Энциклопедический словарь расстояний - Деза Е., Деза М.М.

Автор: Деза Е. Деза М.М.
Теги: физика математика
ISBN: 978-5-02-036043-3
Год: 2008
Похожие
Курс метрической геометрии
Лекции по математике. Том 05. Функциональный анализ
Основы функционального анализа
Введение в комплексный анализ. Часть 2. Функции нескольких переменных
Текст
                    ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ
СЛОВАРЬ
РАССТОЯНИЙ
Елена ДЕЗА
Мишель Мари ДЕЗА
московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ I
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ I
НОРМАЛЬНАЯ ВЫСШАЯ ШКОЛА
(ПАРИЖ)
MOSCOW PEDAGOGICAL
STATE UNIVERSITY
ECOLE NORMALE SUPERIEURE
(PARIS)
DICTIONARY OF
DISTANCES
Elena DEZA
Michel Marie DEZA
ELSEVIER
Amsterdam . Boston . Heidelberg . London . New York . Oxford
Paris. San Diego . San Francisco . Singapore . Sydney • Tokyo
Елена ДЕЗА	Мишель Мари ДЕЗА
ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ
СЛОВАРЬ
РАССТОЯНИЙ
МОСКВА НАУКА 2008
УДК 53(038)
ББК 22.3
Д26
Перевод с английского языка
В. И, Сычева
Деза Е.И., Деза М.М.
Энциклопедический словарь расстояний / Елена Деза, Мишель Мари Деза ;
[пер. с англ. В.И. Сычева]; Моск. гос. пед. ун-т ; Нормальная высш, шк., Париж. -
М.: Наука, 2008. - 444 с. - ISBN 978-5-02-036043-3 (в пер.).
В словаре приведены толкования терминов: расстояние, мера, метрика, пространство и т.п., в приме-
нении к различным сферам "науки и реальной жизни.
Для широкого круга специалистов.
По сети “Академкнига”
ISBN 978-5-02-036043-3
© Deza Е., Deza М.М., 2006
©ELSEVIER, 2006
© Деза Е.И., Деза М.М., 2008
© Сычев В.И., перевод на русский язык, 2008
© Редакционно-издательское оформление.
Издательство ’’Наука”, 2008
2 апреля 2006 г. исполнилось 100 лет со дня защиты французским ученым
Морисом Фреше выдающейся докторской диссертации, в которой он впервые
(в рамках систематического изучения функциональных операций) ввел
абстрактное понятие метрического пространства.
Более 90 лет прошло также с публикации в 1914 г. Феликсом Хаусдорфом
знаменитой книги "Основы теории множеств", в которой им была представ-
лена теория топологического и метрического пространств.
Мы посвящаем данный Энциклопедический словарь светлой памяти этих
великих математиков и их достойной жизни в тяжелые времена первой
половины XX столетия.
Морис Фреше (1878-1973) ввел
в обращение в 1906 г. термин ёсагг
(полуметрика)
Феликс Хаусдорф (1868-1942) ввел
в обращение в 1914 г. термин
метрическое пространство
Предисловие
Понятие расстояния является одним из основных во всей человеческой деятель-
ности. В повседневной жизни расстояние обычно означает некоторую степень
близости двух физических объектов или идей (т.е. длину, временной интервал,
промежуток, различие рангов, отчужденность или удаленность), в то время как
термин метрика зачастую используется как стандартное понятие меры или
измерения. В нашей книге, за исключением двух последних глав, рассматривается
математическое значение этих терминов,-которое представляет собой абстракцию
измерения. Математические понятия метрики (т.е. функции d(x, у) из ХхХ
в множество действительных чисел, удовлетворяющей условиям d(x, у) > О
с равенством только при х = у, d(xt у) = d(yt х) и d(x, у) d(x, z) + d(z, у)) и
метрического пространства (X,d) были введены почти век назад М. Фреше (в
1906 г.) и Ф. Хаусдорфом (в 1914 г.) в качестве специального случая бесконечно-
го топологического пространства. Упомянутое выше неравенство треугольника
d(x, у) d(x, z) + d(z, у) можно найти уже у Евклида. Бесконечные метрические
пространства появляются обычно как обобщения метрики Ix-yl на множестве
действительных чисел. Основными их классами являются пространства меры
(добавьте меру) и банаховы пространства (добавьте норму и полноту).
Однако, начиная с К. Менгера (который в 1928 г. ввел понятие метрического
пространства в геометрию) и Л.М. Блюменталя (1953 г.), интерес как к конечным,
так и к бесконечным метрическим пространствам резко повышается. Другой
тенденцией стало то, что многие математические теории в процессе их обобщения
стабилизировались на уровне метрического пространства.
Этот процесс продолжается и сейчас, в частности, применительно к римановой
геометрии, действительному анализу, теории приближений.
Метрики и расстояния стали важным инструментом исследований в самых
разных областях математики и ее приложений, включая геометрию, теорию
вероятностей, статистику, теорию кодирования, теорию графов, кластерный
анализ, анализ данных, распознавание образов, теорию сетей, математическую
инженерию, компьютерную графику, машинное зрение, астрономию, космологию,
молекулярную биологию и многие другие отрасли науки. Создание наиболее
удобных метрик стало центральной задачей для многих исследователей. Особенно
интенсивно ведутся поиски таких расстояний, в частности, в математической
биологии, распознавании речи и образов, выборке информации. Нередки случаи,
когда одни и те же метрики появляются независимо друг от друга в таких совер-
шенно разных сферах, как, например, расстояние между словами и эволюционное
расстояние в биологии, расстояние Левенштейна в теории кодирования и расстоя-
ние Хэмминга с пропусками или хэммингово тасованное расстояние.
Накопленная информация о расстояниях настолько обширна и разрозненна, что
работать с ней стало почти невозможно. Так, например, количество предлагаемых
веб-сайтом "Google" вводимых данных по тематике "расстояние", "метрическое
8
Предисловие
пространство” и "метрика" превосходит 300 млн (т.е. около 4% общего объема
вводимых данных), 12 млн и 6 млн соответственно, и это без учета всей печатной
информации, циркулирующей вне сети Интернет, или "невидимого” массива
сведений, содержащихся в доступных для поиска базах данных. При этом вся эта
обширная информация о расстояниях весьма разбросана по источникам, а в
некоторых работах проблематика расстояний касается настолько специфических
предметов, что говорить о ее доступности для неспециалистов не приходится.
В связи с этим многие исследователи, в частности сами авторы, стараются
накапливать и хранить данные о расстояниях применительно к собственным
сферам научной деятельности. В условиях растущей потребности в междисципли-
нарном источнике информации общего пользования о расстояниях и метриках
авторы решили расширить свою личную коллекцию и создать на ее базе
"Энциклопедический словарь расстояний". Дополнительные материалы были
почерпнуты из изданий энциклопедического характера, в значительной мере
из "Математической энциклопедии" ([ЕМ98]), "Мира математики" ([Weis99]),
"Планеты "Математика" ([РМ]) и "Википедии" ([WFE]). Однако главным источни-
ком информации для словаря явилась специальная литература.
Помимо собственно расстояний авторы включили в книгу много родственных
понятий (особенно в гл. 1) и парадигм, позволяющих применять практически
малопонятные для неспециалистов термины, представленные в готовом для
использования виде. Все это, а также появление некоторых расстояний в совер-
шенно ином контексте может дать толчок новым исследованиям.
В наше время, когда чрезмерная специализация и терминологические барьеры
ведут к разобщению исследователей, наш словарь выполняет скорее центро-
стремительную и объединительную функции, обеспечивая доступность и более
широкий обзор информации, но без скатывания к научной популяризации предме-
та. Это стремление соответствующим образом сбалансировать излагаемый
материал предопределило структуру и стиль книги.
Данный справочник представляет собой специализированный энциклопе-
дический тематический словарь. Он состоит из 28 глав в семи частях примерно
одинакового объема. Названия частей преднамеренно даны приближенно в
расчете на то, что читатель самостоятельно выберет тематику в зависимости от
собственных интересов и компетентности. Так, например, части II, III и IV, V
потребуют определенного уровня знаний соответственно в области чистой и
прикладной математики, в то время как содержание части VII будет доступно
любому неспециалисту.
Главы являются по существу перечнями тематик по различным областям
математики или приложениям, которые могут читаться независимо друг от друга.
При необходимости глава или раздел могут предваряться кратким введением -
экскурсом по основным понятиям. Помимо таких предисловий описание характер-
ных особенностей и областей применения расстояний дается в тексте скорее как
исключение. Авторы старались, по мере возможности, упоминать тех, кто первым
ввел то или иное определение расстояния, при этом предлагаемая обширная
библиография имеет целью обеспечить удобный источник для быстрого поиска.
Каждая из глав компонуется таким образом, чтобы между ее разделами
прослеживалась взаимосвязь. Все заголовки разделов и ключевые термины
вынесены отдельно в предметный указатель (около 1500 пунктов) и обозначены
жирным шрифтом, если только их значение не вытекает из контекста. Это
облегчает поиск определений по тематике внутри главы и по алфавиту в самом
указателе. Тексты введений и определения ориентированы на удобство для
Предисловие
9
читателя и максимально независимы друг от друга. Они остаются взаимо-
связанными посредством обозначенных жирным шрифтом текстовых ссылок
(по типу формата HTML с гиперссылками) на схожие определения.
Много интересных сведений представлено в этом биографическом справочнике
расстояний ’’Кто есть кто”. Примерами занятных терминов являются: относящееся
к вездесущему евклидову расстоянию выражение "как ворона летает” (т.е. по
прямой линии), "метрика цветочного магазина” (кратчайшее расстояние между
двумя точками с промежуточным посещением точки "цветочного магазина”),
"метрика хода коня” на шахматной доске, "метрика гордиева узла”, "метрика
бульдозера’’, расстояние биотопа, "прокрустово расстояние”, "метрика лифта",
"почтовая метрика”, хоп-метрика Интернета, квази-метрика гиперссылок WWW,
"московская метрика”, "расстояние собаковода”.
Кроме абстрактных расстояний, рассматриваются также расстояния с фи-
зическим содержанием (особенно в части VI). Они существуют в диапазоне от
1,6 х 1О”35 м (длина Планка) до 7,4 х 1026 м (оцениваемые размеры наблюдаемой
Вселенной, около 46 х 1О60 длин Планка)/
Количество метрик бесконечно, и поэтому перечислить их все невозможно.
Однако авторы были вдохновлены примером успешного составления тематических
словарей по другим бесконечным перечням, в частности, целочисленным после-
довательностям, неравенствам, случайным процессам, а также атласов функций,
групп, фуллеренов и т.п. Кроме того, обширность тематики зачастую вынуждала
авторов излагать материал в лаконичной форме учебного пособия.
Этот словарь ориентирован в основном на научных работников, занимающихся
исследованиями с проведением различных измерений, и в определенной мере на
студентов, а также интересующихся наукой рядовых читателей.
Авторы попытались охватить, пусть даже не полностью, весь спектр приклад-
ного использования понятия расстояния. Однако некоторые расстояния не нашли
отражения в книге либо по причине нехватки места (из-за чрезмерной специфики
или сложности предмета), либо по недосмотру авторов. В целом объем текста и
сбалансированность содержания (т.е. определение целесообразной достаточности
информации по той или иной теме) явились основной трудностью. Мы будем
благодарны читателям, которые выскажутся за включение в словарь каких-либо
пропущенных или дополнительных расстояний.
Авторы выражают благодарность многим людям за оказанную при написании
данного словаря помощь и в первую очередь Жаку Бейбедеру, Мэтью Дютуру,
Эммануэлю Герре, Жаку Кулену, Джин Хо Кваку, Хироши Маэхара, Сергею
Спекторову, Алексею Сосинскому и Цзяньцану Чжуангу.
Содержание
Предисловие............................................................... 7
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИКА РАССТОЯНИЙ
Глава L Общие определения................................................. 16
1.1.	Базовые определения.................................................. 16
1.2.	Основные понятия, связанные с расстояниями, и числовые, инварианты.. 21
1.3.	Общие расстояния.................................................... 43
Глава 2. Топологические пространства..................................... 55
Глава 3. Обобщения метрических пространств............................... 61
3.1.	т-Метрики.....................,..................................... 61
3.2.	Неопределенные метрики.............................................. 62
3.3.	Топологические обобщения ........................................... 63
3.4.	За пределами чисел.................................................. 66
Глава 4. Метрические преобразования...................................... 69
4.1.	Метрики на том же множестве......................................... 69
4.2.	Метрики на расширениях данного множества..........................   72
4.3.	Метрики на других множествах ....................................... 74
Глава5. Метрики на нормированных структурах.............................. 77
ЧАСТЬ а ГЕОМЕТРИЯ И РАССТОЯНИЯ
Глава 6.Расстояния в геометрпп *......................................... 88
6.1.	Геодезическая геометрия............................................. 88
6.2.	Проективная геометрия............................................... 94
6.3.	Аффинная геометрия................................................. 100
6.4.	Неевклидова геометрия.............................................. 102
Глава 7. Римаповы и эрмитовы метрики................................... 112
7.1.	РимаЬовы метрики и их обобщения .................................. 113
7.2.	Римановы метрики в теории информации .............................. 128
7.3.	Эрмитовы метрики и их обобщения.................................... 133
Глава 8. Расстояния на поверхностях и узлах............................. 146
8.1.	Общие метрики на поверхностях...................................... 146
8.2.	Внутренние метрики на поверхностях ................................ 152
8.3.	Расстояния на узлах................................................ 155
Содержание
11
Глава 9. Расстояния на выпуклых телах, конусах и снмнлнцнальных комплексах.	157
9.1.	Расстояния на выпуклых телах.......................................... 157
9.2.	Расстояния на конусах............................................... 162
9.3.	Расстояния на симплициальных комплексах ............................ 164
ЧАСТЬ Ш. РАССТОЯНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКЕ
Глава 10. Расстояния в алгебре........................................... 168
10.1.	Метрики на группах ................................................ 168
10.2.	Метрики на бинарных отношениях..................................... 175
10.3.	Метрики решеток.................................................... 176
Глава 11. Расстояния на строках и перестановках.......................... 180
11.1.	Расстояния на строках общего вида.................................. 181
11.2.	Расстояния на перестановках .....................................   186
Глава12. Расстояния на числах, многочленах н матрицах.................... 189
12.1.	Расстояния на числах .............................................. 189
12.2.	Расстояния на многочленах.......................................... 193
12.3.	Расстояния на матрицах............................................. 194
Глава 13. Расстояния в функциональном анализе............................ 200
13.1. Метрики на функциональных пространствах............................ 200
13.2. Метрики на линейных операторах..................................... 207
Глава 14. Расстояния в теории вероятностей............................... 211
14.1. Расстояния на случайных величинах.................................. 212
14.2. Расстояния на законах распределения ............................... 213
ЧАСТЫУ. РАССТОЯНИЯ В ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Глава 15. Расстояния в теории графов..................................... 226
15.1.	Расстояния на вершинах графа....................................... 227
15.2.	Графы, определяемые в терминах расстояний.......................... 231
15.3.	Расстояния на графах............................................... 234
15.4.	Расстояния на деревьях............................................. 238
Глава 16. Расстояния в теории кодирования................................ 244
16.1. Минимальное расстояние и его аналоги............................... 245
16.2. Основные расстояния на кодах....................................... 248
Глава 17. Расстояния н подобности в анализе данных....................... 255
17.1.	Подобности и расстояния для числовых данных........................ 256
17.2.	Аналоги евклидова расстояния....................................... 259
17.3.	Подобности и расстояния для бинарных данных........................ 261
17.4.	Корреляционные подобности и расстояния ............................ 264
12
Содержание
Глава 18. Расстояния в математической инженерии........................... 267
18.1.	Расстояния в организации движения роботов........................... 267
18.2.	Расстояния для клеточных автоматов.................................. 271
18.3.	Расстояния в теории контроля ....................................... 272
18.4.	МОЕ А расстояния.................................................... 273
ЧАСТЬ V. РАССТОЯНИЯ В КОМПЬЮТЕРНОЙ СФЕРЕ
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях.............. 276
19.1. Метрики на действительной плоскости................................. 276
19.2. Метрики на цифровой плоскости ...................................... 284
Глава 20. Расстояния диаграмм Вороного.................................... 290
20.1.	Классические расстояния Вороного..................................   291
20.2.	Расстояния Вороного на плоскости.................................... 293
20.3.	Другие расстояния Вороного.......................................... 296
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков........................... 299
21.1. Расстояния в анализе образов........................................ 299
21.2. Расстояния в анализе звуков......................................... 312
Глава 22. Расстояния в Интернете н родственных сетях...................... 320
22.1.	Сети, не зависимые от шкал.......................................... 320
22.2.	Семантические расстояния в сетевых структурах ...................... 322
22.3.	Расстояния в Интернете и WEB ....................................... 324
ЧАСТЬ VI. РАССТОЯНИЯ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
Глава 23. Расстояния в биологии .......................................... 332
23.1.	Генетические расстояния для данных о частоте генов.................. 333
23.2.	Расстояния для данных о ДНК ........................................ 336
23.3.	Расстояния для данных о белках ...:................................. 339
23.4.	Другие биологические расстояния..................................... 340
Глава 24. Расстояния в физике и химии..................................... 346
24.1. Расстояния в физике................................................. 346
24.2. Расстояния в химии.................................................. 353
Глава 25. Расстояния в географии, геофизике и астрономии ................. 356
25.1. Расстояния в географии и геофизике.................................. 356
25.2. Расстояния в астрономии............................................. 360
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности ............... 365
26.1. Расстояния в космологии............................................. 365
26.2. Расстояния в теории относительности................................. 372
Содержание	13
ЧАСТЬ VII. РАССТОЯНИЯ В РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Глава 27, Меры длины и шкалы...........................................   392
27.1. Меры длины ........................................................ 392
27.2. Шкалы физических длин ............................................. 397
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния................ 401
28.1.	Расстояния, связанные с отчужденностью ............................ 401
28.2.	Расстояния зрительного восприятия ................................. 409
28.3.	Расстояния оборудования............................................ 413
28.4.	Прочие расстояния.................................................. 417
Литература .............................................................. 425
Предметный указатель..................................................... 431
Часть!
МАТЕМАТИКА РАССТОЯНИЙ
Глава 1
Общие определения
1.1.	БАЗОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
• Расстояние
Пусть X - произвольное множество. Функция d : X х X -> R называет-
ся расстоянием (или непохожестью) на X, если для всех х, у е X выполняются
условия:
1.	d(x, у) > 0 (положительная определенность);
2.	d(x, у) = d(y, х) (симметричность);
3.	d(x, х) = О (рефлексивность).
В топологии такая функция называется также снмметрнкой. Вектор от х к у,
длина которого равняется d(x, у), называется перенесением. Расстояние, равное
квадрату метрики, называется квадрансом.
Для любого расстояния d функция, определяемая при xt у как D(x, у) =
= J(x, у) + с, где с = maxXJ>.€X(rf(x, у) - d(x, z) - d(y, z)), и D(x, x) = 0, является
метрикой.
•	Пространство расстояний
Пространством расстояний (X, d) называется множество X, снабженное расстоя-
нием d.
•	Подобность
Пусть X - произвольное множество. Функция s: X х X -> R называется
подобностью на X, если 5 является положительно определенной, симметричной, и
для любых х, у g X имеет место неравенство s(x, у) < s(x, х), которое превращается
в равенство тогда и только тогда, когда х = у.
Основными преобразованиями, дающими расстояние (непохожесть) d из подоб-
ное™ 5, ограниченной 1 сверху, являются
d = \-s, d = -—d —	— sd = ^2(l-s2), d = arccoss, d = -Ins (см. гл. 4).
•	Полуметрнка
Пусть X - произвольное множество. Функция d: X х X -> R называется
полуметрнкой (или псевдометрикой) на X, если d является положительно
определенной, симметричной, рефлексивной, и для любых х, у, z е X справедливо
неравенство треугольника
d(x, у) < d(x, z) + d(z, у).
Для любого расстояния d равенство d(x, х) = 0 и строгое неравенство
треугольника d(x, у) < d(x, z) + d(y, z) гарантируют, что d является полуметрикой.
Глава 1. Общие определения
17
•	Метрика
Пусть X - произвольное множество. Функция d: X х X -> И? называется
метрикой на X, если для всех х, у, z е X выполняются условия:
1.	d(x, у) > О (положительная определенность);
2.	d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у (аксиома тождественности
самому себе);
3.	d(x, у) = d(y, х) (симметричность);
4.	d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) (неравенство треугольника).
•	Метрическое пространство
Метрическим пространством (X, d) называется множество X, снабженное
метрикой d.
•	Метрическая схема
Метрической схемой называется метрическое пространство с целочисленной
метрикой.
•	Расширенная метрика
Расширенная метрика является обобщением понятия метрики: для d допустимо
значение «>.
•	Почти-метрнка
Пусть X - произвольное множество. Расстояние d на X называется ночтн-
метрнкой, если неравенство
О =S d(X, у) £ C(d(x, Z|) + t/(z,, z2) +...+ <Z(z„, у))
выполнено, при некоторой константе С > 1, для всех различных х, у, z{,..., zn е X.
•	Метрика упрощенного пути
Пусть X - произвольное множество. Метрика d на X называется метрикой
упрощенного пути, если для некоторого фиксированного С > 0 и для каждой пары
точек х, у е X существует последовательность х = Хо, хь ♦.., xt = у, для которой
d(x/_|, X,) < С при । = 1,...»f, и
d(x, у) > d(xQ, Х|) + rf(X|, х2) + ... + d(xt_ b xt) - С,
t
т.е. ослабленное неравенство треугольника d(x, у) <	</(xf_|,xf) становится
/=1
равенством с точностью до ограниченной ошибки.
•	Квазирасстояние
Пусть X - произвольное множество. Функция d: X х X —> R называется
квазирасстоянием на X, если d является положительно определенной и реф-
лексивной.
•	Квазннолуметрика
Пусть X - произвольное множество. Функция d: X х X —> R называется
квазиполуметрикой на X, если d является положительно определенной и реф-
лексивной, и для всех х, у, z е X справедливо ориентированное неравенство
треугольника
d(x, у) < d(x, z) + d(z, у).
18
Часть I. Математика расстояний
Квазнметрнкой Альберта называется квазиполуметрика d на X со слабой
определенностью: для всех х, у е X из равенства d(x, у) = d(y, х) следует равенство
х = у.
Слабой квазнметрнкой называется квазиполуметрика d на X со слабой
симметрией: для любых х, у е X равенство d(x, у) = 0 имеет место тогда и только
тогда, когда d(y, х) = 0.
•	Квазнметрнка
Пусть X - произвольное множество. Функция d: X х X R называется
квазнметрнкой на X, если для всех х, у е X имеет место неравенство d(x, у) > 0,
которое становится равенством тогда и только тогда, когда х = у, и для всех
х, у, z е X справедливо ориентированное неравенство треугольника
d(y, х) < J(x, z) + J(z, у).
Квазиметрическим пространством (X,d) называется множество X, снабженное
квазиметрикой d.
Для любой квазиметрики d функции max{rf(x, у), d(y, х)}, min{d(x, у), d(y, х)}
d(x,y)+d(y,x)	z	ч
и-----—-— являются (эквивалентными) метриками.
Неархнмедовой квазнметрнкой d называется квазирасстояние на X, которое
удовлетворяет следующей усиленной версии ориентированного неравенству
треугольника: для всех х, у, z € X
d(x, у) < max{d(x, z), rf(z, у)}.
•	2й-гональиое расстояние
2£-гональным расстоянием называется расстояние d на X, удовлетворяющее
2£-гональному неравенству
У, bibjfHx^Xj^O
l£i<j£n
п	п
для всех b € Z" с £ ь,=о и |*,| = 2к, и для всех различных элементов
(=1	/=1
Х|, ..., Хп € X.
• Расстояние отрицательного типа
Расстоянием отрицательного типа называется расстояние d на X, которое
является 2£-гональным для любого к > 1, т.е. удовлетворяет неравенству от-
рицательного тина
У
п
для всех be Г с	Ь, = 0 и для всех различных элементов х(,хп € X.
i=i
Расстояние может быть расстоянием отрицательного типа, не являясь при этом
полуметрикой. Кэли доказал, что метрика d является Г2~метРико* тогда и только
тогда, когда d1 - расстояние отрицательного типа.
• (2к + 1)-гональное расстояние
Глава /. Общие определения
19
ДО + 1 Агональным расстоянием называется расстояние d на X, которое удов-
летворяет ДО + 1)-гональному неравенству
У fr,V(x,.xp<0
п	п
для всех b € Z" с X *,=« и у ы = 2к +1 и для всех различных элементов
i=i	i=i
Х|,х„ 6 X.
ДО+1 Агональное неравенство с к = 1 является обычным неравенством треуголь-
ника. ДО+1 Агональное неравенство влечет 2£-гоналыюе неравенство.
•	Гинерметрика
Гиперметрикой называется расстояние d на X, которое является ДО+1 Аго-
нальным для любого к > 1, т.е. удовлетворяет гпперметрическому неравенству
У £>,£>7</(х„ху)£О
!£/</£ л
п
для всех b € 2я с У, : = 1 и для всех различных элементов jq, ...» хп € X. Любая
1=1
гиперметрика является полуметрикой и расстоянием отрицательного типа. Любая
Li-метрика является гиперметрикой.
•	Р-Метрика
P-Метрикой называется метрика d на X со значениями из множества [0, 1],
которая удовлетворяет корреляционному неравенству треугольника
d(x, у) £ d(x, z) + d(y, z) - d(x, z)d(z9 y).
Эквивалентное неравенство 1 -d(xt у) > (1 -d(x, z))(l -rf(z, у)) означает, что ве-
роятность, скажем, достичь л из у через z либо равна величине (1-<f(x, z))(l-d(z, у))
(независимо от возможности достичь z из х и у из z), либо превышает ее
(положительная корреляция).
Метрика будет P-метрикой тогда и только тогда, когда она является метрикой
преобразования Шенберга (см. гл. 4).
•	Птолемеева метрика
Птолемеевой метрикой называется метрика d на X, удовлетворяющая нера-
венству Птолемея (доказанному Птолемеем для евклидова пространства): для всех
х, у, и, z € X
d(xt y)d(u, z) < d(x, u)d(y9 z) + d(x9 z)d(y, u).
Птолемеевым пространством называется нормированное векторное про-
странство (V,11.11), в котором его метрика нормы llx-yll является птолемеевой.
Нормированное векторное пространство будет птолемеевым пространством тогда
и только тогда, когда оно является пространством со скалярным произведением;
таким образом, метрика Минковского (см. гл. 6) является евклидовой тогда и
только тогда, когда она является птолемеевой.
20
Часть I. Математика расстояний
Инволютивное пространство (X\z, dj), где </,(х,у) =—^х„9^—> является
d(x,z)d(y,z)
метрическим пространством для любого z е X тогда и только тогда, когда d яв-
ляется птолемеевой метрикой ([F0SCO6]).
Для любой метрики d расстояние 4d является птолемеевой метрикой
([F0SCO6]).
•	Слабая ультраметрнка
Слабой ультраметрнкой (или С-нсевдорасстояннем) называется расстояние
d на X, для которого при некоторой константе С > 1 неравенство
0< d(x, у)<Сmax{d(x, z),d(z,y)}
выполняется для всех х, у, ze Х,х*у. Для такого расстояния d расстояние d(x, у) =
= inf^rf(z(, z<+1), где инфимум берется по всем последовательностям
i
х = z0,является полуметрикой.
Термин псевдорасстояние используется также в некоторых приложениях для
обозначения псевдометрики, квазирасстояния, ночтн-метрнкн, расстояния, кото-
рое может быть бесконечным, расстояния с ошибкой и т.п.
•	Ультраметрнка
Ультраметрнкой (или неархимедовой метрикой) называется метрика d на X,
которая удовлетворяет усиленной версии неравенства треугольника:
d(x, у) < max{d(x, z), d(z, у)}
для всех х, у, z е X. Таким образом, по крайней мере два значения из d(x, у), d(z, у) и
d(x, z) совпадают.
Метрика d является ультраметрикой тогда и только тогда, когда ее степенное
нреобразованне (см. гл. 4) da является метрикой для любого положительного
действительного числа а. Любая ультраметрика удовлетворяет неравенству
четырех точек. Метрика d является ультраметрикой тогда и только тогда, когда
она является метрикой преобразования Фарриса (см. гл. 4) метрики неравенства
четырех точек.
•	Метрика неравенства четырех точек
Метрика d на X удовлетворяет условию неравенства четырех точек (или назы-
вается аддитивной метрикой), если имеет место усиленная версия неравенства
треугольника: для всех х, у, z, и е X
d(x, у) + d(z, и) < max{d(x, z) + d(y, и),d(x, и) + d(y, z)}.
Другими словами, из трех сумм d(x, у) + d(z, и), d(?c, z) + d(y, и) и d(x, и) + d(y, z) две
наибольшие совпадают.
Метрика удовлетворяет неравенству четырех точек тогда и только тогда, когда
она является древовидной метрикой.
Любая метрика, удовлетворяющая неравенству четырех точек, является
птолемеевой метрикой и Ц -метрикой.
Кустарниковая метрика - метрика, для которой все неравенства четырех точек
являются равенствами, т.е. равенство d(x, у) + d(u, z) = d(x, и) + d(y, z) справедливо
при любых значениях и, х, у, ze X.
Глава I. Общие определения
21
•	Метрика ослабленного неравенства четырех точек
Метрика d на X удовлетворяет условию ослабленного неравенства четырех
точек, если для всех х, у, z е X из трех сумм
d(x, у) + d(z, к), d(x, z) + d(y, и), d(x, и) + d(y, z)
no крайней мере две (не обязательно наибольшие) совпадают.
Метрика удовлетворяет ослабленному неравенству четырех точек тогда и
только тогда, когда она является ослабленной древовидной метрикой.
•	8-Гннерболнческая метрика
Если 3 > 0, то метрика d на множестве X называется 8-гнперболической, если
она удовлетворяет 8-гнперболическому неравенству Громова (еще одно ос-
лабление неравенства четырех точек): для всех х, у, z, и е X
d(x, у) + d(z9 й) < 23+ max{ J(x, z) + d(y, и), d(x, и) + d(y, z)}.
Метрическое пространство (X,d) является 3-гиперболическим тогда и только
тогда, когда
(х.у)Х0 > min{(xz)Xo, (yz)Xo}-8
для всех х, у, z е Xи для любого х0 € X где (х.у)Хо = ^(d(x0,x) + rf(x0,y)-rf(x,y))-
произведение Громова точек х и у из X относительно базовой точки х0 е X,
Метрическое пространство (X, J) является О-гиперболическим тогда и только
тогда, когда d удовлетворяет неравенству четырех точек. Каждое ограниченное
метрическое пространство, имеющее диаметр D, является D-гиперболическим,
п-мерное гиперболическое пространство является In З-гиперболическим.
•	Подобность произведения Громова
Пусть (X, d) - метрическое пространство с фиксированной точкой х0 е X.
Подобностью пронзведення Громова (или произведением Громова, ковариан-
тностью) (.) называется подобность на X, определяемая по формуле
Если (X d) является деревом, то (х.у)Х0 = </(х0, [х, у]). Если (Х,г/)-полу-
метрическое пространство меры, т.е. d(x, у) = ц(хДу) для борелевой меры Ц на X, то
(х.у)0 = ц(хпу). Если d является расстоянием отрицательного типа, т.е.
d(x9y)= dfe(x9y) для подмножества X евклидова пространства Ел, то (х.у)ь будет
обычным скалярным произведением на Ел (см. Метрика преобразования Фарриса,
гл. 4).
1.2.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С РАССТОЯНИЯМИ,
И ЧИСЛОВЫЕ ИНВАРИАНТЫ
•	Метрический шар
Пусть (X,d) - произвольное метрическое пространство. Метрическим шаром
(или замкнутым метрическим шаром) с центром х0 е X и радиусом г > О
I называется множество B(x0,r)={xeX:rf(x0,x)<r}. Открытым метрическим
22
Часть /. Математика расстояний
шаром с центром лье X и радиусом г> 0 называется множество В(ль» г) =
= {лое X:rf(x0,x)<r).
Метрической сферой с центром ль е X и радиусом г > 0 называется множество
S(xQ, г) = {ль € X: J(x0, х)=г).
Для метрики нормы на n-мерном нормированном векторном пространстве
(V, II * II) метрический шар Вп = {ле У:|л||£1} называется единичным шаром, а
множество Sn~l = {хе V : 11x11= 1} - единичной сферой (или единичной гипер-
сферой). В двумерном векторном пространстве метрический шар (открытый или
замкнутый) называется метрическим диском (соответственно открытым или
замкнутым).
•	Метрическая топология
Метрическая топология - топология на X, порождаемая метрикой d на X.
Если (X,d) - произвольное метрическое пространство, определим открытое
множество в X как произвольное объединение (конечного или бесконечного
числа) открытых метрических шаров В(х, г) = {у € X: d(x, у)< г], х е X, г е R,
г > 0. Замкнутое множество определяется теперь как дополнение открытого
множества. Метрической топологией на (X,d) называется множество всех
открытых в X множеств. Топологическое пространство, которое может быть
получено таким образом из метрического пространства, называется метризуемым
пространством.
Метризационные теоремы - теоремы, дающие достаточные условия метризуе-
мости топологического пространства.
С другой стороны, термин метрика указывает скорее на связь с мерой, нежели с
расстоянием, применительно к ряду важнейших математических определений,
например, в метрической теории чисел, метрической теории функций, мет-
рической транзитивности.
•	Замкнутый метрический интервал
Пусть х, у е X- две различные точки метрического пространства (X,d). Зам-
кнутым метрическим интервалом между ли у называется множество
Дх У) = (Z € X: d(x, у) = d(x, z) + d(z, у)}.
•	Основной граф метрического пространства
Основной граф (или граф соседства) метрического пространства (X,d) - граф с
множеством вершин X, в котором ху является ребром, если Z(x, у) = {х, у), т.е. не
существует третьей точки z € X, для которой выполнялось бы равенство
d(x, у) = d(x, z) + d(z, у).
•	Метрическое пространство, монотонное относительно расстояния
Метрическое пространство (X,d) называется пространством, монотонным
относительно расстояния, если для любого интервала 1(х, х') и у е X\Z(x, х’) су-
ществует х" е 1(х, Xх), такое что d(y, х") > d(x, х*).
•	Метрический треугольник
Три различные точки х, у, z е X метрического пространства (X,d) образуют
метрический треугольник, если замкнутые метрические интервалы 1(х, у), I(y, z)
и I(z, х) пересекаются только в общих концевых точках.
Г(шва I. Общие определения
23
•	Модулярное метрическое пространство
Метрическое пространство (X,d) называется модулярным, если для любых трех
различных точек х, у, z е X существует и е Z(x, у) п Ду, z) п Ди, х).
Не следует смешивать это с модулярным расстоянием (см. гл. 10) и метрикой
модулюса (см. гл. 6).
•	Метрический четырехугольник
Четыре различные точки х, у, z, и е X произвольного метрического про-
странства (X,d) образуют метрический четырехугольник, если х, z е /(у, и) и у,
ие I(x, z). Для такого метрического четырехугольника будут иметь место
равенства rf(x, у) = d(z, и) и d(x, и) = d(y, z).
Метрическое пространство (X,d) называется слабо сферическим, если для любых
трех различных точек х, у, z е X с у g Z(x, z) существует и е X, такое что
х, у, z, и образуют метрический четырехугольник.
•	Связное метрическое пространство
Метрическое пространство (X,d) называется связным, если его нельзя разбить
на два непустых открытых множества (см. Связное пространство, гл. 2).
Более сильным свойством является путь-связность, при которой любые две
точки могут быть соединены путем.
•	Метрическая кривая
Метрическая кривая (или просто кривая) у в метрическом пространстве (X,J)
представляет Собой непрерывное отображение у: Z—> X интервала I из R в X.
Кривая называется дугой (или путем, простой кривой), если она является
инъективной. Кривая у: [a, ft] -> X называется жордановой кривой (или простой
замкнутой кривой), если она не пересекает саму себя и у(а) = y(ft).
Длина Ду) кривой у: [a, ft] —> X определяется формулой
/(Y) = sup У </(у(г,), у(г,_|)):пе1Ч
а = г0<...<гя =ft

Спрямляемая кривая - это кривая конечной длины. Метрическое пространство
(X,d), в котором каждые две точки могут быть соединены спрямляемой кривой,
называется С-квазнвыпуклым метрическим пространством при наличии некоторой
константы С> 1, такой что каждая пара х, ye X может быть соединена
спрямляемой кривой максимальной длины С<Дх, у). Если С = 1, то эта длина равна
d(x, у), т.е. пространство (X,d) является геодезическим (или строго внутренним)
метрическим пространством.
•	Геодезическая
Для произвольного метрического пространства (X,d) геодезической называется
локально кратчайшая метрическая кривая, т.е. локально изометрическое
вложение R в X.
Геодезическим отрезком (или кратчайшим путем) [х, у] от х до у является
изометрическое вложение у: [a, ft] —> X с у(а) = х и y(ft) = у.
Метрическая прямая - геодезическая, которая является минимальной между
двумя любыми ее точками; она представляет собой изометрическое вложение
всего R в X. Метрический луч и метрический большой круг представляют собой
изометрические вложения в X соответственно полупрямой и окружности
5’(0, г).
24
Часть I. Математика расстояний
Геодезическим метрическим пространством называется метрическое прост-
ранство, в котором две любые точки соединены геодезическим отрезком. Оно
называется геодезически полным, если каждый такой отрезок является поддугой
метрической прямой.
•	Геодезическая выпуклость
Для произвольного геодезического метрического пространства (X,d) и под-
множества М с: X множество М называется геодезически выпуклым (или
выпуклым), если для любых двух точек из М существует соединяющий их
геодезический отрезок, который полностью принадлежит М\ оно называется
локально выпуклым, если такой отрезок существует для любых двух достаточно
близких точек множества М.
Радиусом инъективности множества М называется наименьшее число г, такое
что для двух любых точек из М, расстояние между которыми меньше г, существует
единственный соединяющий их геодезический отрезок, который полностью
принадлежит М.
Множество М называется вполне выпуклым, если для любых двух его точек
каждый соединяющий их геодезический отрезок полностью принадлежит М. Для
данной точки х е X радиусом выпуклости называется радиус наибольшего вполне
выпуклого метрического шара с центром в точке х.
•	Выпуклость Буземана
Геодезическое метрическое пространство (X9d) называется выпуклым по
Буземану (или глобально неположительно искривленным но Буземану), если для
любых трех точек х, у, z е X и срединных точек т(х9 z) и т(у, z) выполняется
условие
d(m(x,z), m(y,z))<^d(x,y).
Другими словами, расстояние D(q, с2) между любыми геодезическими от-
резками ci = [аь 6|] и с2 = [а2, Ь2} является выпуклой функцией. (Действительная
функция /, определенная на некотором интервале, называется выпуклой, если
условие ДХх + (1 - Х)у) < ХДх) + (1 - X)fty) выполнено для любых х, у и X е (0,1).)
Плоская евклидова полоса {(х, у) е R2f 0 < х < 1} является Гиперболической но
Громову, но не является выпуклой по Буземану. Две любые точки полного
метрического пространства, выпуклого по Буземану, связаны единственным
геодезическим отрезком.
Геодезическое метрическое пространство (X,d) является локально выпуклым по
Буземану (Буземан, 1948), если вышеуказанное неравенство выполняется
локально.
Любое локально САТ(О) метрическое пространство (см. гл. 6) является
локально выпуклым по Буземану и любое геодезическое САТ(О) метрическое
пространство является выпуклым по Буземану, но обратное неверно.
•	Выпуклость по Менгеру
Метрическое пространство (X,d) называется выпуклым но Менгеру, если для
двух различных точек х, у е X существует третья точка z € X, для которой
d(x9 у) = d(xt z) + d(z9 у), т.е. условие IZ(x, у)1 > 2 имеет место для замкнутого
метрического интервала 1(х9 у) = {z е X: d(x9 у) = d(x, z) + d(z, у)}. Метрическое
Глава 1. Общие определения
25
пространство (X,d) называется строго выпуклым по Менгеру, если такая точка z
является единственной для всех х, у е X.
Подмножество М а X называется {/-выпуклым множеством (Менгер, 1928), если
для любых различных точек х, у е X имеет место включение /(х, у) а. М. Функция
f:M-> R, определенная на ^-выпуклом множестве М а X, называется {/-выпуклой
функцией, если для любого z е Z(x, у) с: М выполняется условие
f(z) <
d(x,y) d(x,y)
•	Срединная выпуклость
Метрическое пространство (X,d) называется средннно выпуклым (или
допускающим срединное отображение), если для любых различных точек х, у g X
существует третья точка z е X, называемая срединной точкой т(х, у), для которой
выполняются равенства d(x, у) = d(x, z) + d(z, у) и J(x,z) = ^d(x,y).
Отображение т : X х X -> X называется срединным отображением
(см. Срединное множество); оно будет единственным, если указанная выше точка z
единственна для всех х, у е X.
Полное метрическое пространство является геодезическим метрическим
пространством тогда и только тогда, когда оно срединно выпукло.
•	Шаровая выпуклость
Срединно выпуклое метрическое пространство (X,d) называется шарово
выпуклым, если неравенство
{/(m(x,y), z)<max{{/(x,z), </(y,z)}
справедливо для всехх, у, z е Хи любого срединного отображения т(х, у).
Шаровая выпуклость влечет, что все метрические шары вполне выпуклы,
и, в случае геодезического метрического пространства, наоборот.
2	______
Метрическое пространство (R2, t/(x,y) = ^T -^|х, - yj) шарово выпуклым не
z=i
является.
•	Расстоянная выпуклость
Срединно выпуклое метрическое пространство (X,d) называется расстояние
выпуклым, если
d(m(x, у), z) 5 у (d(x, z) + d(y, z)).
Геодезическое метрическое пространство является расстоянно выпуклым тогда
и только тогда, когда сужение функции расстояния d(x, •), х е X на каждый
геодезический отрезок является выпуклой функцией.
Расстоянная выпуклость порождает шаровую выпуклость и, для случая мет-
рического пространства, выпуклого по Буземану, наоборот.
•	Метрическая выпуклость
Метрическое пространство (X,d) называется метрически выпуклым, если для
любых различных точек х, у е Хи любого Хе (0, 1) существует третья точка
26
Часть /. Математика расстояний
z = z(x, у, X) е X, для которой d(x, у) = d(x, z) + d(z, у) nd(x, z) = XJ(x, у). Метрическая
выпуклость порождает выпуклость но Менгеру.
Метрическое пространство (X,d) называется строго метрически выпуклым, если
такая точка z(x, у, X) является единственной для всех х, у е X и X е (0,1).
Метрическое пространство (X,d) называется сильно метрически выпуклым, если
для любых различных точек х, у е X и любых Х|, Х2 е (0, 1) существует третья
точка z = z(x, у, X) е X, для которой d(z(x, у, X]), z(x, у, Х2)) = lX|-X2W(x, у). Сильная
метрическая выпуклость порождает метрическую выпуклость, и каждое полное
метрическое пространство, выпуклое по Менгеру, является сильно метрически
выпуклым.
Метрическое пространство (X,d) называется почти выпуклым (Мандел-
керн, 1983), если для любых различных точек х, у е X и любых X, ц > 0, таких что
d(x, у) < X + ц, существует третья точка z е X, для которой d(x, z) < X и d(z, у) < р,
т.е. z е В(х, X) п В(у, ц). Метрическая выпуклость порождает почти выпуклость.
•	Выпуклость по Такахаши
Метрическое пространство (X,d) называется выпуклым по Такахаши, если для
любых различных точек х, у е Хи любого X е (0, 1) существует третья точка
z = z(x, у, X) е X, такая что неравенство J(z(x, у, X), и) < Xd(x, и) + (1 - X)rf(y, й) имеет
место для всех и е X. Любое выпуклое подмножество нормированного
пространства является метрическим пространством, выпуклым по Такахаши,
с z(x, у, X) = Хх + (1 - Х)у.
Множество М а X является выпуклым по Такахаши, если z(x, у, X) е М для всех
х, у е X и X е [0, 1]. Такахаши доказал в 1970 г., что в метрическом пространстве,
выпуклом по Такахаши, все замкнутые метрические шары, открытые метрические
шары и произвольное пересечение подмножеств, выпуклых по Такахаши, являют-
ся выпуклыми по Такахаши.
•	Гнпервыпуклость
Метрическое пространство (X,d) называется гинервыпуклым, если оно метри-
чески выпукло и его метрические шары обладают бесконечным свойством Хелли,
т.е. любая система взаимно пересекающихся закрытых шаров в X имеет непустое
пересечение. Метрическое пространство (X,d) является гипервыпуклым тогда и
только тогда, когда оно - инъективное метрическое пространство.
Пространства С, и Д» являются гипервыпуклыми, а 12 - нет.
•	Метрическая энтропия
Пусть Е > 0. Метрическая энтропия (или е-энтропия) Не(М, X) подмножества
М а X метрического пространства (X,d) определяется (Колмогоров, 1956) как
He(MX) = log2/Ve(MX),
где Л<е(Л/, X) является наименьшим количеством точек в Е-сетн (или г-накрытии)
для метрического пространства (М, d), т.е. в множестве точек, таких что
объединение открытых Е-шаров с центрами в указанных точках накрывает М.
Понятие метрической энтропии для динамической системы является одним из
важнейших инвариантов эргодической теории.
•	Метрическая размерность
Для метрического пространства (X,d) и любого действительного числа q > 0
пусть N^q) будет минимальным количеством множеств с диаметром, не пре-
Глава I, Общие определения
27
восходящим q, которые необходимы для накрытия X (см. Метрическая эитрония).
„	r InWGf) .	.	х
Число Inn-----— (если оно существует) называется метрической размерностью
^-»о ln(l /q)
(или размерностью Минковского-Балиганда, размерностью Минковского, упако-
вочной размерностью, бокс-размерностъю) пространства X.
Если указанного выше предела не существует, то рассматриваются следующие
понятия размерности:
1.	Число Iim------ называется ннжнен метрической размерностью (или
?->о 1п(1/<7)
нижней бокс-размерностъю, размерностью Понтрягина-Шнирелмана, нижней
размерностью Минковского).
- „ Г— in N(q)
2.	Число Iim----— называется верхней метрической размерностью (или
</-»о ln(l lq)
энтропической размерностью, размерностью Колмогорова-Тихомирова, верхней
бокс-размерностью).
Ниже приводятся пять примеров других, менее значимых понятий метрической
размерности, встречающиеся в математической литературе.
1.	(Базисная) метрическая размерность метрического пространства - мини-
мальное кардинальное число его метрического базиса, т.е. его наименьшего под-
множества S, такого что не существует двух точек с равными расстояниями до всех
точек из S.
2.	(Равнобочная) метрическая размерность метрического пространства -
максимальное кардинальное число его эквидистантного подмножества, т.е. та-
кого, что любые две его различные точки равноотстоят друг от друга. Для
нормированного пространства эта размерность равна максимальному числу
попарно касающихся параллельных переносов его единичного шара.
3.	Для любого с > 1 метрической размерностью (по нормированному про-
странству) dim^ (X) конечного метрического пространства (X,d) называет-
ся наименьшая размерность действительного нормированного пространства
(V, Н И), такого что существует вложение /:X->V с —d(x,y) ||/(х)-/(у)||<;
< d(x,y).
4.	(Евклидовой) метрической размерностью конечного метрического
пространства (X,d) называется наименьшая размерность п евклидова пространст-
ва Е”, такого что (X, f(d)) является его метрическим подпространством, где
минимум берется по всем непрерывным монотонно возрастающим функциям fif)
отг>0.
5.	Степенью многомерности метрического пространства называется число
ц2	2
, где р и являются средним и отклоняющимся значениями его гистограммы
2а
расстояний; данное понятие используется для выборки информации при поиске
отношений близости.
•	Ранг метрического пространства
Рангом Минковского метрического пространства (X,d) называется максималь-
ная размерность нормированного векторного пространства (V, II • II), такого что
существует изометрическое вложение (V, II • II) -> (X,d).
28
Часть I. Математика расстояний
Евклидовым рангом метрического пространства (X,d) называется максимальная
размерность п-мерной плоскости в нем, т.е. евклидова пространства Ел, такого что
существует изометрическое вложение Ел -> (X,d).
Квазневклндовым рангом метрического нространства (X,d) называется
максимальная размерность п-мерной квазиплоскости в нем, т.е. евклидова
пространства Ел, такого что существует квазннзометрня Ел -> (X,d)« Ранг любого
метрического пространства, гиперболического по Громову, равен 1.
•	Размерность Хаусдорфа
Для метрического пространства (X,d) и любых действительных р, q > 0 пусть
+оо
Af^(X)=inf^T (diam(Af))p, где инфимум берется по всем счетным покрытиям
i=i
{А,}, множества X с диаметром А/ меньше q. Размерность Хаусдорфа (тн размер-
ность Хаусдорфа-Бесиковича, размерность емкости, фрактальная размерность)
dimHaus(X,d) множества X определяется как
infL: lim МЯЛХ) = Ъ
[
Любое счетное метрическое пространство имеет размерность Хаусдорфа,
равную 0; размерность Хаусдорфа для евклидова пространства Ел равна л.
Для каждого вполне ограниченного метрического пространства его размерность
Хаусдорфа ограничена метрической размерностью сверху и тонологнческой
размерностью снизу.
•	Топологическая размерность
Для любого компактного метрического пространства (X,d) его топологическая
размерность (или размерность лебегова покрытия) определяется как
inf{dimHaus(X,</')}>
а
где d' - любая метрика на X, топологически эквивалентная d, a dimHaus -
размерность Хаусдорфа.
В общем случае тонологнческой размерностью топологического пространства
X называется наименьшее целое число л, такое что для любого конечного
открытого покрытия множества X существует конечное открытое подпокрытие
(т.е. подразбиение), такое что ни одна из точек множества X не принадлежит более
чем п + 1 элементам.
• Фрактал
Топологическая размерность любого метрического пространства не превышает
его размерности Хаусдорфа. Фракталом называется метрическое пространство,
для которого это неравенство является строгим. (Первоначально Мандельбройт
определил фрактал как точечное множество с нецелочисленной размерностью
Хаусдорфа). Например, множество Кантора, рассматриваемое как компакт-
ное метрическое подпространство пространства (R, d(x, у) - Ix-yl), обладает раз-
мерностью Хаусдорфа (см. другую Канторову метрику на нем в гл. 11, 18).
In 3
Другой классический фрактал, ковер Серпинского множества [0,1] х [0,1], являет-
Глава I. Общие определения
29
ся нолным геодезическим метрическим подпространством пространства
(й2,ф, у) = llx-ylll).
Термин фрактал используется также в более общем смысле для обозначения
самоподобности (т.е., грубо говоря, подобия при любом масштабе) объекта
(обычно - подмножества R").
•	Размерность Ассуада-Нагаты
Размерностью Ассуада-Нагаты метрического пространства (X,d) называется
наименьшее действительное число п (или ©©, если такого числа п не существует),
для которого существует константа С> 0, такая что для всех s> 0 имеется
покрытие X его подмножествами с диаметрами < Csy в котором каждое
подмножество X диаметра <s пересекается с < п + 1 элементами покрытия.
Размерность Ассуада-Нагаты будет конечной тогда и только тогда, когда
d - метрика удвоения.
Топологическая размерность метрического пространства не превышает его
размерности Ассуада-Нагаты.
•	Размерность удвоения
Размерностью удвоения метрического пространства (X,d) называется наи-
меньшее целое число N (или ©©, если такого числа N не существует), такое что
каждый метрический шар (или, скажем, множество конечного диаметра) может
быть покрыт семейством не более 2N метрических шаров (или соответственно
множеств) с половинным диаметром. Если (X,d) имеет конечную размерность
удвоения, то d называется метрикой удвоения.
•	Размерность Вольберга-Конягина
Размерностью Вольберга-Конягина метрического пространства (X,d) назы-
вается наименьшая константа С > 1 (или ©©, если такого числа С не существует), для
которой X обладает мерой удвоения, т.е. борелевской мерой ц, такой что
|1(Я(х,2г))<ф(Я(х,г»
для всех х € X и г > 0. Метрическое пространство (X,d) обладает мерой удвоения
тогда и только тогда, когда d является метрикой удвоения, и любая полная метрика
удвоения обладает мерой удвоения.
Константой Каргера-Рула метрического пространства (X,d) называется наи-
меньшая константа с > 1 (или «>, если такого числа с не существует), для которой
|В(х,2г)| $ с|Я(х,г)|
для всех х е X и г > 0. Если она конечна (скажем, равна t), то максимальное
значение размерности удвоения метрического пространства (X,d) составит 4t.
•	Асимптотическая размерность
Понятие асимптотической размерности метрического пространства (X,d) было
введено Громовым. Это - наименьшее число л, такое что для любого $> 0
существуют константа D = D(s) и покрытие X его подмножествами с диаметрами,
не превосходящими D, в котором каждое подмножество X диаметра < D пе-
ресекается с <п + 1 элементами покрытия.
•	Размерность Годсил-Маккея
Метрическое пространство (X,d) имеет размерность Годснл-Маккея п > 0, если
существуют элемент х0 е X и две положительные константы с и С, такие что
30
Часть /. Математика расстояний
неравенство скп £ 1{х е X: d(x, х^) < £}1 < Скп имеет место для каждого целого числа
к 0. Данное понятие было введено в [GoMc80] для обозначения метрики пути
счетного локально конечного графа. Было доказано, что если группа Z” действует
на вершинах графа точно и с конечным числом орбит, то данная размерность
равна п.
•	Длина метрического пространства
Длиной Фремлина метрического пространства (X, d) называется одномерная
внешняя мера Хаусдорфа на X.
Длиной Хейкмана lng(Y) подмножестваМсХ метрического пространства (Xtd)
называется sup{/ng(Af'): М' cz Af,|Af'|<©o}. Здесь /л#(0) = 0 и, для конечного
п
подмножества М'а. X,lng(M') = тш^Г^х^рхД где минимум берется по всем
i=i
последовательностям х0,..., хя, таким что {х,: i = 0, 1,..., п} = М'.
«Длиной Шехтмана конечного метрического пространства (X,d) называется
Jn
по всем таким последовательностям ..., ап положительных чисел, что
1=0
существует последовательность Хо,...» Хп разбиений X со следующими свойст-
вами:
1.	Х0={Х}иХя={{х}:хеХ};
2.	X, подразбивает Х,_ । для i = 1,..., л;
3.	Для i = 1,..., л и В, Сс А е Х,_| с В, Се X, существует такое однозначное
отображение/из В на С, что d(x,f(x)) < а, для всех хе В.
•	Тип метрического пространства
Тип но Енфло метрического пространства (Xtd) равен р, если существует такая
константа 1 < С < «>, что для каждого л g N и каждой функции/: {-1,1}" -» X имеет
место неравенство
X </р(/(е), /(-£))
>=1 €€(-1,1)"
Банахово пространство (V, II • II) типа р по Енфло имеет тип р по Радемахеру,
т.е. для всех хь...ля е Vвыполняется неравенство
€е(-1,1)я|у=1 Ц /=1
Для данного метрического пространства (X,d) симметричной цепью Маркова на
X является цепь Маркова {Zz}~0 на пространстве состояний {х|,...,хш} с: X
с таким симметричным переносом т х т матрицы ((а,у)), что P(Z/+! =ху: Z/ = xz) = а„
и P(Zq = х,) = — для всех целых 1 < z, j < т и1>0. Метрическое пространство (X,d)
Гпава /. Общие определения
31
имеет тнн р но Маркову (Болл, 1992), если suprAfp(X, Т) < «>, где Мр(Х, Т) - такая
наименьшая константа С> 0, что для каждой симметричной цепи Маркова {Zj~0
на X выполняется, в терминах ожидаемой величины (среднего значения)
Е[Х] = ^хр(х) дискретной случайной величины X, неравенство
х
Edp(ZT>Zo) < TCpEdp(Z^ZQ).
Метрическое пространство типа р по Маркову имеет тип р по Енфло.
•	Сила метрического пространства
Пусть (X,d) - произвольное метрическое пространство с s различными не-
нулевыми значениями dxy. Его сила есть наибольшее число Z, такое что для любых
целых р, q>0 с р + q< t существует многочлен fpq(s) степени, не превосходящей
min{p, q}, такой что ((^/’))((4’)) = ((-6ч W)))-
•	Метрический функционал
Для случая конечного подмножества М сХ в метрическом пространстве (X,d)
примеры метрического функционала на М приведены ниже.
р-энергия множества М есть число	; обычно р = 1,2.
х.уеА/,х*у (Х»У)
Среднее расстояние множества М есть число

Индекс Вннера множества М (применяемый в химии) есть число — ) d(x, у).
2 х.уеМ
Центр массы конечного множества М есть точка х е М, минимизирующая
функционал d2(x,y).
уеМ
•	Число встречи
Числом встречи (или числом Гросса, магическим числом) метрического
пространства (X,d) называется положительное действительное число i(X,d) (если
такое существует), такое что для каждого целого п и любых (не обязательно
различных) %|,...,хл е Xсуществует х е X, для которого
Если для метрического пространства (X,d) число встречи r(X,d) существует, то
говорят, что (X,d) имеет свойство среднего расстояния и его магическая константа
определяется как ———- —, где diam(X, d) = max d(x,y) - диаметр (X,d).
diam(X,rf)	x.yex
Каждое компактное связное метрическое пространство обладает свойством
среднего расстояния. Единичный шар {х е V: Ibdl < 1} банахова пространства
(V, II • II) имеет свойство среднего расстояния с числом встречи 1.
32
Часть I. Математика расстояний
•	Порядок конгруэнтности
Метрическое пространство (X,d) обладает порядком конгруэнтности и, если
каждое конечное метрическое пространство, не являющееся изометрически
вложимым в (X,d), имеет подпространство, содержащее не более п точек, которое
не может быть изометрически вложено в (X,d).
•	Радиус метрического пространства
Пусть (X,d) - ограниченное метрическое пространство и М <z X. Метрическим
радиусом (или радиусом) множества М называется инфимум радиусов метрических
шаров, содержащих А/, т.е. inf sup J(x,y). Некоторые авторы называют радиусом
х*м уеМ
половину диаметра.
Радиусом покрытия множества М а X называется maxmin J(x,y), т.е. наи-
xgX уеМ
меньшее число R, такое что открытые метрические шары радиуса R с центрами в
элементах М покрывают X. Его называют еще ориентированным хаусдорфовым
расстоянием от X к М. Множество М называется г-покрытием, если его радиус
покрытия не превышает £. Для данного положительного числа т мн-
ннмакснмальная расстоянная конфигурация размера т есть m-подмножество X с
наименьшим радиусом покрытия.
Радиусом уплотнения множества М а X называется такое наибольшее г, что
открытые метрические шары радиуса г с центрами в элементах М являются
попарно непересекающимися, т.е. min min d(x, у)> 2г. Множество М называет-
хеМ уеМ\{х}
ся s-уплотнением, если его радиус уплотнения не менее £. Для данного положи-
тельного числа т максимальная расстоянная конфигурация размера т есть
m-подмножество множества X с наибольшим радиусом уплотнения.
Размер наименьшего t-покрытия не превосходит размера наибольшего
Е	в	>>	Г 1
— -уплотнения. — -уплотнение М является нерасширяемым, если М и {х} не являет-
Е
ся — -уплотнением для каждого х е XW, т.е. М является также 8-сетью.
• Эксцентриситет
Пусть (X,d) - ограниченное метрическое пространство. Эксцентриситетом точки
хе X называется число е(х) = maxrf(x,y). Числа шахе(х) и mine(x) называются
уеХ	хеХ	хеХ
соответственно диаметром и радиусом (X, J).
Точки хе X с максимальным е(х) называются периферийными точками.
Множества {х е X: e(r) < e(z) для любого z е X} и {хеХ:^ d(x,y) < d(z,y)
уеХ	уеХ
для любого z е X] называются соответственно метрическим центром (или
центром эксцентриситета, центром) и метрической медианой (или центром
расстояния) пространства (X,d)-
^-подмножество МсХ называется А-меднаной, если она минимизирует сумму
У, J(x, М), где d(x,M) - расстояние между точкой и множеством.
хеХ
Глава 1. Общие определения
33
•	Метрический диаметр
Метрический диаметр (или диаметр, ширина) diam(Af) подмножества М сХ
метрического пространства (X,d) определяется как
sup d(x,y).
х,уеМ
Граф диаметра множества М имеет вершинами все точки х е М с d(x,y) =
= diam(Af) для некоторого у е Л/, а в качестве ребер - пары его вершин на
расстоянии diam(M) в (X, J).
Метрическое пространство (X,d) называется антиподальным метрическим
пространством (или диаметральным метрическим пространством), если для
любого х g X существует диаметрально противоположная точка - его антипод,
т.е. единственное х' е X, такое что интервал !(х,х') совпадает с X.
•	Хроматические числа метрического пространства
Для данного метрического пространства (X,d) и некоторого множества D
положительных действительных чисел D-хроматическим числом пространства
(X,d) называется стандартное хроматическое число графа!)-расстояния для (X,d),
т.е. графа с множеством вершин X и множеством ребер {ху: d(x,y) е D}. Обычно
(X,d) является ^-пространством hD = (1} (хроматическое число Бенда-Перлеса)
или D = [1—€, 1+е] (хроматическое число графа ^-единичного расстояния).
Для метрического пространства (X,d) полихроматическим числом называется
минимальное число цветов, необходимых для окрашивания всех точек х е X таким
образом, чтобы для каждого класса цвета Ct существовало такое расстояние dt,
чтобы никакие две точки из Ct не находились на расстоянии dr
Для любого целого числа t > 0 хроматическое число /-расстояния метрического
пространства (X,d) есть минимальное число цветов, необходимых для окрашивания
всех точек хе X так, чтобы любые две точки на расстоянии < t имели разные
цвета.
Для любого целого числа t> 0 Г-м числом Бабан пространства (X,d) называется
минимальное число цветов, необходимых для окрашивания всех точек х е X так,
чтобы для любого множества D положительных расстояний с IDI < t цвета любых
двух точек, расстояние между которыми принадлежит D, не совпадали.
•	Отношение Штейнера
Пусть (X,d) - произвольное метрическое пространство и V а X - его конечное
подмножество. Рассмотрим полный взвешенный граф G = (V,E) с множеством
вершин V и весами ребер d(x,y) для всех х,у е V.
Остовным деревом Т графа G называется подмножество из IVI- 1 ребра,
образующее дерево на V, с весом d(T), равным сумме весов его ребер. Пусть MSTV-
минималъное остовное дерево графа G, т.е. остовное дерево минимального веса
d(MSTv).
Минимальное дерево Штейнера на V есть такое дерево SMTV, что его мно-
жество вершин является подмножеством X, содержащим V, и d(SMTv) =
= inf d(MSTM).
McXtVcM
Отношение Штейнера St(X,d) метрического пространства (X,d) определя-
ется как
inf
VaXd(MSTv)
2. Деза Е. и Деза М.-М.
34
Часть /. Математика расстояний
Для любого метрического пространства (X,d) имеем — <St(X,d)<\. Для
/2-метрнкн (т.е. евклидовой метрики) на R2 оно равно
7з
—, в то время как для
Z]-метрики на R2 оно равно
2
3*
•	Метрический базис
Пусть (X,d) - произвольное метрическое пространство. Подмножество М а. X
называется метрическим базисом X, если выполняется следующее условие: d(x,s) =
= d(y,s) для всех 5 6 М влечет х = у. Для х е X числа d(x,s), seM называются
метрическими координатами х.
•	Срединное множество
Пусть (X,d) - произвольное метрическое пространство и у, z е X - две его
различные точки. Срединным множеством (или биссектрисой) X называется
множество {хе X: d(x,y) = d(x,z)} срединных точек х.
Говорят, что метрическое пространство имеет поточечное свойство бис-
сектрисы, если для каждой пары его точек срединное множество имеет ровно п
точек. 1-Точечное свойство биссектрисы означает единственность отображения
срединной точки (см. Срединная выпуклость).
•	Функция расстояния
Функция расстояния (или лучевая функция) есть непрерывная функция на
метрическом пространстве (X,d) (обычно на евклидовом пространстве Ел)
f: X -> R>0, которое является однородным, r.e.fitx) = tf(x) для всех t > 0 и всех
хе X.
Функция расстояния f называется симметричной, если fix) = Д-х),
положительной, если fix) > 0 для всех х Ф 0, и выпуклой, если fix + у) <fix) +fiy) с
Д0) = 0.
Если X = Ел, то множество {х е R” .fix) < 1} называется звездным телом', оно
соответствует единственной функции расстояния. Звездное тело будет ограничен-
ным, если f положительна, оно будет симметричным относительно начала
координат, если/симметрична, и выпуклым, если /выпукла.
•	Выпуклая функция расстояния
Пусть В cz R” - компактная выпуклая область, содержащая в своей внутренности
начало координат. Выпуклой функцией расстояния (или измерителем, функцией
расстояния Минковского) d^x,y) называется квазиметрика на*11?л, определенная
длях*у как
inf{a>0:y-xe aS}.
Ily — х||
Эквивалентным образом она может быть определена как т----------где
llZ-*ll2
z - единственная точка границы Э(х + В), принадлежащая лучу, выходящему из х и
проходящему через у. При этом В = {х е : dB(fd, х) < 1} с равенством только для
хе дВ. Выпуклая функция расстояния называется полиэдральной, если
В - многогранник, тетраэдральной, если это тетраэдр, и т.д.
Если множество В центральносимметрично относительно начала координат, то
dB является метрикой Минковского (см. гл. 6), единичный шар которой есть В.
Глава 1. Общие определения
35
•	Элемент наилучшего приближения
Пусть (X,d) - произвольное метрическое пространство и М с: X - его под-
множество. Тогда элемент Uq е М называется элементом нанлучшего приближения
к данному элементу хе X, если d(x,u0) = inf </(х,м), т.е. если величина d(x, м0)
иеМ
является расстоянием между точкой и множеством d(x, М).
Метрическая проекция (или оператор наилучшего приближения, отображение
ближайшей точки) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие
каждому элементу хе Xмножество элементов наилучшего приближения из мно-
жества М (см. Расстоянное отображение).
Множеством Чебышева (или селектируемым множеством) в произвольном
метрическом пространстве (X,d) называется подмножество М с: X, содержащее
единственный элемент наилучшего приближения для каждого х е X. Под-
множество М а. X называется множеством полу-Чебышева, если имеется не более
одного такого элемента, и прокснмннальным множеством, если имеется не менее
одного такого элемента.
Радиусом Чебышева для множества М называется inf suprf(x,y), а центром
хбХуеМ
Чебышева для множества М - элемент х0 е X, реализующий данный инфимум.
•	Расстоянное отображение
Для метрического пространства (X,d) и подмножества М с: Храсстоянным
отображением называется функция fM\X-^> R>0, где fM(x) = inf d(x,u) есть
ugM
расстояние между точкой н множеством d(x,M) (см. Метрическая проекция).
Если граница В(М) множества М определена, то функция расстояния со знаком
gM определяется как gM(x) = - inf d(x,u) для х е М и как gM(x)= inf d(x,u)
ugB(M)	ugB(M)
в остальных случаях. Если М является (замкнутым и ориентируемым) много-
образием в Rn, то gM будет решением уравнения эйконала lVgl = 1 для его
градиента V.
Если X = R" и для каждого хе X существует единственный элемент и(х)
с d(x,M) = d(x,u(x)) (т.е. М есть множество Чебышева), то 1к-и(х)Н называется
векторной функцией расстояния.
Расстоянные отображения применяются при программировании движения
робототехнических устройств (А/ выступает как множество точек препятствий) и,
главным образом, при обработке изображений (в этом случае М является
множеством всех или только пограничных пикселей образа). При X = R п
граф {(х, fM(x)): х е X} для d(xtM) называется поверхностью Вороного для
множества М.
•	Дискретная динамическая система
Дискретная динамическая система есть, пара, состоящая из непустого ме-
трического пространства (X,rf), называемого фазовым пространством, и
непрерывного отображения/: X -> X, называемого эволюционным законом. Для
любого хе X его орбита есть последовательность {fl(x)]n, где р'(х) = fif^ix))
с/°(х) = х. Орбита хе X называется периодической, ecjmfn(x) = х для некоторого
п>0.
Обычно дискретные динамические системы исследуются (например, в теории
управления) в контексте стабильности систем; теория хаоса, со своей стороны,
занимается максимально нестабильными системами.
2*
36
Часть L Математика расстояний
Аттрактор - такое замкнутое подмножество А множества X, что суще-
ствует открытая окрестность U подмножества А, обладающая свойством
Iim d(fn(b),A)=O для каждого be U, т.е. А притягивает все близлежащие
орбиты. В этом случае d(x,A) = infrf(x,y) есть расстояние между точкой
уеА
и множеством.
Динамическая система называется хаотической (топологически или по Девани),
если она является регулярной (т.е. X имеет плотное подмножество элементов с
периодическими орбитами) и транзитивной (т.е. для любых двух непустых
открытых подмножеств А, В множества X существует такое число п, что
/Л(А)пЯ*0).
•	Метрическое расслоение
Пусть (X,d) - полное метрическое пространство. Подмножества М\ и М2
множества X называются эквидистантными (равноотстоящими), если для
каждого хе М\ существует у е М2 с d(x,y), равным хаусдорфовой метрике между
множествами к М2. Метрическое расслоение пространства (X,d) есть разбиение
2F множества X на изометрические взаимно эквидистантные замкнутые множества.
Метрическое фактор-пространство Х/9^ наследует натуральную метрику, для
которой расстоянное отображение является подметрней.
•	Структура метрического конуса
Пусть (X, d, xq) - пунктированное метрическое пространство, т.е. пространст-
во (X, d) с фиксированной точкой jro е X. Структурой метрического конуса на нем
является (точечно) непрерывное семейство ft(t е R>0) растяжений множества X,
оставляющих инвариантной точку Xq, так что d (ft(x),ft(y)) = td(x,y) для всех х, у е X,
Банахово пространство имеет такую структуру для растяжений //%) =
= tx(t е R > о). Еще одним примером является евклидов конус над метрическим
пространством (см. Метрика конуса, гл. 9).
•	Метрический конус
Метрическим конусом называется множество всех полуметрик на множестве
= {1,...,л}.
•	Матрица расстояний
Пусть (X = {Х|,...лп}, d) - конечное метрическое пространство. Его матрица
расстояний - это симметричная п х п матрица ((djj)), где rfy = d(xit Xj) для любых
1 <i,j<n.
•	Матрица Кэли-Менгера
Пусть (X = {Х|,...лл}, d) - конечное метрическое пространство. Матрицей Кэли-
Менгера для него является симметричная (п+1) х (п+1) матрица
fO е А
CM(X,d) = \ Т I,
где D = ((d^)) есть матрица расстояний пространства (X,d), а е - л-вектор, все
компоненты которого равны 1. Определитель матрицы CM(X,d) называется
определителем Кэли-Менгера.
Глава I. Общие определения
37
•	Матрица Грамма
Пусть	элементы евклидова пространства. Матрицей Грамма является
симметричная к х к матрица
G(P|...=
попарных скалярных произведений элементов Р|,„vk,
кхк матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда,
когда это матрица Грамма, к х к матрица является положительно определенной
тогда и только тогда, когда она - матрица Грамма с линейно независимыми
определяющими векторами.
G(vb...,vk) =
—((^eG’o
dl(v0,Vj)~	т.е. скалярное произведение
(,) есть подобность произведения Громова для квадрата евклидова расстояния
кхк матрица ((dltv^Vj))) есть расстояние отрицательного типа; все такие кхк
матрицы образуют (неполиэдральный) замкнутый выпуклый конус всех таких
расстояний на данном ^-множестве.
Определитель матрицы Грамма называется определителем Грамма; его
величина равна квадрату к-мерного объема параллелотопа, построенного на
V\.....vk.
•	Изометрия
Пусть (X, dx) и (К dY) - метрические пространства. Функция/: X -> Y называется
изометрическим вложением X в Y, если она инъективна и для всех х, у е X имеет
место равенство dytfix), fly)) = J/(r,y).
Изометрией называется биективное изометрическое вложение. Два метри-
ческих пространства называются изометрическими (или изометрически изо-
морфными), если между ними существует изометрия.
Свойства метрических пространств, сохраняющиеся инвариантными относи-
тельно изометрий (полнота, ограниченность и т.п.), называются метрическими
свойствами (или метрическими инвариантами).
Изометрией нуги (или линейной изометрией) является преобразование X в Y (не
обязательно биективное), сохраняющее длину кривых.
•	Жесткое перемещение метрического пространства
Жестким перемещением (или просто перемещением) метрического про-
странства (X,d) называется изометрия (X,d) на себя.
Для перемещения /функция перенесения df(x) равна d(x, fix)). Перемещение /
называется полупростым, если inf df(x) = d(xQ,f(xQ)) для некоторого х0 е X,
.сеХ J
и параболическим в остальных случаях. Полупростое перемещение называется
эллиптическим, если inf df(x)=0, и осевым (или гиперболическим) в остальных
случаях. Перемещение называется переносом Клиффорда, если функция пере-
несения dflx) является константой для всех хе X.
•	Симметричное метрическое пространство
Метрическое пространство (X,d) называется симметричным, если для
произвольной точки р е X существует симметрия относительно данной точки,
38
Часть I. Математика расстояний
т.е. такое перемещениеfp этого метрического пространства, что fp(fp(x)) = х для
всех х е X, и р является изолированной фиксированной точкой fp.
•	Однородное метрическое пространство
Метрическое пространство (X,d) называется однородным (или сильно-
транзитивным), если для каждых двух конечных изометрических подмножеств
Y = {уь ..., ут] и Z = {?1, ...» zm] множества X существует перемещение X, ото-
бражающее Y в Z. Метрическое пространство называется точечно-однородным,
если для любых двух его точек существует перемещение, отображающее одну из
этих точек в другую. В общем случае однородное пространство есть множество в
сочетании с данной транзитивной группой симметрий.
Метрическое пространство (X,d) называется метрически однородным метриче-
ским пространством (Грюнбаум-Келли), если {rf(x, z): z g X} = {d(y, z): z g X} для
любых x, у g X.
•	Растяжение
Пусть (X,d)- произвольное метрическое пространство иг- действитель-
ное положительное число. Функция /:Х—> X называется растяжением, если
d(f(x),f(y)) = rd(x,y) для любых х, у g X.
•	Метрическое преобразование
Метрическое преобразование есть расстояние, получаемое как функция данной
метрики (см. гл. 4).
•	Гомеоморфные .метрические пространства
Два метрических пространства (X, dx) и (У, dY) называются гомеоморфными (или
топологически изоморфными), если существует гомеоморфизм из X в У, т.е. такая
биективная функция/: X-> Y, что/и/-1 непрерывны (прообраз каждого открыто-
го множества в Y является открытым в X).
Два метрических пространства (X, dx) и (У, dY) называются равномерно
изоморфными, если существует такая биективная функция/:Х—> Y, что/и/-1
являются равномерно непрерывными функциями. (Функция g будет равномерно
непрерывной, если для любого е > О существует такое 3> 0, что для любых
х, у g X из неравенства dx(&y) < 3 следует неравенство dY (g(x),f(y)) < е; непрерыв-
ная функция является равномерно непрерывной, если пространство X компактно.)
•	Конформное метрическое отображение
Пусть (X, dx) и (Y, dY) - метрические пространства. Отображение/: Х-tY назы-
вается конформным метрическим отображением, если для любых х g X существует
г dY(f(x),f(y))
предел lim —£—---—, который является конечным и положительным.
у-*х d(x,y)
•	Квазиконформное метрическое отображение
Пусть (X, dx) и (Y, dY)- метрические пространства. Гомеоморфизм /:Х-> Y
называется квазиконформным (или С-квазиконформным) метрическим ото-
бражением, если существует константа С, такая что соотношение
lim . „ max{Jr(/(A/(y)): dx(x,y) < г}
lim sup--г---------------------г s С
r-»0 H min{dY(f(x),f(y)): dx(x,y) > r}
Глава 1. Общие определения
39
выполняется для каждого хе X. Наименьшая такая константа С называется
конформным растяжением.
Квазиконформное отображение/называется квазнснмметрнчным, если, кроме
того, существует константа С'у такая что
max{rfy(/(x),/(y)): dx(x,y) < г}
min{</r(/(x),/(y)):dx(x,y)>r} “
выполняется для всех х е X и всех положительных г.
Конформная размерность метрического пространства (X,d) (Панею, 1989)
является инфимумом размерности Хаусдорфа по всем квазиконформным
отображениям пространства (X,d) в некоторое метрическое пространство.
•	Лнпшнцево отображение
Пусть с - положительная константа. Для метрических пространств (X, dx) и
(Y, dY) функция f :X-*Y называется лнпшицевым отображением (илис-липшице-
вым, если необходимо упомянуть постоянную с), если неравенство
dY(f(.x), f(y))<cdx(x,y)
выполняется для всех х, у е X.
с-липшицево отображение называется укорачивающим, если с = 1, и сжи-
мающим, если с < 1.
•	Билнпшнцево отображение
Пусть с > 1 - положительная константа. Тогда для метрических пространств
(X, dx) и (К функция/: X -> Y называется билнншнцевым отображением (или
с билипшицевым отображением, с-вложением), если существует такое положи-
тельное число г, что для любых х, у g X имеют место неравенства
rdx (X, y)<dY (/(х), /(у)) < crdx (х, у).
Каждое би-липшицево отображение является квазиконформным метрическим
отображением.
Наименьшая константа с, для которой / является с-билипшицевым отобра-
жением, называется искажением/.
Бургайн доказал, что каждое ^-точечное метрическое пространство с-вложимо в
некоторое евклидово пространство с искажением О(1п£). Искажение для кривых
Громова представляет собой максимальное отношение длины дуги к длине хорды.
Две метрики d\ и d2 на X называются билнпшнцево эквивалентными, если
существуют такие положительные константы с и С, что неравенство
crf|(x,y) < d2(x,y) < Cd\(x,y) выполняется для всех х, ye X, т.е. тождественное
отображение есть би-липшицево отображение (X, в (X, d2).
•	Равномерное метрическое отображение
Пусть (X, dx) и (Y, dY) - метрические пространства. Функция f : X —> Y называется
равномерным метрическим отображением, если существуют такие две
неубывающие функции #| и g2 из R>0 в себя с lim&(r) = «> для i = 1, 2, что
Г->оо
неравенства
g\(dx(x,y))£dY(f(x\ f(y))<g2(dx(x,y))
имеют место для всех х, у g X.
40
Часть /. Математика расстояний
Билнпшнцево отображение есть равномерное метрическое отображение с
линейными функциями и#2-
•	Метрическое число Рамсея
Для данного класса М, метрических пространств (обычно ^пространств),
данного целого числа п > 1 и данного действительного числа с > 1 метрическое
число Рамсея (или с-метрическое число Рамсея) Rm(c, п) является наибольшим
целым числом т, таким что в каждом л-точечном метрическом пространстве
имеется подпространство размера т, которое с-вложимо в одно из метрических
пространств из Ж (см. [BLMN05]).
•	с-Изоморфизм метрических пространств
Пусть (X, dx) и (У, dy) - метрические пространства. Липшицева норма II • Ihup на
множестве всех инъективных отображений/: X —> Yопределяется как
sup ЩАМ
х.уеХ,х*у ^х(*»У)
Два метрических пространства X и Y называются с-изоморфными, если
существует инъективное отображение/: X —> У, такое что Н/НирИ/"1 Иир^ с-
•	Квазннзометрия
Пусть (X, dx) и (У, dy) - метрические пространства. Функция/: X -> У называется
квазннзометрней (или (С,с)-квазннзометрней), если существуют действительные
числа С > 0 и с > 0, такие что
C~'dx{x,y) - с < </г(/(х), /(у)) < Cdx(x,y) + с.
и У = u Bd (/(х),с), т.е. для каждой точки у е У существует такая точка хе X, что
2бХ Y
dY(y,f(x))<c.
Квазиизометрия с С = 1 называется грубой изометрией (или приближенной
изометрией). См. Ранг квазневклидового метрического пространства.
•	Грубое вложение
Пусть (X, dx) и (У, dy) - метрические пространства. Функция/ : X -> У называется
грубым вложением, если существуют неубывающие функции рь р2: [0, °°) —» [0, «>),
такие что pi(t/x(x,y)) < (d/f(x),fly))) < р2 №(х,у)) для всех х, у е X, и lim pHj(t) = +~.
r->oo
Метрики d\ и d2 на X называются грубо эквивалентными метриками, если
существуют такие неубывающие функции / g: [0, «>) -> [0, «>), что d\ < ftd2) и
d2<g(*/i).
•	Сжимающее отображение
Пусть (X, dx) и (У, dy) - метрические пространства. Функция/: X -> У называется
сжимающим отображением (или сжатием, строго укорачивающим отображе-
нием), если dY(f{x),fly)) < dfay) для всех различных х, у е X.
Каждое сжатие из полного метрического пространства в себя имеет един-
ственную неподвижную точку.
•	Нестягнвающее отображение
Для метрических пространств (X, dx) и (У, dY) функция/:Х-> У называется
нестягивающим отображением, если dy (fix), Ду)) dx(x,y) для всех х, у е X.
Каждая нестягивающая биекция вполне ограниченного метрического простран-
ства на себя есть нзометрня.
Глава 1. Общие определения
41
•	Укорачивающее отображение
Для метрических пространств (X, dx) и (У, dY) функция/:Х-> Y называется
укорачивающим отображением (или нерасширяющим, полусжимающим отобра-
жением), если dY(f(x),fly)) < d%(x,y) для всех х, у е X.
Любое сюръективное укорачивающее отображение/: X —> Y является изомет-
рией тогда и только тогда, когда (X, dx) является компактным метрическим
пространством.
Подметрня есть укорачивающее отображение, такое что образ любого мет-
рического шара является метрическим шаром того же радиуса.
Два подмножества А и В метрического пространства (X,d) называются (по
Гоуэрсу) подобными, если существуют укорачивающие отображения/: А —>Х,
g: В -> X и такое малое Е > О, что каждая точка А находится в пределах Е от
некоторой точки множества В, каждая точка В находится в пределах Е от
некоторой точки множества А, и \d(x, g(f(x)))- d(y, fig(y)))l E для всех хе A
иуе В.
•	Категория метрических пространств
Категория Т состоит из класса ОЬТ, элементы которого называются
объектами категории, и класса Мог*И, элементы которого называются мор-
физмами категории. Эти классы должны удовлетворять перечисленным ниже
условиям.
1.	Каждой упорядоченной паре объектов А и В соответствует множество Н(А,В)
морфизмов.
2.	Каждый морфизм принадлежит только одному множеству Н(А, В).
3.	Композиция/- g двух морфизмов/: А —> В, g: С -> D определена, если В = С, в
этом случае она будет принадлежать Я(А, D).
4.	Композиция морфизмов ассоциативна.
5.	Каждое множество Н(А, А) включает в качестве единичного элемента такой
морфизм idyi, что/ • idy| =/ и idA • g = g для любых морфизмов /: X —> А и g : А —> У.
Категория метрических пространств, обозначаемая Met (см. [Isbe64])- это
категория, в которой метрические пространства выступают как объекты, а
укорачивающие отображения - как морфизмы. В данной категории для каждого
объекта существует единственная инъективная оболочка; она может быть
отождествлена с его натянутой линейной оболочкой. Мономорфизмами в Met
являются инъективные укорачивающие отображения, а изоморфизмами-
изометрии.
•	Инъективное метрическое пространство
Метрическое пространство (X, d) называется инъективным, если для каждого
изометрического вложения/: X -> X' пространства (X, d) в другое метрическое
пространство (X', d') существует укорачивающее отображение/' из X' в X с
/'•/ = id*, т.е. X есть ретракт X'. Эквивалентно, X является абсолютным
ретрактом, т.е. ретрактом каждого метрического пространства, в которое оно
вложимо изометрически. Метрическое пространство (X, d) является инъективным
тогда и только тогда, когда оно гинервыпукло.
•	Инъективная оболочка
Понятие инъективной оболочки является обобщением понятия пополнения
Коши. Пусть (X, d) - метрическое пространство. Оно может быть изометрически
вложимо в некоторое инъективное метрическое пространство (X,d); если взять
42
Часть I, Математика расстояний
любое такое изометрическое вложение f: X -> X, для него существует един-
ственное наименьшее инъективное подпространство (X,rf) пространства (X,d),
содержащее /(X), которое называется инъективной оболочкой X. Оно изометри-
чески тождественно натянутой линейной оболочке пространства (X, J).
Метрическое пространство совпадает со своей инъективной оболочкой тогда и
только тогда, когда оно является инъективным метрическим пространством.
•	Натянутое расширение
Расширение (Х\ сГ) метрического пространства (X, d) называется натянутым
расширением, если для каждой полуметрики d" на X', удовлетворяющей условиям
d"(xi, х2) = ^(х1 > хг) Для всех xi, х2 е Хи <Г'(у|, у2) < d'(yi, у2) Для всех уь у2 е Х\ имеем
d"(yi, У2> = d'(yi, у2) ДЛЯ всех у2 е X'.
Натянутая линейная оболочка - универсальное натянутое расширение X,
т.е. она содержит, с точностью до канонических изометрий, каждое натянутое
расширение X, но сама собственного натянутого расширения не имеет.
•	Натянутая линейная оболочка
Возьмем метрическое пространство (X, d) конечного диаметра и рассмотрим в
нем множество R* = {/: X —» R}. Натянутая линейная оболочка T(X,d) пространства
(X, d) определяется как множество T(X,d) = {fe Rx:/(x) = sup(rf(x,y)-/(y)) для
уеХ
всех х е X}, снабженное метрикой, порождаемой на Т(Х,d) нормой ||/|| = sup|/(х)|.
хеХ
Множество X можно отождествить с множеством {hx е Т(Х, d): hx(y) = d(y,x)]
или, эквивалентно, с множеством 7°(Х, D) = {fe Т(Х, d): 0 е fiX)}. Инъективная
оболочка (Х,</) множества X может быть изометрически отождествлена с
натянутой линейной оболочкой T(X,d) как
X T(X,d), x^hxe T(X,d): hx(y) = J(/(y),x).
Например, если X = {xb x2}, то T(X,d) является интервалом длины d(xh х2).
Метрическое пространство совпадает со своей натянутой линейной оболочкой
тогда и только тогда, когда оно является инъективным метрическим про-
странством.
Натянутую линейную оболочку метрического пространства (X, d) конечного
диаметра можно рассматривать как многогранный комплекс. Размерность такого
комплекса называется размерностью Дресса (или комбинаторной размерностью)
пространства (X, d).
•	Действительное дерево
Метрическое пространство (X, d) называется (по Титсу, 1977) действительным
деревом (или R -деревом), если для любых х, у е X существует единственная дуга от
х к у и эта дуга - геодезический отрезок. Действительное дерево также называется
метрическим деревом (следует отличать от метрического дерева в анализе данных,
см. гл. 17).
Метрическое пространство (X, d) является действительным деревом тогда и
только тогда, когда оно является путь-связным и О-гнперболнческнм по Громову
(т.е. удовлетворяет неравенству четырех точек).
Действительные деревья есть в точности древоподобные метрические про-
странства, которые являются геодезическими. Древоподобные метрические про-
Глава 1. Общие определения
43
странства по определению являются метрическими подпространствами дейст-
вительных деревьев, а действительные деревья являются в точности инъ-
ективными метрическими пространствами среди древоподобных пространств.
Если (X d) - конечное метрическое пространство, то натянутая линейная
оболочка Т(Х, d) является действительным деревом и может рассматриваться как
реберно взвешенное теоретико-графовое дерево.
Метрическое пространство будет полным действительным деревом тогда и
только тогда, когда оно гнпервыпукло и любые две его точки соединяются
метрическим отрезком.
Плоскость R2 с нарнжской метрикой и метрикой лифта (см. гл. 19) являются
примерами R-дерева.
13. ОБЩИЕ РАССТОЯНИЯ
•	Дискретная метрика
Дискретная (или тривиальная) метрика d есть метрика на множестве X,
определяемая как d(x, у) = 1 для всех различных х, у е X (и d(x, х) = 0). Метрическое
пространство (X d) называется дискретным, метрическим пространством,
•	Аптнднскретная полуметрика
Антнднскретной нолуметрнкой d называется полуметрика на множестве X,
определяемая как d(x, у) = 0 для всех х, у е X.
•	Эквидистантная метрика
Для множества X и положительного действительного числа t эквидистантной
метрикой d называется метрика на X, определяемая как d(x9 y)-t для всех
различных х, у е X (и d(x, х) = 0).
•	(1,2)-В-метрнка
Для множества X (1, 2)-В-метрнка d является метрикой на X, такой что для
любого х е X количество точек у е X с d(x, у) = 1 не превышает В, а все другие
расстояния равны 2. (1, 2)-В-метрика является усеченной метрикой графа с мак-
симальной степенью вершин, равной В.
•	Индуцированная метрика
Индуцированной метрикой (или относительной метрикой) называется сужение
d' метрики d (на множестве X) на подмножество X'множества X.
Метрическое пространство (X', d') называется метрическим подпространством
метрического пространства (X,d), а метрическое пространство (X,d) называется
метрическим расширением (X', <Г).
•	Доминирующая метрика
Пусть d и d\ - метрики на множестве X. Говорится, что dx доминирует над d, если
dj(x, у) > d(x, у) для всех х, у е X.
•	Эквивалентные метрики
Две метрики dx и d2 на множестве X называются эквивалентным^ если они
определяют одну и ту же топологию на X, т.е. если для каждой точки хь е X
открытый метрический шар с центром в хо» заданный относительно содержит
открытый метрический шар с тем же центром, но заданный относительно d2,
и наоборот.
44
Часть I. Математика расстояний
Две метрики dx и d2 будут эквивалентны тогда и только тогда, когда для каждого
Е > 0 и каждого х е X существует 3 > 0, такое что из d\ (х,у) < 8 следует d2(x,y) < Е и
наоборот, из d2(x,y) < 8 следует rfj(x,y) < Е.
Все метрики на конечном множестве являются эквивалентными; они по-
рождают дискретную топологию.
•	Полная метрика
Пусть (X,rf) - метрическое пространство. Говорят, что последовательность {хп }л,
хп е X сходится к х* е X. если lim J(xn,x*) = 0, т.е. для любого Е > 0 существует
Л-><»
no е М, такое что d(xn. х*) < Е для любого п > п^.
Последовательность (хп]п. хп е X называется последовательностью Коши, если
существует такое ио е N, что d(xn. xm) < Е для любых т, п > п$.
Метрическое пространство (X,d) называется полным метрическим про-
странством, если каждая его последовательность Коши сходится. В этом случае
метрика d называется полной метрикой.
•	Пополнение Кошн
Для метрического пространства (X.d) его пополнением Кошн называется
метрическое пространство (X*, </*) на множестве X* всех классов эквивалентности
последовательностей Коши, где последовательность {хл}л называется эквива-
лентной {ул}л, если lim </(хл,ул) = 0. Метрика </* определяется как
«-><»
d*(x*,y*) = lim d(xn,y„)
для любых х*, у* е X*, где {хл}л (соответственно {ул }л) - любой элемент из класса
эквивалентности х* (соответственно у*).
Пополнение Коши (X*, (Г) является единственным с точностью до изометрии
полным метрическим пространством, в которое метрическое пространство (X,d)
вкладывается как плотное метрическое подпространство.
Пополнением Коши метрического пространства (Q, 1х-у1) рациональных чисел
является числовая прямая (R, Ix-yl). Банахово пространство является пополнением
Коши нормированного векторного пространства (V. II • II) с метрикой нормы
llx-yll. Гильбертово пространство соответствует случаю нормы скалярного
произведения ||х| = ^(х,х).
• Ограниченная метрика
Метрика (в общем случае - расстояние) d на множестве X называется
ограниченной, если существует константа С > 0, такая что d(x,y) < С для любых
х, у е X.
Так, например, если d - метрика на X. то метрика D на X. определяемая как
D(x,y) =	9 ограничена и С = 1.
1 + </(х,у)
Метрическое пространство (X,d) с ограниченной метрикой d называется
ограниченным метрическим пространством.
•	Вполне ограниченное метрическое пространство
Метрическое пространство (X,d) называется вполне ограниченным, если для
каждого Е > 0 существует конечная Е-сеть, т.е. конечное подмножество МсХ,
Глава /. Общие определения
45
такое что расстояние от точки до множества </(х, М) < е для любого х е X
(см. Вполне ограниченное пространство, гл. 2).
Всякое вполне ограниченное метрическое пространство является ограниченным
и сенарабельным.
Метрическое пространство является вполне ограниченным тогда и только тогда,
когда его пополнение Коши является компактным метрическим пространством.
•	Сепарабельное метрическое пространство
Метрическое пространство называется сенарабельным, если оно содержит
счетное плотное подмножество, т.е. некое счетное подмножество, с помощью
которого могут аппроксимироваться все его элементы.
Метрическое пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда
оно вторнчно-счетно, и' тогда и только тогда, когда оно является пространством
Л нн делефа.
•	Метрический компакт
Метрический комнакт (или компактное метрическое пространство)- мет-
рическое пространство, в котором всякая последовательность имеет подпосле-
довательность Коши и эти подпоследовательности являются сходящимися.
Метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда оно
вполне ограниченное и полное. Подмножество евклидова пространства Е" является
компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.
•	Собственное метрическое пространство
Метрическое пространство называется собственным (или конечно компакт-
ным), если любой замкнутый метрический шар в этом пространстве является
компактным. Всякое собственное метрическое пространство является полным.
•	с-Равномерно совершенное метрическое пространство
Каждый собственный метрический шар радиуса г в метрическом пространстве
имеет диаметр не более 2г. Метрическое пространство называется с-равномерно
совершенным, 0 < с < 1, если этот диаметр составляет не менее 2сг.
•	PH метрическое пространство
Метрическое пространство называется PH метрическим пространством (или
пространством Атсуджи), если любая непрерывная функция из него в произ-
вольное метрическое пространство является равномерно непрерывной.
Каждый метрический комнакт является PH метрическим пространством. Всякое
PH метрическое пространство является полным.
•	Польское пространство
Польским пространством называется нолное сепарабельное метрическое
пространство. Метрическое пространство называется пространством. Суслина, если
оно является непрерывным образом польского пространства.
Метрическая тройка (или тт-пространство) является польским пространством
(X, d) с борелевой вероятностной мерой ц, т.е. неотрицательной действительной
функцией ц на борелевой а-алгебре 9 множества X со следующими свойствами:
Ц(0) = 0, р(Х) = 1 и = У >х(Ап) для любой конечной или счетной совокуп-
“Я
ности попарно непересекающихся множеств А„ е
Пусть (X, т) - топологическое пространство, с-алгеброй на X называется
совокупность 9 подмножеств множества X, обладающая следующими свойствами:
46
Часть /. Математика расстояний
J&e 99 X\U е 9^ для U е 9^ и и пАп е 9^ для конечной или счетной совокупности
{Ал}л, Ап е 9\ о-алгебра на X, которая соотносится с топологией на X, т.е. вклю-
чает все открытые и замкнутые подмножества множества X, называется борелевой
в-алгеброй множества X. Любое метрическое пространство есть борелево
пространство, т.е. множество, снабженное борелевой о-алгеброй.
•	Метрика нормы
Для данного нормированного векторного пространства (V, 11*11) метрика нормы
на V определяется как
II х—у II.
Метрическое пространство (V, II х-у II) называется банаховым пространством,
если оно полное. Примерами метрик нормы являются 1р- и Ьр-метрикн, в частности
евклидова метрика.
•	Метрика пути
Возьмем связный граф G - (У,Е). Его метрикой пути dpath называется метрика на
V, определяемая как длина (т.е. количество ребер) кратчайшего пути,
соединяющего две данные вершины х и у графа G (см. гл. 15).
•	Метрика редактирования
Возьмем конечное множество X и конечное множество (унарных) операций
редактирования О на X. Метрикой редактирования на X будет метрика пути графа
с множеством вершин X и ребром ху, если у может быть получено из х
посредством одной из операций в 0.
•	Метрика галереи
Камерная система - множество X (элементы которого называются камерами),
снабженное п отношениями эквивалентности 1 £ i < п. Галерея - такая последо-
вательность камер Х|,..., хт, что xf~y x/+i для каждого i и некоторого j, зависящего
от I. Метрика галереи есть расширенная метрика на X, определяемая как длина
кратчайшей галереи, соединяющей х и у е X (и как если соединяющей х и у
галереи не существует). Метрика галереи является (расширенной) метрикой пути
графа с множеством вершин X и ребром ху, если х у для некоторого 1 < i < п.
•	Рнманова метрика
Возьмем связное n-мерное гладкое многообразие Мп. Его римановой метрикой
называется совокупность положительно определенных симметричных билинейных
форм ((gij)) на касательных пространствах многообразия Мп, которые гладко
изменяются от точки к точке. Длина кривой у на Мп выражается как
J	* а внутренняя метрика на Мп, называемая иногда рнмановым
расстоянием, определяется как инфимум длин кривых, соединяющих любые две
точки х, у € Мп (см. гл. 7).
•	Проективная метрика
Проективной метрикой d называется непрерывная метрика на IR”, удовлетво-
ряющая условию
d(x, z) = d(x, у) + d(y, z)
для любых коллинеарных точек х, yf z, расположенных в этой последовательности
на общей прямой. Четвертая проблема Гильберта (1900 г.) состоит в клас-
Глава 1. Общие определения
47
сификации таких метрик; это сделано только для размерности п = 2 ([Amba76]);
см. гл. 6.
Каждая метрика нормы на № является проективной. Каждая проективная
метрика на R2 является гинерметрнкой.
•	Метрика произведения
Возьмем п метрических пространств (XbJ2), (Х2, ^2)» •> РСр 4i)- Метрикой
произведения называется метрика на декартовом произведении Х\ хХ2 х ... х Хп =
= {х = (хь х2,..., хпУ- xi G ^1» •> хп G Хп)* определяемая как функция от </ь...,</л
(см. гл. 4).
•	Хэммннгова метрика
Хэмминговой метрикой dH называется метрика на задаваемая как
1{/: 1 </ < п,
На бинарных векторах х, у е (0,1}" хэммингова метрика и 1\-метрика совпадают.
•	Метрика Ли
Пусть т, п е N, т > 2. Метрикой Лн dLee называется метрика на Тпт =
= {0,1,...,т -1}", определяемая как
1<1<Л
Метрическое пространство (Z" ,d^) является дискретным аналогом эллип-
тического пространства.
•	Метрика симметрической разности
Пусть задано пространство с мерой (Q,	ц). Полуметрнкой симметриче-
ской разности (или полуметрнкой меры) </д называется полуметрика на множестве
= {А е si : ц(з4) < <»}, определяемая как
|1(АДВ),
где АДВ = (А и В)\(А п В) - симметрическая разность множеств А и Be з4ц.
Равенство </д(А, В) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда ц(АДВ) = 0,
т.е. когда Ат В почти всюду равны. Отождествляя два множества А, В е з4и, если
|1(АДВ) = 0, получаем метрику симметрической разности (или расстояние Фреше-
Ннкодима-Аронзяна, метрику меры).
Если |1 - кардинальное число, т.е. ц(А) = IА I является количеством элементов в
А, то б/д(А, В) = IАДВ I. В этом случае IАДВ I = 0 тогда и только тогда, когда А = В.
Расстояние Джонсона между ^-множествами А и В равно
М.*-|ЛАв|.
2	’	1
•	Метрика Эномото-Катона
Если имеется конечное множество X и целое число к, такое что 2к < IX I, то
метрикой Эномото-Катона называется расстояние между неупорядоченными
парами Х2) и (Кь У2) непересекающихся ^-подмножеств множества X,
определяемое как
min{l Х^Г, I +1 X2\Y2 I, I Xj\r21 +1 X^ I}.
48
Часть /. Математика расстояний
•	Расстояние Штейнгауза
Для пространства с мерой (Q, si, Ц) расстоянием Штейнгауза называется
полуметрика на множестве sip = {А е si : p(sl) < °°}> определяемая из равенства
р(ААД)	ц(АпВ)
ц(А и В)	ц(А и В) ’
если ц(А и В) > 0 (и равная 0, если ц(А) = ц(В) = 0). Она становится метрикой на
множестве классов эквивалентности элементов из при этом элементы
А, В е sip называются эквивалентными, если ц(АДВ) = 0.
IАЛВI
Расстояние биотопа (или расстояние Таннмото) ——— является частным
случаем расстояния Штейнгауза, полученного для кардинального числа ц(А) = IА I
(см. также Обобщенная метрика преобразования биотопа, гл. 4).
•	Расстояние между точкой и множеством
Для метрического пространства (X, d) расстояние между точкой и множеством
d(x, А) между точкой х е X и подмножеством А множества X определяется как
inf d(x,y).
уеА
Для любых х, у е X и любого непустого подмножества А множества X спра-
ведлив следующий вариант неравенства треугольника: d(xt А)< d(xty) + d(y, А)
(см. Расстоянное отображение).
Для данной точечной меры |1(х) на X и функции штрафов р оптимальным
квантованием называется множество В с: X, такое что Jp(d(x,BW(x) является
наименьшим возможным.
•	Расстояние между множествами
Для метрического пространства (X, d) расстояние между множествами А и В
множества X задается как
inf d(x,y).
В анализе данных расстояние между множествами называется единичной
связью, в то время как sup^x у) называется полной связью.
•	Хаусдорфова метрика
Для метрического пространства (X, d) хаусдорфовой метрикой (или дву-
сторонним хаусдорфовым расстоянием) dHalls называется метрика на совокуп-
ности 9 всех компактных подмножеств X, задаваемая как
max(4,Haus (A, *),4Maus(BM)},
где djHaus(A, В) = тахдед minx€BJ(x, у) является ориентированным хаусдорфовым
расстоянием (или односторонним хаусдорфовым расстоянием) от А кВ. Иными
словами, 4/Haus(A, В) есть минимальное число е (называемое также расстоянием
Бляшке), такое что замкнутая е-окрестность А содержит В, а замкнутая
е-окрестность В содержит А. Можно показать также, что rf^ausH» В) равно
sup | d(x, А) - d(x, В) |,
хеХ
Глава I. Общие определения
49
где d(xt А) =	у) является расстоянием между точкой и множеством.
Хаусдорфова метрика метрикой нормы не является.
Если вышеприведенное определение распространить на некомпактные замк-
нутые подмножества А и В множества X, то djHausW, В) может быть бесконечной,
т.е. она становится расширенной метрикой. Для подмножеств А и В множества X,
не обязательно замкнутых, хаусдорфова нолуметрнка между ними определяется
как хаусдорфова метрика между их замыканиями. Если X конечно, то б/jHaus
является метрикой на множестве всех подмножеств X.
•	Хаусдорфово -расстояние
Для метрического пространства (X, d) хаусдорфово £р-расстоянне ([Badd92])
между двумя подмножествами А и В множества X задается как
£
леХ
где d(x, А) - расстояние между точкой и множеством. Обычная хаусдорфова
метрика соответствует случаю р = «>.
•	Обобщенная хаусдорфова G-метрнка
Возьмем группу (G, •, е), действующую на метрическом пространстве (X, d).
Обобщенная хаусдорфова G-метрнка между двумя замкнутыми подмножествами А
и В множества X задается как
где Juaus - хаусдорфова метрика. Если rf(g(x), g(y)) = </(х,у) для любого g е G
(т.е. метрика d левоинвариантна по отношению к G), то вышеуказанная метрика
будет равна ming6CJHaus(A, g(B)).
•	Метрика Громова-Хаусдорфа
Метрикой Громова-Хаусдорфа называется метрика на множестве всех изомет-
рических классов компактных метрических пространств, задаваемая как
inf Я(Г))
для любых двух классов X* и У* с представителями X и К соответственно, где dHaus_
хаусдорфова метрика, а минимум берется по всем метрическим пространствам М
и всем изометрическим вложениям/: X—> М, g:Y ->М. Соответствующее метри-
ческое пространство называется пространством Гоомова-Хаусдорфа.
•	Метрика Фреше
Пусть (X, d) - произвольное метрическое пространство. Рассмотрим множество
if всех непрерывных отображений/: А —> X, g : В -> X, ..., где А, В, ... являются
подмножествами IR*\ гомеоморфными [0,1]" для фиксированной размерности п е N.
Полуметрикой Фреше dF называется полуметрика на задаваемая как
infsupd(/(x),#(a(x))),
° хеА
где инфимум берется по всем сохраняющим ориентацию гомеоморфизмам
о: А -> В, Она превращается в метрику Фреше на множестве классов эквива-
лентности /* = {# : dfaf) = 0}.
50
Часть I. Математика расстояний
•	Расстояние Банаха-Мазура
Расстояние Банаха-Мазура </вм между двумя n-мерными нормированными
пространствами Уи W задается как
In inf ЦТ II II Г' II,
Т
где инфимум берется по всем изоморфизмам Т: V -> W. Оно может быть записано
также как In d(V,W), где число d(V,W) есть наименьшее положительное d> 1, такое
что Вщ aT(By)cidBw для некоторого линейного обратимого преобразования
T:V->W. Здесь By = {хе V:||x||v<l} и (£$) = {хе 1¥:||х||ж<1} являются еди-
ничными шарами нормированных пространств (VJI Пу) и (W ,11 • lljy) соответ-
ственно.
^bm(KW) = 0 тогда и только тогда, когда* V и W изометричны, и становится
метрикой на множестве Xя всех классов эквивалентности л-мерных нормирован-
ных пространств, где V ~ W, если они изометричны. Пара (Xя, </вм) является
компактным метрическим пространством, называемым компактом Банаха-
Мазура.
Расстояпие Глузкина-Хабарова (или модифицированное расстояние Банахаг-
Мазура) задается как
inf {IIТ II™ :| det Т |= 1} • inf {|| Т Цг_х:| det Т | = 1}.
Расстояние Томчак-Егермана (или слабое расстояние Банаха-Мазура) опре-
деляется как
max{yr(idx),yx(idr)},
где для оператора U: X -» Y через yz(t/) обозначается inf У ||	|||| Vk ||. Здесь
инфимум берется по всем представлениям U = У WkVk для : X -+Z и Vk: Z->Y,
a idz есть тождественное отображение. Данное расстояние никогда не превышает
соответствующего расстояния Банаха-Мазура.
•	Расстояние Кадетса
Пропуск (или разрыв) между двумя замкнутыми подпространствами X и Y
банахова пространства (V,ll * II) определяется как
gap(X,y) = max{5(X, Г),3(Г,Х)},
где 8(Х,У) = sup {infyg у Их—у 11: х g X, 11x11 = 1} (см. Расстояние разрыва, гл. 12 и
Метрика разрыва, гл. 18).
Расстояние Кадетса между двумя банаховыми пространствами V и W является
полуметрикой, определяемой (по Кадетсу, 1975) как
inf gap(Bf(V),BK(W}),
где инфимум берется по всем банаховым пространствам Z и всем линейным
изометрическим вложениям/: V—>Zng : W —>Z; здесьи суть единичные
метрические шары банаховых пространств flV) и g(W) соответственно.
Нелинейным аналогом расстояния Кадетса является расстояние Громова-
Хаусдорфа между банаховыми пространствами U и W:
inf </Haus(/(fiv).«(^)).
Z,f,g
Глава 1. Общие определения
51
где инфимум берется по всем метрическим пространствам Z и всем изометри-
ческим вложениям/: V —» Z и g : W —> Z; здесьdHaus-хаусдорфоваметрика.
Расстояние нутн Кадетса между двумя банаховыми пространствами V и W
задается (по Островскому, 2000) как инфимум длин (относительно расстояния пути
Кадетса) всех кривых, соединяющих V и W (и как <*>, если таких кривых нет).
•	Липшицево расстояние
Возьмем два метрических пространства (X, dx) и (У, dY). Липшицева норма II • llLip
на множестве всех инъективных функций f:X~+Y определяется как
II Л1 =SUD <Ш(МУ»
IIJ HLip veXtx*y j /	\
Лнншицево расстояние между метрическими пространствами (X, dx) и (К dY)
задается как
In inf ||/Hup II/-1 Нир.
где инфимум берется по всем биективным функциям/:Х -> У. Эквивалентно, оно
является инфимумом чисел In а, таких что существует биективное билнншнцево
отображение между (X, dx) и (У, dY) с константами ехр(-а), ехр(а). Оно становится
метрикой на множестве всех изометрических классов компактных метрических
пространств.
Данное расстояние является аналогом расстояния Банаха-Мазура и, для случая
конечномерных вещественных банаховых пространств, совпадает с ним. Оно
совпадает также с гильбертовой нроектнвной метрикой на неотрицательных
проективных пространствах, которые могут быть получены из 0?" отождествле-
нием любой точки х с сх,с>0.
•	Лнншицево расстояние между мерами
Для компактного метрического пространства (X, d) полунорма Липшица II • llLip
на множестве всех функций/: X —> R определяется как
II • llLip— suPx,yeX,x*y	d{x,y)
Лнншицево расстояние между мерами |1 и v на X задается как
sup |7d(|i-v).
И/llupsH
Если ц и v - вероятностные меры, то это - метрика Канторовнча-Мэллоуза-
Монжа-Вассерштейна.
Аналогом липшицева расстояния между мерами для пространства состояний
унитарной С -алгебры является метрика Конна.
•	Барицентрическое метрическое пространство
Для метрического пространства (X, d) пусть (В(Х), Пр,-vllrv) будет метрическим
пространством, где В(Х) - множество всех регулярных борелевых вероятностных
мер на АГ с ограниченным носителем и llp-vllyy - расстояние нормы, определяемое
полной вариацией J | р(ц)-р(у) | JX, где р(р) и p(v) являются функциями
ц + v
плотности мер р и v соответственно, относительно О-конечной меры —-.
52
Часть I. Математика расстояний
Метрическое пространство (X, d) будет барицентрическим, если существует
константа Р > 0 и отображение/: В(Х) -> X из В(Х) на X, такие что неравенство
</(ЛЮ.Лу)) Pdiam(supp(ji + v))ll ц-v lljv
справедливо для любых мер ц, v е В(Х).
Каждое банахово пространство (X,	Нх-у11) есть барицентрическое метри-
ческое пространство, в котором наименьшее Р равно 1, и отображение Дц)
является обычным центром массы |^xd|i(x). Любое адамардово пространство
(т.е. полное САТ(О) пространство) будет барицентрическим с наименьшим Р,
равным 1, и отображением Др) в качестве единственной точки минимума функции
g(y) = jxd2(x,y)dVL(x) на X.
•	Компактное квантовое метрическое пространство
Пусть V будет нормированным пространством (или, более обобщенно,
локально выпуклым топологическим векторным пространством), а V9 - его
непрерывным двойственным пространством, т.е. множеством всех непрерывных
линейных функционалов/на V. Слабая* топология (или топология Гельфанда) на
V определяется как самая слабая (т.е. с наименьшим количеством открытых
множеств) топология на V. такая что для каждого х е V отображение Fx: V9 -> R,
задаваемое условием FJif) =f(x) для всех/е V9. остается непрерывным.
Пространством порядковой единицы называется частично упорядоченное
действительное (комплексное) векторное пространство (А, ^) с выделенным
элементом е. называемым порядковой единицей, которое характеризуется следую-
щими свойствами:
1) для любого а е А существует гей, такое что а^ге\
2) если а е А и а Зге для всех положительных г € R, то (архимедовость).
Основным примером пространства порядковой единицы является векторное
пространство всех самоприсоединенных элементов унитарной С*-алгебры, единич-
ным элементом которой служит порядковая единица. Здесь С*-алгебра является
банаховой алгеброй над С, снабженной специальным инволютивным отобра-
жением. Она называется унитарной, если имеет единицу (элемент, нейтральный
относительно умножения); такие С*-алгебры весьма приближенно называют еще
компактными некоммутативными топологическими пространствами. Типич-
ным примером унитарной С*-алгебры является комплексная алгебра линейных
операторов на комплексном гильбертовом пространстве, которое топологически
замкнуто в топологии нормы операторов и замкнуто относительно операции
взятия сопряженных на множестве операторов.
Пространство состояний пространства порядковой единицы (А.З.е) является
множеством S(A) = {/ е А* :|| /1|= 1} состояний, т.е. непрерывных линейных функ-
ционалов /с 11/11 = Де) = 1. Компактное квантовое метрическое пространство
Риффеля- это пара (А. II • llUp), где (А,^,е) есть пространство порядковой
единицы и II - Пир - полунорма на А (со значениями в [0, +«>]), называемая
литиицевой полунормой, которая удовлетворяет следующим условиям:
1)для ас А равенство IIa llLip = О выполняется тогда и только тогда, когда
а е Re;
Глава I. Общие определения
53
2) метрика ^Lip(.A/?) = supueA ц„И| .р |/(a)-g(a)| порождает на пространстве
состояний 5(A) его слабую* топологию.
Таким образом, мы получаем обычное метрическое пространство (5(A), dLip).
Если пространство порядковой единицы (А,^,е) является С*-алгеброй, то </Lip есть
метрика Конна, и если, более того, С*-алгебра является некоммутативной, то
метрическое пространство (5(А), dLip) называется некоммутативным метрическим
пространством.
Выражение квантовое метрическое пространство появилось потому, что
многие эксперты в области квантовой гравитации и теории струн считают
геометрию пространства-времени вблизи длины Планка схожей с геометрией
таких некоммутативных С*-алгебр. Например, теория некоммутативного поля
предполагает, что на достаточно малых (квантовых) расстояниях пространст-
венные координаты не коммутируют, т.е. невозможно точно измерить положение
> частицы относительно более чем одной оси.
• Универсальное метрическое пространство
Метрическое пространство (U, d) называется универсальным для семейства Ж
метрических пространств, если любое метрическое пространство (Af, dM) из Ж
является изометрическим вложением в ((/, </)♦ т.е. существует отображе-
ние f:M-> U9 которое удовлетворяет условию dM(x, у) = d(flx)9 fly)) для любых
х, у е М.
Каждое сепарабельное метрическое пространство (X d) может быть
изометрически вложено (по Фреше, 1909) в (несепарабельное) банахово
пространство Именно, d(x, у)= sup,IJ(x, af) ~ d(y, aft I, где (d|,...,a/,...) есть
' плотное счетное подмножество множества X.
Каждое метрическое пространство изометрически вложимо (по Куратовскому,
1935) в банахово пространство L°°(X) ограниченных функций/: X->R с нормой
SUPrexl/U) I-
Пространство Урысона есть однородное полное сепарабельное пространство,
которое является универсальным метрическим пространством для всех сепара-
бельных метрических пространств.
Гильбертов куб является универсальным метрическим пространством для класса
[ метрических пространств со счетной базой.
! Графическое метрическое пространство случайного графа Эрдеша-Рени (опре-
деляемого как множество всех простых чисел р г l(mod4), на котором пара pq
будет ребром, если р - квадратичный вычет по модулю q) является универсальным
метрическим пространством для любого конечного или счетного метрического
пространства с расстояниями, принимающими только значения 0, 1 или 2. Оно
представляет собой дискретный аналог пространства Урысона.
Существует метрика d на R, индуцирующая обычную (интервальную) топо-
логию, такая что (R, d) является универсальным метрическим пространством для
всех конечных метрических пространств (Холштинский, 1978). Банахово про-
, странство является универсальным метрическим пространством для всех
метрических пространств (X, d) с 1Х1<л+ 2 (Вульф, 1967). Евклидово
, пространство Е” является универсальным метрическим пространством для всех
ультраметрических пространств (X, d) с IXI £ п + 1; пространство всех конечных
функций flt): R^ -> R, снабженное метрикой d(f, g) = sup{f: flt) * g(0}» является
универсальным метрическим пространством для всех ультраметрических
пространств (А. Лемин, В. Лемин, 1996).
54
Часть I. Математика расстояний
Универсальность может быть определена и для других отображений
метрических пространств (помимо изометрических вложений), например для би-
липшицева вложения и других. Так, любое компактное метрическое пространство
представляет собой непрерывный образ канторова множества с натуральной
метрикой I х-у I, унаследованной от R.
•	Конструктивное метрическое пространство
Конструктивное метрическое пространство - пара (X J), где X является неким
набором конструктивных объектов (обычно это слова над некоторым алфавитом),
a d- алгоритм превращения любой пары элементов множества X в конструк-
тивное вещественное число d(x, у) таким образом, что d становится метрикой на X.
•	Эффективное метрическое пространство
Пусть {xH}n6N - последовательность элементов заданного полного метрического
пространства (X rf)» такая что множество {хл М) является плотным в (X d).
Пусть N(m, п, к) - канторово число тройки (л, т, k) е 1ЧР, а ~ фиксирован-
ная стандартная нумерация множества Q рациональных чисел.
Тройка (X d,{xn}леи) называется эффективным метрическим пространством
([Hemm02]), если множество {X(ntmtk):d(xw хп) < qk] является рекурсивно пере-
числимым. Оно представляет собой адаптацию введенного Вейхраухом понятия
вычисляемого метрического нространства (или рекурсивного метрического
пространства).
Глава 2
Топологические пространства
Топологическое пространство (X, т) есть множество X с топологией т, т.е. систе-
мой подмножеств множества X, обладающих следующими свойствами:
1)	Хе т, 0 е т;
2)	если А , В е т, то А п В е т;
3)	для любой системы {Аа }а, если все Аа е т, то иа Аа е т.
Множества из т называются открытыми множествами, а их дополнения
называются замкнутыми множествами. Базой топологии т является система
открытых множеств, такая что каждое открытое множество есть объединение
множеств из базы. Самая грубая топология имеет два открытых множества (пустое
и множество X) и называется тривиальной (или антидискретной) топологией.
Наиболее детальная топология включает все подмножества в качестве открытых и
называется дискретной топологией.
В метрическом пространстве (X, d) определим открытый шар как множество
В(х,г) = {у е X: d(x,y) < г}, где х е X (центр шара) и г е R, г > 0 (радиус шара).
Подмножество множества X, которое является объединением (конечного или
бесконечного числа) открытых шаров, называется открытым множеством.
Эквивалентно, подмножество U множества X называется открытым, если для
любой фиксированной точки х е U существует действительное число е > 0, такое
что для любой точки у е X, удовлетворяющей условию d(x,y) < е, выполняется
условие у е U. Любое метрическое пространство является топологическим, с
топологией (метрической топологией, топологией, порождаемой метрикой d),
состоящей из всех открытых множеств. Метрическая топология всегда есть Т4
(см. перечень топологических пространств ниже). Топологическое пространство,
которое может быть получено таким образом из метрического пространства,
называется метрнзуемым пространством.
Полуметрическая топология - топология на X, порождаемая аналогичным
образом полуметрикой на X. В общем случае данная топология не является даже
То. Квазиметрическая топология есть топология на X, порождаемая квази-
метрикой на X.
Пусть (X, т) - топологическое пространство. Тогда окрестностью точки х е X
называется множество, содержащее открытое множество, которое, в свою
очередь, содержит х. Замыканием подмножества топологического пространства
является наименьшее замкнутое множество, его содержащее. Открытое
покрытие множества X есть система £ открытых множеств, объединение
которых равно X; его подпокрытием является покрытие 3£, такое что каждый
объект из является объектом из его подразделением является покрытие 3£,
такое что каждый объект из 3£ есть подмножество некоего объекта из
Семейство подмножеств множества X называется локально конечным, если
каждая точка множества X имеет окрестность, пересекающуюся только с
конечным числом этих подмножеств. Подмножество А с: X называется плотным,
56
Часть I. Математика расстояний
если оно имеет непустое пересечение с каждым непустым открытым множеством
или, эквивалентно, если единственным содержащим его замкнутым множеством
является само множество X. В метрическом пространстве (X, d) плотным
множеством будет подмножество А с: X, такое что для любого х е X и любого Е > О
существует у € А, такое что d(x, у) < Е. Локальной базой точки х е X является
семейство U окрестностей точки х, такое что каждая окрестность точки х
содержит некий элемент семейства U.
Функция из одного топологического пространства в другое называется непре-
рывной, если прообраз каждого открытого множества будет открытым. Грубо
говоря, для данного х е X все близкие к х точки отображаются в точки, близкие к
Лх). Функция /из одного метрического пространства (X, в ДРУгое (К ^г) будет
непрерывной в точке с е X, если для любого положительного действительного
числа £ существует положительное действительное число 8, такое что все х е X,
удовлетворяющие неравенству dfa с) < 8, будут также удовлетворять неравенству
</y(ftx)» Лс))<е- Функция называется непрерывной на интервале Д если она
непрерывна в любой точке интервала I.
Приведенные ниже классы топологических пространств (до Т4) включают
любые метрические пространства.
•	То -пространство
To-пространство (или пространство Колмогорова) есть топологическое про-
странство (X, т), на котором выполняется Тц-аксиома отделимости: для каждых
двух точек х, у е X существует открытое множество U, такое что х е U и у ё U или
у € U и х ё U (каждые две точки являются топологически отличимыми).
•	^-пространство
^-пространство есть топологическое пространство (X, т), на котором выпол-
няется Т\-аксиома отделимости: для каждых двух точек х, у е X существуют два
таких открытых множества U и V, что х е U и у ё U или у е V и х ё V (каждые две
точки являются разделенными). -пространства всегда являются Т0-простран-
ствами.
•	Г2-пространство
Г2-пространство (или хаусдорфово пространство, разделенное пространство)-
топологическое пространство (X, т), удовлетворяющее условию Т2-аксиомы:
каждые две точки х, у е X имеют непересекающиеся окрестности. Т2-пространства
всегда являются -пространствами.
•	Регулярное пространство
Регулярное пространство есть топологическое пространство, в котором каждая
окрестность произвольной точки содержит замкнутую окрестность той же точки.
•	Тз-нространство
Гз-нространство (или пространство Виеториса, регулярное хаусдорфово про-
странство) есть топологическое пространство, которое является Тх-пространст-
вом и регулярным пространством.
•	Вполне регулярное пространство
Вполне регулярное нространство (или пространство Тихонова) есть
хаусдорфово нространство (X, т), в котором любое замкнутое множество А и
любое х ё А являются функционально разделенными.
Глава 2. Топологические пространства
57
Два подмножества А и В множества X называются функционально разде-
ленными, если существует непрерывная функция/: X -> [0,1], такая что/х) = 0 для
любого х е Д и fly) = 1 для любого у е В.
•	Пространство Мура
Пространство Мура есть регулярное пространство с развитием.
Развитие - последовательность {11л]л открытых покрытий, таких что для
каждого х е X и каждого открытого множества А, содержащего х, имеется число л,
для которого выполняется условие St(x, 11л) = и{ U е 11л : х е U] а А, т.е. {St(x, 11л) }л
является базой окрестностей для х.
•	Нормальное пространство
Нормальное пространство -топологическое пространство, в котором для любых
двух непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют два открытых
множества U и V, таких что А с. U, и В с: V.
•	/^-пространство
Т4 -пространство (или пространство Титса, нормальное хаусдорфово про-
странство) есть топологическое пространство, которое является ^-пространст-
вом и нормальным пространством. Любое метрическое пространство (X, d)
является /^-пространством.
•	Вполне нормальное пространство
Вполне нормальное пространство - это топологическое пространство, в кото-
ром любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.
Множества А и В называются разделенными в X, если каждое из них не пере-
секается с замыканием другого.
•	^-пространство
^-пространство (или вполне нормальное хаусдорфово пространство) есть
топологическое пространство, которое является вполне нормальным и Т(-про-
странством. ^-пространства всегда являются /^-пространствами.
•	Сенарабельиое пространство
Сепарабельным пространством называется топологическое пространство, в
котором имеется счетное плотное подмножество.
•	Пространство Лннделефа
Пространством Лннделефа называется топологическое пространство, в котором
каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.
•	Первично-счетное пространство
Топологическое пространство называется нервнчно-счетным, если каждая его
точка обладает локальной счетной базой. Любое метрическое пространство
является первично-счетным.
•	Вторично-счетное пространство
Топологическое пространство называется вторнчно-счетным, если его топо-
логия обладает счетной базой.
Вторично-счетные пространства всегда разделимы, первично-счетны и являют-
ся пространствами Лннделефа.
58
Часть I. Математика расстояний
Для метрических пространств свойства быть вторично-счетными, быть сепара-
бельными и быть пространствами Линделефа являются эквивалентными.
Евклидово пространство Ел с его обычной топологией также является вторично-
счетным.
•	Пространство Бэра
Пространство Бэра есть топологическое пространство, в котором пересечение
любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.
•	Связное пространство
Топологическое пространство (X, т) называется связным, если оно не является
объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. В этом
случае множество X называется связным множеством.
Топологическое пространство (X, т) называется локально связным, если всякая
точка х е X обладает локальной базой, состоящей из связных множеств.
Топологическое пространство (X, Т) называется путь-связным (или 0-связным),
если для каждой точки х, у е X существует путь у от х к у, т.е. непрерывная
функция у: [0,1 ] —> X с у(х) = 0, у(у) = 1.
Топологическое пространство (X, т) называется односвязным (или 1-связным),
если состоит из одной части и не имеет кругообразных ’’дыр” или ’’ручек”, или,
эквивалентно, если каждая непрерывная кривая пространства X является
стягиваемой, т.е. может быть уменьшена до одной из ее точек посредством
непрерывной деформации.
•	Паракомпактное пространство
Топологическое пространство называется паракомпактным, если любое его
открытое покрытие имеет локально конечное подразбиение. Любое метрическое
пространство (X, d) является паракомпактным.
•	Локально компактное пространство
Топологическое пространство называется локально компактным, если всякая
его точка обладает локальной базой, состоящей из компактных окрестностей.
Грубо говоря, всякая малая часть пространства похожа на малую часть
компактного пространства. Евклидовы пространства Ел являются локально
компактными. Пространства р-адичёских чисел также локально компактны.
•	Вполне ограниченное пространство
Топологическое пространство называется вполне ограниченным, если оно
может быть покрыто конечным числом подмножеств любого фиксированного
размера.
Метрическое пространство будет вполне ограниченным метрическим про-
странством, если для каждого положительного действительного числа г существует
конечное множество открытых шаров радиуса г, объединение которых равно X.
•	Компактное пространство
Топологическое пространство (X, т) называется компактным, если всякое
открытое покрытие множества X имеет конечное подпокрытие. В этом случае X
называется компактным множеством.
Компактные пространства всегда являются пространствами Линделефа, вполне
ограниченными и паракомпактнымн. Метрическое пространство будет компакт-
ным тогда и только тогда, когда оно полное и вполне ограниченное. Подмно-
Глава 2. Топологические пространства
59
жество евклидова пространства Е" является компактным тогда и только тогда,
когда оно замкнутое и ограниченное.
Существует ряд топологических свойств, которые эквивалентны свойству
компактности метрических пространств, но неэквивалентны для общих тополо-
гических пространств. Так, метрическое пространство будет компактным тогда и
только тогда, когда оно является секвенциально компактным (каждая последо-
вательность обладает сходящейся подпоследовательностью), или счетно
компактным (каждое счетное открытое покрытие обладает конечным под-
покрытием), или псевдокомпактным (каждая действительная непрерывная
функция на данном пространстве является ограниченной), или слабо счетным
компактным пространством (каждое бесконечное подмножество обладает
предельной точкой).
•	Локально выпуклое пространство
Топологическим векторным пространством называется действительное
(комплексное) векторное пространство V, которое является хаусдорфовым
пространством с непрерывными операциями сложения векторов и умножения
вектора на скаляр. Оно называется локально выпуклым, если его топология
обладает базой, всякий элемент которой является выпуклым множеством.
Подмножество А множества V называется выпуклым, если для всех х, у е А и
любого t е [0,1] точка tx + (1 -1) у е А, т.е. всякая точка отрезка, соединяющего х и
у, принадлежит Л.
Любое метрическое пространство (VJI х-у II) на действительном (комплексном)
векторном пространстве V с метрикой нормы II х-у II является локально выпуклым
пространством; всякая точка пространства V обладает локальной базой, состоящей
из выпуклых множеств.
•	Счетно-нормированное пространство
Счетно-нормнрованным пространством называется локально выпуклое про-
странство (V, т), топология которого задается через счетное множество
совместных норм II • llb..., II • Пп,... . Это означает, что, если последовательность
{х„]п элементов множества V, являющаяся фундаментальной относительно норм
II • II/ и II • II,, сходится к нулю относительно одной из этих норм, то она будет
сходиться к нулю и относительно другой. Счетно-нормированное пространство
является метризуемым пространством, и его метрика может быть задана как
у 1 llx-ylL
j	£2" 1+II х-У II/
•	Гнперпространство
Гнперпространством топологического пространства (X, т) называется тополо-
гическое пространство на множестве СЦХ) всех непустых замкнутых (или, более
того, компактных) подмножеств множества X. Топология гиперпространства
I пространства X называется гипертопологией. Примерами такой топологии удара-
промаха могут служить топология Виеториса и топология Фелла. Примерами
такой слабой топологии гиперпространства является метрическая топология
; Хаусдорфа и топология Вайсмана.
i • Дискретное пространство
Дискретным пространством называется топологическое пространство (X, т) с
дискретной топологией. Его можно рассматривать как метрическое пространство
: (X, d) с дискретной метрикой: d(x, х) = 0, и d(x, у) = 1 для х Ф у.
60
Часть I. Математика расстояний
•	Антиднскретное пространство
Антиднскретное пространство - топологическое пространство (X, т) с анти-
дискретной топологией. Его можно рассматривать как полуметрическое
пространство (X, d) с антнднскретной полуметрнкой: d(x, у) = 0 для любых х,у е X.
•	Метрнзуемое пространство
Топологическое пространство называется метрнзуемым, если оно гомеоморфно
некоторому метрическому пространству. Метризуемые пространства всегда
являются 7"2-пространствами и паракомпактнымн (а значит, нормальными и вполне
регулярными) пространствами, а также нервнчно-счетнымн пространствами.
Топологическое пространство называется локально метрнзуемым, если любая
его точка обладает метризуемой окрестностью.
Топологическое пространство (X, т) называется подметрнзуемым, если
существует метризуемая топология т' на X, более грубая, чем т.
Ниже даны три примера других обобщений метризуемых пространств.
Af-пространство Мориты- топологическое пространство (X, т), из которого
существует непрерывное отображение f на метрнзуемое топологическое прост-
ранство (У, т'), такое что/замкнуто и /_| (у) счетно компактно для каждого ye Y.
М\ -пространство Седера-топологическое пространство (X, т) с базой, сохра-
няющей о-замыкание (метризуемые пространства имеют о -локально конечные
базы).
о-пространство Окуямы- топологическое пространство (У, т) с а-локально
конечной сетью, т.е. таким семейством 11 подмножеств множества X, что для
данной точки хе U (где U- открыто) существует такое U' е U, что хе U’cU
(база является сетью, состоящей из открытых множеств).
Глава 3
Обобщения метрических пространств
Некоторые обобщения понятия метрики, в частности понятия квазнметрнкн,
почти-метрнкн, расширенной метрики, были рассмотрены в гл. 1. В данной главе
представлены некоторые обобщения, связанные с топологией, теорией вероят-
ностей, алгеброй и т.п.
3.1.	т-МЕТРИКИ
•	т-Хемнметрнка
Пусть X - произвольное множество. Функция d: Xм*1 R называется ш-хемн-
метрнкой, если dнеотрицательна, т.е. </(Х|,...ля+1)> 0 для всехХ|,..., хл+| g X, если
d вполне симметрична, т.е. удовлетворяет условию rf(xj,..., x^i) = d(x^,..., х^^р)
для всех X|,...,xmf| е X и любой перестановки п элементов {1,..., т+1}, если d
приведена к нулю, т.е. d(x\,,.,, x^j) = 0 тогда и только тогда, когда хь..., х^ не
являются попарно различными, и если для всех Х|,..., хт+2 е X функция d
удовлетворяет т -симплексному неравенству:
d(x....xm+,) < £ </(х... х,_,, х,+|,..., xm+2).
/=1
•	2-Метрнка
Пусть X - произвольное множество. Функция d: X3 —> R называется 2-метрнкой,
если d неотрицательна, вполне симметрична, приведена к нулю и удовлетворяет
неравенству тетраэдра
6?(х|,Х2,Хз)<</(Х4,Х2,Хз) + </(х1,Х4,Хз) + </(х1,Х2,Х4).
Это - наиболее важный случай т = 2 произвольной т-хемиметрнкн.
•	(т, £>Сунерметрнка
Пусть X - произвольное множество и s - положительное вещественное число.
Функция d: Xw+1 —> R называется (т, 5)-сунерметрнкой ([DeDuO3]), если d неотри-
цательна, вполне симметрична, приведена к нулю и удовлетворяет (ш, $)-симн-
лексному неравенству:
т+1
sd(x|,...,xm+l)^^d(xl...Хм.Хж.-.Хж.г).
1=1
(т, 5)-суперметрика является ш-хемиметрнкой, если 5 > 1.
62
Часть /. Математика расстояний
32.	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ МЕТРИКИ
•	Неопределенная метрика
Неопределенная метрика (или G-метрика) на вещественном (комплексном)
векторном пространстве V есть билинейная (для случая комплексной переменной -
сескилинейная) форма G на V, т.е. функция G : V х V-> R(C), такая что для любых
х, у, z е V и любых скаляров ос, р имеют место следующие свойства:
G(ax + Py,z) = aG(x,z) + PG(y,z) и G(x,ay + Pz) = aG(x,y) + PG(x,z),
где a = а + Ы = а - Ы обозначает комплексное сопряжение.
Если G - положительно определенная симметричная форма, то это скалярное
произведение на V и его можно использовать для канонического введения нормы и
соответствующей метрики нормы на V. Для случая общей формы G не существует
ни нормы, ни метрики, канонически связанной с G, и термин неопределенная
метрика только напоминает о тесной связи положительно определен-
ных билинейных форм с некоторыми метриками в векторном пространстве
(см. гл. 7 и 26).
Пара (V, G) называется пространством с неопределенной метрикой. Конеч-
номерное пространство с неопределенной метрикой называется билинейным мет-
рическим пространством. Гильбертово пространство Я, снабженное непрерывной
G-метрикой, называется гильбертовым пространством с неопределенной
метрикой. Наиболее важным примером такого пространства является .[-про-
странство.
Подпространство L в пространстве (V, G) с неопределенной метрикой назы-
вается положительным, отрицательным или нейтральным подпространством
в зависимости от выполнения неравенств G(x, х) > 0, G(x, х) < 0 или G(x, х) = 0 для
всех х е L.
•	Эрмитова G-метрнка
Эрмитова G-метрнка - это неопределенная метрика G7* на комплексном вектор-
ном пространстве V, такая что для всех х, ye V имеет место равенство
GH(x, у) = Gw(y, х), где a = а + Ы = а - Ы означает комплексное сопряжение.
•	Регулярная G-метрнка
Регулярная G -метрика есть непрерывная неопределенная метрика G на гиль-
бертовом пространстве Н над С, порождаемая обратимым эрмитовым оператором
Т по формуле
G(x, у) = (Т(х), у),
где (,) - скалярное произведение на Н.
Эрмитов оператор на гильбертовом пространстве Н - билинейный оператор Т
на Я, задаваемый на плотной области D(T) пространства Я по закону (Т(х), у) =
= (х, Т(у)) для любых х, у g D(T). Ограниченный эрмитов оператор либо определен
на всем Я, либо может быть непрерывно продолжен на все Я, и тогда Т = Т*. На
конечномерном пространстве эрмитов оператор может быть задан эрмитовой
матрицей ((ау)) = ((<яу -)).
Глава 3. Обобщения метрических пространств
63
•	/-метрика
/-метрика - непрерывная неопределенная метрика G на гильбертовом про-
странстве Н над С, задаваемая неким эрмитовым инволютивным отображением /
на Н по формуле
G(x,y) = (/(x),y>,
где (,) - скалярное произведение на Н.
Инволютивное отображение - отображение Н на Я, квадрат которого является
тождественным отображением. Инволютивное отображение / может быть
представлено равенством J=P±- Р_, где Р* и Р_ являются ортогональными
проекциями в И, а Р+ + Р_ = Н. Ранг неопределенности /-метрики определяется как
min{dim Р+, dim Р_}.
Пространство (Н, G) называется J-пространством. J-пространство с конечным
рангом неопределенности называется пространством Понтрягина.
33.	ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ
• Частичное метрическое пространство
Частичное метрическое пространство (Мэтьюз, 1992) определяется как пара
(X, d), где X - некоторое множество, a d - неотрицательная симметричная функция
d: X х X -> R, такая что d(x, х) < d(x, у) для всех х, у g X (т.е. любое саморасстоянне
d(x, х), мало), х = у, если d(x, х) = d(x, у) = d(y, у) = 0 (Т0-аксиома отделимости), и
неравенство
d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) - d(z, z)
выполняется для всех х, у, z е X (сильное неравенство треугольника).
Если d является частичной метрикой, то d(x, у) - </(х, х) будет квазиполуметри-
кой, и (X, d) может быть частично упорядочено, если мы определим х^у тогда и
только тогда, когда /(х, у) - rf(x, х) = 0.
• Сходство
Пусть X - произвольное множество. Функция d : X х X R называется
сходством на X, если d симметрична и если для всех х, у е X выполняется либо
неравенство J(x, х) <d(x, у) - в таком случае d называется сходством вперед, либо
rf(x, х) > J(x, у) - тогда d называется сходством назад.
Всякое сходство d порождает строгий частичный порядок < на множестве всех
неупорядоченных пар элементов X посредством задания {х, у} < {к, я} тогда и
только тогда, когда d(x, у) < d(u, о).
Для любого сходства назад d сходство вперед порождает тот же частичный
порядок.
•	Пространство т-расстояння
Пространство т-расстояння есть пара (X, Д где X - топологическое пространст-
во, a f является ^-расстоянием Амри-Мутавакиля на X, т.е. неотрицательной
функцией/: X х X -> R, такой что для любого х е X и любой окрестности U точки х
существует Е > 0 с условием {у е X : Дх, у) <Б} с: U.
Любое пространство расстояний (X, d) есть пространство т-расстояния для
топологии Ту, определенной следующим образом: А е Ту, если для любого х е X
существует Е > 0, такое что {у е X :ftx, у) < £} с: А. Однако существуют неметри-
зуемые пространства т-расстояния. т-Расстояние Дх, у) не обязательно должно
64
Часть /. Математика расстояний
быть симметричным или обращаться в нуль для х = у\ например, е1*-*1 является
т-расстоянием на X = 0? с обычной топологией.
•	Пространство близости
Пространство близости (Ефремович, 1936) - множество X с бинарным отноше-
нием 3 на степенном множестве Р(Х) всех его подмножеств, которое удовлетво-
ряет следующим условиям:
1)	А8В тогда и только тогда, когда В8А (симметричность)}
2)	А8(В и С) тогда и только тогда, когда А8В или А8С (аддитивность)}
3)	А8А тогда и только тогда, когда А * 0 (рефлексивность).
Отношение 3 определяет близость (или структуру близости) на X. Если А8В
не выполняется, то множества А нВ называются удаленными множествами.
Всякое метрическое пространство (X, d) есть пространство близости: определим,
что А ЗВ тогда и только тогда, когда d(A, В) = infX6Aj€^rf(x, у) = 0.
Любая близость на X порождает (вполне регулярную) топологию на X заданием
на множестве всех подмножеств X оператора замыкания cl: Р(Х) —> Р(Х) по закону
cl(A) = {xeX:{x]8A}.
• Равномерное пространство
Такие топологические пространства (с дополнительными структурами) дают
обобщения метрических пространств, основанные на расстоянии между мно-
жествами.
Равномерным пространством (Вэйль, 1937) называется множество X с равно-
мерностью (или равномерной структурой) U - непустым семейством подмножеств
множества X х X, называемых окружениями и обладающих следующими свойст-
вами:
1)	каждое из подмножеств Хх X, содержащее множество из 11, принадлежит 11;
2)	всякое конечное пересечение множеств из II принадлежит 11;
3)	каждое множество Veil содержит диагональ, т.е. множество {(х, х):
хеХ}аХхХ}
4)	если Vпринадлежит 11, то множество {(у, х): (х, у) е V} принадлежит 11;
5)	если V принадлежит 11, то существует такое V* е 11, что (х, z) е V во всех
случаях, когда (х, у), (у, z) е V'.
Каждое метрическое пространство (X, d) является равномерным пространством.
Окружение в (X, d) есть подмножество X х X, содержащее множество Ve =
= {(х, у) е X х X: rf(x, у) < е} для некоторого положительного действительного
числа в. Другим базовым примером равномерного пространства являются топо-
логические группы.
• Пространство приближенности
Пространство приближенности (Херрих, 1974) есть множество X со структу-
рой приближенности, т.е. непустой совокупностью II семейств подмножеств
множества X, называемых семействами приближенности, со следующими свойст-
вами:
1)	каждое семейство, подразделяющее семейство приближенности, является се-
мейством приближенности;
2)	каждое семейство с непустым пересечением является семейством прибли-
женности;
Глава 3. Обобщения метрических пространств
65
3)	Ve II, если {cl(A)i А е V} е U, где cl(A) = {х е X: {{х}, А} е 11};
4)	0 е 11, в то время как множество Р(Х) всех подмножеств множества X не
является семейством приближенности;
5)	если {А и В: А е Be 9г] е 11, то е 11 или е И.
Равномерные пространства являются в точности паракомнактнымн пространст-
вами приближенности.
• Пространство приближений
Эти топологические пространства дают обобщения метрических пространств,
основанные на расстоянии между точкой н множеством.
Пространство приближений (Лоу, 1989) есть пара (X, D), где X - некото-
рое множество, a D - расстояние между точкой н множеством, т.е. функция
X х Р(Х) -> [0, <»] (где Р(Х) является множеством всех подмножеств X), удовлет-
воряющая для всех х е X и всех А, В е Р(Х) следующим условиям:
l)D(x,{x}) = 0;
2)D(X {0}) = оо;
3)D(x, А иВ) = min{D(x, A),D(x, В)}\
4) D(x, A) <D(x, А8) + Е для любых Е е [0, «>], где А8 = {х: D(x, А) < е} есть "Е-шар"
с центром в х.
Любое метрическое пространство (X d) (более того, любое расширенное
квазиполуметрическое пространство) есть пространство приближений с D(x, А),
являющимся обычным расстоянием между точкой и множеством.
Если мы имеем локально компактное сепарабельное метрическое пространство
(X, d) и семейство 9 его непустых замкнутых подмножеств, то функция Бэддли-
Молчанова дает инструмент для другого обобщения. Это - функция D : X х 9 -> R,
которая является нижней полунепрерывной по отношению к ее первой перемен-
ной, измеренной относительно второй, и удовлетворяет следующим двум условиям:
F= {х е X: D(x, F) £ 0} для Fe 9 и D(x, Fx)>D(x, F2) для х е X всякий раз, когда
Fj, F2 е 9iaF\ c.F2.
Дополнительные условия D(x, {у}) = D(y, {х}) и D(x, F) < D(x, {у}) + £>(у, F) для
всех х, у е X и всех Fe 9 дают нам аналоги симметрии и неравенства
треугольника. Случай D(x, F) = d(x, F) соответствует обычному расстоянию между
точкой и множеством для метрического пространства (X d); случай D(x, F) = d(x, F)
длях е Х\F и D(x, F) = ~d(x, Х\F) для хе Xсоответствует функции расстояния со
знаком (гл. 1).
• Метрическая борнология
Пусть X - топологическое пространство. Борнологией на X будет любое
семейство si собственных подмножеств А множества X для которых выполняются
следующие условия:
1)^А = Х;
2)	3d является идеалом, т.е. содержит все подмножества и конечные объединения
его объектов;
Семейство з4 является метрической борнологией ([Веег99]), если, более того,
имеют место условия
3)	si содержит счетную базу;
4)	для любого А е si существует А' е si, такое что замыкание множества А
совпадает с множеством внутренних точек множества А
Метрическая борнология называется тривиальной, если si есть множество Р(Х)
всех подмножеств множества X; такая метрическая борнология соответствует
3. Деза Е. и Деза М.-М.
66
Часть I. Математика расстояний
семейству ограниченных множеств некоторой ограниченной метрики. Для всякого
некомпактного метрнзуемого топологического пространства X существует неогра-
ниченная метрика, совместимая с данной топологией. Нетривиальная метрическая
борнология на таком пространстве X соответствует семейству ограниченных
подмножеств по отношению к некоей неограниченной метрике. Некомпактное
метризуемое топологическое пространство X допускает бесконечно много
нетривиальных метрических борнологий.
3.4.	ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЧИСЕЛ
• Вероятностное метрическое пространство
Понятие вероятностного метрического пространства является обобщением
понятия метрического пространства (см., например, [ScSk83]) по двум напра-
влениям: расстояния становятся распределениями вероятности и сумма в
неравенстве треугольника превращается в операцию треугольника.
Формально, пусть А - множество всех функций распределения вероятности,
несущее множество которого находится в [0, «>]. Для любого а е [0, <»] зададим
га е А как ed(x) = 1, если х > а или х = «> и еа= 0, иначе. Функции в А будут
упорядочены: будем считать, что F < G, если F(x) < G(x) для всех х > 0. Комму-
тативная и ассоциативная операция т на А называется онерацней треугольника,
если она удовлетврряет условию t(F, бо) = F для любого F е А, и т(Е, F) < t(G, Я),
еслиЕ<С F<H.
Вероятностное метрическое пространство - это тройка (X, d, т), где X -
множество, d - функция ХхХ->Аит- операция треугольника, такая что для
любых р, q, г е X выполняются условия:
1)	d(p, q) = е() тогда и только тогда, когда р = q\
2)	dip, q) = d(q, p);
3)	d(p, r) < T(d(p, q), d(q, r)).
Неравенство 3 становится неравенством треугольника, если т является обычным
сложением на R.
Для любого х > 0 значение d(p, q) в точке х может быть интерпретировано как
"вероятность того, что расстояние между р к q меньше, чем х"; Менгер предложил
в 1942 г. называть данное понятие статистическим метрическим простран-
ством. В этот же период были введены понятия нечетко определенного
(расплывчатого) метрического пространства (см. также [В1ос99]).
• Обобщенная метрика
Пусть X- произвольное множество. Пусть (G, +, <) -упорядоченная полугруппа
(не обязательно коммутативная), имеющая наименьший элемент 0. Функция
d: X х X G называется обобщенной метрикой, если выполняются следующие
условия:
1)	d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2)	d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) для всех х, у е X;
3)	d(x,y) = d(y,x), где а является фиксированным инволютивным отображе-
нием G, сохраняющим порядок.
Пара (X, d) называется обобщенным метрическим пространством.
Если условие 2 и требование "только тогда” в условии 1 снимаются, мы полу-
чаем обобщенное расстояние d и обобщенное пространство расстояний (X, d).
Глава 3. Обобщения метрических пространств
67
• Расстояние на построении
Группа Кокстера - группа (W, ♦, 1), порождаемая элементами {Wj,...,
wn -	= 1,1	л}. Здесь Af= ((>Иу))- матрица Кокстера, т.е. произ-
вольная симметричная пхп матрица, такая что т„= 1, а остальные значения -
положительные целые числа или <*>. Длина 1(х) элемента хе W есть наименьшее
число порождающих операторов wj,..., wtl, необходимых для представления х.
Пусть X - произвольное множество, a (W,-, 1) - группа Кокстера. Пара (X, d)
называется построением над	если функция d:XxX —> W, называемая
расстоянием на ностроеннн, обладает следующими свойствами:
1)	d(x, у) = 1 тогда и только тогда, когда х = у;
2)	d(x, у) = (d(x, у))-';
3)	отношение задаваемое условием х~,у, если d(x, у) = 1 или wb есть отно-
шение эквивалентности;
4)	для данного х е X и класса эквивалентности С для существует единственное
у е С, такое что d(x, у) кратчайшее (т.е. наименьшей длины) и d(x, у') = d(x, y)wt для
любого у' е С, у' Фу.
Расстояние галереи на построении d' есть обычная метрика на X, задаваемая
как /(d(x, у)). Расстояние d' - это метрика пути на графе с множеством вершин X и
ху в качестве ребра, если d(x, у) = и/, для некоторого 1 < i < п. Расстояние галереи на
построении есть особый случай метрики галереи (камерной системы X).
• Булево метрическое пространство
Булева алгебра (или булева решетка) есть дистрибутивная решетка (Bf v, л) с
наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1, такая что каждый элемент
х е В обладает дополнительным элементом х, таким что х v х = 1 и х л х = 0.
Пусть X - произвольное множество и (Bt v, а) - булева алгебра. Пара (X, d)
называется булевым метрическим пространством над В, если функция d: X х X —» В
обладает следующими свойствами:
1)	d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2)	d(x, у) < d(x, z) v d(z, у) для всех х, у, z е X.
•	Пространство над алгеброй
Пространство над алгеброй есть метрическое пространство с дифференциально-
геометрической структурой, точки которого могут быть снабжены координатами
из некоторой алгебры, как правило, ассоциативной и с единичным элементом.
Модуль над алгеброй является обобщением векторного пространства над полем,
его определение может быть получено из определения векторного пространства
путем замены поля на ассоциативную алгебру с единичным элементом. Аффинное
пространство над алгеброй является аналогичным обобщением аффинного
пространства над полем. В аффинных пространствах над алгебрами можно
определить эрмитову метрику, в то время как для коммутативных алгебр может
быть определена даже квадратичная метрика. Для этого в унитальном модуле
необходимо определить скалярное произведение (х, у), в первом случае со
свойством (х, у) = J({y, х)), где J является инволютивным отображением алгебры, а
во втором случае со свойством (х, у) = (у, х).
л-Мерное проективное пространство над алгеброй задается как многообразие
одномерных подмодулей (п + 1)-мерного унитального модуля над этой алгеброй.
Введение скалярного произведения (х, у) в унитальном модуле позволяет задать в
построенном с помощью данного модуля проективном пространстве эрмитову или,
3*
68
Часть I. Математика расстояний
для случая коммутативной алгебры, квадратичную эллиптическую и гипербо-
лическую метрики. Метрический инвариант точек этих пространств есть
ангармоническое отношение W = (х, х)_| (х, у) (у, у)"1 (у, х). Если W- действительное
число, то инвариант w, для которого W = cos2w, называется расстоянием между х и
у в пространстве над алгеброй.
•	Частично упорядоченное расстояние
Пусть X - произвольное множество. Пусть (G, <) - частично упорядоченное
множество с наименьшим элементом g$, такое что Gf = G\{#o) непусто, и для
любых #|, #2 е G' существуетg3 е G', такое что g$ <#| и g3 < g2-
Частично упорядоченное расстояние есть функция d.: X х X —> G, такая что для
любых х, у g X равенство d(x, у) =go выполняется тогда и только тогда, когда х =у.
Рассмотрим следующие возможные свойства.
1.	Для любого g| е G' существует g2 е G', такое что для любых х, у е X из
неравенства d(x, у) < g2 следует неравенство d(x, у) < g|.
2.	Для любого е G' существуют g2, g3 е G', такие что для любых х, у, z е X из
неравенств d(x, у) < g2 и J(y, z) <g3 следует неравенство d(x, z)<g}.
3.	Для любого g| е G' существует g2 е G’, такое что для любых х, у, z е X из
неравенств d(x, y)<g2m d(y, z) < g2 следует неравенство d(y, x)<g\.
4.	G' не имеет первого элемента.
5.	d(x, у) = d(y, х) для любых х, у е X.
6.	Для любого g G' существует g2 е G', такое что для любых х, у, z е X из
неравенств d(x, у) <* g2 и d(y, z) <* g2 следует неравенство d(x, z) <* gt; здесь p <* q
означает, что либо p<q, либо р не сравнимо с q.
7.	Отношение порядка < является линейным порядком на G.
В терминах указанных выше свойств d называется: частично упорядоченное
расстояние Апперта, если выполняются условия 1 и 2; частично упорядоченное
расстояние Голмеса первого тина, если выполняются условия 4, 5 и 6; частично
упорядоченное расстояние Голмеса второго тнна, если выполняются условия 3, 4,
и 5; расстояние Курена-Фреше, если выполняются условия 3,4,5 и 7.
Именно, случай G = R>o расстояния Курепа-Фреше соответствует V-прост-
ранству Фреше, т.е. паре (X, d), где X - множество и d(x, у) - неотрицательная
симметричная функция d : X х X -» R (соседство точек х и у), такая что d(x, у) = О
тогда и только тогда, когда х = у, и существует неотрицательная функция/: R -> R
с Нш^Дг) = 0 со следующим свойством: для всехх, у, z g X и всех положительных г
неравенство max (d(x, у), d(y, z)} < г порождает неравенство d(xt z) <f(r).
Глава 4
Метрические преобразования
Существует немало способов получения новых расстояний (метрик), используя уже
имеющиеся расстояния (метрики). Метрические преобразования позволяют
получать новые расстояния как функции от заданных метрик (или заданных
расстояний) на одном и том же множестве X. В таком случае полученная метрика
будет называться преобразованной метрикой. Ниже, в разд. 4.1 приводятся
важнейшие примеры таких преобразованных метрик.
При наличии метрики на множестве X можно построить новую метрику на
некотором расширении Х\ аналогичным образом, имея семейство метрик на
множествах Х(,..., Хп, можно получить новую метрику на некотором расширении
Хь..., Хп. Примеры таких операций представлены в разд. 4.2.
Если имеется метрика на X, существует много расстояний на других структурах,
связанных с X, например на множестве всех подмножеств множества X. Основные
расстояния данного типа рассматриваются в разд. 4.3.
4.1.	МЕТРИКИ НА ТОМ ЖЕ МНОЖЕСТВЕ
•	Метрическое преобразование
Метрическое преобразование есть расстояние на множестве X, полученное как
функция данных метрик (или данных расстояний) на X.
В частности, имея непрерывную монотонно возрастающую функцию fix) от
х>0, которая называется шкалой, и пространство расстояний (X, d), можно
получить другое пространство расстояний (X, dy), называемое метрическим
преобразованием шкалирования пространства X, определяя dfa, у) = fid(x, у)).
Для каждого конечного пространства расстояний (X, d) существует такая шкала /,
что (X, df) является метрическим подпространством евклидова пространства Ел.
Если (X, d) - метрическое пространство, а/- непрерывная дифференцируемая
строго возрастающая функция сД0)= 0 и невозрастающей производной/', то
(X, df) будет метрическим пространством (см. метрика функционального пре-
образования).
Метрика d является ультраметрикой тогда и только тогда, когда fid) есть
метрика для каждой неубывающей функции /: R>o —»R>o.
•	Метрика преобразования
Метрика преобразованння - метрика на множестве X, которая является
метрическим преобразованием, т.е. получена как функция заданной метрики (или
заданных метрик) на X. В частности, метрики преобразования могут быть
получены из заданной метрики d (или заданных метрик d( и d2) на X любой из
указанных ниже операций (здесь t > 0):
1)	td(x, у) (/-шкалированная метрика, или растянутая метрика, подобная
метрика);
2)	min{/, d(x, у)} (/-усеченная метрика);
то
Часть I. Математика расстояний
3)	max{r, d(x, у)} для х Ф у (/-дискретная метрика);
4)	d(x, y) + t длях*у (/-перенесенная метрика);
J(x,y) .
l + d(x,y)’
6)	dp(x,y) =-------d(x,y)--------( где р _ фИКСИрованный элемент из X (мет-
</(х, р)+ d(y,p) + d(x, у)
рнка преобразования биотопа);
7)max{rf1(x, у), d2(x,y)};
8)	ad{(x, у) + Pd2fc ?Х где а, Р > О (см. метрический конус, гл. 1).
•	Обобщенная метрика преобразования биотопа
Для данной метрики d на множестве X и замкнутого множества МсХ
обобщенная метрика преобразования биотопа dM на X определяется как
ч ___________^>У)____________
</(х, у) + inf,eM (d(x, z) + </(у, z))
Именно, dM(x, у) и ее 1-усечение min {\,dM(x, у)} являются метриками. Метрика
преобразования биотопа есть dM(xt у) с Л/, состоящим только из одной точки,
скажем, р; расстояние биотопа (см. гл. 23) получается в случае d(x, у) = IxAyl, р = 0.
•	Метрика функционального преобразования
Пусть/: R -> R - дважды дифференцируемая действительная функция, заданная
для х > 0, такая что ДО) = 0, /'(х) > 0 для всех х > 0 и f\x) < 0 и для всех х > 0.
(/“является вогнутой на [0, «>); в частности, fix + у) ^fix) +fiy).)
Если (X, d) - метрическое пространство, то метрика функционального преобра-
зования df есть метрика преобразования на X, определенная как
fid(x, у)).
Метрики dfnd- эквивалентны. Если d есть метрика на X, то, например,
aJ(a > 0), ^(0 <a < 1), ln( 1 + J), arcsinh d, arccosh (1 +</) и —будут метриками
1 + d
функционального преобразования на X.
•	Метрика степенного преобразования
Пусть 0 < а < 1. Если дано метрическое пространство (X, d), то метрика
степенного преобразования (или метрика преобразования снежинки) есть метрика
функционального преобразования на X, определенная как
W(x,y))«
Для данной метрики d на X и любого а > 1 функция da является в общем случае
только расстоянием на X. Она является метрикой для любого положительного а
тогда и только тогда, когда d - ультраметрнка.
Метрика d является метрикой удвоения тогда и только тогда, когда (Ассуад,
1983) метрика степенного преобразования допускает билнпшнцево вложение в
некоторое евклидово пространство для каждого 0 < а < 1 (см. определения гл. 1).
•	Метрика преобразования Шенберга
Пусть X > 0. Если (X, d) - метрическое пространство, то метрикой преобра-
зования Шенберга называется метрика функционального преобразования на X,
Глава 4, Метрические преобразования
71
определенная как
1 _
Метрики преобразования Шенберга являются в точности Р-метрикамн (гл. 1),
которые определяются не функцией преобразования, а усиленной версией не-
равенства треугольника.
•	Метрика обратного образа
Для двух метрических пространств (X, dY) и инъективного отображения
g : X —> Y метрика обратного образа на X задается как
Если (X, и (У, совпадают, то метрика обратного образа называется
метрикой ^-преобразования.
•	Внутренняя метрика
Для метрического пространства (X, J), в котором каждая пара точек х, у
соединена спрямляемой кривой, интервальной метрикой (или порожденной внут-
ренней метрикой) D называется метрика преобразования на X, полученная из d
как инфимум длин всех спрямляемых кривых, соединяющих две данные точки
х и у е X.
Метрика d на X называется внутренней метрикой (или метрикой длины, см.
гл. 6), если она совпадает со своей порожденной внутренней метрикой.
•	Метрика преобразования Фарриса
Для метрического пространства (X, d) и точки z е X преобразование Фарриса
есть метрическое преобразование D. на X\{z}, задаваемое как Dz(x, х) = 0, и для
различных х, у е X\{z} - как
D.(x, у) = С- (х.у)„
где С есть положительная константа, а (х.у). =^(d(x,z) + d(y,z)--</(x,y)) есть
произведение Громова (см. гл. 1). Преобразование Фарриса будет метрикой, если
С>таххеХХ{-) d(x, z). Точнее, существует такое число Со е (таххуе^{_} х^, (х.у)г,
тахлЕХ\{:)^(х> *)]> что преобразование Фарриса является метрикой тогда и только
тогда, когда С > Cq. Оно является ультраметрнкой тогда и только тогда, когда d
удовлетворяет неравенству четырех точек. В филогенетике, где оно было
применено впервые, термин преобразование Фарриса используется для функции
d(x, у) - d(x, z) - d(y, z).
•	Метрика инволютивного преобразования
Возьмем метрическое пространство (X, d) и точку z е X. Метрикой инволю-
тивного преобразованння называется метрическое преобразование dz на X\{z},
задаваемое как
‘‘М .
d(x,z)d(y,z)
Оно является метрикой для любого z е X тогда и только тогда, когда d есть
птолемеева метрика ([F0SCO6]).
72
Часть I. Математика расстояний
4.2. МЕТРИКИ НА РАСШИРЕНИЯХ ДАННОГО МНОЖЕСТВА
• Расстояния расширения
Если d есть расстояние на Vn = {1,..., п] и а е R, а > 0, то используются сле-
дующие расстояния расширенния (см., например, [DeLa97]).
Расстояние расширения селекции gat = gat£ есть расстояние на VH+| =
= {1,..., п+1}, задаваемое следующими условиями:
l)gat(l, л + 1) = а;
2) gat(/,rt + 1) = а + rf(l, 0, если 2 < i < п\
3) gat(i, У) = d(i, j), если 1 < i < j < п.
Расстояние gat^ называется О-расшнреннем селекции или просто 0-расшн-
реннем расстояния d. Если а> тах2<,<п t/(l,/), то антиподальное расстояние
расширения ant = ant« есть расстояние на У„+|, задаваемое следующими усло-
виями:
l)ant(l, л + 1) = <х;
2) ant(z, п + 1) = а - </(1, /), если 2 < i < л;
3) ant(z, J) = d(i, j), если 1 < i <j<п.
Если а > max^, ^ d(i,j), то полное антннодальное расстояние расширения
Ant = Ant« есть расстояние на V2n = {1,.. .,2л}, задаваемое следующими условиями:
1)	Ant(z,n + 0 = а, если 1 < i < п\
2)	Ant(/,п + у) = а - d(i, У), если 1 </*/< л;
3)	Ant(z, У) = d(i, j), если 1 < i *j < п\
4)	Ant(n + i,n + У) </(y), если 1 < i *j < n.
Оно является результатом последовательного применения операции антипо-
дального расширения п раз, начиная с d.
Расстояние сферического расширения sph = sph^ есть расстояние на Vrt+1, зада-
ваемое следующими условиями:
1)	sph(z,n + 1) = а, если 1 < i < л;
2)	sph(z, У) = d(i, j), если 1 < i <j < л.
•	Расстояние 1-суммы
Пусть d\ - расстояние на множестве Хь d2- расстояние на множестве Х2 и
Xi п Х2 = {дсо}. Расстояние 1-суммы расстояний d\ и d2 есть расстояние d на Хх иХ2,
задаваемое следующими условиями:
</(х,у) =
d{ (х, у),	если	х, у е Х|,
d2(x,y),	если	х,уеХ2>
d(x,x0) + d(x0,y), если хеХ|,уеХ2-
В теории графов расстояние 1-суммы является метрикой нути, соответствующей
операции 1-суммы для графов.
•	Метрика ненересекающегося объединения
Пусть (Xf, dt)y te Т- семейство метрических пространств. Метрикой непере-
секающегося объединения будет расширенная метрика на множестве urXr х {г},
задаваемая как
rf((x Г1), (у, h)) = dt(x,y)
для /| = г2, и </((х, Г|), (у, t2)) = ©о - иначе.
Глава 4. Метрические преобразования
13
•	Метрика произведения
Пусть (Хь rfj), (Х2,	•» РСп 4i)~ метрические пространства. Тогда метрика
произведения есть метрика на декартовом произведении Xj х Х2 х- • -х Хп = {* = (хь
х2,...дл): Х1 е Я|,..., хп е определяемая как функция от Jb...,dw. Простейшие
метрики произведения определяются как

