Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп - Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж.

Автор: Коксетер Г.С.М. Мозер У.О.Дж.
Теги: алгебра математика дискретная математика теория групп точные науки
Год: 1980
Похожие
Энциклопедический словарь расстояний
Избранные труды. Математика. Теоретическая физика
Теория кодов, исправляющих ошибки
Интегрируемые Гамильтоновы Системы. Геометрия, топология, классификация. Том
Текст
                    ГС.М.КОКСЕТЕР
УО.ДЖ.МОЗЕР
Порождающие
элементы
и определяющие
соотношения
дискретных групп
Перевод с английского
В. А. ЧУРКИНА
Под редакцией
Ю. И. МЕРЗЛЯКОВА
§ МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 980

22.144
К 59
УДК 512.86
Н. S. M. Coxeter, W. О. J. Moser
GENERATORS AND RELATIONS
FOR DISCRETE GROUPS
Third Edition
Springer- Verlag
Berlin Heidelberg New York 1972
Коксетер Г. С. М., М о з е р У. О. Дж. Порождающие эле-
элементы и определяющие соотношения дискретных групп: Пер.
с англ./Под ред. Ю И. Мерзлякова — М.: Наука. Главная редак-
редакция физико-математической литературы, 1980 — 240 с.
Книга представляет собою по существу каталог наиболее упо-
употребительных в математике групп, заданных порождающими эле-
элементами и определяющими соотношениями. В ней приводятся
определяющие соотношения всех групп порядка <32, метацикли-
ческих групп, плоских кристаллографических групп, фундамен-
фундаментальных групп некоторых поверхностей, симметрических, знакопе-
знакопеременных, проективных линейных и других интересных групп. При
небольшом объеме содержит большую информацию, в том числе
много чертежей и 12 таблиц
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и сту-
студентов — всех, кому приходится сталкиваться в своей работе
с группами. Оча будет полезна и специалистам по теории групп.
20203—119
053@2Ь80
0. 17O2O30OOO
Перевод на русский язь.к.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Группы, заданные порождающими элементами и
определяющими соотношениями, возникают естествен-
естественным образом во многих областях математики и свя-
связанных с нею дисциплин, особенно в некоторых раз-
разделах геометрии и топологии. Такое задание группы
имеет свои не очень приятные особенности — по нему,
как правило, мало что можно сказать об абстракт-
абстрактном строении группы, и даже вопрос, не задают ли
два множества определяющих соотношений одну и
ту же группу, часто оказывается безнадежно труд-
трудным. Однако полвека исследований не прошли да-
даром — к настоящему времени этот круг вопросов
вполне оформился в самостоятельную область с ори-
оригинальными методами и интересными результатами —
комбинаторную теорию групп, с которой можно по-
познакомиться по монографии Магнуса, Карраса
и Солитэра [1974].
В отличие от руководств по абстрактной, в том
числе и комбинаторной теории групп предлагаемая
читателю книга Коксетера и Мозера относится скорее
к «конкретной теории групп», это не изложение си-
системы теорем и следствий, а очаровательная коллек-
коллекция конкретных групп, записанных порождающими
элементами и определяющими соотношениями. При
небольшом объеме она содержит богатую информа-
информацию, в том числе много чертежей и 12 таблиц. В книге
приводятся определяющие соотношения всех групп
порядка <32, метациклических групп, плоских кри-
кристаллографических групп, фундаментальных групп
некоторых поверхностей, симметрических, знакопере-
знакопеременных, проективных линейных и многих других инте-
интересных групп. Кроме того, в ней изложены некоторые
методы отыскания определяющих соотношений для

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
групп, заданных каким-нибудь иным способом, в ча-
частности, метод перечисления смежных классов Тодда
и Коксетера.
За два с лишним десятилетия книга Коксетера и
Мозера приобрела большую популярность; ее первое
английское издание вышло в 1957, второе — в 1964,
третье — с которого и выполнен перевод — в 1972 году,
причем при переизданиях авторы внесли в книгу мно-
много добавлений и улучшений. Следует отметить, что в
переводе тоже сделаны некоторые добавления, отно-
относящиеся, в частности, к проблеме Бернсайда, а также
учтен список исправлений, любезно присланный авто-
авторами.
Перевод этой классической книги на русский язык
давно назрел, и можно надеяться, что она будет с ин-
интересом встречена широкими кругами советских чита-
читателей —• всеми, кому по роду деятельности приходится
пользоваться понятием группы. Книга будет полезна
и специалистам по теории.групп, ибо, как показывает
опыт, именно знание большого числа конкретных
групп и построение разного рода хитроумных приме-
примеров движет вперед общую теорию.
Новосибирск, Академгородок,
15 июля 1979 г.
Ю. И. Мерзляков
ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Первоначально эта книга была задумана как ка-
каталог, который давал бы по крайней мере одно опи-
описание в терминах порождающих элементов и опреде-
определяющих соотношений для любой встретившейся чи-
читателю конечно порожденной группы. Однако инте-
интересных групп слишком много, и уже в самом начале
стало ясно, что необходимы какие-то ограничения.
О группах подстановок степени не более 8, т. е. под-
подгруппах группы ©8. лучше всего справиться по табли-
таблицам Жозефины Берне [1915], имея в виду, однако,
что они не свободны от опечаток. В таблицах, состав-
составленных нами (стр. 194—211), перечислены группы ма-
малых порядков, конечные и бесконечные группы дви-
движений, группы дробно-линейных преобразований и
группы, порожденные отражениями евклидова про-
пространства произвольного числа измерений.
Вместо того, чтобы составлять более обширный
каталог, мы дадим в главе 2 метод, с помощью кото-
которого читатель легко сможет сам получать определяю-
определяющие соотношения для почти любой заданной конечной
группы. Это достаточно механический метод, хорошо
поддающийся программированию на ЭВМ.
Есть также топологический метод (глава 3), при-
пригодный не только для групп небольшого порядка, но
и для некоторых бесконечных групп. Он заключается
в выборе множества порождающих, построении опре-
определенного «графа группы» и вложении этого графа
в поверхность. Случаи, когда поверхность является
сферой или плоскостью, изучаются в главе 4, где по-
получены алгебраически (и проверены топологически)
определяющие соотношения всех 17 групп двумерной
кристаллографии.

ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
В главе 5 рассмотрены фундаментальные группы
многосвязных поверхностей, которые представлены
как группы симметрии гиперболической плоскости, по-
порождаемые переносами или скользящими отраже-
отражениями в зависимости от того, ориентируема поверх-
поверхность или нет.
В следующих двух главах рассмотрен ряд специ-
специальных групп, представляющих по тем или иным при-
причинам особый интерес. В частности, как члены еди-
единого семейства здесь будут получены обобщения групп
многогранников, рассеянные по многочисленным
статьям Миллера. Включение в § 6.7 еще одного —
несколько иного — обобщения оправдывается его не-
неожиданными связями с правильными комплексными
многоугольниками Шепарда.
В главе 8 используется идея Браханы, что всякую
группу с двумя порождающими, один из которых
имеет период 2, можно представить правильной кар-
картой или топологическим многогранником.
В главе 9 доказывается, что каждую конечную
группу, определенную соотношениями
можно представить в евклидовом n-мерном простран-
пространстве как группу, порожденную отражениями относи-
относительно п гиперплоскостей. К этому семейству относят-
относятся многие хорошо известные группы, в частности, иг-
играющие важную роль в теории простых групп Ли.
Мы благодарны профессору Рейнольду Бэру за его
приглашение предпринять эту работу и за конструк-
конструктивную критику рукописи. Мы признательны также
д-ру П. дю Валю, проф. И. Райнеру, проф. Г. де Б. Ро-
Робинсону, д-ру Ф. А. Шерку, д-ру Дж. А. Тодду и проф.
А. У. Таккеру. Благодарим г-на Дж. Ф. Петри за ри-
рисунки 4.2 и 4.3 и г-жу Б. Мозер за подготовку маши-
машинописного текста.
г. с. м. к.
У. О. Дж. М.
Торонтский университет
Саскачеваиский университет
Февраль 1957 года
ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ 7
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Мы благодарны издательству Шпрингера за пуб-
публикацию второго исправленного издания, а также
всем читателям первого издания, предложившим улуч-
улучшения.
В § 2.2 мы сделали небольшие добавления об ис-
использовании электронных вычислительных машин для
перечисления смежных классов в конечной группе.
В § 6.5 более полно описаны бинарные группы много-
многогранников. В § 6.8 отражен недавний прогресс в про-
проблеме Бернсайда. В § 7.5 добавлены новые описания
групп GL2(p) и PGL2(p), где р — нечетное простое
число. В § 7.8 число соотношений, определяющих
группу Матье Мп, уменьшено с 8 до 6; дано также
описание на языке порождающих и определяющих
соотношений для группы М12. В главе 8 добавлено
несколько новых правильных карт. Внесены усовер-
усовершенствования в § 9.7 и в таблице 2. Кроме того, сде-
сделаны многочисленные мелкие поправки.
Г. С. М. К.
У. О. Дж. М.
Торонтский университет
Университет Макгилла
Сентябрь 1964 года
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Хотя многие страницы второго издания воспроиз-
воспроизводятся здесь без изменения, мы сделали около вось-
восьмидесяти мелких улучшений, а также следующие бо-
более значительные изменения.
Параграф о проблеме Бернсайда (§ 6.8) содер-
содержит теперь описание Лича для В3, з и важные резуль-
результаты С. И. Адяна и П. С. Новикова о группах Вт, „
при достаточно больших значениях п. Параграф о
группах LF2(p) (§ 7.5) переписан почти полностью —
найдены новые, неожиданно короткие описания, с

ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
число соотношений, задающих эту группу, теперь не
растет с ростом р. В том же направлении улучшен
параграф о группах Матье.
До недавнего времени соотношение F.529) выво-
выводилось из соотношений F.52) (стр. 103) только отдель-
отдельным рассмотрением различных частных случаев. Хотя
ныне известно единое доказательство в духе главы 3
(Конвей, Коксетер, Шепард [1972]), однако
его изложение потребовало бы чрезмерного увеличения
объема книги. По той же причине мы почти не упоми-
упоминаем здесь и важную книгу Магнуса, Карраса и
Сол итэра [1966, 1974].
г. с. м. к.
У. О. Дж. М.
Торонтский университет
Университет Макгилла
Январь 1972 года
ГЛАВА 1
ЦИКЛИЧЕСКИЕ, ДИЦИКЛИЧЕСКИЕ
И МЕТАЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
После краткого напоминания определений таких
фундаментальных понятий как порождающие, фак-
фактор-группа и прямое произведение мы покажем, ка-
каким образом автоморфизм данной группы позволяет
присоединить к группе новый элемент, чтобы полу-
получилась большая группа, — например, циклическая и
нециклическая группы порядка 4 дают группу ква-
кватернионов и группу тетраэдра соответственно. Отме-
Отметив, что термин «метациклическая группа» исполь-
используется в литературе в двух различных смыслах, мы
укажем группы обоих этих типов среди групп поряд-
порядка <32 (их простейшие известные генетические коды
собраны в таблице 1).
Как «правильно» читать произведение элементов
группы — слева направо или справа налево? Единого
мнения здесь нет, но мы будем следовать первому из
этих соглашений, так что если А и В — преобразо-
преобразования, то АВ будет обозначать преобразование, рав-
равносильное последовательному выполнению сначала
преобразования Л, а затем преобразования В.
1.1. Порождающие и соотношения. Множество эле-
элементов Si, S2> • ¦ ¦, Sm данной дискретной группы ©
называются множеством порождающих (элементов),
если всякий элемент группы ® можно выразить в виде
конечного произведения их степеней (в том числе с
отрицательными показателями). Такую группу дого-
договоримся обозначать символом
rp(Sb S2, .... Sm).

10
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
При т = 1 мы получаем циклическую группу
гр (S) ~ е„
юрядок которой q равен периоду единственного по-
порождающего элемента S. Если q—конечное число,
то S удовлетворяет соотношению S" = Е, где Е обо-
обозначает единичный элемент.
Соотношения
gk(Su S2, .... Sm) = E, k = \, 2, ..., s, A.11)
между порождающими элементами Si, ..., Sm груп-
группы © называются ее определяющими соотношениями,
если всякое другое соотношение между Si, ..., Sm
является алгебраическим следствием указанных част-
частных соотношений. Перечень порождающих элементов
и определяющих соотношений группы © называется
генетическим кодом ') или, при частом употреблении,
просто кодом группы ©. Иногда для краткости мы
будем опускать в записи кода перечень порождаю-
порождающих элементов, в таких случаях всегда предполагает-
предполагается, что имеется в виду перечень всех элементов, уча-
участвующих в определяющих соотношениях. Например,
если q—конечное число, то соотношение S" = Е яв-
является кодом группы (?q. Важно помнить, что в таком
контексте соотношение Sq = Е означает, что период
элемента S не просто делит q — он в точности равен q.
Чтобы подчеркнуть это, иногда говорят, что соотно-
соотношение не просто «удовлетворяется», а «выполняется»
(см. Миллер, Блихфельдт и Диксон [1916],
с. 143).
Возвращаясь к произвольной группе © с генетиче-
генетическим кодом A.11), обозначим через ф другую группу,
которая в порождающих Т\, Т2, .. ¦, Тп имеет код
Ы(Ти Т2, ..-, ТЯ) = Е, 1=1 2, .... /. A.12)
Известно, что для изоморфизма групп © и ф
необходимо и достаточно существование таких
') В оригинале — абстрактным определением- Предлагаемое
название кажется нам более выразительным, так как лучше от-
отражает суть дела — чем и как порождается группа. — Прим.
перев. и ред.
1.2. ФАКТОР-ГРУППЫ
11
соотношений
T, = T,(SU 5а, ..., SJ, /=1, 2, ..., п, A.13)
S,= S,(r,, Г2, .... Т„), г=1, 2, ..., /я, A.14)
что система соотношений A.11) и A.13) алгебраиче-
алгебраически равносильна системе A.12) и A.14) (Коксетер
[19346]). Например,
R6 = E A.15)
и
— два возможных кода группы ©6, поскольку соотно-
соотношения
#6 = е, S = R\ T = R3
равносильны соотношениям
1.2. Фактор-группы. Пусть группы @'<~гр(/?ь
#2, • • •, Rm) определяется s -\- r соотношениями
gk(Rb Rb ••-, Rm) = E, 6=1, 2, .... S + Г.
Соответствие
St*-*Rh i=l, 2, ..., m,
индуцирует гомоморфизм группы ©, определенной по-
посредством A.11), на группу ©'. Элементы
gk(Sit S2, ..., Sm), k = s + \, .... s + r, A.21)
группы © соответствуют единичному элементу
gh(Ru R2, ..., Rm) = E, k = s+l, -.., s + r,
группы ©'. Поэтому ядро гомоморфизма совпадает с
нормальной подгруппой
K~rp(W-lgk(Su S2, ..., Sm)W\W^%,
k = s+ 1, ..., s + r).
В самом деле, 31 — наименьшая нормальная подгруппа
группы ©, содержащая элементы A.21), откуда выте-
вытекает, что

IS ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Другими словами, добавление новых соотношений к
генетическому коду группы © приводит к новой груп-
группе ©', являющейся фактор-группой группы ©.
В частности, добавление к A.11) соотношений
j=\, 2,
щ,
приводит к фактор-группе по коммутанту группы ®,
являющейся наибольшей абелевой фактор-группой
группы ©.
Всякая группа с m порождающими является фак-
фактор-группой свободной группы gm, которая имеет m
порождающих и пустое множество соотношений
(Райдема истер [1932а], с. 31). За исключением
некоторых специальных рассмотрений в § 7.3, с. 131,
мы не будем касаться современного развития теории
свободных групп, начавшегося с замечательной тео-
теоремы Нильсена [1921] и Шрайера [1927] о том,
что всякар подгруппа свободной группы сама свобод-
свободна (см. по этому поводу Магнус [1939], Бэр [1945],
Чжен [1951, 1954], Фокс [1953, 1954], Курош
[1967], с. 225—228, М. Холл [19626], с. 113).
1.3. Прямые произведения. Если группы © и ф с
генетическими кодами A.11) и A-12) соответственно
не имеют общих элементов, кроме Е, и если каждый
элемент из © перестановочен с каждым элементом из
$, то m + п элементов Si и Г/ порождают прямое про-
произведение
Очевидно, что для получения кода группы ®ХФ до-
достаточно взять A.11), A.12) и добавить к ним соот-
соотношения
= E, 1=1,
m, /=
л.
Однако во многих случаях число порождающих мож-
можно уменьшить, а соотношения упростить. Рассмотрим,
например", циклические группы &3 и &2, определенные
соответственно соотношениями
53 = Е и Т2 = Е.
1.3. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
13
Их прямое произведение S3 X ®2 порядка б имеет код
A.16), с другой стороны, эта же группа порождается
одним элементом R = ST и определяется одним соот-
соотношением A.15), откуда вытекает, что ®3 X ©2 ^ @б-
Более общо, прямое произведение циклических групп
порядка q и г представляет собой абелеву группу
S? X @* порядка qr, являющуюся циклической в слу-
случае, когда q и г взаимно просты:
Обобщая еще дальше, видим, что если р, q — различ-
различные простые числа, то всякая абелева группа порядка
разлагается в прямое произведение
абелевых примарных групп (Бернсайд [1911], с.
100—107) и каждая такая примарная группа — пря-
прямое произведение циклических групп:
где
а = <xi -f- <x2 -f
Эта р-группа описывается как абелева группа поряд-
порядка ра и типа (оы, яг, •••); в частности, прямое произ-
произведение а циклических групп порядка р—абелева
группа порядка ра и типа A,1, ..., 1):
Комбинируя вышеуказанные результаты, получаем,
что всякая конечная абелева группа является прямым
произведением циклических групп.
Бесконечная циклическая группа &<х> порождается
одним элементом X без всяких соотношений. Другими
словами, она является свободной группой gj с одним
порождающим элементом. Обратный элемент Х~{ —
единственный другой порождающий элемент. Прямое
произведение

14
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
двух бесконечных циклических групп определяется
одним соотношением
XY = YX. A.31)
Его конечные фактор-группы получаются добавлением
соотношений вида
XbYc = Е.
Например, в абелевой группе с кодом
X bYc = X~cYb = E, XY = YX A.32)
мы имеем
Xе = Yb, Xе' = Ybc = X~b''
и, следовательно, Хп = Е, где п = б2 + с2. Пусть
F, с)= d = у& — Рс Тогда Xd — степень элемента У,
а именно,
yd Yyb-$c y-($b+yc)
А — Л — I .
Кроме того,
yb ус у—с ($b+yc)/d yb-yn/d
I = A = У = I
Поскольку (р, у)=1, то период элемента У делит
n/d и каждый элемент группы можно выразить в виде
XxYy, 0^x<d, 0<^.y <n/d.
Рассмотрим прямое произведение SdX®n/d, опреде-
определяемое соотношениями
— Р 7V у?
Элемент X = ZY ®b+yc)/d удовлетворяет соотношению
А' У = YX и, кроме того,
ybyc yby(-b фЬ+ус)+с (vb-Pc)}M yby-$n\d __ г.
у— cyb у — су{с фЬ+ус)+Ь (yb-$c))ld __ y-cyyn/d __ р
Значит, группа гр (X, У) с кодом A.32) есть просто
&dX®n/d — прямое произведение циклических групп,
порожденных элементами
и Y.
\.а АВТОМОРФИЗМЫ
1
Аналогичным образом можно показать, что абелева
группа с кодом
или кодом
Г = Zb,
XYZ*=ZYX =
A.33)
совпадает с &<* X &t/d, т. е. с прямым произведением
циклических групп, порожденных элементами
Ху№ь+УсНа и Y
где t = b2 ¦+- be
[1955], с. 12).
с2 и d ={b, c) = yb — рс (Фрухт
1.4. Автоморфизмы. Рассмотрим снова группу ® ~
=:грEь 52, ..., Sm) с генетическим кодом A.11).
Предположим, что она содержит т элементов
Si, Si, .... Sm, которые удовлетворяют тем же соот-
соотношениям
(S'u Si, ..., S'm) =
k=\, 2, .... s,
и не удовлетворяют никаким не выводимым из них со-
соотношениям. Тогда соответствие
¦S\
A.41)
определяет автоморфизм группы ®.
Один из плодотворных методов построения боль-
большей группы ®* по данной группе ® состоит в присое-
присоединении нового элемента Т, скажем, периода ас, кото-
который сопрягает элементы группы ® как некоторый ав-
автоморфизм периода с. Если мы отождествим Тс с
некоторым элементом U периода а, принадлежащим
центру группы ® и неподвижным относительно на-
нашего автоморфизма, то порядок группы ®* будет, оче-
очевидно, в с раз больше порядка группы ®. Если авто-
автоморфизм задан соответствием A.41), то большая
группа-определяется соотношениями A.11) и
T~lS(T ~S't, TC = U. A-42)
Это построение легко перенести и на бесконечные
группы. Несмотря на то, что период элемента а может

16
ГЛ. I. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
быть бесконечным, © по-прежнему будет нормальной
подгруппой индекса ев®.
В случае внутреннего автоморфизма группа © со-
содержит такой элемент R, что для всякого S из ©
R~lSR = T~lST,
т. е. TR^S = STR-K Поэтому элемент
группы ©* перестановочен со всяким элементом из ©.
Наименьшая степень элемента Z, принадлежащая
группе ©, есть
периода, скажем, Ь. Этот элемент V подобно Z пере-
перестановочен с каждым элементом группы ©, а посколь-
поскольку он принадлежит группе ©, то он принадлежит
центру группы ©.
Если F, с) = 1 (например, если период элемента Ь
взаимно прост с порядком центра, как в работе Кок-
сетера [1939], с. 90), то рассмотрим такие числа р
и у, что
Вместо присоединения элемента Т к группе © можно
считать, что мы присоединили Z = TR-[ или элемент
= Z1+®° = Zyb
который в степени с равен
gybe __ yyb __ ?
(так как Vb = E). Следовательно, в этом случае
®'-@Хвс, A.43)
где ©с — циклическая группа, порожденная элементом
Zyb.
1.5. Некоторые хорошо известные конечные группы.
Циклическая группа ©,, определяемая одним соотно-
соотношением
S« = ?, A.51)
1.5. НЕКОТОРЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
17
обладает внешним автоморфизмом периода 2, преоб-
преобразующим каждый элемент в обратный. Присоединяя
новый элемент Ri того же периода, сопрягающий
группу ©? как этот автоморфизм, мы получаем диэд-
ральную группу 5)q порядка 2q, определяемую соотно-
соотношениями A.51) и
т. е. кодом
S" = Я? = (SRif = Е. A.52)
Та же самая группа S)? порождается также элемен-
элементами Ri и Я2 = R\S, в терминах которых имеет опре-
определяющие соотношения
г>2 г)^ / D D \Q Р? (\ К*Х\
t\\ — i\2 — \А1А2/ — -?• \i >OO)
«Четная» диэдральная группа S>2m с генетическим
кодом A.53) при q = 2m имеет центр порядка 2, по-
порожденный элементом Z ={R\R2)m. При нечетном т
элементы R\ и Я = R2Z удовлетворяют соотношениям
так что гр (Яь R) =* S)« и
?Jш —S2X®m> m — нечетное число. A.54)
Так как SJm при нечетном m можно получить из
S)m, присоединяя элемент Ri, преобразующий группу
S)m так же, как R, то A.54) можно рассматривать как
частный случай примера A-43) (при а = Ь = 1, с = 2,
E)
пой
y , R2,V )
При m = 1 группа A.54) является четверной груп-
груп?2 ~ g2 X 2>! ^ &2 X «8,
определяемой соотношениями
/?? = /?2 = №/?2J
В терминах трех порождающих
эти соотношения имеют вид
Я^ Я? Я
ь Ri и Яо =
Из последнего кода с очевидностью вытекает, что 3J
обладает внешним автоморфизмом периода 3,

18
ГЛ. I. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
который циклически переставляет три указанных по-
порождающих элемента. Присоединяя новый элемент 5,
преобразующий группу 5J описанным способом, мы
получим группу порядка 12, определяемую соотноше-
соотношениями A.55) и
= E, S~lR0Si =
=1,2.
Та же группа порождается элементами 5 и Ru, в тер-
терминах которых имеет код
3 ^ = ?. A.56)
Так как подстановки 5 = A2 3) и /?0 = A 2) C4)
порождают знакопеременную группу 214 порядка 12 и
удовлетворяют соотношениям A.56), то мы вправе
заключить, что группа, определенная этими соотноше-
соотношениями, есть 914. Предыдущие построения показывают,
что St4 содержит 5J в качестве нормальной подгруппы.
Группа 5t4 порождается также элементами S и
U = S~lRo, в терминах которых определяется соот-
соотношениями
S3 = Uz = (SUJ = Е.
A.57)
Отсюда видно, что St4 обладает внешним автоморфиз-
автоморфизмом периода 2, который переставляет порождающие
S и U. Присоединяя элемент Т с таким действием,
мы получим группу порядка 24, определяемую соот-
соотношениями A.57) и
U. A.58)
В порождающих S а Т эта группа имеет код
S3 = Т2 = (STL = Е. A.59)
Так как подстановки 5 = B 3 4), Т = A 2) порождают
симметрическую группу @4 порядка 24 и удовлетво-
удовлетворяют соотношениям A.59), то группа, определяемая
этими соотношениями, совпадает с @4. В порождаю-
порождающих S и U — S~!r группа ©4 имеет генетический код
SP = U4 = (SUJ = E. A.60)
1.6. Дициклические группы. В случае четкого q,
скажем, при q — 2m, автоморфизм S >—> S-I группы
©9 можно использовать по-другому. Присоединяя
1.7. ГРУППА КВАТЕРНИОНОВ
19
к коду
A.61)
новый элемент Т периода 4, который сопрягает S с
5~' и квадрат которого равен Sm, мы получаем дицик-
лическую группу <2, 2, ш} порядка Am, определенную
соотношениями A.61) и
T2 = Sm, T~1ST = S~l.
Поскольку последнее соотношение можно записать
в виде (STJ = Т2, то элементы S и Г удовлетворяют
соотношениям
Sm = Г2 = (STJ. A.62)
Чтобы показать, что этих двух соотношений до-
достаточно для определения группы <2,2, гп), заметим,
что из них вытекает соотношение A.61):
= 1=
1 rnifri rT<
11=1
\1
(см. Коксетер [1940в], с. 372; Миллер, Блих-
фельдт и Диксон [1916], с. 62).
На трех порождающих S, Т и R = ST группа
<2, 2, гп) имеет код
A.63)
а с использованием R и Т—код
A.64)
Конечно, символ <2, 2, т> можно записать также в виде
<от, 2, 2> или <2, т, 2>. Другие группы (I, пг, п) будут
обсуждаться в § 6.5.
1.7. Группа кватернионов. Наименьшая дицикли-
ческая группа
называемая группой кватернионов, определяется соот-
соотношениями S2 = Т2 = (STJ или
A.71)

20
ГЛ. I ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Отметим сходство с известными формулами
/2 = р = k2 = tjk = — 1
Гамильтона [1856], с. 446.
Группа кватернионов — наименьшая гамильтонова
группа, т. е. наименьшая неабелева группа, все под-
подгруппы которой нормальны. Вообще же конечные га-
мильтоновы группы — это в точности группы вида
где Я — абелева группа нечетного порядка, 33 — абе-
лева группа порядка 2"\ пг ^ 0, и типа A,1, ..., 1)
(Дедекинд [1897]; Хилтон [1908], с. 177; Ка р-
майкл [1937], с. 114; Цассенхауз [1958], с. 160;
Скорца [1942], с. 89).
Группа О является также наименьшей группой ка-
категории 1, т. е. наименьшей неабелевой группой, все
собственные подгруппы которой абелевы. Группы ка-
категории 1 исследовали М и л л е р и Морено [1903],
Шмидт [1924] и Редей [1947]. Редей показал, что,
за исключением Q, каждая такая группа принадле-
принадлежит одному из трех вполне определенных семейств.
В частности, Q — единственная конечная неабелева
группа, все собственные подгруппы которой абелевы
и нормальны.
1.8. Циклические расширения циклических групп.
При (q,r)= 1 циклическая группа A.51) имеет авто-
автоморфизм
r, A.81)
период с которого совпадает с показателем г по мо-
модулю q, так что
r° = I (mod q).
Мы построим группу порядка qc, присоединяя такой
новый элемент Т периода ас (где а делит и q,n г— 1),
что
'р — 1 OJi __ nf rpC __ о<?/0
Обозначив m = q/a и заметив, что Um = Srm =
= (T-^STI71 = T~lUT = U, мы получим генетический
1.8. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 21
КОД
Sm = Tc = U, ?/а = ?, r~'Sr = 5r A.82)
этой группы порядка mac. (При с = 2 и г = —1 груп-
группа является диэдральной или дициклической, если
а = 1 или а = 2 соответственно.)
При (а,т)=\ полученный код можно упростить.
В самом деле, если \ia + am = 1, то
о ы
х.а+ат
рчогл
поэтому группа с кодом A.82) порождается элемен-
элементами Si = Sa и Т, в терминах которых имеет код
Сменив обозначения, мы можем считать, что рассмат-
рассматривается группа
Sm = Tn = E, T~lST = Sr A.83)
порядка mn, полученная из <5т присоединением эле-
элемента Т порядка п, который сопрягает ©от в соответ-
соответствии с автоморфизмом A.81) периода с. Новая осо-
особенность состоит в том, что мы больше не отождеств-
отождествляем Тс ни с каким элементом из Sm. Так как
5r" = T~nSTn = S,
то из A.83) вытекает, что
г" ^1 (modm),
A.84)
т. е. п должно делиться на наименьший период числа
г по модулю m (Кармайкл [1937], с. 176). Таким
образом, A.83) является фактор-группой группы с
кодом
Т" = Е, T~lST = Sr, A.85)
где показатель г может быть как положительным, так
и отрицательным. Группа A.85) бесконечна, если
гп = 1, в противном случае она имеет порядок
При г= 1 группа A.83), очевидно, совпадает с ©ш X
Х@п. Если г =—\ и п нечетно, то из A.84) выте-
вытекает, что пг = 2, поэтому A.85) есть &2 X ©л =г©2я-

22 ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Ясно, что центр группы A.83) содержит Тс, где
с—период числа г по модулю т. Если
(а, с) = 1,
где а = п/с, то мы можем выразить Т через Т\ = Та
и Тс, так что A.83) является прямым произведением
группы с генетическим кодом
и группы Sa, порожденной элементом Т°. Например,
если а нечетно, то группа с кодом
?^ III *| i^U T^t * J i "" л ?^ /11 ^^ ^^ 1 ж Л ^^ /^ \
является прямым произведением
®т X ®а.
(С другой стороны, если m нечетно и а = 2, то A.86)
определяет группу <2, 2, т>.)
Период элемента S делит гп—1, поэтому он мо-
может делиться, а может и не делиться на г—1. Для
обсуждения первого случая немного изменим обозна-
обозначения. В группе с кодом
R{r-l)m = Tn = E, T~lRT = Rr A.861)
элемент Т сопрягает Rm с Rrm — Rm, поэтому Rm при-
принадлежит центру. Если
(r-l, m)=l, A.87)
то можно выразить R через 5 = Rr~l и Rm, значит, в
этом случае гр (/?, 7") — прямое произведение группы
A.83) и группы &г_ь порожденной элементом Rm. На-
Например, при нечетном m группа с кодом
совпадает с @2 X <2, 2, т>.
Таким образом, мы пришли к рассмотрению груп-
группы A.83) со специальными условиями A.87). По-
Поскольку элемент S теперь — степень коммутатора
то коммутант совпадает с подгруппой, порожденной
в &т элементом S. Фактор-группа по коммутанту оп-
1.8. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 23
ределяется соотношениями A.83) и соотношением
ST = TS,
поэтому для нее Sr~' = Е = Sm и, ввиду A.87), S = Е.
Таким образом, фактор-группа по коммутанту есть &„,
определяемая соотношением Тп = Е.
Группу, коммутант и фактор-группа по коммутанту
которой циклические, условимся называть Z-метацик-
лической, т. е. метациклической в смысле Цассен-
хауза [1958], с. 174. Таким образом, доказано, что
при условиях A.84) и A.87) группа с кодом A.83)
является Z-метациклической. Цассенхауз доказал, что
справедливо и обратное — всякая конечная Z-мета-
циклическая группа представима в такой форме.
Нойман [1956], с. 191, заметил, что этот гене-
генетический код общей Z-метациклической группы экви-
эквивалентен коду
пШ грП rp—\ &tlrp О^~Ь ^
где число и обратно кг— 1 по модулю т, т. е.
и (г — 1) = 1 (modm).
Например, если т — нечетное число, то коды A.86) и
„и j2a у.-1о('"-1)/2т1 о(т + 1)/2
эквивалентны.
Назовем Z-метациклическую группу ZS-метацик-
лической, если все ее силовские подгруппы цикличе-
циклические. Цассенхауз [1958], с. 174, нашел необходи-
необходимое и достаточное условие ZS-метацикличности:
(т, п)=1. A.88)
Таким образом, «нечетные» диэдральные и «нечетные»
дициклические группы являются ZS-метацикличе-
скими. Однако при (tn, a)> 1 группа S)mX@a, где а
нечетно, является только Z-метациклической; напри-
например, SK X @з не содержит элементов периода 9, по-
поэтому ее силовская подгруппа порядка 9 не является
циклической.
Наиболее важный пример ZS-метациклических
групп — группы с генетическим кодом
Sp = 7"'~1—?, T-lST = Sr, A.89)

24
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
где р— простое число, г—примитивный корень по
модулю р. Нетто [1900], с. 284, приписывает эти
группы Кронекеру, поэтому будем называть их К-ме-
тациклическими (см. также X еффтер [1898]; Мил-
Миллер, Блихфельдт и Диксон [1916], с. 12;
Кармайкл [1937], с. 42, 184; М. Холл [19626],
с. 165—169).
Еще в одном смысле термин метациклическая был
использован В е б е р о м [1895], с. 598.
1.9. Группы порядка < 32. Мы убедились, что
группа A.83) при г= 1—это &mX®n> а при г = —1
(или гп— 1) — одна из следующих групп:
@2п, если п нечетно (так что m = 2),
S)m X ©я/2, если п/2 нечетно (например, если п = 2),
<2, 2, т>, если т нечетно и п = 4,
в2 X <2, 2,т/2>, если т/2 нечетно и л = 4.
Более того, та же группа с обращенным элементом Г
получается заменой г на /—' по модулю т. Остальные
решения сравнения A.84) с условием тп •< 32 таковы:
г -1 ±2 2 —2 3 -3 4 -4 5 -5
и 4 433222 22 2
m 4 5 7 9 8 8 15 15 12 12
В шести из этих случаев г"— 1 = т, так что двух со-
соотношений A.85) достаточно. В двух случаях (г—1,
т) = (т, «) = 1, поэтому соответствующая группа яв-
является ZS-метациклической. Один из этих случаев —
/(-метациклическая группа A.89) при р = 5.
Остальные данные таблицы 1 взяты из разных дру-
других источников: Кэли [1899]; Бернсайд [1911],
с. 157—161; Миллер [1911]; Б ер не [1915]; М ил-
лер, Блихфельдт и Диксон [1916], с. 143—
168; Кармайкл [1937], с. 166—187 и Коксетер
[1939], с. 81, 83, 143.
Таблицы для числа групп порядка <162 (но ис-
исключая 128) читатель может найти у Миллера
[1930], Сениора и Ланна [1934], Холла и Се-
ниора [1964]. Например, групп порядка 160 (в том
числе абелевых групп) имеется 238. Отметим, что
Ф. Холл указал нам на одну ошибку у Миллера —
групп порядка 64 существует не 294, а 267.
ГЛАВА 2
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
Мур [1897] и многие другие вычисляли индекс
подгруппы в абстрактной группе систематическим пе-
перечислением смежных классов. Тодд и Коксетер
[1936] сделали этот метод почти механическим, пре-
превратив его в инструмент с широкой областью прило-
приложений. В § 2.1 мы применим его к отысканию генети-
генетического кода данной конечной группы, а в § 2.4 —
к распознаванию нормальности подгруппы. Наконец,
в § 2.5 мы увидим, как метод перечисления помогает
находить свойства групп по их кодам.
2.1. Отыскание генетического кода конечной груп-
группы. Суть метода такова. Пусть
gk(Su S2, .... Sm) = E, * = 1, 2, ..., s, B.11)
— предполагаемый генетический код данной конечной
группы ® порядка g. Практически эти соотношения
получают, взяв какое-нибудь множество порождаю-
порождающих группы © и написав некоторые исходные соотно-
соотношения между ними. Естественно выбирать соотноше-
соотношения попроще, например, соотношения, задающие пе-
периоды порождающих элементов или несложных ком-
комбинаций между ними. Цель нашего эксперимента —
написать достаточно много соотношений, а «метод
смежных классов» — это способ, которым проверяется
успех эксперимента. Если группа ©' с кодом B.11)
не изоморфна группе ©, то она обладает такой нор-
нормальной подгруппой ©,, что фактор-группа ®'/®\ изо-
изоморфна группе ©. В любом случае порядок группы ®'
не меньше g. Если удастся проверить, что порядок
©' и не больше g, то отсюда последует, что группы ©

26
ГЛ. 2. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
и ©' изоморфны. Чтобы узнать, каково положение на
самом деле, выберем подмножество Т\, Т2, ..., Тп эле-
элементов из ©', такое, что из соотношений B.11) выте-
вытекают соотношения
hi(Tu T2, .... Та) = Е, 1=1, 2, .... /, B.12)
о которых уже известно, что они определяют группу
ф' порядка h < g. Допуская возможность, что из со-
соотношений B.11) вытекают и другие соотношения ме-
между Т\, Т2, ..-., Тп, независимые от B.12), мы заме-
замечаем, что подгруппа ф группы ©', порожденная эле-
элементами Ти Т2, .. •, Т„, равна, вообще говоря, не $,
а некоторой фактор-группе ф'/ф\. Однако во всяком
случае порядок группы ф не превосходит /г. Рассмот-
Рассмотрим теперь классы элементов §•/?, получаемые умно-
умножением элементов из ф справа на различные элемен-
элементы из ©'. Два таких класса или совпадают, или не
имеют общих элементов, и каждый элемент из ©' при-
принадлежит хотя бы одному такому смежному классу
Существует не меньше чем g/h различных смежных
классов (иначе порядок группы ©' был бы меньше,
чем h-g/h = g). Если удается показать, что суще-
существует в точности g/h различных классов, то это бу-
будет означать, что порядок группы ©' не больше, чем
h-g/h = g, и, следовательно, © и ©' изоморфны.
Запишем каждое gk из B.11) в виде произведения
порождающих и обратных к ним элементов; напри
мер, (SiS-T2J будет записано в виде
S\S\S\S2 5г S\S\S\S2 S2 •
Такое выражение, содержащее с сомножителей St',
рассматриваем как заголовок для таблицы смежных
классов, имеющей с-\- 1 столбцов1). Каждый сомно-
сомножитель пишем между двумя соседними столбцами
(как на стр. 28). Будем обозначать смежные классы
(в порядке, который будет сейчас определен) номе-
номерами 1, 2, 3, ... Если номера аир написаны в одной
строке в паре соседних столбцов, озаглавленной эле-
элементом St ', то это означает, что а • Sf ' = р. Таким
') Тодд и Ко к се тер [1936] использовали строки вместо
столбцов, поскольку предпочитали тогда умножать элементы
группы справа налево.
2.2. ПРИМЕРЫ
27
образом, если класс а задан, то можно вставить
Р = а • St', а если задан класс р, то можно вставить
а = р • Sf'. Первый и последний столбцы каждой таб-
таблицы одинаковы.
По определению смежный класс 1 — сама подгруп-
подгруппа Q, и эта информация закладывается в каждую таб-
таблицу. Таким образом, начальная информация состоит
в том, что . _ . _
1 • 11 = 1, ] — I, г, ..., п.
Прежде чем двигаться дальше, надо проследить
еще, чтобы число 1 входило в каждую таблицу во всех
существенно различных позициях '). Смежный класс 2
определяется как множество 1-R, где R—-подходяще
выбранный элемент из ©', не принадлежащий под-
подгруппе ф. Это делается вставкой в одну из таблиц
числа 2 на некоторое (подходящее) незанятое место,
следующее за числом или предшествующее ему. За-
Затем (и так постоянно) заполняем все, что возможно
во всех таблицах, следя, чтобы 2 стояло во всех су-
существенно различных позициях, после чего опреде-
определяем следующий смежный класс, в данном случае 3.
Как только появляется дополнительная информация,
связанная с заполнением какой-нибудь строки, эта
информация немедленно закладывается во все таб-
таблицы. Процесс заканчивается, когда заполнятся все
таблицы. Если число смежных классов окажется не
более чем g/h, то эксперимент прошел успешно: груп-
группы © и ©' не только гомоморфны, но и изоморфны.
2.2. Примеры. Для иллюстрации метода перечисле-
перечисления рассмотрим знакопеременную группу St5 порядка
60, порождаемую подстановками
S = B 5 4), [/ = A234 5).
Так как5[/=A 2) C4), то
S3 = U5 = (SUJ = Е. B.21)
Не будет ли это генетическим кодом группы St5? Что-
Чтобы показать, что группа ©' с кодом B.21) действи-
действительно имеет порядок 60, возьмем в качестве § под-
подгруппу порядка 5, порожденную в ©' элементом U.
1) То есть позициях, определяющих произведения 1 -Si, ISJ
для всех Sf' из заголовка таблицы. — Прим. перев.

28
ГЛ. 2. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
Таблицы со вставленным в них равенством Ь?/ = 1
таковы:
SSS I U U U U U 1 S U S U
1 1 | 1 1 1 1 1 1 | 1 11
Отметим, что символ 1 (обозначающий ф) написан в
каждой таблице во всех существенно различных по-
позициях. Определим теперь смежный класс 2=1-S.
Вставив это в таблицы, получим:
sss\uuuuu \ s и s и
1 2
1 1
2
1 1
1 1
2
1 2
2
1 1
2
Заметим, что во второй и третьей таблицах мы по-
поставили 2 в новую строку, чтобы все таблицы содер-
содержали символ 2 во всех существенно различных пози-
позициях. Положим 3 = 2-S. Из первой таблицы полу-
получаем 3-5 = 1, а из третьей 2-1/ = 3, поэтому таблицы
принимают вид
SSS | U U U U U | S U S U
12 3 1
1 1
2 3
111
12 3 11
2 3 2
Продолжая в том же духе, положим по порядку
4 = 3- U, 5 = 4- S, 6 = 5-5, 7 = 4-6/,
8 = 7-S, 9==8-S, 10 = 9 - С/. ll = 10-S,
12=11 S,
после чего таблицы примут вид
S
1
4
7
10
S
2
5
8
11
3
6
9
12
S
1
4
7
10
1
2
6
12
и
1
3
9
12
и
1
4
10
12
и
1
7
11
12
и
1
5
8
12
и
1
2
6
12
1
2
6
9
10
12
S
2
3
4
7
11
10
и
3
4
7
5
8
11
S
1
5
8
6
9
12
и
1
2
6
9
10
12
Таблицы «замкнулись» и, значит, порядок группы ®'
не превосходит 60, что и требовалось доказать.
Разумеется, подгруппу § лучше выбирать поболь-
побольше, но на худой конец годится и единичная подгруппа.
2.2. ПРИМЕРЫ
29
Может случиться, что предполагаемый код группы
© содержит соотношения, которые не являются со-
соотношениями, определяющими периоды порождающих
элементов или их простейших комбинаций, т. е. соот-
соотношениями вида
(SriSr!i SrmY = Е
Пусть, скажем, требуется доказать, что порядок
группы кватернионов
#2 = S2 = Т2 = RST B.22)
действительно равен 8. Казалось бы, прежде чем на-
начать перечисление, нужно переписать эти соотноше-
соотношения в виде
R2S~2 = S2T~2 = TS~1R~i = Е,
но на самом деле это совсем не обязательно. Можно
просто написать заголовки
R R \ S S \ Т T\R S Т
и потребовать, чтобы все четыре таблицы имели оди-
одинаковые первые столбцы и одинаковые последние
столбцы. Таблицы для этой группы с отмеченной в
ней единичной подгруппой таковы:
RR\SS\TT\RST
Здесь
1
2
3
4
5
6
7
8
2
5
8
3
7
4
1
6
5
7
6
8
1
3
2
4
1
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
7
6
1
8
2
5
7
6
8
1
3
2
4
1
2
3
4
5
6
7
8
4
6
2
5
8
7
3
1
5
7
6
8
1
3
2
4
1
2
3
4
5
6
7
8
2
5
8
3
7
4
1
6
4
6
2
5
8
7
3
1
5
7
6
8
1
3
2
4
= 4, 2-/? = 5,
2-7" = 6, 5-/? = 7, 3-Я = 8.
Процесс перечисления классов закончился на классе
8, поэтому группа с генетическим кодом B.22) дей-
действительно имеет порядок 8.

30
ГЛ. 2. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
В ходе перечисления смежных классов полученная
из таблиц информация может указать на то, что два
числа представляют на самом деле один и тот же
класс. (Это может оказаться следствием того, что на
каком-то шаге не вся имевшаяся информация была
заложена в таблицы.) Тогда нужно всюду заменить
большее число на меньшее и учесть все другие совпа-
совпадения, которые при этом возникают. Наведя указан-
указанным образом порядок, действуем далее как обычно.
Если совпадения уничтожат полностью все таблицы
(это означает, что все смежные классы равны 1), то
подгруппа ф совпадает с группой © (например, может
случиться, что из B.11) следует Si = S2= •••
... = Sm = Е, т. е. © имеет порядок 1).
Если предполагаемый генетический код на самом
деле недостаточен для определения группы ®, то таб-
таблицы не заполнятся после введения g/h смежных
классов. Обратно, если таблицы не заполняются це-
целиком после введения g/h смежных классов, то либо
соотношений B.11) недостаточно для определения
группы ©, либо среди введенных смежных классов су-
существуют нераскрытые совпадения. Если таблицы
«близки» к полным, то, вероятно, мы делаем послед-
последние шаги и.после введения еще нескольких смежных
классов начнутся совпадения. С другой стороны, на-
наличие в таблицах больших пробелов свидетельствует
о том, что соотношений B.11), вероятно, недостаточно
для определения группы ®.
Читатель может испытать себя на задаче о пере-
перечислении пяти смежных классов группы с генетиче-
генетическим кодом
по подгруппе rp(Fi, V2) (Кармайкл [1923], с. 255).
Другие примеры можно найти уТодда и Коксе-
тера [1936] и Коксетера [1939,1956].
Систематическое перечисление смежных классов —
достаточно механическая процедура для того, чтобы
использовать электронные вычислительные машины.
В последние годы этот метод был запрограммирован
с целью его автоматического осуществления. Работа
Хазельгроува на EDSAC 1 в Кембридже в 1953 году
2.4. НОРМАЛЬНА ЛИ ЗАДАННАЯ ПОДГРУППА?
31
явилась, по-видимому, первой попыткой осуществить
перечисление смежных классов на цифровой вычис-
вычислительной машине. Более недавний прогресс в пере-
перечислении смежных классов отражен в работе Л и ч а
[1976]. В частности, Джейн Уотсон (см. Коксетер
[1970], с. 45) за несколько секунд получила резуль-
результаты, которые раньше потребовали бы многих часов
однообразной и утомительной работы.
2.3. Соответствующие подстановки. Метод перечис-
перечисления дает представление группы © в виде транзитив-
транзитивной группы подстановок. Так, в первом примере
S = (l 2 3)D 5 6)G 8 9)A0 11 12),
?/ = B3 475)F9 10 11 8),
= (l 3 5 6) B 4 7 8),
а во втором примере
Д = A 2 5 7)C 8 6 4),
Г = A 4 5 8) B 6 7 3).
Однако переход от © к группе подстановок вполне
может оказаться всего лишь гомоморфизмом. Изомор-
Изоморфизмом он будет только тогда, когда ф— единичная
подгруппа (так что представление регулярно) и ког-
когда никакая подгруппа группы ф, отличная от единич-
единичной, в том числе сама ф, не является нормальной под-
подгруппой группы © (Кармайкл [1937], с. 157; см.
также Б ернса й д [1911], гл. X—XII).
2.4. Как определить, нормальна ли заданная под-
подгруппа? Допустим, что мы уже имеем таблицы, в ко-
которых занумерованы q смежных классов 1 = ф, 2, ...
..., q группы @ = rp(Si, S2, ..., Sm) с генетическим
кодом B.11) по подгруппе ф = гр(Гь Т2, ¦¦-, Тп).
Если ф нормальна, то
i-T, = i, /=1,2 q, /=1, 2, .... п. B.41)
В самом деле, если i = 1 •/?, R е ©, то
Обратно, если B.41) выполнено, то подгруппа $ нор-
нормальна в @. В самом деле, если R — произвольный

32
ГЛ. 2. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
элемент группы ©, то из B.41) вытекает, что $RTi =
R T1
ру
= $R, откуда RT/R-1
R1
для ; = 1, 2,
п. Таким
$ у ; , ,
образом, RQR-1 = ф, т. е. ф — нормальная подгруппа.
Условия B.41) легко проверяются по таблицам.
Если 1-Т^ф[ для некоторых i и /, то ,§ не является
нормальной. Если же i-Tj = i для всех / и /, то ф
нормальна." В последнем случае в таблицах зануме-
занумерованы смежные классы единичной подгруппы в фак-
фактор-группе ®Д), которая определяется соотношениями
B.11) с добавленными к ним соотношениями Т-, = Е,
/=1,2, .... п.
В качестве простого примера рассмотрим таблицы,
перечисляющие три смежных класса группы ©~914 с
генетическим кодом
S3 = Р = (STf = Е
по подгруппе ф = гр (Г, S-TS). Начальные данные:
1-7" = 1 и 1 'S^TS = 1; смежные классы определяют-
определяются так: 2 = 1-S, 3 = 2-S. Таблицы имеют вид
STSTST I S-1 Г S
SSS
TT
12 3 1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
12 2 3 3 1 1
1 3 3 1
2 112
3 2 2 3
Ясно, что 1-Т=\, 2-Т = 2, 3-7 = 3, \-S~[TS=l,
2-S~lTS = 2, 3-S~]TS = 3; следовательно, подгруппа
§ нормальна.
2.5. Как генетический код определяет группу? Хо-
Хотя чаще всего метод перечисления применяется для
отыскания генетического кода заданной конечной
группы, его можно использовать и для нахождения
группы по заданному коду. Например, естественным
обобщением симметрической группы ©4, заданной в
виде A.59), является группа с генетическим кодом
S3 = Т2, (SP) = Е.
Описанным методом могут быть найдены порядок
этой новой группы и индексы ее подгрупп (см. Мил-
Миллер, Блихфельдт и Диксон [1916], с. 154).
Метод перечисления можно использовать и для до-
доказательства того, что некоторые соотношения унич-
2.5. КАК ГЕНЕТИЧЕСКИЙ КОД ОПРЕДЕЛЯЕТ ГРУППУ? 33
тожают друг друга. Например, рассмотрим соотноше-
соотношения
Доказать алгебраически, что
R = S = E, B.52)
— нелегкая задача, а методом перечисления этот ре-
результат получается без труда. Действительно, возь-
возьмем ф = rp(R). Таблицы со вставленным в них равен-
равенством 1-R = 1 имеют вид
S S S Я S R R \ R R R S
R S S
1 1
1
1 1 1 1
Полагая по порядку 2 = 1-S, 3 = 2-R, 4 —2-S, 5 =
= 3-5, получим
R S S \ S S S R S R R I R R R S
1
2
3
4
5
1
3
2
2
5
4
4
1
2
3
4
5
2 4
4
5
4 1
2
3
4
5
2
4
б
3
4
2
5
4
1
2
3
4
5
1
3
2
1
2
3
5
4
1
3
2
2
5
4
Полагая далее 6 = 5-R и вставляя это в таблицы,
видим, что все уничтожается, т. е. 1=2 = 3 = 4 =
= 5 = 6. Поскольку 1 • 5 = 2 = 1, то S — степень эле-
элемента R. Значит, из B.51) следует B.52).

