдоль линии С, кроме небольшой дуги т1т2 длины As, содержащей
точку т, где мы положим
n^ 8m = k (s) 8X,
то получим
^ = — / pgb (s) ds = — bspgk,
где рд н k означают средние значения, что можно также записать
так:
As — W'
!) Этот триэдр мы будем считать триэдром Френе при
изучении линий, проведенных на поверхности; он будет всегда употребляться
в гл. IV.
280
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Положим теперь &(s)=l на дуге т[т'2, лежащей внутри дуги
тхт2 и содержащей точку т, и пусть 0 <&($)< 1 на дугах тхтгх
и т2т'г причем сумма длин этих дуг бесконечно мала по
отношению к As; k стремится тогда к 1, и, предполагая непрерывность
кривизны pgi имеем
1- £'(0)
llm -£r = — h-
As -> 0 as У
Из этого равенства получается, что кривизна рд является
геодезическим инвариантом, присоединенным к точке кривой, так как при
ее определении мы считали известным только линейный элемент d$2.
Формула (9.1) и соображения, которые мы привели, показывают
теперь, что, если мы хотим, чтобы длина была стационарной, т. е.
чтобы lim(BL/8X) = 0, необходимо сначала, чтобы
/<^г мы имели рд = 0 во всех точках линии С, дающей
экстремум: такая линия должна, следовательно,
обладать нулевой геодезической кривизной, ее
называют геодезической.
Записывая теперь
p^=psin0 = O,
видим, что это условие может быть реализовано
либо если р = 0 и тогда в действительной области
линия С будет прямой, либо если sin в = 0, т. ё.
Рис. 31. если соприкасающаяся плоскость к кривой все
время остается нормальной к поверхности;
впрочем, то же можно сказать о прямых, соприкасающаяся
плоскость которых неопределенна. Дифференциальное уравнение
геодезических линий будет
(n, dm, d2m) —0,
это уравнение второго порядка х), следовательно, геодезические
зависят от двух параметров; вообще говоря, можно, следовательно,
найти геодезическую, проходящую через две заданные точки
поверхности S.
Например, геодезические на плоскости будут прямыми, на сфере
они будут окружностями больших кругов, на цилиндре — винтовыми
линиями цилиндра (1,7) и их вырождениями: прямолинейными
образующими и ортогональными сечениями. На сфере, вообще говоря,
1) Из этого уравнения следует, что если две поверхности касаются вдоль
линии, которая является геодезической для одной из них, то эта линия будет
геодезической и для другой. В частности, геодезическая поверхности S будет
также геодезической на развертывающейся поверхности, огибающей
касательные плоскости поверхности вдоль этой кривой (геодезический пояс).
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 281
через всякую пару точек проходит одна, и только одна,
геодезическая, кроме случая двух диаметрально противоположных точек,
через которые их проходит бесконечное множество. На цилиндре,
ортогональное сечение которого является простой замкнутой
кривой через всякую пару точек, не лежащих на одном ортогональном
сечении, всегда проходит бесконечное множество геодезических.
Вернемся к задаче, поставленной вначале; для того чтобы
линия С осуществляла экстремум длины, если мы фиксируем точки
а и Ъ на линиях а и (3, необходимо прежде всего, чтобы С была
геодезической, тогда последний член в уравнении (9.2) исчезнет. Варьируя
теперь точку а и фиксируя точку #(8Ь = 0), мы видим, что должно
быть ta8a = 0; наоборот, варьируя а и фиксируя Ь, находим также
t&8b = 0. Между тем 8а и 8Ь — касательные векторы к линиям а
и р соответственно в точках а и Ъ\ окончательно, искомая
геодезическая должна пересекать ортогонально линии а и (3 (это условие
трансверсальности в рассматриваемой вариационной задаче).
10. Геодезическая кривизна. Вдоль кривой С, определенной
на поверхности 5, считая а и v функциями параметра t, мы
определили геодезический инвариант p^ = psin6, исходя из
криволинейной абсциссы, т. е. при определенном направлении обхода кривой;
если изменить это направление, то t и, следовательно, п^
заменятся противоположными векторами, поэтому б перейдет в —б и
рд изменит знак.
Следовательно, можно определить направление вогнутости в точке
кривой, не являющейся геодезической; это будет направление
геодезической нормали п^, для которой соответствующее значение рд
положительно х).
Выбирая теперь положительное направление обхода на линии С,
мы подсчитаем рд, предполагая, что а и v — функции параметра,
имеющие непрерывные вторые производные.
Заметим прежде всего, что в силу (9.1)
pgdsz = (n, dm, d2m).
Рассматривая теперь триэдр первого порядка (I, 1.1, где а)3 = 0),
получаем
dm = (о^х + о)2е2 [ds2 = (со1)2 + (со2)2];
отсюда вытекает, что, если dm1 и du>2 означают теперь
обыкновенные дифференциалы, то
d2m = (do1 — А2) ех -f- (do2 + ©Х) e2 + ( ю1»} + u>3a)|) п,
1) Отсюда следует, что центр геодезической кривизны — внешняя точка,,
расположенная на геодезической нормали пд с абсциссой 1/р^, вполне
определен.
282
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
откуда
рд dS* = О)1 (rfd)2 -+- W1^) — 0)2 ^0)1 _ 0)2^ _
= o)i do)* — о)2 rfo)i + [((о1)2 + (<*>2)2] о2 = ds2 \d arctg 2? 4- ©j] ,
или, наконец,
(10.1) p,<fe = rf arctg д+т»;
из этого выражения виден геодезический характер кривизны р^ после
того, что было сказано относительно формы ю* (§ 4) х). Уравнение
геодезических получается, следовательно, если приравнять нулю
правую часть равенства (10.1),
Используя уже сделанный в § 4 подсчет, легко получаем
выражение (10.1), если линейный элемент ds2 задан- в одной из
специальных форм: в изотермических координатах ds2 = H(da2 -\-dv2)t
получаем
(10.2) 9gds = d(zrctg^ + ^-w-dv--2-5U-du;
в минимальных координатах ds2 = 2Fdudv, получаем
(10.20 9gd8 = ^d(lndi) + -2(-3Z-dv dTdap
если ds2 задан в форме ds2 = du2-\-G dv2, имеем
(.0.2") bt.-ifaigq+tjg.^
В качестве введения в теорию римановых пространств (III, II)
мы проведем теперь рассуждение, исходя из переменных и и v и
линейного элемента ds2 общего вида (который уже не представлен
предварительно в виде суммы двух квадратов).
Будем искать сначала ковариантные компоненты проекции
вектора d2m на касательную плоскость:
Положим a = ult v = u2 и обозначим
[//; k] = [jt; fe]= ?" *mft (/, у, ft = l или 2);
диг duJ daK
i) Полагая, как обычно, <о2 = аоз1 4 Р^2! видим, что вдоль кривой o>' = 0t
поскольку ds = <u\ имеем ?g=za- Для р имеем аналогичную интерпретацию.
В частности, гх и г2 (II, 1.8) — геэцезичэскаэ кривизны лиялй кривизны.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 283
эти выражения называются скобками, или символами, Кристоффеля
первого рода, они симметричны относительно индексов / и j\
Умножая скалярно d2m на векторы дт/ди и dm/dv, мы видим, что
ковариантные компоненты проекции дифференциала d2m на
касательную плоскость будут соответственно равны
Ed*a + Fd*v-\-lU; l]du2 + 2[\2; 1] du dv + [22; l]dv*t
FcPa + Gtf^-Hll; 2]du2 + 2[\2; 2]dudv + [22; 2\d<ifi.
Необходимо сначала подсчитать скобки Кристоффеля, исходя из
коэффициентов линейного элемента ds2, имеем
.F (dm d%i . dmdSm^ , (дт дЬп , дт д*т \ А
аг~\dududv~t~ dv du*)aa~T~\dv ЫГЬИ^~ ди dv*)av —
= ([12; 1Ц-Ц1; 2])d« + ([12; 2] + [22; \\)dv.
Id0 = Sda+¥Sd-l12= 21Л+ 122: Vdv.
отсюда получается следующая таблица из шести символов пер*
вого рода:
[II! Ч=|§. [1% 4 = 12.; 4=4 Ж- № Ч-S-Jg.
["•2'=Ж-73|' И2: 21 = 12.; 21=1^. |22; 2) = i Ц.
(10.3)
Чтобы перейти к контравариантным компонентам проекции
дифференциала d2m на касательную плоскость, введем скобка, или
символы, Кристоффгля второго рода, определяемые формулами
(10.4)
Mil=*{i}}+M5}.
I w'^=F{tj}+°{tJ}-
Если рассматривать [ij; 1] и [//; 2] как ковариантные компоненты
вектора, то < .. > и < . i будут для него контравариантными
компонентами; как квадратные, так и фигурные скобки симметричны
относительно индексов / и /.
В силу формул (8.2) и найденных выражений, проекция вектора d2m
на касательную плоскость имеет в качестве контравариантяих
284
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
компонент выражения
Далее, поскольку вектор t ИхМеет контравариантные
компоненты dajds и dv/ds, вектор л^, который получается из нега
поворотом на угол -f-rc/2, имеет ковариантные компоненты
ОО -up-. н£.
v *' ds ds
С другой стороны,
. л d*m
отсюда следует в силу (8.3)
(10.5) Р,=»^[л(л,+{121}й«Ч-2{*}лЛ+{4}^)-"
или, если обозначить штрихами производные по параметру s,
Уравнение геодезических получается, если записать, что р^ = 0;
если искать, например, v как функцию от и, то достаточно
приравнять к нулю квадратные скобки в формуле (10.5), полагая
там d2u = 0.
Если принять 5 за параметр, то тождество t2 = (dm/ds)2 = 1
дает сначала (dm/ds) (d2m/ds2) = 0, т. е. показывает, что компонента
вектора d^mfds2 в касательной плоскости нормальна к кривой.
Поскольку ковариантными компонентами вектора t будут Ей' -\-Fvr и
Fu'-\-Gvf, имеем, принимая во внимание формулы, которые дают
контравариантные компоненты проекции вектора d2m/ds2 на
касательную плоскость, тождество,
(£«' + /'tO(^+{111}"'4-2{112}eV + {^}^) +
+ (F«4-Ot»')(t»"-(-{ 2 } и'2-1-2 { 22}«V + {22}t»'2) = 0.
справедливое вдоль произвольной кривой.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 285
Тот факт, что рд = ® вдоль геодезической, показывает, что
вектор п^ ортогонален к проекции вектора d2m[ds2 на касательную
плоскость; поскольку эта проекция уже перпендикулярна к вектору t,
она равна нулю, и мы имеем уравнения геодезических в виде
,I0-js+{.,.}№r+s{A}(S)e)+{i}(S)'-°-
' )1и,2,}(ёу+ч,22н§)Ш+{да=°-
где
^(l)'+^(l)(S)+«(g), = b
Приложения: 1°. Геодезические и кратчайшее расстояние
на поверхности. Как показывает уравнение (10.1) необходимым и
достаточным условием того, чтобы семейство кривых ш2 = 0 было
образовано геодезическими, является равенство а^ = ра)2; из
соотношения rfw1 = — а)2 Д о)^ получаем dm1 = 0. Следовательно, можно
положить w1 = du [см. (ОЛИ. упр. 1)]; представляя теперь о2 в виде
получаем
(10.7) ds2 = du2-\-Gdv2.
Таким образом, как мы обещали (§ 4), можно всегда
представить линейный элемент ds2 поверхности в виде (10.7); координатные
линии будут образованы однопараметрическим семейством
геодезических и их ортогональными траекториями 1). Мы видим теперь, что
переменное и представляет собой криволинейную абсциссу на
каждой геодезической семейства v = const; две линии и = const
высекают, следовательно, на этих геодезических дуги равной длины;
говорят, что кривые и = const параллельны на поверхности2).
В окрестности обыкновенной точки т поверхности 5, где т(и, v)
допускают непрерывные частные производные достаточно высокого
порядка, приведенные ниже рассуждения приложимы в достаточно
малой области, так как для этого достаточно, чтобы
рассматриваемые геодезические не имели в ней ни особой точки, ни
огибающей. В этой области для длины L дуги кривой С,
определяемой, например, заданием v как функции от и, соединяющей
точки т(и0, v) и m(uv v), при их > и0 и постоянном vt
1) Чтобы получить такой вид линейного элемента ds* в ортогональных
координатах, можно также отправляться от формул (10.5); мы видим, что
необходимое и достаточное условие для того, чтобы линии v = const были
геодезическими, выражается равенством < - > = 0; поскольку ^=0, получаем отсюда
с помощью (10.4), что [11; 2]=0, или дЕ/ди^О.
2) Это понятие обобщает понятие параллельных кривых на плоскости.
286
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
имеем
так как О > 0. Геодезическая, следовательно, реализует
кратчайшее расстояние между этими двумя точками, так как знак
равенства может иметь место только для dv/du = 09 т. е. для v = const,
следовательно, для геодезической.
В частности, если рассматриваемые геодезические выходят из
одной и той же точки т(и0, v0), тогда^-если только точка т(и, v)
будет достаточно близка к точке т0, геодезическая, соединяющая
точку т0 с точкой т, реализует кратчайшее расстояние между этими
двумя точками.
2° Выражение для дифференциала #. Для этого
дифференциала имеем сначала в силу (10.3)
2HdH = EdG-+-OdE — 2FdF =
= 2(Е[12; 2] —F[12; 1] + G[11; 1] — F[U, 2\)du +
+ 2(E[22; 2\ — F[22\ 1] + G[12; 11 — F[12, 2])dv,
откуда в силу (10.4)
и, наконец,
ом» тг=({п}+Ц})«»+(Ш+ШК
3° Формула полной кривизны. Напишем линейный элемент ds2
в виде
и положим
<»i = YEdu + --jLdv, (u2 = -^Ldv, iu\ = adu + $dv.
Имеем
d,u2=HTi)daAdv=
= (VEdu +y=dv) A (« du +p dv) = (VE p — ^)du A dv^
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 287
откуда
.,_i[ft+/B<L(£)].
В силу (10.3) и (10.4) получаем
р=г[|{,2,}+{,22}+{111}-К£{1,л+^,2Л)]=?{,22}-
Тогда из уравнения
da)2 = — Km1 Л <*2 = — KHda Л dv
вытекает, что
Меняя местами буквы и и v, E и О и индексы 1 и 2, имеем
также
Образуя полусумму этих выражений, получим симметрическое
выражение для полной кривизны 1).
11. Поле векторов. Ковариантные частные производные»
Параллельный перенос. Рассмотрим на поверхности 5 поле
касательных векторов X, определенное их контравараантныма
компонентами V- (a, v) и S2 (и, v); имеем
«=*£+<*£+е*(£)+р*(£)-
Будем искать ковариантные компоненты проекции DX
дифференциала dX на касательную плоскость в точке т(и, v)\ они
получаются, если умножить dX соответственно на векторы дт/ди.
и dm/dv. Принимая во внимание формулы (10.3), получаем
соответственно
[E^+FdP-b^ail; I] da+ [12; l]<fo) +
! -И2([12; l]da + [22; 1] dv).
(ПЛ) I FdP + QdP + ^ail: 2]da + [12; 2]Лг) +
| +S2([12; 2] da+[22; 2] dv).
*) Эти формулы не содержат в качестве частного случая уравнения (4.7).
Уравнение (4.7) можно получить с помощью (10.3), (10.4) и (10.8).
a- VE\
дув
dv
ди
(Л),
288
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
<П.2) J
Учитывая же соотношения (10.4) и формулы (8.1), находим
контравариантные компоненты проекции вектора dX в виде
<*+е({111}*в+{^и+
dV + v({?x}du+{*2}dv) +
+V({v}du+{2\}dv) = DP = P\ldu-\-?\2dv.
Коэффициенты при da и dv в этих выражениях называются
ковараантныма производными поля в контравариантных
координатах 1).
Если вектор задан своими ковариантными компонентами
[формулы (8.1)], то первое из выражений (11.1) запишется так:
*! + ?([!!; l]<te-H12; l]dv) — VdE-\-&(ll2; \\du-\-
+ [22; l]dv)—PdF,
или в силу (10.3)
#! —Р([И; l]da + [12; 1]Af) — P([ll; 2]d«-|-[12; 2] dv);.
формулы (10.4) дают
^ - (£$i + FP) ({j\ }<*«+{/2} *»)-(№ +- О?2) ({ п } du+{£ } dv),
где ковариантные компоненты очевидны; проделывая то же самое со
вторым уравнением (11.1), имеем окончательно2)
— ?2({ £ }du 4-{ j22}dv) = «! = 6t,t А» -Их ,2 dz>,
(11.3)
!) Это название объясняется тем, что совокупность этих четырех
количеств имеет тензорный характер, на котором здесь бесполезно настаивать;
мы вернемся к нему в § 13, а затем в общем случае при изучении римано-
вых пространств (III, II).
2) Матрица коэффициентов при gt и £2 в формулах (13.3) получается из
матрицы коэффициентов при р, S2 в уравнениях (11.2) транспонированием и
изменением знака.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 289
коэффициенты при da и dv в этих формах, линейных
относительно da и dv, называются ковараантныма проазводныма поля
в ковариантных координатах.
Из этих формул непосредственно вытекает, что производная
скалярного произведения двух полей Х(£х, ?2) и Х^1, т)2) может
быть подсчитана при помощи формул
d (XY) = d (P4l + ^ъ) = р Л,х + 7]i Л1 + i2 dib + т]2 rf?2 =
(11.4) =$1D7ll + 7]lD^4-E2D7]2 + 7]2DS2.
Пусть теперь Дер — угол, который образует вектор X с
проекцией на касательную плоскость в точке m вектора поля X-f-ДХ,
взятого в точке m-j-Дт. Имеем, обозначая через X* вектор
касательной плоскости, получаемый из X поворотом на угол -+-тс/2:
. Л _ Х*(Х + ДХ) _ Х*АХ
sin Дер — | х* 1 | X + ДХ | — | X* | | X + АХ | '
Отсюда получается следующее выражение для дифференциала этого
угла, если заметить, что |Х*| = |Х|:
X*DX X*rfX
rfcp:
|ХР | X |з •
т. е., поскольку Ei =— #£2, £а = #£1,
(11.5) а(?=_Н<РОР:^ПЪ
£(£i)2 + 2/W+G(£2)2 •
Рассмотрим теперь поле единичных векторов (|Х|2 = 1) и
допустим, что мы перемещаемся вдоль кривой С, соединяющей точку тх
с точкой т2. Мы будем говорить, что интеграл Г dep выражает
изменение направления вектора X вдоль кривой С.
Если rfcp все время равно нулю, то говорят, что вектор X
испытывает параллельный перенос вдоль линии С; поскольку мы имеем
тогда
XdX = 0 и X*dX = 0,
а векторы X и X* взаимно перпендикулярны, отсюда следует, что
проекция вектора dX на касательную плоскость равна нулю, т. е.
что имеют место уравнения
D¥ = 0, DE2 = 0 или D?1==0, D£2 = 0.
Обратно, эти соотношения имеют следствием два предыдущих, т. е.
| X | — постоянная величина, и это замечание приведет нас к понятию,
введенному Леви-Чивита, параллельного переноса вектора вдоль
линии С, заданной уравнениями u = u(t), v = v(t).
290
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Отправляясь от точки t0 и рассматривая единичный вектор Xq
с компонентами (^)0 и (£2)0, можно записать в силу (11.2) уравнения
dt u' dt u
следующим образом:
^+ «*+«* = 0.
где величины k и / — известные непрерывные функции параметра t.
Эти уравнения допускают решение %l(t), £2(0» единственное, если
для t = t0 оно принимает значения (£1)0 и (Е2)0. Говорят, что вектор X (t)
касательной плоскости к поверхности S в точке m[u(t), v(t)\
с контравариантными компонентами £*(0. £2(0 получается из
вектора Xq параллельным переносом вдоль линии С.
В плоскости ds2 = du2 -\- dv2 все символы Кристоффеля равны
нулю, параллельный перенос будет просто переносом. Полученное
выше понятие представляется, следовательно, как обобщение понятия
эквивалентности; но важно отметить сейчас же, что отправляясь от
вектора, присоединенного в касательной плоскости к точке т0
поверхности, и перемещаясь параллельно вдоль кривой, приводящей
в точку т1% мы получаем в результате параллельного переноса вектор,
зависящий, вообще говоря, от пути, которым мы следовали из
точки т0 в точку тц.
Рассмотрим теперь единичный вектор X(t)(V-, £2). который
перемещается вдоль кривой, и пусть Y(0(V. rf) — единичный вектор,
подвергающийся параллельному переносу вдоль кривой С. Угол О
вектора X с вектором Y задается соотношением
откуда, поскольку £>7]х = 0, Dt\2 = 0, мы получаем
Принимая во внимание значение sin б, имеем
Эта функция, дробно-линейная относительно % и tj2, вырождается,
так как в силу унитарности вектора X(t)
окончательно находим, следовательно, что
(11.6) ав = — Н^ = №^-=Н &DP — SjDP).
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 291
такой вид принимает формула (11.4) для единичного вектора; она
дает геометрическую интерпретацию дифференциала угла, на
который поворачивается вектор при параллельном переносе вдоль
кривой.
Если вектор X сам испытывает параллельный перенос, то мы
видим, что dQ тождественно равно нулю; следовательно, если вдоль
кривой параллельно перемещаются два единичных вектора, то
угол между ними остается неизменным.
Посмотрим, каковы те линии, вдоль которых единичный
касательный вектор t переносится параллельно. Так как вектор t имеет
контравариантные компоненты du/ds и dv/ds, то должны выполняться
следующие соотношения:
"(£)_
d*u
ds ds*
н^т+ч^кшт+^т-»-
4^=^ЧЖ)'+Ч>2}Шж)+Ш(£)'=*
это уравнения (10.6) для геодезических линий.
Отсюда новое определение параллельного переноса: пусть m —
точка поверхности 5 и m + Дт — соседняя точка; построим
геодезическую, соединяющую эти две точки; если X — единичный вектор
касательной плоскости в точке ш, то единичный вектор Х + АХ
касательной плоскости в точке m + Дт, образующий с полукасатель-
ной к геодезической в этой точке угол, равный тому, который
образует вектор X с полукасательной к геодезической в точке т,
называется вектором, полученным из вектора X параллельным
переносом; отсюда переходом к пределу получаем тот процесс
интегрирования, который был использован выше для параллельного переноса
вдоль кривой.
Вернемся теперь к формуле (10.5), которая дает геодезическую
кривизну линии С; ее можно записать в виде
ря="
du
\ds ) dv \ds )
ds ds ds ds
сравнивая это выражение с равенством (11.6), имеем
где ср означает угол, на который поворачивается единичный
касательный вектор при параллельном переносе вдоль кривой С; этот угол
играет, следовательно, ту же роль, что и угол касательной с
фиксированным направлением в теории плоских кривых. Приращение
292
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
угла ср между двумя точками линии С называется тогда углом
геодезической смежности двух касательных.
Пример. Чтобы иллюстрировать тот факт, что параллельный
перенос зависит, вообще говоря, от пути, рассмотрим на сфере
сферический триортогональный треугольник ЛВС (рис. 32). Перемещая
параллельно вектор t, касательный к линии АВ в точке Л, вдоль
линии АВ, а потом вдоль линии ВС, приходим в точку С с
направлением, касательным к линии АС, в то
А _ t время как перемещая этот вектор вдоль
линии ЛС, приходим в точку С с
направлением, касательным к линии СВ.
12. Формула Оссиана Бонне. На
плоскости, если мы рассматриваем
простую замкнутую кривую, являющуюся
границей области, и, отправляясь от
некоторой точки, описываем ее в
положительном направлении, то при возвращении в
исходную точку оказывается, что каса-
Рис. 32. тельная повернулась на угол 2тг.
Что касается поверхности, то,
описывая замкнутую кривую в положительном направлении и рассматривая
угол поворота полукасательной при параллельном переносе, мы
обнаружим, что этот угол, вообще говоря, не равен 2тс после полного
обхода, а имеет излишек по сравнению с этой величиной, который
как раз и показывает, что поверхность искривлена (т. е. просто что
она не изометрична плоскости).
Предположим, что линейный элемент ds2 приведен к виду
(12.1) ds2 = (G)i)2 + (o>2)2,
и рассмотрим область D, ограниченную кривой С, через каждую
точку которой проходит одна и только одна линия каждого из
семейств а>1 = 0, о2 = 0; с аналитической точки зрения предположим*
что можно записать
о)1 = hxdu1, ш2 = h2du2,
где Ах и h2 — непрерывные функции параметров и1 ни2. Область D
есть образ области Д плоскости (и, v), ограниченной кривой у. Как
мы видели (§ 8), положительное направление на кривой у
индуцирует положительное направление на кривой С; в силу формул
(10.1) имеем
(12.2) /p^ = /[rf(atctg-S-) + ««] = [arctg^] +/«»;.
с+ т+ т+
ГЛ. HI. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 293
Оценим сначала проинтегрированную часть, которая, очевидно,
кратна 2тг. Имеем
o)i — 1ц<1и> '
и отношение h2\hx не меняет знака. Если оно будет постоянно, то
можно, кроме того, предположить, что оно равно единице,
заменяя и1 на (hjh^u1; при этих условиях линия у есть образ
кривой у' плоскости (и1, и2), описанной в положительном направлении
вместе с кривой у и, следовательно, [arctg(o)2/o)1)] + = 2ти.
Если отношение к21кх непрерывно, мы допустим, что его
значение в точке т0 равно (h^h\\ предположим, что область D
окружает точку т0 и достаточно мала, чтобы
|["<1г^-К(£Ш1+1<' <°<«<2->-
Тогда получим также
Н?-5-]т+=2*-
Этот результат имеет место и для области, ограниченной
достаточно малым криволинейным полигоном. При этом, конечно, нужно
принимать во внимание внешние углы; равным образом этот
результат справедлив для линии у — прообраза произвольной кривой С,
ограничивающей односвязную область D, которую можно разложить
на конечное число достаточно малых областей.
По формуле Грина (О, III, 1.7) имеем, с другой стороны,
т+ Д Д D
окончательно формула (12.1) запишется так:
(12.3) f9gds=z2n—ffKdo,
С+ D
эта формула принадлежат Оссаану Бонне; левая часть
представляет собой угол, на который поворачивается касательная к линии С+
в параллельном переносе при полном обходе контура.
После того, как это предложение доказано для односвязной
области D, такой, что существует представление линейного элемента
ds2 в виде (12.1) (через всякую точку области D проходит одна и
только одна линия из каждого семейства о>1 = 0, а)2 = 0), оно
распространяется на односвязную область D, которая может быть
разбита на конечное число областей, аналогичных предыдущим
(рис. 33).
294
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Если линия С — криволинейный полигон с вершинами аг аП9
то, вводя внутренние углы а$, имеем
п
fpgdS +2 (* — *i> = 2* — И™0'
с+
i=l
так как к сумме интегралов f pgds, взятых вдоль каждой стороны,
которую мы будем по-прежнему обозначать через j pgds, нужно
с+
добавить сумму углов, на которые поворачивается касательная
в каждой вершине, при переходе от одной стороны к другой.
Рис. 33.
Рис. 34.
Если речь идет о геодезическом полигоне (р^ = 0), то имеем
п
JfKda = ^Oi — (n — 2)ic,
D 1
или для геодезического треугольника (а, Ь, с)
j § Kdo = a-{-b + c — Tz.
Из этой формулы следует, что на поверхности положительной
кривизны сумма углов геодезического треугольника всегда больше ти;
для поверхности отрицательной кривизны имеет место
противоположное утверждение.
На сфере радиуса R (K=\IR2) получаем хорошо известную
формулу, определяющую площадь а геодезического треугольника
o = R*(a-\-b + c — тт).
Из формулы (12.3) можно получить также подсчет интеграла
полной кривизны по неодносвязной области; например, в кольцеоб-
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 295
разной области D, ограниченной двумя кривыми С и С; разбивая
ее, как показано на рис. 34, получаем
fpgds + f9gds = -ffKdo.
с+ с'+ D
Наконец, на замкнутой поверхности (без границ и без сдвоенных
точек) интеграл полной кривизны связан с топологическим
инвариантом: числом дыр, или родом поверхности; в самом деле, легко
показать, что
ffKda = 4*(l— р),
s
где р означает род ( Г Г Kda = 4тг на поверхности, гомеоморфной
W
сфере; f f/Cda = 0 на поверхности, гомеоморфной тору).
8
Приложение. Параллельный перенос, не зависящий от
пути. Чтобы поверхность обладала тем свойством, что
параллельный перенос какого-нибудь направления из одной точки в другую
не зависит от пути, необходимо и достаточно, чтобы касательная
к произвольной замкнутой кривой С — границе односвязной области
D — при полном обходе кривой С+ поворачивалась на угол 2ти.
В силу формулы Оссиана Бонне, необходимо и достаточно, чтобы
поверхность имела нулевую полную кривизну, т. е. была изо-
метрична плоскости.
13. Поле тензоров. Ковариантная производная. Изменим обозначения,
чтобы подготовиться к общей теории римановых пространств (III, II).
Положим, как и ранее, и = и\ v = Ф, затем
*11 = Я. *« = ** = Л g<2 = G; g^EG — F* = H\
так что мы будем писать, употребляя условие суммирования (О, II),
(13.1) ds* = g{j da* duJ (t,j = 1,2)
(здесь индексы суммирования принимают только значения 1 или 2).
Поскольку дифференциалы du* являются контравариантными
компонентами дифференциала dm, свойство инвариантности формы ds* получает
следующее выражение: можно сказать, что gij будут в каждой точке
компонентами симметричного тензора, который называется основным тензо -
ром; при вариации точки имеем поле тензоров на поверхности.
Контравариантные и смешанные компоненты основного тензора
определяются формулами
(13.2)
296
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Возвратимся к понятию ковариантной производной поля касательных
векторов X; мы положили (§ 11), что для вектора, задаваемого-его ковари-
антными компонентами 5$, ковариантная производная равна
а для вектора, задаваемого его контравариантными компонентами £*',
Покажем, что каждая из величин (13.3) и (13.4) являются компонентами
некоторого поля тензоров. Исследуем первый.случай и рассмотрим в
некоторой точке произвольный вектор Y, который мы подвергнем параллельному
переносу вдоль произвольной кривой. Образуем в рассматриваемой точке
дифференциал скалярного произведения X • Y; имеем, обозначая через rf
компоненты вектора Y:
d(X.\) = dbp{ + drfb
В силу (13.4) drf можно заменить на — \ > rp du$\ отсюда
d^-^=[b~{hj\bhduj=i^hdai'
что показывает, в силу контравариантности дифференциалов du?% что th,j
будут ковариантными компонентами тензора валентности 2.
Аналогично можно доказать, что 5*|у будут смешанными компонентами
тензора.
Та же операция прилагается к тензорам более высокой валентности.
Например, для поля тензоров Тц, полагая
и рассматривая, как и выше, два произвольных вектора X и Y, которые
перемещаются параллельно вдоль произвольной кривой, показываем, что Тщ к
будут компонентами тензора. Точно так же величины
ih
пае) ^--Ё^ЧУ^+Ш7"1
представляют собой компоненты тензора. Для тензоров более высокой
валентности со смешанными компонентами имеем аналогичные формулы.
Предыдущие формулы показывают, что ковариантпное
дифференцирование произведения производится по правилам обычного
дифференцирования.
В частности, имеем
««,.-&-{i}'«-{i}*>-&-,*/1-UM-*
находим также
таким образом (лемма Риччи):
ГЛ. Ш. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 297
Ко вариантная производная основного тензора равна нулю.
Важное следствие этой леммы состоит в том, что различные
представления поля тензоров дают при ковариантном дифференцировании
различные представления одного и того же поля тензоров; следовательно, можно*
говорить о ковариантной производной тензора. Пусть, например, Тц и
ТУ — два представления одного и того же поля тензоров; имеем
ТУ = gihgflTnb
полученное выше правило ковариантного дифференцирования произведения»
и лемма Риччи дают
TV\k = gibgJlThllk,
что и доказывает наш результат.
Можно, конечно, рассматривать ковариантные производные порядка
выше первого; индексы ковариантного дифференцирования отделяются
чертой от индексов первоначального тензора.
В качестве приложения найдем выражение дивергенции поля
векторов X, заданных их компонентами £*; формула, приведенная в § 8,
напишется так: __
ди* у g duh
Между тем формулу (10.8) можно записать следующим образом:
1_ *У1 At \
Yg дФ \hl)
откуда
(13.7) divx45-+U}sft=s*ii
Для функции точки/ естественно положить dfjdui = f\i, поскольку эти»
величины являются ковариантными компонентами вектора; получаем теперь-
/"=*"/„.
откуда
(13.8) А2/= div (grad /) = gU^ if>
Упражнения
1. Конформные географические карты. Рассмотрим сферу
х = R sin 0 cos ср, \
у = R sin 6 sin ср, } (0<8<7t; 0<ср<2и);
z = R cos 6, J
мы видели, что
ds* = /р (rf02 + sin* 0 rfcpS).
аш Стереографическая проекция. Мы получим конформную плоскую
карту, проектируя точки сферы из южного полюса (0 = тс) на плоскость,
касающуюся сферы в северном полюсе (0 = 0). Точке (0, ср) сферы
соответствует на плоскости точка с полярными координатами (г, ср), г = 2#tg(0/2).
298
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Вводя прямоугольные координаты (£, т\)
ft ft
5 = 2^у cos cp, 7] = 2Rtg~2 sinЪ
находим
Образами меридианов будут прямые, проходящие через начало,
образами параллелей — окружности с центром в начале.
Эта проекция употребляется для карт полярных областей или при
подходящем выборе центра проекции — для карт тех стран, которые, подобно
Румынии, грубо говоря, имеют форму сферического сегмента с не слишком
большим центральным углом.
Ь. Проекция Ламберта. Полагая ге*>ч = 6 + h = £» выполним
преобразование
г'е*' = I' + ft;' = С' = аХ.\ / = аг\ / = аср,
где а и а — положительные константы; получаем
, 0
cos*-^-
d* = : -ГТ^^Т (^'2 + г* d^'
( 6 Vs
a*«x^2/?tg-)
Подбираем а таким образом, чтобы отношение линейного элемента ds*
к линейному элементу плоскости (г', ср') было наименьшим для 0 = X, где
О < X < тс/2; находим a = cos X; определяем а таким образом, чтобы это
отношение было равно единице для 0 = X, получаем
0 \4 / 0 \4siQ2(V2)
^ = |^1|1) 1!Ц] (** + *,").
lC0S2-/ \*Т
Эта проекция употребляется для карт Франции и различных других
стран.
с. Проекция Меркатора. Это предельный случай X = тс/2, который
можно получить из предыдущего переходом к пределу; но гораздо проще
получить его непосредственно; полагаем
g' + /V=C' = /?lnC, e' = #ln(2/?tgiV 7]' = %
имеем
rfs2=sin2 0(rfS'2 + rf7]'2).
Параллели и меридианы сферы имеют образами прямые, параллельные
осям координат. Преимущество этой карты, используемой уже давно
мореплавателями, заключается в том, что локсодромы, или кривые на сфере,
пересекающие меридианы под постоянным углом, имеют образами прямые
линии.
2. Интегрирование уравнения
„ 1 d*\nF ,„ # , ..
к=—¥~дШГ (K=const=£0),
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 299
Умножая обе части на dFjdu, получаем
можно положить
подсчитывая d\r\Fjdu исходя из второго соотношения, находим
dv\V да )~ dv '
f
что дает
~"ЩГ Ф
■д1- = ~- + 6 (и) (0 — произвольная функция).
Возводя это соотношение в квадрат, замечаем, что получается
уравнение Риккати относительно dty/du; его общее решение, следовательно,
имеет вид
Ut + UiV
У~~ U+V '
Подставляя его в предыдущее уравнение и полагая £/+ V= 0, получаем
U^UUi — W,
откуда
что дает
dty _ WW
2KF
dv - (U+V)* '
— результат, о котором мы уже говорили (§ 5).
3. Поверхности, изометричные заданной поверхности.
Если линейный элемент ds* поверхности задается формулой
ds* = Edu* + 2Fdu dv+G dv\
то
[М£Л~Ч'-££]Л*ЯМ£У]*'<-«■+«■■»
есть линейный элемент ds* нулевой кривизны; выражая эту кривизну через
его коэффициенты, получим уравнения в частных производных для
определения каждой из трех декартовых координат поверхности (см. В i a n с h i,
Lezioni di Geometria Differenziale, t. I, p. 355).
4. Развертывающиеся поверхности. Мы видели (§ 7), что
всякая поверхность нулевой полной кривизны будет развертывающейся, и
обратно; мы проведем доказательство таким образом, чтобы можно было
найти ребро возврата.
Возвращаясь к уравнениям (II, 1.6, 1.7 и 1.8), где р2 = 0, откуда г2 = 0,
day2 = 0, du>\ = О, или o)J = du. — /^ю1, со2 = dv, получаем из соотношения
300
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
d (dii/r^ = d o)i = du/\dv
д
(i)_.
din Pi л _ g(g)
—5; — — It или /ч = Xf v = —5 , Pi = ^/ ч »
dv г v—f(u) dv rx v—f(u)
отсюда
dm =s — [v—f(u)] du tx + dv t2,
dtx =dut2— g (и) du tr9
dt2 = — du tlf
dn = g(u)duti.
5. Подсчитать скобки Кристоффеля второго рода в общем случае*
6. Подсчитать скобки Кристоффеля первого и второго рода:
в минимальных координатах;
в изотермических координатах;
в том случае, когда ds* задано в виде da* -\- G dv\
7. Геодезические поверхностей вращения. Принимая
3 качестве координатных линий и = const и v = const соответственно
параллели и меридианы, представим линейный элемент ds* в виде
ds* = du*~\- G dv* (G— функция одного переменного и).
Уравнения геодезических будут иметь вид
d*u G' (dv \2_ ^_\9L^!L^L^-c\ (duV r(dv\2_i
ds* 2 \ds ) —U' ds* + G ds ds ~~ °' \ ds ) + [ds ) ~
Второе уравнение имеет первый интеграл
г dv г
ds
С другой стороны, YG = r, У G (dv/ds) = sin ф; г означает расстояние
от точки поверхности до оси вращения, а ф— угол, под которым линия на
поверхности пересекает меридиан, проходящий через эту точку; вдоль всей
геодезической имеем, следовательно,
г sin ф = С (формула Клеро).
Если в предыдущий интеграл подставить выражение линейного
элемента ds*t то получим
<ф-(§Л- — •
и нахождение геодезических выполняется в квадратурах.
8. Угол геодезической смежности. Пусть m и т' — две
соседние точки кривой С, As— длина дуги mm', mp и mrp — геодезические,
касающиеся линии С в этих точках, р — точка их пересечения, е — угол
между ними. Формула Оссиана Бонне дает
j ?д ds + е = — J* J* К da = — fy As + e,
m'm В
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 301
где D означает область, ограниченную криволинейным треугольником т'тр,
a Jg— среднее значение кривизны р^; допуская, что р^ — непрерывная
функция, имеем, следовательно,
+я«
do
lira
С другой стороны, | I d<z будет бесконечной малой третьего порядка
V
по отношению к приращению As; действительно, это хорошо известно для
интеграла j I du dv, распространенного на область Л плоскости (и, v), для
А
которой D является прообразом, в том случае, когда линии ufx и р/тс,
образами которых будут тр и т'р, имеют ограниченную кривизну. Поскольку
I I da = J J Hdudv, этот интеграл будет также бесконечно малой
D а
третьего порядка, если Н— непрерывная функция. Так же будет дело обстоять
с интегралом I I Kd<z, если К непрерывна в окрестности точки т. Мы
V
имеем, следовательно,
Б
р^=: Ига —.
Отсюда получаются новое определение геодезической кривизны и
интерпретация угла геодезической смежности (11.6); действительно, имеем
е = Дер
с точностью до бесконечно малых высшего порядка.
9. Геодезические окружности. Так можно назвать или
ортогональные траектории геодезических, проходящих через произвольную
фиксированную точку, или кривые постоянной геодезической кривизны.
Посмотрим, на каких поверхностях эти определения эквивалентны.
Для линейного элемента ds* вида ds* = du* -f- G dv* линии и = const
будут ортогональными траекториями геодезических, а геодезическая
кривизна этих линий равна
_ 1 dlnG
Если мы желаем, чтобы рд была функцией одного переменного и,
необходимо, чтобы G=f(u)g(v); заменяя, если нужно параметр t/, можно,
следовательно, считать, что G = G (а). Линейный элемент ds* будет тогда
линейным элементом вращения, и полная кривизна
„ 1 d*VG
YG du*
будет одна и та же вцоль всей кривой v = const.
Пусть теперь т и тг — две точки, достаточно близкие, чтобы
геодезическая окружность с центром в точке /я, проходящая через точку т\ имела
302
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
общую точку р с геодезической окружностью с центром в точке т\
проходящей через точку /п. Имеем
К{т') = К(р) и К(р) = К(т), откуда К(т') = К(т)\
следовательно, поверхность должна быть постоянной кривизны.
Обратное можно доказать, исходя из приведенной выше формулы для
полной кривизны, которая дает выражение G для поверхности постоянной-
кривизны.
10. Показать, что
"~&{.,.}+£Ш-{А}Ц}-ШЦ}+
И. Будем определять точку т поверхности ее геодезическими
расстояниями и и v от двух фиксированных точек поверхности, соответственно Ot
и 02. Пусть 6 — угол между геодезическими 0\Ш и 0<#n. Показать, что
d&
sin2 0
Глава IV
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
1. Введение. Мы теперь приступим к изучению „внешних" свойств
поверхности S; будем пользоваться сначала второй основной
квадратичной формой (II, 5.7, 5.8 и 5.8')
(1.1) П=-йпй = пл4($. £. Лп)"
= Ldu2-\-2Mdudv + N dv*.
Напомним формулы:
, дп дт %я дп dm dn dm xr дп дт
ди ди ' да dv dv ди * dv dv *
Поскольку п является единичным вектором, то
дп Л дп Л
ди dv
векторы дп/ди и dn/dv, таким образом, лежат в касательной
плоскости, и предыдущие выражения дают их ковариантные
компоненты
(1.2)
'для -^-: ч« = —I. т|« = —Л1;
для 4^: Ч!= —Л. Ч? = —ЛЛ
В вопросах, которыми мы будем сначала заниматься (вплоть
до § 4 включительно), требуется только, чтобы форма II была
известна с точностью до множителя; результаты, к которым мы
придем, принадлежат в действительности проективной дифферен-
диальной геометрии и могли бы быть получены с помощью формы
ilV = H-ll=(jg-, -^-, dzm\ = L'da2-\-2M'dudv + N'dv\
\ L' = HL, M' = HM, N' = HN.
Рассмотрим, например, поверхность
z = f(x. у);
304
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
вектор п имеет компоненты
—Р —Я 1
Yl+p2 + q2 ' Yl+P2 + g* ' Y\+pz + q2 '
а вектор d2m — компоненты
0, 0, d2z = rdx2-\-2sdxdy-\-tdy2\
отсюда
., г dx* + 2s dx dy + t dy* dp dx + dq dy
~ Yi+p* + 4* ~ Vi+/* + ** '
lY = rdx2 + 2sdxdy + tdy2 = dp dx + dqdy.
2. Расположение поверхности по отношению к касательной
плоскости. Обыкновенные точки второго порядка. Если форма II
не равна тождественно нулю в точке m (и, v) поверхности 5, то
положение точки m(u-\-Lu, v-\-bai) по отношению к касательной
плоскости в точке т(и, v) определяется знаком выражения
(2.1) nAm=l[n(-g. + t11)Ae«+...]-
= I \{L + su) Да* + 2 (М + s12) Ди Дг/ + (ЛГ + Ч2) №]
при этом вторые частные производные функции т(и, v)
предполагаются непрерывными, ellf s12> е22 обозначают скаляры, стремящиеся
к нулю вместе с приращениями Ди и Дг/. Выражение (2.1) можно
также записать в форме
(2.Г) n^m = ^[L^a2 + 2M^a^v^N^v2]'-^-^(^a2 + ^v2)t
тде s также стремится к нулю вместе ски Ду; чтобы изучить
его знак, нам надо будет рассмотреть три случая.
Первый случай. Эллиптическая точка. Форма II или
форма IF — знакоопределенная, т. е.
М2 — Ш<0 или М'2 — L'N'<0.
Если s будет достаточно малым, то можно найти такое число /г,
Что неравенство
М2 — (Z,-f-s)(W-f-s)<0
будет иметь место, если
|Дя|</г, |Дг/|</г;
при этих условиях пДт сохраняет постоянный знак и обращается
в нуль только для Д# = 0, Дг/ = 0. Это означает, что точка
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 305
щ (и -\-&и, v-\-kv) остается все время по одну сторону от
касательной плоскости в точке т, если Ли и Дг/ будут достаточно
малы; поверхность не пересекает свою касательную плоскость и
имеет с ней в некоторой окрестности только одну общую точку —
точку касания. Для определенности будем говорить, что
поверхность лежат выше своей касательной плоскости в точке т.
Пусть заданы две точки m-f-Axm и m + A2m с координатами
соответственно (и + Д^, v + А^) и (и + Д2и, v + А2а); с точностью до бесконечно
малых высшего порядка проекция точки m + А3Ш с координатами
(a+A*g + A*. Р+А»* + Д«р)
на касательную плоскость совпадает с серединой отрезка между
проекциями точек m + Aim и m + A2m, и разность
nAim+nA2m „А_
с точностью до бесконечно малых высшего порядка может быть
представлена в виде
она имеет знак формы II. Между тем пАт представляет собой отметку
высоты точки m + Am по отношению к касательной плоскости; замечание,
которое мы только что сделали, показывает, что точка m + Дзт лежит
Рис. 35.
в плоскости, проектирующей отрезок, соединяющий точки (m + Ajin) и
(т -f- A2m), ниже середины этого отрезка. Поэтому говорят, что
поверхность S выпукла в окрестности рассматриваемой точки, которая называется
эллиптической точкой поверхности S.
Второй случай. Гиперболическая точка, или точка с
кривизнами противоположных знаков. Форма II или форма IV не
306
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
является определенной, т. е.
M2 — LN>0 или М'2 — Z/A">0.
Возвращаемся к выражению (2.1'); аналогичные рассуждения
показывают нам, что уравнение
пДт = 0
определяет в окрестности точки m и в касательной плоскости
в точке m две ветви кривых Сх и С2, которые представляют собой
сечения поверхности 5 касательной плоскостью в точке m и
соответственно касаются направлений (du, dv), обращающих в нуль
форму II
(2.2) Ldu2-j-2Mdudv-+-Ndv2 = 0\
эти направления называются асимптотическими направлениями
поверхности в точке т.
Более того, пДт изменяет знак при пересечении кривой Сг или
кривой С2; следовательно, поверхность пересекает свою
касательную плоскость.
Рассечем поверхность плоскостью, проходящей через точку т, и
нормаль к поверхности S в точке т\ пусть это сечение имеет направление
Рис. 36.
(Ъи, bv), отличное от асимптотических направлений. Примем теперь Ьи и bv
достаточно малыми, чтобы п Am сохраняло один и тот же знак в точках
Аи = \Ъи, Av = \bv (|X|<1).
С точностью до бесконечно малых высшего порядка эти точки
проектируются на касательную плоскость на направление (but bv); имеем
nbm=^-{Lbu4 + 2Mbubv + Nbv2)+ ...,
это показывает, что сечение поверхности рассматриваемой плоскостью
будет кривой, которая в окрестности точки т обращена своей вогнутостью
к положительному направлению нормали или к ее отрицательному
направлению, смотря по знаку формы II для направления (Ъи, bv).
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 307
Если же мы примем за направление (Ьи, bv) асимптотическое
направление, то, предполагая существование непрерывных частных производных
третьего порядка для функции m (и, v), мы видим, что выражение п Дт
будет по крайней мере третьего порядка малости: следовательно,
асимптотическое направление имеет с поверхностью S касание не ниже второго
порядка, оно будет направлением, соприкасающимся к поверхности
в точке т.
Главные кривизны поверхности в такой точке имеют противоположные
знаки. Такая точка называется гиперболической точкой поверхности S.
Третий случай. Параболическая точка. Развертывающиеся
поверхности. Форма II или форма II' сохраняет постоянный знак,
но не является знакоопределенной: это случай, когда
(2.3) M2 — LN = 0 или М'2 — LW = 0.
Имеется одно двойное асимптотическое направление (du, dv),
задаваемое уравнением
L du2 + 2Mdudv-\-N dv2 = 0,
и точка называется параболической.
Такие же соображения показывают теперь, что нормальные
сечения, проходящие по направлению, отличному от асимптотического,
имеют вогнутость в одну и ту же сторону. Однако поверхность
может пересекать касательную плоскость или же оставлять ее с одной
стороны в зависимости от рассматриваемого случая; так,
поверхность z = y2-\-xz пересекает свою касательную плоскость в начале,
между тем как поверхность z = y2-\-xA не пересекает ее.
В силу (1.2) соотношение (2.3) напишется так:
Ъ ^2 .
дп дп
оно показывает, что два вектора -у— и -^— коллинеарны, например,
дп s дп
ди dv '
в точке m существует направление, определяемое равенством
du-\-\dv = 0, вдоль которого dn = 0, и это условие достаточно
для того, чтобы точка m была параболической.
На поверхности существует, вообще говоря, линия
параболических точек, определяемая уравнением (2.3); например, на торе
экстремальные параллели, вдоль которых касательная плоскость
перпендикулярна к оси, будут линиями параболических точек;
они отделяют множество эллиптических точек от множества
гиперболических точек. Впрочем, вообще, если поверхность касается
плоскости вдоль некоторой линии, то эта линия будет линией
параболических точек, ибо мы имеем dn-=0 вдоль всей этой
линии.
308
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Если поверхность состоит только из параболических точек,
то через каждую точку проходит линия, вдоль которой dn = 0.
Пусть о)1 = 0 определяет это семейство линий; равенство о)1 = О
должно иметь следствием о)^ = 0, а)3 = 0, соотношения (II, 1.2)
показывают теперь, что b = c = Q (иР1 = аы1\ (о^==0), отсюда
К=ас — 62 = 0. Поверхность, следовательно, будет
развертывающейся (III, 7). Кроме того, вдоль прямолинейной образующей
развертывающейся поверхности мы имеем dn = 0. Таким образом,
Поверхность, все точка которой параболические, является
развертывающейся, и обратно.
Точки уплощения. Если форма II обращается в нуль
тождественно, то для изучения расположения поверхности по отношению
к ее касательной плоскости нужно рассматривать производные
высших порядков. Уравнения
1 = 0, М = 09 АГ = 0
не что иное, как уравнения (I, I, 5.8'); такая точка,
следовательно, будет точкой уплощения, согласно введенному там
определению. Предыдущие три уравнения относительно и и vK вообще
говоря, будут несовместны, следовательно, на поверхности в общем
случае не имеется точек уплощения.
В силу того, что мы видели в (I, 1.5), поверхность, целиком
состоящая из точек уплощения, является плоскостью, и обратно.
Обыкновенные точки второго порядка. На поверхности 5,
не являющейся развертывающейся, эллиптические точки и
гиперболические точки образуют открытые множества; параболические
точки представляют собой особенные точки.
Мы будем называть обыкновенной точкой второго порядка
на поверхности 5 такую точку, в окрестности которой может быть
введена такая допустимая параметризация {и, v), что функция m {и, v)
будет иметь в этой окрестности непрерывные частные производные
второго порядка; точка тогда представляет собой или эллиптическую
или гиперболическую точку. Можно показать, как и в первой части,
что это свойство можно обнаружить, принимая в качестве
параметров подходящим образом выбранную пару декартовых.координат.
На развертывающейся поверхности 5 все точки будут
параболическими; мы будем называть на ней обыкновенной точкой второго
порядка любую точку, не являющуюся точкой уплощения. Легко
видеть, оставляя' в стороне особые точки ребра возврата, что
из обыкновенных точек второго порядка будут состоять те
прямолинейные образующие, которые выходят из обыкновенных точек
третьего порядка на ребре возврата.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 309
3. Асимптотические линии. В точке m поверхности 5
асимптотическими направлениями (du, dv) будут направления, для которых
форма II обращается в нуль: они действительны только в
гиперболических или параболических точках. Асимптотической линией
поверхности называется такая линия, в каждой из точек которой
направление касательной совпадает с асимптотическим направлением,
выходящим из этой точки.
Разрешая уравнение (2.2), найдем, если поверхность 5 не является
развертывающейся, два дифференциальных уравнения вида
dv . , ч dv х , х
ж = А(а, v), ж =/,(«. о)
и, следовательно, два семейства асимптотических линий,
получающиеся интегрированием каждого из этих уравнений; через точку
поверхности проходит одна асимптотическая линия каждого
семейства. Можно принять эти два семейства в качестве координатных
линий в окрестности гиперболической точки; уравнение (2.2) должно
приводиться тогда к виду dudv = 0; следовательно, мы должны
иметь L = 0, N = 0, и форма II примет вид
II = 2М du dv.
Вдоль всей асимптотической линии имеем, кроме равенства
ndm = 0, соотношение nd2m = 0; вектор n будет, следовательно,
бинормалью к кривой, и обратно, если п бинормаль к кривой,
то мы получим оба эти соотношения.
Таким образом, можно характеризовать асимптотические линии,
говоря, что их соприкасающаяся плоскость является касательной
плоскостью к поверхности х). Касательные к асимптотической линии
образуют развертывающуюся поверхность, описанную около
поверхности 5.
Если поверхность 5 содержит прямую, то она будет
асимптотической, ибо, поскольку вектор сРт коллинеарен вектору dm, то
форма II вдоль этой прямой обращается в нуль.
В случае развертывающейся поверхности 5 два семейства
асимптотических линий сводятся к одному, которое должно тогда
рассматриваться как сдвоенное семейство и которое в силу
вышесказанного образовано прямолинейными образующими
поверхности.
Асимптотические направления не будут действительными в
окрестности эллиптической точки; следовательно, через такую точку не
проходят действительные асимптотические линии; тем не менее на
аналитической поверхности можно всегда определить асимптотические
линии, действительные или мнимые.
х) Мы исключаем из наших рассуждений особые линии.
310
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Асимптотические линии на линейчатой поверхности. Рассмотрим
линейчатую поверхность S
m (и, v) = М (и) + vD (и);
имеем
dm = (NT + vD') du + D dv,
d2m = (M" + vD") du* + 2D' du dv.
Чтобы найти уравнение асимптотических линий, надо записать, что
вектор d?m лежит в касательной плоскости, определяемой векторами М' + *>D'
и D; это дает
[D, М' + t/D', (М" + vD") dut + 2D' du dv] = 0,
или
(D, M' + t/D', W + vD")du* + 2(D, M', D')dudv = 0.
Мы находим сначала семейство du = 0 (откуда и = const), состоящее
из прямолинейных образующих поверхности; это семейство будет
сдвоенным, если
(D, M', D') = 0,
и мы видели, что в этом случае поверхность будет развертывающейся.
В общем случае для определения второго семейства имеем уравнение
(3.1) 2 (D, M', D') -^- + (D, М' + vD', М" + *>D") = 0,
которое, если использовать развернутое представление смешанного
произведения по степеням параметра v, будет иметь вид
du
-JL+ax/z + 2bv + c = 0,
где а, Ь, с — функции параметра и; это уравнение Риккати, общее решение
которого, как известно, является дробно линейной функцией постоянной
интегрирования
С/(и) + у(и)
СЛ(и) + п(и)-
Если задать четыре частных решения этого уравнения: V{ (и) (/=1,
2, 3, 4), соответствующие значениям Q постоянной интегрирования., то
(«1. v2, *>з. щ) = (Q. с* Q. Q)-
Пусть Pi(u)= M-\-ViD — четыре асимптотические линии А(, где v\
пропорциональны абсциссам точек Р^ отсчитываемым от точки М на
соответствующей прямолинейной образующей; мы имеем, следовательно,
(Pi, Я2> Я3, Р*) = {СХ, С2, Q, Q),
т. е. ангармоническое отношение точек, в которых четыре асимптотические
линии пересекают прямолинейную образующую, не зависит от образующей.
Таким образом, если известны три асимптотические линии Alt A2* Аг, то мы
получим все асимптотические линии семейства, записывая равенство
(Pi, Ръ Рь Я4) = С
где С означает произвольную постоянную. Напомним еще, что если известно
одно частное решение уравнения Риккати, то интегрирование в общем слу-
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 311
чае получается двумя квадратурами; если известны два частных решения,
то понадобится только одна квадратура.
Если прямолинейные образующие поверхности S опираются на одну
прямую, которую можно тогда принять за линию М(и), где и означает
абсциссу на этой прямой, то ЛГ (и) будет постоянным вектором к и М" (и)
будет равно нулю. Уравнение (3.1) запишется так:
2 (D, k, D') -£ + v (D, к, D") + *>2 (D, D', D") = О
или, после умножения на v,
rf^(D.Mk.D-)]+o3(DtD,D,) = 0>
это уравнение, интегрирование которого требует только одной квадратуры.
Если прямолинейные образующие поверхности S опираются на две прямые,
то криволинейные асимптотические линии можно получить без квадратур.
4. Сопряженные направления. Сопряженные семейства
кривых. Для двух направлений (du, dv) и (Ъи, bv) форма, полярная
для квадратичной формы II
Ldubii-+-M(dubv-\-bvbu) + Ndvbv,
в силу соотношений (1.2) в очевидных обозначениях представляет
собой произведения
— dm 8n = — dn 8m.
Соотношение, полученное приравниванием к нулю этой
полярной формы
(4.1) Ldubu + M(dubv + dvbu) + Ndvbv = 09
определяет инволюцию направлений (du, dv) и (Ъи, bv), сдвоенными
направлениями которой служат асимптотические направления; оно
показывает, следовательно, что эти направления сопряжены
относительно асимптотических направлений (т. е. образуют вместе с
асимптотическими направлениями гармонический пучок); тогда говорят,
что направления (da, dv) и (Ъи, 8г/) будут сопряженными.
В параболической тонне одно из направлений (du, dv) или
(ои, 8г/) всегда совпадает со сдвоенным асимптотическим
направлением, и инволюция (4.1) вырождается.
Соотношение (4*1) можно записать также в виде
(4.1') dmbn = 0 или 8mdn = 0;
мы сейчас дадим ему новую интерпретацию.
Рассмотрим на поверхности 5 линию С, касательную к
направлению (du, dv), и развертывающуюся поверхность, описанную
около поверхности, вдоль этой кривой. Уравнение касательной
плоскости будет
п • тр = 0;
312
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
чтобы получить ее характеристическую прямую, надо присоединить
к этому уравнению соотношение, получаемое дифференцированием
по параметру, который служит для определения положения точки
кривой С; этот параметр будет встречаться в m и в п, поэтому
получаем
dn • mp — n • dm = О,
или
dn • mp = 0.
Следовательно, характеристика проходит через точку т и, если
обозначить через 8т ее направление, то мы должны иметь
п 8т = 0 и dn 8т = О,
соотношения, которые показывают, что 8т есть направление в
касательной плоскости, сопряженное с направлением dm. Это
направление зависит только от касательной к линии С, и мы видим, что
между направлениями dm и 8т имеется взаимность.
Зададимся теперь на поверхности 5 таким однопараметрическим
семейством линий Ф, что через каждую точку поверхности 5
проходит одна линия этого семейства; пусть
<р(я, г/) = С,
где С означает произвольную постоянную» будет уравнением
семейства Ф.
В каждой точке т поверхности 5 касательная (Ъи, bv) к линии
семейства Ф имеет сопряженное направление (duy dv).
Следовательно, на поверхности 5 мы имеем поле направлений, и
существует семейство кривых, которое в каждой ее точке касается
направлений этого поля. Это семейство называется семейством,
сопряженным семейству Ф; его дифференциальное уравнение
получается исключением Ьи и bv из уравнений (4.1) и
£*«+Й* = 0;
ди ~ dv
находим немедленно
Ldu + Mdv _ Mdu + Ndv
дер ду
ди dv
Семейство асимптотических линий будет сопряженным самому себе.
Замечания. 1° На развертывающейся поверхности понятие
сопряженного семейства не представляет интереса, так как либо семейство Ф
есть семейство прямолинейных образующих, и тогда оно допускает в
качестве сопряженного семейства любое другое семейство линий, либо
семейство Ф не совпадает с семейством прямолинейных образующих, и тогда оно
допускает в качестве сопряженного семейства семейство прямолинейных
образующих.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 313
2° Чтобы координатные линии образовывали два сопряженных.семейства,
необходимо и достаточно, чтобы Л1 = 0; обращаясь к уравнениям (3), мы
видим, что это выражается требованием того, чтобы вектор d^mjdu dv лежал
в касательной плоскости.
Это имеет место, в частности, если вектор д^т/ди dv тождественно
равен нулю, т. е. для таких поверхностей, что
m (и, v) = mt (и) + m2 (v),
называемых поверхностями переноса. Мы видим, что они получаются
переносом кривой Тх (получаемой переносом из кривой Сх [т^и)]) вдоль линии Г2
(получаемой из кривой С2[т2(а)]); или же, наоборот, переносом линии Г2
вдоль кривой Тх. Легко доказывается, что такая поверхность будет также
геометрическим местом середин отрезков mLm2, соединяющих произвольную
точку т^ кривой С\ с какой-нибудь точкой т2 кривой С2.
Рис. 37. Рис. 38.
3° Отступление по поводу конгруэнции. Мы видели (I, III, 6,с), что
прямые конгруэнции Cuv в общем случае касаются в точках /^ и /^ двух
фокальных полостей Ф^ и Ф2 и что на каждой полости (если она не
вырождается), скажем на Ф1, существуют два семейства кривых: первое
образовано ребрами возврата развертывающихся поверхностей конгруэнции,
описанных около Ф?, второе образовано линиями касания развертывающихся
поверхностей конгруэнции, имеющих ребра возврата на поверхности Ф2.
Пусть Г4 и Aj — кривые каждого из этих семейств, проходящие через
точку Fi поверхности Ф1в Касательная к линии Г^ есть прямая Cuv
конгруэнции, проходящая через точку F±. С другой стороны, если F±
перемещается по Alf то прямые Cuv допускают огибающую, которая лежит на
поверхности Ф2; характеристика касательной плоскости в точке Ft вдоль Дг
будет, следовательно, прямой Cuv, и значит, два направления, касательные
соответственно к линиям 1\ и Дг в точке Flt будут сопряжены на
поверхности Фх. Отсюда вытекает, что два семейства кривых V1 и At сопряэюены
на поверхности Ф^ то же самое будет иметь место для соответствующих
семейств (Г2) и (А2) на поверхности Ф2.
314
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
4° Сопряженные семейства Кёнигса. Вместе с поверхностью S
зададимся произвольной прямой А; конгруэнция Кёнигса, одна фокальная
лолость которой сводится к прямой А, а другая совпадает с поверхностью S,
имеет развертывающимися поверхностями плоскости, проходящие через
прямую А, и конусы, описанные около поверхности S, с вершинами на
прямой А.
В силу вышесказанного на поверхности S семейство плоских сечений,
проходящих через прямую А, и семейство линий касания конусов,
описанных около поверхности S и имеющих вершины на прямой А, образуют два
сопряженных семейства, которые получаются без интегрирования
(сопряженные семейства Кёнигса).
На всякой поверхности можно, следовательно, получить без
интегрирования совокупность сопряженных семейств, зависящих от четырех
параметров (число параметров, от которых зависит прямая А).
5. Триэдр Френе для кривой, проведенной на поверхности.
Теоремы Менье и Оссиана Бонне. К каждой точке m линии Г,
проведенной на поверхности 5, присоединим правый триортогональ-
ный триэдр с вершиной в точке т, определяемый направлениями
(t, ng, п), мы будем называть его триэдром Френе,
присоединенным к линии F на поверхности S1).
При изучении свойств линий на поверхности 5 этот триэдр
приносит ту же пользу, что и триэдр Серре—Френе при
изучении пространственных кривых.
Мы будем рассматривать, так же как делали раньше,
частные производные единичных векторов, которые несут оси этого
триэдра.
Пусть (t, v, b) — триэдр Серре — Френе линии Г в точке т;
обозначим через 6 угол вектора п с главной нормалью; имеем
n = vcos0-f-bsin0,
В
силу
ng = v sin 6 — b cos 6.
формул Серре — Френе (I, 2.3) находим
аЛ
ds
dng
ds
dn
ds
= pv = p cos 9n + p sin bng,
-> ->
= (— Р* "~h x"b) sin 0 -f- x v cos 6 + (v cos 0 -J-
= — psin0t + (x+-^-)n,
= (— pt -f- xb) cos 0 — x v sin 0 — (v sin 0 —
= _pcos9t-(T + -gH.
л М
bsme) —=
-bcos6)w =
l) Он будет правым, так как в гл. III в касательной плоскости к
поверхности S, в точке т, мы считали положительным направление от
вектора дт/ди к вектору дт/dv, определяли вектор п так, чтобы триэдр (дт/ди,
дт/dv, п) был правым, и получали вектор пд из вектора t поворотом на
угол + те/2»
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 315
В этих формулах, кроме геодезической кривизны p~ = psin0,
которую мы изучали в предыдущей главе, мы встречаемся с двумя
новыми величинами: pw = pcos0, называемой нормальной кривизной,
и хг = х -f- dftjds, которую мы будем называть относительным
кручением1).
В этих обозначениях полученные формулы запишутся так2):
(5.1)
-£ = * + РЛ+Р«п'
ds
ds
= — p^t-f-* + vi,
dn , .
-Й7 = — ?J — *rbg + *•
Непосредственно получается следующее замечание: вектор dn/ds
зависит только от направления касательной к линии F; так как
можно записать
dn дп da . дп dv
~~ds~ ~дй~ ~ds~~*~5v' ~ds*
то и правая часть в точке т зависит только от отношения dv/du.
Поскольку триэдр Френе, присоединенный к линии Г, проведенной на
поверхности 5, определяется касательной к линии F, последняя из
формул (5.1) показывает нам, что две величины рп (нормальная
кривизна) и тг (относительное кручение) будут одни и те же
для двух касающихся кривых: в этом состоят два результата,
из которых один принадлежит Менье, а другой — Оссиану Бонне
и которые мы последовательно рассмотрим.
Прежде всего, рассматривая триэдр первого порядка,
присоединенный к точке поверхности 5, будем искать выражения рп и хг;
из формул
dm = о)^! -|- о)2е2, dn = — (а\е1 — o)j*e2
получаем
о)1 ,0)2 й)2 0)1
t=dFei+di-e2- % = -rfi-ei+rfFe2'
J) Это название принадлежит Булигану; раньше говорили и теперь еще
очень часто говорят „геодезическое кручение*, но эта величина не является
геодезическим элементом; это название объясняется тем, что кручение
геодезической, касательной к линии Г в точке т, совпадает с относительным
кручением (в самом деле, имеем 0 = 0, следовательно, db/ds = 0).
2) Кинематический смысл этих уравнений заключается в следующем: они
показывают, что, когда т описывает линию Г с постоянной скоростью,
равной 1, мгновенное вращение <о триэдра Френе, присоединенного к линии Г
на поверхности S, имеет компоненты
->
<«>: *сг, — Рп» ?п-
316
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
откуда
dn
(О <й\ -\- (О 0>|
ds
и, следовательно,
(5.2)
(5.3)
?п =
ds*
~ds~*
2 3
• (О (Oj
ds*
dm dn
II
ds*
I '
dn (dm, n, dn)
ds*
П*Ж = '
ds*
6. Кривизна нормальных сечений. Индикатриса Дюпена.
Рассмотрим плоское сечение поверхности 5 нормальной плоскостью,
касательной к линии Г; угол б равен нулю в точке m этого
сечения, следовательно, рл представляет собой кривизну этого
нормального сечения. Если ввести радиус кривизны Rn этого сечения,
а также радиус кривизны R линии Г, то можно написать
R = Rncos6,
и это соотношение показывает нам прежде всего, что две линии,
проходящие через точку m и обладающие в этой точке одной и той
же соприкасающейся плоскостью, имеют один и тот же центр
кривизны, так как у этих кривых общая касательная и одно и то же
%
%\
ъ
VV\
пг
/9
Рис. 39.
