Автор: Щедрин Н.Н.
Теги: электротехника электроника электрические сети электрооборудование издательство энергия
Год: 1966
Текст
Н. Н. ЩЕДРИ Н
УПРОЩЕНИЕ
ЭЛЕНТРИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
ПРИ
МОДЕЛИРОВАНИИ
(ЭJ
ИЗДАТЕЛЬСТВО сЭНЕРrия.
МОСКВА 1966 ЛЕнинrРАД
УДК 621.311.1.001.57
в книrе изпожены практические цепи, тех-
нические условия и новь.е математические
сп особь. упрощения <nожнь,х эпеК1'ро нерrе-
тических систем в связи с задачами иХ моде-
лирования м исследования ПО&едения 8 ава-
рийнь,х динамических режимах.
Книrа преднозначена для сотрудникоа
электроэнерrетических научных и проектftыx
орrанизаци , а также ДЛJJ инженерО', рабо-
тающих в rpynnax режимов энеprетичееких
объединеtfИЙ.
3-3-9
74-66
ПРЕдисловие
в последние 6-8 лет к вопросу упрощения сложных электри-
ческих систем привлечено внимание ДОВОЛЬНО большоro Kpyra спе-
циалистов из области электроэнерrетики. Это объясняется расту-
щим усложнением энерrетическйх систем в связи с объединением
линиями передачи и сетями высших классов напряжения все 60ЛЬ"
шеrо и большеro числа rенерирующих электрическую энерrию
объектов.
За разрастанием электрических систем пока еще не может
уrнаться даже яркий проrресс в Т1iКИХ средствах исследоваНИЯ t ка-
кими явл.яются новейшие математические машины, цифровые и ана.
лоrовые, ХОТЯ почти несомненно, ЧТО полупроводниковая техника
или t может быть, молекулярная леК!fроника в недалеком будущем
позволят отображать в лабораторных схемах процессы и режимы
энерrетичееких систем любой сложности.
Тем не менее целесообразность разумноrо оrраничения сложно-
сти в постановке первичных исследований сохранится, по-видимому,
еще на долrое время. 1(онкретно ЭТО означает, что и потребность
"-
в рациональных методах упро-щення сложных и сверхсложных элек-
трических систем будет ощущаться еще не малое число лет.
Автор предлаrаемой вниманию читателей теоретической работы
не имел целью составиtь на тему о меходах упрощения электриче-
ских систем ка ое.либо стандартное, компилятивное пособие или
посвятить книrу чистой критике существующих подходов к этому
вопросу.
Цель работы заключалась в том, чтобы внести НОВЫЙ, хотя бы
и небольшой вклад в разработку таких методов упрощения энерrо-
сисrем, которые при достаточной простоте основываJIИСЪ бы на бо-
лее полном использовании боrатоro арсенала идей современной
ВЫЧИС-J1ИТельной и общей маТематики. Автор не ооольщает себя
3
мыслью, что трактуемая в книrе задача в ней нашла исчерпывающее
и CTporoe решение. Напротив, он полаrает, что остаются открытыми
еще мноrие пути дальнейших исследований ДЛЯ поиска наилучшеrо
решения.
Что касается личноrо интереса автора, то он был направлен на
реальное практическое использование в широком плане метода
.линеаризации, на установление чисто электрических схем замеще-
ния для электромеханических систем и, наконец, на реализацию
идей эквивалентирования «в пространстве параметров» и «в прост-
ранстве функций». Если автор не ошибается, то в этих пунктах он
предлаrает нечто новое, еще не встречавшееся в соответствующей
литературе.
Автор
{лава перван
ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОЦЕССА УПРОЩЕНИЯ
ЭНЕрrОСИСТЕМ
1.1. Введение
В предлаrаемой iJниманию читателя работе рассматриваются
основные аспекты и новые принципы так называемоrо «эквивален-
тирования», применяемоrо при изучении процессов и при проекти-
ровании электроэнерrетических систем, rлавным образом - даль-
них электропередач. Этим термином называют процедуру некото-
U v
poro расчета" имеющеrо целью упрощение дан нои существующеи
или только еще проектируемой электроэнерrетической системы с
тем, чтобы, сведя ее к меньшему числу элементов (электрических
станций, наrрузочных узлов, сетевых связей), использовать затем
полученную упрощенную систему для дальнейших исследований
и проектных расчетэв, с применением физическоrо моделирования
или математических машин.
Этот процесс упрощения в большинстве случаев до сих пор со-
вершенно неизбежен ввиду крайней сложности современных элек-
троэнерrетических систем, заключающих в себе иноrда несколько
десятков станций и еще большее число трансформирующих и рас-
пределяющих энерrию подстанций.
Как показывает самое слово «эквивалентирование», оно подчи-
нено понятиям «эквивалентность» И «эквивалент», встречающимся
в различных отраслях знания. Хотя эквивалент вообще не является
тождественным тому первичному объекту, который он заменяет в
каком-то отношении, тем не менее в этом специальном отношении
эквивалент в ряде случаев является точным заменителем cBoero ис-
ходноrо объекта или явления. Так дело обстоит, например, в отно-
шении эквивалентности различных видов энерrии. В нашем случае,
если даже эквивалентная энерrосистема сохраняет физическую сущ-
ность и общий характер структуры исходной энерrосистемы, отли-
чаясь от нее значительно меньшим числом неодинаковых основных
элементов, нельзя ожидать точноrо соответствия свойств эквива-
лента свойствам исходноrо объекта. Здесь будет иметь место по-
теря «разнообразия»" [л. 1] при переходе от исходноrо объекта
5
к эквиваленту, подобно потере четкости изображения в телеви-
зионной передаче при малом числе элементов ero разложения.
К процессу эквивалентирования электрических систем можно
подходить со мноrих различных точек зрения, составляющих ос-
нову той или иной методики, а именно:
а) как к простому приближению решений исходных дифферен-
циальных или интеrральных уравнений, например, путем сокра-
щения высших членов разложения в ряды, путем сокращения по..
рядка уравнений или, наконец, прерыванием алrоритма последова..
тельных приближений; сюда же можно отнести и все известные
способы приближения, усреднения и сrлаживания функций, прямо
ci
или косвенно выражающих переходныи процесс;
б) как к усреднению совокупности определяющих движение
системы параметров ее основных элементов, в частности - по ме-
тоду наименьших квадраТО8.
Указанные выше приемы и методы эквивалентирования, кон-ечно,
не равноценны и не во всех случаях одинаково целесообразны.
