/
Автор: Радославова Т.В. Холщевникова Н.Н.
Теги: анализ математика математический анализ естественные науки лекции по математике точные науки
Год: 2012
Текст
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Том I
Москва 2012 год
УДК 517.
Рецензент — Доктор физико-математических наук,
профессор В. М. Тихомиров
ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКО-
МУ АНАЛИЗУ. Том I. / Под редакцией Т. В. Радославовой,
Н. Н. Холщевниковой.- М.: Издательство попечительского совета
механико-математического факультета МГУ, 2012 - 304 с.
Книга - результат обработки конспектов лекций по математическому
анализу профессора С. Б. Стечкина, прочитанных на механико-матема-
тическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова в 1967 - 1969 годах -
в пору расцвета механико-математического факультета - и получивших
высокую оценку его слушателей. Книга предназначена для преподава-
телей и студентов, изучающих математический анализ и, несмотря на
давность лет, может вызвать значительный интерес.
Напечатано по инициативе кафедры математического анализа
механико-математического факультета МГУ при поддержке меха-
нико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.
©Механико-математический
факультет МГУ, 2012 г.
Сергей Борисович Стечкин. Рисунок В. И. Бердышева.
3
Предисловие
Несколько лет назад на кафедре математического анализа механи-
ко-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова было
высказано пожелание издать лекции лучших лекторов прошлых
поколений, читавших на кафедре курсы математического анали-
за, в том числе лекции выдающегося математика и замечательного
лектора профессора Сергея Борисовича Стечкина.
Раскрытие перед слушателями логики и перспектив развития
математического знания, обращение к литературным афоризмам,
меткие выражения, подчеркивающие смысл обсуждаемых понятий
и доказательств, выделяли эти лекции из других курсов.
Данный текст появился из расшифровки и минимального редак-
тирования студенческих конспектов А. Б. Кукаркина, Б. С. Стеч-
кина и Н. Н. Холщевниковой. Прочитали текст и сделали много
полезных замечаний В. С. Панферов и И. Г. Царьков. Подготови-
ли рисунки А. С. Кочуров и Ю. В. Малыхин. Оказали техническое
содействие и помощь в применении системы ТрХ А. С. Кочуров,
Ю.В. Малыхин и А. С. Стечкина. Любезно предоставил для печа-
ти свой рисунок В. И. Бердышев (см. с. 3).
Все мы благодарны за внимание к работе и поддержку и. о. дека-
на механико-математического факультета МГУ профессору
В.Н. Чубарикову, профессору Т.П. Лукашенко и многим другим
сотрудникам кафедры математического анализа.
Разделы в основном определены лектором. В сносках помеще-
ны замечания и комментарии редакторов, а также некоторые из-
речения лектора. Нумерация сносок своя внутри глав. Нумерация
рисунков сквозная внутри главы с указанием номера главы, напри-
мер, рис. 3.8 - это восьмой рисунок в третьей главе.
Т. В. Радославова, Н.Н. Холщевникова
4
Оглавление
Часть I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 13
Глава 1. Основные понятия 14
§ 1. Множества.................................... 14
§ 2. Логические символы........................... 18
§ 3. Понятие функции.............................. 20
3.1. Определение функции...................... 20
3.2. Образование понятия функции.............. 21
3.3. Исторические замечания................... 21
3.4. Примеры элементарных функций............. 21
3.5. Способы задания функции.................. 22
3.6. Действия над функциями................... 23
3.7. Обратная функция......................... 24
3.8. Сложная функция ......................... 26
3.9. Элементарные функции..................... 27
§ 4. Отображения.................................. 28
Глава 2. Числовая прямая 30
§ 5. Действительные числа......................... 30
5.1. Свойства рациональных чисел ............. 30
5.2. Множество действительных чисел....... 31
5.3. Простейшие множества действительных чисел 32
§ 6. Принцип непрерывности (различные формулировки ) 33
6.1. Теорема отделимости.................. 33
6.2. Принцип непрерывности Вейерштрасса .... 33
6.3. Принцип непрерывности Кантора........ 35
§ 7. Мощность множества действительных чисел..... 35
5
Глава 3. Теория пределов 38
§ 8. Точечные множества на числовой прямой........ 38
§ 9. Пределы ..................................... 39
§ 10. Свойства пределов .......................... 43
10.1. Теоремы о пределах...................... 43
10.2. Действия над пределами.................. 44
§ 11. Признаки существования предела функции...... 46
11.1. Односторонние пределы................... 46
11.2. Оценочный признак....................... 46
11.3. Предел монотонной функции............... 48
11.4. Число е................................. 49
§ 12. Пределы по Коши и по Гейне.................. 50
12.1. Последовательность Гейне................ 50
12.2. Предел функции по Гейне
(секвенциальное определение)............ 51
12.3. Пример 1пи(1 + хД =е.................... 52
12.4. Предел сложной функции.................. 53
§ 13. Критерии существования пределов............. 54
13.1. Дополнения к принципам непрерывности ... 54
13.2. Компактность............................ 55
13.3. Лемма Гейне - Бореля.................... 56
13.4. Критерии существования пределов......... 57
13.5. Критерий Коши существования предела
функции................................. 59
§ 14. Порядки бесконечно малых.................... 60
Глава 4. Непрерывные функции 62
§ 15. Непрерывные функции в точке. Точки разрыва ... 62
15.1. Непрерывность функции в точке........... 62
15.2. Точки разрыва функции................... 63
15.3. Колебание функции в точке............... 65
15.4. Точки разрыва монотонной функции........ 66
15.5. Примеры разрывных функций .............. 67
15.6. Секвенциальное определение
непрерывности функции................... 68
§ 16. Действия над функциями, непрерывными в точке . . 69
16.1. Простейшие свойства функций, непрерывных
в точке................................. 69
6
16.2. Действия над функциями, непрерывными в
точке........................................ 69
16.3. Теорема о непрерывности сложной функции . 70
§ 17. Функции, непрерывные на множестве............... 72
§ 18. Свойства функций, непрерывных на множестве ... 73
18.1. Связность (линейная)................. 73
18.2. Непрерывный образ отрезка............ 76
18.3. Непрерывность обратной функции....... 79
§ 19. Непрерывность элементарных функций.............. 82
19.1. Показательная функция................ 82
19.2. Непрерывность простейших
элементарных функций.................. 84
§ 20. Равномерная непрерывность....................... 85
Часть II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 88
Глава 5. Дифференцирование функций 89
§21. Понятие производной............................. 89
§ 22. Правила дифференцирования....................... 93
22.1. Дифференцирование - линейная операция . . 93
22.2. Геометрический смысл дифференцируемости . 93
22.3. Механический смысл производной......... 94
22.4. Правила дифференцирования.............. 95
22.5. Инвариантность формы дифференциала
первого порядка......................... 98
22.6. Дифференцируемость обратной функции ... 98
§ 23. Производные элементарных функций ............... 99
§ 24. Производная n-го порядка........................101
24.1. Производные высших порядков.................101
24.2. Дифференциалы высших порядков...............103
24.3. Механический смысл второй производной . . . 104
§ 25. Теоремы о конечных приращениях..................104
§ 26. Правила Лопиталя ...............................109
§27. Формула Тейлора.................................110
27.1. Формула Тейлора для многочлена..............110
27.2. Локальная формула Тейлора
с остаточным членом в форме Пеано.......112
7
27.3. Замечание о единственности многочлена
Тейлора......................................114
27.4. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа.............................114
27.5. Сравнение формул Тейлора с остаточными
членами в форме Пеано и Лагранжа.............116
27.6. Запись формулы Тейлора
через дифференциалы..........................117
27.7. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Коши.................................118
27.8. Частные случаи формулы Тейлора.........118
Глава 6. Исследование функций
при помощи производных 120
§ 28. Условие постоянства функции................120
§ 29. Условие монотонности функции...............121
§ 30. Экстремумы и строгие экстремумы функции....123
§31. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба . 127
31.1. Выпуклость и вогнутость в точке........128
31.2. Выпуклость и вогнутость на интервале .... 131
§ 32. Абсолютный экстремум.......................133
Глава 7. Дифференциальная геометрия 134
§ 33. Вектор-функции.............................134
33.1. Предел и непрерывность.................134
33.2. Дифференцирование вектор-функций.......136
33.3. Формула Тейлора для вектор-функции .... 137
§ 34. Понятие кривой.............................138
34.1. Элементарная кривая....................139
34.2. Касательная к кривой...................140
34.3. Соприкасающаяся плоскость .............142
34.4. Нормальная параметризация..............144
34.5. Кривизна...............................144
34.6. Круг кривизны .........................146
34.7. Кручение кривой........................147
8
Часть III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ 149
Глава 8. Неопределенный интеграл 150
§35. Первообразная...............................150
35.1. Задача нахождения функции
по ее производной............................150
35.2. Понятие первообразной...................153
§ 36. Основные свойства неопределенного интеграла .... 157
Глава 9. Определенный интеграл 160
§ 37. Определенный интеграл Римана ...............160
§ 38. Функции, интегрируемые по Риману............163
§ 39. Классы интегрируемых функций................173
§40. Свойства интеграла Римана...................178
40.1. Интеграл как функция отрезка
интегрирования...............................178
40.2. Интеграл как функционал.................179
40.3. Интеграл, как функция верхнего предела
интегрирования...............................183
§41. Вычисление определенных интегралов..........186
41.1. Добавление к теории неопределенных
интегралов...................................186
41.2. Основная формула интегрального исчисления 187
41.3. Основные методы интегрирования..........188
Глава 10. Приложения интегрального исчисления 191
§42. Вычисление площади..........................191
§ 43. Формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме.............................192
§44. Квадратурные формулы (формулы для вычисления
определенных интегралов).........................194
44.1. Формула прямоугольников.............195
44.2. Формула трапеций .......................195
44.3. Формула парабол (формула Симпсона) .... 198
§45. Длина кривой............................199
45.1. Функции ограниченной вариации (функции с
ограниченным изменением)............199
45.2. Спрямляемые кривые..................201
9
45.3. Задача о выражении длины кривой
интегралом............................204
45.4. Дифференциал дуги.....................206
§ 46. Различные приложения интегрального исчисления . . 207
46.1. Объем тела вращения ..................207
46.2. Поверхность тела вращения.............208
46.3. Работа силы...........................209
46.4. Статический момент кривой.............209
46.5. Центр тяжести материальной кривой.....210
Часть IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 211
Глава 11. Функции многих переменных 212
§47. Метрическое пространство..................212
§48. Множества в метрических пространствах.....216
48.1. Окрестность точки
в метрическом пространстве............216
48.2. Открытые и замкнутые множества
в метрическом пространстве............219
48.3. Объединение и пересечение открытых
и замкнутых множеств..................221
§ 49. Отображение метрических пространств.......222
49.1. Предел последовательности.............222
49.2. Предел отображения....................224
§ 50. Непрерывность.............................231
50.1. Непрерывность функции в точке.........231
50.2. Непрерывность функции на множестве .... 232
50.3. Непрерывные отображения
метрического пространства в евклидово .... 233
§51. Компактность..............................234
51.1. Относительная компактность............234
51.2. Компактность и замкнутость............236
51.3. Пересечение компактных множеств.......237
51.4. Компактные множества
в евклидовых пространствах............238
§ 52. Непрерывность и компактность..............242
52.1. Сохранение компактности
при непрерывном отображении...........242
10
52.2. Равномерная непрерывность.............243
52.3. Непрерывность обратного отображения .... 244
§ 53. Связность.................................245
53.1. Определения...........................245
53.2. Связные множества на числовой прямой . . . 246
53.3. Связность и непрерывность.............247
Глава 12. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных 249
§ 54. Производные и дифференциалы первого порядка . . 250
54.1. Частные производные .......................250
54.2. Дифференциал первого порядка функции
многих переменных..........................251
54.3. Частные производные сложной функции . . . 256
54.4. Дифференциал вектор-функции ...............257
54.5. Дифференцирование сложной функции .... 259
54.6. Инвариантность формы дифференциала
первого порядка............................261
54.7. Дифференциал сложного отображения .... 262
54.8. Непрерывная дифференцируемость ............262
§ 55. Производные и дифференциалы высших порядков . . 263
55.1. Теоремы о смешанных производных......263
55.2. Дифференциалы высших порядков
(для скалярных функций)..............266
§ 56. Формула Тейлора для функции многих переменных . 268
56.1. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа.....................268
56.2. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа, случай п = 1 ............271
56.3. Экстремумы функций многих переменных . . 272
§ 57. Неявные функции................................274
57.1. Теоремы о неявных функциях для случая
одного уравнения.................................274
57.2. Теоремы о неявных функциях
для систем уравнений ............................278
§ 58. Дополнение к теории экстремума
функций многих переменных........................284
58.1. Условный экстремум.........................285
58.2. Метод множителей Лагранжа..................286
11
58.3. Достаточные условия экстремума
неявной функции.........................289
58.4. Дополнения к достаточным условиям
абсолютного экстремума..................290
58.5. Функциональная зависимость..............291
12
Часть I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
13
Глава 1
Основные понятия
Лекция 1
(06.09.67)
Что такое математика?
Можно выделить следующие этапы развития математики:
а) период возникновения;
б) период элементарной математики;
в) период изучения постоянных математических объектов;
г) период математики переменных величин;
д) период современной математики.
’’Математика есть наука о пространственных формах и количест-
венных отношениях действительного мира.’’(Энгельс)
’’Метод математики есть метод абстракции.’’(Энгельс)
Классический математический анализ - метод изучения перемен-
ных величин (изображение и исследование функций). Что значит
их изучать?
1. Уметь изобразить функцию.
2. Уметь исследовать функцию.
Рекомендованная литература: [10], [11].
§ 1. Множества
Под понятием множества подразумевается коллективизация эле-
ментов. Природа элементов безразлична. Мы будем рассматривать
14
множества, входящие в уже определенное нами множество Е. Мно-
жества состоят из элементов (а е Е). Элементы множества раз-
личимы, т. е. а = b означает, что а и b - один и тот же элемент
множества. Если эти элементы разные, то а b. А С В озна-
чает, что все элементы множества А принадлежат множеству В.
Множество всех подмножеств множества Е будем обозначать
= {А} = М.
Если множества А и В входили в Е , то в множестве они
будут элементами: А е Т(Е) , В е Т(Е) .
Итак, пусть А С Е, В С Е. Простейшее отношение между
А и В - отношение включения А С В . То, что А С В - это
либо верно, либо неверно. Пусть имеется множество М и элемен-
Рис. 1.1. А С В .
ты х е М , у е М . Рассмотрим множество упорядоченных пар
{(х, у)} = М2 . Отношение есть отображение множества упорядо-
ченных пар в двухэлементное множество {0,1} . Задать отноше-
ние - задать подмножество N во множестве упорядоченных пар.
Отношение - подмножество множества пар элементов некоторого
множества .
Р Для иллюстрации отношения "меньше" ( х < у ) можно рассмотреть при-
мер отношения "меньше" между числами из отрезка {0 < х < 1} . Для этого
возьмем квадрат {0 < х < 1} х {0 < у < 1} с диагональю, соединяющей точки
(0,0) и (1,1), в котором в качестве множества N взят нижний треугольник.
При отношении включения между подмножествами прямой в качестве М
15
Символом 0 будем обозначать пустое множество. 0 С Л для
любого множества А.
Отношение включения транзитивно: если А С В , а В С С, то
ЛсС.
Равенство множеств Л = В означает, что множества А и В
состоят из одних и тех же элементов, т. е. одновременно Л С В и
В С А.
Операции над множествами (см. рис. 1.2).
Объединение множеств Л и В : Л |J В .
Пересечение множеств Л нВ: Л Q В .
Симметрическая разность множеств Л и В : ЛАВ - совокуп-
ность элементов, принадлежащих либо Л , но не В , либо В , но не
Л.
Рис. 1.2. Объединение, пересечение и симметрическая разность
множеств.
Все эти операции коммутативны.
Справедливо соотношение: Л |J В = (Л Q В) |J (ЛАВ) .
Лекция 2
(08.09.67)
п
Пусть даны множества Л1, Л2,..., Ап ; их объединение |J Ai есть
i=l
множество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит
нужно взять множество подмножеств прямой, a N - множество тех пар под-
множеств, которые и связаны отношением включения в обычном смысле. Это,
естественно, не облегчает понимание включения, но вписывается в схему отно-
шения. Об отношении смотри в [4]. (Ред.)
16
п
хотя бы одному из Ai , а пересечение Q Ai есть множество эле-
г=1
ментов, каждый из которых принадлежит всем Ai .
Пусть имеются два множества А и В.
Рис. 1.3. Разность множеств.
Определение. Разностью А\В называется множество таких
элементов из А , которые не принадлежат В .
Разность множеств не коммутативна.
Справедливо соотношение:
AAB = (A\B)|J(B\A).
ЛсВ означает, что = А^\В = А (рис. 1.1).
Свойства отношений:
-4U(snc) = C4UB)n(-4U<-)'
-*п(^ио
Допустим, что множество Е зафиксировано и А С Е .
Определение. Дополнение СА множества А - это совокупность
тех элементов из Е , которые не входят в А .
Должно быть известно, относительно какого множества берется до-
полнение, например, С еА - дополнение А относительно Е .
Свойства дополнения:
ССЛ = Л;
17
А С В означает, что A Q СВ = 0 или (СЛ) В = Е ;
С (a U в) = (CA)Q(CB);
c(aQb) = (CA)IJ(CB).
§ 2. Логические символы
Теперь мы будем рассматривать различные высказывания А, В ,
.... Высказывание - это такая величина, которая может прини-
мать два значения: либо И - истина, либо Л - ложь. Например,
{2<3} = И- верное высказывание; {1>2} = Л- ложное
J {2 < 3} ( .
высказывание; < А Л - новое (ложное) высказывание.
L 1Л Л/
Высказывание “Л или В” будем записывать А \/ В ; высказыва-
ние верно, если верно хоть одно из А и В . “Либо” и “или” - разные
вещи.
“А либо В” - не одновременное выполнение Л и В . “Л и В”
будем записывать Л А В .
Таблица истинности.
А в A VB АлВ А - В А - В А
И и И И И И Л
л и и л и л И
и л и л л л
л л л л и и
Л В мы называем следованием: ’’если Л, то В ”. Высказы-
вание Л =+ В верно, если левая и правая части истинны, или левая
часть неверна. При обычном употреблении этой операции между
посылкой и заключением подразумевается логическая, доказатель-
ная или причинная связь. Здесь мы пользуемся таблицей истин-
ности, поэтому, например следование {1 < 2} {тг < 4} является
истинным высказыванием 2) . Понятие следования определено для
любых значений Л (и истина и ложь).
2) В [7] на с. 20 приведен пример истинного сдедования: если 1 + 1 = 2 ,
то Париж есть столица Франции. В [7] также обсуждается истинностно-
функциональная операция следования (Ред.)
18
А о В означает эквивалентность. А эквивалентно В , если они
или оба истинны или оба ложны.
А означает отрицание А . А о А - отрицание отрицания рав-
носильно исходному высказыванию.
= - равносильность. С = D , если С О D есть истина при
любых значениях элементарных высказываний, которые входят в
данные высказывания С и D .
Правила отрицания:
А\/ В = А/\ В;
АлВ = А V В.
Пусть высказывания А(х) строятся с помощью элементов х из
некоторого множества М - поля высказываний и, в зависимости
от х , принимают истинное или ложное значения. Если х пробе-
гает все элементы М , получаем предикат высказывания А. При
этом множество М разбивается на два подмножества Р и Q такие,
что Р QQ = 0 , F|JQ = M. Если х Е Р, то А(х) = И, если
х е Q , то А(х) = Л. Таким образом, предикату соответствует об-
ласть истинности Р. Если предикат зафиксирован, то для х Е Р
высказывание истинно. И обратно, если известна область истинно-
сти Р , то известно, для каких х высказывание верно, а для каких
нет.
Пусть, например, А(х) V В(х) = С(х) . Тогда РаС М, Рв С М ,
и Р с = Ра U Р в •
Аналогично,
если А(х) А В(х) = С(х), то Ра П Рв = Рс ;
если А(х) В(х) = С(х) , то Ра С Рв ;
если {А(х) о В(х)} = С(х) , то Ра = Рв ;
если имеем А(х) , то = С Ра •
V - квантор “для всех”. V х А(х) означает: для всех х имеет
место высказывание А(х).
3 - квантор “найдется, по крайней мере, один такой, что”, т. е.
“существует”. Эх А(х) означает: существует х, для которого имеет
место высказывание А(х). Т. е. найдется х , для которого А(х) = И .
Квантор из предиката образует высказывание, например,
\/х А(х) = Эх А(х); Эх А(х) = V.T А(х).
19
Пример геометрической интерпретации предиката. Пусть
есть высказывание А(х,у) (рис. 1.4). Рд - область истинности вы-
сказывания А - это множество в поле высказываний, для эле-
ментов которого высказывание А(х, у) истинно, т. е. V (х, у) Е Ра
А(х,у) = И. Построим новое высказывание В(х) = {Зу А{х^у)} .
Тогда проекция множества Ра на ось Ох будет область истинно-
сти Рв высказывания В .
Р1з
Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация предиката.
Лекция 3
(13.09.67)
§ 3. Понятие функции
3.1. Определение функции
Будем обозначать R - множество действительных чисел, С - мно-
жество комплексных чисел.
Пусть задано числовое множество X С R. Если каждому чис-
лу х из X поставлено в соответствие действительное число у , то
говорят, что на X задана функция со значениями в R:
\/х Е X х -Е у Е R.
“На” X значит: “для каждой точки” из X . “В” R значит, что мно-
жество тех у , которые соответствуют х , вообще говоря, всего мно-
жества действительных чисел не исчерпывает.
20
Мы определили однозначную функцию, т. е. функцию, для которой
каждому х соответствует только один элемент у . Будем говорить,
что
X - область определения функции;
х - аргумент или независимая переменная;
у - значение функции или зависимая переменная.
Множество значений функции будем обозначать через Y .
Две функции совпадают, если совпадают их области определе-
ния и законы соответствия.
Примеры. Функция у = х1 2 3 , определенная на множестве С R :
^л = {0<ж<1},и функция у = х2 , определенная на множе-
стве { — 1 < х < 1} = Х% , не совпадают, а функции у = |х| для
любого х , и у = yfx2 для любого х , совпадают, хотя алгоритмы
вычисления их значений различны.
Функцию можно обозначать по-разному, например,
у = f{x); и = ft; U = u(s).
3.2. Образование понятия функции
Понятие функции образовалось при отвлечении от физического
смысла причинной связи.
3.3. Исторические замечания
Понятие функции исторически расширялось. Функция есть соот-
ветствие, а не формула. Понятие функции использует понятие чис-
лового подмножества X и понятие соответствия, при этом не для
каждой функции можно указать аналитическое выражение. Ма-
тематический анализ выделяет из общего понятия функции такие
классы функций, которые можно изучать.
3.4. Примеры элементарных функций
1) у = х (х Е R);
2) у = а , (х е R) , а = const;
3) У = Уп (п = 1,2,...) (последовательность или функция на-
турального аргумента).
21
3.5. Способы задания функции
а) Аналитический способ. Функция, заданная аналитическим
выражением, считается заданной на всей области определения. На-
пример, выражением у = х+1 задается функция для любого дей-
ствительного х; выражением у = задается функция на множе-
стве R\ {1} . Функция определяется аналитическим выражением,
но не является им.
б) Задание словесной формулировкой, описание правила
соответствия.
в) Параметрический способ задания:
( Ж = где tercR.
I У = 5W,
При ЭТОМ ДЛЯ любых ^1,^2 £ Т , для которых /(й) = /(^2) , должно
выполняться условие = р(^) • Иначе функция будет неодно-
значной. Поэтому пара параметрических функций, вообще говоря,
функцию не определяет.
Пример функции, заданной параметрически:
г) Неявное задание посредством уравнения F(x, у) = 0.
Уравнение F(x,y) = 0 определяет функцию, если для всех х е X
это уравнение имеет единственное решение.
д) Комбинированный способ задания функции. Разбиением
X = U Xi называется такая система подмножеств множества X ,
что объединение всех подмножеств есть X , и для любых г , J ,
г J , Xi р| Xj = 0 .
Функция будет определена на всем X , если она будет определена
на каждом из подмножеств, входящих в разбиение X .
Упражнение. Найти формулу, задающую ломаную, линейную на
каждом заданном отрезке (см. рис. 1.5).
е) Функцию можно задать графически. Рассмотрим всевоз-
можные пары чисел (х, у) . Это будет плоскость 1 х R = R 2 .
Для графического определения функции, определенной на множе-
стве X С R, надо задать подмножество М С R 2 , причем в каче-
22
Рис. 1.5. Найти формулу.
стве первого элемента пары из М число х Е X должно встречать-
ся только один раз. Такую пару будем называть функциональной, а
множество М униформным (однозначным) множеством (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Униформное множество.
3.6. Действия над функциями
Все функции, над которыми мы производим арифметические дей-
ствия сложения, вычитания, должны быть определены на одном и
том же множестве X . Множество всех функций, заданных на X ,
образует кольцо функций. Их можно складывать, вычитать, пере-
множать:
f + д = h!, f - д = h2, f • д = h3 .
23
Деление определяет новую функцию = F . Эта функция, вообще
говоря, определена на новом, более узком множестве
*Г|{Щ) 0} .
Множество всех функций, заданных на фиксированном множестве
X , образует кольцо, но не образует поля.
Лекция 4
(15.09.67)
3.7. Обратная функция
При определении обратной функции мы отказываемся от понятия
однозначности.
Рис. 1.7. Многозначная функция.
Пусть задано множество X С R. Если каждому х е X поставле-
но в соответствие множество М действительных чисел (М С R,
М 0), то мы говорим, что на множестве X определена мно-
гозначная функция М = F(x) , х е X (рис. 1.7). Функция будет
24
неоднозначной, если хотя бы одному х из X соответствует более
одного значения у.
Определение. Пусть на множестве X С R задана многозначная
функция М = F(x) (х е X). Однозначная функция у = /(ж)
называется однозначной ветвью функции М F(x). если для всех
х из X f(x) е F(x) (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Однозначная ветвь многозначной функции.
Определение. Пусть на множестве X С R задана функция
у = f (ж) . Обозначим через Y = f(X), Y С R, область значе-
ний этой функции. Тогда обратной функцией (рис. 1.9) к функции
/(х) называется следующая многозначная функция, определенная
на множестве Y : для всех у Е Y в качестве значений этой функ-
ции берется множество всех х Е X , для которых /(х) = у , т. е.
у {х е X : f(x) = у} .
-1
Обратную к /(х) функцию будем обозначать f (?/) . Обратная фун-
кция будет однозначной, если для всех х, xf Е X таких, что
25
Рис. 1.9. Обратная функция.
X х', /(ж) / f(x').
3.8. Сложная функция
Под сложной функцией понимают функцию от функции или су-
перпозицию (композицию) функций.
Определение (простейший случай). Пусть на множестве X из
R определена функция у = /(х) . Пусть /(X) - область значений
функции / и /(X) С К CR. Пусть на множестве Y задана функ-
ция z = д(у) (у е У). Новое соответствие
называется сложной функцией z = = G(x), которая вновь
определена на множестве X . Можно обозначать сложную функ-
цию д О /(х).
Рис. 1.10. Композиция отображений.
Более общее определение сложной функции. Пусть функция
у = /(х) определена на множестве X . На множестве У определе-
на функция z = д(у). Если у, в который х переведен функцией
26
f , принадлежит Y , то мы можем построить сложную функцию
z = #(/(#)) , если нет, то мы такой функции построить не можем.
Сложная функция определена для тех х , для которых /(х) е Y .
С-1 1
Если у е f(X) Р|У , то </(?/)>= Xi (рис. 1.11). Таким образом,
область определения сложной функции z = #(/(#)) есть множе-
ство
Х1 = 7(/(Х)р|У).
Рис. 1.11. Область определения сложной функции.
3.9. Элементарные функции
Простейшие элементарные функции:
- рациональная функции;
2) ха - степенная функция;
3) ах - показательная функция, а > 0 , а ф 1;
4) loga х - логарифмическая функция , а > 0 , а 1;
5) тригонометрические функции: sinx ,..., cosecх ;
6) обратные тригонометрические функции: arcsinx ,....
27
Определение. Элементарной функцией называется такая функ-
ция, которая получается из простейших элементарных функ-
ций путем конечного числа арифметических действий и операций
образования сложной функции.
Областью определения элементарной функции считается область
определения ее аналитического выражения.
§ 4. Отображения
Пусть даны два произвольных множества Л и В и пусть для любого
х е А определено соответствие /: каждому х е А поставлен в
соответствие элемент у е В . Тогда мы имеем отображение Ав В:
\/х е А х у = f (х) е В.
Рассмотрим Ai С А и множество всех тех {/(х)} , для которых х
пробегает все элементы А± : |J {/(ж)} = /(Ai) ; /(Ai) - образ
множества А\ при отображении / .
Отметим следующие свойства подмножеств и их образов:
/(A1|jA2) = /(A1)U/(A2);
/(A1p|A2)c/(A1)Q/(A2).
Отображение f есть отображение на В , если образ всего А есть
все В .
Отображение f множества Л на В называется взаимно однознач-
ным, если обратное отображение однозначно.
Если существует взаимно однозначное отображение множества А
на множество В , то эти множества называются равномощными,
обозначается А ~ В . Мощность множества - это обобщение чис-
ла, количества элементов множества.
Определение. Множество называется счетным, если оно равно-
мощно множеству натуральных чисел N = {l,2,...n,...} .
Существуют несчетные множества. Множество несчетно, если его
элементы нельзя перенумеровать. Бесконечные множества могут
состоять из разного количества элементов, могут быть разной
мощности.
28
Теорема (Канторова диагональ). Множество М, состоящее
из всех последовательностей М = {(б1,62, ^2, •••)} ? г^е либо О,
либо 1, несчетно.
Доказательство. Мы должны показать, что нельзя получить
взаимно однозначного соответствия между М и множеством нату-
ральных чисел. Допустим, что мы нашли это взаимно однозначное
соответствие:
1) Ы'М11.....
2) K2’.=i21.
Составим последовательность (щ, 772,...) £ М таким обра-
зом, что 771 , Т]2 ф -> " г1п / • Тогда эта
последовательность не совпадает ни с какой последовательностью,
которые мы перенумеровали. Таким образом, мы построили эле-
мент из М , отличный от всех перечисленных. Но это противоречит
нашему предположению, что элементы множества М можно пере-
нумеровать. Следовательно, множество М несчетно. ►
Свойство подмножеств счетных множеств. Всякое подмно-
жество счетного множества либо конечно, либо счетно.
Доказательство. Пусть А = { ап } - счетное множе-
ство и В С А. Начнем перебирать элементы множества А. Пусть
аП1 - элемент с наименьшим номером из А , который принадлежит
также и множеству В , назовем его первым в В : Ь± = аП1 . Затем
найдем элемент аП2 , принадлежащий В , с наименьшим номером
П2 > Hi , который назовем вторым: &2 = &П2 ? и так далее. Каждый
элемент из В встретится на некотором шаге, так как В С А , и все
элементы из В окажутся перенумерованными 3) . ►
3) При доказательстве используется вполне упорядоченность множества на-
туральных чисел и утверждение, что всякое ограниченное подмножество нату-
ральных чисел конечно. (Ред.)
29
Глава 2
Числовая прямая
Лекция 5
(20.09.67)
§ 5. Действительные числа
Через N, Z, Q, R обозначают множества натуральных, целых,
рациональных и действительных чисел, соответственно. Понятие
числа и множества чисел развивалось исторически в следующем
направлении расширяясь:
N Z Q R.
Переход от N к Z добавляет в множестве чисел операцию вы-
читания, от Z к Q - операцию деления и от Q к R - полноту
множества действительных чисел, что дает возможность измерения
длин произвольных отрезков.
5.1. Свойства рациональных чисел
I. Q есть поле с обычными операциями сложения и умноже-
ния.
II. Упорядоченность (линейная упорядоченность). В поле Q
задано бинарное отношение: < , < , > , > . Отношение нестрогого
30
неравенства определено для любых а, & 6 Q . Это означает, что Q
обладает полной упорядоченностью:
1. V а , b е Q или а < b , или b < а .
2. а <6 и Ъ < а тогда и только тогда, когда а = b .
Определение строгого неравенства. Если а <Ъ и а b , то
а < b .
3. Если а <Ь иЬ<с, то а<с.
4. Если а < b , то а с < Ь+с .
5. Если а > 0 , Ь > 0 , то > 0.
III. Архимедовость. Поле Q рациональных чисел есть архи-
медовски упорядоченное поле: для всякого а > 0 и всякого b > 0
найдется натуральное число п такое, что па > b.
IV’. Неполнота множества рациональных чисел. Между
точками прямой и рациональными числами нет взаимно однознач-
ного соответствия.
Определение. Говорят, что множество Е разбивается на два
подмножества А и В , если Е = AIJ В и Af] В = 0 .
Множество Q можно разбить на два подмножества А и В так,
что для любого а е А и для любого b Е В выполняется нера-
венство а < b, но в А нет наибольшего, а в В нет наименьшего
элемента. Например, можно взять А - множество рациональных
чисел, меньших \/2 , а В - больших \/2 .
5.2. Множество действительных чисел
Поле Q неполное, но может быть пополнено до множества R, ко-
торое обладает кроме свойств I, II, III еще и свойством полноты.
IV. Полнота.
Свойство полноты (принцип непрерывности Дедекинда).
Для любого разбиения R на два непустых подмножества А и В
таких, что для любого а Е А и для любого b Е В выполняется
неравенство а < b, либо существует такой элемент с Е А, что
Ча Е А а < с, либо существует элемент с Е В такой, что
ЧЬЕ В с<Ь.
Такое разбиение R = A |J В , что А 0 и В 0 , называется
сечением в множестве действительных чисел. Принцип Дедекинда
утверждает, что такое сечение всегда будет проведено по действи-
31
л . в
с
---—.....|..............
Рис. 2.1. Сечение в области действительных чисел.
тельному числу (а во множестве рациональных чисел, как было
показано, такие сечения не всегда возможны).
Множество действительных чисел R - это такое расширение по-
ля рациональных чисел, которое обладает свойствами I, II, III, IV.
Таким образом, поле рациональных чисел содержится в качестве
подполя в поле действительных чисел .
Возникает вопрос, нельзя ли дальше расширить множество чи-
сел. Ответ на него зависит от того, все ли свойства I, II, III, IV мы
хотим сохранить. Если все, то ответ отрицательный, если нет - то
расширение возможно:
N^Z^Q^R^C.
При переходе от поля R к полю комплексных чисел С мы теряем
свойство упорядоченности. Для дальнейшего расширения придется
пожертвовать коммутативностью умножения.
5.3. Простейшие множества
действительных чисел
Пусть а,Ь - два действительных числа и а < b . Отметим простей-
шие множества действительных чисел, определяемые при помощи
упорядоченности.
Множество действительных чисел х таких, что а < х < b , называ-
ется отрезком [а, Ь] . Отрезок может вырождаться в точку. Иногда
вместо “отрезок” говорят “сегмент”.
Пусть а < b. Множество действительных чисел х таких, что
а < х < b, называется интервалом (а, Ь) .
Будем рассматривать также полуинтервалы
{а < х < Ь} = [а, Ь), {а < х < Ь} = (а, Ь] .
"Существует ли оно? Опять философия. Здесь мы не доказываем, что мно-
жество действительных чисел существует." (С. Б. С.)
32
Лекция 6
(22.09.67)
§ 6. Принцип непрерывности
(различные формулировки )
6.1. Теорема отделимости
Первая формулировка принципа непрерывности уже была дана
(принцип непрерывности Дедекинда) (см. и. 5.2), но такая форму-
лировка не очень удобна. Мы дадим другие эквивалентные форму-
лировки.
Теорема отделимости. Пусть даны два непустых подмноже-
ства А и В множества действительных чисел. И пусть V а е А
\/Ь е В а < b . Тогда 3 с Е R V а Е A \/b Е В а < с < b .
Доказательство. Построим сечение Ai |J Bi = R . Для этого
определим Bi как множество чисел bi , для каждого из которых
найдется элемент b из В , такой что b <bi . Положим Ai = R\Bi .
Тогда А С Ai , В cBi, ai < bi, если ai Е Ai и bi Е Bi . В силу
принципа непрерывности Дедекинда существует такое число с, что
«1 < с < bi для любых ai Е Ai , bi Е Bi . Отсюда следует, что
а < с < b для любых а Е А , b Е В . ►
Замечание. Теорема справедлива, если строгое неравенство а < b
заменить на нестрогое а < b .
6.2. Принцип непрерывности Вейерштрасса
Определение. Пусть М С R (М 0). Число а Е R называется
верхней границей для множества М , если V а Е М а < а .
Если множество имеет хоть одну верхнюю границу, то оно называ-
ется ограниченным сверху.
Если множество имеет одну верхнюю границу, то оно имеет их бес-
конечно много. Действительно, если а - верхняя граница, то рас-
смотрим {3 > а . Тогда {3 тоже будет являться верхней границей.
Элемент а Е М называется максимальным элементом множества
М , если V а Е М а < а .
Пример. Множество чисел из интервала (а, Ъ) ограничено сверху,
но не имеет максимального элемента.
33
Определение. Верхней гранью 2) числового множества называет-
ся наименьшая из его верхних границ.
Итак, а Е R является верхней гранью множества М , если
1) V а Е М а < а ;
2) V/3 < а За = а (Д) Е М а>/3.
Пример. Для интервала (а, 6) и отрезка [а, Ь] верхней гранью
является число b.
Верхнюю грань а числового множества обозначим а = sup х .
хЕМ
Из определения верхней грани следует такое свойство: если Vх Е М
х < В, то sup х < В .
хЕМ
Аналогично вводится нижняя грань (3, которую обозначим
В = inf х .
хЕМ
Теорема о существовании верхней грани. Всякое непустое
ограниченное сверху числовое множество имеет верхнюю грань.
Доказательство. Рассмотрим множество В , состав-
ленное из всех верхних границ множества М . Тогда V а Е М и
V х Е В а < х . Следовательно, М и В удовлетворяют условиям
теоремы об отделимости, а это значит, что существует такое с , что
VaeMnVxeB а < с < х . Из этого неравенства следует, что
с Е В и что с - наименьшая верхняя граница множества М , т. е.
с = sup х . ►
хЕМ
Теорема единственности. Всякое непустое ограниченное сверху
множество имеет не более одной верхней грани.
Доказательство. Если а и {3 - две верхние грани
некоторого множества и а Д /3 , то или а < (3 , и тогда а не будет
верхней гранью, или (3 < а , и тогда (3 не будет верхней гранью.
Противоречие. ►
Замечание. Если \/а Е A \/Ъ Е В а < b , то sup а < inf b .
аЕА Ь^в
Действительно, каждое b - верхняя граница множества А, и
каждое а - нижняя граница множества В . Тогда а < inf b tl
ъев
sup а < inf b . ►
аЕА Ь^в
2) Часто для верхней (нижней) границы и верхней (нижней) грани использу-
ются и другие названия, например, точная верхняя грань вместо используе-
мого здесь верхняя грань. (Ред.)
34
6.3. Принцип непрерывности Кантора
Определение. Последовательность { [ап, Ьп\ } отрезков, п Е N ,
[an,bn] С R, называется вложенной, если для любого натураль-
ного Ti [czn_|_i, 6п_|-1] CZ .
Как показывает следующая теорема, для вложенной последова-
тельности отрезков найдется, по крайней мере одно, действительное
число, которое принадлежит всем этим отрезкам.
Теорема Кантора (теорема о вложенных отрезках) Пусть
{ [ап, Ьп\} (п 6 N) - система вложенных отрезков.
Тогда Q [ап,Ьп] ф 0, т. е. существует с Е R такое, что
п=1
с Е [ап, Ьп\ для всякого п Е N .
Доказательство. Возьмем в качестве множества
А множество всех ап : А = {ап, п Е N} . Аналогично возьмем
В = {Ъп, п Е N} . Покажем, что для любых пит ап < Ьт .
Пусть п < т, тогда ап < ат , так как отрезок с номером т будет
вложен в отрезок с номером п. Тогда ап < ат < Ьт .
Аналогично рассматривается случай, когда п > т .
Теперь, согласно теореме отделимости (см. замечание к теореме на
с. 33), существует такое действительное число с, что для всех ап
и Ьп ап < с < Ьп . Значит Vn Е N с Е [ап, Ьп\ . ►
Замечание. Пересечение бесконечного числа вложенных интерва-
лов может оказаться пустым. Например, система {(0, } (n Е N )
вложенных интервалов не имеет ни одной общей точки.
§ 7. Мощность множества
действительных чисел
Теорема (о счетности множества рациональных чисел).
Множество рациональных чисел счетно.
Доказательство. Каждому рациональному числу, представ-
ленному в виде несократимой дроби | , где k Е Z , I Е N , поставим
в соответствие элементы вида (к, Г) - упорядоченные пары чисел
(нулю будет поставлена в соответствие пара (0,1)). Множество та-
ких пар равномощно множеству Q и является бесконечным под-
множеством множества всевозможных пар вида (к, /) , где к Е Z,
35
I e N. Расположим последнее множество в бесконечную таблицу
(0,1) (0,2) (0,3)
(-1,1) (-1,2) ....
(1,1) (1,2) ....
В первую строку поместим пары вида (0, /) в порядке возрастания
I. Во вторую строку пары вида (—1, Z), в третью - вида (1, Z) , в
четвертую - вида (—2, Z), и так далее. Все элементы расположим в
строках в порядке возрастания второго числа. Элементы этой таб-
лицы могут быть перенумерованы, например, следующим образом
("по конечным диагоналям”) (см. рис. 2.2): (0,1) - первый эле-
мент, (—1,1) - второй, (0,2) - третий, (1,1) - четвертый, (—1,2)
- пятый, (0, 3) - шестой, и так далее. Таким образом, множество
{(&, Z)} , а вместе с ним и Q - счетно (как бесконечное подмноже-
ство счетного множества). ►
Рис. 2.2. Нумерация элементов таблицы.
Упражнение. Доказать следующие утверждения.
1) Множество всех конечных подмножеств счетного множества
счетно.
2) Множество бесконечных подмножеств счетного множества
несчетно.
36
Теорема (о несчетности континуума). Множество всех дей-
ствительных чисел несчетно.
Доказательство. Докажем теорему методом от противно-
го. Предположим, что все действительные числа перенумерованы:
Hi, а2,ап,... . Построим систему вложенных отрезков ап таких,
что (см. рис. 2.3)
И1 <Т1,
а2 сг2 С ai,
^п+1 ^n+l С &П)
Рис. 2.3. К теореме о несчетности континуума.
По теореме Кантора 3 с У п с е ап . Пусть с = аш для некоторого
т . Тогда ат ат =Ф ат ф с Е ат . Мы пришли к противоречию.
37
Глава 3
Теория пределов
Лекция 7
(27.09.67)
§ 8. Точечные множества
на числовой прямой
Пусть М С R .
Определение. Пусть а - точка на числовой прямой. Окрест-
ностью О (а) точки а называется произвольный интервал (а,/3),
содержащий точку а. Множество Мр|О(«) будем называть пор-
цией множества М .
Определение. Точка а на числовой прямой называется внутрен-
ней точкой множества М , если существует окрестность 0(a) точ-
ки а , целиком лежащая в М : 0(a) С М .
Определение. Точка а на числовой прямой называется внешней
точкой множества М , если найдется такая окрестность 0(a) точ-
ки а , что 0(a) Q М = 0 .
Определение. Точка на действительной прямой называется гра-
ничной точкой множества, если она не является ни внутренней, ни
внешней точкой множества.
Множество всех внутренних точек множества М называется внут-
ренностью Mi этого множества.
38
Внешность множества М - это множество (CM)i - внутренность
дополнения.
Множество граничных точек множества М называется границей
множества М и обозначается дМ .
Определение. Точка а называется предельной точкой множества
М , если пересечение любой окрестности этой точки с М содержит
точку из множества М , отличную от а : 0(a) Р\(М\а) 0 .
М' - совокупность всех предельных точек множества М , называ-
ется производным множеством множества М .
Определение. Точка, принадлежащая множеству, называется изо-
лированной, если она не является предельной точкой, т. е. найдется
такая окрестность 0(a) , что 0(a) (^\(М\а) = 0 .
Если М = Mi , то М называется открытым множеством.
Если М D М', то множество М называется замкнутым.
Примеры. 1) Множество М = {^} , ncN, состоит из изолиро-
ванных точек и имеет предельную точку {0} : М' = {0} .
2) Любой интервал (а, (3) = М является открытым множест-
вом, т. е. М = Mi .
3) Отрезок [а, /3] = М - замкнутое множество, М D М'.
§ 9. Пределы
Пусть М С 1, М 0 , на М задана функция у = f (х) (х е М)
и а - предельная точка множества М .
Понятие предела в точке а характеризует поведение функции
вблизи точки а, но не в самой этой точке. Предел не зависит от
значения функции в точке.
Рис. 3.1. К определению предела.
39
Определение предела функции (окрестностное). Пусть
у = /(х) - числовая функция, определенная на множестве М .
Пусть а есть предельная точка этого множества, а Е М'. Число
А называется пределом функции у = /(х) в точке а , если для
любой окрестности точки А найдется такая окрестность точки а ,
что для всех точек х Е М , входящих в окрестность точки а и
отличных от а , /(х) входит в окрестность точки А, т. е. (рис. 3.1)
V 0(A) 3 0(a) Vх Е М, х Е 0(a), х a, f(x) Е 0(A).
Обозначение предела: lim f (х) = А .
х—>а
Примеры функций, имеющих предел, смотри на рисунках 3.2 и 3.3.
Рис. 3.2. Предел при х -Е а существует.
Пример. Для функции у = sin - (рис. 3.4) никакое заданное число
не является пределом функции в точке 0.
Определение предела по Коши. Число А называется пределом
функции у = f(x) в точке а , если для любого s > 0 найдется
такое 6 > 0 , что для всех х Е М таких, что 0 < |х — а\ < 6,
выполняется неравенство \f(x) — А| < е .
Замечание. Под окрестностью О(+сю) бесконечно удаленной точ-
ки будем подразумевать множество вида {х > а} , под О (—сю) -
множество вида {х < /3} . Определим О(сю) = О(+сю) |J О(—сю) .
40
Рис. 3.4. Никакое число не является пределом функции sin -
в точке 0.
Это позволяет дать определение предела, если функция стремится
к ±сю или к ею , или если х стремится к ±сю или к сю . Напри-
мер, lim /(х) = —сю означает, что VВ > 0 37V Vх Е R , х > N ,
Щ) Х<-В.
Пусть дана функция натурального аргумента, т. е. числовая по-
следовательность {ап} .
Определение. Число А есть предел последовательности {ап} ,
обозначается lim ап = А, если для любого е > 0 найдется такое
п—>ос
натуральное число N = 7V(e) , что для всех п > N \ап — А\ < е .
Замечание. Пусть даны числовая последовательность {ап} и
возрастающая последовательность {mn} натуральных чисел. Бу-
41
дем называть {аГПп} подпоследовательностью последовательности
{ап} . Можно доказать, что если существует lim ап = А , то суще-
ствует равный ему lim аШп = А . Обратное утверждение неверно.
п—>ос п
Упражнение. Доказать утверждения этого замечания.
Под словом ’’критерий” будем подразумевать “необходимое и до-
статочное условие”.
Множество О(а)\а будем называть выколотой окрестностью
точки а .
Лекция 8
(29.09.67)
Пусть /(х) - многозначная функция, заданная на множестве М и
а есть предельная точка этого множества.
Рис. 3.5. Предел многозначной функции.
Определение. Число А называется пределом многозначной функ-
ции f(x) при х а, обозначается lim/(х) = А, если Vs > О
3 5 > О V х Е М , 0 < |х — а\ < д , \/у Е {/(ж)} \у — А| < s.
42
§10 . Свойства пределов
10.1. Теоремы о пределах
Теорема 1. Пусть дана функция у = /(х) , х е М , а Е М' и
существует lim f (х) = А > В . Тогда найдется такая окрест-
х—?а
ность 0(a) точки а, что Vх Е 0(a) Q(M\a) f(x) > В .
У
А
В
~0
Рис. 3.6. К теоремам о пределах, f (х) > В .
Доказательство. Возьмем 0 < so < А — В (рис. 3.6). По
определению предела 3 0(a) Vх Е 0(a) (^\(М\а) \f(x) — А| < so •
Следовательно, f(x) — А > —so и значит, f(x)>B. ►
Аналогично доказывается следующая
Теорема 2. Пусть дана функция у = f(x) , х Е М, а Е М'
и существует lim f(x) = А < С. тогда найдется окрестность
х—?а
0(a) такая, что Vх Е 0(a) (~](М\а) f(x) < С .
Определение. Функция, определенная на множестве М , называ-
ется ограниченной на этом множестве, если множество ее значений
ограничено.
Таким образом, функция на множестве М является ограниченной,
если ЗК > 0 Vx Е М \f (х)| < К .
Теорема 3. Если функция у = ф(х) имеет предел А в точке
а , то существует такая окрестность 0(a) точки а , в которой
функция ограничена на множестве 0(a) (^\(М\а) .
Доказательство. Пусть В < А < С. По теореме 1
и теореме 2 3 0(a) \/х Е 0(a) Q(M\a) В < f(x) < С. Если
f(a) определена, то f(x) ограничена на множестве 0(a) Q М , в
43
качестве К из определения ограниченного множества можно взять
число К = тах{|В|, |С| , |/(а)|} . ►
Замечание. Дальше, вплоть до односторонних пределов, для прос-
тоты обозначений будем считать, что функции определены в окрест-
ности точки а. Формулировки следующих теорем и утверждений
без труда переносятся и на случай пределов в предельной точке
множества определения функции.
Теорема 4 (единственность предела). Если у функции сущест-
вует предел, то он единственен.
Доказательство. Пусть А± А% и оба числа Ai и А% яв-
ляются пределами функции в точке а . Пусть для определенности
Ai < Л.2 . Возьмем С такое, что Ai < С < А^ . Тогда по теоремам
2 и 1 3 01 (a) Vx е ОДа)\а /(х) < С и 3 02(a) Vx Е О2(а)\а
/(х) > С. Возьмем О(а) = ОДа) Р| 02(a) . Тогда Vx Е О(а)\а
/(х) < С и /(х) > С. Противоречие. ►
Теорема 5 (переход к пределу в неравенстве). Пусть в про-
колотой окрестности О(а)\а f(x) > В и lim f (х) = А. Тогда
х^-а
А>В.
Доказательство. Допустим, что А < В . По теореме 2
3 01(a) V.t Е ОДа)\а f(x) < В. Возьмем 02(a) = 0(a) Q ОДа).
Тогда \/х Е Ог(а)\а /(х) > В и /(х) < В . Противоречие. ►
Замечание. При переходе к пределу строгое неравенство может
превратиться в нестрогое.
10.2. Действия над пределами
Определение. Если lim /(х) = 0 , то /(х) называется бесконечно
х^а
малой функцией при х —> a .
Лемма 1. Пусть а(х) и /3(х) - бесконечно малые при х а.
Тогда а(х) + /Дх) - бесконечно малая при х а .
Доказательство. Зададим s > 0 . Тогда найдется окрестность
01(a) такая, что VxG ОДа)\а Д(х)| < | и найдется окрестность
02(a) такая, что \/х Е Ог(а)\а |/3(х)| < | . Возьмем окрестность
0(a) = 01(a) Р| 02(a) . Тогда УжЕ О(а)\а
|а(х) + /3(х)\ < |а(ж)| + |Дх)| < г. ►
44
Свойство 1 (предел суммы). Пусть
lim /(ж) = А , lim р(х) = В .
х^-а х^-а
Тогда
lim (/(ж) + р(х)) = lim /(х) + lim р(х).
х—Ya х^а х^а
Доказательство, /(х) = А + а(х) , где а(х) ч 0 (х —> а) ,
д(х) = В + /3(х) , где /3(х) Д О (х —> а) . Тогда
f (ж) + д(х) = А + В + а(х) + /3(х) = А + В + д(х),
где д(х) = а(х) + /3(х) —> О (х -д а). Следовательно,
lim (/(ж) + р(х)) = lim f (х) + lim д(х). ►
х—Ya х—^а х—^а
Лемма 2. Пусть |/(х)| < К в некоторой окрестности точки а,
а а(х) -д 0 при хча. Тогда f(x) • а(х) -д 0 при х^а.
Доказательство. Пусть функция ограничена в окрестности
01 (а) точки а и е > 0 . По определению бесконечно малой 3 (а)
\/х е Oz(a)\a |а(х)| < . Обозначим 0(a) = Oi(a)Q 02(a) . Тогда
\/.т Е O(a)\a \f (х) • a(x)| < К • = s . ►
Свойство 2 (предел произведения). Если f(x)^A (х а) ,
д(х) -д В (х а), то f(x) • р(х) АВ (х а).
Доказательство, /(х) = А + а(х) , где а(х) -Д 0 (х —> а) ,
д(х) = В + /3(х) , где /3(х) -Д 0 (х -д а) . Тогда
f (х) • д (х) = АВ + А/3(х) + Ва(х) + а(х)/3(х) = АВ + д(ж),
где д(х) -Д 0 (х -д а) . Следовательно, /(х) • р(х) АВ (х а) .
►
Свойство 3 (предел частного). Если f(x)^A {х а) ,
д(х) -д В (х^а), В/0. то -д (х -д а) .
Доказательство. Функция может быть не определена
на множестве 7И, она определена на М Q {д(х) ф 0} . Но д(х) О
в 02(a)\a. Поэтому существует такая порция, где ^у определе-
на, так как |р(ж)| > С > 0, и |^у| < = К. Покажем, что
45
— — —> 0 при х а .
/(^) _ А = Bf(x) - Ад(х)
р(^) В д(х)В
а(х)В — Мх)А / х 1 х
= / хт? = 7(ж) / о 6т -> а),
д(х)В д(х)В
где f (х) = А + а(х) , д(х) = В + /Дх) , д(х) = Ва(х) — А{3(х) О
(х -д а) . ►
§11 . Признаки существования
предела функции
11.1. Односторонние пределы
Определение. А есть предел функции слева, f(x) -д А (х а—0) ,
если в определении предела рассмотреть функцию на множестве
(—сю, а) Р| М . Аналогично, А есть предел функции справа, f(x) -д А
(х —> а + 0) , если рассмотреть функцию на (а, сю) Q М .
Замечание. Можно доказать, что /(ж) -д А (х а) тогда и
только тогда, когда /(х) -д А (х —> а —0) и /(х) -д А (х а + 0) .
Упражнение. Доказать это утверждение.