значение угла б (этот центр кривизны будет, в частности, центром
кривизны плоского сечения поверхности общей соприкасающейся
плоскостью этих двух кривых).
Пусть теперь Сп — центр кривизны нормального плоского
сечения, касательного к линии Г. Точка Сп лежит на нормали к по-
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 317
верхности, центр кривизны С линии Г лежит в плоскости (п, п^),
и предыдущее соотношение показывает, что он лежит на
окружности диаметра тСП9 лежащей в этой плоскости. Эта окружность,
называемая окруоюностью Менье, является геометрическим местом
центров кривизны кривых, проведенных на поверхность 5 и
имеющих вектор t своей касательной. Прямая ССп встречает
геодезическую нормаль в точке Сд такой, что ^дтСд^=г\д\ эта точка
называется центром геодезической кривизны линии Г.
Чтобы закончить изучение кривизны линий на поверхности 5,
нам остается только рассмотреть, как меняется кривизна
нормальных сечений с изменением направления их касательных; имеем
Мы видим, что рЛ обращается в нуль (кроме точек уплощения)
только для асимптотических направлений.
Рис. 40.
Чтобы иметь удобное представление вариации нормальной
кривизны с изменением направления (du, dv) касательной, отложим на
ней отрезок длины 1/У|рЛ|. Найдем геометрическое место точек
р — концов этих векторов в касательной плоскости точки т, это
геометрическое место называется индикатрисой Дюпена для
поверхности в точке т.
Единичный вектор, нанесенный на направление касательной, имеет
контравариантные компоненты dujds и dv/ds, вектор mp имеет
контравариантные компоненты
1 du
x~YTMd8' у"
1 dv.
318
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
следовательно, между х и у существуют соотношения
/ [ + 1, если ря > 0\
(6.1) W + ^ + W/И (* = {-1. если Ря<о)-
Эти уравнения представляют два конических сечения с центрами
в точке ш, которые сопряжены друг с другом и направления общих
асимптот которых совпадают с асимптотическими направлениями
поверхности; нас будут интересовать только действительные ветви
этих сечений (рис. 40). Чтобы изучить их форму, мы должны
рассмотреть те же случаи, которые представлялись нам при изучении
положения поверхности относительно своей касательной плоскости;
следует различать:
1° Случай эллиптической точки (М2— LN < 0). В этом
случае ря сохраняет постоянный знак, индикатриса будет эллипсом
с центром в точке т, представляемым уравнением (6.1), в котором
для 8 берется знак коэффициента L.
2° Случай гиперболической точки (М2— ZJV>0). Здесь рп
меняет знак, индикатриса слагается из двух сопряженных гипербол,
имеющих в качестве асимптот асимптотические направления
поверхности 5 в точке т; на одной из этих гипербол рл положительно,
на,другой отрицательно.
3° Случай параболической точки (М2 — ZJV = 0). L и Л/не
могут одновременно обратиться в нуль, так как в противном
случае М тоже было бы нулем, точка была бы точкой уплощения,
а этот случай мы исключаем.
Если L Ф 0, то (6.1) дает, если взять для 8 знак коэффициента L,
{Lx + Myf = \L\;
это уравнение представляет пару прямых, параллельных сдвоенному
асимптотическому направлению и симметричных относительно точки т;
рЛ сохраняет один и тот же знак.
Во всех случаях соотношение, выражающее, что в точке m два
направления сопряжены относительно асимптотических направлений»
говорит также о том, что эти направления сопряжены относительно
одного из конических1 сечений индикатрисы.
С другой стороны, вернемся к формуле (2. Г) и рассечем
поверхность плоскостью, параллельной касательной плоскости и
находящейся от нее на расстоянии h\ уравнение проекции сечения на
касательную плоскость имеет вид
Л = 1 (Lx2 + 2Мху -Ь Ny2) + \ {х2 + f)>
где вместо приращений Ли и Ьм мы написали х и у; мы видим,
следовательно, что локально эта кривая с точностью до беско-
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 319
нечно малых высшего порядка подобна одному из конических
сечений индикатрисы.
7. Главные направления. Главные кривизны. Когда
индикатриса Дюпена — окружность, то рЛ не зависит от направления
касательной, формы I и II пропорциональны; мы имеем случай,
отмеченный в (I, 1), когда триэдры первого порядка являются триэдрами
Френе; точка будет омбилической (точка округления). Чтобы
получить этот случай, необходимо и достаточно, чтобы
L M N,
£=F = G(=P);
это два уравнения относительно и и v\ мы вновь убеждаемся в том,
что на поверхности омбилические точки, вообще говоря,
представляют собой изолированные точки. Эти соотношения эквивалентны
следующим:
(1)| = р<!)2,
или
откуда
dn = — o^ej — о)^е2 = — р dm,
pdm-\-dii = Q.
Обратно, если такое соотношение имеет место в некоторой
точке, то она будет омбилической, если р Ф О, так как, умножая
скалярно на вектор dm, мы сразу устанавливаем
пропорциональность форм I и II (если р = 0, то имеем точку уплощения).
Напомним, что поверхность, все точки которой омбилические, есть
сфера (II, 1).
За исключением омбилических точек, индикатриса Дюпена имеет
оси симметрии, которые соответствуют экстремальным значениям ря
и которые можно определить как пару ортогональных
сопряженных направлений.
Рассмотрим триэдр Френе, используя формулы (II, 1.8) и вводя
инвариантные линейные формы; имеем
/7 n n — PtW + PsW
Очевидно, что при изменении отношения а)2/^1 экстремум
функции рл будет иметь место для направлений о2 = 0 и о)1 = 0,
направлений, которые мы назвали главными, и что эти экстремальные
значения pt и р2 — инварианты, которые мы назвали главными
кривизнами (II, 1).
Обозначая через ср угол некоторого направления с
направлением о)2 = 0, имеем
0)1 . , СО*
+ 0)J- . • ш-
— т —, sin <p = ± —.
320
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
и формула (7.1) записывается так:
(7.2) pw = Pl cos2 cp + р2 sin2 ср.
Эта формула получена Эйлером, она позволяет подсчитать
значение рЛ, если известны plt p2 и ср. Из этой формулы видно, что
сумма нормальных кривизн рЛ и р^ по двум перпендикулярным
направлениям постоянна и равна сумме главных кривизн; действительно,
имеем
pw = Plcos2cp-r-p2sin2cp,
Рп = Picos2 (? + J) + Р2 sin2 (? + "J) = Pi sin2 <P + P2 ~°s2 cp,
откуда
Pn + Pn = Pl + P2 = 2Pm.
где рт означает среднюю кривизну (II, § 1).
Мы видим, что главное направление ортогонально своему
сопряженному; в обозначениях § 4 это записывается так:
dm 8m = 0, dn8m=0,
откуда
(р dm + dn) 8m = 0 (р = pt или р2).
Но в силу (5.2) имеем также
(р dm + dn) dm = 0,
следовательно, вектор касательной плоскости pdm-\-dn равен нулю,
поскольку он ортогонален к векторам 8т и dm, которые взаимно
ортогональны.
Обратно, направление, обладающее тем свойством, что
(7.3) pdm+dn = 0,
является главным направлением; скалярное умножение
соотношения (7.3) на вектор 8т дает dmbm = 0, если только р Ф 0; но
в противном случае соотношение (7.3) сводится к dn = 0,
следовательно, речь будет идти о параболической точке и о сдвоенном
асимптотическом направлении, которое будет также главным
направлением.
Равенство (7.3) называется формулой Олинда Родрага и
означает, что вдоль главных направлений векторы dm и dn коллинеарны;
в силу соотношения (1.2) эти направления задаются в координатах
(и, v) уравнением
Ldu + Mdv _ Mdu + Ndv
VA) Edu + Fdv ~ Fdu+Gdv*
которое в точности выражает пропорциональность ковариантных
компонент векторов dm и dn.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 321
Наконец, вместе с кривизнами рх и р2 мы введем также
обратные к ним величины /?1=1/р1 и /?2=1/р2, которые называются
главными радиусами кривизны.
Пусть Сх и С2— центры кривизны нормальных сечений, идущих
по главным направлениям, или главные центры кривизны; вид
индикатрис показывает, что центры кривизны нормальных сечений
описывают при изменении направления отрезок СхСг% если точка
эллиптическая, внешнюю область интервала С^С^ если точка
гиперболическая, и полунормаль с концом в точке Cv не содержащую
точки т9 если точка параболическая, причем центр С2 уходит
в бесконечность.
с2+
т
СЛ
c2i
т
с,+
/71
Эллиптическая Гиперболическая Параболическая
точка точка точка
Рис. 41.
Приложение. Минимальные поверхности. В точке поверхности,
где средняя кривизна равна нулю, индикатриса Дюпена будет
равносторонней гиперболой, т. е. гиперболой с перпендикулярными асимптотами, и обратно.
На поверхности, вообще говоря, существует линия точек с нулевой средней
кривизной, задаваемая уравнением pt + р2 == 0.
Минимальной поверхностью называется поверхность, у которой
средняя кривизна равна нулю в каждой точке; ее асимптотические направления
во всех точках будут взаимно ортогональными, и обратно; отсюда следует,
что сопряженные направления будут симметричны относительно каждого из
асимптотических направлений.
То же относится, в частности, к изотропным направлениям,
касательным к минимальным линиям поверхности; поскольку на плоскости всякая
пара направлений, сопряженных относительно изотропных направлений,
образована парой ортогональных прямых, отсюда следует, обратно, что
всякая поверхность, у которой в каждой точке изотропные направления
касательной плоскости сопряжены, будет минимальной поверхностью.
Принимая теперь на минимальной поверхности S минимальные линии
за координатные, имеем
0 =
dm дп дт дп
ди dv'
dv ди
д*т .
dudv'
322
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
с другой стороны, из соотношении
следует, что
(5Г-* №-°
дт дЬп __ дт д*т __0
ди dudv~~ ' dv dudv~~
Вектор d^mjdu dv, таким образом, перпендикулярен трем векторам: дт/ди
dm/dv и п; следовательно, он тождественно равен нулю, и мы имеем
m = Ш! (и) -{- m2 (v),
где
(%)•-«• Й?У-«
итак, минимальные поверхности являются поверхностями переноса,
образованными их минимальными линиями.
На действительной минимальной поверхности ее минимальные линии
будут попарно комплексно сопряжены; обращаясь к формулам (1,10.1), мы
видим, что аналитическая минимальная поверхность задается уравнениями
^ = Re[-/(/'-*/")L
(t = и + iv),
где /—аналитическая функция переменного t и где знак Re означает
действительную часть аналитической функции, стоящей после этого знака. Эти
формулы принадлежат Вейерштрассу.
8. Линия кривизны. Эволюты, или поверхности центров
кривизны поверхности. Линии на поверхности 5, которые в каждой
своей точке имеют касательными одно из главных направлений,
называются линиями кривизны. Кроме сферы и плоскости —
поверхностей, на которых все линии будут линиями кривизны, в общем
случае на каждой поверхности существует два взаимно
ортогональных семейства линий кривизны; они получаются интегрированием
дифференциального уравнения (7.4).
Вдоль линии кривизны выполняется, следовательно, соотношение
Олинда Родрига (7.3), где скаляр р имеет значение одной из
главных кривизн pt и р2; обратно, если вдоль линии F поверхности 5
имеет место соотношение Олинда Родрига, то эта линия будет
линией кривизны. Следовательно, вдоль линии кривизны три вектора п,
dm, dn компланарны; это показывает, что нормали к поверхности S
вдоль этой линии описывают развертывающуюся поверхность х),
1) Отсюда следует, что если две поверхности касаются вдоль одной
линии, которая является линией кривизны для одной из них, то она будет
линией кривизны и для другой; отсюда понятие полосы кривизны.
ГЛ IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 323
что, впрочем, является прямым следствием того, что вектор dm
перпендикулярен своему сопряженному направлению 8т.
Действительно, вдоль линии кривизны Г носители вектора &т, которые
будут геодезическими нормалями п^, имеют огибающую и,
следовательно, остаются касательными к эволюте линии Г; мы получим
другую эволюту линии Г, поворачивая эти носители на прямой угол
около касательной к линии Г. Но полученные таким образом
прямые будут в точности нормалями к поверхности 5 вдоль линии Г
и, следовательно, будут огибать новую эволюту линии Г. Наоборот,
если нормали к поверхности 5 вдоль линии Г описывают
развертывающуюся поверхность, обратное рассуждение показывает, что Г
есть линия кривизны.
Приступим прямо к отысканию линий Г, вдоль которых нормали
к поверхности 5 имеют огибающую. Мы можем написать
p = m + /?n,
где р означает текущую точку нормали и R— ее абсциссу,
отсчитываемую от точки ш; имеем
dp = dm + /? rfn + n dR.
Чтобы можно было определить R так, чтобы вектор dp был
коллинеарен нормали п, необходимо, чтобы вектор dm-\-Rdn был
коллинеарен п; но этот вектор ортогонален нормали п,
следовательно, он должен равняться нулю, и мы снова приходим к
соотношению Олинда Родрига в форме
dm-+-Rdn = 0.
Сравнивая его с соотношением (7.3), видим, что R=l/pf т. е.
R равно одному из главных радиусов кривизны Rt или /?2, и
нормаль касается своей огибающей в центре кривизны Сг или С2 х).
Если р = 0, то R обращается в бесконечность, и если это имеет
место вдоль всей рассматриваемой линии кривизны F, то dn = 0,
следовательно, вектор п сохраняет постоянное направление вдоль
линии Г и описывает цилиндр.
!) Это определение иногда бывает удобно для получения уравнения
линий кривизны; рассмотрим, например, поверхность вида
z = f(x, у);
текущая точка нормали имеет координаты
X = х -f- \pt
Y=y+\q,
Z = z-\
324
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Мы теперь характеризуем
развертывающиеся
поверхности и фокальные поверхности
конгруэнции нормалей к
поверхности S, исключая из
наших рассуждений конгруэнции
нормалей к сфере
(конгруэнции прямых, проходящих
через неподвижную точку) и
конгруэнции нормалей к
плоскости (конгруэнции прямых,
параллельных фиксированному
направлению).
Как и в соотношении (2.1),
обозначим через tt и t2
касательные к линиям кривизны
Гг и Г2, проходящим через
точку т. Если m описывает
линию Т{ (/=1, 2), нормаль
к поверхности 5 описывает
развертывающуюся
поверхность Д^ и касается своей
огибающей в
соответствующем главном центре
кривизны С{ (тС{ = Ri • п). Ее
ребро возврата Ai будет
лежать на поверхности Di%
геометрическом месте точек С{.
Две поверхности Dx и D2 называются эволютами, или
поверхностями центров кривизны поверхности 5, это — фокальные по-
Рис. 42.
где X означает параметр; имеем
dX — dx + X dp+pd\,
dY = dy + ldq + q d\t
dZ = dz — dl.
Записывая, что этот вектор коллинеарен вектору (р, q, — 1), получаем
dx + \dp __ dy + X dq dz
J q
откуда, исключая Х, находим
dx + pdz _ dy -\-qdz
~dp ~~ dq f
что можно написать, прибавляя к обеим частям zt
d(x + pz) = d(y + qz)^
dp dq
T9
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 325
верхности конгруэнции нормалей (в аналитическом случае это, вообще
говоря, две полости одной и той же аналитической поверхности).
Две касательные плоскости в точке m к развертывающимся
поверхностям Дх и Д2 задаются соответственно векторами (n, tx) и (n, t2),
это будут, по определению, фокальные плоскости конгруэнции
нормалей к поверхности 5 для нормали в точке т; поскольку они
взаимно перпендикулярны, мы получаем следующий результат:
Фокальные плоскости конгруэнции нормалей к поверхности
взаимно перпендикулярны.
Отсюда следует, что если посмотреть из какой-нибудь точки
пространства, то две эволюты Dt и D2 будут казаться
пересекающимися под прямым углом, так как если посмотреть, например, из
какой-нибудь точки р нормали в точке т, то фокальные плоскости
будут касательными плоскостями двух конусов с вершинами в
точке р, описанных соответственно около Dx и D2.
С другой стороны, касательная плоскость к поверхности Dx
в точке Сх есть плоскость (n, t2), ибо если m описывает линию Г2,
то нормали к поверхности 5 порождают развертывающуюся
поверхность, описанную около Dt вдоль кривой Bv проходящей через
точку Сг; но если точка m описывает линию Tv то нормаль
огибает кривую Av соприкасающаяся плоскость которой в точке Ct
будет плоскостью (n, tx) и, следовательно, будет нормальной к
поверхности Dx\ это будет иметь место во всех точках линии Аи
следовательно, эта линия будет геодезической линией поверхности Dt.
Окончательно, линии Ах образуют однопараметрическое семейство
геодезических линий на поверхности Dx; что касается семейства
линий В1% то в силу того, что мы говорили в § 4, они будут
сопряжены семейству (Ах).
По той же причине ребра возврата А2 другого семейства
развертывающихся поверхностей будут геодезическими на
поверхности D2 и развертывающиеся поверхности первого семейства будут
касаться поверхности D2 вдоль семейства линий (В2), сопряженного
семейству (Л2); таким образом,
Ребра возврата развертывающихся поверхностей конгруэнции
нормалей к поверхности S будут геодезическими фокальных
поверхностей 1).
*) Называют сферами кривизны Sj и 22 поверхности в точке ш сферы,,
проходящие через эту точку, с центрами в точках Ct и С2. Семейства (Ei)
и (22) в общем случае зависят от двух параметров. Сфера 2$ допускает
точку m своей характеристической точкой, и эта точка, находясь в
касательной плоскости к геометрическому месту центров, будет ее единственной
характеристической точкой, следовательно, сдвоенной. Обратно, семейство
сфер, зависящее от двух параметров с совпадающими характеристическими
точками, образует семейство сфер кривизны огибающей; геометрическое место
их центров будет эволютой для огибающей.
326
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
9. Конгруэнции нормалей. Так называются конгруэнции прямых,
которые являются нормалями некоторой поверхности 5; они будут
тогда нормалями ко всем поверхностям, параллельным этой
поверхности.
Мы видели, что для того, чтобы конгруэнция была конгруэнцией
нормалей, необходимо, чтобы фокальные плоскости были взаимно
перпендикулярны; мы покажем сейчас, что это условие также а
достаточно.
Действительно, определим конгруэнцию при помощи
направляющей поверхности 2[Р(#» v)\» через каждую точку которой
проходит прямая, определяемая единичным вектором D(tf, v);
произвольная точка этой прямой задается равенством
где р — ее абсцисса, отсчитываемая от точки Р.
Предположим, что координатные линии на поверхности £
высекаются развертывающимися поверхностями конгруэнции; имеем тогда
(»■ £• £)=«• (•>• £• £)=<>•
Для того чтобы эта конгруэнция была конгруэнцией нормалей, надо,
чтобы можно было определить р так, чтобы
D dm = 0;
если учесть соотношение D2 = 1 (откуда D (Ю = 0), то это уравнение
запишется так:
DdP + dp = 0.
Это уравнение в полных дифференциалах, которое, если оно вполне
интегрируемо, определяет р с точностью до аддитивной константы,
и конгруэнция будет тогда конгруэнцией нормалей к семейству
параллельных поверхностей. Условие интегрируемости имеет вид
dv\u ди) ди\и dv )'
или, после упрощения,
/on aP дР _ дР 3D
(УЛ) ~Ш dv~ dv да*
Между тем, если фокальные плоскости ортогональны, то триэдр
(D, дЪ/ди, dD/dv) триортогонален; значит, вектор dD/du
перпендикулярен к фокальной плоскости (D, dD/dv, dP/dv) и, в частности,
к вектору dP/dv. Поэтому имеем (dP/dv) (dD/du) = 0 и так же
находим, что (dP/du) (dD/dv) — 0; эти два скалярных произведения
фигурируют в уравнении (9.1), и они, следовательно, равны между собой.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 327
поскольку каждое из них равно нулю; итак, конгруэнция будет
конгруэнцией нормалей.
Отсюда следует, что если задать на поверхности однопараме-
трическое семейство геодезических, то касательные к этим линиям
образуют конгруэнцию нормалей, так как в некоторой точке одна
из фокальных плоскостей будет касательной плоскостью к
поверхности, другая — соприкасающейся плоскостью к геодезической,
проходящей через эту точку, а эти две плоскости взаимно
перпендикулярны,
10. Примеры. Г Развертывающиеся поверхности. Если поверхность S
развертывающаяся, то ее образующие составляют первое семейство линий
кривизны, так как вдоль образующей нормаль остается параллельной
фиксированному направлению. Другое семейство будет состоять из ортогональных
траекторий образующих, которые будут служить эвольвентами ребра
возврата; их, следовательно, можно получить одной квадратурой.
Одна фокальная полость конгруэнции нормалей уходит в бесконечность,
другая является огибающей спрямляющих плоскостей ребра возврата.
Для конуса второе семейство линий кривизны образовано линиями
пересечения конуса сферами с центром в его вершине; для цилиндров она
состоит из ортогональных сечений.
Непосредственно видно, что, для того чтобы прямая была линией
кривизны на поверхности, касательная плоскость вдоль этой прямой должна быть
неподвижной, отсюда следует, что развертывающиеся поверхности —
единственные поверхности, допускающие семейство прямых в качестве линий
кривизны.
2° Поверхности вращения. Если S — поверхность вращения, то нормали
вдоль всякого меридиана будут лежать в плоскости этой кривой;
следовательно, меридианы образуют первое семейство линий кривизны; и в каждой
точке центр главной кривизны и центр кривизны меридиана совпадают.
Другое семейство линий кривизны состоит из параллелей; вдоль
параллели нормали образуют конус вращения с вершиной на оси поверхности;
в произвольной точке соответствующий главный центр кривизны лежит на
пересечении нормали с осью вращения.
Следовательно, из двух полостей поверхности центров одна будет осью
вращения (или частью этой оси), а другая — поверхностью вращения с той
же осью, описываемой плоской эволютой меридиана.
П. Сферическое изображение. Третья квадратичная форма
поверхности. Пусть 5 — поверхность т(и, v); проведем через
начало О вектор 0[х, равный нормали п. Точка [х лежит на сфере Е
с центром в точке О и радиусом 1; касательная плоскость к сфере Е
в точке [х параллельна касательной плоскости к поверхности 5 в
точке т.
Кроме плоскостей и развертывающихся поверхностей, для
которых это построение бесполезно, мы получаем таким образом
сферическое изображение поверхности S, взаимно однозначное
в окрестности всякой не параболической точки, ибо если дп/ди /\
Л dn/dv не равно нулю, то изображение (и, v) будет полным на сфере 2;
вектору dm касательной плоскости на поверхности 5 в точке m
328
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
соответствует вектор d\i = dn касательной плоскости сферы Е
в точке [л.
Всякой кривой С, проходящей через точку т поверхности 5,
соответствует линия Г на сфере Е. Поскольку развертывающаяся
поверхность D, описанная около поверхности 5 вдоль линии С,
и развертывающаяся поверхность Д, описанная около сферы £, вдоль
линии Г, соответствуют между собой параллельностью касательных
плоскостей, их соответствующие образующие будут параллельны.
Между тем, если dm — вектор, лежащий на касательной к линии С, а
dn — соответствующий вектор касательной к линии Г, то, поскольку
все точки сферы S — омбилические, направление 8т прямолинейной
образующей поверхности £ (или поверхности D) будет
перпендикулярно к вектору dn\b имеем, следовательно,
8m dn = 0.
Это новое доказательство и геометрическая интерпретация
соотношения сопряженности двух направлений: касательная к линии Г
в точке fi ортогональна сопряженному направлению касательной
к линии С.
Заметим теперь, что наряду с квадратичными формами I и II
форма
III = (0)3)2 + (0,3)8
также инвариантна, т. е. она остается неизменной для всех три-
•*•
эдров первого порядка; эта форма представляет собой dp2 = dn2,
т. е. линейный элемент ds2 сферы £ в параметрах (a, v)
сферического изображения поверхности S.
Принимая, в частности, в качестве репера триэдр Френе, получаем
(li.i) iii = p?(»1),+pS(«V.
откуда
(11.2) К\ — 2PmII + III = 0;
это соотношение показывает, что форма III не будет независима от
форм I и II и позволяет вычислить ее.
Равным образом имеем
о)ЗЛо>| = р^а^Л»8 = pfaHduAdv,
что дает с точностью до знака элемент площади di сферы £, и
с точностью до знака
(11.3) dx = Kdo.
Чтобы придать этой формуле смысл, не зависящий от знака
кривизны /С, заметим, что, когда направление dm касательной пло-
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 329
скости в точке m поворачивается, сопряженное направление 5т
поворачивается в том же направлении, если индикатриса в этой
точке будет эллипсом; оно поворачивается в обратном направлении,
если она будет гиперболой. Но, поскольку вектор dn ортогонален
вектору 8т, он, следовательно, вращается в том же направлении,
что и вектор dm, в эллиптической точке, и в обратном направлении
в гиперболической точке. Отсюда вытекает следующее утверждение.
Пусть кривая С поверхности S есть граница односвязной области D,
содержащей внутри себя и на границе только эллиптические или
только гиперболические точки, и пусть А — образ области D, также
односвязный, с границей Г, образом кривой С; если линия С
обходится в по лоэюите льном направлении, то линия Г на сфере Е будет
обходиться также в положительном направлении, если область D
содероюит только эллиптические точки и в противоположном
направлении, если область D содероюит только гиперболические
точки.
Дадим приложение формул (11.3); будем употреблять для обозначения
элементов, относящихся к сфере, буквы с чертой над ними, так что
— o)j = со , — tog = (о ;
формулы
о 2 3 j 3 23
будут эквивалентны формулам
доз = — (о Л ©if а<о = <охл <°i>
откуда получаем
—2 2
Поскольку
находим, что
Pgds= di arctg— J-\- v1 = dl arctg-^
J ?gds = J vg ds,
причем направление обхода по линии Г соответствует положительному
направлению обхода по линии С, определенному по установленному правилу. Поэтому
доказательство формулы Оссиана Бонне в общем случае может быть сведено
в силу (11.3) к случаю сферы, для которой оно получается легко1). Кроме
того, имеем
Д V
*) Это один из классических путей, применяемых для этого
доказательства.
330
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
это дает интерпретацию двойного интеграла, встречающегося в формуле
Оссиана Бонне: этот интеграл при условии (11.3) равен площади
сферического изображения области D.
Замечание. Так как поверхность определяется двумя квадратичными
формами I и II, непосредственно возникает вопрос о возможности
определения поверхности какими-либо двумя из трех форм I, II, III.
Задать форму III, значит, задать сферическое изображение поверхности;
таким образом, получаем так называемую задачу сферического изображения.
Многочисленные приложения имеет задача определения поверхности
по второй и третьей формам; главные кривизны Pt и р2 будут значениями р,
для которых форма р II — III имеет дискриминант, равный нулю; линейные
инвариантные формы будут тогда определены с точностью до знака, второй
из формул (II, 5.1) и формулой (11.1).
12. Относительное кручение. Четвертая квадратичная форма.
Нам остается рассмотреть вариацию относительного кручения линий
с изменением направления их касательных. Возвращаясь к
формуле (5.3) с триэдром Френе, имеем
IV «1~»
О) (О,
2"
1 = (Р2 —Pi)
откуда окончательно следует
(12.1) хг = (р2 — рх) sin cp cos ср;
здесь угол ср — это тот самый угол, который мы ввели в § 7
[формула (7.2)]. Эта формула, полученная Оссианом Бонне, выражает
относительное кручение как функцию главных кривизн и угла ср;
из нее непосредственно вытекает, что
(12.2)
J *r(<p) + Tr(—<p) = 0.
{ v(<p)-Hr(<p+|-) = o.
В точке, не являющейся омбилической, тг обращается в нуль
только для главных направлений; это новое свойство главных
направлений может служить их характеристикой.
Что касается вычисления квадратичной формы IV, то в силу (5.3)
имеем
IV = — n^ ds dn;
но векторы dn и ngds имеют ковариантные компоненты
dn: — {Ldu-\-Mdv\ —(Mdu + Ndv),
ngds = dm*: —Hdv, Hda;
отсюда в силу (III, 8.3)
1
IV
= jr[(Edu + Fdv)(Mda-JrNdv) — (Fda + Qdv)(Ldu + Mdv)l
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 331
Из тождества
(Ю1Ш| _ a)2(of)2 = [(со1)2 + (со2)2] [(о>з)2 + (*1)2] — [а>Х + ^Y
непосредственно получаем
(IV)2 = I. III — (II)2,
или, принимая во внимание (11.2),
(IV)2-HPlI-II)(,o2I-II) = 0.
Приложения.
1° Кручение асимптотических линий. Вдоль асимптотической линии
угол 6 главной нормали с вектором пд равен нулю или я, следовательно,
хг = т и угол ср асимптотического направления определяется уравнением
pt COS2 ср + р2 Sin2 ср = О, ИЛИ tg ср = ± 1/ — -^-.
' Р2
Подставляя это в формулу (12.1), получаем
х=± у:=7^= ±YIIKt
причем знак перед радикалом определяется формулой, задающей tg ср.
Итак, квадрат кручения асимптотической линии равен полной кривизне
с обратным знаком; этот результат принадлежит Эннеперу.
2° Теорема Иоахимсталя. Рассмотрим две поверхности 5Х и 52,
пересекающиеся по линии С; пусть х*— относительное кручение
линии С на поверхности 5Г х2— ее относительное кручение на
поверхности S2. Необходимым и достаточным условием того, что
xj = x2 является выполнение равенства dftilds = dQ2lds, т. е.
разность 02— бх должна оставаться постоянной вдоль линии С, где бх
и б2 обозначают углы главной нормали в точке линии С с нормалями
к поверхностям Sx и 52 соответственно. Это означает, что
поверхности 5Х и S2 должны пересекаться вдоль всей линии С под
постоянным углом.
Рассмотрим, в частности, случай, когда х* (или х2) равно нулю,
что соответствует случаю, когда С — линия кривизны на
поверхности St (или 52); непосредственно видно, что среди трех
утверждений:
С—линия кривизны на Slt
С — линия кривизны на 52,
поверхности Sx и 52 пересекаются под постоянным углом вдоль
линии С,
332
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
из справедливости любых двух из них вытекает справедливость
третьего; это предложение и называется теоремой Иоахимсталя1)*
На сфере или на плоскости все линии являются линиями
кривизны; следовательно, чтобы плоская (или сферическая) кривая была
линией кривизны на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы
плоскость (или сфера), содержащая эту линию, пересекала
поверхность под постоянным углом.
3° Траортогональные системы. Теорема Дюпена. Допустим,
что в некоторой окрестности пространства имеется три таких одно-
параметрических семейства поверхностей, что через каждую точку
этой окрестности проходит одна и только одна поверхность каждого
семейства; пусть
(Sx): F^x, у, z) = u,
(S2): F2(x, у, z) = vt
(53): Fz(x, y, z) = w
— уравнения этих трех семейств в прямоугольных координатах.
Тогда точка т рассматриваемой окрестности может быть
представлена с помощью криволинейных координат (и, v9 w).
Говорят, что эти три семейства образуют триортогоналъную
систему, если три поверхности, проходящие через произвольную
точку рассматриваемой окрестности, взаимно перпендикулярны; это
условие выражается формулами
dm dm ~ dm dm ~ dm dm n
dv dw * dw du * du dv
Мы покажем, что поверхности триортогональной системы
пересекаются по линиям кривизны, этот результат принадлежит
Дюпену2).
Другими словами, надо показать, что линии пересечения Сц
поверхностей Sf и Sj (/, у = 1, 2, 3; ЬФ]) будут линиями кривизны
для поверхностей Si и Sj, на которых они лежат.
Поскольку поверхности Si и Sj пересекаются под постоянным
углом, относительное кручение линии Сц одно и то же на обеих
поверхностях Si и 5^; мы будем обозначать относительные
кручения через
т* для С23, т2 для С31, т* для С12.
!) Читатель может получить доказательство, не прибегая к понятию
относительного кручения, а используя результаты относительно эволют
пространственных кривых.
2) Теоремы Иоахимсталя и Дюпена полезны при отыскании линий
кривизны.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 333
С другой стороны, для кривых Су, проходящих через заданную
точку ш, поскольку они попарно ортогональны, имеем формулы (12.2)
что дает
г г г *
и эти равенства показывают, что кривые Су будут линиями
кривизны на поверхностях 5| и Sj.
Примером триортогональной системы может служить система,
одно семейство которой состоит из поверхности 5 и параллельных
ей поверхностей, а два других семейства образованы
развертывающимися поверхностями конгруэнции общих нормалей к поверхностям
первого семейства.
Таким образом, произвольно заданная поверхность всегда
образует часть некоторой триортогональной системы; в
противоположность этому произвольно заданное семейство поверхностей,
в общем случае, не образует части триортогональной системы.
Действительно, пусть (5Х) — такое семейство; для семейств (52)
и (53), дополняющих эту систему, касательная плоскость в каждой
точке будет определяться нормалью к поверхности семейства (5^,
проходящей через эту точку, и одним из главных направлений.
Следовательно, каждое из этих семейств определяется уравнением
в полных дифференциалах, которое в общем случае не будет вполне
интегрируемым.
13. Точечные преобразования и преобразования касания,
сохраняющие асимптотические линии. Точечные преобразования точек
пространства Z23 в пространство Е\ (или, более общо, в силу замечания, сделанного
в § 1, пространства Я3 в пространство Р% такое, что асимптотические линии
произвольной поверхности S пространства £3 переходят в асимптотические
линии преобразованной поверхности St в пространстве Е\, должны
переводить плоскости в плоскости, потому что это единственные поверхности,
у которых все линии асимптотические. Следовательно, прямые как
пересечение плоскостей должны преобразовываться в прямые; в силу этого, как мы
видели (О, I, 23), такое преобразование необходимо будет проективным.
Обратно, непосредственно видно, что всякое проективное преобразование
сохраняет асимптотические линии.
Обратимся теперь к преобразованиям касания, сохраняющим
асимптотические линии. Для этого нам надо немного обобщить понятие
асимптотической полосы: это будет теперь однопараметрическое многообразие элементов
касания (определяемых точкой m и направлением п нормали к плоскости
элемента в этой точке), таких, что
п dm = 0, n d?m = 0.
334
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Кроме развертывающихся полос, это многообразие содержит конусы
элементов касания (dm = 0) и прямые, несущие полосу Мх, которая зависит
от произвольной функции.
Рассмотрим теперь преобразование касания первого класса, сохраняющее
асимптотические линии. Точке m пространства & соответствует
поверхность Sx пространства £^, и поскольку произвольный конус, проходящий
через точку т, является асимптотической полосой, его образ, который будет
некоторой кривой поверхности Slt тоже будет асимптотической линией;
следовательно, поверхность Si будет плоскостью. По тем же соображениям,
образ точки mi пространства Ех в пространстве Е будет плоскостью. Таким
образом, это преобразование переводит точки в плоскости и плоскости
в точки; если его сочетать с преобразованием взаимных иоляр, то получим
точечное преобразование, переводящее плоскости в плоскости, значит,
некоторое проективное преобразование. Итак, рассматриваемое преобразование
будет произведением преобразования взаимных поляр и проективного
преобразования, следовательно, будет преобразование по принципу
двойственности. Обратно^ непосредственно видно, что всякое преобразование по
принципу двойственности сохраняет асимптотические линии.
Посмотрим теперь, существуют ли преобразования касания второго
класса, сохраняющие асимптотические линии. Точке пространства Zi3 такое
преобразование сопоставляет линию пространства, способную нести
бесконечное множество асимптотических полос; такая линия, будет, следовательно,
прямой. Итак, каждой точке одного пространства соответствует прямая
в другом пространстве.
Пусть теперь в пространстве £з заданы четыре точки а,. Ь, с, d,
образующие тетраэдр; им соответствуют в пространстве Е\ четыре прямые А±,
Bit Ct, £>i. Существует по крайней мере одна прямая, пересекающая эти
четыре прямые и, значит, имеющая с ними общий элемент касания. Ее образ,
обязанный содержать бесконечное множество асимптотических полос,
зависящее от произвольной функции, будет точкой, прямой или плоскостью.
Следовательно, в пространстве & должна существовать точка, прямая или
плоскость, имеющая общий элемент касания с точками а, Ь, с, d, но таких
не существует; следовательно, не существует и такого преобразования.
14. Точечные преобразования, сохраняющие линии кривизны. Такое
преобразование должно переводить сферу или плоскость (рассматриваемую
как сфера бесконечного радиуса) в сферу или в плоскость, поскольку это
единственные поверхности, линии кривизны которых зависят от
произвольной функции.
С другой стороны, направления двух главных касательных и
направление нормали к поверхности S в пространстве Я3, проходящей через точку т,
образуют триортогональный триэдр, в остальном произвольный. Они
преобразуются в соответствующие направления поверхности Si, которая служит
образом поверхности S в точке mi — образе точки m в пространстве £^,
т. е. в триортогональный триэдр.
Всякое направление в касательной плоскости к поверхности S
преобразуется в некоторое направление, лежащее в касательной плоскости к
поверхности Si и, значит, ортогональное нормали к поверхности Si-
Следовательно, можно сказать, что наше преобразование переводит ортогональные
направления, присоединенные к некоторой точке, в ортогональные
направления, т. е. что соотношение dm Ьт = 0 имеет следствием dm± bm± = 0. Конусу
изотропных прямых пространства £3, проходящих через точку т,
соответствует, следовательно, конус изотропных прямых, проходящих через точку mi
в пространстве Е\.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 335
Напишем теперь, принимая в Е? и Е% прямоугольные координаты
dm2 = dx* + dy* + dz\
Д1ы видим, что эти две квадратичные дифференциальные формы должны
быть пропорциональны для того, чтобы уравнения dm2 = 0 и dm\ = 0
представляли один и тот же конус. Имеем, следовательно,
dm = X dmv
где X— функция переменных х, у, z. Отсюда вытекает, что вообще
/ j * ч ^т Ът dnii bmi , . .
cos (dm, 5m) = |rfm|.|5m| = ,dmi|1.|5mx| = cos(An*. bmt),
т. е. углы сохраняются, следовательно, преобразование конформно.
Обратно, всякое конформное преобразование сохраняет линии кривизны,
так как оно, очевидно, преобразует триортогональную систему в триорто-
гональную. Значит, оно будет переводить триортогональную систему,
образованную поверхностью S, параллельными ей поверхностями и двумя
семействами развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей, в
триортогональную систему. Образы линий кривизны поверхности 5 будут,
следовательно, линиями пересечения поверхности Si, образа поверхности S,
с образами двух семейств развертывающихся поверхностей, которые будут
пересекать поверхность Sj под прямым углом; в силу теоремы Дюпена это
будут линии кривизны поверхности 5j. В частности, такое преобразование
переводит всякую сферу в сферу1).
Рассмотрим теперь триортогональный координатный триэдр, пусть m
будет его вершиной; рассмотрим также три семейства сфер, соответственно
касающихся в точке m трех координатных плоскостей. Эта триортогональ-
ная система, которая конформным преобразованием С переводится в
триортогональную систему сфер, проходящих через точку mi и касающихся
в этой точке трех взаимно ортогональных плоскостей, которые мы примем
за координатные плоскости в пространстве Z^. Произведем теперь в
пространстве £з инверсию / с центром в точке т, а в пространстве Е% —
инверсию Д с центром в точке т^, эти две триортогональные системы
преобразуются в системы плоскостей, параллельных осям координат. Поскольку
инверсия сохраняет углы, новое соответствие между Я3 и £^ будет также
конформным. Если допустить (это всегда можно сделать), что соответствие
устанавливается между одноименными координатами, то оно запишется так:
■*!=/(*). yi = g(y)> z1 = h(z),
и мы должны иметь
dx* + dy* + dz* = X* [/'2 dx* + g'* dy* + Л'3 dz*]t
значит, /', g', hr будут постоянными с одной и той же абсолютной
величиной. Наше преобразование, следовательно, будет подобием S между двумя
!) Заметим, однако, что это рассуждение предполагает существование
частных производных достаточно высокого порядка. Задача отыскания всех
конформных преобразований пространства, насколько мне известно, еще
не решена.
336
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
пространствами; таким образом,
1ХС = 5/,
откуда
Итак, всякое точечное преобразование, которое сохраняет линии
кривизны, представляет собой произведение инверсий и подобий; обратно, всякое
произведение инверсий и подобий сохраняет углы, так как их сохраняет
каждое преобразование — множитель; значит, оно является преобразованием,
сохраняющим линии кривизны (Лиувилль).
15. Преобразование Ли. Преобразования касания, сохраняющие
линии кривизны. Вернемся к преобразованию Ли L (I, IV, 3); мы покажем,
что оно переводит асимптотические полосы в полосы кривизны. Прежде
всего мы видели, что оно переводит развертывающуюся полосу А в
огибающую семейства сфер, характеристические окружности которых будут кругами
нулевого радиуса, центры которых описывают эвольвенту геометрического
места С центров этих сфер. Полоса, представляющая собой образ
развертывающейся полосы А, будет, следовательно, полосой кривизны, поскольку ее
нормали касаются линии С.
С другой стороны, при этом преобразовании конус переходит в
огибающую семейства сфер с центрами на прямой, являющейся образом вершины,
т. е. в некоторую поверхность вращения. Следовательно, конус, образованный
элементами касания, выходящими из точки т, будет иметь образом полосу
элементов касания поверхности вращения вдоль ее осевого сечения, т. е.
это будет полоса кривизны.
Наконец, преобразование полосы Мх элементов касания, которую несет
прямая, будет такой же полосой Мь принадлежащей сфере; это опять будут
полосы кривизны, и этот результат завершает доказательство.
Коротко можно сказать, что преобразование Ли переводит
асимптотические линии в линии кривизны, понимая под этим, что асимптотические
линии поверхности S пространства ЕР переходят в линии кривизны
преобразованной поверхности St в пространстве — образе Е\.
Этот результат показывает, что задача отыскания асимптотических
линий поверхности S эквивалентна задаче отыскания линий кривизны
поверхности 5i- Мы видели (§ 3), что отыскание асимптотических линий
линейчатой поверхности приводит к уравнению Рикатти. Значит, то же самое
будет иметь место при отыскании некруговых линий кривизны на
огибающей сфер (упражнение 2).
Благодаря преобразованию Ли можно легко характеризовать
преобразования касания, сохраняющие линии кривизны.
Пусть Т — преобразование (точечное или преобразование касания),
сохраняющее асимптотические линии, тогда преобразование
LTL^^C
сохраняет линии кривизны, и обратно, если преобразование С сохраняет
линии кривизны, то преобразование
L~XCL = Т
сохраняет асимптотические линии. Отыскание преобразований Т и отыскание
преобразований С будут, таким образом, эквивалентными задачами.
Мы уже определили точечные преобразования С (можно показать, что,
подобно проективным преобразованиям, они зависят от 15 параметров);
преобразования касания С получатся, если принять в качестве преобразова-
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 337
ния Т некоторое преобразование по принципу двойственности (15 параметров).
В их число входят дилатации (О, IV, 3), которые позволяют перейти от
некоторой поверхности к параллельным ей поверхностям.
16. Возвращение к условиям интегрируемости. Небесполезно, чтобы
завершить эту главу коротко, изложить условия интегрируемости в том
виде, в каком их можно найти в классической литературе.
Вернемся к обозначениям и понятиям гл. III (§ 13) и напишем вторую
основную квадратичную форму в виде
(16.1) II = A{jdu*du3(Ац = п д]Ш . ; An = L, A12 = A* = M, A^ = n].
\ dir da3 J
Поскольку эта форма инвариантна, коэффициенты Ац будут компонентами
тензора. Но в силу (III, 10) проекция вектора д2т/диг ди^ на касательную
плоскость имеет конравариантные компоненты < . >; следовательно, можно
написать
/1*оч <^m [ k \ dm , .
(16-2) -s^j={ij)-w+Aiin-
С другой стороны, мы видели [см. (1.2)], что вектор дп/ди* имеет ковариант-
ные компоненты — А^, что можно записать так:
Дифференцируя (16.2), получим
(16'4) ди*ди1дик==
Л^А*ЫЖУА*Аш+ШАк1^Ап-
Воспользуемся симметрией относительно индексов ] и k\ сравнивая
члены, содержащие вектор п, находим
дА€
ИЗ*
вычитая из обеих частей величину < ., > Ац» напишем это равенство в виде
(16.5) Aij\h = Aik\r
Мы получили формулы Кодацци, которые показывают, в силу симметрии
коэффициентов Ау, что можно произвольно переставлять индексы /, у, k\
эти формулы сводятся к двум:
-^11 j 2 = ^12 | V ^211 2 = ^22 j 1-
Равенство коэффициентов в членах, содержащих дт/дФ в уравнении
(16.4), дает
= akaj- Ац4 = gh4Ai*Aji-AiAi>
338
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Эти равенства сводятся к тождествам или дают различные выражения
полной кривизны (см. III, упражнение 10), так как выражение в скобках
в последней строке равно ±[Лц-422 — (^12)2] или нулю; таким образом, снова
приходим к теореме Гаусса. Дифференцируя (16.3), мы также получаем
уравнения Кодацци.
Упражнения
1. Если исключить конгруэнции нормалей к сфере или к плоскости, то
условие (9.1) необходимо и достаточно для того, чтобы конгруэнция была
конгруэнцией нормалей; предлагается показать, что из формулы (9.1)
вытекает равенство нулю каждой ее части.
Решение. Можно написать
ди du*v dv ' dv ^
умножая скалярно на dD/dv и dD/du соответственно, получим в силу (9.1)
Следовательно, или (dD/du) • (dD/dv) = 0 и фокальные плоскости взаимно
перпендикулярны, или же D имеет фиксированное направление, или же D
зависит только от одной переменной, например и, и тогда, поскольку
(dP/dv) • (dD/ди) = 0, фокальные плоскости взаимно перпендикулярны, или,
наконец, а = f Записывая теперь, что полученная система вполне
интегрируема, находим d(P— aD) = 0, точка Р — aD неподвижна; мы имеем
конгруэнцию прямых, проходящих через фиксированную точку.
2. Линии кривизны огибающих однопараметрического
семейства сфер с одним параметром. Пусть 5 — такая
поверхность; первое семейство ее линий кривизны образовано
характеристическими окружностями (упражнение 17); найдем уравнение, определяющее
второе семейство. Пусть с (s) — геометрическое место центров сфер,
огибающей которых будет поверхность S, причем параметр s обозначает
криволинейную абсциссу точки на этой линии, и R (s) — радиус сферы с центром
в этой точке. Характеристическая окружность определяется посредством
уравнений
ст2 = Д3, — cm.t = R^;
ds
положим — dRjds = cos ср, где ср — известная функция параметра s. Чтобы
определить точку m на этой окружности, введем угол ф, который образует
проекция вектора cm на нормальную плоскость с главной нормалью; имеем
m = с + R cos ср t + R sin ср (n cos ф + b sin ф).
Надо определить ф таким образом, чтобы кривая, описываемая точкой т,
была ортогональна характеристическим окружностям; поскольку касательная
к такой окружности параллельна нормальной плоскости, проекция на эту
плоскость касательной к геометрическому месту точек m образует угол ф
с главной нормалью. Подсчитывая dm/ds и записывая, что компоненты этого
вектора на нормальную плоскость соответственно пропорциональны cos ф
и sin ф, находим, что
du>
z + ds =PctScP-sIn4-
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 339
Принимая в качестве неизвестной tg (ф/2) = ^, получаем
2gr = -x(l+^) + 2pctgcp.^
это — уравнение Рикатти, как мы уже указали в § 15.
Ангармоническое отношение четырех точек окружности равно
ангармоническому отношению четырех соответствующих значений t\ следовательно,
четыре линии кривизны второго семейства пересекают характеристические
окружности в четырех точках с постоянным ангармоническим отношением.
Решение полученного уравнения сводится к одной квадратуре, если
линия с (s) будет плоской (х = 0) (имеем два решения: ф = 0 и ф = тс,
которые соответствуют сечениям поверхности плоскостью кривой). Если R
постоянно (ctg ср = 0), то задача эквивалентна задаче отыскания эволюты
линии (х + dtyjds = 0).
3. Резные поверхности Монжа. Так называются поверхности,
у которых одна полость поверхности центров будет развертывающейся
поверхностью D с ребром возврата Г. Касательные плоскости к
поверхности D, которые образуют первое семейство развертывающихся поверхностей
конгруэнции нормалей, пересекают, следовательно, поверхность S вдоль
кривого первого семейства линий кривизны. Второе семейство, образованное
ортогональными траекториями первого семейства, состоит из ортогональных
траекторий к касательным плоскостям .поверхности D. Эти кривые зависят
от двух параметров: это те линии, которые имеют D в качестве полярной
поверхности. Если взять произвольное однопараметрическое семейство таких
кривых, то они образуют поверхность S, пересекающую все касательные
плоскости поверхности D под прямым углом. Любая из этих плоскостей
содержит нормали к поверхности S вдоль всего соответствующего плоского
сечения; D будет, следовательно, одной полостью поверхности центров
поверхности S. Задача сводится к отысканию ортогональных траекторий К
к соприкасающимся плоскостям линии Г (задача, которая составляет
упражнение 14 гл. I).
Пусть s — криволинейная абсцисса на линии Г, т — текущая точка
с абсциссой s = 50; пусть С (s0) — произвольная линия в соприкасающейся
плоскости кривой Г в точке m(s0). Кривые /С, опирающиеся на линию C(sQ),
описывают поверхность Монжа S, для которой D является одной из
поверхностей центров. Пусть С (s) — сечение поверхности S, соприкасающейся
плоскостью линии Г в точке m(s); точкам p(s0), q(s0), ... линии ^Ч^о)
поставим в соответствие точки p(s), q(s), ... линии С(s), расположенные
на той же кривой /С. Величина | pq | не зависит от 5, потому что отрезок pq
остается все время нормальным к траекториям его концов. Это соответствие
будет перемещением, поскольку оно сохраняет расстояния; линия С (s),
следовательно, равна линии C(s0), которая называется профилем
поверхности Монжа S. Нормали к C(s0), лежащие в ее плоскости, будут также
нормалями к поверхности S вдоль линии C(s0), они огибают ее эволюту f (s0),
которая описывает поверхность Монжа, являющуюся второй полостью
поверхности центров поверхности S.
Точка р соприкасающейся плоскости линии Г в точке m определяется
уравнением
имеем
р = m + xt + уп;
§-('+f?-«)*+(>*+g)"+*
функции х и у должны удовлетворять уравнениям
340
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
С кинематической точки зрения (s будет означать время) эти равенства
показывают, что если точка р связана с соприкасающейся плоскостью, то ее
скорость будет туЬ; для того чтобы она равнялась нулю, необходимо,
чтобы у == 0 (так как т Ф 0); геометрическое место таких точек будет
касательной в точке т. Мгновенное смещение соприкасающейся плоскости
будет, следовательно, вращением около соответствующей прямолинейной
образующей поверхности D; говорят, что плоскость катится по этой
развертывающейся поверхности. Таким образом:
Поверхности Монжа образованы произвольно заданной плоской
кривой, неразрывно связанной с плоскостью, которая катится по этой
развертывающейся поверхности.
Частныеслучаи. а. Развертывающаяся поверхность D — цилиндр
Ортогональные траектории касательных плоскостей поверхности D будут
плоскими кривыми, лежащими в плоскостях ортогональных сечений; в каждой
такой плоскости это будут эвольвенты соответствующих ортогональных
сечений; их проекции на плоскость сечения хОу будут параллельными
кривыми.
Поверхность S имеет в этом случае два семейства линий кривизны,
состоящих из плоских кривых, одно из этих семейств образовано сечениями
плоскостями, параллельными плоскости хОу. Обратно, всякая
поверхность S, сечения которой плоскостями, параллельными плоскости хОу,
образуют семейство линий кривизны, является поверхностью Монжа,
одна из полостей поверхности центров которой будет цилиндром с осью,
перпендикулярной плоскости хОу. Действительно, нормали к поверхности S
вдоль плоского сечения, параллельного плоскости хОу, огибают эволюту этого
сечения, т. е. винтовую линию с осью, перпендикулярной плоскости хОу\
а главная нормаль этой винтовой линии параллельна плоскости хОу и
служит также нормалью поверхности центров D поверхности S, которая ее
содержит. Таким образом, касательные плоскости поверхности D
перпендикулярны плоскости хОу; следовательно, D — цилиндр.
b. Развертывающаяся поверхность D — конус. Ортогональные
траектории касательных плоскостей к конусу будут сферическими кривыми,
расположенными на сферах с центрами в вершине конуса; это будут
сферические эвольвенты сечений конуса различными сферами.
c. Поверхности, две полости поверхности центров которых образуют
развертывающаяся поверхность D и линия К- Такая поверхность будет
поверхностью Монжа. Пусть C(s0) — порождающий профиль в
соприкасающейся плоскости в точке m (s0) линии Г. Эволюта f (s0) линии С (s0) должна
сводиться к точке, следовательно, профиль будет окружностью, центр
которой описывает ортогональную траекторию К соприкасающихся плоскостей
линий Г. S будет каналовой поверхностью, огибающей сферы постоянного
радиуса, центры которых описывают линию К\ поверхность D будет полярной
поверхностью линии К.
4. Поверхности Иоахимсталя. Поскольку два семейства линий
кривизны данной поверхности сопряжены, займемся теперь отысканием
поверхностей, для которых они будут служить сопряженными семействами
Кёнигса. Пусть D — прямая; сечения 1\ такой поверхности S плоскостями Р,
проходящими через D, должны быть линиями кривизны, то же относится
и к линиям касания Г2 конусов, описанных около поверхности S, с
вершинами О на прямой D.
Если D лежит в бесконечности в направлении плоскости хОу, то
вопрос уже решен (упражнение 3, частный случай а). Если D находится на
конечном расстоянии, то имеем поверхности Иоахимсталя. Кривые Г2
будут также линиями кривизны конусов, описанных около поверхности S;
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 341
это будут, следовательно, сферические кривые, расположенные на сферах 2,
центры которых описывают D; всякой поверхности S соответствует
семейство сфер (2). Пусть m — точка поверхности S, О— точка, в которой
касательная плоскость в точке m пересекает D. Кривая Vlt проходящая через
точку т, имеет касательной прямую От; это, следовательно, будет
ортогональная траектория сфер семейства (2).
Обратно, зададимся семейством сфер (2) с центрами на D; их
ортогональные траектории будут плоскими линиями, расположенными в плоскостях,
проходящих через D. Исходя из траекторий, которые содержатся в данной
плоскости и зависят от одного параметра, можно получить все остальные
поворотом на соответствующие углы вокруг оси D; эти кривые зависят,
следовательно, от двух параметров. Если связать эти два параметра каким-
либо соотношением, то получим поверхность S, отвечающую условию задачи.
Действительно, касательная плоскость поверхности S в точке m содержит
касательную От соответствующей кривой rlf- она, следовательно,
ортогональна сфере 2 с центром О и радиусом | От |; значит, 2 будет ортогональна
поверхности S вдоль общей линии Г2, которая, таким образом, будет линией
касания конуса, описанного около поверхности S с вершиной О и, кроме
того, будет линией кривизны поверхности S. Поскольку кривые Г2 являются
линиями кривизны, то же самое имеет место для кривых rjf которые им
сопряжены; S есть поверхность Иоахимсталя.
Задача образования поверхностей Иоахимсталя сводится, следовательно,
к отысканию плоского семейства ортогональных траекторий семейства
сфер (2); это сводится к отысканию ортогональных траекторий семейства
окружностей в плоскости, центры которых описывают прямую, — задаче,
которая, как легко доказать, сводится к одной квадратуре,
о. Поверхности, сферическое изображение которых
конформно. В силу того, что мы видели в § 11, угол между двумя
направлениями й±п и d2n на сфере 2 равен углу между направлениями Ьхт
и Ъ^т, сопряженными двум соответствующим направлениям dxm и d2m
поверхности S. Следовательно, если dm будет биссектрисой главных
направлений, то либо вектор Ьт ортогонален dm — в этом случае пара (dm, Ьт)
также образует пару главных направлений, и поверхность имеет в m
омбилическую точку, — либо Ьт совпадает с dm — в таком случае это будет
асимптотическое направление, а индикатриса в точкэ m будет
равносторонней гиперболой.
Имеем, следовательно, только два возможных случая: 1° все точки
поверхности S — омбилические, поверхность S — сфера, соответствие между S
и 2 будет подобием; 2° поверхность S минимальная, величины углов
сохраняются, но их направление обхода меняется.
Можно также воспользоваться тождеством (11.2).
б. Линии кривизны и основные квадратичные формы
квадрик. Оставим в стороне очень легкие случаи конусов, цилиндров и
квадрик вращения.
а. Центральные квадрики. Рассмотрим в прямоугольной системе
координат софокусные квадрики, определяемые уравнением
v2 v2 2^
(я, b, с — заданные постоянные; а>Ь>с). Через точку пространства
проходят три квадрики, параметры Xlf X2, Х3 которых различны (действительно,
Дифференцируя по параметру X левую часть предыдущего равенства,
получаем всегда положительное выражение). Вычитанием предыдущих соотно-
342
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
шений для Xt и Хз получаем после деления на Х2 — Xt
& , У2 • &
(а — \х)(а — Х3)^(^ — h)(b — h) (с — h)(c — X2)
= 0.
Между тем направляющие параметры нормали к квадрике Q> в точке
(х, у, z) будут */(а — X), yl(b — X), zj(c — X); полученное соотношение
показывает, что квадрики Q\x и Q)s ортогональны. Следовательно, три семейства (Q^)
образуют триортогональную систему.
Отсюда следует, что линии кривизны центральной квадрики будут
биквадратичными кривыми, сечениями поверхности софокусными
квадриками.
Параметрическое представление квадрики
fi 4-^-4-— -1
отнесенной к своим линиям кривизны: и = const, v = const определяется
уравнениями
х* у} z* л х* у* z* __
а — и ' Ь — и ' с — и ' а — а ' Ь — v ' с — а
следовательно,
_v»— а(а — и){а — У) v*__b(b— и)(Ь — у) ,_ c(c — u)(c — v)
~~ (я —6)(я —с) ' у ~~ (Ь — а)(Ь — с) ■ ~~ (с — а)(с — А) "
Отсюда
2 _ -Уа Г rf«a 2 <fo ate dxfl "I
S " 4 (.(a — tf)* + (a — a)(a — ©) +(a — a)2J + "" *
Непосредственно видно, что коэффициент при dtidv равен нулю, как и
должно быть; полагая теперь
находим
и, наконец,
f(u) = (a — u)(b — и) (с — и),
х* у2 z* _(и — у)и
(а — «)« + (Ъ — а)* + (с — а)* ~~ /(и)
и — v vudu? v dv*l
ds=-Т-17(й)-Ш1'
Что касается второй квадратичной формы, поскольку направление нормали
будет! —, -£-, -—), мы подсчитываем сначала направляющие косинусы и
находим шГШ х 0
V uv a r
Затем имеем
„—(*.*+<,«+**,,-/£(*?+¥+?)
и, наконец, используя предыдущие результаты, получаем
п 1 -шГШ t ч Г<*и2 rft;2l
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 343
Главные кривизны будут
__ 1 -Г abc
- ~~ и V uv *
откуда
р2 __ и*
ч ', »
Pi abc
1 ^ГаЬс
Pi = **
Ра я#с
эти отношения сохраняют постоянные значения соответственно вдоль линий
кривизны и = const и v = const.
b. Параболоиды. Параболоиды
также образуют триортогональную систему. Представление параболоида
р ^ q
отнесенного к его линиям кривизны, получается присоединением к этому
уравнению соотношений
— f-—^—= 2(* — и), -^— + —^— = 2(z — v);
р — и ' q — и v ' р — v ' ?— v v '
находим
р(р—и)(Р—у) лЛ__д{ч — и){д—у) „__"+ у р+я
х~ f—p • У J=q ■ Z-""2 Г"'
Основные квадратичные формы подсчитываются легко, получаем
II— }-л/~Ш-( _ чГ dtt* rft>2 I
4Г wl" W>L(P —e)(? —о) (p-t/)(^-t/)J'
главные кривизны будут
ГА И Г tffl r t/ Г ДО
Отношения
.11 — — Pi — ***
Pr М ' Pa ~~ W
будут также постоянными соответственнэ вдоль линий кривизны и = const
v = const.
Можно доказать, что это свойство характеризует квадрики. (D a r b о и х,
Lemons sur la theorie des surfaces, t. II.)
7. Сечения поверхности плоскостями, проходящими через
фиксированную прямую, являются окружностями; найти условие того, что эти
окружности являются линиями кривизны поверхности.
Ответ. Они должны проходить через две фиксированные точки.
344
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
8. Пусть С — линия на поверхности; если С в одно и то же время
является линией кривизны и геодезической, то это плоская линия; если С —
геодезическая и плоская, то это линия кривизны.
Приложение. Поверхность, у которой все геодезические — плоские
кривые, есть сфера.
9. Пусть Dj — поверхность, которую мы будем рассматривать, как
первую полость поверхности центров некоторой поверхности; чтобы вторая
полость поверхности центров была развертывающейся поверхностью, D± должна
быть сферой.
Решение. Геодезические линии поверхности Dt должны быть плоскими;
тогда прилагается предыдущий результат (упражнение 8). Поверхности D2—
конусы с вершиной в центре сферы. Обратно, сфера D± и конус D2 с
вершиной в центре сферы будут двумя полостями поверхности центров
поверхности Монжа, профиль которой будет эвольвентой окружности большого
круга сферы Dx и плоскость которой катится по конусу Ь2.
10. Для того чтобы р0 было постоянно вдоль линии кривизны С
поверхности, необходимо и достаточно, чтобы кривая С лежала на сфере,
ортогональной к поверхности.
Указание. Геодезические нормали вдоль линии С касаются их
огибающей в центре геодезической кривизны, который будет неподвижен,
поскольку р0 постоянно.
И. Поверхности, ортогональные к двум семействам
сфер. Два семейства сфер (2Х) и (22) пересекают такую поверхность S
(предполагаемую отличной от сферы) по линиям кривизны, и направления
нормалей к 2Х и 22, проходящих через точку т, будут направлениями кривизны.
Значит, сферы 2Х и 22 ортогональны; таким образом, сферы семейства (2Х) будут
ортогональны к сферам семейства (22). Если (2^ не образует пучок, то (22)
будет пучком как семейство сфер, ортогональных к трем фиксированным
сферам; таким образом, среди семейств (2Х) и (22) всегда имеется один
пучок, пусть это будет, например, (2Х).
Если семейство сфер (Ej) имеет окружность действительным базисом,
то можно посредством инверсии преобразовать ее в прямую, семейство (2t)
перейдет в семейство плоскостей, проходящих через эту прямую,
поверхности S превратятся в поверхности вращения. Если сферы (2Х) имеют
общую точку, в которой они касаются, то инверсия с центром в этой точке
преобразует все семейство в семейство параллельных плоскостей,
поверхности S переходят в цилиндры, ортогональные к этим плоскостям. Если (2j)
имеет окружность мнимым базисом, то инверсия позволяет преобразовать
это семейство в пучок концентрических сфер, поверхности S преобразуются
в конусы.
Окончательно, поверхности S получаются путем инверсии из
поверхностей вращения, цилиндров и конусов.
12. Если каналовая поверхность (упражнение 3, частный случай с)
обладает тем свойством, что семейство линий кривизны, отличное от того,
которое образовано окружностями, состоит из сферических кривых, то
геометрическое место центров сфер, для которых поверхность служит
огибающей, будет сферической кривой.
Указание. Возвращаясь к обозначениям упражнения 2 (R постоянное,
sin ср = 1), имеем
dm/ds = t(\ — Rp cos^), где z + d<\>/d$ = 0;
тогда m • dm/ds = 0 влечет за собой с • t = 0, откуда Ос2 = const. Достаточно,
следовательно, чтобы одна линия кривизны была сферической, для того
чтобы все остальные были сферическими и располагались на концентрических
сферах.
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 345
13. Поверхности, все сечения которых
концентрическими сферами будут линиями кривизны. Пусть О — общий
центр всех сфер, m — текущая точка поверхности, отвечающей условию
нашей задачи, mn — нормаль. Одной из фокальных плоскостей конгруэнции
нормалей будет плоскость Omn, постоянно проходящая через точку О.
Одна полость поверхности центров нашей поверхности будет конусом с
вершиной О; искомые поверхности будут поверхностями Монжа (упражнение 3,
случай Ь).
14. Поверхности, все. сечения которых сферами
некоторого пучка будут линиями кривизны. Посредством инверсии
их преобразуют либо в поверхности Иоахимсталя (упражнение 4), либо в
поверхности, сечения которых плоскостями, параллельными фиксированному
направлению, будут линиями кривизны (упражнение 3, частный случай а),
либо только что рассмотренные поверхности (упражнение 13).
15. Линейчатые поверхности с равноотстоящими
асимптотическими линиями. Это будут такие поверхности, у которых все
асимптотические линии могут быть получены по одной из них нанесением
на образующие отрезков одной и той же длины.
Решение. Возвращаясь сначала к обозначениям § 3, где D2 = 1 и М (и)—
асимптотическая линия, заметим, что уравнение асимптотических линий
должно иметь решение l/v = 0, что дает (D, D', D") = 0; значит,
образующие должны быть параллельны фиксированной плоскости, которую можно
принять за плоскость хОу.
Пусть теперь в этой плоскости m(s) — огибающая С проекций
прямолинейных образующих; уравнение искомой поверхности будет
р = m (s) + zk + vt
(k — единичный вектор оси Oz; ортогональный плоскости хОу\ где z —
неизвестная функция. Находим z — a($ — ср0), v =—(s — s0)/2, где ср означает
угол касательной к С с фиксированным направлением, a, s0 и ср0 — константы;
эти формулы дают способ образования таких поверхностей и построения
их асимптотических линий. В случае, когда С — точка,! поверхности будут
геликоидами с направляющей плоскостью.
16. В заданной окрестности пространства рассматривается поле
единичных векторов U(U2=1); для кривых, удовлетворяющих условию 1Ыт = 0,
будут иметь место теоремы Менье и Оссиана Бонне об относительном
кручении.
Указание. Для такой кривой определяем единичный вектор U^, так
чтобы триэдр (t, U^, U) был правым триортогональным, затем, полагая (§ 5),
U =T cos 0 + b sin 6,
имеем
_ = _pc0sOt--(, + -)lV,
далее рассуждения продолжаются так же, как в § 5.
17. Показать, что поверхности, у которых одна полость поверхности
центров есть линия, представляют собой не что иное, как огибающие одно-
параметрического семейства сфер, и что они также характеризуются тем,
что одно семейство их линий кривизны состоит из окружностей.
18. Поверхности, у которых обе полости поверхности
центров будут кривыми Dj и D2 (эти поверхности называются
циклидами Дюпена).
346
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Показать, что Dt и D2 будут конфокальными коническими сечениями, т. е.
коническими сечениями, лежащими во взаимно перпендикулярных плоскостях
и представляющих собой либо такие эллипс и гиперболу, что вершина одного
сечения является фокусом другого, либо такие две параболы, что вершина
одной является фокусом другой, либо окружность и прямую, проходящую
через ее центр и перпендикулярную. ее плоскости.
Все линии кривизны циклиды Дюпена будут окружностями. Циклида
Дюпена есть огибающая сфер, касающихся трех фиксированных сфер. Эти
два свойства характеризуют циклиды Дюпена.
В действительной области циклиды Дюпена получаются при помощи
инверсии из конусов (или цилиндров) вращения или торов.
19. Пусть Г — конус с вершиной О и ОМ — образующая; конус
вращения S с вершиной О называется соприкасающимся к конусу Г вдоль
образующей ОМ, если окружность, сечение конуса S плоскостью, проходящей
через точку М и перпендикулярной оси конуса S, будет соприкасающейся
к сечению конуса Г этой плоскостью.