Существенным оrраничивающим фактором применимости тех или
иных методов эквивалентирования является не только наличие до-
статочно мощных вычислительных средств, но также перспектива ис..
пользо»ания эквивалента. Еали последний будет использован в даль-
нейших расчетах устойчивости с помощью цифровых или аналоrовых
вычислительных машин, то отпадает требование ero физическоrо
подобия исходной системе. Наоборот, это требование становится
весьма существенным для исследований на электродинамических
моделях, в которых устанавливается физическое соответствие ме-
жду rлавными элементами исходной системы и модели (между
rенераторами, приемниками и сетевыми элементами соответст"
венно).
Эквивалентирование, удовлетворяющее этому требованию, мы
будем называть «физически-подобным» или для кратности - просто
«подобным» .
В данной работе и будет рассматриваться только эта форма экви"
валентирования, сложившаяся уже свыше тридцати лет назад. По-
путно заметим, что отождествление поиятий «эквивалентирование»
И «моделирование» или слияние их в одно понятие нельзя считать
правильным, поскольку оrраничение числа основных элементов
для модели в принципе необязательно.
Обращаясь к «физически-подобному» эквивалентированию, можно
констатировать ряд ero мыслимых разновидностей в зависимости
от существа методов и приемов, применяемь х для получения
требуемоrо эквивалента.
На практике до последнеrо времени упрощение сложных элек..
трических систем осуществляется чаще Bcero в виде последователь-
ной серии операций, с помощью которых производится сокращение
числа узлов сети, станций и подстанций при сохранении общеrо
баланса мощности системы.
6
В состав этих операций входят и частичное эквивалентирование
(как, например, замещенце нескольких станций, присоединенных
к тому или иному узлу, одною станцией) и целый ряд друrих прие..
мов, вроде переноса и объединения наrрузок по так называемому
«правилу моментов».
Сам по себе принцип посrепенноrо, «шаrовоrо», упрощения' слож..
ной системы весьма удобен на практике. Но, к сожалению, боль..
шинство применяемых для этой цели приемов rруБО-ИНТУИТИВ!lЫ и
не имеют достаточно убедительноrо экспериментальноrо или теоре-
тическоrо обоснования. Доводы, приводимые в пользу этих приемов,
в лучшем случае имеют силу для установившеrося режима системы,
но не имеют под собой никакой почвы в ее динамических режимах.
В связи с этим в последние rоды и возникло убе дение в необ-
ходимости пересмотра и обоснования принципов эквивалентирова-
ния электрических систем.
Первая достаТОЧ!iО основательная работа в этом направлении
выполнена И. А. Орурком," В. Ф. Жеваржеевым и r. в. Рощиным
[Л. 2]. Суть ее будет кратко изложеffа позже. В последние rоды поя-
вился и еще ряд работ, посвященных установлению процедуры и
обоснованию принципов эквивалентирования сложных электриче-
ских систем [Л. 3, 4, 5, 6, 7].
Мы не имеем в виду подверrать здесь эти работы критическому
анализу.
Методы эквивалентирования MoryT быть основаны либо на ЭКС-
u u
периментальном изучении существующеи сложнои системы с по-
мощью специально создаваемых возмущений, либо на численном
анализе по ее схеме и заданным параметрам всех ее элементов. Ме..
тоды первоrо рода можно назвать «апостериорными»; BToporo рода-
«априорныIи>>.. Очевидно, что для систем еще не сущеСТВУ10ЩИХ
реально, или таких, в которых почему-либо не MoryT быть прове-
дены требующиеся эксперименты, можно rоворить только о рриме-
нении методов аПРИОРНЫХ t за исключением случаев, коrда имеется
боrатый материал автоматических записей аварийных процессов
в эксплуатации.
Основываясь на возможных различных подходах к эквивален-
тированию и учитывая оrраничения по физическому подобию,
можно оба рода методов (<<априорный» и «апостериорный») В свою 1
очередь подразделить на следующие три катеrории:
а) прямое и косвенное функциональное эквивалентирование,
б) параметрическое эквивзлентирование,
в) эквивалентирование в пространстве функций.
Прямое функциональное эквивалентирование характеризуется
тем, что по переходному процессу исходной системы, определяемому
некоторыми функциями времени, строятся какими-либо способами
соответствующие функции эк ивалента, зависящие не только от
времени, но и от параметров, подлежащих определению rл. 2,
3, 4].
7
Особый вид функциональноrо эквивалентирования составляет
статистическое эквивалентирование, использующее теорию слу-
чайных функций.
В априорной форме такое эквивалентирование связано с зада-
нием тех или иных случайных возмущающих функций на входе
эквивалентируемой системы. Этот вид эквивалентирования здесь
не рассматривается.
OCBeHHoe функциональное эквивалентирование характери-
зуется использованием HeBpeMeHHbIx отображающих функций пе-
реходноrо процесса (операционных и частотных).
Специфической особенностью чисто параметрическоrо эквива-
лентирования является использование не функций переходноrо
процесса, а непосредственно физических констант (инерционных,
индуктивных, демпферных и т. п.) первичной системы. Это в основ-
ном - чисто априорный метод.
Наконец эквивалентирование «в пространстве функций» основы-
вается на представлении функций числовыми совокупностями,
rлавным образом - совокупностями коэффициентов в разложении
функций по определенным базисным функциям или иными спосо-
бами, после чerо эти числовые совокупности рассматриваются как
координаты функций в MHoroMepHoM пространстве.
Прямое функциональное эквивалентирование по. сравнению с
ero друrими видами, указанными выше, имеет преимущество, за-
ключающееся в возможности прямых оценок поrрешностей в пере-
ходных процессах при замещении данной первичной системы ее эк-
вивалентом. Значимость Э10rо преимущества существенно ослаб-
ляется требованием оценки поrрешностей эквивалентирования не
уклонением аппроксимирующей функции (эквивалента) от действи-
тельной функции переходноrо процесса, а разностью между дей-
ствительным пределом мощности дальней передачи и тем пре-
делом, который получается при замене первичной системы ее экви-
валентом.
В данной работе рассмотрены в основном только априорные
методы эквивалентирования, при этом преимущественно те из них,
которые еще не были освещены в литературе.
Независимо от использования указанных методов эквиваленти-
рования весьма эффективной для упрощения анализа является пред-
варительная линеаризация уравнений динамики эквивалентируе-
мой системы. Это можно признать допустимым на первой и проме-
LКуточной стадии эквивалентирования.