11.2. Оценочный признак
Теорема (оценочный признак существования предела
функции). Если g(x) < f(x) < h(x) и д(х) -д А при х а,
h(x) -д А при х а , то f(x) -д А при х а .
Доказательство. Возьмем е > 0 . Тогда найдется окрестность
0(a) такая, что \/х е О(а)\а h(x) < А + s , д(х) > А — s . Значит,
Vx е О(а)\а
А — е < д(х) < f(x) < h(x) < А + е ,
откуда следует, что |/(х) — А| < е . ►
Теорема. Первый замечательный предел lim = 1 .
х—>0 х
46
Рис. 3.8. Первый замечательный предел.
Доказательство. Возьмем окружность радиуса 1 и пусть
> х > 0 . Из рассмотрения площадей ДОАВ , кругового сектора
О АВ и AOAD (см. рис. 3.8) следует, что sinx < х < tgx = .
Тогда имеют место соотношения
sinx sinx 1 sinx
< 1 < , cos x < < 1,
x------------------------------------x-cos x-x
„ sinx _ sinx . 9 x .
1 — cos x > 1------> 0 , 0 < 1--------< 2 sm2-----> 0 (x —> 0).
x x 2
Следовательно, по оценочному признаку 1 при x > 0,
x —> 0 . Далее, так как S1^~^ = , то —> 1 и при x < 0 ,
X) X ' X 1
47
х —> 0 . Значит и lim = 1. ►
х—>0 х
11.3. Предел монотонной функции
Определение. Пусть функция /(х) задана на множестве М.
Верхней гранью функции f на множестве М называется верхняя
грань значений этой функции sup /(х) = sup {/(ж)} .
хЕМ хЕМ
Таким образом, если sup f (х) = у , то \/х Е М f(x) < у и
хЕМ
Vs>0 3xqEM f До) > у — 6 .
Определение. Пусть функция / Д) определена на множестве М .
Она называется возрастающей на множестве М , f(x) /, если
Vx, Д Е М f(x) < f(xf) при х < xf.
Аналогично, функция /Д) , определенная на множестве М , на-
зывается убывающей на множестве М, f(x) если Vx,x' Е М
f(x) > f(x') ПРИ х < х'.
Теорема о пределе монотонной функции. Монотонная функ-
ция имеет односторонние пределы.
Доказательство. Пусть функция /Д) определена и воз-
растает на множестве М , а Е М', V х Е М х < а . Рассмотрим
два случая. 1). Пусть /Д) ограничена сверху. Тогда А = sup /Д)
хЕМ
существует. Докажем, что А = lim 0/Д) • По определению верх-
ней грани Vх Е М f(x) < А и Ve > 0 Bxq Е М /До) > А — в.
Все точки множества М находятся левее точки а , значит, xq < а .
Используя монотонность функции, получим х Е М , Xq < х < а ,
А > f(x) > А — s. Отсюда следует, что \/х Е М, xq < х,
\f(x) — А| < s , что и означает, что f(x) —> А при х —> а — 0 .
Лекция 9
(04.10.67)
2). Докажем, что если функция /Д) не ограничена сверху на М ,
то lim f (ж) = Too . В самом деле \/ К Bxq Е М f До) > К. Тогда
х—Ya
для точек х Е М таких, что xq < х < а , К < /До) < f(x) . Это
означает, что lim f(x) = Too .
х—Ya—0
Для убывающей функции доказательство аналогично. ►
48
Рис. 3.9. Предел монотонной функции.
Замечание (точки разрыва монотонной функции). Пусть
/(х) возрастает на интервале (а,Д) С R. Если х$ Е (а, /3) , то
/(ж) < /(#о) Vx < xq и можно применить первый случай теоре-
мы. Тогда
lim /(ж) = f(x0 - 0) < /(х0) < f(x0 + 0) = lim f(x)
х—0 x—>Xo+0
Таким образом, /До — 0) < /До) < /До + 0) для каждой точки
то из интервала (рис. 3.9). Если х стремится к концу интервала, то
функция имеет либо конечный предел, либо бесконечный. Значит
точки разрыва монотонной функции могут быть точками разрыва
только первого рода.
11.4. Число е
Теорема (число е). Существует предел последовательности
Доказательство. По формуле бинома Ньютона
/ n(n — 1) о п(п — 1)(п — 2) о
(1 + х)п = 1 + пх + v - -х2 + Л--------------Л--------Lx3 + ...+
п(п-1) ...-г t
(п — 1)!
49
при х = получим
( 1V 1
ап — ( 1 4— ) — 1 +1 + д?
у п / 2!
«п+1 — 1 + 1 + тл (1-------“Г ) + +7 (1------“Г ) (1-------“Г ) +
2! у п + 1J 3! у п + 1J у п + 1/
Отсюда следует, что ап < ап+\ , и значит, последовательность ап f
(возрастает).
Покажем, что ап ограничена. В самом деле
11 1 11 1
ап-2+2! + 3!+- + ^- 2+ 2 + 2^ + -+ 2^<3'
Следовательно, по теореме о пределе монотонной функции (см.
п. 11.3) предел последовательности {ап} существует (мы можем
рассматривать последовательность как функцию натурального ар-
гумента) . ►
Предел, рассмотренный в теореме, обозначают е, приблизитель-
но число е равно 2,718281828459045....
§12. Пределы по Коши и по Гейне
12.1. Последовательность Гейне
Определение. Пусть функция определена на множестве М и
а е М'. Последовательностью Гейне, связанной с точкой а , на-
зывается такая последовательность {£п} , что Е М , а,
> " (п оо).
Если а - предельная точка множества, то последовательность
Гейне всегда существует. Действительно, пусть 6п > 0 , 6п —> 0
при п —> сю . Возьмем окрестность О(а, 5П) . Пусть Е О (а, 5П) ,
Е М , ф а, (n Е N) . Тогда \^п — а\ < дп , и значит —> а
при п —> сю .
50
12.2. Предел функции по Гейне
(секвенциальное определение)
Определение. Пусть имеем /(х) (х Е М) и а Е М'. Говорят, что
/(х) э А {по Гейне) при х —> а , если для любой последователь-
ности Гейне, связанной с точкой а , существует предел lim f(£n)
равный А.
Замечание. Если для любой последовательности Гейне {£п} 5 свя-
занной с точкой а, существует конечный предел lim f(£n), то
п—>ос
существует предел функции по Гейне при х -Е а .
Действительно, пусть нам даны две последовательности Гейне
{С>} , lim /(£п) = А , и {Д , lim /(^) = А'. Смешаем их. По-
п—>ос п—>ос
лучим новую последовательность Гейне {цп} 5 связанную с точкой
а . Пусть lim f(j]n) = В . Тогда В = А , В = А'. Значит все преде-
п—>ос
лы значений функции по последовательностям Гейне равны между
собой: А = А', а функция имеет предел по Гейне при х -Е а. ►
Теорема об эквивалентности пределов по Гейне и по Коши.
Для того, чтобы функция имела предел по Коши необходимо и
достаточно, чтобы она имела предел по Гейне.
Доказательство. Если функция имеет предел по Коши или
по Гейне, то будем обозначать, соответственно,
f(x) > А при х -Е а {К),
f(x) > А' при х -Е а {Г).
1) Докажем, что {К) {Г), т. е. что если функция имеет
предел по Коши, то она имеет предел по Гейне. Зададим после-
довательность Гейне {£п} •) связанную с точкой а . Покажем, что
lim f (£n) = А .
п—>ос
Надо доказать, что для всех с > О 3 7V = N(e) Vп > N
\f(£n) — А| < £• Выберем s > 0. Тогда по определению предела
функции по Коши 3d = 5(e) >0 \7хЕМ,0<\х — а\ < 8,
\f(х) — А| < s. Для этого 8 BN = N{8) = N(z) \/п > N{8)
|£n — a\ < 8, так как —> а при n —> ею , и по условию Коши
получим |/(£n) — A| < £ • А это означает, что lim f{6,n) = A .
n—>oc
2) (Г) =Ф (К). Пусть функция имеет предел lim f(x) = А {Г),
x^a
но не имеет предел {К). Тогда число А, по предположению, не
51
есть предел функции по Коши. Следовательно, 3sq > О V 0(a)
е М , е О(а)\а , |/(£°) — А| > so • Зададим последователь-
ность {Jn} , 6п > 0 , 6п —> 0 при п —> сю . Рассмотрим окрестности
Оп(а) = {0<|х — a|<5n}, п е N. Для любой такой окрестности
3^0 G М, G Оп(а)\а, |/(^°) - Л| > £0 • Так как 5п -> 0, то
{Сп} ~ последовательность Гейне. Значит, А не есть lim f(x) в
смысле Гейне. Но это противоречит условию. ►
12.3. Пример lim (1 + х)х = е
ж—>0
Если х = - , то мы уже рассматривали такой случай. Теперь надо
доказать, что для любой последовательности Гейне {хп} , хп ф 0 ,
1
► сю lim (1 + хп)ж™ =е.
п—>ос
0 , и —> 0 при п —> сю . Для всех достаточно
тп < < тп + 1. Тогда -Т— < хп < .
1). Пусть хп
больших п Вт,
Следовательно,
1
откуда
1
1
значит
1
Г
1
1
1
При п —> сю —> 0 , а тп сю . Перейдя к пределам (см. заме-
чание в § 9), по оценочному признаку получим
2). Пусть теперь хп < 0 , —> 0 при п —> сю . Тогда
(1 + = (1 - уп)
1 + Уп
1 Уп /
52
где уп = -хп > 0. Далее, пусть zn = . Тогда zn +0 при
-1- УП
п —> сю и
1
I А— Л I Уп \уп
(1 + хп) — = 1 + ------ =
\ 1 - Уп J
= (1 + гп)^+1 = (1 + гп)^(1 + zn) 1 • е = е
при п —> сю . Значит lim (1 + х) ж = е . ►
Лекция 10
(06.10.67)
12.4. Предел сложной функции
Пусть заданы функция у = f(x) (х е М) , а е М', f(x)^A
при х —> а , и функция ср (у) в окрестности 0(A) . Рассмотрим
сложную функцию z = F(x) = cp(f(x)) . Мы хотели бы выяснить,
при каких ограничениях эта функция имеет предел, т. е. F(x) В
Рис. 3.10. Предел композиции функций.
Теорема (предел сложной функции). Пусть функция у = f(x)
определена на множестве М , для которого а - предельная точка,
f(x) —> А при х а и существует такая окрестность О(а) ,
что Vх е О(а)\а f(x) А. Пусть, далее, функция ср (у) опреде-
лена на некотором множестве N, содержащем некоторую про-
колотую окрестность О(А)\А. Пусть ср (у) В при у А.
Тогда z = ip(f (х)) В при х а .
53
Доказательство. Покажем, что для любой последовательно-
сти Гейне {£п} 5 связанной с точкой а, <Д/(£П)) —> В при п —> сю .
Обозначим уп = f(£n) , уп А , уп А при п —> сю . Значит по-
следовательность Гейне, связанная с точкой а, переходит в последо-
вательность Гейне, связанную с точкой А. Следовательно, для по-
следовательности {?/п} <р(Уп) —> В при п —> сю , т. е. В
при п —> сю , а это эквивалентно тому, что lim = В . ►
§13. Критерии существования пределов
13.1. Дополнения к принципам непрерывности
Определение. Последовательность отрезков {Дп} = {[ап, Ьп\}
называется стягивающейся, если 1) это есть система вложенных
отрезков: An+i С Дп Vn 6 N и если 2) длины эти отрезков
стремятся к нулю: (Ьп — ап) —> 0 (п —> сю ).
Теорема. Существует единственная точка а е R , которая
принадлежит всем отрезкам системы стягивающихся отрезков'.
п Дп = {а} .
П=1
Доказательство. По теореме Кантора о вложенных отрезках
по крайней мере одна точка всегда существует. Пусть а е Q Дп ,
П=1
(3 Е Q Дп и а < (3 . Тогда ап < а < (3 < Ьп , т. е. для любого п
П=1
bn — Un > /3 — > 0 , а это противоречит условию 2), т. е. тому, что
длины стягивающихся отрезков стремятся к нулю. ►
Теорема (принцип непрерывности Вейерштрасса). Пусть
последовательность {an} f и пусть ап < К для любого п. Тогда
существует lim ап .
п—>ос
Действительно, множество значений ограниченной последователь-
ности имеет (п. 6.2, с. 34) верхнюю грань, которая совпадает с пре-
делом последовательности ввиду ее возрастания. ►
Для числовой прямой все принципы непрерывности эквивалент-
ны.
54
13.2. Компактность
Компактность - это свойство, отличающее отрезок от всей пря-
мой. На прямой существует бесконечно много точек таких, что они
все попарно сильно удалены. На отрезке таких точек ограниченное
количество. Свойство компактности отрезка выражается леммой
Больцано - Вейерштрасса.
Лемма Больцано — Вейерштрасса. Пусть М - бесконечное
ограниченное точечное множество на прямой (т. е. пусть М со-
держится в некотором отрезке [а, Ь]). Тогда у этого множества
существует, по крайней мере одна, предельная точка а е [а, Ь] .
Доказательство. Применим метод деления пополам .
Разделим отрезок [а, Ь] пополам, получим два новых отрезка. Хотя
бы на одном из этих отрезков находится бесконечная часть мно-
жества М . Обозначим этот отрезок Ai , Ai Q М бесконечно и
длина отрезка | Ai | = . Разделим отрезок Ai пополам, снова
выберем отрезок А2 , содержащий бесконечное множество точек
множества М ; длина отрезка А2 равна . И так далее.
Получим последовательность вложенных отрезков
Al D А2 D Аз D ... D An D ...,
причем длины этих отрезков 0 при п -Е ею .
2™
По теореме о стягивающихся отрезках существует единственная
точка а Е /\п для любого п, следовательно, а Е [а,Ь\ . Докажем,
что а - предельная точка множества М. Рассмотрим произволь-
ную окрестность 0(a) этой точки. Если п достаточно велико, то
отрезок An С 0(a) . Значит Эх Е М , х Е Ап , х ф а , х Е 0(a)
(так как внутри Ап бесконечно много точек множества М).
Итак, в любой окрестности 0(a) точки а найдется хотя бы одна
точка множества М, отличная от а , значит а есть предельная
точка множества М. ►
Определение. Число а называется предельным значением (пре-
дельной точкой) последовательности {ап} , если Vs > 0 Знд
|a„fc -а\<€.
Замечание. Понятие предельного значения последовательности
отличается от понятия предельной точки множества значений по-
Р Этот метод С. Б. С. называл "ловить льва в пустыне". (Ред.)
55
следовательности. Например последовательность ап = 1 имеет
предельное значение, равное 1, но множество значений последова-
тельности не имеет предельных точек.
Следствие (Лемма Больцано — Вейерштрасса для после-
довательностей). Всякая ограниченная числовая последователь-
ность имеет, по крайней мере одно, предельное значение.
Упражнение. Доказать следствие методом деления отрезка на оси
Оу пополам.
Лекция 11
(11.10.67)
Замечания к лемме Больцано — Вейерштрасса.
1) . Лемма утверждает существование предельных точек, но не
говорит об их числе. Предельных значений может быть много.
2) . Если множество М С [а,Ь] , то все предельные точки при-
надлежат этому отрезку, вне этого отрезка предельных точек мно-
жества нет.
3) . Замечание к лемме Больцано — Вейерштрасса для
множеств. Если М С [a,b] , М - бесконечное множество, то най-
дется предельная точка этого множества а Е М', для которой
найдется последовательность Гейне элементов этого множества, от-
личных от а и сходящаяся ка(п—>сю):3£пеМ, а ,
G > л (п 00 ).
4) . В лемме не утверждается, что предельная точка принадле-
жит самому множеству М. Лемма выражает свойство компактности
множества на прямой, а не в себе.
13.3. Лемма Гейне - Бореля
Рассмотрим систему множеств {Ма} и некоторое множество А.
Определение. Система {Ма} называется покрытием множе-
ства А, если объединение всех множеств Ма покрывает А, т. е.
UO А.
Покрытия бывают конечные и бесконечные. Особенно важны по-
крытия посредством интервалов 2) .
2) "Одеяло будет всегда волочиться по полу" по образному выражению
С.Б.С.
56
Лемма Гейне — Бореля. Из всякого покрытия отрезка интер-
валами можно выделить конечное подпокрытие.
Упражнение. Доказать лемму методом деления пополам.
13.4. Критерии существования пределов
1) . Критерий существования предела последовательности
в терминах предельных значений.
Пусть \ап\ < К для любых п. Обозначим А множество предельных
значений последовательности {ап} .
Рис. 3.11. К теореме о существовании предела последовательности
в терминах предельных значений.
Теорема. Для того, чтобы ограниченная последовательность бы-
ла сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы множество ее
предельных значений состояло из единственной точки.
Доказательство. I. Необходимость. Если
последовательность имеет более одного предельного значения, то
она не может быть сходящейся. Действительно, пусть а - предел
и пусть b - другая предельная точка (рис. 3.11). Возьмем 0(a) и
0(b) такие, что 0(a) Q 0(b) = 0 . Тогда найдется бесконечно много
точек ап , не принадлежащих 0(a) . Тогда а не предел, что проти-
воречит предположению.
II. Д о с таточность. Пусть а - единственная предельная
точка. Надо доказать, что последовательность сходится к этой точ-
ке. Пусть это не так, это значит, что существует окрестность 0(a) ,
вне которой есть бесконечное число членов нашей ограниченной
последовательности. Тогда вне окрестности 0(a) есть предельные
значения: а±,.... Это противоречит предположению. ►
Определение. Если последовательность ограничена \ап\ < К,
то а = inf а = lim ап - нижний предел последовательности,
абД п—>ос
57
(3 = sup a = lim an - верхний предел последовательности.
Таким образом, последовательность имеет одну предельную
точку, т. е. последовательность имеет предел, тогда и только тогда,
когда lim ап = lim ап , при этом lim ап = lim ап = lim ап .
п—п п п—п
2) Критерий Коши существования предела последователь-
ности.
Определение. Последовательность {ап} называется последова-
тельностью Коши, если для V s > О 3 N = V п,т > N
Дп | •
Таким образом, все члены последовательности Коши с большими
номерами близки друг к другу. Последовательность Коши показы-
вает, при каких дополнительных условиях предельная точка явля-
ется пределом.
Критерий Коши для последовательности. Для того, чтобы
последовательность имела предел, необходимо и достаточно, что-
бы она была последовательностью Коши.
Доказательство. I. Необходимость. Пусть
lim ап = а . Возьмем s > 0. Тогда 3 7V Vn > N \ап — а\ < |
п—>ос 2
и Vm > N \ат — а\ < | . Сложив эти неравенства, получим, что
Лекция 12
(13.10.67)
II. Достаточность. Пусть {ап} - последовательность
Коши. Надо доказать, что она сходится. По определению последо-
вательности Коши Vs > 0 37V \/ п,т > N \ап — ат\ < е.
Возьмем so = 1 • Тогда ЗАЗ. п,т > \ап — ат\ < 1 . Выберем
из всех номеров п > АЗ. один номер по . Тогда \аПо — ат\ < 1
при любых т > АЗ и, значит, аПо — 1 < ат < аПо + 1. Положим
К = max{|аПо — 1|, \аПо + 11} . Тогда Vm > Д \ат\ < К . Обозна-
чим max {|ua;|} = К\ . Тогда \ak\ < К% = max {К, КД V к е N .
Итак, последовательность {аД ограничена. По лемме Больцано
- Вейерштрасса у этой последовательности есть, по крайней мере
одна, предельная точка. Пусть а - предельная точка последова-
тельности. Покажем, что существует предел lim ап и этот предел
п—>ос
равен а .
58
Зададим s > 0 . Последовательность {а/Д - последовательность
Коши. Поэтому 37V \/п,т > N \ап — ат\ < f • Точка а -
предельная точка, следовательно, 3ni > N |а — аП11 < | . Тогда
Vm > N \аП1 — ат\ < | и, следовательно,
|« - ат\ < |о - аП1| + |аП1 - ат| < 2 • | = е Чт> N.
А это и значит, что ат —> а при т —> сю . ►
13.5. Критерий Коши
существования предела функции
Пусть функция /(х) определена на множестве М и а - предельная
точка этого множества (т. е. а Е Mf).
Теорема (критерий Коши существования предела функ-
ции). Пусть функция f(x) определена на множестве М и а -
предельная точка этого множества. Для того, чтобы функция
имела предел в точке а необходимо и достаточно выполнение сле-
дующего условия: V s > 0 35 > О \/х,х' Е М , 0 < |х — а| < 5 ,
О < \х'— а\ < 6, |/(ж) - /(а/)| < е .
Замечание. Критерий Коши и для функции и для последователь-
ности утверждает, что имеется конечный классический предел. На
случай бесконечного предела критерий не переносится.
Доказательство теоремы. I. Необходимость.
Пусть lim /(ж) = А (А конечно). Тогда Vs > О 3 5 > О У х Е М ,
О < |х — а\ < 5 \f (х) — А| < е . Значит \/х' Е М , 0 < \хг — а\ < 5 ,
- Л| < е . Тогда
\f(x) ~ /Ц)1 < 1/Ш - ^1 + Н - /Ц)1 < £ + £ = 2е.
II. Достаточность. Докажем, что существует А такое, что
V {£п} , € М , а, п при п -> оо , f (С„) А при
п —> сю . Т. е. надо проверить, что для любой последовательности
Гейне {£п} последовательность ап = f(£n) есть последователь-
ность Коши.
Зададим е > 0 . Тогда для этого е 35 > О 3 7V = N(5) V п > N
О < |£п — а\ < $ • Значит, точки для всех п > N удовлетворя-
ют условию Vm > N, 0 < |£п - а| < S, |/(^„) - f(£m)\ < £, т.е.
59
\ап — Qm\ < e • Таким образом, {ап} есть последовательность Ко-
ши. Следовательно, она сходится, и функция имеет предел, что и
требовалось доказать. ►
Замечание. Если а = ею , то критерий формулируется следующим
образом.
lim /(.т) = А < z
Vx ЭК Чх,х' G М, х>К,х'Ж, |/(х)-/(х')| <s.
§14 . Порядки бесконечно малых
Определение. Говорят, что функция а (ж) есть “О большое” от
/3(х) (х е М) и записывают а(х) = О(/3(х)) (х е М), если
30 0 VxgM |сф)| < С(3(х) .
Например sinx = О(х) . /(х) = 0(1) означает, что функция на
рассматриваемом множестве ограничена.
Если Qi(x) = 0(/3(х)) , &2(х) = 0(/3(х)) , то
Qi(x) + а2(х) = 0(/3(х)), Qi(x) • а2(х) = 0(/3(х)).
В частности,
0(1) + 0(1) = 0(1), 0(1)-0(1) = 0(1), 0(1)-0(1) = 0(1).
х - порядковое равенство. а(х) х /3(х) означает, что найдут-
ся такие Сд > 0 , С2 > 0 , что для всех х G М
Ci/3(x) < а(х) < С2/3(х)
или, если /?(□?)> О , Ci < дуу < С2 . Это свойство, которое по-
казывает, что а и (3 ведут себя одинаково. Например, x(2 + sinx)
х х для х > 0 .
Упражнение. Верно ли, что если даны две пары функций, связан-
ных порядковым равенством, то их можно умножать, складывать
и вычитать, и при этом порядковое равенство сохранится?
« - асимптотическое равенство. а(х) « /3(х) при х —> 0 ,
если —> 1 ( х —> 0 ).
а(х) = о(/3(х)) ( х —> 0 ), если —> 0 ( х —> 0 ). Говорят, что
а(х) есть ао малое” от /3(х) при х —> 0 .
60
Заметим, что если а(х) ~ /3(х) при х —> 0 , то
°’ ~ = (Х °)'
Соотношения “О” и “ х” не связаны с понятием предела, а “о”
и " х " связаны с понятием предельного перехода.
Пример. Пусть у « (х сю) и у(х) . Рассмотрим
х = х(у) - обратную к у(х) функцию. Тогда
У = 7~— • (1 + °(1)), ykix = х(1 + о(1)),
In .г
In у + In In х = In х + ln(l + o(l)), In x = In у + In In x + o(l).
Так как Inx = o(x) , to Inlnx = o(lnx) . Следовательно,
In .г = In?/ + o(lnx), In.r {1 + o(l)} = In?/,
Inx = In?/ • (1 + o(l)),
x = ?/lnx • (1 + o(l)), x = ?/ln?/ • (1 + o(l))
и, наконец, x ylny . ►
61
Глава 4
Непрерывные функции
Лекция 13
(18.10.67)
§15 . Непрерывные функции в точке.
Точки разрыва
15.1. Непрерывность функции в точке
Пусть функция / (х) определена на множестве 7И, М С R . Поня-
тие непрерывной функции в точке, в отличие от предела, опреде-
ляется для точек из области определения функции.
Определение непрерывности по Коши. Функция у = / (х) на-
зывается непрерывной в точке х$ , если V s > 0 Эд>0\7хеМ
|ж - я?о| < 8 |/(х) - /(ж0)| < е.
Непрерывность обычно обозначается буквой С; /(ж) е C(xq')
значит, что /(ж) - непрерывная в точке xq функция, или f (х)
принадлежит к классу непрерывных в точке xq функций.
Если функция не является непрерывной в точке xq , то она назы-
вается разрывной функцией в этой точке.
Если М - область определения функции, то М = Me U ~
разбиение области определения функции на два множества, где Мс
- множество таких точек из 7И, в которых функция непрерывна, а
Мр - множество точек из 7И, в которых функция разрывна.
62
Заметим, что в определении предела функции рассматривается
выколотая окрестность, а в определении непрерывности - полная
окрестность. Тогда из условия V е > 0 |/(жо) — А\ < е следует
А = f(xo).
Геометрическая интерпретация непрерывности функции:
какова бы ни была окрестность <9(/(а?о)) точки /(то) найдется
окрестность О(хо) точки xq такая, что для всех х Е О(а?о) зна-
чения / (х) попадают в 0(/(хо)) .
Рис. 4.1. Непрерывность функции.
Рассмотрим два случая.
1) Пусть xq - изолированная точка в области определения
функции. Тогда V е > 0 выбираем д такое, что д -окрестность
не содержит других точек, кроме xq , и определение непрерывно-
сти функции выполняется, следовательно, функция непрерывна в
точке Xq .
2) Пусть xq Е М и xq Е М' (это означает, что xq - предель-
ная точка множества М). Тогда lim /(х) = /(^о) • Обратно, если
х—>Хо
lim /(х) = /(жо) и xq Е М , то функция /(ж) непрерывна в точ-
X—^Xq
ке xq . Таким образом, для того, чтобы функция у = / (х) была
непрерывна в точке xq Е М , xq Е М', необходимо и достаточно,
чтобы lim f (Ф) = /(Фо) •
X—^Xq
15.2. Точки разрыва функции
Пусть xq Е М и xq Е М' (только такие точки могут быть точ-
ками разрыва функции). Что значит, что функция разрывна? Это
63
значит, что либо 1) предел lim /(х) отличается от / (то) , либо
х—>Х()
2) предела lim f (х) нет.
X—^Xq
1) . Если существует lim /(х) /(#о) , то xq - точка устра-
х—>Х()
нимого разрыва. Изменив функцию в точке xq , можно сделать ее
непрерывной. Новая функция отличается от заданной только в од-
ной точке и непрерывна в этой точке.
Остальные точки разрыва называются точками неустранимого раз-
рыва.
Рис. 4.2. Точка устранимого разрыва.
2) . Если lim /(х) не существует, то xq - точка неустранимого
X—^Xq
разрыва.
Может быть так, что в точке xq существует lim /(#) и суще-
х—>XQ— О
ствует lim /(х) . Тогда точка х$ называется точкой разрыва
х^хо+О
первого рода.
Рис. 4.3. Точка разрыва 1-го рода.
3) . Точки, которые не являются точками устранимого разры-
ва и точками разрыва первого рода, называются точками разрыва
второго рода.
64
т-г i\ тт i Г sin | (Д Д 0)
Пример. 1) Для функции у = < q х _ gj точка х = 0
является точкой разрыва второго рода.
2) Для функции у = sin - (х Д 0) точка х = 0 точкой разрыва
не является, так как не входит в область определения функции.
3) Аналогично, для функции у = 1 (х Д 0) точка х = 0 не
является точкой разрыва.
15.3. Колебание функции в точке
Пусть у = f (х) (х е М), xq е М . Возьмем 6 > 0 . Рассмотрим
множество Д^(жо) точек из М, для которых Д — жД < 8. Коле-
банием функции на этом множестве называется величина
cj (У, ДДж0)) = sup У(ж) - inf У(ж) > 0.
ш (f, ДДжо)) есть монотонно убывающая функция от 8 .
Колебанием функции в точке xq называется предел
lim ш(/, Дг(®о)) = ^(/,ж0).
д^+0
Утверждение, ш (f, жо) = 0 тогда и только тогда, когда функция
непрерывна в точке xq , т.е. когда f е C(xq') .
Доказательство. Заметим, что
sup f(x) > f(x) > inf /(ж).
хЕД(хо) хбД(хо)
Теперь, если си (У, х$) = 0 , то для любого s > 0 найдется 8 > 0
такое, что ш < е . Это значит, что
sup /(х)
хеДб(хо)
inf
хеД5(х0)
Тогда sup У(ж) < У(жо) + s , inf У(ж) > У(жо) — s . Значит,
хеД(хо) хеД(хо)
V s > 0 35 > 0 V х е М , \х — жо| < 5, У (До) — в < f(x) < У (До) Те ,
что эквивалентно непрерывности функции в точке xq .
Очевидно и обратное, если f е С(До) , то Vs > 0 35 >0
Д/, ДЩо)) <е, откуда w(/,A5(s0)) -> 0 (<5-> 0). ►
65
Замечание. О < ш (/, то) < +оо . Колебание функции на интерва-
ле и в точке - неотрицательное число и может обращаться в +ос .
Если си (/, то) > 0 , то xq - точка разрыва. При этом, если ш (f, xq)
конечно, то xq - точка конечного разрыва (первого или второго ро-
да), если ш (f, xq) бесконечно, то xq - точка бесконечного разрыва
(второго рода).
15.4. Точки разрыва монотонной функции
Пусть f (х) t на интервале (а, Ь) и xq е (а, Ь) . По теореме о пре-
деле монотонной функции lim /(х) < /(xq) < lim /(х) (см.
х—>Хо— 0 х—>Хо+0
п. 11.3). Монотонная функция непрерывна в точке xq тогда и толь-
ко тогда, когда ее предел слева в точке xq равен пределу справа.
Мы получаем, что справедлива следующая теорема.
Теорема (критерий непрерывности монотонной функции).
Монотонная функция непрерывна в точке xq тогда и только то-
гда, когда f(xQ — 0) = lim f (х) = lim f (x) = f (xq + 0) .
x—YXq— 0 x—>Xo+0
Всякая точка разрыва монотонной функции есть точка разрыва
первого рода, так как /До — 0) < /До + 0) . Колебание монотон-
ной функции в точке xq есть /(xq + 0) — /(xq — 0) , т. е. значение
ш (f, xq) = f(xQ + 0) — f(xQ — 0) есть величина скачка монотонной
функции.
Теорема. Монотонная функция, заданная на интервале, мо-
жет иметь не более чем счетное множество точек разрыва.
Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает на
интервале (а,Ь) . Если xq - точка разрыва, то /До —0) < /(xq+0) .
Если xq и xi - различные точки разрыва функции и xq < ад , то
f(xQ - 0) < f До + 0) < f (ад - 0) < f (ад + 0).
Так как (/До — 0), /(xq + 0)) - невырожденный интервал, то суще-
ствует хотя бы одна рациональная точка г = г До) , принадлежа-
щая этому интервалу. Аналогично, существует рациональная точка
г (ад) , принадлежащая (/(ад — 0),/(ад + 0)) , причем имеет место
неравенство г До) < r(xi) , т. е. разным точкам разрыва соответ-
ствуют разные рациональные числа (интервалы не пересекаются)
(рис. 4.4). Итак, множество точек разрыва можно поставить во вза-
имно однозначное соответствие с подмножеством множества раци-
ональных чисел. А значит, их не более, чем счетное множество. ►
66
Рис. 4.4. Разрывы монотонной функции.
Лекция 14
(20.10.67)
15.5. Примеры разрывных функций
“У
У2<-------f--------,
। ।
। ।
। ।
yv-------j----------
। ।
। ।
। ।
“0 « b J?
Рис. 4.5. К примеру функции, разрывной в каждой точке.
Пусть Е С (а, 6) и у\ у2 . Определим функцию (рис. 4.5)
_ Г yi е д
(зДД
Если Е = QQ(a, 6) , то получим функцию типа Дирихле, разрыв-
ную в каждой точке.
67
Если определим функцию (рис. 4.6)
Г Уо + (х - х0) (х е Е)
[ Уо - (х - х0) (х i Е)
то получим функцию, разрывную всюду, кроме точки xq .
-*-----4---------А------1
а Х^ ь X
Рис. 4.6. К примеру функции, разрывной всюду, кроме точки xq .
Замечание. Если функция задана на интервале, то не всякое его
подмножество может служить множеством точек непрерывности
функции .
15.6. Секвенциальное определение
непрерывности функции
Пусть у = f (х) (х Е 7W), Xq Е М.
Теорема. Функция f (х) непрерывна в точке xq тогда и только
тогда, когда для любой последовательности {£п} , состоящей из
точек М и сходящейся к xq при п сю последовательность
Р Рассматривая колебание функции в точке, можно показать для функции,
заданной на интервале, что множество ее точек разрыва есть множество типа
Fa (т. е. является объединением счетного множества замкнутых множеств), а
множество точек непрерывности - типа (т. е. является пересечением счет-
ного множества открытых множеств), соответственно. Поэтому существуют
функции непрерывные во всех иррациональных точках (множество типа G§ ,
но не Fa ), и разрывные во всех рациональных точках (множество типа Fa ),
например, функция Римана, но не существует функции, непрерывной во всех
рациональных точках и разрывной во всех иррациональных точках. (См. [3]
гл. 8, с. 131, примеры 21, 22, и гл. 2 с.43, пример 23). (Ред.)
68
{/(60 } сходится к f До) при n —> сю , m. e. существует предел
lim /(£n) = /(a?o) .
n—>oc
Доказательство. Для изолированных точек все ясно. Если
х0 е М', х0 е М, то lim /(х) = f(x0) О lim f(gn) = /(х0) в
X—^Xq Х—^Хо
силу эквивалентности определений предела. ►
§16 . Действия над функциями,
непрерывными в точке
16.1. Простейшие свойства функций,
непрерывных в точке
Теорема (простейшие свойства функций, непрерывных в
точке. Если f(x) Е C(xq') и f До) > 0 , то найдется окрестность
О До) такая, что V х Е М , х Е О До), / Д) > 0 . Если функция
f(x) Е С До) , то она локально ограничена, т.е. 3 К > 0 3 0 До)
Vx е М, хе О До), |/ Д)| < К.
16.2. Действия над функциями,
непрерывными в точке
Теорема (действия над функциями, непрерывными в
точке). Пусть функции f Д) и g Д) определены на множестве
М , xq Е М , f,ge C(xq) . Тогда
1) f ±РЕСДо),
2) f -рЕСДо),
3) G С(х0) если g (ж0) 0 .
Доказательство. 1). Докажем, что / ± g Е C(xq) . Так как
f Д) е СД0) , рД) Е СД0) то
Vs>0 351 > 0 VxeM, Д — xq| < 51, |/Д) — /До)| < е,
Vs> 0 3 52 >0 V.t е М, \х — жо| < 52, ДД) — дДо)| < е.
Фиксируем s и возьмем 5 = min {51,52} > 0. Тогда для любых
х, таких, что Д — хо| < 5, верны оба неравенства. Сложив их,
получим:
|/(а?) ± д(х) - (./До) ± 5(®о))| < 2е.
69
2) . Докажем, что f • д е С(хо) :
Vs>0 351 > 0 V.t 6 М, \х — жо| < 5i, \f(х) — f(хо)| < 6,
Vs> 0 3 52 >0 V.t е М, \х — жо| < 52, |р(х) — р(хо)| < 6.
Так как функция /(х) е C(xq) , то она локально ограничена, зна-
чит 3 К > 0 3 5з > 0 Vx , |х — то| < 5з , |/ (х)| < К . Возьмем
5 = min {51,52, 5з} > 0. Тогда для любых х е М, |х —хо| < 5,
справедливы все эти неравенства. Имеем
/(а?) • (д(х) - /(ж0) • 5(х0) =
= /(^) ' 9{х) - Дж) • д(х0) + fix) д{хо) - Дж0) д(х0) =
= /(ж) {д (ж) - р(ж0)} + д(х0) {f(x) - Дж0)} .
Следовательно, V х е М ,
\f(x) д(х) - Дж0) g(x0)| < К • г + |д(х0)| • г = (К + ^Цо)!) • £•
3) . Докажем, что 6 С(жр) если р(жо) 7^ 0. Пусть для опре-
деленности д (то) > 0. Тогда 3 5д > 0 \/х Е М, |х — xq| < 5д ,
д (х) > а > 0 (например а = Значит, Vx 6 М, |х — хо| < 5д ,
(дд) - « = К ’ и так как
fjx) _ fjx0) = /(ж)р(жр) -р(ж)/(х0) =
д(х) д(х0) д(х)д(х0)
= д(хр~) {fix) - fjx0)} - /(х0) {gjx) - gjx0)}
р(ж)р(ж0)
то
16.3. Теорема о непрерывности сложной функции
Теорема. Пусть дана сложная функция F(x) = cp(f(x)) , где
f (х) определена на множестве М, f(x) Е С(хо) , уо = /(хо) ,
ip(y) определена для у Е L (L D f (М)) , ip(y) Е . Тогда
F(x) Е С(х0) .
70
Рис. 4.7. Непрерывность сложной функции.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
Ve>O3<5>OV у е L,y 6 f(M) ,\у-у0\ <5, \<р(у) - Ду0)| < е,
\/^>0Д>0\/хеМ, |х — хо| < ц , \f (ж) — f (хо)| < S .
Тогда для любого х е М такого, что |х — хо| < ц , для у = /(х)
и уо = /До) выполняется неравенство |<р(у) — <^(т/о)| < £, и,
следовательно, Д(/Д)) — Д/До))| < 6, или, что то же самое,
|F(x) — F(xq)| < г . Значит F(x) Е С(хо) . ►
Следствие. Пусть F(x) = cp(f(x)) , lim /Д) = А, <р(у) опреде-
х—>Х()
лена для у Е 0(A) , р>(у) Е С (А) . Тогда
lim F(x) = lim p>(f (x)) = p> ( lim f (x)
x^x0 x^x0 \ x^x0
тт тт Г/ \ f / (%) (x Д Xq)
Доказательство. Положим f(x) = < / ; ; .
J v 7 ( A (x = xq)
Тогда lim f(x) = f(xo) , t. e. f(x) E C(xq) . Значит к этой функции
Х^Хо
применима теорема о непрерывности сложной функции. Следова-
тельно, lim cp(f(x)) = р>(А) , откуда lim cp(f(x)) = ср I lim f(x) )
х—YXq x—YXq \ x—YXq J
что доказывает утверждение. ►
„z x lim /(x)
Следствие, lim eFx) = ex^xo
X—YXq
71
Лекция 15
(25.10.67)
§17 . Функции,
непрерывные на множестве
Пусть М С X С R и функция /(х) определена для \/х е X .
Говорят, что функция f(x) непрерывна на множестве М и обо-
значают /(х) е С(М) , если функция непрерывна в каждой точке
этого множества. Таким образом, /(х) е С(М) , если Vxq Е М
Vs > О 35 > О V х е X , |х —хо|<5, |/(х) — f (xq)| < s . Здесь
6 = 6 (xq, s) зависит и от xq и от е .
Рассмотрим сужение /м(т) функции /(х) на множество М :
/м(т) = /(ж) ( х е М). Очевидно, что если f (х) Е С(М) , то и
фм(х) Е С(М) . При изучении функции на множестве будем счи-
тать, что М = X .
Пусть функция /(х) Е С(7И) . Нас интересует, какие свойства М
при переходе к образу при непрерывном отображении сохраняются,
и какие не сохраняются.
При непрерывном отображении ограниченность не сохраняется.
Пример. М = (0,1) , f (х) = д (х Е М) , f(M) = (1, Too) .
При непрерывном отображении замкнутость не сохраняется.
Пример. М = (—сю, +сю) , f (х) = arctgx , f(M) = (—д, д) •
При непрерывном отображении открытое множество не обязано
переходить в открытое.
Пример. М = (0, 2тг), /(х) = sinx, f(M) = [—1,1] . Также для
функции, график которой изображен на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Образ открытого множества не обязательно открытое мно-
жество.
72
§ 18. Свойства функций,
непрерывных на множестве
18.1. Связность (линейная)
Определение. Множество М на числовой прямой связно {линейно
связно), если оно обладает следующим свойством: если х, х' е М ,
то и [х, х'] С М .
Замечание. Множество М на плоскости называется связным {ли-
нейно связным), если любые две точки х, х' Е М могут быть со-
единены непрерывной линией, лежащей в этом множестве. Если М
открыто, в этом определении можно заменить непрерывную линию
конечно-звенной ломаной (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Открытое связное множество на плоскости.
Теорема (структура связных множеств на числовой пря-
мой). Связные множества - это отрезки, интервалы и полуин-
тервалы.
Доказательство. Пусть М - связное множество на числовой
прямой. Пусть а = inf х , (3 = sup х .
хем хем
1) . Пусть а > —сю, (3 < +сю {М ограничено). Тогда, если
а Е М , (3 Е М , то М = [а, /3] , так как М - связное множество.
Если а Е М , /3 М , то в этом случае V д , а < д < (3 , Bxq Е М
д < xq < (3 . Тогда [а, то] С М , д Е [а, то] С М , и, следовательно,
М - полуинтервал [а, (3) .
2) . а > —сю , /3 = +сю . Тогда М есть {а, +сю) или [а, +сю) .
Аналогично для случая а = — сю , /3 < +сю .
73
3) . a = —сю , (3 = +сю . Тогда М = (—сю, +сю) - вся числовая
прямая. ►
Сохранение связности. Пусть функция /(х) Е С(М) , М С R и
М - связно. Ниже мы докажем, что тогда f(M) - связно.
Лемма об обращении непрерывной функции в нуль. Пусть
f(x) определена на отрезке [а, Ь] и f(x) Е С [а, Ь] . Пусть также
f(a)-f(b) < 0 . Тогда найдется такая точка с из интервала (а, Ь) ,
что f(c) = 0 .
Замечание. Для несвязного множества лемма неверна (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Обращение непрерывной функции в нуль.
Доказательство. Лемма доказывается методом деления
пополам. Обозначим До = [а, Ь] . Разделим До пополам точкой
. Возможны два случая:
1). f (^уД = 0 . В этом случае лемма доказана.
2). /(^уД 0. Тогда f(^y^) > 0 или /(^уД < 0. Обозна-
чим через Д1 = [ai,6i] ту половину отрезка [а, 6] , для которой
выполняется неравенство /(«1) • /(6Д < 0 . И так далее.
Тогда или процесс где-нибудь оборвется, и мы получим в одном из
концов новых отрезков точку, где функция равна нулю; или мы
получим систему вложенных отрезков До D Д1 D ... D Дп D ... ,
для которых f(an) • f(bn) < 0 , причем длины отрезков 0
(п —> сю) . Допустим,
/(«)<0, /(6)>о,
/(«!)<о, Ж)>0,
74
/Ы<о, /(&„)>о,
По теореме о стягивающейся системе отрезков существует единст-
венная точка с Е [ап, bn\ V п . Тогда ап —> с, Ьп с (п сю) , а
так как функция непрерывна, то
/(с) = lim /(а„) < 0 , /(с) = lim /(&„) > 0 .
п—>ос п—>ос
Значит, f (с) = 0 . ►
Теперь легко может быть доказана следующая теорема.
Теорема о промежуточном значении. Пусть функция f(x)
определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и на его концах прини-
мает разные значения: f(a) = А , f(b) = В , пусть А < В . Тогда
для любого С такого, что А < С < В найдется точка £ е (а, Ь)
такая, что =
Доказательство. Введем функцию <р(х) = /(х) — С , тогда
<р(х) непрерывна на [а, Ь] и принимает на концах этого отрезка
значения разных знаков: (Да) = А — С < 0 , <Д6) = В — С > 0 .
По лемме об обращении непрерывной функции в нуль 3^6 (а, 6)
= 0. Так как = /(£) - С, то /(£) - С = 0 и /(£) = С.
►
Теорема. Пусть М - связное множество, f(x) Е С(М) . Тогда и
f(M) связно.
Доказательство. Обозначим Y = f(M) . Пусть точки А
и В принадлежат Y и для определенности А < В . Покажем, что
[А, В] С Y . Именно докажем, что если С - любая точка такая, что
А < С < В , то С EY .
Так как значения А, В Е Y, то 3 a,b Е М f(a) = А, /(6) = В .
В силу связности множества М отрезок [a, b] С М . Функция /(х)
непрерывна на отрезке [а,Ь\ , следовательно, по теореме о проме-
жуточном значении, 3 £ Е [а,Ь] , £ Е М , f(£) = С . Таким образом,
любая промежуточная точка С между А и В имеет прообраз. Зна-
чит, весь отрезок [А, В] лежит в У и множество f(M) связно.
►
Вопросы к коллоквиуму.
1. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность мно-
жества действительных чисел.
2. Верхняя и нижняя грани числового множества.
75
3. Лемма о стягивающихся отрезках.
4. Лемма о выделении конечного покрытия.
5. Свойства функции (последовательности), имеющей предел
(ограниченность, сохранение знака, единственность предела).
6. Свойства бесконечно малых. Предел суммы, произведения,
частного.
7. Переход к пределу в неравенствах, lim = 1.
х
8. Теорема о пределе монотонной функции. Число е.
9. Теорема об эквивалентности двух определений предела.
10. Теорема о существовании предельной точки. Критерий Коши
для последовательности. Критерий Коши для функций.
11. Сравнение бесконечно малых.
Лекция 16
(27.10.67)
18.2. Непрерывный образ отрезка
Лемма Больцано — Вейерштрасса. Пусть имеется последова-
тельность {xn} (n е N) и \хп\ < К VneN. Тогда существует
последовательность натуральных чисел {пд} , пд ft, такая, что
подпоследовательность {xnfc} сходится.
Таким образом, из всякой ограниченной последовательности
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство леммы. Последовательность {хп}
ограничена, следовательно, по лемме Больцано - Вейерштрасса для
последовательностей (п. 13.2) для {хп} существует хотя бы одно
предельное значение а . Построим подпоследовательность {хПк } ,
сходящуюся к а. Выберем ед > 0 , ед ф 0 (А; —> сю) . Тогда
для si 3п1 \а — хП11 < ei ;
для s2 Зп2 , п2 > Hi , \а - хП21 < е2 ;
ДЛЯ Эпк , Пк Д ПД—1 , |а ХПк | < ,
Теперь для подпоследовательности {xnfc} Vs > 0 Эко Vк > ко
£к < £ и ф — хПк | < ед < е . Значит хПк —> а (к сю) . ►
Теорема об ограниченности непрерывной функции. Пусть
функция у = f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] . То-
76
гда функция f(x) ограничена на этом отрезке, т. е. найдется К
такое, что \/х Е [а,Ь] |/(ж)| < К.
Доказательство от противного. Предположим, что
утверждение леммы неверно. Пусть, для определенности, функция
/(ж) не является ограниченной сверху. Тогда \/К > 0 Зто 6 [а,Ь\
/До) > К.
Зададим последовательность Кп > 0 , Кп / сю (л —> сю) . То-
гда Эхп Е [a,b\ f(xn) > Кп . Так как {тп} - ограниченная по-
следовательность, то по лемме Больцано - Вейерштрасса 3 {тпД
хПк -Е с Е [а, Ь] {к -Е сю) . Так как ф(хПк) > КПк , то f(xnk) -Е Too
(к -Е сю) .
С другой стороны, /(ж) Е С[а,Ъ\ , значит, /(ж) Е С (с) . Следова-
тельно, f(xnk) -Е f(c) (к -Е сю) , так как хПк Ес (к -Е сю) . Мы
пришли к противоречию. ►
Определение. Число М называется наибольшим значением или
глобальным или абсолютным максимумом функции f на отрез-
ке [а,Ь\ , если для некоторого xq Е [а,Ь\ и для всех х из [а, Ь]
выполняется неравенство f(x)<M = /До) . Обозначается
М = max f (ж) = /(До).
х£[а,Ь]
Аналогично определяется наименьшее значение функции на отрез-
ке.
Теорема о достижимости верхней и нижней граней. Всякая
непрерывная на отрезке функция имеет наибольшее и наименьшее
значения.
Доказательство. Пусть f (ж) Е С [а, Ь] . По теореме об
ограниченности непрерывной на отрезке функции f(x) на этом
отрезке ограничена. Значит она имеет конечные верхнюю грань
sup /(ж) = М и нижнюю грань inf = т , т < М . Докажем,
что значения М и т и есть наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке [а,Ь\ .
Допустим противное. Пусть \/ж Е [a,b] f(x) < М . Тогда функция
М — f(x) Е С [а,Ь\ и М — f (ж) >0 (ж Е [аД]) . Значит, положи-
тельная функция Дж) = м 1 тоже есть функция, непрерывная
на всем отрезке [а, Ь] . По теореме об ограниченности непрерывной
на отрезке функции Дж) ограничена. Значит 3 К > 0 , Дж) < К
77
Vx e [a, b] . Тогда —-— < К. — < M — f(x) Vx e [a, b] , t. e.
L ’ J M-/(x) _ к ~ J v 7 L ’ J ’
/(x) < M — < M Vx E [a,b] . Это противоречит тому, что М -
верхняя грань функции. Значит, верхняя грань функции достига-
ется И 3 Xq Е [a, Ь] f (xq) = М .
Аналогично, нижняя грань непрерывной на отрезке функции до-
стигается, т. е. 3xi 6 [<Т b] /(хД =т. ►
Теорема (свойство Дарбу, Д-свойство). Непрерывный образ
отрезка есть отрезок.
Доказательсво. Пусть функция /(х) определена на отрезке
[а, Ь] , f(x) Е С [а, Ь] . Тогда Зхо Е [a, b] f (xq) = М = sup f (х) , и
3xi Е ДД] /Дт) = т= inf /(х) . Значит, М,т Е /([аД]) . Так
как f ([пД]) - связное множество (п. 18.1 с. 75), то [m, М] С / ([пД])
Следовательно, / ([аД]) = [m, М] . ►
Заметим, что свойство Дарбу переводить отрезок в отрезок есть
необходимое, но не достаточное для непрерывности функции.
Пример. Рассмотрим функцию /(х) = sin - на полуинтервале
(О, 1] и /(0) = 0 (рис. 4.11).
1) Если возьмем [аД] , а > 0 , [a, b] С (0,1) , то /(х) Е С [а, Ь] и
по теореме образ отрезка [а, Ь] есть отрезок.
2) Если возьмем [ОД], то /([ОД]) = [—1,1], но функция не
является непрерывной на [ОД] .
Рис. 4.11. Функция sin на полуинтервале (0, 1] .
78
18.3. Непрерывность обратной функции
Определение. Функция /Д) на множестве М называется стро-
го монотонной, если она строго возрастает (/(ж) Д), или строго
убывает ( /Д) Д) на множестве М .
Функция /Д) строго возрастает (строго убывает) на множестве
М , если для любых х,х' Е М , х < х', выполняется /Д) < f(x')
(/Д)>/Д')).
Пусть для функции /Д) существует обратное отображение. Если
обратное отображение однозначно, то назовем его обратной функ-
цией (рис. 4.12).
Рис. 4.12. Обратное отображение. Для строго монотонной функции
обратное отображение однозначно.
Лемма о существовании обратной функции. Пусть функция
f(x) определена и f(x) // на множестве М С R. Обозначим
через Y = f(M) образ множества М . Тогда на множестве Y
-1
существует обратная функция f (у) = ср (у) (у 6 У) .
Таким образом, для строго монотонной функции обратное ото-
бражение однозначно (рис. 4.12).
Доказательство. Если у^ Е Y , то 3 xq Е М /До) = уо ,
-1 -1
xq Е f (уо) . Надо доказать, что f (уо) = xq , т. е. других точек
-1
в / (т/о) нет. Если х < xq , то /Д) < /До), если х > xq , то
-1
/Д) > / До) • Следовательно, х = xq и / До) = xq . ►
Лемма о монотонности обратной функции. Если функция
f(x) определена и f(x) Д или f(x) Д на М, то и обратная
79
функция ff или на Y = f(M).
Доказательство. Пусть f (ж) f f, ?/, yr е Y , у < yr.
Докажем, что <р(у) < p>{yf) . Пусть х = ср (у) , х' = <р(у') . Тогда
х < х', так как если бы было х > х', то /(х) > f(x') , т. е. у > у'
и мы получили противоречие. Аналогично рассматривается случай
/(х) Д. ►
Лекция 17
(01.11.67)
Лемма о непрерывности обратной функции. Пусть функция
у = f (х) на [а, Ь] . Пусть Y - область значений этой функции
и х = рфу) (ytY) - обратная функция. Тогда <р(у) Е С(Y) 2 *Д
Рис. 4.13. Лемма о непрерывности обратной функции.
Доказательство. Пусть х - произвольная внутрен-
няя точка из [а ,6] . Зададим е > 0 такое, что окрестность О(х)
радиуса е содержится в отрезке [а, Ь] . Обозначим xq = х — е ,
х\ = х + s (рис. 4.13). (Здесь используется, что М - отрезок!) Рас-
смотрим ?/о = f (^о) < У = < ?/1 = f (ад) . Выберем 6 > О
(5 = ДД) такое, что 0§(у) С (2/сь 3/1) • По условию монотонности
обратной функции для любого у' Е 0§(у) выполняется неравен-
ство (Д//о) < 9Д2/) < ^(2/1) и так как х = , т0 выполняется
неравенство ip(y) — е < < р>(у) + е , т. е. выполняется неравен-
ство Д(2/) — ^(Д| < 5 • Значит, обратная функция непрерывна в
точке у .
2) "Суть вся в том, что М - отрезок, т. е. исключаются какие-то там "уро-
ды"." (С. Б. С.)
80
Если х = а или х = b, то достаточно рассмотреть односторонние
интервалы. ►
Рис. 4.14. Функция, непрерывная и монотонная на [a, b) |J [с, d] , об-
ратная функция разрывна.
Пример. На рис. 4.14 изображена функция, непрерывная и моно-
тонная на [а, 6) IJ [с, d] , для которой обратная функция разрывна.