ГЛАВА 3
ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
Главная цель этой главы — описать представление
группы с заданными порождающими элементами по-
посредством топологического 1-комплекса или графа
(представление Кэли). Вершины графа изображают
элементы группы, а ребра определенным образом свя-
связаны с порождающими. Кэли [1878а, б] предложил
окрашивать ребра, связанные с различными порож-
порождающими, различными цветами (см. Бернсайд
[1911], с. 423—427 и фронтиспис). По очевидным по-
полиграфическим соображениям вместо цветных линий
мы будем пользоваться линиями одного цвета, но раз-
разной фактуры — обычными, прерывистыми, двойными
и т. д. После подходящего вложения графа в поверх-
поверхность получается карта, по которой можно прочитать
генетический код данной группы.
Понятие графа группы1) было переоткрыто Дэ-
Дэном [1910], с. 140—146, поэтому некоторые авторы
(например, Бэр и Л ев и [1936], с. 392, 393) назы-
называют его «Dehnsche Gruppenbild». Однако приоритет
Кэли неоспорим, так как он описал конструкцию гра-
фа группы в год рождения Дэна.
3.1. Графы. Мы предполагаем, что читатель зна-
знаком с понятием конечного или бесконечного графа,
вершины (или узлы) которого соединены направлен-
направленными ребрами (или ветвями). Граф называется связ-
связным, если всякую пару его вершин можно соединить
путем, составленным из последовательно смежных ре-
ребер. Тот же путь, пройденный в обратном направле-
') В оригинале Коксетер и Мозер используют термин «диа-
«диаграмма Кэли». — Прим. перев.
3.2. КАРТЫ
35
нии, называется путем, обратным к первоначальному.
Цикл — это путь, первая и последняя вершина кото-
которого совпадают. Тривиальный цикл состоит из некото-
некоторого пути и его продолжения обратным путем. Дере-
Дерево— это связный граф, все циклы которого тривиаль-
тривиальны; в конечном дереве число вершин на единицу
больше числа ребер (Кёниг [1936], с. 51].
Мы считаем, что цикл не меняется существенно,
если он комбинируется с тривиальным циклом, в част-
частности, все тривиальные циклы с этой точки зрения
эквивалентны. При таком соглашении цикл можно
рассматривать как цикл, содержащий некоторую
«фиксированную» вершину Е, а произведение двух
циклов по определению задается как последователь-
последовательное их прохождение (Райдемайстер [1932а],
с. 99).
Всякий граф, не являющийся деревом, имеет неко-
некоторое минимальное множество фундаментальных цик-
циклов (Кёниг [1936], с. 61), таких, что произвольный
цикл графа можно выразить в виде конечного произ-
произведения их степеней (включая и обратные степени).
Рассмотрим связный граф, имеющий iVo вершин,
N\ ребер и ц фундаментальных циклов. Удаляя ребро,
принадлежащее только одному из этих циклов1), мы
получим новый граф, имеющий iV0 вершин, N] — 1 ре-
ребер и ц—1 фундаментальных циклов. Повторяя этот
процесс, получим в конце концов граф с iVo верши-
вершинами, Ni — ji ребрами и без фундаментальных цик-
циклов. Поскольку такой граф является деревом, то No =
= N\— ц-j-l, откуда
H = iV!-iV0+l C.11)
(Кёниг [1936], с. 53; Орэ [1968], с. 91).
3.2. Карты. Определим карту как разбиение замк-
замкнутой поверхности на iV2 непересекающихся односвяз-
') Таким может служить всякое ребро, принадлежащее (не-
(нетривиально) по крайней мере одному фундаментальному циклу.
В самом деле, если оно принадлежит более чем одному циклу,
то можно заменить все циклы, кроме одного, их последователь-
последовательными произведениями с данными, чтобы получить новое множе-
множество фундаментальных циклов, в котором данное ребро принад-
принадлежит только одному циклу.

36
ГЛ. 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
ных областей (называемых гранями) N\ дугами (на-
(называемых ребрами), объединяющими в пары некото-
некоторые из iV0 точек (называемых вершинами). Предпо-
Предполагается, что никакие два ребра не имеют общей
внутренней точки и что всякое ребро принадлежит в
точности двум граням') (Гильберт и Кон-Фос-
сен [1936], с. 252—272; Бол л [1939], с. 232—237;
Лефшец [1949], с. 72—85). Характеристика Эйле-
Эйлера — Пуанкаре
— инвариант поверхности, не зависящий от выбора
карты. В частности, она будет той же самой для
двойственной карты из iV0 граней, N] ребер и N2 вер-
вершин. Возможны следующие значения характеристики:
2, 0, —2, —4, ... для ориентируемой поверхности,
1, 0, —1, —2, ... для неориентируемои поверхности.
Всякая неориентируемая поверхность может быть по-
получена из соответствующей ориентируемой поверхно-
поверхности (называемой ее двулистной накрывающей поверх-
поверхностью) подходящим отождествлением пар точек; на-
например, проективную плоскость (или эллиптическую
плоскость, %=1) можно получить из сферы (х = 2)
отождествлением точек-антиподов. Всякой карте, на-
наложенной на уже имеющуюся карту, соответствует
другая карта на последней, содержащая вдвое больше
элементов каждого типа (Трельфалль [1932а],
с. 41—42).
Очевидно, вершины и ребра карты образуют граф.
Обратно, всякий связный граф можно вложить в не-
некоторую поверхность так, что он даст вершины и реб-
ребра некоторой карты (Линдси [1959]). Вложение
редко когда единственно, но существует по крайней
мере одно вложение, для которого N2 и, следователь-
следовательно, j( максимальны. В случае, когда максимальная
характеристика равна 2, граф называется плоским
(Уитни [1933]), поскольку его можно вложить в
¦) Может случиться, что две грани совпадают, т. е. что неко-
некоторое ребро входит дважды в цикл сторон одной грани. Напри-
Например, дерево образует карту на сфере, имеющую JVi -f- 1 вершин,
Ni ребер и одну грань B#,-угольник).
3.3. ГРАФЫ ГРУПП
37
сферу и значит, в плоскость (например, с помощью
стереографической проекции).
Цикл, ограничивающий односвязную область, об-
образованную двумя или более смежными гранями, оче-
очевидно, равен произведению циклов, ограничивающих
\ t
Г)
\ t
Рис. 3.2. Произведения циклов
эти грани (см. рис. 3.2). В частности, если плоский
граф вложен в плоскость, то в одну из Л/2 граней вхо-
входит периферический цикл, ограничивающий остав-
оставшиеся Л^г—1 граней, и равный произведению циклов,
ограничивающих каждую из этих граней в отдельно-
отдельности. На самом деле эти N2— 1 циклов образуют фун-
фундаментальную систему для плоского графа, так что
Сравнив это с C.11), получаем формулу Эйлера
для сферы.
3.3. Графы групп. К.эли [1878а, б] представил
таблицу умножения группы ® с заданными порож-
порождающими элементами посредством графа, имеющего
в точности по одной вершине для каждого элемента
группы. Условимся одним и тем же символом V обо-
обозначать как элемент группы, так и соответствующую
ему вершину графа. С каждым порождающим Si свя-
связываются направленные ребра — назовем их Si-реб-
Si-ребрами— с направлением, указанным стрелкой. Имен-
Именно, вершины V и W соединяются Si-ребром, направ-

38
ГЛ. 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
ленным от V к W, если ')
C.31)
Таким образом, в каждой вершине для каждого по-
порождающего элемента существуют два ребра, одно
входящее, а другое выходящее из этой вершины. Реб-
Ребра соединяют вершину с ее «соседями», в частности,
соседи вершины Е— это порождающие и обратные к
ним элементы.
Всякий путь по ребрам графа соответствует слову
(элементу, выразимому в виде произведения порож-
порождающих и обратных к ним элементов), например, путь
Р, идущий по S2-pe6py «по течению», затем по S3-pe6-
ру против течения, а затем по Si-ребру по течению,
соответствует слову
Р =
"$2.
Путь Р ведет из вершины V в вершину PV. Если сло-
слово С представляет собой соотношение —
С = Е,
то всякий путь С является циклом, и обратно: напри-
например, если Si—Е, го всякий путь С ==5"— это цик-
циклически направленный п-угольник.
В случае, когда некоторый порождающий элемент
является инволюцией (т. е. имеет период два), граф
можно упростить, введя одно ненаправленное ребро
вместо 2-цикла, состоящего из двух противоположно
направленных ребер, соединяющих те же вершины.
Подстановки вершин, сохраняющие наименования
инцидентных ребер, совпадают с теми подстановками,
которые даются правым регулярным представлением
©, группы ®. Действительно, если такая подстановка
переводит вершины V и W из C.21) в вершины V и
W соответственно, то
W' = SlVr.
') Как и Бернсайд [1911], с. 423, мы следуем перво-
первоначальному соглашению К. э л и [18786]. Некоторые авторы пи-
пишут IV = VSt, причем прецедент здесь исходит также от К э л и
[1889].
3.3. ГРАФЫ ГРУПП
Значит, эта подстановка соответствует элементу
¦¦w~lw',
,± 1
переводящему вершину ? и ее соседей Si в вершину
U и ее соседей Sf lU.
Приведем примеры графов некоторых хорошо из-
известных групп малых порядков.
Граф знакопеременной группы 9t4, порождаемой
подстановками
— \V а о), 1 — \
может быть изображен как показано на рис. 3.3а
(Кемпе [1886], с. 43). Читатели, интересующиеся
архимедовыми телами, мо-
могут рассматривать его как
диаграмму Шлегеля для усе-
усеченного тетраэдра (Шле-
гель [1883], с. 353—358).
Граф группы кватернио-
кватернионов О в ее регулярном пред-
представлении порождающими
подстановками
Рнс. 3.3а. Группа тетраэдра
S = (l 2 5 6)C 47 8),
Г = B 3 6 7) D 5 8 1)
можно изобразить как восьмиугольник 12345 678
с вписанной октаграммой 1 4725 83 6 (рис. 3.36). Для
группы порядка 16, порожденной подстановками
/? = B 4) C 6), S = A2)C 5)D 7)(8 6),
T = (l 3)B 8) D 5)F 7),
получаем восьмиугольник, объединенный с октаграм-
октаграммой (рис. З.Зв).
Граф группы 2)з^®з, порожденной транспози-
транспозициями
) )
является графом Томсена (рис. З.Зг). Циклическая
группа &б с порождающими
# = A23456), S = (l 4)Bб)C6)

40
ГЛ, 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
представляется тем же самым графом с шестью реб*
рами, направленными как на рис. З.Зд.
В последних двух случаях порождающий S лиш-
лишний, и, исключив все 5-ребра, мы получим более про-
простой граф той же группы с меньшим числом порож-
порождающих. Вообще, порождающий Si тогда и только
Рис. 3.36. Группа кватер-
кватернионов
Рис. З.Зв. Одна из групп
порядка 16
тогда лишний, когда исключение всех S/-pe6ep со-
сохраняет связность графа. В частности, каждый граф
данной конечной группы — подграф полного графа
(Кэли [1889]), в котором все элементы группы
Рис. 3.3г. Нециклическая
группа порядка 6
Рис. З.Зд. Циклическая
группа порядка 6
(кроме Е) рассматриваются как порождающие и каж-
каждая вершина соединена дважды с каждой другой вер-
вершиной. Слишком громоздкий и потому практически
бесполезный, этот полный граф очень легко описы-
описывается: в нем любые две различные вершины V и W
соединяются двумя ребрами — одним ребром, направ-
3.4. ПЛОСКИЕ ГРАФЫ ГРУПП
41
ленным от У к IF, и другим, направленным от W к V;
первое ребро метится элементом WV~l, а второе —
3.4. Плоские графы групп. Мы уже видели, что
каждый цикл графа представим в виде произведения
фундаментальных циклов (§ 3.1, с. 35), групповые
слова изображаются путями, произведениям слов со-
соответствуют произведения путей и слово равно еди-
единице в данной группе тогда и только тогда, когда со-
соответствующий путь есть цикл. Отсюда следует, что
мы получим достаточное (и даже обычно чрезмерное)
множество определяющих соотношений данной груп-
группы, написав соотношения
\ — С2 = •.. =С^ =
C.41)
где С — слова, соответствующие множеству фундамен-
фундаментальных циклов, в том числе (согласно сделанному
выше искусственному упрощению) слова Si, соответ-
соответствующие ненаправленным 5,-ребрам.
В частности, если граф группы плоский, то можно
вложить его в плоскость и использовать для записи
определяющих соотношений N2—1 очевидных граней
(вместе с ненаправленными ребрами).
Число соотношений можно существенно сократить,
если вложение оказалось симметричным, т. е. грани
переходят в грани относительно регулярной группы
подстановок ®г. В таком случае,если V\, V2, ¦ •¦, Vp —
вершины грани, то для любого элемента V вершины
ViF, V2V VPV также определяют грань. Так как
группа подстановок ®г транзитивна на множестве вер-
вершин, то вершины всех граней расположены на них
одинаково. Таким образом, выписывая соотношения
C.41), можно ограничиться гранями при какой-ни-
какой-нибудь одной вершине.
Граф группы, изображенный на рис. 3.3а, вложен
симметрично, если рассмотреть внешнюю область пло-
плоскости как некую (шестиугольную) грань, т. е. если
рассмотреть рисунок не только как диаграмму Шле-
геля, но и как поверхность усеченного тетраэдра.
Грани (и направленные ребра) при вершине приводят

42
ГЛ. 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
к соотношениям
S3 = Т2 = {STf = (TSf = E,
одно из которых, очевидно, излишне. Таким образом,
группа Ш-4 имеет генетический код
S3 = Г = (STf = Е,
что согласуется с A.56).
Если граф группы симметрично вложен в поверх-
поверхность, отличную от сферы (или плоскости), то грани
при какой-нибудь одной вершине дают, конечно, пра-
правильные соотношения, но их, вообще говоря, уже не-
недостаточно для определения исходной группы. Какие
соотношения нужно еще добавить? Прежде чем отве-
ответить на этот вопрос, напомним некоторые результаты
о топологии замкнутых поверхностей.
3.5. Замкнутые поверхности. В теории Пуанкаре
два направленных цикла на данной поверхности рас-
рассматриваются как эквивалентные, если они гомотопны,
т. е. каждый из них можно непрерывно деформиро-
деформировать в другой (Лефшец [1949], с. 159). Произведе-
Произведение двух циклов строится так: сначала деформируем
один из них (если это необходимо) до тех пор, пока
циклы не будут иметь общую точку; тогда последо-
последовательное прохождение этих циклов и задает цикл-
произведение, определенный с точностью до эквива-
эквивалентности. Относительно такого умножения классы го-
гомотопных циклов составляют группу, называемую
фундаментальной группой поверхности (Керекьяр-
то [1923], с. 11, 178; Гильберт и Кои-Фоссен
[1936], с. 285). Ее единичный элемент — это класс
циклов, ограничивающих односвязные области, т. е.
циклов, непрерывной деформацией стягиваемых в точ-
точку. В частности, фундаментальная группа сферы —
группа порядка 1.
Для тора или «сферы с ручкой» фундаментальная
группа равна GLo X ©<*> и определяется соотношением
A.31) или ab = ba, или
3.5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
43
два ее порождающих элемента можно отождествить
с двумя циклами, проведенными очевидным образом
через какую-нибудь точку на поверхности. (Ориенти-
(Ориентируемая) поверхность рода р или сфера с р ручками
(Керекьярто [1923], с. 151—157; Трельфалль
[1932а], с. 33; Бол л [1974], с. 233) имеет фундамен-
фундаментальную группу с более сложным генетическим кодом
^
fl2^2a2
p V
= E, C.51)
где a,-, bi — пара порождающих элементов для каждой
ручки. (Эта группа при р ^ 1 бесконечна, так как
имеет бесконечную фактор-группу SooX^oo, получаю-
получающуюся добавлением соотношений аи = bk=E для
всех k>\.) Вот более симметричный код той же
группы:
' AiA2... А2рАГ1А21 ... А2Р1 = Е C.52)
(Лефшец [1949], с. 85).
Все упомянутые выше поверхности ориентируемы.
Простейшая неориентируемая поверхность — проек-
проективная плоскость, которую можно рассматривать как
сферу с отождествленными точками-антиподами, или
как полусферу с отождествленными противополож-
противоположными граничными точками, или как сферу со скре-
скрещенным колпаком (Гильберт и Кон-Фоссен
[1936], с. 275). Ее фундаментальная группа равна @2
и имеет код
причем порождающий элемент можно отождествить
с прямой линией на проективной плоскости. Группа
бутылки Клейна (или неориентируемого тора, или
сферы с двумя скрещенными колпаками) имеет код
А\А\ = Е; C.53)
она бесконечна, так как обладает фактор-группой S)<x>
с генетическим кодом А2 = Aj — E. Группа сферы с q
скрещенными колпаками (Дэн [1912], с. 131; Леф-
Лефшец [1949], с. 73—78) имеет генетический код
А\А\...А\ = Е C.54)

44
ГЛ. 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
в порождающих, взятых по одному для каждого скре-
скрещенного колпака. (Она бесконечна при всех q>\,
так как при Ak = E, k > 2, получается бесконечная
фактор-группа.)
Разрезав ориентируемую или неориентируемую по-
поверхность вдоль множества из т циклов,
т = 2р или q,
проходящих через одну и ту же точку и порождающих
фундаментальную группу, можно развернуть поверх-
Рис. 3.5а. Тор и проективная плоскость
Рис. 3.56.
ность в плоскую область, ограниченную 2/п-угольни-
ком; запись его сторон в их естественном порядке бу-
будет генетическим кодом фундаментальной группы в
терминах этих порождающих (Лефшец [1949],
с. 165). Например, тор развертывается в прямоуголь-
прямоугольник, а проективная плоскость — в двуугольник как на
рис. 3.5а. (См. также рис. 3.56 для р = 2 и # = 3.)
Взяв копии этого многоугольника, по одной для каж-
каждого элемента фундаментальной группы, и соединив
надлежащим образом вдоль соответствующих сторон,
мы получим универсальную накрывающую поверх-
3.5. ЗАМКНУТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
45
ность, которая уже односвязна (Трельфалль
[1932а], с. 8; Гильберт и Кон-Фоссен [1936],
с. 285). Например, бесконечное множество прямо-
прямоугольников заполняет обычную плоскость (рис. 3.5в),
а два двуугольника, рассматриваемые как полусферы,
заполняют сферу.
Сделанные замечания показывают, что на одно-
связной накрывающей поверхности стороны много-
многоугольников, помеченные порождающими элементами
фундаментальной группы, образуют граф этой группы.
1
ь
а
а, 1
Ь
а
b
а.
I b I b
Рис. 3.5в. Фундаментальная группа тора
Если ввести метрику — для того, чтобы использо-
использовать конгруэнтность многоугольников,— то легко со-
сообразить, что сумма углов многоугольника равна 2я,
потому что каждая вершина принадлежит 2т 2т-
угольникам. Отсюда вытекает, что соответствующая
плоскость является эллиптической при <7=1, евкли-
евклидовой при р = 1 или q — 2 и гиперболической, если
р > 1 или q > 2.
Мы видели, что только сфера и проективная пло-
плоскость имеют конечные фунда.ментальные группы. Это
утверждение — топологический аналог следующего
геометрического результата: сфера и эллиптическая
плоскость имеют конечную площадь, а евклидова и
гиперболическая плоскость — бесконечную площадь.
(Замечательный чертеж для случая р = 2 см. в книге
Гильберта и Кон-Фоссена [1936], с. 227,
черт. 249.) #
Вместе с картой 2/п-угольников на универсальной
накрывающей поверхности удобно рассматривать так-
также двойственную карту (на той же поверхности),
имеющую вершину на каждой грани исходной карты,

46
ГЛ, 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
ребро, пересекающее «старое» ребро, для каждого
старого ребра, и грань, окружающую старую вершину,
для каждой старой вершины. Метки ребер можно пе-
перенести со старых ребер. Если еще приписать ребрам
Рис. 3.5г.
надлежащие направления, то снова получим граф фун-
фундаментальной группы. На рис. 3.5г показана грань
исходной карты и соответствующая вершина двой-
двойственной карты (при р = 2 и q = 3). Отождествляя
Рис. 3.5д.
пары ребер грани так, как это показано на рис. 3.56,
получим многосвязную поверхность. Радиальные от-
отрезки на рис. 3.5г разбиты на пары, образующие пути,
соединяющие соответствующие точки на таких парах
ребер. Отождествление превращает эти пути в циклы,
которые можно использовать в качестве порождаю-
порождающих элементов фундаментальной группы. Наконец,
поскольку нет необходимости в том, чтобы эти порож-
порождающие проходили через одну и ту же точку, мы мо-
можем разделить их как на рис. 3.5д. (Пример для р>2
Х6. НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ ГРУПП
47
см. в книге Гильберта и Кон-Фоссена [1936],
с. 280, черт. 322.)
Вместо построения двойственной карты на универ-
универсальной накрывающей поверхности можно взять двой-
двойственную карту на исходной поверхности. Эта карта
имеет одну грань, одну вершину и т ребер (вдоль ко-
которых была разрезана поверхность). Между прочим,
существование такой карты с одной гранью показы-
показывает, что характеристика этой поверхности равна
N0 — Ni-+N2 = 2 — m, т = 2р или q. C.55)
Следовательно, если поверхность развернута в много-
многоугольник, стороны которого помечены так, как они
попарно отождествляются, то фундаментальная груп-
группа имеет множество порождающих, представленных
этими парами ребер, и другое множество порождаю-
порождающих, представленных путями (внутри многоугольни-
многоугольника), соединяющими соответствующие точки на этих
парах ребер (Нильсен [1927], с. 195).
Более подробные сведения о фундаментальных
группах будут изложены в главе 5.
3.6. Неплоские графы групп. Теперь мы готовы к
исследованию графа группы, вложенного в поверх-
поверхность максимальной характеристики, в произвольном
случае, т. е. когда характеристика может быть мень-
меньше 2. Развернем поверхность, разрезав ее по циклам,
порождающим фундаментальную группу и не прохо-
проходящим через вершины графа. Другими словами, пусть
граф нарисован внутри 2т-угольника, причем ребро
графа, выходящее через одну сторону, рассматривает-
рассматривается входящим через другую сторону, помеченную тем
же символом (см. ниже рис. З.бв).
Таким способом будет пересечена каждая сторона
многоугольника — в противном случае тот же граф
можно было бы нарисовать на многоугольнике с мень-
меньшим числом сторон, т. е. на поверхности с меньшим
р или q (и, значит, с меньшей характеристикой). Для
неориентируемой поверхности это ясно непосредствен-
непосредственно, так как удаление пары сторон 2<7-угольника при-
приводит к 2(q—1)-угольнику того же типа. В случае
ориентируемой поверхности (см. C.51)) удаление

48
ГЛ. 3. ГРАФЫ КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
пары сторон с меткой щ (или bi) делает смежной пару
с меткой bi (или щ). Последние две стороны направ-
направлены противоположно, поэтому их можно «сократить»
несложной деформацией, как это показано на рис. 3.6а.
Так как путь, соединяющий соответствующие точ-
точки на соответствующих сторонах, представляет один
из порождающих элементов фундаментальной группы
5 данной поверхности, то каждый порождающий эле-
элемент группы § можно выразить некоторым словом в
группе ©, граф которой рассматривается. С другой
стороны, каждый цикл графа, будучи циклом на по-
поверхности, также выражается в виде слова в группе
5- Слова Си из C.41), представляющие граничные
Рис. З.Ьа
циклы граней (и тривиальные циклы вдоль ненаправ-
ненаправленных ребер) позволяют приравнивать слова, пред-
представленные двумя гомотопными циклами; в частности,
приравнивать два разных выражения для одного и
того же порождающего группы g. Значит, остальные
слова Ck можно отождествить с порождающими эле-
элементами группы g; они задаются путями, соединяю-
соединяющими соответствующие стороны 2т-угольника.
Это утверждение — теоретико-групповой аналог то-
топологической теоремы о том, что если граф вложен
в поверхность характеристики 2— т, так что получи-
получилась карта с Л^2 гранями, то \х, фундаментальных цик-
циклов графа можно выбрать из граничных циклов Л^г— 1
граней и т порождающих элементов фундаменталь-
фундаментальной группы этой поверхности, в согласии с C.11) и
C.55) (Зайферт и Трельфалль [1938], § 46).
Если вложение симметрично, то, как и выше, чис-
число соотношений C.41) можно уменьшить, ограничив-
ограничившись гранями при какой-нибудь фиксированной вер-
вершине.
Рассмотрим для иллюстрации граф рис. 3.36, т. е.
граф группы кватернионов (§ 1.7, с. 19). Его можно
3.6 НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ ГРУПП
49
симметрично вложить в тор, как показано на рис. 3.66,
где второй вариант вложения не имеет разрезов через
вершины. Карта состоит из 8 квадратных граней по
4 при каждой вершине (Коксетер [1950], с. 414,
415; рис. 4 и 6). Грани при одной фиксированной вер-
вершине дают четыре соотношения
tsts'1 =
~1
= ts~1ts = е,
на самом деле эквивалентные одному
S2 = (STJ.
Однако оно еще не определяет группу О. Ищем теперь
порождающие циклы фундаментальной группы — один
Ь Ь
Ь Ь
Рис 3.66. Группа кватернионов
из них соединяет вертикальные стороны с меткой а,
а другой соединяет горизонтальные стороны с меткой
Ь. Оба они записываются в виде S2T~2. Значит, иско-
искомое дополнительное соотношение имеет вид
и полный генетический код группы О таков:
S2 = Т2 = (STJ.
Рассмотрим теперь рис. З.бв, на котором изобра-
изображен граф группы порядка 16 (см. рис. З.Зв), вложен-
вложенный симметрично в поверхность рода 2. Здесь ради
симметрии мы развернули поверхность по схеме 3.52,
а не 3.51, так что отождествляются в точности
пары противоположных сторон восьмиугольника.

50
ГЛ. 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
Карта имеет шесть восьмиугольных граней по три при
каждой вершине. Ребра не ориентированы, так как
порождающие элементы — инволюции. Грани и ребра
при одной вершине дают соотношения
R* = S2 = Т2 = (STL = (TRL = (RS)* = Е.
Фундаментальная группа имеет здесь четыре порож-
порождающих элемента — по одному для каждой пары про-
противоположных сторон.
Два из них можно выра-
выразить как TSRSTR, а дру-
другие два —как TRSRTS.
Приравнивая их единице
и добавляя это к предыду-
предыдущим соотношениям, по-
получим в общем-то избы-
избыточный генетический код,
эквивалентный более
простому коду
i •
Ai R2 = S2 = Т2 = Е,
Рис. З.бв. Одна из групп (о.Ы)
порядка 16
RST = STR = TRS.
В самом деле, отсюда следует, что
(STL = STS ¦ TST ¦ ST = RTR ¦ RSR • ST =
и, аналогично, (TRL ={RSL = Е.
Рассмотрим группу SK- Ее граф (см. рис. З.Зг)
можно симметрично вложить в проективную пло-
плоскость, как показано на рис. 3.6г. Здесь карта состоит
из одной шестиугольной и трех четырехугольных гра-
граней. Каждая вершина инцидентна одной шестиуголь-
шестиугольной грани и двум четырехугольным. Эти грани и не-
неориентированные ребра при некоторой вершине дают
соотношения
R2 = s2 = Т2 = (RSJ = RTST = STRT = Е.
Единственный порождающий цикл фундаментальной
группы получается, если соединить две противополож-
противоположные точки периферической окружности (или «дву-
3.7. ГРАФЫ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
угольника»). Из вытекающего отсюда дополнитель-
дополнительного соотношения
SRST = E
следует, что Т = SRS; таким образом, группа 3K имеет
генетический код
На рис. З.бд тот же самый граф рассматривается
как граф циклической группы ©е, вложенный анало-
аналогичным образом в проективную плоскость. Три грани
Рис. &6г. Нециклическая
группа порядка 6
Рис. З.бд. Циклическая груп-
группа порядка 6
с общей вершиной и неориентированные ребра — дают
соотношения
R6 = S2 = RSR~lS = >
= Е,
а дополнительное соотношение имеет вид
Исключив с его помощью S, получим канонический
код A.15).
3.7. Графы смежных классов. Согласно определе-
определению, вершинами графа данной группы © являются ее
элементы, т. е. «смежные классы» по тривиальной
подгруппе {?}. Шрайер [1927], с. 180, обобщая по-
понятие графа группы, рассмотрел граф, вершинами ко-
которого служат смежные классы данной подгруппы ф.
По существу это графическое изображение система-

52
ГЛ. 3. ГРАФЫ, КАРТЫ И ГРАФЫ ГРУПП
1.7. ГРАФЫ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
63
Рис. 3.7а. Группа икосаэдра
Рис.
%
3.76. Группа [III]3
1
1
-ч
порядка
54
I Т j
°г
^ Л''''
тического перечисления смежных классов, изложен-
изложенного в главе 2. Узлы, представляющие смежные клас-
классы v и до, соединяются S*-pe6poM, направленным от
и к до, если
vSt = w. C.71)
Может случиться, что vSi = v, тогда узел v соеди-
соединяется сам с собою Si-петлей. Сравнивая C.71) с
C.31), мы видим, что граф группы действительно по-
получается как частный случай при § = {.?'}, за исклю-
исключением того, что ради согласования с главой 2 мы
читаем теперь слово, отвечающее данному пути, слева
направо. (Таким образом, рассматриваются графы
правых смежных классов.)
На рис. 3.7а изображен граф смежных классов
группы B.21) по циклической подгруппе, порожден-
порожденной элементом U. На рис. 3.76 и 3.7в приведены при-
примеры графов смежных классов групп, порожденных
инволюциями и имеющих соответственно код
= Rl = Rl = (R2R3f = (R3R,f =
= ? C.72)
(см. Коксетер [19576], с. 248) и код
#? = Rl = Rl = (R2R3f = (RsRtf = (RiRzf = E, C.73)
лричем оба раза берутся смежные классы по диэд-
ральной подгруппе гр(/?2, Из) порядка 6. В первом
примере имеется 9 узлов, представляющих 9 смежных
классов, а порядок группы равен 54. Во втором слу-
случае узор продолжается неограниченно, что свидетель-
свидетельствует о бесконечности группы. (Это группа А из ра-
работы Ко ксетер а [1963а], с. 79.)
Рис. 3.7в. Бесконечная группа Д

ГЛАВА 4
АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Когда мы говорим, что квадрат более симметри-
симметричен, чем треугольник, мы подразумеваем, что он имеет
большее число симметрии, т. е. движений, оставляю-
оставляющих его инвариантным. Очевидно, симметрии неко-
некоторой фигуры образуют группу — группу симметрии
фигуры. Например, совершенно неправильная фигура
имеет группу симметрии порядка 1, а группа порядка
2 возникает, когда фигура имеет только двусторон-
двустороннюю симметрию или преобразуется в себя полуобо-
полуоборотом, т. е. поворотом на два прямых угла.
4.1. Циклические и диэдральные группы. Поворот
на угол 2n/q порождает циклическую группу &?; на-
например, ©4 — группа свастики, а &5— группа цветка
барвинка малого, vinca herbacea (Вейль [1968],
с. 92). Комбинируя Щ,ч с отражениями относительно
прямых, проходящих через центр поворота, мы полу-
получим диэдральную группу S)? порядка 2q, которая, та-
таким образом, оказывается полной группой симметрии
правильного ^-угольника {q}\ например, S>5 — группа
цветка герани. Вейль приписывает Леонардо да Вин-
Винчи открытие того, что конечными двумерными груп-
группами симметрии являются лишь Sff и S)?. Аналогично,
Si и ©1 и только они — конечные одномерные группы,
тогда как @<х> и SU — единственные бесконечные ди-
дискретные одномерные группы.
Бесконечные дискретные двумерные группы возни-
возникают на практике как различные способы повторения
плоских узоров, например, на обоях или изразцах.
Все 17 таких групп были открыты эмпирически Мур-
сом в его украшениях Альгамбры в Гренаде; многие
4.2. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
65
из них были известны еще в древнем Египте и Китае
(Шпайзер [1924], с. 86—90; Дай [1937]; Мюл-
Мюллер [1944]; Вейль [1968], с. 125—137; Уэллс
[1956], с. 83). Их генетические коды мы укажем
в § 4.5.
Строго говоря, число бесконечных двумерных ди-
дискретных групп равно не 17, а 24, но для экономии
места мы опускаем семь групп, содержащих переносы
только в одном направлении,,т. е. группы симметрии
узоров на полосе (Шпайзер [1924], с. 82—83; Кок-
сетер [19636], с. 71).
4.2. Кристаллографические и некристаллографиче-
некристаллографические точечные группы. Конечные трехмерные группы
симметрии были впервые перечислены в 1830 году
Гесселем, работа которого оставалась незамеченной,
пока Эдмунд Гесс не переиздал ее в оствальдовых
«Klassiker» в 1897 году. Основная идея состоит в сле-
следующем.
Всякая конечная группа движений оставляет не-
неподвижной по крайней мере одну точку: центроид
(центр тяжести) системы всех точек, получаемых пре-
преобразованиями из некоторой точки. Всякое движение,
обладающее неподвижной точкой, является либо от-
отражением относительно плоскости, содержащей эту
точку, либо произведением двух или трех таких отра-
отражений (Коксетер [1963а], с. 36). Оно сохраняет
или меняет ориентацию в соответствии с четностью
или нечетностью числа отражений. Значит, всякое со-
сохраняющее ориентацию движение (с неподвижной точ-
точкой) является произведением в точности двух отра-
отражений, т. е. поворотом (на удвоенный угол между
отражающими плоскостями). Инвариантная точка не-
необходима нам, чтобы рассматривать группу движе-
движений как группу, действующую на сфере.
Пример изменяющего ориентацию движения — от-
отражение Z относительно точки (или центральная
инверсия), обращающее каждый вектор и, таким об-
образом, меняющее местами антиподы на сфере. Очевид-
Очевидно, Z совпадает с произведением отражений относи-
относительно трех попарно ортогональных плоскостей. Ком-
Комбинируя Z с любым другим меняющим ориентацию

56
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
движением, мы получим произведение четного числа
отражений, т. е. поворот. Таким образом, всякое ме-
меняющее ориентацию движение является поворотом с
инверсией, т. е. произведением поворота и централь-
центральной инверсии.
Так как любое сохраняющее ориентацию движение
(с неподвижной точкой) есть поворот, то произведе-
произведение двух поворотов (вокруг пересекающихся осей) —
снова поворот, и всякая конечная группа сохраняю-
сохраняющих ориентацию движений является группой поворо-
поворотов. Простое рассуждение показывает, что группами
такого рода являются только группы поворотных сим-
симметрии следующих тел:
1) ^-угольной пирамиды,
2) ^-угольной дипирамиды или призмы,
3) правильного тетраэдра {3,3},
4) куба {4,3} или октаэдра {3,4},
5) додекаэдра {5,3} или икосаэдра {3, 5} (Форд
[1936], с. 144; Цассенхауз [1958]> с. 16—19;
Вейль [1968], с. 102—105, 161 — 166; Коксетер
[1966], гл. 15, § 4). Полная группа симметрии любого
тела может содержать отражения, однако, временно
мы рассматриваем подгруппу, состоящую только из
поворотов.
В случаях 1) и 2) мы немедленно узнаём цикли-
циклические и диэдральные группы &? и S), соответственно.
Полная группа симметрии тетраэдра по сути дела со-
совпадает с симметрической группой на его четырех
вершинах; значит, подгруппа 3) порядка 12 — это зна-
знакопеременная группа 9t4- Повороты куба перестав-
переставляют четыре его диагонали (соединяющие пары про-
противоположных вершин), поэтому в случае 4) группа
поворотов имеет порядок 24 и совпадает с симметри-
симметрической группой @4.
Двадцать вершин додекаэдра можно разбить на
пять классов, дающих вершины пяти вписанных тет-
тетраэдров как на рис. 4.2 (см. Гесс [1876], с. 45).
Всякий поворот переставляет эти пять тетраэдров ме-
между собой; следовательно, в случае 5) группа пово-
поворотов имеет порядок 60 и совпадает со знакоперемен-
знакопеременной группой Sts.
4.2. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
57
Ввиду этих геометрических замечаний группы St4.
©4 и Sis называют обычно группами тетраэдра, октаэд-
октаэдра и икосаэдра соответственно (Клейн [1876];
[1884], с. 14—19).
Полна и Майер [1949] (см. также Вейль
[1968], с. 139, 166—167) заметили, что всякая другая
конечная группа симметрии есть либо прямое произ-
произведение группы поворотов и группы S2, порожденной
элементом Z, либо сле-
следующая комбинация
двух групп поворотов©
и ф, где ф — подгруппа
индекса 2 в ®: эле-
элементы подгруппы ^
оставляются без изме-
изменения, а каждый эле-
элемент группы ©, не при-
принадлежащий ф, умно-
умножается на Z. Полу-
Получающуюся в результате
группу, порядок кото-
которой равен порядку
Рис. 4.2. Пять тетраэдров, верши-
вершины которых являются вершинами
додекаэдра
группы ©, Полна обо-
обозначает символом ф[@,
а Вейль — ©ф. В таб-
таблице 2 (на стр. 196—
197) для этих групп
приводятся классические обозначения Шёнфлиса
[1891], с. 146,и Германа и Могвина (см. Генри
иЛонсдейл [1952], с. 25, 44).
32 группы, в которых любой поворот имеет период
2, 3, 4 или 6, называются кристаллографическими то-
точечными группами, или классами кристаллов (см., на-
например, Буркхардт [1947], с. 72), потому что они
являются фактор-группами бесконечных дискретных
групп симметрии или пространственных групп. Они
были классифицированы как абстрактные группы Бе-
Беловой, Беловым и Шубниковым [1948].
Остальные (некристаллографические) точечные груп-
группы обсуждались Доливо-Добровольским
[1925]. Новацкий [1933] исследовал, какие из
этих групп являются подгруппами других.

58
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
4.3. Группы, порожденные отражениями. Группы,
порожденные отражениями, заслуживают особого рас-
рассмотрения по двум причинам: во-первых, для всех них
имеется общая теория, во-вторых, они содержат в ка-
качестве подгрупп остальные точечные группы.
Группа, порожденная отражениями относительно
некоторого множества плоскостей, порождается и от-
отражениями относительно всех их образов — конфигу-
конфигурации плоскостей, которая симметрична относительно
каждой из входящих в нее плоскостей. Если группа
конечна, то все эти плоскости пересекаются в инва-
инвариантной точке (или точках) и определяют соответ-
соответствующую конфигурацию больших окружностей на не-
некоторой сфере. Большие окружности разбивают сферу
на конечное множество областей (полусфер, двууголь-
двуугольников или сферических треугольников), углы которых
являются правильными долями угла я (Коксетер
[1963а], с. 76—77). Все области конгруэнтны (с воз-
возможным изменением ориентации), так как каждая от-
отражается в соседние.
Простейший пример — группа [1] порядка 2, по-
порожденная отражением относительно единственной
плоскости, рассекающей сферу на две половины. Если
(конечная) группа порождается двумя отражениями,
то можно считать, что угол между отражающими пло-
плоскостями равен n/q (q~^2). Эти плоскости и их об-
образы пересекают сферу по пучку q меридианов, раз-
разбивающих ее на 2q двуугольников. Граф группы сов-
совпадает с 2<7-угольником, имеющим по одной вершине
в каждом двуугольнике. Таким образом, получается
группа
порядка 2q с генетическим кодом
2 2 \ о
Ri = R2 — {RiR2)i = ?. D.31)
Пусть теперь группа порождается отражениями
Ль Лг, Лз относительно трех сторон сферического тре-
треугольника с углами я/р2з, я//?з1, n/Pi2- Ясно, что эти
отражения удовлетворяют соотношениям
4.3. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
59
и трем соотношениям вида (RiRj)Pii — Е. Покажем,
что любое другое соотношение между R\, R2, R3 яв-
является их алгебраическим следствием.
Называя начальный треугольник «областью Е»,
заметим, что всякий элемент S нашей группы преоб-
преобразует его в некоторую «область S». В частности, по-
порождающие элементы преобразуют область Е в со-
соседние области Ri, а элемент S преобразует ? с ее
соседями Ri в S с ее соседями RtS. Таким образом,
проходя через г'-ю сторону области S, мы попадаем
в область RiS. Всякому выражению для S в виде
слова
соответствует путь из положения внутри области Е в
положение внутри области S, проходящий через /-ю
сторону области Е, затем через /-ю сторону области
Ri, через k-ю сторону области /?,-/?,• и так далее (чи-
(читаем справа налево1)). Соединив два различных пути,
ведущих из Е в S, получим замкнутый путь из ? в
S~I5=?', отвечающий слову, равному в нашей груп-
группе единице. Поскольку сфера односвязна, такой замк-
замкнутый путь можно разложить в произведение элемен-
элементарных циклов двух типов: по одним можно пройти
из области S в соседнюю область RiS и вернуться в
RjS = S, по другим — пройти вокруг вершины, в кото-
которой пересекаются 2рц областей, из области S в
(RiRj)PtlS = S. Постепенному сокращению пути соот-
соответствует алгебраическое приведение слова к ? с ис-
использованием соотношений /?,¦ = ? и (RiRi)Pil = Е. От-
Отсюда вытекает, что эти соотношения достаточны для
определения группы, а треугольник является фунда-
фундаментальной областью: существует точно один такой
треугольник для каждого элемента группы, и всякая
точка на сфере, внутри или на границе такой области
S, — образ соответствующей точки области Е относи-
относительно преобразования S.
') Как говорит в одном письме А. Шпайзер (декабрь
1954 года): «Wenn man ein Produkt von Substitutionen geomet-
risch deutet, muB man sie «raumfest» deuten, falls man von links
nach rechts liest. Liest man aber von rechts nach links, so mufl
man sie «korperfest» deuten».

60
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Треугольники, покрывающие сферу, можно рас-
рассматривать как грани карты (§ 3.2). Выбрав внутри
них по точке, мы получим двойственную карту, ребра
которой пересекают стороны треугольников. Преды-
Предыдущие замечания позволяют отождествить эту двой-
двойственную карту с графом группы (§ 3.3), имеющим
при каждой вершине 2р2з-угольник, 2р3гугольник и
2р12-угольник — в соответствии с соотношениями
(#2#зГ = (#з# if' = (#i#2f' = Е.
Так как фундаментальная область — сферический
треугольник, то сумма его углов больше я, поэтому
Ра Рг\ Рп
Так как тт + -s- -f- т = 1» то наименьшее из рц долж-
О О О
но равняться 2, а другие, скажем, р и q, должны
удовлетворять неравенству
7 + Т>Т или(/>-2)(<7-2)<4.
Отсюда следует, что [2, q], [3,3], [3,4], [3,5]—един-
[3,5]—единственные возможные варианты группы
[р, q] или [?, р]
с генетическим кодом
R2 = Rl = R2 = (/?,#„)' = (R2R3)" = (R3R2f = E, D.32)
фундаментальная область которой — треугольник с уг-
углами п/р, n/q, я/2. Эта группа является полной груп-
группой симметрии одного из двух двойственных правиль-
правильных многоугольников {р, q), {q,p} (Коксетер
[1963а], с. 83). Ее граф состоит из вершин и (нео-
(неориентированных) ребер полуправильного многогран-
многогранника
(Коксетер [1940а], с. 394), имеющего при каж-
каждой вершине один 2р-угольник, один 2<7-угольник и
один квадрат. (Случай [3,5] проиллюстрирован на
4.4. ПОДГРУППЫ ГРУПП ОТРАЖЕНИИ
61
рис. 4.3, сходном с рисунком Р. Фрике, см. Паскаль
[1927], с. 945. Классические обозначения всех этих
групп даны в таблице 2.)
Так как площадь фундаментальной области изме-
измеряется ее угловым избытком, то порядок группы
Рис. 4.3. Группа [3, 5] ~ S2 X %
[р, q] равен числу треугольников, необходимых для
покрытия всей сферы, т. е.
4 9>pq
7 + Т~2"
(Коксетер [1963а], с. 82).
4.4. Подгруппы групп отражений. Три поворота
и О О С D D Т D D
i\ — J\ 1-Tv2j *-Э '— *\2*V3> ^ — *^3*М
или любые два из них порождают подгруппу «много-
«многогранника» [р, q]+ или [q, p]+ порядка 4pq{4 — {p —
-^-2) (q — 2)}-' с генетическим кодом
или
RP = Sq = (RSJ = E, D.42)
или
S" = T2 = (ST)P = E D.43)
(см. Коксетер [1940а], где [р, q]+ обозначена че-
через [р,д]').