1 < р < ©о;
3)	maX|<(<„ dfic> у,);
4)	max,<,<n d^yj);
5)	у 1
%2‘ 1Ц(М)'
Последние две метрики являются ограниченными и могут быть построены для
произведения счетного числа метрических пространств.
Если Х| =... = Хп = R, и d{ = ... = dn = d, где d(x, у) = lx - у I является натуральной
метрикой на R, то все вышеуказанные метрики произведения индуцируют
евклидову топологию на л-мерном пространстве Rn. Они не совпадают с евкли-
довой метрикой на R", но эквивалентны ей. В частности, множество с евкли-
довой метрикой может рассматриваться как декартово произведение R х..,х R п
копий действительной прямой (R, d) с метрикой произведения, заданной как
• Метрика произведения Фреше
Пусть (X, d) - произвольное метрическое пространство с ограниченной
метрикой d. ПустьХ°° = Хх...хХ... = {х= (xb...,xn,...):xi е Хь..., хп е Хи,...} -про-
странство произведения для X.
Метрика произведения Фреше есть метрика произведения на Х°°, задаваемая как
^Ая</(х„,уп),
Л=1
где У,АЯ является любым сходящимся рядом, состоящим из положительных
п=1
элементов. Обычно используется Ап Метрика (иногда ее называют метри-
кой Фреше) на множестве всех последовательностей {хп}„ действительных
(комплексных) чисел, задаваемая как

1+1*„-х,Г
где У,А„ является любым сходящимся рядом с положительными элементами,
Я=1
74
Часть I. Математика расстояний
является метрикой произведения Фреше для счетного числа копий множества
R(C). Обычно берется Ап = — или Ап =
л!	2
• Метрика гильбертова куба
Гильбертов куб 1*{) есть декартово произведение счетного числа копий интер-
вала [0,1], снабженное метрикой ^2"'|x, -yj (см. Метрика произведения
i=l
Фреше). Его можно отождествлять (с точностью до гомеоморфизма) с
компактным метрическим пространством, образуемым всеми последователь-
ностями {хЛ}„ действительных чисел, таких что 0<хл <—, где метрика задана
п
рг-» °°	2
как чХп=1(х" ~Уп) •
• Метрика косого произведения
Пусть (X, dx) и (Yf dY) - два полных пространства длины (см. гл. 1) и/: X-> И? -
положительная непрерывная функция. Для данной кривой у: [a, b]->XxY
рассмотрим ее проекции У| : [а, Ь] ->Х и у2: [a, b] Y на X и У, и определим длину
кривой у по формуле J ^1 Yi I2 (0 + /2(Yi(0)| Y2 Р (0<*-
Метрикой косого нронзведення называется метрика на X х У, задаваемая как
инфимум длин всех спрямляемых кривых, соединяющих две данные точки из X х У
(cm.[Bu!v01]).
43. МЕТРИКИ НА ДРУГИХ МНОЖЕСТВАХ
Имея произвольное метрическое пространство (X, J), можно построить расстояния
между некоторыми подмножествами множества X. Основными такими расстоя-
ниями будут: расстояние между точкой и множеством d(x, Л) = iniy^Ad(xt у),
определяемое между точкой х е X и подмножеством A <z X, расстояние между
множествами infxeА уеВ d(x, у), определяемое между двумя подмножествами А и В
множества X, хаусдорфова метрика между компактными подмножествами X,
Указанные расстояния рассмотрены в гл. 1. В настоящем разделе представлен
перечень некоторых других расстояний этого типа.
•	Расстояние между прямыми
Расстояние между прямыми есть расстояние между множествами в Р, где в
качестве множеств берутся скрещивающиеся прямые, т.е. две прямые, не лежащие
в одной плоскости. Расстояние между прямыми - это длина отрезка их общего
перпендикуляра, концы которого лежат на прямых. Для прямых и /2, заданных
равенствами l\ : х = р + qt, t е R и /2 : х = г + st, t е R, расстояние между ними вы-
числяется по формуле
I <г — X I
йх$||2
где х - векторное произведение на Е3, (,) - скалярное произведение на Е3, II П2 -
евклидова норма. Для х = (хь х2, х3), у = (ун у2, Уз) имеет место равенство х ху =
= (*2УЗ - ХЗУ2» *зУ| - Х|УЗ> х1?2 - *2У ।).
Глава 4. Метрические преобразования
75
•	Расстояние между точкой и прямой
Расстояние между точкой и прямой есть частный случай расстояния между
точкой и множеством, где в качестве множества рассматривается прямая.
В Е2 расстояние между точкой z = (zb z2) и прямой /: ах{ + Ьх2 * с = 0 вычисляется
по формуле
\azx + bz2 + с|
В Е3 расстояние между точкой z = (zb z2, z3) и прямой /: х = р + qt, te R
вычисляется по формуле
||<?x(p-z)||2
h Ik ’
где х - векторное произведение на Е3 и II • Н2 - евклидова норма.
•	Расстояние между точкой и плоскостью
Расстояние между точкой н плоскостью есть частный случай расстояния между
точкой н множеством в Е3, где в качестве множества рассматривается плоскость.
Расстояние между точкой z = (zb z2, z3) и плоскостью а: а*| + bx2 + сх3 + d = 0 вы-
числяется по формуле
lazj + bz2 + cz3+dj
^а2 +b2+c2
•	Расстояние между простыми числами
Расстояние между простыми числами - частный случай расстояния между
точкой и множеством в (N, I п - т I), а именно между числом п е N и множеством
простых чисел Р с: N. Данное расстояние определяется как абсолютная величина
разности между п и ближайшим к нему простым числом.
•	Расстояние до ближайшего целого
Расстояние до ближайшего целого есть частный случай расстояния между
точкой и множеством в (R, \х-у I), а именно между числом хе йи множеством
целых чисел Z <z R, т.е. minn6Z I х - п I.
•	Буземанова метрика множеств
Если (X, d) - произвольное метрическое пространство, то буземановой метрикой
множеств (см. [Buse55]) является метрика на множестве всех непустых замкнутых
подмножеств множества X, определенная как
sup | J(x, А) - d(x, В) |
xgX
где р - фиксированная точка множества X, a d(x, А) = min^x d(x,y) - расстояние
между точкой и множеством.
Вместо весового множителя можно взять любую функцию преобразо-
вания расстояния, убывающую достаточно быстро (см. Хаусдорфово ^-расстоя-
ние, гл. 21).
•	Фактор-полуметрнка
Пусть (X, d) - расширенное метрическое пространство (т.е. пространство с
метрикой, которая, возможно, может принимать значение <») и ~ есть отношение
76	Часть I. Математика расстояний
эквивалентности на X. Тогда фактор-нолуметрнкой является полуметрика на
множестве Х = Х/~ классов эквивалентности, определяемая для любых
х,у е X как
т
d(x,y)= inf У </(*,, у, ),
meN”
f=l
где инфимум берется по всем последовательностям xh yh х2, ?2» •••> Ут с
%! ex,ym еу и у, ~ x^i для /= 1,2,..., m- 1. При этом неравенство rf(x,y)<d(x,y)
справедливо для всех х, у е X и d является наибольшей полуметрикой на X с таким
свойством.
Глава 5
Метрики на нормированных структурах
В данной главе рассматриваются специальные классы метрик, задаваемых на
некоторых нормированных структурах как норма разности между двумя элемен-
тами. Такая структура может быть группой (с групповой нормой), векторным
пространством (с векторной нормой или просто нормой), векторной решеткой
(с нормой Рисса), полем (с валюацией) и т.п.
• Метрика нормы группы
Метрикой нормы группы называется метрика на группе (G, +, 0), определяе-
мая как
II х + (-у) II = Их—у II,
где II • II - норма группы на G, т.е. функция II • II: G -> R, такая что для всех х, у е G
имеют место следующие свойства:
1)	II х II > 0 с II х II = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	Их II = II —х II;
3)	II х + у II £ II х II + И у II (неравенство треугольника).
Любая метрика нормы группы d является правоннвариантной, т.е. d(x, у) =
= d(x + z, у + z) для любых х, у, z е G. С другой стороны, любая правоинвариантная
(равно как и любая левоннвариантная и, в частности, биинварпантная) метрика d
на G есть метрика нормы группы, поскольку норма группы может быть задана на
G как II х И = d(x, 0).
• Метрика F-нормы
Векторное (или линейное) пространство над полем F есть множество V,
снабженное действиями сложения векторов + : V х V -> V и умножения на ска-
ляр •: Fх V—> V, такими что (V, +, 0) образует абелеву группу (где 0 € V есть нуль-
вектор), а для всех векторов х, у € V и любых скалярных величин a, be f имеют
место следующие свойства: 1 • х = х (где 1 является мультипликативной единицей
поля F), (об) х = а • (Ь -х), (а + Ь) х = а х + Ь • х и а • (х+у) = л х + а -у. Векторное
пространство над полем R действительных чисел называется действительным
векторным пространством. Векторное пространство над полем С комплексных
чисел называется комплексным векторным пространством.
Метрика F-нормы- метрика на действительном (комплексном) векторном
пространстве V, определенная как
Их —у Пр,
где II * Пр является F-нормой на V, т.е. функцией II • Пр: V -> R, такой что для всех х,
у € V и для любого скаляра а с I а I = 1 имеют место следующие свойства:
1)	II х Ир £ 0 с Их Ир = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	И ах Ир = II х Ир;
3)	И х + yllp £ II х Пр + И у Пр (неравенство треугольника).
F-норма называется р-однородной, если II ах Пр = I а Р II х Пр.
78
Часть I. Математика расстояний
Метрика F-нормы d является инвариантной метрикой переноса, т.е. d(x, у) =
= d(x + z, у + z) для всех х, у, z € V. И наоборот, если d является инвариантной
метрикой переноса на V, то II х llF = d(x, 0) является F-нормой на V.
• F*-метрика
F*-MeTpHKa- метрика F-нормы Их - уII/? на действительном (комплексном)
векторном пространстве V, такая что действия умножения на скаляр и сложения
векторов являются непрерывными относительно II • llF. Это означает, что II * 11/7 есть
функция IL ll/г: V -> R, такая что для всех х, у, хп е V и всех скалярных величин а, ап
имеем следующие свойства:
1) II х ll/г > 0 с II х ll/г = 0 тогда и только тогда, когда х= 0;
2)IIах 11/7 = IIх 11/7 длявсехлcla 1= 1;
3)	II х + yll/7 £ II х llF + II у 11/7;
4)	II aftx 11/7 —> 0, если ап -» 0;
5)	II ахп 11/7 -> 0, если хп —> 0;
6)	II а„хп И/? -» 0, если а„ —> 0, х„ -» 0.
Метрическое пространство (V, Их-у llF) с F*-метрикой называется F* -про-
странством. Эквивалентно, F*-пространство есть метрическое пространство (V, d)
с такой инвариантной метрикой переноса </, что действия умножения на скаляр и
сложения векторов являются непрерывными относительно этой метрики.
Модулярным пространством является F*-пространство (V, II • llF), в котором
F-норма И • 11/7 определяется как
и р естьмодуляр метризования на V, т.е. такая функция р : V—> [0, <*>], что для всех
х, у, хп е Уи всех скалярных величин а, а„ имеют место следующие свойства:
1)	р(х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	если р(ах) = р(х), то I а I = 1;
3)	если р(ах + by) £ р(х) + р(у), то a, ft > 0, а + ft = 1;
4)	р(алх) -> 0, если ап -> 0 и р(х) < «>;
5)	р(ахл) —> 0, если р(хп) —> 0 (свойство метризования);
6)	для любого х е У существует такое к > 0, что р(кх) < «>.
Полное F*-пространство называется ^-пространством. Локально выпуклое
F-пространство известно в функциональном анализе как пространство Фреше.
• Метрика нормы
Метрика нормы - метрика на действительном (комплексном) векторном
пространстве V, определяемая как
II х-у II,
где II • II является нормой на V, т.е. такой функцией II • II: У -> R, что для всех х, у е У
и любого скаляра а имеют место следующие свойства:
1)	II х II > 0 с II х II = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	IIахII = I а I ИхII;
3)	II х + у II < II х II + II у П\(неравенство треугольника).
Следовательно, норма II • II является 1-однородной F-нормой. Векторное
пространство (V, II • II) называется нормированным векторным пространством или
просто нормированным пространством.
Глава 5. Метрики на нормированных структурах
79
На любом данном конечномерном векторном пространстве все нормы экви-
валентны. Всякое конечномерное нормированное пространство является полным.
Любое метрическое пространство может быть изометрически вложено в неко-
торое нормированное векторное пространство как замкнутое линейно независимое
подмножество.
Нормированное угловое расстояние между х и у задается как
III *11 IIУIIII
Мал и гр ан да заметил следующее усиление неравенства треугольника в норми-
рованных пространствах: для любых х, у е V выполняется условие
(2 - d(x, - у)) min {II х II, II у II} < II х II + II у II - II х + yll < (2 - d(x, -у)) max {II х II, II у II}.
•• Полуметрика нолунормы
Полуметрнкой полунормы называется полуметрика на действительном (комп-
лексном) векторном пространстве V, задаваемая как
Их-уН,
где II * II является полунормой (или преднормой) на V, т.е. такой функцией
II • II: V-> R, что для всех х, у е V и любого скаляра а имеют место следующие
свойства:
1)	II х II >0с IIОII = 0;
2)	II ах II = I а I 11x11;
3)	II х + у II < II х II + II у II (неравенство треугольника).
Векторное пространство (V, II • II) называется полунормированным векторным
пространством. Многие нормированные векторные пространства, например
банаховы пространства, определяются как фактор-пространство по под-
пространству элементов полунормы нуль.
Квазинормированным пространством является векторное пространство V, на
котором задана квазинорма. Квазинормой на V называется неотрицательная
функция II • II: V -> R, удовлетворяющая тем же аксиомам, что и норма, за исклю-
чением неравенства треугольника, которое заменяется более слабым усло-
вием: существует константа С > 0, такая что для всех х, у е V выполняется не-
равенство
II х + у И < С(П х II + Ну II)
(см. Почтн-метрнка, гл. 1). Примером квазинормированного пространства, кото-
рое не является нормированным, может служить лебегово пространство Lp(Q) с
0 < р < 1, в котором квазинорма задается как
Ql/(x)fdxj ,/eLp(Q).
• Банахово пространство
Банахово пространство (или В-пространство) есть полное метрическое
пространство (V, Их- уII) на векторном пространстве V с метрикой нормы Их- yll.
Эквивалентно, оно является полным нормированным пространством (V, II • II).
В этом случае норма II • II на V называется банаховой нормой. Примерами
банаховых пространств являются:
1)	I* - пространства, 1р -пространства, 1 < р < «>, п е N;
80
Часть I. Математика расстояний
2)	пространство С сходящихся числовых последовательностей с нормой II х II =
= sup„lx„l;
3)	пространство Со числовых последовательностей, которые сходятся к нулю по
норме II х II = шахй II хп II;
4)	пространство C£6J,l<p<«> непрерывных функций на [а, Ь] с Бр-нормой
||z||₽=(f |/(о|₽лУ:
5)	пространство Ск непрерывных функций на компакте К с нормой II/ II =
= шах№К 1/01;
6)	пространство (С|аЧ)" функций на [а, 6] с непрерывными производными до
порядка п включительно с нормой || /||„= =omaxesrsz>
7)	пространство C"[ZW] функций, определенных в m-мерном кубе и непрерывно
дифференцируемых до порядка п включительно с нормой равномерной ограничен-
ности во всех производных порядка не больше, чем и;
8)	пространство М[аЬ] ограниченных измеримых функций на [а, />] с нормой
Ц /1|= ess sup | /(Г) |= inf sup | /(t) |;
a£t£b	е’Н(*)-0гб[а,Ь]\е
9)	пространство А (А) функций, которые являются аналитическими в открытом
единичном диске А = {z е С: I z I < 1} и непрерывными в закрытом диске А с
нормой II /1|= max.eS | /(z) |;
10)	лебеговы пространства Lp(Q), 1 < р < «>;
11)	пространства Соболева W*^(Q), Q с R'1, 1 <р < ©© функций/на Q, таких что
/и ее производные вплоть до некоторого порядка к имеют конечную Ьр-норму, с
нормой II / ||*,р= ^‘=о II ||р;
12)	пространство Бора АР почти периодических функций с нормой
11/11= sup |/(0|.
-оо<Г<-К»
Конечномерное вещественное банахово пространство называется прост-
ранством Минковского, Метрика нормы пространства Минковского называется
метрикой Минковского (см. гл. 6). В частности, любая ^-метрика есть метрика
Минковского.
Все и-мерные банаховы пространства являются попарно изоморфными: их
множество становится компактным, если вводится расстояние Банаха-Мазура
</Вм(К Ю = In infr II ТII • II Г"1 II, где инфимум берется по всем операторам, которые
реализуют изоморфизм Т: V -> W.
• 1р -Метрика
/^-Метрика dlp, 1 < р < ©о есть метрика нормы на R'1 (или на Сп), определен-
ная как
Нх-уНр,
где 1р-норма II * Нр задается как
1
Глава 5. Метрики на нормированных структурах
81
Для р = ©о мы получаем || х ()«=	1 |р = тах^, | х, |. Метрическое
пространство (Rn,dlp) сокращенно обозначается как /" и называется
1р -пространством.
/^-метрика, 1 < р < «> на множестве всех последовательностей х = {хп }7=j дейст-
вительных (комплексных) чисел, для которых сумма j | х, |р (для р = <*> сумма
имеет вид | xf |) является конечной, определяется как
1
(-	А7
< 1=1	)
Для р = ©о получаем max^i^-y/l. Это метрическое пространство сокращенно
обозначается как /~ и называется /~-пространством.
Наиболее важными являются /г, /2- и /«-метрики; /2-метрика на R" называется
также евклидовой метрикой. /2-метрика на множестве последовательностей {хп)л
действительных (комплексных) чисел, для которых | xf-12 < «>, известна также
как гильбертова метрика. На 03 все /^-метрики совпадают с натуральной метрикой
I X-у I.
• Евклидова метрика
Евклидова метрика (или ннфагорово расстояние, расстояние "как летает
ворона") dE - метрика на 03п, определенная как
IIX - у ||2 =	+...+(хп-уя)2.
Это обычная /2-метрика на 03”. Метрическое пространство (03”, dE), сокращенно
Е”, называется евклидовым пространством (или вещественным евклидовым про-
странством). Иногда выражением "евклидово пространство" обозначается трех-
мерный случай п = 3, в противовес евклидовой плоскости для п = 2. Евклидова
прямая (или действительная евклидова прямая) получается при п = 1, т.е. яв-
ляется метрическим пространством (03, I х-у I) с натуральной метрикой I х-у I
(см. гл. 12).
В действительности Е” является пространством со скалярным произведением
(и даже гильбертовым пространством), т.е. dE(x, у) = II х - у ll2 = ^/(x-y,x-y), где
(х, у) есть скалярное произведение на 03”, которое представлено в соответствующим
образом выбранной системе (декартовых) координат формулой <х,у) = ^" х^».
В стандартной системе координат имеем (x,y) = ^.^gfyXfyf, где gfy = {eit ej)9 и
метрический тензор ((gfy)) является положительно определенной симметричной
пхп матрицей.
В общем случае евклидово пространство определяется как пространство,
свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии.
82
Часть I. Математика расстояний
•	Унитарная метрика
Унитарная метрика (или комплексная евклидова метрика) есть /2’метРнка на
С", определенная как
II* - у ||2= 71^1 -У1 I2 +•••+! ХИ-Ул I2-
Метрическое пространство (Cn, II х - у II2) называется унитарным пространст-
вом (или комплексным евклидовым пространством). Для п = 1 получим
комплексную плоскость (или плоскость Арганда), т.е. метрическое пространство
(С, I z - и I) с метрикой комплексного модуля I z - и I; здесь | z |=| z{ + iz2 | = ^zf +z%
является комплексным модулем (см. также Кватернионная метрика, гл. 12).
•	Lp -метрика
Lp-метрика dL?, 1 < р < <» есть метрика нормы на Lp(Q, 51, ц), заданная как
II/-* II,
для любых/, g € Lp(Q, 51, |1). Метрическое пространство (Lp(Q,5i,p),^) назы-
вается Lp-пространством (или лебеговым пространством).
Здесь Q - некоторое множество и si является (5-алгеброй подмножеств мно-
жества Q, т.е. семейством подмножеств множества Q, удовлетворяющих
следующим свойствам:
l)Qe 51;
2) если А е 51, то ЙХА е 51;
3) если А = jА, с А,- е 51, то А еsi.
Функция ц : si -> R>o называется мерой на 51, если она аддитивна, т.е.
Ц(Ч>|А) = 2^1 Ц(А) для всех попарно не пересекающихся множеств А,е 51,
и удовлетворяет условию |1(0) = 0. Пространство с мерой - тройка (Q, 51, ц).
Для данной функции/: Q -> R(C) ее Ьр-норма определяется как
2
ll/llp=(Jol/(<^«»)'’.
Пусть Lp(Q, 51, ц) = Lp(Q) обозначает множество всех функций /: Q -> R(C),
которые удовлетворяют условию II/ Нр < «>. Строго говоря, Lp(Q, 51, ц) состоит из
классов эквивалентности функций, где две функции эквивалентны, если они
почти всюду одинаковы, т.е множество, на котором они различаются, обладает
нулевой мерой. Множество LM(Q, si, ц) есть множество классов эквивалентности
измеримых функций/: Q—>R(C), абсолютные величины которых почти всюду
ограничены.
Наиболее известным примером ^-метрики является метрика dLp на множестве
Lp(Q, si, |1), где Q - открытый интервал (0,1), 51 - борелева (5-алгебра на (0,1) и ц-
лебегова мера. Это метрическое пространство сокращенно обозначается как 1^(0,1)
и называется Lp(Q,^-пространством.
Гпава 5. Метрики на нормированных структурах
83
Аналогичным образом можно задать Z^-метрику на множестве Cia всех дейст-
вительных (комплексных) непрерывных функций на [а, Ь]:
гь	\уР
dLp(f^= j\f(x)-g(x)\pdx
Для р = ©о d£~(/,g) = maxw<t<J/(x)-g(x)|. Это метрическое пространство сокра-
щенно обозначается как Cfu и называется С^а ^-пространством.
Если Q = N,	= 2° является семейством всех подмножеств Q, и ц - кар-
динальным числом (т.е. ц(А) = | А |, если А - конечное подмножество Q и ц(А) = ©о -
иначе), то метрическое пространство (lp(Q,2q,||),Jl^ j и -пространство сов-
падают.
Если Q = Vn есть множество, состоящее из п элементов, з4=2Ул, и ц является
кардинальным числом, то метрическое пространство ^Lp(V„92Vn, | • |)></^) и ^-про-
странство совпадают.
•	Двойственные метрики
1р-метрика и lq-метрика, 1 < р, q < <*> называются двойственными, если 1/р +
+ !/</= 1.
В общем случае, когда речь идет о нормированном векторном пространстве
(V, || • ||v), интерес представляют непрерывные линейные функционалы из V в
основное поле (R или С). Эти функционалы образуют банахово пространство
(V'JHIv')» называемое непрерывным двойственным для пространства V. Норма
|| • ||г на Г задается как || Т ||r = supwv f | Т(х) |.
Непрерывным двойственным для метрического пространства lp [lp} является
I* (соответственно /~). Непрерывным двойственным для пространства (/j*)
является (соответственно С). Непрерывные двойственные для банаховых про-
странств С (состоящего из всех сходящихся последовательностей с /«-метрикой) и
Со (состоящего из всех сходящихся к нулю последовательностей с /«-метрикой)
могут быть естественным образом идентифицированы с /f.
•	Пространство со скалярным произведением
Пространством со скалярным нронзведеннем (или предгильбертовым прост-
ранством) называется метрическое пространство (V, ||х-у||) на действительном
(комплексном) векторном пространстве V со скалярным произведением (х, у),
такое что метрика нормы || х - у || строится с использованием нормы скалярного
произведения || х || = ^(х, х).
Скалярное произведение (,) на действительном (комплексном) векторном про-
странстве V является симметричной билинейной (в комплексном случае сески-
линейной) формой на V, т.е. функцией (,): V х V -> Й(С), такой что для всех х, у, z
е V и всех скалярных величин а, 3 имеют место следующие свойства:
84
Часть I. Математика расстояний
1)	(л, х) > 0 с (х, х) = О тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	(х, у) = (у, х), где а = а + bi = а - Ы означает комплексное сопряжение;
3)	(cu+Ру, z) = а(х, z) + Р(у, z).
Для комплексного векторного пространства скалярное произведение называется
также эрмитовым скалярным произведением, а соответствующее метрическое
пространство - пространством с эрмитовым скалярным произведением.
Норма || • || в нормированном пространстве (V, || • ||) порождается скалярным
произведением тогда и только тогда, когда для всех х, у € V имеет место равенство
II х+у II2 + II х - у II2 = 2(11 х II2 + II у II2 ).
•	Гильбертово пространство
Гильбертово пространство есть пространство со скалярным произведением, ко-
торое, как метрическое пространство, является полным. Точнее говоря, гильбер-
тово пространство есть полное метрическое пространство (Я, || х - у ||) на действи-
тельном (комплексном) векторном пространстве Н со скалярным произведением
(,), таким что метрика нормы || х - у || строится по норме скалярного произведения
|| х ||= л/(х,х). Любое гильбертово пространство есть банахово пространство.
Примером гильбертова пространства служит множество всех последователь-
оо
ностей х = {хя}л действительных (комплексных) чисел, таких что | х, |2 сходится
* <=1
с гильбертовой метрикой, задаваемой как
(«	ч,/2
i=l	)
В качестве других примеров гильбертовых пространств можно привести любое
Г^-пространство и любое конечномерное пространство со скалярным произ-
ведением. В частности, любое евклидово пространство является гильбертовым.
Прямое произведение двух гильбертовых пространств называют пространст-
вом Лиувилля (или расширенным гильбертовым пространством).
•	Метрика нормы Рисса
Пространство Рисса (или векторная решетка) есть частично упорядоченное
векторное пространство (Ут, ^), в котором выполняются следующие условия:
1. Структура векторного пространства и частично упорядоченная структура
совместимы, т.е. из х i у следует, что х + z < у + z, а из х > 0, ае R, а > 0 следует,
что ах >- 0.
2. Для двух любых элементов х,уе VRi существует объединение xvyeV^ и
пересечение х л у € VRi (см. гл. 10).
Метрика нормы Рисса есть метрика нормы на VRi, задаваемая как
II* -У II».
где || Цл- есть норма Рисса на VRi, т.е. такая норма, что для всех х, ye VRi не-
равенство | х | < | у |, где | х | = (-х) v (х), порождает неравенство || х ||л £ || У Ня/ *
Пространство (VRi, || • ||л) называется нормированным пространством Рисса.
В случае полноты оно называется банаховой решеткой.
Глава 5. Метрики на нормированных структурах
85
•	Компакт Банаха-Мазура
Расстояние Банаха-Мазура dBM между двумя ^-мерными нормированными про-
странствами (V, || • ||у) и (IV, || • ||ж) определяется как
IninfllTlHlT-1 О,
Т
где инфимум берется по всем изоморфизмам Т: V IV. Оно является метрикой на
множестве Хп всех классов эквивалентности и-мерных нормированных про-
странств, где V - IV тогда и только тогда, когда они изоморфны. Тогда пара
(Хя,</вм) является компактным метрическим пространством, называемым ком-
пактом Банаха-Мазура.
•	Фактор-метрика
В случае нормированного пространства (V, || • ||v) с нормой || • ||у и замкнутым
подпространством IV пространства V пусть (V/IV, || • |lv/ж) будет нормированным
пространством смежных классов x+W = {x + w:weW},xe V с фактор-нормой
II *+ WIIV/W = infweW II Х + W Ну .
Фактор-метрнкой называется метрика нормы на V7IV, заданная как
11(*+Ю-(у+Ю1к/ж-
•	Метрика тензорной нормы
Для нормированных пространств (V, || ||у) и (IV, Ц Ц^) норма ||||® на тен-
зорном произведении V ® IV называется тензорной нормой (или кросс-нормой),
если || х ® у ||® = || х || v || у ||ж для всех разложимых тензоров х ® у.
Метрика тензорной нормы есть метрика нормы на V ® IV, заданная как
Ik-dl®-
Для любого ze V®W, z =	®уу-, Xj е V, уу-е IV его проективная норма
J
(или п-норма) определяется как || z 11^= inf £ || Xj ||v|| у; ||ж, где инфимум берется
j
по всем представлениям z в виде суммы разложимых векторов. Это самая большая
тензорная норма на V®W.
•	Метрика валюации
Метрика валюации - это метрика на поле F, заданная как
где II • II — валюация на F, т.е. функция || • ||: F —> 0?, такая что для всех х, у е F имеют
место следующие свойства:
1)	|| х || £ 0 с || х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	II лу II=II * IIIIУII;
3)	|| х+у || £ || х || +1| у || (неравенство треугольника).
Если || х+у || $ шах{|| х || ,|| у ||), то валюация || • II называется неархимедовой.
В этом случае метрика валюации будет ультраметрнкой. Простейшим примером
86
Часть I. Математика расстояний
валюации является тривиальное нормирование || |ltr:l|O|ltr=O и ll*lltr=l Для
х е F \ {0}, которое является неархимедовым.
В математике существуют разные определения понятия валюации. Так,
например, функция v: F -> R u {«>} называется валюацией, если v(x) > 0, v(0) = «>,
v(xy) = v(x) + v(y) и v(x + y)>min{v(x),v(y)} для всех x,yeF. Валюацию ||-II
можно получить из функции v по формуле || х || = av(x) для некоторого фикси-
рованного 0 < a < 1 (см. р-аднческая метрика, гл. 12). Валюация Куршака 11^
задается как функция | • 1^: F -> R, такая что | х 1^ > 0, | х 1^= 0 тогда и только
тогда, когда х = 0, | ху = | х | у |Кге и + у 1^ < Стах^х^, для всех
x,yeF и для некоторой положительной константы С, называемой константой
валюации. Если С < 2, то получается обычное определение валюации || * ||, которое
будет неархимедовым, если С < 1. В целом любая валюация эквивалентна
некоторой валюации || • ||, т. е- 11^=1111 при некотором р > 0. И наконец, для упо-
рядоченной группы (G, *, е, <), снабженной нулем, валюация Крулла определяется
как функция |• |:F —>G, такая что |х| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0,
|ху | = |х||у| и |х + у|^тах{|х|, |у|} для любых x,yeF. Это является обобщением
определения неархимедовой валюации || * || (см. Обобщенная метрика, гл. 3).
• Метрика степенного ряда
Пусть F - произвольное алгебраическое поле и пусть F(x-1) - поле степенных
рядов вида w = a_mxm +... + a0 +(Х|Х + ...,jaf- eF. При заданном I > 1 неархимедова
валюация || • II на F(x-1) определяется как
Ik || =
/т, если w*0,
0, если w = 0.
Метрика степенного ряда есть метрика валюации || w - v || на F(x 1).
Часть II
ГЕОМЕТРИЯ И РАССТОЯНИЯ
Глава 6
Расстояния в геометрии
Геометрия возникла как область знаний, связанная с различными соотношениями
в пространстве. Это была одна из двух областей, предшествовавших современной
математике, вторая занималась изучением чисел. В настоящее время геомет-
рические концепции достигли весьма высокого уровня абстрактности и сложности
обобщений.
6.1.	ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В математике понятие "геодезический" является обобщением понятия "прямая
линия" по отношению к искривленному пространству. Данный термин заимствован
из геодезии, науки, занимающейся измерением размера и формы Земли.
Пусть (X d) - произвольное метрическое пространство. Метрическая кривая у
есть непрерывная функция у: I -> X, где /- интервал (т.е. непустое связное
подмножество) в R. Если у является г раз непрерывно дифференцируемой, то она
называется регулярной кривой класса Сг\ если г = «>, то у называется гладкой
кривой.
Вообще говоря, кривая линия может пересекать саму себя. Кривая будет назы-
ваться простой кривой (или дугой, путем), если она не пересекает саму себя,
т.е. является инъективной. Кривая у: [a, ft] —» X называется жордановой кривой
(или простой замкнутой кривой), если она не пересекает себя и у (а) = y(ft).
Длина (которая может быть равна °°) Z(y) кривой у: [a, ft] —» X определяется как
п
sup <f(yG/_|), y(*f)), где верхняя грань берется по всем конечным разбиениям
/=1
a = tQ <tx <...<tn = b, n e N отрезка [a,ft]. Кривая конечной длины называется
спрямляемой. Для любой регулярной кривой у: [a, ft] —» X зададим натуральный
параметр s кривой у как s = s(t) = l(y |	), где ^(т1[М) есть длина части у,
соответствующей интервалу [а, г]. Кривая с такой натуральной параметризацией
у = y(s) называется кривой единичной скорости (или параметризованной длиной
дуги, нормированной)-, при данной параметризации для любых tx,t2 € I получаем
/(тЬ1,Г2))=к2 -<i I«/(т)»Н-в|.
Длина любой кривой у. [a, ft] —> X равна по меньшей мере расстоянию между ее
концевыми точками: /(y)>d(y(a),y(ft)). Кривая у, для которой /(у) = d(y(a),y(b)),
называется геодезическим отрезком (или кратчайшим путем) от х = у (а) до у =
= y(ft) и обозначается как [х, у]. Таким образом, геодезический отрезок есть
кратчайший путь между его концевыми точками; он является изометрическим
вложением [a, ft] в X В целом геодезические отрезки могут и не существовать,
кроме тривиального случая, когда отрезок состоит только из одной точки. Более
того, геодезический отрезок, соединяющий две точки, не обязательно единствен.
Глава 6. Расстояния в геометрии
89
Геодезической называется кривая, которая бесконечно распространяется в обе
стороны и локально ведет себя как отрезок, т.е. локально всюду является миними-
затором расстояния. Точнее говоря, кривая у: R —> X в естественной параметриза-
ции называется геодезической, если для любого гей существует такая окрест-
ность U, что для любых Г|, t2 е U имеем </(у(Г|),у(Г2)) = |/| -f2 I- Таким образом,
любая геодезическая есть локально изометрическое вложение всего R в X. Геоде-
зическую называют метрической нрямой, если равенство d(y(t{),TO2)) = |/j I
выполняется для всех rb t2 е R. Такая геодезическая является изометрическим
вложением всей действительной прямой R в X. Геодезическая будет называться
метрическим большим кругом, если она является изометрическим вложением
круга S1 (0, г) в X. В общем случае геодезические могут и не существовать.
•	Геодезическое метрическое пространство
Произвольное метрическое пространство (X J) называется геодезическим, если
любые две точки в X могут быть соединены геодезическим отрезком, т.е. для
любых двух точек х, у е X существует изометрия отрезка [0, d(х, у)] в X. Любое
полное риманово пространство и любое банахово пространство являются гео-
дезическим метрическим пространством.
Произвольное метрическое пространство (X, d) называется локально геодези-
ческим метрическим пространством, если любые две достаточно близкие точки в
X могут быть соединены геодезическим отрезком; оно будет называться D-гео-
дезическим, если любые две точки на расстоянии <D могут быть соединены
геодезическим отрезком.
•	Геодезическое расстояние
Геодезическое расстояние (или расстояние кратчайшего пути) есть длина геоде-
зического отрезка (т.е. кратчайшего пути) между двумя точками.
•	Интервальная метрика
Пусть (X d) - произвольное метрическое пространство, в котором всякие две
точки соединены спрямляемой кривой. Тогда интервальная метрика (или порож-
денная внутренняя метрика) D на X задается как инфимум длин всех спрямляе-
мых кривых, соединяющих две данные точки х, у е X.
Метрика d на X называется внутренней метрикой (или метрикой длины), если
она совпадает со своей интернальной метрикой D. Метрическое пространство с
внутренней метрикой называется пространством длины (или метрическим прост-
ранством путей, внутренним метрическим пространством).
Если, кроме того, любая пара точек х, у может быть соединена кривой длины
d(x, у), то внутренняя метрика d называется строго внутренней, а пространство
Длины (X d) - геодезическим метрическим пространством.
Полное метрическое пространство (X d) является пространством длины тогда и
только тогда, когда для любых двух х, у е X и любого е > 0 существует третья
точка z е X (^-срединная точка), для которой d(x,z),d(y,z) < ^-</(х,у) + Е.
Любое полное локально компактное пространство длины является собственным
геодезическим метрическим пространством.
•	G-Пространство
G-Пространством (или пространством геодезических) называется метрическое
пространство (X d) с геометрией, характеризуемой тем, что расширения геодези-
90
Часть IL Геометрия расстояния
ческих, определяемых как локально кратчайшие линии, являются единственными.
Такая геометрия есть обобщение гильбертовой геометрии (см. [Buse55]).
Точнее говоря, G-пространство (X, d) определяется следующими условиями:
1.	Пространство является собственным (или конечно компактным), т.е. все его
метрические шары компактны.
2.	Оно является выпуклым по Менгеру, т.е. для любых различных х, у е X суще-
ствует такая третья точка z е X, z * х, у, что d(x, z) + rf(z,у) = d(x,у).
3.	Оно является локально расширяемым, т.е. для любого а е X существует такое
г > 0, что для любых различных точек х, у в шаре В(а, г) имеется такая точка z,
отличающаяся от х и у, что d(x,у) + d(y, z) = d(x, z).
4.	Оно является расширяемым единственным образом, т.е., если в п. 3 выше для
двух точек Z| и z2 имеет место равенство d(y, Zj) = d(y, z2), то zx = z2.
Существование геодезических отрезков обусловливается конечной компакт-
ностью и выпуклостью Менгера: любые две точки конечно компактного выпук-
лого по Менгеру множества X могут быть соединены геодезическим отрезком в X.
Существование геодезических обусловлено аксиомой локальной продолжаемости:
если конечно компактное выпуклое по Менгеру множество X является локально
расширяемым, то существует геодезическая, содержащая данный геодезический
отрезок. Наконец, единственность продолжения обеспечивает допущение диффе-
ренциальной геометрии, что линейный элемент определяет геодезическую
единственным образом.
Все римановы и финслеровы пространства являются G-пространствами.
Одномерное G-пространство есть метрическая прямая линия или метрический
большой круг. Любое двумерное G-пространство является топологическим много-
образием.
Всякое G-пространство есть хордовое пространство, т.е. метрическое прост-
ранство с множеством выделенных геодезических отрезков, таких что любые две
точки соединяются единственным таким отрезком (см. [BuPh87]).
• Дезаргово пространство
Дезаргово пространство - G-пространство (X, d), в котором роль геодезических
выполняют обычные прямые. Это значит, что X может быть топологически отоб-
ражено в проективное пространство IRP'1 таким образом, что каждая геодезическая
пространства X отображается в прямую линию пространства RPn. Любое X,
отображенное в 1ЙРЛ, либо должно покрывать все RP” (в таком случае все
геодезические X являются метрическими большими кругами одной длины), либо
может рассматриваться как открытое выпуклое подмножество аффинного про-
странства Ап.
Пространство (X, d) геодезических является дезарговым пространством тогда и
только тогда, когда выполняются следующие условия:
1. Геодезическая, проходящая через две различные точки, является единст-
венной.
2. Для размерности п = 2 обе теоремы Дезарга (прямая и обратная) справедливы,
а для размерности п > 2 любые три точки из X лежат в одной плоскости.
Среди римановых пространств единственными дезарговыми пространствами
являются евклидовы, гиперболические и эллиптические пространства. Примером
нериманова дезаргова пространства служит пространство Минковского, которое
может считаться прототипом всех неримановых пространств, включая финслеровы
пространства.
Глава 6. Расстояния в геометрии
91
•	G-Пространство эллиптического типа
G-Пространством эллиптического типа называется G-пространство, в котором
через две точки проходит единственная геодезическая, и все геодезические -
метрические большие круги одинаковой длины.
Каждое G-пространство, в котором имеется единственная геодезическая, прохо-
дящая через каждые две данные точки, является или G-пространством эллипти-
ческого типа, или прямым G-пространством.
•	Прямое G-пространство
Прямым G-пространством называется G-пространство, в котором возможно
глобальное продолжение геодезической так, чтобы любой ее отрезок оставался
кратчайшим путем. Другими словами, для двух любых х, у е X существует един-
ственный геодезический отрезок, соединяющий х и у, и единственная метрическая
прямая, которой х и у принадлежат.
Всякая геодезическая в прямом G-пространстве есть метрическая прямая,
определенная единственным образом любыми двумя ее точками. Любое двумерное
прямое G-пространство гомеоморфно плоскости.
Все односвязные римановы пространства неположительной кривизны (вклю-
чая евклидово и гиперболические пространства), гильбертовы геометрии и
пространства Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода g > 1 (в слу-
чае их метризации метрикой Тейхмюллера) являются прямыми G-пространствами.
•	Метрическое пространство, гиперболическое но Громову
Метрическое пространство (X, d) называется гиперболическим по Громову, если
оно является геодезическим и 8-гиперболнческнм для некоторого 3 > 0.
Любое полное односвязное риманово пространство секционной кривизны к < -а2
есть метрическое пространство, гиперболическое по Громову, с 3 = -^^-. Важным
а
классом метрического пространства, гиперболического по Громову, являются
гиперболические группы, т.е. группы с конечным числом образующих, словарная
метрика которых является 3-гиперболической для некоторого 3 > 0. Метрическое
пространство будет действительным деревом в точности тогда, когда оно -
метрическое пространство, гиперболическое по Громову, с 3 = 0.
Геодезическое метрическое пространство (X, d) будет 8-гиперболическим тогда
и только тогда, когда оно 48-гиперболическое по Рипсу, т.е. каждый из его гео-
дезических треугольников (соединение трех геодезических отрезков [х, у], [х, z],
[у, z]) является 48-/ио«кмл< (или 48-слабым): каждая из сторон треугольника нахо-
дится в 48-окрестности двух других сторон (48-окрестность подмножества А с: X
есть множество {be X: inffl64 d(b,a) < 43}).
Каждое САТ(Л) пространство с к < 0 является гиперболическим по Громову.
Каждое евклидово пространство Е" является САТ(О) пространством и будет
гиперболическим по Громову только для п = 1.
•	САТ(А) пространство
Пусть (X, d) - произвольное метрическое пространство. Пусть М2 - односвязное
двумерное риманово многообразие постоянной кривизны к, т.е. 2-сфера S% с к > 0,
евклидова плоскость Е2 с к = 0 или гиперболическая плоскость Нк с к < 0. Пусть Dk
я
обозначает диаметр А/2, т.е. Dk = -?=•, если к> 0, и Dk = °°, если к < 0.
92
Часть П. Ггометрия расстояния
Треугольник Т в X состоит из трех точек в X, соединенных попарно тремя
геодезическими отрезками; отрезки при этом называются сторонами треуголь-
ника. Для треугольника Т с X сопоставимым с Т треугольником в М2 будет
треугольник Т с: Л/2 вместе с отображением Д, которое изометрически отображает
каждую сторону треугольника Т на сторону Т'. Треугольник Т удовлетворяет
CAT(Jt) неравенству Громова (CAT - первые буквы фамилий Картан (Cartan),
Александров, Топоногов), если для каждых х, у е Т имеет место неравенство
d(x,y)<d 2(fTMJT(y)l
m
где fT- отображение, соответствующее сопоставимому с Т треугольнику в М2.
Таким образом, геодезический треугольник Т является столь же ’’тонким”, как и
сопоставимый треугольник в М2.
Метрическое пространство (X d) есть САТ(4) нространство, если оно - D*-reo-
дезическое (т.е. любые две точки на расстоянии < Dk могут быть соединены
геодезическим отрезком) и все треугольники Т с суммой сторон < 2Dk удовлет-
воряют САТ(£) неравенству.
Любое САТ(Л|) пространство есть САТ(/с2) пространство, если k\< к2. Любое
действительное дерево является С А Т(-оо) пространством, т.е. является САТ(&)
пространством для всех к е R.
Пространство Александрова с кривизной, ограниченной сверху к (или локальное
САТ(Л) нространство), есть метрическое пространство (X d), в котором каж-
дая точка ре X имеет окрестность U, такую что любые две точки х, у е U
соединяются геодезическим отрезком, и САТ(£) неравенство выполняется для всех
х, у, z е U. Риманово многообразие есть локальное САТ(/с) пространство тогда и
только тогда, когда его секционная кривизна не превосходит к.
Пространство Александрова с кривизной, ограниченной снизу к - метрическое
пространство (X, J), в котором каждая точка р е X имеет окрестность U, такую
что любые две точки х, у е U соединяются геодезическим отрезком, и обратное
С А Т(к) неравенство
d(x,y)>dM2(fT(x)9fT(y)),
где fT есть отображение, соответствующее сопоставимому для Т треугольнику в
М2, выполняется для всех х, у, z е U.
Два приведенных выше определения различаются только знаком (< или >)
выражения d(x,y)>dM2(fT(x),fT(y)). Если к = 0, указанные выше пространства
называются неположительно искривленными и неотрицательно искривленными
метрическими пространствами соответственно; они также различаются знаками
(< или > соответственно) в выражении
2 d2 (z, т(х, y))-(d2(z,x)+d2(z,y) + ^d2(x, у)),
где вновь х, у, z являются тремя любыми точками в окрестности U для каждого
р g X и т(х, у) есть срединная точка метрического интервала Z(x, у).
В САТ(О) пространстве любые две точки соединены единственным геодези-
ческим отрезком и расстояние есть выпуклая функция. Любое САТ(О) прост-
ранство является выпуклым по Буземану и птолемеевым (см. гл. 1), а обратное
неверно. То же самое справедливо на уровне локальных свойств, но в римановом
пространстве все три локальных условия эквивалентны неположительности
секционной кривизны. Евклидовы пространства, гиперболические пространства,
Глава 6. Расстояния в геометрии
93
евклидовы построения и деревья являются САТ(О) пространствами. Полные
САТ(0) пространства называются также адамаровыми пространствами.
• Граница метрического пространства
Существуют разные понятия границы ЪХ метрического пространства (X d).
Ниже приводятся лишь некоторые наиболее общего характера. Обычно, если
(X, d) является локально компактным, то X и дХ - его компактное расширение.
1.	Идеальная граница. Пусть (X d) - геодезическое метрическое пространство, а
у1 и у2 - два метрических луча, т.е. геодезические с изометрией вХ. Эти лучи
называют эквивалентными, если хаусдорфово расстояние между ними (соответст-
вующее метрике d) конечно, т.е. если suprf(yl(r),y2(O)<°°- Граница в бесконеч-
но
ностн (или идеальная граница) пространства (X d) есть множество дмХ эквива-
лентных классов у^ всех метрических лучей.
Если (X, d) - полное САТ(О) пространство, то метрика Титса (или асимпто-
тический угол расхождения) на дмХ задается как
( рА
2arcsin —
для всех yLvisd^X где р= lim -rf(y!(O,y2(O)- Множество Э^Х, снабженное
Г->+оо t
метрикой Титса, называется границей Титса пространства X.
Если (X,rf,x0) - пунктированное полное САТ(-1) пространство, то метрика
Бурдона (с базовой точкой х0)на дмХ определяется как
е-(х.у)
для любых х,у еЭ^Х, где (х.у) обозначает произведение Громова (х.у)Х(). Сфера
видимости (X, d) в точке xq е X есть множество классов эквивалентности метри-
ческих лучей, исходящих из х0.
2.	Граница Громова. Если задано пунктированное метрическое пространство
(X, d, Xq), то его граница Громова (обобщение Бакли и Коккендорфа в 2005 г.
случая пространства, гиперболического по Громову) есть множество dGX классов
эквивалентности последовательностей Громова. Последовательность х = {хД в
X называется последовательностью Громова, если произведение Громова
(хРХу)х -><» при /,/->«>. Две последовательности Громова х и у называются
эквивалентными, если существует конечная цепь последовательностей Громова
xk,0<k<k', такчто х = х°, у = х*,и lim inflx*4.Xy) = <» для O£k<k'.
В собственном геодезическом пространстве, гиперболическом по Громову, сфе-
ра видимости не зависит от базовой точки xq и является естественно изоморфной
своей границе Громова dGX, которая может быть отождествлена с дмХ.
3.	g-Граннца. Обозначим через Xd метрическое пополнение (X, d) и, рассмат-
ривая X как подмножество Xd, обозначим разность Xd \ X как dXd. Пусть
(Х,/,х0) - пунктированное неограниченное пространство длины, т.е. его метрика
совпадает с внутренней метрикой I пространства (X, d). В случае измеримой
94
Часть IL Геометрия расстояния
функции g: R>o —> R>0, g-граннца пространства (X,rf,x0) (обобщение Бакли и
Коккендорфа в 2005 г. сферической границы и границы Флойда) есть
3gX = ЭХО \ ЭХ/, где <у(х,у) = inf J g(z)dl(z) для всех х, у е X (здесь инфимум берется
по всем метрическим отрезкам у = [х,у]).
4.	Граница Хочкнса. В случае пунктированного собственно выпуклого по
Буземану метрического пространства (X, J,x0) его границей Хочкнса называется
множество Эн(Х,х0) изометрий /: R>0 —> X с /(О) = хо. Границы Эд0Х и Э^Х
являются гомеоморфными для различных х0,х( еХ. В пространстве, гиперболи-
ческом по Громову, Эц° X гомеоморфно границе Громова 3GX.
5.	Метрическая граница. Для пунктированного метрического пространства
(X,rf,x0) и неограниченного подмножества S множества R>0 лучу: S -> X на-
зывается слабо геодезическим лучом, если для каждого х е X и каждого е > 0
существует целое число /V, такое что неравенства |</(y(O,y(O))-f |<е и
|rf(y(r),x)- J(y(5),x)-(r-5)|<e выполняются для всех s,te Т с s, t > N. Пусть
Sg(X, d)- коммутативная унитарная С*-алгебра с нормой Ц Н^, порождаемая
(ограниченными, непрерывными) функциями, которые обращаются в нуль на X,
постоянными функциями и функциями вида gy(x) = d(x,xQ)-d(x,y) (см. опреде-
ления в разделе Квантовое метрическое пространство). Метрическая граница Ри-
феля ЭЯХ пространства (X, d) есть разность Xd \ X, где Xd является метрическим
компактным расширением (X, d), т.е. максимальным идеальным пространством
(множеством чистых состояний) данной С*-алгебры. Рифель доказал, что для
собственного метрического пространства (X, d) со счетной базой граница 3RX
включает пределы lim /(у(г)) для каждого слабого геодезического луча у и каждой
г—>°°
функции/вышеуказанной С*-алгебры.
• Проектнвно плоское метрическое пространство
Метрическое пространство, в котором геодезические заданы, называется про-
ектнвно плоским, если оно локально допускает геодезическое (или проективное)
отображение, т.е. отображение, сохраняющее геодезические, в некоторое
евклидово пространство (см. евклидов ранг метрического пространства в гл. 1;
сходные термины: аффинно плоское, конформно плоское и т.п.).
Риманово пространство будет проективно плоским тогда и только тогда, когда
оно имеет постоянную (секционную) кривизну.
6.2. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Проективная геометрия является частью общей геометрии, рассматривающей
свойства и инварианты геометрических фигур под воздействием оператора
проектирования. Аффинная геометрия, геометрия подобия (или метрическая
геометрия) и евклидова геометрия являются частями проективной геометрии с
нарастающей сложностью. Основными инвариантами проективной, аффинной,
метрической и евклидовой геометрий являются соответственно ангармоническое
отношение, параллельность (и относительные расстояния), углы (и относительные
расстояния), абсолютные расстояния.
Глава 6. Расстояния в геометрии
95
п-Мерное проективное пространство $Рп есть пространство одномерных век-
торных подпространств данного (п + 1)-мерного векторного пространства V над
полем F. Базовое построение предполагает формирование множества классов
эквивалентности ненулевых векторов в пространстве V при соблюдении отноше-
ния скалярной пропорциональности. Данная идея возвращает нас к математиче-
скому описанию перспективы. Использование базиса пространства V позволяет
ввести однородные координаты точки в HP”, которые обычно записываются как
(Л| : х2 :...: хп : хп+1) - вектор длины п + 1, отличный от (0:0:0:...: 0). Два
множества с пропорциональными координатами обозначают одну и ту же точку
проективного пространства. Любая точка проективного пространства, кото-
рую можно представить как (jq : х2 :...: хп : 0), называется бесконечно удален-
ной точкой. Часть проективного пространства IKP'1, не являющаяся ’’бесконеч-
но удаленной", т.е. множество точек проективного пространства, которые мо-
гут быть представлены как (jq : х2 :...: хп : 1), есть л-мерное аффинное прост-
ранство Ап.
Символом RP” обозначается действительное проективное пространство
размерности л, т.е. пространство одномерных векторных подпространств прост-
ранства R"+l. Символом СРЛ обозначается комплексное проективное простран-
ство комплексной размерности л. Проективное пространство RP" имеет естест-
венную структуру компактного гладкого л-мерного многообразия. Его можно
рассматривать как пространство прямых, проходящих через нулевой элемент
пространства И?я+| (т.е. как пространство лучей). Оно может рассматриваться
как множество R* (как аффинное пространство) совместно с его бесконечно
удаленными точками. Его можно рассматривать также как множество точек
л-мерной сферы в Кл+|, отождествленных с диаметрально противоположными
точками.
Проективные точки, проективные прямые, проективные плоскости,..., проек-
тивные гиперплоскости пространства HP* являются соответственно одномерными,
двумерными, трехмерными,..., л-мерными подпространствами пространства V.
Любые две проективные прямые на проективной плоскости имеют одну и только
одну общую точку. Проективное преобразование (или коллинеация, проективное
соответствие) есть биективное отображение проективного пространства на себя,
сохраняющее коллинеарность (свойство точек располагаться на одной линии) в
обоих направлениях. Любое проективное преобразование есть композиция двух
перспективных проекций. Проективные преобразования не обеспечивают сохра-
нение размеров или углов, однако сохраняют тип (т.е. точки остаются точками и
прямые - прямыми), инцидентность (т.е. принадлежность точки прямой) и
ангармоническое отношение. Здесь для четырех коллинеарных точек x,y,z,r е FP”
z ч (х - z)( у -t)	x — z
их ангармоническое отношение задается как (x,y,z,Z) =-------, где ----
(y-z)(x-Z) х-г
Л	/W“/W	V . ,	„ -	-
обозначает частное —ууу для некоторой аффинной биекции f прямой
1ху, проходящей через точки х и у, в К. Если имеется четыре проективные
прямые lx,ly,l2,lt, проходящие через точки х, у, z, t соответственно, которые про-
ходят через данную точку, их ангармоническое отношение, заданное выражением
„ , , /ч sin(/x,4)sin(/v,/,)
(ZX,Z ,ZT,Z.) =-----------:---, совпадаете (x,y,z,z). Ангармоническое отношение
' “ sin(Z>„Z2)sin(Zx,Zf)
96
Часть И. Геометрия расстояния
,	.	(x-z)(y-f)
четырех комплексных чисел x,y,z,t задается как (x,y,z,t) =---------. Оно
(y-zXx-0
будет действительным тогда и только тогда, когда четыре числа являются или
коллинеарными, или коцикличными.
• Проективная метрика
Для данного выпуклого подмножества D проективного пространства RP"
проективная метрикам/ есть метрика на D, такая что кратчайшие пути по
отношению к этой метрике являются частями проективных прямых или самими
проективными прямыми. Предполагается, что выполняются следующие условия:
1.	D не является подмножеством никакой гиперплоскости.
2.	Для любых трех неколлинеарных точек x,y,z е D неравенство треугольника
выполняется в строгом смысле: d(x,у) < d(x,z)+d(z,у).
3.	Если х и у - разные точки в D, то пересечение прямой 1Х у, проходящей через
х и у, с D есть либо вся прямая 1Х , образующая метрический большой круг, либо
получено из lx v посредством удаления некоторого отрезка (который может быть
сведен к точке) и образует метрическую прямую.
Метрическое пространство (D, d) называется проективным метрическим прост-
ранством (см. Проектнвно плоское пространство). Проблема определения всех
проективных метрик является четвертой проблемой Гильберта-, она решена
только для размерности п = 2. Именно, если имеется гладкая мера на пространстве
гиперплоскостей в RP", определим расстояние между любыми двумя точками
х, у е RP" как половину меры всех гиперплоскостей, которые пересекают отрезок
прямой, соединяющий х и у. Полученная метрика будет проективной - это конст-
рукция Буземана проективных метрик. Для п = 2, как доказано Амбарцумяном
([Amba76]), все проективные метрики могут быть получены из конструкции
Буземана.
В проективном метрическом пространстве одновременно не может быть двух
видов прямых: они все либо метрические прямые, либо метрические большие
круги одинаковой длины (теорема Гамеля). Пространства первого вида назы-
ваются открытыми. Они совпадают с подпространствами аффинного прост-
ранства; геометрия открытых проективных метрических пространств есть гиль-
бертова геометрия. Гиперболическая геометрия является гильбертовой геомет-
рией, в которой существуют отражения от всех прямых. Именно, множество D
имеет гиперболическую геометрию тогда и только тогда, когда оно является
внутренностью эллипсоида. Геометрия открытых проективных пространств,
множества которых совпадают со всем аффинным пространством, есть геомет-
рия Минковского. Евклидова геометрия - гильбертова геометрия и геометрия
Минковского одновременно. Пространства второго вида называются закрытыми-,
они совпадают со всем RP'1. Эллиптическая геометрия - геометрия проективного
метрического пространства второго вида.
• Проективная метрика полосы
Проективная метрика полосы ([ВиКе53]) есть проективная метрика на полосе
_ I —2 7С v 7С I
St = j х е /? : -— < J2 < у г, опРеДеленная как
7<х1 -У|)2 +(-«2-Уг)2 +1 tgХ2 - tgу2 I.
Глава 6. Расстояния в геометрии
97
Следует обратить внимание на то, что St с обычной евклидовой метрикой
)2 + (х2 ” Уг)2 проективным, метрическим пространством не является.
•	Проективная метрика полуплоскости
Проективная метрика полуплоскости ([ВиКебЗ]) есть проективная метрика на
О?2 = {х е R2 : х2 > 0}, заданная выражением
л/<Х1 -У|)2 +(Х2-У2>2 +
J______1_
*2 У1
•	Гильбертова нроектнвная метрика
Для данного множества Н гильбертовой проективной метрикой h будет полная
нроектнвная метрика на Н. Это означает, что Н содержит помимо двух произволь-
ных различных точек х и у также точки гиг, для которых Л(х,г)+Л(г,у) = h(x,y),
h(x,y) + h(y,f) = h(x,t), и является гомеоморфным выпуклому множеству в
n-мерном аффинном пространстве А", при этом геодезические в Н отображаются в
прямые пространства Ал. Метрическое пространство (Н, h) называется гильбер-
товым проективным пространством, а геометрия гильбертова проективного
пространства называются гильбертовой геометрией.
Формально, пусть D - непустое выпуклое открытое множество в Ап с границей
3D, не содержащей двух собственных компланарных, но неколлинеарных отрезков
(обычно граница D является строго выпуклой замкнутой кривой, a D - ее
внутренностью). Пусть х, у е D находятся на прямой, пересекающей 3D в точках z и
t, при этом z расположена на стороне у и t - на стороне х. В этом случае гиль-
бертова метрика Л на D определяется как
— ln(x,y, z, Z),
где (x,y,z,/)“ ангармоническое отношение x,y,zj и г - фиксированная поло-
жительная константа.
Метрическое пространство (D, d) является G-прямым пространством. Если D -
эллипсоид, то Л - гиперболическая метрика, определяющая гиперболическую
геометрию на D. На единичном диске А = {z е С: | z | < 1} метрика h будет совпа-
дать с метрикой Кэли-Клейна-Гнльберта. Если 3D содержит компланарные, но
неколлинеарные отрезки, то метрика на D может задаваться выражением
Л(х,у) + </(х,у), где d является любой метрикой Минковского (обычно евклидовой
метрикой).
• Метрика Минковского
Метрика Минковского (или расстояние Минковского-Гель дера) есть метрика
нормы конечномерного действительного банахова пространства.
Формально, пусть R" - л-мерное действительное векторное пространство и К -
симметричное выпуклое тело в R", т.е. открытая окрестность нуля, которая яв-
ляется ограниченной, выпуклой и симметричной (хе К тогда и только тогда, когда
-х е К). Тогда функционал Минковского || • ||к: 0?л -> [0,«>), заданный формулой
||x||^=inf|a>0: — еЗАг|,
4. Деза Е. и Деза М.-М.
98
Часть П. Ггометрия расстояния
является нормой на R” и метрика Минковского т определяется выражением
II* —У Ik •
Метрическое пространство (Rn, т) называется пространством Минковского.
Его можно рассматривать как л-мерное аффинное пространство Ап с метрикой т, в
котором роль единичного шара выполняет данное центрально симметричное
выпуклое тело. Геометрия пространства Минковского называется геометрией
Минковского. Для строго выпуклого симметричного тела метрика Минковского
является проективной метрикой и (R'1, т) является G-прямым пространством.
Геометрия Минковского является евклидовой тогда и только тогда, когда ее
единичная сфера - эллипсоид.
Метрика Минковского т пропорциональна евклидовой метрике dE на каждой
прямой /, т.е. ш(х,у) = ф(/)</Е(х,у). Таким образом, метрику Минковского можно
считать метрикой, определяемой во всем аффинном пространстве Ап и обладаю-
ас
щей тем свойством, что аффинное отношение — любых трех коллинеарных
ab
, z	« т(а,с)
точек а, Ь, с (см. разд. 6.3) равно отношению их расстоянии-.
т(а,Ь)
•	Буземанова метрика
Буземанова метрика ([Buse55]) есть метрика на вещественном и-мерном проек-
тивном пространстве Ш™, заданная выражением
min
у _____________Л	у *i У<
% 11*11 Цу|| £ 11*11 1Ы1
J/l+1
У X,.
1=1
•	Флаговая метрика
Для данного n-мерного проективного пространства $Рп флаговой метрикой d
называется метрика на FPn, заданная флагом, т.е. абсолютом, состоящим из
системы m-плоскостей ат, т = 0,..., п - И, с <xz_i принадлежащей а( для всех
i е {!,...,п -1}. Метрическое пространство (FP", d) сокращенно обозначается как Fn
и называется флаговым пространством.
Если для пространства F* выбрать аффинную систему координат (хД так, чтобы
векторы Прямых, проходящих через (п- т - 1)-плоскость <xn_m_| задавались
условием Х| =... = хт = 0, то флаговая метрика d(x, у) между точками х = (х|,...,хл)
и у = (?|,...»уп) задается по формулам
</(х,у) = | х,-у, |, если Х)*У|, d(x,y) = \x2-у2 |, если х, = у(,х2 *у2,...,
...,d{x,y)=\xk-yk |, если х, =У|,...,х*_1 =yk.\,xk *yk,... .
• Проективное определение метрики
Проективное определение метрики есть введение в подмножествах проектив-
ного пространства метрики так, чтобы эти подпространства стали изоморфными
евклидовым, гиперболическим или эллиптическим пространствам.
Глава 6, Расстояния в геометрии
99
Для получения евклидова определения метрики в RP” следует выделить в
данном пространстве (п- 1)-мерную гиперплоскость я, называемую бесконечно
удаленной гиперплоскостью, и задать Е” как подмножество проективного прост-
ранства, полученное путем удаления1 из, него данной гиперплоскости л. В тер-
минах однородных координат л включает все точки (xj :...: хп : 0), а Е п - все
точки (jq :... :хп :xn+l) сх„ + | Ф 0. Следовательно, его можно представить как
Е" = {х е : х = (Х| :...: хп : 1)}. Евклидова метрика dE на Е” задается как
•7(х-у, х-у),
где для любых х = (х, :...: х„ : 1), у = (я :...: уп : 1) е Е" имеем {х,у} = У, х,у,.
1=1
Для получения гиперболического определения метрики на RP" рассматривается
множество D внутренних точек действительной овальной гиперповерхности Q
второго порядка в RP". Гиперболическая метрика </hyp на D определяется выра-
жением
^|ln(x,y,z,0|,
где z и t являются точками пересечения прямой 1Х проходящей через точки х и у, с
поверхностью Q, (х, у, z, 0 есть ангармоническое отношение точек х, у, z, t и г -
фиксированная положительная константа. Если для любых х = (xj :...: хл+1),
л+1
у = (yj:...: ул+|) е RP” определено скалярное произведение (х, у) = -ххух + x£yf ,
/=2
то гиперболическая метрика на множестве D = {xeRPn : (х,х)<0} может быть
записана как
г arccosh I 9	  ,
J{x,x) {у, у)
где г - фиксированная положительная константа и arccosh обозначает неотри-
цательные величины обратного гиперболического косинуса.
Для того чтобы получить эллиптическое определение метрики в RP", следует
рассмотреть для любых х = (xj :...: хп+|), у = (yj:...: yn+l) е RP” скалярное произ-
/1+1
ведение (х,у) = x,yf . Эллиптическая метрика i/ell на RP" задается теперь вы-
1=1
ражением
rarccosh
|Uy>|
где г - фиксированная положительная константа, a arccosh - обратный косинус,
определенный на отрезке [0, я].
Во всех рассмотренных случаях некоторые гиперповерхности второго порядка
остаются инвариантными относительно движений, т.е. проективных преобразо-
ваний, сохраняющих данную метрику. Эти гиперповерхности называются абсо-
4*
100
Часть П. Геометрия расстояния
лютами. Для случая евклидового определения метрики абсолютом является
воображаемая (п - 2)-мерная овальная поверхность второго порядка, а именно
вырожденный абсолют х2 + ... + х2 =0, хл+| =0. Для случая гиперболического
определения метрики абсолют выражается как действительная (и- 1)-мерная
овальная гиперповерхность второго порядка, в простейшем случае абсолют
-х2+х2+... + х2+1 =0. Для случая эллиптического определения метрики абсо-
лютом является воображаемая (л - 1)-мерная овальная гиперповерхность второго
порядка, а именно абсолют х2 +... + х2+1 = 0.
63. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
n-Мерное аффинное пространство над полем F есть множество Ап (с элементами,
называемыми точками аффинного пространства), которому соответствует
и-мерное векторное пространство V над F (называемое пространством, ассоции-
рованным с Ап), так что для любого аеАя, A = a+V = [a + v:veV}. Другими
—>
словами, если a = (al9...,an), b = (bx,...9bn)e Ап, то вектор ab = (Ь}-а[9...,Ьп-ап)
принадлежит V. В аффинном пространстве можно складывать вектор с точкой,
чтобы получить другую точку, и вычитать точки для получения векторов, однако
нельзя складывать точки, поскольку отсутствует нулевой элемент. Если даны
—>	—>
точки а, Ь, с, d е А", так что с Ф d, а векторы ab и cd являются коллинеарными, то
—>	—>
скаляр 1, задаваемый условием ab = *kcd, называется аффинным отношением ab и
ab
cd и обозначается как —.
cd
Аффинное преобразование (или аффинность) есть биективное отображение Ап
на себя с сохранением коллинеарности (т.е. все находящиеся на прямой точки
продолжают оставаться на прямой и после преобразования) и отношения рас-
стояний (например, срединная точка отрезка остается срединной и после
преобразования). В этом смысле термин аффинный указывает на особый класс
проективных преобразований, которые не перемещают объекты из аффинного
пространства на бесконечно удаленную плоскость или наоборот. Любое аффинное
преобразование есть совокупность вращений, параллельных переносов, подобий и
сдвигов. Множество всех аффинных преобразований Ап образует группу Aff(An),
называемую общей аффинной группой пространства Ап. Каждый элемент / е
п
е AffiA) может быть представлен формулой f(a) = b,	= У р^а^ + су, где ((д? )) -
J=i
обратимая матрица.
Подгруппа Aff(An), включающая аффинные преобразования с det((py)) = 1, назы-
вается равноаффинной группой пространства Ап. Равноаффинное пространство
есть аффинное пространство с равноаффинной группой преобразований. Фунда-
ментальные инварианты равноаффинного пространства - объемы параллелепи-
педов. В равноаффинной плоскости А2 любые два вектора щ, v2 имеют инвариант
I х v2 I (модуль их векторного произведения) - объем параллелограмма, пост-
роенного на Р| и v2. Если имеется гладкая кривая у = у(0, ее аффинный параметр
(или равноаффинная длина дуги) есть инвариантный параметр, задаваемый
Глава 6. Расстояния в геометрии
101
«	d^y
формулой 5=1 |у'ху"|,/3 dt. Инвариант к = —fx—у называется равноаффин-
'о
ной кривизной кривой у. Переходя к общей аффинной группе, рассмотрим еще два
инварианта: аффинную длину дуги о = J k{llds и аффинную кривизну к = —.
*	1с ds
Для А”, п > 2 аффинный параметр (или равноаффинная длина дуги) кривой
fl/	( и2/л(я+1)
У = 7(0 задается формулой 5=1 Цу',у", ..,у ) dt, где инвариант (vx,...,vn)
'О
является (ориентированным) объемом, порожденным векторами vlt.равным
определителю п х п матрицы, i-й столбец которой есть вектор г?,.
•	Аффинное расстояние
Для данной аффинной плоскости А2 ее линейный элемент (а, 1а) состоит из
точки а е А2 и прямой А2, проходящей через точку а.
Аффинное расстояние есть расстояние на множестве всех линейных элементов
множества А2, заданное как
2/|/3,
где для данных линейных элементов (а, 1а) и (Ь, 1Ь) величина f есть площадь тре-
угольника abc, если с есть точка пересечения прямых 1а и 1Ь. Аффинное расстояние
между (а, 1а) и (b, 1Ь) может быть интерпретировано как аффинная длина дуги
параболы об, такой что 1а и 1Ь касаются параболы соответственно в точках а и Ь.
•	Аффинное псевдорасстояние
Пусть А2 - равноаффинная плоскость и у = у(5) - кривая в А2, заданная как
функция аффинного параметра з. Аффинное псевдорасстояние dp^ на А2 задается
формулой
dPaff (a,b) =
abx-J-
ds
т.е. равно площади поверхности параллелограмма, построенного на векторах ab и
rfy ,	dy	„
—, где b - произвольная точка из А\ а - точка на у и-касательный вектор к
05	ds
кривой у в точке о.
Аффинное псевдорасстояние для равноаффинного пространства А3 может
быть определено по этой же схеме как
Л,
ds ds )
где у = у(5) - кривая в А3, определенная как функция аффинного параметра
dy d^y
s,be А3, а- точка кривой у, а векторы — и —у получены в точке о.
ds ds
102
Часть П. Ггометрия расстояния
Для An, п > 3 имеем с1р^(а,Ь) =
ds'
dn 'у
dsn~x
При произвольной пара-
метризации у = у(/) получим dp^{a,b)-
об, у
у(«-о
|1-л/1+и
•	Аффинная мезрика
Аффинная метрика - метрика на неразвертываемой поверхности г = r(wi,u2) в
равноаффинном пространстве А3, заданная ее метрическим тензором ((gy)):
=______21_____
61J	|	||/4 ’
|det((at>»|
где a(j;=(Э,г, Э2г, дуг),
6.4. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
Термином неевклидова геометрия описываются как гиперболическая геометрия
(или геометрия Лобачевского, геометрия Лобачевского-Болъяй-Гаусса), так и
эллиптическая геометрия (иногда ее также называют римановой геометрией),
которые отличаются от евклидовой (или параболической) геометрии. Основным
различием между евклидовой и неевклидовой геометриями является природа
параллельных прямых. В евклидовой геометрии, если мы имеем прямую I и точку
а, которая ей не принадлежит, то мы можем провести через эту точку только одну
прямую, параллельную I. В гиперболической геометрии существует бесконечное
множество прямых, проходящих через точку а и параллельных I. В эллиптической
геометрии параллельных прямых вообще не существует.
Сферическая геометрия также является "неевклидовой", однако в ней не
действует аксиома, утверждающая, что любые две точки задают только одну
прямую.
•	Сферическая метрика
> - сфера в йл+|
с центром 0 и радиусом
г>0.
Сферическая метрика (или метрика большого круга) dsph есть метрика на
S" (0, г), определенная как
где arccos - арккосинус на отрезке [0, я]. Это - длина дуги большого круга, прохо-
Глава 6. Расстояния в геометрии
103
я+1
дящего через х и у. Используя стандартное скалярное произведение (х,у) = х,у,
«=1
на йл+|, сферическую метрику можно записать как rarccos	.
у1(х9х) (у, у)
Метрическое пространство (5”(0,r),rfsph) называется п-мерным сферическим
пространством. Это - пространство кривизны 1/г2 (г - радиус кривизны), которое
является моделью л-мерной сферической геометрии. Большие круги сферы - его
геодезические, все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую
длину (см., например, [В1шп70]).
•	Эллиптическая метрика
Пусть RP" - действительное л-мерное проективное пространство. Эллипти-
ческой метрикой <4ц называется метрика на R/*1, определенная как
rarccos
|Uy>|
я+1
для любых Х = (Х| :...:хя+|), ? = (_?, :...:yn+|)eR7’',) где <х,у) = ^х,у(, г-фикси-
<=|
рованная положительная константа и arccos - арккосинус на отрезке [0, я].
Метрическое пространство (RP", </еП) называется п-мерным эллиптическим
пространством и представляет собой модель л-мерной эллиптической геомет-
рии. Оно является пространством кривизны 1/г2 (г - радиус кривизны). При г ->
метрические формулы эллиптической геометрии превращаются в формулы
евклидовой геометрии (или становятся лишенными смысла).
Если RP" рассматривается как множество Еп(0, г), полученное из сферы
с центром 0 и радиусом г посредством отож-
дествления диаметрально противоположных точек, то эллиптическая метрика на
я
Еп(0, г) может быть представлена как dsph (х, у), если Jsph(x,y)<yr, и как
яг - dsph (х, у), если Jsph (х, у) > —• г, где Jsph - сферическая метрика на Sn(0, г). Таким
образом, не существует двух точек множества Ел(0, г) на расстоянии, превы-
шающем у г. Эллиптическое пространство (Ел(0, г), </ец) называется сферой Пуан-
каре.
Если RP" рассматривается как множество Еп прямых, проходящих через нулевой
элемент в И?я+|, то эллиптическая метрика на Еп определяется как угол между
соответствующими подпространствами.
л-Мерное эллиптическое пространство есть риманово пространство посто-
янной положительной кривизны. Это - единственное такое пространство, которое
топологически эквивалентно проективному пространству (см., например, [В1шп70],
[Buse55]).
104
Часть П. Ггометрия расстояния
•	Эрмитова эллиптическая метрика
Пусть СР1 - л-мерное комплексное проективное пространство. Эрмитова эллнн-
тнческая метрика (см., например, [Buse55]) есть метрика на СР1, определен-
ная как
|<АУ>|
г arccos '
л+1
для любых х = (х(	:хя+|), у = (у1:...:уп+1)еСРп, где <х,у) = ^х,у,, г-фикси-
1=1
рованная положительная константа и arccos - арккосинус на отрезке [0, л].
Метрическое пространство [CPntd^ называется n-мерным эрмитовым эллип-
тическим пространством (см. Метрика Фубини-Штуди, гл. 7).
•	Метрика эллиптической плоскости
Метрика эллиптической плоскости есть эллиптическая метрика на эллипти-
ческой плоскости RP2. Если RP2 рассматривается как сфера Пуанкаре (т.е. сфера в
№ с отождествленными диаметрально противоположными точками) диаметра 1,
касающаяся расширенной комплексной плоскости С = С и {<»} в точке z = 0, то,
при стереографической проекции с ’’Северного полюса” (0,0,1) С с отожде-
1
стеленными точками z и — является моделью эллиптической плоскости и мет-
Z
рика </ец эллиптической плоскости на ней определяется своим линейным элемен-
том ds2 =—। & L 9 .
(1+H2)2
•	Псевдоэллинтнческое расстояние
Псевдоэллннтическое расстояние (или эллиптическое псевдорасстояние) dpt\{
есть расстояние на расширенной комплексной плоскости С = С и {«>} с отожде-
1
стеленными точками z и —, определенное как
z
Z-M
1 + ZU
Именно, dpeli(z,u) = tgdcll(z,u), где dpcit - метрика эллиптической плоскости.
• Гиперболическая метрика
Пусть RP2 - n-мерное вещественное проективное пространство и пусть для лю-
бых х = (Xj :...:хл+|), у = (у,
л+1
= -*1У1 + Х
1=2
Гиперболическая метрика
(х, х) < 0}, определенная как
ул+|) € RP'1 задано скалярное произведение (х, у) =
^Ьур есть метрика на множестве Нп = {х е RP” :
г arccosh I  	,
7<х,х)<у,у)
Глава 6. Расстояния в геометрии
105
где г - фиксированная положительная константа и arccosh обозначает неотри-
цательные величины обратного гиперболического косинуса. При таком построе-
нии точки множества Нп могут рассматриваться как одномерные подпространства
псевдоевклидова пространства R'1’1 внутри конуса С = {х е R"’1: (х,х) = 0).
Метрическое пространство (H",rfhyp) называется п-мерным гиперболическим
пространством. Оно является моделью и-мерной гиперболической геометрии,
пространством кривизны —1/г2 (г - радиус кривизны). При замене г на ir все
метрические формулы гиперболической геометрии перейдут в соответствующие
формулы эллиптической геометрии. При г -> «> формулы каждой из систем дают
формулы евклидовой геометрии (или становятся лишенными смысла).
Если Нп рассматривается как множество
п
х е R" : xf < К ►, где К > 1 - про-
извольная фиксированная константа, то гиперболическую метрику можно за-
писать как
г1п1 + л/1-Т(Ау)
2 П1-71-у(х,у)’
(л	п
где дх,Л7 =---------
иг- положительное число с tg — =
Если ff рассматривается как подмногообразие (п + 1)-мерного псевдоевклидова
л+1
пространства R"’1 со скалярным произведением (х,у) = -Х|У|xiyi (именно,
1=2
как верхний лист {гей"’1 :(х,х) = -1,	>0} двухполостного гиперболоида вра-
щения), то гиперболическая метрика на Нп порождается псевдорнмановой метри-
кой на US'1’1 (см. Метрика Лоренца, гл. 26).
n-Мерное гиперболическое пространство есть риманово пространство постоян-
ной отрицательной кривизны. Это единственное такое пространство, которое
является нолным и топологически эквивалентным евклидову пространству (см.,
например, [Blum70], [Buse55]).
•	Эрмитова гиперболическая метрика
Пусть СР” - л-мерное комплексное проективное пространство и пусть для
любых х = (Xj :...: хл+|), у = (ув :...: ул+|) е СР" задано скалярное произведение
л+1
(х,у> = -х|у|+^х,у,.
/=2
Эрмитова гиперболическая метрика d^yp (см., например, [Buse55]) есть метрика
на множестве СЯ" =(хе СР" : (х,х) < 0}, задаваемая как
и
г arccosh ,	. -,
J<x,x)(y,y)
106
Часть II. Геометрия расстояния
где г - фиксированная положительная константа и arccosh обозначает неотрица-
тельные величины обратного гиперболического косинуса.
Метрическое пространство	называется л-мерным эрмитовым
гиперболическим пространством.
•	Метрика Пуанкаре
Метрика Пуанкаре dP есть гиперболическая метрика для модели диска
Пуанкаре (или модели конформного диска) гиперболической геометрии. В данной
модели каждая точка единичного диска А = {z е С: | z | < 1} называется гипербо-
лической точкой, сам диск Д - гиперболической плоскостью, дуги окружностей (и
диаметры) в Д, которые являются ортогональными к абсолюту Q = {z е С: | z | = 1},
называются гиперболическими прямыми. Каждая точка из Q называется идеаль-
ной точкой. Угловые измерения в данной модели такие же, как и в гипер-
болической геометрии. Метрика Пуанкаре на Д задается ее линейным элементом
,2 I dz I2 dz? + dz2
Расстояние между двумя точками z и и диска Д может быть записано как
1 . I 1 - ZU I +1 z - и I , I z - и I
- In 1--ZT7— ----7 = arctgh 7-Z7.
2	|1-zu |-|z-u|	|l-zu|
В терминах ангармонического отношения оно равно
(z*-z)(m*-m)
(z* -и) (и -z)’
— ln(z,u,z*,u*) = — In
2	2
где гни являются точками пересечения гиперболической прямой линии,
проходящей через z и u, с Q, z со стороны и и и - со стороны z.
В модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии гиперболичес-
кая плоскость есть верхняя полуплоскость Н2 = {z е С: z2 > 0}, а гиперболические
прямые - полуокружности и полупрямые, которые ортогональны действительной
оси. Абсолют (т.е. множество идеальных точек) есть действительная ось вместе с
бесконечно удаленной точкой. Угловые измерения в данной модели такие же, как
и в гиперболической геометрия. Линейный элемент метрики Пуанкаре на Н2
задается по формуле
ds2
\dz\2 _ dz2 4- dz^
(Sz)2 Z2
Расстояние между двумя точками z, и может быть записано как
1 \z-U | 4-1 Z — U I	|z-k|
— In ;-zt;------; = aTCtgh ;-J.
2 |z-k|-|z-u|	I z - и |
В терминах ангармонического отношения оно равно
11 f ♦ *ч 1 , (z*—z)(u*-и)
— ln(z,w,z ,и ) = —In2-* “"—5 
2	2 (z -и)(и -z)
Глава 6, Расстояния в геометрии
107
где z* - идеальная точка полупрямой, исходящей из z и проходящей через и, и и* -
идеальная точка полупрямой, исходящей из и и проходящей через z.
В общем случае гиперболическая метрика в любой области D с: С, имеющей
по крайней мере три граничные точки, задается как прообраз метрики Пуанкаре
на А при конформном отображении /: D —> А. Ее линейный элемент имеет форму
ds2
|Hz)|2|<fc|2
(l-|/(z)|2)2
Расстояние между двумя точками z и и из D может быть представлено как
1 ln |l~/(z)/(g|-H/(z)-/(u)|
2 |l-/(z)/(n)|-|/(z)-/(M)r
•	Псевдогинерболнческое расстояние
Псевдогиперболнческое расстояние (или расстояние Глисона, гиперболическое
псевдорасстояние) dphyp есть метрика на единичном диске Д = {z е С: | z | < 1}г за-
данная как
z — u
1-zu
Именно, dphyp(z,u) = tghdp(z,u), где dp - метрика Пуанкаре на А.
•	Метрика Кэли-Клейна-Гильберта
Метрика Кэлн-Клейна-Гильберта </скн - гинерболнческая метрика для модели
Клейна (или модели проективного диска, модели Бельтрами-Клейна) гипербо-
лической геометрии. В этой модели гиперболическая плоскость реализуется как
единичный диск A = {zeC:|z|<l} и гиперболические прямые - как хорды диска А.
Каждая точка абсолюта Q = {z е С: | z | = 1} называется идеальной точкой. Угло-
вые измерения в данной модели искажены. Метрика Кэли-Клейна-Гильберта на А
задается ее метрическим тензором ((&,)), ij = 1,2:
r^-z2)	r2Z|Z2	_ r2(l-z2)
= (1-z? -zi)2 ’ 812 = (1-z? -zi)2 ’(i-z,2 -zi)2 ’
где г - произвольная положительная константа. Расстояние между точками z и и из
А может быть записано как
(\-zlul-z2u2 I
...I	I,
-Z2 -Jl-Uj2 -nj J
где arccosh обозначает неотрицательные величины обратного гиперболического
косинуса.
• Метрика Вейерштрасса
Для данного действительного «-мерного пространства скалярного произведения
(R", (,)), п > 2 метрика Вейерштрасса есть метрика на 03”, определенная как
arccosh L/1+ (*,*) Ф + (у*у) -<*>?))»
108
Часть П, Ггометрия расстояния
где arccosh обозначает неотрицательные величины обратного гиперболического
косинуса.
Здесь (х, ф + {х, x)j е R” Ф R являются координатами Вейерштрасса точки
х е R", и метрическое пространство (R\ d^) может быть отождествлено с моделью
Вейерштрасса гиперболической геометрии.
| — (х, у)
Метрика Кэлн-Кленна-Гнльберта </скн(х,у) = arccosh ........на
j\-(x9x) ф-{у,у)
открытом шаре Вп = {х е R" : (х,х) < 1} может быть получена из посредством
равенства ^скн(л»У) = ^(Н(х)>Н(У))» где |1: R"—»ВЛ является отображением
х
Вейерштрасса', ц(х)= j
л/1-<х,х>
• Квазигиперболнческая метрика
Для данной области D a Rn, п > 2 квазигиперболнческая метрика есть метрика
на D, задаваемая как
inf f
yerJ p(z)
где инфимум берется по множеству Г всех спрямляемых кривых, соединяющих х и
у в D, p(z) = inf || z - и ||2 - расстояние между z и границей 3D, ||||2 - ев^идова
норма на R*. Эта метрика является метрикой, гиперболической по Громову, если
область D - равномерная, т.е. существуют такие константы С, С’, что каждая пара
точек х, у g D может быть соединена спрямляемой кривой у g D длины /(у), не
превышающей С|х-у|, и неравенство min{/(y(x,z)),/(y(z,y))}<C'p(z) выпол-
няется для всех z е у.
Для и = 2 гиперболическая метрика на D может быть задана выражением
inf I
уеГ J
Y
2|/'(z)|
1-1/(z)l2
| Jz |,
где f: D-> А есть любое конформное отображение области D на единичный диск
A = {zeC:|z|<l}. Для п > 3 эта метрика определяется только для полугипёр-
плоскости Нп и для открытого единичного шара Вп как инфимум по всем у е Г
f | dz | г 21 dz |
интегралов J 2—1 и J —p—соответственно.
• Аполлонова метрика
Пусть DczR'1, D^R” - область, такая что ее дополнение не содержится в
гиперплоскости или сфере.
Аполлоновой метрикой (или метрикой Барбнлнана, [ВагЬ35]) называется
метрика на D, задаваемая с помощью ангармонического отношения следующим
Гаава 6. Расстояния в геометрии
109
образом:
sup In
a,bebD
l|g-x||2||fr-y||2
1|а-у||2Ь-х||2’
где 3D - граница D и || • ||2 - евклидова норма на
Данная метрика является гиперболической по Громову.
•	Полуаполлонова метрика
Для данной области DcRn, D*Rn полуаполлоновой метрикой называется
метрика на D, задаваемая как
sup
аеЭО
In
На-У Иг
Н«-х||2
где 3D - граница D и || • ||2 - евклидова норма на R".
Данная метрика будет гиперболической по Громову только тогда, когда область
D имеет вид R" \ {х}, т.е. имеет всего одну граничную точку.
•	Метрика Геринга
Для области DcR\ D*Rn метрика Герннга (или j^метрика отношения
расстояний) есть метрика на D, задаваемая как
j + II *-У Ik ) (j + ll-t-ylh I
P(*) JI Р(У) J,
гДе II ‘ Иг “ евклидова норма на и р(х) = inf || х - и ||2 - расстояние между х и гра-
uedD
ницей 3D области D.
Данная метрика является гиперболической по Громову.
•	Метрика Вуорнцена
Для данной области D с Rn, D * R” метрика Вуорннена (или ]й-метрика отно-
шения расстояний) есть метрика на D, задаваемая как
t min{p(x), р(у)})
гДе II ’ Иг ~ евклидова норма на R" и р(х) = inf || х - и ||2 - расстояние между х и гра-
иеЭР
ницей 3D области D.
Данная метрика будет гиперболической но Громову только тогда, когда область
D имеет вид R” \ {х}, т.е. имеет всего одну граничную точку.
•	Метрика Ферранда
Для данной области D с:	D * R" метрика Ферранда есть метрика на D, за-
даваемая как
inf J sup |j—?^2.ц IM
Y«rJ a bedD IIz - a ||2 II z - Z>||2
110
Часть IL Ггометрия расстояния
где инфимум берется по множеству Г всех спрямляемых кривых, соединяющих х и
у в Р, ЭР - граница D и || • ||2 - евклидова норма на R”.
Данная метрика является гиперболической но Громову, если D является равно-
мерной, т.е. существуют константы С, С', такие что каждая пара точек х, у е D
может быть соединена спрямляемой кривой у е D длины /(у), не превосходя-
щей С|х-у |, и неравенство min{/(y(x,z)), /(y(z,y))} < C'p(z) имеет место для всех
z € у.
•	Метрика Сейтенранта
Для данной области D с: , Р # метрика Сейтенрапта (или метрика ангар-
монического отношения) есть метрика на Р, задаваемая как
sup
a,bedD
( ||а-И2Цх-у|12/
где ЭР - граница Р и || • ||2 - евклидова норма на 0?л.
Данная метрика является гиперболической по Громову.
•	Метрика модулюса
Пусть Р a. R”, Р R” - некоторая область с границей ЭР, имеющая положи-
тельную емкость.
Метрика модулюса (Гал, 1960) есть метрика на Р, задаваемая как
infA/(A(C^,3P,P)),
^ху
где А/(Г) является конформным модулюсом семейства кривых Г иСху есть кон-
тинуум, такой что для некоторой кривой у:[0,1]—>Р мы имеем следующие
свойства: = у([0,1]), у(0) = х и у(1) = у (см. Экстремальная метрика, гл. 8).
Данная метрика будет гиперболической по Громову, если Р - открытый шар
В* = [х е ИГ : (х,х) < 1} или односвязная область в R2.
•	Вторая метрика Ферранда
Пусть Рсйй, Р^йл- область, такая что | R” \ {Р} | > 2. Второй метрикой
Ферранда будет метрика на Р, задаваемая как
xl/1-n
inf М(Д(СХ, Cv, Р))
СхСу	)
где М(Г) является конформным модулюсом семейства кривых Г и С2 (z = х, у) есть
континуум, такой что для некоторой кривой у: [0,1] -> Р мы имеем следующие
свойства: Cz = у([0,1]), z е | у21 и у2(0 —> ЭР при t —> 1 (см. Экстремальная метрика,
гл. 8).
Данная метрика будет гиперболической по Громову, если Р - открытый шар
Вп = {х е Rn : (х, х) < 1} или односвязная область в О?2.
Гпава 6. Расстояния в геометрии
111
•	Параболическое расстояние
Параболическое расстояние есть метрика на R"+I, рассматриваемом как R" х R,
определяемая как
-У1)2 + •••+(*,!-уп)2 +К-ty |l/m, meN
ДЛЯ любых X = <Xj,хп,tx),У = (?!,уп,ty) G R" X О?.
Пространство RnxR может интерпретироваться как многомерное прост-
ранство-время.
Обычно используется значение т = 2. Существуют некоторые варианты пара-
болического расстояния, например параболическое расстояние
SUpdXj-J! |, |Х2 - У2 |'/2)
на R2 (см. также Метрика ковра Рикмана, гл. 19) или параболическое расстояние
полупространства на R3 = (х е R3: X] S 0}, задаваемое как
Iх! "Ji 1 + 1*2 ~Уг1 . /|г _v I
^ + у[х^+^х2-у2\	3	3 '
Глава 7
Римановы и эрмитовы метрики
Романовой геометрией называется многомерное обобщение внутренней геомет-
рии двумерных поверхностей евклидова пространства Е3. Она занимается изуче-
нием вещественных гладких многообразий, снабженных рнмановымн метриками,
т.е. семействами положительно определенных симметричных билинейных форм
((gij)) на их касательных пространствах, которые гладко меняются от точки к
точке. Геометрия таких (римановых) многообразий базируется на линейном
элементе ds2 =	С его помощью определяются, в частности, локальные
у
понятия угла, длины кривых и объема. Из них посредством интегрирования могут
быть получены другие, глобальные величины. Так, величина ds может быть
рассмотрена как длина вектора (dr|,..., dxn); длина дуги кривой у выражается теперь
как J 1^ gjjdX'dxj; тогда внутренняя метрика на римановом многообразии
Y V Ч
задается как инфимум длин кривых, соединяющих две данные точки многообразия.
Таким образом, риманова метрика не является обычной метрикой, но порождает
обычную метрику, именно, внутреннюю метрику, которую иногда называют
рнмановым расстоянием, на любом связном римановом многообразии; риманова
метрика является бесконечно малой формой соответствующего риманова
расстояния.
В качестве особых случаев римановой геометрии рассматриваются два
стандартных случая - эллиптическая геометрия и гиперболическая геометрия
неевклидовой геометрии, а также сама евклидова геометрия.
Если билинейные формы ((#/,)) являются невырожденными, но неопределен-
ными, то мы получаем псевдориманову геометрию. Для размерности 4 (и сигна-
туры (1, 3)) такая геометрия является основным объектом общей теории отно-
сительности. Если ds = F(xl,...,xn,dx},...,dxn), где F - действительная положи-
тельно определенная выпуклая функция, которую нельзя задать как квадратный
корень из симметричной билинейной формы (как это делается в римановой
геометрии), то мы получим финслерову геометрию, представляющую собой обоб-
щение римановой геометрии.
Эрмитова геометрия занимается изучением комплексных многообразий,
снабженных эрмитовыми метриками, т.е. семействами положительно опреде-
ленных симметричных сескилинейных форм на их касательных пространствах,
которые гладко меняются от точки к точке. Они являются комплексным аналогом
римановой геометрии. Особый класс эрмитовых метрик образуют метрики
Кехлера, имеющие замкнутую фундаментальную форму w. Обобщение эрмитовых
метрик дает нам комплексные фннслеровы метрики, которые нельзя выразить
в терминах билинейных симметричных положительно определенных сескилиней-
ных форм.
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
113
7.1.	РИМАНОВЫ МЕТРИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Произвольное действительное п-мерное многообразие с границей Мп есть
хаусдорфово пространство, в котором каждая точка имеет открытую окрестность,
гомеоморфную либо открытому подмножеству Ел, либо открытому подмножеству
замкнутого полупространства пространства Ел. Множество точек, имеющих
открытые окрестности, гомеоморфные Ел, называется множеством внутренних
точек многообразия; оно всегда является непустым. Дополнение внутрен-
него множества точек называется границей многообразия и представляет собой
(л - 1)-мерное многообразие. Если граница многообразия Мп пуста, то мы полу-
чаем действительное п-мерное многообразие без границы.
Многообразие без границы называется замкнутым, если оно компактно, и
открытым - иначе.
Открытое множество AF1 вместе с гомеоморфизмом между данным открытым
множеством и некоторым открытым множеством из Ел называется координатной
картой. Семейство покрывающих множество Af* карт называется атласом на Af1.
Гомеоморфизмы двух перекрывающихся карт дают нам отображение одного
подмножества Ел в некое другое подмножество Ел. Если все эти отображения
непрерывно дифференцируемы, то множество Af1 называется дифференцируемым
многообразием. Если все эти отображения являются к раз непрерывно диф-
ференцируемыми, то многообразие будет называться Ск многообразием; если они
бесконечное число раз дифференцируемы, то многообразие называется гладким
многообразием (или С* многообразием).
Атлас многообразия называется ориентированным, если все координатные
преобразования между картами являются положительными, т.е. якобиан коор-
динатных преобразований между любыми двумя картами положителен в любой
точке. Ориентируемым многообразием называется многообразие, которое допус-
кает наличие ориентированного атласа.
Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства.
В частности, они являются локально путь-связными, локально компактными и
локально метризуемыми. Любое гладкое риманово многообразие изометрически
вложимо (Нэш, 1956) в некоторое конечномерное евклидово пространство.
С каждой точкой на дифференцируемом многообразии ассоциированы каса-
тельное пространство и двойственное ему кокасательное пространство. Фор-
мально, пусть М* - Ск многообразие, к > 1, и р - некоторая точка из АР1. Зададим
карту <р:С/ ->ЕЛ, где U - открытое подмножество множества Af1, содержащее
точку р. Предположим, что две кривые у1 :(-!,!)-> Мп и у2 :(-!,!)-> Мп со
значениями у!(0) = у2(0) = р заданы так, что обе величины ф-у1 и ф-у2 являются
дифференцируемыми в точке 0. В этом случае у1 и у2 называются касательными в
точке 0, если обычные производные для ф-у1 и ф-у2 совпадают в 0:
(ф Т1)'(0) = (ф-у2),(0). Если функции ф-у': (-1,1)-> Е”, / = 1,2 заданы с помощью
п действительных координатных функций (ф• y')j(t),...,(ф• у')n(t), то вышеуказан-
*	*	</(ФУ')я(01
ное условие будет означать, что их якобианы I— •	'*•••*—9—I совпа-
дают в 0. Это отношение является отношением эквивалентности, а класс
эквивалентности у'(0) кривой у называется касательным вектором многообразия
114
Часть IL Геометрия расстояния
М" в точке р. Касательное пространство Тр(Мп) многообразия Мп в точке р
определяется как множество всех касательных векторов в точке р. Функция
(Лр)р : 7’р(Л/л)->Ел, задаваемая условием (<йр)р(т'(О)) = (<[>• у)'(0), является биек- j
тивной и может быть использована для перенесения операций линейного
пространства из Е" на Тр(Мп).
Все касательные пространства Тр(Мп)> р е "склеенные вместе", образуют
касательное расслоение Т(М”) многообразия Af'. Любой элемент из Т(Мп) есть пара
(р, р), где veTp(Mn). Если для открытой окрестности U точки р функция
ф: U —> R является координатной картой, то прообраз V окрестности U в Т(№')
допускает отображение у: V->R”xRn, определяемое как ф(р,0 = (ф(р),</ф(р)).
Это определяет структуру гладкого 2л-мерного многообразия на Т(Мп). Анало-
гичным образом можно получить кокасательное расслоение Т (Мп) многообразия
Af1, используя для этого кокасательные пространства Тр(Мп)у реМп.
Векторное поле на многообразии Afl есть сечение его касательного расслоения
T(Af9, т.е. гладкая функция f.Mn Т(Мп)у которая каждой точке ре М” ставит в
соответствие вектор v е Тр(Мп).
Связь (или ковариантная производная) является способом определения произ-
водной векторного поля на многообразии. Формально, ковариантная производная
V вектора и (определенного в точке р е Мп) в направлении вектора v (опре-
деленного в той же точке р) есть правило, которое задает третий вектор в точке р,
называемый Vvu и обладающий свойствами производной. Риманова метрика
единственным образом определяет особую ковариантную производную, назы-
ваемую связью Леви-Чивита. Она представляет собой связь V без кручения
касательного расслоения, сохраняющую данную риманову метрику.
Риманов тензор кривизны R является стандартным способом выражения кри-
визны римановых многообразий. Риманов тензор кривизны может быть задан в
терминах связи Леви-Чивита V формулой
R(u, v)w = VuVvw - Vf.V„w - V,B p|w,
i де R(uyv) - линейное преобразование, касательного пространства многообразия
Э	Э
А#1; оно линейно по каждому аргументу. Если значения и = —о = -— являются
Эх,	oXj
полями координатных векторов, то [и, г] = 0 и формулу можно упростить:
R(uyv)w =	— v„v Wwy т.е. тензор кривизны служит мерой антикоммутатив-
ности ковариантной производной. Линейное преобразование w —> R(uy v)w назы-
вают также преобразованием кривизны.
Тензор кривизны Риччи (или кривизна Риччи) Ric получается как след полного
тензора кривизны R. Для случая римановых многообразий его можно рас-
сматривать как лапласиан риманова метрического тензора. Тензор кривизны
Риччи является линейным оператором на касательном пространстве в данной
точке. Используя ортонормированный базис (еД в касательном пространстве
Тр(Мп)у получаем формулу
Ric(u) = Riu.e^ei.

Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
115
Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с раз-
мерности 4, кривизна Риччи уже не описывает тензор кривизны полностью.
Скаляр Риччи (или скалярная кривизна) Sc риманова многообразия ЛГ1 является
полным следом тензора кривизны; используя ортонормированный базис (еД в
точке р е Мп, мы получаем равенство
Se = ^</?(е„е7)еу,е,> = £(Ric(e,),e,).
ij	i
Секционная кривизна К(а) риманова многообразия Мп определяется как
кривизна Гаусса а-сечения в точке ре Мп. В данном случае, имея 2-плоскость о в
касательном пространстве Тр(Мп), ъ-сечение есть локально определенная часть
поверхности, для которой плоскость а является касательной в точке р, полученной
из геодезических, исходящих из р в направлениях образа а при экспоненциальном
отображении.
• Метрический тензор
Метрическим тензором (или основным тензором, фундаментальным тен-
зором) называется симметричный тензор ранга 2, используемый для измерения
расстояний и углов в вещественном n-мерном дифференцируемом многообра-
зии Мп. После выбора локальной системы координат (хД метрический тензор
возникает как действительная симметричная п х п матрица ((&/))
Задание метрического тензора на л-мерном дифференцируемом многообразии
ЛГ порождает скалярное произведение (т.е. симметричную билинейную, однако в
общем случае не являющуюся положительно определенной форму) (,)р на каса-
тельном пространстве Тр(Мп) в любой точке ре Мп, задаваемое как
{х,у)р =gp(x,y) = ^ gijtp'iXiyj,
ij
где 8ij(P)- значение метрического тензора в точке р е Мп, х = (х1,...,хя) и
у = (У|,...,уп)еТр(Л/л). Совокупность всех этих скалярных произведений называ-
ется метрикой g с метрическим тензором ((&,)). Длина ds вектора (drh...,drn)
выражается квадратичной дифференциальной формой
= У, SydXidXj^
ч
которая называется линейным элементом (или первой фундаментальной формой)
метрики g. Длина кривой у выражается формулой J	gjjdXjdXj. В общем случае
она может быть действительной, чисто мнимой или нулевой (изотропная
кривая).
Сигнатурой метрического тензора называется пара (р, q) положительных (р) и
отрицательных (q) собственных значений матрицы ((&,)). Сигнатура называется
неопределенной, если значения р и q являются ненулевыми, и положительно
определенной, если q = 0. Соответственно, риманова метрика - метрика g с поло-
жительно определенной сигнатурой (р, 0), а псевдориманова метрика - метрика g с
неопределенной сигнатурой (р, q).
116
Часть П. Геометрия расстояния
•	Невырожденная метрика
Невырожденной метрикой называется метрика g с метрическим тензором ((gy)),
для которого метрический определитель det((gfy)) * 0. Все римановы и псевдо-
римановы метрики являются невырожденными.
Вырожденной метрикой называется метрика g с метрическим тензором ((gy)),
для которого метрический определитель det((gfy)) = 0 (см. Полурнманова метрика
и Полупсевдорнманова метрика). Многообразие с вырожденной метрикой назы-
вается изотропным многообразием.
•	Диагональная метрика
Диагональной метрикой называется метрика g с метрическим тензором ((gfy)),
для которого gy = 0 при i * j. Евклидова метрика является диагональной метрикой,
так как ее метрический тензор имеет вид g^ = 1, g^ = 0 для i * j.
•	Рнманова метрика
Рассмотрим действительное и-мерное дифференцируемое многообразие AF, в
котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением
(т.е. симметричной положительно определенной билинейной формой), гладко
изменяющимся от точки к точке.
Римановой метрикой на Мп является семейство скалярных произведений (,)р на
касательных пространствах Тр(Мп) - по одному для каждой точки р е Мп.
Каждое скалярное произведение (,)р полностью задается скалярными произве-
дениями (ehej)p -gij{p) элементов q,...,ew стандартного базиса в Ел, т.е. действи-
тельной симметричной и положительно определенной их и матрицей ((gy)) =
= ((gy (р))), называемой метрическим тензором. Именно, (х,у)р = ^g//(p)x/y/, где
Lj
х = (х},хп) и у = (у!,...,уп)е Тр(Мп). Гладкая функция g полностью определяет
риманову метрику.
Риманова метрика на Мп не является обычной метрикой на Мп. Однако для
связного многообразия Мп каждая риманова метрика на АГ1 порождает обычную
метрику на Мп (именно, внутреннюю • метрику на Мп): для любых двух точек
p,q^Mn рнманово расстояние между ними определено как
I,	1/2	j I----------—
• г f	j. • г f IV О*}
inf|(—, —} dt = infl > ga——-dt,
у j\dt dt/ у 7 dt dt
где инфимум берется по всем спрямляемым кривым у: [0,1] —> А/", соединяющим
точки р и q.
Романовым многообразием (или римановым пространством) называется
действительное и-мерное дифференцируемое многообразие Af”, снабженное ри-
мановой метрикой. Теория римановых пространств называется римановой гео-
метрией. Простейшим примером римановых пространств являются евклидовы
пространства, гиперболические пространства и эллиптические пространства.
Риманово пространство будет называться полным, если оно является полным
метрическим пространством.
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
117
•	Конформная метрика
Конформной структурой векторного пространства V называется класс попарно
гомотетичных евклидовых метрик на V. Любая евклидова метрика dE на V задает
некоторую конформную структуру {Az/£ : 1 > 0}.
Конформная структура многообразия - поле конформных структур на каса-
тельных пространствах или, что то же, класс конформно эквивалентных ри-
мановых метрик. Две римановы метрики g и h на гладком многообразии Мп
называются конформно эквивалентными, если g-fh для некоторой поло-
жительной функции fnaM", называемой конформным фактором.
Конформная метрика - риманова метрика, представляющая конформную струк-
туру (см. Конформно инвариантная метрика, гл. 8).
•	Конформное пространство
Конформным пространством (или инверсивным пространством) называется
евклидово пространство Ел, расширенное с помощью идеальной точки (в точки
бесконечности). Посредством конформных преобразований (т.е. непрерывных
преобразований, сохраняющих локальные углы) идеальная точка может быть
переведена в обычную. Следовательно, в конформном пространстве сфера и
плоскость неразличимы: плоскость - это сфера, проходящая через идеальную
точку.
Конформные пространства исследуются в конформной геометрии (или гео-
метрии, сохраняющей углы, геометрии Мёбиуса, инверсивной геометрии), кото-
рая изучает свойства фигур, остающиеся инвариантными при конформных пре-
образованиях. Это - множество преобразований, отображающих сферы в сферы,
т.е. порождаемых евклидовыми преобразованиями совместно с инверсиями, кото-
ит-
рые в координатной форме являются сопряженными с xf -> где г - радиус
X xj
j
инверсии. Инверсия в сферу становится автоморфизмом с периодом 2. Любой угол
переводится в равный угол.
Двумерное конформное пространство является римановой сферой, на которой
конформные преобразования задаются преобразованиями Мёбиуса г —> а1 - ,
cz + d
ad—bc^Q.
В общем случае конформное отображение между двумя римановыми много-
образиями есть такой диффеоморфизм между ними, что обратный образ метрики
становится конформно эквивалентным прообразу. Конформное евклидово прост-
ранство - это риманово пространство, допускающее конформное отображение на
некоторое евклидово пространство.
В общей теории относительности конформные преобразования рассматри-
ваются на пространстве Минковского R1*3, расширенном двумя идеальными
точками.
•	Пространство постоянной кривизны
Пространством постоянной кривизны называется риманово пространство Мп,
для которого секционная кривизна К (а) является постоянной величиной во всех
двумерных направлениях о.
Пространственная форма - связное полное пространство постоянной кривизны.
Плоское пространство - пространственная форма нулевой кривизны.
118
Часть //. Геометрия расстояния
Евклидово пространство и плоский тор являются пространственными формами
нулевой кривизны (т.е. плоскими пространствами), сфера - пространственная
форма положительной кривизны, а гиперболическое пространство - пространст-
венная форма отрицательной кривизны.
•	Обобщенные рнмановы пространства
Обобщенным римановым пространством называется метрическое пространство
с внутренней метрикой, для кривизны которого приняты определенные
ограничения. Такие пространства включают в себя пространства ограничен-
ной кривизны, римановы пространства и т.п. Обобщенные римановы про-
странства отличаются от римановых не только большей обобщенностью, но и тем,
что они определяются и исследуются только на основе их метрики без учета
координат.
Пространство с ограниченной кривизной (< к и > к') является обобщенным
римановым пространством, которое определяется следующим условием: для
любой последовательности геодезических треугольников ТПУ сужающихся в точку,
имеют место неравенства
<’(’“)	«(f)
где геодезический треугольник Т = xyz является тройкой геодезических отрезков
[л, у]> [у, zl> [z, *] (стороны треугольника 7), соединяющих попарно три различные
точки х, у, z, величина З(7) = а + Р + у-л выражает угловой дефект геодези-
ческого треугольника Т, и 8(7°)- площадь евклидова треугольника 7ю со
сторонами той же длины. Внутренняя метрика на пространстве ограниченной
кривизны называется метрикой ограниченной кривизны. Такое пространство
превращается в риманово, если выполняются два дополнительных условия:
локальная компактность пространства (этим обеспечивается локальное сущест-
вование геодезических) и локальное расширение геодезических. Если при этом
к = к', то пространство является римановым пространством с постоянной
кривизной к (см. Пространство геодезических, гл. 6).
___ ЯЛТ \
Пространство кривизны < к определяется условием lim < к. В таком
пространстве любая точка имеет некоторую окрестность, в которой сумма
а + Р + у углов геодезического треугольника Т не превышает сумму ак + Р* +У*
углов треугольника 7* со сторонами той же длины в пространстве постоянной кри-
визны к. Внутренняя метрика такого пространства называется ^-вогнутой мет-
рикой.
б(Т)
кривизны >к определяется условием lim q' > к. В таком
пространстве любая точка имеет некоторую окрестность, в которой
а + Р + у >ак +Р* +уЛ для треугольников 7 и 7*. Внутреннюю метрику такого
пространства называют К-вогнутой метрикой.
Пространство Александрова является обобщенным римановым пространством
с ограниченной верхней, нижней или интегральной кривизной.
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
119
•	Полная риманова метрика
Риманова метрика g на многообразии Af* называется полной, если Мп образует
полное метрическое пространство по отношению к g. Любая риманова метрика на
компактном многообразии является полной.
•	Рнччи-плоская метрика
Риччн-плоской метрикой называется риманова метрика, тензор кривизны
которой обращается в нуль.
Плоское многообразие Риччи представляет собой риманово многообра-
зие, снабженное Риччи-плоской метрикой. Плоские многообразия Риччи являют-
ся вакуумным решением евклидова характеристического полинома и осо-
быми случаями многообразий Кехлера-Эйнштейна. К важным плоским много-
образиям Риччи относятся многообразия Калаби-Яу и гипермногообразия
Кехлера.
•	Метрика Оссермана
Метрикой Оссермана называется риманова метрика, для которой риманов
тензор кривизны R является оссермановым. Это означает, что собственные зна-
чения оператора Якоби Sf(x): у —> /?(у,х)х на единичной сфере S”-1 пространства
Ел будут постоянными, т.е. независимыми от единичных векторов х.
•	G-Инварнантная метрика
G-Инвариантной метрикой называется риманова метрика g на дифференци-
руемом многообразии Af1, которая не изменяется при любых преобразованиях
данной группы Ли (G, •, W). Группа (G, •, id) называется группой движений (или
группой изометрий) риманова пространства (Af1, g).
•	Метрика Иванова-Петровой
Пусть R- риманов тензор кривизны риманова многообразия Мп и {х, у} -
ортогональный базис ориентированной 2-плоскости я в касательном пространстве
ТР(М*).
Метрикой Иванова-Петровой называется риманова метрика на Af1, для которой
собственные значения антисимметричного оператора кривизны 91(л) = R(x,y)
([IvSt95]) зависят только от точки р риманова многообразия Af1, но не от плоско-
сти л.
•	Метрика Золла
Метрикой Золла называется риманова метрика на гладком многообразии АГ1,
геодезические которого являются простыми замкнутыми кривыми равной
длины. Двумерная сфера S2 допускает множество таких метрик, помимо очевид-
ных метрик постоянной кривизны. В терминах цилиндрических координат
(z,0)(z е [-1,1], 0 е [0,2л]) линейный элемент
ds2 =	dz1 + (1 - z2n2
задает метрику Золла на сфере S2 для любой гладкой нечетной функции
f: [-1,1] -> (-1,1), которая обращается в нуль в концевых точках интервала.
120
Часть //. Ггометрия расстояния
•	Циклоидальная метрика
Циклоидальная метрика - это риманова метрика на полуплоскости
R2 = {х е R2 : Xj > 0}, задаваемая линейным элементом
ds2^dx2x+dxl
2х|
Она называется циклоидальной, поскольку ее геодезические являются цикло-
идальными кривыми. Соответствующее расстояние </(х, у) между двумя точками
х,у е R2 эквивалентно расстоянию
Р<Х>) =
7*1 +7*2 +л/1Х2-У2 I
в том смысле, что d < Ср и р < Cd для некоей положительной константы С.
•	Метрика Бергера
Метрикой Бергера называется риманова метрика на сфере Бергера (т.е. сжатой
в одном направлении сфере S3), задаваемая линейным элементом
ds2 = d&2 + sin2 0</ф2 +cos2 a(dy+ со$0г/ф)2,
где a - константа, а 0, ф, у -углы Эйлера.
•	Метрика Карно-Каратеодорн
Распределение (или поляризация) на Мп есть подрасслоение касательного
расслоения Т(Мп) многообразия АГ1. При наличии поляризации Н(М*) векторное по-
ле в Н(ЛГ) называется горизонтальным. Кривая у на Af* называется горизонталь-
ной (или выделенной, допустимой) по отношению к Н(М*), если y'(f)e Яу(г)(Л/л)
для любого t. Распределение Н(Мп) называется абсолютно неинтегрируемым, если
скобки Ли [...,[Н(Мп),Н(Мп)}} поляризации Н(Мп) перекрывают касательное
расслоение Т(Мп), т.е. для всехреМ" любой касательный вектор о из Тр(Мп) может
быть представлен как линейная комбинация векторов следующих видов: и, [к, и/],
[и, [w, г]], [к, [и/, [г, 5]]],... е Тр(Мп), где все векторные поля и, w, t, $,... являются
горизонтальными.
Метрикой Карно-Каратеодорн (или С-С метрикой) называется метрика на
многообразии М* с абсолютно неинтегрируемым горизонтальным распределением
Н(М*), задаваемая набором gc положительно определенных скалярных произ-
ведений на Н(Мп). Расстояние dc(p, q) между любыми точками р, q € Мп опре-
деляется как инфимум #с-длин горизонтальных кривых, соединяющих точки pnq.
Подримановым многообразием (или поляризованным многообразием) назы-
вается многообразие Л4”, снабженное метрикой Карно-Каратеодори. Оно является
обобщением риманова многообразия. Грубо говоря, для измерения расстояний в
подримановом многообразии можно следовать только вдоль кривых, являющихся
касательными к горизонтальным пространствам.
•	Псевдорнманова метрика
Рассмотрим действительное n-мерное дифференцируемое многообразие Af1, в
котором каждое касательное пространство Тр(Мп), р е АГ’ снабжено гладко изме-
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
121
няющимся от точки к точке скалярным произведением, которое является
невырожденным, но неопределенным.
Псевдорнмановой метрикой на Мп называется совокупность скалярных произ-
ведений (,)р на касательных пространствах Тр(Мп), р е АГ, по одному для каждой
точки р е АГ.
Каждое скалярное произведение (,)р полностью определено скалярными произ-
ведениями (ei9ej)p =gjj(p) элементов el9...,en стандартного базиса в Ел, т.е.
действительной симметричной неопределенной пхп матрицей ((&?)) = ((^(р)))»
называемой метрическим тензором (см. Риманова метрика, где метрический
тензор является действительной симметричной положительно определенной п х п
матрицей). Именно,	ty(p)x,-у,, где х = (х|,...,хп) и у = (у|,...,у„)е
е Тр(Мп). Гладкая функция g полностью определяет псевдориманову метрику.
Длина ds вектора (dxh...,dxn) выражается квадратичной дифференциальной
формой
= У SijdxidXj-
Длина кривой у: [0,1] -> Мп выражается формулой J g^dx^j =
- J 2^ gy—L—i-dt. В общем случае она может быть действительной, чисто
О 1| ij
мнимой или нулевой {изотропная кривая),
Псевдориманова метрика на Мп является метрикой с фиксированной, но не-
определенной сигнатурой (р9 q)^P + q = п. Псевдориманова метрика является
невырожденной, т.е. ее метрический определитель det((g,y))^O. Поэтому она
является невырожденной неопределенной метрикой.
Псевдориманово многообразие (или псевдориманово пространство) - действи-
тельное и-мерное дифференцируемое многообразие АГ, снабженное псевдорима-
новой метрикой. Теория псевдориманоых пространств называется псевдоримано-
вой геометрией.
Моделью псевдориманова пространства с сигнатурой (р, q) является псевдо-
евклидово пространство W?,q, p+q = n - действительное л-мерное векторное
пространство И?л, снабженное метрическим тензором ((g^)) с сигнатурой (р, q),
заданным как gH =... = gpp = 1,	=... = gnn = -1,	= 0 для i * j. Линейный
элемент соответствующей метрики задается как
ds2 = dx2 +... + dx2 - dx2+i -... - dx2.
• Лоренцева метрика
Лореицева метрика (или метрика Лоренца) - псевдориманова метрика с сиг-
натурой (1, р).
Лоренцевым многообразием называется многообразие, снабженное лоренцевой
метрикой. В общей теории относительности принципиально предположение, что
122
Часть //. Геометрия расстояния
пространство-время может моделироваться как лоренцево многообразие с
сигнатурой (1, 3). Пространство Минковского R1’3 с плоской метрикой Мин-
ковского является моделью лоренцева многообразия.
•	Метрика Оссермана-Лоренца
Метрикой Оссермана-Лоренца называется лоренцева метрика, для которой
тензор римановой кривизны R является оссермановым. Это означает, что соб-
ственные значениия оператора Якоби $f(x): у -> /?(у,х)х не зависят от единичных
векторов х.
Лоренцево многообразие будет оссермановым тогда и только тогда, когда оно
является многообразием постоянной кривизны.
•	Метрика Бляшке
Метрика Бляшке на невырожденной гиперповерхности есть псевдориманова
метрика, ассоциированная с аффинной нормалью вложения ф: Мп -»К?”+|, где Af’
является л-мерным многообразием, a рассматривается как аффинное про-
странство.
•	Полуриманова метрика
Полуримановой метрикой на действительном л-мерном дифференцируемом
многообразии М" называется вырожденная риманова метрика, т.е. совокупность
положительно полуопределенных скалярных произведений (х,у)р =
ij
на касательных пространствах Тр(Мп), р е Мп\ метрический определитель
det((^.)) = O.
Полуримановым многообразием (или полуримановым пространством) назы-
вается действительное л-мерное дифференцируемое многообразие AF, снабженное
полуримановой метрикой.
Моделью полуриманова многообразия является полуевклидово пространство
RJ, d > 1 (иногда обозначаемое как RJJ-A т е- Действительное л-мерное векторное
пространство снабженное полуримановой метрикой. Это означает, что суще-
ствует некоторое скалярное произведение, такое что по отношению к надлежащим
образом выбранному базису скалярное произведение (х,х) вектора на себя будет
n-d
иметь вид (х,х> = £ х?. При этом d > 1 число называется дефектом (или
/ —I
положительным дефицитом) пространства.
•	Метрика Грушина
Метрикой Грушина называется полуриманова метрика на К?2, задаваемая ли-
нейным элементом
х\
•	Полупсевдориманова метрика
Полупсевдориманова метрика на действительном л-мерном дифференцируемом
многообразии Мп - вырожденная псевдориманова метрика, т.е. совокупность
вырожденных неопределенных скалярных произведений (*,у)р = ^ 8у(р)х(У] на
ij
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
123
касательных пространствах Тр(Мп), реМп; метрический определитель det(#,y) = O.
Именно, полупсевдориманова метрика является вырожденной неопределенной
метрикой.
Полупсевдоримановым многообразием (или полупсевдоримановым простран-
ством) называется действительное n-мерное дифференцируемое многообразие
снабженное полупсевдоримановой метрикой.
Моделью полупсевдориманова многообразия является полупсевдоевклидово
пространство R" , т.е. действительное n-мерное векторное пространство
R", снабженное полупсевдоримановой метрикой. Это означает, что существует г
скалярных произведений (*,у)а =	» где а = 1» •••» г> ®	< ••• < тг - п> 1а =
= /ил_| + 1,..., та, eia =±1 и -1 среди чисел встречается 1а раз. Произведение
(x,y)tf определено для тех векторов, для которых все координаты xh i < та_} или
i > та +1, равны нулю. Первый скалярный квадрат произвольного вектора х
6	n-d
является вырожденной квадратичной формой (х,х)( =-	Ху. Число
1=1	j=li+\
1\ > 0 называется индексом, а число d = п - т\ - дефектом пространства. Если
1\ = ... = 1Г = 0, то мы получаем полуевклидово пространство. Пространства
R” и Rj* [ и называются квазиевклидовыми пространствами.
т
Полупсевдонеевклидово пространство S" j может быть определено как
mj,.
гиперсфера в пространстве RJJс отождествленными антиподальными точ-
ками. Если Ц = ... = 1Г, то пространство S" j будет называться полуэллиптиче-
ским (или полунеевклидовым) пространством. Если существует lt * 0, то прост-
ранство [г называется полугиперболическим пространством.
• Фннслерова метрика
Рассмотрим действительное л-мерное дифференцируемое многообразие Мп, в
котором каждое касательное пространство Тр(Мп), р е Мп снабжено банаховой
нормой II * II, такой что банахова норма как функция позиции является гладкой, и
матрица ((&,)),
.	1Э21И12
«у gijkp.x) 2
является положительно определенной для любого ре М” и любого х е Тр(Мп).
Фннслеровой метрикой на Л-f1 называется совокупность банаховых норм II * II на
касательных пространствах Тр(Мп), по одной для каждого р е М*. Линейный
элемент этой метрики имеет форму
^2 = Х &АА-
Фннслерова метрика может задаваться как действительная положительно опре-
124
Часть //. Геометрия расстояния
деленная выпуклая функция F(p, х) координат точки р е Мп и компонент вектора
х е Тр(Мп\ действующего в точке р. Функция F(p, х) является положитель-
но однородной первой степени в х: F(p, Хх) = KF(p, х) для каждого X > 0. Значение
F(p, х) интерпретируется как длина вектора х. Финслеров метрический тензор
(1 d2F2(p,x)
^2 dxjdxj
имеет форму ((&,)) =
. Длина кривой у: [0,1] -> Мп задается как
77
It. Для каждой фиксированной точки р финслеров метрический тензор в
о
переменных х является римановым.
Финслерова метрика является обобщением римановой метрики, где общее опре-
деление длины II х II вектора х е Тр(Мп) не обязательно задается в виде квадратного
корня из симметричной билинейной формы, как это делается в римановом случае.
Финслерово многообразие (или финслерово пространство) - это действи-
тельное и-мерное дифференцируемое многообразие Af', снабженное финслеровой
метрикой. Теория финслеровых пространств называется финслеровой геометрией.
Различие между римановым и финслеровым пространствами состоит в том, что
первое локально ведет себя как евклидово пространство, а второе - как
пространство Минковского, или, аналитически, в том, что эллипсоиду в рима-
новом случае соответствует произвольная выпуклая поверхность, в качестве
центра которой взято начало координат.
Обобщенным финслеровым пространством называется пространство с внут-
ренней метрикой, на которую накладываются определенные ограничения в отно-
шении поведения кратчайших кривых, т.е. кривых, длины которых равны рас-
стоянию между их конечными точками. Такие пространства включают в себя
пространства геодезических, финслеровы пространства и т.п. Обобщенные фин-
слеровы пространства отличаются от финслеровых не только большей степенью
обобщения, но и тем, что они определяются и исследуются с помощью метрики,
без использования координат.
•	Метрика Кроннной
Метрикой Кроннной называется финслерова метрика FKr на действительном
и-мерном многообразии задаваемая как
J12______
i
для любых р е Мп и х е Тр(Мп), где ((&$) - риманов метрический тензор и Ь(р) =
= (^Хр)) - векторное поле.
•	Метрика Рандерса
Метрика Рандерса - финслерова метрика F^ на действительном и-мерном
многообразии Af‘, задаваемая как
E8ijxixj + £bt(P)xi
для любых р е Af* и х е Тр(Мп), где ((&,)) - риманов метрический тензор и Ь(р) =
= (^Хр)) - векторное поле.
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
125
•	Метрика Клейна
Метрикой Клейна называется риманова метрика на открытом единичном шаре
В" = {х g №: || х ||2< 1} в №, определенная как
Jllylll ~(II х 111 IIУ Иг Ч^У)2)
Hhlll
для любых х е Вп и у е Тх(Вп), где II • Н2 - евклидова норма на R" и ( ,) - обычное
скалярное произведение на №*.
•	Метрика Функа
Метрикой Функа называется финслерова метрика FF(1 на открытом единичном
шаре Вп ={хе №: || х ||2< 1} в №, определенная как
-JIIУ 111 -(IIх Иг IIУ Иг -<Х’У>2) +<АУ>
ЙЙ11
для любых х е Вп и у € Тх(Вп)у где II • П2 - евклидова норма на R" и ( ,) - обычное
скалярное произведение на №. Это - проективная метрика.
•	Метрика Шена
Для данного вектора а е №, || а ||2< 1 метрикой Шена называется финслерова
метрика FSh на открытом единичном шаре Вп =(хе И?л: || х ||2< 1} в №, определен-
ная как
-JllУ 111 -(II* Hilly 111 Ч*.У>2) + (x, у) (a yy
1—1| jc Hi	+ l + (a,x)
для любых хе Bn нуе Т/Вп\ где II • Н2 - евклидова норма на R" и ( ,) - обычное
скалярное произведение на №. Это - нроектнвная метрика. При а = 1 она пре-
вращается в метрику Функа.
•	Метрика Бервальда
Метрикой Бервальда называется финслерова метрика Еве на открытом еди-
ничном шаре Вп ={хе 0?л: || х ||2< 1} в 0?", задаваемая как
[-Jll у 111 -(11^11111 у 111 -Uy>2)+Uy>J
(•- IIX 111)2^11У III - (|| X Hill у III -(х, у>2)
для любых х е В” и у е ТХ(В”), где II • II2 - евклидова норма на №’ и ( ,) - обычное
скалярное произведение на №. Это - проективная метрика.
В общем случае каждая финслерова метрика на многообразии Af1 порождает
пульверизацию (обычное однородное дифференциальное уравнение второго по-
рядка) у^—2G’
ЭХ:
—, которой определяются геодезические. Финслерова метрика
оу,
126
Часть IL Геометрия расстояния
называется метрикой Бервальда, если коэффициенты пульверизации G' = G'(x, у)
являются квадратичными по у е TJJF) в любой точке х е Мп, т.е.

Каждая метрика Бервальда аффинно эквивалентна некоторой римановой метрике.
•	Метрика Дугласа
Метрикой Дугласа называется финслерова метрика, для которой коэффи-
циенты пульверизации G1 = G'(x, у) имеют вид
6' =|П*(х)ЛЛ + ^х,у)у,..
Каждая финслерова метрика, которая проективно эквивалентна метрике Бер-
вальда, является метрикой Дугласа. Каждая известная метрика Дугласа является
(локально) проективно эквивалентной метрике Бервальда.
•	Метрика Брайанта
Пусть а - угол с |а |< у и пусть для любых х, у е R"
А = II у „2 sin2 2а + (|| у ||| cos2a+1| х ||||| у ||г ~{х,у)2)\
в = IIУII2 cos2a+ IIX Hill у III ~{х,у)2,
C = (x,y)sin2a, D = || х+21| хИ* cos2a + l.
Тогда мы получим (проективную) финслерову метрику F как
IVA^B (С\2 С
V 2D \DJ D
На двумерной единичной сфере & она называется метрикой Брайанта»
•	Метрика Кавагучи
Метрикой Кавагучи называется метрика на гладком n-мерном многообразии Af,
задаваемая элементом дуги ds регулярной кривой х = x(r), t е [г0] и выраженная
формулой
к
где метрическая функция F удовлетворяет условиям Цермело:	sx F(s)i
x=l
'~Г+°%)< ^ °’ x< ” =^"’	= и r = 2..........k. Этими условиями
обеспечивается независимость элемента дуги ds от параметризации кривой х = х(г).
Многообразие Кавагучи (или пространство Кавагучи) - это гладкое много-
образие, снабженное метрикой Кавагучи. Оно является обобщением финслерова
многообразия.
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
127
•	Суперметрнка Де Витта
Суперметрнкой Де Витта (или суперметрикой Уилера-Де Витта) G - (Gijkl)
называется обобщение римановой (или псевдоримановой) метрики g = ((gy)),
используемой для вычисления расстояний между точками данного многообразия,
на случай расстояний между метриками на этом многообразии.
Точнее говоря, для данного связного гладкого трехмерного многообразия М3
рассмотрим пространство М(М3) всех римановых (или псевдоримановых) метрик на
М3. Идентифицируя точки ^(Л/3), связанные диффеоморфизмом Л/3, можно по-
лучить пространство Geom(A73) 3-геометрий (заданной топологии), точками
которого являются классы диффеоморфно эквивалентных метрик. Пространство
Geom(Af3) называется суперпространством. Оно играет важную роль в некоторых
формулировках квантовой гравитации.
Суперметрнкой, т.е. "метрикой метрик”, называется метрика на ЛЦМ3) (или на
Geom(Af3)), используемая для измерения расстояний между метриками на М3 (или
между их классами эквивалентности). Если имеется метрика g = ((&?)) е ЛЦМ3), то
l|8g||2= J 4/3хО'уи(х)5ду(х)5^и(х),
м3
где G'-ikl - величина, обратная суперметрнке Де Витта
Gjjkl “ 2^det(g-) ^*^8& —SilSjk “ ^SijSkl)•
Величина X параметризует расстояние между метриками в Ж(Л/3) и может при-
2
нимать любые действительные значения, кроме X = —, при котором суперметрика
становится сингулярной.
• Су перметрнка Лунда-Реджи
Суперметрнка Лунда-Реджн (или снмплнцнальная сунерметрнка) является
аналогом сунерметрнкн Де Внтта и используется для измерения расстояний между
симплициалъными 3-геометриями в симплициалъном пространстве конфигу-
раций.
Более точно, если имеется замкнутое симплициальное трехмерное многообра-
зие Л/3, состоящее из нескольких тетраэдров (т.е. трехмерных симплексов), то
симплициалъная геометрия на Л/3 задается присвоением значений квадратов длин
сторон элементам из Л/3 и введением во внутренности каждого тетраэдра плоской
римановой геометрии, соответствующей этим значениям. Квадраты длин должны
быть положительными и удовлетворять неравенствам треугольника и их аналогам
для тетраэдров, т.е. все квадраты мер (длин, площадей, объемов) должны быть
неотрицательными (см. неравенство тетраэдра, гл. 3). Множество &(М3) всех
симплициальных геометрий на М3 называется симплициалъным пространством
конфигураций.
Суперметрика Лунда-Реджи ((GWI)) на множестве &(№) порождается супермет-
рикой Де Витта на М(А^) с использованием для изображения точек в ^(М3) таких
метрик в Ж(Л/3), которые являются кусочно плоскими в тетраэдрах.
• Сунерметрнкн в доказательстве Перельмана
Предложенная У. Терстоном гипотеза геометризации предполагает, что после
двух хорошо известных декомпозиций любое трехмерное многообразие допускает
128
Часть IL Геометрия расстояния
в качестве остаточных компонент только одну из восьми терстоновских модель-
ных геометрий. Если данная гипотеза верна, то отсюда следует справедливость
знаменитой гипотезы Пуанкаре (1904) о том, что любое трехмерное многообразие,,
в котором каждая простая замкнутая кривая может быть непрерывно дефор-
мирована в точку, гомеоморфнр трехмерной сфере.
В 2003 г. Перельман дал набросок доказательства гипотезы Терстона с ис-
пользованием некой суперметрики на пространстве всех римановых метрик дан-
ного гладкого трехмерного многообразия. В потоке Риччи расстояния, уменьша-
ются в направлении положительной кривизны, поскольку метрика зависима от
времени. Модификация Перельмана стандартного потока Риччи позволила систе-
матически удалять возникающие сингулярности.
7.2. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ В ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Применительно к теории информации обычно используются специальные рима-
новы метрики, перечень которых представлен ниже.
• Информационная метрика Фишера
В статистике, теории вероятностей и информационной геометрии информацион-
ной метрикой Фишера (или метрикой Фишера, метрикой Рао) называется рима-
нова метрика для статистического дифференциального многообразия (см., напри-
мер, [Amar85], [Frie98]). В этом случае речь идет о придании свойств дифферен-
циальной геометрии семейству классических плотностей распределения теории
вероятностей.
Формально, пусть рв = р(х,6)- семейство плотностей, перенумерованных п
параметрами 0 = (01,...,0П), которые образуют параметрическое многообразие Р.
Информационной метрикой Фншера g = g$ на Р называется риманова метрика,
задаваемая информационной матрицей Фишера ((!(&) у)), где

Э1пр0 _ г ainp(x,e) ainpfx.e)
~эё“р~"эё;
Это - симметричная билинейная форма, которая дает нам классическую меру
(меру Рао) для статистической различимости параметров распределения. Полагая
i(x,0) = - In р(х9 0), получим эквивалентное выражение
/(О)0=Ев
d2i(x,6)
-J
Э2/(х,0)
Э0,Э0у
p(x,0)dr.
Без использования языка координат, получим
/(0)(и, v) = Ее[м(1п рв) • и(1п Ре )1»
где и и v - векторы, касательные к параметрическому многообразию Р, а
м(1п рв) = ~-1п Ре+Ш|Г=0 ~ производная от In рв по направлению и.
Многообразие распределения плотностей М является образом параметри-
ческого многообразия Р при отображении 0 -> с некоторыми условиями
Гаава 7. Римановы и эрмитовы метрики
129
регулярности. Вектор и, касательный к данному многообразию, имеет вид
d ,
“ “^*пРе+ги|»=о> и метрика Фишера g = gp на М, полученная из метрики g$ на Р,
может быть записана в виде
, Ч С Г« °]
g(и,о) = Е------L
LP PJ
• Метрика Фишера-Рао
п
Пусть &п = {р е R" :	р; = 1, р > 0} - симплекс строго положительных веро-
1=1
ятностных векторов. Элемент р е является плотностью л-точечного множе-
ства {!,..., и) с p(i) = Рр Элемент и касательного пространства Тр(^п) =
п
= {и g R” :	к, = 0} в точке р е 9п есть функция на множестве {1,...» л} с u(i) = щ.
/=1
Метрика Фишера-Рао gp на &п является римановой метрикой, определяемой
выражением
1=1
для любых uyveTp(9n\ т.е. является информационной метрикой Фншера на &п.
Метрика Фишера-Рао является единственной (с точностью до постоянного мно-
жителя) римановой метрикой на &п, сужаемой при стохастическом отображении
([Chen72]).
Метрика Фишера-Рао изометрична (см. отображение р 2(^р^,,..9^р^)) стан-
дартной метрике на открытом подмножестве сферы радиуса два в 0?п. Такое
отождествление &п позволяет получить на &п геодезическое расстояние, называе-
мое расстоянием Фишера (или расстоянием Бхаттачарья 1), посредством формулы
2 arccos^ У, р'12<j-'2 j.
Метрика Фишера-Рао может быть расширена на множество Жл={р€Кл,
р- > 0} всех конечных строго положительных мер на множестве {1,..., л}. В этом
случае геодезическое расстояние на Мп можно записать как
для любых p,q еМп (см. Метрика Хеллннджера, гл. 14).
• Монотонная метрика
Пусть Мп - множество всех комплексных л х л матриц, а Ж с: Мп - многообра-
зие всех комплексных положительно определенных л х л матриц. Пусть 9 с: Ж,
5. Деза Е. и Деза М.-М.
130
Часть П. Геометрия расстояния
9) = {р еЖ: Тгр = 1} - многообразие всех матриц плотности. Касательным прост-
ранством для Ж в точке р е Ж является множество Тр(Ж) = {х € Мп : х = х*}, т.е.
множество всех эрмитовых пхп матриц. Касательное пространство Тр(9>) в точке
р е Э есть подпространство бесследовых (т.е. имеющих нулевой след) матриц в
Тр(Ж).
Риманова метрика X на Ж называется монотонной метрикой, если неравенство
Л(«» < Хр(и,«)
выполняется для любых р е Ж, любых и е Тр(Ж) и любых вполне положительных
сохраняющих следы отображений й, называемых стохастическими отобра-
жениями. В действительности ([Petz96]), X является монотонной тогда и только
тогда, когда ее можно представить как Xp(u,n) = TruJp(?7), где Jp - оператор вида
•	=----------- Здесь Lp и /?р- левый и правый операторы умножения, а/:
/(^р/ Яр)^р
(О,®®) -> IR - оператор монотонной функции, который симметричен, т.е.
= и нормирован, т.е. /(1)=1. J^(v)-p~xv, если v и р коммутируют
между собой, т.е. любая монотонная метрика равна информационной метрике
Фншера на коммутативных подмногообразиях. Следовательно, монотонные мет-
рики являются обобщением информационной метрики Фишера на классе плот-
ностей распределения (классический или коммутативный случай) на класс матриц
плотности (квантовый или некоммутативный случай), применяемых в квантовой
статистике и теории информации. Именно, 9) является пространством точных
состояний и-уровневой квантовой системы.
Монотонную метрику Хр(м, v) = Тг и —	/ /? )/^ можно записать иначе как
^п(м,гО = Тгмс(£р,/?0)(г7), где функция с(х,у) =--является функцией Моро-
f(x!y)y
зова-Ченцова, относящейся к X.
Метрика Буреса является наименьшей монотонной метрикой, полученной для
1 + f	2
/(0 =----(для с(х, у) =-). В этом случае JAv) = g, pg + gp = 2v, есть симмет-
2	x + y	p
ричная логарифмическая производная.
Метрика правой логарифмической производной является наибольшей монотон-
2t	х + у
ной метрикой, соответствующей функции f(f) =------ (функции с(х,у) =-В
1 + /	2ху
этом случае Jp (г) = у (р-1 v + рр”1) - правая логарифмическая производная.
х — 1
Метрика Боголюбова-Кубо-Морн получается при /(х) =------ (при с(х,у) =
1пх
In %_In х
=--------). Ее можно записать как Хо(и, о) = —-Тг(р + ;u)ln(p + to) L .=0 .
х - у	р asat
Метрики Внгнера-Янасе-Дайсона Х,р являются монотонными для а е [-3,3].
Для а = ±1 получаем метрику Боголюбова-Кубо-Мори; для а = ±3 получаем мет-
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
131
рику правой логарифмической производной. Наименьшей в семействе является
метрика Внгнера-Янасе-Дайсона, полученная для а = 0.
• Метрика Буреса
Метрика Буреса (или статистическая метрика) есть монотонная метрика на
многообразии М всех комплексных положительно определенных п х п матриц,
задаваемая выражением 1р(м,гО = Тги/р(гО, где /p(^) = g, pg + gp = 2v, есть
симметричная логарифмическая производная. Это - наименьшая из монотонных
метрик.
Для любых Р|, р2 еЖ расстояние Буреса, т.е. геодезическое расстояние, опре-
деляемое метрикой Буреса, может быть представлено как
2^Trp, +Тгр2-2Тг(р;/2р2р;,2)1/2.
На подмногообразии 3 = {р еМ: Тгр = 1} матриц плотности оно имеет форму
2arccos Тг(р[/2р2р]/2),/2.
•	Метрика нравой логарифмической производной
Метрика правой логарифмической производной (или RLD-метрика) есть моно-
тонная метрика на многообразии Ж всех комплексных положительно опреде-
ленных п х п матриц, задаваемая уравнением
Xp(u,fO = TriJp(D),
где Jp(v) = у(р *0+ г?р 1) - правая логарифмическая производная. Это - наиболь-
шая монотонная метрика.
•	Метрика Боголюбова-Кубо-Морн
Метрика Боголюбова-Кубо-Морн<(или В КМ-метрика) есть монотонная мет-
рика на многообразии Ж всех комплексных положительно определенных п х п
матриц, задаваемая уравнением
Э2
1р(и,г7) = ——Тг(р+5и)1п(р+Г&)| г=0 .
r asat
•	Метрики Внгнера-Янасе-Дайсона
Метрики Внгнера-Янасе-Дайсона (или WYD-метрики) образуют семейство
метрик на многообразии Ж всех комплексных положительно определенных п х п
матриц, задаваемых уравнением
^2
Х“(и’v) = Тг (Р + '“>/-« (Р+Ь.'=о ’
otos
2	—
где fa(x) =--х 2 , если а * 1, и In х, если а = 1. Эти метрики будут монотон-
1-а
ними для а е [—3,3]. Для а = ±1 получим метрику Боголюбова-Кубо-Мори, а для
а = ±3 - метрику нравой логарифмической производной.
5*
132
Часть П. Геометрия расстояния
Метрика Внгнера-Янасе (или WY-метрика) Хр является метрикой Вигнера-
Янасе-Дайсона Хр, полученной для а = 0. Ее можно записать как
lp(«,o) = 4TrM(A/i;+7^)2(o),
и она является наименьшей метрикой семейства. Для любых р1,р2еМ геоде-
зическое расстояние, задаваемое WY-метрикой, будет иметь вид
2^Тгр, + Trp2-2Tr(p!/2pV2).
На подмногообразии 2) = {р еЛ: Тгр = 1} матриц плотности оно будет равно
2arccos Тг(р[/2р!/2).
•	Метрика Конна
Грубо говоря, метрика Конна - это обобщение (из пространства всех вероят-
ностных мер множества X на пространство состояний любой унитальной С*-ал-
гебры) метрики Канторовнча-Мэллоуза-Монжа-Вассерштейна, заданной как лнн-
шнцево расстояние между мерами.
Пусть Af* - гладкое л-мерное многообразие. Пусть А = (Мп) - (коммунита-
тивная) алгебра гладких комплекснозначных функций на Мп9 представленных
операторами умножения на гильбертовом пространстве Н = l3(Mn,S) квадратично
интегрируемых секций расслоения спиноров на Af1: (/;)(р) = /(р)£(р) для всех/е А
и всех £ е Н. Пусть D - оператор Дирака. Пусть коммутатор [D, /| для f(= А есть
умножение Клиффорда на градиент V/, такое что его операторная норма II • II в Н
задается как
Метрикой Конна называется внутренняя метрика на Af”, задаваемая выра-
жением
sup
feAJUD.flfcX
Данное определение может быть применено также к дискретным пространствам
и даже обобщено на "некоммутативные пространства" (унитальные С*-алгебры).
В частности, для помеченного связного локально конечного графа G = (V, Е) с
множеством вершин V = {^,..., vn,...} метрика Конна задается как
sup
llia./lHtfllsi1
для любых vhVj eV, где {/ = fvjVi • ZlA l < <>о| является множеством фор-
мальных сумм/, образующих гильбертово пространство, и ||[D,/]|| определяется
как =	-4>2) •
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
133
73. ЭРМИТОВЫ МЕТРИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Векторным расслоением называется такая геометрическая конструкция, в которой
каждой точке топологического пространства М ставится в соответствие векторное
пространство так, что все эти векторные пространства, ’’склеенные вместе”,
образуют другое топологическое пространство £. Непрерывное отображение я:
Е -> М называется проекцией Е на М. Для каждой точки ре М векторное про-
странство я_|(р) называется элементарной нитью векторного расслоения. Дейст-
вительным (комплексным) векторным расслоением называется такое векторное
расслоение я: Е -> М, элементарные нити Я”1^), ре М которого являются дейст-
вительными (комплексными) векторными пространствами.
В действительном векторном расслоении для каждой точки р е М элементар-
ная нить Я"1^) локально выглядит как векторное пространство R'1, т.е. имеется
открытая окрестность U точки р, натуральное число п и гомеоморфизм ср:
UxRn ->я-|([/), такой что для всех xeU, г?ей” получаем я(ф(х,v)) = v, и
отображение v-><p(x,v) дает нам изоморфизм между R" и я~*(х). Множество U
совместно с ф называется локальной тривиализацией расслоения. Если сущест-
вует ’’глобальная тривиализация”, то действительное векторное расслоение
я: М х R” М называется тривиальным. Аналогичным образом в комплексном
векторном расслоении для каждой точки ре М элементарная нить я-1(р) локально
выглядит как векторное пространство Сп. Основным примером комплексного
векторного расслоения является тривиальное расслоение я: U х С" -> С/, где U -
открытое подмножество множества R*.
Важными особыми случаями действительного векторного расслоения являются
касательное расслоение Т(Мп) и кокасательное расслоение Т*(Мп) действитель-
ного п-мерного многообразия = Мп. Важными особыми случаями комплекс-
ного векторного расслоения являются касательное расслоение и кокасательное
расслоение комплексного п-мерного многообразия.
Именно, комплексное п-мерное многообразие М£ является топологическим
пространством, в котором каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной
открытому множеству п-мерного комплексного векторного пространства С", и
имеется такой атлас карт, в котором смена координат между картами осу-
ществляется аналитически. (Комплексное) касательное расслоение 7^(Af£) комп-
лексного многообразия М£ есть векторное расслоение всех (комплексных) каса-
тельных пространств Mq в каждой точке реМ^. Его можно получить как
комплексификацию 7^ (Мд)® С = Т(Мп)®С соответствующего действительного
касательного расслоения, и оно будет называться комплексифицированным каса-
тельным расслоением многообразия М^. Комплексифицированное кокасательное
расслоение многообразия получается аналогичным образом как Т*(МЛ)®С.
Любое комплексное n-мерное многообразие Mq = Мп можно рассматривать как
особый случай действительного 2п-мерного многообразия, снабженного комплек-
сной структурой на каждом касательном пространстве. Комплексная структура
на действительном векторном пространстве V является структурой комплексного
векторного пространства на V, которая совместима с первоначальной действи-
134
Часть //. Геометрия расстояния
тельной структурой. Она полностью определяется оператором умножения на
число i, роль которого может выполнять произвольное линейное преобразование
J: V —» V, 72 = -id, где id есть тождественное отображение.
Связь (или ковариантная производная) является способом определения про-
изводной векторного поля вдоль другого векторного поля в векторном расслоении.
Метрической связью называется линейная связь в векторном расслоении п: Е -> М,
снабженном билинейной формой в элементарных нитях, для которой парал-
лельный перенос вдоль произвольной кусочно гладкой кривой в М сохраняет
форму, т.е. скалярное произведение двух векторов не изменяется при параллельном
переносе. Для случая невырожденной симметричной билинейной формы метри-
ческая связь называется евклидовой связью. Для случая невырожденной антисим-
метричной билинейной формы метрическая связь называется симплектической
связью.
•	Метрика расслоения
Метрикой расслоения называется метрика на векторном расслоении.
•	Эрмитова метрика
Эрмитовой метрикой на комплексном векторном расслоении я: Е -> М на-
зывается совокупность эрмитовых скалярных произведений (т.е. положительно
определенных симметричных сескилинейных форм) на каждой элементарной нити
Ер = я”1 (р), ре А/, которые гладко меняются с точкой р в М. Любое комплексное
векторное расслоение имеет эрмитову метрику.
Основным примером векторного расслоения является тривиальное расслоение
я: UxCn -> U, где U - открытое множество в R* В этом случае эрмитово
скалярное произведение на Сл и, следовательно, эрмитова метрика на расслоении
я: U х С" U задается выражением
(и, v) = uTHv,
где Н - положительно определенная эрмитова матрица, т.е. комплексная п х п
матрица, отвечающая условиям Н*=НТ = Н и vTHv>Q для всех г/еС" \{0}.
п
В простейшем случае мы получаем (u,r>) = ^ и&.
/=!
Важным особым случаем является эрмитова метрика h на комплексном много-
образии AF, т.е. на комплексифицированном касательном расслоении Т(Мп)®С
многообразия Мп. Она является эрмитовым аналогом римановой метрики. В этом
случае h = g + iw, где ее действительная часть g является римановой метрикой, а ее
мнимая часть w - невырожденной антисимметричной билинейной формой, назы-
ваемой фундаментальной формой. Здесь мы имеем g(J(x), J(y)) = g(x, у), w(J(x),
J(y)) = w(x, у) и w(x, у) = g(x, J(y)), где оператор J является оператором комплексной
структуры на Af1, как правило, J(x) = ix. Любая из форм g, w полностью определяет
h. Термин "эрмитова метрика" относится также и к соответствующей римановой
метрике g, которая придает многообразию Мп эрмитову структуру.
На комплексном многообразии эрмитову метрику h можно выразить в ло-
кальных координатах через эрмитов симметричный тензор
h = \ h.idz; ®dzh
ha и 1 j9
'J
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
135
где ((й,у)) является положительно определенной эрмитовой матрицей. Тогда соот-
ветствующая фундаментальная форма w примет вид w = у dz; л dzj.
м
Эрмитовым многообразием (или эрмитовым пространством) называется
комплексное многообразие, снабженное эрмитовой метрикой.
•	Метрика Кехлера
Метрикой Кехлера (или кехлеровой метрикой) называется эрмитова метрика
h = g + iw на комплексном многообразии ЛГ’, фундаментальная форма w которой
является замкнутой, т.е. удовлетворяет условию dw = 0. Кехлерово многообразие
является комплексным многообразием, снабженным кехлеровой метрикой.
Если h выражена в локальных координатах, т.е. Л = ®dzj, то соответ-
ствующую форму w можно записать как w = —Adzj, где л является ан-
Z ij
тисимметричным V-произведением, т.е. dx л dy = -dy л dx (следовательно, dx л dx =
= 0). Именно, w является дифференциальной 2 формой на Мпу т.е. тензором
второго порядка, антисимметричным относительно перестановки любой пары
индексов: w = ^fifydK1 л dx', гдеД- есть функция на AF. Внешняя производная dw
ij
формы w задается как dw = IX —'i-dxk Adxt Adxk. Если dw = 0, to w является
i,j к
симплектической (т.е. замкнутой невырожденной) дифференциальной 2-формой.
Такие дифференциальные 2-формы называются формами Кехлера.
Термин "метрика Кехлера" можно отнести также и к соответствующей ри-
мановой метрике g, которая придает многообразию Мп кехлерову структуру. Тогда
многообразие Кехлера определяется как комплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой и кэлеровой формой на соответствующем действительном
многообразии.
•	Метрика Хессе
Для гладкой функции/на открытом подмножестве действительного векторного
пространства соответствующая метрика Хессе определяется как
tJ dx^Xj
Метрику Хессе называют также аффинной метрикой Кехлера, поскольку
метрика Кехлера на комплексном многообразии имеет аналогичное описание вида
Э2/
dzftzj
•	Метрика Калабн-Яо
Метрикой Калабн-Яо называется метрика Кехлера, которая является Риччи-
ил оскон.
Многообразие Калаби-Яо (или пространство Калаби-Яо) - односвязное комп-
лексное многообразие, снабженное метрикой Калаби-Яо. Его можно рассмат-
136
Часть II. Геометрия расстояния
ривать как 2л-мерное (шестимерный случай представляет особый интерес) гладкое
многообразие с группой голономии (т.е. множеством линейных преобразований ка-
сательных векторов, проистекающих из параллельного переноса вдоль замкнутых
контуров) в специальной унитарной группе.
•	Метрика Кехлера-Эйнштейна
Метрика Кехлера-Эйнштейна (или метрика Эйнштейна) - метрика Кехлера на
комплексном многообразии Af*, у которой тензор кривизны Риччи пропорцио-
нален метрическому тензору. Эта пропорциональность является аналогом
уравнения поля Эйнштейна в общей теории относительности.
Многообразием Кехлера-Эйнштейна (или многообразием Эйнштейна) называ-
ется комплексное многообразие, снабженное метрикой Кехлера-Эйнштейна.
В этом случае тензор кривизны Риччи, рассматриваемый как оператор на каса-
тельном пространстве, является умножением на константу.
Такая метрика существует на любой области D с С", которая является ограни-
ченной и псевдовыпуклой. Ее можно задать линейным элементом
^И(£)
А Эг.Эг,
ч 1 J
dZjdZj,
I и и 1
где и есть решение краевой задачи : det —-— I = е2“ на D, и и = <» на 3D.
{dZidij )
Метрика Кехлера-Эйнштейна является полной метрикой. На единичном диске
А = {z е С: | z |< 1} она совпадает с метрикой Пуанкаре.
•	Метрика Ходжа
Метрика Ходжа - метрика Кехлера, фундаментальная форма w которой опре-
деляет интегральный класс когомологий или, эквивалентно, имеет интегральные
периоды.
Многообразие Ходжа - комплексное многообразие, снабженное метрикой Ход-
жа. Компактное комплексное многообразие является многообразием Ходжа тогда
и только тогда, когда оно изоморфно гладкому алгебраическому подмногообразию
некоторого комплексного проективного пространства.
•	Метрика Фу бннн-Штуди
Метрика Фубини-Штуди - метрика Кехлера на комплексном проективном про-
странстве С/*1, определяемая через эрмитово скалярное произведение (, )в Cn+I.
Она задается линейным элементом
. 2 {x,x){dx,dx)-{x,dx)(x,dx)
ds —	/	\2
<х,хУ
Расстояние между двумя точками (х,:...: хя+1), (у( :...:уя+|)еСР", где х =
= 01....хп^),у = (у,,.... уя+,) е С"+'\{0}, равно
Кх»у>1
arccos , L .
Метрика Фубини-Штуди является метрикой Ходжа. Пространство СР", снаб-
женное метрикой Фубини-Штуди, называется эрмитовым эллиптическим про-
странством (см. Эрмитова эллиптическая метрика).
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
137
• Метрика Бергмана
Метрикой Бергмана называется метрика Кехлера на ограниченной области
D с С", задаваемая линейным элементом
ч
Э2 \nK(z,z)
dZjdZj
dZjdZj,
где K(z, и) является функцией ядра Бергмана. Метрика Бергмана инвариантна от-
носительно автоморфизмов области D; она является полной, если область D одно-
родна. Для единичного диска Д = {z е С: | z |< 1} метрика Бергмана совпадает с
метрикой Пуанкаре (см. также р-Метрнка Бергмана, гл. 13).
Функция ядра Бергмана определяется следующим образом: рассмотрим область
D с Сп, в которой существуют аналитические функции / * 0 класса по
отношению к лебеговой мере; множество этих функций образует гильбертово
пространство с/^(D) с ортогональным базисом (фД; функция ядра
Бергмана в области DxDczC2" задается как KD(z,u) = K(z,u) =
i=l
•	Гннеркехлерова метрика
Гнперкехлеровой метрикой называется риманова метрика g на 4п-мерном ри-
мановом многообразии, совместимая с кватернионной структурой на касательном
расслоении многообразия. Именно, метрика g является метрикой Кехлера по
отношению к трем структурам Кехлера (Z, wh g), (J, g) и {К, wK, g), соответ-
ствующим комплексным структурам, как эндоморфизмам касательного расслое-
ния, которые отвечают условиям кватернионной взаимосвязи
I2 = J2 = К2 = IJK = -ЛК = -1.
Гиперкехлеровым многообразием называется риманово многообразие, снаб-
женное гнперкехлеровой метрикой. Это - особый случай многообразия Кехлера.
Все гиперкехлеровы многообразия являются Риччи-плоскими. Компактные четы-
рехмерные гиперкехлеровы многообразия называются Ку-поверхностями и изуча-
ются в алгебраической геометрии.
•	Метрика Калабн
Метрика Калабн - гнперкехлерова метрика на кокасательном расслоении
Т* (СРл+|) комплексного проективного пространства СРп+|. Для п = 4k + 4 эта
метрика может быть задана линейным элементом
ds2 =	+ -J- r2(l - г-4)!2 + r2(v2 + vl)+|(r2 - lXo2a + <J2a)+
1-r	4	2
+l(r2+i(2:2tt+2:L).
где (X,vnv2,O|a,G2a»^ia^2a) c a» пробегающим к значений, являются лево-
инвариантными 1-формами (т.е. линейными действительными функциями) на
смежном классе SC/(t + 2)!U(k). Здесь U(k) является унитарной группой, состоящей
из комплексных кхк унитарных матриц, а S U(k)~ специальной унитарной
группой с определителем 1.
Для к = 0 метрика Калабн и метрика Эугучи-Хэнсона совпадают.
138
Часть П. Геометрия расстояния
•	Метрика Стензеля
Метрикой Стензеля называется гиперкехлерова метрика на кокасательном
расслоении 7*(S'1*1) сферы S**1.
•	5О(3)-Инвариантная метрика
5О(3)-Инвариантной метрикой называется 4-мерная гиперкехлерова метрика с
линейным элементом, заданным в формализме Бианки-IX как
ds2 = f\t)dt2 + a2(r)of +/>2(0g2 +c2(r)o2,
где инвариантные l-формы <У|, G3 из ^0(3) выражены в терминах углов
Эйлера 0, у, ф как о, = ^(sin ydO-sinOcosxift/ф), <у2 = “ (cos	sin Osin уЛф),
сз =“Wy + cos0rf0) и нормализация выбрана так, что <У| лоу	Коорди-
нату t всегда можно выбрать с использованием соответствующей перепара-
метризации так, что f(t) = ^а^с.
•	Метрика Атья-Хнтчнна
Метрика Атья-Хнтчнна является полной регулярной <$О(3)-ннварнантной мет-
рикой с линейным элементом
ds =-abc\-----з—у I
4	\к(\-к2)К2)
+а2(к)в2+b2(k)ol +c2(k)ol,
где а, Ь, с - функции от к, ab = -К(к)(Е(к) - К(к)), be = -К(к)(Е(к) - (1 - к2)К(к)),
ас = -К(к)Е(к) и К(к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго
п , . „	2К(\-к2)
рода соответственно с 0 < к < 1. Координата t задается по формуле t =-— с
точностью до аддитивной постоянной.
•	Метрика Тауба-НУТ
Метрикой Тауба-НУТ называется полная регулярная 5О(3)-ннвариантная мет-
рика с линейным элементом
ds2 = - ШЛ. dr2 + (г2 - m2 )(<у2 + о2) + 4m2 —— O3,
4 r-т	г + т
где т - соответствующий модульный параметр, а координата г связана с t форму-
1
лои r = m +--.
2mt
•	Метрика Эугучи-Хэнсона
Метрикой Эугучн-Хэнсона называется полная регулярная 50(3)-инварнантная
метрика с линейным элементом
ds2 = —+ Xq.2 + д.2 + С - pQ
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
139
где а - модульный параметр, а координата г связана с координатой t формулой
r2 = a2 coth(a2r).
Метрика Эугучи-Хэнсона совпадает с четырехмерной метрикой Калабн.
•	Комплексная фннслерова метрика
Комплексной фннслеровой метрикой называется полунепрерывная сверху
функция F: TXAf”)—на комплексном многообразии Мп с аналитическим
касательным расслоением Т(Мп), удовлетворяющая следующим условиям:
1.	F2 является гладкой на Мп, где Мп - дополнение (в T(AF)) нулевого сечения.
2.	F(p, х) > 0 для всехр е Мп и хе Тр Мп.
3.	F(p, Хх) = |Х|F(p, х) для всех р е АГ1, х е Тр(Мп) и X е С.
Функция G = F2 может быть локально выражена в терминах координат
(Pi,...,рп, Х|,...,хи); финслеров метрический тензор комплексной фннслеровой
метрики задается матрицей ((Gty)) =
1 э2г21
2 Эх. Эх. I
\\ 1 J
, называемой матрицей Леви,
Если матрица ((бу,)) является положительно определенной, то комплексная финс-
лерова метрика F называется строго псевдовыпуклой,
•	Полуметрнка, уменьшающая расстояния
Пусть d - полуметрика, заданная на некотором классе Ж комплексных много-
образий, содержащем единичный диск А = [z е С: | z |< 1}. Она называется полумет-
рикой, уменьшающей расстояния для всех аналитических отображений, если для
любого аналитического отображения /: Мх —> М2,М{,М2 еЖ неравенство d(f(p)y
ftq)) < d(p, q) справедливо для всех р, q е М\ (см. Метрика Кобайашн, Метрика
Каратеодорн, Метрика By).
•	Метрика Кобайашн
Пусть D - область в С". Пусть 0(А, D) - множество всех аналитических ото-
бражений f, А -> D, где А = {z е С: | z |< 1} - единичный диск.
Метрика Кобайашн (или метрика Кобайашн-Ройдена) FK есть комплексная
финслерова метрика, заданная как
FK(z,u) = inf {а > 0:3/ е 0(А, D),/(0) = z,a/'(0) = и}
для всех z е Риме С". Она является обобщением метрики Пуанкаре на много-
мерные области. FK(z,u)> Fc(z,u)y где Fc - метрика Каратеодорн. Если D выпук-
ла и d(zyu) = infix:z + —eDy если |al>Xk то	< FK(z,u) = Fc(z,m)<
la	J	2
<d(zyu).
Для комплексного многообразия AF полуметрнка Кобайашн задается как
FK(p,u)= inf {а > 0:3/ е O(A,Af л),/(0) = p,af'(O) = и} для всех р е AF и и е Тр(Мп),
FK(p, и) является полунормой касательного вектора к, называемой полунормой
Кобайаши. FK будет метрикой, если многообразие AF тугое, т.е. 0(А, AF) является
нормальным семейством.
Полуметрика Кобайаши является бесконечно малой формой так называемого
полурасстояння Кобайашн (или псевдорасстояния Кобайаши) К „ на AF, которое
м
140
Часть П. Геометрия расстояния
определяется следующим образом. Для заданных p,q^Mn цепь дисков а от р ppq
есть семейство точек р = р°,р’ >...9pk = q из АГ1, пар точек al9bl;...-9ak9bk еди-
ничного диска Д и аналитических отображений /,...,/* из Д в Af1, таких что
fj(ai) = pi~l и fj(bJ) = pJ для всех j. Длина /(а) цепи а равна dP(al,А|)+...
... + dP(ak9bk), где dP есть метрика Пуанкаре. Полурасстояние Кобайаши Км„ на
Л/" - это полуметрика на Af1, заданная как
%мп (p,<?) = inf/(a),
м	a
где инфимум взят по всем длинам /(а) цепей дисков а от р до q.
Полурасстояние Кобайаши является уменьшающим расстояния для всех ана-
литических отображений. Это наибольшая из всех полуметрик на Af", которые
являются уменьшающими расстояния для всех аналитических отображений из Д в
Af1, где расстояния на Д измеряются в метрике Пуанкаре. совпадает с метрикой
Пуанкаре, а К^п = 0.
Многообразие называется гиперболическим по Кобайаши, если полурасстояние
Кобайаши является на нем метрикой. Многообразие будет гиперболическим по
Кобайаши тогда и только тогда, когда оно биголрморфно ограниченной одно-
родной области.
•	Метрика Кобайашн-Буземана
Полуметрнкой Кобайашн-Буземана на комплексном многообразии АГ1 назы-
вается дважды двойственный образ полуметрнкн Кобайаши на Af1. Она является
метрикой, если Мп - тугое многообразие.
•	Метрика Каратеодорн
Пусть D - область в С", и 6(D, Д) - множество всех аналитических отображе-
ний/ D —> Д, где Д = {z е С :| z |< 1} - единичный диск.
Метрикой Каратеодорн Fc называется комплексная финслерова метрика, за-
данная как
Fc(z,m) = sup{|/'(z)m|: /еО(ЦД)}
для любых z е D и и е С". Она является обобщением метрики Пуанкаре на много-
мерные области. Fc(z9u) < FK(z,w), где FK- метрика Кобайаши. Если D выпукла и
J(z,w) = inf-jA. :z + — е D, если | a |> X L тоFc(z,w) = FK(z,w)<rf(z,w).
I ®	J 2
Для комплексного многообразия Af" полуметрнка Каратеодорн Fc определяется
как
Fc(p, «) = sup{|/'(p)“| : f e С(Мп, Д)}
для всех ре АГ и м е Тр(Мп). Fc является метрикой, если АГ* - тугое многообразие.
ПолурасСтояние Каратеодори (или псевдорасстояние Каратеодори) См явля-
ется полуметрикой на комплексном многообразии Af", заданной как
См. (p,q) = suppP(/(p),/(<?)): f еС(Мп, Д)},
Глава 7. Римановы и эрмитовы метрики
141
где dp - метрика Пуанкаре. В общем случае интегральная полуметрика для бес-
конечно малой формы полуметрики Каратеодори является внутренней для полу-
расстояния Каратеодори, но не совпадает с ним.
Полурасстояние Каратеодори является уменьшающим расстояния для всех ана-
литических отображений. Это - наименьшая полуметрика, уменьшающая расстоя-
ния. Сд совпадает с метрикой Пуанкаре, а Сс„ s 0.
•	Метрика Азукавы
Пусть D - область в Сл. Пусть gD(z,u) = sup{/(u): f е ATD(z)}, где KD(z) - мно-
жество всех логарифмически плюрисубгармонических функций f:D -> [0,1), таких
что существуют М, г > 0 с Дм) < МII u-z II2 для всех ие B(z,f)aD; здесь
II • П2 - /2-норма на Сл, a B(z, г) = |х € С" : || z - х2 ||2< г}.
Метрика Азукавы (в общем случае, полуметрика) FA есть комплексная фннсле-
рова метрика, определяемая как
FA(z,w) = lim sup
Х->0
для всех z g D и и е Сп. Она "лежит между" метрикой Каратеодори Fc и метрикой
Кобайаши FK : Fc(z,u) < F^(ztu) < FK(z,u) для всех z е D и и е Сл. Если область D
выпукла, то все эти метрики совпадают.
Метрика Азукавы является бесконечно малой формой так называемого полу-
расстояния Азукавы.
•	Метрика Снбонн
Пусть D - область в Сл. Пусть K£z) - множество всех логарифмически плюри-
субгармонических функций f'.D-ь [0,1), таких что существуют М, г > 0 с
/(м) < М || и - z ||2 для всех и е B(z, г) с: D\ здесь II • Н2 - /2-норма на Сл, a B(z, г) =
= {хеСл :||z-x||2< г}. Пусть Cj^z)- множество всех функций класса С2 в
некоторой открытой окрестности точки z.
Метрика Снбонн (в общем случае, полуметрика) Fs есть комплексная фннс-
лерова метрика, задаваемая формулой
Fs(z,u)= sup	y^r(z)«,«7
ij aziazj
для всех z e Dnue <СЛ. Она "лежит между” метрикой Каратеодори Fc и метрикой
Кобайаши FK : Fc(z,u)< Fs(z,u)< FA(z,u)< FK(z,w) для всех z e D и и e Сл, где FA
есть метрика Азукавы. Если область D выпукла, то все эти метрики совпадают.
Метрика Сибони является бесконечно малой формой так называемого полу-
расстояния Снбонн.
•	Метрика By
Метрикой By W я называется полунепрерывная сверху эрмитова метрика на
комплексном многообразии Af1, которая является уменьшающей расстояния для
всех аналитических отображений. Именно, для двух и-мерных комплексных много-
142
Часть II. Геометрия расстояния
образий Aff и М% неравенство W n(f(p)>f(q)<4nW n(pyq) выполняется для всех
М<2
p,qeMf. 
Инвариантные метрики, включая метрики Каратеодори, Кобайаши, Бергмана и
Кехлера-Эйнштейна, играют важную роль в теории комплексных функций и
выпуклой геометрии. Метрики Каратеодори и Кобайаши применяются в основном
из-за свойства уменьшения расстояния, но они почти никогда не являются эрми-
товыми метриками. С другой стороны, метрика Бергмана и метрика Кехлера-
Эйнштейна являются эрмитовыми (более того, метриками Кехлера), однако обыч-
но они не являются метриками, уменьшающими расстояния.
• Метрика Тейхмюллера
Римановой поверхностью R называется одномерное комплексное многообразие.
Две римановы поверхности R\ и R2 называются конформно эквивалентными, если
существует биективная аналитическая функция (т.е. конформный гомеоморфизм)
из /?| в R2. Точнее, рассмотрим замкнутую риманову поверхность Rq данного
рода g >2. Для замкнутой римановой поверхности R рода g построим пару (R, f)y
где /:Rq-> R- гомеоморфизм. Две пары (R, f) и (Rh /0 называются кон-
формно эквивалентными, если существует конформный гомеоморфизм h: R —> Rb
такой что отображение (/j)”! • h • f: Rq Rq гомотопно тождественному отобра-
жению.
Абстрактная риманова поверхность R* = (Ryf)* - это класс эквивалентности
всех римановых поверхностей, конформно эквивалентных R. Множество всех
классов эквивалентности называется пространством Тейхмюллера 1\Rq) поверх-
ности Rq. Для замкнутых поверхностей Rq данного рода g пространства T(Rq)
являются изометрически изоморфными, что позволяет говорить о пространстве
Тейхмюллера Tg пространств рода g. Tg есть комплексное многообразие. Если Rq
получено из компактной поверхности рода g > 2 посредством удаления п точек, то
комплексная размерность Tg равна 3g - 3 + п.
Метрика Тейхмюллера - это метрика на Tgy определенная как
- inf In K(h)
2 h
для любых RlyR2eTgy где h:R{->R2 есть квазиконформный гомеоморфизм,
гомотопический тождественному отображению, a K(h) - максимальное растяже-
ние для h. Именно, существует единственное экстремальное отображение, назы-
ваемое отображением Тейхмюллера, которое минимизирует максимальное растя-
жение для всех таких й, и расстояние между Rf и /?2 равно у In К, где константа К
является растяжением отображения Тейхмюллера.
В терминах экстремальной длины ext^ (у) расстояние между Rj* и Rj можно
записать как
1 extft'w
— In sup---1--,
2	7 extR.(y)
где супремум берется по всем простым замкнутым кривым на Rq.
Глава 7. Романовы и эрмитовы метрики
143
Пространство Тейхмюллера Tg с метрикой Тейхмюллера на нем является геоде-
зическим метрическим пространством (более того, прямым G-пространством),
однако оно не является ни гиперболическим по Громову, ни глобально неотри-
цательно искривленным по Буземану.
Квазнметрнка Терстона на пространстве Тейхмюллера Tg задается как
inf In ||A||Up
Z n
для любых eTg, где h:R{ R2 - квазиконформный гомеоморфизм, го-
мотопический тождественному отображению, а II • llLip - липшицева норма на
множестве всех инъективных функций	задаваемая как ||/||ир=
= sup
х,уеХ,х*у ^х(х9у)
Пространство модулей Rg конформных классов римановых поверхностей рода
g получается путем факторизации Tg некоторой счетной группой его авто-
морфизмов, называемой модулярной группой. Примерами метрик, связанных с
модулями и пространствами Тейхмюллера, помимо метрики Тейхмюллера, являют-
ся метрика Вейля-Петерсона, метрика Квилена, метрика Каратеодорн, метрика
Кобайашн, метрика Бергмана, метрика Чен Ян Мока, метрика Макмуллена,
асимптотическая метрика Пуанкаре, метрика Риччи, возмущенная метрика
Риччи, VHS-метрика.
•	Метрика Вейля-Петерсона
Метрикой Вейля-Петерсона называется метрика Кехлера на пространстве
Тейхмюллера Tg n абстрактных римановых поверхностей рода g с п разрывами и
отрицательной эйлеровой характеристикой.
Метрика Вайля-Петерсона является гиперболической по Громову тогда и
только тогда, когда (Брок и Фарб, 2006) комплексная размерность 3g - 3 + п про-
странства Tgn не больше, чем 2.
•	Метрика Гнббонса-Маптоиа
Метрика Гнббонса-Мантона является 4л-мерной гинеркехлеровой метрикой на
пространстве модулей л-монополей при допущении изометрического действия
л-мерного тора Тп. Она может быть также описана с помощью гиперкехлеровой
факторизации плоского кватернионного векторного пространства.
•	Метрика Замолодчикова
Метрикой Замолодчикова называется метрика на пространстве модулей двумер-
ных конформных теорий поля.
•	Метрики на детермннантных прямых
ПустьАГ1 - л-мерное компактное гладкое многообразие, a F - плоское векторное
расслоение на Af*. Пусть Н'(Мп,Г) = ®"=оН‘(Мп,Г) - когомология де Рама
многообразия АР с коэффициентами из F. Для л-мерного векторного пространства
V его детерминантная прямая det V определяется как верхняя внешняя степень V,
т.е. detV = AnV. Для конечномерного градуированного векторного пространства
V = ®”=0 Vi детерминантная прямая пространства V задается как тензорное
произведение det V = (B"=0(det	. Следовательно, детерминантную прямую
144
Часть II. Геометрия расстояния
det Н’(М",F) когомологии	можно записать как detH’(Mn,F) =
= ®;=0(dettf'(Af",F))(-l)' •
Метрикой Рейдемейстера называется метрика на	определяемая
заданной гладкой триангуляцией многообразия АР1 и классическим кручением
Рейдемейстера-Франца.
Пусть gF и gT^M ) - гладкие метрики на векторном расслоении F и касатель-
ном расслоении Т(/Ия) соответственно. Эти метрики порождают каноническую
Ь2-метрику hHW*'F} на H'(Mn,F). Метрика Рэя-Синглера на detH\Mn,F) мо-
жет быть определена как произведение метрики, порожденной на det H'(Mn,F)
метрикой hH ,F\ и аналитического кручения Рэя-Синглера. Метрику Милнора
на detH\Mn,F) можно определить аналогичным способом, используя аналити-
ческое кручение Милнора. Если gF плоская, то обе приведенные выше метрики
совпадают с метрикой Рейдемейстера. Применив коэйлерову структуру, можно
определить модифицированную метрику Рэя-Синглера на det Я’(А/Л,Г). j
Метрикой Пуанкаре-Рейдемейстера называется метрика на когомологической
детерминантной прямой detH*(Af",F) замкнутого связного ориентированного не-
четномерного многообразия Мп. Ее можно построить, комбинируя деформацию
Рейдемейстера с двойственностью Пуанкаре. Точно так же можно задать скаляр-
ное произведение Пуанкаре-Рейдемейстера на det H'(Mn,F), которое полностью
определяет метрику Пуанкаре-Рейдемейстера, но содержит дополнительный знак
или фазовую информацию.
Метрикой Квплена называется метрика на прообразе когомологической детер-
минантной прямой компактного эрмитова одномерного комплексного многооб-
разия. Ее можно задать как произведение Ь2"метРики и аналитического кручения
Рэя-Синглера.
•	Суперметрнка Кехлера
Сунерметрнка Кехлера - обобщение метрики Кехлера на супермногообразие.
Супермногообразие есть обобщение обычного многообразия с использованием
фермионных, а также бозонных координат. Бозонные координаты - обычные
числа, в то время как фермионные координаты являются грассмановыми числами.
•	Метрика Хофера
Симплектическим многообразием (АР1, w), п = 2k называется гладкое четно-
мерное многообразие Мп, снабженное симплектической формой, т.е. замкнутой
невырожденной 2-формой w.
Лагранжевым многообразием называется fc-мерное гладкое подмногообразие I/
симплектического многообразия (АР1, w), п = 2k, такое что форма w тождественно
равна нулю на Lk, т.е. для любого ре Lkn любых х, у е Tp(L*) имеем w(x, у) = 0.
Пусть L(AP*, А) - множество всех лагранжевых подмногообразий замкнутого
симплектического многообразия (АР1, w), диффеоморфных данному лагранжеву
подмногообразию А. Гладкое семейство а ={£,}„ Ге [0,1] лагранжевых подмного-
образий ЦеЦМп,Ь) называется точным путем, соединяющим Lq и если
существует гладкое отображение Т: Ах[0,1]->АРл, такое что для каждого
Гаава 7, Римановы и эрмитовы метрики
145
I е [0,1] имеют место соотношения Т(Д х(г}) = £| и Т ♦ w = dHt лdt для некоторой
гладкой функции Н: Д х [0,1] -> R. Длина Хофера 1(a) точного пути а задается как
1 г	,
1(a) = 11 max Н(р,1) - min Н(р, t) Mt
* [ реД	реД J
Метрика Хофера на множестве £(Л/",Д) определяется как
inf 1(a)
а
для любых £о,£| е£(А/",Д), где инфимум берется по всем точным путям на
L(M", Д), соединяющим Lq и L\.
Метрику Хофера можно определить аналогичным способом на группе
Ham(Af*, w) гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутого симплектического
многообразия (Af1, w), элементы которого являются разовыми отображениями
гамильтоновых потоков $ : это inf Z(<x), где инфимум берется по всем гладким
а
путям а = {ф^}, t е [0,1], соединяющим ф и у.
•	Метрика Сасакьяна
Метрика Сасакьяна - метрика положительной скалярной кривизны на контак-
тном многообразии, естественно адаптированном к контактной структуре. Кон-
тактное многообразие, снабженное метрикой Сасакьяна, называется пространс-
твом Сасакьяна и является нечетномерным аналогом многообразий Кехлера.
•	Метрика Картава
Форма Киллинга (или форма Киллинга-Картана) на конечномерной алгебре Ли
Q над полем F есть симметричная билинейная форма
B(x,y) = Tr«.arfy),
где Тг обозначает след линейного оператора и adx является образом х под
действием сопряженного представления Q, т.е. линейного оператора на векторном
пространстве Q, заданного правилом z —> [x,z], где [,] - скобки Ли.
п
Пусть eh ..., е„ - базис алгебры Ли Q и [е,,ву] = £ у~еь где - соответствую-
k=l
щие структурные постоянные. Тогда форма Киллинга задается по формуле
п
B(xi,Xj) = gij = £
к,1=1
Метрический тензор ((gij)) называется, особенно в теоретической физике,
метрикой Картава.
Глава 8
Расстояния на поверхностях и узлах
8.1. ОБЩИЕ МЕТРИКИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Поверхность - действительное двумерное многообразие М 2, т.е. хаусдорфово
пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной или
плоскости Е2, или замкнутой полуплоскости (см. гл. 7).
Компактная ориентируемая поверхность называется замкнутой, если она не
имеет границы, и поверхностью с краем - иначе. Существуют и компактные не-
ориентируемые поверхности (замкнутые или с краем); простейшей такой поверх-
ностью является лист Мёбиуса. Некомпактные поверхности без границы называ-
ются открытыми.
Любая замкнутая связная поверхность гомеоморфна либо сфере с g (цилиндри-
ческими) ручками или сфере с g лентами Мёбиуса (т.е. лентами, скрученными
подобно листу Мёбиуса). В обоих случаях число g называется родом поверхности.
При наличии ручек поверхность ориентируема и назывется тором, двойным
тором и тройным тором для # = 1, 2 и 3 соответственно. Для случая лент Мёбиуса
поверхность неориентируема и называется действительной проективной плоско-
стью, бутылкой Клейна и поверхностью Дика соответственно для g = 1, 2 и 3.
Род поверхности - это максимальное число непересекающихся простых'замкнутых
кривых, которые могут быть вырезаны из поверхности без потери связности
(теорема жордановой кривой для поверхностей).
Характеристика Эйлера-Пуанкаре поверхности равна (одинаковому для всех
многогранных разложений данной поверхности) числу х = » - е + /, где е и
/- количество соответственно вершин, ребер и граней разложения. Если по-
верхность ориентируема, то имеет место равенство % = 2 - 2g, если нет, то % = 2 -g.
Каждая поверхность с краем гомеоморфна сфере с соответствующим количеством
(непересекающихся) дыр (т.е. того, что остается после удаления открытого диска)
и ручек или лент Мёбиуса. Если h - количество дыр, то для ориентируемой
поверхности выполняется равенство х = 2 - 2g - h, а для неориентируемой
поверхности - равенство х = 2 - g - h.
Числом связности поверхности называется наибольшее число замкнутых
сечений, которые можно провести по поверхности, не разделяя ее на две и более
частей. Это число равно 3 - X для замкнутых поверхностей и 2 - х - для поверх-
ностей с краем. Поверхность с числом связности 1,2 и 3 называется соответственно
односвязной, двусвязной и трехсвязной. Сфера является односвязной поверх-
ностью, а тор - трехсвязной.
Поверхность можно рассматривать как метрическое пространство с собствен-
ной внутренней метрикой или как пространственную фигуру. Поверхность в Е3
называется полной, если она образует полное метрическое пространство по
отношению к своей внутренней метрике.
Поверхность называется дифференцируемой, регулярной или аналитиче-
ской соответственно, если в окрестности каждой ее точки она может быть
Гпава 8, Расстояния на поверхностях и узлах
147
выражена как
г = r(u, v) = г(%| (и, v)9 х2 (и, г), х3 (и, г,)),
где радиус-вектор г = (к, о) является дифференцируемым, регулярным
(т.е. достаточное число раз дифференцируемым) или действительно аналитиче-
ским соответственно, при том что вектор-функция удовлетворяет условию
ги х rv * 0.
Любая регулярная поверхность имеет внутреннюю метрику с линейным
элементом (или первой фундаментальной формой)
ds2 = dr2 = Е(и, v)du2 + 2F(u, v)dudv + G(u, v)dv2,
где Е(м,г?) = (ги,ги), F(u,v) = {ru,rv), G(u,v) = {rv,rv). Длина кривой, определяемой
на поверхности по формулам и = u(0, v = v(t), t е [0,1] равна
I
J ^Еи'2 + 2Fii'v' + Gv'2 dt,
0
а расстояние между любыми точками р, q е М2 задается как инфимум длин всех
кривых на Af2, соединяющих pmq. Риманова метрика является обобщением первой
фундаментальной формы поверхности.
Применительно к поверхностям рассматриваются два вида кривизны: гауссова
кривизна и средняя кривизна. Для их расчета в заданной точке поверхности
рассмотрим пересечение поверхности плоскостью, содержащей фиксированный
нормальный вектор, т.е. вектор, перпендикулярный поверхности в данной точке.
Данное пересечение - плоская кривая. Кривизна к этой плоской кривой называется
нормальной кривизной поверхности в заданной точке. При изменении плоскости
нормальная кривизна к также будет меняться, и мы получим два экстремальных
значения - максимальную кривизну и минимальную кривизну к2, называемые
главными кривизнами поверхности. Кривизна считается положительной, если
кривая изгибается в том же направлении, что и выбранная нормаль, и отри-
цательной - иначе. Гауссова кривизна равна К = k\k2 (она может быть полностью
задана в терминах первой фундаментальной формы). Средняя кривизна
H = ^(kl+k2).
Минимальной поверхностью называется поверхность со средней кривизной,
равной нулю, или, эквивалентно, поверхность минимальной площади при заданном
крае.
Римановой поверхностью называется одномерное комплексное многообразие
или двумерное действительное многообразие с комплексной структурой, т.е. такое,
в котором локальные координаты в окрестностях точек соотносятся через
комплексные аналитические функции. Ее можно представить как деформиро-
ванный вариант комплексной плоскости. Все римановы поверхности являются
ориентируемыми. Замкнутые римановы поверхности представляют собой геомет-
рические модели комплексных алгебраических кривых. Каждое связное риманово
пространство можно преобразовать в полное двумерное риманово многообразие с
постоянным радиусом кривизны, равным 0,1 или -1. Римановы поверхности с
кривизной -1 называются гиперболическими, каноническим примером таких по-
верхностей является единичный диск А = {z е С: | z |< 1). Римановы поверхности с
148
Часть П. Геометрия расстояния
нулевой кривизной называются параболическими, типовым примером является
плоскость С. Римановы поверхности с радиусом кривизны 1 называются эллип-
тическими. Типовым примером таковых является риманова сфера С и {<*>}.
•	Регулярная метрика
Внутренняя метрика поверхности называется регулярной, если ее можно опре-
делить с помощью линейного элемента
ds2 = Edu2 + 2Fdudv+Gdv2,
где коэффициенты формы ds2 являются регулярными функциями.
Любая регулярная поверхность, заданная формулой г = r(u, v), обладает регуляр-
ной метрикой с линейным элементом ds2, где Е(м,^) = (ги,ги), F(u,v) = {ru,rv),
G{u,v)-{rv,rv).
•	Аналитическая метрика
Внутренняя метрика поверхности называется аналитической, если она может
быть определена с помощью линейного элемента
ds2 = Edu2 + 2Fdudv+Gdv2,
где коэффициенты формы ds2 являются аналитическими функциями.
Любая аналитическая поверхность, заданная формулой г = r(u, v), обладает ана-
литической метрикой с линейным элементом ds2, где E(u,v) = (ru,ru), F(u,v) =
= {r„,rp), G(u,v) = {rp,rv).
•	Метрика положительной кривизны
Метрика положительной кривизны - внутренняя метрика поверхности поло-
жительной кривизны.
Поверхностью положительной кривизны называется поверхность в Е3, которая
в каждой точке обладает положительной гауссовой кривизной.
•	Метрика отрицательной кривизны
Метрикой отрицательной кривизны называется внутренняя метрика поверх-
ности отрицательной кривизны.
Поверхность отрицательной кривизны - поверхность в Е3, которая в каждой
точке обладает отрицательной гауссовой кривизной. Поверхность отрицательной
кривизны локально имеет седловидную (вогнутую) структуру. Внутренняя гео-
метрия поверхности постоянной отрицательной кривизны (в частности, псевдо-
сферы) локально совпадает с геометрией плоскости Лобачевского. В Е3 не
существует поверхности, внутренняя геометрия которой полностью совпадает с
геометрией плоскости Лобачевского (т.е. полной регулярной поверхности с по-
стоянной отрицательной кривизной).
•	Метрика неположительной кривизны
Метрикой неположительной кривизны называется внутренняя метрика седло-
видной поверхности.
Седловидная поверхность является обобщением поверхности отрицательной
кривизны: дважды непрерывно дифференцируемая поверхность называется седло-
видной тогда и только тогда, когда в каждой точке поверхности ее гауссова
кривизна является неположительной. Такие поверхности можно рассматривать как
Глава 8. Расстояния на поверхностях и узлах
149
антиподы выпуклых поверхностей, однако они не образуют такого естественного
класса, как выпуклые поверхности.
•	Метрика неотрицательной кривизны
Метрикой неотрицательной кривизны называется внутренняя метрика выпук-
лой поверхности.
Выпуклая поверхность - это область (т.е. связное открытое множество) на
границе выпуклого тела в Е3 (в некотором смысле это антипод седловидной по-
верхности). Вся граница выпуклого тела называется полной выпуклой поверх-
ностью. Если тело конечно (ограничено), то полная выпуклая поверхность назы-
вается замкнутой. Иначе она называется бесконечной (бесконечная выпуклая
поверхность гомеоморфна плоскости или цилиндру круглого сечения).
Любая выпуклая поверхность М2 в Е3 является поверхностью ограниченной
кривизны. Полная гауссова кривизна w(A) = J J K(x)da(x) множества A cz М2
А
всегда неотрицательна (здесь <у( •) - площадь, а К(х) - гауссова кривизна М2 в
точке х), т.е. выпуклая поверхность может рассматриваться как поверхность
неотрицательной кривизны.
Внутренняя метрика выпуклой поверхности называется выпуклой метрикой
(не следует путать с метрической выпуклостью, см. гл. 1) применительно к теории
поверхностей, т.е. она удовлетворяет условию выпуклости: сумма углов любого
треугольника, стороны которого являются кратчайшими кривыми, не меньше,
чем я.
•	Метрика с альтернативной кривизной
Метрикой с альтернативной кривизной называется внутренняя метрика на по-
верхности с альтернативной (положительной или отрицательной) гауссовой кри-
визной.
•	Плоская метрика
Плоская метрика - внутренняя метрика на развертываемой поверхности, т.е.
поверхности, на которой гауссова кривизна всюду равна нулю.
•	Метрика ограниченной кривизны
Метрикой ограниченной кривизны называется внутренняя метрика р на поверх-
ности ограниченной кривизны.
Поверхность М2 с внутренней метрикой называется поверхностью ограниченной
кривизны, если существует последовательность таких римановых метрик рп, за-
данных на А/2, что для любого компактного множества А с: М2 имеет место условие
равномерной сходимости р„ -> р, и последовательность | wn | (А) является
ограниченной, где | wn | (А) = J J| К(х) | rfa(x) - тотальная абсолютная кривизна
А
метрики рп (здесь К(х) - гауссова кривизна поверхности Af2 в точке х, а о( ) -
площадь).
•	А-Метрика
А-Метрнкой (или метрикой типа А) называется полная метрика на
поверхности с кривизной, ограниченной сверху отрицательной константой.
A-метрика не имеет вложений в Е3. Это является обобщением классического
результата Гильберта (1901): в Е3 не существует каких-либо регулярных по-
150
Часть II. Гъометрия расстояния
верхностей постоянной отрицательной кривизны (т.е. поверхностей, внутренняя
геометрия которых полностью совпадает с геометрией плоскости Лобачевского).
•	(h, Д)-Метрнка
(h, Д)-Метрнкой называется метрика на поверхности с медленно изменяющейся
отрицательной кривизной.
Полная (h, Д)-метрика не допускает регулярных изометрических вложений в
трехмерное евклидово пространство (см. А-метрнка).
•	G-Расстоянне
Связное множество G точек на поверхности Л/2 называется геодезическим
регионом, если для каждой точки х е G существует диск В{х, г) с центром в х, такой
что BG = GnB(x,r) имеет одну из следующих форм: BG = В{х,г) (х - регулярная
внутренняя точка G); BG - полудиск В{х, г) (х - регулярная граничная точка G);
BG - сектор В(х, г), не являющийся полудиском (х - угловая точка G); BG состоит
из конечного числа секторов В(х, г), которые не имеют иных общих точек, кроме х
(х - узловая точка G).
G-расстоянне между любыми точками х и у е G определяется как инфимум длин
всех спрямляемых кривых, соединяющих х и у € G и полностью принадлежащих G.
•	Конформно инвариантная метрика
Пусть R - риманова поверхность. Локальный параметр (или локальный унифор-
мизирующий параметр, локальный униформизатор) является комплексной пере-
менной z, рассматриваемой как непрерывная функция zp() = ФРо(р) точки ре R,
которая задана всюду в некоторой окрестности (параметрической окрестности)
V(pq) точки ро g R и которая реализует гомеоморфное отображение (пара-
метрическое отображение) V(p0) на диск {параметрический диск) A{Pq) =
= {z е С: | z |< г(р0)}, гДе ФЛ> (Ро)= Под действием параметрического отображе-
ния любая точечная функция g(p), определяемая в параметрической окрестности
ЧРоХ становится функцией локального параметра z : g(p) = ^(Ф^ (z)) = G(z).
Конформно ннварнантной метрикой называется дифференциал p(z) | dz | на
римановой поверхности R, который инвариантен относительно выбора локального
параметра z. Таким образом, каждому локальному параметру z(z: U —> С) ставится
в соответствие функция рг :z(£/)->[0,«>] так, что для любых локальных пара-
метров Z| и z2 имеем
Pz2(z2(p))^ dz|(p)
рг1(2|(р)) dz2(p)
для любых реС/|П{/2.
Каждый линейный дифференциал k(z)dz и каждый квадратичный дифферен-
циал Q(z)dz2 порождают конформно инвариантные метрики |X(z)||rfz| и |g(z)|l/2 |rfz|
соответственно (см. g-метрнка).
•	g-Метрика
g-Метрикой называется конформно инвариантная метрика p(z)|Jz| = |g(z)|,/2|Jz|
на римановой поверхности R, задаваемая через квадратичный дифференциал
Q{z)dz2.
Глава 8. Расстояния на поверхностях и узлах
151
Квадратичный дифференциал Q(z)dz2 - нелинейный элемент на римановой
поверхности R, который инвариантен относительно выбора локального парамет-
ра z. Таким образом, каждому локальному параметру z(z: U -> С) ставится в
соответствие функция Q, : z((/) —» С, такая что для любых локальных параметров
Zj и z2 имеем
a/z2(p)) _( dzi(p)Y
Gz|(zi(P)) И2г(Р)7
для любых р е Ux n t/2-
• Экстремальная метрика
Экстремальной метрикой называется конформно инвариантная метрика в зада-
че модулюса для семейства Г локально спрямляемых кривых на римановой
поверхности R, которая реализует инфимум в определении модулюса М(Г).
Формально, пусть Г - семейство локально спрямляемых кривых на римановой
поверхности R и пусть Р - непустой класс конформно инвариантных метрик
p(z)|<fc| на R, таких что p(z) является квадратично интегрируемой в z-плоскости для
каждого Локального параметра z, а интегралы
Ар(/?) = ffp2(z)dxdy и ^(Г)=ЙИ jp(z)|Jz|
Л	Y6 у
не являются одновременно равными 0 или <» (подразумевается, что каждый из
вышеприведенных интегралов - это интеграл Лебега). Модулюс семейства кривых
Г определяется как
M(D = inf ^^2.
реР(^(Г))2
Экстремальная длина семейства кривых Г равна sup—---------, т.е. является
рер Ар(/?)
величиной, обратной Л/(Г).
Задача модулюса для Г определяется следующим образом: пусть PL - подкласс
Р, такой что для любых p(z)pz| е PL и любой у е Г имеем J p(z)|rfz| > 1. Если
PL Ф 0, то модулюс М(Г) семейства Г может быть записан как Л/(Г)= inf
реР/,
Каждая метрика из PL называется допустимой метрикой для задачи модулюса на Г.
Если существует р*, для которой
М(Г)= inf Ар(Р) = А.(/?),
p6pL т р
то метрика р* \dz\ называется экстремальной метрикой для задачи модулюса на Г.
• Метрика поверхности Фреше
Пусть (X, d) - произвольное метрическое пространство, Л/2 - компактное дву-
мерное многообразие,/- непрерывное отображение /: М2 —> X, называемое
параметризованной поверхностью, а о: М2 -> М2 - гомеоморфизм М2 на себя.
Две параметризированных поверхности/ и/2 называются эквивалентными, если