Из доказанных лемм следует следующая теорема.
Теорема о существовании, монотонности и непрерывности
обратной функции. Пусть функция f(x) ff и непрерывна на
отрезке [а, Ь] и Y = /([а, Ь]) = [А, В] - область ее значений. То-
гда на отрезке [А, В] определена, строго монотонна и непрерывна
обратная функция х = ср (у) . 3-
Замечание. Свойством Дарбу называется свойство функции ото-
бражать отрезок в отрезок. Для строго монотонной функции свой-
ство Дарбу не только необходимое, но и достаточное для непрерыв-
ности.
3) В действительности доказано более общее утверждение, чем сформулиро-
вано в теореме. В формулировке теоремы можно требовать лишь строгой мо-
нотонности функции на отрезке и условие /([а, 6]) = [А, В] , требование непре-
рывности лишнее. Вероятно, это отмечалось на лекции, и следует из замечания
относительно свойства Дарбу. (Ред.)
81
хо=О
Рис. 4.15. Функция ~^= .
§ 19. Непрерывность
элементарных функций
Пример. Функция —непрерывна в своей области определения
(О в область определения не входит) (рис. 4.15).
19.1. Показательная функция
Пусть а - действительное число, а > 0 . Что такое аг , где г 6 Q ,
нам известно. Наша задача определить показательную функцию
для действительных х е R. Рассмотрим случай а > 1.4)
Определение. Пусть а > 1. Показательной функцией ах с осно-
ванием а , где х - действительное число, называется верхняя грань
значений аг , где г - рациональные числа, по всем г < х, т. е.
ах = sup аг .
Мы получим пополнение множества значений функции аг по
непрерывности (рис. 4.16).
а) Монотонность показательной функции. Докажем, что на
множестве действительных чисел ах ff. Пусть х и у - действи-
тельные числа, и пусть х < у. Выберем рациональные числа s и
s' так, чтобы х < s < s' < у . Тогда для любого г < х < s , где г
4) " е - особенное основание, у = ех = ехрж . Заслуга Эйлера." (С. Б. С.)
82
Рис. 4.16. Показательная функция.
рационально, ar < as , значит ах = sup ar < as . Тогда
ах < as < as < sup ar = ay
r'<y
и ax есть строго возрастающая функция. ►
б) Непрерывность показательной функции. Докажем, что
ах Е С(—оо,оо) . Рассмотрим для А > 0 и п Е N последователь-
ность (1 + А)п . Используя бином Ньютона, легко доказать, что
(1 + A)n > 1 + пХ.
Пусть (1 + А)п = // . Тогда //" = 1 + А , А = — 1. Подставив в
неравенство, получим
// > 1 + п
откуда а- - 1 < ^ .
Возьмем произвольную точку х Е R. Пусть h > 0 . Рассмотрим
разность ax+h — ах . Выберем такие рациональные г и з, для кото-
рых r<x<x-hh<s. Так как ах f, то ax+h < as , ах > ar ,
и
ax+h — ах < as — ar = ar{as~r - 1) < ax(as~r - 1).
Если s — r< - ,то r — 1 < —1 < - . Значит, если s — r < - , to
Пх~ — n x ' n '
ax+h _ ax < a_a < £ , так как величиНу можно сделать сколь
угодно малой для любого п > п(Д . Таким образом, если h < ± ,
то можно найти з и г такие, что s < г < - и ax+h — ах < е . Значит
функция ах непрерывна справа. Аналогично при h < 0 получим
непрерывность слева. Следовательно, ах Е С(—сю, сю) . ►
в) Свойство ах -ау = ах+у . Пусть последовательности рациональ-
ных чисел rn -Е х и sn -Е у (п сю) . Тогда аГп • aSn = aVn+Sn .
83
Устремим п к сю . Тогда, в следствии непрерывности показательной
функции, аГп ах , aSn ау , arn+Sn -Е ах+у . Это и доказывает,
что ах • ау = ах+у . ►
Замечание. Логарифмическая функция у = loga х непрерывна по
теореме об обратной функции.
Лекция 18
(03.11.67)
19.2. Непрерывность простейших
элементарных функций
1) . Многочлен Р{х) . Функция у = х , очевидно, непрерывна.
Многочлен Р(х) есть сумма непрерывных функций видает2 , т. е.
тоже непрерывная функция.
2) . Рациональная функция R(x) = непрерывна в точ-
Q(x)
ках х , для которых Q(x) 0 , т. е. область непрерывности рацио-
нальной функции совпадает с областью определения функции.
3) . Степенная функция у = ха . Для а = п (n Е N)
у = хп - непрерывная функция. Тогда для х > 0 обратная функ-
ция х = у™ существует и непрерывна. Значит для рациональных
а функция у = ха - непрерывная функция.
Пусть а > 0 - иррациональное число. Тогда область определе-
ния у = ха есть [0, сю) . В нуле эта функция непрерывна, так как
О < у = ха < хг при 0 < г < а для 0 < х < 1.
Пусть теперь х > 0 . Так как у = ха = еа1пж , т0 это есть сложная
функция от непрерывных функций, и значит, тоже непрерывна.
4) . Тригонометрические функции. Рассмотрим у = sinx.
Функция sinx непрерывна в нуле, так как lira = 1 и значит,
sinx = О(х) . Так как
sin(x + h) = sin х • cos h + cos x • sin h,
sin(x + Ji) — sinx = sinx • (cos h — 1) + cost • sin h,
то отсюда следует, что sin(x + ti) — sinx —> 0 при h -E 0 .
84
Рис. 4.17. Функция на множестве х > 0 .
cos х получается из sin х сдвигом аргумента, а остальные три-
гонометрические функции получаются из sinx и cost делени-
ем. Следовательно, все тригонометрические функции непрерывны
в своей области определения.
5) . Обратные тригонометрические функции непрерывны,
как обратные к тригонометрическим функциям.
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема о непрерывности элементарных функций. Всякая
элементарная функция непрерывна во всей области своего опреде-
ления.
Пример. По теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной
функции получим
ln(l -h х) 1 1
lim-------= lim In (1 + х) х = ln( lim (1 + х) ж ) = In е = 1.
х^О X х^О V 7 х^О V 7 7
§ 20. Равномерная непрерывность
Пусть функция f (х) определена на X, X С R и f е С(Х) ,
т. е. для каждого xq Е X выполняется условие V s > О 3 5 > О
V х Е X , |х — хо|<£, \f(x) — /(то) | < 6 . Здесь 6 зависит и от xq
и от е .
Определение. Функция /(х) , х Е J номерно непрерывной на X, если Vs С , X С R., называется рав- > 0 3 6 > 0 Vs,s0 G X
85
Рис. 4.18. Функция sin- не является равномерно непрерывной на
множестве х > 0 .
|т-Хо| < 5, |/(х) - /(х0)| < 8.
Таким образом, при равномерной непрерывности функций зна-
чения функции близки, как только близки аргументы, где бы они
ни находились.
Примеры. 1) Рассмотрим функцию у = , х > 0 (рис. 4.17).
Возьмем произвольное е > 0 и для любой точки xq > 0 выберем
5 так, чтобы 5 -окрестность точки xq содержалась в области опре-
деления функции. Тогда 6 < xq и зависит от хо , а не только от
8 . Функция хотя и непрерывна, но не является равномерно непре-
рывной. Отметим, что функция неограничена на любом интервале
(0,6), 6>0.
2) Функция sin 6 С (0, сю) (рис. 4.18) ограничена, но, тем не
менее, 8 тоже зависит от 8 и xq .
3) Для функции у = х2 (рис. 4.19) на всей числовой прямой
(xq + К)2 — Xq = 2хоЬ + h2 > 2хоЬ , значит 8 тоже зависит от
8 И Xq .
Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Пусть
функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] . Тогда
она равномерно непрерывна на этом отрезке.
Доказательство. Покажем, что предположив противное,
мы найдем точку разрыва функции. Итак, пусть функция /(х)
не является равномерно непрерывной на [а, Ь] . Значит 3 sq > 0
V5 > 0 Зх,х0 G X, |х-х0| < 5, |/(х) — /(х0)| > s0 . Пусть
86
Рис. 4.19. Функция х2 не является равномерно непрерывной на
всей числовой прямой.
последовательность 6п 0 ( п —> сю ). Зафиксируем so • Тогда V п
Зхп,х'п, \хп — х'п\ < дп , \f(xn) — /(XJ| > so • Последовательность
{хп} принадлежит [а, Ь] , т. е. ограничена. Выделим из нее подпо-
следовательность {хПк } , сходящуюся к а . Тогда х'Пк —> а , так как
^Пк I < И f ^^"Пк ) -> /(Д , f(a) (к сю) , что
следует из непрерывности, и значит f(xnk )-f(Xnk) 0 (fc^oo)-
А выше мы получили, что |/(жПк) — > Ео • Полученное про-
тиворечие и доказывает теорему. ►
Следствие. Если непрерывная функция f(x) определена на [а, Ь] ,
то для любого г > 0 можно указать такое число S, что коле-
бание функции на любом отрезке А длины |А| < S будет мало:
Vs > О 35 > О VA, |А| < 5 , cj (f, А) < s .
Замечание. Непрерывность функции совпадает с равномерной
непрерывностью в следующих случаях: 1) область определения
функции конечна; 2) функция задана на компактном множестве.
Компактность будет рассмотрена позже, отметим только, что от-
резок есть компактное множество.
87
Часть II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
88
Глава 5
Дифференцирование
функций
Лекция 19
(10.11.67)
Пусть функция у = /(х) определена на множестве М С R и xq -
внутренняя точка множества М (е Mi). Будем изучать локаль-
ное поведение функции вблизи точки х$ . Значит, можно считать,
что функция задана на интервале (а, /3) . Итак, пусть функция за-
дана на множестве М = Д = (а, /3) .
§21. Понятие производной
Задача дифференциального исчисления - изучение поведения функ-
ции вблизи внутренних точек области определения (точка зрения
Лейбница).
Предположим, что функция у = /(х) определена на интервале
(а, /3) , то 6 (а,/0) . Обозначим Дхо = х — х$ - приращение ар-
гумента, тогда соответствующее приращение функции в точке х$
будет
А?/о = У - Уо = /(ж) - f (^о) = f (хо + Д^о) - f (жо) =
= Д^о) •
89
Приращение функции зависит от функции /(х) , от точки xq и от
Ахо .
Определение. Если для функции /(х) в точке xq справедливо
равенство
Дт/о = А(хо)Дхо + о(Дх0) (Дж0 0),
то функция называется дифференцируемой в точке xq , а выраже-
ние А(хо)Джо называется дифференциалом функции /(х) в точке
xq и обозначается A(xq)Axq = df = dy .
Таким образом, если функция дифференцируема в точке xq , то
Лу = dy + о(Дх0) (Дж0 0),
т. е. дифференциал dy = A(xq) Дхо - главная линейная часть при-
ращения функции. Величина Ay — dy = о (Джо) _ бесконечно малая
более высокого порядка, чем приращение аргумента.
Определение. Производной f'(xo) функции /(х) в точке xq на-
зывается предел отношения приращения функции к вызвавшему
его приращению аргумента при стремлении этого приращения ар-
гумента к 0: /'Цо) = дПт .
Из выражения для дифференциала следует = Д^о) + о (1)
(Дхо 0) , откуда получаем, что если у функции существует диф-
ференциал, то A(xq) = ffxo) и dy = f(xo) Дхо .
Таким образом, если у функции существует дифференциал в
точке xq , то функция имеет производную /'(xq) в точке xq .
Производная f'(x) функции /(х) определена на некотором
множестве М С (а,/3) . Функции /(х) ставится в соответствие ее
производная /'(х) на множестве М, т. е. имеем оператор диффе-
ренцирования: / —ff или Df = ff.
Замечание. Из существования производной функции следует не-
прерывность функции и ее гладкость. С точки зрения Ньютона
касательная к кривой принадлежит к секущим этой кривой. При
стремлении точки М (xq + Дхо, 2/о + Д^/о) на графике функции
к точке Mq^xq^q) меняется угловой коэффициент км секущей:
lim км = kQ = f'txo) . Секущая L графика функции, проходя-
м—^м0
щая через точки Mq и М , стремится к касательной к графику Lq :
У = Уо + ко(х — xq) . Тогда Vs > 0 3 Д = Д(е) УДхо (|Дхо| < А )
90
Рис. 5.1. Гладкость функции.
будет выполняться условие: ко — е < < ко + е . Следователь-
но, график функции при |х — хо| < Д заключен между прямыми с
тангенсами углов наклона ко — е и ко + е , проходящими через точ-
ку До, у о) (рис. 5.1). В этом случае говорят, что функция является
’’гладкой” в точке Мо .
Определение. Пусть функция определена на отрезке [а, Ь]
и для всех точек х, х' Е [а,Ь] удовлетворяет условию
ДД) — ^Дх)| < К \х — х'\а ,
где 0 < а < 1. Тогда говорят, что функция </?Д) удовлетворяет
на отрезке [а, Ь] условию Липшица порядка а с константой К.
Класс функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка а с
константой К, будем обозначать LipKa .
Заметим, что из условия Липшица любого порядка а следует
непрерывность, но не наоборот.
Пример . Функция у = Д1 — х2 является непрерывной на от-
резке [—1,1] , но не удовлетворяет условию Липшица порядка 1.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она не-
прерывна в этой точке и удовлетворяет условию Липшица
порядка 1.
Доказтельство. Пусть функция у = /Д) определена для
х е Д,Д), хо Е (а, /3) и существует /'До)- Тогда За > 0 3 К
Г Функция уД , доопределенная нулем в точке х = 0 , дает пример непре-
рывной на [0,0.5] функции, не принадлежащей классу LipKa ни при каком
а . (Ред.)
91
V |Ах0| < а |^| < К, откуда |Ау0| < АГ|Ах0| (|Ах0| < а),
что и означает, что выполняется условие Липшица порядка 1. Из
условия Липшица следует непрерывность функции в точке xq . ►
Заметим, что из непрерывности функции ее дифференцируе-
мость не следует.
Пример. Функция у = уо — |х — ж0| (рис. 5.2) непрерывна в точ-
ке xq , но не является дифференцируемой в точке xq (не имеет
производной в точке xq ).
Рис. 5.2. Функция не имеет производной в точке xq .
Теорема. Пусть функция имеет производную в точке xq . Тогда
она дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Пусть существует /'До) =
Значит /'(ж0) = + о(1) (Аж0 —> 0). Тогда
lim
Ато^О Лж°
Д(х0) Джо = А7/0 + о(Д^о) (Джо 0)
и
Дт/о = /(жо)Джо + о(Дж0) (Джо 0).
Таким образом, приращение функции имеет главную линейную
часть, т. е. дифференциал в точке dy = /'(то) Джо , и функция
дифференцируема в точке xq . ►
Рассмотрим функцию у = х . Приращение этой функции в точ-
ке xq равно А то , т. е. dx = Ах. Будем обозначать приращение
Ах независимой переменной dx . Тогда dy = f'(х) dx и /'(х) =
- обозначение Лейбница для производной - отношение дифферен-
циала зависимой переменной к дифференциалу независимой пере-
менной.
92
§ 22. Правила дифференцирования
22.1. Дифференцирование — линейная операция
Пусть функции / и д дифференцируемы в точке х . Тогда для
любой постоянной a (af)' = af и (/ + д)' = f' + д' • Это следует
из соответствующих свойств пределов.
Лекция 20
(15.11.67)
22.2. Геометрический смысл
дифференцируемости
Определение. Наклонная прямая, проходящая через точку
Mq (хо,2/о) 5 называется касательной к графику функции в точке
xq , если разность ординат точек графика и прямой при Дх —> О
есть о(Дх) .
Теорема (геометрический смысл дифференцируемости).
Функция у = f (х) дифференцируема в точке xq тогда и толь-
ко тогда, когда у графика функции имеется касательная в этой
точке. При этом уравнение касательной имеет вид
Y ~Уо = /До)(ж - х0).
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в
точке xq . Тогда у — yQ = f(xo)A.XQ + о(Дхо) и, значит, прямая
У = Уо + /'ДоДж — xq) - касательная, так как у — Y = о(Дх) .
Обратно, если для какой-нибудь прямой Y = yQ + А(х — xq) вы-
полняется условие у — Y = о(Дж) , то
У - Уо = AAxq + о(Дхо),
следовательно, функция дифференцируема и А = /'До) • ►
Отметим, что dy = Y — yQ - приращение касательной (рис. 5.3),
a f(xo) - тангенс угла наклона касательной.
Прямая, проходящая через точку Mq^xq^q) и ортогональная
касательной называется нормалью функции в этой точке. Уравне-
ние нормали функции
Y - yQ = -у~—(т - -
93
Рис. 5.3. Геометрический смысл дифференцируемости.
22.3. Механический смысл производной
Пусть точка движется по оси, s(t) - перемещение точки от начала
движения. Тогда = v - средняя скорость за время Д£ . Если
устремим
Д^ 0 , то получим
lim = v(t0)
At—>0
- скорость дви-
жения в момент времени to . Тогда ds = v(to) At - длина отрезка
пути, который точка прошла бы за время At, если бы стала дви-
гаться с постоянной скоростью v(to) .
Рис. 5.4. f (х) = signx , f'(0) = Too .
94
Замечание. Если lim = +сю (или lim = —сю), то гово-
рят, что функция имеет бесконечную производную. В этом случае,
если функция непрерывна в точке х$ , то считают, что х = xq - ка-
сательная к графику функции в точке xq (см. примеры на рис. 5.4
и рис. 5.5).
и
Рис. 5.5. /(х) = \/х , /'(0) = +сю ; х = 0 - вертикальная касатель-
ная.
22.4. Правила дифференцирования
Теорема. Пусть функции и = и(х) и v = г(х) определены в
окрестности точки х и дифференцируемы в этой точке. Тогда их
сумма, разность, произведение, а если v(x) 0 , то и частное
дифференцируемы в точке х и верны формулы
1) (u(x) ± v(x))z = и'(х) ± и'(х);
2) (и(х) • v(x))z = t/(x)v(x) + и(х)Д(х);
( u(x)V u'(x)r(x) - и(х)Д(х)
3) (дд) =-------Д7Д------- Ихо) * 0)'
Доказательство. Зададим приращение Д.г = h независимой
переменной, при этом функции и и v получат приращения Ди и
Дг.
1) Пусть /(х) = и(х) + v(x) . Тогда функция / получит прира-
щение
Д f = f (х + Ji) — f (х) = и(х + Ji) + v(x + Ji) — (u(x) + u(x)) =
= u(x + h) — u(x) + v{x + h) — r(x) = Ди + Ди .
95
Следовательно
г г
lim —— = lim
h—^0 h h—^0
Au Au\
~h + ~h )
= uf(x) + v'(x).
Аналогично для разности функций.
2) Пусть д(х) = u(x)v(x) . Тогда функция д получит прираще-
ние
Ар = д(х + h)~ д(х) = и(х + К) • v(x + Ji) — u(u)u(u) =
= и(х + h)v(x + h)~ u(x)v(x + h) + u(x)v(x + Ji) — u(u)u(u) =
= Au • v(x + h) — u(x) • Au .
Отсюда, так как функция v(x) дифференцируема в точке х , зна-
чит, непрерывна в этой точке и lim v(x + h) = u(u) , следует
/7 \ T ^9 T Т 7 7 \ 7 \
а (х) = lim —— = lim —— lim v(x + ri) + и(х) lim —— =
h h—^Q h h^Q h^Q h
= u/(u)u(u) + u(x)i/(x).
3) Пусть и u(u) 0 . Тогда 3 O(x) V x + h e 0{x)
v(x + h) 0 и
u{x + h) u(x)
v(x + h) v(x)
u(x + h)v(x) — u(x)v(x) — u(x)v(x + h) + u(x)v(x)
v(x)v(x + h)
/\u • v(x) — u(x) • Au
u(u)u(u + h)
Так как u(u) дифференцируема в точке х , то она непрерывна в
этой точке, следовательно, lim v(x + h) = u(u) , и
(uTu) = lim —= lim
h—>0 h h—>0
u(u) v(x + h)
u/(u)u(u) — u(u)u/(u)
96
Теорема о производной сложной функции. Пусть и(х) диф-
ференцируема в точке xq и uq - ее значение в точке xq . Пусть
у = /(и) дифференцируема в точке uq . Тогда сложная функция
F(x) = f дифференцируема в точке xq и имеет место фор-
мула F'(x0) = /До) • и'(ж0).
Доказательство. Функция f дифференцируема в точке uq .
Следовательно приращение функции f в точке uq с шагом Au = к
равно
Afe/(u0) = /До) • к + а(к) к,
где lim а(к) = 0 . Положим <а(0) = 0 . Тогда а Е С(0) и формула
к—^-0
Akf(u0) = /До) • к + а(к) • к верна также и при к = 0 . Пусть
Л/гЩо) = и(х0 + Л.) - и(я?о).
Рассмотрим
AF(a?o) = / (Що + Л.)) - / (и(х0)) =
= / (и(хо) + АЩаД) - / (u(so)) = Ak=&hu(z0)FЦо) =
= /'(uo)A/lu(xo) + a (Ahu(x0)) Ahu(x0).
Тогда
, _ AhF(x0) _
h
= /До) • lim ДДД + цт а (&hU(Xo)) Цт ДДД .
h—^Q h h^Q h
Здесь функция u(x) дифференцируема в точке xq , значит, u(x)
непрерывна в точке xq , и следовательно,
lim Д/щДо) = lim (u(xq + h) — u(xq)) = 0 ,
h—>0 h—>0
но тогда и
lim a (A/1u(xq)) = a(0) = 0 ,
h—^Q
так как a e C(0) . Поэтому
F'(x0) = /До) • u\xQ) + 0 • u'(x0) = /'(u0) u\xQ).
Мы получили формулу
(/(u(x)))' = /'(u(x)) • u’(x). ►
97
22.5. Инвариантность формы дифференциала
первого порядка
В предыдущей теореме мы получили формулу для производной
сложной функции у'х = у'и- их . Тогда для дифференциала
df(xo) = dy = y'xdx = у'и • u'xdx = у'и- du = F\uo)du,
и значит, dy = y'udu. В других обозначениях, если у = у(х) , а
х = <p(t) получим dy = уXdx . Но эта же формула верна для диф-
ференциала функции, когда х - независимая переменная. Это и
значит, что имеет место свойство инвариантности формы первого
дифференциала.
Заметим, что так как производная у' = , то для производной
сложной функции получается формула .
22.6. Дифференцируемость обратной функции
Теорема (дифференцируемость обратной функции).
Пусть функция у = у(х) определена, строго монотонно возрас-
тает {убывает) и непрерывна в окрестности О{х$) точки х$ .
Обозначим уо = f {xq) . Тогда, если существует f'(xo) ф 0 , то
существует производная обратной функции tp'{yo) = / , т.е.
Х’у = Ц- .
у ух
Доказательство. Дадим приращение /\у, тогда Дх
- приращение обратной функции. Рассмотрим (заметим, что
Лу =Ф Д.г 0 - следствие строгой монотонности, Лу —> 0 =Д
Дх —> 0 - следствие непрерывности). Тогда по теореме о пределе
сложной функции
.. Дж
пт ——
/\у
lim
Ay—>0
1
Ау
Дх
1 _ 1 _ 1
lim “ lim “ ¥х
Д?/^0 Дх^О
Таким образом, х'у = . ►
98
Лекция 21
(17.11.67)
§ 23. Производные элементарных
функций
1) Если f (х) = с , с = const, то
2)
f (X) = 11Ш ---------:--------
lim (~—— = 0.
/i->o h
, , sin(a? + h) — sin ж , sin 4 • cos (x + 4)
(sin ж = lim —v /----------- = lim 2-----------------i-------IL =
h-ю h /i->o h
sin 4 / h\
= lim —lim cos \ x H— = cos x ,
/г—>0 /i^O \ 2 J
так как cost - непрерывная функция.
3) (cost/ = (sin + f)) = cos (x + • 1 = — sinx .
4)
(tgs)' =
cost • cost — sinx • (— sinx)
cos2 x
---— , cos x 0 .
COS2 X
5) (ctga?)' = , sinz^O.
6) Пусть /(ж) = loga x , a > 0 , a 1. Имеем
А/ = loga(s + 7г) - loga(a?) = loga
Так как u(h) = (1 + ^) h - непрерывная функция и lim u(h) = e ,
f'( 1- 1- 11
f (x) = lim —— = lim — log,
J v 7 h^Q h h^Q h '
h\ x
— = Inn —
= lim — log,
h^Q X
1
xlnn
99
7)
f (х) = lim-----—
J v 7 h^Q h
h
и(К) = ah — 1. Тогда
и
Обозначим
7 _ 1п(1+Л)
Г1 ~ In а
(In ж)7 = — .
X
8) Пусть f(x) = а1' . а > 0 , а 1. Имеем
ah — 1
ах lim —---.
h-X) h
= 1 + u , h In a = ln(l + K) ,
• In a = ax In a .
ШЦ -xu)
9) Пусть f (x) =xa, x > 0 , ael. Так как f (x) = xa = еа1пж 5
flx\=e<^.“=x‘.“ =
X X
При a > 1
Л0) = i„„ = llnl
x—^O X x^Q X
Если f (x) = x , to /'(0) = lim = 1.
10)
, . v 1
(arcsm x) = .
k ’ VT^
Функция у = arcsinx - обратная к функции х = sin?/ при у из
отрезка — . По теореме о производной обратной функции
axa 1.
= lim xa 1 = 0 .
x—>0
х' cosy +л/1 - sin2 у V1 - Ж2 ’
11)
/ V 1
(arccosT =-------. .
Так как arccos х = — arcsin х , то
(arccosx)z = — (arcsinх/ =------— 1 < х < 1.
V1 — х2
100
12)
(arctga:)' = ——.
Функция у = arctg x - обратная к функции x = tg у при у из
интервала . По теореме о производной обратной функции
/ 1 2 1 1
у " = cos y = =
13)
, . V 1
(arcctga?)
§ 24. Производная n-го порядка
24.1. Производные высших порядков
Пусть функция у = /(х) определена для х из интервала U , имеет
производную у' = f(x) при х е U и пусть точка xq е U . То-
гда производная у' = /'(х) определена как функция в некоторой
окрестности O(xq) . Обозначим ср(х) = f'(x) (х Е O(xq) ).
Определение. Если существует - производная от первой
производной функции / , то она называется второй производной
функции f в точке xq , т. е.
ГЫ = XWt=X0
Аналогично, третьей производной функции f в точке xq назы-
вается
ГЫ =
и так далее,
/(п)Ы = (Г^Ц)/
- п-ая производная, или производная п-го порядка, функции f в
точке xq .
Примеры.
1) f (х) = ах (а>0); f(x)=axlna; f = ах lnn а .
2) f(x) = ех ; /(п)(х) = ех .
101
3) /(х) = sinх ; /'(х) = cost = sin(x+^) ; /(n\x) = sin(x+n^) .
Формула доказывается методом математической индукции. Так как
формула верна при п = 1, то предположив, что формула верна для
некоторого натурального п, покажем, что она верна для п + 1:
/(п+1)(х) = cos (ж + =
. / 7Г 7Г\ . / , _.7Г\
= S1H + п— + — J = S1H + (п + •
4) Аналогично, для /(х) = cost методом математической ин-
дукции доказывается формула f = cos(x + пЛ) .
5) f (х) = ха , а N; Д(х) = о/х°~г , fff(x) = а(а — V)xa~2 , ...,
= а(а — 1)...(а — п + 1)ха-п .
6) f(x) = Inx ; f'(x) = 1 = X-1 ,
/(пД) = (х-1/"”1) =
= (—1)(—2)... (-(п - 1)) х~п = (-1)п+1(п - 1)! х~п .
Упражнение. Проверить методом математической индукции.
Пусть для функций и = и(х) и v = v(x) существуют производ-
ные любого порядка к = 1,2,...,п. Отметим некоторые свойства
оператора дифференцирования n-го порядка.
1) . Оператор дифференцирования n-го порядка - линейная опе-
рация, т. е.
(и + (q = const).
2) . Будем считать, что и п°=пр’ и . т0Гда имеет место формула
Лейбница:
(и • v)^ = + С^и^п~^ • i/1) + + ...+
+ <Д w(n“feMfe) + ... + .
к=0
Доказательство проведем методом математической индукции. Обо-
значим у = их . При п = 1 имеем у1 = иЛ + их1. Пусть формула
102
верна для некоторого натурального п . Тогда
у(п+1) = u(n + l) . w + (Х + С1) и(п) . v(l) +
+ (С* + С2) + ... + w(n+1) =
= u(n+1) • v + (C*1+1) u(n) -V(1) +
+ (C2+1) + ... + ш/п+1’ .
Пример. Пусть у = (sin 2х) х2 . Тогда по формуле Лейбница
У(п) =
= (sin2a?)('ra') • х2 + п (sin2s)<'ra_1'1 • 2х + п^п—-(sin2x)^n-2-)2 + 0 =
= 2пх2 sin ^2х + + п2пх sin ^2ж + (п — 1)т0 +
+ n(n — l)2n-2 sin ^2х + (п — 2)^ .
3) . Используя формулу Лейбница, можно написать формулу
Упражнение. Написать формулу для •
24.2. Дифференциалы высших порядков
Пусть функция у = /(х) определена для х из интервала U , имеет
производную у' = f'(x) для х е U, и пусть точка х$ е U. Тогда
dy = f'(x)dx = y'dx.
Пусть далее Д.г = dx , и Дх будет постоянно при определении
дифференциалов высших порядков. Тогда dy - функция от х в U .
Вторым дифференциалом функции в точке xq называется диффе-
ренциал от dy в точке то , т. е.
d2y= d(dy)\x=xo .
И так далее,
dny=d(dn~1y)\x=xo
103
- дифференциал п-го порядка.
Если х - независимая переменная, и А.г = const, то
dy = у' dx,
d2y = d (у' dx) = dxdy1 = у" (dx)2 = у" dx2 ,
dny = y^dxn .
Из последней формулы следует что у^ = .
Пусть теперь у = F(x) , х = ip(t) - зависимая переменная,
у = F(cp(t)) - сложная функция от независимой переменной t.
Тогда (здесь все производные по х )
dy = y'dx,
d2y = d(y' • dx) = dy'dx + y'd (dx) = y"dx2 + y'd2x .
Мы видим, что формулы для вторых дифференциалов в случаях,
когда х - независимая переменная, и когда х = cp(t) , различные,
инвариантности формы второго дифференциала нет. Но если ip(t)
- линейная, то d (dx) = 0 и формула сохранится.
24.3. Механический смысл второй производной
Пусть материальная точка движется по прямой. Если s = s(t)
- расстояние от точки до начала отсчета, то s'(to) - скорость, а
s"(to) - ускорение в момент времени to .
§25. Теоремы о конечных приращениях
Теорема Ферма. Пусть функция у = f(x) определена в окрест-
ности О = O(xq) и пусть
а) f(xo) > f(x) ^х £= О (или f(xo) < f(x) Ух 6 О), т.е. в
точке то экстремуму
б) существует f'(xo) .
Тогда f'(xo) = 0 .
Доказательство. Докажем теорему для случая f(xo) > f(x)
Ух Е О . По определению f'(xo) = lim Оо) . Для х > xq
х—>Х0 х х°
104
имеем £1^1—£1^1 < о . Тогда lim Яж)/(жо) < о . Отсюда следует,
х х° х^хо+О х х°
что f'(xo) < 0 . Для х > xq получим lim Q > 0 . Значит
ФЫ > 0 . Итак, 0 < f'(xo) < 0 . Следовательно, f'(xo) = 0 . ►
Теорема Ролля. Пусть функция у = /(х) определена на [а, Ь] и
a) f непрерывна на [а, Ь] ;
б) f дифференцируема на (а, Ь) ;
в) /(а) = f(b).
Тогда существует такая точка с е (а, Ь), что f'(c) = 0 .
Рис. 5.6. Геометрический смысл теоремы Ролля.
Доказательство. Так как f непрерывна на [а, Ь] , то она дости-
гает на этом отрезке своих верхней и нижней граней: 3 а?о, ад Е [а, Ь]
М = sup /(а?) = /До) , т = inf /(а?) = /(ад) . Рассмотрим два слу-
[a,b] [М
чая.
а) М = т . В этом случае на отрезке [a, b] f(x) = C = const, и
значит, Vc Е (а, 6) f'(c) = 0 .
б) М и т различны, и тогда т < М . В этом случае по крайней
мере одна из точек а?о,ад принадлежит (а, 6) (ввиду условия в)
теоремы). Пусть xq Е (а, 6) = О, тогда xq - точка максимума
функции / , /'До) = 0 по теореме Ферма, и с = xq . ►
Теорема Лагранжа. Пусть у = f Д) определена на [а, Ь] и
a) f непрерывна на [а, Ь] ;
б) f дифференцируема на (сц 6).
105
Тогда найдется точка с Е (а, Ь) такая, что
Ж - /(а)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f (х) — kx . Подберем константу к так, чтобы F(a) = F(b) ,
т. е. /(а) — ка = f(b) — kb . Тогда к = и ПРИ этом значении
к функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Значит, су-
ществует точка с Е (а, Ь) такая, что F'(c) = 0 , т. е f'(c) — к = 0 .
Откуда /'(с) = /(ьу^(а) . ►
Следствие (формула Лагранжа — формула конечных при-
ращений). Пусть у = /(ж) непрерывна на отрезке [ад, #2]
дифференцируема на интервале (ад, ад). Тогда найдется точка
£ , ад < £ < ад , такая, что приращение функции на отрезке
равно Щ2) - /(Щ = (ж2 -
Замечания. 1 (геометрическая интерпретация). Теорема Лаг-
ранжа утверждает, что найдется точка с Е (а,Ь), в которой каса-
тельная к графику функции имеет угол наклона такой же, что и
хорда, соединяющая точки графика с абсциссами а и b (рис. 5.7)
(в теореме Ролля в точке с касательная горизонтальна (рис. 5.6)).
2. Теорему Лагранжа можно доказать применяя свойства аф-
финных преобразований.
3. Для отрезка [х,х + Да?] теорема Лагранжа утверждает, что
3 £, х < £ < х + Д х , Ay = f '(£) Д х . Так как £ = х + О А х , где
О < 0 < 1, то формулу можно переписать А у = f'(x + $ Дх)Дх .
106
Итак, если функция у = /(х) дифференцируема в некоторой
окрестности точки х, то ее приращение Д?/ = /'(х + Дх)Дх ,
где 0 < 0 < 1.
Лекция 22
(22.11.67)
Рис. 5.8. Такой производной быть не может.
Рис. 5.9. Такая производная может быть.
4. Пусть функция у = /(х) непрерывна на отрезке [то, xq + 5] ,
6 > 0 , и дифференцируема на интервале (xq^xq + 5) , и пусть
существует lim /z(x) = А . Тогда существует
х—>хо+0
.. Д?/ .
lim —— = А .
Ах^+О Дх
107
Докажем это утверждение. Возьмем произвольную точку х из ин-
тервала (хо,жо + д) . По теореме Лагранжа найдется точка £ из
интервала (хо,ж) такая, что
Ау = /(ж) - Що) = .
Ах X — Xq
Очевидно, что £ —> то при х -Е xq . Так как lim f'(x) = А,
то Vs > 0 3 0(До) е O(xq) |Д(£) — А| < s. Но тогда и
| — д| < s , что и означает, что Др(х) = А . ►
Аналогичное утверждение верно и для случая х е [то — жо] ?
lim f'(x) = В и f’ (х) = lim 4^ .
V 7 7 ' } А.т;ч-0Лж
Из этих утверждений следует, что производная некоторой не-
прерывной функции не может иметь точек разрыва первого рода.
Иными словами, не может быть такого графика производной непре-
рывной функции, как на рис. 5.8. Производная как на следующем
рис. 5.9 может быть.
Определение. f'+(x) и f'_(x) называются, соответственно, пра-
вой и левой производными функции f(x) в точке х .
Теорема Коши. Пусть две функции fug определены на [а, Ь] и
а) функции f , g непрерывны на [а, Ь] ;
б) / , g дифференцируемы на (а, 6) ;
в) д'(х) ф 0 на (а, 6).
Тогда существует точка с е (а, 6) такая, что
f (с)
9'(с) gX)-g(a)~
Доказательство. Заметим, что д(Ь) д(а) , так как иначе
по теореме Ролля в некоторой точке х Е (щЬ) д'(х) обращалась
бы в 0. Рассмотрим функцию F(x) = /(х) — кд(х) . Подберем кон-
станту к так, чтобы F(a) = F(6) , т. е. /(а) — к • р(а) = /(6) — к • .
Тогда к = и ПРИ этом & функция F удовлетворяет услови-
ям теоремы Ролля. Значит, существует точка с Е (сцЬ) такая, что
F'(c) = 0 , т. е. f'(c) — к • д'(с) = 0 , откуда Ащт = к = • ►
\ ’ J \ J ij \ J ч д'(с) д(Ь)-д(а)
108
§ 26. Правила Лопиталя
Теорема (неопределенность типа ). Пусть функции f и
д определены в некоторой правой окрестности (а, Ь) точки а,
Ъ > а . Пусть
1) lim f(x) = 0 , lim q(x) = 0 ;
2) существуют f'(x) и д'(х) в интервале (а,Ь), и д'(х) ф О
в этом интервале;
3) lim существует и равен А е R .
х—>а+0 Vх'
Тогда lim также существует и равен А .
х—>а+0 вЕЧ
Доказательство. Рассмотрим случай, когда А и а
- числа из R. Из условия 3) следует, что Vs > О 35 > О Vx,
а < х < а + S, | — А | < s . Доопределим функции в точке
a: f(a) = 0, р(а) = 0. Возьмем любое х Е (а, а + 5). Функции
/ и д на отрезке [а, х] удовлетворяют условиям теоремы Коши:
они непрерывны на отрезке [а, х] , дифференцируемы на интервале
(а, х) и д'(х) ^0 на интервале (а, х) . По теореме Коши найдется
точка с Е (а, х) С (а, а + 5) такая, что ^^2^^ = ^yfy , откуда
/(х) f'(c) тт I /(ж) Л I /
получаем ^у = ^фу . Но тогда Ку^у — А < s , что означает, что
lim = А . ►
х—>а+0
Теорема (неопределенность типа — ). Пусть функции fug
определены в некоторой правой окрестности (а, 6), b > а , точки
а. Пусть
1) lim /(х) = сю , lim д(х) = сю ;
х—>а+0 х—>а+0
2) существуют f'(x) и д'(х) в интервале (а,Ь), и д'(х) Д 0
в этом интервале;
3) lim существует и равен А .
х—>а+0 Vх'
Тогда lim также существует и равен А .
х—>а+0 9{х)
Доказательство. По определению предела из условия
3) следует, что Vs > 0 , s < 1 , 3 Д > 0 УД а < t < a A 5q ,
|^7у|у — Л.| < s . Зафиксируем точку xq Е (а, а + 5q) • Тогда для
любого х < xq к функциям / и д на отрезке [х, то] можно
применить теорему Коши: найдется точка с Е (x,xq) С (а, а + 5о)
109
такая, что • Тогда | - л| < £ .
Далее, имеем тождество:
J-A-A-A =
9\%)
f(xo) - Ад(хр)
9{х)
_ 9{х0)\ //(ж) - /(ж0) _ '
\ 9{х) ) \д{х) - д{хо)
Так как д(х) —> сю (х —> а) , то 3 5 > О Vx , а < х < а 6q ,
д(Х) > д(х0) и |/(жо)Дз(жо)| < £ Тогда - а| < 2е . ►
Случаи, когда а и А бесконечные.
1) а = +сю . Положим t = . Тогда при х Too t +0 , и
lim Д4 = lim
lim
ш
9'<Х)
= А.
2)
А = Too . Из условия
lim = сю следует, что предел
х^а+0 9 \х)
lim о = 0 , значит существует lim ууу- = 0 и, следователь-
но, lim ДД = сю . ►
Лекция 23
(24.11.67)
§ 27. Формула Тейлора
27.1. Формула Тейлора для многочлена
Пусть дан многочлен Рп(х) = апхп + an-ixn~r + ... + ар . Зафик-
сируем точку xq е R. Так как х = xq + (х — xq) , то многочлен
можно переписать в виде
Рп(х) = Ао + Ai(x - х0) + ... + Ап(х - х0)п .
Положим х = то . Сразу получаем, что
Дг(^о) = Aq .
Продифференцируем многочлен:
Р„(х) = 41 + А2 • 2 • (а? - Жр) + А3 • 3 • (а? - хо)2 + ... + Ап • п • (х - хр)”-1,
110
И ПОЛОЖИМ X = Xq . ПолуЧИМ
Р'Ы = А..
Снова продифференцируем, получим
Рп(х) = 2А2 + 6А3(х - хо) + ... + п(п - 1)А„(х - хо)”-2 ,
Р^(х0)=21А2,
Д" (х0) = 3!А3,
F«(x0) = A:!Afc,
pW(x0) = n!An.
Следовательно,
Д Рпк)Ы , п п 9
Ak =----, где к = 0,1, 2,п .
к\
Мы пришли к тождеству
Р1\ pi А, 0(^0) z х Дп)(х0)
Рп(х) = Р„(х0) Ч--—(х — х0) + ... Ч--—----(х-х0) =
к=0
Замечание. Рассмотрим интерполяционную задачу. Пусть зада-
на точка xq . Надо построить многочлен, который сам и его про-
изводные в заданной точке xq принимали бы заданные значения
Ск = P^\xq) , А; = 0, 1, 2,...,п. Этим многочленом будет
Рп(х) = Со + |i(x - Хо) + ... + (х - Хо)” = У? 77 (ж - хо)к
1! п! к\
к=0
Чтобы определить многочлен n-го порядка надо задать (n + 1)
условие. Самая простая интерполяционная задача Лагранжа фор-
мулируется так:
найти многочлен, для которого Рп(хк) = ук , к = О, 1, 2, ...,п ,
Хк ф xi при к I.
111
27.2. Локальная формула Тейлора
с остаточным членом в форме Пеано
Пусть функция /(х) определена для х Е (а, Ь) и xq Е (а, Ь) . Рас-
смотрим несколько случаев.
1) Мы знаем, что если f(x) Е C(xq) , то f(x) = f(xo) + o(l) при
X -Е Xq .
2) Мы знаем, что если существует /'До) 5 то
/(х) = /(ж0) + /'(х0)(ж - ®о) + о (I® - ж0|) (я Жо) .
3) Из теоремы Лагранжа следует, что если существует /'(х) для
х Е (а, 6) , то 3 с Е (х0, х) / (х) = f (х0) + f(c)(x - х0) .
Все это простейшие случаи формулы Тейлора. Все они решают одну
и ту же задачу: заменить функцию простейшей функцией с неко-
торой точностью или получить значения функции вблизи точки xq
через значения функции и ее производных в точке xq . Например, в
случае 2) функция заменяется на линейную функцию с точностью
о(|х — хо|) . Если нужна более высокая точность, формула уже не
годится, нужно требовать от функции большую гладкость.
Рекомендованная литература: [12].
Пусть функция /(х) определена для х Е (а, 6), xq Е (а, 6) и
существует ДЩо).
Определение. Многочленом Тейлора степени п для функции /
в точке xq называется такой многочлен
= -En(x, Xq) = Рп(х, f\ Xq)
степени п, зависящий от xq и /, что P^\xq) = , где
к = 0, 1, 2, ...,п , т. е. это многочлен Рп(х) = 52 ~ х®)к •
к=0
Теорема (локальная формула Тейлора). Пусть п G N , функ-
ция f(x) определена для х Е (а, 6) , xq Е (а, Ь) и существует
. Тогда справедлива формула
/(х) = Рп(х, ^о) + О ((х - Х0)П) (х -Е Xq) ,
где Рп(х,хо) - многочлен Тейлора для функции f(x) .
Доказательство. Рассмотрим разность
Гп(х) = f (х) - Рп(х) ,
112
которая называется остаточным членом формулы Тейлора. Пока-
жем, что гп(х) = о ((х — хо)п) (х —> то) , что является эквивален-
тным тому, что 0 (х —> то) , т. е. надо доказать, что
существует предел lim , г^х\п и он равен 0. Имеем
х—>Х0
М^о) = f (До) - РП(ХО) = 0 ,
>( х fl( } \ ГЫ( УпДо) !
гп(х) = f (х)- f (х0)----— (х - Х0) - ... - (ж - жо)
<(хо) = 0,
r(nk\x0) = Q (fc = 0, 1, 2,...,п-1),
^n-1)(s) = /(n-1)(s) - /(n-1)(s0) - /(n)(s0)(s - S0) ,
откуда по правилу Лопиталя
,11П ';f''W =
х-^х0 (х — XQ)n х^хо п!(х — Xq)
1 г /Щ-ДяО-Щ-ДяД _(п), А .
= —- пт-----------------------р j(xq) =0,
П! х^хо \ X — Xq J
так как
X — Xq
Замечание. При п = 0 имеем случай вырождения. Для верности
теоремы необходимо дополнительное условие / G C(xq) .
Следствия. 1. При п = 1 получаем
f(X) = /(жо) + f'(x0)(x - So) + о ((х - Жо)) (ж So) (s->s0).
2. При п = 2
УД) = Що) + f'(x0)(x - So) + ^°\х - so)2 + о ((s - So)2)
(s -> So) .
3. В общем случае
f^x) = Fn(s) + о ((s - s0)n) (s->s0).
113
27.3 . Замечание о единственности
многочлена Тейлора
Пусть выполняются все условия локальной формулы Тейлора и
f(x) = Qn(x)+o((x-xo)n) при X~^XG.
Тогда
Qn(x) = Рп(х, /, х0) = Рп(х) •
Доказательство. По формуле Тейлора
f (х) = Fn(x) + о ((х - х0)п) (х то).
Рассмотрим разность Рп(х) — Qn(x) = о ((х — хо)п) (х хо) .
Запишем Qn(x) в виде
п
Qn(x) = У2 77^ - ®o)fe
к\
к=0
Докажем, что = /^\хо) . Допустим, что это неверно. Пусть
Ck0 ~ младший коэффициент, для которого /^(^о) . Тогда
получим, что /(feo)(sO) — Ск0 = о(1) при х —> хо . Отсюда получим
Ск0 = /(fco)(x0) , вопреки предположению. Значит Qn(x) = Рп(х) .
►
Лекция 24
(29.11.67)
27.4 . Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа
Пусть функция /(х) определена для х е (а, 6) , xq 6 (а, Ь) и суще-
ствует /(п)(х0) . Мы уже знаем, что тогда справедлива формула
f (х) = Рп(х) + о ((х - хо)п) (х Хо) ,
или /(х) = Рп(х)+гп(х,х0) , где гп(х,х0) = о ((х - х0)п) (х х0)
- остаточный член формулы Тейлора. Но такая формула не позво-
ляет нам численно оценить величину гп(х,хо) . В простейшем слу-
чае при п = 0 из теоремы Лагранжа f (х) = f (xq) + f'(c)(x — хо)
114
получаем ro(x,xo) = f'(c)(x — xq) . Тогда, например, если имеет
место оценка |/z(x)| — Ml Для х (а, 5) , то можно оценить и
остаток формулы Тейлора:
|го(х,хо)| < Ml \х - х0| .
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа). Пусть функция f(x) определена для всех х е (а, 6),
xq е (а, Ь) , п - целое неотрицательное число, f^(x) существует
на интервале при всех к = 0,1, 2,..., п , f(n+1\x) сущест-
вует для всех х Е (а, Ь) за исключением, быть может, самой
точки xq , т.е. х Е {a, b) \xq . Пусть также f(n\x) Е С (а,Ъ).
Тогда \/х Е (а,Ь) справедлива формула
Дж) = /До) + ^°'1 (х - х0) + ... + п\Х°’>(х ~ хо)п +гп(х,хо),
где гп(х,хо) - остаточный член в форме Лагранжа - имеет вид
гп(х,х0) = ---—ДД - я?о)п+ ,
(п + 1)!
где xq < с < х для случая xq < х .
Доказательство. Имеем
( \ fl \ f( \ ( А /(п)(я?о) ,
Гп(х,хо) = J(x) - /До)------ (X - Xq) - ...--:-- (X - Х0) .
1! п!
Рассмотрим вспомогательную функцию <p(z) для фиксированного
х , где xq < z < х :
= f(x)-f(z)-^-^- (х - z)-...-f (x -z)n, z G [xo,x] .
Функция <p(z) E C[xq,x], если x E (а,Ь). В концах отрезка
[хо,х] ^(х) = 0 и tp(xo) = rn {x,xq) . Кроме того, на (xq,x) функ-
ция дифференцируема и
+ ... -
/(га+1Д)
п!
(х - z)n +
/(гаД)
(п — 1)!
(х - z)n~r =
115
Рассмотрим еще одну функцию ^(z) £ С[хо,ж], 'Ф'(г) 0 на
(хо,ж). Применим к функциям на отрезке [хо,ж] теорему
Коши. Получим равенство для некоторой точки
xq < с < х . Подставим сюда значения функции ср и получим
гп Цжр) =1 /(п+1)(с) ( _ р
V7 (то) — V7 (т) V7^63) п-
Отсюда
ф(х0) - ф(х) Рп+14с) }п /\
гп (х, хо) =-------тт----------j---(х - с)п , *
гр [с) п\
где xq < с < х . Выберем = (х ~ z)n+1 . Тогда гр(х) = 0 ,
^(гг0) = (х — жо)п+1 , = — (п + 1)(х — z)n , и значит
тп (ж, ж0) = , * , /(”+1) (с) (ж - Жо)”+1 ,
\п + 1)!
где Xq < С < X .
Это и есть остаточный член в форме Лагранжа. ►
27.5 . Сравнение формул Тейлора
с остаточными членами
в форме Пеано и Лагранжа
Предположим, что функция /(х) определена для ж € (а,6), точка
xq Е (а, 6) и существует /(п+1\х) для всех х Е (а, Ъ) . Тогда по
формуле с остаточным членом в форме Лагранжа
/(ж) = Рп(х,хо) + - Ж°)П+1 ’
(п + 1)!
Xq < С < X .
Следствие. Обозначим Мп+\ = sup |/(п+1\ж)| . Тогда для любого
(а,Ь)
х Е (а, Ь)
К (X, Хо)| < 1(ж-а:о)|п+1 ’
\f(x)-Pn(x,x0)\ < 2Е^_|(Ж-Жо)|"+1 .
116
По формуле с остаточным членом в форме Пеано
/(ж) = Рп+1 (х, ®о) + о (у - x0)n+1) =
= /(ж0) + ...+ ^ ^°ф-а?о)га+1+о ((ж - xo)n+1) (х -> х0).
(п +1)! \ /
Отметим, что без предположения непрерывности f^n\xo) из
формулы с остаточным членом в форме Лагранжа не следует фор-
мула с остаточным членом в форме Пеано.
27.6 . Запись формулы Тейлора
через дифференциалы
В формуле Тейлора
/(а?) = /(ж0) + ^/'(аДДжо + ||/"(хо) (Дхо)2
+ + Д/(п)(ж0) (Дхо)” + гп (х, Жо)
п\
ПОЛОЖИМ dx = A Xq = X — Xq . Тогда
/(ж) = /(я?о) + -^df(x0) + d2f(xo) + ... + -1 dnf(x0) + тп (я, х0) ,
1! 2! п\
т. е.
п х
УДо + dx) = f(x0) + У2 — dkf(x0) + гп (х, Xq) ,
к=1
ИЛИ
п
д f(xo) = У? Т7 dkf(xo) + О ((dx)n) (х -> х0)
- формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, и
п I 1
ДУДо) = ^тХкХхо) + ( , П| ^га+1/(с), ХО < С < X,
к\ (п + 1)!
fc=i
- формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
117
27.7 . Формула Тейлора
с остаточным членом в форме Коши
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Коши). Пусть функция f(x) определена для всех х Е (аД) , п
- целое неотрицательное число, xq Е (а, b), f^n\x) Е С (а, Ь),
/(П+1Д) существует для х Е (а, b) \xq . Тогда
/(п+1)(хо + 0(х-хо)), , ,п+1
Гп (ж, Xq) = ------;--------(1 - е)п(х - Xq)U^ ,
п\
где 0 < 3 < 1.
Доказательство. Положим в формуле (*) 'ф(г) = х — z .
Тогда 'ф(хо) = х — xq , ф(х) = 0, ^r(z) = —1, и мы получаем
остаточный член формулы Тейлора в форме Коши
j(n+l)/c\
гп(х,х0) =----:—~{х - xq){x - с)п , где Xq < С < X .
п\
Можно записать с = xq + в(х — то) , где 0 < 0 < 1. Тогда
х — с = (1 — 3)(х — то) и остаточный член в форме Коши мож-
но переписать в виде
rn (X, хо) = /(П+1)(Ж° + в^Х - Х°» (1 _ вПх _ Жо)п+1 . ►
п!
27.8 . Частные случаи формулы Тейлора
Пусть то = 0 .
1. Пусть f(x) = ех . Тогда f(k\x) = ех , f^k\0) = 1, и для
любого неотрицательного целого п
2 п п к
X X X , х v л X , х
е = +ТТ + ¥ + - + ^ + Гп(ж) = 52 д +Гп^ ’
к=0
где гп(х) = о (хп) (х —> 0) .
2. Пусть а Е R , f (х) = (1 + х)а . Тогда
/Дх) = а(а - 1)...(а -к + 1)(1 + х)а~к ,
118
и для любого неотрицательного целого п
/-1 \ гу -1 а — 1) 2
(1 + х)а = 1 + -х + 2! Л2+
а(а - - п + 1) п ч
+ ... + —----------------хп + гп X =
п!
= Е -—------------------~х +’
к=0
где гп(х) = о (хп) (х —> 0) . Для натурального а = т получим
формулу Бинома Ньютона.
119
Глава 6
Исследование функций
при помощи
производных
Лекция 25
(01.12.67)
Предполагается, что известны некоторые свойства функции:
гладкость и дифференцируемость. Нас будут интересовать следу-
ющие вопросы.
1. Исследование функции в окрестности точки xq относитель-
но горизонтальной прямой у = /(#о) (постоянство, монотонность,
экстремумы).
2. Исследование функции относительно ее касательной (выпук-
лость, вогнутость, точки перегиба).
Все исследования будем проводить локальные.
§ 28. Условие постоянства функции
Теорема (условие постоянства функции). Пусть функция
f(x) определена и дифференцируема на (а, Ь) . Для того, чтобы
f(x) была постоянной на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы
f'(x) = 0 Vx Е (а, 6) .
120
Доказательство. Необходимость очевидна: если
/(х) = с, то /'(ж) = 0.