62
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Понятие фундаментальной области остается в силе,
но поскольку ее стороны не инвариантны относитель-
относительно порождающих элементов, то форма области уже
не определяется единственным способом. Так как под-
подгруппа [р, q] + имеет в [р, q] индекс 2, то площадь ее
фундаментальной области в два раза больше пло-
площади рассмотренного выше треугольника. Естествен-
Естественно выбирать такую форму, чтобы сетка конгруэнтных
областей и граф группы составляли двойственные
карты (Бернсайд [1911], с. 406, 423). В случае
D.43) мы так прикладываем два треугольника один
к другому, что получается больший треугольник с
двумя углами п/р и одним углом 2n/q; граф группы
представляет собой мозаику t{p,q} (в каждой вер-
вершине сходятся два 2р-угольника и один ^-угольник).
В случае D.42) при q > 2 мы опять объединяем два
прямоугольных треугольника, но теперь выбирается
пара треугольников с общей гипотенузой, так что по-
получается криволинейный четырехугольник, а граф
группы имеет тип г | р > (в каждой вершине сходятся
два несмежных квадрата, разделенных р-угольником
и q-угольником). В случае D.41) один треугольник
так объединяется с частями трех его соседей (скажем,
белый треугольник с частями трех смежных черных
треугольников), чтобы получился пятиугольник (или
квадрат при р = 2); граф группы в этом случае есть
8|р|.(Для случая [3,4]+ см. Бернсайд [1911],
фронтиспис. К сожалению, направление стрелок на
приведенном там рисунке противоречит тексту на
с. 424, 427. Заметим еще, что преобразование SiS2S3
действует сначала вдоль некоторого S3-pe6pa, затем
вдоль S2-pe6pa и, наконец, вдоль Si-ребра.)
Почти все такие графы групп перечислил Машке
[1896], с. 156—194, рис. 2—10, 16—18 (см. также
Р. Бейкер [1931], с. 645—646; Коксетер, Лон-
ге-Хнггинс и Миллер [1954], с. 403, 439,
рис. 15—25, 27, 29—32).
При р = 3, q = 4 или 5 элемент (Я^ЯзJ"'5 груп-
группы [р, q] является центральной инверсией Z (Коксе-
(Коксетер [1963а], с. 91). Отсюда следует, что группа
4.4. ПОДГРУППЫ ГРУПП ОТРАЖЕНИЙ
63
[p, q] разлагается в прямое произведение группы
rp(Z) порядка 2 и подгруппы поворотов [р,q]+.
В случае четного q группа [р, q] имеет подгруппу
индекса 2, скажем,
[р+, q] или [<7, р+],
порожденную поворотом /? = R\R2 и отражением /?3.
Ее генетический код
легко выводится из D.32) (Коксетер [1940а],
с. 387). В качестве фундаментальной области проще
всего взять треугольник с двумя углами n/q и одним
углом 2я/р (или двуугольник при р = 2). Граф этой
группы совпадает с t{q, р} (или {2^} при р = 2) и по-
похож на граф группы [р, q]+ с генетическим кодом
отличающийся от нашего только ориентацией различ-
различных /?-ребер. При q = 2 получаем группу [р+, 2] или
[2, р+], разлагающуюся в прямое произведение груп-
группы Sp с порождающим элементом R и группы &2 с по-
порождающим элементом R3-
Наиболее интересная группа этого типа — группа
[3+, 4], являющаяся прямым произведением группы
@2, порожденной центральной инверсией (RR3K, и
группы [3,3]+, порожденной элементами R и R3RR3.
Она совпадает с группой симметрии додекаэдра с впи-
вписанным в него кубом или октаэдра с вписанным в
него икосаэдром (Коксетер [1940а], с. 396), или
кристалла пирита (серного или железного колчедана,
pyritohedron).
При р = 2 код D.44) имеет вид
R2 = (#§) = (RRa)" = E, q четно.
В определяемой им диэдральной группе [2+, q] пово-
поворот с инверсией RRS порождает циклическую под-
подгруппу порядка q. Придерживаясь соглашения, что
каждый верхний значок + делит порядок пополам, мы
обозначим эту подгруппу через
[2+, <7+], <7 четно

64
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
(см. таблицу 2 на стр. 196). Конечно, она Имеет ин-
индекс 4 в группе [2, q] и порождается элементом
RiR2R3- Заметим для сравнения, что при нечетном q
этот элемент порождает в группе [2, q] подгруппу
[2, q+] (индекса 2).
4.5. Семнадцать двумерных дискретных групп. Пер-
Первая математическая теория плоских кристаллографи-
кристаллографических групп принадлежит Федорову [1891]. Они
были переоткрыты Фрике и Клейном [1897],
с. 227—233, Полна и Ниггли [1924] (см. также
Буркхардт [1947], с. 111—124;Хееш и Кинзли
[1963], с. 23—29). Новацкий [1954], с. 133, пока-
показал, что как абстрактные группы все они различны.
В этом параграфе мы найдем генетический код каж-
каждой из этих групп в терминах двух, трех или четырех по-
порождающих; заметим, что сетка фундаментальных об-
областей (изображенная в левой половине каждого ри-
рисунка) и граф группы (в правой половине) образуют
двойственные карты. Точка Е графа группы изобра-
изображается слева черной точкой внутри фундаментальной
области. Полуобороты и другие повороты обозначают-
обозначаются как обычно, переносы — стрелками, скользящие
отражения — «полустрелками».
Говоря о конкретных группах, проще всего обо-
обозначать их «краткими» символами Германа и Мог-
вина (см. Генри и Лонсдейл [1952], с. 46—72).
Связь с другими обозначениями указана в таблице 3.
Любые два независимых переноса (или вектора)
X и Y в плоскости порождают решетку, группа пере-
переносов pi которой определяется соотношением A.31):
XY = YX D.501)
(рис. 4.5а). Так как эта группа — прямое произведе-
произведение свободных групп гр(Х) и гр(У), то ее можно опи-
описать как ®ооХ@°°- Произвольный элемент ХхУу этой
группы (х и у— целые числа) представляет собой пе-
перенос из начала координат в точку с аффинными ко-
координатами (х, у).
Фундаментальную область можно выбрать беско-
бесконечно многими способами, но если еще наложить тре-
требование выпуклости, то она должна иметь центр сим-
4.5 СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
65
метрии (Федоров [1885], с. 271—272) и быть фак-
фактически либо параллелограммом (как выше), либо
центрально симметричным шестиугольником. Вторая
возможность реализуется, если воспользоваться тремя
\ \ \
A V-
\ \ \
Рис. 4.5а. Группа pi, порожденная двумя переносами
порождающими X, Y, Z = X-{Y~l, в которых та же
самая группа задается кодом
E D.5011)
(рис. 4.56).
Изменяя величины и направления переносов X и Y,
мы получим бесконечно много геометрических разно-
разновидностей одной и той же абстрактной группы. Эта
Рис. 4.56. Группа pi, порожденная тремя переносами
множественность устраняется рассмотрением плоско-
плоскости как аффинной, а не евклидовой, — тогда все па-
параллелограммы (Коксетер [1955], с. 11) уже не
отличаются друг от друга.

66
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Всякий полуоборот Т меняет направления перено-
переносов X, Y, порождающих группу pi, на противополож-
с х:
\ у
Рис. 4.5в. Группа р2, порожденная тремя полуоборотами
ные. Группа р2, полученная присоединением этого Ъ
к pi, определяется соотношениями
XY = YX, T2 = E,
Эта большая группа порождается тремя полуоборо-
полуоборотами Т\ = TY, Т2 = ХТ, Г3 = Т, в терминах которых
УХ
Рис. 4.5г. Группа р2, порожденная четырьмя полуоборотами
имеет генетический код
Т\ = т1 = т1 = {ТхТ2Тг? = Е D.502)
(рис. 4.5в); поэтому в терминах Ти Т2, Тг, Т4 =
= Т1Т2Т3 = Т\Х она имеет код
Т\ = Т\ = Г32 = Т\ = Г1Г2Г3Г4 = Е D.5021)
(рис. 4.5г; см. также Дик [1882], с. 37),
4.5. СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
67
Следует отметить, что всякий треугольник может
служить фундаментальной областью для группы р2
в форме D.502), порождающими элементами которой
выбраны полуобороты вокруг середин трех сторон
треугольника, — это становится очевидным, если вос-
воспользоваться аффинной плоскостью, в которой все
треугольники одинаковы. Аналогично, всякий простой
четырехугольник (не обязательно выпуклый) может
служить фундаментальной областью группы р2 в фор-
форме D.5021), порождающими которой выбраны полу-
полуобороты вокруг середин четырех его сторон (Штейн-
гауз [1950], с. 60, рис.56;
ФейешТот [1953],с. 66,
рис. 61).
В остальных пятнад-
пятнадцати группах участвует
понятие прямого угла,
поэтому они являюсяуже
не аффинными, а строго
евклидовыми. Однако в
части из них все еще фи-
фигурирует некоторый сво-
свободный параметр, и это
снова дает бесконечно
много геометрических раз-
разновидностей одной и той
же абстрактной группы.
Если переносы X, Y, порождающие группу pi, пер-
перпендикулярны, то отражение R относительно прямой,
параллельной переносу Y, сопрягает X с Х~\ a Y ос-
оставляет на месте. Значит, группа рт, полученная при-
присоединением R к pi, имеет генетический код
= X-\ RYR = Y.
R
}
/
R'
Рис. 4.5д Группа рт, поро-
порожденная двумя отражениями
и переносом
В терминах Y, R и отражения R' = RX этот код мож-
можно переписать в виде
R2==R'2==E> RY = YR, R'Y = YR' D.503)
(рис. 4.5д), так что группа рт — прямое произведение
rp{R, R')y_rp{Y) и может быть описана как 3)<х>Х®оо.
Пусть переносы X и Y из группы pi опять перпен-
перпендикулярны. Тогда существует скользящее отражение

68
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Р, дающее в квадрате Y и сопрягающее X с Х^'.Если
мы присоединим Р к группе pi, то получится группа
pg с генетическим кодом
В терминах двух параллельных скользящих отраже-
отражений Р, Q = РХ эта группа определяется одним соот-
соотношением
P2 = Q2 D.504)
(рис. 4.5е) и, следовательно, может быть описана в
обозначениях A.64) как <2, 2, оо>. Группу pg и груп-
группу pi (с кодом XY = YX) объединяет то, что их по-
порождающие элементы не имеют неподвижных точек.
Рис. 4.5е. Группа pg, порожденная двумя параллельными сколь-
скользящими отражениями
Поэтому pg —фундаментальная группа (§ 3.5, с. 42)
замкнутой поверхности характеристики 0, получаю-
получающейся из фундаментальной области отождествлением
подходящих пар сторон. В случае группы pi, опреде-
определяемой соотношением XY=YX, или XYX~]Y~l = Е,
фундаментальная область — это параллелограмм;
отождествляя его противоположные стороны, связан-
связанные с X, и противоположные стороны, связанные с Y,
мы получаем тор. Для группы pg фундаментальная
область — ромб; отождествляя две смежные стороны
ромба, связанные с Р, и две смежные стороны, свя-
связанные с Q, получаем бутылку Клейна. Чтобы при-
привести соотношение Р2 = Q2 к каноническому виду
C.53), достаточно положить А\ = Р, А2 = Q-K
4.5. СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
69
Если присоединить к группе pg отражение R, ме-
меняющее местами Р и Q, то получится группа cm с ге-
генетическим кодом
Исключая Q, получаем соотношения
Я2 = Е, RP2 = P2R D.505)
(рис. 4.5ж). В терминах отражения R и переноса S =
= PR та же группа cm имеет код
R2 = Е, (RSf = (SRJ.
Существует отражение /?2> оставляющее отраже-
отражения R и R' из группы рт инвариантными и в то же
Рнс. 4.5ж Группа cm, порожденная отражением и скользящим
отражением
время сопрягающее перенос Y с У-1. Группа pmm, по-
полученная присоединением этого R2 к группе рт, имеет
генетический код
а в терминах четырех отражений Ri = R, R2, Rs =
= R' a Ri = R2Y — код
ffj fl! *| tf (?i?2)
= (R2R3f = (R3R4J = (R4RtJ - E. D.506)
Будучи прямым произведением групп гр(/?ь/?з) н
гр(/?2, Ri), она изоморфна группе а)Х®

70
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
На рис. 4.5з фундаментальная область группы pmm
изображена в форме квадрата. Если использовать
вместо квадрата прямоугольник, то получается изо-
изоморфная группа. Так как порождающие элементы ос-
оставляют стороны прямоугольника инвариантными
(каждый свою), то теперь уже нельзя отрезать часть
фундаментальной области, компенсировав это до-
добавлением какого-то другого куска, как для других
Рис 4.5з. Группа pmm, порожденная четырьмя отражениями
типов порождающих. Возможность варьирования фор-
формы фундаментальной области (для групп, не порож-
порождаемых одними только отражениями) искусно исполь-
использовал голландский художник М. К- Эшер, изобразив-
изобразивший фундаментальную область группы pg в форме
всадника, группы cm — в форме жука и т. д. (Эшер
[1961]; Коксетер [1966], гл. 4, § 3).
Существует отражение R, обращающее направле-
направления скользящих отражений Р и Q, которые порож-
порождают группу pg. Расширяя pg с помощью этого от-
отражения, мы получим группу pmg с генетическим
кодом
или, в терминах R и полуоборотов 7\ = PR, Тч =
= QR — с кодом
д2 = 71 = 71 = Я, TiRTl = T2RT2 D.507)
(рис. 4.5и).
Добавляя к группе pg полуоборот Т, сопрягающий
Р с Q~!, a Q с Р, получаем группу pgg с генетиче-
генетическим кодом
4.5. СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
71
или, в терминах перпендикулярных скользящих от-
отражений О = РТ и Р, с кодом
= (Р~1ОJ = Е D.508)
(рис. 4.5к). Таким образом, pgg — это группа (оо,
оо|2, 2) в обозначениях Коксетера [1939], с. 74, 81.
f У
*Г У
Рис. 4.5и. Группа pmg, порожденная отражением и двумя полу-
полуоборотами
Существует полуоборот Т, меняющий местами
пары противоположных отражений Ru Rs и R2, R4, ко-
которые порождают группу pmm. Группа cmm, получен-
р
\
L
—*-0
р
О—-< О- —
Рис. 4.5к. Группа pgg, порожденная двумя перпендикулярными
скользящими отражениями
ная присоединением этого Т к pmm, определяется
соотношениями
Rl = /?2 = R3 = /?4= {RlR-2) = (R2R3) =
В терминах порождающих отражений Ru R2 и полу-
полуоборота Т эта группа имеет код
R\ = Rl = f = {RiRtf = (RJR2TJ = Е D.509)

72
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
(рис. 4.5л). Она представляет особый интерес как
группа симметрии «аномальной» равномерной мозаи-
мозаики (Коксетер [1940а], с. 405; Штейнгауз [1950],
Рис. 4.5л. Группа cmm, порожденная двумя отражениями и полу-
полуоборотом
с. 65, рис. 65), в которой полосы квадратов переме-
перемежаются полосами треугольников.
Если в качестве фундаментальной области группы
р2 взять квадрат, то найдется четырехугольный пово-
поворот S, переставляющий циклически полуобороты Т\,
X
X
Рис. 4.5м. Группа р4, порожденная четырехкратным поворотом
и полуоборотом
Г2, 7*3) Г4. Группа р4, полученная добавлением этого
поворота к р2, имеет генетический код
Т\ = Ц = Т\ = Tl =-¦ Т1Т2Т3Т4 = Е,
S4 = E, S~tTiSi = Tl, /=1,2,3,
или, в терминах Т — Т4 и S, код
S* = Г2 = (STL = Е D.510)
4.5. СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
73
(рис. 4,5м). Таким образом, р4 изоморфна группе
[4,4]' в обозначениях D.43). (См. также Б ер н с а и д
[1911]", с. 416. Ту же группу в форме /?4 = S4 =
= (RSJ = Е можно найти у Коксетера [1948],
с. 24, рис. 11.)
Фундаментальная область группы pmm может
быть произвольным прямоугольником. Если этот пря-
прямоугольник квадрат, то найдется отражение R, пере-
переставляющее Ri с R4, a R2 с Rz- Группа р4т, получен-
ffi—
Re-
Рис. 4.5н. Группа р4т, порожденная отражениями в сторонах
прямоугольного равнобедренного треугольника
ная присоединением этого отражения к pmm,
генетический код
R\ = R\ = R\ = R\ = (R1R2J =
имеет
или, в терминах R, Ri, R2, код
=E D.511)
(рис. 4.5н). Следовательно, группа p4m изоморфна
группе [4,4] в обзначениях D.32), т. е. является пол-
полной группой симметрии правильной мозаики {4,4},
а].
с. 59).
составленной из квадратов (Коксетэр [1963а]
Как и выше, если в качестве фундаментальной об-
области группы pmm взят квадрат, то найдется четырех-
четырехугольный поворот S, циклически переставляющий от-
отражения Rlt R2, R3, Ri- Группа p4g, полученная при-

74
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
соединением этого поворота к группе pmm, имеет ге-
генетический код
Я? = Rt = Rl = Rl = (R1R2J = (R2R3? =
' = /?i, /=1,2,3,
или, в терминах /? = Ri и S, код
/?2 = S4 = (/?5"^5J = ? D.512)
(рис. 4.5о). Таким образом, p4g— это группа [4+, 4]
в обозначениях D.44) (см. также Коксетер [1963а],
с. 66). Она является группой симметрии равномерной
мозаики s{4, 4} = s | 4 1 (Коксетер [1940а], с. 394;
Штейнгауз [ 1950], с. 64, рис. 63).
X
X
X
X
Рис. 4.5о. Группа p4g, порожденная отражением и четырехкрат-
четырехкратным поворотом
В случае, когда переносы (или векторы) X и У,
порождающие группу pi, равны по длине и состав-
составляют угол 2jt/3, дополнительный порождающий эле-
элемент Z = (XY)~l имеет ту же длину и образует такие
же углы с X и У. Значит, существует треугольный по-
поворот Si, циклически переставляющий переносы X,
У, Z. Группа рЗ, полученная присоединением этого
поворота к pi, имеет генетический код
XYZ = ZYX = E, SH—E, STlXSi = Y,
S7lYSi = Z, srlZSi = X.
В терминах порождающих треугольных поворотов Si,
S2 — SiX и S3 = X~lSi этот код принимает вид
= Е D.513)
4.5. СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП 75
(рис. 4.5п), а в терминах Sj и S2 —
оЗ оЗ / о о \3 С" //I К1 Q1 Л
О1 = О2 == ^О1О2) = EL ^.OlOl^
(рис. 4.5р). Таким образом, рЗ — одна из групп, об-
обсуждавшихся Бернсайдом [1911], с. 143.
Рис. 4.5п. Группа рЗ, порожденная тремя трехкратными поворо-
поворотами
Л
/ Ч
\
-4»
Рис. 4.5р. Группа рЗ, порожденная двумя трехкратными поворо-
поворотами
Добавляя к рЗ отражение/?, сопрягающее Si с SJ1,
a S2 с Si1, мы получим группу р31т с генетиче-
генетическим кодом
или, в терминах отражения R и поворота S = 5ь с ко-
кодом
2 3 ([Y = E D.514)

76
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
(рис. 4.5с). Отсюда видно, что группа р31т изоморф-
изоморфна группе [3+, 6] в обозначениях D.44) (см. Коксе-
тер [1936а], с. 67).
Существует отражение R, сопрягающее треуголь-
треугольные повороты 5Ь S2 группы рЗ с обратными к ним
А •
Рис 4.5с. Группа р31ю, порожденная отражением и трехкратным
поворотом
^к-Г'
Рис. 4.6т. Группа p3ml, порожденная отрал<ениями в сторонах
равностороннего треугольника
поворотами. Группа p3ml, полученная присоединением
этого отражения к рЗ, имеет генетический код
S1R, R3 =
а в терминах отражений
— код
Ri = Rl = Я* =
= (R2R3? = {RsRif = E D.515)
(рис. 4.5т; ср. C.73)).
Существует полуоборот Т, после сопряжения кото-
которым треугольные повороты Si и 52 из группы рЗ ме-
меняются местами. Группа рб, полученная присоедине-
4.5. СЕМНАДЦАТЬ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
77
нием этого полуоборота к рЗ, имеет генетический код
S? = Si = (SiS2K = E, T2 = E, TSiT = S2
или, в терминах поворота S=Si и полуоборота Т,
код
S3 = Г2 = (SD6 = Е D.516)
(рис. 4.5у). Таким образом, группа рб изоморфна
группе [3,6]+ в обозначениях D.43) (см. также
V У
Рис. 4.5у. Группа рб, порожденная трехкратным поворотом и полу-
полуоборотом
Бернсайд [1911], с. 417). Она является полной
группой симметрии равномерной мозаики s -i 6 J- с че-
четырьмя треугольниками и одним шестиугольником при
каждой вершине (Коксетер [1940а], с. 392;
Штейнгауз [1950], с. 65, рис. 64), а сама эта мо-
мозаика совпадает с графом группы рб, заданной кодом
#6 = 53 = Т2 = RST = Е.
Существует отражение R, которое меняет местами
отражения Ru R3 из группы p3ml и оставляет отра-
отражение R2 неподвижным. Группа рбт, полученная при-
присоединением этого отражения к p3ml, имеет генетиче-
генетический код
= (R,R.f =
= E,

78
ГЛ. 4. АБСТРАКТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
или, в терминах трех отражений R, Ru R2, код
(==? D.517)
(рис. 4.5ф). Таким образом, рбт — это группа [6,3]
или [3,6] в обозначениях D.32), т. е. полная группа
симметрии каждой из двойственных правильных мо-
Рис. 4.!
\
Группа рбт, порожденная отражениями в сторонах
половины равностороннего треугольника
заик {6,3} или {3,6}, образованных шестиугольни-
шестиугольниками или треугольниками соответственно.
4.6. Подгрупповые отношения между семнадцатью
кристаллографическими групппами. Многие из этих
отношений указал Ниггли [1924], с. 297. Ввиду того,
что его неполная таблица была воспроизведена Ген-
Генри и Лонсдейлом [1952], с. 537, мы предприняли
исчерпывающее исследование, результаты которого
приводятся в таблице 4. Для каждой группы в ней
есть строка и столбец, на пересечении которых напи-
написан индекс группы из столбца как подгруппы в груп-
группе из строки, причем если подгруппа нормальна, то
индекс напечатан обычным шрифтом, а в противном
случае — курсивом. На главной диагонали дан (наи-
(наименьший) индекс каждой группы как собственной
подгруппы в самой себе.
Детали упомянутого исследования слишком много-
многочисленны и громоздки, чтобы рассказать о них здесь.
4.6. ПОДГРУППОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
79
(С ними можно ознакомиться по диссертации Мозера,
находящейся в библиотеке Торонтского универси-
университета.) Укажем лишь, каким образом две наиболее
сложные группы р4т и рбт (взятые вместе) содер-
содержат в себе в качестве подгрупп все другие группы.
В группе р4т ~[4, 4] с генетическим кодом D.511)
элементы
R{ и S = RR2
S и T^RiRr,
R, R' = R2S и Ту
P = RXS и O = S
R и P
P и Q = RPR
R4 = RRiR, Ti и T
Tx, T2 и T?, = RT\
Ru R2,
Ri, R3 и
порождают p4g=:[4+, 4],
порождают р4 ~ [4, 4]+,
порождают cmm,
порождают pgg,
порождают cm,
порождают pg,
1 порождают pmg,
порождают р2,
порождают pmm ~[оо] X [°°],
порождают рт=;[оо] X [оо]+,
порождают pi ~[оо]+ X [°°]+-
В группе р6т~[3,6] с генетическим кодом D.517)
элементы
порождают р31т~[3+, б],
порождают р6~[3,6]+,
i = RRiR порождают рЗт1~Д,
Si = RiR2 и S2~R2R3 порождают рЗ~Л+.
Отметим, что в последнем столбце таблицы 3 обо-
обозначения для порождающих элементов слегка изме-
изменены (чтобы упростить запись и подчеркнуть некото-
некоторые аналогии).
= SR и R4
Y = R2R4
и Y
R и S =
S и T =
Rlt R2 и

ГЛАВА 5
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
После описания правильных мозаик {р, q) (являю-
(являющихся односвязными топологическими многогранни-
многогранниками) мы опишем фундаментальные группы (§ 3.5,
стр. 42) замкнутых поверхностей произвольной харак-
характеристики. Неориентируемые поверхности с этой точ-
точки зрения проще ориентируемых, поэтому мы рассмот-
рассмотрим их именно в таком необычном порядке.
5.1. Правильные мозаики. В евклидовой плоскости
угол правильного р-угольника {р} равен A — 2/р)я;
значит, q равных р-угольников (некоторого размера)
примыкают друг к другу в общей вершине, если этот
угол равен 2n/q, т. е.
Таким образом, существует всего три правильных
мозаики {р, q}, а именно
{4, 4}, {3, 6}, {6, 3}.
Угол при вершине сферического р-угольника {р}
больше A — 2/р)я, он возрастает от этого значения
до я, когда радиус описанной окружности растет от О
до я/2. Поэтому при
0?-2)(<7-2)<4
можно так подобрать размер многоугольника, что
угол при его вершине станет равным в точности 2n/q;
тогда q таких р-угольников {р} могут примыкать
друг к другу в общей вершине. Получаются ел еду ю-
5.1. ПРАВИЛЬНЫЙ МОЗАИКИ
81
щие «сферические мозаики» {р, q):
{2, q), {q, 2}, {3, 3}, {3, 4}, {4, 3}, {3, 5}, {5, 3}. E.11)
Первая из них, образованная q двуугольниками, сое-
соединяющими две точки-антипода, есть ^-угольный
осоэдр1); вторая, состоящая из двух д-угольников
(каждый покрывает полусферу), называется ^-уголь-
ным диэдром. Остальные — «раздутые» варианты пяти
Платоновых тел (§ 4.2).
На гиперболической плоскости угол правильного
р-угольника {р} меньше A —2/р)я и убывает от этого
значения до нуля, когда радиус описанной окружно-
окружности возрастает от 0 до оо. Значит, при
(р-2)(<7-2)>4
можно выбрать размер многоугольника так, что его
угол будет в точности равен 2n/q; тогда q таких р-
угольников примыкают друг к другу в общей вершине
и можно добавлять такие р-угольники до бесконечно-
бесконечности. Так получается гиперболическая мозаика {р, q},
состоящая из бесконечного множества р-угольников,
покрывающих гиперболическую плоскость (Шле-
гель [1883], с. 360; заметим, что у Трельфалля
[1932а], с. 32, наша мозаика {р, q) обозначается
символом {q, p}).
Мозаика {р, q) симметрична относительно прямых
линий трех типов, а именно, — проходящих через впи-
вписанные радиусы граней, проходящих через описанные
радиусы граней и через ребра. Если р или q нечетно,
то некоторые прямые играют одновременно две роли,
а если оба числа нечетны — каждая играет все три
роли (Коксетер [1963а], с. 65, 86). Отражения от
этих прямых удовлетворяют условиям D.32) и по-
порождают группу [p,q] — полную группу симметрии
мозаики {р, q}. Фундаментальной областью служит
треугольник ONZ (при p — q = 4 см. ниже рис. 5.2),
где О — вершина, N — середина ребра МО, Z — центр
грани КМО, так что угол треугольника при вершине Z
равен п/р, при N — я/2 и при О — n/q (см. Коксе-
') Этот термин буквально означает «любое число граней».—
Прим. перев.

82
ГЛ. 5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ И ГРУППЫ
тер [1963а], с. 67, 90, где ONZ обозначается через
Прямые линии гиперболической плоскости можно
конформно представить окружностями, ортогональ-
ортогональными к фиксированной окружности в евклидовой пло-
плоскости. Затушевав попеременно копии фундаменталь-
фундаментальной области, получим весьма художественно выпол-
выполненный узор. (См. Клейн и Фрике [1890], с. 109,
для группы [3,7]; Миллер [1911], с. 395, для груп-
группы [3,8]; Коксетер [1939], с. 126, 127, для групп
[4,5] и [4,6].)
5.2. Многоугольник Петри. Многоугольник Петри
мозаики {р, q}—это «зигзаг» ... KMOQ ... (рис. 5.2),
и в котором любые две,
но не три последова-
последовательные стороны при-
принадлежат одной грани
(Коксетер [1963а]).
Каждый экземпляр
этого «многоугольни-
«многоугольника» полностью опреде-
определяется двумя соседни-
соседними сторонами некото-
некоторой грани, поэтому все
экземпляры одинаковы
и тем самым оправда-
оправдано употребление слова
«многоугольники» данной
(^—^—1
м
0
—^—*-<
Рис. 5.2. Многоугольник Петри мо-
мозаики {4,4}
«многоугольник», а не
мозаики. Двойственная мозаика {q, p} имеет много-
многоугольник Петри, стороны которого пересекают соот-
соответствующие стороны мозаики {р, q). В случае сфе-
сферической мозаики многоугольник Петрн имеет h сто-
сторон, где
я
т
я
л,
<7
E.21)
(Коксетер [1963а], с. 19).
Из рис. 5.2 видно, что стороны многоугольника
Петри переставляются преобразованием R1R2R3, пере-
переводящим КМО в MOQ. В евклидовом и гиперболиче-
гиперболическом случаях это преобразование является скользя-
6.3 ГРУППЫ ДИКА
83
щим отражением (Коксетер [1947], с. 202) с осью,
соединяющей середины L, N, Р, ... сторон многоуголь-
многоугольника Петри, т. е. совпадает с произведением отраже-
отражения от прямой LN и переноса из L в N. В гиперболи-
гиперболическом случае величина этого переноса, будучи двой-
двойным расстоянием от N до ZO, равна
. о ?*Af 9 ft I 9ft
СГГ -ТГ- = COS h COS2
2 p ' q
(Коксетер и Уитроу [1950], с. 422, при г = 2).
Повторив скользящее отражение, получаем чистый пе-
перенос на расстояние LP = 2LN. Через повороты R =
= R1R2 и S = R2R3 этот перенос выражается так:
{R1R2R3J = R1R2R3R2R2R1R2R3 = RS~lR~lS.
Таким образом, различные коммутаторы поворотов R
и 5 сдвигают многоугольник Петри в различных поло-
положениях на два шага вдоль самого себя.
5.3. Группы Дика. Поскольку евклидова, сфериче-
кая и гиперболическая плоскости односвязны, тополо-
топологические соображения из § 4.3, с. 59, показывают, что
D.32) — генетический код группы [p,q]. Следователь-
Следовательно, D.41) (или D.42), или D.43)) — код подгруппы
«поворотов» [р,q]+. Так как евклидова и гиперболи-
гиперболическая плоскости бесконечны, то тем самым мы дока-
доказали, что при (р — 2) (q—2)^4 группа с генетиче-
генетическим кодом
бесконечна.
Это, несомненно, одно из наиболее замечательных
приложений геометрии к алгебре — чисто алгебраиче-
алгебраическое доказательство этого результата (Миллер
[1902]) чрезвычайно запутанно и требует раздельного
рассмотрения многих частных случаев.
Более общо, пусть некоторый р-угольник с углами
n/qu n/q2, ¦ ¦ ¦, л/Яр и его копии, полученные после-
последовательными отражениями относительно сторон, по-
покрывают сферу, евклидову плоскость или гиперболи-
гиперболическую плоскость. Такой многоугольник служит
фундаментальной областью для некоторой группы,

84
ГЛ. 5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ И ГРУППЫ
порожденной отражениями; сама эта группа имеет
генетический код
а ее «подгруппа поворотов» — код
я4* = s'2 = = <i4p =
(Дик [1882], с. 28). При
= E
обе они бесконечны (Трельфалль [1932а], с. 26—
29). Можно включить в мозаику многогранники, имею-
имеющие одну или несколько вершин в бесконечности, по-
полагая \/qi равным нулю и удаляя соответствующее
соотношение. При р > 3 можно изменить стороны
многоугольника, оставив углы прежними, — соответ-
соответствующие группы будут изоморфны; например, для
группы pmm D.506) можно использовать любой пря-
прямоугольник.
В частности, при четном q грань мозаики {р, q)
служит фундаментальной областью группы с генети-
генетическим кодом
= (R2Rsf2 = ... =
= E. E.31)
Так как площадь этого р-угольника в 2р раз больше
площади фундаментальной области группы [р, q], то
E.31)—подгруппа индекса 2р в группе [p,q]. В тер-
терминах D.32) группа [р, q] порождается р элемен-
элементами, сопряженными с R3 степенями поворота R1R2,
а именно элементами
(R2Ri)
i-l
t = l, 2,
p.
Поочередное сопряжение элементами Ri и R2 показы-
показывает, что подгруппа E.31) нормальна в [p,q].
Простейшим примером может служить трижды
прямоугольный (автополярный) сферический тре-
треугольник, являющийся сразу и гранью мозаики {3,4},
5.4. ГРУППА НЕОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
85
и фундаментальной областью кристаллографической
точечной группы mmm или [2, 2] порядка 8 с генети-
генетическим кодом
Rl = Rl = Rl = (R2r3J = (Я3Я,J = (Я,я2J = Е E.32
(см. таблицу 2). Эта группа совпадает с нормальной
подгруппой индекса 8 расширенной группы октаэдра
тЗт или [3,4]. Другой пример — евклидов равносто-
равносторонний треугольник, являющийся и гранью мозаики
[3,6], и фундаментальной областью двумерной кри-
кристаллографической группы p3ml или Л, которая имеет
индекс 6 в рбт или [3,6]. (По таблице 4 индекс
группы p3ml в группе рбт равен 2, но надо иметь
в виду, что каждая из них может быть подгруппой
индекса 3 в самой себе, точнее, в изоморфной копии.)
Еще одним примером является квадрат как грань мо-
мозаики {4, 4} и как фундаментальная область группы
pmm или [оо]Х[°о], имеющей индекс 8 в группе
р4т или [4,4]. Наконец, «крайним» примером служит
трижды асимптотический треугольник (со всеми тре-
тремя вершинами в бесконечности), представляющий со-
собой и грань мозаики {3, оо}, и фундаментальную об-
область бесконечной группы
Эта группа является нормальной подгруппой индекса
6 в расширенной модулярной группе [3, оо] (Клейн
[1879а], с. 120—121), которую мы обсудим в § 7.2,
с. 129.
Во всех случаях двойственная мозаика {q, p) с
подходяще окрашенными (но не направленными) реб-
ребрами совпадает с графом группы E.31).
5.4. Фундаментальная группа неориентируемой по-
поверхности как группа, порождаемая скользящими от-
отражениями. Переобозначив в соотношениях D.32}
каждое из чисел р и q через 2q, мы видим, что группа
[2<7, 2q] с генетическим кодом
R* = Rl = Rl = (fl,tf 2J« = (R2R,f = (ЯзЯО2 = Е
имеет нормальную подгруппу индекса 4q, фундамен-
фундаментальная область которой совпадает с гранью мозаики

86
ГЛ. 5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ И ГРУППЫ
{2q, 2q). Всякий порождающий элемент этой подгруп-
подгруппы, будучи отражением, оставляет неподвижной каж-
каждую точку на прямой, продолжающей сторону 2q-
угольника {2^}. В настоящем параграфе мы опишем
еще одну подгруппу с той же самой фундаментальной
областью (и, стало быть, того же индекса 4q), обла-
обладающую замечательным свойством: ее порождающие,
Рис 5.4а. Грань мозаики {6, 6}
а на самом деле вообще все неединичные элементы не
имеют неподвижных точек.
Один случай очень прост: при q = 1 точечная груп-
группа mmm или [2, 2] порядка 8 с кодом E.32) имеет
подгруппу 1 или [2+, 2+] порядка 2, порожденную
центральной инверсией RiR2R.3- Будучи полусферой,
фундаментальная область этой группы является одной
из двух граней «двуугольного диэдра» {2,2}.
При q > 1 можно преобразовать скользящими от-
отражениями одну грань мозаики {2q, 2q) в соседние
с ней грани вперед и назад вдоль отрезков, соединяю-
соединяющих средние точки q пар смежных сторон. (См. рис. 5.2
при q = 2 тл. рис. 5.4а при q = 3.) Так как каждое
скользящее отражение и обратное к нему дают одну
аару из общего числа 2q соседей, то нужно выбрать
5.4. ГРУППА НЕОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
87
только некоторые q из 2q пар смежных сторон. По-
Поэтому подгруппа, порожденная выбранными скользя-
скользящими отражениями, не будет нормальной в группе
[2q, 2q) (кроме случая, когда q = 1).
Как мы видели в § 5.2, одно такое скользящее
отражение совпадает с R\R2R3- Чтобы найти осталь-
остальные, сопряжем его степенями поворота (R1R2J', по-
получим
/Г) D \ D D D i D D \ ., / D D \2* ~~ ^ D (D D \
E.41)
Поскольку
(R1R2I,
TO
AUl ...A2q = {{R2R1?(Д1Д2Д3J}* = (R2R3?" = E.
Чтобы выяснить геометрический смысл, рассмот-
рассмотрим (для простоты) случай q = 3. Занумеровав углы
шестиугольной грани мозаики {6, 6} как указано на
рис. 5.4а, мы можем охарактеризовать скользящие
отражения Ль Л2, Л3 тем, что они соответственно
отображают стороны 12 в 23, 34 в 45, 56 в 61, тогда
как обратные к ним возвращают все в исходное поло-
положение. Другими словами, стороны
12, 23, 34, 45, 56, 61
исходного шестиугольника являются сторонами
23, 12, 45, 34, 61, 56
шести его соседей. Теперь естественно нумеруются
углы при вершинах мозаики {6,6}—поочередно по
ходу и против хода часовой стрелки (действительно,
мы уже наблюдали углы 612 при одной вершине, 321
при следующей и т. д.). В смысле § 4.3, стр.59, сколь-
скользящее отражение А\ выводит нас из исходного шести-
шестиугольника Е через сторону 23, А2 — через 45, Л3— че-
через 1. Значит, слово
представляет путь, пересекающий сторону 61 шести-
шестиугольника Е, затем сторону 61 грани Л3, затем сто-
сторону 45 грани Аз, сторону 45 грани Л2Лз и т. д., т. е.

88
ГЛ. 5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ И ГРУППЫ
путь вокруг вершины 1 грани Е, показанный на
рис. 5.46.
Так как тот же самый результат получается и в
общем случае, то одно соотношение
А\А\ ... А\ = Е . E.42)
(или C.54)) и есть генетический код группы, порож-
порожденной q скользящими отражениями E.41).
Граф группы E.42), будучи двойственным к мо-
мозаике {2<7, 2q), совпадает с другой мозаикой {2q,2q},
Рис. 5.46 Вершина мозаики {6, 6}
стороны каждой грани которой ассоциированы с по-
порождающими и направлены как указано справа на
рис. 3.5в (при q = 3). Для каждого порождающего
элемента соответствующие ребра образуют множество
непересекающихся многоугольников Петри, совместно
проходящих по разу через каждую вершину мозаики
{2q,2q} (см. рис. 4.5е при q = 2). Перебрав все по-
порождающие, получим только половину многоугольни-
многоугольников Петри мозаики {2q,2q}—в полном согласии с
нашим замечанием, что подгруппа E.42) не является
нормальной в группе \2q, 2q].
Давайте отождествим теперь все точки, которые
связаны с одной из них действием группы E.42). Это
достигается вырезанием какой-нибудь грани графа
5.5. ГРУППА ОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
89
группы и склеиванием пар ее ребер, помеченных оди-
одинаково (с учетом направления). В результате полу-
получим замкнутую неориентируемую поверхность, покры-
покрытую картой с одной вершиной, q ребрами и одной
гранью, так что ее характеристика Эйлера — Пуан-
Пуанкаре равна 2 — q. Другими словами, как отмечалось
в § 3.5, группа E.42) является фундаментальной
группой замкнутой неориентируемой поверхности типа
сферы с q скрещенными колпаками. (Отметим, что
наше q — это k в обозначениях Трельфалля
[1932а], с. 33.)
При q = 1 получается Z2 = Е —¦ генетический код
фундаментальной группы проективной плоскости.
При q = 2 получается C.53) или D.504)—-код фун-
фундаментальной группы бутылки Клейна (Гильберт
и Кон-Фоссен [1936], с. 269). Соотношение
aba~lb~] = Е, соответствующее отождествлению про-
противоположных сторон прямоугольника, вытекает из
D.504) при Р = ab,Q = b.
5.5. Фундаментальная группа ориентируемой по-
поверхности как группа переносов. Мы увидим сейчас,
что при четном q группа [2q, 2q] содержит еще одну
подгруппу, фундаментальная область которой совпа-
совпадает с гранью мозаики {2q,2q}. При # = 2 это про-
просто подгруппа pi группы р4т, порождаемая перено-
переносами вдоль сторон некоторой грани мозаики {4,4}.
Так как число q теперь четно, мы будем писать
вместо него 2р. Таким образом, рассматривается
группа [4р, 4р] с генетическим кодом
/?? = д§ = Rl = (RiR2)ip = №ЯзLр = (RzRiLp = E. E.51)
Мы можем преобразовать грань мозаики {4р, 4р} в
соседние с ней грани переносами вдоль прямых, сое-
соединяющих средние точки пар противоположных сто-
сторон. Поскольку многоугольник имеет 4р ребер, эти
прямые разбиваются на ортогональные пары, подоб-
подобные паре осей отражения R\ и отражения
(R2R{f Rl(RiR2)p = R2(RlR2Jp~l
(см. рис. 5.5а для случая р = 2). Гиперболический
перенос можно получить как произведение отражений

90
ГЛ. 5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ И ГРУППЫ
относительно двух прямых ортогональных к его оси
(Коксетер [1957а], с. 202) или как произведение
полуоборотов вокруг точек на этой оси. В нашем слу-
случае подойдут полуобороты R3Ri и (RiR2Jp- Так или
иначе, получается перенос
Ai = R3R2(RlR^2p-1, E.52)
переносящий /?3-сторону на противоположную ей сто-
сторону.
Таков один из 2р порождающих переносов, дей-
действующих вдоль прямых, соединяющих середины про-
противоположных сторон. Чтобы получить остальные,
Рис. 5.5а. Грань мозаики {8, 8}
сопряжем этот перенос степенями преобразования
R1R2. По причине, которая чуть позже выяснится,
мы обозначим их не номерами вершин нашего 4р-
угольника в их естественном порядке, а номерами вер-
вершин вписанного звездчатого многоугольника
\2p-l J
(Коксетер [1963а], с. 93), т. е. положим
At == {R3Rlf2p-i) {t~1} Л,
Б.5. ГРУППА ОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ 91
Конечно, Лгр+i = А\ , Л2Р+2 = ЛГ и т. д. Более того,
так как
Л /D D \Bр —1)( п п
**i + l \А2'\1/ *\3*\2
ТО
Ч
Причину нумерации переносов по вершинам звезд-
звездчатого многоугольника удобно пояснить рассмотре-
рассмотрением случая р = 2. Занумеровав углы восьмиуголь-
восьмиугольной грани мозаики {8, 8} по «октаграмме» 14 7 2 5 8 3 6
(см. рис. 5.5а), мы можем охарактеризовать переносы
Аи А2, Л3, ... тем, что они переводят сторону 58 в 41,
61 в 52, 72 в 63, ... Другими словами, сторона 41
исходного восьмиугольника совпадает со стороной 58
соседнего восьмиугольника и т. д. В результате углы
при каждой вершине мозаики {8, 8} оказываются за-
занумерованными естественным образом (в самом деле,
мы уже наблюдали углы 123 при одной вершине,
234 — при другой и т. д.). В смысле § 4.3, с. 59, пе-
перенос А{ выводит нас из исходного восьмиугольника
Е через сторону 14, А2— через 25 и т. д. Таким обра-
образом, слово
АхА2АъАаАТ]1А21A31Ail = A^AaAiAsAaAjAi
представляет путь, пересекающий сторону 83 грани Е,
затем сторону 72 грани Л8, сторону 61 грани Л7Л8 и
т. д., т. е. цикл вокруг вершины 8 грани Е, показан-
показанный на рис. 5.56.
Поскольку это верно для любого р (тогда А\ пе-
пересекает сторону 1,2р и т. д.), мы заключаем, что
одно соотношение
А\А
\Аг
... А2~р = Е
E.53)
E.54)
(или А\А2 ... Ачр = А2р ... А2А\) является опреде-
определяющим для группы, порожденной нашими 2р пе-
переносами E.53). С другой стороны, такой выбор
порождающих совершенно симметричен, поэтому
E.54)—нормальная подгруппа (индекса 8р) в группе
[4р,4р].

92 ГЛ. 5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ И ГРУППЫ
В терминах R = RiR2 и S = R2R3 имеем
Следовательно, группа E.54) является также нор-
нормальной подгруппой (индекса 4р) в группе поворотов
[4р,4р] + с генетическим кодом
Я4" = S4p = (RSf = E
(Нильсен [1932], с. 142).
Граф группы E.54), будучи двойственным к мо,-
заике {4р, 4р}, сам является мозаикой {4р,4р}, у ко-
которой стороны каждой
грани ассоциированы с
порождающими и на-
направлены как на рис.
З.бв (при р=2). Отож-
Отождествим теперь все точ-
точки, связанные с какой-
нибудь одной точкой
действием группы
E.54), т. е. вырежем
одну грань из графа
группы и склеим пары
ее противоположных
ребер (с учетом их на-
направлений). Получит-
Получится замкнутая ориенти-
ориентируемая поверхность, покрытая картой с одной верши-
вершиной, 2р ребрами и одной гранью, так что ее характе-
характеристика Эйлера — Пуанкаре равна 2 — 2р. Другими
словами, как отмечалось в § 3.5, группа E.54) (или
C.52)) является фундаментальной группой замкнутой
поверхности рода р (Трельфалль [1932а], с. 36,
рис. 16).
При р=1 получается А\А2 = А2АХ или XY = YX,
т. е. фундаментальная группа тора. При р = 2 полу-
получается
Л А Л Л Л. Д. /\~ д . I... p
г\ [ Л9ЛЗ/д4*Ч **2 о «*4 ~~~" *-*
т.е. фундаментальная группа «двойного тора» — по-
поверхности сплошной восьмерки, — прекрасно иллю-
иллюстрированная в книге Гильберта и Кон-Фоссе-
Рис. 5.56. Вершина мозаики {8,8}
5.5. ГРУППА ОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
93
на [1936], с. 227, черт. 249, на основе менее симмет-
симметричного генетического кода
(Трельфалль [1932а], с. 1). В этой второй форме
та же фундаментальная группа возникает еще как
некоторая ненормальная подгруппа группы [8,8]+.
На самом деле при р>1 группа [4р, 4р]+ всегда
имеет одну нормальную подгруппу E.54) и несколько
изоморфных подгрупп, не являющихся нормальными
(Трельфалль [1932а], с. 37).

ГЛАВА 6
СИММЕТРИЧЕСКАЯ, ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ
И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Важность симметрической группы очевидна, по-
поскольку всякая конечная группа, скажем, порядка п,
является подгруппой группы ©„. С другой стороны,
метод отыскания генетического кода группы @„ почти
дословно применим к одной бесконечной группе, впер-
впервые изучавшейся Артином [1926]; и с этой так на-
называемой группы кос мы и начнем. Симметрическая
группа (§ 6.2) обладает подгруппой %п индекса 2
(§ 6.3), особенно интересной тем, что при п > 4 она
проста. В § 6.4 группы ©3, ^4, ©4 и 9fe появятся у нас
как члены семейства групп многогранников (/, т, п)
с генетическим кодом
Rl = Sm = Tn = RST = Е.
В § 6.5 изучается, что получится, если удалить из этих
соотношений „=?"'. Другие обобщения групп (/, т, п)
рассмотрены в § 6.6 и 6.7. Наконец, в § 6.8 изложено
современное состояние проблемы Бернсайда [1902],
которая лишь недавно была частично решена.
6.1. Артинова группа кос. Пусть А\В\ВпАп^— пря-
прямоугольник в евклидовом пространстве, на каждой из
двух противоположных сторон которого А\Ап и В\Вп
равномерно расположены п точек, скажем, А\, Л2, ...
..., Ап и В\, В2, .. •, Вп. Пусть точки типа А соеди-
соединены с точками типа В п простыми непересекающи-
непересекающимися кривыми \ц (называемыми «нитями»), идущими
из At в ВС{, где с\, с2, ..., сп — перестановка чисел
1, 2, ..., п. Пусть еще v*— ортогональная проекция
6.1. АРТИНОВА ГРУППА КОС
96
кривой ju.i на плоскость прямоугольника. Расположе-
Расположение нитей (к называется косой, если кривые v< пере-
пересекаются попарно лишь в конечном числе точек и мо-
монотонны в том смысле, что каждая кривая vi пересе-
пересекает в точности один раз любую прямую, лежащую
между отрезками А\Ап и В\Вп и параллельную им.
Две косы считаются равными, если одна из них
непрерывно деформируется в другую без разрывов
нитей (Райдемайстер [19326], с. 7—13, 41—43).
Произведение двух кос определяется как приклады-
прикладывание второго прямоугольника к первому таким обра-
образом, чтобы точки В\, В% ..., Вп первого прямоуголь-
прямоугольника совпадали с точками Ль Л2, ..., Ап второго.
Считая А\Ап «горизонтальной» прямой, можно
предполагать, что нити, вообще говоря, вертикальны,
но на некоторых уровнях две соседние нити меняют
положение — одна проходит перед другой (Боненб-
ласт [1947], с. 127). Такое скрещивание нити Л/В/+1
перед нитью Ai+\Bt обозначается а,-. Если, наоборот,
вторая нить проходит перед первой, то скрещивание
обозначается а. Всякая коса вполне определяется
как произведение степеней этих oi. Легко видеть, что
косы Oidk и OkOi при \i — /г|> 1 эквивалентны (Ар-
тин [1926], с. 51), и то же самое справедливо для
кос OiOt+iOi и Oi+\OiOt+i. В действительности суще-
существенно различные косы (из п нитей) представляют
элементы группы кос, которая бесконечна и имеет ге-
генетический код
alal + \ai — ai + laiat + l> 1<Л^ГС — 2, F.11)
°f°k = °k°t, i<6-2 F.12)
(Артин [1947а,б], Боненбласт [1947], Чжоу
[1948], Коксетер [1959а]).
Соотношения F.12), означающие перестановоч-
перестановочность ak и си, иногда записываются сокращенно как
ai*^ak F.13)
(Нильсен [19246], с. 169).
Группа кос порождается также двумя своими эле-
элементами а = cti и
а = о1о2...оп_и F.14)

96 ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
в терминах которых
a. = ai-iaa-{i-i) F.15)
(Ар тин [1926], с. 52). Относительно этих двух по-
порождающих группа кос имеет код
а"==(аа)"-1, o^ar'act, 2</<-J F.16)
(там же, с. 54).
Чжоу [1948] заметил, что при «>2 центр груп-
группы кос совпадает с группой &х, порожденной элемен-
элементом а". Если п = 2, то группа кос сама есть &<х,, по-
порожденная элементом а (=а = а{). При п = 3 груп-
группа с кодом
0[ОоС>1 = СГ2СГ|СТ2 F.17)
порождается двумя элементами
а = <Т]СТ2, b = ао = о^сы^ь
~'6, сгг = йог1, а код F.16)
Ь1 F.18)
(Ар тин [1926], с. 70). Подобно D.501) и D.504) эта
группа определяется одним соотношением; теорию та-
таких групп можно найти в работах Ш р а й е р а [1924],
Магнуса [1932] иЛиндона [1950].
6.2. Симметрическая группа. Первые генетические
коды группы ©„ нашли Бернсайд [1897] и Мур
[1897]. Код Бернсайда
в терминах которых а\
приводится к виду
в порождающих
/? = A2 3, .... л), /?i = A2)
содержит на самом деле много лишних соотношений.
В терминах тех же порождающих Мур дал более про-
простой код
Rn = r\ =
-2. F.21)
8.2. СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
Мур указал также код
при 1
при /</г-2
F.22)
в порождающих
(Бернсайд
с. 238). Два эти
соотношениями
Я2 = B 3), ...
[1911], с. 464;
„_1 = (п-1 п)
с. 464; Кармайкл [1923],
множества порождающих связаны
«-2,
Ясно, что F.22) эквивалентно объединению трех
множеств соотношений
*?-?, F.23)
RiRk=*RkRi, /О-2. F.25)
Так как F.24) и F.25) определяют артинову группу
кос1) (см. F.11) и F.12)), имеющую генетический
код
- п
F.26)
(см. F.16)),то @ге определяется соотношениями F.23)
и F.26) (Артин [1926], с. 54; Нильсен [1940])
или кодом
2 = ?, 2 </<-?,
F.27)
') Группа kog превращается в симметрическую группу после
замены нитей |ij их проекциями V(, т. е. после отождествления
a i и of1. Таким образом, очевидно, что элементы Ri удовлетво-
удовлетворяют тем же соотношениям, что и элементы aj, а также соотно-
соотношению F.23) (из которого вытекает, что R2t =» Б, поскольку
ввиду F.24) все Ri сопряжены).