1° Пусть М — непараболическая точка поверхности 2, МТ — прямая
в касательной плоскости поверхности 2 в точке М. Всякой точке О
прямой МТ ставится в соответствие конус вращения S, соприкасающийся вдоль
прямой ОМ к конусу с вершиной О, описанному около поверхности Е.
Показать, что если направление МТ не будет асимптотическим направлением
поверхности 2 в точке М, то огибающая конусов S с вершинами на
прямой МТ будет сферой а.
2° Показать, что можно написать
R = Rt sin* (о + #2 cos* «о,
где R означает радиус сферы (а), а <о — угол прямой МТ* с одним из
главных направлений.
20. Если линия касания поверхности S с описанным цилиндром является
геодезической на поверхности S, показать, что это будет винтовая линия.
Определить поверхности S, для которых все линии касания
поверхности S с описанными цилиндрами будут геодезическими на поверхности S
(доказывается сначала, что за исключением возможных в этом случае
параболических точек через всякую точку поверхности S проходит по крайней
мере две плоские геодезические).
Ответ. Получаются сферы и развертывающиеся поверхности.
Глава V
ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
1. Плюккеровы координаты. После того как в пространстве
выбрано начало координат О, ориентированная прямая D,
проходящая через две точки q и р, может быть определена при помощи
двух векторов pq = {x и OpAOq = ОрЛ(1' — а» ибо если для двух
точек р и pt имеем
0рЛ^=з. ОрхЛр^з.
то
PPiAt* = 0,
т. е. прямая ррх коллинеарна вектору [х; это условие будет
достаточно для того, чтобы точка рх лежала на прямой pq. Чтобы паре
векторов fi и а соответствовала прямая, необходимо и достаточно,
чтобы
так как принимая
[х . а =0,
гь К" Л а
имеем OpAtJt- = a» и точка р будет основанием перпендикуляра,
опущенного из начала О на прямую D.
Совокупность двух векторов [л и а образует так называемые
плюккеровые координаты прямой; они определены с точностью
до множителя. Для целей метрической геометрии удобно их
нормировать, принимая
(1.1) 72=1.
—>• —>-
и полагать тогда [л =е и a =s.
В качестве второго вектора, определяющего прямую, можно
также взять
(1.2) m = eAs,
348
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРЬЫИ РАЗДЕЛ
тогда из приведенной ранее формулы видно, что т = Ор, где р
обозначает основание перпендикуляра, опущенного из начала О на
прямую D.
Пусть теперь Dx и D2 — две прямые, определяемые
соответственно парами векторов (elf п^) и (е2, т2); угол <р между ними
определяется скалярным произведением
cos ср = ех • е2.
Другим инвариантом этой системы будет относительный
момент V двух прямых: это — величина проекции на прямую Dx
момента единичного вектора, расположенного на прямой D2,
относительно некоторой точки прямой Dx. Чтобы подсчитать его,
рассмотрим две точки pi и qi на прямой Dit такие, что piqi=r e$ (/ = 1,2).
Момент прямой p2q2 относительно точки рх будет р!р2Л£2; в^личина
его проекции на прямую Dx будет, следовательно,
(elf p!p2, e2) = (ei, p2 — pv e2).
Если в этом выражении заменить р1 и р2 соответственно на
Pi-Wi^i» P2 + ^2e2» гДе h и h обозначают произвольные числа, то
оно не изменится; значит, это действительно инвариант, который
равен шестикратному объему тетраэдра pip2qiq2> как показывает
определяющая его формула. Принимая за рг и р2 основания
перпендикуляров, опущенных из начала О на прямые Dx и D2,
соответственно, видим, что
(1.3) V = (ev m2 — mlf e2);
принимая теперь за pt и р2 основания общего перпендикуляра к
прямым Dx и D2, видим, что абсолютное значение этого выражения
равно rfsincp, где d обозначает кратчайшее расстояние между этими
прямыми. Для того чтобы прямые Dx и £)2 пересекались или были
параллельными, необходимо, следовательно, чтобы V=0.
Знак выражения V не зависит от порядка, в каком берутся две
прямые, но зависит от выбора направления на каждой прямой: он
будет положительным, если наблюдатель, находящийся в точке рх и
смотрящий в направлении точки qv будет видеть точку, пробегающую
прямую D2 в направлении от точки р2 к точке q2, поворачивающейся
в положительном направлении; он будет отрицательным в
противоположном случае. Прямые в пространстве зависят от четырех
параметров (два для определения вектора е и два для определения
перпендикулярного ему вектора s). Мы будем изучать множества прямых,
зависящие от одного, двух или трех параметров, т. е. линейчатые
поверхности, конгруэнции или комплексы, которые, таким образом,
будут многообразиями одного, двух или трех измерений в
пространстве четырех измерений1).
1) Заметим, что наше исследование не эквивалентно метрической
теории кривых или многообразий двух или трех измерений в эвклидовом про-
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА .ГЕОМЕТРИЯ 349
2. Линейчатые поверхности. Линейчатая поверхность /?,
описываемая прямой D(u), будет ориентирована, если выбрать на
каждой образующей положительное направление, меняющееся
непрерывно; мы будем отличать ее от поверхности —/?, получаемой
ориентацией образующих в противоположном направлении.
Таким образом, R будет определена, если, например, задать
векторы е(и) и s(tf) или же векторы е(я) и кривую р(я), на которую
опирается прямая D(u).
С каждой образующей D(u) свяжем триортогональные триэдры
(триэдры нулевого порядка) (m, elf e2, е3), где вершина т
пробегает прямую D(u), в то время как вектор ех равен et(u). Они
зависят от двух вторичных параметров: один фиксирует положение
точки m на прямой D(u), другой представляет собой параметр
вращения триэдра около прямой D (а). Возвращаясь к формулам (I, 1.1,
1.2 и 1.3), оставляя образующую неподвижной и варьируя только
вторичные параметры, что равносильно предположению dex = 0 и
допущению, что вектор dm коллинеарен вектору ev мы видим, что
четыре компоненты
О)2, О)3, О)2, (i)j*
равны нулю. Это означает, что эти формы являются главными
компонентами, т. е. не содержат дифференциалов вторичных
параметров; имеются две вторичные компоненты, это будет е1 и ej*1).
Оставим в стороне случай поверхностей с изотропными
образующими, который будет рассмотрен в упражнениях, а также тот
случай, когда о)2 = о)^ = 0 или dex = О, поскольку поверхность тогда будет
цилиндром (с точки зрения эвклидовой геометрии она
характеризуется ортогональным сечением; следовательно, изучение цилиндров
сводится к изучению плоских кривых).
Предположим, следовательно, что две формы о)2 и о)3 не равны
нулю одновременно, пусть, например, о)2 Ф 0; поскольку она
содержит только один параметр, главные компоненты будут кратными
этой формы, и мы положим
О)2 = ДО)2, О)3 = #0)2, (1)^ = СО)2.
С помощью внешнего дифференцирования, принимая во внимание
(I, 1.2 и 1.3), получаем
странстве четырех измерений, так как группа движений в линейчатом
пространстве трех измерений не совпадает с группой движений четырехмерного
эвклидова пространства.
!) Естественно, этот результат имеет место, каковО| бы ни было число
главных параметров, следовательно, и для конгруэнции и для комплексов
350
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
откуда для вариации вторичных параметров имеем
5с-Кс2+1)^ = 0, или &(arctgc) + 4 = 0-
Следовательно, фиксируя вторичный параметр, можно нормировать
триэдр так, чтобы с = 01).
Первое из полученных соотношений дает после внешнего
дифференцирования
откуда
Ьа — ^ = 0.
Мы можем, следовательно, фиксировать триэдр Френе (триэдр
первого порядка), полагая д=0.
Инвариантной формой будет щ; так как теперь do)\ = 0, мы
положим a)2 = tfa, затем положим
(Qi=^ — qdo, a)3 = —kdo, а)| = гс?а (а)2 = а)^ = 0).
Будем обозначать через с вершину триэдра Френе — точку,
называемую центральной точкой образующей; геометрическое место
точек с называется стрикционной линией поверхности, линией
сжатия или горловой линией. Формулы перемещений триэдра имеют вид
( dc ,
-j^ — #ei — #ез»
rfe, _
"ST- e2'
(2.1)
• = —re2.
Скаляры k, q, г являются инвариантами поверхности, задание
их как функций параметра а достаточно для определения
линейчатой поверхности R с точностью до перемещения; мы дадим
их геометрическую интерпретацию.
Если провести через начало О прямые, параллельные
прямой D(u), то они определят конус, называемый направляющим
конусом поверхности. Конец вектора с началом в точке О и
равного вектору ех описывает сферическую кривую т на сфере Е
радиуса 1, с центром в точке О, которая будет одним из сечений
сферы Е направляющим конусом. Второе из уравнений (2.1)
показывает, что
(2.2) (de1)2 = da2;
1) Кроме случая с2 + 1 = 0, который мы рассмотрим в упражнениях
(изотропные коноиды).
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
351
значит с будет криволинейной абсциссой на линии у, вектор е2 —
касательным к линии 7» а вектор е3 — ее геодезической нормалью. Группа
из трех последних формул (2.1), с точностью до порядка, есть не
что иное, как формулы (П, 5.1) относительно триэдра Френе
кривой, лежащей на сфере 2 (так как на сфере Е имеем тг = 0 и при
выбранной ориентации рп =—1); г будет, следовательно,
геодезической кривизной линии т [в обозначениях (II, 5) имеем г = — tg0].
В том случае, когда г = 0, направляющий конус вырождается в
плоскость; соответствующие поверхности, все образующие которых
параллельны этой плоскости, называются коноидами.
Если k тождественно равно нулю, то производная dc/do кол-
линеарна вектору elf и речь будет идти о развертывающейся
поверхности, у которой геометрическое место точек с будет ребром
возврата, на котором за параметр принята дуга ее сферической
индикатрисы. Обратно, на всякой развертывающейся поверхности
кривизна k равна нулю.
Если k не обращается тождественно в нуль, то говорят, что
линейчатая поверхность — косая] ее касательная плоскость в точке
р = с + ре! определяется двумя векторами
dc , dei . ,
ei. 5^ + Prf7:==:~ ?ei — ^ез-Ьре2
или векторами
ei» P^ — ^ез>
она проходит через образующую и, когда параметр р неограниченно
возрастает, стремится к плоскости (ev e2), называемой
асимптотической плоскостью. В центральной точке (р = 0) это будет
плоскость (ех е3), называемая центральной плоскостью, откуда следует
определение центральной точки: эта точка, в которой касательная
плоскость перпендикулярна асимптотической плоскости.
Пусть <р — угол, образуемый с центральной плоскостью
касательной плоскостью в точке с абсциссой р, отсчитываемой от
центральной точки. Непосредственно видно, что
(2.3) P = fctg<p,
инвариант k указывает скорость, с которой поворачивается
касательная плоскость около образующей, когда точка касания перемещается;
его называют параметром распределения1). Знак k показывает,
в каком направлении вращается касательная плоскость для
наблюдателя, расположенного вдоль образующей, когда точка касания по
отношению к нему поднимается.
На косой линейчатой поверхности образующие, для которых k
равно нулю, будут исключительными, они называются стационарными
*) Нередко так называют инвариант \jk: необходимо, следовательно,
осторожно обращаться с употребляемыми обозначениями.
352
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
(или особыми); касательная плоскость вдоль такой образующей не
меняется.
Что касается инварианта q, то первую его интерпретацию мы получим,
рассматривая угол ф касательной стрикционной линии с вектором
e3:tgty = qfk. Ко второй интерпретации мы придем, отыскивая
ортогональные траектории образующих; поскольку
dp = dc + p dex •+- et dp,
то ортогональные траектории получаются, если потребовать, чтобы
e1dp = 0, что дает
(2.4) dp = qda.
Поверхности, для которых <7 = 0, характеризуются тем, что их
стрикционная линия касается вектора е3, а последняя из формул (2.4)
показывает, что соприкасающаяся плоскость этой кривой будет (е2, е3).
Следовательно, эти поверхности описываются бинормалями
пространственной кривой. Без труда доказывается и обратное предложение.
Рассмотрим, что происходит при изменении направления на
линии т и переходе от поверхности R к поверхности —R. При
изменении направления движения по линии f дуга da заменяется на —do,
векторы е2 и е3 —на векторы —е2 и —е3, при этом q и г меняют
знак, a k не изменяется. При переходе от поверхности R к
поверхности — R вектор ех заменяется на —е15 вектор е2 на —е2, q
и г также меняют знак, a k не изменяется.
Окончательно можно сказать, что задание трех инвариантов
к, -£. qr
в виде функций параметра о определяет линейчатую поверхность
с точностью до перемещения.
Не останавливаясь на подсчете do, определение которого
непосредственно дает метод его вычисления, мы обратимся к подсчету
других элементов; имеем сначала
(2.5) г = е3 d-p = (е, Д е2) *** =(е*' de> У .
Если допустить, что линейчатая поверхность R задана при помощи
направляющей кривой т(и), и положить
с = ш + ре1>
то мы определим с, замечая, что e2dc = 0 (или dexdc = 0), откуда
dmdei
(2.6)
Wet)»
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
353
Теперь параметр распределения немедленно подсчитывается по
формулам
(2.7) k— e3rfa— ез-^-— щ-^ .
Для q имеем
откуда с помощью (2.6) находим
(2.8) ? = - V {<tei) J .
Если прямая D(u) задается своими плюккеровыми
координатами ех и s, то можно положить m = e! Л s; принимая во внимание,
что e1'S = 0, получаем; например,
, d&i ds
b — Jtetf-
3. Конгруэнции прямых. Мы обратимся теперь к изучению
множеств прямых D(u, v), зависящих от двух параметров;
ориентируем эти прямые, или лучи, рассматривая на каждой из них
единичный вектор ex(tf, v)\ тогда конгруэнция определяется заданием
или еще одного вектора s(tf, v), или направляющей поверхности
р(и, v) (или кривой, или точки). Если провести через начало О
единичный вектор, параллельный вектору et(#, v), то его конец может
быть неподвижным (вектор ех не зависит существенно ни от
какого параметра) или же описывать кривую на сфере £. В первом
случае речь идет о конгруэнции прямых, параллельных
фиксированному направлению, во втором имеются в виду конгруэнции
образующих однопараметрического семейства цилиндров, или
цилиндрические конгруэнции. Мы исключим оба эти случая из наших
рассмотрений.
Мы возьмем, следовательно, конгруэнцию, сферическое
изображение которой содержит целую окрестность сферы Е, такую, что
всякой точке этой окрестности соответствует одна и только одна
прямая конгруэнции.
Триэдры нулевого порядка, присоединенные к лучу конгруэнции,
определяются так же, как для линейчатой поверхности; возвращаясь
к формулам (I, 1.1, 1.2 и 1.3), мы найдем две независимые формы
0)^ и о)^, и для других главных компонент можно написать
(3.1)
( a)2 = aa)2-f-£a)^,
ifl/a^-f-^G)^,
где a, by а\ Ъг — скалярные коэффициенты; имеются две вторичные
компоненты е1 и е%.
354
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
При помощи внешнего дифференцирования из формул (3.1)
получаем
j [mi_da + 0 + a')uJ]A«>; + [ — db + {p>_a)a>y A c*>f = 0,
(3'2) i [— da' + {V — a)©|]Aa>; + [«>1 — dV — (ft + fl/)«{]A«} = 0.
Выражения в квадратных скобках являются комбинациями форм ы\
и и>\, они обращаются в нуль при вариации только вторичных
параметров, и мы имеем
f е> — ba+(b + a')el = 0, e* — W — (b-\-a')e\ = Q9
(3,3) ( —Ъа' + (1/ — а)е* = 09 — 8ft + (ft' — а)е» = 0.
С помощью линейных комбинаций непосредственно получаем
8 (а + ft') = 2е\ 8 (а' — Ь) = 0, 8 [(а' + ft)2 + (У — а)2] = 0.
Из первого из этих соотношений вытекает, что (a-\-br) может
принимать любое значение при вариации вторичных параметров; мы
можем, следовательно, нормировать триэдр таким образом, чтобы
а -\- bf = 0. Второе соотношение показывает, что (а' — ft) — инвариант.
Если положить a'=b-\-kt то последнее соотношение запишется
так:
8(а2_}_£2_|_££) = 0.
В плоскости (а, ft) в прямоугольных координатах уравнение
a2-f-ft2-|-ft& = const представляет окружность, и группа,
порожденная формой е| (при £1 = 0), будет группой вращений около ее
центра. Можно выбрать остающийся вторичный параметр так,
чтобы а = 0; а' и b будут тогда инвариантами: это будет триэдр
первого порядка, который мы примем в качестве триэдра Френе.
Этот триэдр будет, вообще говоря, единственным, так как уравнения
(3.3) дают теперь е1 = е%==09 кроме случая когда Ь-\-а' = 0; тогда
находится только ^ = 0 и приведение может продолжаться; мы его
проведем ниже (§ 7), а теперь будем рассматривать общий случай.
Формы о)2 = о1, о)^ = о)2 в этом случае являются инвариантными
линейными формами; удобно, как мы скоро убедимся, написать
(3.4) о = &2a)1 = &2a), <° — — fe1a>i = — ^ш .
Уравнения (3.2) дают тогда для форм о)1 и a)j* выражения вида
(3.5) о)1 = аш1 + рш2, ша^а^ + Й)2;
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
355
условия интегрируемости, если ввести инвариантные производные,
записываются так:
(3.6)
rfo1 = «J-а)1 Д о2, rfo)2 = 8а)1 Д о)2;
*2, ! + (*« —*l)8 + P = 0- Ч2 + (*2 — *l)T— a = °;
а,2-р,1 + (*1 + ^2)-(аТ+р8) = 0;
8,1 — Т.« + Т2 + * + 1=0-
Формулы перемещений триэдра имеют вид
dm = (awl -f- fta2) ex -f- ft2<i>2e2 — ft1a>1e3,
dtx = o)1e2 -+- a)2e3,
rfe2 = — a>1e1 + (fa)1 + So)2) e3,
( rfe3 = — a)2e1 — (Tfo^-f-So)2^;
(3.7)
вершина триэдра, присоединенного к лучу конгруэнции, называется
средней точкой этого луча; геометрическое место таких точек
образует среднюю поверхность конгруэнции (она может сводиться
к прямой или даже к точке).
Мы предоставляем читателю сформулировать теоремы
существования и единственности.
4. Линейчатые поверхности конгруэнции. Линейчатая
поверхность, образованная лучами конгруэнции, будет определяться
соотношением между параметрами и и v или кривой на сфере Е.
Рассмотрим те поверхности, которые, проходя через заданную
образующую D(u, v), имеют одну и ту же асимптотическую плоскость.
Поскольку эта плоскость определяется векторами et и del9 мы
видим, что dvjdu или а)2/^1 будет одним и тем же для этих
поверхностей [их направляющие конусы будут касаться вдоль
образующей (a, v)]. Центральная точка образующей с = т-|-ре1 будет
определена, если написать
dcdex = (dm ■+- р dex + et dp) dex = 09
откуда
/4 i\ flfmfltei (&2—hi) (*>*■<**
?~ (<**>« ~~ K>»+ (»»>* '
Что касается параметра распределения, для него имеет место
[формула (2.7) и формула (3.7)] равенство
(4.2)
(ev delt dm)
h &)* + k2(Z*)*
356
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Мы видим, таким образом, что центральная точка и параметр
распределения будут одними и теми же для двух поверхностей
конгруэнции, проходящих через одну и ту же образующую, вдоль
которой они имеют общую асимптотическую плоскость; значит,
касательная плоскость будет, одна и та же в каждой точке, и
поверхности будут касаться вдоль общей образующей.
Рассмотрим направления е2 и е3, которые мы будем называть
главными направлениями конгруэнции вдоль ее образующей, и
обозначим буквой <р угол некоторого направления на плоскости (е2, е3)
с вектором е2; формулы (4.1) и (4.2) запишутся следующим
образом:
(4.3) р = (&2 — &i) sin cp cos tp,
(4.4) k = kx cos2 <p+&2sin2 ?•
Они дают вариацию р, абсциссы центральной точки, отсчитываемой
от средней точки, и k в виде функций угла ср и двух инвариантов kx
и &2, так называемых главных параметров распределения; они
получены соответственно Гамильтоном и Мангеймом; это формулы,
аналогичные формулам Оссиана Бонне и Эйлера в теории
поверхностей. Главными плоскостями конгруэнции называют плоскости,
проходящие через луч конгруэнции и содержащие одно из главных
направлений; они ортогональны. Поверхности, след направляющего
конуса которых на сфере Б все время касается главного
направления, называются главными линейчатыми поверхностями (они
играют роль, аналогичную линиям кривизны на поверхности); через
всякую образующую проходят две такие поверхности; эти
поверхности можно также характеризовать тем, что их центральная точка
совпадает со средней точкой луча конгруэнции.
Формула (4.3) показывает, что центральные точки перемещаются
на отрезке длины \k2 — fej с центром в средней точке. Концы
этого отрезка соответствуют значениям 2ср = ± тг/2 и называются
граничными точками луча; они имеют абсциссы ± (k2 — &i)/2, если
отсчитывать их от средней точки. Две асимптотические плоскости,
которые соответствуют граничным точкам, называют граничными
плоскостями х), проходящими через луч; они ортогональны и
образуют с главными плоскостями угол ± ти/4.
Наконец, образующая линейчатой поверхности будет
стационарной, если след ее направляющего конуса на сфере S будет касаться
направления, для которого k = 0; линейчатые поверхности
(аналогичные асимптотическим линиям поверхности), для которых все
*) В старой литературе граничные плоскости играли решающую роль,
причем значение главных плоскостей приуменьшалось. Впрочем, некоторые
авторы (например, Бианки) называют главными плоскостями то, что мы
называем граничными плоскостями.
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
357
время & = 0, будут развертывающимися поверхностями
конгруэнции.
Фокальные плоскости будут задаваться направлениями, для
которых угол ср определяется соотношением
kx cos2 ср -\- k2 sin2 cp"^= 0;
отсюда следует, что фокальные плоскости, как и граничные
плоскости, имеют биссекторами главные плоскости. Полагая K=kxk29
имеем фокусы ft и /2, определяемые равенствами
(4.5) [ [(М2)2 = -4/а
I f2 = m —У—/Cej
середина отрезка между ними будет средней точкой, геометрическим
местом фокусов будут две фокальные поверхности; они будут
действительными только для /С^О, и тогда они будут располагаться
между граничными точками х).
5. Вычисление инвариантов. Квадратичные формы. Речь идет
теперь о том, чтобы, отправляясь от представления конгруэнции
[при помощи векторов et(u, v) и s(u, v) или вектора et(u9 v) и
направляющей поверхности р(и, v)]t подсчитать инвариантные
линейные формы о)1- и о)2 и инварианты. Прежде всего имеем
(5.1) (deO2 = (w*)2 + (<*>~2)2 = е du2 + 2/ du dv + g dtp- = I,
это первая квадратичная форма конгруэнции, которая представляет
собой не что иное, как линейный элемент ds2 сферы £.
Полагая затем
т=р4-ре1, откуда dm = dp -f- p dex -\- dpev
видим, что
— (elt dev tfp) = — (elf dev dm) = — d^ds,
но
0)1 0)2
— (elf de , dm) = —
= ^M2 + A2(m2)2 = II,
^2o)2 — £1(01
следовательно,
(5.2) — (elf dev dp) = — de1ds = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2=H
*) Теория прямолинейных конгруэнции представляется, таким образом,
как теория относительного расположения двух поверхностей. Для числа
поверхностей больше двух проблема относительного расположения не
ставилась.
358
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
это вторая квадратичная форма конгруэнции. Отсюда
(5.3) ft=Ji.
и главные параметры распределения будут значениями k% для которых
дискриминант формы k\ — II равен нулю; мы имеем соотношения
(5.4) fej - II = (ftt — ^) (ш*)2, к2\ — II = {k2 — k,) &2)2,
определяющие kx и k2 и инвариантные линейные формы со1 и о2
(конечно, с точностью до знака). Уравнения (3.6) дают затем а, (3,
7 и 8.
Как и в теории поверхностей, главные направления даются
уравнением
L du + М dv _ М du + N dv
edu+fdv fdu-\-gdv *
фокальные плоскости определяются уравнением
L da2 4-2Af da dv + N dv2 = 0.
Уравнение, которое дает kx и k2, имеет вид
(eg — f2)k* — (eN — 2fM-\-gL)k-\-LN — АГ2 = 0.
Нам остается показать, как определяется средняя точка. Заметим
прежде всего, что
(5.5) dm ctex = (k2 — kx) «Л? = III,
и, как непосредственно видно из предыдущих формул,
(Шр-KftJ — II)(fc2I — И) = 0;
уравнение (5.5) запишется теперь так:
dp de1+p(del)2 = III,
отсюда
(5.6) ^p+f-^je,.
6. Формула Эли Картана. Конгруэнции нормалей. Рассмотрим
на сфере Е простую замкнутую кривую у, границу области Д;
пробегая ее в положительном направлении по отношению к области Д,
будем иметь
f^ = ffd^ = — ff(^A <*\ + ** Л **) = f f (Ь+k,)^ А*2
или
(6.1) Г0)1= Г Г (&i-r-&2)^T (^Х — элемент площади сферы £),
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
359
— это и есть формула Эли Картана, аналогичная формуле Оссиана
Бонне в теории поверхностей. Чтобы ее интерпретировать, рассмотрим
линейчатую поверхность конгруэнции, направляющий конус которой
имеет линию f своим базисом. Ортогональные траектории ее
прямолинейных образующих определятся, если записать, что e1dp = 0,
где р = т-(-ре1; это дает
О = et dm -f- dp = о)1 -(- dp.
Формула Картана может быть записана теперь следующим образом:
(6.2) fdp^ — fffa + kjdx.
т+ А
т. е. ортогональная траектория, выходящая из заданной точки
образующей и пробегаемая в том положительном направлении, которое
определено на у, снова пересечет образующую в точке, абсцисса
которой, отсчитываемая от точки отправления, будет равна правой
части соотношения (6.2).
Следовательно, вообще говоря, ортогональные траектории не
замыкаются; но они будут всегда замыкаться, если &1-т-&2 = 0.
В этом случае форма о)1 будет полным дифференциалом, и мы
видим, что конгруэнция будет конгруэнцией нормалей к поверхности
p = tn-f-pe1, где G)1-f-dp = 0.
Обратно, если конгруэнция состоит из нормалей, то второе
соотношение показывает нам, что форма о1 должна быть полным
дифференциалом, следовательно, ft1-f-ft2==0- Таким образом:
Необходимым и достаточным условием того, чтобы
конгруэнция была нормальной, является выполнение равенства
Формула (4.4) показывает теперь, что фокальные плоскости
соответствуют углам ср=±тг/4; они, следовательно, взаимноперпенди-
кулярны [результат, который мы уже получили в (IV, 9)] и совпадают
с граничными плоскостями; фокусы совпадают с граничными
точками.
7. Изотропные конгруэнции. В § 3 мы видели, что при
Ь-\-а' = &2 — &i = 0 для триэдров первого порядка положение
вершин m (средней точки) на образующей вполне определено, но эти
триэдры зависят еще от одного параметра.
В произвольной конгруэнции такие образующие будут, вообще
говоря, исключительными, их называют омбиликальными; если вес
образующие конгруэнции будут омбиликальными, то конгруэнция
называется изотропной.
360
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Полагая &1 = &2 = & и a>1 = a(i)2-{- [За)3, внешним
дифференцированием получаем
отсюда, варьируя последний вторичный параметр, находим
8а —рв» = 0. 8р ■+-*«! = 0 [8(а2 + Р2) = 0].
Можно, следовательно, выбрать последний параметр так, чтобы
а = 0 (кроме случая а2-+-р2 = 0, который мы будем исключать);
мы имеем, таким образом, в качестве триэдра Френе триэдр второго
порядка; поскольку в силу (3.6) мы имеем теперь
a)1 =k 2a>2— k jW*,
то это сводится к тому, что &,2 = 0 и к будет постоянным вдоль
КрИВЫХ (1)2 = 0.
Однако делать это приведение не представляет интереса; мы
будем изучать изотропную конгруэнцию с системой триэдров первого
порядка, т. е. возьмем для перемещений триэдра формулы (3.7),
принимая ft1 = ft2:=ft, и условия интегрируемости (3.6). Мы выберем
на сфере £ два семейства ортогональных координатных линий и
и положим (1)^= a)1, (i)J = (i)2, но (о1 и о)2 не будут инвариантными
формами.
Форма II будет пропорциональна форме I, форма III будет равна
нулю, следовательно:
Все линейчатые поверхности, проходящие через одну и ту же
прямую изотропной конгруэнции, имеют одну и ту же
центральную точку (среднюю точку луча) и один и тот же
параметр распределения1).
Из (5.5) следует, что tfe1tfm = 0, т. е. соответствующие
касательные на сфере и на средней поверх docmu будут
ортогональны. Обратно, если каждой точке et(u, v) сферы Е поставить
в соответствие точку m(tf, v) так, чтобы cte1dm = 0f то
конгруэнция, которая получится, если проводить через точку m лараллель
к вектору ех, будет изотропной конгруэнцией, так как, полагая
rfm = eie1-f-02e2 + 03e3,
мы должны иметь
82(0»+ 63(08 = 0,
и, следовательно, можно положить
82 = fta>;, 8» = —fccoj;
*) Если k = 0, то имеем dm = 0, средняя точка неподвижна; речь идет
о конгруэнции прямых, проходящих через эту точку.
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
361
вторая квадратичная форма рассматриваемой конгруэнции будет
иметь вид
II = — (er dev dm) = — (©«б» — и>\в2) = ft [(©«)» + (©»)■] = ftl,
таким образом, формы I и II будут пропорциональны, конгруэнция
будет изотропной.
Что касается фокусов (мнимых для действительной конгруэнции),
то имеем
(7.1) f1 = m + ft/elt f2 = m — kiev
и фокальные плоскости будут изотропными плоскостями,
проходящими через образующую; они будут также развертывающимися
поверхностями конгруэнции, поскольку они имеют сферическими
изображениями прямолинейные образующие сферы Е. Фокальные
поверхности конгруэнции будут, следовательно,
развертывающимися изотропными поверхностями (комплексно сопряженными
для действительной конгруэнции). Обратно, если конгруэнция имеет
фокальными поверхностями две изотропные развертывающиеся
поверхности, то это изотропная конгруэнция, потому что вдоль одной
образующей фокальные плоскости будут изотропны; впрочем, имеем
dfx = («i + / dk) е. + kl (©■ — /со*) (еа + /е8) =
это показывает, что нормаль в точке ft имеет направление (е2-Ме3)
Ищем ребро возврата этой фокальной полости; если q означает
текущую точку в касательной плоскости, то имеем
fiq-(e2 + *'e3) = 0;
дифференцируя дважды, получаем соотношения
fiq . ei = 0, — dtx • ег + fiq • (<D?e2 + «foe) = 0-
Первое из этих соотношений дает нам характеристическую
точку qx в виде
q1 = f1 + X(e2 + /es)i
второе дает X=ft,2 + /ft,i-
Поступая так же с q2, находим окончательно
(7.2) qx = f! + (ft.i + /ft.i) (e2 + /e3), q2 = f2 + (ft,« — /ft,i) (e2 — /e8)r
и две кривые, описанные точками qx и q2, будут линиями нулевой
Длины. Поверхность
(7.3) q = ai+*L==m + ftfse2 —ft.iex
362
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
будет, следовательно, минимальной поверхностью как поверхность
переноса этих изотропных линий. Можно также определить ее,
как огибающую плоскостей, перпендикулярных к лучу конгруэнции
и проходящих через его среднюю точку. Эти плоскости имеют
уравнение
(7.4) mq • ег = О,
откуда при помощи дифференцирования по параметрам получаем
— dm • ех + mq • (о>?е2 -+- о)?е3) =
= (— £,2 + mq • e2)o)?4-(^i + mq • ег)щ = 0.
Поскольку о)2 и ы\ линейно независимы, это равенство
эквивалентно следующим:
— &,2-|-mq . е2 = 0, &fi-(-mq • е3 = 0,
эти соотношения показывают, что огибающая плоскостей (7.4) будет
действительно поверхностью (7.3) (Рибокур).
8. Комплексы прямых. При изучении трехпараметрических
семейств прямых, или комплексов, мы ограничимся общим случаем,
оставляя в стороне все многочисленные частные случаи, которые могут
представиться. Прежде всего мы будем предполагать, что сферическое
изображение прямых комплекса содержит всю окрестность сферы £,
причем комплекс определяется, например, векторами е^и, v) и
s (и, v, w) (ех • s = 0).
Определяя триэдры нулевого порядка, как и выше, вернемся
к уравнениям (I, 1.1, 1.2 и 1.3) и будем предполагать, что формы
<oJ, о)3 и о)3 линейно независимы. Тогда можно записать
(8.1) ы*=а<й\-\-Ьи>\ + ш*.
что дает с помощью внешнего дифференцирования
(8.2) [— da-\- o)i + ф-\-ас) шД Д ю? +[—db—ml—(a—be) о)|] Д <о\-+-
+ [-^+(1+^)(о|]Д 0)3 = 0.
При вариации вторичных параметров имеем
— Ъа-\-е1+ф-\-ас)е* = 09 — ЬЬ — се1 — (a — be) e\= О,
— Ьс -Н1+С2) е* = О,
последнее из этих соотношений записывается так: 8arctgc = £j*;
следовательно, можно нормировать триэдр, принимая с = 0 (тогда
е* = 0, кроме случая 1-|-с2 = 0, который мы будем исключать).
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
363
Предыдущие соотношения превращаются в следующие:
— 8а + *1 = 0. — 8£ = 0,
значит, можно завершить нормирование, принимая а = 0. Триэдр
первого порядка будет триэдром Френе, коэффициент Ъ будет
инвариантом, который мы обозначим через х и который будем
называть параметром вращения; формы о)* = ш1, а)3 = а)2, а)3 = а)3
будут инвариантными линейными формами; вершина триэдра будет
называться серединой образующей. Положим
(8.3)
i)i = ао)^ -f" (За)3 -|~ Y а)3,
й3 = ала)2 4-р'а)3 + 'Г,а)3'
(8.4)
имеем шесть новых инвариантов. Смещения триэдра Френе будут
задаваться уравнениями
( dm = (ао)? -(- ра)? -}- усо3) ех + ха>?е2 + а)3е3,
2 3
det = o)ie2 -+- ^ie3,
de2 = — (obi -h (а'а>? + p'o)? 4- 7'a)3) e3,
rfe3 = - «Je, - (a'*» + p'a>* + T'a)3);e2;
условия интегрируемости запишутся так:
da>\ = (а'ш\ -t- f 'со3) Д «J. A»? = ««? Л ( P'»? 4- Т,(й3)'
d«o» = (am» -f- ?<»3) Л «J 4- ««J Л ( a'co* -+- i'a>3);
M + # + P = 0; xT' + T — B' = 0; *3 + P' = 0;
— a,t-|-pfl-|-pp'+aa' + i(a — xa') — x = 0.
— e.8 + T.i + PT' = 0.
— Р,з-г-т.2—«т'+тОчг'—t)— i=0;
— a;2 -(- p^ + a'* + p* + T' (a - «0 + 1 = 0,
-p:8+T:a-aY+T'«-T)=o.
Дадим геометрическое определение середины луча и параметра
вращения; будем рассматривать фиксированную точку р и положим
р = т+/е1; конус комплекса с вершиной р будет определяться
равенством dp = 0, или
ш1 + Л = 0> хо)3-Ии>2 = 0, a>s+/a>; = 0.
Если, кроме того, зафиксировать образующую elf то касательная
плоскость к конусу вдоль ех будет определяться векторами ех и
(8.5)
364
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
rfm = o)1e1-T-a)?(xe2 — /е3). значит, векторами ех и (хе2 — /е3). Эта
плоскость является плоскостью (elf e2) {срединной плоскостью)
в середине луча, она стремится к плоскости (ех, е3) {к
асимптотической плоскости), если точка р неограниченно удаляется по
образующей, середина луча может, следовательно, быть определена
как вершина конуса комплекса, где касательная плоскость вдоль
образующей будет ортогональной асимптотической плоскости.
Угол ср, который образует касательная плоскость к конусу
с вершиной р со срединной плоскостью, определяется равенством
(8.6) / = - xtgcp,
параметр вращения указывает, следовательно, на быстроту, с
которой эта плоскость поворачивается около образующей, когда вершина
конуса перемещается по образующей.
Если тождественно х = 0, то формулы (8.5) дают р = р' = 0,
у = а', и тогда
dm = (ао)2 -f- уа)3) ех + а)3е3,
вектор dm зависит только от двух независимых линейных форм,
которые образуют вполне интегрируемую систему; точка m
описывает тогда поверхность (или кривую, если, кроме того, а = 0);
поскольку направления ех касательны к этой поверхности, мы
видим, что
Комплексы, у которых параметр вращения тождественно
равен нулю, будут состоять из прямых, касательных к
некоторой поверхности или опирающихся на некоторую кривую.
9. Срединные линии. Кривые, касательные к которым
принадлежат комплексу. Линейные комплексы. Середины лучей,
вообще говоря, зависят от трех параметров, и в некоторой
окрестности пространства всякая точка будет серединой некоторого луча
комплекса, проходящего через эту точку. Срединными линиями мы
будем называть линии, которые в каждой из своих точек в качестве
касательной допускают луч, имеющий эту точку своей серединой.
Они зависят от двух параметров, и комплекс можно рассматривать
как совокупность их касательных. Срединные линии задаются
уравнениями
(9.1) ч)5=0, 0)3 = 0,
уравнения (8.4) будут тогда формулами Серре — Френе для этой
кривой, и мы получим в обычных обозначениях (ориентируя главную
нормаль в направлении вектора е2)
(9.2) с?5 = ао)2, р = —, x = ve
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
365
Если а==0, то эти линии сводятся к точкам, середины лучей
будут зависеть только от двух параметров и будут описывать
поверхность1).
Оставляя в стороне этот случай (т. е. считая о1, G)2 = xa)j[ и о>3
независимыми), рассмотрим комплекс, образованный бинормалями е3.
Вид уравнений (8.4) не изменится, если там заменить е2 на —е2 и
переставить векторы е3 и elf таким образом, m будет серединой
луча комплекса бинормалей, называемого комплексом, дуальным
первому, и имеется взаимность между этими двумя комплексами.
Обратно, если задать семейство кривых, зависящее от двух
параметров, то оно будет семейством срединных линий, если в
уравнениях для перемещений их триэдров Серре — Френе, задаваемых
формулами (I, 1.1), имеем о)2 = хо)^ (при условии, что со1, о2, о)3 будут
независимыми формами). Если же рассматривать вместе с этим
семейством также семейство кривых, касательных к их бинормалям,
то для кривых каждого семейства, проходящих через одну и ту же
точку, соприкасающаяся плоскость одной совпадает с нормальной
плоскостью другой.
С более общей точки зрения рассмотрим линии, касательные
которых принадлежат комплексу2); рассматривая их как
геометрическое место точек p = m-J-/elf мы видим, что они задаются
уравнениями
(9.3) хю» + /(о2 = 0, а>3-Н<^ = 0,
имеем тогда
( dm =(o)1-|-d/)e1,
2/ / \ <о2
de*=«<Di(e2— ^e3) = -—(cos сре2Ч-sin cpe3),
<9.4) \ х / coscp
| de2 =— «не!-!--wfe3,
I dez =^щег — о)|е2.
Эти формулы показывают прежде всего, что все линии,
проходящие через точку р, имеют в этой точке одну и ту же
соприкасающуюся плоскость: касательную плоскость к конусу комплекса
с вершиной в р3). Ориентируя главную нормаль в направлении вектора
х) Я не умею охарактеризовать эти комплексы.
2) Эта теория эквивалентна теории развертывающихся поверхностей
комплекса.
3) Отсюда легко следует дуальное определение середины луча,
если заметить, что кривая комплекса, расположенная в плоскости
(еь е2 е3), касается луча в точке p = m + /ej.
366
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
coscpe2 + sin<pe3, находим
(о? flfcp -|- со|
Плоские кривые комплекса (огибающие прямых комплекса,
расположенные в одной плоскости) будут задаваться уравнениями (9*3)
и соотношением1)
(9.6) dcp-f- 0)3 = 0.
Если речь идет о линейном комплексе, то плоские кривые
комплекса сводятся к точкам, и из уравнения (9.5) вытекает, что
o)1-j-d/=Q; имеем, следовательно,
(9-7) 5^+^+eje0
и получаем для кручения кривых линейного комплекса формулу
%
(9.8)
/2 + X* в
Но из соотношения (9.7), которое в силу (9.3) должно быть
тождеством, используя соотношения (8.5), находим
Т' = Р' = Р = 0, х1 = х3 = 0, а' = т, а + Тх=0,
Т,1 = Т,з = 0, а,1 = а>8 = 0. Т = -£* Т,2=1 + Т2'
da* = 0.
Следовательно, форма о)^ — дифференциал переменной v,
величины а, х и у будут функциями от г/, и мы можем положить
, с с sin v
Вернемся к соотношениям (9.8) для кривых, проходящих через
неподвижную точку (ml-]-dl~ 0); имеем
-*(i)-(l-S)*-?Hl-£)<*-*!•*»-••
Таким образом, кривые, касательные которых принадлежат
линейному комплексу и которые проходят через одну и ту же точку,
flfcp
1) Величина т — ~- играет роль, аналогичную относительному
кручению в теории поверхностей; кривые, удовлетворяющие этим условиям и,
кроме того, условию wij = 0, играют роль, аналогичную линиям кривизны.
Имеются два семейства таких кривйх, каждое из которых зависит от двух
параметров; их не существует, если р' = ?' = 0.
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
367
имеют в этой точке одно и то же кручение, равное 1/х, где. х
означает параметр вращения луча, для которого эта точка служит
серединой *).
Впрочем, нетрудно прямо написать уравнения (8.4) для линейного
комплекса с осью Oz, записывая в обычных обозначениях его
уравнение
(9.9)
xY — yX+cZ = 0
(где х, у, z—координаты некоторой точки луча комплекса,
а X, У, Z — компоненты вектора, лежащего на луче).
Непосредственно находим, что середина луча есть основание общего перпен-
Рис. 43.
дикуляра этого луча и оси Oz и что асимптотическая плоскость
параллельна оси Oz. Снабжая теперь точку т пространства
цилиндрическими координатами (г, 6, z), имеем
dm = dri-{-rde} + dzk,
di=}d6, dj = — ide, dk = 0;
x) См. I, упражнение 13. Обратно, линейный комплекс можно
охарактеризовать тем свойством, что все линии, касательные которых принадлежат
комплексу и которые проходят через одну и ту же точку, имеют одно и
и то же кручение.
368
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
кроме того, в силу (9.9) имеем
e1 = jcosi/ — k sin v,
е3 = — j sin г; — к cos г;,
где
отсюда окончательно
*г*=т-
dm = s\nv(cdb— dz)el + ^^;dve2-\-[— -^-^ dQ—cos vdz)ez,
det = — cos v db e2 + dv e3,
de2 = cos v db ex — sin v dQ e3,
dez = ck/ ex -j- sin v dB e2.
Имеем x = с (I -(-r2/c2); параметр вращения зависит, что вполне
естественно, только от расстояния этой прямой от оси комплекса;
срединные линии будут, очевидно, винтовыми линиями круглого
цилиндра1).
10. Подсчет инвариантных линейных форм и инвариантов.
Конгруэнции и линейчатые поверхности комплекса. Пусть дан
некоторый комплекс, произвольная прямая которого задается,
например, вектором ег(и, v, w) и точкой р(и, v, w). Мы будем
рассматривать следующие три квадратичные формы:
I =. (de±f = (со*)2 + (©J)" = е da2 + ... +j dw*,
II = — (elf dev dp) = x(©})» — ©«©» = Ldu2+ ... -\-Rdw*,
[III=rfmrfe1 = a)3(xa)2 + a)3) = Xrftt2+ ... +pd<w2.
(Ю.1)
Две первые называются основными, их можно вычислить, исходя
из предыдущих данных. Покажем сейчас, как можно тогда под-
1) Имеется бесконечное множество линейных комплексов, касающихся
заданного линейного комплекса вдоль образующей; это пучок, образованный
касательным комплексом и специальным комплексом, проходящим через эту
прямую. Это происходит оттого, что, если обозначить через (Л", К, Z)
координаты вектора fx, лежащего на этой прямой, через L, М, N—координаты
вектора а, то имеем соотношение LX+ MY -\- NZ = 0. Если комплекс задан
равенством ср (Л", К, Z, L, M, N) = 0, где функция ср однородна и нулевого
измерения, то линейные комплексы, касающиеся вдоль прямой Х0, ..., N0,
будут, если обозначать буквой X параметр, определяться уравнением
[*?*+ ••• +N^+X[XL0+ ... +NZo] = 0.
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
369
считать третью форму, а также инвариантные линейные формы, и
определить середину луча комплекса.
Имеем
(10.2) II — xl= — а>?(ха>2-1- о>3),
но в проективной плоскости (da, dv, dw) формы I и II, если их
приравнять нулю, будут представлять конические сечения; первая —
коническое сечение, распадающееся на пару прямых, проходящих
через точку о)^ = 0, о>3 = 0, вторая — коническое сечение, также
проходящее через эту.точку. Следовательно, имеется только одно
значение параметра х, для которого коническое сечение пучка II — xl
распадается на пару прямых, из которых одна (mf = 0) проходит
через предыдущую точку и касается конического сечения 11 = 0.
Таким образом, мы можем подсчитать х; после того, как это
сделано, мы видим, что одна из прямых, на которые распадается
коническое сечение II — х1 = 0, и только одна касается конического
сечения II = 0, это дает o)J с точностью до множителя; формула (10.2)
дает затем форму о)*, и далее форму о3 с точностью до знака;
выражение формы I даст нам тогда а)3, все время с точностью до знака1);
если выбрать определенным образом эти знаки, то можно подсчитать
форму III.
Остается определить середину луча; полагая m = p + /elf имеем
lll = dmde1 = dp dex + / (de^2,
откуда следует
(10.3) т = р + (^_^)е1.
Рассмотрим теперь конгруэнцию, образованную из лучей
комплекса и определяемую заданием (и, v, w) как функций двух
параметров; после дифференцирования это дает соотношение вида
(10.4) со3 = ао)2 + £а)3:
две конгруэнции, для которых величины коэффициентов а и b будут
одни и те же для одной образующей, называются касающимися вдоль
этой образующей.
Параметр распределения линейчатой поверхности конгруэнции,
проходящей через заданную образующую, дается формулой
._£ <->?К + й)3)
!) Это соответствует выбору ориентации на луче комплекса и другой
ориентации на луче дуального комплекса.
370
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
Мы видим, что для конгруэнции, у которой на этой образующей
выполняется соотношение
эта образующая будет омбиликальной х); таким образом:
Середина образующей является средней точкой конгруэнции
комплекса, для которой эта образующая будет омбиликальной;
параметр вращения на этой образующей является параметром
распределения линейчатых поверхностей конгруэнции, проходящих
через эту образующую.
Положив теперь
х -f- о = h cos 2а, Ъ = h sin 2а;
тс1 = а)2 cos а -\- чь\ sin а, тс3 = — w2 sin а + i&\ cos а,
получим
. , (тс1)2 COS2 а — (т£*)Ъ Sin* а
*_ Х П (те1)* + (теЯ)9
откуда определятся два главных параметра распределения и
получатся соотношения
(10.5) *! = х — A cos2 а, &2 = * + ^ sin2 а5
&t -\- k2 = * — а, /С = &i&2 = — ом. —.
Обозначая через [х среднюю точку, имеем [формула (5.5)]
2
<$ det = (ft2 — *i) ***2 = Ш — 4-1.
откуда
(Ю.б) р = т — -e^
эти формулы дают нам интерпретацию коэффициентов а и Ь.
Принимая во внимание определение, приведенное в § 5 для
фокусов и граничных точек, легко находим
mfi • tnf2 = — аъ, mli • ml2 = — *x + gJ
и видим, что в действительной области граничные точки всегда
будут лежать по разные стороны от середины луча.
Конгруэнции нормалей задаются соотношением % = а, и мы имеем
mfx • tnf2 = — *2,
!) Мы не рассматриваем цилиндрических конгруэнции, которые,
очевидно, задаются соотношением со2 = 0.
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
371
середина луча разделяет фокусы; это последнее соотношение
очевидно в силу равенства (8.6)» если принять во внимание, что
фокальные плоскости взаимно перпендикулярны х).
Упражнения
1. Изотропные линейчатые поверхности, С каждой
образующей D(u) изотропной линейчатой поверхности мы связываем циклический
триэдр нулевого порядка, вершина которого лежит на прямой, и
возвращаемся к формулам (I, 10.5 и 10.6). Главные компоненты характеризуются
тем, что векторы dm и det должны быть параллельны вектору ех, это будут,
следовательно, <о2, со2 и <о3. Если ы\ = 0, то вектор ех имеет фиксированное
направление, мы имеем цилиндр, образованный из изотропных прямых,
и этот случай рассматривается легко. Если исключить этот случай, то можно-
положить
2 2 3 t 2.
О) = d(uv © = 0<Ор
при помощи внешнего дифференцирования получаем отсюда (I, 10.6)
el + bel — ael — ba = 0, ЪЬ=0;
следовательно, Ь будет инвариантом, который мы обозначим через k\ можно
затем принять а я 0; отсюда для триэдров первого порядка получим
о)2 = 0, со3 = А?й>2, (о1 + А?со£ = ао)2, </А? = рсо2.
Внешним дифференцированием мы получаем затем
Ьа + 2<хе\ + $е\ = 0, Ъ$ + $е\ = 0;
здесь следует различать много случаев:
1° а = 0, р = 0; приведение нельзя продолжать; k будет постоянным,
триэдрами Френе будут триэдры первого порядка; полагая с = m + &е2,
получим de2 = 0 и отсюда cm2 = №\ поверхность будет сферой с центром с
и радиусом ± k.
2° р = 0, а ф 0; k будет постоянным, можно определить триэдры
второго порядка, принимая а = 1; тогда имеем
1 i и 1 2 1 2
(о -f- &<о2 = tolf (и>г = Ywr
Из последнего соотношения при помощи внешнего дифференцирования
получаем Ъ-( + е\ = 0. Можно принять за триэдр Френе третьего порядка
!) Другая интересная задача состоит в изучении конгруэнции со
сдвоенными фокальными полостями (д = — Т"")' Тогда над0 будет (см.
упражнение 8) определить поверхности, у которых одно семейство асимптотических
касательных принадлежит комплексу, или же (в силу изученных нами свойств
кривых, касательные которых принадлежат комплексу) найти, кроме
линейчатых поверхностей комплекса, поверхности, касающиеся в каждой из своих
точек конуса комплекса, — эта задача, которая сводится к интегрированию
одного уравнения в частных производных первого порядка.
372
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
тот, триэдр, для которого т = 0. Полагаем o)j = rfa, (£>\ = %йа, параметр х
будет инвариантом четвертого порядка Точка с = m + &е2 будет центром
сферы, которая имеет с поверхностью касание первого порядка вдоль всей
образующей; записывая формулы для перемещений триэдра (с, elf e2, е3),
находим, сравнивая с уравнениями (I, 10.10), что точка с описывает
минимальную кривую, для которой этот триэдр будет триэдром Френе.
3° р ф 0 (общий случай). Теперь можно произвести нормирование,
принимая для триэдров второго порядка а = 0, р = 1, и мы имеем
со* = х dk, (о j = X dk,
где k и X — инварианты третьего порядка. Для центра с сферы, касательной
к поверхности вдоль образующей, имеем dz = ег dk. Точка q,
характеристическая для изотропной плоскости, проходящей через эту образующую,
задается уравнением qc = е*; она описывает минимальную кривую; прямая qc
будет характеристикой изотропной плоскости, k будет расстоянием
образующей от этой прямой. Эти результаты позволяют интерпретировать
элементы изотропной линейчатой поверхности, начиная с элементов, которые
связаны с минимальной кривой, геометрическим местом точек q.
2. Изотропные коноиды: Мы возвращаемся к формулам § 2, где
с2 + 1 = 0, пусть для определенности с = /:
со2 = дсо2, со3 = &<о2, ь>\ = /со2 [d (е2 + /е3) = — ы1 (еа + *е3)];
направляющий конус линейчатой поверхности вырождается в изотропную
плоскость; речь идет, следовательно, об изотропном коноиде. При помощи
внешнего дифференцирования находим после простых выкладок
Ь (а — lb) = 2е\ Ь (а + lb) + 21 {а + lb) e\ = 0.
Можно, следовательно, произвести нормирование, полагая для триэдров
первого порядка а — /6=0, а + lb = 0 или 1, т. е. b = 0, а = 0 или 1.
1° а = 0, b = 0; имеем тогда со1 = <хо>2 и внешним дифференцированием
получаем
оа + ale\ = 0,
можно произвести нормирование, выбирая для триэдров второго порядка
а = 0 или 1. В этих двух случаях поверхность будет изотропной плоскостью;
точка m будет фиксированной, если а = 0; если а=1, то прямые
огибают линию на плоскости (см. I, упражнение 1).
2° а = 1, b = 0; полагаем
2 j 1 и 2 3 1 2
CDj = ДО, СО = &C0lf 0>2 = /(Op
k и / — два инварианта. Если поверхность задана векторами р(и) и ег(и),
получим
dp rfei = dm dex = d<&,
откуда инвариантная форма определяется с точностью до знака. Имеем
затем d*ei/da* = — tlde^da, откуда определяется /. Полагая v = в2 — /е3,
имеем
V2 = 0, v.ei = 0, v^ = 2,
отсюда определяется v, а затем е2 и е3. Что касается точки т, то
записываем m = р + рв! и определяем р из соотношения е3 dm = е3 dp -f- /p da = 0;
наконец, из равенства dm/da = kex + е2 находим k.
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ 373
3. О центральной точке и параметре распределения.
Рассмотрим на линейчатой поверхности R две соседние прямые D1 и D*;
проведем две плоскости через прямую D±: одну параллельно прямой D2,
другую перпендикулярно первой плоскости. Если прямая £)2 стремится
к прямой D±, то первая плоскость стремится к асимптотической плоскости
вторая — к центральной плоскости; центральная точка появляется как
предельная для основания общего перпендикуляра.
Пусть с и о -f- Аа— значения параметра для прямых D± и D2
соответственно, AV—относительный момент прямых D1 и D2, Arf — кратчайшее
расстояние между ними; имеем
If AV U Г I Atf I I J.I
Иш -г-.- = К Ьт -г— = \k\.
Да2 | Да [
4. Основные квадратичные формы линейчатой
поверхности. Полагая p = c-f-pei и принимая за направление нормали
направление вектора ре3 + £е2, находим
I = (р2 + №) d<& + (d? — q rfa)*
II = f dG [(p* + &) rd<3 — kqda — ?dk + 2k dp],
У p2 -f- №
отсюда полная кривизна
* = "~(p*+ **)*'
на каждой образующей ее максимум достигается в центральной точке.
Следовательно, если между двумя линейчатыми поверхностями
существует изометрическое соответствие, сохраняющее образующие, то стрик-
ционные линии будут соответствовать друг другу. Выражение для формы I
показывает теперь, что № и q будут одинаковы на соответствующих
образующих, и эти условия достаточны.
Выражение для полной кривизны может быть также получено из
формулы Эннепера (IV, 12), подходящим образом интерпретированной, вдоль
одной образующей. Отправляясь от формул (IV, 5.1), так как р^=грл = 0,
имеем
/С=Ы=Ы'где tgQ *•
5. Коноиды. Образующие линейчатой поверхности R параллельны
одной и той же плоскости А, называемой направляющей; асимптотическая
плоскость параллельна А, значит, центральная плоскость будет плоскостью,
которая проектирует ортогонально образующую на А. Стрикционная линия
будет линией касания цилиндра, описанного около линейчатой поверхности R и
ортогонального направляющей плоскости А; ее проекция на плоскость А
будет, следовательно, огибающей проекции семейства образующих (если
она сводится к точке, то поверхность называется прямым коноидом),
вектор е3 будет постоянным и ортогональным плоскости А.
Пусть точка m — проекция точки с на плоскость А; полагая c = m + 2re3,
имеем
dc_ __ dm , dz
"5a"~'rfa" + "гa"eз,
отсюда k = —dz/da, где a обозначает угол, на который поворачивается
касательная к проекции стрикционной линии; поскольку dm/da =а — qelt
отсюда получаем, что коэффициент q равен нулю для прямых коноидов.
374
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
6. Поверхности, у которых стрикционная линия будет
прямой. Записывая, что вектор (Pc/do* коллинеарен вектору dc/da,
находим, что kjq и г должны быть константами; линия -\ представляет собой
окружность малого круга на сфере, направление стрикционной линии
совпадает с направлением оси этого круга. Искомые поверхности описываются
прямыми, опирающимися на фиксированную прямую, с которой они
образуют постоянный угол.
7. Минимальная линейчатая поверхность.
Асимптотические линии должны быть ортогональными траекториями образующих;
полагая rfp = ^rfa, обнаружим, что скобка в выражении для формы II
(упражнение 4) должна равняться нулю при любом р, это дает
г = О, q = О, k = const;
поверхность должна быть прямым коноидом (упражнение 5) и, поскольку
dz/da = — k, высота образующей относительно направляющей плоскости
должна быть пропорциональна ее углу с фиксированным направлением этой
плоскости. Поверхности, получаемые таким образом, называются прямыми
геликоидами с направляющей плоскостью; они образуются главными
нормалями винтовой линии круглого цилиндра.
8. Линейчатые поверхности с постоянными
инвариантами. В силу (2.1) находим
d4 q' dc d Ik\
следовательно, если kjq постоянно, т. е. если стрикционная линия пересекает
образующую под постоянным углом, то вектор е2 имеет направление
главной нормали стрикционной линии; отсюда:
Линейчатые поверхности, такие, что kjq = const, описываются
прямыми спрямляющей плоскости к пространственной кривой S,
образующими постоянный угол с касательной.
Если, кроме того, г постоянно, то образующие имеют постоянный угол
с фиксированным направлением, вектор е2 остается параллельным плоскости,
ортогональной этому направлению, и кривая S будет, следовательно,
винтовой линией; отсюда:
Линейчатые поверхности, такие, что отношения kjq и г постоянны^
можно получить, проводя в спрямляющей плоскости к винтовой линии
прямую, образующую постоянный угол с осью винтовой линии (Аппель).
Если k, q и г постоянны, то речь будет идти о поверхностях,
сохраняющихся относительно однопара метрической группы движений; кроме
цилиндров, это будут поверхности вращения второго порядка и геликоиды,
описываемые прямой линией.
9. Конгруэнции со сдвоенной фокальной полостью.
Если фокусы совпадают, то в силу (4.5) имеем К = &t&2 = О- Если k\ — k% = 0,
то речь будет идти о конгруэнции прямых, проходящих через
фиксированную точку. Предположим, что kx = 0, k2 ф 0, и вернемся к формулам (3.6)
и (3.7); следует различать два случая:
1° а Ф 0, точка m описывает поверхность S, для которой вектор е3
служит нормалью, и мы имеем
— dm dez = ©* [(a«i -f р©*) + k2 (r^1 + to*)];
ГЛ. V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
375
кривые со2 == 0 образуют семейство асимптотических линий поверхности S,
а вектор е* касается этих асимптотических.
2° а = О, точка прописывает линию С и dm = а>* (рех + #2е2)> (3.6) дает
теперь Y — 0; кривые о>2 = 0, которые соответствуют неподвижной точке m ,
являются окружностями больших кругов сферы 2, лежащими в плоскости
(elt в2), содержащей направление касательной к линии С.
Легко доказываются обратные предложения; таким образом:
Конгруэнции прямых, допускающие сдвоенную фокальную полость,
образованы касательными к семейству асимптотических линией
некоторой поверхности, или же такими прямыми, опирающимися на
некоторую кривую, что множество этих прямых, проходящих через одну
точку, образует плоскость, касательную к этой кривой. (Эти
конгруэнции можно также охарактеризовать, если сказать, что их средние поверхности
сводятся к кривой.)
Эта задача принадлежит проективной геометрии; можно найти другое
решение, если исходить из соображений (I, III, 6) и (II, с 1 до 4).
10. Плотность пучка лучей. Прямые некоторой конгруэнции,
соседние с заданной прямой, высекают на ортогональной плоскости к этой
прямой, проведенной через точку р, элемент площади, отношение которого
к соответственному элементу площади сферы 2 равно обратной величине
того, что называется плотностью Ъ прямых конгруэнции в рассматриваемой
точке (понятие, употребляемое в оптике).
Пусть p = m + /ei и q = m -f pet; для того чтобы точка q + dq
принадлежала соседней прямой и лежала в плоскости, проведенной через
точку р ортогонально вектору е*, необходимо, чтобы
(q + dq — m) ei = ех dm + rfp = 0, откуда dp = — (acoi -f- p<i>2),
из этих соотношений вытекает, что
dq = (&2<*>2 + pwi) e2 + (— k^ -|- ро>2) е3,
откуда
0 0)1 Л «>2
Плотность будет бесконечна в фокусах; если они будут мнимы, то она
будет иметь максимум в средней точке.
И. Линейные конгруэнции. Линейная конгруэнция, касательная
к заданной конгруэнции вдоль образующей, образована прямыми, которые
опираются на две сопряженные к лучу конгруэнции касательные на каждой
из фокальных поверхностей. Показать, что главные плоскости и главные
параметры распределения — одни и те же для обеих конгруэнции на общей
образующей.
Подсчитать две основные квадратичные формы и определить среднюю
поверхность для конгруэнции
х = uz + av, у = vz + Ьи.
12. Конгруэнции, образованные изотропными
прямыми. Возвращаясь к формулам (I, 10.5 и 10.6) в силу результатов
упражнения 1, видим, что <*\, (о2 и со3 будут главными компонентами; оставляя
376
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
в стороне случай со^ = 0 (конгруэнция изотропных прямых, параллельных
одной изотропной прямой), исследуем два случая:
1° со2 и <о3 независимы; записывая теперь <о2 = до>2 -(- 6о>3, при помощи
внешнего дифференцирования и вариации вторичных параметров находим,
что можно принять а = Ь = 0 (откуда е1 = е\ = 0), так что <о2 = 0, и мы
получаем
со1 = асо2 + Р<»3, со* = 0а)2 + Т<°3-
Внешним дифференцированием и вариацией вторичных параметров
находим Ьа -f- 2ае\ = 0 и аналогичные формулы для р и ^ Если величины а
Р, y не все равны нулю, то одну из них можно принять равной единице.
Продолжаем приведение (надо будет различать семь случаев); будем
исследовать случаи, когда конгруэнция образована из однопараметрического
семейства сфер.
Заметим, что равенство dm = ^ег + <***$ показывает, что точка m
описывает фокальную поверхность конгруэнции (или фокальную кривую);
минимальными линиями будут кривые со* = 0 и а>з = 0.
2° Формы (о2 и со3 не являются независимыми; пусть, например, <о3 = &<о2.
При помощи тех же операций получаем а>2 = асо2 — dk (следовательно,
формы dk и <о2 обязательно независимы), находим, что можно принять о = 0;
это дает
(оа = — dkt со1 + £й>£ = ра>2 (** + £*2 = 0).
Производя еще раз внешнее дифференцирование, находим
rfp + 2pa>} = 2T<o2; &р + 2р4 = 0.
Если р = 0, то приведение не может дальше продолжаться; можно
показать, что теперь d (m + ke2) = 0; речь идет о пучке концентрических сфер.
Если р ф 0, можно принять р = 1, тогда
со1 + Ы\ = «%; а>{ = y°>? (4 = О).
Продолжая приведение, увидим, что можно принять 7 = 0 (е\ = е1 = 0);
речь идет о конгруэнции параллелей к касательным минимальной кривой,
проведенных в соприкасающейся плоскости.
13. Комплекс, дуальный к линейному комплексу JV+ cZ = 0, имеет
уравнение
ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
АФФИННАЯ УНИМОДУЛЯРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
1. Введение. Этот параграф посвящен элементам теории кривых
в аффинной унимодулярной плоскости и теории кривых и поверх*
ностей в аффинном унимодулярном пространстве трех измерений.
Напомним, что в плоскости (х, у) речь идет о группе линейных
преобразований с пятью параметрами, сохраняющих площади
( x' = ax-\-by-]-c9 \a b\
(1Л) |у = а'* + Уу + с'. '*' у
Задав два свободных вектора vt и v2, мы обозначим через (v^ v2)
ориентированную площадь параллелограмма, построенного на двух
представителях этих векторов, имеющих общее начало.
Обозначая через (av bj координаты вектора vx и через (а^, b2)
координаты вектора v2, имеем
Обозначим через m вектор От, где О — фиксированное начало.
Общий репер cR составлен из двух векторов ех и е2 с одним
и тем же началом т, таких, что (ех, е2)=1. Его смещения
определяются соотношениями
1dm = v>let -f- со2е2,
dex = (obi + ">?е2, (о)} + («а = О).
rfe2 = o)2ei + о)ае2 ( = 0)26! — o)ie2),
При этом уравнения структуры (О, III, 7. 7 и 8) имеют вид
(1.3)
dm1 = о)1 Д <°J-f- о)2 Л
1 d&2 = о)1 Д о)2 — о)2 Л
du>\ = о)2 Л <*>2»
rf(o2 = 2(o}A<
AoJ = —2m}A»J.
V
378
ЬТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Пусть в пространстве трех измерений (х, у, z) задано три
вектора vlt v2, v3 соответственно с координатами (Д|, bit c$ (/=1,
2, 3). Обозначим через (vlf v2, v3) ориентированный объем
параллелепипеда, построенного на их представителях с общим началом.
Имеем
I «1 h ci
(vlf v2, v3)= a2 h c2
I H h сз
Пространство наделено структурой группы с 11 параметрами,
сохраняющей объем:
(1.4)
х' = ax-{-by-{-cz-{-d,
j y' = a'x-\-Vy-\-c'z-\-d\
[ z' = a"x + b"y + c"z-\-d\
a b
а' У
a" W
= 1.
Общий репер gR составлен из трех векторов ev e2, е3 с одним
и тем же началом т, таких, что (elt e2, е3)=1. Его перемещения
определяются уравнениями (О, III, 7.6)
(1.5)
dm = о)^! + со2е2 -f- o)3e3,
dex = щег + о)?е2 + "М^з»
de2 = щег -f- o)2e2 -f- ">2е3,
des = щег + «4е2 + <о3е3,
Уравнения структуры имеют вид
((!)! -|- (!)2 -|- 0)| = 0).
(1.6)
do»*=2 wfe л
3
d<&\=2 o)i л
Л=1
г
">{•»
(/, у=1. 2, 3).
2. Теория плоских кривых. Рассмотрим плоскую кривую С:
ш(и)[л: = х(и), у = у(и), где, скажем, OoOOJ.
С точкой m свяжем реперы сЯ с вершиной т, реперы порядка
нуль. Они зависят от трех параметров. Имеются две главные
компоненты а)1 и а)2 (так как из dm — 0 следует, что о)
1 = т2 =
0).
о)1 и о)2 не равны нулю одновременно, поскольку иначе m было бы
фиксированным, поэтому можно допустить, что а)1 не равно нулю.
Полагая тогда а)2 = аа)1, мы находим внешним
дифференцированием и вариацией вторичных параметров, что
Ьа — аЧ\ — 2ае{ + е\ = 0.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
379
Можно определить реперы первого порядках), взяв а = О, что дает
dm = u>lev т. е. вектор et касается кривой (мы имеем тогда е\ — 0).
Из равенства do>2 = 0 мы получаем с помощью (1.3)
0)2 = ^(,)1$
что при помощи нового внешнего дифференцирования дает
(2.1) db — 3£a>J = — Зссо1,
откуда, варьируя вторичные параметры, получаем, что
ЪЬ — ЪЬе\ = Ъ.