Достаточность. Пусть f'(x) = 0 \/ж 6 (а, b) . Докажем, что
Vxi,T2 6 (а, 6) выполняется /(жД = /(Ж2) . Рассмотрим отрезок
[xi, Х2] С (а, Ь) . Применим к функции f на отрезке [жх, Ж2] формулу
Лагранжа, получим
Щ2) - /(Ж1) = (х2 - Щ/Д) = о, где Х!<£<х2,
откуда /(xi) = f(x2) . ►
Следствие. Определенные и дифференцируемые на интервале
функции отличаются на константу тогда и только тогда, когда
их производные равны.
Доказательство.К разности функций применим предыду-
щую теорему. ►
Теорема (о стирании особенностей). Пусть функция f(x)
определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] . Пусть имеется конеч-
ное множество Е точек Xi е [a,b\ , i = 1,2, ...,п, таких, что
f'(x) =0 (х Xi) . Тогда f(x) = с Ух е [а, Ь] .
Доказательство. Можно считать, что концы отрезка
[а, Ь] включаются в множество Е, причем Ж1 = а , хп = b. От-
резок [а,Ь] разбивается на отрезки [xi,Xi+\], г = 1,2, ...,n — 1.
На каждом из этих отрезков функция непрерывна и дифферен-
цируема внутри этих отрезков. По формуле Лагранжа (см. след-
ствие из теоремы Лагранжа и. 25 с. 106) если х,х' Е [xi,Xi+{\ ,
то f(x) = f(x') . Значит, на каждом отрезке [xi,Xi+{\ получим ра-
венство f(x) = f(xi) = /(xi+i) . Так как на концах этих отрезков
точки принадлежат соседним отрезкам, то f(x) = const на всем
отрезке [а, Ь] . ►
Следствие. Пусть функции fi(x) , /2 (ж) £ С[а,Ь] и имеют про-
изводные во всех точках отрезка, за исключением, быть может,
точек Xi Е [a,b\ , i = 1,2,...,п, причем f[(x) = /Дж), х ф Xi .
Тогда fi(x) = /2(ж) + с У х Е [а, Ь] .
§ 29. Условие монотонности функции
Теорема (необходимое и достаточное условие монотонно-
сти функции). Пусть функция f(x) определена и дифференци-
руема на (а, Ь) . Для того, чтобы функция f(x) была возрастаю-
121
щей (убывающей) на (а, Ь) , необходимо и достаточно, чтобы ее
производная была неотрицательной (неположительной) для всех
х Е [а, Ь] .
Доказательство. Необходимость. Пусть функ-
ция возрастает на интервале (a, b) , xq Е (а, Ь) . Возьмем х > xq .
Тогда f(x) — f(xo) > 0 и > 0 . Перейдем к пределу при
х -Е xq + 0 и получим /'(xq) > 0 . Аналогично ДЛЯ X < Xq .
Достаточность. Пусть \/х Е (a,b) f'(x) > 0 . Возьмем
х > xq . Тогда по формуле Лагранжа для некоторого £, xq < £ < х ,
f(x) — /(xq) = (х — xq)/'(^) > 0 . Значит, функция возрастает.
Аналогично рассматривается случай /'(х) < 0 и убывающей функ-
ции. ►
Теорема (достаточное условие монотонности). Пусть f(x)
непрерывна на (а, Ъ), xq Е (а,Ъ) и \/х Е (a, b) \xq f'(x) > 0 . Тогда
f(x) возрастает на всем (а, Ь) .
Доказательство.В силу предыдущей теоремы и непрерыв-
ности функции на интервале (а, Ь) функция возрастает на полуин-
тервалах (а, то] и [хоД) . Следовательно, для любых точек х,х'
из (а,Ь) таких, что х < xq < х' имеем f(x) < /(xq) < f(x') для
точек х, х' из (а, Ь) таких, что х < xq < х'. Таким образом, /
возрастает на (а, Ь) . (Заметим, что в точке xq производная может
и не существовать.) ►
Теорема (достаточное условие строгой монотонности фун-
кции). Пусть f(x) определена на (а,Ь) и f'(x) > 0 \/х Е (а,Ь).
Тогда f(x) строго возрастает на (а, Ь) .
Доказательство. Пусть х < х'. По формуле Лагранжа
f(x') — f(x) = (х' — х)/Д) > 0 , х < £ < х'. Значит f(x') > f(x) .
►
Теорема (необходимое и достаточное условие строгой мо-
нотонности). Для того, чтобы функция f(x) строго возрастала
на (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы
1) f(x) > 0 Vx Е (а, Ь) ;
2) V (а, /3) С (а,Ь) 3 х Е (а, /3) f'(x) > 0 .
Замечание. Условие 2) означает, что множество
{х Е (a, b) : f'(x) > 0}
плотно в (а, Ь) .
Доказательствотеоремы. Необходимость условия
1) ясна. Если существует (cto? До) и f'(x) =0 \/ х Е (сццДо) , то на
122
всем этом интервале функция постоянна. Следовательно условие
2) тоже необходимо для строгого возрастания функции.
Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2). То-
гда по теореме о необходимом и достаточном условии монотонно-
сти функция возрастает. Надо доказать, что она строго возрастает.
Предположим противное. Пусть существуют точки а, {3 такие, что
а < (3 и /(а) = /(/3) . Тогда f(x) = с Vx е (а,/3) и f(x) = 0 на
(а,/0) , что противоречит условию 2). ►
Теорема (достаточное условие строгой монотонности с иск-
лючительной точкой). Пусть функция f(x) определена и не-
прерывна на интервале (а, 6), xq е (а, Ь) , и пусть производная
f'(x) > 0 для всех х е (а,Ь) \xq . Тогда f(x) строго возрастает
на (а, Ь) .
Доказательство аналогично случаю нестрогой монотонности.
§ 30. Экстремумы и строгие экстремумы
функции
Определение. Функция /(х) , определенная в интервале (а, Ь) ,
имеет максимум в точке х$ Е (а, Ь) , если существует окрестность
О (то) такая, что \/х Е О (то) /(ж) < /(^о) 5 строгий максимум,
если существует окрестность О (а?о) такая, что \/х Е О (xq)\xq
Щ) < /(хо).
Аналогично определяется минимум и строгий минимум.
Пример. Функция у = 0 при х = 0 , у = х2 sin - + 2х2 при х ф О
(рис. 6.1) в точке х = 0 имеет строгий минимум.
Рис. 6.1. В точке х = 0 функция имеет строгий минимум.
123
Необходимое условие экстремума дает теорема Ферма (и. 25
с. 104).
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть
1) точка xq е (а, 6) ;
2) функция f(x) определена на интервале (а, 6);
3) функция f(x) возрастает на (а, а?о] и убывает на [хоД) .
Тогда в точке xq функция f(x) имеет максимум.
Доказательство. Если х < xq < х', то /(х) < /(#о) и
f (^о) > f(x') . Значит max f (x) = f (x0) . ►
xt(a,b)
Следствие. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на
(а,Ь) и имеет f'(x) \/х Е O(xq)\xq . Тогда, если f'(x) > 0 на
(а, то) и f'(x) < 0 на (xQ,b) , то в точке xq функция имеет
максимум.
Аналогичную теорему и следствие можно доказать для минимума.
Замечание. Таким образом, перемена знака производной - доста-
точное условие точки экстремума непрерывной функции.
Определение. Пусть функция <р(х) определена на (а, 6) и точка
Xq е (tt, 6) . Если ЗОДо) Vx Е O(xq) , X > Xq , tp(x) > (Дхо)
и \/х Е O(xq) , х < xq , ip(x) < <р(хо) , то функция называется
возрастающей в точке xq .
Аналогичные определения даются для убывающей, строго возрас-
тающей и строго убывающей в точке функции.
Замечание. Понятие возрастания функции в точке более широкое,
чем возрастание в интервале, содержащем эту точку.
Примеры. В качестве примера нестрого возрастающей в точке
х = 0 функции, которая не является возрастающей ни в каком
интервале, содержащем эту точку, можно рассмотреть функцию
у =\х\х (sin у + 1) при х ф 0 и у = 0 при х = 0 .
Функции у = х2 (sin + 2) + , или у = |х| х (sin у + 2) или
у =\х\х (sin + 2) + j при х ф 0 , у = 0 при х = 0 , дают примеры
строго возрастающих в точке х = 0 , не являющихся возрастающи-
ми в любом интервале, содержащем эту точку (рис. 6.2).
Лемма. Пусть функция f(x) определена на интервале (а, 6)
и f'(x) > 0 в точке xq . Тогда функция f(x) строго возрастает
в точке xq .
Доказательство. Существует окрестность O(xq) такая,
что Vx Е О(хо) , х Д xq , > 0- Отсюда следует, что
124
Рис. 6.2. Строго возрастающая в точке х = 0 функция, не являю-
щаяся возрастающей в любом интервале, содержащем эту точку.
/(х) > /(то) , если X > Xq , И /Д) < /(то) , если X < Xq . Т. е.
функция строго возрастает в точке. ►
Лекция 26
(06.12.67)
Теорема (I достаточный признак экстремума функции).
Пусть функция f(x) определена на интервале (а, 6) , xq е (а, Ь) ,
f^k\xo) существует (k = 1,2, ...,п), /'(то) = ... = / ^п-1\жо) = 0 ,
до. Тогда, если п - четное, то f(x) имеет в точке xq
строгий экстремум, причем, если /(п)Ы > 0, то f(x) имеет
минимум, если ДЩ0) <0, то f(x) имеет максимум. Если п -
нечетное , то функция не имеет экстремума в точке xq .
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора:
/Ц) = Що) + _ Жо) + ... + /(га~1)^°)(ж - хоГ’Ч
1! (п — 1)!
(xq )
+ -----:--(х — xq)u-\-а(х)(х — xqY1, где а(х) —> 0 (х —> xq) .
п!
Тогда при наших условиях
f(x) - /(хо) = J °’ + а(х) • (х - х0Г .
I n! I
125
Так как /(п\хо) 7^ О , то можно выяснить знак этой разности при
х достаточно близких к xq . Функция а(х) —> 0 (х —> то) , по-
этому 35 Vх , \х — то| < 5 , |а(х)| < | | | . Тогда, при Vх ,
|х — хо| < 5,
. J /(п)(ж0) 1 . (п)
sign <--------1- odx) > = sign/4 (xq) при kr — то < о .
( n! J
Если п - четное, то для х xq имеем (х — хо)п > 0 , и из условия
/(п\хо) > 0 следует, что /(х) — /(то) > 0 и xq - точка строгого
минимума. Аналогично, из условия /(п\хо) < 0 следует, что xq -
точка строгого максимума.
Если п - нечетное, то sign(x — хо)п = sign(x — xq) . Значит,
sign(/(x) - /(х0)) = sign/(n)(x0) • sign (х - х0),
разность /(х) — /(то) меняет знак при переходе через точку xq и
функция в точке xq не имеет экстремума. ►
Следствие. Если /'(Фо) = 0, xq е (а, 6) и
1) если /"(Фо) > 0 , то в точке xq функция имеет минимум;
2) если f"(xo) < 0 , то функция в точке xq имеет максимум.
Замечание. При /"(^о) = 0 имеем случай неопределенности.
— 1 /г2
Пример. Рассмотрим функцию у = е ' при х ф 0, у = 0
при х = 0 . В точке xq = 0 функция имеет строгий минимум, но
?/п)(0) = 0 для любого натурального п .
Теорема (II достаточный признак экстремума функции).
Пусть функция f(x) определена на интервале (сц 6) , xq е (а, 6) ,
f(n\x) е С (а, 6) , /(п+1\х) существует для всех х xq и
/^\жо) = 0 при к =
Пусть п - нечетное. Если /(п+1\х) > 0 при х ф xq , то функция
имеет в точке xq строгий минимум. Если /(п+1\х) < 0 при
х xq , то функция имеет в точке xq строгий максимум.
Пусть п - четное. Если при х > xq f^n+1\x) > 0 и при х < xq
/Ф+1)(гг) < 0 , то функция имеет в точке xq строгий максимум.
Если при X > Xq /^п+1\х) < 0 U При X < Xq /(п+1\х) > 0 , ТПО
функция имеет в точке xq строгий минимум.
При нестрогих неравенствах получим достаточный признак не-
строгого экстремума.
126
Доказательство. По формуле Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа получим
/Ц) = /(s0) + (s - s0)" + ' ,
где либо то < £ < ж , либо х < £ < xq . Тогда
Щ) - /(s0) = • (х - s0)ra+1.
Изучим знак правой части. Для экстремума эта разность должна
сохранять знак при переходе через точку xq .
Пусть п - нечетное, тогда (п+1) - четное. Если /(n+1)(x) > О
при х то , то функция имеет строгий минимум в точке xq . Если
при х Xq f(n+1\x) < 0 , то функция имеет строгий максимум
в точке то.
Пусть п - четное, тогда (n + 1) - нечетное. Если /(n+1)(x) > О
при X > Xq и /(п+1\х) < 0 при X < Xq , ТО фуНКЦИЯ ИМССТ СТрОГИЙ
максимум. При противоположных неравенствах для производных
функция имеет строгий минимум. ►
Замечание. В точке xq нет экстремума, если разность /(х) —/(то)
меняет знак при переходе через точку xq . Например, пусть п -
нечетное число, тогда (n + 1) - четное. Если /(n+1)(x) > 0 при
X < Xq и f(n+1\x) < 0 при X > Xq , ТО
sign (/(х) - /(х0)) = sign (х - х0);
или если /(п+1\х) < 0 при х < xq и /(n+1) (х) > 0 при X > Xq ,
ТО
sign (f(x) - /(s0)) = - sign (x - s0)
и, значит, функция /(x) не имеет экстремума в точке xq .
§31. Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба
Выпуклая фигура на плоскости характеризуется тем свойством,
что для любых двух ее точек соединяющий их отрезок содержится
в этой фигуре (рис. 6.3).
127
Пусть функция у = /(х) определена и непрерывна на интервале
(а, Ъ) . Рассмотрим множество
М = {(х,у) : а < х < 6, у > f(x)} .
Будем считать функцию выпуклой на интервале (а, 6) , если мно-
жество М есть выпуклое множество. Таким образом, всякая хор-
да, стягивающая две точки графика выпуклой функции, лежит не
ниже стягиваемой ею дуги. Если в точке xq есть касательная к
графику выпуклой функции, то график лежит не ниже этой каса-
тельной (рис. 6.3). Будем считать функцию вогнутой на интервале
(а, Ь), если функция —/(х) выпукла на этом интервале Т .
Рис. 6.3. Выпуклое множество. Выпуклая (график над касатель-
ной) и вогнутая (график под касательной) функции.
Сначала рассмотрим понятие выпуклости и вогнутости функции в
точке.
31.1. Выпуклость и вогнутость в точке
Пусть функция у = /(х) определена на интервале (а, 6) , точка
xq е (а, 6) , /z(^o) существует. Обозначим
Y = L(x, х0) = ДяД + f'(x0)(x ~ яД
уравнение касательной к графику функции в точке (то, /(#о)) • То-
гда
У - Y = /(ж) - f (^о) - /(^о)(ж - Xq) ,
Р Для выпуклой и вогнутой функции используют и другие названия. Напри-
мер, выпуклая вниз для выпуклой функции и выпуклая вверх для вогнутой.
(Ред.)
128
и У - у1,.=^ = 0.
Определение выпуклости функции в точке. Если ЗО(хо)
\/х Е O(xq) f(x) > L(x,xq) , то функция /(х) называется вы-
пуклой в точке xq . Если 3O(xq) Vx Е O(xq)\xq f(x) > L(x,xq) ,
то функция называется строго выпуклой в точке xq .
Аналогично, функция /(х) называется вогнутой в точке xq , если
ЗО(хо) Vx Е O(xq) f(x) < L(x,xq) . Если 3O(xq) \/x E O(xq)\xq
f(x) < L(x,xq) , то функция называется строго вогнутой в точке
Xq .
Замечание. Дифференцируемость в точке xq влечет непрерыв-
ность в точке xq , но не влечет непрерывности ни на каком интер-
вале, содержащем xq .2-
Определение. Точка xq называется точкой перегиба функции
/(х) , если ЗО(хо) Vх Е O(xq) , х < xq , f(x) < L(x,xq) (или
/(х) > L(x,To)) и VX Е О(хо) , х > Xq , f(x) > L(x,Xq) (или
/(х) < Ь(х,х0)). Если соответствующие неравенства между значе-
ниями /(х) и L{x^xq) строгие, то xq называется точкой строгого
перегиба функции.
Таким образом, xq - точка перегиба, если для точек, лежащих
по разные стороны от xq график функции находится по разные
стороны от касательной к графику функции в точке До, /До)) •
Рис. 6.4. В точке х = 0 функция не является ни выпуклой, ни
вогнутой, и не имеет перегиб.
f sin — (х 0)
Пример. Функция у = < х \ _ А дифференцируема в
I О ( X — О )
2) Смотри пример 3.3 в [13]: у = х1 (D(x) — 1) , где D(x) - функция Дири-
хле. (Ред.)
129
точке х = 0 , но не является в этой точке ни выпуклой, ни вогну-
той, и не имеет в ней точки перегиба (рис. 6.4). Для этой функции
f(0) = 0, Щ0) = 0.
Лекция 27
(08.12.67)
Введем следующее обозначение:
А(Ц = /(ж) - L(x,X0) = f(x) - /(Я?о) - f'(x0)(x - Xq) .
Отметим, что
А До) = 0 ;
если А Д) > О в О До) , то функция /Д) выпукла в точке xq ,
а АД) имеет в точке xq минимум;
если А Д) < 0 в О До) , то функция /Д) вогнута в точке xq ,
а АД) имеет в точке xq максимум;
если АД) > 0 в 0{xq)\xq , то функция /Д) в точке xq строго
выпукла, а АД) имеет в точке xq строгий минимум;
если А Д) < 0 в 0{xq)\xq , то функция /Д) в точке xq строго
вогнута, а АД) имеет в точке xq строгий максимум;
если АД) возрастает или убывает в некоторой окрестности
О До) , то xq есть точка перегиба для функции /Д) .
Отметим также, что
д'(ж) = Г (ж) - f'(xo) и
А'(х0) = 0.
Теорема (I достаточный признак выпуклости, вогнутости
и точек перегиба). Пусть функция f{x) определена и диффе-
ренцируема на интервале (а, 6) , xq Е (а, Ь) .
1. Пусть f'{x) возрастает {убывает) в точке xq . Тогда f{x)
выпукла {вогнута) в точке xq .
2. Если f{x) имеет в точке xq экстремум, то f{x) имеет
в точке xq перегиб.
Доказательство. По формуле Лагранжа
Ах = {/'(€) - f'Eo)} (х - х0) > о,
где либо Xq < £ < X , либо X < £ < Xq .
Пусть f'{x) возрастает в точке xq , тогда f'{£) > ДДо) при
X > Xq , И f'{£) < /'{xq) при X < Xq . ЗнаЧИТ Ах > 0 И В ТОЧ-
ке xq функция будет выпуклой. Точка экстремума производной
130
будет точкой перегиба функции. Аналогично доказываются осталь-
ные утверждения теоремы. ►
Отметим, что
ДЩ = .Ш - /'(До),
А"(х) = f"(x),
Д«(ж) = /«(х) (fc > 2),
дСДх) = /И (ж) .
Применив условия экстремума и монотонности к Дх , получим,
следующую теорему.
Теорема (II достаточный признак выпуклости, вогнутости
и точек перегиба). Пусть функция Дх) определена на (а,Ь) и
имеет в точке xq е (а, Ь) производные /^\xq) (к = 1,2,...,п).
Допустим, что f"(xo) = ... = f^n-1\xo) = 0 , f(n\xo) 0 . Пусть
п - четное. Тогда, если /(п\хо) > 0 , то функция Дх) строго вы-
пукла в точке xq ; если /(п)Ы <0 , то Дх) в точке xq строго
вогнута. Если п - нечетное , то точка xq - точка строгого пе-
региба для Дх) .
Рассмотрим, например, простейший случай точки перегиба при
п = 3. Тогда по условиям теоремы | _^q’ и Д(х) , в
зависимости от знака /"'(xq) , возрастает или убывает в точке xq ,
и значит, для функции /(х) точка xq - точка перегиба.
31.2. Выпуклость и вогнутость на интервале
Пусть у = /(х) определена и непрерывна на (а, Ь) .
Определение. Функцию /(х) будем называть выпуклой на
(а,Ь), если для любых xi,X2 6 (а, Ь) соответствующая им хорда
лежит не ниже графика функции на отрезке [xi,X2] .
Функцию /(х) будем называть вогнутой на (а, Ь), если для любых
xi,X2 6 (а,Ь) соответствующая им хорда лежит не выше графика
функции на отрезке [xi,X2] .
Пусть у = /(х) определена и непрерывна на (а, Ь) . Имеет место
Теорема(критерий выпуклости дифференцируемых функ-
ций) . Для того, чтобы функция, дифференцируемая на интервале,
была выпукла на этом интервале, необходимо и достаточно, что-
бы ее производная была возрастающей функцией.
131
Доказательство. Пусть ад, х% - произвольные точки
интервала (а, 6) , ад < ад , и - соответствующая им хорда.
Пусть Mq - произвольная точка на стягиваемой хордой Mi М2
дуге кривой с абсциссой xq , ад < xq < Х2 . Заметим, что функция
выпукла на (а, Ъ) тогда и только тогда, когда угловой коэффициент
хорды MiMq не больше углового коэффициента хорды М0М2 , т. е.
УО-У1 < У2-У0
Xq— Xi — Х2—Х0
Рис. 6.5. Критерий выпуклости дифференцируемых функций: до-
статочность.
Достаточность. Пусть f'(x) возрастает на интервале (а, 6)
(рис. 6.5) Х1,Х2 - произвольные точки интервала (а, 6), ад < ад ,
и Mi М2 - соответствующая им хорда. Пусть Mq - произвольная
точка на стягиваемой хордой Mi М2 дуге кривой, соответствую-
щая точке ад , х\ < ад < ад . Покажем, что Mq лежит не выше
хорды. Рассмотрим отрезок [ад, ад] . По теореме Лагранжа суще-
ствует точка £1 Е (ад, ад) такая, что /z(£i) = • Отметим,
что /z(£i) равна угловому коэффициенту хорды M[Mq . Теперь
применим теорему Лагранжа к отрезку [ад, ад]. Тогда найдется
такая точка £> G (жо,х2), что /Д2) = ДД , т.е. /Д2) - уг-
ловой коэффициент хорды М0М2 . Так как f'(x) возрастает, то
/'(£i) < f'(&) • Значит, точка М2 лежит не ниже прямой, прохо-
дящей через точки Mi и Mq , а точка Mq - не выше хорды Mi М2 ,
и из замечаний в начале доказательства следует, что функция вы-
пукла.
Необходимость. Пусть функция /(а?) дифференцируема и
выпукла на (а, 6) (рис. 6.6). Докажем, что /'(а;) возрастает. Возь-
132
Рис. 6.6. Критерий выпуклости дифференцируемых функций: не-
обходимость.
мем произвольные точки xi,X2 6 (а, 6), ад < х% . Надо показать,
что f(x\) < • Так как функция выпукла, то для произволь-
ной точки х Е (а, 6) , х < Xi , имеем VXZ_VX1 < ' При х Xi
отсюда получим, что f'(xi) < • Аналогично для произволь-
ной точки х' Е (а, 6), Х2 < хг, имеем У1~У2 < yf~y2 и При х' —> х%
получим < /'(ж2) . Значит, /'(Щ < /'(ж2) . ►
Соответствующая теорема для вогнутой функции доказывается
аналогично.
Замечание. Для выпуклой функции /(х) точек, где f'(x) не су-
ществует, конечное или счетное множество.
§ 32. Абсолютный экстремум
Пусть функция /(х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и
дифференцируема на интервале (а, Ь) . Рассмотрим задачу о на-
хождении абсолютного экстремума, т. е. задачу о нахождении наи-
большего и наименьшего значения функции на отрезке. На отрезке
методы дифференциального исчисления не применимы к гранич-
ным точкам. Поэтому сначала на интервале проводится исследо-
вание функции на локальный экстремум с помощью производной.
Затем экстремальные значения функции внутри интервала просто
сравниваются со значениями функции в концах отрезка (т. е. со зна-
чениями функции на границе области определения), и находятся
наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
133
Глава 7
Дифференциальная
геометрия
§ 33. Вектор-функции
Рекомендованная литература: [8].
33.1. Предел и непрерывность
Пусть дана функция у = /(х) , где х - точка в n-мерном простран-
стве , х = (xi, Х2,..., хп) е . Будем рассматривать п = 2 и
п = 3 . Пусть a(xi, Х2, хз) и ао(х3,Х2,Хз) “ точки из R3 .
Определения. Окрестностью О(ао) точки ао называется мно-
жество точек а(х1,Х2,хз) , для которых
(ад - X?)2 + (х2 - х3)2 + (х3 - Хз)2 < S2.
Понятия граничной, внутренней и предельной точек множества,
открытого и замкнутого множеств, а также понятия предела и
непрерывности функций, остаются справедливыми в любом про-
странстве, где введено понятие окрестности.
Пусть имеются две точки а^х^х®) и ai(xJ,X2) в пространстве
R2 .
134
Отрезком [ao,ai] называется совокупность точек «(^1,^2), для
которых
Х1 = (1 — t)x® + tx\
Х2 = (1 — tyx® + tX%
при 0 < t < 1 .
Аналогично, пусть ао(ж5,Ж2,Жз) и ai(x|, х^ х%) - точки в Ж3 .
Отрезком [ao,ai] называется совокупность точек а(ад,Х2,Х3) ,
для которых
Х1 = (1 — t)x° + tx{
Х2 = (1 — t^X^ + tX2
Х3 = (1 — t)x® + tx%
при 0 < t < 1 .
Если 0 < t < 1, то получаем интервал.
Множество выпукло, если вместе с любыми своими двумя точками
оно содержит и соединяющий их отрезок.
Теперь мы рассмотрим более общее понятие функции, когда
обобщается область значений, а область определения остается та
же - множество из R .
Определение. Говорят, что на множестве X С R определена век-
тор- функция г = r(t) , если любому t Е X ставится в соответствие
вектор г Е .
Лекция 28
(13.12.67)
Пусть вектор-функция г = r(t) определена для t Е X Cl, г El3
(или г G I2 ). Сведем изучение вектор-функций к изучению функ-
ций из R в I. Пусть а = (х, у, г) Е R3 и ei , 62 , ез - базис в R3 .
Тогда а = хе± + ув2 + ze3 , где х, у, z Е R . Значит
г = r(t) = x(t)ex + y(t)e2 + z(t)e3 ,
или г = r(t) = {x(t), y(t), z(t)} . Таким образом, задать вектор-
функцию - значит задать три действительные функции действи-
тельного переменного
х = x(t)
у = уХ >
Z = z(t)
135
Пусть а = хе^ + 2/е2 + ze% и 6 = х'е\ + у'еъ + z'e^ - две точки из
R3 . Тогда расстояние между этими точками
Рассмотрим величину шах{|х — х'\ Ду — у'\ ,\z — z'\} = d . Между
величинами \а — Ь\ и d имеются соотношения d < \а — b\ < \/3d.
Значит, последовательность {an} , ап = (хп,уп, zn) Е R3 сходится
к b при п —> сю тогда и только тогда, когда dn = \ап — 6| —> О
( п —> сю ), т. е. когда
хп -> х', уп -> у1, zn z' (п -> оо).
Таким образом, сходимость последовательности {ап} к вектору b
эквивалентна покоординатной сходимости. Аналогично, непрерыв-
ность вектор функции в точке эквивалентна непрерывности в этой
точке всех ее координат.
33.2. Дифференцирование вектор-функций
Пусть г = r(t) - вектор-функция, определеная для t Е (а, /3) С R .
Определение. Предел lim называется производной
At—>0
rf(t) вектор-функции r(t) .
Правила дифференцирования для вектор-функции такие же,
как и для скалярной функции.
Пусть а и b - два вектора. Рассмотрим новые операции: Ха
(А Е R), (a, b) = ab - скалярное произведение, и [a, b] = а х b -
векторное произведение векторов а и b. Скалярное произведение
определено в пространстве, а векторное произведение - в ориенти-
рованном пространстве .
Определение. Функция {а, Ь} двух переменных, линейная по от-
ношению к своим аргументам, называется билинейной функцией.
Функции Ан. ab, а х b являются билинейными. Например, ab
- одна из простейших билинейных функций. Из линейности по пер-
вому аргументу следует (шц + /Заз) b = аа^Ь + ДазЪ . Аналогично
по второму аргументу. Используя свойство билинейности, можно
вывести правило дифференцирования любой билинейной функции.
Упражнение. Вывести правило дифференцируемости для били-
нейной функции. Проверить, что при выводе формулы для произ-
водной использовалась билинейность.
136
В частности получим
{а х b} =а' xb + axb\
{ab} = аЪ + ab'.
Пусть г = r(t) = x(t)e\ + y(t)e2 + z(t)es - вектор-функция.
Теорема (критерий дифференцируемости). Для того, чтобы
вектор-функция г = г(Т) = х(Де± + у(Т)е2 + z(T)es была дифферен-
цируема необходимо и достаточно, чтобы были дифференцируемы
функции х , у и z.
Доказательство. Достаточность очевидна. Если х, у
и z дифференцируемые функции, то и г = r(t) дифференцируема:
rf(t) = x\t)ex + yf(t)e2 + zf(t)e3 .
Необходимость. Если вектор-функция дифференцируема,
то дифференцируема {r(T) еД = х'(t) , т.е. дифференцируема и
функция x(t) . Аналогично для функций y(t) и z(t) . ►
33.3. Формула Тейлора для вектор-функции
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для
вектор-функции неверна.
Для вектор-функции справедлив аналог локальной формулы
Тейлора.
Теорема (локальная формула Тейлора для вектор-функ-
ций). Пусть вектор-функция г = r(t) определена для t Е (а, (3) ,
точка tv Е (а, /3) и Нп)(£о) существует. Тогда справедлива фор-
мула Тейлора:
г(^о + Д£) = r(to) н—+ ------"i—~(Д^)П а &п(£)(Д^)п,
1! п!
где an(t) —> О (Д£ 0).
Если аналог формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-
жа для вектор-функции был бы верен, то, например, для вектор-функции
г = r(t) = £2ei + t3e2 при п = 0 и to = 0 в точке t = 1 мы имели бы
0(1), 3/(1)) = (ж'(с),У(с)) , где 0 < с < 1 , но (1,1) = О(|), ?/(^)) , т.е. мы
не можем указать один и тот же аргумент в производных, как требует аналог
формулы. (Ред.)
137
Доказательство. Так как вектор-функция
Г = r(t) = яД)е1 + y(t)e2 + z{t)e3
имеет H”) (to) , то существуют x^(to) , ?/пДо), z (to). Значит,
по формуле Тейлора для скалярной функции
x(to + Д£) — x(to) Н-+ ... Н--------j—-(Д£)п + сщ(7)(Д£)п
1! п\
где an(t)^Q (t £0),
У (to + Д£) — у (to) + (j Д£ + ... + —^-(At)n + /3n(t)(M)n ,
где f3n(t)^0 (t^toY
z(to + Д^) — z(to) Н---“т^Д^ + -------"J—~(Д^)П + 7п(^)(Д^)п 1
1! п!
где 7n(t)^0 (t^toY
Сложив эти равенства, получим формулу
До + At) = r(to) + YYM + - + r~^^tT+
+ + Pn^2 + 7пбз)(Д^)п •
Обозначим an(t) = <yn(t)ei-\-(Зпе2-\-'уп^з • Тогда an(t) О Д —> to) .
►
Замечание. Билинейные функции Ла , ab, cl х b непрерывны по
каждому из своих аргументов. Это следует из неравенств
|Аа| < |А| |а| , \ab\ < |а| \Ь\ , \а х Ь\ < |а| \Ь\ .
§ 34. Понятие кривой
В математическом анализе рассматриваются функции, отобража-
ющие
1)
138
2) R -e Rn ,
3) Rn R,
4) Rn Rm - основная задача анализа.
В дифференциальной геометрии кривых рассматриваются функ-
ции, отображающие из R в R3 .
34.1. Элементарная кривая
В частном случае п = 1, когда вектор-функция г = r(t) есть
скалярная функция у = /(х) , график функции есть кривая на
плоскости. В случае п = 2 вектор-функция г = r(t) определя-
ет параметризованную кривую Г с R2, при этом t - параметр,
t Е X С R. Одну и ту же кривую можно по-разному параметризо-
вать: если t = </?(т) , то получим сложную вектор функцию
г = г(^(т)) = г(т).
В дифференциальной геометрии кривая определяется параметри-
чески:
х = x(t)
у = уХ г (Г),
Z = z(t)
t е (а, /3) С R , x(t), y(t), z(t) е С (а, /3) , (х, т/, z) Е R3 .
Определение. Элементарной кривой, заданной на интервале
(а, /3) , называется образ интервала (а, /3) при взаимно однозна-
чном и в обе стороны непрерывном отображении в пространство
(будем называть такое отображение топологическим) 2) .
Отображение называется локально топологическим, если для вся-
кой точки существует окрестность, в которой отображение тополо-
гическое.
Кривой будем называть образ интервала при локально топологи-
ческом его отображении в пространство.
2) У С. Б. С. в более поздних лекциях кривая - класс эквивалентных отобра-
жений (в некоторых книгах их называют путями или параметризациями этой
кривой). (Ред.)
139
Теорема. Пусть х'(t), у'(t), z'(t) Е С [а, (3] и все производные не
обращаются в нуль одновременно, т.е. x,2(t) + yf2(t) + zf2(t) > О
\/t Е (а, /3) . Тогда отображение (Г) будет локально топологиче-
ским.
Доказательство. 1. Докажем, что отображение (Г) :
х = x(t) , у = y(t) , z = z(t) будет локально взаимно однознач-
ным. Нам надо доказать, что для любого to Е (а, (3) найдет-
ся окрестность О (to) такая, в которой отображение (Г) являет-
ся взаимно однозначным. Допустим противное, т.е. 3 to V О (to)
3 ti, t2 Е O(to) такие, что x(ti) = x(t2) , y(t\) = y(t2) , Дй) = z(t2) .
По теореме Ролля найдутся tf ,t",tf", ti < tf < t2 , ti < t" < t2 ,
ti < tf" < t2 , такие, что xf(tf) = 0 , y'(t") = 0 , z'(tf") = 0 . Устре-
мив ti,t2 -E to получим, что tz —> to , t" to, t'" to - Так
как производные непрерывны, то отсюда получим, что x'(to) = 0 ,
yf(to) = о, zf(to) = 0. Значит, xf2(to) + y,2(to) + z,2(to) = 0, что
противоречит условию.
2. В силу доказанного, для любого to Е (а, (3) существует О (to)
такая, в которой отображение взаимно однозначно и, следователь-
но, имеет обратное. Для доказательства теоремы остается пока-
зать, что для любого to Е (а,/3) найдется Oi(to) С О (to) , в ко-
торой обратное отображение непрерывно. Пусть для определенно-
сти x'(to) ф 0. Тогда 3 01 (to) С О (to) V t Е Oi(to) x'(t) сохра-
няет знак х'(to) . Следовательно, x(t) является строго монотонной
функцией, для которой существует непрерывная обратная функция
t = t(x) . Тогда отображение (x(t),y(t), z(t)) —> t (оно может быть
записано как (х, y(t(x)), z(t(x))) -Е t тоже является непрерывным
в 01 (to) , а отображение (Г) является локально топологическим и
задает кривую. ►
Лекция 29
(15.12.67)
34.2. Касательная к кривой
Пусть дана кривая (Г), to Е (а, (3) и соответствующая точка
Мо(хо^уо^о) принадлежит кривой. Рассмотрим прямые L, про-
ходящие через эту точку. Обозначим d = \М — Mq| - расстояние
от произвольной точки М на кривой (Г) до заданной точки Мо
и обозначим h расстояние от точки М до прямой L (рис. 7.1).
140
/Г
М/г
L
Рис. 7.1. Касательная к кривой.
Определение. Прямая L называется касательной к кривой (Г) в
точке Mq (хо^уо, zq) , если > О (t —> to ).
Если г = г(Т) - векторное уравнение параметризованной кри-
вой, то величина |rz(t)| не является геометрической характеристи-
кой кривой, а является свойством задания кривой, зависящим от
параметризации. Геометрический смысл имеет направление векто-
ра производной.
Будем обозначать т единичный вектор касательной.
Теорема. Пусть дана кривая (Г) : г = r(t) , t е (а, /3) , такая,
что х',у', z' Е С (а, /3) , xr2 + yr2 + zr2 > 0 . Тогда (Г) имеет един-
ственную касательную в каждой своей точке to Е (а, /3) , причем
ДДМ-
Доказательство. Пусть t = to + Д£ . Тогда
d = \r(tQ + Д£) - фо)| .
Предположим, что в точке Мо , соответствующей параметру to •>
есть касательная. Тогда
h = I{r(to + Д^) - Фо)} х т\ .
По формуле Тейлора
d = \r'(to)At + оД)Д t| , h = |тфо) х • Д t + <ф) х • Д^| 5
где a(t) —> О (t to ). Отсюда следует, что
Л. = |гДо) х т + <Д) х т| |г' х т| = , = „
d |r/(i0)+a(i)| |r'|
т. е. т ||г'(to) 5 так как |Д| ф 0 по условию. Мы доказали, что если
касательная существует, то она имеет направление вектора г1 и,
141
следовательно, единственна. Взяв теперь прямую, проходящую че-
рез точку Mq в направлении вектора г'(to) , учитывая предыдущие
выкладки, получим, что для этой прямой > 0 . Следовательно,
эта прямая - касательная. ►
Напишем уравнение касательной. Обозначим р (£, щ С) радиус-
вектор точки на касательной р = г + аг', где а - параметр. Тогда
параметрические уравнения касательной
С = x(tp) + ax’(to),
Л = У(М + <и/До),
С = z(tp) + az'(tp),
и канонические уравнения касательной в точке to можно записать
как
С - x(tp) = Т] - y(t0) = С - z(tp)
x'(tp) у'(tp) z'(tp)
где р (£, у, £) - точка на касательной.
34.3. Соприкасающаяся плоскость
Пусть Мр (хр, уо, zp) G (Г) и М (x,y,z) G (Г) - произвольная точка
кривой. Рассмотрим плоскость Р, проходящую через касательную
L к кривой в точке Мо . Обозначим d = \М — Mq| - расстояние
от произвольной точки М на кривой (Г) до заданной точки Мо ,
обозначим h расстояние от точки М до плоскости Р.
Определение. Плоскость Р называется соприкасающейся к кри-
вой (Г) в точке Мо (жо,УоМо) , если h/d2^t) (М -е Мо).
Пример. Для кривой у = х3 , z = 0 любая плоскость, проходящая
через точку (0, 0, 0), является соприкасающейся.
Теорема. Пусть дана кривая (Г) : г = r(t) , х",у" ,z" Е С (а, (3) ,
х'2 + у'2 + z'2 > 0 (т. е. r'(t) ф 0), to Е (а,/3) . Тогда в точке
Мо (хо^уоМо) существует соприкасающаяся плоскость. Если г'
и г" неколлинеарны, т.е. г' г" , то соприкасающаяся плоскость
единственна; если г' \\г" , то соприкасающаяся плоскость - любая
плоскость, проходящая через точку Мо (хо^уоМо) и содержащая
вектор г'.
Доказательство теоремы. Пусть t = to + Д£ . Тогда
d = |тД0 + At) — тДо)| • Предположим, что соприкасающаяся плос-
142
Рис. 7.2. Соприкасающаяся плоскость.
кость Р в точке Mq (хо,ж zq) существует. Тогда, применяя фор-
мулу Тейлора, получим, что
h = \l(r(tQ + At) - г(£0)| = р (г'At + \г" (At)2 + opt) (At)2) | ,
где a(t) —> 0 (t —> tQ ). Здесь I - нормальный единичный вектор к
соприкасающейся плоскости Р. Тогда для соприкасающейся плос-
кости
h _ |(lr'/At) + fyr" + сД)| ( lr' = О
d~ ~ |r' + /3(i)|2 Щ lr" = 0
Так как |rz| 0, то это равносильно тому, что г' ± /, г" ± /,
что означает, что р,r" Е Р. Если г' и г" неколлинеарны, то
соприкасающаяся плоскость единственна. Теперь, если Р - плос-
кость, проходящая через точку Mq (хо,ж ^о) с нормальным еди-
ничным вектором I таким, что Р ± I, Pf ± /, то учитывая преды-
дущие выкладки, получим, что Р - соприкасающаяся плоскость.
►
Замечание. Вектор Р' лежит в соприкасающейся плоскости, и
это можно считать его геометрическим свойством. Действительно,
если на кривой г = r(t) выбрана другая параметризация t = <р(и) ,
то
г = г((ДД),
ги =r'(t) Ди),
Cu=r"(t) (ДД2 + ДЩ"Н.
Направление вектора Р^и другое, но соприкасающаяся плоскость,
в которой лежит вектор, инвариантна.
143
Напишем уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть г' ft г” ,
Р (£> С) 6 Р • Тогда векторы р — г, г', г" будут компланарными, и
(р — г, г', г") = 0 (условие компланарности трех векторов: смешан-
ное произведение этих векторов равно нулю). Значит, уравнение
соприкасающейся плоскости в точке Mq (xq, уо, zq) может быть за-
писано как
С - X (to)
х’ (to)
х" (to)
Р - У (io)
У’ (io)
У" (io)
С - z (to)
z'(to)
z" (to)
= 0.
34.4. Нормальная параметризация
Можно рассматривать параметр t как время, а вектор-функцию
г = r(t) - как уравнение движения. Тогда rf(t) - скорость дви-
жения точки по кривой. Самое простое движение - такое, что
|г'(£)| = 1. Параметризация кривой t = t(s), когда |rz(s)| = 1,
называется нормальной параметризацией кривой. Параметр s за-
висит от выбора начальной точки. Геометрически s - длина дуги
кривой.
Пусть кривая г = r(s) с нормальной параметризацией. Обо-
значим = г. Так как (r\rf) = 1, то = 0. Значит,
г"(з)±Т .
Лекция 30
(20.12.67)
34.5. Кривизна
Пусть дана кривая (Г) : г = r(s) с нормальной параметризацией,
х" , у", z" 6 C(q,/3), |r'(s)| = 1. Рассмотрим точки на кри-
вой, соответствующие параметрам so и з, и касательные Lq и А к
кривой в этих точках (рис. 7.3). Обозначим й угол между этими
касательными.
Определение. Кривизной к\ кривой (Г) в точке so называется
= lim - скорость вращения касательной при нормальной
s-4Sо I I
параметризации.
Отметим, что кривизна Ад > 0 по определению.
144
Рис. 7.3. Кривизна кривой.
Теорема. Пусть дана кривая (Г) : г = r(s) , х",у",z" 6 С (а,/3) .
Тогда кривизна k± = |r"(s)| .
Доказательство. Обозначим т = г'. Тогда (рис. 7.4)
1?
|r(s + A s) — r(s)| = 2 sin — .
Значит,
Рис. 7.4. Угол между касательными.
|t(s + As) — r(s)| _ 2sinf
|As| $ |As|’
откуда при As О получаем к± = |r"(s)| . ►
145
Кривизна к\ > 0 является неотрицательной характеристикой
кривой. Так как г" = тг и (т, г') = 0 , то т'±т. Векторы г', г"
определяют соприкасающуюся плоскость, значит, вектор т' лежит
в соприкасающейся плоскости и перпендикулярен к касательной.
Определение. Нормаль к кривой, лежащая в соприкасающейся
плоскости, называется главной нормалью кривой.
Рис. 7.5. Главная нормаль к кривой.
Выберем направление вектора v главной нормали (рис. 7.5) так,
чтобы
т = г" =
- первая формула Френе.
Вектор (3 = т х v называется вектором бинормали. Вектор
бинормали имеет простой кинематический смысл: единичный век-
тор касательной вращается вокруг бинормали и скорость его вра-
щения есть величина кривизны кривой.
34.6. Круг кривизны
Определение. Кругом кривизны кривой (Г) в точке М называ-
ется такой круг (рис. 7.6), который имеет с кривой соприкосновение
порядка выше второго.
Для соприкосновения второго порядка кривой с окружностью
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) (r(s) — а)2 = R2 , означает, что точка лежит на окружности;
2) 2 (r(s) — а) г'(s) = 0 , означает, что (г — а) т = 0 , т. е. центр
окружности лежит на нормали к кривой;
3) 2r/2(s)+ 2 (r(s) — a) r"(s) = 0 , т. е. (ф)-a)r"(s) + l = 0 или
(г — а) г" + 1 = 0 .
146
Пусть (Г) плоская кривая. Тогда последнее условие позволяет
определить радиус круга кривизны: так как (г — а) || г" , то радиус
R = \г — а\ = . Таким образом существует и только один центр
кривизны для кривой в данной точке.
Рис. 7.6. Круг кривизны.
Определение. Эволютой кривой называется геометрическое ме-
сто центров кривизны кривой.
Определение. Эвольвента кривой у - это та кривая, по отноше-
нию к которой кривая у является эволютой.
34.7. Кручение кривой
Определение. Абсолютным кручением \к%\ кривой называется
скорость вращения ее соприкасающейся плоскости при нормальной
параметризации.
Абсолютное кручение есть скорость вращения бинормали.
Теорема. Пусть дана кривая
(Г) : г = ф), х'\ у'\ z"' G С (а, /3) .
Тогда абсолютное кручение
Ы =-----Ц—•
Доказательство. Пусть /3(s) и {3{s + As) - единичные
векторы бинормали в соответствующих точках кривой. Обозначим
Д$ угол между этими векторами. Следовательно
\/3(s + As) - /3(s)| 2 sin 44 sin 44 Ail
IM = |As| = ’ ДУ
147
Отсюда следует, что |&21 = |/Л • Отметим, что , 13 = т х V ,
т' = k^v, тогда Р' = т' х и + т х и' = т х и'. Итак, Д'±т , _Lf3 ,
значит (3f || v и следовательно \к2\ = \{3'v\ • Заметим, что ось вра-
щения {3 - вектор, перпендикулярный и {3 и и , т. е. параллельный
т и, следовательно, соприкасающаяся плоскость кривой вращается
вокруг касательной.
Подставляя в равенство | &21 = |/^И и /3' = г , получим
|fc2| = \P'V\ = ixy")l. k
Итак, /3' || v .
Определим кручение кривой равенством к2 = ±|&2| • Знак к2
выбирается так, чтобы равенство /3' = k2v выполнялось. Тогда
(г',г",г'")
fc2 = ~ k-
f3f = k2v
- это вторая формула Френе.
Кручение определено там, где кривизна отлична от нуля (где со-
прикасающаяся плоскость определена однозначно).
v = —к\т — к2(3.
Это третья формула Френе. Докажем ее.
г' = х т + х / = k2v х т + (3 х и = — к2(3 — к±т . ►
Три прямые, исходящие из точки кривой и имеющие направление
векторов т, щ /3 являются ребрами трехгранного угла, который на-
зывается естественным трехгранником - основным триэдром.
Можем так представить уравнения кривой, чтобы были видны ком-
поненты по осям основного триэдра т, щ /3.3)
3) "Понимать, формулировать, доказывать."(С. Б. С., напутствие к экзамену.)
148
Часть III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
149
Глава 8
Неопределенный
интеграл
2 семестр
Лекция 1
(07.02.68)
Рекомендованная литература: [10], [11], [9].
§ 35. Первообразная
35.1. Задача нахождения функции
по ее производной
В дифференциальном исчислении мы занимались тем, что по
функции /(х) находили или ее производную, или ее дифференци-
ал. В интегральном исчислении рассматривается обратная задача:
по производной функции или ее дифференциалу надо найти саму
функцию:
df^f.
Задача естествознания - открывать законы природы, выразить ко-
личественные соотношения между дифференциалами различных
функций. Задача интегрального исчисления - зная соотношения
150
между дифференциалами, найти соответствие между самими
функциями.
Пример. Пусть материальная точка М движется по прямой. Вве-
дем на прямой систему координат с началом в точке О . Пусть на
материальную точку М , находящуюся в момент времени t на оси
в точке с координатой x(t) , действует сила f(t) . Найти закон дви-
жения точки. Это задача интегрального исчисления. Она приводит
к решению дифференциального уравнения
где к - некоторая константа.
Пример. Геометрическая задача о квадратурах. Пусть на от-
резке [а, Ь] задана непрерывная функция у = /(х) > 0 . Надо найти
площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функ-
ции у = /(х) , осью Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Геометрическая задача о квадратурах. Свойства площади.
Здесь мы встречаемся с понятием ’’площадь которое нами еще
не определено. Дадим конструктивное дескриптивное (описатель-
ное) определение площади: площадью пл.5 плоской фигуры S на-
зывается величина, обладающая следующими свойствами:
1. нормированность: квадрат со стороной 1 имеет площадь, рав-
ную 1;
2. аддитивность: если S = Si U S2 и фигуры Si и S2 не
пересекаются, то пл.5 = пл.51 + пл. 52 ;
3. монотонность: если 5 D 51 , то пл.S > пл.51 (рис. 8.1).
151
Такое определение не дает ответа на вопрос, какая фигура имеет
площадь, но если площадь фигуры существует, то площадь фигуры
обладает этими свойствами.
Теперь мы рассмотрим, как понятие площади связано с задачей
интегрального исчисления.
Рис. 8.2. Задача нахождения функции по ее производной.
Пусть у = /(х) - непрерывная неотрицательная функция. Рас-
смотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функ-
ции у = /(х) , осью Ох, и прямыми х = а и х = b. Пусть
х Е [а, Ь] . Площадь криволинейной трапеции, которая задается гра-
фиком функции на отрезке [а, х] , обозначим S(x) (рис. 8.2). При-
дадим переменной х приращение Д х . Тогда по свойству аддитив-
ности Д5(х) = S(x + Дх) — 5(х) . Обозначим
М = max /(т), т = min /(х).
[х,х+Дх] [х,х+Дх]
Из монотонности площади следует, что
Ах т < AS(x) < Ах • М,
откуда
AS(x)
т < —---- < М.
~ Ах ~
Если Дх —> 0 , то М f(x) и т —> /(х) в силу непрерывности
функции /(х) . Отсюда, производная площади S(x) по х равна
®=Ж).
ах
152
Таким образом, мы пришли к задаче о нахождении функции по ее
производной.
35.2. Понятие первообразной
Определение. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы функция /(х) и
непрерывная функция F(x) . Функция F(x) называется первоо-
бразной (примитивной) функцией функции f (х) на отрезке [а, Ь] ,
если для всех х из этого отрезка, за исключением, быть может,
конечного множества точек Кп , выполняется равенство
f'(x) = Xх)
Таким образом, функция F(x) , не являющаяся непрерывной на
отрезке [а, Ь] , не может быть первообразной ни для какой функции
f (х) (пример на рис. 8.3).
Рис. 8.3. Разрывная функция не может быть первообразной ни для
какой функции.
Пример. Функция F(x) = |х| является первообразной функцией
для функции f(x) = signx . Здесь К\ = {0} .
Теперь встает естественный вопрос о существовании и един-
ственности первообразной функции. Полный ответ на вопрос о су-
ществовании первообразной выходит за рамки этого курса и впо-
следствии будут даны лишь некоторые достаточные условия суще-
ствования первообразной. Сейчас же займемся вопросом единст-
венности.
Легко видеть, что если функция f(x) , заданная на отрезке
[а, Ь] , имеет первообразную, то она имеет их бесконечно много. В
самом деле, если F$(x) - первообразная функция для функции
153
f(x) , то и F(x) = Fq(x) + С, где С - произвольная константа,
также является первообразной, так как F(x) непрерывна и
F'(х) = Fq(x) + С' = Fq(x) = f (х).
Теперь мы видим, что площадь неоднозначно определяется усло-
вием dSd^ = f(x) , так как если Sq(x) удовлетворяет этому усло-
вию, то ему удовлетворяет и S(x) = Sq(x) + С . Требуются некото-
рые дополнительные условия, для того чтобы однозначным обра-
зом выбрать среди всех первообразных одну. Такие условия назы-
ваются начальными условиями. В данном случае начальным усло-
вием будет 5(a) = 0 . Теперь, если мы имеем какую-то первообраз-
ную So (ж) , то S(x) = So (ж) + С также удовлетворяет условию
dSd^ = /(х) , но из начального условия S(a) = So(a) + С = 0 сле-
дует С = — So(a) , а значит, функция S(x) = So (х) —So (а) является
первообразной и удовлетворяет начальному условию.
Теорема об общем виде первообразной. Пусть F$(x) есть
первообразная функции f(x) на отрезке [а, Ь] . Тогда всякая пер-
вообразная функции f(x) на отрезке [а, Ь] имеет вид
F(x) = F0(x) + C.
Доказательство. Пусть F(x) - некоторая первообраз-
ная функции /(х) . Рассмотрим функцию <р(х) = F(x) — Fq(x) .
Эта функция непрерывна на [а, 6] , как разность двух непрерыв-
ных функций, и дифференцируема всюду, где дифференцируемы
одновременно F(x) и Fq(x) , т.е. <р(х) дифференцируема всюду
на [а, Ь] за исключением, быть может, конечного множества К. Та-
ким образом, Д (х) = f (х) — f (х) = 0 для \/х е [а, Ь] \К. По фор-
муле Лагранжа (смотри следствие из теоремы Лагранжа, п. 5.7)
получаем ср(х) = С для всех х Е [а, Ь] , т. е. F(x) = Fq(x) + С. ►
Мы видим, что для /(х) существует целое множество первоо-
бразных. Геометрически это можно показать следующей иллюстра-
цией (см. рис. 8.4). Кривые, изображающие первообразные, запол-
няют всю полосу между прямыми х = а и х = b.
Задача отыскания всех первообразных для заданной функции
называется задачей неопределенного интегрирования.
Определение. Совокупность всех первообразных {F(x)} для фу-
нкции /(х) , заданной на отрезке [а, Ь] , называется неопределен-
154
Рис. 8.4. Семейство первообразных.
ным интегралом функции /(х) и обозначается
f(x)dx = {F(x)} ;
f(x) называют подынтегральной функцией; f(x)dx называется
подынтегральным выражением.
2 семестр
Лекция 2
(09.02.68)
Замечания. 1. Следует помнить, что каждый интеграл - это не
функция, а множество всех первообразных. Поэтому такое, напри-
мер, равенство
f(x)dx + у* g(x)dx = j h(x)dx = Н(х) + С
нельзя рассматривать в смысле равенства функций. Такое равен-
ство означает, что
{F/Qr)} + {Fg(x)} = {Fh(x)} ,
т. е. множество всех первообразных, получающихся в левой части
равенства, совпадает с множеством первообразных, получающихся
155
в правой части равенства. Это равенство можно было бы записать
и так:
j* f(x)dx + J* g(x)dx = Jh(x)dx + C.