^(/|(р)»Л(а(Р))= О, где инфимум берется по всем возможным гомео-
152
Часть IL Ггометрия расстояния
морфизмам а. Класс f параметризированных поверхностей, эквивалентных /,
называется поверхностью Фреше. Это является обобщением понятия поверхности
в евклидовом пространстве для случая произвольного метрического пространства
(X,d).
Метрикой поверхности Фреше называется метрика на множестве всех поверх-
ностей Фреше, определяемая как
inf шах </(Л(р),/2(^(Р)))
а реМ2
для любых поверхностей Фреше /j* и /2* > гДе инфимум берется по всем возмож-
ным гомеоморфизмам G (см. Метрика Фреше).
82. ВНУТРЕННИЕ МЕТРИКИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
В данном разделе перечислены внутренние метрики, определяемые их линейными
элементами (которые в действительности являются двумерными рнмановыми
метриками) для некоторых избранных поверхностей.
•	Метрика квадрики
Квадрикой (или квадратичной поверхностью, поверхностью второго порядка)
называется множество точек в Е3, координаты которых в декартовой системе
координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Сущест-
вует 17 классов таких поверхностей, в том числе эллипсоиды, однополостные и
двухполостные гиперболоиды, эллиптические параболоиды, гиперболические па-
раболоиды, эллиптические, гиперболические и параболические цилиндры и кони-
ческие поверхности.
Цилиндр, например, может быть в параметрической форме задан с помощью
следующих уравнений:
Л| (к, о) = a cos о, х2(и, v) = asin v, х3(м, v) = и.
Внутренняя метрика на нем задается линейным элементом
ds2 — du1 +a2dv2.
Эллиптический конус (т.е. конус с эллиптическим сечением) определяется в
параметрической форме следующими уравнениями:
/ х Л-w	z ч ,h-u .	. ч
jq(и, о) = а-cos и, х2(и, v) = b-sin и, х3(и, v) = к,
Л	Л
где Л - высота, а - большая полуось и b - малая полуось конуса. Внутренняя
метрика на конусе задается линейным элементом
,2 Л2 +a2cos2 u + i2sin2 v , 2	(a2 -b2)(h-u)cQSOsmv , .
ds =-----------я--------du1 + 5--------—H----------dudv +
A2	A2
(A-«)2(a2sin2i>+A2cos2o) , 2
h2
•	Метрика сферы
Сфера является квадрикой, координаты которой в декартовой системе выра-
жены уравнением (jq - а)2 + (х2 - ЬУ + (х3 - с)2 = г2, где точка (а, Ь, с) - центр сферы,
а г > 0 - ее радиус. Сфера радиуса г с центром в начале координат может быть
Гаава 8, Расстояния на поверхностях и узлах
153
задана в параметрической форме следующими уравнениями:
*|(0»Ф) = rsin0cos(|>, х2(0,ф) = rsinOsinф, х3(0,ф) = гсовф,
где азимутальный угол ф е [0, 2л) и полярный угол 0 е [0, л]. Внутренняя метрика
на сфере (именно, двумерная сферическая метрика) задается линейным элементом
ds2 = r2d0 + r2 sin2 0с/ф2.
Сфера радиуса г имеет постоянную положительную гауссову кривизну, равную г.
• Метрика эллипсоида
Эллипсоид - квадрика, заданная декартовым уравнением
или
следующими уравнениями в параметрической форме:
*1(0,Ф) = асовфвтО, х2(0,ф) = frsin0sin0, х3(0,ф) = ccos0,
где азимутальный угол ф е [0, 2л) и полярный угол 0 е [0, л]. Внутренняя метрика
на эллипсоиде задается линейным элементом
ds2 = (h2cos2 ф+а2 sin2 ф)8т20</ф2 +(b2 -а2)со$ф$тфсо$0$т0йКМф +
+ ((a2 cos2 ф + b2 sin2 ф)cos2 0+с2 sin2 0)d02.
• Метрика сфероида
Сфероидом называется эллипсоид с двумя одинаковыми по длине осями. Он
является также поверхностью вращения, заданной в параметрической форме
следующими уравнениями:
*|(и,р) = asin pcosu, л2(и,р) = asin г sin и, х3(и,г) = ccosn,
где 0<и<2ли0<#<л. Внутренняя метрика на сфероиде задается линейным
элементом
ds2 - a2 sin2 vdu2 + ^(а2 + ^2 +(л2 -c2)cos(2i7))<to2•
• Метрика гиперболоида
Гиперболоид - квадрика, которая может быть одно- или двухполостной. Одно-
полостным гиперболоидом называется поверхность, образуемая вращением ги-
перболы относительно перпендикуляра, делящего пополам линию между фоку-
сами, а двухполостной гиперболоид - это поверхность, образуемая вращением
гиперболы относительно линии, соединяющей фокусы. Однополостной ги-
перболоид, ориентированный по оси х3, задается декартовым уравнением
2	2	2
*1 , х2 х3
—т+—т—г = I или следующими уравнениями в параметрической форме:
а b с
xx(u,v) = aVl + u2 cos??, х2(и,о) = a^l + u2 sin о, x3(u,v) = си,
где v е [0, 2л). Внутренняя метрика на гиперболоиде задается линеиньш
элементом
(	2 2 \
ds2 =1 с2+-^—рм2+а2(м2 + 1>/Ь2.
154
Часть П. Ггометрия расстояния
•	Метрика поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, образуемая вращением дву-
мерной кривой относительно некоторой оси. Ее можно задать в параметрической
форме с помощью следующих уравнений:
Xj (к, v) = ф(») cos и, х2 (и, v) = ф(v) sin и, х3 (u, v) = у ( о).
Внутренняя метрика на ней задается линейным элементом
ds2 = ф2^м2 + ((Ф')2 + (V)'2)tto2.
•	Метрика псевдосферы
Псевдосферой называется половина поверхности вращения, образуемой вра-
щением трактрисы относительно ее асимптоты. Она задается следующими
уравнениями в параметрической форме:
x1(n,») = sechwcos», x2(w,») = sechnsin», x3(u,») = u-tghu,
где и>0и0<»<2я.
Внутренняя метрика на ней задается линейным элементом
ds2 = tgh2wfa2 + sech2w/»2.
Псевдосфера имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, равную -1, и
в этом смысле является аналогом сферы с постоянной положительной гауссовой
кривизной.
•	Метрика тора
Тор является поверхностью, имеющей род 1. Азимутально симметричный отно-
_________________________________________________________ 2
( I 2	2 1	2	2
сительно оси х3 тор задается декартовым уравнением I с - ^Xj + х2 I + х3 = а или
следующими уравнениями в параметрической форме:
Xj (и, v) = (c + a cos »)cos и, х2 (к, о) = (с + a cos »)sin и, х3(и, о) = a sin о,
где с > а ни, v е [0, 2я). Внутренняя метрика на торе задается линейным
элементом
ds2 = (c + acosv)2du2 + a2dv2.
•	Метрика винтовой поверхности
Винтовой поверхностью (или поверхностью винтового движения) называется
поверхность, описываемая плоской кривой у, которая, вращаясь с постоянной
скоростью относительно оси, одновременно движется вдоль нее с равномерной
скоростью. Если у находится в плоскости оси вращения х3 и определена уравнением
х3 =Ди), то позиционный вектор винтовой поверхности будет равен
г = (иcos», и sin», f(u) = hv), Л = const,
и внутренняя метрика на ней задается линейным элементом
ds2 = (I+f2 )du2 + 2hf'dudv + (u2+h2 )dv2.
Если / = const, то получаем геликоид', если h. = 0, то получаем поверхность
вращения.
Глава 8. Расстояния на поверхностях и узлах
155
•	Метрика поверхности Каталана
Поверхностью Каталана называется минимальная поверхность, в параметри-
ческой форме задаваемая следующими уравнениями:
jq (и, v) = и - sin и cosh v, х2 (u, v) = 1 - cos и cosh v, x3(u, v) = 4 sin^y jsinh^ J
Внутренняя метрика на ней задается линейным элементом
ds2 = 2 cosh2^^(cosh v - cos u)du2 + 2 cosh2^y^(cosh v - cos u)dv2.
•	Метрика обезьяньего седла
Обезьяньим седлом называется поверхность, задаваемая декартовым уравне-
нием х3 = Х|(х2 - Зх2) или следующими уравнениями в параметрической форме:
Xi(u,v) = u, x2(u,v) = v, ’ x3(u,v) = u3 -3uv2.
По такой поверхности обезьяна могла бы передвигаться, опираясь одновре-
менно ногами и хвостом. Внутренняя метрика на такой поверхности задается
линейным элементом
ds2 = (1 + (5и2-3v2)2)du2 -2(18ир(и2-v2))dudv+(l + 36u2v2)dv2).
83. РАССТОЯНИЯ НА УЗЛАХ
Узлом называется замкнутая самонепересекающаяся кривая, вложимая в S3. Три-
виальным узлом (или незаузленностью) О называется замкнутый незаузленный
контур. Обобщением понятия узла является понятие звена. Звено представляет
собой множество непересекающихся узлов. Каждому звену соответствует его
поверхность Зейферта, т.е. компактная ориентируемая поверхность с данным
звеном в качестве границы. Два узла (звена) называются эквивалентными, если
можно плавно перейти от одного к другому. Формально, звено задается как
гладкое одномерное подмногообразие 3-сферы 53; узел - это звено, состоящее из
одной компоненты; звенья L] и Lq называются эквивалентными, если существует
сохраняющий ориентацию гомеоморфизм fi S3 —> S3, такой чтоД£|) = Ь2.
Всю информацию об узле можно представить, используя диаграммы узла -
такие проекции узла на плоскость, что не более чем две точки узла проецируются в
одну и ту же точку на плоскости и в каждой такой точке указано, какая из линий
является ближайшей к плоскости, обычно посредством удаления части нижней
линии. Две различные диаграммы могут представлять один и тот же узел.
Значительная часть теории узлов посвящена выяснению ответа на вопрос, когда
две диаграммы описывают один и тот же узел.
Распутывание узлов является операцией, изменяющей положение пере-
секающихся линий относительно друг друга (сверху или снизу) в двойной точке
данной диаграммы. Распутывающее число узла К является минимальным числом
элементарных операций по распутыванию узлов, необходимых для превращения
диаграммы узла К в диаграмму тривиального узла, где минимум берется по всем
диаграммам узла К. Грубо говоря, распутывающее число есть наименьшее коли-
чество протаскиваний узла К через самого себя, необходимых для его
распутывания.
156
Часть П. Геометрия расстояния
^-распутывающая операция диаграммы узла К является аналогом распуты-
вающей операции для #-части диаграммы, состоящей из двух пар параллельных
линий, из которых одна пара при пересечении проходит над другой. Таким образом,
распутывающее действие изменяет положение пересекающихся линий по высоте в
каждой из вершин полученного четырехугольника.
•	Гордиево расстояние
Гордиево расстояние - метрика на множестве всех узлов, определяемая для
данных узлов К и К' как минимальное число распутывающих операций, необ-
ходимых для превращения диаграммы узла К в диаграмму узла К', где минимум
берется по всем диаграммам узла К, из которых можно перейти к диаграммам узла
К'. Распутывающее число диаграммы узла К равно гордиеву расстоянию между К
и тривиальным узлом О.
Пусть гК - узел, полученный из К как его зеркальное отражение и пусть -К -
противоположно ориентированный узел. Расстоянием положительной рефлексии
Re/ДХ) называется гордиево расстояние между К и гК. Расстоянием отри-
цательной рефлексии Re/_(JQ называется гордиево расстояние между К и -г К.
Инверсивным расстоянием Inv (К) называется гордиево расстояние между К и -К.
Гордиево расстояние - случай k = 1 С*-расстояния, которое равно минимальному
числу Ск-ходов, небходимому для трансформирования К в К'; Хабиро и Гусаров
доказали, что для к > 1 число операций будет конечным тогда и только тогда, когда
оба узла имеют одни и те же инварианты Васильева порядка менее к. С\-ход - это
однократное изменение пересечения. С2-ход (или дельта-ход) - это одновременное
изменение пересечений для трех простых дуг, формирующих треугольник. С2- и С3-
расстояния называются соответственно дельта расстоянием и расстоянием
зацепления.
•	#-Гордиево расстояние
#-Гордиевым расстоянием (см., например, [Mura85]) называется метрика на мно-
жестве всех узлов, определенная для узлов К и К1 как минимальное число ^рас-
путывающих операций, необходимых для перехода от диаграммы узла К к
диаграмме узла К\ где минимум берется по всем диаграммам узла К, которые
преобразуются в диаграммы узла К'.
Пусть гК - узел, полученный из К как его зеркальное отражение и пусть -К -
противоположно ориентированный узел. Расстоянием положительной ^реф-
лексии Re/+#(/f) называется #-гордиево расстояние между К и г К. Расстоянием
отрицательной #-рефлексни Ref* (К) называется #-гордиево расстояние между
К и -гК\ #-ннверсивным расстоянием Inv*(£) является #-гордиево расстояние между
Хи-Х.
Глава 9
Расстояния на выпуклых телах, конусах
и симплициальных комплексах
9.1. РАССТОЯНИЯ НА ВЫПУКЛЫХ ТЕЛАХ
Выпуклым телом в n-мерном евклидовом пространстве Ея называется компактное
выпуклое подмножество в Ея. Оно называется собственным, если имеет непустую
внутренность. Обозначим пространство всех выпуклых тел в Ея через К, и пусть Кр
будет подпространством всех собственных выпуклых тел.
Любое метрическое пространство (К, d) на К называется метрическим про-
странством вынуклых тел. Метрические пространства выпуклых тел, в частности
метризация посредством хаусдорфовой метрики или метрики симметрической
разности, являются основополагающими элементами анализа в выпуклой гео-
метрии (см., например, [Grub93]).
Для С, De К\{0} сложение Минковского и умножение Минковского на
неотрицательный скаляр определяются как С + D = {х + у: х е С, у е D} и аС =
= {ах:хе С}, а > 0 соответственно. Абелева полугруппа (К, +), снабженная
операторами умножения на неотрицательный скаляр, может рассматриваться как
выпуклый конус.
Опорная функция hc: 5я"1 —> И? для С е К задается как /^(и) = sup{(u,x): х е С}
для любого и е Sn~x, где 5я-1 - (п - 1)-мерная единичная сфера в Ея и (,) - скалярное
произведение на Ея.
Для множества X с: Ея его выпуклая оболочка, conv(X) определяется как
минимальное выпуклое множество, которому X принадлежит.
•	Отклонение площади
Отклонение площади (или эталонная метрика) является метрикой на множестве
Кр в Е2 (т.е. на множестве плоских выпуклых дисков), определенной как
A(CAD),
где А( •) - площадь и А - симметрическая разность. Если С a D, то выражение
принимает вид A(D) - А(С).
•	Отклонение периметра
Отклонение периметра является метрикой на Кр в Е2, заданной как
2p(con v(Cu D)) - р(С) - p(D),
где р( • ) - периметр. Для случая С с: D оно равно p(D) -р(С).
•	Метрика средней ширины
Метрикой средней ширины называется метрика на Кр в Е2, заданная как
2J¥(conv(Cu D)) - W(C) - W(D),
где W( *) — средняя ширина: W(C) = р(С}!11, если р( •) - периметр.
158
Часть П. Геометрия расстояния
•	Метрика Помпейю-Хаусдорфа-Бляшке
Метрикой Помнейю-Хаусдорфа-Бляшке (или жаусдорфовой метрикой) назы-
вается метрика на К, заданная как
шах
sup inf II х - у ||2 sup inf II х - у ||2 к
хеСу^О	yeDxeC
где II • Н2 - евклидова норма на Е2.
На языке опорных функций, соответственно с использованием сложения Мин-
ковского, она имеет вид
sup |Лс(и) - XD(u)| = |ЛС - Ao|L = inf{X > 0: С с D+ №n, D с С+ХВ"},
ие5л-1
где Вп - единичный шар пространства Ел.
Данную метрику можно определить, используя любую норму на R" вместо
евклидовой. Обобщая, можно сказать, что она задается для пространства ограни-
ченных замкнутых подмножеств произвольного метрического пространства.
•	Метрика Помпейю-Эгглестона
Метрикой Помпейю-Эгглестона называется метрика на К, заданная как
sup inf ||х - у||2 + sup inf ||х - j||2,
xeCyeD	yeDxeC
где II • ll2 - евклидова норма на Е2.
На языке опорных функций, соответственно, с использованием сложения Мин-
ковского, она имеет вид
шах
О, sup (hc(u)-hD(u))f+inax<0, sup (hD(u)-hc(u))
ugS”-'	ueSn~'
= inf{XSO:CaD+Xe"} + inf{X^O:DcC+XB"J,
где Bn -единичный шар пространства En.
Данную метрику можно определить, используя любую норму на R" вместо ев-
клидовой. Обобщая, можно сказать, что она задается для пространства ограничен-
ных замкнутых подмножеств произвольного метрического пространства.
•	Метрика МакКлюра-Витале
Для 1 < р < ©о метрикой МакКлюра-Витале называется метрика на К, опреде-
ленная как
(
J \hc(u)-hD(u)pdo(u) = ||Лс - hDlp.
J
•	Метрика Флориана
Метрика Флориана - это метрика на К, заданная как
J |Лс(«) - Ло(и)ра(и) = |ЛС - ЛД.
5Л-1
Глава 9. Расстояния на выпуклых телах, конусах и симплициальных комплексах
159
Она может быть выражена в форме 25(conv(C о D)) - S(C) - S(D) для п = 2 (см.
Отклонение периметра); ее можно также выразить в форме nkn(2W(conv(C u £>)) -
W(C) - W(D)) для п > 2 (см. Метрика средней ширины). Здесь 5( •) - площадь по-
верхности, кп- объем единичного шара Вп в Ел и	средняя ширина:
^(0 = 4- J (Лс(и)+Лс(-и))</о(и).
•	Расстояние Соболева
Расстояние Соболева - метрика на К, определенная как
||АС - Ми-’
где II • llw - 1-норма Соболева на множестве С^_{ всех непрерывных функций на
единичной сфере Sn~x пространства Еп.
\-норма Соболева задается как ||/||w = (/,/)V2, где (,)w~ скалярное произ-
ведение на Cs„_i, заданное как
</.£>«- = J (fg + Vs(f,g))dw0, w0=-^—w,
Vs(f.g)= (grads	g), (,) - скалярное произведение на Е" и grad5 - градиент
на 5й"1 (см. [ArWe92]).
•	Метрика Шенарда
Метрикой Шепарда называется метрика на К, заданная как
1п(1 + 2 inf{X > 0: С с: D+X(D- D), D <z С+Х(С-С)}).
•	Метрика Никодима
Метрика Никодима (или метрика симметрической разности) является метрикой
на К, заданной как
V(CAD),
где У( •) - объем (т.е. лебегова и-мерная мера) и А - симметрическая разность. Для
п = 2 получаем отклонение площади.
•	Метрика Штейнгауза
Метрика Штейнгауза (или однородная метрика симметрической разности, рас-
стояние Штейнгауза) является метрикой на Кр, заданной как
У(СДР)
V(CuZ))’
где У( •) - объем. Таким образом, она равна
dA(C,D) .	„
где ад есть метрика Нико-
дима. Эта метрика ограничена; она аффинно инвариантна, в то время как метрика
Никодима инвариантна только относительно сохраняющих объем аффинных
преобразований.
160
Часть IL Ггометрия расстояния
•	Расстояние Эгглестона
Расстоянием Эгглестона (или симметрическим отклонением площади поверхно-
сти) называется расстояние на Кр, определяемое как
S(CuZ))-5(CnZ)),
где S( •) - площадь поверхности. Данное расстояние метрикой не является.
•	Метрика Асплунда
Метрикой Асплунда называется метрика на пространстве Кр/» классов аффин-
ной эквивалентности в Кр9 определяемая как
In inf{X > 1: ВТ: Е" -> Е" аффинное, х е Е", Сс T(D) а ХС+х},
для любых классов эквивалентности С* и D * с представителями С и D соответ-
ственно.
•	Метрика Макбета
Метрика Макбета - метрика на пространстве Kpfa* классов аффинной
эквивалентности в Кр, определяемая как
In inf{Idet Т • Л: ЗТ, Р: Е" -> ₽’ регулярные аффинные, С a T(D), D а Р(С)}
для любых классов эквивалентности С* и D * с представителями С и D соответ-
ственно.
Ее можно записать так же, как
ln81(C,D)+ln8l(D,Q,
где 8,(C,D) = infJ-^^; CcT(D)
Г [ г(С)
Е" на себя.
и Т есть регулярное аффинное отображение
•	Метрика Банаха-Мазура
Метрикой Банаха-Мазура называется метрика на пространстве KpJ~ классов
эквивалентности собственных центрально-симметричных выпуклых тел по отно-
шению к линейным преобразованиям, определяемая как
In inf{X > 1: ЗТ: Е'1 —> Е'1 линейное, С <z T(D) с: ХС)}
для любых классов эквивалентности С* и D * с представителями С и D соответ-
ственно.
Эта метрика является особым случаем расстояния Банаха-Мазура между «-мер-
ными нормированными пространствами.
•	Разделяющее расстояние
Разделяющее расстояние есть минимальное евклидово расстояние между двумя
непересекающимися выпуклыми телами С и D в Еп (в общем случае, расстояние
между множествами между любыми двумя непересекающимися подмножествами
En): inf||х - у|2 : х е С, у g d}; при этом sup{||x - у|2 : х е С,у е d} называется пере-
крывающим расстоянием.
•	Расстояние глубины проникновения
Расстояние глубины проникновения между двумя взаимно проникающими
выпуклыми телами С и D в Ел (в общем случае, между любыми двумя взаимно
Глава 9. Расстояния на выпуклых телах, конусах и симплициальных комплексах
161
проникающими подмножествами множества Еп) есть минимальное расстояние
переноса одного тела относительно другого так, чтобы внутренности С и D стали
непересекающимися:
min{|| 11|2: interior (С+г) П D = 0}.
Это расстояние является естественным обобщением евклидова разделяющего
расстояния для непересекающихся объектов на случай перекрывающихся объ-
ектов. Данное расстояние можно определить как inf{d(C, D + х):х е Еп} или
infsrf(C, 5(D)), где инфимум берется по всем подобиям я Е" -> Е", или..., где d- одна
из указанных выше метрик.
•	Расстояние норядка роста
Для выпуклых многогранников расстояние порядка роста (см. подробнее
[GiOn96]) определяется как величина, на которую объекты должны увели-
читься относительно их начального размера до момента соприкосновения
поверхностями.
•	Разность Минковского
Разность Минковского на множестве всех компактных подмножеств, в част-
ности на множестве всех скульптурных объектов (или объектов произвольной
формы} в R3, определяется как
А-В = {х-у:хе А, уе В].
Если считать В свободно перемещающимся и имеющим постоянную ориен-
тацию объектом, то разностью Минковского является множество, которое со-
держит все переносы В, влекущие пересечение с Л. Ближайшая точка от границы
разности Минковского д(А - В) до начала координат дает разделяющее расстояние
между Л и В. Если оба объекта пересекаются, то начало координат лежит внутри
разности Минковского и полученное расстояние можно рассматривать как
расстояние глубины проникновения.
•	Максимальное расстояние многоугольника
Максимальное расстояние многоугольника - расстояние между двумя выпук-
лыми многоугольниками Р = (рь ..., рп) и Q = (qb ..., qn), определяемое как
тах|р,-^|2> /е л), J е
где II * П2 - евклидова норма.
•	Расстояние Гренандера
Пусть Р = (р|,..., рп) и Q = (^|,..., qn) - два непересекающихся выпуклых много-
угольника и l(pit qj\ l(pw qj) - две пересекающиеся критические опорные линии для
Р и Q. Тогда расстояние Гренандера между Р и Q определится как
II Д -Ч) II2 +IIPm-<7/ Ik
где 1М12 - евклидова норма и Е(р„ pw) - сумма длин ребер ломаной р,,..., рт.
Здесь Р = (pi,..., рп)~ выпуклый многоугольник с вершинами в стандартной
форме, т.е. вершины указываются в системе декартовых координат в направлении
по часовой стрелке и при этом нет трех последовательных коллинеарных вершин.
Прямая I является опорной прямой для Р, если множество внутренних точек Р
6. Деза Е. и Деза М.-М.
162
Часть 11. Геометрия расстояния
полностью лежит по одну сторону от /. Если имеются два непересекающихся
многоугольника Р и Q, то прямая l(ph q-) будет критической опорной прямой, если
она является опорной прямой для Р в ph опорной прямой для Q в qp при этом Р и Q
лежат по разные стороны от l(ph qj).
9.2. РАССТОЯНИЯ НА КОНУСАХ
Выпуклым конусом С в действительном векторном пространстве V называется
подмножество С множества V, такое что С + С с СДС с С для любого X > 0 и
С n (-С) = {0}. Конус С порождает частичный порядок на V по закону
х ^у тогда и только тогда, когда у - х е С.
Порядок подчиняется векторной структуре V, т.е., если х -<у и z и, то
x + z^y + u, и если х^у, то Xr Ху, X е >0. Элементых, у е V называются
сравнимыми, что обозначается как х-у, если существуют положительные действи-
тельные числа а и Р, такие что ау^х^Ру. Сравнимость является отношением
эквивалентности: ее классы эквивалентности (принадлежащие С или -С) назы-
ваются частями (или компонентами, составными частями).
Для выпуклого конуса С подмножество S = {х е С: Т(х) = 1}, где Т: V -> R есть
некоторый положительный линейный функционал, называется поперечным
сечением конуса С.
Выпуклый конус С называется почти архимедовым, если замыкание его суже-
ния на любое двумерное подпространство также является конусом.
• Томсоновская метрика частей
Пусть С - выпуклый конус в действительном векторном пространстве V. Том-
соновская метрика частей на части К с: СХ{ 0} задается как
In max{m(x, у), m(y, х)}
для любых х, у е К, где т(х, у) = inf {Хе R: у Хх}.
Если конус С почти архимедов, то часть К, снабженная томсоновской метрикой
частей, является полным метрическим пространством. Если конус С конечномерен,
то мы получаем хордовое пространство, т.е. метрическое пространство, в ко-
тором имеется выделенное множество геодезических, удовлетворяющих опреде-
ленным аксиомам. Положительный конус R" ={(xb...,xn): х, >0 для 1 < i < п],
снабженный Томсоновской метрикой частей, изометричен нормированному про-
странству, которое можно рассматривать как плоское.
Если взять замкнутый конус С в R" с непустой внутренностью, то внутренность
конуса intC можно рассматривать как и-мерное многообразие ЛГ’. Если для любо-
го касательного вектора v е Тр(Мп), р е Мп задана норма || г? ||^= inf{<x > 0:
-ар v -< ар], то длина любой кусочно дифференцируемой кривой у: [0, 1] -> Мп
1
может быть записана как /(у) = J || y'(t) ||£(0 dt, а расстояние между х и у будет
о
равно infy/(у), где инфимум берется по всем таким кривым ус у(0) = х и у(1) = у.
Глава 9. Расстояния на выпуклых телах, конусах и симплициальных комплексах
163
• Гильбертова проективная полуметрнка
Для выпуклого конуса С в действительном векторном пространстве V гиль-
бертова проективная нолуметрнка есть полуметрнка на СХ{0}, задаваемая как
;	ln(m(x, у) • т(у, х))
। для любых х, у е С\{0}, где m(x,y) = inf{X g R: у < Ах}. Она равна 0 тогда и только
тогда, когда х = Ху для некоторого X > 0, и становится метрикой на пространстве
। лучей конуса.
Если конус С конечномерен, a S является поперечным сечением С (в частности,
j 5 = {х g С: llxll = 1}, где 11-11 - норма на V), то для любых различных точек х, у е S
| расстояние между ними равно 11п(х, у, z, г)1, где z, t - точки пересечения линии 1ху с
границей S и (х, у, z, t) - ангармоническое отношение точек х, у, z, г.
Если конус С почти архимедов и конечномерен, то каждая часть конуса С
является хордовым пространством относительно гильбертовой проективной
метрики. Конус Лоренца {(Г, Xj,..., хп) е R"+l : t2 > xj2 +... + х^}, снабженный гиль-
бертовой проективной метрикой, изометричен «-мерному гиперболическому про-
странству. Положительный конус R" ={(Xj,...xn): xf >0 для 1 </<«}, снаб-
женный гильбертовой проективной метрикой, изометричен нормированному про-
: странству, которое можно рассматривать как плоское.
I Если взять замкнутый конус С в Йй с непустой внутренностью, то внутренность
конуса intC можно рассматривать как л-мерное многообразие А/1. Если для любого
1 касательного вектора v € Тр(Мп), р е М" задана полунорма || v ||р = т(р, о) - т(о, р),
> то длина любой кусочно дифференцируемой кривой у: [0, 1] —>Мп равна
I
/(у) = J || у'(0 ||y(r) dt, а расстояние между х и у равно infy /(у), где инфимум берется
о
по всем таким кривым у су(0) = х и у(1) = у.
• Метрика Бушеля
Возьмем выпуклый конус С в действительном векторном пространстве V. Мет-
рика Бушеля на множестве S =
п
(в общем случае на любом
поперечном сечении конуса С) задается как
1 -m(x,y)-т(у,х)
1 +т(х,у)-т(у, х)
для любых х, у € 5, где m(x,y) = inf{XeR: у^Хх}. Именно, она равна
где h - гильбертова проективная нолуметрнка.
• ^-Ориентированное расстояние
Симплициальный конус С в определяется как пересечение л (открытых или
замкнутых) полупространств, каждая из опорных плоскостей которых проходит
через начало координат. Для любого множества X, состоящего из п точек на
единичной сфере, существует единственный симплициальный конус С, содержащий
все эти точки. Оси конуса С - п лучей, где каждый луч исходит из начала ко-
ординат и содержит одну из точек множества X.
&
164
Часть 11. Геометрия расстояния
Для разбиения {С|,..., Q} пространства № на множество симплициальных ко-
нусов Ск ^-ориентированным расстоянием называется метрика на R", за-
данная как
<№~у)
для всех х, у е R", где для любого х е С-, значение d^x) есть длина наикратчайшего
пути от начала координат до точки х при перемещении только по направлениям,
параллельным осям конуса С.
• Метрики конуса
Конусом Con(X, d) над метрическим пространством (X, d) называется фактор-
произведение X х В?>о, полученное отождествлением всех точек нити X х {0}.
Точка, соответствующая множеству X х {0}, называется вершиной конуса.
Метрика евклидова конуса - метрика на Con(X, d), заданная для любых (х, у),
(у, s) € Con(X, d) как
^t2 + s2 -2tocos(min{d(x, у), я}).
Конус Con(X, d) с этой метрикой называется евклидовым конусом над метри-
ческим пространством (X, d).
Если (X, d) - компактное метрическое пространство диаметра <2, то метрикой
Кракуса называется метрика на Con(X, d), определяемая для любых (х, г),
(у, 5) € Con(X, d) как
min{s, t}d(x, у) +11 - 5 I.
Конус Con(X, d) с метрикой Кракуса допускает существование единственной
срединной точки для каждой пары его точек, если (X, d) обладает таким свойством.
Если Мп является многообразием с (псевдо)римановой метрикой #, то можно
рассматривать метрику dr1 + r2g (в общем случае метрику j-dr2 + г2 g, k*0) на
Con(Af‘) = Af* х
• Метрика взвеси
Сферический конус (или взвесь) Е(Х) над метрическим пространством (X, d) есть
фактор-произведение X х [0, а], полученное отождествлением всех точек нитей
Хх(0)иХх{а}.
Если (X, d) является пространством длины с диаметром diam(X) < я, и а = я, то
метрикой взвеси называется метрика на ЦХ), заданная для любых (х, 0, (у, 5) е £(Х)
как
arccos(cos t cos 5 + sin t sin s cos d(x, y)).
93. РАССТОЯНИЯ НА СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСАХ
r-Мерный симплекс (или геометрический симплекс, гипертетраэдр) представляет
собой выпуклую оболочку г + 1 точек из Е", которые не принадлежат никакой
(г - 1)-плоскости. Симплекс получил свое название потому, что обозначает прос-
тейший возможный выпуклый многогранник в любом заданном пространстве. Гра-
, л	ч г(г + 1) ,
ница r-симплекса имеет г + 1 и-г раней (вершин многогранника),-\-гранеи
Глава 9. Расстояния на выпуклых телах, конусах и симплициальных комплексах
165
(ребер многогранника) и I I 1-граней, где I . I - биномиальный коэффициент.
Вместимость (т.е. многомерный объем) симплекса может быть вычислена с
помощью определителя Кэли-Менгера. Правильный r-мерный симплекс
обозначается как аг
Грубо говоря, геометрический симплициальный комплекс - пространство с
триангуляцией, т.е. разбиением его на замкнутые симплексы таким образом, что
любые два симплекса либо вообще не пересекаются, либо пересекаются по общей
грани.
Абстрактный симплициалъный комплекс S - множество с элементами, назы-
ваемыми вершинами, в которых выделено семейство непустых подмножеств, на-
зываемых симплексами, таким образом, что каждое непустое подмножество симп-
лекса 5 является симплексом, называемым гранью s, и каждое одноэлементное
подмножество является симплексом. Симплекс называется /-мерным, если состоит
из Z + 1 вершин. Размерностью S является максимальная размерность его симп-
лексов. Для каждого симплициального комплекса S существует триангуляция мно-
гогранника, для которой S является симплициальным комплексом. Такой геомет-
рический симплициальный комплекс обозначается GS и называется геометри-
ческой реализацией S.
• Симплициальная метрика
Пусть S - абстрактный симплициальный комплекс и GS - геометрический симп-
лициальный комплекс, являющийся геометрической реализацией S. Точки GS
можно отождествить с функциями a: S —> [0, 1], для которых множество
{хе S: а(х)*0} является симплексом в5и а(х) = 1. Число <х(х)называется х-й
-	-	х	хе5
барицентрической координатой а.
Симплициальная метрика - метрика, заданная на GS как
(а(х)-р(х))2.
V xeS
• Многогранная метрика
Многогранной метрикой называется внутренняя метрика связного геометри-
ческого симплициального комплекса в Е”, в котором отождествленные границы
изометричны. Именно, она определяется как инфимум длин всех ломаных линий,
соединяющих точки х и у так, что каждое из звеньев принадлежит одному из
симплексов.
Примером многогранной метрики является внутренняя метрика на поверхности
многогранника в Еп. Многогранную метрику можно рассматривать на комплексе
симплексов в пространстве постоянной кривизны. В общем случае многогранные
метрики рассматриваются для комплексов, являющихся многообразиями или мно-
гообразиями с краем.
• Метрика полиэдральных цепей
т
r-Мерная полиэдральная цепь А в Ея задается линейным выражением У d^t-,
i=i
где для любого I величина t- является r-мерным симплексом в Еп. Границей цепи
166
Часть II. Геометрия расстояния
является линейная комбинация границ симплексов цепи. Границей r-мерной по-
лиэдральной цепи является (г - 1)-мерная цепь.
Метрикой полиэдральных цепей является метрика нормы
IIА-В II
на множестве С/Е") всех r-мерных полиэдральных цепей. В качестве нормы на
СГ(ЕП) может быть принята:
т
1) масса полиэдральной цепи, т.е. | А |=	14 11 |» гДе 1^1” объем звена ;
2)бемольная норма полиэдральной цепи, т.е. | A|*=infD{| A-3D| + |D|}, где
I D I - масса D, 3D - граница D, и инфимум берется по всем (г + 1)-мерным
полиэдральным цепям; пополнение метрического пространства (Сг (Ел),| р) бе-
мольной нормой является сепарабельным банаховым пространством, обозначае-
мым как его элементы известны как r-мерные бемольные плоские цепи;
3)	диезная норма полиэдральной цепи, т.е.
| А |*= inf
£ 1411<1Ы
<=|_________
г+1
т
где IА Р - бемольная норма А, и инфимум берется по всем сдвигам v (здесь Tvtr -
звено, полученное перемещением Г на вектор v длины I о I); пополнение метри-
ческого пространства (СГ(Е”),| • |#) диезной нормой является сепарабельным ба-
наховым пространством, обозначаемым как С*(Е”), его элементы называются
г-мерными диезными плоскими цепями. Бемольная цепь конечной массы является
диезной. Если г = 0, то | А |*=| А |# .
Метрическое пространство полиэдральных коцепей (т.е. линейных функций
полиэдральных цепей) может быть задано аналогичным способом. В качестве
нормы полиэдральной коцепи X может быть принята:
1.	Комасса полиэдральной коцепи, т.е. | X|=sup|4|=1l Х(А)1, где Х(А) - значение
коцепи X на цепи А.
2.	Бемольная конорма полиэдральной коцепи, т.е. | X р= sup * | Х(А) |.
|Л| —1
3.	Диезная конорма полиэдральной коцепи, т.е. | X |#= sup # | Х(А) |.
|Л| —I
Часть III
РАССТОЯНИЯ
В КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКЕ
Глава 10
Расстояния в алгебре
10.1.	МЕТРИКИ НА ГРУППАХ
Группой (G, е) называется множество G с бинарной операцией •, которая назы-
вается групповой операцией, совместно удовлетворяющие четырем фундамен-
тальным свойствам замыкания (х • у е G для любых х, у е G), ассоциативности
(х • (у • z) = (х • у) • z для любых х, у, z е G), существования единичного элемента J
(х • е = е • х = х для любого хе G) и существования обратного элемента (для ’
любого х е G существует х-1 е G, такой что х • х-1 = х-1 • х = е). В аддитивной форме
записи группа (G, +, 0) является множеством G с такой бинарной операцией +, что
имеют место следующие свойства: х + у е G для любых х, у е G, х + (у + z) =
= (х + у) + z для любых х, у, zg G, х + 0 = 0 + х для любого х е G, для любого х е G
существует -х е G, такой что х + (-х) = (-х) + х = 0. Группа (G, •, е) называется
конечной, если конечно множество G. Группа (G, -, е) называется абелевой, если
она коммутативна, т.е. равенство х • у = у • х справедливо для любых х, у е G.
Многие из рассматриваемых в данном разделе метрик являются метрикой
нормы группы на группе (С, •, е), заданной как
II х • у-1 II
(или, иногда, как II у-1 • х II), где II • II - норма группы, т.е. функция II • II: G —» R, такая
что для любых х, у е G имеют место следующие свойства:
1)	II х II > 0, с II х II = 0 тогда и только тогда, когда х = е;
2)	11x11 = 11 JTl II;
3)	II х • у II £ II х II +1 у II (неравенство треугольника).
В аддитивной форме записи метрика нормы группы на группе (G, +, 0) опре-
деляется как II х + (-у) II = II х - у II или иногда как II (-у) + х II.
Простейшим примером метрики нормы группы является бнннварнантная ульт-
раметрнка (иногда ее называют хэмминговой метрикой) II х • у1 Пя, где II х llw = 1
для х * е и II е II// = 0.
•	Бнннварнантная метрика
Метрика (в общем случае - полуметрика) d на группе (G, •, е) называется
бнннварнантной, если равенство
d(x, у) = d(x  z,y -z) = d(z x, z у)
справедливо для любых х, у, z е G (см. Инвариантная метрика переноса). Любая
метрика нормы групны на абелевой группе является бивариантной.
Метрика (в общем случае - полуметрика) d на группе (G, •, е) называется пра-
воннварнантной, если равенство d(x, у) = d(z х, zy) справедливо для любых
х, у, z е G, т.е. операция правого умножения на элемент z является движением
метрического пространства (G, d). Любая метрика нормы группы, определяемая
как II х • у4 II, является правоинвариантной.
Глава 10. Расстояния в алгебре
169
Метрика (в общем случае - полуметрика) d на группе (G, •, е) называется лево-
инварнантиой, если равенство d(x, у) = d(z x> z у) справедливо для любых
х, у, z е G, т.е. операция левого умножения на элемент z является движением
метрического пространства (G, d). Любая метрика нормы группы, определяемая
как II у1 • х II, является левоинвариантной.
Любая правовариантная, равно как и левоинвариантная, в частности, любая
биинвариантная метрика d на G является метрикой нормы группы, поскольку
норму группы на G можно задать как II х II = </(х, 0).
•	Положительно однородная метрика
Метрика (в общем случае - расстояние) d на абелевой группе (G, +, 0) назы-
вается положительно однородной, если равенство
d(mx, ту) = md(xt у)
справедливо для всех х, у е G и всех т е N, где тх - сумма т элементов, каждый из
которых равен х.
•	Дискретная метрика переноса
Метрика нормы группы (в общем случае - полуметрика полунормы группы) на
группе (G, •, е) называется дискретной метрикой переноса, если расстояния
переноса (или числа переноса)
т Нт IIх" II
^gW= *,т-------
Я->оо П
элементов х без кручения (т.е. таких, что х" * е для любого ле М) по отношению к
этой метрике являются отделенными от нуля.
Если числа т</х) являются ненулевыми, то такая метрика нормы группы
называется собственной метрикой переноса.
•	Словарная метрика
Пусть (G, •, е)- конечно порожденная группа с множеством А порождающих
элементов. Словарная длина и$(х) элементах е G\(e} определяется как
и$(х) = inf{r: х = af1 ...a*r ,af e A, e {±1}},
и и$(е) = 0.
Словарная метрика d$, соответствующая множеству А, есть метрика нормы
группы на G, определяемая как
^(ху"1).
Так как словарная длина является нормой группы на G, то d§ правоннва-
рнантна. Иногда она определяется как w^ty"' х), и тогда она становится лево-
инвариантной. Именно, d^ - это максимальная метрика на G, которая является
правовариантной и обладает тем свойством, что расстояние от любого элемента из
А или из А-1 до единичного элемента е равно единице.
Если А и В - два конечных множества порождающих элементов группы (G, •, е),
то тождественное отображение между метрическими пространствами (G, d$) и
170
Часть HL Расстояния в классической математике
(G, d^) является квазннзометрней, т.е. словарная метрика единственна с точ-
ностью до квазиизометрии.
Словарная метрика - метрика пути графа Кэли Г группы (G, •, е\ построенного
относительно А. Именно, Г является графом с множеством вершин G, в котором
две вершины х и у е G соединены ребром тогда и только тогда, когда у = аЕх, е = ±1,
ае А.
•	Взвешенная словарная метрика
Пусть (G, •, е)- конечно порожденная группа с множеством А порождающих
элементов. Если имеется ограниченная весовая функция w: А —> (0, ©о), то
взвешенная словарная длина и^^(х) элемента х е G\{ е} определяется как
www(x) = inf -
t
У wfoMeN:
7=1
x = of1 ...aE' ,af e A,ef e {±1} ►,
и w^w(e) = 0.
Взвешенная словарная метрика d^w, соответствующая А, есть метрика
нормы группы на G, определенная как
™ww(x y Ь-
Поскольку взвешенная словарная длина является нормой группы на G, то
будет нравоннварнаптной. Иногда она задается как и^(у-1 х), ив этом
случае она является левоннварнантной.
Метрика является супремумом полуметрик d на G, обладающих свойством
d(e, а) < w(a) для любого а е А.
Метрика d^ является метрикой упрощенного пути, и каждая правоинвари-
антная метрика упрощенного пути является весовой словарной метрикой с точ-
ностью до грубой нзометрнн.
Метрика d^ является метрикой пути взвешенного графа Кэли группы
(G, •, е), построенного относительно А. Именно, является взвешенным графом с
множеством вершин G, в котором две вершины х и у е G соединены ребром с
весом w(d) тогда и только тогда, когда у = &х, е = ±1, а е А.
•	Метрика интервальной нормы
Метрика интервальной нормы есть метрика нормы группы на конечной группе
(G, •, е), определенная как
Их у-1 Hint.
где II • llint - интервальная норма на G, т.е. такая норма группы, что значения II • llint
образуют множество последовательных целых чисел, начиная с 0.
Каждой интервальной норме II • llint соответствует упорядоченное разбиение
(Во,..., Вт} множества G с В,- = {х е G: II х llint = i] (см. Расстояние Шарма-Кошека,
гл. 16). Норма Хэмминга и норма Ли являются особыми случаями интервальной
нормы. Обобщенная норма Ли - интервальная норма, для которой каждый класс
имеет форму Bt = {а, а~х}.
Глава 10. Расстояния в алгебре
171
• С-Метрнка
С-Метрнка d~ метрика на группе (G, •, е), удовлетворяющая следующим
условиям:
1) значения d образуют множество последовательных целых чисел, начиная с 0;
2) кардинальное число сферы S(x, г) = {у е G: d(x, у) = г} не зависит от выбора
хе G.
Словарная метрика, хэммннгова метрика н метрика Лн являются С-метриками.
Любая метрика интервальной нормы есть С-метрика.
•	Метрика нормы порядка
Пусть (G, •, е) - конечная абелева группа. Пусть ord(x) - порядок элемента х е G,
т.е. наименьшее положительное целое число л, такое что У1 = е. Тогда функция
II • HOrd: G -> R, определенная как II • llord = lnord(r), является нормой группы на G и
называется нормой порядка.
•	Метрика нормы порядка - метрика нормы группы на G, определенная как
Их г1
•	Метрика нормы мономорфизма
Пусть (G, +, 0)- группа и (Я, •, е)- группа с нормой группы II • II//. Пусть/:
G-+H- мономорфизм групп G и Я, т.е. инъективная функция, такая чтоДх + у) =
= Дх)/(у) для всех х, у е G. Тогда функция ||-||£: G->R, заданная как
IIх IIg HI /WII// > является нормой группы на G и называется нормой моно-
морфизма.
Метрика нормы мономорфизма - метрика нормы грунны на G, определяе-
мая как
|х-уИ6-
•	Метрика нормы произведения
Пусть (G, +, 0) - группа с нормой группы II • Пс и (Я, •, е) - группа с нормой
группы II • llw. Пусть G хЯ = {а = (х, у): х е G, у е Я} - декартово произведение
G и Я, и пусть (х, у) • (х, О = (х + z, у • t). Тогда функция II • ll^x//: G х Я -> R,
определенная как || а ||Сх// =|| (х,у) ||Сх// =|| х ||с +1| у ||//„ есть норма группы на G х Я,
называемая нормой произведения.
Метрика нормы произведения есть метрика нормы группы, определенная как
Ha p"’ Hgxf-
На декартовом произведении Gx.H двух конечных групп с интервальными
нормами || • IIS* и II* IB? может быть задана интервальная норма || • IISx// • Именно,
II« IIgxw41 (х,у HgxW=II * IIg +(т +1) || у ||н, где т = тахвбС || а ||£‘ .
•	Метрика фактор-нормы
Пусть (G, •, е)- группа с нормой группы || • ||с и (Я, •, е) - нормальная подгруппа
группы (G, •, е), т.е. xN = Nx для любых х е G. Пусть {G/N, eN) - фактор-группа
группы G, т.е. G/N= {xN: хе G} с xN= (х а: а е N} и xN • yN = xyN. Тогда функция
II ‘ Нс/л/: G/ Я R, заданная как || xN ||с/лг= min || ха ||х, - норма группы GZ/V, назы-
ваемая фактор-нормой.
172
Часть III. Расстояния в классической математике
Метрика фактор-нормы есть метрика нормы группы на G/N, определенная как
Если G = Z с нормой, равной абсолютному значению, и N = mZ, те N, то
фактор-норма на ZhnZ = 2т совпадает с нормой Ли.
Если метрика d на группе (G, •, е) правоннварнантна, то для любой нормальной
подгруппы (N, *, е) группы (G, •, е) метрика d порождает правоинвариантную
метрику (именно, хаусдорфову метрику) сГ на G/N по закону
d* (xN, yN) = max< max min d(a, b), max min d(a, b) f.
aexN	aexN beyN J
•	Расстояние коммутирования
Пусть (G, •, e) - конечная неабелева группа. Пусть Z(G) ={се G:x • с = с х для
любого z е G) - центр G. Граф коммутирования группы G определяется как граф
с множеством вершин G, в котором различные элементы х, у е G соединены
ребром всякий раз, когда они коммутируют, т.е. х • у = у • х. Очевидно, что любые
два различных элемента х, у е G, которые не коммутируют, в данном графе
соединены путем х, с, у, где с - любой элемент из Z(G) (например, е). Путь х = х1,
х2,..., хк = у в графе коммутирования называется (х - y)N-nymeM, если х7 е Z(G) для
любого i е {1,..., к]. В этом случае элементы х, у е G\Z(G) называются
N-соединенными.
Расстоянием коммутирования (см. [DeHu98]) d называется расширенное рас-
стояние на G, такое что выполняются следующие условия:
l)d(x, х) = 0;
2)	d(x, х) = 1, еслих*у их у-у • х;
3)	d(xt х) является минимальной длиной (х - у)/У-пути для любых ^соединенных
элементов х и у е G\Z(Gy,
4)	d(x, х) = ©о, если х, у е G\Z(G) не соединены никаким /V-путем.
•	Модулярное расстояние
Пусть (2„р +,0),т>2- конечная циклическая группа иге N, г > 2. Модулярный
r-вес wr(x) элемента х е 2т = {0, 1,..., т} определяется как wr(x) = min{wr(x),
wr(m - х)}, где w/x) - арифметический r-вес целого числа х. Значение wr(x) можно
получить как число ненулевых коэффициентов в обобщенной несмежной форме
х = епгп +... + в|Г+е0 с e,=Z, |ef|<r, |ef +ef+| |<г и |^ |<|^+i|, если ^е/+1<0
(см. Метрика арифметической r-нормы, гл. 12).
Модулярное расстояние - расстояние на 2т, определенное как
wr(x-y).
Модулярное расстояние является метрикой для w/m) = 1, и/ г(т) = 2 и для
некоторых особых случаев с wr(m) = 3 или 4. В частности, оно является метрикой
для т = гп или т = г" - 1; если г = 2, то оно будет метрикой и для т = 2п + 1
(см., например, [Emv85]).
Наиболее популярной метрикой на 2т является метрика Лн, определяемая как
|| х - у И^, где || х 11^= min{x, т - х} - норма Ли элемента х е Zw
•	Метрика G-нормы
Рассмотрим конечное поле F п для простого числа р и натурального числа п.
Глава 10. Расстояния в алгебре
173
Для данного компактного выпуклого центральносимметричного тела G в R" опре-
делим G-норму элемента х е F „ как || х ||с= inf {у, > 0: хе pZn + pG}.
Метрика G-нормы есть метрика нормы группы на F?n, определенная как
Их у-' ||с.
•	Метрика нормы перестановок
Возьмем конечное метрическое пространство (X, d). Метрикой нормы пере-
становок называется метрика нормы группы на группе (Symx, •, id) всех пере-
становок множества X (id - тождественное отображение), определенная как
II/Г' llsym>
где норма группы || • ||Sym на Symx задается как || / ||Syin= m«d(x,/(x)).
•	Метрика движений
Пусть (X, d) - произвольное метрическое пространство и р е X- фиксированный
элемент из X.
Метрикой движений (см. [Buse55]) называется метрика на группе (Q, *, id) всех
движений пространства (X, d) (id - тождественное отображение), определен-
ная как
sup</(/(x),^(x))e-rf(₽’x)
хеХ
для любых f g g Q (см. Буземанова метрика множеств, гл. 3). Если пространство
(X, d) ограничено, то подобную метрику на Q можно определить как
supd(f(x),g(x)).
хеХ
Для полуметрического пространства (X, d) полуметрнку движений на (Q, *, id)
можно определить как
d(f(p), g(p)).
•	Полуметрнка общей линейной группы
Пусть F - локально компактное недискретное топологическое поле. Пусть
(Г,|Н|Г„), л - 2 - нормированное векторное пространство над F. Пусть II • II-
операторная норма, ассоциированная с нормированным векторным пространством
(гп>|Н|ц:л j, и пусть GL(rt, F) - общая линейная группа над F. Тогда функция I • 1ор:
GL(n, F) -> R, определенная как | g |ор= sup{| In || g |||, IlnHg”1 |||}, является полу-
нормой на GL(rt, F).
Полуметрнка общей линейной группы есть полуметрика на группе GL(n, F),
заданная как
l« A_| lop •
Она является нравоннварнаптной полуметрикой, которая единственна с точ-
ностью до грубой нзометрнн, поскольку любые две нормы на F являются бн-
лнпшнцево эквивалентными.
YU
Часть III. Расстояния в классической математике
•	Полуметрика обобщенного тора
Пусть (Т, •, е) - обобщенный тор, т.е. топологическая группа, которая изомор-
фна прямому произведению п мультипликативных групп F* локально компактных
недискретных топологических полей F,. Тогда существует собственный непрерыв-
ный гомоморфмизм v: Т -> R'1, именно, г(хь..., хп) = (^(jqvn(xn)), где
F* —> R являются собственными непрерывными гомоморфизмами из F* в аддитив-
ную группу R, заданными как логарифм валюации. Всякий другой собственный не-
прерывный гомоморфизм г/: Г —» R" имеет вид v' = а • v с а g GL(n, R). Если II • II
яляется нормой на R", то получаем соответствующую полунорму || х ||г=|| v(x) ||
на Т.
Полуметрика обобщенного тора есть полуметрика на группе (Т, , е), опре-
деленная как
II ху~' Пт=II °<^_|) 11=11 VW “ и(У) II •
•	Метрика Гейзенберга
Пусть (Я, •, е) - первая гейзенбергова группа, т.е. группа на множестве Н = С ® R
с групповым законом ху = (z,0(u,5) = (z + uj+ s + 23(zu)) и единичным эле-
ментом е = (0, 0). Пусть | • |Heis - гейзенбергова норма на Н, определенная как
I X lHeis=l (М) lHeis= (I * I4 +r2),/4-’
Метрика Гейзенберга (или метрика шаблона, метрика Кораньи) JHeis есть мет-
рика нормы на Н, определенная как
|х"'у1и-
Другая естественная метрика на (Я, •, е) - метрика Карно-Каратеодори (или С-С
метрика, контрольная метрика) dc, определяемая как внутренняя метрика
с использованием горизонтальных векторных полей на Я. Метрики JHeis и dc
являются билнпшнцево эквивалентными; именно, -l=*JHeis(x,y)< Jc(x,y)<
v тс
Метрику Гейзенберга можно задать аналогичным образом на любой гейзенбер-
говой группе (Я", •, е) с Н” = С" ® R.
•	Метрика между интервалами
Пусть G - множество интервалов [а, Ь] из R. Множество G образует полугруппы
(G, +) и (G, •) относительно сложения I + J = {х + у: х е I, у е J} и умножения
/ • J = {х • у: х е /, у g J} соответственно.
Метрика между интервалами - метрика на G, заданная как тах{| /|, | J |} для
всех I, J g G, где для / = [а, Ь] имеем | /1=| а - b |.
•	Полуметрнка кольца
Пусть (А, +, ) - факториальное кольцо, т.е. кольцо, в котором разложение на
множители единственно. Полуметрикой кольца называется полуметрика на мно-
жестве А\{0}, определяемая как
1.с.т.(х,у)
g.c.d.(x,y)'
где 1.с.т.(х, у) - наименьшее общее кратное ng.c.d.(x, у) - наибольший общий
делитель элементов х, у g А\{0}.
Гпава 10. Расстояния в алгебре
175
10.2. МЕТРИКИ НА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
Бинарное отношение R на множестве X является подмножеством X х X. Оно
представляет собой множество дуг орграфа (X, R) с множеством вершин X.
Бинарное отношение R, которое является симметричным (если (х, у) е R, то
(у, х) е /?), рефлексивным (все (х, х) е Л) и транзитивным (если (х, у), (у, z) е R, то
(х, z) е R), называется отношением эквивалентности или разбиением (X на классы
эквивалентности). Любая q-арная последовательность х = (Х|,..., хи), Я 2 (т.е.
0 < х, < <7 - 1 для 1 < i < п) соответствует разбиению {Во,..., В^_|} множества
V = {1»..., п}, где Bj; = {1 < i < п: xt=j] - классы эквивалентности.
Бинарное отношение Я, которое является антисимметричным (если (х, у), (у, х)
е /?, то х = у), рефлексивным и транзитивным, называется частичным порядком,
а пара (X, R) называется частично упорядоченным множеством. Частич-
ный порядок R на X также обозначается как с х у тогда и только тогда, когда
(х, у) g R. Порядок -< называется линейным, если любые два элемента х, у е X
сравнимы, т.е. х < у или у х.
Частично упорядоченное множество (L, называется решеткой, если каждые
два элемента х, у е L обладают объединением х v у и пересечением хлу. Все
разбиения X образуют решетку по измельчению; она является подрешеткой
решетки (по включению) всех бинарных отношений.
• Расстояние Кеменн
Расстояние Кеменн между бинарными отношениями R\ и R2 на множестве X
есть хэммннгова метрика 1А/?2 I- Оно в 2 раза превышает минимальное число
инверсий пар смежных элементов из X, необходимое для получения R2 из /?i.
Если R\, R2 являются разбиениями, то расстояние Кемени совпадает с расстоя-
нием Мнркина-Черного и 1 - является индексом Рэнда.
п(п-\)
Если бинарные отношения Rx, R2 являются линейными порядками (илиранжи-
рованиями, перестановками) на множестве X, то расстояние Кемени совпадает с
метрикой инверсии на перестановках.
Расстояние Драпала-Кепки между различными квазигруппами (X, +) и (X, •)
определяется как | {(х,у): х + у * х • у} |.
• Метрики между разбиениями
Пусть X - конечное множество с числом элементов п =| X | и пусть А, В - не-
пустые подмножества множества X. Пусть Рх - множество разбиений X и Р,
Q е Рх. Пусть В\,..., Bq- блоки разбиения Р, т.е. попарно непересекающиеся
множества, такие что X = B,u...uB^, q>2. Пусть Pv Q есть объединение Р и Q,
a Pv Q-пересечение Р vl Qeрешетке Р разбиений множества X.
Рассмотрим следующие операции редактирования на разбиениях:
-	пополнение преобразует разбиение Р множества А\{В} в разбиение множества
А либо включением объектов из В в некоторый блок, либо включением самого В в
качестве нового блока;
-	удаление преобразует разбиение Р множества А в разбиение множества А\{В)
посредством удаления объектов из В из каждого содержащего их блока;
-	деление преобразует одно разбиение Р в другое посредством одновременного
удаления В из В, (где В cz Bt, В^В^н добавления В как нового блока;
176
Часть III. Расстояния в классической математике
-	объединение преобразует одно разбиение Р в другое посредством одно-
временного удаления В из В, (где В = В,) и добавления В bBj (где j i);
-	перенос преобразует одно разбиение Р в другое посредством одновременного
удаления В из В, (где В с: В,) и добавления В в Ву (где j Ф i).
Определим (см., например, [Рау81]) применительно к вышеуказанным опера-
циям следующие метрики редактирования на Рх'
1)	минимальное количество пополнений и удалений единичных объектов,
необходимых для преобразования Р в 0;
2)	минимальное количество делений, объединений и переносов единичных
объектов, необходимых для преобразования Р в Q\
3)	минимальное количество делений, объединений и переносов, необходимых
для преобразования Р в Q\
4)	минимальное количество делений и объединений, необходимых для преоб-
разования Р в 0; именно, оно равно | Р | +1Q | -21Р v Q |;
5)	а(Р)+о(С)-2о(РлС), где о(Р)= £	|(| /> | -|);
6)	е(Р) + е(е)-2е(РлС), где e(P) = log2« + У —log2ЬЦ
Pj€P П	П
Расстояние Ренье есть минимальное число элементов, которые необходимо
переместить между блоками разбиения Р с тем, чтобы преобразовать его в Q
(см. Расстояние бульдозера, гл. 21 и вышеуказанную метрику 2).
10.3. МЕТРИКИ РЕШЕТОК
Возьмем частично упорядоченное множество (L, ^). Пересечение (или инфимум)
хлу (если оно существует) двух элементов х и у является единственным эле-
ментом, удовлетворяющим условиям хлу^х, у, и г^хлу, если z^x, у. Ана-
логичным образом объединение (или супремум) х v у (если оно существует)
является единственным элементом, таким что х, у х v у, и xvy^z, если х, у z.
Частично упорядоченное множство (L, ^) называется решеткой, если каждые
два элемента х, у е L имеют объединение х v у и пересечение х л у. Частично
упорядоченное множество (L, ^) называется полурешеткой пересечения (или
нижней полурешеткой), если задана только операция пересечения. Частично
упорядоченное множество (L, ^) называется полурешеткой объединения (или
верхней полурешеткой), если задана только операция объединения.
Решетка L = (L,^,v, л) называется полумодулярной решеткой (или полу-
дедекиндовой решеткой), если отношение модулярности хМу симметрично:
хМу влечет уМх для всех х, у g L. Отношение модулярности здесь определяется
следующим образом: два элемента х и у считаются модулярной парой, что
обозначается как хМу, если х л (у v z) = (х л у) v z для любых z х. Решетка L,
в которой каждая пара элементов является модулярной, называется модулярной
решеткой (или дедекиндовой решеткой). Решетка является модулярной тогда
и только тогда, когда действует закон модулярности: если z х, то
х л (у v z) = (x л у) v z для любого у. Решетка называется дистрибутивной, если
равенство х л (у v z) = (х л у) v (х л z) выполняется для всех х, у, z е L.
Глава 10. Расстояния в алгебре
177
Для данной решетки L функция v: L -> R^o, удовлетворяющая условию
p(xvy)+r(x лу)< z>(x)+?7(y) для всех х, у е L, называется субвалюацией на L.
Субвалюация v называется изотонной, если v(x) £ v(y) всякий раз, когда х <у, и
называется положительной, если v(x) < v(y) всякий раз, когда х -<у, х*у.
Субвалюация v называется валюацией, если она изотонна и равенство
v(x v y) + v(x лу) = v(x) + v(y) справедливо для всех х, у е L. Целочисленная
валюация называется высотой (или длиной) решетки L.
•	Метрика валюации решетки
Пусть L = (L, v, л) - решетка и v - изотонная субвалюация на L. Полумет-
рика субвалюации решетки dv на L определяется как
2v(x vy)- v(x) - v(y).
(Она может быть также задана на некоторых полурешетках). Если v являет-
ся положительной субвалюацией на L, то получим метрику, которая назы-
вается метрикой субвалюации решетки. Если v - валюация, то dv можно за-
писать как
^(х v у) - о(х лу) = v(x) + v(y) -2v(x а у);
в этом случае dv называется полуметрикой валюации. Если v является поло-
жительной валюацией на L, то получаем метрику, называемую метрикой валюации
решетки.
Если L = N (множество натуральных чисел), х v у = 1.с.т.(х, у) (наименьшее
общее кратное), х а у = g.c.d.(x, у) (наибольший общий делитель) и положительная
/xt	. / х , 1.с.т.(х,у) _
валюация v(x) = Inx, то dv(x, y) = ln-Данную метрику можно обобщить
g.c.d.(x,y)
на любое факториальное кольцо (т.е. кольцо с единственной факторизацией),
снабженное положительной валюацией v, такой что v(x) > 0 с равенством только
для мультипликативной единицы кольца, и v(xy) = v(x) + г(у).
•	Метрика конечных подгрупп
Пусть (G, •, е) - группа и L = (L, с, п) - нижняя полурешетка всех конечных
подгрупп группы (G, •, е) с пересечением X n Y и валюацией v(X) = In | X |.
Метрика конечных подгрупп есть метрика валюации на L, определяемая как
v(X)+v(Y) - 2v(X л У) = In	.
(|ХпУ|)2
•	Скалярная и векторная метрики
Пусть L = (L, <, max, min) - решетка с объединением шах{х, у} и пересечением
min{x, у} на множестве L с: [0, °°), имеющем заданное число а как наибольший
элемент и замкнутом относительно отрицания, т.е. для любого х е L имеем
х = а - х € L.
Скалярная метрика d на L задается дляхФу как
d(x,y) = max{min{x,y},min{x,y}}.
178
Часть Ш, Расстояния в классической математике
Скалярная метрика на L* = Lи {*}, * ё L, определяется для х Фу как
d*(x,y) =
d(x,y),
max{x, х},
max {у,у),
если x,yeL,
если у = *,х^*,
если х = *,у^*.
Для данной нормы II * II на п > 2 векторная метрика на Ln задается как
|| (</(%!,У,<Кхп,упУ) ||
и векторная метрика на (L*?1 задается как
||(Л‘(Х|,у1),...,<Г(Хл,ул))||.
Векторная метрика на L£={0,1}л с Ц-нормой на называется расстоянием
г	|	ш “ 2 1л
Фреше-Никодима-Аронзяна. Векторная метрика на Lnm = <0,----------------, 1 > с
I m-l	m-l J
Ц-нормой на Rw называется m-значной метрикой Сгарро. Векторная метрика на
[0, I]'1 с Ц-нормой на № называется нечетко определенной метрикой Сгарро. Если
L есть Lm ил и [0, 1 ] и х = (Х|,..., xw, хя+|,..., хя+г), у = ,...»уп	где * стоит на г
местах, то векторная метрика между х и у является метрикой Сгарро (см., на-
пример, [CSY01]).
•	Метрики на пространстве Рнсса
Пространство Рисса (или векторная решетка) есть частично упорядочен-
ное векторное пространство (VRi,^), в котором выполняются следующие
условия:
1) структура векторного пространства и частично упорядоченная структура
совместимы.- из х у следует, что х + z -<у + z, а из х > 0, 1 е R, 1 > 0 следует, что
Ах >0»;
2) для любых двух элементов х, у g VRi существует объединение xvyeVRi
(в частности, существует объединение и пересечение любого конечного множества
элементов из VRi).
Метрика нормы Рнсса есть метрика нормы на VRi, заданная как
II х — у ||Ri,
где II' Iki - норма Рисса, т.е. норма на VRi, такая что для любых х, у е VRi из
неравенства | х | < | у |, где | х | = (~х) v (х), следует неравенство || х ||Ri < || у ||Ri.
Пространство (VRi, || • ||Ri) называется нормированным пространством Рисса.
В случае полноты оно называется банаховой решеткой. Все нормы Рисса на
банаховой решетке эквивалентны.
Элемент е е VRi ={х g VRi : х > 0} называется сильной единицей для VRi, если для
каждого х g VRi существует 1 g R, такое что | х | Хе. Если пространство Рисса VRi
имеет сильную единицу е, то || х || = inf{X g R: | х | ке] является нормой Рисса и на
VRi получим метрику нормы Рисса
inf{X е R: | х - у | Хе}.
Гпава 10. Расстояния в алгебре
179
Слабой единицей для VRi является элемент е из VRi, такой что ел | х |-= 0 влечет
х = 0. Пространство Рисса VRi называется архимедовым, если для любых двух
х,у g VjJ существует натуральное число п, такое что пх у. Равномерная метрика
на архимедовом пространстве Рисса со слабой единицей е определяется как
inf {X g R: | х - у | ле Ке}.
• Расстояние галереи для флагов
Пусть L - решетка. Цепь С в L есть подмножество множества L, которое
является линейно упорядоченным, т.е. любые два элемента из С сравнимы между
собой. Флагом называется цепь в L, которая является максимальной относительно
включения. Если L является полумодулярной решеткой, содержащей конечный
флаг, то L имеет единственный минимальный и единственный максимальный
элемент, и любые два флага С, D в L имеют одинаковое кардинальное число л + 1.
Тогда п - это высота решетки L. Два флага С, D в L называются смежными, если
они совпадают или D содержит только один элемент вне С. Галереей от С к D
длины т называется последовательность флагов С = Со, Cf,..., Ст = D, такая что
Сг_| и С, являются смежными для i = 1,..., т.
Расстояние галереи для флагов (см. [Abel91]) есть расстояние на множестве всех
флагов полумодулярной решетки L конечной высоты, определяемое как минимум
длин галерей из С к D. Оно может быть записано как
|CvD|-|C| = |CvD|-|D|,
где СvD = {сvd: сеС, de D} является верхней подполурешеткой, порожденной
ChD.
Расстояние галереи для флагов является специальным случаем метрики галереи
(для системы камер, состоящей из флагов).
Глава 11
Расстояния на строках
и перестановках
Алфавит - конечное множество , I I > 2, элементы которого называются
буквами (или символами). Строка (или слово) есть последовательность букв над
данным конечным алфавитом si. Множество всех конечных последовательностей
над алфавитом si обозначается как W(sl).
Подстрока (или фактор, цепочка, блок) строки х = Xj...xzl- любая ее
подпоследовательность смежных элементов XjXM...xk с 1 < i £ к < п. Префиксом
строки х\...хп является любая ее подстрока, начинающаяся с х^ суффикс - любая
ее подстрока, заканчивающаяся на хп. Если строка является частью текста,
то разделительные знаки (пробел, точка, запятая и т.п.) добавляются к алфа-
виту si.
Вектор - любая конечная последовательность действительных чисел, т.е. ко-
нечная строка над бесконечным алфавитом R. Вектором частот (или дискрет-
ным распределением вероятностей) является любая строка х\...хп со всеми х, > 0 и
п
У xf= 1. Перестановка (или ранжирование) - любая строка хх...хп, в которой все
/=1
х, -различные числа множества {1,..., п].
Операцией редактирования называется любая операция на строках, т.е.
симметричное бинарное отношение на множестве всех рассматриваемых строк.
Если имеется множество операций редактирования О = (О ь...,От}, то соот-
ветствующая метрика редактирования (или единичная цена расстояния редакти-
рования) между строками х и у есть минимальное число операций редактирования
из О, требующихся для того, чтобы получить у из х. Это - метрика пути графа со
множеством вершин 1¥(з4), где ху является ребром, если у может быть получено из
х посредством одной из операций множества О. В некоторых приложениях каж-
дому типу операций редактирования ставится в соответствие функция цены; тогда
расстоянием редактирования является минимальная общая цена преобразования х
в у. Если задано множество операций редактирования б на строках, то соответ-
ствующая метрика редактирования ожерелий между циклическими строками х и у
есть минимальное число операций редактирования из О, необходимых для получе-
ния у из х, минимизированное по всем вращениям х.
Основными операциями редактирования на строках являются:
-	вставуд (вставка-удаление) символа ;
-	замена символа;
-	своп символов, т.е. сдвиг символа на одну позицию вправо или влево (что
переставляет смежные символы);
-	перемещение подстроки, т.е. преобразование, скажем, строки х = хх...хп в
строку Xi...x^jxy...xk_xXi...xMxk ...хп;
-	копирование подстроки, т.е. преобразование, скажем, х = х}...хп в
х1...хь1ху...хЛчх/...хя;
Глава II. Расстояния на строках и перестановках
181
-	антикопирование подстроки, т.е. удаление подстроки с сохранением в строке
ее копии.
Ниже приводятся основные расстояния на строках. Однако некоторые рас-
стояния на строках представлены в главах 15, 21 и 23, где они более уместны, с
учетом необходимого уровня обобщения или специализации.
11.1.	РАССТОЯНИЯ НА СТРОКАХ ОБЩЕГО ВИДА
•	Метрика Левенштейна
Метрика Левенштейна (или тасованное расстояние Хэмминга, метрика Хэм-
минга с пропусками, метрика редактирования символов) является метрикой ре-
дактирования на 1¥(з4), которая получена для 0, включающего только операции
замены символов или их вставки-удаления.
Метрика Левенштейна между строками х = Xi.. .хт и у = у\.. ,уп равна
где х*, у* - строки длины к, к > шах{т, п} над алфавитом л!=л1и{*}, такие что
после удаления всех новых символов * строки х* и у* превращаются в х и у
соответственно. Здесь пропуск означает новый символ * и х*, у* - тасования строк
х и у со строками, включающими только *.
•	Метрика редактирования с перемещениями
Метрика редактирования с перемещениями есть метрика редактирования на
W(.s4) ([СогтОЗ]), полученная для 0, включающего только перемещения подстрок и
вставки-удаления.
•	Метрика уплотненного редактирования
Метрика уплотненного редактирования есть метрика редактирования на ОТ(б4)
([СогтОЗ]), полученная для 0, включающего только операции вставки-удаления
(вставуд), символа, копирования подстроки и антикопирования подстроки.
•	Метрика вставки-удаления
Метрика вставки-удаления есть метрика редактирования на W(sl), полученная
для О, включающего только операцию вставки-удаления.
Это - аналог хэммннгова расстояния I ХАК I между множествами X и У. Для
строк х = х\.. .хт и у = у।.. ,уп она равна т + п - 2LCS(x, у), где подобность LCS(x, у) -
длина самой длинной общей подпоследовательности для х и у.
Расстояние фактора на W(sl) определяется как т + п - 2LCF(x, у), где подоб-
ность LCS(x, у) - длина самой длинной общей подстроки (фактора) для х и у.
•	Метрика свопа
Метрика свопа - метрика редактирования на И<(з4), полученная для 0, вклю-
чающего только операцию свопа символов.
•	Метрика мультимножества
Метрикой мультимножества называется метрика на И<(з4), определяемая как
шах{1 X-И, I У-Х1}
для любых строк х и у, где X, Y - мультимножества символов строк х, у
соответственно.
182
Часть I II. Расстояния в классической математике
•	Метрика маркировки
Метрикой маркировки называется метрика на 1¥(з4) ([EhHa88]), определен-
ная как
ln2((diff(y,x)+1) (diff(y,x)+1))
для любых строк х = Х|...хт и у = у! ...уп, где diff(x, у) - минимальный размер I МI
подмножества М а. {1,..., т}, такого что любая подстрока х, не содержащая х, с
i е М, является подстрокой у.
Другой метрикой, определенной в [EhHa88], является
ln2(diff(x, у) + diff(y, х) + 1).
•	Расстояние преобразования
Расстоянием преобразования называется расстояние редактирования с ценой на
(Варе и др., 1999), полученное для 0, включающего только операции.копи-
рования, антикопирования и вставки-удаления подстрок. Расстояние между стро-
ками х и у является минимальной ценой преобразования х в у посредством этих
операций, где цена каждой операции - длина ее описания. Так, например, для
описания копирования необходим бинарный код, точно определяющий тип
операции, смещение местоположения подстрок относительно друг друга в х и у и
длину самой подстроки. Кодом вставки должен определять тип операции, длину
подстроки и последовательность подстроки.
•	Расстояние нормализованной информации
Расстояние нормализованной информации d есть симметричная функция на
W({0,1}) ([LCLM04]), заданная как
тах{Л~(х | у*),/С(у | х*)}
тах{АГ(х),К(у)|
для каждых двух бинарных строк хну. Здесь для бинарных строк и и о, и* является
кратчайшей бинарной программой для вычисления и на подходящей, т.е. исполь-
зующей Тьюринг-полный язык, ЭВМ, сложность по Колмогорову (или алгорит-
мическая энтропия) К(и) есть длина и (окончательно сжатый вариант и) и
К(и | о) - длина кратчайшей программы вычисления и, если v дано как вспо-
могательный ввод.
Функция d(x, у) является метрикой с точностью до незначительного остаточного
члена: d(x, х) = О((К(х))“|) и d(x, z) - d(y, z) = O((max{K(x), K(y), K(z)})_|) (сравните
d(x, у) с метрикой информации (или метрикой энтропий) Н(Х | Y) + H(Y | X) между
стохастическими источниками X и Y).
Нормализованное расстояние сжатия - это расстояние на W({0, 1}) ([LCLM04],
[BGLVZ98]), заданное как
C(xy)-min{C(x),C(y)}
max{C(x),C(y)}
для любых бинарных строк х и у, где С(х), С(у) и С(ху) означают размер сжатых
(с помощью фиксированного компрессора С, такого как gzip, bzip2 или PPMZ)
строк х, у и их сочленения ху. Данное расстояние не является метрикой. Это - ап-
проксимация расстояния нормализованной информации. Подобное расстояние
А	С(ху) 1
может быть задано как--------------.
С(х) + С(у) 2
Глава 11. Расстояния на строках и перестановках
183
•	Подобность Энтонн-Хаммера
Подобность Энтонн-Хаммера между бинарной строкой х = Х|.. .хп и множест-
вом Y бинарных строк у = у।.. .уп есть максимальное число т, такое что для каждого
m-подмножества М множества {1,..., п] подстрока строких, содержащая только х,
ci е М, является подстрокой некоторой строки у е У, содержащей только у,- с i € М.
•	Подобность Джаро
Для строк х = Х|...хт и у = у|...уя назовем символ х, общим с у, если х, = у„ где
| i - j | < — ф Пусть х' = xf... х'т - все символы строки х, общие с у (в том же
порядке, как они следуют в х), и пусть у' = у[... у'п - аналогичная строка для у.
Подобность Джаро Jaro(x, у) между строками х и у определяется как
1 ( т' п' |{l<Z<min{m\nz):
п	min{m',rt'}	)
Эта и последующие две подобности используются для связи документации.
•	Подобность Джаро-Уннклера
Подобность Джаро-Уннклера между строками х и у определяется как
_ z . max {4, LCP(x, у)} Z1 _ z
Jaro(x, у) +---—-----— (1 - Jaro(x, у)),
где Jaro(x, у) - подобность Джаро и LCP(x, у) - длина самого большого общего
префикса для х и у.
•	Подобность ф-граммы
Подобность 17-граммы между строками х и у определяется как
?(х>у) + ?(у,х)
2
где 9(х, у) - число подстрок длины q в строке у, которые также появляются как
подстроки в х, деленное на количество всех подстрок длины q в у.
Эта подобность является примером нодобностей на основе маркеров, т.е.
таких, к которым применимо определение маркеров (избранных подстрок или
слов). Здесь маркеры - это q-граммы, т.е. подстроки длины q. Примером других
подобностей на основе маркеров на строках, используемых в связи документации,
являются подобность объединения Жаккарда и TF-IDF (вариант подобности
косинуса). Типовой метрикой, основанной на словаре между строками х и у
является I D(x)AD(y) I, где D(z) обозначает полный словаръ строки z, т.е. множество
всех ее подстрок.
•	Метрика префикс-Хэмминга
Метрика префикс-Хэмминга между строками х = хр..хт и у = yi...yn
определяется как
(max{т, л} -min{m, л}) +1{ 1 <i <гшп{лг, п}:х{*у{}1.
•	Взвешенное расстояние Хэмминга
Взвешенное расстояние Хэмминга dwH(x, у) между строками х = Х|.. .хт и у =
= у ।.. .ут определяется как
т
184
Часть HL Расстояния в классической математике
•	Нечеткое расстояние Хэмминга
Если (s4, d) - метрическое пространство, то иечеткнм расстоянием Хэм-
минга между строками х = xj...xw и у = У\---ут называется расстояние
редактированиям ценой на И(«91), полученное для О, включающего только опера-
ции вставки-удаления, каждая с фиксированной ценой q > 0, и сдвигов симво-
лов (т.е. перемещение односимвольных подстрок), где цена замены i на J есть
функция Д1 i - j I). Это расстояние - минимальная общая цена преобразования х
в у с помощью указанных операций. Букштейн, Клейн и Раита, которые в 2001 г.
ввели это расстояние для процессов выборки информации, доказали, что
оно является метрикой, если /- монотонно возрастающая вогнутая функция
на множестве целых чисел, которая обращается в нуль только в точке 0. Слу-
чай /(I i - j I) = Cl i - j I, где C > 0 - константа и I i - j I - сдвиг во времени,
соответствует расстоянию Внктора-Пурпура для последовательности всплесков
(см. гл. 23).
В 2003 г. Ралеску предложил для выборки образов еще одно нечеткое
расстояние Хэмминга на 9lm. Расстояние Ралеску между двумя строками х = Х|.. .хт
и у = у\...ут есть нечеткое кардинальное число разностного нечеткого множества
Da(r, у) (где a - параметр) с функцией принадлежности
И/ = 1-е-а(х'-л)2, l<i<m.
Точное кардинальное число нечеткого множества Da(x, у), аппроксимирующее
его нечеткое кардинальное число, равно
\<i<m\ ц,
•	Метрика Нндлмана-Вунша-Селлерса
Если (s4 , d) - метрическое пространство, то метрикой Нидлмана-Вунша-
Селлерса (или расстоянием Левенштейна с ценой, метрикой общего совмещения)
называется метрика редактирования с ценой на W(sA) ([NeWu70]), полученная для
О, включающего только операции вставки-удаления, каждая постоянной цены
q > 0, и замены символов, где d(i, j) является ценой замены i на j. Данная метрика
есть минимальная общая цена преобразования х в у с применением этих операций.
Эквивалентно, она равна
где х*, у* - строки длины к, к > тах{т, п) над алфавитом	такие что
после удаления всех новых символов * строки х* и у* сокращаются до х и у
соответственно. Здесь ^/Дх*, у*) есть взвешенное хэммингово расстояние между
х* и у* с весом d(x*,y*) = q (т.е. операцией редактирования является вставка-
удаление), если одна из х*, yf* является *, и d(x*, у*) = d(i, j), иначе.
Расстояние Гото-Смнта-Уотермана (или расстояние строки с аффинными
пропусками) является более специализированной метрикой с ценой (см. [Goto82]).
Она отбрасывает несоответствующие части в начале и конце строк х и у и вводит
две цены вставки-удаления, одну для инициирования аффинного пропуска (непре-
рывный блок операций вставки-удаления) и другую (меньшую) для расширения
пропуска.
Глава II. Расстояния на строках и перестановках
185
•	Метрика Мартана
Метрика Мартина d° между строками х = Xj.. .хт и у = yi.. .уп определяется как
тахрпл)
|2-"-2-"|+ £ 7~j7Sup|fc(z,x)-A:(z,y)|,
Z? Ml =
где z - любая строка длины г, k(z, х) - ядро Мартина ([MaSt99]) марковской цепи
оо
М = {Af,}^0, и последовательность а е {а = {af}~ 0 : at > 0> У, < °°} ~ параметр.
Г=1
•	Метрика Бэра
Метрикой Бэра называется ультраметрика между конечными или беско-
нечными строками х = Xi...Хда... и у = j|...уп..., определяемая для х*у как
1 .
l + LCP(x,y)’
где LCP(x, у) - длина самого длинного общего префикса строк х и у.
•	Обобщенная метрика Кантора
Обобщенной метрикой Кантора называется ультраметрика между бесконеч-
ными строкамих = xi...Хда... и у = yi...ул..., определяемая для х*у как
aLCP(x,y)>
где а - фиксированное число из интервала (0,1), a LCP(x, у) - длина самого
длинного префикса строк х и у.
__	тт	1
Данное метрическое пространство является компактным. Для случая а = —
1
метрика
рассматривалась на классическом фрактале (см. гл. 1) для [0,1] -
множества Кантора (см. Метрика Кантора, гл. 18).
•	Метрика Дункана
Рассмотрим множество X всех строго возрастающих бесконечных последо-
вательностей х = {хп }л положительных целых чисел. Определим N(n, х) как число
элементов в х = {хг|},,, которые меньше и, и 8(х) как плотность х, т.е.
cz к 1. N(n,x) _	„
о(х)= lim------. Пусть Y- подмножество X, состоящее из всех последова-
Н—»оо	П
тельностей х = (х„ }„, для которых 8(х) < <*>.
Метрикой Дункана является метрика на Y, определенная для х # у как
1
l + LCP(x,y)
+18(х) - 8(у) |,
где LCP(x, у) - длина самого длинного общего префикса строк х и у. Метрическое
пространство (X, d) называется пространством Дункана.
186
Часть HL Расстояния в классической математике
11.2. РАССТОЯНИЯ НА ПЕРЕСТАНОВКАХ
Перестановкой (илиранжированием) называется любая строка Х|...хл, где xz-
различные числа множества {1,..., п}\ перестановка со знаком - любая строка
Х|...х„, где |х, |- различные числа из множества	Обозначим через
(Symw, •» id) группу всех перестановок множества {1,..., п}, где id - тождественное
отображение. Сужение на множество Symn (всех «-перестановочных векторов)
любой метрики на R" является метрикой на Sym„; основным примером служит
( п	}ИР
/,-метрнка У |х, -у, |'	, р> 1.
V=i	7
Основными операциями редактирования на перестановках являются:
•	транспозиция блока, т.е. перемещение подстроки;
•	перемещение символа, т.е. транспозиция блока, состоящего из одного
символа;
•	своп символов, т.е. перестановка местами двух соседних символов;
•	обмен символов, т.е перестановка местами любых двух символов (в теории
групп это называется транспозицией)',
•	одноуровневый обмен символов, т.е. обмен символов х, и Xj, i < j, таких что для
любого к с I < к < j выполняется либо min{x„ ху} > хк, либо хк> шах{х„ ху};
•	реверсия блока, т.е. преобразование, скажем, перестановки х = х\...хп в
перестановку Xj ...хм ХуХ P..Xi+1 X^x^j ...хя (так, своп - это реверсия блока,
состоящего только из двух символов);
•	реверсия со знаком, т.е. реверсия в перестановке, со знаком, с последующим
умножением на -1 всех символов реверсированного блока.
Ниже перечислены наиболее употребляемые метрики редактирования и другие
метрики на множестве Sym„.
•	Хэммингова метрика на перестановках
Хэммингова метрика на перестановках dH есть метрика редактирования на Symrt,
полученная для 0, включающего только операции замены символов. Это -
бнннварнантная метрика. При этом n-d^x, у) - число фиксированных точек
перестановки ху*1.
•	р-Расстоянне Сннрмана
р-Расстоянне Сннрмана - это евклидова метрика на Sym„:
Гл
Jy (х, -у,)2
V 1=1
(см. Корреляция р-ранга Сннрмана, гл. 17).
• Расстояние масштабной линейки Сннрмана
Расстояние масштабной линейки Сннрмана - это Ц -метрика на Sym„:
п
У
1=1
(см. Подобность масштабной линейки Сннрмана, гл. 17).
Оба расстояния Спирмана бнннвариантны.
Глава IL Расстояния на строках и перестановках
187
• т-Расстоянне Кендалла
т-Расстоянне Кендалла (или метрика инверсии, метрика свопа перестановок) I
является метрикой редактирования на Symn, полученной для О, включающего
только свопы символов.
В терминах теории групп, Z(x, у) - число смежных транспозиций, необходимых
для получения х из у. Кроме того, Z(x, у) есть число относительных инверсий х и у,
т.е. пар (г, j), \ <i<j<n с (xf -ху)(у, - уу) < О (см. Корреляционная подобность т
ранга Кендалла, гл. 17).
В [BCFS97] приведены также следующие метрики, связанные с метрикой Z(x, у):
1)	min (Z(x, z)+Z(z“1,y"1));
reSym„
2)	max Z(zx, zy);
~eSymn
3)	min Z(zx, zy) = T(x, у), где T- метрика Кэли;
reSym„
4)	метрика редактирования, полученная для О, включающего только одно-
уровневый обмен символов.
•	Полуметрнка Даннельса-Гнльбо
Полуметрика Даннельса-Гнльбо есть полуметрика на Sym„, определенная для
любых х, у g Sym„ как число троек (/, j, k). 1 < i < j < к < п , таких что (xf, х;, хд) не
является циклическим сдвигом (у„ у7, ук)\ она равна нулю тогда и только тогда,
когда х - циклический сдвиг у (см. [Monj98]).
•	Метрика Кэли
Метрика Кэли Т есть метрика редактирования на Sym„, полученная для О,
включающего только обмен символов.
В терминах теории групп, Т(х, у) есть минимальное число транспозиций,
необходимых для того, чтобы получить х из у. При этом п-Т(х, у) - число циклов в
перестановке ху-1. Метрика Т является бнннварнантной.
•	Метрика Улама
Метрика Улама (или метрика редактирования перестановок) U - метрика
i редактирования на Symn, полученная для О, включающего только операции
перемещения символов.
। Эквивалентно, она является метрикой редактирования, полученной для О, вклю-
I чающего только операции вставки-удаления. При этом n-U(x, у) = LCS(x, у) =
I = LIS(xy~[), где LCS(x, у) - длина самой длинной общей подпоследовательности (не
обязательно подстроки) х и у, тогда как LIS(z)~ длина самой длинной возрас-
тающей подпоследовательности перестановки z е Sym„.
Эта метрика и все шесть предыдущих метрик являются правоинварнантными.
•	Метрика реверсии
Метрика реверсии - метрика редактирования на Symn, полученная для О, вклю-
чающего только операции реверсии блоков.
•	Метрика реверсии со знаком
Метрика реверсии со знаком (по Санкоффу, 1989) является метрикой редак-
тирования на множестве всех 2пп перестановок со знаком множества {1,..., «},
полученной для 0, включающего только операции реверсии со знаком. Эта
метрика применяется в биологии, где перестановки со знаком представляют
188
Часть III. Расстояния в классической математике
однохромосомный геном, рассматриваемый как перестановка генов (вдоль
хромосом), каждая из которых имеет направление (т.е. знак "+" или ”-’’).
•	Метрика ценочки
Метрика цепочки (или метрика перегруппировки) есть метрика на SymZI
([Page65]), определенная для любых х, у е Symzl как минимальное число минус 1
цепочек (подстрок) y{,...,y't строки у, таких что х может быть построена «з них,
т.е. х = у|'...у,'.
•	Лексикографическая метрика
Лексикографическая метрика - это метрика на Symn, определенная как
\N(x)-N(y) I,
где N(x) - порядковое число позиции (из 1,..., л!), занимаемой перестановкой х в
лексикографическом упорядочении множества Symn.
В лексикографическом упорядочении множества Sym„ мы имеем х = Xj ...хя -< 1
= У| если существует индекс 1 < i < п, такой что Х| = у\,...,х^ = у^|,
НО X/ < у,.	।
• Метрика перестановок Фреше
Метрика перестановок Фреше есть метрика произведения Фреше на множестве
Synioo перестановок положительных целых чисел, определяемая как
у 1 |х,-у,|
£ 24+1*,-у, Г
Глава 12
Расстояния на числах, многочленах и матрицах
12.1.	РАССТОЯНИЯ НА ЧИСЛАХ
В этой главе рассматриваются некоторые наиболее важные метрики на класси-
ческих числовых системах: полукольце N натуральных чисел, кольце Z целых
чисел, а также полях Q, R и С рациональных, действительных и комплексных
чисел соответственно. Рассматривается также алгебра 2, кватернионов.
. • Метрики на натуральных числах
Существует несколько хорошо известных метрик на множестве N натуральных
чисел:
1)	I п-т I; сужение натуральной метрики (из R) на N;
2)	р-а, где а - наибольшая степень данного простого числа р, делящая т-п для
т Ф п (и равная 0 для т = и); сужение р-адическон метрики (из Q) на N;
. /.с.т.(л1,л)
3)	In-------; пример метрики валюации решетки;
g.c.d.(zn,n)
4)	wr(n - т), где w/л) - арифметический г-вес числа л; сужение метрики ариф-
метической r-нормы (из Z) на N;
- Iп-т I .
5)	1 (см. м-относительная метрика, гл. 19);
тп
6)	1 + —!— для т * п (и равная 0 для т = л); метрика Серпинского.
/и + п
Большинство этих метрик на N могут быть распространены на Z. Более того,
любую из вышеперечисленных метрик можно использовать для случая произ-
вольного счетного множества X. Например, метрику Серпинского определяют
обычно на произвольном счетном множестве X = {хл: ne N) как 1 + —!— дл‘ всех
т + п
х^Хпе Хе т *п (и как 0, иначе).
Метрика арифметической г-нормы
Пусть г е N, г > 2. Преобразованной r-арной формой целого числа х называется
представление
х = епгп + ••• + е|г + е0,
где Cj е Z и | et | < г для всех i = 0,..., л. r-Арная форма называется минимальной,
если число ее ненулевых коэффициентов минимально. Минимальная форма не
является единственной в общем случае. Однако если коэффициенты eh 0 < i < л - 1,
удовлетворяют условиям | е, + ei+l | < г и | е,- + e/+! | <| е|+! |, если ер^ < 0, то выше-
указанная форма является единственной и минимальной; она называется обоб-
щенной несмежной формой. Арифметический r-вес wr(x) целого числа х есть
190
Часть III. Расстояния в классической математике
количество ненулевых коэффициентов в минимальной г-форме числа х, в част-
ности в обобщенной несмежной форме.
Метрика арифметической r-нормы (см., например, [Emv85]) есть метрика на Z,
определенная как
wr(x-y).
•	р-Адическая метрика
Пусть р - простое число. Любое ненулевое рациональное число х может быть
(V с	,
представлено как х = р —, где с и а - целые числа, взаимно-простые ср, и а -
d
целое число, определенное единственным образом. р-Адическая норма числа х
определяется как | х |р= р“а. Кроме того, мы считаем, что 10 |р= 0.
р-Адической метрикой называется метрика нормы на множестве Q рацио-
нальных чисел, определенная как
I	у |р.
Данная метрика лежит в основе построения алгебры р-адических чисел.
Именно, пополнение Коши метрического пространства (Q, | х -у |р) дает поле
р-адических чисел, точно так же как пополнение Коши метрического пространства
(Q, | х - у |) с натуральной метрикой | х - у | дает поле R действительных чисел.
•	Натуральная метрика
Натуральной метрикой (или метрикой абсолютного значения) называется
метрика на R, определенная как
[у-*, если х-у<0,
х-у =<
[X - у, если х - у > 0.
На R все /^-метрики совпадают с ней. Метрическое пространство (R, | х - у |)
называется действительной прямой (или евклидовой прямой).
Существует много других полезных метрик на R. В частности, для данного
0 < а < 1 обобщенная метрика абсолютного значения на R определяется как
|х-у|“.
•	Метрика нулевого отклонения
Метрикой нулевого отклонения называется метрика на R, определенная как
1 + 1*-Я
если одно и только одно из чисел х и у является положительным, и как
l-t-yl
иначе, где | х - у | - натуральная метрика (см., например, [Gile87]).
• Квазнполуметрнка действительной полупрямой
Квазнполуметрнка действительной полупрямой задается на полупрямой R>o как
{у 1
0,1п —>.
X J
Глава 12. Расстояния на числах, многочленах и матрицах
191
•	Расширенная метрика действительной прямой
Расширенной метрикой действительной прямой называется метрика на мно-
жестве R и {-к»} и (-<»}. Основным примером (см., в частности, [Cops68]) такой
метрики является
х
где /(х) = —;—- для х е R,X+«>) = 1 и /(-«>) = -1. Другая часто используемая мет-
1+|х|
рика на R и {+»} и {-«»} задается как
I arctg х - arctg у I,
1 1
где я < arctg х <—я для -«> < х < <*> и arctg(±oo) = ±—я.
•	Метрика комплексного модуля
Метрикой комплексного модуля является метрика на множестве С комплексных
чисел, определяемая как
I z - и I,
где для любого z е С действительное число | z |=| z{ + z2i | = -Jz2 + zj является его
комплексным модулем. Метрическое пространство (С, |z-u|) называется комп-
лексной плоскостью (или плоскостью Аргана). В качестве примера других по-
лезных метрик на С можно привести метрику Британской железной дороги,
определяемую как
|г|+|и|
для z * и (и равную 0, иначе); р-относнтельную метрику, 1 < р < «>(см. (р, q)-
относительная метрика, гл. 19), определяемую как
I Z-и |
(Izr + luK)'"’
; для | z |+| и | * 0 (и равную 0, иначе); для р = 0 получаем относительную метрику,
! задаваемую для | z |+1 и | * 0 как
i	1*-“1
।	max{|z|,|u|}
' • Хордальная метрика
Хордальная метрика dx есть метрика на множестве С = Си{«>), ©пределен-
' ная как
d (z,u) =	----
1	Vi+1 z i2 Vi+1«|2
для всех z, и g Си как
J(z,°°) =	2
z 71+|Z|2
для всех z g С (см. Af-относнтельная метрика, гл. 19). Метрическое пространство
192
Часть III. Расстояния в классической математике
(С, dx) называется расширенной комплексной плоскостью. Она гомеоморфна и
конформно эквивалентна римановой сфере.
Именно, риманова сфера- это сфера в евклидовом пространстве Е3, рас-
сматриваемая как метрическое подпространство Е3, на которую в стереогра-
фической проекции взаимно-однозначно отображается расширенная комплексная
плоскость. Единичную сферу S2 = {(хь х2, х3)е Е3: xj + х2 + xj = 1} можно рас-
сматривать как риманову сферу, а плоскость С можно отождествить с плоскостью
х3 = О так, что ее действительная ось совпадает с хгосью, а мнимая ось - с х2-осью.
При стереографической проекции каждая точка z е С соответствует точке
(xb х2, х3) е S2, которая получена как точка пересечения луча, проведенного из
"северного полюса" (0, 0, 1) сферы в точку z сферы S2; "северный полюс"
соответствует бесконечно удаленной точке. Хордальное расстояние между двумя
точками p,q е St2 определяется как расстояние между их прообразами z, и е С.
Хордальная метрика может быть аналогичным образом определена на
Rn = Rn и {со}. Именно, для любых х,у € Rn
d (Х у>--г 2IIх-/lb
х ’	71+IIхи!7’"bill
и для любого х е R"
где II • Иг - обычная евклидова норма на Rn. Метрическое пространство (Rn, rfx) на-
зывается пространством Мёбиуса. Это птолемеево метрическое пространство
(см. Птолемеева метрика, гл.1).
Если заданы а > О, Р > 0, р > 1, то обобщенной хордальной метрикой называется
метрика на С (в общем случае на (Rn, || -||2) и даже на любом птолемеевом
пространстве (V, || • ||)), определенная как
__________Iz-И I________
(а+р|г|₽),/₽‘(а+Р|иГ)1/'> ’
Она легко обобщается и на случай C(R").
• Кватернионная метрика
Кватернионы - элементы некоммутативной алгебры с делением 21 над полем R,
геометрически реализуемые в четырехмерном пространстве ([Нагшбб]). Кватер-
нион можно записать в форме q = qx + q2i + q$j + q4k, qf g R, где кватернионы i, j и
k называются основными единицами и удовлетворяют следующим соотношениям,
известным как правила Гамильтона: i2 = j2 = k2 = -1 и ij = -ji = k.
Норма || q || кватерниона q = qx + q2i + qjj + q$ke 2 определяется как
IIЯ11=	= № +Я2+Яз+Я4> Я = Я\~ Я1‘ - Яз] - Я4к-
Кватернионная метрика есть метрика нормы на множестве 2 всех ква-
тернионов, определяемая как || х - у ||.
Глава 12. Расстояния на числах, многочленах и матрицах
193
12.2. РАССТОЯНИЯ НА МНОГОЧЛЕНАХ
Многочлен - выражение, являющееся суммой степеней одной или нескольких
переменных, умноженных на коэффициенты. Многочлен от одной переменной с
действительными (комплексными) коэффициентами задается как P = P(z) =
п
= akzk, a*eR(a*eC). Множество & всех действительных (комплексных)
k=Q
многочленов образуют кольцо (9\ +, •, 0). Оно является также векторным про-
странством над И? (над С).
• Метрика нормы многочлена
Метрика нормы многочлена есть метрика нормы на множестве 9* всех дейст-
вительных (комплексных) многочленов, определенная как
где II • II - норма многочлена, т.е. такая функция II • II: -> R, что для всех Р, Q € 9 и
любого скаляра к имеем следующие свойства:
1)	IIРII > 0 с IIРII = 0 тогда и только тогда, когда Р к 0;
2)	||*Р|| = |*Н|Р|1;
3)	|| Р+С || ^ || Р || +1| С || (неравенство треугольника).
Для множества 3* обычно используются несколько классов норм. 1р-норма
п
(1 <р < <») многочлена P(z) = У* akzk определяется как
к=0
( *	\,р
\*=о	)
п	I п
давая особые случаи |Р|||=У | ак |, || Р||2= ГУ | ак |2 и || Р||м= max \ак |.
к=0	}к=0
Значение || Р называется высотой многочлена. Ьр-норма (1 <р < <») многочлена
п
P(z) = ^ akzk определяется как
*=о
В-	ла
2л
2к	м	2к
давая особые случаи |= J |Р(ей)|—, ||Р|^ = JJ |Р(ей)|2 — и |Р|и =
о	У о
= SUpM=||P(z)|.
• Метрика Бомбьери
Метрика Бомбьери (или скобочная метрика многочлена) есть метрика нормы
многочлена на множестве 9 всех действительных (комплексных) многочленов,
7. Деза Е. и Деза М.-М.
194
Часть Ш. Расстояния в классической математике
определенная как
[P-Qlp,
п
где [ ]р, 0 < р < °°, есть р-норма Бомбьери. Для многочлена P(z) = akzk она зада-
ло
ется как
( п 1
где II- биномиальный коэффициент.
123. РАССТОЯНИЯ НА МАТРИЦАХ
т х п матрица А = ((^)) над полем F представляет собой таблицу, состоящую из т
строк и п столбцов с элементами а(у из поля F. Множество всех тхп матриц с
действительными (комплексными) элементами обозначается как Мт п. Оно обра-
зует группу (Мт>п. +, 0тл), где ((af>)) + ((^у)) = ((а0 + by)). а матрица 0тл = 0, т.е. все ее
элементы равны 0. Оно является также mn-мерным векторным пространством над
R (над С). Транспонированной матрицей для матрицы А = ((ау)) е Мтп называется
матрица АТ = ((а^)) е Мп т. Сопряженной транспонированной матрицей (или
присоединенной матрицей) для матрицы А = ((«,;)) е Мт п называется матрица
Л*=((ал))€Мй,ж.
Матрица называется квадратной матрицей. если т = п. Множество всех квад-
ратных пхп матриц с действительными (комплексными) элементами обозначается
как Мп. Оно образует кольцо (Мп. +, 0), где + и 0„ определяются как указано выше,
п
а ((а(> ))((*/,)) = Il X ° А	•
Оно является также п2-мерным векторным про-
Л=1
странством над R (над С). Матрица А = ((а,у)) е Мп называется симметричной, если
ау = ад для всех i, j е {1,..., п]. т.е. если А = Ат. Специальным случаем квадратных
пхп матриц является единичная матрица 1л = ((с,у)) с с у = 1 и Су = 0, i Ф j.
Унитарная матрица U = ((«/,)) есть квадратная матрица, определенная как U~x =
(/*, где U~x - обратная матрица для U. т.е. U • U~x = 1п. Ортогональной матрицей
называется матрица А € Мт п. такая что А*А = 1п.
Если для матрицы А е Мп существует вектор х. такой что Ах = Хх для некоторого
скаляра X, то X называется собственным значением матрицы А. соответствую-
щим собственному вектору х. Для комплексной матрицы А е Мт п ее сингулярные
значения з£А) определяются как квадратные корни собственных значений матрицы
А*А. где А* - сопряженная транспонированная матрица для А. Они являются
неотрицательными действительными числами, причем $|(А) > s2(A) > ....
• Метрика нормы матрицы
Метрикой нормы матрицы называется метрика нормы на множестве Мт п всех
действительных (комплексных) т х п матриц, определенная как
II А-В II,
Глава 12. Расстояния на числах, многочленах и матрицах
195
где II • II- норма матрицы, т.е. такая функция II- II: Мт п -> R, что для всех
А, В е Мт п и для любого скаляра к имеют место следующие свойства:
1)	IIА II > 0 с IIА II = 0 тогда и только тогда, когда А = 0тп;
2)	ПАА 11 = 1 ЛIIIАII;
3)	IIА + ВII < IIА II + IIВII (неравенство треугольника).
Все метрики нормы матрицы на Мт п эквивалентны. Норма матрицы II * II на
множестве Мп всех действительных (комплексных) квадратных п х п матриц
называется субмультипликативной, если она совместима с умножением матриц,
т.е. II АВ II < IIА II • IIВII для всех А, В G Мп. Множество Мп с субмультипликативной
нормой является банаховой алгеброй.
Простейшим примером метрики нормы матрицы является хэммннгова метрика
на Мт п (в общем случае на множестве Af^n(F) всех т х п матриц с элементами из
поля F), определенная как IIА - В11# где IIА IIw - норма Хэмминга матрицы
А е Мтп, т.е. число ненулевых элементов матрицы А.
• Метрика естественной нормы
Метрика естественной нормы (или индуцированная метрика нормы, подчи-
ненная метрика нормы) есть метрика нормы на множестве Мп всех действительных
(комплексных) квадратных п х п матриц, определенная как
II A -Bllnat,
где II • 11^ - естественная норма на Мп. Естественная норма II • llnat на Мп, порож-
денная нормой вектора II х II, х е R" (х е С"), есть субмультипликативная норма
матрицы, определенная как
II * llnat = sup уЦр = sup II Ax ||= sup II Ax II.
|x||*o 1И1 H=I IMSI.
Натуральную метрику нормы можно задать аналогичным образом на
множестве Мт п всех т х п действительных (комплексных) матриц: если заданы
нормы вектора || -||Rm на и ||-||Rn на естественная норма IIА ||ш матрицы
А е Мтп, порожденная нормами ||*||Rm и ||• ||R„, есть норма матрицы, определенная
как IIЛ llnat = sup ||Ax||Rm.
Ыц"='
•	Метрика р-нормы матрицы
Метрикой р-нормы матрицы называется натуральная метрика нормы на Мп,
определенная как
И-В Ilfat.
гДе II' llnat ” p-норма матрицы, т.е. естественная норма, порожденная 1р-нормой
вектора, 1 < р < <*>:
IM Ilfat = max II Ах II ,
lkllp=i
где
1И1,= £ ix,r .
м=1	)
7*
196
Часть III. Расстояния в классической математике
Максимальной абсолютной метрикой столбцов (точнее, максимальной метри-
кой нормы абсолютных сумм по столбцам) является метрика 1-нормы матрицы
|| А - В HJh* на Мп. \-Норма матрицы || -||пас> порожденная 1гнормой векто-
ра, называется также максимальной нормой абсолютных сумм по столбцам.
Для матрицы А = ((a,j)) е Мп ее можно записать как
Максимальной абсолютной метрикой строк (точнее, максимальной метрикой
нормы абсолютных сумм но строкам) называется метрика »-нормы матрицы
|| А - В11^ на Мп. ©о-Норма матрицы || • ||7at♦ порожденная 1ж-нормой вектора, назы-
вается также максимальной нормой абсолютных сумм по строкам. Для матрицы
А = ((<ty))е Мп ее можно записать как
п
IIА IQt= 1а«1-
7=1
Метрика спектральной нормы - это метрика 2-нормы матрицы || А - В	на Мп.
Для матрицы А = ((Лу)) е Мп ее можно записать как
IIA llsp = (максимальное собственное значение А*А)1/2,
где матрица А* = ((5у7))еЛ/п является сопряженной транспонированной матрицей
матрицы А (см. Метрика нормы Кн Фана).
•	Метрика нормы Фробениуса
Метрика нормы Фробениуса есть метрика нормы матрицы на Мт п, опреде-
ленная как
IIА -В llFr,
где II • llFr - норма Фробениуса. Для матрицы А = ((Ду)) е Мтп она определяется как
II ли-Ji, 11 “«i2-
V=i y=i
Она равна также квадратному корню из следа матрицы А*А, где матрица
А* =((«,/)) является сопряженной транспонированной матрицей для матрицы А
или, эквивалентно, квадратному корню из суммы собственных значений X/ мат-
У, X, (см. Метрика нормы Шатена). Эта норма
<=1
порождена скалярным произведением на пространстве Мт п, но не является
субмультипликативной для т = п.
•	Метрика (с, р)-иормы
Пусть ke N, к < min{m, n),c е R* Q > с^ > •• • > ck > 0 и 1 < р < Метрика (с, р)-
нормы - это метрика нормы матрицы на определенная как
ЦЛ-eft.,,.
Глава 12. Расстояния на числах, многочленах и матрицах
197
где || • ||(С ру - (с, р)-норма на Мт п. Для матрицы А е Мт„ она определяется как
1К.,)=>
где 5|(А) > 52И) sk(A) - первые к сингулярных значений матрицы Л. Еслир = 1,
то мы получаем с-норму. Если, более того, С| = ••• = с* = 1, то имеем к-норму
Ки Фана.
•	Метрика нормы Кн Фана
Для к g N, к < min{т, и} метрикой нормы Кн Фана является метрика нормы
матрицы на Мтп, определенная как
||
где II • IIkf “ к-норма Ки Фана на Мтп. Для матрицы А е Л/тл она определяется как
сумма ее первых к сингулярных значений:
II IIkf= si(A)-
i=l
Для к = 1 мы получаем спектральную норму. Для к = min{m, п} имеем следовую
норму.
•	Метрика нормы Шатена
Если дано 1 < р < <*>, то метрика нормы Шатена есть метрика нормы матрицы на
определенная как
ЦА-В1ЙЛ,
где II • llsch “ p-норма Шатена на Мтм. Для матрицы А е Мтп она определяется как
корень р-й степени из суммы р-х степеней всех ее сингулярных значений:
£ tf(A) 
/=| )
Для р = 2 мы получаем норму Фробениуса, а для р = 1 - следовую норму.
•	Метрика следовой нормы
Метрикой следовой нормы называется метрика нормы матрицы на Мт„, опре-
деленная как
ИА-ЯП*,
где II • II* - следовая норма на Мт п. Для матрицы А е Мт п она определяется как
сумма всех ее сингулярных значений:
tnin{m,n}
IHIL= £ 5,(А).
1=1
198
Часть III. Расстояния в классической математике
•	Метрика Розенблюма-Цфасмана
Пусть - множество всех т х п матриц с элементами из конечного поля
Норма Розенблюма-Цфасмана II • llRT на определяется следующим обра-
зом: если т = 1 и а = (£|,	£и) € М|Л(Г4), то II0] „ llRT = 0 и II a llR? = max(il^, * 0}
для а # 0,„; если А = (а,..ат)Т ё Afmn(F,), а, 6	1 - J’ - т' то
т
II & Irt= II aj IIrt •
7=1
Метрикой Розенблюма-Цфасмана ([RoTs96]) называется метрика нормы
матрицы (на самом деле ультраметрнка) на	определенная как
IIА-В llRT.
•	Угловое расстояние между подпространствами
Рассмотрим грассманово пространство G(m, п) всех n-мерных подпространств
евклидова пространства Ет; оно является компактным римановым многообразием
размерности п(т-п).
Если имеются два подпространства А, В g G(m, л), то главные углы
я
~>е^...>0л>о между ними определяются (для k = 1,..., п) индуктивно как
cos0* = max max хгу = (х*)гу*,
хеА уеВ
если выполняются условия || х ||2 =|| УII2= t	УТу' = ® Для 1 i к - 1, где
II • Н2 - евклидова норма. Главные углы могут задаваться также через орто-
нормированные матрицы QA и Q& на которые натянуты подпространства А и В
соответственно: именно, п упорядоченных сингулярных значений матрицы
QaQb е Мп могут быть заданы как cos0b..., cos0n.
Геодезическое расстояние между подпространствами А и В определяется (по
Вонгу, 1967) как
Ях
N i=i
Расстояние Мартина между подпространствами А и В задается как
Jn
,пП
1=1
1
COS2 0;
Если подпространства представляют авторегрессивные модели, то расстояние
Мартина может выражаться посредством кепстра автокорреляционной функции
этих моделей (см. Кепстральное расстояние Мартина, гл. 21).
Расстояние Азимова между подпространствами А и В задается как
01.
Оно может быть выражено также через фннслерову метрику на многообразии
G(m, п).
Расстояние пропуска между подпространствами А и В определяется как
sin0|.
Глава 12. Расстояния на числах, многочленах и матрицах
199
Оно может выражаться также в терминах ортогональных операторов проекти-
рования как 12-норма разности операторов проектирования на А и В соответ-
ственно. Многие вариации этого расстояния применяются в теории управления
(см. Метрика пропуска, гл. 18).
Расстояние Фробениуса между подпространствами АнВ определяется как
п
2^ sin20f.
i=l
Оно может быть выражено также в терминах ортогональных операторов про-
ектирования как норма Фробениуса разности операторов проектирования на А и В
Г п
соответственно. Аналогичное расстояние £ sin20f- называется хордальным
11 i=l
расстоянием.
• Полуметрнки на сходствах
Следующие две полуметрики определяются для любых двух сходств d\ и на
данном конечном пространстве X (более того, для любых двух действительных
симметричных матриц).
Полуметрнка Лермана (см. Расстояние Кендалла на перестановках, гл. 11)
определяется как
I {((х, у} Ла}): (4 (х, У) ~ dj (и, у)) (d2 (х, у) - d2 (и, р)) < 0) |
|Х|+1 *
2
где ({х, у}, {и, г?}) - любая пара неупорядоченных пар {х, у}, {и, элементов х, у, и,
о из X.
Полуметрнка Кауфмана определяется как
I {((х, у} Ли, р) ): (</| (х, у) - J1 (и, р)) )d2 (х, у) - d2 (и, р)) < 0} |
I (({х, у}, (и, р) ): (dt(х,у)-dt(и,р))(d2(х,у)-d2(и,р)) # 0} |
Глава 13
Расстояния в функциональном анализе
Функциональный анализ является областью математики, которая занимается
изучением функциональных пространств. Такое использование слова функцио-
нальный происходит от вариационного исчисления, где рассматриваются функции,
аргументом которых является функция. На современном этапе предметом
функционального анализа считается изучение полных нормированных векторных
пространств, т.е. банаховых пространств. Для любого действительного числа
р 1 примером банахова пространства является L^-нространство всех измеримых
по Лебегу функций, p-я степень абсолютного значения которых имеет конечный
интеграл. Гильбертово пространство является банаховым пространством, в кото-
ром норма получена из скалярного произведения. Помимо этого, в функцио-
нальном анализе исследуются непрерывные линейные операторы, определяемые
на банаховых и гильбертовых пространствах.
13.1.	МЕТРИКИ НА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть I a R - открытый интервал (т.е. непустое связное открытое множество)
в R. Действительная функция/: I -> R называется действительно аналитической
на Z, если она разложима в ряд Тейлора в открытой окрестности UX{} каждой
* f<n\x )
точки xq е I: Дх) = У, ----—(х-х0)" для любого х € UXQ. Пусть D cz С -
л=0
область (т.е. выпуклое открытое множество) в С. Комплексная функция
/: I -> С называется комплексно аналитической (или просто аналитической) на D,
если она разложима в ряд Тейлора в открытой окрестности каждой точки
z0 е D. Комплексная функция/является аналитической на D тогда и только тогда,
когда она голоморфна на D, т.е. обладает комплексной производной
/'(^о) = Нт —Л£о) в каждой точке z0 е D.
“““^“0	% “ ZQ
•	Интегральная метрика
Интегральной метрикой называется L\-метрика на множестве С[а Ь) всех
непрерывных действительных (комплексных) функций на данном отрезке [а, Ь],
определенная как
ь
J I /СО - gW I dx.
а
Соответствующее метрическое пространство сокращенно записывается как
С[а и является банаховым пространством.
Глава 13, Расстояния в функциональном анализе
201
В общем случае для любого компактного (или счетно компактного) тополо-
гического пространства X интегральную метрику можно задать на множестве всех
непрерывных функций/: X -> R(C) как J | /(х) - g(x) | dx.
х
•	Равномерная метрика
Равномерная метрика (или sup-метрнка) есть Ьж-метрнка на множестве С[а>
всех действительных (комплексных) непрерывных функций на данном отрезке
[а, Ь], определенная как
sup |/(х)-Х*)1-
хе[а,6]
Соответствующее метрическое пространство сокращенно записывается как
и является банаховым пространством.
Обобщением является пространство непрерывных функций С(Х), т.е.
метрическое пространство на множестве всех непрерывных (в общем случае,
ограниченных) функций /: X -> С топологического пространства X с ^-метрикой
sup|/(x)-g(x)|.
хеХ
Для случая метрического пространства С(Х, У) непрерывных (в общем случае
ограниченных) функций/: X —> У из одного метрического компакта (X, d%) в другой
(X, dj) sup-метрика между двумя функциями f g е С(Х, Y) определяется как
supdr(/(x),g(x)). Метрическое пространство С£,ь] и метрическое пространство
хеХ
С[а j,] являются важнейшими случаями метрического пространства Cfab],
'b
на множестве С[а ^ с £р-метрикой J | /(х) - g(x) |р dx
. Пространство
является примером ^-пространства.
•	Расстояние собаковода
Для метрического пространства (X, d) расстоянием собаковода называется
метрика на множестве всех функций/: [0,1] —> X, определенная как
inf sup rf(/(0,g(o(OX
° re[O,l]
где о: [0, 1] —> [0, 1] есть непрерывная монотонно возрастающая функция, такая
что о(0) = 0,0(1) = 1. Данная метрика является частным случаем метрики Фреше.
Применяется для измерения расстояний между кривыми.
•	Метрика Бора
Пусть R - метрическое пространство с метрикой р. Непрерывная функция
/: R —> R называется почти периодической, если для каждого £ > О существует
I = /(£) > 0, такое что каждый интервал [Го, г0 + /(£)] содержит по меньшей мере одно
число т, для которого p(flt),flt + т)) < е, -«> < t < -к».
Метрикой Бора называется метрика нормы II/- g II на множестве АР всех почти
периодических функций, заданная нормой
11/11 = sup |/(0|.
—oo<f<-K»
202
Часть 1П. Расстояния в классической математике
Тем самым пространство АР превращается в банахово пространство. Некото-
рые обобщения почти периодических функций были получены с использованием
других норм; см. Расстояние Степанова, Расстояние Вэйля, Расстояние Бесиковича
и Метрику Бохнера.
• Расстояние Степанова
Расстояние Степанова - расстояние на множестве всех измеримых функций
/: R -> С с суммируемой р-й степенью на каждом ограниченном интеграле,
определенное как
\^Р
supR f \fM-g(x)\pdx
Хб1й1 < J
Расстояние Вэйля - расстояние на том же множестве, заданное как
lim sup - J | /(x)-g(x)|p dr	.
Этим расстояниям соответствуют обобщенные почти периодические функции
Степанова и Вэйля.
•	Расстояние Бесиковича
Расстоянием Бесиковича называется расстояние на множестве всех измеримых
функций /: R —> С с суммируемой р-й степенью на каждом ограниченном
интеграле, определенное как
\lp
f___ т
Ип> —J \fW-gM\Pdx
т—ь°° 2Т J
V -т
Этим расстояниям соответствуют обобщенные почти периодические функции
Бесиковича.
•	Метрика Бохнера
Для пространства с мерой (Q,	ц), банахова пространства (V, II • 110 и 1 <р< «>
пространством Бохнера (или пространством Лебега-Бохнера) LP(Q,V) назы-
вается множество всех измеримых функций/: Q -> V, таких что ||/|LP,O у <°°-
L> (42, V )
( ^1р
ДЛЯ 1 < р
J II/((О) ||£ 41(0»
Здесь норма Бохнера | f ||^ у определяется как
<	оо и как ess sup || /(со) ||v для р = «>.
сое£2
•	р-Метрнка Бергмана
При данном 1 < р < ©о пусть Lp(A) - ^-пространство лебеговых измеримых
функций/на единичном диске А = {z е С :| z |< 1} с || f ||р= J | f(z) |р \Jc{dz) <
Пространством Бергмана Lap(ti) называется подпространство пространства
Lp(A), состоящее из аналитических функций, и р-метрнкой Бергмана называется
Глава 13. Расстояния в функциональном анализе
203
Lp-метрика L" (А) (см. Метрика Бергмана, гл. 7). Любое пространство Бергмана
является банаховым пространством.
•	Метрика Блоха
Пространство Блоха В на единичном диске А = {z g С : I z I < 1} есть множество
всех аналитических функций/на А, таких что ||/||в = sup(l-|z|2)|/'(z)| <°°.
zeA
При использовании полной полунормы II * Пв норма на В задается как
11/11 = 1/(0)| + ||/||в.
Метрикой Блоха называется метрика нормы II/- g II на В; она превращает В в
банахово пространство.
•	Метрика Бесова
Если 1 < р < ©о, то пространство Бесова Вр на единичном диске А= {z е
е С : I z I < 1} есть множество аналитических функций / в А, таких что
где ak(z) = ——-j-y - инвариантная
Н/11В/Л J (l-|z|2)p|/'(z)K^(Z)
\A
мера Мёбиуса на А. При использовании полной полунормы || *||Вр норма на Вр
задается как
11/11 = 1/(0)| + ||/||вр.
Метрика Бесова - метрика нормы II/- g II на Вр. Она превращает Вр в банахово
пространство.
Множество В2 является классическим пространством Дирихле аналитических
на А функций с квадратично интегрируемой производной, снабженным метрикой
Дирихле. Пространство Блоха В можно рассматривать как Вм.
•	Метрика Харди
Если 1 < р < «>, то пространство Харди //\А) есть класс функций, аналити-
ческих на единичном диске А = {z е С : I z I < 1} и удовлетворяющих следующим
условиям роста для нормы Харди || • |1 .:
( 2к }',р
Метрика Харди - метрика нормы || / - g ИяД(Д) на f^(A). Она превращает //(А) в
банахово пространство.
В комплексном анализе пространства Харди являются аналогами Lp-пространств
функционального анализа. Такие пространства используются как в самом
математическом анализе, так и в теории рассеяния и теории управления (см. гл. 18).
•	Метрика части
Метрикой части называется метрика на области D в R2, заданная как
sup
/б/Л
f(y))
204
Часть ///. Расстояния в классической математике
для любых х, у е R2, где Н+ - множество всех положительных гармонических
функций на области D.
Дважды дифференцируемая действительная функция f:D-> R называется
Э2 f f
гармонической на D> если ее лапласиан	= —4 + —4 обращается в нуль на D.
ОХ| Э%2
• Метрика Орлнча
Пусть М(и) - четная выпуклая функция действительной переменной, которая
возрастает для положительного и и lim и~хМ(и) = lim и(М(и))~х = 0. В этом случае
И->0	М-><»
функция р(и) = М'(v) не убывает на [0, «>), р(0) = lim p(v) = 0 и p(v) > 0 при v > 0.
1"1	М
Если задать М(и) = J p(v)dv и N(u)= J p~l(v)du, то получаем пару (М(и), N(u))
о	о
дополнительных функций.
Пусть (М(и), N(w))- пара дополнительных сопряженных функций й пусть
G - ограниченное замкнутое множество в Пространство Орлича l?M(G) есть
множество измеримых по Лебегу функций/на G, удовлетворяющих следующему
условию возрастания для нормы Орлича II/ Пм:
ll/ll*/=supj /(Og(O^:f
G	G
Метрика Орлнча - метрика нормы II/- g Нм на (G). Она превращает CM(G) в
банахово пространство ([Orli32]).
Если М(и) = ир, 1 < р < ©о, то L^M(G) совпадает с пространством Lp(G) и Ьр-норма
II/Пр совпадает с II f\\M с точностью до скалярного множителя. Норма Орлича
эквивалентна норме Люксембурга ||/||(M)=inf{X>0: J Л/(Х-1/(г))Л<1}: Н/П(А/> <
G
•	Метрика Орлнча-Лоренца
Пусть w : (0, «>) —>(0, «>) - невозрастающая функция. Пусть M : [0, <») —» [0, «>) -
неубывающая и выпуклая функция с М(0) = 0 и пусть G - ограниченное замкнутое
множество в R".
Пространством Орлича-Лоренца LWt m(G) называется множество всех измери-
мых по Лебегу функций / на G, удовлетворяющих следующему условию
возрастания для нормы Орлича-Лоренца II/11^ м:
£1
||/||w,M=infU>0:j
о
где /*(х) = sup{f: р(| /1 > t) > х} - невозрастающая перегруппировка f.
Метрика Орлнча-Лоренца - метрика нормы II/ - g 11^ м на L^a/G). Она
превращает LWt j/G) в банахово пространство.
Пространство Орлича-Лоренца является обобщением пространства Орлича
LM(G) (см. Метрика Орлнча) и пространства Лоренца Lw l^G)> 1 < q < °° всех
измеримых по Лебегу функций / на G, удовлетворяющих следующему условию
Глава 13. Расстояния в функциональном анализе
205
возрастания для нормы Лоренца II f llWt
n/U= J w(xx/‘w)’
<0
•	Метрика Гельдера
Пусть La(G) - множество всех ограниченных непрерывных функций/ заданных
на подмножестве G множества R” и удовлетворяющих условию Гельдера на G.
Функция/удовлетворяет условию Гельдера в точке у е G с индексом (или
порядком) a (0 < a < 1) и с коэффициентом А(у), если 1Дх) - fiy) I < А(у) I х - у 1а для
всех х е G, достаточно близких к у. Если А = sup(A(y)) < с», то условие Гельдера
называется равномерным на G и А называется коэффициентом Гельдера для G.
Величина |/|a= sup 1^*)—।, 0<а<1 называется а-полунормой Гельдера
x.ycG |х-у|
для /, и норма Гельдера для /определяется как
ll/llLa(C=supl/(x)+|/|a.
L xeG
Метрика Гельдера - метрика нормы ||/-# ||.а,~ч на L°\G). Она превращает
L (G)
La(G) в банахово пространство.
•	Метрика Соболева
Пространство Соболева Wk,p есть подпространство ^-пространства, такое что
/и ее производные до порядка к обладают конечной £р-нормой. Формально, имея
подмножество G множества определим
= Wk,P(G) = {f е Lp(G). /0 е Lp(Gl 1 < i < k}>
где /(0 =Э“‘...Э“", a1+... + a„=i, и производные берутся в слабом смысле.
Норма Соболева на р определяется как
к
и/и».,=£ л/"Ч1Р.
i=0
При этом достаточно использовать только первое и последнее числа последо-
вательности, т.е. норма, определенная как || / ||* р= II / ||р +1| /(*> ||р, эквивалентна
вышеприведенной норме. Для р = °° норма Соболева равна существенному
супремуму для |/| : || /1|* >ех>= ess sup | f(x) |, т.е. является инфимумом всех чисел
xgG
а е R, для которых неравенство I fix) I > а выполняется на множестве меры нуль.
Метрика Соболева есть метрика нормы II/- g 11^ р на она превращает И*» р в
банахово пространство.
Пространство Соболева И* 2 обозначается как /У*. Оно является гильбер-
к
товым пространством для скалярного произведения (/,^)^ = У,	=
1=1
к .
= Х J /'V'VW-
<=1 G
206
Часть Ш. Расстояния в классической математике
Пространства Соболева - современные аналоги пространства С1 (функций с
непрерывными производными) для решения дифференциальных уравнений в
частных производных.
•	Метрики пространства переменной экспоненты
Пусть G - непустое открытое подмножество множества R" и пусть р: G —>
—» [L °°)“ измеримая ограниченная функция, называемая переменной экспонен-
той. Пространство Лебега переменной экспоненты еспъ множество всех
измеримых функций f : G ->R, для которых модуляр Pp(.)(/) = J |/W|p(x) dx
G
конечен. Норма Люксембурга на этом пространстве определяется как
||/||/,(.)=inf{X>O:pp()(//X)<l}.
Метрика лебегова пространства неременной экспоненты есть метрика нормы
11/-^11р()на£р(.<С).
Пространство Соболева переменной экспоненты WX'^'\G) есть подпростран-
ство LP( .{G)> состоящее из функций /, распределительный градиент которых
существует почти всюду и удовлетворяет условию I V/1 е Lp(. [G). Норма
Н/Им) = II f Ik, + II v/ ||р(.,
превращает \G) в банахово пространство. Метрика пространства Соболева
неременной экспоненты есть метрика нормы \\f-p Hi.ptjHaW' rt )
•	Метрика Шварца
Пространство Шварца (или пространство быстро убывающих функций) S(R")
есть класс функций Шварца, т.е. бесконечно дифференцируемых функций
/: R" —> С, которые убывают на бесконечности, так же как все их производные,
быстрее, чем любая обратная степень х. Точнее,/является функцией Шварца, если
имеет место следующее условие возрастания:
II/Пар= SUP
xeR"
для любых неотрицательных целочисленных векторов а и р. Семейство полунорм
II • Нар определяет локально выпуклую топологию пространства S(R"), которое
является метризуемым и полным.
Метрика Шварца - метрика на £(№'), которая может быть получена с помощью
данной топологии (см. Счетно нормированное пространство, гл. 2).
Соответствующим метрическим пространством на 5(RW) является пространство
Фреше в смысле функционального анализа, т.е. локально выпуклое F-простран-
ство.
•	Квазирасстояние Брегмана
Пусть G с R" - замкнутое множество с непустой внутренностью G0 и пусть / -
функция Брегмана с зоной G.
Квазирасстояние Брегмана Df: G х G° -> R>o определяется как
Dz(x, у) = /(х) - /(у) - (V/(y), х - у),
Глава 13. Расстояния в функциональном анализе
207
где V/ =
D/x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у, £>/х, У) +
а*! ’ Эхл
+ £>/у, z) - £>/х, z) = (V/(z) - Vfly), x - у), но в общем случае Df не удовлетворяет
неравенству треугольника и не является симметричным.
Действительная функция /, эффективная область которой содержит G, назы-
вается функцией Брегмана с зоной G, если выполняются следующие условия:
1)/непрерывно дифференцируема на G;
2)/строго выпукла и непрерывна на G;
3)	для всех 8 е R множества частичного уровня Г(х, 8) = {у е
е G° : D/x, у) < 3} являются ограниченными для всех х е G;
4)	если {yH}n с: G0 сходится к у*, то	ул) сходится к 0;
5)	если {xn}nCG и {yn}nCG° - такие последовательности, что {хп}п ограничена,
lim уп = у* и lim DAxn,yn) = 0, то lim хп = у*.
Л—>°°	«->«>	ZJ—>оо
Если G = К", то достаточное условие для строго выпуклой функции быть
, u „	v /(х)
функцией Брегмана, принимает вид: lim ----= ©о.
М->°° II х II
13.2. МЕТРИКИ НА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ
Линейным оператором называется функция Т: V W между двумя векторными
пространствами V, W над полем F, которая совместима с их линейными струк-
турами, т.е. для любых х, у е V и любого скаляра k е F имеют место следующие
свойства: Т(х + у) = Т(х) + Т(у) и Т(кх) = кТ(х).
• Метрика операторной нормы
Рассмотрим множество всех линейных операторов из нормированного
пространства (V, II • 110 на нормированное пространство (W, II • llw). Операторная
норма II ТII линейного оператора Т: V -> W определяется как наибольшее
значение, на которое Т растягивает элементы из V, т.е.
||Т || = sup	= sup ||T(»)||n,= sup || Т(о) Нц,.
II div |i.|v=i	iHysi
Линейный оператор T : V —> W из нормированного пространства V в нормиро-
ванное пространство W называется ограниченным, если операторная норма
конечна. Для нормированных пространств линейный оператор является ограни-
ченным тогда и только тогда, когда он непрерывен.
Метрикой операторной нормы называется метрика нормы на множестве #(V, W)
всех ограниченных линейных операторов из V в W, которая определяется как
II Т-РII.
Пространство (B(V, W), И • II) называется пространством ограниченных линей-
ных операторов. Данное метрическое пространство является полным, если тако-
вым является пространство IV. Если пространство V = W полное, то пространство
B(V, V) есть банахова алгебра, поскольку операторная норма является субмулъ-
типликативной нормой.
208
Часть Ш. Расстояния в классической математике
Линейный оператор Т : V —> W из банахова пространства V в другое банахово
пространство W называется компактным, если отображение любого ограничен-
ного подмножества множества V - относительно компактное подмножество мно-
жества W. Любой компактный оператор является ограниченным (и, следовательно,
непрерывным). Пространство (K(V, W), II • II) на множестве K(V, ИО всех компакт-
ных операторов из V в W с операторной нормой II • II называется пространством
компактных операторов.
•	Метрика ядерной нормы
Пусть B(V, ИО - пространство всех ограниченных линейных операторов, отобра-
жающих банахово пространство (К II * 110 в другое банахово пространство
(W, II • llw). Обозначим банахово двойственное пространство для V как V и
значение функционала х' е V' в точке хе V как (х, х). Линейный оператор Т е
е B(V,W) называется ядерным оператором, если его можно представить в виде
со
хнТ(х) = ^ (x9Xj)yi9 где {x,i]i и {уД являются последовательностями в V' и W
i=i
соответственно, такими что У ||x;||v'||yf ||^<°°- Данное представление назы-
/=1
вается ядерным и может рассматриваться как представление Т в виде суммы
операторов ранга 1 (т.е. с одномерным множеством значений). Ядерная норма
оператора Т определяется как
l|7’||nuc=inf£ ||x;||r||y/|U
/=|
где инфимум берется по всем возможным ядерным представлениям Т.
Метрика ядерной нормы есть метрика нормы II Т - Р llnuc на множестве N(V, W)
всех ядерных операторов, отображающих V в W. Пространство (N(V, W), II • llnuc)
называется пространством ядерных операторов и является банаховым простран-
ством.
Ядерное пространство определяется как локально выпуклое пространство, для
которого все непрерывные линейные функции на произвольном банаховом про-
странстве - ядерные операторы. Ядерное пространство строится как проективный
предел гильбертовых пространств Яа с таким свойством, что для каждого а е I
можно найти Ре/, такое что с На и оператор вложения Яр Э х -> х е На
является оператором Гильберта-Шмидта. Нормированное пространство явля-
ется ядерным тогда и только тогда, когда оно конечномерно.
•	Метрика конечной ядерной нормы
Пусть F(V, W) - пространство всех линейных операторов конечного ранга
(т.е. с конечномерным множеством значений), отображающих банахово прост-
ранство (V, II • 110 в другое банахово пространство (W, II • 11^). Линейный оператор
п
Те F(V, W) можно представить в виде хн> Т(х) = У (х,х,')у,, где {х'}, и {уД
i=i
являются последовательностями из V (банахова двойственного пространства для
V) и W соответственно, а (х, х) - значением функционала х' е V на векторе х g V.
Глава 13. Расстояния в функциональном анализе
209
Конечная ядерная норма Т определяется как
llriV^inf^ ||х;цг|1л11ж.
/=1
где инфимум берется по всем возможным конечным представлениям Т.
Метрика конечной ядерной нормы есть метрика нормы IIТ - Р llynuc на мно-
жестве F(V, ИО- Пространство F(V, ИО, II • П/пис) называется пространством
ядерных операторов конечного ранга. Оно является плотным линейным
подпространством пространства ядерных операторов N(V, ИО-
•	Метрика нормы Гильберта-Шмидта
Рассмотрим множество всех линейных операторов из гильбертова пространства
(//.л и) в гильбертово пространство (н2,|| ’ Нн2 )• Норма Гильберта-Шмидта
II Т llHS линейного оператора Т: Я| ->Н2 задается как
(ч!/2
Е 117’(еа)11я2 .
ае/	)
где (еа)ае / - ортонормированный базис в Н\. Линейный оператор Т :	-> Н2
называется оператором Гильберта-Шмидта, если || Т Hhs < °°-
Метрика нормы Гильберта-Шмидта есть метрика нормы ПТ- Р llHs на мно-
жестве 5(Н|, Н2) всех операторов Гильберта-Шмидта из Н\ в Я2.
Для Я| = Н2 = Н алгебра S(H, Н) = S(H) с нормой Гильберта-Шмидта являет-
ся банаховой алгеброй. Она содержит как плотное подмножество операто-
ры конечного ранга и принадлежит пространству К(Н) компактных операто-
ров. Скалярное произведение (, )hs на S(H) определяется как (Г, P)Hs =
= у <Т(еа),Р(еа)>, и ЦТ IIhs=<7’»7’>hs2- Следовательно, 5(H) является гильберто-
ае/
вым пространством (независимо от выбора базиса (еа) а 6 z).
•	Метрика нормы операторов со следом
Для гильбертова пространства Н норма операторов со следом для линейного
оператора Т:Н-*Н задается как
IIТЪ» X (|г|(еа),ев),
ае/
где I ГI - абсолютное значение Т в банаховой алгебре В(Х) всех ограниченных
операторов из Н в себя, а (е^е / - ортонормированный базис в Н. Оператор
Т : Н —> Н называется оператором со следом, если II Т lltc < «>. Любой такой
оператор является произведением двух операторов Гильберта-Шмидта.
Метрика нормы операторов со следом - метрика нормы II Г - Рllte на множестве
ЦН) всех операторов со следом из Н в себя. Множество ЦН) с нормой II * 11^
образует банахову алгебру, которая содержится в алгебре К(Н) (всех компактных
операторов из Н в себя), и содержит алгебру S(H) (всех операторов Гильберта-
Шмидта из Н в себя).
•	Метрика нормы p-класса Шатена
Возьмем 1 < р < ©о. Для сепарабельного гильбертова пространства Н норма
210
Часть I II. Расстояния в классической математике
p-класса Шатена компактного линейного оператора Т: Я—> Нопределяется как
(у/р
X |».г .
п	у
где последовательность сингулярных значений оператора Т. Компактный
оператор Т.Н -ьН называется оператором p-класса Шатена, если || Т ||sch < °°-
Метрикой нормы p-класса Шатена называется метрика нормы || Т- на
множестве Sp(H) всех операторов p-класса Шатена из Н на себя. Множество Sp(H) с
нормой ||*llsch образует банахово пространство. S\(H) является классом опера-
торов со следом для Я, и 52(Я) является классом операторов Гильберта-Шмидта
для Я (см. также Метрика нормы Шатена, гл. 12).
•	Непрерывное двойственное пространство
Пусть (V, II • II) - нормированное векторное пространство. Пусть V - множест-
во всех непрерывных линейных функционалов Т из V в основное поле (R или С), и
пусть II • W - операторная норма на V\ определенная как
||Т||'= sup |Т(х)|.
11ф|
Пространство (Vr, II • II*) является банаховым пространством, которое называется
непрерывным двойственным пространством (или банаховым двойственным
пространством) пространства (V, II • II).
Так, непрерывным двойственным пространством для метрического простран-
ства /"(/Г) является /"(/Г), соответственно (p,q > 1,— + — = 1). Оба непрерывных
р q
двойственных пространства для банаховых пространств С (состоящего из всех
сходящихся последовательностей с /«-метрикой) и Со (состоящего из всех после-
довательностей (с /х-метрикой), сходящихся к нулю) естественным образом отож-
дествляются с
•	Постоянная расстояния операторной алгебры
Пусть si - операторная алгебра, содержащаяся в В(Н) - множестве всех ограни-
ченных операторов на гильбертовом пространстве Я. Для любого оператора Т е
е В(Н) пусть Р(Т, А) = sup{II P^-TPIhP-проекция и Р1б4Р=(0)}. Пусть dist(T, ^1)есть
расстояние между оператором Т и алгеброй si, т.е. наименьшая норма оператора
Т - А, где А пробегает s/i. Наименьшая положительная постоянная С (если она
существует), такая что для любого оператора Т е В(Н) выполняется неравенство
dist(T,6d)<Cp(T,34),
называется постоянной расстояния для алгебры si.
Глава 14
Расстояния в теории вероятностей
Пространством вероятностей называется измеримое пространство (Q,	Р),
где зА есть множество всех измеримых подмножеств множества Q, аР - мера на зА
с P(Q) = 1. Множество Q называется пространством выборок. Элемент а е зА
называется событием, в частности, элементарное событие - это подмно-
жество множества Q, содержащее только один элемент; Р(а) называется
вероятностью события а. Мера Р на зА называется вероятностной мерой, или
законом распределения (вероятностей), или просто распределением (вероят-
ностей).
Случайная величина X есть измеримая функция из пространства вероятностей
(Q, sA,P) ъ измеримое пространство, называемое пространством состояний
возможных значений переменной; обычно берутся действительные числа с боре-
левой а-алгеброй, так что X: Q —> R. Множество значений х случайной величины
X называется несущим множеством распределения Р; элемент х е X называется
состоянием.
Закон распределения можно единственным образом описать через кумуля-
тивную функцию распределения (CDF, функцию распределения, кумулятивную
функцию плотности) F(x), которая показывает вероятность того, что случайная
величина X принимает значение не больше, чем х: F(x) - Р(Х < х) = Р(ш е
g Q: Х(со) < х).
Таким образом, любая случайная величина X порождает такое распределение
вероятностей, которым интервалу [а, Ь] ставится в соответствие вероятность
Р(а <Х<Ь)- Р(ш е Q: а <Х(со) <Ь), т.е. вероятность, что величина Xбудет иметь
значение в интервале [а, 6].
Распределение называется дискретным, если F(x) состоит из последователь-
ности конечных скачков при х(-; распределение называется непрерывным, если F(x)
непрерывна. Мы рассматриваем (как в большинстве приложений) только дискрет-
ные или абсолютно непрерывные распределения, т.е. функция распределения
F: R —> R является абсолютно непрерывной. Это означает, что для каждого числа
е > 0 существует такое число 8 > 0, что для любой последовательности попарно
непересекающихся интервалов [х^ yj, 1 < к < п неравенство (ук-хк)<6
1<>к<п
влечет неравенство У,	<е.
\<к<п
Закон распределения может быть также единственным образом определен
через плотность распределения вероятностей (PDF, функцию плотности,
функцию вероятности) р(х) соответствующей случайной величины. Для абсо-
лютно непрерывного распределения функция распределения является почти всюду
дифференцируемой, и функция плотности определяется как производная
212
Часть П1. Расстояния в классической математике
X
р(х) = F'(x) функции распределения; следовательно, F(x) = Р(Х < х) = J p(t)dt и
ь
J p(t)dt = Р(а <Х<Ь). Для случая дискретного распределения функция плотности
а	*>	
(плотности случайной величины X) определяется как ее значения p(xf) = Р(Х = х),
так что F(x) = У р(х£). В противоположность этому каждое элементарное
Xj<>X
событие имеет в непрерывном случае вероятность ноль.
Случайная величина X применяется для "переноса" меры Р на Q на меру dF на
R. Соответствующее пространство вероятностей является техническим инстру-
ментом, применение которого обеспечивает существование случайных величин,
а иногда используется и для их построения.
В теории вероятностей метрики между распределениями называются простыми
метриками, а метрики между случайными величинами называются сложными
метриками [Rach91]. Для простоты мы будем обычно рассматривать дискрет-
ный вариант метрик теории вероятностей, однако большинство из них опреде-
ляются на любом измеримом пространстве. Для вероятностной метрики d усло-
вие Р(Х = У) = 1 выполняется тогда и только тогда, когда d(X, Y) = 0. Во многих
случаях на пространстве состояний х задается некоторое базовое расстояние и
рассматриваемое расстояние является его лифтингом на пространство распре-
делений.
В статистике многие из указанных ниже расстояний между распределениями
Р| и Р2 применяются как меры степени согласия между оцениваемым (Р2) и
теоретическим (Р|) распределениями.
Далее по тексту символом Е[Х] обозначается математическое ожидание (или
среднее значение) случайной величины X: в дискретном случае Е|Х] = У хр(х),
X
а для непрерывного случая Е[Х] = J xp(x)dx. Дисперсией X называется величина
Е[(Х- Е[Х])2]. Используются также обозначения рх = р(х) = Р(Х = х), Fx = F(x) =
= Р(Х <х),р(х, у) = P(X = x,Y = у).
14.1.	РАССТОЯНИЯ НА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ
Все расстояния в данном разделе определяются на множестве Z всех случайных
величин с одним и тем же несущим множеством х; здесь X, Y е Z.
•	Lp -Метрика между величинами
Lp-Метрика между величинами есть метрика на Z с х с R и E[l Z Р] < 00 для всех
Ze Z, определенная как
(Е[| X-Y |р]),,р
X \х-у\р р(х,у)
Глава 14. Расстояния в теории вероятностей
213
Для р = 1, 2 и ©о она называется соответственно инженерной метрикой, средне-
квадратическим расстоянием и расстоянием существенного супремума между
переменными.
•	Индикаторная метрика
Индикаторная метрика - метрика на Z, определенная как
E[lX3tr]= У lXJtyp(x,y)= У Р(АУ)
(л,у)еххх	(х,у)еххх, х*у
(см. Хэммингова метрика, гл. 1).
•	К Метрика Ки Фана
К метрика Кн Фана есть метрика К на Z, определенная как
inf{e > 0: Р(| X-Y |> е)<е}.
Это является случаем d(x, у) = I X - YI вероятностного расстояния.
•	К* Метрика Кн Фана
К* метрика Кн Фана есть метрика X* на Z, определенная как
J |Х~У| ] v |х-у|	.
Li+|x-r|J-u
•	Вероятностное расстояние
Для метрического пространства (х , d) вероятностное расстояние на Z
определяется как
inf{£:P(rf(X,K)>E)<E}.
14.2.	РАССТОЯНИЯ НА ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Все расстояния в данном разделе определяются на множестве 9 всех законов
распределения таким образом, что соответствующие случайные величины имеют
одинаковое множество значений х; здесь Р|, Р2 е 9>.
•	Lp -Метрика между плотностями
^-Метрика между плотностями есть метрика на (для счетного х)> опре-
деленная для любого р > 0 как
|р1(х)-р2(х)1₽г*,’,/₽>|
\ X	)
Для р = 1 ее половина называется метрикой полной вариации (или изменяемым
расстоянием, расстоянием следа). Точечная метрика sup | Р\(х)~ р2(х) | соответ-
X
ствует р = ©о.
214
Часть HL Расстояния в классической математике
•	Полуметрика Махаланобнса
Полуметрика Махаланобнса (или квадратичное расстояние, квадратичная
метрика) есть полуметрика на 2Р (для £ с: Й"), определяемая как
[X] - Е/>2 [Х])г А-1 (ЕР| [X] - Ер2 [XI)
для данной положительно определенной матрицы А.
•	Инженерная полуметрнка
Инженерной полуметрнкой называется полуметрика на 2Р (для £ cz R), опреде-
ленная как
|ЕА[Х[-Е^[Х]| = Y х(р,(х)-р2(х)) .
X
•	Метрика ограничения нотерн порядка т
Метрика ограничения нотерн норядка т есть метрика на & (для £ с: R), опре-
деленная как
supX -----:—(й(*)-л(*>)-
т!
•	Метрика Колмогорова-Смирнова
Метрикой Колмогорова-Смирнова (или метрикой Колмогорова, равномерной
метрикой) является метрика на 9 (для £ cz R), определенная как
sup I Pi(X<x)-P2(X<x)\.
rsR
Расстояние Кунпера на 9 определяется как
sup(AJ (X < х)- Р2(X < х)) + sup(P2 (X < х) - Pl(X < х))
xeR	xgR
(см. Метрика Помпейю-Эгглестона, гл. *9).
Расстояние Андерсона-Дарлинга на 2Р определяется как
^XSxt-P^x)
,.R U^P^XSxK-P^XSx»
Расстояние Крнковнча-Драхмы определяется как
вир(Л(Х < х)- Р2(Х < х))1п	1	— +
xeR	^/^(Х < х)(1 — Р\(Х < х))
+ sup(P2(X<x)-^(X<x))ln	1
xeR	у (X < х)(1 — (X < х))
Три вышеприведенных расстояния используются в статистике в качестве сте-
пени согласия, особенно для расчета рисковой стоимости в финансовой сфере.
Глава 14. Расстояния в теории вероятностей
215
•	Расстояние Крамера-фон Мизеса
Расстояние Крамера-фон Мнзеса есть расстояние на SP (для /ей), опре-
деленное как
J (^(Х<х)-Р2(Х<х))2Л.
Оно представляет собой квадрат Ь2-метрнки между кумулятивными функциями
плотности.
•	Метрика Левн
Метрика Левн - метрика на 2Р (только для £ о R), определенная как
inf{E<0:^(X<x-E)-E<P2(X<x)<^(X<x + E)+E
для любого хе О?}.
Она является специальным случаем метрики Прохорова для (£,d) = (R, I х - у JX
•	Метрика Прохорова
Для метрического пространства (£, d) метрика Прохорова на <3* определяет-
ся как
inf{E>0:^(XeP)<P2(XeB8)+E и Р2(Хе В)< /?(Хе Р8) + е},
где В - любое борелевское подмножество множества £, a Bz = {x:rf(x,y)<E,
ye Я}.
Это - наименьшее (по всем совместным распределениям пар (X Y) случай-
ных величин X, К таких что их маргинальными распределениями являются Pj
и Р2 соответственно) вероятностное расстояние между случайными величинами
Хи К
• Метрика Дадли
Для метрического пространства (£, d) метрика Дадли на 2Р определяется как
sup|EA[/(X)]-E.[/(X)]| =sup У /(х)(р,(х)-р2(х))
/е£	/efj X6Z
sup l/w-zw!
x.yex. x*y d(x,y)
W F = {/: Х -> R, || f |L +Lip//) < 1} и Lip//) =
• Метрика Шульги
Для метрического пространства (£, d) метрика Шульги на 9 определяется как
sup
У, I/wI^piW
l/(x)l₽ P2W
<xex
sup I/W-/WI
x.yex. x*y d(x^y)
где F = {/: x -> R, Lip//) < 1} и Lip//) =
216
Часть III. Расстояния в классической математике
•	Полуметрнка Золотарева
Полуметрнкой Золотарева называется полуметрика на 9, определенная как
sup У f{x\px{x)- р2{х)) ,
ХЕХ
где F - любое множество функций (для непрерывного случая Г - любое множество
таких ограниченных непрерывных функций); см. Метрика Шульги, Метрика
Дадли.
•	Метрика свертки
Пусть G - сепарабельная локально компактная абелева группа и пусть C(G) -
множество всех действительных ограниченных непрерывных функций на G,
которые обращаются в нуль в бесконечности. Зафиксируем функцию g е C(G),
такую что I g I является интегрируемой по отношению к мере Хаара на G и
(Р € G*: g((J) = 0} имеет пустую внутренность: здесь G* - дуальная группа для G и
g - преобразование Фурье для g.
Метрика свертки Юкича (или метрика сглаживания) определяется для любых
двух конечных мер Бэра со знаком Рх	как
sup f s(-*y-1	- dp2 Ху) •
*еС yeG
Данную метрику можно также рассматривать как разность 7^ (g) - Тр2 (g)
операторов свертки на C(G), где для любой/е C(G) оператор Tpflx) определяется
как J f(xy~l)dP(y).
yEG
•	Метрика несходства
Для метрического пространства (х, d) метрика несходства на 9 определяет-
ся как
sup{| Рх(Хе В)-Р2(Х е В) |: В - любой замкнутый шар}.
•	Полуметрнка двойного несходства
Полуметрнка двойного несходства есть полуметрика между распределениями Рх
и Р2, заданными над разными семействами sl| и sA2 измеримых множеств, опреде-
ляемая следующим образом:
I\PXJ>2) + D(P2,PXY
где D(^,P2) = sup{inf{/^(C): ВССе sA2 }-inf{^(P)-Be siх}}-расхождение.
•	Расстояние Ле Кама
Расстояние Ле Кама есть полуметрика между распределениями вероятностей Рх
и Р2 (заданных на различных пространствах Xi и Хг)> определенная следующим
образом:
тах^Л), 5(Р2,^)),
Гпава 14. Расстояния в теории вероятностей
217
где S(^P2) = inf	№ = х2)- ВР2(Х2 = х2) | - невязка Ле Кама. Здесь
В х2еХ2
BPt(X2 = х2) =	р, (jti )bfx21 X|), где В - распределение вероятностей над Xi х Хг и
*1еХ|
Ь(х2 |х() =
Д(Х, = Х|,Х2 = х2) _ В(Х, = х„Х2 = х2)
B(X,=x,)	£ В(Х| = х2,Х2 = х)
*ех2
Следовательно, ВР2(Х2=х2) является распределением вероятностей над %2,
поскольку Ь(х2 |Xj) = 1. Расстояние Ле Кама не является расстоянием теории
вероятностей, поскольку Рх и Р2 заданы над разными пространствами; это есть
расстояние между статистическими экспериментами (моделями).
•	Метрика Скорохода-Билннгсли
Метрика Скорохода-Билннгсли - метрика на 9\ определенная как
infmax« sup|^(X<x)-/^(X< /(x))|sup|/(x)-x |,sup In
f	X	X	x*v
/(?)-/(*)
y-x
где/ R -> R - строго возрастающая непрерывная функция.
•	Метрика Скорохода
Метрикой Скорохода называется метрика на определенная как
inf E>O:max<sup|^(X<x)-/*>(X</(х))|,sup|/(х)-х | <Е
где/ R —» R - строго возрастающая непрерывная функция.
•	Расстояние Бирибаума-Орлича
Расстояние Бирибаума-Орлича - расстояние на определенное как
sup/(|^(X^x)-P2(X^x)|),
xgR
где / R^o —> ~ любая неубывающая непрерывная функция с ДО) = 0 и/2г) < Kf(t)
для любого t > 0 и некоторого заданного К. Оно является почти метрикой,
поскольку соблюдается условие d(PhP2) £ K(d(P2,P3) + d(P3,P2)).
Расстояние Бирнбаума-Орлича применяется также в функциональном анализе
на множестве всех интегрируемых функций на отрезке [0, 1], где оно определяется
।
как J H(|/(x)-g(x)|)dx, где Н - неубывающая непрерывная функция из [0, <») в
о
[О, ©о), которая обращается в нуль в нуле и удовлетворяет условию Орлича:
H(2t)
sup-----< 00.
r>0 ЖО
218
Часть HL Расстояния в классической математике
•	Расстояние Круглова
Расстояние Круглова - расстояние на 2Р, определенное как
J Ж(Х<х)-Р2(Х<х)Ж
где /: R>o—> R>o ~ строго возрастающая четная функция с ДО) = 0 и f(s+t)<
< K(f(s)+f(t)) для любых s, t > 0 и некоторого заданного К > 1. Оно является
ночтн метрикой, поскольку соблюдается условие d(J\, Р2) < K(d(Px, Р3) + d(P3, Р2)).
•	Расстояние Бурби-Рао
Рассмотрим непрерывную выпуклую функцию ф(0: (0,°°) -> R и положим
ф(0) = lim ф(Ое (-«>,«>]. Выпуклость ф влечет неотрицательность функции
г->о
8Ф :[0J]2 ->(-«>,«>], определенной как Зф(х,у) = W*)+0(y) J если (х, у)
*	(О, Q), и 8ф(0,0) = 0.
Соответствующее расстояние Бурби-Рао на 9* определяется как
X
•	Расстояние Брегмаиа
Рассмотрим дифференцируемую выпуклую функцию ф(0*. (О, <») -> R и поло-
жим ф(0)= lim ф(1)е	Выпуклость ф влечет неотрицательность функции
г->0
8ф :[0,1]2 —>(-°°,°о|, определенной как непрерывное продолжение функции
8ф(и, v) = ф(и)-ф(г>)-ф'(0)(и - и), 0 < u, v < 1 на [О, I]2.
Соответствующее расстояние Брегмаиа на 2Р определяется как
т
1
(см. Квазирасстояние Брегмаиа).
• /-Расхождение Чнзара
/-Расхождение Чнзара есть функция на множестве 9^x9^, определенная как
где/ R>о -> R - выпуклая функция.
Случаи ДО =Нпг и ДО = (t - 1)2/2 соответствуют расстоянию Куллбака-
Лейблера и х2-расстоянню, указанным ниже. Случай ДО = 11 - 11 соответствует
Lx -метрике между плотностями, а случай /(0 = 4^1-7?) (так же как и случай
f(t}= 2(t +1) -	) соответствует квадрату метрики Хеллинджера.
Глава 14, Расстояния в теории вероятностей
219
Полуметрики могут быть также получены как квадратный корень/-расхожде-
ния Чизара в случаях f(t) = (r-l)2 !(t + 1) (полуметрнка Важды-Куса), f(t) =
(ta +	— 2^~a^a(t +1)
= | ta -1 |l/fl c 0 < a < 1 (полуметрнка Матушнты) и f(f) =----------
1 — На
(полуметрнка Остеррейхера).
•	Подобность достоверности
Подобность достоверности (или коэффициент Бхаттачарья, аффинность
Хеллинджера) на 9 определяется как
Р(ЛЛ)=Е VaWpzW-
•	Метрика Хеллинджера
В терминах подобности достоверности» метрика Хеллинджера (или метрика
Хеллинджера-Какутани) на 2Р определяется как
/	____ ________ \1/2
(TaW-T^W)2 = 2(1-р(А|,/2))1/2.
к X	)
Это - Ь2-метрнка между квадратными корнями функций плотности.
•	Подобность среднего гармонического
Подобность среднего гармонического есть подобность на определенная как
2у Р)(х)р2(х)
— Р!(х) + р2(х)‘
•	Расстояние 1 Бхаттачарья
В терминах подобности достоверности, расстояние 1 Бхаттачарья на & опреде-
ляется как
(arccos р(Р], Р2))2.
Удвоение такого расстояния применяется также в статистике и машинном
обучении, где оно называется расстоянием Фишера.
•	Расстояние 2 Бхаттачарья
В терминах подобности достоверности, расстояние 2 Бхаттачарья на 9 опреде-
ляется как
-1пр(РьР2).
•	х2~Расстоянне
X2-Расстояние (или Х2*Расст<>янне Неймана) есть квазирасстояние на опреде-
ленное как
(PiW-PzW)2
Р2(х)
220
Часть III. Расстояния в классической математике
Х2-Расстоянне Пирсона определяется как
у (Ptix)-р2(х))2
Вероятностная симметрическая х2"меРа есть расстояние на 9, определен-
ное как
2у (Pi(x)-p2(x))2
“ PIW-P2W
•	Расстояние разделения
Расстоянием разделения называется квазирасстояние на 9 (для любого счетно-
го х), определенное как
maxfl -
х V Р2М)
(Не путать с расстоянием разделения между выпуклыми телами.)
•	Расстояние Куллбака-Лейблера
Расстояние Куллбака-Лейблера (или относительная энтропия, отклонение
информации, KL-расстояние) есть квазирасстояние на 9, определенное как
АГ£(Р1,Р2) = Еа[1п£] = У р((х)1п-^,
Т P2W
где L =	- отношение правдоподобия. Следовательно,
P2W
ЩР„Р2) = -£ (р1(х)1пр2(х))+£ (р1(х)1пр,(х)) = Я(Р1,Р2)-Я(^),
X	X
где Н(Р|) - энтропия a Н(РЬР2) - перекрестная энтропия Рх и Р2- Если Р2
является произведением маргиналов то KL-расстояние КЦР\, Р2) называется
количеством информации Шэннона и равно Pi(x,y)ln Р'^х’^ (см. Рас-
Pi(x)Pdy)
стояние Шэннона).
•	Косое расхождение
Косое расхождение - квазирасстояние на определенное как
КЩ\,аР2+(1-а)Р{),
где а е [0, 1] - константа и KL - расстояние Куллбака-Лейблера. Таким образом,
случай а = 1 соответствует КЦРХ, Р2). Косое расхождение с а = ^ называется
К-расхождением.
Глава 14. Расстояния в теории вероятностей
221
•	Расхождение Джеффри
Расхождением Джеффри (или J-расхождением) называется симметричная версия
расстояния Куллбака-Лейблера, определенная как
Р2) + КЦР2,Л) = У L(х)1п	р2(х)1п1
Т I Р2<Х) P|WJ
Для Р| —> Р2 расхождение Джеффри ведет себя аналогично х2-ра<хтоянню.
•	Расхождение Дженсена-Шэннона
Расхождение Дженсена-Шэннона определяется как
aKL(PhP3)+(\ -a)KL(P2,P3),
где Р3 = аР1 + (1 - а)Р2 пае [0, 1] - константа (см. Подобность ясности).
•	На языке энтропии Н(Р) = ^ р(х)\пр(х) расхождение Дженсена-Шэннона
равно НСаЪ + (1 - а)Р2) - aH(J\) - (1 - а)Н(Р2).
Расстояние Топсе есть симметричная версия расстояния Куллбака-Лейблера
на Оно определяется как
К1Ц\,Ру)+КЦР2,Р3) = У |Р1(х)1п-^ + р2(х)1п-^
где
Р3
(Pi+P2). Расстояние Топсе есть удвоенное расхождение Дженсена-
2
Шэннона с
а = —
2
Некоторые авторы используют термин ’’расхождение Дженсена-
Шэннона" только для данной величины а. Расстояние Топсе метрикой не является,
но его квадратный корень - метрика.
•	Расстояние среднего сопротивления
Расстояние среднего сопротивления по Дженсену-Шимановичу есть симметрич-
ная версия расстояния Куллбака-Лейблера на Оно определяется как гармо-
ническая сумма
f 1	।	1
[КЦР{,Р2)^ KL(P2,P{)
(см. Метрика сопротивления для графов, гл. 15).
•	Расстояние Алн-Силвея
Расстояние Алн-Силвея есть квазирасстояние на 9, заданное функционалом
f(^[g(L)]),
п (
где L = —-— - отношение правдоподобия, f - неубывающая функция, a g -
P2W
непрерывная выпуклая функция (см./-Расхождение Чизара).
Случай fix) = х, g(x) = xlnx соответствует расстоянию Куллбака-Лейблера;
случайДх) = -In х, g(x) = х/ - расстоянию Чернова.
222
Часть Ш. Расстояния в классической математике
•	Расстояние Чернова
Расстоянием Чернова (или перекрестной энтропией Реньи) называется расстоя-
ние на определенное как
max D.(P,P2),
где D,(AJ,7’2) = -ln^ (р^х))'(р2(х))' что пропорционально расстоянию Реньи.
X
Случай t = у соответствует расстоянию 2 Бхаттачарья.
•	Расстояние Реньи
Расстояние Реньи (или энтропия Реньи порядка t) есть квазирасстояние на SP,
определенное как
—In У
г-1 ~ V2«J
где t > О, Г * 1.
Пределом расстояния Реньи для t -> 1 является расстояние Куллбака-Лейблера.
Для t = — половина расстояния Реньи есть расстояние 2 Бхаттачарья (см./-Расхож-
денне Чнзара и Расстояние Чернова).
•	Подобность ясности
Подобность ясности - это подобность на 9, определенная как
(XL(^,P3) + XL(P2,P3))-(XL(^,P2) + XL(P2,P1)) =
=Х piW,n
х \
^^+р2(х)1п
Рз(х>
Pi(x)
РзМ
где KL - расстояние Куллбака-Лейблера иР3 - заданный ссылочный закон теории
вероятностей. Впервые определена в труде [CCL01], где Р3 означало распределение
вероятностей общего английского языка.
•	Расстояние Шэннона
Для пространства с мерой (Q,	Р), где множество Q конечно и Р является
вероятностной мерой, энтропия функции/: Q -> X, где X - конечное множество,
определяется как
«(/)=£ /’(/ = х)1п(Р(/ = х));
хеХ
следовательно, / может рассматриваться как разбиение пространства с мерой.
Для любых двух таких разбиений /: Q —> X и g : Q -> Y обозначим энтропию
разбиения (f, g): Q X х Y (общую энтропию) как H(f, g) и условную энтропию
как H(f\g). Тогда расстояние Шэннона между/и g определяется как
2H(f,g) - H(f) - H(g) = H(f | g) + H(g | /).
Глава 14. Расстояния в теории вероятностей
223
Данное расстояние является метрикой. Количество информации Шэннона опре-
деляется как
Ж/.g)-Н(/)-Я(«) = p(f = x,g = y)in ^ = ^ = У)
p(f = x)p(g = y)
Если Р - закон равномерного распределения вероятностей, то, как доказал
Гоппа, расстояние Шэннона может быть получено как предельный случай метрики
конечных подгрупп.
В общем случае метрика информации (или метрика энтропии) между двумя
случайными величинами (источниками информации) X и Y определяется как
Я(Х1У)+Я(У1Х),
где условная энтропия Н(Х I Y) определяется как	р(х,у)1пр(х|у) и
хеХ уеУ
р(х I у) = Р(Х = х | Y = у) является условной вероятностью.
Нормализированная метрика информации определяется как
Я(Х|У)-Я(У|Х)
Я(Х,У)
Она равна 1, если X и Y независимы (см. другое понятие Нормализированного
расстояния информации, гл. И).
•	Метрика Канторовнча-Мэллоуза-Монжа-Вассерштейна
Для метрического пространства (х, d) метрика Канторовнча-Мэллоуза-Монжа-
Вассерштейна определяется как
infEs[rf(X, У)],
где инфимум берется по всем распределениям S пар (X, У) случайных величин X и У,
таких что маргинальными распределениями X и У являются Р\ и Р2-
Для любого сепарабельного метрического пространства (%, d) это эквивалентно
лнпшнцеву расстоянию между мерами sup | fd(J} - Р2), где супремум берется по
/ J
всем функциям/с | /(х) - /(у) | < d(x, у) для любых х, у е X-
В более общем смысле Lp -расстояние Вассерштейна для х = R'1 определяется как
(infEJ[<//’(X,y)])1//>,
и для р = 1 оно называется также р-расстоянием. Для (х, d) = (R, lx - у I) оно
называется Ьр-метрикой между функциями распределения (CDF) и его можно
записать как
с Ft l(x) = sup(/^(X<x)<n).
и
Случай р = 1 этой метрики называется метрикой Монжа-Канторовнча (или, в
теории фракталов, метрикой Хатчинсона), метрикой Вассерштейна (или
метрикой Форте-Муръе).
224
Часть HL Расстояния в классической математике
•	d -Метрика Орнштенна
d -Метрика Орнштейна есть метрика на (для £ = Rn), определенная как
х,у х»=1	/
где инфимум берется по всем совместным распределениям S пар (X У) случайных
величин X и У, таких что маргинальными распределениями X и Yявляются Р| и Р2.
Данная метрика используется в теории стационарных случайных процессов,
теории динамических систем и теории кодирования.
Часть IV
РАССТОЯНИЯ
В ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Глава 15
Расстояния в теории графов
Графом называется пара G = (Vf Е), где V - множество, называемое множест-
вом вершин графа G, и Е - множество неупорядоченных пар вершин, которые
называются ребрами графа G. Ориентированный граф (или орграф) есть пара
D = (V, Е), где V - множество, называемое множеством вершин орграфа D,vl Е -
множество упорядоченных пар вершин, которые называются дугами орграфа D.
Граф, у которого любые две вершины соединены не более чем одним ребром,
называется простым графом. Если допускается соединение вершин кратными
(параллельными) ребрами, то такой граф называется мультиграфом. Граф назы-
вается конечным (бесконечным), если множество V его вершин конечно (или
соответственно бесконечно). Порядком конечного графа называется количество
его вершин; размером конечного графа называется число его ребер.
Граф или ориентированный граф совместно с функцией, приписывающей
положительный вес каждому ребру, называется взвешенным графом или сетью.
Сеть также называют каркасом в том случае, когда веса интерпретируются как
длины ребер возможного вложения в некоторое евклидово пространство. В терми-
нах теории прочности ребра каркаса называются прутьями (обычно одинаковой
длины); тенсефнтн - это каркасная структура, в которой прутья являются либо
элементом натяжения - тросами (т.е. не могут отдалиться друг от друга), либо
элементом сжатия - распорками (т.е. не могут сблизиться).
Подграфом графа G называется граф G', вершины и ребра которого образуют
подмножества вершин и ребер графа G. Если G' является подграфом G, то граф G
называется суперграфом графа G'. Индуцированный подграф - подмножество
вершин графа G вместе со всеми ребрами, обе конечные точки которых
принадлежат данному подмножеству.
Граф G = (V, Е) называется связным» если для любых вершин и, v е V сущест-
вует (и - v) путь, т.е. такая последовательность ребер uw{ = и/ои/|, Wj w2 ™n-\wn =
= wn_\V из E, что Wj для i * j, i, j e {0, 1,..., п]. Орграф D = (V, E) называется
сильно связным, если для любых вершин и, v е V существуют как ориентирован-
ный (и - v) путь, так и ориентированный (v - и) путь. Любой максимальный
связный подграф графа G называется его связной компонентой.
Соединенные ребром вершины называются смежными. Степень deg(D) вершины
о е V графа G = (V, Е) равна числу его вершин, смежных с v.
Полным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена
ребром. Двудольный граф - граф, в котором множество вершин V разбивается на
два таких непересекающихся подмножества, что в одном и том же подмножестве
нет ни одной пары смежных вершин. Путь - это простой связный граф, в котором
две вершины имеют степень 1, а другие вершины, если они существуют, имеют
степень 2; длиной пути является число его ребер. Циклом является замкнутый
путь, т.е. простой связный граф, каждая вершина которого имеет степень 2.
Дерево - это простой связный граф, не имеющий циклов.
Глава 15. Расстояния в теории графов
227
Два графа, содержащие одинаковое число одинаково соединенных вершин,
называются изоморфными. Формально, два графа G = (V(G), E(G)) и Н = (У(Я),
Е(Н)) называются изоморфными, если существует биекция /: V(G) -> V(//), такая
что для любых ut v g V(G) ребро uv е E(G) тогда и только тогда, когда ребро
JW(v)e Е(Н).
Мы будем рассматривать только простые конечные графы и орграфы, точнее,
классы эквивалентности таких изоморфных графов.
15.1.	РАССТОЯНИЯ НА ВЕРШИНАХ ГРАФА
•	Метрика пути
Метрикой пути (или метрикой графа, метрикой кратчайшего пути) dpath
называется метрика на множестве вершин графа G = (V, Е), определенная для
любых и, v g V как длина кратчайшего (и - v) пути в G. Кратчайший (и - v) путь
называется геодезической линией. Соответствующее метрическое пространство
называется графическим метрическим пространством, связанным с графом G.
Метрика пути графа Кэли Г конечно порожденной группы (G, •, е) называется
словарной метрикой. Метрика пути графа G = (V, Е), такого что V может быть
циклически упорядоченно в гамильтоновом цикле, называется гамильтоновой
метрикой. Метрика гиперкуба - метрика пути графа гиперкуба Н(т, 2) с мно-
жеством вершин V = {0, 1}т, ребра которого являются парами векторов х, у е
е {0, 1}'", такими что I {/ е {1,...,п}: х^ у,} I = 1; она равна I {/ е {1,...,л}:
х( = 1 }Д{| е {1,...,и}: у,= 1 }1. Графическое метрическое пространство, соответ-
ствующее графу гиперкуба, называется метрическим пространством гиперкуба.
Оно совпадает с метрическим пространством ({0,1}W,).
•	Взвешенная метрика пути
Взвешенная метрика нути Jwpath есть метрика на множестве вершин V связного
взвешенного графа G = (V, Е) с положительными весами ребер (w(e))eGE,
определенная как
min^ w(e),
ееР
где минимум берется по всем (и - v) путям Р в G.
•	Расстояние обхода
Расстояние обхода - расстояние на множестве вершин V связного графа G =
= (V, Е), определенное как длина самого длинного индуцированного пути
(т.е. пути, который является индуцированным подграфом графа б) из вершины и
в вершину v е V.
В общем случае оно не является метрикой. Граф называется графом обхода,
если его расстояние обхода совпадает с метрикой нутн (см., например, [CJT93]).
•	Квазиметрика нути в орграфах
Квазнметрика пути в орграфах rfdpath есть квазиметрика на множестве вершин
V сильно связного ориентированного графа D = (V, Е), определенная для любых и,
v е V как длина кратчайшего ориентированного (и - о) пути в графе D. Хороший
таксист при езде по городским улицам с односторонним движением должен
пользоваться данной квазиметрикой.
8*
228
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Циклическая метрика в орграфах
Циклической метрикой в орграфах называется метрика на множестве вершин V
сильно связного ориентированного графа D = (V, Е), определенная как
^dpathfo V> + </dpath(^ W),
где ^dpath ~ квазнметрнка пути в орграфах.
•	Y-Метрнка
Для класса Т связных графов метрика d метрического пространства (X, d)
называется Y-метрнкой, если (X, d) изометрично подпространству метрического
пространства (Ц dwpath), где граф G = (V, Е) е Т и dwpath ~ взвешенная метрика нути
на множестве вершин V графа G с положительной функцией реберных весов w (см.
Древовидная метрика).
•	Древовидная метрика
Древовидная метрика (или взвешенная метрика дерева) d на множестве X есть
Y-метрика для класса Т всех деревьев, т.е. метрическое пространство (X, d)
изометрично подпространству метрического пространства (V, ^wpath)» где Г = (V, Е)
есть дерево и </wpath - взвешенная метрика нутн на множестве вершин V дерева Т
с положительной функцией реберных весов w. Метрика является древовидной
метрикой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет неравенству четырех
точек.
Метрика d на множестве X называется ослабленной древовидной метрикой,
если множество X может быть вложено в некоторое (не обязательно поло-
жительно) реберно-взвешенное дерево, такое что для любых х, у е X метрика
d(x, у) равна сумме весов всех ребер вдоль (единственного) пути между соот-
ветствующими вершинами х и у дерева. Метрика является ослабленной древовид-
ной метрикой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ослабленному
неравенству четырех точек.
•	Метрика сопротивления
Для случая связного графа G = (V, Е) с положительной функцией реберных
весов w = (w(e))e6 Е рассмотрим веса ребер как сопротивления. Возьмем любые две
различные вершины и и v и предположим, что к ним подсоединена батарея таким
образом, что единица тока течет из г в и: Необходимая для этого разность (потен-
циалов) напряжения определяется по закону Ома как эффективное сопротивление
между и и v в электрической цепи; оно называется метрикой сопротивления Q,(u, v)
между ними ([KlRa93]) (см. Расстояние среднего сопротивления, гл. 14). Число
—- можно рассматривать подобно электрической проводимости как меру
соединяемости между и nv. Именно, выполняется условие Cl(u,v) < min V ——,
р
где Р - любой (и - о) путь, с равенством тогда и только тогда, когда такой путь Р
является единственным; следовательно, если w(e) = 1 для всех ребер, равенство
означает, что G является деревом. Метрика сопротивления применяется (в физике,
химии и сетях) в случаях, когда необходимо учитывать число путей между любыми
двумя вершинами.
Если w(e) = 1 для всех ребер, то
Q(u, v) — (#ми +	“ (&я> + Svu )»
Гаава 15. Расстояния в теории графов
229
гДе ((<?/>)) ~ обобщенная обратная матрица для матрицы Лапласа (1ф) графа G:
здесь есть степень вершины i, а для i * j величина /^ = 1, если вершины i и j
смежные, и 1у = 0, иначе. Вероятностная интерпретация такова: £l(u,v) =
= (deg(u)Pr(u —> 0)”1, где deg(u) - степень вершины и и Рг(м ->??)- вероятность при
случайном блуждании, начинающемся с и, посетить v перед возращением в и.
•	Усеченная метрика
Усеченной метрикой называется метрика на множестве вершин графа, равная 1
для любых двух смежных вершин и равная 2 для любых различных несмежных
вершин. Она является 2-усеченной метрикой для метрики пути графа. Она является
(1,2)-В-метрнкой, если степень любой вершины не больше чем В.
•	Многократно выверенное расстояние
Многократно выверенным расстоянием называется расстояние на множестве
вершин V т-связного взвешенного графа G = (V, Е), определенное для любых и,
v е V как минимальная взвешенная сумма длин т непересекающихся (и - о) путей.
Оно является обобщением понятия расстояния на случай, когда требуется найти
несколько непересекающихся путей между двумя точками, например, в системах
связи, где т - 1 из (и - v) путей используются для кодирования сообщения,
передаваемого по оставшемуся (и-о) пути (см. [МсСа97]).
Граф G называется т-связным, если не существует множества из т - 1 реб-
ра, удаление которых превратит граф в несвязный. Связный граф является
1-связным.
Разрез - это разбиение множества на две части. Если задано подмножество S
множества Vn = {1,...,л}, то задано разбиение {5, Ул\5} множества Vn. Полу-
метрнка разреза на V,,, определяемая таким разбиением, может рассматриваться
как специальная полуметрика на множестве вершин полного двудольного графа
KSyn\S, гДе расстояние между вершинами равно 1, если они принадлежат разным
частям данного графа, и равно 0, иначе.
• Полуметрнка разреза
Если задано подмножество S множества Vn - (1,..., и}, то полуметрнка разреза
(или полуметрнка раздвоения) 8$ есть полуметрика на Ул, определенная как
3S(|,J) =
1, если i # у, | S П (/, j} |= 1,
О, иначе.
Обычно она рассматривается как вектор в	Е(п) = {{i,j}: 1 < i < j < п].
Круговой разрез Vn задается подмножеством = {к + 1,..., I] (mod и) <z Vn:
если рассматривать точки {1,..., п] как упорядоченные вдоль окружности в том же
круговом порядке, то д есть множество последовательных вершин от к + 1 до I.
Для кругового разреза соответствующая полуметрика разреза называется
нолуметрнкой кругового разреза.
Полуметрнкой четного разреза называется полуметрика 85 на Vn с четным 15 I.
Полуметрнкой нечетного разреза называется полуметрика 85 на Vn с нечетным
I S I. Полуметрнка ^-равномерного разреза есть полуметрика 85 на Vn с I S I е
230
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
е {к, п - к}. Полуметрнка равного разреза есть полуметрнка 3$ на Уп с
И е{|||
п
2
►. Полуметрнка неравного разреза - полуметрнка 35 на Vn с
|5| е
(см., например, [DeLa97]).
•	Разложимая полуметрнка
Разложимая полуметрнка - полуметрнка на Vn = {1,..., л}, которую можно
представить как неотрицательную линейную комбинацию полуметрнк разреза.
Множество всех разложимых полуметрнк на Vn образует выпуклый конус,
который называется разрезным конусом CUTn.
Полуметрика на Vn будет разложимой тогда и только тогда, когда она является
конечной /)-полуметрнкой.
Круговой разложимой полуметрнкой называется полуметрика на Vn = {1,..., л},
которую можно представить как неотрицательную линейную комбинацию полу-
метрик кругового разреза.
Полуметрика на Vn будет круговой разложимой полуметрикой тогда и только
тогда, когда она является полуметрнкой Калмансона по отношению к тому же
порядку (см. [ChFi98]).
•	Конечная 1р -полуметрнка
Для конечного множества X конечной 1р-полуметрнкой называется полуметрика
d на X, такая что (X, d) есть полуметрическое подпространство I™ -пространства
(Rw,rf^) для некоторого т е N. Если X = {0, 1}п, то метрическое пространство
(X, d) называется 1р-кубом. /f-куб называется хэмминговым кубом.
•	Полуметрнка Калмансона
Полуметрнкой Калмансона называется полуметрика d на Vn = {1,...,л},
удовлетворяющая условию
шах {</(/, j) + d (г, 5), </(/, s) + d(j, г)} < d(i, г) + d(J, s)
для всех 1 < i<j<r<s<n. В данном определении важен порядок элемен-
тов; именно, d является полуметрикой Калмансона по отношению к порядку
1,..., п.
Эквивалентно, если рассматривать точки {1,..., п} как расположенные вдоль
цикла Сп в том же круговом порядке, то расстояние d на Vn является полуметрикой
Калмансона, если неравенство
d(i, г) + d(J, s) < d(i, j) + d(r, 5)
выполняется для всех i, j, r, s e Vn, таких что отрезки [/, j\ и [г, 5] являются
пересекающимися хордами Сп.
Древовидная метрика есть метрика Калмансона для некоторой упорядоченности
вершин дерева. Евклидова метрика, ограниченная на множество точек, образую-
щих выпуклый многоугольник на плоскости, является метрикой Калмансона.
• Полуметрнка мультиразреза
Пусть {5j,..., S^}, q > 2 -разбиение множества Vn = {1,..., л}, т.е. совокупность
Глава 15. Расстояния в теории графов
231
5|,..., Sq попарно непересекающихся подмножеств множества Vn, таких что
$u...us, = v„.
Полуметрика мультнразреза 85|	- это полуметрика на Vn, определен-
ная как
8s,.^(м)-
0, если ij g Sh для некоторого Л, 1 £ h < q,
1, иначе.
• Квазинолуметрнка ориентированного разреза
Для подмножества Sмножества V„ = {1,..., л} квазннолуметрнкой ориентирован-
ного разреза 8^ называется квазиполуметрика на Vn, определенная как
1, если igS, j &S,
0, иначе.
Обычно она рассматривается как вектор в IR*7"', 7(м) = {(/,/)} :1</*/<п}.
Полуметрнка разреза 85 может быть представлена как 8$ +8у V5.
3$('. j) =
• Квазинолуметрнка ориентированного мультнразреза
Для разбиения {5h..., Sq}, q > 2 множества Vn квазннолуметрнкой ориентиро-
ванного мультнразреза 35| называется квазипол у метрика на Vn9 определен-
ная как
	