Если Ь = 0 (или а)2 = 0), то редукцию нельзя продолжать; мы
имеем тогда из второго уравнения (1.2) de1 = <oJe1; следовательно,
ех сохраняет фиксированное направление, и кривая С сводится
к прямой.
Если Ъ Ф О, то можно определить реперы порядка 2, положив
Ь=± 1. Если заменить et и е2 на —ех и —е2 соответственно
(что сводится к изменению направления обхода на кривой), то сох
заменяется на —<olf Ъ переходит в —Ъ\ следовательно, мы можем
ориентировать кривую таким образом, что Ь=\ (и тогда е\ = 0).
Имеется одна главная компонента порядка 1: а>^ (=а)1); реперы
порядка 2 зависят не более чем от одного параметра, мы имеем
только одну вторичную компоненту е\9 и уравнение (2.1)
принимает вид
(!)j = СО)1.
Уравнения структуры дают
(2.2) do)1 = 0, dc + coJ = a/cD1>
откуда вариацией последнего вторичного параметра получаем, что
Репер порядка 3, репер Френе, можно, таким образом,
определить, положив с = 0. Первое уравнение (2.2)
показывает тогда, что о)1 зависит только от главного параметра: это
линейная инвариантная форма, которую мы обозначим через, do
и назовем аффинной дугой. Мы видим, что ее построение требует
знания т'(я) и т"(и).
1) Мы начали редукцию с реперов порядка 0 только для упражнения.
Мы могли бы прямо определить реперы порядка 1, как мы это сделали
в эвклидовой геометрии для кривых и поверхностей и как мы это будем
делать в дальнейшем.
380
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Если положить, далее, а'= — kt то k будет инвариантом
порядка 4, называемым аффинной кривизной, и мы имеем формулы
перемещений триэдра Френе
Г dm = da elt
(2.3) ] de1 = doe2.
[ rfe2 = — k do et.
С точностью до преобразования группы (1.1) можно
определить плоскую кривую, допускающую в качестве аффинной кривизны
заданную функцию^ (а) (в тех пределах, которые обеспечивают
существование и единственность решений). Это следствие общей
теоремы (0, III, 9), но это также очень легко доказать
непосредственно (так как речь идет об уравнении m'" + ftm' = 0).
Остается вычислить do и k с помощью заданного
параметрического представления. Имеем
dm dm_du_ d*m d*m I du \2 1 dm Г d / du \21
da ~ du da9 da* ~ du* [ da ) "+" 2 du [ du [ da ) J 9
d*m _ d*m I du\s .3 d*m d [7 du \2i du . 1 dm d* r/ du \21 du
da* ~ du* [ da J "+" 2 du* du [ [da ) J da *•" 2 ate rftf2 |_ [da ) J da #
Отсюда с помощью (2.3) получаем
1 — ( dm d*m\ — f J*5L d*m\ ( duY
~ [ da • da* j — [du ' du* )[da) *
hl d*m d*m \_( d*m d*m \( du\*
• U^' da3)~ [du*9 dus)[da)
_}_(dm_ dbn \( da \з d* 17 duyi .
2 \ rftt ' rf^ j \ da ) m du* [[ da ) J"1"
. 3 (dm d*m\ du i d f/^\2])2 .
, J_ /flfm rf3m \ / du\s d r/ du \2 i
"т" 2 \ rftf f rftf* Д da ) du [[ da ) J '
Отсюда сначала находим, что
^Л) [du)—[dut du*) — \xf' y"\~
Далее, принимая во внимание это равенство, мы видим, что в
выражении для k последние два члена исчезают, и окончательно получаем
Рассматривая, например, представление кривой в виде y = f(x)9
мы находим, что
da = 0/")Ve dx. k = —\ {у"-*/йУ.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
381
3. Геометрическая интерпретация. Конические сечения.
Рассмотрим две близкие точки кривой С: т(я) и т-|-Дт = т (я + Дя).
Точка р пересечения касательных в этих двух точках задается
формулами
р = m + m'X = m + Дт + [х (m7 + Am') =
= т + тЧДя + ^) + т"Дя(^ + (х)+....
Отсюда находим
\— Л" -L.
Для площади t треугольника (т, р, m-f-Дт) получаем выражение
2* = (тр, Дт) = -^-(т', т")+ ....
и, следовательно,
lim J4—=1,
что дает геометрическую интерпретацию элемента аффинной дуги.
Чтобы иметь интерпретацию аффинной нормали, рассмотрим
разложение т(а) в окрестности некоторой точки, скажем о = 0.
Имеем
m(o) = m(0) + ae1 + -^-e2 — j^^— _-—-о^ — -^ Ь4е2+
Выбрав в качестве осей л: и у оси, которые определяются
векторами ei и е2, мы получаем, что
^ = -5- —■5Г*0*+ ••••
(3.1) _ _
Т —"24
откуда следует, что приведенное уравнение кривой С имеет вид
(3.2) _у=*. + .**4_|_....
Парабола жу = #2/2 имеет, следовательно, с кривой С касание по
крайней мере порядка 3 в точке т: она будет соприкасающейся
параболой к кривой в этой точке. Ее диаметр, проходящий через т, есть
ось у. Итак, аффинная нормаль к кривой С в точке m есть
проходящий через гаи диаметр соприкасающейся параболы к С
в этой точке.
Мы видим также, что в окрестности некоторой точки кривая
лежит внутри соприкасающейся параболы, когда k > О, и лежит
вне ее, когда k < 0. Это дает интерпретацию знака k.
382
вторая часть, второй раздел
Между прочим, параболы характеризуются тем, что они имеют
нулевую аффинную кривизну. Действительно, формулы Френе (2.3)
дают в этом случае -3-3- = 0 или
m = -|-a2 + ba-f-c,
где а, Ь, с — постоянные векторы, а это уравнение, конечно, есть
уравнение параболы1).
Группа (1.1) действует транзитивно над параболами плоскости,
и заданная парабола сохраняется при преобразованиях подгруппы,
переводящей один репер Френе в другой.
Приведем другое определение аффинной нормали. Прямая,
параллельная касательной в точке m и имеющая достаточно малую
ординату у (> 0), пересекает кривую в двух точках с
абсциссами хх и х29 которые стремятся к точке т, когда у стремится
к нулю, и мы имеем, например,
xt = Vl~y''-jy= У/а+(2), дс1 = -/2"УА + т^_У/Ч-(2).
где (2) означает члены порядка по крайней мере 2. Полусумма
Ь=-Хх~£ - имеет порядок по крайней мере 2 по отношению к у\
точка (£, у) описывает кривую, касательную к оси у. Итак,
аффинная нормаль есть касательная в точке m к геометрическому
месту середин хорд, параллельных касательной.
Рассмотрим теперь кривые постоянной аффинной кривизны.
Уравнение
m"' + fcm' = 0, где (m', т")=1,
интегрируется без труда. Нужно различать два случая. Пусть а, Ь,
с — фиксированные векторы.
При &>0 имеем m = acos"j/^a-|-bsinl/^ a-|-c,
причем (а, b)(fc)3/a=l;
при &<0 имеем m = ach"^—ko-\-bshY—ka-\-ct
причем (a, b) (— k)4* = — 1,
или __
при &>0: cm = a cos У к о -|-b sin V~b°\
при fc<0: cm = achl^—ko-\-bshY—ka.
i) Легко проверить, что если т1 и т2 — две точки одной параболы,
касательные в которых пересекаются в р, то аффинная дуга m1m2 имеет
величину j^8F, где t есть площадь треугольника (mt9 p, m2).
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
383-
При к > О кривая есть эллипс с центром с, имеющий а и b
сопряженными полудиаметрами; его площадь равна тс (а, Ь) = тс&~3/%
что дает интерпретацию аффинной кривизны. При к < О кривая
есть гипербола^ имеющая а и b сопряженными полудиаметрами
и площадь параллелограмма, построенного на произвольных
сопряженных лолудиаметрах, равна (—&)~3/а.
Аффинные нормали конического сечения проходят через его
центр.
Коническое сечение сохраняется при преобразованиях однопара-
метрической подгруппы группы (1.1), переводящих реперы Френе
один в другой.
Рассмотрим коническое сечение Г, соприкасающееся к кривой С
в точке т. Оно имеет с кривой касание порядка не ниже 4.
Формула (3.2) показывает тогда, что Г и С имеют в этой точке одну
и ту же аффинную кривизну, и этот результат дает интерпретацию
аффинной кривизны.
Приведем еще одну интерпретацию. Будем искать огибающую
аффинных нормалей (или аффинную эволюту) кривой С. Уравнение
нормали имеет вид
(тр, е2) = 0,
где р обозначает текущую точку. Дифференцирование по а дает
— 1—&(тр, е1) = 0, откуда mp —-v-e2.
Сделаем, наконец, несколько замечаний о понятии плоской
кривой в аффинной унимодулярной геометрии. Возвращаясь
к уравнениям (2.3), мы видим, что понятие кривой получается из
понятия аффинной дуги и уравнения
m"4-fcm' = 0-
Вдоль некоторой дуги а должно всегда изменяться в одном
направлении; следовательно, (т', т") не должно менять знака, т. е.
дуга должна быть выпуклой. За исключением аналитических кривых,
для которых продолжение можно осуществить другими средствами,
мы можем рассматривать, следовательно, только кривые, состоящие
из одной выпуклой дуги. Те кривые, которые состоят из
комбинаций дуг, имеющих точки перегиба (в которых репер Френе нет
определен), можно изучать только по кускам; в целом их можно
охарактеризовать только приемами, которые не принадлежат локаль-
нрй дифференциальной геометрии.
Возвращаясь к выпуклой дуге С, мы видим, что существование
аффинной кривизны требует существования элемента касания
порядка 4; это мы потребуем в каждой точке кривой С, кроме, быть
может, некоторого множества точек, наличие которых не мешает
384
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
применению теорем существования и единственности к
предыдущему векторному дифференциальному уравнению. Так как
формулировки имеющихся по этому вопросу теорем носят скорее
аналитический характер, чем геометрический, то мы ограничимся
требованием, чтобы к была непрерывной функцией дуги.
4. Теория пространственных кривых. Репер Френе. Всякой
точке m кривой С[т(и): х = х(и), y = y(u)t z = z(u)] мы
непосредственно поставим в соответствие реперы порядка 1, для
которых et — вектор, касательный к кривой. Эти реперы зависят от
шести параметров. Имеем а)2 = о)3 = 0 (о)1 Ф 0), и так как dex
должен быть коллинеарен ех, когда изменяются только вторичные
параметры, то отсюда следует, что e\ = e\ = Q. Шестью вторичными
назависимыми параметрами являются £|(/ = 2, 3; у=1, 2, 3;
Из равенства о)2 = о)3 = 0 мы получаем внешним
дифференцированием, принимая во внимание уравнения (1.6)
(4.1) (i)2 = a(!)i, о)3 = 0'wi ^2_.g3_0. ТрИэдры порядка 1).
Новое внешнее дифференцирование дает
( <*а-fa(о)* — 2w{) + a'a>2 = £u)i,
(4'2) ( da' + au)j* + a' (<oJ — 2a>|) = b'v>\
откуда для вариации вторичных параметров получаем
8а + а (е\ — 2*}) + а'е\ = 0,
Ъа' + ае\ + а' (е\ — 2*}) = 0.
Так как коэффициентами при а и а' стоят независимые формы, то эти
величины подвергаются наиболее общему центро-аффинному
преобразованию х).
В случае, когда a==a' = 0, редукция не может быть
продолжена и соотношение det = о)^ показывает, что et сохраняет
фиксированное направление, реперы Френе являются реперами порядка 1
и кривая есть прямая.
В общем случае можно определить триэдры порядка 2,
полагая a=l, a' = 0. Из приведенных выше соотношений следует,
что el = О, el — 2е\ = 0 (откуда е\ = — 3eJ), и соотношения
(4.1) и (4.2) запишутся в следующем виде:
!) Напомним, что нет необходимости знать группу, действующую на
сомножителях я, а' Мы всегда можем рассматривать однопараметри-
ческую подгруппу или рассматривать все сомножители как фиксированные,
кроме одного из них. Нужно поэтому знать только природу группы,
действующей над одним переменным, — проблема, изученная в (О, III,
упражнение 6).
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
385
Триэдры порядка 2 : 4 параметра.
/со1, \
(4'3) | <*l — 2(i)J = *tt)1, о)| = *'ш1, \ ej* = 0
Новым внешним дифференцированием находим, что
| dft — fta>} — ft'a>J — 3a>J = — Зсо)1,
(4'4) j d*' + 2*'a)J = 2с'а>1,
откуда
ЬЬ — Ье\ + Ъ'е\— 3^ = 0,
&&'■+-2*'*| = 0.
Если £' задано, то Ъ подвергается наиболее общему линейному
преобразованию; мы можем нормировать триэдр, положив Ь = 0.
После этого V умножается на произвольный множитель. Мы
определим триэдры порядка 3, взяв Ь' = 0 или ± 1. Изучим различные
случаи.
1° Частный случай: Ь' = 0. Из (4.3) и (4.4) и из
предыдущих соотношений имеем:
(4.5)
Триэдры порядка 3 при Ъг = 0.
о)2 — 2a>j = 0 (откуда (о| = —За)*), u)j* = 0,
a>J=*i>i (*2 = 0>
Так как о)3 = о)|=0, то кривая плоская, поскольку dex и de2
зависят только от ех и е2; мы возвращаемся к теории плоских кривых
с группой общих аффинных преобразований.
Из соотношения a>i = ca)1 получается с помощью внешнего
дифференцирования, что
dc_2m\ = — 2c"a>1,
или для вариации
Ьс — 2се\ = 0;
с определено только с точностью до постоянного множителя.
Можно поэтому взять с = 0 или с = ± 1.
а. Случай с = 0. Имеем a)i = 0, редукция не может быть
продолжена, триэдры Френе являются триэдрами порядка 3 и зависят
от трех параметров. Остается только интегрировать, принимая
во внимание условия интегрируемости.
Положим i&l = hdut так как о)1 есть главная компонента.
Уравнение с?(!)1 = о)1До)1 записывается ~в виде du/\Uub\-\-dti) = Qt что
386
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
дает
о>|= — L--\-lda.
Но мы видим, что dG)j = 0; это показывает, что / есть функция
от а, и мы напишем ldu = -r-* Отсюда следует, что
dm = hdueu или dm = tdu (—тМ,
dei = (-f+ 4)ex + ^«e2, или *(**) = ,*,(**»).
*е2 = 2(-^ + £)е2, или *(^) = 0.
Полагая tdu = do, имеем уравнения (2.3) (при & = 0), где et
и е2 заменены соответственно на hejt и /г2е2/£2. Мы имеем, таким
образом, параболы, причем е2 есть направление ее диаметра.
Ь. Случай с=± 1. Имеем е\ = 0, и уравнение второй строчки
в (4.5) принимает вид ш£=±о)1 и дает посредством внешнего
дифференцирования u>1AwJ=0, откуда du)1 = 0. Следовательно, о)1 есть
инвариантная линейная дифференциальная форма, поскольку она не
содержит вторичных параметров. Мы обозначим ее через dx, и т
будет называться общей аффинной дугой. Полагая теперь о)|=/го)1,
мы видим, что /г(т) есть инвариант, называемый общей аффинной
кривизной, и уравнения запишутся в форме
dm
(4.6)
2*
Если мы рассмотрим эту кривую как лежащую в унимодулярном
пространстве, то ее репер Френе будет зависеть еще от двух
параметров: в самом деле, можно задать направление е3 и, кроме
того, мы еще имеем две вторичные компоненты: е\ и е*.
Приведем интерпретацию аффинной дуги и аффинной кривизны.
Полагая hdx = dlll, мы запишем предыдущее уравнение в виде
dm=ldx(^£\,
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
387
! -8=
1 3W2
Триэдры
= 2ш}(«,| =
Zf (!)| = СО)1
порядка
- 3-1).
&\= С
3: 2
*°2 =
'со1,
параметр
= ± о)1, i
(
?а.
'3«i
tf=
+ ^=
= 0,ei =
= 0,
— е2 =
— е2
0
Это снова уравнения (2.3), где ех и е2 соответственно заменены на ех//
и е2/Я причем / rft = da, Г2 = ± & (вектор е2 имеет, таким образом,
направление аффинной нормали).
В зависимости от знака k мы имеем
*=(±*)*Л. А=£[(± *)-*].
тем самым дуга и кривизна в общей аффинной геометрии выражаются
через аналогичные величины в аффинной унимодулярной геометрии.
2°. Общий случай: £ = 0, й'=± 1. Мы имеем для
триэдров порядка 3, возвращаясь к уравнениям (4.4) и несколько
изменяя обозначения:
(4.7)
Последнее из соотношений второй строчки показывает прежде всего,
что rfo)1 = 0, т. е. о)1 — линейная инвариантная дифференциальная
форма: ы1 = (1а. Мы видим, что ее вычисление вводит производные
от m до порядка 3. Как и ранее, а называется аффинной дугой.
То же соотношение дает с помощью внешнего
дифференцирования
— dc'-{-iul = c"tol9
или для вариаций с' по вторичным параметрам
_8с'4-*1 = 0,
с' определено только с точностью до прибавления постоянной. Мы
нормируем триэдры, взяв с' = 0, откуда (oJ = о>|== ^1= 0, и для
вторичных параметров ej = 0. Принимая во внимание эти
соотношения при внешнем дифференцировании первого равенства второй
строчки в (4.7), мы получаем, что
Вариация с по вторичному параметру дается уравнением
8c±4*J = 0.
Определив триэдр порядка 4 как триэдр, для которого с = 0
(откуда е* = 0\ мы уже не будем иметь вторичных параметров.
Это будет триэдр Френе, для которого
3coJ± u>2=0, a>i = «J = co| = 0.
388
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Мы положим
о)* = v.1dot o)i = x2rfa;
xx(a) их2(о) — два инварианта, называемых аффинными кривизнами.
Прямые, несущие векторы е2 и е3, называются соответственно
аффинными главной нормалью и бинормалью; первая из них лежит в
соприкасающейся плоскости.
Перемещения репера Френе определяются уравнениями
[ dm = e1do,
det = e2da,
I de2 = (y.ie2 ± e3)rfa,
[ de3 = (x2ex ± Зх^з) da.
Легко сформулировать теорему существования и единственности.
5. Вычисление аффинной дуги и инвариантов.
Пространственные кривые третьего порядка. Из (4.8) следует равенство
л , ч , / dm d*m d*m \
l=(eii e2, e3)=±(—, -gj.. -у),
откуда мы получаем выражение
(5.1) do*=±(dm, d2m, d3m),
позволяющее вычислять do, исходя из любого аналитического
представления кривой.
В действительной области, в которой мы по предположению
находимся, мы видим, что в общем случае невозможно избавиться
от неопределенности знака в формулах (4.8). Однако для каждой
отдельной кривой этот знак вполне определен, его нужно выбрать
так, чтобы правая часть равенства (5.1) была положительной. Тогда a
будет определена с точностью до аддитивной постоянной и с
точностью до знака, что соответствует выбору направления обхода на
кривой. Мы различаем две категории кривых: правые, которым
соответствует знак +, и левые, которым соответствует знак —.
Что касается вычисления кривизн, то из формул (4.8) получаем
прежде всего, что
' dm de2 de$\ о (de\ de0i de^\ ,
f A __ / dm d*m d*m\
J 4*1_ + \ da ' da** do* )9
J d%^ , (d*m d*m d*m\.
I X2""+ rfa+lrfa-' da* ' d<*)'
(4.8)
далее,
(5.2)
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
389
инвариант
, d%x (d*m №т d*m\
х — *2 - dQ —[do*9 do* ' й<Л)
иногда называется кручением.
Выражения инвариантов в общем представлении слишком сложны,
и мы не будем здесь их приводить. Однако легко видеть, что хх
имеет порядок 5, а х2 и х имеют порядок 6.
Рассмотрим, в частности, кривые, для которых две кривизны
обращаются в нуль (их можно также определить, указав, что
вектор е3 фиксирован). Система (4.8) дает в этом случае
-j-j- = 0, откуда m = aa + b-2~ + c-g—|-d,
где а, Ь, с, d — фиксированные векторы, причем
± 1 = (т', т", т'") = (а, Ь, с).
Следовательно, речь идет о пространственных кривых третьего
порядка.
Выберем в качестве осей (х, у, z) оси, которые определены
триэдром (ех, е2, е3) с началом в точке а = 0. Уравнения кривых
будут иметь вид
(5.3) х = о, У=ъ* Z=Z±T-
Пространственные кривые третьего порядка разбиваются на два
класса, в каждом из которых группа (1.4) действует транзитивно.
Каждый из классов может быть представлен одной из
пространственных кубических кривых (5.3). Всякая пространственная кривая
третьего порядка инвариантна относительно однопараметрической
подгруппы группы (1.4), преобразующей ее триэдры Френе один
в другой. Мы получаем геометрические определения направлений
прямых, образующих триэдр Френе, рассматривая, что происходит
для а = 0. Мы видим, что независимо от выбора вектора ег,
который касается кривой, вектор е3 лежит на асимптотическом
направлении, конус 2у2 = ± Ъхг содержит рассматриваемую кривую
третьего порядка, плоскость (е^ е2) касается конуса вдоль
образующей ех и одновременно является соприкасающейся плоскостью
кривой, а плоскость (е2, е3) касается конуса вдоль е3.
Вернемся к общему случаю кривой т(и). Пусть т0 — точка,
отвечающая, например, значению а = 0. Выбирая в качестве осей
оси триэдра Френе в точке т0, будем искать первые члены
разложений х, yt z по степеням а. Имеем
m = m0+e1a + e2^- + (x1e1 ± е3)|г + [(х,1 ± х2)ех + 4*^] -J- +
+ [« ± *2+4*D * + (б< ± S)* ± 4^з}4+ • • ••
390
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
что дает
2— + — +4х— 4-
г—-1Г £4xl5,-h ....
Разрешая первое уравнение относительно а, мы находим
«=,-»,|-«±«,)^-«±<-б»Э|+....
Внося это выражение в следующие уравнения, получаем, что
.у=т + 4*2Ж+ ....
г=±¥ + 6Х1"5Г+ ••••
Эти формулы показывают, что если заданы две кривые Сх и С2,
обе правые или обе левые, и заданы точка тх на Сх и точка т2
на С2, то можно с помощью аффинного унимодулярного
преобразования преобразовать кривую С2 в кривую С2 так, что при этом т2
перейдет в тг и кривые Сх и С2 будут иметь в этой точке касание по
крайней мере четвертого порядка. Эти кривые будут тогда иметь общий
триэдр Френе.
В частности, триэдр Френе в некоторой точке пространственной
кривой есть триэдр кривой третьего порядка, соприкасающейся
с данной кривой в этой точке.
Мы можем теперь определить дугу аффинной кривой. Прежде
всего точка кривой т(и) будет называться обыкновенной
третьего порядка, если существует ее представление, такое, что
(т', т", т"0 ф 0. Других ограничений на дифференциалы более
высокого порядка не накладывается. Принимая во внимание то, что
было сказано о кривизнах, мы определим аффинную дугу как дугу,
состоящую из обыкновенных точек шестого порядка и имеющую
непрерывный элемент касания порядка 6. В частности, (т', т", т'")
не должно менять знака.
Упражнения
Всякая плоская кривая, для которой геометрическое место середин
хорд, параллельных заданному налравлени.о А, является при любом А
прямой D(A), есть коническое сечение, (Бертран.)
Указание. Продолжая разложение, начатое в § 3 для хь х% и 6,
находим, что £ = ^К У2 + '• • • •
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
391
2. На параболе, соприкасающейся с кривой С в точке ш, лежит точка п
с абсциссой —с. Показать, что касательная к геометрическому месту точек п
(аффинной эвольвенте для С) в точке п параллельна касательной к
кривой С в точке т.
3. Уравнение конического сечения, соприкасающегося в некоторой точке
с кривой т(о), записывается в виде
(тр, т")2 + k (тр, т')2 + 2 (тр, т') = О,
где р — текущая точка конического сечения.
4. Назовем аффинным псевдорасстоянием двух плоских элементов
касания тр и т'р (т и т' — точки, отмеченные на прямых тр и т'р, имеющих
общую точку р) величину
d = у ST,
где Т обозначает площадь треугольника (mpmr).
На выпуклой дуге, допускающей касательную в каждой точке,
рассмотрим три последовательные точки тъ тъ т3, расположенные в таком
порядке, что аффинные псевдорасстояния di2> d<&* ^13 элементов касания в т^
и т2, в т2 и тъ и в т3 и mt соответственно положительны и конечны.
Показать, что
Решение. Пусть mi. — точка пересечения касательных в т^ и m.
Положим
«Щ»!»^ msim^^^ ^l^L^c{0<at btC<l)
m1m31 га^Шз m12m23
и обозначим через 7\. площадь треугольника (ш^, ЛЬ/, т.). Нужно
установить, что
з г з з
Имеем
Т12 = аЬс Г13, Гзз = (1 — а) (1 — £) (1 — с) Г13,
и все сводится к тому, чтобы доказать, что
У аЬс +У(\ — а)(\ —Ь)(\ — с) < 1.
Но так как среднее геометрическое никогда не превосходит и среднего
арифметического, мы имеем
Знак равенства имеет место только в случае а = Ь = с, т. е. если эти три
элемента касания принадлежат параболе.
Отсюда выводим, что среди выпуклых дуг, допускающих два заданных
элемента касания с положительным псевдорасстоянием, дуга параболы имеет
наибольшую аффинную длину дуги.
5. Определить пространственные кривые, у которых две аффинные
кривизны постоянны (кривые, инвариантные относительно некоторой однопа-
раметрической группы аффинных унимодулярных преобразований).
392
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
6. Определить: 1° такие кривые, что фиксированная точка пространства
имеет фиксированные координаты по отношению к триэдру Френе; 2° такие
кривые, что прямая, инвариантно связанная с триэдром Френе, проходит
через фиксированную точку; 3° такие Кривые, что фиксированный вектор
триэдра Френе сохраняет фиксированное направление.
7. Рассмотреть кривые, для которых плоскость (ех, е3) содержит
фиксированный вектор а.
Г Найти соотношение между их кривизнами (х2 + 3%t = 0).
2° У проекции такой кривой С на фиксированную плоскость
параллельно вектору а элемент аффинной дуги пропорционален элементу
аффинной дуги кривой С.
3° Касательные к кривой С принадлежат линейному комплексу.
Получить обращения этих результатов.
8. Построить аффинную унимодулярную теорию ковариантных кривых
М(и) [теория развертывающихся поверхностей. Получаются уравнения,
аналогичные (4.8)].
Изучить, в частности, случай, когда
iW'(a) = e1Ae2,
где ег и е2 — два первых вектора триэдра Френе кривой m(a), а а означает
аффинную дугу (если К\ и Къ — кривизны кривой М, то при подходящих
обозначениях находим К% — *1> Яг + *2 = i 3%[ = ^Ь 3Jf[).
9. Построить теорию пространственных кривых в общей аффинной
геометрии.
10. Аффинная дуга между двумя точками пространственной кривой
третьего порядка пропорциональна корню шестой степени из объема
тетраэдра, определенного этими двумя точками, двумя касательными и двумя
соприкасающимися плоскостями.
[Имеется экстремальное свойство, аналогичное экстремальному свойству
параболы на плоскости (упражнение 4).]
Глава II
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Репер Френе. Общие случаи. Будем рассматривать
поверхность m(tf, v) в аффинном унимодулярном пространстве трех
измерений. Мы используем формулы (I, 1.5 и 1.6).
Выберем в качестве триэдров порядка 0, связанных с точкой пь
триэдры, имеющие вершину в точке т. Формы ш1, о)2 и о)3
будут главными. Начнем с триэдров порядка 1, грань которых (et, e2)
касается поверхности. Тогда имеем соотношение о)3 = 0, внешнее
дифференцирование которого дает
^Л^ + ^Л ®1 = о,
или, в силу теоремы Картана (О, II, 9),
(1.1) о)3 = aw1 ~|-£а>2, о)3 = Ьы1 -|- со)2,
откуда е3 = £3 = 0. Остается шесть вторичных параметров ei
(i = l, 2, 3; у = 1, 2), и мы имеем г}-(-е2, + ef = 0. Резюмируем
эти результаты в следующей таблице:
( Триэдры порядка 1: 6 параметров.
о)3 = 0;
п 9. J o)J = ао)1 -f- &о)2, ш| = ^cd1 -^— ccd2.
Вторичные компоненты:
| е\. е\, 4 е\, е$. ** (e} + ^ + «J = 0).
Внешним дифференцированием из уравнений (1.1) получаем, что
( о)1Л[ —^ + ^(2о)} —о)3) + 2*о)2] +
I +(о2 Л [ —<»-r-a<i>2 — 2^о)3 + со)2] = 0,
(1,3) | o)i д[_^-4-ао)1 —2^о)3 + сш2] +
1 +о)2Л[—^ + 2^o)i + c(2o)2 —о)3)] = 0.
Отсюда выводим по теореме Картана, что величины в скобках,
представляют собой линейные комбинации форм со1 и ш2. Следовательно,
394
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
их вариации по вторичным параметрам равны нулю, т. е.
[ Ъа = а(2е\ — е$)-\-2Ье*и
(1.4) I ЪЬ = ае\ — 2Ьё1 + с*ъ
( bc = 2be\ + c{2e\ — e$t
откуда
8 (ас — Ь2) = — Ае\ (ас — Ь2),
т. е. выражение ас — Ь2 определено с точностью до множителя.
Следовательно, мы можем нормировать триэдры порядка 1, взяв
ас — Ь2 = 0, 1 или —1. Оставим в стороне случай ас — Ь2 = 0,
который мы изучим в § 3. Из двух случаев ас — 62=1 и —1
первый называется эллиптическим, второй — гиперболическим.
Эллиптический случай. Начнем с эллиптического случая
ас — Ъ2 = 1. В этом случае ни а, ни с не равны нулю. Когда ас
задано, задано и Ь, и равенство ЬЬ = 0 влечет за собой равенства
e2 = el = 0t откуда Ьа = 2ае) (так как £3 = 0У Итак, а определено
с точностью до множителя; нормируя, можно положить а=±1.
Тогда получим е\ = 0 и Ье2 = '0. Так как 8*=±(*J + *}), когда
Ь Ф О, то Ъ определяется только* с точностью до аддитивной
постоянной; нормируя, можно взять & = 0, и мы будем иметь с = ± 1.
Но, заменяя ех и е2 на е2 и elf а затем е3 на —е3, мы видим,
что а и с меняют знак. Следовательно, можно взять а = с=1,
Ь = 0. Уравнения (1.4) дадут тогда
el = О, 2е\ — е\ = О, 2е\ — е\ = О,
*i + *2=0 (откуда *| = *| = *g = 0).
Применяя к уравнениям (1.3) теорему Картана, можно написать:
[ Триэдры порядка 2 (эллиптический случай): 3 параметра.
О)3 = 0, (О? = CD1, О)3 = О)2,
1 а
2o)J — о)3 = а'о)1 -\- Ь'ы2,
О)2 -\- О)1 = У О)1 -\- С'О)2,
2 О)2 _а)3 = ^а)1-[-^0)2.
I Вторичные компоненты: е\х e\t e\ {e\-\-e\=Q\.
Чтобы продолжить редукцию, мы должны прежде всего изучить
уравнения в вариациях для коэффициентов а', Ь', с', d'. Мы их
(1-5.)
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
395
записываем, продифференцировав внешним образом равенства,
содержащие эти параметры, и приравняв нулю вариации коэффициентов
при членах по oi1 и оА Получаем
Ьа' = ЪЬ'е\ — Ъе\х W = (2с' — а') е\ — е\,
Ъс' = — (2У — d') е\ — е\, bd' = — Ъс'е\ — Ъе\.
Отсюда, полагая
(а' — Ъс'У + (d' — Wf = 1 б/С2,
заключаем, что 8/С = 0. Таким образом, К есть инвариант третьего
порядка; он называется аффинной кривизной. Мы изучим далее (§2)
случай, когда /С = 0. При КфО, поскольку определен лишь
квадрат этого инварианта, мы возьмем /С> 0. Записав тогда
а' — Ъс' = 4/С cos tt d' — ЪЬ' = АК sin t,
находим, что bt = Ъе\. Так как t определено только с точностью до
аддитивной постоянной, то можно произвести нормирование, взяв
t = Q, т. е.
а' — Ъс' = 4АГ, d' — ЪЬ' = 0 (тогда е\ = 0).
Возвращаясь теперь к предыдущим уравнениям в вариациях, мы
видим, что а' \ d' определены только с точностью до аддитивных
постоянных, и мы можем определить триэдры порядка 3, полагая
а'=К, Ь' = 0, с'=—К, d' = 0,
что влечет за собой равенства е* = е* = 0. Вторичных параметров
больше нет. Триэдр порядка 3 есть триэдр Френе, о)1 и со2
линейные инвариантные формы. Мы запишем:
{ Триэдр Френе (порядка 3) (эллиптический случай, /С> 0).
I О)3 = 0, 0)3 = 0)1, 0)3 = 0)2,
0-6е) | 2
[ 0)1=^0)1, 0)2= —^0)1, 0)^ = 0, 0)2 + 0)J = — /С0)2.
Полагая тогда
о)2 = — -о- и2 + ао)1 -f- Ро)2, о)* = — -н- о)2 — асо1 — [Зо)2,
а)1 = а'о)1 -+- р'оА о)2 = ^о)* + Т/о)2
396
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
(последняя строчка следует из равенства du)-*=0), мы видим, что
а, р, а', (3', т' являются инвариантами. Внешнее дифференцирование
дает условия интегрируемости
(1-7е) {
rfo1 == аш1 Д °>2» do)2 = fta1 Л °>2»
/С.х + ЗКр + т' —а^О.
2Р'-ЬК,2 — 2/Са = 0,
-<,+Р:1+(«'-тО«+2Р' (|+р) = о.
[ -Р:а + Т;14-(а'-Т/)(§-р)4-2р'а=0.
Напишем, наконец, формулы перемещений триэдра Френе
ОЛ)
dm == о)^! + о)2е2,
dex = у о)^! + ш*е2 + <i>ie8.
/С
rfe2 = (oje! — у 0)^2 -+- о)2е3,
^3=0)^ + 0)^2.
Гиперболический случай. Рассмотрим случай, когда
ас — Ь2 = — 1. Вернемся к формулам (1.4) с е* = 0 и положим,
кроме того, е* = 0. В частности, получаем ЪЬ — ае\. Если а равно
нулю, имеем Ь=±\. Если а не равно нулю, Ъ определяется с
точностью до аддитивной постоянной, можно поэтому всегда произвести
нормирование, положив Ъ = ± 1. Тогда ас = 0; пусть, например, а = О,
и так как Ьс= ±2е*— 2се\, то с претерпевает наиболее общую
линейную подстановку. Можно закончить нормировку, положив с=01).
Меняя ех на —et и е2 на —е2, мы видим, что при этом b
меняет знак, поэтому можно всегда взять Ь=\. Уравнения (1.4)
дают тогда е\ = О, е\ = е\ = 0. Окончательно, принимая во внима-
1) Можно также нормировать, приняв а = 1, с = — 1, Ь = О, что
казалось бы более естественным после того, что мы делали в эллиптическом
случае. Тем не менее выбор, сделанный в тексте, имеет то преимущество,
что он установлен обычаем.
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
397
(1-6*) 1
ние соотношения (1.3), можно написать:
( Триэдры порядка 2 (гиперболический случай): 3 параметра.
о)3 = 0, ю\ = о)2, со| = со1,
(о^а'и^-Ь&'о)2,
(О3 == Уи)1 -{- С'О)2,
и)1 = с'и)1-|-сГа)2.
Вторичные компоненты: е[, e\t ^g(^ + ^=0).
Продолжая редукцию, находим
8а' = 3а'*£, 8*' = *'^ —4 8С'= _ C'*J _ *J. bd' = — bd'e[\
b' и с' претерпевают линейные преобразования, и можно произвести
нормирова ние, взяв Ъ' = с' = 0 (тогда е\ = е\ = 0); аг и cf определены
только с точностью до множителя, но h(a'd') = 0. Следовательно,
a'd'— инвариант, и если он отличен от нуля, то а' при замене е2
и е3 на —е2 и е3 меняет знак. Можно ориентировать оси таким
образом, что аг и dr будут положительны. Положим тогда a'd'—К2;
так как а' и d' определены с точностью до множителя, то можно
закончить нормировку, взяв a' = d' =K, где К — аффинная
кривизна. Напишем:
(1-бЛ)
f Триэдр Френе (порядка 3) (гиперболический случай, К > 0).
О)3 ^=0, 0)^ = О)2, 0)| = О)1,
ol = K^, (о^АГо)2, а>| = 0.
Полагая
o)J = — (о2 = ао)1 -|~ (ЗаД
ш2 = а'а)1 + Р'а)2, о)1 = Р'о
■J 0)^
(последняя строчка следует из равенства da)| = 0), мы имеем новые
инварианты; находим условия интегрируемости
dwl = (За)1 Д о)2, rfco2 = ао)1 Д а)2,
(1.7Й) { -a.i + P.i + 2ap + p'-*» = 0.
-P^ + ^i + Sfa-ATa^O.
398
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Запишем перемещения триэдра Френе:
Jm = o)1e1 + o)2e2,
(1.8*)
dex = o)Jex + К(лге2 + u)2e3,
de2 = Koy4t — о){е2 + ^з»
^еЗ = 0)Зе1 + ^е2-
В обоих случаях (1.8е и 1.8Л) прямая, несущая вектор е3,
называется аффинной нормалью к поверхности.
2. Поверхности второго порядка (не развертывающиеся).
Линейчатые поверхности. В каждом из случаев возобновим
редукцию в предположении,, что аффинная кривизна равна нулю.
Эллиптический случай. При К = 0 уравнение (1.5)вле-
чет за собой равенства 1)
а' — Ъс' = 0, d7 —3*' = 0,
и уравнения в вариациях приводятся к виду
W = — c'el — e*.
Ъс' = Ь'е\ — е\.
Это уравнения группы эвклидовой геометрии плоскости (&', с')\ можно
произвести нормирование, взяв Ъ' = с' = 0 (откуда a' = df = 0), и мы
получаем е* = е* = 0. Дифференцируя формулы (1.5е), содержащие
параметры, мы выводим:
Триэдры порядка 3 (эллиптический случай, К = 0):
1 параметр.
(2Ле)
а)8 = 0, о)^ = а)1, о)| = о)2;
0)1 = &0)1, О)2, = &0)2.
I Вторичная компонента: е\ (е\-\-е\ = $\.
Внешним дифференцированием получаем, что dk=0\
следовательно, k есть константа, и это единственный инвариант
поверхности. Триэдры порядка 3 суть триэдры Френе, они зависят от
одного параметра в каждой точке. Единственные условия интегри-
*) Мы оперируем в вещественной области; если бы герешли в
комплексную область, то достаточно было бы рассмотреть только
гиперболический случай.
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
399
руемости записываются следующим образом:
rfo)i = о)2 Л <°2' rfa)2 = ш1 Л <*>\\ d^\ = — do>l = ^ю1 Л a)2-
Мы найдем эти поверхности.
a. Если & = 0, то о)2 есть полный дифференциал. Положим
ti£=zdt, тогда без труда проверяется, что формы
о)1 cos t — о)2 sin tt о)1 sin t -\- о)2 cos £
представляют собой полные дифференциалы, которые мы обозначим
через du и dv соответственно. Полагая, наконец,
е^ = е post — e2sin£, е£ = ех sin *-|-^ cos f.
мы видим, что уравнения смещений триэдра принимают вид
dm == due[ -f- dve'r
de[ = dtf es,
de2 = ctoe3,
de3 = 0.
Они немедленно интегрируются и дают
е3 = с, e'2 = vc-\-h, е£ = яс + а,
т = и&-\-юЪ-\ ^—с + а,
где а, Ь, с, а-—фиксированные векторы, для которых (а, Ь, с)=1.
Выбирая в качестве начала точку d и для осей координат
(х, у, z) направления векторов а, Ь, с, принимаемых за единичные,
мы получим уравнение одной из этих поверхностей в форме
*« + у»
z— 2 •
Итак, речь идет об эллиптических параболоидах. Аффинная нормаль
имеет направление диаметров параболоида.
b. Когда k=£0t имеем прежде всего dtz = kdm, и можно
выбрать начало таким образом, что е3 = &т. Далее, имеем
d(/e2) = -u)f(/e1)-h/3(o2(§),
'(ЭД-Т^ + ТГ^
где / обозначает константу.
400
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Это уравнения перемещений триортогонального триэдра с
фиксированной вершиной, ребра которого имеют фиксированную длину,
при условии, что
и мы можем легко убедиться, что длина каждого из векторов ег,
е2, е3 (по допущению погруженных в эвклидово пространство) не
влияет на тот результат, который мы имеем в виду доказать. Мы
поэтому всегда можем взять эти векторы длины 1.
Так как задача здесь аналитическая, вопросы действительности
при интегрировании не возникают. По отношению к
фиксированному единичному триортогональному триэдру (е10, е20, ©зо) мы
получаем тогда
^ = ?ае10) + 71(/е2о)+с(^0). где р + ^+(? = 1.
Если обозначить через (х, у, z) координаты текущей точки
поверхности по отношению к этому триэдру, то уравнение
поверхности принимает вид
— k(x2+y2) + k2z2 = l.
Если к < 0, то поверхность представляет собой эллипсоид.
Выполняя унимодулярную подстановку
* = ( —ft),/o*', y = (—k)1/ny't z = (—ky1/uz\
мы приводим это уравнение к виду
х'*-\-уг*-\-г* = №.
Направления осей — это направления трех попарно сопряженных
диаметров; объем параллелепипеда, который они определяют, равен
V=\jk2t что дает интерпретацию k.
Если к > 0, то мы имеем двуполостный гиперболоид,
уравнение которого можно привести к виду
— (*'2 + У2) + *'2 = *4/i-
Для к имеем интерпретацию, аналогичную предыдущей.
В обоих случаях аффинная нормаль проходит через центр
поверхности второго порядка.
Гиперболический случай. Вернемся к уравнениям (1.5Л),
где a'd' = 0. Предполагая, что а' = 0, имеем bd' = — Ъй'е\.
Заменяя ех и е2 на —et и —е2, мы видим, что d' меняет знак; можно
поэтому произвести нормирование, положив d' = 0 или d' = l.
Изучим прежде всего, что происходит, когда d' = 0. В этом
случае имеем после дифференцирования главных компонент второго
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
401
порядка:
Триэдры порядка 3 (гиперболический случай, К = 0,
ar = d' = (Y\* 1 nann.up.mn
(2.1»)
a' = d' = 0): 1 параметр.
: 0, О)3 = О)2, 0)j* = (D1, О)? = (!)* = 0)Ц = 0,
0)g = few2, (!)J = &G)1.
I Вторичная компонента: е\ (ej-|-£2 = 0Y
Как и выше, находим, что k — константа и что эти триэдры
представляют собой триэдры Френе. Условия интегрируемости имеют
вид
du)i = (о1 Д (oj, do)2 = — о)2 Л °^1» ^wl = — k^1 Д о)2.
Перемещения триэдра Френе определяются уравнениями
dm = o)xe! -f- (о2е2,
dea = — (o^ + o)^,
de3 = kdm.
На линиях о)2 = 0 имеем rfe1 = o)je1, поэтому ех сохраняет
фиксированное направление; следовательно, эти линии являются прямыми.
То же самое верно для линий о)1 = 0. Поверхности, о которых
идет речь, имеют, таким образом, два семейства прямолинейных
образующих; это поверхности второго порядка — гиперболические
параболоиды или однополостные гиперболоиды.
Однако легко развить и метод интегрирования.
Если & = 0, то е3 постоянно, скажем е3 = с. Имеем tfu)i = 0;
положим а>* =— dt/t; отсюда следует, что d(£u)2) = 0, d(u>1/t) = 0t
и мы будем писать \&\t = du> tu>2 = dv.
Написанные выше уравнения дают
dm = da(te1) + dv№)t
d (tet) = dvc,
откуда интегрированием получаем
m = 2lu + bv -f- cuv -\- d,
где a, b, c, d — фиксированные векторы, причем (a, b, c) = l. Если
выбрать в качестве координатного триэдра триэдр с вершиной d,
402
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
определяемый векторами а, Ь, с, то уравнение поверхности будет
иметь вид
z = ху\
речь идет о гиперболическом параболоиде. Аффинная нормаль е3
имеет направление диаметров.
Если ft Ф 0, то можно выбрать начало таким образом, что е3 = &т.
Полагая, далее,
р _ et + е2 р _ ег — е2 01 coi + co2 02_ша — ш1
ci— 2 • С'2 — —2/ ' 2 ' 2/ '
можно записать уравнения перемещений триэдра в виде
rfE2=—z^ + a^g,
de2 = 2ft(2iE1 + 22E2).
Как и в эллиптическом случае, мы сведем дело к уравнениям
перемещений триортогонального единичного триэдра, полагая
/Ех = Ег, /Е2 = Е2, -р- = Е3;
(Е;, Е£, EQ=1, где /6 = 86.
Тогда получим, исходя из фиксированного триэдра (е10, е20, езо)>
//3
е3 = х teio (5 — '*Ч) + *2о (6 + ty] + ^е30.
Если триэдр (л:, у, z) с вершиной в центре определен векторами
Cio» е20» езэ» то мы находим
А* = '-£(5 —*Ч). ку = ^(Л + 1ц). ftz = C.
откуда следует, что уравнение поверхности имеет вид
— 2kxy + k*z*=\.
Итак, мы имеем дело с одяополостяым гиперболоидом. Сделав
унимодулярное преобразование
х = х' + у', у = ft1/. (*' — У), г = — ft~Vi *',
мы приведем его уравнение к виду
— *'2 + У2 + г'2 = АГ4/з,
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
403
откуда получаем интерпретацию k. Аффинная нормаль проходит
через центр.
Во всех случаях неразвертывающиеся поверхности второго
порядка остаются инвариантными при преобразованиях их трех-
параметрической аффинной унимодулярной группы,
преобразующей их реперы Френе один в другой.
Линейчатые поверхности. Изучим теперь случай, когда
при /С, равном нулю, dr не равно нулю. Можно произвести
нормирование, полагая d'=l, что влечет за собой г| = 0, вторичных
параметров больше нет. Триэдр порядка 3 есть триэдр Френе:
Триэдр порядка 3 {Френе) (гиперболический случай,
К = 0, d'=\).
(2.1Г)
0, О)* = <
rt3 =
= <01> 0)2 = О,1
*3-^_
0, а)1 = (1)2,
о)1 и о)2 линейные инвариантные формы. Внешним
дифференцированием последних главных форм мы находим, что
о)2 = Заоз2, 0)1 = Зао)1 -\- 3(3o)2, o>J = — о)2 =-ро)г -\- уо)2.
Здесь а, (3, у— инварианты. Условия интегрируемости имеют вид
г rfo)i = То)! Д о)2, rfo>2 = ро)1 Л t»2;
(2'2) 1 a i = 0, —а 2 + Р, i + 2P2 = 0, — р, 2 + Т, 1 + 2рТ + За = 0.
Формулы перемещения репера записываются в виде
dm = <o1e1-r-u)2e2.
rfe1 = o)Je1 + (i)2e3,
de% = ai41 — o)}e2 + o)ie3,
de3 —o^ + o)2^.
(2.3)
Вторая из них показывает, что et сохраняет фиксированное
направление вдоль кривых о)2 = 0; эти кривые сводятся к прямым;
следовательно, такая поверхность является линейчатой.
3. Развертывающиеся поверхности. Остается изучить случай,
когда после редукций, приводящих к триэдрам первого порядка,
имеет место соотношение ас — Ь2 = 0.
Если а = Ъ = с = О, то о>з = о)<* = 0, и редукция не может быть
продолжена; репер Френе зависит от шести параметров в каждой точке,
поверхность есть плоскость. Три первых уравнения перемещений
404
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
триэдра в этом случае имеют вид
dm = a)1e1 + co2e2.
de1 = o)Je1-|-a);e8,
rfe2 = 0)2ei + 0)2e2'
и условия интегрируемости будут те же, что и для общего плоского
аффинного репера.
Допустим теперь, что а или с Ф 0. Заменяя, если нужно, et и е2
на е2 и —ех, можно предположить, что с Ф 0. Равенства (1.4) дают
»(т)=-5в2-т(2*!+4)+'!
— отношение Ъ\с подвергается общему томографическому
преобразованию; можно нормировать триэдр, взяв& = 0, откуда необходимо
следует, что а = 0. Уравнения (1.4) дают тогда е\ = 0 и показывают,
что с определено только с точностью до множителя. Можно
произвести нормирование, взяв с = \, если подходящим образом
ориентировать триэдр. Отсюда выводим, что
2в«-*| = 0.
Используя уравнения (1.3), можно написать:
Триэдры порядка 2 (ас — £2 = 0): 4 параметра
(3.1)
о)3 = 0, o)J = 0, о)| = о)2,
0)2 = я'оД 2о)2 — о)| = а'о)1 + £'а>2.
Вторичные компоненты: е\, е\9 е\, е\
(«1+зв« = о. 2«;-*| = о).
Мы видим, что речь идет о линейчатых поверхностях, так как
вдоль линий о)2 = 0 имеем de1 = u>Je1.
Внешнее дифференцирование новых главных компонент дает
(3.2)
[ —da'-j- a'coj — a'W = 3d"a>2.
— da' + в'» J 4- a'6'a>2 = 3a"u>i -|- 3&"co2,
— аУ •+- 3a'<oJ 4- &'a>| — Зи>а = зуш14. 3c"u>2,
откуда получаем уравнения в вариациях
— 8а'4-<*'«! = 0.
— ЪЬ'+ЪЬ' е\ 4- Ь'е\ — 3<?§ = 0.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
405
Если а' задано, то Ъг претерпевает линейное преобразование,
и можно произвести нормирование, взяв Ъг = 0. Тогда а' будет
определено с точностью до множителя, и можно определить триэдры
порядка 3, положив, кроме того, а' = 0, +1 или — 1. Оставляя в
стороне случай, когда а' = 0, который мы изучим позднее, мы видим,
что а' при замене ех и е3 на —et и —е3 меняет знак. Мы нормируем
триэдр окончательно, взяв а'=\; тогда е\ = 0, е\ — е*=0. Мы
видим, что в (3.2) а"=1, b" = d". Несколько изменяя обозначения»
напишем:
Триэдры порядка Ъ(ас — b2 = 0, о)2 = о)2): 2 параметра
(3.3)
( = 0, U)3 = 0, (l)J = Ш2, 0)2 = 0)2, 20)2— (1)| =
(I)J = (I)1+3*"CD2, 0)2 — 0)2 = ^0)1-1-^0)2,
(О)2 = — ^0)2, ш» = -
2£"о)2).
Вторичные компоненты: e\t el.
С помощью внешнего дифференцирования мы заключаем, что b"
есть инвариант, £" = х, и что с" определено с точностью до
аддитивной постоянной. Можно произвести нормирование, взяв с" = 0>
что влечет за собой равенство е\ = 2ъе\, и мы имеем:
[ Триэдры порядка 4 (ас — £2 = 0, о)2 = о)2у. 1 параметр
(3.4)
u)3 = 0, o)j = 0, w;; = (
0)1 = О)1 + ЗХО)2, 0)2 = ХО)2, О)3 = О)1 2х0)2,
4x(!)J
dx = — 2xo)1 + 2a'"oA
— ©J = (x2 — a'") o)1 -f- &'"o)2
Вторичные компоненты: е\ (£j = 4x£jY
Если исключить случай x = 0, который мы изучим позднее, то
мы видим, что аш определено с точностью до аддитивной постоянной;
можно произвести нормирование, полагая а'" = 0; тогда ft'" = Х есть
инвариант, триэдр Фреяе будет порядка 5. Обозначая через ц.
новый инвариант, можно, наконец, положить
(!)£ = ЗХО)1 -j- fXO)2, (D* = llx20)1-|-[JL0)2, О)2 = 2X0)1 -j- fJW)2.
Мы не будем выписывать полностью формулы перемещений
триэдра Френе и условия интегрируемости; отметим только, что
откуда видно, что (ex)V«o)2, где е имеет знак х, есть точный
полный дифференциал, скажем dv.
406
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Рассмотрим теперь точку
р = т — ех.
Формулы перемещений триэдра дают
dp = — Зхо)^! =-— 3 dv [e (ex^ej.
Итак, точка р зависит только от параметра v\ следовательно,
она описывает кривую С, касательная к которой имеет
направление ег; наша поверхность является развертывающейся и имеет С
своим ребром возвратах).
Конусы. Если х ==0, то уравнения (3.4) дают а'" = 0 и
редукция не может быть продолжена. Триэдры Френе имеют
порядок 4, они зависят от одного параметра.
Имеем del = dmt точка p = m — et фиксирована, поверхность
есть конус с вершиной р.
Цилиндры. Изучим теперь случай, когда в формулах (3.2)
>|ы имеем а' = ЪГ = 0, откуда е\ = 0. Внешнее дифференцирование
дает о);* = с'/а)2, и мы имеем:
[ Триэдры порядка %(ас — £2 = 0, о>2 = 0): 3 параметра
со3 = 0, со3 = 0, о)3 = со2, (о2 = 0, (oj = — За)2, о)3 = — 2(о2,
J (О2 = C"(D2.
f Вторичные компоненты: е\% е\, £*.
Внешним дифференцированием находим 8с"— 2с"е2 = 0. Если
с" = 0, то редукция не может быть продолжена. В противном случае
можно произвести нормирование, взяв с" — 1, что дает e\=Q. Отсюда
получаем триэдры порядка 4, которые определены указанными выше
соотношениями и равенством
(3.5) ш| = Ло>2.
Мы видим, далее, что h — инвариант, редукция не может быть
продолжена, триэдры Френе представляют собой триэдры
порядка 4 и зависят от двух параметров, так как остаются две
вторичные компоненты е\ и е\. Так как du)2 = 0, то о>2 есть
инвариантный полный дифференциал, скажем dv. Из уравнения (3.5)
получаем, далее, с помощью дифференцирования dh/\u>2 = 0, т. е.
h есть функция от v, и можно положить — 3/го>2 = — dl/L Отсюда
!) В действительности наши вычисления, сводятся к вычислениям,
относящимся к триэдру Френе пространственной кривой, но совсем с другим
способом нормировки.
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
407
следует, что
dl
det = а>\ех = - ev
откуда d(/e1) = 0, так что et есть фиксированное направление,
и речь идет о цилиндрах1).
Если с" = 0, то о)| = 0, триэдры Френе имеют порядок 3, и мы
получаем
dm = о)^! -+- о)2е2,
det = — 3o)2ei>
de2 = (oje! -f- o>*e2 -f- u>2e3,
Система w1 = о)2 = ш* = ю* = 0 вполне интегрируема и
определяет плоские сечения цилиндра соотношениями
dm=<D2e2, de2 = u>2e3, de3 = 0.
Эти соотношения определяют параболы; значит, мы имеем дело
с параболическими цилиндрами.
4. Приведенные уравнения. Выберем в качестве начала точку т0
поверхности и в качестве осей (х, у, z) оси, определяемые ее
репером Френе в этой точке: е10, е20, е^. Найдем первые члены
разложения z по степеням х и у. Положим
е1 = ае1о + ре20 + те3о, е2 = а'е10+ ..., е3 = а"е10 + ...,
dz=pdx-\-qdy, dp = r dx -\-s dy, dq = sdx-\-tdy
и вспомним, что
(4.1)
«' P' T'
= 1.
a" P" «у»
Рассмотрим сначала эллиптический случай. Имеем (1.8в)
(4.2)
dx-
: u)xa-
dj/ = ..., dz — .
/<
do. = -± ti>ia + coy + о) V,
da' = o)Ja — A a,ia' + u)2a",
!) Система o>i = a>g = a>g = 0 вполне интегрируема и определяет сечения
Цилиндра; мы снова приходим, с точностью до обозначений, к системе (I, 4. 6).
408
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Прежде всего получаем, что
f - Ъ' dx — a' dy 9 ady — р dx ь 0/ ,Q
(4.3) \ W = Ь ' Ш = Ь > где 8 = а$ -" Р-
( т—/га —$ = 0, f—/»' — #' = ().
Из (4.1) находим теперь, что
(4.4) Y'-P*"-rt" = T>
Дифференцируя вторую строчку в (4.3), имеем
df —р da. — q d$ = adp -\- p dq,
dY — pdb' — qd$'=a'dp + $'dq.
Но, используя соотношения второй и третьей строки в (4.2) и.
принимая во внимание (4.3) и (4.4), находим, что
dl—pda — qd$=Y* dY—Pda' — Qd$' =T;
это дает
_ tty - ^p _ (p» + p^) dx - (ap + аГ) tfy
"A7— 5* ~" 53
_ o^ _ coy —(«P + «T) <** + (<*2 + <*'2) <*у
"?— 52 — 53
г — 53 ' 53 ' ' 53
откуда
Наконец,
В начале координат имеем
«o = Pi = To = 1- Ро = То = ао = Т; = < = Ро = 0,
и формулы (4.2) дают do!, ..., d-\". Отсюда получаем сначала
(d8)0 = (da0o + (^0o = 0,
затем
(dr)0 = — Kdx, (dt)0 = Kdx,
или
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
409
что дает приведенную форму
(4.5.) z=±{x*+f)—^(x*-Zxy*) + [4].
Поступая таким же образом в гиперболическом случае, в тех же
обозначениях имеем из (1.8Л)
с?л: = о)1а-|-о)2а',
da. = о) ]а -f- /CwV -f- о) 2а"
da'=/Cu>2a — o)ia' + o)V
da" = <Dla + a>;a'f .... ....
Но на этот раз получаем, что
(4.6) rfT — pda — qd$=~, dT'— p do!— qd$' =y,
откуда
_ Q)?p' — mip _ _ 2ftP' tf* + (aft' + а'Р) flfy
ajla — toV (сф' + g'p) rfjr — 2aa' tfy
d<7 =
52 53 »
г — — Ш- с — Ё1±?1 ^ ?aa^
г — 53 ■ 6 53 • l 53 »
4,~№&&-Щ*\$. ft.....*-....
Отсюда выводим, что
Ро = 4о = 0> r0 = t0 = 0t sQ=l, (dr)0 = 2Kdx, (dt)0 = — 2Kdy.
Мы приходим к приведенной форме г)
(4.6*) *=*j—4 (*•+■>*>+Ш-
Рассмотрим, наконец, случай линейчатой поверхности. Имеем (2.4)
da = u>}a-j-w2a',
da' = o)2a — a)Ja -|- coV,
da" = a)£a--t-<D2a',
*) Определения /( не совпадают в эллиптическом и гиперболическом1
случаях. Если в последнем случае мы хотели бы написать
4
то нужно было бы взять К' = 2/С У 2.
410
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Мы опять получаем формулы (4.6) и их следствия, кроме двух
последних, которые принимают вид
(А% = 0. (dt)0 = — 2dy,
и приведенной формой будет1)
(4.5Г) г = ху — ^у>+14].
5. Соприкасающиеся квадрики. Касательные Дарбу. В
эллиптическом случае направления векторов et и е2 будут сопряженными
направлениями, которые мы уточним позднее, в гиперболическом случае
они будут асимптотическими направлениями, и в случае линейчатых
поверхностей, отличных от поверхностей второго порядка и не
развертывающихся, направление вектора е! совпадает с направлением
прямолинейной образующей.
В точке поверхности можно найти множество соприкасающихся
квадрик, зависящих от трех параметров и имеющих с поверхностью
касание не ниже второго порядка, причем, вообще говоря, не
существует квадрик, имеющих касание не ниже третьего порядка. Имея
приведенные уравнения, легко получить множество соприкасающихся
квадрик.
В эллиптическом случае, например, это поверхности
(5.1e) Az2 + 2(Bx+Cy-j-l)z — (лг2-г-з;2) = 0,
и мы имеем в окрестности начала координат
г = у(х2 + Я-^(^2Ч-^)(^+^) + [4].
Так как для квадрик /С = 0, то для тех из них, которые имеют
ту же аффинную нормаль, что и наша поверхность, должно быть
г = 1(х2+У) + [4];
они характеризуются условием В = С = 0. Они зависят еще от
одного параметра и имеют уравнение
(5.2е) Az2 + 2z — {x2 + у2) = 0.
Мы видим, в частности, что их аффинная нормаль имеет
направление диаметров соприкасающегося параболоида.
Из приведенной формы (4.5в) мы видим, что в общем случае
линия пересечения квадрики (5.1е) с нашей поверхностью имеет
тройную точку в начале координат, где касательные к ней
определяются уравнением
-!*(*» — Ъху2) — \ {х2 + у2) (Bz + Су) = 0.
1) Можно также прийти к форме г = ху + Су3 + [4], где С—произ
вольно заданное число.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
411
Найдем условие для того, чтобы эти касательные совпадали.
Если положить — = tg 6, то это уравнение принимает вид
ATcos 30 — 3 (В cos 0 +С sin 0) = 0.
Записав, что две его первые производные по 0 обращаются в нуль,
получаем
— AT sin 30-4-В sin 0 — Ccos0 = O, — 3/С cos 30+5 cos 0+ Csin0 = O.
Отсюда, в частности, следует, что
cos 30 = 0.
Три возможных направления тройной касательной, определяющие
касательные Дарбу в рассматриваемой точке и проективно
инвариантные в силу их определения1), даются, таким образом (с
точностью до тс), углами
"2"' ~2"Т"39 ^""'"З"''
Они обращают в нуль форму третьей степени Xs — Ъху2. Можно
также сказать, что это будут направления касательных к линии
пересечения поверхности с квадрикой (5.2е), что дает новую
интерпретацию аффинной нормали.
Три семейства линий Дарбу, т. е. линий, касающихся в каждой своей
точке некоторой касательной Дарбу, являются интегралами
уравнения
(0)1)3 _ 3(0)1) (0)2)2 = 0.
Рассмотрим направление 0 = тг/2 (для других можно провести
аналогичные рассуждения). Написанные выше уравнения дают
В = — К, С = 0.
Геометрическим местом центров этих квадрик будет прямая у = 09
x-\-Kz = 0, откуда мы получаем интерпретацию осей репера Френе.
В случае гиперболической точки можно провести аналогичные
рассуждения. Соприкасающиеся квадрики имеют уравнение
(5.1Л) As*-\-2(Bx-\-Cy-\-l)z — 2xy = 0.
Те из них, которые имеют с поверхностью общую аффинную
нормаль, определяются уравнением
(5.2ft) a#-\-2z — 2ху = 0.
1) Отсюда следует, что в каждой точке есть три пары возможных
направлений для осей (ех, е2) триэдра Френе.
412
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Касательные Дарбу, из которых только одна действительна, задаются
уравнением
линии Дарбу представляют собой интегралы уравнения (u)1)3+(w2)3=0.
Для линейчатых поверхностей уравнения соприкасающихся квадрик
имеют форму (5.1л); в силу (4.5Г), касательные Дарбу сливаются
и имеют направление прямолинейной образующей.
Точки, где существуют сверхсоприкасающиеся квадрики, имеющие
касание не ниже третьего порядка с рассматриваемой
поверхностью,— это точки, в которых К=0. В такой точке имеется
бесчисленное множество сверхсоприкасающихся квадрик,
определяемых уравнением (5.2е) или (5.2Д Если такая квадрика существует
в каждой точке, то рассматриваемая поверхность сама является
квадрикой, так как тогда К — тождественный нуль. Что касается
линейчатых поверхностей, то существование сверхсоприкасающейся
квадрики в некоторой точке несовместимо с фактом возможности
нормировки триэдра Френе соответствующими уравнениями; поэтому
линейчатая поверхность, допускающая сверхсоприкасающуюся
квадрику в каждой точке, также будет квадрикой.
6. Квадрика Ли. Среди соприкасающихся квадрик некоторой
поверхности в некоторой ее точке одна из них, рассмотренная Ли,
представляет особый интерес. Мы сейчас ее определим.
Линейчатая поверхность второго порядка в общем случае вполне
определяется тремя прямыми; поэтому возьмем сначала в качестве
исходной поверхности линейчатую поверхность. Заданная
прямолинейная образующая и две близких образующих определяют
квадрику, имеющую предел L, когда две последние образующие
стремятся к заданной. Вторая система прямолинейных образующих
квадрики L состоит из прямых, встречающих три бесконечно близких
образующих исходной поверхности. Поэтому квадрика L состоит
из прямых, имеющих с поверхностью касание второго порядка,
т. е. из прямых, являющихся асимптотическими касательными
вдоль рассматриваемой образующей.
Рассмотрим теперь поверхность 5 с действительными
асимптотическими линиями. Пусть At(m) и Л2(т) — асимптотические
направления в некоторой точке m; u£i (m) и Л^ (т) — соответствующие
асимптотические линии. Рассмотрим некоторую точку т0. Прямые Л2(т),
проведенные через все точки m на c^i(m0), образуют линейчатую
поверхность, для которой мы рассмотрим квадрику Ли Lv
Аналогичным образом можно определить квадрику L2, исходя из о(2- Мы
покажем, что квадрики Lx и L2 совпадают и, таким образом, в каждой
точке m на 5 будет определена проективно инвариантная квадрика —
квадрика Ли.
Возвращаясь к уравнениям (1.8Л), найдем в заданной точке m
уравнение квадрики Lv определенной кривой о)2 = 0, проходящей
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
413
через эту точку. Имеем
dm = о)^!,
rfe1 = o)1(ae1+/Ce3),
de2 = о)1 (— ае2 + е3),
de3 = (D1(P'e1 + a'e2).
Так как о)1 зависит только от одного параметра, то можно
положить со1 = da. Линейчатая поверхность, образованная
асимптотическими касательными е2, определена уравнением
р = m -f- Хе2,
где X— новый параметр. Асимптотическое направление, отличное
от направления образующей, определяется уравнением
что дает после приведений
Направление асимптотической касательной в точке р есть
е>+х-ж+е*(Ха+^)=е1+тР'е*+Хе*'
и поверхность Lx имеет параметрическое представление
p = m + Xe2 + [x(e1+-^p'e2 + te3),
или, если взять et, е2, е3 за направляющие векторы осей х, у, z,
что дает уравнение
(6.1*) p#-\-2z — 2xy = 0.
Заметим, что Р'— это величина отношения wj/w1 на линиях о2 = 0.
Так как o)2 = a'u/-r-p'a)2, то Р' является также величиной
отношения о)|/о)2 на линиях а>1 = 0. Вторая асимптотическая линия
определяет, таким образом, ту же квадрику, что и доказывает
сформулированный выше результат.
Мы видим, что квадрика Ли имеет центр на аффинной нормали,
что дает другую интерпретацию этого направления.
В случае линейчатой поверхности (в обозначениях § 2) в
уравнениях (6.1л) (3' нужно заменить на За.
414
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
В эллиптическом случае приведенное выше определение квадрики
Ли годится только в предположениях аналитичности. Мы введем
в дальнейшем другое определение. Здесь же мы ограничимся
определением ее в том смысле, что, взяв в качестве осей
-Ц^^-Неа), —^(ej — /е2), е3,
можно аналитически привести эллиптический случай к
гиперболическому: дело сводится здесь к простому упражнению на замену
переменных. При обозначениях (1.8в) уравнение поверхности второго-
порядка Ли в системе координат, определенной е^ е2, е3, имеет вид
(6.1e) fl+lL.g2-|-2z — (*2 + 3/2)==0.
7. Поверхности, инвариантные относительно транзитивной
группы. В силу общей теоремы (О, III, 9) отыскание поверхностей,
инвариантных относительно некоторой транзитивной группы аффинных
унимодулярных преобразований, сводится к отысканию поверхностей
с постоянными инвариантами: ее преобразованиями в себя будут тогда
такие преобразования, которые переводят один в другой ее реперы
Френе.