Другими словами, в равенствах, где в обеих частях содержится знак
интеграла, можно опускать константы. При переходе от таких ра-
венств к равенствам, не содержащим знака интеграла, обязательно
следует писать константы.
2. Надо проверять, на каких отрезках F(x) будет первообраз-
ной; первообразная должна быть непрерывной.
Пример. Рассмотрим равенство
УД = in и + с.
Оно означает, что In |х| - одна из первообразных для функции
. Но первообразная непрерывна на том отрезке, на котором она
задана. Функция In |х| определена для всех х Д 0 . Как бы мы в
нуле эту функцию ни доопределили, она все равно будет разрывной
в нуле. Значит, если отрезок [а ,6] , на котором определена функция,
содержит точку 0, то на этом отрезке эта функция не является
первообразной. Таким образом, формула = In |х| + С опреде-
ляет первообразную функции на любом отрезке, не содержащем
точку 0, и ее надо понимать, как условную запись таких двух фор-
мул:
/‘ dx
/ — = m х + С , если х > 0 ,
J х
/dx
— = 1п(—+ если х<0.
х
3. Ответ на вопрос, чему равен тот или иной интеграл, может
иметь разные формы. Ответы
f(x)dx = Fi(x) +О и У f(x)dx = F2(x) + С2
эквивалентны, если Fi(x) — F2(x) = С .
Пример. Ответы / + С и f + С экви-
валентны, так как -------------------------------Ц- = 1.
' х — 1 х — 1
156
§ 36. Основные свойства
неопределенного интеграла
Свойство 1. Связь интегрирования и дифференцирования.
Пусть f f(x)dx существует. Из определения неопределенного инте-
грала непосредственно вытекает, что
d / f(x)dx = f(x)dx .
Так как /(х) есть первообразная функция для f'(x) , то
У f'(x)dx = f(x) + С,
что можно переписать как
У df(x) = f(x) + С .
Свойство 2. Простейшие правила интегрирования. Пусть
на отрезке [а, Ь] для функций fug существуют первообразные
ff(x)dx и fg(x)dx. Тогда для функций af(x) и так-
же существуют первообразные на отрезке [а, Ь] и имеют место
равенства
1) f af(x)dx = a f f(x)dx (яДО),
2) Д/Ц) + g(x)] dx = f f(x)dx + fg(x)dx .
Доказательство. В самом деле, продифференцировав
правую часть равенства 1), получим
da f(x)dx
= a d f(x)dx
= af(x)dx,
значит формула 1) верна.
Аналогично, продифференцировав правую часть равенства 2), по-
лучим
У f(x)dx + Уg(x)dx = d J f(x)dx + d J g(x)dx =
= f(x)dx + g(x)dx = [f(x) + g(x)] dx.
157
Из 1) и 2) следует, что при а и /3 , не равных нулю одновременно,
имеет место равенство
У[afpp + /Здрр] dx = a J* fppdx + f3 g(x)dx.
Это равенство следует читать справа налево, а пользуются
им обычно слева направо. При этом надо проверять, что для /(х)
и существуют первообразные.
Свойство 3. Замена переменной (интегрирование путем
подстановки). Пусть имеем функцию F(t) , определенную на от-
резке [а, р\ и имеющую производную F'(t) = f(t) , непрерывную
на этом отрезке, т.е. пусть f f (t)dt = F(t) + С . Пусть имеет-
ся функция t = ш рр , определенная на отрезке [а, Ь] , имеющая
на этом отрезке непрерывную производную ш'рр и такая, что t
принадлежит отрезку [а, р] для всех х из отрезка [а, Ь] . Тогда
У f pjpdptP ppdx = F(cj(x)) + С .
В самом деле, функция F(cj(x)) определена на всем отрезке
[а, Ь] , по теореме о непрерывности сложной функции она непрерыв-
на на этом отрезке; F(cj(x)) дифференцируема на [а, Ь] по теореме
о дифференцируемости сложной функции. Продифференцировав
правую часть равенства, получим
(F(cj(x))) = F/(cj(x)) • ш'рр = f • ш'рр.
Замечание. Здесь F(t) - точная первообразная, F'(t) = f(t) для
любого t Е [а, р] без исключительного множества. Свойство осно-
вано на инвариантности дифференциала первого порядка.
Свойство 4. Интегрирование по частям. Пусть даны функции
ирр и ирр , определенные на отрезке [а, Ь] и имеющие на нем
непрерывные производные и'рр и и'(х) . Тогда
У udv = uv — У vdu .
Действительно, из соотношения dpMp = du • и — и • dv следует
и • dv = dpi/ip — v • du.
158
Проинтегрировав это равенство, получим требуемую формулу. Эту
формулу можно переписать в виде
UV
Замечание. Интегрирование выводит из класса элементарных
функций. Неопределенный интеграл - аппарат для изучения нового
класса функций, уже неэлементарных. Например, эллиптический
интеграл
dx
где Р±(х) - многочлен четвертой степени, в общем случае не вы-
ражается через элементарные функции .
Теорема. Если R(x) - рациональная функция, то f R(x)dx есть
элементарная функция.
Схема доказательства. Пусть R = - рациональ-
ная дробь, где Р и Q - многочлены. Тогда R представима суммой
R = 5 + + + + многочлена S и простейших рацио-
нальных дробей (обычно для этого надо знать корни знаменателя).
Таким образом, интегрирование рациональной функции сводится к
интегрированию четырех типов простейших рациональных дробей
вида * 2-
A D к>2 Вх + С Вх + С
х — а' (х — а)к ~ 1 х2 + рх + q 1 (х2 + рх + q)m ’
что приводит к выражению интеграла через элементарные функ-
ции.
Согласно определению элементарной функции (см. п. 3.9, с. 28)
получаем
Следствие, f f(x)dx - множество элементарных функций, если
путем замены переменных х = ш (и) , где х = ш (и) - простейшая
элементарная функция, его можно свести к интегралу от рацио-
нальной функции.
Об интегралах, не выражающихся через элементарные функции, смотри,
например, [5] т.1 раздел 36.6. (Ред.)
2) См., например, [2]. (Ред.)
159
Глава 9
Определенный интеграл
§ 37. Определенный интеграл Римана
В предыдущей главе вопрос о существовании первообразной остал-
ся открытым. Определенный интеграл позволит ответить на этот
вопрос.
Вспомним определение предела многозначной функции (см. § 9,
с. 42).
Рис. 9.1. Предел многозначной функции.
Определение. Пусть имеется многозначная функция F(t) , за-
данная на полуинтервале (0,1] : каждому числу t из этого полу-
интервала ставится в соответствие непустое множество значений
{у} = F(t) . Говорят, что число А - предел многозначной функции
160
F(t) при t 0 , если V s > 0 3 5 > 0 \/t, 0 < t < 6 , V у E F(t)
|A-y| < E.
Геометрическую интерпретацию, поясняющую определение, смо-
три на рис. 9.1.
Определение интеграла Римана. Пусть на отрезке [а, Ь] задана
функция у = /(х) . Рассмотрим систему точек (рис. 9.2)
а = Xq < Xi < ... < Xfc < ... < хп = b.
Будем говорить, что такая система определяет разбиение Т отрезка
[а, Ь] . Определим диаметр разбиения - это число
t = d(T) = max Атд > 0 ,
k=l,...,n
где А.ц = Xk — Xk-i . В каждом из отрезков [xk-i,Xk] , где к при-
нимает значения 1, 2,..., п , зафиксируем точку £& . Мы получим п
точек £i, <^2,• Вектор (£i, £2, •••, обозначим через %. При
заданном Т и векторе £ строим интегральную сумму Римана
п п
stxC) = ^2 - xk-Q = 52/fe)
к=1 к=1
Рис. 9.2. Интегральная сумма Римана.
Каждое разбиение Т имеет свой диаметр d(T) = t > 0 . Поста-
вим каждому t в соответствие множество всех таких интегральных
161
сумм S(t) = S(T, £) при различных разбиениях Т, что d(T) = t,
при различных векторах £ . Интегралом Римана называется число
I, являющееся пределом интегральных сумм
I = lim S(t),
если этот предел существует. Обозначается интеграл Римана
ь ь
I = У f(x)dx = (R) У f(x)dx.
а а
2 семестр
Лекция 3
(21.02.68)
Если для функции /(х) существует интеграл Римана на отрезке
[а, Ь] , то говорят, что /(х) интегрируема по Риману на отрезке
[а, Ь] . Если функция /(х) интегрируема по Риману, то мы будем
говорить, что / е R [а, Ь] , где R [а, Ь] - множество функций, инте-
грируемых по Риману.
Интеграл - один из простейших функционалов, определенных
на классе R [а, Ь] .
Рассмотрим, как понятие интеграла связано с характеристикой
точечного множества на отрезке.
Пусть на отрезке [а, Ь] задано точечное множество Е С R и % -
характеристическая функция множества Е , т. е. функция
/ \ / \ fl, если х е Е,
Хе(х) I Q, если хЕ[а,Ь]\Е.
Если Е R [а, Ь] , то будем говорить, что множество Е имеет
ъ
длину, равную f%(x)dx = 1(%) = F(E) . Если R [а, Ь] , то
а
будем говорить, что Е не имеет длины.
Замечание. Геометрически интеграл Римана от неотрицательной
функции на отрезке [а, Ь] - это площадь криволинейной трапеции,
образованной графиком функции, отрезком [а, Ь] и прямыми х = а
и х = b .
Определение интеграла можно дать и на ’’языке е - 5 ”.
162
b
Определение. Число I называется интегралом I = f f(x)dx от
а
функции /(х) на отрезке [а, Ь] , если для любого е > 0 существует
такое 6 > 0 , что для всех разбиений Т отрезка [а, Ь] с диаметром
d(T), меньшим, чем 5 , и для всех промежуточных точек £ выпол-
няется неравенство |5(Т, £) — 1\ < е.
Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегри-
рования соответственно.
ъ
Отметим, что I = ff(x)dx = F(f,a,b) не зависит от х, х
- связанная переменная^ в отличие от неопределенного интеграла
f f(x)dx = F(x) + С, зависящего от х .
Выясним, какие функции интегрируемы по Риману, т. е. из ка-
ких функций состоит класс R [а, Ь] .
§ 38. Функции,
интегрируемые по Риману
Теорема (необходимое условие интегрируемости функции).
Для того, чтобы функция была интегрируема по Риману на от-
резке [а, Ь] необходимо, чтобы она была ограничена на этом от-
резке.
Доказательство от противного. Пусть функция /(х)
интегрируема на отрезке [а, Ь] и не является на нем ограниченной.
Это значит, что для любого разбиения Т найдется такой частичный
отрезок разбиения [xk-i^Xk] , что функция останется неограничен-
ной на этом отрезке, т. е. sup |/(х)| = сю .
\_Х к — 1 Л к ]
Возьмем произвольное разбиение Т отрезка [а, Ь] . Найдем такой от-
резок [xk-i,Xk] этого разбиения, на котором функция неограниче-
на. Построим вектор £ = (£i,£2, •••Дп) • Точки
£1, ^2, •••,&-! Д/с+1, ...Дп
зададим произвольно £ [ад_1,ад]). Тогда, если зафиксировать
Т и точки 6,i (i к), интегральная сумма 5(ТД) для функции
/(х) останется зависимой только от £& . Запишем интегральную
163
сумму в виде
п
S(£k)= 52 Ж)Д^ + Ж)Д%.
г=1, i^k,
Первое слагаемое правой части зафиксировано; также зафик-
сировано вместе с разбиением Т. Точка £& принадлежит отрезку
[xk-i,Xk] , на котором функция неограничена, значит, /(£&) тоже
неограниченная функция. Тогда и S^k) есть неограниченная
функция, т. е.
sup |S(£fc)| =00.
,хк]
Но тогда и sup |5(Т, £)| = сю для любого разбиения Т . Отсюда сле-
е
дует, что не существует предела интегральных сумм 5(Т, , что
противоречит тому, что функция интегрируема по условию теоре-
мы. ►
Рассмотрим критерии и достаточные условия интегрируемости
функции, т.е. существования предела I = limSYT, <Д. Согласно
t—>о
критерию Коши существование этого предела означает, что инте-
гральные суммы S(T, £) и 5(Т'Д') должны быть близки друг дру-
гу, если диаметры разбиений d(T) и d(T') достаточно малы.
Для дальнейшего нам понадобится исследовать при фиксиро-
ванном разбиении Т величину
sup |5(Т, е) - Ж £') | = sup 5(Т, е) - inf 5(Т, •
е £
Величина supS(T, называется верхней суммой Дарбу и обо-
значается S(T). Величина inf5(T, называется нижней суммой
Дарбу и обозначается 5(Т) .
Найдем более простые выражения для верхней и нижней сумм
Дарбу. Пусть функция /(х) ограничена на отрезке [а, 6] . Тогда
найдется М такое, что для всех х Е [а, Ь] справедливо |/(х)| < М .
Зафиксируем разбиение Т и отрезок [xk-i,xk] . Пусть
Мк = sup f (x), mk = inf f (x).
xG [xk-i ,xk] xG[xk-i,xk]
164
Теорема (формулы Дарбу). Пусть функция f(x) ограничена
на отрезке [a, b] , Т - разбиение отрезка [а, Ь] ,
Mk = sup f(x); тк = inf f (х).
xG [xfc_i ,Xk] xG[xk-i,Xk]
Тогда
n n
S(T) = ^Mk^xk, S(T)=^m^xk.
k=l k=l
Доказательство. Имеем
n n
S(T,£) = ^Ш^хк <Y,Mk^k-
k=l k=l
Эта оценка верна для любого выбора точек £к . Значит
п
supS(T,£)< МкАхк ,
к=1
откуда
п
S(T)<Y,Mk^xk.
к=1
Зададим произвольное е > 0. Подберем точки £к е [xk_i,xk]
(к = 1,2, так, что f(^k) > Мк — е . Тогда для этого набо-
ра 1
п п
S(T,$ = 52 Ж)ДZfc > 52 M^xk - Ф - а),
к=1 к=1
п
так как сумма ^хк = b — а равна длине отрезка [а,Ь\ . Следо-
к=1
вательно,
п
S(T) = supS(T,e) > УМ1,Лхк
« fe=i
и значит, S(T~) = ^2 МкД.хк .
fc=i
п
Аналогично доказывается формула S_(T) = гпк/\хк . ►
к=1
165
Замечание. Обозначим Mk — = Wfc = оД/, ^k-i, хк) - колеба-
ние функции f(x) на отрезке хк\ Тогда
sup \S(T, е) - S(T, е')| = suPS(T, е) - inf S(T, £') =
w t «
= S(T) - S(T) = - mfc)Axfc = ^WfcAxfc .
k=l k=l
Определение. Пусть есть два разбиения Т и отрезка [а, Ь] .
Говорят, что 71 - продолжение разбиения Т (будем записывать
Ji -< Т), если всякая точка деления, входящая в 7, входит ив Тф
Пусть функция /(х) ограничена на отрезке [а, Ь] . Рассмотрим
простейшие свойства сумм Дарбу.
Свойство 1. Если Т^Т, то 5(ТД < 5(Т) и 5(ТД > 5(Т).
Доказательство. Достаточно ограничиться присоединением
к уже имеющимся точкам разбиения еще одной точки xf. Пусть эта
точка попадет между точками Xk-i и Хк , так что Xk-i < х' < Хк >
В сумме Б(Т) этому отрезку отвечало слагаемое Мк^Хк , а в сум-
ме 5(71) - сумма двух слагаемых Mk(xf — Xk-i) + Мк(хк — х') , где
Мк и Мк - верхние грани функции /(х) на отрезках [xk-i,xf] и
[х',Хк] соответственно. Так как эти отрезки являются частями от-
резка [xk-i,Xk\ , то Мк < Мк , Мк < Мк и значит, имеют место
Mk(xf — Xk-i) < Mk(xf — Xk-i) и Мк(хк — х') < Мк(хк — х'). Скла-
дывая эти неравенства почленно, получим
Mk(xf - xk—i) + Мк (хк - х') < МкАхк .
Отсюда и следует, что S(7i) < S(T).
Аналогично для нижней суммы S(7i) > S_(T) . ►
Свойство 2. Для любых двух разбиений Т и Т' нижняя ин-
тегральная сумма не превосходит верхней интегральной суммы'.
БД) < 5(7Д .
Доказательство. Для доказательства построим разбиение
Ti = {Т, Т'} , которое содержит все точки разбиений Т и Т1. Тогда
Ti Т, Ti Т', откуда 5(ТД < 5(Т') и 5(Т) < 5(ТД . Но по
определению 5(^1) < 5(Ti), а отсюда 5(Т) < Б(Т'). ►
Из этого свойства вытекает, что по всем разбиениям Т
sup5(T) < inf5(T).
т т
166
Обозначим Q(T) = ^k^Xk .
k=l
Теорема (предельный критерий интегрируемости функ-
ций). Для того, чтобы на отрезке [а,Ь] функция f(x) была ин-
тегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось условие (lim Q(T) = 0 .
2 семестр
Лекция 4
(23.02.68)
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть
функция / е R [а,Ь\ , т.е. существует предел интегральных сумм
lim5(T, = I. Зададим произвольное s > 0. В силу того, что
1кнЗ(ТД) = I, 35 > О VT, d(T) < 6, ve |5(ТД) - I\ < s. От-
сюда, при тех же условиях, S(T, £) < I Ре . Значит, VТ , d(T) < 6 ,
S(T) < I Ре.
Аналогично доказывается, что S_(T) > I — е .
Таким образом, Vs > 0 3 5 > 0 VT, d(T) < 5, S(T)-S(T) < 2е
и 0 < < 2е . Это значит, что lim Q(T) = 0 .
Достаточность. Пусть
limQ(T)=0, т.е. lim {S(T) - S(T)} = 0 .
Надо доказать, что существует предел интегральных сумм Римана.
По свойствам сумм Дарбу S_(T) < S(T') для любых разбиений Т
и Т'. По теореме отделимости 31 РТ и VT" 5(Т) < I < S(T') .
Докажем, что I = lim5(T, £) . Зададим е > 0. В силу того, что
lim Q(T) = 0 для этого е 3 5 > 0 VT, d(T) < 5 , S(T)-S(T) < е .
t—>о
Имеем S_(T) < I < S(T) и по определению интегральной суммы
S(T) < 5(ТД) < 5(Т).
Отсюда получаем, что S(T, £) < S(T) < S_(T) Р е < I Р е .
Аналогично S(T,£) > I — е .
Это значит, что |5(Т, £) — /| < е для любого выбора £ , если только
d(T) < S . Следовательно, существует lim S(T, £) = I. ►
t—>o
167
Теорема (критерий Дарбу). Для того, чтобы функция была
интегрируема на отрезке [а, Ь] , необходимо и достаточно, чтобы
infQ(T) = 0.
Доказательство. Необходимость очевидна,
так как данный критерий содержит более слабое требование, чем
предельный критерий интегрируемости.
Достаточность. Пусть дано, что inf Q (Т) = 0 , тогда Vs > 0
3 Т Q (Т) < s . Докажем, что lim Q (Т) = 0 .
Выберем произвольное s > 0 . Пусть То - такое фиксированное
разбиение отрезка [а,Ь\ , что Q (То) < s. Докажем, что 35 > 0
VT, d(T) <5, Q(T) < 2s.
По
По определению Q (То) = шк^хк • Таким образом, у нас за-
к=1
фиксированы число s и разбиение То , а вместе с То число по и
точки х® . Отметим, что если Tf Т, то Q (Т7) < Q (Т) . Пусть
do = min Дх^ > 0 - длина наименьшего из отрезков разбиения То .
к
Пусть далее 5 < 5о • Рассмотрим произвольное разбиение Т, для
которого d(T) < 5 . В каждом отрезке этого разбиения Т окажется
не более одной точки разбиения То .
Построим разбиение Т', состоящее из всех точек разбиений То
и Т . Тогда ТЧ То , ТЧ Т и Q (Т7) < Q (То) < s .
Рассмотрим те отрезки разбиения Т , которые содержат точки То .
Их всего no + 1. Длина каждого такого отрезка не более d(T) = t.
Значит, сумма длин всех этих отрезков а < t(riQ + 1).
Разобьем Q(T) на два слагаемых:
п
Q (Т) = cjfcДx/g = Si + S2,
к=1
где сумма S2 распространена на выделенные отрезки, а сумма Si
- на оставшиеся отрезки.
п
Si - часть суммы Q(T7) , т. е. все члены суммы хцЛхк ,
к=1
входящие в Si , входят и в Q(T7) , откуда Si < Q(T7) < s .
S2 содержит отрезки общей длины а .
Если хц - верхняя грань колебания функции на маленьком отрезке
длины Д Хк , то Шк < (Xf , где Xf - верхняя грань колебания функ-
168
ции на всем отрезке [а, Ь] . Значит,
УД Wfe А Хк < wf УД Ахк < tcvf (по + 1).
Таким образом, Q (Т) < z-\-tWf (no +1). Здесь s, сиу , по + 1 - кон-
станты для функции /(х) . Значит, если ф = min {do, (^о+1) } ?
то Q (T) < 2s для всех t < . Следовательно, lim Q (Т) = 0 . ►
t—>о
Теорема (критерий Римана). Для того, чтобы ограниченная
функция f(x) была интегрируема на отрезке [а, Ь] , необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0 и для любого // > О суще-
ствовало такое разбиение Т отрезка [а, Ь] , что
Axfc < 77,
к,шк>£
где Ахк~ сумма /\хь по всем таким к, для которых
к,шк>£
Доказательство. Необходимость. Предположим
противное, т. е. пусть 3sq > 0 3//() > 0 VT ^Хк > Цо •
к.шк >£
Тогда для любого разбиения Т
(Т) ШкДХк Т ^к^хк >
к,шк<£0 к, Шк>£0
> У2 WfcAxfc > со У2
Aaifc > £О//о > 0.
к, Шк>£0
к, Шк>£0
Отсюда следует, что inf Q (Т) > 0 , и по критерию Дарбу функция
/(х) не является интегрируемой, что противоречит условию. Необ-
ходимость доказана.
Достаточность. Пусть для функции ш = ш [а,Ь] 0 (ина-
че функция постоянная и значит, интегрируемая). Зададим произ-
вольно > 0 . Тогда для ц = по условию теоремы найдется
169
такое разбиение Т, что ^хк < и значит,
к, шк > , £
5 к — Ъ — а
fi(T) = ^2 wfeArcfe+ ^2 WfcArcfc <
к, шк
£ Arcfe + ш £ ^хк <
к,Шк<-ь^ к,шк>-^-^
—^-—(6 — а) + ш— = 2s.
о — а ш
Итак, Q (Г) < 2s, т. е. неотрицательную величину Q (Г) можно
сделать меньше любого наперед заданного положительного числа
2s . Тогда inf Q (Т) = 0 и по критерию Дарбу функция интегриру-
ема на отрезке [а, Ь] . ►
Определение. Пусть ограниченная функция /(х) задана на от-
резке [а, Ь] и пусть xq Е (а, Ь) . Рассмотрим отрезок [а, (3] , содер-
жащий точку xq строго внутри себя. Пусть (х [а, /3] - колебание
функции /(#) на отрезке [а, (3]
ш [а, /3] = sup f (х) — inf /(ж)>0.
xG[a,(3] хб[а,/3]
Очевидно, что если [а', (3'] С [а,/3] , то ш[а\(3'] < ш [а, (3] . При
стягивании точек ап и (Зп к точке xq получим монотонно убы-
вающую последовательность колебаний {си [ап, (Зп\} , которая име-
ет предел при —> то , (Зп xq ( п —> сю). Этот предел на-
зывается колебанием функции f(x) в точке xq и обозначается
cjy(xo) = lim ш [ап,(Зп\ . Колебания функции в точках а и b опре-
п—>ос
деляются как си Да) = lim ш[а,{Зп] , где {Зп xq (п сю), и
п—>сю
ш f(b) = lim ш [ап, Ь] , где ап xq ( п -4- сю ).
п—>сю
Заметим, что
1) сиу(хо) не зависит от выбора последовательности {[an, /Зп\} ;
2) сиу(хо) = О О функция /(х) непрерывна в точке xq ;
3) cjy(xo) > 0 в точке разрыва.
170
2 семестр
Лекция 5
(28.02.68)
Теорема Кантора (обобщенный вариант). Пусть функция
f(x) определена и ограничена на отрезке [а, Ь] и пусть существу-
ет число ш > 0 такое. что Wf(x) < ш для всех х е [а,Ь] . Тогда
для любого г > 0 найдется такое разбиение Т отрезка [а, Ь] на ча-
стичные отрезки ak = [xk-i^Xk] (к = 1,2, ...п), что ш [ap < ш+е
для любого к.
Замечание. Для непрерывной функции сиу(х) = 0 для всех
х Е [а, 6] , и из этой теоремы следует теорема Кантора о равно-
мерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.
Доказательство теоремы. Обозначим шь = ш [xk-i^Xk] •
Пусть заключение теоремы не выполняется, т. е. пусть 3 so > О V Т
3 Ay» ^к0 > + sq . Зафиксируем это so •
Зададим стремящуюся к нулю произвольную последователь-
ность положительных чисел {5т} . Тогда для Тт , d(Tm) < (Уш ,
Экт Шкт > cj + so , т. е. колебание функции /(х) на отрезке
[xkm-i, Хкт] не меньше cj+sq . Значит, существуют две такие точки
ат и Ьт из этого отрезка, что |/(am) — f(bm)\ > ш . Расстоя-
ние между точками ат и Ьт
Ьт\ < \%кт %кт — 1\ А <ДДп) < .
Выберем из {ат} и {6т} подпоследовательности {аД} и {6Д} ,
сходящиеся к числу с Е [a, b] : а'т с, Ь'ш с при m —> сю .
Если с - внутренняя точка отрезка [ар] , то для любого отрезка
[а, р\ , содержащего точку с строго внутри себя, мы получим, что
аД, Ь'т Е [а, р] для всех достаточно больших т. Значит,
W [а, /?] > |/«) - /(О > W + у •
Отсюда следует, что сДс) > ш , т. е. мы нашли такую точку
с, что сДс) > си , что противоречит условию теоремы. Аналогично
рассматривается случай концевых точек отрезка [ар] . ►
Определение. Говорят, что точечное множество Е С [а, Ь] име-
ет длину О (1(E) =0), если для любого s > 0 существует такое
конечное покрытие множества Е отрезками (к = 1,2, ...п),
п
что сумма длин всех этих отрезков Рак) < £ •
к=1
171
Заметим, что конечное множество имеет длину 0, счетное мно-
жество может иметь длину I 0 и множество мощности континуум
может иметь длину I = 0 .
Пример. Канторово множество. Возьмем отрезок [0,1] , разде-
лим его на три равные части и выбросим среднюю треть - интервал
(|, |) длины | . Останется множество Ai длины | , состоящее из
двух отрезков. На следующем шаге каждый из этих двух отрезков
разделим на три равные части и выбросим центральные интервалы
длины | каждый. В результате мы выбросим множество суммар-
ной длины | и получим множество длины | , состоящее из
четырех отрезков длины | , и так далее. На n-ом шаге получим
множество Ап , состоящее из 2П отрезков длины (|)п . Множество
К = Q Ап имеет мощность континуума и длину нуль, так как для
п=1
всякого п содержится во множестве Ап длины (|) . ►
Пусть функция /(х) определена на отрезке [а, Ь] . Для любого
8 > 0 обозначим через E(s) множество тех точек х из отрезка
[а,Ь] , для которых ш (х) > е .
Теорема (критерий Дюбуа — Реймона) . Для того, чтобы
функция f(x) была интегрируема на отрезке [а, Ь] , необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
1) функция f(x) ограничена на отрезке [а, Ь] ;
2) для любого е > 0 длина = 0 .
Доказательство. Необходимость. Воспользуемся
критерием интегрируемости Римана. Если функция интегрируема
на [а, Ь] , то она ограничена на [а, Ь] и V е > О V // > 0 3 Т -
разбиение отрезка [а,Ь\ такое, что ^хк < Л • Заметим, что
к, Шк>£
если отрезок [xk-i^Xk] = op из разбиения Т содержит внутри себя
точку X , ДЛЯ которой сДх) > £ , ТО И Шк > сДх) > 8 .
Зададим произвольное 8 > 0 . Тогда, согласно критерию Рима-
на, выполняется условие ^хк < Л • Все точки х , в которых
к, Шк>£
колебание не меньше 8 , за исключением, быть может конечного
числа точек, принадлежат тем отрезкам, на которых колебание не
Р Известен критерий Лебега (см. [9]) интегрируемости по Риману: для того,
чтобы функция была интегрируема по Риману необходимо и достаточно,
чтобы функция была ограничена и множество ее точек разрыва имело меру
Лебега нуль. (Ред.)
172
меньше s . Значит С |J [xk-i,xk\ • Отрезки [xk-i,xk] = o~k
к.;шк >s
мы можем принять за отрезки покрытия, a ^хк < Л • Значит
к,шк >е
/(Е(Д) < т] для любого т] и /(Е(Д) = 0 .
Достаточность. Пусть функция /(х) ограничена на отрезке
[а,Ь\ и =0 для любого е > 0 . Это означает, что для любого
// > 0 существует такое покрытие множества Е интервалами {сгт} ,
что £?(§) G U и Е l(&k) < Г).
к=1 к=1
Рассмотрим оставшиеся непокрытыми отрезки. Во всех точках
этих отрезков колебание сДх) < | , и значит, к каждому из них
применима теорема Кантора. Применим ее и получим, что каждый
из этих отрезков можно разделить на такие отрезки, что колебание
в каждом из них меньше | + f = £ . Все отрезки дают некоторое
разбиение Т , для которого отрезки, на которых Шк > £ , принадле-
п
жат покрытию {сгт} . Но 1(ак) < Л • Значит и ^хк < Л •
к=1 к, >е
Таким образом, выполняется критерий интегрируемости Римана и,
следовательно, функция интегрируема. ►
Замечание о вычислении определенного интеграла. Если из-
ъ
вестно, что /(х) е R [и, Ь] , то для вычисления интеграла J f(x)dx
а
можно искать lim S(T,E) по какой-нибудь подпоследовательнос-
d(T)—>0
ти разбиений отрезка. Например, можно взять равномерное разби-
ение отрезка [а, Ь] на отрезки длины h = и в качестве £&
взять середины этих отрезков £& = Хк~1^~Хк , где Хк = а + kh
( к = 0,1, 2,..., п). Тогда
ь
хк-1 + хк\ Ь - а
2 ) п
a rv—х
§ 39. Классы интегрируемых функций
Следствие из критерия Дюбуа — Реймона. Бежал ограничен-
ная на отрезке функция, имеющая конечное число точек разрыва,
интегрируема на этом отрезке.
173
D(s) =
В самом деле, для такой функции конечно и, значит
/(В(Д) = 0. Тогда по критерию Дюбуа - Реймона функция ин-
тегрируема.
2 семестр
Лекция 6
(01.03.68)
В частности, мы получаем из этого следствия, что непрерывные
на отрезке функции интегрируемы на нем. Таким образом, если
В [а,Ъ\ - множество функций, ограниченных на отрезке [сцЬ] , то
имеют место включения
С [a, b] С R [а, b] С В [а, Ь] .
Замечание. Существуют ограниченные функции, не интегрируе-
мые по Риману.
Пример. На отрезке [0,1] функция Дирихле
1, если х рационально,
0, если х иррационально,
разрывна в каждой точке отрезка, /(В(Д) = 1 > 0 для всех
0 < 8 < 1 . Следовательно, функция Дирихле не интегрируема по
Риману.
Дадим другое доказательство того, что всякая непрерывная
функция интегрируема, не опираясь на критерий Дюбуа - Реймона.
Теорема об интегрируемости непрерывной функции. Всякая
непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть функция /(х) непрерывна на от-
резке [а, Ь] . Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна
на этом отрезке и для любого е > 0 существует такое разбиение
Т отрезка [а, 6], что х>к < 8 для всех к = 1,2, ...п. Для этого
разбиения
п п
Arcfc = е(6 - а).
к=1 к=1
п
Значит, inf cj/cAx/c = 0 и функция интегрируема в силу крите-
т к=1
рия Дарбу. ►
174
Теорема об интегрируемости монотонной функции. Всякая
ограниченная монотонная на отрезке [а, Ь] функция интегрируе-
ма на этом отрезке.
Доказательство. Пусть для определенности функ-
ция /(х) монотонно возрастает на отрезке [а,Ь\ . Так как функ-
ция ограничена, то существует М такое, что |/(х)| < М для всех
х Е [а,Ь] . Заметим, что в силу возрастания функции частичному
отрезку [xk_i,xk\ произвольного разбиения Т соответствует коле-
бание wk , равное f(xk)~ Дхк_\) •
Зададим е > 0 . Построим произвольное разбиение Т отрезка
[а,Ь\ диаметра d(T) < е, т. е. такое, что Ахк < е (к = 1,2,...п).
Тогда
EL1 < е ££=1 Wfc = Е 2fc=l {f(Xk) - =
= e{f(b)-f(a)}<2eM.
п
Отсюда inf шкАхк = 0 и по критерию Дарбу функция интегри-
Т к=1
руема. ►
Теорема об интегрируемости характеристической функ-
ции. Для того, чтобы характеристическая функция мно-
жества Е была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы
граница дЕ множества Е имела длину 1(дЕ), равную нулю.
Доказательство. Все точки отрезка [а, Ь] делятся на
внутренние, граничные и внешние для множества Е .
Если xq Е Ei - внутренняя точка множества Е , то существует
окрестность О До) точки xq , принадлежащая Е , и тогда для всех
точек этой окрестности Хе(х) = 1. Значит, Хе(х) непрерывна в
точке xq , и колебание в этой точке равно нулю.
Если xq - внешняя точка множества Е и не является концом
отрезка [а,Ь\ , то существует окрестность O(xq) точки xq , не при-
надлежащая Е , и тогда Хе(х) = 0 для всех точек х Е O(xq) .
Значит, Хе(х) непрерывна в точке xq , и колебание в этой точке
равно нулю.
Если xq - граничная точка, т. е. xq Е дЕ , то в любой ее окрест-
ности существуют как точки, в которых функция принимает зна-
чение 0, так и точки, где функция принимает значение 1. Значит,
множество всех таких точек xq совпадает с границей множества
Е, причем сиДхо) = 1. Тогда ЕД) отличается от дЕ не более,
175
чем двумя точками (концами отрезка [а, Ь]) для любого s такого,
что 0 < s < 1. Если же s > 1 , то множество E(s) пусто.
Согласно критерию Дюбуа - Реймона для интегрируемости
функции Хе(х) необходимо и достаточно, чтобы /(Е(Д) = 0, а
это будет тогда и только тогда, когда 1(дЕ) = 0 . ►
ь
Замечание, f хе(х)6х = /(Е) > 0 - длина множества Е. В слу-
а
чае 1(E) = 0 это эквивалентно определению длины 0 .
Теорема. Множество R [сцЬ] есть кольцо функций (с обычным
сложением и умножением функции).
Доказательство. Для доказательства мы должны лишь
проверить, что сумма двух интегрируемых функций f и у и произ-
ведение их - снова интегрируемые функции, так как все аксиомы
кольца для интегрируемых функций выполняются, потому что они
выполняются для функций вообще.
1) Пусть h = / + g . Так как fug- интегрируемые функции, то
для любого е > 0 существует разбиение Т± , для которого имеет
П1
место неравенство шк(Ф)Ахь < е и существует разбиение Т2 ,
fc=l
П2
для которого ^k(g)^%k < £ • Рассмотрим разбиение Т , состоя-
к=1
щее из всех точек разбиений Т± и Т2 . Тогда имеем Г Д Г] . Т Д Т2
и
п П1
Д Wfc(/)AХк < Д Wfc(/)Axfc < е,
к=1 к=1
п п2
< Д Wfc(g)Asfe < е.
к=1 к=1
Заметим, что (Xk(h) < сиД/) ДсиДд) . Сложив почленно написанные
п
выше неравенства, получим ^k(h)Axk < 2s, значит, функция
к=1
h интегрируема по критерию Дарбу.
Попутно, переходя к пределу в соответствующем равенстве для
интегральных сумм, получаем равенство
ь ь ь
J{f + g}dx = У fdx + Уgdx.
а а а
176
2) Пусть h = fg . Так как fug интегрируемы на отрезке [а, Ь] ,
то они ограничены на этом отрезке, т. е. существует М такое, что
|/(х)| < М и |р(х)| < М для всех х Е [а, Ь] . Рассмотрим разность
h(x) - h(x') = f(x)g(x) - f(x')g(x') - f(x)g(x') + f(x)g'(x) =
= fix) {g(x) - р(ж')} + g(x') {f(x) - fix')} .
Значит
\h(x) - h(x')\ < M |р(ж) - g(x')\ + M\f(x) - /(a/)l,
откуда
< M {wk(f) + cjfc(p)} .
Далее, аналогично доказательству в пункте 1) получим, что функ-
ция h интегрируема. ►
Определение. Функция /(х) называется абсолютно интегриру-
емой, если |/(х)| интегрируема.
Теорема об абсолютной интегрируемости. Бежал интегриру-
емая функция абсолютно интегрируема.
Доказательство. Надо доказать, что если f е R[a,b], то
|/| Е R [а,Ь\ . Из очевидного неравенства
следует, что шк (|/|) < шк (/) . Рассуждая аналогично пункту 1)
предыдущей теоремы, получим, что функция |/| интегрируема.
►
Отметим, что обратная теорема не верна.
Пример. Рассмотрим функцию
1, если х рационально,
— 1, если х иррационально,
Функция |/(ж)| тождественно равна единице и, значит, интегри-
руема. Однако функция /(х) не интегрируема хотя бы в силу
критерия Дюбуа - Реймона, так как для /(х) В(2) = [а, Ь] , а
I ([«,&]) = b — а 0 .
/(ж) =
177
§ 40. Свойства интеграла Римана
40.1. Интеграл как функция отрезка
интегрирования
1) . Если b < а , то определим
Ъ а
j f(x)dx = - У f(x)dx.
а Ь
а
2) . Если а = b , то определим J f(x)dx = 0 .
а
3) . Если f интегрируема на отрезках [а, с] и [с, Ь] , то она
интегрируема на отрезке [а, Ь] , причем
Ь с Ь
у* f(x)dx = У f(x)dx + У f(x)dx.
а а с
Таким образом, интеграл есть аддитивная функция от отрезков, по
которым он берется.
В самом деле, из интегрируемости функции на отрезках [а, с] и
[с, Ь] получим
У ujfcAa:fc < е, "y^Uk^Xk < е-
[а,с] [сД]
Отсюда ^kAxfc < 2s , где разбиение Туаесть сумма разбиений
[аД]
Т[а ] и 7Д] . Значит, по критерию Дарбу функция f интегрируема
на отрезке [а, 6] . Для интегральных сумм, соответствующих раз-
биениям Т[а, ^Д,с] и ^[сД] получим равенство
s(Tlajb]) = S(TM) + S(T[C^ .
Переходя к пределу при d(T[a 0 (при этом d(T[a?c]) —> 0 и
d(T[c?^) —> 0), получим формулу
Ь с b
[ f(x)dx = [ f(x)dx + [ f(x)dx.
178
40.2. Интеграл как функционал
Определение. Отображение, для которого область значений со-
ставляют числа, называется функционалом.
Зафиксируем отрезок [а, Ь] . Тогда 1(f) = f(x)dx - функци-
онал, отображающий функции в числа.
1) . Интеграл есть линейный функционал: для любых чисел а (3
I(af + Pg) = al(f) + /31(g).
Действительно, так как R [а, Ь] - кольцо, то I(f + g) = 1(f) + 1(g).
Остается доказать, что
ь ь
af(x)dx = а jf(x)dx.
а а
Это равенство вытекает из соответствующего равенства для инте-
гральных сумм.
2) . Функционал 1(f) ограничен: существует такое К. что для
всех функций f имеет место неравенство
\I(f)\<K-\\f\\ , где ||/|| = sup \f(x)\ .
жб[а,Ь]
В самом деле,
Но
п
^f(^xk
k=l
<11/11
откуда |l(f)| < \\f ||-\b — а\ . Следовательно, функционал 1(f) огра-
ничен с константой К = Ь—а . При f(x) = 1 последнее неравенство
обращается в равенство.
Пример неограниченного функционала, f —> f'(xv) = F(f) -
неограниченный функционал.
3) . Интеграл - положительный функционал: если функция f ин-
тегрируема на отрезке [а, Ь] и f(x) > 0 для всех х е [а, Ь] , то
Л/)>о.
179
В самом деле, в этом случае все интегральные суммы неотрица-
тельны, следовательно !(/) > 0.
Следствие (монотонность интеграла). Если функции f(x) и
д(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь] и f(x) < д(х) для всех
х е [а, Ь] , то 1(f) < 1(g) .
В самом деле 1(g) — 1(f) = I(g — f) > 0 , так как д(х) — f(x) > 0
\/х е [а, 6] и интеграл - положительный функционал. Отсюда по-
лучаем, что 1(g) > 1(f ). ►
Теорема о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
[а,6] (Ь > а). Тогда существует точка с € [а,6] такая, что
[ f(x)dx = (b-a)- f (с).
J а
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, Ь] , то она принимает на нем минимальное значение т и
максимальное значение М . Если через S обозначим интегральную
сумму, то т(Ъ — а) < S < М(Ь — а), откуда
т(Ь — а) < 1(f) < М(Ъ — а).
Из этого неравенства получим
<м.
о — а
По теореме о промежуточном значении непрерывной функции су-
ществует такое с Е [а, 6] , что f(c) = , а это и значит, что
f f(x)dx = (b-a) • f (с). ►
J а
2 семестр
Лекция 7
(06.03.68)
Пример. Функция Римана (рис. 9.3)
{-, если х рациональное число —,
п п
0, если х иррациональное число,
180
У
1)(-
1
2
1
3
1
4
О
2 3
3 4
Рис. 9.3. Функция Римана.
где - несократимая дробь , т - целое число, п - натуральное
число, непрерывна в иррациональных и разрывна в рациональных
точках отрезка [0,1] . Действительно, если точка /'о рациональная,
то ТДтд) Д 0 . В любой окрестности точки гд найдутся иррацио-
нальные точки х , в которых R(x) = 0 , следовательно, в точке
го функция Римана разрывна. Пусть теперь xq - иррациональная
точка. Тогда для любого е > 0 возьмем натуральное число N > | .
В любой окрестности точки xq находится лишь конечное или пу-
стое множество рациональных точек вида , где п < N , поэтому
существует такое 6 > 0 , что 0 < R(x) < < е для всех х та-
ких, что |х — хо| < 6. Следовательно, R(x) непрерывна в точке
xq . Далее, множество ВД) конечно для любого е > 0 , следова-
тельно, /(Т?Д)) = 0 и функция Римана интегрируема по Риману
на отрезке [0,1] .
Замечание. Интегрируемость сложной функции. Пусть
функция /Д) е R [сцЬ] , tp(x) е R [а, /3] , ^([а,Д]) С [а, 6] . Будет
ли интегрируема сложная функция /(</?(£)) ? Нет, не обязательно.
Г 0 х — 0
Пример. Функция /(х) = < 1’ 0<х < 1 имеет одну точку
разрыва на отрезке [0,1] . Пусть cp(t) = R(t) - функция Римана
на отрезке [0,1] . Тогда сложная функция будет совпадать
с функцией Дирихле и будет неинтегрируемой на отрезке [0,1] .
Имеет место
Теорема об интегрируемости сложной функции. Если фун-
кция f(x) непрерывна на отрезке Д,/3], Е [а, {3\ для всех
t е [а, 6] и интегрируема на [а, 6] , то интегрируема по
Риману на [а, Ь] .
181
Действительно, применяя теорему о непрерывности сложной фун-
кции получим, что множество точек разрыва функции со-
держится во множестве точек разрыва функции . Следова-
тельно, тоже будет интегрируема на [а, 6] . ►
Замечание. Если f (х) е R [с, d] , cp(t) Е С [а, Ь] , то сложная функ-
ция может не быть интегрируемой 2) . Интегрируемость сложной
функции нарушается.
Теорема о среднем (обобщенный вариант). Пусть функция
ср(х) определена на отрезке [а, Ь] , неотрицательна на нем и ин-
тегрируема; функция f(x) определена и ограничена на отрезке
[a,b\ (m < f(x) < М) и произведение f(x) • ip(x) интегрируемо
на [а,Ь] . Тогда (при а <Ь)
ъ ъ ъ
т cp(x)dx < f(x) • cp(x)dx < М cp(x)dx .
а а а
Если, кроме того, функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] , то
существует точка с Е [а, Ь] такая, что
ь ь
f(x)ip(x)dx = f(c) J"(p(x)dx.
a a
Доказательство. Так как <p(x) >0 V x E [a ,b\ и интеграл
- монотонный функционал (см. п. 40.2, с. 180), то
тср(х) < f(x)cp(x) < Мср(х),
ь ь ь
т cp(x)dx < f(x) • cp(x)dx < М cp(x)dx .
а а а
Первая формула доказана. Из неотрицательности функции <р(х)
ь ь
на отрезке [а, Ь] следует, что f<p(x)dx > 0 . Если f<p(x)dx = 0 , то
а а
Смотри [3] гл. 8, пример 34. Книга была рекомендована С. Б. С. (Ред.)
182
b
f f(x)p(x)dx = 0 и формула
a
b b
J" f(x)(p(x)dx = f(c) У <p(x)dx
a a
b
верна для любого с Е [а, Ь] . Если интеграл f p(x)dx > 0 , то на него
а
можно разделить. Получим
ь
Jf(x) • <p(x)dx
т < -—------------- < М,
~ ь —
f (p(x)dx
а
где можно взять т = inf /(х) , М = sup /(х) в случае непре-
х£[а,Ь]
рывной функции /(х) . Далее, если функция /(х) непрерывна на
отрезке [а,Ь\ , то по теореме о промежуточном значении существует
такая точка с Е [аД] , что
ь
ff(x) <p(x)dx
= —b------------’
f tp(x)dx
a
откуда
b b
У f(x}p(x)dx = f(c) У <p(x)dx . ►
a a
Замечание. Последняя формула дает метод оценки интеграла.
40.3. Интеграл, как функция верхнего предела
интегрирования
Пусть функция f(t) Е R [а,Ь\ . Тогда для любого х Е [аД] функция
f(t) Е R [а,х] . Обозначим
= У
а
183
для любого х Е [а, Ь] . Получили функцию от верхнего предела
а
интегрирования. Отметим, что Ф(а) = f f (t)dt = 0 .
а
Теорема (непрерывность интеграла, как функции верхнего
предела). Интеграл есть непрерывная функция от верхнего пре-
дела.
Доказательство. Из свойства аддитивности и ограниченности
интеграла
x-\-h х x-\-h
fXdt = J f(t)dt+ J fXdt,
a a x
откуда
x-\-h
+ '‘b*W= /№>“'
Применяя теорему о среднем и свойство ограниченности интеграла,
как функционала (см. и. 40.2, с. 179) получим
|Ф(х + ^)-Ф(х)| < \h\M, (*)
откуда и следует непрерывность функции Ф(х) , так как левая
часть неравенства стремится к нулю при h -Е 0 .
Таким образом, из полученного при доказательстве теоремы о
непрерывности интеграла, как функции верхнего предела неравен-
ства (*) получаем
Следствие. Интеграл, как функция верхнего предела удовлетво-
ряет условию Липшица порядка 1.
Теорема (дифференцирование интеграла по верхнему пре-
делу). Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а,Ь] . То-
гда для любой точки xq Е [а, Ь] , в которой функция f(x) непре-
рывна, определенный интеграл Ф(х) = f f (t)dt, как функция верх-
а
него предела, имеет производную Ф'(хо) = /(#о) •
Доказательство. Если xq - внутренняя точка или левый
конец отрезка [а, Ь] , то из равенства
x0+h
Ф(ж0 + Л.) - Ф(ж0) _ 1
h ~ h
х0
184
следует, что
x0+h
h • inf /(x) < / f(x)dx < h • sup /(x).
xG[xo,xo+7i] J X£ [Жо ?xq+/i]
XO
Так как функция /(x) непрерывна в точке то , то Vs > О 35 > О
V/щ 0 < h < 6,
sup /(s) < /(so) + £, inf /(s) > /(so) - £.
[xo,xq+/i] |до,жо+/г]
Значит для h , 0 < h < 5 ,
$(s0 + h) - $(s0)
----------------/(so) <£•
Проведя аналогичные рассуждения для h < 0 в случае, когда х$
- внутренняя точка или правый конец отрезка [а, Ь] , получим
11ш Фота + >.)-Фы = /ы
/г—>0 h
т. е. имеет место равенство Фх(хо) = /(#о) (в частности для со-
ответствующих односторонних производных в концах отрезка (см.
§ 25, с. 108)). ►
Следствие. Всякая ограниченная на отрезке [а, Ь] функция f(x) ,
имеющая не более чем конечное число точек разрыва, имеет пер-
вообразную.
Доказательство. Пусть xq, х±, ..., хь 6 [а, Ь] и /(х) непре-
рывна для всех х Xi (г = 0,1,...,А;). Тогда функция /(х) инте-
грируема на отрезке [а, Ь] , функция Ф(х) = непрерывна на
а
отрезке [а, Ь] и Ф'(х) = /(х) для всех х Xi (i = 0,1,..., k). От-
сюда следует, что функция Ф(х) есть первообразная для функции
/(ж) - ►
В частности получаем, что всякая непрерывная функция имеет
первообразную.
Упражнение. Привести пример интегрируемой функции /(х) ,
для которой Ф(х) = J/ (t)dt не является дифференцируемой в
некоторых точках.
Интеграл Римана - аппарат, при помощи которого можно стро-
ить первообразные функции.
185
2 семестр
Лекция 8
(13.03.68)
§41. Вычисление определенных
интегралов
41.1. Добавление к теории
неопределенных интегралов
Рассмотрим способ, с помощью которого иногда можно разложить
рациональную функцию на простейшие дроби, не используя
при этом метод неопределенных коэффициентов.
Пусть дана п + 1 точка то, ад,..., ( xi Xj при г j ) и надо
построить такой многочлен Р(х) , что Р(хк) = Ук (А; = 0,1,...,п).
Мы знаем, что ответ на этот вопрос дает интерполяционная фор-
мула Лагранжа
п
р(х) = 52 w =
k=0
(х - х0)...(х - rcfc-i)(a? - хк+1)...(х - х,
(xfc - Х0}...(хк - Хк-1)(хк - хк+1)...(хк - хп) '
Рассмотрим многочлен степени п + 1
п
Q(x) = (х - х0)(х - Х1)...(х -Хп} = (х - хт}.
т=0
Заметим, что в числителе &-го члена формулы Лагранжа стоит
выражение . Продифференцируем многочлен Q(x) :
X Xfa х 7
п п
= 52 П+ _ Хт^
к=0 т=0,
т^к
Подставив в это равенство х = Хк •> получим
п
Q'(Xk) = П Щ - хт)
т=0,
тп^к
= 52р(^)
к=0
186
- выражение, которое стоит в знаменателе &-го члена формулы
Лагранжа. Следовательно,
Р(х) £P(xfc) '
Разделив обе части этого равенства на Q(x) , получим, что если
Q(x) имеет п + 1 различных корней, то
п
Q'(xk)
X — Xk
k=Q К
Корни Xk многочлена Q(x) могут быть комплексными числами. В
этом случае, если Q(x) - многочлен с действительными коэффи-
циентами, комплексно сопряженное число Xk тоже будет корнем
многочлена Q(x) . Пусть, например, Xk = а и xi = а - корни
многочлена Q(x) . Тогда
Р(а) Р(а)
оТЛ + оТТ) _ Мх + N
х — а х — а х2 — х(а + а) + а2 ’
где М и N - действительные числа.
41.2. Основная формула
интегрального исчисления
Пусть функция /(х) определена на отрезке [а, Ь] , ограничена и
имеет на нем не более, чем конечное число точек разрыва. Тогда
функция Ф(х) = f f (t)dt есть одна из первообразных для функции
а
f(x) (см. п. 40.3, с. 185, следствие из теоремы о дифференцирова-
нии интеграла по верхнему пределу). Если F(x) - еще одна перво-
образная, то
Ф(х) = у = F(x) + С.
а
Положив х = а, получим 0 = F(a) + С , откуда
У f(t)dt = F(x) - F(a).
а
187
В частности,
ъ
If(t)dt = F(b) - F(a).
а
Эта формула называется основной формулой интегрального исчи-
сления. Обозначают F(x)|^ = Р(Ъ) — F(a) . Таким образом,
ь
У f(x)dx = Дж)1а .
а
Замечания. 1. Функция /(х) , имеющая первообразную, может
быть неинтегрируемой по Риману. Например, F(x) = х2 sin ,
F(0) = 0 , является первообразной для своей производной, которая
неограничена в любой окрестности нуля, и значит, неинтегрируема
по Риману на [—1,1].
2. Для /(х) , интегрируемой по Риману, Ф(х) = f мо-
а
жет не быть первообразной. Например, для функции Римана R(x)
(п. 40.2, с. 180) имеем Ф(х) = JR(t)dt = 0 , следовательно, Ф'(х)
отличается от функции Римана в счетном множестве точек.
Для того, чтобы функция /(х) имела первообразную и была
интегрируема по Риману, надо наложить на функцию дополнитель-
ные условия, например, предположить, что /(х) непрерывна или
имеет лишь конечное число точек разрыва.
Кроме основной формулы интегрального исчисления, когда извест-
на какая-нибудь первообразная, существуют и другие приемы вы-
числения определенного интеграла:
1) вычисление предела интегральных сумм;
2) метод подстановки;
3) интегрирование по частям.
41.3. Основные методы интегрирования
Теорема (метод подстановки). Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [а, Ь] , а функция х = определена
на отрезке [а, (3] и удовлетворяет следующим условиям:
1) . Да) = a, =b;
188
2) . <p(t) имеет непрерывную производную на отрезке [а, /3] ;
3) . <p(t) Е [сцЬ\ для любого t Е [а, /3] .
Тогда для сложной функции , определенной на отрезке
[а, 3] , справедлива формула
ь (3
У f(x)dx = У/(Д £))</(£)<&.
а а
Доказательство. Если F(x) - первообразная для функции
/(х) , то по основной формуле интегрального исчисления
ь
У f(x)dx = Дж)|Ь = F(&) - F(a).
a
Первообразной для функции является функция
Е((Д£)) . Значит
/з
У = F&(J3)) - F(<p(a)) = F(b) - F(a).