Как известно, для практических целей анализа находят приме-
нение простая линеаризация «в малом», линеаризация с оrраниче-
нием конечных пределов apryMeHTa линеаризуемых функций, а
также линеаризация rармоническая [Л. 8] и статическая [Л. 9].
Два последних способа линеаризации в данной работе не рассмат-
риваются, так как по сравнению с пеРВbIМИ двумя требуют более
сложных операций.
8
1.1. Предваритепьные усповия анаПИЗ8
В настоящем параrрафе мы продолжим детализацию и конкрети-
зацию проблемы эквивалентирования.
Типы электрических систем, с которыми приходится иметь дело
в расчетах и исследованиях устойчивости параллельной работы
станций, весьма разнообразны. Мы оrраничимся в дальнейшем рас-
смотрением так называемых локаль-
ных систем, которые состоят из ряда
станций и подстанций, объединенных
сетями разных классов напряжения
и расположенных в том или ином
пространственно оrраниченном reo-
rрафическом районе. Примером MoryT
служить энерrосиетемы Северо-Запада
СССР, Урала, Донбасса и др. Разви-
тие энерrетики СССР предусматривает
объединение всех подобных систем
в единую систему. Локальные системы
можно разделить на системы «концен-
трированные», с тесными электриче-
скими связями между энреrетиче-
скими узлами и системы «рассредото-
ченные», отличающиеся значительной
протяженностью и соответственно вы-
соким классом напряжений линий
энерrетической связи.
На рис. 1-1 представлена харак-
терная структура локальной концен-
трированной системы с сетями разных
классов напряжения. Эти сети вообще
имеют тем более сложную конфиrура-
ЦИЮ, чем ниже «несущее» напряжение
сети, так как при более низких на-
пряжениях все более и более домини-
рующее значение приобретают распре-
делительные функции сети. Обычно концентрированная система яв-
ляется приемной системой для дальних передач энерrии. Вопрос
об эквивалентировании исторически относился прежде Bcero именно
к контактированным приемным системам.
По мере развития энерrосистем и «заселения» ранее свободных
rеоrрафических пространств новыми электростанциями локаль-
ность отдельных систем будет постепенно изживаться. Соответ-
ственно по-новому будут ставиться вопросы устойчивости и ЭI{-
вивалентирования. По-видимому, все же между отдельными.
1. Структура спожных эпектрических систем
9
Q, 750кО Р
\ I
" I
\ I
I
--
---
--
--
-----
-----
6-101(6
Рис. 1-1.
энерrетически наиболее уплотненными частями общеrосударственной
системыl будут существовать сравнительно более слабые связи, по
отношению к которым концентрированные энерrетические скопления
можно замещать простейшими системами. Соответственно этому
получится схема «мета-системы», подобная локальной рассредото-
ченной системе, указанной на рис. 1-2, rде отдельные мощные стан-
ции и районы потребления перевязаны линиями передачи высших
классов напряжения. Разумеется, такое представление является
пока не более как rипотезой.
Остановимся теперь на разновидностях и электрофизических
свойствах приемников энерrии, определяющих наrрузку подстан-
ций и станций. Сюда отно-
сятся: асинхронные двиrатели
для привода различных про-
изводственных механизмов;
синхронные двиrатели для тех
же целей; осветительные и
бытовые приборы; электро-
плавильные (дуrовые, индук-
ционные) устройства; выпря-
мительные устройства элек-
трохимии, электротранспорта
и т. п.
Как по характеру рабо-
чеrо режима, так и по своим
свойствам эти приемники су-
щественно отличаются между
собой. Даже приемники од-
Horo рода в смысле влияния
их на УСТОЙЧИВОС1Ь системы
MoryT отл чаться один от друrоrо в зависимости от их технических
функций. Это, в частности, относится к асинхронным двиrателям,
динамические и статические характеристики которых связаны с за-
висимостью тормозноrо момента на валу от скорости вращения.
Однако наиболее существенным является отличие моторных
приемников от приемников статическоrо типа, не связанных с ме-
ханической инерцией. Эти последние, как правило, обладают уме-'
ренной нелинейностью и с достаточной точностью MoryT быть за-
менены комплексной про'водимостью. В дальнейшем мы будем име-
вовать их «пассивными» приемниками.
Иноrда, и довольно часто, в процессе эквивалентирования асин-
хронную наrрузку замещают наrрузкой пассивной. Это ни в коем
лучае нельзя считать допустимым. Асинхронный двиrатель как
приемник действитедьно, подобен пассивной активно-реактивной
проводимости, но только при условии, что ero скольжение постоянно,
.а это может име1Ь место (притом н-е,вполне точно) лишь при беско-
нечно большой инерции ротора двиrателя и связанной с ним про-
---- ----
/ \ 1\
I \ // \..fY'
I \ I \
I \ / \
if / \\ /1 \
\ 1 \
SI t-D---
: S2
.
I
Рис. 1-2.
10
изводственной машины. Более правильным для массовых асинхрон-
ных приемников является полное пренебрежение их инерцией,
в результате чеrо их поведение можно оценивать по статическим ха..
рактеристикам активной и реактивной мощносrи. Однако по ряду
соображений, изложенных ниже, мы считаем рациональным для
целей эквивалентирования сложных систем допускать замену асин-
хронных приемников синхронным, усrановив для этоrо специаль-
ную процедуру (э 2-4).
Приемники выпрямительноrо типа, раБО1ающие в цепи выпрям-
ленноrо тока на постоянную противо-э. д. с. (например, на электро-
лизеры), можно принимать за чисто активные проводимости (g),
но с ярко выраженной разрывной зависимостью от приложенноrо
напряжения (И) со стороны пере-
MeHHoro тока (рис. 1-3). 9
Известно, что такие приемники
даже без специальноrо сеточноrо
реrулирования являются в энерrо-
системах безынерционными стаби- О
лизаторами динамических процес-
сов, оказывая положительное вли-
яние и на статическую устойчи-
вость.
Очевидно, что если относительная мощность подобных приемни.
ков в данной системе значительна, то при ее эквивалентировании
они подлежат выделению в особую rруппу.
Раз)(еление и rрупповая концентрация различных типов прием-
ников должны состаВJ!ЯТЬ одну из важнейших и вместе с тем нелеr-
ких операций эквивалентирования.
