Автор: Лебедев А.П. Верезуб Н.А. Полежаев В.И. Белло М.С. Дубовик К.Г.
Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа физика механика гравитация
ISBN: 5-02-006767-9
Год: 1991
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
В.И. ПОЛЕЖАЕВ, М.С. БЕЛЛО, Н.А. ВЕРЕЗУБ,
К.Г. ДУБОВИК, А.П. ЛЕБЕДЕВ, С.А. НИКИТИН,
Д.С. ПАВЛОВСКИЙ, А.И. ФЕДЮШКИН
КОНВЕКТИВНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
В НЕВЕСОМОСТИ
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
В.И. ПОЛЕЖАЕВ
МОСКВА
"НАУКА"
1991
УДК 532; 536
Конвективные процессы в невесомости / В.И. Полежаев, М.С. Б е л-
л о, Н.А.Вере зуб и др. -М.: Наука, 1991.- 240 с- ISBN 5-02-006767-9
В монографии обобщены результаты исследования некоторых гравитационно-чув-
гравитационно-чувствительных механизмов и систем, представляющих интерес для технических и техно-
технологических приложений в условиях космического полета. Рассматривается конвек-
конвекция гравитационного и негравитационного типов при различных микроускорениях,
включая предельный случай теоретической невесомости. Изучаются модели конвек-
конвективных процессов при росте кристаллов, эпитаксиальных структур и разделении
биологических веществ методом электрофореза, сравниваются альтернативные неве-
невесомости, методы управления конвективными процессами.
Для специалистов в области механики жидкости и газа, космического материало-
материаловедения и биотехнологии.
Табл. 9. Ил. 160. Библиогр.: 295 назв.
Convective processes in microgravity / V.I. Poleshaev, M.S. Bello, N.A. Vere-
zub et al. - M.: Nauka, 1991. - 240 p. - ISBN 5-02-006767-9
The results of investigations of gravitational-sensitivity mechanisms and systems relevant
for technical and technological applications in Space are generalized. Gravitational and non-
gravitational types of convection with different microaccelerations, including limit case of
zero gravity are considered. Convective processes models in crystal growth, liquid phase
epitaxy and free flow electrophoresis are studied. Convective processes control methods
which are alternative to microgravity are compared.
For specialists in fluid and gas mechanic, material sciences and biotechnology in space.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук С.Я. Герценштейн
доктор технических наук А.Г. Кирдяшкин
К 1б$йюУЙ43 244-91,1 полугодие © Издательство "Наука", 1991
042 @2)-91
ISBN 5-02-006767-9
ПРЕДИСЛОВИЕ
Невесомостью мы будем в этой книге называть физическое состояние,
соответствующее действию реальных сил в космическом полете1. Особен-
Особенность этого состояния в первую очередь заключается в том, что микроуско-
микроускорение g, т.е. ускорение в системе координат, связанной с космическим ап-
аппаратом, весьма мало по сравнению с ускорением свободного падения g0 и
достигает обычно на орбитальных станциях значения AСГ6 — 1СГ3)^0 • Вместе
с тем имеются возможности (в зависимости от режима полета) существен-
существенного пространственно-временного изменения микроускорения с амплиту-
амплитудой, превышающей в отдельных случаях среднюю величину микроускоре-
микроускорения gболее чем на порядок, при ее существенном различии по всем трем
пространственным координатам. Это создает многообразие условий невесо-
невесомости в зависимости от практических способов ее реализации (раке-
(ракета—зонд, самолет—лаборатория, башня сбрасывания, космическая станция).
Разработка долговременных орбитальных станций и реализация в нашей
и других странах пилотируемых полетов создали предпосылки для длитель-
длительного (от нескольких суток до нескольких месяцев) поддержания условий
невесомости при наличии достаточно большого ио объему пространства вну-
внутри космической станции. Это обеспечивает принципиально новую возмож-
возможность осуществления различных технологических процессов ввиду того, что
условия невесомости полностью не моделируются на Земле или в других
упоминавшихся способах полета. В невесомости существенно изменяется
состояние многих гравитационно-чувствительных процессов и систем, к ко-
которым относятся, например, системы со свободной поверхностью раздела,
системы вблизи критической точки, многокомпонентные, многофазные, в
особенности гетерогенные среды и процессы при фазовых переходах (крис-
(кристаллизация, кипение, конденсация) или при протекании химических реак-
реакций, в том числе при горении.
При применении основанных на упомянутых процессах разнообразных
технологий имеется, по крайней мере в принципе, перспектива улучшения
качества получаемого продукта. Например, можно получить высокоодно-
высокооднородные по составу кристаллы, равномерные по толщине структуры или уве-
увеличить эффективность разделения биологических и лекарственных веществ
за счет устранения вторичных течений и неустойчивости, вызываемых грави-
гравитационной конвекцией. Можно также предотвратить распространение
примесей от стенок тигля в разнообразных высокотемпературных метал-
1В англоязычной литературе наряду с аналогом термина "невесомость" (wightlessness)
в последнее время распространены термины "пониженная гравитация" (low gravity) и
"микрогравитация" (microgiavity).
лургических процессах за счет бестигельной подвески расплавленной массы
или получить новые материалы с заданными структурой и свойствами
(например, композитные материалы, в том числе сверхпроводники, а
также продукты химических реакций из компонентов с существенно раз-
различающимися плотностями). Нетрудно видеть, что число разнообразных
гравитационно-чувствительных систем и примеров возможного их приме-
применения в условиях микрогравитации необычайно велико. В то же время от-
относительные изменения других характерных параметров в технологических
процессах (перепады температур, геометрические размеры и др.) в земных
условиях весьма ограничены.
Отметим, что многие из вопросов, связанных с эффектами невесомости
в космическом полете, были поставлены более ста лет тому назад К.Э. Ци-
Циолковским, который впервые высказал также идеи завоевания человеком
космического пространства [ 166].
Первые программы технологических экспериментов выполнены в
СССР и США в конце 60-х и первой половине 70-х годов на долговремен-
долговременных пилотируемых орбитальных станциях "Салют", "Скайлэб", а также
"Союз—Аполлон".
За истекший более чем 15-летний период интенсивного развития этого
направления на космических орбитальных станциях и комплексах следую-
следующего поколения (в СССР "Салют—Союз", "Мир" и за рубежом "Спейслаб—
Шаттл"), а также на автоматических станциях и ракетах-зондах выполнено
большое количество технологических экспериментов. Результаты этих ис-
исследований представлялись на симпозиумах Международной астронавти-
ческой федерации (МАФ), Комиссии по исследованию космического прост-
пространства (КОСПАР), а также на симпозиумах, регулярно проводимых Евро-
Европейским космическим агентством (см., например, [227-229, 258, 260,
279]. В нашей стране систематическое обсуждение результатов технологи-
технологических экспериментов проводилось на Всесоюзных семинарах по гидроме-
гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, труды которых опубликованы
[59—61, 105,'159], а также на ряде конференций, связанных с программа-
программами "Интеркосмос" [ 160].
Проведение технологических экспериментов в космосе сопровождалось
созданием специального оборудования, включающего космические печи,
средства контроля и диагностики процессов и т.д. [18, 90]. В ряде стран
имеются долгосрочные программы дальнейших работ, имеющих целью
создание полупромышленного, а затем промышленного производства, кон-
конкурентоспособного при получении отдельных веществ и материалов по
сравнению с земным производством. Обсуждение состояния и перспектив
космического материаловедения и связанных с ним проблем механики
жидкости содержится в ряде монографий [90, 156, 273] и обзоров [146,
147]. Изложение современных исследований, проводимых Европейским
космическим агентством в этой области, дано, в частности, в большой кол-
коллективной монографии [ 192].
Развитие этого направления имеет весьма сложный характер в связи с
тем, что большинство из рассматриваемых в невесомости рабочих процес-
процессов недостаточно хорошо изучено в более простых земных условиях, а тео-
теоретические модели основных гравитационно-чувствительных процессов (ди-
(динамика многофазных и многокомпонентных сред, форма и устойчивость
4
свободных поверхностей, конвекция) недостаточно развиты для объясне-
объяснения результатов экспериментов, многие из которых имеют неоднозначный
характер. Наряду с результатами, давшими положительный эффект (напри-
(например, уменьшение неоднородности сложных сплавов и композитных матери-
материалов с различными плотностями, получение кристаллов с меньшей, чем на
Земле, плотностью дислокаций, улучшение качества разделения биологичес-
биологических и лекарственных веществ и т.д.), в технологических экспериментах за-
зафиксирован ряд нежелательных побочных эффектов (например, макро- и
микронеоднородности кристаллов, выращиваемых из расплавов), причина
которых недостаточно ясна. В настоящее время космическое материалове-
материаловедение имеет во многих случаях традиционную для земной технологической
практики тенденцию развития путем "проб и ошибок", что связано с боль-
большими затратами средств. Заметим, что, по-видимому, имеются и альтерна-
альтернативные невесомости пути улучшения характеристик материалов.
Таким образом, настоятельной потребностью этого направления в насто-
настоящее время является развитие механики гравитационно-чувствительных
процессов, к которым относятся, в частности, процессы гравитационной
конвекции, чаще всего встречающиеся в сложной совокупности с неграви-
негравитационными видами конвекции.
Гравитационная конвекция, развивающаяся под действием архимедовых
подъемных сил (обусловленных неоднородностью температуры и/или сос-
состава среды) и являющаяся одним из наиболее распространенных на Земле
видов макроскопического движения, представлеяет в то же время пример
одного из важнейших гравитационно-чувствительных процессов, характер
которых существенно изменяется в условиях невесомости. Помимо проче-
прочего, они становятся в некотором смысле более разнообразными в условиях
невесомости, что обусловлено наличием как остаточных составляющих
гравитационного типа, так и различных не гравитационных механизмов дви-
движения, подавляемых или трудно наблюдаемых в земных условиях. Вместе
с тем имеются разнообразные слабые воздействия, обусловленные полетом
конкретного космического аппарата, в связи с чем изучение конвективных
процессов в невесомости тесно связано с изучением микроускорений, воз-
возникающих в космическом полете. Интересны также искусственно создава-
создаваемые и более эффективные, чем на Земле, воздействия на жидкие (газо-
(газовые) среды.
Сложная внутренняя структура конвекции проявляется даже в простей-
простейшем случае постоянного микроускорения в замкнутых областях, которые
характерны для большинства технологических процессов. Наряду с упомя-
упомянутыми особенностями конвекции в условиях невесомости ее проявления в
замкнутых областях создают значительные трудности при постановке и ин-
интерпретации технологических экспериментов, В связи с этим действитель-
действительная роль конвекции в технологических экспериментах вплоть до настояще-
настоящего времени не выяснена. Поэтому построение количественных моделей, в
которых учитывались бы ее основные особенности, представляет не только
общий интерес для гидромеханики невесомости, но является важной прак-
практической задачей.
Литература, относящаяся непосредственно к конвективным процессам в
невесомости, не столь обширна. Теоретическим и экспериментальным ис-
исследованиям конвекции в земных условиях, являющимся отправными для
5
исследований в невесомости, посвящены ряд монографий и обзорных работ
(см., например, [54, 69, 155, 194, 237]). В отечественной литературе од-
одними из первых были монографии [63, 110, 124]. Большая часть результа-
результатов получена, однако, еще в "дотехнологическую" эпоху развития косми-
космической техники и не содержит появившихся в последнее время новых пос-
постановок задач. В то же время произошли значительные сдвиги в методичес-
методическом отношении, особенно благодаря развитию численных методов решения
нелинейных уравнений конвекции, основанных на нестационарных уравне-
уравнениях Навье-Стокса. Ряд интересных задач об устойчивости конвективных
течений в невесомости недавно опубликован в монографии [ 55].
В предлагаемой читателю монографин представлены результаты исследо-
исследований конвективных процессов в невесомости, выполненных авторами
преимущественно за последние 10 лет. Появившиеся в этот период доволь-
довольно многочисленные журнальные публикации цитируются в соответствую-
соответствующих разделах книги. Наиболее близки к тематике книги работы С. Остраха
и его учеников [ 117,118, 213, 245-247, 251], в которых, однако, меньше
используется аппарат численного моделирования.
Книга состоит из трех частей. Первая часть посвящена расчету микроус-
микроускорений на борту орбитальной станции, являющихся основной входной ин-
информацией для задач конвекции в невесомости.
Во второй части (гл. 2—4) излагаются общие закономерности проявляю-
проявляющихся в невесомости различных видов конвекции и их влияние на перенос
тепла, а также, что очень важно, на распространение примесей, с тем чтобы
выявить потенциальные причины, которые могли бы приводить к эффек-
эффектам макро- и микронеоднородности при получении материалов. В связи с
этим значительное внимание уделяется классификации различных разно-
разновидностей гравитационной и негравитационной конвекции, которые мы
рассматриваем в трех основных режимах микроускбрений, действующих
в невесомости: малые постоянные микроускорения, теоретическая невесо-
невесомость (g = 0) и, наконец,микроускорения, изменяющиеся в пространстве и
во времени.
Третья часть книги (гл. 5—7) имеет более специальный характер и со-
содержит результаты исследования особенностей конвективных процессов в
невесомости в моделях типичных технологических процессов: выращива-
выращивания кристаллов методом направленной кристаллизации в ампуле (гл. 5) и
полупроводниковых структур методом жидкостной эпитаксии (гл. 6), раз-
разделения веществ методом электрофореза в свободном потоке (гл. 7). В
каждом из упомянутых случаев делается попытка проанализировать влия-
влияние изменения конвекции в невесомости на соответствующие технологичес-
технологические характеристики (однородность распределения концентрации легирую-
легирующей примеси в объеме, геометрическая однородность структур, эффектив-
эффективность разделения смеси) и на этой основе проанализировать имеющиеся
экспериментальные данные. Особое внимание уделяется поиску альтерна-
альтернативных невесомости методов улучшения характеристик технологических
процессов, с тем чтобы выяснить ее действительные преимущества в кругу
других возможных воздействий (геометрических, динамических, тепловых
и т.д.). Это направление исследований, стимулированное технологическими
экспериментами в космосе, было предметом рассмотрении на специальной
секции шестого Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной меха-
6
нике и представляется нам одним из важных направлений гидромеханики и
тепломассообмена при получении материалов — раздела механики жидкос-
жидкости и газа, интенсивно развивающегося в наше время под влиянием техноло-
технологических экспериментов в космосе [62].
В методическом отношении эта книга развивает подход к математичес-
математическому моделированию конвективных процессов на основе уравнений
Навье— Стокса, изложенный в коллективной монографии [134]. Основной
рабочей моделью при многочисленных параметрических расчетах является,
как и в упомянутой монографии, двумерная нестационарная модель кон-
конвекции для бинарной смеси в приближении Буссинеска, для численной реа-
реализации которой используются рассмотренные в [134] различные варианты
метода конечных разностей и программные комплексы. За истекший пери-
период после выпуска упомянутой монографии арсенал методов существенно
дополнился, что нашло отражение в этой книге. Методы решения двумер-
двумерных уравнений пополнены неявными матричными методами, эффективны-
эффективными для медленных конвективных течений. Получили развитие модели трех-
трехмерных нестационарных уравнений Навье—Стокса, использующиеся в гл. 4
для общего случая произвольного пространственно-временного изменения
микроускорений, а также методы численного решения линеаризованных
уравнений, широко применяющиеся для анализа устойчивости конвектив-
конвективных течений (гл. 2, 3). Некоторые из рассмотренных здесь задач сегодня
могут решаться независимыми пользователями на персональных компьюте-
компьютерах. Краткие сведения об этих новых вычислительных средствах даны в
приложении. Большое внимание в этой книге, так же как и в монографии
[134], уделено тестам результатов, получаемых методами математического
моделирования и лабораторного (физического) моделирования.
Следует отметить, что на содержание и методическую направленность
книги благотворное воздействие оказали научная атмосфера и традиции се-
семинаров, руководимых академиком Георгием Ивановичем Петровым, кото-
который при решении прикладных задач учил применять разнообразные теорети-
теоретические подходы к изучению гидродинамики в тесном сочетании с экспери-
экспериментальными исследованиями в лабораториях и натурных условиях.
Отправным для этой книги, имеющей технологическую направленность,
был цикл исследований конвективных процессов, выполненный 15—20 лет
тому назад применительно к хранению топлив в невесомости [39, 114,
128-130, 133]. Именно в этот период был впервые установлен принцип
максимума температурного расслоения, вызываемого тепловой гравита-
гравитационной конвекцией в замкнутом объеме при заданном подводе тепла
[133].
Указанный принцип обобщается здесь (гл. 2-4) на случаи макронеодно-
макронеоднородности распределения примеси, обусловленные основными видами мик-
микроскопического движения (вынужденная, гравитационная термоконцентра-
термоконцентрационная, термокапиллярная конвекция). Показано его важное значение в
технологиях получения материалов в невесомости (гл. 5—7).
Конвекция участвует в очень многих сложных гравитационно-чувстви-
гравитационно-чувствительных процессах, например вблизи критической точки или при наличии
физико-химических превращений (в том числе при горении, см., например,
[61, 106]), которые мы не рассматриваем из-за ограниченного объема кни-
книги. Однако, по-видимому, и в этих ситуациях могут проявляться общие за-
7
кономерности конвекции в условиях невесомости. Это относится прежде
всего к упомянутому эффекту максимума температурного (концентра-
(концентрационного) расслоения.
Авторы надеются, что разработанные в книге методические подходы к
изучению конвективных процессов в невесомости, опыт классификации,
анализа, а также методы и программное обеспечение будут полезны при
разработке более сложных моделей конвективных процессов.
Основная часть представленного в книге материала является обобщени-
обобщением многих докладов на международных симпозиумах, а также всесоюзных
семинарах и конференциях и опубликована в различных отечественных и
зарубежных изданиях в течение 1979—1989 гг. Так, в гл. 1 вошли преиму-
преимущественно материалы [96, 97, 253], гл. 2 - [71, 119, 140, 142, 161,
196, 252, 254, 256], гл. 3 - [70, 119, 130, 138, 139, 256], гл. 4 - [96,
97, 253], гл. 5 - [113, 116, 240, 241, 253-255], гл. 6 - [41-43, 136] и
гл.7 - [22-25].
В заключение авторы считают своим приятным долгом поблагодарить
почетного директора Института проблем механики АН СССР академика
А.Ю. Ишлинского и директора этого же института члена-корреспондента
АН СССР Д.М. Климова за внимание к работе и поддержку, академика
B.C. Авдуевского за многочисленные полезные обсуждения и советы. Авто-
Авторы также выражают благодарность сотрудникам лаборатории математичес-
математического и физического моделирования в гидродинамике кандидатам физико-
математических наук В.Л. Грязнову и М.К. Ермакову, участвовавшим в на-
написании приложения 1, инженеру Ф.В. Козыреву за помощь в работе над
разд. 2.4, доктору физико-математических наук С.Я. Герценштейну и док-
доктору технических наук А.Г. Кирдяшкину, взявшим на себя труд по рецензи-
рецензированию книги.
Часть I
МАССОВЫЕ СИЛЫ,
ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОНВЕКЦИЮ
В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ
Гравитационная чувствительность многих практически важных процес-
процессов и систем, в особенности гравитационной конвекции, прежде всего
ставит задачу более строгого количественного определения невесомости
в реальных условиях полета. Каждый из способов создания невесомости
(башня сбрасывания, самолет-лаборатория, ракета-зонд, орбитальная
станция) обладает своей спецификой, что требует разработки специаль-
специальных методов расчета. В этой части книги мы рассмотрим методику рас-
расчета малых массовых сил при полете орбитальной станции.
Глава 1
МАССОВЫЕ СИЛЫ
И УСКОРЕНИЯ В ОРБИТАЛЬНОМ ПОЛЕТЕ
Большинство работ, относящихся к начальному этапу космического
материаловедения и технологии (см. [90, 96, 97, 192, 246]), были осно-
основаны на качественных оценках сил и микроускорений в орбитальном
полете.
Дальнейшее развитие исследований потребовало проведения непосред-
непосредственных измерений микроускорений на борту орбитальной станции,
которые чрезвычайно затруднены ввиду малой абсолютной величины
и широкого диапазона изменения этих микроускорений. Например, по
данным измерений на западноевропейском специализированном спутнике
"Кастор", который не подвержен воздействию большинства факторов
внешней среды (свободен от сноса), уровень микроускорений в свобод-
свободном полете составил 10 6g0 (точность измерений акселерометром до
Ю8?о)> Т0ГДа как эксперименты с акселерометром на станции "Салют-6"
при той же высоте орбиты дают диапазон микроперегрузок A0~3- 10~4)^0
[65, 273]. Отметим, что данные измерений зависят от чувствительности
датчиков и диапазона уровня ускорений, на который они настроены.
Современный этап изучения гравитационно-чувствительных систем
и процессов связан с детальным анализом как величин сил и микроуско-
микроускорений, так и их пространственно-временного изменения в зависимости
от характеристик станции и режимов полета, что требует разработки ма-
математических моделей для параметрических исследований.
В работах, относящихся к динамике движения спутника вокруг центра
масс в гравитационном поле Земли с учетом аэродинамического сопро-
сопротивления атмосферы (см., например, [21, 26,152]),рассматриваются корот-
копериодические и вековые изменения углового движения спутника. По-
видимому, наиболее адекватными являются модели микроускорений с
использованием результатов измерения угловых скоростей [152, 153].
В данной главе наряду с традиционными оценками и классификацией
микроускорений (разд. 1.1) представлена математическая модель одного
из предельных режимов полета, характеризующегося низкочастотными
ускорениями различной амплитуды (полет без экипажа и при отсутствии
возмущений от технических систем и систем управления) (разд. 1.2, 1.3).
С помощью этой модели выполнены параметрические исследования микро-
микроускорений для станций "Салют" и "Спейслаб" в режимах гравитационной
стабилизации (разд. 1.4). Численные результаты сопоставляются с ана-
аналитическими, полученными для частного случая полета без учета простран-
пространственных возмущений и для плоского движения по орбите. На основе
имеющихся в литературе и полученных в расчетах данных в конце этой
главы приведены необходимые для последующего исследования грави-
гравитационной конвекции в невесомости оценки определяющих критериев
в зависимости от режима полета, геометрического размера, характеристик
рабочих веществ и т.д.
1.1.Оценки сил и микроускорений
1.1.1. Микроускорения на борту протяженного спутника. Рассмотрим
пробное тело, находящееся на борту протяженного спутника Земли. При
наличии связей этого тела с конструкцией спутника под невесомостью
понимается отсутствие реакции со стороны этой связи. В последнем слу-
случае это тело будет покоиться или двигаться с постоянной относительной
скоростью. Таким образом, невесомость возникает при совместном дви-
движении пробного тела и спутника с одинаковым ускорением (свободного
падения для данной точки пространства). На практике такое равенство
практически не выполняется, возникает реакция связи и появляются отно-
относительные микроускорения. В силу принципа эквивалентности инерцион-
инерционного и гравитационных ускорений отсутствие невесомости приводит к
микротяжести на борту спутника, которую можно сравнить с величиной
тяжести на поверхности Земли (ускорение свободного падения
go =9,81 м/с2). Безразмерная величина g/g0 характеризует изменение
тяжести, или массовой силы, на борту спутника (см. подробнее [81]).
Относительные микроускорения вызваны взаимодействием спутника
как протяженного тела с гравитационным полем, внешней средой и дру-
другими типами полей. Механическая природа микроускорений обуслов-
обусловлена следующими причинами: вращательным движением спутника отно-
относительно центра масс (Дос.Двр — осесимметричное и вращательное уско-
ускорения) , поступательным движением спутника, вызванным силами неграви-
негравитационной природы (а0), неоднородностью поля тяготения Земли (Орг),
собственным тяготением (дс т), упругостью конструкции (ая g) и др.
Возмущающие силы, а для протяженного тела и моменты в зависимости
от их природы можно разделить следующим образом: гравитационные
(неоднородность поля тяготения, собственная гравитация элементов
конструкции) и негравитационные возмущения, обусловленные косми-
космической средой (аэродинамическое сопротивление, световое давление/
ю
Т а б л и ца 1.1
Возмущающие факторы
Гравитационные:
градиентно-гравитационные
собственное тяготение
Космическая среда:
гравитационный момент
сопротивление атмосферы
солнечное давление
магнитный момент и сила
микрометеориты и др.
Работа систем ИСЗ:
стабилизация полета
коррекция орбиты
деятельность экипажа и др.
упругость конструкции
Обозначение
микроускорения
"т.т
"ел
досдвр
flo> дос двр
«о. дос°вр
flo. "ос двр
flo» дос двр
дос. двр
"о
"ос двр> двб
"вб
ю-'
ю-9
ю-'
ю-6
ю-'
ю-'-ю-10
ю-12
КГ'-КГ4
1<г*-ю->
10"*-10-5
ю-*-1о-*
t/T0
0,5-1
0,5-1
1
1
1
-
0,1-ЮГц
0,1 -10Гц
0,1-ЮГц
0,1-ЮГц
магнитное и электромагнитное взаимодействие с конструкцией спутника
и др.), а также возмущения, связанные с функционированием систем
спутника.
Основные возмущающие факторы и возникающие микроускорения
представлены в табл. 1.1. Здесь же указаны характерные оценки величины
и периода (То - период обращения вокруг Земли) всех составляющих
микроускорений для спутника типа "Салют-Союз" (масса 32 т, длина
28 м), которые получены из соотношений, рассмотренных ниже
(п. 1.1.2 - 1.1.5). В дальнейшем все оценки приводятся для характерных
космических аппаратов; станции "Салют-6—Союз-ТМ— Прогресс" и много-
многоразовой транспортной системы типа "Спейслаб-Шаттл" или "Буран".
1.1.2. Градиентно-гравитационные ускорения. Собственное тяготение.
Будем рассматривать правую орбитальную систему координат Хо, Yo,
Zo, связанную с центром масс спутника (рис. 1.1). На частицу с массой
dm действует сила тяготения, направленная к центру Земли:
F = -ndmrol[xl+yl+(zo+Rf],
где ц = f/M - гравитационный параметр Земли (/ — гравитационная по-
постоянная, М — масса Земли); R — радиус Земли; г0 — единичный вектор,
С точностью до членов второго порядка малости компоненты грави-
гравитационного ускорения выражаются в следующем виде [21]:
ax=-xou/R\ ay=-you/R\ az=-3zon/R3. A.1)
При этом центр масс спутника, а значит, и рассматриваемая частица
участвуют во вращательном орбитальном движении вокруг Земли, и про-
11
екции ускорения частицы будут равны
ау =0' а2 ~(R +zo) шо>
ах =
A.2)
о =
где соо = М/Л3 - угловая скорость обращения спутника. Ускорение час-
частицы относительно орбитальной системы координат представляет супер-
суперпозицию A.1) и A.2):
ах = 0, ay=-yon/R3, az = 3zon/R3, A.3)
где хо, Уоу zо - координаты частицы в орбитальной системе координат.
Следует отметить, что несимметричность геоида Земли не вызывает появ-
появления возмущающих микроускорений, так как уточнение гравитацион-
гравитационного потенциала геоида приводит к изменению лишь правых частей вы-
выражения A.3). При этом точность вычисления величины с учетом наи-
Рис. 1.1. Схематическое изображение спут-
спутника "Салют" и выбранные системы координат
Хо, Уо, Zo - орбитальная, X', Y', Z' — свя-
связанная система
более существенной второй гармоники геоида не превосходит величин
второго порядка малости, которые не принимались во внимание уже
в выражении A.2) и, таким образом, не превосходят в абсолютном зна-
значении величины A0~9-10~10)#0 (см. табл. 1.1).
Орбитальные проекции в системе координат, связанной с корпусом
спутника, изменяются, что связано с движением спутника относитель-
относительно собственного центра масс под действием возмущающих моментов
как гравитационной, так и негравитационной природы. Связь орбиталь-
орбитальной и связанной систем координат задается в общем случае матрицей
перехода. Для движения в плоскости орбиты зта связь имеет вид
^0=/, zo=x'sin0 +z'cos0, A.4)
где в — угол ориентации относительно местной вертикали.
Пространственно-временное изменение гравитационных ускорений,
возникающих из-за неоднородности центрального поля тяготения, оп-
определяется динамикой движения спутника вокруг центра масс Такое
движение может вызываться н негравитационными воздействиями, на-
например работой систем управления, деятельностью экипажа в пилоти-
12
руемом полете и тд. Собственное тяготение протяженного спутника
в ряде случаев может иметь заметную для технологических приложений
величину, оценку которой сделаем для модели цилиндрического спут-
спутника длиной /, радиусом R при средней плотности конструкции р. В точ-
точке, расположенной на расстоянии Ъ от центра масс вдоль оси цилиндра,
ускорение, вызванное собственным тяготением, можно оценить по фор-
формуле (в системе СИ)
a/g0 =4,2- Ю-12plR2l[2b(b+l)}.
Отсюда следует, что при расположении технологической аппаратуры в
непосредственной близости @,1—1 м) от массивных элементов конст-
конструкции с массой выше 100 кг микроускорения могут достигать соответ-
соответственно AО-7-1О-1О)?о.
1.1.3. Аэродинамическое торможение и другие виды возмущений.
При полете на низких орбитах на спутник действует сила сопротивления
атмосферы
F = -cApvl/2, A5)
где с - коэффициент аэродинамического сопротивления;. А — площадь
характерного сечения (мидель аппарата); р — плотность атмосферы;
Wo — скорость набегающего потока газа. При наличии угла атаки а проек-
проекции силы сопротивления действуют вдоль и перпендикулярно оси спут-
спутника. Геометрию спутника и угол атаки будем учитывать коэффициен-
коэффициентом с, который обычно при движении в разреженных потоках (верхние
слои атмосферы) имеет величину 2-3, а скорость спутника относитель-
относительно набегающего потока определяется из соотношения [88]
|w0 1=
+ 0Vp)e2sin2i>-l-(S2 + aJr2sin2/cos2M! 'Л- A.6)
Направляющие косинусы вектора Wo в орбитальной системе коорди-
координат имеют вид
01 = [y/ii/p(l +есоз»>)-(П + a)rcosi]l |v0 I,
02 = \/ju/pesiniV|vol, A.7)
03 =(?2 + a)rsin/cosM/ |v0 I.
В связанной системе координат направляющие косинусы v вектора v0
имеют вид
"i =7n0i+7u03+7i303, AЯ)
где 7i/ - матрица перехода от орбитальной к связанной системе коор-
координат; г, i, e, p, v, и - элементы орбиты; О.,а- угловые скорости соот-
соответственно вращения Земли и движения воздуха в западном направлении
(принято ?1 = а = 0). Из приведенных выражений можно вычислить аэро-
аэродинамические силы, действующие на спутник:
Fkx = ~cnkAkpvll2, Fky=-cnkAkpvll2 .v2l\Jl-v\, A.9)
Fkz =-cnkAkpvl/2 -v3/y/l -v\.
13
или суммарная сила
Ft = 2 Fki, A.10)
к = 1
где / = 1, 2, 3 — проекции силы аэродинамического сопротивления
к-то конструктивного элемента космического аппарата.
При расчете аэродинамических характеристик сложного орбитального
комплекса будем использовать простые аналитические выражения аэро-
аэродинамических коэффициентов для стандартных тел: пластины,цилиндра,
конуса, сферы. При этом сложную геометрическую форму аппарата
заменим стандартными простыми поверхностями, а аэродинамическую
силу всего аппарата получим, суммируя силы по отдельным его состав-
составляющим. В такой постановке не учитывается интерференция тел и яв-
явления затенения тел друг другом. Однако, как следует из работ [88,
192], для свободномолекулярного потока при достаточно простой гео-
геометрии спутника такое ограничение несущественно.
Плотность верхней атмосферы определяется согласно модели, по-
построенной на основании данных о торможении ИСЗ серии "Космос"
и согласованной с экспериментальными данными для высот 160—600 км
при среднем и низком уровне активности Солнца. Плотность атмосфе-
атмосферы будем представлять в виде [88]
р = klk2k3k4pn, pn = exp(a! -a2
где р„ — ночной вертикальный профиль плотности атмосферы; к^ —
коэффициент, учитывающий изменение плотности в зависимости от
солнечного излучения (в расчетах индекс активности Солнца /г, 0 7 =
= 100 • 1022 Вт/(м2 • Гс)); кг - это суточный эффект в распределении
плотности; к3 — поправка на полугодовой эффект; к4 — корреляция
изменений плотности атмосферы и геомагнитных возмущений (в рас-
расчетах &4 = 1); й\, аг, а3 — некоторые коэффициенты [88]; h — вы-
высота полета спутника.
Перечисленные соотношения вместе с численными значениями пара-
параметров /""ю/?. &ь fo, ^з. ^4 используются в пакете программ и при-
применялись, в частности, при вычислении микроускорения, вызываемого
аэродинамическим торможением орбитальных станций типа "Салют",
а также при интегрировании уравнений движения спутника относитель-
относительно центра масс.
Величина светового давления рс Солнца для Земли составляет рс =
= Е0/с = 4,4 • 10~6 Н/м2, где ? — величина потока энергии излучения
на расстоянии 1 а.е. от Солнца (Ео =1,4 • 10~fi эрг/см2); с — скорость
света. Величину микроускорений определим из закона об электромаг-
электромагнитном давлении:
ас = A +е)рсА/т,
где б — коэффициент отражения; А — площадь миделя; т — масса спут-
спутника. Для орбитальной станции типа "Салют" при наибольшем отно-
отношении А/т микроускорение от светового давления будет 2 ¦ 10~9 ?0>
для наименьшего значения А/т (световой поток по оси станции) ас =
= 2,3 • 10~10 go- Таким образом, величины микроускорений центра масс
14
спутника типа "Салют", вызванные солнечным давлением, находятся в
пределах от 2 • 10"9 g0 До 23 ¦ 1О0 g0- Достоверность этих оценок за-
зависит от точности задания А/т и е, а также от точности данных о распо-
расположении станции относительно светового потока.
Протяженный спутник имеет электромагнитное поле, которое взаимо-
взаимодействует с магнитным полем Земли. Основными источниками электро-
электромагнитного возмущения спутника являются: электрические системы и по-
постоянные магниты, намагничивание металлической оболочки спутника,
вихревые токи в оболочке, электрический потенциал спутника, возникаю-
возникающий из-за влияния ионизированных слоев верхней атмосферы. Микроус-
Микроускорения, вызываемые первыми тремя причинами, описываются соотно-
соотношением
к ЪН
а = Н ,
Р ЭЛ
где к - средняя магнитная проницаемость материала спутника массой т;
р — средняя плотность материала; Н — напряженность поля Земли
(Н ^ 0,5 Э); ЬН/bR - градиент поля Земли (^ 10~9 Э/см). Сила, дейст-
действующая на заряженную оболочку с зарядом q, вызывает ускорение
а = qHVcm,
где V — скорость спутника; с — скорость света. Поверхность спутника
может приобретать значительный потенциал (в несколько сот вольт на
освещенной стороне и несколько тысяч вольт на теневой), что приво-
приводит к ускорению а = 1,9 :10~13 g0 при потенциале станции 50 В и а =
= 1,8-Ю1 ?о при потенциале в 1000 В. Таким образом, магнитные воз-
возмущения для большинства типичных спутников малы.
Воздействие микрометеоритов будем рассматривать как непрерыв-
непрерывный поток частиц энергии Е, действующей на аппарат в одном направ-
направлении. (Обычно направление потока явно не выражено.) Давление пото-
потока р ^ E/V, тогда а ^ рА/т, что дает
а = EA/(Vm) ~ 102 А/т,
где Е = Ю"9 Вт/м2; V = 40 км/с - средняя скорость частиц. Микроуско-
Микроускорение для спутника типа "Салют" составит порядка 5,0 ¦ 106 go-
Рассмотренные возмущения значительно изменяются во времени и
по высоте орбиты. Абсолютная величина возмущений пропорциональна
отношению А/т. Аэродинамическое возмущение для низких орбит (ме-
(менее 700 км) является преобладающим, для более высоких орбит основ-
основной возмущающий фактор — давление света, величина которого не пре-
превосходит 10~8 go и действием которого в подавляющем большинстве
случаев можно пренебречь. Возвращаясь вновь к табл. 1, можно установить,
что из всех возмущений второй группы основным является аэродинами-
аэродинамическое торможение (см. A.9), A.10)).
1.1.4. Упругие колебания конструкции. Орбитальная станция представ-
представляет собой сложное упругое тело, как правило, вытянутое вдоль одной
из осей. Поэтому рассмотренные выше возмущения, в особенности воз-
возмущения, вызванные работой технических систем, могут.приводить к уп-
упругим колебаниям станции. Измерения таких колебаний выполнены с по-
15
Таблица 1.2
Тип стан-
станции
/,м j m-10, кг | т/1 I /, , Гц ! /2,Гц
А. Гц
Салют
Салют
Салют
Союз
Спейслаб-
Шаттл
28
21
14
7
37
32,5
25,5
18,5
7,0
85
1547
1214
1321
1000
2290
3,95
6,21
14,29
41,1
2,91
10,9
16,7
10,4
103,5
7,73
19,25
25,8
75,9
221,5
15,1
мощью акселерометров на станциях "Салют" ,[65], а также "Шаттл" [90,
192] (орбитальная станция "Спейслаб" жестко закреплена в грузовом
люке многоразового корабля "Шаттл").
Оценку параметров упругих колебаний станции выполним на основе
дифференциального уравнения свободных колебаний [120]
EJtfyfbx* + mb2y/dt2 = 0, A.11)
где EJ — изгибная жесткость; т — масса спутника; у — отклонение от
продольной оси; х — координата вдоль продольной оси; t ~ время. Пред-
Представляя решение A.11) в виде произведения двух функций:
у = V(x)T(t),
получим систему уравнений
Г+ р2Т = 0, FIV -а4=0,
где а4 = mp2/EJ. Из решения первого уравнения Т = Asm (pt + со) сле-
следует, что постоянная со является собственной частотой, для определения
которой используется решение второго уравнения
V ~ Сх sin ах + С2со$ах + C3shax + C4shcu:
при схеме закрепления, соответствующей летящему спутнику. Это при-
приведет к однородной системе уравнений относительно постоянных Q.
Условие существования нетривиального решения найденной однородной
системы позволит получить характеристическое уравнение.
Для спутника, имеющего форму, близкую к цилиндру, и свободно
летящего в пространстве, можно в первом приближении ограничиться
схемой балки трубчатого сечения, не имеющей опоры. Исходя из реаль-
реального распределения масс и аппаратуры спутника и задав среднюю из-
гибную жесткость (EJ) такой схемы, получим решение рассмотрен-
<*2п EJ
ных уравнении. Собственные частоты колебаний /„ = , где mil -
27Г m/l
плотность распределения массы спутника вдоль продольной оси, приве-
приведены в табл. 1.2.
Вибрационные ускорения, вызванные упругими колебаниями, опре-
16
деляются частотой и амплитудой колебания:
aB6=V(x)f(t)= -Ap2sm(pt + u,)V(x), A.12)
где р2 =a2EJjm, и направлены поперек продольной оси.
Для станций типа "Салют" и 'ЧГпейслаб" оценки собственных частот
в зависимости от компоновки приведены в табл. 1.2. Сравнивая расчетную
частоту комплекса "Салют" Д = 3,951 Гц и измеренную в работе [65]
/ = 1,75 Гц, можно говорить об относительной точности расчетов по дан-
данной аналитической схеме, не учитывающей нелинейных и демпфирую-
демпфирующих свойств реальных конструкций.
Непосредственные измерения величины вибрационных ускорений по-
показали, что на станции "Салют" [65] характерная частота упругих коле-
колебаний спутника лежит в диапазоне 1—10 Гц, тогда как на корабле "Спей-
слаб-Шаттл" эта частота существенно выше и может составлять, соглас-
согласно [90], 40—80 Гц. При этом микроускорения на станции "Салют" при
частоте 1-10 Гц имеют величину до 10~3 g0, а для станции "Спейслаб-
Шаттл" на частотах 1-10 Гц - 0,6 • 10~3 g0, при 30-40 Гц - 3- \0~3 g0,
70-90 Гц - 6 • 10 g0 [90].
1.1.5. Вращательные ускорения. При орбитальном движении протя-
протяженный спутник под действием внешних силовых полей совершает вра-
вращательные движения вокруг центра масс. Вращательное движение вокруг
Земли здесь не учитывается, так как вызываемое им ускорение рассмат-
рассматривается как составляющая часть градиентно-гравитационных ускорений
(см, п. 1.1.2). В результате такого движения воэникают о се стремительные
и вращательные ускорения, которые определяются известными соотно-
соотношениями
аос= [сох [сох г]], A.13)
авр=[ехг], A.14)
где со = со(г); € =9ш/ЭГ; г = \х; у'; z'\ , x',y',z' — координаты точки
в системе координат, связанной с центром вращения (центром масс);
со4> ef - проекции угловой скорости и углового ускорения на оси связан-
связанной системы координат. Отметим, что изменение (прецессия) ориентации
оси вращения не сказывается на виде выражений A.13), A.14). Как бу-
будет показано ниже, данные ускорения могут быть значительными: до
(io-s-io-4Uo.
Таким образом, общую формулу микроускорений, возникающих на
борту космического аппарата, можно представить в следующем виде:
a =f/m + Aa4(EJJ/m2 • (Qsinax + C2cosax + C3shax +
+ C4chcu0 sin (a2EJ/m) + |аг г | + \[ш x [0 x r]] I + I [e x r] I .
Детальный расчет ускорений, связанных с вращением станции, аэроди-
аэродинамическим сопротивлением и градиентами поля тяготения, требует даль-
дальнейшего анализа и представлен ниже.
2. Зак. 1319 17
1.2. Математическая модель массовых сил и микроускорений
1.2.1. Уравнения движения спутника. Учитывая изложенные в разд. 1.1
оценки составляющих возмущающих сил, будем при построении числен-
численной модели в качестве главных учитывать силы аэродинамического со-
сопротивления, гравитационный момент, а также возмущения, определяе-
определяемые начальными отклонениями и скоростью аппарата. Воздействия эки-
экипажа и технических систем станции, включая системы управления, не
учитываются. Рассматривается вариант полета космического аппарата
в непилотируемом режиме и прн отсутствии работы системы управле-
управления, в котором реализуется в некотором смысле предельно достижимое
состояние реальной невесомости.
Уравнения движения спутника вокруг центра масс для плоской ор-
орбиты в гравитационном поле Земли с учетом принятых предположений
представляется в следующем каноническом виде [21]:
dOifdt = дН/dpi, dpj/dt = -ЭЯ/Э0,- + Qt, A.15)
где в/, р{ — обобщенный угол и импульс; 2,- — обобщенная диссипатив-
ная сила, / =1, 2, 3; гамильтониан Н имеет вид
Я = (Ар2 +Bq2 + О2)/2 + Cnl4R3)[(A - С)у2 + (В-С)у'2] +
? 2 ]l2 + Be3du0/dt. A.16)
Здесь А, В, С - главные моменты инерции относительно осей; м,Л,со0 —
гравитационный параметр, радиус орбиты и угловая скорость обраще-
обращения; р, q,r - компоненты относительной угловой скорости; 7,7',/5,0" -
коэффициенты матрицы перехода от орбитальной к связанной системе
координат. Выражения для ЭЯ/Эр^ и ЭЯ/Э0,- получаются непосредствен-
непосредственным дифференцированием выражения A.16). Если 6t — угол поворота
вокруг »-й оси, то обобщенная диссипативная сила представляет собой
момент внешних сил, имеющих силовую потенциальную функцию.
Ввиду малости остальных возмущений рассмотрим момент аэродина-
аэродинамических сил сопротивления, которые будем считать потенциальными
и рассчитывать по изложенной выше методике (см. п. 1.1.3). Приведем
обобщенную диссипативную силу к виду
Q, = S [FkXfk],
к = Х
где гк - радиус-вектор центра давления fc-ro тела относительно начала
связанной системы координат спутника; Fk — аэродинамическая сила
сопротивления к-то тела спутника.
Выражая проекции угловой скорости р, q, r относительно центра
масс в проекциях на связанную систему координат через обобщенный
импульс (аналогично [21]), получим исходную для численного модели-
моделирования систему угловых пространственных движений спутника относи-
относительно центра масс в гравитационном поле с учетом сил аэродинамическо-
аэродинамического торможения в атмосфере Земли.
1.2.2. Аналитические решения (движение без учета аэродинамического
момента). Уравнения A.15) имеют ряд точных решений, среди кото-
18
рых отметим два решения для гравитационно-стабилизированного не-
неуправляемого полета. Это случай одноосной стабилизации и случай ста-
стабилизации в плоскости орбиты без учета аэродинамического момента.
А. Одноосная стабилизация. При малых значениях 0О и в0 свобод-
свободные колебания вокруг продольной оси (ориентированной к центру Зем-
Земли) могут быть большими. В таком случае имеется лишь одноосная гра-
гравитационная устойчивость спутника. Такое движение вокруг продольной
оси для ряда случаев можно аппроксимировать уравнением колебаний
математического маятника [21]
Ъв 2/i(l+X)
— + sin 20 = 0, A.17)
Ът 4-ЗХ
где г = O30t; ц = (В - А)/С; X = С/А. Оценим период и амплитуду угло-
углового движения вокруг продольной оси. Для малых колебаний имеем
0 = 0msincor, со = 2я/Г,
/я_D-ЗХ)
где Г = 2яч/ ; вт = 0о/со.
В. Колебания в плоскости орбиты. Уравнения A.15) имеют частное ре-
решение при
01 =02 = 01 = 02 = 0.
Этот случай соответствует колебаниям спутника в плоскости орбиты,
при этом ось Y' совпадает с нормалью к орбите и гамильтониан Я A.16)
записывается следующим образом:
А В 2R3
н =~ + :ГТ С4" О sin2вз + Вшов.
Тогда уравнения A.15) упрощаются и принимают вид
dd рг dp3 Зц --„ . . ,„,
— = -^—, -!-— = - —- (А - Osin0cos0 +B ]• A.18)
dt В dt R3 dt
Уравнения A.18) являются уравнениями плоских колебаний спутни-
спутника на эллиптической орбите. Если орбита круговая, то dcjoldt = 0,
coq = ц/R3 и уравнения A.18) сводятся к уравнению [21]
0 + 3cognsin0cos0 = 0, A.19)
решение которого представляют гармонические колебания с периодом
Г =
3(А-СIВ I 2 2я!!
и амплитудой
0m = arcsin [0^/CncoJ) + sin0o],
где k = 0'o/Cncoo) + sin0o; 0o, $> - начальные условия по углу и ско-
скорости; То = 2я/со0 — период обращения спутника по орбите. С некото-
рым приближением решения уравнений A.18) можно записать
в = вт sin со/,
где со = cj0 • Зп; со0 = 2-п/Т = ц/R3-
В общем виде для случаев колебаний спутника в плоскости орбиты
и одноосной стабилизации микроускорения запишутся
а,- =со§ S Аи. 0-20)
При выводе выражения A.20) использованы выражения A.3)-A.10),
A.17). Проекции вектора Atj на оси связанной системы координат для
случаев одноосной стабилизации (случай А) и колебания спутника в
плоскости орбиты (случай Б) представлены в табл. 1.3. Здесь р =
= exp[ai-a2 \//7-a^l,ai = —16.1, a2 = 0,7 J, аъ =70,33 при индексе Солн-
Солнца FlOj = 150 • 10 Вт/(м2-Гц). Ускорения от аэродинамического со-
сопротивления учитываются по упрощенной формуле без учета интерферен-
интерференции составляющих конструкции спутника и зависимости коэффициента
сопротивления от угла атаки; аэродинамический момент считается рав-
равным нулю. В табл. 1.3 использованы кинематические параметры движе-
движения, представленные ниже:
Случай А Случай Б
0=0rasincor 0=0rasincor
0m =arcsin[0o/Cnco2)
co=V3nco0
n=(A-QIB
Относительно хорошее согласие данных, полученных по аналитическим
выражениям, с результатами расчетов численной модели для случая дви-
движения вокруг поперечной оси в режиме гравитационной стабилизации
спутника (см. далее рис. 1.3, кривая 3) показывает, что выражения, при-
приведенные в табл. 1.3, отражают пространственно-временные особенности
микроускорений в этом режиме1.
1.3. Зависимость микроускорений от параметров полета
13.1. Метод и программа численного решения. Решения уравнений
A.15) для резонансных колебаний спутника выполнены методом усред-
усреднения в работе [21]. Для численного моделирования движений спутника
разработана программа, позволяющая интегрировать систему A.15) и вы-
вычислять составляющие микроускорений A.3), A.10), A.13), A.14).
Программа сопрягается с комплексом программ численного моделирова-
моделирования гидродинамических процессов на основе нестационарных уравнений
Навье-Стокса [134], что дает возможность учесть циклограмму изме-
Данная аналитическая модель реализована в виде программы для персонального
компьютера с развитым "дружественным" интерфейсом.
20
V S Я
о к S
нения массовой силы в процессе моделирования технологического экс-
эксперимента в условиях невесомости.
Интегрирование уравнений A.15) осуществляется методом Рунге—
Кутта 4-го порядка с переменным шагом. При расчетах правой части
уравнений учитывается аэродинамический момент, вычисляемый для
текущего значения высоты полета по модели стандартной атмосфе-
атмосферы [88] и методике, изложенной выше. При расчете циклограммы
массовой силы наряду с вращательными и осестремительными ускоре-
ускорениями, вызванными аэродинамическими и гравитационным моментами,
учитываются градиентно-гравитационные и аэродинамические ускоре-
ускорения (см. табл. 1.1).
Программа графической обработки упомянутого комплекса [134]
позволяет визуализировать как проекции ускорений на отдельные оси
и направления, так и поведение суммарного вектора его составляющих.
Тесты основной программы осуществлены на точных решениях уравне-
уравнения A.19) для угловых движений спутника в плоскости орбиты без
учета аэродинамических компонент. Аэродинамические и градиентно-
гравитационные микроускорения учитываются во всех трех проекциях.
При этом в расчетах заложены трехмерные уравнения A.15), что яв-
является своеобразным тестом проводимых численных расчетов. Отличие
результатов интегрирования уравнений углового движения при вы-
вычислении микроускорений для шага 20 с составляет около 2% в сравне-
сравнении с шагом в 1 с. Для такого шага абсолютная ошибка интегрирования
при вычислении ускорений составляет 1О~9'?о- Затраты машинного вре-
времени (ЭВМ ЕС-1040) для расчета одного периода обращения вокруг Зем-
Земли составляют около 15 мин процессорного времени. В дальнейшем боль-
большинство расчетов проведено для шага интегрирования 20 с (т = ГО/27О,
где То -периодобращения ИСЗ).
Входные параметры программы для расчета микроускорений состоят
из пяти групп :
конструктивные: М — масса, А о — площадь миделя, п = (A~C)jB,
где А, В, С — моменты инерции;
технологические: t - время процесса; х , у', z' - удаление от цент-
центра масс орбитальной станции;
траекторные: Но — начальная высота, е — эксцентриситет, i —
наклонение орбиты;
начальные: в0 — начальный угол ориентации, (d'6/dtH —
начальная угловая скорость;
внешняя среда: параметры, определяющие плотность атмосферы.
Программа позволяет рассчитывать микроускорения аппаратов про-
произвольной конфигурации, состоящих из простых тел (цилиндр, сфера,
конус, пластина), для которых, используя численную модель атмосфе-
атмосферы Земли, вычисляются аэродинамические характеристики: силы и мо-
моменты. Отметим, что при расчете изменения во времени микроускорений
происходит накопление погрешностей, что приводит к ограничениям
в расчете числа витков обращения (расчеты ограничивались 50—100 вит-
витками) .
1.3.2. Результаты численного исследования микроускорений. Рассмат-
Рассматривались т?.я варианта режимов движения орбитальной станции: устой-
чивая гравитационная стабилизация и произвольное вращение вокруг
центра масс.
Режим гравитационной стабилизации (плоский случай). Конкретные
численные результаты решения уравнений A.18) для плоского случая
получены для орбитальной станции "Салют" в режиме одноосной стаби-
стабилизации, где принято А = В = Ю6 кг • м2, С = 2 ¦ 104 кг • м2, п = 0,98,и для
многоразового орбитального комплекса типа "Шаттл" со станцией "Спей-
слаб", где А = В = 11,3 • Ю6 кг • м2, С = 1,27 • 105 кг • м2, п = 0,98. Вы-
Выбраны близкие к реальным входные параметры этих станций по данным,
опубликованным в печати [273].
Решение для в (f), полученное численно, представляет собой гармони-
гармоническую функцию, частота и амплитуда которой согласуются с данными,
полученными на основе аналитической модели. Для проекции возмущаю-
возмущающих сил при наличии непрерывного изменения угла атаки (колебания
угла а) и зависимости плотности атмосферы от высоты полета получены
периодические картины, показанные на рис. 1.2. Здесь и в дальнейшем
проекции даны на оси связанной системы координат X, Y[ Z' (см.
рис- 1.1). Для параметров орбиты Но = 250 км, е - 0,01, / = 0 (начальные
условия: 0О = р\ ~ Рг =0,рз = Ю3 или в о = Ю с) максимальные
значения проекций аэродинамических сил составили соответственно F х =
= 0,28 • 10"' Н, Fy = 0,475 • Ю~4 Н, Fz = 0,2 • Ю Н.
Суммарное ускорение (кривая 1 на рис 1.2) без учета градиентно-гра-
витационного ускорения включает аэродинамическое ускорение (или аэро-
аэродинамическое торможение центра масс), а также вращательное (вызван-
(вызванное угловым ускорением) и осестремительное (вызванное угловой ско-
скоростью) ускорения. Важно, что при данных начальных условиях знако-
знакопеременные вращательные ускорения преобладают над знакопостоян-
знакопостоянными осестремительными (частота которых в 2 раза больше), опреде-
определяя суммарную циклограмму микроускорений. Для большей высоты
полета действие аэродинамической составляющей уменьшается и характер
изменения микроускорений ближе к гармоническому закону.
Влияние формы спутника можно видеть при сравнении результатов
расчетов для станций типа "Спейслаб-Шаттл" и "Салют" (в обоих слу-
случаях было принято п = 0,98). На рис. 1.3 показаны изменения микро-
микроускорений за два витка обращения вокруг Земли спутника типа "Са-
"Салют" с учетом градиентно-гравитационных ускорений, вращательных,
осестремительных и аэродинамических (кривые 1), и циклограммы ми-
микроперегрузок для станции типа "Спейслаб—Шаттл" (кривые 2). В рас-
расчетах приняты следующие начальные условия: высота полета 200 км, экс-
эксцентриситет 0,01, в0 ~ 0,5, в 0 = Ю~3 с, удаление от центра масс по
всем трем осям 1 м.
Как следует из рис. 1, Ъ,а, б, преобладающими, как и в аналитической
модели (при умеренных (dd/dtH, не приводящих к потере гравитацион-
гравитационной устойчивости), являются знакопеременные вращательные ускорения.
Влияние градиентно-гравитационных ускорений сказывается на суммар-
суммарных микроускорениях в проекциях на оси Y' и/', искажая их гармони-
гармонический характер. Для оси X' влияние градиентно-гравитационных микро-
ускорений ничтожно.
23
Рис. 1.2. Пример расчетной
циклограммы микроускорений
в проекции на поперечную
ось станции "Салют"
Высота полета Н = 250 км,
е = 0,01,(d9/dfH = 10 с.
1 — суммарное, 2 — враща-
вращательное, 3 — осестремительное,
4 — аэродинамическое микро-
микроускорения (без учета градиент-
но-гравитацнонных ускоре-
ускорений)
Рис. 1.3. Сравнение цикло-
циклограмм ускорений для станций
"Салют" A) и "Спейслаб-
Шаттл" B) в проекциях на
оси связанной системы коор-
координат
Я = 200 км, е = 0,01,
(dejdt)u = 10 с. Кривые
3 — данные аналитической мо-
модели (см. п. 1.2.2)
(9х/9оУ'О
8
• А
./
Циклограммы микроускорений для спутников типа "Шаттл" и "Салют"
во многом схожи. Это вызвано тем, что для обоих спутников рассматри-
вается гравитационно-ориентированное положение, причем параметры
отношения площади миделя к массе спутника А/т у них близки.
Как показали параметрические расчеты, влияние аэродинамического
торможения на циклограмму микроускорений заметно лишь на высотах
до 250—350 км (рис- 1.4). Суммарные зависимости максимальной, мини-
минимальной и средней амплитуд колебаний величины вектора микроускоре-
микроускорений от начальной высоты орбиты полета станций типа "Салют" и "Спей-
слаб-Шаттл" при е = 0,01, ва = Ю~3 с показаны на рис. 1.4. Для схемы
"Салют" без учета градиентно-гравитационных ускорений микропере-
микроперегрузки знакопеременны при стремлении средней составляющей к нулю.
24
(д/до)-
250 300 350 Ho, кп
10
-¦
/О'3-3 W3
(de/dtH
Рис. 1.4. Зависимости максимальной A, 4), минимальной B, J) и усредненной
C, 6) амплитуд ускорения от начальной высоты полета станций "Салют" A—3)
и "Спейслаб-Шаттл" D-6)
е = 0,01, (de/dtH = 1С с. Для станции "Спейслаб" значения даны с учетом гра-
диентно-гравитационных ускорений
Рис. 1.5. Зависимости амплитуд колебаний проекций ускорения от начальной ско-
скорости ориентации станции "Салют"
Высота полета Я = 200 км, е = 0,01. Кривые 1, 3, 5 — максимальные, 2, 4, 6 —
минимальные значении для проекций на осн X' A, 2), Y' C, 4), Z' (S, 6)
Для станции типа "Спейслаб—Шаттл" микроускорения на рис. 1.4 даны
с учетом градиентно-гравитационных ускорений. Из графиков видно,
что на высотах более 350 км сопротивлением атмосферы можно прене-
пренебречь. Для высот более 350 км циклограмма микроускорений в основ-
основном формируется из градиентно-гравитационных и близка к гармониче-
гармонической функции с ненулевой средней составляющей.
Влияние начальных параметров ориентации на амптилуду колебания
микроускорений показано на рис. 15. Рассматривались угловые движе-
движения спутника типа "Салют" вокруг центра масс. Орбита спутника близка
к круговой (е = 0,01) с высотой' Н = 200 км.
Характерно, что отсутствие градиентно-гравитационных ускорений
в проекции на ось X спутника приводит к тому, что проекции микроус-
микроускорений на эту ось (кривые 1, 2) являются гармоническими, знакопе-
знакопеременными со средней нулевой величиной (в пренебрежении аэродина-
аэродинамического сопротивления).
Ускорения в проекции на ось Y' (кривые 3, 4), перпендикулярной
плоскости орбиты, в случае плоских движений в плоскости х = 0 не за-
зависят от начальных условий по углу и целиком1 определяются градиентно-
гравитационными и аэродинамическими возмущениями. Небольшое раз-
различие между кривыми 3, 4 для в0 = 3,0 • 10~3 с объясняется ростом
неточности расчетов с ростом в0.
Циклограмма колебаний ускорений на ось Z' спутника (кривые 5, 6)
с ростом начальной угловой скорости спутника качественно изменяется.
Для 0О = 5 •10 с
с
циклограмма имеет знакопостоянный характер,
25
a-Wk, м/с1
to
\
•SJ i
\\
\AAAM
T=T/8\
/— -
-
70
50
30
- /О
о
t/Te
Рис. 1.6. Пример циклограммы микроускорений для станции "Салют" (кривая 1)
и изменение угла ориентации в в режиме нестабилизированного полета (кривая 2)
для высоты полета.//= 250 км, е = 0,01, (de/dtH = 3,8 • 10~3 с
при этом azmax > 0 и azmin > 0 с ненулевой средней составляющей
g/g0 ~3 • 10. В диапазоне величины 5 ¦ 10~4 с < в0 < 3,6 • 10~3 с
циклограмма микроускорений знакопеременна (glgo ~Ю~7). При
в > 3,6 • 10~7 с спутник теряет гравитационную устойчивость и пере-
переходит в режим вращения, В этом случае azmax < 0 и колебания ускоре-
ускорения снова становятся знакопостоянными с отрицательной средней вели-
величиной.
Нестабилизированный полет. При увеличении начальной угловой ско-
скорости ориентации по углу в амплитуда вращательных и осестремитель-
ных ускорений возрастает, существенно превышая аэродинамические
и градиентно-гравитационные. Спутник теряет гравитационную устой-
устойчивость и переходит в режим нестабилизированного полета, совершая
медленное вращение. При этом предельная начальная угловая ско-
скорость [21] составляет для спутника типа "Салют" величину поряд-
порядка 10 с .
Циклограмма микроускорений для такого случая качественно изме-
изменяется, Осестремительные составляющие микроускорений колеблются
относительно некоторого постоянного уровня с периодом, вдвое мень-
меньшим, чем в режиме гравитационной устойчивости. Результаты расчета
характерной циклограммы для нестабилизированного полета спутника
типа "Салют" приведены на рис 1,6 (е = 0,01, Н = 250 км, (dd/dtH =
= 3,8 • 10~3 с). На этом же рисунке показано изменение угла ориента-
ориентации оси спутника в том случае, когда колебания угла имеют амплитуду
около 10°.
Циклограмма микроускорений (кривая 1) является знакопостоянной
со средним уровнем, определяемым осестремительным ускорением а =
26
= 1,4-10 4 м/с''. Относительно среднего уровня микроускорения совер-
совершают колебания с амплитудой порядка 10~5 м/с2. Влияние остальных
возмущении - аэродинамических и гравитационных - в данном случае
несущественно.
Несмотря на высокий уровень микроускорений, режим нестабилизи-
рованного полета может оказаться благоприятным для проведения ряда
технологических процессов и экспериментов. Это связано с относитель-
относительным постоянством средней величины микроускорения.
1.4. Микроускорения на борту действующих орбитальных станций
Проведенные в последнее время на советских и зарубежных орбиталь-
орбитальных станциях измерения чувствительными к ускорениям датчиками (аксе-
(акселерометрами) позволили зафиксировать типичные уровни микроускорений
в реальных условиях. Для проведения систематических измерений микро-
микроускорений разработаны бортовые высокочувствительные линейные аксе-
акселерометры, позволяющие измерять постоянно действующие и переменные
во времени микроускорения в диапазоне частот от 0 до 100 Гц с погреш-
погрешностью до 10~8 go .Измерения микроускорений проводились на борту ор-
орбитальных станций "Салют-6, -7", "Мир", "Спейслаб-Шаттл" [65,90, 192,
273].
Уровень микроускорений существенно зависит от режима работы орби-
орбитальных станций. В беспилотном режиме работы (при отсутствии на борту
станции космонавтов) в основном аппаратура станции законсервирована
и работает минимальное количество бортовых систем. (Такой режим воз-
возникает и в пилотируемом полете во время сна или отдыха космонавтов/аст-
космонавтов/астронавтов.) В законсервированном режиме микроускорения на станциях
"Салют-6,-7"находились в диапазоне E • 10" — 1 • 10~4)g0- Этот же диапа-
диапазон для станции "Спейслаб-Шаттл" составил A0~5-10~6)g0.
В пилотируемом режиме, когда работают все штатные системы стан-
станции, микроускорения носят колебательный характер с амплитудой
Кчг
to5
to3
w
6
-
-
/
H=10en
i x7
^H=5cn
4
h^'O'1"
^H=tcn
, ,
/О
'2
Юг
°ис. 1.7. Амплитудно-частотная характеристика микроускорений (а) и соответ-
соответствующие области определяющих чисел подобия (б) расплава германия для различ-
чьк характерных размеров области (Н= 1; 5; 10 см)
": кривые 1, 2 — амплитуда колебаний и средние микроускорения
27
A0-10 4)g0 при частоте 1-3 Гц [65]. Для станции "Са
вибрационные ускорения (до 10 go) фиксировались
"Салют" наибольшие
при выполнении
космонавтами упражнений на тренажерном физическом комплексе, кото-
которыми ежедневно каждый оператор занимается не менее 2ч. Для станции
"Спейслаб—Шаттл" уровни микроускорений в таком режиме изменя-
изменяются в диапазоне от l0~2g0 до W~*go при характерных частотах от 1
до 100 Гц [192].
Таким образом, вне зависимости от конструктивного исполнения орби-
орбитальной станции микроускорения, возникающие на ее борту, можно разде-
разделить на две группы (рис.1.7,а) : вибрационные ускорения сравнительно
большой амплитуды (до 10g0)c частотой от 1 до 100 Гц в зависимости
от конструкций станции и постоянно действующие ускорения (до A0~6 —
10~5) g0), медленно меняющиеся с периодичностью, вызванной обраще-
обращением вокруг Земли. Соответствующее число подобия (число Рэлея), опре-
определяющее гидродинамические процессы тешюмассопереноса для полупро-
полупроводниковых материалов, представлено на рис.1.7 Д
Следует отметить немаловажный факт, что в случае вибрационных уско-
ускорений средняя составляющая (кривая 2 на рис. 1.7,д) в диапазоне частот
более 1Гц близка к нулю, т.е. в этом случае можно говорить об "интегри-
"интегрированном" состоянии невесомости. В случае постоянных или медленно ме-
меняющихся уровней микроускорений имеется устойчивое силовое поле
массовой силы с величиной AО~6-1О~5)?о (кривая 2 на рис.1.7,а).
Указанная особенность поля массовых сил отражается на гравитационной
чувствительности гидродинамической системы, технологических и других
процессов. Как будет показано далее (см. гл.4), наибольшее влияние на те-
течение жидкости в таких условиях оказывают постоянно действующие или
медленно меняющиеся микроускорения.
Часть II
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ
В НЕВЕСОМОСТИ
НА МОДЕЛЯХ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ
В соответствии с принятой в этой книге терминологией, следуя работам
[125, 134, 256], моделями общего назначения мы называем основанные
на уравнениях конвекции Буссинеска (нелинейных или линеаризованных)
модели, отличающиеся сравнительно простой геометрией (замкнутые плос-
плоские области) и простыми граничными условиями, предназначенные для
широкого параметрического исследования фундаментальных закономер-
закономерностей конвективных процессов, в отличие от специальных моделей, в ко-
которых упомянутые процессы рассматриваются с учетом реальной геомет-
геометрии, физико-химических свойств в том или ином конкретном классе тече-
течений и определенном диапазоне режимных параметров. Необходимость тако-
такого подхода, предпринимавшегося в конце 60-х годов на первом этапе ра-
работ по численному моделированию конвективных процессов (см. , напри-
например, [128, 131-133]), особенно остро проявилась на следующем, техно-
технологическом этапе, для которого характерно рассмотрение в принципе
всех возможных типов движений и воздействий на них в целях поиска наи-
наиболее эффективных способов управления конвективными процессами.
Рассмотренные в предыдущей главе особенности условий полета на бор-
борту орбитальной станции также демонстрируют весьма широкий класс воз-
возмущающих воздействий, поэтому при использовании моделей первого типа
целесообразно исходить из самой общей классификации конвективных про-
процессов в невесомости, которая схематически представлена на рис. 2.1. В со-
соответствии с типом сил, их вызывающих, движения делятся на следую-
следующие классы:
движения, вызываемые действием механических сил (вибрации, пере-
перемешивание мешалками, вращение, направленное движение жидкости и др.);
этот вид конвекции называется обычно вынужденной конвекцией;
гравитационная конвекция - движение под действием архимедовых
подъемных сил в неизотермической и/или неоднородной по составу среде
(тепловая и/или концентрационная разновидности гравитационной кон-
конвекции) ;
конвекция под действием градиентов сил поверхностного натяжения
(термокапиллярная и/или капиллярно-концентрационная конвекция);
конвекция, обусловленная изменением объема в связи с нагревом
(термоакустика) или температурными напряжениями (термостресс);
три последних вида конвекции объединяются под общим названием
естественная конвекция;
движения под действием электрических и/или магнитных сил.
Частным видом всех упомянутых процессов переноса является случай
полного отсутствия движений в жидкости, который в невесомости реализу-
реализуется в более широком диапазоне условий, чем на Земле.
29
ьно
щ
Прод
поле
ЧНО
а.
Попе
поле
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
И МАГНИТНЫХ СИЛ
Тепло- и массооб-
мен при отсутствии
макроскопического
движения
КОНВЕКЦИЯ
И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
В НЕВЕСОМОСТИ
Термоакустика,
термостресс и
другие виды не-
негравитационной
конвекции
ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ
LIXJ
ЕСТЕСТВЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ
Конвекция грави-
гравитационного типа
1 1
Тепловая
конвекция
Концентрационная
конвекция
Конвекция негра-
негравитационного типа
I
Движение под дей-
действием градиентов
сил поверхностного
натяжения
1
Термокапшшяриая
конвекция
1
Капиллярио-кон-
центрацвонная
конвекция
Рис. 2.1. Классификация видов конвективного движения в условиях невесомости
Некоторые из упомянутых составляющих движений требуют более де-
детальной классификации, которая будет представлена в следующих главах.
Основное внимание при рассмотрении моделей общего назначения будет
уделено двум видам естественной конвекции - гравитационной конвекции
и конвекции под действием градиентов сил поверхностного натяжения. Од-
Однако будут приведены и некоторые результаты, относящиеся к вынужден-
вынужденной конвекции, и даны ссылки на работы, относящиеся к другим видам
конвекции. Наряду с изучением структуры течения, тепловых и концентра-
концентрационных полей при анализе моделей общего назначения особое внимание
уделяется макро- и микронеоднородностям распределения примеси, кото-
которые могут быть потенциальной причиной дефектов в материалах, получен-
полученных из жидкой фазы.
30
Глава 2
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ГРАВИТАЦИОННОГО ТИПА
ПРИ ПОСТОЯННЫХ МИКРОУСКОРЕНИЯХ
Рассматриваемый в этой главе наиболее простой и давно использующийся
способ моделирования конвекции в невесомости связан с заменой массо-
массовой силы в космическом полете силой тяжести Земли. Так как интенсив-
интенсивность конвекции определяется числом Рэлея, то уменьшение силы тяжести
(микроускорения) может быть реализовано при моделировании путем
уменьшения геометрического размера, разности температур либо увеличе-
увеличения вязкости или температуропроводности жидкости. Может быть учтена
также и ориентация вектора микроускорения относительно области, зани-
занимаемой жидкостью.
В земных условиях за многие годы исследований получены многочис-
многочисленные результаты, относящиеся как к изменению числа Рэлея Ra, так и уг-
угла наклона <р . Исследования ускорились после начала применения в теории
конвекции численных методов на основе уравнений Навье—Стокса, что поз-
позволило легко изменять оба параметра (Ra, <^>). Однако в имеющихся моно-
монографиях и обзорах, относящихся к различным задачам гравитационной кон-
конвекции (см., например, [194, 237, 246, 247, 251], находящим все более ши-
широкое применение в технике, энергетике, охране окружающей среды, труд-
трудно найти количественные данные, необходимые для анализа и интерпрета-
интерпретации технологических экспериментов ввиду специфики формулировок этих
задач и требований к определяемым характеристикам (не только местные
и средние потоки тепла в ламинарном режиме, но и данные по распределе-
распределению примесей, структуре конвекции,являющиеся в некотором смысле гид-
гидродинамическими "критериями качества", а также температурные колеба-
колебания в расплавах и т.д.).
В этой главе отобраны из обширного материала исследований данные
последних 10-15 лет и обобщены некоторые наиболее интересные из полу-
полученных авторами результатов, отражающих специфику гравитационной кон-
конвекции в невесомости,изучаемой на основе такой простейшей модели обще-
общего назначения, как замкнутая плоская область, при наличии фиксированно-
фиксированного по величине и направлению микроускорения.
Исходной является система уравнений гравитационной конвекции на ос-
основе нестационарных уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинес-
ка [94], которую мы будем записывать в безразмерном виде:
B.1)
divU = 0, B.2)
Т, + (и-У)Г=РГ1ДГ, B.3)
Cf +(U.V)C=Sc~1AC B.4)
Начальные условия: U = 0, Т = 0.
Граничные условия: U = 0 на стенках, Тх = 1 при х = 0, Тп = 0 на осталь-
остальных стенках.
Единичный вектор е направлен против силы тяжести. В качестве единиц
31
измерения длины, скорости, давления, температуры, концентрации приме
си и времени выбраны Н, v/H, v2/H2, AT, АС к я*/„; где „ _ офен
й В й
/; где „ коэфф
кинематической вязкости. В этой системе имеются следующие безразмер-
безразмерные параметры: число Грасгофа Gr=gPT&TH3lv7> число Прандтля Рг = v!a>
концентрационное число Грасгофа Grc=g|3eAC#3/i>2 и числ0 ШмиДта
Sc = v/D, где а и D - коэффициенты температуропроводности и диффУзиИ>
а 0С и /Зг - коэффициенты концентрационного и теплового расширения.
Так как число параметров и без того достаточно велико, мыне рассматри-
рассматриваем на этом этапе переходных эффектов термо-или бародиффузии и диф-
диффузионной теплопроводности [94], по-видимому, не играющих существен-
существенной роли в расплавах полупроводников с весьма малой концентрацией ле-
легирующих примесей. По этой же причине мы ограничиваемся моделью
"жидкости Буссинеска", не справедливой при слишком больших перепа-
перепадах температур и концентраций. Это позволяет построить замкнутый и
сравнительно простой для использования аппарат математического моде-
моделирования.