Отсюда
b (3
У f(x)dx = У f((p(t))(p'{t)dt. ►
a a
Замечание. Теорема справедлива без условия 3), если функция
/ непрерывна на отрезке [А, В] D [а, Ь] таком, что [a, b]) С [А, В] .
Так как всякую непрерывную функцию можно непрерывным обра-
зом продолжить на больший отрезок, то формула верна, если в ин-
теграле справа рассматривать соответствующим образом продол-
женную функцию.
Теорема (интегрирование по частям). Пусть функции и(х) и
v(x) определены на [а, Ь] и имеют на этом отрезке непрерывные
производные и'(х) и г'(х) . Тогда справедлива формула
ь ь
f л \b f л
/ udv = uv\a — / vdu .
а а
189
Доказательство. Мы знаем, что для неопределенного
интеграла f udv = uv — f vdu . Обозначив какую-нибудь пер-
вообразную для последнего интеграла в этой формуле, получим по
основной формуле интегрального исчисления
ь
Уudv = [uv-Дх)]|Ь = uv\ba- .
а
b
Но так как в то же время f vdu = (Дх)|а , то
а
b b
f и \ь [ Л
/ udv = uv\a — / vdu . ►
а а
190
Глава 10
Приложения
интегрального
исчисления
§ 42. Вычисление площади
Пусть /(х) - непрерывная неотрицательная функция на отрезке
[а, Ь] . Тогда площадь S(x) криволинейной трапеции на отрезке
[а,х\ , х е [а, Ь] , будет первообразная для /(х) (см. п. 35.1, с. 152):
S' (х) = /(х) . Значит, в качестве определения площади криволи-
ъ
нейной трапеции можно взять интеграл Римана J f(x)dx со знаком
а
” + ’’для /(ж) > 0 и со знаком ” — ’’для /(х) < 0 . Тогда площадь
фигуры
D = {(х,у) : f2(x) <у < Л(х), а < х < Ь} ,
где /1(ж) и /2 (ж) - непрерывные на отрезке функции, можно опре-
ь
делить по формуле S(D) = f (fi(x) — /2 (%)) dx . Таким образом, с
помощью определенного интеграла можно вычислять площади та-
ких фигур, которые разбиваются на конечное число криволинейных
трапеций.
191
§ 43. Формула Тейлора
с остаточным членом в
интегральной форме
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в инте-
гральной форме). Пусть функция f(x) определена на (сцЬ),
п G N, G С(а,6) и xq е (а, Ь). Тогда для х е (а, Ъ) спра-
ведлива формула
fl \ fl X /(" ^(жо) 1
/(ж) = f(x0) ч---— (ж - х0) + ... + (х - х0) + Гп(х),
где
х — Хо
J1 -QI У (х - Xq - f^n\xQ t)dt.
о
192
2 семестр
Лекция 9
(08.09.67)
Доказательство. Ограничимся случаем xq = 0 . Тогда
формула выглядит так:
f(x) = f(O) + ^x + ...+
о
Остаточный член этой формулы можно переписать в виде
Гп{х} = длут l(x-tr~1fn4t)dt=
о о
Докажем эту формулу индукцией по п . Интегрируя по частям (по-
ложим и = f'(x — t) , dv = dt и т.д.), получим
/(ж) - /(0) = У f'(x - t)dt = ж/'(0) + У tf"(x - t)dt =
О о
= х/'(0) + Г(0)^ +1 у>Г (z - t)dt =... =
О
х2
= х/'(0)+Г(0)- + ...+
тп-1 1 У
+ 5ГтцтГ-,’т + (—►
О
Применив обобщенную теорему о среднем (п. 40.2, с. 182), получим
остаточный член в форме Лагранжа:
пД) = Д^Т)!/(п)(е) /(ж “ = ^г1'”
о
193
§ 44. Квадратурные формулы
(формулы для вычисления
определенных интегралов)
Пусть /(х) е С [а, Ь] . Тогда квадратурная формула имеет вид
^Akf{xk) = /
I-О J
f(x)dx
Числа Xk называются узлами, а - коэффициентами квадра-
турной формулы. Квадратурная формула - не обязательно инте-
гральная сумма.
Квадратурные формулы с равными коэффициентами = А на-
зываются формулами Чебышёва.
Будем требовать, чтобы квадратурная формула была точна для
некоторых простых функций, например, на многочленах степени не
выше 2п + 1 , т. е. degF < 2п + 1 (так как в квадратурной формуле
2п + 2 параметра: п + 1 узлов и п + 1 коэффициентов).
Если узлы известны, например, имеется равномерное распределе-
ние узлов, т. е. все соседние узлы квадратурной формулы находятся
на равном расстоянии друг от друга (хь = х$ + ), то в этом
случае будем требовать, чтобы квадратурная формула была точна
на многочленах степени deg Р < п .
Рассмотрим остаток квадратурной формулы
RnU) =
f(x)dx - ^2 Afe/(xfe).
Задача состоит в том, что для тех функций, для которых мы будем
применять квадратурную формулу, мы хотим сделать остаток до-
статочно малым. Например, мы можем рассмотреть квадратурные
формулы на классе функций, для которых ||/^ || < М .
194
44.1. Формула прямоугольников
Обозначим h = b — а , а = xq , b = Xi . Формула
ь
У f(x)dx = hf(a)
а
будет точна на многочленах нулевой степени. По этой формуле ин-
теграл для /(х) > 0 заменяется площадью прямоугольника с вы-
сотой /(а) , поэтому формула называется формулой прямоугольни-
ков.
44.2. Формула трапеций
Квадратурная формула (см. рис. 10.2)
ь
У f(x)dx | (/(а) + /(&))
а
называется формулой трапеций. Она будет точна для многочленов
первой степени. Остаток формулы трапеций
ь
R(f) = У f(z)dx - | (/(а) + /(&))
а
равен нулю, если /(х) есть многочлен Pi (ж) , deg Pi < 1.
Предположим, что f"(x) Е С [а, Ь] . Можем положить а = 0.
Тогда
ъ
RU) = У- | (/(&) +/(о)).
о
Докажем, что
ъ
R(f) = /Х^Ь~ x)f”(x)dx.
о
195
d — Xq
Рис. 10.2. Квадратурная формула трапеций.
Введем в рассмотрении интеграл J f(u)du = F(x) . Тогда имеют
ъ
место соотношения Jf(x)dx = F(F) — F(0) и
о
Ь2 1 Г
F(b) = F(0) + 6F'(0) + — F"(0) + - / (6 - x)2F'"(x)dx,
Л J
откуда
f(x)dx = bF'(Q) + yF"(0) + | l\b - x)2 F"'(x)dx.
По формуле Тейлора
Ff(b) = F'(0) + 6F"(0) F Fb- x)F"\x)dx.
Умножим последнее равенство на | и вычтем из предыдущего.
196
Получим
о
ь
о
о
ъ
= | {/(0 + /(0)} - | fa - x)F"'Wdx.
О
Так как b — bx — b2 + 2Ьх — х2 = Ьх — х2 , то
ь ь
R{f) = Ц(Ь- ^2F’"(x)dx -Ь-/(Ь- x)F"'(x)dx =
О о
ъ ъ
= ^J~ x)F,n[x)dx =^J~ x)f''(x)dx.
о о
Это и есть остаточный член формулы трапеций.
По теореме о среднем получим
ь
а
Теперь, если узлы распределены равномерно на отрезке, т. е.
Хк = Хо F hk при /с = 0,1,..., п и h = •> то
? h h3
/ f(x)dx = - {f(xk) + f(xk+1)} - ,
J Zj J_ Zj I I
d'k-1
197
f(x)dx =
| {/Oo) + 2 (/(xi) + ... + /(s„_i)) + f(xn)} -
или
h3
12n2
(Ы,
[fl hlf(x°) + f(xn)
/ f(x)dx = h <!----------
a
n— 1
+ 52/Ofc)
k=l
где /"(£) - среднее значение второй производной.
44.3. Формула парабол (формула Симпсона)
Введем обозначение х± = -/'о + д - середина отрезка [а?о, ад] . Тогда
ад = ап + . На отрезке [а?о,ад] заменим функцию интерполяци-
онным многочленом Лагранжа с узлами в точках а?о , ад , ад :
Р(х) = у010 + yih + yih,
где
(х — xi)(x — ад)
__ _____2 7________
(®о - Я1)Оо - Ж1) ’
_ (ж - я?о)(ж - хг)
(xi - Хо)01 - Ж1) ’
г _ (х - х0)(х - Х1)
1 (ад — a?o)(a;i — a?i)
Проинтегрировав интерполяционный многочлен Лагранжа, полу-
чим формулу
P(x)dx = |у0 +4yi +У1)
Хо
198
Теперь, применив эту формулу для равномерного разбиения отрез-
ка, получим
Хп
У f(x)dx (уо + Уп + 4 (yi + ... + уп_1) + 2 (yi + ... + y„-i)| .
Xq
Это квадратурная формула парабол (формула Симпсона).
§ 45. Длина кривой
45.1. Функции ограниченной вариации
(функции с ограниченным изменением)
Пусть f (х) е С [а, Ь] и Т - какое-нибудь разбиение отрезка. Ве-
п
личина \f(xk) — /(#fc-i)| характеризует величину колебания
к=1
функции по данному разбиению.
Определение. Если величина
ь 1 v
V f = sup V |/(a?fe) - /(xfe-i)| < м,
a T
то говорят, что функция /(х) имеет на отрезке [а, Ь] ограниченную
вариацию.
Пример. Функция xsin- (рис. 10.3) на отрезке [0,1] имеет нео-
граниченную вариацию.
Рис. 10.3. Функция xsin- на отрезке [0,1] имеет неограниченную
вариацию.
199
Замечание. Функция /(х) , имеющая ограниченную производную
или удовлетворяющая на отрезке [а, Ь] условию Липшица с кон-
стантой К , имеет ограниченную вариацию.
Действительно, по условию Липшица
|/(Щ - /(^fc-i)l < К \xk - xfe_i|,
следовательно
Vf<K\b-a\ .
а
Будем обозначать V [а, Ь] класс функций с ограниченной ва-
риацией. Таким образом, функции ограниченной вариации - класс
функций между непрерывными функциями и функциями, удовлет-
воряющими условию Липшица: Lipl [a,b\ С V [a,b\ С С [а, Ь\ .
2 семестр
Лекция 10
(20.03.68)
Пример. Пусть функция /(х) возрастает на отрезке [а,Ь\ . Тогда
/(х) е V [а,Ь\ . Действительно, для любого разбиения Т
п п
52 - ZOfc-i) I = 52 ~ /Щ-О) = Ж - Л°) = V f
к=1 к=1 а
Замечание. Всякая функция с ограниченной вариацией f е V
представима в виде разности двух возрастающих функций Д и
Д • / Е V О f = fi — /2 • Функции с ограниченной вариацией
образуют линейное пространство.
Замечание. Пусть функция имеет непрерывную производную f'(x)
на отрезке [а, 6] . Тогда по теореме Лагранжа
Ё l/'fe) - /(«.-01 = £ =
Хк — Хк-1
к=1 к=1 К К 1
= 521Г(&)1 Axfc.
к=1
Мы видим, что вариационная сумма стала интегральной суммой
Ъ п
для интеграла J|/Z(x)| dx и очевидно, что sup \f(xk) ~ f(xk-i)\
а Т к=1
200
есть предел интегральных сумм по некоторой подпоследовательно-
сти разбиений при d(T) —> 0 . Значит
V f = sup V \f(xk) - f(xk-i)\
a T
l/'O)l dx.
Замечание. Пусть /(x) e C [a, b] , (p E V [a, b] . Можно обобщить
понятие интегральной суммы, заменив приращение аргумента при-
ращением функции ср . Получим суммы Римана - Стильтьеса
п
52
к=1
Определение.
п Ъ
и™ 52
называется интегралом Римана - Стильтьеса.
Замечание. Интеграл Римана - Стильтьеса обладает следующи-
ми свойствами.
1. Интеграл Римана - Стильтьеса есть линейный функционал.
2. В пространстве непрерывных функций, заданных на отрезке,
всякий линейный непрерывный функционал (или, что то же самое,
всякий ограниченный линейный функционал) есть интеграл Рима-
на - Стильтьеса.
45.2. Спрямляемые кривые
Ради простоты будем рассматривать плоские кривые. Аналогично
можно рассмотреть пространственные кривые.
Пусть в плоскости параметрически задана кривая Г :
х = p>(t\
у = ФХ,
а < t < (3,
где ^(t) 6 С[а,/3] . Будем предполагать, что Г - простая
кривая без кратных точек (без самопересечений). Таким образом,
201
если М = {</?(£), и М' = - точки на кривой, и
t ф t'. то М 3 М'. Разделим кривую точками Мк ( к = 0,1,п )
на конечное число частей. Получим разбиение
Т : {Мо = М(а), Мк = M(tk\ .... Мп = М(Д)} .
Обозначим \МкМк_\\ длину хорды, стягивающей точки Мк_± и
Мк . Возьмем верхнюю грань длин ломаных с узлами в точках Мк
по всем разбиениям кривой Г .
п
Определение. Если sup \МкМк_±\ = /(Г) < сю , то кривая
т к=1
Г называется спрямляемой, а /(Г) называется длиной кривой Г
(рис. 10.4).
Рис. 10.4. Длина кривой.
Заметим, что разбиение
Тг : {Мо = М(а), ..., Мк = M(tk\ .... Мп = М(/3)}
кривой Г точками Мк . (к = 0,1,..., п) порождается разбиением
отрезка [а, {3\
-^[а,/3] • /д < Д <•.. < Д < ... < /3 .
Так как длина хорды
| -^k-^-k—l1 = (%к %к—3) Т (ук Ук—3) =
= У{<рД) - <p(ifc-i)}2 + {V’(tfc) - V'(ifc-i)}2 ,
202
где ук ~ координаты соответствующих точек Мк , то
\МкМк^\ > \<p(tk) - <p(ifc-i)| ,
\MkMk_L| > |-0(ifc) - V’(^fc-i)!,
а с другой стороны
\мкмк_^\ < \^(tk) - + IW/0 - №-i)l •
Теорема (критерий спрямляемости кривой). Для того, что-
бы плоская непрерывная кривая
Г: х = p>(t), у = ф(б), а < t < /3,
без кратных точек была спрямляемой, необходимо и достаточно,
чтобы функции р> и ф были функциями с ограниченным измене-
нием.
Доказательство. Необходимость. Пусть Г
п
- спрямляемая кривая, т.е. sup \MkMk-i\ < сю . Докажем, что
т k=i
р е V [а,(3\ . Любому разбиению Т отрезка [а, /3] соответствует
некоторое разбиение кривой Г : Тг . Тогда
52 И^) - < 52 \MkMk-i\ < sup 52 \MkMk-i\ < oo.
k=l k=l Tr k=l
(3 (3
Значит, V ср < Z(T) . Аналогично V ф < ЦТ).
/3 /3
Достаточность. Пусть V ip < сю , П^<сю. Тогда для
а а
любого разбиения Тг
52\мкмкх < 52 |^д) - H^fc-i)i + 52 ~ <
к=1 к=1 к=1
< v^ + v^.
а а
/3 /3
Значит, /(Г) < V + V Ф • ►
а а
203
45.3. Задача о выражении длины кривой
интегралом
Необходимо указать дополнительные условия на регулярность
функций у к ф.
Теорема (выражение длины кривой интегралом). Пусть
Г: х = у = ф(фф & < t < (3,
- плоская простая и непрерывная кривая и (Фр Е С [а, /3] .
Тогда Г спрямляемая и
3
Д) = /Дд)}2 + ДД)Лй-
Доказательство. Так как Е С [а, (3] , то функ-
ции ср и ф являются функциями ограниченной вариации. Тогда
по критерию спрямляемости кривой кривая Г спрямляемая. Пусть
Т - разбиение кривой. Рассмотрим длину вписанной ломаной. Так
как ДД > 0 , то применяя формулу Лагранжа, получим
----------------------------
У2 IMkMk-i\ = {Лл) - ‘/’(ife-i)}2 + ДД) - Wfe-1)}2 =
fc=l fc=l
n ----------------
= 52 v Д'ДД2 + ддш2 •
k=l
Так как ф' E С [a, (3] и значит, равномерно непрерывна на [а, (3] ,
т. е. Vs>0 35 > О VT d(T) < 5 \ф'(туф — ф'(Ск)\ < £ • Поэтому
52 { ДДД) + #2(Д - ДДД) + #2Д)} Mfc
к=1
п
< 52ид) - ед)1 (/?-«)-> о
к=1
при d(T) 0 . Мы воспользовались также неравенством
— yj а2 +
< |&-&1|
204
для произвольных а , b и . При b — = 0 неравенство очевидно.
При b — di О для доказательства избавляемся от иррациональ-
ности в числителе:
\А2 + 62 — ^/а2 + 62
|б2-62|
|6 + 61|
Таким образом, мы доказали, что
п п ------------------
52\мкмк^ । = 52 v мы?2 + мы2 +«,
fc=l fc=l
где а Д 0 при d(T) —> 0 . Теперь докажем, что
/з
/(г) = у Умт2 + {#д+*-
Последний интеграл существует при сделанных предположениях, и
значит, существует предел интегральных сумм. Так как при добав-
лении новых точек длина может только возрастать, то
sup 52 \мкмк--1\ =
т? к=1
{п
52 +/2(ы+#2(ым+со =
fe=i )
(d(Tm)^0 (m—>оо))
{п
52 +/2(ы+#2(ым ? =
J
/з
= у м/2д+
Здесь последний предел существует в силу существования интегра-
у /-----------2--------2
ла f л/{</>'(£)} + {#(6)} dt, значит, существует равный предел и
а
по подпоследовательности разбиений {Тт} . ►
205
Следствие. Пусть кривая выражается уравнением у = /(х) ,
причем f еС [а, Ь] . Тогда
ъ
г(г) = /У
1 + yf2(x) dx .
Действительно, положим t = х , а < х < b, и применим теорему
о выражении длины кривой интегралом.
45.4. Дифференциал дуги
Рассмотрим дугу кривой Г от точки Mq до текущей точки М (t) .
Пусть <//(£), ^С[а^] и
t
s(t) = / ^'2
а
- длина дуги кривой от точки Mq до текущей точки М (t) . Функ-
ция s = s(t) строго монотонна и может быть принята в качестве
параметра на кривой. Тогда дифференциал дуги
ds = у/ср'2 (t) + ДД) dt = У (Др)2 + (Д;)2 ,
(ds)2 = (dp))2 + (d^)2 ,
/ (Ы2 + / #\2 = x
yds J yds J
Мы получили
Следствие (существование нормальной параметризации).
Для любой простой непрерывной кривой
Г: х = p(t), y = ^(t), а < t < {3,
такой, что p'(t), ДД 6 С [а, (3] , существует нормальная пара-
метризация.
Вопросы к коллоквиуму.
1. Общий вид первообразной.
2. Свойства неопределенного интеграла.
206
3. Интегрирование и дифференцирование. Замена переменной,
интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
4. Необходимое условие интегрируемости (ограниченность
функции).
5. Суммы Дарбу и их свойства.
6. Предельный критерий интегрируемости.
7. Критерий интегрируемости Дарбу.
8. Критерий интегрируемости Римана.
9. Обобщенная теорема Кантора.
10. Критерий интегрируемости Дюбуа - Реймона.
11. Классы интегрируемых функций (сумма, произведение, абсо-
лютная интегрируемость).
12. Свойства определенного интеграла как функционала.
13. Теоремы о среднем.
14. Интеграл как функция верхнего предела.
15. Вычисление определенных интегралов (3 теоремы).
16. Площадь плоской области (если разбивается на конечное
число криволинейных трапеций).
17. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме.
18. Формула трапеций. Формула Симпсона.
19. Длина кривой, дифференциал дуги.
20. Площадь поверхности вращения.
21. Объем тела вращения.
22. Механические приложения определенного интеграла.
2 семестр
Лекция 11
(22.03.68)
§ 46. Различные приложения
интегрального исчисления
46.1. Объем тела вращения
Пусть /(х) Е С [а, Ь] и /(х) > 0 \/х Е [а, Ь] . Рассмотрим тело
вращения, получающееся при вращении криволинейной трапеции
на отрезке [а, Ь] вокруг оси Ох (рис. 10.5). Мы хотим узнать объем
207
V получившейся при вращении фигуры. Пусть х Е [а, Ь] . Объем
фигуры, получающейся от вращения части криволинейной трапе-
ции, взятой на отрезке [а, х] , обозначим V(х) . Тогда V(0) = 0 , а
объем всего тела вращения V = V(b) .
Зафиксируем точку х и дадим приращение dx . Так как объем
обладает свойством аддитивности и монотонности, то приращение
функции V(x) будет равно AV = , где £ е \x,x + dx\.
Отметим, что /(£) = /(х) + о(1) при dx —> 0 в силу непрерывности
функции f (х) . Тогда AV = dx • тг • {/2(х) + о(1)} при dx -Е 0 .
Это значит, что функция V(х) дифференцируема,
ь
dV = 7rf2(x)dx и V = 7г J f2(x)dx.
а
Рис. 10.5. Объем тела вращения.
46.2. Поверхность тела вращения
Пусть /(х) е С [а, Ь] и /(х) > 0 Vx 6 [а, Ь] . Зафиксируем точ-
ку х и дадим приращение dx . Приращение площади поверхности
можно представить как площадь поверхности усеченного конуса
dS = , или dS = 2^yds , где ds - дифференциал дуги.
208
Тогда
46.3. Работа силы
Пусть материальная точка М движется по прямой под действием
силы F. Элементарная работа силы F на отрезке пути dx будет
dW = F(x)dx , а вся работа на отрезке [а, Ь] выразится интегралом
ь
W =
46.4. Статический момент кривой
Пусть кривая Г = r(s) , а < s < b, имеет массу, пропорцио-
нальную длине дуги. Будем считать, что Г - однородная кривая,
т. е. что линейная, или погонная, плотность р кривой постоян-
на; пусть р = 1. Возьмем какое-нибудь разбиение кривой Г на
части Г/с , Sk-1 < s < Sk • Выберем по точке £& е [sk-i,s/c] и
положим Xk = #(£&) , yk = у(£к) • Величина yk^Sk называется
элементарным статическим моментом части Гк кривой Г относи-
тельно оси Ох . Элементарный статический момент равен момен-
ту материальной точки массы Д.у. с ординатой у к . Сумма всех
п
элементарных моментов Ук^вк имеет предел МХ(Г) , который
к=1
называется статическим моментом кривой Г относительно оси
Ох ,
ь
МХ(Г) = jyds.
а
Аналогично
ъ
Му(у) = у* xds
а
называется статическим моментом кривой Г относительно оси
Оу.
209
Для кривой, являющейся графиком функции у = /(х) , получим
ъ ъ
МУЦ) = / xds = / хуЛ + yf2dx
46.5. Центр тяжести материальной кривой
Определение. Центр тяжести материальной кривой - такая
точка Р(£, у) , что если в ней сосредоточить всю массу кривой, то
статические моменты этой точки относительно каждой оси будут
такими же, как у кривой.
b ь
Таким образом, Мх = ту = /yds, Му = ггЦ = fxds, откуда
находим координаты центра тяжести
ь ь
fyds fxds
В случае однородной кривой с плотностью р = 1 масса кривой
ъ
вычисляется по формуле т = fds.
а
210
Часть IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
211
Глава 11
Функции многих
переменных
§ 47. Метрическое пространство
Основным понятием метрического пространства является понятие
расстояния.
Определение. Метрическим пространством называется произ-
вольное множество, в котором определено расстояние.
Будем обозначать метрическое пространство R = {М, р} , где
М - множество элементов, или точек, метрического пространства;
р = р(х, у) - расстояние между точками хну.
Пусть (х, у) - упорядоченные пары точек множества М . Поставим
в соответствие парам {х,у) расстояние между точками хну:
(х,у) R+.
Расстояние - функционал, или числовая функция, определенная
для всевозможных пар точек из М , которая обладает следующими
свойствами: для любых элементов х, у. z Е М
1) р(х,у) > 0;
2) Р(х,у) = 0 х = у;
3) р(х, у) = р{у, х) {симметричность)'^
4) р(х, z) < р{х,у) + p{y,z) {неравенство треугольника).
212
Примеры. 1) Очевидно, числовая прямая Е1 = R, на которой
введено расстояние р(х^у) = |х — у\ , является метрическим про-
странством.
2) Евклидово пространство Е - линейное пространство, в ко-
тором задано скалярное произведение (х, у) , причем соответствую-
щая квадратичная форма (х, х) положительна. В евклидовом про-
странстве есть нейтральный элемент 0 . Это такой элемент, что
х + 0 = х для любого элемента х е Е .
Пусть ||а;|| = у/(х, х) > 0 - норма элемента в евклидовом про-
странстве. Введем
р(х,у) = ||ж - у\\
- евклидово расстояние между точками х и у. Тогда евклидово
пространство превращается в метрическое. Аксиомы 1), 2), 3), оче-
видно, выполняются.
Неравенство Коши — Буняковского. Для любых элементов х
и у евклидова пространства Е имеет место неравенство Коши -
Буняковского
10,у)| < IMI • \\у\\ ,
или
|(ж,у)| < у/(х,х) (у, у),
или
(х,у~)2 < (х,х) (у, у) .
Доказательство. Для любого элемента z из евклидова
пространства (г, г) > 0. Следовательно, для произвольных чисел
а, (3
(ах + (Зу, ах + [Зу) > О,
откуда
а2 (х, х) + 2а(3 (х, у) + /З2 (т/, у) > 0 .
Последнее неравенство выполняется для произвольных чисел
а,/3, если дискриминант (х,?/)2 — (х,х) (у, у) < 0, откуда
(х,у)2 < (х,х) (у, у). ►
213
2 семестр
Лекция 12
(27.03.68)
3) Если х = у = (6i,...,6n) - векторы из Еп , то
скалярное произведение определяется формулой
(х.у) = CZ1&1 + ... + апЬп
Тогда \\х\\ = {££=1 о2.} 2 и
к=1
- неравенство Коши.
4) В пространстве функций х = x(t) Е С [0,1] скалярное про-
изведение зададим формулой
= J x(t)y(t)dt.
о
Тогда
у*x(t)y(t)dt < У x2(t)dt- У y2(t)dt
- неравенство Буняковского.
Возьмем п линейно независимых непрерывных на отрезке [0,1]
функций Xi (t), Х2 (t),..., хп (t) . Натянутое на них линейное простран-
ство будет n-мерным евклидовым пространством.
Замечание. Введение скалярного произведения в вещественном
линейном (векторном) пространстве позволяет ввести много геоме-
трических понятий. Например, если (х, у) = 0 , то элементы х \\ у
называются ортогональными'. x_Ly.
Из неравенства Коши - Буняковского
Е,у)
Х- 1И-1Ы1 -1’
214
Определим
Тогда угол ср (0 < р < тг) между двумя векторами х и у опреде-
ляется однозначно.
Таким образом, евклидово пространство - это такое линейное про-
странство, в котором может быть введено понятие угла между век-
торами.
Неравенство Минковского. Для любых векторов х и у евкли-
дова пространства Е верно неравенство Минковского
Д+ у|| < ||ж|| + ||у|| .
Доказательство.В силу билинейности скалярного произ-
ведения и неравенства Коши - Буняковского
||ж + у||2 = (х + у, х + у) = (х, х) + 2 (х, у) + (у, у) =
= ИД2 + 2 (х, у) + ||у||2 < ИД + 2 ИД • ||у|| + ||у||2 = (Д|| + ||у||)2 .
Отсюда получаем ||ж + у|| < ||ж|| + ||у|| . ►
Примеры. Для векторов х = (ai,...,an), у = (6i,...,6n) из Еп
неравенство Минковского имеет вид
к=1
(&к Т Ьк)
к=1
Для интегралов
ДД +y(t)}2 dt <
x2(t)dt + / y2(t)dt.
Докажем, что расстояние в евклидовом пространстве удовлетворя-
ет неравенству треугольника (4-ое свойство). Vх, ?/, z Е Е положим
х — у = а. у — z = b. Тогда х — z = а + b и по неравенству Мин-
ковского
Ца + &11<1Ы1 + И
и свойство 4) метрических пространств доказано.
215
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Евклидово пространство, в котором введено расстояние
р(х,у) = ||х — у\\ , является метрическим пространством.
Замечание. В одном и том же векторном пространстве можно
ввести разные расстояния. Так, для элементов х = («i,...,«n),
у = (&1,..., Ьп) из множества
X = {х : (ai,a2,
расстояние
р(х,у) = ^(afc - М2 ,
k=l
удовлетворяет всем аксиомам расстояния в метрическом простран-
стве. Так мы получим метрическое пространство R = {X, р} . Но
если введем расстояние по формуле
pi(x,y) = у iafe - ’
fc=i
то это расстояние тоже удовлетворяет всем аксиомам, и мы полу-
чим другое метрическое пространство R± = {X, pi} .
Замечание. Если {X, р} - метрическое пространство и Y С X , то
{У, р} автоматически является метрическим пространством. На-
пример, если положим для элементов из X = {х : («1, ап)}
ап = 0 , то получим подпространство У пространства X . При этом
расстояние между элементами из подпространства У индуцируется
расстоянием в пространстве {X, р} . Получим сужение метрическо-
го пространства {X, р} на подпространство {У, р} .
§ 48. Множества в метрических
пространствах
Рекомендованная литература [9].
48.1. Окрестность точки
в метрическом пространстве
Пусть R = {X, р} - метрическое пространство с определенным на
множестве X расстоянием р. Пусть а Е X . Зададим е > 0 .
216
Определение, е - окрестностью О£(а) точки а называется мно-
жество всех точек х таких, что р (х, а) < е.
Таким образом, О£(а) = {х е X : р(х, а) < s} . Если О(а) -
окрестность точки а , то 3s > О 0(a) = О£(а) .
Множество точек, составляющих s -окрестность точки а называет-
ся шаром радиуса s с центром в точке а.
Пример. В пространстве Е2 рассмотрим расстояние (рис. 11.1)
р (а, 6) = у (ai - Ы2 + (а2 - b2)2
Если введем расстояние щ (а, 6) = |ai — 6i| + \а2 — 62| , то окрест-
ность изменится (рис. 11.2). Таким образом, если меняется про-
странство, то меняется и окрестность.
Рис. 11.1. Окрестность в пространстве Е2 с расстоянием
Р (a, b) = J(ai - &1)2 + (a2 -
Рис. 11.2. Окрестность в пространстве Е2 с расстоянием
p(a,6) = |ai - 6i| + |а2 - Ь2\ .
217
1, Х^у
О , х = у
Пример. На множестве X = N рассмотрим метрическое про-
странство с обычным расстоянием р(х^у) = |х — у\ . Здесь множе-
ство {2,3} не будет окрестностью, так как нет точки из X, явля-
ющейся центром окрестности. Всегда центр окрестности должен
принадлежать множеству X элементов пространства. В этом мет-
рическом пространстве при s < 1 окрестностью точки является
сама точка; если 1 < s < 2 , то окрестность точки состоит из самой
точки и двух соседних точек.
Замечание. Метрическое пространство не обязательно линейное.
Это множество элементов с введенным на нем расстоянием. В мет-
рическом пространстве складывать элементы и умножать на числа,
вообще говоря, нельзя.
В любом непустом множестве можно так ввести расстояние, что
множество будет метрическим пространством.
Пример. Пусть X Д 0 . Для любых элементов х, у Е X опреде-
лим расстояние ро(х,у) =
Пусть R = {X, р} - метрическое пространство и М С X . Сле-
дующие понятия, которые ранее определялись посредством окрест-
ностей, переносятся на метрические пространства автоматически.
1. Точка а- внутренняя точка множества М, если 3 0(a)
0(a) С М ;
Пример. Пусть М = X = N и р(х,у) = |ж — у\ . Всякая точ-
ка множества М является его внутренней точкой. Действительно,
01 (а) = а Е N .
2. Точка а, а Е X , - внешняя точка множества М, если
3 0(a) 0(a) рМ = 0;
3. Точка а , а Е X , - граничная точка множества М , если
\/0(а) 3xEMftO(a) 3х Е (CM) Q0(a) ;
4. Точка а , а Е X , - предельная точка множества М , если
\/0(a) 3b Е М b a, b Е 0(a) ; т. е. а - предельная точка
множества М , если V 0(a) 0(a) Q (М\а) Д 0 .
5. Точка а , а Е М изолированная точка множества М , если
3 0(a) 0(a) ft М = {а} .
Соответственно определяются
о
М - внутренность множества М - множество внутренних
точек множества М ;
Ме - внешность множества М - множество внешних точек
множества М ;
218
дМ - граница множества М - множество граничных точек
множества М ; дМ = д (СМ) .
Определение. Множество называется открытым, если всякая его
точка является внутренней точкой множества. Множество М от-
крыто, если М = М •
Определение. Множество называется замкнутым, если оно со-
держит все свои предельные точки.
2 семестр
Лекция 13
(29.03.68)
Пусть дано метрическое пространство R = {X, р} и множество
М С X .
Определение. Производное множество М' - множество всех
предельных точек множества М .
Определение. Множество М , М С X , называется всюду плот-
ным в X , если всякая точка х Е X или принадлежит М или
является для М предельной, т. е. X = М |J М'.
Мощность всюду плотных множеств является характеристикой
массивности метрического пространства.
Определение. Если для X существует всюду плотное в X счетное
множество М , то метрическое пространство R называется сепара-
бельным.
Пример. Числовая прямая - сепарабельное пространство. Множе-
ство рациональных точек есть всюду плотное счетное множество на
числовой прямой.
48.2. Открытые и замкнутые множества
в метрическом пространстве
Теорема. Бежал окрестность есть открытое множество.
Доказательство. Пусть R = {X, р} - метрическое
пространство, а Е X и М = 0(a) - некоторая окрестность точки
а. Тогда существует г > О такое, что М состоит из тех и только
тех точек х, для которых р (х, а) < е. Пусть b Е М (рис. 11.3),
тогда р (a,b) = si < е . Зададим // > 0 такое, что 0 < // < е — si ,
и рассмотрим окрестность 0^(6) . Этой окрестности принадлежат
219
все точки у такие, что р(у,Ь) < у. Покажем, что 0^(6) С 0(a) .
Зафиксируем точку у Е 0^(6) . Тогда по неравенству треугольника
Р («, у) < р(а, Ь) + р(Ь, у) < £г + г/ < £ .
Значит у Е 0(a) для любой точки у Е 0^(6) и, следовательно,
ОДб)сО(а). ►
Рис. 11.3. Окрестность - открытое множество.
Упражнение. Пусть R = {X, р} - метрическое пространство и
множество М С X . Доказать, что граница дМ - замкнутое мно-
жество.
Теорема (о дополнении к замкнутому множеству). Для то-
го, чтобы множество М было замкнутым, необходимо и доста-
точно, чтобы его дополнение СМ = Х\М было открытым.
Доказательство. Необходимость. Пусть М замкнуто.
Докажем, что СМ открыто. Пусть у Е СМ . Надо показать, что
существует окрестность О (у) такая, что О (у) С СМ . Допустим
противное. Тогда V О (у) Зх Е О (у) х Е М , х у. Значит у
- предельная точка множества М , она принадлежит М в силу
замкнутости. Противоречие.
Достаточность. Докажем, что если СМ открыто, то
М замкнуто. Надо показать, что если у Е М' (т. е. если \/О(у)
Зх Е М Р| О(у) , х Д у), то у Е М .
Допустим, что это неверно, т. е. 3 О (у) С СМ . Но тогда у не явля-
ется предельной точкой для М . Противоречие. ►
220
48.3. Объединение и пересечение открытых
и замкнутых множеств
Пусть {Fa} (а Е А) - система замкнутых (или открытых) мно-
жеств. Объединение замкнутых множеств может быть незамкнуто.
Пересечение открытых множеств может не быть открыто.
Теорема. Пересечение любого числа замкнутых множеств - зам-
кнутое множество. Объединение любого числа открытых мно-
жеств - открытое множество.
Доказательство. Пусть дана система открытых множеств
{Ga} (а е А) и х Е G = IJ Ga . Тогда существует а такое, что
х Е Ga . По условию Ga - открытое множество, значит ЗО(х)
О(х) С Ga , но тогда и О(х) С |J Ga = G.
а
Если Fa - замкнутое множество, то CFa - открытое. Для до-
казательства утверждения для пересечения замкнутых множеств
достаточно рассмотреть множества CFa и применить доказанное
утверждение для открытых множеств. ►
Имеет место
Теорема. Объединение F двух замкнутых множеств Fi и F)
- замкнутое множество. Пересечение G двух открытых мно-
жеств Gi и G? - открытое множество.
Упражнение. Доказать эту теорему (рис. 11.4).
Рис. 11.4. Пересечение двух открытых множеств открыто.
221
§ 49. Отображение метрических
пространств
Пусть R = {X,р} и Ri = {Xi,pi} - метрические пространства.
Пусть на множестве М сХ задано отображение в Х\ , т. е. любо-
му х Е М поставлен в соответствие элемент у Е Х\ :
х Е М, х -^-Е у Е Х\ .
Тогда говорят, что задано отображение метрических пространств.
На эти отображения можно перенести понятие предела.
49.1. Предел последовательности
Пусть R = {X, р} - метрическое пространство и задана последо-
вательность рп Е X (п = 1,2,...) точек из этого пространства.
Определение. Говорят, что последовательность точек {рп} мет-
рического пространства сходится к точке р Е X : рп —> р при
п -Е сю , если р(рп, р) —> О (п -Е сю ).
Таким образом, рп —> р при п —> сю , если Vs > О 3 7V
Vn > N р(рп,р) < £ •
Определение. Множество М С X называется ограниченным, ес-
ли существуют такое число К > 0 и такой элемент а Е X , что
\/х Е М р(х,а) < К. Или Va Е X ЭК = К (а) \/х Е М
р(х,а) < К.
Как и для одномерного случая доказываются следующие утвер-
ждения.
1. Если последовательность сходится, то она ограничена.
2. Если предел последовательности существует, то он единстве-
нен.
3. Если последовательность сходится к точке, то и любая ее под-
последовательность сходится к этой точке.
Определение. Последовательность рп Е X ( n = 1, 2,...) называ-
ется последовательностью Коши, если для любого s > 0 существу-
ет такое натуральное число N, что для любых номеров п, т > N
р(Рп,Рт) < £
Пример. Пусть X = {±} (п = 1,2,...); рп = ± ( п = 1,2,...) -
последовательность Коши. Эта последовательность не сходится ни
222
к какой точке пространства (сходится к точке 0 , но 0 в простран-
ство X не входит). В пополненном пространстве ,0} эта
последовательность сходится.
Определение. Если в пространстве всякая последовательность
Коши сходится, то пространство называется полным, в противном
случае оно называется неполным.
Всякое неполное пространство можно пополнить.
Рассмотрим n-мерное евклидово пространство Еп . Выясним,
( (к) (к) (к)х
когда последовательность рк = (а^ , элементов из Егь
(к = 1,2,...) сходится.
Теорема. Последовательность рк = (н^, а^\..., cffl) е Еп схо-
дится к точке р = (ai,«2? ...,^п) при к сю тогда и только то-
гда, когда имеет место покоординатная сходимость, т.е. когда
lim = ai (i = 1, 2,..., n).
Доказательство. Необходимость. Пусть pk p
при A; —> сю . Тогда для любого г = 1, 2,..., п
Д - «г| < p(pfe,p) = («ife) - «1) + + Д' - Д .
Значит, —> ai (к —> сю ) для любого i = 1, 2,..., п .
Достаточность. Пусть lim = ai (i = 1, 2,..., п). За-
к—>ос
дадим произвольное s > 0 и найдем такой номер К , что \/к > К
— Нг| < б/Дп для Vi = 1,2, ...,п (ищем Ki для каждого i, а
затем выбираем К = max Ki). Тогда \/к > К
р(рь,р) =
Значит, рк —> р при А; —> сю . ►
Теорема. Пространство Еп полно. Для того, чтобы последова-
тельность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была
последовательностью Коши.
Доказательство. Необходимость. Пусть рк —> р при
А; —> сю . Тогда V s > 0 ЭК V к,1 > К р(рк ,р) < е и p(pi ,р) < г .
Отсюда
p(Pk,Pl) < p{pk,p) + p(pi,p) < 2s,
223
т.е. последовательность {рь} является последовательностью Ко-
ши.
Достаточность. Пусть рк 6 Еп (к = 1,2,...) есть последо-
вательность Коши. Тогда, так как
\ai^ ~ ai^ \ < p(.Pk,Pl) (i = 1,2, ,
то числовая последовательность } (г = 1,2,...,п) есть после-
довательность Коши. Но тогда она сходится | щ ( А; —> сю ).
Рассмотрим точку р = («1, «2, •••, ^п) £ Еп . В силу предыдущей
теоремы рк р при А; —> сю . ►
49.2. Предел отображения
Пусть R = {X,р} и Ri = {Xi,pi} - метрические пространства и
М С X . Пусть на множестве М задано отображение / : М —> .
Справедливо следующее
Утверждение. Пусть а Е М'. Тогда в каждой окрестности
точки а содержится бесконечное множество точек из М .
Действительно, если некоторая окрестность 0(a) содержит только
конечное число точек из М : ад,..., хт , то для
s = min {р(а, ад),..., р(а, хт)} > О
окрестность О£ (а) не будет содержать точек из М , отличных от
а. Противоречие. ►
Пусть а Е М', ai Е Х± .
Определение. Говорят, что элемент а± Е Х± есть предел ото-
бражения f, lim/(г) = ai , если VO(ni) 3 0(a) Vх Е М,
х Е О(а)\а , f(x) Е О(а±) .
Точно так же, как и для одномерного случая, доказывается тео-
рема об эквивалентности пределов по Коши и по Гейне.
Упражнение. Доказать теорему об эквивалентности пределов по
Коши и по Гейне в метрическом пространстве (см. [9] с. 94).
Замечание. Предел вектор-функции. Если R± = Еп , то ото-
бражение f - вектор-функция f(x) = {/Дх),..., fn(x)} , где компо-
ненты /Да;),..., fn(x) ~ действительные функции, определенные в
224
X . Следовательно, для того, чтобы существовал предел lim /(х) ,
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
lim Д(х) (к = 1, 2,..., п).
х—>а
Таким образом, изучение свойств вектор-функции сводится к изу-
чению свойств скалярных функций.
2 семестр
Лекция 14
(02.04.68)
Пусть R = {X, р} , непустое подмножество У С X , Ri = {У, р} .
Пусть М С Y С X . Если на М задана функция /(х) , то можно
говорить о пределе /(х) при х —> а . Здесь точка а Е M'(Ri) и
а Е M\R) (а - предельная точка в пространстве R± и предельная
точка в объемлющем пространстве R).
Пример. Рассмотрим множества X = {^,0} и у = Ш • пУсть
М = Y . Если функция /(х) определена на М , то при х —> 0 в
/?1 = {У, р} нельзя говорить о пределе функции, так как {0} М .
Так как {0} Е X , то в R = {X, р} можно говорить о пределе функ-
ции. М замкнуто в Й1 , а множество предельных точек Му пусто.
Так как М'х = {0} , а {0} М , то М незамкнуто в R = {X, р} .
Пример. Рассмотрим одномерное пространство Е1 = {R, р} и
двумерное пространство Е2 = {R2, р} , Е1 С Е2 . Пусть М = R.
Тогда множество М открыто в Е1 и не является открытым в Е2
(рис. 11.5).
Рис. 11.5. Множество М = R открыто в Е1 , но не открыто в Е2 .
Таким образом, понятия предела, открытого и замкнутого мно-
жеств относительны. Они зависят от того, в каком пространстве
225
множество рассматривается.
Пример. Есть пространства, где нет ни открытых, ни замкнутых
нетривиальных множеств, или все множества и открыты и зам-
кнуты. Множество из двух точек на расстоянии р = 1 - пример
пространства, в котором всякая точка является и внутренней и изо-
лированной и все множества которого и открыты и замкнуты .
Замечание. В общем случае, когда S - метрическое пространство,
в нем нет алгебраической структуры. Будем ’’спасать алгебру в
образах” (С. Б. С), именно, будем рассматривать S = Еп - метри-
ческое пространство, в котором есть алгебраическая структура и
у
будем рассматривать функции R —> Еп . В этом случае можем го-
ворить о пределе суммы, разности и произведения. Доказательство
соответствующих теорем может быть проведено как и в действи-
тельном одномерном случае.
Если для функций / и д определено скалярное произведение
(/, р) , то имеет место
Теорема. Если функции со значениями в евклидовом простран-
стве имеют пределы в точке а, то и их скалярное произведение
В первой части примера лектор подразумевает, видимо, топологическое
пространство "слипшихся точек". В данном курсе лектором топологические
пространства (см., например, [4]) не рассматривались, но в ряде последующих
курсов по математическому анализу, читались. Топологические пространства
являются значительно более общими, чем метрические. Открытые множества
в топологических пространствах не определяются с помощью метрики, как в
метрических пространствах, а вводятся с помощью аксиом.
Пусть X - множество. Топологией т в X называется такая система его
подмножеств, для которой выполняются свойства
1) само X и пустое множество принадлежат т ;
2) объединение любого множества подмножеств этой системы принадлежит т ;
3) пересечение любого конечного числа множеств этой системы принадлежит
Множества, принадлежащие системе т называются открытыми. Если мы возь-
мем множество X , то наименьшей в нем (говорят, "самой слабой") будет то-
пология, состоящая из X и пустого множества. Других открытых множеств в
этом пространстве нет. Пространство с такой топологией называют простран-
ством "слипшихся точек". В этом пространстве нельзя ввести метрику (с со-
хранением топологии). Всякая другая топология в X содержит самую сла-
бую топологию в качестве подсистемы. В этом же множестве X можно ввести
"наибольшую" топологию ("самую сильную"), состоящую из всех подмножеств
множества X , это дискретная топология. Пространство с такой топологией яв-
ляется пространством изолированных точек. Именно эту топологию порождает
приведенная во второй части примера метрика (в частном случае двухточеч-
ного множества ). (Ред.)
226
имеет предел в этой точке.
Доказательство теоремы следует из ограниченности функций в
окрестности точки а и из неравенства Коши - Буняковского
К/,5)1< 11/11 'HI-
Далее будем рассматривать частный случай R = Еп при п = 2 .
Итак, пусть R = Е2 . М с Е2 , z = f (x, т/), z Е S , О(хо,уо) С Е2 .
Тогда можно рассматривать функцию z = f(x,y) как функцию
двух переменных; при фиксированном у можно рассматривать фу-
нкцию, как функцию от х ; а при фиксированном х - как функцию
от у . Таким образом, наряду с пределом функции от двух пере-
менных мы можем рассматривать пределы функции от одной пе-
ременной при фиксированной второй переменной.
Итак, рассмотрим общий (двойной) предел функции в метри-
ческом пространстве
lim f(x, у) = lim /(ж, у).
(х,у)^(х0,у0) у->у0
f
При фиксированном у получим функцию х —> z Е S и можно
говорить о пределе в соответствующем одномерном случае:
lim f(x,y) = Ду).
X—^Xq
Аналогично, при фиксированном х получим
lim /(ж, у) = ф{х)
У^Уо
Если теперь существуют пределы
lim <р(у) = а Е S, lim 'ф(х) = b Е S ,
У^Уо Х^Хо
то получим
lim < lim f(x,y) > = lim lim f(x,y),
У^УО I Ж—J У^УО X^Xo
lim < lim f(x,y) > = lim lim f(x,y).
x^x0 (y—>yo J Х^ХоУ^Уо
Это повторные пределы. Заметим, что из существования двойного
предела существование повторных пределов не вытекает и наобо-
рот. Заметим также, что повторный предел зависит от того, в каком
порядке совершается предельный переход.
227
2 семестр
Лекция 15
(05.04.68)
Пример (’’шапка”) (рис. 11.6). а) Пусть z = f(x,y) = х2 + у2 ,
если хну- рациональные; z = 0 , если хотя бы одна из координат
- иррациональное число. Тогда в точке (0, 0) двойной предел суще-
ствует, для рациональных у функция lim f(x,y) = ip(y) не суще-
х—>0
ствует, следовательно, не существует и второй повторный предел
lim lim f(x,y) . Аналогично, повторный предел lim lim f(x,y) не
у—>0 х—>0 х—>0 у—>0
существует.
Рис. 11.6. Пример ’’Шапка”.
б) Пусть z = /(х, у) = х2 + у2 , если хну- рациональные или
только одна координата иррациональна; z = 0 , если обе координа-
ты - иррациональные числа. Тогда в точке (0, 0) двойной предел
существует. Но внутренний предел lira f(x,y) = ср (у) ни для ка-
кого у 0 не существует. Аналогично, не существует внутренний
предел lim f(x,y) = ^(х) для х ф 0 . Следовательно, и оба по-
У^Уо
вторных предела не существуют.
Пример (’’откос”) (рис. 11.7). Функция z = f^x^y) определена на
множестве {(□?, т/) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} ; при каждом фиксиро-
228
ванном х , 0 < х < 1, определим функцию (как функцию только
от у, так как х фиксировано)
О,
Ж?/) = 1,
линейна,
7
0<У< f,
х < у < 1,
f < У < X,
/(0,0) = 0. Тогда имеем Дх) = lim/(x,y) = 0 для всех
?/->0
х 0, </?(?/) = lim f(x,y) = 1 для всех у 0 . Соответственно,
х—>Хо
lim lim f(x,y) = 1, lim lim f(x,y) = 0 . Так как в любой выколо-
у—>0 х—>0 х—>0 у—>0
той окрестности точки (0, 0) существуют точки, в которых значе-
ния функции равны 1, и существуют точки, в которых значения
функции равны 0, то двойного предела функции в точке (0, 0) не
существует.
Рис. 11.7. Пример ’’Откос”.
Пример (’’палатка”) (рис. 11.8). Функция z = f(x,y) определена
на множестве {(х, ?/) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} ; при каждом фикси-
рованном х , 0 < х < 1, определим функцию (как функцию только
229
от у, так как х фиксировано)
о < у < f
у = f ’
1 — У — %
/(м) = 1,
линейна,
ИЛИ X < у < 1 ,
или | < у < X ,
/(0,0) = 0. Тогда оба повторных предела существуют и обраща-
ются в нуль, а двойного предела нет.
Рис. 11.8. Пример ’’Палатка”.
Теорема о повторном пределе. Пусть для (х,у) Е О(хо,ро)
задана функция z = f(x,y), z Е R. Пусть существуют преде-
лы lim f(x,y) = А и lim f(x,y) = <р(у) (у ф уо). Тогда
Х^ХоУ^Уо X—>Х0
существует lim lim f(x,y) и он равен А.
У^УО Х^Хо
Другими словами, если существует двойной предел и один из
внутренних пределов, то существует повторный предел, равный
двойному пределу.
Доказательство. Так как существует двойной предел,
то это значит, что Vs > 0 35 > 0 Vp = (х,у) ф (хо,ро) = ро 5
р(р,ро) < д, \f(x,y) — А| < | . В этом неравенстве перейдем к пре-
делу при х -Е xq . Возьмем у такой, что \у — ро| < 8 • По условию
230
lim f(x,y) = Ду) существует. Поэтому можем написать
х—>Х()
lim /(х, у) — А
х—>Х()
при
\у - Уо| < S.
Это значит, что |Ду) — А\ < е при 0 < \у — т/о| < д, откуда полу-
чаем, что существует lim Ду) = А. ►
У^Уо
Следствие. Пусть у функции z = f(x,y) существует двойной
предел lim f(x,y) = А и оба повторных предела. Тогда повтор-
У^Уо
ные пределы равны:
lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y)=A.
x^x0 у—>Уо У~>Уо x^xq
§ 50. Непрерывность
50.1. Непрерывность функции в точке
Пусть R = {X, рх} , S = {У, ру} , М С X и для любого х Е М
определено отображение f (х) = у Е Y .
Определение. Говорят, что функция /(х) непрерывна в точке
xq Е М (т.е. f Е С(х0)), если Vs > 0 35 > О Vx Е М,
рх{х, xq) <5, РУ (/(то), Дх)) < е .
Понятие непрерывности не зависит от того, рассматриваем ли
мы его в пространствах R и S , или в более обширных метрических
пространствах R\ D R и S\ D S. Поэтому при доказательстве
теоремы о непрерывности функции в точке достаточно рассмотреть
случай, когда отображение f определено на всем X .
Следующие теоремы переносятся на метрические пространства.
Теорема (предельное условие непрерывности функции в
точке). Для того, чтобы функция Дх) была непрерывна в точке
xq необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следую-
щих условий:
1) xq - изолированная точка множества М',
2) lim /(х) = /(х0).
Х^Хо
Теорема о непрерывности сложной функции в точке. Пусть
имеются метрические пространства R = {X, рх} , S = {У, ру} ,
Т = {Z, pz} и на множестве М С X задано отображение
231
/Д) = у 6 Y. Пусть образ этого отображения f (М) С N,
Ду) = z 6 Z (при у е М), f е С(ж0), у0 = f(x0), 6 С(уо).
Тогда сложная функция z = срДД)) = F(x) будет непрерывной в
точке xq .
50.2. Непрерывность функции на множестве
Определение. Функция называется непрерывной на множестве,
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Пусть R = {X, рх} и S = {У, ру} ~ два метрических простран-
ства, у = f (ж) (х 6 X ) и f е С(Х) .
Определение. Пусть У С У. Полным прообразом /-1(У) мно-
жества V при отображении f называется множество точек х Е X
таких, что f(x) Е V , т. е. /-1(У) = {х Е X : f(x) Е V} .
Теорема (критерий непрерывности функции на всем про-
странстве). Для того, чтобы функция у = f (х) была непрерывна
в пространстве X необходимо и достаточно, чтобы для любого
открытого множества V С У его полный прообраз /-1(У) был
открытым в X .
Рис. 11.9. Критерий непрерывности функции: необходимость.
Доказательство. Необходимость (рис. 11.9). Пусть
функция /(ж) Е С(Х) , V - открытое множество в У, а /-1(У) -
его полный прообраз; пусть xq Е f -1(У) , у о = f До) Е V. Так как
V- открытое множество, то у о - внутренняя точка множества V .
Значит, 3 6 > 0 \/у Е У , ру(у, у о) < 6 , у Е V . В силу непрерыв-
ности f для этого 6 Зц>0 \/х Е X , рх(х^хо) < у , ру(у,уо) < д
(у = фД) , Уо = ФДо) )• Значит образ всей //-окрестности точки хо
входит в У , т. е. СДДо) С /-1(У) , и множество /-1(У) открыто.