Трудности в этом вопросе зависят не только от разнородности
приемников, но также и от друrих обстоятельств: от сложности
распределительных (обычно, кабельных) сетей 6-10 кв; от наличия
взаимной связи между питающими эту сеть подстанциями; от «шу-
мовых» свойств самих приемников (т. е. от случайноrо характера
их рабочеrо режима).
Последним обстоятельством мы вын-уждены пренебреrать, так
как «шумовые» характеристики реальных наrрузок совершенно
не изучены.
В расчетах устойчивости обычно считают приемники заrружен-
ными по номинальным значениям их активных и реактивных мощ-
ностей, изменение которых в случае неоБХОДИl\10СТИ подчиняют за-
кону изменения средних суммарных ощностей на питающих
подстанциях. Но даже при таком упрощенном подходе в процессе
эквивалентирования все же остаются три важных вопроса:
1) на основании каких данных можно осуществить распределе-
ние наrрузок по их роду;
2) как установить инерционные параметры моторных прием-
ников; .
11
go
и
Рис. 1-3.
3) каким путем можно осуществить сокращение чи сла и концен-
трацию наrрузочных узлов, исключив всякое слияние наrрузок
с rенераторными элементами системы и по воз можности избеrая
применять такие приемы, как правило наrрузочных моментов.
Для обстоятельноrо решения периоrо и BToporo из этих вопросов
есть только два пути: либо осуществление специальных экспе-
риментальных исследований, либо тщательное обследование потре-
бителей электроэнерrии по всем отдельным частя раС(Iределитель-
ной сети (6-10 кв). Первый путь праК1ически нереален (орrаниза-
ционные трудности, значительные затраты). Поэтому на практике
обычно пользуются типовыми структурами потребителей энерrии
[Л. 10, 11, 12], соrласовывая их с конкретными условиями данной
энерrосистемы и приписывая отдельным видам приемников типо-
вые параметры и характеристики. Затем все же необходимо уделить
достаточно времени выявлению приемников особоrо типа и хотя
бы ориентировочной проверке наrрузочных структур по данным
эксплуатационных и проектных орrанизаций. Если все это выпол-
нено, тоrда остается провести операции преобразования и эквива-
лентирования, отвечающие на третий из поставленных выше вопро-
сов, предполаrая, что схемы и параметры сетей всех классов напря-
жения известны.
2. Трн стадии упрощения спожных систем
К первой стадии следует отнести всю первичную информацию
об эквивалентируемой сис теме и приведение ее к такой схаме, ко-
торая допускает не слишком трудоемкое определение собственных
и взаимных проводимостей между rлавными элементами. Сюда от-
носятся: выяснение конкретной структуры системы, поиск и оценка
достоверности всех необходимых данных о станционных arperaTax,
их автоматическом реrулировании; данных о расположении и обо-
рудовании ПОДС1анций, о параметрах сетей разных классов напря-
жения; о схемах питания приемников, о характеристиках послед-
них и т. д.
В эту же стадию должно войти приведение всех основных пара-
метров элементов системы и характеристик рабочих режимов к об-
щей базисной системе единиц.
Далее к первой стадии эквивалентирования следует отнести
также объединение свободных от местных наrрузок станций с об-
щими узловыми точками, а также операцию сокращения числа и
концентрацию наrрузочных подстанций. Последние процедуры яв-
ляются довольно трудоемкими, если к ним относиться с должным
вниманием. Выполняются они на основе общих методов, изложен-
ных в 3-5. .
После проведения всех предварительных упрощений первая ста..
дия заканчивается определением собственных и взаимных прово-
димостей между rлавными элементами.
12
Вся эта большая работа должна быть, CTpOrO rоворя, дополнена
специальным исследованием внутренней устойчивости эквивален-
тируемой системы, чтобы выявить в ней недостаточно устойчивые
звенья, не подлежащие включению в общий эквивалент. Необхо-
димость TaKoro исследования зависит от основных условий и задач
эквивалентировация данной системы.
Если можно ожидать, что возмущения, которые будут служить
для проверки устойчивости каких-либо внешних объектов (напри-
мер, дальних ЛЭП) , слабо или очень оrраниченно воздействуют
на любые составные части эквивалентируемой системы, то можно
отказаться от упомянутоrо исследования. Однако, если внутри са-
мой этой системы существуют очаrи самораскачивания или такие
элементы, которые MoryT впадать в резонанс с возмущенными ко-
лебаниями внешних объектов, то надлежащее исследование этоrо
вопроса является необходимым; «растворение» неустойчивых или
перспективно-резонансных элементов в общем эквиваленте поведет
к существенному искажению физической картины явлений.
Вопрос о том, какими простыми способами можно исследовать
внутреннюю устойчивость оrромной сложной системы с учетом всех
видов имеющеrося в ней автоматическоrо реrулирования, остается
пока еще открытым и здесь не рассматривается. Первые шаrи в этом
направлении можно почерпнуть в работах [Л. 13, .14, 15]. Мы бу-
дем предполаrать, что с помощью исследования опыта эксплуата-
ции подлежащей упрощению существующей системы выявлены
элементы, которые должны быть выделены из общеrо эквивалента.
Что касается резонанса колебаний внешних удаленных станций
с колебаниями каких-лuбо элементов внутри эквивалентируемой
системы или BHyTpeHHl;Jx резонансов «свободных колебаний» в этой
системе, то обычно при наличии даже yMepeHHoro демпфирования
эти колебания несущественны [Л. 16]. Однако вероятность подоб-
ных явлений заметно возрастает в режимах ресинхронизации, а
также в случае, коrда удаленная rэс оборудована апсульными
аrреrатами с очень малыми инерционными постоянными.
Дальнейшее основывается на допущении, что кроме анализа д-ан-
ных эксплуатации исходной приемной системы и проектных данных
для удаленных станций, выполнены предварительные ориентиро-
вочные исследования возможности pa3Horo рода резонансных яв-
лений с учетом [Л. 4].
Для этой цели может быть полезна электрическая схема заме-
щения; обоснование которой дается в rлаве второй.
Вторая стадия эквивалентирования имееr целью на основе ре-
зультатов первой стадии и некоторых допущений привести систему
к существенно меньшему числу rлавных элементов (reHepaTopoB и
наrрузочных rрупп), а именно К такому их числу, при котором ока-
зывается возможным использовать математические машины для
построения конечноrо эквивалента в третьей стадии, отказавшись
от ряда упрощающих допущений, используемых на первetй и второй
13
стадияхэквивалентирования (как, например, линеаризация, замена
асинхронной наrрузки синхронною и т. д.). Вопрос О наименьшем
числе элементов, остающихся после завершения второй стадии,
рассмотрен в Э 4-4.
