Автор: Шварцбурд С.И. Ивлев Б.М. Саакян С.М.
Теги: алгебра математический анализ функциональный анализ дидактические материалы
ISBN: 5-09-002871-0
Год: 1990
Текст
БМИВЛЕВ СМ СААКЯН СИ ШВАРЦ6УРД
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ ПОАЛГЕБРЕ
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
ДЛЯ 10 КЛАССА
Указатель учебного материала, соответст-
вующего содержанию самостоятельных работ
Глава I
«Тригонометрические функции»
Содержание учебного материала Пункты учебного пособия Номера соответ- ствующих самостоя- тельных работ
Тригонометрические функции числового ар- гумента 1,2 С — 1 по С — 5
Функции и графики Четные и нечетные функции. Периодичность 3 С — 6
тригонометрических функций 4 С — 7, С — 8
Возрастание и убывание функций. Экстремумы 5 С —9, С—10
Исследование функций Свойства тригонометрических функций. 6 С — 11
Гармонические колебания 7 С — 12
Арксинус, арккосинус и арктангенс 8 С — 13
Решение простейших тригонометрических уравнений Решение простейших тригонометрических 9 С - 14, С — 15
неравенств 10 С 1G
Примеры решения тригонометрических урав- нений и систем уравнений 11 С — 17 по С —20
Б. М. ИВЛЕВ
С. М. СААКЯН
С. И. ШВАРЦ БУРД
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛ Ы ПО АЛГЕБРЕ
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
ДЛЯ ID КЛАССА
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1990
®БК 22.14я72
И25
Рецензент:
учитель-методист школы № 67 Москвы
Л. И. Зяавич
Ивлев Б. М. и др.
И25 Дидактические материалы по алгебре и началам анализа
для 10 класса:/Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварц-
бурд.— М.: Просвещение, 1990.— 176 с.: ил.— ISBN
5-09-002871-0.
Дидактические материалы предназначены для учащихся средней
школы в качестве дополнительного пособия. Тексты самостоятельных ра-
бот даны в соответствии с действующим учебником «Алгебра и начала
анализа, 10—11».
И
4306010000—623
103(03)—90
письмо Гособразования СССР
ББК 22.14я724-22.161 я72
ISBN 5-09-002871-0
© Ивлев Б. М., Саакяи С. М.,
Шварцбурд С. И., 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии содержатся самостоятельные и контрольные работы
по алгебре и началам анализа, проверочные работы по курсу X
класса, материал для итогового повторения и программирован-
ного контроля и карточки-задания для зачетов.
. Самостоятельные работы обозначаются буквой С с соответст-
вующим номером. Например, С-3 — это третья самостоятельная
работа. Обычно самостоятельные работы рассчитаны примерно на
10—15 мин. Они дают представление об уровне усвоения мате-
риала и выполняют большую обучающую роль. Самостоятельные
работы могут быть проведены на различных этапах урока с
последующим обсуждением результатов на том же уроке. Это
полезная форма работы для выработки навыков решения основных
типов задач. Проведение таких работ может носить контролирую-
щий характер. При этом работы учащихся проверяются учителем
после уроков. В журнал могут быть выставлены не все оценки.
Некоторые самостоятельные работы содержат материал по
2—3 пунктам учебного пособия. Такие самостоятельные работы
могут быть использованы учителем на одном или двух уроках
в соответствии с его поурочным планом.
По усмотрению учителя любая из работ может быть предло-
жена учащимся не полностью.
Работы («С») даны в 10 вариантах. Первые два из них, как
привило, несколько легче остальных вариантов. Последние два
варианта содержат задания повышенной сложности. Они могут
быть использованы для работы с учащимися» проявляющими
повышенный интерес к математике. Эти задания могут быть
Даны таким ученикам после выполнения ими основной работы
наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или
Использованы в качестве необязательных заданий для домашней
работы, а также на занятиях математических кружков.
Контрольные работы обозначены буквой К с соответствующим
Номером. Некоторые упражнения вариантов 3 и 4 труднее
з
по сравнению с соответствующими заданиями вариантов 1 и 2.
Материал для итогового повторения содержит 8 вариантов.
Здесь представлены все основные типы задач по курсу X клас-
са. Эти варианты заданий могут быть разобраны на уроках и в
связи с этим одновременно повторены соответствующие вопросы
теории. Частично их можно использовать для домашних письмен-
ных работ, в процессе выполнения которых учащиеся приводят
краткие теоретические обоснования, готовятся к выполнению
итоговой двухчасовой работы по курсу X класса. Эта работа
способствует выработке специальных умений и навыков решения
задач, повышению уровня математической грамотности учащихся.
В конце пособия даны ответы к большинству заданий.
Замечания и предложения просим направлять по адресу: Моск-
ва, 129846, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Про;
свещение», редакция математики.
Авторы
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ (С)
Вариант 1
1. Выразите в радианной мере величины углов 60° и 144°.
2. Выразите в градусной мере величины углов и
3. С помощью таблиц .или калькулятора найдите радианную
меру угла: а) 49°; б) 76°7'. Найдите значения синуса и косинуса
этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла: а) 0,8600; б) 1,2369.
С—2
1. Докажите справедливость равенства
sin4 а — 2 sin* 1 2 3 a cos2 а-bcos4 а
(sin а 4-cos а)2
— 1 —sin 2а.
2. Определите знак выражения:
a) cos 700° tg 380°; б) cos (— 1) sin (—2).
3. Найдите tg а, если известно, что cosa=~, 0<а<-£-.
С—3
1. Вычислите: a) sin(—ctg(—600°).
2. Упростите выражение 14-ctg (л+а) tg(^~—а
3. Докажите тождество
cos (2ал)=cos2 (а—+cos (а+л) sinfa
5
I. Вычислите 4 sin 37вЗ(У cos 37°30' sin 15°.
2. Известно, что cos a =^-, ^-Ca <2л. Найдите cos 2a, tg 2a.
3. Упростите выражение (sin a —cos a)2— 1 +4 sin 2a.
1. Отметьте на единичной окружности точку Ря. Назовите
абсциссу и ординату этой точки. Найдите sin -£• и cos -i-.
2. В какой четверти координатной плоскости расположена
точка Ра, если: а) a=2; б) а- —1,5?
3. Изобразите схематически график функции у=2 sin х. От-
метьте на графике три точки, для которых у=1. Чему равны
соответствующие значения х?
С—6
1. Найдите область определения функции f, заданной форму-
лой: а) f(x)=^; б) f (x)==^/4P-T.
2. Для функции f (*)=(*—I)4 найдите /(2) и
3. Постройте график функции f (х)=3 — 2х—х1 2.
1. Докажите, что функция f (х)=х4 —2x2 —sin23x является
четной.
2. Докажите, что функция f (х)=х3 — Зх+sin 2х является не-
четной.
1. Приведите к значению тригонометрической функции наи-
меньшего положительного аргумента выражение:
а) сов 177°; б) stn 3521е; в) ctg^-.
2. Упростите выражение sin(2%4"4n) — 2 sin (*+л) cos (х — л).
3. Запишите (без доказательства), чему равен наименьший
положительный период функции:
а) f(x)«sin~; б) f(x)=cos 7х; в) f (x) = tg(4*+"7r) •
□ \ О О /
6
С—9
1. Изобразите схематически график функции и, пользуясь
этим графиком, найдите промежутки возрастания и убывания
функции:
a) fW=4-: 6) f(x)=2x2—х.
2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции
у=—sin х.
3. Сравните числа cos Г и cos 3.
С—10
1. Дана функция у=2х—хг. а) Найдите точку максимума и
экстремум функции, б) Начертите ее график, в) Найдите мно-
жество значений х, для которых y<Z—3.
2. Найдите точки максимума и минимума и экстремумы
функции
t/ = —Sin X— 1.
С—11
На рисунке 1 изображен график функции f. С помощью этого
графика запишите свойства f согласно общей схеме иссле-
дования функции.
Рис. 1
7
1. Найдите область определения функции f (х) = —2
2. Для функции у = 2 sin Зх найдите: а) область определения;
б) область значений; в) нули функции; г) точки максимума, ми-
нимума и экстремумы функции. Постройте график функции.
С—13
1. Вычислите: a) arcsin
; б) arccos ( —;
в) arctg 1 + arccos 1; г) sin (2 arccos
2. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
a) arcsin (—0,9); б) arccos 0,179; в) arctg
С—14
Решите уравнение:
a) cos х= —; б)
sin Зх = — 1
в) tg(
Л \ /о
х--)=л/3.
С—15
Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения t удовлетворяют условию:
a) sin/=-|-; б) cos/<-|-; в) tg2f>4.
С—16
Решите неравенство:
a) sin х<^; б) tg 3х>д/3.
£
С—17
Решите уравнение:
а) 2 cos2 х —cos х—1=0; б) 2 cos2 x+2sin х=2,5.
8
С—18
Решите уравнение:
a) sin х =—-\/3cosx; б) sin* 1 2x—4sin х cos x-f-3cos2 x=0.
C—19
Решите систему уравнений
sin2 x-}-cos2 y= 1.
C—20
Решите уравнение:
a) 1—cos2x = sin2x; 6) sin x cos 2x-{-cos x sin 2x=-^-.
C—21
1. Начертите график функции f (x) = 3 — 2x. Выразите прира-
щение функции в точке х0 через х0 и Дх. Найдите Д/(х0), если
хо=1 и Дх=0,2. Дайте иллюстрацию результатов на рисунке.
2. Найдите для функции f(x)=x2 —х. Вы-
числите при Хо=О и Ах=0,1; 0,001; 0,00001. Найдите
Дх
если Хо=0.
С—22
1. Точка движется прямолинейно по закону х(/)=/2+5 (вре-
мя измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите
скорость движения в момент / = 2.
2. Пользуясь определением производной, найдите производную
функции f в точке х, если:
а) /(х)=4 —7х; б)
Л,
9
С—23
Рис. 2
На рисунке 2 изобра-
жены графики функций
y=f (х) и у—g(x).
Ответьте на вопросы в
в каждом из двух случаев,
а) Чему равно значе-
ние функции в точке
х= —1?
б) Существует ли пре-
дел функции в точке
2?
в) Существует ли предел в точке х = — 1 и если да, то чему он
равен? Запишите это символически (в случае, если предел
существует).
С—24
L Известно, что Jim f(x) = 3, limg(x)=—1. Найдите предел
в точке 2 для функции:
a) y=3f (х>— g(x); б> y=3f(x)g* 1 2(x>.
2. Вычислите, пользуясь теоремами о пределах:
a) lim(3x3 —х24-3); б)
С—25
1. Найдите производную функции:
а) /(х)=х®—2д/х; б)
2. Вычислите производные функции f(x)=3x —4х3 в точках
1; 5; х; x-J-2.
3. Решите неравенство f' (х)>0, если f (х)=6х — Зх2.
С—26
1. Найдите производную функции f(x)=100x’°—1Ох100 в точ-
ках х и 1.
2. Решите уравнение f' (х) = 0 и неравенства f" (х)>0 и f' (х)<0
для функции:
a) f (х)=х2 — Зх+ 1;
б) /(*) =
>• —3
2x4-5 '
10
С—27
1. Найдите область определения функции
f (4=
9х2— 1
2. Даны функции f(x)=~ и g(x)=7*. Задайте с помощью
формул функции f <g (х)) и g (f (х)).
3. Найдите производную функции:
а) И4=(4-Зх)100; б) g(x)=7?+L
Найдите производную функции:
а) f (х) = sin 2х — cos Зх;
б) f (x)=tgx — Ctg(x+-J-) ;
С—28
в) f(x) = sin2x.
С—29
1. Запишите промежутки непрерывности функции
/w х(х—2)
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) 2х!-8>0; б) (x-2Xx-f-4)(x-€)<Q в) .<-11^26>0
3x-f-2 х-|-4
С—30
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ-
ции /(х) = х3 + 27 в точке пересечения этого графика с осью
абсцисс.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = 5—“X* 1 2 в точке с абсциссой х —3. Выполните рисунок.
4^
С—31
1. Вычислите приближенно -\Л +0,0008, пользуясь формулой
Л/Т+Д^«1 +v-
Л»
2. Вычислите приближенно значение 1,ОООО7500.
11
С—32
1. Материальная точка движется по прямой по закону s(t)=
= 16/—2/3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени
/=2.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью по, дви-
жется по закону h (/)= tW —где h — путь в метрах, i — время
в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет
тело, если го=6О м/с, g=10 м/с2.
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х)=х+-2-.
Л
2. Найдите критические точки функции у=^х3Ц-6х2—15х — 3.
Какие из этих точек — точки максимума, а какие — точки мини-
мума функции?
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию у= 3х2 — 10x4-3 и по-
стройте ее график.
2. Решите неравенство:
а) х2—17х—18<0; б) 9х2—12х4-4>0.
С—Зв
9 г — 3
Исследуйте функцию f (х)=
1 и постройте ее график*
12
С—37
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
У=т~8x2
на отрезке [—1; 2}
2. Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.
С—38
1. Найдите tgfa—, если известно, что sin а=—,
2. Упростите выражение sin (a+P)+sin (a—
cos a cos p
3. Найдите без таблиц и калькулятора cos 75° +cos 15°.
С—39
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а)
y=sin ~
; б) t/=cos(
г)
; в) y=tg2nx.
С—40
1. Вычислите:
а)
2.
а)
3.
а)
2 arccos^ —; б) arcsin -j= —arctg (—-д/3).
Решите уравнение:
sin
= —1; б) cos2x=sinx.
Решите неравенство:
cos2x<—б) tg(x+^-)>V3.
С—41
Решите систему уравнений
sin x-j-cos у= 1,
2 । • 2 3
COS X + Sin у =— •
13
С—42
1. Решите квадратичное неравенство:
а) 2хг —Зх—5<0; б) х* 1 2 4-4x4-1 >0.
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (к4-2)3 * *(х-3)2(х4-4)<0; б) ® <0.
Лк г ’ г W ,Лк 1 v
С—43
Найдите производную функции: а) у=2х6-}-20^х;
б) y—xctgx; в) y=dg-$-; г) y=cosx2; д)
I л л
С—44
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ-
ции f (x)=cos (x-f-З) в точке с абсциссой х=—3.
2. Вычислите приближенно:
a) 1.OOO7300; б) sin-£- , считая л «3,1416.
С—45
1. Исследуйте функцию f (х)=х34*3х— 5 и постройте ее
график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 4x4--^- на отрезке [0,5; 4J.
3. Материальная точка массой 3 кг движется по прямой
согласно уравнению s(t)=2t3 — 2/4-3 (s измеряется в метрах,
I — в секундах). Найдите действующую на нее силу в момент
времени /=5.
Вариант 2
2.
Выразите в радианной мере величины углов 75° и 168°.
Выразите в градусной мере величины углов ~ и .
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла: а) 31°; б) 86®23г. Найдите значения синуса и ко-
синуса этих, углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла: а) 0,5400; б) 1,4327.
1. Докажите справедливость равенства
sin4 а+2 sin2 а cos2 а + cos4 a-f-sin2 a+cos2 a==2.
2. Определите знак выражения:
а) sin 300° cos 400е; б) sin (—l) cos(—2).
3. Найдите cosa, если известно, что sin a—4~; -^-СаСл.
5 2
С—3
1. Вычислите: а) cos ; б) tg 600°.
2. Упростите выражение 1+tg(n-|-a) ctg(^—a) .
3. Докажите тождество
cos (л—2a)=sin (л — a) cosa) — sin2f a+-^ •
16
1. Вычислите 4 sin 7°30' cos 7°30' sin 75°.
2. Известно, что sina=-^-, 0<aНайдите sin 2a и
25 2
ctg 2a.
3. Упростите выражение (sin a-f-cos a)2 +1 — sin 2a.
1. Отметьте на единичной окружности точку Р я. Назовите
~~з
абсциссу и ординату этой точки, найдите sin( —и cos( —.
2. В какой четверти координатной плоскости расположена
точка Ра, если: а) а = 3; б) а = —1,7?
3. Изобразите схематически график функции y=3cosx. От-
метьте на графике три точки, для которых у =1,5. Чему равны
соответствующие значения х?
1. Найдите область определения функции f, заданной фор-
мулой: а) б) f (x)=V9x2 —4.
ОА ““ ХА
2. Для функции f (х)==(х-Н)6 найдите f (1) и f(-\/x—1).
3. Постройте график функции f(x)=5 — 4х—х2.
1,-Докажите, что функция / (х)=~у * является четной.
* ч
2. Докажите, что функция g (x)=7x3+sin -i- является нечет-
At
ной.
16
1. Приведите к значению тригонометрической функции наи-
меньшего положительного аргумента выражение:
a) tg 139°; б) cos 2743°; в) sin^.
2. Упростите выражение
cos f 4*4—-|-2 sin (2х—л) cos (2х+л).
3. Запишите (без доказательства), чему равен наименьший
положительный период функции:
a) f(x)=cos—•; б) f(x)=tg5x; в) f(x)=sin^-.
Z о
С—9
1. Изобразите схематически график функции и, пользуясь
этим графиком, найдите промежутки возрастания и убывания
функции:
a) б) f(x)=3x+x* 1 2.
2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции
f (x)=4-cos'T-
3. Сравните числа sin 1 и sin 3.
С—10
1. Дана функция у —ЗхЦ-х2. а) Укажите точку минимума и
экстремум функции, б) Начертите ^е график, в) Найдите мно-
жество значений х, для которых t/l>4.
2. Найдите точки максимума и минимума . ц экстремумы
функции
«=-—cos х+1
’5 '
17
На рисунке 3 изображен график функции f. С помощью этого
графика запишите свойства f согласно общей схеме исследо-
вания функции.
С—12
1. Найдите область определения функции f(x) —
1
2 sin Зх
2. Для функции £/=-i-cos2x найдите:
а) область определения; б) область значений; в) нули функции;
г) точки максимума, минимума и экстремумы функции. Постройте
график функции.
С—13
Г) Вычислите: a) arcsin (—0; б) arccos( —1);
в) arctg (— 1) +arcsin (— 1); г) cos^2 arcsin -0 .
2. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
a) arcsin 0,8; б) arccos (—0,273); в) arctg л.
С—14
Решите,уравнение:
a) tgx=—д/3; б) cos22x=l; в) sin =—в
18
II 111 --------------------------— -----—— —
C—15
/Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
жлорых соответствующие значения t удовлетворяют условию:
a) tg/=—3; б) sin/>--57; в) cos2/<-}-.
X "г
С—16
Решите неравенство:
a) cos х> — б) 1.
46 X
С—17
Решите уравнение:
а) 2 sin2 x + sin х— 1 =0; б) 2sin2x—2cosx=-|-.
С—18
Решите уравнение:
a) sin 2х=—cos 2х; б) sin2 х 4-2 sin 2x4-3 cos2 х=0.
С—19
Решите систему уравнений
х—у=я,
cos х—cos </=-\/3.
С—20
Решите уравнение:
а) 1 4-cos 2x=sin 2х; б) sin Зх sin x4-cos Зх cos х= — 1.
19
1. Начертите график функции f(x)=4 —Зх. Выразите прира-
щение функции в точке хо через х0 и Дх. Найдите Д/ (хо), если
Хо= — 1 и Дх = 0»3. Дайте иллюстрацию полученных результатов
на рисунке.
2. Найдите -~для функции f (х)=х2 + х.
Вычислите——при Хо = О и Дх=0,1; 0,001; 0,00001. Найдите
lim » если хо=О.
Дх-*0 ДХ
С—22
1. Точка движется прямолинейно по закону х(/)=100 — t2
(время измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите
скорость движения в момент /=4.
2. Пользуясь определением производной, найдите производную
функции f в точке х:
а) Цх)=5-6х; б) f(x)=-^.
Л
С—23
Рис. 4
На рисунке 4 изображены
графики функций y=f(x) и
£/=g(x). Ответьте на вопро-
сы в каждом из двух случаев.
а) Чему равно значение
функции в точке х=1?
б) Существует ли предел
функции в точке х=0?
в) Существует ли предел
функции в точке х== 1 и если
да, то чему он равен? Запи-
шите , это символически (в
случае, если предел сущест-
вует) .
20
1. Известно, что lim/(x)=—2; limg(x)=5. Найдите пре-
х-*- —3 х-> —3
дел в точке —3 для функции:
а) у=3f (х)—2g (х); б) у=2/* I. 2 (х) g (х).
2. Вычислите, пользуясь теоремами о пределах:
a) lim (х3 *—4х —3); б) lim .
х-^—l х-^2 х2—1
1. Найдите производную функции:
a) f(x)=2x7-|-4^; б)
2. Вычислите производную функции f(x)=2x24-x3 в точках
2; 4; х; х—3.
3. Решите неравенство [' (х)^0, если f (х)—4x-f-2x2.
С—26
1. Найдите производную функции / (х)=50х5 + 5х5° в точках
X и —1.
2. Решите уравнение f' (х)=0 и неравенства f' (х)>0 и f' (х)<0
для функции:
a) f(x)=x2+3x-3; б)
л ।
С—27
I. Найдите область определения функции
2. Даны функции f(x)=
формул функции f (g (х)) и g (f (х)).
3. Найдите производную функции:
a) f(х)=(3 —2х)160; б) g(x)=^/l=P.
и Задайте с помощью
21
Найдите производную функции:
a) f W=cos 2х —sin Зх; б) f (x)=ctg x + tg/x ——
в) f (x) = cos* 1 2 x. 4 j
1. Запишите промежутки непрерывности функции
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) Зх2 — 27 <0; б) (x~iyfr*y~ty>0; в) *~н^22>0-
С—30
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику
функции f (х)=х3 — 27 в точке пересечения этого графика с осью
абсцисс.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x)=2—х2 в точке с абсциссой х=—3. Выполните рисунок.
С—31
1. Вычислите приближенно V1 —0,0016, пользуясь формулой
д/1 + Дх« 1 +
2. Вычислите приближенно значение О,9996300.
С—32
1. Материальная точка движется по прямой по закону s (/) —
= 12/ — З/3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени
/=1.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью и©»
et2
движется по закону h (/) = v$t — где h — путь в метрах^! —
время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достиг-
нет тело, если и© = 40 м/с, g=10 м/с\
22
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f(x)=x+±..
2. Найдите критические точки функции у=х3—бх* 2—15х-{-7.
Какие из них — точки максимума, а какие — точки минимума
функции?
С—34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ-
цию
f (х)=48х—х3.
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию у = 2х24-5х4~2 и по-
стройте ее график.
2. Решите неравенство:
а) х24- 15х — 16>0; б) 4х24-12х4-9<0.
С—36
Исследуйте функцию f(x)= x~l; 4-1 и постройте ее график.
1
С—37
L Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2л4 —8х
на отрезке [—2; 1}
2. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых
так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого и вто-
рого слагаемого было бы наибольшим.
23
С—38
1. Найдите tg(a+"r) •
2
если известно, что cos а——
- л
2. Упростите выражение
3< Найдите без таблиц и
sin а cos (л 4~а) cos (л —2а)
cos 4а
калькулятора sin 75°— sin 15°.
С—39
Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) f/ = sin3x; б) y = cos-j-; в) t/ = tgnx.
С—40
1. Найдите значения:
a) arccosf — ; б) arcsin-^— arctg (— 1).
\ 2/ -ft
2. Решите уравнение:
а) со$^х+-^) == — 1; б) cos2x=cosx.
3. Решите неравенство:
a) sin2x^-|-’ б) tg(x + -j-)>i-
С—41
Решите систему уравнений
sin x+cos у=0,
cos1 2 х+sin2 у = 1,5.
С—42
1. Решите квадратичное неравенство:
а) х2 —Зх—10С0; б) х2 —6х+1>0.
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х- 1)(х+2)2(х-4)<0; б) -LI----2_>0.
X—4 ХГ— 9
24
С—43
Найдите производную функции:
а) 4л/х; б) y=xtgx; в)
г) </ = sinx* 1 2; д) у=±.—±-.
л» Л
y=^g v;
о
С—44
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ-
ции f (x)=sin (х — 3) в тбчке с абсциссой хо = 3.
2. Вычислите приближенно:
а) д/0,9996; б) sin , считая л «3,1416.
С—45
1. Исследуйте функцию f(x)=x3 —Зх + 5 и постройте ее
график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у=х+-^~ на отрезке [1; 4].
3. Материальная точка массой 4 кг движется по прямой со-
гласно уравнению s,(f) = 3/4-2/3 (s измеряется в метрах, t —
в секундах). Найдите действующую на нее силу в момент вре-
мени / = 3.
Вариант 3
С—1
1. Выразите в радианной мере величины углов 64°, 160°.
2. Выразите в градусной мере величины углов t 1 л.
3. Найдите радианную меру внутреннего угла правильного
десятиугольника.
4. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен
Найдите градусную меру второго острого угла а. € помощью
5
таблиц или калькулятора найдите значения синуса и тангенса а.
1. Дано: sin а = 180° < а <270°. Найдите cos а и ctg а.
э
2. Докажите тождество
16 sin4 а —(sin2 а— 3 cos2 а)2=24 sin2 а — 9.
3. Укажите знак числа:
a) sin^-tg-^-; б) sin 3 cos 4.
С—3
1. Вычислите: a) tg( —390°); б) cos
Пл
2. Упростите выражение sin (180° — а)—
COS8 (ISO* 4-«)
cos(a—270°)
3. Вычислите sin 105°*cos 15°4-sin 15°«sin 165<+tg225°.
27
1. Дано: sina=-|-, 90° < a < 180°.
Найдите: a) sin 2a; 6) sin (60° — a); в) tg (45°-|-a).
2. Докажите тождество
sin(-r_+J4 cos x — cos (~bx) sin x=0,5.
\ / V К ’ я *
С—5
1. Отметьте на единичной окружности точку Р3я. Назовите
~4
абсциссу и ординату этой точки. Найдите sin ~ и cos .
2. В какой четверти координатной плоскости расположена
точка Ра, если: а) а=—3,5; б) <х=5,3?
3. Изобразите схематически график функции £/=sin(^-}-x).
Отметьте на графике три точки, для которых 0,5. Чему
равны соответствующие значения х?
1. Найдите область определения функции f (х)= .
2. Для функции f (х)=2 sin Зх +1 найдите:
Я) f(0); б) /(f) ; в) f(—J).
3. Постройте график функции f (х)=х1 2 3 — 6х + 9.
Исследуйте на четность и нечетность функцию:
а) ---------------
' ' 4 ' 4 cos х
; б) ф(х)=2х8Ч-3 ctgx.
28
1. Вычислите:
a) sin (—1470°); б) cos ( — 690°); в) tg(-1320°).
Упростите выражение
2 COS ( — а» cos а
\ л* /
cos (л-}-а) sin3
(Зл \ . , . з / Зл ’
I — + а I — sin (л — а) cos” I — + а
\ \ X» j
Запишите наименьший положительный период
функции:
a) fW=cos(-f-+-J-) ; б) <p(x)=tg(y4-y) •
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции,
используя схематическое изображение графиков соответствующих
функций:
a) f(x)=4-; б) ф(х)=—J—.
Л» Л I д
2. Используя свойства функции f/ = cosx, выпишите три про-
межутка возрастания функции i/ = 2cosx+l.
3. Сравните числа cos 3 и cos 6.
С—10
L Дана функция у=0,5х2 —2х — 2,5. а) Укажите точку ми-
нимума и экстремум функции, б) Начертите график данной функ-
ции. в) Найдите множество значений х, при которых у^. —2,5.
2. Найдите точки максимума и минимума и экстремумы
функции
у = 3 sin х-|-2.
С—11
Постройте график функции Д если известны ее свойства:
a) O(D=[-3; 4} £(f)=[-2; 3]; б) f(-3) = f (-l)=f (1) =
=/(3)=0; в) xmiK=—2, f( — 2)=l; xmax=2, f(2)=3; xmin = 0,
f(0)=— 1, f(4)=—2; г) функция возрастает на каждом из
промежутков [—3; —2], [0; 2], убывает на каждом из промежут-
ков [—2; 0J [2; 4}
29
с—12
1. Найдите область определения функции f (x)=I,5tg 1,5х.
2. Дана функция f (х)=4 sin 0,5 х. Найдите: а) область опре-
деления функции; б) область значений функции; в) нули функции;
г) точки максимума, минимума и экстремумы функции. Постройте
график функции.