98 ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
(см. F.21)). Коксетер [1937], с. 317, заметил, что
при четном га возможен другой генетический код
-l, F.271)
в котором соотношение (R\R-lR\RK = Е служит за-
заменой соотношения {RiR-n'2RiRn/2J = ?.
Кармайкл [1937], с. 169, предложил код
S? = (SiSl+if =
, 2, .... п-
= Е,
F.28)
в терминах транспозиций
S, = (/«), /—1, 2, .... rt-1,
где, по определению, Sre = Si. В терминах порождаю-
порождающих
/ = 2, 3, .... л-1,
имеется еще более простой код
/<га-1 F.281)
(Коксетер [1934в], с. 218).
Рассмотрев ©„ как группу подстановок га вершин
правильного симплекса Р\Р^ ¦¦¦ Рп в евклидовом
(п—1)-мерном пространстве, получим геометриче-
геометрическую интерпретацию соотношений F.22). В самом
деле, подстановки вершин определяют преобразова-
преобразования— симметрии симплекса. В частности, Ri задает
отражение относительно гиперплоскости, содержащей
середину ребра P,P,+i и остальные п — 2 вершины.
Всевозможные ребра PiPj определяют Г % ) гиперпло-
гиперплоскостей, рассекающих описанную сферу (или концент-
концентрическую с ней сферу) на га! сферических симплек-
симплексов. Подстановки R задают отражения относительно
граничных гиперплоскостей одного из этих симплек-
симплексов, который можно считать фундаментальной об-
областью (см. рис. 4.3, 4.5з, н, т, ф).
Введя декартовы координаты, мы можем взять
точки Pi на расстоянии а от начала координат по на-
наел. СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
правлению t-й оси, так что симплекс Р\Р% •¦¦ Рп ока-
окажется в (га—1)-мерном пространстве, определяемом
уравнением J^Xi = a. Тогда Ri, переставляющее ме-
местами xt и xt+\, есть отражение относительно гипер-
гиперплоскости xi = xi+\, а фундаментальная область за-
задается условиями
дг!<д:2<.., <*„, Е*, = а, E*j = & (b>a2/n).
F.29)
Другие сферические симплексы, будучи образами этой
области, задаются перестановками х\ хп в усло-
условиях F.29). Три типа соотношений в F.22) выражают
соответственно, что отражения являются инволю-
инволюциями, а угол между гиперплоскостями xi = Xi+i и
xk = Xk+i равен л/3 или л/2 в соответствии со слу-
случаями i = k — 1 или i^k — 2 (Коксетер [1963а],
с. 80, 188).
Граф группы строится с помощью выбора подходя-
подходящей точки внутри каждого сферического симплекса
(Робинсон [1931]). Простейший способ сделать
это — взять точки, координаты которых являются пе-
перестановками координат точки @,1, ..., п— 1).Сама
эта точка содержится в фундаментальной области
F.29). Ребра графа попарно соединяют указанные ral
точек — каждая соединяется со своими п—1 сосе-
соседями на расстоянии л/2. Фактически граф состоит
из.вершин и ребер однородного политопа П„_ь дву-
двумерные грани которого являются шестиугольниками и
квадратами, представляющими вторую и третью часть
соотношений F.22).
Тривиально, что По состоит из одной точки, Ш —
отрезок, а Ш — правильный шестиугольник как на
рис. З.Зг (с удаленными S-ребрами) или на рис. 6.2
(где фундаментальная область совпадает с шестой
частью окружности). Политоп П3 совпадает с усечен-
усеченным октаэдром, ограниченным восемью шестиуголь-
шестиугольниками и шестью квадратами (Кеплер [1619],с. 125,
рис. 239; Кельвин [1894], с. 15; Штейнгауз
[1950], с. 154—157); П4 —это четырехмерный поли-
политоп, ячейками которого являются десять усеченных

100 ГЛ. в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
октаэдров и двадцать шестиугольных призм (Хин-
тон [1906], с. 135, 225; Коксетер [1962в], с. 154).
Следуя Федорову [1885], с. 286—298, паралле-
лоэдром называют многогранник, образами которого
при переносах можно целиком заполнить евклидово
(или аффинное) пространство. Таким образом, всякая
C,0,0)
Рис. 6.2
выпуклая фундаментальная область трехмерной груп-
группы переносов является параллелоэдром. Использовав
то же самое понятие для пространств больших раз-
размерностей, Г. Ф. Вороной удивительно просто дока-
доказал, что «-мерный параллелоэдр имеет по крайней
мере 2B"—1) граничных гиперплоскостей (Воро-
(Вороной [1907], с. 107; [1908], с. 204; Бамба и Дэ-
венпорт [1952], с. 225). Эта верхняя граница дости-
достигается для политопаП„ (Схоут [1912]), (га— ^-мер-
^-мерные ячейки которого состоят из (п . ) обобщенных
призм П„_(ХШ_1 (Коксетер [1963а], с. 124) для
каждого значения I от 1 до га.
Расширяя обозначения из § 4.3, можно выразить
код F.22) в форме
где правая часть означает [3,3 3] (Тодд [1931],
с. 225; Коксетер [1963а], с. 199). Другие группы,
порожденные отражениями, будут обсуждаться
в главе 9.
6.3, ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА
101
6.3. Знакопеременная группа. Мур [1897], с. 365,
показал, что в порождающих
S, = A2)(i+1 1 + 2), i=\, 2 «-2,
знакопеременная группа Шп определяется соотноше-
соотношениями
Sf = Sf = (S/-iS,K = ?, 1</<га-2,
{SiSif = E, 1<г</-1, /<га-2.
Кармайкл [1923], с. 255, [1937], с. 172, указал бо-
более симметричный код
V?- ... = F*_2 = (ViVif=E, 1</</<га-2,
в порождающих
К, = (/п-1и), /=1, 2, ..., га-2,
которые, очевидно, можно заменить на A /+ 1 п)
(см. также Коксетер [1934г], с. 218).
При га > 3 группа %п порождается элементами
s = C 4...ra), / = A2 3), если п нечетно,
или
s = A2) C 4... га), /==A2 3), если га четно.
В этих порождающих Кармайкл [1923], с. 262,на-
262,нашел определяющие соотношения
при нечетном га и
при четном п.
Коксетер [19376], с. 317—318, уменьшил число
соотношений до [га/2]+1, а именно — St2m+i имеет
генетический код
— код

102 гл. е. симметрическая и другие специальные группы
Расширяя обозначения из § 4.4, стр. 61, можно запи-
записать, что
6.4. Группы многогранников. При п ^ 6 генетиче-
генетические коды групп @„ и %п из §§ 6.2 и 6.3, вообще го-
говоря, не самые простые (см. таблицу 5 на с. 201—202).
Группы %4, @4 и $5. будучи группами вращений пра-
правильного тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, давно при-
привлекали к себе внимание. Один из самых первых
групповых генетических кодов, встречающихся в ли-
литературе, — это код
группы $5, найденный Гамильтоном [1856], с. 446,
писавшим в восторге от этого своего достижения:
«Я склонен назвать эту систему символов „исчисле-
„исчислением икосаэдра"». Дик [1882], с. 35, показал, что
Й4, @4 и $5 совпадают с группами B,3,3), B,3,4) и
B,3,5) соответственно, где A,т,п) — группа с гене-
генетическим кодом
Ri==Sm = Tn = RST = E F.41)
или
i?r = Sm = (i?S)"==? F.42)
(Бернсайд [1911], с. 408). Как мы уже говорили
в §§ 4.3, 4.4 и 5.3, группа многогранника (/, пг, п) ко-
конечна тогда и только тогда, когда число
l + ltn — 1тпFЛЗ)
j + -^ + ±-— l) =тп
положительно, т. е. в точности в случаях
B,2,п), B,3,3), B,3,4), B,3,5).
В этих случаях она порождается поворотами на углы
2л//, 2я/т, 2я/га вокруг трех вершин сферического
треугольника с углами п/l, л/т, п/п. Принимая во
внимание площадь этого треугольника, видим, что по-
порядок группы (/, пг, га) равен
+ +
в.5, БИНАРНЫЕ ГРУППЫ МНОГОГРАННИКОВ
103
В частности, при 1 = 2, т = 3 имеем k = 6 — п, от-
откуда следует, что порядок группы B,3, «)^[3, п]+
равен
Т~- ¦<•<••
Значения k легко запомнить: это 1 для группы икосаэд-
икосаэдра (которая проста), 2 для группы октаэдра (кото-
(которая имеет подгруппу индекса 2), 3 для группы тет-
тетраэдра (которая имеет подгруппу индекса 3) и, нако-
наконец, 4 для группы диэдра.
6.5. Бинарные группы многогранников. Трель*
фал ль [19326] рассмотрел большую группу
</, пг, п), I, пг, п> 1,
определяемую соотношениями
F.51)
Поскольку A,пг,п) — ее фактор-группа, то при &^0
группа </, пг, «> бесконечна.
В § 1.6 уже отмечалось, что если два из чисел
/, m, n равны 2, то из соотношений
X1 = Sm = Tn = RST=°Z F.52)
следует
Z2 = E. F.521)
Сходными рассуждениями (Коксетер [1940в],
с. 370) можно установить замечательный факт, что то
же самое справедливо и для групп <2, 3, п},п = 3,4,5.
Прежде чем доказывать, что период элемента Z ра-
равен 2, покажем, что из F.52) не вытекает равенство
Z = Е. Для этого можно либо воспользоваться соот-
соответствием между кватернионами и вращениями (Кок-
(Коксетер [1946а], с. 139; [19626], с. 87), либо предста-
представить порождающие элементы подстановками степени
8(п —2) следующим образом: в группе <2, 3,3> по-
положить
R = (cac'a')(dbd'b'),
S = {bdab'd'a'){cc'),
T = {abca'b'c'){dd'),

104 ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
в группе <2, 3, 4> положить
R = (е а е' а') (с b с' b') (d h d' h') (g f g' /'),
S=*(cahc'a' h') {dged' g' e') (b b') (f /'),
T = (abcda'b'c' d'){ef ghe'f g'h'),
в группе <2, 3, 5> положить
R = (aga'g') {dbd'b') (fcf'c') (kek'e') (jhj'h') (lil'i'),
S = {kdak'd'a') {cfbc'f'b') {jgej'g'e') (ilhi'l'h'),
T = (abcdea'b'c'd'e') (ghijkg'h'i'j'k') (ff) (//')•
В каждом случае Z = (aa') (bb') ..., и при k > 0 пе-
период этого элемента равен 2 (Ко к сет ер [19596],
с. 66—67). С другой стороны, при k = 0 период эле-
элемента Z во всех трех случаях бесконечен. В самом
деле, считая, что / =sj m ^ п, перейдем к фактор-груп-
фактор-группе, определяемой соотношениями R = Tn/l и S = Тп/т.
Так как 1~1-\-т~х-\-п~1 — \, то все соотношения
F.51) выполняются автоматически, и наша фактор-
факторгруппа совпадает со свободной группой S<x>, порожден-
порожденной элементом Т. В этой свободной группе элемент
Z = Тп имеет бесконечный период, поэтому он заве-
заведомо непериодический и в группе </, гп, п}.
Если k > 0 (и, стало быть, Z имеет период 2), то
группу </, гп, «> естественно называть бинарной груп-
группой многогранника; ее порядок вдвое больше порядка
группы (/, пг, п), т. е. равен
Частные случаи: дициклическая группа <2,2, п> по-
порядка in, бинарная группа тетраэдра <2,3, 3> («груп-
(«группа порядка 24, которая не содержит подгруппу по-
порядка 12», Миллер [1907], с. 4), бинарная группа
октаэдра <2, 3, 4> («группа порядка 48, известная как
G52», Миллер [1907], с. 6) и бинарная группа ико-
икосаэдра <2, 3, 5> («смешанная совершенная группа наи-
наименьшего возможного порядка», Миллер [1907],
с. 10).
Положив в F.51) 1 = 2, получим для <2, гп, п} ге-
генетический код
6.5. БИНАРНЫЕ ГРУППЫ МНОГОГРАННИКОВ
105
или TST = Sm-\ STS = Г"-1. Так, например, бинар-
бинарная группа тетраэдра <2, 3, 3> имеет код TST = S2,
STS = Т2, а в порождающих S,T,U= Г5 и V =»
= T-1S —код
TV = S, US = T, VT = U, SU = V.
В порождающих Т и U = TS'1 бинарная группа ок-
октаэдра <2, 3, 4> имеет генетический код
TUT == UTU, TU4 == U2
(Коксетер [19596], с. 79—80). В терминах Г, U =
= ST-* и V=T~1S бинарная группа икосаэдра
<2, 3, 5> имеет вид
C/y-'trV —7\ VT~lV~lT = U, TU~lT~lU = V
(там же, с. 82). В порождающих А — VT~l и В =»
= TL/" его можно переписать в виде
ВА2В = АВА
(там же, с. 83).
Среди групп порядка 24, перечисленных в таб-
таблице 1, имеется группа <—2, 2, 3>. Она дает пример
группы
(—/, пг, п), I, пг, п> 1,
определяемой соотношениями
F.53)
F.54)
Положив R-1 = Sm = Тп = RST = Z и
Ы = —г 1,
мы видим, что если k делит 2(т, п), где (пг, п) — наи-
наибольший общий делитель чисел пг и п, то элементы Z и
порождают ту же самую группу, имеющую в этих
порождающих генетический код
о = 2Л ZT^Ro, So, To
(Коксетер [1940в], с. 373—374). Так как и не-
нечетно, эта группа является прямым произведением

106 ГЛ. в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
е.
(— /, пг, га) ~ {I, пг, п) X &«
и имеет порядок
Мтпи Мтп (тп — nl — 1т + 1тп)
k\2(m,n), F.55)
F.56)
В частности,
(—2, 2, га) ~ B, 2, п) X &n_i при четном п,
<-2,3,3)~<2,3,3)Хе5,
<-4, 2, 3) =s B, 3, 4) X &5 (Зайферт [1932], с. 8),
(-3, 2, 4) ~ <2, 3, 4) X «г,
(—2, 3, 4)~B, 3, 4)ХКц,
(-5, 2, 3) а B, 3, 5> X е„, (Зайферт [1932], с. 8),
(-3, 2, 5) ~ <2, 3, 5) X е19,
(-2, 3, 5> ^ <2, 3, 5) X Ем.
Вот интересное проявление «принципа постоян-
постоянства»: формула F.56) дает порядок группы <—/, пг, га>
и во всех остальных случаях, т. е. когда число k не
делит 2{т,п) (Коксетер [19406], с. 375—377I
В частности,
(—2, 2, га) (ы = га—1) имеет порядок 4га(га—1),
(—3, 2, 3) (ы == 3) имеет порядок 72 (Зайферт
[1932], с. 8).
Предыдущие замечания наводят на мысль расши-
расширить группу F.52) элементом, перестановочным с
R, S, Т, который в степени q равен Z. Рассмотрим по-
поэтому группу
(/, m, n)q
с генетическим кодом
Rl = Sm = Tn = RST = Zq, Z^± R, S, Т. F.57)
(Понятно, что </, пг, пух совпадает с самой </, пг, га>.)
Если k > 0 (и, стало быть, элемент Zq имеет период 2),
то порядок группы </, пг, га>, в q раз больше порядка
группы </, пг, п>, т. е. равен
Mmnqlk.
6.6. МИЛЛЕРОВО ОБОБЩЕНИЕ ГРУПП МНОп>ГРАннИК°в 107
Если q = 2cr, r нечетно, то получается прямое произ-
произведение групп rp(R,S, T,Zr) и rp(Z2C+1):
</, да, п>л ~ (/, да, «}2С X %. F.58)
В частности,
(/, пг, п)т :=- </, т, п) X Sr при нечетном г, F.59)
как и в случае группы <—/, пг, п}, где г = и.
Некоторые сходные с {I, m, n}q группы были опи-
описаны Трельфаллем иЗайфертом [1933], с. 577,
как фундаментальные группы расслоенных про-
пространств.
6.6. Миллерово обобщение групп многогранников.
Другая группа, имеющая F.42) в качестве своей фак-
фактор-группы, — это группа
(l,m\n), I, пг, п> 1,
с генетическим кодом
Rl = Sm, (RS)n = E. F.61)
Ее порядок равен произведению порядка группы
(/, пг, п) и периода центрального элемента
Если этот период конечен, то каждому его делителю
q отвечает фактор-группа
(I, m\n; q)c=L{m, l\n\q),
определяемая соотношениями
В частности,
F.62)
(l,m\n;l)^(l,m,n). F.621)
Исключив из F.52) порождающий Т, получим для
группы </, /га, п) генетический код в виде
Rl=Sm = Z, (RS)n = Zn~\ F.622)
Значит, при нечетном п
{l,m\n;2)~(ltm,n). F.623)

108 ГЛ, 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Если q = 2сг, г — нечетное число, то
(I, т | л; ?> ?* </, m |га; 2С> X ®г- F.624)
В частности,
</, т \п\ г) з~ (/, т, га) X &г, г нечетно, F.625)
и
</, /п |га; 2г> ^ (/, т, га) X &г, га и г нечетны. F.626)
В порождающих S и Т = {RS)'1 группа </, т|га; 2>
имеет генетический код
Если / нечетно, а п четно, то, переходя к порождаю-
порождающим S и Т\ = TZ, получаем
В частности, группа </, т|2; 2> с нечетным / имеет код
S2m = Т2 = (S71)' = EmrJ = Я. F.627)
Определяя & равенством F.43) (с. 102) и полагая
v=*(l + m)n/k, F.63)
найдем, что при k, делящем (/, пг) (га—1), элементы
Z и
~l Z{1+m)lk
~' Zo/"
порождают группу </, m|n>, имеющую в этих порож-
порождающих генетический код
До = 5от — Г? = RoSoTo = Z°, Z 5=t /?Ot So, To.
Таким образом, в обозначениях F.57) при k, делящем
число (/, пг) (га— 1), имеем изоморфизм
(l,m\n)^(l,m,n)v F.631)
и порядок этой группы равен
Упгщ> 4 (< + щ) Упп2
jT" F^—•
Добавив соотношение Z0 = Б, получим фактор-
факторгруппу
</, m\n;v)m{l,m, n)X&v, k\(l, m)(n-I). F.632)
6.6. МИЛЛЕРОВО ОБОБЩЕНИЕ ГРУПП МНОГОГРАЙНИКОВ Ю9
Если v нечетно, то F.59) дает более сильный резуль-
результат:
0, k\(l,m)(n~l). F.633)
В частности,
B, 2 |га) си B, 2, п) X К„. если га нечетно,
B, 4 13) =к B, 3, 4) X К9 (Миллер [1907], с. 9),
B, 5|3)^B, 3,5) Хе21 (там же, с. 11),
B, 3 15) з* B, 3, 5) X е25 (там же, с. 13).
Имеем также следующие изоморфизмы групп:
3, 3 12) =: B, 3, 3>4 порядка 96 (М и л л е р [1907], с. 3),
<3, 5 12) ~ B, 3, 5>и порядка 1920 (там же, с. 12)
и их фактор-групп:
C, 3|2;2c)^9l4XS2c, с = 0, 1,2,
C, 5|2;2c)^9i6X<V, с = 0, 1,2,3, 4.
В случае, когда / = 2, m = 3, п = 3, число k не делит
(/, пг) {п — 3), тем не менее Миллер [1907], с. 4, по-
показал, что
<2,3|3)~<2, 3, 3)ХК5.
Интересно, что Z имеет период 2v и во всех остав-
оставшихся случаях:
B, 2|га)^B, 2|га; 2«) (Ми л л ер [1909], с. 168),
<2,/n|2)~B)m|2;/n + 2),
C, 412) f* <3, 4 12; 14> =а<3, 4 12; 2) X %
(Миллер [1907], с. 9),
<2, 3 14) си. B, 3 14; 20) ~ B, 3 14; 4) X ®5 (там же, с. 8).
Так как <2, т|2> — это группа с генетическим ко-
кодом A.85) при п = 2 и г = —пг—1, то ее порядок
равен 2 (г2—l)=*2m(m + 2). В частности, ввиду
F.625),
B, пг 12) ~ ®т X ®т+2, если пг нечетно.
Группа
(—/, m|n>, /, пг, п>\,

ПО ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
определяется соотношениями
р~г Qm fpcV* F
или
или
F.64)
F.641)
Очевидно, что при / = m она бесконечна, поскольку
дополнительное соотношение Т = Е приводит к фак-
фактор-группе б». В частности, группа <—2, 2|л> имеет
фактор-группу
(-2, 2|«;<7>
порядка 2nq, которая была рассмотрена Миллером
[1908], с. 7 (наши п и q — это его k и га/2). Ясно
также, что
(—1,пг\п)^(—пг, 1\п),
поэтому можно ограничиться рассмотрением случая
Km.
Определив k посредством F.43) и положив
F.65)
мы найдем, что если k делит (/, т), то элементы
Z = R-1 — Sm и
n n7{m+2n-mn)lk nw c Q7{ln-l-2n)lk с-в>
Ко== Н& = /< , оо — оа — о ,
порождают группу <—l,m\n}, имеющую в этих по-
порождающих генетический код
Rl0 «= Som = Го = RoSoTo = Z~w, Z -Z±- Ro, So, To.
Таким образом, если число k делит (/, m), то
{-l,m\n)^(l, m, n)w F.651)
и порядок этой группы равен
Мтпо __ 4 (т — /) 1тп2
_j
Кроме того,
, k\(l,m), F.652)
в.», МИЛЛЕРОВО ОБОБЩЕНИЕ ГРУПП МНОГОГРАННИКОВ Ш
и если w нечетно, то
(- /, т | п) _* (I, т, п) ХК> k\ (/, т). F.653)
В частности,
<—2, 4|3>_г<2, 3, 4>ХК3 (Миллер [1909], с. 172),
(-2, 3 |5>___ B, 3, 5) X ®5 (там же, с. 179),
(-2, б 13> _i <2, 3, 5) X ?9 (там же, с. 174).
Кроме того,
<-3,5|2>__<2,3,5>4
и порядок этой группы равен 480.
Приступим к доказательству того, что Z имеет пе-
период 2w и в тех случаях, когда k не делит (/, т), т.е.
в группах
(—2, т 12} о± (—2, т 12; т — 2) порядка 2т (т — 2),
(-2, 3 [3>с_<—2, 3 C; 2)^B, 3|3; 2)^B, 3, 3>,
(—2, 3 |4>с=_<—2, 3 |4; 4> порядка 96,
(-3, 4|2>_*<-3, 412; 2)__C, 4|2; 2).
Действительно, группа <—2,/п|2> имеет код A.85)
при п = 2, г =¦ т—1, поэтому ее порядок равен
2(r2— l)==2m(m — 2). В частности, ввиду F.625),
(—2, т |2) ~ SDm X Km-2. если т нечетно.
Более того, <—2, 3|3> определяется соотношениями
R~lZ2R
из которых вытекает, что S~lR-1 = S2R и
- (/TV VK =
3 s == s~'Or1/?K s == ?,
т. e. Z2 = 5. Значит, группа <—2, 313> имеет также код
и из F.623) следует, что
-_B,3, 3>
;б.66)
(Миллер [1909], с. 172).

112 ГЛ. в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Далее, группа <—2, 3|4> определяется соотноше-
соотношениями
¦>-2
, (RS)*-*E,
из которых вытекает, что S-1/?-1 =¦ S2R, RS = R-XSZ~X
Z4 = Zi {SRL = (ZSRL = {S4R)\
Сопрягая последнее соотношение элементом S2R, по-
получим
= (R~1S2RS2rY - (R-'S-'R-'S-'R-1L -
= (SRSL = S (S2RL S = S (S/?L S — ?.
Значит, определяющие соотношения эквивалентны со-
соотношениям
/r2=s3 = z, (/r's^z4-^.
Заменяя /? на i?-1, мы видим, что
(-2, 3|4)^B, 3| 4; 4). F.67)
Наконец, из кода группы <2, 3, 3> можно получить
код группы <—3, 4|2> в виде
/?3 = S3 = (RSJ
(Коксетер [1940в], с. 367), если присоединить эле-
элемент Т периода 2, сопрягающий R с S. Расширенная
группа имеет порядок 48 и определяется соотноше-
соотношениями
S3 = (STL, Т2 = Е,
т.е. совпадает с <—4, 3|2> в форме F.641). Полагая
R\ —(ST)-\ получаем (ввиду F.521)), что из соот-
соотношений
следует Z2 = Е. Заменив R\ на R~l, мы заключаем,
что
(-3, 4|2)~C, 4 12; 2>. F.671)
Из F.627) следует, что <—3, 4[2> — группа порядка
48 с генетическим кодом
= (S4Tf = E, F.672)
8.7. ЕЩЕ ОДНО ОБОБЩЕНИЕ
113
рассматривавшаяся Бернсайдом [1911], с. 401,
419.
Сравнив F.67) и F.671) с нашим предыдущим
описанием групп <3, 4|2> и <2, 3|4>, получаем
C, 4|2)~(-3, 4|2)ХК7,
<2,3|4)^(-2>3|4)Хе5.
F.6В)
F.681)
Интересно, что группа <—2, 3|п> с генетическим
кодом
#-2 = S3, {RS)n*=E
порождается элементами
U^RS, V^SR
(обратно, R = UVU, S =» U-xV~l), и определяется в
них соотношениями
?/"=*?, UVU—VUV.
F.69)
Таким образом, <—2, 3|m> — это фактор-группа груп-
группы кос F.17), совпадающей с <—2, 3|оо>.
6.7. Еще одно обобщение. Другой группой, имею-
имеющей F.42) в качестве фактор-группы, является
группа
I [2га] т, I, пг, га > 1,
определяемая соотношениями
Ее порядок равен порядку группы (/, пг, га), умножен-
умноженному на период центрального элемента
Z = (RS)n = {SR)n.
Очевидно, / [2га] пг е* т [2га] / и
2 [2га] 2 ы ©2„. F.72)
Определив k, как и выше, формулой F.43), мы ви-
видим, что если число k делит A,т), то элементы Z и

114 ГЛ. в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
порождают группу 1[2п]т, и в этих порождающих
она определяется соотношениями
/tf = Sj1 = To = RoSoTo = Z~lmlk, Z 7=± Ro, So, To.
Следовательно, в обозначениях F.57)
/ [2n] m ~ </, m, n)lmlk, k \ (I, m), F.73)
период элемента Z равен 2lm/k, а порядок группы
равен
Ilm 2lmn 4l2m2n
Ввиду F.59) и F.58) имеем:
3[4]3^{2,3,3>з~{2,3,3)Х5з,
3[4]5~<2, 3, 5>I5~<2, 3, 5>^6I5
2 [6] 4 & B, 3, 4>5 порядка 192,
2 [10] 3 ~ B, 3, 5>6~B, 3, 5J X Е3,
2[6]5^{2,3>5>10~B,3,5>2Хе5>
где <2, 3,5>2 — группа порядка 240 с генетическим
кодом
Любопытно, что период элемента Z равен 2lmjk
и в остальных случаях, т. е. в группах
2[4]/п порядка 2т2,
2[6]3 порядка 48,
2[8]3 порядка 144,
3[4]4 порядка 288.
В действительности из соотношений
определяющих группу 2[4]т, следует, что RSR**S и
Zm = {RSRST = {RSR)m Sm = RSmRSm = E
(см. Шепард [1952], с. 93). Ввиду D.5051) группа
2[4]т является фактор-группой группы
8.7. ЕЩЕ ОДНО ОБОБЩЕНИЕ
115
Если т нечетно, то группа 2[4]т порождается
элементами R и S2, а также элементами R, S~2Z и Z.
Поскольку период элемента S~2Z равен т, а период
элемента S~2ZR = S~lRS равен 2, то R и S~2Z порож-
порождают диэдральную группу S)m. Так как сам Z порож-
порождает циклическую группу ©т,
2[4]т~фтХКт, если т нечетно. F.74)
По группе <—2, 3|т> с генетическим кодом
F.75)
(см. F.69)) можно следующим образом построить
группу 2 [6] т. Элемент
из F.75) сопрягает порождающие S и Т с элементами
Присоединив новый элемент R периода 2, который со-
сопрягает группу <—2, 3|/п> как этот внутренний авто-
автоморфизм, мы получим группу с генетическим кодом
Sm = E, STS = TST, R2 = E, RSR = T. F.751)
Исключив Т, видим, что в действительности эта груп-
группа совпадает с 2[6]т:
/?2 = s- = ?> (/?sK = (Si?K> m== 3,4,5.
В частности, порядок группы 2[6]3 вдвое больше по-
порядка группы
<-2,3|3)^B,3,3).
В группе 2[8]3 элементы R и S\ = SZ~l удовлет-
удовлетворяют соотношениям
Но соотношения
определяют группу <—3, 4|2>, и из них вытекает, что
Z\ = E. Следовательно, 2 [8] 3 —прямое произведение
групп rp(/?,Si) и rp(Z2):
2[8]3~(-3, 4I2>XS3. F.76)

116 ГЛ, в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Заметим, наконец, что в группе 3[4]4 элементы
= RZ и S удовлетворяют соотношениям
S4 = ? /?
Однако соотношения
определяют группу <—2, 3|4>, и из них следует, что
Z\ = E. Значит, группа 3[4]4 разлагается в прямое
произведение групп rp(Ri,S) и rp(Z4):
3[4]4~<-2, 3|4)Хез. F.77)
При нечетном q диэдральная группа®, определяет-
определяется соотношениями
S2 = Е, RSR ... SR = SRS ... RS,
где последнее соотношение, имеющее q множителей,
можно рассматривать как равенство (RS)n *=*(SR)n с
дробным значением q/2 для п. При такой интерпре-
интерпретации изоморфизм F.72) в форме 2[^]2~3), распро-
распространяется и на нечетные значения q. В том же смыс-
смысле m[3]m может служить другим обозначением для
группы <—2,3|т> в форме F.75), а группа 3[5]3
имеет вид
(легко убедиться, что она изоморфна группе <2, 3, 5>з,
тогда как <—2, 513> =~ <2, 3, 5>э). Поскольку элемент
Q = RS ... R = SR ... S сопрягает R с S, a S e R,
то из соотношений
= E, RS ... R =
F.78)
я я
следует, что Rm = Е; таким образом, этих соотноше-
соотношений достаточно для определения группы
m[q]m, q нечетно.
Присоединяя инволюцию, которая сопрягает группу
F.78) как элемент Q (ср. F.751)), получим группу
2[2<7]т. Значит, порядок группы l[q]m равен
812т2д
в.7, ЕЩЕ ОДНО ОБОБЩЕНИЕ
117
не только при четном, но и при нечетном q. Во вто-
втором случае должно быть / = т, поскольку R и S со-
сопряжены. Итак,
Пусть l[q]m — группа с генетическим кодом F.71)
(при n = q/2) или F.78), где целые числа I, m, q
удовлетворяют неравенствам
/>1, m>l, q > 2, (/ + m)q > lm(q — 2),
причем I = m, если q нечетно. Тогда ее порядок равен
g = 2А*/<7, где
h__ 2lmq A^i-4-—4- —— 1
(I + m) q ~ Im (q — 2) ' h I m q
Важность этих групп определяется их ролью в тео-
теории правильных комплексных многоугольников (Ше-
пард [1952], с. 92). Отражением комплексной аф-
аффинной плоскости с унитарной метрикой называется
движение, оставляющее неподвижными все точки на
некоторой прямой; его период может быть больше 2.
Правильным комплексным многоугольником назы-
называется конечная связная конфигурация точек (назы-
(называемых вершинами) и прямых (называемыхребрами),
инвариантная относительно двух унитарных отраже-
отражений R, S, одно из которых, — скажем, R — циклически
переставляет вершины на некотором ребре, а дру-
другое— скажем, S — циклически переставляет ребра
при одной из этих вершин. Отсюда следует, что
rp(R,S) — скажем, порядка g — действует транзитив-
но на вершинах и на ребрах. Говорят, что такой мно-
многогранник имеет тип
если R имеет период /, a S — период т, так что на
каждом ребре имеется / вершин и при каждой вер-
вершине— m ребер. Так как каждому смежному клас-
классу по подгруппе грE) соответствует одна вершина, а
каждому смежному классу по подгруппе гр (/?) — одно
ребро, то всего имеется g/m вершин и g/l ребер (Ш е -
пард [1952], с. 88).
В свете того, что каждая конечная группа l[q]m
является группой симметрии двойственных комплекс-
комплексных многоугольников
t(g)m и m (g) I

118 ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
(Коксетер [19626]), естественно заменить эти сим-
символы на
/ {q} m и т {q} L
Здесь q можно описать как число вершин минималь-
минимального цикла, любые две последовательные вершины
которого принадлежат, а никакие три последователь-
последовательные вершины не принадлежат одному ребру.
Указанные выше неравенства позволяют дать пол-
полный перечень правильных комплексных многоугольни-
многоугольников:
2 {q} 2 = {q} m {4} 2, 2 {4} т, 3 {3} 3, 3 {6} 2, 2 {6} 3,
3 {4} 3, 4 {3} 4, 3 {8} 2, 2 {8} 3, 4 {6} 2, 2 {6} 4, 4 {4} 3, 3 {4} 4,
3 {5} 3, б {3} 5, 3 {10} 2, 2 {10} 3, б {6} 2, 2 {6} б, 5 {4} 3, 3 {4} б.
Эти обозначения естественным образом расширяются
иа политопы более чем двух (комплексных) измере-
измерений:
3{3}3{4}2, 2{4}3{3}3, 3{3}3{3}3, 3 {3}3{3} 3{3} 3,
/n{4} 2 {3} 2 ... {3} 2, 2 {3} 2 ... {3} 2 {4} m
Подробное изложение см. в книге Коксетера
[1974].
6.8. Проблема Бернсайда. Группа, все элементы
которой удовлетворяют соотношению
для некоторого фиксированного числа п (так что пе-
периоды всех элементов делят п), называется группой
периода п. Благодаря Бернсайду [1902] стала зна-
знаменитой следующая проблема: всякая ли группа пе-
периода пет порождающими элементами конечна?
Пусть Вт<п—максимальная из таких групп, т. е. все
другие группы с указанными свойствами являются
фактор-группами группы Вт, «• Бернсайд предполагал,
что группа Вт, п конечна при любых тип.
При п = 2 проблема тривиальна; в самом деле,
группа Вт, 2, определяемая соотношениями
S] — (SiSif —•?, /,/=1,2 т,
8.8. ПРОБЛЕМА БЕРНСАПДА
119
представляет собой (Sf1— абелеву группу порядка 2т
н типа A,1, •••. О- Бернсайд [1902], с. 231—233,
показал, что группа Вт,г также конечна (другое до-
доказательство см. в работе Шенкмана [1954]), но
2т— 1
ошибочно указал в качестве ее порядка число 3
Л ев и и ван дер Варден [1933] показали, что в
действительности порядок группы Вт, 3 равен З'(т), где
ТГ^. F-81)
Конечно, Si, з яг
(т\.\.(т\
U J + U J-
2t3^C, 3|3,3)
— одна из групп порядка 27, перечисленных в таб-
таблице 1 (Коксетер [1939], с. 74). Лич [.1963],с.264,
нашел, что В3, з определяется требованием, что эле-
элементы
А, В, С, ВС, СА, АВ, В'1С, С~1А, А~ХВ,
ABC, А'1 ВС, AB~lC, ABC'1
имеют период 3.
Бернсайд [1902], с. 234—237, установил, что
группа Вг, 4 конечна и указал в качестве ее порядка
число 212. На самом деле он доказал только, что ее
порядок делит 212. Филип Холл думал одно время, что
В2,4 имеет порядок 2ю (Нойман [19376], с. 506, под-
подстрочное примечание), однако Тобин [1960] под-
подтвердил правильность бернсайдова значения 212. Лич
[1963], с. 264, показал, что группу В2,4 можно опре-
определить «наложением периода 4» на элементы
А, В, АВ, А~1В, АВ2, А2В
и любые три из элементов
А~1В~1АВ, А2В2, А~1ВАВ, АВ~1АВ.
(О других близких к этим группах см. Коксетер
[1940г],с. 2491)-)
') Отметим опечатку на стр. 248; перед E) вместо 4п4 долж-
должно быть 8п*.

120 ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Конечность групп Вт, а была доказана С а новым
[1940]; изложение его доказательства можно найти
у Хигмана [1957], с. 123—128. Порядок группы
Вт, 4 при т >• 2 неизвестен, хотя некоторые оценки
имеются.
М. Холл [1958]; [19626], с. 364, доказал, что
группа Вт, б при любом т конечна. Ранее Ф. Хол л и
Хигман [1956], с. 38, установили, что если Вт, в ко-
конечна, то ее порядок равен 2a3f(b>, где
a=~l+(m-lKfim\ &=l+(m-lJm
и f(m) задается формулой F.81).
К настоящему времени группы Вт, 2, Вт, з, Вт, 4 и
Вт, в остаются единственными из групп Вт, п, конеч-
ность которых известна. Бернсайд [1902], с. 237—
238, показал, что если р — простое число и В2, р — ко-
конечная группа, то ее порядок не меньше р2?-3. В част-
частности, порядок группы В2, в не меньше 57. Магнус
[1950], с. 126, улучшил эту оценку, показав, что поря-
порядок В2, б не меньше 5й.
Новиков и Адян [1968] доказали, что при
т>2и любом нечетном « ^ 4381 группа Вт, п бес-
бесконечна ').
Детальное изложение связей между проблемой
Бернсайда и общей теорией групп дал Бэр [1944].
Если © и ? — подмножества группы ®, то через [©,?]
обозначается подгруппа группы ®, порожденная ком-
коммутаторами [S, Г] = S^T^ST. Нижний центральный
ряд
°@ = @, г+1©ш«[@, '©]
называется конечным, если °-1® — собственная под-
подгруппа группы с® и °® = с+1@ = ... Если, более того,
ряд оканчивается подгруппой {?} = с®, то © назы-
называется нильпотентной группой ступени с (Цассен-
хауз [1958], с. 141, 142). Бэр доказал, что если п
является степенью простого числа, то следующие ус-
условия необходимы и достаточны для того, чтобы груп-
группа Вт,п была конечной:
') В книге Адян а [1975] это доказано уже для любого
нечетного п ^ 665. — Прим. ред.
6.8. ПРОБЛЕМА БЕРНСАПДА
121
а) Е — единственный элемент, принадлежащий
каждому 1Вт,п\
б) нижний центральный ряд группы Вт, п конечен.
Разумеется, если группа Вт,п удовлетворяет усло-
условиям а) и б), то она нильпотентна. Бэр [1944], с. 153,
показал, что условие а) можно заменить более сла-
слабым условием
а*) если Вт,п/1Вт,пФ {?}, то 1+1Вт, „ — собствен-
собственная подгруппа группы 1Вт, п.
Условия б) и а*) исследовали Гр юн [1936],Ма г-
нус [1935а, 1937], Витт [1937], Цассенхауз
[1940] и Линдон [1954].
Если даже группа Вт, п сама бесконечна, вполне
может оказаться, что порядки конечных т-порож-
денных групп периода п ограничены. Это — «ослаблен-
«ослабленная гипотеза Бернсайда». Если она верна при неко-
некоторых т и п, то существует максимальная конечная
m-порожденная группа — скажем, В*т, „, — для кото-
которой все другие будут фактор-группами. Если п — сте-
степень простого числа, то ослабленная гипотеза Берн-
Бернсайда истинна тогда и только тогда, когда Вт, „ удов-
удовлетворяет условию б). Фактически в этом случав
где 91 — нормальная подгруппа группы Вт,п, состоя-
состоящая из элементов, общих для всех подгрупп lBm, n, i =
= 1, 2, ... (Бэр [1944],с. 153).Грюн [1940] утверж-
утверждал, что условие б) выполняется, если т = 2, п = 5;
однако Санов [1951] нашел в его доказательстве
ошибку. Правильность утверждения Грюна доказал
Кострикин [1955], установивший, что порядок
группы В1.5 не более 534. Хигман [1956] доказал, что
ослабленная гипотеза Бернсайда справедлива при лю-
любом т и п = 5 ').
Группа называется р-группой, если периоды всех
ее элементов являются степенями простого числа р.
Конечная р-группа — это просто группа, порядок ко-
которой равен степени простого числа р. Любая конеч-
конечная р-группа нильпотентна (Ф. Холл [1933]). По-
') Как доказал Кострикин [1959], ослабленная гипотеза
Бернсайда справедлива при любом т и любом простом п.—
Прим. ред.

122 ГЛ. 6. СИММЕТРИЧЕСКАЯ И ДРУГИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
скольку каждая фактор-группа нильпотентной группы
нильпотентна, то из истинности ослабленной гипотезы
Бернсайда для некоторого т и некоторой степени п
простого числа следует, что ступень нильпотентности
всякой конечной m-порожденной группы данного пе-
периода п не превосходит ступени нильпотентности груп-
группы Вт, п. В связи с этим интересно строить конечные
m-порожденные группы данного периода п и большой
ступени нильпотентности. Грин [1952] построил ко-
конечную 2-порожденную группу периода п = ра ^ 5,
где р— нечетное простое число, имеющую ступень
нильпотентности с = 2га — 2. Майер-Вундерлн
[1956], с. 174, довел ступень при а = 1 до с ^ 2га— 1.
Другой вопрос, поставленный Бернсайдом
[1902], с. 230, таков: всякая ли группа с данным ко-
конечным числом порождающих элементов, периоды всех
элементов которой не превосходят данного числа А,
конечна? Нойман [1937а] решил эту «проблему ог-
ограниченных периодов» для h = 3, а Санов [1940] —
для h = 4.
ГЛАВА 7
МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Группы линейных преобразований можно рассмат-
рассматривать над произвольными полями — конечными или
бесконечными, дискретными или непрерывными
(Диксон [1901а, б], Дьёдонне [1974]). Глава на-
начинается с описания га-мерной унимодулярной группы
Шп—группы автоморфизмов абелевой группы §" или
??>. В частном случае, когда п = 2, мы найдем для
нее генетический код
(RUJ
= Е
(см. G.29)). Магнус [19356], с. 367, доказал, что
Зйл при п >• 3 является фактор-группой, получаемой
добавлением одного соотношения G.33) к соотноше-
соотношениям, определяющим группу Г„ автоморфизмов ево-
бодной группы 5„; ранее Нильсен [1924а] доказал
это для п = 3. Описав диксоновы дробно-линейные
группы LFn(q), мы сравним различные коды групп
^Мр). где р — простое число, а также связанных с
ними групп SL2(p), GL2(p). В § 7.6 дается найденный
Синковом генетический код группы LF2Bm). В заклю-
заключение будут указаны новые коды простых групп по-
порядков 5116 (§ 7.7), 7920 и 95040 (§ 7.8).
7.1. Решетки и модулярные группы. Все п-мерные
решетки (рассматриваемые, например, в кристалло-
кристаллографии или геометрии чисел) аффинно эквивалентны.
Другими словами, аффинное «-мерное ирострат.гво
содержит по существу только одну решетку. В каче-

124 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
стве ее точек можно взять точки
X — (Х\, Х2, • • ., Хп)
с целыми координатами, отождествив их с соответ-
соответствующими радиус-векторами. Эта решетка порож-
порождается единичными векторами
Sj-A,O,O, .... 0), 52 = @,1,0 0), ...
..., 5„==@,0, 0 1).
Аффинная коллинеация, относительно которой ре-
решетка инвариантна, а начало координат
@,0, .... 0)
неподвижно, полностью определяется своим действием
на единичных векторах. Если такая коллинеация по-
посылает Si в точку
5г = (аи> аа ат)<
принадлежащую решетке, то она задается матрицей
пг\ «22
«пя-
«пятак что X = (хи х% •. •, хп) отображается в
/ «и ... «in \
V/ (vl r'\ = (v Y Y \\ \=X A
Л ^Aj, . . ., Лп] ул1г Л2, . . ., AnJ у ¦ ' ' ' )
Выбор именно матрицы А, а не транспонированной к
ней, сделан в соответствии с нашим решением читать
произведение слева направо и в согласии с классиче-
классическим правилом умножения матриц (ван дер Вар-
ден [1979], с. 91). Если коллинеация эквиаффинна,
т. е. сохраняет объем, то векторы S'i также порождают
решетку и
аи
ап\
= ±1.
Значит, группа всех аффинных коллинеации, отно-
относительно которых решетка инвариантна, а некоторая
точка неподвижна, — это унимодулярная группа 2Й„,
7.1. РЕШЕТКИ И МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ
126
т.е. группа всех целочисленных матриц размера «Х«
с определителем ±1 (Хуа и Райнер [1951],с.331).
Группа Wln является подгруппой в большой группе
всех аффинных коллинеации, относительно которых
решетка инвариантна. В этой большей группе пере-
переносы решетки образуют нормальную подгруппу, фак-
фактор-группа по которой изоморфна Шп- Группа Шп
имеет центр порядка 2, порожденный центральной ин-
инверсией
-1 0 ... 0\
0 -1 ... 0 1
0 0 ... —1/
обращающей знак каждой координаты. Фактор-груп-
Фактор-группа по центру Шп/ (Z) — это проективная унимодуляр-
унимодулярная группа ф„, т. е. группа «рациональных» коллинеа-
коллинеации действительного проективного (п—1)-мерного
пространства (Хуа и Райнер [1952], с. 467).
Унимодулярная группа Шп содержит подгруппу ин-
индекса 2 — модулярную группу Win, состоящую из мат-
матриц с определителем 1. При нечетном п всякая мат-
матрица с определителем —1 является произведением
матрицы с определителем 1 и матрицы Z; значит,
если п нечетно.
С другой стороны, если п четно, так что Z имеет опре-
определитель 1, то коллинеации из $„, сохраняющие ориен-
ориентацию, образуют подгруппу индекса 2 — проективную
модулярную группу ф+, изоморфную фактор-группе
группы 3R+ по ее центру:
В частности, Щ? — группа дробно-линейных преобра-
преобразований
-/ _ az + ь
z cz + d
с целыми коэффициентами, удовлетворяющими усло-
условию ad — be = 1.

126 ГЛ. Т. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
7.2. Определяющие соотношения при я — 2. Уни«
модулярная группа Ш1„ порождается матрицами
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
• •
,
0
0
1
0
0
. 0
. 0
. 0
. 0
. 0
...
• # •
...
...
...
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
U2 =
0
0
0
0
1
щ=
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
(Макдаффи [1933], с. 34). Хуа и Райнер
[1949], с. 421, показали, что на самом деле доста-
достаточно взять U], 112, 11%, так как
где
и* =
v=
Тротт [1962] показал, что U\ и U2 также порождают
всю группу Шп, если п четно (но только подгруппу
Ш%, если п нечетно); при нечетном п группа 2Я„ по-
порождается элементами ^ и U\ = UyUz.
При п — 2 удобно переименовать U\, U2, Us в Rit
R3R2, Яз- Таким образом, Ш12 порождается матрицами
^^(l о)' ^2==( 1 0' ^3==( 0 l)
с определителем —1, удовлетворяющими соотноше-
соотношениям
Я?-Я2-Яз=-?, (RiR2f = (RiR3J = Z, Z2 = E. G.21)
Всякий элемент из 2Д2 имеет определитель 1 или —1
в зависимости от того, на четное или нечетное число
матриц Ri, i= 1,2,3, он разлагается. Следовательно,
подгруппа 9Й2+ индекса 2 порождается матрицами
ГЛ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ п-2
127
с определителем 1, удовлетворяющими соотношениям
53==f2 = Z, Z2 = ?. G.22)
Хуа и Райнер [1951], с. 331, показали, что эле-
элементы из Wit, содержащие Т четное число раз, со-
составляют подгруппу 912 индекса 2, которая совпадает
с коммутантом группы Ш12 (см. Фраш [1933], с. 245,
подстрочное примечание). Таким образом, группа Кг
порождается элементами S и
_; j).
которые удовлетворяют соотношениям
о —W =.?, L, =.Е. \1 .&о)
Соответствующие дробно-линейные преобразова-
преобразования (условимся использовать для них те же обозначе-
обозначения) порождают группы $2, %2 и коммутант группы
фг- Эти преобразования удовлетворяют тем же соотно-
соотношениям, если в них положить Z = Е, а именно
/?? = Rl = Rl = (R1R2? = (RiRsf = Е, G.24)
S3 = T2 = E, G.25)
S3 — W3 = E. G.26)
Покажем, что на самом деле G.21) — G.26) — это
генетические коды соответствующих групп. Мы раз-
разберем только случай G.24) и %% так как остальные
пять случаев легко к нему сводятся.
Интерпретируя комплексное число z = х + yi как
точку (х, у) евклидовой (точнее, конформной) пло-
плоскости, заметим, что окружность с центром иа оси х
описывается уравнением вида
= 0, или
или
где А, В, С — действительные числа, А > 0. Ее центр
имеет координаты (~"j> °)> a РаДиУС равен

128 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИИЕЙНЫЁ ГРУППЫ
V В2 — АС/А. Инверсия относительно окружности ме-
меняет местами точки z и г1, где
В2-АС
А2
так что
и
G.27)
(Форд [1936], с. 17). Поскольку В2 — ЛС> 0, мож-
можно так подправить коэффициенты уравнения, что бу-
будет выполняться равенство
В2—АС=1.
В частном (точнее предельном) случае, когда
А = 0 (и, скажем, В = —1), получается формула
z' = -z + C, G.271)
определяющая отражение относительно прямой z +
-\-z = С или х = С/2. Всякое дробно-линейное пре-
преобразование
2'=-Stz G-28>
с действительными коэффициентами, удовлетворяю-
удовлетворяющими условию ad— be = 1, можно выразить в виде
произведения такой инверсии и отражения (или двух
отражений). В самом деле, из соотношений
cz-f
следует, что
az + (arf — 1)/с
cz + d
а из соотношений г' = —г и г" = —г' + b следует, что
г" = 2 + Ь.
Преобразованиям G.27) и G.271) соответствуют
инволютивные матрицы
(-В А\ (-1 ON
К-с в)' \ с \)
7.2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ п -2
129
с определителем —1. В частности, три преобразова-
преобразования
z'=\/z, z/= —г+1, z' = — z,
соответствующие порождающим
o
1 1
о 1
группы $2, — это инверсия относительно окружности
х2 -\- у2 = 1, отражение относительно прямой х= 1/2
и отражение относительно прямой х = 0.
Пуанкаре [1882], с. 8, рассмотрел полупло-
полуплоскость у > 0 как конформную модель гиперболиче-
гиперболической плоскости. Прямые из этой плоскости изобра-
изображаются полупрямыми и полуокружностями, ортого-
ортогональными оси х. Указанные выше преобразования
можно интерпретировать в гиперболической плоско-
плоскости как отражения относительно сторон треугольника
с углами 0, я/2, л/З (Клейн [1879а], с. 121; Фрике
и Клейн [1897], с. 432). Отсюда следует, что груп-
группа $2 — это группа [3,оо] в обозначениях D.32), а
G.24)—ее генетический код.
Ясно, что G.25)—код подгруппы группы $2> по-
порожденной элементами S = R\R2 и Т = R1R3, a
G.26)—код подгруппы, порожденной элементами S
и W = TST.
Из G.26) можно получить G.25), присоединив ин-
инволюцию Т, которая сопрягает элемент 5 с элементом
W. Из G.25) можно получить G.24), если присоеди-
присоединить инволюцию Ru которая сопрягает S с S и Т
с Т~1(= Т), и затем обозначить
Приложив друг к другу два прямоугольных тре-
треугольника, мы получим равнобедренный треугольник
с углами 0, я/3, я/3, являющийся фундаментальной
областью для проективной модулярной группы Щ? ~
~ [3, оо]+. Сетка таких треугольников, покрывающая
верхнюю полуплоскость, прекрасно иллюстрирована
Клейном [1879а], с. 120. Чтобы получить фунда-
фундаментальную область для коммутанта, достаточно объ-
объединить два треугольника в «ромб» с углами 0, 2я/3,
0, 2я/3.