Третья стадия эквивалентирования предполаrается выполняе-
мой по следующей проrрамме;
1) Приведение конечноrо эквивалента системы к одной из ти-
повых схем, наиболее подходящей при данных конкретных усло-
u
виях исходнои системы.
2) Определение основных параметров рабочеrо режима конеч-
Horo эквивалента.
3) Оценка точности конечноrо эквивалента по данным исходной
схемы.
4) Определение параметров предельно простоrо эквивалента
на основе эксперимеНТ08 в реальной системе или с помощью мате-
матических машин по промежуточному эквиваленту второй стадии
эквивалентирования.
Вопросам третьей стадии эквивалентирования посвЯlltена в ос-
новном вся rлава четвертая и специально 9 4-4.
Изложенное деление процесса эквивалентирования на три ста-
дии основывается на уже упомянутом выше кибернетическом поня-
тии «разнообразия» и принципе «потери разнообразия», которое
по нашей rипотеsе неизбежно влечет за собой уменьшение точности
эквивалента по мере уменьшения отношения числа т содержа-
щихся в нем различных основных элементов к числу п различных
основных элементов в исходной системе. Из этоrо положения выте-
кает, что при равнозначной результативнQЙ точности экви аленти-
рования на каждой из трех указанных стадий точность отдельных
приемов эквивалентирования должна повышаться по мере умень-
шения отношения т/по Поэтому, допуская на первой и второй ста-
диях, например, применение линеаризации, в принципе следует
от этоrо отказаться на третьей стадии при переходе к простейшему
эквиваленту, равно как и от замены приемников одноrо рода прием-
никами друrоrо рода.
э. Основные допущения
rлавные допущения, на которых основываются излаrаемые в
дальнейшем методы и приемы эквивалентирования, следующие:
1) Эквивалентируемая система является устойчивой «в малом»,
а также динамически устойчивой по отношению к ожидаемым внеш-
ним возмущениям. Если последнее условие не соблюдается, то со-
ответствующие элементы системы (станции, rруппы наrрузок) не
включаются в общий эквивалент и должны быть обособлены.
2) Предполаrается наличие у синхронных reHepaTopoB систем
автоматическоrо реrулирования возбуждения (с настройкой, исклю-
чающей самораскачивание), позволяющих принимать постоянною
14
u
Э. Д. с. за некоторои реактивностью в духе выводов, изложенных
в [Л. 10].
3) Предполаrается отсутствие резких уклонений параметров
реrулирования первичных двиrателей от средних значений для
соответствующих типов arperaToB (турбо- и rидроаrреrатов).
Кроме Toro, исходя из представлений, указанных в предыдущем
п. 2, можно считать уместными для первой и второй стадий эквива-
лентирования еще следующие допущения (без специальной про-
верки точности):
4) Применение методов линеаризации (rлава вторая).
5) Использование (на второй и частично на первой стадии экви-
валенrирования) временной замены типовой наrрузки целиком на-
rрузкой асинхронно-двиrательной с постоянным тормозным момен-
том, а этой последней - наrрузкой синхронно-двиrательной (rлава
вторая).
6) Допущение ПОС10янства момента первичных двиrателей re-
нераторов.
7) Пренебрежение активными сопротивлениями сетевых и reHe-
раторных элементов.
8. Использование неканонических преобразований сетевых
структур (э 3-3).
9) Реализация процесса эквивалентирования с помощью типо-
вых возмущений со стороны HeKOToporo контрольноrо узла.
Наряду с указанными допущениями, которые не считаются при-
емлемыми на третьей стадии эквивалентирования (за исключением
принципа испытания эквивалента типовым возмущением), необхо-
димо признать обязательным соблюдение следующих требований.
1) Исключение замены асинхронно двиrательной наrрузки ак-
тивно-реактивными, пассивными приемниками.
2) Исключение применения так называемоrо правила (Harpy-
зочных) моментов.
3) Отказ ОТ объединения reHepaTopoB с приемниками любоrо
рода в один эквивалент.
4) Отказ ОТ объединения в один эквивалент rрупп reHepaTopoB
различноrо энерrетическоrо характера (турбоrенераторов с rидро-
rенераторами).
5) Выделение из общеrо эквивалента системы всех примыкаю-
щих к ней удаленных станций.
4. Исходные уравнения
Во всех рациональных приемах эквивалентирования lIеобходимо
основываться на некоторых фундаментальных дифференциальных
уравнениях исходной системы.
Так как число элементов последней обычно чрезвычайно веЛИКО t
а связи между ними очень сложны (рис. 1-1), то применение уравне-
ний типа rорева-Парка или их модификаций оказывается практи-
чески невозможным на первых двух стадиях эквивалентирования.
1S
Поскольку rлубокое эквивалентирование (п» т) неизбежно
связано с появлением неточност и в БОЛЫllинстве методов уравне-
ния системы служат в основном лишь для контроля процесса экви-
валентирования и для косвенной оценки eI o точности,- представ-
ляется вполне допустимым, по крайней мере на первой и второй
стадиях эквивалентирования, оrраничиться использованием менее
точных уравнений динамики электрических систем. Ближайшей
ступенью упрощения этих уравнений можно считать уравнения
с зависимостью электромаrнитных моментов как от всех взаимных
уrлов (01-02' 01-0з . . . и т. д.), так и от всех абсолютных скоро-
стей reHepaTopoB системы (Ш1 = 81' Ш2 = а 2 , . . . , В п ) [Л. 17].
Однако и эта система еще достаточно сложна. Нам представля-
ется допустимым на первой и второй стадиях эквивалентирования
использовать известную форму уравнений, в которых вместо момен-
I u
тов введены активные мощности, а зависимости их от скоростеи,
в том числе и демпфирование, исключены. Такие уравнения, допол-
ненные предположением о симметрии ро!оров синхронных машин,
широко ИСПОЛЬЗ0вались в прошлом не только для установления
критериев устойчивости [Л. 18], но и для числеlfНыХ расчетов ее.
Следует, однако, заметить, что исключение из уравнений всех
зависимостей от частоты не позволяет, конечно, использовать их
в таких процессах, в которых изменение частоты иrрает домини-
рующую роль. Друrими словами, оказывается возможным только
.анализ относительных колебаний машин с оrраниченными уклоне-
ниями от средней частоты системы.