1, если ieSh, jeSm,
0, иначе.
h<m9
15.2.	ГРАФЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ В ТЕРМИНАХ РАССТОЯНИЙ
•	^-Степень графа
^-Степень графа G = (V, Е) есть суперграф Gk = (V, Е') графа G с ребрами между
всеми парами вершин, метрика пути для которых Не больше чем к.
•	Изометрический подграф
Подграф Н графа G = (V, Е) называется изометрическим подграфом, если
метрика пути между любыми двумя вершинами подграфа Н равна их метрике пути
в графе G.
•	Ретракт-подграф
Подграф Н графа G = (V, Е) называется ретракт-подграфом, если он порожден
идемпотентным сжимающим отображением G в себя, т.е./2 =/: V -> V
fly)) < dpath(u, v) для всех и, v g V. Любой ретракт-подграф является изометрическим
подграфом.
•	Геодетнческнй граф
Связный граф называется геодетнческнм, если существует только один крат-
чайший путь между любыми двумя его вершинами. Любое дерево является
геодетическим графом.
232
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Расстоянно-регулярный граф
Связный граф G = (К Е) диаметра Т называется расстоянно-регуляриым, если
для любых его вершин и, v и любых целых чисел 0<i,j<T количество вершин w,
таких что dpathfa, w) = i и dpath(^, w) = Л зависит только от i,j и k = dpaih(u, v), но не от
выбранных вершин иии.
Специальным случаем является расстоянно-транзнтивный граф, т.е. такой граф,
что его группа автоморфизмов транзитивна для любого 0 < i < Т на парах вершин
(И, V) С dpath(u, V) = I.
Любой расстоянно-регулярный граф является расстоянно-уравновешенным
графом, т.е. I {х е V: d(x, и) < d(x, v)] I = I {x e V: d(x, v) < d(x, и)} I для любых его
ребер uv, и расстоянно-степенно-регулярным графом, т.е. I {хе V: d(x, и) = i] I
зависит только от /, но не от и е V.
Расстоянно-регулярный граф иначе называется Р-полиномиальной ассоциатив-
ной схемой. Конечное полиномиальное метрическое пространство - ассоциативная
схема, которая Р- и (^-полиномиальна. Термин бесконечное полиномиальное
метрическое пространство используется для компактного связного двухточеч-
ного однородного пространства. Ванг классифицировал их как евклидовы еди-
ничные сферы, действительные, комплексные и кватернионные проективные
пространства или проективные плоскости Кэли.
•	Расстоянно-полиномиальный граф
Возьмем связный граф G = (Vt Е) диаметра Т, для любого 2 < i < Т обозначим
через Gt граф с тем же множеством вершин, что и G, и ребрами uv, такими что
V) = i.
Граф G называется расстоянно-нолнномнальным, если матрица смежности
любого графа Gh 2 < i<T, является полиномом в терминах матрицы смежности G.
Любой расстоянно-регулярный граф является расстоянно-полиномиальным.
•	Расстоянно-наследственный граф
Связный граф называется расстоянно-паследственным, если каждый из его
связных индуцированных подграфов изометричен. Граф является расстоянно-
наследственным, если изометричен каждый из его индуцированных путей. Любой
кограф, т.е. граф, который не содержит индуцированных путей на четырех
вершинах, является расстоянно-наследственным. Граф является расстоянно-
наследственным тогда и только тогда, когда его метрика пути удовлетворяет
ослабленному неравенству четырех точек. Граф является расстоянно-наслед-
ственным, двудольным расстоянно-наследственным, блоковым графом или дере-
вом тогда и только тогда, когда его метрика пути есть ослабленная древовидная
метрика для реберных весов, которые являются соответственно ненулевыми
полуцелыми, ненулевыми целыми, положительными полуцелыми или положи-
тельными целыми числами.
Граф является расстоянно-наследственным тогда и только тогда, когда каждый
его индуцированный подграф - 1-остов.
•	Блоковый граф
Граф называется блоковым, если каждый его блок, т.е. максимальный
2-связный индуцированный подграф, является полным графом. Любое дерево -
блоковый граф. Граф является блоковым тогда и только тогда, когда его метрика
пути является древовидной метрикой или, эквивалентно, удовлетворяет неравенст-
ву четырех точек.
Глава 15. Расстояния в теории графов
233
•	Птолемеев граф
Граф называется птолемеевым, если его метрика пути удовлетворяет неравен-
ству Птолемея
d(x,y)d(uyz) < d(x,u)d(yyz)+d(x,z)d(yyu).
Граф является птолемеевым тогда и только тогда, когда он расстоянно-
наследственный и хордальный, т.е. каждый цикл длины более 3 имеет хорду.
В частности, любой блоковый граф является птолемеевым.
•	Граф D-расстояння
Для множества D положительных чисел, содержащего 1, и метрического
пространства (X, d) графом D-расстояння D(X, d) называется граф с множест-
вом вершин X и множеством ребер {uv: d(u, v) е D] (cm. D-Хроматнческое число,
гл. 1).
Граф D-расстояния называется графом единичного расстояния, если D = {1},
графом Е-единичного расстояния, если D = [1 - Е, 1 + Е], графом единичной
окрестности, если£> = (0, 1], графом целочисленного расстояния, если D =
графом рационального расстояния, если D = Q+, графом простого расстояния,
если D является множеством простых чисел (с 1).
Обычно метрическое пространство (X, d) является подпространством евклидова
пространства Ел. Более того, каждый конечный граф G = (V, Е) может быть пред-
ставлен как граф D-расстояния в некотором Ел. Минимальная размерность такого
евклидова пространства называется D-размерностью графа G.
•	/-Неприводимое множество
Множество S с V вершин в связном графе G = (V, Е) называется /-неприводимым
(по Хаттингу и Хеннингу, 1994), если для любого и е S существует вершина v е V,
такая что для метрики пути выполняется неравенство
d(vyx)<t<d(vyV\S).
/-Неприводимое число irt графа G есть наименьшее кардинальное число ISI,
такое что S является, a S и {??} не является /-неприводимым для каждого v е VA5.
Число t-доминирования yt и число t-независимости at графа G суть соответст-
zr	-	1
венно кардинальное число наименьшего t-покрытия и наибольшей — -упаковки
метрического пространства (V, d) (см. Радиус метрического пространства, гл. 1).
Пусть - наименьшее I SI, такое что S является, a S и {г?} не является —упаков-
2
кой для каждого	v е V\S; следовательно, такая нерасширяемая —-упаков-
ка является также	„	Yf +1 /-покрытием. При этом выполняется условие —— < irt <
<yt <yj£ar
•	/-Остов
Остовной подграф Н = (VyE(H)) связного графа G = (V, Е) называется/-остовом
графа G, если для любых и, ve Vсправедливо неравенство d^(uyv)ld£^(u,v)<t.
Величина / называется коэффициентом растяжения подграфа Н.
234
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
Остовное дерево связного графа G = (V, Е) есть подмножество из I VI - 1 ребер,
которые образуют дерево на множестве вершин V.
•	Расстояние Штейнера
Расстояние Штейнера множества S cz V вершин связного графа G = (V, Е) есть
минимальное число ребер связного подграфа графа G, содержащего S. Такой
подграф является деревом и называется деревом Штейнера для S.
•	Схема индексирования расстояний
Говорят, что семейство графов А (Пелег, 2000) имеет 1(п) схему индексирования
расстояний, если существует функция L, которая индексирует вершины каждого
и-вершинного графа в А различными индексами величиной до 1(п) бит, и
существует алгоритм, называемый декодером расстояний, который находит
расстояние между любыми двумя вершинами u,v в графе из А в полиномиальное
(по длине его индексов L(u), L(v)) время.
15.3.	РАССТОЯНИЯ НА ГРАФАХ
•	Подграф-суперграф расстояния
Общий подграф графов GvlH- граф, который изоморфен индуцированным
подграфам обоих графов G нН. Общий суперграф графов G и Н - граф, содер-
жащий индуцированные подграфы, изоморфные графам GnH.
Расстояние Зелннкн d2 на множестве G всех графов (более точно, на множестве
всех классов эквивалентности изоморфных графов) определяется как
max {n(Gx), n(G2)} - л(С7|, G2)
для любых G{,G2 gG, где rt(Gj) - число вершин в Gi9 i = 1, 2 и n(Gh G2) - макси-
мальное число вершин общего подграфа графов G{ и G2.
Для произвольного множества М графов расстояние общего подграфа dM на М
определяется как
max {n(G{), n(G2)} - n(Gj, G2),
а расстояние общего суперграфа d*M на М - как
yV(Gj, G2) - min{n(Gt), n(G2)}
для любых Gb G2 e M, где n(Gf) - число вершин в G,, i = 1, 2, n(Gb G2) -
максимальное число вершин общего подграфа Ge М графов G\ и G2 и
/V(G|, G2) - минимальное число вершин общего суперграфа Н е М храфов GjH
g2-
dM является метрикой на М, если выполняется следующее условие (1): если И g
g М - общий суперграф графов Gh G2 g М, то существует общий подграф G g М
графов G| и G2 с h(G)> rt(G|) + rt(G2)-rt(A7). d*M является метрикой на М, если
выполняется следующее условие (2): если G е М - общий подграф графов Gb G2 g
g M, то существует общий суперграф Н е М графов Gj и G2 с п(Н)<
<n(G{)+n(G2)-n(G). Мы имеем dM<dM, если выполняется условие (1), и
dM>dM, если выполняется условие (2).
Глава 15. Расстояния в теории графов
235
Расстояние dM является метрикой на множестве G всех графов, множестве всех
графов без циклов, множестве всех двудольных графов и множестве всех деревьев.
Расстояние d*M является метрикой на множестве G всех графов, множестве всех
связных графов, множестве всех связных двудольных графов и множестве всех
деревьев. Расстояние Зелинки dz совпадает с dMvi dM на множестве G всех графов.
На множестве Т всех деревьев расстояния dM и d*M идентичны, но отличаются от
расстояния Зелинки.
Расстояние Зелинки dz является метрикой на множестве G(«) всех графов с п
вершинами и равно п - к или К -п для всех Gb G2 е G(n), где к - максимальное
число вершин общего подграфа графов G| и G2, а К - минимальное число вершин
общего суперграфа графов Gj и G2. На множестве Т(л) всех деревьев с п вер-
шинами расстояние dz называется расстоянием дерева Зелинки (см., например,
[Zeli75]).
•	Реберное расстояние
Реберное расстояние - расстояние на множестве G всех графов, определен-
ное как
|Е, | + |Е2 |-2|Ej2 | + || Ц |-| V2 ||
для любых графов Gx = (Vj,E|) и G2 = (V2,E2), где G12 = (Ц2,Е(2) - общий подграф
графов G| и G 2 с максимальным числом ребер. Данное расстояние широко
применяется в области органической и медицинской химии.
•	Расстояние стягивания
Расстояние стягивания - расстояние на множестве G(n) всех графов с п
вершинами, определенное как
п-к
для любых Gj, G2 g G(n), где к - максимальное число вершин графа, изоморфного
одновременно графу, полученному из каждого графа Gj, G2 конечным числом
операций стягивания ребер.
Осуществить стягивание ребра uv е Е, принадлежащего графу G = (V, Е),
означает заменить вершины unv одной такой вершиной, которая является смеж-
ной для всех вершин У\{и, v}> смежных с и или о.
•	Расстояние перемещения ребра
Расстояние перемещения ребра есть метрика на множестве G(n, т) всех графов
с п вершинами и т ребрами, определенная для любых G|, G2 е G(n, т) как
минимальное число перемещений ребра, необходимых для преобразования графа
Gj в граф G2. Оно равно т-к, где к - максимальное число ребер общего подграфа
графов Gj и G2.
Перемещение ребра - один из типов преобразования ребер, который задается
следующим образом: граф Н может быть получен из графа G перемещением
ребра, если существуют (не обязательно различные) вершины и, и, w и х в графе G,
такие что uv g E(G), wx ё E(G) иН= G-uv + wx.
•	Расстояние скачка ребра
Расстояние скачка ребра - расширенная метрика (которая в общем случае
может принимать значение «>) на множестве G(n, т) всех графов с п вершинами и т
236
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
ребрами, определенная для любых Gb G2 € G(n, т) как минимальное число скачков
ребра, необходимых для преобразования графа G| в граф G2.
Скачок ребра - один из типов преобразования ребер, который задается
следующим образом: граф Н может быть получен из графа G с помощью скачка
ребра, если существуют четыре различные вершины и, v, w и х в графе G, такие
что uv е (G), wx ё E(G) и Н = G - uv + wx.
•	Расстояние вращения ребра
Расстояние вращения ребра есть метрика на множестве G(n, т) всех графов с п
вершинами и т ребрами, определенная для любых Gb G2 € G (п, т) как
минимальное число вращений ребра, необходимых для преобразования графа G] в
граф G2.
Вращение ребра - один из типов преобразования ребер, который задается
следующим образом: граф Н может быть получен из графа G с помощью
вращения ребра, если существуют различные вершины и, v и w в графе G, такие
что uv е E(G), uw «ё E(G) и Н = G - uv + uw.
•	Расстояние вращения дерева
Расстояние вращения дерева - это метрика на множестве Т(и) всех деревьев с п
вершинами, определенная для всех , Т2 е Т(и) как минимальное число вращений
ребер дерева, необходимых для преобразования Т\ в Т 2. Для множества Т(п)
расстояние вращения дерева и расстояние вращения ребра могут различаться.
Вращение ребра дерева - это вращение ребра, осуществляемое на дереве и
дающее в результате дерево.
•	Расстояние смещения ребра
Расстояние смещения ребра (или расстояние скольжения ребра) есть метрика на
множестве Gc(n, т) всех связных графов с п вершинами и т ребрами, задаваемая
для любых G|, G2 е Gc(n, т) как минимальное число смещений ребра, необходимых
для преобразования графа Gj в граф G2.
Смещение ребра - один из типов преобразования ребер, который задается
следующим образом: граф Н может быть получен из графа G с помощью
смещения ребра, если существуют различные вершины и, v и w в графе G, такие
что uv, vw g E(G), uw «ё E(G) нН = G-uv + uw. Смещение ребра - это особый тип
вращения ребра для случая, когда вершины v, w являются смежными в G.
Расстояние смещения ребра может быть получено между любыми графами G и
Н с компонентами G,(l < i < к) к < i < к) соответственно, если G, и Я, имеют
одинаковые порядок и размер.
•	Расстояние F-вращення
Расстоянием F-вращения называется расстояние на множестве Gp(n, т) всех
графов с п вершинами и т реберами, содержащих подграф, изоморфный дан-
ному графу F порядка не менее 2, определенное для всех Gb G2 е G^n, т) как
минимальное число F-вращений, необходимых для преобразования графа G\ в
граф G2.
F-вращение - один из типов преобразования ребер, который задается следую-
щим образом: пусть F' есть подграф графа G, изоморфный графу F, и пусть и, V,
w - три различные вершины графа G, такие что и «ё HF), v, w е V(F'), uv е
g E(G) и uw «ё E(G); граф Н может быть получен из графа G с помощью
F-вращения ребра uv в положение uw, если Н = G - uv + uw.
Глава 15. Расстояния в теории графов
237
•	Расстояние бинарного отношения
Пусть R - нерефлексивное бинарное отношение между графами, т.е. R с G х G
и существует граф G е G, такой что (G, G) R.
Расстояние бинарного отношения - расширенная метрика (которая в общем
случае может принимать значение <*>) на множестве G всех графов, определенная
для любых графов G] и G2 как минимальное число R-преобразований,
необходимых для трансформации графа G| в граф G2. Мы говорим, что граф Н
может быть получен из графа G путем R-преобразования, если (Я, G) g R.
Примером такого расстояния является расстояние между двумя треугольными
вложениями полного графа (т.е. его клеточными вложениями в поверхность,
имеющую только 3-гональные грани), определенное как минимальное число Г,
такое что вложения изометричны с точностью до замещения t граней.
•	Метрики преобразования без пересечений
Для подмножества S из R2 остовное дерево без пересечений множества S есть
дерево, вершины которого - точкц множества 5, а ребра - попарно
непересекающиеся отрезки прямых.
Метрика перемещения ребра без пересечений ([ААНОО]) на множестве Т$ всех
остовных деревьев без пересечений множества S определяется для любых Ть Т2е
е Т5 как минимальное число перемещений ребра без пересечений, необходимых для
преобразования Т\ в Т2. Перемещение ребра без пересечений - преобразование ре-
бер, суть которого заключается в добавлении некоторого ребра е в Т е Т$ и унич-
тожении некоторого ребра f из полученного цикла, так чтобы е и f не пересе-
кались.
Метрика скольжения ребра без пересечений есть метрика на множестве Т5 всех
остовных деревьев без пересечений множества 5, определенная для любых 7\, Т2 е
е Т$ как минимальное число скольжений ребра без пересечений, необходимых для
преобразования 7\ в Т2. Скольжение ребра без пересечений есть одно из преоб-
разований ребер, в ходе которого берется некоторое ребро е в Т 6 Т$ и одна из его
концевых точек перемещается вдоль некоторого смежного с в ребра в Т так, чтобы
не возникло пересечения ребер и "заметания” точек из S (это дает нам вместо е
новое ребро /). Скольжение ребра является особым случаем перемещения ребра
без пересечений: новое дерево образуется в результате замыкания с помощью f
цикла С длины 3 в Т и удаления е из С таким образом, чтобы f не попадало внутрь
треугольника С.
•	Расстояния маршрутов коммивояжера
Проблема коммивояжера известна как задача нахождения кратчайшего марш-
рута для посещения некоторого множества городов. Мы рассмотрим проблему
коммивояжера только для неориентированного случая. Для решения проблемы
коммивояжера применительно к N городам рассмотрим пространство ?TN
(К-1)1
маршрутов как множество, состоящее из --------- циклических перестановок
городов 1, 2,..., N.
Метрика D на определяется в терминах различия следующим образом: если
маршруты Т, Т g различаются в m ребрах, то D(T, T) = m.
k-OPT преобразование маршрута Т получают посредством удаления к ребер из Т
и построения других ребер. Маршрут Т, получаемый из Г с использованием к-ОРТ
преобразования, называется к-ОРТом для Т. Расстояние d на множестве
определяется в терминах 2-ОРТ преобразований: d(T, Т') есть минимальное число i,
238
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
для которого существует последовательность из i 2-ОРТ преобразований, пере-
водящая Т в Г.
Для любых Г, Г е J/y имеет место неравенство </(Т, Г) < D(T, Г) (см., например,
[МаМо95]).
•	Расстояния между подграфами
Стандартное расстояние на множестве всех подграфов связного графа G = (V, Е)
определяется как
тт{«/рай1(и,г7):ие V(F), veV(H)}
для любых подграфов F, Н графа G. Для любых подграфов F, Н сильно связного
орграфа D = (V, Е) стандартное квазирасстояние определяется как
min(ddpath(«,»):MeV(F), veV(H)].
Расстояние вращения ребра на множестве Sk(G) всех реберно-индуцированных
подграфов с к ребрами в связном графе G определяется как минимальное число
вращений ребра, необходимых для преобразования F е S*(G) в Н е Sk(G). Говорят,
что Н получается из F вращением ребра, если существуют различные вершины и, v
и w в G, такие что uv е E(F), uw е E(G)\E(F) нН= F-uv + uw.
Расстояние смещения ребра на множестве Sk(G) всех реберно-индуцированных
подграфов с к ребрами в связном графе G определяется как минимальное число
смещений ребра, необходимых для преобразования F е S*(G) в Н е S*(G). Говорят,
что Н получается из F смещением ребра, если существуют различные вершины и, v
bw в G, такие что uv, vw е E(F), uw е E(G)\E(F) нН = F-uv + uw.
Расстояние перемещения ребра на множестве S*(G) всех реберно-индуци-
рованных подграфов с к ребрами в графе G (не обязательно связном) определяется
как минимальное число перемещений ребра, необходимых для преобразования F е
е Sk(G) в Н е Sk(G). Говорят, что Н получается из F перемещением ребра, если
существуют (не обязательно различные) вершины и, v, w и х в G, такие что
uv g E(F), wx е E(G)\E(F) и Н = F - uv + w х. Расстояние перемещения ребра -
метрика на S*(G).:EcnHFuH имеют 5 общих ребер, то оно равно к - s.
Расстояние скачка ребра (которое в общем случае может принимать значение
°о) на множестве S*(G) всех реберно-индуцированных подграфов с к ребрами графа
G (не обязательно связного) определяется как минимальное число скачков ребра,
необходимых для преобразования F g Sk(G) в Не Sk(G). Говорят, что Н получается
из F скачком ребра, если существуют такие четыре различные вершины и, v, w и х
в G, что uv е E(F), wx е E(G)\E(F) кН = F-uv + wx.
15.4. РАССТОЯНИЯ НА ДЕРЕВЬЯХ
Пусть Т - корневое дерево, т.е. дерево, у которого одна из его вершин выбрана в
качестве корня. Глубина вершины v, depthfa) - это число ребер на пути от v к
корню. Вершина v называется родительской для вершины и, v = раг(и), если они
смежные и имеет место равенство depth(u) = depth(p) + 1; в этом случае и назы-
вается дочерней для v. Две вершины называются сестрами, если имеют одного и
того же родителя. Степень выхода вершины - это количество ее дочерних вер-
шин. Tip) есть поддерево дерева Т с корнем в вершине v е V(T). Если w е V(T(v)),
то v является предком для w, a w - потомком для v, пса(и, v) - ближайший общий
предок для вершин и и v. Дерево Т называется помеченным деревом, если каждая
Глава 15. Расстояния в теории графов
239
из его вершин обозначена символом заданного конечного алфавита Дерево Т
называется упорядоченным деревом, если задан порядок (слева направо) на
вершинах-сестрах.
На множестве 1г1о всех корневых помеченных упорядоченных деревьев допус-
каются следующие операции редактирования:
переиндексация - изменение метки вершины &,
удаление - удаление некорневой вершины v с родителем v', так что дочерние
элементы v становятся дочерними элементами v\ эти дочерние элементы встав-
ляются вместо v как упорядоченная слева направо подпоследовательность дочер-
них элементов о'-,
вставка - дополнение к удалению; вставка вершины о в качестве дочернего
элемента о', что делает о родителем последующей подпоследовательности дочер-
них элементов v'.
Для неупорядоченных деревьев операции редактирования определяются анало-
гичным образом, но операции вставки и удаления действуют на подмножестве, а не
на подпоследовательности.
Предполагается, что существует функция цены, определяемая для каждой опе-
рации редактирования, а цена последовательности операций редактирования
определяется как сумма цен этих операций.
Упорядоченное отображение расстояния редактирования - специальная
интерпретация операций редактирования. Формально, назовем тройку (М, Тх, Т2)
упорядоченным отображением расстояния редактирования дерева Тх в дерево
Т2, Т х, Т2 е TrZo, если М a. V(Tx)xV(T2) и для любых (г>ь Wj), (v2, w2) е М
выполняется следующее условие: »| = v2 тогда и только тогда, когда = w2
(условие взаимной однозначности), Р| является предком для v2 тогда и только
тогда, когда и/j является предком для w2 (условие предков), находится слева от v2
тогда и только тогда, когда и/j находится слева от w2 (условие сестер).
Говорят, что вершина v в Тх и Т2 тронута линией в М, если v появляется
в некоторой паре из М. Пусть Nx и N2- множества вершин деревьев Тх и Т2 соот-
ветственно, которые не тронуты линиями в М. Цена М задается как
у(М) = ^y(v —> w)+ У* y(v -> Х) + у(Х -> и»), где у(а ->Ь) = у(а,Ь) - цена опе-
рации редактирования а -> Ь, которая является переиндексацией, если а, b е
удалением, если b = X, и вставкой, если а = X. Здесь символ X ё выступает как
специальный символ пробела, и у является метрикой на множестве u X (исклю-
чая значение у(\, X)).
•	Расстояние редактирования дерева
Расстояние редактирования дерева ([Tai79]) на множестве Тг/о всех корневых
помеченных упорядоченных деревьев определяется для любых Тх, Т2 е Тг/б? как
минимальная цена последовательности операций редактирования (переиндексаций,
вставок и удалений), переводящей Тх в Т2.
В терминах упорядоченного отображения расстояния редактирования это
расстояние равно min(MTi у(М), где минимум берется по всем упорядоченным
отображениям расстояния редактирования (М, Тх, Т2).
Расстояние редактирования дерева можно определить аналогичным образом на
множестве всех корневых неупорядоченных деревьев.
240
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Расстояние Селкоу
Расстояние Селкоу (или расстояние нисходящего редактирования, расстояние
редактирования 1-степени) есть расстояние на множестве всех корневых
помеченных упорядоченных деревьев, определенное для любых Tb Т2 е Тг/о
как минимальная цена последовательности операций редактирования (переин-
дексаций, вставок и удалений), переводящей Т\ в Т2, если вставки и удаления
распространяются только на листья деревьев ([Selk77]). Корень дерева 7\ должен
отображаться в корень дерева Т2 и, если вершина v подлежит удалению (вставке),
то поддерево с корнем в г, если таковое имеется, подлежит удалению (вставке).
В терминах упорядоченного отображения расстояния редактирования расстоя-
ние Селкоу равно	?2) у(Л/), где минимум берется по всем отображениям
расстояния упорядоченного редактирования (М, 7\, Т2), удовлетворяющим следую-
щему условию: если (v, w) е М, где ни v, ни w не являются корнями, то (рагф),
par(w)) е М.
•	Расстояние редактирования с ограничением
Расстояние редактирования с ограничением (или расстояние регламентирован-
ного редактирования) есть расстояние на множестве Тг/б? всех корневых поме-
ченных упорядоченных деревьев, определенное для любых Ть Т2 е Тг/о как
минимальная цена последовательности операций редактирования (переиндексаций,
вставок и удалений), переводящей 7\ в Т2, с тем ограничением, что непере-
секающиеся поддеревья должны отображаться на непересекающиеся поддеревья.
В терминах упорядоченного отображения расстояния редактирования расстоя-
ние редактирования с ограничением равно	?2) у(Л/), где минимум берется
по всем упорядоченным отображениям расстояния редактирования (М, Т|, Т2),
удовлетворяющим следующему условию: для всех wj), (z?2, w2), (z?3, w3) g M,
nca(v\, v2) является собственным предком тогда и только тогда, когда nca(wb w2)
является собственным предком w3.
Это расстояние эквивалентно расстоянию редактирования соответственно
структуре, определенному как	Гг)у(Л/), где минимум берется по всем
упорядоченным отображениям расстояния редактирования (М, Т(, Т2), удовлетво-
ряющим следующему условию: для всех (ab wj), (v2, w2), (z?3, w3) g M, таких что ни
одна из V\, х)2 и щ не является предком для других, nca(?7|,?72) = iica(?7i,?73) тогда и
только тогда, когда nca(wh w2) = nca(w\, w3)
•	Расстояние редактирования единичной цены
Расстояние редактирования единичной цены - расстояние на множестве Тг/о всех
корневых помеченных упорядоченных деревьев, определенное для любых
Т|, Т2 е как минимальное число операций редактирования (переиндексаций,
вставок и удалений), переводящих Т\ в Т2.
•	Расстояние выравнивания
Расстояние выравнивания ([JWZ94]) есть расстояние на множестве Тг/о всех
корневых помеченных упорядоченных деревьев, определенное для любых
Т|, Т2 g Тг/б? как минимальная цена выравнивания 7\ и Т2. Оно соответствует рас-
стоянию регламентированного редактирования, где все вставки должны предшест-
вовать удалениям.
Это означает, что мы вставляем пробелы, т.е. вершины, обозначенные симво-
лом пробела 1, в деревья 7\ и Т2 так, чтобы они стали изоморфны при игнориро-
Глава 15. Расстояния в теории графов
241
вании индексов; полученные в результате деревья накладываются друг на друга и
дают выравнивание ТА - дерево, в котором каждая вершина помечена парой
индексов. Цена ТА - сумма цен всех пар противоположенных индексов в ТА.
•	Расстояние разбиений-совмещений
Расстояние разбиений-совмещений ([ChLu85]) есть расстояние на множестве Тг1о
всех корневых помеченных упорядоченных деревьев, определенное для любых Т(,
Т2 е как минимальное число разбиений и совмещений вершин, необходимых
для преобразования Т\ в Т2.
•	Расстояние 2-стененн
Расстояние 2-степенн есть метрика на множестве Т/ всех помеченных деревьев
(помеченных свободных деревьев), определенная как минимальное взвешенное
число операций редактирования (переиндексаций, вставок и удалений), пере-
водящих Т| в Т2, если любая вставляемая (удаляемая) вершина имеет не более двух
соседних вершин. Такая метрика является естественным расширением расстояния
редактирования дерева и расстояния Селкоу.
Филогенетическое X-дерево - неупорядоченное дерево без корня с множеством
помеченных листьев X, не имеющее вершин порядка 2. Если каждая внутренняя
вершина имеет порядок 3, то дерево называется бинарным (или вполне разре-
шенным).
Разрез А\В множества X есть разбиение множества X на два подмножества А и В
(см. Полуметрнка разреза). Удаление ребра е из филогенетического Х-дерева вле-
чет разрез множества листьев X, называемый разрезом, ассоциированным с е.
•	Метрика Робннзона-Фоулдса
Метрика Робннзона-Фоулдса (или метрика ближайшего разбиения, расстояние
разреза) есть метрика на множестве Т(Х) всех филогенетических X-деревьев,
определенная как
у |S(7i )ДЕ(Т2)|=||Е(7;) - цт2 )|+||Е(т2) - Е(т; )|
для всех Т|, Т2 е Т(Х), где ЦТ) - совокупность всех разрезов X, ассоциированных с
ребрами Т.
•	Взвешенная метрика Робннзона-Фоулдса
Взвешенная метрика Робннзона-Фоулдса - метрика на множестве Т(Х) всех фи-
логенетических Х-деревьев, определенная как
£	|w,(A|S)-w2(4|Zr)|
А|ВеЕ(Г1)иЕ(Г2)
для всех Т|, Т2 g Т (X), где =(н<е))бе£(Г) - совокупность положительных
реберных весов X-дерева Th ЦТ,) - совокупность всех разрезов X, ассоциирован-
ных с ребрами Т„ и wt (AIB)- вес ребра, ассоциированного с разрезом А\В
множества Х₽ i = 1, 2.
•	Метрика обмена ближайшими соседями
Метрика обмена ближайшими соседями (или метрика кроссовера) есть метрика
на множестве Т(Х) всех филогенетических Х-деревьев, определенная для всех
242
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
ТьТ2е Т(Х) как минимальное число обменов ближайшими соседями, необходимых
для преобразования 7\ в Т2.
Обмен ближайшими соседями - замена двух поддеревьев в дереве, смежных
с одним и тем же внутренним ребром; при этом остальная часть дерева остается
без изменений.
•	Расстояние упрощения и нересадкн поддерева
Расстояние упрощения н нересадкн поддерева есть метрика на множестве Т(Х)
всех филогенетических X-деревьев, определенная для всех Ть Т2 е Т(Х) как мини-
мальное число упрощений и пересадки поддерева, необходимых для преобразо-
вания Tj в Т2.
Преобразование упрощения и пересадки поддерева осуществляется в три этапа:
сначала выбирается и удаляется ребро uv дерева, тем самым дерево разделяется на
два поддерева Ти (содержащее и) и Tv (содержащее ty, затем выбирается и подраз-
деляется ребро поддерева Тг„ что дает нам новую вершину наконец, вершины и и
w соединяются ребром, а все вершины степени два удаляются.
•	Метрика рассечения-восстановления дерева
Метрика рассечения-восстановления дерева - метрика на множестве Т(Х) всех
филогенетических Х-деревьев, определенная для всех Ть Т2 е Т(Х) как мини-
мальное число преобразований рассечения-восстановления дерева, необходимых
для обращения Т\ в Т2.
Преобразование рассечения-восстановления дерева осуществляется в три этапа:
сначала выбирается и удаляется ребро uv дерева, тем самым дерево разделяется на
два поддерева Ти (содержащее и) и Тр (содержащее v\, затем выбираются и
подразделяются ребро поддерева Tv, что дает нам новую вершину w, и ребро
поддерева Ти, что дает нам новую вершину z; наконец, вершины w и z соединяются
ребром, а все вершины степени два удаляются.
•	Расстояние квартета
Расстояние квартета ([ЕММ85])- расстояние на множестве Tfr/X) всех бинар-
ных филогенетических X-деревьев, определенное для всех Ть Т2 е Т^(Х) как
число несовпадающих квартетов (из общего числа (J) возможных квартетов) для
Т| и Т2.
Данное расстояние основано на том факте, что для четырех листьев {1, 2, 3, 4}
дерева существует только три различных способа их объединения на бинарном
поддереве: (12134), (13124) или (14123): символом (12134) обозначается бинарное
дерево с множеством листьев {1, 2, 3, 4}, из которого после удаления внутреннего
ребра получаются деревья с множествами листьев {1,2} и {3,4}.
•	Расстояние триплета
Расстоянием триплета ([CPQ96]) называется расстояние на множестве Т^(Х) всех
бинарных филогенетических X-деревьев, определенное для всех Ть Т2е Т^Х) как
число троек (из общего числа (") возможных троек), которые различаются (на-
пример, по расположению листа) для 7\ и Т2.
•	Расстояние совершенного паросочетання
Расстояние совершенного паросочетання - расстояние на множестве Т/>Г(К) всех
корневых бинарных филогенетических Х-деревьев с множеством X п помеченных
листьев, определенное для любых Ть Т2 е Т^Г(Х) как минимальное число пере-
Глава 15. Расстояния в теории графов
243
становок, необходимых для того, чтобы перевести совершенное паросочетание
дерева Т\ в совершенное паросочетание дерева Т2.
Для множества А = {1,...,2&}, состоящего из 2к точек, совершенным паросо-
четанием А* называется разбиение А на к пар. Корневое бинарное филоге-
нетическое дерево с п помеченными листьями имеет корень и п - 2 внутренних
вершин, отличающихся от корня. Его можно отождествить с совершенным
паросочетанием на 2п - 2 отличающихся от корня вершин с помощью следующего
построения: обозначим внутренние вершины числами п + 1,..., 2и - 2, поставив
наименьший имеющийся индекс в качестве родительской вершины пары поме-
ченных дочерних элементов, из которых один имеет наименьший индекс среди
помеченных дочерних элементов; теперь паросочетание осуществляется посред-
ством отслоения по двое дочерних элементов или пар вершин-сестер.
•	Метрики атрибутивного дерева
Атрибутивным деревом называется тройка (V, Е, а), где Т = (V, Е) - исходное
дерево и а - функция, которая ставит в соответствие каждой вершине v е V вектор
атрибутов а(г)« Для двух атрибутивных деревьев (Ц, Е{, а) и (У2, Р) рассмотрим
множество всех изоморфизмов поддеревьев между ними, т.е. множество всех
изоморфизмов/: Н\ -> W2, Н i с:	Н2 V2 между их индуцированными
поддеревьями. Если на множестве атрибутов имеется подобность s, то подоб-
ность между изоморфными индуцированными поддеревьями определяется как
w,(f) = s(g(p), Р(/(р))). Изоморфизм ф с максимальной подобностью И^(ф) =
ге//|
= 1У(ф) называется изоморфизмом дерева с максимальной подобностью.
На множестве всех атрибутивных деревьев используются следующие полу-
метрики:
1) тах{| Ц |,| V2!|J-Ж(ф);
2) I Ц | + | У2 |-21У(ф);
3)1______*<*>___;
тах{|Ц |,| V2|}
4)!.
im+i^i-ww
Они становятся метриками на множестве классов эквивалентности атрибу-
тивных деревьев: два атрибутивных дерева (Vh Eb а) и (V2, Е2, Р) называются
эквивалентными, если они атрибутивно-изоморфны, т.е. существует изоморфизм
g: V| -> У2 между деревьями 7\ и Т2, такой что для любой вершины v е Ц имеем
а(Р) = PGM). Тогда IV,I = IV2I = W(g).
• Расстояние поддерева наибольшего сходства
Расстояние поддерева наибольшего сходства - расстояние на множестве Т всех
деревьев, определенное для любых 7\, Т2 е Т как минимальное число листьев,
которые нужно удалить для получения поддерева наибольшего сходства.
Поддерево сходства (или общее упрощенное дерево) двух деревьев есть дерево,
которое может быть получено из обоих деревьев посредством удаления листьев с
одинаковым индексом.
Глава 16
Расстояния в теории кодирования
Теория кодирования охватывает вопросы разработки и свойств кодов с
исправлением ошибок для обеспечения надежной передачи информации по
каналам с высоким уровнем шумов в системах связи и устройствах хранения
данных. Целью теории кодирования является поиск кодов, обеспечивающих
быструю передачу и декодирование информации, содержащих много значимых
кодовых слов и способных исправлять или, по крайней мере, обнаруживать много
ошибок. Эти цели являются взаимно исключающими; таким образом, каждое из
приложений имеет свой собственный хороший код.
В области коммуникаций кодом называется правило для преобразования сооб-
щений (например, писем, слов или фраз) в другую форму или представление, не
обязательно того же типа. Кодирование - процесс, посредством которого источник
(объект) осуществляет преобразование информации в данные, передаваемые затем
получателю (наблюдателю), например, системе обработки данных. Декодирование
является обратным процессом преобразования данных, поступивших от источника,
в понятный для получателя вид.
Код с исправлением ошибок - такой код, в котором каждый передаваемый
элемент данных подчиняется специальным правилам построения, с тем чтобы
отклонения от данного построения в полученном сигнале могли автоматически
выявляться и корректироваться. Такая технология используется в компьютерных
накопительных устройствах, например в динамической памяти RAM и в системах
передачи данных. Задача выявления ошибок решается гораздо легче, чем задача
исправления ошибок, и для обнаружения ошибок в номера кредитных карт
дополнительно вводятся одна или более ’’контрольных” цифр. Существуют два
основных класса кодов с исправлением ошибок: блоковые коды и сверточ-
ные коды.
Блоковый код (или равномерный код) длины п над алфавитом , обычно
над конечным полем F^ = {0,..., q - 1}, является подмножеством С a. s4n; каждый
вектор х е С называется кодовым словом, М = ICI называется размером кода; для
данной метрики d на F” (обычно хэмминговой метрики dH) значение (Г = d*(C) =
= minx>, 6 Сх * yd(x, у) называется минимальным расстоянием кода С. Вес w(x)
кодового слова х € С определяется как w(x) = d(x, 0). (и, М, d*)-Kod есть ^-значный
блоковый код длины п, размера М и с минимальным расстоянием d*. Бинарным
кодом называется код над F2.
Когда кодовые слова выбираются таким образом, чтобы расстояние между
ними было максимальным, код называется кодом с исправлением ошибок, по-
скольку незначительно искаженные векторы могут быть восстановлены путем
выбора ближайшего кодового слова. Код С является кодом с исправлением t
ошибок (и кодом с обнаружением 2t ошибок), если (Г (С) > 2r + 1. В этом случае
каждая окрестность Ut(x) = {у е С: d(x, у) < /} точки хе Сне пересекается с Ufy)
для любой точки у е С, у * х. Совершенный код - это <?-значный (и, М, 2t + 1)-код,
Гпава 16. Расстояния в теории кодирования
245
для которого М сфер С/Дх) с радиусом t и центрами в кодовых словах заполняют
полностью все пространство F* без пересечений.
Блоковый код CczF* называется линейным, если С является векторным под-
пространством пространства F”. [л, /с]-код есть A-мерный линейный код CaF^
(с минимальным расстоянием <Г); он имеет размер q*, т.е. является (л, q*, <Г)-кодом.
f Г   j Г   |	Л
Кодом Хэмминга называется линейный совершенный ------,------г,3 -код с
я-^	)
исправлением одной ошибки.
к х л Матрица G со строками, являющимися базисными векторами для линей-
ного [л, /с]-кода С, называется порождающей матрицей кода С. В стандартном
виде ее можно записать как (1*1А), где 1* есть единичная к х к матрица. Каждое
сообщение (или информационный символ, символ источника) и = (щ,...,ик)е F”
может быть закодирован путем умножения его (справа) на порождающую матрицу:
uG g С. Матрица Н = (—А7! !„_*) называется матрицей проверки на четность кода
С. Число г = п-к соответствует количеству цифр проверки на четность в коде и
называется избыточностью кода С. Информационная скорость (или кодовая
скорость) кода С - это число R =	Для g-значного [л, £]-кода R = — log2 q\
п	п
к
для бинарного [л, £]-кода R = —.
л
Сверточный код - такой тип кода с исправлением ошибок, в котором подле-
жащий кодированию ^-битовый информационный символ преобразуется в
к
л-битовое кодовое слово, где R =-кодовая скорость (л > к), а преобразование
л
является функцией последних т информационных символов, где т - длина
кодового ограничения. Сверточные коды часто используются для повышения
качества радио и спутниковых линий связи. Код переменной длины - код с
кодовыми словами различной длины.
В отличие от кодов с автоматическим исправлением ошибок, которые предназ-
начены только для повышения надежности передачи данных, криптографические
коды предназначены для повышения защищенности линий связи. В криптографии
отправитель использует ключ для шифрования сообщения до его передачи по
незащищенным каналам связи, а авторизованный получатель на другом конце
использует ключ для расшифровки полученного сообщения. Чаще всего алгорит-
мы сжатия и коды с исправлением ошибок используются совместно с криптогра-
фическими кодами, что обеспечивает одновременно эффективную и надежную
связь без ошибок передачи данных и защиту данных от несанкционированного
доступа. Зашифрованные сообщения, которые, более того, могут быть скрыты в
тексте, изображении и т.п., называются стеганографическими сообщениями.
16.1.	МИНИМАЛЬНОЕ РАССТОЯНИЕ И ЕГО АНАЛОГИ
•	Минимальное расстояние
Для кода С а V, где V- л-мерное векторное пространство, снабженное метрикой
d, минимальное расстояние = J*(C) кода С определяется как
min d(x9y).
х,уеС,х*у
246
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
Метрика d зависит от природы подлежащих исправлению ошибок в
соответствии с предназначением кода. Для обеспечения требуемых характеристик
по корректировке необходимо применять коды с максимальным количеством
кодовых слов. Наиболее широко исследованными в этом плане кодами являются
q-значные блоковые коды в хэмминговой метрике dH(x,y) =| {/: х,- * yhi =	|.
Для линейных кодов С минимальное расстояние (Г (С) = w(C), где и/(С) =
= min{w(x): х е С}, называется минимальным весом кода С. Поскольку матрица Н
проверки на четность [и, £]-кода С имеет rank(H) < и - к независимых столбцов, то
(Г (С) < п - к + 1 (верхняя граница Синглтона).
•	Двойственное расстояние
Двойственное расстояние d1 линейного [и, £]-кода С с: F” является минималь-
ным расстоянием двойственного кода CL для С.
Двойственный код CL для кода С определяется как множество всех векторов
F”, ортогональных каждому кодовому слову из С: С1 ={z/gF" :(г?,м) = О для
любого и е С}. Код С1 является линейным [и, п - £]-кодом. (п - к) х п порождающая
матрица для С1 является матрицей проверки на четность для С.
•	Расстояние Ьаг-пронзведення
Для линейных кодов и С2, имеющих длину п с С2 с Сь их bar-произведение
С|1С2 есть линейный код длины 2л, определенный как Сх |С2 = {x|x4-y:xeCh
уеС2}.
Расстояние bar-пронзведення- минимальное расстояние </*(С|1С2) bar-произ-
ведения С, | С2.
•	Расстояние дизайна
Линейный код называется циклическим кодом, если все циклические сдвиги
кодового слова также принадлежат С, т.е. если для любого (до,—, ап-\) е С вектор
(ап_|, До» •» ап-2) е С. Удобно отождествлять кодовое слово (ао> •> Л«-|) с
многочленом с(х) = а0 4-а1х4-...4-ап_|Хп“|, тогда каждый циклический [и, /с]-код
может быть представлен как главный идеал (#(*)) = {г(х)£(х):г(х)е/?л} кольца
Rn = F<?(x)/(xn -1), порожденный многочленом g(x) = gQ 4-g|X 4- ...4- xn~k, называе-
мым порождающим многочленом кода С.
Для элемента а порядка п в конечном поле F, [л, к]-код Бозе-Чодхури-
Хоквенгема, имеющий расстояние дизайна d, является циклическим кодом длины и,
порожденным многочленом g(x) в Fq(x) степени п - к, имеющим корни
а, а2,..., Минимальное расстояние d* кода Бозе-Чодхури-Хоквенгема с
нечетным расстоянием дизайна d больше или равно d.
Код Рида-Соломона - это код Бозе-Чодхури-Хоквенгема с 5 = 1. Порождаю-
щим многочленом кода Рида-Соломона с расстоянием дизайна d является
многочлен ^(x) = (x-a)...(x-arf-1) степени п - к = d - 1, т.е. для кода Рида-
Соломона расстояние дизайна d = п - к + 1, и минимальное расстояние d* > d.
Поскольку для линейного [и, /с]-кода минимальное расстояние d* < п - к 4- 1
(верхняя граница Синглтона), код Рида-Соломона обладает минимальным
расстоянием d* = л - Н 1 и достигает верхней границы Синглтона. В проигры-
вателях компакт-дисков преимущественно используется система двойной коррек-
ции ошибок (255, 251,5) кода Рида-Соломона над полем F256.
Гпава 16. Расстояния в теории кодирования
247
•	Расчетное минимальное расстояние Тонны
Расчетное минимальное расстояние Тонны ([Gopp71])- нижняя граница d\m)
для минимального расстояния одноточечных геометрических кодов Гоппы (или
кодов алгебраической геометрии) G(m). Для кода G(m), ассоциированного с
делителями D и тР, т е N гладкой проективной абсолютно неприводимой
алгебраической кривой рода g > 0 над конечным полем F^, мы имеем равенство
d*(m) = т + 2 - 2g, если 2g - 2 < т < п.
Для кода Гоппы G(m) структура последовательности пропусков в Р может
позволить получить более точную нижнюю границу минимального расстояния
(см. Расстояние Фенга-Рао).
•	Расстояние Фенга-Рао
Расстояние Фенга-Рао 6FR(m)- нижняя граница для минимального расстояния
одноточечных геометрических кодов Гоппы G(m), которое лучше расчетного
минимального расстояния Тонны. Используемый метод кодирования Фенга-Рао
для кода G(m) декодирует ошибки до половины расстояния Фенга-Рао 8FR(m) и
увеличивает возможности по исправлению ошибок для одноточечных геометри-
ческих кодов Гоппы.
Формально расстояние Фенга-Рао определяется следующим образом. Пусть S -
числовая полугруппа, т.е. подполугруппа S полугруппы N и {0}, такая что род
g =| N и {0} \ S | полугруппы S является конечным, и 0 е S. Расстояние Фенга-Рао
на S есть функция 6FR : S -> N и {0}, такая что 8FR (т) - min {v(r): г > т, г е S}, где
v(r)=|{(tf,/0GS2	+ = г}|. Обобщенное r-е расстояние Фенга-Рао на S опре-
деляется как 8Fj?(m) = min{v[m|,...,mr]:m<m| <...<mr,mi eS}, где v[ml,...,mr] =
=|{aGS:mf-aeS для некоторого i = 1,..., г}1. Тогда имеем 8FR(m) = 8FR(m)
(см., например, [FaMu03]).
•	Свободное расстояние
Свободное расстояние - минимальный ненулевой вес Хэмминга любого кодо-
вого слова в сверточном коде или коде переменной длины.
Формально, Jt-e минимальное расстояние d*k сверточного кода или кода пере-
менной длины есть наименьшее хэммингово расстояние между начальными отрез-
ками длины к любых двух кодовых слов, которые различаются на данных
начальных отрезках. Последовательность d{,d2,dl,...(d{ ^d^d^ <...) называется
расстоянным профилем кода. Свободное расстояние сверточного кода или кода
переменной длины равно maxi// = limd/ =d^.
• Эффективное свободное расстояние
Турбо-кодом называется длинный блоковый код, в котором имеется L входящих
битов и каждый из этих битов кодируется q раз. При j-м кодировании L битов
пропускаются через блок перестановок Pj, а затем кодируются блоковым [N, L]
। кодером (кодером кодовых фрагментов), который может рассматриваться как
L*Nj матрица. Тогда искомым турбо-кодом является линейный [ty + ... £]-код
(см., например, [BGT93]).
। ^взвешенное минимальное расстояние входа dl(C) турбо-кода С есть мини-
мальный вес для кодовых слов, соответствующих входящим словам веса i. Эффек-
тивным свободным расстоянием кода С называется его 2- взвешенное минимальное
248
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
расстояние входа <Р(С), т.е. минимальный вес для кодовых слов, соответствующих
входящим словам веса 2.
•	Распределение расстояний
Для кода С над конечным метрическим пространством (X, d) с диаметром
diam(X, d) = D распределение расстояний для С есть (D + 1)-вектор (Aq,..., Ad), где
Af =рЦ|{(с,с')еС2 :rf(c,c') = i}|. Таким образом, мы рассматриваем величины
I I
А,(с) - число кодовых слов на расстоянии i от кодового слова с, и берем А, как
среднее от А£с) по всем се С. Ао = 1 и, если (Г = (Г (С) является минимальным рас-
стоянием для С, то Aj =... = Arf#1 = 0.
Распределение расстояний для кода с заданными параметрами важно, в част-
ности, для оценки вероятности ошибки декодирования при применении различных
алгоритмов декодирования. Кроме того, это может помочь при определении
свойств кодовых структур и доказательстве невозможности существования опреде-
ленных кодов.
•	Расстояние однозначности
Расстоянием однозначности криптосистемы (Шеннон, 1949) называется мини-
мальная длина шифротекста, необходимая для уверенности в том, что существует
только единственный смысловой вариант его расшифровки. Для классических
криптографических систем с фиксированным ключевым пространством расстоя-
ние однозначности аппроксимируется по формуле Н(К)Ю, где Н(К) - энтропия
ключевого пространства (грубо говоря, log2M где N - количество ключей), a D
измеряет избыточность резервирования исходного языка открытого текста в битах
на букву.
Криптосистема обеспечивает идеальную секретность, если ее расстояние одно-
значности бесконечно. Например, одноразовые блокноты обеспечивают идеаль-
ную секретность; именно такие коды используются для связи по "красному
телефону" между Кремлем и Белым домом.
16.2. ОСНОВНЫЕ РАССТОЯНИЯ НА КОДАХ
•	Расстояние арифметического кода .
Арифметическим кодом (или кодом с исправлением арифметических ошибок)
называется конечное подмножество С множества Z целых (обычно неотрица-
тельных) чисел. Он предназначается для контроля функционирования блока
суммирования (модуля сложения). Когда сложение чисел осуществляется в двоич-
ной системе счисления, то единственный сбой в работе блока суммирования ведет к
изменению результата на некоторую степень двойки, т.е. к одной арифметической
ошибке. Формально одна арифметическая ошибка на Z определяется как
преобразование числа п е Z в число п = п ± 2', i = 1,2,....
Расстояние арифметического кода есть метрика на Z, определенная для любых
Л|, п2 е Z как минимальное число арифметических ошибок, переводящих в п2.
Его можно записать как w2(wi - п2), где w2(n) есть арифметический 2-вес п, т.е.
наименьшее возможное число ненулевых коэффициентов в представлении
к
л = ^^2', где в/ = 0, ±1 и к- некоторое неотрицательное число. Именно, для
/=0
каждого п имеется единственное такое представление с ек * 0, ер^ = 0 для всех
Глава 16. Расстояния в теории кодирования
249
i = 0,..., к - 1, которое обладает наименьшим числом ненулевых коэффициентов
(см. Арифметическая метрика r-нормы, гл. 12).
•	Расстояние Шармы-Кошика
Пусть q > 2 и т > 2. Разбиение {Д>, ,..., Bq_{} множества называется разбие-
нием Шармы-Кошика, если выполняются следующие условия:
D*o = {0};
2)	для любого i е	i е Bs тогда и только тогда, когда т - i е В5, s = 1,2,..., q - 1;
3)	если ie Bs,j е Bt и 5 > t9 то min{4 m-i}> min {j, m - j} ;
4)	если s > t, s, t = 0, 1,..., q - 1, to | Bs |>| Bt |, кроме s = q - 19 когда
1Дн
Для разбиения Шармы-Кошика множества вес Шармы-Кошика wSK(x)
любого элемента х е ~Ит определяется как w$x(x) = z, если х е Bit i g {0,1,..., q - 1}.
Расстояние Шармы-Кошика (см., например, [ShKa97]) есть метрика на Zw,
определенная как
wsx(x-y).
Расстояние Шармы-Кошика на Z" определяется как и>$к(х-у), где для
x = (x1,...,x„)eZX мы имеем ^JC(x) = ^wSJf(x/).
/=1
Хэммингова метрика и метрика Ли возникают как два частных случая разбие-
ний вышеназванного типа: Рн = {Во, В{}, где Bj = {1, 2,...., q - 1} и PL = {Во, В|,...,
• Расстояние абсолютного суммирования
Расстояние абсолютного суммирования (или расстояние Ли) - метрика Лн на
множестве Z”, определенная как
н'ьХх-У),
п
где	(х) = £ min (x^m-xj является весом Ли элемента x = (x1,...,xn)eZJl.
i=l
Если множество Z” снабжено расстоянием абсолютного суммирования, то
подмножество С множества Z” называется кодом расстояния Ли. Коды расстоя-
ния Ли применяются в каналах связи с фазовой модуляцией и с многоуровневой
квантованной импульсной модуляцией, а также в тороидальных сетях связи.
Важнейшими кодами расстояния Ли являются негациклические коды.
• Расстояние Манхейма
Пусть Z[i] = {а + bi: a, b е Z} - множество целых гауссовых чисел. Пусть
к = а + bi(a > b > 0) - гауссово простое число. Это значит, что (а + bi)(a - bi) =
= а2 + b2 = р9 где р 35 l(mod4) есть простое число, или что л = р + 0 • i = р, где
р = 3(mod4) есть простое число.
Расстояние Манхейма - это расстояние на Z[i], определенное для любых двух
целых гауссовых чисел х и у как сумма абсолютных значений действительной и
мнимой частей разности х - y(mod л). Приведение по модулю перед суммированием
250
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
абсолютных значений действительной и мнимой частей - разница между метрикой
Манхэттена и расстоянием Манхейма.
Элементы конечного поля Fp = {0, 1,..., р - 1} для р ® 2(mod4), р = а2 + Ь2 и
элементы конечного поля F 2 Для Р e 3(mod4), р = а могут отображать-
р	i
ся на подмножество целых гауссовых чисел с использованием функции
L р
(а + Ы), к = 0,...,р-1, где [.] обозначает округление до бли-
жайшего целого гауссового числа. Множество выбранных целых гауссовых чисел
с минимальными нормами Галуа называется созвездием. Такое представление дает
новый способ построения кодов для двумерных сигналов. Расстояние Манхейма
было введено для того, чтобы обеспечить применение к ОАМ-подобным сигналам
методов алгебраического декодирования. Для кодов над созвездиями гексаго-
нальных сигналов может быть применена аналогичная метрика на множестве
целых чисел Эйнштейна-Якоби. Она является удобной для блоковых кодов над
тором (см., например, [Hube93], [Hube94]).
•	Расстояние упорядоченного множества
Пусть (Ул,^) - упорядоченное множество на Vn = {1,..., и}. Подмножество I
множества Vn называется идеалом, если для х е I из условия у < х следует, что
у е I. Если J a. Vn, то (J) - наименьший идеал множества Ул, содержащий J.
Рассмотрим векторное пространство F" над конечным полем F^. P-вес элемента
x = (Xj,...,xn)GF" определяется как кардинальное число наименьшего идеала
множества Уп, содержащего несущее множество х: Wpfy) = l(supp(x))l, где supp(x) =
= {i: X/ 0). Расстояние упорядоченного множества (см. [BGL95]) есть метрика на
F”, определенная как
wXx-y).
Если F" снабжено расстоянием упорядоченного множества; то подмножество С
множества F" называется кодом упорядоченного множества. Если Vn образует
цепь 1 < 2 < ... < и, то линейный код С размерности /с, состоящий из всех векторов
(0,...,0,ал_л+|,...,ал)еР", является совершенным кодом упорядоченного множества
с минимальным расстоянием (упорядоченного множества) d*P(C) = п - k +1. Если Vn
образует антицепь, то расстояние упорядоченного множества совпадает с
хэмминговой метрикой.
•	Расстояние ранга
Пусть F^ - конечное поле, IK = F^m - расширение степени т поля F^ и Е = 1КЛ -
векторное пространство размерности п над К. Для любого а = (ab..., ап) g Е его
ранг, rank(a), определяется как размерность векторного пространства над F^,
порождаемого множеством {#),..., ал}. Расстояние ранга есть метрика на Е, опре-
деленная как
rank(a - Ь).
Поскольку расстояние ранга между двумя кодовыми словами не больше, чем
хэммингово расстояние между ними, для любого кода С с Е его минимальное рас-
Гпава 16. Расстояния в теории кодирования
251
! стояние (ранга) </^(C)<min{m,n-log _ |С|+1}. Код С с d*RK(C) = л-log т | С | +1,
।	ч	ч
i п<т, называется кодом Габидулина (см. [Gabi85]). Код С с dRK(C) = m, т<п,
называется кодом расстояния полного ранга. Такой код имеет не более qn
элементов. Максимальным кодом расстояния полного ранга называется код
расстояния полного ранга с qtl элементами; он существует тогда и только тогда,
когда т делит п.
•	Метрики Габидулина-Симониса
Рассмотрим векторное пространство F" (над конечным полем 0^) и конечное
семейство F = {F,: i g /} его подмножеств, таких что (J/; =F”. Не ограничивая
1Е/
общности, можно считать, что F- антицепь линейных подпространств F”. F-вес wF
j вектора х = (Xj,...,xw)gF" определяется как кардинальное число наименьшего
I подмножества J из /, такого что х g /*• .
:	ieJ
Метрика Габидулина-Симониса (или F-расстояние, см. [GaSi98]) есть метрика
на определенная как
ит<х-у).
Хэммингова метрика соответствует случаю, когда Fit i g / образуют стандарт-
ный базис. Метрика Вандермонда - это F-расстояние с Ft, i g /, которые являются
столбцами обобщенной матрицы Вандермонда. Метриками Габидулина-Симониса
являются также: расстояние ртгя, расстояние b-пакета, комбинаторные метри-
ки Габидулина (см. Расстояние упорядоченного сомножества).
•	Расстояние Розенблюма-Цфасмана
Пусть Mmtfiq) - множество всех т х п матриц с элементами из конечного поля
[Е^ (в общем случае из любого конечного алфавита st = {(Я|,..., aq}). Норма Розен-
блюма-Цфасмана II • ПяТ на Mmjfiq) определяется следующим образом: если т = 1 и
« = (£ь ^2»-» £>п) G то Н6|ЛПЛТ = 0 и IIа 11/?г= max{/l£f * 0} для a если
т
A = (ai,...,am)T еМт„(^ч), а^М^), 1<у</и,то || А ||яг= £||ау ||яг.
у=1
Расстояние Розенблюма-Цфасмана ([RoTs96]) есть метрика (более того, ультра-
метрнка) на ИпдД^), определенная как
|| А - F Пят .
Для каждого матричного кода CczMmn(^q) с qk элементами минимальное
расстояние (Розенблюма-Цфасмана) d*RT(C)< mn-k +1. Коды, на которых дости-
гается равенство, называются разделительными кодами с максимальным рас-
стоянием.
Наиболее часто используемым расстоянием между кодовыми словами матрич-
ного кода Сс МтЛ([Г^) является хэммингова метрика на Mmn(^q)9 определенная как
|| А- В\\н, где || А ||7/ - вес Хэмминга матрицы A g Mm^q), т.е. число ненулевых
элементов матрицы А.
252
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Расстояние взаимообмена
Расстояние взаимообмена (или расстояние свопа) есть метрика на коде С a. sln
над алфавитом определенная для любых х, ye С как минимальное число свопов
(транспозиций), т.е. перестановок смежных пар символов, необходимое для преоб-
разования х в у.
•	Расстояние АСМЕ
Расстояние АСМЕ - это метрика на коде С a. sin над алфавитом опреде-
ленная как
1ШпИя(х,у),«//(х,у))>
где dH- хэммингова метрика, a dt - расстояние взаимообмена.
•	Расстояние вставки-удаления
Пусть W - множество всех слов над алфавитом . Удаление буквы в слове
Р = Ьх...Ьп длины п есть преобразование Р в слово Р'= bxJbi_xbi+x..Jbn длины п - 1.
Вставка буквы в слово Р = b\...bn длины п есть преобразование Р в слово
Р" = ЬХ..^ЬЬ^Х..ЪЯ длины л + 1.
Расстояние вставки-удаления (или расстояние кодов с исправлением удалений и
вставок) есть метрика на W, определенная для любых а, Р е W как минимальное
число удалений и вставок букв, преобразующих а в р.
Код С с исправлением удалений и вставок - произвольное конечное под-
множество множества W. Примером такого кода является множество слов
п
Р = ЬХ...ЬЯ длины л над алфавитом = {0, 1}, для которого	=0(modn + l).
i=l
Количество слов в этом коде равно
1
2(л + 1)
всем нечетным делителям к числа л + 1, а ф - функция Эйлера.
^ф(£)2(л+|)/*, где сумма берется
к
по
•	Интервальное расстояние
Интервальное расстояние (см., например, [Bata95]) - метрика на конечной груп-
пе (G, +, 0), определенная как
где wint(r) - интервальный вес на G, т.е. норма группы, значения которой являются
последовательными неотрицательными целыми числами 0,..., т. Это расстояние
используется в групповых кодах С a G.
•	Метрика Фано
Метрикой Фано называется метрика декодирования, предназначенная для
определения наилучшей возможной последовательности применительно к алго-
ритму Фано последовательного декодирования сверточных кодов.
Сверточный код - код с исправлением ошибок, в котором каждый ^-битовый
подлежащий кодированию информационный символ преобразуется в л-битовое
к
кодовое слово, где R = — есть кодовая скорость (л > к), а преобразование - функ-
л
ция последних т информационных символов. Линейный, не зависящий от времени
декодер (фиксированный сверточный декодер) отображает информационный
Глава 16. Расстояния в теории кодирования
253
символ и, 6	uz = (ui{,...,uik), ^ eF2 в кодовое слово х, е {Х|,...,хЛГ},
х, = (хп,...,х/я), Ху gF2 таким образом, что на выходе получается код {xj,..., xN] из
N кодовых слов с вероятностями {р(хвp(xN)}. Последовательность / кодовых
слов формирует поток (пит путь) х = Хц = {х1»...»х/}» который передается по
дискретным каналам без памяти и поступает на приемник в виде последователь-
ности у = У[ j,/]- В задачу декодера, предназначенного для минимизации вероятности
ошибок в последовательности, входит поиск последовательности, которая
максимально увеличивает общую вероятность входящей и исходящей последова-
тельностей р(х, у) = р(у I х) • р(х). Обычно достаточно найти процедуру максимиза-
ции р(у I г), и декодер, всегда выбирающий в качестве своей оценки одну из после-
довательностей, максимизирующих эту величину (или, эквивалентно, метрика
Фано), называется декодером максимального правдоподобия.
Грубо говоря, каждый код можно считать деревом, у которого каждая ветвь
является отдельным кодовым словом. Декодер начинает работу с первой вершины
дерева и рассчитывает метрику ветви для каждой из возможных ветвей, определяя
как наилучшую ту ветвь, которая соответствует кодовому слову Ху, обладающему
наибольшей метрикой ветви цХХ/)- Эта ветвь добавляется к пути, и алгоритм
продолжается с новой вершины, представляющей сумму предыдущей вершины и
количества битов в текущем наилучшем кодовом слове.
Посредством процесса итерации до конечной вершины дерева алгоритм про-
кладывает наиболее вероятный путь. В этом построении битовая метрика Фано
определяется как
log2£<Mi)-S,
р(я)
метрика ветвн Фано определяется как
п (
м*р=Х| ,og2
/=| \
р(у,)
-R
а метрика пути Фано - как
/
7=1
где р(у, |х;/) - вероятности перехода каналов, р(у() = У,р(хт)р(у, | хт) - распре-
хт
деление вероятностей выходных данных при заданных входных данных (усред-
X о *
ненное по всем входным символам) и к =----кодовая скорость.
п
Для декодера с ’’жестким” решением p(yf = 01 ху = 1) = р(у, = 11 ху = 0) = /?,
0 < р < метрику Фано для пути х(1 ц
можно записать как
НF(х( 1,Z]) -	+ 3
где а = -log2 >0, Р = 1 - /?+ log2(l- р) иdH-хэммингова метрика.
1-р
254	Часть IV. Расстояния в прикладной математике
Обобщенная метрика Фано для последовательного декодирования определяет- 
ся как	
W/ 4_vli
- wR ,
О < w < 1. Когда w = 1/2, обобщенная метрика Фано сводится к метрике Фано с
мультипликативной константой 1/2.
• Метрическая рекурсия МАР декодирования
Максимальная апостериорная оценка последовательности (или МАР декоди-
рование для кодов переменной длины), использующая алгоритм Витерби, основана
на метрической рекурсии
лг = л«> +	р(»“),
Р(Ук,п\*к,п =-Ъ
где A(f > - метрика ветви для ветви т в период времени (уровень) к\хкп-п-й бит ко-
дового слова с 1кт) битами, помеченными на каждой ветви; укп - соответствующий
принятый "мягкий" бит; ик - исходные символы ветви т в период к, и при
предположении статистической независимости исходных символов вероятность
p(u£m)) эквивалентна вероятности исходного символа, помеченного на ветви т,
которая известна или рассчитывается. Метрический инкремент рассчитывается
для каждой ветви, и наибольшее значение при использовании логарифмического
значения правдоподобия каждого состояния используется для дальнейшей ре-
курсии. Декодер сначала вычисляет метрику на всех ветвях, и затем соответ-
ствующая последовательность с наибольшей метрикой ветви выбирается начиная
с заключительного состояния.
Глава 17
Расстояния и подобности
в анализе данных
Множество данных - конечное множество, состоящее из т последовательностей
(х/,...,х^), j е т] длины п. Значения х-,...9х* представляют атрибут Sh
Он может быть числовым, в том числе непрерывным (действительные числа) и
двоичным (да/нет выражается как 1/0), ординальным (числами указывается только
ранг) или номинальным (неупорядоченным).
Кластерный анализ (или классификация, таксономия, распознавание образов)
представляет собой разбиение данных А на относительно малое число кластеров,
т.е. таких множеств объектов, что (по отношению к выбранной мере расстояния)
объекты, насколько это возможно, "близки", если принадлежат одному и тому же
кластеру, и "далеки", если принадлежат разным кластерам, и дальнейшее подраз-
деление на кластеры ослабит вышеуказанные условия.
Рассмотрим три типичных случая. В приложениях, связанных с выборкой ин-
формации, узлы одноранговой базы данных экспортируют информацию (сово-
купность текстовых документов); каждый документ характеризуется вектором из
В запросе пользователя содержится вектор х е и пользователю необходимы
все документы базы данных, имеющие отношение к этому запросу, т.е. принад-
лежащие шару в Rп с центром в х фиксированного радиуса и с подходящей
функцией расстояния. В группировке записей каждый документ (запись в базе
данных) представлен вектором частотности термина xg R'1, и требуется опре-
делить семантическую значимость синтаксически разных записей. В экологии, если
векторы х, у обозначают распределения численности видов, полученные двумя
методами выборки данных (т.е. xjt yj- числа индивидов вида у, полученные в
соответствующей выборке), то требуется определить меру расстояния между х и у
для сравнения двух методов. Зачастую данные организуются сначала в виде
метрического дерева, т.е. в виде дерева, индексированного элементами метри-
ческого пространства.
После выбора расстояния d между объектами метрика линкиджа, т.е. расстоя-
ние между кластерами А = {п|,..., ат] и В = {/>1,..., Ьп}, обычно определяется как
одно из следующих:
-	усредненный линкидж: среднее значение расстояний между всеми членами
этих кластеров, т.е. —— ------;
тп
-	одинарный линкидж: расстояние между ближайшими членами этих кластеров,
т.е. mind{at,b-)\
-	полный линкидж: расстояние между самыми удаленными друг от друга
членами этих кластеров, т.е. max J(af,bj);
256
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
-	лннкндж центроидов: расстояние между центроидами (центрами тяжести)
этих кластеров, т.е. || а - b ||2, где а = -J-и b = —-;
т	п
л	I тп и~ г..
-	лннкндж Варда: расстояние J--|| а - b ||2 .
V т + п
Многомерное шкалирование - техника, применяемая в области поведенческих и
социальных наук для исследования объектов или людей. Вместе с кластерным
анализом оно базируется на использовании расстояний. Однако при многомерном
шкалировании, в отличие от кластерного анализа, процесс начинается с некоторой
т х т матрицы D расстояний между объектами и затем (итерационно) ищется
репрезентация объектов в с малым л, такая что их матрица евклидо-
вых расстояний имеет минимальное квадратичное отклонение от исходной
матрицы D.
В процессе анализа данных применяются многие подобностн; их выбор зависит
от характера данных и пока точной наукой не является. Ниже приводятся
основные из этих подобностей и расстояний.
Для двух объектов, представленных ненулевыми векторами х = (х,,..., хп) и
У = (у !»•••> уп)из К"»в данной главе используются следующие обозначения:
п
У х< означает У хР
i=i
lF-характеристическая функция события F: 1F = 1, если F имеет место, и
lF = 0, если нет.
IIх lb=	“ обычная евклидова норма на
Хх	_	1
—L, т.е. среднее значение компоненты х, обозначается как х. Так, х = —, если
п	п
х является вектором частотности (дискретным распределением вероятностей),
т.е. все X, > 0, Exf= 1; и х = если х является ранжированием (перестановкой),
т.е. все х, - разные числа множества {1,.-.., п].
Для бинарного случая хе (0, 1}" (т.е. когда х является бинарной ^-последова-
тельностью) пусть Х = {1</<л:х, = 1} и X ={!</<п -.Х; =0}. Пусть |ХпУ|,
| X u Y |, | X \ Y | и | ХДУ | обозначают кардинальное число пересечения, объеди-
нения, разности и симметрической разности (Х\У)и(У\Х) множеств X и Y соот-
ветственно.
17.1.	ПОДОБНОСТН И РАССТОЯНИЯ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ
•	Подобность Ружечкн
Подобность Ружечки - подобность на Rn, определенная как
£min(x„y,}
Lmax{x,,y,}
Глава 17, Расстояния и подобности в анализе данных
257
Соответствующее расстояние
! £min(x„y,} £|х,- у, |
Етах(х,,у,} Етах{х,,у,}
совпадает на R>0 с метрикой нечеткого полинуклеотида (см. гл. 25).
Подобность Робертса
Подобность Робертса - подобность на Rп, определенная как
Их, .,,>^4
_________тах{х,,у,}
Х(*,+У,)
•	Подобность Элленберга
Подобность Элленберга - подобность на R", определенная как
+ У/ Я л/у/ *0
Х(^+Л)(1 + 1х|у,=0)
Бинарные случаи подобностей Элленберга и Ружечки совпадают; такая по-
добность называется подобностью Таннмото (или жаккардовой подобностыо
общности):
|ХНУ|
|ХиУГ
Расстояние Таннмото (или расстояние биотопа) - расстояние на {0, 1}", опреде-
ленное как
t |ХпУ|_|ХДУ|
|ХиУ| |ХиУ|‘
•	Подобность Глисона
Подобность Глисона - подобность на R'\ определенная как
2*(xi + У/ xf *0
Бинарные случаи нодобностей Глисона, Мотыкн и Брэя-Куртиса совпадают;
такая подобность называется нодобностью Дайса (или подобностью Соренсена,
подобностью Щекановского):
2|ХпУ| _2|ХпУ|
|ХиУ| + |ХпУГ |Х| + |У|*
Расстояние Щекановского-Дайса (или неметрический коэффициент Брэя-
Куртиса, нормализованное расстояние симметрической разности) есть ночтн
метрика на {0,1}”, определенная как
2|ХпУ|_ |ХДУ|
|х|+1И |Х|+|ГГ
9. Деза Е. и Деза М.-М.
258
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Расстояние нересечення
Расстояние нересечення - подобность на определенная как
Emin(x,,y,}
min{Xx„Xy,}’
•	Подобность Мотыкн
Подобность Мотыкн - подобность на Rn, определенная как
Xmin{x/,y/}_ £min{x,,yj
Z(x,+y,)	х + у
•	Подобность Брэя-Куртиса
Подобность Брэя-Куртиса - это подобность на определенная как
2 v • г 1
л(х + у)	J
Она называется % подобностью Ренконена (или процентной подобностью),
если х, у являются векторами частотности.
•	Расстояние Брэя-Куртиса
Расстояние Брэя-Куртиса - расстояние на R'1, определенное как
Х|х, — I
2(*,+Л)
•	Расстояние Канберры
Расстояние Канберры - расстояние на определенное как
|х,| + |у,Г
Подобность 1 Кульчинского \
Подобность 1 Кульчинского - подобность на определенная как
Eminjx,,?,}
Соответствующим- расстоянием является
21*.-у, I
Smin{x,,y,}’
Подобность 2 Кульчинского
Подобность 2 Кульчинского - подобность на №, определенная как
1 Ит' • <	1
- —+ — Zminfx,,^}.
2^х у)
Для бинарного случая она принимает вид
|ХпГ|(|Х| + |Н)
21Х11П
Глава 17. Расстояния и подобности в анализе данных
259
• Подобность Барони-Урбани-Бусера
Подобность Барони-Урбани-Бусера - подобность на определенная как
Еmin{x,,y,} + min{x„y,) Е(таХ|<у<п х; - max{x,,yj)
Xтах{х,,у;} + ^Zmin{x,,y,)E(maxlsy£n х; -тах{х,,у,})
Для бинарного случая она принимает вид
|ХпУ|+л/|ХпГ||ХйГ|
|XuY| +л/|ХпГ|-1ХТ7У| ’
17.2.	АНАЛОГИ ЕВКЛИДОВА РАССТОЯНИЯ
•	Степенное (р, г)-расстоянне
Степенным (р, г)-расстояннем называется расстояние на определенное как
(Е(х,-у,)'’)|/г.
Для р = г > 1 оно является 1р-метрикой, включая соответственно евклидову мет-
рику, метрику Манхэттена и чебышевскую метрику для п = 2,1 и «> соответственно.
Случай 0 < р = г < 1 называется дробным ^-расстоянием (не метрика); оно
используется для случаев, когда количество наблюдений незначительно, а число п
переменных велико.
Взвешенные версии (Ew/x,-уг)р),/р (с неотрицательными весами также
используются в приложениях для р = 2,1.
•	Расстояние размера Пенроуза
Расстояние размера Пенроуза - расстояние на Rn, определенное как
4п Z |х,— у, |.
Оно пропорционально метрике Манхэттена. Средняя разность Щекановского
-yi |
определяется как —L--——.
п
•	Расстояние формы Пенроуза
Расстояние формы Пенроуза - расстояние на определенное как
Сумма квадратов вышеприведенных расстояний Пенроуза равна квадрату
евклидова расстояния.
•	Лоренцевское расстояние
Лоренцевское расстояние - расстояние на определенное как
Цп(1+|х,-у, |).
•	Евклидово двоичное расстояние
Евклидово двоичное расстояние - расстояние на определенное как
9*
260
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Евклидово среднее цензурированное расстояние
Евклидово среднее цензурированное расстояние - расстояние на №, опреде-
ленное как
- у,)2
^х? +у? *0
•	Нормированное /^-расстояние
Нормированное 1р-расстояние - расстояние на R", определенное как
Н*-у||р
Цх||,+11у||/
Единственное целое число р, для которого нормированное /^-расстояние яв-
ляется метрикой, есть р = 2. Более того, как показано в [Yian91], для любых
а, Ь > 0 расстояние-Ч* .. —п— является метрикой.
*+ИИ12 + 1Ы12)
•	Расстояние Кларка
Расстояние Кларка - расстояние на определенное как
•	Расстояние Мила
Расстояние Мила (или индекс Мила) - расстояние на определенное как
У и-л~*1+1+л+1)2-
Расстояние Хеллннджера
Расстояние Хеллннджера - расстояние на №, определенное как
(см. Метрика Хеллннджера, гл. 14).
1 X' у-
Индекс ассоциации Уайттекера определяется как
2 х у
•	Симметричная х2-мера
Симметричная х2-мера - расстояние на определенное как
у 2	(х,у-у,х)2
у х,+у,
•	Симметричное \2-расстоянне
Симметричное х2-расстоянне (или хи-расстояние) есть расстояние по DV,
Глава 17. Расстояния и подобности в анализе данных
261
определенное как
1у х + у (х^-у,х)2
п(х  у)2	X, + у,
•	Расстояние Махаланобнса
Расстояние Махаланобнса (или статистическое расстояние) - расстояние на
определенное как
^(detA)1/n(x-y)A-1(x-y)r.
где А - положительно определенная матрица (обычно это матрица ковариант-
ности конечного подмножества из состоящего из векторов наблюдения) (см.
Полуметрнка Махаланобнса, гл. 14).
17.3.	ПОДОБНОСТИ И РАССТОЯНИЯ ДЛЯ БИНАРНЫХ ДАННЫХ
Обычно такие подобности 5 имеют множество значений от 0 до 1 или от -1 до 1,
/г	1
а соответствующие расстояния обычно равны 1-5 или —.
•	Подобность Амана
Подобность Амана - подобность на {0, 1 }”> определенная как
2|ХАГ| , и-2|ХДГ|
п	п
•	Подобность Рэнда
Подобность Рэнда (или подобность Сокала-Миченера, простое соответст-
вие) - подобность на {0,1}", определенная как
1М1.
п
п	|ХДУ|	<	А
Соответствующая метрика J---1 называется вариантностью (является бинар-
п
а -	а	ш	Xi 1ХАУ1
ным случаем средней разности между признаками Щекановского), и 1-----
п
называется подобностью Говера.
•	Подобность 1 Сокала-Сннса
Подобность 1 Сокала-Сннса - подобность на {0, 1 }п, определенная как
2|ХАГ|
л+|хдуГ
•	Подобность 2 Сокала-Сннса
Подобность 2 Сокала-Сннса - подобность на {0, 1}определенная как
I Хи Y1 + 1 XtiYг
262
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Подобность 3 Сокала-Сннса
Подобность 3 Сокала-Сннса - подобность на {0, 1}", определенная как
1_ХДИ
|хдгГ
•	Подобность Рассела-Рао
Подобность Рассела-Рао - подобность на {0, 1}", определенная как
|Хг>У|
п
•	Подобность Симпсона
Подобность Снмпсот (подобность перекрытия) - подобность на {0, 1}",
определенная как
тт{|Х|,|У|}’
•	Подобность Брауна-Бланке
Подобность Брауна-Бланке - подобность на {0, 1}", определенная как
|Хп У|
max{| X Y |}'
•	Подобность Роджера-Танимото
Подобность Роджера-Танимото - подобность на {0, 1}определенная как
|АДГ|
П+1ХДУГ
•	Подобность Фэйса
Подобность Фэйса - подобность на {0, 1определенная как
|ХпГ| + |ХДГ|
2п
•	Подобность Тверского
Подобность Тверского - подобность на {0, 1 }л, определенная как
Она становится подобностью Таннмото, подобностью Дайса и (для бинарного
случая) подобностью 1 Кульчинского для (л,/?) = (1,1), и (1, 0) соответ-
ственно.
•	Подобность Говера-Лежандра
Подобность Говера-Лежандра - подобность на {0, 1 }и, определенная как
|ХДУ| _ |ХДГ|
а|ХДГ|+|%ДГ|“ л + (л-1)|ХДГГ
Глава 17. Расстояния и подобности в анализе данных
263
•	Подобность Андерберга
Подобность Андерберга (или подобность 4 Сокала-Сниса) - подобность на
{0,1 }л, определенная как
|хпУ|( 1 И |xUy|f 1 И
4 l|X| |r|J 4 \|Х| |У|/
• Q Подобность Юле
Q Подобность Юле - подобность на {0,1 }л, определенная как
| Хп ГI I Хи У |-1X \ УI I У \ х|
|ХпУ| |ХйУ| + |Х\ У| |У\ХГ
• Y Подобность взаимосвязанности Юле
Y Подобность взаимосвязанности Юле - подобность на {0, 1 }п, определен-
ная как
л/| ХпУ I[XuY] -VI Х\ УI I У \ х|
л/|ХпУ| |Хи7| + 7|Х \ У| |У\Х| ’
•	Подобность дисперсии
Подобность дисперсии - подобность на {0, 1}”, определенная как
1ХпУ| | ХиУ|-| X \ У Н У \ х|
п2
•	ф Подобность Пирсона
ф Подобность Пирсона - подобность на {0, 1} п, определенная как
|Хп У| | ХиУ|-| X \ У | | У \ Х|
V|x|.|x| |y| |F|
•	Подобность 2 Говера
Подобность 2 Говера (или подобность 5 Сокала-Сниса) - подобность на {0, 1}",
определенная как
V|x| |x| |у| |уГ
•	Разность образов
Разность образов - расстояние на {0,1}", определенное как
41X\Y| J Y/Х|
л2
•	С0-Разность
бо’Разиость - расстояние на {0, 1}определенное как
| X \ У| | У/Х|
|ХпУ||ХйТ|
264
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
ПА. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ПОДОБНОСТИ И РАССТОЯНИЯ
•	Ковариационная подобность
Ковариационная подобность - подобность на DV, определенная как
£(xf-x)(y,-y) Zx,y,
—	Л у.
п	п
•	Корреляционная подобность
Корреляционная подобность (или корреляция Пирсона, или линейный коэф-
фициент корреляции по смешанным моментам Пирсона) s - подобность на
определенная как
£(х,-х)(у,-у)
^(Х(х; -х)2)(Х(у7-у)2)
Несходства 1 - s и 1 - ? называются корреляционным расстоянием Пирсона и
квадратом расстояния Пирсона соответственно. Более того,
Т2(Г7)= у Az*.. .	Az2_._
у \JX(xj-x)2 ftty-y)2 >
является нормализацией евклидова расстояния (см. отличающееся нормированное
/2-расстояние в данной главе).
— —	(%, у)
Для случая х = у = 0 корреляционная подобность принимает вид
II * II2IIУ ||2
•	Подобность косинуса
Подобность косинуса (или подобность Орчини, угловая подобность, нормиро-
ванное скалярное произведение) есть подобность на №, определенная как
=СО8ф,
Ы211у.||2	’’
где ф - угол между векторами х и у. Для бинарного случая она принимает вид
|ХпУ|
и называется подобностью Очнаи-Отсукн.
В группировке записей подобность косинуса называется TF-IDF (сокращенно от
английских терминов Частота - Обратная Частота Документа).
Расстояние косинуса определяется как 1 - cos ф.
•	Угловая полуметрнка
Угловая полуметрнка на № - угол (измеренный в радианах) между векторами
х и у:
arccos М .
1И12 ЬИ2
Гпава 17. Расстояния и подобности в анализе данных
265
•	Расстояние Орлочи
Расстояние Орлочи (или хордовое расстояние) - расстояние на R", опреде-
ляемое как
1/1- {х’у) 1
•	Отношение подобности
Отношение подобности (или подобность Кохонена) - подобность на опре-
деленная как
<х,УН-1| х - у |||
Для бинарного случая она совпадает с подобностью Танимото.
•	Подобность Морнснты-Хорна
Подобность Морнснты-Хорна - подобность на определенная как
2<х,у)
llxlli ?+Цу|11 ~
X	у
•	Ранговая корреляция Сннрмана
В случае, когда векторы х, у е R” являются ранжированиями (или перестанов-
ками), т.е. компоненты каждого из них - различные числа множества {1,..., п}, мы
_ _ л+1 _
имеем х = у = —у—. Для таких ординальных данных корреляционная подобность
принимает вид
Это - р ранговая корреляция Спирмана. Она называется также р-метрикой
Спирмана, но не является расстоянием, р расстояние Спнрмана - евклидова метри-
ка на перестановках. Масштабная линейка Спнрмана определяется как
3
•——гХ|х,-у,|.
п -1
Это- /гверсия ранговой корреляции Спнрмана. Расстояние масштабной
линейки Сннрмана является /гметрикой на перестановках.
Другой корреляционной подобностью для перестановок является т ранговая
корреляция Кендалла, называемая также т метрикой Кендалла (расстоянием не
является), которая определяется как
2^1<1<7<п sign(x, -xy)sign(y,-yj)
и(и-1)
т-Расстоянне Кендалла на перестановках определяется как
I {('. j) < и, (х, - х;)(у, - у0 < 0} |.
266
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
•	Расстояние Кука
Расстоянием Кука называется расстояние на R*, дающее статистическую оценку
того, насколько сильно i-e наблюдение может повлиять на оценки регрессии. Оно
является нормированным квадратом евклидова расстояния между расчетными
параметрами регрессионных моделей, построенных на основе всех данных и дан-
ных без учета гто наблюдения.
Основными расстояниями такого рода, применяемыми в регрессивном анализе
для выявления наиболее влиятельных наблюдений, являются DFITS расстояние,
расстояние Вэлша и расстояние Хади.
•	Машинное обучение на базе расстояний
Для многих практических приложений (нейронных сетей, информационных
сетей и т.п.), характерными признаками которых являются неполнота данных, а
также непрерывность и номинальность атрибутов, рассматриваются следующие
задачи. Для т х (п + 1) матрицы ((*,;)), ее строка хп,..., xin) обозначает входной
вектор Xj = (x/|,..., xin) с выходной меткой хю; множество из т входных векторов
представляет собой тренировочное множество. Для любого нового входного
вектора у = (уь...,уп) ищется ближайший (в терминах выбранного расстояния)
входной вектор х„ необходимый для классификации у, т.е. для прогнозирования его
выходной метки как х,0.
Расстояние ([WiMa97]) d(xit у) определяется как
Jn
7=1
с dj(Xjj, yj) = 1, если Xij или y7- неизвестны. Если атрибут j (т.е. диапазон значений Ху
для 1 < i < т) является номинальным, то dfay, yfi определяется, например, как 1 *v.
или как
у |{1</<т:хгО=д,х0 =xf7}| |{1 <Г<m: xf0 =д,хгу =уу}|^
„	xtj=Xy]\	|{1<Г<т: xtj = y;}|
для <7=1 или 2; сумма берется по всем классам выходных меток, т.е. значений а из
{хю: 1 < t < т}. Для непрерывных атрибутов j число dj берется как величина
| Ху - уу |, деленная на max, xtj - minr Ху или на	стандартного отклонения значений
xtj, \<t<m.
Глава 18
Расстояния в математической инженерии
В этой главе сгруппированы основные расстояния, применяемые при программи-
ровании движения роботов, клеточных автоматов, систем с обратной связью и
многоцелевой оптимизации.
18.1.	РАССТОЯНИЯ В ОРГАНИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ РОБОТОВ
Методы программирования перемещений автоматических механизмов приме-
няются в области робототехники, системах виртуальной реальности и авто-
матизированного проектирования. Метрика программирования перемещений -
это метрика, используемая в методике программирования перемещений автомати-
ческих механизмов.
Роботом называется конечная совокупность жестких звеньев, организованных
в соответствии с кинематической иерархией. Если робот имеет п степеней свобо-
ды, это приводит нас к и-мерному многообразию С, называемому пространством
конфигураций (или С-пространством) робота. Рабочее пространство Wробота -
это пространство, в пределах которого робот перемещается. Обычно оно моде-
лируется как евклидово пространство Е3. Область препятствий СВ - множество
всех конфигураций q е С, которые либо вынуждают робота сталкиваться с
препятствиями В, либо заставляют разные звенья робота сталкиваться между
собой. Замыкание cl(Cfree) множества Cfree = С\{ СВ} называется пространством
конфигураций без столкновений. Задача алгоритма программирования пере-
мещений состоит в поиске свободного от столкновений пути от первоначальной
конфигурации к конечной.
Метрикой конфигурации называется любая метрика программирования пере-
мещений на пространстве конфигураций С робота.
Обычно пространство конфигураций С представляет собой упорядоченную
шестерку чисел (х, у, z, а, Р, у), где первые три числа - координаты положения и
последние три - ориентация. Координаты ориентации выражены углами в радиа-
нах. Интуитивно, хорошая мера расстояния между двумя конфигурациями - это
мера рабочего пространства, заметаемого роботом в ходе перемещения между
ними (заметаемый объем). Однако расчет такой метрики является чрезмерно
дорогостоящим делом.
Проще всего рассматривать С-пространство как евклидово пространство и
использовать евклидовы расстояния или их обобщения. Для таких метрик конфи-
гурации осуществляется нормализация координат ориентации таким образом, что-
бы они были одинаковыми по величине с координатами положения. Грубо говоря,
координаты ориентации умножаются на максимум значений х, у или z размера
ограничивающего блока рабочего пространства. Примеры таких метрик конфигу-
рации приводятся ниже.
268
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
В общем случае пространство конфигураций для трехмерного жесткого тела
можно отождествить с группой Ли ISO(3): С = R3 х RP3. Общая форма матрицы в
ISO(3) задается как
R П
о 1 Г
где R g 50(3) = RP3 и X е R3. Если Xq и Rq являются компонентами переноса и
вращения конфигурации q = (Xq, Rq) g /50(3), то метрика конфигурации между
конфигурациями q и г задается как wtr || Xq - Xr || +wrotf(Rq, Rr), где расстояние пе-
реноса || Xq - Хг || получается в результате использования некоторой нормы || • II на
R3, а расстояние вращения f(Rq, Rr) является положительной скалярной функцией,
задающей расстояние между вращениями Rq,Rr g5O(3). Расстояние вращения
масштабируется относительно расстояния переноса с помощью весов wtr и wrot.
Метрика рабочего пространства - любая метрика программирования переме-
щений в рабочем пространстве R3.
Имеется также много других типов метрик, используемых в процессе програм-
мирования перемещений, в частности, римановы метрики, хаусдорфова метрика,
расстояние роста и т.п.
• Взвешенное евклидово расстояние
Взвешенное евклидово расстояние - метрика конфигурации на R6, определен-
ная как
Х,/2
У, I Xj - yi I2 +£ (Wi I Xi - У/ I)2
для любых x, у g R6, где x = (xb..., x6), xb x2, x3 - координаты положения, хф x5, x6 -
координаты ориентации и нормализирующий множитель. Взвешенное
евклидово расстояние в R6 делает одинаковой значимость и положения, и
ориентации.
•	Масштабированное евклидово расстояние
Масштабированным евклидовым расстоянием называется метрика конфигу-
рации на R6, определенная как
41/2
«XI х‘ ~ У‘ I2 +(* “ (и,‘ I х‘ ~ У< 1)2
для любых х, у g R6. Масштабированное евклидово расстояние изменяет отно-
сительную значимость элементов положения и ориентации посредством масштаб-
ного параметра 5.
•	Взвешенное расстояние Минковского
Взвешенное расстояние Минковского - метрика конфигурации на R6, опреде-
ленная как
з	6
Xk-я Г+£(»»',• к-л1)₽
Глава 18. Расстояния в математической инженерии
269
для любых х, у е R6. Она использует параметр р > 1 и, как и в евклидовом случае,
имеет одинаковую значимость положения и ориентации.
•	Модифицированное расстояние Минковского
Модифицированное расстояние Минковского - метрика конфигурации на R6,
определенная как
( з	6
£ I *,• - у, Iй +£(«', । х, - у, i)₽2
М=1	i=4	J
для всех х, у е R6. Различия между положением и ориентацией определяются с
использованием параметров рх > 1 (для положения) и р2 > 1 (для ориентации).
•	Взвешенное расстояние Манхэттена
Взвешенным расстоянием Манхэттена называется метрика конфигурации на R6,
определенная как
з	6
£i^-y,i+£w,.|x,-^ ।
/=1	/=4
для любых х, у е R6. Она совпадает с точностью до нормализующего множителя с
обычной Ц -метрикой на IR6.
•	Метрика перемещения робота
Метрика перемещения робота- метрика конфигурации на пространстве
конфигурации С робота, определенная как
max || a(q)-a(p) ||
аеА
для любых конфигураций q, г е С, где a(q) - положение точки а в рабочем
пространстве К?3, когда робот находится в конфигурации q, и II • II - одна из норм
на К?3, обычно евклидова норма. Интуитивно, метрика вычисляет максимальное из
тех расстояний в рабочем пространстве, которые проходит каждая часть робота
при его переходе от одной конфигурации к другой (см. Метрика ограниченного
блока).
•	Метрика углов Эйлера
Метрика углов Эйлера - метрика вращения на группе SO(3) (для случая исполь-
зования эйлеровых углов для вращения), определенная как
H>rot7A(Oi,02)2 + Д(ф!,ф2)2 + Д(П,.т12)2
для всех R2 е 50(3), заданных у гладей Эйлера (0Ь фь т^) и (02, ф2, Лг) соот-
ветственно, где Д(0), 02) = min{10| - 02 |, 2я-101 — 021}, 0, е [О,2п] - метрика между
углами и wrot - коэффициент масштабирования.
•	Метрика единичных кватернионов
Метрикой единичных кватернионов называется метрика вращения на представ-
лении с помощью единичных кватернионов для SO(3), т.е. представлении 50(3) как
множества точек (единичных кватернионов) на единичной сфере 53 в R4 с
отождествленными антиподальными точками (q ~ -q). Данное представление 50(3)
270
Часть IV, Расстояния в прикладной математике
предполагает наличие многих возможных метрик на нем, например таких, как:
1)	||ln(<?-lr)||,
4
2)	n'rotO-IIM)» =
/=|
3)	min{||<7-г ||, IIq + г ||},
4
4)	arccosХД = У,дд,
Г=1
4
где <7 = <7|+<72£ + <7з7 + <74^»	=	11*11 - норма на R4 и wrol-коэффициент
/=1
масштабирования.
•	Метрика центра массы
Метрика центра массы - метрика рабочего пространства, определенная как
евклидово расстояние между центром массы робота в двух конфигурациях. Центр
массы аппроксимируется путем усреднения всех вершин объекта.
•	Метрика ограниченного блока
Метрикой ограниченного блока называется метрика рабочего пространства,
определенная как максимальное евклидово расстояние между любой вершиной
ограничивающего блока робота в одной конфигурации и соответствующей
вершиной в другой конфигурации.
•	Расстояние позы
Расстояние позы обеспечивает меру несходства между действиями исполни-
тельных устройств (включая роботов и людей) в процессе обучения роботов
посредством имитации.
В этом контексте исполнительные устройства рассматриваются как кинемати-
ческие цепи и представлены в форме кинематического дерева, такого что каждое
звено в кинематической цепи представлено единственным ребром соответствую-
щего дерева. Конфигурация цепи представлена позой соответствующего дерева,
полученной посредством размещения пары (пр на каждом ребре е,. Здесь и,
является единичным вектором нормали, представляющим ориентацию соответ-
ствующего звена цепи, а /, есть длина звена. Класс поз состоит из всех поз данного
кинематического дерева.
Расстояние позы - расстояние на данном классе поз, которое является суммой
мер несходства для каждой пары сопоставимых отрезков в данных двух позах.
•	Метрики миллнботов
Миллиботы - группа разнородных ограниченных по ресурсам роботов малого
размера. Группа роботов может коллективно обмениваться информацией. Они Вч
состоянии объединять информацию о расстояниях, получаемую от разных плат-
форм, и строить карту глобального размещения, представляющую собой единое
коллективное видение окружающей среды. При программировании перемещения
миллиботов с целью построения метрики программирования перемещения можно
назначить последовательность случайных точек вокруг робота и представить
каждую точку как место для предстоящего перемещения. После этого выбирается
точка с наиболее высокой функцией полезности и робот направляется именно в
Глава 18. Расстояния в математической инженерии
271
эту точку. Так, метрика свободного пространства, определяемая контуром свобод-
ного пространства, позволяет выбирать только те точки, которые не предпо-
лагают преодоления роботом каких-либо препятствий; метрикой исключения
столкновений отвергаются перемещения, маршрут которых проходит слишком
близко от препятствий; метрикой осваиваемой области поощряются перемещения
робота по маршрутам, выводящим его на открытое пространство; метрикой кон-
фигурации поощряются перемещения, позволяющие сохранить конфигурацию;
метрика локализации, основанная на угле расхождения между одной или несколь-
кими парами локализации, поощряет те перемещения, которые максимизируют
локализацию ([GKC04], см. Расстояние исключения столкновений, Расстояние
носильщиков пианино, гл. 19).
18.2.	РАССТОЯНИЯ ДЛЯ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ
Пусть S, 2 < 151 < о© есть конечное множество (алфавит) и пусть S°°- множество
бесконечных в обе стороны последовательностей	(конфигураций) эле-
ментов (букв) множества S. (Одномерный) клеточный автомат - непрерывное
отображение f:S°°-+ S°°, которое коммутируете отображением переноса g : S°° ->
5°°, определенным как g(xr) = x/+|. После определения метрики на S* полученное
метрическое пространство вместе с отображением /образуют дискретную динами-
ческую систему. Клеточные автоматы (в общем случае бесконечные в обе
стороны таблицы вместо последовательностей) применяются в символической
динамике, информатике и (как модели) в физике и биологии. Основные расстояния
между конфигурациями {хД и (у,} из 5°° (см. [BFK99]) приведены ниже.
•	Метрика Кантора
Метрикой Кантора называется метрика на 5°°, определенная как
2~ min (t >0:| г,- -у, |+| г_,- -у_/1*0)
Она соответствует случаю а = — обобщенной метрики Кантора (гл. 11). Соответ-
ствующее метрическое пространство является компактным.
•	Полуметрнка Бесиковича
Полуметрикой Бесиковича называется метрика на 5°°, определенная как
Соответствующее полуметрическое пространство является полным (см. Рас-
стояние Бесиковича на измеримых функциях, гл. 13).
•	Полуметрнка Вейля
Полуметрнкой Вейля называется полуметрика на 5°°, определенная как
р—	| k +1 < i < к +1: х.у.; |
limMoe max-------------
keZ	I
Эта и приведенные выше метрики являются инвариантными относительно пе-
реноса, однако они не являются сепарабельными или локально компактными (см.
Расстояние Вейля, гл. 13).
272
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
18.3.	РАССТОЯНИЯ В ТЕОРИИ КОНТРОЛЯ
В теории контроля рассматривается цепь обратной связи между установкой Р
(функция, представляющая подлежащий контролю объект) и управляющим
устройством С (функция, которую предстоит построить). Результат у, изме-
ренный сенсорным датчиком, сравнивается с эталонным значением г. Затем
управляющее устройство использует вычисленную ошибку е = г - у для ввода
данных и = Се. При наличи нулевых начальных условий сигналы ввода и вывода на
установку соотносятся как у = Ри, где г, у, v и Р, С являются функциями частотной
переменной 5.
Таким образом, у =
PC
\ + РС
г и у ~ г (т.е. вывод контролируется
просто установкой эталонного значения), если PC больше любого значения s.
Если система моделируется как система линейных дифференциальных уравнений,
PC
то передаточная функция -—— является рациональной функцией. Установка Р
является стабильной, если не имеет полюсов в замкнутой правой полуплоскости
С+ = {$е C:9Ls>0}.
Задача устойчивой стабилизации состоит в нахождении для заданной номи-
нальной установки (модели) Ро и некоей метрики d на установках такого центри-
рованного в PQ открытого шара с максимальным радиусом, чтобы некоторые
управляющие устройства (рациональные функции) С могли стабилизировать каж-
дый элемент данного шара.
Граф G(P) установки Р есть множество всех ограниченных пар вход-выход
(и, у = Р и). Как и так и у принадлежат пространству Харди ГР(С+) правой
полуплоскости; граф является замкнутым подпространством Н2(С+) + Я2(С+).
Именно, G(P) = ftPjtfifC2) для некоторой функции ДР), называемой символ ом
графа, a G(P) является замкнутым подпространством пространства /^(С2).
Все приведенные ниже метрики являются пропускоподобными метриками; они
топологически эквивалентны, и стабилизация является устойчивым свойством по
отношению к каждой из них.
•	Метрика нропуска
Метрика пропуска между установками и Р2 (введена в теорию контроля Заме-
сом и Эль-Заккари) определяется как
gap(^,P2)=||n(^)-n(P2)||2,
где П(Р,), / = 1, 2 является ортогональной проекцией графа G(Pd установки Р„
рассматриваемого как замкнутое подпространство Я2(С2).
Имеем
gap(^,P2) = max{51(^,P2), 8,(Р2.^)},
где 5| (^, Р2) = infCsH„ || f(Pi) - f(P2 )Q ||н„ и ДР) - символ графа.
Если А является т х п матрицей с т < л, то ее п столбцов порождают л-мерное
подпространство, а матрица В ортогональной проекции на пространство столбцов
матрицы А имеет вид А(АГА)“’ АТ. Если базис ортонормирован, то В = ААТ. В об-
щем случае метрика пропуска между двумя подпространствами одной и той же
размерности - 12-норма разности их ортогональных проекций (см. Расстояние
Фробениуса, гл. 12).
Глава 18. Расстояния в математической инженерии
273
•	Метрика Вндьясагара
Метрика Вндьясагара (или метрика графа) между установками Pj и Р2 опреде-
ляется как
тпах{52(/},Р2), 82(Р2,Л)},
где 52(P1,P2) = inf№1 ||/(^)-/(Р2)е||^ .
Поведенческое расстояние - пропуск между расширенными графами установок
Р\ и Р2; новый элемент добавлен к графу G(P) для учета всех возможных исходных
условий (вместо обычной ситуации, когда исходные условия нулевые).
•	Метрика Вннннкомбе
Метрика Вннннкомбе [метрика v-пропуска) между установками Р\ и Р2
определяется как
Зу(Л. Р2) = II (1+Р2Р2)~и2(Р2 - Р, XI + Р,Р, г,/2 IL.
если wno(/*(P2)/(/^)) = 0, и равна 1, иначе. Здесь ДР) является функцией символа
графа установки Р. В [Youn98] даны определения числа кручения wwif) для ра-
циональной функции /, а также хорошее введение в теорию стабилизации с обрат-
ной связью.
18.4.	МОЕА РАССТОЯНИЯ
Многие связанные с оптимизацией задачи преследуют несколько целей
одновременно, однако для простоты только одна из них оптимизируется, а
остальные выступают в качестве ограничений. При многоцелевой оптимизации
рассматривается (помимо некоторых ограничений в виде неравенств) целевая
вектор-функция/: X a R'1 —> R* из пространства поиска (или генотипа, перемен-
ных решения) X в пространство целей (или фенотипа, векторов решений) ^Х) =
= {Дх): хе X) с R* Точка х* е X является оптимальной по Парето, если для
каждой другой точки хе X вектор решений Дх) не мажорирует по Парето вектор
Дх*), т.е /(х) </(х*). Оптимальный по Парето фронт - это множество
PF* ={/(х):хеХ*), где X* является множеством всех оптимальных по Парето
точек.
Многоцелевые эволюционные алгоритмы (сокращенно МОЕА от английского
Multi-objective evolutionary algorithms) порождают на каждом этапе множество
аппроксимаций (найденный по Парето фронт PFknown приближает желаемый по
Парето фронт PF*) в пространстве целей, где ни один элемент не доминирует по
Парето над другим. Примеры метрик МОЕА, т.е. мер оценки, насколько PFknown
близок к PF*, представлены ниже.
• Расстояние поколений
Расстояние поколений определяется как
т
где т =| PFknown | и dj есть евклидово расстояние (в пространстве целей) между
/7(х) (т.е. j-m членом фронта PFknown) и ближайшим членом PF*.
274
Часть IV. Расстояния в прикладной математике
Термин расстояние поколений (или скорость оборота) используется также для
обозначения минимального числа ветвей между двумя положениями в любой
системе ранжированного убывания, представленного в виде иерархического де-
рева. Примерами являются: филогенетическое расстояние на филогенетическом
дереве, количество поколений, отделяющих фотокопию от оригинального оттиска,
количество поколений, отделяющих посетителей мемориала от памятных событий,
которым он посвящен.
• Расположение с промежутками
Расположение с промежутками определяется как
(т У/2
7=1_______
т-1
где т =|	| и dj есть -расстояние (в пространстве целей) между /7(х) (т.е.
J-м членом фронта PFknown) и другим ближайшим членом PFknown, в то вреья как d
является средним значением всех dj.
Суммарное недоминированное отношение векторов
I PF I
Суммарное недоминированное отношение векторов определяется как  - -..
I PF |
Часть V
РАССТОЯНИЯ
В КОМПЬЮТЕРНОЙ СФЕРЕ
Глава 19
Расстояния на действительной
и цифровой плоскостях
19.1.	МЕТРИКИ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
На плоскости R2 можно использовать много разных метрик. В частности, любая
/р-метрнка (так же, как и любая метрика нормы для данной нормы || • II на R2)
может быть использована на плоскости, при этом наиболее естественной является
/2-метрика, т.е. евклидова метрика dE(x,y) = ^(x[ -yj)2 + (х2 -у2)2 » которая дает
нам длину отрезка [х, у] прямой и является внутренней метрикой плоскости.
Однако имеются и другие, нередко "экзотические" метрики на R2. Многие из них
применяются для построения обобщенных диаграмм Вороного на R2 (см., напри-
мер, московскую метрику, метрику сети, правильную метрику). Некоторые из них
применяются в цифровой геометрии.
Задачи на расстояния эрдешевского типа (задаваемые обычно для евклидовой
метрики на R2) представляют интерес для случая R" и для других метрик на R2.
Примерным содержанием таких задач является:
-	нахождение наименьшего числа различных расстояний (или наибольшего
числа появлений заданного расстояния) в и-подмножестве множества R2; наи-
больший размер подмножества множества IR2, определяющего не более т
расстояний;
-	определение минимального диаметра n-подмножества множества К?2 только с
целочисленными расстояниями (или, скажем, без пары (Jh J2) расстояний с
О < 11/| - d21 < 1);
-	существование n-подмножества множества R2, в котором расстояние / (для
каждого 1 < i < п) встречается точно i раз (примеры известны для п < 8);
-	определение недопустимых расстояний разбиения множества R2, т.е. рас-
стояний, которые отсутствуют в каждой из частей.
•	Метрика городского квартала
Метрикой городского квартала называется /гметрнка на R2, определенная как
II*-У III=1*1 “Л 1 + 1*2-У2 I-
Данную метрику называют по-разному, например, метрикой такси, метрикой
Манхэттена, прямоугольной метрикой, метрикой прямого угла; на Z2 ее называют
метрикой гриды и 4-метрнкой.
•	Метрика Чебышева
Метрикой Чебышева называется -метрика на ИЗ2, определенная как
Н*-у||~=тах{|*1 “У11. 1*2-УгП-
Эту метрику называют также равномерной метрикой, sup-метрикой и бокс-
метрикой; на Z она называется метрикой решетки, метрикой шахматной доски,
метрикой хода короля и 8-метрикой.
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
277
•	(р, q) -Относительная метрика
Пусть 0 < q < 1, р > maxjl - q, % и пусть || • ||2 - евклидова норма на R2 (в об-
щем случае на Rn).
(р, ^Относительная метрика есть метрика на R2 (в общем случае на 03" и даже
на любом птолемеевом пространстве (У,|| • ||)), определенная как
II *—У Ik
/1	\Ч/Р
Ц (II *11?+11УII?)]
для х или у Ф 0 (и равная 0, иначе). В случае р = °° она принимает вид
II *—У Ik
(max{||x||2,||y Ik))’
Для q = 1 и любого 1 < р < °° мы получаем р-относительную метрику (или
метрику Кламкина-Меира)\ для q = 1 и р = «> получаем относительную метрику.
(1,1)-метрика называется метрикой Шатшнейдер.
•	Af-Относительная метрика
F(x)
Пусть /: [О,оо) —> (О,°о) - выпуклая возрастающая функция, такая что --
убывает для х > 0. Пусть || • ||2 - евклидова норма на R2 (в общем случае на R'1).
Af-Относительная метрика есть метрика на R2 (в общем случае на № и даже на
любом птолемеевом пространстве (V,||-1|)), определенная как
II*-У Ik
/(II* Ik)/(IIУ Ik)
В частности, расстояние
11*~У Ik
^+Н*11?Ф+1|у||?
является метрикой на R2 (на йл) тогда и только тогда, когда р > 1. Аналогичная
метрика на R2 \ {0} (на R" \ {0}) может быть определена как
ll*-ylk
11*1к-||у1к‘
•	Московская метрика
Московская метрика (или метрика Карлсруэ) есть метрика на R2, определенная
как минимальная евклидова длина всех допустимых кривых, соединяющих х и
у е R2, где кривая называется допустимой, если состоит только из отрезков
прямых, проходящих через начало координат, и отрезков окружностей с центрами
в начале координат (см., например, [Klei88]).
Если полярные координаты для точек х, у g R2 равны соответственно (г^ 0Х) и
(гу, 0р, то расстояние между данными точками равно min{rx,ry}A(0x -0у)+1 гх - гу |,
если 0< A(0r,0v)<2, и равно rx + rv, если 2 < А(0х,0у)< я, где А(0х,0у) =
= min {10Х - 0у |, 2я-10Х - 0у |}, 0Х, 0у е [0,2л) есть метрика между углами.
278
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Метрика французского метро
Для нормы || * || на R2 метрикой французского метро называется метрика на R2,
определенная как
h-y||,
если х = су для некоторого с е R, и как
II * II+II у II»
иначе. Для евклидовой нормы || * ||2 она называется парижской метрикой, метрикой
ежа, радиальной метрикой или усиленной метрикой SNCF. В этом случае она
может быть определена как минимальная евклидова длина всех допусти-
мых кривых между двумя данными точками х и у, где кривая называется допусти-
мой, если состоит только из отрезков прямых, проходящих через начало
координат.
В терминах графов эта метрика похожа на метрику пути дерева, состоящего из
точки, откуда исходят несколько непересекающихся путей.
Парижская метрика - это пример R-дерева Т, которое является симплициаль-
ным, т.е. множество точек х, для которых множество Т - {х} состоит из одной
компоненты, является дискретным и замкнутым.
•	Метрика лифта
Метрикой лифта (или метрикой сборщика малины, метрической "рекой") назы-
вается метрика на R2, определенная как
1*|~У| I.
если х2 = у2, и как
l*i l+l*2-№l+lyi I»
если х2 * У2 (см., например, [Вгуа85]). Она может определяться как минимальная
евклидова длина всех допустимых кривых, соединяющих две данные точки х и у,
где кривая называется допустимой, если состоит только из отрезков прямых,
параллельных оси хь и отрезков оси х2.
Метрика лифта является примером несимплициалъного (см. Метрика француз-
ского метро) R-дерева.
•	Метрика британской железной дороги
Для нормы II * II на R2 (в общем случае на R") метрикой британской железной
дороги называется метрика на R2 (в общем случае на IR”), определенная как
1И1+1Ы1
для х Ф у (и равная 0, иначе).
Ее называют также метрикой почты, метрикой гусеницы и метрикой челнока.
• Метрика цветочного магазина
Пусть d - метрика на R2 и / - фиксированная точка (цветочный магазин) на
плоскости.
Метрикой цветочного магазина (иногда ее называют метрикой SNCF) назы-
вается метрика на R2 (в общем случае на любом метрическом пространстве),
определенная как
d(x,f) + d(f,y)
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
279
для х Ф у (и равная 0, иначе). Так, человек, живущий в точке х, который хочет
посетить кого-то, живущего в точке у, сначала заходит в/, чтобы купить цветы.
В случае если d(x,f) =|| х - у ||, а точка/является началом координат, мы получаем
метрику британской железной дороги.
Если имеется k > 1 цветочных магазинов/],...,/^ то человек купит цветы в бли-
жайшем магазине с минимальным отклонением от своего маршрута, т.е. рас-
стояние между различными точками х, у равно min|^^(J(x,/)+d(fi9y)).
•	Метрика экрана радара
Для нормы II * II на R2 (в общем случае на R") метрикой экрана радара назы-
вается метрика на R2 (в общем случае на R"), определенная как
min{l,||x-y ||).
•	Метрика ковра Рикмана
Для числа а е (0, 1) метрикой ковра Рикмана называется метрика на К?2, опреде-
ленная как
| *1 -У1 | +1 *2 “У1 Г-
Это является случаем п = 2 параболического расстояния (гл. 6; см. там же другие
метрики на п > 2).
•	Метрика Бурагро-Иванова
Метрикой Бурагро-Иванова ([BuIvOl]) называется метрика на R2, определен-
ная как
|IIX ||2 -1| У ||2|+min{|| X ||2> II у ||2}• ^Ах,у),
где Z(x,y) - угол между векторами х и у и II • Н2 - евклидова норма на R2. Соответ-
ствующая внутренняя метрика на R2равна 11| х ||2 -|| у ||2|, если Z(x,y) = 0, и равна
II-«Иг -IIУ Иг. иначе-
•	Метрика 2л -угольника
Для центрально симметричного правильного 2л-угольника К на плоскости мет-
рикой 2л-угольннка называется метрика на R2, определенная для любых х,у е R2
как наикратчайшая евклидова длина ломаной линии от х к у, каждое из звеньев ко-
торой параллельно некоторому из ребер многоугольника К.
Если К есть прямоугольник с вершинами {(±1, ±1)}, то мы получаем метрику
Манхэттена. Метрику Манхэттена также можно рассматривать как метрику Мин-
ковского с единичным шаром в виде бриллианта, т.е. квадрата с вершинами {(1,0),
(0,1), (-1,0),(0,-1)}.
•	Метрика центрального парка
Метрикой центрального парка называется метрика на R2, определенная как дли-
на наикратчайшего /j-пути (пути Манхэттена) между двумя точками х, у g R2 при
наличии данного множества зон, через которые проходят кратчайшие евклидовы
пути (например, Центральный парк в Манхэттене).
•	Расстояние исключения столкновений
Пусть 0= {<?i,...,Om} - совокупность попарно непересекающихся многоуголь-
ников на евклидовой плоскости, представляющая собой множество препятствий,
которые являются одновременно непрозрачными и непроходимыми.
280
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
Расстоянием исключения столкновений (или расстоянием носильщиков пиа-
нино, метрикой кратчайшего нути с нренятствнямн) называется метрика на мно-
жестве R*\{6}, определенная для любых х, у е й2\{ 0} как длина кратчайшего из
всех возможных непрерывных путей, соединяющих х и у и не пересекающих пре-
пятствия (путь может проходить через точки на границе ЭО, препятствия 2,),
i = 1,...,/и.
•	Прямоугольное расстояние с барьерами
Пусть 0 = {О|,...,От} - совокупность попарно непересекающихся открытых
многоугольных барьеров на R2. Прямоугольный путь (или путь Манхэттена)
Рху от х к у есть совокупность горизонтальных и вертикальных отрезков
на плоскости, соединяющих х и у. Путь Рху называется осуществляемым, если
f т
0.
Прямоугольное расстояние с барьерами (или прямоугольное расстояние при
наличии барьеров) есть метрика на й2\{ 0}, определенная для любых х, у е R2 \{ 0}
как длина кратчайшего осуществимого прямоугольного пути от х к у.
Прямоугольное расстояние с барьерами является сужением метрики Манхэттена
и обычно рассматривается на множестве ,...,</„} с: R2 из п точек ’’отправитель-
получатель”: задача нахождения путей такого типа возникает, например, при орга-
низации транспортных перевозок в городских условиях, а также при планировке
заводов и сооружений (см., например, [LaLi81 ]).
•	Расстояние связи
Пусть Р с: R2 - многоугольная область (на п вершинах с h дырами), т.е. замкну-
тая многосвязная область, граница которой - объединение п линейных отрезков,
образующих h + 1 замкнутых многоугольных циклов. Расстоянием связи назы-
вается метрика на Р, определенная для любых х, у е Р как минимальное число
ребер многоугольного пути от х к у в пределах многоугольной области Р.
Если разрешены только прямоугольные пути, мы получаем прямоугольное рас-
стояние связи. Если пути С-ориентированы (т.е. каждое ребро параллельно одно-
му из ребер множества С с заданной ориентацией), то имеем С-ориентированное
расстояние связи.
• Расстояния планировки сооружений
Планировка- это разбиение прямоугольной плоской области на прямо-
угольники меньшего размера, называемые отделениями, линиями, проходящими
параллельно сторонам исходного прямоугольника. Все внутренние вершины
должны быть трехвалентными, а некоторые из них, по крайней мере одна на гра-
нице каждого отделения, являются дверями, т.е. местами входа-выхода. Проблема
заключается в создании подходящего представления о расстоянии d(x, у) между от-
делениями х и у, которое минимизировало бы функцию цены F(x,y)d(x,y), где
х,у
F(x, у) - некий материальный поток между х и у. Основными используемыми для
этого расстояниями являются:
- расстояние центроида, т.е. кратчайшее евклидово расстояние или расстояние
Манхэттена между центроидами (пересечения диагоналей) х иу;
-расстояние периметра, т.е. кратчайшее прямоугольное расстояние между
дверями х и у, проходящее только вдоль стен, т.е. периметров отделений.
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
281
•	Метрика быстрейшего пути
Метрика быстрейшего пути (или метрика сети) - метрика на R2 (или на под-
множестве R2) при наличии данной сети, т.е. плоского взвешенного графа
G = (V, Е). Для любых х, у е R2 это является временем быстрейшего пути между х
и у при наличии сети G, т.е. пути, максимально сокращающего время перемещения
между х и у. После получения доступа в сеть G далее можно перемещаться с
некоторой скоростью v > 1 вдоль ее ребер. Движение вне сети осуществляется с
единичной скоростью относительно заданной метрики d на плоскости (например,
евклидовой метрики или метрики Манхэттена).
Метрика воздушных перевозок есть метрика быстрейшего пути на R2 при на-
личии сети аэропортов, т.е. плоского графа G = (V, Е) на п вершинах {аэро-
портах) с положительными весами ребер (we)ee£ {время полета). Войти и выйти из
графа можно только через аэропорты. Движение вне сети осуществляется с
единичной скоростью относительно евклидовой метрики. Предполагается, что
движение на автомобиле по времени равно метрике евклидова расстояния dE, тогда
как полет вдоль ребра е = uv графа G займет время we < dE{u,v). В простейшем
случае, когда осуществляется перевозка по воздуху между двумя точками at be R2,
расстояние между х и у равно
min {dE (х, у), dE (х, а) + w + dE {b, у), dE (х, b) + w + dE {a, у)},
где w < d2(a, b) есть продолжительность полета между anb.
Метрика города - метрика быстрейшего пути на R2 при наличии сети общест-
венного транспорта, т.е. плоского графа G с горизонтальными или вертикаль-
ными ребрами. G может состоять из многих связных компонент и содержать
циклы. Каждый может попасть в G в любой точке, будь то вершина или ребро
(возможно назначить также и строго фиксированные точки входа). Внутри G
движение осуществляется с заданной скоростью v > 1 в одном из доступных
направлений. Движение вне сети осуществляется с единичной скоростью отно-
сительно метрики Манхэттена (в нашем случае подразумевается крупный
современный город с прямоугольной планировкой улиц по направлениям север-юг
и восток-запад).
Метрика метро - метрика быстрейшего пути на R2, которая является вариантом
метрики города: метро (в виде линии на плоскости) используется для сокращения
ходьбы пешком в пределах городской сетки координат.
•	Периодическая метрика
Метрика d на R2 называется периодической, если существуют два линейно неза-
висимых вектора v и и, такие что перенос по любому вектору w = mv + пи, где
т,пе Z сохраняет расстояния, т.е. t/(x,y) = d(x + w,y + w) для любых х, уей2
(см. Инвариантная метрика переноса, гл. 5)
•	Правильная метрика
Метрика d на R2 называется правильной, если обладает следующими свой-
ствами:
1)	d порождает евклидову топологию;
2)	{/-окружности ограничены относительно евклидовой метрики;
3)	если х, у е R2 и х * у, то существует точка z, z * х, z * у, такая что выполняется
равенство d{x, у) = d{x, z) + d{z, у);
282
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
4)	если х, у е R2, х -< у (где - фиксированный порядок на R2, например, лекси-
кографический порядок), С(х,у) = {z g R2 : rf(x,z) < d(y,z)}, D(x,y) = {zeR2 : d(x,
z)<d(y,z)} и D(x, у) - замыкание D(x,у), то J(x,y) = C(x,y)nD(x,y) есть кривая,
гомеоморфная (0,1). Пересечение двух таких кривых состоит из конечного числа
многих связных компонент.
Каждая метрика нормы имеет свойства 1), 2) и 3). Свойство 2) означает, что мет-
рика d является непрерывной в бесконечности относительно евклидовой метрики.
Свойством 4) обеспечивается, что границы соответствующих диаграмм Вороного
являются кривыми и что не слишком много пересечений существует в окрестности
точки или в бесконечности. Правильная метрика d имеет правильную диаграмму
Вороного: в диаграмме Вороного У(Л d, R2) (где Р = {р},..., pk}, к > 2 - множество
генераторов) каждая область Вороного V(Pi) является путь-связным множеством
с непустой внутренностью, а система {V(^),...,У(р*)} образует разбиение
плоскости.
•	Квазирасстояния контакта
Квазирасстояния контакта представляют собой следующие варианты выпуклой
функции расстояния (см. гл. 1), определенной на R2 (в общем случае на IR71).
Для множества В с R2 квазирасстояние первого контакта dB определяется как
inf{a>0:y-xG<xB}
(см. Расстояния сети сенсорных датчиков, гл. 28).
Более того, для точки b е В и множества А с R2 квазирасстоянием линейного
контакта называется расстояние между точкой и множеством, определенное как
db(x> А) = inf{a > 0: ab + х е А}.
Квазирасстояние перехвата для конечного множества В определяется как
ЬеВ______
|Я|	
•	Дальность распознавания радара
Дальность распознавания радара - расстояние на R2, определенное как
1Рх“Ру+0х}1’
если х,у е R2 \ {0}, и как
IPx~Py L
если х = 0 или у = 0, где для каждой ’’локации” xeR2 рх - радиальное расстояние х
от начала координат, и для любых х, у е В?2\{ 0} 0Х>, - угол между ними (в радианах).
•	Полуметрнка Эренфёхта-Хауслера
Пусть S - подмножество О?2, такое что Xj > х2 -1 > 0 для любого х е S.
Полуметрнка Эренфёхта-Хауслера ([EhHa88]) на S определяется как
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
283
•	Тороидальная метрика
Тороидальная метрика - метрика на торе Т - [0,1) х [0,1) = {х е R2 :0 < х} ,х2 < 1},
определенная как

для любых х, у е R2, где /, = min{|xz -у, |, |х, -yf +11} для / = 1,2 (см. Метрика
тора).
•	Метрика окружности
Метрика окружности - внутренняя метрика на единичной окружности 51 на
плоскости. Поскольку S1 = {(х, у): х2 +у2 = 1} = {е,е : 0 < 0 < 2к}, эта метрика равна
длине кратчайшей из двух дуг, соединяющих точки ею, е^ eS1, и может быть
записана как
min{|0-$ |,2л- |0-Я1} =
|0-0|, если О<|0-Ф|<л,
2л-|О-0|, если |Ф-0|>л
(см. Метрика между углами).
•	Угловое расстояние
Угловое расстояние по окружности круга является числом радиан, пройденных
путем, т.е.
0 =
1_
г
где I - длина пути и г - радиус окружности.
•	Метрика между углами
Метрикой между углами А называется метрика на множестве всех углов плос-
кости, определенная как
min{| 0 - О |, 2л-10 - О |} =
|О-0|, если 0<|О-0|<я,
2л-|Ф-0|, если |О-0|>л
для любых 0, Ф е [0, 2л) (см. Метрика круга).
•	Метрика между направлениями
На плоскости R2 направление I есть класс всех прямых, параллельных данной
прямой / a. R2. Метрикой между направлениями называется метрика на множестве
£ всех направлений плоскости, определенная для любых направлений l.meiE как
угол между любыми двумя их представителями.
•	Квазиметрика кольцевой железной дороги
Квазнметрнкой кольцевой железной дороги называется квазиметрика на еди-
ничной окружности 51 с: R2, определенная для любых х,у е 51 как длина дуги
окружности против часовой стрелки от х к у.
•	Инверсивное расстояние
Инверсивное расстояние между двумя непересекающимися кругами на плоскос-
ти определяется как натуральный логарифм частного радиусов (большего и мень-
284
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
шего) двух концентрических кругов, в которые данные круги могут быть инвер-
сированы.
Пусть с - расстояние между центрами двух непересекающихся кругов с радиу-
сами а и b, b < а. Тогда их инверсивное расстояние задается как
cosh 1
2 , г2 2
а + о —с
2аЬ
Описанная окружность и вписанная окружность треугольника с радиусом опи-
санной окружности R и радиусом вписанной окружности г находятся на
о 1 17]
инверсивном расстоянии 2 sinh I — J— I.
Имея три неколлинеарных точки, построим три попарно касающиеся окруж-
ности с центрами в указанных точках. В этом случае существуют точно две непе-
ресекающиеся окружности, которые являются касательными для всех трех окруж-
ностей. Они называются внутренним и наружным кругами Содди. Инверсивное
расстояние между кругами Содди равно 2cosh-I2.
19.2. МЕТРИКИ НА ЦИФРОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Ниже перечисляются метрики, которые применяются в компьютерном зрении
(или распознавании образов, системах технического зрения робота, цифровой
геометрии).
Машинное изображение (или компьютерное изображение) - подмножество
называемого цифровым nD пространством. Обычно изображения представляют-
ся на цифровой плоскости (или плоскости образов) Z2 или в цифровом прост-
ранстве (или пространстве образов) 1?. Точки 2? называются пикселя-
ми. Цифровое nD т-квантованное пространство есть шкалированное простран-
___ _	1 три
CTBO —£ .
т
Цифровая метрика (см., например, [RoPf68]) - любая метрика на цифровом nD
пространстве. Обычно она целочисленна.
Основными используемыми метриками на Z" являются 1Г и /„-метрики, а также
/2-метрнка, округленные до ближайшего справа (или слева) целого. В общем
случае, если задать перечень соседей пикселя, то метрику можно рассматривать
как перечень пошаговых движений на22. Сопоставим простое расстояние, т.е. по-
ложительный вес, каждому типу таких движений. Теперь многие цифровые мет-
рики можно получить как минимум (по всем возможным путям, т.е. последова-
тельностям допустимых движений) суммы соответствующих простых расстояний.
На практике вместо полного пространства 7Ln рассматривается подмножество
(Zm)n ={0,1,...,m-l}n. (Zm)2 и (Zm)3 называются соответственно т-грилем и
т-стеллажом. Наиболее часто используемыми метриками на (Лт)п являются
хэммннгова метрика и метрика Ли.
•	Метрика грнды
Метрикой грнды называется /i-метрнка на Zn. /|-метрику на Zn можно рас-
сматривать как метрику нуги бесконечного графа: две точки Zn являются смеж-
ными, если их /]-расстояние равно единице. Для Z2 данный граф является обычной
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
285
гридой (сеткой координат). Поскольку каждая точка имеет точно четыре бли-
жайших соседа в Z2 для /(-метрики, ее называют также 4-метрнкой.
Для п = 2 данная метрика является сужением на Z2 метрики городского квар-
тала, которую называют также метрикой такси, прямоугольной метрикой или мет-
рикой Манхэттена.
•	Метрика решетки
Метрикой решетки называется /«-метрика на Zn. /„-метрику на Zn можно рас-
сматривать как метрику пути бесконечного графа: две точки Z” являются смеж-
ными, если их /„-расстояние равно единице. Для Z2 смежность соответствует ходу
короля в терминах шахмат, и такой граф называется l^-гридой, а сама метрика на-
зывается также метрикой шахматной доски, метрикой хода короля или метрикой
короля. Так как каждая точка имеет точно восемь ближайших соседей в Z2 для /„-
метрики, она называется также 8-метрнкой.
Данная метрика является сужением на Z” метрики Чебышева, которую также
называют sup метрикой или равномерной метрикой.
•	Шестиугольная метрика
Шестиугольной метрикой называется метрика на Z2 с единичной сферой S'(x)
(с центром в точке х е Z2), определенной как S1 (х) =	(х) и {(х, -1, х2 -1), (х, -1,
х2 +1)} для х четного (т.е. с четным х2) и как S*(x) = (x)u {(xj + l,x2 -1), (Xj +1,
x2 + 1)} для x нечетного (т.е. с нечетным х2). Поскольку любая единичная сфера
S’(x) содержит точно шесть целочисленных точек, шестиугольная метрика назы-
вается также б-метрнкой ([LuRo76]).
Для любых х, у е Z2 она может быть записана как
{I	I 1 zl I К х2 +1 у2 +1
1“2	l+W2)+	-----
-“и
2
2