С—13
1. Вычислите: a) arcsin
; б) arctg-у/3;
в) sin I arccos
f)); г) tg (2 arcsin ( .
2. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
a) arcsin (—0,7825); б) arccos
0,1524; в) arctg (—J
С—14
Решите уравнение:
a) sinx= — 1; б) cosx=l; в) tg 2х=—-^3;
г) sin 5х cos х — cos 5х sin х=0,5;
д) cos^2x4~^ cosx-|-sinf2x+-^ sinx=^.
С—15
Начертите график функции y=sinx на отрезке [—л; 2,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол-
няется условие: a) sinx=0,5; б) sinx=l; в) sinx>0,5. Выпи-
шите соответствующие значения хг при которых выполняется
каждое из условий.
Решите неравенство:
a) sinxZ>^; б) cos2x<—0,5; в) tgx2> —
30
Решите уравнение:
а) 4 sin* 1 2 х— 1 =0; б) 4 sin2 х—4 sin x-j- 1 =0;
в) 2 sin2 х-|-5 cos jc-j-1—0.
С—18
Решите уравнение:
a) sin 2%+cos 2х=0; б) 1 —2,sin 2х=6 cos2 х.
С—19
Решите систему уравнений
х-\-у=п,
sin x-f-sin
С—20
Решите уравнение:
а) -\/3 sin x+cos х=->/2; б) (cos x + sin x)2=cos 2х.
С—21
1. Для функции f (х)=Зх + 2 найдите .
2. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у=х2, проходящей через точки графика с абсциссами xq— 1,
х04-Дх=1,6. Выполните рисунок к задаче.
С—22
1. Точка движется прямолинейно по закону х (/)=2t2 + 3 (вре-
мя измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите
скорость движения в момент времени 1=2.
2. Пользуясь определением производной, найдите f'(x), если
31
С—23
Изобразите схематически график функции
/(*)={
л* 1 2, если х<1,
— х + 3, если х^ 1.
а) Назовите промежутки возрастания и убывания функции.
б) Существует ли предел функции в точке х= — 1, и если
существует, то чему он равен? Запишите это символически.
в) Существует ли предел функции в точке х=1? Ответ объ-
ясните.
С—24
1. Дана функция f (х) = 2х. Найдите какую-нибудь окрестность
точки х=2 оси абсцисс, для всех точек которой выполняется
неравенство:
а) И(х) —41 <0,1; б) If (х) —41 <0,01.
2. Известно, что limf(x)=8, lim g (х)= — 0,5.
х-»-2 х-»-2
Найдите:
a) lim (0,5 f (*)—2g (х)); б) lim (3f (x)-g (x));
x-*2 x-^2
В
C—25
1. Решите уравнение f'(x)=O, если f (x) =x3 4-1,5x2—1.
2. Дано: f (x)=(3+2x) (2x-3). Найдите f(x), /'(0,25).
3. Дано: - а) Найдите <p'(x). б) Решите неравенство
<р'(*)>0-
С—26
1. Дана функция f (х)= 10х9—9х*°. Найдите f' (х), f'(—1).
2. Решите неравенство у' (х)^0, если t; (х)=х3-]-4х2—Зх.
3. Найдите g'(—1), если g (х)=(х— 1) -у/х^2.
32
С—27
1. Найдите область определения функции .
2. Найдите (ру (— 1), если ср (х)=(5 + 6х)10.
3. Дана функция f(x)=x + 4. Найдите функцию g, такую,
чтобы выполнялось равенство f (g (х))—х.
С—28
1. Найдите производную функции:
a) f(x) = 3cos2x; б) <р (х) = 4 tg Зх.
2. Решите уравнение g' (х) = 0, если g (x)=sin х + 0,5 sin 2х.
С—29
Решите неравенство:
*^^<0; б) (х+ 2)7^1
С—30
Дана функция f (х)= —х2+4.
а) Составьте уравнение касательной к графику данной функ-
ции в точке его с абсциссой х0= — 2.
б) Выполните рисунок.
в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрезка-
ми касательной и осей координат.
С—31
Вычислите приближенно: а) -^16,96; б)
1,001’°
2 Заказ 737
33
С—32
1. Точка движется прямолинейно по закону х (t)=З/3 +9/* 1 2 + 7
(х измеряется в метрах, t — в секундах). Напишите формулу
для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите
ее при / = 2.
2. Основание параллелограмма а изменяется по закону
а=2 + 5/, а высота b — по закону 6 — 2 4-6/. Вычислите скорость
изменения его площади в момент /=3 с. (Основание а и высота b
измеряются в сантиметрах.)
С—33
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) f (*)=+ 3x4-6; б) <р(х)=х34-2х—1;
в) g(x)=x3—Зх24-5.
С—34
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
a) f(x)=x4 —8х2; б) ф(х)=^-+^-.
* Хг
С—35
Исследуйте функцию f (х)= — х2(х2 —4) с помощью производ-
ной и постройте ее график.
С—36
Исследуйте функцию f (х)=4х4—-^х3 с помощью производной
О
и постройте ее график.
С—37
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (х) = —cos х — х на отрезке [— 1,5л; 2,5nJ.
2. Число 15 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на
другое было наибольшим.
34
1. Упростите выражение -—с--2— .JL-ctg а.
cos2 а *
2. Докажите тождество
sin4 а+ 2 sin а-cos а —cos4 а
tg 2а—1
= cos 2а.
3. Вычислите без таблиц и калькулятора
1—sin4 22,5° 4-cos4 22,5°.
С—39
1. Найдите нули функции у = 2 sin наибольшее и наимень-
шее значения и постройте ее график.
2. Докажите, что функция f(x)—х2 —2|х| четная. Постройте
график этой функции, используя свойство графика четной
функции.
С—40
1. Решите уравнение
sin х tg х4~л/3 sin x4~tg х4--\/3 = 0.
2. Решите неравенство 2 sin 2х + 1 ^0.
3. Найдите критические точки функции
f (х) = 2х —0,5 sin 2х +sin
С—41
Решите систему уравнений
л
С—42
Решите неравенство:
а) (2х2 + х + 3)(х2-Зх)>0;
б) в) (x-5)VF^4<0.
х2 — 2х
2*
35
С—43
1. Найдите производную функции:
a) y=tg3x; б) y-^/x-cos х; в) t/ = sin* 1 2x; г) y=(cos Зх+6)3.
2. Дано: f (х)=^-^+6 cos пх. Найдите f' (I).
С—44
1. На кривой у=х2 — Зх + 2 найдите точку, в которой каса-
тельная параллельна прямой у=—х.
2. Точка совершает колебательное движение по закону
x(/)=3sin7t Докажите, что ее ускорение пропорционально
координате х.
С—45
1. Число 8 представьте в виде двух неотрицательных сла-
гаемых так, чтобы произведение квадратов этих слагаемых было
наибольшим.
2. Исследуйте функцию f (х) = х2 (2х — 3) и постройте ее
график.
Вариант 4
С—1
L Выразите в радианной мере величины углов 56°, 170°.
2. Выразите в градусной мере величины углов 2-|-л.
3. Вычислите в радианной мере величины внешних углов
равнобедренного прямоугольного треугольника.
4. Угол а является дополнением до полного угла. Найдите
градусную меру а. С помощью таблиц или калькулятора найдите
значение косинуса и тангенса а.
1. Дано: cosa=— Ц-, 90°<а< 180°. Найдите sin а и tg а.
2. Докажите тождество
(tg а —sin a)(^7-+ctg a) = sin2 а.
3. Сравните с нулем число:
a) cos tg б) sin 4«cos 5.
□ У
Вычислите: a) ctg( —420°); б) sin^-
Упростите выражение sin(90° + a)—
21л\
4 / *
cos2 (а—-90°)
sin (а+ 270°)
3. Вычислите sin 32° sin 148° —cos 32esin 302°-f-ctg 225°.
37
1. Дано: cosa= — 180°<a<270°
О
Найдите: а) cos 2a; б) sin(30°+a); в) tg(45° — a).
2. Докажите тождество
sin x = 0,5.
1. Отметьте на единичной окружности точку Р5л . Назовите
абсциссу и ординату этой точки, найдите sin ~, cos .
2. В какой четверти координатной плоскости расположена
точка Р«, если: а)' а= —2,5; б), а = 6,5?
3. Изобразите схематически график функции-у —cos f-^-4-xj .
Отметьте на графике три точки, для которых у =—0,5. Чему
равны соответствующие значения х?
1. Найдите область определения функции f(x)=-^——.
2. Дана функция f(x)=3cos2x—Г. Найдите:
а) Г(л);б)
3. Постройте график функции f (х) = х2 + 4х + 4.
С—7
Исследуйте на четность функцию:
а) f(x)=-2xy+tg x; б) <р(х)=-~-.
Чг л
33
I. Вычислите:
a) sin (—18600); б) cos (-420°); в) ctg (-930°).
2. Упростите выражение
cos (+ a) sin3 (л — а) — cos (л 4*а) sin3 Г — а J
2 sin а sin ( -у — а)
\ /
3. Запишите наименьший положительный период функции:
a) f (x)=sin(-j-+-J-) ; б) <p(x)=tg(-y~-J-) •
1. Используя схематическое изображение графиков соответ-
ствующих функций, найдите промежутки возрастания и убывания
функции: а) б) <р(х)=р-.
2. Используя свойства функции t/ = sinx, выпишите три про-
межутка убывания функции у = 2 sin х—1.
3. Сравните числа sin 2 и sin 4.
С—10
1. Дана функция у — — 0,5х2 + *+ 1,5. а) Укажите точку мак-
симума и экстремум функции, б) Начертите график данной функ-
ции. в) Найдите множество значений х, при которых 1,5.
2. Найдите точки максимума и минимума и экстремумы
функции
у = 3 cos х — 2.
С—11
Постройте график функции f (х), если известны ее свойства:
а) Щ/)=[-4; 5} E(f)=[—4; 3]; б) Ц-4)=/(-2)=f(2) =
=/(5)=0; в) xmax=0, f(0) = 3; xmin==—3, f(—3)= — 2; xraln=4,
f(4)=—4; г) функция возрастает на каждом из промежутков
—3; 0J [4; 5]; д) функция убывает на каждом из промежутков
[-4; —3], [0; 4].
39
С—12
1. Найдите область определения функции f(x)—2—ctg0,5x.
2. Дана функция f (х)=3 cos 0,5х. Найдите: а) область опреде-
ления функции; б) область значений; в) нули функции; г) точки
максимума, минимума и экстремумы функции. Постройте график
функции.
1. Вычислите: а)
arcsin (—0,5); б)
С—13
в) tg (arccos (—0,5)); г) cos ( 2 arcsin
2. Вычислите с помощью таблиц или калькулятора:
) arctg (—у) .
a) arcsin (—0,9317); б) arccos 0,3745; в
C—14
Решите уравнение:
з
г) cos 5х cos 2x + sin 5х sin 2x=0,5;
cos x — cos
-V3
Sin X—-7Г-
C—15
Начертите график функции y = cosx на отрезке [—л; 2,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол-
няются условия: a) cosx = 0,5; б) cosx=l; в) cosx>0,5. Вы-
пишите соответствующие значения х, при которых выполняется
каждое из условий.
С—16
Решите неравенство:
a) cosx^^; б) sin 2х<—0,5; в) tgx> —1.
40
С—17
Решите уравнение:
а) 4 cos* 1 2 х—1 =0; б) 4 sin2 х+4 sin х+1 =0;
в) 2sin2x—5 cos х+1=0.
С—18
Решите уравнение:
a) sin 2х—-\/3 cos 2х=0; б) 1 4-2 sin 2x4-2 cos2 х=0.
С—19
Решите систему уравнений
sin x-|-sin у—
С—20
Решите уравнение:
a) -\/3sinx—cosx=2; б) (cosx — sin x)2=cos 2х.
С—21
1. Для функции f(x)=2x+3 найдите
2. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у=0,5х2, проходящей через точки графика с абсциссами хо=1,
Хо+Дх=1,8. Выполните рисунок к задаче.
С—22
1. Точка движется прямолинейно по закону х(/)=3/2+2
(время измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите
скорость движения в момент времени 1=3.
2. Пользуясь определением производной, найдите f' (х), если
f(x)=2^.
41
Изобразите схематически график функции
0s5x* 1 2, если х — 1,
х + 3, если х< — 1.
а) Назовите промежутки возрастания и убывания функции.
б) Существует ли предел функции в точке х=1, и если су-
ществует, то чему он равен? Запишите это символически.
в) Существует ли предел функции в точке —1? Ответ
объясните.
С—24
1. Дана функция f (х) = 3х. Найдите какую-нибудь окрестность
точки х —2 оси абсцисс, для всех точек которой выполняется
неравенство: a) If (х) —6| <0,1; б) If (х) —6| <0,01.
2. Известно, что lim f (х) = 6, lim g (х) = — 1,5. Найдите:
х->3 х->3
a) lim (0,5/(х)—2g (х)); б) 1йп(2/ (x)-g (х)); в) lim
х->3 х-»-3 WT °
С—25
1. Решите уравнение /' (х) = 0, если f (х)=2х3 *—Зх2-|-.1.
2. Дано: f (х)=(1 Ч~2х) (2х — 1). Найдите /'(х), /' (0,5).
3. Дано: <р (х) = ~г~[ • а) Найдите <р' (х). б) Решите неравен-
ство <р' (х) > 0.
С—26
1. Дана функция f (xj=8x9 —9х8. Найдите /'(х), /'( — 1).
2. Решите нера»енстйо.1/'{х)>0, если у (х)==2х3—9х^ + 12x4-7.
3. Найдите g' (4), если g (х)—Vх—3 (х+2).
С—27
1. Найдите область определения функции {/=*- у-- •
2. Найдите ф'(—2), если ф(х)=(2х-|-3)12.
3. Дана функция /(х)=х —7. Найдите функцию g, такую,
чтобы выполнялось равенство f (g (х)) = х.
42
1. Найдите производную функции:
a) f (х) = 2 sin 5х; 6} <p (х)=3 ctg 2х.
Вычислите f'( —т-)и w'( —?-) .
\ о / \ 4 /
2. Решите уравнение f'(x) = 0, если f (x)=cos х—0,25 cos 2х.
С—29
Решите неравенство:
а) ^№).<0; б) (x-3)V?=T<0.
1
С—30
Дана функция f (х)=х* 1 2 — 4.
а) Составьте уравнение касательной к графику данной
функции в точке его с абсциссой хо ——-2;
б) Выполните рисунок.
в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрезка-
ми касательной и осей координат.
С—31
Вычислите приближенно?
а) № 6)
С—32
1. Точка движется прямолинейно по закону х (/) = 4/34-5/2 + 4
(х измеряется в метрах, t — в секундах). Напишите формулу
для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите ее
при / = 3.
2. Радиус круга R изменяется по закону /? = 4 + 2/2. С какой
скоростью изменяется его площадь в момент t = 2 с, если радиус
круга измеряется в сантиметрах?
43
С—33
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) f(x)=—x* 1 2 + 4x — 3; б) ф(х)=х3 + 4х—7;
в) g (х)=2х3— Зл24-1.
С—34
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
a) f (х) = 2х4 —4х2 + 1; б) <р (х)-2-.
ж" -Л
С—35
Исследуйте функцию f(x)=(х2— 2)2 с помощью производной
и постройте ее график.
С—36
Исследуйте функцию / (х)=2х4+-|-л3 с помощью производной
и
и постройте ее график.
С—37
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x)=sinx+x на отрезке [—л; л].
2. Число 20 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на другое
было наибольшим.
С—38
1. Упростите выражение Licy.-fe.tg а.
2. Докажите тождество
Zsinga^sin^a t 2а cos д
2 (cos a-j-cos 3a) °
3. Вычислите без таблиц и калькулятора
1 — sin4 15° — cos415°.
44
С—39
1. Найдите нули функции у = 2 cos 0,5х, наибольшее и наи-
меньшее значения и постройте ее график.
2. Докажите, что функция f (х)==0,5х* 1 2 + |х| четная. Постройте
график этой функции, используя свойство графика четной
функции.
С—40
1. Решите уравнение
-V3tg х sin x — V3tgx + sin x— 1 =0.
2. Решите неравенство 2 cos Зх+1 ^0.
3. Найдите критические точки функции
f (х)=0,5 sin 2х — cos х + 2х.
С—41
Решите систему уравнений
cos 2х — cos 2у — —\/3.
С—42
Решите неравенство:
а) (Зх2 + 2х + 5)(х2 + 4х)<0;
б) У-~^<0; в) (x + 5)VP^16>0.
С—43
1. Найдите производную функции:
a) t/=ctg2x; б) y=-7x-sin х; в) t/=cos2 х; г) t/=(sin 2х—5)3.
2. Дано: f (х)=^т^4-8 sin 0,5лх. Найдите/'(—1).
45
С—44
1. На кривой у ——л* 1 2 + 3х — 2 найдите точку, в которой ка-
сательная параллельна прямой у=х.
2. Закон движения точки определяется формулой x(t) —
=2 cos 4t. При каких t ускорение точки положительно?
С—45
1. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на утроен-
ное другое слагаемое было наибольшим.
2. Исследуйте функцию f (х)=х2 (х + 3) и постройте ее график.
Вариант 5
1. Выразите в радианной мере величины углов 72° и 140°.
2. Выразите в градусной мере величины углов и л.
12 о
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла: а) 79°; б) 38°22'. Найдите значения синуса и косинуса
этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла: а) 0,7575; б) 2,0365.
1. Докажите охраведливоогь равенства С—2
.« । sin4 <а 4- sin2 а .cos2 а 1
д г- - “ “ ““ - — — — 1 •
cos а cos а
2. Определите знак выражения:
х cos 200° tg 300° -к Q . А
а) -----» б) cos2*tg4.
7 sin 400° ' ь
9
3. Найдите sin а «и 4g а, если известно, что cos -а = ——
и а не лежит во II четверти.
С—3
1. Вычислите: a) isin 1050°; б) tcos—^.; ®) tgM30°.
2. Упростите выражение
* 2/ n I \ г/ Зп\
snr ( — + а I — cos 1 а —
\ Z X z
»g2(y + a)-ctg2(a—
3. Докажите тождество
V-») «Чт- “)
sm\T+<7
Вычислите
1 — sin2
2 cos2 15° — 1 ‘
2. Известно, что cosa =—и л<а<-^-. Найдите cos 2a
lu Л
и tg 2a.
3. Упростите выражение ctg2a(l—cos 2a)2 — cos2 2a.
1. Отметьте на единичной окружности точку Ргзл. Назовите
Т
« 23л 23л
абсциссу и ординату этой точки, найдите sin -7- и cos -7-.
о 6
2. В какой четверти координатной плоскости находится точ-
ка Ра, если:
а) а=—5; б) а = 31?
3. Изобразите схематически график функции у=
=—-cos . Отметьте на графике две точки, для которых
£/=—0,25. Чему равны соответствующие значения %?
1. Найдите область определения функции, заданной формулой:
» 6> fW=VS-
2. Для функции, заданной формулой f (х)=х34-Зх—1, найди-
те f (-2) и /(*+!)•
3. Постройте график функции у—х* 1 2,—2х—3.
С—7
1. Докажите, что функция f (х)=--^~*- является четной.
2. Докажите, что функция g (х)= |х| cos 2х sin3 Зх является
нечетной.
1. Приведите к значению тригонометрической функции наи-
меньшего положительного аргумента выражение:
a) cos235°17'; б) sin 5040°; в) tgy-n.
2. Вычислите sin ( — 60°) +cos 690°+ tg (—600°).
3. Найдите наименьший положительный период функции:
a) f/ = tg(
-£-) ; б) y = cos2 2х — sin 4х.
У /
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) /(х)=л/ГИ; б)
2. Найдите промежутки возрастания и область определения
функции
f (*)=tg(2x—J-) .
3. Расположите в порядке убывания числа:
sin 40°, cos 40°, sin 70°, cos 70°.
С—10
1. Найдите точки максимума функции у = 5х— 2х2 — 2. Начер-
тите график этой функции и найдите множество ее значений.
2. Найдите точки максимума и минимума и экстремумы
функции
f (х) = 3 cos (х—.
С—11
Постройте график функции ft если известны ее свойства:
а) £)(/) = [ —5; 5]; б) Е (/) = [—6; 6]; в) f—нечетная функция;
г) функция возрастает на промежутках [—5; —3] и [—1; 0],
функция убывает на промежутке [—3; — 1]; д) /( —4)=/( —2) =
(0) = 0; е) хтах=—3, /( — 3) = 2; х^-1, /(—!)= — !.
49
С—12
1. Найдите область определения функции f (х) = ——Г-
tgV~T/
2. Найдите точки минимума и максимума функции f (х) =
= sin^3x—. Изобразите схематически ее график.
3. Отметьте на единичной окружности множество точек
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
неравенству sin .
О
С—13
1. Вычислите: a) arccos^—; б) sin (arcsin 0,1);
в) arctg(—l)+arccos(—1); г) cos^3 arctg^-^ .
2. С помощью таблиц или калькулятора найдите значение:
a) arcsin 0,897; б) arccos (—0,773); в) arctg (— 4).
Решите уравнение:
С—14
a) cosx=—б) sin(x—= в) tg(3x+-^) =-^_
£ \ о / \ о / д/з
С—15
Отметьте на графике функции y==eosx множество точек,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют
условию:
/о |
a) cosx^—б) cosx=—1; в) cos2x^ —.
тг
Запишите множество решений неравенства cosx^
С—16
Решите неравенство:
a) cos3x<y-; б) tg(2x+-0> — ^3.
50
С—17
Решите уравнение:
a) ctg х=—4—3tgx; б) 4 sin4 х—5 sin* 1 2x + l =0.
С—18
Решите уравнение:
б) 2 sin2 x-f-2 sin х cos х = 1.
4) =0;
О /
Решите систему уравнений
sin х cos у = —0,25,
cos х sin i/ = 0,75.
Решите уравнение:
a) sin xj-sin 5x = sin Зх + sin 7x;
6) sin x sin 2x cos Зх + sin x cos 2x sin 3x = 0.
С—19
C—20
C—21
1. Начертите график функции f (x)= —|-x + 2. Выразите при-
ращение функции в точке х0 через хо и Дх. Найдите Д/ (хо), если
хо=1, Дх=0,1. Дайте иллюстрацию полученных результатов
на рисунке.
2. Найдите Для функции f (х)= I — Зх — 2х2. Вычислите
при х0=1 и Ах=0,1; 0,002; 0,00001. Найдите lim^^-,
Дх г Дх
если хо = 1.
С—22
1. Материальная точка массой 2 кг движется прямолиней-
но по закону х(/)=/24-4 (время измеряется в секундах, коорди-
ната — в метрах). Найдите импульс точки при / = 4.
2. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f в точке х:
a) f (х) = 6д/х; б) f(x)=4—х2.
51
С—23
Рис. 5
1. Для функции» график ко-
торой изображен на рисунке 5,
укажите:
а) ее значения в точках —2
и 4; б) ее предел в точках —2
и 4.
2. Найдите наибольшее б»
при котором для всех х=/=3
из б-окрестности точки 3 выпол-
няется неравенство
I/(х) + 6| <0,001, где
С—24
1. Известно, что limf(x) = 5, limg(x) = 2. Найдите предел
х-*3 х*>3
в точке 3 для функции:
а) У=( (x)—2g* 1 2 (х);
__ ((*)—g(x)
2/«-5g(x)
б)
2.
(если указанный предел существует).
Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов:
a) lim (1 — Зх3 + 4х4); б) lim 22х~*~9
х-*- —2 х->3 X —X —
1. Найдите производную функции:
а) Их)-х9-Зх5-^+2; б)
X о -f-ZX
2. Вычислите производную функции f (х)=(х+1) д/х в точках
2, 4, х, х —2.
3. Решите неравенство fz(x)^O, если f(x) = 3x —х3.
С—26
1. Найдите производную функции f (х)=^~— в точках х
л дМ-1
и г.
2. Решите уравнение f' (х)=0 и неравенства /*'(х)>0 и
f' (х)<0, если:
a) f(x) = 9x3+x; б) f(x)=^-.
52
1. Найдите область определения функции:
а) /(х)=л/Зл£-1; б) f(x)=
1
-\/х* 1 2 *—6x4-9
2. Даны функции f (х) = и g (x)=-Jx. Задайте с помощью
формул функции f (g (х)) и g (f (х)).
3. Найдите производную функции:
a) f (х)=(х7 — Зх4)120; б) g(x)=7x2—1.
Найдите производную функции:
a) fW=tg(f+10) ; б) f (x)=cos(3 — 2х);
в) f (x)=tg х sin (2x4-5).
С—28
1. Найдите промежутки непрерывности функции
г , ч х2—4_______
' (х—1) (х4— Зх — 4)
С—29
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) х24-5х4-4<0; б)
(х-2)(2+х)2(х-7)
х4—16
х —2 —3
х + 2 ^4х— 1
С—30
1. Напишите уравнение касательной к гиперболе </=——
в точке с абсциссой — 1. Выполните рисурок.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f/=?cos-^- в точке с абсциссой х=л.
О
С—31
1. Вычислите приближенно -^35,91, используя формулу
V1 4-A*«14-v-
2. Вычислите приближенно
1,00008'°°°—O.99996200.
S3
С—32
1. Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно
по закону s (/) = 17/— 2f2+-|-/3, где s — путь в метрах, t — время
в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент /=3с.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх с высоты Ло с на-
чальной скоростью движется по закону h (/) = й0 + ^“-®5^>
где h — высота в метрах, t — время в секундах. Найдите высо-
ту тела в момент времени, когда скорость тела в 3 раза меньше
первоначальной, если fto = 2 м, ио = 4 м/с (g считайте равным
10 м/с2).
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = 2х3 — Зх2 — 12х.
2. Найдите критические точки функции f (х)=2 -у/х — х. Какие
из этих точек — точки максимума функции, а . какие — точки
минимума?
С-34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
f (х)=х2 (х-6)2.
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее фафик:
у=-0,5х24-2х+2,5.
2. Решите неравенство:
а) Зх2 —2х+1>0; 4} 9х2—18х+«5х2—6х+11.
С—36
Исследуйте функцию и постройте ее график:
у=х4—2х2 +1-
64
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = 3х5 —5х3+ I
на отрезке [—2; 2].
2. Разбейте число 6 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы произведение квадрата первого слагаемого и второго
слагаемого было наибольшим.
С—38
3 л
1. Найдите sin (а4-0), если известно, что sin а,=—, — <а<л;
О Л
cos 0= —Л<₽<^.
О Z
2. Упростите выражение
2/Зл \
cos I —— 2а J
-------------______L_i_
cos* 1 2 (л — а)
\ 2
о а г* • 9 а \
-х—2 sin24-|
3. Найдите tg 22°30' и sin 22°30'.
С—39
Проведите исследование и постройте график функции:
a) y = sin2x; б) y = cos
X л
3 4
С—40
1. Вычислите:
a) arccos
• л/2
; б) arcsin в
2. Решите уравнение:
a) 2cos(2x—t*)=V2; б) cos2 х— sin 2х=—
\ 4 / 2
2. Решите неравенство:
a) tg2x< —1; б) sinfx—
55
Решите систему уравнений
С—42
1. Решите неравенство:
а) х* 1 2 —4х + 3<0; б) х2 — 6х+9>0.
2. Решите неравенство методом интервалов:
С—43
Найдите производную функции:
а) у=хь — Зх4 + 2х3 — 3; б) у=(3 — 2х)-\[х; в)
Г) 1) ; д) У=(2х— I)17.
у = sin 2дс;
С—44
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f.(x)=3x— х2 в точке с абсциссой лг0 = 1-
2. Вычислите приближенно:
а) л/0^98; б) (1,ОООЗ)50.
3. Материальная точка движется по прямой согласно урав-
нению %(/) —/3 — 2/2+3/. Найдите ее скорость и ускорение в мо-
мент времени t = 2.
С—45
1. Исследуйте функцию у=4х—х4 и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (x)=-7i— на отрезке [—1; 0,5].
X J 1
56
Вариант 6
С—1
1. Выразите в радианной мере величины углов 42° и 130°.
2. Выразите в градусной мере величины углов ттг и
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла: а) 57°; б) 88°55'. Найдите значения синуса и косинуса
этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла: а) 0,8796; б) 2,3422.