232
2 семестр
Лекция 16
(10.04.68)
Рис. 11.10. Критерий непрерывности функции: достаточность.
Достаточность (рис. 11.10). Пусть дано, что для лю-
бого открытого множества V С Y множество /-1(К) открыто.
Возьмем произвольную точку х из X и пусть у = /(х) . Возь-
мем V = О Ду) . Тогда /-1(К) открыто и существует окрестность
(х) такая, что 0§(х) С /-1(К) . Следовательно, f(O§(x)) С V
(т. е. \/ х', р (х, х') < д , р (у, у') < г ). Значит отображение непре-
рывно в точке х и / Е С(Х) . ►
Замечание. Образ открытого множества при непрерывном ото-
бражении не обязательно открытое множество. Например, для не-
прерывной функции ?/ = sinx образом интервала (0,2%) является
отрезок [—1,1] - замкнутое множество.
50.3. Непрерывные отображения
метрического пространства в евклидово
у
Пусть у = /(х) : X —> Еп = Y , т. е. f отображает метрическое
пространство в евклидово. Так как у = {щ,..., ?/п} , то значения
функции могут быть заданы посредством чисел у к = фк(Д) Е
(к = 1,2,...,п). Таким образом, свойства функции можно изучать
по свойствам ее компонент Д .
Теорема. Для того, чтобы функция у = /(х) была непрерывна
на множестве X , необходимо и достаточно, чтобы компоненты
fk(x) функции f были непрерывны на X .
Доказательство. Если точка xq - изолированная, то
доказывать нечего, так как в изолированной точке всякая функция
233
непрерывна. Если х$ Е Х\ то по теореме о предельном условии
функции в точке (с. 231) для непрерывности необходимо и достато-
чно, чтобы lim /(х) = /(жо) . Тогда по теореме о пределе отобра-
Х^Хо
жения метрического пространства в евклидово, отображение будет
непрерывным, если все его компоненты fk(x) будут непрерывны.
►
Замечание. Если f,g - непрерывные отображения, то по соот-
ветствующим теоремам о пределах для действительных функций
/ + д , fg и (f,g) - тоже непрерывные отображения.
§51. Компактность
51.1. Относительная компактность
Пусть X - метрическое пространство и К С X . Будем рассматри-
вать открытые покрытия {Уа} множества К : К С |J {Уа} .
к=1
Определение. Множество К в метрическом пространстве X на-
зывается компактным , если для любого его открытого покрытия
{Уа} найдется конечное подпокрытие {lafc} (к = 1,...,п), т.е.
п
кс U ЩЦ.
к=1
Лемма об открытых множествах. Пусть М С У С X . Для
того, чтобы М было открыто относительно Y , необходимо и
достаточно, чтобы нашлось такое множество G, открытое в
X , что М = G р У .
Рис. 11.11. Лемма об открытых множествах.
Доказательство (рис. 11.11). Необходимость. Пусть
М открыто относительно У . Это значит, что \/ х Е М 3 > О
Ojx{x) С М. Рассмотрим О^(х) (О^(х) С О^(х)). Это есть
234
открытое множество в X . Положим G = IJ Of (х) . Это объе-
дем
динение открытых относительно X множеств, значит оно открыто
в X . Докажем, что М = GQK. Для этого надо доказать, что
МС СрУ и МDСрУ.
Пусть х е М , тогда х е У , но х Е Of (х) С Of (х) С G.
Следовательно, ж е бр|У и М с G ДУ .
Докажем, что М D G Q У . Пусть х е G Q У . Так как
GPy= U <(*)Г1У= U °УсМ
хЕМ хЕМ
то М D G Р| У . Таким образом, М = G Q У .
Достаточность. Пусть М = GQy, где G открыто
в X . Докажем, что М открыто относительно У . Пусть х е М,
тогда х е G. Так как G открыто относительно X, то 3 0§(х)
Ofx) С G . Рассмотрим Ofx) Q У . Это пересечение есть Of (ж) .
Но Of (ж) С G и Of (х) С У, значит Of (х) С М. ►
Теорема об относительной компактности. Если К С У С X
и К компактно относительно У , то К компактно относитель-
но X , и наоборот.
Доказательство. Пусть К компактно относительно У .
Это значит, что из открытого относительно У покрытия {УД про-
странства К можно выделить конечное подпокрытие.
1. Пусть {Ga} - произвольное открытое покрытие К в X и рас-
смотрим множества Va = Ga Q У . По лемме об открытых мно-
жествах Va открыты в У . Кроме того, эти множества образуют
открытое покрытие множества К в У . В силу компактности К
относительно У из {УД можно выделить конечное подпокрытие
{Vak } множества К в У . Рассмотрим соответствующие открытые
множества {Gafc} . Это есть конечное покрытие множества К в X
(очевидно Va С Ga ). Значит, из любого покрытия {СД} в X мож-
но выделить конечное подпокрытие, и, следовательно, К компакт-
но относительно X .
2. Пусть К компактно относительно X . Пусть {Va } - открытое
покрытие множества К в У . По лемме в X найдутся открытые
множества {Ga} такие, что Va = СД|ДУ. В силу компактности
К относительно X можно выделить конечное подпокрытие {Gafc} ,
тогда {УПД ~ конечное покрытие множества К в У . ►
235
2 семестр
Лекция 17
(12.04.68)
Далее будем обозначать R{X,p} через X. Пусть Y- компакт
К С X , тогда получим компактное пространство.
51.2. Компактность и замкнутость
Существуют замкнутые пространства, не являющиеся компактны-
ми, например, числовая прямая.
Теорема о замкнутости компактного множества. Всякое ком-
пактное множество замкнуто.
Доказательство. Пусть К С X компактно. Чтобы
воспользоваться теоремой о дополнении к замкнутому множеству,
надо доказать, что СК = G открыто. Таким образом, \/у Е G надо
показать, что 3 О (у) С G .
Зафиксируем у Е G. Рассмотрим произвольную точку х Е К.
Пусть 6 = дх = р(х, у) , р(х, у} > 0 . Рассмотрим окрестность Os (х)
точки х и окрестность О(у) точки у . Рассмотрим совокупность
{о6 всех таких окрестностей Vх Е К . Каждая такая окрест-
ность - открытое множество. Значит - открытое покры-
тие множества К . Так как К - компактное множество, то из это-
го покрытия можно выделить конечное подпокрытие ,
где дк = дХк при к = 1,2, ...,п. Обозначим do = min дк > 0 .
А;=1,...п
Тогда О 50 (?/) не пересекается ни с одной из построенных нами
2
окрестностей О s± (х^ , т. е. О s± (хк) П Os^ (т/) = 0 V к = 1, 2,..., п ,
2 2 2
значит, Обо (?/) П К = 0 , т. е. Osq {y^G. ►
Теорема о компактности замкнутого подмножества ком-
пактного множества. Пусть К С X, К компактно в X и F
- замкнутое подмножество множества К. Тогда F компактно.
Доказательство. Пусть {Т^} ~ произвольное открытое
покрытие множества F . Так как F - замкнутое, то То = G\F
- открытое множество и {То, ИД - открытое покрытие множе-
ства К. Из этого покрытия можно выделить конечное подпокры-
тие {ТфТаД ( k = 1, 2,..., п). Тогда система {Т^Д ( к = 1, 2,..., п)
- конечное подпокрытие F , так как То Q F = 0 . ►
236
Следствие. Пусть F - замкнутое множество пространства X ,
и пусть К - компактное множество пространства X . Тогда
М = F Р\К компактно.
Действительно, М - замкнутое подмножество компактного мно-
жества.
51.3. Пересечение компактных множеств
Определение. Система множеств {ДД} называется центриро-
ванной, если любая конечная подсистема этой системы имеет непу-
стое пересечение, т.е. если для любого набора индексов а^,...,ап
п
множество Р| Mak 0 .
fc=i
Пример. Система интервалов {( — сю, —n)}^Lx - центрированная.
Пересечение любого конечного числа этих интервалов не пусто, а
пересечение всех интервалов пусто.
Теорема. Всякая центрированная система компактных мно-
жеств имеет непустое пересечение.
Доказательство. Пусть {АД} _ центрированная система
компактных множеств и К множество из системы {АД} . Допу-
стим, что Q Ка = 0 . Пусть х е К. Тогда х Q Ка , значит х не
входит хотя бы в одно Ка . Отсюда следует, что существует такой
номер а , что х е Va = СКа . Таким образом, открытые множества
Va = СКа образуют открытое покрытие {ТД} множества К. Из
{ТД} выделим конечное подпокрытие {1ДД (к = 1,2, ...,п) мно-
жества К. Каждая точка х Е К входит в некоторое множество
Vak . Значит, точка х не входит в соответствующее Как . Следо-
п
вательно, Q Как Q К = 0 , что противоречит центрированности
к=1
системы {АД} (мы нашли набор из п+1 элемента центрированной
системы {АД} : Как при А; = 1,2, ...,п и множества К из этой же
системы). Таким образом, П АД Д 0 . ►
В качестве следствия мы получим обобщение теоремы о вложен-
ных отрезках.
Следствие. Пусть X D К\ D К) D ... D Кп D ... , где Ki
(г = 1,2,...) - непустые компактные множества. Тогда
П кп^0.
П=1
237
Теорема о существовании предельной точки. Пусть К С X ,
К компактно и пусть М - его бесконечное подмножество,
М С К. Тогда в К найдется предельная точка множества М .
Доказательство. Пусть заключение теоремы неверно,
т. е. никакая точка множества К не является предельной точкой
для М . Значит, любая точка у е К или не входит в М (тогда
у - внешняя точка для М , и значит, найдется окрестность О (у)
такая, что О (у) Q М = 0) или у входит в М , но не является
предельной точкой (тогда у - изолированная точка М , и значит,
найдется окрестность О (у) такая, что O(y)f\M = y}.
Таким образом, каждая точка у е К имеет такую окрестность,
которая содержит не более одной точки множества М . Совокуп-
ность всех таких окрестностей {О (у)} является открытым покры-
тием множества К . Так как К компактно, то из этого покрытия
можно выделить конечное подпокрытие {Ок(у)} (к = 1,...,п),
причем в {Ок(у)} будет содержаться не более п точек множества
М . Но по условию множество М бесконечно и М С К . Получен-
ное противоречие доказывает теорему. ►
51.4. Компактные множества
в евклидовых пространствах
Пусть En - TV-мерное евклидово пространство.
Рис. 11.12. 2-мерная клетка.
Определение. N-мерной клеткой I называется совокупность та-
ких точек (xi, Х2,..., зд) Е En , что ськ < xk < bk ( k = 1,..., N),
где ак < Ьк (рис. 11.12).
TV-мерная клетка I - простейшее ограниченное замкнутое мно-
жество в пространстве EN .
238
Рассмотрим вложенную систему клеток In D 1п+1 (^ = 1,2,...).
Теорема о вложенной системе lV-мерных клеток. Всякая
вложенная система N-мерных клеток имеет непустое пересече-
ние.
Доказательство. Для N = 1 теорема уже доказа-
на (смотри теорему Кантора о вложенных отрезках п. 6.3, с. 35).
Пусть N > 1 и {1п} ~ вложенная система TV-мерных клеток. За-
фиксируем число k (1 < к < N) и рассмотрим к-ые координаты
элементов клеток. По определению N-мерной клетки Vn = 1,2,...
ак < хк < ок . В силу вложенности клеток (ln D Д+i ,
п = 1,2,...) следует, что отрезки 6^] (п = 1,2,...) обра-
зуют вложенную систему отрезков. Значит по теореме Кантора су-
П°° Г (n) z,(n)l (n) z,(n)
\ак ,Ьк , что ак < ск < ок .
n=l I- -I
Тогда точка с = (ci,..., суу) Е Д (Vn = 1, 2,...). ►
Теорема о компактности N-мерной клетки. Всякая N-мерная
клетка компактна.
Рис. 11.13. Компактность клетки.
Доказательство. Пусть I - TV-мерная клетка, I С EN . Пред-
положим, что существует открытое покрытие {ДД} клетки /, из
которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Разделим клет-
ку I на 2n равных частей - меньших клеток (рис. 11.13). Тогда
среди этих меньших клеток найдется такая, что из ее бесконечного
открытого покрытия нельзя выделить конечное подпокрытие. Про-
должая далее этот процесс, получим стягивающуюся систему
TV-мерных клеток таких, что из их открытого покрытия нельзя вы-
239
делить конечное подпокрытие. По предыдущей теореме о вложен-
ной системе TV-мерных клеток найдется с Е Q 1п . Но с Е Va
п=1
из покрытия, а так как Va открыто, то существует окрестность
0(c) такая, что 0(c) С Va . С другой стороны, существует номер п
такой, что In С 0(c) С Va . Противоречие. ►
Отметим, что множество М С X является ограниченным (см.
определение в п. 49.1 на с. 222) , если найдется такой шар S про-
странства X , что М С S .
Следствие. Всякое ограниченное замкнутое множество в про-
странстве En компактно.
Доказательство. Пусть F - ограниченное замкнутое
множество в TV-мерном пространстве EN . Так как оно ограничено,
то оно может быть погружено в TV-мерную клетку I. Но I компакт-
на. По теореме о компактности замкнутого подмножества компакт-
ного множества F тоже компактно. ►
Теорема (критерий компактности в TV-мерном евклидовом
пространстве). Для того, чтобы множество в EN было ком-
пактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и
замкнуто.
Доказательство. Достаточность уже доказана
(смотри следствие из предыдущей теоремы).
Рис. 11.14. Критерий компактности: необходимость.
Необходимость замкнутости доказана в теореме о замкнуто-
сти компактного множества. Докажем теперь необходимость огра-
ниченности. Пусть М С EN и множество М компактно. Допу-
стим, что это множество неограничено. Тогда для любого шара S
найдется точка х Е М такая, что х S . Возьмем точку х± Е М
240
и рассмотрим окрестность Oi(xi) . Тогда найдется точка 6 М
такая, что Oi(^i) (рис. 11.14). Значит, р(ад,Ж2) > 1- Возь-
мем окрестность O(xq) точки х% такую, что O(xq) D Oi(^i) • То-
гда найдется точка хз О^х^) , и следовательно, р(#з,#1) > 1 и
р (х3, Х2) > 1 • Продолжая далее этот процесс, получим бесконечное
подмножество множества М , состоящее из точек xi, Х2, жз,.... Это
подмножество, очевидно, не имеет предельных точек в EN , и тем
более, в М , что противоречит компактности М в силу теоремы
о существовании предельной точки в бесконечном подмножестве
компактного множества. Значит, множество М ограничено. ►
Замечание. Так же, как в этой теореме, доказывается необходи-
мость ограниченности компактного множества в произвольном мет-
рическом пространстве. Таким образом, всякое компактное множе-
ство ограничено и замкнуто, а в евклидовом пространстве верно и
обратное. 2)
2 семестр
Лекция 18
(17.04.68)
Пусть X - компактное метрическое пространство и М = {xn} С X .
М - счетное множество. Если {хп} - последовательность Коши, то
существует предельная точка а е X для этой последовательности.
По аналогии с одномерным случаем доказывается, что последова-
тельность Коши сходится. Таким образом, получаем
Следствие. Всякое компактное метрическое пространство
полно.
2) Ограниченное замкнутое множество в метрическом пространстве не обя-
зательно компактно. Например, метрическое пространство, состоящее из счет-
ного множества точек с попарными расстояниями, равными 1 (пространство
изолированных точек), является ограниченным замкнутым множеством, но не
компактным, так как в нем нет предельных точек (см. теорему о существовании
предельной точки на с. 238). (Ред.)
241
§ 52. Непрерывность и компактность
52.1. Сохранение компактности
при непрерывном отображении
Пусть X - компактное метрическое пространство, Y - произволь-
ное метрическое пространство. Рассмотрим функцию
у = /(х): X^Y,
непрерывную на X .
Критерий непрерывности в метрических пространствах говорит
о сохранении свойств при переходе к прообразам (прообраз откры-
того множества открыт, см. и. 50.2 с. 232). Из следующей теоремы
следует, что при непрерывном отображении сохраняются и некото-
рые свойства прообразов, именно, при непрерывном отображении
при переходе от прообразов к образам сохраняется компактность.
Теорема о сохранении компактности при непрерывном ото-
бражении. Пусть X - компактное метрическое пространство,
Y - произвольное метрическое пространство, на X определена
функция у = /(х) , / 6 С(Х), f(X) С Y . Тогда f(X) - компакт-
ное множество в Y.
Таким образом, непрерывный образ компактного множества есть
компактное множество.
Рис. 11.15. Образ компакта при непрерывном отображении - ком-
пакт.
Доказательство теоремы. Пусть {Va} _ от-
крытое покрытие множества f (X) : |J D f(X) , Va C Y. Обо-
ек
значим f-1 (Va) = Ga (рис. 11.15). По критерию непрерывности
242
функции в метрическом пространстве Ga - открытое множество
в пространстве X . Каждая точка х Е X принадлежит некото-
рому Ga , поэтому {Ga} - открытое покрытие пространства X .
следовательно |J Ga = X . В силу компактности пространства X
а
из покрытия {Ga} можно выделить конечное подпокрытие {Gafc}
п
(к = 1, 2,..., п ) множества X , следовательно |J Gak = X .
к=1
Рассмотрим соответствующую систему множеств {Уа/с} • Так как
Ж) С Va , a f (/-1 (У)) = /(X), то
п п
f(X)c U/(GqJc и vak.
к=1 к=1
Значит {Vafc} - конечное подпокрытие множества /(X) , т. е. /(X)
компактно. ►
Следствие (обобщение теоремы Вейерштрасса для непре-
рывных функций). Если непрерывная функция у = f (х) задана
на компактном множестве К в пространстве X , то f(K) -
ограниченное замкнутое множество в пространстве Y .
52.2. Равномерная непрерывность
Пусть X , У - метрические пространства и М С X . Рассмотрим
функцию у = /(х) ( х Е М , у EY
Определение. Функция у = f (х) называется равномерно непре-
рывной на множестве М, если Vs > О 35 > 0 е М,
рх(х,У)<5, PY (/(ж),/(ж')) < Е.
Теорема о равномерной непрерывности. Пусть X - ком-
пактное метрическое пространство, Y - метрическое простран-
ство, и пусть у = /(х) (х Е X , у Е Y) - функция, непрерывная
на пространстве X . Тогда функция f(x) равномерно непрерывна
на X.
Доказательство. Так как /(х) непрерывна на X , то
У х Е X Vs > О Зц(в,х) >0 Е X , = ??(ж) •>
PY <£
Зафиксируем s > 0 . Каждой точке х Е X поставим в соответствие
окрестность этой точки О (х) = Gx . Таким образом, мы по-
2
строили открытое покрытие {вж} пространства X : |J Gx = X .
243
По условию, X - компактное метрическое пространство, следова-
тельно, из {Сж} можно выделить конечное подпокрытие, т. е. в
п
X найдутся точки Х1,Х2,...,жп такие, что |J GXk = X . В силу
к=1
выбора окрестностей для любых к = 1,2,..., п и для любых £ е X
таких, что , будет pY (/(®fc),/(O) < е .
п
Так как |J GXk = X , то V£ Е X Эк рх(хк>£,) < . Возьмем
fc=l
6 = min у > 0 и рассмотрим точки х такие, что рх(хр£} < •
Так как рх (%к, £) < для некоторого к , то
рх(х,хк) < рх(х,£) + Рх(£,хк) < 6 + у <Г]к.
Отсюда следует, что
PY (/(Д /(C)) < PY (/(Д /(®fe)) + PY (/(С), /(®fe)) < Е + £ = 2е .
52.3. Непрерывность обратного отображения
Теорема о непрерывности обратного отображения. Пусть
X - компактное метрическое пространство и у = /(х) - непре-
рывное взаимно однозначное отображение пространства X на
пространство Y . Тогда функция х = /-1(Д) непрерывна на мно-
жестве Y .
Доказательство. Воспользуемся критерием непрерывности.
Докажем, что для любого открытого множества G С X его прооб-
раз V = f(G) при отображении f~r(y) есть множество, открытое
в Y . Таким образом, надо доказать, что образ всякого открытого
множества при отображении / есть открытое множество.
Рассмотрим дополнение CG = F множества G . Это - замкну-
тое множество в X . Тогда F компактно. По теореме о сохранении
компактности при непрерывном отображении f(F) - компактное
множество в пространстве Y . Но так как всякое компактное мно-
жество замкнуто, то f(F) - замкнутое множество в пространстве
Y . В силу взаимной однозначности f(G) = C/(F) . Значит множе-
ство V = f(G) открыто. ►
244
§ 53. Связность
Теорема о промежуточном значении еще не доказана. Она имеет
смысл, когда пространство образов есть числовая прямая, а функ-
ция определена на связном пространстве. ’’Теорема о промежуточ-
ном значении породила связность.” (С. Б. С.)
53.1. Определения
Определения. Пусть А и В - множества такие, что A Q В = 0 .
Говорят, что они отделимы множествами типа Q (класс откры-
тых или замкнутых множеств), если существуют непересекающи-
еся множества Gi,G2 € 5, ^1П^2 = 0, такие, что Gi D А,
G2 D В.
Например, два непересекающихся отрезка могут быть отделены
друг от друга открытыми множествами (интервалами); два непе-
ресекающихся интервала с общей граничной точкой отделить за-
мкнутыми множествами нельзя.
От природы тех множеств, которыми мы покрываем множества,
зависит отделимость.
2 семестр
Лекция 19
(18.04.68)
Метрическое пространство X называется несвязным, если оно
разбивается на два непустых открытых множества: X = A |J В ,
А 0 , В 0 , A Q В = 0 , множества А и В открыты (а зна-
чит, и замкнуты: В = С А , А = СВ ).
Во всяком пространстве существуют два тривиальных множес-
тва, являющихся одновременно и открытыми и замкнутыми, это
само пространство X и пустое множество. Таким образом, про-
странство несвязно, если в нем существуют нетривиальные множес-
тва, одновременно и открытые и замкнутые. Можно также сказать,
что пространство несвязно, если оно разбивается на два непустых
множества, которые отделяются открытыми множествами.
Пространство связно, если его нельзя разбить на два непустых мно-
жества, которые отделяются открытыми множествами.
245
Таким образом, пространство связно, если в нем существует
только два открыто-замкнутых тривиальных множества, а имен-
но, само пространство и его пустое подмножество.
Пусть М С X . Множество М связно, если оно является связным,
когда оно рассмотривается как метрическое пространство.
Связность множества не зависит от погружения в пространство.
Определение связности по Хаусдорфу. Множество М С X
называется связным, если его нельзя представить в виде объеди-
нения двух непересекающихся непустых множеств, отделимых от-
крытыми в X множествами.
53.2. Связные множества на числовой прямой
Определение. Множество М С R связно, если
V х, у е М => [х, у] С М .
Покажем эквивалентность этих двух определений связности
множества на прямой.
Теорема (структура связных множеств на числовой пря-
мой) . Для того, чтобы множество на числовой прямой было связ-
но по Хаусдорфу, необходимо и достаточно, чтобы оно содержа-
ло все промежуточные точки, т.е. если х,у е М , то для \/z ,
х < z <у , z Е М .
Следствие. Существуют следующие связные множества на чи-
словой прямой R:
точка xq , (—00,6) , (—00, b] , (а, +сю) ,
[а, +сю) , (—сю,+сю) , (а, Ь) , [а, Ь) , (а, Ь] , [а,Ь\ ,
где а и b - действительные числа, а < b.
Доказательство теоремы. Докажем, что М С R несвязно
тогда и только тогда, когда Зх,у Е М , х < у , 3 z М , х < z < у .
Если это условие выполняется, то множество М можно разбить на
две непересекающиеся части, отделимые открытыми множествами.
Действительно, положим
Ml = Mp|(-oo,z) , M2 = mQ (г, +оо) .
246
Для этих множеств имеем Mi |J М2 = М , а для открытых мно-
жеств Gi = (—сю, г) D Mi и ft = (г,+сю) D М2 Gi Q G2 = 0 .
Значит множество М несвязно.
Допустим теперь, что множество М несвязно, т. е. его можно раз-
бить на два таких непустых множества Mi и М2 , что выполняется
Mi U М2 = М и что Mi С Gi , М2 С G2 , где Gi Q G2 = 0 и Gi ,
G2 - открытые множества. Тогда существуют х Е М\ , у Е М2 , и
пусть х < у . Положим
Go = Gi Q(-oo, у) = Gi P| (-00, у]
(так как у Е М2 у Е G2 У Gi). Пусть z = sup £ .
Докажем, что z < у . В самом деле, у Е G2 , но G2 открыто.
Поэтому у входит в G2 вместе с некоторой своей окрестностью
О (у) . Поэтому множество Go имеет верхнюю грань, меньшую, чем
у (иначе в любой окрестности точки у находились бы точки из
Go ).
Аналогично показывается, что z > х .
Очевидно, что точка z Gi (иначе она входила бы в Gi с целой
окрестностью и не была бы верхней гранью множества Go ). Так
же z G2 (иначе она входила бы в G2 с целой окрестностью
и снова не была бы верхней гранью точек из Go ). Значит z не
входит ни в Mi ни в М2 , откуда следует z М . Таким образом,
мы доказали, что если множество М несвязно, то оно не обладает
свойством содержать промежуточные точки. ►
53.3. Связность и непрерывность
Как показывает следующая теорема, непрерывный образ связного
множества есть связное множество.
Теорема о сохранении связности при непрерывном отобра-
жении. Пусть X , Y - метрические пространства и у = /(х)
- функция, непрерывная на пространстве X . Тогда, если X -
связно, то f(X) связно в Y .
Доказательство. Допустим, что f(X) несвязно, т. е.
существуют множества Mi, М2 Е Y такие, что /(X) = Mi |J М2 ,
где Mi П М2 = 0 , АД Д 0 , М2 Д 0 , Mi С Gi М2 С G2 , где
Gi Р G2 = 0 и Gi , G2 - открытые в Y множества. Рассмотрим
247
множества /-1(Gi) = Vi и /-1(G2) = V2 . По критерию непре-
рывности множества Vi и V2 открыты в пространстве X и не пе-
ресекаются, как прообразы непересекающихся множеств. Так как
А = Vi |J V2 , то X несвязно. Мы получили противоречие. ►
Как следствия получаем следующие теоремы.
Теорема о промежуточном значении. Пусть f(x) - непре-
рывное отображение связного метрического пространства X в
числовую прямую R. Тогда f(X) связно в R, т.е. функция f(x)
принимает все промежуточные значения.
Таким образом, если щ е /(А), У2 6 /(А), щ < 2/2 , то Vу,
У1<У <У2, За? G X /(а?) = у .
Теорема о максимальном и минимальном значениях. Если
X - компакт, a Y = R , то действительная непрерывная функция
f(x) принимает на X свои максимальное и минимальное значе-
ния.
Действительно, F = /(А) - компактное множество в R. Значит
F - ограниченное замкнутое множество на числовой прямой. Сле-
довательно sup у е F , inf у е F . ►
t/gf v^F
Отметим, что связные компактные множества на числовой пря-
мой - отрезки. Следовательно, если А - связный компакт, /(х) -
действительная непрерывная функция на А , то /(А) = [т,М],
где т = inf f (х) , М = sup f (х) .
Х^х хЕХ
248
Глава 12
Дифференциальное
исчисление функций
многих переменных
2 семестр
Лекция 20
(20.04.68)
Далее предполагается линейная структура пространства прообра-
зов и пространства образов. Линейной структурой обладают евкли-
довы пространства.
Будем рассматривать X = Еп, Y = Ет и отображения
у = /(ж) , х Е М С Еп , у Е Ет . Простейший случай отображений
- линейные отображения А пространства Еп в Ет : у = Ах .
Пусть £(Еп,Еш) - пространство линейных отображений Еп в
Ет .
Будем обозначать через ||х||Втг = ||х||п норму элемента х Е Еп ,
соответственно ||?/||ВТ7г = |Ы|т - норма элемента у Е Ет . Для
д
линейного отображения у = Ах : Еп —> Ет V х Е Еп
Ч1Мт < ^11< •
Наименьшее число К, для которого это неравенство выполняется
для любого х Е Еп , называется нормой ||А|| отображения А:
249
A'min=p||= sup = sup ||Ax||m>0.
IML=1 IML=i
Таким образом, ||A|| e R+ .
Можно определить умножение линейных преобразований. Пусть
заданы евклидовы пространства Еп , Ет , Е1 . Если рассмотрим
отображения А: Еп Ет и В: Ет —> Е1 , то получим отобра-
жение В А = С : Еп Е1 .
§ 54. Производные и дифференциалы
первого порядка
f
Пусть дано отображение Еп —> Ет и множество М С Еп . Будем
изучать случай п > 1, т = 1 и будем считать, что функция f
задана на открытом множестве М С Еп , т. е. М = Mi .
54.1. Частные производные
Для простоты будем записывать функцию в форме функции от
двух переменных z = f(x,y) , (х,у)еМ СЕ2.
Пусть ро = (^o,Z/o) £ М. Тогда р = (х,р0) 6 М и для
х из некоторой окрестности O(xq) можно рассмотреть функцию
= f(x,yo) • Если существует предел
// А г Щ + ^Уо) - Щ,Уо)
ср (х) = нт----------------,
h^Q h
то этот предел называется частной производной = /Дх,ро)
функции f по х в точке р = • Аналогично определяется
= fy^Q.y) - частная производная функции f по у в точке
Р = Оо, 2/) •
Если функция f - функция от п переменных, то получим п
частных производных: по каждой переменной своя производная.
При вычислении частных производных фиксируются все перемен-
ные, кроме той, по которой берется производная.
Не все свойства функций одной переменной переносятся на
функции п переменных. Например, из существования частных про-
изводных функции z = f(x,y) в окрестности точки ро = (хо,2/о)
не следует непрерывность функции в точке ро .
250
Пример. Для функции
г = f(x,y) =
1,
О,
х О,
х = О,
У + О,
или у = О ,
существуют /ДО, О) = О, /ДО, О) = О , но функция разрывна в
точке (0,0) .
При вычислении частных производных функции двух перемен-
ных поведение функции рассматривается не в окрестности точки,
а только на горизонтальной и вертикальной прямых, проходящих
через заданную точку ро•
54.2. Дифференциал первого порядка
функции многих переменных
Рис. 12.1. Касательная плоскость.
Касательная плоскость (рис. 12.1) - аналог касательной к графику
функции одной переменной. Рассмотрим точку До, ж ^о) • Уравне-
ние наклонной плоскости, проходящей через эту точку, может быть
записано в следующем виде:
z - ZQ = а(х - То) + Ь(у - р0),
или z = L Д, р) , где LД, у) = zq + а(х — xq) + b(y — ро) _ линейная
неоднородная функция.
О Пример функции, разрывной в точке (0,0) и имеющей частные производные
всюду в окрестности точки (0,0), смотри в книге [3] на с. 148. (Ред.)
251
Определение. Плоскость z = L(x,y) называется касательной
плоскостью к поверхности £ = f(x,y) в точке До,т/о^о)5 где
/ До,2/о) , если
f(x.y) - L(x,y) = о (р(р,р0)), рД,Ро) -> 0,
где р = Д, у), ро = До, т/о) •
Таким образом, касательная плоскость к поверхности в точке -
это такая плоскость, которая имеет в окрестности точки соприкос-
новение с поверхностью порядка выше первого.
Определение. Функция z = f(x,y) называется дифференциру-
емой в точке ро = До,?/о) , если ее приращение имеет главную
линейную часть относительно приращения аргументов, т. е. если
А/Д0,р0) = f(x,y)-f(xQ,yQ) = а(х-х0) + Ь(у-уо) + о(р\ р -У 0,
где р = у/(х — то)2 + (р — ро)2 • Другими словами, если
А/Д0,р0) = аЛ^о + 6Ар0 + о(р), р 0 .
Упражнение. Доказать, что поверхность £ = f(x,y) имеет каса-
тельную плоскость в точке До, ро,/До, Ро)) тогда и только тогда,
когда функция f(x,y) дифференцируема в точке ро = До,Ро) •
Определение. Главная линейная часть приращения функции
a A xq + b А уо ,
если она существует, называется дифференциалом функции f(x,y)
в точке До,ро).
Обозначим А то = dxQ , Apo = dyQ . Если дифференциал функ-
ции обозначить через df(x,y) , то
df(x, у) = adx + bdy,
&f(x, у) = adx + bdy + o(p) (p —> 0).
Введем следующие обозначения:
Уо) = f(x, уо) - f(x0, у0);
Ayf(x0, Уо) = f(x0, у) - /(хо, Уо);
АжДу/(х0, Уо) = f(x, у) - f(x0, у) - f(x, Уо) + f(x0, у0);
252
df, , (df\ df, x (df\
-i-(xo,yo)= H- ; 7Г(''’о-Уо) = I yr )
их \ dx J q dy \ dy J q
Замечание 1 (непрерывность дифференцируемой функ-
ции). Если функция дифференцируема в точке (хо,2/о) , то она
непрерывна в этой точке.
Замечание 2 (необходимое условие дифференцируемости).
Если функция f(x,y) дифференцируема в точке (хо,уо) , то она
в этой точке имеет частные производные первого порядка.
Действительно, если Д?/о = 0 , то
f(x, Уо) - f(x0, у0) = аЛ.х0 + о(р) (р -> 0),
откуда
Дж/(жо,уо) . ( Р \ , „х
----------= а + о ---- = а + о(1) (р -> 0).
Ах0 \А.<'о J к / >
Значит, ^(хо,уо) существует и равна а. Аналогично
существует и равна b . ►
Таким образом, получаем основную формулу для дифференциа-
ла функции:
df = —~dx + —~dy.
dx dy
Отсюда, в частности, следует единственность дифференциала.
Геометрический смысл дифференциала функции многих пере-
менных - приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 12.2).
Замечание 3 (достаточное условие дифференцируемости
функции в точке). Пусть f(x,y) имеет частные производные
в некоторой окрестности О(хо,уо) точки (хо,2/о),^ ду ,
непрерывны в самой точке (хо,2/о)« Тогда функция f(x,y) диф-
ференцируема в точке (хо,уо) .
В самом деле, применяя формулу Лагранжа, получим
А/(хо,?/о) = f&y) ~ Ф(хо,Уо) =
= у) - f(x, yQ) + f (x, yQ) - f (x0, yQ) =
= <^-(x,yQ +1ДД?/о)Д?/о + +^2A^o,?/o)A^o .
dy dx
253
Рис. 12.2. Геометрический смысл дифференциала - приращение ап-
пликаты касательной плоскости.
По непрерывности частных производных в точке (хо,2/о)
df, q д . df.
^-(ж0 + $2Джо,Уо) = +а(ж,у),
где а -> 0 при (х,у) (х0,у0) ,
df df
-х~(л,у0 + г^Дуо) = ^-(>о,Уо) + /ЗЦу),
dy dy
где /3 -> 0 при (х,у) -> (жо,уо)
Значит,
Д/ = |1дж0 + ^-Дуо + а Д.г0 + /3 Ду0 =
ох оу
(df\ Л fdf\
= hr Ажо + hr 2
\дУ/о
откуда и следует дифференцируемость. ►
254
2 семестр
Лекция 21
(24.04.68)
Рис. 12.3. Схема знаков для составления второй смешанной разно-
сти.
Теорема (критерий дифференцируемости функции двух
переменных). Для того, чтобы функция z = /Д,у) была диф-
ференцируема в точке До, уq) необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие два условия:
1) частные производные и
2) AxAyf До,уо) = о(р) (р->0).
Доказательство (по Валле-Пуссену [1] с. 149). Необходимость
условия 1) очевидна. Рассмотрим тождество
существуют;
о
ФД,у) - /(жо,Ро) =
= f Д, Уо) - f До, Ро) + ФД, Ро) - Ф До, Ро) + АхАуф До,Уо)
(см. на рис. 12.3 схему знаков для составления второй смешанной
разности). В силу условия 1) при р —> О
о
Ахо + о(р),
о
Дро + о(р).
о
Тогда получим
ФД,у) - фДо,Уо) =
df\
dx J
Дж0 +
о
эд
ду
ДрО + ^x^yf До, Уо) + оД) (р 0),
о
255
и для того, чтобы j Лад + Ду0 = df(x0, у0) необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие
Д^ДЩжоУо)+ о(р) = о(р) (р->0),
откуда следует условие ДжДг//(х0, уо) = о(р) (р -»0). ►
54.3. Частные производные сложной функции
тт \ и = 4AX-> V)
Пусть отображение Ф : < v — ф(х у) опРеДелено в окрестнос-
ти О(^о, 7/0) ТОЧКИ (хО,7/о), Ф(хО,7/о) = И фуНКЦИЯ
z = f(u, v) определена в окрестности O(uq,vq) . Рассмотрим
сложную функцию z = / ((Дх, ?/), тДх, ?/)) = F(x, у) .
Теорема (производная сложной функции). Пусть функция
f(u,v) дифференцируема в точке (щц^о) • Если функции ср, ф
имеют частные производные (ду) , (тБД в точке (хо,т/о) , то
сложная функция Е(х,у) имеет частную производную (55)о в
точке (хо,т/о) . Если функции р, ф имеют частные производ-
ные
в точке (хо,уо) , то сложная функция Е(х, у)
имеет частную производную
в точке (хо,т/о).
о
Доказательство. Так как функция f(u, v) дифференцируема
в точке (гц), ^о), то
f(u,v) - =
A?Zo +
df\ А _i_
— Ar0 + o
av/o
при Auq —> 0 , Aro —> 0 . Эта формула справедлива при любых
приращениях Атщ и Ат?о • Возьмем приращения специального ви-
да. Рассмотрим функции и = р>{х^уо) , v = ф{х^уо) . Тогда при-
ращения Аи0 = р>{х.уо) - ср(хо.уо) и Аг0 = ф(х,уо) - ф(хо,уо) .
Заметим, что так как функции и ф в точке (хо,т/о) имеют част-
ные производные, то А //() О и Аго —> 0 когда Ахо -А 0 . и более
256
того’ и ЛЕ7 ограничены. Теперь
F(x0 + Ажо, у) - F(x0, Уо) _
А.с0
_ / Д/Л <р(х0 + Аа?0, у0) - Що, у0) j
\du)Q Дхо
(df\ -ф(х0 +/\х0,у) --ф(х0,у0)
+ тг --------------х------------М1)
\cw/o Axq
при Дхо —> 0. Перейдем в этом равенстве к пределу при Дхо —> 0.
Получим, что функция F(x, у) имеет частную производную по х
и эта производная выражается следующей формулой
dF df дер df df)
dx du dx dv dx
Аналогично получим, что
dF df dep df df)
dy du dy + dv dy
В частности, если и = pfx) , v = f)(x) , F(x) = ffpfpcf f)(pcf) ,
то получим формулу:
dF df dtp df df)
dx du dx dv dx
54.4. Дифференциал вектор-функции
Мы рассматриваем отображение f : Еп Ет , где п > 1,
т > 1. В частности при п = 2 , т = 2 (х, у) —> f (х, у) = (и, г) .
Пусть отображение f определено в окрестности О(жщРо) точки
Ро = (гг0,2/о) •
Определение. Линейное отображение А е £ (Еп,Еш) простран-
ства Еп в Еш называется дифференциалом 2) функции f в точке
Ро , если
llf(p) -f(Po) -^(Р-Ро)||т п
\\р - ро||п
2) Смотри, например, [5], т.2, §41. (Ред.)
257
при р —> Ро , ИЛИ
/(р) - /(Ро) = А(р - Ро) + г(р - Ро),
где ||r(p-po)||m = о(||р-Ро||„) при р-> р0 ; будем говорить, что
функция / дифференцируема в точке ро , ее дифференциал в этой
точке равен df = А(р — ро) и f' = А .
Геометрическая интерпретация дифференциала вектор-функ-
ции - это отображение, касательное к данному (рис. 12.4).
Рис. 12.4. Отображение, касательное к данному.
Теорема (критерий дифференцируемости вектор-функ-
ции). Пусть вектор-функция f(x,y) = {р(х, р), ф(х, р)} , опреде-
ленна в некоторой окрестности ОДо,уо) точки ро = (хо,ро) •
Для того, чтобы эта вектор-функция имела в точке ро диффе-
ренциал, необходимо и достаточно, чтобы существовали диффе-
ренциалы dp> и d^ функций р> и ф в точке ро = До, У о) .
Доказательство. Необходимость. Из векторного
равенства
/(р) - /(Ро) = А(.Р - Ро) + г(р - Ро),
где ||г(р -р0)||т = о(||р -ро||„) при р-> ро , следует, что
<р(х,у) - <р(жо,уо) = аАж0 + &Ду0 + о(р) (р -> 0),
и аналогичное равенство имеет место для функции ф . Значит, все
компоненты функции f дифференцируемы.
Достаточность. Пусть существуют dip До, уо) и d/ф До, уо) .
Докажем, что
/(р) - /(Ро) - А(р - ро) = о(р - ро) (р^р).
258
В силу критерия существования предела вектор-функции, предел
существует, если он существует для компонент вектор-функции. Но
он и существует для компонент, что следует из покомпонентной
дифференцируемости функций ср и . ►
2 семестр
Лекция 22
(26.04.68)
Пусть Еп - евклидово пространство и точка ро £ Еп . Пусть в
окрестности О(ро) задано отображение у = /(х) (х Е О(ро),
у 6 Ет):
Р1 = pi(xi, ...,хп)
У2 = ^2^1,
Ут = •••) %п)
Следствие. Если все частные производные
d^i • , \
—— (г = 1,..., т ; j = 1,..., п)
0х j
существуют в некоторой окрестности точки ро ив самой точке
Ро непрерывны, то отображение у = /(х) дифференцируемо в
точке ро .
Введем обозначение: / Е Р(ро) означает, что функция f диффе-
ренцируема в точке у о . Матрица из частных производных
называется матрицей Якоби.
Геометрический смысл дифференциала - это главная линейная
часть приращения функции (рис. 12.5).
54.5. Дифференцирование сложной функции
Пусть заданы отображения z = f (р) Е Е1 , у = р(х) Е Ет
(х Е О(^о) С Еп , уо = р(хо)), f определена в О(ро) С Ет .
Тогда
г = F(x) = /(Дж)) : Еп -Е Ет -Е Е1
- сложная функция, определенная для х Е О(а?о) С Еп .
259
Рис. 12.5. Геометрический смысл дифференциала.
Теорема о дифференцировании сложной функции. Пусть
дана сложная функция z = F(x) = f (р(х)) . Пусть f е D(yo) ,
р Е D(xq) (?/о = </?(#о) )• Тогда сложная функция F(x) дифферен-
цируема в точке xq .
Доказательство. Будем писать xq = х , х = (xi,X2) ,
У = (УъУъ) > Докажем, что
AF(x) = F(x + Ах) — F(x) = AAxi + ВАх2 + о(р) =
дР дР
-—Аал + -—Ах2+о(р) (р —> 0),
ОХ\ 0X2
где р = у/(Axi)2 + (АХ2)2 . По условию функция f Е D(yo) . Это
значит, что
АД//) = f(y + Ат/) - f (//) =
= А т/i + д^-А?/2 + о (уДА/д)2 + (Ат/2)2) .
Так как функция
ке (ад,Х2) , то
т/i = ^1(х1,х2)
2/2 = ^2(^1, х2)
= р дифференцируема в точ-
Л др± л др± л z ч
A(^i = -—Axi + -—Ах2 + о О) ,
ОХ\ 0X2
. dip-2 . д(р2 . , х
А<Р2 = д-АЖ1 + -—Ах2 + о (р) ,
ОХ\ 0X2
при р -Е 0. Отсюда следует, что A</?i = О(р) , Д</?2 = О(р)
260
(р —> 0). Значит л/(А</?1)2 + (Дрг)2 = О(р). Тогда
ДТ(ж) = F{x + Да?) — F(x) =
df
dyi
dpi А дрх \ , Of / др2 А др2 А \
-—Дад + -—Да?2 + —- 77—Дат + ——Да?2 +
дХ\ UX2 J иу2 \ иХ\ UX2 J
+ о(р)
( df дрх df др2\ д ( df дрх df др2\ А
I Л— Л----1" Л— Л ) ^X1 + I Л— Л-1" Л— Л ) +
\dyi дХг ОУ2 дХг ) \дуг дХ2 &У2 (JX2 )
+ о (р) (р -> 0).
Значит, сложная функция дифференцируема и
dF _ d£&pi df dF2
дхг дуг дхг ду2 дхг ’
dF_ = д£д^г д^д^2
&Г2 дуг дх2 ду2 дх2
В частности мы вновь получили формулу для частной произ-
водной сложной функции.
54.6. Инвариантность формы дифференциала
первого порядка
Пусть z = F(x) = f . По определению дифференциала
dF 7 dF 7
dF = -—dxг + д—dx2 .
дхг дх2
Это выражение, пользуясь полученными выше результатами, мы
можем переписать как
7„ dF 1 dF 1 df 1 df 1
dF = -— dx± + -— dx2 = — dy± + — dy2 .
ch?i дх2 дуг dy2
Таким образом, форма для дифференциала первого порядка инва-
риантна.
261
54.7. Дифференциал сложного отображения
Пусть заданы отображения z = /(у) 6 Е1, у = е Ет
(х & О(ж0) С Еп , уо = <р(х0У), f определено в О(у0) С Ет .
Тогда
г = F(x) = /(<^(ж)) : Еп-^ Е"‘-Е Е1
- сложное отображение, определенное для х Е O(xq) С Еп .
Теорема. Если отображение f дифференцируемо в точке , и
отображение ср дифференцируемо в точке xq , то сложное отоб-
ражение F дифференцируемо в точке xq .
Доказательство. По критерию дифференцируемости
вектор-функции, F Е D(xq) тогда и только тогда, когда все функ-
ции Fi(x) = fi (<р(х)) (г = 1,..., I) дифференцируемы в точке xq .
Но так как / Е D(yo) , то fiE D(yo) . Тогда, так как р> Е D(xq) ,
то и
Fi(x) = fi 00)) £>0о)
по теореме о дифференцировании сложной функции. Следователь-
но, отображение F Е D(xq) . ►
Замечание. Пусть
Ау = Др = АДх + о{р) (р —> 0), Д/= ВДр + о(г) (г —> 0).
Тогда ДР = ВАДх + о(р) (р —> 0).
Действительно, А = р'До) , В = f'(yo) . Если уо = р(гго) , то
С = Р'Оо) = f' ООо)) • /Оо) = В А.
54.8. Непрерывная дифференцируемость
f
Пусть дано отображение у = /О) : Еп —> Ет и G С Еп -
открытое множество из Еп . Если xq Е G и / Е D(xq) , то диф-
ференциал df(xo) функции /О) (и. 54.4 с. 257) определяется мат-
рицей АОо) £(Еп,Ет) размера п х т из значений частных
производных, а именно, df = A(xq) dx .
Определение. Если для любой точки х Е G / 6 Р(х) , то говорят,
что отображение f дифференцируемо в области G (f Е D(G)).
Если f Е D(G) , то дифференцирование функции f порождает
отображение области G в Еп , которое каждой точке х Е G ставит
в соответствие дифференциал А(х) Е L (Еп,Ет) .
262
Определение. Будем говорить, что отображение / : Еп Ет
непрерывно дифференцируемо в области G, если df(x) является
непрерывным отображением из G в £ (Еп,Еш) .
Теперь мы можем сформулировать условия, при которых диф-
ференциал является непрерывным отображение в области.
Теорема о непрерывном дифференцировании. Отображение
f : Еп —у Ет непрерывно дифференцируемо в области G тогда
и только тогда, когда частные производные - непрерывные
функции в области G .
Доказательство. В силу критериев дифференцируемости
и непрерывности вектор-функции следует необходимость.
Достаточность. Отображение f непрерывно дифферен-
цируемо в каждой точке области G. так как все его компоненты
непрерывно зависят от точки в силу критерия непрерывности
отображения. ►
§55. Производные и дифференциалы
высших порядков
55.1. Теоремы о смешанных производных
Пусть задана функция у = f(x) : Еп Е1 . Пусть для простоты
записи п = 2, т. е. задана функция z = f(x,y), (х,у) Е G. и
существуют частные производные первого порядка = /^(ацу) и
= fy(x,y) • Если эти функции - дифференцируемые функции,
то получаем частные производные второго порядка
/”у(Х,У), fyX(X,y), fyy(X,y)-
Вообще говоря, f"у f.
Теорема Юнга о равенстве смешанных производных. Е[усть
частные производные первого порядка и /' существуют в
некоторой окрестности О(х,у) точки (х,у) и эти функции
и fy дифференцируемы в самой точке (х, у) . Тогда в этой точке
fxyfay) = fyX(x,y)
Доказательство. Рассмотрим вторую смешанную разность
(см. схему знаков на рис. 12.6)
АжАД(х, у) = f(x + h,y + h) - f(x + h,y) - f(x, у + h) + f(x, y).
263
(x+Aj^/z)
(ау)
Рис. 12.6. К теореме Юнга.
Пусть Дх) = /(ж, у + К) - /(ж, у) . Тогда
ДжДу/(х, у) = ср(х + h) - Дх).
Применяя формулу Лагранжа, получим AxAyf(x, у) = ср'(x+0h)h .
Но ср'(я?) = fx(x, у + h) — fx(x, у) Значит
A xkyf(x, y) = h {fx(x + 0h,y + h)- fx(x + Oh, y)} .
Воспользуемся тем, что функция fx дифференцируема в точке
(х, у) . Тогда при h —> О
fx(x + 0h,y + h)- fx(x, у) = fxx(x, y)f)h + /"y(x, y)h + o(/i),
fx(x + 0h,y) - fx(x,y) = fxx(x,y)0h + o(h).
Отсюда
ДжДг//(х,у) = h2f"y(x,y) + 0Д2) Д-» 0).
Аналогично, полагая ^(y) = f(x + h,y) — f(x,y) , получим
Д.,.Ду/(-'’.у) = л2./у(-'-.у)+ o(/'2) (л.->о).
Приравняв полученные выражения, разделив на h2 и устремив h
к нулю, получим что f"y(x,y) = fyX(x,y) . ►
264
2 семестр
Лекция 23
(27.04.68)
В теореме Юнга для равенства смешанных производных предпола-
гается существование всех четырех частных производных второго
порядка в точке (х, у) . В следующей теореме предполагается су-
ществование одной смешанной производной в некоторой окрестнос-
ти точки (х, у) и ее непрерывность в точке (х, у) .
Теорема Шварца (о существовании второй смешанной про-
изводной и их совпадении). Пусть функция f(x,y) определе-
на в окрестности О(х,у) точки (х,у) и в этой окрестности
существуют частные производные fx, fy, fxy . Пусть смешан-
ная производная fxy е С(х,у) . Тогда в точке \х,у) существует
вторая смешанная производная fyx , причем fyX(x,y) = fxy(x,y) .
Доказательство. Рассмотрим выражение
3 = /(ж + h, у + к) - /(ж + h, у) - f(x, у + к) + f(x, у).
Положим
<Щ) = /(ж, у + к) - f(x, у) = <р(х, к).
Тогда S = <р(х + ti) — <р(х) . Применив формулу Лагранжа, получим,
что
6 = hipf(x + 3h) = h {fx(x + 3h, у + к) — fx(x + 3h, у)} .
По условию fxy существует. Значит, по формуле Лагранжа
д = hkfxy(x + 3h,y + 3-JT).
Воспользуемся тем, что fxy е С(х,у) . Тогда
/"у(ж + Oh, у + 6*1 fc) = /"Щ, у) + о(1)
при р = Vfc2 + № —> 0 . Отсюда получаем, что
<5 = Л/г{/"у(х,у)+о(1)} (р->0)
и следовательно,
р{х + К)~ Дж) „
Jxy(X^y) ^(1) \Р 0) •
265
Значит Vs > О 3 ho > О, Ау» > 0 \/h,k , 0 < \h\ < ho , 0 < \k\ < ко ,
или, что есть то же самое, при каждом фиксированном h
1 1>(ж + h, к) <р(х, к) 1 „
Щ—к---------
Так как р(х) = /(х, у + к) — /(х, у) и
к^0 к уУ ’ к^0
к =fy(% + h,y'),
то отсюда получим
h
для любых h таких, что 0 < \h\ < ho . Это значит, что предел
// fv(x + h,y) ~ f'(x, у)
f'^x, у) = lim
существует и равен fxy(x,y) . Значит, вторая смешанная производ-
пая fyX существует и справедливо f”x(x,y) = fxy(x,y). ►
Обычно теорема применяется в ослабленной форме: если сме-
шанные производные непрерывны, то они равны (см. [10], [11]). Как
следствие получаем, что, если смешанные производные непрерыв-
ны, то они равны, если они отличаются только порядком диффе-
ренцирования. Например, fxyx = fxxy , если эти производные не-
прерывны, так как можно применить теорему к двум последним
дифференцированиям.
55.2. Дифференциалы высших порядков
(для скалярных функций)
Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности
О(х,у) точки (х,?/) = р. Линейное отображение L, связанное с
266
точкой (х,у) и определяемое вектором
dx |
,и вектор при-
ращений (dx, dy) определяют дифференциал функции f(x,y) по
формуле
df = —dx + —dy =
ox dy
dx |
(dx, dy) .
Таким образом, с функцией можно связать линейную форму
тт df df
ох оу
которую мы будем обозначать через Л((х, у), (£, у)) . Тогда диффе-
ренциал первого порядка функции f(x,y) есть
df = Л((х,у), (dx,dy)) .
Определение. Функцию f(x,y) будем называть дифференцируе-
мой в точке (х, у) , если соответствующая ей линейная форма Л
определена в некоторой окрестности точки (х, у) , а в самой точке
(х, у) при любых фиксированных £ , // будет иметь дифференциал.
Пусть частные производные определены в окрестности
точки (х, у) и дифференцируемы в точке (х, у) . Придадим х и у
новые приращения 6х и бу . Рассмотрим дифференциал выраже-
ния df = Л((х, у), (dx, dy)) , воспользуемся при этом тем, что по
теореме Юнга в точке (х, у) :
odf(x,y) = о < —— dx + —— dy > = о —— dx + о —— dy =
(ox dy J ox dy
f d2 f d2f \ ( d2f d2f \
= лл6x + ллг]dx + 6x + лл ^y]dy =
\ dx- oyox J \ oxoy oyz J
d2 f d2 f d2 f
= -—77 dxdx + ——— (dxdy + dydx) + —~^dy5y .
dxz dxdy dyz
Полученная билинейная форма называется повторным дифферен-
циалом функции f(x,y) в точке (х,у) . Если положим 5 = d, то
267
получим дифференциал второго порядка
d2f(x, у) = E^dx2 + 2-^—^-dxdy + ^^dy2 .
oxz охоу оу2
§ 56. Формула Тейлора для функции
многих переменных
Мы рассмотрим отображение Еп —> Е1 для случая п = 2 , опре-
деленное в некоторой окрестности О(х,у) . Положим h = dx,
k = dy . Пусть f eD(x,y). Тогда
А/ = f(x + h,y + k) - f(x, y) = Ер + + o(p),
где p = aA2 + 0 .