где их = Х|-У! и и2 = Х2-У2-
Шестиугольная метрика может быть определена как метрика пути на шес-
тиуголъной гриде плоскости. В шестиугольных координатах (Ль Л2) (где Лг и Л2-
оси параллельны ребрам гриды) шестиугольное расстояние между точками (Ль Л2)
и (/ь /2) можно записать как 1^-/| 1 + 1/^-/2 |, если (hx -^(^ -/2)>0, и как
max{|ht -/| |, |Лг I}» если (^i	)(^2 ~/2)^0. Здесь шестиугольные координаты
(Ль h2) точки х соотносятся с их прямоугольными декартовыми координатами
(хьх2) как Л| =Xj
*2
2
h2 = х2 для х четного и как hx- = xx
h2 = х2 для х
нечетного.
Шестиугольная метрика является лучшей, чем /гметрнка или /„-метрика,
аппроксимацией евклидовой метрики.
•	Метрика последовательности соседства
На цифровой плоскости Z2 рассмотрим два типа движений: движение городского
квартала, где разрешены только горизонтальные или вертикальные направления,
286
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
и движение шахматной доски, где разрешаются также перемещения по диагонали.
Использование двух этих типов движений определяется последовательностью
соседства В = {fe(l),fe(2),...,b(l)}, где b(i)e {1,2} является специальным типом со-
седства: b(i) = 1 обозначает изменение объекта в одной координате (соседство
городского квартала), a b(i) = 2 обозначает изменение объекта также в двух коор-
динатах (соседство шахматной доски). Последовательность В определяет тип дви-
жения, которое будет применяться на каждом этапе (см. [Das90]).
Метрика последовательности соседства - метрика на Z2, определенная как длина
кратчайшего пути между х и у е Z2, задаваемого конкретной последовательностью
соседства В. Ее можно записать как
где и, =Х|-у,, и2=х2-у2, </в(и) = тах{|и| |,|и2 |},
I
/(О) = о, /(0»рКД is^A «О')=/(0-/0-1)-». '^1-
/=1
Для В= {1} получаем метрику городского квартала, для В = {2} получаем мет-
рику шахматной доски. Случай В = {1, 2], т.е. альтернативное использование этих
передвижений, дает восьмиугольную метрику (см. [RoPf68]).
Правильный выбор В-последовательности может подвести соответствующую
метрику весьма близко к евклидовой метрике. Она всегда больше, чем расстояние
шахматной доски, но меньше, чем расстояние городского квартала.
•	Метрика последовательности лВ-соседства
Метрикой последовательности лВ-соседства называется метрика на опреде-
ленная как длина кратчайшего пути между х и у е 2?, задаваемого последователь-
ностью nD-соседства В (см. [Faze99]).
Формально две точки х, у е Z" называются т-соседями, 0 <т<п, если
п
О <| Xi - У| |< 1, 1 < i < п, и | Xj - у, | < т. Конечная последовательность В = {£(1),
1=1
..., b(l)}, b(i) g {1,2,..., п] называется последовательностью nD-соседства с перио-
дом I. Для любых х, у е Z" последовательность точек х = х°, х1,..., х* = у, где х* и х*},
О < i < к -1 являются r-соседями, г = b((i mod Z)+l)> называется путем длины к от х
к у, заданным с помощью В. Расстояние между х и у можно записать как
maxd,(u) с J (u) = V
£ L Л(о J
где и = (|U| |,| и2 ип |) является невозрастающей упорядоченностью чисел I ит\,
n-i+\
ит= хт~Ут> т = 1,...,п, т.е. | и, | £ | и, |, если i < j; at= £ иу; bi(j) = b(j), если
j=i
j
b(j)< n-i + 2, и равно л-i + l, иначе; /(J) = bj(k), если \<j<l, и равно 0,
еслиу = 0; «,(>) =/(/)-/(;<J</.
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
287
Множество метрик последовательности ЗР-соседства образует полную дистри-
бутивную решетку относительно естественного сравнения. Данная структура
играет важную роль в аппроксимировании евклидовой метрики цифровыми мет-
риками.
• Метрика, порожденная путем
Рассмотрим l^-гриду, т.е. граф с множеством вершин Z2, в котором две вершины
являются соседними, если их /«-расстояние равно единице. Пусть 2Р - совокупность
путей в /«-гриде, такая что для любых х,у gZ2 существует по крайней мере один
путь из 9 между х и у, и если содержит путь 0, то она также содержит каждый
путь, содержащийся в 0. Пусть d<&(x,y) - длина кратчайшего пути из 9* между х и
у g Z2. Если d& является метрикой на Z2, то она называется метрикой, порожден-
ной путем (см., например, [Melt91 ]).
Пусть G- одно из множеств Gi = {?,->},	g2a={T, Zh G2B = {Т,	,
G2c={Z,\»,	G2D={->,\}, G3A=R,T,Zh G3e=(->,t5),
g4A= (->	c4e=	G5 = H,?,Z, Пусть 9(G)- мно-
жество путей, полученных посредством сочленения путей в G и соответствующих
путей в противоположных направлениях. Любая метрика, порожденная путем,
совпадает с одной из метрик d^G}. Более того, имеют место следующие формулы:
о 45>(с|)<х’У>=1«11-Н«21;
2)	— «2 hl«2 Ih
3)	<^>(G2e)(X’)') = max{l2«l +«2 1’1 «2 |К
4)	6^>(G2£.)(x»y)= тах{|2«2+и1 |.|«| I);
5)	‘/9>(G2i>)<x’3') = maJl(l2«2-«l 1’1 «I |};
6> ^(G.M)(X’>)=maX(l“l 1’1 “2 1’1«1 -«2 II;
7)	^бзв)(х’.у) = тах{|и) |,|и2 |,| и, + и2 ||;
8)	d9<G4A)(x'y) = тах{2[(1 «I I-1«2 |)/2}о}+1«2 I;
9)	d&(G4B)<x’y> = тах{2[(1 «2 I -1 “| l)/2],o}+1и, |;
Ю) ^>(05><х’У) = тах<1«1 l’l“2 I}’
где «| = X, - У|, и2 = х2 - у2, а Г-1 является потолочной функцией-, для любого дей-
ствительного х число Гх1 является наименьшим целым числом, которое больше или
равно х.
Полученные из G-множеств метрические пространства, имеющие одинаковые
цифровые индексы, являются изометричными. ) есть метрика городского
квартала, a d^{G^ - метрика шахматной доски.
• Метрика копя
Метрикой коня называется метрика на Z2, определенная как минимальное число
ходов, которые понадобится сделать шахматному коню для перемещения из х в
288
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
у е Z2. Ее единичная сфера Slight с центром в начале координат содержит ровно
8 целочисленных точек {(±2, ±1), (±1, ±2)} и может быть записана как
•^knight =	где есть / 1-сфера радиуса 3 и есть L-сфера радиуса 2 с
центром в начале координат ([DaCh88]).
Расстояние между х и у
равно 3, если (М, т) = (1,0), равно 4, если (Л/, т) = (2,2), и
равно max
М1 ГМ + т
ТГ з
+ (М + т) - max
Ml ГМ + т
Тг з
<mod2), иначе, где М =
= max{|u| |,|u2 |}, га = min
l«i l.l«2 lh «1=-Ч-У1. и2=х2-у2.
•	Метрика сунер-коня
Пусть р, q g N, причем р + q нечетно и (р, q) = 1.
(р, q)-cynep-KOHb (или (р, q)-npbizyn) есть фигура обобщенных шахмат, ход кото-
рой состоит из прыжка на р клеток в одном направлении и последующего орто-
гонального прыжка на q клеток в заданную конечную клетку. Термины обобщен-
ных шахмат существуют для (р, 1)-прыгуна с р = 0,1,2,3,4 (визирь, ферзь, обычный
конь, верблюд, жираф) и для (р, 2)-прыгуна с р = 0,1,2,3 (даббаба, обычный конь,
алфил, зебра).
Метрика (р, ф)-супер-коня (или метрика (р, q)-npbizyna) - метрика на Z2, опре-
деленная как минимальное число ходов, которое понадобится (р, д)-супер-коню для
перемещения из х в у е Z2. Таким образом, ее единичная сфера Slp g с центром в
начале координат содержит ровно 8 целочисленных точек {(±р, ±q), (±q,±p)}
([DaMu90]).
Метрика коня - метрика (1,2)-супер-коня. Метрику городского квартала можно
рассматривать как метрику визиря, т.е. метрику (0,1)-супер-коня.
•	Метрика ладьи
Метрикой ладьи называется метрика на Z2, определенная как минимальное чис-
ло ходов, которые понадобится сделать шахматной ладье для перемещения из х в
у е Z2. Данная метрика имеет только значения {0,1,2} и совпадает с хэммннговой
метрикой на Z2.
•	Метрика скругления
Возьмем два положительных числа а,Рса<Р<2аи рассмотрим (а,^-взвешен-
ную 1ж-гриду, т.е. бесконечный граф с множеством вершин Z2, две вершины
которого являются смежными, если их L-расстояние равно единице, причем
горизонтальные/вертикальные и диагональные ребра имеют веса а и Р соот-
ветственно.
Метрикой скругления (или метрикой (а, Р)-скругления, см. [Borg86]) называется
метрика взвешенного пути в вышеуказанном графе. Для любых х, у е Z2 она
может быть записана как
$т + а(М -т),
где А/ = тах{|и, |,|и2 |), т = тт{|и, |,|и2 I)» «I = Х1 ~ У1 • и2=х2~Уг-
Если веса а и Р равны евклидовым длинам 1, 72 горизонтальных/вертикальных
и диагональных ребер соответственно, то получаем евклидову длину кратчайшего
пути шахматной доски между х и у. Если а = Р = 1, то имеем метрику шахматной
Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях
289
доски. Метрика (3, 4)-скругления наиболее часто используется для работы с циф-
ровыми образами; она называется просто (3,4)-метрикой.
Метрика 3£)-скруглення - метрика взвешенного пути графа с множеством вер-
шин Z3 векселей, два из которых являются смежными, если их L-расстояние равно
единице, причем веса а, Р и у связаны соответственно с расстояниями от 6 граневых
соседей, 12 реберных соседей и 8 угловых соседей.
•	Метрика взвешенного разреза
Рассмотрим взвешенную l^-гриду, т.е. граф с множеством вершин Z2, две из
которых являются смежными, если их /„-расстояние равно единице, и каждое
ребро имеет заданный положительный вес (или цену). Обычная метрика взвешен-
ного пути между двумя пикселями является минимальной ценой соединяющего их
пути. Метрикой взвешенного разреза между двумя пикселями называется мини-
мальная цена (определенная сейчас как сумма цен пересекаемых ребер) разреза,
т.е. кривой в плоскости, соединяющей их и обходящей пиксели.
•	Метрика цифрового объема
Метрикой цифрового объема называется метрика на множестве К всех ограни-
ченных подмножеств (изображений или образов) множества Z2 (в общем случае
Zn), определенная как
vol(AAtf),
где vol(A) = IAI, т.е. числу содержащихся в А пикселей, и А АВ- симметрическая
разность между множествами А и В.
Данная метрика - цифровой аналог метрики Никодима.
•	Шестиугольная хаусдорфова метрика
Шестиугольная хаусдорфова метрика есть метрика на множестве всех ограни-
ченных подмножеств (изображений или образов) шестиугольной гриды на плос-
кости, определенная как
inf(p,<?:Ac:B + qH> DczA + pH]
для любых изображений А и В, где pH - правильный шестиугольник размера р
(т.е. с р + 1 пикселем на каждом ребре) с центром в начале координат, содержащий
свою внутренность, и + является сложением Минковского: А + В = {х + у:хеА,
уеВ} (см. Метрика Помпейю-Хаусдорфа-Бляшке, гл. 9). Если А является пиксе-
лем х, то расстояние между х и В равно supve# </6(х,у), где d6 - шестиугольная мет-
рика, т.е. метрика пути на шестиугольной гриде.
10.	Деза Е. и Деза М.-М.
Глава 20
Расстояния диаграмм Вороного
Для конечного множества А объектов А( в пространстве S построение диаграммы
Вороного множества А означает разбиение пространства 5 на области Вороного
V(Aj) таким образом, чтобы У(А,) содержали все точки S, которые расположены
’’ближе” к А„ чем к любому другому объекту Ау из А.
Для порождающего множества Р = [р\,..., рк}, к > 2 различных точек (порож-
дающих элементов, или генераторов) из R”, п >2, стандартный многоугольник
Вороного V(p,), связанный с порождающим элементом ph определяется как
V(Pi) = {х е Rn : dE(x,р^) < dE(x,рj) для любого j*i},
где dE - обычное евклидово расстояние на R". Множество
V(P,rf£,Rn) = {V(Pl),...,V(^)}
называется п-мерной стандартной диаграммой Вороного, порождаемой Р. Гра-
ницы (n-мерных) многоугольников Вороного называются ((п-1)-мерным и) гранями
Вороного, границы граней Вороного называются (п-2)-мерными гранями Воро-
ного, ..., границы двумерных граней Вороного называются ребрами Вороного, гра-
ницы ребер - вершинами Вороного.
Обобщение стандартной диаграммы Вороного возможно в следующих трех
направлениях:
1.	Обобщение в смысле порождающего множества А = {Ah..., А*}, которое мо-
жет быть множеством прямых, множеством областей и т.п.
2.	Обобщение в смысле пространства S, которое может быть сферой (сфери-
ческая диаграмма Вороного), цилиндром (цилиндрическая диаграмма Вороного),
конусом (коническая диаграмма Вороного), поверхностью многогранника (диа-
грамма многогранника Вороного) и т.п.
3.	Обобщение в смысле функции d, где d(x, А) является мерой ’’расстояния" от
точки х е S до порождающего элемента А, е А.
Такая функция обобщенного расстояния d называется порождающим расстоя-
нием Вороного (или расстоянием Вороного, V-расстоянием) и позвс- 1яет получить
много других функций, кроме обычной метрики на 5. Если F является строго воз-
растающей функцией У-расстояния d, т.е. F(d(x,Ai))< F(d(x,Aj)) тогда и только
тогда, когда d(x,Ai)<d(x,Aj), то обобщенные диаграммы Вороного V(A,F(d),S) и
V(A,d,S) совпадают и говорят, что У-расстояние F(d) является трансформируемым
в У-расстояние d, и что обобщенная диаграмма Вороного V(A,F(d),S) является
тривиальным обобщением обобщенной диаграммы Вороного V(A,d,S). В
приложениях для тривиального обобщения стандартной диаграммы Вороного
V(P,dE,Rn) часто пользуются экспоненциальным расстоянием, логарифмическим
расстоянием и степенным расстоянием. Существуют обобщенные диаграммы
Глава 20. Расстояния диаграмм Вороного
291
Вороного V(P,d,R”), определенные с помощью V-расстояний, которые не
являются трансформируемыми к евклидову расстоянию dE: мультипликативно
взвешенное расстояние Вороного, аддитивно взвешенное расстояние Вороного
и т.п.
Дополнительные сведения по этой тематике можно найти в [OBS92], [Klei89].
20.1.	КЛАССИЧЕСКИЕ РАССТОЯНИЯ ВОРОНОГО
•	Экспоненциальное расстояние
Экспоненциальное расстояние - порождающее расстояние Вороного
£>exp(^A) = e</£(x•p',
для тривиального обобщения У(Р,£>ехр,1йл) стандартной диаграммы Вороного
У(Р,dE,Rn)» где dE - евклидово расстояние.
•	Логарифмическое расстояние
Логарифмическое расстояние - порождающее расстояние Вороного
D|n(x,pf) = lnJ£(x,pr)
для тривиального обобщения У(Р,£)|П,КЛ) стандартной диаграммы Вороного
У(Р, J£,R”), где dE - евклидово расстояние.
•	Степенное расстояние
Степенное расстояние - порождающее расстояние Вороного
£,а(-г’А) = ^Е(х>А)“’ а>0>
для тривиального обобщения V(P,Da,Rn) стандартной диаграммы Вороного
V(P, dEMn), где dE - евклидово расстояние.
•	Мультипликативно взвешенное расстояние
Мультипликативно взвешенное расстояние dMW - порождающее расстояние Во-
роного обобщенной диаграммы Вороного V(P,dMW,Rn) (мультипликативно взве-
шенная диаграмма Вороного), определенное как
dMw(x’Pi> = — dE(x,Pi)
Wj
для любой точки xeR" и любого порождающего элемента pt'e P = {pl,...,pk],
к >2, где € w = {wp...,	- заданный положительный мультипликативный вес
порождающего элемента pt ndE- обычное евклидово расстояние.
Для R2 мультипликативно взвешенная диаграмма Вороного называется круго-
вой упаковкой Дирихле. Ребром этой диаграммы является дуга окружности или
прямая.
В плоскости R2 существует обобщение мультипликативно взвешенной диаграм-
мы Вороного, кристаллическая диаграмма Вороного, с тем же определением
расстояния (где Wj- скорость роста кристалла р,), но отличающимся разбие-
10*
292
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
нием плоскости, поскольку кристаллы могут расти только на свободном про-
странстве.
•	Аддитивно взвешенное расстояние
Аддитивно взвешенное расстояние dAW есть порождающее расстояние Вороного
обобщенной диаграммы Вороного V(P,dAW,fln) (аддитивно взвешенная диаграм-
ма Вороного), определенное как
dAW (** Pt) = dE(x, Pi) - Wi
для любой точки хейли любого порождающего элемента pf е P = {pl,...,pjt},
к > 2, где wt е w = {W|,..., wk} - заданный аддитивный вес порождающего элемента
ph ndE- обычное евклидово расстояние.
Для R2 аддитивно взвешенная диаграмма Вороного называется гиперболической
упаковкой Дирихле. Ребром этой диаграммы является дуга гиперболы или отрезок
прямой.
•	Аддитивно взвешенное степенное расстояние
Аддитивно взвешенное степенное расстояние dPW - порождающее расстояние
Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(P,dpw,Rn) (аддитивно взвешенная
степенная диаграмма Вороного), определенное как
dPW(x, Pi) = dl(x, - Wj
для любой точки хе R" и любого порождающего элемента е Р = {р|,...,р*},
к > 2, где Wi е w = {wj,...,^} - заданный аддитивный вес порождающего элемен-
та, pit ndE- обычное евклидово расстояние.
Эта диаграмма может рассматриваться как диаграмма кругов Вороного или
диаграмма Вороного с геометрией Лагерра.
1	2
Мультипликативно взвешенное степенное расстояние dMPW(x,Pi) = —dp(x,Pi),
Wi
wt > 0, трансформируется в мультипликативно взвешенное расстояние и дает три-
виальное расширение мультипликативно взвешенной диаграммы Вороного.
•	Комбинированно взвешенное расстояние
Комбинированно взвешенным расстоянием dcw называется порождающее рас-
стояние Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(P,dcw,Rn) (комбинирован-
но взвешенной диаграммы Вороного), определенное как
dcw U А) = — dE (*> Pi) “ А
w,.
для любой точки хе R" и любого порождающего элемента д еР = {/?|,...,/?*},
к > 2, где ; е w = {и>|,..., wk} - заданный положительный мультипликативный вес
порождающего элемента ph ev-{v{,...,vk} - заданный аддитивный вес
порождающего элемента ph ndE- обычное евклидово расстояние.
Ребром двумерной комбинированно взвешенной диаграммы Вороного является
часть кривой четвертого порядка, гиперболическая дуга, дуга окружности или
прямая.
Глава 20. Расстояния диаграмм Вороного
293
20.2.	РАССТОЯНИЯ ВОРОНОГО НА ПЛОСКОСТИ
•	Расстояние кратчайшего пути с препятствиями
Пусть 0= {Оь...,От} - совокупность попарно непересекающихся многоуголь-
ников на евклидовой плоскости, представляющая собой множество препятствий,
которые являются непрозрачными и непреодолимыми.
Расстоянием кратчайшего пути с препятствиями dsp называется порождающее
расстояние Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(P,dsp,R2 \ {0}) (диа-
граммы кратчайшего пути Вороного с препятствиями), определенное для лю-
бых х, у е 0} как длина кратчайшего из всех возможных непрерывных путей,
соединяющих х и у и при этом обходящих препятствия (путь может
проходить через точки на границе Э(9, препятствия О,), i = l,...,m.
Кратчайший путь строится с помощью многоугольника видимости и графа
видимости диаграммы V(P,rfyp,R2 \ {0}).
•	Расстояние видимого кратчайшего пути
Пусть 0= {О|,...,От} - совокупность попарно непересекающихся отрезков
[ah ЬЦ на евклидовой плоскости, Р=	k>2- множество порождаю-
щих элементов,
VIS(pi) = {x ей2	= 0 для всех 2= 1,...,т}
- многоугольник видимости образующего элемента ph a dE- обычное евклидово
расстояние.
Расстоянием видимого кратчайшего пути dvsp называется порождающее расстоя-
ние Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(P,rfvjp,R2 \ {0}) (диаграмма ви-
димого кратчайшего пути Вороного с препятствиями), определенное как
dysp(X> Pi)
dE(x,Pi), если х е VlS(Pi),
<», иначе.
• Расстояние сети
Сеть на R2 есть связный плоский геометрический граф G = (V, Е) с множеством
V вершин и множеством Е ребер.
Пусть порождающее множество Р = {р\,-,Рк} является подмножеством мно-
жества У = {р1,...,р/} вершин графа G и множество L задается как множество всех
точек ребер графа G.
Расстояние сети Jnetv на множестве V есть порождающее расстояние Вороного
диаграммы Вороного узлов сети V(P,Jnetv, V), определенное как кратчайший путь
вдоль ребер графа G от pt е V до Pj е V. Оно является метрикой взвешенного пути
графа G, где we - евклидова длина ребра е е Е.
Расстояние сети JnetlHa множестве L есть порождающее расстояние диаграммы
Вороного ребер сети V(P,d^,L), определенное как кратчайший путь вдоль ребер
от хе £доу е L.
Расстояние доступа к сети d^.^ на R2 есть порождающее расстояние Вороного
диаграммы Вороного области сети V(P, Jaccnet,R2), определенное как
^accnet (•*» У) ^netl (^(*^)» КуУ) + ^асс 00 + ^асс (у).
294
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
где rfacc(x) = min/eL d(x,l) = dE(x,l(x)) - расстояние доступа точки х. Именно,
Jacc(x) есть евклидово расстояние от х до точки доступа l(x) е L для х, которая
является ближайшей к х точкой на ребрах графа G.
•	Расстояние воздушных перевозок
Сеть аэропортов - произвольный плоский граф G на п вершинах (аэропортах) с
положительными весами ребер (время полета). Вход и выход из графа допус-
каются только через аэропорты. Перемещение по сети внутри графа G осущест-
вляется с заданной скоростью v > 1. Движение вне сети осуществляется с единич-
ной скоростью относительно обычной евклидовой метрики.
Расстояние воздушных перевозок rfa! есть порождающее расстояние Вороного
диаграммы воздушных перевозок Вороного V(P,dal,R2), определенное как время,
необходимое для быстрейшего пути между хну при наличии сети аэропортов G,
т.е. пути, минизирующего продолжительность путешествия между х и у.
•	Расстояние города
Сеть городского общественного транспорта, например метро или автобус-
ные перевозки,, представляет собой плоский граф G с горизонтальными или
вертикальными ребрами. G может состоять из многих связных компонент и
содержать циклы. Каждый может войти в G в любой точке, будь то вершина или
ребро (возможно назначить также и строго фиксированные точки входа). Внутри
G движение осуществляется с заданной скоростью о > 1 в одном из доступных
направлений. Движение вне сети осуществляется с единичной скоростью отно-
сительно метрики Манхэттена (в нашем случае подразумевается крупный совре-
менный город с прямоугольной планировкой улиц по направлениям север-юг и
восток-запад).
Расстоянием города Jcity называется порождающее расстояние Вороного диа-
граммы города Вороного V(P,</dty,R2), определенное как время, необходимое для
быстрейшего пути между х и у в условиях сети G, т.е. пути минимизирующего
продолжительность путешествия между х и у.
Множество P =	к >2, можно рассматривать как множество неких
городских учреждений (например, почтовых отделений или больниц): для многих
людей учреждения одного и того же предназначения одинаковы и предпоч-
тительным является то, до которого быстрее добраться.
•	Расстояние на реке
Расстоянием на реке Jriv называется порождающее расстояние Вороного обоб-
щенной диаграммы Вороного V(P,driv,R2) (диаграммы Вороного на реке), опре-
деленное как
. ч -а(л1 - >1)+ 7<xi - Я )2 + (! - а2 )(х2 - у2 )2
riv(X,W	г(1-а2)
где v - скорость лодки в неподвижной воде, w > 0 - скорость постоянного потока в
w
положительном направлении хгоси и а = -(0<а<1) -относительная скорость
v
потока.
Глава 20. Расстояния диаграмм Вороного
295
F ™ f(y(sf) ds - время, необходимое для
•	Расстояние парусника
Пусть Q с. R2 - область на плоскости (водная поверхность), пусть f: Q -> R2 -
непрерывное векторное поле на Q, представляющее скорость потока воды (поле
потока); пусть Р = {р(,...,pk} с Q, к > 2 - множество к точек в Q (гавани).
Расстоянием парусника ([NiSuO3]) dbs называется порождающее расстояние
Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(P, dbs, Q) (диаграмма парусника
Вороного), определенное как
Jte(x,y) = inf8(Y,x,y)
у
I
для всех х, у е Q, где д(у,х,у) = J
о
того, чтобы парусник с максимальной скоростью F на неподвижной воде пере-
местился из х в у вдоль кривой у: [0,1] -> Q, у(0) = х, у( 1) = у, инфимум берется по
всем возможным кривым у.
•	Расстояние подсматривающего
Пусть 5 = {(Х(,х2)е R2 :Х] >0} - полуплоскость в R2, пусть Р= {Pi,
к>2 - множество точек, содержащихся в полуплоскости {(x!,x2)eR2 :х( <0},
и пусть окно определяется как интервал ]а,£[ с а = (0,1) и b = (0, -1).
Расстояние подсматривающего d^ есть порождающее расстояние Вороного
обобщенной диаграммы Вороного V(P,6^,5) (диаграмма подсматривающего
Вороного), определенное как
р£(х,р,), если [x,p]n]a,z>[#0,
©о, иначе,
где dE - обычное евклидово расстояние.
•	Расстояние снегохода
Пусть QczIR2 - область на х |Х2-плоскости пространства R3 (двумерное
отображение) и Q* = {(q,h(q)): q = (x{(q),x2(q)) е £l,h(q) ей) - трехмерная
поверхность Земли, поставленная в соответствие изображению Q. Пусть
Р = {Pi, • • •, Рк)с Л к > 2 - множество к точек в Q (стоянки снегоходов).
Расстоянием снегохода dsm называется порождающее расстояние Вороного
обобщенной диаграммы Вороного V(P,dsm,Q.) (диаграммы снегохода Вороного),
определенное как
'-“'•'’fl J. aiw»>
для любых <?,re Q и позволяющее рассчитать минимально необходимое время для
перемещения снегохода со скоростью F на ровной поверхности из (q,h(q)) в (r,h(r))
по маршруту у* :y\s) = (y(s),h(y(s))), ассоциированному с путем по области
296
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
у:[0,1]—>Q, Т(0) = 4» у(1) = г (инфимум берется по всем возможным путям у,
а а является положительной константой).
Снегоход движется вверх, в гору, медленнее, чем вниз, под гору. Для лесного
пожара характерно обратное: фронт огня перемещается быстрее вверх и медлен-
нее вниз. Данную ситуацию можно смоделировать с использованием отрицатель-
ного значения а. Полученное расстояние называется расстоянием лесного пожара
и полученная диаграмма Вороного называется диаграммой лесного пожара Во-
роного.
•	Расстояние скольжения
Пусть Т - наклонная плоскость в R3, полученная посредством вращения
хх	ТС	м	U
Х|Х2-плоскости вокруг хгоси на угол а, 0<а<у, с координатной системой,
которая получена посредством аналогичного вращения координатной системы
Х1Х2-плоскости. Для точки q^T, q = (Х|(#),х2(<?)) определим высоту h(q) как ее х3-
координату в R3. Таким образом, A(^) = x2(<?)sina. Пусть P = {pl9...,pk)c:T, к>2.
Расстоянием скольжения ([AACL98]) rfskew называется порождающее расстояние
Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(P,Jskew,T) {диаграмма скольжения
Вороного), определенное как
rfskew(<7>r) = dE(<l> Г) + (А(0 “ А(<7» = dE(q>r) + sin «(Х2(Г) - Х2(?)),
или, в общем случае,
dskew (?> О = dE(<b Г) + *(*2(И " х2 (<?))
для всех q,r е Т, где dE - обычное евклидово расстояние, а к > 0 - константа.
20.3.	ДРУГИЕ РАССТОЯНИЯ ВОРОНОГО
•	Расстояние Вороного для отрезков
Расстояние Вороного для (множества) отрезков dsl есть порождающее расстоя-
ние Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(A,dls,R2) (линейная диаграмма
Вороного, порожденная отрезками), определенное как
d5/(x,Ar) = inf dE(x,y),
где множество порождающих элементов А = {Aj,..., Ак}, к > 2 есть множество по-
парно непересекающихся отрезков A, = [af, и dE есть обычное евклидово рас-
стояние. Именно,
</£(х,аД	если х g Ra.,
dE(x,bt),	если х g Rb.,
rfJx-a,/*	O|)(fe, -a,)|, если xeR2 \{/?a<jRb),
где ={xeR2 :(/>,-a,)r(x-a,)<0}, Rb. =(xeR2 .(ai-bi)T(x-bi)<0}.
Глава 20. Расстояния диаграмм Вороного
297
•	Расстояние Вороного для дуг
Расстояние Вороного для (множества круговых) дуг dca есть порождающее рас-
стояние Вороного обобщенной диаграммы Вороного V(A,rfCfl,R2) (линейная диа-
грамма Вороного, порожденная дугами окружностей), определенное как
dca(x,Ai) = inf dE(x,y),
y*Aj
где порождающее множество А = {Af,..., AJ, к > 2 есть множество попарно непе-
ресекающихся дуг окружностей А, (меньших или равных полуокружностям) с
радиусом г, и центром в хс., a dE - обычное евклидово расстояние. Именно,
dca(x,Д) = min{d£(x,a,),dE(x,bt),\(1Е(х,хс.)-г{ |),
где а, и bj - концевые точки дуги А,.
•	Расстояние Вороного для окружностей
Расстоянием Вороного для (множества) окружностей dcl называется порож-
дающее расстояние обобщенной диаграммы Вороного V(A,dcl,R2) (линейная диа-
грамма Вороного, порожденная окружностями), определенное как
dd(x,Ai)= inf dE(x,y),
уеА-,
где порождающее множество А = {А1У..., А*}, к > 2 есть множество попарно непе-
ресекающихся окружностей А, с радиусом г, и центром в хс., a dE - обычное евкли-
дово расстояние. Именно,
dd(x,A,)=|«/£(x,Xc.)-7- |.
Для линейных диаграмм Вороного, порожденных окружностями, существует
много различных порождающих расстояний. Например, J*/(x,A/) = rf£(x,xc.)- г-
или dd(x,Ai) = dE(x,xc.)-r2 (диаграмма Вороного по Лагерру).
•	Расстояние Вороного для областей
Расстояние Вороного для областей dar есть порождающее расстояние Вороного
обобщенной диаграммы Вороного V(A,dar, R2) (диаграмма областей Вороного),
определенное как
rfflr(x,Ar )= inf dE(x,y),
ye А;
где А = {АЬ...,АЛ), k>2 есть совокупность попарно непересекающихся связных
замкнутых множеств (областей) ndE- обычное евклидово расстояние.
Следует обратить внимание на то, что для любого обобщенного порождающего
множества А = {А|,...,А*}, к>2 можно использовать в качестве порождаю-
щего расстояния Вороного хаусдорфово расстояние от точки х до множества
А,-: dHaus(x» А)= SUP ^е(х>У)» гДе - обычное евклидово расстояние.
уеА,
298
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Цилиндрическое расстояние
Цилиндрическое расстояние dcyi есть внутренняя метрика на поверхности цилин-
дра S, которая используется в качестве порождающего расстояния Вороного для
цилиндрической диаграммы Вороного V(A,Jcyl,S). Если ось цилиндра единичного
радиуса размещена на х3-оси в R3, то цилиндрическое расстояние между любыми
точками х,у g Sc цилиндрическими координатами (1,0^ zx) и (1,0р zy) задается как

^(9x-ey)2 + (zx-zy)2, если 0у-0х<л,
^(0Х + 2л - 0у )2 + (zx - zy )2, если 0у -0Х > л.
•	Коническое расстояние
Коническим расстоянием dcon называется внутренняя метрика на поверхности
конуса S, которая используется в качестве порождающего расстояния для кони-
ческой диаграммы Вороного V(J\dcon,S). Если ось конуса S размещена на х3-оси в
R3 и радиус окружности, очерчиваемой пересечением конуса S с х^-плоскостью,
равен единице, то расстояние конуса между любыми точками х, у е S задается как
^соп(-^» у)
^rx + -2rxry cos(0' -0'), если 0' < 0' + яsin(a/2),
^гх + ry -2rxrvcos(0' +2rcsin(a/2)-0'), если 0' > 0' + кsin(a/ 2),
где (хь х2, х3)— прямоугольные декартовы координаты точки х на S, а - угол при
вершине конуса, 0Х- угол против часовой стрелки от хгоси до луча из исходной
точки до точки (Xj,x2,0), 0' = 0X sin(a/2), rx = л/х2 + х2 + (х3 -coth(a/2))2 - рас-
стояние по прямой от вершины конуса до точки (х}, х2, х3).
•	Расстояние Вороного норядка т
Рассмотрим конечное множество А объектов метрического пространства (5, d) и
целое число т > 1. Рассмотрим множество всех т-подмножеств Mj из А (т.е. с: А
и | Mi; | = т). Диаграмма Вороного порядка т множества А есть разбиение S на об-
ласти Вороного V(Md т-подмножеств множества А таким образом, чтобы V(Mд
содержала все точки s е S, которые "ближе” к Mh чем к любому другому
m-множеству А/,: d(s, х) < d(s, у) для любых х е Mi и у е Эта диаграмма ука-
зывает первого, второго,..., m-го ближайшего соседа точки из S.
Такие диаграммы могут быть определены в терминах некоторой "функции
расстояния" D(s, М,)9 в частности, некоторой /и-хемнметрнкн на S. Для Aff = {а^Ь;}
рассматривались функции | d(s, at) - d(s, ) |, d(s, a,) + d(s, ), d(s, at) • d(s, ), а так-
же 2-метрнкн d(s,ai) + d(s,bi) + d(ai9bi) и площадь треугольника (5, ait bj).
Глава 21
Расстояния в анализе
образов и звуков
21.1. РАССТОЯНИЯ В АНАЛИЗЕ ОБРАЗОВ
Обработка образов (изображений) имеет дело с такими объектами, как фото-
графии, видеоданные или томографические изображения. В частности, компью-
терная графика представляет собой процесс синтезирования образов из абстракт-
ных моделей, тогда как машинное распознавание образов - это извлечение некой
абстрактной информации: скажем, 3D (т.е. трехмерного) описания той или иной
сцены, используя ее видеосъемку. Начиная где-то с 2000 г. аналоговая обработка
изображений (оптическими устройствами) уступает место цифровой обработке и, в
частности, цифровому редактированию (например, обработке изображений,
полученных с помощью обычных цифровых фотоаппаратов).
Компьютерная графика (и мозг человека) имеет дело с образами векторной
графики, т.е. такими, которые представлены геометрически кривыми, многоуголь-
никами и т.п. Изображение растровой графики (или цифровое изображение, но
битовое отображение) в 2D есть представление 2D изображения как конечно-
го множества дискретных величин, называемых пикселями (сокращенно от
английского "picture element”), размещенных на квадратной гриде Z2 или
шестиугольной гриде. Как правило, растр - это квадратная 2k х 2к грида с к = 8,9
или 10. Видеоизображения и томографические (т.е. полученные как серия попе-
речных сечений) изображения являются 3D изображениями (2D плюс время); их
дискретные величины называются вокселями (элементами объема).
Дискретное бинарное изображение использует только два значения: 0 и 1; 1 ин-
терпретируется как логическая ’’истина” и отображается черным цветом; таким
образом, само изображение отождествляется с множеством черных пикселей.
Элементы бинарного 2D изображения можно рассматривать как комплексные
числа х + 1у, где (х, у) - координата точки на действителной плоскости R2. Непре-
рывное бинарное изображение является (обычно компактным) подмножеством
локально компактного метрического пространства (обычно евклидова простран-
ства Е" с п = 2,3).
Полутоновые изображения могут рассматриваться как точечно-взвешенные би-
нарные изображения. В общем случае нечеткое множество является точечно-
взвешенным множеством с весами (значениями принадлежности) (см. [В1ос99] для
обзора нечетких расстояний). Для полутоновых изображений ху/-представление
применяется в случае, когда плоскостные координаты (х, у) обозначают форму, в
то время как вес i (сокращенно от интенсивности, т.е. яркости) - текстуру
(распределение интенсивности). Иногда используется также матрица ((/ху)) полу-
тонов. Гистограмма яркости полутонового изображения показывает частоту
каждого имеющегося в данном изображении значения яркости. Если изображение
имеет т уровней яркости (столбиков гистограммы полутонов), то существуют 2т
300
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
различных возможных интенсивностей. Обычно т = 8 и числа 0,1,...,255
представляют диапазон интенсивности от белого до черного; другие типичные
значения т = 10, 12, 14, 16. Глаз человека различает порядка 350 тыс. различных
цветов, но только 30 различных полутонов; таким образом, цвет обладает гораздо
более высокой разрешающей способностью.
Для цветных изображений наиболее известным является (ЯСВ)-представление,
где пространственные координаты R, G, В обозначают уровни красной, зеленой и
синей цветовых составляющих; 3D гистограмма показывает яркость в каждой точ-
ке. Среди многих других 3D моделей (пространств) цветов различают: (CMY) куб
(цвета голубой, малиновый, желтый), (HSL) конус (тип колорита Я, заданный
как угол, насыщенность S, заданная в %, освещенность L, заданная в %) и (YUV),
(YIQ), используемые соответственно в телевизионных системах PAL и NTSC.
Согласно утвержденной Международной комиссией по освещенности (МКО)
методике пересчет (RGB) в меру яркости (освещенности) полутона осуществляется
как 0,2997? + 0, 587G + 0,114В. Цветовая гистограмма является вектором призна-
ков длины п (обычно и = 64 или 256) с компонентами, представляющими
либо общее количество пикселей, либо процент пикселей данного цвета в изобра-
жении.
Изображения чаще всего представлены векторами признаков, включая цве-
товые гистограммы, цветовую насыщенность, текстуры, дескрипторы формы и
т.п. Примерами пространств признаков являются: исходная интенсивность
(значения пикселей), края (границы, контуры, поверхности), отличительные
характеристики (угловые точки, пересечения линий, точки высокой кривизны) и
статистические признаки (моментные инварианты, центроиды). К типовым
видеопризнакам относятся перекрытие кадров, перемещения. Восстановление
изображения (поиск подобностей) состоит (так же как и для других данных, таких
как аудиозаписи, последовательности ДНК, текстовые документы, временные
ряды и т.п.) в поиске изображений, признаки которых либо близки между собой,
либо близки к конкретному запросу, либо находятся в заданном диапазоне.
Имеется два метода непосредственного сравнения изображений: по интенсив-
ности (цвета и текстуры гистограммы) и по геометрии (описание формы с по-
мощью серединной оси, скелета и т.п.). Нечеткий термин форма применяется для
описания внешнего облика (силуэта) объекта, его локальной геометрии или об-
щего геометрического рисунка (геометрических особенностей, точек, кривых и
т.п.) или для такого рисунка с точностью до некоторой группы преобразований
подобия (переносов, вращений и масштабирования). Нечеткий термин текстура
означает все, что остается после обработки данных о цвете и форме.
Подобность между векторными представлениями изображений измеряется с
помощью обычных расстояний: -метрик, метрик взвешенного редактирования,
расстояния Танимото, расстояния косинуса, расстояния Махалонобиса и его обоб-
щений, расстояния бульдозера. Из вероятностных расстояний наиболее часто ис-
пользуются: расстояние Бхаттачарья 2, расстояние Хеллинджера, расстояние Кул-
лбака-Лейблера, расстояние Джеффри и (особенно для гистограмм) х2-расстояние,
расстояние Колмогорова-Смирнова, расстояние Куипера.
Основными расстояниями, применяемыми для компактных подмножеств X и Y
множества R" (обычно п = 2,3) или их дискретных вариантов, являются: метрика
Асплунда, метрика Шепарда, полуметрика симметрической разности Vol(XAK)
(см. Метрика Никодима, Отклонение площади, Метрика цифрового объема
и их нормализации, а также варианты хаусдорфова расстояния; см. ниже по
тексту).
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
301
Для целей обработки изображений перечисленные ниже расстояния являются
расстояниями между "истинным" и приближенным цифровыми изображениями с
тем, чтобы оценить качество алгоритмов. Для целей восстановления изображений
расстояния измеряются между векторами признаков запроса и ссылок.
•	Цветовые расстояния
Цветовое пространство - это 3-параметрическое описание цветности. Необхо-
димость именно трех параметров обусловлена существованием в человеческом
глазу трех видов рецепторов, воспринимающих коротковолновые, средневолновые
и длинноволновые излучения, соответствующие синему, зеленому и красному
цвету.
Международная комиссия по освещенности определила в 1931 г. параметры цве-
тового пространства (XYZ) на основе (ИОВ)-модели и измерений человеческого
зрения. Согласно стандарту комиссии в цветовом пространстве (XYZ) величины X,
Y и Z приблизительно соответствуют красному, зеленому и синему цветам. Глав-
ным предположением колориметрического анализа, экспериментально обоснован-
ным Йндоу (1991), является то, что воспринимаемое цветовое пространство до-
пускает существование метрики, истинного цветового расстояния. Предполагается,
что данная метрика будет локально евклидовой, т.е. римановой метрикой. Другим
допущением является существование непрерывного отображения из метрического
пространства световых стимулов в это метрическое пространство (см. гипотезу
вероятности расстояния в гл. 23 о том, что вероятность того, что субъект отличит
один стимул от другого, является непрерывно возрастающей функцией некоторой
субъективной квазиметрики между этими стимулами).
Такой равноконтрастной цветовой шкалы, где равные расстояния в цветовом
пространстве соответствуют равным расстояниям в цветах, пока еще не получено,
и существующие цветовые расстояния являются различными ее аппроксимациями.
Первым шагом в этом направлении являются эллипсы МакАдама, т.е. области
(х, у) на диаграмме хроматичности, все содержащиеся цвета которой выглядят
неразличимыми для нормального человеческого глаза. Эти 25 эллипсов
о	X	Y
определяют метрику в цветовом пространстве. Здесь х = - ——— и у =
являются проективными координатами, и цвета диаграммы хроматичности
занимают некую область вещественной проективной плоскости. Пространство CIE
(L*a*b*) является адаптацией цветового пространства комиссии МКО (от 1931 г.);
оно обеспечивает частичную линеаризацию метрики, заложенной в эллипсах
МакАдама. Параметры L*, а*, Ь* наиболее полной модели - производные от L, а, Ь,
которые являются характеристикой яркости L цвета от черного L = 0 до белого
L = 100, при этом а находится между зеленым а < 0 и красным b > 0, b - между
зеленым b < 0 и желтым b > 0.
•	Среднее цветовое расстояние
Для данного 3D цветового пространства и перечня п цветов пусть (сл, cQ) -
представление Z-го цвета из перечня в данном пространстве. Для цветовой
гистограммы х= (хь..., хл) ее средним цветом является вектор (х(1),х(2),х(3)), где
п
x(j) = ^xiciJ (напРимеР» средние значения красного, синего и зеленого в (RGB)).
/=1
Среднее цветовое расстояние между двумя цветовыми гистограммами
([HSEFN95]) является евклидовым расстоянием их средних цветов.
302
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Расстояния цветовых компонент
Пусть дано изображение (как подмножество множества R2); пусть р, обозначает
(в процентах) область данного изображения цвета сг Цветовой составляющей
изображения является пара (с, р,). Расстояние Ма-Денга-Манжуната между цве-
товыми составляющими (с,, р,) и (с;, ру) определяется как
\Pi-Pj\d(ci,cj),
где d(Cj,Cj) - расстояние между цветами с, и в данном цветовом пространстве.
Мойсилович и др. ввели модификацию данного расстояния, подобную расстоянию
бульдозера.
•	Квазирасстояние пересечений гистограмм
Возьмем две цветовые гистограммы х = (Х|,..., хп) и у = (у|,..., уп) (с х, уп пред-
ставляющими количество пикселей в столбике 0- Квазирасстояние пересечений
гистограмм Свейна-Балларда между ними (см. Расстояние пересечений, гл. 17)
определяется как
п
£min{x„y,}
1-2=1---------
п
Для нормализированных гистограмм (общая сумма равна 1) вышеприведенное
п
квазирасстояние становится обычной /]-метрикой	х( -у, |- Нормализированная
взаимная корреляция Розенфельда-Кака между х и у является подобностью, опре-
п
деленнойкак
•	Квадратичное расстояние гистограммы
Для двух гистограмм х = (х!,...,хл) и у = (У|,...,ул) (обычно п = 256 или п = 64),
представляющих цветность (в процентах) двух изображений, их квадратичное
расстояние гистограммы (используемое в системе IBM запроса по содержанию
изображения) является расстоянием Махалонобиса, определенным как
^(х—у)гА(х — у),
где А = ((а,у)) - симметричная положительно определенная матрица и вес а^-
некое подтвержденное непосредственным восприятием сходство между цветами i и
j. Например (см. [HSEFN95]), а = 1-------, где является евклидовым рас-
max d
\£p,q<n ™
стоянием между 3-векторами, представляющими iuj в некотором цветовом прост-
ранстве. Другое определение задается как =l--l^((^-^)2+(^cosft/-
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
303
-5y cos/i7)2+(5r sin/if ~5; sin/iy )2)1/2, где (hjyи (h;,)-представления цве-
тов i и j в цветовом пространстве (HSV).
• Расстояние полутонового изображения
Пусть fix) и g(x) - значения яркости двух цифровых полутоновых изображений /
и g для пикселя хе X, где X является растром пикселей. Любое расстояние между
точно взвешенными множествами (X, f) и (X, g) (например, расстояние бульдозера)
может быть применено для измерения расстояния между / и g. Однако основными
используемыми расстояниями (они называются также ошибками) между изобра-
жениями/и g являются:
(1	у/2
1) среднеквадратическая ошибка RMS(J,g)= -—(/(x)-g(x))2
риант допускается использование 1\-нормы | /(х) - g(x) | вместо /2-нормы);
1/2
(как ва-
X «(х)2
леХ________
X (ЛЯ-Я*))2
< леХ
3) коэффициент ошибок неправильной классификации пикселей —Ц|{хеХ:
I X |
: fM Ф g(x) }| (нормализированное хэммннгово расстояние);
2) отношение сигнал-шум SNR(f, g) =
х,/2
, где
4) среднеквадратическая частотная ошибка I-—(F(u)-G(u))2
иеС/
FnG- дискретные преобразования Фурье для /и g соответственно и U - частотная
область;
5) ошибка порядка 3 в норме Соболева
)1 /2
где 0 < 3 < 1 фиксировано (обычно у) и Т| и есть частотный вектор, ассоции-
рованный с позицией и в частотной области U,
•	Lp-Метрнка сжатия изображения
Возьмем число г, 0 < г < 1. Lp-метрика сжатия изображения является обычной
2
Lp-метрикой на (множестве полутоновых изображений, рассматриваемых как
пхп матрицы), где р - решение уравнения г = —-е2р~х. Так, р = 1,2 или ©© для
2р-1
г = 0, г = ”е2/3 « 0,65 или г >	~ 0,82. Здесь г оценивает информативную (т.е.
наполненную ненулевыми значениями) часть изображения. Согласно [KKN02], эта
метрика является наилучшей по качеству метрикой Для выбора схемы сжатия с
потерями.
304
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Расстояния скругления
Расстояниями скругления называются расстояния, аппроксимирующие евкли-
дово расстояние с помощью взвешенного расстояния пути в графе G = (Z2, Е), где
два пикселя считаются соседними, если один может быть получен из другого
одношаговым ходом по Z2. При этом даются перечень разрешенных ходов и
простое расстояние, т.е. положительный вес (см. гл. 19), поставлен в соответствие
каждому типу такого хода.
Метрика (а, Р)-скругления соответствует двум разрешенным ходам - с Ц -рас-
стоянием 1 и /„-расстоянием 1 (только диагональные перемещения) - взвешенных
числами а и Р соответственно. Основными случаями применения являются (а, Р) =
= (1, 0) (метрика городского квартала или 4-метрика), (1,1) (метрика шахматной
доски, или 8-метрика), (1,72) (метрика Монтанари), (3,4) ((3,4)-метрнка), (2,3)
(метрика Хилднча-Рутовица), (5, 7) (метрика Вервера).
Метрика Боргефорс соответствует трем разрешенным ходам - с /(-расстоянием
1, с /„-расстоянием 1 (только диагональные перемещения) и ходом коня - с весами
5,7 и 11 соответственно.
Метрика 3£>-скругления (или метрика (а, Р, у)-скругления) является метрикой
взвешенного пути бесконечного графа с множеством вершин Z3, в котором две
вершины являются соседними, если их /„-расстояние равно единице, а веса а, Р и у
связаны с 6 соседними гранями, 12 соседними ребрами и 8 соседними вершинами
соответственно. Если а = Р = у= 1, то мы имеем /„-метрику. Метрики (3, 4, 5)- и
(1, 2, 3)-скругления являются наиболее часто применяемыми для работы с 3D
изображениями.
Метрика Чаудхури-Мурти-Чаудхури между последовательностями х=(х|,
..., Х,п) и V = (У!,..., ут) определяется как
pi( г. у) - У К г..у)|+ ГП У, I xi - У, I’
1+ —	I. V)
2
где максимальное значение хГу, получается для / = i(x,у). Для п = 2 это метрика
Л ЗА
11,-1- скругления.
• Расстояние бульдозера
Расстояние бульдозера является дискретной формой расстояния Монжа-Кан-
торовича. Грубо говоря, это минимальный объем работы, которая необходима для
перемещения грунта или массы с одного места (соответствующим образом раз-
мещенного в пространстве) на другое (совокупность ям). Для любых двух конеч-
ных последовательностей х = (jq,..., хт) и у = (у,,..., уп) метрического пространст-
ва (X, d) рассмотрим сигнатуры, т.е. точечно-взвешенные множества Рх =(pj(x1),
...,Р1(хш)) и Р2 = (Рг(У|)»-^Р1(Уп)У Например (см. [RTG00]), сигнатуры могут
представлять кластеры цветов или текстурного содержания изображений: эле-
менты X являются центроидами кластеров, a pj(xz), р2(У/) “ размерами соответ-
ствующих кластеров. Исходное расстояние d является некоторым цветовым рас-
стоянием, скажем, евклидовым расстоянием в 3D CIE (Е*а*/Г) цветовом про-
странстве.
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
305
Пусть Wi	и W2=^p2(yy) являются суммарными весами Р\ и Р2
i	J
соответственно. Тогда расстояние бульдозера (или расстояние транспортировки)
между сигнатурами Р\ и Р2 определяется как функция
ij________
Sa
ij
где mxn матрица S*=((^*)) является оптимальным, т.е. минимизирующим
^fijdCx^yj), потоком. Поток (веса грунта) - это т х п матрица 5 = ((Д))> удов-
летворяющая следующим ограничениям:
1)всеД>0;
2) X4=minW,IV2};
V
з) ^fij p2(yj)и ХЛ
i	J
Итак, данное расстояние является усреднением исходного расстояния d, на кото-
рое грузы перемещаются оптимальным потоком.
В случае = W2 = 1 вышеприведенные два неравенства 3) становятся равен-
ствами. Нормализация сигнатур Wj = W2 = 1 (что не изменяет расстояния) поз-
воляет рассматривать Pj и Р2 как распределения вероятностей случайных величин,
скажем, X и Y. Тогда	) является просто Е$[</(Х,У)], т.е. расстояние
м
бульдозера совпадает в этом случае с метрикой Канторовича-Мэллоуза-Монжа-
Вассерштейна. А для случая, скажем, Wj < W2 оно в общем случае не является
метрикой. Однако замена в вышеприведенном определении неравенства 3) равен-
ствами
'	j	2
дает полуметрику пропорционального переноса Жианнопулоса-Вельткампа.
•	Расстояние параметризованных кривых
Форма может быть представлена параметризованными кривыми на плоскости.
Обычно такая кривая является простой, т.е. не имеет самопересечений. Пусть
X = Х(х(г)) и Y = Y(y(t)) - две параметризованные кривые, у которых (непрерыв-
ные) функции параметризации x(t) и у(г) на [0, 1] удовлетворяют условиям х(0) =
= у(0) = 0 и х(1) = у(1) = 1.
Наиболее используемым расстоянием параметризованных кривых является ми-
нимум (который берется по всем монотонно возрастающим параметризациям х(г)
и y(f)) максимального евклидова расстояния d£(X(x(r)), Y(y(t))). Это - специаль-
ный евклидов случай расстояния собаковода, которое, в свою очередь, является
306
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
метрикой Фреше для случая кривых. Вариантами этого расстояния являются
отбрасывание условия монотонности параметризации или нахождение части
кривой, от которой другая ее часть отстоит на минимальном таком расстоянии
([VeHaOl]).
•	Расстояния нелинейного гибкого согласования
Рассмотрим дискретное представление кривых. Пусть г > 1 - константа и А =
= Ц,..., ат}, В = {ft,,..., Ьп} - конечные упорядоченные множества последователь-
ных точек на двух замкнутых кривых. Для любого сохраняющего порядок соответ-
ствия /между всеми точками А и всеми точками В участокs(ait bj) для (af-,/(af-) =
= bj) равен г, еслиДа^) = bj или/(а,) = и равен 0, иначе.
Ослабленное расстояние нелинейного гибкого согласования является миниму-
мом по всем таким / величины (5(af, b}) + d( я , bj)), где d(ait bj) - разность между
касательными углами а, и bj. Оно является почти метрикой для некоторого г.
Для г = 1 оно называется расстоянием нелинейного гибкого согласования.
•	Расстояние функции вращения
Для плоского многоугольника Р его функцией вращения TP(s) называется угол
(против часовой стрелки) между касательной и х-осью как функция длины дуги s.
Эта функция возрастает пдог каждом повороте налево и убывает при повороте
направо.
Для двух многоугольников с равными периметрами их расстоянием функции
вращения является Lp -метрика между их функциями вращения.
•	Расстояние функции размера
Для плоского графа G = (V,E) и измеряющей функции f на его множестве
вершин V (например, расстоянии от v е V до центра массы V) функция размера
SG(x,y) определяется на точках (х,у) е R2 как число связных компонент сужения
G на вершины {г? е V: f(v) < у}, содержащих точку o' с f(v') < х.
Для двух плоских графов с множествами вершин, принадлежащими растру
R с: Z2, их расстоянием функции размера Ураза-Верри является нормализованное
Ц -расстояние между их функциями размера над растрами пикселей.
•	Расстояние отражения
Для конечного объединения А плоских кривых и каждой точки х е R2 пусть V/
обозначает объединение интервалов ]х,а[ аеА, которые видны из х, т.е.
] х,а [ п А = 0. Пусть рА - площадь множества {х + v е V/ : х - v е V/}.
Расстоянием отражения Хагедорна-Велькампа между конечными объедине-
ниями А и В плоских кривых является нормализованное -расстояние между соот-
ветствующими функциями рхА и рд, определенное как
J|₽a -Рв^х
R2
R2
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
307
•	Расстоянное преобразование
Возьмем метрическое пространство (X = Z2,d) и бинарное цифровое изображе-
ние М сХ. Расстоянным преобразованием называется функция fM : X —> R>0, где
/А/(х) = infw6Mrf(x,w) является расстоянием между точкой н множеством J(x, М).
Следовательно, расстоянное преобразование можно рассматривать как полуто-
новое цифровое изображение, в котором каждому пикселю присваивается метка
(уровень полутона), соответствующая расстоянию до ближайшего пикселя фона.
Расстоянные преобразования в процессах обработки изображений также назы-
ваются расстоянными полями и, главным образом, расстоянными картами; однако
последний термин мы резервируем для обозначения этого понятия применительно
к любому метрическому пространству. Расстоянное преобразование формы -
расстоянное преобразование, в котором М - граница изображения. Для X = R2граф
{(х,/(х)): х е X} для J(x, М) называется поверхностью Вороного для М.
•	Срединная ось и скелет
Пусть (X, d) - метрическое пространство и М - подмножество X. Срединная ось
X - множество AfA(X) = {х е X :| {т е М: d(x, т) = d(x, М)} | > 2}, т.е. все точки X,
имеющие в М не менее двух элементов наилучшего приближения. ЛМ(Х) состоит
из всех точек границ областей Вороного для точек из М. Скелет Skel(X) мно-
жества X есть множество центров всех шаров (относительно расстояния d),
которые вписаны в X и являются максимальными, т.е. не принадлежат никакому
другому такому шару. Геометрическое место разрезов множества X - это
замыкание ЛМ(Х) срединной оси. В общем случае AfA(X)cSkel(X)c: AfA(X).
Преобразования срединной юси, скелета и геометрического места разрезов - это
точечно-взвешенные множества МА(Х), Skel(X) и ЛМ(Х) (сужение расстоянного
преобразования на эти множества) с </(х, М), рассматриваемым как вес точки х е X.
Обычно X с: Е" ъМ- граница X. В случае когда М является непрерывной гра-
ницей, срединная ось может считаться пределом диаграммы Вороного по мере
того как число порождающих точек становится бесконечным. Для 2D бинарных
изображений X скелет является кривой толщиной в один пиксель в цифровом
случае. Экзоскелет множества X - скелет дополнения множества X, т.е. фона
изображения, для которого X является передним планом.
•	Прокрустово расстояние
Очертание формы (конфигурация точек в О?2), которое рассматривается как
выражение инвариантных свойств формы относительно переноса, вращения и
масштаба, можно представить как последовательность ориентиров, т.е. специфи-
ческих точек на форме, выбранных по определенному правилу. Каждый ориентир
а может рассматриваться как элемент (д', а") е R2 или элемент а' + a"i е С.
Рассмотрим две формы х и у, представленные их ориентирными вектора-
ми (хь...,хп) и (уь...,у„) из С". Предположим, что х и у корректируются для пере-
носа условием Xх»=0-Тогда их прокрустово расстояние определяет-
t	t
ся как
Jz I*»-*i2,
V Г=1
308
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
где две формы являются оптимально (по критерию наименьших квадратов) распо-
ложенными по одной линии для корректировки масштаба и их расстояние очер-
тания Кендалла определяется как
arccos
где а = а' - a"i является комплексно сопряженным числа а = а' + a"i.
• Касательное расстояние
Для любого х g R" и семейства преобразований t(x, а), где а g R* - вектор к па-
раметров (например, коэффициент масштабирования и угол вращения), множество
Мх = {r(x,a): a g IR*} a. R" является многообразием размерности не больше чем к.
Это кривая, если к = 1. Минимальное евклидово расстояние между многообразиями
Мх и Му является полезным расстоянием, поскольку оно инвариантно относительно
преобразований г(х, а). Однако рассчитать такое расстояние в общем случае очень
трудно; поэтому Мх аппроксимируют как его касательное подпространство в
к
точке х: {х + akx': a g R*} с R", где порождающие его касательные векторы
/=]
х', 1 < i < к, являются частными производными /(х, а) относительно а. Односторон-
нее (или ориентированное) касательное расстояние между элементами х и у из R”
есть квазирасстояние J, определенное как
minIIх + Уа.кх'-у .
V II II
Касательное расстояние Симара-Ле Кана-Денкера определяется как
min(d(x,у), d(y,x)}.
В общем случае касательное множество метрического пространства X в
точке х определяется (по Громову) как любая предельная точка семейства его рас-
тяжений с коэффициентом растяжения, стремящимся к бесконечности, которая бе-
рется в точечной топологии Громова-Хаусдорфа (см. Метрика Громова-Хаус-
дорфа, гл. 1).
• Расстояние пикселя
Возьмем два цифровых образа, рассматриваемых как бинарные т х п матрицы
х = ((х,7)) и у = ((у/,)), где пиксель х,7 является черным или белым, если он равен 1 или
0 соответственно. Для каждого пикселя х,7 окаймленное расстоянное отображение
до ближайшего пикселя противоположного цвета есть число окаймлений
(где каждое окаймление состоит из пикселей, равноудаленных от (/,»), протянув-
шихся от (/, j) до встречи с первым окаймлением, содержащим пиксель противо-
положного цвета.
Расстояние пикселя (введенное Уайтом и др., 1994) задается как
У У \ху-Уи\(ов^Ху)+Ов^Уи)).
\<i<m \<j<n
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
309
• Квазирасстояние коэффициента качества
Возьмем два бинарных изображения, рассматриваемых как непустые конечные
подмножества А и В конечного метрического пространства (X, d). Для них квази-
расстояние коэффициента качества Пратта определяется как
(	1 т'
I	xtl l + ou/(x,A) J
где а - константа масштабирования (обычно —) и d(xt А) = min d(x, у) - расстояние
9	уеА
между точкой и множеством.
Примерами подобных квазирасстояний являются расстояние средней погреш-
ности Пели-Малаха т~тУ d(x,A) и расстояние среднеквадратической погреш-
IВ । хеВ
ности гЦУ d(x,A)* 2.
•	' хеВ
•	Среднее хаусдорфово расстояние р-го порядка
Возьмем два бинарных изображения, рассматриваемых как непустые конечные
подмножества А и В конечного метрического пространства (скажем, растра пик-
селей) (X, d). Их среднее хаусдорфово расстояние р-го порядка есть ([Badd92]) нор-
мализованное ^-расстояние Хаусдорфа, определенное как
( 1
П77 £ \d(x,A)-d(x,B)\p ,
где d(x,A) = minrf(x,y) - расстояние между точкой и множеством. Обычная хаус-
уеА
дорфова метрика пропорциональна среднему хаусдорфову расстоянию «>-го
порядка.
2-хаусдорфово расстояние Венкатасубраминиана ^Haus(^»+
равно У | d(x, A)-d(x,В) |, т.е. является вариантом L\-расстояния Хаусдорфа.
хеАиВ
Другим вариантом среднего хаусдорфова расстояния 1-го порядка является сред-
няя геометрическая погрешность Линдстрёма-Турка между двумя изображе-
ниями, рассматриваемыми как поверхности А и В. Она определяется как
_________1________
Агеа(А) + Агеа(В)
J d(x,B)dS+ J d(x,A)dS
<хеА	хеВ	>
где Агеа(А) - площадь поверхности А. Если рассматривать изображения как ко-
нечные множества А и В, то их средняя геометрическая погрешность опре-
деляется как
1
|А|+|В|
Y d(x,B)+Y d(x,A)
<хеА	хе В
310
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Модифицированное хаусдорфово расстояние
Возьмем два бинарных изображения, рассматриваемых как непустые конечные
подмножества А и В конечного метрического пространства (X, d). Их модифици-
рованное хаусдорфово расстояние по Дюбюссону-Джейну определяется как мак-
симум расстояний между точкой и множеством, усредненных по Л и В:
шах<

J 1 хеА
•	Частичное хаусдорфово квазирасстояние
Возьмем два бинарных изображения, рассматриваемых как непустые конечные
подмножества А, В конечного метрического пространства (X, d), и целые числа к, 19
такие что 1 < к < | А |, 1 < I < | В |. Их частичное (к, /)-хаусдорфово квазирасстояние
по Хаттенлокеру-Руклиджу определяется как
max{k*Ad(x,B), l*Bd(x,A)},
где k^Ad(x9B) означает к-с (вместо, наибольшего IА 1-го, ранжированного
первым) среди IА I расстояний d(x, В), расположенных в возрастающем порядке.
Случай
хаусдорфову квазирасстоянию.
соответствует среднему модифицированному
•	Расстояние бутылочного горлышка
Возьмем два бинарных изображения, рассматриваемых как непустые конечные
подмножества А, Вс | А | = | В | = т конечного метрического пространства (X, d).
Их расстояние бутылочного горлышка определяется как
min max d(x, /(%)),
f хеА
где/- любое биективное отображение между АнВ.
Вариантами вышеприведенного расстояния являются:
1)	соответствие минимального веса: min d(x9f(x))-,
f хеА
2)	равномерное соответствие: min < max d(x, /(%)) - min d(x, /(x))
f IxeA	xeA
3)	соответствие наименьшего отклонения:
min]max</(x,/(x))-—У rf(x,/(x)) -.
Для целого числа t, 1 < t < | A |, расстояние /-бутылочного горлышка между А и
В ([InVeOO]) равно вышеупомянутому минимуму, если/- любое отображение из А
в В, такое что | {х е А : /(х) = у} |< t. Случаи t = 1 и t = IА I аналогичны соответствен-
но расстоянию бутылочного горлышка и ориентированному хаусдорфову расстоя-
нию ^jHaus(A, = тах т*п ^(х» У)-
хеА уеВ
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
311
•	Хаусдорфово расстояние с точностью до G
Для группы (G, •, id), действующей на евклидовом пространстве Е", хаусдорфово
расстояние с точностью до G между двумя компактными подмножествами А и В
(используемое при обработке изображений) есть обобщенное G-хаусдорфово рас-
стояние между ними, т.е. минимум dn^{A,g(B)) по всем g е G. Обычно G- мно-
жество всех изометрий или всех переносов пространства Е”.
•	Гиперболическое хаусдорфово расстояние
Для любого компактного подмножества А множества обозначим через
МАТ(А) его преобразование срединной оси по Блюму, т.е. подмножество множества
X- =R”xlR>0, элементы которого являются парами х = (х',гЛ) центров х' и
радиусов гх максимальных вписанных в А шаров применительно к евклидовому
расстоянию dE в R" (см. Срединная ось и скелет).
Гиперболическое хаусдорфово расстояние ([ChSeOO]) - хаусдорфова метрика на
непустых компактных подмножествах МАТ(А) метрического пространства (X, d),
где гиперболическое расстояние d на X определяется для его элементов х = (х',гх)
и У = (у',гу) как
max {0, dE (х', у') - (rv - гх)}.
•	Нелинейная хаусдорфова метрика
Для двух компактных подмножеств А и В метрического пространства (X, d) их
нелинейной хаусдорфовой метрикой (или волновым расстоянием Затмари-
Рекечки-Роска) называется хаусдорфово расстояние dHaus(A п#,(Аи В) ), где
(Aufi)* есть подмножество множества А и В, образующее замкнутую непре-
рывную область с А п В, и расстояния между точками могут измеряться только
вдоль путей, полностью принадлежащих А и В.
•	Метрики качества видеоизображения
Данные метрики являются расстояниями между входной и прототипной после-
довательностями цветных видеокадров, которые обычно предназначены для опти-
мизации алгоритмов кодирования, сжатия и декодирования. Каждая из них осно-
вана на некой модели восприятия в системе человеческого зрения, простейшими из
которых являются RMSE (среднеквадратическая ошибка) и PSNR (пиковое соот-
ношение сигнал-шум) меры погрешностей. Среди прочих можно назвать порого-
вые метрики, с помощью которых оценивается вероятность выделения видео
артефактов (т.е. визуальных искажений изображения, накладывающихся на
видеосигнал в процессе цифрового кодирования). В качестве примеров можно при-
вести метрику JND (едва уловимые различия) Сарноффа, PDM метрику (метрика
искажения восприятия) Винклера и метрику DVQ (качество цифрового изоб-
ражения). DVQ - 1р-метрика между векторами признаков, представляющих две
видеопоследовательности. Некоторые метрики используются для измерения
специальных артефактов видеосигнала: появления блоковых структур, размытости
изображений, сигналов помех (неопределенность ориентации кромки), искажение
текстуры и т.п.
•	Расстояния временных рядов видео
Расстояния временных рядов видео - объективные пространственно-временные
метрики качества видео, базирующиеся на вейвлетах. В ходе обработки видео-
поток х преобразуется во временной ряд x(t) в виде кривой на координатной
312
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
плоскости, который затем (кусочно-линейно) аппроксимируется как множество
последовательных отрезков, которые можно задать с помощью п + 1 конечной
точки (XpXf'), 0<i<n на координатной плоскости. В работе [WoPi99]
представлены следующие (см. Расстояние Мила) расстояния между видеопотока-
ми х и у:
л-1
X) очертание-. |(х/+|-х')-(у'+1 -,у')|;
i=0
л-1
2) смещение: У,
/=0
<+i+< Ум+у!
2	2
21.2. РАССТОЯНИЯ В АНАЛИЗЕ ЗВУКОВ
Обработка звуковых сигналов (речь, музыка и т.п.) является обработкой ана-
логовых (непрерывных) или, главным образом, цифровых (дискретных) пред-
ставлений колебаний давления воздуха от звуковых воздействий. Звуковая
спектрограмма (или сонограмма) является визуальным трехмерным представ-
лением акустического сигнала. Оно формируется либо в результате прохождения
через серию полосовых фильтров (аналоговая обработка), либо посредством при-
менения быстрого преобразования Фурье к электронному аналогу акустической
волны. Три оси представляют время, частоту и интенсивность (акустическую
энергию). Зачастую эта трехмерная кривая сокращается до двух характеристик
посредством представления интенсивности более жирными линиями или более
подчеркнутым серым или введением цветовых значений.
Звук называется тоном, если он периодический (самая низкая частота основной
гармоники плюс кратные ей гармоники или обертоны), и шумом, иначе. Частота
измеряется в циклах в секунду (количество полных циклов в секунду) или в герцах.
Диапазон слышимых человеческим ухом звуковых частот обычно лежит в
пределах 20 Гц-20 кГц.
Мощность сигнала P(f) - энергия на единицу времени; она пропорциональна
квадрату амплитуды сигнала A(f). Децибел (дБ) - единица измерения, показываю-
щая отношение величин двух сигналов. Одна десятая часть 1 дБ называется белом
(первичная устаревшая единица). Амплитуда звукового сигнала в дБ равна
201og10-^- = 101oglo-^-, где
610 А(Л 6,0
f' - опорный сигнал, выбранный обозначать
0 дБ (обычно это предел восприятия человеческого слуха). Порогом болевого
ощущения является сила звука в 120-140 дБ.
Высота тона и громкость являются субъективными параметрами восприятия
частоты и амплитуды сигнала.
Мел-шкала представляет собой перцепционную шкалу частот в соответствии с
воспринимаемой на слух высотой тона и основывается на внесистемной единице
высоты звука мел как единице восприятия частоты (высоты тона). Она соотно-
( f \
сится со шкалой акустических частот / (в Гц) как Mel(/)= 1127 In 1 + -^— или
( f А
просто как Mel (/)= 10001og2| 1 + —— , таким образом, 1000 Гц соответствует
\	1000 J
1000 мел.
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
313
Шкала Барка (названная так в честь Баркгаузена) является психоакустической
шкалой восприятия интенсивности (громкости) звука: ее диапазон составляет от 1
до 24, охватывая первые 24 критические полосы слышимых частот (0, 100, 200,...,
1270, 1480, 1720,..., 950, 12000, 15500 Гц). Эти полосы соответствуют простран-
ственным областям базилярной мембраны (внутреннего уха), где колебания, вызы-
ваемые звуками определенных частот, активизируют волосковые сенсорные клет-
ки и нейроны. Шкала Барка соотносится со шкалой акустических частот / (в кГц)
( f }2
как Bark(/) = 13 arctg(0,76/) + 3,5 arctgl	I .
Основным способом управления человеком своим голосом (речь, пение, смех)
является регулирование формы речевого тракта (горло и рот). Данную форму,
т.е. профиль поперечного сечения трубки от складки в голосовой щели (про-
странства между голосовыми связками) до апертуры (губы), можно представить
как функцию площади поперечного сечения Агеа(х), где х - расстояние до голо-
совой щели. Речевой тракт выступает своего рода резонатором при произнесении
гласных звуков, так как находится в относительно открытом состоянии. Эти
резонансные колебания усиливают исходный звук (от выходящего из легких
потока воздуха) на особых резонансных частотах (формантах) речевого тракта с
пиковыми выбросами в диапазоне звуковых частот. Каждый гласный звук имеет
две характерные форманты в зависимости от вертикального и горизонтального
положения языка. Функция исходного звука модулируется функцией амплитудно-
частотной характеристики для заданной функции площади. Если мы аппрокси-
мируем речевой тракт как последовательность соединенных трубок с постоянной
площадью сечения, то коэффициенты отношения площадей равны частным
Агеа(х+1)
------L-L- для последовательных трубок; расчет таких коэффициентов можно осу-
Агеа(х,)
ществить по методу кодирования с линейным предсказанием (см. ниже).
Спектр звука - распределение интенсивности (дБ) (а иногда и фаз в частотах
(кГц)) компонентов волны. Огибающая спектра - гладкая кривая, соединяющая
пики спектра. Оценка огибающих спектра производится на основе кодирования с
линейным предсказанием (LPC) или быстрого преобразования Фурье (FFT) с
использованием действительного кепстра, т.е. логарифма амплитудного спектра
звука.
Преобразование Фурье (FT) отображает функции временного интервала на
представления частотных интервалов. Кепстр сигнала f(t) представляет собой
FT(ln(FT(/(O + 2KmO)), где т - целое число, необходимое для развертывания угла
или мнимой части комплексной логарифмической функции. Комплексный и дей-
ствительный кепстр используют соответственно комплексную и действительную
логарифмическую функции. Действительный кепстр использует только величину
исходного сигнала ДО, в то время как комплексный кепстр - также фазовые пара-
метры Дг). Алгоритм быстрого преобразования Фурье (FFT) основывается на ли-
нейном спектральном анализе. С помощью FFT осуществляется преобразование
Фурье на сигнале и делается выборка результатов преобразования по искомым
частотам, обычно по шкале мел.
Расстояния основанные на параметрах, применяемых для распознавания и обра-
ботки речевых данных, обычно получаются алгоритмом LPC (процесса кодиро-
вания с линейным предсказанием), который моделирует речевой спектр как линей-
ную комбинацию предыдущих выборок (подобно авторегрессионному процессу).
314
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
Грубо говоря, алгоритм LPC обрабатывает каждое слово речевого сигнала,
осуществляя последовательно шесть операций: фильтрование, нормализацию
энергии, разбиение на кадры, кадрирование (для минимизации неоднородностей на
границах кадров), получение параметров LPC с линейным методом автокорре-
ляции и преобразование к кепстралъным коэффициентам, полученным алгорит-
мом LPC. LPC предполагает, что речевой сигнал формируется из прерывистого
звука (зуммера), издаваемого голосовой щелью, с эпизодическим добавлением
шипящих, свистящих и взрывных звуков, при этом форманты удаляются в
результате фильтрования.
Большинство мер искажений между сонограммами являются разновидностями
квадрата евклидова расстояния (в том числе ковариационно-взвешенного, т.е. рас-
стояния Махалонобнса) и вероятностных расстояний, принадлежащих следующим
общим типам: обобщенной метрике полной вариации, /-расхождению Чнзара и
расстоянию Чернова.
Приведенные ниже расстояния для обработки звуков есть расстояния между
векторами х и у, представляющими два сравниваемых сигнала. Для целей распозна-
вания они являются эталонным и входным сигналами, а для шумоподавления - ис-
ходным (опорным) и искаженным сигналами (см., например, [OASM03]). Зачастую
расстояния рассчитываются для небольших отрезков между векторами, представ-
ляющими кратковременные спектры, а затем осрёдняются.
•	Сегментированное отношение снгнал/шум
Сегментированное отношение снгнал/шум SNR^^c, у) между сигналами х = (х,) и
У = (уд определяется как
где п - количество кадров и М - количество сегментов.
Обычное отношение сигнал/шум SNR(x, у) между х и у задается как
101og10

Другой к^ерой для сравнения двух форм колебаний сигнала х и у во временной
области является их расстояние Чекановского-Дайса, определенное как
_1_у» [ _ 2min{xl,y/}
X' + yi
•	Спектральное искажение интенсивность - фаза
Спектральное искажение интенсивность - фаза между сигналами х = x(w) и
у = y(w) определяется как
1 я	и
-	(| x(w)| - |y(w)|)2 +(1 -	(Zx(w)-Zy(»v))2
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
315
где | x(w) |, | y(w) | - спектры интенсивности, a Z x(w), Z v(w) - фазовые спектры х
и у соответственно, при этом параметр 1, 0< Х< 1, выбран с целью придания
соразмерных весов к составляющим интенсивности и фазы. Случай Х = 0
соответствует расстоянию спектральной фазы.
-ht	а
Для сигнала f(t) = ае U(t)9 a,b>0 с преобразованием Фурье х(и>) =---его
b + iw
спектр интенсивности (или амплитуды) равен |х|= , а , и его фазовый
№+w2
спектр (в радианах) равен а(х) = tg
1 —, т.е. x(w)-|x|e,a
Ь
= |x|(cosa + /sina).
• Среднеквадратическое логарифмическое спектральное расстояние
Среднеквадратическое логарифмическое спектральное расстояние (или средне-
квадратическое расстояние) LSD(x, у) между дискретными спектрами х = (г,) и
у = (у,) представляет собой следующее евклидово расстояние:
Квадрат этого расстояния, используя представление кепстра lnx(w) =
= У Cj; е ijw (где х(и>) - спектр мощности, т.е. преобразование Фурье квадрата ин-
7=-оо
тенсивности), становится в комплексном пространстве кепстра расстоянием
кепстра.
Расстояние логарифма отношения площадей LAR(x, у) между х и у определяется
как
11 п
J-У, 10(log 10 Агеа(х ) - logl0Area(y, ))2,
где Area(z^) - площадь сечения сегмента трубки речевого тракта, соответствую-
щего zr
•	Спектральное расстояние Барка
Спектральное расстояние Барка - перцепционное расстояние, определенное как
п
BSD(x,y) = Y (х,-у,)2,
/=1
т.е. квадрат евклидова расстояния между спектрами Барка (х,) и (у,) спектров х
и у, где i-я компонента соответствует <-й критической полосе слуха по шкале
Барка.
Существует модификация спектрального расстояния Барка, которая исключает
критические полосы /, на которых искажения громкости I х~у, I меньше, чем порог
маскировки шума.
•	Квазирасстояние Итакуры-Санто
Квазирасстояние Итакуры-Санто (или расстояние наибольшего правдопо-
добия) IS(x, у) между огибающими спектра х = х(и>) и у = y(w) (полученными алго-
316
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
ритмом LPC) определяется как
2я J y(w) x(w) )
Расстояние гиперболического косинуса определяется как IS(x,y) + IS(y,x),
т.е. равно
1 f (x(w) y(w) V If. (t x(w) V
— I—+ —-2|Jw = —	2cosh ln-^-1 Idw,
2яДДу(иО x(w) )	2я^ V Xw) )
e + e
где cosh(0 =-------гиперболический косинус.
• Квазирасстояние логарифма отношения правдоподобия
Квазирасстояние логарифма отношения нравдонодобня (или расстояние
Куллбака-Лейблера) КЦх, у) между огибающими спектра х = x(w) и у = y(w)
(полученными алгоритмом LPC) определяется как
1 Г , x(w)
— I x(w)ln--------
2л Д y(w)
dw.
Применяется также и расхождение Джефри KL(x, у) + КЦу, х).
Расстояние взвешенного отношения нравдонодобня между огибающими спект-
ра х = x(w) и у = y(w) определяется как
1 (x(w)l. y(w) / v (i (Х4')! x(w) / X
In	Lx(vv) In |+-^-l |y(w)
Vy(w)J x(w) J । Vx(w)J y(w) J
Px	Py
dw,
где P(x) и P(y) обозначают соответственно мощность спектров x(w) ny(vv).
• Кепстральиое расстояние
Кепстральное расстояние (или квадрат евклидовой кепстралъной метрики)
СЕР(х, у) между огибающими спектра х = x(w) и у = y(w) (полученными алгоритмом
LPC) определяется как
1 г (	(	1 *
— J lnVT dw = '^~f ('n*(w)-lny(w))2dw= У (Cj(x)-Cj(y)),
y\w)J
где с Az) = — [ е,иу In | z(w) | dw есть j-й кепстральный (действительный) коэффи-
J 2п J
-к
циент z, полученный с помощью преобразования Фурье или LPC.
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
317
• Расстояние чатоста-взвешенного кенстра
Расстояние чатоста-взвешенного кепстра (или расстояние взвешенного накло-
на) межру х к у определяется как
У 12(с,(х)-с{(у))2.
"Чатоста" (Quefrency) и ’’кепстр” являются анаграммами терминов "частота” и
"спектр” соответственно.
Расстояние кепстра Мартина между AR (авторегрессионными) моделями опре-
деляется применительно к их кепстрам как
У i(c,(x)-c,(y))2
i=0
(см. общее Расстояние Мартина (гл. 12), определенное как угловое расстояние
между подпространствами, и Метрика Мартина (гл. 11) между строками, которая
является его /«.-аналогом).
Метрика наклона Клэтта между дискретными спектрами х = (xt) и у = (у,) с п
канальными фильтрами определяется как
У(и+1-^)-(Л+1-Л))2-
1=1
• Фоновые расстояния
Фон - это звуковой сегмент, который обладает своими особыми акустическими
свойствами и является базовой звуковой единицей (см. фонема, т.е. семейство
фонов, которые обычно воспринимаются на слух как один звук; количество фонем
весьма обширно с учетом имеющихся на земле 6000 различных языков, от 11 в
языке ротокас до 112 в !Хб/б (языки, на которых говорят около 4000 человек,
проживающих в Папуа-Новой Гвинее и в Ботсване соответственно).
Двумя основными классами фоновых расстояний (расстояния между двумя
фонами х и у) являются:
1) расстояния на основе спектрограмм, которые являются мерой физико-
акустических расхождений между звуковыми спектрограммами х и у;
2) фоновые расстояния, основанные на признаках, которые обычно являются
расстоянием Манхэттена | х,- - у, | между векторами (х,) и (уД представляющими
фоны х и у относительно заданного набора фонетических признаков (как,
например, носовой характер звука, стриктура, палатализация, округление).
•	Фонетическое словарное расстояние
Фонетическое словарное расстояние между двумя словами х и у - взвешенная
метрика редактирования, т.е. минимальная цена преобразования х в у посредством
замены, удаления и вставки фонов. Слово рассматривается как строка фонов. Для
данного фонового расстояния r(u, о) в международном фонетическом алфавите с
добавлением фона 0 (тишина) цена замены фона к на г? равна r(u, v), тогда как
г(и, 0) - цена вставки или удаления и (см. расстояния для протеиновых данных на
основе расстояния Дейхофа (гл. 23) на множестве из 20 аминокислот).
318
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Лингвистическое расстояние
В вычислительной лингвистике лингвистическим расстоянием (или расстоянием
диалектологии) между диалектами X и Y является среднее для данной выборки 5
понятий фонетическое словарное расстояние между родственными (т.е. имею-
щими одинаковое значение) словами sx и sY, представляющими одно и то же по-
нятие 5 е S в X и Y соответственно.
Расстояние Стоувера (см. http://sakla.net/concordances/index.html) между фразами с
одинаковыми ключевыми словами является суммой azx,, где 0 < at < 1 и
-n<i£+n
Xj - относительное число несовпадающих слов между фразами в движущемся окне.
Фразы сначала выравниваются по общему ключевому слову на основе сравнения
его контекстного использования; кроме того, наиболее редко употребляемые
слова заменяются общим псевдознаком.
•	Расстояние тона
Тон - субъективный коррелят фундаментальной частоты (см. выше шкалу
Барка) громкости (воспринимаемой интенсивности) ъмел-шкалы (воспринимаемой
высоты тона). Музыкальная шкала обычно представляет собой линейно упорядо-
ченную совокупность звуков (нот). Расстояние тона (или интервал, музыкальное
расстояние) - размер участка линейно-воспринимаемого непрерывного тона, огра-
ниченного двумя тонами, как показано на данной шкале. Расстояние тона между
двумя последовательными нотами на шкале называется ступенью звукоряда.
Сегодня в западной музыке чаще всего применяется хроматическая шкала
(октава из 12 нот) с равномерной темперацией, т.е. разделенная на 12 одинаковых
ступеней с соотношением между любыми двумя соседними частотами, равным *$2.
Ступенью звукоряда в этом случае является полутон, т.е. расстояние между двумя
соседними клавишами (черной и белой) пианино. Расстояние между нотами,
( f \
имеющими частоты и f2, составляет 12 log2 — полутонов.
{fij
Число MIDI (цифровой интерфейс для музыкальных инструментов) для фун-
f
даментальной частоты f определяется как p(/) = 69 + 121og2-:^—. Расстояние
440
между нотами, выраженное в числах MIDI, становится натуральной метрикой
lm(/]) - ^(/2)! на К- Это удобное расстояние тона, поскольку оно соответствует
физическому расстоянию на клавишных инструментах и психологическому
расстоянию, как это измерено экспериментально и понимается музыкантами.
•	Расстояния между ритмами
Временная шкала ритма (музыкальная структура), помимо стандартной нотной
записи, представляется следующими способами, применяемыми в вычислительном
анализе музыки.
1.	Как бинарный вектор х = (хь ..., х^, состоящий из т временных интервалов
(одинаковых на временной шкале), где х, = 1 обозначает продолжительность
звучания ноты, а х, = 0- паузу. Так, например, пять 12/8 метрических временных
шкал музыки фламенко представлены как пять бинарных последовательностей
длины 12.
2.	Как вектор тона q = (q\, ...» qn) абсолютной высоты тона q, и вектор
разности тона р-(р\,..., рп-\), где Pj - qi+} - qt представляет количество полутонов
(положительных или отрицательных) от qj до
Глава 21. Расстояния в анализе образов и звуков
319
3.	Как интервальный вектор между вступлениями t = (Г|,...»tn), состоящий из п
интервалов между последовательными вступлениями.
4.	Как хронотомическое представление, которое в виде гистограммы отобра-
жает t как последовательность квадратов со сторонами гь ...»гл; такое отображение
можно рассматривать как кусочно-линейную функцию.
5.	Как вектор различия ритмов г= (гн ...» г,н|), где ц
Примерами общих расстояний между ритмами является хэммингово расстояние,
метрика свопа (см. гл. 11), расстояние бульдозера между их заданными векторными
представлениями.
Евклидово расстояние интервальных векторов есть евклидово расстояние для
двух интервальных векторов между вступлениями. Хронотонное расстояние
Густафсона является разновидностью Ц -расстояния между этими векторами с
использованием хронотонного представления.
Расстояние отношения интервалов Койла-Шмулевича определяется как
!_„+у
где гиг'- векторы разности ритмов двух ритмов (см. Подобность Ружички, гл. 17).
• Акустические расстояния
Длина волны - расстояние, которое звуковая волна проходит до завершения
полного цикла. Это расстояние измеряется по перпендикуляру к фронту волны в
направлении ее распространения между пиком синусоидальной волны и следую-
щим соответствующим пиком. Длину волны любой частоты можно определить
путем деления скорости звука (331,4 м/с на уровне моря) в среде на фунда-
ментальную частоту.
Поле в дальней зоне - часть поля акустической волны, в которой звуковые
волны могут рассматриваться как плоские и звуковое давление уменьшается
обратно пропорционально расстоянию от источника звука. Оно соответствует
уменьшению силы звука примерно на 6 дБ на каждое удвоение расстояния.
Поле в ближней зоне - часть поля акустической волны (обычно на удалении
двух длин волн от источника), где отсутствует простое отношение между уровнем
звука и расстоянием.
Блнзостный эффект - аномалия низких частот, характеризующаяся их усиле-
нием при поднесении направленного микрофона слишком близко к источнику
звука.
Критическое расстояние - расстояние от источника звука, на котором прямой
звук (непосредственно от источника) и реверберирующий звук (прямой звук,
отраженный от стен, потолка, пола и др.) одинаковы по уровню интенсивности.
Расстояние нечувствительности - минимальное расстояние чувствительности
ультразвукового датчика близости.
Акустическая метрика - термин, используемый иногда для обозначения
некоторых расстояний между гласными звуками; например, евклидова расстояния
между векторами формантных частот произнесенного и заданного гласного звука
(не смешивать с понятием акустических метрик в общей теории относительности и
квантовой гравитации, гл. 24).
Глава 22
Расстояния в Интернете
и родственных сетях
22.1.	СЕТИ, НЕ ЗАВИСИМЫЕ ОТ ШКАЛ
Сеть - это граф, ориентированный или неориентированный, с положительным
числом (весом), поставленным в соответствие каждой из его дуг или ребер.
*	Реальные сложные сети обычно обладают огромным количеством вершин N и
являются разреженными, т.е. с относительно малым количеством ребер.
Интерактивные сети (Интернет, Web, социальные сети и т.п.) имеют тенденцию
быть сетями ’’тесного мира” [Watt99], т.е. находятся между обычными геомет-
рическими решетками и случайными графами в следующем смысле: они обладают
большим коэффициентом кластеризации (т.е. вероятностью того, что два различ-
ных соседа данной вершины являются соседними) как решетки, тогда как среднее
расстояние пути между двумя вершинами будет малым, около In N, как в случай-
ном графе.
Основным частным случаем сети тесного мира является сеть, не зависимая от
шкалы [BaraOl], в которой распределение вероятностей, скажем, для вершины
иметь степень к равно к~ч для некой положительной константы у, которая обычно
принадлежит отрезку [2, 3]. Эта степенная зависимость влечет за собой то, что
очень немногие вершины, называемые хабами (коннекторами, супер-распредели-
телями), являются более связанными, чем другие вершины. Распределения со
степенной зависимостью (или зависимостью большой дальности, тяжелым
"хвостом") в пространстве или времени наблюдались у многих явлений природы
(как физических, так и социальных).
•	Расстояние соавторства
Расстояние соавторства - это метрика пути (http://www.ams.org/msnmain/cgd/)
графа коллективного соавторства, имеющего порядка 0,4 млн вершин (авторов,
содержащихся в базе данных Mathematical Reviews), где ху является ребром, если
авторы х и у - соавторы публикации из общего количества 2 млн, занесенных в эту
базу данных. Вершина наибольшей степени, 1486 соответствует математику Полю
Эрдешу; индекс Эрдеша того или иного математика - это его расстояние
соавторства до Поля Эрдеша.
Метрика соавторства Бара (http://www.okland.edu/enp/barr.pdf) является рас-
стоянием сопротивления (из гл. 15) в следующем расширении графа коллектив-
ного соавторства. Сначала ставится сопротивление 1 Ом между любыми двумя
авторами для каждой публикации двух соавторов. Затем для каждой совместной
публикации п авторов, п > 2, добавляется новая вершина и соединяется через
п
—	омное сопротивление с каждым из соавторов.
4
Глава 22. Расстояния в Интернете и родственных сетях
321
•	Расстояние со-звездности
Расстояние со-звездности - это метрика пути голливудского графа, который
имеет 250 тыс. вершин (актеров по перечню базы данных фильмов в Интернете),
где ху является ребром, если актеры х и у снимались вместе в одном художест-
венном кинофильме. Вершинами наибольшего порядка являются Кристофер Ли и
Кевин Бэкон; например, в игре ’’Эффект Кевина Бэкона” (Six degrees of Kevin
Bacon) используется индекс Бэкона, т.е. расстояние со-звездности до этого актера.
В качестве аналогичных популярных примеров таких социальных не зависимых
от шкал сетей можно привести графы музыкантов (которые играли в составе
одного ансамбля), бейсболистов (игравших в одной команде), научных публикаций
(которые цитируют друг друга), шахматистов (игравших друг с другом), графы
обмена письмами, знакомств между студентами в колледже, членства в совете
директоров коммерческой организации, сексуальных отношений между членами
данной группы. Метрика пути последней сети называется сексуальным
расстоянием. Другими исследуемыми сетями, не зависимыми от шкал, являются
сети авиасообщений, сети сочетаний слов в языке, сеть энергетической системы
Запада США, сети датчиков, сеть нейронов червя, сети генной коэкспрессии, сети
реакций между протеинами и метаболические сети (между двумя веществами
ставится ребро, если между ними происходит реакция посредством энзимов).
•	Опережающее квазирасстояние
В ориентированной сети, в которой реберные веса соответствуют некоторой
точке во времени, опережающим квазирасстоянием (запаздывающим квазирас-
стоянием) называется длина кратчайшего ориентированного пути, но только среди
таких путей, на которых реберные веса последовательно увеличиваются (умень-
шаются соответственно). Опережающее квазирасстояние применяется при пост-
роении эпидемиологических сетей (распространение болезни контактным спо-
собом или, скажем, распространение ереси в религиозном движении), тогда
как запаздывающее квазирасстояние свойственно файлообменным сетям P2P (peer-
to-peer).
•	Центральность промежуточности
Для геодезического метрического пространства (X, d) (в частности, для метрики
пути графа) центральность промежуточности точки х е X определена как
до- V число наикратчайших (у - z) путей через х
у~х	число наикратчайших (у - z) путей
и функция расстояния-массы есть функция М: R>o —> Q, определенная как
1х/ ч I {у е X: d(x, у) + d(y, z) = a для некоторых х, у € X} |
М(а) =-----------:--------------------—-----------.
| {(х, z) € X х X: d(x, z) = а] |
Как предполагается в [GOJKK02], многие независимые от шкал сети удовлет-
воряют степенному закону g~i (для вероятности, что вершина имеет центральность
промежуточности g), где у равно 2 или «2,2 с функцией расстояния-массы М(а),
которая линейна или нелинейна соответственно. В случае линейности, например,
-	« 4,5 для метрики AS Интернета и «1 для квазнметрнкн Web гиперссылок.
а
• Расстояние дрейфа
Расстояние дрейфа - абсолютное значение разности между наблюдаемыми
и фактическими координатами узла в NVE (виртуальном пространстве сети).
11. Деза Е. и Деза М.-М.
322
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
В моделях такого большого виртуального однорангового (peer-to-peer) про-
странства сети (например, в сетевых играх с большим количеством участников)
пользователи представлены как координатные точки на плоскости (узлы),
которые могут перемещаться дискретно по времени и каждая из которых обладает
зоной видимости, называемой областью интереса. В NVE создается синтетический
3D мир, в котором каждому пользователю присваивается аватара (видеообраз
абонента) для взаимодействия с другими пользователями или компьютером.
Термин расстояние дрейфа используется также применительно к потоку,
проходящему сквозь материал в процессе производства автопокрышек.
• Семантическая близость
Для слов в документе имеются синтаксические отношения ближнего действия и
семантические корреляции дальнего действия. Основными сетями для работы с
документами являются Web и библиографические базы данных (цифровые
библиотеки, Web базы научных данных и т.п.); документы в них взаимосвязаны
соответственно через гиперссылки, цитирование или соавторство.
Кроме того, некоторые семантические дескрипторы (ключевые слова) могут
придаваться к документам для их индексации (классификации): по выбранной
автором терминологии, титульным надписям, заголовкам журналов и т.п.
Семантическая близость между двумя ключевыми словами х и у есть их
подобность Таннмото
|ХпУ|
I Хи Y Г
где X и Y - множества документов с присвоенными
индексами х и у соответственно. Их расстояние ключевого слова определяется как
|хдг|
——ру и не является метрикой.
22.2.	СЕМАНТИЧЕСКИЕ РАССТОЯНИЯ В СЕТЕВЫХ СТРУКТУРАХ
Среди основных лексикографических сетей (таких, например, как WordNet,
поисковая система Medical Search Headings, Тезаурус Рожта, Словарь современного
английского языка Лонгмана) сеть WordNet является наиболее популярным
лексическим ресурсом, используемым в процессах обработки естественного языка
и компьютерной лингвистике. Сеть WordNet (см. http://wordnet.princeton.edu) -
интерактивная словарная база данных, в которой существительные, глаголы,
прилагательные и наречия английского языка организованы в синонимические
множества, каждое из которых представляет одно базовое лексическое понятие.
Два таких множества могут быть связаны семантически одной из следующих
связок: связка снизу вверх х (гипоним) ЕСТЬ у (гипероним), связка сверху вниз х
(мероним) СОДЕРЖИТ у (холоним), горизонтальная связка, выражающая частоту
совместного употребления х и у (антонимия), и т.д. Связки ЕСТЬ (/S-А) индуци-
руют частичный порядок, называемый IS-А таксономией. Версия 2.0 WordNet со-
держит 80 000 понятий существительного и 13 500 понятий глагола, организо-
ванных в 9 и 554 отдельных IS-А иерархических структур соответственно.
В полученном ориентированном ацикличном графе понятий для любых двух сино-
нимических множеств (или понятий) х и у пусть 1(х, у) - длина кратчайшего
пути между ними с использованием только связок IS-А, и пусть LPS(x, у)-их
наименьший общий предшествующий элемент (предок) в ISA таксономии.
Пусть d(x) - глубина х (т.е. его расстояние от корня в IS-А таксономии) и пусть
D = тах//(х). Ниже приводится перечень основных семантических подобностей и
расстояний.
Глава 22. Расстояния в Интернете и родственных сетях
323
•	Подобность пути
Подобность пути между синонимичными множествами х и у определяется как
path(x, у) = (/(х,у))_|.
•	Подобность Лнкока-Чодороу
Подобность Лнкока-Чодороу между синонимичными множествами х и у опре-
деляется как
lch(x, у) = - In ,
и расстояние понятий между ними определяется как
/(х>У)
D
•	Подобность Ву-Палмера
Подобность Ву-Палмера между синонимичными множествами х и у опреде-
ляется как
wup(x,y) =
2d(LPS(x,y))
d(x) + J(y)
•	Подобность Резника
Подобность Резника между синонимичными множествами х и у определяется
как
res(x, у) = -In p(LPS(x, у)),
где p(z) - вероятность встретить понятие z в большом объеме, a -In p(z) -
информационное содержание z.
•	Подобность Лина
Подобность Лнна между синонимичными множествами х и у определяется как
lin(xy)=2lnp(L«(x^
In р(х)+In p(.v)
•	Расстояние Цзяня-Конрата
Расстояние Цзяня-Конрата между синонимичными множествами х и у опре-
деляется как
jcn(x, у) = 21n p{LPS(x, у)) - (In р(х) + In р(у)).
•	Подобностн Леска
Глоссарием синонимичного множества z является элемент этого множества,
который определяет или поясняет основное понятие. Подобностн Леска - такие
подобности, которые определяются как функция наложения глоссариев соот-
ветствующих понятий; так, например, наложением глоссариев называется
величина
2г(х,у)
г(х)+г(у)’
где r(z) — количество слов синонимического множества z, а f(x, у)- количество
общих слов в х и у.
11*
324
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	Подобность Херста-Сент-Онджа
Подобность Херста-Сент-Онджа между синонимичными множествами х и у
определяется как
hso(x, у) = С - L(x, у) - ск,
где £(х, у) - длина кратчайшего пути между х и у при использовании всех связок,
к - количество изменений направления этого пути и С, с - константы.
Расстояние Херста-Сент-Онджа определяется как .
22.3.	РАССТОЯНИЯ В ИНТЕРНЕТЕ И WEB
Рассмотрим подробно графы веб-сети (Web) и ее предметной основы, Интернета,
которые обладают свойством "тесного мира" и независимости от шкал.
Интернет - общедоступная глобальная компьютерная сеть, которая сформи-
ровалась на базе Арпанет (сети коммутации пакетов, созданной в 1969 г. для нужд
Министерства обороны США), NSFNet, Usenet, Bitnet и ряда других сетей. В 1995 г.
Национальный научный фонд США отказался от обладания сетью Интернет.
Ее узлами являются маршрутизаторы, т.е. устройства, которые пересылают
пакеты данных по сетевым каналам от одного компьютера к другому с исполь-
зованием протоколов IP (Интернет-протокол межсетевого взаимодействия), TCP и
UDP (протоколы передачи данных), и построенных над ними протоколов HTTP,
Telnet, FTP и многих других протоколов (т.е. технических спецификаций передачи
данных). Маршрутизаторы размещаются в местах межсетевых шлюзов, т.е. в
таких местах, где соединяются не менее двух сетей. Связи, соединяющие узлы -
различные физические соединители, такие как телефонные провода, оптово-
локонные кабели и спутниковые каналы. В Интернете используется пакетная
коммутация, т.е. данные (фрагментированные, если требуется) пересылаются не
по предварительно установленному пути, а с учетом оптимального использования
имеющейся полосы частот (со скоростью передачи информации в млн бит/с) и
минимизации времени запаздывания (времени в миллисекундах, необходимого для
получения запроса).
Каждому подключенному к Интернету компьютеру обычно присваивается
индивидуальный "адрес", называемый IP адресом. Количество возможных IP
адресов ограничено величиной 232 == 4,3 млрд. Наиболее популярными прило-
жениями, поддерживаемыми Интернетом, являются электронная почта, передача
файлов, Web и некоторые мультимедиа.
Множеством вершин графа IP адресов Интернета являются IP адреса всех
подключенных к Интернету компьютеров; две вершины являются смежными, если
они подключены напрямую через маршрутизатор, т.е. дейтаграмма передачи
проходит только через один прыжок (сетевой сегмент).
Сеть Интернет может быть разбита на административно автономные системы
(AS) или домены. В каждой AS внутридоменная маршрутизация осуществляется по
протоколу IGP (внутренний протокол маршрутизации), тогда как междоменная
маршрутизация обеспечивается по протоколу BGP (пограничный протокол
маршрутизации), который присваивает ASN (16-битовый номер) каждой AS. AS
граф Интернета имеет в качестве вершин AS (приблизительно 25 тыс. в 2007 г.), а
его ребра представляют наличие одноранговой BGP связи между соответст-
вующими AS.
Глава 22. Расстояния в Интернете и родственных сетях
325
Web ("Всемирная паутина", WWW или веб-сеть) является крупной частью
содержания Интернета, состоящей из взаимосвязанных документов (ресурсов).
Она соответствует протоколу HTTP (протокол передачи гипертекста) между
браузером и сервером, протоколу HTML (язык гипертекстовой маркировки)
кодирования информации для дисплея и URL (унифицированные указатели ресур-
сов), дающим единственный "адрес" Web страниц. Web начала свое существование
в Европейском центре по ядерным исследованиям в 1989 г. и была передана в
общественное пользование в 1993 г.
Web орграф - виртуальная сеть, узлы которой являются документами (т.е.
статичными HTML страницами или их URL), которые соединены входящими или
исходящими HTML гиперссылками.
Количество узлов Web орграфа составляло, по разным оценкам, между 15 и
30 млрд в 2007 г. Более того, рядом находится так называемая глубокая или
невидимая Web, т.е. доступны для поиска базы данных (-300 тыс.) с количеством
страниц (даже без учета содержания), предположительно в 500 раз превышающим
количество статических Web страниц. Эти страницы не индексированы серверами
поиска, их URL динамичны, и поэтому они могут быть вызваны только прямым
запросом в реальном масштабе времени.
30 июня 2007 г. 1 143 109 925 пользователей (17,8% мировой популяции, включая
69,5% в Северной Америке и 39,8% в Европе) воспользовались Интернетом.
Первыми шестью языками Интернета на этот день были английский,
китайский, испанский, японский, французский, немецкий - соответственно 31, 16,9,
7,5 и 5% всех пользователей Интернета.
Существует несколько сотен тысяч кибер-сообществ, т.е. кластеров вершин
Web орграфа, где плотность связей между членами сообщества гораздо выше
аналогичного показателя для связей членов сообщества с остальным миром.
Кибер-сообщества (группы клиентов, участники социальной сети, понятия в
технической статье и т.п.) обычно концентрируются вокруг определенной
тематики и содержат двудольный подграф хабов-авторитетных источников, в
котором все хабы (меню и перечни ресурсов) указывают на все авторитетные
источники (полезные страницы по данной тематике). Примерами новых медиа,
созданных Web, являются: блоги (опубликованные в сети дневники), Википедия
(открытая энциклопедия) и проектируемая консорциумом Web связь с мета-
данными.
В среднем вершины Web орграфа имеют размер 10 Кбит, степень выхода 7,2 и
вероятность кг2 того, что степень выхода или степень входа равна к. Проведенное
исследование [BKMR00] более 200 млн Web страниц позволило приблизительно
выделить наибольшую связную компоненту - "ядро" из 56 млн страниц и еще
44 млн связанных с ядром страниц (новичков). Для случайно выбранных узлов х и у
вероятность существования ориентированной цепи от х к у была равна 0,25 и
средняя длина такой кратчайшей цепи (если таковая существует) была равна 16,
тогда как максимальная длина кратчайшей цепи равнялась 28 в ядре и более 500 во
всем графе.
Приведенные ниже расстояния являются примерами маршрутных метрик между
хвостами, т.е. величинами, использующимися в алгоритмах маршрутизации в
Интернете для сравнения возможных маршрутов. Примерами других таких мер
являются задействование полосы частот, стоимость связи, надежность (вероят-
ность потери пакетных данных). Упоминаются также основные метрики качества,
связанные с компьютерами.
326
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
•	IP метрика Интернета
IP метрика Интернета (или счет прыжков, метрика протокола RIP, длина IP
пути) - это метрика пути в IP графе Интернета, т.е. минимальное число прыжков
(или, эквивалентно, маршрутизаторов, представленных их IP адресами), необхо-
димых для передачи пакета данных. Протоколом RIP предписывается макси-
мальное расстояние в сети- 15, и недостижимость обозначается как путь
длины 16.
•	AS метрика Интернета
AS метрика Интернета (или BGP-метрика) - это метрика пути в AS графе
Интернета, т.е. минимальное число ISP (независимых поставщиков услуг в сети
Интернет), представленных своими AS, необходимыми для пересылки пакета
данных.
•	Географическое расстояние
Географическим расстоянием называется расстояние большого круга на по-
верхности Земли от клиента х (получатель) до сервера у (источник). Однако в силу
экономических соображений передача данных не всегда осуществляется по такой
геодезической линии; например, большая часть данных из Японии в Европу
поступает через США.
•	Расстояние RTT
Расстояние RTT является временем полной передачи между х и у в милли-
секундах, измеренным за предыдущий день; (см. [HFPMC02] о разновидностях
данного расстояния и связи с вышеприведенными тремя метриками).
•	Расстояние административных расходов
Расстоянием административных расходов называется номинальное число
(оценивающее надежность информации о маршруте), присваиваемое сетью
маршруту между х и у. Например, компания Cisco присваивает значения 0, 1,...,
200, 225 для подключенного интерфейса, статического маршрута, ..., внутреннего
протокола BGP, Неизвестного соответственно.
•	Метрики DRP
В структуре системного администрирования (DD) компании Cisco используются
(с приоритетами и весами) расстояние административных расходов, метрика
случайности (выбор случайного номера для каждого IP адреса) и метрики DRP
(протокол прямого отклика). Метрики DRP запрашивают у всех маршрутизаторов
с протоколом DRP одно из следующих расстояний:
1)	внешнюю метрику DRP, т.е. количество прыжков (хопов) по протоколу BGP
(пограничный протокол маршрутизации) между запрашивающим услугу пользо-
вателем и агентом сервера DRP;
2)	внутреннюю метрику DRP, т е. количество прыжков по протоколу IGP
(внутренний протокол маршрутизации) между агентом сервера DRP и ближайшим
пограничным маршрутизатором на ребре автономной системы;
3)	метрику сервера DRP, т.е. количество прыжков по протоколу IGP между
агентом сервера DRP и ассоциированным сервером.
•	Метрики томографии сети
Рассмотрим сеть с фиксированным протоколом маршрутизации, т.е. сильно
связный орграф D = (V, Е) с единственным ориентированным путем Т(и, v),
выбранным для любой пары (и, о) вершин. Протокол маршрутизации описывается
Гаава 22. Расстояния в Интернете и родственных сетях
327
бинарной матрицей маршрутизации А = ((а^), где а^ = 1, если дуга е е Е с
индексом i принадлежит ориентированному пути T(u, о) с индексом j. Хэммингово
расстояние между двумя строками (столбцами) матрицы А называется расстоянием
между соответствующими дугами (ориентированными путями) сети.
Возьмем две сети с одинаковыми орграфами, но различными протоколами
маршрутизации с матрицами маршрутизации А и А' соответственно. Тогда полу-
метрнка протокола маршрутизации [Var04] есть наименьшее хэммингово расстоя-
ние между матрицей А и матрицей В, полученной из А' путем перестановок строк и
столбцов (обе матрицы рассматриваются как строки).
•	Квазиметрнка Web гиперссылки
Квазнметрнкой Web гннерссылкн (или счетчиком кликов) называется длина
кратчайшего ориентированного пути (если таковой существует) между двумя Web
страницами (вершинами Web орграфа), т.е. минимально необходимое число кликов
мышки.
•	Web квазирасстояние среднего числа кликов
Web квазирасстояние среднего числа кликов между двумя Web страницами х и у
т
в Web орграфе [YOI03] есть минимум
/=|
In р— по всем ориентированным путям
х = z0,	...» zm = у, соединяющим х и у, где z* - степень выхода страницы zh
Параметр а равен 1 или 0,85, тогда как р (средняя степень выхода) равна 7 или 6.
•	WebX квазирасстояние Доджа-Шноде
WebX квазирасстояние Доджа-Шноде между двумя Web страницами х и у в Web
орграфе есть число ——, где й(х, у) - число кратчайших ориентированных путей,
h(x,y)
соединяющих х и у.
•	Метрики Web нодобностн
Метрики Web нодобностн образуют семейство индикаторов, применяемых для
измерения степени взаимосвязи (содержания, в связях ссылок или/и использовании)
между двумя Web страницами х и у. Например, тематическое сходство частично
совпадающих терминов, совместные ссылки (количество страниц, где обе даются
как гиперссылки), спаренностъ библиографичеких данных (количество общих
гиперссылок) и частотность совместного появления min{P(xly), P(ylx)},
где Р(х I у) есть вероятность того, что посетивший страницу у посетит также
страницу х.
В частности, метрики поисково-центрического изменения - метрики, исполь-
зуемые поисковыми серверами в Web сети для измерения степени различия между
двумя версиями х и у Web страницы. Если X и Y являются множествами всех слов
(исключая маркировку HTML) в х и у соответственно, то словарное расстояние
между страницами есть расстояние Дайса, т.е. равно
|ХАУ| . 2|ХиУ|
1Х1 + 1П |х| + |уГ
Если vx и иу являются взвешенными TF-IDF (частотность - обратная частотность
документа) векторными представлениями х и у, то их расстояние косинуса между
328
Часть V. Расстояния в компьютерной сфере
страницами дается как
ШИМ/
•	Метрика потерянности
Пользователи, "путешествующие" по гипертекстовым системам, нередко испы-
тывают дезориентацию (тенденцию к потере чувства местоположения и
направления в нелинейном документе) и когнитивную перегрузку (требуются
дополнительные усилия и концентрация внимания для одновременной работы по
нескольким задачам / направлениям). Пользователь теряет общее представление о
структуре документа и своем рабочем пространстве.
Метрика потерянности Смита измеряет это как
/ \2 / \2
f--il +(--й,
\S ) \П )
где 5 - общее число узлов, посещенных в ходе поиска, п - количество различных
узлов среди них иг- количество узлов, которые необходимо посетить для
выполнения задачи.
• Метрики доверия
В компьютерной безопасности метрика доверия - мера для оценки серти-
фикатов множества одноранговых узлов сети, а в социологии - мера определе-
ния степени доверия членов группы к одному из них. Так, например, метрика
доступа в системе UNIX представляет собой комбинацию только трех видов
доступа к ресурсу: чтение, запись и выполнение. Более детальная метрика доверия
Advogato (используемая для ранжирования в среде разработчиков программного
обеспечения с открытыми исходными кодами) основывается на силе доверия,
обеспечиваемой тем, что одно лицо выдает сертификат о другом. Другими
примерами служат метрики доверия Technorati, TrustFlow, Richardson и др., Mui
и др., eBay.
•	Метрики программного обеспечения
Метрика программного обеспечения— мера качества программного обеспече-
ния, характеризующая уровень сложности, понятности, проверяемости и доступ-
ности кода.
Метрика архитектуры - мера оценки качества архитектуры программного
обеспечения (разработки сложных систем программного обеспечения), которая
указывает на связность (стыкуемость составных объектов), сцепление (внутреннее
взаимодействие), абстрактность, нестабильность и т.п.
•	Метрики локальности
Метрикой локальности называется физическая метрика, измеряющая в
глобальном масштабе местоположение программных компонентов, их вызовы и
глубину вложенных вызовов как
ij
Глава 22. Расстояния в Интернете и родственных сетях
329
где - расстояние между вызывающими компонентами i и J, fa- частота вызовов
от i до j. Если компоненты программы примерно одинаковы по размерам, то
берется fa = I i - j I. В общем случае, как предложили Чзан и Горла, надо различать
опережающие вызовы по отношению к запрашиваемой компоненте и запазды-
вающие (другие) вызовы. Пусть dy = d-+dy, где d- - количество линий кода
между вызовом и окончанием /, если вызов опережающий, и между началом i и
Л1	;-|
вызовом, иначе, при этом d" = У Lk, если вызов опрежающий, и d" = У Lk,
k=i+\	k-j+l
иначе. Здесь Lk - количество линий компоненты к.
•	Дистанционное действие (в вычислительных процессах)
В вычислительных процессах дистанционное действие является классом проб-
лем программирования, в котором состояние одной части программной структуры
данных очень сильно варьируется из-за труднораспознаваемых операций в другой
части программы (см. закон Деметра, гл. 2'8).
Часть VI
РАССТОЯНИЯ
В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
Глава 23
Расстояния в биологии
Расстояния в биологии используются главным образом для целей фундамен-
тальной классификации, например, для реконструкции эволюционного развития
организмов в виде филогенетических деревьев. При классическом подходе эти
расстояния базировались на сравнительной морфологии и физиологии. Прогресс
современной молекулярной биологии позволил использовать нуклеатидные и/или
аминокислотные последовательности для оценки расстояний между генами,
белками, геномами, организмами, видами и т.д.
ДНК представляет собой последовательность нуклеотидов (или кислот ядра)
А, Т, G и С и может рассматриваться как слово над алфавитом из четырех букв.
Нуклеотиды A, G (сокращенно от слов аденин и гуанин) называются пуринами,
тогда как Т, G (сокращенно от тимин и цитозин) называются пирамидинами (в РНК
это урацил U вместо Т). Две нити ДНК удерживаются вместе (в виде двойной
спирали) слабыми водородными связями между соответствующими нуклеотидами
(непременно пурином и пирамидином) в структуре нитей. Эти пары называются
парами оснований.
Транзиция - замещение пары оснований таким образом, что одна пара
пурин/пирамидин заменяется на другую; например, GC заменяется на АТ.
Трансверсия - замещение пары оснований таким образом, что пара пурин/пи-
рамидин заменяется парой пирамидин/пурин или наоборот; например, GC заме-
няется на ТА.
Молекулы ДНК встречаются (в ядре клеток эукариота) в виде длинных нитей,
которые называются хромосомами. Большинство клеток человеческого организ-
ма содержат 23 пары хромосом, по одному набору из 23 хромосом от каждо-
го родителя; гамета человека (мужская половая клетка или яйцо) есть гаплоид,
т.е. содержит только один набор из 2*3 хромосом. У (нормальных) мужчины и
женщины различается только 23-я пара хромосом: XY у мужчин и XX у женщин.
Ген - отрезок ДНК, который кодирует (посредством транскрипции на РНК и
последующего переноса) белок или молекулу РНК. Местоположение гена на его
специальной хромосоме называется локусом. Различные разновидности (состоя-
ния) гена называются аллелями. Гены занимают не более 2% человеческой ДНК;
функциональность, если таковая имеется, остальной части неизвестна.
Белок - большая молекула, являющаяся цепочкой аминокислот', среди них
присутствуют гормоны, катализаторы (энзимы), антитела и т.д. Всего имеется
20 аминокислот; трехмерная конфигурация белка определяется (линейной)
последовательностью аминокислот, т.е. словом алфавита из 20 букв.
Генетический код есть универсальное для (почти) всех организмов соответствие
между некоторыми кодонами (т.е. упорядоченными тройками нуклеотидов) и
20 аминокислотами. Он выражает генотип (информацию, содержащуюся в генах,
т.е. в ДНК) как фенотип (белки). Три терминирующих кодона (UAA, UAG и UGA)
означают окончание белка; любые два из остальных 61 кодона называются
синонимичными, если соответствуют одним и тем же аминокислотам.
Глава 23. Расстояния в биологии
333
В геноме заложена вся генетическая структура вида или живого организма.
Например, геном человека представляет собой набор из 23 хромосом, включаю-
щих около 3 млрд пар оснований ДНК и организованных в 20-25 тыс. генов.
Модель эволюции, опирающаяся на бесконечные аллели (MAf), предполагает,
что аллель может изменяться из любого конкретного состояния в любое дру-
гое состояние. Это соответствует первичной роли генетического дрейфа
(т.е. случайных вариаций частоты генов от поколения к поколению), особенно
характерного для небольших популяций в ходе естественного отбора (поэтапных
мутаций). Модель IAM удобна для получения данных по аллозимам (аллозим -
форма белка, который кодирован одним аллелем в конкретном локусе гена).
Модель эволюции, основанная на поэтапных мутациях (SMM), более удобна для
работы с данными микросателлитов (наиболее популярными в последнее время).
Микросателлиты - сильно различающиеся повторяющиеся короткие последова-
тельности ДНК. Частота их мутаций равна 1 на 1000-10 000 репликаций, а для
аллозимов этот показатель составляет 1/1 000 000. Оказывается, что микроса-
теллиты сами по себе содержат достаточно информации для построения генеало-
гического дерева организма. Данные микросателлитов (например, по отпечаткам
ДНК) состоят из ряда повторяющихся микросателлитов для каждого аллеля.
Другим распространенным молекулярным маркером является малая субъеди-
ница рибосомной РНК (SSU рРНК), поскольку гены рРНК играют существенную
роль для выживания любого организма и их последовательности почти не
изменяются.
Эволюционное расстояние между двумя популяциями (или таксонами) является
мерой генетического разнообразия на основе оценки времени расхождения, т.е.
времени, прошедшего с тех пор, когда данные популяции существовали как одно
целое.
Филогенетическое расстояние (или генеалогическое расстояние) между двумя
таксонами - длина ветви, т.е. минимальное число ребер, разделяющих их на
филогенетическом дереве.
Иммунологическое расстояние между двумя популяциями - мера эффек-
тивности реакций антиген-антитело, показывающая эволюционное расстояние
между ними.
23.1. ГЕНЕТИЧЕСКИЕ РАССТОЯНИЯ
ДЛЯ ДАННЫХ О ЧАСТОТЕ ГЕНОВ
В этом разделе генетическое расстояние между популяциями используется как
способ измерения степени эволюционного различия путем подсчета количества
аллельных замещений по локусам.
п
Популяция представлена вектором двойной индексации х = (х$ с Ут,
/=1
компонентами, где х„ - частота /-го аллеля (индекс состояния гена) при j-м локусе
гена (положения гена на хромосоме), - количество аллелей j-го локуса, а п -
количество рассматриваемых локусов.
Обозначим через X сумму по всем i и j. Поскольку Ху есть частота, выполняются
mj
условия X > 0 И У, Ху = 1.
334
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Расстояние общих аллелей Стефенса н др.
Расстояние общих аллелей Стефенса н др. между популяциями определяет-
ся как
SA(x) + SA(y)'
где для двух отдельных индивидов а и b SA(a, b) обозначает число общих аллелей,
суммированное по всем п локусам и поделенное на 2и, тогда как SA(x\ SA(y) и
SA(x,y) есть SA(a, b\ усредненное по всем парам (а, Ь) с индивидами а и b в
популяциях, представленных как х и у, и соответственно между ними.
•	Расстояние Dps
Расстояние Dps между популяциями определяется как
ln
я
Л»
•	Расстояние Превосги-Оканы-Алонсо
Расстояние Превостн-Оканы-Алонсо между популяциями определяется (см.
L1 -Метрика, гл. 1) как
~Ь7 I
2п
•	Расстояние Роджера
Расстояние Роджера - метрика между популяциями, определенная как
1 п [*>
-уХ (xv ~y«)2-
j=i v ,=i
•	Расстояние хорды Кавальи-Сфорза-Эдвардса
Расстояние хорды Кавальи-Сфорза-Эдвардса между популяциями определяет-
ся как
2>/2
Это расстояние является метрикой (см. Расстояние Хеллннджера, гл. 17).
•	Расстояние дуги Кавальи-Сфорза
Расстояние дуги Кавальи-Сфорза между популяциями определяется как
^arccos^^^")
(см. Расстояние Фишера, гл. 14).
Глава 23. Расстояния в биологии
335
•	Расстояние Нея-Таджимы-Татено
Расстояние Нея-Таджнмы-Татено между популяциями определяется как
•	Минимальное генетическое расстояние Нея
Минимальное генетическое расстояние Нея между популяциями определяет-
ся как
2^5?х<>
•	Стандартное генетическое расстояние Нея
Стандартное генетическое расстояние Нея между популяциями определяет-
ся как
-InZ,
где I - нормализованная идентификация гена по Нею, определенная как
(х, у)
-——4—— (см. Расстояния Бхаттачарья (гл. 14) и Угловая полуметрнка (гл. 17)).
h lb IIУ lb
•	х2 Расстояние Сангвн
X2 Расстояние Сангвн между популяциями определяется как
2у )2
xij+yij
•	Расстояние F-статнстнкн
Расстояние F-статистнки между популяциями определяется как
~У^2
2(«-Хх«л)
•	Расстояние нечеткого множества
Расстояние нечеткого множества Дюбуа-Прейда между популяциями
определяется как
7=1
•	Расстояние родства
Расстояние родства между популяциями определяется как
где скалярное произведение (л, у) называется коэффициентом родства.
•	Расстояние Рейнольдса-Вейра-Кокерхэма
Расстояние Рейнольдса-Вейра-Кокерхэма (или расстояние родословной)
между популяциями определяется как
-1п(1 -0),
336
Часть VI. Расстояния в естественных науках
где коэффициент родословной 6 двух индивидов (или двух популяций) является
вероятностью того, что случайно выбранный аллель одного индивида (или генети-
ческого фонда одной популяции) будет идентичен по наследованию (т.е. соответ-
ствующие гены являются физическими копиями одного и того же анцестрального
гена) случайно выбранному аллелю другого. Два гена могут быть идентичными по
состоянию (т.е. аллелями с одинаковым индексом), но не идентичными по
наследованию. Коэффициент родословной 0 двух индивидов является коэффициен-
том ннбрндннга (родственного спаривания) их последующих поколений.
•	Расстояние Гольдштейна н др.
Расстояние Гольдштейна и др. между популяциями определяется как
•	Расстояние среднего квадрата
Расстояние среднего квадрата между популяциями определяется как

•	Пошаговое расстояние Шрайвера-Бурвинкля
Пошаговое расстояние Шрайвера-Бурвинкля между популяциями определяется
как
1 п
- У У I' - JI - Xikxjk - yikyjk).
П Л=1
23.2.	РАССТОЯНИЯ ДЛЯ ДАННЫХ О ДНК
Расстояния между ДНК или белковыми последовательностями обычно измеряются
в виде замещений, т.е. мутаций, между ними. ЦНК-последовательность рассмат-
ривается как последовательность х = (jq,..., хп) над алфавитом из четырех букв-
п
нуклеотидов А, Т, С, G; X обозначает
/=|
•	Число различий
Число различий ДНК - просто метрика Хэмминга между последовательностями
ДНК:
•	^-Расстояние
р-Расстоянне dp между ДНК-последовательностями определяется как
У1 ч *у,
п
Глава 23. Расстояния в биологии
337
• Нуклеотидное расстояние Джукеса-Кантора
Нуклеотидное расстояние Джукеса-Кантора между ДНК-последовательностями
определяется как

где dp - р-расстояние. Если скорость замещения изменяется в соответствии с
гамма-распределением и а является параметром, описывающим форму распреде-
ления, то гамма-расстояние для модели Джукеса-Кантора определяется как

• Расстояние Таджимы-Нея
Расстояние Таджимы-Нея между ДНК-последовательностями определяется как
I ь
где
и
Ч s
i,ke{A,T,G,C},j*k
Пусть Р = - |{l£i£n:{x.,y,) = {4,G) или {Т, С)}1, и Q = -\{l<i<nt
п	п
{x^yj = {А, Г} или {G, С] }1, т.е. Р и Q являются частотами соответственно транзи-
ции и трансверсии оснований между х и у. Приводимые ниже четыре расстояния
даются в терминах величин Р и Q.
•	Гамма-расстояние Джина-Нея
Гамма-расстояние Джина-Нея между последовательностями ДНК определяет-
ся как
у (1 - 2Р - б)1 /e +1 (1 - 20_| 1а
ЗА
2/
где скорость замещения варьируется вместе с гамма-распределением и а является
параметром, описывающим форму распределения.
•	2-Параметрнческое расстояние Кимуры
2-Параметрнческое расстояние Кимуры между последовательностями ДНК
определяется как
--ln(l - 2Р - Q) - - In л/1-26.
2	2
338
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	З-Параметрнческое расстояние Тамуры
З-Параметрическое расстояние Тамуры между последовательностями ДНК
определяется как