1 30 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
Чисто алгебраическое изложение этих вопросов
можно найти в книге Райдемайстера [1932а],
с. 44—46.
Указанные генетические коды групп SW2 и $2, а
именно G.21) и G.24), содержат три порождающих
элемента. Однако можно взять и два порождающих
R = А1Х\2^3> ^2 ~ R3R2
(Коксетер и Тодд [1936], с. 195), в терминах ко-
которых Т12 будет иметь код
{RU2f = (R3Ulf = {R'uff = Е, ( 7.29)
а $2 — код
(RU2J = (R'UlY = (R'ulf = Е. G.291)
Выразив G.24) в форме
/з = р = к.2 = (/С/J = (tf/J = Я,
мы видим, что $2 — группа автоморфизмов простей-
простейшей группы кос F.17) или F.18) (Шрайер [1924],
с. 169).
7.3. Определяющие соотношения при п ГЗг 3. Вся-
Всякая гс-мерная решетка совпадает с графом группы
Е? — прямого произведения п бесконечных цикличе-
циклических групп. Автоморфизмы группы &пх соответствуют
эквиаффинным коллинеациям, относительно которых
решетка инвариантна, а точка, представляющая еди-
единичный элемент, неподвижна. Значит, Wln — группа
автоморфизмов группы Е?, (Нильсен [1924а];
Джекобсон [1947], с. 12).
Элементы группы Е?, являются точками решетки,
а групповая операция определяется правилом
XY -¦= (хх + Уп х2 + у2, ¦¦., хп + Уп)-
В терминах порождающих Si, S2, ..., Sn (см. § 7.1,
с. 124) группа ??. имеет генетический кед
SiSj = S/Si, I, /=1, 2, ..., гс.
Каждый ее автоморфизм полностью определяется
действием на этих порождающих. Преобразования
7.3. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ п>3 131
(см. § 7.2) порождают группу Шп. Так как
то, в обозначениях Нильсена [19246], с. 171,
Г С С С С 1
. — Р2, °Ь -->3, ¦ • ., OnJ.
Аналогично,
= |р2, оз, ..., Ore, OlJ, U=L'Jl , О2, ..., ОпЛ>
U — [>->1О2, О2, . . . , Onj-
Преобразования Р, Q, О, U являются также авто-
автоморфизмами свободной группы ftn, свободные порож-
порождающие которой обозначены теми же символами Si,
S2, ..., Sn- Как показал Нильсен [19246], с. 169—
209, элементы Р, Q, О, U порождают на самом деле
всю группу автоморфизмов Г„ группы gre. Найденные
Нильсеном определяющие соотношения были слег-
слегка упрощены Нойманом [1932], с. 368—374,
Б. Нойманом и X. Нойман [1951], § 6. При
гс^З эти соотношения таковы (с учетом F.13)):
а) Р2 Е
б) (QP)n~l = Qn,
в) P^Q^'PQ1, 2<t<rc/2,
г) О2 = Е,
д) 07±Q~[PQ,
е) O^QP,
3) U ^tQ~2PQ2 при гс > 3,
и) U^QP'^'^Q, G.31)
л) U+±Q~2UQ2 при гс > 3,
м)
н)
о) U^PQ~lPQPUPQ~xPQP,
п) '
р) U~'PUPOUOPO =
с) -
5*

132 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕПНЫЕ ГРУППЫ
Впрочем соотношение с) можно исключить, по-
поскольку из а), г) и р) следует, что U~lPUPOU =
= ОРО, откуда (PUPOJ = Е.
Очевидно, гр(Я, Q)—это симметрическая группа
©п. и мы узнаем в соотношениях G.31а)—в)) ее ге-
генетический код F.27). Из этих соотношений следует,
что
Аналогично, гр(Р, Q, О) с генетическим кодом
G.31а) — ж))—это группа порядка 2гега1 (группа Qn
из работы Нильсена [19246], с. 172), которую
можно считать группой симметрии га-мерной декар-
декартовой системы координат. Янг [1930] назвал ее ги-
гипероктаэдральной группой. Группу Qn можно поро-
породить двумя элементами (Нойман [1932], с. 370—
373; Коксетер и Тодд [1936], с. 199), как и груп-
группу IV) (Нойман [1932], с. 375—378).
Каждый автоморфизм группы %п индуцирует авто-
автоморфизм ее фактор-группы (?.?,. Отображая порож-
порождающие Р, Q, О, U группы Тп на порождающие Р, Q,
О, U группы SKn, мы видим, что, обратно, каждый ав-
автоморфизм группы &» индуцируется некоторым авто-
автоморфизмом группы gfn. Естественно возникающий го-
гомоморфизм группы Т„ на 2Л„ будет изоморфизмом
только при га = 1, так как, например, в Шп при га > 1
[S&, S2, ..., Sn] = [ЗД, S2 Sn], G.32)
но в Гп это неверно.
Что нужно добавить к соотношениям G.31) (опре-
(определяющим группу Гя), чтобы получить фактор-группу
2Я,г? Конечно можно добавить соотношение, выражаю-
выражающее равенство G.32), а именно U = OU~lO или
(О?/J=?. G.33)
Оказывается, что никаких других соотношений добав-
добавлять уже не нужно. Мы проверим это утверждение
для га = 2 и га = 3; для га = 3 оно было доказано
Нильсеном [1924а], с. 24, а для п>3 — Магну-
Магнусом [19356], с. 367. Отметим ещетакое его следствие:
фактор-группа $„ ~ SWre/(Z) определяется соотноше-
¦) При п ^ 4. — Прим. перев.
7.3. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ я> 3 ]33
ниями G.31) и G.33) с добавленным к ним соотно-
соотношением
(OQT = Е, G.34)
выражающим в группе $„ равенство
[•Si , 5г Sn J = [Si, S2, •. •, Sn] = Е.
Покажем сначала, что Wln можно получить из Гп
добавлением единственного соотношения G.33) в слу-
случае, когда га = 2. В этом случае соотношения G.31)
заменяются такими:
р2 = о2 = {РОУ = {POPUf = (POUf = E,
(OUJ = (UOJ
(Нойман [1932], с. 374). Подставив в G.21)
мы получим код группы 2Я2:
рг = о2 = (РОУ = {POPUf = (POUf = {OUf = Е.
В порождающих
= POPU, R3 =
группа Гг определяется соотношениями
которые дают G.21), если добавить соотношение
(R2ZJ = Е.
Теперь рассмотрим случай, когда га = 3, и пока-
покажем, что группа 5Ш3 также определяется соотноше-
соотношениями G.31) (при га = 3) и G.33).
Прежде всего, соотношения G.31а) —р)) и G.33)
эквивалентны соотношениям G.31а) — л), н) — п)) и
O = PUPU~[PU. G.35)
В самом деле, G.35) легко следует из G.31 г), р)) и
G.33). Обратно, из G.31а), г)) и G.35) вытекает, что
ои~1 =
или

134 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
откуда получаем G.33); последнее соотношение де-
делает G.31м)) «пустым» и позволяет вывести р) из
G.35).
При гс = 3 соотношения G.31а)—л), н)—п)) и
G.35) можно преобразовать следующим образом. Так
как Р2 = (QPJ = Е, то из п) вытекает
Поскольку Q2 = Е, то из к) следует U *±QOQ~l. Так
как из а), г) и G.35) следует G.33), то соотношение
н) можно переписать в форме
, или ) ()
или U^QPUQP.
Далее, из а) и б) следует, что PQ~lPQP = PQ, по-
поэтому соотношение о) можно переписать в виде
U +z PQUPQ. Таким образом, из определяющих со-
соотношений группы Гз с добавленным к ним соотно-
соотношением G.33) вытекает, что
= PUPU~lPU,
07+QP,
\ G.36)
U^QPUQP, U^PQUPQ.
На самом, деле G.36) — генетический код группы
Ш13, так как его можно получить из кода Нильсена
[1924а], с. 24, удалением соотношений
которые, как мы видели, вытекают из равенств Р2 =
= О2 = Е, 0 = PUPU-iPU.
Так какШг3^?зХB), где
то можно считать группу ф3 ~ 3№+ и фактор-группой
и подгруппой группы 2Я3. Как фактор-группа она оп-
определяется соотношениями G.36) с дополнительным
соотношением
7.4. ДРОВНО-ЛИНЕИНЫИ ГРУППЫ
135
Порождающие элементы можно представить матри-
матрицами
/ 0 —1 0\ /1 О 0\
= ( -1 0 0 ), 0 = 1 0-1 О I,
V о о -1/ \о о -1/
/О 1 0\ /11 0\
Q= 0 0 1, [/= 0 10.
410 0/ 40 0 1/
Нильсен [1924а], с. 26, рассматривая Шз как под-
подгруппу группы SW3, порожденную элементами Q, U и
Т = РО, указал для нее другой генетический код:
Q3 = т4 = (QTJ = (Q~'r2Qf/J = Е, (j~luf = Т2,
~l
Q~lUQ,
¦ Q'JQ
-1
G.37)
7.4. Дробно-линейиые группы. Если вместо целых
чисел использовать элементы поля Галуа GF(q), где
q = pm — степень простого числа р, то получается
важное семейство конечных групп — общие линейные
группы GLn(q) порядка
Q = (<?" - 1) (qn - q)(qn - q2) . .. {qn - qn~x),
состоящие из матриц размера п X п с ненулевым оп-
определителем (Диксон [1901а], с. 77; в ан дер Вар-
ден [1948], с. 6). Группа GLn(q) возникает также
как группа аффинных коллинеаций конечного аффин-
аффинного гс-мерного пространства EGn(q), оставляющих
некоторую выделенную точку на месте. Центр этой
группы состоит из всех матриц ^il, где ц — ненулевой
элемент поля GF(q), поэтому он порождается одной
матрицей %1, где к — примитивный элемент поля. Та-
Таким образом, фактор-группа по центру
PGLn (q) ~ GLn
имеет порядок Qf(q-l). Прямые из EGn{q), прохо-
проходящие через одну точку, составляют конечную проек-
проективную геометрию PGn-i(q), и PGLn(q)— группа ее
проективных коллинеаций. (Она является подгруппой
индекса m в группе всех коллинеаций, так как

1-36 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
последняя содержит группу автоморфизмов поля
GF(q)—циклическую группу Sm, порожденную авто-
автоморфизмом
v, а. у-Р-
см. Кармайкл [1937], с. 362.) Элементы группы
PGLn(q) можно представить дробно-линейными пре-
преобразованиями п— 1 переменных.
Матрицы с определителем 1 составляют в GLn(q)
подгруппу индекса «7—1, которая называется специ-
специальной линейной группой SLn(q) и имеет порядок
/
Ее центр состоит из элементов ji/, цп = 1, и порож-
порождается одной матрицей v/, где
Поскольку центр имеет порядок d, фактор-группа
по нему
PSLn(q)~SLn(q)/(vI)
имеет порядок Q/d(q—1) (Диксон [1901а], с. 87).
Она является фактор-группой по центру и для дру-
другой подгруппы группы GLn(q), а именно для под-
подгруппы индекса d, состоящей из матриц, определи-
определители которых являются гс-ми степенями. (Различные
п-е степени в поле GF(q)—это, конечно, в точности,
первые {q— \)d степеней элемента АЛ)
В определенном смысле группы
GLn(q), PGLn{q), SLn(q), PSLn(q)
можно рассматривать как конечные аналоги беско-
бесконечных групп
В частности, так как поле Галуа GF(p) — гомоморф-
гомоморфный образ кольца целых чисел,то SLn(p) и PSLn(p) —
фактор-группы групп Ш^ и ^ соответственно.
Близкие к использованным выше обозначения
GL{n,q), PGL(n,q), SL{n,q), PSL(n,q) ввел в аи
дер Варден [1948] '). Кармайкл [1937], с. 294,
') Эти обозначения и используются в оригинале книги, не-
небольшое отклонение (написание п в виде индекса) и переход к
полужирному шрифту сделаны при переводе.—Прим. ред.
7.5. СЛУЧАЙ п - 2 И Я - Р — ПРОСТОЕ ЧИСЛО
137
вместо PGLn(q) писал Р(п—l,q)- Для группы
PSLn(q), как и многие другие авторы, мы будем поль-
пользоваться обозначением LFn(q)t по существу принад-
принадлежащим Диксону [1901а]. В следующей таблице
отражены также обозначения Дьёдонне [1955],
с. 109.
Диксои
GLH (n, q)
SLH (n, q)
LF (n, q)
ваи дер Варден
GL (я, q)
PGL (ft, q)
SL (n, q)
PSL (n, q)
Дьёдоние
GLn (8f,)
PGLn (g?)
SLn Ш
PSLn (%q)
7.5. Случай, когда л = 2 и q = р — простое число.
Так как мы условились читать произведения слева
направо, то дробно-линейное преобразование G.28)
представляется одной из матриц
(а с \ (— а — с \ /теп
U d)' {-ь -d)' <7-51)
которые в этом контексте мы будем отождествлять.
Такие преобразования по модулю р составляют дроб-
дробно-линейную группу LF2(p), порядок которой равен 6
при р = 2 и р(р2— 1)/2 при р > 2. В качестве порож-
порождающих элементов естественно выбрать
S: z' = z+l, T: z' = —1/z (modp),
или
в терминах которых
\b d)
Т,
если а ф О,
если а — 0.
Так как эти порождающие удовлетворяют соотноше-
соотношениям
S? = Т2 = (STK = Е,
тоLF2(p) — фактор-группа группы B, 3, р) (см. F.41)).
В первых трех случаях равные значения порядков

138 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
6,12,60 показывают, что гомоморфизм является изо-
изоморфизмом:
LF2(p)~B,3,p), р = 2, 3, 5.
При р ^ 7 из § 5.3 (с. 83) вытекает, что группа
B,3, р) бесконечна, так что для определения группы
LF2(p) необходимо наложить по крайней мере еще
одно соотношение. Генетические коды
S7 = Т2 = (STf = (S4rL = Е
для LF2{7) (Дик [1882], с. 41; Бернсайд [1911],
с. 422) и
51' = Т2 = (STf = (S4rS67? = Е
для LF2(\\) (Фраш [1933], с. 252; Льюис [1938];
см. табл. 6) наводят на мысль, что соотношений
Sp = Т2 = (STf = (s4rS(p+I)/2rJ = E G.53)
уже достаточно для определения группы LF2(p) при
больших значениях р. Справедливость этого предпо-
предположения установил Санди, выведший из соотношений
G.53) код Меннике
Sp = Т2 = (STf =
= Е
(Бэр и М ен н и ке [1968]). Обозначив (р+1)/2 че-
через к, наметим в общих чертах его рассуждение. До-
Доказав сначала равенство
(TS2Tyl S (TS2T) = {SkT) S4 (SkT)~\
он возводит обе его части в k-ю степень и получает
(TS2T)~lSk (Г52Г) = SkTS2(Sfcr)"'.
Отсюда
Sk = TS2TSkT = TS2TSkTS2
и
(S2TSkTK = (S2TSkTS2J = E.
Цассенхауз [1969] несколько видоизменил код
А4еннике, уменьшив число соотношений до трех, од-
однако на самом деле указанный им код
S°=-(ST)\ T2 = (S2TS!m
7.5. СЛУЧАЙ п-2 И q - р- ПРОСТОЕ ЧИСЛО
139
ие годится не только для р = 3 или 17, вопреки его
утверждению, но и для больших значений, сравни-
сравнимых с 3 по модулю 14, таких, как 31 и 59. Санди
[1972] нашел генетический код
= (ST)\
= ? G.54)
группы LF2(p) при всех нечетных простых р. Решаю-
Решающий шаг здесь состоит в замечании, что из этих соот-
соотношений с учетом S +±Т вытекают равенства S3 =
= Т = Е, так что Т — коммутатор.
Полезным кодом группы LF2(p), p > 2, в терми-
терминах элементов S, Т и дополнительного элемента
периода (р—1)/2, где а —примитивный корень по
модулю р, является код
S" = Т2 = (STf = (TVJ = (SaTVf = Е, V~lSV = Sa\
Фраш [1933], с. 252, использовал фактически код
sp = у(Р-»/2 = f'=s EГK = (TVJ = E, V~*SV = S"!
G.541)
с дополнительным соотношением (SaTV)z = Е при
р= 1 (mod 4) (ср. Тодд [1932а], с. 195—196).
Если не отождествлять матрицы G.51), то мат-
матрицы G.52) порождают группу SL2(p) всех матриц
размера 2 X 2 над кольцом вычетов, по модулю р с
определителем 1, содержащую, в частности, матрицу
Следовательно, из G.54) получается такой генетиче-
генетический код группы SL2 (р):
SP = E, r2 = (SrK = (S4rS(p+1)/271J. G.55)
Присоединив к SL2(p) элемент
где а — примитивный корень по модулю р, мы полу-
получим группу GL2(p) всех матриц размера 2X2 над

140 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОВНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
кольцом вычетов по модулю р с ненулевыми опреде-
определителями. В самом деле, если А— такая матрица с
определителем а\ то Q-'A имеет определитель 1, т.е.
содержится в SL2(p); значит, GL2(p) порождается
матрицами S, Г, Q. Так как матрица Q периода р— 1
сопрягает элементы S и Т с элементами Sa и
соответственно, то генетический код группы GL2(p)
можно получить, добавив к G.55) соотношения
QP~X = E, Q~lSQ = Sa, Q~lTQ = TS~UaTS~aTS~UaT.
G.56)
Далее, центр группы GL2(p) порождается матрицей
с; .°)-<w*.
поэтому можно найти код группы PGL2(p), положив
(QTJZ = E. Значит, группа PGL2(p) определяется
соотношениями G.54), G.56) и
(Q7? = ?\ G.57)
В некоторых частных случаях известны более про-
простые генетические коды группы PGL2(p). Пусть
(/, m, n; k) обозначает группу с кодом
Rl = Sm = Tn = RST = (TSR)k = E ' G.58)
или Rl = Sm = (RS)n =(R~1S'iRS)k = Е, а О'-»-' —
группу с кодом
Ap = B" = Cr = {ABf = (ВСJ = {С АJ = (ЛВСJ = Е
G.59)
(С инков [1937], с. 68). Тогда
PGL2 C) с- [3, 3] ~ ©4 =* О3'3> \
PGU E) с- ©5 — B, 4, 5; 3) ~ B, 5, 6; 2),
PGL2 G) - B, 3,8; 4) ~G3'7'8,
PGL2 A3) ~ B, 4, 7; 3) ~ G3'7' I2~G3'7' 14t
PGL2 A9) ^G4'5'9,
Т.е. ГРУППЫ ?F: B1")
141
(Коксетер [1939], с. 107—108). Интересно отме-
отметить, что в тех же обозначениях
IF, E) ~ B,3, 5)~G315'5,
IF2G)~B, 3,7; 4),
LF2 A3) ~ B, 3, 7; 6) ~ B, 3, 7; 7) ~ G3'7' '3,
IF2A9)~B, 5, 9;2)~G3'9'9,
LF2B3)~B, 3, 11; 4),
LF2 B9) en G3'7l 15
(Коксетер [1939], с. 89, 94—95, 106, 115'), 116;
Синков [1935], с. 239).
7.6. Группы LF2Bm). Б а ее и [1905], с. 297, ука-
указал довольно сложный генетический код простой груп-
группы LF2Bm), m> 1, порядка 2mB2m—1) в терминах
двух или трех порождающих элементов. Тодд [1936],
с. 106, нашел несколько более простой код с участием
m + 2 порождающих элементов
R:z' = az+l, U-.z'^^j,
St:z' = z + al, / = 0, 1, .. ., m— 1,
где а —примитивный корень поля GFBm). Очевидно,
что для порождения всей группы достаточно элемен-
элементов R, U и S = 50. Используя только эти порождаю-
порождающие, Синков [1939] свел Г „ ) +3 соотношений
Тодд а к следующим m -f 5 соотношениям:^
= E, i=\, 2, .... m
') Код G3-7. is для группы LF2(\3) обосновал Лич [1962],
с. 168. Тем самым была исправлена ошибка С инков а [1937],
с. 73, которую повторил и Коксетер [1962а], с. 54: на рис. 2
точки G,13) и A3,7) должны иметь пометку 1092, а не 2184.

142 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕИНЫЕ ГРУППЫ
где а\, ..., ат (равные 0 или 1)—коэффициенты не-
неприводимого уравнения
для примитивного корня а. Три синковских порож-
порождающих не являются независимыми: R и U порож-
порождают ту же самую группу (С инков [1938], с. 455).
Генетические коды, содержащие только т+1 со-
соотношений, известны при т = 2, 3, 4, 5. В первом слу-
случае имеем
IF2B2)~B,3,5).
Бернсайд [1899], с. 174, описал группу LF2B3)
соотношениями
А7 = В2 = (ABf = (A3BA5BA3Bf = E.
Синков [1937], с. 70, [1939], с. 763, 764, нашел та-
такие генетические коды:
LF2 B3): Р7 = (P2Qf = (P3QJ = {PQ5J = Е,
LF2 B4): Р15 = (P2QK = (P3QJ = (PQ9J = (P*Q2J = E,
LF2 B5): P31 = (P2QK = (P3QJ =
Кроме того, в обозначениях G.59), LF2B3)^ G3>7-9.
7.7. Группа гессиана и LF3C). Рассмотрим на ком-
комплексной проективной плоскости кривую
х3 + у3 + z3 + %mxyz = 0.
Точки перегиба этой кривой, будучи точками пересе-
пересечения с ее гессианом
х3 ¦+ у3 + & ^?— xyz = 0,
задаются уравнением
х3 + у3 + г3 = xyz = 0
(Вебер [1896], с. 340), т. е. это девять точек
@,1,-1), @,1,-ю). @,1, -со2),
(-1,0, 1), (-со, 0, 1), (-ш2, 0, 1), G.71)
A,-1,0), A, -<в,0), A,-ш\0),
7.7. ГРУППА ГЕССИАНА И LF3 C)
143
где ш = е2яг/3. Расположив их в матрицу размера
3X3, получим по три точки на 12 прямых, т. е. кон-
конфигурацию (94, 123): двенадцать прямых соответ-
соответствуют строкам, столбцам и диагоналям (включая и
«ломаные» диагонали из известного правила раскры-
раскрытия определителя). Эта конфигурация представляет
также конечную аффинную геометрию EG2C) из 9то-
9точек и 12 прямых, содержащих по 3 точки, поэтому
группа автоморфизмов нашей конфигурации совпа-
совпадает с группой аффинных коллинеаций геометрии
EG2E), в частности, ее порядок равен 432 (Кар-
(Карма йкл [1937], с. 329, 374, 391). 216 «прямых» кол-
коллинеаций составляют группу гессиана порядка 216.
Если точки G.71) занумеровать по схеме
1, 4, 7,
2, 5, 8,
3, 6, 9
(Миллер, Блихфельдт и Диксон [1916],
с. 335), то группа гессиана представляется как
дважды транзитивная группа подстановок степени 9,
порожденная подстановками
Т = A 2 4) E 6 8) C 9 7), U = D 5 6) G 9 8).
В их терминах Коксетер [1956], с. 168, нашел для
нее генетический код
Т3 = и3 = (TUy = E, (TUTJ U = U (TUTJ. G.72)
Подгруппа, порожденная подстановками U и V =
= TUT-1 = B 8 5) C 6 9), транзитивна на точках
2, 3, ..., 9 и оставляет на месте точку 1, т. е. совпа-
совпадает с группой SL2C) порядка 24 (см. § 7.4, с. 136).
Из соотношений G.72) вытекает, что
U3 = E, UVU=VUV
(см. F.66), F.69)), поэтому
SL2 C)^B,3,3), G.73)
Группу всех коллинеаций геометрии ?G2C) можно
получить из группы гессиана, присоединяя инволюиию
W = (l 2) E 6)G 9),

144 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОВПО-ЛИИЕЙНЫЕ ГРУППЫ
сопрягающую элементы Т, U с обратными к ним эле-
элементами. Следовательно, эта группа порядка 432 оп-
определяется соотношениями
Т3 = U3 = W2 = (TUL = (TWJ = (UWJ =
В комплексной проективной плоскости она совпадает
с группой проективных и антипроективных коллинеа-
ций, относительно которых инвариантна конфигура-
конфигурация из девяти точек перегиба.
Можно показать, что простая группа LF3C) по-
порядка 5616 = 24-33-13 порождается матрицами
/О —1 0\ /0 1 0\
5= 1 10), т = \ 0 0 1 (mod3),
V0 0 17 Vl 0 0/
удовлетворяющими соотношениям
S6 = Г3 = (STL = (S2TY = (S3TK = Е,
(TS2TJS2 = S2{TS2TJ
(Ко к сет ер [1956], с. 165, 172). На самом деле это
код группы LFзC); достаточность выписанных соот-
соотношений для определения группы LF3C) была уста-
установлена перечислением 28 смежных классов по под-
подгруппе грG\ 52), совпадающей с группой гессиана
порядка 216 в форме G.72).
7.8. Группы Матье. Списки конечных простых
групп можно найти у Диксона [1901а; 1905], Тит-
са [1970] и Конвея [1971], с. 246—247. За пятью
исключениями группы Диксона распадаются на не-
несколько бесконечных семейств. Пять исключительных
групп, открытых Матье [1861; 1973], исследовали
в дальнейшем Жор дан [1870], де Сегье [1904],
Цассенхауз [1935] и Витт [1938]. В обозначе-
обозначениях Витта это группы Ми, М{2, Л422, М2з, M2<t. Их по-
порождающие элементы указаны в книге Кармайкла
[1937], с. 151, 263, 288, однако определяющие соот-
соотношения всех пяти групп Матье найдены лишь не-
недавно.
7.8. ГРУППЫ МАТЬЕ
145
Самая маленькая группа Матье Мп порядка
7920 = 24-32-5-11 порождается подстановками
Л=@ 1 2 ... 10), В = A 4593)B 8 10 7 6),
С = A 5 4 3)B 6 10 7)
(см. Кармайкл [1937], с. 151; Фрайер [1955],
с. 24, 25). В действительности А и С также порож-
порождают всю группу, так как В = С2А5С2А4С2А5. Пока-
Покажем, что соотношения
V '
В~1АВ = А\ С~1ВС=В2
дают генетический код группы Мц- Поскольку ука-
указанные выше подстановки удовлетворяют соотноше-
соотношениям G.81), то достаточно показать, что порядок аб-
абстрактной группы ©, определенной этими соотноше-
соотношениями, не превосходит 7920. Пусть ф — подгруппа
группы ©, порожденная элементами S = А3, V = В,
Т — С2. Из G.81) следует, что
С~ХВ2С = В\ С~'-С-1ВС'С = В\ (С2ВJ = Е
Л3С2 = ВАВ'1 • ВС2В = ВАС ¦ С В = ВАС ¦ ВСВ~1 =
= ВС'1 А-'С~ХЛ • А~3ВА -СВ-{ =
= BC~lA~lB~2C~lB ¦ В'1 А'1 В ¦ ВАСВ'1 =
= {В2АСВ'1УХ (АС)'1 В2АСВ~\
так что (А3С2K = Е. Таким образом,
S[l = V5 = T2 = {STf = (TVf = E, F5K = S4, G.82)
а это в точности код Фраша G.541) для группы
LF2 A1) порядка 660. Перечислив смежные классы
группы ® по подгруппе § методом, описанным в гл. 2,
мы найдем, что существует точно 12 смежных клас-
классов. Значит, порядок группы ® равен 12-660 = 7920,
и G.81) — генетический код группы Мц.
Конвей [1911], с. 222, представил группу М[2
(порядка 95040) как группу подстановок степени 12,

146 ГЛ. 7. МОДУЛЯРНЫЕ И ДРОВНО-ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
порожденную подстановками А,
Г1==В-'С2В = A 9) B 6) D 5) G 8)
и
Г2 = @ оо)A 10)B 5)C 7)D 8)F 9)
и нашел ее генетический код
Ап = Т\ = Т\ = (ATif = (AT2f = (Г1Г2I0 = Е,
{T2T{fA{TxT2f=A\
Из этих соотношений легко следует, что подстановки
A, V = G'i7'2L и Ti, i= 1 или 2, удовлетворяют соот-
соотношениям G.82) (с А вместо 5), однако две подгруп-
подгруппы гр(Л, Ti), изоморфные группе LF2 (И), существен-
существенно различны, так как одна максимальна, а вторая нет.
Другие генетические коды были получены Мозе-
Мозером [1958] для Мц и М12, Меннике и Гарбе
[1964] для М1и М12 и М22, Конвеем [1971] и Л и-
чем [1969] для М\2 и Тоддом [1970] — для всех
пяти групп Матье.
Коксетер [1958а] (см. также Тодд [1959]) на-
нашел представление группы Мц матрицами степени 6
над полем GFC), состоящее из всех коллинеаций,
оставляющих на месте некоторую конфигурацию из
12 точек в конечной геометрии PGsC). M. Холл
[1962а] описал Mi2 как группу автоморфизмов неко-
некоторой матрицы Адамара порядка 12 типа Пэли
[1933] по модулю ее центра порядка 2.
ГЛАВА 8
ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
Направление в топологии, посвященное изучению
правильных карт на многосвязных поверхностях, на-
началось, можно сказать, тогда, когда Кеплер [1619],
с. 122, продолжил лучеобразно грани правильного до-
додекаэдра {5, 3} так, чтобы получился звездчатый мно-
многогранник {5/2,5} (Коксетер [1963а], с. 49, 95—
105), по существу являющийся картой из двенадцати
пятиугольников на поверхности рода 4. Два источ-
источника, питающих современные исследования в этом
направлении, — это автоморфные функции и проблема
четырех красок. Первому источнику обязаны своим
происхождением две карты на поверхности рода 3,
состоящие из 24 семиугольников (Клейн [18796],
с. 461—560) и 12 восьмиугольников (Дик [1880],
с. 188, 510), а второму — две карты на торе, состоя-
состоящие из семи шестиугольников (Хивуд [1890], с. 334,
рис. 16) и пяти четырехугольников (Хеффтер
[1891], с. 491, рис. 2). Систематическое перечисление
правильных карт на поверхности рода 2 начал Э р р е -
ра [1922] и завершил Трельфалль [1932а], с.44.
Что касается тора, то Брахана [1926], с. 238, за-
заметил, что «на нем нет правильных карт из 8, 10 или
11 шестиугольников, нет карт и из 14 шестиугольни-
шестиугольников, хотя есть карты из 7, 21 или 28 шестиугольни-
шестиугольников». Общая закономерность, которую он пытался
найти, дается нашей формулой (8.42) (Бернсайд
[1911], с. 418). Первое упоминание о картах на не-
ориентируемых поверхностях встречается, по-види-
по-видимому, у Тице [1910].

148
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
8.1. Автоморфизмы. Под автоморфизмом карты
(§ 3.2) мы понимает перестановку ее элементов, со-
сохраняющую отношение инцидентности; для любых
двух соответствующих граней или вершин ребра, ин-
инцидентные одной из них, соответствуют ребрам,
инцидентным другой, в том же самом (или противопо-
противоположном) циклическом порядке. Очевидно, автомор-
автоморфизмы данной карты образуют группу, она называет-
называется группой карты. Это естественное обобщение поня-
понятия группы симметрии многогранника или мозаики,
не использующее метрических понятий.
Каждый автоморфизм определяется своим дей-
действием на какой-нибудь одной грани. В самом деле,
если зафиксировать грань со всеми ее сторонами и
вершинами, то образ этой грани однозначно опреде-
определяет образы соседних граней и т. д.
Карта называется правильной, если ее группа со-
содержит два специальных автоморфизма, из которых
один — скажем, R— циклически переставляет ребра,
являющиеся последовательными сторонами одной гра-
грани, а другой — скажем, S — циклически переставляет
последовательные ребра, исходящие из одной вер-
вершины этой грани (Коксетер [1950], с. 419). Так
как RS обращает некоторое ребро, то это согласуется
с определением, предложенным Браханой [1927],
с. 269.
Из определения следует, что группа автоморфиз-
автоморфизмов правильной карты действует транзитивно на No
вершинах, JVi ребрах и N2 гранях. Будем говорить,
что карта имеет тип {р, q), если грани ограничены р
ребрами, а в вершинах сходятся q ребер, так что ука-
указанные выше автоморфизмы удовлетворяют соотно-
соотношениям D.42) (и, вообще говоря, еще некоторым не-
независимым от них соотношениям). Очевидно, что
qN0 = 2N1 = pN2 (8.11)
(Трелльфалль [1932а], с. 32) и двойственная
карта имеет тип {q, p).
Не каждая «regelmafiig Zellsystem» ') Трельфалля
правильна в этом сильном смысле. Подобно Эррере и
') «Правильная система ячеек» (ием.). — Прим. перев.
ел. автоморфизмы
149
некоторым другим авторам он требует только, чтобы
все грани имели одинаковое число сторон и при каж-
каждой вершине сходилось одинаковое число ребер. На-
Например, в его таблице, содержащей 14 карт рода 2
(Трельфалль [1932а], с. 44), только вторая, вось-
восьмая, девятая и три последние карты правильны в на-
нашем смысле.
«Полуоборот» RS обращает некоторое ребро, пере-
переставляя друг с другом его концы и примыкающие к
этому ребру грани. Если существует автоморфизм Ru
переставляющий две указанных вершины, но остав-
оставляющий на месте две указанных грани, то карта на-
называется отражаемой (Болл [1974], с. 130). Группа
такой карты порождается тремя «отражениями» R\,
R2 = R{R ц R3 = R2S, удовлетворяющими соотноше-
соотношениям D.42) (и, вообще говоря, еще некоторым неза-
независимым соотношениям). Фундаментальная область
получается разбиением каждой грани на 2р треуголь-
треугольников, примыкающих по четыре к одному ребру (см.,
например, Клейн [18796], с. 448; Фрике [1892],
с. 458), поэтому порядок группы равен 4N\.
Если поверхность неориентируема, то всякая пра-
правильная карта на ней обладает автоморфизмом, со-
сохраняющим некоторую грань, но меняющим направ-
направление обхода ее сторон; таким образом, он меняет
ориентацию двух смежных граней одновременно. Этот
автоморфизм можно отождествить с R\. Следователь-
Следовательно, всякая правильная карта на неориентируемои по-
поверхности отражаема. Если мы попытаемся раскра-
раскрасить 4iVj треугольников попеременно черным и белым
дветом так, чтобы R и S сохраняли цвета, то рано или
поздно натолкнемся на противоречие: два смежных
треугольника окажутся покрашенными одинаково.
Взяв в качестве R{ отражение этих треугольников
друг в друга, мы видим, что Ri должно выражаться
через R и S, т. е.
(Брахана и Кобл [1926], с. 19). Некоторые
частные случаи будут рассмотрены в § 8.6.
В случае % = 2 все правильные карты перечис-
перечислены в E.11); таким образом, любая правильная

150
ГЛ 8 ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
карта на сфере отражаема. С другой стороны, в § 8.3
мы увидим, что карты на торе (% = 0) могут быть как
отражаемыми, так и неотражаемыми. Во втором слу-
случае R и S порождают группу, порядок которой равен
не 4iVi, a 2iVi. Неотражаемые правильные карты на
(ориентируемой) поверхности отрицательной характе-
характеристики нашли Эдмондс (J. R. Edmonds, см. Коксе-
тер [19636], с. 466) и Шерк [1962], с. 17, 20.
Комбинируя равенства (8.11) и C.21), получаем,
что для всякой карты типа {р, q) на поверхности ха-
характеристики 1 имеют место равенства
N0 = 2pr, Ni = pqr, N2 = 2qr, (8.12)
причем при %ф0
га= %
4 - (р - 2) (д - 2)
(Билински [1950], с. 147; [1952], с. 66). Если % =
= 0и, значит, (р— 2) (q — 2) = 4, то г может прини-
принимать бесконечно много значений, как мы увидим
в § 8.3.
8.2. Универсальное накрытие. Всякую карту типа
{р, q} на поверхности характеристики % <2 можно
«развернуть» так, что она составит часть правильной
мозаики типа {р, q), описанной в § 5.1. Остальные
грани мозаики можно рассматривать как повторение
уже покрытых. Другими словами, данная карта полу-
получается из ее универсального накрытия {р, q} подхо-
подходящим отождествлением. (При % = 1 это просто дву-
двулистное накрытие проективной плоскости сферой в
результате отождествления точек-антиподов. При
% =?; 0, когда мозаика {р, q) бесконечна, универсаль-
универсальное накрытие бесконечнолистно.)
Таким образом, группа карты представляет собой
фактор-группу группы [p,q] или [р, q]+, а именно
фактор-группу по нормальной подгруппе, для которой
развернутая карта является фундаментальной об-
областью. Так как порождающие элементы Л,- этой нор-
нормальной подгруппы не имеют неподвижных точек, то
каждый из них — перенос или скользящее отражение
(или, при х= 1. центральная инверсия). Если поверх-
поверхность ориентируема, то элементы Л, должны быть пе-
8.3. КАРТЫ ТИПА 4, 4) НА ТОРЕ
151
реносами, так как скользящее отражение обращает
ориентацию.
Таким образом, группа карты задается соотноше-
соотношениями D.32) или D.42) и дополнительными соотно-
соотношениями Л, = Е, отвечающими необходимым отож-
отождествлениям (Трельфалль [1932а], с. 8—14).
8.3. Карты типа {4,4} на торе. Мы видели, что
бесконечная группа р4 или [4,4]+ с генетическим
кодом D.510) имеет нормальную подгруппу индекса 4,
фундаментальная область которой — грань мозаики
{4,4}. Эта подгруппа является абелевой группой pi и
порождается двумя переносами
X = STS, Y = S2T, (8.31)
удовлетворяющими соотношению D.501). Рассматри-
Рассматривая X и У как единичные переносы вдоль осей декар-
декартовой системы координат, мы видим, что ХХУУ перено-
переносит начало координат в точку (х, у).
Два перпендикулярных переноса XbYc и X-°Yb по-
порождают другую подгруппу из [4,4]+, подобную (и,
следовательно, изоморфную) той, что порождается
переносами X и У.
На рис. 3.5а (с. 44) мы получили тор (покрытый
картой с одной вершиной, двумя ребрами и одной
гранью), отождествив противоположные стороны пря-
прямоугольника, в качестве которого можно взять еди-
единичный квадрат с вершинами
A,0), @,0), @, 1), A, 1).
Точно так же можно получить тор, отождествив про-
противоположные стороны большего квадрата с верши-
вершинами
(Ь, с), @, 0), (- с, Ь), (Ь-с,Ь + с),
имеющего площадь Ь2 + с2 и являющегося фундамен-
фундаментальной областью группы
гр (XbYc, X'cYb).
На этом новом торе получается карта
{4,4}»..

162
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
с п вершинами, 2га ребрами и га гранями, где
п = Ь2 + с2
(Коксетер [1948], с. 25; [1950], с. 421).
Подобно тому, как мозаику {4, 4} можно отожде-
отождествить с графом фундаментальной группы гр(Х, Y),
карту {4, 4}й, с можно считать графом фактор-группы
гр(л, YjjrpyX Y , X Y ),
которая имеет порядок га и определяется соотноше-
соотношениями A.32). (См. для Ь = 2, с—\ рис. 8.3а или
Хеффтер [1891], с. 491. Дру-
Другие графы групп на торе можно
найти у Р. Бейкера [1931].)
Карта {4, 4}6, с, как легко ви-
видеть, отражаема тогда и только
тогда, когда
Ьс(Ь — с) = 0,
при этом ее группа совпадает с
Рис. 8.3а. Карта {4,4}2л [4, 4]/гр (X V, X~cYb),
как граф группы (?5 ГДе; согласно E.53) при р=\,
= RiRsRiRx- Таким образом, группы карт {4, 4}ь,0 и
{4,4} с, с (порядков 8Ь2 и 16с2) задаются соотноше-
соотношениями
Я? = Rl = Rl = (R1R2L = (Я2Я3L = (RsRif = Е (8.32)
с дополнительными соотношениями
(D D D D 1 — Р т» / D D Т} \ 17 /о о 01 \
^[/ХзАзДг/ —с И ^АЗАгА!/ == С ^o.oZl;
соответственно. В частности, {4, 4} i, 0— карта с одной
гранью, задающая нормальное разложение тора. Обо-
Обозначим по аналогии через
{4р, 4/?},, о
карту рода р с одной гранью, рассмотренную в § 5.5,
с. 89 (карта {8, 8}1>0 показана на рис. З.бв). Группа
этой карты получается из E.51) и E.52), если поло-
8.3. КАРТЫ ТИПА D, 4) НА ТОРЕ 153
жить Ai = Е, и совпадает сдиэдральнои группой [4р]:
С другой стороны, группа неотражаемой карты
D. 4}6>с, Ъ > с > 0,
совпадает с фактор-группой
[4,4]+/rpUV, X^cYb)
порядка 4(b2-\-с2) и определяется соотношениями
D.510) и дополнительным (вытекающим из (8.31))
соотношением
(STS)b (S2T)C = E
(Бернсайд [1911], с. 416). В случае, когда
с = 0 или b = с, эта группа содержится в качестве
подгруппы индекса 2 в группе с генетическим кодом
(8.32), (8.321) (Дик [1880], с. 506).
Как мы видели в § 4.6, другими подгруппами
группы [4,4], для которых мозаика {4,4} совпадает
с их графом, являются
р2, pg, pmm, pgg
с кодами D.502), D.504), D.506), D.508), в терминах
которых можно положить
X = Т2Т3 = P~]Q = RYR3 = О2,
Y = T3Tt = Р2 = R2R4 = Р2.
В третьем и четвертом случаях, положив XbY° =
__ x-°Yb = Е, получим две различных группы поряд-
порядка 4F2 + с2), для которых карта {4, 4}2&, 2с является
графом:
R2i = {R1R2J =
= (R3R4? = (RtR 1J =
iRs)" (R2R<Y = (RiR3)~c
{POf = (R~[OJ = O2bP2c = O~2cP2b = E.
При с = 0 вторая группа представляет собой частный
случай группы с генетическим кодом
02а = Р26 = (Р0J = (р-'0J = ?, (8.33)
порядок которой равен 4ab (Коксетер [1939], с. 81).