Глава содержит большой материал параметрических исследований, полу-
полученных в широком диапазоне чисел Рэлея, углов наклонов у и чисел Пранд-
Прандтля (охватывающих широкий диапазон расплавов полупроводников грана-
гранатов и высокотемпературных сверхпроводников (Рг = 0,01 ¦? 10)), а также
при различных значениях диффузионного числа Рэлея и числа Шмидта (что
соответствует разным концентрациям легирующих примесей), при варьиро-
варьировании отношения сторон и тепловых граничных условий при различных
взаимных направлениях потоков тепла и массы. Тем не менее общее число
существенно влияющих факторов даже в такой простой модели общего
назначения настолько велико, что представленные данные являются лишь
некоторыми "островками знаний", позволяющими частично обозреть про-
простирающуюся вокруг "обширную территорию". Представленные в этой
главе конкретные результаты позволяют интерпретировать аномальный
эффект макронеоднородности распределения легирующей примеси в тех-
технологическом эксперименте МА-150 по программе "Союз—Аполлон"
[75-78] (разд. 2.2), а также дают возможность оценить абсолютные вели-
величины микроускорения в орбитальном полете, необходимые для исключения
побочных эффектов макронеоднородностей.
Диалоговая система IBM PC, ориентированная на массового пользова-
пользователя (см. приложение 1), может дополнить недостающую информацию из
класса задач, рассмотренных в этой главе.
2.1. Классификация и некоторые особенности
гравитационных конвективных процессов
в бинарных системах
Рассмотрим случаи термоконцентрационной конвекции при различных
взаимных направлениях потоков тепла и массы ("двойная диффузия" по
терминологии Тернера [158]). Будем предполагать при этом, что микроус-
микроускорение имеет заданное направление, поток тепла (массы), подводимый
к системе, является одномерным, область, занятая жидкостью, двумерна,
модель конвекции основана на уравнениях Буссинеска. При принятых пред-
предположениях возможны десять различающихся случаев термоконцентрацк-
32
петой тепла
поток массы
Терлоконцентрационная
конвенция
(Мойная диффузия)
umu
а
Рис. 2.2. Классификация режимов термокоицентрациониой конвекции при различных
направлениях потоков тепла и массы
онной конвекции в бинарной системе, классификация которых дана на
рис. 2.2. Из этих случаев можно выделить следующие характерные группы
и подгруппы.
Первая группа (а - г) объединяет случаи, в Которых статическое рав-
равновесие возможно. В случае а равновесие абсолютно устойчиво, перенос теп-
тепла (массы) осуществляется молекулярным механизмом. Этот случай для
стационарных условий соответствует предельному режиму теоретической
невесомости (g -0) и не относится к числу гравитационно-чувствительных,
однако в нестационарном режиме это не так из-за существования внутрен-
внутренних волн [158]. В остальных трех случаях (б - г) равновесие может быть
неустойчивым, конвекция будет при этом иметь место при достижении опре-
определенных (критических) значений числа Рэлея Ra и его аналога - концентра-
концентрационного числа Рэлея Ra,,.Гравитационная чувствительность проявляется
для упомянутых стационарных режимов конвекции лишь при условиях
Ra > RaKp и Rae > RaCKp, что соответствует некоторой величине^, в общем
случае различной для тепловой и концентрационной конвекции. В бинарных
смесях, когда на конвекцию оказывают влияние совместно температурный
градиент и градиент концентрации примеси (аналогичные явления происхо-
происходят и в изотермических системах при наличии двух различных примесей),
возникают новые по сравнению с однокомпонентными системами механиз-
механизмы неустойчивости, приводящие к образованию вторичных структур. Под-
Подробное описание работ, связанных с двойной диффузией, можно найти в
книге [158] и обзорах [125, 289] .Термоконцентрационный механизм неус-
неустойчивости связан с различием коэффициентов диффузии обоих компонен-
компонентов, т. е. различием чисел Прандтля и Шмидта.
Типичная диаграмма устойчивости, полученная методами линейного ана-
анализа для случая, когда оба градиента направлены вертикально, изображена
на рис. 2.3 (показан случай Sc > Рг, четыре квадранта на плоскости (Rac,
Ra) соответствуют случаям а — г классификации). На этом рисунке изобра-
изображены две нейтральные кривые A и 2), ниже которых состояние системы
устойчиво. Линия 1 соответствует монотонной неустойчивости, а при пере-
переходе через линию 2 возникают колебательные вторичные режимы. Сущест-
Существенной особенностью бинарных систем этой группы является, как известно,
то, что конвективная неустойчивость может нарушаться даже при наличии
3. Зак. 1319
Рис. 2.3. Диаграмма устойчивости при двойной диффузии (случай Sc > Рг)
1-3 — границы монотонной неустойчивости, колебательной неустойчивости н об-
области устойчивой стратификации (Ар = 0) соответственно
общей устойчивой стратификации. Это иллюстрируется на рис. 2.3, где об-
область устойчивой плотностной стратификации располагается ниже линии 3.
Вторая группа, объединяющая случаи д — к, в которых статическое
равновесие отсутствует, состоит, в свою очередь, из трех подгрупп: Э, е - ус-
устойчивая стратификация по концентрации и температуре при горизонталь-
горизонтальном потоке тепла или массы; ж,з~ неустойчивая стратификация по кон-
концентрации или температуре при боковом потоке тепла или массы, и, к1—дей-
к1—действующие в одну сторону или навстречу боковые потоки тепла и массы.
Главным отличием второй группы от первой является то, что в связи с от-
отсутствием статического равновесия гравитационная чувствительность во
всех случаях (д - к) может проявляться при как угодно малых значени-
значениях Ra (Rac) или величины g.
Устойчивость конвективного течения, имеющего место в этих случаях,
можно исследовать методами линейной теории, предполагая, что плоский
слой имеет бесконечную протяженность по вертикали. Обзор работ по ус-
устойчивости течения в вертикальном слое с устойчивой стратификацией, соз-
созданной примесью, и боковым подогревом можно найти в книге [55]. В та-
такой задаче существует несколько механизмов потери устойчивости: гидро-
гидродинамическая мода потери устойчивости на границе двух встречных пото-
потоков, нарастающие температурные и концентрационные волны, а также двой-
двойная диффузия. Наиболее интересно явление резкого понижения устойчивос-
устойчивости в некоторой области параметров, где наиболее опасны длинноволновые
термоконцентрационные возмущения, обнаруженные в работе [56].
Случай конвективной устойчивости течения бинарной смеси в плоском
горизонтальном слое изучен гораздо хуже и отличается многочисленными
особенностями, некоторые из них мы проиллюстрируем на основе результа-
результатов, полученных в работе [71] с помощью методики [119]. Постановка за-
задачи линейной устойчивости и основные сведения о методе даны в прило-
34
жении 2. Отметим, что раздельные действия каждого компонента (темпе-
(температура и концентрация) в горизонтальном слое достаточно хорошо изучены.
При отсутствии бокового подогрева получается классическая задача Рэлея—
Бенара (см., например, [54]) о неустойчивости равновесия подогреваемой
снизу жидкости. Потеря устойчивости для возмущений с волновыми векто-
векторами длины 1,56 происходит в этом случае при критическом числе Рэ-
Рэлея Rac = GrSc = 1708. В отсутствие вертикальной стратификации конвек-
конвективная устойчивость в горизонтальном слое с продольным градиентом тем-
температуры изучалась во многих работах, обзор которых можно найти, напри-
например, в [55]. В задаче с теплоизолированными границами, которая рассмат-
рассматривается здесь, при низких числах Прандтля возможна неустойчивость те-
течения даже при отсутствии градиента концентрации примеси. При доста-
достаточно больших числах Прандтля основное течение теряет устойчивость
только при наличии потенциально неустойчивой вертикальной стратифи-
стратификации, создаваемой примесью.
На рис. 2.4 приведены нейтральные кривые плоской BD) и спираль-
спиральной CD) мод для нескольких комбинаций чисел Прандтля и Шмидта.
Оказалось удобным изображать эти кривые в осях Gr\/PrSc и Rac, поз-
позволяющих "собрать" различные режимы. При малых числах Прандтля
(кривая 7) происходит монотонная потеря устойчивости плоской моды.
Максимум кривой достигается в районе точки Gr = 103, Grc = 535. Здесь
же достигается наибольшая величина волнового числа (к = 2,14).
Анализ результатов, полученных при больших числах Прандтля (кри-
(кривые 1-6), показывает, что при повышении градиента температуры устой-
устойчивость течения, как и длина критического волнового вектора возрастает;
для плоских мод возникающие вторичные течения начиная с некоторого
числа Грасгофа (между 10 и 100) оказываются колебательными с рас-
растущей частотой. Характерная особенность приведенных результатов состо-
состоит в том, что при числах Шмидта, превышающих число Прандтля, наиболее
опасными оказываются спиральные моды, при этом возникающие вто-
вторичные течения остаются стационарными. В области, где Sc«<Pr, между
обеими модами нет сильного различия. Более того, для случая Рг = 10,
Sc = 1 наиболее опасной становится то плоская мода, то спиральная, а ко-
колебательная неустойчивость возникает для каждой из них. Такое взаимо-
взаимодействие режимов проиллюстрировано расчетами для Рг = 10, Gr VPrSc =
= 104, 0,1 < Sc < 1000. Из этих расчетов следует, что существуют три раз-
разные моды: плоская, характерная для всего диапазона чисел Прандтля,
спиральная колебательная, существующая для чисел Шмидта меньше, чем
число Прандтля, и спиральная стационарная для больших чисел Шмидта.
При этом, исключая некоторую область чисел Шмидта, близких к числу
Прандтля, оказывается, что спиральная колебательная мода более устойчи-
устойчива, чем плоская (Sc < Рг), а спиральная стационарная мода (Sc > Рг) менее
устойчива, чем плоская (рис. 2.5).
Таким образом, даже предварительное обсуждение конвективной устой-
устойчивости некоторых из упомянутых случаев показывает, что они характери-
характеризуются существенно различающейся структурой. В связи с этим представ-
представляет интерес изучение различия между ними, а также более подробный
анализ каждого из них в нелинейной постановке задачи в широком диапа-
диапазоне чисел Ra, Rac, Pr, Sc и других параметров, направленный на выявление
35
Ra,
to»
10s
1708
10*
10*
10s
Рис. 2.4. Нейтральные кривые для различных чисел Прандтля и Шмидта
1 - Рг = I, Sc = 10; 2 - Рг = 10, Sc = 10; 3 - Рг = 10, Sc = 1;4,5-Рг = 10, Sc= 100;
6 - Рг = 100, Sc = 10; 7 - Рг = 0,01, Sc = 100. 1,4, 7 - плоская мода, 2, 5 - спиральная
мода, 3,6— для обеих мод
ю!
10"
0,1
(О
@0
WOO Si
Рис. 2.5. Нейтральные кривые при фиксированном числе Прандтля (Рг= 10) для плос-
плоской моды A), спиральной осциллирующей моды B) и спиральной стационарной
моды E)
эффектов, которые могут быть потенциальной причиной макро-и микро-
неодно родностей материалов, получаемых из растворов и расплавов. Боль-
Большая часть из представленных режимов в той или иной степени рассмотре-
рассмотрена ниже, однако имеются факторы в упомянутой классификации, которые
будут рассматриваться в этой и других главах. К ним относятся в первую
очередь конечная протяженность слоя, существенно изменяющая резуль-
результаты. Важную роль играют нестационарность микроускорений, приводящая
для гравитационно-чувствительной системы к различным эффектам в за-
зависимости от амплитуды, частоты и формы колебаний, отклонений сред-
средней величины амплитуды от нуля, а также пространственный характер те-
течения (см. гл.4, 5).
36
Много новых эффектов проявляется при взаимодействии гравитацион-
гравитационных и различных негравитационных механизмов конвекции. Примером
могут служить кратко рассмотренные в гл. 3 случаи взаимодействия тепло-
тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции, а также случай вра-
вращения неоднородного по составу слоя в модели жидкостной эпитаксии
(гл. 6) или тепловой гравитационной конвекции и вынужденного потока
жидкости при разделении веществ методом электрофореза в свободном
потоке (гл. 7). Вместе с тем при больших числах Рэлея каждый из меха-
механизмов обнаруживает удивительно сложную структуру, как следует из
примеров в разд. 2.3 и 2.4 и особенно из результатов теста GAMM [243]
для частного случая тепловой гравитационной конвекции при боковом
подводе тепла в случае малых чисел Прандтля.
Наличие такого многообразия режимов делает особенно актуальным
создание диалоговых систем математического моделирования на основе
уравнений Навье—Стокса на персональных компьютерах, рассчитанных на
самого массового пользователя. Такая задача решена для некоторых из
рассмотренных здесь случаев, ориентированных на применение РС/АТ-386
(см. приложение 1). Ограничения по быстродействию и памяти для ука-
указанного типа ЭВМ заставляют пока ограничиваться не слишком большими
числами Рэлея (Ra « 104 + 10s), однако в связи с быстрым ростом произ-
производительности этого типа ЭВМ возможности применения такого рода
систем необычайно возрастают.
Приведенная на рис. 2.1, 2.2 усложняющаяся (но, как упоминалось,
далеко не полная) классификация служит основой "меню" при создании
таких систем, а результаты, приводимые в разд. 2.3, 2.4, - примерами
того, чего в принципе можно достичь при их рациональном применении.
2.2. Макронеоднородности, вызываемые слабой
гравитационной конвекцией.
Эффект максимума температурного
(концентрационного) расслоения
В этом разделе, приступая непосредственно к исследованию нелиней-
нелинейных конвективных процессов гравитационного типа на основе двумерных
уравнений Навье—Стокса, мы изложим ряд новых результатов, обобщаю-
обобщающих полученные ранее в работах [128, 133] данные о температурном
расслоении, вызываемом слабой тепловой конвекцией при заданном боко-
боковом потоке тепла, на случаи различных чисел Прандтля (п. 2.2.1), и деталь-
детально исследуем аналогичные эффекты применительно к задаче о распреде-
распределении примеси в ампуле при действии слабой тепловой, концентрационной
и термоконцентрационной конвекции при различных числах Прандтля,
Шмидта, отношении сторон ампулы и угла наклона силы тяжести, а также
сопоставим полученные данные с результатами лабораторного экспери-
эксперимента, выполненного на газовых смесях (п. 2.2.2). Рассматриваемые случаи
соответствуют режимам е-к в упомянутой выше классификации, ближе
всего подходящим к моделям выращивания кристаллов из расплавов в
горизонтальных ампулах в условиях микрогравитации.
Одним из главных итогов этого раздела является всестороннее пара-
параметрическое исследование и проверка на лабораторном эксперименталь-
37
О,if
0,2
0,1
О
8
tgRa
Рис. 2.6. Эффект максимума температурного расслоения для сосудов различной
геометрии
Квазистационарный режим, Рг = 1. 1 — шар, 2 — куб, 3 — цилиндр
ном материале фундаментального эффекта максимума поперечной неод-
неоднородности температурных и концентрационных полей, впервые открытого
в упоминавшихся тасленных расчетах и впоследствии обнаруженного в
технологических экспериментах в космических условиях [75, 77, 78],
анализ и интерпретация которых приводится в п. 2.2.3.
2.2.1. Температурная макроиеоднородность, вызываемая тепловой гра-
гравитационной конвекцией в замкнутых областях. Тепловая конвекция в
замкнутой плоской области при заданном горизонтальном потоке тепла
вызывает существенное перераспределение температуры по вертикали.
Результаты первых исследований [ 128] показали, что при изменении числа
Рэлея вертикальный градиент (вертикальная разность температуры или
концентрации) достигает максимального значения при некотором числе
Рэлея (т.е. при некотором значении потока тепла, ускорения свободного
падения, геометрического размера и т.д.) (рис. 2.6).
Физическая причина этого эффекта состоит в том, что слабые восходя-
восходящие (и нисходящие) токи не перемешивают, а лишь перераспределяют
тепло (примесь) при значении числа Ra< Ra,nax. IlpHRa>Ramax в области
развивается более интенсивное вихревое движение, перемешивающее жид-
жидкость и уменьшающее макронеоднородность распределения температуры.
Дальнейшие исследования показали [133], что этот эффект имеет универ-
универсальный характер и проявляется во всех случаях, когда происходит изме-
изменение интенсивности конвекции (пространственно-временное изменение
силы тяжести, геометрии области, введение пористого наполнителя). Напри-
Например, в вертикальном слое при заданных температурах на боковых поверх-
поверхностях и теплоизолированных основаниях после внезапного включения
силы тяжести образуется ламинарное подъемно-опускное течение, затем это
течение теряет устойчивость и образуются крупномасштабные вторичные
течения [68]. Затем происходит дробление крупномасштабного течения и
устанавливается структура, соответствующая турбулентному режиму. При
отсутствии конвекции или при слабой конвекции температура по вертикали
вдоль оси не меняется, что создает благоприятные условия для получения
38
однородного материала. Однако в переходном режиме может наблюдаться
значительная макронеоднородность, т.е. неоднородность вдоль всего слоя.
Упомянутые расчеты были выполнены для двумерных задач в плоской
и осесимметричных областях в основном при числах Прандтля, равных 1.
Ниже мы приводим некоторые новые данные, связанные с обобщением
результатов, полученных в [128, 133], на случаи макронеоднородности при
гравитационной тепловой конвекции в широком диапазоне чисел Рг.
Модель тепловой гравитационной конвекции в невесомости. Исходной
является система уравнений тепловой гравитационной конвекции в прибли-
приближении Буссинеска, рассматриваемая в отличие от работ [128, 133] в общем
случае трех пространственных переменных:
Uf + (U • V) U = - Vp/p + ^AU + g|3 (Г-Го), B.5)
div U = 0, B.6)
Tt + (\J-4)T = aAT. B.7)
Начальные условия: U = О, Т = 0.
Граничные условия: U = 0 на стенках, — X Тх -q при х = 0, X Т„ = 0 на ос-
остальных стенках.
Ниже будут использованы уравнения в безразмерном виде, полученные
при введении масштабов длины, времени, скорости, температуры (Н, H2/v,
v/H, qH/X):
U, + (U-V)U = -Vp + AU + Grr, B.8)
div U = 0, B.9)
Tt + (U-4)T=Pr-1AT, B.10)
где Gi =g(lqH4l(kv2 ),Pr = vja, X — коэффициент теплопроводности.
Начальные условия: /7=0, Т = 0.
Граничные условия: Тх = 1 при х = 0 и Тп = 0 на остальных стенках.
В режиме теплопроводности поле температуры одномерно и зависимость
температуры от времени в любой точке объема начиная с некоторого мо-
момента времени линейна. Если проинтегрировать уравнение B.10) по объему
с соответствующими граничными условиями, то можно получить выраже-
выражение для среднемассовой температуры в виде
Начиная с момента Fo = t/Рт« 1 поле температуры выходит на квазиста-
квазистационарный режим. При этом распределение температуры одномерно и зави-
зависит от х по параболическому закону.
Введем новую температуру Т=Т - Тт — разность между действительной
и среднемассовой температурами, которая на квазистационарном режиме
не зависит от времени. Уравнения B.8) —B.10) в этом случае будут иметь
вид
Uf + (U-V)U = -Vp + AU + Gr7; B.11)
div U = 0, B.12)
7V + (U -V)?= Pr-1 (AT-1). B.13)
39
В уравнении для температуры B.13) появился объемный сток тепла 1/Рг,
но теперь при t-*-°° Tt->-0, т.е. уравнение B.13) имеет стационарное
решение. При замене Г на Г в уравнении движения появляется дополнитель-
дополнительное слагаемое, включенное в новое давление: Р = Р + Gr Tmz.
Введем новую безразмерную скорость U = U /Gr. В режиме теплопровод-
теплопроводности при достижении стационарного состояния имеем U = О, Т= 0, т.е.
Д Т—\ =0. Решение этого одномерного уравнения — парабола. Изотермы —
линии, параллельные оси Z.
Далее будем рассматривать слабое течение, такое, что влиянием конвек-
конвективных членов в уравнениях движения можно пренебречь. Это всегда спра-
справедливо при заданном числе Рэлея Ra = Gr Pr (в случае, когда Рг ->• °°).
Кроме того, считаем, что течение столь слабо искажает теплопроводностное
поле температуры, что в уравнениях движения в правой части можно заме-
заменить Т на Тт. Предполагая, что режим стационарный, получим
-V f+ Д U + Тт е2 = 0, B.14)
divU = 0, B.15)
Ra(U-4)T = AT-l, B.16)
т.е. уравнения движения и температуры расщепляются. Из уравнений
B.14) —B.16) можно вычислить С, используя ранее полученное стационар-
стационарное поле температуры в режиме теплопроводности Т-р. Полученное поле
Uo не зависит от каких-либо параметров, но это решение справедливо лишь
для достаточно малых Ra. Далее, используя 0О в B.16), находим решение
этого уравнения при различных числах Ra.
Вертикальная неоднородность температуры, вызываемая тепловой
гравитационной конвекцией при заданном боковом потоке тепла. Измене-
Изменение вертикальной разности температур Д Гна нагревателе в зависимости от
числа Рэлея, т.е. А Т=Т @,1) — Г @,0), полученное при решении урав-
уравнения B.16) с заданным Uo, показано на рис. 2.7. Такая линейная зави-
зависимость ДГ= 1,21 • 10~4 Ra справедлива лишь при малых Ra (до Ra <
< 103). Расчет при больших Ra по уравнению B.16) с заданным Uo неце-
нецелесообразен, так как влияние конвекции на поле температуры
приводит к тому, что в уравнении B.14) нельзя использовать 7у, а необ-
необходимо совместно решать уравнения движения и температуры.
Следующая серия расчетов основана на решении уравнений B.14^-
B.16) при различных числах RaB том случае, когда в B.14) вместо Тт
уже входит Т:
-4P+AU+Tez=0, B.17)
divU = 0, B.18)
Ra(U- Ч)Т = АТ-1. B.19)
Полученные таким образом результаты расчета вертикального темпе-
температурного расслоения при различных Ra (от 102 до 106) представлены
на рис. 2.7. Кривая отклоняется от линейной зависимости при Ra=s 103.
Максимального значения Д Г достигает примерно при Ra^ 104. Получен-
Полученная кривая является точной для Рг-*°°. В этом случае при конечных
40
йв
0,1
0.01 Ч-
mi
10*
10s Ra
Рис. 2.7. Эффект максимума температурного расслоения
при различных числах Рг
Рис. 2.8. Схема расчетной области
Ra Gr->• 0 и в уравнении B.17) конвективные члены можно не рассмат-
рассматривать. Чтобы исследовать, как будет изменяться эта кривая при умень-
уменьшении числа Рг (Рг Ф°°), необходимо решить систему уравнений B.11)-
B.13). Такие расчеты выполнены при Рг= 100; 15; 1; 10~2. Результаты
расчета в диапазоне Ra < 105, Рг = 100; 15; 1 легли на кривую, получен-
полученную с помощью уравнений B.17)-B.19) (см. рис. 2.7). Результаты при
малых числах Прандтля (Рг = 0,01) (штриховая прямая на рис. 2.7) откло-
отклоняются от кривой при Ra ^ 3 • 102.
Представленные результаты расширяют диапазон применимости полу-
полученных ранее данных по температурному расслоений, вызываемому тепло-
тепловой гравитационной конвекцией при заданном потоке тепла на случаи
различных, в том числе и малых, чисел Прандтля, ограниченных, однако,
снизу теми значениями Рг(Рг>0,1), при которых из-за больших чисел
Gr не справедлива применявшаяся здесь линеаризация.
2.2.2. Концентрационная макронеоднородность, вызываемая тепловой
гравитационной конвекцией. Целью этого раздела является систематичес-
систематическое исследование макросегрегации в бинарных смесях, в том числе описа-
описание эффекта максимума сегрегации в стационарных и нестационарных
условиях и изучение влияния на макросегрегацию различных факторов
(интенсивности естественной и концентрационной конвекции, физических
свойств, геометрии). Рассматривается распределение примеси в замкну-
замкнутой области, которая является моделью технологической ампулы, запол-
заполненной в начальный момент времени однородной бинарной жидкой
смесью. Внешняя массовая сила g направлена под некоторым углом <р
к оси Y (рис. 2.8), отношение длины ампулы к ее ширине равно L/H.
Для составляющих скорости на всех границах ставятся условия прили-
прилипания. По температуре и концентрации задаются следующие граничные
условия:
х* = 0,
х*= L,
0<x*<L, y*=0,y*=H,
где Ту — температура кристаллизации; звездочкой отмечены размерные
величины; и — нормаль к границе, на которой задается условие.
41
0<у*<Н,
Т=Ти
т=т2,
T=Ti
-ТОН] х*,
с = си
с=с2,
Ьфп =
В начальный момент времени жидкость считается неподвижной. Началь-
Начальное поле температур предполагается однородным в радиальном направ-
направлении и неоднородным - в продольном. Начальное поле концентрации
внутри ампулы однородно. Явления термо- и бародиффузии не рассматри-
рассматриваются, т.е. принимается простейшая линейная зависимость плотности от
температуры и концентрации.
Для моделирования используется система двумерных нестационарных
уравнений B.1)-B.4), записанная в безразмерных переменных: вихрь
cj, функция тока ф, температура 0, концентрация С в декартовой системе
координат:
со, + фуи>х - фхи>у = и>хх + шуу + F, B.20)
Фхх + ФуУ*-ы, B.21)
0, + фувх - фхву = ?т-\вхх + вуу), B.22)
С, + ФУСХ - фхСу = Sc (Схх + Суу), B.23)
где фу =и; фх = -v\
F = Gr@x sin ip + в у cos ip) + Grc (CX sin <p + Cy cos ip), B.24)
Gr = g^H^Ti-T^lv2 = Ra/Pr, Grc =gpcH3(c2-cl)/v2 = Rac/Sc. Здесь
и, v — проекции вектора скорости на оси координатX, Y соответственно;
(^ — угол между вектором ускорения g, создаваемого массовыми силами,
и осью У; Т, в и с, С - значения текущих размерных и безразмерных тем-
температур и концентраций соответственно; v ~ коэффициент кинематичес-
кинематической вязкости; D - коэффициент диффузии; (Зг, (}с — коэффициенты изме-
изменения плотности при изменении температуры и концентрации соответст-
соответственно; Н - характерный размер (размер рассчитываемой области по
координате у). В качестве масштабов времени, скорости, температуры и
концентрации выбраны соответственно H2/v!vlH,(T1-Ti),{c2-ci.).
Для данной системы уравнений начальные условия (Г = 0) записываются
в виде
ы(х,у,0) = 0, ф(х,у,0) = 0, в (x,y,O) = xH/L, C(x,y, 0)=l.
Граничные условия: ^1г=0, Эф/Эл|г = О,
х = 0, 0<у<1, 0=0, С=0,
х= L/H, 0<у< 1, 0 = 1, С=1,
0<x<L/H, y = 0,y=l, 6=xH/L, ЭС/Эи = 0.
В качестве характеристики неоднородности распределения примеси
использовались поперечные разности концентраций; локальная ДС(х) =
= С (х, у = 0) - С (х, у = ]) и усредненная по длине
— Н l/h
АС=— / AC(x)dx.
L о
В предельном случае теоретической невесомости, когда массовая сила
равна нулю (Ra = 0, Rac = 0), конвекция отсутствует, распределение
42
Рис. 2.9. Изолинии функции тока (д),
изотермы (б) и линии равной концентра-
концентрации (в) для стационарного режима тепло-
тепловой конвекции (Ra = 10, Рг = 0,016,
=4, Sc=10)
Рис. 2.10. Распределение концентрации в трех вертикальных (а) и трех продольных
(б) сечениях (Ra = 100, Рг = 0,016, Sc = 10, L/H= 4, *> = 0)
а: 1 - х = 0,2, 2- х = 2, 3 - х = 3,8; б: i - >> = 0,1, 2- у = 0,5,3 - у =0,9
концентрации по радиусу однородно, т.е. макросегрегация отсутствует:
ДС=0.
Основным расчетным вариантом является следующий набор параметров:
Рг = 0,016, Sc= 10,L/# = 4. В этих условиях в диапазоне чисел Рэлея
Ra< 103 наблюдается одновихревое ламинарное движение жидкости.
На рис. 2.9 изображены изолинии функции тока, изотермы и линии рав-
равной концентрации для числа Рэлея Ra=10. Так как число Прандтля мало
(температуропроводность гораздо больше, чем вязкость), то поле темпе-
температуры под действием движения жидкости начинает изменяться лишь при
достаточно большом числе Рэлея (Ra> 100). В отличие от поля темпера-
температуры поле концентрации под действием конвекции начинает изменяться
с меньших чисел Рэлея, так как число Шмидта больше числа Прандтля
(коэффициент диффузии меньше вязкости и намного меньше температуро-
температуропроводности) . Поэтому искривление профилей концентрации наблюдается
уже при Ra = 1. Из рис. 2.9 видно, что слабое конвективное движение за-
заметно влияет на распределение примеси в радиальном направлении.
На рис. 2.10 представлены распределения концентрации в трех попереч-
поперечных и трех продольных сечениях для значения числа Рэлея Ra = 100. Кон-
43
Рис. 2.11. Зависимость средней поперечной неоднородности концентрации от числа
Рэлея (L/# = 4)
1 - Rac = 0, Рг = 0,016, Sc = 10; 2 - Ra<. = 0, Рг ^_0,23, Sc = 4;5 - Rac = 20 Ra, Pr =
= 0,016, Sc = 10; 4 - Ra = 0, Pr= 0,016, Sc = 10; 5- ACm = max?C(f) при тех же пара-
параметрах, что и кривая 1
векция обогащает примесью верхние слои жидкости в ампуле и обедняет
нижние слои. Из распределения концентрации по длине ампулы в разных
сечениях (рис. 2.10, б) видно, что радиальная неоднородность концентра-
концентрации остается постоянной почти по всей длине ампулы, исключая ее концы,
где существуют большие градиенты концентрации.
Для установления зависимости радиальной неоднородности концентра-
концентрации примеси от числа Рэлея (в частности, от перегрузки) была проведена
серия расчетов в диапазоне чисел Рэлея от 0 до 105. Полученные результаты
позволяют сделать вывод о том, что в указанном диапазоне чисел Ra су-
существует максимум радиального расслоения концентрации (рис. 2.11).
Конкретное число Рэлея, соответствующее максимуму концентрационного
расслоения, как будет показано ниже, существенно зависит от свойств
вещества, геометрии области, температурных и других условий. Эта зави-
зависимость для германия с примесью кремния (Rac = 20 Ra, Pr = 0,016, Sc =
= 10, L/H= 4) представлена^на рис. 2.11 (кривая 3). Как видно из графика,
максимальное значение ДС=0,27 достигается приблизительно при числе
Рэлея Ra^30, что соответствует перегрузке g/g0 = 3,6 • 10 при харак-
характерном размере #=1 см и ДГ=100 С. Если сравнить неоднородность
концентрации, которая имеет место на Земле, т.е. при g/g0 = 1, Ra =
= 821 • 102, и в условиях пониженной гравитации, т.е. npng/g0 = 4 • 10~3,
Ra = 328,ro из рис. 2.11 (кривая 3) видно, что концентрационная неод-
неоднородность в земных условиях (Д С =0,11) меньше, чем в условиях пони-
пониженной гравитации (ДС= 0,22).
44
AC
о,г
0,6
О, if
о, г
о
lg Ra
Рис. 2.12. Зависимость поперечной разности концентрации от числа Рэелея для двух
сечений (Ra^. = 20 Ra, Рг = 0,016, Sc = 10, L/H = 4)
1 - х = 0,1, 2 -х = 2
Рис. 2.13. Зависимость длительности характерных режимов изменения средней по-
поперечной разности концентрации от числа Рэлея (Ra^. = 20 Ra, Рг = 0,016 Sc = 10
/4)
1 — время достижения стационарного значения, 2 - максимального значения
Интересным фактом является то, что для антимонида индия (рис. 2.11,
кривая 2) кривая Д С (Ra) смещена в сторону больших чисел Рэлея, т.е.
значение числа Рэлея, при котором радиальная неоднородность концентра-
концентрации принимает максимальное значение, существенно зависит от чисел
Прандтля и Шмидта.
Зависимость радиальной разности концентрации от числа Рэлея для
разных поперечных сечений AC(Ra,x) изображена на рис. 2.12. Видно,
что характер этой зависимости, а также число Рэлея, при котором достига-
достигается максимум AC (Ra, x), зависят от конкретного поперечного сечения.
Так, например, для центрального сечения (х = 2) кривая AC (Ra,x) имеет
такой же вид, как и кривая 3 на рис. 2.11, а при удалении от центрального
сечения локальное распределение концентрации существенно отличается
от распределения, усредненного по длине.
Концентрационная конвекция и совместное действие тепловой и кон-
концентрационной конвекции. Рассмотрим отдельно изотермический случай,
когда присутствует конвекция, вызванная только концентрационной
неоднородностью (Ra = 0). Движение жидкости, вызванное концентра-
концентрационной конвекцией, приводит к неравномерному распределению кон-
концентрации, т.е. так же, как и при действии только тепловой конвекции,
существует максимум концентрационного расслоения в зависимости от
концентрационного числа_Рэлея. Зависимость средней поперечной неодно-
неоднородности концентрации АС от концентрационного числа Рэлея Rac для
германия с примесью кремния (Sc = 10, Рг = 0,016, L/H - 4 и Ra= 0) пока-
показана на рис. 2.11 (кривая 4). Из графика видно, что влияние концентра-
концентрационной конвекции на распределение концентрации начинает сказываться
при Rac > 600, максимум концентрационной неоднородности достигается
приблизительно при Rac =6 • 104.
При совместном действии тепловой и концентрационной конвекции
(Rac = 20 Ra) первая подавляет действие второй. Кривая средней радиаль-
45
ной неоднородности концентрации при действии тепловой и концентрацион-
концентрационной конвекции (рис. 2.11, кривая 3) проходит несколько выше кривой 1
при малых числах Рэлея (Ra< 100), а при больших Ra кривые 1 и 3 на
рис. 2.11 совпадают.
Нестационарный резким развития конвекции во времени. Выше рас-
рассматривалась зависимость макросегрегации от числа Рэлея AC(Ra) только
на стационарных режимах, однако для установления абсолютной вели-
величины максимума макросегрегации требуется изучить временную
зависимость AC(FoD) (Fo0 = Dt/H2 - диффузионное число
Фурье).
Движение жидкости выходит на стационарный режим монотонно при
числах Ra < 300, а для Ra > 300 на переходном участке наблюдается
увеличение интенсивности движения с дальнейшим его уменьшением до
стационарного значения, т.е. в зависимости максимального значения функ-
функции тока от времени (^тах(р0?,))существует максимум. При этом время
установления стационарного режима распределения концентрации зависит
от чисел Рэлея и Шмидта: чем больше число Рзлея и меньше число Шмидта,
тем скорее достигается стационарный режим. Времена достижения стацио-
стационарных значений для температуры и концентрации разные и пропорцио-
пропорциональны числам Прандтля и Шмидта соответственно. Так, например, для
Рг = 0,016, Sc = 10, L/H = 4 и Ra ^ 100 вначале происходит стабилизация
полей температуры и скорости, а затем при Fo^^ 0,05 стабилизируется
поле концентрации.
Особенности нестационарного движения жидкости проявляются также
и в зависимости средней радиальной разности концентрации от времени
AC (FoD). Характер зависимости AC(FoD) такой же, как и ^max(F°o):
для каждого числа Рэлея она имеет максимум. Зависимости безразмерных
времен достижения средней радиальной разностью концентрации стацио-
стационарного и максимального значений от числа Рэлея показаны на рис. 2.13.
На рис. 2.11 кривая 5 изображает зависимость максимальной по времени
средней по длине радиальной неоднородности концентрации от числа
Рэлея AC (Ra). Эта кривая повторяет кривую 1 того же рисунка, но распо-
расположена несколько выше ее.
Концентрационное расслоение в веществах с различными числами Пранд-
Прандтля и Шмидта. Конкретное значение числа Рэлея, соответствующее макси-
максимуму концентрационного расслоения, зависит от свойств вещества. На
рис. 2.14 представлены зависимости концентрационного расслоения от
числа Прандтля при Sc = 10 (кривая 1) и от числа Шмидта при Рг = 0,016
(кривая 2) при Ra = 100, Rac = 0, L/H = 4, кр = 0. Установлено, что в диапа'
зоне чисел Прандтля от 10 до 103 для зависимости ДС(Рг) при значе-
значении Рг = 0,1 имеется максимум. Характерно, что наибольшее влияние
конвекции на радиальную неоднородность концентрации наблюдается при
Рг < 1, что соответствует жидким металлам, в частности полупроводни-
полупроводниковым материалам, а при Рг > 1 влияние конвекции на распределение
примеси уменьшается и может совсем не сказываться. В том же диапазоне
чисел Шмидта зависимость Ad (Sc) имеет максимум приблизительно при
Sc= 10 (рис. 2.14, кривая 2), т.е. наибольшее влияние конвекции на ра-
радиальное расслоение концентрации примеси приходится на расплавы с
46
AC
0, <f
о,з
0,2
0,1
О
J L/H
AC
0,2
-tot
tg Pr(lgSc)
2L Ж.
" 2 " *
К ? »
¦ 2 i
Рис. 2.14. Зависимости средней поперечной разности концентрации от числа Прандт-
ля (/), числа Шмидта B) и удлинения ампулы L/H C)
Рис. 2.1S. Зависимости средней поперечной разности концентрации от угла наклона
массовой силы при Ra= 10* A) и Ra= 104 B)
числами Шмидта, соответствующими полупроводниковым материалам,
таким, как жидкий германий, антимонид индия, арсенид галлия и др.
Влияние на концентрационное расслоение геометрии и ориентации мас-
массовой силы. Результаты серии расчетов для прямоугольных областей с
отношением сторон L/H от 0,5 до 4 показывают, что при Ra = 100, Рг =
= 0,016, Sc= 10, Rac = 0 зависимость AC(L/B) имеет максимум при
L/H - 1 и монотонно падает при уменьшении и увеличении длины ампулы
(см. рис. 2.14, кривая 3), т.е. при постоянном диаметре ампулы макросег-
макросегрегация сказывается больше в коротких ампулах и меньше в длинных.
Этот результат аналогичен тому, что в ячейке с температурой 7\ на нижней
стенке и Тг на верхней (Т2 > 7\) средняя теплопередача максимальна при
H/L~ = 0,7 [131]. Эти факты обусловлены взаимодействием между собой
пограничных слоев на стенках.
Для исследования влияния ориентации массовой силы на распределе-
распределение примеси проведены расчеты при углах наклона у = —яг/2 -г я/2. Зави-
Зависимости средней радиальной разности концентрации от угла <р при Ra =
= 102 и 104 показаны на рис. 2.15. В этом диапазоне у случаю <р = —я/2
соответствует подогрев снизу, когда возможно возникновение конвекции
при потере устойчивости, т.е. при Ra > Ra*, где Ra* соответствует крити-
критическому значению числа Рэлея [54, 94], случаю у = 7г/2 соответствует абсо-
абсолютно устойчивое равновесие, когда конвекция отсутствует, а в остальных
случаях конвекция возникает всегда, так как гидростатического равнове-
равновесия нет.
Наибольшее значение А С при малых числах Ra (Ra < Ra*) достигается
при <р = 0, что соответствует направлению массовой силы, перпендикуляр-
перпендикулярному оси ампулы (см. рис. 2.15, кривая 1). При таких числах Рэлея не про-
происходит потери устойчивости равновесия, поэтому, так же как и в устой-
устойчивом положении при ip = n/2, величина Д С = 0.
При Ra= 104 в случае ip = — я/2 уже имеет место конвективное движе-
движение, и именно этому направлению массовой силы соответствует максималь-
47
ная величина концентрационного расслое_ния примеси (см. рис. 2.15, кри-
кривая 2), при этом характер зависимости ДС(^>) иной, чем при Ra = 102.
Эти результаты показывают, что влияние ориентации массовой силы на
расслоение примеси в ампуле существенно, причем его оценку следует
проводить с учетом величины числа Рэлея.
2.2.3. Сопоставление результатов численного моделирования темпера-
температурного (концентрационного) расслоения с данными лабораторного экспе-
эксперимента. Исследования концентрационного расслоения, изложенные в пре-
предыдущем разделе, в основном относились к расплавам полупроводников.
В работах [142, 143] проведено экспериментальное исследование концент-
концентрационного расслоения газовой смеси при тепловой, концентрационной и
термоконцентрационной конвекции в замкнутой области квадратного
сечения. Эксперименты проводили в следующем диапазоне параметров:
Ra3=-106 + 106,Ra* = 102 н- Ю6, Рг = 0,75, Sc = 0,65 ч-0,75 (здесь и в
дальнейшем через Ra3 и Ra3 будем обозначать значения теплового и кон-
концентрационного чисел Рэлея, соответствующие экспериментальным дан-
данным, взятым из работ [95, 142, 143] для сравнения с результатами настоя-
настоящей работы).
Для подтверждения эффекта максимума концентрационного расслоения
и более точного количественного сопоставления с экспериментальными
данными в этой части работы излагаются результаты расчетов [142, 143],
выполненных для условий экспериментов [95, 142, 143].
Постановка задачи. Рабочая полость в экспериментах [95, 142, 143]
представляла собой параллелепипед квадратного сечения. Вертикаль-
Вертикальные боковые границы полости поддерживались при постоянных, но раз-
разных температурах, верхняя и нижняя стенки были изготовлены из латуни,
и на них устанавливалось линейное распределение температуры. Боковые
границы были выполнены из многослойной медной сетки, через которую
газ проникал в рабочую полость за счет диффузии, принимая при этом тем-
температуру сетки.
В качестве математической модели используются двумерные уравнения
Навье-Стокса B.20)-B.23). Эффекты сжимаемости, баро- и термодиф-
термодиффузии не учитываются. Расчетная область представляет собой квадрат с
граничными условиями для температуры первого рода, по концентрации
на вертикальных стенках заданы условия третьего рода, соответствующие
экспериментам [142, 143], на горизонтальных стенках заданы условия
непроницаемости (рис. 2.16). На всех границах ставятся условия прили-
прилипания ф\т = 0,4*1 г =0. В безразмерных переменных граничные условия
для температуры и концентрации имеют следующий вид:
х = 0,
x = L/H,
0<x<L/H,
0<y<
0<y<
y = O,y
1,
=
1,
в
в
в
= o,
= 1,
= xH/L,
Здесь константа В в соответствии с данными эксперимента [142, 143]
48
йв
0,5
0,25
О О. 1
дС/ду=0 1хо 2
Рис. 2.16. Схема расчетной области в математической модели
6 tg Ka
Рис. 2.17. Зависимость разности температур в среднем вертикальном сечении от
числа Рэлея
Сплошная линия - расчет (Рг = 0,72). точки - эксперимент [95] A - углекислый
газ, 2 — воздух)
имеет значение 5 = 13. Начальные условия следующие:
w(x,j/,0)=0, ф(х,у,0) = 0, в(х,у,0) = х, С(х,у,О)=1-х.
Тепловая конвекция. До проведения экспериментов по исследованию
влияния конвекции на расслоение примеси [142, 143] авторами работы
[95] были проведены эксперименты по исследованию температурных
полей при свободной конвекции газа в диапазоне чисел Рэлея от 10 до 107.
В это же время были проведены расчеты для сопоставления с результатами
экспериментов [95].
На рис. 2.17 представлена зависимость от числа Рэлея безразмерной
разности температур между точками, расположенными на расстоянии 0,1 Я
от верхней и нижней границы полости в среднем вертикальном сечении
(Н — сторона квадрата — вертикального сечения параллелепипеда). Хоро-
Хорошее согласование численных результатов с экспериментальными свиде-
свидетельствует об адекватности математической модели тепловой конвекции и
эксперимента [95] в диапазоне чисел Рэлея от 0 до 100. Отметим, что
график, приведенный на рис. 2.17, не следует отождествлять с аналогич-
аналогичными результатами работы [133] (см. рис. 2.6), так как в настоящей
работе приняты граничные условия по температуре первого рода, а в ра-
работе [133] на горизонтальных границах задано условие теплоизоляции.
Поэтому в работе [133] максимум температурного расслоения выражен
более четко, чем на рис. 2.17, и достигается при меньших числах Рэлея
(Ra^lO5).
Рассмотрим особенности распределения пассивной примеси при теп-
тепловой конвекции. На распределение примеси в замкнутых объемах мо-
может влиять как тепловая, так и концентрационная конвекция, но в том
случае, когда изменения распределения примеси не влияют на величину
плотности, концентрационной конвекцией можно пренебречь и рассмат-
рассматривать влияние только тепловой конвекции. Примесь в этом случае мож-
4. Зак. 1319
49
к
ay
0,8
0,6
ОЛ
0,2
/max
о
-20
/ПИ
2,2
Ra
2 J <- lj Ra
1 2 3
\lj Ro
Рис. 2.18. Зависимости производной дС/ду, вычисленной для стационарного режима
в центре полости, и разности концентрации в среднем вертикальном сечении (х =
= 0,5) от числа Рэлея (Ra^. = 0, Рг = Sc = 0,7 5, L/H =1)
1 - расчет, 2 - эксперимент [142, 143]
Рис. 2.19. Зависимости максимальной функции тока и среднего концентрационного
числа Нуссельта (х = 1) от числа Рэлея (Rac = 0, Рг = Sc = 0,75, L/H= 1)
но рассматривать как пассивную, т.е. не влияющую на движение жидкос-
жидкости или газа. Несмотря на аналогию между процессами тепло- и массооб-
мена, известные результаты по тепловой конвекции не могут быть пере-
перенесены на концентрационную из-за различных граничных условий.
В эксперименте [142, 143] получены интерферограммы концентрацион-
концентрационных полей при Ra3 Ф 0, Ra3. =* 0, представляющие собой изолинии показа-
показателя преломления, зависящего одновременно от температуры и от концен-
концентрации. Эксперимент проводился так, чтобы вклад концентрации в из-
изменение показателя преломления значительно превосходил вклад темпе-
температуры, поэтому интерферограммы, приведенные в работах [142, 143]
и представленные для сравнения с численными результатами, можно счи-
считать картинами, иллюстрирующими изменение концентрационных полей,
вызванное тепловой конвекцией.
Результаты сравнения концентрационных полей позволяют сделать вы-
вывод о хорошем согласии данных эксперимента [142,143] и расчета.
На рис. 2.18 представлена зависимость производной ЪС/Ъу, вычислен-
вычисленной в центре полости, от числа Рэлея (Рг = Sc = 0,75) в сравнении с экс-
экспериментальными данными [142, 143]. Значение ЪС/Ъу в зависимости
от числа Рэлея вначале возрастает от нуля, достигая максимума (ЪС/Ъу —
=* 0,5) приблизительно при Ra—103, а затем снова уменьшается. Производ-
Производная ЪС/Ъу, равно как и разность концентраций между верхней и нижней
горизонтальными границами, является характеристикой концентрацион-
концентрационного расслоения в ядре полости. Из данных рис.2.18 следует вывод о на-
наличии максимума концентрационного расслоения по вертикали в цент-
центре полости в зависимости от числа Рэлея. Зависимость АС и ЪС/Ъу от чис-
числа Рэлея при малых числах Рэлея (вплоть до достижения величинами АС
и ЪС/Ъу максимального значения) приблизительно линейная. Этому интер-
интервалу чисел Рэлея соответствует относительно медленное течение без раз-
развитого пограничного слоя (см. рис. 2.19, где изображена зависимость мак-
максимального значения функции тока Фщак от числа Рэлея). Зарождение диф-
50
фузионного пограничного слоя соответствует максимуму концентрацион-
концентрационного расслоения.
На рис.2.19 представлена также зависимость среднего концентрацион-
концентрационного числа Нуссельта, вычисленного на стенке при х = 1:
1
Nuc = f(dC/dx)dy,
о
от числа Рэлея. Эту зависимость в интервале чисел Тэпея от 102 до Ю6
можно аппроксимировать выражением
Каждую из представленных на рис. 2.19 зависимостей можно аппроксими-
аппроксимировать двумя прямыми (с разными углами наклона к оси lgRa), пересе-
пересекающимися при Ra= 103.
Концентрационная конвекция. Зависимость производной дС/ду в цен-
центральной точке области (вычисленной и полученной в эксперименте [142,
143]) от концентрационного числа Рэлея представлена на рис. 2.20. Эта
зависимость также имеет явно выраженный максимум. Расчеты были
проведены при Ra = 0, Sc = 1, Ю2 < Rac < 106. Влияние концентрационной
конвекции на структуру течения и поле концентрации подобно влиянию
тепловой конвекции: при Ra^. = 100 — диффузионный массоперенос; при
Ra^. = 103 начинается зарождение пограничных слоев, наблюдается слабое
искривление линий равной концентрации (зависимости фтах(^с) и
Nuc(Rac) подобны аналогичным зависимостям для случая тепловой кон-
конвекции (см. рис. 2.19)); при Ra<, = 104 градиент концентрации в центре
области становится вертикальным; структура течения во всех случаях
остается одновихревой. Расчетные данные по линиям равной концентра-
концентрации хорошо согласуются с экспериментальными [142].
Термоконцентрационная конвекция. Результаты расчетов термокон-
термоконцентрационной конвекции в виде изолиний функции тока, изотерм и ли-
линий равной концентрации, полученные на сетке с числом узлов 65 Х65
при Ra= 1,5- 10s; Ra3 =1,6 • 10s, Rac = Ra3. = 1,2 • 10s; Pr = 0,75; Sc = 0,65
представлены на рис. 2.21. Расчет показал,что при Ra<10s движение
газа осуществляется по часовой стрелке, а при Ra>l,2-10s - против
часовой стрелки. При | Ra| > 10s наблюдаются слабые вторичные вих-
вихри около вертикальных границ, хотя основное течение является одно-
вихревым, имеющим тенденцию при больших числах Рэлея (| Ra| >
>2-10s) выстраиваться вдоль диагоналей, проведенных при Ra<0 из
левого верхнего угла в правый нижний и при Ra > 10s из правого верхнего
угла в левый нижний угол области.
Характер изменения максимальной функции тока при изменении чис-
числа Рэлея (рис. 2.22) в диапазоне -106<Ra<105 и 3-10s<Ra<106
описывается степенной функцией i//max=* Ra1/4. Нулевое значение макси-
максимальной функции тока находится в интервале чисел Рэлея 10s <Ra<
< 1,2 • 10s. Интересен тот факт, что в интервале чисел Рэлея от 1,5 ¦ 10s
до 2 • 10s модуль максимальной функции тока уменьшается, хотя при
Ка> 2 ¦ 10s и Ra< 1,5 • 10s он увеличивается с возрастанием |Ra| (анало-
(аналогичным образом максимальная функция тока ведет себя на нестационарном
51
Рис. 2.20. Зависимость производной
ЬС/by, вычисленной в центре квадратной
области, от концентрационного числа Рэ-
лея в изотермических условиях
Разные значки - экспериментальные
данные [142, 143] для различных газовых
смесей, сплошная линия — расчет при
Ra = 0, Sc = 1
Функция така
Температура
Хаяцеятрация
Яятеррерограмма.
Рис. 2.21. Изолинии функции тока, изотермы, линии равной концентрации и интер-
ферограммы поля концентрации [142, 143] при термоконцентрационной конвекции
(Ra,. = Rig = 1,2 • 105,Ra=l,5- 10s,Ra3 = l,6- 105, Рг = 0,75, Sc = 0,65,?/Я= 1)
52
Рис. 2.22. Зависимости максимальной функ-
функции тока и среднего концентрационного числа
Нуссельта (дс = 1) от числа Рэлея лри термо-
термоконцентрационной конвекции (Rac = 1,2 •
• 1О5,Рг= 0,75, Sc= 0,65, L/H=\)
Nu,
йс
—-4^
00 0,2
i i i
6 -i, - -г о
-0,2
-ол
-
>
п 1 1 1
г ь 6
°оо о оо
Рис. 2.23. Зависимости производной ЬС/ду, вычисленной в центре квадратной облас-
области, и разности концентраций в среднем вертикальном сечеиии от числа Рэлея притер-
моконцентрационной ковекции
Точки - экспериментальные данные {142, 143], сплошная линия — расчет при
Rac= Rac3= 1,2 • 10*, Рг = 0,75, Sc = 0,65, L/H= 1
участке в задаче о тепловой конвекции в длинном горизонтальном слое
(см. разд. 2.3)). В данном случае это может быть объяснено тем, что в этом
интервале чисел Рэлея происходит разделение одного максимума функции
тока на два и быстрое (в зависимости от числа Рэлея) их расхождение по
диагонали области. Затем процесс раздвоения (формирования вторичных
вихрей) прекрашается, и модуль максимальной функции тока снова начи-
начинает возрастать при увеличении числа Рэлея.
На рис. 2.22 показана также зависимость среднего концентрационного
числа Нуссельта, вычисленного на вертикальной стенке (х = 1), от числа
Рэлея, которая отражает влияние противоборства тепловой и концентра-
концентрационной конвекции на массоперенос (в частности, в окрестности Ra =
= 105). В диапазоне чисел Рэлея -106 <Ra < 105 и 3 ¦ 10s > Ra > 106 эту
зависимость можно аппроксимировать выражением
^с = 0,08 |>//тах 1 + 1,7.
Зависимости дС/ду и АС от числа Рэлея (рис. 2.23) подобны и имеют
максимум в интервале чисел Рэлея 5 • 104 < Ra< 10s. Знак величин
дС/Ьу и АС меняется иа противоположный приблизительно при том же
числе Рэлея, когда конвективное движение меняет направление (см.
рис. 2.22).
53
2.2.4. Анализ результатов технологических экспериментов в условиях
невесомости. Приведенные в п. 2.2.2 данные имеют общий характер и мо-
могут применяться в широком диапазоне значений g/g0, т.е. в земных усло-
условиях и в условиях пониженной гравитации. Однако рассмотренный диапа-
диапазон чисел Рэлея в большей степени соответствует условиям орбитального
полета (g/g0 < 1). Ниже мы рассмотрим подробнее один из космических
технологических экспериментов, проведенный по программе "Союз-
Аполлон" Институтом металлургии АН СССР (эксперимент МА-150) [75,
78, 123]. Его целью было исследование возможности использования усло-
условий невесомости для получения монокристаллов твердых растворов гер-
германий-кремний-сурьма с равномерным распределением примеси методом
направленной кристаллизации.
Кристаллизация указанных материалов происходила в вакуумирован-
ной кварцевой цилиндрической ампуле. Использовалась "универсальная
печь", которая помещалась в стыковочном модуле станции "Союз—Апол-
"Союз—Аполлон" так, что ось ампулы и направление кристаллизации расплава были
параллельны главной оси станции. Станция имела собственное вращение
вокруг главной оси, в связи с чем ускорения в месте расположения печи
при проведении эксперимента были в среднем равны gjg0 =4 • 10~3 [75,
78,123].
При проведении эксперимента смесь внутри ампулы расплавлялась
и выдерживалась в расплавленном состоянии 1 ч, после чего только на-
начиналась кристаллизация. Подобный эксперимент проводился и на Зем-
Земле. При этом получено, что распределение примеси по длине образца в зем-
земных условиях и в условиях невесомости аналогично, но неравномерность
распределения примесей в радиальном направлении в условиях невесо-
невесомости существенно больше, чем в кристаллах, выращенных при таких же
условиях на Земле, хотя до проведения опыта ожидался обратный эффект.
Концентрации примеси на диаметрально противоположных гранях крис-
кристалла, выращенного в полетных условиях, отличались в два—шесть раз,
т.е. расплав в процессе кристаллизации из однородного по составу пре-
превращался в неоднородный, происходила ликвация компонент в распла-
расплаве. Аналогичный эффект макросегрегации наблюдался и в космическом
эксперименте МА-060, где происходила кристаллизация германия, леги-
легированного галлием [292].
Применим результаты, полученные выше (см, п. 2.2.2), к анализу этих
экспериментов. Для этого вначале уточним исходные данные в соответ-
соответствии с публикациями [78, 123,145, 180]. Длина кварцевой ампулы 52мм,
диаметр 9,5 мм, размеры слитка германий—кремний—сурьма: длина 38 мм,
диаметр 9,3 мм. Печь имела температурный градиент приблизительно
25 °С/см. Разность температур в среднем во время эксперимента на кон-
концах ампулы была равна 100 °С — эта разность температур в расчетах бы-
была принята за характерную. Полученные в п. 2.2.2 результаты в принци-
принципе объясняют эффект макроликвации примеси в германии, который имел
место в экспериментах МА-150 и МА-060, проводившихся по программе
'Союз—Аполлон". Для того чтобы примесь при кристализации германия
в условиях пониженной гравитации была распределена более равномерно,
чем в земных условиях (ДС<0,12), необходимо,^обы число Рэлея бы-
было меньше 3 (g/g0 < 3 • 10~б). Из зависимости AC(Ra) (см. рис. 2.11)
54
видно, что для достижения однородности распредения примеси в германии
ДС<0,04 необходимо выполнить условие Ra<l, соответствующее перегруз-
перегрузке g/go< Ю~5 при характерном размере Н = 1см и ДГ=100°С.
Из результатов параметрических исследований (см. п. 2.1.2) следует
также, что радиальная макроликвация примеси существенно зависит не
только от числа Рэлея (см. рис. 2.17), но и от чисел Прандтля и Шмидта
и геометрии ампулы (рис. 2.15), т.е. зависимость AC(Ra) может быть
разной и для некоторых веществ, закристаллизованных в условиях невесо-
невесомости, макросегрегация может не иметь места.
За время, прошедшее после анализа эксперимента МА-150, получены
новые данные экспериментов по макронеоднородности примеси, выпол-
выполненных на спутниках серии "Космос", а также технологических экспе-
экспериментов, выполненных в земных условиях, которые подтверждают на-
наличие максимума макросегрегации примеси [62, 159, 192]. Кроме то-
того, существуют аналитические и численные подтверждения этого эффек-
эффекта [76,179].
Представленные доказательства существования максимума концен-
концентрационного расслоения накладывают, таким образом, определенные
ограничения на возможности получения совершенных монокристаллов
в условиях пониженной гравитации. Для уменьшения макросегрегации
следует так подобрать условия, чтобы число Рэлея, зависящее от геомет-
геометрии, вещества, перегрузки, было меньше, чем число Рэлея, которому соот-
соответствует максимум макросегрегации Ram.
Заметим, что из рис. 2.11 следует, что макросегрегация может быть
уменьшена и при Ra > Ram, однако, как известно, в этом диапазоне уже
могут сказываться эффекты микросегрегации, связанные с пульсациями
температуры и концентрации. Последний вопрос весьма мало изучен, и
может оказаться, что в некотором смысле "оптимальными" будут условия
Ram < Ra < Rat, где Rat — число Рэлея, при котором имеет место микро-
микросегрегация, связанная с турбулентными пульсациями.
2-2.5. Термоконцентрационная конвекция и слоистые структуры. Все
рассмотренные выше результаты касались только бокового подвода теп-
тепла и массы (случаи и, к по классификации рис. 2.2). В бинарных смесях с
устойчивой вертикальной стратификацией по составу и при боковом подо-
подогреве (случаи д, е на рис. 2.2) возможна конвекция, обусловленная так
называемой двойной диффузией [ 158], которая приводит к образованию
слоистых структур и может быть причиной дефектов в материалах.
Изучению двойной диффузии посвящен ряд обзоров [163, 181, 289].
Лабораторные эксперименты [151] показали, что нагревание или охлаж-
охлаждение стенок сосуда с раствором может приводить к слоистой структу-
структуре течения и образованию структуры со ступенчатым распределением
плотности по вертикали. В работах [134, 203] с помощью численных ме-
методов исследуется динамика образования слоистых структур. Для области с
тремя теплоизолированными и одной изотермической стенками в работе
[134] приведена диаграмма образования слоистых структур в зависимости
от чисел Ra и Rac.
Здесь будет рассматриваться конвекция в замкнутой квадратной об-
55
ласти L/H = 1, заполненной бинарным расплавом, подогреваемым спра-
справа и охлаждаемым слева; горизонтальные стенки теплоизолированы и
поддерживаются при постоянных значениях концентрации: на верхней
0 = 1) С = 1, на нижней {у - 0) С = 0. На вертикальных стенках усло-
условия изоляции: ЬС/дх = 0. На всех границах заданы для скорости условия
прилипания. В начальный момент жидкость покоится. В отличие от упо-
упомянутых работ целью приводимой ниже серии расчетов является подроб-
подробное параметрическое исследование при изменении чисел Рг и Sc.
Исследование конвективного тепломассообмена осуществляется на
основе решения нестационарных двумерных уравнений Навье—Стокса
для несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска B.20) — B.23).
Уравнения решались с помощью комплекса программ метода конечных
разностей [134]. Основные расчеты проведены для чисел Грасгофа Gr =
= 10*, Grc = 4 • 10* в диапазоне чисел Прандтля 1 < Рг < 100 и Шмидта
1 <Sc < 100 на сетке с числом узлов 65X65.
Высота плавучести й0 = Ra/Rac для указанных параметров будет на-
находиться в диапазоне 0,0025 < й0 < 25. В [134] указано, что слоистые
структуры образовывались с периодом, близким к Ло, и при Raft > 104
(Raft - число Рэлея, посчитанное по высоте плавучести; Raft = Ra4/Rac
Диапазон числа Raft, соответствующего параметрам расчета: 0,016 < Rah <
Параметр
Nu
1 Фтак 1
Nu
Nu
Ш~с
Nu
Sc
1
5
10
100
Таблица
l
-
6,29
2,50
2,20
-
2.1
Pr
5
-
0,74
1,68
1,21
-
10
1,14
7,5
1,08
0,69
1,84
1,15
0,43
2,09
1,17
1,76
9,69
4,53
100
0,40
2,36
1,01
0,48
2,58
1ДЗ
0,19
12,70
1,11
0,07
3,11
1,26
В соответствии с данной постановкой задачи при Ra = 0, Ra,; Ф 0 кон-
конвекция отсутствует; при Ra Ф 0, Ra,, =0 имеет место только тепловая кон-
конвекция. Расчеты тепловой конвекции, проведенные авторами ранее (Рг =
= 0,71, Ra = 103-Н06) [38], подтверждают тот факт, что течение имеет
одновихревую структуру.
Для Gr = 106, Grc = 4 • 10* рассчитано десять вариантов для различных
56
Рис. 2.24. Изолинии функции тока, температуры и концентрации при Gr = 10*, Grc =
= 4 • 10*, Рг= 10 ичисла Шмидта, равных 1 (в), 10 (б) и 100 (в)
чисел Прандтля и Шмидта в диапазоне от 1 до 100. Конкретные значения
чисел Прандтля и Шмидта, при которых были проведены расчеты, указа-
указаны в табл. 2.1. Кроме этого, в табл. 2.1 для каждого рассчитанного варианта
построчно указаны значения следующих величин: максимальное значение
модуля функции тока | Фтах | , среднее значение числа Нуссельта на верти-
вертикальной стенке Nu и среднее значение концентрационного числа Нуссель-
Нуссельта Nuc.
Расчеты показывают наличие стационарных слоистых структур, которые
наиболее четко выражены при следующих соотношениях чисел Прандтля
и Шмидта: 1) Рг = 10, Sc =1 (рис. 2.24/г); 2) Рг = 100, Sc = 1; 3) Рг = 100,
Sc = 10. В остальных семи вариантах структура течения имеет два основных
57
0,5
0,5
Рис. 2.25. Профили температуры и
концентрации в среднем вертикаль-
вертикальном сечении при Gr = 10*, Grc =
= 4 • 10*. Рг — 10 и числах Шмидта,
равных 1 (а), 10 (б) и 100 (в)
вихря у верхней и нижней горизонтальных стенок и очень слабые вторичные
вихри в центральной части области (рис. 2.24,5).
На рис. 2,24 представлены изолинии функции тока, температуры и
концентрации для Рг = 10 и разных чисел Шмидта. На рис. 2.25 показаны
профили температуры и концентрации в среднем вертикальном сечении
(х = 0,5) при Рг = 10 и трех значениях чисел Шмидта. При Sc = 1 и 10 распре-
распределения функции тока, температуры и концентрации даны для стационар-
стационарного режима, а при Sc = 100 такого режима нет, существует колебательный
режим течения, и картина течения представлена для момента безразмер-
безразмерного времени t = 4,72. При Sc = 1 и 10 поля концентрации практически
одинаковы и остаются близкими к начальному. Поле температуры от-
отслеживает многоячейковую структуру течения, например, при Sc = 1 (см.
рис. 2.25,д) изотермы вне пограничных слоев ближе к горизонтальным,
нежели к вертикальным. В ядре каждой ячейки устанавливается изотерми-
изотермическая область, и поэтому вертикальные профили температуры имеют
ступенчатый характер. При Рг = 10, Sc = 100 (см. рис. 2.25,в), а также при
Рг =1, Sc = 10 конвективное течение изменяет поле концентрации, образуя
в местах основных вихрей две однородные зоны. Вертикальный профиль
концентрации в этих случаях имеет две четко выраженные ступеньки.
Минимальная интенсивность конвективного течения ii^maxi = 0,07
наблюдается при Рг = 100, Sc = 100. В этом случае из-за устойчивой кон-
концентрационной стратификации конвекция практически подавляется.
В случае Рг = 10, Sc = 100 стационарного режима нет, а существует
периодическое как по пространству, так и по времени решение. На рис. 2.24
на поле функции тока видна пространственная волна в двух основных
вихрях. Пространственная волна, идущая в направлении основного кон-
конвективного течения, наблюдается и на поле концентраций.
На рис. 2.26 представлены зависимости максимума модуля функции
тока от числа Шмидта для трех значений числа Прандтля. Следует отметить,
что зависимость интенсивности конвективного течения от числа Шмидта
58
Рис. 2.26. Зависимость максимального зна- i ^
чения функции тока от числа Шмидта при '"
Gr = 106, С:с = 4-106 и числах Прандтля,
равных 5 (У), 10 B) и 100 (J) /,<¦
0,6
0,2
1
/0
100 Sc
может иметь немонотонный характерам., например, рис. 2.26, кривая 2),
а также то, что при слиянии конвективных ячеек интенсивность течения
резко увеличивается, что, в свою очередь, интенсифицирует тепло-и массо-
обмен. Последнее подтверждает результат работы [148].
Таким образом, при Gr = 106, Grc = 4 ¦ 10°, Sc и Рг = 1-М 00, характерных
для большого числа материалов, в том числе и для расплавов высоко-
высокотемпературных сверхпроводников, существует термоконцентрационная
конвекция, которая может приводить к слоистым структурам. Конвектив-
Конвективные течения могут иметь как стационарный, так и колебательный характер,
что подтверждается также данными по устойчивости.
2.3. Тепловая гравитационная конвекция
в удлиненных областях при разных числах Прандтля
В данном разделе изучаются режимы только тепловой гравитационной
конвекции при разных числах Рэлея и в областях большего удлинения
(/,/#*» 10), что моделирует особенности конвективных процессов в ме-
методах горизонтальной направленной кристаллизации в земных условиях.
Вместе с тем при увеличении диаметра ампул, к чему имеется тенденция
в большинстве технологий получения материалов электронной техники,
будет существенно возрастать и число Рэлея.
Главная особенность тепловой гравитационной конвекции, проявля-
проявляющаяся в первую очередь при малых числах Прандтля, характерных для
расплавов полупроводников, - образование вторичных структур, неустой-
неустойчивость и колебания тепловых полей, приводящие в итоге к микронеодно-
родностям в структуре кристаллов. Устранение этих нежелательных эф-
эффектов было и в значительной мере остается в настоящее время одной из
основных целей проведения технологических экспериментов в условиях
невесомости. Однако устранение колебаний тепловых полей возможно
также при изменении граничных условий, геометрии (в том числе не только
удлинения, но и ширины области), что может быть привлекательным
как некоторая альтернатива дорогостоящим процессам в невесомости.
Кроме того, требуют уточнения сами критические числа Рэлея, зависящие
от многих других параметров. Все это наряду со сложностью внутренней
структуры такого класса течений привело в последние годы к оживлению
этого участка работы. Учитывая принципиальное различие течений при
59
больших и малых числах Прандтля, мы рассматриваем оба эти класса
задач отдельно, уделяя, как и ранее, значительное внимание проверке
результатов численного моделирования путем сопоставления с данными
лабораторного эксперимента.
Когда горизонтальные границы слоя теплоизолированы и на боковых
поверхностях заданы различные температуры, наличие конвекции всегда
приводит к устойчивой вертикальной стратификации по температуре,
что существенно изменяет структуру течения и перенос тепла. Изучению
этого случая с адиабатическими горизонтальными границами посвящено
много работ (см., например, [19, 20, 79, 83-87, 170, 171, 185, 209, 213,
215, 278, 283]), среди которых аналитические и численные результаты
содержат работы [20, 86, 87, 185, 277, 278, 283], а экспериментальные дан-
данные - [19, 79, 83-86,170,209, 213, 215, 278, 283].
Постановка задачи. Ниже рассматривается задача о тепловой конвекции
в горизонтальном слое с теплоизолированными горизонтальными стенками
и заданными температурами на торцах G1 и Т2). Рассматриваются жид-
жидкости с большими числами Прандтля и считается, что длина гораздо больше
высоты: L> H.
Математическая модель рассматриваемого конвективного процесса
основана на уравнениях B.20) — B.23). Теплофизические коэффициенты
v, а, (Зг заданы постоянными при средней температуре GJ + Т2)/2. На
твердых границах расчетной области для составляющих скорости задаются
условия прилипания. Для температуры граничные условия имеют вид
при t < 0,03,
i от
: = 0,
при ?><0;03,
nt
C + cos )/4 при t<0,03, B.25)
x=L/H, 0<j<1, в =
0 при t > 0,03,
0<x<L/H, у = 0, у=1, дв/ду = О.
Начальные условия:
и(х, у, 0) = 0, ф(х,у, 0) = 0, в(х,у, 0) = 0,5,
т.е. движение начинается из покоя при прогреве левой вертикальной стенки
от начальной температуры в =0,5 до в = 1 при 0<Г <0,03 и охлаждении
правой вертикальной стенки от начальной температуры в = 0,5 до в = 0
приО<Г <0,03.
Кроме условий B.25), рассматриваются также граничные условия
вида
ф\т=О,
х = 0, 0<у<1, 0=0,
x=L/H, 0<у<1, 0=1, B.26)
0<x<L/H, у = о>у=1г дв/ду=О.
60
10
О 0,2 0,h 0,6 t
Рис. 2.27. Зависимость максимального значения функции тока и среди его1 числа Нус-
сельта (при х = 1) от времени в горизонтальном слое с граничными условиями B.25;)
приЯа = 8- 10\Рг = 7,21/Я 694
Начальные условия в этом случае имеют вид
и>(х,у,0) = 0, ф(х,у,0) = 0, 6i(x,y,0) =
что соответствует теплопроводному распределению температуры в началь-
начальный момент времени. Граничные условия B.25) более реально описывают
прогрев вертикальных стенок в начальный момент. Эти же граничные ус-
условия при расчете позволили использовать более крупный начальный
шаг по времени (т = 1СГ5), чем при граничных условиях B.26). Расчеты
проводились на равномерных и неравномерных сетках с числом узлов
21 X 101, 33 X 141, 65 X 141, 65 X 200 (минимальный шаг у стенок был
равен 5 • 10~3). Трудности в выборе сетки заключаются в том, что при
больших удлинениях слоя и больших числах Рэлея требуется одновремен-
одновременно описывать структуру течения в ядре и в весьма тонком пограничном
слое у боковых границ, т.е., с одной стороны, она должна быть достаточно
подробной (с большим числом узлов), а с другой стороны, число узлов
сетки ограничивается существенным увеличением затрат машинного време-
времени. Следует заметить, что при больших числах Рэлея (Ra>105) результаты
расчетов на недостаточно подробной сетке могут исказить решение или не
содержать некоторых рассмотренных ниже тонких деталей структуры
течения.
Результаты численных расчетов и сопоставление с данными эксперимен-
эксперимента. Развитие конвективного течения в горизонтальном слое, заполненном
водой, при нагреве и охлаждении торцевых стенок (граничные условия
B.25)) можно проследить на рис. 2.27, где изображены зависимости мак-
максимальной функции тока и среднего числа Нуссельта Nu на торце х = 0
(Ra = 8 • 107, Рг = 7,2, LJH = 6,94). В начальный момент времени на верти-
вертикальных стенках слоя образуются струйные течения одинаковой интенсив-
интенсивности, которые, ускоряясь и ударяясь о горизонтальные стенки (о нижнюю
у холодного торца и о верхнюю у горячего), продолжают двигаться на-
61
Рис. 2.28. Изотермы и изолинии функции тока в стационарном режиме в горизонталь-
горизонтальном слое с адиабатическими горизонтальными стенками для Рг= 5,8Д/# = 12, 71 при
Ra=2- 10* (а) и 1,2- 10е (б)
б: штриховой линией отмечена область, представленная на рнс. 2.29
встречу друг другу вдоль нижней и верхней стенок, затем эти два потока
встречаются посередине слоя и, практически не влияя друг на друга, рас-
расходятся в разные стороны и достигают противоположных торцов слоя.