Мы не будем заниматься развертывающимися поверхностями;
в этом случае соответствующие поверхности представляют собой
цилиндры, и по существу речь идет об определении плоских кривых,
инвариантных относительно однопараметрической подгруппы общей
аффинной группы, — задаче, которая легко решается при помощи
формул (I, 4.6).
Если отвлечься от случая поверхностей второго порядка, для
которых группа зависит от трех параметров, то эта группа будет
зависеть только от двух параметров, так как репер Френе определен
в каждой точке (более точно, имеется только конечное число реперов
Френе, и группа может состоять из нескольких связных компонент,
но мы рассмотрим только одну из них).
1° Изучим прежде всего эллиптический случай. Вернемся к
уравнениям (1.7в), где /С(>0), а, [3, а', (3', у'— константы. Два
последних уравнения запишутся в виде
(а'_т')в-|_2р'(1*+р) = о.
(а'_ T')(lff—р) + 2Р'« = 0.
Они дают
либо а' — 7'=Ю и р' = 0,
либо 4~ — а2 — р2 = 0.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
415
а. Рассмотрим сначала случай, когда a' = f'» Р' = 0; имеем,,
следовательно,
а = р = 0, а' = т'=1**,
откуда
rfa)i == rfo)2 == о, или о)1 = du, со2 = dt;.
Мы получаем
dm = due!-^ dve2>
К К
dex = -у c?tte! 2" dve2 + rftte3»
/С /С
de2 = 2~ ^ei о~ rftte2 "1" ^ез»
de3 = -9- (^ие! + dve2) = -9- dm.
Последнее соотношение непосредственно интегрируется и показы-
вает, что аффинные нормали проходят через фиксированную точкуг
которую мы выберем в качестве начала, записав е3 = -2~т. Из других.
соотношений выводим
da* ~~ 2 da "+" 2 m' dad© "^ 2 du ~~U'
d?m _ Kftn ■ /P
du» ~~ 2 da "+■ 2 m*
Второе из этих уравнений непосредственно интегрируется и даег
к_
т = е~2 uV(v)-\-U(u).
Подставляя этот результат в другие уравнения, получаем, что
т = лвКи+е-Т»(Ьв—"+ее-—*>1
где а, Ь, с — постоянные векторы. Выражая тот факт, что
, v /dm dm К} \ «
(ех, е2, e3) = (-^-, -g^. -5-111)= 1.
получаем условие
^р-К*(а, Ь, с)=1.
Выбирая затем в качестве осей (л:, у, z) оси, определяемые
векторами а, Ь, с, мы получаем уравнение поверхности в виде
xyz = 1;
416
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
если же взять в качестве единичных векторов осей векторы
з aTi$
—2—/С4а, Ь, с, которые образуют единичный триэдр, то уравнение
этой поверхности будет иметь вид
(7Ле) *у* = —1= —.
Аффинные унимодулярные преобразования этой поверхности в себя
определяются формулами
Ъ. Перейдем к случаю, когда
Первое решение уравнений (1.7е) есть
о = 0. р=4*. *'=Щ-, р' = т = 0.
и мы имеем
к
— и
Следовательно, можно положить w1 = du, со2 = £а dv, и мы получим
к
— и
dm = duex + е2 dve29
rfe2 = — ^ <*аег + (— *e, + e3) eT u dv,
з
de3 = 1^K2due1,
где et и е3 зависят только от а. Но
d4^ К det , 3/0*
откуда
du? — 2 </н "Г" 2 е**
Далее находим, что
Де» "e2) = — |-Karf«. е2 = (—|-Кг>а + с)е a ".
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
417
и, наконец, с точностью до параллельного переноса
/ е~Ки 5 \ 2 ~Ки
т = -{±к ^^а + ^е» Ь + г,с,
где а, Ь, с — постоянные векторы, удовлетворяющие условию
*/С(а. ь, с) = 1.
2
Разделяя члены по а и и в выражении для т, мы видим, что
2
5
это поверхность переноса. Выбрав в качестве осей -~*/Са, Ь, с,
мы получим ее уравнение в виде
\3 ^ 25 1
(4+*)*
3253 #8 '
Это же уравнение можно вывести с, помощью аффинитета из
уравнения поверхности
(7.2.) у^ + х^=-\,
для которой аффинные унимодулярные преобразования в себя
определяются формулами
х' = \2х — \pz — -*£-,
у хз'
z' = Iz-\-\l.
Уравнения (1.7е) дают также другое решение:
*=±&К. р = —J-*
(&'. (!', у' вычисляются затем без труда). Но легко видеть, что если
мы возьмем вместо elt e2 другой репер Френе, определенный
векторами
E1 = e1cos(±^-) + e2sin(±^),
Е2 = — е!яп(±-j-j + efcCos(± -|-V
то а и р перейдут в
A = acos(± -^J + psin(± -^J,
В=— asin(±^) + pcos(±^).
418
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Принимая а = 0, р = -^-/С, мы приходим к тому, что
a = ±¥Zk, в=-±к.
Мы пришли к прежним значениям; следовательно, это решение не
дает нам новой поверхности1).
2° В гиперболическом случае уравнения (1.7Л) дают
а = р = 0, или 4ар+/<2 = 0.
а. Равенства а = р = 0 влекут за собой равенства а' = у' = О,
(3'=/С2. Можно положить u>1=du, M2 = dv, и мы будем иметь
dm = dtfe1 + tfi>e2,
det = Kdue2 + dve3,
de2 = К dvet -\- due3,
de3 = K2dm.
Последнее уравнение показывает, что аффинная нормаль
проходит через фиксированную точку, которую мы выберем в качестве
начала, е3 = /(2т. Внося это в предыдущие формулы, мы получаем
систему
Отсюда выводим
Теперь интегрирование проводится без труда. Мы находим, что
m = а**<"+«) + e~T (U+V) [b cos Xf (a — v) + с sin ^- (a — v)],
где
zte-кч*. ь. 0=1.
Беря в качестве единичного триэдра триэдр, определяемый
векторами —^—д4а, Ь, с, мы получаем уравнение поверхности
в виде
(7.1*) *С2 + *2) 2 1
зУ*з к1
1) Поверхности (7.1в) и (7.2е) допускают их аффинную нормаль в
качестве тернарной оси симметрии.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
419
Она получается из поверхности
x(y2-\-z2)=l
с помощью аффинитета, и легко найти ее аффинные унимодуляр-
ные преобразования в себя.
Ь. Если 4а(3-|-/С2 = 0, то мы находим, что
2 .v, г— 2 *v' г — i — 2
do>i = — у о)1 Л ">2, rfo)2 = ~ о)1 Л ">2.
Мы видим без труда, что можно написать
к
— и
о)1 -|- о)2 = du, о)1 — о)2 = £ 2 fifo.„
Полагая затем
Р et + e2 p et —е2
i ~*~ 2 ' 2 — 2 '
получаем из уравнений (1.8Л):
dm = dttEx + <fc>E2,
rfE1 = de(f ^4-5).
dE2 = — ±KduE2 + e*udv(KEl — \e3y
de3 = 3/C2 duEv
Отсюда находим, что
Е1 = ае-г« + Ье2 , е3 = — ЪК&е-*»-\-2КЪе* ,
откуда
й\Ъ**) = \клйу, Е2=-|лГш+с
и, наконец, с точностью до параллельного переноса
Q
где а, Ь, с — фиксированные векторы, такие, что
10/С(а, Ь, с) = 1.
Если взять в качестве единичного триэдра Ю/Са, Ь, с, то
уравнением поверхности будет уравнение
420
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
его можно привести к виду
у \2 ) ~~ 22 32-53 А?*
Последнее получается аффинитетом из ураЕнения
(7.2,,) p(*—xj=l.
Это поверхность переноса. Легко образовать ее аффинные унчмо-
дулярные преобразования в себя.
3° Перейдем, наконец, к случаю линейчатых поверхностей.
Уравнения (2.2) дают
(3 = 0, а = 0, do)1 = 70)1 Д «>2. dafi = 09
Можно положить v>1 = e-ivdu, w2 = dvt и уравнения (2.3),
соответствующие этим значениям, легко интегрируются; при f =£ о
получаем параболоиды. При у = 0 эти уравнения запишутся в виде
dm = daet -\- dvt2,
det = dve3,
de2 = dvtx -f- due3,
de3 = 0,
что дает с точностью до параллельного переноса
где а, Ь, с—фиксированные векторы и (а, Ь, с) = 1. В системе
координат, определенных этими векторами, уравнение поверхности
имеет вид
(7.1r) z = xy—gy\
Она известна под названием поверхности Кэли. Она сохраняется
при группе преобразований
х'=х+\у + \1,
у' = у + \.
z' = 'кх-\-\>.у-\-г-\-'кр — у.
8. Кривые, лежащие на поверхности. Важное значение в
геометрии на поверхности, индуцированной аффинным унимодулярным
нормализованным репером Френе, имеет введение некоторого
линейного элемента ds2, который можно рассматривать как квадрат
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
421
элемента дуги кривой, лежащей на поверхности, причем само собой
разумеется, что это новое понятие не имеет ничего общего ни
с обычным элементом дуги, ни с элементом аффинной дуги. Этот ds2
задается формулами
ds2 = (а)1)2 -\- (о)2)2 (эллиптический случай)
ds2 _ 2 I o)io)21 (гиперболический случай и случай
' ' линейчатых поверхностей).
Ортогональность двух направлений по отношению к этому ds2
означает, что эти направления сопряженны на поверхности.
а. Эллиптический случай. Всякое направление
касательной плоскости может быть определено вектором вида
Et := ех cos 8 -f- e2 sin 0,
и, если задан вектор такого вида, мы ставим ему в соответствие
вектор, направление которого сопряжено предыдущему,
Е2 = — ех sin 0 -\- е2 cos 0.
Для изучения кривой, лежащей на поверхности, мы положим
u)i = dscos0, o)2 = ctesin0, аи^ + Ра)2:^^,
где 0 — функция от s. Из с^ш1 = ао)1 Д о)2, dm2 = р^1 Д о)2 и
формулы (II1, III, 10.1) имеем
9gds = dQ + Q.
Мы возьмем в качестве триэдра Френе в точке некоторой
кривой триэдр Elf Е2, е3. Тогда из (1.8е) будем иметь
dm р
1i— bl
gi = |(ElCos30 — E2sin30) + P^E2 + e3,
g = - f (Ex sin 30 + E2 cos 30) - p^,
j 1 2
^3 = ^3 (Et cos 6 - E2 sin 6) + £ (Ex sin 6 + E2 cos 0).
Чтобы в некоторой точке две кривые, имеющие общую
касательную, имели также общую соприкасающуюся плоскость,
необходимо и достаточно, чтобы у них db/ds было одинаково или чтобы
они имели одну и ту же геодезическую кривизну.
Можно назвать аффинными геодезическими кривые, для
которых соприкасающаяся плоскость содержит аффинную нормаль
(8.1)
422
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
к поверхности; dEt не должно, следовательно, содержать Е2, что дает
(8.2) _^sin30+p^ = O.
Линии, вдоль которых вектор Е2 сохраняет фиксированное
направление, суть ланий видимых контуров; dE2 тогда коллинеарно Е2,
и поэтому мы имеем
(8.3) l*sin3e + p, = 0.
Чтобы видимые контуры были аффинными геодезическими,
необходимо и достаточно, чтобы К = 0, т. е. чтобы поверхность была
поверхностью второго порядка.
Наконец, линии, вдоль которых аффинная нормаль описывает
развертывающуюся поверхность, или линии аффинной кривизны,
определены условием
(dm, e3, de3) = 0>
или
(8.4) — ш|со2 -+- cofco1 = 0.
Таких кривых имеется, вообще говоря, два семейства, и через
каждую точку поверхности проходит кривая каждого семейства.
Положим теперь
col со2 # '
Два возможных значения R, скажем Rt и /?2, называемые главными
радиусами аффинной кривизны поверхности, являются решениями
уравнения
(/?а+1)(/?Т' + 1) — #2Р = 0.
Отсюда
те=а'т'-г i+i=2H=-(a'+T').
Величина Н называется средней аффинной кривизной
поверхности, величина IjR^R^— ее полной аффинной кривизной. Вдоль
каждой из линий кривизны имеем формулу Олинда Родрига
dm-b#de3 = 0,
которая означает, что семейство соответствующих нормалей касается
своей огибающей в точке т-}-/?ез (R = RX или /?2, две
соответствующие точки Сх и С2 называются главными центрами
аффинной кривизны).
Возвращаясь к уравнению (6.1в) квадрики Ли, мы видим, что ее
центр имеет абсциссу 1/Я. Таким образом, центр квадрики Ли
гармонически сопряжен точке m относительно главных центров
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
423
кривизны1). Объем параллелепипеда, построенного на ее полуосях,
равен 1/Я2.
Ь. Гиперболический случай и линейчатые
поверхности. Так как в этом случае произведение а)1^2 меняет знак, то
если t — параметр, определяющий направление касательной
плоскости, мы положим для а)1^2 > 0:
л ds
а)1 = —-== е
ds
Y2
-t
для а)1^2 < 0:
о)1 = -==. егу
У2
Е2 = у=(—^-Ьг-'ег);
о ds +
Y2
El = yT(e'ei"
б 62)» ^*2
Y2
= (^ + ^"^2).
Тогда получаем два сорта формул, аналогичных (8.1е); мы
напишем только те из них, которые относятся к случаю о^со2 > 0;
Й7 — Di»
(8Л0
g = ^ (ch 3*E1 + sh 3/E2) - ^±_!!LЕ2 -
rfs
•е3,
<tf + toj
ds
Ex.
^=-^L(sh3/E1 + ch3/E0-
^3=,T7f^-^+^7f(El+E2)-
Далее можно провести рассмотрения определенных нами
специальных кривых, аналогичные предыдущим2).
Приложения. 1° Аффинные сферы. На некоторых
поверхностях, называемых аффинными сферами, линии кривизны являются
неопределенными. На этих поверхностях тождественно
-8
0)1
!) Мы получаем таким образом геометрическое определение квадрики
Ли в эллиптическом случае.
dt + *\
2) В формулах (8.1Л) можно было бы заменить —^— на /р^, но это
стеснило бы нас при изучении действительных кривых.
424
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
что влечет за собой равенства а' = у', р' = 0. Уравнения (1.7в)
(в эллиптическом случае) показывают тогда, что а' = у' = —\/R
есть константа. Далее, если о! Ф О, то точка т-|-/?ез = с
фиксирована, т. е. аффинные нормали проходят через фиксированную
точку. Обратное также верно.
Если а' = у' = 0, то аффинные нормали остаются
параллельными фиксированному направлению, мы имеем несобственные сферы.
Поверхности второго порядка являются аффинными сферами или
несобственными сферами, поверхности (7.1в) и (7.1Л) — также
аффинные сферы, поверхность Кэли (7.1г) — несобственная сфера.
2° Не развертывающиеся поверхности с плоскими линиями
видимых контуров. Изучим этот вопрос в эллиптическом случае.
Записав, что
/F dEl ^ЕЛ_П
lEl' U> rfSs-) = 0'
мы находим, что условие для того, чтобы кривая была плоской,
состоит в следующем:
12 2 1
(III К Л СОоОГ СОоО)1
<8'5> f-4cos36t/- ' d/ =0,
где U обозначает левую часть соотношения (8.2). Принимая во
внимание (8.3), можно переписать это уравнение в виде
О = ^ cos 30 sin 36 — (Кп cos б+Я\2 sin 6) sin 30—ЗАГ cos 301^+... =
= ЪК cos 30 & sin 30 + ^Л + ^ cos 30 sin 30 -4- ... =
= /С2 sin 66 -^- ...,
причем ненаписанные члены образуют тригонометрический полином,
содержащий самое большее члены с cos 40 и sin 40.
Из написанного тождества следует поэтому, что /С=0, и
поверхность должна быть поверхностью второго порядка. Обратное
хорошо известно. Другие случаи рассматриваются таким же
способом и в итоге можно сформулировать теорему:
Всякая неразвертывающаяся поверхность с плоскими
видимыми контурами есть поверхность второго порядка (Машке).
3° Соотношение (8.5) показывает также, что если аффинная
геодезическая линия плоская, то она является также линией кривизны.
9. Алгебраические дифференциальные инвариантные формы.
Мы будем заниматься почти исключительно эллиптическим случаем.
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
425
Изменения, которые следует внести в наши рассуждения в других
случаях, почти очевидны1).
В эллиптическом случае мы встречались с формой
<p = d^==(ui)2-|-(«>2)2-
Возвращаясь к уравнениям (1.6е, 7е и 8в), легко видеть, что
(9.1) cp = (elf e2, d«ni) = (ex. e2, o)1rfe1 + o)2rfe2) = (o)1)2 + (o)2)2.
Рассмотрим теперь заданное представление т(и1, а2) некоторой
поверхности. Положим
(9.2)
( fttrx
— = \et + [x^g, откуда w1 = \ da1 + >ч* а"2>
^ = h*i + ^2^2» откуда о)2 = 14 da1 -\- [x2 da2.
\v X2 являются ковариантными компонентами вектора elf а [хх, |х2 —
ковариантными компонентами вектора е2. Что касается их контра-
вариантных компонент, то мы имеем
(9.3)
А D' D'
X, 2_Xt ^» = (^2-^t).
5' •* ~D'
|»1 = —-Д. [*2 =
откуда для вычисления инвариантных производных функции /имеем
Теперь получаем
(9-4) /.! = £» + &». /.-^й^+да^
1 /dm dm ,2 \
?=Dfe' 355' dm)'
Положим
Эту форму можно вычислить, исходя из аналитического
представления поверхности. Из (9.1) и (9.2) выводим, что
^ = (М2+Ы2. 5 = ^+х*«- ^=(^)2+Ы2.
Отсюда получаем, что
LN — M2 = D*.
!) В дальнейшем изложении появляются rfco*, rfco^ напоминаем, что
речь идет .здесь об алгебраических дифференциалах, а не о внешнем
дифференцировании.
426
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Итак, имеем окончательно х)
/п к, L (duly* + 2М duX difi + N (du??
(9.5) 9 = — —! -rr =
= gn (d^)2+ 2gl2 da* du* + g22 (da*?,
где g12 = g2i-
Мы получим новую инвариантную форму, исходя из
^¥ = (ei» e2» d3m) + (delt е2, d2m)-\-(tlt de2, d2m) =
= (*i, е2, d^ + tde^ e2, a>2de2-f-e1du)1) + ... =
= (ех, е2, d3m)— (dex, de2, dm)— da)1^, e2, det)— du>2(elt e2, de2).
Отсюда, принимая во внимание (1.6е), получаем
d<p = (elf e2, d3m) —^[(о)^2 —Зо)1^2)2] —^dcoi —a)2do)2,
что приводит нас к введению формы третьего порядка 2)
(9.6) ф = 1/П(<)3 — 3a)i(o)2)2]=(ei, e2, d3m) —|dcp,
которая, следовательно, вычисляется с помощью заданного
аналитического представления по формуле
(dm dm
(dm dm .а \
(9.7) ф = ^—^ ' dv.
Зная формы ср и ф, можно вычислить о)1 и о)2. Действительно,
рассмотрим линейный множитель 91 в выражении для ф3). Можно
положить о)1 = а91, где а нужно определить таким образом, чтобы
ср Л2 (01)2
было точным квадратом, что определяет а и о)2 с точностью до
знака. Полагая, далее,
ф = i- /Ca6l [д2 (01)2 _ 3 (0)2)2] f
мы видим, что тот факт, что К должно быть положительным,
определяет знак а.
1) В гиперболическом случае
п « 0 L (dui)*+ 2Mduidu* + N (du^y*
Y (M* — LN)4*
2) Мы используем здесь обозначения Бляшке (Vorlesungen tiber Diffe-
rentialgeometrie, t. II).
3) Мы уже отмечали, что имеются три триэдра Френе, возможных в
данной точке.
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
427
Итак, мы получили формы w1 и ± а>2. Исходя из выражения
для dm, мы определяем, далее, et и ± е2; наконец, знак формы о>2
определяется равенством
(et, e2, rfe1) = o)1.
Написав dex и de2, мы получаем, далее, форму 2 = aw1 + (ta2 и
вектор е3. Затем можно написать последнюю формулу (1.8е),
которая и дает остальные инварианты.
10. Условия интегрируемости в терминах форм <р и ф. Мы положим
(10.1) ( * = ^du%du3\ [/f у, Л== 1, 2; £= D^X^-X^L
где ^ и Л^-й симметричны. Так как ср и ф — инварианты, то ^-, с одной
стороны, Л^, с Другой стороны, — компоненты симметричных тензоров. Мы
будем употреблять обозначения и операции из (II1, III, 13).
Мы должны сначала выразить, что ср и ф могут быть одновременно
приведены к виду (9.1) и (9.6). Имеем
(Ю.2) d(dui)l(duJ) = 3* K^i — VWj) h - Qwj + XjW) Wfc] <*«*.
откуда
^ dCdtftdCduf) ==° (B °ИЛУ ^^ = giJlLillj = l' gifKillj = 0)'
Это равенство записывается следующим образом, если взять ф в форме (10.1)
(условия аполярности):
(10.3) gijAijk = 0 (или A\k=girf? = 0. или giJA^k = 0).
Дифференцируя (10.2) по da*, находим
(Ю.4) Aijk = -«J- AT [X<X^Xft — Xtfiytift — f^Wfc — PiV-jhl
Отсюда
ЛОЛ = у /С [XV'Xfc — \Урк — jAV — (iу X*].
Принимая во внимание равенства X*X$ = jx^'fx^ = 1, Xfy* = 0, мы выводим
отсюда, что
(Ю.5) AiJkAW = K\
что дает выражение для аффинной кривизны.
Теперь нужно выписать условия интегрируемости. Дифференцируя (9.2),
имеем в силу (1.6е)
(la6) ira=[Ъ+i *(XiX> ~ №i) ~ w (aX>+м]ei+
+ [IS ~ i *(Xtfli+XjH)+х< (aXi+^lе*+(XiX'+Mlj)ез*
428
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
Возвращаясь к формуле (II1, III, 13.3), мы напишем
?=х^+ЬуЬ b=iLi"+{vh
Принимая во внимание симметрию { I и —^ . по i и j заключаем,
что
С другой стороны, из равенства
с помощью леммы Риччи получаем, что
Мы имеем, таким образом, четыре уравнения, позволяющие вычислить
Xi I j и Pi I j для l ^ J- ПолУчаем
Эти выражения имеют место и тогда, когда / = у. В этом можно
убедиться, дифференцируя gXot или, исходя из равенств Х*Х^ = ptpi = 1, кова-
риантное дифференцирование которых дает, как нетрудно видеть,
Внося найденные выражения в (10.6) и возвращаясь к dmjduk вместо
е^ и е2, мы находим, что члены, содержащие /С/2 в качестве сомножителя
в коэффициенте при дт/дик, сводятся к
\ К Ш* - WM х* - ttVj + XiW) j**] = Л*,
и мы имеем-окончательно, принимая во внимание равенство ХЛХЛ + p.^aft = ^ ,
Положим Лг-^ = у #«#*. Имеем, используя формулы (10.7),
= {** + &■*)№#* + ...].
Скобка содержит двенадцать членов, получающихся из членов выражения
для a{jji заменой \р на \>.р и у.р на — Хр (р == I, j, к). Мы находим, что
(ЮЛ) «у i л - 3 (aX* + fo**) [<tej + уо Ч+(V* -1*^) hkl =
= За (Х^- + X_,R) + зр (Х*Х^ — puLj).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
429
Положим, с другой стороны,
(10.10) Bi$ da1 du? = «j*1 + 4<»2 + и^<°1)2 + (<*2)2] =
В силу формул^ системы (1.7в), дающих а'— f' и р', можно написать
B{J du1 dui = -| /С {р [(о>1)2 _ (о)2)3] -f 2cto)io)2} +
+ ^ {/С, 1 [(col)2 - (»*)»] - 2/С, 2o)lo)2}.
Используя (9.4) для того, чтобы выразить инвариантные производные
кривизны /С, имеем
&ij = -g" А: [Р (Х«Ху — H-iH-j) + « (Vj + X/R)] +
+ Т S [(Х'Х> - ^> х* -(Х'^ +х^> «**! =
— * //>,* _L * ^ „* _- J*
- "J *aij \k -Г~2 dukaij - Aij | Л-
Перепишем окончательно формулу:
осп) ^=4-и-
Из выражений (10.10) для тензора Вц выводим, что
в{ = ^-=11 (x«tf - ,V)+р' (х^ + Rtf) =
= «fy' + р' (Х#' + ц^ + Т V + Д#.
Отсюда мы получаем соотношение
(10.12) В\=0,
эквивалентное соотношению 2# + а' + Y == 0.
Чтобы подсчитать // в терминах <р и <(/, мы заметим, что в силу (II1, 1.7)
-«,2+Р,1 + «2 + Р2=-С,
где С обозначает кривизну формы <р. Уравнение системы (1.7е)
-«. 2+ р. 1+«»+Ра+§- ^4^-=°
запишется тогда в виде
(10.13) — С + ^ + Я=0.
Остается выразить два последних условия интегрируемости,
относящиеся к а', (3', ?\ Полагая
d% = o)Jei + co^eg = C{-^j du\
430
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
находим, что
С{ = а\Р + р' (V + \р*) + Т V = В1 - ЯН
Вычислим вторые производные е3. Используя (10.7), имеем
днг ди*
Симметрия по / и по / дает, следовательно,
Принимая во внимание (10.3) и (10.12), из этих соотношений получаем,
наконец,
(10.14) //, = -В{„+Д*4<-
Окончательно имеем следующую теорему (Радона):
Неразвертывающаяся поверхность определяется, с точностью до
аффинного унимодулярного преобразования, заданием двух
дифференциальных форм <р и <|/ (10.1) (ср имеет отличный от нуля дискриминант),
если эти формы связаны соотношением аполярности (10.3) и
условиями (10.14). При этом К определяется формулой (10.5),
Я—формулой (10.13) и Вц — формулой (10.11).
Упражнения
1. Об аффинной нормали, а. Эллиптический случай. Аффинная
нормаль в точке m поверхности есть полукасательная к геометрическому
месту центров тяжести площадей сечений поверхности плоскостями,
параллельными касательной плоскости в точке т, достаточно близкими к m
(Бляшке).
Решение. Полагая х = г cos 0, у = г sin 0, записываем формулу (4.5е)
в виде
2r = y---g./0r8cos3e + [4].
Сечение плоскостью z > 0 (z достаточно мало) есть замкнутая кривая, и
мы имеем
r=/2z + l/C*cos38 + [-|].
Центр тяжести сечения определяется формулами
Г гз cos 0 db С г* sin 0 d§
л 2. —тс 2 —тс у
5 = J +^ ' ^ ~" "3" +^ '
С r*db С r*db
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
431
Так как главное бесконечно малое есть z, то находим
.-ffl. ,-[|].
Ь. Гиперболический случай. Рассмотрим маленький четырехугольник,
образованный асимптотическими линиями, одна из вершин которого лежит
в т. Две пары противоположных сторон определяют в пределе два
направления плоскостей: (elt de^) (где coi = 0) и (е2, de2) (где а>2 = 0). Мы
получаем плоскости (%, e3) и (е2, е3), пересечение которых есть аффинная
нормаль (Демулен).
2. Поверхности с плоскими сечениями, имеющими
центр. Рассмотрим только эллиптический случай (другие случаи труднее).
Пусть 5 (z) и Y] (z) — координаты центра сечения на высоте z такой
поверхности S относительно триэдра Френе в ее точке ш0. Подвергнем поверхность
преобразованию
* = *' + £, y = y' + Yj, z = z';
S переходит в S', и линией центров сечений поверхности S' плоскостями,
параллельными хОу, будет ось z. Имеем
г' = х'2 + У'2 -~^K(x>*-3x'y'2) + (x'Z + y'yl) +
Но центр течения является одновременно его центром тяжести, поэтому
имеем
Мы получаем теперь из предыдущего соотношения
z' = x'* + y'2 -±K(x'3-ax'y'z) + [4).
Но S' симметрична относительно оси z, поэтому правая часть не должна
содержать членов нечетной степени; следовательно, /(=0 и поверхность
есть поверхность второго порядка (Бляшке).
3. В касательной плоскости в точке m к некоторой поверхности зададим
неасимптотическое направление Ei и сопряженное ему направление Е2. Тогда
аффинные нормали плоских сечений поверхности, проходящих через Ei, будут
лежать в плоскости, проходящей через Е2 (Трэнсон).
Решение. В эллиптическом случае мы пользуемся приведенной
формой (4.5е). Пусть
х' = х cos 0 + У sin 0 = 0, у' = —- х sin 0 + у cos 0 = 0
— направления Ei и Е2. Пересекая поверхность плоскостью z = \y\ находим
Аффинная нормаль сечения проектируется в аффинную нормаль проекции,
которая определяется уравнениями
*' = -~/Ccos30, Xy' = i/<cos30*.
432
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
4. Расстояние от точки до элемента касания второго
порядка. Пусть
х* 4- v2
*= |У +[3]
— элемент касания и р — фиксированная точка. Мы называем расстоянием
от р до этого элемента квадратный корень из объема параллелепипеда,
построенного на сопряженных диаметрах поверхности второго порядка с
центром р, обладающей этим элементом касания.
Показать, что расстояние от точки р до поверхности имеет величину
(ej, е2, р — ш) и что оно достигает экстремума, когда аффинная нормаль в ш
проходит через р.
Указание. См. формулы (5.1е) и (1.6е).
5. Для того чтобы центр квадрики Ли был фиксированным, необходимо
и достаточно, чтобы эта поверхность была аффинной сферой. Для того чтобы
она была все время параболоидом, необходимо и достаточно, чтобы это была
минимальная аффинная поверхность (#=0).
6. Определить аффинные сферы и несобственные сферы, являющиеся
линейчатыми поверхностями.
Указание. См. формулы (2.2). Сводим отыскание этих поверхностей
к отысканию поверхностей с ds* постоянной кривизны (см. II1, П,
упражнение 2). Сравнить с соотношением (10.13), (/(=0для линейчатых
поверхностей).
7. Определить несобственные нелинейчатые сферы.
Указание. Из (1.7е), например, находим — р,2 + ал + 2сф = 0. Это
значит, что coico* имеет нулевую кривизну.
8. На минимальной аффинной поверхности (# = 0) вторая
асимптотическая касательная вдоль первой асимптотической линии остается
параллельной некоторой плоскости, так же как и аффинная нормаль.
9. Об условии аполярности. Пусть даны две формы
Ф = gijxlx*, W = AijkxlxJxk (/, j, k = 1, 2; ёф0).
Будем рассматривать х1 и х* как однородные координаты точки проективной
прямой. Обозначим через U и V точки, определенные уравнением Ф = 0,
через Р, Q, R — точки, определенные уравнением W = 0, причем
предположим, что они различны. Пусть Рг — точка, гармонически сопряженная с Р
относительно Q и R,Q' и /?' — аналогичные точки, определенные с помощью Q
и R. Для того чтобы U и V были двойными точками инволюции,
определенной тремя парами точек (Р, Р'), (Q, Q'), (/?, R')t необходимо и достаточно
чтобы формы Ф и W были аполярными (g^Aijk = 0).
ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Единственная глава
I, Формулы перемещений репера. Перемещения
коррелятивного репера. В этой главе мы будем излагать теорию кривых в Р2
и теорию кривых и поверхностей в Р3; мы ограничимся выводом
формул Френе в общем случае; только в случае плоских кривых
мы будем говорить о частном случае конических сечений.
Напомним сначала формулы перемещений репера (О, III, 7).
В проективной плоскости Р2, точку которой мы обозначим через
т(х, у, z), будем рассматривать реперы сЯ (называемые
нормированными), образованные тремя аналитическими точками mlt щ, тъ%
с определителем
1*1 У\ *i|
(1Л)
[mv m2, тг] =
*2 У2 *2
1*в Уз *г
Мы видели, что для проективной группы
1х' = ах -f- by -\- cz,
у' = а'х-+Ь'уАгс'г,
z' =a"x-\-b"y-\-c"z,
нормированной равенством
= 1.
а Ь с
а' У с'
а" Ь" с"
1,
инфинитезимальные преобразования имеют вид
(1.3)
dtrti =2 «of ntj (1=1, 2, 3)
с уравнениями структуры
3 3
(1.4) <*ш{=5Хл«>1[; 2«{ = о (*.y=i. 2.3).
к=1
i=l
Заметим, что эти соотношения — не что иное, как соотношения,
описывающие перемещения триэдра с фиксированным началом в
434
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
аффинном унимодулярном пространстве трех измерений (II2, I, 1);
геометрически это выражает тот факт, что, если рассматривать
координаты аналитической точки как координаты точки аффинного
пространства, то формула (1.1) для нормированного репера
показывает, что тетраэдр с вершинами щ, т2, тъ и началом координат О
имеет объем 1/6, тогда как формулы (1.2) показывают, что
нормированные преобразования можно интерпретировать как аффинные
унимодулярные преобразования, оставляющие неподвижным начало.
Всякому нормированному реперу из аналитических точек щ% т2, т3
коррелятивно присоединим репер, образованный геометрически
прямыми (т2, т3)9 (тг, т^ и (mv т2)\ аналитически мы его будем
определять в коррелятивной плоскости аналитическими точками av Og, аг с
(О, если 1ф]Л
(1.5) ащ = hj = ( j ^ если t = j J» откУДа [av я2, аъ] = 1
(если ii T\it С* — координаты точек ait то произведение а^ по
определению будет равно числу ?i^ + *»iiJ^ + C|^).
Чтобы изучать одновременно перемещения репера и
присоединенные перемещения его коррелятивного репера, положим
(1.6)
dai = 2 °>% ау
Дифференцируя уравнение (1.5), получим тогда
откуда
(1.7)
<4 + <4 = 0;
II —
не что иное, как матрица.
следовательно, матрица компонент щ
получаемая из матрицы щ транспонированием и изменением знака.
В пространстве Р3 с координатами (х, у, zt t) аналитической
точки т мы будем рассматривать нормированные реперы cR,
h
h
[mv m2, m3, m4] =
*\ У\ *г
*2 У2 *2
хг Уз *з
*i У*
ч U
= 1.
и нормированные преобразования
х' = ах -\-by-\-cz-\-dt, \
у' = а'х +
гГ=<Гх +
V =а"'х+
с определителем
Ь
У
Ь»
У" сш dr"
с
с'
с"
d
d'
d"
= 1.
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
435
Формулы инфинитезимальных перемещений реп_ера и уравнения
структуры аналогичны предыдущим уравнениям (1.3) и (1.4), но
индексы изменяются теперь от 1 до 4;# коррелятивный репер и его
перемещения задаются формулами, аналогичными (1.5), (1.6) и (1.7),
с той же заменой.
2. Теория плэских кривых. Репер Френе. Рассмотрим в
неподвижном репере плоскую кривую С, геометрическое место точек т (/).
Реперы нулевого порядка, которые мы присоединяем к каждой
точке т1 кривой С, будут реперами eft, такими, что аналитическая
точка m(t) совпадает с геометрической точкой тг; для фиксирован*
ного t компоненты ю* и ы\ обращаются в нуль; это главные
компоненты, и мы имеем e\ = e\ = Qv). Мы будем отправляться от
реперов первого порядка, таких, что прямая т1т2 будет
касательной к кривой в точке тх\ тогда o)J = 0, что дает посредством
внешнего дифференцирования ш* Д о>| = 0, так что, скажем, G)jj = aa>2;
следовательно, е* = 0.
Новое внешнее дифференцирование дает нам
(2.1) da — 3ao>l = — 3&a>Jf
откуда для вариации параметра а получаем
Ьа — За^ = о.
Параметр а определяется с точностью до множителя; следовательно,
можно определить реперы второго порядка, приняв а = 0 или
а=± 1. В первом случае полученное соотношение будет
тождеством и не дает ничего нового; редукция на этом кончается; реперы
Френе будут зависеть от пяти параметров в каждой точке, а линия
будет прямой.
Вернемся к общему случаю; заменяя т2 и тг на —т2 и —т3,
мы видим, что при этом меняется знак компоненты ю*, компонента tojj
не меняется, а параметр а заменяется на —а; следовательно, всегда
можно определить реперы второго порядка, приняв а=1.
Окончательно имеем для этих реперов
|о)3 = 0; 0)3 = о)2; ю* = Ьа>\;
е* = ег = ег = е2 = о; (откуда е\ + е\ = 0).
Из соотношения <й* = Ьи>1 внешним дифференцированием получаем
db — (о)£ — о)2) —j— ^coj ===== — сы\%
1) е* есть значение формы со* для изменения вторичных параметров. —
Прим. ред.
436
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
откуда посредством вариации параметра Ъ при изменении вторичных
параметров находим, что
bb-(el-el) + be{ = 0,
параметр Ъ подвергается общему линейному преобразованию; можно
определить реперы третьего порядка, положив & = 0 (что дает
е\ — е\ = 0), и мы получим
| 0)3 = 0; 0)| = 0)*; 0)2 = 0; 0)1 0)2 = СО)2;
С2-3) \e2 = el = el = el = el_el = 0. (,1 + ,з = о).
Внешнее дифференцирование формулы, которая содержит с, дает
dc + 2o)i + 2c(oJ = 2с'ша (5с+ 2е*+ 2се\ = 0);
с испытывает линейное преобразование, реперы четвертого порядка
будут определяться равенством с = 0 (что дает е\ = 0), и мы получим
J «4 = 0; 0)8 = 0)2; ш2=0; v>\ — (o2 = 0; m\ = c'm\,
(2-4) j е1==е1 = е1 = е1==ег_е1==е1 = 0 (e} + ef = 0).
Отсюда получаем, что
dc' + 3</o)J = Зс"о)2 (Ъс' + 3c'eJ = 0).
cf определяется только с точностью до множителя; можно
определить триэдры пятого порядка, положив с' = ± 1; в случае, когда с'
равно нулю, редукцию нельзя продолжать; этот частный случай
будет рассмотрен в параграфе 3.
В общем случае, заменяя т1 на —т1 и тъ на —тг, мы видим,
что с' переходит в —с'\ следовательно, всегда можно определить
триэдры пятого порядка, положив с'=\ (откуда е\=0, что имеет
следствием е\ = 0):
(2.5)
о)3 = 0; 0)^ = 0)2; о)2 = 0; о)*— о^ = 0;
0)1 = 0)2; 0) \ = с"о)2;
e* = el=:el = e\ = el = el = el = el-el = 0.
Более того, легко показать, что do)2 = 0; следовательно, форма о)^
будет полным дифференциалом; поскольку она содержит только
дифференциалы главных параметров, она будет инвариантной формой
пятого порядка; мы положим w\ = da и будем называть о
проективной дугой.
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
437
Продолжая редукцию, мы найдем
dd* + o)i = cmv\ (Ъс" + *J = 0);
группа, оперирующая над параметром с", будет группой переносов;
реперы шестого порядка определятся, если положить с" = 0, что
дает е\ = 0 (откуда е\ = 0). Вторичных параметров больше нет;
имеем репер Френе
( (^ = 0; о)» = о)?; о)2 = 0; o)i — со| = 0;
(2.6)
о)1 = 0)2; 0)1 = 0 (откуда о)3 = 0).
Мы положим 0)1 = 0)2 = — &da, где k — инвариант седьмого
порядка, называемый проективной кривизной.
Окончательно, имеем формулы Френе:
(2.7)
( dml
~~d^~
dm2
d, -m»
- kttl1-\- ftl$t
da
—fa- Щ — ЯЩ.
3. Конические сечения. Нам остается рассмотреть случай, когда
реперы четвертого порядка даются уравнениями
0)3 = 0; 0)3 = 0)2; 0)2 = 0; a>J — 0)2 = 0; o)i = 0 (coj + coj = 0);
в2 = ,з = ,з = ,2 = ,1_,2 = ,1 = 0 (,1 + ,з = 0);
редукция не может дальше продолжаться; триэдры Френе будут
реперами четвертого порядка, они зависят от двух вторичных параметров
[действительно, остаются две вторичные компоненты £j(= — £g)
■ ек=ет-
Формулы перемещений репера соответствующих кривых будут
иметь вид
(dm1 = (л\т1 -f- о)?/я2,
dm2 = щт1 -\- щтг,
dmz = o)2/7i2 — щтг
с условиями интегрируемости
(3.2) AdJ = 0)2 Л «J. **>J = ©} Л о)2, tfo)i = 0)1 Л «J•
438
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
Напишем теперь, развертывая уравнения (3.1):
йхл
•Щх1-\-щх2, dyt= ..., dzt = ...,
dx2 = щх1 -f- u)i.tf3, dy2 =
dXz = G)2Jt2 0>1*3» *0>з =
dz2 =
dz* =
Пусть /пх(0, 0, 1), /n2(l, 0, 0), /n3(0, 1, 0) — начальный репер; имеем
первые интегралы:
| ZiXiXo — Х% — —1,
(3.3) j 2АУ, —>5 = 0.
[ 2ztz3 — z\ = О,
*1Х3 ~~F^3*1 ^2-^2 == О»
*Л+*ЗЛ —*2.У2=0.
Принимая во внимание, что формы a>J, о^ и ю* не равны
тождественно нулю, легко заметить, что если предположить xv уг
или zx тождественно равными нулю, то мы придем к противоречию.
Следовательно, в уравнениях второго столбца можно заменить хг,
у3, z3 их значениями, взятыми из уравнений первого столбца. Мы
получаем
[ У & —У 2*i = *iV*yi*v
(3.4) j zxx2 —xxz2 =e2zlt (elf s2, s3= ± 1).
I Х\У2 — У\х2 — НУ\>
Умножая эти равенства соответственно на xv yv zx и складывая,
находим
e^ + ii+li ^2^ = 0.
Предположение, что s2 + s3 = 0, дает xt = 0, что невозможно;
имеем, следовательно, е2 = е3, и окончательно после возведения
в квадрат
(3.5) x\ = 2yxzv
Следовательно, кривая будет коническим сечением, и уравнения (3.4)
можно записать, заменяя в случае необходимости т2 и т3 на —тг
и —/я3> в виде
( У 1*2 —У 2*1 =—*1.
(3.6) | *1*2—*1*2 =*V
[ Х1У2 — У1*2 = У1-
Возьмем теперь представление кривой (3.5) вида
Xl = \it9 ;;1 = [х-т, гг = р9
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
439
где£ — геометрический параметр, ^ — аналитический параметр.
Уравнения (3.6) и (3.3) позволяют теперь написать
(3.7)
_ 1 X2
z* — ITT'
Параметр £ фиксирует на кривой геометрическую точку /т^;
реперы Френе зависят в каждой точке от двух параметров X и ji;
точка тъ также принадлежит коническому сечению, а т2 есть точка
пересечения касательных в точках т1 и /п3 (рис. 44). Уравнения (3.2)
Рис. 44.
будут уравнениями структуры группы с тремя параметрами,
сохраняющими инвариантным коническое сечение. Эту группу легко
определить: мы найдем, что преобразование, которое переводит
репер £ = 0, Х = 0, ji=l в репер t = t0, X = X0, ji==ji0, переводит
геометрическую точку t в точку
(3.8)
*' = *о-
«* + £*
мы имеем, как и следовало ожидать, проективное преобразование
конического сечения в себя.
4, Вычисление проективной дуги и проективной кривизны.
Приведенное уравнение, Секстактические точки. Вернемся к
общему случаю и к представлению m(t)[x(t)9 y(t), z(t)] кривой С.
440
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
= 0,
Можно определить три функции pf qf r переменного t, такие, что
/л i\ а*т i d*m % dm . л
(4Л) ■ш+Рча+с1-ж+гт==()'
Действительно, они будут определяться уравнениями
x"'-{-px"-+-qx' + rx = 0, У'"+ ... =0, *"' +
которые допускают единственное решение, если
Ф0,
т. е. если линия не сводится к прямой.
Уравнения (2.7) имеют следствием равенство
I X»
у
Z"
х'
У'
Z'
X
У
Z
(4.2)
агггц I nudm1 . Л , dk\ Л
Чтобы определить a(t) и k(t), исходя из заданного представления
кривой, положим т1 = \т\ тогда будем иметь, обозначая штрихом
дифференцирование по параметру t\
dm* X' . X ,
da а' ' а'
d?m< /X" Х'а"\ . /2Х' Ха"\ , . X „
X'" ЗХ"а"
с&т1_('к»
+
з а'4 о
/3X^_ 6X'a"
\а'з 0'4
XV" . 3XV*
'4 "T
,'" , ЗХа''П , /3X' 3Xa"\ , _^ /y,
Внесем эти выражения в уравнение (4.2) и запишем, что оно
совпадает с уравнением (4.1) с точностью до множителя^; мы
получим
(4.3)
X a'
X a'
X a'
X a'*
+ (1+£)0'3=r-
Первое из этих соотношений дает Х'А; с помощью
дифференцирования найдем затем Х'/Х и, далее, Х'"А; из второго и третьего,
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
441
если продифференцировать второе, можно исключить к и k\ и после
довольно длинных выкладок мы найдем, что
(4.4) а* = г-9-£ + £р» + 4-да'+£: = А.
Второе из уравнений (4.3) дает тогда
2_
(4.5) fc = _^-/-^_-(-) + T(T)J;
наконец, первое из уравнений (4.3) определяет X с точностью до
множителя, который можно определить из (2.7), если написать
[fftlf fll<L* /#з! === 1 •
Рассмотрим, в частности, случай, когда кривая задается
уравнением
т = т\ + хт\ + ут\,
где у— функция переменной х. Мы находим, что
Р = -у». 0 = 0. г = 0.
Удобно положить (у")-'1' = у], мы найдем тогда, что1)
*=|£.
4 7)
Возьмем, в частности, в качестве репера репер Френе в точке /и°;
мы должны иметь тогда ^о = 0, Х0=1; затем, выписывая
уравнения (2.7) в начале координат, найдем, используя предыдущие
формулы,
Мы получаем сначала
р0 = 0, откуда у" = 0,
затем
y=K-<=°- 0ТКУда ^оу=°;
следовательно, можно положить
y = *-\-ax*-\-bx* + cxi-\- ....
*) Из того, что мы видели в двух предыдущих параграфах, следует, что
кривые с параметром Д = 0 будут коническими сечениями; их
дифференциальным уравнением будет (у ~" ty" = 0 (Монж, Альфан).
442
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
что показывает прежде всего, что соприкасающимся коническим
сечением будет кривая у = -^ хг; отсюда получаем затем, что
т) = 1 — -| (20а*3 + Жх* + 42сх6) + [6].
р = — (60ад;2+120йл:3 + 210сл;*) + [6],
h = — (20а -+-1206л:+420сх2) -4- 13J;
равенство а'0 = 1 дает Ло = 1, откуда а = — ~п. Наконец, имеем
£=!£ = — {120Ь + 1Шс + (120ЬПх) + 12].
(^)' = -[840С + (120ОД + 11],
равенство 0q = O дает
ь=о и о;»=4(|');=-280С=-*.
Таким образом, мы имеем следующую приведенную форму
уравнения кривой в окрестности одной из ее точек:
(4.6) ^-|Ч-2-|о*7+....
Чтобы выяснить геометрический смысл прямой т1тг репера Френе,
или проективной нормали, рассмотрим кривые третьего порядка,
пересекающую нашу линию в восьми точках, совпадающих с
началом координат; легко видеть, что речь идет о пучке кривых
(4.7) l[j(,_f)+iy]+4(,-?)(1 + *,)+£ ]-с
Одна из этих кривых имеет двойную точку в начале координат:
это кривая третьего порядка
одна ветвь которой имеет касание шестого порядка с кривой, в то
время как другая ветвь имеет касательным направление # = 0, т. е.
направление проективной нормали.
Кривые третьего порядка (4.7), кроме начала, имеют еще
девятую общую точку, определяемую равенствами
х HR' х[2 10\14/J 14 '
откуда виден геометрический смысл параметра.ft.
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
443
Вернемся к приведенной форме уравнения (4.6) и в качестве
исходного репера возьмем вместо репера Френе репер четвертого
порядка; коническое сечение у=-^х2 будет соприкасающимся
коническим сечением кривой в начале координат, и мы получим опять
представление вида
(4.8) у = *+ах*+ ....
Формулы перемещений репера будут в силу уравнений (2.4)
иметь вид
( dm1 = o)j//t1 -\- ы\т2,
(4.9) ] dm2 = 0)^ + 0)2/713,
I d/7l3 = O^tft! + 0)£/Я2 0)J/7l3.
Напишем теперь условие того, что точка р = т1 + хт2 + утъ остается
неподвижной в плоскости (пусть dp = о)/?); мы будем иметь
dx -\- о)2 — х&1 -\- уы\ — х (*о)£ -f- j/o)*) = О,
dy + хм* — 2уи>\ — у (хо)1 -f-yu>Q = 0;
откуда, принимая во внимание разложение (4.8), получим
(д; + 5ал:4+ .. .)(ша_л:о)1+ _ т)==Хю* — 2j;cdJ+ ...;
сравнивая члены с л;4, находим, что
оз£ = 20ао)2.
Но точка, в которой о)^ равно нулю, есть точка перегиба
кривой, и в такой точке нельзя даже определить реперы второго
порядка; мы должны, следовательно, исключить эти точки из нашего
рассмотрения; предыдущее равенство показывает, что равенство о)* = О
влечет за собой равенство а = 0, и наоборот; соприкасающееся
коническое сечение имеет, следовательно, касание с кривой по
меньшей мере пятого порядка; такая точка называется секстакта-
ческой. Таким образом, приведенная форма уравнения (4.6) имеет
место только тогда, когда точка не будет секстактической, и,
следовательно, только в таких точках можно определить репер Френе.
Это позволяет нам уточнить понятие плоской дуги с точки зрения
точечного пространства в проективной геометрии: это будет дуга,
имеющая в каждой точке непрерывный элемент касания седьмого
порядка и не имеющая ни точек перегиба, ни секстактических точек.
Б. Ангармоническое отношение четырех точек. Вернемся
к формулам (4.9) и заметим, что они отличаются от формул (3.1)
только наличием формы coj; но условия интегрируемости для
444
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
форм о>*, o)J и о>£ не изменятся. Эти формы будут, следовательно,
инвариантными формами группы, изоморфной томографической группе
одного переменного, которая будет группой преобразований
конического сечения в себя. Следовательно, начиная с четвертого
порядка, можно так ввести параметр на кривой С, что совокупность
преобразований, позволяющих переходить от одного из реперов,
четвертого порядка к другому, порождает томографическое
преобразование этого параметра. Чтобы найти его, достаточно
проинтегрировать систему (4.9), где следует положить u)i = 0; таким
образом, мы получаем коническое сечение, у которого заменой
главного параметра надо найти представление вида (3.7) (положив,
например, в первом столбце [л=1); параметр t, который таким
образом вводится, отвечает нашим требованиям.
Внесем сделанные изменения в уравнения (4.9); мы получим
такую параметризацию кривой С, что ангармоническое отношение
#1» t2, tB> ^) значений параметра t, которые соответствуют четырем
выбранным точкам на кривой С, будет инвариантом четвертого
порядка: ангармоническим отношением этих четырех точек.
Мы можем выбрать репер четвертого порядка, такой, что
о>* = о)* = 0, o)J = dt, так как эти значения соответствуют частному
представлению соприкасающегося кони-
*з ческого сечения; отсюда вытекает, что
т.
Для конических сечений имеем s = О,
откуда получаем уравнение
соприкасающегося конического сечения в точке ntxi
ГГ12
(5.2)
, dmx
Ф й*тх
2 dt*
6. Огибающие прямых. Рассмотрим коррелятивный репер av
а2, а3 репера Френе кривой С; в силу (1.7) его перемещения
определяются уравнениями
dax = k doa2 -j- doaZt
da2 = — doax -\~ k daa$t
da$ = — doa2*
Чтобы исследовать кривую С как огибающую прямых, поскольку
ее касательной в точке тх будет прямая а3, положим
а, =
—Pv аг — —ft» а1 = — РА
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
445
тогда предыдущие уравнения запишутся в виде
( dpi =1
(6.1)
da
'Р2>
йръ _
d<z
kpi +/?3»
-£ = -л-**-
Таблица коэффициентов в правых частях — та же самая, что
и в уравнениях (2.7); система (6.1) отличается, следовательно, от
системы (2.7) только обозначениями и заменой da на —da.
Следовательно, корреляция меняет знак проективной дуги, но не
меняет знака кривизны.
7. Теория пространственных кривых. Рассмотрим
пространственную кривую С, геометрическое место точек m(t); реперы нулевого
порядка присоединенные к этой точке, будут иметь ее своей вершиной,
«1» «1»
°1 будут главными компонентами, и мы будем иметь
*1 = *1 = 4 = °-
Мы отправляемся от реперов первого порядка, для которых прямая т^тг
будет касательной к кривой; тогда а>\ = со* = 0, — равенства, из которых
внешним дифференцированием получаем с помощью формул (1.4)
о)| = до)р (л\ = а'<о\, откуда е\ = е\ = О,
(7.1)
что дает, далее,
(7Л')
da + а (со* + <4 — 2©|) + а'*>1 = Ь<4>
da' + а<** + а' (»} + «J — 2со*) = у*\>
отсюда получаем уравнения в вариациях
(7.1")
( ha + a(e{ + el-2el) + a'el = 0t
\Ъа' + ае* + а' (е\+е\ — 24)==0.
Если а = а' = 0, то и Ь = У = 0; редукция не может продолжаться;
линия С сводится к прямой. В общем случае параметры а и а'
испытывают однородное линейное преобразование общего вида; следовательно,
можно определить реперы второго порядка, приняв, например, #== 1, а' = 0
и внося эти значения в уравнения (7.1), (7.1') и (7.1"):
(7.2)
Реперы второго порядка'.
cof = (о* = 0; о>| = й£ со* = 0;
со \ + со* — 2со^ = Ь(о{; со* = Ь 'со?;
4 = ^ = 4 = *! = 4 = 4 = <>> *1 + з|-2^ = о.
446
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
Отсюда
(7.2')
(7.2")
г аь + ь (<4—<4) + у<4+3о)2—з<4 = С(4>
\ db' + У (о»} + 4 - 0)2 _ «о») = с'со2;
( ** + К4-4)+*'4 + 3(4--4) = о,
\ W + ft'(^ + ^l —4 —4) = 0;
£' определяется с точностью до множителя; для определения реперо»
третьего порядка принимаем прежде всего £' = 0, ± 1; b подвергается
общему линейному преобразованию; мы заканчиваем определение этих
реперов, полагая b = 0. Оставим в стороне случай, когда Ь' = 0; показав, что
можно ориентировать репер таким образом, что bf = 1, мы будем иметь:
Реперы третьего порядках
о*=©* = 0; 0)^ = 0)2, с0* = О; ©J + 4 — 2о)| = 0, <4 = о#
<4 + 3о)2^ 3о)8 = Сй)1» wi + ml — ^а — ^з = с'0)р
(7.3)
(7.3')
4=»4 = 4e4 = 4e4e0' e{ + el-2el = 0t
4+4~4-4 = о;
[ 4 + 34 — 34 — ° (откуда e\ = — el = Ъе% е\ = — 4).
Отсюда
dc + 2с (o>J — о)2) + с'о)| + 6о)£ — 4о)^ = 2с"о)*,
(7.3")
{rfc + 2с (о> j — о:
rfc' + *'(<*} — <
Г ЙС + 2с(4 —4) + Cf4 + ^8 —^4 = °»
1 бс' + с'(4-4) + 2(4-4) = о;
сие' испытывают общее линейное преобразование при вариации
вторичных параметров; реперы четвертого порядка определяются, если положить
с = с' = 0. Отсюда:
Реперы четвертого порядка:
4 = 0)^=0; «£««£ ш8ва »J + »J — 2о)2 = 0, 0)| = 0)2,
о)^ + 3o)g — Зо)3 = О,
(7.4) 1 й)1 + а)4==:а)2 + а)з=:0 (откуда о>* = — о)* = Зо)2,, о)| = —о)2,);
30)1 — 20)2 = ^, о)1 —o)^ = cwo)2;
l=4 = 4=4=4 = 4=°> 4 = -4«3ej. ei=-eff
I 4 + 34 — 34 = 0, 34 —24 = 0, 4 = 4 (откуда 4*J = 34)-
Отсюда следуют равенства
(7.40
f rfc" + 6c"o)j
1 rfc'" + 4c'"c
'«5+<4+в4=5/Ч-
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
447
Легко написать уравнения в вариациях; мы видим, что с"' претерпевает
линейное преобразование: можно произвести нормирование, приняв с'" = 0;
далее, с" также претерпевает линейное преобразование, так что можно принять
также с" = 0, откуда следуют равенства е\ = 0 и е\ + ^ = 0, это дает нам
вместе с предыдущими соотношениями е\ = е\ = 0. Остаются только две
вторичные компоненты, и мы напишем:
Реперы пятого порядка:
а^ = (4 = 0; о)| = а)2, <4 = 0;
4 2. 1 4 о 2 3 2
0)3=0)^ (Dj = — 0)4 = 3<оа, 0)* = — 0)2;
(7.5) { «2 + 3«J-3*; = 0;
34 — 20)2 = 0, 4 = о)| (откуда «% = 4о)*);
o)J = /o)2, o)^ = 2/la>? (откуда оз* = 3/'о>*).
Независимые вторичные компоненты: е\ и ^ I #| = *J, #з==я Т ^2 ) •
Новое внешнее дифференцирование дает
Если /=/' = 0, то редукция дальше не может продолжаться. Если
/' = 0, /ФО, то можно произвести нормирование, приняв /= ± 1; мы не
будем рассматривать этого случая. Допустим, что {'Ф 0; тогда второе
уравнение в вариациях (7.5') показывает, что можно произвести
нормирование, положив f = ± 1, параметр / испытывает тогда линейное
преобразование, и его можно нормировать, положив /= 0. Мы рассмотрим только
случай, когда /' = 1; тогда не остается более вторичных параметров, и мы
имеем
о)£ = 2о)2, со* = 0, со* = 3о)Г
Положим
(Og = £(l)j, (Og = 3/0)jJ
(Dj = rfa есть инвариантная дифференциальная форма (дифференциал
проективной дуги), k и / — инварианты — проективные кривизны. Формулы
Френе будут иметь вид
dm±
do
dm*
==' 3km± -f- /722»
= 3lm1-\-km2 + mZt
do
• . B = 2m! + 4/m2 — &m3 4- m4,
""ЗсГ""
3a/12 "t" 3feg — Ъкт±,
448
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
8. Теория поверхностей. Репер Френе. Рассмотрим поверхность
т(а9 v); реперами нулевого порядка опять будут реперы,
имеющие точку т первой вершиной тх\ как выше, о2, ^ ^4 будут
главными компонентами, и мы имеем е21 = е\ = е* = 0.
Реперами первого порядка будут реперы, у которых плоскость
т1т2т3 является касательной плоскостью к поверхности в точке т9
тогда <D* = 0, что дает с помощью внешнего дифференцирования
»iA»J + <4A<4 = 0-
откуда, в силу леммы Картана (О, Н, 9),
Отметим еще формулы
f d(J>\ = О)2 Л (0)| — (Dj) + О)? Л <4
| и«;=ш;л«5+«5л(«>»-ш}). (^+«5+»}+«!=о).
Из уравнений (8.1) получаем внешним дифференцированием
[da + a (o)i + со* — 2о)2) — 2*co«J Д а>* -+-
+ [db — aa)J + ft(a>3[+®J — »1 — а>|) — ссо»]Л»5 = 0,
[dft —aa>5 + *(a)J + «oJ —со» —coj) —с«8]д^ +
+ [А: — 2*о)| + с (щ* + «J — 2со*)] Д о)? = 0.
Поскольку, в силу леммы Картана, эти скобки будут
линейными комбинациями форм о>2 и о)^, их вариация равна нулю, откуда
следует, что
Ъа-\-а(е\ + е\ — 2ё§ — 2Ье\ = Ъ,
ЪЬ-ае\ + Ь{е\ + е\-е\-е§-се1 = 0,
8c + c(e} + eJ —2«|) —2*4 = 0.
Мы узнаем формулы, аналогичные формулам (И2, II, 1.4); мы
находим затем
Ь(ас — Ь*)-{-2(ас — Ь*){е\-\-е\ — е\ — 4) = 0.
Мы не будем изучать случай, когда ас — £2 = 0, который будет
соответствовать развертывающимся поверхностям, и ограничимся
рассмотрением случая, когда асимптотические будут
действительными (можно сказать также, что речь идет об общем случае в ана-
(8.10 \
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
449
литической области). Можно нормировать репер, выбрав
а = 0, 6=1, с = 0;
если применить лемму Картана к уравнениям (8. Г), то, учитывая
предыдущие уравнения, можно написать:
Г Реперы второго порядка:
ш} = 0; <i>J = co»; o)* = o)2;
I о)3 = а'ю* -j- Ум*;
] «>S + <!><* — o)i — o)J = 2£'o)2 + 2c'o)* (или 0)2 + о)» = b'u\ + c'coj);
| 0)2 = c'm\ -\- rf'o)8;
( е\ = е\ = е\ = е\ = е\ = е\ = е\ = Ъ е1 + ^ = ^ + еш = 0и
(8.2)
Отсюда
f \da' + a' (coj — 2o)2 -f- a,J) — ft'a>»] Л <»? +
+ [db' — a'«\-\-b' [v\ — cdQ + ®2 — a>l]A»; = 0,
К + ^ («J - «5) - *'«* + »2 - «*] Л о)? +
] +[^'— ft'a>J-|-c'(<!>} — 0)3)+0)2_ ttljAa)8 = 0i
[ <fc' -J. C' (0)1 _ 0)3) — d'a,» + 0)2 — 0)1] Д О)2, +
+ [Ж*' — C'a>J + (Г (0)1 + 0)2 — 20)|)] Л CD» = 0,
что дает для вариаций
Ъа'-\-а'(е{ — 2ё*-\-ё1) = 09
W + b'(e{-el) + el-el = 0,
8с'+с'(*1 —*»)+*;—*j= о,
M' + d'(e{ + el-2el) = 0;
br и с' подвергаются линейным преобразованиям, и можно произвести
нормирование, приняв V = сг = 0 (откуда е\ = е\9 е\ = £*). Исключая
затем случай, когда a'd' = 0, который, как легко видеть, приводит
к линейчатым поверхностям, можно принять затем a' = d' = \
(все время в поле комплексных чисел), что дает е\ — 2е\-\-е\ = 0,
е\-\-е\ — 2^ = 0, откуда следует e\ — el = el = el — 0. Применяя
лемму Картана к уравнениям (8.2')» имеем:
450
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
(8.3)
Реперы третьего порядка:
u)J = 0; о>£ = со», о* = о)2;
со;=а>}.
лЗ_
= 0)3, 0)1 + о)* = 0)2 -|- 0)3 = 0;
0)1 — 2о)2 + а)3 = о)1 — Зо)2 = a"o)J _[_ £" ^
0)3 0)1 т= £"о)2 -|- с"0)3,
,Л _ V/fn2
^4-^0)3,
0)1 + 0)2 — 20)3 = 0)1 + 30)2 = d"o)2 _|. g"^.
| Три вторичных компоненты: £i(=£3\ gi/_g2\ ^
Отметим также, что теперь
<*0)2 = 0)2 Д (0)g — 0)1),
С?0)3 = 0)ЗД (0)3—0)1),
поскольку в правой части более нет вторичных компонент, то формы
о)2 и о)3 не зависят теперь ни от каких параметров: это инвариант-
ные формы.
Из уравнений (8.3) получаем внешним дифференцированием
[da^ + а" (о)! — о)22) + 4o)i _ 3о)з] д ^ +
+ \dV + £" (0)1 — 0)3) — 30)2 4- 0)1] Л 0)3 = О,
[rf£" 4- 2*" (О)} — Ш») — 031 — Ш2] д ^ +
+ [dc" + 2с"а>} _ 2(!)i] д о)3 _ о,
\dc" + 2c"a>J _ 2o)iJ д 0)2 4-
+ [<*<*" + 2d" (о)! - 0)3) _ coi _ ujj д Ю8 = о,
\dd" + й" (0)1 - 0)2) _ 2о)1 + Зо)3] д Ш1 +
+ [Л* + *" (»} - о>33) + Зо)2 + Ш1 j д ю. = 0-
Уравнения в вариациях запишутся следующим образом:
Ъа" + 4*J = О, 8&" — 2*J = 0, 8с" — 2е\ = О,
Ы" — 2е\ = 0, Ъе" + 4^ = 0,
коэффициенты определяются только с точностью до констант.
Поскольку имеется не более трех вторичных параметров, мы можем
распорядиться ими так, чтобы приравнять нулю величины b", crr
и d"\ тогда а" и е" примут фиксированные значения, это будут
(8.3')
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
451
инварианты четвертого порядка. Мы положим а" = 6Л, е" — 6В
и напишем, принимая во внимание уравнения (8.3')> которые дают
формы а>£, о)£ и а>£:
(8.4)
«4 =
Реперы четвертого порядка (Френе):
0; и>;
д=.
«4 = ,л2.
> = /,.2.
: — Ш* = 3 (Л0)2 + BCD»), 0)2 = _ а)» = So)* — Ло)2;
О)? :
4
,ч2 __ ,,Л.
o)i = Co)2 + Do)3;
<i>J = E©J + /7(0*;
С, D, £, Z7 будут четырьмя новыми инвариантами. Уравнения (8.3')
дадут еще два условия интегрируемости на шесть основных
инвариантов: А, В, С, D, E9 F; они показывают, что С и F выражаются
через А и В и их инвариантные производные; другие условия
интегрируемости получаются внешним дифференцированием
выражений для форм o)i, o>i и ш*.
9. Уравнение, приведенное в окрестности точки. Условие
неподвижности геометрической точки
т = тх + хт2 + утъ + zmv
отнесенной к репеу Френе (т1% т2, тг, /я4) поверхности, напишется
в виде dm —ют, где о)— дифференциальная форма. Последнюю
легко исключить, что приводит к уравнениям
dx + со2 + хи>\ + у*\ + zu\ — х (a>J + хи\ + ^ + ^1) = О,
dy + v\ + xu\-)ryu>l + ziul — j/(o)i + xo)i+j/o)i+2o)i) = 0,
dz + o)J -|- хо)* +.уо>*"+" ^ — г О0! ~+~ *ш2 *+" J'K "Ь Z0)l) = °-
Отсюда, принимая во внимание произведенную редукцию, получаем
dx + o)J + л: (о)* — о)}) + yto* + zu>\ —
— х (*o)i + j/o)i + го)]) = О,
<*У + ю J + Xia\ + .У (ю8 — К) + ^з —
— У (*«>i ■+• У^1 + **1) = О,
— 2Г (*<о£ +3/0)1 + ^o)!) = о.
(9.1)
(9.2)
452
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
Напишем теперь, что в каждой точке приведенная форма
уравнения имеет вид
z = f2(x, y)-\-fz(x, у)-\- ...,
где /2, /3 — однородные многочлены относительно х к у,
степень которых отмечена индексами; мы хотим выразить тот факт,
что заданная точка поверхности неподвижна в пространстве.
Для х=у = Ъ первые два уравнения (9.1) показывают, что
о>2 =— dx, о)^ = — dy
и последнее напишется тогда в виде
d(z—xy) + [S] = Ot
откуда
* = xy+fs(*> J0+
Мы найдем теперь, комбинируя уравнения (9.2),
d (z — ху) + х2 dx -hy2 dy -+- [4] = О,
откуда
z = xy-£±£- + ft(x. у)+ ....
Возобновляя эту операцию, будем иметь, принимая во внимание
выражения форм о)| через формы о)2 и <©*:
d[z — xy+ •y8 + y8) — (xy2dx + x2ydy) +
+ 2Ах* dx + 2В;;3 dy + [5] = О,
откуда следует, что приведенная форма уравнения имеет вид
(9.3) г = ху — *3 + у3 — у И**— х2у2 -\-Ву*]-\- ....
Дальнейшая редукция невозможна, .потому что, в силу
определения величин А и В, репер Френе будет определен после
определения его инвариантов.