1. Докажите справедливость равенства
4 г * 2 2
cos <z4~sin geos а
sin1 2 3 а
1
sin2 а
2. Определите знак выражения:
а)
sin 110° cos 220°
etg 330°
; б) sin 2-ctg 4.
3. Найдите sin а и etg a, если известно, что tga = 3 и a
не лежит в III четверти.
1. Вычислите:
; в) tg 1590°.
etg (270° - a) etg2 (360° — a) — 1
ctg(180°+a)
-180°
a) sin 2280°; 6) cos
2. Упростите выражение
3. Докажите тождество
sin ( — a) j
cos
57
1. Вычислите -—— ——.
2 cos* 1 2 — 1
2. Известно, что sina = — и -£-<а<л. Найдите cos 2а
и ctg 2а. 5
3. Упростите выражение cos2 2a + (l +cos 2а)2 tg2 а.
1. Отметьте на единичной окружности точку Р4зд. Назовите
б"
абсциссу и ординату этой точки, найдите sin и cos^.
2. В какой четверти координатной плоскости находится точ-
ка Ра» если
а) а=10; б) а=-31?
3. Изобразите схематически график функции
у=4 -J2 sin ( х—7-) .
27 v \ 4 /
Отметьте на графике две точки, для которых у = 4. Чему равны
соответствующие значения х?
С-6
1. Найдите область определения функции, заданной формулой:
a) 6)
2. Для функции, заданной формулой f (х)=2х3 — x-f-5, найдите
/(-1)и/(х-1).
3. Постройте график функции
у = х2 + 2х — 3.
С—7
1. Докажите, что функция f (х)= sin х c°s2 х * является чет-
ной.
2. Докажите, что функция g(x)=x |х| sin 5xtg3x является
нечетной.
58
1. Приведите к значению тригонометрической функции наи-
меньшего положительного аргумента выражение:
a) sin 312° 19'; б) cos 5042°; в) etg~.
О
2. Вычислите cos ( — 30°)-f- sin 660° -f- etg ( — 510°).
3. Найдите наименьший положительный период функции:
a) y = tg(l— Зх); б) i/=sin4 x + cos4 х.
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) f(x)=VE^; б) f(x)=£f.
1 Л
2. Найдите промежутки убывания и область определения
функции
3. Расположите в порядке возрастания числа:
cos 10°, cos 70°, cos (—20°), sin 15°.
С—10
1. Найдите точки максимума функции у = 3х — х2+1. Начер-
тите график этой функции и найдите область ее значений.
2* Найдите точки максимума и минимума и экстремумы
функции
f (x)==sin^2x-P-y-) .
С—11
Постройте график функции f, если известны ее свойства:
а) /)(/)=[—6; 6]; б) £(/) = [—5; 2]; в) f — четная функция;
г) f возрастает на промежутках [—6; —3] и [ — Г; 0], убывает на
промежутке [—3; —1]; д) f ( — 5)=/(—2) = 0, f(0)= —1;
е) хгаах==—3, f( — 3)=2, xrain= —1, /(—!)==—2, xmax = 0.
59
X____л_
3 12
. Постройте ее график.
1. Найдите область определения функции f (х)= —3*-.
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = cos
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Р/,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют
неравенству cos t > —
С—13
в) arctg (—^3) + arctg
1. Вычислите: a) arcsinf—; б) cos (arccos (—0,3));
_1_
*
2. С помощью таблиц или калькулятора найдите значение:
a) arcsin ( — 0,736); б) arccos ( — 0,997); в) arctg 3,7.
С—14
Решите уравнение:
a) sinx=—б) cos(x+-^=^; в) tg^2x—у) =д/3-
С—15
Отметьте на графике функции r/ = sinx множество точек,
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
условию: a) sinx^—б) sinx=I; в) sin2x^-^-. Запишите
Лл А
множество решении неравенства sin х .
С—16
Решите неравенство:
a) sin2x>^; б) tg( Зх
60
С—17
Решите уравнение:
a) tgx + 3ctgx=4; б) 2 cos4 х—3 cos * 1 2 х +1 =0.
Решите уравнение:
С—18
a) sin -j-cos^x-j--—! =0; б)
sin2 х—sin 2х+2=0.
С—19
Решите систему уравнений
cos х cos у=0,5;
sin х sin у= —0,5.
С—20
Решите уравнение:
a) cos x + cos 5x=cos Зх + cos 7x\
6) cos x cos 2x cos 5x — cos x sin 2x sin 5x-|-sin x sin 7x=0.
C—21
1. Начертите график функции f (x) = 0,5x — 2. Выразите прира-
щение функции в точке х0 через Хо и Дх. Найдите Д/ (хо), если
Хе = 5, Дх = 0,2. Дайте иллюстрацию полученных результатов на
рисунке.
2. Найдите - функции f (x) = 2-j-3x—. Вычислите
-при Хо= — 1 и Дх = 0,1; 0,002; 0,00001. Найдите Пгп
Лх->0 &Х *
если хо = — 1.
С—22
1. Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно
по закону х(/)=2/2—1 (время измеряется в секундах, координа-
та— в метрах). Найдите импульс точки при / = 2.
2. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f в точке х:
a) f(x)=4V^; б) f(x)=x2 + 3.
61
С—23
Рис. 6
1. Для функции, график ко-
торой изображен на рисунке 6,
укажите: а) ее значения в точ-
ках -3 и 2; б) ее предел в точ-
ках — 3 и 2.
2. Найдите наибольшее зна-
чение б, при котором для всех
х=#2 из б-окрестности точки 2
выполняется неравенство
If О) —4| <0,001,
/W=—-
С—24
1. Известно, что limf(x) = 2, limg(x) = 3. Найдите предел
X—► — 1 *-> — I
в точке — 1 для функции:
a) y = f* i. 2W —3g(x); б) = (если указанный предел
существует).
2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов:
a) lim (I — Зх2 + 4х4); б) lim - 23- --.
х“> 2 х—* — 3 X | X I 1
С—25
1. Найдите производную функции:
a) f (х) = х7 + 2х5+^- 1; б)
2. Вычислите производную функции f (х) = х -\lx + 1 в точках
0, 3, х, х—1.
3. Решите неравенство f' (х)<0, если f(x)=x —Зх3.
С—26
i. Найдите производную функции f (х)—в точках х и /4.
ух — 1
2. Решите уравнение /' (х)=0 и неравенства /'(х)>0 и
f' (х)<0, если:
а) /(х) = Зх3—х; б) f (х) = ^| .
1. Найдите область определения функции:
a) f(x)=V4-2V*J б) Нх) =
I I, д- г—
2. Даны функции f (х) = -г—— и g (x) = -yjx. Задайте с помощью
формул функции f (g (х)) и g (f (х)).
3. Найдите производную функции:
a) f (х)—(х5 — 2х* 1 2)191; б) g(x)—-\/1—х2.
С—28
Найдите производную функции:
a) f (x)=cos(3 — 4х); б) f (x)=*tg (2х — 7);
в) f (х)—sin х cos (2х — 3).
С—29
1. Найдите промежутки непрерывности функции
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) х2 — 3x-f-2>0; б) ^-^+-РгХх-2^<0;
х—9
v х—3 2х — 5
х4-3 4х —3
С—30
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = $1п 2х в точке с абсциссой
2. Напишите уравнение касательной к гиперболе У = ~ в Т04’
ке с абсциссой x=s—2. Выполните рисунок.
63
1. Вычислите приближенно -\/49fi7, используя формулу
7Г+Дх»Г+^.
2. Вычислите приближенно
1 ,ОООО63000 — О,999986000.
С—32
1. Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно
по закону s(/) = 4/ + Z* 1 2—j-/3, где s — путь в метрах, t — время
в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент /=2 с.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх с высоты fto с началь-
ной скоростью &о» движется по закону ft (t)=ho + vQt—,
где ft — высота в метрах, t — время в секундах. Найдите высоту
тела в момент времени, когда скорость тела в 2 раза меньше пер-
воначальной, если Ао = 4 м, t>o = 3 м/с (g считайте равным
10 м/с2).
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
Н*)=2х3 + Зх2—12л.
2. Найдите критические точки функции f (л)=2л—-\/л. Какие
из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки
минимума?
С—34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
f (л)=2л2 — л4 + 3.
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
£/ = —0,5x2+*+1,5.
2. Решите неравенство:
а) 2х2-х+1<0; б) 16л2 + 6л + 3>7л2-6л-1.
64
С—36
Исследуйте функцию л постройте ее график:
у=2х3 — 6х2 + 4.
С—37
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х)=х5+20х2-|-3
на отрезке [— 1; 1].
2. Разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго сла-
гаемого была наименьшей.
С—38
2
1. Найдите cos (а — р), если известно, что cosa=—,
О
^<а<2л; cos р= —-£-<р<л.
2 О 2
2. Упростите выражение
(2 cos2 а —2 sin2 а)2 sin2 (л— 2а) —sin2 (--р—4а) .
3. Найдите tg 15° и cos 15°.
С—39
Проведите исследование и постройте график функции:
a) y = cos-£-; б) t/ = sin(x—; в) t/ = tg(3x+-2-) .
1. Вычислите:
a) arccos^—^) ; б) arcsin в) arctg(—1).
2. Решите уравнение:
а) 2 •) = 1; б) cos2 x-J-sin 2х=-|-.
3. Решите неравенство:
a) tg -|-> 1; б) cos(x+-^r)<^.
* \ о / 2
С—40
3 Заказ 737
Решите систему уравнений
cos x-j-cos у=-±-.
1. Решите неравенство:
а) х* 1 2-6х+8>0; б) х2—12х+36<0.
2. Решите методом интервалов неравенство:
С—42
Найдите производную функции:
а) у=х7-2х5+Зх-3; б) f/=(l+3x)V*;
С—43
в) //—cos
5х; г) i/ = ctg(-|-x+5) ;
/1 \24
Д) f/=(vx“6) •
\ о /
С—44
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х)=Зх-|-2х2 в точке с абсциссой Хо=1.
2. Вычислите приближенно:
a) VU002; б) O.9999760.
3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне-
нию
40=*3+-|-<2-7*.
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени /о=3.
С—45
1. Исследуйте функцию у=8х—и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
И-*)—на отрезке [—2; 0,5].
66
Вариант 7
С—1
1. Выразите в радианной мере величины углов 66° и 156°.
2. Выразите в градусной .мере величины углов — и —л.
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла: а) 71,4°; б) 29°17'. Найдите значения синуса и косинуса
этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла: а) 0,0367; б) 2,0033.
1. Докажите справедливость равенства
cos а (1 4~cos“! а + tg а)(1 —cos""1 ct-ptg а)==2 sin а.
2. Определите знак выражения:
sin 100° cos 100е • 1 о х г
Э) tg 200° ctg 300° : б> S,n 1 C0S 3 5-
3. Найдите sin a, cos а, если известно, что tga=—2 и
cos а > 0.
1. Вычислите:
a) cos 1755°; б) sin 2160°; в) ctg^~.
2. Упростите выражение (sin 160°+sin 40°) (sin 140° +
4-sin 20°)+(sin 50° — sin 70°) (sin 130°—sin 110°).
3. Докажите тождество
sin (aл) । cos (3л —a) _1
(, Зл \ * ( л , \ . cos a
а+"2’у cos(
3*
ат
1. Вычислите
1 — sin2 УГЗСУ
2 cos2 75° -1 •
2. Известно, что sin a=-i- и -£-<а<л.
О
tg 4а.
Найдите sin 4а и
3. Упростите выражение
1 -j-etg 2а etg а
tga-j-ctga
1. Отметьте на единичной окружности точки, для которых
tg a = 3. Найдите значения sin а и cos 2a.
2. В какой четверти координатной плоскости находится точка
Ра> если:
а) cos a — sin a = 1,2; 6) tg-^-— 3?
3. Постройте график функции
y=cos4 х —sin4 х.
С—6
1. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) 6) fW=V§.
2. Дана функция
f х2 — 1 при х > — 1,
f W”! х+ 1 при х< — 1.
а) Вычислите /(О), /(2), /(— 1), /(-2).
б) Постройте график данной функции.
С-7
Какие из функций:
а) у=2 sin х cos 2х tg Зх; б) у=х2 cos х etg Зх;
в) #=2 cos(x + -£-) sin х; г) у = 3x2 + 2 sin 5х cos х —
являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни
четными, ни нечетными?
68
1. Приведите к значению тригонометрической функции паи-
меньшего положительного аргумента выражение:
a) sin311°17'; б) cos 4160°; в) tg^-л.
О
2. Вычислите: sin (— 30°) 4- cos 660° + tg (—510°).
3. Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x)=tg(2x
7*) I б) f (x)=sin2x-Mgx.
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) f(x)=V4^P; б) f(x)=| 1-~| •
Л I »
2. Докажите, что функция f (x)=x5-f-x возрастает на всей чис-
ловой прямой.
3. Расположите в порядке возрастания числа:
sin 1, sin 2, sin 3, sin 4.
С—10
1. Дана функция f (х)=|х2 — Зх-|-2|. Постройте ее график.
Найдите точки ее максимума и минимума, а также множест-
во значений х, при которых у 1.
2. Найдите точки максимума и минимума и экстремумы функ-
ции f (х)=-\/3 sin 2х—cos 2х—1, а также множество ее значений.
Постройте график функции, если известны ее свойства:
a) D (/)=[-6; 4]; б) Е(/)=(-3; со); в) f(=f (-1) =
=f(l)=0; г) функция возрастает на промежутках [—6; —5],
[—3; —2), [0; 2), [3; 4], убывает на промежутках [—5; —3], (—2; 0],
(2; 3]; д) xmax=~5, f(-5)=3, xmin~-3, f(-3)=2, хга1п=0,
f (9)— — 3, xroin=3, f(3)~4; e) значения f (x) стремятся к oo при x,
стремящихся к ±2, f( — 6)= — 1, /(4)=5.
69
1. Найдите область определения функции
'w=t6f+777HrT'
,е(.2л-с/
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
y=cos(-|--, ее максимумы и минимумы. Постройте график
функции. ,
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют нера-
венству tg t< —2.
С—13
1. Найдите значение:
a) arccos Цг— arcsin 1; 6) arcsin (sin 1 10°); в) cos t 2 arccos -5-)
y2 \ d /
2. Поставьте вместо звездочки знак: равенства; илы неравенства
так, чтобы получилось истинное высказывание:
arcsin (— 1) ♦ arctg (— 1),
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора значение:
a) arcsin (—0,3217); б) arccos (—0,7991); в) arctg 3,257.
С—М
Решите уравнение:
a) tg*=—б) sin(x+-2-)=^; в) cos(3x—2-) = —1.
С—1&
Отметьте на единичной окружности множество точек Л, для
которых соответствующие значения t удовлетворяют условию
cos 2/(sinд/3 cos/)=0. Отметьте знаки значений функции
f (/)=cos 2/ (sin f —д/З cos 0 на дугах с концами в полученных точ-
ках.
С помощью рмсунка выпишите множество решений неравен-
ства cos 2/ (sin f — д/З cos
70
Решите неравенство:
a) sin 2 ; б) teCi
лв \ О
С—17
Решите уравнение:
a) cos2 х—3 sin х — 3=0; б) sin 2х=2 -у/3 sin2 х.
С—18
Докажите тождество:
cos За 1 —tg а .
4 1 а ’
б)
2 sin — 4-sin а
л • а
2 sin ——sin а
=ctg24
С—19
Решите систему уравнений
cos (х-Н$= ——,
sin x-J-sin у=^/3.
С—20
Решите уравнение:
a) tgx=tg3x; б) tgx~4~ ***? в) sin Зх»cos ж.
С—21
1. Для функции ,/(х)=х2—Зх выразите приращение в точке х«
через хо и Ах и найдите ДД если:
а) Хо=3, Ах =—А-; б) хй= — 2, Дх=1.
2» Найдите —LlisL для функции f(x)=x3 — 5x.
71
1 Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно
по закону х(/)=3 — 2/Ч-/1 2 (время измеряется в секундах, коорди-
ната— в метрах). Найдите ее кинетическую энергию в момент
/ = 4.
2. Пользуясь определением производной, найдите производную
функции / в точке х:
а) /(х)=7-5х; б) /(х)«=х2-4х —7
С—23
Рис. 7
1. Для функции, график которой
изображен на рисунке 7, найдите:
а) ее значение в точках —1 и 1;
б) ее предел в точках — 1 и 1.
2. Найдите наибольшее б, при ко-
тором для всех из б-окрестности
точки 5 выполняется неравенство
|/(х>—24 <0,001,
где f .
Л 1 2(х—5)
| I -X*t
1. Известно, что lim f (x)«==—, limg(x)=——.
jf—»-3 2 x->3 3
Найдите предел в точке 3 для функции:
а) У=-^-----/(*)$(*); б) <если указан-
ный предел существует).
2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов:
а) й(|_ж+^_^)., б) _Пт^±5_.
1. Найдите производную функции:
a) f (х)=х7 — Зх5+-~=—2; б) g (х)=&+5)-у[х.
ух
2. Вычислите производную функции f (х)= 3~25
С—25
в точках —4, 8, х, х2—5.
3. Решите неравенство f'(x)^O, если f (х)=х+-~-
72
1. Найдите производную функции f (х)== 100 (д/х)10 —10 (д/х)100 в
точках х и 1.
2. Решите уравнение f' (х) = 0 и неравенства [' (х)>0 и f' (х)<0
для функции:
a) f(x)=2x4-x* 1 2; б) f(x)=^.
Л ’ л*
С—27
1. Найдите область определения функции:
a) f (*)=—; б) .
2. Даны функции f(x)=x3-|-2x и g(x)=sinx. Задайте с по-
мощью формул функции f(g(x)) и g (f (х)).
3. Найдите производную функции:
a) f (х)=(5х4—4Х5)’01; б)- g (x)=->j3x2—6х.
a) f(x)—cos
С—28
Найдите производную функции:
2х \
~— 1 1 ; б) f (x)=sin х cos 2x+cos x sin 2x;
в) f (x) = cos x cos 2x — tg 3x.
С—29
1. Найдите промежутки непрерывности функции
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) б) (х2 — 16)V* + 3<0-
С—30
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
y = sin-£- в точке с абсциссой х=-~.
2. Напишите уравнение касательной к параболе х2—2х
в ее точке с абсциссой хе=2. Выполните рисунок.
73
I. Вычислите приближенно -Vl 6,08, используя формулу
2. Найдите приближенно значение
1,ОООО4'оо+О,99996100
С—32
1. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно
по закону s(/)=2/4—\/Л где s— путь в метрах, t — время в се-
кундах. Найдите силу, действующую на точку в момент 1=4.
2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с
на угол 3/—0,01? (рад). Найдите: а) угловую скорость вра-
щения маховика в момент с; б) в какой’ момент време-
ни маховик остановится.
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х)=Зх3—х* 1 2—7х.
,2
2. Найдите критические точки функции f (х)=—
кие из этих точек — точки максимума функции/а какие — точки
минимума?
С—34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
f W— ~(Х_ |)? •
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
f (х)=5х2 —Зх—8.
2. Решите неравенство:
а) 2х2 + 5х+2<О; б) х2— 12х+36<0.
74
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Нх)=^.
С—37
L Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f 2х24-8х — 2 на отрезке [—4; 2].
2. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом
60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипоте-
нузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его
площадь была наибольшей?
С—38
5 12
1, Найдите cos (а + р), если известно, что cos а=—, sin р=—»
10 1 <5
0<а<т, —<Р<л.
2. Упростите выражение 8 sin2 (л—a)sin2f'|2-|-a)— 1.
3. Найдите sin — и tg-2-, если cos a= —0<а<л.
X 0
С—39
Проведите исследование и постройте график функции:
а) f(x)=cos(2x-~) ; б) f (x)=4-+sin ~;
\ 0 / А А
С-40
I. Найдите значение:
2. Решите уравнение:
sin
-5-; б) 8cos2x—2sinx=5.
X
3. Решите неравенство:
а) tg2x>—-Jr; б) cos(2x+-j-)<~-.
75
С—41
Решите систему уравнений
cos х sin у=—,
sin 2x + sin 2//=0.
С—42
1. Решите неравенство:
а) х2 —Зх—11>0; б) х2 + 7х4-12^0.
2. Решите методом интервалов неравенство:
С—43
Найдите производную функции:
а) у=х9—Зх64-2х3—7; б) у=х-у/3+х; в) t/=sin-f-;
г) y=tg(2x-f-) ; д) y=(j—Зх* 1 2)35.
С—44
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x)=x2 — 2x4-3 в точке пересечения графика с осью ординат.
2. Вычислите приближенно:
a) -VV1.00004; б) 1,ОООО3500.
3. Материальная точка движется по прямой согласно урав-
нению
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени /о = 2.
С—45
1. Исследуйте функцию f (х)=х4 — 8х2 и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = sin2 х cos х на отрезке Гб; -—Д
76
Вариант 8
1. Выразите в радианной мере величины углов 48° и 188°.
2. Выразите в градусной мере величины углов и ^-п.
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла: а) 23,6°; б) 83°53'. Найдите значения синуса и
косинуса этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла: а) 0,0995; б) 3,1012.
С—2
1. Докажите справедливость равенства
sin1 2 3 а (1 4-sin-1 а + ctg а) (1 — sin-1 a + ctg а)=2 sin a cos а.
2. Определите знак выражения:
а)
sin 200° cos 20°
tg 300° ctg 100°
; 6) cos 1 sin 3 tg 5.
3. Найдите sin a и cos a, если известно, что tga=3 и a не
лежит в I четверти.
1. Вычислите:
а) sin 1935°; б) tg 1395°; в) cos-^-.
2. Упростите выражение (cos 70°+cos 50°) (cos 310° +
+ cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) (cos 320° — cos 380°).
3. Докажите тождество
tg (л — a) ( 1 + tg (y-+ a ) ctg 2a )) tg (2л — a)—
-ctg(r-2a) •
77
, п 2 5л
1 —2 cos' —
1. Вычислите ; О^го----г*
sm2 75° — 1
2. Известно, что cosa=“ и sina<0. Найдите sin 4а и
3. Упростите выражение 1 - а
1. Отметьте на единичной окружности точки, для которых
ctga=0,5. Найдите соответствующие значения cos а и sin 2а.
2. В какой четверти координатной плоскости находится точка
Ра, если:
а)
sin а + cos а = — 1,3; б) ctg-^=-i-?
3. Изобразите схематически график функции
у s= sin3 х cos х+sin х cos3 х.
1. Найдите область определения функции, заданной формулой:
2. Дана функция
при *51’
147 I х — 1 при Х> 1.
а) Вычислите f (0); f (1); f (— I); f(2).
б) Постройте график данной функции.
Какие из функций:
а) у==2 sin х cos Зх tg 5х; б) у=х3 sin (х + 1*1);
в) у ;
г) £/ = ctg x-f-x COS2 X —
являются четными, какие — нечетными, а -какие не являются
ни четными, ни нечетными?
78
1. Приведите к значению тригонометрической функции наи-
меньшего положительного аргумента выражение:
a) cos393°!7'; б) tg4020°; в) cos уу-л.
2. Вычислите cos (— 60°) + sin 690° 4- tg (— 600°).
3. Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x)=cos{-|-+-£-)
; б) f (х)=cos2 х — etg х.
С—9
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) f(x)=V^T; б) f(x)=| 1+tttI •
2. Докажите» что функция f (х) = 3— Зх — 2х3 убывает на всей
числовой прямой.
3. Расположите в порядке убывания числа:
sin 0,5, sin 1,5» sin 3, sin 4,5.
С—10
1. Дана функция f (х)= lx2 — 6х-|-5|. Постройте ее график.
Найдите ее точки максимума и минимума, а также множество
значений х, при которых у^З.
2. Найдите точки максимума и минимума и экстремумы
функции f(x) = V3sin 3x + cos3x + 5, а также множество ее зна-
чений.
Постройте график функции, если известны ее свойства:
a) Z) (/) = [ —4; 6}. б) £(/)=(-«>; 4]; в) f (~2)=f (0)=f (1,5);=
=/(5)==0; г) функция возрастает на промежутках [ — 4; —3],
[— 1; 11 (2; 31 (4; 61 убывает на промежутках [—3; —11 [1; 2),
(3;4);д) хтах = -3, / (~3)=4, хт8Х = 1,/(1)=2, хтах = 3, f (3)= - 1,
xmin = — L / (— 1)= — 2; е) значения f (х) стремятся к — оо при х,
стремящихся к 2, и при х, стремящихся к 4, /(—4)=2, f (6)=1.
79
1. Найдите
область определения функции
f(x)=ctg2x +
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у =
= cos
—+-77-) , ее максимумы и минимумы. Постройте график
функции.
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Р/, для
которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют нера-
венству tg />2.
1. Найдите значение:
С—13
a) arctg 1 — arccos ; б) arccos (cos (— 12°));
в) cos(2 arcsin.
2. Поставьте вместо звездочки знак равенства или неравен-
ства так» чтобы получилось истинное высказывание:
arccos l*arctg 1.
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора значение:
a) arcsin 0.9898; б) arccos ( — 0,3737); в) arctg ( — 5,72).
С—14
Решите уравнение:
a) tgx= —у/3; б) cos(-2—х) = — 1; в) sin (-2-4-2-)=^.
\ о / \ X м / X
С—15
Отметьте на единичной окружности множество точек Р/, для
которых соответствующие значения t удовлетворяют условию
sin 2/(д/3 sin /-f-cos /) — 0. Отметьте знаки функции
f (/)=sin 2f (д/3 sin f+cos О
на дугах с концами в полученных точках. Используя рисунок,
запишите множество решений неравенства
sin 2/ (д/3 sin t + cos /) 0.
80
С—16
Решите неравенство:
a) tg3x<l; б) cos(2jc——L.
\ Ь / -J9
С—17
Решите уравнение:
a) sin* 1 2 х — 3 cos х — 3 = 0; б) 2 sin2 х—д/3 sin 2х=0.
C—18
Докажите тождество:
a) cos _______1 +tg о . sin 2a —2 sin a > 2 «
' 1 — sin 2a 1 — tg a ’ sin 2a 4* 2 sin a ® 2
C—19
Решите систему уравнений
[ sin(x+y)=l,
I sin x + cos 1/ = 1
C—20
Решите уравнение:
a) tg3x = tg5x; б)
sin4 x + cos4 x = sin 2x; в) cos3x = sinx.
C—21
1. Для функции f(x)=x2 + 2x выразите приращение в точке
хо через Хо и Дх и найдите ДД если:
а) хо = 2, Дх= —1; б) Хо=—-3, Дх = -^-.
2. Найдите для функции f (х) = х3 + 4х.
81
С—22
1. Материальная точка массой 2 кг движется прямолинейно
по закону х (0=2— 4/-J-3/2 (время измеряется в секундах, коор-
дината -— в метрах). Найдите ее кинетическую энергию в момент
2. Пользуясь определением производной, найдите производную
функции f в точке х:
а) f(x)=2 —7х; б) f (л)=х2 + 3х—2.
С—23
Рис. 8
1. Для функции, график которой
изображен на рисунке 8, найдите:
а) ее значение в точках —3 и 0;
б) ее предел в точках —3 и 0.
2. Найдите наибольшее б, при ко-
тором для всех х=#=— 1 из 6-окрест-
ности точки — 1 выполняется нера-
венство |/(х) —2| <0,002, где f (х) —
1. Известно, что limf(x)=—i-, limg(x)=3.
х-»2 * х->2
дел в точке 2 для функции:
С—24
Найдите пре-
а) (x)g(x); б) У = -!{ {*{.*£} (если указанный
s м/ \л) ~г s V*/
предел существует).
2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов:
a) lim (1 —х + 2х2—-Зх3); б) lim .
х-*4 х—*• — 3 2Х^ — X 4~ 1
1. Найдите производную функции:
a) f (х)=х8 — 2х4 * 6 — б) g (х)=х Vх + Ь
С—25
2. Вычислите производную функции f (х) —
6, X, X2—1.
2x4-3
Зх 4" 3
в точках —3,
4
3. Решите неравенство /' (х)<0, если f(x) = 2x-j—
Л»
82
С—26
1. Найдите производную функции f (х) = 40 (V*)8 — 8 (V*)40 в
точках ->Jx и I.
2. Решите уравнение f' (х) = 0 и неравенства /' (х)>0 и /' (х)<0,
если:
a) f(x)=8x<-x* 1 2; б) f(x)=^±|l.