Частично отражаясь от вертикальных стенок и частично проходя вдоль
них, эти потоки возвращаются к "своим" торцевым стенкам (где они
зародились), но уже не только вдоль горизонтальных стенок, а по более
сложной траектории из-за того, что часть жидкости отразилась от торцов.
Таким образом, в движение вовлекается жидкость, находящаяся в средней
части слоя. Кроме этого, в пограничный слой на вертикальных стенках
вовлекаются и новые порции жидкости. Достигнув "своих" торцевых
стенок, потоки жидкости возвращаются к противоположным торцам,
затем снова к "своим" и т.д. Такое сложное движение надолго затягивает
выход конвективного течения на стационарный режим. Несмотря на то что
число Прандтля больше единицы (Рг = 7,2), характерное для стационарного
режима распределение температуры со стратификацией по вертикали
устанавливается гораздо раньше, чем функция тока.
На рис. 2.28 представлены изолинии функции тока и изотермы на ста-
стационарном режиме в горизонтальном слое с адиабатическими горизонталь-
горизонтальными стенками (условия B.26)) для разных значений числа Рэлея: при
малых числах Рэлея (числа Gr < 104) конвективное течение представляет
собой одновихревое плоскопараллельное течение с максимумом функции
тока, находящимся в центре слоя (см. рис. 2.28^г). При увеличении числа
Рэлея начинают зарождаться вторичные вихри, так же как и в случае квад-
квадратной области L/H = 1, т.е. максимум функции тока раздваивается. С
дальнейшим увеличением числа Рэлея образуются слои, а центры зародив-
62
шихся вторичных вихрей продолжают расходиться и прижиматься к тор-
торцевым стенкам.
Течение при больших числах Рэлея в длинных горизонтальных слоях в
рассматриваемом диапазоне параметров характеризуется тем, что на верти-
вертикальных и горизонтальных стенках образуются весьма тонкие гидродина-
гидродинамические и тепловые пограничные слои. Температура вне вертикальных
температурных пограничных слоев в горизонтальных сечениях при этом
практически не изменяется. Жидкость в целом устойчиво стратифицирована
по вертикали, однако наблюдаются слабые противотоки между ядром
и пограничными слоями, т.е. структура течения и распределение температу-
температуры существенно отличаются от режима, который реализуется при малых и
умеренных числах Рэлея. Следует заметить, что такое конвективное тече-
течение уже не может быть описано в рамках линейных приближений, как,
например, при малых числах Рэлея [84], и в этом случае следует исполь-
использовать исходную систему нелинейных уравнений Навье-Стокса B.20) -
B.23).
На рис. 2.29 показаны расчетная сетка, изолинии функции тока и изо-
изотермы у левого торца слоя 0 <* <0,16,0 <у < 1 (на рис. 2.28,6 эта область
отмечена штриховой линией). Отчетливо видна структура гидродинами-
гидродинамического и температурного пограничных слоев на вертикальной стенке -
продольный перепад температуры сосредоточен в очень узких вертикаль-
вертикальных пограничных слоях: в верхней части температурного пограничного слоя
у левой стенки (и в нижней части у правой стенки) продольный перепад
температуры при Ra = 1,2 • 108, Рг = 5,8 составляет AT =* 0,7(Г2 -7\).
Вертикальные скорости таковы, что нагретая частичка жидкости из верхней
части слоя, не успев остыть, попадает в более холодную нижнюю область
слоя, после чего благодаря подъемной силе всплывает на высоту с темпе-
температурой, равной температуре частички, в связи с чем возникает упоминав-
упоминавшийся выше слабый противоток может порождать слабый вторичный
вихрь на вертикальной стенке, как показано на рис. 2.29,6.
В экспериментах [278] для L/Н > 1 найдено критическое число Рэлея
RaKp возникновения вторичных вихрей; RaKp (L/HI!* — 6,4 ¦ 105 ± 10%.
Эта формула не противоречит результатам данной работы, например при
Ra(Z,/#) 1>* = 3,8 • 105 (Ra = 2 ¦ 105, L/H = 12,71, Рг = 5,8) вторичных
вихрей нет (см. рис. 2.28,а), а при RaOL/ЯI/4 = 2 • 108 (Ra = 1,2 ¦ 108,
L/H = 12,71, Рг = 5,8) вторичные вихри существуют (см. рис. 2.28,6).
Однако при указанных параметрах размер этих вихрей мал. Вихри рас-
расположены вблизи торцевых стенок между пограничными слоями на верти-
вертикальных стенках и ядром и вытянуты по вертикали. При Ra = 109 верти-
вертикальный размер вторичных вихрей увеличивается по сравнению со случаем
Ra= 1,2 • 108.
На рис. 2.30 профили горизонтальной и вертикальной компонент вектора
скорости приведены в средних вертикальном и горизонтальном сечениях
для Ra = 10 ; Рг = 5,8; L/H = 12,71. Они показывают наличие тонких пог-
пограничных слоев, изменения в них скорости, наличие противотоков и мало-
малоподвижного ядра со сложным течением. Распределение температуры вдоль
горизонтального слоя (рис. 2.31, а) показывает, что при Ra = 1О*,Рг = 5,8,
L/H = 12,71 температура сильно изменяется у торцов в пограничных слоях
и вне их почти не изменяется. Из распределения температуры поперек слоя
63
Рис. 2.29. Разностная сетка (а), изолинии функции тока (б) и изотермы (в) у левого
торца горизонтального слоя @ < х < 0,16) при Ra = 1,2 • 10", Рг = 5,8, L/H = 12,71
(рис. 2.31, б) следует, что жидкость устойчиво стратифицирована (в ядре
по линейному закону).
На рис. 2.32 проведено сравнение в размерных величинах результатов
расчетов с экспериментальными данными [83, 84, 86, 87, 215]. Величины
модулей рассчитанных скоростей в верхней части слоя и в нижней равны,
т.е. наблюдается определенная симметрия. Некоторая несимметрия в экспе-
экспериментальных данных, по-видимому, связана с зависимостью вязкости от
температуры (расчеты проводились при постоянном значении вязкости, со-
соответствующем средней температуре). Если при пересчете безразмерных
рассчитанных значений скорости в размерные учесть изменение вязкости, то
64
Рис. 2.30. Профили компонент вектора ско-
скорости в горизонтальном слое с адиабатичес-
адиабатическими горизонтальными стенками (Ra =10',
Pi = 5,8,L/# = 12,71)
а — горизонтальная скорость в среднем
вертикальном сечении; б — вертикальная
скорость в среднем горизонтальном сечении
у левого торца слоя
Рис. 2.31. Профили температуры при Ra =
= 1О',Рг = 5,8,.?/# = 12,71
а — горизонтальные сечения: 1 — у =0, 2 —
у =0,5, 3 — у = 1; б — среднее вертикальное
сечение
В
0,8
0,6
0,2
О
10
0,5
согласие с экспериментальными данными [83, 84, 86, 87, 215] улучшается
(штриховая линия на рис. 2.3.2).
Хорошее согласие численных результатов с экспериментом [83,87,215]
позволяет сделать вывод, что, во-первых, данная математическая модель
адекватна эксперименту и способна с достаточной точностью при сравни-
сравнительно больших числах Рэлея (Ra = 108 -s-109) с помощью численного реше-
решения двумерных уравнений Навье—Стокса воспроизводить конвективные те-
чгния, имеющие место в действительности; во-вторых, роль трехмерных
эффектов в рассматриваемых условиях, по-видимому, несущественна.
Некоторые результаты расчетов (сетка 141 X 65) при условиях проведе-
проведения экспериментов [83, 84, 86, 87, 2^5] представлены в табл. 2.2, где
^тах ~ максимальная функция тока, Nu — среднее число Нуссельта на тор-
торце (* = 0),
5. Зак. 1319 65
1 0,5 О
-0,5 -1 U, мм/с
О -0,Ь -0,8 1/,пп/с
0,5
23
С
Рис. 2.32. Размерные профили скорости и температуры в среднем вертикальном се-
сечении горизонтального слоя при Ra = 1,2 • 10е, Pi =5,8, L/H= 12,71 (а)
и Ra = 5,8 • 10в,Рг = 5,8,?/Я= 6,94 (б)
Точки - эксперимент [83, 87, 215), сплошные линии - расчет, штриховые - рас-
расчет с учетом изменения вязкости
Следует отметить устойчивый стационарный характер рассматриваемого
течения, например, при Ra = 107 -5- Ю9, Рг = 5,8;L/# = 12,71. реализуемый
как в расчетной модели, так и в экспериментах [83, 84, 86, 87, 170, 209,
215, 278]. Это обстоятельство, связанное со спецификой задачи (контроли-
(контролируемые тепловые условия на горизонтальных границах, устанавливающаяся
устойчивая вертикальная стратификация по температуре), имеет сущест-
существенное значение для выбора режимов выращивания объемных монокрис-
монокристаллов из расплавов, где колебания температуры расплава на стадии, пред-
предшествующей кристаллизации, могут приводить к дефектам в структуре
кристалла (так называемая полосчатая неоднородность) [100,251].
Однако результаты расчетов конвективного теплообмена в горизонталь-
66
Таблица 2.2
Ra
2-10s
7,9-10'
8,7 • 10'
1,2-10'
5,8-10'
10'
Pr
5,8
7,2
5,8
5,8
5,8
5,8
L/H
12,71
6,94
6,94
12,71
6,94
12,71
2,31
8,35
10,70
12,68
16,04
18,50
Nu
5,04
28,20
29,03
30,37
49,50
54,48
ном слое, полученные при параметрах, соответствующих воде (Рг= 5,8-г
-ь7,2), не всегда могут быть перенесены на расплавы полупроводниковых
материалов, например, таких, как арсенид галлия, германий, кремний и др.,
поскольку значение числа Прандтля для их расплавов намного меньше
единицы. При больших числах Грасгофа (Рэлея) и малых значениях числа
Прандтля конвективное течение в слое с адиабатическими горизонтальными
стенками приобретает колебательный характер, например при Ra = 2 • 105,
Pr =0,01 (Gr =2 « 107),L/# = 12,71 максимальное значение функции тока
изменяется от 5 • 102 до 8 • 102 с периодом, приблизительно равным t —
=* 0,025, среднее число Нуссельта изменяется с тем же периодом от 0,4 до
0,62.
Структуры течения и распределения температуры для Ra = 2 • 105 при ма-
малых числах Прандтля (Pi = 0,01) и при числах Прандтля, больших единицы,
существенно отличаются. При Рг = 0,01 толщина температурных погранич-
пограничных слоев значительно больше, а значение среднего числа Нуссельта меньше,
чзм при Рг = 5,8 (см. табл. 2.2). Интенсивность конвективного течения при
Рг = 0,01 значительно возрастает, например по сравнению со случаем Рг = 5,8.
Максимальные значения компонент вектора скорости увеличиваются более
чгм на порядок, и максимальные значения скорости находятся у горизон-
горизонтальных стенок, а не у вертикальных, как при Рг = 5,8. Структура течения
при Pi =0,01; L/H = 12,71 и Ra= 2- 105 перестает быть одновихревой, как
при Рг = 5,8; L/H= 12,71 и Ra = 2-105.
При моделировании процессов тепломассообмена, кроме различий в зна-
значениях определяющих безразмерных параметров, необходимо учитывать
влияние граничных условий. На рис. 2.33 представлены изолинии функции
тока и изотермы в горизонтальном слое с граничными условиями первого
рода для температуры (линейное распределение) на горизонтальных стен-
стенках при следующих параметрах: Ra = 2 - 10s, Рг =0,01, L/H = 12,71. Кон-
Конвективное течение имеет правильную периодическую структуру с пятью
ячейками, расположенными по длине слоя, причем движение в этих ячейках
настолько интенсивное, что между ними существуют слабые согласующие
вихри. На рис. 2.34 представлены распределения функции тока и темпера-
температуры в среднем горизонтальном сечении. Распределение температуры по
длине слоя имеет ступенчатый вид, т.е. основные изменения температуры в
данном сечении происходят между ячейками, а внутри ячеек температура
67
0,5 [
о
t
-зоо -
-600
Vl
5 10
\
A
1 15 x
Рис. 2.33.-Изотермы и изолинии функции
тока на стационаре в горизонтальном слое с
линейным профилем температуры на горизон-
горизонтальных стенках (Ra = 2 • 10s, Pr = 0,01, L/H =
= 12,71)
Рис. 2.34. Распределение функции т&ка и тем-
температуры для стационарного режима в среднем
и горизонтальном сечении слоя с линейным
профилем температуры на горизонтальных
стенках (Ra = 2 ¦ 10s, Pr = 0,01, L/H = 12,71)
выравнивается. Распределение функции тока по длине слоя показывает на-
наличие пяти основных ячеек и четырех слабых согласующих вихрей (наличие
у функции тока двух локальных максимумов в областях между ячейками).
2.4. Вторичные структуры, неустойчивость
и температурные колебания при малых числах Прандгля
Использование условий микрогравитации при! выращивании кристаллов
непосредственно связано с необходимостью избавиться от дефектов, выз-
вызванных конвекцией гравитационного типа в расплаве металла. В настоящее
время преобладает мнение (см., например, [125, 207, 234]), что главной
причиной возникновения микронеоднородностей является конвективная не-
неустойчивость и нестационарный режим конвективного течения в расплаве в
процессе кристаллизации. Температурные колебания, имеющие место в рас-
расплавах полупроводников (результаты экспериментов, в которых модели-
моделировалось это явление, приведены в [199, 206, 207]), являются одной из
причин, вызывающих полосчатую структуру в кристаллах. Однако имею-
имеющиеся данные показывают, что возникновение и характер поведения коле-
колебаний зависят не тольно от основного параметра — числа Грасгофа, описы-
описывающего гравитационное воздействие, но также и от других условий про-
процесса, таких, как граничные условия, физические свойства металла и др.
В настоящем разделе, построенном на основе работы [196], описано
комплексное математическое и физическое моделирование структуры теп-
тепловой гравитационной конвекции в горизонтальном слое расплава, подо-
68
греваемом сбоку, в различных режимах по числу Грасгофа (стационарный
режим, начало температурных колебаний и развитые колебания) с целью
изучения условий возникновения колебаний, структуры тепловых и ско-
скоростных полей и влияния на них различных факторов в контролируемых
условиях. Такое моделирование имитирует метод горизонтальной направ-
направленной кристаллизации без учета роста кристалла.
Математическое моделирование выполнено на основе численного реше-
решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска
для случая двух и трех пространственных переменных при отношении высо-
высоты к длине слоя 1.4 и различной ширине, при числах Прандтля Рг = 0; 0,015;
0,018 в диапазоне чисел Грасгофа 103— 10s. Для случая бесконечно длинно-
длинного слоя найдены также решения линеаризованных уравнений конвекции и
построены нейтральные кривые в диапазоне изменения всех упомянутых
выше безразмерных параметров.
Измерения поля температуры в стационарном, критическом и закрити-
ческом режимах осуществлялись в расплаве галлий—индий—олово в гори-
горизонтальном бассейне, помещенном между боковыми изотермическими и
остальными адиабатическими границами при различных отношениях высо-
высоты к длине и ширине. Для контроля тепловых граничных условий методом
конечных элементов были выполнены расчеты тепловых потоков при от-
отсутствии конвекции расплава в объеме.
При сопоставлении теоретических и экспериментальных результатов из-
измерения критического числа Рэлея, при котором появляются температур-
температурные колебания в слое, обнаруживается влияние геометрических параметров
(таких, как удлинение, ширина) и тепловых граничных условий на прост-
пространственную структуру и амплитудно-частотные характеристики колебаний
полей температуры и скорости. Это делает возможным разработку меро-
мероприятий по подавлению осцилляции, альтернативных к действию магнитно-
магнитного поля и уменьшению силы тяжести в условиях невесомости.
Аналогичные исследования проводились в рамках международного
GAMM-теста, результаты которого изложены в [243]. Результаты этого
теста дают достаточно полную картину в части численного моделирования
изучаемого явления.
Для математического моделирования процесса рассмотрим тепловую
конвекцию в горизонтально расположенной прямоугольной каверне, одна
боковая стенка которой подогревается, а противоположная - охлаждается
(рис. 235). Систему координат выберем таким образом, чтобы ось х была
направленна вертикально вверх, а ось у -- вдоль градиента температуры.
Исходной моделью для математического моделирования устойчивости и не-
нелинейного режима конвекции является классическая система уравнений
Навье—Стокса в приближении Буссинеска, которую запишем в следующем
безразмерном виде (этот вид предложен в GAMM-тесте [243]):
du/df+ V^r(u-V)u= - Vp +Ди+ VGr Ге,
divu=0, B.27)
VGr(u. V7) =A/Рг)ДГ
где u= (и, v, w) — вектор скорости жидкости; Т— температура; р - давле-
давление, а единичный вектор е направлен вертикально вверх. В качестве масшта-
бов длины, скорости, давления, времени и температуры выбраны Я,
v \/Gt/H, (v2/tf2)\/GT, if If, yH, где Я - толщина слоя; v - кинематичес-
кинематическая вязкость, а 7 = (Тг -Ti)/L - горизонтальный градиент температуры.
Система уравнений B.27) определяется двумя безразмерными параметра-
параметрами: числом Грасгофа Gr = g/ЗтЯ4 /i>2 и числом Прандтля Pr = v/a, где g -
ускорение свободного падения; /3 -коэффициент объемного расширения;
а — коэффициент температуропроводности.
Нижнее основание и боковые стенки каверны считаются твердыми, и на
них ставится условие прилипания для скорости, на верхней поверхности
рассматриваются два типа граничных условий: она может быть твердой
(R-R-случай) или свободной (R-F-случай). Граничные условия для темпе-
температуры также могут быть сформулированы различным образом. Исследо-
Исследовались два типа тепловых граничных условий: адиабатические (теплоизоли-
(теплоизолированные) стенки и проводящие, что означает, что на них поддерживается
постоянный линейный вдоль оси у градиент температуры.
При малых температурных градиентах течение в каверне ламинарное и
70
Рис. 2.36. Диаграмма нейтральной
устойчивости в R-R -случае
1,2 — спиральная колебательная
мода, 3,4 — стационарная двумер-
двумерная мода, 1,3 — адиабатические
границы, 2, 4 — проводящие гра-
границы
Рис. 2.35. Схема экспериментальной
установки и система координат
вдали от концов параллельно верхнему и нижнему основаниям. В предель-
предельном случае бесконечно длинного горизонтального слоя такое течение может
быть описано аналитически при помощи решения Бириха [32]. Изучение
устойчивости такого плоскопараллельного течения производилось при по-
помощи методов, описанных в приложении 2.
Линейный анализ задачи в R—R-случае для обоих типов температурных
краевых условий и малых чисел Прандтля показывает (рис. 2.36), что ста-
стационарная двумерная мода (волновой вектор возмущения направлен вдоль
оси у) является наименее устойчивой при возрастании числа Грасгофа.
С возрастанием числа Прандтля критическое значение числа Грасгофа воз-
возрастает от 8 • 103 до 104 в случае адиабатических граничных условий или до
1,2 • Ю4 в случае проводящих границ. Например, для значения Рг = 0,01 кри-
критическое значение числа Грасгофа равно 8165 или 8079 соответственно. При
некотором значении числа Прандтля, приближенно равном 0,03 для адиаба-
адиабатических граничных условий и 0,12 для случая с проводящими границами;
тип неустойчивости меняется и наиболее опасной становится спиральная ко-
колебательная мода, для которой волновой вектор наиболее опасного возму-
возмущения направлен поперек градиента температуры.
При наличии свободной поверхности колебательная неустойчивость реа-
реализуется раньше, чем монотонная, т.е. нестационарный режим возникает
без предварительного разбиения на ячейки. Однако о структуре течения на
нестационарном режиме по данным линейного анализа нельзя сделать опре-
определенных выводов.
Результаты расчета двумерных уравнений в области с удлинениемL\Н - 4
показывают, что стационарному режиму могут соответствовать различные
структуры течения в зависимости от граничных условий, числа Грасгофа и
истории развития (начальных условий). Так, при числйРг = 0,018 для твер-
твердой верхней стенки и теплопроводных границ при Gr = 104 и 8 ¦ 104 реали-
реализуется стационарный режим (в последнем случае при специальных началь-
начальных данных). В случае свободной поверхности и адиабатических граничных
условий для температуры течение несимметрично и при Gr = 2 • 104 состоит
из двух вихрей; более интенсивный вихрь локализован у холодной стенки.
Трехмерная задача решалась в переменных скорость—давление по мето-
методике, близкой к изложенной в работе [181а].
Результаты расчетов пространственного течения в замкнутом объеме (на
верхней и нижней границах заданы условия прилипания) с соотношением
сторон 1:4:1 при числе Прандтля Рг = 0 показаны на рис. 2.37 в сравнении с
результатами двумерных расчетов при тех же параметрах. Видно, что боко-
боковые стенки существенно тормозят течение, что приводит к подавлению вто-
вторичных ячеек, наблюдающихся в двумерном случае при Gr = 2 • 104 и
4-104.
Численное исследование нестационарных режимов конвекции проводи-
проводилось в двумерной постановке. Оказалось, что устойчивость стационарного
течения сильно зависит как от числа Грасгофа, так и от поставленных гра-
граничных условий. Наименьшее критическое число Грасгофа, при котором
появляется настационарность (Gre = 1,8 • 104), получено в случае свобод-
свободной поверхности и теплопроводящих границ. Условие твердых границ
(R—R-случай) приводит к возрастанию критического значения: Gre =4 • 10.
При Gr > Grc получается нестационарное решение, не зависящее от времен-
71
Рис. 2.37. Векторы скорости в двумерных и трехмерных расчетах (Рг = 0)
а, б - Gr = 2 • 10* BО- и ЗР-мода соответственно); в, г - Gr = 4 • 10* {ID- и 3D-
мода соответственно)
Рис. 2.38. Некоторые характеристики нестационарных режимов (R-R-случай, адиа-
адиабатические границы, Pi = 0,018)
а — поле амплитуд температурных колебаний; б — его сечение вдоль линии 5-5';
в — колебания температуры в точке между вихрями; г — колебания максимальной
вертикальной скорости
ного шага и вычислительной сетки, но, как уже отмечалось раньше, при оп-
определенных начальных значениях может получаться и стационарное решение.
При небольших закритичностях (Grc < Gr < 2Grc) во всей области по-
получается одна мода (гармоника) колебаний, дальнейшее повышение числа
Грасгофа ведет к усложнению картины течения. На рис. 2.38 приведены не-
некоторые результаты вычислений при Gr = 8 • 104 (R-R-случай, адиабатичес-
адиабатические границы, Рг = 0,018, сетка 129 X 33) .После выхода расчета на режим ре-
регулярных колебаний определялись амплитуды температурных колебаний А
в каждом узле сетки, изолинии этих амплитуд приведены на рис. 2.38, а,
а сечение поля амплитуд вдоль оси каверны (линия В-В на рис. 2.38, а)
изображено на рис. 2.38, б. Основной максимум колебаний находится меж-
между конвективными ячейками, здесь температурные колебания гармоничес-
72
кие (рис. 2.38, в), локальный минимум амплитуды колебаний в центре
связан с областью интенсивной циркуляции. Изменения во времени максима-
максимальной вертикальной скорости (рис. 2.38,г) носят негармонический характер.
Экспериментальные исследования проводились на установке, представ-
представляющей собой прямоугольный бассейн размером 10,0 X 13,5 X 6,0 см (см.
рис. 2.35). Боковые стенки и дно ванны 2 выполнены из оргстекла толщи-
толщиной 1,2 см, для лучшей теплоизоляции бассейн со всех сторон обкладывал-
обкладывался пенопластовыми пластинами толщиной 4,0 см. Верхняя горизонтальная
пластина 3 на высоте 3,0 см выполнена из органического стекла толщиной
1,2 см, между жидкостью и пластиной существует воздушная прослойка 6.
По вертикальным торцам бассейна устанавливались теплообменники (термо-
ды 1), для выравнивания температурного фронта на термоды напаивались
медные пластины G) толщиной 1,5 см. Внутренность бассейна длиной L и
шириной W заполнялась жидкостью D) до высоты Я. Для уменьшения вли-
влияния воздушной прослойки сверху наливался слой вязкого масла E).
Эксперименты проводились в широком слое (Н =1,1 см, L = 4,4 см, W =
= 6,0 см,?/Я =4, W/H = 5,5) ивузком (Я=1,05 см,1 =4,4см, W=l,9 см,
L/H = 4,2, W /Н = 1,8). В качестве рабочей жидкости использовался эвтекти-
эвтектический сплав галлий—индий-олово, для которого принимались следующие
характеристики: при температуре Т = 30°С вязкостью = 3,1 • 10~3 см2/с, ко-
коэффициент температуропроводности а = 0,17 см2/с и коэффициент теплово-
теплового расширения 0 = 1,5 • 10~4 1/К. Расчет безразмерных критериев с учетом
этих значений дает Рг = 0,018, Gr = 1,5 ¦ 104 Я* AT/L. Температура в жид-
жидком металле измерялась с помощью терморезисторов, запаянных в стеклян-
стеклянную капиллярную трубку диаметром 0,07 см.
При определенной величине разности температур на термодах в слое ме-
металла появляются незатухающие гармонические колебания температуры.
Измерения производились в пяти точках бассейна (I—V на рис. 2.35).
Для экспериментов с узким слоем (Я = 1,1 см) критическая разность
температуры составила AT - 6,8 К (Gr = 3,7 • 104), во всех точках измере-
измерения наблюдались температурные колебания с безразмерным периодом ОД 1
D3 с). Для широко го слоя (Я = 1,05) колебания начинались при ДГ = 19,5 К
(Gr = 8,8 • 104). С повышением температурного градиента частота колеба-
колебаний возрастает. Амплитуда колебаний при слабой надкритичности во всех
точках измерения постоянна и растет с ростом числа Грасгофа.
При больших надкритичностях форма температурных колебаний изме-
изменяется. Для тонкого слоя (Я = 1,1 см) при значении AT = 25 К (Gr= 1,1 •
• 105) постоянство частоты колебаний в различных точках бассейна нару-
нарушается. Для точек у передней и задней боковых стенок рассогласование
частот наибольшее (до 30% при AT = 30 К, Gr = 1,6 • 105). Форма колеба-
колебаний при этом отличается от гармонической и показана на рис. 2.39.
На рис. 2.40 приведены зависимости частоты / и амплитуды/! колебаний
от числа Грасгофа.
Амплитуда температурных колебаний варьируется по длине и глубине
бассейна (рис. 2.41). Колебания имеют практически синусоидальную фор-
форму, но с увеличением надкритичности частота и амплитуда колебаний воз-
возрастают и в отдельных областях появляются вторые гармоники. Амплитуда
колебаний в различных точках бассейна на глубине 1—2 мм от поверхности
для AT = 39 К (Gr = 1,8 • 105) показана на рис. 2.41, с (измерения выпол-
73
Рис. 2.39. Колебания температуры в раз-
различных точках кюветы (см. рис. 2.35)
Рис. 2.40. Зависимости частоты / и амплиту-
амплитуды А колебаний температуры в разных точ-
д рур
0,01 0,01, 0,0В t ках кюветы от числа Грасгофа
0,3
0,2
0,1
3,9 7,8 И, 7
3,9 7,8 11,7
нялись в восьми точках по дайне бассейна в плоскости симметрии). Коле-
Колебания малы и практически отсутствуют в трех точках у поверхности бассей-
бассейна вблизи термодрв и в срединной части. Наибольших величин амплитуда
достигает в двух областях срединной части бассейна. Измеренное распреде-
распределение амплитуд согласуется с полученным в расчетах (рис.2.38, г).
Сравнение экспериментальных и численных результатов показывает, что,
скорее всего, в реальном эксперименте не реализуются "чистые" граничные
условия, использованные в расчетах, реальные граничные условия должны
описываться более сложными моделями.
74
0,2 0,4 0,6 0,8 х
Рис. 2.41. Распределение температуры (/) и амплитуды температурных колебания
B) вдоль (в) и поперек (б) кюветы
Резюмируя проведенные исследования, можно отметить следующее. Ос-
Основное течение при малых числах Прандтля по данным линейной теории
теряет устойчивость при Gr = 8 • 103 т 104. Увеличение разности темпе-
температур приводит к возникновению системы стационарных ячеек, которые
в длинном слое (Х/Я = 10) распределяются с периодом Xs* 2,8Я. Вслоях
с удлинением L/H = 4 с твердыми границами могут реализоваться как двух-,
так и трехвихревые структуры. Расчет по трехмерной модели показывает,
что влияние боковых стенок может привести к существенной стабилизации
одновихревой структуры. Происходит также "затягивание" стационарного
режима по сравнению с двумерным приближением. Другими факторами,
влияющими на начало режима колебаний, являются граничные условия на
температуру и скорость. В двумерном случае минимальное число Грасгофа,
при котором возникают колебания, соответствует свободной верхней по-
поверхности и условиям теплопроводности на основаниях слоя и равно A,8+
±0,1) • 104. Для твердой границы и условий теплоизоляции колебания воз-
возникают при Gr > 8 • 104. Период и характер колебаний в экспериментах
и двумерных расчетах отличается на 20—50%, что может быть связано с не-
неполным соответствием численной модели условиям эксперимента.
Таким образом, анализ различными методами возникновения коле-
колебаний в расплавах полупроводников в горизонтальном слое показывает,
что изменение тепловых граничных условий и ширины слоя могут быть
альтернативными к невесомости и воздействию магнитных полей спосо-
способами подавления температурных колебаний. Эти способы не требуют зна-
значительных затрат, однако предъявляют большие требования к поддержанию
и контролю теплового режима.
Если сравнить полученные результаты с основными выводами упомя-
упомянутого выше международного теста [243], то все основные особенности,
такие, как зависимость структуры двумерного течения от начальных дан-
данных в R-R-случае, влияние боковых стенок в случае трехмерного модели-
моделирования, влияние типа температурных граничных условий на конвекцию,
нашли свое подтверждение.
75
Г л а в а 3
НЕГРАВИТАЦИОННЫЕ ВИДЫ КОНВЕКЦИИ
И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
В СОСТОЯНИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ НЕВЕСОМОСТИ.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИЕЙ
В этой главе в отличие от предыдущей основное внимание будет сос-
сосредоточено на рассмотрении конвективных процессов в предельном
состоянии космического полета # = 0, которое мы называем теоретичес-
теоретической невесомостью.
В соответствии с обсуждавшейся ранее общей классификацией кон-
конвективных процессов (см. рис.2.1) условиям теоретической невесомос-
невесомости соответствуют все виды конвекции, за исключением гравитационной,
которые разделяются на вынужденные, создаваемые механическими си-
силами, электрические или магнитные и естественные движения негравита-
негравитационного типа. Мы дадим краткий обзор тех из них, которые будем рас-
рассматривать в книге.
К вынужденным движениям в невесомости относятся различные вибра-
вибрационные воздействия негравитационной природы, о которых упомина-
упоминалось в гл. 1 (см. также [90, 192] ). В неоднородной по температуре и
составу жидкости (газе) наличие таких воздействий вызывает конвек-
конвекцию, даже если средняя во времени амплитуда возмущений равна нулю
(см. например, [52]). Мы рассмотрим эти эффекты в гл. 4 при изучении
гравитационных колебаний, ввиду того что применяемый здесь математи-
математический : ппарат аналогичен случаю негравитационных колебаний.
К ; ругому типу вынужденных течений, представляющих интерес для
исследований и приложений в условиях невесомости, относятся медлен-
медленные вынужденные неизотермические течения многокомпонентных сме-
смесей в различных системах разделения веществ (термодиффузионные колон-
колонки, камеры злектрофоретических сепараторов и др.) , на которые в земных
условиях существенное влияние оказывает тепловая гравитационная кон-
конвекция. Несмотря на то что большинство таких течений хорошо изучено
(например, течение Пуазейля, Куэтта и их аналоги), их нельзя практи-
практически реализовать на Земле ввиду влияния гравитационной конвекции,
и некоторые их характеристики, важные для технологических целей
(например, температурное или концентрационное расслоение, вызывае-
вызываемое медленными вынужденными движениями), отсутствуют.
Освобождаясь в условиях космического полета от весьма обремени-
обременительного в некоторых случаях земного тяготения, можно реализовать
малоизученное предельное физическое состояние невесомости g)g0 = о
и моделировать действие других силовых полей без искажающего влия-
влияния Земли (например, действие центрального поля тяготения путем на-
наложения электрических полей) или использовать в чистом виде действие
различных механических сил (см., например, [168, 202]).
При наличии электрического ( магнитного) поля в случае неоднородного
распределения электрических и магнитных свойств (электропроводнос-
(электропроводности, магнитной восприимчивости) жидкости массовые силы, так же как и
другие рассмотренные выше силы, могут приводить в движение (или
76
стабилизировать) жидкость. Эти силы поэтому могут рассматриваться
как средство для управления гидродинамикой в условиях невесомости
(См.,например, [59, 61] ).
Важное значение имеет возможность реализации в невесомости кажу-
кажущегося тривиальным предельного состояния неравномерно нагретой жид-
жидкости (раствора, расплава), в котором полностью отсутствуют макроско-
макроскопические движения. На использовании в качестве основного рабочего про-
процесса молекулярно-диффузионного переноса легирующей примеси путем
диффузии основан ряд технологических экспериментов [4, 90, 192]. Реали-
Реализация этого режима в невесомости привлекает внимание технологов в связи
с управляемостью, воспроизводимостью этого процесса в отличие от
трудноуправляемого режима развитой гравитационной конвекции.
Важное значение приобретает также возможность точного измерения
диффузии. Некоторые эксперименты такого типа в бинарных системах
успешно осуществлены (см. [4, 90, 192]), поэтому представляет инте-
интерес- изучение случае» неизотермических многокомпонентных систем с
целью измерения коэффициентов термодиффузнн, бародиффузии, а так-
также проведения других физических экспериментов для изучения атом-
но-молекулярных и термодинамических характеристик жидкости и газа
(пороговые эффекты; метастабильность, переохлаждение, эффекты вбли-
вблизи критической точки и др.; подробнее см. [94,192]).
Отметим, что в газах имеет место ряд специфическихнегравитационных
конвективных механизмов* например термоакустические движения,
связанные с расширением (сжатием) газа в неизотермических условиях,
которые рассматривались методами численного моделирования в рабо-
работах [40, 281]. Их влияние особенно велико в процессах горения [106]
и может проявляться вблизи критической точки, где свойства жидкости и па-
пара не отличаются и весьма велика сжимаемость газа. Возможны также
движения, обусловленные так называемым термострессом, связанным
с зависимостью тензора напряжений от градиентов температуры в газе
[61]-
Из всех обсуждавшихся негравитационных механизмов естественной
конвекции наибольший интерес сегодня представляет конвекция, вызван-
вызванная градиентами сил поверхностного натяжения, известная также под наз-
названием конвекции Марангони, которая в среде, неоднородной по темпе-
температуре и составу, в соответствии с классификацией, представленной на
рис. 2.1, разделяется на термокапиллярную и капиллярно-концентрацион-
капиллярно-концентрационную. Этот интерес обусловлен тем, что во многих перспективных техно-
технологических приложениях в космосе (бестигельная плавка, направленная
кристаллизация) поверхность жидкости (расплава) свободная, причем
значение числа Марангони, определяющего интенсивность термокапиллярной
конвекции, для типичных случаев достаточно велико A03 - 106 и более).
Это указывает на потенциальную интенсивность такого вида конвекции,
которая может не проявляться в земных условиях ввиду того, что ее подав-
подавляет гравитационная конвекция. Уменьшение гравитационной конвекции
в невесомости может обнаружить весьма высокую гравитационную чустви-
тельность системы в целом, включая, например, появление регулярных
колебаний, неустойчивости и даже хаоса.
77
В отличие от гравитационной конвекции этот вид конвекции менее
изучен, и здесь нет обобщающих монографий. Итоги исследований, ве-
ведущихся с большой интенсивностью последние 30 лет, подводились в ряде
обзоров (см., например, [130,269]). Мы также приводим дополнитель-
дополнительную библиографию в соответствующих разделах этой главы. В конце
главы (разд. 3.6) рассмотрены некоторые особенности медленных вы-
вынужденных течений в невесомости, а также предельных диффузионно-теп-
диффузионно-тепловых режимов.
3.1. Конвекция под действием градиентов
сил поверхностного натяжения
и ее взаимодействие с гравитационной.
Математическая модель и критерии подобия
Для описания конвекции Марангони в плоских областях, как и в гл. 2,
используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска.
На твердых участках границы области, которые далее считаются непод-
неподвижными, задаются условия прилипания и непротекания. На участках сво-
свободной границы, которая также считается заданной (плоской), из общих
соотношений на поверхности раздела следует условие [98,225]
дЭит/Эп = -ат. C.1)
Здесь д— коэффициент динамической вязкости; и,. — касательная к сво-
свободной поверхности проекция скорости; ат — градиент поверхностного
натяжения вдоль свободной поверхности; п , г — нормальный и каса-
касательный к свободной поверхности векторы. Здесь и далее будет рассмот-
рассмотрена зависимость поверхностного натяжения только от температуры и
концентрации примеси. Считая малыми отклонения температуры и кон-
концентрации от их средних значений и ограничиваясь линейными членами,
получим
о = о0+ от(Г- Го) + ас(с- с0).
Условия тепломассообмена на границах области считаются заданными,
рассмотрение ограничим условиями первого или второго рода.
Решение задачи при заданной конфигурации границ зависит от харак-
характерного размера области Я, плотности жидкости р, производных коэффи-
коэффициента поверхностного натяжения по температуре ат и концентрации
примеси ас, коэффициента кинематической вязкости v, характерных пере-
перепадов температуры АТ и концентрации АС, а также от коэффициентов
температуропроводности аи диффузии D, коэффициентов теплового (З^и
"концентрационного" 0С расширения жидкости, величины вектора ус-
ускорения g.
При введении безразмерных переменных в качестве масштаба скорос-
скорости используется комбинация определяющих параметров, имеющая раз-
размерность скорости. В отличие от задач гравитационной конвекции, где,
как правило, масштаб скорости вводят с использованием соотношения
v\ - v/H, здесь масштаб скорости можно ввести, также используя величи-
величину перепада поверхностного натяжения 6а вдоль свободной поверхности:
v2 = 6
78
Если, следуя традиции расчетов естественной конвекции, воспользо-
воспользоваться масштабом Uj, то безразмерный аналог граничного условия C.1)
примет вид
НЪа
I* = ( ) От-
Легко видеть, что выражение в скобках есть не что иное, как отно-
отношение v2jvi. В литературе этот безразмерный комплекс называется
параметром Марангони и обозначается либо М, либо Rem.
Если составить отношение и2 к выражениям и3 = о/Я, и4 = ЦП, так-
также имеющим размерность скорости, мы получим
Ма = 5аЯ/(до), Мас = 5аЯ/(д?>)
— тепловое и концентрационное числа Марангони, причем Ма или Мае
мы будем использовать в тех случаях, когда изменение поверхностно-
поверхностного натяжения вызвано температурной или концентрационной неоднород-
неоднородностью на свободной поверхности жидкости.
Параметры М, Мс аналогичны числу Грасгофа, а числа Ма, Ма,, - числу
Рэлея, используемым при анализе задач гравитационной конвекции, причем
связь между этими параметрами также аналогична, например М = Ма/Рг.
Безразмерная температура в и концентрация примеси С вводятся
следующим образом :
Т—Т ¦ г г ¦
„ _ * l mm _ L ~~ стш
max ~ 'min ^max ~ '•min
где Гт1п, Гтах, cmin, cmax - минимальные и максимальные значения
температуры и концентрации соответственно.
Рабочей является система уравнений в переменных вихрь а> , функ-
функция тока ф:
со, + (иш)х + (vcS)y = шхх + шУу + Gr [cos(gx) ву - sin(gx)вх] +
+ Grc[cos(gx) Су + sin(iSt) Cx], C.2)
Фхх + Фуу = — W, C-3)
C.4)
C.5)
Граничные условия при этом преобразуются к виду:
на твердых поверхностях
Ф = Фп = О,
Цх, у, 0 + утв„ =/,(», у, г), С(х, у, г) + УсСп =/2(х,у, г), C.6)
на свободной поверхности
iA = 0, w =- (Ма/Рг) вт - (Mac/Sc) CT, в„ = С„=О. C.7)
79
Q
+ («<?)*
+ (Vd)y
:+(vC)y
1
Pr
1
Sc
(Pxx
(Cxx
+ вуу),
+ Cyy).
Масштабом длины в этой системе является характерный размер области
Н, скорости vi = v/H, времени to=H2/v. В систему уравнений C.2)-
C.5) и граничных условий C.6)-C.7) входят уже ранее введенные
безразмерные критерии: Gr = (gPTATH3)lv2,Grc = (g$c ДсЯ3)/у2,Рг, Sc
(иногда этот критерий называют также концентрационным (диффузион-
(диффузионным) числом Прандтля), а также Ма, Мас.
Искомое решение может быть записано в следующем критериальном
виде:
/ = fix, y,t,Gr, Gre, Ma, Mac, Pr, Sc, Г),
где через Г обозначена совокупность граничных условий и геометричес-
геометрических особенностей области.
Приведенная выше постановка задачи не учитывает деформации сво-
свободной поверхности под действием течения. Это позволяет избежать капил-
капиллярных волн, значительно осложняющих проблемы счета. Заметное влия-
влияние течения на форму свободной поверхности проявляется при капилляр-
капиллярном числе Са = 8а/а> 0,1 [275], причем для расплавов;полупроводников
и металлов характерно Са <0,1, свободная поверхность может быть при-
принята недеформируемой.
Прежде чем переходить к изложению в разд.. 3.2—3.5 результатов ори-
оригинальных исследований, сделаем краткий обзор по конвекции, вызывае-
вызываемой градиентами сил поверхностного натяжения, которые, как и в слу-
случае гравитационной конвекции, разделяются на два класса: 1) равнове-
равновесие отсутствует или 2) оно возможно, но при определенных условиях
система теряет устойчивость.
В тех случаях, когда неоднородность поверхностного натяжения жид-
жидкости вызвана изменением температуры или концентрации, иногда исполь-
используется термин термокапиллярная конвекция (соответственно концентра-
ционно-капиллярная конвекция). В случае параллельных свободной поверх-
поверхности градиентов температуры или концентрации примеси движение жид-
жидкости возникает при сколь угодно малых градиентах . Если градиент
температуры или концентрации примеси направлен по нормали к свобод-
свободной поверхности (чаще используется термин "конвекция Марангони"),
движение жидкости возникает при достижении соответствующими градиен-
градиентами критических значений, определяемых методами теории устойчивости.
Для некоторых задач первого класса могут применяться методы теории
пограничного слоя.
Понятие пограничного слоя для конвекции Марангони введено в [141,
235], где выполнен критический анализ проблемы, однако несколько
ранее в [37] для расчета термокапиллярной конвекции в слое жидкого
металла были использованы идеи пограничного слоя. В работах [10, 236]
построены классы автомодельных решений для плоского и осесимметрич-
ного случаев. С применением приближения пограничного слоя в [11]вы-
[11]выполнена оценка скоростей течения при направленной кристаллизации, про-
проводимой в невесомости. В [89] также использовано приближение погра-
пограничного слоя, получены оценки скорости на свободной поверхности.
Экспериментальное исследование конвекции Марангони требует исклю-
исключения гравитационной конвекции (ГК). Условия невесомости, как из-
известно, можно получать при полетах самолета по баллистической траек-
80
тории, в башнях сбрасывания [117]. В последнее время за рубежом боль-
большое распространение получили эксперименты на ракетах типа "TEXUS",
обеспечивающих условия невесомости в течение 5-10 мин. В СССР выпол-
выполнен ряд исследований на приборе "Пион", запланированы исследования
термокапиллярной конвекции (ТКК) на специальном модуле [2].
В работах [27—30, 271] в земных условиях рассмотрено взаимодейст-
взаимодействие ТКК и ГК в горизонтальных кюветах, торцевые стенки которых под-
поддерживали при постоянных и различных температурах. Исследования
выполнены в широком диапазоне удлинений области B—10); реализован-
реализованный диапазон параметров охватывает как ламинарные, так и турбулентные
режимы течения. В [93] было показано значительное влияние ТКК на
обменные процессы в приповерхностном слое жидкости. В [84,85] экспе-
эксперименты проведены для больших удлинений слоя B0—40), причем при-
применение периодического нагрева [85] благодаря значительному разли-
различию времени развития ГК и ТКК [130] позволило в условиях нормальной
силы тяжести исследовать ТКК. Особенно следует отметить тщательный
контроль условий теплоизоляции на свободной и подстилающей поверх-
поверхностях в упомянутых экспериментах.
В работе [244] проведен эксперимент с применением силиконовых ма-
масел с высоким числом Прандтля. Для визуализации температурного поля
в масло введены жидкие кристаллы, изменяющие свой цвет от красного до
синего в диапазоне температур эксперимента. В работе, в частности, пока-
показано, что даже незначительные загрязнения поверхности, которые моде-
моделировались пятью тонкими неподвижно закрепленными проволочками,
приводят к существенному снижению интенсивности ТКК. Работа [249]
интересна тем, что ее авторы впервые выполнили эксперимент при боковом
подогреве с плоской границей раздела в условиях невесомости.
Можно выделить также серию работ [223, 224, 249, 290], авторы кото-
которых изучают ТКК в вводных растворах н-гептанола. Такая система имеет
минимум поверхностного натяжения при температуре около 40 °С.
В работах [144] экспериментально, а в [35] аналитически исследована
конвекция Марангони, развивающаяся от локального источника ПАВ.
Показано, что при определенных числах Марангони возникает азимуталь-
азимутальное разбиение на ячейки, причем происходит потеря устойчивости по отно-
отношению к нескольким модам в узком диапазоне по числу Марангони.
Численное моделирование ТКК для выращивания монокристаллов
методом зонной плавки проводилось в работах [102, 180, 184], а также
ряде других. Расчеты выполнены, как правило, для заданного распределе-
распределения температуры по свободной поверхности зоны.
Работа [282], видимо, была одной из первых, где численно исследована
конвекция Марангони в квадратной области. Близкие постановки задачи
использованы в [63, 154,291,294].
В [284] показано, что учет искривления свободной поверхности не
вносит качественных изменений в структуру течения и поля температур,
аналогичный вывод сделан в [63]. В [186] рассмотрено влияние различ-
различных факторов на искривление границы раздела жидкость—газ. В [244]
численно исследовано влияние магнитного поля на термокапиллярную
конвекцию в электропроводящей жидкости.
6. Зак. 1319 81
В работе [172] исследован случай взаимодействия термокапиллярной
и капиллярно-концентрационной конвекции для стационарных режимов.
Исследование устойчивости конвекции Марангони — наиболее развитая
область для межфазной конвекции. Еще Бенар высказывал предполо-
предположение, что в его опытах могла быть существенной конвекция Марангони.
Разработанный Рэлеем метод исследования устойчивости для гравита-
гравитационной конвекции дал результаты, расходящиеся с экспериментом в
области малых толщин слоя со свободной поверхностью. Блок [174]
провел серию целенаправленных экспериментов и показал, что расхож-
расхождение теории Рэлея с экспериментом обусловлено термокапиллярным
эффектом. Пирсон [248] впервые сформулировал соответствующую
задачу устойчивости и получил ее точное решение. Далее это направление
развивалось в [239, 266, 274], причем в последней работе содержится
краткий исторический обзор.
В работах [263, 264] выполнен нелинейный анализ для случая подогрева
снизу в цилиндрическом и прямоугольном слоях, получены подробные
результаты по выбору мод, рассмотрено движение при небольших над-
критичностях по числу Марангони.
В [265] показано, что при взаимодействии ГК и ТКК ведущая роль при-
принадлежит гравитационному механизму потери устойчивости, учет термо-
капилляриого эффекта приводит к снижению критических чисел Рэлея.
Условия возникновения конвекции в задаче Рэлея—Бенара—Марангони
изучались также в [178,184,191].
Отметим, что критические числа Марангони, при которых возникает
движение жидкости, лежат на один—три порядка ниже значений, харак-
характерных для практических приложений. Такая ситуация типична для поста-
постановок задач, в которых не учитывается влияние второй среды. В работах
[111, 112] исследована/ТКК в системе двух не смешивающихся жидкостей.
Одним из результатов является вывод о значительном повышении порога
устойчивости, обнаружены нестационарные режимы течения.
Все эти исследования касались случая, когда градиент температуры
или концентрации направлен параллельно нормали к свободной поверх-
поверхности жидкости. Среди исследований по устойчивости адвективных тече-
течений отметим работу [280], в которой исследовалась устойчивость ТКК
при наличии продольного градиента температуры в слое жидкости в от-
отсутствие гравитации, и работы [55, 222], в которых исследован один из
случаев взаимодействия ТКК и ГК в задаче с теплопроводящими грани-
границами.
Таким образом, в настоящее время имеется продвижение в исследова-
исследовании конвекции, вызываемой действием градиентов поверхностного натя-
натяжения для обоих упомянутых типов конвекции. Одной из проблем, кото-
которая будет разрабатываться нами ниже, является комплексное исследова-
исследование на основе нелинейных уравнений конвекции в сочетании с методами
теории устойчивости и выявление характеристик конвекции этого типа,
непосредственно используемых в приложениях для двух моделей: гори-
горизонтальная кювета при боковом потоке тепла или массы (разд. 3.3) и
модель бестигельной зонной плавки (разд. 3.4). Прежде чем приступать
к ним, мы сделаем попытку, как и в разд. 2.1, дать некоторую классифи-
классификацию конвективных процессов этого типа в бинарных смесях.
82
32. Классификация и некоторые особенности конвекции
под действием градиентов сил поверхностного натяжения
в бинарной смеси
При исследовании взаимодействия термокапиллярной (ТКК) и капил-
капиллярно-концентрационной конвекции (ККК) в смесях существует боль-
большое число основных ситуаций. По аналогии с разд. 2.2 можно ввести клас-
классификацию различных механизмов "двойной диффузии Марангони" по
ориентации потоков тепла и примеси относительно свободной поверх-
поверхности, как показано на рис. 3.1. Внутренняя нормаль к поверхности играет
роль, во многом аналогичную роли вектора сипы тяжести при гравитацион-
гравитационной конвекции. В случаях а— г механическое равновесие возможно, так
как векторы потоков тепла и массы параллельны нормали к поверхности.
Для случая конвекции Марангони равновесие оказывается устойчивым
при совпадении направлений потоков тепла или массы и нормали и неустой-
неустойчивым при их антинаправленности, аналогично подогреву сверху и снизу
при гравитационной конвекции.
При двойной диффузии Марангони в ситуации а равновесие устойчиво,
в ситуации б движение возникает при превышении потоком тепла или
массы критического значения. В случаях в, г равновесие может быть не-
неустойчиво вследствие большой разницы коэффициентов переноса тепла
и концентрации примеси. Устойчивость случаев а-г рассмотрена в [231].
Наиболее интересен вывод автора этой работы, что в случаях в, г при
Мас > Ма существует колебательная мода потери устойчивости. В ситуа-
ситуациях д—з движение возникает всегда.
Случай к характерен для многих технологических процессов выращива-
выращивания монокристаллов. Действительно, фронт кристаллизации, как правило,
оттесняет легирующую примесь, т.е. поток массы направлен от фронта
кристаллизации, а поток тепла направлен из расплава в растущий кристалл.
Наличие примеси в расплаве основного вещества обычно приводит к еяиже-
нию коэффициента поверхностного натяжения. При малой концентрации
примеси коэффициент поверхностного натяжения сильно зависит от соста-
состава, при больших концентрациях примеси зависимость значительно менее
выражена. В современных полупроводниковых материалах применяется
низкий уровень легирования, соответствующий участку резкого измене-
изменения коэффициента поверхностного натяжения. В этих условиях концентра-
концентрационное число Марангони может превышать тепловое.
Отдельные случаи конвекции из этой классификации менее изучены,
чем при гравитационной конвекции, однако они существенно отличаются
один от другого и для соответствующих технологических приложений
должны быть детально изучены. Примером этого является случай к, рас-
рассмотренный в разд 3.3. Для исследования всех этих случаев в принципе
применима упомянутая выше диалоговая система моделирования на персо-
персональном компьютере с соответствующими модификациями граничных
условий. Это даст возможность резкого повышения производительности
анализа конвективных процессов, доступного массовому пользователю.
Следует отметить, что приведенные на рис. 22 и 3.1 классификации,
когда действие градиентов сил поверхностного натяжения проявляется
при микроускорении, не равном нулю, объединяются в еще более слож-
83
и
ш
Ж
к
Р и с. 3.1. Классификация различных случаев взаимодействия термокапиллярной кон-
конвекции
ную классификацию конвективного взаимодействия, в которой участвуют
четыре элементарных механизма конвекции: тепловая и концентрацион-
концентрационная гравитационные, а также термокапиллярная и капиллярно*онцентра-
ционная. Для рассмотрения каждого из элементов этой сложной класси-
классификации в принципе также применима диалоговая система, изложенная
в приложении 1. Однако реальное использование потенциальным пользо-
пользователем такого рода новой вычислительной системы требует разработки
методики параметрических исследований, результаты которой для неко-
некоторых частных задач детально изложены ниже.
При анализе моделей реальных процессов часто бывают неизвестны
точно теплофизические параметры задачи, поэтому приходится проводить
громоздкие параметрические расчеты вариантов для определения струк-
структуры течения и границ режимов. Для выявления механизмов, определяю-
определяющих характер течения, бывает полезно пользоваться линейными моделя-
моделями в окрестности точки потери устойчивости и смены режима. При линей-
линейном анализе устойчивости течения обычно используется приближение
бесконечного слоя, что упрощает расчет и дает возможность быстро про-
проводить требуемые параметрические исследования.
Ниже приводятся результаты исследования двух задач устойчивости,
связанных с конвекцией Марангони. Постановка задачи устойчивости
и краткое описание метода решения приведены в приложении 2.
Рассмотрим задачу устойчивости адвективного термокапиллярного
течения при наличии гравитационной конвекции, вызванной продольным
градиентом температуры ЪТ в горизонтальном слое толщиной Н со свобод-
свободной верхней поверхностью и твердым дном (рис. 3.2). Границы слоя будем
считать теплоизолированными и недеформируемыми. Предполагается,
что изучаемое конвективное течение описывается уравнениями Навье-
Стокса в приближении Буссинеска, которые для исследования устойчи-
устойчивости линеаризуются.
В качестве единиц измерений длины, скорости, давления, температуры
и времени выберем Я/2, 2v/H, Av2/Й1, дТН w.lfj{Av) и введем безразмер-
безразмерные параметры: число Грасгофа Gr = g$bTH*jv2, число Прандтля Рг = vja
да
и число Марангони Ма = - — 5Г/Г /(«*), а — коэффициент поверхност-
ЬТ
84
z,
\
X
9
N
-W -5 0
Рис. 3.2. Плоский горизонтальный слой. Оси координат и схема течения
Р и с. 3.3. Нейтральные кривые 2D- и 3.0-мод
1,2 — потеря устойчивости соответственно 2 D- и 3?>-моды при Ма = 0, 3,4 —
тоты критических значений при Gt = 0,5 — точка поворота нейтральной кривой 3D-MO-
ДЫ
ного натяжения. Влияние сил плавучести характеризуется числом Грасго-
фа, а термокапиллярных сил — числом Марангони.
Основное течение [32], устойчивость которого исследуется, зависит
только от вертикальной координаты z(— 1 < z < 1) и задается форму-
формулами:
Gr
Uo = — Dz3 - 3z2 - 6z
24
Ma
32Pr
Cz2 + 2z - 1),
To = x + -^ Dz5 - 5z4 - 20z3 + 10z2 + 40z) - —— Cz4 + 4z3
480 384
-6z2 - 12z).
Приведем результаты исследования устойчивости при числе Прандтля
Рг = 0,015.
В отсутствие конвекции Марангони (Ма = 0) задача об устойчивости
течения в слое со свободной границей при малых числах Прандтля реша-
решалась многими авторами (см. [55, 221, 222]). Проведенные расчеты пока-
показывают, что при Рг < 0,0045 наиболее опасной является плоская колеба-
колебательная мода BD). При Рг = 0,015 критическое число Грасгофа GrKp =
= 10689, а соответствующее волновое число кх =0,653 (точка 1 на рис. 3.3).
При потере устойчивости этой моды возникают колебания с частотой
/ = 3,024. Вторая мода CD), которая наиболее опасна при рассматриваемом
числе Прандтля, теряет устойчивость при числе Грасгофа GrKp =4331, при
этом возникают колебания с частотой/= 0,628. 3?)-мода является сущест-
существенно трехмерной, волновой вектор наиболее опасного возмущения не-
непараллелен координатным осям и имеет компоненты кх =0,017 и ку - 0,164
(точка 2 на рис. 3.3).
85
Другой предельный случай (отсутствие силы тяжести, Gr= 0) исследован
в [280]. В этой ситуации оказывается, что плоская мода является абсо-
абсолютно устойчивой, а наиболее опасна существенно трехмерная мода с
критическим числом Марангони Макр = 1,94. При потере устойчивости
этой моды возникают колебания с частотой / = 0,441, волновой вектор
критического возмущения имеет компоненты кх = 0,035 и ку = 0,142
(асимптоты 3, 4 на рис. 3.3). Вторая неустойчивая мода в этой задаче,
спиральная (кх = 0), теряет устойчивость при Макр =2,10 и является менее
опасной.
Как упоминалось в разд. 3.1, аналогичная задача уже решалась (см.,
например, [55, 222]), но рассматривался слой с теплопроводящими грани-
границами (граничные условия первого рода), а не с адиабатическими (гранич-
(граничные условия второго рода). Использование условий теплоизоляции дает
возможность исследовать влияние флуктуации температуры на свобод-
свободной поверхности (а следовательно, и поверхностного натяжения), а также
проследить влияние стратификации, вызванной конвекцией, на устойчи-
устойчивость основного течения.
Как показано ниже, в этом случае картина резко меняется, и при рас-
рассматриваемом числе Прандтля (Рг = 0,015) определяющую роль играет
трехмерная мода.
Из расчетов, проведенных в случае взаимодействия двух типов конвек-
конвекции, получены нейтральные кривые, приведенные на рис. 3.3. Оказывает-
Оказывается, что обе существенно трехмерные моды, рассмотренные выше, лежат
на одной и той же кривой, т.е. являются одной и той же 3/>модой. При
Ма > 0 термокапиллярные силы оказывают дестабилизирующее влияние
на устойчивость адвективного течения. При Ма < 0 ЗО-мода стабилизи-
стабилизируется, но критическое число Грасгофа для 2О-моды уменьшается и в ин-
интервале чисел Марангони примерно от —1 до —7 наиболее опасной оказы-
оказывается плоская мода. Самая далекая по числам Марангони точка, до кото-
которой удалось "дотянуться", оказалась точка Ма =-9,46, Gr = 1,8 • 104 (точ-
(точка 5 рис. 3.3), что примерно в 5 раз больше, чем критическое число Маран-
Марангони в отсутствие силы тяжести. На рис. 3.4 приведены длины волн и часто-
частоты критических возмущений в зависимости от числа Марангони.
Вторая рассматриваемая в этом разделе задача касается одного из слу-
случаев взаимодействия термокапиллярной и капиллярно-концентрацион-
капиллярно-концентрационной конвекции в отсутствие силы тяжести. При моделировании процесса
направленной кристаллизации в лодочке возникает ситуация, когда про-
продольные градиенты температуры и легирующей примеси направлены
навстречу друг другу (случай к на рис. 3.1). Полностью такая задача рас-
рассматривается в разд. 3.3, а здесь приведем результаты исследования устой-
устойчивости равновесия, которое возможно, если параметры Марангони Ма/Рг
и Мас/Рг равны между собой. В силу симметрии тепла и примеси в этой
задаче в расчетах было зафиксировано число Прандтля Рг = 0,015, а число
Шмидта Sc меняется в диапазоне Рг < Sc < 100. Приведенные результаты
дают представление о режимах течения в общем случае.
Расчеты показывают, что в этом случае состояние покоя может терять
устойчивость, неустойчивой является плоская колебательная мода, при
86
*to
л
10
I
J
У 5
2D/
- 3D
|
10
-5
зш -ю
3D ^^___^^ /
-5
Рис. 3.4. Зависимости длины волны X и частоты колебаний критического возмущения
/для 2D- и 31>-мод от числа Ма
103
10'
Щ015
10
-г
10°
fOzSc
0,015
10
-г
10°
10г Sc
Рис. 3.5. Зависимости критического диф-
диффузионного числа Марангони, а также длины
волны и частоты колебаний критического О
возмущения от числа Sc при Pi = 0,015
10
10г SC
87
этом частота возникающих колебаний растет, если числа Прандгля и Шмид-
Шмидта стремятся друг к другу. Нейтральная кривая зависимости критическо-
критического концентрационного числа Марангони от числа Шмидта для случая Рг =
= 0,015 приведена на рис. 3.5. Отметим, что эта кривая имеет минимум
при Sc & 1, а при Sc -* Рг и Sc -* °° устойчивость равновесия резко повы-
повышается. На этом же рисунке приведены зависимости длины волны и часто-
частоты критических возмущений от числа Sc. Расчеты показывают, что вне
области минимума критического числа длина волны критического воз-
возмущения стабилизируется и монотонно меняется от X = 8,4 при Sc -»• Рг
до X =6,6 при больших числах Шмидта.
Таким образом, эти результаты по аналогии с разд. 2.1 показывают
индивидуальность отдельных элементарных конвективных процессов,
особенно в случае взаимодействии гравитационного и негравитационного
механизмов конвекции, что проявляется в их нелинейных режимах, рас-
рассматриваемых ниже в разд. 3.3. В отличие от рассмотренных в гл. 2, эти
задачи, однако, значительно менее исследованы.
3.3. Термокапиллярная и капиллярно-концентрационная конвекция
в прямоугольных областях
При рассмотрении термокапиллярной конвекции в канале прямоуголь-
прямоугольного сечения предполагается, что глубина заполнения жидкостью равна Н,
длина канала L, в поперечном направлении канал неограничен. Дно канала
и свободную поверхность считаем теплоизолированными, боковые грани-
границы канала поддерживаются при постоянных и различных температурах
Гц > 7*2, сила тяжести отсутствует (теоретическая невесомость, g = 0).
В качестве масштаба длины выберем глубину жидкости в канале Н,
безразмерную температуру определим как
где индексы / = 1,2 соответствуют левой и правой боковым границам слоя.
Ось х направлена вдоль слоя, ось у — по направлению внешней нормали
к свободной поверхности жидкости, которую будем считать плоской и
недеформируемой (рис. 3.6).
Течение жидкости и перенос тепла определяются из системы уравне-
уравнений C.2) — C.4) при следующих граничных условиях:
7=0, 0<х<А: вх=ф=фу = О; у = 1,0<х<А:ву=ф=0,ш=-Мвх;
х = 0, 0<j><1: ф=фх = О, в =1; х = А,
Решение задачи зависит от числа Прандтля Рг, длины слоя Л = L/H и тепло-
теплового числа Марангони Ма.
3.3.1. Термокапилляриая конвекция в квадратной области при различ-
различных числах Марангони. В предварительных расчетах число Прандтля варьи-
варьировалось в диапазоне 0,1 <Рг< 100 при фиксированных значениях пара-
параметра М, причем так, что результирующее число Марангони принимало
значение Ма = 1,10, 102, 103, 104. В результате было получено, что струк-
структура течения и поля температуры полностью определяются тепловым
числом Марангони Ма: рисунки изолиний функции тока и температуры
для различных чисел М совпадали с графической точностью, если при этом
88
У
в,
о,
да
¦?•*
со-
дв
!>У
i
JJ-.O
' дх
дФ
в,
10
Ма
ду~ ду
Рис. 3.6. Расчетная схема и граничные условия
Рис. 3.7. Зависимость интегрального потока тепла через слой жидкости от числа Ма-
Марангони в квадратной области
числа Ма были одинаковы. Интенсивность движения в области уменьша-
уменьшается с ростом числа Прандтля при фиксированном числе М, причем зта
зависимость начинает проявляться с того момента, когда Ма > 102.
При термокапиллярной конвекции движение жидкости обусловлено
неоднородностью температуры на свободной поверхности, в связи с чем
особый интерес представляет анализ распределения температуры на ней.
При Ма< 102 градиент температуры на свободной поверхности у на-
нагретой границы уменьшается с ростом числа Марангони. При Ма = 102 этот
градиент достигает минимального значения вх — 0,75; при дальнейшем
увеличении числа Марангони он возрастает. Только при Ма = 103 градиент
температуры на свободной поверхности у нагретой границы достигает
единичного значения. Градиент температуры на свободной поверхности
жидкости у холодной границы увеличивается непрерывно с ростом числа
Марангони.
При малых числах Марангони распределение температуры имеет вид
дуги, выгнутой вверх. При числе Ма>1,6-103 распределение темпера-
температуры приобретает характерный S-образный вид, формируются участки
резкого перепада температуры на свободной поверхности у изотерми-
изотермических границ слоя, градиент температуры в центральной части свобод-
свободной поверхности существенно меньше, чем на этих участках. ПриМа< 103
около 60% полного перепада температуры вдоль свободной поверхности
сосредоточено в зоне у холодной границы слоя, при Ма = 1,6 • 103 начина-
начинается снижение этого перепада и при Ма = 1,28 • L04 он уменьшается до 50%.
Благодаря такому изменению распределения температуры с ростом
числа Марангони распределение горизонтальной компоненты скорости
вдоль свободной поверхности также существенно меняется. При Ма <
< 8 • 102 на этом распределении имеется максимум у холодной границы
области, величина которого непрерывно увеличивается, а сам он с ростом
числа Марангони смещается к холодной границе слоя. Образование и по-
поведение этого максимума скорости обусловлено участком резкого пере-
перепада температуры у холодной границы.
При числе Ма = 4-102 на профиле скорости появляется точка пере-
перегиба, а при дальнейшем росте числа Марангони формируется второй макси-
89
мум скорости, значение которого при Ма= 1,6 • 103 сравнивается с пер-
первым, а в дальнейшем превышает его. С увеличением числа Марангони этот
максимум скорости практически не меняет своего положения и находится
на расстоянии 0,4 от нагретой границы слоя. Возникновение второго макси-
максимума скорости можно связать с формированием участка перепада темпе-
температуры у нагретой границы области.
В отличие от гравитационной тепловой конвекции, течение и поле тем-
температуры при которой имеют диагональную симметрию, в случае термо-
термокапиллярной конвекции поля течения и температуры симметрией не об-
обладают.
При Ма<8-102 перемешивание жидкости носит приповерхностный
характер, причем глубина проникновения конвекции у холодной границы
слоя больше, чем у нагретой границы. При Ма> 1,6 • 103 термокапилляр-
термокапиллярная конвекция оказывает заметное влияние на распределение темпера-
температуры по всей глубине слоя жидкости.
На рис. 3.7 приведена зависимость интегрального потока тепла, опре-
определяемого как Nu = / 0xdy, от числа Марангони. Как и для любого друго-
другого
го механизма перемешивания, по виду этой зависимости можно выделить
характерные режимы термокапиллярной конвекции.
При Ма <80 перенос тепла через слой слабо отличается от теплопровод-
ностного, роль конвекции сводится в основном к перераспределению
местных потоков тепла через нагретую и холодную границы области. Гра-
Граница режима теплопроводности (Ма«*80) близка к границе потери устой-
устойчивости состояния покоя при подогреве снизу [263, 264]. При 80<Ма<
< 103 происходит переход от режима теплопроводности к режиму раз-
развитой термокапиллярной конвекции. В этом режиме (Ма>103) зависи-
зависимость потока тепла от числа Марангони хорошо аппроксимируется со-
соотношением
Nu = 0,17Ma0>34,
что согласуется с результатами работы [294], где в приближении погранич-
пограничного слоя, а также численно было установлено, что в режиме интенсив-
интенсивной термокапиллярной конвекции в квадратной области Nu~Ma0'33.
Подобный вид зависимости числа Нуссельта от числа Марангони в ци-
цилиндрическом столбике был получен экспериментально в условиях не-
невесомости [232].
3.3.2. Термокапиллярная конвекция при различных отношениях сторон
и числах Марангони. Вторичные структуры. При аналитическом исследо-
исследовании термокапиллярной конвекции в ограниченных областях значитель-
значительные трудности возникают из-за необходимости введения большого коли-
количества подобластей. Отдельно рассматриваются области у торцов слоя,
причем из-за отсутствия симметрии течения решения у холодной и нагретой
боковых границ различны, вводятся пограничные слои у дна области и
свободной поверхности, ищется решение в ядре слоя, далее осуществля-
осуществляется сшивка решений во всех областях. Сложность аналитического реше-
решения значительно уменьшается, если предположить, что на большем про-
протяжении слоя течение и распределение температуры могут быть определены
исходя из точного решения типа [32, 84]. При этом достаточно построить
90
решение лишь у торцов слоя, как, например, выполнено в [275]. Такой
подход упрощает и задачу исследования устойчивости термокапиллярных
течений пр-л заданном боковом градиенте температуры [280]; но остается
открытым вопрос о границах применимости точных решений в зависимости
от отношения сторон слоя и числа Марангони.
Общей особенностью точных решений для термокапиллярной конвекции
в бесконечных слоях является постоянство продольного градиента темпе-
температуры по всей толщине слоя, продольная компонента скорости при этом
имеет неизменный параболический профиль в различных вертикальных
сечениях, скорость непосредственно на свободной поверхности постоянна
вдоль слоя.
При Ма = 102 по мере увеличения отношения сторон слоя распределение
скорости вдоль свободной поверхности приближается к постоянному,
а распределение температуры становится практически линейным уже при
А > 3. Распределение температуры на различных глубинах вдоль слоя
имеет протяженный участок, где градиент температуры неизменен по
всей толщине слоя. Профили продольной компоненты скорости в верти-
вертикальных сечениях хорошо согласуются с точным профилем скорости,
причем для А> 1 эти распределения совпадают с графической точностью.
В рассматриваемом режиме термокапиллярная конвекция слабо влияет
на поле температуры, ее роль сводится в основном к перераспределению
потоков тепла на изотермических торцах слоя. Таким образом, при А > 3,
Ма « Ю2 вполне оправданно применение точных решений для описания
течений в центральной части слоя.
Однако с ростом числа Марангони структура течения существенно меня-
меняется, как это видно из рис. 3.8, на котором приведены линии тока и изо-
изотермы при различных числах Марангони для А =5. При Ма = 8 • 102 ис-
исходное одновихревое течение разрушается, возникают стационарные
вторичные структуры, направление циркуляции в которых совпадает
с направлением основного течения. С дальнейшим ростом числа Марангони
происходит увеличение продольного размера вихря, расположенного у
нагретой границы области, соответственно вихрь у холодной границы
слоя уменьшается. При Ма = 1,28 ¦ 104 происходит восстановление од-
новихревой структуры.
Распределение температуры в продольных сечениях слоя и продоль-
продольной компоненты скорости в вертикальных сечениях во вторичном одно-
вихревом режиме имеет сложный характер, отличный от точного реше-
решения. В этом режиме термокапиллярная конвекция значительно интен-
интенсифицирует теплообмен; влияние торцов сказывается на всем протяже-
протяжении слоя, применение точных решений становится невозможным даже
в центральной части течения.
Аналогичное изменение структуры течения обнаружено при А > 3,
причем для Л <5 удалось проследить восстановление одновихревой струк-
структуры течения. Диаграмма режимов течения, установленная в расчетах,
приведена на рис. 3.9.
С ростом отношения сторон слоя происходит постепенное увеличение
числа Марангони, при котором изменяется структура течения. При А > 8
исходное одновихревое течение разбивается на три ячейки, число кото-
которых уменьшается до двух при Ма = 6,4 ¦ 103.
91
Р и с. 3.8. Линии тока (вверху) и изотермы (внизу) при различных числах Марангони
для А =5
1 - Ма = 2 - 10г,2- 6,4 ¦ 103, 3- 1,28 • Ю4
Важной характеристикой любого конвективного течения является
зависимость интегрального потока тепла через слой жидкости от режим-
режимных параметров (рис. 3.10). Число Нуссельта, определяемое в данном
случае как
у=0
9xdy,
при фиксированном Ма имеет максимум, положение которого с увеличе-
увеличением числа Марангони смещается в сторону больших удлинений слоя.