-£1п| 1- —
\ Ь
где fx = — |{1</<п:х(- =G илиС}|, /v = —1{1 <i < п: у,- = G илиС] | и b = fx +
п	п
В случае fx = fy = ± (следовательно, для b = у) это является 2-параметрнче-
скнм расстоянием Кимуры.
•	Расстояние Тамуры-Нея
Расстояние Тамуры-Нея между последовательностями ДНК определяется как
1 — Р — 1 р
2fAfG AG 2fR RY
i A p_________L_p |_
2fTfc TC 2fY Kr)
-2| fRfr	J1 ~^7Tp»y
\ Jr Jy J \ £JrJy
где	+ ,л=Р ДЛЯ7 = A’ G‘ T’ C 11 =f* +f&fr =fr +fc, тогда как
Pry =-|П^^я:|{х„у()п {A, G} =| {x,,yz} n {T, C] |= 1} | (относительное число разли-
n
чий в трансверсиях), PAG = — | {1 < i < п :| {xz,yz} = {A, G]} | (относительное число
п
транзиций в пуринах) и РТС = — | {1 <i <n:{xf,yf} = {Т, С}}| (относительное число
п
транзиций в пиримидинах).
• Метрика гибридизации Гарсона н др.
Н-мера между двумя ^-последовательностями ДНК х и у определяется как
Н(х,у)= min У 1	♦ ,
-n^k^n	xi *Yi+k
где индексы i + к взяты по модулю п , а у* - реверсия у с последующей
комплементацией Ватсона-Крика, т.е. обменом местами всех А, Т, G, С и Т, А, С, G
соответственно.
ДНК-куб - любое максимальное множество ^-последовательностей ДНК,
в котором выполняется условие Я(х, у) = 0 для любых двух последовательнос-
тей. Метрика гибридизации Гарсона н др. между ДНК-кубами А и В определяет-
ся как
min Н(х,у).
Глава 23. Расстояния в биологии
339
23.3. РАССТОЯНИЯ ДЛЯ ДАННЫХ О БЕЛКАХ
Белковая последовательность (или первичная белковая структура) рассматри-
вается как последовательность х = (хн ...» хп) над 20-буквенным алфавитом из
п
20 видов аминокислот; X обозначает У.
i=i
Существует несколько понятий подобности/расстояния на множестве 20 видов
аминокислот, которые основываются, например, на характеристиках гидрофиль-
ности, полярности, заряде, форме и т.п. Наиболее важной является 20 х 20 матрица
РА М250 Дейхофф, которая выражает относительную мутабельность 20 видов
аминокислот.
•	Расстояние РАМ
Расстояние РАМ (или расстояние Дейхофф-Экка, величина РАМ) между
белковыми последовательностями определяется как минимальное число принятых
(т.е. устоявшихся) точечных мутаций на 100 видов аминокислот, необходимых для
преобразования одного белка в другой. 1 РАМ - единица эволюции; она соответ-
ствует одной точечной мутации на 100 аминокислот. РАМ значения 80, 100, 200,
250 соответствуют расстоянию (в процентах) 50,60, 75,92 между белками.
•	Число белковых различий
Число белковых различий - просто метрика Хэмминга между белковыми
последовательностями:
Dw
•	Амино р-расстоянне
Амино р-расстоянне (или нескорректированное расстояние) dp между белко-
выми последовательностями определяется как
п
•	Амино расстояние коррекции Пуассона
Амино расстояние коррекции Пуассона между белковыми последователь-
ностями определяется с помощью амино р-расстояння dp как
—In(l -dp(x,y)).
•	Амино у-расстояние
Амино у-расстояние (или коррекция ^-расстояния Пуассона) между белковыми
последовательностями определяется с помощью амино р-расстояння dp как
а«\-ар(х,уУГУа -1),
где скорость замещения варьируется с i = 1,...» п в соответствии с у-распределе-
нием и а является параметром, описывающим форму распределения. Для а = 2,25
и а = 0,65 получаем соответственно расстояния Дейхофф и Гришина. В некото-
рых приложениях это расстояние с а = 2,25 называется просто расстоянием
Дейхофф.
340
Часть VI. Расстояния в естественных науках
• Белковое расстояние Джукеса-Кантора
Белковое расстояние Джукеса-Кантора между белковыми последователь-
ностями определяется с помощью амино р-расстояння dp как
19. Г 20л /
---In 1----dn(x9y) L
20 I 19 p y )
•	Белковое расстояние Кимуры
Белковое расстояние Кимуры между белковыми последовательностями опре-
деляется с помощью амино р-расстояння dp как
•	Расстояние Гришина
Расстояние Гришина d между белковыми последовательностями определяется с
помощью амнно р-расстояння dp по формуле
2d(x9y)	р У
•	Расстояние &-мера Эдгара
Расстояние A-мера Эдгара между последовательностями х = (хь хш) и
у = (у ।уп) над сжатым аминокислотным алфавитом определяется как
' £пйп(х(а),у(а)Г
In —+-*--------------- ,
10	min{/n,fl}-£+1
\ /
где а - любой k-мер (слово длины к над вышеуказанным алфавитом), при этом х(а)
и у(а) являются количеством появлений а в х и у соответственно в виде блоков
(непрерывных подпоследовательностей) (см. ф-грам подобность, гл. 11).
23.4. ДРУГИЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ РАССТОЯНИЯ
•	Расстояние структуры РНК
Последовательность РНК- нить нуклеотидов (оснований), т.е. последова-
тельность над алфавитом {А, С, G, U}. Внутри клетки такая нить сворачивается в
3D пространстве из-за конъюгации нуклеотидных оснований (обычно это связи
типа A-U9 G-С и G-U). Вторичная структура РНК является, грубо говоря,
множеством спиралей (или перечнем спаренных оснований), из которых состоит
РНК. Эту структуру можно представить в виде плоского графа и даже корневого
дерева. Третичная структура - это геометрическая форма РНК в пространстве.
Расстоянием структуры между двумя РНК-последовательностями называется
расстояние между их вторичными структурами. Примерами таких расстояний РНК
служат: расстояние редактирования дерева (и другие расстояния на корневых
деревьях, см. гл. 15) и расстояние пары оснований, т.е. метрика симметрической
разности между вторичными структурами, рассматриваемыми как множества
спаренных оснований.
Глава 23. Расстояния в биологии
341
При компьютерном (in silico) моделировании эволюции РНК приспособленность
РНК-последовательности х есть метрическое преобразование f(d(x, хг)), где /:
R>o R>o есть функция масштаба и d(x, хТ) - расстояние структуры РНК
между последовательностью х и фиксированной контрольной РНК-последователь-
ностью хт.
•	Метрика нечетко определенного полинуклеотида
Метрикой нечетко определенного полинуклеотида (или NTV-метрнкой)
называется метрика, предложенная Ньето, Торресом и Валькез Трасанде (2003) на
12-мерном единичном кубе 712. Четыре нуклеотида U, С, А и G алфавита РНК были
кодированы как (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) и (0,0,0,1) соответственно. Все 64
возможные кодонные тройки генетического кода можно считать вершинами
куба /12. Следовательно, любую точку (хь ...» Xj2) е /,2 можно рассматривать как
нечетко определенный кодон, каждая компонента X/ которого выражает степень
принадлежности элемента i, 1 < i < 12, нечетко определенному множеству х.
Вершины куба называются четкими множествами.
NTV-метрнка между различными точками х, у е /12 определяется как
1</£12______
У тах(х„у,}’
l<i<12
У к-у(1
Дресс и Локот доказали, что 	----------является метрикой на всем R'1.
>, maxdxjjyj}
1</<л
У min{x„y,}
На R>o данная метрика равна 1 - s(x, у), где =	---------- является
>, тах{х„у,}
1</<л
подобностью Ружички (см. гл. 17).
• Расстояния перестройки генома
Геномы родственных однохромосомных видов или однохромосомных органелл
(таких как мелкие вирусы и митохондрии) представлены порядком генов вдоль
хромосом, т.е. как перестановки (или ранжирования) данного множества п гомо-
логичных генов. Если принять во внимание ориентированность генов, то хромо-
сому можно описать как перестановку со знаком, т.е. как вектор х = (хь ..., х„),
где IX/1 - различные числа 1,..., п и любой элемент х,- может быть положительным
или отрицательным. Кольцевые геномы представлены кольцевыми (со знаком)
перестановками х = (хь ...» хп), где х„+1 = Х| и т.д.
Для множества рассматриваемых движений мутации соответствующее геном-
ное расстояние между двумя такими геномами есть метрика редактирования
(см. гл. 11), где операциями редактирования выступают эти движения мутации,
т.е. минимальное количество движений (ходов), необходимых для преобразования
одной перестановки (со знаком) в другую.
В дополнение (а обычно и вместо) событий локальной мутации, таких как
вставка/удаление букв или замещения символов в ДНК-последовательности,
рассматриваются большие (т.е. затрагивающие значительную часть хромосомы)
342
Часть VI. Расстояния в естественных науках
мутации и соответствующие метрики геномного редактирования называются
расстояниями перестройки геномов. Из-за редкости таких перестроечных мутаций
эти расстояния точнее оценивают истинные расстояния геномной эволюции.
Основная реорганизация геномов (хромосом) осуществляется посредством
инверсий (обращений блоков), транспозиций (обмена местами двух соседних
блоков) в перестановке, а также инвертированной транспозиции (инверсии в
сочетании с транспозицией) и реверсий со знаком, но только для перестановок со
знаком (реверсия со знаком в сочетании с инверсией).
Основными расстояниями перестройки геномов между двумя однохромосом-
ными геномами являются:
-	метрика реверсии и метрика реверсии со знаком (см. гл. 11);
-	расстояние транспозиции: минимальное число транспозиций, необходимых для
преобразования (представляющей перестановки) одного из них в другой;
-	ПТ-расстоянне: минимальное количество инверсий, транспозиций и инверти-
рованных транспозиций, необходимых для преобразования одного из них в другой.
Для двух кольцевых перестановок со знаком х = (хь ..., хп) и у = (уь ..., у„)
(следовательно, хя+( = Х| и т.д.) точечный разрыв - такое число /, 1 < i < л, что у^| *
*х^/>+1, где число j(i), 1 < j(i) < п, определяется из равенства у, = х7(/). Расстояние
точечного разрыва (Уотерсон-Ивенс-Холл-Морган, 1982) между геномами,
представленными как х и у, равно числу точечных разрывов. Это расстояние и
метрика редактирования перестановок (метрика Улама, гл. 11: минимально
необходимое количество перемещений букв, т.е. однобуквенных транспозиций)
применяются для аппроксимации расстояний перестройки геномов.
•	Синтеннчное расстояние
Это геномное расстояние между многохромосомными геномами, которые
рассматриваются как неупорядоченные наборы синтеничных групп генов, в
которых два гена синтеничны, если присутствуют в одной и той же хромосоме.
Синтеничное расстояние (Ферретти-Надыо-Санкофф, 1996) между двумя такими
геномами является минимальным числом мутационных ходов - транслокаций
(обмен генами между двумя хромосомами), объединений (слияния двух хромосом в
одну) и фрагментаций (расщепление одной хромосомы на две) - необходимых для
преобразования одного генома в другой. Все (входящие и выходящие) хромосомы
этих мутаций должны быть непустыми и не дуплицированными. Вышепри-
веденные три мутационных хода соответствуют межхромосомным перестройкам
генома, которые встречаются гораздо реже, чем внутрихромосомные; следо-
вательно, они дают нам более глубокую информацию об истории эволюционного
развития.
•	Расстояние генома
Расстояние генома между двумя локусами на хромосоме является числом пар
оснований, разделяющих их на хромосоме.
•	Расстояние на генетической карте
Расстояние на генетической карте между двумя локусами на генетической
карте - частота рекомбинаций, выраженная в процентах; оно измеряется в
сантиморганах сМ (или единицах генетической карты), где 1 сМ соответствует их
статистически откорректированной частоте рекомбинации 1%.
Обычно расстояние на генетической карте в 1 сМ (по генетической шкале)
соответствует расстоянию генома (по физической шкале) порядка одной мегабазы
(миллион пар оснований).
Глава 23. Расстояния в биологии
343
•	Метаболическое расстояние
Метаболическим расстоянием (или расстоянием перехода) между энзимами
называется минимальное число метаболических стадий, разделяющих два энзима
в метаболических переходах.
•	Расстояние Гендрона и др.
Расстояние Гендрона н др. между двумя взаимодействующими основаниями,
представленными 4х4матрицами однородного преобразованиях и У, опреде-
ляется как
5(ХУ~') + 5(Х~'У)
2
где S(M) = д//2 + (0/а)2, I - длина трансляции, 0 - угол вращения и а - коэффи-
циент масштабирования между трансляцией и вращением.
•	Расстояние биотопа
Биотопы здесь представлены как бинарные последовательности х = (хь ..., хн),
где х, = 1 означает присутствие вида /. Расстояние биотопа (или расстояние
Танимото) между биотопами х и у определяется как
| (1 < < < л: X, * у, } I
| {1 < i £ п: х, + у, > 0} |
•	Расстояние Внктора-Пурнуры
Последовательность всплесков х представляет собой временную последо-
вательность (xh ..., хп) п событий (например, нейронных всплесков или биений
сердца). Временная последовательность отражает либо абсолютные временные
данные всплесков, либо временные интервалы между ними. Мозг человека имеет
около 100 млрд нейронов (нервных клеток). Нейрон реагирует на воздействие тем,
что генерирует последовательность всплесков, являющуюся последовательностью
коротких электрических импульсов.
Расстояние Виктора-Пурпуры между двумя последовательностями всплесков х
и у - метрика редактирования с ценой (т.е. минимальная цена преобразования х
в у), с применением следующих операций (и сопутствующих им цен): вставить
всплеск (цена 1), удалить всплеск (цена 1), сместить всплеск на величину времени t
(цена qt, где <7 > 0 - параметр).
Виктор и Пурпура предложили это расстояние в 1996 г.; нечеткое хэммннгово
расстояние (см. гл. И), введенное в 2001 г., использует ценовую функцию переме-
щений, сохраняющую неравенство треугольника.
Для сравнения реакции популяции нейронов на два различных стимула
применяется расстояние Чернова между соответствующими распределениями
всплесков.
•	Расстояние восприятия Оливы и др.
Пусть {$|,..., 5Л} - множество стимулов и пусть qjj - условная вероятность того,
что объект воспримет стимул зу, когда будет продемонстрирован стимул
п
следовательно, q^ > 0 и - = 1. Пусть - вероятность появления стимула 3/.
у=|
344
Часть VI. Расстояния в естественных науках
Расстояние восприятия Оливы и др. [OSLM04] между стимулами s, и Sj опреде-
ляется как
1
4i+4j
Qi Qj
•	Гипотеза вероятности расстояния
В психофизике гннотеза вероятности расстояния представляет собой гипо-
тезу о том, что вероятность различения двух стимулов есть (непрерывно
возрастающая) функция некоторой субъективной квазиметрики между этими
стимулами [DzhaOl]. Согласно этой гипотезе такая субъективная метрика являет-
ся фннслеровой метрикой тогда и только тогда, когда она совпадает в малом
с внутренней метрикой (т.е. инфимумом длин всех путей, соединяющих два
стимула).
•	Супружеское расстояние
Супружеским расстоянием называется расстояние между местами рождения
супругов (или их зигот).
•	Изоляция расстоянием
Изоляция расстоянием есть биологическая модель, предсказывающая, что
генетическое расстояние между популяциями увеличивается экспоненциально по
отношению к географическому расстоянию. Таким образом, появление регио-
нальных различий (рас) и новых видов объясняется ограниченным потоком генов и
адаптивным варьированием. Вопрос изоляции расстоянием исследовался, в
частности, на структуре существующих фамилий (см. расстояние Ласкера).
•	Дистанционная модель Малекота
Дистанционной моделью Малекота называется миграционная модель изоляции
расстоянием, выражаемая следующим уравнением Малекота зависимости аллелей
в двух локусах (аллельной ассоциации или нарушенного баланса связей) pd:
Pj =(1-L)Metd+L,
где d - расстояние между двумя локусами (либо расстояние генома в парах
оснований, либо расстояние на генетической карте в сантиморганах), £ - константа
для данного региона, L = lim и М < 1 - параметр, характеризующий частоту
d-*0
мутаций.
•	Расстояние Ласкера
Расстоянием Ласкера (Родригес-Ларральде и др., 1989) между двумя челове-
ческими популяциями х и у, характеризующимися векторами частоты фамилий (xz)
и (у,), является число -In 2Rxyy
гДе
есть коэффициент изонимии
Ласкера. Фамильная структура связана с инбридингом и (в определяемых по
мужской линии обществах) со случайным генетическим дрейфом, мутациями и
миграциями. Фамилии можно рассматривать как аллели одного локуса, и их
распределение может быть проанализировано по теории нейтральных мутаций;
изонимия указывает на возможность общего происхождения.
Глава 23. Расстояния в биологии
345
• Модель фамильного расстояния
Модель фамильного расстояния была применена в [COR05] для оценки
передаваемости предпочтения от родителей к детям на основе данных по
47 провинциям материковой Испании путем сравнения 47 х 47 матриц расстояний
фамильного расстояния с матрицами потребительского и культурного расстояний.
Эти расстояния определялись как Ц -расстояния	между векторами
i
частоты (хД (у,) провинций х и у, где z, для провинции z являлось либо частотой z-й
фамилии (фамильное расстояние), либо долей в бюджете z-ro продукта (потреби-
тельское расстояние) либо (для культурного расстояния) рейтингом среди
населения z-ro культурного фактора (коэффициент свадеб, читательская аудитория
и т.п.).
Исследовались также и другие расстояния (матрицы расстояний), в том числе:
- географическое расстояние (в километрах между столицами двух провинций);
-	расстояние доходов lm(x) - т(у) I, где m(z)~ средний доход населения в
провинции z;
-	климатическое расстояние | xz - Л |> где zi - средняя температура в
1</<|2
провинции z в z-м месяце;
-	миграционное расстояние | х, - у£ |, где z,- - процент людей (проживаю-
1<^47
щих в провинции z), родившихся в провинции i.
Строгая вертикальная передача предпочтений, т.е. взаимосвязь между фами-
лиями и потребительскими расстояниями, была выявлена только в отношении
продуктов питания.
•	Дистанционная модель альтруизма
В эволюционной экологии альтруизм толкуется как семейный отбор или
групповой отбор и считается основной движущей силой перехода от одноклеточ-
ных организмов к многоклеточным. Дистанционная модель альтруизма [KoelOO]
предполагает, что альтруисты распространяются локально, т.е. с небольшими
расстояниями взаимодействия и расстояниями дисперсии потомства, тогда как для
эволюционной реакции эгоистов свойственно стремление увеличить эти расстоя-
ния. Промежуточные типы поведения являются неустойчивыми, и эволюция ведет
к стабильной бимодальной пространственной модели.
•	Дистанционная беговая модель
Дистанционной беговой моделью называется модель антропогенеза, предложен-
ная в [ВгЫ04]. Бипедализм (хождение на двух ногах) является ключевой поведен-
ческой адаптацией гоминидов, появившейся 4,5-6 млн лет назад. Однако австрало-
питеки все еще оставались животными. Род Ното, появившийся около 2 млн лет
назад, уже умел изготавливать примитивные орудия. Модель Брамбле-Либермана
объясняет этот переход рядом адаптаций, характерных для бега на большие
расстояния по саванне. Они показывают, как приобретенная способность Ното к
длительному бегу предопределила форму человеческого тела, обеспечив сбаланси-
рованное положение головы, низкие и широкие плечи, узкую грудную клетку,
короткие предплечья, длинные бедра и т.д.
!
Глава 24
Расстояния в физике и химии
i
24.1.	РАССТОЯНИЯ В ФИЗИКЕ	
а
Физика изучает поведение и свойства материи в самом широком диапазоне, от )
субмикроскопических частиц, из которых построена вся обычная материя (физика ]
элементарных частиц), до поведения материальной вселенной в целом (космо-
логия). Физическими силами, действие которых проявляется на расстоянии (т.е. *
отталкивание или притягивание без непосредственного "физического контакта"), j
являются силы ядерного и молекулярного притяжения, а за атомным уровнем - 1
сила тяготения (дополняемая, возможно, силой антигравитации), статическое 1
электричество и магнетизм. Последние две силы могут одновременно отталкивать ।
и притягивать. В данной главе речь идет о сравнительно малых расстояниях, j
а расстояния большой протяженности (в астрономии и космологии) будут рассмат- j
риваться в главах 25 и 26. Вообще говоря, расстояния, имеющие физический ।
смысл, лежат в пределах от 1,6 х КУ*35 м (длина Планка) до 7,4 х 1026 м (предпола-
гаемые размеры наблюдаемой вселенной). В настоящее время теория относитель-
ности, квантовая теория и законы Ньютона позволяют описывать и предсказывать
поведение физических систем, измеряемых в пределах 10_,5-1025 м. Гигантские
ускорители позволяют регистрировать частицы размером 10“18 м.
• Механическое расстояние
Механическим расстоянием называется положение частицы как функция време-
ни t. Для частицы с начальной координатой х0, начальной скоростью и
постоянным ускорением а оно задается как
/ \	1	2
Х(Г) = ХО + ГОГ + -Щ .
Расстояние в результате падения с равномерным ускорением а для достижения
V2
скорости о определяется как х = —.
2а
Свободно падающее тело - тело, на которое в падении воздействует только
_	1	7
сила тяготения g. Расстояние падения тела за время г равно —#Г; оно называется
расстоянием свободного падения.
•	Остановочное расстояние
Остановочное расстояние - расстояние, на которое объект перемещается в
среде с сопротивлением от исходной точки до остановки.
Для объекта с массой т, движущегося в среде с сопротивлением (где сила
торможения на единицу массы пропорциональна скорости с константой пропор-
циональности р, и каких-либо других воздействий на данный объект нет),
4
Глава 24. Расстояния в физике и химии
347
положение х(0 тела с начальной координатой х0 и начальной скоростью &0 задается
как а(,) = 1о+|(1-е-Ъ. Скорость „ла ь(,).х'<0 = умсоьшастсл
постепенно до нуля и тело достигает максимального остановочного расстояния
-'terminal = Пт x(f) = Хо +	.
Г->°о	Р
Для снаряда, вылетевшего из начальной точки (xq, Уо) с начальной ско-
ростью (%»%)» положение (x(r), y(t)) задается как
Vr а
х(г) = х0+-^-(1-е₽'),
= [ Уо ~ I+ V°^2 £ е Р* • Горизонтальное перемещение прекращается
\ Р Р / и
после достижения телом максимального остановочного расстояния
^terminal “•*()“* jj- *
•	Баллистические расстояния
Баллистика занимается изучением движения снарядов, т.е. тел, которые приве-
дены в движение (или брошены) с некоей начальной скоростью, и которые затем
испытывают воздействие сил тяготения и торможения.
Горизонтальное расстояние полета называется дальностью, максимальная
высота полета - высотой, а пройденный путь - траекторией.
Для снаряда, пущенного со скоростью г0 под углом 0, дальность определяет-
ся как
х(г) = vtf cos 0,
где t — время движения. Полная дальность на плоскости при условии падения
снаряда на высоте, одинаковой с высотой места выстрела, составляет
_ sin 20
*max “	’
g
которая будет максимальной при 0 = я/4. Если высота точки падения на АЛ выше
точки запуска, то
э (г	\1/2\
_ Do sin 20	2Ahg J
*max ~ Z * +	2 • 2 л I
2<?	( o0sm 9 J J
Высота задается как
d0 sin2 0
2#
и будет максимальной, если 0 = л/2.
Длина дуги траектории определяется как
—(sin0 + cos20gd |(0)),
g
348
Часть VI. Расстояния в естественных науках
где gd(x) = I-------функция Гудермана, Длина дуги будет максимальной, если
< cosh Г
о
gd (0)sin 0 = ( --- sm 0 = 1, и приближенное решение имеет вид 0 « 0,9855.
J cost
Vo 7
•	Расстояние взаимодействия
Расстояние взаимодействия между двумя частицами - наибольшее расстояние
между ними в ходе сближения, когда становится очевидно, что они продолжат
движение в том же направлении и с той же скоростью.
•	Гнрораднус
Гнрорадиус (или радиус циклотронных колебаний, радиус Лармора) - радиус
круговой орбиты заряженной частицы (например, испускаемых Солнцем быстрых
электронов), которая вращается вокруг своего скользящего центра.
•	Законы обратной пропорциональности квадрату расстояния
Закон обратной пропорцнональностн квадрату расстояния - любой закон,
утверждающий, что некая физическая величина обратно пропорциональна квад-
рату расстояния от источника этой величины.
Закон всемирного тяготения (Ньютона-Буллиальдуса): гравитационное притя-
жение между двумя точечными объектами с массами т2 на расстоянии d
определяется как
с~?~-
где G - универсальная гравитационная постоянная Ньютона. Существование
дополнительных измерений пространства, предлагаемое М-теорией, будет
экспериментально проверено в 2008 г. на открывающемся в ЦЕРНе близ Женевы
Большом адронном коллайдере (LHC). В основе эксперимента лежит обратная
пропорциональность гравитационного притяжения в n-мерном пространстве и
(л - 1)-й степени расстояния между объектами; если во вселенной существует
четвертое измерение, ускоритель LHC покажет обратную пропорциональность
кубу малого расстояния между частицами.
Закон Кулона: сила притяжения или отталкивания между двумя точечными
объектами с зарядами е2 на расстоянии d определяется как
где k - постоянная Кулона, зависящая от среды, в которую погружены
заряженные объекты. Гравитационные и электростатические силы двух тел,
обладающих массами Планка тР ~ 2,176 х 10~8 кг и единичным электрическим
зарядом, одинаковы по величине.
Интенсивность (мощность на единицу площади в направлении распрост-
ранения) фронта сферической волны (света, звука и т.п.), исходящей из точечного
источника, убывает (если не принимать во внимание потери от поглощения и
рассеяния) обратно пропорционально квадрату d2 расстояния d до этого источника.
„ 1
Однако для радиоволн это уменьшение соответствует —.
d
Глава 24. Расстояния в физике и химии
349
•	Дальность действия фундаментальных сил
Фундаментальными силами (или взаимодействиями) являются сила тяготения,
электромагнитная сила, слабые и сильные ядерные силы. Дальность действия силы
считается короткой, если она слабеет (приближается к 0) экспоненциально по
мере увеличения расстояния d. Как электромагнитная, так и гравитационная силы
являются силами бесконечной дальности действия, подчиняющимися законам
обратной пропорциональности квадрату расстояния. Чем меньше расстояние, тем
больше энергия. Как слабая, так и сильная ядерные силы действуют на очень
близких расстояниях (около 10"18 и 10"15 м), ограниченных принципом неопре-
деленности.
На субатомных расстояниях в теории квантового поля сильные и слабые
взаимодействия описываются одной и той же совокупностью формул, но с разными
константами; при очень больших энергиях они почти совпадают.
•	Дальний порядок
Физическая система обладает свойством дальнего порядка, если удаленные друг
от друга части одной и той же выборки демонстрируют коррелированное пове-
дение. Например, в кристаллах и некоторых жидкостях положение одного и со-
седних с ним атомов определяет положение всех других атомов. Примерами
дального порядка являются сверхтекучесть и намагниченность в твердых телах,
волны плотности заряда, сверхпроводимость. Блнжннй порядок - это первый или
второй ближайшие соседи данного атома. Точнее говоря, система обладает
свойством дальнего порядка, квазидальнего порядка или является разупорядо-
ченной, если соответствующая функция корреляции убывает на больших
расстояниях до константы, до нуля полиномиально или до нуля экспоненциально
(см. Зависимость от большой дальности, гл. 28).
•	Дистанционное действие (в физике)
Дистанционное действие - взаимодействие между двумя объектами в прост-
ранстве без участия известного посредника. Эйнштейн использовал термин
’ дистанционное призрачное действие" для квантового механического взаимо-
действия (например, зацепления и квантумной нелокальности), которое является
мгновенным, независимо от расстояния (см. Принцип локальности, гл. 28). В 2004 г.
Зеллингер и др. провели эксперимент по телепортации (на расстояние 600 м)
некоторой квантовой информации - свойства поляризации фотона - его парному
объекту во взаимодействующей паре фотонов. При этом, однако, сильной
нелокальности, т.е. измеримого дистанционного действия (сверхсветового
распространения реальной физической информации) не наблюдалось, дг, собствен-
но, и не ожидалось.
Спорное само по себе (в силу того что скорость света есть максимум) не-
квантовое взаимодействие на большой дальности приобретает статус маргиналь-
ного по отношению к проблеме "дистанционного ментального действия" (телепа-
тия, предвидение, психокинез и т.п.). Однако, если интуитивная гипотеза Пенроуза,
что мозг человека использует квантумные механические процессы, верно, то такая
"нелокальная телепатическая" передача представляется возможной.
Термин взаимодействие на малой дальности также используется для обозна-
чения передачи дистанционного действия какой-либо материальной средой из
одной точки в другую с определенной скоростью, зависящей от свойств среды.
Кроме того, в области хранения информации термином взаимодействие в ближнем
поле обозначается взаимодействие на очень малых расстояниях с использованием
технологии сканирующей головки.
350
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Расстояние прыжка
Прыжок - динамическое воздействие на большой, по атомной шкале, дальности,
регулирующее диффузию и электропроводность. Так, например, окисление ДНК
(потеря одного электрона) порождает радикальный катион, который может
мигрировать на большое расстояние (более 20 нм), которое называется расстоя-
нием прыжка между сайтами ("прыгать" от одной комбинации к другой), прежде
чем он будет пойман реакцией с водой.
•	Глубина проникновения
Глубиной проникновения вещества называется расстояние, на которое может
проникнуть электромагнитная радиация. Глубина проникновения записывает-
ся как
с
где с - скорость света, о - удельная электропроводность, ц - проницаемость и со -
угловая частота.
•	Длина пространственной когерентности
Длина пространственной когерентности - расстояние распространения от
когерентного источника до наиболее удаленной точки, где электромагнитная
волна еще сохраняет специфическую степень когерентности. Данное понятие
используется в технике дальней связи (обычно в системах оптической связи) и
синхротронных устройствах с рентгеновской оптикой (современные синхротроны
обеспечивают весьма высокую когерентность рентгеновских лучей). Длина
пространственной когерентности составляет около 20 см, 100 м и 100 км для гелий-
неоновых, полупроводниковых и волоконных лазеров соответственно (см. длина
временной когерентности, которая описывает соотношение между сигналами,
наблюдаемыми в разные моменты времени).
•	Длина смыкания
Для сверхтекучей жидкости длиной смыкания является длина, на протяжении
которой волновая функция может изменяться, продолжая предельно уменьшать
энергию.
Для конденсатов Бозе-Эйнштейна длина смыкания - пограничная область
с шириной, на протяжении которой плотность вероятности конденсата сводится
к нулю.
•	Оптическое расстояние
В оптических и телекоммуникационных системах связи оптическим расстоянием
(или оптической длиной пути) называется пройденное светом расстояние:
произведение физической длины пути в среде на показатель преломления этой
среды. По принципу Ферма свет всегда распространяется по наикратчайшему
оптическому пути.
Для последовательности непрерывных слоев с показателем преломления n(s)
как функции расстояния s оптическое расстояние записывается как
Глава 24. Расстояния в физике и химии
351
Для последовательности дискретных слоев с показателями преломления и, и
толщины Si оптическое расстояние равно
где 8 - сдвиг по фазе и kQ - длина волны в вакууме.
•	Акустическая метрика
В акустике акустическая (или звуковая) метрика характеризует свойства
распространения звука в конкретных средах: воздухе, воде и т.п.
В общей теории относительности и квантовой гравитации она характеризует
свойства распространения сигнала в данной аналоговой модели (относительно
физики сжатой материи), где, например, распространение скалярного поля в
искривленном пространстве-времени моделируется (см. для примера исследования
[BLV05]) распространением звука в движущейся жидкости или замедлением света в
движущейся диэлектрической жидкости или в сверхтекучей жидкости (квази-
частицы в квантовой жидкости) и т.п. Прохождение сигнала через акустическую
метрику изменяет саму метрику; например, распространение звука в воздушной
среде вызывает перемещение воздуха и приводит к локальному изменению
скорости звука. Такая ’’эффективная” (т.е. идентифицируемая по ее эффекту)
метрика Лоренца (см. гл. 7) регулирует вместо фоновой метрики распространение
колебаний: вовлеченные в пертурбации частицы перемещаются по геодезическим
этой метрики.
Именно, если жидкость является баротропной и невязкой, а поток безвихревым,
то распространение звука описывается акустической метрикой, которая зависит от
плотности р потока, вектора скорости v потока и локальной скорости 5 звука в
жидкости. Она может быть выражена как акустический тензор
f-(s2-v2) : -v7^
о
g = g(r,x) = - •••	•••	,
l"v : Ь J
где 13 - единичная 3x3 матрица и v = II v II. Акустический линейный элемент
можно записать как
ds2 = -(-(52 - v2)dt2 -2vdxdt + (dx)2) = -(-s2dt2 + (dx - vdt)2).
s	s
Сигнатура этой метрики равна (3, 1), т.е. она является метрикой Лоренца.
Если скорость жидкости становится сверхзвуковой, то звуковые волны уже не
могут возвратиться назад, т.е. существует некая немая дыра, акустический аналог
черной дыры.
Оптические метрики также используются в аналоговом представлении гравита-
ции и техниках эффективных метрик; они соответствуют представлению гравита-
ционного поля как эквивалентной оптической среды, где магнитная проницаемость
равна электрической.
•	Метрическая теория гравитации
Метрическая теория гравитации предполагает существование симметричной
метрики (рассматриваемой как свойство самого пространства), которой соответ-
ствуют материя и негравитационные поля. Эти теории различаются по типу
352
Часть VI. Расстояния в естественных науках
дополнительных гравитационных полей, скажем, в зависимости или независимости
от местоположения и/или скорости локальных систем. Одной из таких теорий
является общая теория относительности; она рассматривает только одно
гравитационное поле, саму пространственно-временную метрику, и подчиняется
эйнштейновскому дифференциальному уравнению с частными производными.
Эмпирическим путем было определено, что, помимо конформно плоской
скалярной теории Нордстрема (1913), любая другая метрическая теория
гравитации привносит дополнительные гравитационные поля.
•	Квантовые метрики
Квантовая метрика - общий термин, используемый для метрики, с помощью
которой предполагается описать пространство-время по квантовой шкале (т.е.
порядка длины Планка 1Р). Экстраполируя расчеты как квантовой механики, так и
общей теории относительности, метрическая структура пространства-времени
определяется как колебания вакуума с весьма высокой энергией (1019 ГэВ,
соответствующей массе Планка тР), что создает черные дыры с радиусами порядка
1Р. Пространство-время становится "квантовой пеной" с мощными деформациями и
турбулентностью. Оно теряет гладкую непрерывную структуру (наблюдаемую на
макроскопическом уровне) риманова многообразия и становится дискретным,
фрактальным, недифференцируемым: на уровне величины 1Р происходит разрыв
функционального интеграла в классических уравнениях поля.
Примеры квантового метрического пространства представлены компактным
квантовым метрическим пространством Риффеля, метрикой Фубннн-Штуди на
квантовых состояниях, статистической геометрией нечетко определенных масс
[ReRoOl] и квантованием метрического конуса (гл. 1) [IsKuPe90].
•	Квантальные расстояния
Квантальным расстоянием называется расстояние между квантовыми состоя-
ниями, представленными в виде операторов плотности (т.е. положительных
операторов с единичным следом) в комплексном проективном пространстве над
бесконечномерным гильбертовым пространством. Его m-мерный вариант соот-
ветствует т-кубитовым квантумным состояниям, представленным 2т х 2т мат-
рицами плотности.
Пусть X обозначает множество всех операторов плотности в данном гиль-
бертовом пространстве. Для двух данных квантумных состояний, представленных
операторами плотности х, у е X, упомянем следующие расстояния на X.
Метрика нормы Гильберта-Шмидта (см. гл. 13) равна д/тг((х - у)2), где
|| А || = -/тг(АгА) есть норма Гильберта-Шмидта оператора А.
Метрика следовой нормы (см. гл. 12) равна II х - у 11гг, где || А ||гг= Тг у(АТА) есть
следовая норма оператора А. Максимальная вероятность того, что с помощью
квантового измерения можно будет отличить х от у, равна || х - у ||fr.
Расстояние Буреса равно ^2(1 - Tr((Vxy7x)2)) (см. Метрика Буреса, гл. 7).
Достоверная подобность равна 7г((7ху7х)2)).
Расстояние Гаддера равно inf{X е [0, 1]: (1 - Х)х + Хх'= (1 - Х)у + Ху'; х'у'е X}.
В действительности, X является выпуклым, т.е. Хх + (1 -X) у е X всякий раз, когда
х,у е Хи Хе (0,1).
Гаава 24. Расстояния в физике и химии
353
Примерами других расстояний, применяемых в этой области, являются метрика
нормы Фробениуса (см. гл. 12), метрика Соболева (см. гл. 13), метрика Монжа-
Канторовича (см. гл. 21).
24.2. РАССТОЯНИЯ В ХИМИИ
Основные химические вещества являются ионными (т.е. скреплены ионными
связями), металлическими (большими структурами с плотной упаковкой
кристаллической решетки, скрепленными металлическими связями), гигантскими
ковалентными (как, например, алмазы и графиты) или молекулярными (малыми
ковалентными). Молекулы состоят из определенного количества атомов,
скрепленных между собой ковалентными связями; их размеры колеблются от
малых (одноатомных молекул редких газов) до гигантских молекул (типа
полимеров или ДНК). Межатомное расстояние между двумя атомами - расстояние
(в ангстремах или пикометрах) между их ядрами.
•	Атомный радиус
Квантовая механика предполагает, что атом не является шаром с четко
обозначенными границами. Соответственно атомный радиус определяется как
расстояние от ядра атома до наиболее стабильного электрона, обращающегося на
орбите вокруг атома, находящегося в уравновешенном состоянии. Атомные
радиусы представляют собой размеры отдельных, электрически нейтральных
атомов, на которые не воздействуют никакие связи.
Атомные радиусы рассчитываются по расстояниям химической связи, если
атомы элемента образуют связи; в иных случаях (например, для редких газов)
используются только радиусы Ван-дер-Ваальса.
Атомные радиусы увеличиваются для тех элементов, которые расположены
ниже по столбцу (или левее по строке) периодической таблицы Менделеева.
•	Расстояние химической связи
Расстояние химической связи (или длина связи) - расстояние между ядрами двух
связанных атомов. Так, например, типовыми расстояниями связи для углерод-
углеродистых связей в органической молекуле являются 1,53, 1,34 и 1,20 А для
одиночной, двойной и тройной связей соответственно.
В зависимости от типа связи элемента его атомный радиус называется кова-
лентным или металлическим. Металлический радиус равен половине метал-
лического расстояния, т.е. наименьшего ядерного расстояния в металлическом
кристалле (плотно упакованной кристаллической решетке металлического
элемента).
Ковалентные радиусы атомов (элементов, образующих ковалентные связи)
рассчитываются по расстояниям химической связи между парами атомов,
связанных ковалентно: эти расстояния связи равны сумме ковалентных радиусов
двух атомов. Если два атома являются однотипными, то их ковалентный радиус
равен половине их расстояния химической связи. Ковалентные радиусы для
элементов, атомы которых не могут связываться друг с другом, вычисляются
посредством комбинирования, в различных молекулах, радиусов тех атомов,
которые связываются, с расстоянием химической связи между парами атомов
различных типов.
12. Деза Е. и Деза М.-М.
354
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Контактное расстояние Ван-дер-Ваальса
При изучении межмолекулярных расстояний атомы рассматриваются как
твердые сферы. Предполагается, что сферы двух соседних несвязанных атомов
(в соприкасающихся молекулах или атомах) лишь касаются друг друга. Следо-
вательно, их межатомное расстояние, называемое контактным расстоянием Ван-
дер-Ваальса, является суммой радиусов, называемых радиусами Ван-дер-Ваальса,
их твердых сфер. Радиус Ван-дер-Ваальса для углерода составляет 1,7 А, тогда как
его ковалентный радиус - 0,76 А. Контактное расстояние Ван-дер-Ваальса
соответствует ’’слабой связи”, когда силы отталкивания электронных оболочек
превышают силы Лондона (электростатического притягивания).
•	Межионное расстояние
Ион - это атом, обладающий положительным или отрицательным зарядом.
Межионное расстояние есть расстояние между центрами двух соседних (связанных)
ионов. Ионный радиус рассчитывается по расстоянию ионной связи в реальных
молекулах и кристаллах.
Ионный радиус катионов (положительных ионов, например, натрия Na*)
меньше атомного радиуса атомов, из которых они получены, тогда как анионы
(отрицательные ионы, например, хлора СГ) по размеру больше соответствующих
атомов.
•	Гидродинамический радиус
Гидродинамический радиус молекулы в момент диффузии в растворе является
гипотетическим радиусом твердой сферы, которая растворяется с той же
скоростью.
•	Дальность действия молекулярных сил
Молекулярные силы (или силы межмолекулярного взаимодействия) включают в
себя следующие электромагнитные силы: ионная связь (заряд), водородная связь
(биполярная), двухдипольное взаимодействие, силы Лондона (притягивающая
составляющая сил Ван-дер-Ваальса) и стерического отталкивания (отталкивающая
составляющая сил Ван-дер-Ваальса). Если расстояние (между двумя молекулами
или атомами) равно J, то (определено экспериментально) функция потенциальной
энергии Р обратно пропорциональна dtl с п = 1, 3, 3, 6, 12 для пяти вышепри-
веденных сил соответственно. Дальность (или радиус) взаимодействия считается
короткой, если Р быстро приближается к 0 по мере увеличения d. Она также
называется короткой, если не превосходит 3 А; следовательно, короткой является
только дальность стерического отталкивания (см. Дальность действия фунда-
ментальных сил).
Например: для полиэлектролитических растворов дальнодействующая ионная
сила вода-растворитель соперничает с меньшей по дальности связующей силой
вода-вода (водородная связь).
•	Химическое расстояние
Различные химические системы (единичные молекулы, их фрагменты, крис-
таллы, полимеры, кластеры) хорошо представляются в виде графов, у которых
вершины (скажем, атомы, молекулы, действующие как мономеры, фрагменты
молекул) связаны ребрами - химическими связями, межмолекулярными взаимо-
действиями Ван-дер-Ваальса, водородной связью, путями реакций и т.п.
В органической химии молекулярный граф G(x) = (V(x), Е(х))- граф, пред-
ставляющий молекулу х таким образом, что вершины v е V(x) являются атомами,
Глава 24. Расстояния в физике и химии
355
а ребра е е Е(х) соответствуют связям электронных пар. Число Винера молекулы
равно половине суммы всех попарных расстояний между вершинами их
молекулярного графа.
BE-матрица (связей и электронов) молекулы х есть I V(x) I х I У(х) 1-матрица
((^/х))), где еи (х) - число свободных необобщенных валентностью электронов
атома А, и, для / Ф j, е,/х) = е^(х) = 1, если существует связь между атомами А, и Ау, и
ву(х) = е^(х) = 0, иначе.
Для двух молекул х и у стехиометрического состава (т.е. с одинаковым
количеством атомов) химическим расстоянием Дагунджи-Уги между ними
является хэммингова метрика
У, \etj(x)-ey(y)\,
и химическое расстояние Поспншала-Квашннчкн между ними выражается как
mJn У l«vW-eP(0/,(j)Wl’
где Р - любая перестановка атомов.
Вышеприведенное расстояние равно | Е(х) | +1 Е(у) | -21 Е(х, у) |, где Е(х, у) -
множество ребер максимального общего подграфа (в общем случае не инду-
цированного) молекулярных графов G(x) и G(y) (см. Расстояние Зелннки, гл. 15 и
Расстояние Махалонобнса, гл. 17).
Расстояние реакции Поспншала-Квашннчкн, поставленное в соответствие
молекулярному преобразованию х -> у, есть минимальное число элементарных
преобразований, необходимых для превращения G(x) в G(y).
•	Молекулярный RMS радиус
Молекулярный RMS радиус (или радиус вращения) - среднеквадратичное
расстояние атомов в молекуле от их общего центра тяжести; этот радиус
определяется как
[24 IX X4
J _ I i j
I П +1 У (п +1)2
где п - количество атомов, dQi - евклидово расстояние f-го атома от центра тяжести
молекулы (в конкретной конфигурации), a dy - евклидово расстояние между /-м и
j-m атомами.
•	Средний молекулярный радиус
Средний молекулярный радиус- число -L, где и - количество атомов в
п
Ъха
молекуле, а г, - евклидово расстояние /-го атома от геометрического центра ~-
п
молекулы (здесь Ху является /-й декартовой координатой j-го атома).
12*
Глава 25
Расстояния в географии, геофизике
и астрономии
25.1.	РАССТОЯНИЯ В ГЕОГРАФИИ И ГЕОФИЗИКЕ
•	Расстояние большого круга
Расстояние большого круга (или сферическое расстояние, ортодромическое
расстояние) является наикратчайшим расстоянием между точками х и у на земной
поверхности, измеренное вдоль пути на поверхности Земли. Это - длина дуги
большого круга, проходящей через точки х и у на сферической модели планеты.
Пусть 5| и ф| являются соответственно широтой и долготой х, а 32 и ф2 -
аналогичными параметрами у; пусть г - радиус Земли. Тогда расстояние большого
круга равно
rarccosCsinSj sin32 +cos3! cos32 cos(0| -ф2)).
Для сферических координат (0, ф), где ф - азимутальный угол и 0 - колатитьюда
(дополненные широты), расстояние большого круга между х = (0h ф0 и у = (02, ф2)
равно
rarccos(cos0| cos02 + sin0j sin02со8(ф, -ф2)).
Для ф| = ф2 вышеприведенная формула сокращается до г I 0| - 02 I.
Сфероидальным расстоянием называется расстояние между двумя точками
земной поверхности в сфероидальной модели планеты. Земля по своей форме
больше похожа на сплюснутый сфероид с максимальными значениями радиусов
кривизны 6336 км на экваторе и 6399 км на полюсах.
•	Локсодромическое расстояние
Локсодрома (румб) - кривая по поверхности Земли, пересекающая каждый
меридиан под одинаковым углом. Это путь, при котором сохраняется постоянное
направление по компасу.
Локсодромическое расстояние - расстояние между двумя точками на поверх-
ности Земли по локсодроме, соединяющей их. Оно никогда не бывает короче пути
по дуге большого круга.
Морским расстоянием называется длина локсодромы, соединяющей любые два
места на поверхности Земли, выраженная в морских милях. Одна морская миля
равна 1852 м.
•	Расстояние континентального шельфа
Статья 76 Конвенции ООН по морскому праву (1999) определяет континен-
тальный шельф прибрежного государства (его суверенное владение) как морское
дно и недра подводных районов, простирающихся за пределы его террито-
риального моря на всем протяжении естественного продолжения его сухопутной
территории до внешней границы подводной окраины материка. Конвенцией
установлено, что расстояние континентального шельфа, т.е. дальность от исход-
Глава 25. Расстояния в географии, геофизике и астрономии
357
ных линий, от которых отмеряется ширина территориального моря, до вышеука-
занной границы, должно находиться в пределах 200-350 морских миль, а также
предписаны правила (почти) точного его определения.
Статьей 47 этой же Конвенции обусловлено, что для государств-архипелагов
отношение площади водной поверхности (суверенное владение) к площади их
суши, включая атоллы, составляет от 1 : 1 до 9 : 1, и выработаны правила приме-
нительно к конкретным случаям.
•	Расстояния радиосвязи
Расстояние горизонта - расстояние на поверхности Земли, на которое распрост-
раняется прямая волна; в результате отражения волн от атмосферы это расстояние
может превышать дальность прямой видимости. В телевидении расстоянием го-
ризонта называется расстояние до наиболее удаленной точки на поверхности
Земли, находящейся в пределах видимости передающей антенны.
Зона молчания - наименьшее расстояние, на котором обеспечивается прием
радиосигнала (определенной частоты) от передатчика после его отражения
(прыжка) от ионосферы.
Расстояние прямой видимости - расстояние, которое проходит радиосигнал от
одной антенны к другой при условии, что антенны находятся в прямой видимости и
на пути радиосигнала нет никаких препятствий. Именно, радиоволны могут
распространяться и за горизонт, поскольку они взаимодействуют с земной поверх-
ностью и/или ионосферой.
При использовании двух радиочастот (например, 12,5 и 25 кГц в морской связи)
расстояние функциональной совместимости и расстояние разнесения соседних
каналов (частот) определяют дальность, на которой все приемники будут прини-
мать сигналы передатчиков и соответственно минимальное расстояние между
узкополосным передатчиком и широкополосным приемником, с тем чтобы из-
бежать помех.
DX обозначает на слэнге радиолюбителей (и в морзянке) дальний прием;
работать в режиме DX - это вести радиообмен на большой дальности (для чего
необходимы соответствующие усилители мощности).
•	Допускаемое расстояние
В компьютерных геоинформационных системах (GIS) допускаемым
расстоянием называется максимальное расстояние между двумя точками, которое
устанавливается таким образом, чтобы обеспечивалась коррекция мертвых зон и
промахов (зафиксированные вместе линии) по мере того как они оказываются в
рамках допускаемого расстояния.
•	Расстояние на карте
Расстояние на карте - расстояние между двумя точками на карте (не путать с
расстоянием отображения между двумя локусами на генетической карте).
Горизонтальное расстояние определяется умножением расстояния на карте на
ее масштаб.
•	Горизонтальное расстояние
Горизонтальное расстояние (расстояние на местности) - расстояние на плос-
кости между двумя точками, как изображено на карте (без учета особенностей
рельефа местности между этими точками). Различают два типа горизонтального
расстояния: прямолинейное расстояние (длина отрезка прямой, соединяющей
358
Часть VI. Расстояния в естественных науках
данные точки, измеренная в масштабе карты) и расстояние путешествия (длина
кратчайшего маршрута между двумя точками, измеренная в масштабе карты с
учетом существующих дорог, рек и т.п.).
•	Наклонное расстояние
Наклонным расстоянием (или наклонной дальностью) называется (в отличие от
истинно горизонтального или вертикального) расстояние между двумя точками,
измеренное с учетом наклона.
•	Расстояние движения по дороге
Расстоянием движения но дороге (или фактическим расстоянием, колесным
расстоянием, дорожным расстоянием) между двумя точками (например, городами)
некоторого региона называется длина кратчайшей дороги, соединяющей эти
точки. Поскольку чаще всего измерить фактическое расстояние не представляется
возможным, обычно используются оценочные расстояния. Эмпирические данные
показывают, что расстояние движения по дороге зачастую является линейной
функцией расстояния большого круга; в городах Швеции можно считать, что
дорожное расстояние приблизительно равно 1,25 • J, где d - расстояние большого
круга. В США такой множитель равен примерно 1,15 в направлении с востока на
запад и примерно 1,21 в направлении с севера на юг.
Ниже приведены некоторые родственные понятия.
Время движения между объектами; городская дорожная сеть 20 крупнейших
городов Германии является безмасштабной именно для этой меры (возможно,
наиболее близкой для водителей).
Официальное расстояние - признанное расстояние езды на автомобиле между
двумя пунктами, которое используется для расчета пути и оплаты за перевозку
(не путать с расстоянием стоимости системного администрирования в Интернете).
Расстояние между почтовыми индексами (в общем случае это почтовые и
телефонные коды городов) - расчетное расстояние езды на автомобиле (или время
езды на автомобиле) между двумя соответствующими пунктами.
•	Расстояние Мохо
Расстояние Мохо - расстояние от точки на поверхности Земли до границы
раздела двух сред по Мохоровичичу (или сейсмической границы Мохоровичича)
под этой точкой. Границей раздела двух сред по Мохоровичичу называется граница
между хрупкой верхней частью земной коры и более горячей и мягкой мантией.
Расстояние Мохо составляет порядка 5-10 км под дном океана и 35-65 км в глубь
материков (глубочайшая в мире пещера Крубера-Воронья на Кавказе - 2,14 км,
глубочайшая шахта на золотых приисках "Western Deep Levels", ЮАР - около 4 км
и сверхглубокая буровая шахта на Кольском полуострове - 12,3 км). Температура
обычно поднимается на один градус на каждые 33 м глубины. Японское иссле-
довательское буровое судно "Тикю" ("Chikyu") в период с сентября 2007 г. начало
осуществлять бурение в 200 км от побережья г. Нагоя на глубину до сейсмической
границы Мохоровичича.
Мантия Земли простирается от сейсмической границы Мохоровичича до грани-
цы между мантией и ядром на глубине около 2890 км. Мантия Земли разделяется
на верхнюю и нижнюю мантии, граница между которыми проходит на глубине
около 660 км. Другие сейсмические границы отмечаются на глубинах 60-90 км
(граница Хэле), 50-150 км (граница Гуттенберга), 220 км (граница Лемана), 410 км,
520 км и 710 км.
Глава 25. Расстояния в географии, геофизике и астрономии
359
•	Расстояния в сейсмологии
Земная кора состоит из тектонических плит, которые перемещаются (на
несколько сантиметров в год) под воздействием тепловой конвекции от глубинной
мантии и сил тяготения. Края этих плит обычно давят друг на друга, и иногда резко
смещаются относительно друг друга. Землетрясение, т.е. внезапное (в течение
нескольких секунд) движение или дрожание Земли, вызванное резким высвобож-
дением постепенно накопленного напряжения, начиная с 1906 г. рассматривалось
как образование разлома (внезапное появление, образование активных центров и
распространение новых трещин и сдвигов) по причине упругого восстановления
после деформации. Однако с 1996 г. землетрясение рассматривается в контексте
скольжения тектонических плит вдоль уже существующих разломов или стыков
между ними как результат прерывистого сдвига пород в условиях фрикционной
нестабильности. Соответственно землетрясение происходит, когда динамическое
трение становится меньше статического трения. Движущаяся граница области
скольжения называется фронтом разрыва. Обычно предполагается, что сдвиг -
это определенная поверхность, направленная по касательной скачка смещений,
заключенных в прослойке упругой коры.
90% землетрясений имеют тектоническую природу, однако они могут также
быть результатом вулканического извержения, ядерного взрыва, строительства
крупных плотин или горных работ. Сила землетрясения может измеряться
глубиной очага землетрясения, скоростью смещения, интенсивностью (по моди-
фицированной шкале Меркалли эффектов землетрясений), величиной, ускорением
(основной фактор разрушения) и т.п. Сила землетрясения по логарифмической
шкале Рихтера рассчитывается с учетом амплитуды и частоты ударных волн,
которые регистрируются сейсмографом, настроенным на эпнцентральное расстоя-
ние. Увеличение силы землетрясения на 1 балл по шкале Рихтера соответствует
10-кратному увеличению амплитуды волн; наибольшей зарегистрированной вели-
чиной является 9,5 баллов (землетрясение в Чили в 1960 г.).
Модели затухания колебаний в зависимости от расстояния, используемые при
проектировании сейсмостойких сооружений (зданий и мостов), обычно основы-
ваются на параметрах затухания ускорения при увеличении расстояния между
источником и объектом, т.е. расстояния между сейсмологической станцией и
критической (для конкретной модели) "центральной" точкой землетрясения.
Простейшей моделью является гипоцентр (или очаг), т.е. точка внутри Земли,
откуда исходит землетрясение (сначала возникают колебания, затем происходит
сейсмический разрыв или начинается подвижка). Эпицентром называется точка на
поверхности Земли непосредственно над гипоцентром. Приведенная ниже
терминология также используется для обозначения других катастроф, таких как
падение или взрыв ядерной боеголовки, метеорита или кометы, однако для воз-
душных взрывов термин гипоцентр относится к точке на земной поверхности
непосредственно под взрывом. Далее приводится перечень основных сейсмоло-
гических расстояний.
Глубина очага землетрясения - расстояние между гипоцентром и эпицентром;
средняя глубина очага землетрясения составляет 100-300 км.
Гипоцентральное расстояние - расстояние от сейсмостанции до гипоцентра.
Эпнцентральное расстояние (или расстояние землетрясения) - расстояние боль-
шого круга от сейсмостанции до эпицентра.
Расстояние Джойнера-Бура - расстояние от сейсмостанции до ближайшей
точки на земной поверхности, расположенной над поверхностью разрыва, т.е.
вспоротой частью плоскости тектонического нарушения.
360
Часть VI. Расстояния в естественных науках
Расстояние разлома - расстояние от сейсмостанции до ближайшей точки на
поверхности разлома.
Расстояние сейсмогенной глубины - расстояние от сейсмостанции до ближай-
шей точки поверхности разрыва в пределах сейсмогенной зоны, т.е. глубины
возможных очагов землетрясений; обычно это 8-12 км.
Кроме того, используются расстояния от сейсмостанции до:
-	центра выброса статической энергии и центра статической деформации плос-
кости тектонического сдвига;
-	точки на поверхности с максимальной макросейсмической интенсивностью,
т.е. максимальным ускорением грунта (может не совпадать с эпицентром);
-	эпицентра, такое, на котором объемные волны, отражающиеся от сейсми-
ческой границы Мохо (раздел между корой и мантией), вызывают более значи-
тельные колебания грунта, чем вторичные волны (называется критическим
расстоянием Мохо)\
-	источников шума и помех: океанов, озер, рек, железных дорог, зданий.
Расстояние пространственно-временной связи между двумя землетрясениями х
и у определяется как
Jd2(x,y) + C\tx-t,\2,
где d(x, у) — расстояние между их эпицентрами или гипоцентрами, 1гх- tj-
различие по времени и С - масштабная константа, необходимая для корреляции
расстояния d(x, у) и времени.
Другой пространственно-временной мерой для катастрофических событий
является расстояние между ураганами Ландренау (для ураганов, накрывающих
конкретный американский штат). Оно равно протяженности береговой линии
данного штата, поделенной на количество ураганов, ударам которых штат под-
вергся с 1899 г.
25.2. РАССТОЯНИЯ В АСТРОНОМИИ
Термином небесный объект (или небесное тело) обозначаются такие астроно-
мические объекты, как звезды и планеты. Небесная сфера - проекция небесных
объектов на их кажущееся положение-на небосводе при наблюдении с Земли.
Небесный экватор - проекция земного экватора на небесной сфере. Полюсами
мира называются проекции Северного и Южного полюсов Земли на небесной
сфере. Небесным меридианом (часовым кругом) небесного объекта является
большой круг небесной сферы, проходящий через данный объект и полюсы мира.
Эклиптика - пересечение плоскости, содержащей орбиту Земли, с небесной
сферой: для наблюдателя с Земли она видится как путь, по которому Солнце
перемещается по небосводу в течение года. Точкой весеннего равноденствия
называется одна из двух точек небесной сферы, в которой небесный экватор
пересекается с плоскостью эклиптики: это положение Солнца на небесной сфере в
момент весеннего равноденствия.
Горизонт - линия, ’’отделяющая” небо от Земли. Она делит небо на верхнюю
полусферу, которую мы видим, и нижнюю полусферу, которую мы наблюдать не
можем. Полюс верхней полусферы (точка небосвода непосредственно над головой)
называется зенитом, полюс нижней полусферы - надиром.
В общем случае астрономическим расстоянием называется расстояние от одного
небесного тела до другого (измеренное в световых годах, парсеках или астро-
Глава 25. Расстояния в географии, геофизике и астрономии
361
комических единицах). Среднее расстояние между звездами (в галактиках,
подобных нашей) составляет несколько световых лет. Среднее расстояние между
галактиками (в созвездии) равняется примерно 20 их диаметрам, т.е. нескольким
мегапарсекам.
•	Широта
В сферических координатах (г, 0, ф) широтой называется угловое расстояние 5
от ху-плоскости (фундаментальной плоскости) до объекта, измеренное от начала
координат; 5 = 90° - 0, где 0 - колатнтьюда (дополнение широты).
В географической системе координат (или картографической системе
координат) широтой называется угловое расстояние от экватора Земли до объек-
та, измеренное от центра Земли. Широта измеряется в градусах от -90° (Южный
полюс) до +90° (Северный полюс). Параллели - линии постоянной широты.
В астрономии небесной широтой называется широта небесного объекта на
небесной сфере от пересечения фундаментальной плоскости с небесной сферой,
выраженная в определенной системе небесных координат. В экваториальной
системе координат фундаментальной плоскостью является плоскость земного
экватора, в эклиптической системе координат - плоскость эклиптики; в галак-
тической системе координат - плоскость Млечного Пути; в горизонтальной
системе координат - горизонт наблюдателя. Небесная широта измеряется в
градусах.
•	Долгота
В сферических координатах (г, 0, ф) долготой называется угловое расстояние ф в
ху-плоскости от х-оси до пересечения большого круга, проходящего через объект,
с ху-плоскостью.
В географической системе координат (или картографической системе коор-
динат) долготой называется угловое расстояние, измеренное в направлении на
восток вдоль экватора Земли от гринвичского меридиана (или нулевого меридиана)
до пересечения с меридианом, проходящим через объект. Долгота измеряется в
градусах от 0° до 360°. Меридиан - большой круг, проходящий через Северный и
Южный полюсы Земли; меридианы являются линиями постоянной долготы.
В астрономии небесной долготой называется долгота небесного объекта на
небесной сфере, измеренная в направлении на восток вдоль пересечения фунда-
ментальной плоскости с небесной сферой в данной системе небесных координат
от выбранной фиксированной точки. В экваториальной системе координат
фундаментальной плоскостью является плоскость земного экватора; в эклипти-
ческой системе координат - плоскость эклиптики; в галактической систе-
ме координат - плоскость Млечного Пути и в горизонтальной системе коорди-
нат - горизонт наблюдателя. Небесная долгота измеряется в единицах вре-
мени.
•	Колатнтьюда
В сферических координатах (г, 0, ф) колатнтьюдой (дополнением широты)
называется угловое расстояние 0 от 5-оси до объекта, измеренное от начала
координат; 0 = 90° - 6, где 6 - широта.
В географической системе координат (или картографической системе
координат колатнтьюдой называется угловое расстояние от Северного полюса
Земли до объекта, измеренное от центра Земли. Колатнтьюда измеряется в
градусах.
362
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Склонение
В экваториальной системе координат (или геоцентрической системе коор-
динат) склонением 8 называется небесная широта небесного объекта на небесной
сфере, измеренная от небесного экватора. Склонение измеряется в градусах
от -90 до +90°.
•	Прямое восхождение
В экваториальной системе координат (или геоцентрической системе
координат), привязанной к звездам, прямым восхождением RA называется
небесная долгота небесного объекта на небесной сфере, измеренная в направлении
на восток вдоль небесного экватора от точки весеннего равноденствия до пересе-
чения с часовым кругом объекта. Прямое восхождение измеряется в единицах
времени (часах, минутах и секундах), при этом один час равен примерно 15°.
Время, необходимое для одного полного периода прецессии равноденствия,
называется Платоническим годом (или Великим годом)', он длится примерно
257 столетий и незначительно сокращается. Данный цикл имеет важное значение
для календаря Майя и в астрологии.
•	Часовой угол
В экваториальной системе координат (или геоцентрической системе коор-
динат), привязанной к Земле, часовым углом называется небесная долгота
небесного объекта на небесной сфере, измеренная по небесному экватору от
меридиана наблюдателя до пересечения с часовым кругом небесного объекта.
Часовой угол измеряется в единицах времени (часах, минутах и секундах). Он
показывает время, истекшее с момента последнего пересечения небесным объек-
том меридиана наблюдателя (для положительного часового угла), или время
следующего пересечения (для отрицательного часового угла).
•	Полярное расстояние
В экваториальной системе координат (или геоцентрической системе коор-
динат) полярным расстоянием PD называется колатитьюда небесного объекта,
т.е. угловое расстояние от небесного полюса до небесного объекта на небесной
сфере, подобно тому, как склонение 3 измеряется от небесного экватора:
PD = 90° ± 8. Полярное расстояние выражается в градусах, и его величина не
может быть больше 90°. Объект на небесном экваторе имеет полярное расстояние
PD = 90°.
•	Эклиптическая широта
В эклиптической системе координат эклиптической широтой называется
небесная широта небесного объекта на небесной сфере, измеренная от плоскости
эклиптики. Эклиптическая широта измеряется в градусах.
•	Эклиптическая долгота
В эклиптической системе координат эклиптической долготой называется
небесная долгота небесного объекта на небесной сфере, измеренная в направлении
на восток по плоскости эклиптики от точки весеннего равноденствия. Эклипти-
ческая долгота измеряется в единицах времени.
•	Высота
В горизонтальной системе координат высота ALT - небесная широта объекта
относительно горизонта. Она дополняет зенитный угол ZA: ALT = 90° - ZA. Высота
измеряется в градусах.
Гпава 25. Расстояния в географии, геофизике и астрономии
363
•	Азимут
В горизонтальной системе координат азимутом называется небесная долгота
объекта, измеренная в направлении на восток по горизонту от полярной точки.
Азимут измеряется в градусах от 0° до 360°.
•	Зенитный угол
В горизонтальной системе координат зенитным углом ZA называется кола-
тнтьюда объекта, измеренная от зенита.
•	Лунное расстояние
Лунным расстоянием называется угловое расстояние между луной и другим
небесным объектом.
•	Расстояние эллиптической орбиты
Расстоянием эллиптической орбиты называется расстояние от тела массы ди,
находящегося на эллиптической орбите, до тела массы М в фокусе орбиты. Это
расстояние задается как
а(1-е2)
1 +ecosO’
где а - большая полуось, е - эксцентриситет и 0 - орбитальный угол.
Большая полуось а эллипса (или эллиптической орбиты) равна половине ее
большой оси; это среднее (относительно эксцентрической аномалии) расстояние
эллиптической орбиты. Среднее расстояние относительно истинной аномалии
является малой полуосью, т.е. половиной малой оси эллипса (или эллиптической
орбиты). Эксцентриситет е эллипса (или эллиптической орбиты) - это отноше-
,	с
ние половины расстояния с между фокусами и большой полуосью а: е = —.
а
г — Г_
Для эллиптической орбиты е = —----, где г+- расстояние апоапсиды иг_- рас-
г+ + г_
стояние нернапсиды.
•	Расстояние нернапсиды
Расстоянием нернапсиды называется расстояние г_ максимального сближения
тела массы т с телом массой М, вокруг которого оно вращается по эллиптической
орбите. г_ = а(1 - е), где а - большая полуось и е - эксцентриситет.
Перигей - периапсида эллиптической орбиты вокруг Земли. Перигелий - пери-
апсида эллиптической орбиты вокруг Солнца. Пернастрнй - точка орбиты двойной
звездной системы в момент максимального сближения звезд.
•	Расстояние апоапсиды
Расстоянием апоанснды называется расстояние г+ наибольшего удаления тела
массы т от тела массы М, вокруг которого оно вращается по эллиптической
орбите. г+ = а(1 + е), где а - большая полуось не- эксцентриситет.
Апогей - апоапсида эллиптической орбиты вокруг Земли. Афелий - апоапсида
эллиптической орбиты вокруг Солнца. Аноастрнй - точка орбиты двойной звезд-
ной системы в момент максимального удаления между звездами.
•	Истинная аномалия
Истинной аномалией называется угловое расстояние точки на орбите после
прохождения точки периапсиды, измеренное в градусах.
364
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Закон Титнуса-Боде
Закон Тнтнуса-Боде является эмпирическим (еще недостаточно хорошо объяс-
ненным) законом, аппроксимирующим среднее планетарное расстояние от Солнца
3& + 4
(т.е. орбитальную большую полуось планеты) как —AU (астрономических
единиц). Здесь 1 AU обозначает среднее планетарное расстояние от Солнца до
Земли (т.е. около 1,5 х 108 км « 8,3 световых минут) и к = 0,2°,2|,22, 23,24,25,26,27
для Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Цереры (крупнейший астероид астероид-
ного пояса), Юпитера, Сатурна, Урана, Плутона. При этом Нептун не соответст-
вует данному закону - место Нептуна (к = 27) занимает Плутон.
•	Расстояния между доминирующим телом и спутником
Рассмотрим два небесных тела: доминирующее М и меньшее т (спутник на
орбите вокруг Л/, или вторичная звезда, или пролетающая комета).
Средним расстоянием является среднее арифметическое максимального и
минимального расстояний тела т от тела М.
Пусть рм, рт и RM, Rm обозначают плотности и радиусы тел М и т. Тогда
пределом Роша пары (М, т) называется максимальное расстояние между ними, в
рамках которого происходит разрушение т под воздействием приливообразующих
сил М9 превосходящих внутренние гравитационные силы т. Данное расстояние
равно RM3l2^- «1,267?M3|-^-, если т является твердым сферическим телом, и
V Р/л V Р/л
составляет около 29423RM3p-^-9 если тело т является жидким. Предел Роша имеет
смысл только тогда, когда он превышает значение RM. Предел Роша имеет
значения 0,8/?^, 1,49/?^ и 2,8/?^ соответственно для пар Солнце-Земля, Земля-Луна
и Земля-комета. Вероятной причиной появления колец Сатурна могла стать его
луна, которая сблизилась с Сатурном, превысив свой предел Роша.
Пусть d(m, М) - расстояние между т и М9 a Sm и SM - массы тшМ. Тогда сфера
Хилла для т в присутствии М есть аппроксимация гравитационной сферы влияния
т в условиях возмущающего влияния М. Ее радиус примерно равен d(m9M)3 Г-12-.
Например, радиус сферы Хилла для Земли равен 0,01 AU; Луна, удаленная на
0,0025 AU от Земли, полностью находится в пределах сферы Хилла Земли.
Пару (М, т) можно охарактеризовать посредством пяти точек Лагранжа Lh
1 < i < 5, где третье значительно меньшее тело (например, космический аппарат)
имеет относительно стабильное состояние, поскольку его центробежная сила
равна суммарной силе притяжения М и т. Такими точками будут следующие:
- Lh и L3, лежащие на прямой, проходящей через центры М и т так, что
d(Li9m) = 2d(M9m)9d(M9L2) = d(M9L[)^d(L[9m)^d(m9L2) и d(Ll9m) = dim,!^)'
- L4 и L5, принадлежащие орбите т вокруг М и образующие равносторонние
треугольники с центрами М и т. Эти две точки являются наиболее стабильными;
каждая из них составляет с М и т частное решение (пока нерешенной) гравита-
ционной задачи трех тел. Возникновение Луны предполагается как следствие
бокового удара по Земле медленно приблизившегося из точки Лагранжа L4 в
системе Солнце-Земля планетоида размером с Марс.
Глава 26
Расстояния в космологии
и теории относительности
26.1. РАССТОЯНИЯ В КОСМОЛОГИИ
Вселенная определяется как полный пространственно-временной континуум,
в котором мы существуем вместе со всей заключенной в нем энергией и
веществом.
Космология занимается изучением крупномасштабной структуры вселенной.
Специфическими проблемами космологической тематики являются изотропия
вселенной (в крупнейшем масштабе вселенная представляется одинаковой по всем
направлениям, т.е. инвариантной по отношению к вращениям), однородность
вселенной (любые измеряемые свойства вселенной одинаковы повсюду, т.е.
инвариантны по отношению к переносам), плотность вселенной, соразмерность
вещества и антивещества, а также источник колебаний плотности в галактиках.
В 1929 г. Хаббл открыл, что галактики обладают положительным красным
смещением, т.е. все галактики, за исключением нескольких близлежащих галактик
типа Андромеды, удаляются от Млечного Пути. Исходя из принципа Коперника
(о том, что мы не находимся в особом месте вселенной), можно заключить, что все
галактики также удаляются друг от друга, т.е. мы живем в динамическом,
расширяющемся мире и чем дальше от нас находится галактика, тем быстрее она
движется (это называется теперь законом Хаббла (красного смещения). Потоком
Хаббла называется общее разбегание галактик и скоплений галактик в результате
расширения вселенной. Оно происходит по радиальным направлениям от наблю-
дателя и подчиняется закону красного смещения. Галактики могут преодолевать
это расширение в масштабах, меньших, чем скопления галактик, однако скопления
галактик всегда будут стремиться к разбеганию в соответствии с законом красного
смещения.
В космологии преобладающей научной теорией о возникновении и форме
вселенной является теория "большого взрыва". Наблюдение того, что галактики
кажутся удаляющимися друг от друга, можно совместить с общей теорией
относительности и экстраполировать состояние вселенной в обратном отсчете
времени. Основанные на этой методике построения показывают, что по мере
удаления в прошлое вселенная становится плотнее и ее температура увеличи-
вается. В конечном итоге возникает гравитационная сингулярность, при которой
все расстояния сводятся к нулю, а давление и температура возрастают до
бесконечности. Термин "большой взрыв" используется для обозначения некой
гипотетической точки во времени, когда началось наблюдаемое расширение все-
ленной. На основе проведенных измерений параметров расширения в настоящее
время предполагается, что возраст вселенной равен 13,7 ±0,2 млрд лет. Этот
период должен быть больше, если разбегание, как выяснилось недавно, идет с
ускорением. Дофас на основе данных об относительном содержании урана и тория
в хондритовых метеоритах предположил [Dau05], что вселенная существует уже
14,5 ± 2 млрд лет.
366
Часть VI. Расстояния в естественных науках
В космологии (или, точнее, в космографии, науке об измерении вселенной)
существует много способов для определения расстояния между двумя точками,
поскольку в условиях расширяющейся вселенной расстояния между движущимися
объектами постоянно изменяются, и для наблюдателей на Земле смотреть вдаль
означает смотреть в прошлое. Объединяющим фактором при этом является то,
что все меры расстояний так или иначе оценивают разделение между событиями
по радиально нулевым траекториям, т.е. траекториям фотонов, заканчивающихся
в точке наблюдения. В общем случае космологическое расстояние- это
расстояние, выходящее далеко за пределы нашей галактики.
Геометрия вселенной определяется рядом космологических параметров:
параметром расширения (или коэффициентом масштабирования) а, константой
Хаббла Н, плотностью р и критической плотностью pcrit (плотностью, обуслов-
ливающей прекращение расширения вселенной и, в конечном счете, ее обратный
коллапс), космологической постоянной К, кривизной вселенной к. Многие из этих
величин могут быть связаны между собой предположениями в рамках конкретной
космологи ческой модели. Наиболее общими космологическими моделями
являются открытая и закрытая космологические модели Фридмана-Леметра и
космологическая модель Эйнштейна-де Ситтера (см. также космологическая
модель Эйнштейна, космологическая модель де Ситтера, космологическая
модель Эддинтона-Леметра). Космологическая модель Эйнштейна-де Ситтера
исходит из того, что вселенная является однородной, изотропной, имеет постоян-
ную кривизну с нулевой космологической постоянной Л и давлением Р. Для пос-
,,28	2	.	1 (9GMУ/3 2/3
тояннои массы вселенной М имеем: Н = — лор, t- — H ,а =— -------- t
3 к 3	2 )
где G = 6,67 х 10“*1 м3кг_,с"2 - гравитационная постоянная, Rc =| к |“1/2 - абсолют-
ное значение радиуса кривизны и t - возраст вселенной.
Параметр расширения а = a{t) является коэффициентом масштабирования,
связывающим размер вселенной R=R(f) во времени t с размером вселенной
Яо = R(j{}) во времени г0, по закону R = аЯ0. В настоящее время его обычно
рассматривают безразмерным с a(^obser) = Ь где *obser - текущий возраст вселенной.
Константа Хаббла Н - коэффициент пропорциональности между скоростью
расширения v и размерами вселенной R, т.е. v = HR. Это равенство выражает закон
a\t)
Хаббла {красного смещения) с константой Хаббла Н =----. Текущее значение
a(t)
константы Хаббла, по недавним оценкам, равно Яо = 71 ±4кмс_| Мпк-1, где
нижний индекс 0 означает современную эпоху, так как в общем случае Н
изменяется со временем. Время Хаббла и расстояние Хаббла определяются как
1	с
tH = — и »н = — (здесь с - скорость света) соответственно.
"о	"о
Плотность массы р (равная р0 в настоящую эпоху) и значение космологической
постоянной Л являются динамическими характеристиками вселенной. Их можно
преобразовать в безразмерные параметры плотности и ОЛ: QM
ЗЯ0
Ол = —у- Третий параметр плотности QR измеряет "кривизну пространства" и
3//0
может быть определен из отношения £1М + ОЛ + QR = 1.
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
367
Этими параметрами в полной мере определяется геометрия вселенной, если она
однородна, изотропна и преимущественно материальна.
Скорость галактики измеряется по доплеровскому сдвигу, т.е. по факту
изменения длины волны испускаемого светового излучения в зависимости
от движения источника. Релятивистская форма доплеровского сдвига существует
для объектов, движущихся с очень большой скоростью: она выражается как
^obser c + v> где Xemit- длина испускаемой волны и сдвинутая наблю-
A'emit 1 C — V
даемая длина волны. Разница длин волн по отношению к неподвижному источнику
называется красным смещением (если источник удаляется) и обозначается бук-
вой z. Релятивистское красное смещение z для частицы записывается как
2 _ A^obser _ ^obser _ | = 1С+ & _ ।
^emit ^emit N С — U
Космологическое красное смещение непосредственно связано с параметром
расширения а = a(t) :z + l =	. Здесь a(robser) является значением параметра
a('emit)
расширения в период наблюдения приходящего от объекта света, a a(remit) - значе-
нием параметра расширения в период его излучения.
•	Расстояние Хаббла
Расстояние Хаббла есть константа
-
"о
= 4220 Мпк ~ 1,3 х 106 м ~ 1,377 х Ю10 световых лет,
где с - скорость света иЯ0 = 71±4кмс“1 Мпк-1 - константа Хаббла.
Это - расстояние от Земли до космического светового горизонта, которым
обозначается край видимой вселенной, т.е. радиус сферы, центром которой
является Земля, протяженностью около 13,7 млрд световых лет. Это расстояние
часто называют ретроспективным расстоянием, поскольку астрономы, наблю-
дающие удаленные объекты, фактически ’’смотрят назад" в историю вселенной.
Для небольшого vic или малого расстояния d в расширяющейся вселенной
скорость пропорциональна расстоянию и все меры расстояний, например
расстояние углового диаметра, фотометрическое расстояние и т.п., сходятся к
одному значению. Взяв линейную аппроксимацию, получим d ~ zDH, где z - красное
смещение. Однако эта формула справедлива только для небольших значений
красного смещения.
•	Расстояние совместного движения
В стандартной модели "большого взрыва" используются координаты совмест-
ного движения, где пространственная система координат привязана к среднему
местоположению галактик. Такая система координат позволяет пренебречь
параметрами времени и расширения вселенной, и форма пространства может быть
представлена как пространственная гиперповерхность с постоянным космоло-
гическим временем.
Расстоянием совместного движения (или координатным расстоянием, космо-
логическим расстоянием, х) называется расстояние в координатах совместного
движения между двумя точками в пространстве в одно и то же космологическое
время, т.е. расстояние между двумя соседними объектами во вселенной, которое
368
Часть VI, Расстояния в естественных науках
остается неизменным относительно эпохи, если оба объекта движутся в потоке
Хаббла. Это расстояние между ними, измеренное масштабной линейкой в момент
их наблюдения (собственное расстояние), деленное на отношение коэффициентов
масштабирования вселенной в исходный и текущий периоды. Иными словами, это
собственное расстояние, умноженное на (1 + z), где z- красное смещение:
^comov (х» У) = ^proper (*» У) * " ”	(%, у) • (1 + z).
Во время Zobser, Т.е. В настоящую эпоху, а = a(fobser) = 1 И Voinov = ^proper т.е.
расстояние совместного движения между двумя соседними событиями (с близкими
значениями красного смещения или расстояния) является собственным
расстоянием между ними. В общем случае для космологического времени t
,	^proper
выполняется равенство acofnov =	.
Полное расстояние совместного движения по линии прямой видимости Dc от
Земли до удаленного объекта рассчитывается посредством интегрирования
бесконечно малых </Comov(x> у) между соседними событиями вдоль луча времени,
начиная со времени femit, когда свет был излучен объектом, до момента fobseG, когда
осуществлялось наблюдение объекта:
robser ,
ос= f
J а(0
lemit
На языке красного смещения расстояние Dc от Земли до удаленного объекта
рассчитывается посредством интегрирования бесконечно малых rfcomov (х> у)
между соседними событиями вдоль радиального луча времени от z = 0 до объек-
та:	=	где DH е&гь расстояние Хаббла, и E(z) = (QM(1 + z)3 +
J £(z)
+QR(l + z)2+QA),/2^
В некотором смысле расстояние совместного движения является фундамен-
тальной мерой расстояния в космологии, поскольку все другие расстояния могут
быть выражены через него.
•	Собственное расстояние
Собственным расстоянием (или физическим расстоянием, ординарным рас-
стоянием) называется расстояние между двумя соседними событиями в системе, в
которой они происходят в одно время. Это расстояние будет измеряться масштаб-
ной линейкой в момент наблюдения. Следовательно, для космологического
времени t выполняется равенство
^ргорег(х> У) = ^comov ’ Л(0,
где </comOv “ расстояние совместного движения и о(Г) — коэффициент масшта-
бирования,
В современную эпоху (т.е. во время zobser) выполняется условие а = a(fObser) = 1 и
^proper = ^comow Таким образом, собственным расстоянием между двумя соседними
событиями (т.е. событиями с близкими значениями красного смещения или рас-
стояния) является расстояние, которое мы будем измерять локально между двумя
событиями сегодня, если эти две точки связаны потоком Хаббла.
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
369
•	Расстояние собственного движения
Расстоянием собственного движения (или расстоянием совместного попереч-
ного движения, современным расстоянием углового диаметра) DM называется рас-
стояние от Земли до удаленного объекта, которое определяется как отношение
актуальной поперечной скорости (в расстоянии по времени) объекта к его
собственному движению (в радианах за единицу времени). Оно выражается как
DM =
DH . sin h(^QRDc IDH), если
Dc,	если
Dh~t=
> о,
йд=0,
sin (д/| Од |£>с / DH), если Qr<0,
где DH - расстояние Хаббла и Dc - расстояние совместного движения но лнннн
нрямой видимости. Для Qa = 0 существует аналитическое решение (z- красное
смещение):