Л Ля
С—27
1. Найдите область определения функции:
a) /(*)=—------; б) f(x)==—1=.
V* 4-2 —4 "у5—V*
2. Даны функции f(x)==x4 —2х и g (x) = cos х-|-1. Задайте с
помощью формул функции f (g (х)) и g (/ (х)).
3. Найдите производную функции:
a) f (х) = (7х3—Зх7)173; б) g (х)=д/х3 —Зх.
Найдите производную функции:
a) f(x)=sin(^- + l) ;
б) f (x) = cos х cos 3x4-sin x sin 3x;
в) f(x)=ctg(-|— -x) 4-sin x sin 2x.
C—28
С—29
1. Найдите промежутки непрерывности функции
с / \ 2х — 3
2. Решите методом интервалов неравенство:
б) (х2—9)л/х+2<0.
С—30
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (x) = cos-£- в точке М
Ля
2. Напишите уравнение касательной к параболе #=0,5х2—
— 2x4-2 в точке ее с абсциссой хо = О. Выполните рисунок.
83
С—31
1. Вычислите приближенно -\/81,12, используя формулу
V1 +Дх» 14
V ----------I 2 .
2. Вычислите приближенно 1,ООООО7400 — О,999999700.
С—32
1. Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно
секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент /=1.
2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с
на угол 2/ —0,04/* 1 2 (рад). Определите: а) угловую скорость вра-
щения маховика в момент /=12 с; б) в какой момент маховик
остановится.
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х)— х34-3х-—8.
х2 9
2. Найдите критические точки функции f(x)=—-|—г* Какие
из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки
минимума?
С—34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ-
цию
(х-3)2 •
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
f(x)=3x2-4x-7.
2. Решите неравенство:
а) х2—9х-22<0; б) х24-8х+16>0.
С—36
Исследуйте функцию и постройте ее график:
С—37
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = х3 — 2х2 + 8х—2 на отрезке [1; 4].
2. В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и про-
тиволежащим углом 30° вписан прямоугольник, основание ко-
торого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
С—38
1. Найдите sin (а — р), если известно, что sin а =-7-» 0 < а <*$-;
О Л
cosp=-|-, ^<р<2л.
2. Упростите выражение
sin2 (л — a)cos2(n + a)—|-sin2f2a4--y^ .
3. Найдите cos-£- и tg-£-, если cosa=—л<а<2л.
Л £ о
С—39
Проведите исследование и постройте график функции:
а) f (Х)=sin (-£-+-£-) ; б) f (х)=2 — cos 2х;
в) •
С—40
» 1. Найдите значение:
а) arccos ; б) arcsin (— ; в) arctg д/З.
2. Решите уравнение:
a) cos2^3x—^)==V’ б) 4 sin2 x-f-4 cos х = 5.
3. Решите неравенство:
85
Решите систему уравнений
tgxtg 2у — 1,
д/З sin 2х— 3 cos 2у = 0.
С—42
1. Решите неравенство:
а) х* 1 2 — 5х—7<0; б) х24-6х4-9^0.
2. Решите методом интервалов неравенство:
->0; б) —Ц-+—Ц
Зх —-1 2х — 1
С—43
Найдите производную функции:
а) у = 3х —7х3+-|-х84-х9; б) у=х-^5+х-, в)
г) tf = ctg(-y~Зх) ; д) у=(5х2 —I)8.
y=cos О,3х;
С—44
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x)=x2—Зх—3 в точке пересечения графика с осью ординат.
2. Вычислите приближенно:
a) д/д/0,999996; б) O.99997350.
3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне-
нию
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени /0=1.
£—45
I
1. Исследуйте функцию f (х) = 2х2—х4 и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = cos2 ^sin -у- на отрезке [—2; 2].
86
Вариант 9
С—1
1. Выразите в радианной мере величины углов равнобедрен-
ного треугольника с углом при вершине в 18°.
2. На сколько градусов нужно повернуть минутную стрелку,
чтобы перевести часы на 12 мин: а) вперед; б) назад? (Часы
разрешается переводить только по часовой стрелке.)
3. Найдите градусную меру углов четырехугольника, если
известно, что их величины относятся как 3:7:17:21, и выразите
при помощи таблиц или калькулятора наименьший из углов в
радианах.
4. Сумма двух положительных углов равна 1, а радианная
мера одного из них 'есть квадрат радианной меры другого.
Найдите с помощью таблиц или калькулятора градусную меру
этих углов.
1. Докажите справедливость равенства
/ I + sin а
V 1 —sin а
/l=sincL=2
V 1 + sin а
tg а, если ОСаС-^-.
Л»
2. Определите знак выражения:
И cos 1700° tg 3400° • *7 л* if
а) ----^5000=----' 1 2 * * * б) s,n 7 COS 9 tg 11.
я 3. Упростите выражение
(sina+cosgf—1 . а
tg’a — sin*a cos а ®
и найдите его значение, если sin и cos a<0.
87
1. Вычислите tg 31°-tg 33°-tg 35°«...-tg 59°.
2. Упростите выражение
3. Докажите тождество
sin
inf 2ф—2-) cos (3<p+n)=sin (2<р —л) sin (л—3«j>)—sin(тр’+ф) •
С—4
1. Вычислите cos cos cos ^2.
fcj *7
2. Найдите значение выражения
Ь 2 sin 2а-^3 cos 2а
? .ЫН । »।
4 sin 2а-f-5 cos 2а
если известно, что tga=3.
3. Упростите выражение cos4 2а — 6 cos1 2 3 2а sin2 2а+sin4 а.
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt,
для которых (cos/ — sin/)(1 4-cos t + sin Л==0. Для каких значе-
ний t из промежутка [0; 2 л] выражение (cost — sin /)(14-cos / +
4* sin /) равно 0?
2. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции t/==sinx
[у — созх) на отрезке Гб; ~J и неравенством sinx<x при х>0,
докажите, что cos (sin -у-) > sin (cos -у- j .
3. Изобразите схематически график функции:
а) y=|sin2x|; б) у—sin |2х|.
I. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) б) f(x)=^9-2^.
х(2—т/х+Т)
2. Дана функция
,х* при х> — 1,
' W=| 2 _3x при -1.
а) Вычислите f (— 2), f (— 1), f (3), f (x1 2 3).
б) Постройте график данной функции.
С—7
1. Может ли уравнение f(x)=O иметь в точности 5 корней,
если f всюду определенная и: а) четная функция; б) нечет-
ная функция?
2. Докажите, что любая функция с симметричной относи-
тельно точки О областью определения может быть представ-
лена в виде суммы четной и нечетной функций, причем един-
ственным образом.
1. На рисунке 9 изображена часть
графика периодической функции,
имеющей период Т. Постройте гра-
фик этой функции на отрезке
[-27; 37].
2. Найдите наименьший положи-
тельный период функции:
a) f(jc)=|sinxH-tg2x;
б) f (х)=соз^2х—.
Рис. 9
3. Докажите, что функция f не является периодической, если:
a) f (x)=sin х2; б) f (x)=cos х cos -fix.
69
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
«»и='4
2. Пусть функции f и g возрастают на всей числовой прямой.
Всегда ли функция: a) f+g; б) f—g-, в) 2f; г) — f; д) f3; е) f —
является возрастающей (убывающей) на всей числовой прямой?
3. Расположите в порядке возрастания числа:
sin 1, cos 1, tg 1, ctg 2.
С—10
1. Дана функция f (х) = |х4 — 5х* 1 2 3 + 4|. Постройте ее график
и найдите точки ее максимума и минимума.
2. Найдите точки максимума и минимума функции:
а) / (x)=sin |х-{-2|; б) f (х)—cos 4x4- cos 2х—‘•
Исследуйте функцию
и постройте ее график.
С—11
у =х3 — Зх
С—12
1. Найдите область значений функции f(x)=sin2x—
— 2sinx + 3. _____
2. Постройте график функции f (x)=^[~c2?s^ I i/l +^in 2x.
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pti
для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют
неравенству ^2.
tg з
С—13
1. Найдите: a) sin (arccos 0,28); б) arcsin (sin 10).
2. Докажите тождество arcsin х + arccos х=—-.
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
a) cos (5 arccos 0,7321); б) sin (4 arcsin 0,0237 + arccos 0,67).
90
Решите уравнение:
а) 4 sin х cos х — — 1; б) £^-=-L;
1— tg х tg 2х
в) |cos(3x—J) | =4-.
С—15
Изобразите на единичной окружности множество точек Р/г для
которых соответствующие значения t удовлетворяют неравенству
cos t tg 2/^0. Запишите, пользуясь рисунком, множество решений
этого неравенства.
С—16
Решите неравенство:
Решите уравнение:
а) -\/2 sin+ 1 = cos х; б)
Ал
о 1
sin X sin Ъх=—.
Ал
С—18
Решите уравнение:
а) 4 cos2jr-{-sin х eos х-|-3 sin2 х=3;
б) sin5 х—sin4 х cos х=2 sin3 х cos2 х.
С—19
Решите систему уравнений
tgxtg2y=l,
sin 2х--^3 cos 2у.
91
C—20
Решите уравнение:
a) sin Зх sin3 x + cos Зх cos3 х=—=;
2^2
б) sin x+sin 2х+sin Зх= 1 + cos x + cos 2x.
C—21
1. Сравните Д/(хо) и Ag(*o) в точке хо —2 для функций f (х) =
g(x) = x* 1 2—1 при Дх = 0,1 и 0,2.
2. Найдите Qb) и lim МХо+Д*)~7(£о) для функции
Дх Дл-*о Ьх
f (х)=х3 — 2х2 + 4х — 3.
С—22
1. Тело переменной массы, которая в момент времени t рав-
на 3 — 2/, движется прямолинейно по закону х(/)==/2 + 3/+1
(координата измеряется в метрах, время — в секундах, масса —
в килограммах). Найдите действующую на тело силу в мо-
мент t = 1.
2. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f в точке х:
а) Н*)=4-\£-х3; б)
Рис, 10
С—23
1. Для функции, график ко-
торой изображен на рисунке 10,
найдите:
а) ее значение в точках —2
и 3; б) ее предел в точках — 2
и 3; в) ее область значений.
2. Найдите наибольшее б,
при котором для всех х=/=3 из
б-окрестности точки 3 выполня-
ется неравенство | f (х)—41 < 0,1,
где f(x)=—
ух-Ь 1—2
92
1. Известно, что limf(x) = 2, limg(x)= — 1, Найдите предел
Х-* 1 Х-+-1
в точке 1 для функции: а) У=^^^-у
б) !/=(л/Г«+г(х))1 2 + ('#«-Я(х))2.
2. Вычислите предел, пользуясь правилами вычисления пре-
делов:
а> 1ьпЛгт; б) iini
х-*2 х — * х-*2 X — &
1. Найдите производную функции:
a) f (х)=^/хт—~\[х —Зх18; б) g(x)=(x2 + 3x) Vх-
С—25
2.
Докажите, что функция f (х)=
2 л
х при х^О,
— ;с при х<0
дифференцируема в точке 0, и найдите /' (0).
С—26
Решите уравнение /' (х)=0 и неравенства f' (х)>0 и (х)<0,
если:
a) f (х)=(х-2)2 (х+4); б) /(х)=^±.
(х—!)
1. Найдите область определения функции:
а) / (х)=—=====•» б) f (х)=-\/х—Vх—2 Vх-
•72
С—27
2. Найдите f (J (х)), f (J (J (х))) и вообще сложную функцию,
являющуюся л-кратной композицией функции f с собой, если
f (х)= 1 —Найдите область определения этой композиции (для
каждого n£N).
3. Найдите производную функции:
a) f (х) = д/З^3 * + 2х* —12; б) f (х)=(х3—х V*)9-
93
Найдите производную функции:
a) f (х) = sin 2х cos Зх + cos 2х sin Зх;
б) в) f (*)==sin3 2x+cos3 2х.
' * 1 ' ' 14-tg х tg (x— 1) ' 1 4 7
1. При каких a>0 справедливо неравенство
lim -°-<32?
x —a \lx--Ja
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) х«-Зхг+2<(?. б) _1_ , _2_^_3_
' 6x’-x-l%==U’ °7 х+2+х+3 х+4 •
С—29
С-30
I. В какой точке графика функции у = л[х касательная на-
клонена к оси абсцисс под углом 60°?
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х)—
=cos(-^——) в точке с абсциссой х=л.
\ *3 1^ /
i(______________ С—31
1. Вычислите приближенно (д/4,0008—д/0»9998)40.
2. Вычислите приближенно sin 64°, считая л «3,1416, sin 60° «
« 0,8660.
С—32
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону
s (t) =—1-/34-4/2 + 5/, где $ — путь в метрах, t — время в се-
кундах. Найдите: а) момент времени когда ускорение точки
равно 0; б) скорость, с которой движется точка в этот момент
времени.
2. Точка массой то движется прямолинейно по закону $(/) =
=—5—-. Докажите, что действующая на нее сила пропорцио-
нальна квадрату пройденного пути.
94
С—33
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f(x)=3x3 —2х* 1 2 + Зх-2.
2. Найдите критические точки функции f(x)=tg3x—tgx—3.
Какие из этих точек — точки максимума функции, а какие —
точки минимума?
С—34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ-
цию
(х-2)(6+х)
(х-1)2
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
h (х)= — 6х2+*Ч-1.
2. Решите неравенство 5х2-|-8х—4^0.
3. Докажите, что при х>— 1 имеет место неравенство
-|-х34-2х2 + 2х>
С—36
Исследуйте функцию и постройте ее график
С—37
1. Найдите наибольшее и Наименьшее значения функции f (х) =
на всей числовой прямой.
2. В треугольник с основанием 4 м и высотой 3 м вписан
прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого
прямоугольника (одна из сторон прямоугольника лежит на осно-
вании треугольника).
95
С—38
1. Найдите sin (а 4-P + y), если известно, что sin а=—,cosp =
□
tgY=f - 0<a<f. 0<₽<-^, л<Т<у-.
2. Докажите тождество
sin1 * 2 2a 4-4 sin4 a —4 sin2 a cos2 a . 4
-----2---—-------------= tg
4 —sin2 2a—4 sin2 a b
3. Вычислите:
а) J8”!' тТ? 6L *» 6) cos 16° cos 59° — sin 16° sin 59°.
1 — tg 7 tg 68
C—39
Проведите исследование и постройте график функции:
а) f (x)=sin(2x+^) ; б) f (x)=cos(^-f) ;
\ X / \ л о /
В) f«=tg(3x-4-).
1. Найдите значение:
С—40
а)
sin I 2 arcsin
2. Решите уравнение:
a) cos х cos 2х cos 4х=;
б) cos2 2x4-cos2 4х—sin2 6х— sin2 8х=0.
3. Решите неравенство:
a) sinxCcosx; б) sin х ( cos х 4-4-) 0.
Решите систему уравнений
С—41
2 cos х = 3 tg у.
2 cos у = 3 tg z,
2 cos z = 3 tg x.
96
С—42
1. Решите неравенство:
а) х* 1 2—12 |х|+32>0; б)
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) -£2>3—х; б)
Л I
(х —2) (х —4) (х —7)
(х+2) (х + 4) (х+7)
С—43
1. Найдите производную функции:
в) У=(2 — х2) cos х + 2х sin х;
г) у=(х3-х2)66.
2. Решите неравенство f' (x)>g' (х),
g (х)=Зх2 + х — д/З.
если / (х)=х3+х—д/2;
С—44
1. Напишите уравнения касательных к графику функции
f(x)=—х2 — 2х, проходящих через точку (1; 1).
2. Вычислите приближенно:
а) (^4,000008--70,999996)'°°; б) sin 32°.
3. Материальная точка массой 3 кг движется по Прямой со-
гласно уравнению Найдите действующую на нее си-
лу в тот момент времени />0, когда ее скорость равна 0 (путь $
измеряется в метрах, время t — в секундах).
С—45
1. Определите число корней уравнения х3 — 6х+12=0.
2. Среди всех равнобедренных треугольников данной площа-
ди S найдите треугольник наименьшего периметра.
4 Заказ 737
97
Вариант 10
С—1
1. Выразите в радианной мере величины углов равнобочной
трапеции с одним из углов в 36°.
2. На сколько градусов нужно повернуть минутную стрелку,
чтобы перевести часы на 24 мин: а) вперед, б) назад? (Часы
разрешается переводить только по часовой стрелке.)
3. Найдите градусную меру углов четырехугольника, если
известно, что их величины относятся как 8:13:23:28, и выразите
при помощи таблиц или калькулятора наибольший угол в радиа-
нах.
4. Сумма двух положительных углов равна 4, а радианная
мера одного из них есть квадрат радианной меры другого. Найди-
те с помощью таблиц или калькулятора градусную меру этих
углов.
1. Докажите справедливость равенства
С—2
-> / 1 Ч~ sin а_
V ] —sin а
— 2 tg а,
V 1-J- sin а ь
если 90°<а< 180°.
2. Определите знак выражениям
ч cos 110G° sin 2200° о ш
а) ----: б) s,n6tg8cos 10-
3. Упростите выражение
(sin а + cos а)2
sin а
и найдите его значение, если известно, что tga = 2 и sina<0.
4*
99
1. Вычислите ctg 13°«ctg 17°-ctg 21 °-... -ctg 77°.
2. Упростите выражение
cos
4 sin (5л—За) cos (а — 2л)
3. Докажите тождество
cos(4/4-y-) cos (/ — л)—cos (^2- 4-3/) =
— sin (~ — 4/) sin (/ 4- л).
C—4
1. Вычислите cos -y- cos y- cos .
2. Найдите ? sm 1 2 3„ ~ 4 cos^g . если известно, что tga = 3.
5 cos 2a —sin 2a
n w (1 + tg 2a)2 —2 tg2 2a . A «
3. Упростите выражение ----- -——=-----------sin 4a—1.
1 *4“ tg* 2a
1. Отметьте на единичной окружности множество точек P/t
для которых (cos t + sin t) (1 4-cos t — sin £)==0. Для каких зна-
чений t из промежутка [0; 2л] выражение (cos f-|-sin/)Х
Х(1 +cos / — sin t) равно 0?
2. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции y = sinx
(z/ = cosx) на отрезке 0; —- и неравенством sin при х>0,
1 I
докажите» что cos (sin l)>sin(cos 1).
3. Изобразите схематически график функции:
а) |cos 2х|; б) f/ = cos|2x|.
100
1. Найдите область определения функции, заданной форму-
лой:
а)
О.бх5 —5- х+2х3 .-------
/(*)----- ; б) /(х)=^3-4^.
х(4—ух — 1)
2. Дана функция
f/„\ f 2х1 2 3-Н при |х| <3,
' w“ I Зх—7 при |х| >3.
а) Вычислите f(—3), f (2), f (5), f(x2 + 4).
б) Начертите график данной функции.
С—7
1. Может ли уравнение f (х) = 0 иметь в точности 6 корней,
если f всюду определенная и: а) четная функция; б) нечетная
функция?
2. Докажите, что любая функция с симметричной относи-
тельно точки О областью определения может быть представлена
в виде суммы четной и нечетной функций, причем единственным
образом.
1. На рисунке И изображе-
на часть графика периодиче-
ской функции, имеющей пери-
од Т. Постройте график этой
функции на отрезке [•—ЗГ; 27].
2. Найдите наименьший по-
ложительный период функции:
a) f(x)=|cosx|4-ctg-j-;
б) f (x) = sin(V3x—-J-) .
С—8
Рис. 11
3. Докажите, что функция / не является периодической, если:
a) f (x) = sin VfxJ; б) f (x) = cos x-j-cos ^/2x.
101
L Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а)
fW={
х1 2 3 + 4г при х^О,
х2 — 2х при х>0;
б)
2. Пусть функция f и g возрастают на всей числовой пря-
мой. Приведите примеры таких двух функций f и g, что функ-
ция f — g обладает свойствами:
а) возрастает на всей числовой прямой;
б) убывает на всей числовой прямой;
в) убывает на (— оо; 0] и возрастает на [0; оо);
г) имеет бесконечно много промежутков возрастания и убы-
вания.
3. Расположите в порядке убывания числа:
sin 2, cos 2, tg 2, etg 3.
С—10
1. Дана функция f (х) — |x4 — 10x2 + 9|. Постройте ее график
и найдите точки максимума и минимума этой функции.
2. Найдите точки максимума и минимума функции:
a) f(x)=2cos |х— 1|; б) f (х)—sin Зх + sin 2х
2tgx
1-Hg2 ж *
Исследуйте функцию
у=х4 — 2х2
и постройте ее график.
1. Найдите область определения и область значений функ-
ции Л,
f <Х\-=^ЯХ t i-tg *
' ' ' 1 — tg2 х ‘ 2 tg х
2. Постройте график функции f (х) ^os +-y/l — sin 2х.
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt>
для которых соответствующие значения котангенса удовлетво-
ряют неравенству
102
С—13
1. Найдите: a) cos (arcsin ( —0,96)); б) arccos (cos 10).
2. Докажите тождество arctgx+arcctgx=-y.
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
a) sin (7 arcsin 0,1235); б) cos (4 arccos 0,12 +arcsin 0,3375).
С—14
Решите уравнение:
а) 4 sin х cos х= —\/3; б)
в) | sin (9%+-^) | =-L.
tg —tg 2х
14- tg 2х tg 5*
С—15
Изобразите на единичной окружности множество точек
для которых соответствующие значения t удовлетворяют нера-
венству tg / cos 2/^0. Запишите, пользуясь рисунком, множе-
ство решений этого неравенства.
С—16
Решите неравенство:
tg3x—tg(x—— )
а)------7—cos2jc<4--
14-tg3xtg(x-у)
С—17
Решите уравнение:
a) 2cos2(x4—+3 sin -----х) 4-1=0; б)
\ о / \ о /
sin 2х—sin Зх—0.
103
Решите уравнение:
a) 3sin(x —
б) cos ( х4-—) — 2 sin( х4-“т- I cos х + —) —
\ 4/ \ 4/ \ 4/
— 3 cos* 1 2 (-у--х) = 0.
\ 4 /
Решите систему уравнений
cos х sin =
sin 2x = —sin 2y.
Решите уравнение:
C—19
С—20
a) cos x cos 2x cos 4x = 4-; 6) sin x + sin 2x + sin 3x + $in 4x +
o
-J-sin 5x = 0.
C—21
1. Сравните Д/ (хо) и Д£ (хо) в точке Xo = 2 для функций f (х) =
=—, g(x)=^^~ при Дх=0,1 и 0,3.
X о
2. Найдите Н*о + Дх)—Цхо) и цт f (хо+Дх)—f (хо} ЛЛЯ фуНКЦИИ
Дх Лл + 0 Дх
f (х) = х3 + 2х2 —5х-|-6.
С—22
1. Тело переменной массы, которое в момент времени t рав-
но 2 + Л движется прямолинейно по закону x(t)=t2 — t (коорди-
ната измеряется в метрах, время — в секундах, масса — в кило-
граммах). Найдите действующую на него силу в момент /=1.
2. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции / в точке х:
a) f(x) = x2-2VJ; б)
104
1. Для функции, график ко-
торой изображен на рисунке 12,
найдите:
а) ее значение в точках — 1
и 2; б) ее предел в точках — 1
и 2; в) ее область значений.
2. Найдите наибольшее зна-
чение 6, при котором для всех
хф—4 из 6-окрестности точ-
ки — 4 выполняется неравен-
ство If (х) —2| <0,2, где f(x)=
Рис. 12
С—24
1. Известно, что lim f (х) = 3, limg(x)=—2. Найдите предел
х->2 х-^2
в точке 2 для функции:
а) • б>
2. Вычислите предел, пользуясь правилами вычисления пре-
делов:
а)
б) lim ( х 9--------2х2
x--3\-7x 4-7—2
1. Найдите производную функции:
С—25
a) f(x)=~—~\-х101; б) g(x)—(3x—x2)-y[^.
2 \х \х
2. Докажите, что функция f (х) =
х3 при х^О,
—х* при х<0
дифференцируема в точке 0, и найдите f' (0).
С—26
Решите уравнение f' (х)=0 и неравенства fz (х)>0 и fz(x)<0
для функции: a) f (х) = 2х3 + 3х2— 12х;
105
С—27
1. Найдите область определения функции:
а) /(%)=—===; б) f
2. Найдите f(f(x)), f (f (J (x))) и вообще сложную функцию,
являющуюся п-кратной композицией функции f с собой, если
f(x)==p~- Найдите область определения, этой функции (для
каждого n£N).
3. Найдите производную функции:
а) f (х)=д/2х3 — Зх* 1 2 + 7; б) f (х)=(х2 + х ?/7)7.
С—28
Найдите производную функции:
a) f (х) —cos Зх cos 2х —sin Зх sin 2х; б) f (х)=»
В) / (х)—-|~cos4 (2х2 — 3).
С—29
1. При каких а>0 справедливо неравенство
г2 —л2
lim 13,5?-
х — а -yjx-\]а
2. Решите методом интервалов неравенство:
ч бх2+х~1 1 t 2______ 3
а) л4-6х2+8^0'’ х-2+^-3>х-4 ’
С—30
1. В какой точке графика функции у=л[х касательная на-
клонена к оси абсцисс под углом 30°?
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) =
= cos(2x-b-?0
в точке с абсциссой х= —
106
С—31
1. Вычислите приближенно (->/3,99992—>/1,00004)60.
2. Вычислите приближенно cos 33°, считая л « 3,1416, cos 30° «
«0,8660.
С—32
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону
«(/)=—— t, где s — путь в метрах, t — время в се-
V л*
кундах. Найдите: а) момент времени /о, когда ускорение точки
равно 0; б) скорость, с которой движется точка в этот момент
времени.
2. Точка массой т0 движется прямолинейно по закону s(/) =
=2~-. Докажите, что действующая на нее сила пропорцио-
нальна кубу пройденного пути.
1. Найдите
2. Найдите
4-2 cos 2x4-2.
на функции, а
промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = х3 — Зх2 4- 2х — 7.
критические точки функции f (х) = 8 sin2 х4-
Укажите, какие из этих точек — точки максиму-
какие — точки минимума.
С—34
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ-
цию
/(х)=
(х-5)(3 + х)
(х + 2)2
107
С—35
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график
h (х) — — 8х* 1 2 —2х + 1.
2. Решите неравенство Зх2 — 6х — 1<0.
3. Докажите, что при х<1 имеет место неравенство
2
з
х3 * — 2х2 + 2х
С—36
Исследуйте функцию и постройте ее график
fW=
С—37
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х)=
= ^J2 — х — х2 на ее области определения.
2. Найдите большее основание трапеции наибольшей площа-
ди, если боковые стороны и меньшее основание трапеции рав-
ны 20 см.
С—38
з
1. Найдите cos(a + 0 + y), если известно, что cosa=—,
D
sin Р = 4-, tgY=4-. 0<а<л, О<0<-£-, 0<?<л.
DO
2. Докажите тождество
sin2 4а
2 cos a-|-cos 3a4~cos 5a
= 2 sin a sin 2a.
3. Вычислите:
а) 1+|3°8° tg 23° ’ 6) S'n 23° S’n 8° + COS 23<> COS 8°'
108
С—39
Проведите исследование функции и постройте график:
a) f (x)=sin(-£- — б) f (x) = cos(2x—£-) ;
в) fW=lg(rx+^")-
С—40
1. Найдите значение:
a) cos( 2 arcsin ; б) arctg д/5 + arctg
\ ъ / -75
2. Решите уравнение:
a) cos х cos 2х cos 4х = 1; б) 8 cos6 х = 3 cos 4x4-cos 2х 4-4.
3. Решите неравенство:
a) cos x<sin х; б) cos х( sin х4“4“) ^0.
\ J
С—41
Решите систему уравнений
sin x4-sin у=-у/2 cos z,
cos x4~cos y = -\/2 sin z.
cos 2y4-cos 2z = sin 2x.
C—42
1. Решите неравенство:
a) x2-8|x| +12<0; 6) 1+^- >X.
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) —• б) (х-')(х~2)(*-з) 1
' х-2'х ^х + 2 ’ и/ (х+1)(л + 2)(х+3)^
109
С—43
1. Найдите производную функции:
а) У *2 4“ 3 » в) У —. ____ 2 >
в) У=(—24-х* 1 2) sin х+2х cos х; г)
i/=.(х4—х3)42.
2. Решите неравенство f' (х) g' (х), если f (х)=—, g(x) =
=х—х3.