154
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
В случае группы р2 естественно сделать более об-
общие отождествления XbY° = Хь Yc' = Е (be' — Ъ'с > 0),
тогда получается группа с генетическим кодом
Tl = Г,Г2ГзГ4 = (Т2Тъ)"(ТгТ{)с = (T2T3)h'(Ttfif = ? (8.34)
порядка 2Fс' — 6'с) (Бернсайд [1911], с. 410—
413). При 6' = — с ас' = бее граф —это {4, 4}6+с, 6_с,
а в остальных случаях — «неправильная» карта типа
{4,4}.
В случае группы pg, где X = Я-'Q и Y = Р2, мы
получим одну конечную группу, положив Яй = Fc =
= Е, и другую, потребовав лишь Хь = Ус. Первая
группа имеет генетический код
P"- = Q2 = Y, (p-[Q)b = Yc = E, 6>0, с>0, (8.35)
порядок 2bc и изоморфна группе <—2, 2|6;с> в обо-
обозначениях F.62). Ее граф легко начертить, продол-
продолжая правую половину рис. 4.5е; при b = с он совпа-
совпадает с {4, А} с, с-
Ввиду PQ-1 = P-'Q из более слабой системы со-
соотношений
P'-^qP^Y, (P-1Q)" = YC, b>0, c> 0, (8.36)
вытекает, что (P~lQJb = Y2c = Е и порядок соответ-
соответствующей группы равен 46с. Эта группа допускает и
такой генетический код:
При b = с ее граф совпадает с {4, 4}2ь, о (при Ь — 1
см. правую половину рис. 4.5е с отождествленными
противоположными сторонами), а сама группа изо-
изоморфна группе <2, 2|6> порядка 462 с кодом
P2 = Q2, (PQ)" = E. (8.37)
При 6 = 1 группа совпадает с @4<;. При с = 1 она яв-
является дициклической группой <2, 2, 6> порядка 46 с
генетическим кодом
P* = tf- = (P-lQ)b (8.38)
(см. A.64); граф для случая 6 = 3 показан на
рис. 8.36). Если с = Ь — 1, то она совпадает с груп-
8.4. КАРТЫ ТИПА {3,6) ИЛИ {6, 3} НА ТОРЕ
155
пой <2,2, 6> порядка 46F—1), определенной соот-
соотношениями
(8.39)
которая при четном 6 изоморфна прямому произве-
произведению S&_i X <2, 2, 6>, но более интересна при 6 не-
нечетном (Коксетер [1940в], с. 378).
Рис. 8.36. Граф дициклической груп-
группы B,2,3) порядка 12
8.4. Карты типа {3,6} или {6,3} на торе. Бесконеч-
Бесконечная группа рб или [3, 6]+ с генетическим кодом D.516)
имеет нормальную подгруппу индекса 6, для которой
фундаментальной областью служит грань мозаики
{6,3}. Эта абелева подгруппа pi порождается тремя
переносами
= S~lTST, Y =
= TSTS
~\
(8.41)
удовлетворяющими соотношениям D.5011). Рассмат-
Рассматривая X и Y как единичные переносы вдоль осей, об-
образующих угол в 120°, мы видим, что XxYy переносит
начало соответствующих косоугольных координат в
точку (х,у).
Направления двух переносов Xb+CYC и X~cYb, оче-
очевидно составляют угол 120° (это верно и для пере-
переносов Y~°Zb, Z~cXb, X~°Yb, произведение которых рав-
равно Е), поэтому сами переносы порождают другую под-
подгруппу из [3,6]+, подобную, и следовательно, изо-
изоморфную группе, порожденной преобразованиями X,
Y или X, Y, Z.
Отождествляя противоположные стороны шести-
шестиугольника с вершинами в точках
A,0), @,0), @, 1), A,2), B,2), B, 1),

156
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
мы получим тор, покрытый картой с двумя верши-
вершинами, тремя ребрами и одной гранью. Точно так же
можно получить тор, если отождествить противопо-
противоположные стороны большего шестиугольника, имеющего
вершины
(Ь + с,с), @,0), (-с,Ь), (b-c,2b + c),
B6, 2b + 2с), {2b + с, Ъ + 2с)
и площадь b2 + be + с2 и служащего фундаменталь-
Рис. 8.4. Карта {3,6}2>1 как граф
группы Е7
ной областью для группы, порожденной преобразова-
преобразованиями
Xb+CYC, X~cYb или Y~CZ\ Z~CX\ X~cYb.
На этом новом торе есть карта
{6,3}&,С)
имеющая 2t вершин, 3/ ребер и / шестиугольных гра-
граней, где
/ = b2 + be + с2 (8.42)
(Коксетер [1948], с. 25; [1950], с. 421).Двойствен-
421).Двойственная карта имеет, разумеется, t вершин, 3/ ребер и 2t
треугольных граней.
Подобно тому как всю мозаику {3, 6} можно счи-
считать графом фундаментальной группы, порожденной
преобразованиями X, Y,Z, карту {3, 6}й, с можно счи-
считать графом фактор-группы
гр(Х, Y, Z)/rp(Y-cZb, Z-CX", X-°Yb),
8.4. КАРТЫ ТИПА {3,6} ИЛИ {6,31 НА ТОРЕ
167
которая является группой порядка t с генетическим
кодом A.33) (см. рис. 8.4 для случая 6 = 2, с= 1).
Хивуд [1890], с. 334, показал, что карта {6, 3} 2, i —
одна из таких, которые невозможно раскрасить менее
чем семью красками (см. также Бол л [1974], с. 237,
Коксетер [1950], с. 424).
Карты {3,6} ь, с и {6,3}й, с отражаемы тогда и
только тогда, когда
be (b - с) = 0,
и тогда их группой является
[з,б]/гР U6+Cyc, x-cy"),
а если [3, 6] имеет код
R\ = Rl = RI = (R1R2K = (Я2Я3N = (RsRif = E, (8.43)
то можно взять X — (R3R2JRiR2 и Y = RiR2(RsR2J-
Таким образом, группы карт {3, 6}б, 0 и {3, 6}с, с (по-
(порядков 1262 и 36с2) определяются соотношениями
(8.43) с дополнительными соотношениями
(RiR2R3R2R3R2)b = Е и (RiR2R3R2R3fc = Е (8.341)
соответственно.
С другой стороны, группой неотражаемых карт
{3,6}6,с, {6,3}6,с
является группа [3, 6]+/rp(Xb+cYc, X-°Y-b); она имеет
порядок 6F2 + 6с + с2) и определяется соотноше-
соотношениями D.516) совместно с дополнительным соотно-
соотношением Xb(XY)° = E или XbZ~c = Е, которое, ввиду
(8.41), можно записать как
(S~lTST)" (STS~lT)c = E (8.44)
(см. Б ер не а йд [1911], с. 418). Если с = 0 или b =
= с, то эта группа содержится в качестве подгруппы
индекса 2 в группе с генетическим кодом (8.43),
(8.431) (Дик [1880], с. 506).
Как мы видели в § 4.6, другие подгруппы группы
[3,6], имеющие мозаики {3,6} или {6,3} в качестве
своих графов, — это группы
рЗ, p3ml

158
ГЛ. 8 ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
с определяющими соотношениями D.513), D.515), в
терминах которых можно взять
*
, У = Sa*Si = R2R1R2R3,
X = sr'S2 =
Полагая XbZ~c = Е, получаем группы
S? = S2 = S3 = SiS2S3 = (sr1S2N(S3~1S2)c==? (8-45)
порядка 3(Ь2 + Ьс + с2) (см. Бернсайд [1911],
с. 413—415) и
Д? = R22 = R23 = (RtR2f = (R,R3f = (R3R,f =
= (RsRzRsRi)" (R2RiR3RiY = E (8.46)
порядка 6F2 + 6с + с2), имеющие своими графами
карты {3, 6}й+2с, 6-с и {6, 3}б+2с, ь-с соответственно. За-
Заметим, что (8.43)—подгруппа индекса 2 в. (8.46).
В частности, карта {6, 3}ь, ь — это граф группы
/?? = /?! = /$ = {R\R$ = (Я2ЯзK =
= (RsRiK = (RzR2R3Rdb^E (8.47)
порядка 6Ь2.
Аналогично группа р2 с генетическим кодом
D.502) дает бернсайдову группу (8.34) в виде
Т\ = 71 = Г32 == (Г1Г2Г3J = (Г2Г3N G12Г1)С =
= (Т2Т3)Ь'(Т2Т,)С' = Е, (8.48)
где 6с' — б'О 0, с графом типа {6,3}, который при
Ь' = —с и с' = 6 + с совпадает с {6, 3}ь, с.
8.5. Карты с заданными дырами. Правильная кар-
карта {4, 4}Ш;0, состоящая из т2 «квадратов», является
произведением двух m-угольников в том же смысле,
в каком тор есть произведение двух окружностей. Ее
можно построить в 4-мерном евклидовом простран-
пространстве как метрически правильный косой многогранник,
состоящий из т2 квадратных граней четырехмерной
«призмы» {m}X{m} (Коксетер [1937а], с. 43;
[1963а], с. 124). В соответствии с этим введем обо-
обозначение
D, 4}mo = D,4|m}
8.5. КАРТЫ С ЗАДАННЫМИ ДЫРАМИ
159
и определим {р,q\ni) как ориентируемую карту типа
{р, q} с m-угольными дырами, определяемыми сле-
следующим образом. Дыра — это путь из последователь-
последовательных ребер, таких, что в конце каждого ребра остают-
остаются две грани с одной стороны, скажем, слева (выде-
(выделенная сторона не меняется вдоль всего пути). Дру-
Другими словами, путь ABCD ... является дырой, если
существуют грани А'АВВ' ..., В'ВСС ..., CCDD' ...
и т. д. (Коксетер [1937а], с. 37).
Группа карты {p,q\m), как легко сообразить, оп-
определяется соотношениями D.32) вместе с соотноше-
соотношением
[R1R2R3R2) == E
(Коксетер [1937а], с. 48; см. (8.321)). Ее подгруп-
подгруппа «поворотов», порожденная элементами R = R1R2 и
S — R2R3, обозначается символом (р, q\2, tn), по-
поскольку она — частный случай группы
(р, q\r, m)
с генетическим кодом
(Коксетер [1939], с. 74—86, 146).
В частности, {3, q\q} и {q, 3\q} совпадают с обыч-
обычными картами {3, q} и {q, 3}, а бесконечные карты
{4,6|4}, {6, 4 |4}, {6,6|3}
метрически реализуемы в 3-мерном евклидовом про-
пространстве как правильные косые многогранники (Кок-
(Коксетер [1937а], с. 34), что может служить наглядным
обоснованием термина «дыра». Более того, карту
{5,5|3} (Брахана и Кобл [1926], с. 14, рис. 7;
Трельфалль [1932а], с. 19—21) можно отожде-
отождествить со звездчатым многогранником Пуансо {5,5/г}
(Коксетер [1963а], с. 75) или двойственным к
нему многогранником {5/2, 5}, открытым Кеплером
[1619], с. 84—113. Изображение более сложной карты
{5,4|4} имеется у Коксетера [1939], с. 135,
рис. 18.
Единственные конечные карты {p,q\m}, не отме-
отмеченные в работе «Правильные косые многогранники»

160
ГЛ. 8 ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
(Коксетер [1937а] '), с. 61, таблица 1), — это кар-
карты {7, 8|3}, {8, 7J3} (Коксетер [1962а], с. 58) и
{р, 912},
где оба числа р и q четны. Так как группа (р, q\2, 2)
имеет порядок pq (Коксетер [1939], с. 81), то
{р, q\2} — карта /^-угольника с р вершинами и pq/2
ребрами. Таким образом,
% = p + q — pq/2
и род равен (t—1)(/—1), где i = p/2, j = q/2.
Определение многогранника Петри из § 5.2 без
труда обобщается с правильных мозаик на отражае-
отражаемые карты. В частности, многоугольник Петри двой-
двойственной карты имеет то же самое число сторон.
7 1
Рис. 8.5. Карты {4, 6J} и {6, 4 | 2}
В случае карты {2i, 2/|2} многоугольник Петри
имеет 2ij/(i,j) сторон, так как период элемента R2S2
равен наименьшему общему кратному чисел i и /, т. е.
ij/(i,j)- Если i и / взаимно просты, то стороны мно-
многоугольника Петри — это в точности 2Ц ребер. Тем
самым на всем множестве ребер вводится некоторый
циклический порядок.
На рис. 8.5 (см. Эррера [1922], с. 16, рис. 24)
показаны карты {4, 6|2}, {6, 4J2}, ребра которых за-
занумерованы вдоль соответствующих многоугольников
') В этой статье следует исправить подпись под рис. XV на
стр. 55: вместо {4, 7 [ 3} должно быть {4, 6|3}.
8.6. КАРТЫ С ЗАДАННЫМИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ ПЕТРИ 161
Петри. Как подстановки этих ребер,
/? —A 278)C 12 9 6)D 5 10 11),
S = {\ 8 9 45 12)C 10 11 6 7 2),
причем каждая из этих подстановок сопряжена со
своей обратной посредством подстановки
откуда
= (\ 2345678 9 10 11 12).
8.6. Карты с заданными многоугольниками Петри.
Другой плодотворный способ получения правильных
карт состоит в отождествлении тех пар вершин мо-
мозаики {р, q), которые разделены г шагами вдоль мно-
многоугольника Петри. Интересна задача: определить
подходящие значения г при данных р и q. Для таких
значений соответствующая карта обозначается
(Коксетер [1939], с. 127). Так как двойственные
карты имеют соответствующие многоугольники Петри,
то двойственной к карте {р, q}r является {q,p}r.
Мы видели в § 5.2, что преобразование R[R2R3
действует как сдвиг многоугольника Петри на один
шаг вдоль самого себя. Таким образом, в группе
[р, q] с генетическим кодом D.32) надо рассмотреть
нормальную подгруппу, порожденную элементом
(RiR2Rb)r и его сопряженными. Карта {p,q}r полу-
получается из фундаментальной области этой подгруппы
подходящими отождествлениями на границе, как по-
показано на рис. 8.6, с. 163. Ее группа — это фактор-
факторгруппа группы D.32), определяемая дополнительным
соотношением
(R^RzY^E. (8.61)
Так как R{R2R3 обращает ориентацию, то карта {p,q}r
ориентируема или неориентируема в соответствии с
четностью или нечетностью числа г.

162
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
При (р— 2) (q— 2)<4 мы имеем сферическую
мозаику {р, q} — {p,q}h, где h, определенное форму-
формулой E.21), — период поворота с инверсией RiR2Rs-
Если Л/2 нечетно, то {RiR2R3)h/2 является централь-
центральной инверсией Z и [р, q]/(Z) — группа карты
{р, q}/2 = {р, q)hj2,
получающейся из {р, q) отождествлением антиподов.
Это карта из правильных р-угольников, покрывающих
эллиптическую плоскость, которая топологически яв-
является проективной плоскостью. Итак, мы получаем
следующие карты характеристики 1:
{3, 4}3) {4, 3}3, {3, 5}5) {5, 3}5
(Гильберт и Кон-Фоссен [1936], черт. 160—
163, 165—168; Коксетер [1950], с. 421). Последняя
из них показывает, между прочим, что для раскраски
карт на проективной плоскости требуется не менее
шести красок (Тице A910]).
Ради полноты отметим также тривиальные эллип-
эллиптические карты
{2, 2<7}/2, {2q, 2}/2
(Коксетер [19636], с. 552, упражнение 2), совпа-
совпадающие с картами {2, 2q}q, {2q, 2}q, если число q не-
нечетно (для четных q это неверно, ибо тогда {2q, 2},=
«{<7,2}).
Рассмотрим карту {р, q}r, имеющую iV0 вершин и
N\ ребер (см. (8.12)). Так как в различных экземп-
экземплярах многоугольника Петри каждое ребро участвует
дважды, то эти г-угольники можно считать гранями
некоторой правильной карты типа {г, q}, имеющей те
же самые Л/о вершин и N\ ребер, но на другой поверх-
поверхности. Эти две карты связаны одна с другой симмет-
симметрично— грани одной являются многоугольниками
Петри для другой. Следовательно, новая карта имеет
тип {г, q}p. Взяв еще двойственные карты, получим
всего шесть связанных друг с другом карт
{Р, Я)г, {г, q}p, {q, r}P, {f; r}q, {r, p}q, {q, p}r
(Коксетер [1939], с. 130). To, что все они имеют
одну и ту же группу
8.6. КАРТЫ С ЗАДАННЫМИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ ПЕТРИ 168
можно обнаружить, обозначив
A = RiR2, B = R2R3, C = R3R2Rlt
Ri = ВС, R2 = ВС A, R3 =¦ С А
и переписав соотношения D.32), (8.61) в симметрич-
симметричной форме G.59).
В частности, группа октаэдра G3-3-4 са @4 является
группой тетраэдра {3,3} = {3,3} 4 (считая и отраже-
отражения), а также группой любой из эллиптических карт
{3, 4}3, {4, 3}3. Аналогично,
группа икосаэдра G3'5'5 а±
с~ Sts совпадает с группой эл-
эллиптических карт {3,5}в,
{5,3}5, а также с группой
двойственной себе карты
{5, 5}3 (рис. 8.6) на поверх-
ности характеристики —3.
Подобно тому как икосаэдр
{3, 5} = {3, 515} является
двулистным накрытием для
карты {3,5} 5, карта {5, 5 ] 3}
характеристики —6 являет-
является двулистным накрытием
для карты {3,5}3. В дей-
действительности мы можем получить метрическую реа-
реализацию для {5,5}3, отождествляя элементы-анти-
элементы-антиподы большого додекаэдра {5,5/г}, многоугольником
Петри которого является косой шестиугольник (со-
(согласно E.21) при р =5, q = ъ/2).
Группа G2>2(?> ^ г- S2 X ®2g порядка 8# (Коксе-
(Коксетер [1939], с. 106) представляет собой группу диэдра
{2#,2} = {2q,2}2q, а также самодвойственной карты
{2q, 2q}2, имеющей 2 вершины, 2q ребер, 2 грани и,
следовательно, род q— 1. В частности, {4,4} =
= {4, 4}i, г, обобщая это в другом направлении, по-
получим {4, 4}2с = {4, 4}С)С.
Аналогично, G2' 2p+I>4p+2 a: ?2 X ®2P+i является груп-
группой диэдра {2р + 1, 2} = {2р+1, 2}4р+2, эллиптиче-
эллиптической карты с одной гранью
{Ар + 2, 2}2р+1 - {Ар + 2, 2}/2
Рис. 8.6. Карта {б, 6}s

164
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
и двух карт рода р, а именно карты
с одной вершиной и двумя гранями и карты
{4/Н-2, 2р + 1}2
с одной гранью и двумя вершинами.
В частности, {3, 6}2 == {3, 6}i;0, {6, 3}2 = {6, 3}i>0;
обобщая это в другом направлении, получим
{3, 6}2Й = {3, 6}6,о, {6, 3}26 = {6, 3}&,о
(см. Ко ксетер [1950], с. 414 для Ь = 2 и с. 434для
6 = 3.)
Полный список известных карт {р, q) приведен в
таблице 8 (см. Коксетер [1939], с. 147—148). Кар-
Карта {7, 3}8 рассматривалась в важных работах Клей-
Клейна [18796], с. 461, 560, и Нильсена [1950], с. 8—12,
при а — 7. На диаграмме Клейна два экземпляра мно-
многоугольника Петри отмечены толстыми линиями. Кар-
Карта {5, 10}3 совпадает с одним из неориентируемых до-
додекаэдров Браханы и Кобла [1926], с. 15, рис.8,
а {5, 6} 4 является двулистным ориентируемым накры-
накрытием для другого додекаэдра (там же, с. 9, рис. 3).
Шестнадцать пятиугольников карты {5, 4}s были изо-
изображены Коксетером [1939], с. 128, рис. 8. Един-
Единственные конечные группы Gp< q<r, найденные после
1939 года, —это G3-7-16 (Коксетер [1962а], G3'7-17
(ныне известно, что она тривиальна) и G3> 9> 10
сетер [1970]).
(Кок-
(Кок8.7. Карты с двумя гранями. Для дальнейшего об-
обсуждения целесообразно слегка изменить обозначения
в соответствии с работой Браханы [1927] и поло-
положить
тогда S будет переставлять циклически стороны од-
одной грани, а Т—переставлять эту грань с одной из
соседних с ней граней «полуоборотом», обращающим
направление их общей стороны. Значит, для карты
типа {р, q) преобразования S и Т удовлетворяют со-
соотношениям
8.7. КАРТЫ С ДВУМЯ ГРАНЯМИ
165
Всякая правильная карта дает снова правильную
карту, если мы заменим ее грани многоугольниками
Петри; например, карта {6, 4 J 2} (рис. 8.5) дает дву-
двугранную карту типа {12,4}, показанную на рис. 8.7а.
Группа «поворотов» этой карты порождается элемен-
элементами
S = (l 2 ... 12), Г = A 5) B 10) D 8) G 11).
Стороны второй [рани циклически переставляются со-
сопряженным элементом TST = S5, а сама группа имеет
генетический код
S12 = Т2 = Е, TST = S5
и порядок 24. Ввиду A.861) при г = 5, m — 3, п = 2
эта группа совпадает с S4 X ®з-
в
8
9 3
Рис. 8.7а. Карта {12, 4}к1 рода 3
Более общо, если правильная карта типа {р, q}
имеет точно две грани, то группа ее «поворотов» (по-
(порядка 2р) имеет генетический код
Sp = т2 = Е, TST = Sr
при подходящем г (Брахана [1927], с. 280). Одна
грань поворачивается преобразованием S, другая —
преобразованием TST. Так как из соотношений
Т2 = Е, TST = Sr
следует, что
2
то г должно удовлетворять сравнению
г2 ез 1 (mod p).

166
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
Если г=1, так что ST—TS, то получаем карты
{р,р}2, или {р,2р}2 в соответствии с четностью или не-
нечетностью числа р. Если г = —1 (или р— 1), так что
(STJ = Е, то получаем диэдр {р, 2).
Наиболее интересен, пожалуй, случай, когда р =
= г2—1 и, значит, группа имеет порядок 2 (г2—1) и
особенно простой генетический код
Г2 = ?, TST = S±r (8.71)
(см. A.85)). Взяв верхний знак, мы получим, что
(STJ = Sr+i, поэтому период элемента ST равен
2 (г—1), группа совпадаете <—2, г -+- 1 [ 2> (см. § 6.6,
с. 111), а карта имеет тип
{г2-1, 2г-2}
с N0 — r-\-l, N\ = r2—1, JVj = 2 и расположена на
поверхности рода
(г + 1) (г — 2)
Взяв нижний знак, получим, что (STJ — Sl~r, по-
поэтому период элемента ST равен 2(г + 1), группа сов-
совпадает с <2, г —112>, а карта имеет тип
{г2-1, 2г + 2}
с Л/'о == г—1, Л7! = г2—1, Л/2 = 2 и расположена на
поверхности рода
r(r-l)
2
При г = 2 карта совпадает с {3,6}2, а при г = 3
имеет тип {8,8} и лежит на поверхности рода 3.
Первым значительным случаем группы (8.71) с
верхним знаком является группа
Т2=*Е,
тогда S8 = Е и получается карта {8, 4} рода 2. Более
общая группа Sap = Г2 = ?, TST = S2?-' или
B, 2р | 2; 2): S2" = (STJ = Z, Г2 = Z2 = ? (8.72)
порядка 8р дает карту типа {4р, 4} с No = 2p, М\ =
= 4р, iV2 = 2 на поверхности рода р (Трельфалль
[1932а], с. 46, No. 6). Так как при р= 1 она совпа-
8.8. КАРТЫ НА ДВУЛИСТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 167
дает с {4, 4}i, ь то в общем случае уместно обозначе-
обозначение
, 4}ы.
Двойственная карта {4, 4p}i, ь имеющая две вершины,
при р = 2 показана на рис. 8.76 (см. таблицу 9 на
стр. 208).
8.8. Карты иа двулистной римановой поверхности.
Группа <—3, 4|2> в бернсайдовой форме F.672) яв-
является группой «поворотов» карты из 6 восьмиуголь-
восьмиугольников (Дик [1880], с. 488; Эррера [1922], с. 16,
2 В
Рис. 8.76. Карта {4,8}м рода 2
рис. 25; Брахана [1972], с. 283), 16 вершин и 24
ребра которой можно использовать в качестве графа
подгруппы порядка 16, как показано на рис. З.Зв, З.бв.
Двойственная карта из 16 треугольников прекрасно
изображена у Бернсайда [1911], с. 395, 396. Ее
можно получить из сферической мозаики {3, 4} (ко-
(которая по существу совпадает с октаэдром), если на-
накрыть сферу двулистной римановой поверхностью,
имеющей простые точки ветвления в шести вершинах,
т. е. римановой поверхностью уравнения
ф = х5 — х
(Клейн [1884], с. 54). Естественно обозначить эти
две карты
{4 + 4,3} и {3, 4 + 4}.
Они и завершают таблицу 9, дающую все правильные
карты рода 2.

168
ГЛ. 8. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
Обобщение этих карт— карты
{р + Р, Я) и {q, р + р},
имеющие простые точки ветвления в вершинах и в
центрах граней карты {р, q} соответственно. Таким
образом, группа «поворотов» каждой карты имеет ге-
генетический код
S^ = T2 = (ST)q = {SpTJ = E (8.81)
(см. F.627)), где последнее соотношение утверждает
перестановочность преобразования Sp (меняющего
местами два накрывающих листа) и преобразования
Т (обращающего ребро).
В нашем предыдущем примере р = 4. Другой при-
пример с четным р — карта {q, 2 + 2} = {<у, 412}. Если р
нечетно, то группа (8.81) является прямым произве-
произведением
&+
группы порядка 2, порожденной элементом Sp, и груп-
группы многогранника, порожденной элементами Sp+l и
SpT (Коксетер и Тодд [1936], с. 196). Таким об-
образом, {q, 3 + 3}— это {q, 6]2} в обозначениях Кок-
Коксетер а [1937а], с. 59; например,
{3, 3 + 3} = {3,6}4 = {3, 6}2.o.
Аналогично карта {3, 5 + 5} — двулистное ориенти-
ориентируемое иакрытие неориентируемой карты {3, 10} 5.
В заключение пункта докажем следующую тео-
теорему:
Никакую правильную карту нельзя расположить
на неориентируемой поверхности характеристики 0
или —1.
В случае характеристики 0 (т. е. бутылки Клейна)
с фундаментальной группой pg (рис. 4.5е) можно свя-
связать определенное направление, а именно направле-
направление осей ее скользящих отражений; следовательно,
она ие может содержать поворот периода больше 2.
Если бы существовала правильная карта характе-
характеристики —1, то ее двулистное ориентируемое накры-
накрытие было бы правильной картой характеристики 2,
т. е. рода 2, и какая-то из карт таблицы 9 имела бы
8.9. СИММЕТРИЧНЫЕ ГРАФЫ
169
«противоположные» пары вершин, ребер и граней, что
на самом деле не так.
8.9. Симметричные графы. Граф (см. с. 34) назы-
называется симметричным, если группа его автоморфизмов
транзитивна как на множестве вершин, так и на мно-
множестве ребер. Фрухт [1955] получил многие такие
графы, как графы групп, порожденных инволюциями,
переставляемыми некоторым внешним автоморфиз-
автоморфизмом. По-видимому, все простейшие симметричные
графы можно вложить в подходящие поверхности
так, чтобы они составили правильные карты. Напри-
Например, полные «-точечные графы для п = 3, 4, 5, 6, 7
вкладываются соответственно в сферу, сферу, тор,
проективную плоскость и тор как карты
{3, 2}, {3, 3}, {4, 4}2il, {3, 5}5 {3, 6}2>1.
Граф Томсена (рис. З.Зг), граф Хивуда (Коксетер
[1950], с. 424) и граф Паппа (там же, с. 434) можно
вложить в тор как карты
{6, 3}1Л, {6, 3}2,ь {6, 3}3,0.
Граф Петерсена (Кёниг [1936], с. 194) вкладывает-
вкладывается в проективную плоскость как карта {5, 3}в. Между
прочим, это простейший граф, не являющийся графом
группы.
Наконец, как отмечалось в § 3.6, с. 49, граф Ме-
Мебиуса— Кантора (рис, З.Зв) можно вложить в по-
поверхность рода 2 как карту {4 + 4,3} (рис. З.бв}.

ГЛАВА 9
ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
В этой главе мы рассмотрим группы, порожден-
порожденные инволюциями, попарные произведения которых
имеют заданные периоды, и особо рассмотрим вопрос,
при каких значениях периодов группа оказывается
конечной. Случаи, когда число порождающих меньше
четырех, были уже рассмотрены в D.31) и D.32).Мы
докажем, что порождающие элементы всегда можно
представить аффинными отражениями действитель-
действительного пространства, подготовив тем самым основу для
полного перечисления конечных групп такого рода.
Затем будут описаны некоторые из их замечательных
свойств.
9.1. Приводимые и неприводимые группы. Рассмот-
Рассмотрим группу с «общим» генетическим кодом
{RtRk)Pik=E, 1</</г<п, р„=1 (9.11)
(Коксетер [1963а], с. 188). Понятно, что Ri^E,
так что ввиду ра = 1 каждый порождающий элемент
имеет период 2. Если рис = 1 при i < k, то Rk совпа-
совпадает с Ri, поэтому будем предполагать, что
pik > 1 при i < k.
Такие группы впервые рассматривались Муром
[1897] и Тоддом [1931], с. 224.
Если каждое pik = 2 при / < k, так что RiRk =
= RkRu то получается прямое произведение п групп
порядка 2, т. е. абелева группа порядка 2" и типа
A, ..., 1). Более общо, пусть порождающие элемен-
элементы разбиваются на два таких множества, что /?,* = 2
всякий раз, когда Ri принадлежит одному множеству,
9Л. ГРАФИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
171
a Rk — другому. Тогда группа разлагается в прямое
произведение групп, порождаемых этими множе-
множествами, и называется приводимой. Если такое разбие*
ние невозможно, группа называется неприводимой.
9.2. Графические обозначения. Определяющие со-
соотношения (9.11) полезно представить некоторым гра-
графом. (Так как он не связан с графами, изучавши-
изучавшимися в главе 3, то, чтобы подчеркнуть эту независи-
независимость, мы условимся употреблять для его элементов
более старомодные термины узел и ветвь вместо «вер-
«вершина» и «ребро», а сам граф называть схемой1).
Узлы схемы представляют порождающие элементы
группы, а i-й и k-Pi узлы соединяются ветвью тогда
и только тогда, когда pik > 2, причем при pik > 3
ветвь помечается значением ри,. Если ветвь не поме-
помечена, это означает, что pik = 3 Если два узла не сое-
соединены (непосредственно), то это означает, что
Pik = 2. Таким образом, связность или несвязность
схемы соответствует неприводимости или приводимо-
приводимости группы. Во втором случае группа является пря-
прямым произведением нескольких неприводимых групп,
представляемых компонентами связности схемы
(Коксетер [1935], с. 21).
Некоторые примеры конечных неприводимых групп
уже встречались нам: р-угольная диэдральная
группа [р]
порядка 2р и расширенные группы многогранников
. [3, 3] [3, 4] [3, 5]
порядков 24, 48, 120. Отметим, что группа [3,5], бу-
будучи неприводимой в смысле предыдущего определе-
определения, разлагается в прямое произведение 5tsX®2- Еще
>) В настоящее время уже укоренилось название схема (или
диаграмма) Коксетера, а группы с генетическим кодом (9.11)
называются группами Коксетера. — Прим. перев.

172
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
более неожиданно, что неприводимая группа [2q] или
8>2q при нечетном q изоморфна приводимой группе
[2, q] ~ Ф, X $>„,
как мы видели в A.54). Таким образом, приводимость
зависит не только от группы, но и от выбора множе-
множества порождающих элементов.
Встречались нам и некоторые бесконечные группы:
бесконечная диэдральная группа [оо]
с генетическим кодом $ =
сталлографические группы
= E и двумерные кри-
кри[оо] х (оо] i=i ртт Д с^ p3ml
(§4.5, с. 69—78).
[3, 6] & рбт
9.3. Конечные группы. Как уже говорилось в
§ 4.3, порождающие элементы ^-угольной диэдраль-
ной группы
Я? = *i = (*,*,)« = Я
можно интерпретировать как отражения относительно
двух прямых (евклидовой плоскости), образующих
угол n/q. В косоугольной системе координат, оси ко-
которой перпендикулярны к этим прямым, сами прямые
записываются уравнениями
xi + ах2 = 0 и ахх -f х2 = О,
где а=—cos n/q, a отражения относительно них —
это аффинные преобразования
х'\ = — Х\ — 2ахо, Х2 = х2
х{ = xi, x'i = — 2axi — х2.
(9.31)
(9.32)
9.3. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
173
Относительно указанных преобразований инвариант-
инвариантна положительно определенная квадратичная форма
х\ + 2ах{х2 + х\,
представляющая квадрат расстояния от начала ко-
координат до точки (х.\,Х2). Произведение этих преобра-
преобразований — преобразование
х'\ = — Х\ — 2ах2, xi = 2ах{ + Dа2 — 1) х2
имеет характеристическое уравнение
или
(Я+ 1J-4а2А=-0,
i-(A, + Л,) = 2а2 — 1 = cos 2n/q,
так что его характеристические корни равны е±2я11<? —
в полном соответствии с тем, что период преобразова-
преобразования R\R2, как мы знаем, равен q.
По аналогии с этими рассмотрениями изучим воз-
возможность представления порождающего элемента Rk
общей группы (9.11) линейным преобразованием
^
J,
где
при \фк,
= —cos n/pik
и, в частности,
аи=\.
Если Xi рассматривать как координаты аффинного га-
мерного пространства, то это преобразование являет-
является аффинным отражением относительно гиперплоско-
гиперплоскости _
= bk (9.33)
в направлении /г-й координатной оси (Веблен и
Янг [1918], с. 109, 115).
При det(a,ft)= 0 константы bk можно выбрать так,
что п уравнений (9.33) не будут иметь общего реше-
решения, т. е. п гиперплоскостей будут иметь лишь общее
направление, но не будут иметь общей точки. С дру-

174
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
гой стороны, если группа конечна, то каждый ее эле-
элемент оставляет неподвижным центроид всех образов
некоторой точки аффинного гс-мерного пространства.
Значит, для конечной группы, порожденной такими
аффинными отражениями,
0 (9.34)
и неподвижная точка единственна. Перенося начало
координат в эту точку, можно считать, что
и, значит, Rk задается особенно простыми формулами
(9.35)
x'f = X/ при / Ф k.
Чтобы найти период произведения двух порождаю-
порождающих, заметим, что произведение R\R2, а именно
{a i2 —
xj = х{ при / > 2,
имеет характеристическое уравнение
с корнями ехр(±2я^/р12) и 1 (последний — кратности
п — 2). Таким образом, аффинные отражения (9.35)
удовлетворяют соотношениям (9.11), и потому геомет-
геометрическая группа либо изоморфна группе с генетиче-
генетическим кодом (9.11), либо ее фактор-группе.
Заметим, что относительно преобразования (9.35)
инвариантна (определенная или неопределенная)
квадратичная форма
EZ (9.36)
задающая в аффинном пространстве метрику, при ко-
которой две точки (xi, ..., хп) и (у и ..., у„) опреде-
определяют перпендикулярные направления из начала ко-
координат, если для них выполняется равенство
0. (9.37)
«А КОНЕЧНЫВ ГРУППЫ
175
(Если форма (9.36) определенная, то метрика евкли-
евклидова, в противном случае она псевдоевклидова — как
для пространства-времени Минковского, см. Роб б
[1936].) В смысле этой метрики преобразование (9.35)
представляет собой обычное (ортогональное) отраже-
отражение относительно гиперплоскости
Е
aikxi = 0.
(9.38)
Два таких отражения перестановочны тогда и только
тогда, когда соответствующие гиперплоскости перпен-
перпендикулярны.
Если некоторое m-мерное подпространство A ^
<; т ^ гс— 1), содержащее начало координат, /?*-ин-
вариантно при всех k, то таково и его (п— т) -мерное
ортогональное дополнение. Значит, отражающие ги-
гиперплоскости распадаются на два множества — одни
содержат само m-мерное подпространство, а другие —
его (п — т) -мерное ортогональное дополнение. Ввиду
(9.34) каждое из этих множеств непусто. Значит, наше
определение приводимости (§ 9.1, с. 171) согласуется
с классическим определением полной приводимости
рассматриваемого линейного представления (Берн-
сайд [1911], с. 258).
Для всякой конечной группы линейных преобразо-
преобразований над полем действительных чисел существует
инвариантная положительно определенная квадра-
квадратичная форма — сумма всех образов формы ?х).
Если группа неприводима, то всякая другая инва-
инвариантная квадратичная форма должна отличаться от
нее только числовым множителем, поскольку в про-
противном случае можно было бы подобрать такую ком-
комбинацию двух форм, что получилась бы инвариантная
полуопределенная форма («нульопределеиная» форма
Бернсайда [1911], с. 259), дающая некоторое инва-
инвариантное подпространство. Следовательно, если п эле-
элементов Rk порождают конечную неприводимую груп-
группу, то форма (9.36) является определенной, а порож-
порождающие— отражениями относительно п гиперплоско-
гиперплоскостей некоторого гс-мерного евклидова пространства,
имеющих общую точку (см. Картан [1928], с. 253).

176
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
Для конечной приводимой группы форма (9.36)
является суммой нескольких определенных форм, со-
соответствующих неприводимым компонентам, а порож-
порождающие элементы — опять-таки отражениями относи-
относительно связки п гиперплоскостей.
Система п отражающих гиперплоскостей, перпен-
перпендикулярных координатным осям, высекает на единич-
единичной сфере LiLtCLikXiXk сферический симплекс с дву-
двугранными углами n/pik- Так как сферическое (га— 1)-
мерное пространство односвязно, этот симплекс слу-
служит фундаментальной областью (Коксетер [1963а],
с. 80, 188), а соотношения (9.11) являются генетиче-
генетическим кодом соответствующей геометрической группы.
Хотя граф группы при га > 3 не плоский (§ 3.4, с. 41),
он по-прежнему, как и в § 4.3, имеет в качестве фун-
фундаментальных циклов 2/?/А-угольники, отвечающие со-
соотношениям (9.11).
С другой стороны, если группа с кодом (9.11) ко-
конечна, то соответствующая геометрическая группа тем
более конечна, так что предыдущее рассуждение (за-
(заменяющее рассуждение Коксетер а [1935]) дока-
доказывает их изоморфизм:
Всякая конечная группа (9.11) порождается отра-
отражениями в граничных гиперплоскостях некоторого сфе-
сферического симплекса.
Все такие группы были перечислены Коксете-
ром [1931, 1934а, 1963а] и Виттом [1941]. Те из
них, которые удовлетворяют условию кристаллогра-
фичности
pik = 2, 3, 4 или 6
(см. Коксетер [19586], с. 319), были перечислены
ранее Картаном [1927], с. 218—224. Итог таков:
неприводимые группы — это в точности группы, пере-
перечисленные в таблице 10 на стр. 209, а остальные
группы — их прямые произведения (с повторениями),
соответствующие им схемы получаются простым вы-
выписыванием подряд составляющих схем (без соедине-
соединения). Отметим, что схема неприводимой конечной
группы — всегда дерево (т. е. связна и не имеет цик-
циклов, так что число ветвей на единицу меньше числа
узлов, как отмечалось на стр. 35).
9.4. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ГРУПП
177
Порядок группы в каждом случае легко вычис-
вычисляется методом главы 2, нужно только перечислить
24 смежных класса в [3, 4, 3] по [3, 4],
120 смежных классов в [3, 3, 5] по [3, 5],
1Г32,2,1-] --" •
56 смежных классов в [33> 2>'] по [32~ 2>'],
27 смежных классов в [З2.2< 1] по [З2^-1],
56 смежных кляггпп п Г33> 2> Ч по ГЗ2' 2> П
240 смежных классов в [34> 2> '] по [З3-2- 1].
Значение символов понятно из таблицы 10; напри-
например, [З3] —краткое обозначение группы [3,3,3], а
[З2, 4] — группы [3,3,4]. Чтобы не оставалось неяс-
неясностей, добавим, что [р, q, r] — это группа с генетиче-
генетическим кодом
R\ =
или
a [3
*?«=
Ri?
-{Ri
R2Y
кодом
2, 2,
¦-{Rt
y-R,
R\
П
R2f
, R^
= (R2R3)" =
= (№J
R^R3
{R3R4
(RzRi
, Rt'>
\Ri)
.)' =
R2
1 — {R2R4)
= (R3R4Y =
5±Я4.
группа с генетическим кодом
= (R2R3K =
R5, R6; R2 *
(RsR
*R<,
if =
Rs,
R6; Rz ^
2
= (/<
Я6;
(9.39)
f = E,
^Re-
9.4. Краткое описание отдельных групп. Как мы ви-
видели в F.22), группа [З"-1] — это симметрическая
группа ©я+ь порожденная транспозициями
A2) B 3) И+1).
Геометрически она является группой симметрии пра-
правильного симплекса ап (Коксетер [1963а], с. 121,
133). При п — 1 имеем группу порядка 2, схема со-
состоит из одного узла, а ее краткий символ — просто
[ ] или [1].
Группа [3"~2,4], гипероктаэдральная группа из
§ 7.3, с. 132, является группой симметрии гиперкуба
у„ или взаимного скрещенного политопа р,;, или /г-мер-
ного декартова каркаса, образованного попарно пер-
перпендикулярными прямыми, проходящими через одну
точку. Ее порождающие элементы — последователь-
последовательные транспозиции этих п осей и обращение последней

178
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
из них. Полна [1937], с. 178, обозначает эту группу
через ©«[©г] и называет «der S2-Kranz um ®„».
Группа [З"-3- '•'], подгруппа индекса 2 в гипер-
гипероктаэдральной группе, является группой симметрии
половинного политопа hyn (Коксетер [1963а],
с. 155), вершины которого — взятые через одну вер-
вершины политопа уп (например, пуз — правильный тет-
тетраэдр). Она является также группой автоморфизмов
конфигурации B"-1)„ Кокса [1891], с.F7, состоящей
из п плоскостей общего положения, проходящих через
некоторую точку обычного пространства, и точек, про-
произвольно выбранных по одной на каждой из п(п—1)/2
линий пересечения. Всего существует 2п~1 точек и 2"~1
плоскостей, по п точек на каждой плоскости и по п
плоскостей через каждую точку. Если взаимности
тоже рассматривать как автоморфизмы, то получается
группа [З"-2, 4] (Коксетер [1950], с. 447).
Как мы видели в D.31), [q] является диэдральной
группой S)? порядка 2q.
Группы [3, q] при # = 3, 4, 5 — это расширенные
группы многогранников (Клейн [1884], с. 23). В тер-
терминах поворота с инверсией R = R\R2R3 и поворота
S = R3R2 (Коксетер и Тодд [1936], с. 195; см.
G.29)) они задаются кодами
S" . (RSJ = (R2S2f = (R3S2J = E.
(Легко проверяется, что Ri = R'SR1-'.) При q = 4
или 5 существует более простой код ((8.81) при р = 3),
использующий разложение группы в прямое произве-
произведение. При q = 3 группа совпадает с @4, а указанные
выше соотношения, как легко видеть, эквивалентны
соотношениям
Группа [3,4,3] — это группа симметрии самовзаим-
самовзаимной 24-ячейки {3,4,3} в 4-мерном евклидовом про-
пространстве (Коксетер [1963а], с. 149). В терминах
порождающих Р = RiRaRi и Q = RiR2Ri она имеет
генетический код
рб = Q6 = (pQL = (p3QJ = (pQ3J = ?_
Группа [3, 3, 5]—группа симметрии двух осталь-
остальных правильных четырехмерных политопов — 600-
9.4. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ГРУПП
179
ячейки {3,3,5} и взаимной к ней 120-ячейки {5,3,3}
(там же, с. 153). В терминах Р и Q она имеет код
pUi = Q6 = (PQK = (P5QJ = (pQ3J = Ет
Группа [З2' 2- '] — группа автоморфизмов 27 пря-
прямых на общей кубической поверхности в трехмерном
проективном пространстве (Шлефли [1858], Тодд
[19326], Коксетер [19406]).
В случае группы [З"-4'2-1], 5^п^8, инвариант-
инвариантную квадратичную форму (9.36) можно представить
в виде
2Х3 "Г • • • хп-2Хп- 1 "Г ^„_ 1
Х\
Х2 Х2Х3 "Г
(9.41)
(Коксетер [1951а], с. 405). В новых переменных
У\ = хп, г/2 = ^«-i + 2хп, уз = х„_2 + хп, г/4 == xn_s, ...
¦ • •, Уп — Хх
получим эквивалентную форму
*У\ ~ Зг/^2 + У\ ~ У2У3 + У1----+ Уп-i ~ Уп-хУп + У2п>
(9.42)
что позволяет отождествить группу [3"~4>2-1] с груп-
группой линейных преобразований, рассмотренной Берн-
сайдом [1912]. с- 30°- Те же формы (9.42) при
п — 5, 6, 7, 8 были получены О'Коннором и Пол-
Поллом [1944], с. 329, как целочисленные положитель-
положительные формы с минимальным определителем. Они экви-
эквивалентны (Коксетер [1951а], с. 394, 418, 434) экст-
экстремальным формам
V5, X, Y, W8
Коркина и Золотарева [1873]; как показал
Блихфельдт [1929], эти формы «абсолютно»
экстремальны.
Для больших значений п группа [3"~4' 2> '] беско-
бесконечна, а форма является полуопределенной (при
п = 9) или неопределенной (при /г>9). Группы
[З4' 2>'] и [З5'2''] имеют интересные применения к ал-
алгебре чисел Кэли, или октав (Коксетер [19466],
с. 571).

180
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
9.5. Коммутанты. Если все слова в определяющих
соотношениях данной группы содержат четное число
букв, то каждый ее элемент либо «четен», либо «нече-
«нечетен» в соответствии с четностью или нечетностью чис-
числа букв, входящих в его выражение. «Четные» эле-
элементы составляют подгруппу индекса 2.
В случае группы (9.11) одна из возможных порож-
порождающих систем этой «четной» подгруппы состоит из
п— 1 элементов
в терминах которых
Если группа неприводима, то возможна еще одна
система порождающих этой подгруппы, естественным
образом связанная с множеством ветвей ее схемы —
для ветви, соединяющей t-й и k-й узлы, берем порож-
порождающий RiRk- Если его период pik нечетен, то R
коммутатор; например, если pik = 3, то
а если
= 5, то
Rk (R,RkRt).
Так как всякий коммутатор
(Rt ... Rk) (Rf ... Rd{Rh ... Rt){Rt ... R,)
содержит четное число символов R, то легко полу-
получится следующее предложение.
(9.51) Если всякая ветвь схемы либо не помечена,
либо помечена нечетным числом, то «четная» под-
подгруппа совпадает с коммутантом группы.
Следуя Дьёдонне [1974], с. 81, обозначим «чет-
«четную» подгруппу группы © через ©+. Таким образом,
элементы 71,- = RiRi+i группы (9.39) порождают под-
подгруппу [р,а,г]+ (Тодд [1931], с. 217) с генетическим
кодом
Т[ = П = 7s = (I iT2y = i
= (Г2Г3J = Е.
9.5. КОММУТАНТЫ
181
Из (9.51) вытекает, что при п = 6, 7, 8 комму-
коммутанты групп
[3я-1], [3"-3'1-1], [2р+1], [3,5], [3,3,5], [З"-4'2'1]
совпадают соответственно с подгруппами
Очевидно, [3"~'] + — это знакопеременная группа
%п, [q] + — циклическая группа ©?, [3,5] + — группа
икосаэдра Sis, [3,3,5] + — группа поворотов правиль-
правильной 600-ячейки {3,3,5}. В терминах порождающих
R = R1R2R3R4 и 5 == R2R3R4R1 группа [3, 3, 5]+ имеет
код
(Коксетер A9376], с. 316, 322).
Диксон [1901а], с. 293—299, рассмотрев группы
[32'1'1]+ и [32-2'1]+, показал, что вторая является
простой группой
[32> 2l Т ~ НА D, 22) ~ РО E, 3) ~ А D, 3)
порядка 25920 (Г. Бейкер [1946]) или, в обозначе-
обозначениях Дьёдонне [1954], с. 312, 313, группой
PUt (Ъ<) ^
Вот короткий генетический код этой группы (Коксе-
(Коксетер [1959а],с. 105):
H5^S4^(R-lSf=E, R2SR2SR! = SRS.
Теорема (9.51) применима ко всем конечным не-
неприводимым группам (9.11) кроме групп [3"~2,4],
[q] при четном q и [3,4,3]. Покажем, что в каждом
из этих оставшихся случаев коммутант имеет индекс 4.
Поскольку коммутант порождается коммутаторами
от порождающих и сопряженных с ними элементов, он
является нормальной подгруппой, фактор-группа по
которой (абелизация группы) задается добавлением
к коду исходной группы соотношений перестановочно-
перестановочности порождающих. В частности, абелизация группы

182 ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
(9.11) имеет код
т.е. Ri = E и Ri = Rk при нечетном pik. Например,
для групп, которые мы только что рассматривали, абе-
лизация имеет код R2 = E (так как/?i =/?2 = ...
... =г Rn) и является группой порядка 2. В общем
случае индекс коммутанта, будучи порядком фактор-
факторгруппы по нему, равен 2е, где с—число компонент
связности схемы после удаления в ней ветвей с чет-
четной меткой. Если до удаления схема была деревом,
то число с на единицу больше числа удаленных из
нее ветвей. Поэтому для групп [2р], [3"~2, 4], [3,4,3]
имеем с = 2 и 2е = 4.
Коммутант диэдральной группы [2р] (порядка Ар)
является, очевидно, циклической группой @р.
Для группы [3"~2, 4] с генетическим кодом
легко видеть, что подгруппа [3"~3> '•'] порождается
элементами Ru ..., Rn-\ и RnRn-iRn, а подгруппа
[3"~3- '• ']+ порождается коммутаторами
RiRfr R2R3! • - •> Rn-iRn и Rn~iRnRn-iRn-
Так как всякий коммутатор из [Зп~2-4] содержит в
своей записи символ Rn четное число раз, то группа
[3"-3'1-1]+ совпадает с коммутантом группы [З"-2-4].
(Таким образом, коммутанты групп [3re-2>4] и
[З3- '•'] совпадают.)
В группе [3, 4, 3] с кодом
R\ = Е,
= (Я2Я3L =
= (/?,Я2J =
элементы S = R{R2 и Т = R3Ri, удовлетворяющие со-
соотношениям
53 = 713 = (S~^T^ST^~ = Е (Я 52)
порождают подгруппу индекса 4, скажем, [3+, 4,3+]
(Коксетер [1936а], с. 68, 70). Так как S и Т —
9.6. ФАКТОР-ГРУППЫ ПО ЦЕНТРУ
183
коммутаторы, то она совпадает с коммутантом группы
[3,4,3]. Можно показать (С инков [1936], с. 76—
78), что (9.52) — генетический код группы [3+, 4, 3+].
Более общо (Коксетер [1936а], с. 69), группа
[/+, 2р, пг+] с кодом
S'- . тт ¦ { <2~ 'т~'ст^Р Р IQ КЪ\
i \О I ОI ) JZ \jtUO)
является подгруппой индекса 4 в группе [/, 2р, т].
В частности, как мы уже видели в D.44),
\1+, 2р, 2+]~[/+, 2р].
9.6. Фактор-группы по центру. Известно (Коксе-
(Коксетер [1934а]), что всякая группа © из списка
[3П'4],[3П-3'1Л] при четном п, [2р], [3,5],
[3, 4, 3], [3, 3, 5], [З3'2'1], [З4'2'1]
содержит центральную инверсию, обращающую каж-
каждый вектор «-мерного евклидова пространства. Более
того, этот элемент (перестановочный с любым другим
элементом) можно выразить в виде
Z = (RlR2...Rn)m,
где /г/2 имеет соответственно значения
га, п—1,р, 5,
6, 15, 9, 15.
Элемент Z порождает нормальную подгруппу поряд-
порядка 2 (центр), фактор-группа по которой определяется
соотношениями (9.11) совместно с соотношением
(R{R2 ... Rn)m = E.
Если ® рассматривать как группу, действующую
на сферическом (п—1)-мерном пространстве, то фак-
фактор-группа по центру
где @2 = rp(Z), аналогичным образом действует в эл-
эллиптическом (п—1)-мерном пространстве, получае-
получаемом отождествлением точек-антиподов (Коксетер
[1934а], с. 616). Можно считать переменные х из

184
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
(9.35) однородными координатами в проективном
(п — 1)-мерном пространстве с эллиптической метри-
метрикой, определяемой формулой (9.37) как условием
«перпендикулярности» точек (л:) и (у) (Коксетер
[1957а], с. ПО). Тогда преобразование (9.35) яв-
является гармонической гомологией с центром в k-u
вершине упомянутого выше симплекса, а ее осевая
гиперплоскость — полярной гиперплоскостью этой вер-
вершины. Другими словами, ®/S2 — группа коллинеаций,
отвечающая линейной группе (или группе матриц) ®.
Если nh/2 нечетно и, стало быть, Z—произведение
нечетного числа элементов R,, то ®+Z— смежный
класс группы ® по подгруппе ©+. Значит, в этом слу-
случае
где S2— группа порядка 2, порожденная элементом
Z, и
В частности, группа икосаэдра есть [3, 5]/S2-^[3, 5]+.
Другой пример — группа
это группа автоморфизмов 28 бикасательных общей
кривой 4-го порядка в проективной плоскости (Кок-
(Коксетер [1928], с. 7—9). Из теории тэта-функций
(дю Валь [1933], с. 58) следует, что последняя
группа проста и имеет порядок 4-9!= 1451520, т.е.
это группа А F, 2) в обозначениях Диксона [1901а],
с. 89, 100, 308.
При нечетном п ни одна из групп [З"-2, 4] + и
[3«-з. 1.'] не содержит центральной инверсии. Значит,
[З"-2, 4] — прямое произведение каждой из этих под-
подгрупп на rp(Z), и обе они изоморфны:
~[3"-2, 4]+~[Зга-3-и]
при нечетном п
(Коксетер [19366], с. 295). При п = 3 это дает
такие генетические коды группы октаэдра:
9.6. ФАКТОР-ГРУППЫ ПО ЦЕНТРУ
185
С другой стороны, если ® — одна из групп
[2р], [3" ' ' ] при четном п, [3"~2'4] при четном п,
[3,4,3], [3,3,5] [З4'2'1],
то элемент Z, будучи произведением четного числа
элементов R, лежит в ©+, и можно определить новую
группу
как фактор-группу по центру группы ©+ или как «чет-
«четную» подгруппу группы ®/&2. Ее код получается из
кода группы ©+ добавлением соотношения
Z = Е.
Например, [2р]/@2=:[р], [2р] + с^©2р. [2р]+/®2^
Аналогично, фактор-группа по центру группы
[3+, 4, 3+], или коммутант группы [3,4,3]/S2, — это
т. е. прямое произведение двух групп тетраэдра (Кок-
(Коксетер [1936а], с. 72). Другой пример расщепления
дает группа
[з, з, 5]+/е2
— прямое произведение двух групп икосаэдра.
Гурса [1889], с. 66—79, перечислил все группы
движений трехмерного эллиптического пространства '),
обозначив их римскими номерами от I до LI. В один-
одиннадцати из них легко распознаются известные нам
') Он пропустил, однако, один из возможных способов ком-
комбинирования двух диэдральных групп, как было замечено
Трельфаллем и Зайфертом [1931], с. 14. а также Хар-
Харли [1951], с. 652. Харли нашел 222 кристаллографических точеч-
точечных группы в 4-мерном евклидовом пространстве (аналогичных
32 группам в трехмерном пространстве, упомянутым в § 4.2).
Некоторое обобщение этих результатов на размерность п полу-
получено в работе Ге р м a u a [1949].