2(2-QM(l-z)-(2-QM).Jl + QMz)
Q^(l + z)
Расстояние собственного движения DM совпадает с расстоянием совместного
движения по линии прямой видимости Dc тогда и только тогда, когда кривизна
вселенной равна нулю. Расстояние совместного движения между двумя событиями
при одинаковых красном смещении или расстоянии, но разнесенными по небосводу
на некоторый угол 80, равно
Расстояние DM связано с фотометрическим расстоянием DL как DM = и с
1 + z
расстоянием углового диаметра DA как DM = (1 + z)DA.
•	Фотометрическое расстояние
Фотометрическое расстояние DL есть расстояние от Земли до удаленного
объекта, определяемое отношением между наблюдаемым потоком 5 и яркостью L:
Данное расстояние связано с расстоянием собственного движения DM как
Dl = (l + z)DM и расстоянием углового диаметра DL как DL = (l + z)2£>4, где z -
красное смещение.
Фотометрическое расстояние учитывает то обстоятельство, что наблюдаемая
светимость ослаблена факторами релятивистского красного смещения и допле-
ровского сдвига излучения, каждый из которых дает (1 + z) - ослабление:
(l + z)2'
Скорректированное фотометрическое расстояние D'L определяется как
370
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Модулюс расстояния
Модул юс расстояния D М определяется как DM = 51n| —- I, где DL- фото-
метрическое расстояние. Модулюс расстояния - разность между абсолютной
величиной и наблюдаемой величиной астрономического объекта. Модулюсы
расстояний обычно используются для выражения расстояний до других галактик.
Так, например, модулюс расстояния галактики Большого Магелланова Облака
составляет 18,5; галактики Андромеда - 24,5; скопление Девы имеет модулюс
расстояния, равный 31,7.
•	Расстояние углового диаметра
Расстоянием углового диаметра (или расстоянием угловой протяженности) DA
называется расстояние от Земли до удаленного объекта, определенное как
отношение физического поперечного размера объекта к его угловому размеру
(в радианах). Оно используется для преобразования угловых разделений в телеско-
пических изображениях в собственные разделения источника. Специфика этого
расстояния состоит в том, что оно не увеличивается бесконечно при z —>«>, оно
начинает уменьшаться при z~l, и после этого более удаленные объекты видятся
как имеющие большие угловые размеры. Расстояние углового диаметра связано с
расстоянием собственного движения D м как DA = и фотометрическим
1 + z
расстоянием DL как
D
А (1 + z)2’
где z - красное смещение.
Если расстояние углового диаметра основано на представлении диаметра объек-
та как произведения угла и расстояния (угол х расстояние), то расстояние площади
определяется аналогичным образом из представления площади объекта как произ-
ведения пространственного угла и квадрата расстояния (телесный угол х рас-
стояние2).
•	Расстояние светового пути
Расстоянием светового нутн (или расстоянием времени светового пути) Dh
называется расстояние от Земли до удаленного объекта, определенное как
Dlt =c(fobser “'emit)» гДе fobser “ время, когда объект наблюдался, и remit - время,
кода свет был излучен объектом.
Это расстояние используется редко, поскольку весьма трудно определить время
Zemit - возраст вселенной в момент излучения света, который мы видим.
•	Расстояние параллакса
Расстоянием параллакса DP называется расстояние от Земли до удаленного
объекта, определенное измерением параллаксов, т.е. кажущихся изменений поло-
жения объекта на небосводе в результате перемещения наблюдателя с Землей
вокруг Солнца.
Космологический параллакс измеряется как разность углов линии видимости
объекта из двух конечных точек диаметра орбиты Земли, которая используется в
качестве опорной линии. Для данной опорной линии параллакс а - Р зависит от
расстояния и, зная его и длину опорной линии (две астрономические единицы AU,
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
371
где AU «150 млн км - расстояние между Солнцем и Землей), расстояние до звезды
можно вычислить по формуле
где Dp - выражено в парсеках, а а и Р - в арксекундах.
В астрономии ’’параллакс” означает обычно годовой параллакс р, который
является разницей в углах наблюдения звезды со стороны Земли и со стороны
Солнца. Соответственно расстояние до звезды (в парсеках) определяется как
DP=-
Р
•	Кинематическое расстояние
Кинематическое расстояние - расстояние до галактического источника, которое
определяется из вращения галактики, когда известна радиальная скорость источ-
ника. Неоднозначность кинематического, расстояния возникает (только в нашей
галактике), поскольку вдоль данной линии видимости каждое значение радиальной
скорости соответствует двум расстояниям, одинаково удаленным от точки касания.
Данная проблема решается для некоторых галактических регионов посредством
измерения их спектра поглощения в том случае, если между наблюдателем и6
регионом имеется межзвездное облако.
•	Расстояние радара
Расстоянием радара DR называется расстояние от Земли до удаленного объек-
та, измеренное с помощью радара.
Радиолокационный сигнал - обычно высокочастотный радиоимпульс, посы-
лаемый в течение короткого промежутка времени. При встрече с проводящим
объектом достаточное количество энергии отражается от него обратно и прини-
мается радиолокационной системой. Поскольку радиоволны в воздухе распрост-
раняются практически с той же скоростью, что и в вакууме, расстояние DR до
обнаруженного объекта можно вычислить по временному интервалу t между
переданным и возвратившимся импульсами по формуле
Л 1
Dr = —ct,
к 2
где с - скорость света.
•	Лестница космологических расстояний
Для измерения расстояний до астрономических объектов используется своего
рода "лестница” различных методов; каждый из них обеспечивает вычисления
только для ограниченного множества расстояний, а каждый метод, используемый
для больших расстояний, базируется на данных, полученных в ходе предыдущих
этапов.
Исходной точкой является знание расстояния от Земли до Солнца; это рас-
стояние называется астрономической единицей (AU) и равно примерно 150 млн км.
Коперник был первым, кто сделал (Dobovolutionibus, 1543) приблизительную мо-
дель Солнечной системы, основываясь на данных, полученных в древние времена.
Расстояния внутри Солнечной системы измеряются посредством сравнения времен-
ных интервалов между излучаемыми радиолокационными радиоимпульсами и их
отражениями от планет или астероидов. Современные модели отличаются высо-
кой точностью измерений.
372
Часть VI. Расстояния в естественных науках
Следующая ступенька лестницы включает в себя простые геометрические
методы; они позволяют продвинуться вперед на несколько сотен световых лет.
Расстояние до ближайших звезд может быть измерено с помощью их параллаксов;
используя орбиту Земли в качестве опорной линии, расстояние до звезд можно
определить методом триангуляции. Данный метод имеет погрешность около 1% на
дальности до 50 световых лет и около 10% на дальности до 500 световых лет.
На основе данных, полученных геометрическими методами и дополненных
фотометрией (т.е. измерением параметров яркости) и спектроскопией, можно
достигнуть следующей ступеньки к звездам, расположенным настолько далеко, что
их параллаксы пока еще не поддаются измерениям. Поскольку яркость убывает
пропорционально квадрату расстояния, мы можем, если известны абсолютная
яркость звезды (т.е. ее яркость на стандартном опорном расстоянии 10 пк) и ее
видимая яркость (т.е. истинная яркость, наблюдаемая на Земле), сказать, как
далеко от нас находится эта звезда. Для определения абсолютной яркости можно
воспользоваться диаграммой Герцшпрунга-Рассела: звезды одинакового типа
имеют одинаковую яркость; следовательно, если известен тип звезды (по цвету
и/или спектру), можно рассчитать расстояние до нее методом сравнения ее видимой
яркости с абсолютной; последняя может быть получена из геометрических
параллаксов соседних звезд.
Для определения еще больших расстояний во вселенной требуется дополни-
тельный элемент: стандартные свечи, т.е. несколько типов космологических
объектов, для которых можно определить их абсолютную яркость, не зная
расстояния до них. Первичными стандартными свечами являются цефеиды. Они
периодически изменяют свои размеры и температуру. Существует связь между
яркостью этих пульсирующих звезд и периодом их колебаний, и эту взаимосвязь
можно использовать для определения их абсолютной яркости. Цефеиды можно
найти на удалении до скопления Девы (60 млн световых лет). Еще одним типом
стандартной свечи (вторичные стандартные свечи), которые ярче цефеид и
соответственно могут использоваться для определения расстояний до галактик,
находящихся на удалении даже сотен миллионов световых лет, являются сверх-
новые и целые галактики.
Для действительно больших расстояний (сотен миллионов или даже миллиардов
световых лет) используются космологическое красное смещение и закон красного
смещения (закон Хаббла). Однако не совсем ясно, что считать здесь ’’расстоянием",
и в космологии существуют несколько разновидностей расстояний (фотомет-
рическое расстояние, расстояние собственного движения, расстояние углового
диаметра и др.).
Для разных ситуаций в космологии применяются самые разнообразные и
специфические способы измерения расстояний, например расстояние отраженного
света, расстояние радара Бонди, расстояние типа RR Лиры, а также расстояния
векового, статистического и спектрального параллаксов.
26.2. РАССТОЯНИЯ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пространство-время по Минковскому (или пространство Минковского, прост-
ранство-время по Лоренцу, плоское пространство-время) - обычная геометри-
ческая модель для специальной теории относительности Эйнштейна. В такой
модели три обычных измерения пространства дополняются одним измерением
времени и все вместе образуют четырехмерное пространство-время R13 в отсут-
ствие тяготения.
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
373
Векторы в R1’3 называются 4-векторами (или событиями). Они могут быть
записаны как (сг, х, у, z), где первая компонента называется временноподобной
компонентой (с - скорость света и г - время), тогда как другие три компоненты
называются пространственными компонентами. В сферических координатах эти
векторы записываться как (с/, г, 0, ф). В теории относительности сферические
координаты есть система криволинейных координат (ct, г, 0, ф), где с - скорость
света, t - время, г - радиус, проведенный из начала координат в данную точку с
0<г<оо, ф- азимутальный угол в ху-плоскости, измеренный от х-оси, с
О < ф < 2п (долгота), а 0 - полярный угол, измеренный от z-оси, с 0 < 0 < я (допол-
нение широты). 4-Векторы классифицируются по знаку квадрата их нормы
||?7||2=(г,^) = С2Г2 -X2 - у2 -Z2.
Они являются временноподобными, пространственноподобными и изотроп-
ными, если квадраты их нормы положительны, отрицательны или равны нулю
соответственно.
Множество всех изотропных векторов образуют световой конус. Если исклю-
чить начало координат, то пространство можно разделить на три области: области
абсолютного будущего и абсолютного прошлого, попадающие в световой конус,
точки которых связаны с началом координат временноподобными векторами с
положительными или отрицательными значениями координаты времени соответ-
ственно, и область абсолютного небытия, выпадающую из светового конуса,
точки которой связаны с началом координат пространственноподобными век-
торами.
Мировая линия объекта - последовательность событий, обозначающая времен-
ную историю объекта. Мировая линия показывает путь данной точки в прост-
ранстве Минковского. Это одномерная кривая, представленная координатами как
функция одного параметра. Мировая линия является временноподобной кривой в
пространстве-времени, т.е. в любой точке ее касательный вектор является
временноподобным 4-вектором. Все мировые линии попадают в световой конус,
образованный изотропными кривыми, т.е. кривыми, касательные векторы кото-
рых являются изотропными 4-векторами, соответствующими дви-жению света и
других частиц с нулевой массой покоя.
Мировые линии частиц с постоянной скоростью (другими словами, свободно
падающих частиц) называются геодезическими. В пространстве Минковского они
являются прямыми линиями.
Геодезическая в пространстве Минковского, соединяющая два данных события х
и у, является самой длинной кривой из всех мировых линий, соединяющих два эти
события. Это следует из обратного неравенства треугольника (или неравенства
времени Эйнштейна)
1|х+у||>||х|| + ||у||,
в соответствии с которым временноподобная кривая, соединяющая два события,
всегда короче соединяющей их временноподобной геодезической, т.е. собственное
время частицы, свободно двигающейся от х к у, превышает собственное время
любой другой частицы, чья мировая линия соединяет эти события. Данный факт
обычно называют парадоксом близнецов.
Пространство-время - четырехмерное многообразие, которое является обыч-
ной математической моделью для общей теории относительности Эйнштейна.
Здесь три пространственные компоненты и одна временноподобная компонента
374
Часть VI. Расстояния в естественных науках
образуют четырехмерное пространство-время при наличии гравитации. Грави-
тация является эквивалентом геометрических свойств пространства-времени, и при
наличии гравитации геометрия пространства-времени искривлена. Следовательно,
пространство-время является четырехмерным искривленным многообразием, для
которого касательное пространство в любой точке есть пространство Минков-
ского, т.е. псевдоримановым многообразием с сигнатурой (1,3).
В общей теории относительности гравитация описывается свойствами локаль-
ной геометрии пространства-времени. В частности, гравитационное поле может
быть построено с помощью метрического тензора, который количественно
описывает геометрические свойства пространства-времени, такие как расстояние,
площадь и угол. Материя описывается с помощью ее тензора энергии напряже-
ния - величины, характеризующей плотность и давление материи. Сила взаимо-
действия между материей и гравитацией определяется постоянной силы тяжести.
Уравнением поля Эйнштейна называется уравнение общей теории относи-
тельности, которое описывает, как материя создает силу тяготения и наоборот, как
сила тяготения воздействует на материю. Решением уравнения поля Эйнштейна
является некая метрика Эйнштейна, соответствующая данной массе и распре-
делению давления материи.
Черная дыра - массивный астрофизический объект, который (теоретически)
возникает при коллапсе нейтронной звезды. Силы тяготения черной дыры
настолько велики, что преодолевают даже давление нейтронов, и объект стя-
гивается в точку (называемую сингулярностью). Даже свет не может преодолеть
силу притяжения черной дыры в пределах так называемого радиуса Шварцчайлъда
(или гравитационного радиуса) черной дыры. Незаряженные черные дыры с
нулевым угловым моментом называются черными дырами Шварцчайлъда. Неза-
ряженные черные дыры с ненулевым угловым моментом называются черными
дырами Керра. Невращающиеся заряженные черные дыры называются черными
дырами Рейсснера-Нордстрома. Заряженные вращающиеся черные дыры назы-
ваются черными дырами Керра-Ньюмана. Соответствующие метрики описывают,
как пространство-время искривляется материей в присутствии этих черных дыр.
Дополнительную информацию можно найти, например, в [Wein72].
•	Метрика Минковского
Метрика Минковского - псевдоримаиова метрика, определяемая на прост-
ранстве Минковского R13, т.е. на четырехмерном действительном векторном
пространстве, которое рассматривается как псевдоевклидово пространство с
сигнатурой (1,3). Она определяется метрическим тензором
	rl	0	0	0 '
	0	-1	0	0
	0	0	— 1	0
	(0	0	0	-1>
Линейный элемент ds1 и элемент ds пространственно-временного интервала
данной метрики задаются как
ds2 = c2dt2 - dx2 -dy2 -dz2.
В сферических координатах (ct, г, 0, ф) мы получаем ds2 = c2dt2 -dr2 -
-r2d§2 - r2 sin2 Gt/ф2.
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
375
Псевдоевклидово пространство R3’1 с сигнатурой (3,1) и линейным элементом
ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2
может также использоваться как пространственно-временная модель специальной
теории относительности Эйнштейна. Обычно сигнатура (1,3) используется в
физике элементарных частиц, а сигнатура (3, 1) - в теории относительности.
•	Метрика Лоренца
Метрикой Лоренца (или лоренцевой метрикой) называется псевдориманова
метрика с сигнатурой (1, р).
Лоренцево многообразие - многообразие, снабженное метрикой Лоренца.
Искривленное пространство-время общей теории относительности может быть
смоделировано как лоренцево многообразие М с сигнатурой (1,3). Пространство
Минковского IR13 с плоской метрикой Минковского является моделью плоского
лоренцева многообразия.
В лоренцевой геометрии обычно используется следующее понятие расстояния.
Для спрямляемой не пространственноподобной кривой у: [0, 1] —> М в
.. .	v	J/ х f I /dy dy\,
пространстве-времени М длина кривой у определяется как /(у) = I J4 —,— )dt.
Jy \dt dt I
Для прост-ранственноподобной кривой /(у) = 0. Тогда расстояние Лоренца между
двумя точками p,qe М определяется как
sup/(у),
уеГ
если р < q, т.е., если множество Г направленных в будушее не пространствен-
ноподобных кривых от р до q является непустым. В остальных случаях расстояние
Лоренца равняется 0.
•	Расстояние аффинного пространства-времени
Для пространства-времени (Af*, g) существует единственная аффинная пара-
метризация 5->у($) для каждого светового луча (т.е. изотропной геодезиче-
ской), проходящего через событие наблюдения pobser, такое что y(0)=pobser и
= 1. где и obser- 4-скорость наблюдателя в pobser (т.е. вектор с
&(^obser obser ) “ “ 0*
В таком случае расстоянием аффинного пространства-времени называется
аффинный параметр s, рассматриваемый в качестве меры расстояния.
Расстояние аффинного пространства-времени является монотонным, увеличи-
вающимся вдоль каждого луча; оно совпадает в бесконечно малой окрестности
Pobser с евклидовым расстоянием в покоящейся системе координат C/obser.
• Кинематическая метрика
Для заданного множества X кинематической метрикой (или временноподобной
метрикой) является такая функция т: X х X —> 0?>о, что для всех х, у, z е X имеют
место условия:
1)т(х,х) = 0;
2) если т(х, у) > 0, то т(у, х) = 0 (антисимметрия);
3) если т(х, у), т(у, z)>0 то т(х, z)>t(x, у) + т(у, z) (обратное неравенство
треугольника).
376
Часть VI. Расстояния в естественных науках
Пространственно-временное множество X состоит из событий х = (х0, xi)> где
хь е R обычно является временем, а х । е R - пространственным местополо-
жением события х. Неравенство т(х, у) > 0 означает обусловленность, т.е. х может
влиять на у; обычно оно эквивалентно неравенству у0 > хо> и значение т(х, у) > О
может считаться наибольшим (поскольку зависит от скорости) собственным
(т.е. субъективным) временем движения от х до у.
Если силой тяготения можно пренебречь, то из неравенства т(х, у) > 0 следует,
что Уо - х0 > II у, - х| ||2 И т(х, у) = ((у0 - х0 )р - II у, - х( 115)''р (как введено Бузе-
маном в 1967 г.) является действительным числом. Для р ~ 2 оно совместимо с
наблюдениями специальной теории относительности.
Кинематическая метрика не является обычной в нашем понимании метрикой и
никак не связана с кинематическим расстоянием в астрономии.
•	Расстояние Лоренца-Минковского
Расстоянием Лоренца-Минковского называется расстояние на R" (или С”), опре-
деленное как
п
1*1-У||2-£к-я12-
i-2
•	Галилеево расстояние
Галилеево расстояние - расстояние на №, определенное как
1*1 -л I.
еслих| ^уь и как
7(*2-Уг)2 + ••• + (*„-Уп)2.
если X] =уР Пространство снабженное галилеевым расстоянием, называется
галилеевым пространством. Для п = 4 оно является математической моделью для
пространства-времени классической механики по Галилею-Ньютону, в котором
расстояние между двумя событиями, происходящими в точках р и q в моменты
времени tx и t2, определяется как временной интервал lrj - /2h тогда как в случае
одновременности этих событий оно определяется как расстояние между точками р
nq.
•	Метрика Эйнштейна
В общей теории относительности, которая описывает, как материя искривляет
пространство-время, метрика Эйнштейна есть решение уравнения поля Эйн-
штейна
D 8jjR А _ 8tcG
^ij 2	^7’
т.е. метрический тензор ((gij))с сигнатурой (1,3), соответствующий данной массе и
guR
распределению давления вещества. Здесь Еу = Ry —+ Agy - тензор кривизны
Эйнштейна, Ry - тензор кривизны Риччи, R - скаляр Риччи, А - космологическая
постоянная, G - гравитационная постоянная и Ту - тензор энергии напряжения.
Пустое пространство (вакуум) соответствует случаю нулевого тензора Риччи:
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
377
Статическая метрика Эйнштейна для однородной и изотропной вселенной
задается линейным элементом
ds2 = -dt2 + -	+ r2(</02 + sin2 &/ф2),
где k - кривизна пространства-времени и коэффициент масштабирования равен 1.
•	Метрика де Ситтера
Метрикой де Ситтера называется максимально симметричное вакуумное
решение уравнения поля Эйнштейна с положительной космологической постоян-
ной Л, определенное линейным элементом
о
2 I—t
ds2 = dt2 +е ’3 (dr2 + r2dO2 + r2 sin2 Ot/ф2).
Без космологической постоянной (т.е. при Л = 0) наиболее симметричным
решением уравнения поля Эйнштейна в вакууме является плоская метрика
Минковского.
Метрика анти-де Ситтера соответствует отрицательному значению Л.
•	Метрика Шварцчайлъда
Метрика Шварцчайлъда - решение уравнения поля Эйнштейна для пустого
пространства (вакуума) вокруг сферически симметричного распределения массы;
данная метрика дает описание вселенной вокруг черной дыры с данной массой, из
которой невозможно извлечение энергии. Эта метрика была получена Шварц-
чайльдом в 1916 г., всего через несколько месяцев после опубликования уравнения
поля Эйнштейна, и стала первым точным решением данного уравнения.
Линейный элемент этой метрики задается как
ds2 = f 1 - — lc2Jf2 - т—-—г- dr2 - г2 (J02 + sin2 Gt/ф2),
I r) h-A)
\ r)
2Gm	„	M
где rg = —2--радиус Шварцчайлъда, m - масса черной дыры и G- гравита-
ционная постоянная.
Данное решение действительно только для радиусов, которые больше rg,
поскольку при г = rg мы получаем координатную сингулярность. Данной проблемы
можно избежать посредством приведения к другим пространственно-временным
координатам, которые называются координатами Крускала-Чекереса. При
г —> -в» метрика Шварцчайлъда стремится к метрике Минковского.
• Метрика Крускала-Чекереса
Метрика Крускала-Чекереса есть решение уравнения поля Эйнштейна для
пустого пространства (вакуума) вокруг статического сферически симметричного
распределения массы, заданное линейным элементом
( \2 ~
Ж2 =4-^-1-^1 е r*(c2dt'2 - dr'2)-г2 (de2 4-sin2 (k/ф2),
г I R I
378
Часть VI. Расстояния в естественных науках
где г, = —Д - радиус Шварцчайльда, т - масса черной дыры, G - гравитационная -
* с	’
постоянная, R- постоянная, и координаты Крускала-Чекереса^, г', 0, ф) полу- :
чены из сферических координат (ct, г, 0, ф) с помощью преобразования Крускала-
Че керес а г'2 -ct'2 = /?2| — -1 |ег* ,	= tghl 1.
U ) r [2rJ
Именно, метрика Крускала-Чекереса является метрикой Шварцчайльда, запи-
санной в координатах Крускала-Чекереса. Она показывает, что сингулярность j
пространства-времени в метрике Шварцчайльда у радиуса Шварцчайльда rg не 1
является реальной физической сингулярностью.	1
• Метрика Коттлера
Метрикой Коттлера называется единственное решение уравнения поля
Эйнштейна для сферического симметричного вакуума с космологической пос-
тоянной А. Эта метрика задается линейным элементом
,2 f. 2/Л Ar2V2 (t Аг2^ ,2	2zj/\2	• 2л»а2ч
ds1 = - 1----------------WC + 1--------------------dr1 + rz(J0z +sinz 0</ф2).
I r 3 I I r 3 1
Она называется также метрикой Шварцчайльда-де Ситтера для А > 0 и метрикой
Шварцшильда-анти-де Ситтера для А < 0.
• Метрика Райсснера-Нордстрома
Метрика Райсснера-Нордстрома - решение уравнения поля Эйнштейна для
пустого пространства (вакуума) вокруг сферически симметричного распределения
массы в присутствии заряда; данная метрика дает нам представление вселенной
вокруг черной дыры с зарядом.
Линейный элемент данной метрики задается как
. 2 (i	2т 1	» 2 ft	2т	«2	2/ m2 • 2 л 112ч
dsL = 1----+ -у \dt-I 1----+ ^- Jr -г (J0Z +sinz0J02),
I	Г	Г ) I Г	Г ]
где т - масса дыры, е - заряд (е < т)\ здесь использованы единицы измерения, в
которых скорость света с и гравитационная постоянная G равны единице.
•	Метрика Керра
Метрика Керра (или метрика Керра-Шайльда) есть точное решение уравнения
поля Эйнштейна для пустого пространства (вакуума) вокруг осесимметричного
вращающегося распределения массы; эта метрика дает нам представление вселен-
ной вокруг вращающейся черной дыры.
Линейный элемент этой метрики задается (в форме Бойера-Линдквиста) как
ds2 =p2f^- + J02l + (r2 +a2)sin20^2 -dt2 +^^(asin2 0^ф-dt)2,
I A )	о
где p2 = r2 + a2 cos2 0 и A = r2 - 2mr + а2. Здесь m - масса черной дыры, a - угловая
скорость, измеренная с позиции удаленного наблюдателя.
Обобщение метрики Керра для заряженной черной дыры известно как метрика
Керра-Ньюмана. Когда а = 0, метрика Керра становится метрикой Шварцчайльда.
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
379
•	Метрика Керра-Ньюмана
Метрика Керра-Ньюмана есть точное, единственное и полное решение урав-
нения поля Эйнштейна для пустого пространства (вакуума) вокруг осесиммет-
ричного вращающегося распределения массы в присутствии заряда; данная
метрика дает представление вселенной вокруг вращающейся заряженной черной
дыры.
Линейный элемент внешней метрики задается как
ds2 =—-asin2 0J0)2 4- S^2 ((r2 + a2)d§-adt)2 +^-Jr2 + p2J02,
где p2 = r2 + a2 cos2 0 и A = r2 - 2mr + a2 + e2. Здесь m - масса черной дыры, e - ее
заряд и а - угловая скорость. Когда е = 0, метрика Керра-Ньюмана становится
метрикой Керра.
•	Статичная изотропная метрика
Статичная изотропная метрика - наиболее общее решение уравнения поля
Эйнштейна для пустого пространства (вакуума); эта метрика дает представление
статичного изотропного гравитационного поля. Линейный элемент данной мет-
рики задается как
ds2 = B(r)dt2 - A(r)dr2 - r\d82 + sin2 0</ф2),
где B(r) нА(г)~ произвольные функции.
•	Метрика Эддингтона-Робертсона
Метрика Эддингтона-Робертсона - обобщение метрики Шварцчайльда в пред-
положении, что масса ди, гравитационная постоянная G и плотность р изменяются
под воздействием неизвестных безразмерных параметров а, Р и у (которые равны 1
в уравнении поля Эйнштейна).
Линейный элемент этой метрики задается как
ds2 =
z \2
, - mG _	.(mG i
1-2а----+2(Р-ау1----
+ ...L2
>
-r2(</02 + sin2 0^ф2).
•	Метрика Джаниса-Ньюмана-Вннкура
Метрика Джаниса-Ньюмана-Вннкура есть наиболее общее сферически симмет-
ричное статичное и асимптотически плоское решение уравнения поля Эйнштейна,
сопряженное с безмассовым скалярным полем. Линейный элемент данной метрики
задается как
ds2
| dt2 + [1 - —1 dr2 + f 1 - —1	r2(d02 + sin2 0<Уф2),
I V Yr 7 k Y^ J
где m и у - постоянные. Для у= 1 получаем метрику Шварцчайльда. В этом случае
скалярное поле является нулевым.
•	Метрика Робертсона-Уолкера
Метрика Робертсона-Уолкера (или метрика Фрндмана-Леметра-Робертсона-
Уолкера) есть решение уравнения поля Эйнштейна для изотропной и однородной
380
Часть VI. Расстояния в естественных науках
вселенной с постоянной плотностью и пренебрежимо малым давлением; данная
метрика описывает преимущественно материальную вселенную, заполненную
пылью без давления. Линейный элемент этой метрики обычно записывается в
сферических координатах (ct, г, 0, ф):
( Иг2	А
ds2 = c2dt2 -a(t)2 • I-у + * W®2 + s’n2 ®^Ф2) I,
1 - kr	)
где a(t) - коэффициент масштабирования и k- кривизна пространства-времени.
Для линейного элемента существует и другая форма:
ds2 = c2dt2 - a(t)2 • (Jr'2 + г2 • (JO2 + sin2 0J02)),
где г' обозначает расстояние совместного движения с позиции наблюдателя и г -
расстояние собственного движения, т.е. г = Rc sinh (г' / Rc), или г', или Rcsin(r'fRc)
для отрицательной, нулевой или положительной кривизны соответственно, где
Rc = 1 / д/ПН есть абсолютное значение радиуса кривизны.
•	Метрики Бианки
Метрики Бианки - решения уравнения поля Эйнштейна для космологических
моделей, которые имеют пространственно однородные участки, инвариантные
относительно воздействия трехмерных групп Ли, т.е. действительные четырех-
мерные метрики с трехмерной группой изометрий, транзитивной на 3-поверх-
ностях. Применяя классификацию Бианки трехмерных алгебр Ли над векторными
полями Киллинга, мы получаем девять типов метрик Бианки.
Каждая модель Бианки В определяет транзитивную группу GB на некотором
трехмерном односвязном многообразии М; таким образом, пара (М, G) (где G -
максимальная группа, воздействующая на X и содержащая GB) есть одна из восьми
модельных геометрий Терстона, если М/G' является компактным для дискретной
подгруппы G' группы G. В частности, тип IX Бианки соответствует модельной
геометрии S3.
Метрика Бианки типа I есть решение уравнения поля Эйнштейна для анизо-
тропной однородной вселенной, заданное линейным элементом
ds2 = -dt2 + a(t)2dx2 +b(t)2dy2 +c(t)2dz2,
где функции a(t), b(t) и c(t) определены уравнением Эйнштейна.
Эта метрика соответствует плоским пространственным участкам, т.е. является
обобщением метрики Робертсона-Уолкера.
Метрика Бианки типа IX (или метрика Мнксмастера) характеризуется сложной
динамикой поведения вблизи сингулярностей ее кривизны.
•	Метрика Каснера
Метрика Каснера - одна из метрик Бианки типа I, которая является вакуумным
решением уравнения поля Эйнштейна для анизотропной однородной вселенной,
определенным линейным элементом
ds2 =-dt2 +t2p'dx2 +t2p2dy2 +t2p3dz2,
где P\+P2+Рз = Pt +pI + pI =1-
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
381
Метрику Каснера можно записать иначе как
ds2 = -Ж4?,3(?,3со5(ф+Я,3)л2	+t-4l^dz2}j.
В этом случае она называется кругом Каснера.
Одна из метрик Каснера, часто называемая каснер-подобной метрикой,
задается линейным элементом
ds2 = -dt2 +t2q(dx2 +dy2) + t2~4qdz2.
Асимметричная метрика Каснера задается линейным элементом
j 2	tix2 I 2 j 2
ds =—т=- + —r^ + tdy + tdz .
Nt Nt
•	Метрика Кантовского-Сахса
Метрика Кантовского-Сахса - одно из решений уравнения поля Эйнштейна,
задаваемое линейным элементом
ds2 = -dt2 + a(t)2dz2 +b(t)2(dQ2 + sin0</ф2),
где функции a(t) и b(t) определяются уравнением Эйнштейна. Это единственная
однородная модель без трехмерной транзитивной подгруппы.
В частности, метрика Кантовского-Сахса с линейным элементом
ds2 = -Л2 + е2л^ dz2 + -^-(rf02 + sin2 0Лф2)
описывает вселенную с двумя сферическими измерениями, сохраняющими свои
размеры в ходе космической эволюции, и третьим измерением, расширяющимся
экспоненциально.
•	Метрика GCSS
Метрика GCSS (общая стационарная цилиндрически симметричная метрика) -
решение уравнения поля Эйнштейна, задаваемое линейным элементом
ds2 = -fdt2 + 2kdtdty+ef(dr2 +dz2) + ld$2,
где пространство-время разделено на две области: внутреннюю (с 0 < г < R) к
цилиндрической поверхности с радиусом /?, центрированной вдоль оси z, и
внешнюю (с R < г < «>). Здесь /, к, ц и I являются функциями только от г, < t,
z < ©о, 0 < ф < 2л, гиперповерхности ф = 0 и ф = 2л отождествлены.
•	Метрика Льюиса
Метрика Льюнса - стационарная цилиндрически симметричная метрика, кото-
рая является решением уравнения поля Эйнштейна для пустого пространства
(вакуума) во внешней области цилиндрической поверхности. Линейный элемент
данной метрики имеет форму
ds2 = -fdt2 + 2kdtd$-e?(dr2 + dz2) + ld^2,
где f = ar~n+i—2~rn+i, k = -Af, 1 =----A2f, eg = r(l/2x" _|) c A =----+b.
n2a	f	naf
382
Часть VI. Расстояния в естественных науках
Постоянные п, a, b и с могут быть либо действительными, либо комплексными, и
соответствующие решения принадлежат классу Вейла или классу Льюиса. В пос-
леднем случае метрические коэффициенты имеют вид f = r(a2 -fe2)cos(mlnr) +
+2ra{b{ sin(mInr), k = -r(axa2 ~bib2)cos(mr) ” r(a\^2 + a2^i)sin(mInr), I = -r(a2 -
-b2)cos(m\nr)-2ra2b2s\n(m\nr), eH=r“(,/2)(m +1), где m, al9 a2, bt и ^-дейст-
вительные постоянные с	= 1- Такие метрики составляют подкласс класса
Каснера-подобных метрик.
•	Метрика Ван Стокума
Метрика Ван Стокума - стационарное цилиндрически симметричное решение
уравнения поля Эйнштейна для пустого пространства (вакуума) с жестко вра-
щающимся бесконечно длинным пылевым цилиндром. Линейный элемент этой
метрики для внутренности цилиндра задается (в совместно движущихся, т.е.
совместно вращающихся, координатах) как
ds2 = -dt2 + 2аг2Л</ф + е“Л r (dr2+dz2) + r2(]-a2r2)dfy2,
где 0 < г < /?, R - радиус цилиндра и а - угловая скорость частиц пыли. Существует
три варианта внешних решений для вакуума (т.е. метрик Льюиса), которые
находятся в соответствии с внутренними решениями и зависят от массы пыли на
единицу длины внутреннего пространства (случай малой массы, нулевой случай и
ультрарелятивистский случай). При некоторых условиях (например, если ar> 1)
допускается существование замкнутых временноподобных кривых (и, следова-
тельно, путешествия во времени).
•	Метрика Леви-Чнвита
Метрика Леви-Чивита является статичным цилиндрически симметричным ре-
шением для вакуума уравнения поля Эйнштейна с линейным элементом, задан-
ным (в форме Вейля) как
ds2 = -r*dt2 + r4o(2o-l,(Jr2 + dz2)+C~2r2~4adty,
где постоянная С относится к дефициту угла, а параметр о интерпретируется в
соответствии с ньютоновской аналогией решения Леви-Чивита: это гравита-
ционное поле бесконечной однородной линейной массы (бесконечный провод) с
линейной плотностью массы о. В случае о = -^-,С=1 данную метрику можно
преобразовать либо в плоскую симметричную метрику Тауба, либо в метрику
Робинсона-Тротмана.
•	Метрика Вейля-Папапетру
Метрикой Вейля-Папапетру называется стационарное осесимметричное реше-
ние уравнения поля Эйнштейна, выраженное линейным элементом
ds2 = Fdt2 -еи(dz2 + dr2)- Ldtf -IKd^dt,
где F, К, L и |1 являются функциями только г и z, LF + К2 = г2, о© < t, z < о©,0 < г < о© и
О < ф < 2л, гиперповерхности ф = 0 и ф = 2л отождествлены.
•	Пылевая метрика Боннора
Пылевая метрика Боннора является решением уравнения поля Эйнштейна и
представляет собой осесимметричную метрику, которая описывает облако жестко
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
383
вращающихся частиц пыли, движущихся по кольцевым геодезическим вокруг z-оси
в гиперплоскостях z = const. Линейный элемент этой метрики задается как
ds2 = dt2 + (г2 - л2 )</ф2 + 2ndtdty + ец (dr2 + dz2),
где в совместно движущихся (т.е. совместно вращающихся) координатах Боннора
2Лг2 h2r2(r2-8z2) 2	2	2
л = —т-,Ц =----- —о-----,/Г =rz+z2
R3	2R*
и /i - параметр вращения. По мере того
как R —> о®, метрические коэффициенты стремятся к значениям Минковского.
•	Метрика Вейля
Метрика Вейля является общим статичным осесимметричным вакуумным
решением уравнения поля Эйнштейна, выраженным в канонических координатах
Вейля линейным элементом
ds2 = е2Х dt2 - е2Х(е2ц(dr2 +dz2)+ r2d§2),
.	А	Э2Х 1 ЭХ Э2Х Л
где Лиц являются функциями только г и z, такими что —у + — • — + —у = О»
dr г dr dz
Эц /Э2Х Э2ХЛ	Эц	ЭХ ЭХ
Эг	I Эг	dz I	dz	dr dz
•	Метрика Зипой-Вурхиза
Метрика Зипой-Вурхиза (или у-метрика) - метрика Вейля, полученная для
/	\У	z	\У2
-21 _[ Я]+Л2-2ffI |	-2ц _(	+R2 +2/иХ/?) +/?2|	о2_ 2 , ч2
V — I 1 '	I , С — I ~	I , 1ДС 1\| — f • I £ ill) ,
(/?l+/?2+2m)	4R}R2	J
R2 = r2 + (z + m)2. Здесь X соответствует ньютонову потенциалу линейного отрезка
плотности у/2 и длины 2т, симметрично распределенному вдоль z-оси. Случай у = 1
соответствует метрике Шварцчайлъда, случаи у> 1 (у< 1) соответствуют сжатому
(растянутому) сфероиду, а для у = 0 мы получим плоское пространство-время
Минковского.
•	Метрика прямой вращающейся струны
Метрика прямой вращающейся струны задается линейным элементом
ds2 = -(dt - лЛф)2 + dz2 + dr2 + k2r2d§2,
где а и k>0 - постоянные. Она описывает пространство-время вокруг прямой
вращающейся вокруг собственной оси струны. Постоянная к связана с массой
струны на единицу длины ц как к = 1 - 4ц, и постоянная а является мерой вращения
струны вокруг собственной оси. Для а = 0 и к = 1 мы получаем метрику
Минковского в цилиндрических координатах.
•	Метрика Томиматсу-Сато
Метрика Томнматсу-Сато [ToSa73] - одна из метрик бесконечного семейства
решений уравнения поля Эйнштейна для вращающихся масс, каждая из которых
имеет форму £ = U/W, где U и W являются многочленами. В простейшем решении
(/ = р2(х4-1) + ^2(у4-1)-2ф^лу(х2-у2), W = 2рх(х2 -V)-2iqy(\-y2), где р2 +
384
Часть VI. Расстояния в естественных науках
+ q2 = 1. Линейный элемент для данного решения задается как
ds2 = Е-|((аЖ + М>)2 -г2(уЛ+&/ф)2)—4 ,Z , 4 (dz2 +dr2),
Р (х -у )
где а = р2(х2-1)2+<72(1-у2)2,	0 = -^W(p2(x2-1)(х2-/)+2(рх + 1)Ю,
Р
у = —2рд(х2-у2), 8 = а + 4((х2-1)+(х2 + 1)(рх + 1)), E = <x8-py=|t/ + l¥|2.
•	Метрика Гёделя
Метрика Гёделя - точное решение уравнения поля Эйнштейна с космо-
логической постоянной для вращающейся вселенной, выраженное линейным
элементом
ds2 = -(dt2 + C(r)d^)2 + D2(r)<ty2 + dr2 + dz2,
где (Лг,ф,г) - обычные цилиндрические координаты. Вселенная по Гёделю яв-
ляется однородной, если С(г) = —ysinh —LD(r) =—sinh(mr), где т и Q-
т \2 ) т
постоянные. Вселенная Гёделя предполагает возможность замкнутых временнопо-
добных кривых и соответственно путешествий во времени. Необходимым
условием отсутствия таких кривых является условие т1 > 4Q2.
•	Конформно стационарная метрика
Конформно стационарными метриками называются модели гравитационных
полей, которые независимы от времени с точностью до общего конформного
множителя. Если выполняются некоторые глобальные условия регулярности,
то пространство-время должно быть произведением R х М3 с (хаусдорфовым и
паракомпактным) трехмерным многообразием Af3, а линейный элемент метрики
задается как
ds2 = e2f(,’x\-(dt+^фи(х)<&и)2 + '£gilv(x)dxildxv),
Н	ИЛ
где ц, v = l, 2, 3. Конформный фактор ё2^ не воздействует на изотропные
геодезические, за исключением их параметризации, т.е. пути лучей света пол-
ностью определяются римановой метрикой g =	^^(^dx^dx^ и 1-формой
Ф = £цФц(х)Лц наМ3.
В этом случае функция/называется потенциалом красного смещения, метрика
g - метрикой Ферма и 1-форма ф - 1-формой Ферма.
Для статического пространства-времени геодезические метрики Ферма яв-
ляются проекциями нулевых геодезических пространства-времени.
В частности, сферически симметричные и статичные метрики, включая модели
не вращающихся звезд и черных дыр, пространственных воронок, монополей
однополюсных зон, голых сингулярностей и (бозонных или фермионных) звезд,
задаются линейным элементом
ds2 = е2/(г)(-Л2 + S(r)2dr2 + R(r)2(d&2 + sin2 в</ф2)).
Глава 26, Расстояния в космологии и теории относительности
385
Здесь 1-форма ф обращается в нуль, и метрика Ферма g приобретает осо-
бый вид
g = S(r)2dr2 + /?(r)2(dO2 + sin2 &/ф2).
2m
Так, например, конформный фактор е2^г) метрики Шварцчайльда равен 1----,
а соответствующая метрика Ферма приобретает вид
2шА 2( t 2т\ 1 2/	• л 112\
1----1---------I +Sin0J0Z).
Г ) \ г )
•	Метрика рр-волны
Метрика рр-волны является точным решением уравнения поля Эйнштейна, в
котором радиация распространяется со скоростью света. Линейный элемент этой
метрики задается (в координатах Бринкмана) как
ds2 = H(u,x,y)du2 + 2dudv + dx2 +dy2,
где H - любая гладкая функция.
Наиболее важным классом особо симметричных рр-волн являются метрики
плоских волн, у которых Н квадратично.
•	Метрика луча Боннора
Метрика луча Боннора является точным решением уравнения поля Эйнштейна,
моделирующим бесконечно длинный прямой луч света. Это пример метрики
рр-волны.
Внутренняя часть решения (во внутренней области равномерно плоской волны,
имеющей форму твердого цилиндра) определяется линейным элементом
ds2 = -3nmr2du2 - 2dudv + dr2 + r2d&,
где -oo < и, v < °°, 0 < r < r0 и -it < 0 < л. Это решение может рассматриваться как
некогерентное электромагнитное излучение.
Внешняя часть решения определяется как
ds2 = -SitmrQ (1 + 2 log(r I r0 ))du2 - 2dudv + dr2 + r2dQ2,
где ~oo < w, v< co, r0 < r < oo и -я < 0 < я.
Луч Боннора можно обобщить, рассматривая несколько параллельных лучей,
распространяющихся в одном направлении.
•	Метрика плоской волны
Метрика плоской волны является решением уравнения поля Эйнштейна в
вакууме и задается линейным элементом
ds2 =2dwdu + 2f(u)(x2 +y2)du2-dx2-dy2.
Она является конформно плоской и описывает поле чистой радиации.
Пространство-время применительно к этой метрике называется плоской грави-
тационной волной. Данная метрика является примером метрики рр-волны.
13. Деза Е. и Деза М.-М.
386
Часть VI. Расстояния в естественных науках
•	Метрика Вился
Метрика Внлса - решение уравнения поля Эйнштейна, выраженное линейным
элементом
ds2 = 2xdwdu-2wdudx + (2f(u)x(x2 + y2)-w2)du2 -dx2 -dy2.
Она является конформно плоской и описывает поле чистой радиации, которое
не является плоской волной.
•	Метрика Кутраса-Макннтоша
Метрика Кутраса-Макннтоша является решением уравнения поля Эйнштейна,
выраженным линейным элементом
ds2 = 2(ах +b)dwdu-2awdudx + (2f(u)(ax + b)(x2 + y2)-a2w2)du2-dx2 -dy2.
Она является конформно плоской и описывает поле чистой радиации, которое в
общем случае не является плоской волной. При а = 0 и b = 1 получим метрику
плоской волны, а при а = 1 и b = 0 - метрику Внлса.
•	Метрика Эдгара-Людвига
Метрика Эдгара-Людвига является решением уравнения поля Эйнштейна,
выраженным линейным элементом
ds2 = 2(ах + b)dwdu - 2awdudx +
+(2/(м)(ах + /?)(^(м)у + Л(м) + х2 + у2)-a2w2)du2 - dx2 - dy2.
Она является обобщением метрики Кутраса-Макннтоша. Это - наиболее общая
метрика, описывающая конформно плоское поле чистой радиации, которое в
общем случае не является плоской волной. Если исключить плоские волны, то она
будет иметь вид
ds2 = 2xdwduu-2wdudx+ (2f(u)x(g(u)y + h(u) +х2 +y2)-w2)du2 - dx2 - dy2.
•	Метрика излучения Бондн
Метрика излучения Бондн описывает асимптотическую форму радиационного
решения уравнения поля Эйнштейна, которая задается линейным элементом
^=_^Ге2₽_^г2е2Урм2_
-2 е2р dudr - 2Ur2 е2у dud§ + r2(e2y dti2 + e2Y sin2 0J02),
где и - время запаздывания, г - фотометрическое расстояние, 0 < 0 < я, 0 < ф < 2я и
U, V, Р, у являются функциями и, г и 0. Эта метрика используется в теории
гравитационных волн.
• Метрика Тауба-НУТ-де Ситтера
Метрика Тауба-НУТ-де Ситтера является положительно определенным (т.е.
римановым) решением уравнения поля Эйнштейна с космологической постоянной
Л, заданным линейным элементом
г2__ г2	г2д	_ г2
ds2 =———dr2 + ——^-(tty + cosM))“ +—~—(d02 +sin20d02),
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
387
где А = r22Afr+L2 4~(l4+2L2r2 “Г4^, L и М - параметры, и 0, ф, у - углы
Эйлера. Если Л = 0, то мы получим метрику Тауба-НУТ, используя некоторые
условия регулярности.
•	Метрика Эгучн-Хансона-де Ситтера
Метрика Эгучн-Хансона-де Ситтера является положительно определенным
(т.е. римановым) решением уравнения поля Эйнштейна с космологической пос-
тоянной Л, заданным линейным элементом
( л А 2 у1 „2 (	4 А 2 \
12	«	АГ 1	f 2 Г |	а	АГ	/ ,	л ja\2
ds = 1—г--------dr +—11—т------------\dW + cos Ot/ф) +
k	г 6 J 4	г	6	J
г2
+у(</02 +.sin2 &/ф2),
где а - параметр, а 0, ф, у - углы Эйлера. Если Л = 0, то получаем метрику Эгучи-
Хансона.
•	Метрика монополей Баррнолы-Внленкнна
Метрика монополей Баррнолы-Виленкина задается линейным элементом
ds2 = -dt2 + dr2 4- k2r2(dQ2 + sin2 0<7ф2)
с постоянной k> 1. При r = 0 возникают дефицит телесного угла и сингулярность;
я
плоскость t = const, 0 = у имеет геометрию конуса. Данная метрика является
примером конической сингулярности; она может быть использована в качестве
модели для монополей (однополюсных зон), которые могут существовать во
вселенной.
Магнитный монополь есть гипотетический изолированный магнитный полюс
’’магнит с одним полюсом”. Теоретически предполагается, что такое явление
может вызываться мельчайшими частицами, подобными электронам или прото-
нам, которые появляются в результате топологических дефектов точно так же,
как и космические струны, однако подобных частиц пока в природе не найдено.
•	Метрика Бертоттн-Робннсона
Метрика Бертоттн-Робннсона является решением уравнения поля Эйнштейна
для вселенной с равномерным магнитнымшолем. Линейный элемент этой метрики
задается как
J52 = Q2(-dt2 +sin2 tdw2 + dQ2 +sin2 0б/ф2).
где Q - постоянная, t e [0, я], w e (-оо,-к»),0 e [0,я] и ф e [0,2я].
•	Метрика Морриса-Торна
Метрика Морриса-Торна - решение уравнения поля Эйнштейна для прост-
ранственной воронки с линейным элементом
2Ф(и>)
ds2 = е c2dt2 -dw2 -r(w)2(df)2 +sin2 0б?ф2),
13*
388
Часть VI. Расстояния в естественных науках
где w е [-«>;+<»], г - функция от w, которая достигает минимального значения,
большего нуля, при некоторой конечной величине w, и Ф(и>)- гравитационный
потенциал, обусловленный геометрией пространства-времени.
Пространственная воронка - гипотетическая ’’труба” в пространстве, соеди-
няющая удаленные друг от друга точки вселенной. Для существования пространст-
венных воронок требуется необычный материал с отрицательной энергетической
плотностью, чтобы воронки все время были открыты.
•	Метрика Миснера
Метрика Мнснера - метрика, представляющая две черные дыры. Миснер сфор-
мулировал в 1960 г. методику описания метрики, связывающей пару черных дыр
в состоянии покоя, жерла которых соединены пространственной воронкой.
Линейный элемент этой метрики записывается в виде
ds2 = -dt2 +y4(dr2 +dy2 +dz2),
где конформный фактор \|/ задается как
V 1___________________1___________
у= у —-----------	.
п=~н sinh(p0«) + у2 + (z + coth(p0n))2
Параметр Цо является мерой отношения массы к расстоянию между жерлами
(эквивалентно, мерой расстояния петли на поверхности, проходящей через одно
жерло и выходящей из другого). Предел суммирования N стремится к бес-
конечности.
Топология пространства-времени Миснера аналогична паре асимптотически
плоских листов, соединенных несколькими мостами Эйнштейна-Роузена.
В простейшем случае пространство Миснера можно рассматривать как двумерное
пространство с топологией R xS1, в котором свет постепенно отклоняется по мере
движения во времени и после определенной точки имеет замкнутые временно-
подобные кривые.
•	Метрика Алкубьерра
Метрика Алкубьерра - решение уравнения поля Эйнштейна, представляющее
движение по принципу деформации пространства-времени, допускающее
существование замкнутых временноподобных кривых. В этом случае нарушается
только релятивистский принцип, суть которого состоит в том, что движение в
космосе может осуществляться с любой скоростью, сколь угодно близкой, но не
равной и не превышающей скорость света. Построение Алкубьерра соответствует
варп-движению в том смысле, что перед космическим кораблем происходит
свертывание пространства-времени, а за кораблем - расширение, чем косми-
ческому кораблю сообщается скорость, которая может значительно превышать
скорость света по отношению к удаленным объектам, в то время как на локальном
уровне скорость корабля никогда не будет больше скорости света.
Линейный элемент этой метрики имеет вид
ds2 = -dt2 + (dx - vf(r)dt)2 + dy2 + dz2,
dxs(t)	*	.
где v = —~---кажущаяся скорость космического корабля с двигателем дефор-
Глава 26. Расстояния в космологии и теории относительности
389
мации пространства, xs(t) - траектория космического корабля вдоль координаты х
(при этом радиальная координата определяется как г = ((х-х5(0)2 + у2 + z2)l/2),
и fir) - произвольная функция, подчиненная граничным условиям: /= 1 при г = О
(местоположение космического корабля) и/ = 0 в бесконечности.
•	Вращающаяся С-метрика
Вращающаяся С-метрика является решением уравнений Эйнштейна-Максвел-
ла, которое описывает две противоположно заряженные черные дыры, разбе-
гающиеся с равномерным ускорением в разные стороны друг от друга. Линейный
элемент этой метрики имеет вид
ds2 = A"2(x + y)"2f-^—+ -^— + A:“2G(x)d(|>2 -&2A2F(y)Jr2\
^Г(у) G(x)	}
где F(y) = -1 + у2 -2mAy3 + e2A2y4,G(x) = 1-х2 -2тАх3 -е2А2х4, т, е и А - пара-
метры, связанные с массой, зарядом и ускорением черных дыр, а к - постоянная,
определенная условиями регулярности.
Эту метрику не следует путать с С-метрнкой в гл. 11.
•	Метрика Майерса-Перри
Метрикой Майерса-Перри описывается пятимерная вращающаяся черная дыра.
Ее линейный элемент задается как
ds2 =-dt2 + ^-(dr-asin2 0б/ф - bcos2 0Jy)2 +
P
_2
+~2*Jr2 + p2d02 +(r2 + a2)sin20d(|>2 +(r2 +fe2)cos2 0Jy2,
2	2	2	2 r\ l.2 • 2 л n2 (x2 + a2 )(x2+b2) — 2mr2
где p = r + a cos 0 + b sin 0 и /? ----------5---------.
r
• Метрика Калузы-Клейна
Метрика Калузы-Клейна является метрикой в модели Калузы-Клейна пяти-
мерного (в общем случае многомерного) пространства-времени, предназначенной
объединить классическую гравитацию с электромагнетизмом.
Калуза высказал в 1919 г. идею о том, что если теорию Эйнштейна о чистой
гравитации распространить на пятимерное пространство-время, то уравнения поля
Эйнштейна можно разделить на обычное четырехмерное гравитационное тен-
зорное поле и дополнительное векторное поле, которое эквивалентно уравнению
Максвелла для электромагнитного поля, плюс дополнительное скаляргое поле
(известное как "расширение"), эквивалентное безмассовому уравнению Клейна-
Гордона.
Клейн предположил в 1926 г., что пятое измерение имеет круговую топологию,
такую что пятая координата является периодичной и дополнительное измерение
скручено до ненаблюдаемого размера. Альтернативным предположением является
то, что дополнительное измерение (дополнительные измерения) является
расширенным. Такой подход аналогичен четырехмерной модели - все измере
ния являются расширенными и первоначально одинаковыми, а сигнатура имеет
форму (р, 1).
390
Часть VI. Расстояния в естественных науках
В модели расширенного дополнительного измерения 5-мерную метрику вселен-
ной можно записать в нормальных гауссовых координатах в виде
4fc2 =-(dt5)2 +А,2(х5)^Т]ар^а^р.
а,р
где Пар является четырехмерным метрическим тензором и Т|2(х5) - произвольная
функция пятой координаты.
•	Метрика Понсе де Леона
Метрика Понсе де Леона - 5-мерная метрика, заданная линейным элементом
2
ds2 =l2dt2 -(r/r0)2p/p"‘(dx2 + Jy2 +t/z2)---
где I - пятая (пространственноподобная) координата. Эта метрика описывает
пятимерный вакуум, но не является плоской.
Часть VII
РАССТОЯНИЯ
В РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Глава 27
Меры длины и шкалы
В данной главе приводится избранная информация по наиболее важным единицам
длины и представлен на языке длин перечень ряда интересных объектов.
27.1.	МЕРЫ ДЛИНЫ
Основными системами измерения длины являются: метрическая, "имперская"
(английская и американская), японская, тайская, китайская имперская, старо-
русская, древнеримская, древнегреческая, библейская, астрономическая, морская и
полиграфическая.
Существует много других специализированных шкал длины; например, для
измерения одежды, размеров обуви, калибров (внутренних диаметров стволов
огнестрельного оружия, проводов, ювелирных колец), размеров абразивных кру-
гов, толщины металлических листов и т.п. Многие единицы измерений служат для
выражения относительных или обратных расстояний.
• Международная метрическая система
Международная метрическая система (или сокращенно система СИ) является
современным вариантом метрической системы единиц, установленных между-
народным соглашением (Метрическая конвенция, подписанная 20 мая 1875 г.),
которым была определена логичная и взаимосвязная основа для всех измерений в
науке, промышленности и коммерции. В основе системы заложены семь основных
единиц, которые считаются независимыми.
1.	Длина: метр (м) - равна расстоянию, проходимому светом в вакууме за
1/299792458 долей секунды.
2.	Время: секунда (с).
3.	Масса: килограмм (кг).
4.	Температура: кельвин (К).
5.	Сила тока: ампер (А).
6.	Сила света: кандела (кд).
7.	Количество вещества: моль (моль).
Первоначально, 26 марта 1791 г., metre (метр по-французски) был определен как
1/10 000 000 часть расстояния от Северного полюса Земли до экватора по
парижскому меридиану. В 1799 г. стандартным метром стал платиново-иридиевый
стержень метровой длины ("архивный метр"), хранившийся во французском городе
Севре (пригород Парижа) и служивший для любого желающего эталоном для
сравнения с собственным измерительным инструментом. (Введенная в 1793 г.
метрическая система была настолько непопулярна, что Наполеону пришлось
отказаться от нее, и Франция вновь вернулась к метру только в 1837 г.). В 1960 г.
эталонный метр был официально привязан к длине волны.
Глава 27. Меры длины и шкалы
393
•	Метризация
Метризация - процесс перехода к Международной метрической системе (СИ).
Он еще не завершен (особенно в США и Великобритании). Официально пока еще
только США, Либерия и Мьянма не перешли на систему СИ. Так, например, в
США на дорожных знаках для обозначения расстояний используются только мили.
Высоты в авиации даются, как правило, в футах; на флоте используются морские
мили и узлы. Разрешающая способность устройств вывода данных зачастую
указывается в количестве точек на дюйм (dpi).
Твердая метрика означает применение метрической системы с самого начала и
соответствие, насколько это приемлемо, международным размерам и стандартам.
Мягкая метрика означает умножение на коэффициент преобразования
количества дюймов - фунтов и округление результата до приемлемой степени
точности; таким образом, при мягкой метризации размеры предметов не изме-
няются. Американская метрическая система предполагает преобразование тради-
ционных единиц в десятичную систему, используемую в метрической системе.
Такими гибридными единицами имперской системы и системы СИ, применяемыми
в мягкой метризации, являются, например, килоярд (914,4 м), килофут (304,8 м),
миль или миллидюйм (24,5 микрон) и микродюйм (25,4 нанометров).
•	Родственные метру термины
В дополнение к системным единицам длины ниже представлено большое се-
мейство нематематических терминов, родственных метру.
Метр в поэзии (или каденция): ритмическая форма, служащая мерой ритмики,
лингвистической размеренности звукового образа стихотворения. Гиперметр - это
часть стиха, содержащая лишний слог.
Метр в музыке (или ритм): размеренность ритмического рисунка музыкальной
строки, деление композиции на равные по времени части и дальнейшее их
разбиение. Изометрия - использование импульсов (непрерывной последователь-
ности периодических кратковременных воздействий) без какой-либо упорядочен-
ности, а полиметрия - использование двух метров одновременно.
Метрометр в медицине - инструмент для измерения размера матки. В наиме-
нованиях различных измерительных инструментов в конце слова присутствует
термин метр.
Метрическая рейка - эмпирическое правило для приближенных подсчетов на
основе повседневной практики, например, сторона спичечного коробка равна 5 см,
а 1 км - примерно 10 минут ходьбы.
Отмеривание - термин, эквивалентный измерению; микрометрия - измерение
под микроскопом.
Метрология - научная дисциплина, исследующая понятие измерения.
Метрономия - инструментальное измерение времени.
Метрософия - космология, основанная на строго числовых соответствиях.
Аллометрия - наука об изменении пропорций различных частей организма в
процессе роста.
Археометрия - наука о точном датировании археологических находок, относя-
щихся к далекому прошлому и т.п.
Изометропия - одинаковость рефракции в обоих глазах.
Изометрическое упражнение - упражнение с физической нагрузкой на мышцы,
когда сила прикладывается к статичному объекту.
Изометрическая частица - вирус, который (в состоянии капсида вириона)
обладает икосаэдральной симметрией.
394
Часть VII. Расстояния в реальном мире
Изометрический процесс- термодинамический процесс при постоянном
объеме.
Изометрическая проекция- представление трехмерных объектов в двух
измерениях, в котором углы между тремя осями проекции одинаковы
2я
и равны —.
Изометрическая система кристаллов - кубическая кристаллографическая
система.
Метрическая асимметрия кристаллической решетки - симметрия без учета
расположения атомов в базисной клетке.
•	Метрические меры длины
Километр (км) = 1000 метров = 103 м.
Метр (м) = 10 дециметров = 10° м.
Дециметр (дм) = 10 сантиметров = 10_| м.
Сантиметр (см) = 10 миллиметров = 10"2 м.
Миллиметр (мм) = 1000 микрометров = 10"3 м.
Микрометр (или микрон, ц) = 1000 нанометров = 10-6 м.
Нанометр (нм) = 10 А = 10"9 м.
Длины 103' м, t = -8, -7,..., -1,1,..., 7, 8 указываются с приставками: йокто, цепто,
атто, фемто, пико, нано, микро, милли, кило, мега, гига, тера, пета, экса, цетта,
йотта соответственно.
•	Имперские меры длины
Имперскими мерами длины (слегка упорядоченными международным согла-
шением от 1 июля 1959 г.) являются следующие:
-	лига = 3 мили;
-	{американская геодезическая) миля = 5280 футов » 1609,347 м;
-	международная миля = 1609,344 м;
-	ярд - 3 фута = 0,9144 м;
-	фут = 12 дюймов = 0,3048 м;
-	дюйм = 2,54 см (для огнестрельного оружия, калибр);
-	линия = 1/12 дюйма;
-	агат = 1/14 дюйма;
-	мики = 1/200 дюйма;
-мил (британская тысячная) =1/1000 дюйма (мил является также угловой
мерой ти/3200 » 0,001 радиана).
Существуют также старинные меры: ячменное зерно - 1/3 дюйма; палец -
3/4 дюйма; ладонь - 3 дюйма; рука - 4 дюйма; шафтмент - 6 дюймов, пядь -
9 дюймов, локоть - 18 дюймов.
Дополнительно имеются меры землемерной цепи: фарлонг = 10 чейнов = 1/8 ми-
ли; чейн = 100 линков = 66 футов; шнур = 20 футов; род (или поль) = 16,5 футов;
линк = 7,92 дюймов. Миля, фарлонг и сажень (6 футов) произошли от несколько
более коротких греко-римских милей, стадий и оргий, упоминаемых в Новом
Завете.
Библейскими мерами аналогичного типа были: локоть и его производные
единицы, кратные 4, 1/2, 1/6 и 1/24, называемые соответственно саженью, пядью,
ладонью и пальцем. При этом базовая длина библейского локтя остается неиз-
вестной; в настоящее время предполагается, что она составляет около 17,6 дюймов
для общей (используемой в коммерции) меры локтя и около 20-22 дюймов для
Глава 27. Меры длины и шкалы
395
официального использования (применялся в строительстве). Талмудический
локоть равен 56,02 см, т.е. несколько длиннее 22 дюймов.
Как указано на http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Strange_units_of_measurement,
старинная единица длины, называвшаяся дистанцией и равная 221763 дюймам
(около 5633 м), определялась весьма необычно, как равная 3 мили + 3 фарлонга +
+ 9 чейнов + 3 рода + 9 футов + 9 шафтментов + 9 рук + 9 ячменных зерен.
Для обозначения размеров материи и одежды используются старые единицы:
рулон - 40 ярдов; ел - 5/4 ярда; гоад - 3/2 ярда; четверть (или пядь) - 1/4 ярда;
палец - 1/8 ярда; ноготь - 1/16 ярда.
• Морские единицы длины
Морские единицы длины (применяемые также в воздушной навигации):
-	морская лига = 3 морских мили;
-	морская миля = 1852 м;
-	географическая миля- 1852,325 м (среднее расстояние на поверхности Земли,
представленное одной минутой широты);
-	кабельтов = 120 саженей = 720 футов = 219,456 м;
-	короткий кабельтов = 1/10 морской мили ~ 608 футов;
-	сажень = 6 футов.
•	Бумажные форматы МОС
В широко используемой системе бумажных форматов МОС отношение высоты
листа к его ширине является отношением Лихтенберга, т.е. л/2. Система вклю-
чает в себя форматы Ап, Вп и (используемый для конвертов) формат Спс0<и<10
и шириной листа 2"|/4“л/2,2“л/2 и 2“|/8"п/2 соответственно. Все размеры указаны
в метрах, и соответственно площадь Ап равна 2~п м2. Они округляются и обычно
выражаются в миллиметрах, например, формат А4- 210 х 297, а формат В7
(используемый также для паспортов европейских стран и США) имеет размеры
88 х125.
•	Полиграфические единицы длины
Пункт (PostScript) = 1/72 дюйма = 100 гутенбергов = 3,527777778 см.
Пункт (ТеХ) (или пункт принтера) = 1/72,27 дюйма = 3,514598035 см.
Пункт (АТА) = 3,514598 см.
Ку (японская) (или Q, четверть) = 2,5 см.
Пункт (Дидо) = 1/72 французского королевского дюйма = 3,761 см и цицеро =
= 12 пунктов Дидо.
Пика (PostScript, ТеХили АТА) = 12 пунктов в соответствующей системе.
Твип = 1/20 пункта в соответствующей системе.
•	Очень малые единицы длины
Ангстрем (А) = 10“10 м.
Ангстрем звезда (или единица Вердена): А* « 1,0000148 ангстрем (используется с
1965 г. для измерения длин волн рентгеновского и гамма излучения, а также рас-
стояний между атомами в кристаллах).
X единица (или зигбанова единица) - 1,0021 х 10"13 м (ранее использовалась для
измерения длин волн рентгеновского и гамма излучения).
Бор (атомная единица длины): а0, средний радиус « 5,291772 х 10"11 м орбиты
электрона атома водорода (в модели Бора).
396
Часть VII. Расстояния в реальном мире
h
Приведенная комптоновская длина волны электрона (т.е. —) для массы
тс
электрона те:	= аа0 « 3,862 х 10“13 м, где h - приведенная (т.е. деленная на 2я)
постоянная Планка, с - скорость света и а«-—у - постоянная тонкой
массы Планка тР =
структуры.
Классический радиус электрона'. ге: аХс = а2а0 « 2,81794 х 10"15 м.
Комптоновская длина волны протона: « 1,32141 х 10"15 м; большая часть из-
мерений длин в ходе экспериментов, связанных с фундаментальными ядерными
силами, являются ее кратными.
Длина Планка (наименьшая физическая длина): =J-y « 1,6162 х1О"35 м,
где G - универсальная гравитационная постоянная Ньютона. Она является также
приведенной комптоновской длиной волны и половиной радиуса Шварцчайльда для
х 10-8 кг. Время Планка Г = — « 5,4 х 10*44 с.
' с
Именно, 1038/Р « 1 миле США, 1043ГР «54с и 109/Ир «21,76кг, т.е. близко
к 1 таланту (26 кг серебра, мера веса в Древней Греции). Котрелл
(http://planck.com/humanscale.htm) предложил ” постметрический” вариант адаптиро-
ванной под человека системы единиц Планка на основе трех вышеуказанных
единиц, назвав их (планковскими) милей, минутой и талантом.
•	Астрономические единицы длины
Расстояние Хаббла (граница космического светового горизонта) равна
с
DH = — « 4,22 Гпк « 13,7 световых гигалет (используется для измерения расстоя-
ний d > у Мпк в терминах красного смещения z: d = zDH, если z < 1, и
. (z + l)2-l
d =-----з---DH, иначе).
(z + l)2 + l "
Гигапарсек (Гпк) = 103 мегапарсеков (Мпк).
Хаббл (или световой гигагод) = 109 (млрд) световых лет « 306,595 Мпк.
Мегапарсек = 103 килопарсеков ~ 3,262 MLY (млн св. лет).
MLY (миллион световых лет) = 106 (млн) св. лет.
Килопарсек = 103 парсеков.
„	648000 АТТ ,	ч
Парсек =--------AU (астрономических единиц, а.е.) « 3,261634 св. года
я
*	* 3,08568 х 1016 м (расстояние от воображаемой звезды, когда прямые, проведен-
ные от нее до Земли и до Солнца, образуют максимальный угол, т.е. параллакс,
величиной в секунду).
Световой год ~ 9,46073 х 1015 м « 5,2595 х 105 световых минут « я х 107 световых
секунд (расстояние, которое в вакууме свет проходит за один год; используется для
измерения расстояний между звездами).
Глава 27. Меры длины и шкалы
397
Спат (устаревшая единица) « 1012 м » 6,6846 AU (астрономических единиц).
Астрономическая единица (AU)= 1,49597871 х 1011 м ~ 8,32 световых минуты
(среднее расстояние между Землей и Солнцем; используется для измерения рас-
стояний в пределах Солнечной системы).
Световая секунда * 2,998 х 108 м.
Пикопарсек » 30,86 км (см. также другие забавные единицы, как, например,
микростолетие ~ 52,5 минуты, обычная продолжительность доклада, и нано-
столетие ~ к секунд).
27.2. ШКАЛЫ ФИЗИЧЕСКИХ ДЛИН
В данном разделе рассматривается набор различных порядков величины длин,
выраженных в метрах.
1,616 х 10"35- длина Планка (наименьшая возможная физическая длина): на
этой шкале ожидается наличие "квантумной пены" (мощное искривление и турбу-
ленция пространства-времени, нет гладкой пространственной геометрии); домини-
рующими структурами являются малые (многосвязные) пространственные ворон-
ки и пузыри, возникающие и исчезающие.
10"34 - длина предполагаемой струны*. М-теория предполагает, что все силы и
все 25 элементарных частиц объясняются вибрацией таких струн, и стремится
объединить квантовую механику с общей теорией относительности.
10"24 = 1 йоктометр.
10~21 = 1 цептометр.
10"18 = 1 аттометр: область слабых ядерных сил, размер кварка.
Ю~15 = 1 фемтометр (бывшая ферми).
1,3 х 10"15 - область больших ядерных сил, ядра атомов средних размеров.
Ю"12= 1 пикометр (ранее назывался бикрон или стигма): расстояние между
атомными ядрами в белых карликовых звездах.
10"11 - длина волны наиболее жесткого (коротковолнового) рентгеновского
излучения и наибольшая длина волны гамма излучения.
5Х10"11- диаметр наименьшего атома (водорода Н); 1,5 х1О"10- диаметр
наименьшей молекулы (водорода Н2).
Ю~10 = 1 ангстрем - диаметр типового атома, предел разрешающей способности
электронного микроскопа.
1,54 х 1О"10 - длина типовой ковалентной связи (С-С).
10"9 = 1 нанометр - диаметр типовой молекулы.
2 х 1(Г9 - диаметр спирали ДНК.
10"8- длина волны наиболее мягкого рентгеновского излучения и самого
крайнего ультрафиолетового излучения.
1,1 х 10"8 - диаметр приона (наименьшей биологической сущности, способной к
самовоспроизведению).
4,5 х 10-8 - наименьшая деталь компьютерной микросхемы в 2007 г.
9 х 10"8 - вирус иммунодефицита человека (ВИЧ); в общем случае размеры
известных вирусов колеблются в пределах от 2 х 10"8 (аденоассоциированные виру-
сы) до 8 х 10"7 (мимивирус).
10~7- размер хромосомы, максимальный размер частицы, которая может
пройти через хирургическую маску.
2 х 10"7 - предел разрешающей способности оптического микроскопа.
398
Часть VIL Расстояния в реальном мире
3,8-7,4 х 10"7 - длина волны видимого (глазом человека) света, т.е. цветовой
спектр от фиолетового до красного.
1= 1 микрометр (бывший микрон).
lO^-lO"5 - диаметр типовой бактерии; в общем случае размеры известных (не
находящихся в состоянии покоя) бактерий колеблются в пределах от 1,5 х 10"7
(микоплазма гениталиум: "минимальная клетка") до 7 х 10”4 ("Серная жемчужина
Намибии" - Thiomargarita of Namibia).
7 х 10-6 - диаметр ядра типовой эукариотной клетки.
8 х 10"6- средний диаметр человеческого волоса (колеблется от 1,8 х Ю’6 до
18 х 10"6).
10~5 - типовой размер капли воды (туман, водяная пыль, облако).
10"5,1,5 х 10"5 и 2 х 10"5 - диаметры волокон хлопка, шелка и шерсти.
2 х 10-4 - приблизительно нижний предел различения предмета человеческим
глазом.
5 х 10-4 - диаметр человеческой яйцеклетки, микропроцессор MEMS (микро-
машинная технология).
10"3 = 1 миллиметр - крайняя длина волны инфракрасного диапазона.
5 х 10"3 - длина среднего красного муравья; в общем случае размеры насекомых
находятся в пределах от 1,7 х 10-4 (наездник мегафрагма - Megaphragma caribea) до
3,6 х 10"1 (палочник - Phamacia kirbyi).
„ л 1 л-3	v i 2Gm
8,9 х Ю - радиус Шварцчайльда —~-----наименьший предел, после которого
\ с
масса т коллапсирует в черную дыру^ для Земли.
Ю“2 = I сантиметр.
lO-i = I дециметр - длина волны самой низкой частоты микроволнового спектра
и самой высокой частоты диапазона УВЧ (ультравысоких частот), 3 ГГц.
I метр - длина волны самой низкой частоты УВЧ диапазона и самой высокой
частоты диапазона ОВЧ (очень высоких частот), 300 МГц.
1,435 - стандартная колея железнодорожного пути.
2,77-3,44 - длина волны широковещательного УКВ радиодиапазона с частотной
модуляцией сигнала, 108-87 МГц.
5,5 и 30,1 - рост самого высокого животного (жирафа) и длина самого длинного
животного (голубого кита).
10=1 декаметр - длина волны самой нижней частоты диапазона высоких радио-
частот (ВЧ) и самой высокой частоты коротковолнового (КВ) диапазона, 30 МГц.
26 - самая высокая (измеренная) океанская волна. При этом расчетная высота
волны мегацунами, вызванного 65 млн лет назад столкновением Земли с асте-
роидом К-Т, в результате которого, вероятно, погибли динозавры, составила около
1 км.
100= 1 гектометр - длина волны самой низкой частоты КВ диапазона и самая
высокая частота средневолнового (СВ) диапазона, 3 МГц.
115,5 - высота самого высокого в мире дерева, калифорнийского мамонтового
дерева.
137, 300, 508 и 541 - высоты Великой пирамиды в Гизе, Эйфелевой башни,
небоскреба Тайбэй 101 (самого высокого здания на 2007 г.) и Небоскреба Свободы,
который предполагается построить на месте бывшего комплекса Всемирного
торгового центра.
Глава 27. Меры длины и шкалы
399
187-555 - длина волны широковещательного диапазона частот с амплитудной
модуляцией, 1600-540 кГц.
340 - расстояние, на которое перемещается звук в атмосфере за одну секунду.
103 = 1 километр.
2,95 х 103 - радиус Шварцчайлъда для Солнца.
3,79 х 103 - средняя глубина океанов.
104 - длина волны самой нижней радиочастоты СВ диапазона, 300 кГц.
8,8 х 103 и 10,9 х 103 - высота самой высокой горы Эверест и глубина впадины
Минданао.
5 х 104 = 50 км - максимальное расстояние, на котором можно увидеть пламя
спички (минимум 10 фотонов достигают сетчатки глаза в течение 0,1 с).
1,11 х 105 = 111 км - один градус широты на Земле.
1,5 х 104—1,5 х 107 - диапазон частот слышимого человеком звука (20 Гц-
208 кГц).
1,69 х 105- длина гидротехнического- туннеля Делавэр (Нью-Йорк), самого
длинного в мире.
2 х 105 - длина волны (расстояние между подошвами последовательных волн)
типового цунами.
4,83 х 105- диаметр кратера Земли Уилкса (Антарктика), образовавшегося
250 млн лет назад в результате падения небесного тела; самый большой из най-
денных на Земле (предполагается, что эта катастрофа повлекла за собой массовое
уничтожение жизни в пермский период); считается также, что столкновение Земли
с гипотетическим планетоидом ”Тейя”, по размерам сходным с Марсом (теория
’’Большого Всплеска”), привело 4533 млрд лет назад к образованию Луны.
106 = 1 мегаметр.
3,48 х 106 - диаметр Луны.
5 х 106 - диаметр LHS 4033, наименьшей известной звезды - белого карлика.
6,4 х 106 и 6,65 х 106 - длина Великой Китайской Стены и длина реки Нил.
1,28 х 107 и 4,01 х 107 - диаметр Земли в экваториальной зоне и длина экватора
Земли.
3,84 х 108 - орбитальное расстояние Луны от Земли.
109 = 1 гигаметр.
1,39 х 109 - диаметр Солнца.
5,8 х 10ю - орбитальное расстояние Меркурия.
1,496 х 10й (1 астрономическая единица, AU)- среднее расстояние между
Землей и Солнцем (орбитальное расстояние Земли).
5,7 х 1011 - длина наибольшего наблюдаемого кометного хвоста (кометы Хуаку-
таке).
1012 = 1 тераметр (бывший спат).
2,9 х 1012 ~ 7 AU - диаметр самой большой известной сверхгигант' сой звезды
VY Canis Majoris.
4,5 х 1012 « 30 AU - орбитальное расстояние Нептуна.
30-50 AU - расстояние от Солнца до астероидного пояса Куипера.
1015 = 1 петаметр.
50 000-100 000 AU - расстояние от Солнца до облака Оорта (предполагаемое
сферическое скопление комет).
3,99 х 1016 = 266715 AU = 4,22 св. года = 1,3 пк - расстояние до ближайшей к
Солнцу звезды Проксима Центавра.
400
Часть VII. Расстояния в реальном мире
1018 = 1 эксаметр.
1,57 х 1018 ~ 50,9 пк - расстояние до сверхновой 1987А.
2,62 х Ю20« 8,5 кпк ~ 2,77хЮ4 св. лет- расстояние от Солнца до
галактического центра (в созвездии Стрельца А ).
3,98 х 1О20- 12,9 кпк- расстояние до ближайшей карликовой галактики Боль-
шого Пса.
9,46 х Ю20~ 30,66 кпк ~ 105 св. лет - диаметр галактического диска нашей
галактики Млечный Путь.
1021 = 1 зеттаметр.
2,23 х Ю22 = 725 кпк - расстояние до Туманности Андромеды, ближайшей круп-
ной галактики.
5 х 1022 = 1,6 Мпк - диаметр Местной группы галактик.
5,7 х 1023 = 60 млн св. лет - расстояние до созвездия Девы, ближайшего крупного
скопления (которое является доминирующим в Местном сверхскоплении и в
котором были обнаружены первая галактика темной материи и первые
внегалактические звезды).
1024=1 йоттаметр.
2 х 1024 = 60 Мпк - диаметр Местного сверхскопления (или Сверхскопления
Девы).
2,36 х 1024 = 250 млн св. лет - расстояние до Великого аттрактора (гравитацион-
ной аномалии в Местном сверхскоплении).
500 млн св. лет - длина Великой Стены галактик и альфа пузырей Лимана,
самых больших наблюдаемых суперструктур во вселенной (пространство выглядит
тем более равномерным, чем крупнее масштаб).
12 080 млн св. лет = 3704 Мпк - расстояние до наиболее удаленного известного
квазара SDSS Л 148 + 5251 (красное смещение 6,43, в то время как 6,5 является
предположительно "стеной невидимости" для видимого света).
1,3 х 1026 = 13,7 св. гигалет = 4,22 Гпк - расстояние (рассчитанное с помощью
зонда микроволновой анизотропии Уилкинсона), пройденное фоновым космиче-
с
ским излучением с момента "Большого взрыва" (радиус Хаббла DH =—, косми-
ческий световой горизонт, возраст вселенной). С учетом того что это число имеет
порядок радиуса Шварцчайльда для массы вселенной, некоторые физики рассмат-
ривают всю вселенную как гигантскую вращающуюся черную дыру. Данное число
имеет также порядок (если космологическая постоянная А « 1,36 х
л/ А
х 10“56 см-2), что некоторые ученые считают максимальной длиной подобно
минимальной длине Планка.
7,4 х 1026: нынешнее расстояние (совместного) движения до края наблюдаемой
вселенной (размеры наблюдаемой вселенной превышают длину радиуса Хаббла,
поскольку вселенная продолжает расширяться). Согласно теории параллельных
10ик
вселенных, предполагается, что на удалении порядка 10 м существует другая,
идентичная копия нашей вселенной.
Глава 28
Нематематические
и образные значения расстояния
28.1.	РАССТОЯНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ОТЧУЖДЕННОСТЬЮ
•	Приблизительные расстояния но шкале человека
Расстояние руки - расстояние (около 0,7 м, т.е. так называемое личное рас-
стояние), которое предупреждает фамильярность или конфликт (аналогами явля-
ются итальянское bracio, турецкий pik и старорусская сажень). Расстояние досяга-
ния - разница между пределом досягаемости и расстоянием руки.
Расстояние плевка - весьма короткое расстояние.
Расстояние окрика - короткое, легко досягаемое расстояние.
Расстояние удара - расстояние, в пределах которого объект может быть дося-
гаем для нанесения удара.
Расстояние броска камня измеряется расстоянием примерно 25 саженей
(46 м).
Расстояние слышимости голоса - дальность, в пределах которой может быть
услышан человеческий голос.
Расстояние пешком - расстояние, которое обычно можно (в зависимости от кон-
кретной ситуации) пройти пешком. Так, например, в некоторых школах Велико-
британии расстояние 2 и 3 мили считается нормативным расстоянием ходьбы
пешком для детей в возрасте до и после 11 лет.
•	Расстояния между людьми
В работе Холла [На1169] предлагается в сфере межличностных физических отно-
шений между людьми выделить следующие четыре зоны: расстояние интимной
близости - для объятий и разговора шепотом (15-45 см), расстояние личной
близости - для разговора с хорошими друзьями (45-120 см), расстояние
социального контакта - для беседы со знакомыми (1,2-3,6 м) и расстояние
общественной дистанции - для публичных выступлений (более 3,6 м). Какое из
этих проксемических расстояний будет приемлемым в конкретной социальной
ситуации, определяется культурой, полом и личными предпочтениями человека.
Например, в исламских странах близкий контакт (нахождение в одном помещении
или укромном месте) между мужчиной и женщиной допускается только в
присутствии их махрама (супруга или какого-нибудь лица того же пола, или
несовершеннолетнего лица противоположного пола). Для среднего представителя
западной цивилизации его личным пространством считается расстояние спереди
70 см, сзади - 40 см, и 60 см с любого бока.
Поведение людей, определяемое расстоянием между ними, можно измерять,
например, расстоянием торможения (когда объект останавливается, поскольку
дальнейшее сближение вызывает у нее/него чувство неловкости) или показателем
приближения, т.е. процентным отношением шагов, сделанных для сокращения
межличностного расстояния, к общему количеству шагов.
402
Часть VIL Расстояния в реальном мире
Угловые расстояния в осанке людей - измеренная в градусах ориентация в про-
странстве положения плечей одного человека по отношению к другому; положе-
ние верхней части туловища говорящего по отношению к слушателю (например,
находиться лицом к нему или обращаться в сторону); положение корпуса говоря-
щего относительно корпуса слушающего, измеренное в вертикальной плоскости,
которая разделяет тело на две половины (переднюю и заднюю). Данное расстояние
позволяет судить о том, как человек относится к окружающим его людям: верхняя
часть туловища непроизвольно разворачивается в сторону от тех, кто не нравится
или в случае разногласий.
•	Эмоциональное расстояние
Эмоциональное расстояние (или психическое расстояние) показывает степень
эмоциональной отстраненности (по отношению к человеку, группе людей или
событиям), отчужденность и равнодушие посредством замкнутости и необщитель-
ности.
Шкала социальной дистанции Богардуса в действительности измеряет не
социальные, а именно такие расстояния; по данной шкале различаются следующие
восемь градаций ’’чуждости” для респондентов - представителей других этнических
групп и готовность к взаимодействию с ними в том или ином качестве: могли бы
породниться, могли бы принять гостем в доме, могли бы жить соседями, могли бы
жить в ближайшей окрестности, могли бы жить в одном городе, не желали бы
жить в одном городе, выслали бы, убили бы. Додд и Нехневасия в 1954 г. поставили
в соответствие восьми уровням шкалы Богарда возрастающие расстояния 10* м,
0<г<7.
Эффект соседства - тенденция людей эмоционально сближаться, вступать в дру-
жеские или романтические отношения с теми, кто находится ближе к ним (физи-
чески и психологически), т.е. с теми, с кем они часто встречаются. Уолмсли пред-
ложил считать, что эмоциональная вовлеченность сокращается как J“l/2 по мере
увеличения субъективного расстояния d.
• Социальная дистанция
В социологии социальной дистанцией называется степень отстраненности
отдельных лиц или групп людей от участия в жизни друг друга; степень понима-
ния и тесная связь, характеризующие личные и социальные отношения в целом.
Данное понятие было введено Симмелом в 1903 г.; по его мнению, социальные
формы являются стабильными итогами расстояний между субъектом и объектом
(который, в свою очередь, является разделением самого себя).
Отсчет по шкале социальных расстояний Богардуса (см. эмоциональное рас-
стояние) ведется таким образом, что ответы для каждой этнической/расовой груп-
пы усредняются по всем респондентам, что дает нам показатель RDQ (коэффи-
циент расового расстояния) в пределах от 1,00 до 8,00.
Примером соответствующих моделей является модель в [Aker97], определяющая
агента х как пару (хьх2) чисел, где xj представляет исходное, т.е. унаследован-
ное, социальное положение, и х2 - положение, которое предположительно
будет занято в будущем. Агент х выбирает значение х2, с тем чтобы максими-
зировать число
+	(Л+1*1-У11)(«+1*2-У| I)’
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
403
где е, h, g- параметры,/(xj) - собственная стоимость х и |х(	|, | х2 — уi | —
унаследованная и приобретенная социальные дистанции от х до любого агента у
(с социальным положением у i) конкретного общества.
• Социо-культурные дистанции Руммеля
По определению Руммеля [Rumm76], основными социально-культурными
дистанциями между двумя людьми являются следующие.
1.	Личная дистанция - такое расстояние, сокращая которое люди начинают
вторгаться на территорию личного пространства друг друга.
2.	Психологическая дистанция - воспринимаемое различие мотиваций, темпера-
ментов, способностей, настроений и состояний (включая отдельной категорией
интеллектуальную дистанцию).
3.	Дистанция интересов - воспринимаемое различие в желаниях, средствах и
целях (включая идеологическую дистанцию по социально-политическим прог-
раммам).
4.	Аффинная дистанция - степень симпатии, расположения или привязанности
между двумя людьми.
5.	Дистанция социальных атрибутов - различие в доходах и образовании, расо-
вые и сексуальные различия, различия в профессиональной деятельности и т.п.
6.	Дистанция статуса - различие в благосостоянии, могуществе и престиже
(включая дистанцию власти).
7.	Классовая дистанция - степень общего авторитетного превосходства одного
лица над другим, находящимся в его подчинении.
8.	Культурная дистанция - различия понимания смысла, значений и норм, ото-
браженные в философско-религиозных установках, науке, этических нормах,
языке и изобразительном искусстве.
• Культурное расстояние
В работе [KoSi88] культурное расстояние между двумя странами х = (х19...,х5)
и у = (у1, ..,У5) (обычно это США) получается в виде следующего обобщенного
индекса:
у (*,-у,)2
£ 5К ’
где V, - отклонение индекса /, а сами индексы по методике [Hofs80] обозначают:
1)	расстояние власти;
2)	предотвращение неуверенности (степень ощущения членами одной культуры
угрозы от неопределенных или неизвестных ситуаций);
3)	индивидуализм против коллективизма;
4)	мужественность против женственности;
5)	конфуцианский динамизм (долгосрочные установки против краткосрочных
установок).
Указанное выше расстояние власти измеряет то, насколько облеченные мень-
шей властью члены учреждений и организаций в стране ожидают и признают
неравное распределение власти, т.е. насколько высока культура уважения к власти.
Так, например, Латинская Америка и Япония по этим показателям находятся в
середине шкалы.
404
Часть VII. Расстояния в реальном мире
• Расстояние эффективной торговли
Расстояние эффективной торговли между странами х и у с населением Xj,...,xm
и ур...,уп основных их городских агломераций определяется в работе [НеМаО2] как
t \£j<n
где d,j - взаимное расстояние (в километрах) соответствующих агломераций х, и у,,
г - мера чувствительности торговых потоков к dy .
В качестве внутреннего расстояния страны, измеряющего среднее расстояние
между производителями и потребителями, предлагается использовать величину
_	|площадь . гт<
0,67J----2---(см. [НеМаО2]).
V Я
•	Технологические расстояния
Технологическим расстоянием между двумя фирмами является расстояние
(обычно это х2-расстояние или расстояние косинуса) между их портфелями
патентов, т.е. векторами количества полученных патентов в технологических
(обычно 36) подкатегориях. Другие измерения основаны на количестве ссылок на
патенты, соавторские разработки и т.п.
Когнитивное расстояние Гранстрэнда между двумя компаниями - расстояние
__ м Ц(4ДВ) f (i(Anfi)	.
Штеинхауса —--------= 1 - —------ между их технологическими профилями
ц(АиЯ) ЩАий)
(наборами идей) А и В, рассматриваемыми как подмножества пространства
с мерой (О, А, ц).
Экономическая модель Олесона определяет метрическое пространство (/, J)
всех идей (подобно человеческому мышлению), где /cRJ, с некоторым интел-
лектуальным расстоянием d. Замкнутое, ограниченное и связное множество зна-
ний At а I расширяется в течение времени t. Новые элементы обычно являются
выпуклыми комбинациями предыдущих: обновлениями в процессе постепенного
технологического совершенствования. В исключительных случаях происходят
открытия (смещения парадигмы Куна): Аналогичное понятие мысленного про-
странства (материализованного ментального пространства идей/знаний и взаимо-
отношений между ними в процессе мышления) использовали Суми, Хори и Ошуга
в 1997 г. для компьютерного моделирования мыслительной работы с текстом; ими
была предложена система отображения текстовых объектов в метрических про-
странствах.
Экономическое расстояние Патела между двумя странами - время (число лет),
которое потребуется отстающей стране для выхода на тот же уровень доходов на
душу населения, какой имеет в настоящее время развитая страна. Технологическое
расстояние Фукучи-Сато между странами - время (число лет), необходимое от-
стающей стране для создания аналогичной технологической структуры, которой
обладает в данный момент развитая страна. Основным допущением популярной
гипотезы конвергенции является то, что технологическое расстояние между двумя
странами меньше, чем экономическое.
В экономике производства технология моделируется как множество пар (х, у),
где х е является вектором затрат, а у е R™ - вектором выпуска, и х может
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
405
производить у. Такое множество Т должно удовлетворять условиям стандартной
экономической закономерности. Функция ориентированного технологического
расстояния затрат/выпуска х, у в (запланированном и расчетном) направлении
(-djpdpeR* xRJ выражена как sup{fc >0:((x-fa/x),(y + fa/v))e Т]. Функция рас-
стояния выпуска Шенарда записывается как sup<
Л*О:|*Л |еТ
К
. Граница fs(x)
есть максимальный допустимый выпуск продукции при данных затратах х в усло-
виях конкретной системы или года s. Расстояние до границы точки производства
о (х)
(у = &(*),*) составляет . Индекс Малмквиста для измерения изменения
£(*)
совокупной производительности факторов производства между периодами 5 и s'
(или сравнения с другой единицей в то же время) имеет вид
Термин рас-
fsW
стояние до границы используется также, для обращения совокупной производи-
тельности факторов производства конкретной промышленности (или ВВП на
одного работающего в конкретной стране) по отношению к существующему
максимуму (в качестве границы обычно берутся США).
•	Смерть расстояния
Смерть расстояния, так называется авторитетная книга [CairO 1], в которой
утверждается, что революция в сфере телекоммуникаций (Интернет, мобильная
телефония, цифровое телевидение и т.п.) привела к "смерти расстояния” и по-
родила фундаментальные перемены: трехсменную работу, снижение налогов, воз-
вышение английского языка, аутосурсинг (привлечение внешних ресурсов для
решения внутренних задач), новые возможности контроля за деятельностью
правительства, расширение гражданской связи и т.п. В сфере международных
отношений заметно возросла доля общения на больших расстояниях. Однако
"смерть расстояния" способствовала одновременно и совершенствованию методов
управления на расстоянии, и сосредоточению элиты в городах "молочного пояса".
Аналогичным образом ([Ferg03]) пароходы и телеграф (как железные дороги
раньше и автомобили позже) привели вслед за падением стоимости транспортных
перевозок к "ликвидации расстояния" в XIX и XX вв. В еще более далеком про-
шлом, как свидетельствуют археологические данные (около 140 тыс. лет назад),
появилась регулярная меновая торговля на больших расстояниях, а изобретение
метательного оружия (около 40 тыс. лет назад) позволило человеку убивать круп-
ную дичь (и других людей), находясь на безопасном удалении.
Однако в настоящее время современные технологии затмили расстояние только
тем, что значительно сократилось время пути до объекта назначения. В действи-
тельности расстояния (культурное, политическое, географическое и экономиче-
ское) еще не утратили своей значимости, например, при выработке стратегии
компании на развивающихся рынках, в вопросах политической легитимности и т.п.
•	Моральная дистанция
Моральная дистанция - мера моральной индифферентности или сопереживания
по отношению к одному человеку, группе людей или событиям.
Дистанцирование - разделение во времени или пространстве, снижающее со-
переживание, которое человек мог бы испытывать к страданиям других, т.е. увели-
чиващее моральную дистанцию. Термин дистанцирование используется также
406
Часть VII. Расстояния в реальном мире
(в книгах Кантора) для психологической характеристики замкнутой личности:
боязнь близких отношений и обязательств (убежденные холостяки, роковые
женщины и т.п.).
•	Дистанцирование, связанное с технологией
Теория морального дистанцирования утверждает, что технология способствует
предрасположенности к неэтическому поведению тем, что формирует моральную
дистанцию между действием и моральной ответственностью за него.
Печатные технологии разделили людей на отдельные системы связи и дистан-
цировали их от общения лицом к лицу, живого разговора и прикосновения. Теле-
видение задействует наши слуховые ощущения и делает расстояние менее довлею-
щим фактором, однако при этом усиливается когнитивное дистанцирование:
сюжет и изображение не стыкуются с пространством/местоположением и
временем/памятью. Это дистанцирование не уменьшилось с внедрением компью-
терной техники, хотя интерактивность возросла. Говоря словами Хантера,
технология лишь по-новому реорганизовала содержание расстояния коммуни-
кации, поскольку его также следует рассматривать как пространство между
пониманием и непониманием. Ликвидация пространственных барьеров уменьшает
только экономические, но никак не социальные и когнитивные расстояния.
С другой стороны, модель психологического дистанцирования ([Well86])
связывает сиюминутность общения с количеством информационных каналов:
сенсорные ощущения уменьшаются в прогрессивной пропорции, по мере того как
люди переходят от личного общения к общению по телефону, видеофону,
электронной почте. Общение через Интернет имеет тенденцию к отсеиванию
сигналов, характеризующих социальный смысл или личные отношения. Кроме
того, отсутствие немедленной ответной реакции собеседника, обусловленное
особенностями электронной почты, ведет к временным несовпадениям и может
вызвать чувство изолированности. Например, моральные и познавательные
последствия дистанцирования в процессе обучения в режиме онлайн до сих пор
остаются неизученными.
•	Трансакционная дистанция
Трансакционная дистанция - воображаемая степень разделенности в ходе
взаимодействия между студентами и преподавателями и внутри каждой группы
субъектов. Данная дистанция сокращается при наличии диалога (преднамеренного
положительного взаимодействия с целью улучшения понимания), а также при
предоставлении обучаемому большей свободы действия и менее предопределенной
структуры образовательной программы. Данное понятие было введено Муром в
1993 г. в качестве парадигмы обучения на расстоянии.
•	Расстояние действия
Расстояние действия - расстояние между массивом информации, генерируемым
системой активного бизнес-анализа (Business Intelligence), и множеством действий,
приемлемых для конкретной деловой ситуации. Расстояние действия является
мерой усилий, необходимых для уяснения информации и воздействия этой
информации на последующие действия. Она может выражаться в физическом
расстоянии между отображаемой информацией и управляемым действием.
•	Антиномия расстояния
Антиномия расстояния, как она была введена в [Bull 12] для сферы эстетических
ощущений зрителей и актера, заключается в том, что они оба должны найти такую
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
407
правильную эмоциональную дистанцию (не слишком вовлеченную и не слишком
бесстрастную), чтобы быть в состоянии творить или оценивать искусство. Эту тон-
кую линию раздела между объективностью и субъективностью можно легко пре-
ступить, и величина самой дистанции может со временем изменяться.
Эстетическая дистанция - степень эмоциональной вовлеченности индивидуума,
который, глядя на произведение искусства, оказывается под его впечатлением.
В качестве примера такой дистанции можно привести перспективу зрителя в зале
по отношению к представлению на сцене, психологическое и эмоциональное рас-
стояние между текстом и читателем, дистанцию между актером и ролью, как она
трактуется в театральной системе Станиславского.
Варианты антиномии расстояния проявляются в критическом мышлении: суще-
ствует необходимость установить определенную эмоциональную и интеллектуаль-
ную дистанцию между самим собой и идеей, чтобы иметь возможность более точ-
ной оценки ее значимости. Другой вариант рассматривается в парадоксе доминиро-
вания: дистанция и связь (http://www.leatherpage.com/rscurrent.htm/).
Историческая дистанция по терминологии [Tail04] является положением, кото-
рое историк занимает по отношению к своим объектам - далекую, близкую или
где-нибудь между ними; это - воображение, посредством которого живой ум исто-
рика, встречая инертное и невосстановимое, стремится представить материалы
реально живыми. Антиномия расстояния здесь вновь проявляется в том, что исто-
рики обращаются к прошлому не только интеллектуально, но и переживают мо-
ральную и эмоциональную вовлеченность. Формальные свойства исторических
текстов зачастую оказываются под влиянием их эмоциональных, идеологических и
когнитивных установок.
Смежной проблемой является то, насколько большой должна быть дистанция
между людьми и их прошлым, чтобы человек оставался психологически приспо-
собленным к жизни. Фрейд показал, что зачастую между нами и детством такой
дистанции не существует.
•	Неметрическое пространство Крнстевой
По мнению Кристевой (1980), основные психоаналитические различия выража-
ются в терминах пре-эдипова или эдипова аспектов развития личности. Признаки
самовлюбленности и зависимости от матери, анархических мотивов поведения,
полиморфический эротогеницизм и первичные процессы характерны для пре-
эдиповой организации. Соперничество и отождествление с отцом, специфические
мотивы поведения, фаллический эротогеницизм, вторичные процессы более
характерны для эдиповой ориентации. Кристева описывает пре-эдипову женскую
фазу как обволакивающее аморфное неметрическое пространство (хора Платона),
которое одновременно и кормит, и угрожает; оно также определяет и ограничи-
вает тождественность самому себе. При этом эдипову мужскую фазу она харак-
теризует как метрическое пространство (топос Аристотеля); собственная лич-
ность и отношение личности к пространству более точно и качественно опре-
делены в топосе. Кристева утверждает также, что корни семиотического процесса
лежат в женском либидо, пре-эдиповой энергии, которую необходимо направлять в
русло социального сплочения.
Делёз и Гуаттари (1980) разделили свои мультиплетности (сети, многообразия,
пространства) на бороздчатые (метрические, иерархические, центрированные и
числовые) и гладкие (неметрические, корневые и а центрированные, которые
занимают пространство без какого-либо учета и могут быть исследованы только
"ногами”).
408
Часть VH. Расстояния в реальном мире
Эти французские постструктуралисты использовали метафору неметрический
точно так же# как психоаналитик Лакан систематически пользовался топологи-
ческой терминологией. В частности, он представлял пространство J (от француз-
ского Jouissance) сексуальных отношений как ограниченное метрическое
пространство.
Возвращаясь к математике, неметрический тензор - это ковариантная произ-
водная метрического тензора. Она может быть ненулевой для псевдорнмановых
метрик и обращаться в нуль для римановых метрик.
•	Расстояние Симоны Вейль
"Расстояние" - это заголовок философско-теологического эссе Симоны Вейль
из ее книги "В ожидании Бога" (Нью-Йорк: Путман, 1951). Она связывает любовь
Бога с расстоянием; таким образом, его отсутствие может рассматриваться как
присутствие: "любое разъединение есть связь" (метаксю Платона). Соответствен-
но, утверждает она, распятие Христа (наибольшая любовь/расстояние) было необ-
ходимо "для того, чтобы мы смогли осознать расстояние от нас до Бога..., по-
скольку мы не осознаем расстояние, кроме как по нисходящей линии". См. понятия
Лурианской каббалы цимцум ("самосокращение" Бога) и "разбиение сосудов" (зло
как сила разобщения, которое утратило свою функцию разобщения и преврати-
лось в черепки).
Взять также песню "Издалека", написанную Юлией Голд, в которой поется о
Боге, который наблюдает за нами, и о том, как, несмотря на расстояние (физиче-
ское и эмоциональное), искажающее восприятие, в нашем мире еще осталось
место для мира и любви.
•	Небесные расстояния Сведенборга
Известный ученый и мистик Сведенборг в своем главном труде "Небеса
и Ад" (Лондон, 1952, первое издание на латинском языке в 1758 г.) утверждает
(см. гл. 22 "Пространство на небесах", с. 191-199), что "расстояния и таким обра-
зом пространство находятся в полной зависимости от внутреннего состояния анге-
лов". Движение на небесах - лишь изменение этого состояния, когда длина пути из-
меряется желанием идущего, а сближение отражает схожесть состояний. В духов-
ной сфере и загробной жизни, считает он, "вместо расстояний и пространства суще-
ствуют только состояния и их изменения".
•	Расстояние далекого близкого
Расстояние далекого близкого - название программы Дома мировых культур
в Берлине, которая представляет панораму современного позиционирования всех
художников иранского происхождения. Примерами аналогичного использования
термина расстояния в современной поп-культуре являются: "Some Near Distance"
(где-то близко) - название художественной выставки Марка Льюиса (Бильбао,
2003), "A Near Distance" (близкое расстояние) - бумажный коллаж Перле Файна
(Нью-Йорк, 1961), "Quiet Distance" (тихое расстояние) - художественная репродук-
ция Эдда Мела, "Distance" (расстояние) - японский кинофильм Хироказу Корееды
(2001), "The Distance" (это расстояние) - альбом американской рок-группы "Сереб-
ряная пуля", "Near Distance" (близкое расстояние) - музыкальная композиция Чен
Юи (Нью-Йорк, 1988), "Near Distance" (близкое расстояние) - лирическая песня
манчестерского квартета "Пьюрессенсе".
Термины ближнее расстояние и дальнее расстояние также используются в
офтальмологии и для настройки некоторых сенсорных устройств.
Гпава 28. Нематематические и образные значения расстояния
409
• Изречения с использованием "ближнего-дальнего" расстояний
’’Лучше сосед вблизи, нежели брат вдали" (Библия).
"Люди испытывают сочувствие только когда страдания кажутся им близкими;
бедствия, отстоящие от них на десятки тысяч лет в прошлом или в будущем, люди
предчувствовать не могут и либо не сострадают, либо во всяком случае не испыты-
вают соизмеримого сочувствия" (Аристотель).
"Путь долга лежит в том, что близко, а человек ищет его в том, что далеко"
(Менций).
"Не вглядывайся в близкое, если смотришь вдаль" (Эврипидий).
"Хорошим правительство будет тогда, когда те, кто близко, будут счастливы,
а те, кто далеко, заинтересуются" (Конфуций).
"Какая дорога", - спросил я маленького мальчика, сидящего около перекрест-
ка, - "ведет в город?" "Эта", - ответил он, - "она короткая, но длинная, а та - длин-
ная, но короткая". Я пошел по той, что "короткая, но длинная". Когда я подошел к
городу, я обнаружил, что он был окружен садами и огородами. Вернувшись к маль-
чику, я сказал ему: "Сын мой, разве ты не говорил мне, что эта дорога короткая?"
И он ответил: "А разве я не сказал тебе также: "но длинная"? Я поцеловал его
голову и сказал: "Счастлив ты, о Израиль, все вы мудрые, и молодые, и старые"
(Эрубин, Талмуд).
Пророку Мухаммеду приписывают слова: "Наименьшим вознаграждением для
правоверных в раю будет пристанище с 80 000 слуг и 72 женами, над которым
возвышается купол, украшенный жемчугом, аквамаринами и рубинами, такой же
ширины, как расстояние от Аль-Джабийя (пригород Дамаска) до Саны (Йемен)"
(Хадит, Исламская традиция).
"Нет настолько большого предмета, ...который на большом расстоянии не ка-
зался бы меньше, чем маленький предмет вблизи" (Леонардо да Винчи).
"Ничто не позволяет Земле выглядеть такой просторной, как друзья на расстоя-
нии; именно они составляют широты и долготы" (Генри Дэвид Торо).
Первый закон географии Толбера: все связано между собой, но более близкие
предметы более связаны, чем дальние. Принцип близости (или принцип наимень-
ших усилий)', для имеющегося распределения одинаково желанных мест чаще всего
выбираться будет самое близкое.
В физике принцип локальности Эйнштейна утверждает: удаленные объекты не
могут непосредственно влиять друг на друга, объект подвержен прямому влиянию
только со стороны объектов в непосредственной близости.
В области программирования закон Деметры Холланда содержит установку
в отношении стиля программирования "обращаться только к ближайшим друзьям"
(объектам, "тесно" связанным с данным объектом), и каждый объект должен
иметь ограниченную информацию о других.
28.2. РАССТОЯНИЯ ЗРИТЕЛЬНОГО ВОСПРИЯТИЯ
•	Расстояния видимости
Расстояние между зрачками (или межлинзовое расстояние) - в офтальмологии
расстояние между центрами зрачков двух глаз при параллельных осях визирования.
Обычно 2,5 дюйма (6,35 см).
Острота зрения (ближняя) - способность глаза различать форму предмета и его
детали на близком расстоянии порядка 40 см; острота зрения (дальняя) - способ-
ность глаза делать это на большем расстоянии порядка 6 м.
410
Часть VII. Расстояния в реальном мире
Оптические приборы для работы с близкими предметами служат для увеличе-
ния изображения предмета и печати; оптические приборы для работы с пред-
метами на расстоянии служат для приближения удаленных объектов (от трех мет-
ров и дальше).
Близкое расстояние - в офтальмологии это расстояние между плоскостью
объекта и плоскостью очков.
Расстояние вершины - в офтальмологии расстояние между роговицей и плос-
костью очков.
Бесконечное расстояние - в офтальмологии расстояние порядка 20 футов (6,1 м)
и более; оно называется так, поскольку попадающие в глаз лучи от объекта, на-
ходящегося на этом удалении, практически параллельны, аналогично лучам, при-
ходящим из точки в бесконечности. Дистанционное зрение - зрительное восприя-
тие объектов, находящихся на удалении не менее 6 м от наблюдателя.
Угловое расстояние глаза - апертюра угла, образуемого линиями, проведенны-
ми от глаза к двум объектам.
Расстояние RPV (или точка схождения в покое) - расстояние, при котором
глаза начинают сходиться (сдвигаться к переносице), когда отсутствует какой-
либо близкий объект, вызывающий такое схождение. Оно составляет в среднем
45 дюймов (1,14 м), если смотреть прямо, и уменьшается до 35 дюймов (0,89 м),
если смотреть вниз под углом 30°.
С точки зрения эргономики при продолжительной работе с компьютером
рекомендуется выдерживать расстояние RPV до экрана, чтобы минимизировать
напряжение глаз.
Расстояние свободной аккомодации (или точка аккомодации в покое, расстоя-
ние RPA)- расстояние до точки, на которую фокусируются глаза, когда нет
конкретного предмета наблюдения.
•	Фокусные расстояния
Рабочее расстояние - расстояние от передней линзы микроскопа до объекта при
правильной фокусировке прибора.
Расстояние до объекта - расстояние от объектива камеры до фотографируе-
мого объекта, т.е. объекта, на который наводится фокус.
Расстояние изображения - расстояние от объектива до изображения (картинки
на экране); если между объектом и экраном размещается увеличительная линза, то
сумма величин, обратных расстоянию до объекта и расстоянию изображения,
равно величине, обратной фокусному расстоянию.
Фокусное расстояние (фокальная длина) - расстояние от оптического центра
линзы (или изогнутого зеркала) до точки фокуса (до изображения). Его обратная
величина, измеренная в метрах, называется диоптрией и используется в качестве
единицы измерения оптической силы линзы.
Глубина резкости - расстояние перед объектом и позади объекта, находящееся в
фокусе, т.е. зона с допустимой нечеткостью изображения.
Гнперфокальное расстояние - расстояние от объектива до ближайшей точки
(гиперфокальной точки), которая находится в фокусе при наведении на бесконеч-
ность; далее этой точки все объекты определены ясно и четко. Это самое близкое
расстояние, за пределами которого глубина резкости становится бесконечной
(см. бесконечное расстояние видимости).
•	Феномены размера-расстояния
Законом размера-расстояния Эммерта определено, что изображение на сетчат-
ке глаза является пропорциональным по воспринимаемому размеру (кажущейся
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
411
высоте) воспринимаемому расстоянию до поверхности, на которую оно проециру-
ется. Этот закон основывается на том факте, что воспринимаемый размер объекта
удваивается каждый раз, когда воспринимаемое расстояние от наблюдателя делит-
ся пополам, и наоборот. Законом Эммерта объясняется также постоянство мас-
штабирования, т.е. того, что размер объекта воспринимается как величина по-
стоянная, несмотря на изменение изображения на сетчатке (по мере удаления
объекты, с учетом визуальной перспективы, кажутся все меньше и меньше).
Согласно гипотезе инвариантности размера-расстояния соотношение воспри-
нимаемого размера и воспринимаемого расстояния является тангенсом
физического визуального угла. В частности, объекты, которые кажутся ближе,
должны также и выглядеть меньше. Однако в отношении лунной иллюзии мы
имеем парадокс размера-расстояния. С Луной (точно так же, как и с Солнцем)
иллюзия заключается в том, что, несмотря на постоянство ее визуального угла
(примерно 0,52°), размеры Луны, находящейся над уровнем горизонта, могут
казаться в 2 раза больше, чем размеры Луны, находящейся в зените. Суть этой
иллюзии еще не до конца понятна; одна йз предполагаемых причин когнитивная:
размеры Луны в зените недооцениваются, поскольку она воспринимается как
приближающийся объект.
Наиболее общим случаем оптической иллюзии является искажение размеров
или длины; например, иллюзии Мюллера-Лейера, Сандера и Понзо.
•	Эффект символической дистанции
В психологии мозг осуществляет сравнение двух концепций (или объектов) тем
точнее и быстрее, чем больше они различаются в соответствующем измерении.
•	Субъективное расстояние
Субъективное расстояние (или когнитивное расстояние) - мысленное пред-
ставление действительного расстояния, сформированное в зависимости от социаль-
ного, культурного и общего жизненного опыта индивидуума. Ошибки когнитив-
ного расстояния возникают либо по причине отсутствия кодирования/хранения
информации о двух точках в одной и той же ветви памяти, либо из-за ошибки
вызова этой информации. Например, длина пути с многочисленными поворотами и
ориентирами обычно переоценивается.
•	Эгоцентрическое расстояние
В психофизиологии эгоцентрическое расстояние определяется как восприни-
маемое абсолютное расстояние от личности (наблюдателя или слушателя) до
объекта или раздражителя (например, источника звука). Как правило, визуальное
эгоцентрическое расстояние оценивается короче действительного физического
расстояния до удаленных объектов и длиннее до близких. При зрительном восприя-
тии пространство действия объекта охватывает 1-30 м; меньшее и большее про-
странства называются личным пространством и пространством перспективы
соответственно.
Экзоцентрическим расстоянием называется воспринимаемое относительное рас-
стояние между объектами.
•	Ориентиры для оценки расстояния
Ориентиры для оценки расстояния - ориентиры, используемые для оценки
эгоцентрического расстояния.
Для слушателя с фиксированным местоположением главными акустическими
ориентирами для оценки расстояния являются: интенсивность (на открытом воз-
духе она падает на 5 дБ для каждого удвоения расстояния (см. Акустические рас-
412
Часть VII. Расстояния в реальном мире
стояния, гл. 21)), соотношение прямой к отраженной энергии (при наличии звуко-
отражающих поверхностей), спектральные и стереофонические различия.
Для наблюдателя основными визуальными ориентирами для оценки расстояния
являются:
-	относительный размер, относительная яркость, свет и тень;
-	высота в поле зрения (для случаев плоских поверхностей, лежащих ниже уров-
ня глаз, более удаленные объекты кажутся выше);
-	интерпозиция (когда один объект частично загораживает вид на другой);
-	бинокулярные расхождения, схождение (в зависимости от угла оптической оси
глаз), аккомодация (состояние фокусировки глаз);
-	воздушная перспектива (объекты на расстоянии становятся более голубыми и
бледными), потускнение от расстояния (объекты на расстоянии менее контраст-
ны и их очертания более размыты);
-	перспектива движения (стационарный объект воспринимается движущимся
наблюдателем как плавно пролетающий мимо него).
Далее приводятся некоторые технические приемы, использующие указанные
выше ориентиры для создания оптических иллюзий для зрителей:
-	туман расстояния: элемент трехмерной компьютерной графики для создания
эффекта размытости (затуманивания) объектов по мере их удаления от камеры;
-	принудительная перспектива: кинематографический прием, делающий так,
чтобы объекты казались более далекими или наоборот в зависимости от их
местоположения относительно камеры и друг друга.
• Киносъемки, связанные с расстоянием
Киносъемка - это фильмовые материалы, отснятые с момента начала работы
камеры (по команде режиссера ’’мотор”) и до момента ее остановки (по команде
снято ).
Основными киносъемками, связанными с расстоянием (настройками камеры),
являются:
-	съемка общим планом: кадры в начале эпизода, с помощью которых устанав-
ливается место действия и/или время суток;
-	съемка дальним планом: кадры, снятые с расстояния не менее 50 футов
(45,72 м) от места действия;
-	средний план: кадры, снятые с расстояния 5-15 ярдов (4,57-13,75 м), включая
целиком небольшую группу, показ группы людей/объектов относительно окрест-
ностей;
-	крупный план: кадры, показывающие актера с уровня шеи и выше или объект
с аналогично близкого расстояния;
-	двойной план: кадры, снятые с двумя людьми на переднем плане;
-	вставка: вставленные кадры (обычно крупным планом) для более детального
показа объекта.
•	Расстояния в стереоскопии
Одним из способов получения трехмерного изображения является съемка пары
двумерных изображений с помощью системы спаренных камер.
Расстояние между камерами (или длина базисной линии, расстояние между оку-
лярами камер) - расстояние между двумя камерами, делающими снимки в роли
левого и правого глаз.
Расстояние схождения - расстояние между центром базисной линии камеры
до точки схождения, где две линзы должны совместиться для получения стерео-
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
413
скопического эффекта. Это расстояние должно быть в 15-30 раз больше расстоя-
ния между камерами.
Расстояние плоскости изображения - расстояние, на котором объект кажется
находящимся на (но не позади или перед) плоскости изображения (кажущейся
поверхности изображения). Рамка - граница каширования рамки экрана таким
образом, чтобы появляющиеся на нем (не за и не вне его) объекты казались на-
ходящимися на том же расстоянии от зрителя, что и сама рамка. Для визуального
восприятия человека расстояние плоскости изображения равно примерно 30 рас-
стояниям между камерами.
•	Расстояния дорожной видимости
Дальность видимости (или расстояние видимости) - длина обозреваемого
водителем участка шоссе. Безопасная дальность видимости определяется как даль-
ность видимости, необходимая водителю для того, чтобы выполнить конкретную
задачу; основными безопасными расстояниями, используемыми при проектирова-
нии дорог, являются следующие:
-	расстояние тормозного пути - дальность видимости, обеспечивающая останов-
ку автомобиля перед неожиданно появившимся препятствием;
-	безопасная для маневрирования видимость - расстояние, обеспечивающее
возможность объезда неожиданного небольшого препятствия на дороге;
-	безопасная для обгона видимость - расстояние, необходимое для выполнения
безопасного обгона;
-	видимость обзора дороги - расстояние, позволяющее предвидеть изменение
осевого направления (как повороты, так и подъемы и спуски) полотна дороги
(например, для выбора скоростного режима движения).
Кроме того, соответствующая дальность видимости необходима и в локальном
масштабе: для оценки ситуации на перекрестках и реагирования на сигналы
светофоров.
283. РАССТОЯНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ
•	Расстояния, связанные с транспортными средствами
Тормозной путь - расстояние, которое проходит автомобиль с момента нажатия
тормозов до полной остановки.
Расстояние реагирования - расстояние, которое автомобиль проходит с момен-
та, когда водитель увидит опасность на дороге, до момента начала торможения
(складывается из времени восприятия и скорости реакции человека) (не путать с
расстоянием в мире животных).
Расстояние торможения - расстояние, которое проходит автомобиль с того мо-
мента, когда водитель решает затормозить, до момента полной остановки транс-
портного средства (определяется скоростью реакции водителя и эффективностью
тормозных устройств).
Обозначаемый по расстоянию номер развязки дорог - номер, присваиваемый
перекрестку (обычно это развязка на автостраде), который отображает в милях
(или километрах) расстояние от начала автострады до развязки. Мильный камень
(или километровый столб) является элементом последовательности нумерован-
ных указателей, установленных с равными интервалами вдоль дороги. Нулевой
столб в столичном Вашингтоне считается началом отсчета для всех дорожных
расстояний в США.
Расстояние прерванного взлета - длина взлетно-посадочной полосы плюс длина
концевой полосы безопасности, которая пригодна и которую разрешено исполь-
414
Часть VII. Расстояния в реальном мире
зовать для разгона при взлете и торможения самолета в случае прерывания
взлета.
Расстояние срока действия - общее расстояние, которое проходит самодвижу-
щийся наземный или морской транспорт с заданной экономичной скоростью
движения.
Фактически пройденное расстояние (морской термин) - расстояние, пройденное
после корректировки текущих отклонений от курса, бокового сноса (дрейфа
корабля в подветренную сторону) и прочих ошибок, которые могли быть не учте-
ны при начальном измерении расстояния. Лаг - прибор для отсчета пройденного
на воде расстояния, показания которого затем корректируются для выведения
фактически пройденного расстояния.
GAf-расстоянне (или метациклическая высота) судна - расстояние между цент-
ром его тяжести G и метацентром, т.е. проекцией центра водоизмещения (грави-
тационного центра выталкиваемого корпусом судна объема воды) на диаметраль-
ную линию судна в момент крена. Это расстояние (обычно 1-2 м) характеризует
остойчивость судна на воде.
Оттяжка - при погружениях под воду является временным маркером (обычно
это 50-метроввый тонкий полипропиленовый трос), обозначающим кратчайший
путь между двумя точками. Она предназначена для ориентирования в условиях
плохой видимости при возвращении водолаза к отправной точке.
•	Расстояния в системах обнаружения
Расстояние невидимости (или расстояние первой засечки) - расстояние, прой-
денное движущимся объектом (нарушителем) до момента фиксации его активными
средствами системы обнаружения (см. Квазирасстояния контакта, гл. 19); время
невидимости характеризует соответствующие временные параметры.
Расстояние задержки данных обнаружения - расстояние, пройденное движу-
щимся объектом (нарушителем) до момента получения контрольным органом дан-
ных от системы обнаружения.
Ошибка по дальности - расстояние между двумя линиями места цели, получен-
ными от двух различных станций обнаружения (см. Расстояние между прямыми,
гл. 4).
Предельная дальность обнаружения - расстояние, в пределах которого ошибки
местоопределения считаются допустимыми для практического использования дан-
ных (см. Предельная дальность, гл. 25).
•	Дистанция выноса
В войне с применением ядерного оружия дистанцией выноса называется вели-
чина, на которую расчетный (или реальный) эпицентр взрыва отклонился от цент-
ра района (или точки) цели.
В вычислительных операциях выносом называется расстояние от начала строки
до конца участка строки. Для автомобиля выносом колеса называется расстояние
от поверхности ступицы до осевой линии колеса.
•	Расстояние удаленности
Расстояние удаленности - расстояние объекта от источника взрыва (в боевых
действиях) или от точки наведения лазерного луча (в лазерном производстве мате-
риалов). В механике и электронике оно является расстоянием, отделяющим одну
часть от другой; например, изолирующим расстоянием (см. Безопасное расстояние)
или расстоянием от неконтактного датчика длины до измеряемой материальной
поверхности.
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
415
•	Расстояние окаймления
Обычно расстоянием окаймления называется длина интервала между окаймле-
ниями (например, темные и светлые области на интерференционном узоре свето-
вых лучей; компоненты, на которые распадается спектральная линия под воздей-
ствием электрического или магнитного поля - эффекты Старка и Зимана в
физике).
При этом, скажем, для неконтактного измерителя длины расстоянием окайм-
лю
ления является величина----, где л - длина волны лазера и а - угол луча.
2 sin а
В области анализа изображений существует также броуновское расстояние
окаймления между бинарными изображениями (см. Расстояние пикселя, гл. 21).
•	Дистанционный взрыватель
Дистанционный взрыватель осуществляет подрыв взрывчатого вещества авто-
матически при достаточном сближении с целью.
•	Датчики ближней локации
Датчики ближней локации представляют собой разнообразные ультразвуковые,
лазерные, фотоэлектрические и оптоволоконные датчики, предназначенные для
измерения расстояния от самого датчика до объекта (цели).
Сравните со следующим простым способом оценки расстояния (для распознава-
ния добычи), используемым некоторыми насекомыми: скорость движений головы
богомола в момент всматривания остается постоянной и, следовательно, расстоя-
ние до цели будет обратно пропорционально скорости изображения на сетчатке.
•	Точное измерение расстояния
Разрешение ТЭМ (просвечивающего электронного микроскопа) составляет око-
ло 0,2 нм (2 х 1О"10 м), т.е. типовое расстояние между двумя атомами в твердом
теле. Такое разрешение в 1000 раз больше, чем у оптического микроскопа, и почти
в 500 тыс. раз больше, чем у человеческого глаза. Однако в поле зрения электрон-
ного микроскопа могут попасть только наночастицы.
Методы, основанные на измерении длины волны лазерного излучения, применя-
ются для определения макроскопических расстояний, которые нельзя измерить
с помощью электронного микроскопа. Неточность измерений такими способами
равна как минимум длине волны света, т.е. порядка 633 нм.
Современная адаптация интерферометра Фабри-Перо (для измерения частоты
света, заключенного между двумя зеркалами с высокой отражательной способ-
ностью) в виде лазерного устройства позволяет измерять относительно большие
расстояния (до 5 см) с погрешностью всего 0,01 нм.
•	Раднонзмеренне расстояния
Оборудование для измерения расстояний (DME) - аэронавигационная аппара-
тура для измерения расстояний как времени прохождения УКВ сигналов до ответ-
чика (радиолокационного приемоответчика, генерирующего ответный сигнал на
правильный запрос) и обратно. Аппаратура DME скорее всего будет вытеснена
глобальными спутниковыми навигационными системами: системой GPS и плани-
руемым вводом в строй в 2009 г. систем Галилео (стран Европейского Союза) и
ГЛОСНАСС (Россия/Индия).
Система GPS (глобальная система навигации и определения местоположения)
является радионавигационной системой, позволяющей каждому определять его
местоположение на земном шаре (в любое время и в любом месте). В состав систе-
416
Часть VII. Расстояния в реальном мире
мы входят 24 спутника и наземные средства управления, находящиеся в ведении
Министерства обороны США. Гражданские пользователи получают доступ к
системе, покупая специализированный приемник сигналов GPS, который
обеспечивает определение местоположения с точностью до Юм.
Псевдорасстояние GPS от приемника до спутника - это время прохождения
радиосигнала от спутника до приемника, умноженное на скорость распространения
радиоволн (около скорости света). Оно называется псевдорасстоянием с учетом
неизбежной погрешности в расчетах: часы приемника далеко не так точны, как
сверхточные часы на спутнике. Приемник GPS рассчитывает свое местоположение
(по широте, долготе, высоте и т.д.) посредством решения системы уравнений с
использованием псевдорасстояний, получаемых минимум от четырех спутников,
местоположение которых заранее известно (см. Расстояния радиосвязи, гл. 25).
•	Дальность передачи
Дальность передачи - определенное для конкретной (волоконно-оптической,
проводной, беспроводной и т.п.) системы передачи расстояние, которое является
максимальным в смысле допустимости уровня потерь в полосе пропускания.
Для конкретной сети контактов, которая может передавать инфекцию (или,
скажем, идею в системе убеждений, рассматриваемой как иммунная система), даль-
ностью передачи является метрика пути графа, ребра которого соответствуют
событиям инфицирования через наиболее близкого общего предка и между зара-
женными индивидуумами.
•	Инструментальные расстояния
Расстояние груза - расстояние (на рычаге) от центра вращения до груза.
Расстояние приложенной силы (или расстояние сопротивления) - расстояние
(на рычаге) от центра вращения до точки приложения силы.
К-расстоянне - расстояние от внешней нитки прокатного стального прута до
шейки галтели Прокатного профиля.
Расстояние до\ обрезной кромки - расстояние от болта, винта или гвоздя до кон-
ца (доски) элементу конструкции. Расстояние до края - расстояние от болта, винта
или гвоздя до края (доски) элемента конструкции.
•	Расстояния зубчатых передач
Для двух шестерней в зацеплении расстояние между их центрами называется
межосевым расстоянием. Ниже приводятся другие расстояния, используемые в
основных формулах зубчатых передач (таких как Ь = а + с).
Высота головки зуба шестерни (а) - радиальное расстояние между окружно-
стью центров шарниров (окружностью, радиус которой равен расстоянию от оси
шестерни до полюса зацепления) и вершиной зуба.
Высота ножки зуба зубчатого колеса (Ь) - радиальное расстояние между дном
впадины между зубьями шестерни и вершиной зуба.
Зазор (с) - расстояние между вершиной зуба и дном впадины другой шестерни
в зацеплении.
Полная высота - расстояние между вершиной зуба и дном впадины между
зубьями.
Люфт - свободный ход (шатание) между сопряженными зубьями шестерен.
•	Расстояние утечки
Расстояние утечки - кратчайший путь по поверхности изоляционного материала
между двумя токопроводящими элементами.
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
417
Безопасное расстояние - кратчайшее (по прямой линии) расстояние между
двумя токопроводящими элементами.
•	Расстояние переноса растворителя
В хроматографии расстоянием переноса растворителя называется расстояние,
проходимое фронтом жидкости или газа, подающегося в хроматографическую
установку для элюирования (процесса, использующего растворяющие вещества
для извлечения адсорбированного элемента из твердой среды).
•	Дистанция распыления
Дистанцией распыления называется установленное технологическое расстояние
между оконечностью сопла металлизационного аппарата и напыляемой поверх-
ностью.
•	Вертикальное эшелонирование
Вертикальным эшелонированием называется расстояние между дном поля
фильтрации канализационной очистной, системы и лежащим ниже горизонтом
грунтовых вод. Это эшелонирование позволяет удалять патогенные микроорга-
низмы (вирусы, болезнетворные бактерии и т.п.) посредством фильтрации сточных
вод через почву, прежде чем они достигнут грунтовых вод.
•	Расстояние защитных мероприятий
Расстояние защитных мероприятий - расстояние в направлении ветра от места
происшествия (излив на поверхность опасных продуктов, вызывающих отравление
при вдыхании), в пределах которого люди могут получить поражение.
28.4. ПРОЧИЕ РАССТОЯНИЯ
•	Расстояния дальности
Расстояниями дальности называются практические расстояния, указывающие
максимальное расстояние эффективного действия, например, пробег автомобиля
без дозаправки топливом, дальность полета пули, видимости, пределов движения,
участка обитания животного и т.п.
В частности, расстояние распространения в биологии может относиться к раз-
брасыванию семян посредством опыления, натальному расселению, миграцион-
ному распространению и т.п.
Дальность воздействия факторов риска (токсических веществ, взрывов и т.п.)
указывает минимальное безонасное дистанцирование. Дальность действия какого-
либо устройства (например, пульта дистанционного управления), указанная в спе-
цификации производителя в качестве ориентировки для потребителя, называется
рабочим расстоянием (номинальной дальностью измерения датчика). Максималь-
ное расстояние активации сенсорного включателя называется дальностью вклю-
чения. Для того чтобы подчеркнуть большую дальность действия, некоторые
производители выносят эту характеристику в название продукта: например, мячи-
ки предельной дальности для гольфа (или бита для софтбола, спиннинги и т.п.).
•	Расстояние зазора
Следующие примеры иллюстрируют обширный класс используемых на прак-
тике расстояний, указывающих на минимальное рассеяние (см. Минимальное рас-
стояние в кодировании, Расстояние ближайшего соседа для атомов в твердых
телах или в мире животных и т.п.).
14. Деза Е. и Деза М.-М.
418
Часть VIL Расстояния в реальном мире
Расстояние по фронту - установленное минимальное расстояние в морских
милях между самолетами в воздухе.
Расстояние изоляции - установленное минимальное расстояние, которое (с уче-
том возможности опыления) должно быть между посевами разновидностей одного
и того же вида культур, с тем чтобы сохранить (генетическую) чистоту семян
(например, для риса оно составляет около 3 м).
Расстояние между остановками - интервалы между остановками автобуса; сред-
нее расстояние между остановками в США (для легкого рельсового транспорта)
колеблется от 500 м (в Филадельфии) до 1742 м (в Лос-Анджелесе).
Интервал между знаками - расстояние между знаками конкретного компью-
терного шрифта.
Порог различимости (JND) - мельчайшее изменение меры (расстояния, положе-
ния и т.п.), которое может быть достоверно воспринято (см. Допускаемое рас-
стояние, гл. 25).
• Метрики качества
Это обширное семейство мер (или стандартов измерений) характеризует раз-
личные свойства объектов (обычно оборудования). По этой терминологии наши
расстояния и подобностн являются "метриками подобности", т.е. метриками (мера-
ми), характеризующими степень связанности между двумя объектами. Ниже при-
ведены примеры таких метрик, которые не связаны с оборудованием и более
абстрактны в смысле качественных оценок.
Метрика симметрии (Бханджи и др., 1995) служит для измерения эстетики гра-
т
Х(а1<+а2<+а3,) т z	.
фических представлении как —--------------x >	+—-----L , где a - число
a	<=i '	2	7
всех дуг, m - число осей симметрии и для заданной оси i - число вершин,
которые зеркально отображаются от других вершин относительно i, тогда как ah,
a2t и ayt являются числом дуг, которые соответственно делятся пополам под
прямыми углами осью i, зеркально отображаются от другой дуги относительно i и
проходят вдоль /. В качестве осей симметрии берутся все прямые i с	> 1.
Ландшафтные метрики используются, например, для оценки участков озелене-
ния конкретного ландшафта как плотности участков (количества таких участков
на квадратный километр), плотности краев (общей длины границ участков на гек-
1Е
тар), индекса формы (где А - общая площадь и Е - общая длина краев),
связности, разнообразия и т.п.
Управленческие метрики включают в себя обзоры (скажем, доли на рынке, уве-
личения сбыта, удовлетворения запросов потребителей), прогнозы (например, до-
ходов, непредвиденных продаж, инвестиций), эффективности НИОКР, соблюдения
рабочей дисциплины и т.п.
Метрики риска применяются в сфере страхования и в финансовой сфере для
анализа портфеля (например, заказов или ценных бумаг).
Коэффициент влияния является метрикой качества, которая ранжирует
относительное влияние, например, в следующем порядке:
-	ранг страницы (PageRank) в порядке ранжирования Web страниц в системе
Google;
-	коэффициент воздействия по методике ISI (институт ISI переименован в
Thomson Scientific) используется для оценки популярности журнала за двухлетний
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
419
период, сколько раз обычная статья данного журнала упоминалась в какой-нибудь
другой статье, публиковавшейся в следующем году;
- h-индекс Гирша для ученого, соответствующий максимальному числу публи-
каций его авторских статей, каждая из которых была по крайней мере столько же
раз процитирована другими авторами.
•	Убывание расстояния
Убывание расстояния (или вертикальный градиент расстояния) - ослабление
характеристики или процесса в зависимости от расстояния. В пространственном
взаимодействии оно является математическим представлением обратного отноше-
ния между количеством полученного вещества и удалением от его источника.
Такое убывание измеряет влияние расстояния на доступность: оно может свиде-
тельствовать о сокращении потребности из-за увеличения стоимости проезда. При-
мерами кривых убывания расстояния являются: модель Парето In 1у = a-bind-
и модель In =а-bd? с
1
2’
1 или 2 (здесь 1ц и являются взаимодействием
и расстоянием между точками i и у, тогда как а и b - параметры).
•	Кривая расстояния
Кривая расстояния - график данного параметра по отношению к расстоянию.
Примерами кривых расстояния, в терминах рассматриваемого процесса, являются:
кривая время-расстояние (для времени распространения серии волн, сейсмических
сигналов и т.п.), кривая высота-путь (для высоты волны цунами по отношению
к расстоянию распространения волны от точки удара), кривая расстояние-депрес-
сия, кривая расстояние-таяние и кривая расстояние-объем износа.
Кривая расстояние-сила является в микроскопии зондового сканирования гра-
фиком вертикальной силы, приложенной иглой измерительной головки к поверх-
ности образца в момент, когда производится контактная съемка изображения
атомно-силовым микроскопом (АСМ). Кроме того, в микроскопии зондового ска-
нирования используются кривые частота-расстояние и амплитуда-расстояние.
Термин кривая расстояния применяется для составления диаграмм роста,
например, регистрации детского роста или веса в каждый день рождения. График
скорости роста по отношению к возрасту называется кривой скорость-расстояние.
Последний термин используется и как определение скорости самолетов.
•	Функция масса-расстояние
Л	.	ху
Функцией масса-расстояние называется функция, пропорциональная —-—.
d(x,y)
Ее называют также функцией гравитации, поскольку она выражает гравитацион-
ное притяжение между массами х и у на (евклидовом) расстоянии d(x, у) (см.
Законы обратной пропорциональности квадрату расстояния, гл. 24). Подобные
функции чаще всего применяются в социальных науках, например, они могут выра-
жать связь между х и у, которые могут рассматриваться как население отправ-
ляющей и принимающей сторон, где d(x, у) выступает как физическое расстояние
между ними.
Убывающая кривая масса-расстояние - график убывания "массы" при увеличе-
нии расстояния до центра "гравитации". Подобные кривые используются для на-
хождения места укрытия преступника (исходной точки; см. Расстояния в крими-
нологии), массы галактики в пределах заданного радиуса от ее центра (с исполь-
зованием кривых вращения-расстояния) и т.п.
14*
420
Часть VII. Расстояния в реальном мире
•	Зависимость большой дальности
Стохастический (стационарный второго порядка) процесс Хк, ke Z, называется
зависимым большой дальности (или долгой памяти), если существуют такие числа
а, 0 < а < 1 и ср > 0, что lim cJcapk = 1, где р(/с) - автокорреляционная функция.
И	4->оо Р
Следовательно, корреляции убывают очень медленно (по асимптотически гипер-
болическому типу) до нуля, что влечет за собой | р* | = 00 и корреляцию далеко
keZ
отстоящих друг от друга событий (долгая память). Если вышеприведенная сумма
конечна и убывание идет экспоненциально, то процесс называется процессом
малой дальности. Примерами таких процессов являются экспоненциальный, нор-
мальный и пуассоновский процессы, которые не имеют памяти и, говоря языком
физики, являются системами в термодинамическом равновесии. Указанное выше
убывание степенной зависимости для корреляций как функции времени пре-
образуется в убывание степенной зависимости спектра Фурье как функции
частоты f и называется
шумом.
f
Процесс обладает экспонентой самоподобия (или параметром Хаета) Н, если
Хк и rHXtk имеют одинаковые конечномерные распределения для любого положи-
тельного t. Случаи Н = и Н = 1 относятся соответственно к чисто случайному
процессу и точному самоподобию: одинаковое поведение на всех шкалах (см.
Фрактал, гл. 1 и Сети, независимые от шкал, гл. 22). Процессы с ± < Н < 1
являются зависимыми большой дальности с а = 2(1 - Я).
Зависимость большой дальности соответствует распределениям с "тяжелым
хвостом" (или со степенным законом). Функция распределения и "хвост" неотри-
цательной случайной переменной X равны F(x)=P(X<x) и F(x) = Р(Х > х).
Распределение F(X) имеет "тяжелый хвост", если существует такое число а,
О < а < 1, что lim ха F(x) = 1. Многие такие распределения имеют место в реальной
X—>оо
действительности (например, в физике, экономике, в Интернете), а также в про-
странстве (расстояния) и во времени (продолжительности). Типовым примером
является распределение Парето F(x) = х"а, х > 1, где а > 0 - параметр (см. Убыва-
ние расстояния).
•	Расстояния в медицине
Расстояние внутреннего нрнкуса - в стоматологии межокклюзионная щель
между поверхностями верхнечелюстных и нижнечелюстных зубов в момент нахож-
дения челюсти в состоянии покоя.
Межокклюзнонная высота - в стоматологии расстояние по вертикали между
верхнечелюстной и нижнечелюстной дугами. Расстояние между альвеолярными
отростками - расстояние по вертикали между верхнечелюстным и нижнечелю-
стным альвеолярными отростками.
Межзубной промежуток - расстояние зазора между соседними зубами; пассив-
ное смещение - медленное движение зубов к передней части рта по мере сокра-
щения межзубного промежутка с возрастом.
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
421
Расстояние между стебельками - расстояние между позвонковыми стебельками,
измеренное по рентгеновскому снимку.
Расстояние источник-кожа - расстояние от фокусного пятна на объекте рентге-
новской трубки до кожи пациента, измеренное по центральному лучу.
Междуушное расстояние - расстояние между ушами. Межокулярное расстоя-
ние - расстояние между глазами.
Аногенитальное расстояние - длина промежности, т.е. анатомической области
между анусом и областью половых органов (передним основанием мужского пени-
са). У мужчин это расстояние обычно в два раза больше, чем у женщин; таким
образом, это расстояние является мерой физического маскулинизма. Другими
подобными расстояниями являются отношение второго к четвертому (указатель-
ного к безымянному) пальцу, которое меньше у мужчин одной и той же популяции,
и пространственное мышление, которое выше у мужчин.
Расстояние оседания (или РОЭ, реакция оседания эритроцитов) - расстояние,
которое проходят красные кровяные тельца за один час при осаждении на дно
пробирки с взятой на анализ кровью. РОЭ указывает на воспалительные процессы
и в случае заболевания повышается.
Основными расстояниями, применяемыми в ультразвуковой биомикроскопии
(особенно при лечении глаукомы), являются расстояние раскрытия угла (от рого-
вичного эндотелия до предстоящей радужной оболочки глаза) и расстояние трабе-
кулярного н цилиарного процессов (от конкретной точки на трабекулярной сети
до цилиарного процесса).
Примерами расстояний, рассматриваемых при снятии изображений мозга по
методике МРТ (магнитно-резонансной томографии) и получении кортикальных
карт (т.е. визуализированных областей внешней корки полушарий головного моз-
га, отображающих входные сигналы от датчика или моторные отклики) являются:
карта расстояний МРТ от границы раздела серого/белого вещества, кортикальное
расстояние (скажем, между участками активации пространственно смежных стиму-
лов), кортикальная толщина и метрики литерализации.
•	Днстальность
Прилагательное дистальный (или периферийный) используется как анатомиче-
ский термин местоположения (на теле и отдельных его частях).
Как противоположность проксимальному (или центральному) оно означает рас-
положение далеко от, на удалении от точки ориентирования (начала, центра, точки
прикрепления, торса). Как противоположность срединному оно означает рас-
положение, удаленное от средней линии или медиальной плоскости тела.
Иногда термин дистальный используется в более абстрактном смысле. Так,
например, проект Т-Вижн (визуальное отображение Земли) предполагает форми-
рование восприятия Земли как отдаленного объекта, что ранее было понятно*
только космонавтам.
•	Расстояния измерения тела
В соответствии с Европейским единым стандартом размеров одежды EN 13402
в разделе EN 13402-1 определен перечень 13 элементов измерений и методика этих
измерений на человеке. В перечень включены: масса тела, рост, длина ноги, длина
руки, длина ноги с внутренней стороны, объем головы, шеи, груди, бюста, объем
под грудью, обхват талии, бедер, кисти руки. Ниже следуют примеры этих опре-
делений.
Длина стопы - горизонтальное расстояние между перпендикулярами, касающи-
мися конца самого длинного пальца ноги и наиболее выступающей части пятки.
422
Часть VII. Расстояния в реальном мире
Длина руки - расстояние, измеренное мерной лентой от плечевого сустава
(акромиона) по локтю до оконечности запястья (локтевой кости), при этом правая
рука должна быть сжата в кулак и лежать на бедре в наполовину согнутом
положении.
Длина внутренней части ноги - расстояние между пахом и подошвой ноги, из-
меренное по вертикали, при этом человек должен стоять прямо, слегка расставив
ноги и распределив на них поровну вес тела.
Последний раздел EN 13402-4, касающийся кодирования размеров одежды, дол-
жен стать обязательным в Европе после 2007 г. Ожидается, что с выходом в свет
этой части будет устранена ситуация, когда средний женский размер (34-28-
37 дюймов, т.е. 88-72-96 см бюст-талия-бедра) в США проходит под номером 10,
в Великобритании - 12, в Норвегии, Швеции и Финляндии - С38, в Германии и
Нидерландах - 38, в Бельгии и Франции - 40, в Италии - 44, в Португалии и
Испании - 44/46.
Аналогичные множества расстояний используются также (например, для ске-
летных измерений) в судебной медицине, антропологии и т.п.
•	Расстояния в криминологии
Составление географического профиля (или анализ географической привязки)
имеет целью связать пространственное поведение (выбор жертв и особенно наи-
более вероятную исходную точку, т.е. место проживания или работы) серийного
преступника с пространственным распределением мест его преступлений.
Буферная зона преступника (или эффект угольного мешка) - район, окружаю-
щий место пребывания преступника (исходную точку), в пределах которого от-
мечается незначительная или вообще не отмечается преступная деятельность;
в обычных случаях такая зона характерна для преступников, заранее обдумываю-
щих свои действия. Основные улицы и магистрали, ведущие в эту зону, чаще всего
пересекаются вблизи убежища преступника. Для серийных насильников в Вели-
кобритании выявлена буферная зона, составляющая порядка 1 км. При этом
большинство преступлений против личности происходят на удалении около 2 км от
убежища преступника, тогда как для краж имущества характерно большее
удаление.
Убывающая функция пути к месту преступления представляет собой графиче-
скую кривую расстояния, показывающую, как число совершенных преступлений
постепенно сокращается по мере удаления от места проживания преступника. Под-
робные функции являются разновидностями функций центра тяжести, основанных
на законе Ньютона о взаимном притяжении двух тел.
Если имеется п мест преступления (xf-, у£), 1 < i < п (где х, и у, являются широтой
и долготой Z-го места), то с помощью модели Ньютона-Свопа место убежища
преступника определяется в пределах круга с центром в точке
п п
радиусом поиска, равным
шах х,. -х/2 max yi{ -yh
п(п -1)2
где максимумы представлены как (q, i2), 1 < q < i2 n. Круговая модель Гантера-
Грегори позволяет предполагать место убежища преступника в пределах круга,
Глава 28. Нематематические и образные значения расстояния
423
центром которого является место первого преступления, а диаметром - макси-
мальное расстояние между двумя местами преступлений.	-
Центрографические модели рассматриваютТйестсГубежища преступника как
центр, т.е. точку, от которой конкретная функция расстояния пути до любых мест
преступления имеет минимальную величину; расстояниями в этом случае будут
евклидово расстояние, расстояние Манхэттена, колесное расстояние (т.е. реальный
путь пробега), воспринимаемое время пути и т.п. Многие из этих моделей являются
действующими в обратную сторону моделями теории местоположения (целью
которой является максимальное наращивание распределительной сети в интересах
сокращения путевых расходов). Эти модели (многоугольники Вороного и др.) бази-
руются на принципе близости (принципе минимального усилия).
Для выявления криминальных, террористических и других скрытых сетей
используются также многие другие средства сбора данных, с помощью которых
получают сведения о латентных взаимосвязях (расстояниях и почти метриках
между людьми), исследуя графы приближения их совместных появлений в соот-
ветствующих документах, событиях и т.п.
•	Расстояния в мире животных
Индивидуальное расстояние - удаление, на котором одно животное стремится
держаться от другого.
Групповое расстояние - расстояние, на котором одна группа животных
держится от другой.
Расстояние реагирования - расстояние, на котором животное реагирует на по-
явление добычи; расстояние атаки - расстояние, в пределах которого хищник мо-
жет напасть на свою жертву.
Расстояние бегства - расстояние, на котором животное реагирует на появление
хищника или доминирующего животного того же вида.
Расстояние ближайшего соседа - более или менее постоянное расстояние, кото-
рого придерживаются животные между собой при движении в одном направлении
в составе больших групп (таких, как косяки рыб, стаи птиц). Механизм аллеломи-
метического поведения (’’делай так, как сосед”) способствует сохранению целост-
ности структуры группы и позволяет осуществлять кажущиеся разумными группо-
вые маневры уклонения при появлении хищников.
Расстояние связи с использованием звуков (включая человеческую речь) -
максимальное расстояние, на котором принимающий может услышать сигнал; жи-
вотные могут менять амплитуду сигнала в зависимости от удаления принимающего
для обеспечения передачи сигнала.
Расстояние до берега - расстояние до побережья, используемое, например, для
изучения сосредоточений мест выбрасывания китов на мель из-за искаженной
эхолокации, аномалий магнитного поля и т.п.
Дистанционный феромон - растворимое (например, в моче) и/или испаряемое
вещество, испускаемое животным в качестве ольфакторного химического раздра-
жителя (метки) для подачи сигналов (тревоги, сексуальных намерений, узнавания
и т.п.) другим особям этого же вида. В отличие от него контактный феромон
является веществом нерастворимым и неиспаряющимся; он покрывает тело
животного и является контактной меткой.
•	Расстояние на лошадиных скачках
На лошадиных скачках корпус является условной единицей длины для обозна-
чения расстояния между соперниками (на лодочных гонках мерой длины является
корпус лодки).
424
Часть УП. Расстояния в реальном мире
Расстояния на скачках измеряются в длинах корпуса лошади, т.е. около 8 футов
(2,44 м). Преимущество на финише измеряется в корпусах, начиная от половины
корпуса до 20 корпусов; корпус обычно приравнивают к временному интервалу
в 0,2 с. Более мелкими длинами являются короткая голова, голова или шея.
Применяется также мера рука, т.е. 4 дюйма (10,2 см), которую используют для из-
мерения высоты лошадей.
•	Дистанции в триатлоне
Соревнования на железную дистанцию (впервые проведены на Гавайях в 1978 г.)
включают 3,86 км плавания по открытой воде, 180 км велогонки и 42,2 км бега
(марафонская дистанция).
Международная олимпийская дистанция (первые соревнования состоялись на
Олимпийских играх в Сиднее в 2000 г.) включает 1,5 км плавания (метрическая
миля), 40 км велогонки и 10 км бега.
Существует также спринтерская дистанция (750 м плавания, 20 км велогонки и
5 км бега) и длинная дистанция (3 км плавания, 80 км велогонки и 20 км бега).
•	Расстояние шабата
Расстоянием шабата (или раввинской милей) называется дальность в
2000 талмудических кубитов (1120,4 м), разрешенное расстояние, за пределы
которого верующий еврей не должен выходить в день шабата.
Другими талмудическими мерами длины являются: суточный переход, парса и
стадия (40, 4 и 0,8 раввинской мили соответственно), а также пядь, хасит, ладонь,
,111111
большой палец, средний палец, мизинец (—, —, —, —, —, —от талмудического
2 3 6 24 30 36
кубита соответственно).
• Галактоцентрическое расстояние
Галактоцентрическое расстояние звезды - ее удаленность от галактического
центра. Галактоцентрическое расстояние Солнца составляет около 8,5 кпк, т.е.
27 700 св. лет.
• Космический световой горизонт
Космический световой горизонт (или расстояние Хаббла, возраст вселенной)
есть постоянно увеличивающееся расстояние дальности - максимальное расстоя-
ние, которое свет прошел с момента Большого взрыва, начала существования
вселенной. В настоящее время он составляет 13-14 х 109 св. лет, т.е. около
46 х 1О60 длин Планка.
Литература
[ Abel91 ] Abels H. The Gallery Distance of Flags, Order, Vol. 8, pp. 77-92, 1991.
[AAH001 Aichholzer O., Aurenhammer F. and Hurtado F. Edge Operations on Non-crossing
Spanning Trees, Proc. 16-th European Workshop on Computational Geometry CG’2000, pp. 121-125,
2000.
[AACL98] Aichholzer O., Aurenhammer F„ Chen D.Z., Lee D.T., Mukhopadhyay A. and Papado-
poulou E. Voronoi Diagrams for Direction-sensitive Distances, Proc. 13-th Symposium on Computa-
tional Geometry, ACM Press, New York, 1997.
|Aker97| AkerlofG.A. Social Distance and Social Decisions, Econometrica, Vol. 65, Nr. 5,
pp. 1005-1027,1997.
[Amar85| Amari S. Differential-geometrical Methods in Statistics, Lecture Notes in Statistics,
Springer-Verlag, 1985.
[Amba76| Ambartzumian R. A Note on Pseudo-metrics on the Plane, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete,
Vol. 37, pp. 145-155,1976.
[ArWe92| Arnold R. and Wellerding A. On the Sobolev Distance of Convex Bodies, Aeq.
Mathematicae, Vol. 44, pp. 72-83, 1992.
[Badd92| Baddeley A.J. Errors in Binary Images and an Lp Version of the Hausdorff Metric, Nieuw
Archief voor Wiskunde, Vol. 10, pp. 157-183, 1992.
[BaraOl 1 Barabasi A.L. The Physics of the Web, Physics World, July 2001.
[Barb35) Barbilian D. Einordnung von Lobayschewskys Massenbestimmung in either Gewissen
Allgemeinen Metrik der Jordansche Bereiche, Casopis Mathematiky a Fysiky, Vol. 64, pp. 182-183,
1935.
[BLV05| BarceloC., Liberati S. and Visser M. Analogue Gravity, arXiv: gr-qc/0505065, Vol. 2,
2005.
(BLMN05I Bartal Y., Linial N., Mendel M. and Naor A. Some Low Distorsion Metric Ramsey
Problems, Discrete and Computational Geometry, Vol. 33, pp. 27-41,2005.
|Bata95| Batagelj V. Norms and Distances over Finite Groups, J. of Combinatorics, Information
and System Sci., Vol. 20, pp. 243-252, 1995.
[Beer99| BeerG. On Metric Boundeness Structures, Set-Valued Analysis, Vol. 7, pp. 195-208,
1999.
[BGLVZ98] Bennet C.H., Gacs P., Li M., Vitanai P.M.B. and Zurek W. Information Distance,
IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 44, Nr. 4, pp. 1407-1423,1998.
|BGT93] BerrouC., Glavieux A. and Thitimajshima P. Near Shannon Limit Error-correcting
Coding and Decoding: Turbo-codes, Proc, of IEEE Int. Conf, on Communication, pp. 1064-1070,
1993.
|BFK99| Blanchard F., Formenti E. and Kurka P. Cellular Automata in the Cantor, Besicovitch and
Weyl Topological Spaces, Complex Systems, Vol. 11, pp. 107-123,1999.
|Bloc99] Bloch I. On fuzzy distances and their use in image processing under unprecision, Pattern
Recognition, Vol. 32 pp. 1873-1895, 1999.
[BCFS97] Block H.W., Chhetry D., Fang Z. and Sampson A.R. Metrics on Permutations Useful for
Positive Dependence, J. of Statistical Planning and Inference, Vol. 62, pp. 219-234,1997.
[Blum70) Blumenthal L.M. Theory and Applications of Distance Geometry, Chelsea Publ., New
York, 1970.
[Borg86] BorgeforsG. Distance Transformations in Digital Images, Comp. Vision, Graphic and
Image Processing, Vol. 34, pp. 344-371, 1986.
426
Литература
[BrLiO4] Bramble D.M. and Lieberman D.E. Endurance Running and the Evolution of Homo,
Nature, Vol. 432, pp. 345-352,2004.
[BKMR00) Broder A.Z., Kumar S.R., Maaghoul F., Raghavan P., Rajagopalan S., Stata R.,
Tomkins A. and Wiener G. Graph Structure in the Web: Experiments and Models, Proc. 9-th WWW
Conf., Amsterdam, 2000.
[BGL95] Brualdi R.A., Graves J.S. and Lawrence K.M. Codes with a Poset Metric, Discrete Math.,
Vol. 147, pp. 57-72,1995.
[Brya85] Bryant V. Metric Spaces: Iteration and Application, Cambridge Univ. Press, 1985.
[Bull 12] Bullough E. 'Psychical Distance" as a Factor in Art and as an Aestetic Principle, British
J. of Psychology, Vol. 5, pp. 87-117,1912.
[BuIvOl ] Burago D., Burago Y. and Ivanov S. A Course in Metric Geometry, Amer. Math. Soc.,
Graduate Studies in Math., Vol. 33,2001.
[BuKe53] Busemann H. and Kelly P.J. Projective Geometry and Projective Metrics, Academic
Press, New York, 1953.
[Buse55] Busemann H. The Geometry of Geodesics, Academic Press, New York, 1955.
[BuPh87] Busemann H. and Phadke B.B. Spaces with Distinguished Geodesics, Marcel Dekker,
New York, 1987.
[CairO 1] Caimcross F. The Death of Distance 2.0: How the Communication Revolution will Change
our Lives, Harvard Business School Press, 2-nd edition, 2001.
[CS Y011 Calude C.S., Salomaa K. and Yu S. Metric Lexical Analysis, Springer-Verlag, 2001.
[CJT93] Chartrand G., Johns G.L. and Tian S. Detour Distance in Graphs, Ann. of Discrete Math.,
Vol. 55, pp. 127-136, 1993.
[ChLu85| Cheng Y.C. and Lu S.Y. Waveform Correlation by Tree Matching, IEEE Trans. Pattern
Anal. Machine Intell., Vol. 7, pp. 299-305,1985.
[Chen72] Chentsov N.N. Statistical Decision Rules and Optimal Inferences, Nauka, Moscow, 1972.
[ChFi98 [ Chepoi V. and Fichet B. A Note on Circular Decomposable Metrics, Geom. Dedicata,
Vol. 69, pp. 237-240,1998.
[ChSeOO] Choi S.W. and Seidel H.-P. Hyperbolic Hausdorff Distance for Medial Axis Transform,
Research Report MPI-I-2000-4-003 of Max-Planck-Institute fiir Infor-matik, 2000.
[COR05] Collado M.D., Ortuno-Ortin I. and Romeu A. Vertical Transmission of Consumption
Behavior and the Distribution of Surnames, http://www.econ.upf.es/docs/ seminars/collado.pdf
[Cops68] Copson E.T. Metric Spaces, Cambridge Univ. Press, 1968.
[Corm03] Cormode G. Sequence Distance Embedding, PhD Thesis, Univ, of Warwick, 2003.
[CPQ96] Critchlow D.E., Pearl D.K. and Qian C The Triples Distance for Rooted Bifurcating
Phylogenetic Trees, Syst. Biology, Vol. 45, pp. 323-334,1996.
[CCL01 ] Croft W.B., Cronon-Townsend S. and Lavrenko V. Relevance Feedback and Personaliza-
tion: A Language Modeling Perspective, in DELOS-NSF Workshop on Personalization and Recom-
mender Systems in Digital Libraries, pp. 49-54,2001. *
[DaCh88] Das P.P. and Chatteiji B.N. Knight's Distance in Digital Geometry, Pattern Recognition
Letters, Vol. 7, pp. 215-226,1988.
[Das90| Das P.P. Lattice of Octagonal Distances in Digital Geometry, Pattern Recognition Letters,
Vol. 11, pp. 663-667, 1990.
[DaMu901 Das P.P. and Mukherjee J. Metricity of Super-knight's Distance in Digital Geometry,
Pattern Recognition Letters, Vol. 11, pp. 601-604,1990.
[Dau05] Dauphas N. The U/Th Production Ratio and the Age of the Milky Way from Meteorites and
Galactic Halo Stars, Nature, Vol. 435, pp. 1203-1205,2005.
[Day81] Day W.H.E. The Complexity of Computing Metric Distances between Partitions, Math.
Social Sci., Vol. 1, pp. 269-287,1981.
[DeDu03] Deza M.M. and Dutour M. Cones of Metrics, Hemi-metrics and Super-metrics, Ann. of
European Academy of Sci., pp. 141-162,2003.
[DeHu98] Deza M. and Huang T. Metrics on Permutations, a Survey, J. of Combinatorics,
Information and System Sci., Vol. 23, Nrs. 1-4, pp. 173-185,1998.
[DeLa97] Deza M.M. and Laurent M. Geometry of Cuts and Metrics, Springer-Verlag, 1997.
[DzhaOl ] Dzhafarov E.N. Multidimensional Fechnerian Scaling: Probability-Distance Hypothesis,
J. of Math. Psychology, Vol. 46, pp. 352-374,2001.
Литература
427
[EhHa88] Ehrenfeucht A. and Haussler D. A New Distance Metric on Strings Computable in Linear
Time, Discrete Applied Math., Vol. 20, pp. 191-203,1988.
[EM98] Encyclopedia of Mathematics, Hazewinkel M. (ed.), Kluwer Academic Publ., 1998. Online
edition: http://eom.springer.de/default.htm
[Emv85] Emvall S. On the Modular Distance, IEEE Trans. Inf. Theory, Vol. IT-31, Nr. 4, pp. 521-
522,1985.
[EMM85) Estabrook G.F., McMorris F.R. and Meacham C.A. Comparison of Undirected
Phylogenetic Trees Based on Subtrees of Four Evolutionary Units, Syst. Zool, Vol. 34, pp. 193-200,
1985.
[FaMuO3J Farran J.N. and Munuera C. Goppa-like Bounds for the Generalized Feng-Rao
Distances, Discrete Applied Math., Vol. 128, pp. 145-156,2003.
[Faze99] Fazekas A. Lattice of Distances Based on 3D-neighborhood Sequences, Acta Mathematica
Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis, Vol. 15, pp. 55-60,1999.
[FergO3] Ferguson N. Empire: The Rise and Demise of the British World Order and Lessons for
Global Power, Basic Books, 2003.
[F0SCO6] Foertsch T. and Schroeder V. Hyperbolicity, C AT (-l)-spaces and the Ptolemy
Inequality, arXiv:math.MG/0605418 v2 13 July 2006.
[Frie98] Frieden B.R. Physics from Fisher information, Cambrige Univ. Press, 1998.
[Gabi85] Gabidulin E.M. Theory of Codes with Maximum Rank Distance, Probl. Peredachi Inform.,
Vol. 21, Nr. l,pp. 1-12,1985.
[GaSi98] Gabidulin E.M. and Simonis J. Metrics Generated by Families of Subspaces, IEEE
Transactions on Information Theory, Vol. 44, Nr. 3, pp. 1136-1141,1998.
[GiOn96] Gilbert E.G. and Ong C.J. Growth distances: New Measures for Object Separation and
Penetration, IEEE Transactions in Robotics, Vol. 12, Nr. 6,1996.
[Gile87] Giles J.R. Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Australian Math. Soc. Lecture
Series, Cambridge Univ. Press, 1987.
[GoMc80J Godsil C.D. and McKay B.D. The Dimension of a Graph, Quart. J. Math. Oxford Series
(2), Vol. 31, Nr. 124, pp. 423-427,1980.
[GOJKK02] Goh K.I., Oh E.S., Jeong H., Kahng B. and Kim D. Classification of Scale Free
Networks, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, Vol. 99, pp. 12583-12588,2002.
[Gopp71] Goppa V.D. Rational Representation of Codes and (L,g)-codes, Probl. Peredachi Inform.,
Vol. 7, Nr. 3, pp. 41-49,1971.
[Goto82] Gotoh O. An Improved Algorithm for Matching Biological Sequences, J. of Molecular
Biology, Vol. 162, pp. 705-708,1982.
[GKC04] Grabowski R., Khosa P. and Choset H. Development and Deployment of a Line of Sight
Virtual Sensor for Heterogeneous Teams, Proc. IEEE Int. Conf, on Robotics and Automation, New
Orlean, 2004.
[Grub93] Gruber P.M. The space of Convex Bodies in Handbook of Convex Geometry, Gruber P.M.
and Wills J.M. (eds.), Elsevier Sci. Publ., 1993.
[HSEFN95] Hafner J., Sawhney H.S., Equitz W., Flickner M. and Niblack W. Efficient Color
Histogram Indexing for Quadratic Form Distance Functions, IEEE Transactions on Pattern Analysis
and Machine Intelligence, Vol. 17, Nr. 7, pp. 729-736,1995.
[Hall69] Hall E.T. The Hidden Dimension, Anchor Books, New York, 1969.
[Hami66] Hamilton W.R. Elements of Quaternions, 2-nd edition 1899-1901 enlarged by C.J. Joly,
reprinted by Chelsea Publ., New York, 1969.
[HeMa02] Head K. and Mayer T. Illusory Border Effects: Distance mismeasurement inflates
estimates of home bias in trade, СЕРП Working Paper No 2002-01,2002.
[Hemm02] Hemmerling A. Effective Metric Spaces and Representations of the Reals, Theoretical
Comp. Sci., Vol. 284, Nr. 2, pp. 347-372,2002.
[Hofs80] Hofstede G. Culture's Consequences: International Differences in Work-related Values,
Sage Publ., California, 1980.
[Hube94] Huber K. Codes over Gaussian Integers, IEEE Trans. Inf. Theory, Vol. 40, Nr. 1,
pp. 207-216,1994.
[Hube93] Huber K. Codes over Eisenstein-Jacobi Integers, Contemporary Math., Vol. 168,
pp. 165-179,1994.
428
Литература
[HFPMC02] Huffaker В., Fomenkov М., Plummer D.J., Moore D. and Claffy K. Distance Metrics
in the Internet, IEEE Int. Telecommunication Symposium (ITS-2002), September 2002,
http://www.caida.org/outreach/papers/2002/Distance
[InVeOOJ Indyk P. and Venkatasubramanian S. Approximate Congruence in Nearly Linear Time,
http://www.research.att.com/~suresh/papers/hallj/hallj.pdf
[Isbe64J Isbell J. Six Theorems about Metric Spaces, Comment. Math. Helv., Vol. 39, pp. 65-74,
1964.
[IsKuPe90] Isham C.J., Kubyshin Y. and Penteln P. Quantum Norm Teory and the Quantization of
Metric Topology, Class. Quantum Gravity, Vol. 7, pp. 1053-1074,1990.
[IvSt95] Ivanova R. and Stanilov G. A Skew-symmetric Curvature Operator in Riemannian
Geometry, in Symposia Gaussiana, Conf. A, Behara M., Fritsch R. and Lintz R. (eds.), pp. 391-395,
1995.
[JWZ94] Jiang T., Wang L. and Zhang K. Alignment of Trees - an Alternative to Tree Edit, in
Combinatorial Pattern Matching, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 807, Crochemore M. and
Gusfield D. (eds.), Springer-Verlag, 1994.
[Klei88] Klein R. Voronoi Diagrams in the Moscow Metric, Graph Theoretic Concepts in Comp.
Sci., Vol. 6,1988.
[Klei89] Klein R. Concrete and Abstract Voronoi Diagrams, Lecture Notes in Comp. Sci.,
Springer-Verlag, 1989.
[KlRa93] Klein D.J. and Randic M. Resistance distance, J. of Math. Chemistry, Vol. 12, pp. 81-95,
1993.
[KoelOO] Koella J.C. The Spatial Spread of Altruism Versus the Evolutionary Response of Egoists,
Proc. Royal Soc. London, Series B, Vol. 267, pp. 1979-1985,2000.
[KoSi88J Kogut B. and Singh H. The Effect of National Culture on the Choice of Entry Mode, J. of
Int. Business Studies, Vol. 19, Nr. 3, pp. 411-432,1988.
[KKN02] Kosheleva O., Kreinovich V. and Nguyen H.T. On the Optimal Choice of Quality Metric
in Image Compression, Fifth IEEE Southwest Symposium on Image Analysis and Interpretation, 7-
9 April 2002, Santa Fe. IEEE Comp. Soc. Digital Library, Electronic Edition, pp. 116-120,2002.
[LaLi81 ] Larson R.C. and Li V.O.K. Finding Minimum Rectilinear Distance Paths in the Presence
of Barters, Networks, Vol. 11, pp. 285-304,1981.
[LCLM04] Li M., Chen X., Li X., Ma B. and Vitanyi P. The Similarity Metric, IEEE Trans. Inf.
Theory, Vol. 50-12, pp. 3250-3264, 2004.
[LuRo76] Luczak E. and Rosenfeld A. Distance on a Hexagonal Grid, IEEE Trans, on Computers,
Vol. 25, Nr. 5, pp. 532-533, 1976.
[MaMo95] Mak King-Tim and Morton A.J. Distances between Traveling Salesman Tours, Discrete
Applied Math., Vol. 58, pp. 281-291,1995.
[MaSt99] Martin W.J. and Stinson D.R. Association Schemes for Ordered Orthogonal Arrays and
(T, M, S)-nets, Canad. J. Math., Vol. 51, pp. 326-346; 1999.
[McCa97] McCanna J.E. Multiply-sure Distances in Graphs, Congressus Numerantium, Vol. 97,
pp. 71-81,1997.
[Melt91) Melter R.A. A Survey of Digital Metrics, Contemporary Math., Vol. 119, 1991.
[Monj98] Monjardet B. On the Comparaison of the Spearman and Kendall Metrics between Linear
Orders, Discrete Math., Vol. 192, pp. 281-292,1998.
[Mura85] Murakami H. Some Metrics on Classical Knots, Math. Ann., Vol. 270, pp. 35-45,1985.
[NeWu70] Needleman S.B. and Wunsh S.D. A general Method Applicable to the Search
of the Similarities in the Amino Acids Sequences of Two Proteins, J. of Molecular Biology, Vol. 48,
pp. 443-453,1970.
[NiSu03] Nishida T. and Sugihara K. FEM-like Fast Marching Method for the Computation of the
Boat-Sail Distance and the Associated Voronoi Diagram, http://www. keisu.t.u-tokyo.ac.jp/Research/
METR/2003/M ETR03-45.pdf
[OBS92] Okabe A., Boots B. and Sugihara K. Spatial Tesselation: Concepts and Applications of
Voronoi Diagrams, Wiley, 1992.
[OSLM04] Oliva D., Samengo I., Leutgeb S. and Mizumori S. A Subgective Distance between
Stimuli: Quantifying the Metric Structure of Represantations, Neural Computation, Vol. 17, Nr. 4,
pp. 969-990,2005.
Литература
429
|Orli32| Orlicz W. Uber eine Gewisse Klasse von Raumen vom Typus B’, Bull. Int. Acad. Pol.
Series A, Vol. 8-9, pp. 207-220, 1932.
[OASM03I Ozer H., Avcibas I., Sankur B. and Memon N.D. Steganalysis of Audio Based on Audio
Quality Metrics, Security and Watermarking of Multimedia Contents V (Proc, of SPIEIS and T),
Vol. 5020, pp. 55-66,2003.
|Page65] Page E.S. On Monte-Carlo Methods in Congestion Problem. /. Searching for an Optimum
in Discrete Situations, J. Oper. Res., Vol. 13, Nr. 2, pp. 291-299, 1965.
|Petz96| Petz D. Monotone Metrics on Matrix Spaces, Linear Algebra Appl., Vol. 244, 1996.
| PM | PlanetMath.org, http://planetmath.org/encyclopedia/
[Rach911 RachevS.T. Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models, Wiley, New
York, 1991.
(ReRoOl ] Requardt M. and Roy S. (Quantum) Spacetime as a Statistical Geometry of Fuzzy Lumps
and the Connection with Random Metric Spaces, Class. Quantum Gravity, Vol. 18, pp. 3039-3057,
2001.
|RoTs96| Rosenbloom M.Y. and Tsfasman M.A. Codes for the m-metric, Problems of information
transmission, Vol. 33, Nr. I, pp. 45-52, 1997.
|RoPf68| Rosenfeld A. and Pfaltz J. Distance Functions on Digital Pictures, Pattern Recognation,
Vol. 1, pp. 33-61, 1968.
|RTG00] Rubner Y., Tomasi C. and Guibas L.J. The Earth Mover’s Distance as a Metric for Image
Retrieval, Int. J. of Comp. Vision, Vol. 40, Nr. 2, pp. 99-121, 2000.
|Rumm76| Rummel RJ. Understanding Conflict and War, Sage Publ., California, 1976. [ScSk83]
Schweizer B. and Sklar A. Probabilistic Metric Spaces, North-Holland, 1983.
|Selk77| Selkow S.M. The Tree-to-tree Editing Problem, Inform. Process. Lett., Vol. 6, Nr. 6,
pp. 184-186, 1977.
[ShKa97J Sharma B.D. and Kaushik M.L. Error-correcting Codes through a New Metric, 41-st
Annual Conf. Int. Stat. Inst., New Delhi, 1997.
[Tai79| Tai K.-C. The Tree-to-tree Correction Problem, J. of the Association for Comp. Machinery,
Vol. 26, pp. 422-433, 1979.
|TailO4J Tailor B. Introduction: How Far, How Near: Distance and Proximity in the Historical
Imagination, History Workshop J., Vol. 57, pp. 117-122, 2004.
[Tymo06| Tymoczko D. The Geometry of Musical Chords, Science, Vol. 313, Nr. 5783, pp.72-74,
2006.
[ToSa73| Tomimatsu A. and Sato H. New Exact Solution for the Gravitational Field of a Spinning
Mass, Phys. Rev. Letters, Vol. 29, pp. 1344-1345, 1972.
[Var04| Vardi Y. Metrics Useful in Network Tomography Studies, Signal Processing Letters,
Vol. 11, Nr. 3, pp. 353-355, 2004.
[VeHaOl] Veltkamp R.C. and Hagendoom M. State-of-the-Art in Shape Matching, in Principles of
Visual Information Retrieval, Lew M. (ed.), pp. 87-119, Springer-Verlag, 2001.
[Watt99| Watts DJ. Small Worlds: The Dynamics of Networks between Order and Randomness,
Princeton Univ. Press, 1999.
[Wein72] Weinberg S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General
Theory of Relativity, Wiley, New York, 1972.
[Weis99] Weisstein E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 1999.
[Well86J Wellens R.A. Use of a Psychological Model to Assess Differences in Telecommunication
Media, in Teleconferencing and Electronic Communication, Parker L.A. and Olgren O.H. (eds.),
pp. 347-361, Univ, of Wisconsin Extension, 1986.
[WFE] Wikipedia, the Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org
[WiMa97] Wilson D.R. and Martinez T.R. Improved Heterogeneous Distance Functions, J. of
Artificial Intelligence Research, Vol. 6, p. 134, 1997.
[WoPi99] Wolf S. and Pinson M.H. Spatial-Temporal Distortion Metrics for In-Service Quality
Monitoring of Any Digital Video System, Proc, of SPIE Int. Symp. on Voice, Video, and Data
Commun., September 1999.
[Yian91] Yianilos P.N. Normalized Forms for Two Common Metrics, NEC Research Institute,
Report 91-082-9027-1,1991.
430
Литература
[Yoim98] Young N. Some Function-Theoretic Issues in Feedback Stabilisation, Holomorphic
Spaces, MSRI Publication, Vol. 33, 1998.
[YOI03] Yutaka M., Ohsawa Y. and Ishizuka M. Average-Clicks: A New Measure of Distance on
the World Wide Web, Journal of Intelligent Information Systems, Vol. 20, No. 1, pp. 51-62, 2003.
[Zeli75] Zelinka B. On a Certain Distance between Isomorphism Classes of Graphs, Casopus. Pest.
Mat., Vol. 100, pp. 371-373, 1975.
Предметный указатель
#-Гордиево расстояние, 156
(1,2)-В-метрика, 43
(2k + 1)-гональное расстояние, 18
2й-гональное расстояние, 18
2-Метрика, 61
2-Параметрическое расстояние Киму-
ры, 337
З-Параметрическое расстояние Тамуры,*
338
AS метрика Интернета, 326
с-Изоморфизм метрических прост-
ранств, 40
с-Равномерно совершенное метриче-
ское пространство, 45
САТ(£) пространство, 91
С-Метрика, 171
d -Метрика Орнштейна, 224
/-Расхождение Чизара, 218
Г*-Метрика, 78
G-Инвариантная метрика, 119
G-Пространство, 89
G-Пространство эллиптического типа,
91
G-Расстояние, 150
(й, А)-Метрика, 150
IP метрика Интернета, 326
/-Метрика, 63
^-Ориентированное расстояние, 163
й-Степень графа, 231
К Метрика Ки Фана, 213
К* Метрика Ки Фана, 213
/^-Метрика, 80
Lp-Метрика, 82
Lp -Метрика между величинами, 212
Lp-Метрика между плотностями, 213
Lp-Метрика сжатия изображения,
303
т-Хемиметрика, 61
(т, 5)-Суперметрика, 61
^-Относительная метрика, 277
р-адическая метрика, 190
р-Метрика Бергмана, 202
р-Расстояние, 336
(р, ^-Относительная метрика, 277
Р-Метрика, 19
Q-Метрика, 150
Q Подобность Юле, 263
2о-Разность, 263
50(3)-Инвариантная метрика, 138
r-Неприводимое множество, 233
Г-Остов, 233
То-Пространство, 56
Т\ -Пространство, 56
Т2-Пространство, 56
Т3-Пространство, 56
Т4-Пространство, 57
Т5-Пространство, 57
Web квазирасстояние среднего числа
кликов, 327
WebX квазирасстояние Доджа-Шиоде,
327
У Подобность взаимосвязанности Юле,
263
у-Метрика, 228
5-Гипербол ическая метрика, 21
А-Метрика, 149
р-Расстояние Спнрмана, 186
т-Расстояние Кендалла, 187
<р Подобность Пирсона, 263
Х2-Расстояние, 219
Х2-Расстояние Сангви, 335
Аддитивно взвешенное расстояние, 292
Аддитивно взвешенное степенное рас-
стояние, 292
Азимут, 363
Акустическая метрика, 351
Акустические расстояния, 319
Амино у-расстояние, 339
Амино расстояние коррекции Пуассона,
339
Амино р-расстояние, 339
Аналитическая метрика, 148
Антидискретная полуметрика, 43
432
Предметный указатель
Антиднскретное пространство, 60
Антиномия расстояния, 406
Аполлонова метрика, 108
Асимптотическая размерность, 29
Астрономические единицы длины, 396
Атомный радиус, 353
Аффинная метрика, 102
Аффинное псевдорасстояние, 101
Аффинное расстояние, 101
Баллистические расстояния, 347
Банахово пространство, 79
Барицентрическое метрическое прост-
ранство, 51
Белковое расстояние Джукеса-Кантора,
340
Белковое расстояние Кимуры, 340
Биинвариантная метрика, 168
Билипшицево отображение, 39
Блоковый граф, 232
Буземанова метрика, 98
Буземанова метрика множеств, 75
Булево метрическое пространство, 67
Бумажные форматы МОС, 395
Вероятностное метрическое простран-
ство, 66
Вероятностное расстояние, 213
Вертикальное эшелонирование, 417
Взвешенная метрика пути, 227
Взвешенная метрика Робинзона-Фоулд-
са, 241
Взвешенная словарная метрика, 170
Взвешенное евклидово расстояние, 268
Взвешенное расстояние Манхэттена,
269
Взвешенное расстояние Минковского,
268
Взвешенное расстояние Хэмминга, 183
Внутренняя метрика, 71
Вполне нормальное пространство, 57
Вполне ограниченное метрическое про-
странство, 44
Вполне ограниченное пространство, 58
Вполне регулярное пространство, 56
Вращающаяся С-метрика, 389
Вторая метрика Ферранда, 110
Вторично-счетное пространство, 57
Выпуклая функция расстояния, 34
Выпуклость Буземана, 24
Выпуклость по Менгеру, 24
Выпуклость по Такахаши, 26
Высота, 362
Галактоцентрическое расстояние, 424
Галилеево расстояние, 376
Гамма-расстояние Джина-Нея, 337
Географическое расстояние, 326
Геодезическая, 23
Геодезическая выпуклость, 24
Геодезическое метрическое пространст-
во, 89
Геодезическое расстояние, 89
Геодетический граф, 231 ,
Гидродинамический радиус, 354
Гильбертова проективная метрика, 97
Гильбертова проективная полуметрнка,
163
Гильбертово пространство, 84
Гиперболическая метрика, 104
Гиперболическое хаусдорфово расстоя-
ние, 311
Гипервыпуклость, 26
Гиперкехлерова метрика, 137
Гиперметрика, 19
Гиперпространство, 59
Гипотеза вероятности расстояния, 344
Гирорадиус, 348
Глубина проникновения, 350
Гомеоморфные метрические простран-
ства, 38
Гордиево расстояние, 156
Горизонтальное расстояние, 357
Граница метрического пространства, 93
Граф D-расстояния, 233
Грубое вложение, 40
Дальний порядок, 349
Дальность действия молекулярных сил,
354
Дальность действия фундаментальных
сил, 349
Дальность передачи, 416
Дальность распознавания радара, 282
Датчики ближней локации, 415
Двойственное расстояние, 246
Двойственные метрики, 83
Дезаргово пространство, 90
Действительное дерево, 42
Диагональная метрика, 116
Предметный указатель
433
Дискретная динамическая система, 35
Дискретная метрика, 43
Дискретная метрика переноса, 169
Дискретное пространство, 59
Дистальность, 421
Дистанции в триатлоне, 424
Дистанционная беговая модель, 345
Дистанционная модель альтруизма, 345
Дистанционная модель Малекота, 344
Дистанционное действие (в вычисли-
тельных процессах), 329
Дистанционное действие (в физике), 349
Дистанционный взрыватель, 415
Дистанцирование, связанное с техноло-
гией, 406
Дистанция выноса, 414
Дистанция распыления, 417
Длина метрического пространства, 30
Длина пространственной когерентнос-
ти, 350
Длина смыкания, 350
Долгота, 361
Доминирующая метрика, 43
Допускаемое расстояние, 357
Древовидная метрика, 228
Евклидова метрика, 81
Евклидово двоичное расстояние, 259
Евклидово среднее цензурированное
расстояние, 260
Жесткое перемещение метрического
пространства, 37
Зависимость большой дальности, 420
Закон Титиуса-Боде, 364
Законы обратной пропорциональности
квадрату расстояния, 348
Замкнутый метрический интервал, 22
Зенитный угол, 363
Изоляция расстоянием, 344
Изометрический подграф, 231
Изометрия, 37
Изречения с использованием "ближне-
го-дальнего" расстояний, 409
Имперские меры длины, 394
Инверсивное расстояние, 283
Индикаторная метрика, 213
Индуцированная метрика, 43
Инженерная полуметрика, 214
Инструментальные расстояния, 416
Интегральная метрика, 200
Интервальное расстояние, 252
Интервальная метрика, 89
Информационная метрика Фишера, 128
Инъективная оболочка, 41
Инъективное метрическое пространст-
во, 41
Истинная аномалия, 363
Касательное расстояние, 308
Категория метрических пространств, 41
Квадратичное расстояние гистограммы,
302
Квазигиперболическая метрика, 108
Квазиизометрия, 40
Квазиконформное метрическое отобра-
жение, 38
Квазиметрика, 18
Квазиметрика кольцевой железной до-
роги, 283
Квазиметрика пути в орграфах, 227
Квазиметрика Web-гиперссылки, 327
Квазиполуметрика, 17
Квазиполуметрика действительной по-
лупрямой, 190
Квазиполуметрика ориентированного
мультиразреза, 231
Квазиполуметрика ориентированного
разреза, 231
Квазирасстояние, 17
Квазирасстояние Брегмаиа, 206
Квазирасстояние Итакуры-Саито, 315
Квазирасстояние коэффициента качест-
ва, 309
Квазирасстояние логарифма отношения
правдоподобия, 316
Квазирасстояние пересечений гисто-
грамм, 302
Квазирасстояния контакта, 282
Квантальные расстояния, 352
Квантовые метрики, 352
Кватернионная метрика, 192
Кепстральное расстояние, 316
Кинематическая метрика, 375
Кинематическое расстояние, 371
Киносъемки, связанные С расстоянием,
412
Ковариационная подобность, 264
Колатитьюда, 361
434
Предметный указатель
Комбинированно взвешенное расстоя-
ние, 292
Компакт Банаха-Мазура, 85
Компактное квантовое метрическое
пространство, 52
Компактное пространство, 58
Комплексная финслерова метрика, 139
Конечная /р-полуметрика, 230
Коническое расстояние, 298
Конструктивное метрическое простран-
ство, 54
Контактное расстояние Ван-дер-
Ваальса, 354
Конформная метрика, 117
Конформно инвариантная метрика, 150
Конформно стационарная метрика, 384
Конформное метрическое отображе-
ние, 38
Конформное пространство, 117
Корреляционная подобность, 264
Космический световой горизонт, 424
Косое расхождение, 220
Кривая расстояния, 419
Культурное расстояние, 403
Лексикографическая метрика, 188
Лестница космологических расстояний,
371
Лингвистическое расстояние, 318
Липшицево отображение, 39
Липшицево расстояние, 51
Липшицево расстояние между мерами,
51
Логарифмическое расстояние, 291
Локально выпуклое пространство, 59
Локально компактное пространство, 58
Локсодромическое расстояние, 356
Лоренцева метрика, 121
Лоренцевское расстояние, 259
Лунное расстояние, 363
Максимальное расстояние многоуголь-
ника, 161
Масштабированное евклидово расстоя-
ние, 268
Матрица Грамма, 37
Матрица Кэли-Менгера, 36
Матрица расстояний, 36
Машинное обучение на базе расстоя-
ний, 266
Международная метрическая система,
392
Межионное расстояние, 354
Метаболическое расстояние, 343
Метризация, 393
Метрнзуемое пространство, 60
Метрика, 17
Метрика F-нормы, 77
Метрика GCSS, 381
Метрика G-нормы, 172
Метрика Азукавы, 141
Метрика Алкубьерра, 388
Метрика Асплунда, 160
Метрика Атья-Хитчина, 138
Метрика Банаха-Мазура, 160
Метрика Бервальда, 125
Метрика Бергера, 120
Метрика Бергмана, 137
Метрика Бертотти-Робинсона, 387
Метрика Бесова, 203
Метрика Блоха, 203
Метрика Бляшке, 122
Метрика Боголюбова-Кубо-Мори, 131
Метрика Бомбьери, 193
Метрика Бора, 201
Метрика Бохнера, 202
Метрика Брайанта, 126
Метрика британской железной дороги,
278
Метрика Бурагро-Иванова, 279
Метрика Буреса, 131
Метрика Бушеля, 163
Метрика быстрейшего пути, 281
Метрика Бэра, 185
Метрика валюации, 85
Метрика валюации решетки, 177
Метрика Ван Стокума, 382
Метрика Вейерштрасса, 107
Метрика Вейля, 383
Метрика Вейля-Папапетру, 382
Метрика Вейля-Петерсона, 143
Метрика взвеси, 164
Метрика взвешенного разреза, 289
Метрика Вндьясагара, 273
Метрика Вилса, 386
Метрика Вннннкомбе, 273
Метрика винтовой поверхности, 154
Метрика вставки-удаления, 181
Метрика By, 141
Метрика Вуоринена, 109
Предметный указатель
435
Метрика Габидулина-Симониса, 251
Метрика галереи, 46
Метрика Гёделя, 384
Метрика Гейзенберга, 174
Метрика Гельдера, 205
Метрика Геринга, 109
Метрика Гиббонса-Мантона, 143
Метрика гибридизации Гарсона и др.,
338
Метрика гильбертова куба, 74
Метрика гиперболоида, 153
Метрика городского квартала, 276
Метрика гриды, 284
Метрика Громова-Хаусдорфа, 49
Метрика Грушина, 122
Метрика Дадли, 215
Метрика движений, 173
Метрика де Ситтера, 377
Метрика Джаниса-Ньюмана-Винкура,
379
Метрика доверия, 328
Метрика Дугласа, 126
Метрика Дункана, 185
Метрика единичных кватернионов, 269
Метрика естественной нормы, 195
Метрика Замолодчикова, 143
Метрика Зипой-Вурхиза, 383
Метрика Золла, 119
Метрика Иванова-Петровой, 119
Метрика излучения Бонди, 386
Метрика инволютивного преобразова-
ния, 71
Метрика интервальной нормы, 170
Метрика Кавагучи, 126
Метрика Калаби, 137
Метрика Калаби-Яо, 135
Метрика Калузы-Клейна, 389
Метрика Кантовского-Сахса, 381
Метрика Кантора, 271
Метрика Канторовича-Мэллоуза-Мон-
жа-Вассерштейна, 223
Метрика Каратеодори, 140
Метрика Карно-Каратеодори, 120
Метрика Картана, 145
Метрика Каснера, 380
Метрика квадрики, 152
Метрика Керра, 378
Метрика Керра-Ньюмана, 379
Метрика Кехлера, 135
Метрика Кехлера-Эйнштейна, 136
Метрика Клейна, 125
Метрика Кобайаши, 139
Метрика Кобайаши-Буземана, 140
Метрика ковра Рикмана, 279
Метрика Колмогорова-Смирнова, 214
Метрика комплексного модуля, 191
Метрика конечной ядерной нормы, 208
Метрика конечных подгрупп, 177
Метрика Конна, 132
Метрика коня, 287
Метрика косого произведения, 74
Метрика Коттлера, 378
Метрика Кропиной, 124
Метрика Крускала-Чекереса, 377
Метрика Кутраса-Макинтоша, 386
Метрика Кэли, 187
Метрика Кэли-Клейна-Гильберта, 107
Метрика ладьи, 288
Метрика Левенштейна, 181
Метрика Леви, 215
Метрика Леви-Чивита, 382
Метрика Ли, 47
Метрика лифта, 278
Метрика Лоренца, 375
Метрика луча Боннора, 385
Метрика Льюиса, 381
Метрика Майерса-Перри, 389
Метрика Макбета, 160
Метрика МакКлюра-Витале, 158
Метрика маркировки, 182
Метрика Мартина, 185
Метрика между интервалами, 174
Метрика между направлениями, 283
Метрика между углами, 283
Метрика Минковского, 97,374
Метрика Миснера, 388
Метрика модулюса, 110
Метрика монополей Барриолы-Вилен-
кина, 387
Метрика Морриса-Торна, 387
Метрика мультимножества, 181
Метрика неотрицательной кривизны,
149
Метрика непересекающегося объедине-
ния, 72
Метрика неположительной кривизны,
148
Метрика неравенства четырех точек,
20
Метрика несходства, 216
436
Предметный указатель
Метрика нечетко определенного поли-
нуклеотида, 341
Метрика Нидлмана-Вунша-Селлерса,
184
Метрика Никодима, 159
Метрика нормы, 46, 78
Метрика нормы Гильберта-Шмидта,
209
Метрика нормы группы, 77
Метрика нормы Ки Фана, 197
Метрика нормы матрицы, 194
Метрика нормы многочлена, 193
Метрика нормы мономорфизма, 171
Метрика нормы операторов со следом,
209
Метрика нормы перестановок, 173
Метрика нормы порядка, 171
Метрика нормы произведения, 171
Метрика нормы Рисса, 84
Метрика нормы p-класса Шатена, 209
Метрика нормы Фробениуса, 196
Метрика нормы Шатена, 197
Метрика (с, р)-нормы, 196
Метрика р-нормы матрицы, 195
Метрика нулевого отклонения, 190
Метрика обезьяньего седла, 155
Метрика обмена ближайшими соседя-
ми, 241
Метрика обратного образа, 71
Метрика ограничения потери порядка
ди, 214
Метрика ограниченного блока, 270
Метрика ограниченной кривизны, 149
Метрика окружности, 283
Метрика операторной нормы, 207
Метрика Орлича, 204
Метрика Орлича-Лоренца, 204
Метрика ослабленного неравенства
четырех точек, 21
Метрика Оссермана, 119
Метрика Оссермана-Лоренца, 122
Метрика отрицательной кривизны, 148
Метрика перемещения робота, 269
Метрика перестановок Фреше, 188
Метрика плоской волны, 385
Метрика поверхности вращения, 154
Метрика поверхности Каталана, 155
Метрика поверхности Фреше, 151
Метрика полиэдральных цепей, 165
Метрика положительной кривизны, 148
Метрика Помпейю-Хаусдорфа-Бляш-
ке, 158
Метрика Помпейю-Эгглестона, 158
Метрика Понсе де Леона, 390
Метрика, порожденная путем, 287
Метрика последовательности соседства,
285
Метрика последовательности nD-сосед-
ства, 286
Метрика потерянности, 328
Метрика правой логарифмической
производной, 131
Метрика преобразования, 69
Метрика преобразования Фарриса, 71
Метрика преобразования Шенберга,
70
Метрика префикс-Хэмминга, 183
Метрика произведения, 47,73
Метрика произведения Фреше, 73
Метрика пропуска, 272
Метрика пространства переменной
экспоненты, 206
Метрика Прохорова, 215
Метрика прямой вращающейся струны,
383
Метрика псевдосферы, 154
Метрика Пуанкаре, 106
Метрика пути, 46,227
Метрика Райсснера-Нордстрома, 378
Метрика Рандерса, 124
Метрика рассечения-восстановления де-
рева, 242
Метрика расслоения, 134
Метрика реверсии, 187
’Метрика реверсии со знаком, 187
Метрика редактирования, 46
Метрика редактирования с перемеще-
ниями, 181
Метрика решетки, 285
Метрика Робертсона-Уолкера, 379
Метрика Робинзона-Фоулдса, 241
Метрика Розенблюма-Цфасмана, 198
Метрика рр-волны, 385
Метрика с альтернативной кривизной,
149
Метрика Сасакьяна, 145
Метрика свертки, 216
Метрика свопа, 181
Метрика Сейтенранта, 110
Метрика Сибони, 141
Предметный указатель
437
Метрика симметрической разности, 47
Метрика Скорохода, 217
Метрика Скорохода-Билннгсли, 217
Метрика скругления, 288
Метрика следовой нормы, 197
Метрика Соболева, 205
Метрика сопротивления, 228
Метрика средней ширины, 157
Метрика Стензеля, 138
Метрика степенного преобразования,
70
Метрика степенного ряда, 86
Метрика супер-коня, 288
Метрика сфероида, 153
Метрика сферы, 152
Метрика Тауба-НУТ, 138
Метрика Тауба-НУТ-де Ситтера, 386
Метрика Тейхмюллера, 142
Метрика тензорной нормы, 85
Метрика Томиматсу-Сато, 383
Метрика тора, 154
Метрика углов Эйлера, 269
Метрика 2п-угольника, 279
Метрика Улама, 187
Метрика уплотненного редактирования,
181
Метрика упрощенного пути, 17
Метрика фактор-нормы, 171
Метрика Фано, 252
Метрика Ферранда, 109
Метрика Фишера-Рао, 129
Метрика Флориана, 158
Метрика французского метро, 278
Метрика Фреше, 49
Метрика Фубини-Штуди, 136
Метрика Функа, 125
Метрика функционального преобразо-
вания, 70
Метрика Харди, 203
Метрика Хеллинджера, 219
Метрика Хессе, 135
Метрика Ходжа, 136
Метрика Хофера, 144
Метрика цветочного магазина, 278
Метрика центра массы, 270
Метрика центрального парка, 279
Метрика цепочки, 188
Метрика цифрового объема, 289
Метрика части, 203
Метрика Чебышева, 276
Метрика Шварца, 206
Метрика Шварцчайльда, 377
Метрика Шена, 125
Метрика Шепарда, 159
Метрика Штейнгауза, 159
Метрика Шульги, 215
Метрика Эгучи-Хансона-де Ситтера,
387
Метрика Эдгара-Людвига, 386
Метрика Эддингтона-Робертсона, 379
Метрика Эйнштейна, 376
Метрика экрана радара, 279
Метрика эллипсоида, 153
Метрика эллиптической плоскости, 104
Метрика Эномото-Катона, 47
Метрика Эугучи-Хэнсона, 138
Метрика ядерной нормы, 208
Метрики DRP, 326
Метрики Web подобности, 327
Метрики атрибутивного дерева, 243
Метрики Бианки, 380
Метрики В игнера-Янасе-Дайсона, 131
Метрики Габидулина-Симониса, 251
Метрики качества, 418
Метрики качества видеоизображения,
311
Метрики конуса, 164
Метрики локальности, 328
Метрики между разбиениями, 175
Метрики миллиботов, 270
Метрики на детерминантных прямых,
143
Метрики на натуральных числах, 189
Метрики на пространстве Рисса, 178
Метрики преобразования без пересече-
ний, 237
Метрики программного обеспечения,
328
Метрики томографии сети, 326
Метрическая борнология, 65
Метрическая выпуклость, 25
Метрическая кривая, 23
Метрическая размерность, 26
Метрическая рекурсия МАР декодиро-
вания, 254
Метрическая схема, 17
Метрическая теория гравитации, 351
Метрическая топология, 22
Метрическая энтропия, 26
Метрические меры длины, 394
438
Предметный указатель
Метрический базис, 34
Метрический диаметр, 33
Метрический компакт, 45
Метрический конус, 36
Метрический тензор, 115
Метрический треугольник, 22
Метрический функционал, 31
Метрический четырехугольник, 23
Метрический шар, 21
Метрическое преобразование, 38,69
Метрическое пространство, 17
Метрическое пространство, гиперболи-
ческое по Громову, 91
Метрическое пространство, монотонное
относительно расстояния, 22
Метрическое расслоение, 36
Метрическое число Рамсея, 40
Механическое расстояние, 346
Минимальное генетическое расстояние
Нея, 335
Минимальное расстояние, 245
Многогранная метрика, 165
Многократно выверенное расстояние,
229	г
Модель фамильного расстояния, 345
Модифицированное расстояние Мин-
ковского, 269
Модифицированное хаусдорфово рас-
стояние, 310
Модулюс расстояния, 370
Модулярное метрическое пространство,
23
Модулярное расстояние, 172
Молекулярный RMS радиус, 355
Монотонная метрика, 129
Моральная дистанция, 405
Морские единицы длины, 395
Московская метрика, 277
Мультипликативно взвешенное рас-
стояние, 291
Наклонное расстояние, 358
Натуральная метрика, 190
Натянутая линейная оболочка, 42
Натянутое расширение, 42
Небесные расстояния Сведенборга, 408
Невырожденная метрика, 116
Нелинейная хаусдорфова метрика, 311
Неметрическое пространство Кристе-
вой,407
Неопределенная метрика, 62
Непрерывное двойственное пространст-
во, 210
Нестягивающее отображение, 40
Нечеткое расстояние Хэмминга, 184
Нормализированная метрика информа-
ции, 223
Нормальное пространство, 57
Нормированное /р-расстояние, 260
Нуклеотидное расстояние Джукеса-
Кантора, 337
Обобщенная метрика, 66
Обобщенная метрика Кантора, 185
Обобщенная метрика преобразования
биотопа, 70
Обобщенная хаусдорфова G-метрика,
49
Обобщенные римановы пространства,
118
Ограниченная метрика, 44
Однородное метрическое пространство,
38
Опережающее квазирасстояние, 321
Оптическое расстояние, 350
Ориентиры для оценки расстояния, 411
Основной граф метрического простран-
ства, 22
Остановочное расстояние, 346
Отклонение периметра, 157
Отклонение площади, 157
Отношение подобности, 265
Отношение Штейнера, 33
Очень малые единицы длины, 395
Параболическое расстояние, 111
Паракомпактное пространство, 58
Первично-счетное пространство, 57
Периодическая метрика, 281
Плоская метрика, 149
Подграф-суперграф расстояния, 234
Подобности Леска, 323
Подобность, 16
Подобность 1 Кульчинского, 258
Подобность 1 Сокала-Сниса, 261
Подобность 2 Говера, 263
Подобность 2 Кульчинского, 258
Подобность 2 Сокала-Сниса, 261
Подобность 3 Сокала-Сниса, 262
Подобность Амана, 261
Предметный указатель
439
Подобность Андерберга, 263
Подобность Барони-Урбани-Бусера,
259
Подобность Брауна-Бланке, 262
Подобность Брэя-Куртиса, 258
Подобность Ву-Палмера, 323
Подобность Глисона, 257
Подобность Говера-Лежандра, 262
Подробность ф-граммы, 183
Подобность Джаро, 183
Подобность Джаро-Уинклера, 183
Подобность дисперсии, 263
Подобность достоверности, 219
Подобность косинуса, 264
Подобность Ликока-Чодороу, 323
Подобность Лина, 323
Подобность Мориситы-Хорна, 265
Подобность Мотыки, 258
Подобность произведения Громова, 21
Подобность пути, 323
Подобность Рассела-Рао, 262
Подобность Резника, 323
Подобность Робертса, 257
Подобность Роджера-Танимото, 262
Подобность Ружечки, 256
Подобность Рэнда, 261
Подобность Симпсона, 262
Подобность среднего гармонического,
219
Подобность Тверского, 262
Подобность Фэйса, 262
Подобность Херста-Сент-Онджа, 324
Подобность Элленберга, 257
Подобность Энтони-Хаммера, 183
Подобность ясности, 222
Полиграфические единицы длины, 395
Полная метрика, 44
Полная риманова метрика, 119
Положительно однородная метрика,
169
Полуаполлонова метрика, 109
Пол у метрика, 16
Полуметрика Бесиковича, 271
Полуметрика Вейля, 271
Полуметрика двойного несходства, 216
Полуметрика Дэниельса-Гильбо, 187
Полуметрика Золотарева, 216
Полуметрика Калмансона, 230
Полуметрика кольца, 174
Полуметрика Махаланобиса, 214
Полуметрика мультиразреза, 230
Полуметрика обобщенного тора, 174
Полуметрика общей линейной группы,
173
Полуметрика полунормы, 79
Полуметрика разреза, 229
Полуметрика Эренфёхта-Хауслера, 282
Полуметрика, уменьшающая расстоя-
ния, 139
Полуметрики на сходствах, 199
Полупсевдориманова метрика, 122
Полуриманова метрика, 122
Польское пространство, 45
Полярное расстояние, 362
Пополнение Коши, 44
Порядок конгруэнтности, 32
Постоянная расстояния операторной
алгебры, 210
Почти-метрика, 17
Пошаговое расстояние Шрайвера-Бур-
винкля, 336
Правильная метрика, 281
Приблизительные расстояния по шкале
человека, 401
Проективная метрика, 46, 96
Проективная метрика полосы, 96
Проективная метрика полуплоскости,
97
Проективно плоское метрическое про-
странство, 94
Проективное определение метрики, 98
Прокрустово расстояние, 307
Пространство т-расстояния, 63
Пространство близости, 64
Пространство Бэра, 58
Пространство Линделефа, 57
Пространство Мура, 57
Пространство над алгеброй, 67
Пространство постоянной кривизны,
117
Пространство приближений, 65
Пространство приближенности, 64
Пространство расстояний, 16
Пространство со скалярным произведе-
нием, 83
Прямое G-пространство, 91
Прямое восхождение, 362
Прямоугольное расстояние с барьера-
ми, 280
Псевдогиперболическое расстояние, 107
440
Предметный указатель
Псевдориманова метрика, 120
Псевдоэллиптическое расстояние, 104
Птолемеев граф, 233
Птолемеева метрика, 19
Пылевая метрика Боннора, 382
Равномерная метрика, 201
Равномерное метрическое отображе-
ние, 39
Равномерное пространство, 64
Радиоизмерение расстояния, 415
Радиус метрического пространства, 32
Разделяющее расстояние, 160
Разложимая полуметрика, 230
Размерность Ассуада-Нагаты, 29
Размерность Вольберга-Конягина, 29
Размерность Годсил-Маккея, 29
Размерность удвоения, 29
Размерность Хаусдорфа, 28
Разность Минковского, 161
Разность образов, 263
Ранг метрического пространства, 27
Ранговая корреляция Спирмана, 265
Расположение с промежутками, 274
Распределение расстояний, 248
Расстояние, 16
Расстояние 1 Бхаттачарья, 219
Расстояние 1-суммы, 72
Расстояние 2 Бхаттачарья, 219
Расстояние 2-степени, 241
Расстояние bar-произведения, 246
Расстояние Dps, 334
Расстояние Г-статистики, 335
Расстояние £-мера Эдгара, 340
Расстояние RTT, 326
Расстояние абсолютного суммирования,
248
Расстояние административных расходов,
326
Расстояние Али-Силвея, 221
Расстояние апоапсиды, 363
Расстояние арифметического кода, 248
Расстояние АСМЕ, 252
Расстояние аффинного пространства-
времени, 375
Расстояние Банаха-Мазура, 50
Расстояние Бесиковича, 202
Расстояние бинарного отношения, 237
Расстояние биотопа, 343
Расстояние Бирнбаума-Орлича, 217
Расстояние большого круга, 356
Расстояние Брегмана, 218
Расстояние Брэя-Куртиса, 258
Расстояние бульдозера, 304
Расстояние Бурби-Рао, 218
Расстояние бутылочного горлышка,
310
Расстояние взаимодействия, 348
Расстояние взаимообмена, 252
Расстояние видимого кратчайшего пути,
293
Расстояние Виктора-Пурпуры, 343
Расстояние воздушных перевозок, 294
Расстояние Вороного для дуг, 297
Расстояние Вороного для областей, 297
Расстояние Вороного для окружностей,
297
Расстояние Вороного для отрезков, 296
Расстояние Вороного порядка ди, 298
Расстояние восприятия Оливы и др.,
343
Расстояние вращения дерева, 236
Расстояние вращения ребра, 236
Расстояние F-вращения, 236
Расстояние вставки-удаления, 252
Расстояние выравнивания, 240
Расстояние галереи для флагов, 179
Расстояние Гендрона и др., 343
Расстояние генома, 342
Расстояние глубины проникновения,
160
Расстояние Гольдштейна и др., 336
Расстояние города, 294
Расстояние Гренандера, 161
Расстояние Гришина, 340
Расстояние далекого близкого, 408
Расстояние движения по дороге, 358
Расстояние действия, 406
Расстояние дизайна, 246
Расстояние до ближайшего целого, 75
Расстояние дрейфа, 321
Расстояние дуги Кавальи-Сфорза, 334
Расстояние зазора, 417
Расстояние защитных мероприятий, 417
Расстояние исключения столкновений,
279
Расстояние Кадетса, 50
Расстояние Канберры, 258
Расстояние квартета, 242
Расстояние Кемени, 175
Предметный указатель
441
Расстояние Кларка, 260
Расстояние коммутирования, 172
Расстояние континентального шельфа,
356
Расстояние Крамера-фон Мизеса, 215
Расстояние кратчайшего пути с препят-
ствиями, 293
Расстояние Круглова, 218
Расстояние Кука, 266
Расстояние Куллбака-Лейблера, 220
Расстояние Ласкера, 344
Расстояние Ле Кама, 216
Расстояние Лоренца-Минковского, 376
Расстояние Манхейма, 249
Расстояние масштабной линейки Спир-
мана, 186
Расстояние Махаланобнса, 261
Расстояние между множествами, 48
Расстояние между простыми числами,
75
Расстояние между прямыми, 74
Расстояние между точкой и множест-
вом, 48
Расстояние между точкой и плос-
костью, 75
Расстояние между точкой и прямой, 75
Расстояние Мила, 260
Расстояние Мохо, 358
Расстояние на генетической карте, 342
Расстояние на карте, 357
Расстояние на лошадиных скачках, 423
Расстояние на построении, 67
Расстояние на реке, 294
Расстояние нечеткого множества, 335
Расстояние Нея-Таджимы-Татено, 335
Расстояние нормализированной инфор-
мации, 182
Расстояние обхода, 227
Расстояние общих аллелей Стефенса и
др., 334
Расстояние однозначности, 248
Расстояние окаймления, 415
Расстояние Орлочи, 265
Расстояние отражения, 306
Расстояние отрицательного типа, 18
Расстояние параллакса, 370
Расстояние параметризованных пря-
мых, 305
Расстояние парусника, 295
Расстояние перемещения ребра, 235
Расстояние переноса растворителя, 417
Расстояние пересечения, 258
Расстояние периапсиды, 363
Расстояние пикселя, 308
Расстояние поддерева наибольшего
сходства, 243
Расстояние подсматривающего, 295
Расстояние позы, 270
Расстояние поколений, 273
Расстояние полутонового изображения,
303
Расстояние порядка роста, 161
Расстояние Превости-Оканы-Алонсо,
334
Расстояние преобразования, 182
Расстояние прыжка, 350
Расстояние радара, 371
Расстояние разбиений-совмещений, 241
Расстояние разделения, 220
Расстояние размера Пенроуза, 259
Расстояние РАМ, 339
Расстояние ранга, 250
Расстояние редактирования дерева,
239
Расстояние редактирования единичной
цены, 240
Расстояние редактирования с ограниче-
нием, 240
Расстояние Рейнольдса-Вейра-Кокер-
хэма, 335
Расстояние Реньи, 222
Расстояние Роджера, 334
Расстояние родства, 335
Расстояние Розенблюма-Цфасмана, 251
Расстояние светового пути, 370
Расстояние связи, 280
Расстояние Селкоу, 240
Расстояние сети, 293
Расстояние Симоны Вейль, 408
Расстояние скачка ребра, 235
Расстояние скольжения, 2?6
Расстояние смещения ребра, 236
Расстояние снегохода, 295
Расстояние соавторства, 320
Расстояние собаковода, 201
Расстояние Соболева, 159
Расстояние собственного движения, 369
Расстояние совершенного паросочета-
ния, 242
Расстояние совместного движения, 367
442
Предметный указатель
Расстояние со-звездности, 321
Расстояние среднего квадрата, 336
Расстояние среднего сопротивления, 221
Расстояние Степанова, 202
Расстояние структуры РНК, 340
Расстояние стягивания, 235
Расстояние Таджимы-Нея, 337
Расстояние Тамуры-Нея, 338
Расстояние тона, 318
Расстояние триплета, 242
Расстояние углового диаметра, 370
Расстояние удаленности, 414
Расстояние упорядоченного множества,
250
Расстояние упрощения и пересадки под-
дерева, 242
Расстояние утечки, 416
Расстояние Фенга-Рао, 247
Расстояние формы Пенроуза, 259
Расстояние функции вращения, 306
Расстояние функции размера, 306
Расстояние Хаббла, 367
Расстояние Хеллннджера, 260
Расстояние химической связи, 353
Расстояние хорды Кавальи-Сфорза-
Эдвардса, 334
Расстояние Цзяня-Конрата, 323
Расстояние чатоста-взвешенного кепст-
ра, 317
Расстояние Чернова, 222
Расстояние шабата, 424
Расстояние Шармы-Кошика, 248
Расстояние Штейнгауза, 48
Расстояние Штейнера, 234
Расстояние Шэннона, 222
Расстояние Эгглестона, 160
Расстояние эллиптической орбиты, 363
Расстояние эффективной торговли,
404
Расстояния в криминологии, 422
Расстояния в медицине, 420
Расстояния в мире животных, 423
Расстояния в сейсмологии, 359
Расстояния в системах обнаружения,
414
Расстояния в стереоскопии, 412
Расстояния видимости, 409
Расстяния временных рядов видео, 311
Расстояния дальности, 417
Расстояния дорожной видимости, 413
Расстояния зубчатых передач, 416
Расстояния измерения тела, 421
Расстояния маршрутов коммивояжера,
237
Расстояния между доминирующим те-
лом и спутником, 364
Расстояния между людьми, 401
Расстояния между подграфами, 238
Расстояния между ритмами, 318
Расстояния нелинейного гибкого согла-
сования, 306
Расстояния перестройки генома, 341
Расстояния планировки сооружений,
280
Расстояния радиосвязи, 357
Расстояния расширения, 72
Расстояния скругления, 304
Расстояния цветовых компонент, 302
Расстояния, связанные с транспортными
средствами, 413
Расстоянная выпуклость, 25
Расстоянное отображение, 35
Расстоянное преобразование, 307
Расстоянно-наследственный граф, 232
Расстоянно-полиномиальный граф, 232
Расстоянно-регулярный граф, 232
Растяжение, 38
Расхождение Дженсена-Шэннона, 221
Расхождение Джеффри, 221
Расчетное минимальное расстояние
Гоппы, 247
Расширенная метрика, 17
Расширенная метрика действительной
прямой, 191
Реберное расстояние, 235
Регулярная G-метрика, 62
Регулярная метрика, 148
Регулярное пространство, 56
Ретракт подграф, 231
Риманова метрика, 46, 116
Риччи-плоская метрика, 119
PH метрическое пространство, 45
Родственные метру термины, 393
Свободное расстояние, 247
Связное метрическое пространство, 23
Связное пространство, 58
Сегментированное отношение сигнал/
шум, 314
Семантическая близость, 322
Предметный указатель
443
Сепарабельное метрическое простран-
ство, 45
Сепарабельное пространство, 57
Сжимающее отображение, 40
Сила метрического пространства, 31
Симметричная /2-мера, 260
Симметричное метрическое прост-
ранство, 37
Симметричное х2-расстояние, 260
Симплициальная метрика, 165
Синтеничное расстояние, 342
Скалярная и векторная метрики, 177
Склонение, 362
Слабая ультраметрика, 20
Словарная метрика, 169
Смерть расстояния, 405
Собственное метрическое простран-
ство, 45
Собственное расстояние, 368
Социальная дистанция, 402
Социо-культурные дистанции Руммеля,
403
Спектральное искажение интенсив-
ность-фаза, 314
Спектральное расстояние Барка, 315
Срединная выпуклость, 25
Срединная ось и скелет, 307
Срединное множество, 34
Среднее хаусдорфово расстояние р-го
порядка, 309
Среднее цветовое расстояние, 301
Среднеквадратическое
логарифмическое спектральное рас-
стояние, 315
Средний молекулярный радиус, 355
Стандартное генетическое расстояние
Нея, 335
Статичная изотропная метрика, 379
Степенное (р, г)-расстояние, 259
Степенное расстояние, 291
Структура метрического конуса, 36
Субъективное расстояние, 411
Суммарное недоминированное отноше-
ние векторов, 274
Суперметрика Де Витта, 127
Суперметрика Кехлера, 144
Суперметрика Лунда-Реджи, 127
Суперметрики в доказательстве Пе-
рельмана, 127
Супружеское расстояние, 344
Сферическая метрика, 102
Схема индексирования расстояний, 234
Сходство, 63
Счетно-нормированное пространство,
59
Технологические расстояния, 404
Тип метрического пространства, 30
Томсоновская метрика частей, 162
Топологическая размерность, 28
Тороидальная метрика, 283
Точное измерение расстояния, 415
Трансакционная дистанция, 406
Убывание расстояния, 419
Угловая полуметрика, 264
Угловое расстояние, 283
Угловое расстояние между подпрост-
ранствами, 198
Укорачивающее отображение, 41
Ультраметрика, 20
Универсальное метрическое простран-
ство, 53
Унитарная метрика, 82
Усеченная метрика, 229
Фактор-метрика, 85
Фактор-полуметрика, 75
Феномены размера-расстояния, 410
Финслерова метрика, 123
Флаговая метрика, 98
Фокусные расстояния, 410
Фонетическое словарное расстояние,
317
Фоновые расстояния, 317
Фотометрическое расстояние, 369
Фрактал, 28
Функция масса-расстояние, 419
Функция расстояния, 34
Хаусдорфова метрика, 48
Хаусдорфово Lp-расстояние, 49
Хаусдорфово расстояние с точностью
до <7, 311
Химическое расстояние, 354
Хордальная метрика, 191
Хроматические числа метрического
пространства, 33
Хэммингова метрика, 47
Хэммингова метрика на перестановках,
186
444
Предметный указатель
Цветовые расстояния, 301
Центральность промежуточности, 321
Циклическая метрика в орграфах, 228
Циклоидальная метрика, 120
Цилиндрическое расстояние, 298
Часовой угол, 362
Частично упорядоченное расстояние, 68
Частичное метрическое пространство,
63
Частичное хаусдорфово квазирасстоя-
ние, 310
Число белковых различий, 339
Число встречи, 31
Число различий, 336
Шаровая выпуклость, 25
Шестиугольная метрика, 285
Шестиугольная хаусдорфова метрика,
289
Широта, 361
Эгоцентрическое расстояние, 411
Эквивалентные метрики, 43
Эквидистантная метрика, 43
Эклиптическая долгота, 362
Эклиптическая широта, 362
Экспоненциальное расстояние, 291
Экстремальная метрика, 151
Эксцентриситет, 32
Элемент наилучшего приближения, 35
Эллиптическая метрика, 103
Эмоциональное расстояние, 402
Эрмитова G-метрика, 62
Эрмитова гиперболическая метрика,
105
Эрмитова метрика, 134
Эрмитова эллиптическая метрика, 104
Эффект символической дистанции, 411
Эффективное метрическое простран-
ство, 54
Эффективное свободное расстояние,
247
Научное издание
Деза Елена Ивановна
Деза Мишель Мари
ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ
СЛОВАРЬ РАССТОЯНИЙ
Перевод с английского языка
Зав. редакцией М.В. Грачева
Редактор Л. В. Филиппова
Художник В.Ю. Яковлев
Художественный редактор Ю.И. Духовская
Технический редактор В.В. Лебедева
Корректоры
З.Д. Алексеева, ГВ. Дубовицкая, Т.А. Печко
Подписано к печати 20.06.2008
Формат 70 х IOOViV Гарнитура Таймс
Печать офсетная
Усл.печл. 36,4. Усл.кр.-отт. 36,8
Уч.-изд.л. 38,0. Тип. зак. 457
Издательство ’’Наука"
117997, Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: secret@naukaran.ru
www.naukaran.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП "Типография "Наука"
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12
АДРЕСА КНИГОТОРГОВЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ
ТОРГОВОЙ ФИРМЫ "АКАДЕМКНИГА" РАН
Магазины "Книга-почтой"
121099 Москва, Шуби некий пер., 6; (код 495) 241-02-52 Сайт: www.LitRAS.ru
E-mail: info@LitRAS.ru
197110 Санкт-Петербург, ул. Петрозаводская, 7 "Б”; (код 812) 235-40-64 ak@akbook.ru
Магазины "Академкнига1* с указанием букинистических отделов
и "Книга-почтой"
690002 Владивосток, Океанский проспект, 140 ("Книга-почтой");
(код 4232) 45-27-91 antoli@mail.ru
620151 Екатеринбург, ул. Мамина-Сибиряка, 137 (’’Книга-почтой”);
(код 343) 350-10-03 Kniga@sky.ru
664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 289 ("Книга-почтой”); (код 3952) 42-96-20 aknir@irlan.ru
660049 Красноярск, ул. Сурикова, 45; (код 3912) 27-03-90 akademkniga@bk.ru
220012 Минск, просп. Независимости, 72; (код 10375-17) 292-00-52, 292-46-52, 292-50-43
www.akademkniga.by
117312 Москва, ул. Вавилова, 55/7; (код 495) 124-55-00 (Бук. отдел (код 495) 125-30-38)
117192 Москва, Мичуринский проспект, 12; (код 495) 932-74-79
127051 Москва, Цветной бульвар, 21, строение 2; (код 495) 621 -55-96
(Бук. отдел)
117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90; (код 495) 334-72-98
105062 Москва, Б. Спасоглинищевский пер., 8 строение 4; (код 495) 624-72-19
(Бук. отдел)
630091 Новосибирск, Красный проспект, 51; (код 383) 221-15-60 akademkniga@mail.ru
630090 Новосибирск, Морской проспект, 22 (“Книга-почтой”);
(код 383) 330-09-22 akdmn2@mail.nsk.ru
142290 Пущино Московской обл., МКР "В", 1 ("Книга-почтой”);
(код 49677) 3-38-80
191104 Санкт-Петербург, Литейный проспект, 57; (код 812) 272-36-65 ak@akbook.ru
(Бук. отдел)
199034 Санкт-Петербург, Васильевский остров, 9-я линия, 16;
(код 812) 323-34-62 (Бук. отдел)
634050 Томск, Набережная р. У шайки, 18;
(код 3822) 51-60-36 akademkniga@mail.tomsknet.ru
450059 Уфа, ул. Р. Зорге, 10 ("Книга-почтой"); (код 3472) 23-47-62,
23-47-74 UfaAkademkniga@mail.ru
450025 Уфа, ул. Коммунистическая, 49; (код 3472) 72-91-85 (Бук. отдел)
Коммерческий отдел, Академкнига, г. Москва
Телефон для оптовых покупателей: (код 495) 241-03-09
Сайт: www.LitRAS.ru
E-mail: info@LitRAS.ru
Склад, телефон (код 499) 795-12-87
Факс (код 495) 241-02-77
По вопросам приобретения книг
государственные организации
просим обращаться также
в Издательство по адресу:
117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90
тел. факс (495) 334-98-59
E-mail: initsiat@naukaran.ru
www.naukaran.ru
DICTIONARY OF
DISTANCES
Elena DEZA
Michel Marie DEZA
ISBN 978-5-02-036043-3

9
785020
360433
NAUKA