92
lia
10*
103 -
Ж
I
(
1
1
1
1
1
1 ,
/
/
I
1
у
/
1
'ш
1
8 L/H
Nil
20
15
10
5
1,28-10*
8 L/H
Рис. З.9. Диаграмма режимов течения при термокапиллярной конвекции в плоских
слоях
1 — одновихревое течение, область точного решения, II — двухвихревое течение,
/// — трехвихревое течение, IV — одновихревое течение, точное решение неприменимо
Рис. 3.10. Зависимость потока тепла при термокапиллярной конвекции от отношения
сторон слоя при различных числах Ма
Число Нуссельта выражает отношение потока тепла в конвективном ре-
режиме к потоку тепла в режиме теплопроводности и служит мерой интенсив-
интенсивности теплообмена при термокапиллярной ковекции. При Ма = 1,28-104
поток тепла через слой жидкости при А = 1 увеличился в 4,5 раза, а при
А = 10-в 20,8 раза.
В [133] сформулирован эффект максимума температурного расслое-
расслоения для гравитационной тепловой конвекции. Аналогичный эффект имеет
место и при термокапиллярной конвекции.
На рис. 3.11 приведены зависимости от числа Ма разности температуры
в центре слоя между свободной поверхностью жидкости и дном (норми-
(нормированные на продольный перепад температуры на единичной длине в режи-
режиме теплопроводности) для А =2; 5; 8. С увеличением отношения сторон
слоя положение максимума разности температуры смещается в сторону
больших чисел Марангони.
3.33. Взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрацион-
иой конвекции. Вторичные структуры и автоколебания. Рассмотрим взаи-
взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрационной кон-
конвекции в прямоугольной области с отношением сторон А = 8. Пусть на
боковых границах поддерживаются постоянные и различные по величине
значения температуры 0, > в2 и концентрации Сх < Сг (см. рис. 3.6).
Движение жидкости и перенос тепла и массы определяются из системы
уравнений C.2) —C.5) при следующих граничных условиях:
=0; у=\, 0<х<А:
= Су=0,
С=0;
~ МССХ;
C.8)
93
Ав
1,6
*,г
0,8
IOl
8
Рис. 3.11. Эффект максимума температурного рас-
расслоения при термокапиллярной конвекции
Рис. 3.12. Линии тока (вверху) н изоконцентраты
(внизу) при взаимодействии термокапиллярной и ка-
капиллярно-концентрационной конвекции
—'— а, б — начальная стадия развития течения; в, г -
па режим развитых колебаний
где безразмерные температура в и концентрация С введены соотноше-
соотношениями
в = (Г- Г2)/(Г, - Г2). С= (с - Cl)/(c2 - с,)-
Для полупроводниковых материалов характерны низкие числа Прандтля
Рг^ 1 и высокие числа Шмидта Sc> 1. В данных расчетах было принято
Sc = 100, Рг = 0,1. Расчеты выполнены для случая Мас>Ма, однако для
определения ведущего механизма конвекции необходимо сравнивать
параметры М и Мс, входящие в граничные условия на свободной поверх-
94
ности. При постановке задачи было принято М = 103, Мс = 1,1 • 103,т.е. от-
относительно небольшое преобладание капиллярно-концентрационной кон-
конвекции.
В качестве начальных данных были заданы линейные распределения
температуры и концентрации и отсутствие движения:
0(х) =1 -х/8, С(х) =х/8.
Возникающее течение слабо влияет на распределение температуры,
которая практически не отклоняется от линейного. Уравнение C.3) было
исключено из дальнейших расчетов, а граничное условие C.8) на свобод-
свободной поверхности было преобразовано к виду
На рис. 3.12 приведена кинограмма развития колебаний. Исходно образу-
образуется одновихревое течение, направление циркуляции которого против
часовой стрелки обусловлено градиентом концентрации вдоль свобод-
свободной поверхности. Это течение, так же как и в случае термокапиллярной
конвекции, вызывает на начальной стадии развития снижение градиента
концентрации на свободной поверхности у правой границы слоя. При
достижении градиентом концентрации на свободной поверхности значения
Сх = —М/Мс движение жидкости под этим участком ослабевает, а при
дальнейшем уменьшении градиента концентрации начинает сказываться
влияние термокапиллярного эффекта: формируется вихрь, имеющий
направление циркуляции по часовой стрелке и приостанавливающий даль-
дальнейшее падение градиента концентрации.
Довольно быстро течение становится автоколебательным. Основной
структурой является пара сопряженных вихрей, один их которых враща-
вращается по часовой стрелке и обусловлен термокапиллярным эффектом,
а второй вращается против часовой стрелки и связан с капиллярно-кон-
капиллярно-концентрационным эффектом. Вихри поочередно образуются у правой грани-
границы слоя, перемещаются к левой границе, где постепенно разрушаются.
Более протяженным оказывается вихрь, обусловленный термокапилляр-
термокапиллярным эффектом.
На распределении концентрации примеси вдоль свободной поверхности
формируются характерные ступеньки, где градиент концентрации пре-
превышает исходное значение, и протяженные участки плавного изменения
концентрации (рис. 3.13). Профили скорости вдоль свободной поверх-
поверхности в те же моменты времени приведены на рис. 3.13. Скорость свобод-
свободной поверхности в "концентрационном" вихре больше чем в 4 раза пре-
превышает скорость в "термокапиллярном" вихре.
Изолинии концентрации (см. рис. 3.12) показывают, что течение замет-
заметно влияет на распределение примеси только в приповерхностном слое
жидкости, вблизи дна на большей протяженности слоя градиент концентра-
концентрации мало отличается от исходного.
На рис. 3.14 приведены колебания скорости и и концентрации С на
свободной поверхности в центральном сечении слоя. Колебания концентра-
концентрации несколько опережают по фазе колебания скорости. Амплитуда колеба-
колебаний слабо меняется, что, видимо, связано с переходным характером рас-
95
0,2
-12
t,s з,г
¦к
-<¦ 1
-12 -
-«¦1
-го\
у//\
11
til
1
\Vf'\
V / / \у
1
К"
0
/л
юоо гоов зооо то 5вво
1,1
6,1,
3000 WOO Врепя
Рис. 3.13. Распределения концентрации С и скорости и вдоль свободной поверхности
в различные моменты времени t, < tг < t3
Р и с. 3.14. Колебания скорости и и концентрации примеси С в центральной точке сво-
свободной поверхности слоя
По оси времени отложен номер временного слоя
сматриваемого процесса, однако стационарный режим течения достигнуть
не удалось, несмотря на большую длительность расчетов.
На рис. 3.15 приведены зависимости положения вихрей от времени
и их интенсивности. Сопоставляя эти зависимости, можно видеть, что
интенсивность концентрационного вихря (сплошные кривые) непрерыв-
непрерывно нарастает, причем вблизи левого торца наблюдается резкое увеличе-
увеличение его интенсивности, что обусловлено значительным перепадом кон-
концентрации. Вихрь перемещается на большей части слоя с почти постоян-
постоянной скоростью, несколько замедляясь у левого торца. В данном случае нет
возможности выделить участок постоянной интенсивности вихря, что
указывает на непрерывное изменение градиента концентрации во фронталь-
фронтальной зоне при ее перемещении вдоль слоя.
96
Sx
Рис. 3.15. Зависимость продольной координаты от времени (а) и значения функции
тока от координаты (б) для положительного (сплошные линии) и отрицательного
(штриховые линии) вихрей
Термокапиллярный вихрь (рис. 3.15, штриховые кривые) после не-
небольшого разгонного участка перемещается с практически постоянной
скоростью. Перед исчезновением этот вихрь отражается от границы и
исчезает уже на некотором расстоянии от нее. На последней трети длины
слоя его интенсивность меняется слабо, что указывает на постоянство
градиента концентрации на этом участке фронтальной зоны на свобод-
свободной поверхности.
Рисунок изолиний пространственной корреляции функции тока не
отличается от мгновенной картины изолиний с центром вихря в выбран-
выбранной точке, что указывает на достаточно регулярный характер колебаний.
Изложенную выше задачу можно рассматривать как модельную для
случая направленной кристаллизации в горизонтальной лодочке. В этом
процессе взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрацион-
капиллярно-концентрационной конвекции способно вызвать концентрационные колебания вблизи
фронта кристаллизации и, как следствие концентрационных колебаний,
значительную неоднородность состава кристалла у свободной поверхности.
3.4. Термокапилляриая конвекция и температурные неоднородности
в модели зонной плавки
Зонная плавка как метод получения монокристаллов без контакта
расплава и кристалла с твердыми поверхностями считается в настоящее
время одним из наиболее перспективных способов получения материалов
в невесомости, однако ее практическая реализация связана с преодоле-
преодолением значительных трудностей в связи с мало изученным характером
течений, вызываемых поверхностными силами. Ниже мы предпринимаем
попытку рассмотреть некоторые из этих эффектов на упрощенной модели
бестигельной зонной плавки, имея в виду также анализ процессов при
наземной отработке, выполненной в [17].
7. Зак. 1319
97
Схема этого процесса приведена на рис. 3.16. Установка с откачиваемой
до высокого вакуума рабочей камерой и омическими нагревателями,
предназначенная для космических экспериментов, располагалась горизон-
горизонтально, кристалл был заключен в кварцевую трубку для предотвращения
растекания расплава и разрушения зоны. При таком способе наземной
отработки зонной плавки основные изменения гидродинамики и теплооб-
теплообмена связаны с различием механизмов перемешивания: в земных условиях
течение жидкости обусловлено взаимодействием гравитационной и термо-
термокапиллярной конвекции, а в условиях невесомости — только термока-
термокапиллярной конвекцией, но при увеличенной площади свободной поверх-
поверхности расплава.
Рассматривается течение в прямоугольной области с отношением сторон
1 : 2 (рис. 3.17, а), боковые границы которой поддерживаются при одина-
одинаковой постоянной температуре, что соответствует изотерме плавления;
к горизонтальным поверхностям подводится постоянный поток тепла;
верхняя граница области либо верхняя и нижняя границы считаются сво-
свободными, что соответствует наземной отработке либо условиям невесо-
невесомости. На свободных границах учитывается зависимость поверхностного
натяжения от температуры. При расчетах для условий нормальной силы
тяжести учитывается также гравитационная тепловая конвекция.
В качестве масштабов длины, скорости и перепада температуры выберем
соответственно высоту слоя Д vjH и qH, q — заданный градиент температу-
температуры по нормали к свободной поверхности жидкости. При этом течение жид-
жидкости и перенос тепла в расчетной области можно определить из системы
уравнений C.2) —C.4) при следующих граничных условиях:
х = 0, 0<_у<1: ф = фх=в=О;
х = 2, 0<>»<1: ф = фх= в = 0;
у=\, 0<л:<2: ф = 0, и) = -Мвх, ву = -1;
Условие а) или б) для у = 0 используется при одной или двух свободных
поверхностях соответственно.
В качестве начальных данных для ряда вариантов использовано тепло-
проводностное распределение температуры (рис. 3.17, б) и отсутствие
движения жидкости, в большинстве же случаев расчеты выполнены мето-
методом последовательного установления, т. е. стационарное решение преды-
предыдущего варианта использовано как начальные данные для последующего
варианта.
Режим течения и теплообмена в рассматриваемой задаче определяются
безразмерными числами Ra, Ma и Рг, а также безразмерной длиной зоны
А = L/H.
Подробное исследование всех особенностей течения и теплообмена
даже при наличии только трех определяющих параметров (параметр А =
- 2 фиксирован) представляет значительные трудности, в связи с чем в
данном случае расчеты выполнены в достаточно узком диапазоне режим-
режимных параметров A03 < Ма< 104, 104 < Ra<5 ¦ 10s,Pr= 0,1). Всего бьшо
рассчитано 16 вариантов, включая режим теплопроводности, для которого
использована равномерная сетка 33 X 33. В остальных случаях применена
98
г
\
/
/
\
3^
Р и с. 3.16. Схема установки бестигельной зонной плавки
1 - исходный кристалл, 2 — кварцевая ампула, 3 - нагреватель-сопротивление,
4 — переплавленный образец, 5 — расплавленная зона
t
\ а-1 X
= !!!!!:::
= ::::::::
=::::::::
iiiillllf
Ш
Рис. 3.17. Постановка задачи (а), изотермы в режиме теплопроводности (б) и раз-
разностная сетка для расчетов конвективных режимов (в)
неравномерная сетка 65 X 65 (см. рис. 3.17, в) со сгущением к изотерми-
изотермическим границам слоя (направление х) и равномерная по оси у, что связа-
связано с ограничениями программы быстрого преобразования Фурье.
Для выявления особенностей гравитационного и термокапиллярного
механизмов перемешивания жидкости целесообразно рассмотреть каждый
из них отдельно, а затем изучить их взаимодействие.
3.4.1. Невесомость: термокапилляриая конвекция при наличии двух
свободных поверхностей. При проведении зонной плавки в условиях
99
невесомости происходит значительное увеличение площади свободной
поверхности. В условиях космического полета орбитальной станции уро-
уровень остаточных ускорений составляет (ДО — №~6)g/g0, где#0 - ускоре-
ускорение свободного падения на поверхности Земли, основным механизмом,
вызывающим конвекцию, становится термокапиллярный эффект, гра-
гравитационную конвекцию можно исключить из рассмотрения.
На рис. 3.18 приведена структура течения и поля температуры в рас-
рассматриваемой модельной задаче при двух свободных поверхностях и тео-
теоретической невесомости (g = 0) для различных чисел Марангони.
При Ма = 103 формируется симметричное четырехвихревое течение,
однако уже при Ма = 5 ¦ 103 это течение теряет устойчивость, формирует-
формируется центрально-симметричное трехвихревое течение, причем, хотя выбор
направления потери устойчивости определяется случайным образом, ука-
указанная структура течения оказывается устойчивой и при Ма = 104. При
снижении числа Марангони от 5 • 103 до 103 течение вновь становится
четырехвихревым, однако полного восстановления симметрии течения
не происходит.
Забегая вперед, отметим, что при увеличенной площади свободной
поверхности неоднородность распределения потока тепла через изотер-
изотермические торцы слоя оказывается несколько выше, чем при чисто термо-
термокапиллярной конвекции и одной свободной поверхности.
В случае цилиндрической зоны течение с центральной симметрией ста-
стационарно существовать не может, однако качественно данный результат
можно соотнести с работами [183, 257, 266], где в экспериментах с "по-
"полузоной" было обнаружено, что при Ма » 104 возникают регулярные ко-
колебания, связываемые авторами работ с потерей осесимметричности те-
течения.
3.4.2. Взаимодействие термокапилляриой и гравитационной конвекции
при одной свободной поверхности. Теоретическая невесомость. На рис. 3.19
приведены распределения температуры на свободной поверхности на по-
половине высоты и по дну области, полученные для чисел Марангони Ма =
= 103, 5 • 103, 104 при одной свободной поверхности и отсутствии силы
тяжести (g = 0).
При Ма = 103 распределение температуры на свободной поверхности
имеет один максимум, расположенный в центральном сечении. Распреде-
Распределения температуры в сечении у = Я/2 и по дну области при этом качественно
не отличаются от аналогичных распределений в режиме теплопроводности,
однако по сравнению с последним происходит общее снижение уровня
температуры расплава, что указывает на наличие довольно интенсивного
конвективного перемешивания.
С увеличением числа Марангони уже при Ма = 5 ¦ 103 распределение тем-
температуры по свободной поверхности слоя становится почти постоянным,
однако происходит его качественное изменение. В центральном сечении
слоя появляется незначительный минимум температуры, а вблизи изотер-
изотермических боковых границ слоя возникают небольшие максимумы темпе-
температуры. На распределениях температуры при у = Я/2 и на дне области по-
появляется характерный изгиб, указывающий на значительное влияние ТКК
на перенос тепла во всей области. При Ма = 104 новых качественных особен-
особенностей в распределении температуры не возникает.
100
Р ис. 3.18. Линии тока (слева) и
изотермы (справа) при двух
свободных поверхностях в режи-
режиме теоретической невесомости
(Ra = 0)
а — Ма = 103 (исходное тече-
течение), б ~ 5 ¦ 103, в - 103 (при
снижении числа Ма)
W-i
О 0,1) 0,8 1,2 1,6
Рис. 3.19. Распределения темпе-
температуры по свободной поверхнс-
ти (а), в центральном сечении (б)
и по дну слоя (в) при одной сво-
свободной поверхности (Ra = 0)
1 - Ма = 103, 2 - S • 103, 3 -
104
Распределение скорости по свободной поверности (рис. 3.20) при Ма =
= 103 имеет интенсивные максимумы вблизи изотермических границ слоя,
где поверхностный градиент температуры максимален. При числах Ма =
= 5 ¦ 103 и 104 интенсивность этого максимума резко возрастает, но, кроме
того, появляется слабо выраженный максимум вблизи оси симметрии слоя,
который обусловлен наличием обратного градиента температуры на цен-
центральном участке свободной поверхности.
Распределения потока тепла на изотермических границах слоя, которые
соответствуют фронтам плавления и кристаллизации, показаны на рис. 3.20.
Качественно они оказываются подобными во всех трех рассматриваемых
здесь режимах. Поток тепла незначительно меняется на большом протяжении
101
ulO'3
1,5
КО
0,5
0
-0,5
-1,0
-1,5
i
I
0 0,i 0,8 1,2 I,S x 0 0,г 0,Ь 0,6 0,8 у
Рис. 3.20. Распределения скорости и по свободной поверхности и потока тепла Q
на изотермических границах слоя для одной свободной поверхности
1—3 — то же, что на рис. 3.19
изотермической границы, возрастая вблизи дна, абсолютный максимум по-
потока тепла расположен на свободной поверхности, причем его значение за-
заметно растет с увеличением числа Марангони.
Структура течения и поля температуры для рассматриваемых режимов
приведены на рис. 3.21. Для термокапиллярной конвекции характерно
"затягивание" линий тока к точке контакта свободной поверхности с изо-
изотермической границей слоя, причем уже при Ма = 103 основной вихрь
имеет хорошо выраженную ориентацию на эту точку. С ростом числа Маран-
Марангони происходит постепенное удаление центра вихря от свободной поверх-
поверхности, и при Ма = 104 вихрь занимает центральное положение. Как видно
по изображениям изотерм при Ма =5 • 103 термокапиллярная конвекция
оказывает значительное влияние на перенос тепла во всей расчетной об-
области.
Слабоинтенсивная гравитационная конвекция. При гравитационной
конвекции уже при числе Рэлея Ra = 104 распределение температуры по
свободной поверхности (рис. 3.22, а) имеет вид, характерный для высо-
высокоинтенсивной термокапиллярной конвекции, т. е. имеется локальный
минимум, расположенный в центральном сечении, и два максимума вбли-
вблизи изотермических торцов. С увеличением числа Марангони происходит
снижение общего уровня температуры, а распределение температуры по
свободной поверхности становится практически постоянным, но сохра-
сохраняет указанную выше структуру экстремумов.
Распределения температуры на середине высоты слоя (рис. 3.22, б) и
по дну области (рис. 3.22, в) также не претерпевают существенных ка-
качественных изменений, но с увеличением числа Марангони происходит
"усиление" структурных особенностей этих распределений, отчетливо
прослеживается снижение общего уровня температуры.
Распределение скорости по свободной поверхности (рис. 3.23) качест-
веш э меняется при переходе от чисто гравитационной конвекции к ее
взаимодействию с термокапиллярной.
102
Рис. 21. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверхности
(Ra = 0)
л -Ма= Ю3; б- 10*
I, В
Рис. 3.22. Распределения темпера-
температуры по свободной поверхности (а),
в центральном сечении (б) и по дну
слоя (в) при Ra = 10*
1 - Ma = 0, 2 - to*, 3 - S ¦ 103,
4- 10*
При учете только гравитационной конвекции профиль скорости имеет
максимум в центре полузоны. Учет термокапиллярной конвекции вследст-
вследствие немонотонности распределения температуры на свободной поверх-
поверхности приводит к уменьшению скорости в центральной части слоя и по-
появлению интенсивных максимумов вблизи изотермических границ слоя.
При Ма = 5 • 103 скорость течения жидкости на большем протяжении слоя
снижается почти до нуля, а при Ма = 104 на свободной поверхности появ-
появляются участки обратного течения. Отметим, что при чисто термокапил-
термокапиллярной конвекции зон обратного течения не возникает.
При чисто гравитационной конвекции поток тепла через изотерми-
изотермические границы имеет отчетливо выраженный минимум вблизи дна слоя
жидкости, монотонно возрастает по мере приближения к горизонтальным
поверхностям, максимален непосредственно на свободной поверхности
(см. рис. 3.23). При учете термокапиллярной конвекции присходит резкое
увеличение потока тепла на участке вблизи свободной поверхности распла-
103
Р и с. 3.23. Распределения скорости и по свободной поверхности к потока тепла Q 1
изотермических границах слоя при Ra = 10*
1 —4 — то же, что на рис. 3.22
Рис. 3.24. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверх-
поверхности (Ra= 10*)
а - Ма = 0; б - 5 • 103
ва, а также снижение неоднородности распределения потока на централь-
центральном участке изотермической границы. Непосредственно в придонной об-
области распределение потока тепла практически неизменно.
Неоднородность потока тепла (Gmax/??min) B случае взаимодействия
гравитационной и термокапиллярной конвекции оказывается несколько
меньше, чем при чисто термокапиллярной конвекции, однако для этой
характеристики определяющей является именно термокапиллярная кон-
конвекция.
В случае чисто гравитационной конвекции при Ra = 104 максимум
функции тока расположен практически в центре полузоны (рис. 3.24).
Учет термокапиллярной конвекции не приводит к его заметным переме-
перемещениям, происходит формирование характерного "носика", ориентирован-
ориентированного на точку контакта поверхности расплава с изотермической границей
слоя. Заметных качественных перестроений на рисунках изотерм не про-
происходит.
Земные условия. Интенсивная гравитационная конвекция. При грави-
гравитационной конвекции высокой интенсивности (Ra= 5 • 105) распределение
104
o,i, oj 1,г i,6 ifi о
0,1,
0,2
0
,б
- f=
1
i
0,i
==—¦
1
0,8
¦«-
i
1,2
1 \
1,6 X
0,Ь 0,8 1,2 1,6 х
Рис. 3.25. Распределения темпе-
температуры по свободной поверхности
(а), в центральном сечении (б)
и по дну слоя (в) при Ra = 5 ¦ 105
1—4 — то же, что на рнс. 3.22
и-10'
1,2
0,8
O.i,
Q
-0.8W
II 1 I ' '
I
/V
о
0,8 1,2
Рис. 3.26. Распределения скорости и по свободной поверхности и потока тепла Q на
изотермических границах слоя при Ra = 5 • 10s
1-4 — то же, что на рис. 3.22
температуры по свободной поверхности имеет хорошо выраженный "дву-
"двугорбый" характер с минимумом на оси симметрии слоя (рис. 3.25, а).
Учет термокапиллярной конвекции приводит при Ма = 10 к снижению
максимумов, причем значение минимума меняется слабо. При больших
числах Марангони (Ма = 5 • 103; 104) распределение температуры по сво-
свободной поверхности приобретает вид, характерный для высокоинтенсив-
высокоинтенсивной термокапиллярной конвекции: максимумы температуры смещаются
к изотермическим границам слоя, однако глубина минимума в центре слоя
оказывается несколько больше. Распределение температуры на половине
высоты (рис. 3.25, б) и по дну слоя (рис. 3.25, в) меняются слабо, что
указывает на ведущую роль гравитационной конвекции в этих областях.
В этом случае происходит заметное снижение температуры только в не-
непосредственной близости к свободной поверхности.
Профиль скорости на свободной поверхности (рис. 3.26) без учета
10S
Р и с. 3.27. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при Ra
а - Ма = О; б - 104
= 5 - 105
термокапиллярной конвекции имеет характерный вид с максимумом
в центре полузоны. При Ма = 103 появляются дополнительные макси-
максимумы вблизи изотермических торцов слоя, обусловленные термокапил-
термокапиллярным эффектом, причем в центральной части значения скорости не-
несколько снижаются.
При больших числах Марангони (Ма = 5 • 103; 104) происходит резкое
изменение этого распределения. Возникают протяженные участки обрат-
обратного течения, причем величина скорости на этих участках сопоставима по
величине со значением скорости на свободной поверхности при чисто гра-
гравитационной конвекции; формируются значительные максимумы скорости
вблизи изотермических торцов слоя. Как легко видеть, такое поведение
скорости на свободной поверхности следует из распределения температуры
на ней (см. рис. 3.25, а).
Распределение потока тепла на изотермических границах (рис. 3.26)
без учета термокапиллярной конвекции качественно аналогично рассмот-
рассмотренному ранее для Ra = 104. Минимум смещен ближе ко дну слоя, возрас-
возрастает неоднородность распределения потока тепла по изотермической гра-
границе слоя. При Ма = 103 распределение потока тепла меняется слабо, но
уже при Ма = 5 • 103 происходит резкое увеличение потока тепла на свобод-
свободной поверхности, а в приповерхностном слое возникает участок почти
постоянного по высоте потока тепла.
Отметим, что на участке за минимумом заметных изменений распре-
распределения потока тепла не происходит.
При высокоинтенсивной гравитационной конвекции неоднородность
потока тепла, обусловленная термокапиллярным эффектом, оказывается
заметно меньше, чем в предыдущем случае. Таким образом, термока-
термокапиллярная конвекция приводит к снижению неоднородности распределе-
распределения потока тепла, вызванной гравитационной конвекцией, а гравитацион-
гравитационная конвекция снижает неоднородность распределения потока тепла, обус-
обусловленную термокапиллярным эффектом.
При Ма = 103 заметных изменений картины линий тока не происходит
(рис. 3.27), но уже при Ма = 5 • 103 формируется характерный для термо-
термокапиллярной конвекции выступ, а по искривлению линий тока в припо-
приповерхностном слое можно сделать вывод о формировании здесь вихря,
имеющего противоположную циркуляцию по сравнению с циркуляцией в
объеме жидкости. При Ма = 104 указанные изменения проявляются более
отчетливо.
106
Структура изотерм по мере увеличения числа Марангони заметно ме-
меняется только в приповерхностном слое.
3.4.3. Сопоставление характеристик режимов термокапиллярной и гра-
гравитационной конвекции. В табл. 3.1 приведены основные характеристики
всех рассчитанных вариантов по числам Марангони и Рэлея. В таблицу
включены также характеристики режима теплопроводности (Ma = Ra = 0).
Варианты, относящиеся к условиям невесомости (расчеты при g = 0 и двух
свободных поверхностях), отмечены звездочкой.
Условия теплообмена, близкие к режиму теплопроводности, могут
реализоваться при зонной плавке в невесомости в случае значительных
загрязнений свободной поверхности расплава, сильно снижающих, как
правило, зависимость поверхностного натяжения от температуры и в от-
отдельных случаях способных играть роль твердой границы [204]. Как видно
из табл. 3.1, в режиме теплопроводности оказывается минимальной не-
неоднородность распределения потока тепла на фронтах плавления и кристал-
кристаллизации, максимальная и средняя температуры в области имеют наиболь-
наибольшие по сравнению со всеми остальными вариантами значения.
Во всех рассчитанных конвективных режимах максимальная и средняя
температуры в области существенно меньше, а неоднородность распреде-
распределения потока тепла существенно выше, чем в режиме теплопроводности.
При термокапиллярной конвекции без учета силы тяжести и одной
свободной поверхности с ростом числа Марангони происходит увеличение
максимальной функции тока, возрастают максимальные значения компо-
компонент скорости и неоднородность распределения потока тепла на изотер-
изотермических границах. С ростом интенсивности движения снижаются мак-
максимальная температура поверхности и средняя температура расплава.
В данном случае максимальное значение горизонтальной компоненты
скорости примерно в два раза превышает соответствующее значение верти-
вертикальной компоненты скорости. В рассмотренном диапазоне чисел Маран-
Марангони неоднородность потока тепла на изотермических торцах возросла
более чем в два раза.
При слабоинтенсивной гравитационной конвекции (Ra=104) рост
числа Марангони приводит к увеличению интенсивности течения в области
(рост функции тока), монотонному снижению максимальной и средней
температур расплава. Неоднородность потока тепла на изотермических
поверхностях несколько ниже, чем при чисто термокапиллярной конвек-
конвекции, однако совершенно очевидно, что эта характеристика в данном слу-
случае полностью зависит от термокапиллярного эффекта. Отметим, что
без учета термокапиллярной конвекции максимальные величины гори-
горизонтальной и вертикальной компонент скорости принимают близкие значе-
значения, причем вертикальная скорость превышает горизонтальную (см. также
случай интенсивной гравитационной конвекции). Учет термокапиллярного
эффекта приводит к тому, что уже при Ма = 103 максимальное значение
горизонтальной компоненты скорости примерно в два раза превышает
соответствующее значение вертикальной компоненты, что характерно для
термокапиллярной конвекции.
Из сопоставления таких характеристик, как неоднородность распре-
распределения потока тепла и максимальных значений горизонтальной и верти-
вертикальной компонент скорости, можно сделать вывод, что для Ra= 104 уже
107
Таблица 3.1
Вариант
Ra
Ma
"max
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13*
14*
15*
16*
0
0
0
0
104
104
10"
104
5- 10f
5- 10'
5- 10»
5- 105
0
0
0
0
0
10»
5- 103
104
0
10'
5- 103
104
0
103
5- 103
104
10'
5- 103
104
103
-
21,98
43,0
57,7
41,5
44,19
54,6
65,7
103,2
102,3
101,2
106,9
18,0
31,6
42,8
16,9
-
-21,98
-43,0
-57,7
-41,5
-44,19
-54,6
-65,7
-103,2
-102,3
-101,2
-106,9
-18,0
-42,6
-62,6
-16,6
-
540,9
1230,0
1680,0
136,2
509,9
1200,0
1662,0
666,2
663,7
974,0
1420,0
462,4
1090,0
1496,0
491,2
Обозначения: tf max, ^min- "max. "max- Cmax. Qmin - максимальные и мини-
минимальные значения функции тока, горизонтальной и вертикальной компонент скорос-
скорости, потока тепла; 9тах, 9^ — максимальная и средняя температуры; Ект = ? (и?.- +
+ и?-) — аналог кинетической энергии движения жидкости. t/
при Ма = 103 термокапиллярный эффект играет преобладающую роль.
Однако, вспоминая поцразд. 3.4.2, отметим, что изменения структуры
течения оказываются минимальными.
В случае интенсивной гравитационной конвекции (Ra= 5 • 10s) характер
ее взаимодействия с термокапиллярной оказывается иным. Значение
максимальной функции тока монотонно снижается с ростом числа Маран-
гони, причем одновременно происходит снижение кинетической энергии
и увеличение максимальной и средней температур расплава. При Ма = 104
максимальное значение функции тока и кинетическая энергия движения
жидкости уже превышают соответствующие значения для Ra = 5 • 10s,
Ма = 0, но тем не менее максимальная и средняя температуры распла-
расплава все еще оказываются несколько выше.
Неоднородность распределения потока тепла на изотермических гра-
границах в этом режиме монотонно растет с увеличением числа Ма, но все вре-
время остается существенно ниже, чем в рассмотренных ранее случаях
Максимальные значения горизонтальной и вертикальной компонент
скорости при Ма = 10 оказываются ниже, чем в отсутствие термокапил-
термокапиллярной конвекции, причем они сохраняют характерное для чисто гравита-
гравитационной конвекции соотношение. При числе Марангони 5 • 103 значение
"max начинает превышать итах, а при Ма=104 итах вдвое превышает
значение umex, что характерно для термокапиллярной конвекции. Однако
даже в этом случае значение итах заметно ниже, a vmax - заметно выше,
чем в случае чисто термокапиллярной конвекции.
108
"max
_
251,1
513,0
670,0
145,0
228,6
501,0
661,4
679,7
674,8
679,5
706,5
218,0
465,0
609,0
230,5
'max
1,670
0,803
0,602
0,533
0,672
0,637
0,548
0,506
0,358
0,361
0,42
0,39
0,634
0,494
0,424
0,676
0,659
0,354
0,255
0,220
0,314
0,293
0,244
0,215
0,162
0,164
0,18
0,169
0,284
0,204
0,172
0,296
2max
3,74
10,36
13,5
14,5
6,19
9,39
12,8
14,05
6,84
7,45
9,19
10,4
8,1
11,0
11,5
8,8
2max/2min
2,24
12,9
21,9
28,9
7,6
12,5
21,55
22,6
12,8
13,8
15,9
18,6
13,1
25,5
29,7
14,1
?кии
1,07 • 10'
3,68- 10'
6,25 • 107
1,71- 107
2,31 • 107
4,62- 107
7,14 ¦ 10'
2,52 • 10'
2,46 • 10"
2,29-10*
2,64 • 10*
1,6 • Ю7
5,7- 107
1,02 • 10*
1,59- 107
Сопоставляя характеристики двух вариантов взаимодействия термо-
термокапиллярной и гравитационной конвекции можно сделать вывод,что при
Ra/Ma« 10 термокапиллярная конвекция оказывает заметное влияние,
а при Ra/Ma< 10 преобладает над гравитационной, причем ее влияние
особенно велико в приповерхностной зоне, что вполне закономерно для
движения, обусловленного неоднородностью поверхностного натяжения.
Близкие выводы были сделаны в [130].
Еще раз отметим, что во всех рассмотренных вариантах взаимодействия
гравитационной и термокапиллярной конвекции существенных изменений
структуры течения выявлено не было.
При переходе к условиям невесомости (две свободные поверхности)
происходит изменение структуры течения, вследствие чего рассматри-
рассматриваемые здесь характеристики отличаются не только от случая взаимодейст-
взаимодействия гравитационной и термокапиллярной конвекции, но и чисто термо-
термокапиллярной конвекции при одной свободной поверхности. Снижается
значение максимальной функции тока, несколько ниже оказывается umax
и "max, сохраняя между собой характерное для термокапиллярного эффек-
эффекта соотношение. Примерно на 10% возрастает неоднородность потока
тепла через изотермические границы слоя. По сравнению со случаем g = 0
заметно снижаются максимальная и средняя температуры расплава. Они
оказываются даже ниже, чем при взаимодействии термокапиллярной и
слабой гравитационной конвекции. В табл. 3.1 приведены характеристики
для двух вариантов при Ма = 103 (варианты 13 и 16), первый из которых
109
0,8'-
0,6 -
0,1,
0,2-
1
5
зо
1
fe
О
°о°о
1
о /
®2
О
0
О
©
1 t
со°
SB©
Р н с. 3.28. Зависимость максимальной A)
и средней B) температур расплава от кине-
кинетической энергии движения жидкости
5
10
15 20
/О'7
соответствует симметричному четы-
рехвихревому, а второй - несимме-
несимметричному режиму. Хотя максималь-
максимальные значения скоростей во втором
случае несколько выше, суммарная
кинетическая энергия оказывается
меньше, а средняя и максимальная
температуры несколько выше, чем в
симметричном режиме. Приблизительно на 8% больше неоднородность рас-
распределения потока тепла.
В данной главе сопоставлены характеристики, по сути, трех различных
задач: термокапиллярная конвекция при одной свободной поверхности,
взаимодействие гравитационной и термокапиллярной конвекции, а также
термокапиллярная конвекция при двух свободных поверхностях.
При исследовании задачи варьировались числа Рэлея и Марантони, изме-
изменялись граничные условия. Все это вызывает не только изменение инте-
интегральных характеристик, но и изменения структуры течения и поля темпе-
температуры. Тем не менее зависимость средней и максимальной температур
расплава от аналога кинетической энергии, приведенная на рис. 3.28, имеет
достаточно универсальный характер и, видимо, слабо чувствительна к
структуре течения и причине, его вызывающей.
По виду кривых можно выделить участки сильной зависимости тепло-
теплового режима от энергии течения расплава (при Ект < 5-Ю7) и участок
слабой зависимости (при Ект > 10в).
При планировании и проведении экспериментов по зонной плавке мате-
материалов в условиях невесомости необходимо учитывать, что при свободной
поверхности интенсивность перемешивания расплава сохраняется на вы-
высоком уровне. Вследствие этого при зонной плавке даже в условиях неве-
невесомости не следует ожидать диффузионного распределения примеси. Кроме
того, в условиях невесомости может возрасти кривизна фронта кристал-
кристаллизации, что является нежелательным для производства многих веществ.
Тем не менее зонную плавку в условиях пониженной гравитации целесо-
целесообразно применять для глубокой очистки образцов большого диаметра,
а также для синтеза таких веществ, исходные компоненты которых сильно
отличаются по плотности и расслаиваются в условиях нормальной силы
тяжести.
3.4.4. Некоторые технологические эксперименты по нестационарной
конвекции Марангони. В добавление к разд. 3.1, где был дан краткий об-
обзор экспериментальных работ по исследованию конвекции Марангони,
остановимся более подробно на экспериментах по изучению особенностей
конвективных режимов в модели зонной плавки, используя для их
интерпретации полученные выше численные данные.
До недавнего времени было проведено лишь несколько экспериментов
по зонной плавке в условиях невесомости. При полете "Спейслаб-1" на
110
установке радиационного нагрева [190] из-за недостаточной отработки
теплового режима в одном случае жидкая зона разорвалась, во втором —
произошло смыкание фронтов плавления и кристаллизации, что вызвало
поликристаллический рост , а в дальнейшем за счет выбора преимуществен-
преимущественного направления роста был получен блочный кристалл. Сложность назем-
наземной отработки теплового режима в этих экспериментах связана с запол-
заполнением рабочей камеры установки инертным газом, конвективный тепло-
перенос в котором значительно изменяется при переходе от земных условий
к условиям невесомости.
Бестигельная зонная плавка германия и антимонида галлия [15, 17], а
также антимонида индия была осуществлена на беспилотных спутниках
серии "Космос". В обоих экспериментах авторы отмечают наличие полос
роста, свидетельствующих об интенсивном, возможно колебательном тече-
течении в расплаве. В качестве причин движения жидкости авторы предпола-
предполагают: а) остаточную гравитационную конвекцию, б) термокапиллярную и
концентрационно-капиллярную конвекции. По оценкам [15], числа Маран-
гони в экспериментах были Ма « 102, Мас = 104. Авторы [16] дают оценки
Ма ^ 150, Мас « 105. Как видно, в обоих случаях предполагается существен-
существенное преобладание концентрационно-капиллярной конвекции над термо-
термокапиллярной и гравитационной. Однако отсутствие точных данных о свой-
свойствах расплава полупроводников не позволяет точно определить режимные
параметры процесса. В обоих случаях эксперименты не сопровождались
измерениями температур и скоростей течения в жидкой зоне, что связано с
очевидными трудностями для таких измерений в технологических процес-
процессах. По этой причине важное значение имеют данные лабораторных и полет-
полетных исследований бестигельной зонной плавки с применением модельных
жидкостей.
Еще в "дополетную" эру исследований Д. Швабе с соавторами провел
ряд экспериментов по исследованию особенностей течений, вызываемых
поверхностным натяжением [257]. В этой работе, как и в ряде других
[183, 270], для значительного преобладания конвекции Марангонинад
гравитационной жидкий столбик расплавленной соли NaNO3 небольшого
размера (~ 5 мм) нагревали сверху. Это ослабляло гравитационную кон-
конвекцию, во-первых, за счет небольших размеров жидкой зоны, а во-вторых,
из-за создания устойчивой температурной стратификации (подогрев свер-
сверху) . В эксперименте визуально фиксировалась структура течения и парал-
параллельно были выполнены измерения температуры в области расплава. Были
обнаружены температурные колебания с частотой около 0,25 Гц и ампли-
амплитудой примерно 5 К при диаметре зоны около 10 мм. Авторы отмечали
также рост частоты колебаний с увеличением температурного перепада.
Во втором эксперименте авторам удалось наблюдать колебания, обу-
обусловленные взаимодействием термо- и концентрационно-капиллярной
конвекции. В NaNO3 было добавлено органическое вещество, которое
разлагается при температуре примерно 330°С, причем продукты реак-
реакции разложения значительно в меньшей степени снижают поверхностное
натяжение, чем исходное вещество. В результате изменились направления
течения жидкости (от холодной к горячей подложке) и форма фронта
плавления столбика NaNO3.
in
К сожалению, дальнейшее развитие работы по исследованию взаимо-
взаимодействия термо- и концентрационно-капиллярной конвекции не получили,
однако авторы высказывают предположение о возможной потере устойчи-
устойчивости течения, обусловленной взаимодействием конвекции этого вида.
В цитированной ранее работе [182] использован аналогичный прием,
а именно столбик метилового спирта диаметром 3 мм и высотой 2,2 мм
подогревали сверху. Развивающееся течение обусловлено в основном
термокапиллярным эффектом. При Ма = 4,46 • 104 наблюдались колебания
температуры с частотой 1 Гц и амплитудой 1 К. Путем экстраполяции
экспериментальных данных авторы определили, что в их экспериментах
критическое число Марангони перехода к нестационарному течению лежит
в пределах 10* < Ма < 1,47* 1С.
В работе [272] продолжено изучение особенностей термокапиллярной
конвекции в полузонах, подогреваемых сверху. В стационарных режимах
течения были подробно изучены возникающие структуры течения, а также
распределения температуры по объему жидкого столбика, проведены
измерения скорости. При исследовании осциллирующей термокапиллярной
конвекции авторы обнаружили, что вблизи критического числа Марангони
Ма = 7° 10л теряет устойчивость мода единственной длины волны X * 2,2,
наблюдаемая частота колебаний не зависит от отношения диаметра к длине
зоны, однако безразмерная частота колебаний увеличивается с его ростом.
Неустойчивость течения связана с потерей течением осевой симметрии.
При небольшой длине жидкого столбика критическое число Марангони,
видимо, слабо зависит от размеров жидкой зоны и для различных диамет-
диаметров слоя лежит в диапазоне 6,5-103 < Макр < 7,5 • 103, однако с увели-
увеличением длины столбика начиная с некоторого момента Макр увеличивается
с длиной зоны. Безразмерная частрта колебаний растет с увеличением отно-
отношения сторон слоя.
В экспериментах [233], выполненных с применением в качестве рабочей
жидкости силиконового масла, размеры жидких столбиков были около
10 см. При Ма ~ 104 авторы отметили возникновение колебаний, кото-
которые нельзя связать с потерей осесимметричности течения.
Для анализа и интерпретации результатов экспериментов еще недо-
недостаточно применялись данные математического моделирования рассмотрен-
рассмотренных линейных и нелинейных задач. Из этих данных, однако, следует, что
необходима детальная оценка побочных эффектов, которые могут вызы-
вызывать колебания в модельных экспериментах, проводимых в земных усло-
условиях. В первую очередь это относится к случаям гравитационной конвекции
при подогреве сверху, которая подавляется только в стационарных режи-
режимах, но нестационарные возмущения реализуются в виде внутренних волн.
Значительную роль, как и при гравитационной конвекции, играют числа
Прандтля. А именно результаты на модельных жидкостях при больших
числах Прандтля согласно теории не должны давать колебаний. Двумер-
Двумерные расчеты нелинейных режимов конвекции не дали колебаний при боль-
больших числах Марагони, что может указывать на значительную роль про-
пространственных мод. Идентификация всех этих эффектов требует более
детальной информации о физических свойствах рабочих веществ и харак-
характере граничных условий.
112
3.5. Особенности вынужденных движений
и диффузионно-тепловые режимы
в условиях теоретической невесомости
Медленные вынужденные течения являются основным типом течения
в некоторых методах роста кристаллов, а также в злектрофоретических
методах разделения веществ. В земных условиях имеет место взаимодей-
взаимодействие различных видов гравитационной конвекции и вынужденных тече-
течений. В условиях теоретической невесомости, т.е. в случае, если гравита-
гравитационной конвекцией можно пренебречь, а другие виды конвекции не
существенны, основным становится течение изотермической жидкости,
поэтому особенности этого типа течения и будут определять эффективность
данного процесса в невесомости. Однако с этих позиций вынужденные
течения, создаваемые вращением (бестигельная зонная плавка, метод
Чохральского), а также направленным движением жидкости (электро-
(электрофорез в свободном потоке), изучены пока еще недостаточно. Выполнен-
Выполненные во многих работах (см., например, [125, 134]) теоретические и экспе-
экспериментальные исследования показывают существенную зависимость струк-
структуры изотермического течения при вращении кристалла (тигля) в методе
Чохральского от ряда параметров: числа Рейнольдса, геометрии (отноше-
(отношении глубины к высоте) тигля, отношения диаметра тигля к диаметру
кристалла, соотношения между скоростями вращения кристалла и тигля
и др. При этом при определенном сочетании их численных значений могут
наблюдаться эффекты, которые могут быть причиной, макро- и микро-
микронеоднородности кристаллов. В частности, течение может потерять осевую
симметрию и стать неустойчивым. Однако и при стационарном течении
в подкристальной области могут возникать вторичные вихри, влияние
которых на распределение примеси в кристалле мало изучено.
В условиях теоретической невесомости могут также реализоваться
вторичные течения (рассматриваемые ниже, в гл. 7, при изучении направ-
направленного изотермического движения в методе проточного электрофореза)
Рис. 3.29. Температурное расслое-
расслоение, вызванное вынужденной кон-
конвекцией
йв
0,1
0,01
1
60 Ре
вблизи участка входа биопродукта в буферный раствор. Эти вторичные
течения существенно влияют на качество разделения веществ. Указанные
здесь и рассматриваемые в этой главе примеры показывают, что для многих
методов получения веществ одного только исключения гравитационной
конвекции в невесомости недостаточно и требуется тщательное исследо-
исследование особенностей вынужденного движения, которое может быть вы-
8. Зак. 1319 113
950
960
910
П
19
20
Рис. 3.30. Конфигурации проплавленной зоны образца германия диаметром 15 мм в
зависимости от температурного градиента и максимальной температуры на границе
полнено, в частности, с помощью изотермических моделей общего на-
назначения.
3.5.1. Эффект максимума температурного расслоения, вызываемый
вынужденной конвекцией в невесомости. Слабые вынужденные течения
могут приводить к макронеоднородности подобно слабой тепловой гра-
114
витационной конвекции (разд. 2.2) или термокапиллярной конвекции
(разд. 3.3). Для демонстрации этого эффекта рассмотрим перенос тепла
вынужденным течением в квадратной области. Течение создается движу-
движущейся крышкой, а поток тепла задан на боковой поверхности. Основа-
Основания области теплоизолированы. В этом отношении начальные и граничные
условия соответствуют задаче, рассмотренной в п 2.2.1, за исключением
115
того, что на верхней крышке задана скорость. При отсутствии движения,
как и в упомянутом случае, вертикальные разности будут равны нулю,
поэтому вертикальная неоднородность температурного поля может быть
вызвана только вынужденным движением, интенсивность которого опре-
определяется числом Пекле Ре.
На рис. 3.29 представлен результат расчета зависимости безразмерной
разности температур по вертикали Ав от числа Ре, из которого видно,
что вертикальная макронеоднородность температурного поля вначале
возрастает при увеличении интенсивности движения, достигает макси-
максимума при некотором числе Ре (Ре ~ 50) и затем уменьшается. Количест-
Количественное значение Ав близко к тому, которое обусловлено тепловой грави-
гравитационной конвекцией. По-видимому, следуя аналогии сданными разд. 2.1,
такой же результат следует ожидать и для макронеоднородности распре-
распределения примеси в случае, если рассматривается массообмен. Физическая
причина этого эффекта та же самая, как и в случаях тепловой гравитацион-
гравитационной и термокапиллярной конвекции. Она заключается в изменении режи-
режимов конвекции: слабая конвекция "работает" на расслоение, а интенсив-
интенсивная — перемешивает. Этот эффект имеет принципиальное значение при
практическом использовании медленных вынужденных течений в состоя-
состоянии теоретической невесомости.
3.5.2. Диффузионно-тепловые поля при отсутствии движения. Для
решения задач тепло- и массообмена без учета конвекции в Институте
проблем механики АН СССР разработан комплекс программ LAPLACE
[139], позволяющий на основе метода конечных элементов рассчитывать
поля температуры и концентрации примесей в областях произвольной
формы, состоящих из материалов с различающимися свойствами. Ком-
Комплекс программ адаптирован для персональных компьютеров, нашел
эффективное применение в технологической практике для анализа тепло-
и массообмена при получении монокристаллов и полупроводниковых
структур методами бестигельной плавки, направленной кристаллизации,
жидкостной эпитаксии. Метод применялся для расчета полей температур
в невесомости без учета конвекции в объемах расплава сложной формы,
композиционных материалов, состоящих нз металлической матрицы,
армированной включениями [138]. Он особенно эффективен для расчета
тепловых полей различных нагревательных печей в условиях невесомости.
Например, такой программный комплекс является основой для решения
всех типов упоминавшихся выше диффузионно-тепловых задач, в том
числе сопряженных задач для определения граничных условий на границах
ампул при постановке технологических экспериментов в космических пе-
печах, а также при обработке результатов технологических экспериментов.
В качестве примера на рис. 3.30 приведены результаты расчета изотерм
температурного поля в образце германия для модели технологического
эксперимента по бестигельной зонной плавке в условиях орбитального
полета (см. [61]) для различных режимов нагрева. Рассчитанные изо-
изотермы помогают, в частности, определить форму расплавленной зоны
в образцах различного диаметра в зависимости от максимального значения
температуры и температурного градиента в кристалле.
m
Глава 4
КОНВЕКЦИЯ И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОМ ИЗМЕНЕНИИ
МИКРОУСКОРЕНИЙ
В этой главе, переходя к наиболее близкому для реальных условий
орбитального полета и более общему по сравнению с гл. 2, 3 случаю,
когда микроускорения изменяются в пространстве и во времени, мы
ограничимся рассмотрением только тепловой гравитационной конвекции
в замкнутом объеме и ее влияния на распределение примеси, продолжая
предпринятое в предыдущих главах изучение макро- и микронеоднород-
ностей температурных и концентрационных полей.
К настоящему времени уже достаточно хорошо понята высокая грави-
гравитационная чувствительность большинства процессов, лежащих в основе
получения материалов из жидких питающих сред и разделения веществ,
имеются также некоторые результаты измерений микроускорений на
космических станциях в процессе выполнения технологических экспе-
экспериментов [65, 192].
Качественный анализ гравитационной чувствительности на основе оценок
и методов подобия представлен, в частности, в монографии [192]. Оче-
Очевидным является определенный "дефивдт" математических моделей,
с одной стороны, достаточно полно описывающих сложную структуру про-
процессов тепло- и массообмена, в том числе пространственную структуру,
а с другой стороны, обеспечивающих анализ амплитудно-частотного диапа-
диапазона изменения микроускорений в реальных условиях полета (см. гл. 1,
рис. 1.7). Это чрезвычайно сложная задача гидромеханики, так как еще
не до конца решены задачи о неустойчивости, переходных и турбулентных
режимах конвекции при постоянно действующей приложенной внезапно
массовой силе в замкнутых двумерных (и тем более трехмерных) обла-
областях (см., например, [68]). Поэтому все существующие подходы, и в том
числе подход, развиваемый ниже в этой главе, ориентированы на изучение
конвекции при сравнительно небольших числах Рэлея.
Наиболее хорошо разработана в последнем случае модель, основанная
на усредненных уравнениях конвекции, которая, в частности, дает описа-
описание крупномасштабной конвекции в случае нулевого в среднем микро-
микроускорения [52]. В работах [34, 55, 56, 58] подробно исследованы свой-
свойства усредненного механического равновесия, а также выполнено пара-
параметрическое исследование усредненных конвективных течений в замкну-
замкнутых областях при различных направлениях потока тепла по отношению
к направлению вектора микроускорения, а также при различных отноше-
отношениях сторон. Работы по прямому численному решению нестационарных
уравнений Навье-Стокса еще не столь многочисленны и не носят такой
систематический характер, кроме того, ограничены преимущественно
двумерным приближением [58, 253]. Из имеющихся результатов, однако,
трудно найти представляющие наибольший практический интерес данные
117
о макро- и микронеоднородностях полей температуры и концентрации, вы-
вызываемых нестационарной конвекцией в расплавах, характеризующихся
малыми числами Прандтля.
Данная глава, в которой мы уделяем большое внимание методологии
исследования этого класса задач, начинается с модели, основанной на
уравнениях нестационарной конвекции переноса тепла и массы при про-
произвольно действующих микроускорениях в трехмерном пространстве
(разд. 4.1), для исследования которой используется несколько более
простых моделей.
В двумерной модели (разд. 4.2) рассматриваются микроускорения,
действующие лишь в плоскости орбиты. Продолжая начатое в гл. 2 изу-
изучение эффектов макронеоднородности концентрационных полей в рас-
расплавах полупроводников при постоянном микроускорении, в разд. 4.2
рассмотрено низкочастотное изменение во времени микроускорения при
Рг < 1, включая случаи равного и не равного нулю среднего во времени
микроускорения. Это дает, в частности, возможность сформулировать
условия по поддержанию микроускорений на борту орбитальной станции,
требуемые для получения высокооднородных кристаллов. Исследование
влияния нестационарности микроускорения, включая случаи изменения
его направления во времени, продолжено в гл. 6 для модели жидкост-
жидкостной эпитаксии.
Анализ трехмерной модели тепловой гравитационной конвекции
(разд. 4.3) представляет наибольшие трудности, в связи с чем предвари-
предварительно рассмотрены случаи пространственного стационарного движения
обусловленного вращением, и нестационарной трехмерной конвекции
при ступенчатом включении постоянного микроускорения.
При рассмотрении последней, самой общей, модели в подразд. 4.3.2
использованы результаты расчета микроускорений в реальном полете
станции "Салют", полученные в работе [152] по измерениям движения
станции с помощью датчиков магнитного поля и положения Солнца. Этот
метод дает достоверные данные о микроускорениях в течение достаточно
длительного промежутка времени, недоступные в настоящее время пря-
прямому измерению с помощью акселерометров [65]. Эти микроускорения
являются, как и в случаях, рассмотренных в разд. 4.2 и ниже в гл. 6, низко-
низкочастотными. Влияние высокочастотных возмущений будет рассмотрено
на основе модели направленной кристаллизации с движущимся фрон-
фронтом в гл. 5.
4.1. Общая математическая модель
тепловой гравитационной конвекции и переноса массы
при пространственно-временном изменении микроускорений
Рассматривается конвекция неоднородной по температуре и/или по
концентрации примеси жидкости в замкнутом прямоугольном объеме,
движущемся относительно некоторой инерциальной системы координат.
С полостью связана подвижная система координат Oxyz, в которой движе-
движение и тепломассообмен описываются следующими уравнениями [54]:
divV = О,
118
av
— + (VV) V- 2(VX со) = - VP/p + v Д V + (РгГ + 0C c) (n(f) - со X
X (rXw)-rXw),
dt
Ъс
dt
где V - скорость; Р - давление; г - радиус-вектор, проведенный из начала
координат; ь> — угловая скорость подвижной системы; <Ь - угловое уско-
ускорение; п - вектор ускорения, которое не зависит от вращения. На грани-
границах полости предполагаются заданными значения температуры и концентра-
концентрации или их производных, а также условие прилипания. Конкретные поста-
постановки задач более подробно обсуждаются в разд. 4.2 и 4.3.
В уравнениях D.1) в отличие от уравнений B.1) —B.4) в случае по-
постоянного во времени микроускорения, рассмотренных в разд. 2.2, учи-
учитывается связанное с вращательным движением станции кориолисово
ускорение, а также центробежная сила, а изменение микроускорения g
предполагается зависящим от времени.
4.2. Тепловая конвекция и перенос примеси
при изменении микроускорения в плоскости орбиты
В этом разделе рассматривается один из частных случаев системы D.1)
в предположении, что изменения микроускорений имеют нестационарный
характер в амплитудно-частотном диапазоне, рассмотренном в гл. 1,а сум-
суммарный вектор микроускорений (массовой силы) находится в плоскости
орбиты, которая совпадает с меридиональной плоскостью технологиче-
технологической ампулы.
Цель такого рассмотрения состоит в изучении влияния нестационарной
тепловой конвекции при низких частотах на неоднородность распределе-
распределения примесей, что является дальнейшим развитием подхода, системати-
систематически изложенного в гл. 2. Используется аналогичная численная методика,
основанная на двумерных нестационарных уравнениях конвекции в пере-
переменных вихрь, функция тока, температура и концентрация, записанных
в следующем безразмерном виде:
со, + ы^х = ^хх ~^" ^уу "^ [( ^х ~^" Gr^C^)sinip + (Gr0v + Gxc(Jv)Cosip\,
Ct + uCx + vCy = (ljSc)(Cxx + Cyy) .
Здесь: и = фх, v =-фу, в = (Г-Г,)/ДГ, С= (с - cs)l(c,- cs), Gr =
= gPTH3AT/v2 - число Грасгофа; Grc =g$cH3{cl - cs)lv2 - диффузионное
число Грасгофа; Рг = ф - число Прандтля; Sc = Ргд = v/D - число Шмид-
Шмидта; v — коэффициент кинематической вязкости; а — коэффициент тем-
температуропроводности;/)— коэффициент диффузии; &т>@с ~ коэффициенты
температурного и концентрационного расширения соответственно; с — раз-
119
мерная концентрация примеси; cs, c{ - концентрация примеси в твердой
и жидкой фазах соответственно; Ts - температура кристаллизации; AT —
характерная разность температур; Н, L - ширина и длина рассматриваемой
области; <р — угол наклона массовой силы к вертикальной оси; g = g(t) —
микроускорения (массовая сила). В качестве масштабов длины, времени,
скорости, температуры и концентрации здесь выбраны соответственно
H,H2[v, v/H, AT и ct-cs.
Сопряжение с рассмотренной в гл. 1 задачей о расчете микроускорений
осуществляется здесь в правой части уравнения вихря, где в определяющие
критерии гравитационной конвекции - числа Gr и Grc D.2) входит в об-
общем случае изменяющаяся во времени функция # (t), получаемая из ре-
решения уравнений движения орбитальной станции вокруг центра масс (см.
гл. 1) либо на основе прямых измерений с помощью акселерометра или
датчиков угловых скоростей. Ниже будет использоваться представление
микроускорений в виде
D.3)
или в безразмерном виде
Ra = Ra0sincor + Racp ,
где а — амплитуда; ?2 = cjR2/L — безразмерная частота; со — размерная
частота; Ъ — постоянная составляющая массовой силы.
Из всех технологических процессов, проводимых на борту орбитальных
станций, выделим характерный процесс выращивания монокристаллов
полупроводниковых материалов (германий, соединения А3В5 и др.) мето-
методом направленной кристаллизации. Такие процессы реализованы на уста-
установках типа "Сплав", "Кристалл" [18, 164,165] и др. Типичная технологи-
технологическая ампула имеет диаметр 1 см и длину 4 см. Указанным условиям
соответствуют следующие диапазоны изменения чисел Ra и ?2:
0<Ra<104, 0<Racp<5- 102, 1(Г3<?2<1.
Ограничимся лишь случаем, когда направление вектора силы фиксиро-
фиксировано и составляет по отношению к продольной оси ампулы прямой угол.
В связи с высокой температуропроводностью расплавов полупроводнико-
полупроводниковых материалов (Рг * 0,01) и сравнительно малыми числами Рэлея можно
считать (см. гл. 2), что основным механизмом движения является грави-
гравитационная тепловая конвекция. Основная задача, которая будет рассматри-
рассматриваться ниже, состоит в изучении неравномерности распределения примеси
при получении монокристаллов направленной кристаллизацией в ампуле
при наличии нестационарных микроускорений. Модель направленной
кристаллизации используется здесь в упрощенной форме, в связи с чем
она относится нами к моделям общего назначения. Более полная модель,
учитывающая движение фронта кристаллизации и относящаяся к специаль-
специальным моделям, рассмотрена в гл. 5.
4.2.2. Модель переноса примеси при направленной кристаллизации.
Так как при выращивании полупроводниковых кристаллов методом на-
направленной кристаллизации время продвижения фронта кристаллиза-
кристаллизации существенно больше времени формирования стационарнрй
120
Р и с. 4.1. Расчетная схема области (в),
граничные и начальные условия по кон-
концентрации и температуре (б)
#// = 4; О < S < 1; Г,, С[ и Г,, cs -
температура и концентрация в жидкой
и твердой фазах
а ,
н
' 0
6
h
У
щ
1
1
—Г"
1
L
ШШМтттт
до/ду=о
ц
111
t r#
конвекции, то фронт кристаллизации считается неподвижным, граничные
условия по температуре и концентрации имеют вид
х = 0, 0<^<1: 0=0, С=0,
x = L/H, 0<^<l: 0 = 1, С=1,
0<x<L/H, y=l, у = 0: 6=Вхх, ЪС/Ъх = 0.
Здесь Вх - безразмерный градиент температуры.
Захват (или отторжение) примеси моделируется граничными условия-
условиями 1-го рода для концентрации на границе области (рис. 4.1). В случае
отторжения примеси (что типично для рассматриваемых полупроводнико-
полупроводниковых материалов) перед фронтом кристаллизации образуется диффузион-
диффузионный слой, который представляется линейным распределением примеси
С = В2х, задающим начальное распределение концентрации в области (см.
рис. 4.1). Относительная ширина распределения концентрации 5 = 5/Z,
@ < S < 1) характеризует, таким образом, толщину диффузионного слоя
примеси перед фронтом кристаллизации.
Начальные условия соответствуют неподвижному расплаву и линейному
распределению легирующей примеси вдоль оси ампулы:
т = 0, 0<x<L/H, 0<>-<1: С=1 -В2х, ф = 0
или
0<x<L/H,
С=1 -Вгх.
В большинстве случаев толщина диффузионного слоя зависит от скоро-
скорости роста монокристалла (движения фронта кристаллизации), поэтому гра-
градиент концентрации б качественно отражает наличие фронта в задаче с не-
неподвижным фронтом кристаллизации.
Рассмотрены следующие области параметров: 10<Рг<10,0<Ra<10 ,
0 < г < 2. Во всех расчетах, если не оговорено особо, Sc = 10, Rac = 0.
Однородность структуры характеризуется усредненной по длине ло-
локальной, поперечной (вдоль диаметра ампулы) разностью концентрации:
1 L
ДС=— / Acdx,
L о
где Ас = Асу = 0 - Асу=н
(макросегрегация).
- изменение крнцентрации поперек ампулы
121
0,05 0,1 0.15 0,2 h
е,%
20
16
а
8
О
Г \ 6
\
¦ Г^
i
у-
у
t,tlUH
10
8
.6
Г
Рис. 4.2. Относительные ошибки числен-
численных расчетов в зависимости от среднего
сеточного шага (в), шага интегрирования
по времени (б) и времени интегрирова-
интегрирования (в)
1, 3 — ошибки расчета концентрации,
2 — функции тока, 4 — затраты процес-
процессорного времени t ЭВМ ЕС-1040, 5-10 -
концентрации в различных узлах сетки
0,0025 0,005 0,01
0,02-
9-е,
CS.S'
6,2'
6 - et
10-е,,
7-е
3.5'
8-е
9,9'
Для решения уравнений D.2) используется метод конечных разностей.
Подробное описание метода и комплекса программ, разработанного в Ин-
Институте проблем механики АН СССР, дано в [134]. Расчеты выполнены
на равномерной сетке на ЭВМ ЕС-1ОЗЗ и -1040. Использовались сетки
21 X 65, 11 X 65, 11 X 33, 11 X 17. Точность расчетов в зависимости от се-
сеточных параметров можно оценить на примере переходного процесса пере-
перераспределения примеси при ступенчатом изменении микроускорения.
На рис. 4.2, а показана зависимость относительной ошибки расчета
Фтах и Дстах от среднего сеточного шага А = фх +hy)/2 для переход-
переходного режима, при этом Ra = 500, 5 = 1, Рг = 0,016, г0 = 0,01. В сравнении
с более подробными сетками 11 X 65 и 11 X 33 величина ошибки расчета
макросегрегации на сетке 11 X 17 отличалась соответственно на 7,5 и 2,5%.
Влияние шага по времени на точность расчетов показано на рис. 4.2,6,
Ошибка в определении величины концентрационного расслоения (кри-
(кривая 3) не более 3% для временного шага менее 0,01. На рис. 4.2,в пока-
показано изменение относительной ошибки в расчете концентрации примеси
при Ra = 100, Рг = 0,016, т0 = 0,01 в различных точках расчетной области
(гДе eij = (cij - ci,2)-i)lcij, a cih ci2j_l - концентрации) при исполь-
использовании сеток 11 X 17 и 11 X 33. Отличия величин концентрации в области
на сетке 11 X 17 не превышают 8% в сравнении с сеткой 11 X 33. В даль-
дальнейшем основными параметрами расчетной схемы, если они особо не от-
отмечаются, являются сетка 11X33 или 11X17, шаг по времени
То = 0,011.
4.2.3. Конвекция и перенос примеси при мгновенном изменении мас-
массовой силы. При мгновенном изменении массовой силы после переходно-
122
С йС
0,3
0,2
0,1 -i
/ mni
-0,6
-0,4
\
\
Ms
s
\
4
k/
\
\
s
I
¦\
4^
><
V
—«^.
о о о
ABC
1
1 1
0,05 0,1 0,15 0,2
И
Рис. 4.3. Поведение максимальной функции тока (кривая 1), расслоения примеси
B) и концентрации в точках области А, В, С C, 4, 5) для переходного процесса
при ступенчатом изменении массовой силы при Ra = 500, Рг = 0,01, 6 = 0,5, т0 = 0,0025
(сетка И X 65)
Внизу показана эволюция изолиний концентрации (/ — т = 0,01, АС = 0,04; // —
т - 0,04, АС = 0,39; III - т = 0,105, АС = 0,6;/К - т = 0,135, АС = 0,4; V - т = 0,16,
ДС=0,2;К/-т = 0,185, ДС=0,1)
го процесса конвективное течение и массообмен в области достигают
некоторого стационарного уровня. При рассматриваемых параметрах
в переходном процессе конвективное течение имеет одновихревой харак-
характер, причем структура движения не зависит от величины массовой силы
и начального градиента концентрации. Максимальное значение функции
тока монотонно выходит на некоторый уровень (рис. 4.3,а, кривая 1),
величина которого зависит от числа Рэлея.
Перенос массы при этом имеет существенно немонотонный характер.
На рис. 4.3,6 показано изменение во времени полей концентрации для
начального градиента 5 = 0,5 и Ra = 500 (линиям 1, 2, 3 соответствуют
значения концентрации 0,25; 0,5; 0,75).
Конвективное движение переносит примесь, поступающую с фронта
кристаллизации, распределяя ее по всей области. При этом одновременно
с перемешиванием происходит диффузионный перенос примеси, причем
при наличии только диффузии примеси расслоение поперек ампулы от-
отсутствует. Взаимодействие конвективного перемешивания и диффузии
приводит к пульсациям величины концентрации в отдельных точках. Ам-
Амплитуда пульсаций зависит от интенсивности конвективного перемеши-
перемешивания (см. рис. 4.3,а, кривые 5-5). Соответственно возникает и немоно-
123
тонность развития концентрационнного расслоения АС (рис. 4.3,а, кри-
кривая 2).
Объяснение этого факта можно связать с картиной эволюции изолиний
концентрации (рис. 4.3, б). Первоначально (до г = 0,03) интенсивность дви-
движения мала и в области сохраняется начальное, равномерное по диаметру
распределение примеси (рис. 4.3,5, I) . С развитием конвекции поперечная
неоднородность распределения примеси возрастает (рис. 4.3,6, II, III),
с течением времени интенсивность перемешивания увеличивается, что
наряду с процессом диффузии приводит в дальнейшем к уменьшению
расслоения (рис. 4.3,6, IV—V). Таким образом, образуется характерный
максимум в расслоении примеси. Взаимодействие конвективного и диф-
диффузионного переноса в итоге приводит к некоторому стационарному рас-
расслоению, величина которого существенно меньше максимума расслоения
в переходном процессе.
Переходный процесс характеризуется значением безразмерного време-
времени ттах, когда достигается максимум расслоения концентрации АСгаах
(заметим, что период пульсаций функции отклика Го *» 4ттах), величиной
стационарного расслоения концентрации ДССТ и времени достижения
стационарного распределения тст (рис. 4.3,а, кривая 2). В дальнейшем
в качестве определяемых наряду с минимальной функцией тока выбраны
два параметра — время и величина первого максимума расслоения
примеси.
Параметрическое исследование переходного процесса. Рассмотрим влия-
влияние на параметры переходного процесса величины мгновенно приложенной
поперечной массовой силы. Интенсивность конвективного течения с уве-
увеличением массовой силы (числа Рэлея) монотонно возрастает и не зависит
от толщины начального диффузионного слоя (рис. 4.4). В отличие от функ-
функции тока расслоение концентрации примеси существенно зависит от толщи-
толщины диффузионного слоя 5.
Зависимости величины максимума расслоения и стационарного значения
расслоения от числа Рэлея показаны на рис. 4.5 для б=0и5 = 1.В обоих
случаях значения ДСтах превосходят значения ДССТ в 1,5—3 раза, и в от-
отличие от ДССТ величина ДС^х не имеет выраженного экстремума (эффект
максимума стационарного концентрационного расслоения, определенного
ранее в [140]), монотонно возрастает с ростом числа Рэлея в рассмотрен-
рассмотренном диапазоне (Ra < Ю3), достигая некоторого насыщения для числа
Ra = 300.
Время выхода на стационарный режим тст и время первого максимума
Тщах расслоения примеси уменьшаются с увеличением интенсивности
движения: с ростом числа Рэлея ттах и тСТ отличаются в зависимости
от начального градиента концентрации в 2—5 раз (см. рис. 4.5). Начальный
градиент концентрации интенсифицирует перераспределение примеси
в переходном процессе. Этот вывод может оказаться существенным для
выбора скорости кристаллизации в условиях реальной невесомости. При
определенном значении 5 E « 0,5 т 0,7) имеет место экстремум величины
максимума.
Отметим, что даже малые потоки концентрации от фронта кристаллиза-
кристаллизации существенно увеличивают величину ДСтах, особенно при больших
числах Рзлея (рис. 4.6, кривые 5, 6).
124
-
>i}~^ 1 1
Д 6=1
о 6=0
i
т 0,02 0
250 500
750 Ro
Рис. 4.4. Зависимости максимальной функции тока от времени и от числа Рэлея
для переходного процесса при 5 ¦ 1 и О
1, 2 - Ra = 500, 3 - 200, 4 - 100, 5, 6 - 30. Кривые 2, 6 - сетка 11 X 33, осталь-
остальные- 11 X 17
0,2-
0,1 -
103 10'
' \
\
\
)
4
\
\
\
л
>
к
ШШЯШ6~1
—6-0
г
10
Z
U 10*
Рис. 4.5. Зависимости максимума расслоения примеси ДСтах, стационарной величи-
величины расслоения ДССТ и соответствующих им характерных времен ттах, тп от числа
Рэлея в отсутствие E=0) и при наличии E=1) начального диффузионного слоя
для переходного процесса
1—
•>
^
1
3
1,0
0,25
0,5 0,75
Рис. 4.6. Зависимости стационарного (штриховые кривые), максимального (сплош-
(сплошные кривые) расслоения концентрации примеси и времени максимума расслоения
от начального градиента концентрации (толщины диффузионного слоя) для чисел
Рэлея 30, 500, 1000 (кривые 1, 2, 3 соответственно) для переходного процесса
0,6
0,<f
0,2
_
д 6=1
~ A 6=0
_
1 -A i
r t
A
/
/ /
1 I
-20
-10
/1С
t 0,6
0,2
0
0,01 0,1
1,0 Pr
0 0,01 0,1 1,0
?r
Рис. 4.7. Зависимость времени
максимума расслоения, макси-
максимальной функции тока и макси-
максимального и стационарного рас-
расслоения концентрации от числа
Прандтля для переходного процес-
процесса при наличии (8 =1) ив отсут-
отсутствие (8 = 0) диффузионного слоя
для Ra = 500, т = 0,01 (сетка
11 Х17)
Время переходного процесса монотонно изменяется при увеличении
начального градиента концентрации. Влияние 5 на rmax существенно лишь
для малых значений 5. Для больших толщин диффузионного слоя (при
5 > 0,5) время переходного режима практически не меняется.
Отметим, что рассмотренные свойства переходного режима относятся
к материалам, которым соответствуют значения Рг < 0,1. Для материалов
с большим числом Прандтля (Рг > 1) (жидкие стекла, вода, буферные
растворы для электрофоретических процессов) с ростом значений числа
Рг отмечена нелинейность эволюции соответствующих процессов. В то же
время интенсивность движения, как и следовало ожидать, резко падает
с ростом числа Прандтля (рис. 4.7, кривая фтях) и не зависит от начальных
условий по концентрации. При увеличении числа Рг возрастает время пере-
переходного режима при сравнительно небольшом возрастании величины макси-
максимума расслоения концентрации и величины стационарного расслоения.
Толщина диффузионного слоя S, как и ранее, влияет на ДСтах и гтах
(см. рис. 4.7).
Таким образом, для более вязких жидкостей A < Рг < 10) переходная
функция расслоения АС(/) остается качественно такой же, как и для
малых чисел Прандтля (Рг < 0,1). Численные значения АСтах и ДССТ уве-
увеличиваются на 20-30% по сравнению с соответствующими значениями
для маловязких жидкостей.