Из этой формы уравнения поверхности можно усмотреть, как
отмечалось выше, что направления тг и т2 будут асимтоти-
ческами касательными поверхности; квадрика z = xy будет
квадрикой Ли; направления х3-\-у3 = 0 будут направлениями
касательных Дарбу.
Чтобы продвинуться далее в выяснении геометрического смысла,
найдем прежде всего в окрестности начала уравнения
асимптотической линии поверхности (9.3), касательной к прямой у —О,
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
453
£ = 0. Достаточно положить
у = ах2 -\- Ъхъ -\- схА + ...
и написать
г dx2 + 2sdxdy-\-t dy2 = 0,
тогда уравнение (9.3) дает z. Мы находим, дополняя уравнение (9.3)
многочленом пятой степени ахь-\- ... -\-фуь,
[ у=^- + Ах* — 4а*4+ •••• 1^=х+-ЪАх2— 1°а*3 + •••>
(9.4)
Касательная в точке тх к этой кривой и четыре инфините-
зимально близких касательных определяют линейный комплекс
называемый соприкасающимся к асимптотической в точке ти
который мы сейчас определим. Если обозначить через X, Y, Z
компоненты вектора, лежащего На прямой, проходящей через
точку х, у, z, то уравнение линейного комплекса в
неоднородных координатах будет иметь вид
X^+VLK + vZ + ^ + 4Al + CiV = 0i
где
L = yZ — zY, M = zX—xZ, N = xY—yX.
Чтобы определить (с точностью до множителя) X С, нам
необходимо написать здесь, что выражение
Ь + рУ-Иг' + еСУ*' — *У') + Ч(* — **')-К(*/ — J0 = 0
будет по крайней мере пятого порядка относительно х; в силу (9.4);
поскольку X—единственный член порядка нуль, а \ьу'—
единственный член первого порядка, необходимо положить Х== jx = 0^
Имеется два члена второго порядка: zr и ху'— у; написав, что
V2' -\- С (ху'— у) имеет порядок выше второго, найдем v-|-C = 0,
и простой подсчет показывает тогда, что z' — (ху' — у) будет по
крайней мере седьмого порядка. Поскольку yzr — zyr будет
четвертого порядка и z — xzr — третьего порядка, мы должны
иметь \ = т| = 0. Окончательно, уравнение искомого комплекса
будет иметь вид
Z — N = 0.
Таким же образом находим уравнение соприкасающегося
линейного комплекса ко второй асимптотической линии:
454
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
Конгруэнция общих прямых этих двух комплексов определяется
уравнениями
Z = 0, N = 0;
первое уравнение представляет специальный комплекс прямых,
пересекающих ось т2щ, второе — комплекс прямых,
пересекающих ось тхт^ эти две прямые, называемые директрисами Виль-
чинского этой поверхности в точке mlt будут директрисами
общей конгруэнции двух комплексов.
Заметим, наконец, что точка /т*4 лежит на квадрике Ли; итак,
репер Френе в точке тх поверхности геометрически
определяется следующим образом:
прямые тхт2 и тхтъ будут асимптотическими
касательными-,
прямые т2тъ и тхтА являются директрисами Вильчинского;
точка /т*4 лежит на квадрике Ли.
10. Коррелятивная точка зрения. Огибающие плоскостей.
Введем репер [av a2, я3» aJ» коррелятивный реперу [т19 т2, т3, т4]
[формулы (1.7)], но изменим обозначения и положим а$ = /Я5_{»
так что тх будет в коррелятивном пространстве точкой-образом
касательной плоскости поверхности; тогда для перемещений этого
репера будем иметь
4— 2— з—
dmx = — 0)4/7*! — o)i/7t2 — щт3,
dm2 = — (1)2^1 — щт2 — он/Из — wi/t*4,
,— 1— з— 2— а—
dms = — 0)3/7*1 — щт2 — 0)2/7*2 — o)i/t*4,
dm± = 0)2/7*! 0)3/7*2 0)2/7*3 0)i/7*4.
Отсюда следует, что
—2 2~3 3
0)i= 0)i, 0)1= 0)i»
й{ = — (4 = 3 (Ло)? + Вш?) = 3 (Л й? + Яш?).
о)1 = — о)3 = Вщ — Ло)! = Вщ — Ащ;
откуда _ __
А = — А, В = — В.
Рассмотрим теперь плоскость
т = /т*! + ит2 -\- vmz -\- wmv
касательную в точке
т = /т*! -\- хт2 + ущ -\- гт±,
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
455
уравнение которой по отношению к реперу [тг, т2, т3, щ] будет
иметь вид
их -f- vy -+- z -4- w = 0.
В силу сделанных выше замечаний, приведенное тангенциальное
уравнение поверхности в окрестности ее точки будет иметь вид:
w
= uv— ц8 + ^84-±[Au*-{-u*v*-{-Bv*]-{- ..
11. Проективная наложимость. Из многочисленных проблем проек-
тивно-дифференциальной геометрии поверхностей мы рассмотрим только
одну, а именно, проблему проективной наложимости, относительно которой
мы дадим краткие указания. Рассмотрим две поверхности S и S* и точечное
соответствие, устанавливаемое, например, сопоставлением точке т^ (и, v)
точки т1(и, v) с теми же значениями параметров. Возьмем два репера
третьего порядка #3(mJ) и ^(т^\ в двух соответствующих точках и
переведем посредством томографии репер #3(т*°) в репер &ъ{п^\ по~
скольку приведенные уравнения обеих поверхностей будут иметь вид
х* + у* ,
(мы примем во внимание уравнения (9.1), делая там приведения (8.3)], то они
будут иметь касание третьего порядка. Посмотрим теперь, при каких
условиях можно найти такое соответствие, чтобы отвечающие друг другу
точки поверхностей 5 и S*, близкие к точкам т\ и т*°, имели бы одни
и те же координаты по отношению к реперу #3(mJ) с точностью до
бесконечно малых второго порядка, причем чтобы это было верно при всяком
выборе реперов #3 (mj) и #3 (л**0) и для всякой пары отвечающих друг
другу точек.
Вернемся к уравнениям (9.1) для поверхности S. Они напишутся, если
отбросить члены второго порядка, в виде
(11.1) ** + Юо = а ^У + Юо^0' ** = 0.
Для того чтобы
d х = dx*t dy = dy*, dz = dz*t
необходимо и достаточно, чтобы
(»Do=K)0. K)o=K)o.
При этом условии рассматриваемое соответствие будет проективным
наложением, и две поверхности S и 5* будут называться проективно
наложимыми, если указанное обстоятельство будет иметь место в каждой
паре соответствующих точек, т. е. если
(11.2) <4 = <of, ^^
так что инвариантные линейные дифференциальные формы рассматриваемых.
поверхностей должны быть равны друг другу.
456
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
Но в репере четвертого порядка мы имеем
так как, очевидно, соотношения (11.2) влекут за собой равенства
d&\ = d(£%* и dv>\ = rfco^, то из полученных равенств вытекает, что
(11.3) А = А\ В = В*;
инварианты четвертого порядка поверхностей S и S* в соответствующих
точках будут, следовательно, равны !); сверх того, имеем о>*. = о>|* (/ = 1,2,3,4)-
Переведем теперь посредством томографии репер ^(^l) B ^4(mi)>
в силу равенств (9.3) и (11.3), поверхности будут иметь касание четвертого
порядка. Вернемся, наконец, к уравнениям (9.1), продифференцируем их и
положим х = у = z = 0; мы получим
(11.4) d2x + d(ol + dx (<4 — oj) + <*У<4 = 0
и два других аналогичных соотношения (здесь дифференциал d<&\ надо
рассматривать алгебраически). Эти равенства и предыдущие соотношения
показывают теперь, что
(11.5) d*x = d*x*9 d*y = d*y*, d>z = d*z%\
расстояние между двумя соответствующими точками поверхностей 5 и S*
будет теперь по крайней мере третьего порядка малости.
Обратно, предположим, что между двумя поверхностями S и S* можно
установить такое соответствие, что будет существовать томография,
переводящая точку т1 в ее образ mv и соответствующие точки, близкие к
точкам т1 и mv будут иметь расстояние по крайней мере третьего порядка
малости; мы покажем, что это соответствие будет проективным наложением.
Действительно, рассмотрим репер ^(mi)5 тогда для определения dx>
d2xt ... имеем уравнения (11.1) и (11.4). Если перевести т* в т1 и
оперировать в том же репере, то уравнения (9.1) для форм со звездочками и
получаемые из них дифференцированием дадут нам dx*9 d*x*
Равенства dx = dx*t ... дадут сначала
(и.б) o)2=o)f, »;=»ff (of=o.
Равенства d*x = d*x*t ... дадут затем
л* [(«Г- «О-04- 4)]-муК- <4]=°>
*с[«Г_ «д.+*у[(«Г- -O-te- <Л11)]=0'
dx[4*- *l] + dy[o>f- <о*] = 0.
!) Это результат, аналогичный теореме Гаусса о полной кривизне
в эвклидовой геометрии.
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
457
Поскольку формы dx и dy линейно независимы, отсюда получаем
2* 4* 3 3*
^з = ^а == ш1 = ai »
2* 1* 2 1
"а — «1 = «ъ — «it
3* 4* 2 2*
^2 = "з = «1 = <°1 .
3* 1* 3 1
"з — ю1 = <°з — <°г
Из равенств со** = <о^*, cog* = со2* с помощью уравнений (8.2) и таких же
уравнений со звездочками получаем
2* | 3* 1* 4* 2 | 3 1 4 л.
®2 + ^З — ш1 — ^4 = «8 гЬ ®8 — ш1 -" ш4 = °»
отсюда выводим без труда, что
a>f =о>| (/=1,2, 3,4).
Эти формулы показывают, что репер ^(mi) будет репером третьего
порядка для поверхности S* в точке т\ = mv Но мы видели, что
инвариантные линейные дифференциальные формы определяются реперами третьего
порядка; формы со2* и со^* будут таковыми для поверхности S*, и, в силу
(11.6), рассматриваемое соответствие между поверхностями 5 и S* будет,
конечно, проективным наложением.
Следуя Фубини, проективной дугой поверхности S (не линейчатой)
называют выражение
ds.
2 3
Если поверхности S и S* наложимы, то, очевидно, ds = ds*; обратное:
тоже верно; действительно, предположим, что
Н)8+КГ.(08+К)8,
2 3 2* 3* '
COjCOj Со£ СО*
поскольку формы со2 и coj, с одной стороны, со2* и ©J*, с другой, независимы
и при со2 = 0 или «j = 0 левая часть становится бесконечной, отсюда
следует, что со2* и со^* должны быть соответственно пропорциональны формам
со* и coj или coj и со2; возможная замена обозначений позволяет
предположить, что будет иметь место первая альтернатива. Вышестоящее равенство
показывает тогда, что
где j означает кубичный корень из единицы. Отправляясь теперь от репера
третьего порядка и заменяя т\ на ]т\ и тг на у2т3, мы видим, что новый
репер будет тоже репером третьего порядка; следовательно, можно сделать
так, чтобы
2* 2 3* 3
со" = со^, со£ = coj
и чтобы две поверхности действительно были проективно наложимы.
В противоположность тому, что происходит в эвклидовой геометрии,,
где существует бесконечное множество поверхностей, наложимых на
данную поверхность, в проективной геометрии произвольная поверхность вообще
458
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ
неизгибаема. Можно показать, что проективно изгибаемые поверхности
зависят от шести произвольных функций. Действительно, записывая условия
интегрируемости системы (8.4), найдем, что инварианты, вообще говоря,
определяются формами со* и о>^, т. е. что поверхность в общем случае
определяется заданием этих двух форм или, иначе, двух основных форм Фубини
случай проективно изгибаемых поверхностей имеет место тогда, когда этот
результат неверен»
Упражнения
1. Плоские кривые, инвариантные относительно транзитивной группы
проективных преобразований. Оставляя в стороне прямые и конические
сечения, мы найдем только кривые постоянной * кривизны; группа,
сохраняющая их, имеет один параметр. Уравнения (2.7) дают (при постоянном k)
d*mx nudml
Мы приходим к тому, что нужно рассмотреть «уравнение
r* + 2kr + l = 0,
которое может иметь три различных корня или один двойной и один простой
корень.
В первом случае уравнение кривой может быть приведено к виду
(неоднородному)
у = хт
или к виду
р = е™* (р^ = х* + у\ 0 = arctg -2- j.
В случае двойного корня можно привести его к виду
у = ех.
2. Эвольвента плоской кривой. Вернемся к уравнению (5.2)
соприкасающегося конического сечения в точке tfij некоторой кривой С с
параметризацией, удовлетворяющей (5.1); рассмотрим на коническом сечении
точку /?, заданную посредством уравнения и +1 = с, где с означает
произвольную константу. Мы получим
dp su*
т. е. касательная в точке р проходит через точку щ; геометрическое место
точек р называется проективной эвольвентой первого рода кривой С.
Касательная в точке р к коническому сечению касается своей огибающей
в точке q = mx -f- -q- m[, которая лежит на касательной к кривой;
геометрическое место точек q является эвольвентой второго рода. С более общей
точки зрения, давая параметру с два значения: ct и с2, мы видим, что
прямая, соединяющая соответствующие точки pL и рг конического сечения,
ЕДИНСТВЕННАЯ ГЛАВА
459
касается своей огибающей в точке г на касательной к нашей кривой;
принимая, в частности, с± = с, с2 = оо, находим г = тг + ит[; точка г описывает
эвольвенту третьего рода (Е. С а г t a n, Lecons sur les espaces a connexion
projective).
Построить аналогичную теорию в унимодулярной аффинной геометрии
(пользуясь соприкасающейся параболой).
3w Рассмотреть пространственные кривые с двумя нулевыми
проективными кривизнами.
4. Исследовать случаи, оставленные в стороне в теории
пространственных кривых.
5. Исследовать случаи, оставленные в стороне в теории поверхностей.
6. Найти поверхности, для которых А = В = 0.
7. Сколько имеется вообще реперов Френе в точке некоторой
поверхности? (Ответ: 24.)
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
ТЕОРИЯ ПЕРЕНЕСЕНИЯ
Глава I
ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ.
ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
1. Расслоение и дифференциальная геометрия. Постановка
задачи. Попытаемся выяснить общий характер методов,
использованных для решения ранее поставленных задач, с тем чтобы
приобрести некую общую точку зрения.
Например, первым объектом дифференциальной геометрии,
который мы поставили в соответствие каждой точке поверхности 5
(погруженной в эвклидово, аффинное или проективное пространство),
была касательная плоскость, а дальнейшими — элементы касания
до порядка, достаточно высокого для того, чтобы иметь
возможность характеризовать поверхность. Так как нашей целью было
определение репера Френе, мы ввели в каждой точке другие
геометрические элементы: либо определенные прямые касательной
плоскости (асимптотические направления, направления кривизны,
направления Дарбу), либо элементы, лежащие вне касательной
плоскости (метрическая или аффинная нормаль), а также и репер Френе
(триортогональный триэдр в эвклидовом случае).
Вернемся к касательной плоскости. Ставя в соответствие каждой
точке т на 5 ее касательную плоскость Р (т) ил отвлекаясь от
отношений инцидентности, которые могут существовать, между этими
плоскостями в различных точках, а также от факта, что множество
этих плоскостей расположено в трехмерном пространстве, мы видим,
что множество точек поверхности S и этих плоскостей составляет
многообразие V четырех измерений, локально представляющее собой
топологическое произведение поверхности 5 (два измерения) на
плоскость Р (два измерения).
Мы говорим тогда, что многообразие V расслоено, причем его
слои суть плоскости Р, а базисное пространство есть поверхность S*
В топологии, где это понятие важно, учитывается только тот факт,
что плоскости Р гомеоморфны между собой г).
Для дифференциальной геометрии важен прежде всего тот факт,
что слой Р является центро-аффинной плоскостью. Кроме того,
в эвклидовой геометрии мы ввели на ней метрику при помощи ds2,
тогда как в проективной геометрии мы дополнили слой Р, сделав
из него проективную плоскость.
1) При этом ставят задачу отыскания интегральных инвариантов.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
461
Введение эвклидовой нормали знакомит нас с расслоенным
пространством, база которого 5, а слой — эвклидово пространство трех
измерений, в котором, кроме того, взят триортогональный триэдр
(образованный двумя направлениями кривизны и нормалью).
Здесь хорошо виден новый аспект наших рассмотрений. Нам
следует выразить то, что множество триортогональных триэдров
погружено в одно и то же эвклидово пространство трех измерений,
что сводится к погружению триортогонального триэдра, связанного
с переменной точкой поверхности, в эвклидово пространство (не
центро-эвклидово!), связанное с фиксированной точкой т0. Эту
проблему мы решили методами инфинитезимального исчисления,
т. е. шаг за шагом разрешая ее для двух бесконечно близких
точек; этот процесс позволяет переходить из т0 в другую точку т
по кривой, причем формулы Гаусса — Кодацци показывают тогда,
что результат зависит только от точки т, а не от выбранной кривой.
В качестве другого примера возьмем теорию кривых на
поверхности (в эвклидовой геометрии), теорию, которую мы построили,
исходя из ds2. Там слоем была касательная плоскость (не
центрированная), и мы связали метрику касательной плоскости в т с
метрикой касательной плоскости в т0 с помощью параллельного
переноса. Но здесь результат зависит от избранной кривой (за исклю-
чзнием того случая, когда ds2 поверхности 5 есть линейный элемент
плоскости). Рассматривая на касательной плоскости в т0 образ
заданной кривой поверхности 5, мы пришли к понятию
геодезической кривизны и получили формулу Оссиана Бонне.
После этих предварительных замечаний мы можем поставить
общую задачу переноса геометрии вдоль базисного многообразия.
1° Всякой точке базисного многообразия V мы поставим
в соответствие слой F(m), гомеоморфный многообразию F,
в котором действует группа Ли О, причем преобразования в F(m)
определены в репере §1(т).
2° Пусть т0 — фиксированная точка на V, т — переменная
точка, Г — кривая, идущая из т0 в т. Зададим преобразование
B(/7i0, Г), ставящее в соответствие реперу §1(т) репер Т§1(т0)
слоя F(m0), получающийся из сЯ(т0) преобразованием Т(т0,Т)
группы О, действующей в F(m0).
Тогда говорят, что мы перенесли вдоль Г геометрию,
определенную с помощью О в слое F(m0)t в геометрию слоя F(m).
Множество преобразований в(/тг0» Г) определяет то, что
называется связностью, тогда как О определяет геометрию.
Многообразие V называется при этом многообразием со связностью (О, F, в).
Мы будем называть здесь кривой непрерывный образ сегмента
прямой, удовлетворяющий различным добавочным условиям,
уточняемым по мере надобности, таким, как условие существования
в каждой точке элемента касания порядка достаточно высокого для
462
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
того, чтобы никакая теоретическая трудность не могла бы
встретиться; конечно, такая кривая может иметь кратные точки, и
некоторые ее части могут проходиться несколько раз.
Важно заметить, что элементы, на которых мы действуем,
являются не точками базы V, а кривыми Г (из них можно было бы
образовать пространство бесконечного числа измерений, если
dimV> 1)1).
Когда в(/п0, Г) = в(яг0, т), т. е. зависит не от Г, а только
от точки т, связность называется плоской, многообразие V со
связностью (О, F, в) называется тогда голономным пространством
относительно данной связности.
В общем случае всякий геометрический объект в слое F(m)
может быть перенесен на слой F(mQ) преобразованием, переводящим
репер cR(tfi) в репер ТеЯ(т0), в объект, который, как и ТЖ(т0),
зависит от Г. Такой объект называется неголономным (О, I, 17). Так
как это определение является слишком общим и его было бы
неудобно изучать, мы прибавим еще другие предположения.
3° Преобразование в(/я0, Г) непрерывно относительно Г.
Тогда всякой кривой Г, выходящей из т0 и лежащей на V,
соответствует в F (т0) кривая у, выходящая из т0, которую мы назовем
ее изображением. Это последнее понятие может быть обобщено*
если рассмотреть множество кривых {Г}, таких, что через каждую
точку окрестности т0 проходит одна и только одна кривая.
Множество образов {у} составляет изображение рассматриваемой
окрестности т0.
Наконец, для того чтобы можно было вести инфинитезималь-
ные вычисления, мы сделаем еще следующее предположение.
4° Если изображение всякой кривой Г имеет в каждой точке
элемент касания порядка ^р Q*. 1), то оно является в F(m0)
кривой у, имеющей элемент касания порядка ^р. Кривые Г,
которые мы будем в дальнейшем рассматривать, имеют в каждой своей
точке элемент касания порядка ^>р2).
Число р определяется в зависимости от потребностей теории.
На практике его предполагают достаточно большим для того, чтобы
не получилось дополнительных трудностей из-за незнания
наименьшего допустимого его значения (предполагают даже чаще всего,
что многообразие V аналитическое и что кривые Г аналитические).
Точке т0 приписывалась выше особая роль в многообразии V.
Избавимся теперь от этого ограничения. Рассмотрим другую точку тх
многообразия V и зададимся раз и навсегда кривой 1\, идущей из
1) Когда dim V= 1, т. е. когда V есть кривая, рассмотренные
определения не интересны.
2) Отсюда видно, что можно было бы также определить связность,
задав правило, делающее известным изображение кривой.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
463
т0 в mv Пусть 7\сЯ(/я0) — образ репера &(m^ в слое F(m0) при
отображении в (т0, iy. Пусть Г' — кривая, исходящая из щ и
оканчивающаяся в т. Реперу Ж(т) и кривой Г = ГТ11) отвечает,
скажем, репер TSl(mQ)t и мы имеем
Ш (/п0) = 7ТГ1 [ТгЯ (/п0)].
Отождествляя TlSl(m0) с Sl-fax), мы условимся говорить, как это и
естественно, что при переносе вдоль Г' репер §{(mL) переходит в
777* [31 (л*!)],, что определяет в точке щ связность Q(mv Tv Г'),
индуцируемую связностью в т0 и кривой Tv Пусть Г2 — другая
кривая, идущая из т0 в тх\ связность Q(mv Г2, Г') соответствует
кривой ГТ2 = (ГТ2ГГ1)Г1, т. е. кривой ГТ2ГГХ для первой связности.
Мы получаем таким образом взаимно однозначное соответствие между
кривыми, выходящими из mv в каждой из этих связностей. Поэтому
они существенно не различаются.
Если в качестве F взято касательное линейное многообразие 2),
в котором действует группа коллинеаций О, то говорят просто,
что многообразие V имеет связность группы G (но не следует
терять из вида, что это выражение не определяет полностью связность»
так как она определена только после задания преобразования в).
Ограничиваясь этим случаем, мы рассмотрим многообразия с аффинной,
метрической или проективной связностью, понимая при этом под
метрической связностью случай, когда касательное линейное
пространство (являющееся аффинным) имеет структуру, вводимую
подмножеством аффинных преобразований, изоморфным эвклидовой группе
(или ее обобщению О, II, 10), и понимая под проективной
связностью случай, когда пространство продолжено присоединением
некоторого многообразия в бесконечности до проективного
пространства.
Пусть тогда {и1 ип) — координаты точки многообразия V,
(S1, ..., Ьр) (р > п в общем случае) — координаты, определяющие
репер St. До сих пор мы изучали исключительно связности,
заданные соотношениями вида
(1.1) <&=&(ti*\da*\d*a*\...)(t=l. 2 л; j = 1, 2, . .., р),
где функции Е^ однородны первой степени по dul и удовлетворяют
другим условиям однородности, которые нам незачем развивать, так
как мы удовлетворимся изучением случая, когда эти функции содержат
1) Запись Т'Т± обозначает, что мы сначала проходим Ть а затем Г';
запись rj-1 обозначает, что Т± мы проходим в противоположном
направлении.
?) Можно было бы вместо них взять многое другое, например сферы
радиуса 1 заданной размерности и группу вращений или торы и абелеву дву-
параметрическую группу и т. д.
464
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
только dul и имеют по переменным и1 и dul производные до
достаточно высокого порядка.
Среди этих связностей чаще всего изучаются — и мы только их
и будем рассматривать — линейные связности х), когда Е^ являются
линейными формами по dul
п
^=2ы(я1 un)du\
i=l
Заметим, что п из чисел tf, скажем п первых из них, можно
взять за координаты точки из F(m0). Отображение у кривой Г
определяется тогда интегрированием уравнений (1.1).
Наконец, формулы (1.1) дают некоторый аспект связности, но,
возможно, не наилучший. Иначе говоря, не исключено, что заменой
переменных на V можно найти формулы, аналогичные этим, в ко-
торых йг допускают в совокупности непрерывные частные
производные до более высокого порядка, чем исходные функции. Задача
определения наилучшего аспекта связности (или наилучшей
параметризации) и, в частности, задача, состоящая в том, чтобы узнать,
может ли связность быть представлена аналитическими функциями Е^,
является важной задачей, по поводу которой мы имеем только
частные результаты, часто почти очевидные.
2. Группа голономий. Вернемся к трем первым из предыдущих
гипотез. Мы покажем, что множество Н преобразований Т {щ, Г),
соответствующих преобразованиям в (то, Г) для всех замкнутых кривых Г, т. е.
исходящих из то и возвращающихся в т0, образует группу Н (с (7), если считать
кривой Г и такую кривую, которая сводится к одной точке т0; ей мы
поставим в соответствие тождественное преобразование.
Пусть, действительно, Г и Г' — две замкнутые кривые, Т и Т' —
соответствующие преобразования из G. Пробегая сначала Г, мы переходим от
репера # (то) = #о к ТЯ0. Пробегая, далее, Г', мы переходим от #0 к T'ft0
и, следовательно, переходим от Т&0 к Т'ТЯ0. Преобразование Т'Т
принадлежит, таким образом, Н. Если мы возьмем; в частности, Г' = Г-1, то
преобразование Т'Т будет, очевидно, тождественным преобразованием; значит,
V = Т~1. Этим показано, что Н—группа.
Пусть //х — аналогичная группа, относящаяся к другой точке тх. Выберем
кривую Alt идущую из то в mlt и пусть &\ = 7\#0 — соответствующий репер.
Всякой кривой Г', исходящей из тх и возвращающейся в mlt соответствует
преобразование репера #х в репер 7V#1= VТ^0, и преобразование Т'Т±
соответствует пробегу Г'А от то к тА. Возвращение из т1 в т0 вдоль А-1
переводит ^1 в #0, следовательно, Т'Ш± в ТП& т- е- обход кривой Г = Д-1Г'Д
переводит #0 в Т'У?0. Окончательно мы видим, что V принадлежит Я, т. е.
что Нх с //, так как Тг есть произвольное преобразование из Н\, Обратное
доказывается аналогично; значит, Нх = Н.
!) Когда говорят о связности просто, то почти всегда речь идет о
линейной связности.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
465
Эта группа HaG, не зависящая от т0, называется группой голономии
многообразия V для связности ((7, F, в) 1). Когда она сводится к единице,
мы имеем дело с плоской связностью, а именно, точке т из V и реперу Ш (т)
соответствуют в этом случае единственная точка р. из Р(щ) и один репер
Т& \пц), так как изображение всякой замкнутой кривой на V есть
замкнутая кривая на Р(щ) и, исходя из репера $1 (щ), мы к нему возвращаемся
после пробега такой кривой. Когда непрерывное отображение m в у. есть
гомеоморфизм, говорят, что многообразие V, снабженное заданной
связностью, может быть погружено в F. Локальное изучение многообразия V
сводится тогда к локальному изучению F или некоторого многообразия,
погруженного в/7.
Определение группы Н есть, конечно, важная проблема глобальной Teoj
рии перенесения, причем последующие рассмотрения находятся в тесной
связи с определением ее уравнений структуры. Тем не менее мы не будем
непосредственно заниматься этой проблемой и сосредоточимся на локальных
рассмотрениях.
3. Линейные аффинные связности. Эквивалентность. Пусть
Vn — многообразие размерности я > 1, точки которого m
определены п переменными (и1 ип). В касательном аффинном
пространстве выберем базис, образованный п контравариантными
векторами (ilf i2 iw). Линейная аффинная связность будет задана
соотношениями вида
Г п
dm = 2 «?*».
(ЗЛ)
\ dik=^hkih (Л=1. 2 п),
где (!)£(& = О л; й=1 п) — линейные формы от duh,
коэффициенты которых суть функции от uh, имеющие частные
производные до достаточно высокого порядка (можно допустить для
определенности, что это аналитические функции).
Одна и та же (геометрическая) связность, как мы это уже
заметили, может быть представлена бесчисленным множеством способов
соотношениями вида (3.1); здесь мы хорошо видим причину этого,
которая состоит в произволе выбора векторов ik{m) касательного
аффинного пространства. Можно, например, взять в качестве \к{пг)
вектор с компонентой 1 в направлении dak и 0 в направлениях
dah (h=fck). Тогда имеем u>* = duk. Вообще же мы можем
заменить ik любой системой векторов вида
(3.2) i;=i<*i» о»* |<* 1*0).
Л —1
х) Эта группа может не быть связной. Связное ядро, содержащее
единицу, содержит все преобразования, соответствующие замкнутым кривым,
стягиваемым в точку непрерывным преобразованием.
466
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
где а£ — функции от т (т. е. от uh). Мы будем иметь
Разрешим уравнения (3.2) и положим
Для связности будем иметь формулы, аналогичные (3.1), причем
(з.з) |
i •? = g^4+g«t-Jj
Как мы видели, можно, в частности, выбрать базис таким
образом, что &ъ = с1ип, причем п2 форм а>£ могут быть взяты
произвольно. Так как каждая зависит от п произвольных функций, мы
видим, что множество аффинных линейных связностей, которые
могут быть отнесены к базисному многообразию Vn, зависит от я3
произвольных функций.
Связность (3.1), которую мы определили, исходя из контрава-
риантного базиса, можно определить, исходя из ковариантного
базиса ik. Возьмем, в частности, дуальный к ih базис, определенный
уравнениями
(3.4)
и пусть
(3.4) У* = 8л (0 или 1),
dP= 2о)*/Л
— уравнения связности. Дифференцирование системы (3.4) дает
т. е.
(3.5) шХ + «л = 0.
Матрица (о>£) получается из матрицы Ы%\ транспозицией и
переменой знака.
4. Тензоры кривизны и кручения. На Vn рассмотрим
двумерное многообразие un = uh(tt т), проходящее через точку т, соот-
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
467
ветствующую t = * = 0, и определенное в окрестности этой точки.
Положим d—-jrrdt, b = -jr-d* и рассмотрим очень маленький цикл
тт'т"т'"т (рис. 46), ограниченный кривыми / = О, х = 0, t = dt,
<z = dt, где dt и di — очень маленькие константы. Мы будем
развертывать этот цикл на касательной плоскости в точке т.
Пусть /?, R't R"t Rm — реперы, связанные с точками т, т',
т", т!" в соответствующих касательных многообразиях. Выйдем
из т и опишем mm', далее тгт"> и пусть (m't R'), (m",
R")—соответственно образы (mr, R'), (m!\ R ). Выйдем снова из т и
опишем т.т'"т"\ мы получим образы (т"\ R'") к_(т'\ R") реперов
{т"\ R'") и (т!\ /?")» причем, вообще говоря, (т"% R") отлично от
(m"R"). Сейчас мы это уточним.
Рис. 46.
По отношению к (т, R) координаты (mf, R') суть (dm = m',
ih-\-dih = i'h). Координаты (m"R") по отношению к (т', /?') суть
(8m', i^+-8ife), или по отношению к (m, R) суть (dm-|-8ni +
+8dm, ih-\-dih-\-bih-\-8dih), пренебрегая бесконечно_малыми третьего
порядка. Мы видим, кроме того, что координаты (т", R") по
отношению к (т, R) суть (dm-\-bm-\-dbm, ih-\-dih-\-bih-\-dhi£.
С точностью до бесконечно малых третьего порядка мы имеем,
следовательно,
m" — m" = 8dm — d8m,
~ih—Tn = bdih-dbih.
Напишем в явной форме правые части, записывая ^(d) и w^(8)
вместо о)£, в зависимости от того, обозначаются ли входящие туда
дифференциалы через d или через 8. Получаем
| 8 dm — d 8m = 2? (d, 8) ik,
j bdih — dbih=Ql(dt 8)ifc,
468
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
где мы положили
f Q* (rf, 8) = 8«>* (d) - da* (8) + [ Ч (d) со* (8) - а£ (8) а>* (d)]
1 (Л = 0, 1 л; ft=l. 2 /г).
Переменные £ и т входят сюда только через посредство
операций d и 8, в силу того обстоятельства, что
rf8 = 8rf = -£g- Л Л.
Лат
Формы o)J(rf) линейно независимы, переменные dtf* линейно
выражаются через o)J(d) (то же верно для о>£(8) и Ъик\. С другой
стороны, вторые частные производные в 8u)*(d)— dw*(b) исчезают,
поэтому можно написать
(4.3) 2*(d, 8) = Л*жш'0(<Осо»(8).
где, принимая во внимание антисимметрию Q\(d, 8) по d и 8, имеем
Так как первые члены в формулах (4.1) — векторы, то из их
выражений следует, что 2^(rf, 8) (A > 0) — компоненты тензора f i )•
С другой стороны, так как w\(d) и o>J*(8) — компоненты контра-
вариантных векторов dm и 8т соответственно, то равенства (4.3)
показывают, что выражения
Я&ш = Т$т (А, /. да=1, 2 п)
являются компонентами тензора (о)» называемого тензором
кручения, и что величины
Rmm (А, А, /, т= 1, 2, . . ., п)
являются компонентами тензора I „ ), называемого тензором
кривизны в точке т многообразия Vn, в котором введена структура
связности (3.1) (в дальнейшем мы будем опускать последнее
уточнение выражения).
Приведем другой способ вычисления этих двух тензоров.
Возвращаясь к выражению (4.3), легко доказать, что внешняя
дифференциальная форма (где через d обозначены внешние дифференциалы)
(4.4) ^ = -^ + ЧЛ^
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
469
может быть записана в виде
(4-5) Ч = Т *&»<*"?•
В самом деле, рассматривая выражение (4.2) и разлагая каждый из
членов в скобках в линейную комбинацию произведений <s>lQ(d)u>™(b)t мы
видим, что коэффициентами будут коэффициенты разложения
внешнего произведения о)^ Л &* B линейную комбинацию произведения
№о Л ^о* (К ^)« Чтобы доказать, что 8w£(d)— du*(b) имеет те же
коэффициенты, что и —do)*, достаточно изучить случай, когда о)*
состоит из единственного одночлена adu1. Предыдущее билинейное
выражение записывается тогда в виде
8а da1 — da Ьи1 = — (da Ьа1 — Ьа dul\
т. е. оно имеет те же коэффициенты в разложении по о)^ (d) о)™ (8),
что и da Л da1 в разложении по о)* Д о)™ (/ < т).
Вернемся теперь к формулам связности (3.1). Мы получаем,
применяя правило дифференцирования произведения *):
j d(dm) = d^ih-\~dih Д <о» = (*о*-ш«0 Л »,*) ik = - ^o*V
(4'6) I *№=(<4-<A4K=-22V
Практически компоненты тензоров кривизны и кручения вычисляются
с помощью формул (4.4), (4.5) и (4.6).
Выражения (4.1) могут быть выведены из (4.5) при помощи
обобщения формулы Стокса, данного в (О, III, 2).
б. Ковариантная производная тензора. Рассмотрим поле кон-
травариантных векторов Х(и* ип), отнесенных к точкам
многообразия Vn и лежащих в линейном касательном многообразии в
каждой точке окрестности точки т. Пусть
X = X4h.
Мы имеем
dX = {dX* + *Ч) lh = DX4h*
полагая
(5.1) DX* = dX* + Xlitf.
Так как dX есть вектор, то из этого равенства следует, что
DXh — компоненты контравариантного вектора (тогда как для dXh
*) Существенно отметить, что мы пользуемся записью Лп, dih для
выражений, не являющихся точными дифференциалами. Поэтому, вообще
говоря, d (dm), d (dih) не исчезают тождественно.
470
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
в общем случае это не имеет места). Напишем
(5.2) DA* = **!,©£.
Так как со*— компоненты контравариантного вектора, то
величины Xh \г являются компонентами тензора I - ], называемого кова-
риантной производной вектора (Xh).
Рассматривая теперь поле ковариантных векторов
X = Xhi\
имеем также, в силу (3.5),
и величины
(5.3) DXh = dXh — XfJh
являются компонентами ковариантного вектора. Полагая
(5.4) DXh = Xhllwl
мы видим, что Хп\г — компоненты тензора \<А* называемого кова-
риантной производной вектора (ХЛ).
Рассмотрим вообще поле тензоров, скажем тензора ( 1 ):
S = S?\®ik®ll.
Принимая во внимание соотношения (3.1) и (3.5), мы находим
дифференцированием
dS = DSf\®ik®l\
где
(5.5) DSf = dS?k + {Sm7'*l + S?m<»kM — S%o>T),
и эти величины являются компонентами тензора ( 1 ) • Полагая далее
(5.6) DS? =5?(шо)о*,
мы получаем отсюда, что величины Slh\m будут компонентами
тензора (2), называемого ковариантной производной тензора (S?*) .
Аналогичным способом мы определяем ковариантную
производную в некоторой точке поля тензоров произвольного порядка;
можно, далее, определить последовательные ковариантные произ-
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
471
водные 1). Поле тензоров с ковариантной производной, равной
нулю, называется стационарным.
Изучим случай, когда
$к = С#Рк [Qf_ тензор (J); Р*- тензор (J)].
Отсюда следует, что
D (Q?Pk) = Рк (d$ + 0Г»5, - <&о>Г) + Q? (dPk + Pm«4) =
= PfcDQ? + Q?DPft,
откуда, далее,
(5.7) (Q?Pft)|OT = Q?|mPfe + Q?Pfc|M.
Как нетрудно видеть, здесь заключен общий результат, который
мы выскажем следующим образом:
Правило ковариантного дифференцирования произведения
тензоров совпадает с обычным правилом дифференцирования.
Рассмотрим теперь свернутый тензор S^ . Имеем
(5.8) DSP = dSp + S^<& + Sp«& — Sg«Z = dS?+ $»<&,
так как справедливо равенство
h &m = bm(uh
поскольку эти два выражения отличаются только перестановкой
немых индексов h и /п.
Равенства (5.8) запишутся, если мы вернемся к знакам £, так:
o(2s2*)=S(Dsf).
Мы имеем здесь общий результат, который выскажем так:
Ковариантное дифференцирование и операция свертывания
перестановочны.
Отсюда следует, в частности, что ковариантная производная
свернутого произведения вида Sh Qjc получается по обычным правилам
дифференцирования.
Однако в общем случае нельзя переставлять порядок двух
ковариантных дифференцирований.
*) Заметим, в частности, что ковариантная производная единичного
тензора 5^ есть тождественный нуль.
472
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим, например, случай ковариантного вектора (Xh).
Записав сначала
мы находим
Полагая, далее,
m.h
d(dX) = XmQ%i
dX=DXhih,
получаем, что
d(dX)=dxh] ,j л *\-хтП^ л Ч-*»,»»!* Л Ч-
Отсюда, сравнивая два выражения для d(dX), имеем
и, наконец, в силу (4.5), получаем равенство
(5.9) XkRhim-\-Xh | кТХт -\- (Хп {гт — Xh | mi) = О,
которое показывает, что порядок двух ковариантных
дифференцирований нельзя в общем случае изменить.
Наконец, отметим, что, задав поле ковариантных векторов (Xh),
мы получаем антисимметричный тензор Х'п\к — Хк\п* называемый
ротором поля (Xh). Для поля же контравариантных векторов (Xh)
инвариант Xh \h называется дивергенцией поля.
Обозначая через / функцию точки и полагая
мы получаем, что f\h—компоненты ковариантного вектора, а именно
градиента поля /.
Условие для того, чтобы поле (Xh) было полем градиента,
получается, если мы запишем d(Xh(a^\ = Ot что дает
DXhA4 — XhQ% = 0
и, наконец, если принять во внимание антисимметрию тензора
кручения,
(5.10) Xhli — Xllh-\-XkT^ = 0.
6. Тождества Бианки. Посредством внешнего
дифференцирования формулы (4.4) дают
dQ\ = dulh Л w* — <s>\ Л Л»?
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
473
(т. к. дифференциал первого члена равен нулю) или, заменяя do)*
их значением, взятым из (4>4),
dQ*=(»» л<- ^j^) л <*>* - < л (»г л < - 2?).
Члены, содержащие только о), уничтожаются, и остается
(6.1) dQ* + Qj! Л «>,* - Ч Л Qf = 0;
это сжатая форма тождеств Бианки х).
Для h > 0 уравнения (4.4) и (4.5) дают
<*«JW Л «J + Я*Х(1«>; Л «оJ Л ««у - Л^ Л «J Л »? +
+ Л V>S Л < Л »* - Я Vм* Л ^ Л «& + 2/**^ Л2$ = 0.
Мы видим, что члены, не содержащие 2£, представляют собой
поэтому предыдущее равенство записывается в форме
D^< л «и+я£х/;РЧ л ч л cog=
= (#W I v + /&,7*0 соо Л 4 Л ">о = 0.
Собирая члены, получающиеся с помощью перестановки
индексов X, [х, v, по предположению различных, и принимая во внимание
свойства антисимметрии тензоров R и Т и тензорного произведения,
мы получаем, что
(6.2) #,Vlv+#Lv x + /?W + *^,H-«^
Поступая таким же образом при Л = 0, находим
Я^о Л <4 + 7?р7*>& Л «# Л wo — Ла>о Л < Л «о = 0,
откуда, как и выше,
(6.3) /?x^v + #{ivX + #vX{X = 7\jx | v ~\- Tpv X + ^vX | tx +
+ qnli nrtO 1 "pit 'ПР I 7Ч& 7^P
i Xp' itv -j- l И-Р7 v* -Г l i?1 Xjx«
Соотношения (6.2) и (6.3) называются тождествами Бианки.
Верные для различных X, [х, v, они верны и для произвольных X, fx, v,
в силу антисимметрии /?* и Г* по X и [х.
!) В действительности Бианки установил эти формулы только в случае
римановых пространств (гл. II), когда кручение равно нулю [формулы (6.2')
и (6.3')].
474
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Частный случай, когда тензор кручения тождественно равен нулю,
заслуживает специального упоминания. Формы 20 тогда так же
тождественно равны нулю, первая из формул (4.1) показывает, что
бесконечно малые циклы замыкаются с точечной точки зрения с
точностью до бесконечно малых третьего порядка, но репер, связанный
с началом цикла, не возвращается в свое исходное положение.
В этом случае формулы Бианки упрощаются и принимают вид
(6.2') #лхн* +#лр|Х -|-#&vX|> =0,
(6.30 Я^ + Я^х + ЯУ* = 0,
причем последнее соотношение выражает круговую симметрию
компонент тензора кривизны.
7. Вычисление компонент тензоров кривизны и кручения.
Положим
( < = Пг<
(7.1) \ 1
где В\^ предполагаются антисимметричными по X и [а (Вху. + £^х = О).
Из соотношений (4.4) и (4.5) получаем, обозначая запятой
производную по wg-:
(г2х,ц—у Г^ + ГЛ) со£ Л < = у «М Л «К.
откуда, принимая во внимание антисимметрию Rh\^ по X и fx и
возвращаясь к индексам /, т вместо X, [х, имеем
(7.2) Rnim = Гы, т — Глт, г + Гы 1\ш — ThmTvi — ThvB}m.
Для тензора кручения можно использовать это выражение,
полагая Год = &*; мы получим
(7.3) Тгт = (Tim — Ymi) — Вгт.
В частности, взяв о)* = с?иг, будем иметь du)*=0, т. е. В£т = 09
и, чтобы тензор кручения был тождественным нулем, необходимо
и достаточно, чтобы Г*Ш = Г^, т. е. Г*ш должны быть симметричны
по нижним индексам.
8. Параллельный перенос. Геодезические. Пусть C[m(t)\ —
кривая на V*. Предположим, что с каждой ее точкой связан кон-
травариантный вектор Xh(t). Построим изображение кривой С,
начиная с одной из ее точек т0. Мы скажем, что Хь переносится
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
475
параллельно вдоль С, если образы Xh в репере Sl(m0) —
параллельные векторы. Эго значит, что d(Xhi^) коллинеарен X ih, что
можно записать, в силу определения ковариантного
дифференцирования, в виде
(8.1) -B£L = KXh,
где К есть функция точки на С.
Очевидно, начальная точка изображения кривой не играет
никакой роли.
В частности, если мы хотим переместить вдоль С, отправляясь
от точки т0, некоторое направление параллельно самому себе, то
достаточно проинтегрировать систему
(8-2) -^ = 0,
отправляясь от вектора Xq, лежащего на этом направлении в т01).
Рассмотрим, в частности, кривые, называемые геодезическими,
вдоль которых^ касательная претерпевает параллельный перенос: это
кривые, изображения которых представляют собой прямые. Их
определение не содержит начальной точки т0, т. е. если т —
произвольная точка этой кривой, то эта кривая будет также
геодезической, исходящей из т. Чтобы получить уравнения геодезических,
можно либо написать уравнения (8.1) для dm/dt, либо написать,
что d2m коллинеарно dm. Но так как
(где du)J есть алгебраический дифференциал), то мы получаем систему
уравнений
(8.3) dv$-\-<uffi = Ku*dt,
где К обозначает функцию точки. Положим, например, u>% = duh.
Тогда эта система запишется в виде
/о л\ d2uh . j+ dax dtp „ dah
Определим теперь параметр 5 равенством
ds = c dt (с — произвольная постоянная).
!) Можно обобщить понятие параллельного переноса, исходя либо из
ковариантного вектора, либо из тензора. Мы не останавливаемся на этом,
оставляя проведение соответствующих рассуждений читателю.
476
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Уравнения (8.4) примут вид
г* ^ d2ah i г» daX du* —о
Другими словами, можно всегда выбрать параметр t (=s) таким
образом, чтобы К было равно нулю в уравнениях (8.3) и (8.4).
В силу своего определения 5 есть аффинный параметр (наиболее
общий такой параметр имеет вид as-\-b). Из результатов,
относящихся к дифференциальным уравнениям, а также из гипотезы,
сделанной относительно связности, т. е. относительно Г? , следует,
что, вообще говоря, существует единственная геодезическая,
исходящая из точки т0 и допускающая в ней касательную заданного
направления (rfttx/^)0=$x.
Если положить dm!dt = (Xh), то уравнения (8.3) и (8.4)
совпадут с уравнениями (8.1). Если взять s в качестве параметра, то
эти уравнения примут форму (8.2), т. е. DXh/ds = 0't они
эквивалентны равенствам Хп \г = 0.
9. Основная теорема. Всякой связности (3.1) многообразия Vn
мы сопоставили два тензорных поля кривизны и кручения (а также
поля их ковариантных производных возрастающих порядков по
правилам § 5). Здесь мы ставим себе обратную задачу, будет ли
знание этих тензоров в некоторой окрестности на многообразии Vn
определять связность.
Рассмотрим геодезические, проходящие через точку т0 (мы
предположим для упрощения записи, что и£ = 0) и покрывающие
п
целую окрестность этой точки (например, 2(^Л)2^8 с достаточно
1
малым е. Будем определять их точки при помощи параметра
s ($ = 0 в т0). Положим на геодезической, определенной
уравнениями (8.5),
vb = Zhs.
Уравнения (8.5) дают
«* = «* —"Я" (ГЦ^Н-'"'
откуда
ГР(ц1,..., я»)! _
L0(i4 fn)Jo
Следовательно, vh в некоторой окрестности точки т0 образуют
систему координат, называемую нормальной в точке т0. Всякая
другая нормальная система координат v'h должна быть такой, что
уравнения геодезических, проходящих через т0, имеют форму
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
477
#'* = £'*$. Всякому вектору 5Л, связанному с т0> преобразование vh
в v'h ставит в соответствие некоторый вектор 5'Л, и наоборот;
следовательно, это наиболее общее центро-аффинное
преобразование
где а% — константы и det I а% | Ф 0.
Приведя координаты к нормальному виду, мы теперь
канонизируем представление связности, потребовав, чтобы перенос репера
в т0 вдоль всякой геодезической vh = ths был параллельным
переносом, т. е. чтобы
dik = 0 для dvh = lh ds,
или
a)£(tf) = 0 для dvn = %hdst
<£>b(d) = dvh в начале координат.
Положим тогда blh = -qhdfzt где г\п — произвольные константы,
и рассмотрим бесконечно малый контур с вершинами
v* = 5*s, Ф + dvh — 5* (s + ds), v* + Ьъ* = (5* + 85*) s,
vh -|- dvh -j- bvh.
Вернемся к формулам (4.1). Они запишутся в виде
_ 8 dvk + d4 (8) + Qj (rf, 8)—5*4 (8) ds = 0 (h = 0),
*oJ(8)-|-Qj(df 8) = 0 (Л>0),
откуда, обозначая через Тгт и Rnim компоненты тензоров кручения
й кривизны в выбранной системе координат, имеем
— 85* ds + d4 (8) + Tim? Ыт ds — 5 со,* (8) Л = 0,
(9.1)
^(8) + /?^78Г^ = 0.
Но о)^(8) представимо в виде
co*(J) = i4jJ(tF1 vn)bvl = Alz^s tns)sb? (A = 0 /г),
откуда
d< (8> = -^S" ^W bv% + Лы <* bvl = s -д^Г *m «' <*s + Л J, 85' ds.
Рассматривая 5Л и 85* как константы, мы видим, что ю£(8) будут
функциями одного 5. Положим поэтому о)£ (8) = * (s); отсюда
478
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
du)£ = d<p£, и уравнения (9.1) запишутся в виде
\-sT?Jbtm — l\l — К* = 0,
Это линейная дифференциальная система (интегрирования которой
можно свести к квадратурам), которая позволяет определить <р£ по
их начальным значениям (ср£ = 0 для 5 = 0). Проведя
интегрирование, мы подставим s=\ в результат, заменив затем $Л и 8£й
через vn и dvh соответственно; тогда получим о)£, определяющие
связность. Мы можем высказать следующий результат:
Знание тензоров кручения и кривизны в каждой точке много-
образия линейной аффинной связности достаточно для
определения этой связностиг).
Другими словами, если между двумя многообразиями Vй и V'n
с линейной аффинной связностью можно установить такое точечное
соответствие, что тензоры кривизны и кручения будут равны в
соответствующих точках, то связности могут быть представлены, по
крайней мере локально, одними и теми же уравнениями (3.1) с
точностью до обозначений. Два таких пространства называются
эквивалентными или наложимыми.
Геометрия многообразия Vn, снабженного связностью (3.1),
полностью определяется, по крайней мере локально, заданием
тензоров кручения и кривизны.
Из формул типа (5.5) и (5.6) (с условием w™ = dvm в начале
координат) следует, с другой стороны, что знание последовательных
ковариантных производных тензора позволяет определить
дифференциалы его компонент в репере, связанном с каждой точкой, и, далее,
их частные производные. Рассмотрим случай аналитической связности
в окрестности некоторой точки. Формулы (4.4), (4.5) и (4.6)
показывают прежде всего, что тензоры кручения и кривизны —
аналитические функции координат. Задание последовательности их частных
производных определяет их в целой окрестности. Итак:
Аналитическая связность локально определяется заданием
в некоторой точке тензоров кручения и кривизны и
последовательности их ковариантных производных.
1) Мы не будем изучать проблему, определяет ли задание на
многообразии Vй двух полей тензоров Т*т и Я^гт, удовлетворяющих равенствам
Бианки, аффинную линейную связность.
(9.2)
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
479
Замечание. Плоская связность. Когда тензоры кручения
и кривизны тождественно равны нулю (2^ = о), то уравнения (4.4)
являются уравнениями структуры аффинной группы; пространство
поэтому локально эквивалентно аффинному пространству Ап\
связность, определенная в Vn, является плоской связностью. Из
уравнений (9.2) мы непосредственно получаем интегрированием, что o>J = dvk,
о)£ = О (Л > 0); это естественная связность для Ап.
Формула (5.5) показывает тогда, что ковариантный дифференциал
совпадает с обыкновенным дифференциалом.
10. Изучение связности в окрестности точки. Рассмотрим
изображение С кривой с, исходящей из т0, в аффинном пространстве ЛЛ,
касательном к многообразию Vй в точке т0 и рассмотрим точечное
отображение в окрестности т0 в V*1 на это пространство Лп. Пусть Г — образ
кривой с при отображении в. Попытаемся определить в таким образом,
чтобы порядок касания С и Г в точке т0 был максимально высоким для
всей совокупности кривых с1).
Воспользуемся нормальными координатами в т0 (vh = 0). Кривая с будет
задана уравнением
(vh)" (vhY"
С другой стороны, интегрируя (9.2), имеем
где 7fm h обозначает частную производную тензора Tfm no vh в начале
координат. Отсюда
®.-ь* (4).-»
—ъ
где последнее равенство получается в силу антисимметрии тензора Т1т.
Отсюда получаем, что
!) Для заданной кривой с эта задача не имеет смысла, ибо мы всегда
можем выбрать в так, что Г и С совпадают.
480
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Итак, изображение кривой определяется уравнением
m =
(*/%<+(-^'+...] ift = *4+[3].
Отсюда следует, что преобразование в, ставящее в соответствие
точке (рк) многообразия Vn точку (ук) касательного пространства в т0,
таково, что кривые С и Г имеют в т0 касание по крайней мере второго
порядка.
Чтобы продолжить это изучение, вычислим члены более высокого
порядка. Мы найдем
2 [арШЦо ~2 Т7»»!.1 ,о( )о+ 2 J-
- i Rknim («ft)o Wo («mYo - i Пт, н «(Д <«■%
Антисимметрия по/им тензора гД влечет антисимметрию T*mth, откуда
fS(w)]o=(A"-^L(^«.
и мы получаем, что
Отсюда выводим, что для существования соответствия в, при котором
в т0 всякая пара кривых С и Г имеет касание по крайней мере третьего
порядка, необходимо и достаточно, чтобы тензор кручения был равен нулю
в этой точке. Одним из таких соответствий будет соответствие, которое
сопоставляет точке (vk) многообразия V1 точку (vk) касательного
пространства !).
11. Геодезические наложения. Два пространства с линейной аффинндй
связностью называются геодезически наложимыми, если между ними можно
установить, по крайней мере локально, точечное взаимно однозначное
соответствие, переводящее геодезические одного пространства в геодезические
другого. Возвращаясь к уравнениям геодезических (8.4), мы замечаем, что
h dtldv^_\_(vk , Vk \duxdu^
^ dt dt ~~ 2 v^-i-v; at ~Ш'
Но величины (гх^ + Г*х)/2 симметричны по X и р.. Они поэтому являются
коэффициентами аффинной связности без кручения (§ 7). Проблема
геодезической наложимости двух пространств аффинной связности сводится, таким
образом, к такой же проблеме для двух пространств без кручения; этот
последний случай мы и будем рассматривать.
1) Можно показать, продолжив вычисления, что для существования
соответствия, при котором С и Г имеют касание по крайней мере порядка 4,
необходимо и достаточно, чтобы тензор кривизны был равен нулю.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
481
(ИЛ)
Запишем систему (8.3) в виде
«*
и пусть дано другое пространство, геодезически наложимое на первое, причем
отображение реализуется реперированием точек с помощью одних и тех же
переменных Гй>% = coq), и коэффициенты связности второго пространства
суть r|j. Аналогичная (11.1) система для этого второго пространства может
быть эквивалентна (11.1) только в случае, если мы имеем равенство
(11.2) Т&о»*4-Г* «J J0 = 2о>0Ла>,
где со означает линейную форму, 'скажем,
о) = 44 "о-
Но формула (7.3) при 1% = Т\х = О, Я*, = 5*,
дает _
lkl~~lkl— llk Llk>
т. е. эти разности симметричны по k и /. Записав тогда (11.2) в виде
(rk-r£K»o = 252Vo4.
мы получаем, что _
Отсюда
(Ц.З) «* = •* + «?♦*+»*4t"o-
Так как формы <о£ и о>£ преобразуются по формулам (3.3), то их разности
будут компонентами тензора 1А.
Свертывание этого тензора дает инвариант, равный
Фл<°о + лФ^о = (Л + 1) <Ь°>о>
и эта формула показывает, что ty— компоненты ковариантного вектора.
Внешним дифференцированием из (11.3) получаем, принимая во вни»
мание, что Q% = О,
Щ = о* - /% Л «£- $DbA 4 + <М*^Л о)?,
откуда
или, полагая
(11.4) ^-/&ж+ $(^-+«0 + £**.- £Фы-
482
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Введем теперь свернутые тензоры
(П-5) Л» =■*»» = (-Л*).
(11-6) *«=**»=(-*««>
Из тождества Бианки (6.3') с помощью свертывания для них получается
соотношение
(11.7) Rhlm + Rlmh + R^m = Plm + Rlm — Rml = 0.
Свертыванием из (11.4) получаем, что
Из этих равенств, используя равенство (11.7), находим, что
м „и ..р п \Plm Plm
— Klm — Klm n /i 4-1
и, наконец,
(lb8) Пт = 1__Л2 •
~^ta»
Подставляя это выражение tylm в (11.4) и перенося члены с черточками в
левую часть, мы получаем в правой части
U7& - D* ** Plm Ф ПРкт + Rmk _L Ф nRkl + Rlk —
wklm — кШт— °ft п+ i ~ь1 \-rfl '"Гйш \ — rf» ~~
эЛ
и уравнение (11.4) записывается в виде
(П-4') Wblm=W*lm.
Тензор W^im* введенный Г. Вейлем, будет одним и тем оке в
соответствующих точках двух геодезически наложимых пространств.
Мы имеем, очевидно,
Далее, с помощью легкого прямого вычисления, используя тождество
Бианки (6.3'), получаем, что
и наконец с помощью свертывания находим, что
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
483
Легко проверяется, что тензор Вейля будет тождественным нулем для
п = 2, и его введение полезно только для п > 2.
Мы применим теперь предыдущие рассмотрения для отыскания условий,
при которых пространство аффинной связности без кручения геодезически
наложимо на аффинное пространство Лп (#£jm = 0, откуда Rlm = Plm = О
Прежде всего для этого необходимо, чтобы W\lm = О, и нужно
выяснить, используя (11.8), нельзя ли найти ковариантныи вектор fy, такой, что
выполнено равенство
/ii о\ i i if n^lm+^ml
О1-9) Ьт = +11 т~ Wm = пз_г •
Формула (5.9) записывается теперь в виде
откуда, в силу формулы (11.4) и равенства R%lm = 0, имеем
Vj | тр Vz | рщ == Vl (Утр Vpm) ~т Чт^Хр Чрггт'
Из (11.9) ковариантным дифференцированием получаем
Vzm I p Vlp J m = ®>
или
(11Л°) л (film\р — %1р\т) + (^mZ |p~#j*| m) == °'
Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы система (11.9)
была вполне интегрируемой; значит, они же являются условиями,
необходимыми и достаточными для того, чтобы пространство было геодезически
наложимо на аффинное пространство Ап.
Для п > 2 мы выразим эти условия с помощью тензора Вейля.
Ковариантным дифференцированием и свертыванием получаем
\у/Ъ> _ г>Ъ> Plm\k , (п^кт 11 + ^тк \ l) ~ (п^Ы \ т + Яцс \ т)
wklm| h — Hklm\ h n^_ \ i n* — l '
Используя формулу (6.2') и тот факт, что ковариантное дифференцирование
и свертывание — перестановочные операции, мы находим
ph ph ph р i p
*klm I h — Kkmh 11 ^khl | m ~~ Kkm \ l "Г *<kl I m*
Rlm I к = %тк \ I ^kl I m = %mk | J ^km | J + ^ftZ | m ~~ ^ft 1 m>
откуда
В скобках стоит левая часть уравнения (11.10) с точностью до
обозначений. Итак, для п > 2 система (11.10) эквивалентна равенствам W\im\h =0,
которые в свою очередь являются следствиями равенств W^m = 0. Итак:
Для того чтобы пространство с аффинной связностью без
кручения было геодезически наложимым на аффинное пространство Ап,
484
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
необходимо и достаточно, чтобы его тензор Вейля был
тождественным нулем, когда п>2, или чтобы были выполнены равенства (НЛО),
когда л = 2.
12. Поля параллельных контравариантных векторов. Допустим, что
существует поле контравариантных векторов Xh, перемещающихся
параллельно самому себе вдоль любой кривой пространства, т. е., отправляясь от
вектора Xh (пц) и двигаясь в точку т вдоль произвольной кривой пространства,
мы получаем вектор, параллельный вектору Xh (m). Кривые, которые в каждой
из их точек касаются вектора поля, очевидно, представляют собой
геодезические.
Уравнения (8.1) дают равенства
Xhl^ = KXh, откуда XlXh\x — XhXl\x = 0,
что позволяет положить
(12.1) Xh\x = XhYx,
где У\ — компоненты ковариантного вектора.
Возвращаясь, с другой стороны, к обозначениям § 4 и перемещая
вектор X вдоль замкнутого бесконечно малого цикла, мы видим, что с
точностью до бесконечно малых третьего порядка
X" - Г = Ы (Xh ih) - db (Xh lh) = Xh Q| (d, 8) ift,
откуда _
Xah - X"k = XhRlm «I (d) «J» (8).
Поэтому, если мы потребуем, кроме того, чтобы после обхода
бесконечно малого цикла вектор Xh возвращался в свое первоначальное
положение с точностью до бесконечно малых третьего порядка, то должны
выполняться равенства
(12.2) XhR^m^0, или Л*0£ = а
Формулы (12.1) дают
(12.1') d (Xh ih) = (** ih) ( Yx «&) = (Xh ih) o>,
откуда с помощью внешнего дифференцирования в силу (12.2) получаем
что
(12.2') 0 = -XhQ*lk = d(dXhih) = d(Xhih)A« + Xhihd<» =
= (Xf4h)d«>.
Отсюда следует, что dm = 0, т. е. что Yx — градиент.
Окончательно, мы видим, что поле Xh будет параллельным полем, или
полем параллельных векторов, если это поле удовлетворяет формулам (12.1),
где У^ — градиент. Положим тогда
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
485
Из (12.Г) следует, что
d(9Xhih) = 0t
т. е. можно найти такую функцию точки <р» что у вектора yXh все кова-
риантные производные тождественно равны нулю. Обратно, если можно
найти такую функцию <р» то (12.Г) показывает, что форма о> есть полный
дифференциал, т. е. речь идет о поле параллельных векторов.
В дальнейшем мы будем считать <р = 1' чт0 всегда можно сделать.
Тогда можно сказать, что для того, чтобы существовало поле параллельных
контравариантных векторов, необходимо и достаточно, чтобы уравнения
(12.3) Хь |х = О
имели решение. Такое поле векторов называется стационарным.
При помощи ковариантного дифференцирования из уравнений (12.2)
получаем, принимая во внимание предыдущие:
(12.4) XhR%lmX=0, *й/&т 1X^ = 0
Системы (12L2) и (12.4) линейны и однородны по Xh. Предположим, что они
допускают г « п) линейно независимых решений Х^ (k = 1 г— индекс,
определяющий объект), так что общее решение этих систем есть
(12.5) Хп=^а^Х^ку
где of® — произвольные функции точек, которые мы попытаемся
определить таким образом, чтобы поле X было стационарным.
Заметим сначала, что если Xh есть решение систем (12.2) и (12.4), то
Xh |x есть также их решение, так что можно написать
где <о@х — линейные дифференциальные формы, для которых имеем,
в силу (12.2'),
(12.6) -Н^ + ^МхН0'
Условие для того, чтобы поле векторов с компонентами (12.5) было
стационарным, имеет вид
или
Эта система вполне интегрируема, как мы видим из (12.6). Ее решение
содержит г произвольных постоянных, поэтому имеем г стационарных
линейно независимых полей, а другие будут их линейными комбинациями
с постоянными коэффициентами.
Существование полей контравариантных векторов, являющихся
решениями систем (12.2) и (12.4), необходимо и достаточно для
существования полей параллельных контравариантных векторов.
Если г = л, то Rfiim = 0 и пространство имеет нулевую кривизну. Говорят,
что такое пространство есть пространство абсолютного параллелизма,
486
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
так как вектор Xh (m), полученный параллельным перемещением вектора
X (щ) вдоль произвольной кривой, соединяющей т0 с /я, не зависит от
этой кривой, по крайней мере локально.
Теперь следует выяснить, каким образом можно узнать, не сводятся ли
системы (12.2) и (12.4) к конечному числу различных уравнений (а затем
посмотреть, не будет ли это число меньше п).
Пусть известно, что система
<12-7) ***£,жр„....х*+1 = 0
есть следствие системы
(12.8) XhRkMm = 0 ***&«, х, ^=0.
причем каждая система до порядка N вносит по крайней мере одно новое
уравнение.
В силу выражений для коварйантных производных [обобщение (5.5) и
(5.6)] и независимости wj, системы (12.2) и (12.4) эквивалентны системам
***»-°. * -J?—0 ХК 9*...да>* "°-
Гипотеза, сделанная относительно (12.8), означает поэтому, что существуют
соотношения вида
da1...daXN+l ~ kllmXl'~ Xn+* Ыл+#' Ш±А**"Ь '" X*+1dai4...0aW
Дифференцированием и заменой в правой части производных порядка
N-\-\ их предыдущими выражениями, мы получаем, что частные производные
порядка iV-f-2 от компонент тензора кривизны выражаются линейно через
компоненты и их частные производные до порядка N, и отсюда следует, что
система
xh——ЫТ = о
да*» ... dulN+%
есть следствие системы (12.8). Продолжая рассуждение, мы видим и более
общий факт, а именно, что система
д*+Р]#
him
= 0 (р>1)
ди^ ... duN+P
есть следствие системы (12.8). Поэтому то же самое справедливо и для
системы
***«»! х, x„+p = 0 (P>D.
Таким образом мы убеждаемся, что если система (12.7) есть следствие
системы (12.8), то и остальные уравнения системы (12.4) не являются
новыми.
Для полей коварйантных векторов Yjc можно развить аналогичную
теорию. Мы скажем, что поле Y^ есть параллельное поле, если
Ук 1 X = YkS\ X» Yk^hlm = °»
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ 487
где g обозначает функцию точки. Умножением на скаляр можно тогда
получить стационарное поле Kft|X = 0. Условие, необходимое и достаточное
для того, чтобы существовало поле ковариантных параллельных векторов,
состоит в том, что системы
(12.9) JV&« = 0. *У?«»их = <>. •••
должны иметь решения, не равные тождественно нулю.
Найдем условие, при котором стационарное поле Уд было бы полем
градиента (Yk =/j ft). Формула (5.10) (при Yh j г = Y% j h = 0) дает
(12.10) У*Ты = °-
Обратно, всякое ковариантное стационарное поле, удовлетворяющее
уравнениям (12.10), есть поле стационарного градиента.
13. Разложимые пространства. Мы исследуем теперь, при каких
условиях после подходящего выбора базиса формы связности имеют следующий
вид:
(13.1) «5 = 0, <о£ = 0 (Л=1, .... л), <*% = dft
тогда как формы ©£(1<Л, &<|/г—1) выражаются при помощи форм
<*o(h*Cn—О» которые, кроме того, образуют вполне интегрируемую систему;
при этом Г^ зависят только от л—1 переменных, от которых зависят
формы <*>q. В этом случае говорят, что пространство есть произведение
пространства размерности п—1
на прямую
dm = <*%in( = dfin),
rfiw = 0.
Рассмотрим следствия из наших предположений. Формулы (13.1) дают
равенства Т%к = Г^Л = 0, затем предположение относительно со*
записывается в виде г£Л = 0(Л, & = 1, ..., /г — 1); наконец, тот факт, что система
<oJ (л < п) вполне интегрируема, эквивалентен равенствам ВХл = — В^К = 0
(X <! п), а тот факт, что <о£ есть полный дифференциал, дает равенства
*& = 0 (X, ^<п)1).
Из (7.2) и (7.3) мы имеем тогда
<m, j . Ъ-* *—*-«
Что касается координат Xh векторов iw, то мы имеем Хп = 0 (h = 1, ...