С—44
1. Напишите уравнения касательных к графику функции f (х) =
=х2 — 2x4-2, проходящих через точку (— ]).
2. Вычислите приближенно:
а) (л/16,000032—д/8,999982)200; б) tg48°.
3. Материальная точка массой .’2 кг движется по прямой со-
гласно уравнению 5(0~ ууу- Найдите действующую на нее си-
лу в тот момент времени />0, когда ее скорость вдвое меньше
первоначальной (путь s измеряется в метрах, время t — в се-
кундах) .
С—45
1. Определите число корней уравнения х3 — 9х+ 10=0.
2. Среди всех равнобедренных треугольников данного пери-
метра 2р найдите треугольник наибольшей площади.
ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
Про-в е р о чиаработа № Г
Вариант 1
1. Точка Pt единичной окружности имеет
координаты f
Найдите значения cos t, sin t.
Дайте определения синуса и косинуса угла а.
Найдите значения sin л, cos л, sin (—630°), cos (—630°).
2. Найдите длину дуги радиуса 5 см, радианная мера кото-
рой равна ур.
3. Чему равен cos а, если sin а=0,5?
4. Упростите выражение (sin а Ц-cos а)2+(sin а — cos а)2 —2.
5. Докажите равенство 1 — „ , ;-г~=, 1— •
r l-btg^a 14-ctg2a 5л
6. Определите знак произведения cos 350° sin
7. Приведите пример нечетной (не тригонометрической) функ-
ции. Какие из основных тригонометрических функций являются
нечетными?
8. Найдите cos (л — а), если cos а =—0,75.
Запишите формулы приведения для углов ---а, л—а, —а.
9. Найдите sin 2а, если cos а=1.
10. Представьте в виде произведения sin 2а —sin 2₽. Запи-
шите формулы суммы и разности синусов.
Вариант 2
Г. Точка Pt единичной окружности имеет координаты
(— 0,8; —0,6). Найдите значения tg t и ctg t.
Дайте определения тангенса и котангенса угла а.
Найдите значения ctg-—-, tg -у-, ctg( — 450°), tg 540°.
2. Найдите площадь сектора радиуса -\/7 м, радианная мера
дуги которога равна 0,7.
111
3. Чему равен tg а, если cosa=^-?
4. Упростите выражение
(cos a + sin a)2— (cos a —sin a)2 4-cos a sin a.
5. Докажите равенство
l~+~7tg2 a COS2 “ = +tg2 COS2 “•
6. Определите знак произведения sin у- ctg 250°.
7. Приведите примеры четной (не тригонометрической) функ-
ции. Какие из основных тригонометрических функций являются
четными?
8. Найдите если tga=— 2,7.
Запишите формулы приведения для углов л-|-а, 4-а.
9. Найдите sin-^-, если cosa = 0,8 и л<а<2л.
10. Представьте в виде произведения cos 20 + cos 2a.
Запишите формулы суммы и разности косинусов.
Проверочная работа №2
Вариант 1
1. Найдите области определения и значений функции
Сформулируйте определение функции. Что называют областью
определения функции? областью ее значений?
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f(x)=x2-2x+l.
Какую функцию называют возрастающей на множестве Р?
3. Докажите, что функция f является четной:
а) f(x) = cos2x; б) f(x) = sin2x; в) f (х)=2х4 —Зх2.
4. Исследуйте функцию /(х) —х3 + * и постройте эскиз ее
графика (без использования производной).
Опишите схему исследования функции.
5. Расположите в порядке возрастания числа sin 2, sin 4,
sin 6..
Перечислите основные свойства функции синус.
6. Найдите наименьший положительный период функции:
а) f(x)=sin (з*+-у-); б) f (x)=tg2(x—у-).
7. Вычислите: а) tg V2-Hg(—\/2); б) tgy^ctgyi.
112
Перечислите основные свойства функции тангенс.
8. Найдите arccos (— 1); arccos
Сформулируйте определение арккосинуса числа. При каких а
определен arccos а? В каких пределах может лежать arccos а?
9. Решите уравнение: a) tg (2х—= 1; б) 2 cos ( у- + 1) = 1.
Напишите формулу для решения уравнения sinx=a.
10. Решите неравенство: a) tg2x>l; б) sinx^— 1.
11. Решите систему
cos (х+«/)== 0,5,
sin(x—t/)=l.
Вариант 2
1. Изобразите схематически график функции f (х)= , _ „
Что называют графиком функции?
2. Докажите, что для возрастающей на промежутке / функ-
ции f уравнение f (х)=а для любого а имеет не более одного кор-
ня на I. Верно ли аналогичное утверждение для убывающей
функции /?
3. Докажите, что функция f является нечетной: <
a) f (x)=sin -i-; б) f(x)=x2tgx; в) f(x)=x7—5х3.
О
Какие функции называют четными? нечетными?
4. Изобразите эскиз графика какой-либо функции g, обла-
дающей следующими свойствами: 1) g возрастает на промежут-
ках (— оо; 1] и [5; оо); 2) g убывает на промежутке [1; 5]; 3) х =
= 1 — точка максимума функции, х=5 — точка минимума функ-
ции, при этом g(l) = 4, g(5) = 2.
Может ли функция g с указанными свойствами быть четной
или нечетной? Почему?
5. Найдите точки максимума и минимума функции у =
=соз
(2’+f)-
Перечислите основные свойства функции косинус.
6. Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x)=cos(^-— у-); б) f (x)=sin2 x-f-tg х.
Какие функции называются периодическими?
7. Найдите arctg(— 1), arctg —.
5 Заказ 757
113
При каких а определен arctg а? В каких пределах лежит
arctg а?
8. Ответьте, верно ли равенство: a) arcsin
б) arcsin (— 1)=^-? Ответ обоснуйте.
Объясните, как определяется арксинус числа о. В каких пре-
делах может лежать arcsfn а?
9. Решите уравнение: a} 4srn^—2^ = 2; ff) fg*3r=3.
Напишите формулу для решения уравнения eosjr=a.
10. Решите неравенство: a) cosx>>-j-; б) tg2x^l.
11. Решите систему
। л
sin x-f-sin у = у[2.
Проверочная работа 9
Вариант 1
1. Решите неравенство методом интервалов:
а) 2х2 —Зх+1>0; б) (*->)(2*+3)<0
’ ' jt2-6x4r& -
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой дь= —6,5.
3. Найдите производную функции у=3х^—4,5л2; у—cos ------
л
— sin 2х.
Какой механический смысл производной в точке х®?
4. Тело движется прямолинейно по закону x(f)=3X4 — 2/3-|г1
(х в метрах, t в секундах). Найдите его скорость и ускорение
в момент времени: а) /; б) 2.
5. Известно, что g(x)—х д/х + 1. Найдите g' (xj; g'(3).
Сформулируйте теорему о производной произведения.
6. Вычислите приближенно \Q17.
7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f W=x-2 V*-
8. Найдите точки максимума и минимума функции у=х3—
<5
9. Исследуйте функцию f (х) —х3 — Зх — 2 и постройте ее гра-
фик.
114
Ю. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (*) = х+у- на отрезке [1; 3}
Вариант 2
1. Решите неравенство методом интервалов:
а) Зх-7х"<0; б) g-faJ-X).
2. Напишите уравнение касательной к графику функции у =
= 2х2—1 в точке с абсциссой х0 = 3.
3. Найдите производную функции у==2,5х2—х5; t/==tg2x—
-2ctgf.
Каков геометрический смысл производной в точке хо?
4. Маховик вращается вокруг оси, поворачиваясь за t секунд
на угол (о(/)=2/4 — t (рад). Определите его угловую скорость
в момент времени: а) /; б) 2. В какой момент времени угловая
скорость маховика равна нулю?
5. Известно, что f (х)=^----
Найдите f (х); f (2).
Сформулируйте теорему о производной частного.
6. Найдите производную функции f (х)=(2х3— I)100.
Запишите формулу для вычисления производной сложной
функции.
7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
£/ = Х3 + х.
8. Найдите максимумы и минимумы функции g(x)—^/x—х.
9.
Исследуйте функцию у =
и постройте ее график.
10. Разбейте число 12 на сумму двух неотрицательных сла-
гаемых так, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была: а) наи-
большей; б) наименьшей.
ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1 (на 20 мин)
Вариант 1
1. Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) sin 240°; б) cos^; в) ctg(—.
2. Дано: sina=—0,6 и * Найдите: a) cos а;
б) cos(-^—а) .
3. Докажите тождество
2 sin2 a cig а
2 • 2
cos a—sin а
= tg 2а.
4. Необязательное задание*. Дано: sin % + cos х=
= m. Найдите sin 2х и наибольшее значение т.
Вариант 2
1. Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) cos 240°; б) sin ; в) tg(—.
ч5 \ О J
15 л
2. Дано: cosa=— — и —<а<л. Найдите: а) sin а;
i 9
3. Докажите тождество
4. Необязательное задание. Дано: sin х — cos х =
= п. Найдите sin 2х и наименьшее значение п.
* По пятибалльной системе оценок оценивается основная часть контрольной
работы. Необязательные задания адресованы учащимся, проявляю-
щим повышенный интерес к математике.
I и?
Вариант 3
1. Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) tg 300°; б) sin(—; в) cos^.
2. Дано: sin а = 0,8 и Найдите: a) cos а;
б) «) •
3. Докажите тождество
sin За —sin а .
----------= tg а.
cos За + cos а-°
4. Необязательное задание. Начертите график
функции
t/==2tgx ctgx —4.
Вариант 4
1. Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) ctg 300°; б) cos^-; в) sin(— .
2. Дано: cos а=—0,6 и Найдите: a) sin а;
б) tg(f+а) .
3. Докажите тождество
cos а — cos 5а 2^
sin 5а 4- sin а ®
4. Необязательное задание. Начертите график
функции
y = xtgxctgx—I.
Контрольная работа №2
Вариант 1
1. Найдите область определения функции у= .
X у
2. Вычислите sin ( — 750°) + ctg 945°.
3. Докажите, что функция f(x)=2x6 + 4 tg х является не-
четной.
4. Исследуйте функцию i/ = 2sinx и постройте ее график.
119
5. Необязательное задание. Найдите область
определения функции
Вариант 2
1. Найдите область определения функции .
2. Вычислите cos 114O° + tg ( —495°).
Зх2
3. Докажите, что функция является нечетной.
4. Исследуйте функцию i/=l,5cosx и постройте ее график.
5. Необязательное задание. Найдите область
определения функции
зУ=7+2УГ+4
& sin х
Вариант 3
—х
х^ — 2х
Найдите область определения функции у =
2. Вычислите sin ( — 660°) +cos 810°.
3. Докажите* что функция ft(x) = 3x4tgx является нечетной.
4. Исследуйте функцию i/ = sin0,5x и постройте ее график.
5. Необязательное задание. Используя рисунок
к заданию 4, изобразите схематически график функции у =
= |sin0,5x| и выпишите два промежутка возрастания функции.
Вариант 4
1. Найдите область определения функции .
2. Вычислите cos 840° + tg ( — 585°).
3. Докажите, что функция <р(х)=-т— является четной.
4. Исследуйте функцию i/ = cos0,5x и постройте ее график.
5. Необязательное задание. Используя рисунок
к заданию 4, изобразите схематически график функции у =
= |cos0,5x| и выпишите два промежутка убывания функции.
121
Контрольная работа №3
Вариант 1
1. Решите уравнение:
a) sinx= —1;б) 2 cos2 х —cos х — 1 =0;
в) sin2 х+^ТЗ sin х cos х = 0.
2. Решите неравенство sinx^—0,5.
3. Решите систему уравнений
Г х+у=л,
t sin x+sin у — —-\/2*
4. Необязательное задание.
|2 sin х— 11 1.
Решите
неравенство
Вариант 2
1. Решите уравнение:
a) cosx= —1; б) 2 sin2 х —sin х—1=0;
в) cos2 х —->/3 sin х cos х = 0.
2. Решите неравенство cosx^ —0,5.
3. Решите систему уравнений
{х + у = л,
cos х — cos г/ = л/2.
4. Необязательное
задание.
Решите неравенство
|2 cos х + 11
Вариант 3
I. Решите уравнение:
a) sinx = 0,5i/2; б) 2 sin2 x = cos х+1;
в) sin2 х — 2 sin х cos х = 3 cos2 х.
2. Решите неравенство tg х^ — 1.
3. Решите систему уравнений
. л
sin x + sin у =
Необязательное
задание.
Решите
2 sin2
x + sin х— 1
<0.
неравенство
Вариант 4
1. Решите уравнение:
a) cos х = 0,5 д/2; б) 2cos2x—1 = sin х;
123
в) sin2 x + sin х cos x = 2 cos2 x.
2. Решите неравенство tgx^V3.
3. Решите систему уравнений
I X —£/ = —,
t cos x — cos y = —^2.
4. Необязательное задание. Решите неравенство
2 cos2 х—cos x — 1 *С0.
Контрольная работа №4
Вариант 1
1. Для функции у=х2 найдите приращение Ду, если Хо—1,
Дх=0,6.
2. Найдите производную функции:
a) f (х)=4-х3 + %24-2х; б) <р(х)=4-—х;
О X
g (х) = 4 sin х — и вычислите gz
h (х)=2 —— и вычислите Л' (— 1).
3. Решите уравнение ^-^-=0, если f (х) = -^-х3—4х, g (х)=^/х.
4. Необязательное задание. Имеет ли производ-
ную функция f (х)= — 0,5х|х| в точке х = 0?
Вариант 2
1. Для функции у = 0,5х2 найдите приращение Ду, если х0 = 1,
Дх = 0,8.
2. Найдите производную функции:
a) f(x)=—^х34-2хг—х-, б) ф(х)=4-+х;
в) g (х) = 3 cos х — и вычислите ;
г) h (х)=?-"Ь2* — и вычислите h' (1).
3. Решите уравнение ^^-==0, если f (х)=-|-х3— 18х, g(x)=
= 2 -у/х.
4. Необязательное задание. Имеет ли производную
функция f (х)=2х |х| в точке х —0?
125
Вариант 3
1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у=х3, проходящей через точки графика с абсциссами хо=О,5,
*о + Дх=2.
2. Найдите производную функции:
a) f (х)=-|-х3—х2 —7х; б) <р(*)=2рН-7;
в) g (х) = 2 tg х — и вычислите g'
г) h (х)=4*-~—и вычислите h' (—2).
х ~г 3
3. Решите уравнение f' (х) g' (х)=0, если / (х)=х3—6х2, g (х) =
4. Необязательное задание. Дана функция f(х)=
=х2+1, где х^О. Найдите функцию g(x) такую, чтобы выпол-
нялось условие f (g(x))=x.
Вариант 4
1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
i/=0,5x3, проходящей через точки графика с абсциссами хо=О,6 и
хо4-Дх=2.
2. Найдите производную функции:
a) f(x)=—|-х3 + 4х24-2х; б) <р(х)=^--10;
в)
g (х)=4 etg х — и вычислите g
г) h (x) = 2£iA — и вычислите Л' (4).
х о
3. Решите уравнение f'(х) g' (х) —О, если
g
и
f (х)=х3—Зх2,
4. Необязательное задание. Дана функция f(х)=
=х2 — 2, где х^О. Найдите функцию g(x) такую, чтобы выпол-
нялось условие g (J (х))=х.
Контрольная работа №5
Вариант 1
уЛ_Л
1. Решите неравенство ------—<0 методом интервалов.
X •*“ D
2. Точка движется прямолинейно по закону х(/)=/2 + 5.
127
Найдите ее скорость в момент времени t=3 (координата
x(t) измеряется в сантиметрах, время t — в секундах).
3. Найдите угол наклона касательной к графику функции
f(x)=2—— в точке его с абсциссой х0—1.
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х)=х2+1 в точке с абсциссой х0=1. Выполните рисунок.
5. Необязательное задание. Решите неравенство
х (х2+4х+4) ~\/х2 — 1 0.
Вариант 2
_л
1. Решите неравенство ^5<>0 методом интервалов.
2. Точка движется прямолинейно по закону х (/) = 3/3-{-2/+1.
Найдите ее скорость в момент времени /=2 (координата x(t)
измеряется в сантиметрах, время i — в секундах).
3. Найдите угол наклона касательной к графику функции
f (х)=3—в точке с абсциссой хо — 2.
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) —х2 — 1 в точке его с абсциссой хо= — 1. Выполните рисунок.
5. Н е о б я з а т ел ьное задание. Решите неравенство
х (х2 —2х+1) 1/25 — х2^0.
Вариант 3
1. Решите неравенство методом интервалов.
2. Точка движется прямолинейно ро закону Х|(/)=3/3 + 2/+1.
Найдите ее ускорение в момент времени / = 2 (координата х(/)
измеряется в сантиметрах, время t — в секундах).
3. Найдите угол наклона касательной к графику функции
f (х) = 1 —в точке его с абсциссой х0= — 1.
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = х2 — 2х в точке его с абсциссой хо = 2. Выполните рисунок.
5. Необязательное задание. Начертите схематиче-
ски график функции <р, которая определена на промежутке
[—4; 3), непрерывна в точке х=—2, но не дифференцируема в
этой точке. Известно, что х=1—точка минимума и <р(1) = 2.
Вариант 4
1. Решите неравенство методом интервалов.
2. Точка движется прямолинейно по закону х(/)=2/3+3/+1.
129
Найдите ее ускорение в момент времени £~3 (координата х(/)
измеряется в сантиметрах, время t — в секундах).
3» Найдите угол наклона касательной к графику функции
f(x)=2 —в точке его с абсциссой хо=1.
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = х2 + 2х в точке его с абсциссой хо= — 2. Выполните ри-
сунок.
5. Необязательное задание. Начертите схемати-
чески график функции f, которая определена на промежутке
(—5; 4], непрерывна в точке х = 2, но не дифференцируема
в этой точке. Известно, что х= — 1—точка максимума и
Н-1)=з.
Контрольная работа №6
Вариант 1
1. Исследуйте функцию f (х)==х3 — Зх2 + 4 и постройте ее гра-
фик.
2. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них
на удвоенное другое слагаемое было наибольшим.
3. Необязательное задание. Докажите, что функ-
ция <р(х) = — 4,3 х — cos2 x + sin2 х убывает на множестве дейст-
вительных чисел.
Вариант 2
1. Исследуйте функцию f (х)= — х3 + Зх2 — 4 и постройте ее
график.
2. Число 9 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на
утроенное другое слагаемое было наибольшим.
3. Необязательное задание. Докажите, что функ-
ция f (х) = 2 sin х sin (0,5л + х) + 3,2х возрастает на множестве
действительных чисел.
Вариант 3
1. Исследуйте функцию f (х) = -|-х3--4х—-3 и постройте ее
график.
2. Число 8 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на дру-
гое слагаемое было наибольшим.
131
3. Необязат ельное задание. Используя результаты
задания 1, определите число корней уравнения f(x) = C, где
С — действительное число.
Вариант 4
L Исследуйте функцию f(x)=—|~х34-4х4-3 и постройте ее
график.
2. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоен-
ное другое слагаемое было наибольшим.
3. Необязательное задание. Используя результаты
задания 1, определите число корней уравнения f(x)=m, где
tn — действительное число.
Контрольная работа №7 (на 2 часа)
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) 2 sin2 х—1=0; б) sin 2х + д/3 cos 2х = 0.
2. Дано: f (х)= — 3 sin х. Найдите f' (0).
3. Решите неравенство: a) 2cosx — л/2>0; б)
4. Постройте график функции f (x)=-i-x3—х2+-^-и найдите
0 о
с помощью графика множество значений х, для которых
0
5. Необязательное задание. Докажите, что если
(4х2—9) (х2 + х+ 1)<0, то cosx>0.
Вариант 2
1. Решите уравнение:
а) 2 cos2 х—1=0; б) 3 sin 2х — -\/3cos2x = 0.
2. Дано: f (х)=—4-7 cos х. Найдите /' (0).
X “т~ 0
3. Решите неравенство: а) 2 sin х—д/3>0; б) 4*~* sgZO.
4. Постройте график функции f (х)=-|-х3—х2—и найдите
0 О
133
с помощью графика множество значений х, для которых
— (х)<0.
5. Необязательное задание. Докажите, что если
(х2— Зх^х2—х+1)<0, то sinx>0.
Вариант 3
1. Решите уравнение:
а) 4 sin2 х—3=0; б) sin^2x+-y-) -|-cosf2x-|-y} =0.
2. Дано: f (х)= —|-2cosx. Найдите f' (0).
X "т** д
3. Решите неравенство: а) 2 cos х+-\/2 < 0; б)
4. Постройте график функции у=2х3—Зх2+5 и найдите с
помощью графика множество значений х, для которых у>0.
5. Необязательное задание. Докажите, что если
(х2+1)(х2— 5х4-6)<0, то sin-^-oO.
Вариант 4
1. Решите уравнение:
a) 4cos2x—3=0; б) sin^2x——cosf2x—j4=0.
2. Дано: f (х)=* — 2 sin х. Найдите /'(0).
3. Решите неравенство: а) 2 sin б) х
4. Постройте график функции */—— х3-|-Зх-|-2 и найдите с
помощью графика множество значений х, для которых £/<0.
5. Необязательное задание. Докажите, что если
(х24-3)(х2—10*4-24)<0, то cos-^-<0.
Ля
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИТОГОВОГО ПОВТОРЕНИЯ
2.
точек
Вариант 1
Решите уравнение 2 cos2 x+cos х=0.
Найдите /' (х), если f (х) = х“2+0,5 sin 2х.
Найдите область определения функции у=
Решите неравенство
Постройте график функции z/=x2(x —3). Сколько общих
имеют графики функций y=jr(x —3) и у=х—3?
2.
— 2 cos 0,5х.
Вариант 2
Решите неравенство 2 sin х— 1 <0.
Найдите f' (х), если /(х)=х“*
Решите уравнение -у/х — З (sin2 х—3 sin x) = (k
Решите неравенство
Постройте график функции у—х3 — Зх+З. Найдите наи-
большее и наименьшее значения функции на отрезке £—3^ .
Вариант 3
1. Дана функция f (х)=2 sin х sin (0,5 л—х). Найдите /'(л).
2. Дана функция f(x)=~:~l~5 . Решите неравенство f' (х)>0.
м X
3. Упростите выражение sin(-|-n+x) — sin(-y-n+*) •
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют условию (у — 1) (л2—Зх—
-18) = 0.
5. Исследуйте функцию у=4х2(х—2)2 и постройте ее график.
137
Вариант 4
L Дана функция f (я)= 2 cos х cos (0,5л—х). Найдите •
2. Точка движется прямолинейно по закону х (0 = 3/4 + 2/3+6.
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени /==2 (коор-
дината х (f) измеряется в сантиметрах, время t — в секундах).
3. Упростите выражение cos(-|-n+x)+cos(-|-n + *) .
4. Исследуйте функцию г/=-^-х2 (х—4)2 и постройте ее график.
5. Решите систему уравнений
Вариант 5
1.
2.
3.
Упростите выражение
sin 2а
1 4° cos 2а
Решите уравнение tg2x-j-3tgx— 4 = 0.
Дана функция f (х)=(3 — 2х)6. Найдите f' (1).
4. Решите неравенство -^х2 —9 (х+8)>0.
5. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси-
мума и минимума функции «/ = (х — I)2 (2х + 4). Постройте график
этой функции.
Вариант 6
1. Дано: sina=^, 0о<а<90°. Вычислите sin (30° +а).
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = 0,5х2 — 2х в точке его с абсциссой Хо = 4.
о
3. Решите неравенство —^х.
4. Решите уравнение 1 — 4 cos2 x = sin 2х.
5. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси-
мума и минимума функции g (х)=х4—2х2+3. Постройте график
этой функции.
Вариант 7
3 л
1. Дано: cosa =—— <а<л. Вычислите sin 2а.
о 2
2. Постройте график функции у= — О.бх2 — х+1,5.
138
( , 5л\ / 5л\
cos I a -f- -7- у — cos la —— I
3. Упростите выражение —-——-------------------—.
V2 sin (л 4- a)
x_2 5
4. Для функции y= *2—4 найдите: а) промежутки непре-
рывности; б) промежутки возрастания.
5. Число 54 представлено в виде суммы трех положительных
слагаемых. Первое слагаемое в два раза больше второго.
Найдите эти слагаемые, зная, что их произведение наибольшее.
Вариант 8
1. Вычислите sin ( — 840°) +tg ( — 855°).
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f(x) = (2x-4)(x+l)2.
3. Решите уравнение 2 sin2х—1 = sin х.
4. Постройте график функции 1,5 cos
5. Число 48 представлено в виде суммы трех положительных
слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Найдите эти
слагаемые, зная, что их произведение наибольшее.
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ
ПРОГРАММИРОВАННОГО КОНТРОЛЯ
Работа по теме «Преобразования
тригонометрических выражений*
Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
4 sin а = —, D т<а<л. Найдите cos а 3 cos а = ——, □ <2сх< л. Найдите sin а __4_ 5 5 3 5 4 5
Быт sin 240° ислите: cos 240° __Уз 2 2 1 2 уз 2
sin а = -^, 90°<а<180°. Найдите cos (30° + а) УЗ cos а= 90°<а<180°. Найдите sin (30° + а) 1 0,5 0 — 1
Верный ответ: вариант 1—2 1 4; вариант 2—4 2 3
Работа по теме
«Арксинус, арккосинус и арктангенс»
Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Вы arcsin ( — 0,5) числите: arccos ( — 0,5) 2л 3 л 6 1 2л 3
. У2 arcsin — л* — arccos( —1 \ / Уз arccos — ( УЛ — arcsin ( — \ / л 2 л _ 2 л — Л
sin (2 arctg ( — 1)) cos^3 arctg ( —^f)) 1 0 0,5 — 1
Верный ответ: вариант 1—3 2 4; вариант 2—4 1 2
140
Работа по теме
«Основные свойства функций»
Задание Ответ (и С
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Найдите облас функ х2 —4 ть определения :ции: 9 9 —х2 х^О, х=#2 х^О, х^= ±2 х^О, хФ — 3 х<0, хФ ±3
х— 1 У=- Г SH1X—1 х-f-1 у =—-^тт хф л 4-2лп * ¥=-£+ лп х =#= -2-4- 2лп Ля х =#= Л + лл
Найдите промежут- ки убывания функ- ции у — 2х2 — 4х + 1 Найдите промежут- ки возрастания функции t/ = 0,5x24-x-f-1 (— оо; —1] [—1; °°) [1; °э) (—оо; 1]
Верный ответ: вариант I — 1 3 4; вариант 2—3 1 2
Z Работа по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений»
Задание Ответ (л£2)
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Решите у sm х=-^- 'равнение <2 sinx=-^ -г+2 яп 4 (-irf+лл (-1)я+1-2>+лл —+ ЯП 4
sin 2х = — 1 sin 2х = 1 —“~+2лл я . ^г+2лл 4
cos Зх— £ а л/З cos Зх ±10° + 120°п 10° + 120°п - 50° + 120°л ±50’+120°л
Верный ответ: вариант 1—2 3 1; вариант 2—3 2 4
Работа по теме «Правила вычисления производных»
Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
f(x)=(3 + 4x)(4x-3). Найдите f' (— 1) f(x)==(2-5x) (5x4-2). Найдите f' ( — 1) -32 32 50 -50
f (х) = 5х® — 8х5. Найдите /'(—!) {(х)=9х6 — 6х9. Найдите f' (— 1) 80 -80 108 -108
/ \ 4’—-Зх
Найдите <р' (— I)
, ,
ф(х)=^.