186
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
группы:
XX ~ [3+, 4, 3+]/62,
XXII~[3''u]+/&2, XLH~[3lu]/g2,
XXVII ~ [3, 3, 4]+/К2, XLVII с* [3, 3, 4]/<52,
XXVIII ~ [3, 4, 3]+/&2, XLV ~ [3, 4, 3]/6а,
XXX ~ [3, 3, 5]+/S2, L ~ [3, 3, 5]/?2,
XXXII ~ [3, 3, 3]+ ~ %5, LI ~ [3, 3, 3] ~ @5.
Стоит отметить, что группы XXVII и XLII изоморфны
(Коксетер [19366], с. 296).
Особый интерес представляет группа [3,4,3]/@а
(группа XLV Гурса), являющаяся группой коллинеа-
ций, относительно которых инвариантна конфигура-
конфигурация 12б Рейе, 12 точек которой образуют перспектив-
перспективную систему из трех тетраэдров (Стефанос [1879];
Хадсон [1905], с. 1—3; Коксетер [1950], с. 453;
[1954], с. 478, 480), тогда как 12 плоскостей обра-
образуют другую («сопряженную») перспективную си-
систему.
Дю Валь [1933], с. 49, показал, что группа
[34'2'']/S2 порядка 96-10! является группой автомор-
автоморфизмов 120 трикасательных плоскостей к кривой ше-
шестого порядка, являющейся пересечением некоторой
кубической поверхности и конуса второго порядка.
Отсюда вытекает, что [34'2'*]+/&2— простая группа
FH(8, 2)~Q8(g2, Q)
порядка 48-10! (Диксон [1901а], с. 201, 216; Дьё-
донне [1974], с. 110).
Митчелл [1914] рассматривал группы [З2'2'1],
[З22-1]/^ и [З4' 2>'] /@2 как группы коллинеаций дей-
действительных проективных пространств размерностей
5, 6 и 7 (см. также Камилл [1951], Эдж [1963]).
9.7. Показатели и инварианты. Для каждой из
групп таблицы 10 свойства элемента
RiR2 • • • Rn
периода h не зависят от нумерации элементов R, так
как при изменении нумерации получается сопряжен-
S.7. ПОКАЗАТЕЛИ И ИНВАРИАНТЫ
187
ный элемент (Коксетер [1934а], с. 602). Его ха-
характеристические корни — степени элемента е = e2ni/h,
скажем,
emf, / = 1 ,..., п, Ш\ ^ т2 ^ ... <[ тп = h — 1
(Киллинг [1888], с. 20; Коксетер [19516], с.
768—771). Чтобы выразить показатели /л/ через числа
CLik = —cos n/pik, воспользуемся уравнением
X «12 «13 ... «Щ
«21 X Й23 . . . U2n
ап\ аП2
= 0,
корни которого —числа
cos m/я/А, /=1,2, ..., п.
Если все rtij нечетны, то элемент Z вида (9.61),
имеющий характеристические корни
является центральной инверсией. Обратно, в группах,
для которых по крайней мере одно число т/ четно,
центральная инволюция отсутствует. Другими слова-
словами, порядок центра (т. е. 1 или 2) равен наибольшему
общему делителю чисел mi -\- I тп+ \.
Пусть bk —¦ число изометрий из нашей группы,
представимых в виде произведения k (но не менее)
отражений. Для каждой такой изометрий существует
вполне инвариантное (п — k) -мерное подпространство,
а именно пересечение k зеркал. Так как при k = 0
получается только единица, то 6о = 1 ¦ Согласно за-
замечательной теореме Шепарда и Тодда [1954],
с. 283, 290—294, эти числа можно отождествить с эле-
элементарными симметрическими функциями от т\, ...
.... т„, т. е.
fc0 /1
Полагая t= 1,мы видим, что произведение Ц(/л/+ 1)
равно порядку группы.
Например, расширенная икосаэдральная группа
[3,5] имеет показатели 1, 5, 9, а ее 120 элементов —

188
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
это Е, 15 отражений относительно плоскостей (прохо-
(проходящих через пары противоположных ребер икосаэд-
икосаэдра), 59 поворотов (вся группа [3,5]+ без Е) и 45 по-
поворотов с отражением (а именно Z, 20 элементов пе-
периода 6 и 24 элемента периода 10), — в полном соот-
соответствии с равенством
A +0A +50A +9/)=1 + 15/ + 59/2 + 45/3.
Так как характеристические корни е ' распадают-
распадаются на пары комплексно-сопряженных, то
/nj+mn = m2 +mn_i = ... —h
Это простое выражение для числа отражений в
данной группе было найдено Стейнбергом [1959],
с. 500 (см. также Коксетер [1963а], с. 227—231).
Квадратичная форма (9.36)—первый из п базис-
базисных инвариантов
h, • • •. In,
порождающих кольцо полиномиальных инвариантов
группы (Шевалле [1955а]). Интересно, что степени
этих базисных инвариантов совпадают с числами
т1 + 1, т2 + 1 тп + 1
(Коулман [1958], с. 353—354; Костант [1959],
с. 1021; Соломон [1963]). Более того, якобиан
d{Xi, X2 ХП)
порядка Хт/==^ разлагается в произведение такого
же числа линейных форм, приравнивание которых
нулю дает уравнения отражающих гиперплоскостей
(Коксетер [19516], с. 775; Шепард [1956], с. 47;
Стейнберг [1960], с. 617).
Инварианты А, В, С степеней 2, 6, 10 для группы
[3,5] нашел Клейн [1884], с. 211—219. Якобиан D
в этом случае равен произведению 15 линейных форм.
Поскольку всякое отражение меняет его знак, яко-
якобиан D — инвариант группы [3, 5]f, но не самой
9.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ГРУППЫ
189
[3,5], а
D2 = - 1728В5 + С3 + 720ЛСВ3 - 80 А2С2В +
+ 64Л3 EВ2 - АСJ
— уже инвариант обеих групп.
Как отмечалось в § 9.3, с. 176, кристаллографиче-
кристаллографические группы — это точно те группы, для которых каж-
каждое pik равно 1, 2, 3, 4 или 6. То же самое можно вы-
выразить требованием, чтобы число
было целым (Коксетер [1963а], с. 206, 212; [1951а],
с. 414, 427). Каждой неприводимой кристаллографи-
кристаллографической группе соответствует семейство простых групп
порядка
/-1 й-1
(Шевалле [19556], с. 64), где q — некоторая сте-
степень некоторого простого числа, a d = (f,q— 1), кро-
кроме случая группы [З"-3-1-1], когда d = (f,qn—1).Эти
группы перечислены в последнем столбце таблицы 10
в обозначениях Диксона [1901а, б] и Артина
[1955], с. 458—459. Существует дикая мысль, что по-
порядок группы ?8B), первого члена последнего семей-
семейства, сравним с числом протонов во Вселенной по
оценке Эддингтона.
9.8. Бесконечные евклидовы группы. Координаты
Х\, . . ., Хп
в формуле (9.35) можно переписать в контравариант-
ных обозначениях как
X , . . . , X ,
после чего форма (9.36) примет вид
? ?af/xV. (9.81)
В терминах ковариантных координат

190
ГЛ. 9. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
отражение Rk записывается в виде
х\ = xt — 2alkxk, i = 1, ...,n (9.82)
(Коксетер [1963а], с. 182). Относительно него ин-
инвариантна присоединенная форма
E2W/, (9.83)
где а'1 — алгебраическое дополнение к а,-,- в опреде-
определителе det(a(/). Если форма (9.81) (и, следовательно,
(9.83)) определенная, то хк — расстояние от точки
{х\, ..., хп) до k-й координатной гиперплоскости
Xk = 0, содержащей все оси х\ кроме хк.
Замечательно, что аффинные отражения (9.82) при
k—1, ..., гс по-прежнему порождают группу (9.11),
даже когда форма (9.81) только полуопределенная,
так что группа бесконечна. В самом деле, так как
det(a(/)—О,
то найдутся такие постоянные z1, ..., zn, что
откуда, ввиду (9.82),
(9.84)
Эти постоянные можно отождествить с квадратными
корнями из к \
форме (9.83):
корнями из коэффициентов при х\ в присоединенной
(Коксетер [1963а], с. 177). Ввиду (9.84) группу
можно считать действующей на гиперплоскости
в которой сечения координатными гиперплоскостями
хк = 0 образуют (гс—1)-мерный симплекс. Полуоп-
Полуопределенная форма задает в этом аффинном (гс—1)-
мерном пространстве евклидову метрику, а Rk оказы-
оказываются обычными отражениями относительно гранич-
граничных гиперплоскостей указанного симплекса (хотя в
полном гс-мерном пространстве их можно называть
только «аффинными»отражениями). Поскольку евкли-
евклидово (гс—1)-мерное пространство односвязно, этот
симплекс служит фундаментальной областью группы,
9.9. БЕСКОНЕЧНЫЕ НЕЕВКЛИДОВЫ ГРУППЫ
191
а отражения порождают бесконечную группу (9.11)
(Коксетер [1963а], с. 80, 188).
Неприводимые группы такого рода перечислены
в таблице 10, где в третьем столбце указана фунда-
фундаментальная область в обозначениях Коксетера
[1963а], с. 194, а в четвертом столбце — соответствую-
соответствующая группа Ли в обозначениях Кар та на [1927],
с. 218—225. Это замечательное соответствие с про-
простыми группами Ли (или, более точно, с семействами
локально изоморфных простых групп Ли) было обна-
обнаружено Картаном и строго установлено Штифелем
[1942] (см. также Коксетер [1951а], с. 412, 426;
Тите [1962], с. 205).
9.9. Бесконечные неевклидовы группы. Л а н н э
[1950], с. 53, перечислил все неприводимые группы
(9.11), в которых всякая подгруппа, порожденная
гс— 1 из гс элементов Rk, конечна. В дополнение к ука-
указанным выше группам он нашел два бесконечных се-
семейства групп с тремя порождающими, девять групп
с четырьмя порождающими и пять групп с пятью по-
порождающими элементами (см. его таблицы III и V),
среди них находятся группы
[р, д], [3, 5, 3], [4, 3, 5], [5, 3, Б],
[3, 3, 3, 5], [4, 3, 3, б], [5, 3, 3, 5],
являющиеся группами симметрии правильных гипер-
гиперболических сот Шлегеля [1883], с. 444, 454.
Во всех этих случаях формы (9.81) и (9.83) яв-
являются неопределенными, а набор х\, ..., х„ можно
рассматривать как однородные координаты в проек-
проективном (гс— 1)-мерном пространстве, в котором квад-
квадрика
Е "E^' = о
определяет гиперболическую метрику.
Преобразование (9.82) как проективная коллинеа-
ция является гармонической гомологией, осевая гипер-
гиперплоскость которой определяется уравнением Xk = 0,
а центр имеет координаты
k, ..., ank).

192
ГЛ. Ч ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
Так как центр и осевая гиперплоскость — это полюс и
поляра, то гиперболическая метрика превращает его
в отражение относительно гиперплоскости Хи — 0. Та-
Таким образом, все Rk являются отражениями относи-
относительно граничных гиперплоскостей упоминавшегося
выше симплекса. Поскольку гиперболическое (п—1)-
мерное пространство (т. е. внутренность абсолютной
квадрики) односвязно, этот симплекс служит фунда-
фундаментальной областью группы, а отражения порож-
порождают бесконечную группу (9.11).
То же самое заключение справедливо и для более
широкого семейства групп, в которых все или некото-
некоторые подгруппы, порожденные п — 1 элементами Rk,
не конечны, а < гзклидовы». Это означает лишь, что
все или некоторые вершины симплекса лежат в бес-
бесконечности. Многие такие группы возникают как груп-
группы автоморфизмов неопределенных квадратичных
форм; например, [4, 4, 3] — группа автоморфизмов ква-
тернарной квадратичной формы
Х2 Х2 Х2 х%
играющей важную роль в специальной теории отно-
относительности (Коксетер и Уитроу [1950], с. 429),
ее автоморфизмы — преобразования Лоренца.
Имеется естественное предположение, что аффин-
аффинные отражения (9.35) или (9.82) порождают группу
(9.11) при всех значениях периодов pik (с условием,
что рн = 1).
Например, группа [оо] с кодом
порождается аффинными отражениями (9.31) и (9.32),
где а = —1, поскольку их произведение
х\ =
Х\
является сдвигом (Веблен и Янг [1918], с. 112;
Коксетер [1955], с. 12).
Некоторый прогресс в этом направлении был до-
достигнут Бунд г а рдтом [1952].
9.9 БЕСКОНЕЧНЫЕ НЕЕВКЛИДОВЫ ГРУППЫ
193
Многие результаты настоящей главы можно расши-
расширить на группы, порожденные унитарными отражения-
отражениями (§ 6.7,с. 79; см. также Ш епар д [1953], Ш е п а р д
и Тодд [1954], Коксетер [19576]). Эти группы ха-
характеризуются таким свойством: подобно тому, как
всякая группа линейных преобразований п комплекс-
комплексных переменных имеет базисную систему из п + 1 ин-
инвариантов, п из которых алгебраически независимы
(Бернсайд [1911], с. 357—-359), группа, порожден-
порожденная отражениями, имеет базисную систему ровно из п
инвариантов (Тодд [1947, 1950]).

ТАБЛИЦЫ
Таблица 1. Неабелевы группы порядка <32 (§ 1.9)
поря-
порядок
6
8
10
12
14
16
18
обозначение
3)з~@з
®4
С ~ B, 2, 2)
®в ~ ©2 X ©3
B, 2, 3)
Е2Х®4
(-2, 4 [ 2)
B, 2 | 2)
B, 2 | 4; 2>
D, 4 | 2; 2)
B, 2, 2>г
B, 2, 4>
е3х3K
®9
(C, 3, 3; 2»
описание
/(-метациклическая
группа диэдра
группа кватернионов
ZS-метациклическая
группа диэдра
группа тетраэдра
ZS-метациклическая
ZS-метациклическая
группа диэдра
Рис. З.Зв, З.бв
ди циклическая
Z-метациклическая
ZS-метациклическая
S3 =
S4 =
S2 ==
s5 =
S6 =
S3 =
S3 =
C7
^2 =
S8 =
T2 =
T2 =
S4 =
/?4=
Я2 =
s4 =
CoC/
0° II
tf2-
T2
T2
y2
^2
^2
T2
y2
Г2
^
Г2
ft]
E
r4
S4
s2
f2
Г2
S2
= (STJ
= (SrJ
= (srJ
= (STJ
= (STJ
= (sn2
= (S7"J
= (srJ
= ?32 =
= (STJ
TST =
TST =
= E, 1
= WSI
= Г2 =
= (srJ
= ?, (
=fs'rJ
= r2 =
генетический код
= ?
= ?
= ?
= ?
= ?
'=? ' *~
= S3 или /?2S4 = (i?SJ = E
¦ S или R = S , (RS) = ?
*~1S7' = S~I
= U-'SJ = ?
f? D ^T — СТО —— 7*D ^
С , г\&i. — oi Д ^^ ¦» л\О
/?SJ = (Si?J или
=sr==S
(^SrJ = WSK = (/?rK=?
S
20
21
22
24
•
26
27
28
30
p2, 1,
B, 2,
©и
?2X
КгХ
Sx
e2x
@4
<2, 3,
D,6
(-2,
B, 2,
©is
C,3
B, 2,
s.x
©5 X
15
-1
5)
8l4
B,
3)
2,
2,
6)
3,
7>
35
3)
2X®5
=* ©2 X ®3
i
2,3)
2)
3)
3)
VX©7
группа диэдра
/(-метациклическая
ZS-метациклическая
ZS-метациклическая
ZS-метациклическая
группа диэдра
группа октаэдра
бинарная группа тетра-
тетраэдра
Рис. 8.5
ZS-метациклическая
дициклическая
ZS-метациклическая
группа диэдра
ZS-метациклическая
ZS-метациклическая
ZS- мета циклическая
ZS-метациклическая
5.0=Г2 = E7.M
S2TSTS~lT= Т
S5 = T2 = (STJ
Г3 = ?, T~]ST
SU = T2 = (STJ
= ?
2 = E
= S2
= E
SS = T2 = (S~lTSTJ = E
R2 = Rl = R\ =
S12 — T2 = E, T
cl2 ? jl с
S6=r4=?', T
S12 = T2 = (STJ
S* = T2 = (ST)S
^3 = S3 = (RSJ
^4 = S6 = (RSJ
S2 = T2 = (STK
O6 T2 1 *\T\2
S13 = Г2 = (STJ
R33 = s3 = (Rsf
suZ:T2 = (STJ
S7 = Г2 = (SrJ
/ = t, ISJ =
Г2 = E, TST =
(^3N = (^,J = ^i^J = ?
6, T~lST = S7
~1ST = S~1
= E
= E
или Л3 = ?, ЛВЛ = ВЛВ
или S3=r2, (S~'rK = ?
= (r~~1sJ = e
= E
= (R S) == ? или
= ?
S4 или s5 /6 F t~l4t ?"'
О ИЛИ о t ?, t ot о
S~4 или s = / = E, t st = s
G
S

Таблица 2. Кристаллографические и иекристаллографическне точечные группы (§§ 4.3, 4.4)
Герман
и Могвин
q
1
m = 2
q
2q
2q
q/m
222
mm2
q2
qm
Вейль
Cq
c,
CtCt
cq
dqCq
CiqCq
Cq
D2
D2C2
Dq
DqCq
Полна
и Майер
cq
Си
С, [С,
Cqi
Cq [Ciq
Cq [C2q
Cqi
D2
C2[D2
Dq
C,[D,
Шёифлис
Cq
C( = S2
C,-C,fc-C|.
S2q
Cqh
S*q
Cqh
V = D2
Civ
Dq
CqV
Коксетер
[2+, 2+] |
[1] i
[2+, 2q+) |
[2,</+] 1
[2+, 2g+]
[2, C+]
[2, 2]+ |
[2] J
[2, qf \
M i
строение
e2(? ~ e2 x ©<?
e2xe, J
®2 ~ e2 x ©2
порядок
я
2
2^
2^
4
2q
1, 2, ...
нечетное
четное
2, 3, ...
42m
2q2m
qm
2qm2
mmm
q/m mm
23
m3
432
43m
m 3m
532
53m
D,qDq
iqDq
D2
Dq
T
T
w
WT
w
p
p
D2[D4
Dq [D2q
Dqi
Dq [D2?
D2j
Dqi
T
T<
0
T[0
ot
I
h
Vd = Did
Dqd
Dqd
Dqh
Vh = Dih
Dqh
T
Th
0
Та
Oh
I
lh
[2+, 4]
[2+, 2q]
[2+, 2q] |
[2, q] У
[2,2]
[2, q]
[3, 3] +
[3+, 4]
&4I+ }
[3, 3] )
[3,4]
[3, 5] +
[3, 5]
*>4
®>q
©2 X ®2 X ©2
e2x®?
e2 x я,
@4
\S,n N/ (^,
(S, x Sis
8
M
8
4</
12
24
24
48
60
120
четное
нечетное
четное

Таблица 3. 17 групп двумерной кристаллографии (§ 4.5)
Герман
и Могвин
pi
Р2
рт
Pg
cm
ртт
pmg
Pgg
Полна
С
с,
D{kk
D^gg
D\kg
D2kkkk
D2kkgg
Нигглн
ч
ч
ч
*«
чп
ч»
41
Шпайзер
!рис.)
17
18
19
20
21
22
24
23
Фрике
и Клейн
65
62
63
60
65
66
67
рис.
В ЭТОЙ
книге
4.5а, б
4.5в, г
4.5д
4.5е
4.5ж
4.5з
4.5и
4.5к
генетический код
XY = YX или XYZ = ZYX = Е
Т1~(тт>-Е «ли r,»-W,2W
*-*>.-Б. RY^YR, R>Y = YR>
R2 = E, RP2=P2R
D^ _ / n p \* / p p \^ / p D \^ . / D D \^ ^^ 17
Kj — (*^I^2/ — '^2^3/ — \^3^4/ — v^A^X) —
R'-T'.-Tl-s. т,ят, = т,ят2
S
E
cmm
p4
p4m
P4g
p3
p31m
p3ml
p6
p6m
D2kgkg
C4
o:
C3
Dl
Dl
c6
«I
41
4
gll
4.
•s
25
26
27
28
29
30
31
32
33
64
71
71
72
68
69
68
70
70
4.5л
4.5м
4.5h
4.5o
4.5п, р
4.5c
4.5т
4.5y
4.5ф
5* = Гг = E71L = E
*» = <«A)<-(W-<W!-s
Q P^ 1 Q~^DPDl F
О —— i\ \O t\Kji\/ — -C
О i '' О о ^^ I О 10 о ) ^^^ .С ИЛИ О * - 01 О о v Q " '¦"¦ х-
s3 = ,2 = E-^f = ?
D^ , / р D \ij , / р р W . /р р \" _ Р
S3=r2 = (SrN = ?
Dl
S
С

pi
p2
Pg
pm
cm
Pgg
pmg
pmm
cmm
p4
p4g
p4m
p3
p31m
p3ml
p6
p6m
Таб л
pl
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
8
8
3
6
6
6
12
и ца
p2
2
2
2
2
2
2
4
4
3
6
4.
Pg
2
2
2
2
2
4
4
S
6
6
12
Подгрупповые
pm
2
2
2
2
4
8
4
6
6
12
cm
2
3
4
2
3
3
6
pgg
3
2
4
2
2
4
отношения
между
группами (§ i
pmg
3
2
2
pmm
2
2
4
2
6
cmm
2
4
2
2
3
17 плоскими кристаллографическими
L6)
p4
2
2
2
p4g p4m p3 p31m p3ml p6 p6m
9
2 2
3
2 4 3
2 3 4
2 4
4 2 2 2 3
группа
«3
@3
«4
©4
¦s5
Таблица 5. Знакопеременные
генетический
S>-E
/{2 = 53 = (?SJ _ E
R*=;S* = (RSY = E
r>2 C3 • D C\4 /7
/\ О = ^7\O/ === .C
r>2 C3 74 D CT
t\ О i 1\O 1 —
S3 = Г4 = (S71J = ?
/{2 = S3 = (RSM = E
A3ZfcWC-7ABAc/-
л2="в^='(лв^4?=(л/
код
= (BCJ =
= Е
= (ВСM =
?~UbK = ?
?~2ЛВ2J = Я
и симметрические группы степени <8 (§ 6.4)
порождающие элементы
S = A23)
/{ = A2), S = (l 2 3)
/{ = A2) C 4), S = B34)
/{ = C 4), 5 = A2 3),
Г=D321)
/{ = A2) D 5), S = A34)
Л = E 3 2), В = A2 345),
С=A2435),Д = A4352)
Л =A2) D 5), В = A 2) C 4),
С=B 3)D 5)
V, = A2 5), Кг ==A2 3 5),
Л = A2), В = A2 3 45)
ссылки
Дик [1882], с. 35
Гамильтон [1856], с.
Тодд и Коксетер
с. 31
Коксетер [1939), с.
Коксетер [1939J, с.
Коксетер [1934в], с.
Берисайд [1897] с.
Коксетер и Тодд
с. 197
446
[1936],
107
144
218
125
[1936].

группа
«6
Щ
®7
S4
л5
Z.2
л2
*7
л2
= Г6 =
= В5 =
i/4.i
Вб = (
№-%
генетический код
= ErJ = (S~'rK =
= #2 = (LAfK = (Af/
L = (LMNf = E
~ХАВ? = {АВ~2АВ2
\2 (г) 3 оЗ\2 р
/ —— \/\ о / — С
= (лв-2лв2J = (лв-3лв
В7 = (ЛВN
?
?
= ?
J = ?,
3J = ?,
л =
л =
в
z.=
л =
я =
S
л =
Т
порождающие элементы
= A2) C 4 5)
A65 4 3), В =
A3 5) B 4 6),
= A4) B 6 3 5)
B 3) D 6), М =
= A 2) C 5)
A2), В = A
= A345672),
= A 234567)
= A2), В = A
= A2 3 4),
= A2345)
= A 2) D 5),
2 3 4 5 6)
234 5 67)
а б л и ца
Коксетер
с. 195
Коксетер
Коксетер
Коксетер
33, 34,
F.271)
Коксетер
с. 317-
F.27)
5 (продолжение)
ссылки
и Тодд [1936],
[1939], с. 84,91
[1939], с. 103
[1970], с. 28,
46
[19376],
-318
01
S
Таблица 6. Группы LFt (p) при 2<р<30 (§ 7.5)
р
3
5
7
11
13
17
19
23
29
порядок
12
60
168
660
1092
2 448
3420
6tO2
12 180
с
s =
D
S =
Со Со
II 11
S =
S =
Р =
порождающие элементы
С
11
1 1
\ 1
(, 1
( 5
1 —6
1.5
Г4
V0
C
vo
1 и
0\
1)'
?)¦
?)'
4
—2
5)'
&)'
12 ч
'-(-I i)
Ч „ /2 0\
J' Vi -г)
'-(-! {)
¦\ /-5 0\
У' V 0 5J
' 1 0 4)
т—( 4 4"\
r=(J J)
Г ^ V.9 4J
генетический код
53=Г2=E71K = ?'
51' = Г2 = E71K = (S47\SsrJ = ?
57 = Т2 = E71N = E2ГK = ?
59 = Т2 = E71L = E2ГK = ?
S9 ^ Г2 = {STM = E- lrsrJ = E
su = r2 = (srK = E~i J-S71L = ?
Р7 = (P2QK = (/33QJ = (/3Q8J = ?
1Б.ПИ
с
со

Таблица 7. Простейшие отражаемые карты (§§ 8.3—8.6)
характе-
характеристика
2
1
0
—2
род (для
ориентируемых)
0
1
—
карта
{3^3}
{4,3}
{3,4}
{5,3}
{3,5}
{2G, 2}/2
{2, 2<7}/2
{4,3}/2 = {4,3}3
{3,4}/2 = {4,3}3
{5,3}/2={5,3}5
{3,5}/2 = {3.5}5
{б;з}^о={б|з}2<7
{3, 6},, о == {3, 6}2g
{4,4}g><?={4,4}2?
{3, 6}?,,
{Mb
{4,6}3
вершин
Р
2
4
8
6
20
12
Я
4
3
10
6
я2
2<72
Я2
6
4
ребер
Р
Р
6
12
12
30
30
я
я
6
6
15
15
К
ьэ to
граней
2 1
4
6 \
8 J
12 \
20 /
3 \
4/
6 )
ю ;
ч\ ,
3</2|
4 \
6 J
группа
©2 X ^5
Ив
D, 4 | 2, <7)
G3, 6, 2,
q4, 4, 2(?
(8.43), (8.431)
порядок
4р
24
48
120
Ч
24
60
16G2
48
4
>
0)
3
Таблица 8. Известные конечные карты {р, (^}г (§ 8.6)
(Ради экономии места из каждой пары двойственных карт приведена только та, для которой
картл
{2?! 2q}2
{2р+ 1,2}4р+2
{Ар + 2',2р+ 1}2
{6, 3}2?
&q, б}з
{4, 4}2?
{2<7,4}4
{3, 3}4
{4, 3}3
{5, 3}5
{5,5}3
{5,3}20
{10, 3}5
НО, 5}3
вершин
2-7
2
2р + \
2
2q2
Я2
2q2
4
4
10
6
20
20
12
ребер
2?
2?
2р+1
2р + 1
3<72
t?2
6
6
15
15
30
30
30
граней
to to
2
у
1
q2
3q
2q2
Aq
4'
3
O5 СП
12
6
6
характери-
характеристика
2
4-2<7
2
j
2—2p
0
C - q) q
C - 2G) с/
0
D - 2q) q
2
1
1
—3
2
—4
— 12
род (для
ориентиру-
ориентируемых!
°1
pi
i
to - iJ }
-0}
i}
=}
группа
4p+2
G3, 6, 1q
если <7 = 1 нли 2^
q4, 4, 27
@4
«5
©2X^5
порядок
89
8p + 4
12<72
16G2
24
60
120
>
1
С
to
8

206
ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦЫ
207
CD
S
Я
0)
ч
о
«
о
о.
_?_
00
со
Sf
S
ч
VO
н
о
ч
к
о.
о
к
я
с:
с:
о.
род (для
ориентиру-
ориентируемых)
к
кте]
ика
я ь
X
1ией
то
а
ё
О.
в
?
3
а
л
8
"с?
193
i 1
"^ о
сч* си
W—
,—*-
¦* оо
1 1
СО СО
о о
82
о
CN
ю
s х
О t2>
-V , ^~
¦Ч" 1 О>
со о со
'77
¦« о о
CN СМ СМ
о о о
со со со
со со см
<о m ¦*
^~"
со
со
л
о
а.
N , ^—
СО | |
rf с~.аэ
7 1 f
CN CN CM
00 00 00
СО CD -Ч-
юю см
в s м
со"со"с~«
о
ю
см
N , *—
1 ! 1
C0«(N
1 —СО
1 1 1
СО 00 00
СО О) СМ
00 00 СО
с г. п
со" со" К"
n-"c?o>"
со
CD
—
_)
¦ч
1
со
со
CD
165
ю*
CM
СО
о
а.
X
id)
00 |
— 00
1 1
¦Ч" ¦*
00 00
СО CD
см см
—
00 М
со~оо~
as.
о
¦^
^^
ь
о
а.
X
»—* 1 СО
СО О СО
СО Ol CN
1 17
1
¦* о о
*г а> а>
о о о
СО CD СО
со со со
00 00 ¦*
— — .-н
оо щ ^.
5" 5" 5?
S?ZLZ?
оо
см
со
о
а.
S 1 1
со — а>
см а> а>
1 1 ?
1
со — —
lO Oi Oi
СО CD CD
LO Ю Ю
r? Tf CD
CO CD lO
CO CO —
со"°° ^
—
CN
со"
1 1 1
CO O^ CO
^* Tf lO
1 1 7
1
00 CM CN
CO CO CO
CM CM CM
CM CN 00
00 00 t~
CO ^ CO
co~co~t~-
-co со"
<—1
со"
' -
о
а.
IS 1
CO ¦* CN
1 1 1
CD 00 00
CD CD CD
Ю1ОЮ
¦Ч1 ¦* CD
CD CD Ю
CO CO —
t~- ~ —
о
CN
CO
cn
1 1
1 ¦*
1 1
oo
Ю Ю
Ю LO
00 00
о о
t~- Oi
Ю —
co"ST
о
CN
CO
¦4"
5Г
lO Oi
00 —•
со" g.
?^ a)
xgg
CD CO 1
¦4" 1^ 1
1 —Ю
1 1 1
О CD CD
о о о
00 00 00
о о о
§§g
t~-t^ CN
J^co So"
m о" о'
оо"— —
00
со
со
1 '
о
а.
X
&
I22S
— CN
(М ТР СО
1 1 1
*# см см
CD — —
со со со
см см см
lO lO CO
СО N N
о
00
со
> ^
J
о
а.
1 1 CN
со
— ю со
t~.t~.Tf
1 ! 1
¦* о о
00 00 00
CD СО СО
о о о
lO lO 00
00 00 CD
Ю С71 С7Э
¦4-
CN
Ш
о
а.
l« 1
CM
CO О lO
M7
а> см см
lOlOlO
t~- lO lO
CD CD CO
о о о
со со со
CN CM Ю
о о t~-
CN CN
~со оо~
со ~ -
оо"— —
о
00
CN
О)
а.
_)
1 1 1
¦* о со
— CD t~-

О СО CD
00 ¦* ¦*
3 045
3 045
3 045
о о о
со со t~-
О О 00
CN CN
~cof^"
со . .
t-^ ^4 —<
о
CN
ю
о
CN
зг
а.
¦J
X
9
S 1 1
CN
t-- 00 СО
1 1«
OCDCO
— о о
о о о
со со со
lO lO lO
о о о
CM CN ¦*
^* vj' ¦—*
coco —
-Ссо~аГ
а>"— —
¦*
о
ю
CN
to
3,7,
см 1 1
CD О 00
ю см со
см — —
| -со
1 1
со сч см
со t~- t~-
Ю CD CD
CD CD CD
r- t~-1~-
CO CO CO
lOlOLO
00 00 CO
CO CO —
^co"PT
CO ...
.CD CD
t~- — —

карта
{8, 8},,о
{10,5}2
{5, 10}2
{6, 6} 2
{8,4},,,
{4,8},,,
{6, 4 | 2}
{4, 6 | 2}
{4 + 4,3}
13,4 + 4}
вершин
1
2
1
2
4
2
6
4
16
6
Т а б л
ребер
4
5
5
6
8
8
to to
24
24
и ц а 9. Правильные
граней
1
1
2
2
2
4
4
6
6
16
группа
«поворотев>
Е8
Ею
Е2ХЕ6
(-2,4|2)
D, 6 | 2, 2)
(-3,4|2)
карты рода 2 (§§ 8.5—8.8)
порядок
8
10
12
16
24
48
Брахаиа
[1927], с. 284
1 octagon
1 decagon
2 pentagons
2 hexagons
2 octagons
4 quadrangles
—
6 octagons
16 triangles
Трель-
фалль
[1932a],
с. 44
14
12
13
9
8
2
Билински
[1950], с. 148
XIX
XXII
XIII
XV
XVIII
IX
XIV
VIII
XVII
II
01
Я
С
Таблица 10. Неприводимые конечные группы с генетическим кодом
= E, Pii=\ (см. §§ 9.3, 9.7)
число
порож-
даю-
дающих
(узлов)
обозна-
обозначение
порядок
поря-
порядок
центра
соответст-
соответствующее
семейство
простых
групп
3
4
4
6
3«-2, 4]
[3»-3.1.1]
И
[3,5]
[3,4,3]
[3,3,5]
[3*2.1]
[дЗ.2.1]
[34.2.1]
(п+ 1)!
2"-п!
2"-'• п\
2г
120
1 152
14 400
51 840=
=27-3*-б
2 903 040=
=210-34-5-7
696 729 600=
=214-35-52-7
1
2
(пЛ)
(г, 2»
2
2
2
1
2
2
га+1
2
4
4 sin2 л/г
2т-2
1
га + 1
2га
2га—2
г
10
12
30
12
18
30
1. 2, ...
..., п — 1, /г
1, 3, ...
. .,2л—3, 2/1—1
1, 3, ..., п—\,
,. .,2га—5,2га—3
1, г— 1
Г, 5, 9
1,5,7.11
1, 11, 19,29
1,4,5,7,8, 11
1,5,7,9, 11,
13, 17
1,7, 11, 13,17,
19, 23, 29
Ln+i (q)
п (Я) ^
Sin (q)
2n (q) ~
2n(\, q)
G()
Ё
I

Таблица 11. Неприводимые евклидовы группы с генетическим кодом
= E, Pii=\ (§ 9.8)
число порождающих
(узлов)
фундаментальная
область
соответствующая
простая группа Ли
А П
Pn
Sn
Rn
Qn
V3
Dn-i
E7
Es
Таблица 12. Толковый словарик обозначений некоторых генетических кодов
обозначение
генетический код
©„ ~ [n] ~ B, 2, n)
(I, m, n)
(I, m, n)
I, m, n)q
{I, m | n)
{I, m\n,q)
l\q]m
(I, m\n, k)
{I, m, n; q)
GP. a. r
\p. q]+ ^B, p, q)
IP- Q, Л
[p, q, r]+
S2 = T2 = (ST)n = ?
Rl = Sm=Tn = RST ¦-
Rl = Sm = Г" = /?S7"
, SZ — ZS, TZ = ZT
Rl = Sm = E, RSR ... = S#S ...
#' = 5m == (/?S)" = (R~ lS)k = ?
/?^, S ..'.*¦ 7"" f?*\T . (TS$\^ .'* 5
Л" = В* = С" = (ЛВJ = (ВС)а = (СЛJ = (ЛВСJ = ?
rj-i ,.. D* ___ D^ ___ / D D \P ^_ / D D \^ , / ТУ П \P ___ P
SP = Г" = EГJ = ?
5 1.1, 9.5
5 1.5, 4.3
§ 6.4
§ 6.5
§ 6.5
§ 6.6
§ 6.6
§ 6.7
§ 8.5
§ 7.5
§ 7.5
§ 4.3
§ 4.4
§ 4.4
§ 9.3
§ 9.5
§ 9.5
>
31

БИБЛИОГРАФИЯ
Адян С. И.
1975. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Нау-
Наука.
А р т и н (Е. Artin)
1926. Theorie der Zopfe. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 4,
S. 47—72.
1947a. Theory of braids. — Ann. Math., 48, p. 101—126.
19476. Braids and permutations. — Ann. Math., 48, p. 643—649.
1955. The orders of the classical simple groups. — Coram. Pure
Appl. Math., N. Y., 8, p. 455—472.
Бамба, Дэвенпорт (R. P. Bambah, H. Davenport)
1952. The covering of n-dimensional space by spheres. — J. Lon-
London Math. Soc, 27, p. 224—229.
Б а с си (W. H. Bussey)
1905. Generational relations for the abstract group simply
isomorphic with the group LF[2,pn].— Proc. London
Math. Soc, 3, p. 296—315.
Бейкер Г. (Н. F. Baker)
1946. A locus with 25920 linear self-transformations. — Cam-
Cambridge.
Бейкер P. (R. P. Baker)
1931. Cayley diagrams on the anchor ring. — Amer. J. Math.,
53, p. 645—669.
Белова Е. Н., Белов Н. В., Шубников А. В.
1948. О числе и составе абстрактных групп, отвечающих 32
кристаллографическим классам. —ДАН СССР, 63,
с. 669—672.
Берне (J. E. Burns)
1915. Abstract definitions of groups of degree eight.—Amer.
J. Math., 37, p. 195—214.
Бернсайд (W. Burnside)
1897. Note on the symmetric group. —Proc. London Math.
Soc, 28, p. 119—129.
1889. Note on the simple group of order 504. — Math. Ann., 52,
p. 174—176.
1902. On an unsettled problem in the theory of discontinuous
groups. — Quart. J. Math., 33, p. 230—238.
1911. Theory of groups of finite order. — 2nd ed. — Cambridge.
1912. The determination of all groups of rational linear sub-
substitutions of finite order which contain the symmetric
БИБЛИОГРАФИЯ
213
group in the variables. — Proc. London Math. Soc, 10,
p. 284—308.
Б и л и н с к и (S. Bilinski)
1950. Homogene mreze zatvorenih orijentabilnih ploha. — Rad.
Jugoslav. Akad. Znan. Umjet. Odjel Math. Fiz. Tehn.
Nauke, 277, p. 129—164.
1952. Homogene Netze geschlossener orientierbarer Flachen.—
Bull. Internat. Acad. Yougoslave, Cl. Sci. Math. Phys.
Tech. (N. S.), 6, p. 59—75.
Блихфельдт (H. F. Blichfeldt)
1929. The minimum value of quadratic forms and the closest
packing of spheres.—Math. Ann., 101, p 605—608.
Бол л (W. W. R. Ball)
1974. Mathematical recreations and essays.— 12th ed. — Lon-
London.
Б о н е н б л а с т (F. Bohnenblust)
1947. The algebraical braid group.— Ann. Math., 48, p. 127—
136.
Брахана (Н. R. Brahana)
1926. Regular maps on the anchor ring. — Amer. J. Math., 48,
p. 225—240.
1927. Regular maps and their groups. — Amer. J. Math., 49,
p. 268—284.
Брахана, К о б л (Н. R. Brahana, А. В. Coble)
1926. Maps on the twelwe countries with five sides with a
group of order J20 containing an icosahedral subgroup.—
Amer. J. Math., 48, p. 1—20.
Бундгард (S. Bundgaard)
1952. On a kind of homotopy in regular numbered complexes. —
Medd. Lunds Univ. Math. Sem.: Tome Suppl., p. 35—46.
Буркхардт (J. J. Burkhardt)
1947. Die Bewegungsgruppen der Kristaiiographie. — Basel.
Бэр Г., М е н н и к е (Н. Behr, J. Mennicke)
1968. A presentation of the groups PSLB,p). — Canad J.
Math., 20, p. 1432—1438.
Бэр P. (R. Baer)
1944. The higher commutator subgroups of a group. — Bull.
Amer. Math. Soc, 50, p. 143—160.
1945. Representation of groups as quotient groups, I. — Trans.
Amer. Math. Soc, 58, p. 295—347.
Бэр Р., Л ев и (R. Baer, F. Levi)
1936. Freie Producte und ihre Untergruppen. — Сотр. Math., 3,
S. 391—398.
Д ю Валь (Р. Du Val)
1933. On the directrices of a set of points in a plane. — Proc.
London Math. Soc, 35, p. 23—74.
Ван дер В а р д е н (В. L. van der Waerden)
1931. Moderne Algebra. — Berlin, Bd. 2.
1948. Qruppen von linearen Transformations. — Erg. Math., 4,
S. 2.
1979. Алгебра. — M.: Наука (русский перевод 8-го изд. т. )
и 5-го изд. т. 2 [1931]).

214
БИБЛИОГРАФИЯ
В е б е р (Н. Weber)
1895/1896. Lehrbuch der Algebra. — Braunschweig, Bd. 1, 2.
В е б л е н, Я н r (O. Weblen, J. W. Young)
1918. Projective Geometry. — Boston, v. 2.
Вей ль (Н. Wey!)
1952. Symmetry. — Princeton.
1968 Симметрия.—М.: Наука (русский перевод книги [1952]).
Вороной Г. Ф.
1907. Zur quelques propertietes des formes quadratiques positi-
positives parlaits. — J. reine angew. Math., 133, p. 97—178.
1908. Recherches sur les paralleloedres primitifs. — J. reine
angew Math., 134, p. 198—287.
Гамильтон (W. R. Hamilton)
1856. Memorandum respecting a new system of roots of unity.—
Phil. Mag., 12sp 446.
Генри, Лонсдейл (N. F, M. Henry, K. Lonsdale)
1952. International Tables for X-ray Crystallography. — Bir-
Birmingham, v. 1.
Герман (С. Hermann)
1944. Krista!!ographie in Raumen beliebiger Dimensionszahl,
I. — Acta Crystallogr., 2, S. 139—145.
Гесс (Е. Hess)
1876. Ober die zugleich gleicheckigen und gleichflachigen Po-
lyeder. — Schr. Ges. Beford. Naturwiss. Marburg, 11,
S. 1.
Гессель (J. F. С. Hessel)
1897. Krystallometrie oder Krystallonomie und Krystallogra-
phie. — Ostwald Klassiker der exakten Wissenschaften,
Leipzig, 88, 89.
Гильберт, Кон-Фоссен (D Hilbert, S. Sohn-Vossen)
1932. Anschauliche Geometrie, Berlin.
1936. Наглядная геометрия. — M.: Л.: ОНТИ (русский пере-
перевод книги [1932]).
Грин (J. A. Green)
1952. On groups with odd prime-power exponent. — J. London
Math. Soc, 27, p. 476—485.
Г р ю н (О. Griin)
1936. Ober eine Factorgruppe freier Gruppen. I. — Dtsch Math.
1, S. 772—782.
1940. Zusammenhang zwischen Rotenzbildung und Kommuta-
torbildung. —J. reine angew. Math., 182, S. 158—177.
Г у р с а (Е. Goursat)
1889. Sur les substitutions orthogonales et divisions regulieres
de 1'espace. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 6, p. 9—102.
Д a й (D. S. Dye)
1937. A grammar of Chinese lattice. — Cambridge, Mass.
Дедекинд (R. Dedekind)
1897. Ober Gruppen, deren samtliche Teiler Normalteiler sind.—
Math. Ann., 48, S. 548—561.
Цжекобсон (N. Jacobson)
1943. The theory of rings. — NY.
1947. Теория колец.— M.: ИЛ (русский перевод книги [1943]).
БИБЛИОГРАФИЯ
215
von Gruppe und
Flachen. — Math.
Дик (W. Dyck)
1880. Ober Aufstellung und Untersuchung
Irrationalitat regularer Riemannscher
Ann., 17, S. 473—508.
1882. Gruppentheoretische Studien. — Math. Ann., 20, S. 1—45.
Диксон (L. F. Dickson)
1901a. Linear groups, with an exposition of the Galois field
theory. — Leipzig.
19016. Theory of linear groups in an arbitrary field. — Trans.
Amer. Math. Soc, 2, p. 363—394.
1903. The abstract group G simply isomorphic with the alter-
alternating group on six letters. — Bui!. Amer. Math. Soc, 9,
p. 303—306.
1905. A new system of simple groups. — Math. Ann., 60,
S. 137—150.
Доливо-Добровольский В. В.
1925. Recherches sur le systeme dodecaedre-icosaedrique. —
Mem. Soc. Russe Min., 52, p. 169—181.
Дьёдонне (J. Dieudonne)
1954. Les isomorphismes exceptionnels eutre les groupes classi-
ques finis.— Canad. J. Math., 6, p. 305—315.
1955. La geometrie des groupes classiques. — Erg. Math.
(N. F.), 5.
1974. Геометрия классических групп. — M.: Мир (русский пе-
перевод 3-го изд. книги [1955]).
Дэн (М. Dehn)
1910. Ober die Topologie des dreidimensionalen Raumes.—
Math. Ann, 69, S. 137—168.
1912. Ober unendliche diskontinuierliche Gruppen. — Math. Ann.,
71, S. 116—144.
Ж op д а н (С. Jordan)
1870. Traite des substitutions. — Paris.
Зайферт (Н. Seifert)
1932. Losung der Aufgabe 84. — Jber. deutsch. Math. Verein.,
41, S. 7—8.
Зайферт, Трельфалль (Н. Seifert, W. Threlfall)
1947. Lehrbuch der Topologie. — N. Y.
1938. Топология. — M.: Л.: ГОНТИ (русский перевод 1-го изд.
книги [1947]).
Камилл (С. М. Hamill)
1951. On a finite group of order 6 531840. — Proc. London
Math. Soc, 52, p. 401—454.
Кармайкл (R. D. Carmichael)
1923. Abstract definitions of the symmetric and alternating
groups and certain other permutation groups. — Quart.
J. Math., 49, p. 226—270.
1937. Introduction to the theory of groups of finite order. —
Boston.
Карт а н (Е. Cartan)
1927. La geometrie des groupes simples. — Ann. Mat. Рига
Appl. D), 4, p. 209—256.

216
БИБЛИОГРАФИЙ
1928. Complement au memoire sur la geometrie des groupes
simples.— Ann. Mat. Рига Appl. D), 5, p. 253—260.
Кельвин (Lord Kelvin)
1894. On homogeneous divisions of space. Proc. Roy. Soc. Lon-
London, A55, p. 1—16.
Ke м пе (А. В. Kempe)
1886. A memoir on the theory of mathematical form. — Phil.
Trans. Roy. Soc. London, A177, p. 1—70.
Кеплер (J. Kepler)
1619. Harmonice Mundi. — Opera omnia v. 5. Frankfurt, 1864.
Керекьярто (В. Kerekjarto)
1923. Vorlesungen fiber Topologie. — Berlin, Bd. 1.
Кёниг (D. Konig)
1936. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. — Leip-
Leipzig.
К u л л и и г (W. Killing)
1888. Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transfor-
mationsgruppen, II.— Math. Ann., 33, S 1—48.
Клейн (F. Klein)
1876. Ober binare Formen mit linearen Transformationen in
sich selbst. —Math. Ann., 9, S. 183—208.
1879a. Ober die Transformation der elliptischen Functionen und
die Auflosung der Qleichungen ffinften Grades. — Math.
Ann., 14, S. 111—172.
18796. Ober die Transformation siebenter Ordnung der ellipti-
elliptischen Functionen. — Math. Ann., 14, S. 428—471.
1884. Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der
Gleichungen funften Grades. — Leipzig.
Клейн, Ф р и к e (F. Klein, R. Fricke)
1890. Vorlesungen fiber die Theorie der elliptischen Modulfunk-
tionen. — Leipzig.
Ко к с (Н. Сох)
1891. Application of Grassmann's Ausdehnungslehre to proper-
properties of circles. — Quart. J. Math., 25, p. 1—71.
Коксетер (H. S. M. Coxeter)
1928. The pure Archimedean polytopes in six and seven dimen-
dimensions. — Proc. Cambridge Phil. Soc, 24, p. 1—9.
1931. Groups whose fundamental regions are simplexes —J
London Math. Soc, 6, p. 132—136.
1934a. Discrete groups generated by reflections.—Ann Math,
35, p. 588—621.
19346. On simple isomorphism between abstract groups —J.
London Math. Soc, 9, p. 211—212.
1934b. Abstract groups of the form Vkx = V) = (VtVjJ = 1. -
J. London Math. Soc, 9, p. 213—219.
1935. The complete enumeration of finite groups of the form
R2i = (RiRj)ki)=l.- J. London Math. Soc, 10, p. 21—
25.
1936a. The groups determined by the relations S< = Tm —
— {S-1T-tST)"= 1. —Duke Math. J., 2, p. 61—73.
БИБЛИОГРАФИЯ
217
19366. The abstract groups Rm = Sm =
= 1, Sm = Г2 =
, ( = l.-Proc. Lon-
London Math. Soc, 41, p. 278—301.
1936b. An abstract definition for the alternating group in terms
of two generators. — J. London Math. Soc, 11, p. 150—
156.
1973a. Regular skew polyedra in three and four dimensions and
their topological analogues. — Proc. London Math. Soc,
43, p. 33—62.
19376. Abstract definitions for the symmetry groups of the re-
regular polytopes in terms of two generators. Part II: The
rotation groups. — Proc. Cambridge Phil. Soc, 33,
p. 315—324.
1939. The abstract groups Gm- "• ". — Trans. Amer. Math. Soc,
45, p. 73—150.
1940a. Regular and semi-regular polytopes, I. — Math. Z., 46,
S. 380—407.
19406. The polytope 2u, whose twenty-seven vertices correspond
to the lines on the general cubic surface. — Amer. J.
Math., 62, p. 457—486.
1940b. The lineary polyhedral groups and other generalizations
of the quaternion group. — Duke Math. J., 7, p. 367—379.
1940г. A method for proving certain abstract groups to be
infinite.— Bull. Amer. Math. Soc, 46, p. 246—251.
1946a. Quaternions and reflections. — Amer. Math. Monthly, 53,
p. 136—146.
19466. Integral Cayley numbers. — Duke Math, J., 13, p. 561 —
578.
1948. Configurations and maps. — Rep. Math. Colloq., 8, p. 18—
38.
1950. Self-dual configurations and regular graphs.— Bull. Amer.
Math. Soc, 56, p. 413—455.
1951a. Extreme forms. — Canad. J. Math.. 3. o. 391—441.
19516. The product of generators of a finite group generated
by reflections.— Duke Math. J., 18, p. 765—782.
1954 Regular honeycombs in elliptic space. — Proc. London
Math. Soc, 4, p. 471—501.
1955. Affine geometry. — Scripta Math., 21, p. 5—14.
1956. The collineation groups of the finite affine and projective
planes with four lines through each point. — Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg, 20, p. 165—177.
1957a. Non-Euclidean geometry. — 3rd ed. — Toronto.
19576. Groups generated by unitary reflections of period two. —
Canad. J. Math., 9, p. 243—272.
1958a. Twelve points in PG E,3) with 95 040 self-transforma-
self-transformations. — Proc Roy. Soc. London, A247, p. 279—293.
19586. On the subgroups of the modular group.— J. Math.
pures appl., 37, p. 317—319.
1959a. Factor groups of the braid group. — Proc. Fourth Canad.
Math. Congress, p. 95—122.