Сравнительно недавно было установлено важное значение в про-
цессах динамической устойчивости при коротких замыканиях раз-
Horo рода пульсирующих и знакопеременных моментов, действую-
щих на ротор reHepaTopa [Л. 19, 20, 21]. Учет этих моментов едва
ли необходим на первой и второй стадиях эквивалентирования, так
как указанные моменты оказывают большое влияние лишь на re-
нераторы удаленных станций, устойчивость которых исследуется
u
при коротких замыканиях далеко за пределами приемнои системы.
На третьей стадии эквивалентирования рассматриваемые моменты,
которые мы будем называть «импульсными», можно учесть прибли-
женно, не прибеrая к уравнениям rорева-Парка (э 4-3).
В последующем изложении доминирующее значение отводится
анализу динамических процессов как основы эквивалентирования.
В соответствии с этим прербладающую роль иrрают выражения
активных мощностей, входящих в упомянутые дифференциальные
уравнения. Что касается реактивных мощностей, то, хотя они непо-
средственно не определяют движения преобразуемой системы, тем
не менее их приходится вводить в процесс эквивалентирования,
поскольку переходные изменения активных мощностей не дают
возможности установления всех параметров эквивалента. Учет ре-
активных мощностей содержит добавочную информацию о парамет-
рах эквивалентируемой системы; это можно непосредственно усмот-
16
реть из сопоставления выражений активных и реактивныIx мощно.
стей через электродвижущие силы системы и их взаимные уrловые
сдвиrи. Очевидно, что в любом найденном эквиваленте должны удов-
летворяться или, по крайней мере, оптимально отображаться опре-
деленные энерrетические соотношения. Отсюда, в частности, воз-
никает задача о наилучшем отображении в эквиваленте всех
начальных энерrетических условий, предшествовавших реальным
u'l-
возмущениям в исходнои системе.
По изложенным соображениям при определении режимных па-
раметров (например модулей э. д. с., их уrловых смещений и др.)
неизбежно надлежащее использование данных не только о распре-
делении активных, но и реактивных мощностей, что и предпола-
rается всюду в дальнейшем.
5. Контрольные возмущения
Эквивалентируемая система подверrается со стороны присое-
диненной к ней дальней ЛЭП множеству различных воздействий..
Сюда относятся и разнообразные виды коротких замыканий, Mory-
щих происходить в любом месте ЛЭП, частичные или полные ОТ-
ключения последней, автоматические повторные включения, фор-
сировки возбуждения, процессы электрическоrо торможения,
наконец, неустановившееся движение машин удаленной станции,
передающей через данную ЛЭП энерrию в приемную систему как
в послеаварийных режимах, так и при несимметричных коротких
замыканиях.
Не все эти воздействия одинаково существенны для определе-
ния проектных уровней динамической устойчивости удаленной
станции. Однако, если желательно иметь достаточно полную кар-
тину явлений и полную совокупность численных характеристик
динамической устойчивости, то неизбежно требование, чтобы экви-
валент, представJiяющий приемную систему в моделях, достаточно
правильно отображал ее реакцию на все без исключения указанные
выше воздействия. Достиrнуть точноrо соответствия между пове-
дением приемной системы и эквивалеН10М, имеющим значительно
меньшее число основных элементов, принципиально невозможно
даже при идеальном моделировании.
Мало Toro, точность реакции эквивалента не может быть оди-
наковой по отношению к различным возмущениям. Параметры ero,
выбранные в качестве оптимальных по отношению тому или иному
возмущению, несомненно будут более или менее отступать от оп-
тимума при друrих возмущениях. Выбирая же их по принципу оп..
тимума для каждоrо из множества возмущений, мы соответственно
ПОЛУЧИМ и множество значений для каждоrо из основных парамет-
ров эквивалеН1а. Поэтому по отношению -ко всей совокупности
u f
возмущении значения параметров эквивалента, cTporo rоворя, дол-
жны были бы выбираться как сред евзвешенные по вероятности
17
возмущений, с некоторыми весовыми коэффициентами, учитыва-
ющими экономическую значимость различных уровней динамической
устойчивости. Однако от TaKoro подхода приходится отказаться ввиду
ero сложности. Заметим, что такие сильные возмущения на прием-
ном конце дальней ЛЭП, как трехфазное короткое замыкани , бо-
лее блаroприятны по динамической устойчивости, чем аналоrичные
аварии на отправном конце лэп. Поэтому отнесение контрольных
возмущений к приемному КОНЦУ, обеспечивая более сильную реак-
цию приемной системы, обеспечивает, по-видимому, более BbIcoKYIO
точность эквивалентирования для аварий в начале ЛЭП.
Что касается возмущений, испытываемых приемной энерrоси-
стемой со стороны удал.енной станции в восстановительном (после-
,
аварийном) режиме, то при допущении постоянства э. д. С. E d этой
станции указанное возмущение эквивалентно изменению ее фазо-
Boro уrла о и может быть имитировано изменением фазы и модуля
напряжения (; на приемном конце передачи.
В конечном счете представляется вполне допустимым и доста-
точным в качестве критериальноrо возмущения принимать возму-
. [ jOA (t) J
щение U А (t) = u А (t) е , отнесенное к точке примыкания
А исследуемой дальней ЛЭП к системе, подлежащей эквиваленти-
рованию. В ряде случаев допустимо использовать более простые
возмущения, полаrая либо 6.и А (t) = О, либо OA (t) = о.
6. Критерии зквиввnентностн
Принципиально важным является вопрос о критериях эквива-
лентности.
Ввиду Toro, что по этому вопросу нет соrласия в мнениях и он
вообще недостаточно ясен, необходимо условиться о смысле, кото-
рый вкладывается в это понятие в данной работе.
Вообще теpi\1ИНОМ «критерий» В ряде отраслей математики и тео-
ретической механики часто называют аналитически заданное усло-
вие тoro, что некоторое сложное явление будет или не будет иметь
Mecro; эти условця именуют иноrда «признаками». Сюда относятся,
например" критерии устойчивости, признаки сходимости разложе-
ний в ряды И т. п.
В друrих случаях под словом «критерий» понимают какую-либо
числовую характеристику, сжато отображающую свойства функций,
распределение масс в пространстве или указывающую на правиль-
ность тех или иных rипотеэ в отношении статистических законов
распределения. Сюда же 1\:10ЖНО отнести и всевозможные приближен-
ные оценки соответствия результатов вычислений или измерений
реальным фактам, т. е. оценки точности.
Наконец «критериями» иноrда называют некоторы-е обязатель-
ные условия, вводимые в тот или иной расчет для обеспечения спе..