Найдите <₽' (— I)
Верный ответ: вариант 1 — 1 2 3; вариант 2—3 4 1
Работа по теме «Метод интервалов»
Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Решите не х4 —х2<0 равенство: х4 —4х2>0 (— 1; 1) (-1;0)и(0; 1) (-2; 2) (—00; —2)и U(2; оо)
(х2 — 4) д/х-4-3 > 0 (х2 — 1) Vx + 3<0 (-3; -2)U U(2; <ю) (-00; _2)и 11(2; оо) (-1; 1) (-3; I)
Верный ответ: вариант 1—2 1; вариант 2—4 3
Работа по теме «Касательная к графику функции»
1 1 “ — — > „ 1 || ' 1 . , 1 Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Найдите угол наклона касате^ в точке его с f(x) = 2x2, х0=—0,25 1ьной к графику функции f (х) абсциссой хо: / (х) = — 2х2, х0 = — 0,25 30° 135° 60° 45°
Продолжение
Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
• Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) в точке его с абсциссой хо=О: /(х) = 2х2-Ы | f(x)=2x2—1 у=-1 у=2 у=1 У=-2
Верный ответ:, вариант 1—2 3; вариант 2—4 1
Работа пр теме «Применение производной к исследованию функций»
Задание Ответ
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Дана 4 f (х) = х3 — Зх Най; Промежутки возрастания функции Точки минимума и значения функции в этих точках Наибольшее значение f на от- резке [0; 3] функция I f (х)=—Х34-Зх хите: Промежутки возрастания функции Точки максимума и значения функции в этих точках Наименьшее значение f на от- резке [0; 3] (—оо; —1) [— 1; «о) х= 1 f(l)=2 18 (-оо; -1] [1; °°) х= — 1 Н-1)=2 2 [1; оо) 1-1; о] х= 1 f(l)=-2 -18 - - II 1 сч 7 и 1
Верный ответ: вариант 1—2 3 1; вариант 2—4 1 3
КАРТОЧКИ-ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЗАЧЕТОВ
Зачет Л 1 по теме «Основные свойства функций. Свойства
тригонометрических функций»
Карточка 1
1. Сформулируйте определение функции, разъясните понятия
области определения и области значений функции, приведите при-
меры. Назовите общую схему исследования функции.
2. Вычислите: a) sin(—1830°); б) cos(—1140°); в) tg (—585°).
3. Используя схематическое изображение графика, найдите
промежутки возрастании и убывания функции
4. Начертите график функции f (х)=2-\/* + 1-
5*. Начертите график функции f (х)=2 sin 0,5х.
Карточка 2
1. Сформулируйте определение четной функции, определение
нечетной функции, приведите примеры. Расскажите свойства гра-
фиков этих функций.
2. Найдите область определения функции f .
3. Найдите промежутки знакопостоянства функции
3
sin 0,5х
4. Начертите график функции f(x)=sinx на отрезке
[—л; 2,5л} Отметьте на этом графике множество точек, для ко-
торых выполняются условия: a) sin х = 1; б) sin х= — 1;
в) sinx=0,5; г) sinx>0,5. Выпишите множество значений х,
при которых выполняется каждое из условии.
5*. Начертите график функции f (х)=3 cos 2х.
6 Заказ 737
145
Карточка 3
1. Сформулируйте определение периодической функции. На-
зовите наименьшие положительные периоды тригонометрических
функций; разъясните вопрос для одной из тригонометрических
функций.
2. Исследуйте на четность функцию f(x)=2cosx ’
3. Начертите график функции f(x)=|x2— 2х|. Назовите ее
промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстре-
мумы.
4. Найдите наименьший положительный период функции
у=2 sin 2х cos 2х.
5*. Начертите график функции f (х)=—
X I I
Карточка 4
1. Функция £/=sin x, ее свойства и график.
2. Найдите область определения функции f (х) = R <
3. Найдите наименьший положительный период функции
f (х)=3 tg (2х—4).
4. Используя схематическое изображение графика, найдите
промежутки возрастания и убывания, точку экстремума и экстре-
мум функции f (х)=(х—1)4 + 0,5.
5*. Начертите график функции f (х)=0,5х2 — 2|х| — 2,5.
Карточка 5
1. Функция y=cosxr ее свойства и график.
2. Функция задана формулой f (х)=—2х2-|-Зх + 4. Решите
уравнение f (x-|-l)=f (— 1).
3. Найдите область определения, промежутки возрастания
и убывания функции f (x)=tg^2x—.
4. Используя схематическое изображение графика, найдите
промежутки убывания функции f (х)=* 1 •
5*. Начертите график функции f (х)= —0,5х2+ |х| + 1,5.
Карточка 6
1. Функция i/=tg хг ее свойства и график.
2. Начертите график функции
( |х| +1 при х^> — 1,
Н*)=т — х2+3 при х< —1.
146
Назовите ее промежутки возрастания и убывания, точки экстре-
мума и экстремумы.
I У IА
3. Найдите область определения функции у=^-- .
4. Найдите точки экстремума и экстремумы функции
у=2 sin х + 3.
5*. Начертите график функции y=sinx-f-cosx.
Зачет № 2 по теме «Тригонометрические уравнения
и неравенства»
Карточка 1
1. Расскажите о понятии арксинуса числа.
2. Решите уравнение:
а) 2 cos 2х+3 cos х-|- 1 =0;
б) sin2 х+л/З sin х cos х = 0.
3. Решите неравенство tg3x<— 1..
4. Решите систему
х—у = л,
sin(x+y)=—1-
5*. Решите неравенство |2sinx-|-4|
Карточка 2
1. Расскажите о понятии арккосинуса числа.
2. Решите уравнение:
a) tgx+ctgx=2;
б) 2 sin2 х+5 sin х cos х —7 cos2 х=0.
3. Решите неравенство cos (-~4-xYc—0,5-^/3.
\ л» J
4. Решите систему
I cos x-f-sin у= —1.
5*. Решите уравнение 2 sin2 х— |sin х| =0.
Карточка 3
1. Расскажите о понятии арктангенса числа.
2. Решите уравнение:
a) t 2.,—2—ctgx;
ctgx-|-l
б) 1 —2 sin 2х + 2 cos2 х=0.
6*
147
3. Решите неравенство cos 2х^ —
4. Решите систему
x-j-£/=n,
sin2 х+sin2 у = L
5*. Решите неравенство 2 sin2 х+sin х 2^0.
Карточка 4
1. Формула корней уравнения cos t=a.
2. Решите уравнение:
а) 1 4-cos х = 2 sin2 х;
б) sin 2%4~ 2 ^3 cos2 х=0.
3. Решите неравенство
4. Решите систему
(
sin2 x+cos2 у= 1.
5*. Решите уравнение V2x —л (sin х—1)=0.
Карточка 5
L Формула корней уравнения sinf=a.
2. Решите уравнение:
а) 1 —cos 2x+sin х==0;
б) 5 sin х — 6cosx=6.
3. Решите неравенство tg2x^— -^/3.
4. Решите систему
л+у = л,
sin x+sin4/= 1.
5*. Найдите положительные корни уравнения
|х|sin х4-х=0.
Карточка 6
1. Формула корней уравнения tg/=a.
2. Решите уравнение:
a) cos2x=cosx;
б) V3sinx + cosx= — 1.
3. Решите неравенство sin(~bxj >> — 0,5.
Г48
4. Решите систему
л
2
5*. Решите неравенство 2cos2x + cosx—1^0.
Зачет № 3 по теме «Производная, правила вычисления
производных, производные тригонометрических функций*
Карточка 1
1. Сформулируйте определение производной функции в точке.
Приведите примеры вычисления производной функции по опреде-
лению.
2. Дана функция f(x)=x*— 6х3-|-8х — 7. Найдите f' (х),
3. Дана функция <р (х)=. Найдите <р' (х). Решите нера-
венство <р' (х)<0.
4. Дана функция Л (х)=(6-[-5х)7. Найдите Л'( —1).
5*. Решите уравнение f' (х)=3, если f (x)=sin23x.
Карточка 2
1. Докажите правило дифференцирования суммы двух функ-
ций. Приведите пример.
2. Дана функция f (х)=х3 — 2х2+х+ 10. Найдите f' ( — 2). Ре-
шите неравенство f' (х)^0.
3. Дана функция g (x)=sin^2x — -j-). Вычислите g' (л). Ре-
шите уравнение g' (х)=0.
4. Дана функция f (х)=хд/х—5. Найдите f' (х), f' (6).
5*. Дана функция
|х| при х> — 1,
—х2-|-3 при х< —1.
а) Начертите график этой функции; б) назовите точку раз-
рыва функции; в) существует ли производная в точке х=0?
Карточка 3
1. Запишите правило дифференцирования произведения двух
функций. Докажите следствие о вынесении постоянного множи-
теля за знак производной. Приведите примеры.
2. Дана функция f (х) = (2х —3) (4х2 + 6х + 9). Найдите f' (х),
Г ( — 2).
3. Дана функция /(x) = tg3x. Найдите f' (х), f' (——Y
149
4. Решите уравнение f' (х) g' (х)=0, если f (х)=-|-х3 -—
— 1,5х2— 4х, g(x)=2^[x.
5*. Найдите область определения функции f (х)= —*~~1
V2--
Карточка 4
1. Запишите правило дифференцирования частного двух
функций. Приведите пример.
2. Дана функция f (х)=2-\/х4--“
. Решите
. Найдите f' (5). Решите нера-
2. Дана функция f (х)=2-\/х4-р-. Найдите f' (х), f' (1).
3. Дана функция ft(x)=cos2x. Найдите
уравнение h' (х) = 1.
4. Дана функция f(x) =
вёнство f' (х)<0.
5*. Дана функция /(х)~1—2х. Найдите функцию g(x) та-
кую, чтобы выполнялось равенство f(g(x))=x.
Карточка 5
1. Запишите правило дифференцирования степенной функ-
ции, проиллюстрируйте его на примерах.
2. Дана функция J(x) = ctg4x. Найдите f' (х), fz(—
3. Дана функция f (х) = 2х3 + Зх2—12x4-1. Решите уравнение
р (х)= — 12; решите неравенство f' (х)>0.
4. Дана функция f (х)=(х — 1)-\/х. Найдите fr(x), f' (1).
5*. Дана функция f (х)=х2— Г. Решите неравенство f (f (х))>0.
Карточка 6
1. Выведите формулу производной синуса,
2. Дана функция f (х) = (Зх2 — 2) (24~ Зх2). Найдите f' (х),
/'( —1)-
3. Дана функция f (x) = cos Зх cos х — sin Зх sin х. Найдите
m r( -f).
4. Дано f(x)=-|-x3— х2, g (х)=-|-х34-х. Решите неравенство
5*. Дана функция [(х)=т-±—• Вычислите f(f (f (х))).
X
Карточка 7
*
1. Выведите формулы для производной косинуса, тангенса
и котангенса.
2. Найдите производную функции f(x}=(2x2—5) (х2—4).
150
3. Дана функция Г(х)=~т£ • Найдите /'(х), f' (—2). Реши-
те неравенство f' (х) > Q.
4. Дана функция f (х)=sin х cos х -f-1. Найдите f' (х), f ’ ( —y-J.
5*. Дана функция f (x)=sin2 х. Решите неравенство
г (х)> —G.5.
Зачет Л 4 по теме «Применение непрерывности и производной,
исследование функций с помощью производной»
Карточка 1
1. Расскажите о геометрическом смысле производной. Вы-
ведите уравнение касательной к графику функции.
2. Докажите, что функция f (х)=6x-j-5 cos х возрастает на
множестве действительных чисел.
3. Число 15 представьте в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма куба первого и утроенного второго
слагаемого была наименьшей.
4. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) f(xJ= -0.5x24-x4- K5;
б)* /<х)=±-х2(х-5)3.
Карточка 2
1.. Расскажите о применении производной к вычислению ско-
рости и ускорения прямолинейного движения,
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
/(х)=—sin х в точке его с абсциссой хо=О.
3. .Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
fХ3+<2х2 —8х+1 на промежутке^—2; 1}
4. а) Исследуйте функцию f (х)=-~х3—Зх и постройте ее
<5
график, б)* Изобразите схематически график функции f(x) =
Карточка 3
1. Расскажите достаточные признаки возрастания и убывания
функции.
2. Точка движется прямолинейно по закону $ЭД=6/34-5^4-2
($ — путь в метрах, t — время в секундах). Найдите скорость
и ускорение движения в момент времени /=2.
3. а) Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, про-,1
веденной к графику функции f (х)=—0,5х2-|-6 в точке его с абс-
циссой хо=1. б)* Используя график,назовите критические точки
функции <р(х)= | — 0,5х24-6|. Объясните.
151
4. Рассматривается множество прямоугольников, вписанных
в криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции
/ (х)= — 0,5х2-|-6 и осью абсцисс. Две вершины прямоуголь-
ников лежат на параболе, а две другие на оси абсцисс. Какой из
этих прямоугольников имеет наибольшую площадь?
Карточка 4
1. Расскажите о применении производной к нахождению кри-
тических точек функции, ее максимумов и минимумов.
2- Напишите уравнение касательной к графику функции
/ (х) =—0,5х2-|-2х в точке его с абсциссой хо=О.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х)= — 7х —6 sinx на промежутке £—
4. а) Исследуйте функцию f (х)=2х^3—х и постройте ее
график, б)* Назовите множество значений х, для которых вы-
полняется неравенство |f(x)IC4.
Карточка 5
1. Приведите общую схему исследования функции и построе-
ния ее графика. Расскажите об исследовании квадратичной
функции при помощи производной.
2. Найдите абсциссы точек графика функции f (х)=2 sin х—х,
в которых касательная параллельна прямой у=3.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (x)=-i-x3 — 9х+ Ю на промежутке [0; 6}
3 п
4. а) Исследуйте функцию f (х)= Ю‘”з_|_5 и постройте ее гра-
фик. б)* Найдите множество значений х, для которых выполняется
неравенство f (х)> —4.
Карточка 6
1. Расскажите план нахождения наибольшего и наименьше-
го значения функции на отрезке.
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х)=0,2х5—х3 — 4х+ 1.
3. Забором длиной 24 м требуется огородить с трех сторон
прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найдите раз-
меры палисадника.
4. а) Исследуйте функцию f(x)=
график, б)
функции /(х)=|^~Д5
и построите ее
Используя график, назовите критические точки
| . Объясните.
452
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Самостоятельные работы
Вариант 1
С—1. 1. и 2. 135° и 50°. 3. а) 0,8552; б) 1,3285. 4. а) 49°16'; б) 70’52'
35 11
С—2. 2. а) Плюс; б) минус. 3. 0,5. С—3. 1. а) 0,5; б) —%* sin^c?
С—4.1.у .2. .3.3 sin 2а. С-5. 2. а) II; б) IV С—6.1. а) (-оо; — 2)U
U(-2; 2)U(2; оо): б) (-оо; -0,5]U[0.5; оо). 2. 1 и ж3 (при х>0). С—8.
1. a) —cos 3®; б) —cos 11®; в) tg . 2. 0.3. а) Зл; б) ; в) Зл. С—9.1. а) Убывает
14 7
на (— оо; 0) к на (0; оо); б) возрастает на (—оо; 0,25} убывает на [0,25; оо!
3. cosl>cos3. С—10. 1. a) xmax==l, f(l)=l; в) (— оо; — 1)U(3; со).
С-12. Ц —_+_;T+_j, nCZ. с-13. 1. а) б) т; в) у;
г) 2. а) —1,1198; б) 1,3908; в) 0,3082. С—14. а) ±^4-2лл, n€Z;
2 о
л , 2лл . 7л . „ _ _ ч Г 4л , _ л , 1
б) —-г-4—n£Z; в) тяЧ-я”. ngZ. С—18. а) I—-4-2лл; —4-2лп ,
О О 1Z 1_ *5 о
«62; б) 4+3)- п^2- С~п- а) ±^+2™- 2пп- п^2'
б) (-l)*44-nft, feez. с-18, а) -Ац-л*. *€Z; б) 4+"fe. arctg 3-f-nfe, fc€Z.
о О 4
(Л , Л \ ( Л. Зл \ , - хч ЛЛ V Л ,
—+ лл, ——пп ) , ( —г + ял» ~г—яп } , л£2. С—20. а) лл; Ьял,
4 4 / \ 4 4 / 4
neZ; б) (-iy>i+™, ngZ. с-21. 1. — 2Дх; -0,4. 2. 2х0-14-Дх; -0,9;
—0,999; —0,99999; предел равен —1. С—22. I. 4 м/с. 2. а) —7; б) — -р .
С—23. a) f(—1)=3; g не определена в точке — 1; б) да (в обоих случаях);
в) предел f в точке — 1 не существует, lim g (х)=1 С—24. I. а) 10; б) 9. 2. а) 5;
б) 1,4. С—25. 1. а) 5х4 — б) 2. -9; —297; 3— Их1; 3—12(х4-2£
3. (-оо; 1). С-26. 1. 1000(Xs-Xм); 0. 2. а) 1,5; (1,5; оо); (-оо; 1,5); б) 0;
(-оо; — 2,5)Ц( —2,5; оо); 0 С-27. 1.(-оо; —L) _± ; ±) (j^-L ; оо ) .
2. и . 3. а) 300 (Зх—4)ss; б) С—28. а) 2 cos 2x4-3 sin Зх;
б) л 4---------г-!--г-, в) sin 2х. С—29. I. (—оо, 0), (0; 2) и (2; оо).
СОЗ х . 9/ л \
sm (х4-т)
2. а) (—оо, —2)U(2; оо); б) [-4; --|)u[2; 6J в) (-4; -2)U(I3; оо).
153
С—30. 1. 27. 2. £/=—Зх+9,5. С—3t. 1. 1,0004. 2. 1,035. С—32. 1. —8; —24.
2» 180 м. С—33. 1. Возрастает на (—оо; —3) н (3; <ю), убывает на (—3; 0)
и (0; 3). 2. х = —5 — точка максимума; х = 1 —точка минимума. С—34. Убывает на
— оо; —L J И на ; ОО , возрастает на £—у; -у J ; х= —у — точка
минимума; х=-^--точка максимума. С—35. 1. График изображен на рисунке 13.
О
2. а
к ' 3 / v\ 3
max / = /(0) = 0;
(-1: 2)
i Д с-40. 1. а) ; б) . 2. а)
О 1£
ке 14. С—37. 1.
3.
; оо I . С—36. График изображен на рисун-
3 7
min /=/(2)=—28. 2. 5+5. С—38. 1. 3.
[-1; 2J
^+2лЛ. fe€Z; б) ~
1» ke^ б) (*
V2nfc.(-iy4
„ п
10
sin X
д) Д
X
-2—v^)U(-2+V3; оо). 2. а) [-4; -2] и х=3; б) (-5; -4)U
---------------------------------------5---; г) —2xsinx!;
7 cos2 у
. С—44. 1. 0. 2. а) 1,21; б) 0,15708. С—45. 1. Возрастает на (— сю; оо),
экстремумов нет. 2. min f=f (1,5)= 12; max f = f(0,5) = 20. 3. 180 H.
[0,5; 4} [0.5; 4]
Вариант 2
м 2. 150° и 85°.
1Z 10
3. a) 0,5411; 6) 1,5077. 4. a) 30°56'; 6) 82°5'.
_2д/б
5
cosset
C-4. I. 0,5. 2. — и 3. 2. C-5. 2. a) II; 6) III. C-6. 1. a) (-oo; 0)U
ozo O0O
l)(o; y)u(y; <») ;б)[—|-;-|-1.2.64их3 (для x>0). C-8. 1. a) -tg41°;
6) —cos 43°; в) — sin —. 2. 0. 3. a) — ; 6) — ; в) 6л. С—8. t. а) Возрастает на
и О О
154
(— оо; О) и на (0; оо);(б) убывает на (—оо; —1.5J возрастает на [—1,5; оо).
3. sinl>sin3. С—10. 1. a) xrai_= —1,5, [ ( —1,5)= — 2,25; в) (-оо; — 4)0
0(1; оо). С—12. 1. -тг+т-)- n^z- С—13. 1. а) —; б) л; в) —;
\ о о о / и ж
г) 2. а) 0,9273; б) 1,8473; в)
1,2626. С—14. а) ^-4-лл. n£Z; б) ,
_ . ( 5л 5л \ —
С—16. а) ( —— 4-2лл; —+2лл), n£Z;
\ о о /
С—17. а) —£-4-2лп» (—1)”-£-Ч~ лп, n£Z',
б) ±-^4“2лл, п £Z> С—18. а) —?’4"‘к , п£Z; б) —+пл, —arctg 3-|-ял, n£Z.
3 о 2 4
С—16. ( ±-?- + 2лл; — п±-5-4“2пл ) , n£Z. С—20. а) ~-|-лл, -^--Ьлл, n£Z\
\ о о / 4 2
б) v+nrt’ n^z' С—21. 1. — ЗДх; -0,9. 2. 2х04-1+Дх; 1,1; 1,001; 1,00001; предел
равен 1. С—22. 1. —8 м/с. 2. а) —6; б) -^7. С—23. a) f (1) = 1, g (1) = 2; б) предел f
существует, предела g не существует; в) lim g(x)=2t предела / в точке 1 не су-
б)
оо:
— 0,25) U( —0,25; 0,25)IJ(0.25; оо). 2
. 3. а) 320(2х —З)1 , б)
- . С—28. а) —2 sin 2х— 3 cos Зх;
б)----7-j-1----т-----г*; в) — sin2x. С—29. 1. (—сю; —2), (—2; 0) и (0; оо).
sin х •>( л \
cos ( х——1
2. а) (-3; 3); б) (- оо; -3]U( — 0.5; 1 ]U(5; оо); в) (-5; -2)U(U; сю). С-30. 1. 27.
2. j; = 6x-Hl. С—31. 1. 0,9992.-2. 0,88. С—32. I. 3; —18. 2. 80 м. С—33. I. Воз-
растает на (— <ю; —2] и на [2; оо), убывает на [—2; 0) и на (0; 2]. 2. х= —1 —
точка максимума; х = 5 — точка минимума. С—34. Убывает на (—©о; —4] и
на [4; оо), возрастает на [ — 4; 4J х= — 4 — точка минимума; х = 4 — точка
максимума. С—35. 2. а) ( — оо;
(—оо; 0,5) и (0,5;
-16]U[1; оо); б) X-
оо); экстремумов нет. С—37.
min /=/(!)=—6. 2. 12+6. С—38. 1. 3. 2. 0,25 tg 4а. 3. •+
— 2; 1] °
ж. ® о > e .
') “у. 2. а) -у + 2л£, k£Z; б) —, k£Z. 3. а)
£ I о
л л , 2л
1Л-Г-Ьлл; ±—
о 3
б) ( я£;
1,5. С—36. Убывает на
. max J=f ( — 2) = 48;
Зл
л
12
5л
12
6+ял:
±у+2л*) , п, k£Z. С—42. I. а) [—2; 5) б) (—со; 3-V8)U(3 +д/8; оо).
2. а) [1;4)вх=-2; б) (-оо; -4]U(-3; -2)U(2; 3)U[4; оо). С-43, а) 7х’--
Vх
б) tg хЧ--Т— ; в)-------!---; г) 2х cos х2; д) Л —+. С—44. 1. 1. 2. а) 0,9998;
COS X . х xv X
3 snr —
О
б) 0,03.1416, С—45. 1. Возрастает на (—оо; —1] и на [1; оо), убывает на [—1; 1],
155
х= — 1 — точка максимума; х=1 — точка
минимума.
minf=f(2) — 4. 3. 144 Н.
[I;
2. maxf=f(l)=f(4)=5;
[1; О
Вариант 3
С—1. I. 1,1170; 2,7925. 2. 108°; 315е. 3. 0,8л. 4. 54°; 0,8090; 1.3764. С-2. 1.
3. а) Положительный; б) отрицательный. С—3. 1. а)
sin а
24 •
25' б)
10
2. а) Во второй; б) в четвертой. 3. у = — cos х. С—6. 1. [О; *7^5)0(’7^5*» °®)*
2. а) 1, б) 3; в) — ^2+1. С—7. а) Четная; б) нечетная. С—8. 1. а) —б)
в) — д/З. 2. tg 2а. 3. а) 6л; б) 1,5л. С—9. 1. а) Возрастает на (—со; О), убывает
на (0; оо); б) убывает на (— оо; — 1) и на (—1; оо). 3. cos 6>cos 3. С—10. 1. х=2,
$/=—4,5; в) 0<х<4. 2. хтах=у+2лл, n£Z, $/=5; xmin= — у4-2*л, n£Zt
р= — 1.С—12. 1. х=#=-£-4-^, n£Z. 2. а) х£Я; б) |i/| <4; в) 2лл, n£Z\ г) хтах~
о о Д
=л4-4лл, n£Z; у=4; xmi„——n+4nn, n£Z; у~ — 4. С—13. 1. а) —;
б) А; в) г) А 2. а) —0,8987; б) 1,4178; в) —1,0039. С—14. а) —£-+2яп,
О X
n£Z; б) 2лЛ,*€2; в) —F'+v'1’ г) (_ |)п^4'-г* л» *6^; Д) 2лл, —£-4-2лл,
U м л» л л лл
n£Z, С—16. а) -^-4-2лл^х^“4-2лл, n£Z', б) ~4"**<х<^4"*л, n^Z\
4 4 о о
в) —^-4-лл<х<-£-4-лл, n£Z. С—17. а) ±-^4-*л, nQZ; б) (—1)п-^-4-лл,
о Z О о
л^;
n£Z.
в) ±—4-2лл, n£Z. С—18. а)
О
С—19. (^ + 2ля; — 2лл) ,
\ О О /
— л, n£Z;6) —j-4-лл, arctgS + лл,
-£+2лА; 2лй), kQZ. С—20.
а) -^+2лл, -^4-2лл, б) лл, —j-4-лл, n£Z. С—21. 1. 3. 2. 2,6. С—22. 1. 8 м/с.
1 Лл 1 Лл В
2. —-у . С—23. а) Возрастает на [0; 1), убывает на (—оо; 0] и [1; оо);
б) lim f(x)=l; в) не существует. С—24. I. а) (1,95; 2,05); б) (1.995; 2,005).
л-*-----I
2. а) 5; б) -12; в) 10. С—25. 1. 0; -1. 2. 8х; 2. 3. а) тт~^?’ 3 * * б> OUCH «)•
С—26. 1. 90х*(1 — х).
180. 2.
[-3; -у]. 3. 0. С-27.
1. [-4; 2)Ц(2; 4]. 2.
-60.
; б)
2
3. g(x)=x—4. С—28. 1. а) —6sin2x; —3^/5; б) —12. 2. я+2яй,
COS ох
±-^+2яЛ, k£Z. С-29, а) (1; 3); б) (-2; - 1)U(1; «>)• С-30, a) j/=4x+8;
в) 8. С—31. а) 4,12; б) 1,98. С—32. 1. 72 м/с. 2. 202 см2/с. С—33. а) Возрастает
на [—1,5; оо), убывает на (— оо; —1,5]; б) возрастает на /?; в) возрастает на
(— оо; 0] и на [2; оо), убывает на [0; 2]. С—34. а) х= — 2 и х==2— точки ми-
нимума, f ( — 2)=f (2)= —16; х=0 — точка максимума, f(0)=0; б) х=— 4 —
точка максимума, f ( — 4)== —2; х=4 — точка минимума, f (4)=2. С—35. х= —\/2
и х=^2 — точки максимума, /(—-y/2)=f (д/2)=4; х=6 — точка минимума,
f(0)=0. С—36. Убывает на (—оо; Ц возрастает на [1; оо); х= 1—точка
минимума» /(!) =— 1 “Т • С—^7. r max . fW==f(—1,5л)=И,5л;
J [— 1.5л; 2,5л)
min f (x)=f (2,5л) =*—2,5 л. 2. Числа 10 и 5. С—38. I. tg а. 3. 1 +“^
[—1.5л; 2.5л]
X
С—39. 1. Нули функции: х = 2лл, n£Z. Наибольшее значение 2 при sin—=1,
т. е. х —л4-4лл, n£Z. Наименьшее значение
х=—л + 4пп, n£Z. С—40. 1.
4-лл, n£Z.
—2 при sin—~ —1, т. е.
П 5л Л
2. -_+яп<х<--+ш1.
nfZ. 3. л4-2лл, n£Z. С—41.
n£Z. С-42, а) (—oe; 0)U(3; оо); б) (-оо; -4]U(0; 2)(J[4; оо); в) (-оо; -2]U
(J[2; 5]. С—43. 1. а) —L- ; б) cos х~2х Sln х; в) sin 2х; г) -9 sin ЗхХ
cos' Зх 2 -у/х
X(cos Зх + 6)2. 2. —8. С—44. 1. Точка с координатами (I; 0). С—46. 1. Слагаемые 4
и 4. 2. х=0— точка максимума, / (0) = 0, х=1—точка минимума, f (1)= — 1.
Вариант 4
С—1. 1. 0,9774; 2,9671. 2. 150°, 390°. 3. . 4. 252°; —0,3090;
Аг ж
7 7
С—2. 1. —; — —. 3. а) Отрицательный; б) отрицательный. С—3. 1. а)
б) 2. —. 3. 2. С-4, а) б) в> Т’ С-5’ L а)
•д/2 cos а 25 10 7
3,0777.