56.1. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа
Пусть функция f(x,y) определенна в некоторой окрестности
О(х, у) точки (х, у) и во всей этой окрестности имеет дифференци-
алы df, d2f,..., dnf порядка 1, 2, п соответственно. Мы будем
символически записывать
лг ( д л д Л Ъ
'v=&‘iarW9^^ !'г;
,2 „ ( 9 J , 9 J \2 t
d J = -^~dx + — dy J ;
\ ox dy j
/ о о \ П
dnf = (—dx+—dy] f.
\ox oy J
Замечание. Если x = x(t) , у = y(t) , to dx = ^dt = p(t)dt,
значит, дифференциалы зависимых переменных мы не можем счи-
тать постоянными. Но если х = а + ct, у = b + et, то dx = cdt,
dy = edt, и формулы для дифференциалов высших порядков оста-
ются такими же, как если бы х ж у были независимыми перемен-
ными a dx , dy - постоянные приращения.
268
2 семестр
Лекция 24
(04.05.68)
Пусть функция z = f(x,y) определена в открытом множестве
G и точка (хо,2/о) £ G. Тогда существует е > 0 такое, что
О£(хо,2/о) С G. Возьмем si , 0 < si < s , и рассмотрим множе-
ство
Fo = {(ж,у) G G : р((х,у), (жо,уо)) < Щ С G.
Это множество является частным случаем подмножеств множества
G, обладающих следующим свойством: если (х, у) е Fq , то и от-
резок, соединяющий точки (хо,2/о) и (х,?/) , целиком содержится
в Fq . Множества, обладающие таким свойством, называются звез-
дными множествами относительно точки (хо,2/о) • Из определе-
ния не следует, что множество Fq выпукло, так как точка (хо,2/о)
фиксирована. Множество
Fo = {(х,у) е G : р((х,у), (жо,уо)) < £1} С G,
приведенное выше, является наиболее простым звездным множе-
ством и представляет собой замкнутый круг с центром в точке
Щуо) (рис. 12.7).
Рис. 12.7. Круг с границей - наиболее простое звездное множество.
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в фор-
ме Лагранжа). Пусть функция z = f(x,y) определена в неко-
тором звездном относительно точки (хо,2/о) множестве Fq .
Пусть в каждой точке множества Fq функция f(x,y) имеет
269
дифференциалы 1-го, 2-го, ... ,п-го порядков. Положим х = xo + h,
У = Уо + к . Тогда справедлива формула Тейлора с остаточным чле-
ном в форме Лагранжа
\ ( д д \
f(x,у) = /(хо, у0) + jy ( + —к I /(so, уо)+
1 / д К д ,\2
+ ху I h + —к ) /Цо, уо) + ••+
2! \ох оу )
1 (9 К
+ 57^1)! (&', + а/7 Л1Ч,'!"’+
+ Д ( 2-h + 2-к ) f(xo + Oh,yo + Ok),
п\ \ох оу J
где О < О < 1.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(t) = /(До + th, уо + tk), где 0 < t < 1.
Отметим, что F(0) = f(x0, yQ) , F(l) = f (xQ + h,yoik) = f(x, y) .
Эта функция есть сложная функция F(t) = /(£, ц) , где £ = xo+th ,
У = Уо + tk . Так как дифференциал функции f существует, то су-
ществует производная F' функции F :
О^ ОТ) \ ot, ОТ) J
Так как второй, ..., n-ый дифференциалы функции f существу-
ют, то существуют также и вторая, ..., n-ая производные функции
F(t) . Значит, для функции F(t) мы можем написать формулу Тей-
лора с остаточным членом в форме Лагранжа:
F(t) = F(0) + ^F'(O) + ... + ?W .Е^-ДО) + ^F^XOt),
1! [n — 1)! n!
где 0 < 3 < 1. Положим t = 1. Тогда имеем
F(l) = ДО) + Д'(0) + ... + , 1 „Х^Чо) + Д(п) (0)
1! (п — 1)! п!
(О<0<1).
270
Следовательно, для функции f получим
1/3 д \
f(x, у) = f(x0, уо) + jy ( h + — к I /Цо, у0)+
1 кд , д Д2 ,
+ ху I h + к ) /Цо.Уо +•+
2! \ох оу )
1 ( 9 г 9 , V1 х
+ (^T)i Ц', + аХ) №«")+
+ -;(-^-Ь + 7Гк} f(xo + 0h,yo + 0k),
п\ \ОХ оу J
где 0 < 0 < 1. ►
Через дифференциалы формула Тейлора запишется так:
f(x,y) = f(xo,yo) + ^df(xo,yo) + ^d2f(xo,yo)+
+ + 7—Цт7^п-1/Цо, Уо) + —.dnf(x0 + Oh, y0 + Ok),
(n — 1)! n\
где 0 < 3 < 1.
56.2. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа, случай п = 1
Для п = 1 формула Тейлора примет вид
д f д f
f(x, у) = f(xo, Уо) + h-^-(xo + Oh, у0 + Ok) + к-^-(х0 + Oh, у0 + Ok),
ох оу
где 0 < 3 < 1.
Допустим, что второй дифференциал d2/(хо,2/о) существует в
точке (то, у о). Это значит, что частные производные ду и диф-
ференцируемы в точке (хо,2/о) , т. е.
/df\ , /d2.f\ , \ . л
271
fdf\ .( d2f \ , x (d2f\
= UVlasw,;0"1’’ WA?'-'"’’ (,)- '
где p = y/(x — xq)2 + (у — Уо)2 . Если подставим x = хо + Oh ,
У = Уо + Ok , то получим
df
-^-(x0 + Oh.yo + Ok) =
ox
df\
dxjo
~ f ) k \ + о (вл/h2 + fc2
oxoyJ о J \
d f
-Дж0 + eh,y0 + в к) =
dy
= m дрш ДД) a+,,(w^n.
\ду J о [\dxdyjo \dy2 J 0 J V )
при p —> 0 . Отсюда
/(ж, у) = /(я?о,уо) + h j +k\^—j +
+ e\h2(xi) +2kh(7nP) +k2(^l ]+o(02(h2 + k2/) ,
yox^y 0 \oxoy J 0 \dy J q)
или окончательно,
f(x, у) = /(хо, Уо) + df(xo, Уо) + в {d2f(x0, у0) + o(h2 + к2)}
(Р 0).
Это вид формулы, удобный для исследования функции на экстре-
мум.
56.3. Экстремумы функций многих переменных
Определения экстремумов для функций многих переменных оста-
ются такими же, как и для функций одной переменной.
272
Теорема (необходимые условия экстремума функций мно-
гих переменных). Если функция f(x,y) дифференцируема в то-
чке (хо,2/о) 5 т() для того, чтобы функция f(x,y) в этой точке
имела экстремум необходимо, чтобы ее частные производные
и в точке (х$,у$) были равны нулю.
Доказательство очевидно. Положим у = у$ , сохраняя х пе-
ременным. Тогда получим функцию от одной переменной ф(х,у$) .
По теореме Ферма, если эта функция достигает в точке xq экстре-
мум, то ее производная в этой точке равна нулю, т. е. (то, 2/о) = 0 .
Аналогично доказывается, что в точке экстремума ^(хо,2/о) = 0 .
Таким образом, условие обращения в нуль частных производных
функции в точке (хо,2/о) является необходимым для существова-
ния экстремума функции в этой точке. ► .
Определение. Точки, в которых частные производные обращают-
ся в нуль, называются критическими.
Для критических точек формула Тейлора принимает вид
/(ж, у) = Що, Уо) + О {d2f(x0, Уо) + о(Л2 + к2)} .
Предположим, что (d2/) 0 . Рассмотрим квадратичную форму
Р2/) (хо, Уо) = ^4h2 + 2-^—^-hk + |Д2
v 7 дх2 дхду ду2
Ясно, что если эта квадратичная форма строго положительная, то
в точке (хо,2/о) функция f имеет минимум, если эта квадратичная
форма строго отрицательная, то в точке (хо,2/о) функция имеет
максимум. Если квадратичная форма знакопеременная, то экстре-
мума не будет. Если квадратичная форма отрицательная, но не
строго отрицательная (положительная, но не строго положитель-
ная), то второго дифференциала не достаточно, чтобы ответить на
вопрос, есть ли в точке экстремум.
273
2 семестр
Лекция 25
(05.05.68)
§ 57. Неявные функции
57.1. Теоремы о неявных функциях
для случая одного уравнения
Пусть функция z = F(x,y) определена в некоторой окрестности
О2(х0,?/о) С Е2 точки (хо,?/о) и пусть г0 = F(xo,?/o) = 0 .
Определение. Если существуют окрестность 0х (то) С Е1 точки
xq и такая функция у = /(х) , определенная в этой окрестности,
которая обращает уравнение F(x, у) = 0 в тождество, т. е. для ко-
торой выполнены следующие условия:
1) f (^о) = Уо ,
2) \/х G Ох(х0) F(x,f(x)) =0,
то говорят, что уравнение F(x, у) = 0 определяет неявно функцию
У = f (^) •
Таким образом, вопрос
1. о существовании неявной функции - это вопрос о существо-
вании такой окрестности точки xq и такой функции /(х) , что
выполняются условия 1) и 2) определения.
Кроме того, естественно встают вопросы
2. о единственности и
3. о гладкости неявной функции, т. е. о непрерывности и диф-
ференциальных свойствах.
Мы рассматривали простейший случай этой задачи, когда гово-
рили об обратной функции. Мы задавали функцию у = ср (х) и рас-
сматривая уравнение F(x, у) = у — (р[х) = 0 отвечали на вопрос, ко-
гда это уравнение разрешимо относительно х , т. е. искали решение
уравнения в виде х = . Мы уже видели, что это возможно,
если функция р> монотонна и непрерывна, что бывает, например,
когда ip'(x) > 0 (ip'(x) < 0) (условие непрерывности и строгой
монотонности функции р> (х)). Заметим, что р>'(х) = ф 0 -
отлична от нуля частная производная по той переменной, относи-
тельно которой разрешаем уравнение.
274
Рис. 12.8. Теорема о существовании неявной функции, построение.
Теорема существования неявной функции для случая од-
ного уравнения. Пусть в окрестности О2(хо,уо) точки (хо,уо)
задана функция z = F(x, у) , которая непрерывна в этой окрест-
ности и пусть F(xo,yo) = 0 и частная
производная функ-
ции F(x,y) в точке (хо,//о) отлична от 0. Тогда существует
такая окрестность O1(xq') С Е1 точки xq и существует такая
функция у = f (х) , определенная в этой окрестности, которая
непрерывна в точке хо , удовлетворяет условию у о = /(#о) ? при-
чем Vх е O(xq) F(x, f(x\) = 0 .
Доказательство. Рассмотрим функцию F(xq, у) , которая
определена для некоторой окрестности О1 (у о) точки у о . Зададим
е > 0 . Производная функции F(xq, у) в точке уо отлична от нуля.
Будем считать для определенности, что — ^|-(жо,2/о) > 0.
Это значит, что функция F(xo,y) строго возрастает в точке у о ,
значит найдется такая окрестность Ох(?/о) С Ох(?/о) , что будет
выполняться F(xo,y) > F(xo,?/o), если у > уо и у 6 Ох(До) , и
F(x0,?/) < F(xo,?/o) , если у < уо и у 6 Ох(До) • Будем считать, что
радиус этой окрестности Ох(?/о) меньше 8 . Таким образом мы по-
лучили, что Vs > 0 3si (0 < si < s), \/у , уо < у < уо Е £\ ,
F(xo,y) >0 и \/у, Уо - 8г < у < Уо , F(xo,y) < 0. Зафиксируем
числа ?/1, у2 (рис. 12.8) такие, что
Уо - £ < У1 < Уо < У2 < Уо + £ •
Тогда F(x0, ?/1) < 0 , F(x0, у2) > 0 , F(x0, yQ) = 0 .
275
Рассмотрим функцию F(x,?/i), определенную в окрестности
О(хо) точки то и непрерывную в этой окрестности. Таким же
свойством обладает функция F{x^y^) . Но значение F (#0,2/1) < 0 ,
a F (#0,3/2) > 0 . Отсюда, по теореме о сохранении знака непрерыв-
ной функции одной переменной 3 5 > О V х , xq — 6 < х < xq + 6 ,
F(x, 2/1) < 0 и F(#, ?/2) > 0 .
Теперь рассмотрим функцию F(#, у) = ср (у) , где х - фиксиро-
ванная точка такая, что #о — 5 < # < #о + 5 . Эта функция положи-
тельна для у = у2 и отрицательна для у = у\ . Кроме того, эта
функция непрерывна. Значит, существует такая точка у = /(#) , в
которой эта функция ср обращается в 0 (по теореме о промежуточ-
ном значении непрерывной функции): </?(?/) = 0 .
Таким образом, Vs > О 3 5 > 0 V#, #о — 6 < х < xq + 6 ,
существует точка у = /(#) такая, что F(#,/(#)) = 0. При этом
|/(#) — T/о| < £• Отметим, что непрерывность функции у = /(#)
еще не доказана, так как /(#) = f£(x) сама зависит от е .
Докажем непрерывность (рис. 12.9). Зададим монотонно убы-
вающую последовательность положительных чисел {sn} • По этой
последовательности, по доказанному, получим последовательность
положительных чисел {5П} , которую можем взять монотонно убы-
вающей к нулю, такую, что
V#, \х - #0| < 51, |/1 (#) - уо| < si,
V#, |# - хо| < 5П, |/п(ж) - уо| < £п
Рис. 12.9. Теорема о существовании неявной функции, непрерыв-
ность.
276
Положим f(x) = fn(x) , если 5n+i < |x — xq| < дп и пусть выпол-
няется f(x0) = Уо. Тогда \f(x)-y0\ < еп если |х-х0| < дп . А
это значит, что
/(х) f(х0) = Уо при X Хо.
Следовательно, функция у = /(х) определена в окрестности
Ог(хо) = {х : |х — хо| < Ф} и непрерывна в точке хо . ►
Теорема единственности неявной функции для случая од-
ного уравнения. Пусть выполнены условия теоремы существо-
вания неявной функции для случая одного уравнения и кроме то-
го, частная производная положительна (отрицательна) в
окрестности О2(хв,ув) точки (хо,уо). Тогда существует такая
окрестность Ог(хо) точки хо , что в этой окрестности суще-
ствует, и притом единственная, функция у = f(x) такая, что
F(x,f(x))=0.
Доказательство. Для любой точки х е Ox(xq) (под
окрестностью Ох(хо) подразумевается окрестность, построенная в
теореме существования неявной функции) функция ip(y) = F(x, у)
строго возрастает, так как > 0 , причем (р(у2) > 0 , Дщ) < 0 .
Но так как функция <р(у) непрерывна и строго возрастает, то су-
ществует единственная точка у* = f(x) такая, что <р(у*) = 0 . При
этом функция у* = f(x) автоматически непрерывна в Ог(хо) , так
как по предыдущей теореме существования неявной функции для
одного уравнения эта функция непрерывна в точке xq , а в других
точках этой окрестности условия теоремы также выполняются. ►
Теорема о дифференцируемости неявной функции. Пусть
выполнены все условия предыдущей теоремы единственности не-
явной функции для одного уравнения и кроме того функция
F(x,y) Е В(х$,уо) . Тогда неявная функция у = f(x) дифферен-
цируема в точке xq .
Доказательство. По теоремам существования и единствен-
ности существует единственная неявная функция у = f(x) . Ясно,
что F(x, f(x)) — F(xo,yo) = 0 . С другой стороны,
F(zJ(£))-F(a>0,Slo)= Лжо+ Щ- Дуо + о(р) (р -> 0).
277
Здесь Ayo = /(х) - у0 . Значит
/ dF\ (dF\
я- + л / лУо+о(р) = 0 (р->0).
\ дх J 0 \ду J 0
о[р) мы можем представить в виде о[р) = а Ажо + /3 Дуо > где
|о| —> 0 , |/3| —> 0 при х —> xq Тогда
((dF\ 1 л ((dF\ Д л
1 ( "я- ) + а г А жо + 5 ( ) + Р г А уо — 0.
I \ / о J I \ / о J
Отсюда
&Уо = (IFo + а
Ахо (дг\ ! «
IF о
Правая часть этого выражения имеет предел при Дхо —> 0 , значит,
Л^о) существует, причем
(9F\
ГЫ = --^.
Wo
Следствие. Если z = Р(х,у) дифференцируема в О2(хо,//о) 5 то
неявная функция у = /(х) дифференцируема в O1(xq) .
Замечание. Пусть у = /(ж) - неявная функция, задаваемая урав-
нением F(x,?/)=0 и определенная в окрестности О\х$) . Тогда
имеем F(x, /(ж)) = 0 и по правилам дифференцирования сложной
функции
дЕ дР
ох оу
Для применения дифференцирования надо знать, что внутренняя
функция дифференцируема.
57.2. Теоремы о неявных функциях
для систем уравнений
Пусть в некоторой окрестности О3(х°, у^ у^) С F3 точки
(х°, ту3, т/3) определена система уравнений
Г -^(ж.уьуг) = о ( F(x°,y^,y%) = О
[ G(s,yi,y2) = 0 [ G(s°,y?,y§) = О
278
Определение. Если существует окрестность О [ (х(у) С Е1 точки
Г qj-. - f (х)
xQ и такие функции < , определенные в этой окрест-
ности, которые обращают систему уравнений
Г(х,щ,2/2) = О
G(^,7/i,t/2) = О
в тождество, т. е. для которых выполнены следующие условия:
п \ yQi=f^)
t У2 = 9(E) ’
\ Г Fix. fix). qix)) = О
2) \/х е О (xq) < Е ; ; ;; ~ , то говорят, что система
I G(xJ(x).g(x)) = О
f Р(х,Щ,?/2)=0 Л
уравнении < j _q определяет в окрестности О(хи)
г Г Vi = fix)
неявные функции | •
Положим
J(x,y,z) =
9F 9F
9у 9z
9G 9G
9у 9z
D(F, G)
D(y,z)
(этот определитель называется якобианом).
Замечание. Якобианы и их формальные свойства. Пусть
заданы функции F(y1;y2), G(y1,y2) и функции yi = ^х1,х2),
У2 = аД • Тогда для сложных функций
Р(у1,у2) = Fi(xi,X2) , G(yi,y2) = Gi(xi,x2)
имеет место тождество
D(F, G) _ D(F, G)
D(si,a;2) D(yi,y2) D(x!,x2) '
Мы получили естественное обобщение формулы для производной
сложной функции одного переменного.
279
2 семестр
Лекция 26
(08.05.68)
Лемма. Пусть функция z = F(x,y) определена в некоторой
окрестности О2(х^у^) точки (хо,2/о) п пусть в этой окрест-
ности существуют частные производные , непрерывные
в самой точке (хо,уо) , a F(xo,yo) = 0 . Тогда существует такая
окрестность 02(xq,2/o) С 02(xq,2/o)5 в которой функция F(x,y)
будет непрерывна.
Доказательство. В силу теоремы об ограниченности
непрерывной функции существует окрестность 02(xq,2/o) точки
(хо,2/о) 5 в которой частные производные и будут ограни-
чены, т.е. 3M>0 V (х, у) 6 ОД0, у0) |^£|<М, |^|<М.
Возьмем две точки (х,?/), (xf,yf) Е 02(xq,2/o) • Для этих точек
Дф,?/) = F(xf ,y')-F(x,y) = F(xf,y')-F(x,y')+F(x,y')-F(x,y).
Применив формулу Лагранжа, получим, что
/ dF\ / dF\
АГ(». ») = (Д - ж) + ( Д (»' - »)
Значит, для любых точек (х,?/), (х',у') Е 02(xq,2/o)
|AF| < М{|Ах| + |Аг/|} .
Отсюда следует, что функция F непрерывна в точке (х, ?/) , т. е.
функция F непрерывна во всей окрестности 02(xq,2/o) (использо-
вана только ограниченность частных производных).
Заметим, что из достаточного условия дифференцируемости
(п. 54.2, с. 253) следует, что F(x,y) Е D(xo,yo) . ►
Таким образом нами доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция F(x,y) имеет в точке (хо,2/о) непрерыв-
ные частные производные Е C(xq,2/o) п ^(хо,2/о) Ф 0 , а
F(xo,yo) = 0, то в некоторой окрестности Ох(хо) точки х$ су-
ществует единственная непрерывная неявная функция
у = / (х) , дифференцируемая в точке xq . Если же частные про-
изводные непрерывны в некоторой окрестности О2(хо,уо) точки
280
(хо,2/о) 5 т() неявная функция у = /(х) будет дифференцируема в
некоторой окрестности 0х (то) С 0х (то) точки х$ .
Теорема (обобщенная теорема о неявной функции). Пусть
функция z = F(ti,X2,2/) определена в некоторой окрестности
О3(х3,^2,т/°) точки (т3,Х2,2/°) и в этой окрестности имеет
непрерывные частные производные . Пусть также
(Sf") 7^ 0 и Р(х5,Ж2,2/°) = 0. Тогда найдется такая окрест-
ность О^х^х®) точки (х3,^3) , в которой существует , причем
единственная, функция у = f(xi,X2) такая, что
1) У° = О1Д2),
2) F (ад, ад, f (ад, ад)) = 0, причем эта функция у = f(x\,X2)
дифференцируема в окрестности .
Доказательство этой теоремы аналогично данным ранее доказа-
тельствам соответствующих теорем о неявной функции. Заметим,
что дифференцируя тождество F (ад, ад, /(ад, ад)) = 0 получим
dF 1 dF 1 dF 7Т „
-— dx± + -— dx2 + — df = 0 ,
их± (УХ2 оу
откуда
8F
df = _TE2-dX\ — — dx2 •
J а 771 1 gp
ду
8F
дх±
8F
ду
систем уравнений. Пусть
, заданные в некоторой
Теорема о неявной функции для
л л г ( и = F(x, у, z)
даны две функции <
окрестности О3(ад, ?/сь ^о) точки (ад,7/о5^о) и пусть
f F(xo,yo,zo) = О
[ G(xo,yo,zo) = 0
Пусть в этой окрестности функции F и G имеют непрерывные
первые частные производные и
J(x0,y0,z0) 0.
Тогда существует такая окрестность О1(хо) точки хо , что в
f F(x, у z) = 0
этой окрестности система уравнении < у _ q имеет
( у — f (а?)
единственное решение < _ / \ , удовлетворяющее условиям:
( z 9\х)
281
1) Уо = Що); z0 = g(x0);
2) F(x,f(xfg(x)) = 0; G (ж, /(ж), g(xf) = 0 ;
3) функции fug имеют в окрестности O1(xq) непрерывные
производные.
Доказательство. Так как якобиан ТДо, ж ^о) 7^ 0,
то по крайней мере одна из частных производных или в
точке (хо,2/о,^о) отлична от нуля. Пусть (757)0 0. Рассмотрим
уравнение G(x, у, z) = 0 . По обобщенной теореме о неявной функ-
ции существуют такая окрестность 02(жо,2/о) и единственная опре-
деленная в ней функция z = h(x,y) , удовлетворяющая следующим
условиям:
1) Zo = Цхо.уо) ;
2) G (х, y,h(x, у)) = 0 в окрестности 02(xq,2/o);
3) функция h(x,y) имеет непрерывные частные производные
в окрестности О2(хо,2/о)« Заменяя в системе второе уравнение
равносильным ему z = h(x, у) , получим равносильную систему
f F(x, y.z) = 0 т-г 7 / \
< • Подставив z = п\х,у) в первое уравнение, полу-
( F (х, у, h(x, 7/)) = 0
чим систему < 7 / 7
[ Z = ДД, У)
Введем вспомогательную функцию Ф(х,?/) = F (х, y,h(x, у)) .
Так как
Ф(х0,2/о) = F (хо,уо, Цхо.уо)) = F(xo,yo, г0) = 0 ,
то условием разрешимости уравнения Ф(х,?/) = 0 будет условие
0 * Вычислим частную производную . Для этого про-
дифференцируем по у равенство Ф(х, у) = F (х, у, h(x, у)) :
дФ _ dF dF dh
ду ду dz ду ’
Так как G (х, y,h(x, у)) = 0 , то дифференцируя это уравнение по
у, получим
dG dG dh
Щ----1-о-— 0 •
оу OZ оу
9G
Отсюда у1 = — . Подставив это значении в выражение для ,
~dZ
282
получим
дФ = dF _ dF Л = = Ж т/, г)
ду ду dz dG dG dG_ '
dz dz dz
По условию J(xo,2/o,^o) Ф 0 и (|^)0 ф 0 и значит, ф 0 в
окрестности О2(а?о,2/о) • Следовательно, существуют такая окрест-
ность Ох(а?о) и единственная функция у = /(х) , для которой
т/о = /(а?о) , F (ац/(х), h (ац/(х))) = 0, причем функция f имеет
непрерывные частные производные в окрестности Ох(а?о) . Теперь
( у = f(x)
наша система примет вид < _ 7 / \ ? откуда
Z — Г1уХ^ у)
У = f(x)
z = h(x,f(x)) = g(x)
По теореме о дифференцируемости сложной функции функция g
имеет в окрестности О1 (xq) непрерывную частную производную
д'. Кроме того,
/Цо) = Уо, д{хо) = h(x0, f(x0)) = h(x0, Уо) = z0 .
Подстановкой можно убедиться, что в О1 Цо)
ГЦ,/Ц),уЦ)) = О
ЦЦ,/Ц),уЦ)) = О
Пусть отображение (ад, ад) (УъУъ) задается с помощью
. „Г ?/1=/(аД,ад) ( f(x^X2)=yi -л-
функции | у2 = д{хъХ2) , причем {д^хо)=уо -Применим
теорему о неявной функции к системе
Пусть
F = f(x1,x2) - yi = 0
G = g{x]_,x2) - y2 = 0
J(xi,x2) =
df df
dx± dx2
dg dg
dxi 9x2
DU,g)
D(x1,x2) '
Тогда получим в качестве следствия следующую теорему.
Теорема о существовании обратной функции. Пусть функ-
ции f^g G С1 (О2(а?5,а:^)) и в окрестности О2(х5,а?2) якобиан
283
J(x\,X2) 0. Тогда найдется О^х^х®) такая, в которой су-
ществуют единственные обратные функции < Ж1 _ .
Е2(х1,х2)
Е2(уъУ2)
Рис. 12.10. Теорема об обратной функции.
2 семестр
Лекция 27
(12.05.68)
§ 58. Дополнение к теории экстремума
функций многих переменных
Для функций одной переменной, заданной на отрезке, мы уже рас-
сматривали задачу о нахождении абсолютного экстремума (см. § 32
с. 133). Рассмотрим теперь эту задачу для функции двух перемен-
ных z = f(x,y) , определенной в некотором замкнутом множестве
D с внутренностью D и границей dD . Нахождение абсолютного
экстремума в D , как и в одномерном случае, тоже состоит из двух
задач (рис. 12.11):
Рис. 12.11. Поиск экстремума функции многих переменных.
1) нахождение экстремума в открытой области D ;
284
2) нахождение экстремума на границе dD области D .
Первую задачу мы уже решали для дифференцируемых функций
(см. и. 56.3, с. 272). Здесь можно ограничиться нахождением кри-
тических точек (ад, ?д) , в которых df = 0 , если их конечное число.
Во второй задаче, в отличие от случая функции одной перемен-
ной, граница множества состоит из большого числа точек и метод
простого перебора граничных точек здесь применить нельзя. Ес-
ли граница области гладкая, то можем ее представить уравнением
F(x,y) = 0, где F е CX(D) . Тогда задача 2) - это задача на-
хождения экстремума функции z = f(x,y) при условии, что ее
переменные связаны уравнением F(x, у) = 0 , (х, у) е dD . Эта
задача называется задачей на условный экстремум. Если граница
области задается с помощью нескольких уравнений Fi(x,y) = О
(г = 1, 2,..., F) , то ’’идем по размерности вниз т. е. исследуем на экс-
тремум функцию z = f(x,y) сначала в открытой области D , затем
на линиях Fifxiy) = 0, затем в концевых точках Aj этих линий
(рис. 12.11).
Рис. 12.12. Приближение области многоугольником.
Отметим, что для линейной функции f(x,y) = ах + by методы
дифференциального исчисления для поиска экстремума не приме-
нимы, и область D , не являющуюся многоугольником, приближен-
но заменяют многоугольником (например, с 10 - 20 вершинами)
(рис. 12.12).
Рассмотрим теперь задачу нахождения условного экстремума.
58.1. Условный экстремум
Пусть имеется функция z = f(x,y) при наличии уравнения связи
F(x, у) = 0 . Будем считать, что уравнение F(x, у) = 0 удовлет-
285
воряет тем условиям, которые были сформулированы в теореме о
существовании неявной функции. Если разрешить относительно у
уравнение F(x, у) = 0 , то получим уравнение у = р>(х) , откуда
z = / (х, (Да?)) = 'Дх) . Критические точки находятся из уравнения
г/У(х) = 0 , т. е. из уравнения
Производную <р'(х) можно найти, продифференцировав уравнение
F (х, Дх)) = 0 :
Таким образом, мы получим систему
F(x, у) = О
Здесь число уравнений увеличилось, так как значение ср' в крити-
ческой точке можно рассматривать как новую неизвестную. Отно-
сительно р/ система линейна.
Предположим, что Д- Д 0 . Тогда из второго уравнения р? = .
Отсюда получим систему для нахождения критических точек, не
решая уравнения связи
6/6F _ dfdF _ п
дх ду ду дх
F(x, у) = О
58.2. Метод множителей Лагранжа
Этот метод сводит задачу на нахождение условного экстремума к
уже знакомой задаче на безусловный экстремум. Для нахождения
условного экстремума исследуют на экстремум вспомогательную
функцию трех переменных - функцию Лагранжа
у, А) = f(x, у) + XF(x, у).
286
Для нахождения критических точек (см. и. 56.3) надо решить си-
стему 1=0, f =0, 1=0,т.е.
1 + А1=0
ОХ ох
< 1 + А^ = 0
ду ду
„ F(x,y) = 0
Как и в предыдущем пункте, мы получили систему уравнений
для нахождения условного экстремума (критических точек), толь-
ко здесь вместо yf стоит А . Если исключить А из этой системы, то
получается в точности та система уравнений, которая фигурирует
в конце предыдущего пункта.
В случае нескольких уравнений связи поступаем аналогичным об-
разом. Пусть имеется функция Z = /(^1, ..., Хп, 2/1, ..., ут) от п + т
переменных, причем известно, что ее переменные удовлетворяют
т уравнениям связи
Е1 (тд,..., Хп2/1, ..., Ут) = 0 ,
ЕД (.1’1,..., Хп, 2/1, • • •, Ут) — 0 •
Предположим, что все уравнения связи удовлетворяют условиям
существования неявной функции. Рассмотрим функцию Лагранжа
Ф = / + AiEi + ... -h AmEm .
Докажем, что для нахождения критических точек надо решить си-
стему
' 1=0 (г = 1,...,п)
* С’ = 0 0' = 1>->т)
, Fj = ° (j = Г
Мы знаем, что уравнение, определяющее критические точки, есть
dz = 0 , т. е.
df 1 df 1 df 1 df 1
—— dx± + ... + —— dxn + —— dy± + ... + —— dym — 0 •
е/Xi dxn dy± dym
287
Продифференцируем уравнения связи:
дРг 1 дРг 1 дРг 1 дРг 1
-—ахг + ... + -—dxn + -—ф1 + ... + -—dym = О,
е/Xi дхп дуг дут
dFm , , дРт . , дРт . , , дРт . _п
—— dx\ + ... + —— dxn Н—-— dy\ + ... + —— dym — 0 .
е/Xi дхп дуг дут
Умножив первое уравнение на Ai,... , последнее на Ат и сложив
с уравнением, написанным выше, получим
/а/ х а^1 ( "о h Ai —— Л dFm\ 1 dx\ -|- ...+
Т ... Т Am—— I
у дхг дхг дх\ j
( df Л Т ( д h Ai —— | ... | /Лутт, „ 1 dx^ T
у dxn dxn [ df Л 6>Fi T ( д h Ai д— dxn j + +А FP\ “Г ... “Г Z<rn 1 ф/i -|- ...+
Уду! дуг ( df Л 6>Fi T ( д H Ai д— oyi ) + +А dFm j ^Ут = 0 •
\ dym dym dym ,
Приравняв к нулю коэффициенты перед dy±,..., dym , получим ли-
нейную систему уравнений относительно Ai,..., Am . Определитель
этой системы есть якобиан 7^ 0 . Тогда существуют та-
кие Ai,..., Ат , что
df Л дРг Л dFm „
д----h Ai —-h ... + Arn—- — 0 .
dym dy
m oym
Так как dxi,..., dxn - дифференциалы независимых переменных,
то из уравнения dz = 0 следует
Добавив к этим уравнениям предыдущие уравнения связи, мы и
получим систему, состоящую из п + т + т уравнений с п + 2т
288
неизвестными ад,..., хп , yi,..., ут , Ai,..., Am , указанную вы-
ше. При этом уравнения связи могут быть записаны в более сим-
метричном виде = 0, j = 1,..., m .
2 семестр
Лекция 28
(17.05.68)
58.3. Достаточные условия экстремума
неявной функции
Пусть задана функция z = /(ад,..., ад, ?д,..., у™) , причем
^(аД, ...,аД,7Д, ...,7/т) =0 (/ = 1, .
Нами была введена функция Лагранжа
Ф = / + AiFi + ... + XrnFrn
и было доказано, что критические точки
(то о о 0 >0 \0 \
\*Л, "ч У 1ч "ч Ущч 'Ч ч "ч ^т)
находятся из системы
^=0 (г = 1,...,п)
* С’ = 0 0' = 1>->т)
. Fj = ° С? = i>
Исследуем второй дифференциал d2 f = </2Ф в критической точке.
Пусть Xj - те числа, которые удовлетворяют выписанной выше
системе. Имеем:
й2Ф = d2f + А1С/2Ч + ... + Xmd?Fm ,
/ д д -—dxx + ... + — dyx + .. \dxi оу\ • I f + я— d yi + . / dyi
с/2Д = С д д 1 ——dx± + ... + ——dy± + ... удхг дуг \ 2 dFj л Fi + ^-d Уг + J dyi
289
Отсюда
,2. Д , д , \2
\дхх дух J
( df ч dFx
+ ( я---1” ----1” " ’
\дух дух
dFm 2 ।
—— d ух + ... = О.
дух J
df , . dFx , , . dFm _ дФ
----г ^1 —---г ----- — 7J
&У1 (dyi дут (dyi
и значит,
,2л. ( д J д J V
й2Ф= -—dxi + ... + — dyi + ... Ф.
\ d'Xi иу\ J
В этой формуле, так как d2 f = с/2Ф , надо учесть уравнения свя-
зи. Продифференцировав уравнения связи, найдем выражение dyj
через dxi . Исследуя получившуюся квадратичную форму на зна-
коопределенность, получим достаточные условия условного экстре-
мума как в пункте 56.3.
58.4. Дополнения к достаточным условиям
абсолютного экстремума
Пусть z = /(ад,..., хп) . Изучим поведение второго дифференциала
(^2/)0 в критической точке. Имеем
А/ = ЦД/)0 + о(р2)} ,
где р2 = (dxi)2 + ... + (dxn)2 , 0 < 0 < 1 . Если квадратичная форма
строго положительна, то и приращение Д/ строго положительно.
Лемма о квадратичных формах. Пусть квадратичная форма
п п
ЕЕ dklXkXl = Ф(х)
к=11=1
строго положительная, т.е. Ф(х) >0 при всех х 0 . Положим
|х|2 = xl + ... +х2 .
290
Тогда существует такое число С > 0 , что Vх Ф(х) > С |х|2 .
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем |х| = 1,
так как &(tx) = /;2Ф(х) , |£х|2 = t2 |х|2 . Функция Ф(х) Е С(Еп) .
Множество |х| = 1 - сфера радиуса 1 - замкнутое ограниченное
и следовательно, компактное в евклидовом пространстве множе-
ство. По теореме о непрерывной на компактном множестве функ-
ции Ф(х) достигает на единичной сфере своего минимального зна-
чения. Значит, найдется точка то , |xq| = 1, такая, что
min Ф(х) = Ф(жо) = С > 0.
|х| = 1
Тогда Vx , |х| = 1, Ф(х) > С. ►
58.5. Функциональная зависимость
Пусть
У1 = /1О1,х2,жз),
У2 = Л>О1,Х2,Жз) ,
Уз = /з(^1,Х2,Хз)
- функции, заданные на некотором множестве D3 . Когда уз -
линейная функция у% = Ау± + By 2 , мы имеем простейший вид
функциональной зависимости - линейную зависимость. Пусть
х° = 04 х°2, Ж°) е D3, у^Ых0), У2° = /2(А У° = (<У2°) .
Если для какой-нибудь из функций yi , например, для у % , суще-
ствует функция Ф(т/1,7/2) 5 определенная в окрестности О2 (?/0) та-
кая, что для любого х из некоторой окрестности О3(х°)
УЗ = /з(^1,Х2,Хз) = Ф (Л(Ж1,Х2,Хз),/2(Х1,Х2,Хз)) ,
то будем говорить, что между функциями щ, ?/2, у % существует
функциональная зависимость, именно, что /3 выражается через
fi и f2.
Если функции /ь /2, /з е D (О3(ж°)) и Ф(у1,у2) е D (О2 (у0)) ,
то будем говорить, что эта функциональная зависимость гладкая,
именно, что /3 гладко выражается через fi и /2 .
Теорема. Необходимое и достаточное условие гладкой
функциональной зависимости. Пусть fi, /2, fsED (О3(х°)) .
291
Тогда для того, чтобы между функциями fi, /2, /з существова-
ла гладкая функциональная зависимость, необходимо и достаточ-
но, чтобы якобиан J = = 0 в некоторой окрестности
О3(х°).
Доказательство. Необходимость. Пусть существует
функция Ф(т/1,7/2) 5 определенная в окрестности О2 (?/0) такая, что
для любого х из окрестности О3(х°)
Уз = /з(Ж1,Х2,Ж3) = Ф (Л(Ж1,Х2,Жз),/2(Ж1,Х2,Жз)) = Ф(т/1, Т/2) .
Тогда для г = 1, 2, 3
ад = ат ад + ат ад
dxi дуг dxi ду2 dxi ’
Здесь коэффициенты не зависят от i. Следовательно,
третья строка якобиана
линейно выражается через две предыдущие строки с коэффициен-
тами . По свойствам определителей отсюда следует, что
j = о.У1
Достаточность. Пусть известно, что J = 0 в окрестно-
сти О3(х°) . Допустим, что ранг матрицы якобиана равен 2 и, для
определенности, пусть
ад ад_
дх± дх2
dfz df2
дх± дх2
ДО \/ х Е О3(х°) . Тогда, по
известной теореме о ранге матрицы из линейной алгебры, третья
строка якобиана линейно выражается через первые две. Рассмот-
рим уравнения
/1О1,х2,жз) - У1 = о
/2(Д1,Х2,Жз) -2/2=0
По теореме о неявной функции эта система эквивалентна системе
Х1 = ^1(х3,щ,?/2)
х2 = ^2(^3,2/1,//2)
292
Продифференцируем тождества
по хз и получим
Тогда и
/1(^1, ^2, Х3) = ?/1
/2(^1, ^2, Хз) = У2
ад. ду>1 + ^. д^р2
дх± дх3 дх2 дх3 дх3
dfo. dtpi д^р2 %
дх\ дх3 дх2 дх3 дх3
df3 dtpi % . ^£1
дх\ дх3 дх2 дх3 дх3
как линейная комбинация двух предыдущих строк. Но
Уз = /з (<^1(ж3, 7/!, 2/2), <^2(ж3, 3/i, 2/2), Жз) = ф(х3,у1,у2)
дФ_ = df3 . dtp! + df3 . dy>2 + д/з
дхз дх\ дхз дх2 дхз дхз
Следовательно, = 0 . Тогда уз - это функция лишь перемен-
ных щ , 2/2 , т.е. уз = Ф(//1,2/2) •
Если все миноры якобиана второго порядка равны нулю, то
все его строки пропорциональны и функции 2/г выражаются через
какую-нибудь одну из них, например, через 2/1 5 с помощью выра-
жения вида 2/г = CLiyi + . Это и будет искомая функциональная
зависимость в данном случае. ►
293
Литература
[1] Валле-Пуссен де ла Ш.-Ж. * 3) Курс анализа бесконечно ма-
лых. T.I. - Петроград: Гостехиздат, 1922.
[2] Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и
упражнения по математическому анализу. - М.: Издательство
Московского Университета, 1988.
[3] Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. - М.:
Мир, 1967.
[4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. - М.: Наука, 1989.
[5] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 2 т. - М.:
Высшая школа, 1981.
[6] Ландау Э. * Основы анализа. - М.: Государственное издатель-
ство иностранной литературы, 1947.
[7] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: На-
ука, 1971.
[8] Погорелов А. В. * Лекции по дифференциальной геометрии. -
Харьков: Наука, 1956.
[9] Рудин У. * Основы математического анализа. - М.: Мир, 1957.
[10] Фихтенгольц Г. М. * Основы математического анализа. В 2 т.
- М.: Наука, 1964.
3) Знаком " * "отмечена литература, рекомендованная С. Б. С. на лекциях.
(Ред.)
294
[11] Фихтенгольц Г. М. * Курс дифференциального и интегрально-
го исчисления. В 3 т. - М.: Наука, 1969.
[12] Хинчин А. Я. * Краткий курс математического анализа. - М.:
Гостехиздат, 1957.
[13] Шибинский В.М. Примеры и контрпримеры в курсе матема-
тического анализа. - М.: Высшая школа, 2007.
295
Предметный указатель
Больцано - Вейерштрасса
лемма, 55, 56, 76
Буняковского
неравенство, 214
Валле-Пуссена
доказательство, 255
Вейерштрасса
принцип непрерывности,
33, 54
теорема, 243
Гейне
последовательность, 50
предел, 51
Гейне - Бореля
лемма, 57
Дарбу
критерий интегрируемос-
ти, 168
свойство, 78
сумма, 164
формулы, 165
Дедекинда
принцип непрерывности,
31
Дирихле
функция, 67, 174
Дюбуа - Реймона
критерий интегрируемос-
ти, 172
Кантора
принцип непрерывности,
35
теорема, 35, 86, 171
Канторова диагональ, 29
Канторово
множество, 172
Коши
критерий, 58, 59
непрерывность функции,
62
неравенство, 214
последовательность, 58
предел, 40
теорема, 108
формула Тейлора, 118
Коши - Буняковского
неравенство, 213
Лагранжа
метод, 286
многочлен, 198
теорема, 105
форма
остаточного члена,
115-117,137, 269, 271
формула, 106
функция, 286
Лейбниц, 89
Лейбница
формула, 102
Липшица
условие, 91, 184, 200
Лопиталя
правило, 109
296
Минковского
неравенство, 215
Ньютон, 90
Ньютона
бином, 49, 119
Пеано, 117
Римана
интеграл, 161
критерий интегрируемос-
ти, 169
функция, 180
Римана - Стильтьеса
интеграл, 201
суммы, 201
Ролля
теорема, 105
Симпсона
формула, 199
Тейлора
многочлен, 112
формула, 110, 112, 114,
117, 118, 137, 192,
269, 271
для вектор-функции,
137
Ферма
теорема, 104
Френе
формулы, 146, 148
Хаусдорф
множество связное, 246
Чебышёва
формулы, 194
Шварца
теорема, 265
Юнга
теорема, 263
архимедовость, 31
асимптотическое равенство,
60
билинейная
функция, 136
билинейность, 136
бином Ньютона, 49, 119
вариация
ограниченная, 199
вектор-функция, 135, 224, 257
дифференцируемость,
137
вогнутость, 128
выпуклость, 127
главная нормаль кривой, 146
грань
верхняя, 77
функции, 48
нижняя, 77
дифференциал, 98, 267
вектор-функции, 257
второй,103, 268
дуги, 206
первого порядка
инвариантность, 261
функции, 90, 252
дифференцируемость
вектор-функции,137
297
неявной функция, 277
функции, 252
длина, 171
кривой, 202, 204
множества, 171, 176
евклидово
пространство
угол, 215
расстояние, 213
евклидово пространство, 213
задача
интерполяции,111
о квадратурах, 151
интеграл
Римана, 161-163, 178
Римана - Стильтеса, 201
критерий, 167
критерий Дарбу, 168
критерий Дюбуа - Рей-
мона, 172
критерий Римана, 169
неопределенный, 155, 157
определенный, 161, 172,
188
вычисление, 173, 194
приложения, 191, 207
сумма Дарбу, 164
сумма Римана, 161
функция предела
интегрирования, 184
интегральная
сумма, 161
интегрирование
замена переменной, 158
по частям, 158, 189
подстановка, 188
интерполяция,111,198
касательная, 90, 93, 141
к кривой, 141
плоскость, 252
квадратурная
формула, 194
колебание функции, 65, 199
в точке, 170
на множестве, 65
компактность, 55, 234
относительная, 234, 235
континуум, 37
кривая, 139
главная нормаль, 146
дифференциал дуги, 206
естественный
трехгранник, 148
кривизна кривой, 144
круг кривизны, 146
кручение кривой, 147
основной триэдр, 148
параметризация, 139
нормальная, 144, 206
соприкасающаяся
плоскость, 142
спрямляемая, 202
эвольвента кривой, 147
эволюта кривой, 147
элементарная, 139
кривизна кривой, 144
критерий
Дарбу, 168
Дюбуа - Реймона, 172
Коши, 58, 59
Римана, 169
непрерывности
монотонной функции,
66
существования предела,
57
298
круг кривизны кривой, 146
кручение, 147
абсолютное, 147
лемма
Больцано - Вейерштрас-
са, 56, 76
Гейне - Бореля, 57
метрическое пространство,
212
многочлен, 84, 110
Тейлора, 112
интерполяционный
Лагранжа, 198
множеств
система
центрированная, 237
множества, 28, 219, 222
верхняя граница, 33
верхняя грань, 34
максимальный элемент,
33
мощность, 28
на числовой прямой, 73
нижняя грань, 34
отделимые, 245
покрытие, 56
простейшие, 32
равномощные, 28, 29
множество, 14, 218
Канторово, 172
внешность, 218
внутренность, 218
всюду плотное, 219
граница, 219
длина множества, 171
замкнутое, 39, 134, 219,
225, 226, 236
звездное, 269
клетка, 238
компактное, 234, 236, 240
мощность, 219
несчетное, 28
ограниченное, 33, 222,
240
открытое, 39, 134, 219,
225, 226, 234
производное, 39, 219
связное, 73, 246
по Хаусдорфу, 246
счетное, 28
точечное, 38
монотонность
функции, 121
мощность, 219
множества, 28, 219
непрерывности принцип, 31,
33, 54
непрерывность
определение
секвенциальное, 68
по Коши, 62
равномерная, 243
функции, 65, 72, 231, 232
в точке, 62
монотонной, 66
обратной, 80
равномерная, 85
сложной, 71
функций
элементарных, 84
неравенство
Буняковского, 214
Коши, 214
Коши - Буняковского,
213
299
Минковского, 215
треугольника, 212
норма
отображения, 249
нормальная параметризация
кривой, 144
окрестность точки, 134, 217
оператор, 102
дифференцирования, 102
остаточный член, 113, 114,
117, 118, 137, 192,
269, 271
в форме
Коши, 118
Лагранжа, 115-117,
137, 269, 271
Пеано, 117
интегральной, 192
формулы Тейлора, 113,
114, 117, 118, 137,
192, 269, 271
отображение, 28
взаимно однозначное, 28
дифференцируемое, 262
линейное, 249
непрерывно дифферен-
цируемое, 263
непрерывное, 233, 242,
247
обратное, 244
отрезок, 135
первообразная, 153, 154
плоскость, 142
соприкасающаяся, 142
площадь, 151
вычисление, 191
подпоследовательность, 222
покрытие множества, 56
порядковое равенство, 60
последовательность, 50
Коши, 58, 222
в п -мерном
пространстве, 136
сходящаяся, 57, 136, 222,
223
точек, 222
последовательность отрезков,
54
правило
Лопиталя, 109
предел
вектор-функции, 224
замечательный
первый, 46
критерий существования,
57
односторонний, 46
определение
секвенциальное, 51
отображения, 224
по Гейне, 51
последовательности, 41,
58, 222
верхний, 58
нижний, 57
функции, 40, 59
двойной, 227
многозначной, 42
повторный, 227
предела
определение
окрестностное, 40
по Коши, 40
предельное значение, 55
предикат, 19
примитивная, 153
300
принцип непрерывности, 35
производная, 90, 97, 99, 200
вектор-функции, 136
вторая, 101
левая, 108
правая, 108
сложной функции, 97
смешанная, 263
частная, 250, 263
пространство
п -мерное, 134, 214
п-мерное, 223
евклидово, 213, 215, 223,
240, 249
п-мерное, 214
метрическое, 212, 216,
218, 222, 226
компактное, 242
отображение, 224
неполное, 223
несвязное, 245
полное, 223, 241
связное, 245
сепарабельное, 219
равенство
асимптотическое, 60
порядковое, 60
расстояние, 213, 215
евклидово, 213
сепарабельное
пространство, 219
скалярное
произведение, 214
скалярное произведение, 213,
226
соприкасающаяся
плоскость, 142
сумма
Дарбу, 164
сходимость
покоординатная, 223
теорема
Вейерштрасса, 243
Кантора, 35, 86, 171
Коши, 108
Лагранжа, 105
Ролля,105
Ферма, 104
Шварца, 265
Юнга, 263
о максимальном
значении, 248
о промежуточных
значениях, 248
о среднем,180,182
отделимости, 33
точка
внешняя, 38, 218
внутренняя, 38,134, 218
граничная, 38, 134, 218
изолированная, 39, 218
критическая, 273
множества, 218
открытая, 134
перегиба, 129
предельная, 39, 134, 218,
238
разрыва, 62, 63
второго рода, 64
неустранимого, 64
первого рода, 64
устранимого, 64
угол, 215
между векторами, 215
301
условие
Липшица, 91, 184
формула
Лагранжа, 106
Лейбница, 102
Симпсона, 199
Тейлора, 110, 112, 114,
117, 118, 137, 192,
269, 271
для вектор-функции,
137
локальная,112
квадратурная,194
конечных приращений,
106
основная интегрального
исчисления, 188
парабол, 199
прямоугольников, 195
трапеций,195
формулы
Дарбу, 165
Френе, 146, 148
Чебышёва, 194
функции
неявные, 279
функциональная зависи-
мость, 291
функция, 20
О большое, 60
Дарбу свойство, 78
Дирихле, 67, 174
Лагранжа, 286
Римана, 180
бесконечно малая, 60
билинейная, 136
вогнутая, 129, 131
в точке, 129
на интервале, 131
возрастающая, 48, 79
выпуклая, 128, 129, 131
в точке, 129
на интервале, 131
гладкая, 91
грань
верхняя функции, 48
двух переменных, 250
дифференциал функции,
90, 252
дифференцируемая, 90,
91, 98, 252
интегрируемая, 163, 173,
181
исследование,120
колебание
в точке, 65
на множестве, 65
по разбиению, 199
многозначная, 24, 160
многочлен, 84
монотонная, 48, 66, 79,
121, 175
непрерывная, 62, 65, 66,
68, 71, 74-77, 80, 84,
171, 174, 231, 243
на множестве, 72, 232
на отрезке, 87
непрерывное, 247
неявная, 274, 277
обратная, 24, 25, 79, 80,
98, 244
ограниченная, 76
ограниченной
вариации,199
однозначная, 21
первообразная, 153
подынтегральная, 155
302
показательная, 82
постоянная, 120
производная функции, 90
равномерно непрерыв-
ная, 85, 243
разрывная, 62
рациональная, 84, 159,
186
сложная, 26, 97, 181, 231,
256, 260
способы задания, 22
степенная, 84, 100
тригонометрическая, 84,
99
убывающая, 79
условие постоянства, 120
характеристическая, 175
экстремум, 123, 272
условный, 285, 289
элементарная, 27, 82, 99,
159
частные
производные, 256
числа, 30, 31
действительные, 30, 32,
73, 219
множества, 32
мощность, 37
полнота, 31
принцип Дедекинда, 31
принципы непрерывно-
сти, 31
сечение, 31
натуральные
счетность, 35
рациональные, 30, 219
архимедовость, 31
неполнота, 31
упорядоченност, 31
число
е, 49
эвольвента кривой, 147
эволюта кривой, 147
экстремум
функции, 272
экстремум функции, 123
условный, 285, 289
якобиан, 279
303
Лектор Стечкин Сергей Борисович
Редакторы Радославова Татьяна Васильевна,
Холщевникова Наталья Николаевна
ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНА-
ЛИЗУ. Том I.
М., Издательство попечительского совета механико-математичес-
кого факультета МГУ, 2012 - 304 с.
Оригинал макет изготовлен издательской группой
механике-математического факультета МГУ
Подписано в печать 21.12.2011 г.
Формат 60 х 90 1/16. Объем 19 и.л.
Заказ 2 Тираж 200 экз.
Издательство попечительского совета механико-математического
факультета МГУ
г. Москва, Ленинские горы.
Отпечатано на типографском оборудовании механико-математичес-
кого факультета
Сергей Борисович Стечкин
(1920 - 1995)
Круг научных интересов доктора физико-математических на-
ук, профессора С. Б. Стечкина был весьма широк. Это классиче-
ские задачи по теории приближения функций, теории тригономет-
рических и ортогональных рядов, задачи по приближению неогра-
ниченных операторов ограниченными и геометрические задачи тео-
рии приближений, исследования по теории чисел.
Помимо основной работы в Математическом институте им.
В. А. Стеклова, С. Б. Стечкин вел большую педагогическую рабо-
ту в Московском и Уральском государственных университетах, его
лекции пользовались неизменным успехом у слушателей. Многие
его ученики стали известными учеными.
В 1957 - 1967 годах С. Б. Стечкин был заместителем директора
МИАН по Свердловскому отделению, созданному при его активном
участии, затем СОМИ было преобразовано в Институт Математи-
ки и Механики Уральского Отделения РАН. В 1967г. С. Б. Стечкин
организовал журнал ’’Математические заметки”и первые двадцать
лет был его главным редактором. Вот уже скоро четыре десятка
лет проводятся летние научные математические школы С. Б. Стеч-
кина, сначала под его руководством, а с 1996 под руководством его
учеников.