..., п—1), Хп=\. Полагая f=un, имеем для функции Д равенства
1) Можно даже, как нетрудно видеть, сделать так, чтобы все В% были
нулями.
488
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
/1Л = 0(Л = 1 п— 1), /|Л = 1, откуда /|Л-К* = 1, и равенства (13.2),
преобразованные в инвариантные тензорные равенства, принимают вид
Итак, поля А"Л и /i л стационарны.
Предположим теперь, что мы нашли контравариантное поле Xh и поле
градиента /|д, оба стационарные и такие, что
(13.3) /|Л*Л = 1-
Пусть Х%— (п — 1) независимых решений уравнения
(13.4) /|Л** = 0.
Положим А"* = -ХА и сделаем замену базиса
(13.5) I» = *i?I*.
Если У * определены так, что выполнены соотношения *)
(13.6) X»Y\ = ** К* = 8» откуда ik = K»Ift,
то мы имеем, в частности, Y™ = f.h, и уравнения связности принимают вид
(13.7)
ah=»lh = DXkbh = DX{Y*lk.
Ковариантным дифференцированием из (13.4) получаем, поскольку
ТТЛ
и так как 1Л — стационарное поле, то также о)£ = 0; наконец,
*-Mi=d*-
Jo
Выясним теперь условия, при которых формы o>q (A < п) образуют
вполне интегрируемую систему. Мы находим, что
(13.8) (>'?|*-It|i)^ = ^+1^
и нужно выразить, что В^ = — В^п = 0; это дает равенства
1) Нижние индексы в Х1к и верхние в У\ — индексы, определяющие объект,
к которым мы применяем соглашение о суммировании, тогда DX\ есть
операция, относящаяся к вектору Х\.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
489
так как ковариантным дифференцированием из (13.6) получаем
- У л | Л = А | Л = 0, поскольку А», , = Л», г = 0.
Отсюда, умножая на Х& получаем, что
Но из (13.6) следует, что
у к у V yfc у£ yV yft y/l yj yV yft
гИЛЛААпЛ1х~"~АЛ|ЛггллЛ|1 — ~~ A\>.\hAn*
откуда
Наконец, умножая на К^, имеем
Так как все В^ должны быть равны нулю, то мы должны иметь также
равенство 7^ = 0, вытекающее из (13.8), поскольку У^| h = /. lh = 0. Это
можно записать в виде
Умножением на У\,У\, (полагая далее ft' — h, l' = l) получаем
Выразим, наконец, Т^. Находим
~тлк уIX у&уХ
х« —ЛЛ|ХГ|Л'
Мы проверяем снова, что Г^ = 0 и Г^ = 0; остается написать г£Л=0
(A; k < /г), что дает
Умножая на Х$' и полагая р/ = fx, мы выводим отсюда, что
*£,х4 = о.
Отсюда следует, что равенства (13.9) разбиваются на предыдущие и на
равенства
Наконец мы должны выразить тот факт, что условия Т%г (h, k, I < п) не
зависят от /, т. е. что Г^Л = 0. Но возвращаясь к выражениям (7.2>
и используя все написанные условия, мы видим, что эти условия эквивалентны
условиям Япп = 0> что дает
490
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Умножая на X^Y\,Y\' 9 полагая далее y] = y]', % = %', \ = \' и меняя
обозначения, получаем, что
Мы имеем, таким образом, необходимые и достаточные условия для
того, чтобы пространство могло быть разложено указанным образом.
Приведем теперь некоторые соображения относительно условий, при
которых возможно представление пространства (3.1) в виде произведения двух
пространств размерностей г и п — г. Эта проблема состоит в том, чтобы
узнать, можно ли выбрать новую систему координат uh и новый базис (1^)
таким образом, чтобы матрица со£ представлялась в виде
\
(13.10)
о
о
I h u \fi>r, k^r)'
77*
Уравнения а)^ = 0(/<г), с одной стороны, и а)£ = 0(/>г), с другой
стороны, образуют вполне интегрируемые системы, поэтому возможна такая
замена базиса, что &1 (/*</*) будут зависеть, например, только от г
переменных (и1 а\ а <&\ (/ > г) -
7,г+1 ~п\ и„„Л„Л„7:А-
- только от п -
других переменных
(ur+1 ип). Наконец, о>* (Л, k < г) должны выражаться только через
(и1, ...,иг) и их дифференциалы, a o>j£ (Л, k > г) должны выражаться только
с помощью п — г других переменных (ur+1, ..., ип) и их дифференциалов.
Задавая число г и базис 1Л в форме (13.5), следует прежде всего записать,
что линейное многообразие, определенное с помощью векторов 1^ (&<>•),
инвариантно при параллельном переносе и при перемещении вдоль малого цикла,
затем нужно выразить те же условия для многообразия, определенного с
помощью векторов 1Л (h > г). Мы запишем далее, что новая матрица связности имеет
форму (13.10), преобразуя условия, относящиеся к wj в равенства, относящиеся
к B\lt Наконец, мы преобразуем условия, относящиеся к о>£, в равенства для
Т^. Среди так получающихся соотношений некоторые могут быть заменены
равенствами, в которые входят компоненты тензоров кривизны и кручения.
Если полученные таким образом уравнения совместны, что можно проверить
с помощью конечного числа операций, то пространство разлагается в
произведение пространств размерности г и пространства размерности п — г;
если же уравнения не совместны, то оно не разлагается.
Повторяя эту операцию для всех значений г</г/2, можно в конце
концов решить, является ли пространство разложимым или нет.
Эти рассмотрения не исчерпывают, однако, проблемы. Можно было бы
изучить вопрос о том, существует ли единственное (с точностью до порядка)
разложение пространства в произведение неразложимых пространств. Разло-
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
491
зкение пространств интересно, в частности, тем, что теория многообразий,
погруженных в одно из перемножаемых пространств, проводится так же,
как если бы многообразие было просто погружено в это пространство.
14. Эквиаффинная связность. В предыдущем изложении мы положили
в основу перенесения общую аффинную группу. Мы поставим теперь себе
задачу изучить теорию перенесения геометрий линейного касательного
пространства, в котором введена структура более узкой группы, и прежде всего
унимодулярной (эквиаффинной) группы.
Эта последняя может быть определена прежде всего заданием в каждой
точке объема, определенного векторами 1л, скажем g(m) — (ii in)
(заменой базиса можно всегда добиться, чтобы g(m) = \).
Получив изображение кривой, мы можем вывести на ней аффинную уни-
модулярную геометрию.
Имеем
*(« + A>i) = (il «n) + S(fi, ..- <Я*. •••> «п>+....
h
g(m + dm + bm + dbm) = (ilt...,in) + %(...t diht ...) +
h
+ Ц(.... М*. ..-)+ 2(...,Ял м*' •••> +
h Л, ft
+ 2 (•••■*"* •-->+....
h
откуда с точностью до третьего порядка при обходе бесконечно малого
цикла тттт'т"тш имеем (§ 3)
g (т + dm + Ьт -\- Ь dm) — g(m +dm + bm + d Ьт) =
= 2(--- *ап-мъ ...)=2(---с*(*й),*---)==^*^8)-
h h
Предыдущее выражение дает для dg
dg = g<*l>
откуда внешним дифференцированием получаем
(14.1) d(dg) = gd«% = -g&l + g^A »? = - gQ%
(так как о^Л0*? тождественно равно нулю); но
Qn = 4 ***"&* < = yЛ^оЛ «*.
Мы получаем таким образом интерпретацию свернутого тензора кривизны
Рх = #£ха» который мы назовем тензором объемной кривизны. Если он не
равен нулю, это означает, что мы не возвращаемся, вообще говоря, к тому же
значению для объема при обходе цикла_(это соответствует факту, что
репер # (т") не совпадает с реперов п(т"). Если он равен нулю, то «>\
есть полный дифференциал, скажем, — п dyjy. Взяв тогда в качестве базиса
1Л= yih, мы имеем
492
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
откуда
4 = 4+
л^-0.
и в этой форме очевидно, что связность сохраняет объем.
Более общая задача — перенос меры объемов по правилу, зависящему
от выбора пути 1). Так как при этом играет роль только изменение g от
одной точки к другой, то мы зададим в качестве выражения для dgjg
дифференциальную линейную форму, скажем,
(14.2) ^=<о£гА = о>,
где Yft обозначает поле ковариантных векторов 2). Имеем
Величины
04.3) S^ = -YhT^ + Y^x-Yx^
являются, таким образом, компонентами антисимметричного тензора кривизны
переноса объема. Если этот тензор есть нуль, то КЛ — градиент [формула
(5.10)], и мы возвращаемся к предыдущему случаю, когда g есть функция
точки т.
15. Метрические связности. Пространства Эддингтона, Вейля
и Эйнштейна. Чтобы сделать из касательного пространства (3.1)
метрическое эвклидово пространство, нужно иметь в точке
дифференциальную квадратичную симметричную форму
(15.1) ds* = ghko>№ (gNt = gn. g=tei\gKk\±0Y>
мы будем считать ее инвариантной. Здесь ds представляет элемент
дуги кривой, когда правая часть равенства (15.1) положительна
и введено обозначение
(15.2) !»•!» = А»
(откуда следует, что скалярный квадрат вектора Xh равен ghkXhX ).
Выражения g^ представляют собой компоненты ковариантного
тензора.
Физики-теоретики исходили из очень различных принципов для
определения g^. Приведем один из наиболее сложных способов,
предложенный в основном Эддингтоном3). Полагают
dghk=Yhkkuk'
!) Говорят также, что переносится мера объема.
2) Я повторяю, что не следует видеть в записи левой части в (14.2)
ничего другого, кроме следующего факта: если рассмотреть кривую f.
идущую из т0 в mlt и выбрать в т0 значение g0 для (ix lw), то величина g%
этого объема в т1 будет определяться равенством
,-/
т
з) Eddington, The mathematical Theory of Relativity, Cambridge
University Press, 1923.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕМ СВЯЗНОСТЬ
493
где К^х — тензорное ковариантное поле третьего порядка
(симметричное по Л и k). Задав форму (15.1). в точке щ, переносят ее
в точку тх вдоль некоторой кривой у. Мы оставляем читателю
разработку теории этих связностей.
Мы разовьем другой принцип. Пусть Xh— произвольный вектор,
связанный с точкой т, I — его длина. В точке m-\-dm мы
рассмотрим вектор Xh-\-dXh, полученный параллельным перенесением
первого; это означает, что
(15.3) DXh = dXh+Xl4 = 0.
Пусть l-\-dl — его длина. Положим
(15.4) — = —- ухщ = — — 9
где Кх — заданное поле ковариантных векторов. Внешним
дифференцированием получаем
d (-у-) = — 4" 5¥ш° Л <*>о,
где 5Х1д. обозначает тензор (14.3), названный Вейлем (в том случае,
когда тензор кручения равен нулю) тензором сегментарной кривизны.
Теперь запишем, что эта связность совместима с
существованием в каждой точке формы (15.1), т. е. тензорного поля ghk для
меры длин. Мы должны иметь, поскольку DXh = 0,
d (I2) = 2ldl= DgmXhXk.
С другой стороны, (15.4) дает
2ldl = — ghkXhX4Y^i
откуда получается необходимое и достаточное условие:
(15.5) Dghk+g*k«> = 0-
Если Кх=0 (или (!) = 0), мы скажем, что метрическая
связность (15.1) совместна с аффинной связностью (3.1). Тогда мы
получаем результат
(15.50 i>*» = 0.
известный под названием леммы Риччи и выражающий тот факт,
что тензор gfth является стационарным.
Система (15.5) эквивалентна в общем случае п2(п + 1)/2
соотношениям. Если форма (15.1) и форма ш заданы, то система не
определяет полностью функций rLb число которых равно п?, Напротив,
существует одна, и только одна, связность с нулевым кручением,
494
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
являющаяся решением этой системы (тогда имеется не более п2(п-\- 1)/2
независимых функций Гл&).
Возьмем, например, u)0==du ; тогда Yhk симметричны по h и k
и (15.5) запишется в виде
* »й, + ё*Лг = -^gp- + g^Yi,
откуда
Наконец, так как форма (15.1) определяет в касательном
пространстве структуру эвклидова пространства, то мы рассмотрим и эти
тензоры как эвклидовы. Приняв правило для индексов, которое
определяет эвклидова структура, мы получаем
(15.6) 2ГЙ = /т(%— ^+^) + (8ГК1_ввК- + 8ГкД
Такое пространство называется пространством Вейля. Его
связность определяется, если сказать, что его касательное
линейное пространство наделено структурой эвклидового
пространства при помощи формы (15.1), что изменение длины сегмента,
перемещающегося параллельно самому себе, задано форму-
лой (15А) и, наконец, что его кручение равно нулю.
Уравнения (15.5) запишутся в виде
(15.5") dghk — ghXuk — gXk^ + ghk<» = 0.
Из них получаем внешним дифференцированием
или
(15.7) ghXR\^ + gkXR\^ — ghk (VV,v — Y^) = 0.
Полагая теперь
можно записать это соотношение в виде
(15.9) /Vv + ZV^O.
Эта последняя формула показывает, что тензор Fhk^, названный
Вейлем тензором кривизны направления1), антисимметричный
по [х и v, является также антисимметричным по h и k.
1) Мы интерпретируем (15.8), говоря, что первый член соответствует
изменению направления вектора при ооходе бесконечно малого цикла,
другие члены соответствуют изменению длины без изменения направления.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
495
Отметим также, что свертывание выражения (15.7) с g^* дает
2Р^ — п(Уф—У^) = 0.
Важный частный случай пространства Вейля, теория которого
была разработана значительно ранее общей теории аффинной
связности и теории пространств Вейля, — это случай, когда Кх = 0;
пространство называется тогда римановым. Приведем его точное
определение:
Римановым пространством (или пространством Римана}
называется пространство аффинной связности без кручения,
допускающее метрическую связность, совместную с аффинной
связностью.
Римановы пространства будут изучаться в следующей главе.
Римановым пространством с кручением называют пространство
аффинной связности, снабженное метрической связностью (15.1),
совместной с аффинной связностью, и не являющееся римановым
(т. е. его тензор кручения не равен тождественно нулю); основной
тензор удовлетворяет в этом случае условию Риччи (15.5').
Пространством Эйнштейна называют риманово пространство
с кручением и нулевой кривизной1). Написав (14.5"), где положено
o)£ = dtfx и Кх = 0, и полагая
Гл& = -п- Тпи -\- ffcfc,
так что f^fc симметричны по h и k, имеем2)
Ты).
откуда
Ym _ phm (dShk _ dgkl , dglh\ 1 (T;m- т;гпЛ
iki—s \ dui дип -Г duk ) — 2 V ** — l *•* h
Выражая далее при помощи соотношений (7.2) то, что тензор
кривизны равен нулю, мы получаем соотношения между тензорами ghk
и тензором кручения, необходимые и достаточные для того, чтобы
пространство было пространством Эйнштейна.
16. Проективные связности. К пространству Ап, касательному
в некоторой точке m к многообразию Vn, присоединим бесконечно
1) Такое пространство есть пространство с абсолютным
параллелизмом, что означает, что параллельное перемещение вектора или тензора из
точки т0 в точку т1 не зависит от выбора пути. Тензор кривизны при этом
равен нулю (условие необходимое и достаточное).
2) Мы условимся писать ghk7\i =Тпы, что сводится к соглашению о том,
чтобы верхний индекс занимал первое место.
496
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
удаленную проективную плоскость РЛ-1, чтобы поручить проективное
пространство Рп. Мы ставим себе задачу изучить параллельный
перенос геометрии этого пространства в линейной связности. Положим
т = т0 и рассмотрим в Рп репер (т0, т1 тп). Тогда
связность будет задана уравнениями вида
(16.1) dma = (nlm^ (а, р = 0, 1 п),
где о)£ — линейные дифференциальные формы п переменных
(в1 ип).
Вместо того чтобы нормировать реперы, здесь удобнее
пользоваться тем, что репер
(Ы0, Ы1 \тп)
совпадает с предыдущим. Этим можно воспользоваться для того,
чтобы сократить таблицу (а>£). Прежде всего заметим, что wJJ не
может содержать других главных дифференциалов, кроме тех,
которые входят в <*>£(/* >0). Действительно, пусть, например,
о>° = ... +I™dtfw,
причем dan не входит в о>£. Тогда, заменяя та через Ма = Хта9 мы
будем иметь
<16.2)<Ш0 = (и><>+^)м0 + ...=(... +T%dun-\-^)M0-\-... .
Выберем теперь X таким образом, чтобы Г?-|- у"^1Г== ®' Тогда
новое а>£ не будет больше содержать dun и dM0 будет содержать
менее п дифференциалов, что противоречит предположению, так как
геометрическая точка т0 зависит от п параметров. Отсюда следует,
что формы (d£ (h > 0) линейно независимы и что о>° есть их
линейная комбинация.
Формула (16.2) и аналогичные формулы показывают, что во
всякой точке перемещение репера зависит в действительности только
от форм 1о)Р — 8£—цгг/' так как всегда можно выбрать X таким
образом, чтобы <*>* + (я+1) —= 0 в одной точке, поскольку <о£
представима тогда в форме axdtix-\- ... -{-andun9 где ah известны,
когда точка задана1).
!) В дальнейшем греческие индексы принимают значения от 0 до л,
а латинские — от 1 до п. Мы будем применять соглашение о суммировании
как к тем, так и к другим индексам.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
497
Рассмотрим теперь изменения репера, сохраняющие точку т0;
пусть они имеют вид
(16.3) Ho = *V (det^l^O).
Они зависят от п(п-\-1) параметров; это все проективные
преобразования, оставляющие точку т0 фиксированной. Мы запишем их
в виде
(16.3') ma = alm^
и определим такие Л«, что
так что
(16.4)
Л?=1, 4 = 0, Al = — aUl
ahAz = Aha!i — bh.
Имеем, далее,
(16,5) «2 = i45[dflI + aW]f
в частности,
< = А\<> < = < + А°А-
Если а\ = Ь%, откуда А\ = ъ\, то
<»h = ®Л + aftm0» "О = "о — <VcГ»
отсюда
a a
a a
Поэтому, если мы нормировали связнэсть таким образом, что в
заданной точке о>£ = 0, мы сможем еще выбрать репер так, что <o{J = 0. Для этого
достаточно придать величинам а% подходящие значения. Можно, с другой
стороны, задать <oJ произвольно, скажем положить o>q = duh. Проективная
связность зависит, таким образом, от (л +1)2 — п — 2 = /г2 + /г — 1
произвольных линейных дифференциальных форм (слагаемое —2 появляется
в силу предыдущих рассмотрений).
Чтобы изучить проективную связность (16.1), вернемся к
рассмотрениям § 4 с аналогичными обозначениями. Обходя бесконечно
малый цикл, мы видим, что с точностью до бесконечно малых
третьего порядка
та — m* = Qi(d, Ь)т^.
498
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Но, как мы видели, бесконечно малое перемещение репера дается
формулой
Его можно характеризовать внешними формами
Из того, что было сказано в § 4, мы получаем, делая замену
типа (16.30 и используя (16.5),
ъ£а = ааА^2е,
откуда, в частности, 2] = 2* и, наконец,
Wa = a'aA*I\l
Написав, далее,
Пра = 1 R*Mu$ Д 4 ( RLjc + Rlkn = 0 ).
мы видим, что
(16.6) Шпи= alA\atavkRluv.
Свойства пространства зависят от геометрического объекта /?«л*>
называемого тензором кривизны и кручения. Понятие тензора
употребляется здесь в смысле, который мы сейчас уточним х).
*) Мы не будем углублять далее изучение проективных связностей.
Мы скажем только, что геодезической называется кривая, изображение
которой есть прямая в проективном пространстве Рп. Если точки такой
кривой реперированы с помощью одного параметра t, то она будет
определена, если записать, что три точки /я0, dm0ldt, №щ\<№ лежат на одной
прямой, скажем,
-dW^K-^ + Lm,.
Но мы имеем d2m0 = (du>Q-\- o)go)p)ma, и уравнение, выражающее равенство
коэффициентов при щ в предыдущем соотношении, содержит L, а другие
члены его не содержат и дают
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
499
17. Проективные тензоры. Вернемся к преобразованию (16.3).
Оно имеет матрицу
1 0 ... О
а?
ai a\ ... ап
(det| 4\ф0).
'п/
Это частного вида преобразование центро-аффинного
пространства Ап+ с базисом (е0, et еп), где е$— векторы, которые
мы свяжем с репером (т0, т1 тп).
Легко видеть, что множество этих преобразований образует
группу (подгруппу центро-аффинной группы размерности я+1).
Введем в пространстве векторов (е0, et ew) структуру
посредством преобразований этой группы и рассмотрим соответствующие
преобразования в дуальном пространстве (О, II, I).
Тот факт, что матрица (afy определяет наиболее общую замену
базиса в пространстве векторов (ег en), заставляет нас
различать, как выше, греческие и латинские индексы (от 0 до п и
от 1 до п). Можно развить теорию тензоров, называемых
проективными, специально связанную с этой структурой. Мы приведем
элементы этой теории.
Назовем греческим контравариантным вектором объект,
определенный /г-f-l координатами, который при замене
переменных (16.3) преобразуется по правилу
(17.1) хл = х*л;,
и латинским контравариантным вектором объект, определенный
п координатами xh, которые преобразуются по правилу
(17. Г) л;л==;А4£.
Ковариантные греческие и латинские векторы Ха и Хп
определяются аналогично равенствами
(17.2) Х.=ХЛ. Xh = Xifll
откуда следуют уравнения
Эти уравнения совпадают с уравнениями геодезических пространства
аффинной связности, определенного с помощью форм <cj и о>*.
Проблема, которую мы разрешили в § 11, сводится к проблеме
отыскания пространств, проективно наложимых на Рп. Такие пространства
называются проективно плоскими.
500
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Выпишем подробнее формулы (17.1):
l? = x° + xhAl xh = xkAhk.
Следовательно, компоненты xh контравариантного греческого
вектора определяют контравариантный латинский вектор.
Формулы (17.2) дают
^о = Х0, Хп ■= X0ah -f- Хкаь.
Следовательно, компонента индекса нуль ковариантного
греческого вектора есть инвариант. Если, кроме того, этот инвариант
есть нуль, остальные компоненты определяют ковариантный
латинский вектор.
Исходя из этого, можно определить более общие проективные
тензоры, например вида S\ (сначала пишем греческие индексы на
их местах, затем латинские). Правила преобразования компонент
легко выписать, исходя из (17.1, Г и 2). Сложение, умножение,
свертывание по двум греческим или двум латинским индексам,
одному верхнему и одному нижнему, легко определяются для
проективных тензоров.
Кроме того, из сказанного следует, что две новые операции
также приводят к тензорам:
1) замена одного верхнего греческого индекса латинским (от х*
переходим к xh). От Slh с п(п-\- I)2 компонентами переходим к 5аЛ
с л2(я+1) компонентами;
2) замена одного нижнего греческого индекса нулем (от Ха
переходим к инварианту ^0). От Slh, например, переходим к S^ = S0
с п(п-\-\) компонентами.
Формулы (16.6) показывают, что Rm— компоненты тензора,
природа которого, т. е. ковариантность или контравариантность,
определяется природой и местами индексов. С помощью
предыдущих правил мы выводим отсюда тензоры
R ahk» Rbhk у Rohk»
а затем свернутые тензоры
Rahk> Rahkt Rohk>
Тензор R0hjc называется тензором кручения. Когда он равен нулю,
это значит, что бесконечно малые циклы замыкаются с точностью
до третьего порядка1).
!) Чтобы это имело место, как нетрудно видеть, в случае, когда
«% = duh, необходимо и достаточно, чтобы Г^ = Г^ в уравнениях
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
501
Когда тензор Rank равен нулю (плоская связность), то пространство
локально, наложимо на проективное пространство Pnv).
Приведем, наконец, правила ковариантного дифференцирования.
Рассмотрим поле контравариантных греческих векторов х* и
положим
Dxa = dx« + *Po>« = х* \h o)J.
Обращаясь к предыдущим формулам и к (16.5), мы видим
непосредственно, что xa\h — компоненты некоторого тензора —
ковариантного производного тензора от х*.
Точно так же для поля ковариантных греческих векторов ха,
полагая
Dxn = dx„ — #Ra>£ = хп. ,u>£,
мы приходим к тому, что xa,h—компоненты тензора, ковариант-
ной производной от ха.
Наоборот, для поля латинских контравариантных векторов хъ,
или козариантных латинских векторов xh, полагая
Dx*=dxb + x*<»* = x*\ku*, Dxh = dxh — xk<u* = xh{ku*.
мы приходим к тому, что как величины xh\k, так и величины хщъ
не являются компонентами тензора. Тем не менее мы их назовем
ковариантными производными поля.
Для произвольного тензора можно теперь также определить
ковариантные производные. Это будут геометрические объекты,
которые в общем случае не будут тензорами, если исходный тензор
имеет латинские индексы. Так, если мы положим
DRlhk = dRlhb + Rlhk^ — R*Kk«>l — Rlik^i — /?Wk = Rlhk \ Д >
то величины Rlhk\i не будут компонентами тензора, что сильно
уменьшает интерес к их рассмотрению. Однако их удобно ввести
в тождества Бианки, выписывать которые мы предоставляем
читателю. Впрочем в этом случае рассматривают только величины вида
Rahkl = Rahk 11 ~Г~ Rakl \ h + Ralh | ft»
которые являются компонентами тензора, что следует из самих
тождеств Бианки, но можно доказать и непосредственно.
!) Этот результат, верный локально, может не быть верен в целом»
Исходя, например, из Р3 (х1, х\ хъ, х*) и отождествляя точки (х\ *2, xs, x4)
и (х\ — х\ х\ — Xs), мы получаем новое пространство, не отображающееся
в целом на Р3, так как две предыдущие точки всегда различны в Р3.
502
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Упражнения
1. В § 4 мы утверждали, что равенства (4.1) верны с точностью до
бесконечно малых третьего порядка, если dt и dz — бесконечно малые
одного и того же порядка. Проверить это утверждение.
2. Аналитические связности. Получив изображение
окрестности точки т0 на окрестности этой точки в аффинном касательном
пространстве (образом любой геодезической будет прямая линия), возьмем
в качестве репера в этом пространстве некоторый п-эдр с вершиной т0 и
выберем на его ребрах параметр v\ являющийся аффинным параметром на
геодезической, для которой это ребро является изображением. На других
геодезических аффинный параметр определяется тогда с точностью до знака
равенством
п
2 (t/ft)2 = 52 (s достаточно мало).
1
Когда связность аналитическая, она сохраняет это свойство после двух
нормализации, проведенных в § 9, и предыдущей нормализации.
Исходя из этого замечания, показать, что теоретически можно решить,
является ли некоторая связность аналитической или нет, когда ее
коэффициенты имеют частные производные достаточно высокого порядка.
3. Пусть uh(t)— некоторая кривая. Мы определим контравариантный
вектор в каждой ее точке, полагая
dt p e
При замене переменной t вектор рЛ переходит в вектор плоскости,
опрели л
деленной с помощью —гт- и рЛ. Если в точке т мы выберем такой параметр,
что dt = ds, где s обозначает аффинный параметр, связанный с
геодезической, касательной к кривой в точке т, то рЛ будет определено с
точностью до положительного множителя; мы называем рЛ первым вектором
кривизны кривой в точке т (в нормальных координатах имеем рЛ = d*vhlds*).
Каков минимальный порядок касания изображения кривой и изображения
поверхности, образованной геодезическими, проходящими через т,
касательные к которым лежат в плоскости, определенной касательной к кривой и
вектором рЛ?
4. Теорема Ферми. В пространстве с нулевым кручением вдоль
заданной кривой (которая не замкнута и изображение которой не имеет
двойных точек) можно найти такую систему координат, что все о>£ будут
нулями (Л > 0).
5. Провести вычисление тензора F^H (15.8), исходя из gj^t из Y\ и их
ковариантных производных.
6. Вложенные многообразия. В пространстве R7* введена
структура множества аффинных преобразований а\ (h, k = 1 л), где
а% = 0, для А< m, k> т (т < п) det | а£ | > 0.
Показать, что эти преобразования образуют группу.
ГЛ. I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ
503
Построить теорию тензоров в пространстве с такой структурой (взяв
за образец сказанное выше о проективных тензорах). Применить эту теорию
к теории многообразий размерности /я, погруженных в пространство
размерности п с аффинной связностью (взяв за образец теорию многообразий,
погруженных в риманово пространство, изложенную в следующей главе).
7. Двумерные римановы пространства с кручением.
Определяющие их уравнения можно всегда привести к виду
dm = 0)1^ -J- o)2|2, dii = o)|2, di2 = — o>it,
где o)i, o)2, со — линейные дифференциальные формы, зависящие от двух
переменных а и v (достаточно взять вместо ij и 12 ортогональные
единичные векторы).
Для того чтобы пространство было пространством Эйнштейна,
необходимо и достаточно, чтобы со было полным дифференциалом; в этом случае
легко получаем первый интеграл геодезических.
Пример. В метрическом эвклидовом пространстве трех измерений
на ориентированной прямой А, пересекающей фиксированную прямую D,
параллельную фиксированной плоскости Р, рассматриваем точку F, в
которой А пересекает D и прямоугольный репер т!1121з» где 1Х— нормаль
к Р, i3 лежит на D и где m==F-\-lr Пусть со* и <of—компоненты
перемещения этого репера. Полагая
1 ~~1 2 ~~2 2
со = со , со = со , со = coj,
мы определяем пространство Эйнштейна (локально эвклидово, если А
ортогональна Р). [Galvani О., Sur la realisation... (These), (Ann. Ёс. Norm.
Sap.t Paris, 1945).]
Глава II
РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1. Основные формулы. Будем исходить из определения,
данного в § 15 предыдущей главы:
Риманово пространство есть пространство аффинной
связности без кручения, допускающее метрическую связность,
совместную с аффинной связностью.
Обозначим такое пространство через Vй.
Предположим заданной основную квадратичную
дифференциальную форму
(1.0 5^44 (ghk = ёш> g = det | ghk | Ф 0),
что сводится к тому, что мы полагаем ih- ijc = gjljc> где
ghk—компоненты ковариантного тензора, называемого основным тензором.
Определим его контравариантные компоненты £**(=£**) как
решения уравнений
gmg -\-{x (h = k)
Здесь bh — его смешанные компоненты. Ранее было введено (0, II, 10)
правило обращения с индексами, основное в теории эвклидовых
тензоров, позволяющее поднять или опустить один индекс; здесь
нам будет достаточно напомнить соотношения между контравариант-
ными компонентами Xh и ковариантными компонентами Хп
вектора X касательной плоскости, связанной с некоторой точкой:
ghkX* = Xh, g*Xk = X>.
Длина |Х| этого вектора определяется соотношениями
|X|2 = khfcXft^| = k^ftKft| = |X^ft|,
скалярное произведение двух векторов X(Xh) и Y(Yh) — формулой
X • Y = g№X*X* = g"kXhXk = X"Yh = XhY\
угол между этими двумя векторами—формулой
Cos6=lxV.|Y!
ГЛ. П. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
505
и, наконец, элемент дуги кривой — соотношением
(1.2) ^2 = |^Х%*|-
В случае, когда форма (1.1) определенная, изменяя ее знак,
если это нужно, можно всегда сделать ее положительной. В
формуле (1.2) знак абсолютной величины будет тогда излишним. Если
эта форма не определенная, ее можно записать в виде суммы
квадратов линейных независимых форм, снабженных знаками -\-
или— Разность между числом положительных и числом
отрицательных квадратов есть инвариант — сигнатура формы1). Можно всегда
записать основную форму в виде
(Ы0 eft(4)2 (*,,= + 1).
взяв такие векторы базиса, что
|ij2=l, U-i*=0 (Нфк).
Так как мы рассматриваем пространство без кручения, то задание
формы (1.1), как мы видели, определяет связность. Мы напишем
вновь формулы (I, 15.6) и примем обычные обозначения. Положим
^ = dah и напишем
(1.4) {l*} = 8mlhk;tn]. откуда \hk; I] = gna{Zt}'
Эти символы (квадратные и фигурные скобки), симметричные по h
и k, называются символами Кристоффеля первого и второго рода
соответственно2). Это — не тензоры. Формулы (I, 15.6) (где Кх = 0)
можно записать в виде
(1.5) А* = Ц}-
Отметим также, что из определения ghk и правила
дифференцирования определителя следует, если обозначить через g определитель,
составленный из gnk, что
dg = gg™dghk, или || = ^*^М;
1) В этом случае | cos 81 может быть больше единицы, 0 тогда не
является действительным углом. В некоторых задачах трудности возникают
именно из факта, что основная форма не является определенной. Вообще
мы исключим такие случаи, предположив, что эта форма положительно
определенная.
2) Кристоффель ввел обозначения и < >. Однако обозначения
в тексте обычно предпочтительнее, так как они лучше согласуются с
условием относительно суммирования.
506
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
но из (1.3) вытекает, что
(1.6) %г = [«: *] + [«; АЬ
^{[«;«+[«:*]}={^+{£}=2{*},
откуда
ding
и окончательно
(1.7) dlnVgih^
к } dai \hiy
где справа по h производится суммирование.
Вернемся теперь к формулам (I, 7.2), дающим тензор кривизны.
Мы имеем
(1.8) ^т = ^{*1}-^{Ц + {11}{1кт}-{ьт}{*1}.
Здесь нужно было уточнить место верхнего индекса k, чтобы иметь
возможность применить правило обращения с индексами; мы
поставили его на второе место.
Перейдем теперь к ковариантному представлению этого тензора:
(1.9) Rjiidm — ёюДп-Хт = gk\ ^^ти { д/ \ ~~
= а^'Л/: Q-m^ *H-{i}^ V-{L}№ k]~
— j ^ ) ({km; X] + [Xm; ft]) + j Ц ([ft/; X] + [Kl; ft]) =
- afe M « - та №* *1 + {L Ykl> xl ~{it} №* xb
ИЛИ
/1 Q/ч О - ! Г ***» | **»» **« **»» 1 |
U.y ; ктт— 2 [dafcdaw-r da*aai а«*да« дФди1\ "t_
+ ^([/ш; M [ft/; X] —[«; p] [Am; X]).
Из этого выражения мы сразу выводим, что тензор Rhkxm>
антисимметричный по / и /п, антисимметричен также по Л и ft и что
RfOcim^Rimhk- Наконец, записав соотношение Бианки (I, 6.3) в ко-
вариантной форме, мы имеем следующие уравнения:
(1.10)
Rfiklm — — Rjchlm*
Rhklm = — Rhkml*
Rfiklm = Rlmhk*
Rhklm + Rhlmk ~Ь Rhmkl = 0.
ГЛ. П. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
507
Тензор Pim = Rh.im тождественно равен нулю. Действительно,
из (1.9) и (1.7) имеем
Остается только рассмотреть другой свернутый тензор второго
порядка, называемый тензором Риччи:
п in _ *i°gVg , f x laiogVi -am (П(И
^1,11; — ди^диг "МЛ/J да* ~T~duHhtf {hpfllkf*
Это выражение показывает, что этот тензор симметричен (Rja = Rih).
Его свертыванием получаем единственный инвариант
(1.12) R = Rbh = Rn = g^g^Rmm,
называемый скалярной римановой кривизной.
Рассмотрим, в частности, случай п = 2. Уравнения (1.10) показывают,
что в этом случае тензор кривизны имеет только четыре отличные от нуля
компоненты
#1212 = — #2112 = — #1221 = #2121»
и мы легко находим, что
prll = §22 12 = — ^12 22 = §11
* g' * g ' s g ■
Теперь из (1.12) следует, что
R = 2(gngn-gngn)Rtmt
откуда
0.12') J*. = *m.
Обращаясь к формулам (Ш, III, 10.9), мы видим, что #/2 = /(, где К
означает гауссову кривизну линейного элемента ds*.
Формулы (15.6) предыдущей главы, из которых мы вывели все
остальные, вытекают из леммы Риччи (I, 15.5'), которая показывает,
что тензор gm стационарен. Для него мы снова напишем
выражение
(1.13) Dghk = 0.
Именно здесь наиболее удобно ввести общие координаты а>£. Итак,
возвращаясь к (I, 15.9) — формуле, которая является
непосредственным следствием формулы (1.13), и принимая во внимание
508
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
равенство FkUm = Rmm, мы видим, что формула (1.13) сводится
к антисимметрии RjMm no h и k.
Но лемма Риччи интересна и с другой точки зрения. Прежде
всего, так как тензор g% единичный, он также стационарен. Далее*
ковариантным дифференцированием равенства
**** = *£
мы получаем
Dg™ghX = 0t
откуда умножением на gu получаем, что
DgM = 0,
т. е. что тензор gkl также стационарен; основной тензор является
стационарным независимо от формы его записи.
Это важный результат. Пусть Shia и Shk.—две (различные)
записи одного и того же тензора. Ковариантным дифференцированием
равенства
shkl.=g*shkX
мы получаем, в силу правил, приведенных в (1,5), что
Другими словами, ковариантные производные различных записей
одного и того же тензора представляют собой разные записи одного
и того же тензора. Мы можем, таким образом, говорить просто
о ковариантном производном тензоре некоторого тензора.
Наконец, можно поднять индекс дифференцирования и написать»
скажем,
°hk-• —ь °hk-\V
Это ковариантный производный тензор, записанный в контравариант-
ной форме *).
Уравнения Бианки (I, 6.2) можно записать также в виде
<1Л4) ^ЛЛХ{х | v + Rhk\>* | X + #fcfcvX 1 jx = °-
Поднимая индекс k и свертывая по k и v, мы получаем, что
^Л-Х^ | к + Rhp. J X — Rh\ | р. = °-
Свертывая по h и X, находим прежде всего, что
f?hk __ pkh __ пк
А.. fyx j к — *.. цЛ | к — *\ tx| ft»
откуда, наконец,
1) Иногда говорят: контравариантный производный тензор.
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
509
Если ввести тензор
(1-15) skn = iskhR~R\,
то это соотношение запишется в виде
(1.15') S%k = 0;
это тождество играет основную роль в теории относительности.
Замечания. Г Для поля векторов (Xh), полагая o>J = duh, имеем
дХ*
(1.16) *»|teAg+*{*},
откуда для дивергенции поля
divX=xn\h = d-^ + xi[h ) = д^+2£*У1 = * дИПх*)т
ди* \lh) дф Yg d">h Yg дФ
2° Пусть / и ср— два скалярных поля. Инварианты
Ai/= g**f{ Л/| Л, АЛ (/, ср) = g**f{ лТ| Л ,
изображающие соответственно квадрат градиента / и скалярное произведение
градиентов / и ср, называются дифференциальным параметром и смешанным
дифференциальным параметром первого порядка !).
3° Оператор Лапласа функции / определяется равенством
1 »{***»&) „
4° Пусть (Xh) и (Ул) — два вектора, отличные от нуля (| X |^=0, | Y |=£0),
претерпевающие параллельное смещение вдоль некоторой кривой С, точки
которой реперированы с помощью одного параметра U мы имеем (I, 8.1)
Используя формулу для угла между векторами, имеем
tf(cos6)_ Y dt^dt dt dt _„ s r
Угол между этими направлениями остается, таким образом, постоянным*
2. Геодезические. Экстремальное свойство* Аналитические
римановы пространства. Предположим сначала, что форма (1.1)
положительно определенная. Рассмотрим две кривые а и [3 и будем
искать, как в (II1, III, 9), среди линий, проведенных в Vn,
экстремали вариационной задачи о длине кривых, соединяющих точку а
1) Имеем, в частности, k1(uh,uk) = gl
= xrufc.
510
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
на а с точкой Ъ на [3. Вводя те же обозначения и повторяя
проведенные там рассуждения, положим
1 dm 1 / о>£ \ \(дт\ 1
* с х>=]жт ж=тжт (-£■ »»J Ктй-Л-=* <«• °> J
и получим, что
''<»)=(ж)/.-(дж)в'.-/(1а./'(,о,.
8<*
откуда для первой вариации
8ь
8L = t68b — te8a— J 8mrft(s. 0).
8<*
Ho
a(».o)=d(4)i».
8m = c»*(S)ift,
Полагая далее
получаем, что
M. = t,8b-t.8a- f gM \а/ I «$0)ds.
a
Так как формам wJ(S) можно придать значения, пропорциональные
всякой наперед заданной системе значений, то для того, чтобы
интеграл равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент
при wj(8) был равен нулю; это дает равенства
или, окончательно, так как det | gm \ Ф 0,
(2.1) °(4)=°-
Эти уравнения показывают, что вектор t перемещается параллельно
самому себе (он даже стационарен) вдоль экстремали, которая,
согласно определению (1,8), будет, таким образом, геодезической.
Наоборот, всякая геодезическая является экстремалью между
парой своих точек в рассматриваемом нами случае. Если форма (1.1)
не является определенной, то в Vn существуют кривые нулевой длины
(минимальные линии), которые, очевидно, дают минимум длины между
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
511
парой своих точек. Тем не менее мы их будем рассматривать как
геодезические линии, только если они являются такими в смысле (1,8),
т. е. если их касательная перемещается параллельно самой себе.
Вернемся к случаю геодезических, не являющихся минимальными
линиями, когда ^ = dah\ система (2.1) запишется тогда в виде
,. rf»a* , ( h\duk dui _
(Zai } ЧЗ*~г\М1Ж ds —"'
Она допускает первый интеграл
(2.2) *-££-*'•
В произвольной точке т0, где мы можем предположить и%=0у
на геодезической, определенной равенствами 1-^—] = £Л,
уравнения (2. Г) дают
(2.3) "* = ^-тЦ}одаЧ--"-
Полагая теперь %h$ — vh (геодезические координаты), имеем
(2.4) * = ,*_!{ *}в<*Н-....
Таким образом, можно, как в (I, 10), в некоторой окрестности
точки т0 (настолько малой, чтобы две различные геодезические
имели в ней самое большее одну общую точку) взять vh в качестве
новых переменных (римановы координаты). При этом
соответствующие величины и символы будут обозначены черточками.
Уравнение геодезических в этой новой системе должно допускать
в качестве интегралов v = (■ s, каковы бы ни были I , если
только |£ -\ф0. Мы должны, следовательно, в силу уравнений,
аналогичных (2.10» иметь
это показывает, что в начале координат ковариантное
дифференцирование сводится к обычному дифференцированию [формула (1.15)
и аналогичные формулы]. Отсюда мы выводим, что
(2.5) [АйГЛо = (йтЦ/Jilo = °-
и, далее, _
(%90 = Т([*/; Л1о + № *]<>) = 0.
512
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Непосредственно видно, что множество систем римановых
координат в одной точке получается из одной такой системы аффинным
преобразованием. В этом случае, как мы знаем, можно найти такую
систему, что
- f О для h Ф k,
(gM)o = [ ± j для к = кл
Такая система координат называется нормальной.
Предположим теперь, что для oy^ = dah величины g^ имеют
непрерывные частные производные в окрестности точки и% = 0 до
порядка, достаточного, чтобы обеспечить в окрестности точки т0
существование римановых координат. Если риманово
пространство Vя является аналитическим, то величины vnt определенные
формулой (2.4), аналитичны в окрестности т0 и gh1c также. Обратное
также верно, так что мы в состоянии в этом случае решить
проблему, поставленную в (I, 1).
3. Кривизна пространства в направлении площадки.
Пространства постоянной кривизны. Пусть ип—римановы координаты
в mQ. Два неколлинеарных вектора Si и ^(^ФО, S2 Ф 0)
определяют направление площадки, и поверхность
(где w1 и w2 — переменные) описывается геодезическими,
касательные к которым принадлежат плоскости, определенной этими двумя
векторами. Что касается основной формы этой поверхности, то мы
имеем
± ds'* = g'n (dw*f + 2g'12 dw* dw* + g'22 (dvtf.
причем
, диг du? ?iti
*-P " g4 ~dw^~d^~ gij ah
Греческие индексы принимают здесь значения 1 или 2; элементы,
относящиеся к указанной поверхности, обозначены штрихами. Имеем
в точке т0
И; iY0 = Wi *]&#.
S = SnS22 (#12) = (SijSkl SikSjl) *! Ч *а *2 •
Далее, из (1.9') и (2.5) следует, что
(^21а)о = ^-[П; 2IJ—^-[12; 2]; =
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
513
Отсюда получаем формулу (1.12') для гауссовой кривизны в точке т0
поверхности, описанной геодезическими, касательные к которым
лежат в плоскости, определенной векторами £? и £а (геодезической
поверхности); эту кривизну называют со времен Римана кривизной
пространства в направлении рассматриваемой площадки
(SjaSkm — ghmSkl) «i Ms «8
Когда плоскость изменяется, эта формула показывает нам, каким
образом изменяется кривизна соответствующей геодезической
поверхности. Для того чтобы эта кривизна была постоянной,
необходимо и достаточно (см. упражнение 3), чтобы существовала
константа /С, такая, что в точке mQ
(3.2) Rhklm = K(ghl8km — ghmgkl)>
в этом случае говорят, что Vй — пространство постоянной
кривизны в точке т0.
Рассмотрим пространство, имеющее постоянную кривизну в
каждой точке. Ковариантным дифференцированием из (3.2) получаем, что
RhUp | v = К\ v {ghkSkv- — ёък&ю)
(начиная отсюда, греческие индексы будут меняться от 1 до п, как
и латинские индексы). Уравнение Бианки (1.14) запишется в виде
К\ v (ghxZkv. — gh\>£k\) + K\ к (ghv-Skv — gfogkv) +
+ #I t* (gh*gk\ — gh\gkv) = 0.
Умножая на ghX и свертывая, получаем (с точностью до
множителя п — 2)
К\ v gkV- = ^1 l^fcv
Эта система влечет за собой равенства /СГ| р. = 0, каково бы ни
было [х, так как в противном случае два столбца определителя \ghii\
были бы пропорциональны и этот определитель был бы равен
нулю вопреки предположению. К есть, таким образом, константа,
и мы имеем следующую теорему, принадлежащую Шуру:
Если Романова пространство имеет постоянную кривизну
в каждой точке, то эта кривизна не меняется при изменении
точки.
Такое пространство называется римановым пространством
постоянной кривизны.
Мы покажем, что два таких пространства одной размерности,
имеющие одну и ту же кривизну К и квадратичные формы с
одинаковыми сигнатурами, эквивалентны (или изометричны).
514
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Два пространства, определенные формами
ds2 = ghkduhduk9 ds2 = ghkdlihdak (Л, k=\ п),
с переменными ah и uh, соответственно, локально изометричны
в окрестностях точек (и%) и (а#), если можно выразить ап через uh
так, что
дип дик
<3'3) ** = *»-« Л-а
(греческие индексы, как и латинские, изменяются от 1 до п).
Полагая 1н = 1г—=-, мы видим без труда, что эти равенства должны
дФ
повлечь за собой следующие равенства, которые, впрочем, являются
условиями интегрируемости системы (3.3)
/q л\ ""* ди1 1 диП i л( ди1 \
(3.4) ^_ = Шь_+<*(__).
Условия интегрируемости этой последней системы имеют вид
,о с\ 5х ди1 О1 диП .
(3.5) й^ -^ = 2Л -2=- ;
эти равенства выражают тензорные свойства тензора кривизны
и сводятся к равенствам
о р.,. -5 _D диП дик да% да7П
(*.5 ) «x,vP - Аш. ft?" "^Г -^"йГ •
Но если два пространства удовлетворяют условию (3.2) с одним
и тем же значением К* то (3.5') будет тождеством, если
уравнения (3.3) удовлетворяются. Рассмотрим теперь систему уравнений»
полученную из формул (3.3) и (3.4),
(3.6)
duh = р\ duxt
Она вполне интегрируема, так как условия интегрируемости
уравнений первой строки можно записать, используя вторую, в виде
О = (ш£р* — со*/?*) Л d& = р£Ч Л dax — wft Л dtf*.
Но, в силу симметрии символа < ., > по & и / (или в силу того,
что мы рассматриваем пространство без кручения), имеем
о)£ Л duk = 0 (а также ^ Д J^x = 0 по той же причине).
ГЛ. II. РИМАНОВЫ, ПРОСТРАНСТВА
615
Что касается условий, относящихся к уравнениям второй и
третьей строк, то они также будут удовлетворяться. Так как мы имеем
п (п -\- 1) неизвестных, связанных п(п-\- 1)/2 конечными
соотношениями, то общий интеграл системы (3.6) зависит от п (п -}- 1)/2
произвольных постоянных. Рассмотрим вопрос о действительности решений.
Допустим, что две основные формы аналитичны г) и имеют
одинаковую сигнатуру в окрестности и% и а0. Тогда уравнения
** К ~0 = *» К OrtPl
относительно р% имеют множество действительных решений,
зависящих от п (п—1)/2 действительных произвольных постоянных. Если
мы возьмем в качестве р£ значения (р%)0 решений этих уравнений,
то система (3.6) даст для ип разложения в действительные ряды по
степеням uh — я<>, сходящиеся в некоторой окрестности значений и0*
Так как при интегрировании уравнений первой строки (3.6)
вносится п аддитивных постоянных, мы видим, что общий интеграл
системы (3.6) зависит от
п(п—\) ■ „_ л(л+1)
действительных произвольных постоянных.
Наконец, чтобы система (3.6) была вполне интегрируема, нужно,
чтобы (3.5') было следствием уравнений третьей строки системы (3.6),
Мы должны, таким образом, иметь в силу симметрии g^
Rhklm = agMgim -Ь bgmgkm + Cghmgkl,
где at b, с — инварианты. Меняя местами / и т и вычитая почленно
получающееся уравнение из написанного, имеем в силу (1.10)
Rhklm = К (ghigkm — ghmgjcl) [К = ^ (* ~ с)] »
т. е. пространство должно иметь постоянную кривизну.
Из проведенных рассмотрений можно вывести ряд интересных
результатов.
Рассмотрим систему (3.6), записанную для общего случая двух
произвольных пространств. Она, вообще говоря, не имеет никакого
интеграла; но если она допускает некоторые интегралы, то они зависят
самое большее от п(п-\-\)/2 постоянных, и в этом последнем случае
речь идет о двух пространствах постоянной кривизны, основные
формы которых имеют одинаковую сигнатуру. Говорят, и мы
*) Результат § 2 (в конце его) позволяет, однако, ослабить эту
гипотезу, так как можно доказать, что пространства постоянной кривизны, для
которых gtfc допускают частные производные до достаточно высокого
порядка, являются аналитическими.
516
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
вернемся к этому позднее, что пространство допускает группу
перемещений, если уравнения (3.6), где
£**(«* ~"n)=ghk(a1 яЛ).
имеют решения, зависящие от параметровг). Полученные выше
результаты могут быть выражены следующим образом: если
риманово пространство Vй допускает группу перемещений, то она
зависит не более чем от я(я-|-1)/2 параметров, причем этот
максимум достигается только в случае пространств постоянной
кривизны 2).
Вот другое важное свойство пространств постоянной кривизны:
риманово пространство, геодезически наложимое на пространство Лп
(или на проективно плоское пространство), есть пространство,
геодезически наложимое на эвклидово пространство с основной
формой
S •*(***)> (**=±D.
а
и, как мы видели (I, 11), для того, чтобы это имело место,
необходимо и достаточно, чтобы
Wlim = 0 для п>2.
Если воспользоваться выражением этого тензора и принять во
внимание, что Phk = 0 и что тензор R^ симметричен, то это условие
можно записать в виде
Wjam = Rk.im-\- -^тгу (§1 Rkm — bmRkl) = О,
или
(3• 7) Rhklm = — Rkhlm = п j (ghlRkm — ghrnRkl)»
Для h = k компоненты тензора Rhkim равны нулю; в этом случае
написанное равенство показывает, что
Rjil Rhm _ Rmk /^ j\^ ( R\
Shi Sum 8mk \ n)'
где К обозначает инвариант. Подставляя эти выражения в (3.7),
мы приходим к формуле (3.2) для R^am, таким образом,
пространство должно быть пространством постоянной кривизны.
1) Действительно, множество этих преобразований образует группу.
2) См. (упражнение 4) каноническую форму основной формы этих
пространств.
ГЛ. П. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
517
Обратно, если пространство имеет постоянную кривизну, то
из (3.2) мы находим свертыванием, что
Rhl = gkmRmim = Kgkm (ghighm — gnmgTd) = (* — 1) Kghh
и равенство (3.7) действительно удовлетворяется х).
4. Тензор конформной кривизны. Если между двумя римановыми
пространствами Vn и Vn установлено точечное соответствие, сохраняющее
углы, образуемые парами направлений линейного касательного
пространства, то это соответствие называется конформным. Если точки этих двух
пространств реперированы при помощи одних и тех же координат ф, то,
как показывают формулы § 1, их основные формы должны быть
пропорциональны, т. е. между gKk(u\ ип) и ^(а1,...» ип) мы должны иметь
соотношения
(4.1) i^ = eWghk
(или gtfc = — №grik> но можно ^всегда свести этот случай к предыдущему,
заменяя g^ на — g^).
Чтобы начать решение этой задачи, мы предположим для
определенности, что речь идет об аналитических пространствах и что /г>2 (так как
если п = 2, легко показать, что можно всегда привести основную форму
к виду X [(dui)* ± (du*)* ] ).
Из (4.1) выводим, что _
ghk = g—ЗДоОД,
далее,
\hh\ I] = еЧ [hk; 1} + ghl<\> p h + gkl<\> j h - ghkt?, p
{L}={L}+blb^*+bl*bn-^Mbrn-
Из этих равенств, полагая
получаем, что
(4.2) e-WRMm =ш Rmm + ghJm + gKflm - gMitkm - gkJM +
и, поднимая индекс л,
(4-2') R%lm = R\lm + b^kl - ^km +
+ Shi (ghl%m ~ gkJ?ii) + (blSkl ~ W M-
Свертыванием получаем, что
(4.3) RM = RM - (л - 2) фы - gM [Д2ф + (л - 2) Д^],
(4.4) R = ^RM = e-W [R — 2 (n — 1) Д2ф — (л — 1) (n — 2) Д^].
откуда
ём* = 8ы I*" 2 <"- !> ^ ~ <"- !> С1"2)A*
1) Для п = 2 пространство должно иметь постоянную гауссову кривизну
(упражнение 5).
518
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Исключение A2^ дает равенство
(4.5) фы = __±^(^ы_Лы) +
+ 2(в_1)(В-2) (^-*«Л) —2 *«*•*•
Заменяя в (4.2') «рад их выражениями (4.5), мы видим, что Д^ исчезает,
и полагая
(4.6) C\lm = R\lm-^(b?Rkm-blRkl +
+ Zkrrft-l ~" fia^o») — (Л__ !)(„__ 2) (5™^« ~~ ^ ^ftm)»
должны иметь
°.Ит~ ^-klm*
Тензор C\im называется тензором конформной кривизны (Г. Вейль); мы
имеем, таким образом, следующий результат:
Для того чтобы два римановых пространства находились в
конформном соответствии, необходимо, чтобы их тензоры конформной
кривизны были равны в соответствующих точках.
Однако это условие не является достаточным. Например, можно
показать при помощи довольно длинных вычислений, что тензор конформной
кривизны тождественно равен нулю для п = 3.
Из (4.6) легко заключить, что
Сы = С\1П = 0.
Для того чтобы некоторое пространство могло быть конформно
отображено на плоское пространство (Rhjclm = 0)t необходимо, прежде всего,
чтобы С\гт = 0; далее, так как ~Rhi = 0, то с помощью (4.5) получаем, что
(4-7) 4-1« = Ф1»Ф,* + ^[лы--2^Т5-]-у^ЫА1<'.
Умножая на ghl и свертывая, мы получаем вновь соотношение (4.4) с ^ = 0
Условия интегрируемости имеют вид
Ф | kirn~~ Ф ) krnl = Ф | hR.kmV
Учитывая, что конформный тензор равен нулю, можно переписать их в виде
(4-8) *юд*М|<-*«,»+2(п-1)(*«*1*-*»в|'>д0-
Принимая во внимание равенство (1.14'), мы имеем, однако, тождественно
(4.9) *?« = <>.
Но из (4.6) выводим, что
^•Ыя|р + С.Ьтр\i+C.kpllm=— (п — 2) \1 ^ктр + Ьт&кр1 +
+ #*«» + Shm^ip + gkpRhn,i + *w«?jJ-
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
519
Принимая во внимание тождество (4.9) и Сы = 0, мы выводим отсюда
свертыванием, что
С-klm | h — ~~ п 2 ^к1м'
Поэтому равенство (4.8) есть следствие равенства нулю С^к1тлля п>3,
и можно высказать следующий результат (Схоутен1)):
Для того чтобы существовало конформное отображение риманова
пространства размерности п > 2 на плоское пространство, необходимо
и достаточно, чтобы тензор R^i был тождественно равен нулю для
п = 3 и чтобы тензор конформной кривизны С^Мт был тождественно
равен нулю для п > 3.
Примерами пространств, которые можно отобразить конформно на
плоское пространство, являются пространства постоянной кривизны. Это
теперь легко проверить, но это также видно из канонической формы их
линейного элемента (упражнение 4).
Б. Движения. Будем искать условия для того, чтобы риманово
пространство Vn допускало г-параметрическую группу
преобразований, сохраняющую основную дифференциальную форму. Мы
будем говорить тогда, что пространство допускает
г-параметрическую группу движений. Мы видели, что г^п(п-\-1)/2, причем
знак равенства имеет место только для пространства постоянной
кривизны.
Изучим случай группы движений, зависящих от одного
параметра t. Если тождественное преобразование соответствует
значению £=0, то уравнения этой группы могут быть записаны в виде
<te* = <*»* +ДЛ-8< + ... = du^+^-duklt-\- ...
дик
Для того чтобы форма
<? — gbk dun dak
была инвариантна относительно инфинитезимального
преобразования с компонентами 5Л Ы для Ф и dff1 Ы для duh, необходимо, чтобы
\ = ^l^d^duk + gmd^duk + g^d^d^ =
1) Schouten, Ober die konforme .... Math. Z., U (1921), 58—88.
520
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
ИЛИ
a£ftft , _ д? , _ &
(5Л) Р-^+л^+Л^-
Коэффициент при £* равен нулю, и вводя ковариантные
компоненты вектора £*, окончательно имеем
(5Л0 5л,* + ?*|л = 0.
Эта система уравнений получена Киллингом; она эквивалентна
системе
(6.1") Dthdu*=0
и, вообще говоря, не имеет решений.
В случае, когда она имеет решение, рассмотрим траектории
группы, т. е. кривые, определенные равенствами
_ duh _
-^г
и возьмем новую систему координат vh, так что vh = 0 для А > 1
вдоль каждой из этих кривых. Если Е'л обозначают новые
компоненты вектора инфинитезимального преобразования, имеем $'л = 0
для А> 1. Полагая далее
«! = ]■-*£, 5* = t* (А>1),
мы получаем новые компоненты %п вектора инфинитезимального
преобразования: S1 = 1, £л = 0. (А > 1). Уравнения (5.1) примут вид
(5.2) -^- = 0.
ди1
Коэффициенты основной формы не зависят от иг; она остается
инвариантной при* преобразованиях группы
Hf^ = ttl + t9 u'h=uh (A>1).
Итак, существование поля векторов, удовлетворяющих
уравнениям Киллинга, есть необходимое и достаточное условие %для
того, чтобы риманово пространство допускало однопараметри-
ческую группу движений. Это утверждение легко обобщить на
случай, Когда имеется г линейно независимых полей векторов,
удовлетворяющих уравнениям Киллинга. Пространство допускает тогда
/•-параметрическую группу движений.
ГЛ, II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
521
Вдоль некоторой геодезической имеем, с другой стороны,
dah \ ы duh
ЧГ9
°(«.т)-«»-
и поэтому, если ?л удовлетворяют уравнениям Киллинга, т. е. если
пространство допускает однопараметрическую группу движений, то
уравнения геодезических допускают интеграл
(5.3) ^Чг = const,
и наоборот, если уравнения геодезических допускают линейный
первый интеграл, то пространство допускает однопараметрическую
группу движений. Более общо:
Если раманово пространство допускает г'Параметрическую
группу движений, то уравнения геодезических допускают г ли-
нейных и независимых первых интегралов, и наоборот.
Среди однопараметрических групп мы отличаем группу
переносов, траектории которой — геодезические. Если положить
duh
ds
= Kth,
то из равенства D\--i—1—0 следует, что
откуда, умножая на duk и принимая во внимание (5. Г'),
получаем, что
Предположим, что речь идет о семействе геодезических
ненулевой длины, тогда отсюда следует, что К должно быть
постоянным, и мы получаем, что
£/*^* = l~=const
К*
Вместе с (5. Г') это опять условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы пространство допускало группу движений, траектории
которой являются не минимальными геодезическими (уравнения (5. Г'),
будучи линейными и однородными, допускают вместе с lh
решение С$Л, где С — произвольная постоянная; поэтому можно взять
К=1).
Имеем тогда D£h=0 вдоль всякой траектории, но это
равенство не обязательно является тождеством; тем не менее из (5.3)
522
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
следует, что вектор £Л образует постоянный угол со всякой
геодезической.
Обратно, если поле единичных векторов таково, что
векторы поля в каждой точке произвольной геодезической
образуют постоянный угол с ее касательной, то мы имеем дело
с полем векторов, касательных к траекториям некоторого
переноса.
Частный случай, когда тождественно D;? = 0, есть случай, когда
поле является полем параллельных векторов. Как мы видели, с
помощью замены переменных можно свести дело к случаю, когда £*= 1,
£Ь = 0 (Л> 1), gn = el (= ± 1), и вышестоящее условие запишется
тогда в виде
1ДН'
откуда, умножая, на glh, получаем, что
дик ди1 №
Переставляя k и I и складывая, мы приходим вновь к системе
и остается
д8хк _ а*и
ди* ~ дФ '
так что можно найти такую функцию ф (и2 ип), что
_ j*L
glh ~ дФ *
Основная форма может быть тогда написана в виде
9 = h(du^e1d^ + g^duxdu^ — e1(d^f (Х, ц>1).
Полагая
^1 = и1-|-е1ф> а» = а* (h > 1),
мы ее перепишем в виде
ср = £l (duif + g^ d* de (X, p > 1),
где g\„ зависит только от их (Х> 1). Пространство является
произведением риманова пространства п—1 измерений на прямую.
Геодезические их = const (Х> 1) ортогональны поверхностям и1 = const.
ГЛ. П. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
523
6. Разложимые пространства. Пусть задано поле симметричных
тензоров второго порядка ау в пространстве Vn с положительно определенной
основной формой. Рассмотрим уравнение относительно р
(6.1) detla^-p^^O.
Хорошо известная теорема алгебры утверждает, что его корни
действительны. Пусть р — один из корней. Тогда всякое отличное от нуля
решение X* системы
(6.2) (ау — pgij) X* = 0 [или (ац — pgtj) Х^ = О в силу симметрии]
составлено из контравариантных компонент некоторого вектора. Число
линейно независимых решений этой системы равно порядку кратности г
корня р и можно определить г линейно независимых решений XL^ (р = 1, ..., г)
так, что
и нормировать векторы Х^ условием
Пусть р и р'—два различных корня уравнения (6.1), X' и X'* — два
решения соответствующих систем (6.2). Имеем
О = (о,, - fgij) W - (о,, - 9'gij) \*k* = (р - р') вф*к*>
откуда
gij\W = 0,
так что векторы Х< и Х'^ ортогональны.
Окончательно мы можем сказать, что существует п действительных
решений рЛ системы (6.1), различных или совпадающих, и п единичных векторов Х^
(h— индекс, определяющий объект), образующих ортогональный /г-эдр в
линейном касательном пространстве, причем
С6-3) 1 , ,< (0 для A^ft,
X,
х< - /°
[ Hh)Ak)~- \х для hsBke
Из равенств второй строки следует, как это хорошо известно,
поскольку речь идет об ортогональном /г-эдре,
(6.4) 2 \h) гХ(Л) = *£ 2 Х(Л)Х(Л) = £*'» 2 \h)i\h)j = fy-
h h h
Умножением на Цм первой строки системы (6.3) получаем
(б 3, (aijlU4h)=WitfvHh)=?*>
откуда ковариантным дифференцированием, принимая во внимание (6.3),
находим, что
= D V(ft)Xffc) + Pft (Vw DlU + giA»)mth)) =
524
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
и окончательно
rfpA=DV(A-
Теперь предположим, что в Vn существует стационарное поле
симметричных тензоров второго порядка, отличных от произведения gy на
константу, и что ац — такое поле (Daij = 0). Тогда
rfPft = 0,
т. е. уравнение (6.1) имеет постоянные корни, не все равные между собой.
Пусть рх [= рЛ(Л< т < п)] — корень кратности т уравнения (6.1).
Рассмотрим систему уравнений
(6.5) ^(«<Л = ^)-^г = 0 (А = «+1 п).
Имеем
X(h)X(k) (/) — X(k)X(h) (/) - \\hrfaF ~ \к) -far) -fas •
С другой стороны, в силу симметрии фигурных скобок Кристофеля по
их нижним индексам
W ~~дйг (*) duX ~~ AW L <*>I r I tr J 4*>J A(*> L w Ir ~~ I *r J NwJ ~~
__ \Г Л8 \Г Л8
— \h)\A) | г Л(*) V) I r*
Но из (6.4) и ковариантным дифференцированием второй системы (6.3)
получаем, что
Чг) \\i) 11 rX(fc)X(fc) ~" \i) 11 гХ(Л)Х(Л)) = ~~ X(i) | rX(i) *V)X(&) +
+ X(i) I rX(i) Л(Л)Х(Л) = ~~ Х(Л) I rX(ifc) + X(fc) I rX(fc)>
откуда
n
(6.6) X(h)X(k) (/) — X(k)X(h) if) = 2 (X(i) < I rX(k)X(fc)~~ X(*) t I rX(fc)X(fc)) *i ^#
i=l
Но ковариантное дифференцирование системы (6.3') дает после
преобразований индексов
0 = *%> i | r\k) J + «%) i\k) Я г =
= a^X(7») p | oKuNvAu) i\v) r\k)j + a%3\k) p | Jiufi{v)\u) j\v) r\h) i =
= ?k\h) p 1 aX(ft)X(i>) V) r + PfcX(fc) P I °X(*0X0>)X(*) r —
= (pfc ~" ?a) V).3 laXffc)X(v)X(D) Г-
Умножая эти равенства на ХГ^ и складывая, получаем
(Р* — Рл) V) р I ЛР*)Х(Ь e a
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
525
Следовательно, если РЛ=£рА> то после изменения обозначений будем иметь
X(i)HrX(V(rft) = 0 для Pi^Pfc"
X(i)HrX(Vw = 0 для pi^Pft-
В уравнении (б.б) выражение в скобках в правой части равно, таким
образом, нулю для / <; т. Поэтому достаточно изменять / от т +1 до /г, и (6\6)
выражает тогда тот факт, что система (6.5) вполне интегрируема. Она до-
лускает поэтому т независимых решений, скажем, Д (Д = 1 т).
Пусть теперь рт = ... = рт+р— Другой корень кратности р; мы
заключаем таким же образом, что система
Х№,# = 0 (*-!..
т; т + р + \ п)
вполне интегрируема и допускает р независимых интегралов
/, (1 = т + \ т + р).
Заметим теперь, что
даг да8
- 2 w> -^г ^г - 2 (2 х» ^*)(? хш ^г)=
= 0,
так как для заданного I по крайней мере одна из скобок в правой части
равна нулю. Это равенство показывает, что всякая поверхность Д = const
ортогональна всякой поверхности /г = const*
Поступая таким же образом с другими корнями уравнения (6.1), мы
получаем п однопараметрических семейств поверхностей Д = const; эти
семейства образуют системы, соответствующие разным корням уравнения (6.1),
причем две поверхности, принадлежащие разным системам, являются
ортогональными.