1
—. 2. а) В третьей; б) в первой. 3. у= — sin х. С—6. 1. (— оо; — -^2)|J(—<4
-\/3
2. а) 2; б) —1; в) —2,5. С—7. а) Нечетная; б) четная. С—8. 1. а) —
а»
1 г- 2 2
б) ; в) — уЗ. 2. —ctg 2а. 3. а) 2— д; б) 1-т-л. С—9. 1. а) Убывает на
(— со; 0), возрастает на (0; оо); б) убывает на ( — оо; 0) и на (0; оо). 3. sin 2>sin 4.
С—10.I.a) x=l,f/=2; в) 0<х<2. 2. хтах=2лл, п £Z; у = 1; хт1п = л 4-2лл, п £Z\
у=—5. С—12. 1. х=£2лп, n£Z. 2. a) x£R; б) |</1<3; в) л4-2лл, /i£Z;r) хтах =
= 4дп, n£Z; t/ = 3; xmjn = 2л 4-4лл, n£Z\ 3. С—13. 1. а) — ; б)
в) —-^3; г) —4-.2. а) —1,1991; б) 1,1869; в) —1,3617. С—14. а) л+2лл, n£Z;
At
б)
^-+2лл, n£Z; в)
At
— Т8"*"3’П’ n^Z' Г)
л , хлп . „ л , „
±-к-+-5-. ngZ; д) 2лл, +2лл,
У О о
n^Z. С—10. а) —-£-4-2лл<2лл, n£Z\ б) — -^4-лп<х< —А+яя.
ж Ж 1 А» 1 At
ngZ; в) —лл<х<-£-+лл, n£Z. С—17. а) ±
nn,n€Z;6) (-D*+l -£-4
О
4-я*. *€Z; в) ±4+2яя- с“*«- ») 4+4"•
о о Z
— arctg 34-ял, n£Z. С—19.fn-|-2nn; —~ — 2лл) ,n£Z;^
nCZ; б) —— 4-лл,
4
--^-4~2лл; л — 2лл) ,
n^Z. С—20. а) ^4-2лп, n^Z\ б) яп, -^°4-лл, n£Z. С—21. 1. 2. 2. 1,4.
С—22. 1. 18 м/с. 2. . С—23. а) Возрастает на (— «•; — 1) и на [0; оо), убывает
Vх
157
на [—I; 0]; б) Hrn f (х) — 0,5; в) не существует.
299 1 6
б) 1300<х<2300 • 2’ а) 6; б) -181 в) 2- с—г5- <•0: <•«•*• ’• л) (х+ТУ '
(— со; — 1)U(— 1; оо)- с—2€. 1. 72х7 (х — I), 144. 2. {— оо; •")- 3- *- ^—27.
1. (—оо; —7)и( —7; —5]и[5; о°). 2. —24. 3. g(x)=x + 7. С—28.
5; б> ov> —6- 2- лп' n^z- с~29- а> (—2; —»); б) (—
1, a) 10cos5x;
о; — 1)U(1; Я
С—30. у~ — 4х — 8, 8. С—31. а) 3,12; б) 3,12. С—32. 1. 138 м/с. 2. 603 см*/с.
С—33. а) Возрастает на промежутке ( — оо; 2], убывает на [2; оо); б) возрастает
на Я; в) возрастает на (— оо; 0] и на [1; оо), убывает на [0; 1J. С—34.в) — 1 и
х= 1—точки минимума, /(—1)=/(1) =— 1; х==0— точка максимума, f(0)=l;
б) х=—6—точка максимума, f(—6)= — 3; х — 6 — точка минимума, f(6)=*3.
С—35. х— — -^2 и х—д/2 — точки минимума, f (—y/2)=f (-\/2)==<У, х=0—точка
максимума, f(0)=4. С—36. Убывает на (— оо; — IJ, возрастает на [—Г, оо);
2
х= —1—точка минимума, /(—!)=—5- С—37. 1. max f (x)~f (л)=₽ л,
•о 1-л; л]
min f (x)=>f(—n)= — л. 2. Числа 15 и 5. С—38. 1. ctg а. 3. —. С—39. I. Нули
[—л; л] 0
функции: х=л4-2лл, n£Z. Наибольшее значение 2 при cos 0,5х=1, т. е. х=4лл,
n£Z; наименьшее значение — 2 при cos0,5x—— 1,
,_ „ л , А 2л , 2лл . Ал . 2лп
n^Z, С 40. 1. б 4-лл, n£Z. 2. ^4- 3 9+3
n€Z. С-4». .(^+«л;
л \
Т2~ЯЛ/
лЕ^;
т. е. х=»2л-|-4лп,
, п££. 3. —£~+2лп,
Л \ -
— 777—ЛЛ I , n£Z.
С—42. а) —4<х<0; б) J-З; O)UP; 5); в) )-5; —4]U[4; <»).
С—43. 1. а)---. ? - ; б) S‘n х~Ь2х cos х Bj — sjn 2х; г) 6 cos 2х (sin 2х—5)2.
sur 2х 2 д/х
2. 8. С—44. 1. Точка с координатами (1; 0). 2. -?+-?-л </<2^+л, n£Z.
О .Z О 2
С—45. 1. Слагаемые 9 и 3. 2. х=—2— точка максимума, / ( — 2)==4; х=0 —
точка минимума, f (0)=0.
Вариант 5
С—1. 1. — и . 2. 165° и 517°30'. 3. а) 1,3788; б) 0,6696. 4. а) 43°24'; б) 116°41'.
о 9
С—2. 2. а) Плюс; б) минус. 3.
л/5* 2 ’ °' a' ’"У’ I’
Н9 120 А е л
-Тб9’ "ПЭ' 3- -COS4“- С“5- *•
-уз
2
2.
-2)U(2; оо).
. . л
у/з. 3. а) 2л; б) ~
; I) и на (1; о©;
С—8. 1. а) — sin 34’43'; б) sinO’ =
С—9. 1. а) Возрастает на [—1; оо); б) убывает на
л ял Зл ял
”ТГ+“2 ’’“8
2 ' )‘
). 2. Возрастает на (
объ-
3
единение промежутков * * n^Z. 3. sin70е, cos 40°, sm 40°,
cos 70’. С-10. 1. xmax=l,25; £(/)=(-«»; 1,125) 2. *т„=^+2лл. n£Z.
9л '
г/тах = 3; xmin=-7 +2ля. Fmin=—3- С—11. См.. Например, рис. 15.
С—12. 1. Множество всех чисел, кроме чисел вида » n^Z. 2. -«max===’j^“b
158
n£Z\ б) arctg( — 1 Ч2^2)4-лл. (ДРУ~
. л I ЛП /- 'УХ
гая форма записи ответа —+ — , n£Z).
о 2
tfe—у; (-О’-
,, лл _ „ „ л 2 . 1
ngZ; б) — , nfZ. С—21.1. —-Дх; ——
о О 1D
19. ((-1)"-^+^ +
\ J 4U Хг
ЗТ ЛП Л- зтп
Г+"2 ’ Т+~4
Л лл
12+“2
, n£Z, k£Z. С—20.
5 ’"ч.......... 3 15 3 4*з
—2Дх; —7,2; —7,004; —7,00002; предел равен —7. С—22. 1. 16 кг^м/с. 2. а) — ;
л
б) — 2х. С—23. 1. а) — 1; 1; б) — 1;—2. 2.0,001. С—24. 1. а) — 3; б) не существует.
2. а) 89; б) 3. С—25. 1. а) 9x* — 15х4+ 12х~5; б)
(34-2х/ Z
;3
б) множество из двух точек —5 и 3; (— оо;
-5)U(3; oo); (-5; — l)u(— I; 3).
; б) (-оо; 3)и(3; оо).
2.
и
3. а) 120 (7х‘ — 12х3)(х7 — Зх4)"9; б) у —
-xjx2— 1
б) 2 sin (3—2х); в) 2 tg х cos (2x45)4-
С— 28. а) ----7------г-;
3cos2(y+lo)
. С-29. !.(-«; -1), (-1; 1).
(1;4), (4; оо).2.я) (-4; — Г); б) (—4; -2)(J(-2; 2)U(4; 7); )(-«>; -2)U(0.25; 1]U
U[4; a>y. C—30. 1. j^=x4-2: 2. y=—£x+^n+±-. C—31. 1. 5,9925. 2. 0,16.
0 0 2
32
C—32.1. 6H. 2. 2—M. C—33. 1. Возрастает на (— co; — I] и на [2; co}, убывает на
40
[— 1; 2} 2.x— I — точка максимума. С—34. Убывает на (— •©; 0] и [3; 6} возрас-
тает на[0; 3]и на [6; оо); х=0 их = 6 — точки минимума; х=3 — точка максимума.
С—35. I. Возрастает на (— «•; 2J, убывает на [2; со); х = 2— точка максимума.
2. а) (— оо ; оог); б) [ — 0,5; 3,5]. С—36. Убывает на (— <»; — 1] и на [0; 1], возрастает
на [—1; 0] и на [I; оо); %= + !—точки минимума; — точка максимума.
С—37. 1. = f(—2)^—55; max^f (2)=57. 2. 44-2. С—38. 1. 0. 2. 4
о /о 1 "v л л « \ 2 Л , Л . Л _ . Л .
3. V2—1 и —-—с—40. 1. а) — ; б) —; в) ——. 2. a) v—t+h*1
о 4 о о о
159
k^Z\ б)
— +лйгХо4-пЛ, x0=arctg 3« 1,249.3. a)
_i_o a.
+ 2nfc, 12
k£Z.
~ — nk
6
; 3)U(3; oo). 2. a) [1; 3); 6) (1; 1,25)U(2; 3). C-43. a) 6x5-
-Юх’+бх2; 6}
в) 2 cos 2x; r) ---------
3 cos2
C—44. 1. y = x+l. 2. a) 0,999; 6) 1,015. 3. 7; 8. C—45. 1. Возрастает на ( — oo ; 1],
убывает на [1;
; оо); х=» 1 —точка максимума. 2. min
[-1; 0.5]
; max f =
[-1: 0.5]
=f(0)~l.
Вариант 6
C—1. — и — . 2. 105°
30 18
и 945®. 3. a) 0,9948; 6) 1,5519. 4. a) 50’24'; 6) 134’12'.
2. а), б) Плюс. 3.
/3
2
3
2V2+V6
2 **
25 : 24
С-6. 1. а) (-оо; 2)U(2; 3)0(3; оо); б) (-4; 4). 2.
С—8.1. a) —cos 42’19'; б) cos 2’; в) ctg ~ . 2.
О
у Ji б) убывает на (—-оо;
2. a) III; б) I.
вает на
2 ’
!. 4; 2x3 — 6x2 4~5x-|-4.
5. 3. a) 4 ; 6) 4 • C—9-1- a) Убы-
о x
1) и на (— 1; оо). 2. Убывает на
каждом из промежутков, входящих в область определения — промежутках
5л
Т
= 1,5, £(у)=(—оо; 3,25} 2. xmin= 2g
sin 15°, cos 70°,
9л .
cos ( — 20°), cos 10°.
max
С 10. 1. xmax
Рис. 16
5л
=28 +ЛЛ’^л1ах=1» n€Z. С—11. См., на-
пример, рис. 16. С—12.1. Множество всех
j irt
чисел, кроме чисел вида — , n£Z. 2. Убы-
Ь
Г л . 13л . л 1
вает на промежутках
возрастает на промежутках
f-блл;
t-6nnj,«ez. С-13.1. а) -у; б) -ОД’
В) —1; г) О. 2. а) —0,8271; 6) 3,0641;
О
в) 1,3068. С—14. а) (-1)* + '^-+nfe.
k^Z; б) 2nk; —-^- + 2nfe, AgZ; в)
о о
160
I nk . / я , . Зл Д / л nk 5л , лН
+т. kez. С-1в. a)(?+** Т+ /' keZ; 6) k~i2+T= 36+T>
k£Z. C—17. а) -г- ч-лй; хо+л£, k£Zt x0= arctg 3» 1,249; 6) лп; -y-4-^r.
'4 4 2
n£Z. C—18. a) — Y^+nn« n^Z; 6) -^-+ли; arctg4~nn, n£Z.
(Jl , , nn n . . nn\ , ~ л .nn л ,
— 4-nfe + y; —4-+^—2"j. Л. k£Z. C—20. a) y, n.£Z\ 6) +
+ ^P, "6Z. C—21. 1. 0,5Дх; 0.1. 2. 3 —x0 —0,5Дх; 3,95; 3,999; 3,999995; предел
О
равен 4. С—22. 1. 24 кг-м/с. 2. а) ==; б) 2х. С—24. 1. а) —5; б) —0,2.
-^Х
2. а) 53; б) -2. С-25. 1. а) 7х*+10х« —4; б) -**+4* + 3. 2. I; Н;
X (X —т
3x4-2 Зх—1 л/ 1 \ / 1 \ о х 1 ( IV
—^=2-; —. 3. ( — <ю; —— )ц I —-; оо 1. С—26.2. а) — «>; —z- 1U
2 V*-H 2 V* ' 3 / \ 3 / 3 \ 3/
и(4-; °°); (-4-; -г); б> 0= (~°°; -i)u(-i; «>); 0. с-27. 1. а) [О; 4J
б) (—оо; 1)Щ2; оо). 2. и л/г~*7Г- 3. а) 191 (5х’-4х) (х5-2х2)190;
1 —2д/х v I—2х
б) — С—28. a) 4sin(3—4х); б) -----------— ; в) cos х cos (2х —3)—
_/( _х2 cos (2х — 7)
— 2 sin х sin (2х—3) = cos(3x—3) — sin х sin (2х—3). С—29. 1. (—оо; —1),(—1; 1),
(1; 3) и (3; оо). 2. а) (-оо; 1)U(2;
«У, б) (-3;
-1)U(-1; 2); в)
/Q
U[2; 6]. С—30. 1. у=х+\--------------2. у= — 0,5х — 2. С—31. 1. 7,005. 2. 0,3.
2 о
С—32. 1. 0. 2.4,3375 м. С—33. 1. Возрастает на ( — со; —2] и на [1; оо), убывает на
[—2; I) 2. — точка минимума. С—34. Возрастает на (— оо; — 1] и на [0; 1],
убывает на [—1; 0] и на [1; оо). С—35. 1. Возрастает на (—оо; 1], убывает
на [1; оо); х=1 —точка максимума. 2. а) 0; б) (—оо; оо). С—36. Возрастает
на (—оо; 0] и на [2; со), убывает на [0; 2]; х=0 — точка максимума; х=2 —
точка минимума. С—37. 1. min f = f (0)^=3; max f=f(l) = 24. 2. 64-2.
[-1; i] H i; 1]
C-38. 1. 2. - cos 8a. 3. 2—y/3 и C-40. 1. a) 6) •£:
2Э 2 о о
в) —г- 2- a) +(— I)4-?- 4-2лЛ, 6) xo-M, k£Z, x0==
о о 4
+2лЛ;
1 X
kEZ. C-41. +2яй; 2лл). (ink;
17л
12
2п
3
ftez. С—42. 1. а)
(-<»; 2)и
161
U(4; оо); б) 6. 2. а) (-оо; -2](J(3; оо) и Х=1; б) (-оо; -2)U(-t.5; -1)U
U(l; оо). С—43. а) 7х‘—10х4 + 3; б) -'^в) —5sin5x;r)----7-----г-;
2V* ’ 2 sin2(у +5)
/ 1 \2Э
д) 81 — х—61 . С—44. 1. у=7х—2. 2. а) 1,001; б) 0,9982. 3.23; 19. С—45. I. Воз-
растает на промежутке (— оо; 2], убывает на промежутке [2; оо); х=2 —
точка максимума. 2. min / ( —•!)= —1; max f=f (0,5)=0,8.
[ — 2; 0.5] [-2; 0.5]
Вариант 7
С—1. 1. U? и 2. 50° и 1740°.
30 15
3. a) 1,2462; 6) 0,5111. 4. a) 2°6'; 6) 114°47'.
2. a), 6) Плюс. 3.
. 2.
5
5
56 V2
17 ’
3
3
81
— и
10
10
2
и
2. a) IV;
3; 0; — 1. С—7. а) Четная; б) нечетная. С—8. 1. а) —cos41°43'; б) —cos 20°;
в) —ctg~. 2- . 3. а) ~ ; 6) л. С—9. L а) Возрастает на [—2; 0], убывает
на [0; 2];
3. sin 4,
ю *
б) возрастает на (—оо;
sin 3, sin 1, sin 2. С—
— 1) и на [0; оо), убывает на (— 1; OJ
б) *тах = 1»5> -*min
= 2*
min
3 —
. 2. Указание, f (x)=2 sin I 2x
162
2л
, n£Z. С—20. а) лп>
\ 3 - 3 / X « м /
б) 2л я, «rfcZ; 8) Т+яя’ n^Z- С~2:*- >• (2х,—3) Дх+(Дх)2;
-О •
а) —1,25; б) —6. 2. Зх? —5 + Зх0Дх+(Дх)2.
-5;
С—22. 1. 54 Дж. 2. а)
б) 2х —4. С—23. 1. а) —0,5; —0,5; 6) 0,5; —1,5. 2. 0,002. С—24. 1. а) -1
— 6,5; б) 0. С—25. 1. а) 7х‘-15х4--^; б) X -13
13
3 ’
18 '
13
* 5нн57 * х
13
±0,5; ( — 0,5; 0)U(0»5; оо); (—оо;
С—27.
1. a) [3; 4)U(4;
3. a) 2020 (x3 —x4) (5x4—4x5)100; 6)
— 1]U[I; OO). C—26. 1. 500 (x4 — x49); 0. 2. a) 0;
—0,5)U(0; 0,5); 6) 0; (-oo; 2)U(2; oo); 0.
C—28.
6) 3cos3x; в) — sin x cos 2x—2 cos x sin 2x
cos2 2x
2 /2 \
а) — у sin (у х — II;
С-29. 1. (-оо; 0). (0; 1).
2. y=2x — 4. C—31. 1. 4,01. 2. 2. C—32. 1.
C—33. 1. Возрастает на
__5_
32
и на [1;
H. 2. a) 2,86 p/c; 6) 150 c.
oo), убывает на
— оо ' — —
9
2. х = — точки минимума. С—34. Убывает
(I; оо), экстремумов нет. С—35. I. Убывает на (— оо; 0,3} возрастает на [0,3; оо);
х = 0,3 — точка минимума. 2. а) ( — 2; —
и на [5; оо), возрастает на [—3; 5]; х
максимума. С—37.1. min f=f( — 4)=-
[-4: 2]
на (—оо; 1), возрастает на
0,5); б) 6. С—36. Убывает на (— оо; —3]
= —3 — точка минимума; х=5 — точка
- 130; max f=f (2) =14. 2. € см; 2 л/З см.
[-4; 2]
Указание (рис. 18). Решим задачу в более общем виде. Пусть в треуголь-
ник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник наибольшей площади;
найдем стороны прямоугольника и его площадь. Из подобия треугольников АРК
а(*~У)- S- хи- Оу(Л~^-
h ' 5~ХУ~ h 1
и АСВ имеем (А—y):h = x:a, откуда х =
ah—2ау _ h
=----г---н S' (у)=0 при у=-г • Далее,
п z
S (0)= S (А)=0, поэтому maXj S = S —
. При этем.х=0,5о, i/=0,5A. С—38.
— 1. 2. —cos 4a. 3.
л . л
6s в) Т‘
-В- ил/2. С—40.
Зя Злй
4'+~’
k£Z, х0 =a resin 0,75
nk л . лк \
12
Рис. 18
163
£+™+2jtfe), fcGz. C—42. 1. a) ( — 00; и(3±зЕ; TO) ;
6) [-4; -3J.2. а)Г-5;у) их=3;б)(-«>; —L)u(—-y)u(l; °°)-
C—43. a) 8/ — 18jc5+6x; б) 3*Д1-; в) cos 4 ; 0 ---r;
2л£+3 5 5 cos*(2x_")
\ 4 /
/ 1 \34 11
д) -210x( 4~3x2) , C—44. 1. t/--2x + 3. 2. a) 1,00001; 6) 1,015.3.-;-^.
C—45. 1. Убывает на (— оо; —2] и на [0; 2]. возрастает на [—2; 0] и на [2
x=zb2 — точки минимума; х = 0 — точка максимума. 2. maxf = f(xo) =
хо = arccos— • min
0.
Вариант 8
4 л 47л
С—I. 1. — и —. 2. 33’45' и 440°. 3. а) 0,4119; б) 1,4640. 4. а) 5’42'; б)
15 45 !~
С—2. 2. а), б) Минус. 3.----------------L-. С—3. I. а) 4?; б) I;
177°41'.
56^2 17
81 *56-72
б) (-оо; -2)и[у; оо). 2.
3. -big а.
С—6. 1. а)
[—2; - 1)U(— I; оо);
Рис. 19
а) 1; 0; 0; 1. С—7. а) Четная; г) нечетная.
С—8. 1. a) cos 33’17'; б) tg60’=^/3; в) cos^.
2. — д/5. 3. а) 6л; б) л. С—9. 1. а) Убывает
на оо; — 1], возрастает на [1; оо); б) убывает
на (—оо; 0] и на (1; оо), возрастает на [0; 1).
3. sin 1,5; sin 0,5; sin 3; sin 4,5. С—10. 2. Ука-
зание. f (х)—2 sin ( Зх-)--^- ) -|-5. С—11. См.,
\ о /
например, рис. 19. С—12. 1. Множество всех
л,п
чисел, кроме чисел вида и — 4-лл, n£Z.
£ о
С—13. 1. а) 0; б) 12’=-^. 2. arccos 1 <. arctg 1.
3. а) 1,4279; б) 1,9538; в) -1,3977. С—14.
а) -у+ял. fcez; б) у+2>й, лег;
в) -v+(-’)* v+2nfc> *€z- С—16.
О о
-57-+ЛЛ , С—17. а) п+2лк, k^Z\ б) л*;
164
3H-nkt k£Z. C—19- ( Y *
-^-~l~2nn—^-J, £££, n^Z. C- 20. а) лл, n£Z\
Ж “ r
6) -l-((—1)" arcsin (—14“л/3))4' 2 ’ B) g "^ g"» 4* 4” пл, nQZ. С—21-
1. 2хоДх4-2Дх4-(Дх)2; а) —5; —1-~-. 2. 3xq+44-3x0Ax +(Дх)2. С—22, I. 4 Дж.
2. а) — 7; б) 2х+3. С—23. 1. а) 0; не определена; б) 1; 1. 2. 0,006. С—24.
1. а) —3-|-»’ 6) не существует. 2. а) — 163; б) — -Д-. С—25.1. а) 8х7 — 12х5—2,5xV*J
6 11
б) 2д/5Т1 2‘ 1б: ^9: (3x4-5) ' (Зх2+2)‘' 3' °)и<0: С—2в-
1. 80(т/х—х* -у/х); 0. 2. а) 0; ±4" ’ ( —Т ’ ("Г ’ °°);( —°°: —y)u
ц(°; у);б) -3«7;(-оо; —3)0(7; оо); (—3; 2)U(2; 7). С-27. I. а) [—2; 14)0
U(14; оо); б) [0; 25). 2.(cos х4- I)4 —2 cos х —2 и cos (х4 —2х)+ 1. 3. а) 3633 (х2 —х6)Х
Х(7х3—Зх7)172; б) - Y-~~— С-28, а) Л cos( +1); б) -2 sin 2г.
2 V^“3x 7 ' 7 '
в) -J-cos х sin 2x4-2 sin х cos 2х, С—29. 1. (— оо ; 0); (0; 2); (2; 3); (3; оо).
2. а) (-оо; -2)U(0; 1]0{3; 5]; б) (-2; 3). С-30. I. «/=~2)-
2. у = — 2х+2. С—31.1.9^. 2. 0,0014. С—32. 1. —Н. 2. 1,04 р/с; 25 с. С—33.
1, Возрастает на (—оо; оо). 2. х—±-\/б — точки минимума. С—34. Возрастает
на ( — оо; 3), убывает на (3; оо), экстремумов нет
возрастает на
; x=-z---точка минимума. 2. а) [—2; 11]; б) (*— оо; —4)(J
О
U(—4; оо). С—36. Убывает на (— оо; — 2]н на [4; оо), возрастает на [—2; 4J х= —2—
точка минимума; х=4 — точка максимума. С—37. 1. min f =/(!)—5; maxf==
[1: 4] [1; 4]
=f(4)==62. 2. 12 см, 3~yj3 см. У к а з а н и e. См. указание к вар. 7. С—38. 1. «
9
_ 1 . _ / 3 —д / 7 _ * 5л .. л . л _ . л .
2. --cos 4а. "У—. С-40. 1. а) б) в) у. 2. а) - 4-
+^; тз+^. kCZ; б) ±4+2яЛ, k£Z. 3. а) (-л+2лЛ; -^+2nJ.
О 1о О о \ о J
б> (й+пА: к&- c-4i.((-i)"+,44-^^;(-0"£+v)‘
\ / \ 0 4W V Л» J
п. kEZ. С-42. 1. а) -+2^); б) R. 2. а) ( - со; -у)и[8; ~У.
б) 4ju(7j ; 4-) и (2; «). С-43, а) 3-21х2+2х7 + 9х‘; б) 3х-±_^;
\ 3 / \ 18 2 / 2 а/х-4-5
165
в) — 0,3 sin 0,Зх; г) ------------г; д) 80х(5х2 — 1)’. С—44. 1. у=— Зх — 3.
sin ( —---3xj
2 4
2. а) 0,999999; 6) 0,9895. 3. —; — -тт—. С—45. 1. Возрастает на (— оо; —1] и
25 125
на [0; 1], убывает на [—1; 0] и на [1
точка минимума. 2. max f = f(xi) =
чае х~— и х—cos -у). С—6. 1. а) [
3; х2. С—7. 1. а), б) Да. С—8. 1. См.
Пусть Т>0—период функции f (х
; оо); х=±1—точки максимума; х = 0 —
2л/3 . ' t, х 2-V3
9 • г m2in21f=l (Хг)= “9 • ' =
4.1 4.1
=— arcsin — , Хг=----arcsin —
я т/3 п -s/3
Вариант 9
-4248°-
а 22’30'; 52’30'; 127’30'; 157’30'; 0,3927.
4. 35’25'; 21’53'. С—2. 2. а) Минус;
б) плюс. 3.2ctga; — 1. С—3. 1. 1. 2. I. С—4.
2. —2~. a cos8a. С—5. 1. См. рис. 20.
о 4
_ Л л
2. Решение, sin -у < -у, поэтому
л л л л
cos sin — > cos -=-, a cos — > sin cos
7 7 7 7
(так как x> sin x при x> 0, в данном слу-
- I; 0)U(0; 3)U(3; oo); 6) [0; 20,25]. 2. a) 8; 5;
рис. 21. 2. а) л; б) л^/2. 3. а) Решение.
)=sinx2. Тогда f(T)=f(O)=O, поэтому T
имеет вид -у/япо, где Ло€АГ (так как sin х2=0 при х2 = лп, т. е. х= ±Улл0. Но тогда
Рис. 21
166
на интервале,^ Лфуяедш имеет («о — 1) нулей (в частности, прй л0 = 1 ни одного
нуля), а на интервале (Г; 27) имеет 4л0—л0—1 =3ло —1 нулей. Следовательно,
Зло—1=ло____1, откуда ло=О, что невозможно, так как По — натуральное число;
б) указание. /(*)*= 1 только при х=0, это следует из иррационально-
сти С—9. 1. в} Убывает на (— оо; — I] и на [0; 2^ возрастает на [— 1; 0] и на
2; оо); б) убывает на [—1; 0) и на (0; Ц возрастает на (—оо; —1] и на
1; оо). 2. а), в), д) Возрастает; г) убывает. 3. ctg 2, cos 1, sin 1, tg 1. С—10. l.xmin—
— zt 1, xmin— dt 2, xmax 0» ^max i_\/2,5 . 2. б) Указание, f (x) cos 4x
при Ч~ял, n£Z (при этих f не определена), поэтому точки
.X
такого вида
не являются точками максимума или минимума. С—12. 1. [2; 6] 2. Указа-
ние. f (х) = Isin х( + |sin x-f-cos х|. С—13. 1. а) 0,96; б) Зл—10. 2. Реше-
ние. — arcsin х С [0; л] и cos
At
— arcsin x) = sin (arcsin x)=x. 3. a)
-0,8223;
6) 0,8025. C—14. a) (-!)*+• ftgZ; 6) Указание.