4.2.4. Конвекция и перенос примеси при синусоидальной массовой
силе. В случае нестационарных микроускорений (далее всюду предпола-
предполагается гармонический закон изменения во времени микроускорений
я/So - a sin oof) существенно различаются два случая: среднее во времени
микроускорение Ь равно или не равно нулю.
126
Рис. 4.8. Чувствительность расслоения концентрации примеси к изменении! периода
колебания массовой силы для Ra = 100,6 = 1,0
а - Го =0,05;б- 0,15; в - 0,7
Невесомость в среднем (Ъ = 0). После некоторого переходного режима
в этом случае устанавливается колебательный процесс с частотой и> и
амплитудой ?Са, которая определяется периодом вынуждающих колеба-
колебаний. На рис. 4.8 в едином масштабе показано изменение амплитуды кон-
концентрационного расслоения для разных частот модуляции. При этом ампли-
амплитуда микроускорений остается постоянной (Ra = 100), периоды пульса-
пульсации составляют 0,05; 0,15; 0,7 (или в размерном виде для германия при
диаметре ампулы 1 см соответственно 0,5; 1,5 и 7 мин, для диаметра
3 см — 5; 15 и 70 мин). При колебаниях большой частоты (Го = 0,05; 0,15)
амплитуда концентрационного расслоения невелика (до 0,1—0,2). Для
низкочастотных колебаний, сравнимых с характерным временем пере-
переходного процесса для мгновенного изменения массовой силы, амплитуда
концентрационного расслоения достигает значительной величины.
Существование переходного режима, которому свойственна несим-
несимметричность колебания величины концентрационного расслоения, связа-
связано со знаком первого колебания массовой силы. При этом возникает,
как и в случае мгновенного приложения массовой силы, характерный
максимум, или первый пик расслоения ДС^. После переходного процесса
устанавливается колебательный режим по всем параметрам ф, Т, С с часто-
частотой 1/Г0.
На рис. 4.9,а показано изменение среднего по длине расслоения. Одно-
вихревое движение имеет различное направление в зависимости от знака
127
* 0,08 0,16 p 0,2k 0,32 0,<f 0,48 c 0,56 T
10
Рис. 4.9. Изменение во времени расслоения концентрации примеси АС при несмещен-
несмещенной гармонической модуляции массовой силы g/g0 (Ra = 500, То = 0,45, S = 1, Pi =
= 0,01)
Внизу показаны изолинии функции тока (слева) и концентрации (справа) в зонах
зарождения и перестойки вихрей. 1—5 - т = 0,16; 0,231; 0,242; 0,253 и 0,32 соответ-
соответственно; 6 - т = 0,2 и ДС = 0,5; 7 - 0,231 и 0,1 ;8 - 0,242 и 0,3; 9 -0,352 и 0,2; 10 -
0,44 и-0,5
массовой силы. Перестройка направления вращения вихря происходит
за небольшой интервал времени после изменения знака массовой силы.
Возникающая при этом трехвихревая структура показана на рис. 4.9,6
(структуры 1-5): центральный вихрь A) ослабевает и исчезает, "раство-
"растворяясь" в противоположно направленных боковых B), которые в даль-
дальнейшем объединяются {3, 4) в одновихревую структуру E). Особенности
поведения примеси также определяются знаком (направлением) массовой
силы.
Среднее микроускорение не равно нулю (Ь Ф 0). В этом случае для кон-
концентрации устанавливается несимметричный знакопеременный или (при
128
Рис. 4.10. Изменение во времени расслоения концентрации примеси при гармони-
гармонической модуляции примеси со смещением среднего уровня (Ra = 500, Racp = 375,
Го = 0,7, S = 0,2, Рг = 0,01, сетка 11 X 65, т0 = 0,005)
Внизу показаны изолинии функции тока (слева) и концентрации (справа) в зонах
зарождения и перестройки вихрей. 1 - т = 0,18 и Ra = 745; 2 — 0,43 и -43, 3 — 0,44
И-75,8; 4 -0,45 и -110,4; 5 -0,67 и 72; б -0,76 и 110
определенных значениях Ь) знакопостоянный колебательный режим
(рис. 4.10,д). Возникают особенности и в структуре течения и распределе-
распределения примеси. На рис. 4.10,6 показаны изолинии поля скоростей и концен-
концентрации для колебаний с амплитудой Ra = 500 относительно среднего уровня
Racp = 375 при S = 0,2 и при периоде пульсации То = 0,7 (сетка 11 X 65 и
т0 = 0,005).
В случае подогрева слева (положительная массовая сила) перестройка
одновихревой структуры происходит по уже рассмотренной выше трех-
вихревой схеме (см. рис. 4.9,6, структуры 2-4), В отличие от случая
129
9. Зак. 1319
лс/лся
AC
0,6
0,1,
0,2
ас, m
- /° ^
. //~^p^ .-
tj/ACz
?
о
0,6
1,8 То
О
6 8 10Тд/Ст
Р и с. 4.11. Зависимость амплитуды колебаний расслоения установившегося режима
ДСа, первого максимума ДС, и первого минимума ДС, переходного режима от
периода колебаний массовой силы (Ra = 500, 6 = 1, Рг = 0,01)
Р и с. 4.12. Амплитуда установившихся колебаний расслоения, первого максимума
и минимума в зависимости от периода и различных амплитуд модуляции массовой
силы
Все параметры отнесены к соответствующим параметрам переходного процесса
для мгновенного изменения массовой сипы. 1 - Ra = 100, 2 — 500, 3 - 1000
с несмещенными колебаниями (Ь = 0) при подогреве справа (отрицатель-
(отрицательные перегрузки) перестройка движения жидкости полностью не завершает-
завершается и при формировании новой структуры течения возникает четырехвихре-
вая картина (рис. 4.10,6, структура 5). В связи с такими сложными вариан-
вариантами перестройки направления движения жидкости изменение концен-
концентрационного расслоения (см. рис. 4.10,д) существенно отличается от гар-
гармонического. При этом можно выделить некоторое среднее значение рас-
расслоения примеси (интересно отметить, что среднее значение расслоения
близко к стационарному расслоению переходного процесса в случае сту-
ступенчатого изменения массовой силы до уровня среднего значения модуля-
модуляции перегрузки). В общем для концентрации примеси менее выражено
распределение к "нижним" границам области при подогреве справа (отри-
(отрицательные перегрузки), и возникает выраженная область концентрации
примеси у "верхних" границ области. Этим объясняется наличие некото-
некоторого среднего уровня макросегрегации примеси.
Особенности переходного и установившегося режимов. Величины пер-
первого максимума ДС[ и первого минимума ДС2 расслоения примеси ха-
характеризуют переходный режим, а амплитуда пульсации АСа расслоения
примеси - установившийся режим (см. рис. 4.8). Следует ожидать, что
переходный и установившийся режимы должны определяться величиной
амплитуды массовой силы (критерии Рэлея), частотой A/Г0) и начальным
распределением концентрации в области (толщина диффузионного
слоя б).
Очевидно, что между колебательными режимами при гармонической
модуляции массовой силы и переходным процессом при ступенчатом ее
130
изменении должна существовать взаимосвязь (сравнение можно прово-
проводить в том случае, если амплитуда колебаний массовой силы и ее величина
при ступенчатом изменении равны).
На рис. 4.11 показано поведение параметров ACi и ДСг в зависимости
от периода модуляции массовой силы. При сравнительно низких периодах
модуляции То < 4ттах (Го < 0,2) процесс переноса примеси не успевает
развиться и расслоение не достигает величин АСтах и Д Сст. При То > 4ттах
расслоение в переходном режиме близко к величине расслоения при сту-
ступенчатом изменении (АСХ ~ АСтах"). Отметим, что параметры ACi и ДСг
зависят от Ra и значения 6 (см. рис. 4.5).
В поведении величины АСа имеется существенное отличие в сравнении
с переходным режимом. При частотах, близких к периоду переходного про-
процесса для ступенчатого изменения массовой силы (Го ~ 4ттах), амплитуда
колебания расслоения примеси возрастает и затем уменьшается с ростом
частоты (см. рис. 4.11).
4.2.5. Резонансные эффекты распределения примеси. Нахождение функ-
функции отклика при ступенчатом измении массовой силы (см. п. 4.2.2) поз-
позволяет выявить некоторые свойства уравнений конвекции. Можно пред-
предполагать наличие резонанса при периодах модуляции, близких к времени
переходного процесса (характерному гидродинамическому времени:
То ** 4ттах). В то же время, зная параметры переходного процесса, можно
исключить из параметрических исследований величины амплитуды и пе-
периода колебаний массовой силы. Для этого следует нормировать параме-
параметры переходных и установившихся режимов параметрами переходного
процесса при мгновенном изменении массовой силы, найденными для
соответствующих ее уровней.
На рис. 4.12 показаны результаты такой операции, где представлены
нормированные функции АСх1АСтлх, ДС2/ДСтах и ACajACmax ДЛЯ гра-
граничных условий при 5=1.
Оказывается, что при слабой конвекции (Ra < 103) характеристики
расслоения для переходного и установившегося режимов при колебании
с амплитудой Ra = 100, нормированные к параметрам переходного процесса
для Ra = 100, совпадают с нормированными подобным образом характе-
характеристиками расслоения для Ra = 500 и 1000. Использование функции от-
отклика позволяет исключить амплитуду модуляции массовой силы.
В этом смысле нормированная система параметров не образует грави-
гравитационно-чувствительную систему. Нормированные параметрические кри-
кривые, приведенные на рис. 4.12, являются универсальными, не зависящи-
зависящими от амплитуды колебания в диапазоне чисел Ra < 1000 и значений чисел
Рг < 0,1 при 0,05 < То < 2. Этот диапазон параметров охватывает область
кристаллизации полупроводниковых материалов в условиях орбитально-
орбитального полета.
После проведения соответствующей "нормировки" другого опреде-
определяющего параметра - величины начального градиента концентрации 6 -
получено, что толщина диффузионного слоя перед фронтом кристалли-
кристаллизации 6 не оказывает влияния на нормированные величины первого мак-
максимума ACi и первого минимума расслоения концентрации АС2 переход-
переходного режима (рис. 4.13,6).
131
acJac,
1,0
0,8
0.6
о,"
0,2
-б $*•>¦
АС,
' 1 ,
/ А
/л
-АС2
© / а <¦
V2 о 5
III II 1 1
0,1,
Рис. 4.13. Нормированная амплитуда колебания
расслоения концентрации примеси в установившем-
установившемся (в) и переходном режиме (б) в зависимости от
нормированного периода колебаний для различных
толщин диффузионного слоя 6
б: 1-5 - 6 = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 соответственно
Р и с. 4.14. Зависимости амплитуды колебаний рас-
расслоения примеси в установившемся режиме A) и
резонансного периода колебаний примеси B) от
толщины диффузионного слоя
Таким образом, переходный режим при гармонической модуляции
по отношению к функциям "отклика" является монотонным и не зави-
зависящим от амплитуды модуляции и толщины диффузионного слоя перед
фронтом кристаллизации.
Амплитуда расслоения концентрации АСа в установившемся режиме
ведет себя иначе. В этом случае градиент начальной концентрации 6 ока-
оказывает существенное влияние на величину нормированной амплитуды
расслоения установившегося процесса колебаний ДСа/ДСтах (рис. 4.13,а).
Для большой толщины диффузионного слоя F = 1) максимум амплиту-
амплитуды расслоения не превышает значения максимального расслоения функ-
функции отклика для соответствующего уровня. С уменьшением величины
начального градиента концентрации (S < 1) ив предельном случае
F = 0) амплитуда установившегося колебательного процесса вблизи
резонансных частот превосходит величину максимального расслоения
функции отклика. В то же время амплитуды концентрационного расслое-
132
ния установившегося режима АСа для вариантов 6 = 1 и 0 близки по аб-
абсолютной величине и достигают значения 0. На рис. 4.13,д эта зави-
зависимость для наглядности представлена в изометрической проекции. В ок-
окрестности "резонансной" частоты колебаний (Т0/ттах * 3 -г 4) возникает
характерный максимум. При этом для 8 < 0,2 резонансный максимум
более четко выражен и его величина превышает значения концентрацион-
концентрационного расслоения для функции отклика (ДСа/ДСтах > 1), что указывает
на резонансную интенсификацию перераспределения примеси вдоль обла-
области при гармоническом изменении массовой силы. Для б > 0,5 резонанс-
резонансный максимум и период не зависят от 6, при этом резонансный период
становится равным периоду функции отклика (Го = 4ттах) (рис. 4.14).
Вместе с тем следует обратить внимание на возможность уменьшения
неоднородности распределения примеси, следующую из результатов, пред-
представленных на рис. 4.13, 4.14. Таким образом, нестационарные микро-
микроускорения могут быть одним из видов управляющих воздействий на про-
процессы роста кристаллов.
4,3. Тепловая гравитационная конвекция
при изменении микроускорений в пространстве и во времени
4.3.1. Влияние ускорения Кориолиса на структуру тепловой конвекции
в прямоугольной области. В качестве примера исследования простран-
пространственного течения жидкости в условиях, характерных для орбитальной
станции, рассмотрим стационарную задачу 0 тепловой конвекции, вызван-
вызванной вращением. Изучается влияние ускорения Кориолиса на структуру
течения в удлиненном параллелепипеде, моделирующем в некотором
приближении технологическую ампулу.
Заполненный жидкостью прямоугольный объем, размерами LXHXH,
вдоль которого поддерживается постоянный градиент температуры у,
вращается с постоянной угловой скоростью <у вокруг некоторой оси
на расстоянии R от объема (рис. 4.15), где R> L. Введем систему коор-
координат Oxyz, связанную с объемом. Хотя с помощью разработанной про-
программы можно рассмотреть общую задачу при любой ориентации объема
относительно оси вращения, для более отчетливого выявления роли уско-
ускорения Кориолиса предположим, что ось вращения лежит в плоскости xz и
ось х составляет с осью вращения угол у. Будем также предполагать, что
параллельно этой плоскости действует некоторое постоянное ускорение п.
Тогда медленную тепловую конвекцию в приближении Буссинеска можно
описать во вращающейся системе координат следующей системой урав-
уравнений [54] в векторном виде:
divV = 0,
9V
— + (V V)V - 2(VX «) - - vp/p + vAV + /ЗгГ(п - wX (rXо»)), D.4)
ot
ЪТ
— +(VV)T=aAT,
at
Приведем зти уравнения к безразмерному виду, взяв за масштабы
133
Рис. 4.15. Схема расчета влияния ускорения Корио-
лиса на структуру тепловой конвекции в прямо-
прямоугольной области
длины, времени, скорости и температуры Н, H2jv, уН, v/H, тогда получим
divv' = О,
Ъи'/Ы' - (Та%ап?>)и' = -Эр'/Эх' + Дм' + Grx х',
- (Тайcos<^)w' = -Ьр'/ду' + Av',
где Та = 4oo2#4/f2 - число Тейлора; Gr, = (GJ2Rsirnp + nx
Grz = (~u>2Rcosip + n^fiyH4/?2 - соответствующие числа Грасгофа.
Введем новую безразмерную скорость (и, v, w) = (и1, v', w')/Gtz и новое
давление р = (р' - Grxx'2/2)/Gr2 , тогда получим
divv= О,
bujbt' -(Тайап^)и = -Эр/Эх' + Дм ,
Эи/Э?' + (Ta^sin^M - (Ta^cos^w = -bp/dy' + Av, D.5)
dw/dt' - (Тай
Составляющие центробежного ускорения и ускорения п вдоль оси х не
входят в уравнения D.5) и не оказывают влияния на течение, что связано
с введенным предположением о том, что градиент температуры постоянен
и направлен вдоль оси х (медленное течение или малые числа Прандтля).
Если число Тейлора мало, то решение уравнений D.5) не зависит ни
от Та, ни от ip. Тогда, например, размерный вектор скорости просто связан
с параметрами задачи:
V= »о(*\/. *'. О ("z - <2Kl
134
uB,0,i,5;0,25)\-103
wA,2; 0,25; 0,5)-103
2
60 100
Ta'/2
Рис. 4.16. Зависимости кинети-
кинетической энергии и компонент ско-
скорости в некоторых точках от
10
30
60 Та '^ числа Тейлора
где ?Г0 определяется только формой области. При увеличении числа Тейлора
можно найти такое его значение, когда С начнет заметно отличаться от Do,
т.е. ускорение Кориолиса будет изменять структуру течения.
Численное решение системы уравнений D.5) было получено на сетке
20 X 10 X 10 при следующих значениях безразмерных параметров: у = 0,8,
размер объема 4X1X1, Та = 0-^104. Когда число Тейлора равно нулю,
течение представляет собой одновихревое движение, симметричное отно-
относительно плоскости у = 0,5. Увеличение числа Тейлора приводит к потере
симметрии течения и уменьшению его безразмерной интенсивности. На
рис. 4.16 показаны зависимости кинетической энергии движения и неко-
некоторых локальных характеристик от числа Тейлора. Из этих рисунков
можно сделать вывод о том, что влияние ускорения Кориолиса начинает
сказываться при Та = 60.
В табл. 4.1 приведены значения квадратного корня из числа Тейлора
для характерных материалов, размеров и угловых скоростей вращения
D -1СГ3 °/с— угловая скорость вращения Земли; 0,04 - угловая скорость
обращения станции вокруг Земли; 0,4 °/с — угловая скорость вращения
станции "Салют" вокруг продольной оси [152]; 4 °/с - быстрая "закрут-
"закрутка", сравнимая с движением секундной стрелки).
Из таблицы видно, что "более чувствительным" к ускорению Кориолиса
будет металлический расплав. При реальных скоростях вращения станции
@,4 °/с) ускорение Кориолиса нужно принимать во внимание при анализе
структуры движений, возникающих в металлическом расплаве или воде.
4.3.2. Тепловая гравитационная конвекция в кубическом объеме под
действием переменных во времени и в пространстве микроускорений.
В заключение этой главы рассмотрим результаты численных расчетов
пространственной нестационарной тепловой конвекции под действием
переменных микроускорений, действующих по всем трем осям. Исход-
Исходные данные для этого случая взяты из работы [152], где микроускорения
135
Таблица 4.1
CJ,°/c
4' 10
0,04
0,4
4
Я, см
1
3
10
1
3
10
1
3
10
1
3
10
Та*
Расплав
0,14
1,4
14
1,4
14
140
14
140
1400
140
1400
14000
Вода
0,014
0,14
1,4
0,14
1,4
1,4
1,4
14
140
14
140
1400
Воздух
0,0014
0,014
0,14
0,014
0,14
1,4
0,14
1,4
14
1,4
144
140
рассчитываются по методике, использующей показания датчиков, изме-
измеряющих напряженность магнитного поля Земли и вектор положения Солн-
Солнца во время полета станций типа "Салют".
Стационарная пространственная конвекция. Прежде чем приступать
к реализации упомянутой общей постановки, рассмотрим вначале простран-
пространственную задачу конвекции с постоянным микроускорением, используя
ее результаты в качестве точки отсчета.
Рассматривается тепловая гравитационная конвекция в кубическом
объеме, заполненном жидкостью или газом, температура которого одно-
однородна и равна То. Все грани этого куба, за исключением одной, тепло-
теплоизолированы. В начальный момент времени к грани z = 0 подводится
постоянный во времени и равномерный поток тепла q (рис. 4.17). По
мере прогрева жидкости вдоль оси z, нормальной к нагревателю, создает-
создается температурная неоднородность. Если массовая сила равна нулю, то
тепловая конвекция отсутствует (режим теплопроводности) и темпе-
температура однородна в плоскостях, перпендикулярных оси z. При появлении
массовой силы с составляющей в плоскости ху в этой плоскости возни-
возникает неоднородность температуры в направлении проекции вектора уско-
ускорения на плоскость ху. Величина этой неоднородности зависит от величины
микроускорения и, как показано в [133], может достигать максимального
значения при определенном числе Рэлея. Отметим, что в отличие от дву-
двумерного случая, рассмотренного в гл. 2, здесь имеются разности темпера-
температуры в направлении, перпендикулярном вектору ускорения, которые,
однако, значительно меньше.
Безразмерные уравнения движения и теплообмена для этого случая
имеют вид
divv = 0, Ъ\/Ы + (vV)v = -Vp + Рг(Дv + Ra*0e),
b6lbt + (yV)e = Ae , D.6)
136
где в = (Т - То) I (qH/\) - безразмерная температура; Ra* = gflX
X (qH/X)H3l(va) - модифицированное число Рзлея.
Начальные условия: в = v = 0.
Граничные условия: v = bdjbn = 0 везде, кроме z = 0, где Ьв/Ъг = 1.
Система уравнений D.6) решалась разностным методом. Использова-
Использовалась сетка 10 X 10 X 10. Диапазон параметров: Рг > 0,1 и Ra* < 104.
Рассмотрим квазистационарный режим прогрева, который характери-
характеризуется тем, что разности температур между двумя любыми точками объема
10
Р и с. 4.17. Схема расчета
и зависимость температурно-
температурного расслоения от перегрузки
10
-7
10
-S
10
-5
ю
-"
не зависят от времени. Этот режим достигается (при Ra* < ДО4), когда
с момента начала прогрева прошла примерно единица безразмерного вре-
времени. В случае режима теплопроводности температурное поле одномерно
и максимальная разность температур (между нагревателем и противо-
противоположной гранью) равна 0,5. Будем искать зависимость разности темпе-
температур Ав между центрами теплоизолированных граней, расположенных
по нормали к вектору ускорения g, от чисел Рэлея Ra* и Прандтля Рг.
В результате расчетов в указанном диапазоне параметров была полу-
получена единая кривая Ав = /(Ra*), не зависящая от числа Прандтля (см.
рис. 2.7). В области чисел Ra < 103 зто линейная зависимость Ав = 1,7 X
X lORa*, или в размерном виде AT = 1,7 • 10 [C/(w)] (qH/XJH3g.
Разность температур в области должна быть ограничена некоторой вели-
величиной Гкип — То. Так как в безразмерном виде зта величина не может
быть больше 0,5, т.е. (Ткиа - То) j (qH/\) = 0,5, то, подставляя вместо
qH/X в приведенную выше формулу ^„п - ^о, получим AT = 1,7 • 10~3 X
]23
Ниже приведены значения $1(уа) и Гкип — То для некоторых жидкостей,
воздуха (для То = 20 °С) и жидкого металла, откуда видны преимущества
использования ацетона и спирта (в опытах выбран спирт как более безопас-
безопасная жидкость).
Вещество
pfcva), с*/(см2 • °С)
Т — Т °С
1 кип •* о ¦ *"
Ацетон
400
35
4-Ю5
Спирт
60
58
2-Ю5
Воде
10
80
6 10*
Воздух
0,3
200
10*
Металл
2
200
8-10*
°С/см2
137
Рассмотрим, например, диапазон чувствительности кубического объема
с ребром 10 см, заполненного спиртом, на нагреватель которого подается
поток мощностью 200 Вт/м2. Зависимость температурного расслоения
(в °С) вдоль направления действия микроускорения от величины пере-
перегрузки g/g0 показана на рис. 4.18. Видно, что расслоение от 1 до 20 °С мож-
можно получить (и измерить) в диапазоне перегрузок от 2 • 10~7 до 4 • 10~6.
Увеличивая поток тепла и уменьшая размеры объема, можно изменить
измеряемый диапазон микроускорений в сторону больших перегрузок.
Конвекция при наличии пространственно-временного изменения микро-
микроускорений. Приведенные в гл. 1 модели и данные дают общую характери-
характеристику возможного поля микроускорений на орбитальной станции. Напри-
Например, чтобы рассчитать движение жидкости в замкнутом объеме или рас-
расплава в технологической ампуле в условиях конкретного полета станции,
в правой части уравнения D.1) необходимо задать конкретную зависи-
зависимость величины и направления вектора ускорения g от времени, а также
зависимость от времени вектора угловой скорости станции и. Получить
эти зависимости по моделям, аналогичным представленным в гл. 1, т.е.
рассматривая зти зависимости как результаты решения задачи нахожде-
нахождения движения конкретного космического аппарата под действием реальных
возмущающих сил, в настоящее время затруднительно. С другой стороны,
как показывают результаты акселерометрических измерений [65], трудно
в течение длительного технологического процесса непосредственно изме-
измерить величину и направление вектора микроускорения, особенно его мало-
малоамплитудную длинноперио диче скую или стационарную составляющие.
В работах [152, 153], уже упомянутых в гл. 1, предложен другой путь
определения микроускорения и угловых скоростей, возникающих на
орбитальной станции в реальном полете, — расчет угловых скоростей стан-
станции по показаниям датчиков, которые измеряют напряженность магнитно-
магнитного поля Земли и вектор положения Солнца, а затем на основе этих резуль-
результатов вычисляются микроускорения в нужном месте станции с учетом
приближенной модели, описывающей аэродинамическое торможение стан-
станции в атмосфере Земли.
В системе координат Oxyz, жестко связанной с орбитальной станцией,
вектор микроускорения g в некоторой точке станции с координатами
r= (ri, ri, гз) можно представить в виде [152]
g = г X <ii + (ы X г) X w + w?,CR(R • r)/lRl2 - г) + ftpa IVIV.
где ы - абсолютная угловая скорость станции; о>0 - угловая скорость
орбитального движения относительно центра Земли; R — радиус-вектор
центра масс станции относительно центра Земли; Ь — баллистический
коэффициент; ра - плотность атмосферы, V - абсолютная скорость центра
масс станции. Подставляя зто выражение в правую часть общей системы
уравнений D.1) ,rflen = g + rXu)+a)X(rXa>),aa5-B выражение для
ускорения Кориолиса, можно, зная граничные и начальные условия для
температуры и скорости, определить движение жидкости и тепломассо-
тепломассообмен, обусловленные движением станции по орбите.
Рассмотрим несколько упрощенный вариант движения станции "Салют",
которое наблюдалось в реальном полете и было разобрано в [152].
Станция находится в режиме гравитационной ориентации и, кроме
138
Случай I
Р и с. 4.18. Положение объема
(в), зависимости ускорения (б)
и температурного расслоения (в)
от времени для разных случаев
движения станции и ориентации
1 , д нагревателя
го
w
/
\
\\
НЮ Ш 300 f Ш S00 t,nun
*к Зенле
Случай Z
АГ'С
30
го
10
«г/
- /
/
"/ *
ч
\
\
\.
о юо гоо '' \зоо
Случай 3
того, вращается относительно своей большей оси с периодом примерно
20 мин. Ускорение, вызванное аэродинамическим торможением, равно
7,26 • Ю м/с . Предполагается, что кубический сосуд, заполненный спир-
спиртом, находится в точке с координатами г = B,5 м; 1,6 м; 0) относительно
орбитальной системы координат, причем были рассмотрены два случая,
отличающиеся ориентацией нагревателя. В третьем случае вращения стан-
станции относительно большой оси нет.
На рис. 4.18,а показано положение объема относительно станции в двух
проекциях: в плоскости орбиты и по нормали к ней. На рис. 4.18,6 дана
величина перегрузки gjgQ в зависимости от времени для различных направ-
направлений. В некоторый момент времени включается нагреватель, плотность
теплового потока которого равна 180 Вт/мг (начальная температура жид-
жидкости равна 20°С). На рис. 4.18,в показаны изменения во времени пере-
перепадов температур между центрами противоположных граней объема,
причем ATZ — зто перепад в направлении, нормальном к поверхности
нагревателя. Стрелкой отмечен момент времени отключения нагревателя,
когда максимальная температура на нем достигает температуры кипе-
кипения (Гкип = 78 °С). В режиме теплопроводности очевидно, что АТХ =
= АТу =0. Таким образом, в случае 1 в направлениях действия микро-
микроускорений возникают значительные перепады температур, величина кото-
которых вдоль различных осей примерно соответствует величине действую-
действующих в направлении данных осей микроускорений.
В случае 2, показанном на рис. 4.18, результаты получены для того же
самого движения станции, но объем с жидкостью, находясь в той же самой
точке станции, имеет другую ориентацию. Теперь "основное" микроуско-
микроускорение действует по нормали к нагревателю, причем его направление соот-
соответствует устойчивой стратификации. При этом перепад температур вдоль
оси у определяется постоянным микроускорением, обусловленным раз-
разностью градиента гравитации и центробежной силы, причем величина этого
перепада оказалась примерно равной величине Д Ту для случая 1, хотя дру-
другие разности температур существенно отличаются друг от друга, в общем
характеризуя действующее в данном направлении микроускорение. Инте-
Интересно отметить, что перепад в направлении оси х в случае 2 испытывает
малоамплитудные (примерно 1 °С) колебания, соответствующие изме-
изменению микроускорения, действующего в направлении этой оси. Наконец,
в случае 3 на рис. 4.18 приведены результаты в отсутствие вращения стан-
станции вокруг большой оси. При этом вдоль оси х действует сила аэродинами-
аэродинамического торможения, в направлении оси у - равнодействующая градиента
гравитации и центробежной силы, в направлении z ускорение равно нулю.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что перепады температур
в соответствующих направлениях определяются действующими в данных
направлениях микроускорениями. Чувствительность температурного поля
для рассмотренного диапазона изменения микроускорений довольно
высока. Например, перегрузке 7 • 10~7 соответствует перепад температур
больше 10 С, что достаточно просто измерить в условиях полета.
140
4.4. Заключительные замечания
Таким образом, результаты параметрических исследований, выпол-
выполненных на основе двумерной модели при изменении микроускорений
во времени, показывают, что в условиях невесомости, типичных для орби-
орбитального полета, существует резко выраженная чувствительность к темпу
и величине изменения остаточных сил.
Рассмотрение пространственных эффектов на основе трехмерной модели
показывает, что в случае действия сил Кориолиса также имеет место высо-
высокая гравитационная чувствительность конвективных течений, в особенно-
особенности для случая расплавов металлов. Исходя из установленного в этой главе
численного значения критерия, при котором влияние силы Кориолиса
мало (Та < 100), следует, что при характерном размере 3 см роль про-
пространственных эффектов для реальных случаев вращения орбитальной
станции может быть существенна. Рассмотрение трехмерной модели кон-
конвекции в случае общего пространственно-временного изменения микро-
микроускорения показывает, что основной вклад в температурное расслоение
в некотором направлении вносит микроускорение, действующее в ука-
указанном направлении, причем высокая гравитационная чувствительность
в этом случае дает принципиальную возможность регистрировать про-
пространственно-временное изменение микроускорений по измерениям пере-
перепадов температур в полете орбитальной станции.
Реализация новых возможностей, открывающихся при исследовании
пространственно-временного изменения микроускорений, требует более
полного изучения многопараметрической нестационарной системы, описы-
описывающей гидродинамические процессы в невесомости, где сделаны только
первые шаги. Не меньшее значение имеет построение более полных моде-
моделей микроускорений и проверка их адекватности путем сравнения с ре-
результатами измерений в контролируемых условиях.
Часть III
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В МОДЕЛЯХ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ
И РАЗДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВ В НЕВЕСОМОСТИ
В связи с постановкой многочисленных технологических экспериментов
в невесомости важное значение приобретает их теоретический анализ и
интерпретация. Важный шаг в этом направлении может быть сделан с по-
помощью моделей общего назначения (определение относительной роли
отдельных составляющих процессов переноса и установление в итоге веду-
ведущего механизма, предварительные оценки макро- и микронеоднород-
ностей и т.д.). Однако опыт анализа таких моделей показывает необходи-
необходимость более полного учета особенностей каждого технологического про-
процесса и на этой основе анализа характеристик, которые играют роль гидро-
гидродинамических "критериев качества". В этой части монографии мы рас-
рассмотрим модели трех типичных технологических процессов, которые
были практически реализованы в условиях орбитального полета и в кото-
которых учет особенностей различных видов гравитационной конвекции играет
решающую роль.
Во всех трех случаях делается попытка в результате детальных пара-
параметрических исследований не только установить различие в протекании
соответствующего процесса в земных условиях и в условиях невесомости,
но и выяснить возможности других, альтернативных невесомости управля-
управляющих воздействий на ведущий механизм конвективного переноса. Следует
отметить, что реальные процессы отличаются значительной сложностью,
в связи с чем все рассмотренные здесь модели этих процессов не могут
претендовать на полную адекватность, поэтому получаемые с помощью
таких моделей выводы требуют экспериментальной проверки. Но эти
модели, по-видимому, с достаточной степенью точности учитывают относи-
относительный вклад конвективной составляющей и могут указать рациональ-
рациональный путь улучшения технологий получения материалов.
Глава 5
НАПРАВЛЕННАЯ КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ В АМПУЛЕ
Метод направленной кристаллизации в ампуле, относящийся к классу
методов выращивания объемных кристаллов из расплава, был одним из
первых методов, реализованных в условиях полета на орбитальных стан-
станциях "Скайлэб", "Союз—Аполлон", "Салют" (см., например, [1, 75—78,
123, 164, 165, 193, 292, 293]). Разработчики большинства из этих экспе-
экспериментов рассчитывали улучшить однородность распределения примесей
за счет подавления всех гравитационных видов конвекции, в связи с чем
процесс переноса примесей должен был бы иметь диффузионный характер.
142
Однако большинство опубликованных результатов свидетельствуют о
наличии как макро-, гак и микронеоднородностей распределения легиру-
легирующих примесей, которые никак не объясняются диффузионным меха-
механизмом переноса. В связи с этим была предпринята разработка математи-
математических моделей для анализа и интерпретации данных такого типа экспе-
экспериментов. Было установлено, что аналогичные модели процессов переноса
при выращивании кристаллов в земных условиях также неудовлетвори-
неудовлетворительны, причем стало ясно, что построение адекватных моделей пред-
представляет крайне трудную проблему как в связи со сложностью внутрен-
внутренней структуры процессов конвективного переноса в расплавах, так и в
связи с тем, что эти процессы весьма чувствительны к множеству других
факторов, связанных со спецификой метода роста.
В данной главе соединены отдельные этапы более чем десятилетней
разработки математической модели конвекции в методе направленной
кристаллизации в ампуле [115, 116, 137, 140, 161, 253—256]. Эта часть
работы велась в тесной связи с рассмотренными в гл. 2, 3 многопараметри-
многопараметрическими исследованиями закономерностей конвективных процессов на
моделях общего назначения. Как и в гл. 2, рассматривается модель, в кото-
которой за основу взят метод горизонтальной направленной кристаллизации
при использовании угла наклона ф в качестве параметра в отличие от мо-
модели метода вертикальной направленной кристаллизации, разрабатыва-
разрабатываемой большой группой авторов (см., например, [36, 179, 210, 234]).
Модифицировав модель, удалось провести более полный параметри-
параметрический анализ эффекта поперечной макронеоднородности, расширив диа-
диапазон чисел Рзлея и скорости движения фронта кристаллизации и рас-
распространив результаты на случаи различного наклона ампулы по отноше-
отношению к вектору микроускорения. Это позволяет получить технологическую
"карту режимов", на которой, в частности, найдено положение линии
максимума поперечной неоднородности и даны границы областей задан-
заданной неоднородности. На основе такой карты можно провести сравнение
преимуществ и недостатков выращивания в невесомости объемных моно-
монокристаллов методом направленной кристаллизации.
5.1. Математическая модель конвекции
ш переноса примеси в ампуле
с движущимся фронтом кристаллизации
Предполагается, что перед началом кристаллизации расплав занимает
плоскую прямоугольную область длиной L и высотой Н (рис. 5.1). Вдоль
оси х задан градиент температуры у, так что правая граница области (jc = L)
имеет температуру кристаллизации Гк, а левая граница (* = 0) — темпе-
температуру Тг = Тк — yL (у - отрицательно). На горизонтальных границах
(у=0, у=Н) поддерживается постоянный градиент температуры: Т=ТК =
= у (L — х). В поле слабых массовых сил с постоянным ускорением g в рас-
расплаве устанавливается стационарная тепловая гравитационная конвекция.
В случае, если расплав на части горизонтальной границы имеет свободную
поверхность длиной st (расплав частично не смачивает стенку ампулы),
возникает термокапиллярная конвекция, вызванная градиентом сил по-
143
¦4-
(L/H-s1)
Рис. 5.1. Схема метода направленной кристаллизации и картина течения в расплаве
(а) и зависимость интенсивности движения от размеров области, занятой распла-
расплавом (б)
верхностного натяжения. Предполагается однородное начальное распределе-
распределение примеси концентрации Cq в расплаве.
В момент времени t = О начинается направленная кристаллизация рас-
расплава: плоский фронт кристаллизации движется справа налево с постоян-
постоянной скоростью V/, причем s — длина области, занятой расплавом, умень-
уменьшается: s =L + Vft (Vf — отрицательна). Температура на фронте кристал-
кристаллизации (х =s) поддерживается постоянной и равной Тк, на левой границе
температура понижается по закону T1=TK-ys, на горизонтальных
границах поддерживается постоянный градиент температуры: Т =
= ТК - у (s - jc) . Примесь, которая до начала кристаллизации была равно-
равномерно распределена в расплаве, в зависимости от величины равновесного
коэффициента распределения k оттесняется (к< 1) или захватывается
(к > 1) кристаллом.
Для описания движения и распределения примеси в расплаве использу-
используются уравнения конвективного тепломассообмена в приближении Бусси-
неска. Эти уравнения в безразмерных переменных вихрь со', функция тока
\jj', температура в', концентрация с' в декартовой системе координат
(х\ у') имеют следующий вид:
Эсо' , , Л Эсо' , Эсо' 1 Э2сУ Э2со' 1 дв'
+ гг +Gr . E.1)
Эг'
1 ,
Т7 '
ЪГ
bt'
ье_
Ъх'
г'2
Ъу'
Ъф'
Ъх'
, \_ 90'
s' Ъх'
1 Ъс'
s' Ъх'
1 Ъ\Ь
,'2
Эх'2
(-г: +
,Э0' 1 . 1 Э20'
v э7
Ъс'
Pr ~s'2 Эх'2 Ъу'
Ъу' ~ Sc s'2 Эх'2 + Э^'2
E.2)
E.3)
E.4)
E.5)
Здесь Я, H2/v, v/H, уН, с0 приняты за масштабы длины, времени, скорости,
144
температуры и концентрации соответственно и сделана замена перемен-
переменных: х = x/s,y =ylH, t' =vtjH, переводящая область с движущейся грани-
границей @ < х < s (г), 0 < у < Я) в область с неподвижной границей @ < х <
<1,0</< 1).
Начальные условия: установившийся режим конвекции; однородный
расплав: с = с/с0 = 1; длина области, занятой расплавом, s'o = L /Я.
При t' = 0 начинается движение фронта кристаллизации с постоянной
скоростью v'f = VfH/v и оттеснение или захват примеси кристаллом. Гранич-
Граничные условия имеют вид
I: 0=0, дс'[дх' = — Scs'v'f(l — к) с',
E.7)
I: e=s\l-xh), Ъс'1Ъу' = 0, ф' = Ъф'1Ъу'=0; E.8)
О, 0=s'(l -x'), 0<*'<l-s',/s':i//'=ai//7a/ = 0;
E-9)
где при s[ ФОкМФО учитывается термокапиллярная конвекция.
Безразмерные параметры, определяющие решение поставленной задачи:
Gr ^gjlyH4/»2 - число Грасгофа (или число Рзлея Ra = Gr Pr), Рг = vja -
число Прантдля; Sc = vJD - число Шмидта; М= (Эа/Э7OЯ2/(ру2) - ана-
аналог числа Марангони; v'f = VfH/v - скорость кристаллизации; к - рав-
равновесный коэффициент распределения примеси; Sq =L/H — начальное
удлинение области; s[ - длина свободной поверхности; p,a,D,(l,o —
коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности, диф-
диффузии, объемного температурного расширения, поверхностного натяже-
натяжения; р - плотность жидкости.
Сформулированная модель направленной кристаллизации основана
на предположениях (плоский фронт кристаллизации, постоянный коэф-
коэффициент распределения примеси, постоянные физические свойства рас-
расплава, граничные условия для температуры), которые сравнительно редко
выполняются на практике. Однако эта модель позволяет исследовать
влияние различных видов естественной конвекции на распределение при-
примеси, что является основной целью настоящей работы.
Расчеты проведены для направленной кристаллизации полупровод-
полупроводниковых материалов при следующих значениях параметров: s'o = 4, s! = 0,5,
Рг=0,01 (расплав полупроводникового материала), Gr = 0, 10, 102, 103,
104 (что соответствует для характерного размера 1 см и градиента тем-
температуры 10°С/см перегрузкам glg0 =0, 10~5, 10~4, 10~3 и 10~2), Sc=10
(примесь кремния или галлия в германии) и 20 (примесь сурьмы в герма-
германии), и} = 0,2 и 0,5 A и 2,5 см/ч), Аг = 10~3 (сурьма), 0,087 (галлий),
2,5 (кремний), М = 102.
Приведенные выше уравнения решались по методике и комплексу
программ, разработанных в Институте проблем механики АН СССР и
подробно описанных в [134]. Ипользованы неявная схема метода перемен-
переменных направлений и явная схема. Расчеты проведены на равномерной
D1 X11) и неравномерной D9 X 23) сетках. Точность результатов оценива-
оценивалась сравнением с частным аналитическим решением Тиллера (см., напри-
10. Зак. 1319 145
мер, [82]) и проверкой сохранения массы примеси и находилась в пределах
10%. Так как GrPr и МРг меньше 1000, то движение в расплаве слабо
влияет на поле температуры, поэтому предполагалось, что решение уравне-
уравнения теплопереноса E.3) в расплаве имеет вид 0=s'(l ~x').
5.2. Структура конвекции и поля концентрации.
Продольная и поперечная неоднородности
распределения примеси в кристалле
5.2.1. Тепловая гравитационная конвекция при постоянном продоль-
продольном градиенте температур. Рассмотрим влияние слабой тепловой конвек-
конвекции (Gr=10,102,103)на распределение примеси галлия (к = 0,087, Sc = 10)
в расплаве и кристалле в процессе направленной кристаллизации германия
со скоростью v'f - 0,2. Для характерного размера 1 см эти безразмерные
параметры соответствуют перегрузкам на орбитальной станцииg/g0 = Ю~5,
10, Ю~3 и скорости кристаллизации 1 см/ч. Предполагается, что термо-
термокапиллярная конвекция отсутствует (st = 0, М = 0).
На рис. 5.2.Д показаны изолинии концентрации примеси в кристалле
а
Рис. 5.2. Изолинии концентрации примеси в расплаве (слева) и в кристалле (справа)
для Gr = 0 (а) и Gr = 100 в различные моменты времени (б-г) при Sc = 10, к = 0,087,
и)-=0,2
146
(справа) и расплаве (слева) в случае полной невесомости (Gr = 0), когда
закристаллизовалась 1/4 часть расплава (s' = 3). В результате частичного
оттеснения примеси кристаллом в расплаве и кристалле возникает градиент
концентрации примеси по нормали к фронту (нормальная макросегрега-
макросегрегация) . Поперечная (вдоль фронта) неоднородность в распределении при-
примеси для этого случая отсутствует. На рис. 5.2,6—г показаны распределе-
распределения примеси в случае тепловой конвекции (Gr= 102) для трех последо-
последовательных моментов времени в процессе кристаллизации (s' = 3 (б), 2 (в),
0,5 (г)). Конвекция заметно перераспределила примесь; возникла попереч-
поперечная макросегрегация. Течение в расплаве привело к распределению при-
примеси, показанному на рис. 5.2. Это одновихревое движение, интенсив-
интенсивность которого остается практически постоянной, пока s'>2 (см.
рис. 5.1,6). Постоянство интенсивности движения в расплаве в процессе
кристаллизации до s' = 2 объясняет неизменность структуры поля кон-
концентрации примеси в расплаве у фронта кристаллизации (рис. 5.2,б,в);
возникает квазистационарный концентрационный пограничный слой.
Рис. 5.3 иллюстрирует влияние интенсивности тепловой конвекции
в расплаве на распределение примеси при различных микроускорениях.
При Gr = 10 и 100 происходит лишь перераспределение примеси без сущест-
существенного изменения толщины концентрационного пограничного слоя у
фронта кристаллизации, а при Gr = 103 толщина концентрационного слоя
значительно уменьшается.
На рис. 5.4 показаны усредненные по у нормальные распределения
концентрации примеси в кристалле (г' = (L - X) \L - координата, отсчиты-
отсчитываемая от начала кристалла в направлении, противоположном оси х):
Кривая 2 представляет собой аналитическое решение Тиллера для случая
одномерной направленной кристаллизации полубесконечного слитка.
Кривая 1 соответствует численному решению по данной модели для ограни-
ограниченного слитка, если в расплаве отсутствует конвекция. Решение хорошо
согласуется с аналитическим, пока не начинает сказываться ограничен-
ограниченность кристаллизующейся области. Кривые 3 и 4 соответствуют Gr = 102 и
103, а кривая 5 представляет решение для случая полного перемешива-
перемешивания в расплаве или бесконечно малой скорости кристаллизации: с", =
= fc(l — z) для fc = 0,087. Как видно, с увеличением интенсивности
перемешивания, т.е. с возрастанием числа Gr, кривые нормального рас-
распределения приближаются к кривой полного перемешивания 5.
В экспериментах по направленной кристаллизации получают кривые
нормального распределения (аналогичные кривым 3, 4), по которым
определяют эффективный коэффициент распределения примеси
где с"х, — средняя концентрация примеси в расплаве. По кривым 3, 4, как
и в эксперименте, можно определить "методом начальной точки" [82]
эффективный коэффициент распределения: к3ф=0,2 (Gr=102) и 0,12
(Gr = 103) (см. рис. 5,3, штриховые линии). Далее, по модели Бартона-
Прима-Слихтера (БПС) [176], зная ?эф, можно найти толщину диффу-
147
0,8
0,6
О,*
о,г
О 0,2 0,h 0,6 0,8 z
Рис. 5.3. Изолинии концентрации примеси для
чисел Грасгофа Gr = 10 (а), 100 (б), 1000 (в)
при Sc = 10Д = 0,087, v'f= 0,2
Рис. 5.4. Нормальное распределение примеси
для Sc = 10, к = 0,087, и/= 0,2
1 — Gr = 0, 2 - данные Тиллера (см. [82]),
3 — Gr = 100, 4 - Gr = 10s, 5 — полное переме-
перемешивание
знойного слоя 5, которая входит в модель БПС как неизвестный пара-
параметр:
]g(l/*,4,-l) = ]g(l/*-l)-0,434u}5Sc.
Отсюда получаем 6=0,5 (Gr = 102) и 5=0,2 (Gr = 103). Границы таким
образом определенных пограничных слоев нанесены на рис. 5.3 (штрихо-
(штриховые линии). Как видно, толщина пограничного слоя, определенная по
модели БПС, хорошо совпадает с "наблюдаемой".
Рис. 5.5 иллюстрирует зависимость локальной концентрации примеси
от расстояния вдоль кристалла для различных чисел Грасгофа. При слабом
движении в расплаве (Gr = 10, кривые 7) и в случае сравнительно интенсив-
интенсивного перемешивания (Gr=103, кривые 3) поперечная неоднородность
в распределении примеси (Дс' = с (у' =0) - с (у' = 1)) меньше, чем для
Gr = 102 (кривые 2), т.е. величина Дс' достигает максимального значе-
значения для некоторой интенсивности движения в расплаве, как и в случае
модели, не учитывающей движения фронта кристаллизации (см. гл. 2).
148
e't
о,1*
0,2
0.
0,1
0,1
У"
/у ^/ /
till
0 0,2
0,6 0,3 г
s'
L/H X
P и с. 5.5. Локальное распределение примеси
Сплошные кривые - у = 0, штриховые - у' = 1. 1 - Gr = 10, 2 - 100, 3 - 10'
Рис. 5.6. Схема расчетной области (а) и профиль температуры, задаваемый на гори-
горизонтальных стенках (б), в модели направленной кристаллизации
а г
с
Рис. 5.7. Изотермы и изолинии функции тока в горизонтальном слое с профилем
температуры на горизонтальных стенках, изображенным на рис. 5.6 (Ra =2-10',
Рг = 0,01,Х/Я=10, и/=0)
а — твердая верхняя граница, б— свободная верхняя граница
5.2.2. Тепловая гравитационная конвекция при кусочно-линейном рас-
распределении температур. Этот случай, более близко соответствующий реаль-
реальным условиям роста кристаллов в горизонтальной ампуле (рис. 5.6), рас-
рассматривался при следующих параметрах: Ra = GrPr = 2 • 103, Рг = 0,01,
Sq =10, Sc = 25, к = 0,14, v'f = 0,2. В качестве начальных данных использо-
использовались стационарные поля для вихря, функции тока и температуры, со-
соответствующие установившемуся режиму конвекции с однородным рас-
149
t
wo
50
Рис. 5.8. Распределения функции тока в среднем
сечении в горизонтальном слое (у' = 0,5) с профилем
температуры на горизонтальных стенках, изобра-
изображенным на рис. 5.5 (Ra = 2 • 10', Рг = 0,01, L/H = 10,
у/=0)
/ - все границы слоя твердые, 2 — верхняя грани-
граница свободная
* 6 8 10 х
пределением примеси с = с/с0 = 1 (здесь с0 — масштаб и размерное началь-
начальное значение концентрации).
Расчеты проводились на сетках 33X33,33X52,21X101,33X101,
33X201 с помощью комплекса, описанного в [134], и комплекса про-
программ "МАРЕНА" (см. приложение 3), что позволило существенно со-
сократить время расчета в удлиненных слоях при малых числах Рзлея.
На рис. 5.7 представлены изотермы и изолинии функции тока устано-
установившегося конвективного течения, имеющего место перед началом
кристаллизации (и} = 0). Следует отметить, что при наличии "полки"
и градиентного участка в профиле температуры Г) (х), задаваемой на гори-
горизонтальных границах (см. рис. 5.6), жидкость вовлекается в конвектив-
конвективное движение только у правого торца слоя, где температура на горизонталь-
горизонтальной границе изменяется по длине слоя (градиентный участок), и при
указанных выше параметрах практически находится в покое в глубине
слоя, где температура на границах по длине слоя имеет постоянное значе-
значение (температурная "полка").
В случае, если верхняя граница в горизонтальном слое свободна, на
ней отсутствует трение, и граничное условие для вихря может быть за-
записано в виде E.9), однако термокалиллярная конвекция в данном случае
не рассматривается (М = 0).
На рис. 5.1,6 изображены изотермы и изолинии функции тока установив-
установившегося конвективного течения в горизонтальном слое со свободной верх-
верхней (У = 1) границей. Как видно из рис. 5.1,6, структура основного тече-
течения перестает быть одновихревой, функция тока имеет два максимума,
и около свободной границы возникает слабое вторичное течение. Сказан-
Сказанное поясняет рис. 5.8, на котором представлены распределения функции
тока в среднем продольном сечении (У = 0,5) для слоя с твердыми стен-
стенками и со свободной верхней границей. При наличии свободной верхней
границы максимальное значение функции тока возрастает и максимум
сдвигается ближе к торцу по сравнению с течением в слое с твердой верх-
верхней стенкой.
ISO
Фронт
С (
с
Ррант
ш
Рис. 5.9. Линии равной концентрации в расплаве
(слева) и в кристалле (справа), изотермы и изоли-
изолинии функции тока в разные моменты времени (Ra =
= 2 • 10*, Рг = 0,01, Sc = 26, L/H= 10, к = 0,14, v'f =
= 0,2)
a- t' = 2,5, б - t' = 40
На рис. 5.9 для разных моментов времени представлены изолинии функ-
функции тока, изотермы и линии равной концентрации в горизонтальном слое
с твердыми стенками при движении плоского фронта кристаллизации
справа налево с безразмерной скоростью v'f = 0,2. После начала кристал-
кристаллизации первоначальное однородное распределение концентрации пере-
перераспределяется конвективным течением, у фронта кристаллизации образу-
образуется тонкий концентрационный пограничный слой, примесь оттесняется
фронтом кристаллизации, поскольку равновесный коэффициент рас-
распределения примеси меньше единицы.
Распределение примеси в расплаве и кристалле в трех продольных сече-
сечениях в зависимости от продольной координаты х в момент времени
/' = 10 показано на рис. 5.10 (кривые 1—3). Эти зависимости показывают
наличие поперечной неоднородности в распределении примеси. На рис. 5.10
показано также продольное распределение поперечной неоднородности
(Дс' = с' (У = 0) — с'(У = 1)) в расплаве и кристалле в момент времени
t' = l0 (кривая 4). Видно, что поперечная неоднородность концентрации
в расплаве имеет два максимальных значения, одно из которых находится
у фронта кристаллизации, а второе — в центральной части слоя. В кристалле
151
г'
2,0
1,5
1,0
0,5
-
-о,з
-0,2
-0,1
I
Jy
,—-=
/
(\
1
3j X
\
1
В
W x
Рис. 5.10. Продольное распределение концентрации кремния в расплаве и кристалле
арсенида галлия в трех сечениях A-3) и разности концентрации между горизонталь-
горизонтальными стенками в расплаве и кристалле D) в момент времени t' = 10 (Ra = 2 • 10*,
Pr = 0,01, Sc = 26, L/H= 10, к = 0,14, v'f= 0,2)
1 -у' = 0,2 -0,5,3 - 1
(L/H-S1)
P и с. 5.11. Распределение концентрации кремния в кристалле арсенида геллия прш
Ra = 2 • 10*, Pr = 0,01, Sc = 26,1/Я= 10, к = 0,14, vf= 0,2
i — расчет, 2 — зависимость E.10)
поперечная неоднородность меньше, чем в расплаве, и по длине изменя-
изменяется монотонно, т.е. фронт кристаллизации выравнивает распределение
примеси по длине кристалла.
Распределение примеси в кристалле в среднем горизонтальном сече-
сечении изображено на рис. 5.11. Кривая 1 представляет численное решение
при следующих параметрах: Ra = 2 • 103, Рг = 0,01, к = 0,14, и} = 0,2; кри-
кривая 2 — зависимость Тиллера (см. [82])
c;»*(i -х)к~\ E.10)
которая является решением в случае полного перемешивания в расплаве
или при бесконечно малой скорости кристаллизации (fc = 0,14). Началь-
Начальный участок кривой 1 на рис. 5.11 показывает, что эффективный коэф-
коэффициент распределения примеси больше равновесного и равен приблизи-
152
О 0,25 0,5 0,75 г'
Рис. 5.12. Кристаллизация при термокапиллярной конвекции (Sc = 10, к = 2,5, М =
= 100, s', =0,5)
а — интенсивность конвекции в зависимости от длины области, занятой распла-
расплавом; б — линии тока (штриховые линии) и изолинии концентрации (сплошные ли-
линии) ; в — продольная сегрегация примеси: 1 — диффузионное распределение, М = О,
2 — полное перемешивание, 3 - средняя по у концентрация с§, 4 - c's(y' = 0), 5 -
'i' =D
тельно 0,2. Отличие расчетной кривой 1 от кривой 2 также свидетельст-
свидетельствует о влиянии скорости кристаллизации на распределение примеси.
5.2.3. Термокапилляриая конвекция и перенос примеси в ампуле. Ин-
Интерес к термокапиллярной конвекции, подробно рассматривавшейся
в гл. 3, в технологических экспериментах по направленной кристаллиза-
кристаллизации возникает в связи с тем, что в отличие от земных условий при
кристаллизации в условиях невесомости расплав может не смачивать
полностью стенки ампулы. Например, в работе [292] сделан вывод о том,
что именно термокапиллярная конвекция привела к значительному пере-
перемешиванию в расплаве и соответствующему нормальному распределению
примеси. В [162] рассмотрено влияние термокапиллярной и гравитацион-
гравитационной конвекции на распределение примеси в расплаве. Модель E.1)—E.9),
предложенная выше, предназначена для изучения влияния термокапилляр-
термокапиллярной конвекции и совместного действия термокапиллярной и гравита-
гравитационной конвекции на распределение примеси в кристалле при наличии
движения фронта. Ниже приводятся некоторые результаты расчета для
условий невесомости (Gr = 0).
Предполагается, что расплав не смачивает стенку ампулы у одного
конца фронта кристаллизации {у = 0). Длина свободной поверхности
расплава s i = 0.5 и в процессе кристаллизации остается неизменной.
Кристаллизуется германий с примесью кремния (к = 2,5, Sc = 10) со ско-
скоростью и} =0,5. Число М равно 100. На рис. 5.12,а показано изменение
интенсивности движения в расплаве (максимальное значение функции
тока) в процессе кристаллизации. Картина течения и распределение при-
примеси представлены на рис. 5.12,6 для момента времени, когда закристал-
закристаллизовалась половина области, занятой расплавом. Можно отметить, что
в отличие от тепловой гравитационной конвекции движение сосредото-
сосредоточено у свободной поверхности, перемешивание не захватывает всего рас-
расплава, образуется застойная зона в области, противоположной фронту
кристаллизации. Распределение примеси вдоль кристалла показано на
рис. 5.12,в. Как и в случае тепловой гравитационной конвекции, наблюда-
наблюдается поперечная неоднородность в распределении примеси.
153
5.3. Анализ макро- и микронеоднородности
в космических экспериментах
на основе модели с движущимся фронтом
5.3.1. Макронеоднородность распределения примесей в технологиче-
технологических экспериментах. В этом разделе мы вновь возвращаемся к начатому
в гл. 2 анализу макронеоднородности в технологическом эксперименте
МА-150 [75-78, 123], используя новые данные, полученные на основе
модели с движущимся фронтом кристаллизации.
Как упоминалось в гл. 2 (см. разд. 2.2), в эксперименте МАЛ 50 при
направленной кристаллизации германия с примесью кремния (к = 2,5,
Sc = 10) и сурьмы (к = 10~3, Sc = 20) получена неожиданно большая ради-
радиальная неоднородность в распределении примеси: отношение максималь-
максимального значения концентрации к минимальному для диаметрально проти-
противоположных областей составляет для сурьмы примерно 3, для кремния 8
(см. рис. 5.13, взятый из [123]; кривые 1 и 2 относятся к диаметрально
противоположным участкам образца). В [123] сделан вывод о том, что
эта неоднородность возникла в расплаве до начала кристаллизации и ее
причиной была бародиффузия, вызванная градиентом массовых сил.
Предположим, что примесь в расплаве до начала кристаллизации была
распределена равномерно и в расплаве существовала слабая гравитацион-
гравитационная конвекция (Gr=103) под действием массовой силы, направленной
вдоль фронта кристаллизации. На рис. 5.14 показано равновесное рас-
распределение кремния в кристалле Ge—Si— Sb и в расплаве у фронта кристал-
кристаллизации при направленной кристаллизации со скоростью v'f = 0,5. Если бы
кристаллизация происходила равновесно, то примесь в кристалле была
бы распределена неоднородно в поперечном направлении и отношение
значений концентрации на противоположных концах фронта кристаллиза-
кристаллизации равнялось бы примерно 1,5. Однако, так как примесь в расплаве вдоль
фронта кристаллизации распределена неоднородно, у одного края фронта
кристаллизации (для кривой 4) возможен неравновесный захват примеси
(концентрационное переохлаждение), т.е. коэффициент распределения
становится равным 1. Таким образом, концентрация примеси на проти-
противоположных концах поперечного сечения кристалла соответствует кри-
кривой 1 (у' = 1) и либо кривой 2, если захват примеси был равновесным,
либо кривой 4, если захват примеси неравновесный (У = 0). Отношение
значений концентрации примеси на противоположных концах диаметра
кристалла в этом случае будет равно примерно 6, что соответствует экспе-
экспериментальным данным [123] (см. рис. 5.13).
Значительная радиальная неоднородность в распределении примеси
F-7 раз) наблюдалась и в земных условиях при направленной кристал-
кристаллизации во вращающемся контейнере NaNO3 с примесью Sr(NO3J в
работе [82], где эта макросегрегация объясняется неоднородной структу-
структурой слитка в поперечном сечении. Однако чем вызвана эта неоднород-
неоднородность структуры, не указывается. Можно предположить следующий меха-
механизм образования столь значительной неоднородности в распределении
примеси: конвекция в расплаве (гравитационная или термокапиллярная)
вызывает сравнительно небольшую поперечную макросегрегацию при-
примеси в расплаве; эта "конвективная" неоднородность в распределении
154
10
zo
30
0
O,Sz
Рис. 5.13. Поперечная неоднородность кремния в эксперименте МА-150 [123]
Рис. 5.14. Поперечная неоднородность кремния в расчетах (Sc = 10, к - 2,5, Gr = 10',
v'f= 0,5) в кристалле A, 2) и в расплаве C, 4) у фронта кристаллизации
1> 3 - У = 1> 2, 4 - у = 0. Пунктирные линии - возможный захват примеси
при возникновении концентрационного переохлаждения
примеси приводит к тому, что разные участки фронта кристаллизации
оказываются различными с точки зрения устойчивости фронта кристаллиза-
кристаллизации - на некоторых участках возможен ячеистый рост, разные размеры
ячеек [82] или полный захват примеси кристаллом, т.е. "конвективная"
неоднородность в распределении примеси определяет структуру, а струк-
структура - коэффициент распределения примеси на фронте кристаллизации.
В эксперименте [123] получено, что поперечная неоднородность в рас-
распределении сурьмы в кристалле Ge— Si—Sb (отношение концентрации
сурьмы на противоположных концах диаметра кристалла) равна при-
примерно 3. В расчете по данной модели показано, что при Gr = 10 эта неод-
неоднородность может достигать 4 и снижаться до 3 при Gr = 104 (рис, 5.15).
Таким образом, из выполненных расчетов следует, что и тепловой грави-
гравитационный, и термокапиллярный виды конвекции в условиях орбиталь-
орбитального полета существенно влияют на распределение примеси в кристаллах,
что проявляется, в частности, в поперечной неоднородности распределе-
распределения легирующих примесей. Для интерпретации экспериментальных резуль-
результатов важен учет совместного действия этих двух механизмов конвек-
конвекции, на основе которого, по-видимому, может быть дано объяснение
наблюдаемых эффектов макронеоднородности в невесомости.
5.3.2. Влияние высокочастотных составляющих микроускорений иа
микронеоднородность распределения примеси в кристалле. В дополнение
к рассмотренному в гл. 4 (разд. 4.2) исследованию влияния низкочастот-
низкочастотных колебаний микроускорения на конвекцию в расплаве с помощью
данной модели можно рассмотреть влияние высокочастотных возмуще-
возмущений на распределение примесей непосредственно в кристалле с учетом
движения фронта и процессов массообмена на фронте. Для этого в при-
приведенной выше системе уравнений массовую силу представим в виде F =
155
Рис. 5.15. Распределения сурьмы в кри-
кристалле Ge-Si-Sb, для расчета при Sc = 20,
к = 10"', v'f = 0,5 для Gr = 0 U), 103
B,3) и 10* D.5)
2, 4 - у' - 1, 3, 5 - у' = О
Рис. 5.16. Вибрационные условия на
орбитальной станции и области разной
микронеоднородности
/ - дг'/с' < 0,1%, II - 0,1 < Дс'/с' <
< 1%, III - Ас'/с' > 1%
10"
10'
10
Н=10сп
Н=1сп
i
V////////////////////
V77777777.
N\\\\\\\\\\\\\4\\4\\\\\
, где g - амплитуда микроускорения, / - частота колеба-
колебаний микроускорения.
Области на амплитудно-частотной диаграмме, характерные для пилоти-
пилотируемого полета, по данным различных авторов, включая измерения с
помощою акселерометра, приведены на рис. 5.16. Здесь линия 1 пред-
представляет собственные частоты колебаний станции "Салют" [65], линии
2 и 3 - данные о частотах, вычисленные по расстояниям между полосами
роста при выращивании кристаллов на установке "Кристалл" на Земле
и в космосе в соответствии с данными [164]. При этом предполагалось,
что перед началом действия вибраций в ампуле сформирован фронт
кристаллизации с однородным диффузионным слоем вдоль фронта.
Моделировался процесс кристаллизации полупроводниковых расплавов,
характеризующихся следующими физическими свойствами: кинемати-
кинематическая вязкость v = 1(Г3 см2/с, число Шмидта Sc = 10, скорость кристалли-
кристаллизации Vf = 2 • 10~4 см/с, температурный градиент в расплаве 7=Ю°С/см.
Предполагалось также, что течение не влияет на температурное поле, т.е. ко-
колебания скорости кристаллизации и температурные колебания отсутствуют.
Рассматривались только концентрационные неоднородности, которые
156
Ad
0,1
0,01
0,1
10* W3
W*
10s
W6
Рис. 5.17. Распределение примеси по длине кристалла для f = ю, Grf = 3 • 104
Рис. 5.18. Величина микронеоднородности в зависимости от вибрационного числа
Грасгофа для различных частот вибраций
могли возникнуть в результате колебаний концентрации на фронте
кристаллизации. Диапазон рассмотренных безразмерных критериев был
типичным для условий на борту орбитальной станции: области безразмер-
безразмерной частотыf' = fH2jv и вибрационного числа Грасгофа Grf =g07#4/t>2
отмечены на рис. 5.16 для кристаллизации в ампулах при двух характер-
характерных размерах A и 10 см). Остальные безразмерные параметры имели
значения: uf=0,2; L\H-A (удлинение к началу действия вибрации),
коэффициент распределения примеси к = 0,1; амплитудно-частотный диа-
диапазон в расчетах Grf = 102 -НО5,/' = 10-НО3.
На рис. 5.17 показано распределение концентрации примеси вдоль
кристалла на средней линии между центром и краем фронта кристаллиза-
кристаллизации для значения/' = 10 и Grf = 3 • 104. Стрелка слева указывает переход
от диффузионного к вибрационному режиму кристаллизации. В послед-
последнем можно видеть колебания концентрации примесей с удвоенной ампли-
амплитудой порядка 1%, приводящие к полосчатой неоднородности, которая
типична для кристаллов, выращиваемых в земных условиях. Отноше-
Отношение удвоенной амплитуды к средней величине концентрации в диапазоне
микронеоднородности, которая фиксировалась и в технологических экспе-
экспериментах [164], использовалось для анализа влияния вибрации на рас-
распределение примесей. На рис. 5.18 показана относительная неоднород-
неоднородность для разных значений безразмерной частоты в зависимости от вибра-
вибрационного числа Грасгофа. На основе этих данных были построены линии 4
и 5 на рис. 5.16, соответствующие разным значениям микронеоднород-
микронеоднородности.
Таким образом, из рис. 5.16 следует, что в данном случае микронеод-
микронеоднородность в кристалле вызвана колебаниями концентрации примеси
вблизи фронта кристаллизации, а не скорости кристаллизации, причем
высокочастотные колебания в отличие от рассмотренных выше в гл. 4
(разд. 4.2) низкочастотных колебаний в рассмотренном диапазоне, включа-
включающем условия на орбитальной станции, не приводят к значительной микро-
микронеоднородности.
157
5.4. Параметрическое исследование
влияния тепловой гравитационной конвекции
на распределение примеси в кристалле.
Граница максимума поперечной макронеоднородности
Рассмотренная выше модель дает подробную информацию о струк-
структуре конвекции (в рамках принятых предположений) но, являясь много-
многопараметрической, весьма трудоемка для исследования в широком диа-
диапазоне изменения таких важных параметров, как скорость кристаллиза-
кристаллизации, число Грасгофа и угол наклона вектора микроускорения. Для этой
цели упомянутая модель модифицируется; чтобы сделать более экономич-
экономичной методику и численную схему, рассматриваются конвекция и процессы
переноса в системе координат, связанной с движущимся фронтом
кристаллизации. Это позволяет выполнить более подробное исследование
направленной кристаллизации в широком диапазоне параметров для опре-
определения области максимальной неоднородности распределения примеси
и установления границ режимов, благоприятных для выращивания одно-
однородных кристаллов в земных условиях и в условиях невесомости.
5.4.1 .Модифицированная модель и методика расчета. В системе коорди-
координат Оху, связанной с движущимся фронтом кристаллизации (компоненты
скорости рассматриваются относительно неподвижных границ слоя), урав-
уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска и уравнения конвектив-
конвективного теплоомассообмена в безразмерных переменных завихренность
to', функция тока ф\ температура в и концентрация с' имеют следующий
вид:
3to' ( f
bt' +("
Ъ2\1/' Э2;
Ъх'2 ' Э>
Э0
bt'
дс> i г.'
bt'Hu
и' = Ъф'1Ъу
Граничные
х' = О:и' =
х'=Ь/Н:в
/ = 0, У =
3to'
Vf) Ъх'
,>2 W •
Ъх'
Uf) Ъх' '
', и' = -3
условия:
и' = 0 = 0,
= ?/Я, и'
1: и' = v'
by'
,30
" Ъу'~
,Ъс'
v \ ' "
by
ф'/Ъх', 6
Ъс'/Ъх'
' 32to'
Ъх'2
1 Э20
Pr Эх'2
1 Э2с
Sc V Эх'
1=(Г-Г,
= v' = bc'lbx' = 0;
= 30/by'
= дс'/Ъу'
32to'
,, "г VJ
Э20
+ ЗУ2 }>
' Э2с'
2 ' эУ2})
<)/тЯ.
1-^)с';
= 0.
Э0
г( ,cos
Эх'
Э0
E.12)
E.13)
E.14)
E.15)
В этих уравнениях за характерные масштабы длины, времени, скорости,
температуры и концентрации приняты соответственно H,Jf2/v, f/Я, уН, с0.
Предполагается, что температура на горячем конце слоя, Th ~ Th (t) меня-
меняется так, что средний градиент температуры в жидкости у остается по-
постоянным; Гк - температура кристаллизации. Решение определяется
158
следующими безразмерными параметрами: Gi=g^n(H*jv'2' - число Грас-
гофа, Sc = v/D - число Шмидта, Pr = vja - число Прандтля, к - равновес-
равновесный коэффициент распределения примеси, и} - скорость кристаллиза-
кристаллизации, ip - угол между вектором ускорения массовой силы и фронтом
кристаллизации.
В дальнейшем при исследовании влияния конвекции на распределение
примеси ограничимся медленными течениями, что справедливо до значе-
значений числа Грасгофа, приблизительно равных 104. Будем предполагать,
что L^ H, и в дальнейших расчетах используем приближенное аналити-
аналитическое решение задачи о конвекции в полубесконечном слое, подогрева-
подогреваемом сбоку, полученное в [54]:
и' = (Gr/6) [1/4 - О' - 1/2J] О' - 1/2) {1 - exp(-ax')[cos0jc' +
v = (Gr/24)[1/4 -(у' - 1/2J] exp(-ax')sin0x'(a2/*' + *').
Пусть в начальный момент времени t'=0 начинается кристаллизация
с постоянной скоростью v'f. Будем предполагать, что скорость кристалли-
кристаллизации мала и движение фронта не изменяет поля течения, описываемого
приведенными выше формулами. Тогда уравнение для определения кон-
концентрации примеси в расплаве будет иметь вид
Ъс ., , Ъс „ Ъс' Ъ2с' Ъ2с'
— + (GrScM cos<p - Sc vfy—- + GrSc и cos<p—- - —— + —r..
dt" f Эх' *Ъу' Ъх'2 Ьуп
Начальное условие: с = 1.
Граничные условия:
/ = 0, / = 1, Ьс'1Ъу' = О; *' = о, 8e'/ax=u/Sc(l-*)cl.
Здесь введены новые безразмерные переменные:
(и", и") = {и, u')/(Grcos<p), /" = r'/
Концентрация примеси в жидкости у фронта кристаллизации будет
определяться параметрической зависимостью с = с (х\у\ t'\ к, G, Ре), где
Ре = v'f Sc - число Пекле, G = Grcosip.
Аналогичные определяющие параметры получены в работе [177] при
исследовании направленной кристаллизации с помощью метода, основан-
основанного на анализе порядков величин.
Отметим, что в рассматриваемом диапазоне медленных течений жидкости
с малыми числами Прандтля потеря устойчивости конвективного тече-
течения, вызванная "подогревом снизу" ((/>=я/2), предполагается невоз-
невозможной.
5.4.2. Результаты параметрических исследований. В случае диффузион-
диффузионного режима (Gr = 0) распределение примеси однородно вдоль фронта и
задача сводится к одномерной. Определим толщу концентрационного
пограничного слоя в расплаве у фронта кристаллизации следующим
образом:
159
Учитывая граничное условие при х = О, получим
8=[с@) -с(
Это выражение справедливо и в конвективном режима кристаллизации,
а в случае диффузионного стационарного режима (с'(°°) = 1, с' @) = 1/к)
получим бо = 1/Ре =DH/Vf. Таким образом, введенное ранее число Пекле
является отношением протяженности фронта кристаллизации Н к тол-
толщине стационарного диффузионного пограничного слоя Dji)f.
Рассмотрим, как зависит от интенсивности перемешивания в расплаве
и скорости кристаллизации эффективный коэффициент распределения
примеси кЭф, определяемый отношением концентрации примеси в крис-
кристалле на фронте кристаллизации к концентрации примеси в расплаве далеко
от фронта кристаллизации. Будем предполагать, что с(°°) =с0, тогда полу-
получим кЭф(у) = с@, >0/со, где кЭф - зависит от координаты вдоль фронта.