Возьмем эти поверхности в качестве координатных, полагая
к-
-ъ\
Пусть g.j—новые коэффициенты основной формы. Они равны нулю в
случае, когда поверхности иг = const и uf = const принадлежат разным
системам (мы скажем тогда, что индексы I n j принадлежат разным системам),
Если __допустить, что уравнение (6.1) имеет три различных корня, то
матрица gij будет иметь вид
о 1 о
| о о
| о | о
\
/
526
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Рассматривая систему (6.5), мы видим также, что Х^ = 0, если h и / при-
надлежат различным системам, и то же самое верно для Xfow.
Чтобы упростить запись, предположим, что эта замена уже сделана (это
сводится к тому, что мы снимаем черточки и полагаем uh = uh).
Тогда уравнения (6.3') дают
%,==2РлХ(Л)1Х(Л)г
h
Но в правой части только члены с индексами, принадлежащими одной и
той же системе, могут быть отличны от нуля, и мы имеем я.. = 0, если /и;
не принадлежат одной системе, я.. = Рл£$--» если I и J принадлежат системе,
определенной корнем рл.
Запишем тогда, что
Da.j = da-1 — <J[ari — ^asi = 0.
Для двух индексов, не принадлежащих одной и той же системе, эти
равенства запишутся в силу предыдущих замечаний в виде
<grj + ^si = ^
и окончательно, если только / и / не принадлежат одной и той же системе
[АЛ = 0 ( = [*/, Л).
Для I и j, принадлежащих одной и той же системе, запишем тогда
dg{j «(ДО.Л + [A l])du*.
Из вышестоящих равенств следует, что коэффициент при duk равен нулю,
если k не принадлежит той же системе, что I и j. Это значит, что g^»
зависит только от переменных системы, которой он принадлежит, и мы можем
высказать следующий результат:
Для того чтобы в римановом пространстве V*1 с положительно
определенной основной формой <р существовало поле симметричных
стационарных тензоров а.> второго порядка, отличных от произведения
основного тензора на константу, необходимо и достаточно, чтобы
основная форма ср могла быть записана в виде
Л=1
где
ih,^=i \л-1 /
откуда мы выводим, что
это дает
ГЛ. И. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
527
#. . —функции переменных формы <рд. Тогда а{, задается формулой
a.jdu1 du> = 2p»V
h
где рЛ—константы, из которых по крайней мере две различны (Эйзен-
харт *)). Этот результат можно выразить еще так:
Для того чтобы риманово пространство с положительно
определенной основной формой было разложимо, необходимо и достаточно,
чтобы существовало стационарное поле симметричных тензоров второго
порядка, отличное от произведения основного тензора на константу.
Проблема, состоящая в том, чтобы выяснить, существует ли такое поле,
представляет собой проблему алгебры, аналогичную той, которая была
решена выше (I; 12, петит). Случай, когда основная форма не определенная,,
труднее.
7. Теория кривых. Рассмотрим в пространстве с положительно
определенной формой 2) спрямляемую кривую С: т (s), определенную
при помощи п функций uh(s), имеющих непрерывные производные
по крайней мере до порядка п, где 5 обозначает криволинейную
абсциссу на кривой, предполагаемой ориентированной. Положим
дт -£
где ^ —единичный вектор ориентированной касательной.
Прежде чем идти дальше, заметим, что если с каждой точкой
на С связано два вектора S и т), таких, что 5 • т) = const, то
(7.1) SD73 -f; 7]D£ =0 (в частности \D% = 0, если £ = т)).
Рассмотрим теперь вектор Dbjds. Это инвариант, связанный
с каждой точкой на С, и он ортогонален 5 г. Он тождественно
равен нулю только в том случае, если С есть геодезическая. В
общем случае мы можем написать
где £2 —единичный вектор, направление которого выбрано таким
образом, что скаляр pv который является инвариантом точки на С,
положителен.
1) Eisenhart, Symmetric tensors ..., Trans. Amer. Math. Soc, 25 (1923),
297—306.
2) Если основная форма пространства не является положительно
определенной, то развиваемая здесь теория сохраняется с небольшими
видоизменениями при условии, что последовательные векторы с^ не имеют
нулевой длины; в общем случае рЛ берут со знаком CT/J (=±1).
528
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим, далее, вектор Dtyds, инвириантный вдоль С. Он
ортогонален вектору ?2 в силу (7.1), и мы имеем также
Kl ds — * ds — 9v
Итак, можно в общем случае написать
D%
ds
= — Р& + Р2 *3»
где £3 —единичный вектор, ортогональный £х и Ц, и где р2 —
положительный скаляр (исключая кривые, для которых р2 = 0
в каждой точке, и, в общем случае, быть может, отдельные
изолированные точки на С).
Вообще, определив векторы ^ %р так, что
ft f ° ДЛЯ h =t* k* tu и 1 о ч
( 1 ДЛЯ П = k,
будем иметь для р < л
^^=-Х#-=-Тр(-р3_л + рЛ+1)=
J 0 для # < р — 1,
_I — Рр_! для Я=Р— 1.
и можно тогда написать
D"^ _ . Т , .t Г"? т_(0 для Л<р+1\
*л \ 1 для h =p -J- 1/'
Pp-l S-1 ' Рр >+1 V ;
rfS rp-l р-1 ' гр р+1 \ р+1
где р > 0, если р -\- 1 < /г. Если р = я — 1, то выбрав вектор %п так,
чтобы я-эдр f ^ £nJ имел положительную ориентацию, мы уже
не можем выбирать знак величины р , которая поэтому может
быть положительной или отрицательной. Мы видим, далее, что
ds r«-i «-!•
Формулы, которые мы установили, являются обобщениями
формул Френе для кривых, лежащих в римановых пространствах; их
ГЛ. И. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
529
можно записать в виде
(7.2)
dm f-
4f — ^'
I*lL — _ T -i_ t
ds — РЛ-1Ч-1 i Рлчь+i»
( (Л=1 n\ Ро = рЛ = 0; рл>0, 1<Л</1 — 2).
В случае, когда одно из рд есть тождественный нуль (1 ^.h^n — 2),
мы не будем выписывать уравнения с индексом выше h (речь
идет о специальных кривых пространства). Если РЛ = 0 только
в некоторых отдельных точках на С, то мы рассматриваем эти
точки как особые.
8. Вложенные многообразия. Пусть Vm—многообразие,
вложенное в риманово пространство Vn с положительно определенной
формой (1 < т < /г)1). В каждой точке многообразия Vm линейное
касательное пространство будет подпространством линейного
касательного пространства для Vn, в котором введена структура
эвклидова пространства, индуцирующая, следовательно, эвклидову
структуру в пространстве, касательном к Vm. Но это только один из
аспектов изучения Vm в его отношении к Vn.
Положим т-\-\к=п. Репер, связанный с точкой многообразия Vm,
зададим следующим образом: векторы 1л(/г=1 т) будут
определять линейное многообразие, касательное к Vm, и будут
ортогональны векторам ia(a=l, ..., [л), которые будут определять
линейное многообразие, нормальное к Vmt так что 1л«1а = 0.
Мы напишем уравнения (I, 3.1) в виде
(8.1)
Многообразие Vм определяется, скажем, уравнениями ит+а = 0
(а== 1 [х); мы допустим тогда, что система ш^ == 0 эквивалентна
системе dam+a = 0, т. е. что она вполне интегрируема. Так как g^ = О,
то основная форма многообразия Vn записывается, с другой
1) Формулировку условий, достаточных для того, чтобы наша теория
была справедлива в случае, когда основная форма не положительно
определенная, мы оставляем читателю.
530
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
стороны, в виде
(8.2) ^ = №Х + ^о)0Ч (Л. ft=l m; *f p =
1 V).
Положим теперь ш0в = 0 в (8.1) и для упрощения записи
сохраним прежние обозначения; имеем
(8.10
О
О
Будем по-прежнему обозначать через g^ и g^ значения
коэффициентов правой части (8.2) при аш+а = 0. Заметим также, что
новые формы о)£ таковы, что система о)£ = 0 вполне интегрируема,
как эквивалентная системе dah = 0.
Теперь допустимые преобразования на множестве векторов ih
и \а суть аффинные преобразования, действующие либо только
на ihi либо только на ia. Их матрицы имеют форму
(8.3)
Итак, надо ожидать, что тензоры многообразия Vm будут
получаться из тензорных произведений центро-аффинных пространств
размерностей т и [х и дуальных к ним.
Эти тензоры будут иметь два сорта индексов: латинские,
изменяющиеся от 1 до /71, и греческие, изменяющиеся от 1 до [х.
Так как матрица, обратная матрице (8.3), имеет аналогичный вид,
то мы определим ghk и g*& равенствами
****« = tf. g*gft=>i
и будем употреблять величины ghk, ghk для опускания или поднятия
латинского индекса и величины ga^t g*P для поднятия или опускания
греческого индекса.
Чтобы указать числа ковариантных и контравариантных индексов
некоторого тензора, можно было бы условиться сначала писать их
для латинских индексов, затем для греческих индексов. Однако
будет удобнее пользоваться другой записью: первая колонка будет
относиться к латинским индексам, вторая— к греческим. Так, g^ —
/0 0\ /0 0\
компоненты тензора (2 0Ь ga? — компоненты тензора (Q 2J.
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
531
Операции сложения, умножения, свертывания легко обобщаются,
так же как и определения областей их применимости.
Напишем преобразование (8.3) в виде
и положим
<о? = Г* ш* <оЛ = Г*а>£.
Л hk 0 a oft О
Мы видим непосредственно, что величины Тък и величины Га&
представляют собой соответственно компоненты тензоров ( 2 п ) и
( . . ), которые мы назовем связывающими тензорами.
Вернемся к уравнениям (8.Г) и продифференцируем их внешним
образом. Мы получим
d\dm) = (da)* — a>J Л <*?) ifc — < Л ^ *«>
d (di*) = [(da>* — <*£ Л о)?) - «£ Л <\*] ** +
+ [dcoj — coP Д а>| — < Л «>f] ie.
d (dia) = [da£ - шЭ Л »p* - <o» Л со*] 1» +
+ [(^-a)TAa>P)-o)*A4JiV
С внутренней точки зрения, многообразие Vм само является
римановым пространством, связность которого задана при помощи
форм о>£ и о)£. Имеем поэтому, так как кручение равно нулю,
dw*— a>* Д о>^ = 0.
Записав, с другой стороны, что пространство Vn имеет нулевое
кручение, используя (8.1) и полагая, далее, wj = 0 и иш+а = 0, мы
получаем отсюда, поскольку система а>* = 0 вполне интегрируема,
записывая эти равенства подробно, выводим отсюда, что
Г&& = IW
Итак, первый связывающий тензор симметричен по своим латинским
индексам.
532
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Положим, далее,
(8.5)
7 Л к г\к
-®ъ/\ Щ = — иъ*
da*
а л к лк
du>« — о)? л wp — шл Л <*>? = — 2v
dco* —а)Рд ^ —Ч Л «J = — 2*.
rf<oJ — сот А соЭ = — QP.
со*Да)| = ПР.
Сделав замену переменных (8.4) и обозначая черточками выражения,
в которые переходят предыдущие выражения, легко получаем
Напишем теперь
(8.5')
2* =±RhkuvuZ Л «& П£ = \phkMVо)0" Л »&
0,1=\ m\uv<$ д <»S; п? = 1 лгЛ. «о Л ">?;
введенные здесь величины антисимметричны по а и #. Тогда
Я* -компоненты тензора (1°\-(тен30Р внутреннейЧ
Л#ш> у \30/ V кривизны /
(15)
(5J)
5Р —
a?)
(Sinai)
тензор внешне- \
внутренней кривизны/
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
533
Тензоры Ph.uv и Sa-uv выражаются через связывающие тензоры.
Действительно, из их выражений мы находим
*Л- UV == А fct** av A hv -*• «М»
5Р -pfc -рР т»Л рР
Перейдем теперь к ковариантному дифференцированию.
Применяя лемму Риччи к элементу ds2 пространства Vn, полагая о>* = О
и принимая во внимание (8.2), получаем, что
(8.6)
Уравнения второй строки дают соотношение между двумя
связывающими тензорами (один из них сводится к другому). Посмотрим, что
можно вывести из других соотношений.
Рассмотрим на многообразии Vм поле векторов
Имеем
dx=(dxh+4хк) \h+Лйв.
Полагая, как и раньше,
DXh = dXh + v>\Xk = Xh |fca> J,
мы видим, что Xh\k—компоненты тензора L А— внутренней tco-
вариантной производной вектора Хъ. Имеем, далее,
ляк а \rk-rja I
и величины X ^\i—компоненты тензора ( - 0] — внешней кова-
риантной производной вектора Xh.
Рассматривая теперь ковариантное представление Xh поля
векторов, мы приходим к тому, что нужно положить
®ХН = dXh iu\Xk = Xh | Л0>о, XkU)a = Л^Га^О»
где Xh\k — компоненты тензора (ол) — внутренней ковариантной
производной вектора Xh\ XkT*i — компоненты тензора ( i i ) —
внешней ковариантной производной вектора Xh.
534
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим также внешний вектор X* (х = Xaia). Полагая
таким же образом
DXa = dX*-\-X*t*l = Ха |Л4. Xau>ha = ХаТ%«>1
мы видим, что Xa\h — компоненты тензора ( . 0| — внешней ко-
вариантной производной вектора Ха, тогда как Х*Та1, компоненты
тензора I )— внутренней ковариантной производной вектора X .
Мы имеем аналогичные результаты, исходя из ковариантного
поля Ха и полагаем
DXa = dXa — X^i = Ха, Ло)о, ХаыЪ = XJfnpl-
Исходя из этого, можно определить различные тензоры,
связанные с дифференциалом тензора вида Thl. Мы определим только
его собственную ко вариантную производную: это будет тензор,
получающийся, если взять внутренние производные по латинским
индексам, и внешние производные по греческим индексам; таким
образом,
DTg = dTli - «iTg + «М - ш!7$ + «?7U = Tg, Л
где Т*$г—компоненты этого тензора.
Формулы (8.6) показывают, в частности, что собственные кова-
риантные производные двух тензоров gm и g^ равны нулю. Мы
получаем тогда тот же результат, что и в § 1, а именно, что
тензоры, являющиеся собственными ковариантными производными
заданного поля тензоров, записанные в различных видах, являются
разными формами одного и того же тензора.
Собственная ковариантная производная обладает, таким образом,
свойствами, изложенными в § 1. Можно также определить
собственные ковариантные производные высших порядков.
Смешанные ковариантные производные, относящиеся к разным
представлениям одного и того же поля тензоров, также имеют
свойство быть представлениями одного и того же тензора. Для
того чтобы это установить, нужно в общем случае использовать
совокупность всех соотношений (8.6).
В частности, легко получаем, что
°Пг Л К = ~ ^^ DT% A"l = - Qh*-
откуда, в силу (8.5'),
ЩьШ = r£fc \l Thl | Л, А/а . kl = ГаА 11 ^al | k >
ГЛ. И. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
535
что позволяет вычислить два вышестоящих тензора, исходя из
собственных ковариантных производных связывающих тензоров.
Из соотношений (8.5) и (8.5') мы получим посредством
внешнего дифференцирования тождества, аналогичные тождествам Бианки,
которые называют уравнениями Гаусса — Кодацци. Мы их не
будем выписывать, так как они нам почти нигде не понадобятся.
Предыдущую теорию можно распространить на случай, когда
ставится задача изучения многообразия Vp, погруженного в
многообразие Vm(p </я), которое в свою очередь погружено в Vn\ при
этом можно изучать его внутренние свойства, его свойства
вложения в Vm и его внешние свойства в Vn. Матрица допустимых
преобразований будет аналогична матрице (8.3), но единственными
членами, отличными от нуля, будут члены, которые расположены
в трех квадратах со сторонами /?, т—/?, п — т, симметричных
относительно главной диагонали, которая является также их
главной диагональю. В тензорах, которые придется ввести, нужно
будет различать три сорта индексов вместо двух.
Ясно, что можно было бы двигаться еще дальше в этом
направлении, рассматривая Vq, такое, что Vqc=Vpc=Vmc=Vnt и т. д.
Мы не будем заниматься этими обобщениями и удовольствуемся
тем, что изложим некоторые результаты, относящиеся к кривым,
проведенным на Vm(p—l).
Имеем, возвращаясь к обозначениям § 7,
dm __^о. Г ,\* \*—А
D$_\ d (*\ , < 4], .14., *
~Ж — 1~1Г\~Ж1ЧгЖ ds J ^-r ds ds К — РхЪ-
Положим
(*'7) [ж\ж)'^жж}^=^9^^^ жж^=^^^
где i2,g и ^2, e — единичные векторы, ортогональные друг другу,
г Р\,д и Pi, е — положительные скаляры [для п > 3; для п = Ъ
берем %2 е такой, чтобы триэдр iv %2,д> ^2 е был правым, как
в (II, IV,' 5)].
Тогда
-> •> +■
Pi, д*2,д +Pi, 9^2,6 = ?&•
Пусть теперь ср — угол, образуемый £2 с ^2, е» имеем
(8.8) Pi,« == Pi sin cp, pbe = PiCoscp.
536
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
phg есть первая геодезическая кривизна кривой, т. е. первая
кривизна кривой, когда мы рассматриваем ее как погруженную только
в Vm, не принимая в расчет того факта, что само V™ погружено
в ^Л- Рье есть первая внешняя (или нормальная) кривизна. Она
одна и та же для двух касающихся кривых (обобщение теоремы
Менье); она будет первой кривизной в многообразии Vn геодезической
линии многообразия Vm, имеющей направление касательной к этим
двум кривым.
Действительно, из второго уравнения (8.7) мы выводим, что
(».У) (Pi, еГ — ^i •
Числитель этого выражения называется второй основной формой1)
многообразия Vm, первой формой которого является
^^кодифференцированием второго уравнения (8.7) мы получаем
d •> <*>? со?. иГ
(8.Ю) _(р1)Ле) = -£_£-^ + ( ),„
что приводит нас к введению третьей основной формы
дифференциалов (степени 6):
_ i a h I S к
£\,7о)Ли).«> а)Ла)Го)0.
Дифференцированием касательного вектора правой части (8.10) мы
получаем таким же образом вектор, разлагающийся на касательный
вектор и нормальный вектор. На этот раз это внешний вектор,
компоненты которого по \а содержат только первые производные
переменных по s, так что квадрат длины этого вектора есть
дифференциальная форма восьмой степени, которую легко написать,
образованная с помощью ga^t и т. д.: основные дифференциальные
формы образуются поочередно с помощью gm и ga$. Может случиться,
однако, что относительные кривизны, введенные нами, будут иметь
положительный знак, соответствующие формы станут точными
квадратами, и будет удобно ввести один из их квадратных корней.
Так, когда т = п—1, а принимает только значение 1, и выбрав
->-
за ia единичный вектор, мы полагаем £2>e = ia и получаем
h a
__ "оЧ
Р2'е— ds* '
!) Направления, вдоль которых каждая вторая основная форма в
некоторой точке обращается в нуль, если они существуют, даются уравнениями
cojco^ = 0 (a= l,..., fj.) и называются асимптотическими направлениями
многообразия Vm.
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
537
В этом случае удобнее рассматривать форму ю£ю£ только второго
порядка, что мы и сделали в (II, IV).
Возвращаясь к (8.7) и (8.8), мы видим, что если кривая на Vw
есть геодезическая пространства (рх = 0), то она является также и
геодезической многообразия Vm. Если мы хотим, чтобы, наоборот,
каждая геодезическая на Vm была геодезической и для Vn,
необходимо, чтобы из равенства рь^ = 0 следовало равенство Р! = 0, т. е.
чтобы рЬе = 0.
Эта последняя величина зависит только от направления
касательной, поэтому необходимо, чтобы вторая основная форма была
тождественным нулем, откуда следует, что компоненты вектора £2, е
должны быть тождественными нулями, т. е. мы должны иметь
(8.11) <s>Uh = T*hk44 = 0 (а=1 tx),
или, поскольку Thk симметричны по h и к:
1л* = 0 (а=1 ц; К k=l m).
Когда это имеет место, многообразие называется вполне
геодезическим.
Если Vn задано, то, образуя предыдущую систему, для m^2t
исходя из линейного элемента ds2 многообразия УЛ, мы видим
без труда, что в общем случае она решения не имеет. Другими
словами, в общем случае в римановом пространстве не существует
вполне геодезического многообразия.
Упражнения
1. Вычислить А/ в случае, когда ds* имеет вид
ds* = ^ {Hkdu*)\
Решение. Находим
Af _ 1 д (Н1...Нк.1Нк+1...Нп df\
/_~ H±...Hn ди* \ Нк диъу
2. В пространстве, определенном линейным элементом ds* = (du1)* -f
+ (du*)* + (rftt3)2 — (du±)\ линии нулевой длины даются интегралами
и1 = Г R cos в cos ср ds, и* = Г R cos 8 sin cp dst
Ф = Г R sin 0 ds, u*= f Rdst
где R, 0 и ср — произвольные функции s. Они являются геодезическими
только в том случае, если R, 0 и ср — константы.
538
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
3. Если задан тензор ашт» то Для того, чтобы мы имели
при любых векторах 6^ и £*» необходимо и достаточно, чтобы
аЬШт + alkhm + ahmlk + ^Imhk = О-
Если этот тензор удовлетворяет, кроме того, тем же условиям
симметрии (1.10), что Rjikim, то он равен нулю.
4. Каноническая форма ds* пространства постоянной
кривизны. Мы исходим из формы
1
Используя (1.9) и выражая тот факт, что кривизна равна /С, находим, что
Отсюда следует прежде всего, что U = U± + ... + Uni где £/& —
функция одного только uh. Далее, U'hth = U'^k = 2а, где а обозначает константу.
Отсюда
Uh = Bh[a{ub)* + 2bhu* + ch]
(здесь нет суммирования по /г), где bjh и ch обозначают новые постоянные.
Замена переменных позволяет, далее, свести дело к случаю, когда bh = 0.
Тогда мы получаем, что К = 4а ^ ehch — 4#с. Новая замена параметров ah
на cuh дает, наконец, форму
5. Проективно плоские римановы пространства
размерности 2. Необходимо, чтобы удовлетворялись уравнения (I, 11.10).
В данном случае они запишутся в виде
Rhk 11 == &Ы | ft» или R?k \l = R?l\k>
откуда с помощью свертывания получаем, что
р ph ph
К\ г — Кь \\ — кл\ь-
Но /?^ ( л =/?и в силу (1.14), поэтому Rl = 0.-
Пространство должно поэтому иметь постоянную гауссову кривизну.
Обратно, если R постоянно, то из соотношения R/2 = Ri^lg — К выводим,
4X0 Rhk = K£hk и' далее' Rhk\i = °-
6. Вычислить тензор кривизны, а также Rhk и R для линейного
элемента ds* Шварцшильда:
~ О"""1?) (rfal)2~~(ttl) (rf"2)2~(ttl sln tt2 rftt3)2 + (l ~~ "ж)(rfa4)2*
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
539
7. Пространства Эйнштейна. Они определяются равенством
Rfib = — g^. Эти соотношения являются тождествами для п = 2. Для п > 2
из них следует, что R постоянно (Герглотц).
[Указание. Применяется (1.14).] Всякое пространство постоянной
кривизны есть пространство Эйнштейна, и всякое пространство Эйнштейна,
наложимое конформно на плоское пространство, есть пространство
постоянной кривизны (Схоутен и Стройк).
8. Пусть gx gn — единичные векторы, образующие ортогональный
л-эдр в точке V71, Кь, — кривизна пространства в направлении fat gfe). Имеем
[применяя (3.1)]
->• п ..->-. +.
ер (gx) = 2 Kh = — RifiiH [(*i)2 = е» ^i — компоненты вектора gj.
2
Величина р fa) называется средней кривизной пространства в
направлении gL (Риччи).
Направления, по которым р fa) достигает экстремума (главные
направления Риччи), даются равенствами
где р определено уравнением det | R.* + р£.. | = 0.
Они неопределенны в каждой точке, когда пространство есть
пространство Эйнштейна.
9. Мы называем главными направлениями (или направлениями линий
кривизны) в точке многообразия Vn~1d Vn направления, вдоль которых рЬе
достигает экстремума; они определяются формулой (обобщение формулы
Олинда Родрига)
р dm + dia = 0
(мы взяли 1i« | = 1; а принимает только значение 1).
Соответствующие значения р определяются из уравнения
О) det 1 Г»А — Р^дл | = 0.
Непосредственно обобщается определение линий кривизны.
1° В общем случае главные направления различны и попарно
ортогональны. Пусть gi, ..., gw_i—определяющие их единичные векторы. (Можно
допустить, что л-эдр gj gn-i» *cc имеет положительную ориентацию.) Пусть,
далее, 8Л — угол некоторого направления g с g^, p и рЛ—значения р1е вдоль
направлений g и g^ соответственно. Имеем
Л-1
P = 2pfccos2efc
1
(обобщение формулы Эйлера).
Если в пространстве Vй существует п-ортогональная система, т. е.
совокупность п однопараметрических семейств многообразий Vn~1t
пересекающихся взаимно под прямым углом, то можно обобщить теорему Дюпена.
540
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
2° Точка называется омбилической, или точкой округления, если в ней
главные направления неопределенны:
Kk = 98hk (рчЬО).
(При р = 0 точка называется точкой уплощения, в ней асимптотические
направления также неопределенны.)
Допустим, что Vя содержит бесчисленное множество
многообразий Vn~x, которые можно принять за поверхности ип = const; предположим,
что все их точки омбилические и выберем их ортогональные траектории
за координатные линии переменного и11. Имеем
ds* = gmduhйФ + a*(dun)* (h,k = \ /г—1; a* = gnn = gaa)
Отсюда для заданного ип получаем
следовательно,
Ш* = -?a-
Итак, отношение двух g^ не зависит от ип, и можно написать
ds2 = b2ghk duh duk + a2 (dun)2,
где ghk зависят только от и1 нЛ-1 и где а и Ь — произвольные
функции. Это условие также достаточно. Ортогональные траектории определяют
конформное соответствие между поверхностями ип = const.
3° При р = 0 речь идет о семействе Vn~l вполне геодезических; в этом
случае Ь должно быть постоянной (которую можно предположить равной 1).
Их ортогональные траектории определяют изометрическое соответствие
двух из них между собой.
10. Пусть Vw_1—многообразие, погруженное в плоское
пространство Vn. Возвращаясь к уравнениям (8.5) и (8.5') (а принимает только
значения 1, garx = 1), выражаем тот факт, что Vй имеет нулевую кривизну;
это дает
О* + П* = 0, Q*h = 0, Q* = 0,
и эти условия будут также достаточными. Применяя (8.6), мы находим,
что они сводятся к условиям
(1) Rhklm == ГЫГЛт ~~ ThmTkl> ГЛ& 11 ~~ Thl \ k = °-
Если матрица (Г£Л) имеет самое меньшее ранг 3, то соотношения (1)
определяют Г£& с точностью до знака. Действительно, мы можем выбрать в одной
точке координаты и обозначения таким образом, что
( = 0 для пфк,\
ЩфО для *.*} (*.* = *. 2.3).
ГЛ. II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
541
Пусть теперь Г£Л — другое решение системы (1). Алгебраические
дополнения А^ и Д^—элементов Г^ и Т%к в определителях
r = <*et|r?U|, F=detlF^| (A, ft = 1,2,3)
равны в силу (1). Но мы знаем, что
det|Abft| = r*, det|4fc| = F"2>
следовательно, Г = ± Г. Более того, так как адгебраическое дополнение
элемента Д^ в det | Д^ | есть Т\к • Г, то мы имеем
Пк=±Ч* (А,* = 1,2,3).
Из равенств
тТа тТа "^а р"ос т>о. -рос -ра -рос
1 hhl kl ~~ lhkL hl — lhhlkl~lhklhi
мы выводим сначала, полагая h, k = 1, 2, 3, что
Г«=±Г*1 (/=1,2 л).
Полагая, далее, h = 1, 2, 3, мы выводим отсюда, что
Чь=±Пк (А.* = 1.2 л).
Случай, когда матрица Т\к имеет ранг < 3, мы имеем, если по крайней
мере п — 2 корня уравнения (1) из упражнения 9 равны нулю. Итак:
Для п > 3 многообразие Vn~l, погруженное в плоское пространство
размерности /г, неизгибаемо, если оно допускает более двух главных
кривизн, отличных от нуля.
Замечание. Приведенные результаты показывают, что риманово
пространство Vn~x не может, вообще говоря, быть погружено в плоское
пространство п измерений. Жанэ доказал, что его, напротив, можно всегда
погрузить локально в плоское пространство п (п—1)/2 измерений (Ann. Soc.
Polonaise de Math. 5, 1926).
11. Сферы эвклидова пространства Е11 являются единственными
многообразия п — 1 измерений постоянной кривизны.
542
ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
W. В 1 a s с h к е, Differentialgeometrie (3 тома), Springer, Berlin 1930.
Имеется русский перевод 1-го тома: В. Бляшке, Элементарная
дифференциальная геометрия, ОНТИ, М. — Л., 1935.
G. В о и 1 i g a n d, Les Principes de PAnalyse geometrique (2 тома), Vuibert
Paris, 1949.
E. С a r t a n, Introduction a la geometrie projective differentielle des surfaces,
Gauthier-Villars, Paris, 1931.
La theorie des groupes finis et la geometrie differentielle traitees
par la methode du repere mobile, Gathier-Villars, Paris, 1937.
A. Duschek und W. Mayer, Lehrbuch der Differentialgeometrie (2 тома)
Teubner, Leipzig und Berlin, 1930.
L. P. E i s e n h a r t, Riemannian Geometry (2-е издание), Princeton
University Press, Princeton, 1949. Имеется русский перевод: Л. П. Э й з е н-
х а р т, Риманова геометрия, ИЛ, М., 1948.
Non Riemannian Geometry, Coloq. American Math. Soc, New York, 1927.
G. F u b i n i et E. С е с h, Geometria proiettiva differenziale (2 тома),
Zanichelli, 1927.
V. Hlavaty, Differentialgeometrie, Noordhoff, 1930.
Differential Liniengeometrie, Noordhoff, 1945.
G. Julia, Cours de Geometrie infinitesimale (2-издание), Gauther-Villars»
Paris, 1954.
E. P. Lane, Projective differential Geometry of curves and surfaces,
University of Chicago Press, Chicago, 1931.
J. A. Schouten und D. J. S t r u i k, Einfuhrung in die neueren Methoden
der Differentialgeometrie, Noordhoff, 1935. Имеется русский перевод:
И. А. Схоутен*и Д. Дж. Стройк, Введение в новые методы
дифференциальной геометрии, т. 1, ГОНТИ, М. —Л., 1939; т. 2, ИЛ, М.
1948.
Е. Thomas, The differential invariants of generalized spaces, Cambridge,
University Press, Cambridge, 1934.
G. Vranceanu, Les espaces non holonomes, Gauthier-Villars, Paris
1937;
Lecons de Geometrie differentielle, Bucarest, 1945.
ЛИТЕРАТУРА,
добавленная редактором перевода!)
В. Бляшке, Введение в дифференциальную геометрию, перевод с
немецкого, Гостехиздат, М., 1957.
Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств, перевод с французского,
ОНТИ, М.—Л., 1936.
Э. К а р т а н, Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и
обобщенные пространства, перевод с французского, ГТТИ, М.— Л.,
1933.
!) В этот список включены руководства, имеющиеся на русском языке,
в которых излагается материал, связанный с изложенным в этой книге. -
Прим. ред.
ЛИТЕРАТУРА
543
B. Ф. Каган, Основы теории поверхностей (2 тома), Гостехиздат, М.— Л.
1947, 1948.
А. П. Н орден, Теория поверхностей, Гостехиздат, М., 1956.
А. П. Н о р д е н, Пространства аффинной связности, Гостехиздат, М.— Л.,
1950.
П. К. Р а ш е в с к и й, Введение в риманову геометрию и тензорный анализ,
ОНТИ, М.—Л., 1936.
C. П. Фиников, Теория поверхностей, ГТТИ, М.— Л., 1934.
С. П. Фиников, Проективно-дифференциальная геометрия ОНТИ, М., 1937.
С. П. Фиников, Метод внешних форм Картана, Гостехиздат, М.— Л., 1948.
С. П. Фиников, Теория конгруэнции, Гостехиздат, М.— Л., 1950.
П. А. Ш и р о к о в и А. П. Ш и р о к о в, Аффинная дифференциальная
геометрия, Физматгиз, М., 1959.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Александров П. С. 23
Альфан (Halphen G.) 171, 441
Ампер (Ampere) 216
Аппель (Appell) 374
Белырами (Beltrami E.) 272, 275, 509
Бертран (Bertrand I.) 242, 243, 390
Бианки (Bianchi L.) 299, 356, 472, 506
Бляшке (Blaschke W.) 426, 430,431,542
Бомпиани (Bompiani E.) 172
Бонне (Bonnet О.) 292, 315, 329, 345
Булиган (Bouligand G.) 135, 137, 315,
Валирон (Valiron G.) 149
Вейерштрасс (Weierstrafi К.) 322
Вейль (Weyl H.) 86, 482, 493, 518
Вейнгартен (Weingarten I.) 248
Вессио (Vessiot E.) 239
Вильчинский (Wilczynski E. I.) 454
Винтнер (Wintner A.) 264
Вранчеану (Vranceanu G.) 542
Гальвани (Galvani О.) 503
Гамильтон (Hamilton W. R.) 356
Гартман (Hartmann P.) 264
Гаусс (Gauss К. F.) 245, 338, 535
Герглотц (Herglotz) 539
Главатый (Hlavaty V.) 542
Годо (Godeaux L.) 15
Грассман (Grafimann H.) 68
Дарбу (Darboux G.) 343, 411, 452
Демулен (Demoulin A.) 431
Дюпен (Dupin С.) 317, 332, 345, 539
Дюшек (Duschek A.) 542
Жане (Janet M.) 541
Жюлиа (Julia G.) 206, 542
Иоахимсталь (Ioachimstal) 331, 340
Каган В. Ф. 542
Картан (Cartan E.) 73, 105, 123, 266,
358, 459, 542
Кёнигс (Koenigs) 205, 314
Киллинг (Killing W.) 520
Клеро (Clairaut) 300
Кодацци (Codazzi D.) 245, 337, 535
Корн (Кот А.) 264
Кристофель (Christoffel E. В.) 283,
505
Кэли (Cayley A.) 420, 424
Лагерр (Laguerre E.) 261
Ламберт (Lambert J. H.) 298
Лане (Lane E. Р.) 542
Лаплас (Laplace P.) 509, 537
Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) 289
Лежандр (Legendre) 216
Ли (Lie S.) 32, 95, 102, 106, 130, 214,
336, 412, 422, 452, 454
Лиувилль (Liouville J.) 245, 253, 336
Лихтенштейн (Lichtenstein L.) 264
Майер (Mayer W.) 542
Малюс (Malus E.) 206
Мангейм (Mannheim A.) 356
Машке (Maschke) 424
Менье (Meusnier M. Ch.) 315, 317, 345
Меркатор (Mercator-Kremer G.) 298
Мирге (Mirguet I.) 174
Монж (Mong G.) 339, 441
Норден А. П. 542
Паук (Раис С.) 150
Плюккер (Plucker I.) 68, 347
Пуанкаре (Poincare H.) 90
Пфафф (Pfaff I. F.) 91
Радон (Radon H.) 430
Рашевский П. К. 542
Рибокур (Ribaucour A.) 362
Риккати (Riccati I.) 310, 339
Риман (Riemann В.) 495, 504, 511, 513
Риччи (Ricci-Curbastro G.) 2Э6, 493,
507 539
Родриг (Rodrig О.) 320, 422, 539
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
545
Сере (Serret I. A.) 219
Стоилов (Stollow) 15
Стройк (Struik D. J.) 539, 542
Схоутен (Schouten I. A.) 519, 539, 542
Томас (Thomas E.) 542
Тренсон (Transon) 431
Урысон П. С. 137
Фавар (Favard I.) 24, 137
Ферми (Fermi E.) 502
Фиников С. П. 542
Френе (Frenet F.) 116, 219
Фробениус (Frobenius G.) 91
Фубини (Fubini G.) 457, 542
Хантье (Haantjes) 51
Хопф (Hopf H.) 23
Чех (Cech E.) 542
Шварцшильд (Schwarzschild) 538
Шоке (Choquet G.) 150, 174
Шур (Schur E.) 513
Эдингтон (Eddington A. S.) 492
Эйзенхарт (Eisenhart L. Р.) 527, 542
Эйлер (Euler L.) 233, 320
Эйнштейн (Einstein A.) 62, 495, 503,
539
Якоби (Jacob! С. G. J.) 129
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы группы 28
Абсолютный параллелизм 485, 495
Абсцисса криволинейная 220
Автоморфизм групп 29
— топологических групп 31
Алгебра внешняя 71
Альфана плоскость 171
Ампера преобразование 216
Анализ тензорный 80
Аналитическая геометрия 36
— точка 43
Аналитические многообразия 26, 141
— связности 502
Ангармоническое отношение 46, 443
Антиподэра 216
Аполярности условие 427, 432
Апсоидальное преобразование 216
Асимптотическая плоскость
линейчатой поверхности 310
Асимптотические линии 309
линейчатых поверхностей 310
развертывающихся
поверхностей 309
— направления 167, 306, 452, 536
Асимптотических линий кручение 331
Ассоциированная система форм 84
Аффинная группа 41, 109
— дуга 379, 386, 387
— кривизна кривой 380, 386, 388
поверхности 395, 397
— нормаль кривой 381
поверхности 398, 430
— связность 463, 465
— теория плоских кривых 378
пространственных кривых 384
— унимодулярная геометрия 377
группа 43, НО
связность 491
— эвольвента 391
— эволюта 383
Аффинное кручение 389
— псевдорасстояние 391
Аффинные геодезические 421
— минимальные поверхности 432
— сферы 423, 432
Аффинный параметр 476
Базис аффинного пространства 53
— дуальный 55
— ортонормированный 75
Бельтрами дифференциальный
параметр первый 272, 509
второй 275
Бертрана кривые 243
Бианки тождество 473, 506
Бивекторы 67
Бинормаль кривой 221
Больцано — Вейрштрасса лемма 21
Бонне теорема 315, 345
— формула 292, 329
Бореля — Лебега лемма 19
Вейля тензор 482
Вейнгартена поверхности 248
Вектор ковариантный 43
— контравариантный 43, 54
— свободный 38
— скользящий 38
Векторное поле 273, 345, 472
— произведение 80
— пространство 53
Вес тензора 86
Видимых контуров линии 422, 424
Вильчинского директрисы 454
Винтовые линии 230
Вложенные многообразия 116, 502,
529
Внешнее произведение векторов 67
Внешние свойства поверхности 252
— формы 70
Вогнутость кривой 149
Вполне геодезические многообразия
537
Вполне интегрируемые системы
Пфаффа 92
Вторая основная квадратичная форма
поверхности 303
Вторичные параметры 124
Выпуклые кривые, тела, фигуры 150
Гамильтона формула 356
Гаусса уравнение 121, 245, 535
— теорема 338
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
547
Геликоиды 247, 345
Геодезическая кривизна 279, 281, 300,
315
Геодезические линии 277, 475, 498, 510
аффинные 421
— окружности 301
— свойства поверхности 252
Геодезическое кручение 315
— отображение 480, 516, 538
Геометрическая точка 43
Геометрические объекты 34
Геометрия аналитическая 36
— дифференциальная 36
Гипербола 383
Гиперболические точки поверхности
305, 318
Гиперболический параболоид 402
Гиперболоид однополостный 402
— двуполостный 400
Гиперкомплексные числа 85
Гиперплоскость 21
Гиперповерхность 254, 540
Главная нормаль кривой 221
Главные кривизны поверхности 245,
319
— линейчатые поверхности 356
— направления конгруэнции 356
поверхности 245, 319, 330, 539
— параметры 124
распределения 356
— плоскости конгруэнции 356
— радиусы аффинной кривизны 422
— центры аффинной кривизны 422
— — кривизны поверхности 321
Голономии группа 464
Голономное пространство 462
Гомеоморфизм 12, 14
— групп 29
— локальный 15
Градиент 140, 272, 472
Граничные плоскости 356
— точки 356
Грасмановы координаты 68
Грина — Стокса формула 91
Группа аффинная 41, 107
унимодулярная 43, ПО
— вращений 37
—• голономии 464
— движений 36, ПО
— параметров 103
— переносов 38
— подобий 41
— проективная 45, 107
— центро-аффинная 54
Группы 26
— абелевы 28
— дифференциальной геометрии 46
— интранзитивные 30
Группы Ли 32, 95
— непрерывные 32
— подобные 30
— топологические 31
— транзитивные 30
Дарбу касательные 411. 452
— линии 411
Двойное отношение 46
Двойственности преобразование 213
Дивергенция векторного поля 274.
472, 509
Дилатация 215
Директрисы Вильчинского 454
Дифференциальная геометрия 36
Дифференциальный параметр Бель-
трами первый 272, 509
второй 275
Дифференцируемые многообразия 25^
26
Дуальный комплекс 364
Дуга кривой аффинная 379, 386, 387
метрическая 220
проективная 436, 441, 447
— поверхности проективная 437
Дюпена индикатриса 317
— теорема 332, 539
— циклиды 345
Жане теорема о погружении 541
Замкнутые множества 12
Изгибание гиперповерхностей 541
— поверхностей 264, 266, 299
проективное 455
Изометрия поверхностей 264, 266, 299
Изоморфизм групп 28
— топологических групп 31
Изотермические координаты 264, 275
Изотропные конгруэнции 359
— коноиды 372
— .линейчатые поверхности 371
— линии 236
на поверхностях 258
Инвариантная подгруппа 29
Инвариантные дифференциальные
формы линейчатой поверхности 373
поверхности в аффинной
геометрии 424
проективной
геометрии 458
эвклидовой геометрии
249
вращения 257
второго порядка-341
вторая квадратичная
форма 303
548
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Инвариантные дифференциальные
формы поверхности первая
квадратичная форма 256
третья квадратичная
форма 327
четвертая квадратичная
форма 330
— линейные дифференциальные
формы группы 103
комплекса 363, 369
конгруэнции 354, 357
многообразия 117
— поверхности 245, 249, 45Э
Инварианты комплекса 368
— конгруэнции 357
Индикатриса Дюпена 317
Интегральное многообразие 91
Интеграл л-мерный 20
Интранзитивная группа 30
Инфинитезимальные преобразования
96
Иоахимсталя поверхности 340
— теорема 331
Каналовые поверхности 187, 340,
344
Канторово многообразие 24
Картана теорема (лемма) 73
— формула 358
Карты географические 264, 297
Касание двух кривых 152
поверхностей 168
— кривой и поверхности 162
Касания преобразования 207
однородные 217
сохраняющие
асимптотические 333
линии кривизны 336
Квадратичные дифференциальные
формы комплекса 368
конгруэнции 357
поверхности 249, 256, 303,
327, 330
Квадрика Ли 412, 452, 454
Кёнигса конгруэнции 205
— сопряженная сеть 314
Киллинга уравнение 520
Ковариантные производные 287, 297,
470, 501, 533
Кодацци формулы 121, 245, 337, 535
Коллинеации 48
Компактное пространство 18
Комплекс 22
— прямых 362
дуальный 364
линейный 366
Компоненты перемещения репера 97
Конгруэнции кривых 197
— прямых 203, 313, 353
изотропные 359
линейные 375
нормальные 359
параболические 374
цилиндрические 353
Конгруэнция Кёнигса 205
— нормалей к пространственной
кривой 233
— поверхности 325, 326, 338
— образованная изотропными
прямыми 379
Конические сечения 382, 390, 437
Коническое сечение соприкасающееся
391, 444
Коноиды 351, 373
— изотропные 372
Контингенция 135
Континуум 19
Контрариантная точка кривой 149
Конусы 406
Конформное отображение
поверхностей 259
— — римановых пространств 517
Конформной кривизны тензор 518
Конформные преобразования 334
Координаты вектора ковариантные,
контравариантные 75
— грассмановы 68
— изотермические 264, 275
— нормальные 476, 512
— плюккеровы 68, 347
— римановы 511
Кривизна в двумерном направлении
512
— геодезическая 281, 315
— кривой 219, 222
аффинная 330, 388, 386
проективная 437, 441, 447
— нормальная 315, 316, 320
— поверхности аффинная 395, 397
полная 245, 265, 266
аффинная 422
средняя 245
аффинная 422
— Риччи 539
Кривизны главные 245, 319
Кривизны линии 322, 539
— тензор 468, 474, 506
Кривые 24
— Бертрана 243
— в римановом пространстве 527
— выпуклые 150
— изотропные 243
— инвариантные относительно
группы преобразований 458
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
549
Кривые плоские, аффинная теория 378
проективная теория 435
— пространственные 218
— пространственные аффинная
теория 384
проективная теория 445
третьего порядка 389
Кристофеля символы 283, 505
Круг кривизны 223
Кручение асимптотических линий 331
аффинное 389
— кривой 220, 222
— относительное (геодезическое)
315, 330
Кручения тензор 468, 474, 500
Кэли поверхность 420, 423
Лагерра формула 261
Лапласа оператор 509, 537
Лежандра преобразование 216
Ли группы 32, 95
— квадрика 412, 422, 452, 454
— преобразование 214, 336
— теорема вторая 106
первая 102
Линейная зависимость векторов 53
— связность 464
Линейное многообразие 21, 44
Линейные дифференциальные формы
инвариантные, см. Инвариантные
линейные дифференциальные формы
— конгруэнции 375
Линейный комплекс 366
— функционал 83
— элемент 249, 256, 505
вращения 268, 275
постоянной кривизны 269
Фубини 457
Шварцшильда 538
Линейчатая геометрия 347
Линейчатые поверхности 196, 349, 402
второго порядка 409
изотропные 371
конгруэнции 355
главные 356
минимальные 374
Линии асимптотические 309
— видимых контуров 422, 424
— геодезические 277, 475, 498, 510
аффинные 421
— Дарбу 411
— изотропные 236
на поверхностях 258
— комплекса срединные 364
— кривизны 322, 539
аффинные 422
на поверхностях второго
порядка 269
Линии на поверхности 314, 420
— сжатия (стрикционные) на,
линейчатых поверхностях 350
Локально-компактное пространство 18
Локальный гомеоморфизм 15
— изоморфизм 31
Малюса теорема 206
Мангейма формула 356
Менье окружность 317
— теорема 315, 345
Метод подвижного репера 123
Метрическая связность 463, 492
Метрические пространства 16
Минимальные (изотропные) линии 236
— поверхности 321, 341, 362
аффинные 432
линейчатые 374
Многообразие 23
— интегральное 91
— канторово 24
— линейное 21, 44
— со связностью 461
Многообразия аналитические 26, 141
— вполне геодезические 537
— дифференцируемые 25
— погруженные (вложенные) ПО, 116,
133, 502, 529
Множества замкнутые и открытые 12
Монжа резные поверхности 339
Моногенные функции 275
Мультивекторы 67
Наложимость 123, 266
— проективная 455
Натуральные уравнения кривой 227
Неголономное пространство 462
Неголономный объект 462
Непрерывность равномерная 19
Непрерывные группы 32
— функции 13
Нормаль геодезическая 221
— главная 279
— кривой аффинная 381
проективная 442
— поверхности аффинная 398, 430
Нормальная кривизна 315
— плоскость кривой 222
— система координат 476, 512
Нормальные конгруэнции 359
— сечения 316
Нормальный делитель 29
Область 19
Объекты геометрические 34
— неголономные 462
Огибающие окружностей 181
— плоских кривых 176
550
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Огибающие плоскостей 186, 191, 454
— поверхностей 183, 187
— пространственных кривых 192
— прямых 181, 444
— сфер 187, 191
Окрестность 12
Окружность Менье 161, 223
— соприкасающаяся 317
Омбиликальный луч конгруэнции 359
Омбилические точки 246, 540
Ориентация 35
Основные дифференциальные формы
Фубини 458
— квадратичные формы вложенного
многообразия 536
линейчатой поверхности 373
поверхности, см.
Инвариантные дифференциальные формы
поверхности
второго порядка 341
Особые точки 142
Отделимое (хаусдорфово)
пространство 17
Открытые множества 12
Относительная топология 13
Относительное (геодезическое)
кручение 315, 330
Отношение двойное
(ангармоническое) 46, 443
— простое 42
Отображение геодезическое 480, 516
— конформное 259, 517
Парабола 382, 386
— соприкасающаяся 381
Параболическая конгруэнция 374
— точка поверхности 307, 318
Параболический цилиндр 407
Параболоид гиперболический 402
— эллиптический 399
Параллелизм абсолютный 485, 495
Параллельные поверхности 192, 216
Параллельный перенос 474
Параметр аффинный 476
— вращения комплекса 3634
— распределения конгруэнции 351,
373
Параметризация 132
Параметры главные и вторичные 124
Паратингенция 135
Первая основная квадратичная
форма 256
Плотность пучка лучей 375
Плюккеровы координаты 68, 347
Поверхностей теория аффинная 393
проективная 448
Поверхности Вейнгартена 248
— вращения 247, 257, ЗОЭ, 327
Поверхности второго порядка 341
398, 431
линейчатые 401
соприкасающиеся 410
— изометричные плоскости 270,
295
—инвариантные относительно
группы преобразований 246, 414
— каналовые 187, 344
— линейчатые 196, 349
— минимальные 321, 341, 362
— переноса 313, 322, 417
— развертывающиеся 187, 196, 270,
299, 308, 327, 402
— центров кривизны 324
Поверхность 24
— в £4 254
— Кэли 420, 423
Погруженные многообразия 110, 116,
120, 133, 502, 52Э
обыкновенные 118
полусингулярные 118
Подвижного репера метод 123
Подвижной репер 32
Подгруппа инвариантная 29
Подгруппы 28
Подобные группы 30
Подэра 216
Полная кривизна линейчатой
поверхности 373
поверхности 245, 265, 266
аффинная 422
Полное пространство 18
Полоса касания 207
Полярная поверхность 234
— прямая 233
Порядок касания 152, 155, 162
— тривиальности 134
Постоянной кривизны поверхности
269
пространства 513, 538
Предельные точки 12
Преобразование Ампера 216
— апсоидальное 216
— двойственности 213
— Лежандра 216
— Ли 214, 336
Преобразования аффинные 41
— инфинитезимальные 96
— касания 207
однородные 217
сохраняющие асимптотические
333
линии кривизны 336
— конформные 334
— проективные 43, 333
Приведенное уравнение поверхности
407, 451
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
551
Приводимые пространства 487, 523
Присоединенный тензор 79
Продолжение группы преобразований
113
Проективная группа 45, 107
— дуга кривой 436, 441, 447
поверхности 457
— кривизна 437, 441, 447
— наложимость 455
— нормаль кривой 442
поверхности 454
— связность 463, 495
— эвольвента 458
Проективное пространство 45, 333
аморфное 44
Проективной кривизны тензор 482
Проективные преобразования 43, 333
— тензоры 499
Произведение векторов векторное 80
внешнее 67
скалярное 40, 75
смешанное 80
— топологическое 13
Пространство аффинное 41
— аффинной связности 465
— Вейля 492
— векторное 53
— голономное 462
— компактное 18
— локально-компактное 18
— метрическое 16
— неголономное 462
— нормальное 18
— параметров группы 32
— полное 18
— постоянной кривизны 513, 538
— проективное 45, 333
— проективной связности 463, 495
аморфное 44
— разложимое (приводимое) 487, 523
— расслоенное 460
— регулярное 18
— риманово 495, 504
с кручением 495
— связное 19
— сепарабельное 18
— со связностью 461
— топологическое 11
— хаусдорфово (отделимое) 17
— центро-аффинное 53
— эвклидово аморфное 19
метрическое 37
— Эдингтона 492
— Эйнштейна 495, 539
Прямое произведение групп 28
Псевдосфера 258
Пуанкаре теорема 90, 128
Пфаффа система уравнений 91
Равномерная непрерывность 19
Радиус кривизны кручения 222
Развертывающиеся поверхности 187,
196, 299, 308, 327, 402
— изотропные 252
—- — конгруэнции 357
Разложимые (приводимые)
пространства 487, 523
Размерность 24
Расслоенное пространство 460
Ребро возврата 196
Регулярное пространство 18
Регулярные точки 142
Резные поверхности Мониса 339
Репер 32
— подвижной 32
— Френе 116
кривой в Лз 388
£3 220
рз 437
рз 447
поверхности в Л3 393
£3 245
рз 451
— элемента группы 30
Риккати уравнение 229, 299, 310, 339
Риманова кривизна скалярная 507
Римановы координаты 511
— пространства 495, 504
двумерные 503
допускающие группу
преобразований 515, 519
постоянной кривизны 513, 538
с кручением 495
Риччи кривизна 539
— тензор 507
Родрига формула 320, 422, 539
Ротор векторного поля 472
Сверхсоприкосновения точки 161, 166
Связность 461
— аналитическая 502
— аффинная 463, 465
унимодулярная 491
— группы G 463
— линейная 464
— метрическая 463, 492
— плоская 479
— проективная 463, 495
Связные пространства 19
Связывающие тензоры 531
Сегмент /г-мерный 20
Секстактические точки 443
Сепарабельные пространства 18
Сере — Френе формулы 219
Середина образующей комплекса
363
552
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сигнатура квадратичной формы 505
Символы Кристофеля 283, 505
Симплекс 22
— топологический 22
Симплициальное разбиение 22
Система уравнений Пфаффа 91
вполне интегрируемая
Скалярное произведение векторов 40,
75, 504
Слой 460
Смешанное произведение векторов 80
Соприкасающаяся окружность 161,
223
— парабола 381
— плоскость 147, 166, 222
— поверхность 166
— сфера 166, 234
Соприкасающееся коническое
сечение 391, 444
Соприкасающиеся квадрики 410
— кривые 160
Соприкасающийся линейный комплекс
453
Сопряженная сеть 312
Кёнигса 314
Сопряженные направления 311
Спрямляющая плоскость кривой 222
Срединные линии комплекса 364
Средняя кривизна поверхности 245
— поверхность конгруэнции 355
Стационарные кривые 179
— поверхности 186
Структурные постоянные группы 105
— уравнения группы 105
Сфера 258
Сферическая индикатриса
касательных 222
Сферическое изображение
поверхности 327
Сферы аффинные 423, 432
Тензор Вейля 482
— единичный 64
— конформной кривизны 518
— кривизны 468, 474, 506
направлений 494
объемной 491
сегментарной 493
— кручения 468, 474, 499
— основной 74, 504
— присоединенный 79
— проективной кривизны 482
— Риччи 507
Тензорные емкости 87
— плотности 87
— произведения 57
Тензорный анализ 83
Тензоры 58
— антисимметричные 66,-69
— аффинные 59
— проективные 500
— связывающие 531
— симметричные 66, 67
— эвклидовы 73, 76
Топологические группы 31
— пространства 11
Топологический комплекс 22
— симплекс 22
Топологическое произведение 13
Топология относительная 13
Точки аналитические 43
— геометрические 43
— обыкновенные 133
— омбилические 246, 540
— особые 142
— поверхности гиперболические 305,
318
параболические 307, 318
эллиптические 304, 318
— регулярные 142
— сверхсоприкосновения 161, 166
— секстактические 443
— уплощения 246, 308, 540
— характеристические 176, 188
Трактрисса 258
Третья основная квадратичная форма
поверхности 327
Триортогональные системы 332, 342,
539
Уравнения поверхности приведенные
407, 451
— структуры аффинной группы 110
унимодулярной группы 110
группы 105
движений ПО
проективной группы 109
Фактор-группа 29
Ферми теорема 502
Фокальная поверхность 199
Фокальные плоскости 204, 357
Фокус 199
Формы внешние 70
дифференциальные 88
квадратичные 71
— инвариантные группы 103
комплекса 363, 369
конгруэнции 354, 357
многообразия 117
поверхности 245, 249, 450
Френе репер 116
кпивой в Л3 388
— £3 22)
предметный указатель
553
Френе репер кривой в Я2 437
рз 447
поверхности в Л3 393
£3 246
рз 451
Фробениуса теорема 92
Фубини линейный элемент 457
Функции моногенные 275
— непрерывные 13
Характеристическая кривая 184
Характеристические точки 176, 188
Хаусдорфово (отделимое)
пространство 17
Центр геодезической кривизны 281,
317
— кривизны кривой 223
Центральная плоскость линейчатой
поверхности 351
— точка луча конгруэнции 373, 355
Центров кривизны поверхности 324
Центро-аффинная группа 54
Центро-аффинное пространство 53
Центро-эвклидово пространство 73
Центры главных кривизн
поверхности 321
аффинных кривизн поверхности
422
Циклиды Дюпена 345
Цилиндр параболический 407
Цилиндры 247, 406
Четвертая основная квадратичная
форма поверхности 330
Шварцшильда линейный элемент 538
Шура теорема 513
Эвклидово пространство аморфное
метрическое 37
Эвклидовы метрики косые 87
Эвольвента кривой 236
аффинная 391
проективная 458
Эволюта кривой 234
аффинная 383
Эдингтона пространство 492
Эйлера формула 233, 320
Эйнштейна пространство 495, 539
Эквиаффинная связность 491
Элемент дуги поверхности 256, 505
аффинный 425
проективный 457
Элементы касания 207
примыкающие 207
Эллипс 383
Эллипсоид 400
Эллиптические точки поверхности
304, 318
Эллиптический параболоид 399
Ядро группы 102
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 6
Предупреждение 9
Введение 11
Глава I. Общие понятия. Основания 11
1. Предупреждение , 11
2. Топологические пространства . . . . ^ 11
3. Подпространства 13
4. Непрерывные функции 13
5. Гомеоморфизм 14
6. Метрические пространства 16
7. Полные пространства. Компактные пространства и множества 18
8. Связные пространства и множества 19
9. Эвклидово аморфное пространство 19
10. Симплексы. Комплексы 22
11. Размерность. Кривые и поверхности. Канторовы
многообразия 23
12. Дифференцируемые многообразия 25
13. Общие свойства групп 26
14. Преобразования. Группы преобразований 29
15. Топологические группы 31
16. Группы Ли 32
17. Геометрические объекты. Транзитивность и интранзитив-
ность. Ориентация 34
18. Группы Ли классических геометрий 36
19. Группа движений 36
20. Аффинная группа 41
21. Проективная группа 43
22. Группы дифференциальной геометрии 46
23. Дополнение о коллинеациях 48
Упражнения 51
Глава II. Дополнения к алгебре. Тензоры 53
1. Векторное центро-аффинное пространство Сп 53
2. Тензорные произведения центро-аффинных пространств
Тензоры 56
ОГЛАВЛЕНИЕ 555
3. Аффинные тензоры 58
4. Соглашение об обозначениях 62
5. Операции над аффинными тензорами 63
6. Симметричные и антисимметричные тензоры 65
7. Антисимметричные контравариантные тензоры.
Мультивекторы 67
8. Антисимметричные ковариантные векторы. Внешние формы 69
9. Внешние квадратичные формы. Теорема Картана 71
10. Эвклидовы тензоры 73
11. Элементарный тензорный анализ 80
Упражнения 83
Глава III. Дополнения к анализу: внешнее дифференциальное
исчисление; приложения к группам Ли и к общей теории
погруженных многообразий 88
1. Внешние дифференциальные формы 88
2. Система Пфаффа. Теорема Фробениуса 91
3. Группы Ли. Инфинитезимальные преобразования.
Относительные и абсолютные компоненты 95
4. Первая теорема Ли 99
5. Группа параметров 103
6. Уравнения структуры Эли Картана 105
7. Уравнения структуры классических групп 107
8. Элементы касания, погруженные в многообразие.
Продолжение группы преобразований ПО
9. Общая теория погруженных многообразий 116
10. Метод подвижного репера Эли Картана 123
Упражнения 128
Первая часть. Прямая инфинитезимальная геометрия 132
Глава I. Вложенные многообразия. Параметризация 132
1. Проблема параметризации. Общие соображения 132
2. Вложенные многообразия. Основной локальный инвариант.
Обыкновенные точки 133
3. Контингенция. Паратингенция 135
4. Аналитические многообразия. Регулярные точки 141
5. Элементы касания в аффинном пространстве 143
6. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся
полуплоскость кривой в пространстве Е3. Вогнутость . . . 147
Упражнения 149
Глава II. Теория касания 152
1. Предупреждение 152
2. Касание двух кривых 152
3. Касание кривой и поверхности 162
4. Касание двух поверхностей 168
Упражнения 171
556 оглавление
Глава III. Огибающие 174
1. Основные теоремы 174
2. Огибающие плоских кривых 176
3. Огибающие поверхностей, зависящих от одного параметра 183
4. Огибающие поверхностей, зависящих от двух параметров 187
5. Огибающие пространственных кривых, зависящих от одного
параметра 192
6. Конгруэнции кривых 197
Упражнения 205
Глава IV. Преобразования касания 207
1. Примыкающие элементы касания 207
2. Преобразования касания 208
3. Примеры 213
Упражнения 216
Вторая часть. Классические геометрии 218
Первый раздел. Эвклидова геометрия 218
Глава I. Теория пространственных кривых 218
1. Введение 218
2. Формулы Серре — Френе 219
3. Триэдр Френе 220
4. Кривизна и кручение 222
5. Положение кривой в окрестности точки по отношению
к триэдру Серре — Френе 226
6. Определение кривой ее натуральными уравнениями .... 227
7. Винтовые линии 230
8. Конгруэнция нормалей к пространственной кривой .... 233
9. Замечания 236
10. Изотропные кривые (или минимальные линии) ...... 236
Упражнения 240
Глава II. Теория поверхностей, триэдр Френе 244
1. Триэдр Френе 244
2. Особые случаи 246
3. Поверхности, инвариантные относительно группы движений 246
4. Теоремы равенства и существования 247
5. Вычисление инвариантных линейных форм и кривизн . . . 249
6. Геодезические свойства. Внешние свойства 252
Упражнения 252
Глава III. Теория поверхностей; первая основная квадратичная форма 256
1. Элементарные соображения 256
2. Минимальные линии (линии нулевой длины) 258
3. Конформное отображение одной поверхности на другую
Изотермические координаты 259
ОГЛАВЛЕНИЕ 557
4. Изометрия. Полная кривизна 264
5. Изометричные поверхности 266
6. Группа изометрии линейных элементов ds** постоянной
кривизны 269
7. Поверхности, изометричные плоскости 270
8. Вопросы анализа на поверхности 270
9. Геодезические линии („внешняя" теория) 277
10. Геодезическая кривизна 281
11. Поле векторов. Ковариантные частные производные.
Параллельный перенос 287
12. Формула Оссиана Бонне '. 292
13. Поле тензоров. Ковариантная производная ..." 295
Упражнения 297
Глава IV. Теория поверхностей; вторая основная квадратичная форма 303
1. Введение 303
2. Расположение поверхности по отношению к касательной
плоскости. Обыкновенные точки второго порядка . . . 304
3. Асимптотические линии 309
4. Сопряженные направления. Сопряженные семейства кривых 311
5. Триэдр Френе для кривой, проведенной на поверхности.
Теоремы Менье и Оссиана Бонне 314
6. Кривизна нормальных сечений. Индикатриса Дюпена ... * 316
7. Главные направления. Главные кривизны 319
8. Линия кривизны. Эволюты, или поверхности центров
кривизны поверхности 322
9. Конгруэнции нормалей 326
10. Примеры 327
И. Сферическое изображение. Третья квадратичная форма
поверхности 327
12. Относительное кручение. Четвертая квадратичная форма 330
13. Точечные преобразования и преобразования касания,
сохраняющие асимптотические линии 333
14. Точечные преобразования, сохраняющие линии кривизны . . 334
15. Преобразование Ли. Преобразования касания, сохраняющие
линии кривизны 336
16. Возвращение к условиям интегрируемости 337
Упражнения 338
Глава V. Линейчатая эвклидова геометрия 347
1. Плюккеровы координаты 347
2. Линейчатые поверхности 349
3. Конгруэнции прямых 353
4. Линейчатые поверхности конгруэнции 355
5 Вычисление инвариантов. Квадратичные формы 357
6. Формула Эли Картана. Конгруэнции нормалей 358
7. Изотропные конгруэнции * . 359
558
ОГЛАВЛЕНИЕ
8. Комплексы прямых 362
9. Срединные линии. Кривые, касательные к которым
принадлежат комплексу. Линейные комплексы 364
10. Подсчет инвариантных линейных форм и инвариантов.
Конгруэнции и линейчатые поверхности комплекса . . 368
Упражнения 371
Второй раздел. Аффинная унимодулярная геометрия 377
Глава I. Теория кривых 377
1. Введение 377
2. Теория плоских кривых 378
3. Геометрическая интерпретация. Конические сечения .... 381
4. Теория пространственных кривых. Репер Френе 384
5. Вычисление аффинной дуги и инвариантов.
Пространственные кривые третьего порядка 388
Упражнения 390
Глава II. Теория поверхностей 393
1. Репер Френе. Общие случаи 393
2. Поверхности второго порядка (не развертывающиеся).
Линейчатые поверхности 398
3. Развертывающиеся поверхности 403
4. Приведенные уравнения 407
5. Соприкасающиеся квадрики. Касательные Дарбу 4И
6. Квадрика Ли 412
7. Поверхности, инвариантные относительно транзитивной
группы 414
8. Кривые, лежащие на поверхности 420
9. Алгебраические дифференциальные инвариантные формы 424
10. Условия интегрируемости в терминах форм ср и <Ь 427
Упражнения 430
Третий раздел. Проективная геометрия 433
Единствзнная глава 433
1. Формулы перемещений репера. Перемещения
коррелятивного репера 433
2. Теория плоских кривых. Репер Френе 435
3. Конические сечения 437
4. Вычисление проективной дуги и проективной кривизны.
Приведенное уравнение. Секстактические точки 439
5. Ангармоническое отношение четырех точек 443
6. Огибающие прямых 444
7. Теория пространственных кривых 445
8. Теория поверхностей. Репер Френе 448
9. Уравнение, приведенное в окрестности точки 451
ОГЛАВЛЕНИЕ 559
10. Коррелятивная точка зрения. Огибающие плоскостей . . . 454
11. Проективная наложимость 455
Упражнения 458
Третья часть. Теория перенесения 460
Глава I. Перенесение и связность. Пространства аффинной связности 460
1. Расслоение и дифференциальная геометрия. Постановка
задачи 460
2. Группа голономий 464
3. Линейные аффинные связности. Эквивалентность 465
4. Тензоры кривизны и кручения 466
5. Ковариантная производная тензора 469
6. Тождества Бианки 472
7. Вычисление компонент тензоров кривизны и кручения . . 474
8. Параллельный перенос. Геодезические 474
9. Основная теорема 476
10. Изучение связности в окрестности точки 479
И. Геодезические наложения 480
12. Поля параллельных контравариантных векторов 484
13. Разложимые пространства 487
14. Эквиаффинная связность 491
15. Метрические связности. Пространства Эддингтона, Вейля
и Эйнштейна 492
16. Проективные связности 495
17. Проективные тензоры 499
Упражнения 502
Глава IL Римановы пространства 504
1. Основные формулы 504
2. Геодезические. Экстремальное свойство. Аналитические
римановы пространства 509
3. Кривизна пространства в направлении площадки.
Пространства постоянной кривизны 512
4. Тензор конформной кривизны 517
5. Движения 519
6. Разложимые пространства 523
7. Теория кривых 527
8. Вложенные многообразия • 529
Упражнения 537
Литература . . . 542
Именной указатель 544
Предметный указатель 546
Ж, Ф а в а р
КУРС ЛОКАЛЬНОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редактор М. АКИВИС
Художник Я. А. Липин
Технический редактор А. Д. Хомяков
Сдано в производство 20/VIII 1959 г.
Подписано к печати -24/11 1960 г.
Бумага 60x927ie—17.5 бум. л. 35,0 печ. л.
Уч.-изд. л. 33,2. Изд. '№ 1/4437
Цена 25 р. 25 к. Зак. 669
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, Ново-Алексеевская, 52
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза
Ленинград, Измайловский пр., 29.