циальных требований к результатам.
18
Как отмечено ранее, эквивалентирование сложных электромеха-
нических систем не может быть точным при переходе от п различ-
ных элементов к меньшему их числу т, за исключением эквивален-
тирования в установившихся режимах. Поэтому трудно указать
универсальные точные критерии эквивалентности, подобные ука-
занным выше критериям первоrо рода, или некоторым критериям
полноrо тождества, имеющим месТо в установившихся режимах.
Можно rоворить лишь о применении критериев B10poro рода, ха-
рактеризующих в той или иной мере оптимальность эквивалентиро-
вания. ECTecTBeHI;Io использовать те из них, которые апробированы
практикой мноrих лет. Сюда относятся все критерии минимума
среднеквадратичных уклонений, моменты функций и числовых
-совокупностей.
На этой основе и должны строиться методы эквивалентирования,
которые как бы сливаются с соответствующими критериями.
Что касается особых добавочных требований (которые будем
именовать «специальными добавочными критериальными' услови-
ями»), то необходимость подчинения им процесса эквивалентиро-
вания должна быть либо вполне очевидной, либо достаточно обос-
нованной. Вполне очевидной, например, является необходимость
ведения таких требований, чтобы суммарные комплексные мощ-
ности для исходной и эквивалентной систем в установившемся ре-
жиме, предшествовавшем любому возмущению, были между собой
равны. Вместе с тем нельзя соrласиться заранее с критериями, вво-
димыми произвольно, если этот произвол не получает оправдания
в дальнейших специальных достаточно широких исследованиях.
В данной работе основные критерии орrан чески входят в про-
цесс эквивалентирования. В основном, это методы обобщенных ус-
реднений с возможностью оценки отличия эквивалентной системы
от исходной. Однако результативная оптимальность эквиваленти-
рования должна оцениваться по величине разницы между пределами
устойчивости какой-либо важнейшей из удаленных станций в ис-
u u u u u
ходнои системе и при замене последнеи системои еи эквивалентнои.
Поскольку эта разница несомненно будет зависеть от характера
возмущений на дальней передаче энерrии, необходимо исходить
из наиболее типичных аварий (так называемых «расчетных»).
Оптимальный эквивалент, очеВИДНQ, должен соответствовать
минимуму указанной разницы или иначе - поrрешности по пре-
делу мощности. Попытка оценки этой поrрешности приводится в
Э 4-4. Практически оказывается невозможным установить прямую
аналитическую связь поrрешностей, обусловленных любой проце-
дурой обобщенноrо усреднения, с iIоrрешностями по пределам мощ-
ности; поэтому представляется весьма желательным дополнитель-
ное исследование последних в заключительной стадии любоrо ме-
тода эквивалентирования.
rлава вторая
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
2.1. Линеаризация «В маnом»
в обnасти рабочеrо режима
Уравнения относятся к периферийной точке A системы, приве'"
денной к мноrоуrольнику, * состоящему из взаимных реактивностей
(рис. 2-1).
Предполаrается, что во взаимных реактивностях схемы рис. 2-1
учитываются и собственные реактивности синхронных машин, имею-
[1 щих некоторые постоянные э. Д. с.
E 1 , Е 2 , Е з , Е 4 . ДЛЯ общности, кроме
Toro, предполаrается, что в систему
входят как синхронные reHepa-
торы (с э. д. с. E 1 , Е 2 ), так и син-
хронные двиrатели (с э. Д. с. Е з , Е 4 ),
представляющие наrрузку системы.
Введение в систему СИIiХРОННЫХ
двиrателей вместо асинхронных
рассматривается ниже ( 2-4).
Все величины предпол'"аrаюrся
выраженными в относительных еди-
ницах при постоянстве частоты
системы. Рассматриваются про-
цессы малых уrловых колебаний вблизи установившеrося режима,
причем механические мощности на валах синхронных машин при-
нимаются постоянными. Если считать по отношению к сети актив-
ные электрические мощности reHepaTopoB положительными, а двиrа-
телей - отрицательными, то их выражения, без учета демпфиро-
вания, определяются следующими хорошо известными, вполне
идентичными формулами, в которых ОА' 01' 02' Оз, 04 - уrловые
сдвиrи напряжения и А и Э. д. с. Ер Е 2 , Е з , Е 4 относительно неко-
торой синхронной оси:
А
-f
иА
L____
Еч.
Рис. 2-1.
* Для простоты взят случай четырех машин.
20
0< Р 1 = Е 1 ( УРА sin (81 - 8 А )+ Y1kEk sin(8 1 - 8 k )j,
0< Р 2 = Е 2 ( УРА sin (82 - 8 А ) + : y 2k E k sin (82 - 8 k )j _
(МОЩНОСТИ reHepaTopoB Т 1 и F 2 );
О> Р з = Е з (Уз U А siп(8 з - 8 А )+ УЗk Е k sin (8 з - 8 k )j.
О> Р 4 = Е 4 f УРА sin (84 - 8 А )+ ] y 4k E k sin (а 4 - 8 k )j
l k=l
(МОЩНОСТИ двиrателей д з и д 4 ),
rде
(2-1)
(2-2)
1 1
Yj = - ; Yik == Yk; == - ; j == 1, 2, 3, 4; k == 1, 2, 3, 4 i= j.
Х/ k
Надо иметь в виду, что выдаваемая в сеть электрическая мощ-
ность любоro reHepaTopa является тормозящей силой в ero arperare
с первичным двиrателем; напротив, поrлощаемая из сети действи-
тельная мощность электрическоrо двиrателя является ускоряющей
силой в ero arperaTe с приводным механизмом. Поэтому, обозначив
u u
модули значении механических мощностеи соответственно через
М 1 , М 2 , М з , М 4 , получим следующую сиетему дифференциальных
уравнений относительноrо движения элементов системы [совместно
с уравнениями (2..1) и (2-2)] :
Н т р 2 а т = М т - Р т' } (2-3)
H kp 2 0k = - M k - P k
(Н т' Н k - инерционные постоянные; т == 1, 2; k == 3, 4).