В практике кристаллизации обьино используется средний (поперек
кристалла) эффективный коэффициент распределения кэ&, который
будем определять следующим образом: кЭф = fk3$(y)dy=kc @). Здесь
е'@) - средняя концентрация в расплаве у фронта кристаллизации.
На рис. 5.19 показаны зависимости эффективного коэффициента от
интенсивности перемешивания и равновесного коэффициента распределе-
распределения. Можно отметить, что к3ф особенно резко изменяется в диапазоне
параметров, соответствующих области значительной поперечной неод-
неоднородности в распределении примеси, а точка перегиба на графиках при-
примерно соответствует максимальной поперечной неоднородности.
Рассмотрим зависимость толщины концентрационного пограничного
слоя от параметров. Так же как и для эффективного коэффициента рас-
распределения, можно ввести локальную толщину пограничного слоя
б' = [1 - 1/с'@,>>)]/[РеA -к)] и среднюю толщину пограничного слоя
б'= [1 - 1/с*@,^)]/[РеA -*)].
На рис. 5.20 показана зависимость локальной толщины пограничного
слоя от координаты у'. Так как б определяется локальной концентра-
концентрацией примеси на фронте, то изменение толщины пограничного слоя вдоль
фронта прямо связано с поперечной неоднородностью распределения при-
примеси (рис. 5.21). Легко получить зависимости б'и б'от кэф и кЭф. На
рис. 5.22 показана зависимость б'от определяющих параметров. Штрихо-
Штриховой линией на этом графике показано изменение толщины концентра-
концентрационного пограничного слоя бБПС, определенного по модели Бартона-
Прима-Слихтера [176]; бБПС = A/РеIп[A -*)*эф/A -*,ф)/*]. При
значительной интенсивности перемешивания в расплаве кЭф-*ки 5БПС ->¦
->б', что видно на рис. 5.22. Однако в области слабого перемешивания
величина б', по-видимому, будет лучше характеризовать действительное
распределение примеси у фронта кристаллизации, чем бБпо которая
при Gr ->-0 стремится к бесконечности.
Увеличение интенсивности конвекции приводит к появлению попереч-
поперечной (вдоль фронта кристаллизации) неоднородности в распределе-
распределении примеси, уменьшению средней концентрации примеси на фронте
кристаллизации и толщины концентрационного пограничного слоя
(см. рис. 5.20). Зависимость поперечной неоднородности, которую в
дальнейшем будем характеризовать отношением максимального значе-
160
"Эф
ч
Ид В
0,2
0,1
О
0,5
*У'
Рис. 5.19. Зависимость эффективного коэффициента распределения от параметра
G(Pe = 5)
а - * = 0,1;б -*= 5,5
Рис. 5.20. Локальная толщина концентрационного пограничного слоя при различ-
различных G(Pe = 5, к = 0,1)
г -
1 у' 0 0,2 х'
Р и с. 5.21. Распределение примеси в расплаве вдоль фронта кристаллизации (в) и по
нормали к нему (у' = 0,5) (б) при различных значениях параметра G
11. Зак. 1319 161
6'
о,г
0,1
г з
tg G
Рис. 5.22. Зависимость средней толщины кон-
концентрационного пограничного слоя от пара-
параметра G (Ре = 5, А: = 0,1)
Рис. 5.23. Зависимости поперечной неодно-
неоднородности в распределении примеси от пара-
параметра G (а) и от числа Пекле (б)
¦max
"¦«in
Z
1
a
-
i>e*
51
I
1
I/O
m
1/3
Ш
/г1
/SO /90
. — .-,*.
lg D
Jig РЕ
ния концентрации примеси к минимальному на фронте кристалли-
кристаллизации (c'maJc'min=maxyc'@,y)lminyc'@,y)), от интенсивности пере-
перемешивания в расплаве при различных числах Пекле показана на рис. 5.23,а.
Начиная с некоторого значения параметра G, течение начинает оказывать
влияние на распределение примеси (точка Ь, 10%-ная неоднородность
распределения примеси), в точке т неоднородность достигает максималь-
максимального значения, дальнейшее увеличение интенсивности перемешивания
приводит к уменьшению величины c'max/c'min.
Влияние изменения числа Пекле Ре, т.е. скорости кристаллизации на
поперечную неоднородность при различных интенсивностях перемеши-
перемешивания показано на рис. 5.23,о.
На основе рис. 5.23 можно построить диаграмму режимов кристаллиза-
кристаллизации в плоскости параметров G и Ре, которая позволяет оценить величину
неоднородности поперечного распределения примеси при различных усло-
условиях кристаллизации (рис. 5.24). В зонах / и /// можно получать кристаллы
с относительной поперечной неоднородностью не более 10%, а в зоне // -
более 10%. Граница максимальной поперечной неоднородности показана
на рис. 5.24 пунктиром. В зоне / преобладает диффузионный механизм
переноса, что характерно для условий невесомости. В зоне /// однород-
однородное распределение примеси обеспечивается только естественно-конвектив-
естественно-конвективным перемешиванием, что характерно для земных условий. Таким об-
образом, диаграмма на рис. 5.24 дает ориентировку при выборе нужного
технологического режим» в зависимости от диаметра кристалла, физи-
162
lg&
5 -
-f
2
tgPe
0,6 y,cn
Рис. 5.24. Режимы роста кристаллов методом направленной кристаллизации в зави-
зависимости от поперечной неоднородности в распределении примеси (к = 0,1)
Р и с. 5.25. Схема течения расплава в ампуле и расчетные поперечные профили распре-
распределения кремния A-5) и сурьмы F-8) в германии для условий эксперимента "Союз-
Аполлон" при разных значениях ускорения g/g0
g/go:l,6 - 10-*, 3,8 - 3- 10"', 4 - 10"*, 2 - 10"\ 5,7-1
f
0,8
0,6
Рис. 5.26. Расчетные и эксперименталь- .
ные зависимости функций неодаород- '
ности Si, Ga, Sb и In от величины пере-
перегрузки О, Z
н — наземные данные, К-1645,-1744 -
полученные на спутниках, С—А - экспе- д
римент "Союз-Аполлон"
С-А
С-А
-/7И
-5 -к -J -Z -I 0 / lg/4
ческих свойств расплава, скорости движения фронта кристаллизации,
величины и направления силы тяжести и может помочь в управлении про-
процессом роста однородного кристалла. Отметим, что и в этом случае имеется
определенная возможность улучшить качество кристалла с помощью при-
применения управляющих воздействий в земных условиях, однако диапазон
их ограничен и требует разработки сложной аппаратуры.
Эффект максимума поперечной неоднородности для расплавов полу-
полупроводников экспериментально подтвержден в работе [76] (рис. 5.25,
5.26), авторами которой также разработана одномерная модель для ис-
163
следования поперечной макросегрегации примеси, вызванной тепловой
конвекцией в расплаве. В работе [165] приведены также дополнительные
экспериментальные результаты, подтверждающие этот эффект в случае
горизонтальной направленной кристаллизации. Этот же эффект был полу-
получен позднее теоретически в работе [177] на основе анализа порядков
величин в уравнениях конвективного массообмена. Для вертикального
метода направленной кристаллизации эффект максимума поперечной
неоднородности распределения примеси получен численно на основе урав-
уравнений конвекции в работах [36, 179], где учитывалось не только движе-
движение фронта, но и его кривизна (стационарная задача Стефана).
Одним из главных выводов, следующих из анализа моделей, пред-
представленных в згой главе, является наличие существенных ограничений
при получении монокристаллов полупроводников большого диаметра
с высокой поперечной однородностью примеси в условиях микрогравита-
микрогравитации, для чего необходим весьма малый уровень микроускорений.
Г л ава 6
ЖИДКОСТНАЯ ЭПИТАКСИЯ
6.1. Особенности конвекции при жидкостной эпитаксии
и модификации процесса
Эпитаксиальный рост из жидкой фазы, при котором на подложке, из-
изготовленной из объемного монокристалла, выращивается слой материа-
материала из разбавленного раствора, является одним из основных методов полу-
получения приборов для микроэлектроники, СВЧ-техники, солнечной энерге-
энергетики [ 107]. Толщина и структура эпитаксиального слоя зависят от физи-
физико-химических свойств раствора-расплава, температурного диапазона
роста, скорости охлаждения, ответственной за создание пересыщения
в жидкости, конфигурации области, занятой жидкой фазой, расположе-
расположения подложек. В космических условиях появляется возможность варьиро-
варьировать величину вектора остаточных ускорений, непосредственно влияющих
на качество слоя ввиду высокой гравитационной чувствительности полу-
полупроводниковых систем [43]. К настоящему времени в нашей стране
и за рубежом выполнено большое число технологических экспериментов
на борту орбитальных станций [90, 146, 147], в том числе эксперименты
по выращиванию эпитаксиальных структур полупроводниковых материалов.
Существует много модификаций процесса жидкостной эпитаксии
(см. [9, 33, 107,175,205,214]). В каждом случае выбор конкретной мето-
методики проведения процесса жидкостной эпитаксии диктуется требованиями
к электрофизическим параметрам, структуре, толщине эпитаксиального
слоя, идущего на изготовление определенного вида приборов, а в орбиталь-
орбитальных экспериментах, носящих отчасти методический характер, еще и воз-
возможностями технологического оборудования. Ниже речь пойдет об экспе-
экспериментах по получению эпитаксиальных слоев арсенида и фосфида галлия
164
а
Рис. 6.1. Стальная капсула A) и ампулы с образцами
B—4) (а) и схема компоновки ампулы 4 (б)
а: 5, 6 — графитовые прокладки, 7 — крышка капсулы;
б: 1 — кварцевая ампула, 2, 3 — графитовый контейнер
с крышкой, 4, 5 — вкладыши из графита, б, 7 — подложки,
8 ~ галлий
Рис. 6.2. Типичная диаграмма состояния для систем
А3 -А'В5
То, Тк — температура начала и окончания процесса
эпитаксиального роста; с0, ск — концентрация растворен-
растворенного в А3 компонента А9 В5 в начале и конце процесса;
Тдд — температура плавления соединения А* В5
на установке "Сплав" на борту космических аппаратов "Салют" и "Кос-
"Космос" [15, 42, 43, 136]. Космическим экспериментам предшествовала их
отработка в лабораторных условиях.
Рост эпитаксиальных слоев осуществлялся в высокотемпературной
изотермической зоне в электронагревательной камере печи. Процесс
проводился в графитовом контейнере на две подложки (рис. 6.1). Область
между подложками заполнялась галлием. Контейнер помещался в гермети-
герметизированную кварцевую ампулу, ампула — в стальную капсулу. В режиме
нагрева и выдержки при определенной температуре в течение 2,3 ч подлож-
подложки частично растворяются в расплаве галлия. Процесс растворения
описывается диаграммой температура — состав для систем галлий—мышь-
галлий—мышьяк, галлий—фосфор [157] (рис. 6.2). При регулируемом охлаждении
до температуры Тк в растворе-расплаве создается пересыщение и на
подложках кристаллизуется арсенид или фосфид галлия. Таким образом,
реализуется вариант гомоэпитаксиального нестационарного роста слоев
в закрытой системе из ограниченного объема насыщенного раствора—рас-
раствора—расплава на две подложки при охлаждении с постоянной скоростью.
165
Качество слоев и воспроизводимость их свойств во многом определяют-
определяются процессами тепломассопереноса в жидкой фазе. При анализе процессов
в расплаве возникают следующие задачи.
1. Определение критических условий возникновения движения.
2. Исследование структуры движения при конкретных параметрах
эксперимента.
3. Изучение условий смены режимов движения в зависимости от
изменения параметров процесса.
Причиной возникновения конвекции при росте эпитаксиальных слоев
является неоднородность плотности раствора—расплава, обусловленная
неоднородностью концентрации и /или температуры. Для систем А3- А3В5
[41, 43, 134] концентрационная конвекция преобладает над тепловой,
это позволяет ограничиться рассмотрением одного механизма движения.
При росте эпитаксиальных слоев из раствора—расплава имеется в наличии
слой жидкости, ограниченный либо двумя твердыми, либо твердой и
свободной границами, причем граница может быть изолированной (вы-
(выполненной, к примеру, из графита) или проводящей (подложка). С точки
зрения моделирования исследование процессов в расплаве при жидкостной
эпитаксии аналогично изучению процессов в неравномерно нагретой
жидкости, находящейся в поле массовых сил.
В настоящее время имеется большое количество работ как теоретическо-
теоретического, так и прикладного плана, посвященных изучению конвективных движе-
движений, возникающих при различных условиях в полостях различной ориента-
ориентации и формы, заполненных различными веществами. Анализ большого
числа теоретических и экспериментальных работ дан в [54, 55];
приведенные там обобщения и выводы позволяют исследовать
конвективное движение во многих технологических процессах, в том числе
в процессе жидкостной эпитаксии.
В плоском горизонтальном слое при определенных условиях равно-
равновесное состояние жидкости становится неустойчивым и развивается
конвекция. Движение в области начинается при достижении критического
числа Рэлея (Ra*), значение которого при наличии твердых границ и подо-
подогреве снизу равно 1708. При росте эпитаксиальных слоев на две подложки
слой жидкости разделяется на две области [91]: в верхней (относительно
середины слоя) равновесие неустойчиво. Это приводит к развитию конвек-
конвекции, которая постепенно распространяется на нижнюю устойчивую область, -
так называемой проникающей конвекции. На нижней подложке вырастают
более однородные слои по сравнению с верхней [74].
При экспериментальном и теоретическом изучении конвективного
движения жидкости при сверхкритических числах Рэлея обнаружено,
что между состоянием покоя при Ra < Ra* и полностью турбулентным
движением существует ряд переходных состояний, когда конвективные
течения могут быть стационарными или осциллирующими [217].
Качество поверхности эпитаксиальных слоев непосредственно связано
со структурой движения.
В вертикальном ограниченном слое жидкости при подогреве сбоку
равновесие невозможно [54]: при сколь угодно малом перепаде темпера-
температур между границами возникает движение, интенсивность которого растет
с увеличением разности температур. В стационарных условиях жидкость
166
поднимается у нагретой стенки и опускается у холодной — течение состоит
из двух встречных конвективных потоков, происходит перенос тепла
вдоль слоя. При эпитаксиальном росте слои получаются клинообразной
структуры [99]. С увеличением числа Рэлея стационарное движение ста-
становится неустойчивым: неустойчивость развивается в виде системы вихрей
на границе встречных потоков.
В земных условиях процесс жидкостной эпитаксии реализуется в двух
вариантах: горизонтальном и вертикальном. В космических условиях
преимущественное направление ускорения может изменяться во времени
в зависимости от вызывающей его причины. Между двумя предельными
случаями — конвекцией Рэлея—Бенара в горизонтальном слое и гидродина-
гидродинамической неустойчивостью встречных потоков в вертикальном слое
существуют переходные режимы движения; тип неустойчивости и способ
турбулизации с ростом числа Рэлея зависят от ориентации слоя жидкости
относительно направления вектора ускорения [201, 216].
Причиной возникновения конвекции может служить неоднородность
температуры, созданная не только внешними (относительно жидкости),
но и внутренними источниками тепла в самой жидкости [220]. Моделиро-
Моделирование процесса жидкостной эпитаксии на основе слоя жидкости с внутрен-
внутренним нестационарным источником массы (что аналогично источнику тепла)
проведено в работе [104].
6.2. Математическая модель жидкостной эпитаксии
При эпитаксиальном росте качество слоя определяется потоком вещест-
вещества на подложку, который зависит от распределения концентрации в раство-
растворе—расплаве. Поле концентрации, в свою очередь, зависит от значений
чисел Рэлея, Прандтля, начальных и граничных условий, режимов проведе-
проведения процесса. Численное моделирование позволяет до эксперимента оце-
оценить влияние на качество эпитаксиальных слоев условий проведения про-
процесса, что особенно важно для экспериментов в космосе.
Математическая модель процесса жидкостной эпитаксии строится для
варианта роста слоев из ограниченного рбъема насыщенного раство-
раствора—расплава в изотермических условиях на две подложки в следующих
предположениях: поля течения и концентрации двумерные; физико-хи-
физико-химические параметры раствора—расплава, кроме концентрации, постоянные;
зависимость С(Т) по диаграмме состояния (см. рис. 6.2) полагается линей-
линейной; исходная поверхность подложек считается гладкой; изменение разме-
размеров области за счет растворения подложек и роста слоев не учитывается;
кристаллизация происходит только на подложках; кинетические явления
на границе подложки с расплавом не рассматриваются.
Моделирование осуществляется на основе уравнений Навье-Стокса в
приближении Буссинеска [41, 134]. Исходная система безразмерных урав-
уравнений в переменных функция тока \р, вихрь cj, концентрация С в декарто-
декартовой системе координат имеет вид
ut + \рушх - фхозу = озхх + о)уу + F,
Фхх + Фу у = ш>
С, + фуСх - фхСу = Sc -1 (Схх + Суу),
167
где
Фу = и, фх = -v, F = Grc (Сх sin <р + Су cos ф),
Grc =g$cH3(co-cK)lv2 = Rac/Sc, Sc = vjD.
Здесь м, v - проекции вектора скорости на оси х, у соответственно;
<р - угол между вектором ускорения g, создаваемого массовыми силами,
и осью у;с0 - размерная начальная концентрация по диаграмме состояния;
с, С - текущие размерная и безразмерная концентрации; v - коэффи-
коэффициент кинематической вязкости; jic — коэффициент изменения плотности
при изменении концентрации; Н — характерный размер (толщина слоя
раствора—расплава между двумя подложками). В качестве масштабов
длины, времени, скорости и концентрации выбраны соответственно Я,
Я2Iv, v/H, с0.
Граничные условия:
0<x<L/H, y=0, у=1: С = СДС,
х = 0, х=ЦН, 0<^<1:
где L - длина подложки; Сдс - безразмерное значение концентрации по
диаграмме состояния (ск/с0 < Сдс < 1). На всех границах заданы условия
прилипания, и-нормаль к границе:
ф=0, Ьф/Ъп=О.
Начальные условия:
0о=О, ыо=0, Со = 1.
Искомое решение зависит от координат, безразмерного времени ?oD =
= Dt/H2 (Г - время, D - коэффициент диффузии В5 в А3), значений без-
безразмерных критериев подобия, геометрии области Gj, начальных условий
G2, граничных условий G3, угла «р и может быть представлено в следую-
следующем виде:
С = f{x, у, FoD, Sc, Grc, G,, G2, G3, ч>).
Если модель адекватна реальному процессу, то равенство безразмерных
величин в правой части в модели и в этом процессе является необходи-
необходимым и достаточным условием его математического моделирования.
Численное моделирование процесса жидкостной эпитаксии осуществля-
осуществляется на основе методики и комплекса программ [134]. При отработке
модели выполнены дополнительные ее модификации и тесты [41, 134].
В процессе счета вычислялись значения функции
G = Sc J(bC/by)dT,
t
характеризующей конфигурацию слоя. При Q>0 происходит растворение
подложек, Q<0 соответствует процессу роста эпитаксиального слоя.
Геометрическая неоднородность эпитаксиального слоя характеризуется
величиной
6min) (/=1,2),
где Qmax, 2min - максимальное и минимальное значения толщины слоя
168
в конце процесса. Средняя неоднородность: Q' = (Q[ +Qi)/2. При Q' = О
слои идеально ровные. Разница в толщине слоев определяется по формуле
AG=[max(G,,G2)-inin(G,,G2)] ¦ 100%/(Q, +Q2),
где Q\,Q% - безразмерное количество вещества, осевшего на подложки
1 и 2 за время процесса. При Д Q = 0 масса слоев одинакова на обеих под-
подложках, что характерно для вертикального варианта, а также для роста
слоев в диффузионном режиме (Rac < Ra*).
63. Структура конвекции и параметрические исследования
Численное моделирование конвекции и массопереноса выполнено с
использованием параметров, характерных для эпитакспального роста
слоев полупроводниковых соединений А3 В5 [134]: температурный интер-
интервал роста То — Тк= 30°, скорость охлаждения раствора—расплава Уохл =
= 1° С/мин; толщина области, занятой жидкой фазой, Я = 0,1 -^0,2 см;
L/#= 3 -н 9; ip = 0 -^ 90°; Sc = 100. Уровень ускорений g изменялся в диапа-
диапазоне 0-5 g0 (go - 9,8 м/с2 ), Rac = 0 -f- 5 • 107. Расчеты проводились с исполь-
использованием равномерных сеток 21 X 33, 21 X 129 в зависимости от величины
L/H. Временной шаг брался равным 10~3—2 • 10~2 в зависимости от пара-
параметров процесса.
Как было сказано выше, ориентация области, занятой раствором-
расплавом, относительно направления действия массовой силы является
управляющим фактором процесса жидкостной эпитаксии. Ячейковая кон-
конвекция Рэлея—Бенара, реализуемая в горизонтальном варианте Qp = 0),
переходит в плоскопараллельное движение, характерное для вертикального
варианта (^ = 90°) и приводящее к получению слоев клинообразной струк-
структуры на обеих подложках (рис. 6.3). Рис. 6.4 иллюстрирует зависимость
геометрических параметров слоев от значений угла \р. Максимальная неод-
неоднородность имеет место при вертикальном расположении подложек. Умень-
Уменьшение числа Rac способствует повышению однородности слоев (Rac = 107
соответствует земным условиям).
В зависимости от величины числа Rac при горизонтальном расположе-
расположении подложек различаются три режима движения [134]: регулярный ста-
стационарный (Rac<5-105), регулярный нестационарный A06 —5 - 106),
нерегулярный нестационарный (Rac>107). Смена режимов обусловли-
обусловливает нелинейный характер зависимости величины Q' от числа Rac: наи-
наибольшая неравномерность наблюдается в случае регулярного нестационар-
нестационарного режима, когда структура движения не изменяется во времени
(рис. 6.5, а). Аналогичные эффекты, являющиеся следствием общего прин-
принципа максимума температурного и концентрационного расслоения в замк-
замкнутых объемах, рассмотрены в гл. 2 и 3. Уменьшение числа Rac, т.е. пере-
переход к состоянию невесомости, способствует уменьшению неоднородности,
на обеих подложках растут практически однородные слои одинаковой
толщины B', А 2=0). Уменьшение неоднородности имеет место и в
случае нерегулярного нестационарного режима из-за сильного и нерегуляр-
нерегулярного движения, способствующего хорошему перемешиванию раствора-
расплава. В вертикальном варианте неоднородность увеличивается с ростом
169
Q, &Q, %
80
Рис. 6.3. Изолинии концентрации и функ-
функции тока в расплаве (Rac = 107, L/H = 3,
Я =0,2 см, FoD = 0,5)
а - <р = 0, б - 5°, в - 10°, г - 15°,д-
20°, е- 90°
х Р и с. 6.4. Зависимость геометрической
неоднородности Q' и разницы в толщине
слоев AQ от величины угла_<р при Rac = 107
Точки 1,2 — значения Q' при Rac => 10*
-5 0 15 30 1/5 60 75 с/>" и 10s соответственно
170
Рис. 6.5. Зависимость геометрических параметров слоев от числа Rac (L/H = 3,
Fop = 0,5)
а — if = 0 (Q' рассчитывается без учета значений Q в крайних точках) , б — у = 90°
(де = о)
\\
/'
" '• •.
/ '
У
——.
f
•
¦
Ладмо
f%
/ \*
Р >.
/ -\:'
„. •.•*¦.'
* •.
*т
/
1
, ^
жка 2
л #
¦^
—
-
1
•
#• • ¦• •*
-rfrt*"
i
жка f
^-«^
Рис. 6.6. Влияние возмущений на конфигурацию слоев при Rac = 10'
1 - ^ - 0, 2 - tp = 5° до Fop = 0,15, 3 - <р = 90° до Fop = 0,05, 4 - if = 90° до ?oq -
= 0,15, 5 - if = 90° до Foo = 0,25, у = О до Foo = 0,5
171
Q
0,5
0,3
0,2
Слай1\
' 2 \
1
3
Слой 2
1 2 3 x
Рис. 6.7. Конфигурация слоев в зависимости от
ориентации области
1 - <Р = 90°, 2 - у = 90° до FoD = 0,25, v = -90°
до Fo/j = 0,5
Рис. 6.8. Влияние изменения ориентации области иа
конфигурацию слоев при Ra<. = 10*
l-if=0,2-ip= 90°, 3 - if0 = 90°, П = 0,0167
числа Ric (рис. 6.5, б), конфигурация слоев при этом одинаковая на обеих
подложках (Д Q = 0).
Однородность слоев повышается при изменении ориентации области в
ходе эксперимента от наклонного (до определенного безразмерного вре-
времени Fop) до горизонтального (до конца процесса, Fo0 = 0,5) в случае
регулярного нестационарного режима движения (рис. 6.6). В вертикальном
варианте может быть полезен поворот контейнера с подложками на 180°
(рис. 6.7), в этом случае направление движения в области изменяется на
обратное.
6.4. Влияние нестационарности микроускорений
В орбитальных условиях (Ra^ =С105) преимущественное направление
микроускорения может изменяться во времени (см. гл. 4). На рис. 6.8
показаны слои при горизонтальном и вертикальном расположении подло-
подложек и при изменении угла ip с частотой ?1 = 0,0167 мин из исходного вер-
вертикального положения (ipo=9O°). Таким образом, при g x\(T2 g0, т. е.
при Ra^ =Л05, конфигурация слоев отслеживает динамику изменения g.
6.5. Анализ экспериментов по росту эпитаксиальных слоев в невесомости
Модель процесса жидкостной эпитаксии использована для анализа про-
процесса получения эпитаксиальных слоев в космических условиях [43,136].
Численное моделирование осуществлялось в соответствии с режимом
172
Qt,%
100
50
О н
1 *
1
0,1 б
0,2 П>д
Рис. 6.9. Изменение содержания растворенного компонента в области в ходе про-
процесса (Кохл =11,347 ч,<р = 90°)
/ - Rac = 0, 2 - 8,25- io5, 3 - 8,2S ¦ 10s, 4 - 8,25 ¦ 10е; н- конец режима нагрева,
Я — конец режима выдержки
Рис. 6.10. Конфигурации слоев, полученные в результате расчетов
а, б- Rac = 8,2S • 10s, е- 8,25 • 105, г- 8.2S • 10е; а- >р = О,б-г~ 90°
экспериментов. Число Шмидта бралось равным ПО, L/H = 1 (Н = 0,8 см).
Расчеты проводились на равномерной сетке 33 X 33. Временной шаг т вы-
выбирался в зависимости от числа Rac, величина которого составляла 0;
8,25 ¦ 103; 8,25 ¦ Ю5; 8,25 • 108,что соответствует значениямg = 0; 10g0,
10~3go,go и физико-химическим параметрам раствора—расплава А3—А3В5
(в частности, Ga-GaAs). Точное значение угла <р в условиях орбитального
полета неизвестно, поэтому расчеты проведены для ip- 0,45° и 90°.
В фазе нагрева и выдержки происходит растворение подложек в галлии,
Сдс растет, содержание растворенного компонента в растворе-расплаве
увеличивается — функция Q-^ возрастает (рис. 6.9). В фазе регулируемого
охлаждения величина Сдс уменьшается, но несмотря на это Q-^ растет при
Rac < 8,25 • 103 — подложки продолжают растворяться. Это говорит о том.
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
Ra
0
0
а
8,25
8,25
8,25
8,25
8,25
с
103
103
103
105
ю8
Примечание.
22,5 "С/ч,
в остальных
-
-
0
45°
90°
90°
90°
Таблица 6
1
Исходные параметры
max Qj;
0,941
0,881
0,848
0,881
0,901
0,909
0,981
1,0
Цля варианта 1
^max
_
-
-
1,43 • 10"
3,8' 10
3,2- 10
0,355
9,75
скорость
случаях - 11,3 "С/ч.
F°*D
0,5
0,37
0,23
4 0,37
0,3
0,28
0,167
0,14
h, мкм
210
185
155
184
165-199
175-204
189
68-262
131-199
^охл = 2,8 "С/ч, для
т
1
1
1
5 ¦ 10-3
5 • lO
5' 10
ю-3
ю-4
варианта 3 —
173
P и с <Ш. Часть полированной поверхности образца (а) и фрагмент эпитаксиального
слоя (б) арсенида галпия, полученного в условиях невесомости
174
Рис. 6.12. Эпитаксиальный слой арсени
да галлия, полученный в контрольном
эксперименте в земных условиях
что концентрация растворенного компонента в центре области продолжает
оставаться меньше значения СдС- Когда они выравниваются, QT достигает
максимального значения. При дальнейшем уменьшении Сас функция
Се уменьшается — на оставшейся части подложек растут эпитаксиальные
слои. При Rac > 8,25 ¦ 10s растворение подложек прекращается в режиме
выдержки. Таким образом, значение Fo^, при котором происходит смена
режима растворения подложек на режим роста слоев, и максимальное зна-
значение величины Qy. зависят от условий проведения"процесса. В табл. 6.1
приведены величины, характеризующие эксперименты в зависимости от
условий их проведения. Толщина эпитаксиального слоя h определена из
соотношения
Нр (То)- (Н-2 А)р (Гк) = 2 h рэ.с(Гк),
где рGо), р(Тк) — плотность раствора—расплава в начале и конце про-
процесса соответственно; p3jC (Тк) — плотность выросшего эпитаксиального
слоя (в частности, арсенида галлия).
На рис. 6.10 показаны слои, полученные в результате расчетов при раз-
различных значениях числа Rac и ориентации области.
Часть полированного образца и фрагмент эпитаксиального слоя GaAs,
полученного в одном из экспериментов в орбитальных условиях, пока-
показаны на рис. 6.11. Слои выросли ровные, равномерные по толщине, с раз-
различием в толщине, определяемым кристаллографической ориентацией
подложек: Л[!П] = 144 mkm,U[1OOj = 192 мкм. Их конфигурация хоро-
хорошо согласуется с результатами численного эксперимента при значениях Rac =
= 8,25 • 103, i? = 0 (см. рис. 6.10, а; вариант 4 табл. 6.1). Можно сделать
вывод о преимущественном направлении результирующего вектора g
вдоль оси ампулы в ходе эксперимента.
На рис. 6.12 изображен эпитаксиальный слой GaAs, полученный в конт-
контрольном лабораторном эксперименте. Конфигурация слоя согласуется с
результатами расчета (см. рис. 6.10, г; вариант 9 табл. 6.1).
Таким образом, зная закономерности изменения толщины и конфигу-
конфигурации слоев в зависимости от величины и направления g, можно путем
анализа полученных в эксперименте эпитаксиальных слоев оценить вели-
величину и направление микроускорений в ходе процесса, что помогает инчер-
претировать результаты экспериментов по направленной кристаллизации и
175
бестигельной зонной плавке в космических условиях [15, 42], проводи-
проводимых одновременно с жидкостной эпитаксией, которая в этом случае явля-
является своеобразным "датчиком конвекции" по аналогии с рассмотренным
в гл. 4 (разд. 4.3) более общим трехмерным случаем.
6.6. Альтернативное невесомости медленное вращение
эпитаксиальной ячейки в земных условиях
Исследование влияния ориентации подложек относительно направления
действия массовой силы на конфигурацию эпитаксиальных слоев наводит
на мышь использовать динамическое изменение угла $ в ходе экспери-
эксперимента в качестве управляющего фактора процесса жидкостной эпитак-
сии, что реализовано в [41]. Постоянная смена режимов движения приво-
приводит к существенному изменению потока растворенного компонента на рас-
растущую поверхность, ответственного за конфигурацию слоя. На рис. 6.13
показаны слои, полученные при <р = const и медленном вращении области
(Cl2L <^g). В последнем случае неоднородность слоев на обеих подложках
значительно понижается. На рис. 6.14 приведена зависимость неоднород-
неоднородности слоев от частоты вращения при различной начальной ориентации
подложек у0 для Rac= 107 и 106. Реализация процессов с вращением кон-
контейнера в ходе эксперимента с частотой Г2 > 0,033 мин приводит к умень-
уменьшению неоднородности слоев, как и в случае уменьшения величины g.
Интересно отметить, что неоднородность слоев может достигать как мини-
минимального, так и максимального значения при определенной величине Г2,
зависящей от начального расположения подложек, что определяется дли-
V
¦o .
'ШшЩ
W/////A
>
i
3
i
W////A
W//M
Слой
V — ¦
Слой 1
W//M
w
z
1
m
/
¦¦
<3
r
3 ^
iii"
P и с. 6.13. Конфигурация слоев в конце процесса (Rac = 1,25 • 10', L/H = 9,Н = 0,1 см)
1 - ip = 0, 2 - 90°, 3 - а = 0,067 мин
176
с; %
80
60
W
20
\ 2
О
0,1
0,2
0,3
Я, пин
-I
Рис. 6.14. Зависимость геометрической неоднородности слоев от частоты вращения
(Rac=107, /,/Я=3)о
1 - ip= 0, 2 - 90°. Точки 3, 4 — значения Q' при Rac = 106, tp = 0 и 90° соответст-
соответственно
телыюстью процессов формирования структуры течения и поля концент-
концентрации в каждом из характерных положений ячейки (<р = 0, <р = я/2).
Тепловая конвекция в бесконечном слое жидкости со свободными гра-
границами при равномерном вращении вокруг горизонтальной оси с большой
частотой (по сравнению с реализованной здесь) рассмотрена в работе
[51], однако задача выбора оптимальной скорости вращения как управ-
управляющего параметра в упомянутой работе не ставилась.
Отметим также, что периодическое изменение направления вектора g,
аналогичное вращению области, возможно не только в плоскости чертежа
относительно горизонтальной оси, но и в различных других плоскостях.
Это существенно расширяет классификацию конвективных процессов,
рассмотренных в разд. 2.1, в случае "двойной диффузии".
Таким образом, параметрические исследования процесса жидкостной
эпитаксии показывают, а эксперименты в космосе подтверждают возмож-
возможность получения сравнительно толстых эпитаксиальных слоев с ровной
поверхностью в космических условиях. Однако в земных условиях альтер-
альтернативным невесомости управляющим фактором процесса эпитаксиального
роста может служить дискретное изменение ориентации подложек относи-
относительно направления действия массовой силы или медленное вращение кон-
контейнера в ходе эксперимента.
Добавление при корректуре
Геометрическая макронеоднородность, вызываемая концентрационной
конвекцией при жидкостной эпитаксии в растворе—расплаве А3В5. рас-
рассматривается в работе К. Asakawa, Y. Torimoto, Y. Hayakawa, M.Kumagawa
(Influence of solution convection on LPE in InxGa!_xSb//J. Cryst. Growth.
1990. Vol. 99. P. 1291-1294), некоторые выводы которой близки к вы-
выводам гл. 6. Возможности, представляемые медленным вращением, в
этой работе, однако, не рассматривались.
12. Зак. 1319 177
Глава 7
ЭЛЕКТРОФОРЕЗ В СВОБОДНОМ ПОТОКЕ
В этой главе мы переходим к рассмотрению упоминавшейся ранее гра-
гравитационно-чувствительной технологии получения биологических мате-
материалов — зонального электрофореза в свободном потоке (ЭФСП). Как и в
предыдущих главах, посвященных анализу технологических процессов
в невесомости, здесь представлена специализированная математическая
модель процесса.
Особенностями ЭФСП по сравнению с рассмотренными ранее процес-
процессами является наличие вынужденной конвекции и внутреннее тепловыде-
тепловыделение в объеме жидкости. Эти и ряд других отличий, связанных с геомет-
геометрией области течения жидкости, привели к существенному отличию мате-
математической модели ЭФСП от обсуждавшихся ранее моделей. В связи с этим
в настоящей главе уделяется значительное место обоснованию математи-
математической модели и выводу описывающих процесс уравнений исходя из общих
уравнений механики сплошной среды.
7.1. Предварительные замечания. Состояние исследований ЭФСП
Метод ЭФСП успешно применяется для разделения широкого класса
ионогенных смесей, главным образом биологического происхождения.
В основе метода лежит эффект электрофореза — способность взвешенных
в жидкости заряженных частиц перемещаться под действием приложен-
приложенного электрического поля. Скорость движения частиц (электрофоретичес-
кая скорость) пропорциональна напряженности электрического поля
[72]:
Коэффициент пропорциональности д называется электрофоретической под-
подвижностью и является отражением свойств поверхности частицы. Методом
электрофореза разделяют смеси, компоненты которых различаются элект-
рофоретическими подвижностями.
Широкое применение электрофорез нашел как аналитический метод
фракционирования, применяемый в случаях, когда требуется лишь уста-
установить состав смеси или наличие в ней заданного компонента. Электро-
Электрофорез имеет определенные преимущества перед такими методами разде-
разделения, как хроматография или ультрацентрифугирование, так как в про-
процессе электрофореза отсутствуют силовые воздействия и взаимодействие
со средой, способные нарушить естественное состояние разделяемых частиц.
В связи с этим очень привлекательным является использование электрофо-
электрофореза как препаративного метода, т.е. с целью получения значительных коли-
количеств очищенных препаратов.
В качестве препаративного метода большое распространение получил
зональный ЭФСП [198, 285, 286]. Схема камеры (ячейки), в которой
происходит электрофоретическое разделение, показана на рис. 7.1.
Камера образована двумя широкими термостатируемыми стенками
nlt П2 и ограничена с боков электродными узлами 3i, Э2. Раствор элект-
178
Рис. 7.1. Схема камеры для апектрофорети-
ческого разделения смеси
/7,, Пг — охлаждаемые пластины, Т — ин-
инжектор смесн, О — отверстие для подачи
раствора, К — коллектор разделенных фрак-
фракций, Э1( Э, — электродные узлы. Alf Аг,
А3, At - границы выделенных зон на неко-
некотором расстоянии от выходной плоскости
камеры
ролита поступает в камеру через отвер-
отверстие в верхней грани и покидает ее че-
через систему близкорасположенных тру-
трубочек в нижней грани, образующих кол-
лектор фракций. Через устройство вво-
ввода, представляющее собой в простей-
простейшем случае отверстие в стенке камеры
или, как изображено на схеме, трубоч-
трубочку Т, подлежащая разделению смесь
вводится в поток. Фракционирование
смеси происходит под воздействием
электрического поля, приложенного
перпендикулярно направлению потока
жидкости.
Увеличение толщины слоя жидкости,
в котором производится электрофоре-
тическая сепарация, приводит к возникновению вторичных течений,
нарушающих параллельное течение и перемешивающих разделяемые фрак-
фракции [198,238,261].
Причины этого состоят в том, что неоднородность температуры жидкости,
обусловленная джоулевым тепловыделением, а также разница плотности
разделяемой смеси и раствора электролита при наличии силы тяжести
вызывают конвективное движение жидкости. Для подавления конвектив-
конвективных течений проводятся эксперименты в невесомости [208, 262, 288] и
разрабатывается аппаратура, в которой стабилизация течения обеспечи-
обеспечивается вращением потока [242].
На первом этапе исследований ЭФСП [198, 285] предполагалось, что
электрофоретическая камера представляет собой бесконечный плоский
канал; вертикальная компонента скорости описывается формулой
Пуазейля [94]; концентрация смеси мала; диффузия отсутствует; элект-
электроосмос создает горизонтально направленное течение жидкости с парабо-
параболическим профилем скорости [72] . При этих предположениях определя-
определялись горизонтальные смещения компонент смеси и границы электрофорети-
ческих зон. Теоретические результаты качественно соответствовали резуль-
результатам экспериментов, однако имелись количественные расхождения, в
частности размывание зон на практике оказывалось больше, чем следовало
из теории.
179
Развитие этой одномерной (в смысле координатной зависимости полей
скорости и температуры жидкости) и бездиффузионной модели было сде-
сделано в работе [195], где учитывалась зависимость вязкости, электропро-
электропроводности и теплопроводности жидкости от температуры, и в [218], где
рассматривалось влияние деформации пуазейлевского профиля скорости
термоконвективным потоком на границы электрофоретических зон.
В следующей группе работ [22, 24, 211, 212, 259] также в предположе-
предположении одномерности скоростей и температуры изучалось влияние диффузии
и тепловой конвекции на размывание концентрационных профилей.
Гидродинамические эффекты, играющие определяющую роль в работе
ЭФСП при увеличении толщины камеры, исследовались в [25, 64, 173,
238, 261]. Структура течения буфера в области, удаленной от входного
участка камеры, рассматривалась в [188, 267]. Переход в стационарное
состояние исследовался численно в [173]. Температурное поле на входном
участке исследовалось теоретически в работах [226, 238]. Особенности
формирования плоскопараллельного течения жидкости в камере и тече-
течения на входном участке в условиях невесомости изучались в [25]. В экспе-
экспериментальных исследованиях гравитационных эффектов в ЭФСП [238,
261] обнаружены высокая чувствительность течения жидкости в камере
к малым температурным градиентам и возникновение нестационарных
течений.
Изучение концентрационных эффектов, возникающих при вводе в
поток смеси, сильно отличающейся по своим свойствам от буферного
раствора, приводит, как показано в [6, 7], к уширению электрофорети-
электрофоретических зон даже в условиях невесомости.
В данной главе изложена новая трехзонная математическая модель
ЭФСП [22-25], основанная на полных уравнениях Навье-Стокса, выделяю-
выделяющая область входного участка камеры, область ввода разделяемой смеси в
поток и собственно область электрофоретического разделения. С этой
позиции группируется материал и обсуждается влияние массовых сил в
каждой из зон.
7.2. Миогозонная математическая модель ЭФСП
Процесс ЭФСП, как отмечалось выше, представляет собой комплекс
взаимосвязанных гидродинамических и электрохимических процессов,
полное теоретическое исследование которого должно базироваться на
системе уравнений электрогидротермодинамики многокомпонентных
смесей [13]. Не приводя здесь эти уравнения, сделаем и обсудим ряд допу-
допущений, отвечающих специфике ЭФСП и позволяющих существенно упрос-
упростить математическую модель процесса.
1. Концентрации компонент разделяемой смеси и концентрации ионов
раствора много меньше концентрации растворителя (воды). Данное допу-
допущение не является ограничительным и позволяет пренебречь перекрест-
перекрестными кинетическими эффектами.
2. Объемные электрические заряды в жидкости отсутствуют. Это допу-
допущение известно в электрохимической литературе как "приближение элект-
электронейтральности" и широко применяется [268]. Такой подход корректен
180
в случае достаточно большой электропроводности раствора, что имеет
место в случае ЭФСП.
3. Диффузионные токи ионов малы по сравнению с токами прово-
проводимости, что также справедливо в ЭФСП.
4. Жидкость несжимаема и ньютонова. Здесь необходимо отметить,
что растворы полимеров, частным случаем которых являются смеси, раз-
разделяемые методом ЭФСП, проявляют неныотоновские свойства при до-
довольно малых концентрациях и, следовательно, использование такого
предположения накладывает ограничение на применение разрабатываемой
модели.
5. Химические реакции между компонентами смеси (диссоциация,
комплексообразование и др.), если и имеют место, то протекают очень
быстро — за времена, много меньшие, чем характерные времена диффузии
и конвективного переноса компонент. В этом случае компоненты смеси
представляют собой подсистемы, находящиеся в локальном химическом
равновесии [13].
6. Перепады плотности жидкости, вызванные джоулевым тепловыде-
тепловыделением и разницей плотности компонентов смеси и раствора, невелики,
в силу чего для описания движения жидкости можно использовать прибли-
приближение Буссинеска [54].
7. Будем пренебрегать влиянием диффузионных пограничных слоев с
повышенной концентрацией ионов буферного раствора, образующихся
вблизи электродных узлов Э] и Э2. Хотя наличие этих слоев наблюдается
в эксперименте [276], их толщина невелика по сравнению с шириной
камеры. Кроме того, наличие диффузионных погранслоев определяется
свойствами ионообменных или диализных мембран, ограничивающих каме-
камеру, и может быть вообще исключено.
С учетом сделанных допущений упомянутая выше система уравнений
электрогидротермодинамики заменяется на следующую систему урав-
уравнений:
pw9V/af + (VVV) = -Vp + V(T?VV) + pwg[0(r-rw)+ Sa,c,], G.1)
divV = 0, G.2)
G.3)
G.4)
G.5)
div a E = 0, G.6)
Э Э . Э
V= — i+—]+—k,
dx by bz
где V - вектор скорости жидкости; f — время; р - давление; g - вектор
ускорения свободного падения или вектор микроускорений; /3 - коэффи-
коэффициент объемного расширения жидкости; ц — ее динамическая вязкость;
Ср — теплоемкость; х — теплопроводность; а — электропроводность;
pw - плотность жидкости при температуре Tw, которую имеют охлаждаемые
извне стенки камеры; Т - температура жидкости; с,-, N,- - локальные
181
концентрация и поток массы г'-го компонента смеси; D,-,ju,— его коэф-
коэффициент диффузии и электрофоретическая подвижность; а,- — коэффи-
коэффициенты пропорциональности: аг = Эр/Эс,-, где р — плотность жидкости;
Е - напряженность электрического поля; i,j,k- орты системы коор-
координат.
Система уравнений G.1) — G.5) должна быть дополнена соотношения-
соотношениями, задающими зависимости параметров, определяющих свойства жид-
жидкости, от концентрации компонентов смеси и от температуры (зависимос-
(зависимостью этих величин от напряженности электрического поля пренебрегаем):
т? = v (T, с,), о = о(Т,а), X = x(T,Ci), Cp = Cp(T,Ci),
Di = DtCr,v,Ct), щ = (Т,ъа).
Указание конкретного вида этих зависимостей требует принятия дополни-
дополнительных предположений, которые будут сделаны в дальнейшем.
Конечным результатом математического моделирования ЭФСП являет-
является расчет концентрационных профилей (КП). КП F,- г-го компонента
в ЭФСП определяется как стационарное распределение по координате z
потока массы данного компонента в направлении оспу на выходе камеры:
*Hz)= S\Nly\y=Hdx, G.8)
-d
где Н — высота камеры; Niy — составляющая локального потока массы
в направлении оси у; d — полутолщина камеры. Именно КП компонентов
смеси измеряются в экспериментах; взаиморасположение КП определяет
качество электрофоретического разделения.
Благодаря особенности конструкции электрофоретической камеры
(толщина камеры 2 d много меньше ее ширины 2 I и высоты Н, а ширина
камеры, как правило, в несколько раз меньше высоты) имеется возмож-
возможность упрощения системы уравнений G.1)-G.6). Предполагаются выпол-
выполненными условия
d/H< I, d/Kl, G.9)
а условие
1/Н< 1 G.10)
будет оговариваться отдельно.
В силу указанной особенности конструкции течение жидкости в боль-
большей части камеры, за исключением входного участка и области ввода раз-
разделяемой смеси в поток, носит плоскопараллельный характер. В связи с
этим область камеры разделяется на три зоны:
1) входной участок камеры, где формируется параллельное течение;
2) область ввода разделяемой смеси в поток;
3) область параллельного течения, где производится электрофорез и
которая в дальнейшем будет именоваться зоной электрофоретического
разделения.
Границами первой зоны являются верхняя грань камеры, лежащая в
плоскости у = 0 (см. рис. 7.1), и плоскость A i, отстоящая от верхней грани
на некоторое расстояние г.
182
Верхняя граница второй зоны расположена несколько выше торца
инжектора, в плоскости Аг, а нижняя, лежащая в плоскости А3, — на
расстоянии / от нее. Нижние границы первой и второй зон определяются
затуханием х- и z-составляющих вектора скорости.
Нижняя граница второй зоны является одновременно верхней границей
зоны электрофоретического разделения. Эта зона оканчивается в плоскости
А^. Плоскость Аа, расположена на некотором расстоянии от выходной
плоскости камеры у = Н, которое определяется перестройкой течения,
обусловленной распределением жидкости по трубочкам коллектора фрак-
фракций.
Система уравнений G.1) —G.7) в каждой из зон может быть упрощена
в соответствии с особенностями этих зон. Эти вопросы будут подробно
рассмотрены в последующих разделах. Здесь укажем связь выделенных
зон.
Распределение концентрации компонента смеси на верхней границе
области электрофоретического разделения (плоскость Аз) может быть
найдено из результатов расчета течения жидкости и массопереноса в зоне
ввода в поток разделяемой смеси. В свою очередь, положение инжектора
смеси определяется протяженностью участка стабилизации течения, кото-
которая находится в результате моделирования гидродинамических процессов,
протекающих в первой зоне камеры.
7.3. Течение жидкости и теплоперенос во входной области камеры
Целью данного раздела является исследование механизма возникнове-
возникновения вторичных течений во входной области электрофоретической камеры
в условиях полной невесомости и при наличии постоянного ускорения
свободного падения, ориентированного параллельно оси z.
В рассматриваемой области отсутствует разделяемая смесь, так как она
вводится в камеру ниже по течению (см. рис. 7.1), следовательно, урав-
уравнения G.4), G.5) и зависимость параметров жидкости от концентраций
компонентов смеси исключается из описания процесса.
Вязкость, электропроводность, теплоемкость и теплопроводность жид-
жидкости положим не зависящими от температуры и равными их средним
значениям. Уравнение G.5) в этом случае представляет собой уравнение
Лапласа для потенциала электрического поля у.
VV = 0. G.11)
Если принять, что плотность электрического тока на электродных узлах
постоянна и равна /с, боковые грани камеры электроизолированы,
инжектор смеси отсутствует, то, как легко показать, решение G.11)
имеет вид
что соответствует однородному электрическому полю.
Наличие в камере инжектора, электропроводность жидкости в системах
ее подачи в камеру и в коллекторе фракций несколько искажают элект-
электрическое поле. Тем не менее, если это не оговаривается, электрическое
поле в камере будет в дальнейшем считаться однородным.
183
С учетом сказанного выше система уравнений G.1) —G.7), описываю-
описывающая ЭФСП, в первой из выделенных зон камеры принимает вид уравнений
тепловой конвекции:
Э V/Эг + (V • V)V = - Vp/p + i/Д V + g|3 (T-Tw), G.12)
divV = 0, G.13)
(V- V)T) = xAT+oE2, G.14)
где v — кинематическая вязкость жидкости.
Система уравнений G.12) —G.14) является основой для изучения влия-
влияния термогравитационной конвекции в ЭФСП.
Несмотря на то что система уравнений G.12) —G.14) является более
простой по сравнению с исходными уравнениями G.1) —G.7), ее решение
в силу трехмерности также весьма затруднительно.
В работах [226, 238] рассчитывалось распределение температуры на
входном участке камеры в трехмерной [226] и двумерной [238] поста-
постановках. Двумерная постановка задачи (не учитывается зависимость пере-
переменных от координаты z) оправданна при рассмотрении течения и тепло-
переноса в камере с широким входным отверстием. Поле скорости жид-
жидкости в этих работах считалось заданным и не зависящим от распределе-
распределения температуры. Расчеты показали, что возможны ситуации, когда в слое
жидкости реализуется градиент температуры, параллельный вектору уско-
ускорения свободного падения. В этом случае (см. гл. 2) при достижении опре-
определенного критического значения числа Рэлея система теряет устойчивость.
Именно этот механизм авторы работ [47, 226, 238, 245, 267] считают
определяющим в возникновении вторичных течений в электрофоретичес-
кой камере. Следует отметить, что в своих оценках авторы опирались на
критические числа Рэлея, рассчитанные применительно к иной системе, а
именно к бесконечному вертикальному каналу, каковым не может счи-
считаться участок термической стабилизации в силу ограниченной протяжен-
протяженности.
В другом подходе, развиваемом в работе [25], используется условие
G-9), означающее, что рассматриваемая камера аналогична по своим
характеристикам ячейке Хеле-Шоу. При моделировании тепловой конвек-
конвекции в ячейках Хеле-Шоу [101, 219] предполагаются заданными зависи-
зависимости скорости и температуры жидкости от поперечной координаты х, и
путем усреднения уравнений G.12) —G.14) по этой координате осуществ-
осуществляется понижение их размерности.
Сопоставление результатов теоретических и численных расчетов, осно-
основанных на усредненных уравнениях, с результатами натурных экспери-
экспериментов [44, 219] показывает адекватность такого типа модели для опи-
описания как стационарных, так и нестационарных закритических течений
в ячейках Хеле—Шоу.
Для изучения механизма возникновения вторичных течений термокон-
термоконвективной природы в ЭФСП рассмотрим две задачи:
1) о взаимодействии свободной и вынужденной конвекции при нали-
наличии неоднородно распределенных внутренних источников тепла в плоском
канале в двумерной постановке,
2) о взаимодействии свободной и вынужденной конвекции на входном
184
Е'О
-1
У
?- const
Рис. 7.2. Схема расчетной области
А, В — термостатируемые стенки
Рис. 7.3. Зависимости температуры в (штриховые линии) и скорости vy на оси
камеры (сплошные линии) от продольной координаты у (Re = 1, Рг = 5)
1 - Gr/Re = 100, 2 - 150, 3 - 180
участке электрофоретической камеры в приближении усредненных урав-
уравнений.
7.3-1. Взаимодействие свободной и вынужденной конвекции в плоском
канале при наличии неоднородно распределенных внутренних источников
тепла. Объектом исследования в этом? подразделе будет служить плоский
канал толщины 2 d и бесконечной высоты, в котором в направлении оси .у,
совпадающем с направлением действия силы тяжести, течет вязкая несжи-
несжимаемая жидкость (рис. 7.2). В области у > 0 действуют внутренние источ-
источники тепла с постоянной объемной мощностью; в области у < 0 они
отсутствуют. Тепло отводится через стенки канала, поддерживаемые при
постоянной температуре.
Рассматривая двумерное течение в области у > 0, перейдем к перемен-
переменным вихрь—функция ток а в системе уравнений G.12) — G.14) и запишем
преобразованные уравнения в безразмерном виде:
Ъш Эц> Ъш 1 \Ъ2ш 32оЛ G
— + Uv +vx = - —Г+—Г + ~Т — . GЛ5)
ЭГ У Ъу Ъх Re L Ъ2 Ъг \ Re2 Ъх
д
оЛ Gr Ъв
г \ Re2 Ъх
Ъв
—
dt
Ъв
Ъх у
Ъв
Ъу2 Ъх
vy = -дф/Ъх, vx = Ъф/Ъу,
1 Г Ъ2в Ъ2в
RePr [ Ъу2 Ъх2
G.16)
G.17)
Здесь со — вихрь; ф — функция тока; $ — безразмерная разность темпера-
температуры, в = (Т - TW)ITC; пространственным масштабом в уравнениях
G.15) —G.17) служит полутолщина канала, масштабом скорости - сред-
средняя скорость жидкости U, времени — d/U.
185
Числа Рейнольдса, Грасгофа и Прандтля определены следующим обра-
образом: Re = Ud/v, Gr = gpTcd3/p2 , Рг = (т?/х) Cp,Tc = oE2 d2/x - характерная
температура джоулева нагрева.
На границе области у = 0 зададим пуазейлевский профиль скорости,
соответствующий изотермическому течению вязкой несжимаемой жидкос-
жидкости в бесконечном плоском канале [94], и однородное по толщине канала
распределение температуры:
У = 0: vy = 3l2(l-x2), 0=0О, ф = 3/2(х3/3-х). G.18)
На боковых стенках канала предполагаются выполненными условия прили-
прилипания жидкости и условия термостатирования стенок:
х=>±1: Vyit = 0, 0 = 0, i// = +l. G.19)
При значениях у -* °° течение одномерно, зависимости скорости жидкости и
ее температуры от поперечной координаты имеют вид [267]
9 = -A-х2), Vy = -(l-x2)-—?—(l-6x2 + 5x*). G.20)
2 2 1 Z\j ке
Задача решалась численно в области (х, у) ? (— 1, 1) X @, R), где R —
некоторое значение, достаточно большое для того, чтобы в рассматривае-
рассматриваемой области установилось стабилизированное течение. На границе у - R
устанавливались следующие граничные условия:
y = R: vy = \, Э0/Эу = О, ф = -х. G.21)
Для решения G.14) —G.17) с граничными условиями G.18), G.19),
G.21) использовался конечно-разностный метод, описанный в [38, 134].
Расчеты проводились на равномерной сетке 21 X 65; погрешность резуль-
результатов не превосходила 4%. Переход к более подробной сетке 41 X 65 не
приводил к существенным изменениям расчетных величин. Стационарное
решение G.14)—G.17) находилось методом установления.
Расчеты течений жидкости и полей температуры в камере были выполне-
выполнены для следующих значений Gr/Re: О, 100, 150, 180 при значениях числа
Рейнольдса в диапазоне 1—3 и числа Прандтля в диапазоне 1—5.
Рассчитанные зависимости ^-составляющей скорости жидкости и ее тем-
температуры на оси канала (х = 0) от продольной координаты у при трех зна-
значениях отношения Gr/Re приведены на рис. 7.3. Кривые рассчитаны для зна-
значений Re = 1, Рг = 5. При других значениях чисел Рейнольдса и Прандтля,
но при тех же значениях отношения Gr/Re получаются близкие резуль-
результаты.
Расчеты показали, что при попадании в область объемного тепловыделе-
тепловыделения жидкости с температурой, равной температуре стенок камеры @О = 0),
происходит плавная перестройка течения от пуазейлевского до стабилизи-
стабилизированного G.20). Эта перестройка осуществляется на расстоянии, опреде-
определяемом установлением одномерного распределения температуры G.20),
которое незначительно убывает с увеличением значения Gr/Re и по поряд-
порядку величины равно произведению RePr.
Характерный продольный градиент температуры можно оценить как
TclB RePrc?), что соответствует числу Рэлея Ra « Gr/2Re. Использованные
в расчетах значения Gr/Re превосходят значение критического числа Рэлея
186
для вертикального плоского канала [54], тем не менее неустойчивость и
переход к течению типа конвективных валов обнаружены не были.
7.3.2. М мелирование структуры течения жидкости в камере на основе
усредненных уравнений. В данном подразделе для упрощения системы
уравнений G.12) —G.14) используется следущее, применяемое для моде-
моделирования течений жидкости в ячейках Хеле-Шоу представление состав-
составляющих скорости жидкости и ее температуры:
{)Z{t,y,z){\-x2ld2), G.22)
Tw+~ Tc (I~x2/d2),
i 2
где ДГ0 = Го - Tw — разность температуры жидкости Го, поступающей в
камеру, и температуры стенок. Подстановка этих выражений в уравнения
G.1) —G.3) и усреднение по поперечной координате х приводит к дву-
двумерной системе уравнений, имеющей в безразмерных переменных следую-
следующий вид:
Ол1 6 Ъл1 Ъл1 1
Э/ 5 ' Ъу Ъг
ЪТ
ЪТ 6
ЭГ 1
3 = -ДФ,
д = э2
/Ъг2
ЪТ
Ту
у
+ 'с
т -
г RPr
<«>Х = ЭФ/ЭЛ G.25)
где Д = Ъ2/Ъг2 + Ъ2/Ъу2 — двумерный лапласиан; G = [gjM3AT0 -
- ТсI3]/р2 — аналог числа Грасгофа; R — число Рейнольдса, рассчитанное
по полуширине камеры; Рг — число Прандтля; ПиФ- усредненные вихрь
и функция тока; координаты в отличие от предыдущего подраздела изме-
измеряются в единицах I, а время — в единицах l/v, где Р — средняя по сечению
у = const скорость жидкости.
Компоненты скорости Vy, Vz, заданные соотношениями G.22), удов-
удовлетворяют граничным условиям прилипания на стенках камеры (х = ± d),
а температура — условию поддержания стенок при постоянной температу-
температуре Tw. Решение G.23)-G.25) вида <v)y = 1, (v)z = 0, Т= 1 соответствует
течению Пуазейля в плоском канале и установившемуся распределению
температуры при наличии внутренних источников тепла.
Член —3(I/dJCl/R в уравнении G.23) описывает диссипацию вихря за
счет трения о стенки камеры, а последний член в G.24) — отток тепла из
объема жидкости на термостатируемые стенки.
Запишем граничные условия для системы уравнений G.23) —G.25),
соответствующие расчетной схеме, изображенной на рис. 7.4. На твердых
поверхностях задаются условия прилипания жидкости и условия тепло-
тепловой изоляции:
= О. G.26)
187
дг
<u>z"ff
V-f
is
<u>z-a
r-r
V—z/s
<o>z-0
Г-ff
?—/
t"
<v>z-0
Рис. 7.4. Расчетная область и граничные условия для усредненной системы уравнений
На входной границе области у = 0 вертикальная компонента скорости
жидкости задается равной постоянной величине 1/s в отверстии шириной
2s и равной нулю вне его. Горизонтальная компонента скорости {v)z пола-
полагается равной нулю на входной границе области:
1/s, |z|<s, , v G.27)
0, s<|z|<l,
= 0:
<v)y =
Т =
Аналогично в виде ступеньки задается температура на входной границе
1, к |<», G.28)
На выходной границе области в соответствии с конструкцией коллекто-
коллектора фракций, представляющего собой ряд близко расположенных трубочек
малого диаметра, задается постоянное значение вертикальной компоненты
скорости, равное единице. При этом горизонтальная составляющая скорос-
188
ти полагается равной нулю:
у = Н/1: Шу = 1, (vJ=0. G.29)
Для температуры на выходной границе задается "мягкое" граничное усло-
условие:
у = Н/1: дТ/Ьу = 0. G.30)
С практической точки зрения представляют интерес стационарные рас-
распределения температуры Т и функции тока ф~, которые в описанной моде-
модели являются функциями безразмерных координат у, z и безразмерных
параметров R, G, l/d, s, Pr.
Помимо полей скорости и температуры, как отмечалось выше, характе-
характеристикой гидродинамической картины в камере служит протяженность
участка стабилизации, т. е. расстояние г от входа в камеру, на котором
устанавливается плоскопараллельное течение. Длину входного участка г
можно определить различными способами. Будем использовать два из них:
1) г — это расстояние от входа в камеру до области, где отношение
компонент скорости (v)z/(v)y меньше малой величины е, т. е.
min max [<v)z(г, z)l(v)y(г, z)\ = e, G.31)
г z
2) г является минимальным корнем уравнения
(v)y(r, 0)-vyoo@) = e,
здесь vyoa{z) — одномерный профиль осевой скорости при .у -*¦ °°. В даль-
дальнейшем используется значение е, равное 0,01. Оба определения приводят
к близким значениям для г, но первое более удобно для численных расче-
расчетов, в то время как второе — для аналитических оценок. Отношение ско-
скоростей (v)z/{v)y представляет собой тангенс угла, образованного осью .у и
линией тока в точке {у, z). Это отношение служит мерой параллельности
потока. Определенная согласно G.31) протяженность участка стабилиза-
стабилизации является функцией определяющих параметров: г = r(R, G, l/d, s).
Изотермическое течение. Изучение структуры течения в камере и зави-
зависимости длины участка стабилизации от параметров процесса целесообраз-
целесообразно начать со случая изотермического течения, которое теоретически изуча-
изучалось в [25, 73, 109]. Течение жидкости в этом случае соответствует течению
в условиях полной невесомости. В [25] вводится параметр а = 3(l/dJjR,
характеризующий отношение сил трения жидкости о стенки камеры к инер-
инерционным силам. Применительно к ЭФСП в [25] получены приближенные
соотношения для нахождения протяженности участка стабилизации и рас-
расчета осевой скорости жидкости:
<v)y(y,0)=l/s-5ayf6, G.32)
ens 6 1
r, = -ln— + — (- - 1). G.33)
2smjrs 5a s
Приведем результаты численных расчетов из [25]. Численное решение
системы уравнений G.23), G.25) находилось методом конечных разностей
согласно описанной в [38, 134] методике.
Для изучения течения в камере были проведены параметрические расче-
189
11-—
0
=m=-. ¦
—,—j
Рис. 7.5. Линии тока стационарного усредненного изотермического течения npijj
R = 200
a -//d= lS,s = 0,2;6- l/d = 10, i = 0,2;в - l/d = 10, .5 = 0,1
ты. При этом параметры варьировались в следующих пределах: 10 < l/d <
<200, 0.КК1, 50<R<500.
Линии тока характерных для данной системы течений приведены на
рис. 7.5, а, б. На рис. 7.5, а показаны линии тока стационарного течения,
соответствующего значениям R = 200, l/d = 15, s = 0,2, h/l = 6,4. Пунктдр-
иая линия ограничивает входной участок, длина которого равна 3,2. Из рисун-
рисунка видно, что линии тока искривляются на выходе камеры, так как гра-
граничные условия G.29) перестраивают поток. Длина выходного участка
оказалась практически не зависящей от параметров течения и равной при-
приблизительно 1,5.
Увеличение толщины камеры (т. е. уменьшение l/d) приводит к значи-
значительному увеличению входного участка и появлению вторичных течений,
как показано на рис. 7.5, 6 (R = 200, l/d = 10, s = 0,2, h/l - 6,4). Критерий
параллельности G.31), определяющий длину входного участка, не вы-
выполняется. Значение min max (Vz/Vy) равно 1,6 • 10~2 при^ = 5,3. Длина
У г
190
Рис. 7.6. Протяженность участка стаби- Г
лизации при изотермическом течении g .
I - s - 0,1, II - s = 0,2. Сплошные
линии — зависимость G.33), точки —
численный расчет для R = 400, s = 0,1
A), R = 200, s = 0,1 B) и R = 200, S = 0,2 6 -
C)
Рис. 7.7. Картины течения при G = 0 (в)
„G=-5-10s (б)
а
5 I* 3 Z 1
ч
5 t
I
(
з г 1
входного участка оказывается равной 5,6 в камере с относительной высо-
высотой h/l = 10 при тех же значениях остальных параметров. Максимальное
значение модуля функции тока \Ф\тах, характеризующее интенсивность
возвратного течения, равно 1,016.
Уменьшение размера s входного отверстия приводит к увеличению на-
начальной скорости струи, формирующейся на входе, и, как следствие, к уве-
увеличению интенсивности обратного течения и увеличению длины входного
участка. Линии тока течения при значениях параметров R = 200, s = 0,1,
l/d =10, H/l = 6,4 приведены на рис. 7.5, в. Значение |ф|тах равно 1,053,
что показывает увеличение расхода жидкости в возвратном течении.
На рис. 7.6 приведены результаты численного расчета длины входного
участка и ее аналитической оценки G.33). Видно удовлетворительное
совпадение численных и аналитических результатов, причем, чем больше
191
число Рейнольдса, тем лучше это совпадение в соответствии со сделанными
допущениями.
Сформулируем основные результаты исследования изотермического
течения в камере ЭФСП.
В зависимости от значений параметров а = 3(//cfJ/R и s в камере имеют
место три основных режима течения в изотермических условиях или в усло-
условиях микрогравитации.
1. В случае а > 1 во фронтальной плоскости камеры устанавливается
безвихревое течение спустя промежуток времени порядка нескольких
т - 1/а от момента начала движения. Длина входного участка порядка
единицы.
2. Если а «* 1 и s < 1, то во входной области формируется струя. Длина
входного участка зависит от а и s, увеличиваясь с увеличением а и s.
3. Если а и/или s уменьшаются, на входном участке камеры образуется
возвратное течение, которое может распространиться на всю камеру.
Неизотермическое течение. Рассмотрим структуру неизотермического
стационарного течения и температурного поля в камере.
В представленных ниже расчетах значения параметра l/d варьировались
в пределах от 10 до 25, число Рейнольдса — в пределах от 40 до 200, полу-
полуширина входного отверстия s — от 0,1 до 0,5. Число Прандтля Рг задавалось
равным 7. Параметр G варьировался в пределах от —2 • 106 до 5 • 106.
Отрицательные значения этого параметра могут соответствовать подаче
сверху вниз охлажденной жидкости с температурой То, меньшей Tw +
+ Гс/3, либо подаче снизу вверх нагретой жидкости с температурой То,
большей Tw + Гс/3.
Для изучения особенностей течения, связанных с неизотермичностью
потока, зафиксируем значения параметров l/d - 15, R = 60, s = 0,5, при
которых в изотермическом случае реализуется безвихревое течение.
Обратимся к картинам стационарного течения, рассчитанным при раз-
различных G. На рис. 7.7, а изображены линии тока и изотермы при G = 0,
т. е. в случае, когда температурное поле не влияет на течение жидкости.
Протяженность участка стабилизации г в этом случае составляет 1,54,
рециркуляционное течение отсутствует.
Подача охлажденной жидкости. При отрицательных G протяженность
участка стабилизации увеличивается, например при G = —10 до значения
г = 2,57. Однако качественного изменения характера течения при этом
значении G не происходит, рециркуляционные зоны, как и в предыдущем
случае, отсутствуют. Увеличение г вызвано тем, что охлажденная жидкость,
поступая в камеру, приобретает под действием силы тяжести дополнитель-
дополнительную скорость в направлении вынужденного движения. Дальнейшее умень-
уменьшение параметра G до значения —5 • 105 приводит к качественному изме-
изменению характера течения (рис. 7.7, б). Здесь на входном участке камеры
формируется струйное течение, порождающее вихри, которым соответст-
соответствуют значения |ф|тах = 1,11. При этом область неоднородности темпера-
температуры, как видно из рис. 7.7, б, значительно возрастает по сравнению с
предыдущими случаями. Увеличение области неоднородности температу-
температуры связано с тем, что возрастает скорость жидкости вблизи оси камеры;
в данном случае она достигает максимального значения итах = 2,3 при
192
у = 0,4, что превышает скорость на входе Vo = 2. Протяженность участка
стабилизации увеличивается при этом до величины г = 4,98.
Дальнейшее уменьшение параметра G до -7,5 • 105 приводит к увели-
увеличению интенсивности рециркуляционного течения (|ф|тах = 1,17) и воз-
возрастанию скорости жидкости на оси камеры (итах = 3,6). При этом про-
протяженность участка стабилизации в камере высотой h/d = 8 увеличивается
до значения г = 6,54.
Подача нагретой жидкости. Иной характер влияния неизотермичности
наблюдается при положительных значениях G. В этом случае скорость
жидкости, поступающей в камеру, уменьшается за счет того, что более
нагретая жидкость стремится подняться вверх, в сторону, противополож-
противоположную направлению основного потока. При достаточно малых G этот эффект
приводит даже к уменьшению протяженности участка стабилизации по
сравнению с изотермическим случаем. В исследованном диапазоне G @ <
<G<5 • 106) в камере не возникает рециркуляционных зон, происходит
лишь перераспределение потока по ширине камеры и в случае больших
значений G образование пограничных слоев в пристенной области.
На рис. 7.8 представлены зависимости вертикальной составляющей ско-
скорости жидкости на оси камеры <и)у@, у) от продольной координаты у при
различных значениях параметра G, иллюстрирующие упоминавшееся выше
увеличение скорости в случае G < 0 и ее уменьшение при G > 0.
Профили <и)у в сечении у =1,6 при различных G, приведенные на рис. 7.9,
показывают формирование подъемно-опускного течения при уменьшении
G в случае G < 0 и структуру ядра потока и пристеночных пограничных
слоев при опускном движении в случае G > 0.
Зависимость длины участка стабилизации от числа Грасгофа при раз-
различных значениях l/d, R, s приведена на рис. 7.10. Кривой 1 на рис. 7.10
соответствует основной случай l/d = 15, R = 60, s = 0,5. Как видно из этого
рисунка, в области отрицательных G протяженность участка стабилизации
увеличивается практически пропорционально —G. При положительных G
имеет место более сложная зависимость.
Относительная ширина камеры l/d существенно влияет на остроту мини-
минимума и значения функции r(G), оставляя неизменным характер этой зави-
зависимости (рис. 7.10, кривая 2). Уменьшение тормозящего воздействия сте-
стенок камеры при l/d = 10 по сравнению с тем, что имело место при//с? = 15,
приводит к значительному увеличению протяженности участка стабилиза-
стабилизации как в случае отрицательных, так и положительных G. Изменение ши-
ширины входного отверстия (рис. 7.10, кривая 3) не играет в условиях неизо-
неизотермичности большой роли в отличие от случая G = 0.
Как показывают расчеты, протяженность участка стабилизации при
G < 0 может быть рассчитана с точностью не менее 10% по следующей
формуле:
0,4R I 10IGI
^^^' GM)
Как видно из G.34), протяженность участка стабилизации сильно растет с
уменьшением параметра l/d. Тем не менее, регулируя входную температуру
жидкости То, можно добиться того, чтобы в камерах большей толщины
13. Зак. 1319 193
P н с. 7.8. Зависимость скорости жидкости на оси камеры от координаты у при раз-
различных значениях параметра G
Рис. 7-9. Профили продольной составляющей скорости жидкости при различных G
(У = 1,6)
Рис. 7-10. Зависимость протяженности участка стабилизации от параметра G при
R = 60
1 -l/d= 15, s = O,S; 2 -l/d= 15, s= 0,2; 3 - l/d = 10, s=0,5
194
протяженность участка стабилизации не превышала некую приемлемую
величину. Из условия
10|G|
5 Re<>,5
где К — некоторое число, получим
Тс < lOgpTe
Полагая / = 5 см, {V) = 0,1 см/с, v = 10~2 см2/с, d = 0,25 см, * = 103 см/с2,
/3 = 10~4 1/ °С, Тс = 20 °С, А" = 0,5, получим
1-ЗДГ0/Гс<0,03,
т. е. относительное отклонение температуры То от Tw + Гс/3, при которой
реализуется изотермическое течение, не должно превышать 3%. Дальней-
Дальнейшее увеличение толщины камеры приведет к еще большему ужесточению
этого требования.