218
БИБЛИОГРАФИЯ
19596. Symmetrical definitions for the binary polyhedral
groups. — Proc. Symp. Pure Math. (American Mathema-
Mathematical Society), 1, p. 64—87.
1961. Introduction to geometry. —N. Y. Bnd ed., 1969).
1962a. The abstract group G3.7- >6. — Proc. Edinburgh. Math.
Soc, 13 (II), p. 47—61, 189.
19626. The symmetry groups of the regular complex polygons.—
Arch. Math, 13, p. 86—97.
1962b. The classification of zonohedra by means of projective
diagrams. — J. Math, pures appl, 41, p. 137—156.
1963a. Regular Polytopes. — 2nd ed. — N. Y. Crd ed, 1973).
19636. Unvergangliche Geometrie.— Basel (немецкий перевод
книги [1961]).
1966. Введение в геометрию. — М.: Наука (русский перевод
книги [1961]). ,
1970. Twisted honeycombs. — In: Regional Conference Series in
Mathematics, No. 4, Amer. Math. Soc. Providence, R. I.
1974. Regular Complex Polytopes. — Cambridge.
Коксетер, Лонге-Хиггинс, Миллер (H. S. M. Coxe-
ter, M. S. Longuet-Higgins, J. С. P. Miller)
1954. Uniform polyhedra. — Phil. Trans. Roy. Soc. London,
A246, p. 401—450.
Коксетер, Тодд (Н. С. М. Coxeter, J. A. Todd)
1936. Abstract definitions for the symmetry groups of the re-
regular polytopes in terms of two generators. Part I: The
complete groups. — Proc. Cambridge Phil. Soc, 32,
p. 194—200.
Коксетер, Уитроу (Н. С. М. Coxeter, G. J. Whitrow)
1950. World Structure and non-Enclidean honeycombs. — Proc.
Roy. Soc. London, A201, p. 417—437.
Конвей (J. H. Conway)
1971. Three lectures on exceptional groups. Simple Groups.—
London, p. 215—247.
Конвей, Коксетер, Шепард (J. H. Conway, H. S. M. Co-
Coxeter, G. С. Shepard)
1972. The centre of a finitely generated group. — Tensor, 25,
p. 405—418.
К о р к и н А. Н, Золотарёв Е. И.
1873. Sur des formes quadratiques. — Math. Ann, 6, S. 366—
389.
К о с т а н т (В. Kostant)
1959. The principal three-dimensional subgroup and the Betti
numbers of a complex simple Lie group.— Amer. J. Math,
81, p. 973—1032.
Кострикин А. И.
1955. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показа-
показателя 5.— Изв. АН СССР, сер. матем, 19, 233—244.
1959. О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР: Сер. матем.,
23, с. 3—34.
К о у л м а н (A. J. Coleman)
1958. The Betti numbers of simple Lie groups. — Canad. J.
Math, 10, p. 349—356.
БИБЛИОГРАФИЯ
219
К у р о ш А. Г.
1967. Теория групп. — 3-е изд., доп. — М.: Наука.
Кэ л и (Cayley A.)
1878а On the theory of groups. — Proc. London Math. Soc. 9,
p. 126—133.
18786. The theory of groups: graphical representations.—Amer.
J. Math., 1, p. 174—176.
1889. On the theory of groups. — Amer. J. Math, 11, p. 139—
157.
Л а н н э (F. Lanner)
1950. On complexes with transitive groups of automorphisms. —
Medd. Lunds Univ. Math. Sem, 11, p. 1—71.
Леви, ван дер Варден (F. W, Levi, В. L. van der Waerden)
1933. Ober eine besondere Klasse von Gruppen. — Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg, 9, S. 154—158.
Л е ф ш е ц (S. Lefschetz)
1949. Introduction to topology. — Princeton.
Лнндон (Я. С Lyndon)
1950. Cohomology theory of groups with a single defining re-
relation.—Ann. Math., 52, p. 650—665.
1954. On Burnside's problem. — Trans. Amer. Math. Soc, 77,
202—215.
Л и н д с и (J. H. Lindsay)
1959. An elementary treatment of the imbedding of a graph in
a surface. — Amer. Math. Monthly, 66, p. 117—118.
Л и ч (J. Leech)
1962. Some definitions of Klein's simple group of order 168 and
other groups. — Proc. Glasgow Math Assoe, 5, p. 166—
175.
1963 Coset enumeration on digital computers. — Proc. Camb.
Phil. Soc, 59, p. 257—267.
1969 A presentation of the Mathieu group Mia. — Canad. Math.
Bull, 12, p. 41—43.
1970. Computational Problems in Abstract Algebra. — In: Pro-
Proceedings of a Conference. Oxford.
Льюнс (F. A. Lewis)
1938. Note on the defining relations for the simple group of
order 660. — Bull. Amer. Math. Soc, 44, p. 456.
Магнус (W. Magnus)
1932. Das Identitatsproblem fur Gruppen mit einer definieren-
den Relation. - Math Ann., 106, S. 295—307.
1935a Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem
speziellen Ring. - Math. Ann, 111, S. 259—280.
19356 Ober n-dimensionale Gittertransformationen. — Acta Ma-
thematica, 64, S 355—367.
1937 Ober Beziehunen zwischen horeren Kommutatoren. —
J. reine angew. Math., 177, S. 105—115.
1939 Ober freie Factorgruppen und freie Untergruppen gege-
bener Gruppen. - Mh, Math. Phys, 47, S. 307—313.
1950. A connection between the Baker-Hausdorff formula dnd
a problem of Burnside. — Ann. Math., 52, p. 111 — 126.

220
БИБЛИОГРАФИЯ
Магнус, Kappa с, Солитэр (W. Magnus, A. Karrass,
D. Solitar)
1966. Combinatorial group theory, presentations of groups in
terms of generators and relations. — N. Y.
1974. Комбинаторная теория групп. — M.: Наука (русский пе-
перевод книги [1966]).
М а и е р - В у н д е р л и (Н. Meier-Wunderli)
1956. Ober die Struktur der Burnsidegruppen mit zwei Erzeu-
genden und vom Primzahlexponenten p > 3. — Comment.
Math. Helvet., 30, S. 144—174.
M а к д а ф ф и (С. С. MacDuffee)
1933. The theory of matrices. — Erg. Math., 2, p. 5.
Матье (Е. Mathieu)
186!. Memoire sur l'etude des fonctions de plusiers quantites.—
J. Math., 6, p. 241—323.
1873. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantites.—
J. Math., 18, p. 25—46.
Машке (Н. Maschke)
1896. The representation of finite groups, espicially of the ro-
rotation groups of the regular bodies in three- and four-
dimensional space, by Cayley's Color Diagrams. — Amer.
J. Math., 18, p. 156—194.
M e н н и к е, Г а р б e (J. L. Mennicke, D. Qarbe)
1964. Some remarks on the Mathieu groups. — Canad. Math.
Bull., 7, p. 201—212.
Миллер (Q. A. Miller)
1901. On the groups generated by two operators of orders two
and three respectively whose product is of order six. —
Quart. J Math., 33, p. 76—79.
1902. Groups defined by the orders of two generators and the
order of their product. —Amer. J. Math., 24, p. 96—100.
1907. Generalization of the groups of genus zero. — Trans.
Amer. Math. Soc, 8, p. 1 — 13.
1908. The group generated by two operators which have a com-
common square. — Arch. Math. Phys., 9, p. 6—7.
1909. Finite groups which may be defined by two operators
satisfying two conditions. — Amer. J. Math., 31, p !67—
182.
1911. Abstract definitions of all the substitution groups whose
degrees do not exceed seven. — Amer. J. Math., 33,
p. 363—372.
1920. Groups generated by two operators of order three whose
product is of order four. — Bull. Amer. Math. Soc, 26,
p. 361—369.
1930. Determination of all the groups of order 64. — Amer. J.
Math., 52, p. 617—634.
Миллер, Блихфельдт, Диксон (G. A. Miller, H. F. Blich-
feldt, L. E. Dikson)
1916. Theory and application of finite groups. — N. Y.
Миллер, М о р е н о (G. A. Miller, H. .Moreno)
1903. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian.—
Trans. Amer. Math. Soc, 4, p. 398—404.
БИБЛИОГРАФИЯ
221
Митчелл (Н. Н. Mitchell)
1914. Determination of all primitive collineation groups in more
than four variables which contain honiologies.—Amer.
J. Math., 36, p. 1—12.
M о з e p (W. O. J. Moser)
1959. Abstract definitions for the Mathieu groups Mit and
Mia. — Canad. Math. Bull., 2, p. 9—13.
1964. Remarks an a paper by Trott. — Canad Math. Bull., 7,
p. 49—52.
M у p (E. H. Moore)
1897. Concerning the abstract groups of order k\ and у k\ ...—
Proc. London Math. Soc, 28, p. 357—366.
Мюллер (Е. Miiller)
1944. Gruppentheoretische und structuranalytische Untersuchung
der Maurischen Ornamente aus Alhambra in Granada. —
Riischlikon.
Нетто (Е. Netto)
1900. Vorlesungen uber Algebra. — Leipzig.
H нг г л и (Р. Niggli)
1924. Die Flachensymrnetrien homogener Diskontinuen.— Z. Kri-
stallogr. Mineralog. Petrogr Abt.. A60, S. 283—298.
Нильсен (J. Nielsen)
1921. Om regning med Ikkekommutative faktoren og dens
anvendelse i gruppeteorien. — Mat. Tidsskr., B, p. 77—
94.
1924a. Die Gruppe der dreidimensionalen Gittertransforma-
tionen. — Danske Vid. Selsk Mat.-Fys. Medd., 5.12.
19246. Die Isomorphismengruppen der freien Gruppen. — Math.
Ann., 91, S. 169—209.
1927. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweisei-
tigen Flachen, I. — Acta math., 50, S. 189—358.
1932. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweisei-
tigen Flachen, III. -Acta math, 58, S. 87—167.
1940. Die symmetrisehe und die alternierende Gruppe. — Math.
Tidsskr., B, S. 7—18.
1950. A study concerning the congruence subgroups of the mo-
modular group, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 25.18.
Новацкий (W. Nowacki)
1933. Die nichtkristallographischen Punktgruppen. — Z. Kristal-
logr. Mineralog. Petrogr Abt., A86, S. 19—31.
1954. Ober die Anzahl verschiedener Raumgruppen.— Schweiz.
Mineral. Petrogr. Mitt. 34, S. 130—168.
Новиков П. С. и Адян С. И.
1968. Бесконечные периодические группы, 1, II, III. — Изв.
АН СССР: Сер. матем., 32, с. 212—244, с. 251—524,
с. 709—731.
Нойман (В. Н. Neumann)
1932. Die Automorphismengruppe der freien Gruppen. — Math.
Ann., 107, S. 367—386.
1937a. Groups whose elements have bounded orders. — J. Lon-
London Math. Soc, 12, p. 195—198.

222
БИБЛИОГРАФИЯ
1937b. Identical relations in groups, I —Math Ann 114,
S. 506—525.
1956. On some finite groups with trivial multiplicator. — Publ.
Math Debrecen, 4, p. 190—194.
НоймаиБ. иНойманХ. (В Н Neumann, Hanna Neumann)
1951. Zwei Klassen charakteristischer Untergruppen und ihre
Faktorgruppen. — Math. Nachr., 4, S. 106—125
О'Коннор, Полл (P. E. O'Konnor, G. Pall)
1944. The construction of integral quadratic forms of determi-
determinant 1 —Duke Math. J., 11, p. 319—331
О р э @. Ore)
1962. Theory of graphs. — American Mathematical Society Col-
loqium Publication ХХХХП1.
1968. Теория графов. — M: Наука (русский перевод книги
[1962]).
Паскаль (Е. Paska!)
1927. Repertorium der hoheren Mathematik h. — Leipzig
Полна (G. Polya)
1924. uber die Analogie dei Kristallsymmetrie in del Ebene.—
Z Kristallogr., Mineralog. Petrog. Abs. A60, S 278—
282.
1937. Kombinatoristhe Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Gra-
phen und chemisehe Verbindungen. — Acta math 68,
S. 145—254.
Полна, Мейер (G. Polya, B. Meyer)
1949. Sur des symetries des fonttions spheriques de Laplase —
С. г. Acad Sci. Paris. 228, p. 28—30.
Пуанкаре (H Poincare)
1882. Theorie des groupes fuehsiens. — Acta Math. 1, 1—62,
Пэли (R. E. A. S. Paley)
1933. On orthogonal matrices —J. Math Phys 12 p 311 —
320.
Райдемайстер (К Reidemeister)
1932a, EinfQhrung in die kombinatorische Topologie. — Braun-
Braunschweig.
19326. Knotentheorie. — Erg Math., l.
Редей (L. Redei)
1947 Das «Schiele Product» in der Gruppentheorie — Com-
Comment. Math Helvet.. 20, S. 225—264
Робб (A. A. Robb)
1936 Geometrie of time and space.— Cambridge.
Робинсон (G deB Robinson)
1931. On the fundamental region of a group, and the family
of configurations which arise therefrom. — J London
Math. Soc, 6 p. 70—75.
Санди (J. G. Sunday)
1972 Presentations of the groups SLB, tn) and PSLB m) —
Canad. J. Math., 24, p. 1129—1131.
Санов И. Н.
1940. Решение проблемы Бернсайда для показателя 4. — !уч.
зап. Ленинградск. ун i a, 35, с 166---170.
БИБЛИОГРАФИЯ
223
1951. О некоторой системе соотношений в периодических
группах с периодом степенью простого числа. — Изв.
Аи СССР: Сер матем., 15, с. 477—502.
Де Сегье (J. de Seguier)
1904. Theorie des groupes finis. — Paris.
С е и и о р, Л а н н (J. К. Senior, А. С. Lunn)
1934. Determination of the groups of orders 101—161, omitting
order 128. — Amer. J. Math., 56, p. 328—338.
С н н к о в (A. Sinkov)
1935. A set of defining relations for the simple group of order
1092.— Bull. Amer. Math. Soc, 41, p. 237—240.
1936. The groups determined by the relations Sl = Tm —
= (S~>T-*ST)"=\.— Duke Math. J., 2, p. 74—83.
1937. Necessary and sufficient conditions for generating cer-
certain simple groups by two operators of periods two and
three. — Amer. J. Math., 59, p. 67—76.
1938. On generating the simple group LFB, 2N) by two opera-
operators of periods two and three. — Bull Amer Math Soc,
44, p. 449—455.
1939. A note on a paper by J.
Soc, 45, p. 762—765.
С к о р ц a (G. Scorza)
1942. Gruppi astratti. — Rome.
Схоут (P. H. Schoute)
1912. On the characteristic
е\вг ¦ ¦ ¦ en-iS{n + 1) and
Internal. Congress of Mathematicians,
1913, p. 70—80.
Соломон (L. Solomon)
1936. Invariants of finite reflection groups. — Nagoya Math. J.,
22, p. 57—64.
Стейнберг (R. Steinberg)
1959. Finite reflection groups. — Trans. Amer. Math. Soc, 91,
p. 493—504.
1960. Invariants of finite reflection groups. — Canad. J. Math.,
12, p. 616—618.
Стефанос (С. Stephanos)
1879 Sur les systemes desmiques de trois tetraedres. — Bull.
Sci. Math., 3, p. 424—456.
Тите (J. Tits)
1962. Groupes simples et geometries associees. — Proc Internet.
Congr. Math, p. 197—221.
1970. Groupes finis sporadiques. — Seminaire Bourbaki, No. 375.
Тице (H. Tietze)
1910. Einige Bemerkungen fiber das Problem des Kartenfarbens
auf einseitigen Flachen. — Jber. deutsch. Math.-Verein,
19, S. 155—159.
T о б и н (S. Tobin)
1960. Simple bounds for Burnside p-groups. — Proc. Amer.
Math. Soc, 11, p. 704—706.
Тод д (J. A. Todd)
1931. The groups of symmetries of the regular polytopes.—
Proc. Cambridge Philos. Soc, 27, p. 212—231.
A. Todd. —Bull. Amer. Math.
numbers of the polytopes
. .en-lMn. — In: Proc. Fifth
2, Cambridge,

224
БИБЛИОГРАФИЯ
1932а. A note on the linear fractional group. — J. London Math.
Soc, 7, p. 195—200.
1932b. Polytopes associated with the general cubic surface. —
J. London Math. Soc, 7, p. 200—205.
1936 A second note on the linear fractional group.—J. Lon-
London Math. Soc, 11, p. 103—107.
1947. On the simple group of order 25 920. — Proc. Roy. Soc.
London, A189, p. 326—358.
1950. The invariants of a finite collineation group in 5 dimen-
dimensions. — Proc. Cambridge Phil. Soc, 46, p. 73—90.
1959. On representations of Mathieu groups as collineation
groups. — J. London Math. Soc, 34, p. 406—416.
1970. Abstract definitions for the Mathieu groups. — Quart. J.
Math. Oxford, 21, p. 421—424.
Г о д д, К о к с е 1 е р (J. A. Todd, H. S. M. Coxeter)
1936. A practical method for enumerating cosets of a finite
abstract group. — Proc. Edinburgh Math. Soc, 5,
p. 25—34.
Тот, см. Фейеш Тот
Трельфалль (W. Threlfall)
1932a. Gruppenbilder. — Abh. sachs. Akad. Wiss. Math.-phys.
Kl., 41, S. 1—59.
19326. Losung der Aufgabe 84. — Jber. deutsch. Math.-Verein.,
41, S. 6—7.
Трельфалль, Зайферт (W. Threlf all, H. Seifert)
1931. Topologische Untersuchung der Diskontinuitatsbereiche
endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen
spharischen Raumes, I. —Math. Ann., 104, S. 1—70.
1933. Topologische Untersuchung der Diskontinuitatsbereiche
endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen spha-
rischer Raumes, II, —Math. Ann., 107, S. 543—586.
Тротт (S. Trott)
1962. A pair of generators for the unimogular group. — Canad.
Math. Bull., 3, p. 245—252.
Уитни (Н. Whitney)
1933. Planar graphs. — Fund. Math., 21, p. 73—84.
Уэллс (A. F. Wells)
1956. The Third Dimension in Chemistry. — Oxford.
Фейеш Тот (L. Fejes Toth)
1953. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und in Raum.—
Berlin.
Фёдоров Е. С
1885, 1953. Начала учения о фигурах. — М.: Изд-во АН СССР.
1891. Симметрия на плоскости. — Зап. минер, о-ва, 28, с. 345—
390.
Фокс (R. H. Fox)
1953. Free differential calcul'is, I. —Ann. Math., 57, p. 547—
560.
1954. Free differential calculus, II. —Ann. Math., 59, p 196—
210.
Форд (L. R. Ford)
!929. Automorphic functions. — N. Y.
БИБЛИОГРАФИЯ
225
1936. Автоморфные функции. — M.: Л.: ОНТИ (русский пере-
перевод книги [1929]).
Фрайер (К. D. Fryer)
1955. A class of permutation groups of prime degree.-—Canad.
J. Math., 7, p. 24—34.
Ф р а ш (Н. Frasch)
1933. Die Erzeugenden der Hauptkongruenzgruppen fur Prim-
zahlstufen. — Math. Ann., 108, S. 229—252.
Ф р и ке (R. Fricke)
1892. Ober den arithmetischen Charakter der zu den Verzwei-
gungen B, 3, 7) und B, 4, 7) gehorenden Dreieckfunc-
tionen. —Math Ann., 41, S. 443—468.
Ф р н к е, Клейн (R. Fricke, F. Klein)
1897. Vorlesungen fiber die Theorie der automorphen Funktio-
nen. — Leipzig.
Ф р у x т (R. Frucht)
1955. Remarks on finite groups defined by generating rela-
relations. — Canad. J. Math., 7, p. 8—17, 413.
X а д с о н (R. W. H. T. Hudson)
1905. Kummer's quartic surface. — Cambridge.
Харли (А. С. Hurley)
1951. Finite rotation group? and crvstal classes in four dimen-
dimensions. — Proc. Cambridge Phil. Soc, 47, p. 650—661.
X e e ш, Кинзли (N. Heesch, O. Kienzlie)
1936. Flachenschlufi. System der Formen liickenlos aneinander-
schliefiender Flachenteile. — Berlin.
Хеффтер (L. Heffter)
1891. Ober das Problem der Nachbargebiete. — Math. Ann., 38,
S. 477—508.
1898. Ober metacyklische Gruppen und Nachbarconfigura-
tionen. — Math. Ann., 50, S. 261—268.
X и в у д (Р. J. Heawood)
! 890. Map-colour theorem — Quart. J. Math., 24, 332—338.
X и г м а н (G. Higman)
1956. On finite groups of exponent five. — Proc. Cambridge
Phil. Soc., 52, p. 381—390.
1957. Le probleme de Burnside. — In: Colloque d'Algebre supe-
rieuere, tenu a Bruxelles du 19 au 22 decembre 1956,
Centre Beige de Recherches Mathematique. Paris.
Хилтон (Н. Hilton)
1908. The theory of groups of finite order. — Oxford.
X интон (С. Н. Hinton)
1906. The fourth dimension. — London.
Холл M. (M. Hall)
1949. Coset representations in free groups. — Trans. Amer.
Math. Soc, 67, p. 421—432.
1958. Solution of the Burnside problem for exponent sih.— 111.
J. Math., 2, p. 764—786.
1959. The theory of groups. — N. Y.
1962a. Note on the Mathieu group Af 12. — Arch. Math 13,
p. 334—340.
19626. Теория групп.—M.: ИЛ (русский перевод книги [1959]).

226
БИБЛИОГРАФИЯ
Холл М.Севнор (М. Hall, J. К- Senior)
1964. The groups of order 2", n < 6. — N Y.
Холл Ф. (P. Hall)
1933. A contribution to the theory of groups of prime-power
order. — Proc. London Math. Soc, 36, p. 29—95.
Холл Ф., X и г м а н (P. Hall, G. Higman)
1956. On the p-length of p-soluble groups and reduction theo-
theorems for Burnside's problem. — Proc. London Math. Soc,
6, p. 1—42.
X у а, Райнер (L. K. Hua, I. Reiner)
1949. On the generators of the symplectic group.— Trans. Amer.
Math. Soc, 65, p. 415—426
1951. Automorphisms of the unimodular group. — Trans. Amer.
Math. Soc, 71, p. 331—348.
1952. Automorphism of the projective unimodular group.—
Trans. Amer. Math. Soc, 72, p. 467—473.
Цассенхауз (Н. Zassenhaus)
1935. Ober transitive Erweiterungen gewisser Gruppen aus
Automorphismen endlicher mehrdimensionaler Geomet-
rien. —Math. Ann., 111, S. 748—759.
1940. Ein Verfahren, jeder endlichen p-Gruppe einen Lie-Ring
mit der Charakteristik p zuzuordnen. — Abh. Math. Sem.
Hamburg, 13, S. 200—207.
1958. Theory of groups. — 2nd ed. —N. Y.
1969. A presentation of the groups PSLB,p) with three
defining relations. — Canad. J. Math., 21, p. 310—311.
Ч ж е н (К. Т. Chen)
1951. Integration in free groups. — Ann. Math., 54, p. 147—162.
1954. A group ring method for finitely generated groups.—
Trans. Amer. Math. Soc, 76, p. 275—287.
Ч ж о у (W. Chow)
1948. On the algebraic braid group. — Ann. Math., 49, p. 654—
658.
Ш е в а л л е (С. Chevalley)
1955a. Invariants of finite groups generated by reflections. —
Amer. J. Math., 77, p. 778—782.
19556. Stir certains groupes simples. — Tohoku Math. J 7,
p. 14—66.
Ш е н к м а н (Е. Schenkman)
1954. Two theorems on finitely generated
Amer. Math. Soc, 5, p. 497—498.
Шеп ар д (G. С Shephard)
1952. Regular complex polytopes.
2, p. 82—97.
1953. Unitary groups generated by reflections. — Canad
Math., 5, p. 364—383.
1956. Some problems on finite reflection groups. — L'Enseigne-
ment Math., 2, p. 42—48.
Ш e n a p д, Т о л д (G. С. Shephard, J. A. Todd)
1954. Finite unitary reflection groups. — Canad. J. Math 6,
p. 274—304.
groups. — Proc.
Proc. London Math. Soc,
J.
БИБЛИОГРАФИЯ
227
Шерк (F A. Sherk)
1962. A family of regular maps of type {6,6}. — Canad. Math.
Bull., б, р 13—20.
Шёнфлис (A. Schoenflies)
1891. Krystallsysteme und Krystallstructur. — Leipzig.
Ш л е г е л ь (V. Schlegel)
1883 Theorie der homogenen zusammengesetzten Raumgebil-
de. — Verh. K. Leopold.-Carolin. Deutsch Akad. Natur-
forsch, 44, S. 343—459.
Шлефля (L. Sehlafli)
1958. An attempt to determine the twenty-seven lines upon a
surface of the third order... —Quart. J. Math. 2,
p. 110-120.
Ш мид г О. Ю.
1924. Группы, все подгруппы которых специальные. — Матем.
сб., 31, с. 366—372.
Ш п а й з е р (A. Speiser)
1924. Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. — 3. Aufl.—
Berlin
Ш р а й e p (O Sclireier)
1924. Ober die Gruppen A«B"=\. — Abh. Math Sem Univ.
Hamburg, 3, S. 167—169.
1927. Die Untergruppen der freien Gruppen. — Abh. Math Sem.
Univ. Hamburg, 5, S 161 — 183
Штейнгауз (Н. Steinhaus)
1949 Математический калейдоскоп: Пер. с по.шск.— М.: Л:
Г'остехиздат.
1950. Mathematical Snapshots. — 2nd end. — N. Y.
Ш тифе ль (Е. Stiefel)
1942. Ober eine Beziehung zwischen geschlossenen Lieschen
Gruppen und diskontinuierlichen Bewegungsgrup-
pen .. — Comment. Math. Helvet., 14, S 350—380
Эдж (W. L. Edge)
1955. The isomorphism between LFB, 32), and %. — J London
Math. Soc, 30, p. 172—185.
1963. An orthogonal group of order 2™-3"-5г-7. — Annali Mat.,
61, p. 1—95.
Э p p e p a (A Errera)
1922. Sur les polyedres reguliers de l'Analysis Situs. — Acad.
Roy. Belg. Cl Sci. Mem Coll. in 8°, 7, p. 1—17.
Э ш e p (M. C. Esther)
1961 The graphical work of M. C. Escher. — London
Я н г (A Young)
1930. A quantitative substitutional analysis. — Proc. London
Math, Soc, 31, p. 273-388.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелизация группы 181
Абстрактное определение 10
Автоморфизм 15
— внутренний 16
— карты 148
Бутылка Клейна 43, 68
Вершина 34, 36, 117
Ветвь 34, 171
Вложение симметричное 41
Внутренний автоморфизм 16
Гамильтонова группа 20
Генетический код 10
Гиперболическая мозаика 81
Гипероктаэдральная группа 132
Гомотопия 42
Грань 36
Граф 34
— группы 37
— плоский 36
— полный 40
— связный 34
— симметричный 169
Группа гамильтонова 20
— гипероктаэдральная 132
— дициклическая 19
— диэдральная 17
— знакопеременная 18
— икосаэдра 57
— карты 148
— категории 1 20
— кватернионов 19
— Коксетера 171
— кос 95
— кристаллографическая 57
— К-метациклическая 24
— метациклическая 23, 24
— модулярная 125
Группа неприводимая 171
— нильпотентная 120
— общая линейная 135
— октаэдра 57
— приводимая 171
— проективная модулярная 125
унимодулярная 125
— пространственная 57
— симметрии 54
— симметрическая 18
— специальная линейная 136
— тетраэдра 57
— унимодулярная 124
— фундаментальная 42
— циклическая 10
— Z-метациклическая 23
— ZS-метациклическая 23
— четверная 17
Двойственная карта 36, 45
Дерево 35
Диаграмма Коксетера 171
Дициклическая группа 19
Диэдр 81
Диэдральная группа 17
Дыра 159
Знакопеременная группа 18
Инверсия центральная 125, 183
Инволюция 38
Карта 35
— двойственная 36, 45
— отражаемая 149
— правильная 148
Кватернионов группа 19
Класс кристаллов 57
Код 10
— генетический 10
предметный указатель
229
Коса 95
Косой многогранник 158
Кристаллографическая группа
О /
/(-метациклическая группа 24
Метациклическая группа 23, 24
Многогранник косой 158
Многоугольник Петри 82
— правильный комплексный
117
Модулярная группа 125
Мозаика гиперболическая 81
Накрывающая поверхность 36
Неприводимая группа 171
Нижний центральный ряд 120
Нильпотентная группа 120
Область фундаментальная 59
Обратный путь 35
Общая линейная группа 135
Октава 179
Определение абстрактное 10
Определяющие соотношения 10
Осоэдр 81
Отражаемая карта 149
Отражение 117
Параллелоэдр 100
Перенос 89
Период 118
Плоский граф 36
Поверхность накрывающая 36
— универсальная накрываю-
накрывающая 44
Поворот 55
— с инверсией 56
Полный граф 40
Порождающие 9
— элементы 9
Правильная карта 148
Правильный комплексный мно-
многоугольник 117
Приводимая группа 171
Проективная модулярная груп-
группа 125
— унимодулярная группа 125
Произведение прямое 12
— циклов 35
Пространственная группа 57
Прямое произведение 12
Путь 34
— обратный 34
р-группа 121
Ребро 34, 36, 117
Ряд нижний центральный 120
Связный граф 34
Симметрическая группа 18
Симметричное вложение 41
Симметричный граф 169
Симметрия 54
Слово 38
Соотношения определяющие 10
Специальная линейная группа
136
Ступень нильпотентности 120
Схема !71
— Коксетера 171
Тор 42, 68
Тривиальный цикл 35
Узел 34, 171
Универсальная накрывающая
поверхность 44
Унимодулярная группа 124
Фактор-группа 12
— по коммутанту 12
Фундаментальная группа 42
— область 59
Фундаментальные циклы 35
Характеристика
Пуанкаре 36
Эйлера —
Центральная инверсия 125, 183
Цикл 35
— тривиальный 35
Циклическая группа 10
Циклы фундаментальные 35
Z-метациклическая группа 23
ZS-метациклическая группа 23
Четверная группа 17
Элементы порождающие 9

ДОПОЛНЕНИЕ
ПОРОЖДАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
Ю. И. Мерзляков
Ниже дается краткий обзор результатов о порождающих
элементах и определяющих соотношениях классических линей-
линейных групп, написанный на основе статьи [1] и охватывающий
в основном работы последнего десятилетия.
В работах Бэра [8] и Хуррельбринка н Рема-
н а [22] полностью решена проблема конечного определения
групп Шевалле над кольцом Z. Именно, в первой работе вопрос
о генетическом коде в канонических порождающих ха(\), Шр
сведен к нахождению определяющих соотношений групп Шевал-
ле ранга 2, а во второй найден генетический код группы Ог(^)
(коды групп SLniZ) и Spi(Z) известны —см. ниже).
Пусть 0—кольцо целых алгебраических чисел поля Q(V—т)>
т — 1, 2, 3, 7, 11 (это в точности те значения т, при которых
о — евклидова область). В работе [23] явно выписаны генети-
генетические коды групп SZ-2, SL3, Sp4 над о. Для любой полупростой
группы Шевалле G, не содержащей факторов типа G2, указан
генетический код группы G(o).
Перейдем к рассмотрению отдельных типов классических
групп.
Д.1. Общие и специальные линейные группы. Отметим пре-
прежде всего следующий старый результат Магнуса [25] (см.
также 12], с. 89): при я ^ 3 группа SLn{Z) порождается
п(п—\) элементарными матрицами Ец, 1ф[, и определяется в
них соотношениями [?(/, ?«] = ! при / ф k, 1Ф1, [Ец, ?,*]=?(*
при различных i, j, k и еще одним соотношением (ЕпЕ^Ею)*=*\.
Здесь Eti — матрица, отличающаяся от единичной только тем,
что на месте (', /') она содержит 1, а [X, Y] = X-'Y-lXY.
Суон [29] указал алгоритм отыскания генетического кода
группы SZ-2 над кольцом целых элементов поля Q(V—т 1Лля
произвольного т. К сожалению, с ростом дискриминанта очень
быстро растет и объем вычислений. На основе этого алгоритма
в [29] вычислены порождающие и соотношения для некоторых
m ^ 19 (см. таблицу ниже).
ДОПОЛНЕНИЕ
231
я о —
код
s
w
и
3*
f-
<U
к
UJ
(_
-¦
EC
3
= II II
л II "
нтра
ш „^
« ^
^Ех'«
II *-J
-- .
II Ех II
о з
3 о
1
ъ
X
нет
т
>
-
ый,
а ||
л II
II о."
, нЕх
,^j 0) и
< ti
JI^Ex"
t" II
Ex _- I!
Т и ^
II II Ex
'х.
нет
хэ:
нет
1=4
1
ii и
к II
§. 3||
7« Г ¦ II X
I
>к - ¦¦ -i
S i t-5.
т-^'и ii J
3„-1' i^- fx
|| II ^3 1 1 V
II II Ex sj sj II
X,
о 3
°3 о
У
нет
Я
+
со
111
4 и
^" „
1) см
^с^
II t
--" ь
II ^ II
II Ех II
S
нет
3 ¦*•
7 '
1 3
',»
1
<N S
3 см
1
ч
< Ь
II - Ех
II - ЕГ
Z~ Ex II
1 О "
S и 1
"Го «з
II t ?>

232
ДОПОЛНЕНИЕ
О
,x
X
о
D*
я
f-
u
в
11
u
о
cq
3
s
ЫЙ,
Л
Си
cf
с
|| |l
II f-Z
^^
. -E.-II
_-•
Jl
o>
Ш
/—
3
1
Ю
"^,
/«-
3
1
3
1
X>
о
^ *°
II ^
21
Ю
3
_^
-N
3
+
II
о
II
II
«3
T
CQ
N
II
|
CQ
Е-ч
T
Е-ч
ЫЙ,
a
s\ II
p.?~T ^
о) и !
=f II 5-
С^Ч 1
'—1 *~"
- 
b*
a
X
H
и
нет
I
ЫЙ,
O-'—' k-*.
!- II ^T
x II ||
> t>
¦-•е-ГТ
__- II t:
'jie^T
X
a)
И
нет
7
+
p.^ i
нЕч
Cf || ^
i
3
нет
IL'*"
. ,
V
(N
Ю
ЫЙ,
: ^
H II
X II
1 QJ II
3 5"
- ?> и
3 n 4
--,
U1 ^"
1
s
3
a?
T
+
en
¦~,*
li
i
oq -
_=> II
| m^
^~
7.5
ДОПОЛНЕНИЕ
233
В работе Уикса [30] указаны генетические коды групп
GLi, SL2 и PSL2 над Z.
По определению, ассоциативное кольцо о с единицей обла-
обладает свойством GE2, если группа GL2(e) порождается своими
элементарными и диагональными матрицами. Деннис [13]
рассмотрел дискретные подкольца поля С, т. е. подкольца в коль-
кольцах целых алгебраических чисел мнимых квадратичных расши-
расширений поля Q, и показал, что среди них имеется точно одно
нецелозамкнутое кольцо со свойством GE2, а именно Z IV— 3];
все целозамкнутые кольца с этим свойством были найдены ра-
ранее Коном — это Z и пять колец, упомянутых выше в связи
с работой [23]. Большой класс колец, не обладающих свойством
GE2, указала Геллер [20].
Пусть о — кольцо многочленов от переменных tu ..., tm
над полем k. Всякая ли матрица из SLn(c) разлагается в произ-
произведение элементарных матриц? При т = 1 кольцо о евклидово,
поэтому ответ положителен. С другой стороны, Кон [12] пока-
показал, что при т = п = 2 ответ отрицателен, — например, матрица
-t\ 1-
не разлагается в произведение элементарных матриц над коль-
кольцом k[tu t2]. Су с лин [5] установил, что при ге^З и любом
т ответ положителен. Аналогичные результаты он получил и для
более широкого класса лораново-полиномиальных колец, т. е. ко-
колец вида k[t{ ts,tf+x, ..., /*'].
Грин [21] указал генетические коды групп SLn, п ^ 3, над
кольцами с делением, когда в качестве порождающих элемен-
элементов выбраны элементарные матрицы.
Д.2. Симплектические группы. Довольно давно было извест-
известно, что симплектическая группа SpA(Z) конечно определена,—
это сразу следует из общей теоремы Бореля и Хариш-
Чандры [9] о конечной определенности арифметических групп.
Бэру [7] удалось найти конечный генетический код этой груп-
группы в явном виде: он доказал, что SpA(Z) порождается шестью
матрицами

234
ДОПОЛНЕНИЕ
и задается в них восемнадцатью определяющими соотношениями
у у у—1у —1 у2
лала+рла ла+|3 ~~ Л2а+р>
= '¦
'7-1 V
-1 _ y-1
Носков [3] указал генетические коды симплектических
групп над локальными кольцами, в которых каждый конечно по-
порожденный правый идеал — главный.
Шпенглер [27] установил, что в любом симплектическом
пространстве над полем характеристики Ф 2 всякое соотношение
между трансвекциями является следствием не более чем 4 мест-
местных соотношений, и описал 2- и 3-местные соотношения между
симплектическими трансвекциями.
В работе [28] доказана разложимость любого симплектиче-
ского преобразования <р симплектического пространства V в про-
произведение трансвекций и дано выражение наименьшей длины
тчкого произведения через другие инварианты преобразования
<р При Rad V — 0 этот вопрос рассматривал Дьёдонне (уточ-
(уточнение его результатов см. в J101).
ДОПОЛНЕНИЕ
235
Д.З. Ортогональные группы. Дай [14, 15] классифицировал
классы сопряженных инволюций ортогональных групп над со-
совершенным полем характеристики 2.
Вон [31] предложил новый способ задания ортогональ-
ортогональных и унитарных групп генетическими кодами, более прямой по
сравнению с обычным способом, оснонанным на интерпретации
этих групп как групп Шевалле и применении теоремы Стейн-
бе р г а [4].
Пусть (V, f) — метрическое векторное пространство над по-
полем k характеристики Ф2, {/ — его подпространство. Пусть S—
множество симметрии о пространства V, удовлетворяющих усло-
условию !m(o—l)=t/, G — группа ортогональных преобразований,
порожденная множеством S. Нольте [26] доказал, что соот-
соотношения длины 2 и 4 между элементами из S являются опре-
определяющими соотношениями группы G за исключением случая,
когда k = GFC), dim U > 4, U = H © Rad U(H — гиперболиче-
гиперболическая плоскость), Radf^RadV. В исключительном случае ука-
указано соотношение длины 8 между элементами из S, не вытекаю-
вытекающее из соотношений длины 2 и 4, и доказано, что G опреде-
определяется соотношениями длины 2, 4 и 8.
Д.4. Унитарные группы. Вопрос о порождении унитарных
групп нал локальным кольцом их квазисимметриями исследовал
Б а е з а [6].
Пусть V — конечномерное векторное пространство над по-
полем характеристики 2 с симметрической билинейной формой.
Группа всех его изометрий называется слабой унитарной груп-
группой пространства V. Эллерс [17] показал, что каждый эле-
элемент слабой унитарной группы является произведением транс-
трансвекций, если антиавтоморфизм формы тождественный. В [18, 19]
исследовано разложение изометрий в произведение наименьшего
числа изометрий вычета 1 и даиы формулы для вычисления дли-
длины такого произведения.
Пусть k — совершенное поле характеристики 2 с нетривиаль-
нетривиальным инволютивиым автоморфизмом, f — соответствующая эрмито-
эрмитова форма на пространстве V размерности т+1. Дай [16] описал
классы сопряженных инволюций в унитарной группе Um+l(k)
эрмитовой формы у. всего их существует [—jj—J> причем г-и класс
С, имеет своими осями вполне изотропные подпространства про-
пространства V размерности г+1. Специальная унитарная группа
SUm+1 (k) и соответствующие проективные унитарные группы
имеют столько же классов сопряженных инволюций, причем каж-
каждый из них естественно соответствует точно одному классу Сг.
Чжан [11] доказал порождаемость коммутанта унитарной
группы над полулокальным целостным кольцом трансвекциями и
квазисимметриями.
Было бы интересно во всех указанных выше случаях, когда
найдена только система порождающих элементов, найти и систе-
систему определяющих соотношений, т. е. полный генетический код
группы.

236
ДОПОЛНЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
I. Мерзляков Ю. И. Линейные группы. — В кн. Итоги
науки. Алгебра. Топология. Геометрия.— М.: 1978, т. 16, с. 35—89.
2. М и л н о р Дж. Введение в алгебраическую /(-теорию. —
М.: Мир, 1974.
3. Н о с к о в Г. А. Порождающие элементы и определяю-
определяющие соотношения симплектических групп над некоторыми коль-
кольцами. — Матем. заметки, 1974, 16, № 2, с. 237—246.
4. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир,
1975.
5. С у с л и н А. А. О структуре специальной линейной груп-
группы над кольцами многочленов. — ИАН СССР: Сер. матем., 1977,
41, № 2, с. 235—252.
6. В а е z a R. Eine Zerlegung der unitaren Gruppe iiber
lokalen Ringen. — Arch. Math., 1973, 24, № 2, S. 144—157.
7. В e h r H. Eine endliche Presentation der symplektischen
Gruppe Sp4(Z). —Math. Z., 1975, 141, S. 47—56.
8. В e h r H. Explizite Presentation von Chevalleygruppen
uber Z. — Math. Z, 1975, 141, № 3, S. 235—251.
9. Borel A., Harish-Chandra. Arithmetic subgroups
of algebraic groups. Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67, № 6,
p. 579—583.
10. С all an D. The generation of Sp(t2) by transvections.
J. Algebra, 1976, 42, № 2, p. 378—390.
II. Chang C.-N. Unitary groups over semilocal domains.
I. —J. Algebra, 1976, 39, № 1, p. 160—174.
12. С oh n P. M. On the structure of the GL2 of a ring.—
Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1966, 30, p. 5—53.
13. Dennis R. K. The GE2 property for discrete subrings of
С — Proc. Amer. Math. Soc, 1975, 50, p. 77—82.
14. Dye R. H. On the conjugacy classes of involutions of
the orthogonal groups over perfect fields of characteristic 2. —
Bull. London Math. Soc, 1971, 3, № 1, p. 61—66.
15. Dye R. H. On the conjugacy classes of involutions of
the simple orthogonal groups over perfect fields of characteristic
two. — J. Algebra, 1971, 18, № 3, p. 414—425.
16. Dye R. H. On the conjugacy classes of involutions of the
unitary groups Um(K), SUm{K), PUm{K), PSUm(K), over per-
perfect fields of characteristic 2. — J. Algebra, 1973, 24, № 3, p. 453—
459.
17. Ellers E. W. Generators of the unitary group of chara
cteristic 2. — J. reine und angew. Math., 1975, 276, p. 95—98.
18. Ellers E. W. The length of a unitary transformation.—
J. reine und angew. Math., 1976, 281, p. 1—5.
19. Ellers E. W. The length of a unitary transformation
for characteristic 2. — J. reine und angew. Math., 1976. 281,
p. 6-12
20. G e 11 e r S. С On the GEn of a ring. — 111. J. Math.,
1977, 21, № 1, p. 109—112.
ДОПОЛНЕНИЕ
237
21. Green S M Generators and relations for the special
linear group over a division ring. — Proc. Amer. Math. Soc, 1977,
62, № 2. p. 229—232.
22. Hurrelbrink J., Rehmann U. Eine endliche Pre-
Presentation der Gruppe G2(Z). —Math. Z., 1975, 141, № 3( s. 243—
251.
23. Hurrelbrink J., Rehmann U. Zur endlichen Pre-
Presentation von Chevalley-Gruppen uber den euklidischen imaginar-
quadratischen Zahlringen. — Arch. Math., 1976, 27, № 2, S. 123—
133.
24. Klin gen H. Zur Struktur der Siegelschen Modulgruppe.—
Math. Z., 1974, 136, № 2, S. 169—178.
25. Magnus W. Ober м-dimensionale Gittertransformatio-
nen. — Acta Math., 1934, 64, S. 353—367.
26. N о 11 e W. Das Relationenproblem fur eine Klasse von
Untergruppen orthogonaler Gruppen. — J. reine und angew. Math.,
1977, 292, S. 211—220.
27. Spengler U. Relationen zwischen symplektischen Trans-
vektionen. — J. reine und angew. Math., 1975, 274/275, S. 141 —
149.
28. Spengler U., Wolff H. Die Lange einer symplekti-
symplektischen Abbildung. — J. reine und angew. Math., 1975, 274/275,
S. 150—157.
29. Swan R. G. Generators and relations for certain special
linear groups. —Adv. Math., 1971, 6, № 1, p. 1—77.
30. W i с k s M. J. Presentations of some classical groups.—
Bull. Austral. Math. Soc, 1975, 13, № 1, p. 1—12.
31. Wong W. J. Generators and relations for classical
groups. —J. Algebra, 1974, 32, № 3, p. 529—553.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 3
Предисловия авторов б
Глава 1
Циклические, дициклические и метациклические группы
1.1. Порождающие и соотношения 9
1.2. Фактор-группы 11
1.3. Прямые произведения 12
1.4. Автоморфизмы 15
1.5. Некоторые хорошо известные конечные группы .... 16
1.6. Дициклические группы 18
1.7. Группа кватернионов 19
1.8. Циклические расширения циклических групп 20
1.9. Группы порядка <32 24
Глава 2
Перечисление смежных классов
2.1. Отыскание генетического кода конечной группы .... 25
2.2. Примеры 27
2.3. Соответствующие подстановки 31
2.4. Как определить, нормальна ли заданная подгруппа? . . 31
2.5. Как генетический код определяет группу? 32
Глава 3
Графы, карты и графы групп
3.1. Графы 34
3.2. Карты 35
3.3. Графы групп 37
3.4. Плоские графы групп 41
3.5- Замкнутые поверхности 42
3.6. Неплоские графы групп 47
3.7. Графы смежных классов 51
Глава 4
Абстрактная кристаллография
4.1. Циклические и диэдральные группы 54
4.2. Кристаллографические и некристаллографические точеч-
точечные группы 55
ОГЛАВЛЕНИЕ
239
4.3. Группы, порожденные отражениями 58
4.4. Подгруппы групп отражений 61
4.5. Семнадцать двумерных дискретных групп 64
4.6. Подгрупповые отношения между семнадцатью кристал-
кристаллографическими группами 78
Глава 5
Гиперболические мозаики и фундаментальные группы
5.1. Правильные мозаики 80
5.2. Многоугольник Петри 82
5.3. Группы Дика 83
5.4. Фундаментальная группа неориентнруемой поверхности
как группа, порождаемая скользящими отражениями . . 85
5.5. Фундаментальная группа ориентируемой поверхности как
группа переносов 89
Глава 6
Симметрическая, знакопеременная
и другие специальные группы
6.1. Артинова группа кос 94
6.2. Симметрическая группа 96
6.3. Знакопеременная группа 101
6.4. Группы многогранников 102
6.5. Бинарные группы многогранников 103
6.6. Миллерово обобщение групп многогранников 107
6.7. Еще одно обобщение 113
6.8. Проблема Бернсайда 118
Глава 7
Модулярные группы и группы
дробно-лииейных преобразований
7.1. Решетки и модулярные группы 123
7.2. Определяющие соотношения при п = 2 126
7.3. Определяющие соотношения при п ^ 3 130
7.4. Дробно-линейные группы 135
7.5. Случай, когда п = 2 и Ц = р — простое число . . . .137
7.6. Группы LF2Bm) 141
7.7. Группа гессиана и ?FsC) 142
7.8. Группы Матье 144
Глава 8
Правильные карты
8.1. Автоморфизмы 148
8.2. Универсальное накрытие 150
8.3. Карты типа {4,4} на торе 151
8.4. Карты типа {3,6} или {6,3} на торе 155
8.5. Карты с заданными дырами 158
8.6. Карты с заданными многоугольниками Петри 161

240 ОГЛАВЛЕНИЕ
8.7. Карты с двумя гранями 164
8.8. Карты на двулистной римановой поверхности .... 167
8.9. Симметричные графы 169
Глава 9
Группы, порожденные отражениями
9.1. Приводимые и неприводимые i руппы 170
9.2. Графические обозначения 171
9.3. Конечные группы ... . . 172
9.4. Краткое описание отдельных групп 177
9.5. Коммутанты 180
9.6. Фактор-группы по центру • . 183
9.7. Показатели и инварианты 186
9.8. Бесконечные евклидовы группы 189
9.9. Бесконечные неевклидовы группы 191
Таблицы 194
Библиография 212
Предметный указатель 228
Дополнение
Порождающие элементы и определяющие соотношения класси-
классических групп (Ю. И. Мерзляков)
Д.1 Общие и специальные линейные группы 230
Д.2. Симплектические группы 233
Д.З. Ортогональные группы 235
Д.4. Унитарные группы . 235
Литература 236
Гарольд С. М. Цоксетер., Уильям О. Дж. Мозер
Порождающие элементы н определяющие соотношения дискретных групп
М., 1980 г., 240 стр. с илл.
Редактор Ф. И. Кизнер. Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Е. В. Сидоркина, В. П. Сорокина
ИБ № 11240
Сдано в набор 22.02.80. Подписано к печати 10.09.80. Бумага 84ХЮ8'/зг.
тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Услоан. печ. л. 12,6.
Уч.-изд. л. 11,98. Тираж 6000 экз. Заказ 550. Цена книги 1 р. 20 к.
Издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловскнй^проспект, 29.