1Z Z 1OO
что при полученных значениях определены tg х и tg 2х; в) —-
Уравнение приводится к виду tg Зх=—после решения которого надо проверить,
л/з
- ‘ л. -4-2L kfZ
42 9 3 ’ е
/19л 85л \
\ 42 +nkt 126+лй7’
Указание.
Неравенство приводится к виду
(_ , я \ 1
Зх-|--у- ) <—, после решения которого из полученного множества надо ис-
5л , , л , лЛ х , л \
ключить числа вида ~-|-ля, ПРИ которых не определен tgl x-f—у)
1 * * \ I /
или tg 2х; б) |-^-+лй; -f-лй, ftgZ. С—17. а) 2лп; (—1)“+'+2лп, n£Z\
б) +лп’ n^z- С—18- а) 3’+лп» — “^+ял« б) пп,
—г+ял- arctg 24-ял, n€Z. С-19. + "«; (-0*4*• n^z-
С-20. а) ±4+ял- б> ±¥+2л«; 4+пп> (-1Г4+"'’-
О О Z о
С—21. 1. Второе больше (в обоих случаях). 2. Зхо —4хо+4+(Зхо —2)Дх-|-(Дх)2;
Зхо —4хо4-4. С—22. 1. —8 Н. 2. а) Зхг; б) * . С—23. 1. а) 1; 3; б) не
ух (*"“1)
• 3
существует; 1; в) (—2; 2] и точка 3. 2. 0,39. С—24. 1. а) 2^5; б) 6. 2. а) 12; б) —.
167
3 1 Sx’-i-Qjt
С—25. 1. a) — т/х-----—54л17; б) -----~— 2. О. Указание. f(x)=
2 2тД 2-^х
—х|х| и f' (0)= lim —L£91_ |jm -*1Ж1 — ]jm |х|=О (так как функция g(x)=
х О X х -* О х х -► О
= |х| непрерывна в точке 0). С—26. а) ±2; (— оо; — 2)U(2; оо); (—2; 2);
б) О; (0; 1); (-оо; 0)Ц(1; «>)• С-27. 1. а) (-^П; -VZ)U[V7; тЩ); б) (4; оо)
и точка 0. 2. fa (х)— 1—- при п— 3k — 2, fn (х)=-Ц- при n = 3k — 1, {л{х)=
=х при n=3k, k£N; D со; 0)(J(0; оо); D(/.)=(-оо; 0)U(0; l)U(l; ~)
при л>2. 3. a) — Y +-* ~ i 6) 27/x2— ~-nJx} (-*3—x 4х?- C—28.a)5coe5x;
2 V3^34-2x2-12 \ 2 7
6) 0 при x ££>(/); в) 3 -^2 sin 4x sinf 2x—j-). C—29. 1. При 0<a^4.
2. a) - l]u( --«) (-4; -3)U(-2.5; -2).
С-30.1.(^7 iA/A Y M=-!--^?(х-я). С—31.1. 1,012. 2. 0,9009. С—32.1. 4 с;
\ 12 ’ 12 / .^2 6
21 м/с. 2. Решение, s' s" (<)—,. 6у.4 ; F=mo$"(f)= 6?%4 =
= 6mos2(O- C—33. 1. Возрастает на (— оо; оо). 2. х=—— + л£, k^Z— точки
л
максимума; х=—-f-лЛ, k£Z— точки минимума. С—34. Убывает на (—оо; 1)
’10
и на L з
, возрастает на
; x=~—точка максимума. С—35. 1. Воз-
1 1 А
У2 J, убывает на
С—36. Убывает на (— оо;
мума. С—37. 1. maxf=f(l)=l; min/ = /(—!)=
R R
См. указание к вар. 7. С—38. 1.
растает на
— — точка максимума.
— 1J возрастает на [—1; оо); — 1 —точка мини-
м2. Указание.
12 *
1. 2. 3
125
= 2+л/3 и
cos 75° =
6)
jik
6)
2л
У
24
25
л
Г’
k£Zt k^ln,
л лй л nk
8" +Т’ 20 +Т0
'л
1Г
л
6
9
n
Л
Л
Л
168
kt л, m^Z. Указание.
Возведите каж-
дое из уравнений в квадрат и сделайте замену a = cos2xt u = cos2«/, w=cosaz.
С-42. 1. а) (-со; — в]и[ —4; 4]U[8; оо); б) (3; 4). 2. а) (-2; - 1)U(2; оо);
б) (—со; — 7)U( — 4; —2). С—43. 1. а) —р> б) —
в) х2 sin х; г) 66 (Зх2 - 2х) (х3 - х2)65. 2. (-со; 0)U(2; оо). С-44. 1. у=\ и у =
= —8х-|-9. Указание. Запишите уравнение касательной, проходящей через
точку (хо; — Хо —2хо). (Это уравнение имеет вид </4-хоЧ-2хо=( — 2хо — 2)(х—хо),
т. е. —2хо —2) х4-хо.) После этого найдете хо из условия </(!)= 1, откуда
х0= — 1 ИЛИ х0=3. 2. а) 1.0004; б) 0,5302. 3. —Н. С—45. 1. Один (см. рис. 22).
ID
Рис. 22 Рис. 24
Влршт 10
С—1. 1. -£; 2. а) —144°; б) —4176°. 3. 40°; 65°; 115°; 140°;
2,4435. 4. 89*28'; 139’43'. С—2. 2. а) ; б) Минус. 3. 1—sin а; 1 +-=г. С—3. 1. 1.
л/5
12
2. cos 2а. С—4. 1. ——. 2. —1 3. —2 sin2 2а. С—5. I. См. рис. 23. 2. У к а-
займе, cos (sin l)>cos 1 > sii
1. a) [I; 17) U(17; co); б) Гб;
(cos 1) (подробнее см. решение вар. 9). С—6.
Jgj. С—7. 1. а) Да; б) нет. С—8. 1. Рис. 24.
2. а) Зл; б) —. 3. а) Указание. Пусть Г>0 — период функции. Тогда f (Г) —
169
=f (0), поэтому T имеет вид Г=л?л\ где n$N, ? (2Г)=^7(Г) —О, поэтому 2 Г
А
имеет вид л2/г2, где k£N. Но тогда 2л2л2 = л2£2, откуда -у2 =—, что противоре-
п
чит иррациональности ^2. Другой способ рассуждений: период не -меньше рас-
стояния между двумя соседними нулями функции, а это расстояние (л2 (£+1)2 —
— n2k2=(2£+ 1) я j можно выбрать 'большим любого наперед заданного числа
Т>0 (взяв достаточно большое k)\ б) уж а з а н и е. J (х)=2 только при.х=0;
это следует из иррациональности -^2. С—9. 1. а) Убывает на промежутках
(—оо; —2] и [0; 1J, возрастает на промежутках (— 2; 0] и [1; оо); б) убывает
на промежутках (—оо; —1] н fl; оо), возрастает на промежутке [—l;4j 2. На-
пример: a) f (х) = 2х, g(x} = x; б) f(x) = x, g(x) = 2x; в) f(x)=2x-Hx|, g(x) = 2x;
г) / (x)=2x-|-sin х, g(x) = 2x. 3. sin 2, cos 2, 4g 2, etg 3. C—10. 1. 6) xmin=±3,
xmin = ± 1. *1>1ах=0. •»п>ах= ±л/5- 2. б) Указание, f (x)=sin Зх при х=/=у+
4-лл, n£Z (при этих х f(x) не определена), поэтому точки такого вида не являются точ-
ками максимума или минимума. С—12/1. -D(f) — множество всех чисел, кромечисел
вида n£Z. — со; — 2]U[2; оо). Указание. В области определе-
л
=-2~а
л я
— х и 0< —
л.
3. а) 0,7622; б) 0,9906. С—14. а) (-1)‘+‘ , *6Z; б) Й+л*.
о z lx 1х
k£Z. Указание. Уравнение приводится к виду tg Зх = — 1, из множества ре-
шений которого (это .множество :чисел вида
л
12
, лл ,
4-— , n£Z) ;надо ’исключить
О
при полученных значениях определен tg 5х; в) —4
sik Зл
'~2 ' 28
я
я лп _ —
числа вида —4—« . при которых не определен tg 2х, и проверить, что
Лл
л , л/г
84 Ив’*
, k£Z. Указание. См. указание к вар. 9; (
Л _ , 5 JT , i . — л* V Л . л , 2лЛ
-4-2лk\ 4=—4-2я/г, б) 2лЛ; —4—=- •
2 о оо
— -fi—4л/з)+пп, n£Z; б) —у + лл; — -£- + arctg4+ял> п€2- С—,э-
( —г + ^7~ял> * k* n^z' с“20< а) • n^7k> тг +
\ ж Лл 4 / f w
4—m=#9/4-4, ш, 7£Z; 6) , т-=- , п ^Z. С—21. 1. Первое больше в обоих
случаях. 2. 3xq4-4xo — 54-(Зхо4"2) Ах4-(Ах)2; Зхо4~4хо — 5. С—22. 1. 7Н. 2. а) 2х —
---б) — i\2 • с“23« 1. а) 0; 0,5; б) не существует; в) (—1; 2,5).
ух И “г 1)
2. 0,36. С—24. 1. ц) 4,; б) .10. 2. а) 4; б) —42. С—26. 1. 4)-—4=+
о 7 '4х-^х 2-ух
4-lOlx1™; б) .7,Бх^/»—3,5х’Vx. 2. О. У:ка;з а н-н<е. f(«)=x*M и Г(0)=
= !im f(^~^=limx|x|=0. С—26. а) —2>и1;(—оо; -2)U(1; оо); (-2; I);
х->0 *Х дг-1-0 _
б) -3 и -1; (-3; —2)U(—2; -1); (-оо; -31U(-1; оо). С-27. I. а) (—->/5;
—2]U[2; -^); б) [1; оо) и точка О. 2. /.(х)=4~ цри л=ЗА—2; f„(x)=^-'
-1 X X
при zi = 3fc—*1; fn(x)=x при n = 3kt k£Nt ‘Doo; 1)U{1;
==(—oo : 0)U(0; 1)U(1; оо) при л >2. С—28. я) —5 sin'5г; б)
оо); D(fn)=
—2
sin2 (2x4- 2) *
170
в) 6—291 » П₽и “>2.25: 2. а) (-оо; -2)U
11(->/2;: -aSJufj; ^U(2; «>); б) (2; 2.5)U(3? 4). С—30; I. (1; .
9 . V3
‘'т-~ёГ^:
Г Возрастает на
— . С—31. 1. 0,9976. С—32. 1. 7 с; 23,5 м/с. 2. Решение.
12
16 16/7?
s" (/)=(v(<)), = (2f~ 1)3: /r=moa=——ур=2т0? (/). С—33.
л З-ТзП ГЗ-Ьл/5 \ ГЗ —л/3
I — оо; —~— и на -----—; оо I , убывает на I—;
2. x — nk, k£Z,— точки минимума;
мума. С—34. Возрастает на
— оо;
и
х=-— -|-л£, Л £Z,—точки макси-
на (— 2; оо
), убывает на £ —
— 2); х=— 4 —----точка максимума. С—35.
/ о
убывает на I —; оо
L 8
3. /' (х)=2(х—1)2>0 при xs/=l, поэтому f возрастает на (—оо;
......... 2
1. Возрастает на
—---точка максимума. 2.
8
3’37
Ц в частности
/(*)</(1) = 4" при х<1. С—36. Убывает на (— оо; —2) и на [2; оо), возрастает
3
на (— 2; 2J х—2 — точка максимума. С—37. 1. /)(/)=[ —2; Ц max /=/(—0,5)=
( 2; 1 ]
= Е5; min f — f(—2)=f(l) = 0. 2. 40 см. Указание. Обозначим; большее
[-2; 1]
основание через 2х. Тогда h = -\(202—(10—х)2 =-\/300.-|-2х —л5; S (л)=2*^20 h —
=(х4-16)• -V300 4-20х—х2; S' (х) = -^52========= и S'(x)==0 при х=20.
V3O0'+2Ox — “2
D(S) = [10;. 30], S(20)=300a/3->S(1.0)=400,
V6 + V2 г
2
б) 2. a) 2пА, *fZ; б) -£-4
5л
2 ’
T(.k
, nk, kEZ. 3. а)
л . л . л . л. ,Т
S(30)=0.
х 17
а) 25-’
л . _ .
л
2.
*EZ.
л
лт
л
+у arctg тр+л( 2л — у U .. т,
а) 1-6; -2]U[2<6i б) (-«;
а
С—42.
2 1 V
п, k£Z.
0)U(0; 3)U(5; oo).
; 6) (-3; -2)U(-1; «). C-4X
,2
— ; в) x2cosx;
4; «)
a)
42(4x3 —Зх2)^ —x3)41. 2. [— f; 0)(J(0; 1]. C—44.
,0014; &) 1.1047. C—45.
= x3 — 9x4-10 возра-
[V3; се); убывает на
поэтому она имеет на
1. 3. Указание. Функция’ / (х)=
стает на промежутках (— оо; — уЗ],. [и
промежутке уЗ;. yS]- (рис. 25)
Далее,
171
каждом из этих промежутков не более одного корня. При этом корень существует
на каждом из этих промежутков, так как функция непрерывна и, например,
f(x)<0 при больших по модулю отрицательных х, a f (—-уЗ)>0. 2. Правильный.
Проверочные работы
ПР—1. Вар. 1. 1. 0,6; —0,8; sin л = 0; cosn= —1; sin (—630°)= 1;
cos (—630°)=0. 2. -т-г см. 3. 4. 0. 6. Минус. 7. Например, f (х)=х3. 8. 0,75. 9. 0.
11
Вар. 2. 1. у; у; tg-J-= 1; ctgy=I; ctg (-450°)=0; tg540'=0. 2. 2,45 м2.
3. 5 sin a cos a (t. e. 2,5 sin 2a). 6. Плюс. 7. Например, f (x)=x2.
8. 2,7. 9. л/ОЛ- 10. 2 cos (0 — a) cos (04- a).
ПР — 2. Bap. 1. <x>', co); E(f)=(O; 1]. 2. Убывает иа (— оо; 1],
возрастает на [I; оо). 4. Возрастает на (—оо; оо),
2л
sin 6; sin 2. 6. а) -г; б) п. 7. а) 0; б) 1. 8. л;
о
б) -2±у+4яй, k£Z. 10. а) (^+у ; т+т)’
О \ О Z *т Л /
экстремумов нет. 5.
л _ . Зл , nk
-6 • 9‘ а> 1б+-2 ’
kez-, б) —£+2лй,
sin 4;
k£Z;
k£Z.
пп;
л
12
n£Z. Вар. 2. 5. х=
л
12
л
— 4“ як, k£Z,— точки максимума; х=— 4-лк, &EZ,—точ-
1V о
2л
Л JX л
ки минимума. 6. а) 4л; б) л. 7. ——; . 8. а) Да; б) нет. 9. 4+(—1)* — 4-2як,
4 о о
С 9ш ** Ч Я В ЛЛ # Л Ч Я Л « Л Л 11 « W ^ч ( Я В ЗХЛ
k£Z; б) ±—4—10. а) — у 4”2л/г; y+2nk) , k£Z\ б) — у4--g
я , лк | «V .. ж я л . я Л . > ,
8’+12”j • k£Z* 11. ^у4“2лк; у 2nkj , k^Z.
ПР-3. Вар. 1. 1. а) (-со; 0,51и[1; «>); б) (-1,5; 1)U(2; 4). 2. </=-4х-4.
sin ——2 cos 2х. 4. а) (12/
3—6t2) м/с; (36Z2 —12/) м/с2. 5. 3х+^ :
2,75. 8. 2—«2,03. 7. Убывает на [0; 11 возрастает на [1; оо). 8. х =
----точка
максимума; х=
убывает на [—1; 1];
точка минимума; 9. Возрастает на (—
х= — 1 — точка максимума;
х= 1 — точка минимума.
10. min/=f (2)=4; max/=f(l)=5. Вар. 2. 1. а) (— оо; 0] U |тг; 00) ;
[1:3] [I; 3] •- 7 /
б) (-оо; —3)U(—1; 2)U(6; оо). 2. 1/=12х-19. 3. 5ж-5х4; —+—-—
cos22x sin2*
4. а) 81*-1; б) 63 рад/с; <о(1)=0 при 5. —2~Х- ; 0. 6. 600х2(2х3- 1)”.
2Х2 -ух — I
7. Возрастает на J?. 8. (при х=0,25\ 9. Возрастает на (—со; —2]
и на [0; со), убывает на [—2; —1) и на (—1; 0) 10. а) 124-0; б) 64-6.
172
’Л
К — 1. Вар. 1. Е а) —у • б) —2~ '< е> 7
л/3
4. m2 —1; Вар. 2. 1. а) —0.5; б) — ; в)
’ ’ ' 10
8 8 — 15^3
17 ; 0) 34
=х — 1, х¥=у ". лб/.
К — 2. Вар. L 1. [—2; 3)(J{3; со). 2. 0,5. 5.
Вар.^2. Е [—0,5; 2)U(2; оо). 2. 1,5. 5. [-4; -л)и(-л; 0). Вар. 3. 1. (-оо; 0)U(0; 1[
-3)U(-3; -1} 2. -1,5.
—£-+2лп, n£Z; б) 2лл,
^лп, n£Z. 2. —2Г"|-21Ш4-2лл, л£/, ;
о б
( Зл1Л,7л ~ А . ~
2. -у . Вар. 4. 1. (— оо;
К—3. Вар. 1. 1. а)
5л
2 2л
л
~2
4л
т
л
‘Т
Зл
5-+лл, n£Z; в) -£-+лл, Д+лп, n£Z.
б z о
( -5’4-2лл; — 2лл
JT «л *
— 4- 2лЛ;
Iя——|-лл, n£Z;
б) л4-2лл, ±-^-4~2лл, n£Z; в)
О
л /5
<у4-пп, n£Z. 3, — л + 2лп;
^-4-лл, arctg 34-пл, n£Z. 2.
л — 2лл
л
4
, n£Z. 4.
2
л
3
4
2
л
4-2лл, n£Z: Вар. 4. 1. а) ±-^-4-2лл, n£Z', б) —~4“2лл, (—1)л-^-4-лл. n£Z;
4 z о
К—4. Вар. 1. 1.
1,56. 2. а) х2 4-2x4-2; 6)
-ч^1; в) g'W==4cosx,
Л
е'(~т) = -2: Г) А'W=-(ГР2)5 • Л'(-1)=-8. з. 2. 4. Г(х)=-|х|.
f(0)=0. Вар. 2. I.' 1,12. 2. а) — 2хгЧ-4х-1; б) —Д + 1; в) g' (х)=
= — 3 sia х,
t’
(-7)
=4 |х|, Г(0)=0. Вар. 3.
1,5; г) ft'(x)=-?-^5; Л'(1)=-7. 3. 3. 4. f’ (х)=
(X £)
1. 5,25. 2. а) 2х2—2х—7; 6) -Д ; в) g'(x)=-V;
=4; г) Л'(х)=(—1Д, , Л'(-2)= 11. 3. 4. 4. g(x)=^^T=T. Вар. 4.
I. 2.78. 2. а) - х»+8х+2; 6) -4 ; в) g' (х)=-Д- , g'( = -бД;
jt ' ею х \ 3 / 3
13 _____
г) Л* (х)= ~(4)в —13. 3. 2. 4. g (x)=V*+2.
173
К—5. Вар. /. t. {— оо; —3)U(3; 5). 2. 6 см/с. 3. . 4. у=2х. 5. (—оо; — 1J
х=1. Вар. 2. 1. (— 5; —2)(J(2; оо). 2. 8 см/с. 3. .
4. у= — 2х — 2. 5. [0; 5];
—5. Вар. 3. 1. (—оо; —5). 2. 36 см/с2. 3. . 4. у = 2х— 4. Вар. 4.
О
1. [-3,5; 2]U(4; оо). 2. 36 см/с2. 3. -£- 4- у=—2х —4.
К—6. Вар. 1. 1. Возрастает на (— оо; 0] и [2; оо); убывает на [0; 2]; х=0 —
точка максимума; х — 2 — точка минимума; / (0) = 4, /(2)=0. 2. Слагаемые 8 и 4.
3. -6.3<<р'(*Х — 2,3; ср'(х)<0 для любого действительного х. Вар. 2. 1. Убы-
вает на (—оо; 0] и [2; оо); возрастает на [0; 2]; х=0— точка минимума;
х=2 — точка максимума, f (0)= —4, f (2) = 0. 2. Слагаемые 6 и 3. 3. l,2^f'(x)^
^5,2; f' (х)2>0 для любого действительного х. Вар. 3. 1. Возрастает на (— оо; —2]
и [2; оо); убывает на [ — 2; 2]; х=— 2 — точка максимума; х=2— точка ми-
нимума. /(— 2)=2-^-, f (2)=—8 -i-. 2, Слагаемые 6 и 2. 3. Уравнение имеет
3 3
_ „ 1 I 1 1
один корень, если с>2 — или с< —8 — ; два корня, если с=2-~- или с= —8 -5- ;
О О о о
три корня, если — 8—<с<2 —. Вар. 4. 1. Убывает на (—оо; —2] и [2; со),
возрастает на [—2; 2]» х — 2— точка максимума; х= — 2 — точка минимума,
f(—2)——2 — , /(2) = 8 — . 2. Слагаемые 9 и 3. 3. Уравнение имеет один ко-
О О
рень, если zn>-8— или т<-~2 — ; два корня, если т — 8 — или т= — 2 — ;
о о *3 3
три корня, если —2 —
3 ’
К-7. Вар. 1. 1. а) 4+4"’ n*z> б) ~4+4n’ n^Z2- ~2- 3- а)
4-2лп<х<—-4-2лл, б) (—оо; 0]U[2; 4). 4. Возрастает на (— оо; 0] и
[2; оо), убывает на [0; 2]; х=0—точка максимума; х=2 — точка минимума;
f (0)= 14-,/ (2)=0, 0^/ (х)^ 1 4" > если ~ * ^*^3. 5. х2-}-*4-1 >0 для всех х,
О О ЛИ
поэтому 4Х2 —9<0, — 1,5<х<1,5, cosx>0. Вар. 2. 1. а) ~т-4-“п“Л, «6Z;
ж лл
б) ^+ТЛ’ "6Z" 2* *• 3‘ а> 4+2яя<х<Т+2я”’ neZ; б> (-1; 0]и[4; 00)
4. Возрастает на (— оо; 0] и [1; оо), убывает на [0; 1]; х=0 — точка макси-
1 2
мума; х=1—точка минимума, / (0)= —1 — ; /(!)= — 1 —; —3</(х)<:0, если
— 1^х^2. 5. л2—х-|-1>0 для всех х, поэтому х2 — 3x<0, 0<х<3, sinx>0.
Вар. 3. 1. а) ±4+™, л67; б) ~+4". n^z- 2- 3- а) ^+2лп<х<
О Zn Z 4
5 л
—4-2лп, б) ( — 1; 0)U(0; 1)U(3; °о). 4. Возрастает на (—оо; 0] и [1; оо),
убывает на [0; 1J х=0 — точка максимума; х=1—точка минимума f(0) = 5,
/(1) = 4; х^—1. 5. х2+1>0 для всех х, поэтому х2 — 5х4-6<0, 2<х<3,
1<4<1Д sin-£->0. Вар. 4. 1. a) + n^Z; б) n, n£Z.
Z Z О 4 Z
2. -2,5. 3. а) ^+2лл<х<у + 2лл, ngZ; б) (-оо; -3)U(-1; 0)U(0; 3).
4. Убывает на (—оо; —1] и [1; оо), возрастает на [—1; 1J х=—I—точка
минимума; х=1—точка максимума, /(—1) = 0, /(1)=4; х>2. 5. х2Ч-3>0
для всех х, поэтому х2—10х + 24<0; 4<х<6; 2< -^-<3; cos-^-<0.
174
Материал для итогового повторения
Вариант /. 1. — 4-лп; 4-2лл, n£Z. 2.---y4-cos2x. 3. I —3; nrjll
Л о Л Z /
; 3j . 4. (—oo; — 2]U[0; 3). 5. x=0— точка максимума, t/(0) = 0; x=2—
точка минимума, у(2)=—4. Графики имеют три общие точки.
7 л л I
Вариант 2. 1. —^-4-2лл<х< ——|-2лп, n^Z. 2.---y4-sin0,5x. 3. 5; лл,
о о х
п^2, п£Ы. 4. (— оо;
-5)U(0; 3} 5.
max у = i/(3)=21,
min y = t/(l)=L
; 3
Вариант 3. 1. 2. 2. (—оо; 3)U(3; оо). 3. sin х. 4. Объединение трех прямых:
|/=1, х = 6, х=—3. 5. х = 0 и х = 2 — точки минимума, f (0)=f (2)=0; х=1 —
точка максимума, f(l) = 4.
Вариант 4. 1. —2. 2. 120 см/с, 168 см/с2. 3. —cos х. 4. х=0 и х=4—
— "I”
л \
-|-2лл,—~—2лл) , n£Z.
Вариант 5. 1. tg а. 2. — arctg 44-лл, ~4-лл, n£Z. 3. —12. 4. ( — 8; — 3)U
U(3; оо). 5. Возрастает на (—оо; — 1] и [1; оо), убывает на [—1; 1]; х= — 1 —
точка максимума, [(—1)“8; х= I — точка минимума, f(l)=0.
л
Вариант 6. 1. I. 2. у~2х — 8. 3. (—оо; — 1]J(2; 3]. 4. агсЦ
4-лл, n£Z. 5. Возрастает на [—1; 0] и [1; оо), убывает на (—оо
х= —1 и х=1—точки минимума, f (— 1)=/(0 = 2; х=0— точка максимума,
/(0)=3.
Вариант 7. 1. —
на [1; 2) и (2; 4J 5. Слагаемые 24; 12; 18.
Вариант 8. 1.
24
25
. 3. —1. 4. а) (—оо; 2)U( —2; 2)U(2; оо); б) возрастает
; со); убывает на
4-1. 2. Возрастает на (— оо;
[-1; IJ. 3. -£+2лл, (-1Г4’1 тг+ яя, n£Z. 5. Слагаемые 16. 16, 16.
z о
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................................... 3
Самостоятельные работы........................................ 5
Проверочные работы......................................... .111
Примерные контрольные работы .............................. .117
Материал для итогового повторения.......................... .137
Материал для проведения программированного контроля .140
Карточки-зада ния для проведения зачетов................... .145
Ответы и указания.......................................... .153
Учебное издание
Ивлев Борис Михайлович
Саакян Самвел Манасовнч
Шварцбурд Семен Исаакович
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И
НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 10 КЛАССА
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. Н. Белоновская
Младший редактор Е. А. Буюклян
Художники Б. Л. Николаев» В. С. Алексеев
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор Н. Н. Матвеева
Корректор Н. С. Соболева
ИБ № 13356
Сдано в набор 18.01.90. Подписано к печати 27.06.90. Формат 60X90'/ie. Бум. типограф. № 2.
Гарнит. литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 11. Усл. кр.-отт. 11,38. Уч.-изд. л. 7. Тираж
I 000 000 экз. Заказ 737. Цена 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение* Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд
Марьиной роти, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного
комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.
Глава II
«Производная и ее применения»
Содержание учебного материала Пункты учебного пособия Номера соответ- ствующих самостоя- тельных работ
Приращение функции 12 С —21
Понятие о производной 13 С —22
Понятие о непрерывности в предельном пе-
ре ходе 14 С — 23
Правила вычисления производных 15 С — 24 по С — 26
Производная сложной функции 16 С —27
Производные тригонометрических функций 17 С —28
Применения непрерывности 18 С — 29
Касательная к графику функции 19 С — 30
Приближенные вычисления 20 С — 31
Производная в физике и технике 21 С — 32
Признак возрастания (убывания) функции 22 С —33
Критические точки функции, максимумы и
минимумы 23 С — 34
Примеры применения производной к иссле-
дованию функций 24 С — 35, С — 36
Наибольшее н наименьшее значения функ-
ции 25 С —37
Итоговое повторение курса алгебры и начал
анализа С — 38 по С — 45