Следует подчеркнуть, что результаты, приведенные в этом подразделе,
получены на основе усредненных уравнений и не могут претендовать на точ-
точное количественное совпадение с экспериментом. Тем не менее представ-
представляется возможным сделать следующее заключение.
В условиях полной невесомости или при изотермическом течении на
Земле увеличение толщины камеры при неизменных остальных ее разме-
размерах может приводить к резкому сокращению области параллельного тече-
течения и возникновению возвратных течений на начальном участке камеры.
Гравитационная чувствительность свободнопоточного электрофореза
проявляется в том, что разность температуры поступающей в камеру
жидкости и температуры, устанавливающейся в камере в результате балан-
баланса объемного тепловыделения и теплопереноса через стенки, приводит к
увеличению или уменьшению скорости жидкости на начальном участке.
При этом возможно возникновение вторичных течений, препятствующих
электрофоретическому разделению.
Исследование зависимости протяженности участка стабилизации от чис-
числа Грасгофа показало возможность альтернативного невесомости способа
увеличения производительности ЭФСП в лабораторных условиях, а именно
сокращения длины участка стабилизации в камере за счет подходящего вы-
выбора температуры жидкости на входе.
7.4. Зона электрофоретического разделения
Изучая последовательно выделенные в разд. 7.2 области камеры, вслед
за входным участком следовало бы рассмотреть область ввода разделяемой
смеси в поток. Тем не менее сначала мы рассмотрим область параллельно-
параллельного течения жидкости и процесс электрофореза, происходящий в ней, так
как несмотря на то, что перенос массы в области ввода смеси в поток ока-
оказывает влияние на результат разделения, это влияние не является опреде-
определяющим.
В настоящем разделе исследуется структура двумерного параллельно-
195
го течения жидкости в камере и обосновывается правомерность использо-
использования одномерного приближения для полей скорости и температуры. Опи-
Описан численный метод расчета концентрационных профилей и изучено влия-
влияние на концентрационные профили диффузии, тепловой конвекции, злект-
роосмоса и толщины начальной зоны.
7.4.1. Структура двумерного параллельного течения. Двумерное парал-
параллельное течение жидкости с независящими от температуры свойствами в
прямоугольной ячейке для ЭФСП при наличии силы тяжести, параллель-
параллельной направлению потока, и объемного тепловыделения было впервые рас-
рассмотрено в [267]. В этой же работе приведена и одномерная модель, учи-
учитывающая зависимость электропроводности жидкости от температуры.
Автор отметил довольно существенное различие результатов одномерного
и двумерного расчетов. Ниже этот вопрос подробно исследуется и опреде-
определяются границы применимости одномерного приближения, которое в
дальнейшем будет широко использоваться при расчетах концентрационных
профилей.
Параллельное течение жидкости характеризуется тем, что компоненты
вектора скорости Vx и Vz обращаются в нуль, а температура и составляю-
составляющая Vy зависят лишь от поперечных координат х и z. С учетом сказанного
и при условии, что свойства жидкости постоянны, система уравнений
G.12) —G.14) в стационарном случае, будучи записанной в безразмерных
переменных, примет вид
Ъ2иу1Ъх2 + tfvy/bz2 = др/ду + (Gr/ReiH, G.35)
Э20/Эх2+Э20/Эг2=-1. G.36)
В ура шении G.35) градиент давления Эр/Эу не может не быть констан-
константой, та < как он не может зависеть от координат х и z в силу того, что
проекции уравнения G.12) на оси х и z обращаются в нуль, и не может
зависеть от координаты у, поскольку от нее не зависят остальные члены
уравнения G.35).
Все величины, входящие в G.35), G.36), соответствуют величинам,
введенным в п. 7.3.1, за исключением того, что в качестве масштаба ско-
скорости введена скорость Ui, смысл которой будет ясен в дальнейшем.
Граничными условиями для G.35) служат условия прилипания:
х = ±1, z = ±l/d: vy = 0, G.37)
а для уравнения G.36) примем условия термостатирования:
х = ±1, z = ±l/d: 0 = 0. G.38)
Решение уравнения G.36) с граничными условиями G.38), как нетруд-
нетрудно показать, имеет вид
0 = 0,5A -х2) + 2 — —ch(Xnz)cos(Xnx), G.39)
п=о Х„ ch(Xn //d)
Первый член в правой части G.39) представляет собой решение одномер-
одномерного уравнения теплопроводности вида 0" = —1 с граничными условиями
0 (— 1) = 0 A) = 0. Второй член при 1/d > 1 заметно отличается от нуля лишь
196
вблизи границ z = ± l/d. Аналогично и решение G.35) может быть представ-
представлено в виде суммы решения соответствующей одномерной задачи, завися-
зависящей только от координаты х (см. уравнение G.20)), и функции двух пере-
переменных х, z:
j ()(n)(n)+^L ИГ
\*(Х//О R n=o
)
1Г ^T I» 1T]- G-40)
Интегрируя G.40) по сечению канала, иолучим связь скорости uj, исполь-
использованной выше как масштаб скорости, и средней расходовой скорости v
или, что то же самое, связь числа Рейнольдса Re! и числа Рейнольдса Re,
рассчитанного по средней (по расходу) скорости:
Rei =(*! (Re-a2Gr),
Г d - ih(Knl/d) Г1
oi = 1 - б - 2 , G.41)
[ / n=o Х„ }
_ d - ЩХп l/d) Г 3 4 21/d
пг 1 [
n=o X5n [ АД 1 \„ sh(\n
1Сак видно из G.39), G.40), зависящие от z слагаемые в соотношениях
для скорости параллельного течения и температуры являются функциями,
экспоненциально убывающими с увеличением расстояния от границ z =
= ± l/d Характерное расстояние, на котором скорость и температура пере-
перестают зависеть от z, определяется первым собственным числом \0 = тг/2
и в размерных величинах по порядку величины равно толщине камеры.
Графические изображения двумерного профиля скорости vy при различ-
различных значениях параметров можно найти в [267]. Здесь отметим, что нали-
наличие силы тяжести приводит к тому, что вблизи границz = ±l/d слои охлаж-
охлажденной жидкости движутся со скоростью, превышающей среднюю ско-
скорость в области одномерного течения. Это объясняет и соотношение G.41).
Значения параметров с^ и а2 при различных значениях l/d приведены
ниже:
l/d
а,
а, •
103
5
1,15
8,2
10
1,07
4,2
15
1,05
2,8
30
1,02
1,4
В пределе l/d -*¦ °°, как следует из G.41), параметр с^ стремится к едини-
единице, а параметр а2 — к нулю. В то же время из G.41) с учетом приведенных
данных видно, что при достаточно больших значениях числа Грасгофа раз-
различие чисел Рейнольдса Re и Re i может быть существенным. Отметим, что
в условиях полной невесомости или при изотермическом течении число
Рейнольдса одномерного течения несколько больше числа Рейнольдса, рас-
рассчитанного по среднерасходовой скорости.
В электрофоретической камере в области параллельного течения может
197
существовать и составляющая скорости жидкости vz, порождаемая электро-
электроосмосом, которая приводит к изменению температурного поля и распреде-
распределению vy [188]. Эти эффекты также локализованы вблизи границ.
Наиболее важный для дальнейшего вывод из изложенного в этом разделе
состоит в том, что в большей части камеры реализуются одномерные рас-
распределения скорости и температуры. При этом средняя скорость жидкости
в области одномерного течения i>i с точностью до d/l совпадает со средне-
расходовой скоростью и.
7.4.2. Массоперенос в зоне электрофоретического разделения в условиях
полной невесомости. В этом подразделе будут описаны процессы, связан-
связанные с переносом разделяемых компонент смеси, рассмотрен механизм сер-
серповидного уширения концентрационного профиля, изучено влияние диф-
диффузии и электроосмоса в условиях, когда влияние неизотермичности на
течение жидкости пренебрежимо мало. Концентрация компонентов смеси
предполагается настолько малой, чтобы ее влиянием на течение жидкости
также можно было пренебречь. В конце раздела будут приведены данные
о влиянии нелинейных по концентрации смеси эффектов.
Рассмотрим эффект серповидного искажения зон в ЭФСП [48, 198,
285]. Зависимость вертикальной составляющей скорости жидкости от
поперечной координаты х приводит в отсутствие диффузии к тому, что
частицы смеси, попавшие в камеру в различные точки, перемещаются в
направлении оси у с различными скоростями. В результате частицы, обла-
обладающие одной и той же электрофоретической скоростью, но находящиеся
различное время под действием электрического поля, смещаются на раз-
различное расстояние. Распределение концентрации компонента смеси на вы-
выходе камеры приобретает характерную серповидную форму (см. рис. 7.1),
а концентрационный профиль становится асимметричным. Электроосмо-
Электроосмотический поток вносит дополнительный вклад в размывание.
Серповидное уширение экспериментально исследовалось в работах
[103, 262, 286].
Вертикальная компонента скорости для изотермического одномерного
течения описывается соотношением
vy= 1,5Е/A — x2/cf2), U- средняя линейная скорость. G.42)
(В соотношениях G.42) —G.44) используются размерные величины.)
Электроосмос порождает горизонтальную компоненту скорости, кото-
которая, согласно [72], записывается в виде
G.43)
Уравнение G.43) легко выводится путем интегрирования одномерного
уравнения Навье—Стокса с граничным условием vz(-l) = vz(l) = voc, где
иос — злектроосмотическая скорость жидкости, и условием замкнутости
течения в направлении оси z. Соотношение G.43) было впервые получено
Смолуховским и хорошо подтверждено экспериментально.
Частицы разделяемого вещества с электрофоретической подвижностью
ц перемещаются со скоростью vy вдоль оси у и со скоростью д?" + vz вдоль
оси z. Частица, попавшая при вводе в поток в слой жидкости, отстоящий
от плоскости х = 0 на расстояние х0, к моменту выхода из камеры сместит -
198
ся на расстояние z* от точки ввода:
h 2Qj?
[
2 ' M п
где h — протяженность области электрофоретического разделения. Зависи-
Зависимость G.44) и определяет серповидную форму распределения концентра-
концентрации компонентов на выходе камеры. Из G.44) следует, что для компонен-
компонента смеси, электрофоретическая скорость которого равна электроосмоти-
электроосмотической скорости с обратным знаком, электрофоретическое смещение не
зависит от начального положения частицы и серповидное искажение от-
отсутствует [218]. Применяются специальные покрытия стенок камеры для
достижения описанного эффекта компенсации [286].
Совместное воздействие серповидного искажения, вызванного профи-
профилем скорости жидкости, и диффузии разделяемого вещества на концентра-
концентрационные профили изучалось в работах [24, 211, 259], где в различных
приближениях решались уравнения G.4), G.5). Входящие в эти урав-
уравнения компоненты скорости жидкости задавались в виде G.42), G.43),
а коэффициент диффузии и электрофоретическая подвижность предпола-
предполагались постоянными.
В работе [259] концентрационный профиль компонента смеси рассчи-
рассчитывался для частного случая иос = 0 при помощи обобщенного дисперсион-
дисперсионного метода. Авторы показали, что даже весьма малые значения коэффи-
коэффициента диффузии приводят к заметному уширению концентрационного
профиля по сравнению с бездиффузионным случаем. Был получен также
неожиданный результат, состоящий в том, что размывание концентрацион-
концентрационного профиля увеличивается при уменьшении коэффициента диффузии
компонента.
Другой подход к анализу диффузионных эффектов в ЭФСП был приме-
применен в [211]. Автор исходил из стационарного уравнения конвективной
диффузии и, пренебрегая диффузией по координате х, получил аналити-
аналитические решения для предельного случая больших чисел Пекле. Там же
были проведены дополнительные расчеты по формулам [259] и было
показано, что в модели [259] зависимость размывания концентрационного
профиля от поперечного числа Пекле имеет минимум, однако, если следо-
следовать [211], эта особенность не обнаруживается.
В обеих упомянутых теоретических работах в качестве граничного усло-
условия при у - 0 авторы задавали дельта-функцию, что не позволило иссле-
исследовать его влияние на концентрационный профиль, а о том, что такое влия-
влияние бывает существенно, свидетельствуют эксперименты [198].
Исследование диффузионных эффектов в зональном ЭФСП в широком
диапазоне чисел Пекле путем численного решения стационарного уравне-
уравнения конвективной диффузии было проведено в работе [24], которой в ос-
основном мы будем следовать в этом разделе.
Согласно приближению тонкого канала, применяемому в случае значи-
значительного преобладания продольного характерного размера над попереч-
поперечным, что имеет место в рассматриваемой системе (l/d > 1), в проекции
потока массы G.5) на ось у можно пренебречь диффузионной составляю-
составляющей по сравнению с конвективной. Стационарное уравнение G.4) в этом
199
случае в безразмерных переменных примет вид
ЪС h ЪС ЪС Ъ2С
Ъу d Ъг Ъх2 Ъг2
где координата у измеряется в единицах h и отсчитываете» от границы
зоны электрофоретического разделения, координаты х и z — в единицах
d, скорости — в единицах U, а концентрация измеряется в единицах исход-
исходной концентрации компоненты в разделяемой смеси, иэ = цЕ/и.
Граничными условиями для G.45) служат условия непроницаемости
стенок камеры для компонентов смеси:
х = ±1: ЪС/Ъх = О, G.46)
условие "бесконечной ширины" камеры:
z = + <*,; с=0, G.47)
которое означает, что компоненты смеси в процессе разделения не дости-
достигают примембранных зон. Граничное условие при у = О зададим в виде
двумерной ступенчатой функции
C(x,Q,z)=[I(z + y)-I(z-y)] [/(z+e)-/(z-a)], G.48)
где /(г) = 0 при г < 0, /(г) = 1 при г > 0; у и а представляют собой полуши-
полуширину и полутолщину распределения концентрации, сформированного в
результате ввода смеси в поток. Подробно этот вопрос будет обсуждаться
в разд. 7.5. Здесь мы приведем связь параметров у и а, следующую из ус-
условия баланса массы. Интегрируя G.48) с весом vy по плоскости (х, г),
получим
y = 9[1Vydx]-\ G.49)
2 -a
где Q — объемный расход разделяемой смеси, измеряемый в единицах
Ш2. С учетом G.42) из G.49) получим
7 = <2/Fa-2a3). G.50)
Для эффективного численного решения уравнения G.45) с граничны-
граничными условиями G.46) — G.48) проводилось преобразование координат
вида % - z - z0у, у = У, х =х, где z0 — минимальное смещение частиц по
оси z при у - И, после чего уравнение решалось методом переменных на-
направлений. Конвективные члены аппроксимировались направленными раз-
разностями. Такой способ аппроксимации, хотя и обеспечивает монотонность
разностной схемы, приводит к появлению фиктивного диффузионного
потока вдоль оси г. В рассматриваемой ситуации схемная диффузия не ока-
оказывает заметного влияния на результаты расчетов, так как основной меха-
механизм формирования концентрационного профиля связан с серповидным
искажением, имеющим конвективную природу. Кроме того, приведенное
выше преобразование координат позволяет уменьшить эффект схемной
диффузии.
Из уравнения G.45) и граничных условий G.48) следует, что концентра-
концентрационный профиль зависит от параметров Р, h/d, v3, uOc/u* a> Q Безразмер-
200
Рис. 7.11. Влияние диффузии на концен-
трационные профили (h/d = 200, а = 0,5,
С = 8, иэ = 0,1,иос = 0)
1 - Р = 0,01, 2 - 0,1, 3 - 0,7, 4 - 3,5,
5 - 8
Рис. 7.12. Изоконцентраты в выходной
плоскости
а - Р = 0,0306, б - 0,306, в - 0,612,
г - 3,06
20 Z 30
ный параметр Р, входящий в G.45), представляет собой отношение харак-
характерного времени пребывания разделяемых частиц в камере к характерному
диффузионному времени, за которое зти частицы диффундируют на рас-
расстояние порядка толщины камеры. Следует ожидать, что в случае Р < \
распределение концентрации компонента на выходе камеры будет иметь
серповидную форму, а при больших Р будет более однородным.
Влияние диффузии на концентрационный профиль, вычисляемый соглас-
согласно G.8), проиллюстрировано на рис. 7.11. Здесь приведены концентрацион-
концентрационные профили, рассчитанные при различных значениях параметра Р. Как
видно из рисунка, при малых значениях Р диффузия приводит к удлинению
хвоста концентрационного профиля (кривые 1, 2). При значении Р = 0,7
(кривая 3) заметно значительное уширеиие профиля и смещение его мак-
максимума в направлении электрофоретического движения. Дальнейшее уве-
увеличение параметра Р приводит к некоторому уменьшению ширины кон-
концентрационного профиля (кривая 4), а затем вновь к его уширению (кри-
(кривая 5). Положение максимума при этом стабилизируется; концентра-
концентрационный профиль приобретает форму, близкую к симметричной.
Описанная трансформация концентрационного профиля связана с диф-
диффузионным перераспределением вещества по толщине камеры. На рис. 7.12
изображены линии равной концентрации в плоскости нижней грани камеры
при Р, равном 0,0306, 0,306, 0,612 и 3,06.
201
Из рис. 7.12, а видно, что в случае слабой диффузии распределение ве-
вещества по сечению камеры действительно сохраняет характерную серпо-
серповидную форму. Положение максимума концентрационного профиля опре-
определяется смещением основной части вещества, сосредоточенного вблизи
центральной плоскости камеры х = 0. Диффузия вещества в пристеночные
слои приводит к его более длительному фракционированию и увеличению
электрофоретического смещения, что отражается в удлинении хвоста
концентрационного профиля, уменьшении его максимального значения и
уширении (см. рис. 7.11, кривая 2, и рис. 7.12, б). Увеличение параметраР
приводит, как видно из рис. 7.12, в, к еще большему расплыванию зоны и к
уменьшению неоднородности распределения концентрации по толщине ка-
камеры. Наряду с возрастанием z-составляющей потока массы, уширение
зоны объясняется также диффузией вещества из пристеночных слоев,
выдвинутых в направлении электрофоретического движения по отноше-
отношению к основной части камеры. Происходит диффузия вещества в присте-
пристеночные слои, вынос его вперед и последующий возврат в центральную
часть. В случае Р > 1, когда характерное диффузионное время превосходит
характерное время пребывания частиц в камере, вещество распределяется
по толщине камеры практически равномерно (рис. 7.12, г)-.
Зависимость положения максимума концентрационного профиля Д z
от параметра Р приведена на рис. 7.13, а. Видно, что смещение максимума
быстро увеличивается при возрастании Р от 0 до 1 и затем зависимость
постепенно выходит на плато. Согласно G.44) в бездиффузионном случае
смещение частиц, находящихся в центральной области, определяется соот-
соотношением
Az= —- Bw,-woc). G.51)
За
В случае сильной диффузии, когда распределение концентрации по толщи-
толщине камеры практически равномерно, положение максимума определяется
отношением средних скоростей движения вещества в направлении z и у
и равно
, G.52)
что и объясняет поведение зависимое™, приведенной на рис. 7.13, а.
Зависимости полуширины концентрационного профиля а'от парамет-
параметра Р для двух различных значений полуширины начального распределения
концентрации а приведены на рис. 7.13, б. Наиболее важной особенностью
этих зависимостей является их немонотонность. Кривые имеют локаль-
локальный максимум при Р ^ 0,7, когда характерные времена пребывания частиц
в камере и диффузии по толщине камеры приблизительно равны. Имеется
также локальный минимум в зависимости полуширины профиля от пара-
параметра Р, наличие которого можно объяснить, пользуясь аналогией между
массопереносом в злектрофоретической камере и тейлоровской диспер-
дисперсией [287] вещества в капилляре, где зависимость эффективного коэффи-
коэффициента диффузии от молекулярного коэффициента имеет минимум.
Влияние электроосмоса на концентрационный профиль в случае слабой
диффузии проявляется в смещении максимума концентрационного про-
202
го
18
16
lit
12
10
о
a
a'
10
8
S
' P 0
8 P
Рис. 7.13. Зависимости положения максимума (а) и полуширины (б) концентра-
концентрационного профиля от параметра Р при а = 1 A) и 0,5 B)
а,
2
s 4 l\
Ж
s
/
/¦
0-
ff,5-
fO tf 20 Z fO 20 JO Z
Рис. 7.14. Влияние электроосмоса на концентрационные профили (h/d = 200, а = 0,5,
Q = 8, иэ = 0,1)
а - слабая диффузия (Р = 0,01); б — сильная диффузия (Р = 3). vocjv3: 1 - -1;
2 0,5; 3 - О; 4 - 0,5; 5 - 1
филя и в его уширении [211]. На рис. 7.14, а приведены концентрацион-
концентрационные профили, соответствующие этому случаю. Положение максимума
хорошо описывается соотношением G.51). В случае сильной диффузии,
как показывают численные расчеты, ситуация меняется. На рис. 7.14, б
представлены концентрационные профили, рассчитанные при значении
параметра Р = 3. Из рисунка видно, что смещение максимума концентра-
концентрационного профиля мало меняется при изменении voc/v3, в отличие от
случая слабой диффузии, и близко к значению, определяемому соотно-
соотношением G.52). В то же время уширение концентрационного профиля су-
существенно зависит от электроосмоса.
Наконец, проиллюстрируем влияние полутолщины начальной зоны а
на концентрационный профиль. На рис. 7.15, а приведены концентрацион-
концентрационные профили, рассчитанные при трех значениях полутолщины начальной
зоны а для случая слабой диффузии Р = 0,01. Из рисунка видно заметное
203
<7L
fff 20 J0 Z f0 Z0 JO Z
Рис. 7.15. Влияние толщины начальной зоны на концентрационный профиль {h/d =
= 200, Q = 16, „э = ОД , „ос = 0)
а - слабая диффузия (Р = 0,01), б - сильная диффузия (Р = 2). / - а = 0,3, 2 -
0,45,5- 0,8
Рис. 7-16. Влияние концентра-
концентрационных эффектов на уширение
распределения концентрации в ка-
камере
Верхняя часть - расчет ЭФСП
двух компонент с учетом зависи-
зависимости вязкости и электропровод-
электропроводности жидкости от концентрации
компонентов смесн; нижняя - рас-
расчет для бесконечно малой концен-
концентрации. Сплошные и штриховые
линии — линии равной концентра-
концентрации быстрого и медленного ком-
.лонента смеси соответственно
влияние полутолщины начальной зоны на протяженность хвоста концентра-
концентрационного профиля и его асимметрию.
В случае сильной диффузии, как показано на рис. 7.15, б, концентра-
концентрационные профили, соответствующие различных значениям а , отличаются
очень незначительно.
Приведенные выше результаты относятся к случаю полной невесомости,
изотермичности жидкости и бесконечно малой концентрации разделяемой
смеси. При учете влияния концентрации смеси на электропроводность
среды возникают новые эффекты.
В работе [7] рассмотрено электрофоретическое разделение двух компо-
компонентов смеси на основе более общей модели, чем использованная в настоя-
настоящем разделе. Авторы предполагали, что электропроводность среды линей-
линейно зависит от концентрации компонентов смеси и решали уравнение G.45)
совместно с уравнением G.6), описывающим распределение электричес-
электрического поля в электрофоретической камере. Результаты моделирования
приведены на рис. 7.16, любезно предоставленном авторами [7]. Видно,
что взаимодействие компонент через электрическое поле и изменение
электрического поля разделяемым веществом приводит к ухудшению
204
разделения и дополнительному размыванию. Результаты численного моде-
моделирования [7] качественно согласуются с результатами натурных экспери-
экспериментов.
7.4.3. Влияние неизотермичности на концентрационные профили, Неизо-
термичность жидкости, связанная с джоулевым тепловыделением, при-
приводит, как отмечалось выше, к искажению пуазейлевского профиля ско-
скорости. Влияние искаженного профиля на концентрационный профиль
компонент исследовалось в работах [22, 212], где различными методами
были получены близкие результаты. Неизотермичность в достаточно
толстых камерах, где перепады температуры по толщине камеры могут
составлять 10—15°, требует учета зависимости свойств среды от темпера-
температуры [22, 47, 195, 267]. Однако сравнение концентрационных профилей,
рассчитанных с учетом и без учета зависимости свойств среды от темпе-
температуры, показывает, что фактически необходимо учитывать лишь темпе-
температурную зависимость вязкости и электропроводности.
Принимая зависимость вязкости и электгроггроводноети от температуры
линейной, запишем
V = Vw(l-a'Tce), о = о„A+«'Тсв), G.53)
где а' — температурный коэффициент »жис@сти; rjw и aw — вязкость и
электропроводность жидкости при темпердтуре стенок камеры.
Решая одномерные уравнения баланса тепла и импульса
d , dvv ЪР Gr
— A-Х20)—- = -—- + #„
dx dx Ъу Rej G.54)
d d9
— A + X20)— =-1
dx dx
с граничными условиями
и условием постоянства расхода
1
/ v ydx= 1,
получим [22]
Gr sin 2 X
vy(x) = f(x) + —-—^— —\f(x) (~~ZZ— - cos X) - cos 2 X - cos 2 \x],
x sin \x + cos Xjc/X - sin X cos X/X
2 sin X/X2 -sin X - 2 cos X/X
X2 =a'_V
Профили вертикальной составляющей скорости жидкости, рассчитан-
рассчитанные по G.55), приведены на рис. 7.17, а концентрационные профили,
соответствующие разделению в этих потоках, - на рис. 7.18. Концентра-
Концентрационный профиль, соответствующий значению Gr/Rei = 0 (рис. 7.18, кри-
205
f
fO
0,5
/7
Л
/Г
L /
, ,1.
ill
T
г
\
k\ 4
/0
JO
Рис. 7.17. Зависимости вертикальной составляющей скорости жидкости от попереч-
поперечной координаты (Л2 =0,3)
Gr/Re,: 1 - 0, 2 - 24, J - 50, 4 - 80, J 30
Рис. 718. Влияние параметра Gr/Rej на концентрационные профили при Р = 0,01,
Л/И = 200, С= 16, иэ = 0,1, иос = 0
Кривые 1—5 — то же, что на рис. 7.17
вая 1), имеет характерный для бездиффузионного электрофореза в
пуазейлевском потоке асимметричный вид. С увеличением Gr/Rej про-
профиль скорости в центральной части становится более плоским (см.
рис. 7.17, кривая 2), скорость на оси камеры уменьшается. Такая форма
профиля скорости приводит к существенному увеличению электрофорети-
ческого смещения компонента и уменьшению размывания концентра-
концентрационного профиля (см. рис. 7.18, кривая 2) по сравнению с первым слу-
случаем. Дальнейшее увеличение параметра Gr/Rej приводит к тому, что в за-
зависимости скорости жидкости от координаты х появляется локальный
минимум при х = 0 (рис. 7.17, кривая 3). В этом случае вещество, нахо-
находящееся вблизи оси х, движется медленнее в направление оси у, чем
вещество, сосредоточенное вблизи локальных максимумов скорости, и
вследствие этого выдвигается вперед в направлении электрофоретического
движения. Ширина концентрационного профиля при этом увеличивается
(см. рис. 7.18, кривая 3).
При еще больших значениях Gr/Re! локальный минимум скорости ста-
становится более выраженным (см. рис. 7.17, кривая 4), а концентрационный
профиль размазывается по ширине камеры (рис. 7.18, кривая 4). Электро-
форетическое разделение в таком режиме невозможно.
В случае, когда направления вынужденного течения жидкости и вектора
силы тяжести антипараллельны (ориентация "up flow"), с увеличением
абсолютного значения параметра Gr/Re!, принимающего при этом отрица-
отрицательные значения, происходит, наоборот, обострение профиля скорости
(рис. 7.17, кривая 5). Указанное обстоятельство приводит к уширению
концентрационного профиля в сравнении с тем, что имело место в преды-
предыдущем случае при том же абсолютном значении Gr/Re! (рис. 7.18, кри-
кривая 5).
Из приведенных графиков видно, что существует некоторое оптималь-
оптимальное значение Gr/Rei, при котором достигается наименьшее уширение
концентрационного профиля. Этот эффект был отмечен в работе [218]
206
на основе качественных соображений. Это оптимальное значение можно
найти из условия равенства нулю второй производной скорости при
х = 0. Дважды дифференцируя в G.40) не зависящую от г часть, нахо-
находим
(Gr/ReOonx = 30,
а с учетом влияния неизотермичности на характеристики среды, исполь-
используя первые два члена разложения G.55) по параметру X2, получим
(Gr/Re,)опт = 30A -0,7 X2).
Здесь следует подчеркнуть, что в этом разделе используется число
Рейнольдса, рассчитанное по средней скорости в области одномерного
течения, которое может быть несколько меньше числа Рейнольдса, рассчи-
рассчитанного по среднерасходовой скорости.
Основной вывод из рассмотренного состоит в том, что влияние тепло-
тепловой конвекции в области одномерного течения жидкости при параллель-
параллельной ориентации основного течения и вектора силы тяжести приводит к
уменьшению размывания концентрационного профиля при Gr/Re! < 30
по сравнению с изотермическим течением.
Расчеты показывают, что ориентация камеры в поле тяжести, при кото-
которой основное течение и вектор силы тяжести антипараллельны, менее
предпочтительна.
7.5. Массоперенос в области ввода смеси в поток
Как было показано в п. 7.4.2, в случае, когда диффузионное размы-
размывание концентрационного профиля незначительно, большую роль в ушире-
нии концентрационного профиля играет поперечное распределение кон-
концентрации смеси, формируемое при вводе ее в поток. В свою очередь
распределение концентрации определяется течением жидкости в области
ввода смеси в поток и геометрическими размерами инжектора смеси.
Расчет концентрации вводимого вещества был кратко описан в [23].
Как и прежде, будем считать, что концентрация смеси мала настолько,
что изменение вязкости, вызванное ее наличием, пренебрежимо мало.
В случае полной невесомости распределение концентрации может быть
рассчитано из уравнения переноса массы G.4). Скорость жидкости, входя-
входящая в это уравнение, определяется путем решения системы уравнений
Навье—Стокса, в общем случае трехмерной.
Чтобы упростить задачу, мы рассмотрим массоперенос смеси при вводе
ее в поток из щелевого инжектора, изображенного схематично на рис. 7.19.
Ширина щелевого инжектора 2 у значительно больше его толщины 2 6 и
толщины камеры 2 d.
Аналогично тому как в п. 7.3.2всилуразличияхарактерных масштабов
системы предполагалось, что составляющая скорости Vx затухает на зна-
значительно меньшем расстоянии от входа жидкости в камеру, чем состав-
составляющая Vz, предположим, что и в области ввода смеси в поток составляю-
составляющая Vx затухает на расстоянии г& от торца инжектора, в то время как ско-
скорость Vz затухает на расстоянии гу, много большем rs.
В обоснование этого предположения можно привести следующие сообра-
207
Образец
гг
Рис. 7-19. Схема подачи разделяемой смеси в камеру через инжектор
Рис. 7.20. Схема расчетной области и граничные условия для моделирования массо-
переноса при вводе смеси в поток
Рис. 7.21- Распределение концентрации смеси по поперечной координате на выходной
границе области ввода вещества в поток (Sc = 103, Re = 10, S = 0,2, 5' = 0,2)
Пунктир — граница внутреннего канала инжектора
208
жения. Введем сренюю в области ?2 (заштрихована на рис. 7.19) скорость
жидкости U'. По порядку величины расстояние rs должно быть равно
U'd2/v, в то время как расстояние гу определяется значительно большей
величиной: Re 7-
Принимая сделанное предположение, можно выделить "быструю" коор-
координату х и "медленную" z и заключить, что формирование распределения
концентрации осуществляется сначала в поперечном направлении при замо-
замороженной координате z внутри области, ограниченной расстоянием от торца
инжектора порядка rs, а затем при замороженном поперечном распреде-
распределении концентрации происходит перемещение смеси вдоль оси z.
Поскольку, как было показано в п. 7.4.2, на концентрационный про-
профиль существенно влияет поперечное распределение концентрации, зада-
задававшееся в виде ступенчатой функции, и именно оно является целью рас-
расчета, достаточно рассмотреть первую часть задачи, допускающую дву-
двумерную постановку.
Двумерные уравнения динамики жидкости и переноса имеют следую-
следующий вид:
Ъсо Ъсо 1 Ъ2 со Ъ2 со
,, i ,, _ ( i
Ъу ' Ъх Re' ч Ъу2 Ъх2
> = -Ъ2ф/Ъу2 +Ъ2ф/Ъх2,
ъс
ъс
+ v
1
vy = -Ъф/Ъх,
Ъ2С Ъ2С
Ъу ¦ Ъх Re'Sc
G.56)
G.57)
где координаты измеряются в единицах полутолщины камеры d, а скорос-
скорости в единицах U', которая предполагается постоянной; Sc = v/D - число
Шмидта; координата у отсчитывается от торца инжектора.
Схема расчетной области приведена на рис. 7,20. Здесь представлено
поперечное сечение камеры плоскостью z - const, проходящей через инжек-
инжектор. Начало локальной системы координат совмещено с точкой 0. Инжек-
Инжектор имеет внутренний канал толщиной 2 6'. Толщина стенок инжектора
равна 5".
Граничными условиями на входе области служат три пуазейлевских
профиля скорости. На твердых границах задаются условия прилипания.
Протяженность области выбирается достаточно большой, чтобы в ней
устанавливалось течение Пуазейля. Граничные условия имеют следующий
вид:
vy\y=o -
A-6'- 6")
0,
25' 1 5'
0,
3A -Я)
I 2A-6'-5")
1_5'-S"<jc< 1-5',
1-5'<х< 1 +6',
Bх-1-6'-6")
'6"J
14. Зак. 1319
209
vx\y=0=0, vy,vx\x=0.2=0, vx\y=rs=O, G.58)
Vy\y=rs=- [l-(*-02],
y=0~\0, \x-l\>8',
Отметим, что входная граница расчетной области выбрана совпадаю-
совпадающей с торцом инжектора. Такое упрощение оправданно, поскольку расчеты
показали, что изменение задаваемых на границе профилей скорости прак-
практически не сказывается на рассчитываемой концентрации вещества на
выходной границе области.
Искомое стационарное поперечное распределение концентрации Ct(x) =
= C\y-rt на границе области находилось путем численного решения систе-
системы уравнений G.56), G.57). Эта функция параметрически зависит от
безразмерных величин 6', 5", Re', Sc,q, где q - безразмерный линейный
расход смеси, измеряемый в единицах U'd. Однако, как показали расчеты,
в разумном с точки зрения техники диапазоне параметров (F' + 6") <
< 0,7, Re < 10, Sc>103) вид функции С\ определяется в основном
параметром q.
На рис. 7.21 приведено семейство кривых Ci(x), рассчитанных при раз-
различных значениях q. Это распределение имеет достаточно резкие границы
и может быть аппроксимировано ступенчатой функцией с полушириной а ,
как это было сделано в подразд. 7.4.2. Для а легко получить приближенное
соотношение, интегрируя G.57) с учетом указанной аппроксимации кон-
концентрации на выходной границе и с учетом граничных условий:
q = V2(a-a3/3). G.59)
Соотношение G.59) хорошо подтверждается результатами численных рас-
расчетов.
7.6. Заключитечьные замечания
Природа гравитационной чувствительности ЭФСП, связанной с тепловой
конвекцией, состоит в том, что подача в камеру жидкости, средняя темпе-
температура которой отличается от средней температуры жидкости в камере,
сопровождается возникновением конвективных течений. Кроме того, иска-
искажения профиля вертикальной составляющей скорости за счет тепловой
конвекции при достаточно большой толщине камеры приводит к сильному
размыванию концентрационного профиля.
Осуществление ЭФСП в условиях невесомости само по себе не гаран-
гарантирует улучшения качества электрофоретического разделения. Так, уве-
увеличение толщины камеры может приводить к возрастанию протяженности
участка стабилизации течения и возникновению рециркуляционных тече-
течений, а увеличение концентрации разделяемой смеси — сопровождаться
размыванием зон за счет искажений электрического поля.
Существуют альтернативные невесомости способы повышения произ-
производительности и улучшения качества ЭФСП: за счет подбора температуры
210
поступающей в камеру жидкости возможно уменьшение участка стаби-
стабилизации; выполаживание профиля скорости жидкости конвективным
потоком позволяет уменьшить размывание концентрационного профиля.
Приложение 1
ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРСОНАЛЬНЫХ КОМПЬЮТЕРОВ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
В данном приложении кратко описана новая система численного моде-
моделирования нелинейных задач конвекции на персональных ЭВМ, с помощью
которой могут решаться многие из задач, упоминающихся в гл. 2 и 3.
Подробное изложение можно найти в работе [67].
В этой системе, которая является продолжением разработанных ранее
комплексов [134], реализованы основные методические, программные,
системные достижения авторов, полученные в последние годы в лабора-
лаборатории математического и физического моделирования в гидродинамике
Института проблем механики АН СССР. Система функционирует на базе
персональных компьютеров АТ-286 и АТ-386 и позволяет проводить чис-
численное решение двумерных (для плоских или осесимметричных областей,
в том числе областей сложной геометрии) задач свободной (гравитацион-
(гравитационной и/или термокапиллярной) и вынужденной конвекции на базе урав-
уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска (см., например, уравнения
B.1) —B.4)). Функциональная часть этой системы основана на методе
конечных разностей и является наиболее отработанной как авторами,
так и другими исследователями. Методы и программы надежно тестиро-
тестированы в широком диапазоне параметров, в частности путем сравнения
результатов с известными тестами [187, 243]. Вместе с тем это самая
большая по информационной насыщенности и трудоемкости часть, особен-
особенно при ориентации системы на персональные компьютеры. Базовый уровень
моделей и комплексов программ позволяет включать различные модули,
в том числе для исследования практически всех указанных в классифи-
классификациях (см. рис. 2.1, 2.2, 3.1) процессов:
естественной, вынужденной и смешанной конвекции;
тепловой, концентрационной, термоконцентрационной и термокапил-
термокапиллярной конвекции;
двумерных задач конвекции в области сложной геометрии;
трехмерных задач гидродинамики и тепломассообмена;
исследование ряда линейных задач гидродинамической устойчивости
(см. приложение 2).
Общий характер исходных уравнений, использование эффективных
методов численного моделирования и развитый интерфейс позволяют
применять комплекс при решении широкого класса задач из различных
областей техники и технологии. Комплекс отличает наглядность представ-
представления результатов вычислений в числовом и графическом виде. Органи-
Организация интерфейса в форме меню обеспечивает простое взаимодействие
211
пользователя с системой. Наличие комфортного интерфейса и наглядной
графической формы представления результатов делает систему удобным
средством для обучения современным методам численного моделирования
и анализа расчетных данных.
Комплекс относится к виду проблемно-ориентированных многофунк-
многофункциональных программных средств и представляет собой взаимосвязанную
систему программ, реализованных на ПВМ, совместимых с IBM. Все про-
программы могут работать автоматически под управлением специального
командного файла либо в интерактивном режиме. Связи между модулями
осуществляются управляющей программой, которая обеспечивает диало-
диалоговое взаимодействие пользователя с системой и выполняет пользователь-
пользовательский запрос на расчет или обработку данных.
Основной областью применения этого комплекса являются автомати-
автоматизированные системы научных исследований (АСНИ). Универсальность
системы, основанная на возможности описания и решения широкого класса
задач, позволяет проводить исследования в различных прикладных облас-
областях, и в первую очередь для изучения конвективных процессов в невесо-
невесомости, характеризующихся не слишком большими значениями числа Рэ-
лея.
Диалоговый режим является основным режимом при работе с систе-
системой. Интерактивное взаимодействие осуществляется посредством меню,
при помощи которого пользователь может задать различные варианты гео-
геометрии расчетной области, граничных условий, теплофизических свойотв.
Выбор пунктов меню осуществляется клавишами управления курсором.
Для каждого пункта меню дается краткое пояснение в нижней строке
экрана, и при необходимости может быть получены подробная контекст-
контекстная подсказка. В комплекс включены возможности ввода данных в раз-
размерном виде, осуществляется контроль данных, корректности и полноты
задания и др. Выполняется частичная обработка результатов, графический
вывод в процессе счета и расширенная постобра(ботка. Имеется возмож-
возможность сохранения результатов работы с комплексом: протоколов работы,
результатов расчетов, сведений для продолжения расчета.
Рассмотренная версия комплекса наряду с широкими функциональ-
функциональными возможностями по решению задач конвективного тепломассообмена
на основе общей гидродинамической модели обладает достаточно просты-
простыми средствами взаимодействия с пользователем. Это делает ее доступной
широкому кругу специалистов при решении задач в различных предмет-
предметных областях и дает возможность для создания баз знаний на основе
уравнений Навье-Стокса.
Таким образом, можно считать, что сегодня решение всех задач, содер-
содержащихся в гл. 2, 3, уже находится в пределах возможностей описываемой
системы. К числу интересных применений этой системы относится задача о
конвективном тепломассообмене при изменении угла наклона слоя по
отношению к вектору массовой силы (для сравнения см. разд. 6.5). При-
Приведем пример: на сетке 10 X 100 при значениях параметров Ra = 104, Рг= 1,
HJL- 0,1, период обращения 0,01 система позволяет, начиная со стацио-
стационарного режима валиковой конвекции (ячейки Рзлея—Бенара), получить
квазистационарный (почти теплопроводностный) режим прогрева за 10-
15 мин на ЭВМ IBM PC/AT-386.
212
Очевидно, что большие потенциальные возможности описанной системы
могут быть реализованы лишь в сочетании с опытом исследований в облас-
области класса задач, рассмотренных в этой книге.
Приложение 2
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В настоящем приложении рассматривается метод решения линейной
задачи устойчивости конвективного течения многокомпонентной несжима-
несжимаемости жидкости в плоском бесконечном слое. Изложенная методика
реализована в виде программного комплекса и использовалась при ис-
исследовании всех задач устойчивости, описанных в книге (подробнее
см. [119]).
Рассмотрим движение тяжелой жидкости в поле силы тяжести в плос-
плоском бесконечном слое конечной толщины. Координатную систему вы-
выберем таким образом, чтобы ось z была направлена поперек слоя, оси
х и у - вдоль слоя, а начало системы координат находилось в середине
слоя. Пусть жидкость содержит L примесей (в качестве одной из них
может быть взята температура), концентрация которых определяет плот-
плотность всей системы. В приближении Буссинеска описывающие конвектив-
конвективное движение уравнения могут быть записаны в следующем безразмер-
безразмерном виде в области -1 < z < 1:
+ (и • Vu) = -Vp + Ли + ( I GrV)e,
/ i
div(u) = 0, (П21)
7=1,2,..., L,
где и = (u,v,w) - вектор скорости течения; р - давление; e = (elte2, e3) -
вектор, направленный против силы тяжести; с1, Gr', Рг' - концентрация,
число Грасгофа и число Прантля № примеси.
В зависимости от границ слоя (твердые, свободные, с поверхностным
натяжением) на плоскостях г =-1, г=1 для системы (П2.1) ставятся
граничные условия, которые в общем виде можно записать
amu+bm Ъи/bz = um + I (Ma'/Pr')Ъс'/Ъх,
ji
am v + bm bvlbz = vm
I
где индекс т = 1 соответствует границе z = -1, а индекс т-2 - границе
г=1; Ма' число Марангони 1-й компоненты. Мы не будем уточнять
здесь процесс обезразмеривания и смысл безразмерных критериев, они
могут меняться от одной конкретной задачи к другой и должны опре-
213
делиться при использовании. Отметим только, что таким набором пара-
параметров описывается достаточно много реальных задач.
Исследование устойчивости решений системы (П2.1) с граничными
условиями (П2.2) проводится методом малых возмущений (см., на-
например, [54]). Пусть у исходной системы имеется решение, описывающее
плоскопараллельное течение, заданное в виде
u = U0(z),v = v0(z),w = 0,
с' = Gc'xx + Gcly + 4(z), / = 1,2,..., I,
где Gc^ и Gcly - константы, задающие возможный градиент /-Й примеси
вдоль слоя. Для проверки устойчивости этого решения линеаризуем сис-
систему (П2.1) в окрестности решения (П2.3) и будем искать возмущения
в виде произведения некоторой амплитудной функции, зависящей от
координаты z, на гармоническую волну вида ехр [/ (кхх + куу) + Xt ].
Обозначим амплитудные функции возмущений скоростей, давления
и концентраций буквами u,v, w, р, а', введем параметры р и а - модуль
и угол наклона волнового вектора (кх, ку) и, делая замену
rj =Mcosa+ и sina, до = — usina + ucosa,
приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих
обозначает дифференцирование по г) :
Хт? + ifi (f/0cosa + Vo sina) 17 + (t/J cosa + Vq sina) w =
= -ipp+17" -p2i7 + (<?icosa+<j2sina) I Gr'a',
1=1
Хдо + ip ([/„cosa + Vo sina) ц + (-[/<J sina + Vq cosa) w =
= ц" - р2до+ (-<?i sina +e2cosa) I Gr'a',
1=1
Xw+ip(U0cosa + Vosma)w = p'+ w"-p2w+e3 S Gr'a', (П2.4)
г = 1
ipt] + w' = 0,
Xa'+ip(t/0cosa + F0sina)a' + Co' + Gc^(i7cosa -цsina) +
+ G4(t?sina + ixcosa) = A/Pr')(a'" -pV), 1=1,2, ,..,L.
Из условий (П2.2) краевые условия для возмущения записываются
следующим образом:
(П2.5)
I (Mn'/Pr')a'.
1=1
214
Задача определения устойчивости решения (П2.3) при бесконечно
малых возмущениях сводится к решению краевой задачи на собствен-
собственные значения (П2.4) с граничными условиями (П2.5). Собственное число X
этой задачи показывает, затухает ли возмущение с волновым вектором
(кх,ку) (ReX<0) или растет (ReX>0). Таким образом, если найдется
хотя бы один вектор (кх, ку), которому соответствует растущее возмуще-
возмущение, то исследуемое решение неустойчиво. В пространстве параметров
задачи можно определить нейтральную поверхность G, в точках которой
все собственные значения X имеют неположительную действительную часть,
причем найдется возмущение с волновым вектором (к*, к*), для кото-
которого собственное число с максимальной действительной частью X* имеет
нулевую действительную часть (нейтральное возмущение). Мнимая часть
ImX* собственного числа, соответствующего нейтральному возмущению,
определяет частоту колебаний возникающего вторичного течения, дейст-
действительность собственного числа X* означает возникновение нового ста-
стационарного течения (монотонная потеря устойчивости).
Полученная краевая задача на собственные значения решается с ис-
использованием метода К.И. Бабенко, описанного в [12]. Дискретизация
производится методом коллокаций, при этом основным моментом явля-
является выбор узлов для интерполирования искомого решения и выбор
узлов, в которых проверяется выполнение уравнения. В описываемом
методе узлы интерполяции и коллокаций выбираются одинаковыми и
располагаются в нулях многочлена Чебышева первого рода. Коротко
изложим используемый метод.
Аппроксимируем входящие в задачу (П2.4) функции многочленами,
удовлетворяющими краевым условиям (П2.5). Для этого на отрезке
-1 <z <1 выберем и узлов
( B/ -Ц* • , -,
i2/ = cos— ;/ = 1,2, ...,
в нулях многочлена Чебышева первого рода Г„(г). Построим интерполя-
интерполяционные многочлены Лагранжа
характеризующиеся тем, что значение многочлена Р/ в /-м узле равно еди-
единице, а в остальных - нулю.
Так как граничные условия для давления не заданы, аппроксимируем
давление p(z) многочленом степенип -1
р(г)~ ,,
/ = i
значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функ-
функции p(z).
Для аппроксимации остальных функций с учетом краевых условий
предлагается использовать интерполяционные многочлены специального
вида. Покажем, как зто делается для аппроксимации функции w(z)
21S
(подробности, в частности способ аппроксимации функции i?(z) с учетом
более сложных краевых условий, можно найти в [119]).
Введем интерполяционные многочлены
Щг) = {(z - г,) [с,(г + г,) + «/,] + 1} Р,(г), / = 1,2, ...,я,
где числа с;- и d;- определяются из условий
т.е. многочлены Wj(z) должны удовлетворять соответствующим краевым
условиям из (П2.5). После определения таким образом многочленов
W/(z) аппроксимируем функцию w(z) полиномом степени п + 1:
принимающим в узлах интерполяции те же значения, что и интерполи-
интерполируемая функция. Полученный многочлен автоматически удовлетворяет
требуемым краевым условиям.
Для дискретизации решаемой задачи подставим в систему (П2.4) вместо
неизвестных функций аппроксимирующие их многочлены и возьмем ее
ограничение на узлы интерполяции Zjij = 1, 2,..., п. Отбросив погреш-
погрешность аппроксимации, получаем конечномерную задачу на собственные
значения. Эта задача имеет нестандартный вид, но, исключая давление при
помощи уравнения несжимаемости, можно привести ее к обычному виду
Ах = Хх, где вектор х описывает неизвестные амплитудные функции (соб-
(собственные моды), а комплексная матрица А определяется граничными
условиями и параметрами задачи. Полученная задача на собственные значе-
значения может решаться одним из известных методов нахождения спектра
комплексной матрицы.
Используемый метод, т.е. аппроксимация решений задачи (П2.4),
(П2.5) многочленами, позволяет определить невязки полученного реше-
решения не только в узлах коллокации, но и в произвольной точке отрезка
-1 <z <1, что дает возможность оценивать качество полученного решения
(достаточно ли большое значение п порядка аппроксимации выбрано для
решения задачи). Для получения такой оценки необходимо находить как
собственные числа, так и собственные значения алгебраической задачи.
При построении нейтральных кривых и поверхностей нужны только
собственные значения, что сокращает время проведения расчета. Процедура
получения нейтральной кривой сводится к нахождению экстремума дейст-
действительной части максимального собственного числа по волновым числам
при фиксированных параметрах задачи и к определению нулей действи-
действительной части собственного числа при фиксированных волновых числах.
Представленная методика реализована в виде программного модуля,
написанного на языке Фортран, и работает на ЭВМ типа ЕС и WAX. Тести-
Тестирование программ продемонстрировало высокое качество аппроксима-
аппроксимации используемого метода, результаты расчетов хорошо согласуются
с результатами, полученными другими методами.
216
Приложение 3
МАТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
При решении некоторых нестационарных задач, например задачи о
горизонтальной направленной кристаллизации (см. п. 5.2.2), требуется
находить решения при достаточно больших временах. Поэтому возникает
необходимость решать уравнения Навье-Стокса B.20) -B.22) с боль-
большим временным шагом.
Авторами работы [104] был предложен матричный итерационный метод
решения уравнений переноса вихря и уравнения Пауссона B.20), B.21)
с линеаризацией разностных уравнений по методу Ньютона и была показана
возможность расчета этих уравнений с большим временным шагом (на-
(например, т = 1 -г 100). Однако добавление в рассчитываемую систему уравне-
уравнений B.20), B.21) уравнения переноса температуры B.22) в ряде случаев
может ослаблять устойчивость расчетной схемы.
Рассмотрим два метода решения системы уравнений B.20) -B.22)
при Gtd - 0 и \р = 0.
Методом 1 будем называть метод, реализующийся на каждом времен-
временном слое по следующей схеме.
1. Решаются совместно уравнения B.20), B.21) с вектором неизвест-
неизвестных размерности два: вихрь, функция тока (имеется в виду вектор при-
приращений указанных функций) - неявным матричным (а-/3-2)-методом
с аппроксимацией конвективных членов на верхнем временном слое и
линеаризацией разностных уравнений по методу Ньютона [8,104].
2. Методом продольно-поперечной прогонки [8, 134] решается уравне-
уравнение переноса температуры B.22), аппроксимируемое неявной разност-
разностной схемой, и осуществляется переход на следующий временной слой.
Методом 2 будем называть неявный матричный (а-/3-3)-метод решения
системы уравнений B.20) -B.22) с аппроксимацией всех членов уравне-
уравнений на верхнем временном слое и линеаризацией разностных уравнений
по методу Ньютона, с вектором неизвестных размерности три: вихрь,
функция тока, температура (имеется в виду вектор приращений указан-
указанных функций) - и с аппроксимацией правой части F уравнения B.20)
на верхнем временном слое.
При матричном решении системы уравнений B.20)-B.22) методом 2
для уравнений переноса вихря B.20) и температуры B.22) могут ис-
использоваться различные схемы. В настоящей работе использовалась од-
одновременно для обоих уравнений либо схема центральных разностей (схе-
(схема 1), либо схема с монотонной аппроксимацией Самарского (схема 2)
с аппроксимациями на верхнем временном слое.
После аппроксимации уравнений Навье-Стокса B.20)-B.22) на девя-
девятиточечном шаблоне и линеаризации нелинейных разностных уравнений
методом Ньютона получим систему линейных уравнений, которую можно
записать в следующем матричном виде:
+Вх
fc+1 +rfcV*+1 +MV 4/tfY +Pn
i-u+i +Li/xi+i,j+i +Maxi+i,j-i +Naxi-u-i +Fi/ -°
217
Здесь x(j - вектор неизвестных размерности т (в частности, при т = 2
? + 1 4 + 1 +1 $ + 1 4 + 1 4 + 1
компонентами которого являются следующие разности: Дсо^-+1 = со^.+! -
-ы%, Д^ + 1=4 + 1 -4< Д0</ + 1_=4 + 1 ~в#; * - номеР итерации по
методу Ньютона; А% Dy, By, Ц, By, К§, Ц, Мф Ny - матрицы размер-
размерности тХт: Fy - вектор правых частей размерности т.
Система матричных уравнений (П3.1) решается матричным (а-/3)-ме-
тодом [8, 104] с помощью двух итерационных циклов, основанных на
формулах матричной прогонки.
При аппроксимации уравнений B.20) -B.22) на пятиточечном шаблоне
матрицы Кц, Lff, Mfjt Ny будут нулевыми, что позволяет вдвое сократить
число операций на каждой итерации по методу Ньютона и уменьшить время
расчетов. Время, затрачиваемое на один временной слой, при решении
уравнений B.20), B.21) с постоянной правой частью F методом 1 на
порядок больше, чем при решении их продольно-поперечной прогонкой
[134], но отсутствие лимита на временной шаг в методах 1 и 2 делает
их эффективными при расчетах длительных, медленно меняющихся про-
процессов.
Рассмотрим тестовую задачу о тепловой конвекции в замкнутой квад-
квадратной области с граничными условиями первого рода по температуре,
изображенным на рис. 2.16. Эту задачу кратко будем называть задача 1.
Расчеты задачи 1 методом 1 показывают, что при значениях числа Рэлея
Ra>103 при т>0,1 сходимость рассматриваемых функций (со, ф, в) к
стационарным значениям приобретает колебательный характер, а при
определенных соотношениях между временным шагом и числом Рэлея
не имеет места (например, при Ra = 10 и т = 1, рис. П3.1). Этот резуль-
результат имеет место как для схемы 1, так и для схемы 2. Поэтому для реше-
решения системы уравнений B.20) -B.22) методом 1 в зависимости от значе-
значения временнбго шага т требуется разное количество машинного времени,
так как при увеличении т монотонный характер сходимости переходит
в колебательный и при больших т решение расходится. Следовательно,
для конкретных значений числа Рэлея существуют оптимальные значе-
значения временнбго шага. Например, для Ra = 105 на сетке 21 X 21 при т = 0,5
для получения стационарного решения требуется минимум времени ЭВМ.
Применение метода 2 для решения задачи 1 с центрально-разностной
аппроксимацией конвективных членов (схема 1) позволяет увеличить
временной шаг и избавиться от колебательной сходимости при больших
значениях временного шага (т - 1) и умеренных значениях числа Рэлея
(до Ю5). На рис. П3.1 представлена также зависимость максимальной
функции тока от времени, полученная при решении задачи 1 (Ra=104,
т = 1) методом 2 с центрально-разностной аппроксимацией конвектив-
конвективных членов в уравнениях переноса. Эта зависимость показывает, что ста-
стационарное значение достигается практически за один шаг, чего не было
для этих же параметров при расчете методом 1. Поскольку схема
с центрально-разностной аппроксимацией не является монтонной, то при
больших значениях шага по времени т > 1 и числа Рэлея Ra> 105 реше-
решение ведет себя неустойчиво и расходится.
218
1,25 t
Рис. П3.1. Зависимости Vmax(') ПРИ решении тестовой задачи 1 (Ra = 104) мето-
методом 1 (линии 1, 2) и методом 2 (линия 3)
1 -т = 0,1, 2, 3 - т= 1
Рис. П3.2. Зависимости максимальной функции тока от времени и профили верти-
вертикальной компоненты вектора скорости в среднем горизонтальном сечении при реше-
решении тестовой задачи 1
1 - метод [21], г = 1(Г5, 2, 3 — метод 2 (г = 10"s и 1 соответственно)
Решение задачи 1 методом 2 с монотонной аппроксимацией конвектив-
конвективных членов в уравнениях переноса вихря и температуры позволяет рас-
расширить диапазон чисел Рэлея, рассчитываемых с большим временным
шагом. На рис. П3.2 изображены решения задачи 1 при Ra = 105 в виде
зависимостей максимальной функции тока при расчете с разными шага-
шагами по времени и профилей вертикальной компоненты скорости в среднем
горизонтальном сечении. Кривые 1 были построены по данным, любез-
любезно предоставленным В.Л. Грязновым и полученным по явной методике
на равномерной сетке с числом узлов 129X132 с использованием команд
матричного модуля МАМО ЕС-1О55М [134]. Кривые 2, 3 получены ме-
методом 2 на неравномерной сетке с числом узлов 21X21 с временными
шагами т = 10 и т = 1 соответственно. Решения, полученные с использо-
использованием большого шага по времени (т = 1) и малых шагов (т = 10",10"s)
для стационарного режима, совпадают, т.е. для метода 2 стационарное реше-
решение не зависит от величины шага по времени. Следует отметить, что про-
профили скорости, изолинии функции тока и изотермы, полученные методом 2
и по МАМО-методике [134], при указанных выше параметрах полностью
совпадают, что говорит о хорошей точности решения, полученного ме-
методом 2 на неравномерной сетке 21X21 и т = 1. При решении уравнений
Навье-Стокса матричным методом 2, позволяющим использовать боль-
большой шаг по времени, можно сократить время расчетов до 10 раз по сравне-
сравнению с временем, необходимым для получения решения методом пере-
переменных направлений [134], и на порядок уменьшить временные затраты
ЭВМ. Матричный метод 2 эффективен при параметрах, соответствующих
медленно меняющимся или стационарным процессам.
Использование МАМО в сочетании с методом 2 позволяет в сравнении
с методом переменных направлений еще сократить время расчета уравне-
уравнений Навье-Стокса. Например, только замена в комплексе программ
"МАРЕНА" блоков обнуления, переприсваивания и сравнения массивов
позволяет сократить время еще в 1,3 раза на сетке 33X33.
219
Комплекс программ матричного решения уравнений Навье—Стокса
"МАРЕНА". Комплекс программ "МАРЕНА" (матричное решение уравне-
уравнений Навье-Стокса) предназначен для матричного решения двумерных
нестационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса в приближении
Буссинеска в переменных: вихрь, функция тока, температура. Комплекс
позволяет решать уравнения Навье -Стокса с большим шагом по времени,
с аппроксимацией всех членов уравнений на верхнем временном слое
и последующей линеаризацией по методу Ньютона. Система линеаризо-
линеаризованных разностных уравнений решается с помощью матричного (а-/3) -ме-
-метода [8,104].
В отличие от программной реализации этой методики авторами рабо-
работы [104] данный комплекс позволяет решать систему уравнений Навье-
Стокса B.20) - B.22) или ее часть, используя метод 1 или метод 2 [8].
Комплекс программ "МАРЕНА" позволяет применять по обеим координа-
координатам неравномерные сетки, различные граничные условия и аппроксима-
аппроксимации уравнений, используя пяти- либо девятиточечный шаблон. Кроме
этого, комплекс содержит программы матричного решения уравнений
Навье-Стокса с учетом изменения геометрии рассчитываемой области
по одной из координат с заданной скоростью. Некоторые подпрограммы
комплекса имеют свои аналоги, использующие МАМО-команды [134],
что позволяет сократить время расчета, применяя матричный модуль
МАМО ЕС ЭВМ-1О55М.
Комплекс программ "МАРЕНА", написанный на языке Фортран-IV,
состоит из вычислительной части, содержащей реализации различных не-
неявных разностных схем, лианеаризованных по методу Ньютона, в сочета-
сочетании с матричным а-/3-методрм решения разностных уравнений [104],
а такж^ программ обработки информации.
Результаты тестовых расчетов. Рассмотрим задачу о тепловой конвек-
конвекции вязкой несжимаемой жидкости в квадратной замкнутой области
L/H=l (см. рис. 2.16). На верхней и нижней горизонтальных стенках
Таблица П3.1
Ra
Решение
Nu
'max
"max
103 1
2
104 1
2
10s 1
2
106 1
2
Обозначение: Nu — среднее значение числа Нуссельта на вертикальной стенке
(х = О) ; '/'max ~ максимальное значение функции тока; Umax — максимальное значе-
значение горизонтальной компоненты скорости в среднем вертикальном сечении (у = 0,5) ;
"max ~ максимальное значение вертикальной компоненты скорости в среднем гори-
горизонтальном сечении (х = 0,5).
220
1,118
1,118
2,243
2,245
4,519
4,560
8,8
9,0
1,654
1,656
7,142
7,090
13,538
13,538
23,592
23,508
5,139
5,107
22,786
22,411
48,915
49,592
91,032
89,142
5,207
5,193
27,630
27,388
96,606
95,894
308,958
301,987
8,0
ax Q-
-
-
i
-
rmax
-
i i
Nu
г.*
2,2
2,0
5-Ю~3 Ю'г hz
28
26
Nu
10
1
W'3 5-10'3 W'2 h2
Рис. ПЗ.З. Зависимости максимальной функции токаи среднего значения числа Нуо
сельта от шага разностной сетки при решении тестовой задачи 2 методом 2 при Ra =
= 10" (e)nRa=106 (б)
области заданы условия теплоизоляции, а на вертикальных стенках под-
поддерживаются постоянные температуры: на левой (при х = 0) 0 = 1, на
правой (х = 1) 0 = 0. Эту задачу в дальнейшем будем называть тестовой
задачей 2. Рассматриваются стационарные режимы, соответствующие числу
Прандтля Рг = 0,71 и числам Рэлея Ra = 103 ¦*¦ 106.
Данная задача была объявлена в качестве международного теста [187].
Более тридцати авторов прислали свои решения, которые были проанализи-
проанализированы и сравнены. В работе [187] отмечено, что наиболее точными из
всех представленных решений задачи 2 является исходное "эталонное"
решение, полученное экстраполированием на сетку с нулевым шагом
решений, полученных конечно-разностным методом на разных сетках.
"Эталонное" решение обозначено в табл. П3.1 цифрой 1. Следует отметить,
что в работе [187] скорость обезразмерена через температуропровод-
температуропроводность, а не через кинематическую вязкость, как в настоящей работе, поэто-
поэтому для единообразия значения функции тока и скоростей из работы [187]
были разделены на число Прандтля Рг = 0,71.
Расчеты задачи 2 проводились на вычислительных машинах ЕС ЭВМ-1055
и -1О55М с помощью метода 2 (монотонная аппроксимация А.А. Самар-
Самарского, одинарная точность, неравномерная сетка 33X33, минимальный
шаг у стенок й = 0,01) в сочетании со схемой 1. Результаты расчетов при-
приведены в табл. П3.1 (решение 2).
Из сравнения величин, приведенных в табл. П3.1, можно сделать основ-
основной вывод, что метод 2 (решение 2) по точности решения задачи 2 уравне-
уравнений тепловой конвекции B.20)-B.22) не уступает лучшим существу-
существующим методам [187]. Отличие "эталонного" решения (см. табл. П3.1,
решение 1) от решения, полученного методом 2, не более 2,5%.
Решения, полученные при вычислении величин с одинарной й с двой-
двойной точностью, практически одинаковы, поэтому для рассматриваемой
задачи (по крайней мере, для чисел Рэлея Ra<106) вычисления можно
проводить с одинарной точностью (что, например, для метода 2 позволяет
в 1,3 раза сократить объем оперативной памяти).
При больших значениях числа Рэлея решения, полученные на равномер-
равномерной сетке, могут значительно отличаться от решений, приведенных в
221
табл. П3.1. Например, на сетке 33X33 при Ra = 107 разность скоростей
достигает 50%. Это говорит о том, что плохо разрешается пограничный
слой и равномерной сетки 33X33 для получения более точного решения
не хватает, хотя на сетке с тем же количеством узлов, но со сгущением
у границ при Ra = 107 можно получить решения с приемлемой точностью.
Методом 2 с монотонной аппроксимацией Самарского были проведены
расчеты задачи 2 на разных сетках. Значения максимальной функции тока
и среднего числа Нуссельта в зависимости от шага сетки показаны
на рис. ПЗ.З (звездочками отмечены значения "эталонного" решения).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Гравитационная конвекция в условиях невесомости отличается рядом
особенностей, существенных для технических и технологических прило-
приложений, к которым относятся возможность увеличения инерционности,
неравномерности локальных потоков тепла по сравнению со средними,
наличие максимума температурного (концентрационного) расслоения,
вызываемого конвекцией, Слабая тепловая гравитационная конвекция,
не оказывая влияния на поле температуры в расплавах полупроводни-
полупроводников, может существенно влиять на распределение примесей. При этом
вывод о влиянии условий невесомости на конвекцию оказывается прин-
принципиально различным в зависимости от режима конвекции в земных ус-
условиях. Переход в состояние невесомости может привести либо к смене
режима конвективной неустойчивости или полному подавлению коле-
колебаний, обусловленных конвективной неустойчивостью и переходом в
режим конвекции с повышенной температурной (концентрационной)
неоднородностью, либо к переходу в диффузионно-тепловой (бескон-
(бесконвективный) режим. Эти эффекты проявляются различно для распла-
расплавов с разными физическими свойствами и зависят от многих других пара-
параметров: геометрии объема, занятого жидкостью, характера подвода
тепла и (или) массы, ориентации по отношению к вектору силы тяже-
тяжести и др. Эти факторы могут рассматриваться в качестве потенциальных
альтернативных невесомости возможностей управления гравитационной
конвекцией.
В предельном состоянии теоретической невесомости, в котором пол-
полностью исключаются упомянутые выше эффекты гравитационной кон-
конвекции, сохраняется не меньшее разнообразие конвективных процессов
негравитационного типа, также существенно зависящих от определяю-
определяющих параметров. В особенности это относится к классу движений, вызы-
вызываемых градиентами сил поверхностного натяжения, для которых в дан-
данной книге приведены результаты подробных параметрических исследо-
исследований в зависимости от основного определяющего параметра - числа Ма-
рангони, а также от геометрии рассматриваемого объема, тепловых гра-
граничных условий, наличия массообмена и взаимодействия со слабой гра-
гравитационной конвекцией.
222
Важным результатом общего характера является установление эффек-
эффекта максимума температурного и концентрационного расслоения, кото-
который, как показано в гл. 2—6, является универсальным для всех меха-
механизмов конвекции как гравитационного, так и негравитационного типа.
Общие закономерности конвекции проявляются также в реальных
условиях космического полета, отличающихся широким амплитудно-
частотным диапазоном и наличием пространственных эффектов; для
двумерных колебаний по аналогии со случаем постоянного микроуско-
микроускорения обнаружен резонансный эффект максимума расслоения примеси.
Обнаружено также существенное отличие случаев равного или неравно-
неравного нулю среднего во времени микроускорения. В общем случае простран-
пространственно-временного изменения микроускорения получены результаты,
относящиеся к анализу составляющих пространственных движений (дейст-
(действие силы Кориолиса) и к расчету гравитационной чувствительности кон-
конвекции для реального режима полета орбитальной станции. Установлена
значительная роль низкочастотных составляющих микроускорения, из-
измерение которых представляет значительные трудности.
В книге приведено лишь небольшое число примеров анализа техноло-
технологических экспериментов в невесомости, и читатель может видеть, что
такой анализ, даже при большом количестве упрощающих предположе-
предположений, крайне трудоемок и растягивается на несколько лет. По-видимому,
именно это является одной из главных причин целесообразности натур-
натурной обработки технологических экспериментов в условиях невесомо-
невесомости, результаты которых (конечно, при значительно большей затрате
средств) получаются значительно быстрее. Учитывая это, представляет-
представляется, что имеется широкое поле для эмпирического поиска новых физи-
физических эффектов, например, в гравитационно-чувствительных системах
со сложными физико-химическими превращениями или сложной реоло-
реологией и т.д. Впрочем, вопрос о том, куда вкладывать средства и может
ли дать космическое материаловедение реальный экономический эф-
эффект, т.е. прибыль, далеко выходит за рамки книги. Ответ в значитель-
значительной степени зависит от уровня наземной технологии и, конечно, от уров-
уровня развития науки о материалах в наукоемких областях технологии. Вся
цепочка космическое материаловедение — наука — земное материалове-
материаловедение сложна, и необходимые пропорции, если на них не влияет мода,
устанавливаются в зависимости от общего уровня технологии.
Результаты детального анализа моделей трех различных технологиче-
технологических процессов: получения объемных монокристаллов направленной
кристаллизацией в ампуле, полупроводниковых структур методом жид-
жидкостной эпитаксии и разделения веществ методом электрофореза в сво-
свободном потоке - указывают, с одной стороны, на наличие альтернатив-
альтернативных невесомости управляющих воздействий, а с другой - на наличие
ряда побочных эффектов, обусловленных конвективными процессами
в невесомости. Результаты этого анализа не только дают представление
о значительных возможностях улучшения качества материалов в земных
условиях на основе более полного учета процессов конвективного пере-
переноса, но и позволяют оценить длительность и трудоемкость такого рода
анализа.
223
По-видимому, только на пути учета всех этих факторов лежит обо-
обоснованный анализ экономической эффективности космического произ-
производства. Однако независимо от результатов такого рода анализа целе-
целенаправленное изучение конвективных процессов в невесомости позво-
позволило выявить много "новых знаний", которые могут найти широкое при-
применение. Возможно, например, что условия невесомости, в некотором
смысле более общие, т.е. допускающие для конвекции большее число
"степеней свободы", чем земные, могут быть использованы для тех или
иных целей в будущем или уже были как-то "использованы" в далеком
прошлом на ранних стадиях эволюции.
Таким образом, исследование конвективных процессов при сложных
пространственно-временных изменениях- микроускорения, без сомнения,
представляет увлекательную задачу, пути решения которой здесь частично
намечены.
Добавление при корректуре
Ниже представлен дополнительный список новых, вышедших или ставших извест-
известными авторам книги после сдачи рукописи в набор публикаций по вопросам, рассмот-
рассмотренным в книге:
- методики расчета микроускорений, анализ измерений микроускорений на бор-
борту станции "Спейслаб-3" [4*, 26*-28*],
- теоретические и экспериментальные исследования гравитационной термо-
термоконцентрационной конвекции, включая устойчивость и колебания в расплавах
[2*, 3*, 7*, 10*, 16*, 24*],
- совместное действие термокапиллярной и тепловой гравитационной конвек-
конвекции [15*. 19*, 29*, 31*],
- влияние нестационарности микроускорений на конвекцию и распределение
примеси в невесомости [6*, 20*, 22*, 23*, 30*, 32*],
- макро- и микронеоднородности распределения примеси при направленной
кристаллизации и жидкостной эпитаксии, включая действие магнитного поля
[8*, 11*, 13*, 14*, 21*],
- процессы разделения, в том числе моделирование электрофореза в свободном
потоке [1*. 9*, 18*, 25*, 33*],
- применение диалоговой PC-системы для анализа конвективных процессов в не-
невесомости [12*, 17*, 23*].
Часть материала содержится в сборниках: Proceedings of the first NATQ^workshop
on computer modelling in crystal growth from melt. Parma, Italy, April 1989 (J.-Cryst.
Growth. 1989. Vol. 97, N1); Proceedings of the IX-th International Conference on
crystal growth. Tokyo, Japan, August 1989 (J. Cryst. Growth. 1990. Vol. 99); Low-gra-
Low-gravity fluid dynamics and transport phenomena / Ed.: J. Koster, R. Sani. Wash.: AIAA
Inc., 1990 (Progr. in Astronautics and Aeronautics; Vol. 130), которые для крат-
краткости будем обозначать в дополнительном списке литературы соответственно Ргос.
CMCG, Proc. ICCG, Progr. AA.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.И., Охотин А.С., Чаше*
кина Ж.Ю. Результаты исследований кри-
кристаллов Pbj_xInxTe, полученных мето-
методом Бриджмена на установке "Кри-
"Кристалл" в условиях орбитальной станции
"Салют-6" // Технологические экспери-
эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ
АН СССР, 1983. С. 47-58.
2. Авдуевский B.C., Агафонов М.С.,
Гришин С.Д. и др. Экспериментальные
исследования по гидромеханике в усло-
условиях невесомости // Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1985. Т. 49, №4. С. 681-686.
3. Авдуевский B.C., Бармин И.В.,
Гришин С.Д. и др. Проблемы космиче-
космического производства. М.: Машинострое-
Машиностроение, 1980. 224 с.
4. Авдуевский B.C., Гришин С.Д.,
Кривандина Е.А. и др. Технологиче-
Технологический эксперимент "Диффузия" на орби-
орбитальной станции "Салют-5" // Космич.
нсслед. 1980. Т. 18, № 3. С. 415-419.
5. Авдуевский B.C., Полежаев В.И.
Невесомость: теория, модель, экспери-
эксперименты в космосе // Наука н человечест-
человечество. М.: Наука, 1985. С. 210-225.
6. Аксенов АЛ. Численное модели-
моделирование гидродинамических процессов
в биотехнологнческих устройствах:
Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.
М., 1988. 16 с.
7. Аксенов А.А., Гудзовский А.В.,
Кондранин Т.В., Серебров А.А. Движе-
Движение фракций биопрепарата при зональ-
зональном электрофорезе в условиях невесо-
невесомости // Современные вопросы меха-
механики сплошной среды в геокосмиче-
геокосмических исследованиях: Междувед. сб. М.:
МФТИ, 1987. С. 122-127.
8. Алимова Д.Р., Федюшкин А.И.
Исследование неявного матричного ме-
метода решения уравнений тепловой кон-
конвекции. М.: ИПМ АН СССР, 1988. 24 с.
Деп. в ВИНИТИ 20.01.88, № 447-В88.
9. Андреев В.М., Долгинов ЯМ.,
Третьяков ДМ. Жидкостная эпитаксия
в технологии полупроводниковых при-
приборов. М.: Сов. радио, 1975. 328 с.
15. Зак. 1319
10. Андреев В.К., Пухначев В.В.
Инвариантные решения уравнений тер-
термокапиллярного движения // Чнсл. ме-
методы механики сплош. среды. 1983.
Т. 14, №5. С. 3-23.
11. Анисимов Н.Ю., Лесков Л.В. Фи-
Физические особенности технологического
процесса направленной кристаллизации
в условиях невесомости // Технологи-
Технологические эксперименты в невесомости.
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.
С. 124-139.
12. Бабенко К.И. Методы численно-
численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
13. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдо-
вич В.И. Математическая теория элек-
электрофореза. Киев: Наук, думка, 1983.
14. Бармин И.В., Безденежных Н.И.,
Брискман В.А. и др. Программа экспе-
экспериментов на установке для исследова-
исследования гидродинамических явлений в усло-
условиях невесомости // Изв. АН СССР.
Сер. физ. 1985. Т. 49, № 4. С. 698-707.
15. Бармин И.В., Верезуб Н.А., Копе-
лиович Э.С. н др. О влиянии некото-
некоторых факторов на свойства полупровод-
полупроводниковых материалов, полученных бес-
бестигельной зонной плавкой в условиях
микроускорений // Гидромеханика и
тепломассообмен в невесомости. Ново-
Новосибирск: СО АН СССР, 1988. С 132-
141.
16. Бармин И.В., Волков Ю.Л., Его-
Егоров. А.В. и др. Свойства легированных
кристаллов германия, полученных мето-
методом БЗП в условиях микроускоре-
микроускорений//Там же. С 114.
17. Бармин И.В., Волков Ю.Л., Копе-
лиович Э.С. и др. Особенности осущест-
осуществления бестигельной зонной плавки
в специальных условиях // Перспективы
и проблемы космического производст-
производства: Тр. XVII чтений К.Э. Циолковского.
Калуга, 1983. С 8-18.
18. Бармин И.В., Горюнов Е.И.,
Егоров А.В. н др. Оборудование для
космического производства М.: Ма-
Машиностроение, 1989. 256 с.
225
19- Бежан А., Имбергер Дж. Теплооб-
Теплообмен при вынужденной и свободной кон-
конвекции в горизонтальном канале с раз-
различно нагретыми концами // Теплопере-
Теплопередача. 1979. Т. 101, № 3. С. 40-46.
20- Бежан А., Тьен Ц.Л. Теплообмен
при ламинарной свободной конвекции
в горизонтальной полости с различно
нагретыми торцевыми стенками // Там
же. 1978. Т. 100, №4. С. 87-94.
21. Белецкий В.В. Движение спутни-
спутника относительно центра масс в гравита-
гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975.
308 с.
22. Белло М.С. Влияние тепловой
конвекции на концентрационные про-
профили в свободнопоточном электрофо-
ретическом сепараторе // Аэрофизика
и геокосмические исследования: Между -
вед. сб. М.: МФТИ, 1984. С. 74-80.
23. Белло М.С. Математическая мо-
модель получения биологических материа-
материалов методом зонального электрофореза
в свободном потоке жидкости // Гидро-
Гидромеханика и тепломассообмен прн полу-
получении материалов / Под ред. B.C. Авду-
евского, В.И. Полежаева. М.: Наука,
1990. С. 160-168.
24. Белло М.С, Виленчик Л.З. Диф-
Диффузионные эффекты в свободнопоточ-
свободнопоточном электрофорезе // Космическая нау-
наука и техника. Киев: Наук, думка, 1989.
Вып. 4. С. 35-38.
25. Белло М.С, Полежаев В.И. Изо-
Изотермическое течение вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости в гидродинамической
модели электрофоретической камеры
// Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 2.
С. 14-20.
26. Беляев М.Ю. Научные экспери-
эксперименты на космических кораблях и ор-
орбитальных станциях. М.: Машинострое-
Машиностроение, 1984. 264 с.
27- Бердников B.C. Структура сво-
бодно-конвективного течения жидкости
вблизи свободной поверхности теплооб-
теплообмена // Некоторые задачи гидродинами-
гидродинамики н теплообмена. Новосибирск: СО АН
СССР, 1976. С. 12-22.
28. Бердников B.C. Термокапилляр-
Термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое
жидкости // Теплофизические исследова-
исследования. Новосибирск: СО АН СССР, 1977.
С. 99-104.
29. Бердников B.C., Забродин А.Г.,
Марков В.А. Тепловая гравитационно-
капиллярная конвекция в полости с раз-
различно нагретыми торцевыми стенками
// Структура вынужденных и термогра-
термогравитационных течений. Новосибирск: СО
АН СССР, 1983. С. 147-163.
30. Бердников B.C., Забродин А.Г.,
Марков В.А. Тепловая гравитационно-
капиллярная конвекция в прямоуголь-
прямоугольной полости // Гидромеханика и про-
процессы переноса в невесомости. Сверд-
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 136.
31. Берковскип Б.Н., Полевиков В.К.
Влияние числа Прандтля на структуру и
теплообмен при естественной конвекции
// Инж.-физ. журн. 1973. Т. 24, № 5.
С 842-849.
32. Бирих Р.В. О термокапиллярной
конвекции в горизонтальном слое жид-
жидкости // ЖПМТФ. 1966. № 3. С. 67-72.
33. Болховитянов Ю.Б. Кинетика
роста полупроводниковых пленок из
раствора-расплава // Полупроводнико-
Полупроводниковые пленки для микроэлектроники.
Новосибирск: Наука, 1977. С. 170—
195.
34. Браверман JI.M. Некоторые зада-
задачи вибрационно-конвективной устойчи-
устойчивости однородной жидкости и смеси:
Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.
Пермь, 1988. 17 с.
35. Братухин Ю.К., Маурин Л.Н.
Устойчнво'сть термокапиллярной кон-
конвекции в жидкости, заполняющей полу-
полупространство // ПММ. 1982. Т. 46, вып.1.
С. 162-165.
36. Браун Р.А. Конвекция и явления
переноса в объеме жидкости // Космиче-
Космическое материаловедение: Введение в науч.
основы космич. технологии / Под ред.
Б. Фойербахера и др. М.: Мир, 1989.
С. 59-90.
37- Бродский С.С, Головин А.М. Тер-
Термокапиллярная конвекция в слое жид-
жидкости // ЖПМТФ. 1972. № 2. С. 49-58.
38. Бунэ А.В., Дубовик К.Г., Поле-
Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Тесты и мо-
модификации конечно-разностных схем
для двумерных уравнений Навье-Стокса.
М., 1985. 60 с (Препр. / ИПМ АН СССР;
№260).
39. Валъциферов Ю.В., Полежаев В.И.
Конвективный теплообмен и темпера-
температурное расслоение в сфере, полностью
заполненной жидкостью, при заданном
потоке тепла // Изв. АН СССР. МЖГ.
1975. №5. С-150-155.
40. Васин В.Г., Полежаев В.И. Раз-
Разностные схемы для уравнений Навье-
Стокса сжимаемого газа и расчет тер-
термоакустических волн. М., 1977. 47 с.
(Препр. / ИПМ им. М.В. Келдыша АН
СССР; №124).
226
41. Верезуб Н.А. Исследование тепло-
массопереноса при получении полупро-
полупроводниковых структур методом жидкост-
жидкостной эпитаксин // Гидромеханика и теп-
тепломассообмен при получении материа-
материалов. М.: Наука, 1990. С. 49-56.
42. Верезуб Н.А., Зубрицкая И.Н.,
Егоров В.А. и др. Исследование особен-
особенностей получения некоторых полупро-
полупроводниковых систем на установке
"Сплав" // Изв. АН СССР. Сер. физ.
1985. Т. 49, №4. С. 687-690.
43. Верезуб Н.А., Копелиович Э.С.,
Полежаев В.И., Раков В.В. Особенно-
Особенности процессов тепломассообмена в рас-
расплавах некоторых элементарных полу-
полупроводников и соединений типа А3В5
в условиях невесомости // Технологи-
Технологические эксперименты а невесомости.
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.
С. 79-94.
44. Вертгейм И.И., Любимов Д.В.
Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при
подогреве сбоку // Исследование тепло-
тепловой конвекции и теплопередачи. Сверд-
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 32-35.
45. Волчинская Н.И., Четверуш-
кин Б.Н. Об одном итерационном мето-
методе решения двумерных уравнений диф-
фузни излучения // Жури, вычисл. мате-
математики и мат. физики. 1977. Т. 17, № 2.
С. 428-436.
46. Восковский М.И., Волков И.И.,
Грязев Н.И. и др. Несферическая мо-
модель плотности верхней атмосферы
// Космич. исслед. 1973. Т. 11, вып. 1.
С. 70-80.
47. Гаврюшкин А.В., Брезгунов В.Н.,
Мазаное А.Л. Тепловые и гидродинами-
гидродинамические характеристики электрофореза в
свободном потоке. М., 1986. Деп. в
ВНИИСЭНТИ, № 329-86.
48. Гаврюшкин А.В., Брезгунов В.Н.,
Мазаное А.Л. Анализ факторов, влияю-
влияющих на электрофорез в свободном по-
потоке. 2. М., 1986. Деп. в ВНИИСЭНТИ,
№ 330-86.
49. Гебхарт Б. Свободно-конвектив-
Свободно-конвективные течения в технике: Фримановская
лекция A978) // Теорет. основы инж.
расчетов. 1979. Т. 101, № 1. С. 109-114.
50. Гебхарт Б. Случайная конвекция
в условиях невесомости // Невесомость:
Физ. явления и биол. эффекты. М.: Мир,
1964. С. 120-145.
51. Герценштейн С.Я., Рахманов А.И.
Конвекция в плоском слое жидкости,
вращающемся вокруг горизонтальной
оси // ДАН СССР. 1983. Т. 269, № 3.
С. 561-564.
52. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ.
Вибрационная тепловая конвекция в не-
невесомости//Гидромеханика и процессы
переноса в невесомости. Свердловск:
УНЦ АН СССР, 1983. С 86-105.
53. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М.
Конвективная устойчивость // Итоги нау-
науки и техники. Механика жидкости и га-
газа. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. С. 66-154.
54. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕЖ
Конвективная устойчивость несжимае-
несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
55. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М.,
Непомнящий А.А. Устойчивость конвек-
конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
56. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М.,
Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоско-
плоскопараллельного конвективного течения
бинарной смеси // ПММ. 1980. Т. 44,
№ 5. С. 823-830.
57- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М.,
Тарунин Е.Л. Численное исследование
стационарной конвекции в полости пря-
прямоугольного сечения со свободной верх-
верхней границей // Гидродинамика. Пермь,
1971. С 106-125. (Учен. зап. Перм.
ун-та; Вып. 3).
58. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ.,
Юрков Ю.С. Вибрационная тепловая кон-
конвекция в квадратной полости в невесо-
невесомости // Конвективные течения. Сверд-
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С 86-105.
59. Гидромеханика н процессы пере-
переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ
АН СССР, 1983. 168 с.
60. Гидромеханика и тепломассооб-
тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982.
264 с.
61. Гидромеханика и тепломассооб-
тепломассообмен в невесомости. Новосибирск, 1988.
70 с.
62. Гидромеханика и тепломассооб-
тепломассообмен при получении материалов // Под
ред. B.C. Авдуевского, В.И. Полежаева.
М.: Наука, 1990.296 с.
63. Гидромеханика невесомости/Под
ред. А.Д. Мышкиса. М.: Наука, 1976.
504 с.
64. Головинкин А.В., Мешков М.А.,
Серебров А.А. Формирование ламинар-
ламинарного потока с заданными гидродинами-
гидродинамическими характеристиками в камере
прямоугольного сечения // Современные
вопросы механики сплошной среды в
геокосмических исследованиях: Между-
вед. сб. М.: МФТИ, 1987. С 132-139.
65. Гришин С.Д., Дубовский В.Б.,
Обыденников С.С., Савичев В.В. Иссле-
Исследование малых ускорений на борту ор-
орбитальной научной станции "Салют-6"
227
// Технологические эксперименты в не-
невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР,
1983. С 6-14.
66. Грязное В.Л. Численное исследо-
исследование термоконцентрационной конвек-
конвекции и образования слоистых структур
в расплавах в условиях нормальной и
пониженной гравитации // III Всесоюз.
семинар по гидромеханике и тепломас-
тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Чер-
Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984.
С. 32-34.
67. Грязное В.Л., Ермаков М.К., Ни-
Никитин С.А., Павловский Д.С. Решение
задач конвекции на персональном ком-
компьютере: Препр. ИПМ АН СССР. № 481.
М., 1990. 20 с.
68. Дайковский А.Г., Полежаев В.И.,
Федосеев А.И Исследование структуры
переходного н турбулентного режимов
конвекции в вертикальном слое // Изв.
АН СССР. МЖГ. 1978. № 6. С. 66-75.
69. Джозеф Д. Устойчивость движе-
движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.
70. Дубовик К.Г., Никитин С.А.,
Полежаев В.И. и др. Конвективные
процессы в невесомости и их значение
в задачах космической технологии // Гид-
Гидродинамика и тепломассообмен в неве-
невесомости. М.: Наука, 1982. С. 61-71.
71. Дубовик К.Г., Павловский Д.С.,
Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Конвек-
Конвективные процессы при получении моно-
монокристаллов ВТСП. М., 1989. 47 с. (Препр.
/ ИПМ АН СССР; № 434).
72. Духин С.С., Дерягин Б.В. Элект-
трофорез. М.: Наука, 1976. 328 с.
73. Жак BJJ., Мухин В.Л., Накоря-
ков В.Е., Сафонов СА. Распростра-
Распространение затопленной струи в тонкой щели
//ЖПМТФ. 1985. № 3. С 69-77-
74. Жовнир Г.И., Марончук И.Е. Про-
Процессы массопереноса при получении эпи-
таксиальных структур соединений А3 В5
из жидкой фазы // Автометрия. 1980.
№6. С. 22-32.
75. Земское B.C. Сегрегация компо-
компонентов сплавов, обусловленная явле-
явлением барометрической молекулярной
диффузии в потенциальных полях грави-
гравитационных и центробежных сил // ДАН
СССР. 1977. , Т. 233, № 2. С. 341-344.
76. Земское B.C., Белокурова И.Н.,
Хавжу ДМ. О распределении примеси
в поперечном сечении кристаллов при
направленной кристаллизации в невесо-
невесомости // Физика и химия обраб. материа-
материалов. 1985. № 6. С 75-80.
77. Земское B.C., Иванов Л.И., Са-
Савицкий Е.Е. и др. Основные итоги экспе-
экспериментов в невесомости и некоторые
проблемы космического материаловеде-
материаловедения // Изв. АН СССР. Сер. фнз. 1985.
Т. 49, №4. С. 673-680.
78. Земское B.C., Титков А.А., Бело-
Белокурова И.Н. и др. Особенности распреде-
распределения кремния и сурьмы в кристаллах
твердых растворов германий-кремний-
сурьма, полученных в эксперименте
"Универсальная печь" по программе
"Союз-Аполлон" // Физика и химия
обраб. материалов. 1977. № 5. С. 135-
138.
79. Зимин В.Д., Ляхов Ю.Н., Шайду-
ров Г.Ф. Экспериментальное изучение
поля температуры при естественной кон-
конвекции жидкости в замкнутой прямо-
прямоугольной области // Гидродинамика.
Пермь, 1971- С. 126-136. (Учен. зап.
Перм. ун-та; Вып. 3).
80. Зимин В.Д., Пшеничников А.Ф.
Ячеистая конвекция в стратифицирован-
стратифицированной среде // Гидродинамика. Пермь,
1974. С. 197-203. (Учен. зап. Перм.
ун-та; №316).
81. Ишлинский А.Ю. Механика отно-
относительного движения и силы инерции.
М.: Наука, 1981/191 с.
82. Киргинцев А.И, Исаенко ЛИ,
Исаенко В.А. Распределение примеси при
направленной кристаллизации Новоси-
Новосибирск: Наука, 1977- 256 с.
83. Кирдяшкин А.Г. Структура тепло-
тепловых гравитационных и термокапилляр-
термокапиллярных течений в горизонтальном слое жид-
жидкости в условиях горизонтального гра-
градиента температуры. Новосибирск, 1982.
34 с. (Препр. / Ин-т теплофизики СО АН
СССР; №79-89).
84. Кирдяшкин А.Г. Термокапилляр-
Термокапиллярная и термогравитационная конвекция
в горизонтальном слое жидкости // Гид-
Гидромеханика и процессы переноса в неве-
невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР,
1983. С. 126-135.
85. Кирдяшкин А.Г. Термокапилляр-
Термокапиллярные периодические течения. Новоси-
Новосибирск, 1985. 37 с. (Препр. / Ин-т геоло-
геологии и геофизики СО АН СССР; № 8).
86. Кирдяшкин А.Г, Полежаев В.И.,
Федюшкин А.И. Тепловая конвекция
в горизонтальном слое при боковом под-
подводе тепла // ЖПМТФ. 1983. № 6. С. 122-
128.
87. Кирдяшкин А.Г., Полежаев В.И,
Федюшкин А.И. Тепловая конвекция в
горизонтальном слое прн боковом под-
подводе тепла // Гидромеханика и космиче-
228
ские исследования. М.: Наука, 1985.
С. 170-187.
88. Ковтуненко В.М., Камеко В.Ф.,
Яскевич Э.П. Аэродинамика орбиталь-
орбитальных космических аппаратов. Киев: Наук,
думка, 1977- 156 с.
89. Копбосынов Б.К., Пухначев В.В.
Термокапиллярное движение в тонком
слое жидкости // Гидромеханика н про-
процессы переноса в невесомости. Сверд-
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С 116-
125.
90. Космическое материаловедение:
Введение в науч. основы космич. техно-
технологии / Под ред. Б. Фойербахера н др.
М.:Мир, 1989. 478 с.
91. Костогоров Е.П.* Штессель Э.А.,
Мержанов А.Г. Нестационарная естест-
естественная конвекция в охлаждающих жид-
жидкостях // Инж.-фнз. журн. 1979. Т. 37,
№ 1.С. 5-12.
92. Кускова Т.В., Полежаев В.И. Чис-
Численное исследование движения неизо-
неизотермической вязкой жидкости, содержа-
содержащей пузырь, в условиях пониженной
гравитации // Вычислительные методы и
программирование. М.: Изд-во МГУ,
1974. Вып. 23. С. 54-75.
93. Кутателадзе С.С., КирдяшкинАХ,
Бердников B.C. Влияние термокапилляр-
термокапиллярных сил на процессы переноса у свобод-
свободной поверхности жидкости в горизон-
горизонтальном слое прн турбулентной тепло-
тепловой гравитационной конвекции // ДАН
СССР. 1976. Т. 231, № 2. С 309-311.
94. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕЖ. Теоре-
Теоретическая физика. М.: Наука, 1986. Т. 6:
Гидродинамика, 736 с.
95. Лебедева Т.И., Пинягин А.Ю.,
Пшеничников А.Ф. Свободная конвек-
конвекция газа в горизонтальном цилиндре
квадратного сечения // Конвективные
течения. Пермь, 1981. С. 123-129.
96. Лебедев АЛ., Полежаев В.И. Воз-
Возмущающие ускорения на борту орби-
орбитальной станции и их влияние на рас-
распределение примеси в расплавах
// III Всесоюз. семинар по гидромехани-
гидромеханике и тепломассообмену в невесомости:
Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН
СССР, 1984. С. 180-181.
97- Лебедев А.П., Полежаев В.И. Ма-
Математическое моделирование возмущаю-
возмущающих ускорений в экспериментах косми-
космической технологии // Гидромеханика и
тепломассообмен в невесомости. М.-.
Наука, 1982. С. 163-172.
98. Левич В.Г. Физико-химическая
гидродинамика. М.: Физматтиз, 1959.
699 с.
99. Литвин А.А., Марончук И.Е. Осо-
Особенности выращивания эпитаксиальных
слоев нз ограниченного объема раство-
раствора-расплава // Кристаллография. 1977.
Т. 22, вып. 2. С. 425-428.
100. Лодиз Р.А., Паркер Р.Л. Рост
монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.
101. Любимов Д.В., Путин Г.Ф.,
Чернатынский В.И. О конвективных
движениях в ячейке Хеле-Шоу // ДАН
СССР. 1977. Т. 235, № 3. С 554-556.
102. Люмкис Е.Д., Мартузан Б.Я.,
Мартузане Э.Н. Взаимодействие потоков,
вызванных термокапиллярной конвек-
конвекцией и вращением при зонной плавке,
н их влияние на распределение примеси
// Технологические эксперименты в не-
невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР,
1983. С. 163-178.
103. Мазаное А.Л., Гаврюшкин А.В.
Методы математической обработки экс-
экспериментальных данных электрофореза
в свободном потоке: Анализ распределе-
распределения материала по сечению проточной
камеры // Молекуляр. биология. 1984.
№ 36. С. 34-43.
104. Мажорова О.С., Попов Ю.П.
Матричный итерационный метод числен-
численного решения двумерных уравнений
Нааье-Сгокса // ДАН СССР. 1981.
Т. 259, №3. С. 535-540.
105. Материалы III Всесоюзного семи-
семинара по гидромеханике и тепломассо-
тепломассообмену в невесомости // Изв. АН СССР.
Сер. физ. 1985. Т. 49, № 4. С. 625-730.
106. Махвиладзе ГЖ., Николова И.П.
Развитие очага горения в реагирующем
газе в условиях естественной конвек-
конвекции. М., 1981. 52 с. (Препр. / ИПМ АН
СССР; №189).
107- МилъвидскийМ.Г., Пелевин О.В.,
Сахаров В.А. Физико-химические основы
получения разлагающихся полупровод-
полупроводниковых соединений. М.: Металлургия,
1974. 392 с.
108. Мызникова Б.И., Тарунин Е.Л.
Свободная конвекция в расправленных
металлах при кристаллизации // Матема-
Математические методы в исследовании процес-
процессов специальной электрометаллургии.
Киев: Наук, думка, 1976. С 129-135.
109. Накоряков В.Е., Яичникова И.Н.
Ламинарная струя в узкой щели при
больших числах Рейнольдса // ЖПМТФ.
1985. №5. С. 30-35.
110. Невесомость: Физические явле-
явления и биологические эффекты / Под ред.
Э. Бенедикта, М.: Мир, 1964. 275 с.
111. Непомнящий А.А., Симонов-
ский И.Б. Термокапиллярная и термо-
229
гравитационная конвекции в двухслой-
двухслойной системе н искривленной поверхно-
поверхности раздела // Изв. АН СССР. МЖГ.
1984. №3. С 175-179.
112. Непомнящий А.А., Симанов-
ский И.Б. Термокапнллярная конвек-
конвекция в двухслойной системе // Там же.
1983. №4. С. 158-163.
113. Никитин С.А. Численные иссле-
исследования гидродинамики н распределе-
распределения примеси при направленной кри-
кристаллизации в условиях невесомости
// III Всесоюз. семинар по гидромехани-
гидромеханике и тепломассообмену в невесомости:
Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН
СССР, 1984. С 181-182.
114. Никитин С.А., Полежаев В.И.
Конвекция и перенос тепла в сфериче-
сферическом сосуде, частично заполненном жид-
жидкостью, в условиях пониженной грави-
гравитации // Изв. АН СССР, МЖГ. 1976.
№2. С 154-159.
115. Никитин С.А., Полежаев В.И.,
Федюшкин А.И. Конвекция н распреде-
распределение примеси в кристаллах при на-
направленной кристаллизации в невесо-
невесомости // Технологические эксперимен-
эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ
АН СССР, 1983. С. 140-150.
116. Никитин С.А., Полежаев В.И.,
Федюшкин А.И. Математическое моде-
моделирование распределения примеси при
технологических экспериментах в усло-
условиях невесомости // VI Междунар. конф.
по росту кристаллов: Расшир. тез. М.,
1980. Т. 2. С. 263-264.
117- Острах С, Прадхан А. Термо-
Термокапиллярная конвекция в условиях по-
пониженной гравитации // Ракетная техни-
техника и космонавтика. 1978. Т. 16, № 5.
С 6-13.
118. Острах С. Влияние гидродинами-
гидродинамики на рост кристаллов: Фрнмановская
лекция A982) // Теорет. основы инж.
расчетов. 1983. № 1. С. 89-107.
119. Павловский Д.С. Решение задач
конвективной устойчивости многоком-
многокомпонентных жидкостей. М., 1989. 37 с.
(Препр. / ИПМ АН СССР; № 416).
120. Пановко Я.Г., Губанова ИИ
Устойчивость и колебания упругих си-
систем. М.: Наука, 1979. 384 с.
121. Пасконов ВМ, Полежаев В.И.,
Чудов Л.А. Численное моделирование
процессов тепло- и массообмена. М.:
Наука, 1984. 285 с.
122. Пинягин А.Ю., Пшеничников А.Ф
Свободная конвекция жидкой бинарной
смеси в наклонной прямоугольной обла-
230
сти // Изв. АН СССР МЖГ. 1979. № 4.
С. 176-179.
123. Плавление и фазообразование в
невесомости. М.: Наука, 1979. 256 с.
124. Повицкий А.С., Любин Л.Я.
Основы динамики и тепломассообмена
жидкостей и газов при невесомости.
М.: Машиностроение, 1972. 250 с.
125. Полежаев В.И. Гидромеханика
и тепломассообмен при выращивании
кристаллов // Итоги науки и техники.
Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ,
1984. Т. 18. С. 198-268.
126. Полежаев В.И. Исследования
конвекции и тепломассообмена в усло-
условиях невесомости // Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1985. Т. 49, № 4. С 635-642.
127. Полежаев В.И. Некоторые гидро-
гидродинамические и тепловые эффекты неве-
невесомости: Тез. докл. // Изв. АН СССР.
МЖГ. 1976. №4. С. 172.
128. Полежаев В.И. Нестационарная
ламинарная тепловая конвекция в замк-
замкнутой области при заданном потоке теп-
тепла // Там же. 1970. №4. С. 108-117.
129. Полежаев В.И. О влиянии гради-
градиента гравитации на температурное рас-
расслоение жидкости в цилиндрическом со-
сосуде // Космич. исслед. 1974. Т. 12, №6.
С 924-928.
130. Полежаев В.И. Термокапилляр-
Термокапиллярная конвекция жидкости в цилиндриче-
цилиндрическом сосуде при заданном подводе теп-
тепла // Некоторые применения метода се-
сеток в газовой динамике. М.: Изд-во
МГУ, 1971. Вып. 3. С. 175-213.
131. Полежаев В.И. Течение н тепло-
теплопередача при ламинарной естественной
конвекции в вертикальном слое//Тепло-
и массоперенос. Минск: Энергия, 1968.
Т. 1.С 631-640.
132. Полежаев В.И. Численное реше-
решение двумерных нестационарных уравне-
уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа
// Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 2.
С. 103-111.
133. Полежаев В.И. Эффект максиму-
максимума температурного расслоения и его при-
приложения // ДАН СССР. 1974. Т. 218,
№4. С. 783-786.
134. Полежаев В.И, Бунэ А.В., Вере-
зубНА. и др. Математическое моделиро-
моделирование конвективного тепломассообмена
на основе уравнений Навье—Стокса. М.:
Наука, 1987.271 с.
135. ПолежаевВ.И., Ввльциферов Ю.В.
Численное исследование тепловой кон-
конвекции в цилиндрическом сосуде при
боковом подводе тепла // Некоторые
применения метода сеток в газовой ди-
намике. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 3.
С 137-174.
136. Полежаев В.И., Верезуб Н.А.
Численное исследование процесса жид-
жидкостной эпитаксии в условиях невесо-
невесомости // Гагаринские научные чтения
по космонавтике и авиации, 1983, 1984.
М.: Наука, 1985. С. 235-239.
137. Полежаев В.И., Грязное В.Л.,
Дубовик КГ. и др. Применение мето-
методов численного моделирования в кос-
космической технологии // Космическая
технология и материаловедение. М.:
Наука, 1982. С. 39-48.
138. Полежаев В.И., Простомоло-
тов А.И., Федосеев А.И. Исследование
тепло- и массообмена методом конеч-
конечных элементов применительно к про-
процессам получения материалов в неве-
невесомости // III Всесоюз. семинар по гид-
гидромеханике и тепломассообмену в неве-
невесомости: Тез. докл. Черноголовка:
ИФТТ АН СССР, 1984. С 128.
139. Полежаев В.И., Простомоло-
тов А.И., Федосеев А.И. Метод конеч-
конечных элементов в механике вязкой жид-
жидкости // Итоги науки и техники. Механи-
Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1987.
Т. 21. С 3-92.
140. Полежаев В.И., Федюшкин А.И.
Гидродинамические эффекты концентра-
концентрационного расслоения в замкнутых объе-
объемах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 3.
С 11-18.
141. Пухначев В.В. Модели термо-
термокапиллярного движения // III Всесоюз.
семинар по гидромеханике и тепломас-
тепломассообмену в невесомости: Тез. докл.
Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984.
С. 14-16.
142. Пшеничников А.Ф., Пиня-
гин А.Ю., Полежаев В.И. и др. Термо-
Термоконцентрационная конвекция в прямо-
прямоугольной области при боковых потоках
тепла и массы / УНЦ АН СССР. Препр.
Свердловск, 1985. 53 с.
143- Пшеничников А.Ф., Шайду-
ров Г.Ф., Пинягин А.Ю. Эксперименталь-
Экспериментальное исследование ламинарной термокон-
термоконцентрационной конвекции газовых сме-
смесей. Пермь, 1982. 30 с. Деп. в ВИНИТИ
05.10.82, №5059-82.
144. Пшеничников А.Ф., Яценко С.С.
Конвективная диффузия от сосредото-
сосредоточенного источника поверхностно-актив-
поверхностно-активного вещества // Гидродинамика. Пермь,
1974. С. 165-181. (Учен. зап. Перм.
ун-та; Вып. 5).
145. Регелъ А.Р., Глазов ВМ. Физиче-
Физические свойства электронных расплавов.
М.: Наука, 1980. 296 с.
146. Регелъ Л.Л. Космическое мате-
материаловедение. Ч. 1. М.: ВИНИТИ, 1984.
243 с. (Итоги науки и техники. Исслед.
космич. пространства; Т. 21),.
147. Регелъ Л.Л. Космическое мате-
материаловедение. Ч. 2. М.: ВИНИТИ, 1987.
295 с. (Итоги науки и техники. Исслед.
космич. пространства; Т. 29).
148. Редди Ц.С. Слияние конвектив-
конвективных ячеек и его влияние на теплообмен
при конвективном тепло- и массообме-
не // Теплопередача. 1980. № 1. С 195-
197.
149. Ривкинд В.Я., Сиговцев ГС.
Движение капли с учетом термокапил-
термокапиллярных сил // Изв. АН СССР. МЖГ.
1982. №4. С 80-86.
150. Рязанцев Ю.С. О термокапил-
термокапиллярном движении реагирующей капли
в химически активной среде // Там же.
МЖГ. 1985. № 3. С. 180-183.
151. Сает А.И, Татарченко ВЛ.
О стратификации плотности в жидко-
жидкости при температурном воздействии
//ЖПМТФ. 1970. № 2. С. 152-153.
152. Сарычев ВЛ., Беляев ММ,
Сазонов В.В., Тян Т.Н. Определение
микроускорений на орбитальных ком-
комплексах "Салют-6" и "Салют-7". М.,
1984. 29 с. (Препр. / ИПМ АН СССР;
№100).
153. Сарычев В.А., Сазонов В.В.
Одноосная гравитационная ориентация
искусственных спутников. М., 1980.
16 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; №49).
154. Скловский Ю.Б. Параметриче-
Параметрическое исследование термокапиллярной
конвекции в прямоугольных каналах
// III Всесоюз. семинар по гидромехани-
гидромеханике и тепломассообмену в невесомости:
Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН
СССР, 1984. С. 60-62.
155. Соковишин Ю.А., Мартынен-
ко О.Г. Введение в теорию свободно-
конвективного теплообмена. Л.: Изд-во
ЛГУ, 1982. 224 с.
156. Стег Л. Космическая технология.
М.: Мир, 1980 4^0 с
157. Стрелъченко С.С, Лебедев В.В.
Соединения А3В5: Справочник. М.: Ме-
Металлургия, 1984. 144 с.
158. Тернер Дж. Эффекты плавучести
в жидкостях. М.: Мир, 1977. 431 с.
159. Технологические эксперименты
в невесомости. Свердловск: УНЦ АН
СССР, 1983. 181 с.
160. Технологические эксперименты
231
на станции "Салют-6". М.: Наука, 1985.
243 с.
161. Федющкин А.И. Численное иссле-
исследование термоконцентрационной конвек-
конвекции в замкнутой области // III Всесоюз.
семинар по гидромеханике и тепломассо-
тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черно-
Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С 46-47.
162. Фетычев А.И. Численное иссле-
исследование процессов тепломассообмена
при кристаллизации в условиях дей-
действия слабых ускорений массовых сил
// Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 1.
С. 186-192.
163. Хапперг Г., Тернер Дж. Конвек-
Конвекция, обусловленная двойной диффузией
// Современная гидродинамика: Успехи
и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 413-453.
164. Хряпов В.Т., Татаршов В.А.,
Кульчицкая ТВ. Выращивание объем-
объемных монокристаллов германия методом
направленной кристаллизации в усло-
условиях невесомости // Технологические
эксперименты в невесомости. Сверд-
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 59-71.
165. Хряпов В.Т., Федоров В.А.,
Кульчицкий Н.А., Марков Е.В. Техно-
Технологические эксперименты на установке
"Кристалл" на станции "Салют-6"//Гид-
"Салют-6"//Гидродинамика и тепломассообмен в неве-
невесомости. М.: Наука, 1982. С. 191-208.
166. Циолковский К.Э. Свободное
пространство // Собр. соч. М.: Изд-во
АН СССР, 1954. Т. 2. С. 25-68.
167. Чашечкин Ю.Д., Попов В.А. Ме-
Методы лабораторного моделирования кон-
конвективных процессов в неоднородных
системах в условиях нормальной и по-
пониженной гравитации // Гидромеханика
и тепломассообмен в невесомости. М.:
Наука, 1982. С. 119-146.
168. Яворская ИМ., Беляев Ю.И.,
Фомина Н.И. Моделирование централь-
центрально-симметричной конвекции с помощью
переменного электрического поля // Гид-
Гидроаэромеханика и космические исследо-
исследования. М.: Наука, 1985. С 188-201.
169- Alexander J.I., Ouazzani J., Rosen-
berger F. Analysis of the low gravity tole-
tolerance of Bridgman-Stockbarger crystal
growth // J. Cryst. Growth. 1989. Vol. 97.
P. 285-302.
170. Bejan A., Al-Homoud A.A., Imber-
ger J. Experimental study of high-Raylejgh-
number convection in horizontal cavity with
different end temperatures // J. Fluid Mech.
1981. Vol. 109. P. 283-299.
171. Bejan A., Tien C.L. Fully developed
natural counterflow in a long horizontal
pipe with different end temperatures
232
// Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1978.
Vol. 21. P. 701-708.
172. Bergman T.L. Numerical simula-
simulation of double-diffusive Marangoni convec-
convection // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29, N 7.
P. 2103-2108.
173. Biscans В., Bertrand J. Electro-
phoretic separations - modelling of the
transient state of the buffer solution flow
// Chem. Eng. Res. and Design. 1987.
Vol. 65, N3. P. 224-230.
174. Block M. Surface tension as the
cause of Benard cells and surface deforma-
deformation in a liquid film // Nature. 1956.
Vol. 178. P. 650-651.
175. Bryskiewicz T. Peltier-induced
growth kinetics of liquid phase epitaxial
GaAs // J. Cryst. Growth. 1978. Vol. 43.
P. 567-571.
176. Burton J.A., Prim R.C., Slich-
ter W.P. The distribution of solute in
crystal grown from the melt. 1. Theore-
Theoretical // J. Chem. Phys. 1953. Vol. 21.
P. 1987-1990.
177. Camel D., Favier J.J. Transport
processes during directional solidification
and crystal growth: Scaling and experimen-
experimental study // Hydrodynamique et croissance
cristalline. Toulouse: Centre Spatial, 1987.
P. 81-104.
178. Castillo J.L., Velarde M.G. Buoyan-
cy-thermocapillary instability: role of inter-
facial deformation in one- and two-compo-
two-component fluid layers heated from below or
above // J. Fluid Mech. 1982. Vol. 125.
P. 463-474.
179. Chang C.J., Brown R.A. Radial
segregation induced by natural convection
and melt/solid interface shape in vertical
Bridgman growth // J. Cryst. Growth.
1983.Vol.63. P. 343-364.
180. Chang E.C., Wilcox W.R. Inhomo-
geneities due to thermocapillary flow in
floating zone melting // Ibid. 1975. Vol. 28.
P. 8-12.
181. Chen C.F., Johnson D.H. Double-
diffusive convection: A report on an engi-
engineering foundation conference // J. Fluid
Mech. 1984. Vol. 138. P. 405-416.
181a. Chorin A.J. Numerical solution
of the Navier—Stokes equations // Math.
Comput. 1968. Vol. 22, N 104. P. 745-
762.
182. Chung Ch.-H. Numerical study on
the thermal Marangoni convection and
comparison with experimental results from
the TEXUS-rocket program // Acta astron.
1984. Vol. 11,N3/4. P. 227-232.
183. Chung Ch.-H. Verification of
turbulence developing from the oscillatory
Marangoni convection in a liquid column
// Results of Spacelab-1: Proc. V Euiop.
symp. on mater, sci. under microgravity.
Schloss Elmau, 1984. (ESA; SP-222).
184. Clark P.A., Wilcox W.R. Influence
of gravity on thermocapillary convection
in floating zone melting of silicon // J. Cryst.
Growth. 1980. Vol. 50. P. 461-469.
185. Cormack D.E., Leal L.C., Sein-
Seinfeld J.H. Natural convection in a shallow
cavity with differentially heated end walls.
2. Numerical solution // J. Fluid Mech.
1974. Vol. 65. P. 231-246.
186. Cuvelier C, Driessen J.M. Thermo-
Thermocapillary free boundaries in crystal growth
// Ibid. 1986. Vol. 169. P. 1-26.
187. VahlDavis G. de, Jones I.P. Natural
convection in a square cavity: A comparison
exercise // Intern. J. Numer. Meth. Fluids.
1983. Vol. 3. P. 227-248.
188. Deyber J.A., Saville D.A. Flow
structure in continuous flow electrophoresis
chamber // Materials processing in the
reduced gravity environment / Ed. G.E. Rin-
done. N.Y.: Elsevier, 1982. P. 217-232.
189. Duh J.C. Numerical modelling on
enclosure convection // 40th Congress of
the IAF, 7-12 Oct. 1989. Bering, 1989.7 p.
190. Eyer A., Leiste H, Nitsche R.
Crystal growth of silicon in Spacelab-1:
Experiment ES-321 // Results of Spacelab-1:
Proc. of V Europ. symp. on mater, sci.
under microgravity. Schloss Elmau, 1984.
P. 15-22. (ESA; SP-222).
191. Ferm E.N., Wollkind D.J. Onset
of Rayleigh-Benard-Marangoni instability:
Comparison between theory and experi-
experiment // J. Non-Equffib. Thermodyn. 1982.
Vol.7. P. 169-190.
192. Fluid science and material sciences
in microgravity / Ed. H. Walter. Springer,
1987.746 р.
193. Gatos H.C., Witt A.F., Uchten-
steiger M., Herman CJ. Interface marking
in crystal (MA-060) // Apollo-Soyuz test
project: Summary science report. Wash.
(D.C.), 1977. Vol. 1. P. 429-447. (NASA;
SP412).
194. Gebhart В., JaluriaY.,MahajaaL.L.,
Sommakia B. Buoyancy - induced flows
and transport. N.Y.: Hemisphere, 1988.
453 p.
195. Giannovario J.A., Griffin R.N.,
Gray E.L. A mathematical model of free
flow electrophoresis // J. Chromatogr.
1978. Vol. 153. P. 329-352.
196. Griaznov V.L., Lebedev A.P.,
Nikitin S.A. et al. Thermal convection
structure and temperature oscillations in
semiconductor melts on earth and in micro-
gravity: Theory and experiments // Proc.
VII Europ. symp. on mater, and fluid sci.
in microgravity. Oxford, UK, 10-15 Sep-
September, 1989. P. 231-236. (ESA; SP-295).
197. Grodzka P.G., Bannister T.C. Natu-
Natural convection in low-gravity environments
//AIAAJ. 1974. P. 74-156.
198. Hannig K., Wirth H, Mayer B.H.,
ZeiUer K. Free flow electrophoresis: Theore-
Theoretical and experimental investigations//Ztshr.
physiol. Chem. 1975. Bd. 356. S. 1209-
1223.
199. Hart J.E. A note on the stability
of low-Prandtl-number Hadley circulation
// J. Fliud Mech. 1983. Vol. 132. P. 271-
281.
200. Hart J.E. Low-Prandtl-number
convection between differentially heated
end walls // Intern. J. Heat and Mass Trans-
Transfer. 1983. Vol. 28. P. 1069-1074.
201. Hart J.E. Stability of the flow in
a differentially heated inclined box
// J. Fluid Mech. 1971. Vol. 47. P. 547-
576.
202. Hart J>E., Gladsmaters G.A.,
Toomre J. Space laboratory and numerical
simulation of thermal convection in a rota-
rotating hemispherical shell with radial gravity
// Ibid. 1986. Vol. 173. P. 519-544.
203. Hemrich J.C. A finite element
model for double diffusive convection
// Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1984.
Vol. 20. P. 447-464.
204. Homsy G.M., Meiburg E. The
effect of surface contamination on thermo-
thermocapillary flow in a two-dimensional slot
// J. Fluid Mech. 1984. Vol. 139. P. 443-
459.
205. Hsieh J.J. Thickness and surface
morphology of GaAs LPE layers grown by
supercooling, step-cooling, equilibrium-
cooling, and two-phase solution techniques
// J. Cryst. Growth. 1974. Vol. 27. P. 49-
61.
206. Hung M.G., Andreck CD. Transi-
Transitions in convection driven by a horizontal
temperature gradient // Phys. Lett. A. 1988.
Vol. 132, N5. P. 253-258.
207. Hurle D.T.J., Jakeman E., John-
Johnson C.P. Convective temperature oscilla-
oscillations in molten gallium // J. Fluid Mech.
1974. Vol. 64. P. 565-576.
208. Hymer W.C., Barlow G.H., Cleve-
Cleveland С et al. Continuous flow electrophore-
tic separation of proteins and cells from
mamalian tissues // Cell Biophys. 1987.
Vol. 10,N I.P. 61-85.
209. Imberger J. Natural convection
233
in a shallow cavity with differentially
heated end walls. 3. Experimental results
// J. Fluid Mech. 1974. Vol. 65. P. 247-
260.
210. Impey M.D., Rilley D.S.,
Wheeler A.A. Bifurcation analysis of solutal
convection during directional solidification.
Bristol: Univ. press, 1990.16 p.
211. Ivory C.F. Continuous flow electro-
phoresis: The crescent phenomena revisited.
1. Isothermal effects // J. Chromatogr. 1980.
Vol. 195. P. 165-169.
212. Ivory C.F. Continuous flow electro-
phoresis: The crescent phenomena revisited.
2. Nonisothermal effects // Electrophoresis.
1981.Vol.2.P. 31-39.
213. Kamotani Y., WangL. W., Ostrach S.,
Jiang H.D. Experimental study of natural
convection in shallow enclosures with
horizontal temperature and concentration
gradients // Intern. J. Heat and Mass Trans-
Transfer. 1985. Vol. 28. P. 165-173.
214. Kao Y.C., Eknojan O. Thickness
of GaP liquid epitaxial layers grown by
step-cooling, equilibrium-cooling and ramp-
cooling methods // J. Appl. Phys. 1983.
Vol. 54, N4. P. 1865-1867.
215. KirdyashJan A.G. Thermogravita-
tional and thermocapillary flow in a hori-
horizontal temperature gradient // Intern.
J. Heat and Mass Transfer. 1984. Vol. 27.
P. 1205-1218.
216. Kirchartz K.R. Zeitabhangige Kon-
vektion bei verminderter Gravitation
// Ztshr. Flugwiss. ind Weltraumfosch.
1982.Bd.6,N5.S. 300-309.
217. Krishnamurti R. On the transition
to turbulent convection // J. Fluid Mech.
1970. Vol. 42. P. 295-320.
218. Kolin A., Ellenbroek B.L. Theory
of simultaneous multiple streak collimation
in continuous-flow electrophoresis by super-
superposition of electroosmosis and thermal
convection // Separ. and Purif. Meth. 1979.
Vol. 8, N1. P. 1-19.
219. Koster J.N., Midler U. Osillatory
convection in vertical slots // J. Fluid
Mech. 1984. Vol. 139. P. 363-390.
220. Kulacki F.A., Richards D.E. Natu-
Natural convection in plane layers and cavities
with volumetric energy sources // Natural
convection: Fundamentals and applications.
B. etc.: Springer, 1985. P. 179-255.
221. Кио Н.Р., Korpela S.A. Stability
and finite amplitude natural convection
in a shallow cavity with insulated top and
bottom and heated from a side // Phys.
Fluids. 1988. Vol. 31, N 1. P. 33-42.
222. Laure P., Roux B. Linear and non-
nonlinear analysis of the Hadley circulation
234
// Numerical simulation of oscillatory
convection in low-Рг fluids: A Gamm-
workshop / Ed. B. Roux. Vieweg, 1989.
P. 307-318. (Notes on numer. fluid dyna-
dynamics; Vol. 27).
223. Legros J.C., Limbawg-Fon-
taine M.C., Petre G. Surface tension mini-
mun and Marangoni convection // Proc. of
Intern, symp. held at the VKI. Rhode;
Saint Gen'ese, 1986. P. 137-143.
224. Limbaurg-Fontaine M.C., Petre G.,
Legros J.C. TEXUS-8 experiment: Effects
of surface tension minimum on thermoca-
thermocapillary convection // Ph. Chem. Hydrod.
1985. Vol. 6,N3. P. 301-310.
225. Levich V.G., Krylov V.S. Surface-
tension-driven phenomena // Annu. Rev.
Fluid Mech. 1969. Vol. 1. P. 293-316.
226. Lynch E.D., Saville D.A. Heat
transfer in the thermal entrance region
of an internally heated flow // Chem.
Eng. Commun. 1981. Vol. 9. P. 201-211.
227. Material processing in the reduced
gravity environment of space / Ed. G. Rin-
done. N.Y. etc.: North-Holland. 1981.
676 p.
228. Material sciences in space: Proc.
II Europ. symp. Frascati, 1976. 493 p.
(ESA;SP-114).
229. Material sciences in space: Proc.
III Europ. symp. Grenoble, 1979. 442 p.
(ESA; SP-142).
230. Material sciences under micro-
gravity: Proc. IV Europ. symp. Madrid,
1983.440p.(ESA;SP-l91).
231. McTaggart C.L. Convection driven
by concentration and temperature depen-
dependent surface tension // J. Fluid Mech.
1983. Vol. 134. P. 301-310.
232. Monti R., Mannara G. TEXUS
experiment on the convective heat trans-
transfer induced by Marangoni flows // Acta
astron. 1985. Vol. 12, N 7/8. P. 511-524.
233. Monti R., Napolitano L.G., Rus-
so G. Experimental study of the thermal
Marangoni flows on silicon oil floating
zones // Ibid. P. 369-378.
234. Milller G. Crystal growth from
the melt: Convection and inhomogeneities
in crystal growth from the melt // Crystals
growth: Properties and applications. N.Y.
etc.: Springer, 1988. 183 p.
235. Napolitano L.G. Marangoni boun-
boundary layers // Material sciences in space:
Proc. Ill Europ. symp. Grenoble, 1979.
P. 349-358. (ESA; SP-142).
236. Napolitano L.G., Russo G. Simi-
lary axially symmetric Marangoni boundary
layers // Acta astron. 1984. Vol. 11,N 3/4.
P. 189-198.
237. Natural convection: Fundamentals
and applications / Ed. S. Kakas et al. N.Y.:
Hemisphere, 485. 1178 p.
2i%.NawmnnR.J., RhodesP.H Thermal
consideration in continuous flow electro-
phoresis // Separ. Sci. and Technol. 1984.
Vol. 19, N 1. P. 51-75.
239. Nield D.A. Surface tension and
buoyancy effects in cellular convection
// J. Fluid Mech. 1964. Vol. 19. P. 341-
352.
240. Nikitin S.A., Polezhaev V.I.,
Fedyushkin A.I. Mathematical simulation
of impurity distribution in space processing
experiments with semiconductors // Adv.
Space Res. 1981. Vol. 1. P. 37-40.
241. Nikitin S.A., Polezhaev V.I.,
Fedyushkin A.I. Mathematical simulation
of impurity distribution in crystals prepared
under mictogravity conditions // J. Cryst.
Growth. 1981. Vol. 52. P. 471-477.
242. Noble P.T. Evaluation of rotatio-
rotational flow stabilized continuous electrophore-
sis for protein fractonantion // Biotechn.
Prorg. 1985. Vol. 1, N 4. P. 237-249.
243. Numerical simulation of oscillatory
convection in low-Pr fluids: A GAMM-
workshop / Ed. B. Roux. Braunschweig;
Vieweg, 1990. 365 p. (Notes on numer.
fluid mech.; Vol. 27).
244. Ochiai J., Kuwahara K., Morio-
ka M. et al. Experimental study on Maran-
goni convection // Results of Spacelab-1:
Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under
microgravity. Schloss Elmau, 1984. P. 291-
295. (ESA; SP-222).
245. Ostrach S. Convection in conti-
continuous flow electrophoresis//J. Chromatogr.
1917. Vol. 140. P. 185-197.
246. Ostrach S. Convection phenomena
of importance for materials processing in
space // Mater, sci. space, appl. space
process. N.Y., 1977. P. 3-32.
247. Ostrach S. Natural convection in
enclosures // J. Heat Transfer. 1988.
Vol. 110. P. 1175-1190.
248. Pearson J.K.A. On convection
cells induced by surface tension//J. Fluid
Mech. 1958. Vol. 4. P. 489-500.
249. Petre G, Limbawg-Fontaine M.C,
Legros J.C. Preliminary results onTEXUS-8
experiments on effects of surface tension
minimum // Acta astron. 1985. Vol. 12,
N3. P. 203-206.
250. Piacsek S.A., Toomre J. Nonlinear
evolution and structure of salt fingers. Mari-
Marine turbulence // Proc. II Intern. Lige col-
colloquium ocean hydrodyn. Amsterdam;
Oxford: Elsevier, 1980. P. 193-219.
251. Pimputcar S., Ostrach S. Convec-
tive effects in crystal growth from melt
// J. Cryst. Growth. 1981. Vol. 55.
P. 614-646.
252. Poleshaev V.I. Convective proces-
processes at low gravity // Material sciences in
space: Proc. Ill Europ. symp. Grenoble,
1979. P. 25-31. (ESA; SP-142).
253. Polezhaev V.I., Lebedev A.P.,
Nikitin S.A. Mathematical simulation of
disturbing forces and material science
processes under low gravity // Results
of Spacelab-1: Proc. V Europ. symp. on
mater, sci. under microgravity. Schloss
Elmau, 1984. P. 237-243. (ESA;
SP-222).
254. Polezhaev V.I., Nikitin S.A.
Inhomogeneities of the temperature and
concentration fields induced by convection
at low gravity // Proc. VII Europ. symp.
on mater, and fluid sic. in microgravity.
Oxford, 1990. P. 237-241. (ESA; SP-295).
255. Polezhaev V.I., Nikitin S.A.,
Fedyushkin A.I. Convection and impurity
distribution in crystal growth in low-gravity
environments // Adv. Space Res. 1983.
Vol. 3. P. 65-78.
256. Polezhaev V.I., Dubovik K.G.,
Nikitin S.A. et al. Convection during
crystal growth on earth and in space
// J. Cryst. Growth. 1981. Vol. 52.
P. 465-470.
257. Preisser F., Schwabe D., Schar-
mann A. Steady and oscillatory thermo-
capillary convection in liquid columns
with free cylindrical surface // J. Fluid
Mech. 1983. Vol. 126. P. 545-567.
258. Processing and manufacturing in
space: Proc. of I Europ. symp. Frascati,
1974. 342 p. (ESRO;SP-101).
259. Reis J.F.G., Ughtfoot E.N.,
Lee H.-L. Concentration profiles in free
flow electrophoresis // AIChE J. 1974.
Vol. 20, N21. P. 362-368.
260. Results of Spacelab-1: Pioc. V
Europ. symp. on mater, sci. under micro-
gravity. Schloss Elmau, 1984. 470 p. (ESA;
SP-222).
261. Rhodes PH., Snyder R.S. The
effect of small temperature gradients on
flow in a continuous flow electrophoresis
chamber // Materials processing in the
reduced gravity environment of space
/ Ed. G.E. Rindone. N.Y.: Elsevier, 1982.
P. 225-232.
262. Rhodes PH., Snyder R.S. Sample
band spreading phenomena in ground and
space based electrophoretic separations
// Electrophoresis. 1986. Vol. 7, N 3.
P. 113-120.
235
263. Rosenblat S., Davis S.H., Horn-
sy G.M. Nonlinear Marangoni convection
in bounded layers. 1. Circular cylindrical
containers // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 120.
P.91-122.
264. Rosenblat S, Davis S.H., Hom-
sy G.M. Nonlinear Marangoni convection
in bounded layers. 2. Rectangular cylindri-
cylindrical containers // Ibid. P. 123-144.
265. Rosenblat S, Homsy G.M., Da-
Davis S.H. Eigenvalues of Rayleigh-Benard
and Marangoni problems // Phys. Fluids.
1981. Vol. 24. P. 2115-2117.
266. Sarma G.S.R. Effects on interfacial
curvature and gravity waves on the onset
of thermocapillary convective instability
in a rotated liquid layer subjected to a
transverse magnetic field // Ph. Chem.
Hydrod. 1985. Vol. 6, N 3. P. 283-300.
267. Saville D.A. Fluid mechanics of
continuous flow electrophoresis//(COSPAR)
Space research / Ed. M.J. Rycroft. Oxford;
N.Y.: Pergamon press, 1979. Vol. 19.
P. 583-597.
268. Saville D.A., Palusinski O.A.
Theory of electrophoretic separations.
1. Formulation of a mathematical model
// AIChE J. 1986. Vol. 32. P. 207-214.
269. Schwabe D. Surface-tension-driven
flow in crystal growth melts // Cryst.
Growth: Properties and Appl. 1988. Vol. 11.
P. 75-112.
270. Schwabe D., Scharmann A.,
Preisser F. Steady and oscillatory Marangoni
convection in floating zones under 1 g
// Material sciences in space: Proc. Ill
Europ. symp. Grenoble, 1979. P. 289-291.
(ESA; SP-142).
271. Schwabe D., Scharmann A. Maran-
Marangoni convection in an open boad and
crucible // J. Cryst. Growth. 1981. Vol. 52.
P. 435-449.
272. Schwabe D., Scharmann A. Mea-
Measurements of the critical Marangoni number
of the laminar-oscillatory transition of
thermocapillary convection in floating zones
// Results of Spacelab-1: Proc. V Europ.
symp. on mater, sci. under microgravity.
Schloss Elmau, 1984. P. 281-289.
273. Scientific foundations of space
manufacturing / Ed. V.S. Avduevsky.
Moscow: Mir, 1984.173 p.
274. Scriven L.E., Sterling C.V. On
cellular convection driven by surface tension
and surface viscosity // J. Fluid Mech. 1964.
Vol. 19. P. 321-340.
275. Sen A.K., Davis S.H. Steady thermo-
thermocapillary flows in two-dimensional slots
// Ibid. 1982. Vol. 121. P. 163-186.
276. Shukun S.A., Gavryushkin A.V.,
Brezgunov V.N., Zav'yalov V.P. Free flow
electrophoresis of borax and manitol
// Electroporesis. 1986. Vol. 7. P. 572-574.
277. Simpkins P.G., Chen K.S. Natural
convection in horizontal containers with
applications to crystal growth // Natural
convection: Fundamentals and applications
/ Ed. S. Kakac et al. Springer, 1986.
P. 1010-1932.
278. Simpkins P.G., Duderars T.D. Con-
Convection in rectangular cavities with differen-
differentially heated end walls // J. Fluid Mech.
1981. Vol. 110. P. 433-456.
279. Proc. VI Europ. symp. on mater,
sci. under mocrogravity conditions. Bour-
deaux, 1987. 597 p. (ESA; SP-256).
280. Smith M.K., Davis S.H. Instabi-
Instabilities of dynamic thermocapillary liquid
layers. 1. Convective instabilities//.!. Fluid
Mech. 1983. Vol. 132. P. 119-144.
281. Spradley L. W. Thermoacoustic con-
convection of fluids in low gravity // AIAA Pap.
1974. N74-76. 13 p.
282. Stanek V., Szekely J. The effect
of surface driven flows on the dissolution
of a partially immersed solid in a lliquid
// Chem. Eng. Sci. 1970. Vol. 25, N 4.
P. 699-715.
283. Sticks R.W., Ungan A., Viskanta R.
Natural convection in a rectangular enclo-
enclosure with differentially heated end walls
and a free liquid surface // Phys.-Chem.
Hydrodyn. 1986. Vol. 7,N 2/3.P. 161-176.
284. Strani M., Piva R., Graziani G.
Thermocapillary convection in a rectangular
cavity: Asymptotic theory and numerical
simulation // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 130.
P. 347-376.
285. Stricter A., Sacks T. Continuous
free film electrophoresis: The crescent
phenomenon // Prep. Biochem. 1973.
Vol. 3,N3. P. 769-777.
286. Strickler A., Sacks T. Focusing in
continuous flow electrophoresis system by
electrical control of effective cell wall zeta
potentials // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1973.
Vol. 209. P. 497-514.
287. Taylor G.I. Dispersion of soluble
matter in solvent flowing slowly through
a tube // Proc. Roy. Soc. London A. 1953.
Vol. 219. P. 186-203.
288. Todd P. Application of free flow
electrophoresis in orbital space flight
// Electrophoresis'86: Proc. V meet. Intern.
Electrophor. Soc. / Ed. M.J. Dunn. Wein-
heim,1986. P. 3-12.
289. Turner J.S. Double-diffusive pheno-
236
mena // Annu. Rev. Fluid Mech. 1976.
Vol. 6. P. 37-56.
290. Villers D., Platten J.K. Maiangoni
convection in systems presenting a mini-
minimum in surface tension // Ph. Chem.
Hydrod. 1985. Vol. 6, N 4. P. 435-451.
291. Wilke H., Loser W. Numerical
calculation of Maiangoni convection in
a rectangular open boat // Cryst. Res. and
Technol. 1983. Vol. 18, N 6. P. 825-833.
292. Witt A.F., Gatos H.C., Lichten-
steiger M., Herman C.I. Crystal growth
and segregation under zero gravity: Ge //
J. Electrochem. Soc. 1978. Vol. 125.
P. 267-281.
293. Yue J.T., Voltmer F.W. Influence
of gravity-free solidification on solute
microsegregation // J. Cryst. Growth. 1975.
Vol.65. P. 329-341.
294. Zebib A., Homsy G.M., MeiburgE.
High Maiangoni number convection in
a square cavity // Phys. Fluids. 1985.
Vol. 28, N12. P. 3467-3476.
Дополнительная литература
1*. Головинкин А.В. Моделирование
гидродинамических процессов в свобод-
нопоточных электрофоретических каме-
камерах в условиях невесомости: Автореф.
дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1990.
14 с.
2*. Камотани, Сахрауи. Колебательная
неустойчивость при естественной кон-
конвекции в прямоугольных сосудах, запол-
заполненных ртутью // Современное машино-
машиностроение. Сер. А. 1990. № 9. С. 158-160.
3*. Лебедев А.П., Козырев Ф.В. Коле-
Колебания температуры и структура течения
в жидком металле. М., 1991. 19 с.
(Препр. / ИПМ АН СССР; № 48»).
4*. Лебедев А.П., Полежаев В.И. Меха-
Механика невесомости: микроускорения и
гравитационная чувствительность про-
процессов массообмена при получении мате-
материалов в космосе // Успехи механики,
1990. Т. 13, вып. 1.С. 3-51.
5* Alexander J.I.D. Low gravity experi-
experiment sensitivity of residual acceleration:
A review // Microgravity sci. and techno-
technology. 1990. Vol. 3. P. 52.
6*. Alexander J.I.D., Rosenberger F.
Bridgman crystal growth in low gravity:
A scaling analysis // Progr. AA. P. 87-117.
7*. Antar B. Thermosotutal convection
in liquid HgCdTe near the liquidus tempe-
temperature//Ibid. P. 159-174.
8*. Asakawa K., Torimoto Y., Hayaka-
via Y., Kumagawa M. Influence of solution
convection on LPE in In^Gaj _*Sb // Proc.
ICCG. P. 1291-1294.
9*. Bello M.S., Polezhaev V.I. Hydro-
Hydrodynamics, gravitational sensitivity and
transport phenomena in continuous flow
electrophoresis // AIAA Pap. 1991.
N91-0112.
10*. Chen C.F. Double-diffusive convec-
convection and its effect under reduced gravity
//Progr. AA. P. 355-369.
11*. Dantzig J.A., Chao L.S. Fluid flow
and microstructure development // Ibid
P. 411-436.
12*. Ermakov M.K., Grjaznov V.L.,
Nikitin S.A. Specialized software for mo-
modelling of convection in mictogravity
// Proc. 28 COSPAR meeting. Space Res.
1990.
13*. Favier J.J. Metal and alloy solidi-
solidification and its relevance to miaogravity
//AIAA Pap. 1991. N91-510.
14*. Favier J.J. Recent advances in
Bridgman growth modelling and fluid
flow // Proc. ICCG. P. 18-29.
15*. Hadid H.B., Roux B. Bouyancy
and thermocapillary-driven flows in a
shallow open cavity: Unsteady flow regi-
regimes // Progr. AA. P. 217-225.
16*. Henry D. Analysis of convective
situations with the Soret effect // Ibid.
P. 437-485.
17*. Grjaznov V.L., Ermakov M.K.,
Nikitin S.A. et al. Modelling of convection
in enclosures on the basis of Navier-
Stokes equations: Results, applications
and PC-based dialog system // Int. Conf.
Civil and Building Eng. IV-ICCCBE.
Tokyo. 1991. Ext. abstr.
18*. Lee S., Dulikravich G.S., Ko-
sovic B. Computer simulation of electro-
phoretic separation process // Ptoc. 17
Annu. Northeast Boeing Conf. Hartford,
April. 1991.
19*. Legros J.C., Dupout O.,
Queeckers P. et al. Thermodynamic insta-
instabilities and capillary flows // Progr. AA.
P. 241-271.
20*. Monti R. Gravity jitters: Effects
on typical fluid science experiments
//Ibid. P. 275-307.
21*. Motakef S. Magnetic field elimina-
elimination of convective interference with segre-
segregation during vertical-Bridgmen growth
237
of doped semiconductors // J. Ciyst.
Growth. 1990. Vol. 104. P. 833-850.
22*. Nadarajah A., Rosenberger F.,
Alexander J.I.D. Modelling the solution
growth of TGS crystals in low gravity
//Ibid. P. 218.
23*. Poleshaev V.I., Ermakov M.K.
Thermal convection in microgravity
during a slow rotation // IUTAM Symp.
on microgravity fluid mechanics. Bremen.
1991. Ext. Abstr.
24*. Pratte JM., Hart J.E. End wall
driven, low Prandtl number convection
in a shallow rectangular cavity // J. Ctyst.
Growth, 1990. Vol. 102. P. 54-68.
25*. Rhodes P.H., Snyder R.S., Ro-
Roberts CO. Electrohydrodynamic distortion
of sample streams in continuous flow
electrophoresis // J. Coll. and Interface
Sci. 1989. Vol. 129. N 1.
26*. Rogers M.J.B., Alexander J.I.D.
Analysis of Spacelab 3 residual acceleration
data // Spacecraft and Rockets. 1991.
27*. Rogers M.J.B., Alexander J.I.D.
A strategy for residual acceleration data
reduction and dissemination // Proc.
28 COSPAR Meeting. Hague. 1990.
28*. Rogers M.J.B., Alexander J.I.D.
Cross-correlation analisis of on-orbit
residual acceleration in Spacelab // AIAA
Pap. 1991. N91-348.
29*. Rupp R., Mutter G., Neumann F.
Three-dimensional time dependent mo-
modelling of the Matangoni convection in zone
melting configuration for GaAs // Proc.
CMCG. P. 34-41.
30*. Schneider S., Straub J. Influence
of the Prandtl number on laminary natural
convection in a cylinder caused by g-jitter
//Ibid. P. 275-307.
31*. Schwabe D., Metzger J. Coupling
and separation of buoyant and thermo-
capillary convection // Ibid. P. 23-33.
32*. Wadih M., Zahibo N.. Roux B.
Effect of gravity jitter on natural convec-
convection in a Vertical cylinder // Progr. AA.
P. 303-351.
33*. Todd P. Separation physics
//Ibid. P. 539-602.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Ч А С Т Ь I. МАССОВЫЕ СИЛЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОНВЕКЦИЮ В УСЛОВИЯХ
НЕВЕСОМОСТИ 9
Глава 1. Массовые силы и микроускорения в орбитальном полете 9
1.1. Оценка сил и микроускорений 10
1.2. Математическая модель массовых сил и микроускорений 18
1.3. Зависимость микроускорений от параметров полета 20
1.4. Микроускорения на борту действующих орбитальных станций ... 27
ЧАСТЬ И. ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕВЕСО-
НЕВЕСОМОСТИ НА МОДЕЛЯХ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ 29
Глава 2- Конвективные процессы гравитационного типа при постоянных
микроускореииях 31
2.1. Классификация и некоторые особенности гравитационных кон-
конвективных процессов в бинарных системах 32
2.2- Макронеоднородности, вызываемые слабой гравитационной кон-
конвекцией. Эффект максимума температурного (концентрационно-
(концентрационного) расслоения 37
2.3. Тепловая гравитационная конвекция в удлиненных областях при
разных числах Прандтля 59
2.4. Вторичные структуры, неустойчивость и температурные колеба-
колебания при малых числах Прандтля 68
Глава 3- Негравитационные виды конвекции и процессы переноса в со-
состояния теоретической невесомости. Взаимодействие с гравита-
гравитационной конвекцией 76
ЗЛ. Конвекция под действием градиентов сил поверхностного натя-
натяжения и ее взаимодействие с гравитационной. Математическая
модель и критерии подобия 78
3.2. Классификация и некоторые особенности конвекции под дейст-
действием градиентов сил поверхностного натяжения в бинарной смеси
3.3. Термокапиллярная и капиллярно-концентрационная конвекция
в прямоугольных областях 88
3.4. Термокапиллярная конвекция и температурные неоднородности
в модели зонной плавки 97
3.5. Особенности вынужденных движений и диффузионно-тепловые
режимы в условиях теоретической невесомости 113
Глава 4. Конвекция н процессы переноса прн пространственно-временном
изменении микроускорений 117
4.1. Общая математическая модель тепловой гравитационной конвек-
конвекции и переноса массы при пространственно-временном изменении
микроускорений 118
4.2. Тепловая конвекция и перенос примеси при изменении микро-
микроускорения в плоскости орбиты 119
4.3. Тепловая гравитационная конвекция при изменении микроуско-
микроускорений в пространстве и во времени 133
4.4. Заключительные замечания 141
ЧАСТЬ Ш. КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МОДЕЛЯХ ВЫРАЩИВАНИЯ
КРИСТАЛЛОВ И РАЗДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВ В НЕВЕСОМОСТИ 142
Глава 5. Направленная кристаллизация в ампуле 142
5.1. Математическая модель конвекции и переноса примеси в ампуле
с движущимся фронтом кристаллизации 143
239
5.2- Структура конвекции и поля концентрации. Продольная и по-
поперечная неоднородности распределения примесн в кристалле . . . 146
5.3. Анализ макро- и микронеоднородности в космических экспери-
экспериментах на основе модели с движущимся фронтом 154
5.4. Параметрическое исследование влияния тепловой гравитацион-
гравитационной конвекции на распределение примеси в кристалле. Граница
максимума поперечной макронеоднородности 158
Глава 6. Жидкостная эпитаксия 164
6.1. Особенности конвекции при жидкостной эпитаксии и модифика-
модификации процесса 164
6.2. Математическая модель жидкостной эпитаксии 167
6.3. Структура конвекции и параметрические исследования 169
6.4. Влияние нестационарности микроускорений 172
6.5. Анализ экспериментов по росту эпитаксиальных слоев в неве-
невесомости 172
6.6. Альтернативное невесомости медленное вращение эпитаксиаль-
ной ячейки в земных условиях 176
Г п а в а 7- Электрофорез в свободном потоке . 178
7.1. Предварительные замечания. Состояние исследований ЭФСП .... 178
7-2. Многозонная математическая модель ЭФСП 180
7.3- Течение жидкости и тегшоперенос во входной области камеры . . . 183
7.4. Зона электрофоретического разделения 195
7.5. Массоперенос в области ввода смеси в поток 207
7.6. Заключительные замечания 210
Приложение 1. Применение персональных компьютеров для решения
уравнений Навье-Стокса 211
Приложение 2. Устойчивость конвективных течений 213
Приложение 3. Матричное решение уравнений Навье—Стокса 217
Заключение 222
Литература 225
Дополнительная литература 237
Научное издание
Полежаев Вадим Иванович, Белло Михаил Соломонович,
Березу б Наталия Анатольевна н др.
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕВЕСОМОСТИ
Утверждено к печати Институтом проблем механики АН СССРг
Заведующая редакцией tf.tf. Прокофьева. Редактор издательства Л.Е. Кононенко
Художник А.Г. Кобрин. Художественный редактор В.Ю. Яковлев
Технический редактор НМ. Бурова. Корректор Н.Л. Голубцова
Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 48418
Подписано к печати 23.04.91. Формат 60 X 90 I/I6. Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усллеч.л. 15,0. Усл.кр.-отт. 15,3. Уч.-нздл. 17,7
Тираж 600 экз. Тип. зак. 1 319. Цена 5 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"
И 7864 ГСП-7, Москва B-48S, Профсоюзная ул., д. 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства "Наука"
199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
КОНВЕКТИВНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
В НЕВЕСОМОСТИ
НАУКА-
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В НЕВЕСОМОСТИ
Из всех негравитационных механизмов естественной конвекции в усло-
условиях микрогравитации наибольший интерес сегодня представляет конвек-
конвекция, вызванная градиентами сил поверхностного натяжения (известная
также под названием конвекции Марангони), которая разделяется на тер-
термокапиллярную и капиллярно-концентрационную. Этот интерес обуслов-
обусловлен тем, что во многих перспективных технологических приложениях
в космосе (бестигельная плавка, направленная кристаллизация) поверх-
поверхность жидкости (расплава) свободная, причем значение числа Марангони,
определяющего интенсивность термокапиллярной конвекции, для типич-
типичных случаев достаточно велико. Уменьшение гравитационной конвекции
в невесомости может обнаружить весьма высокую гравитационную чувст-
чувствительность системы в целом, включая, например, появление регулярных
колебаний, неустойчивости и даже хаоса.