Уравнения малых колебаний при постоянстве механических
мощностей, соответственно будут:
H/p2Jla j = Pi' (2-4)
Результативная мощность, подводимая к узлу А, очевидно, равна
(Р 1 + Р 2 ) -t- (Р з + Р4) == Р А'
Выбрав в качестве малоrо возмущения системы со стороны узла
А изменение амплитуды напряжения U А (рис. 2-1) на величину
ди А (t) без изменения фазовоrо уrла ОА' получим из (2-1) и (2-2):
Pj = Kj U А (t) -f- (а } + a jk ) М } - 4 a jk M ko (2-5)
k=l k:- l
(j = 1, 2, 3, 4; k == 1, 2, 3, 4 =1= j),
21
тде
K j = [УjЕjsiП( j- А)]О' a j = [УjUАЕjсоs( j- А)]О' J
a}k = [YjkE}k COS (о) - 0k)]O' j = 1, 2, 3. 4; (2-6)
k = 1, 2, 3, 4 =1= j.
Индекс О означает исходный установившийся режим. При до-
статочном запасе устойчивости исходноrо режима все a j , ajk - по-
ложительны. Коэффициенты K j MoryT быть как положительными,
так и отрицательными. Если U А (О) < О (скачок напряжения узла
А вниз), то момент t == О и все модули электрических мощностей
уменьшаются. Это ясно из общих свойств системы и означает (при
принятом выше допущении постоян-
е., ства э. д. с. всех машин) скачкообраз-
С 2 ное уменьшение синхронных момен-
тов всех машин (без учета добавочных
моментов, связанных с электромаr-
НИТНЬПvlИ переходными процессами
в статорных и роторных цепях).
Вследствие сброса электрической
е" мощности, при U А (О) < О, reHepa-
торы получают ускорение, двиrа-
Рис. 2-2. тели -замедление. С этоrо начинается
колебательный процесс выравнивания
небалансов на валах машин. При отсутствии демпфирования (что
допущено в данном случае) этот колебательный процесс будет не-
затухающим. Он определяется совокупностью уравнений (2-4),
(2-5), если положить UA (t) = const. В общем случае будем пола..
raTb U А (t) некоторой произвольной функцией времени, равной
нулю для t < о. Представив U А (t) операционным изображением
д.u А (р) И исключив с помощью уравнений (2-4) все I1Pj из урав-
нений (2-5), получим в матричном виде систему операционных
уравнений ОТНОС!iтельно Oj:
A Oj = - Kv , (2-7)
rде v == U А (р), а А и К - соответствующие матрицы коэффици-
ентов:
(Н 1р 2 + А 1 ), - а 12 , - а 1з , - а 14 . К 1
А = - а 1 2, (Н 2р 2 + А 2 ), - а 2з , - a 2i - К = К 2 (2-8)
- а 1з , - а 2э , (Н зр 2 + Аз), - а з4 . К з
- а 1 4, - а и, - аз!, (Н 4р 2 + А 4 ). К 4
А 1 = а 1 + а 12 + а 1з + а 14 ;
Аз = аз -+- а 1з .+ а 2з + а з4 ;
А 2 == а 2 +. а 12 + а 2з + а24;
А 4 == а 4 + а 14 + a Z4 -t- аЗ4'
22
Не ТРУДНО убедиться, что системе (2-7) отвечает чисто электрическая
схема замещения соrласно рис. 2-2, в которой L 1 , L 2 , · · . , L 12 ,
L 2з , . · . - некоторые индуктивности, С 1 , С 2 , С з , С 4 , . . . - емко-
сти; e 1 , е2, е з , е 4 ,... - одновременно включаемые (при t = О)
Э. д. с.
действителы;I,' для этой схемы, например,_ имеем:
J-. ( + и2 + UЗ + И 4 - )
р L 1 L 12 L 1з L 14
и 1 = ( 1 1 1 1 )
-+-+-+- + С1Р
L 1 L 12 L 1з L 14
1 1
или если L 1 =a 1 . L jk = ajki А 1 = а 1 + a 12 + а 1з + а 14 . то
(C 1P 2 + A 1 ) ( ) - a 12 ( 2 ) - а 1з ( ) - а 14 ( ' ) = а 1 ;
аналоrично:
(C2f)2 + А 2 ) ( и; ) - a 12 ( :1 ) -=.а23 ( :3 ) - а 2 4 ( ) = ;
(GзР 2 + А 3) ( ) - а 1з ( :1 ) - а 2з ( ) - а 34 ( ' ) = а з j
,
(С,р2 + А,) ( :' ) - а 14 ( :1 ) -а24 ( 2 ) -1Zз4 ( ) = а4 .
становив соответствия:
.!!:.L : d8" С, : Н ! и
р
ajzJ · к
- . jV,
Р
(2-9)
снова получим матричное уравнение (2-8); это и требовалось дока-
зать. Заметим, что при указанной системе соответствий ТОI{И в схеме
ри . 2-2 будут представлять изменение активных мощностей на со-
ответствующих участках исходной схемы рис. 2-1.
Надо иметь в ВИДУ, что реактивности схемы рис. 2-1 отнюдь не
равны реактивностям схемы рис. 2-2, которые определяются выра-
жениями коэффициентов aj, ajk (2-6).
Казалось бы, в только что указанной системе уравнений можно
сократить множитель J-. и вместо соответствия И} d8/. ввести
р р .
более простое: И! .. Oj' Однако это повело бы к нарушению пря-
Moro соответствия между токами схемы рис. 2-2 и изменениями ак-
тивных мощностей схемы рис. 2-1.
Очевидно, что схему рис. 2-2 можно заменить схемой G идеаль-
ными трансформаторами, имеющими различные коэффициенты
трансформации и соответствующее включение обмоток (в зависимо-
сти от знака величин K J ), причем первичные обмотки трансформа-
торов будут включатрся на общее входное напряжение (pv).
23
Если в качестве контрольноrо ВОЗМУLЦения в узловой точке А
(рис. 2-1) взять только уrловое смещение aA вектора напряжения
iJ А при постоянстве модуля и А' то система уравнений малых коле-
баний заметно упрощается и ей будет соответствовать и значительно
более простая электрическая CXel\1a замеLЦения рис. 2-3, в которой
u .. pdo, а основные параметры будут иметь те же значения, что
и в схеме рис. 2-2. Следует, однако, заметить, что контрольное воз-
МУLЦение данноrо типа ( OA =1= О; 8и А == О) не позволяет в процессе
эквивалеН1'ирования отделить с ПОМОLЦью анализа малых колеба.
ний reHepaTopbI системы от двиrателей. Поэтому такое ВОЗМУLЦение
u Х" Е",В 1
L 1 Н"
i
t Т С1
Рис. 2-3.
Рис. 2-4.
без добавочноrо анализа целесообразно применять только в слу.
чаях, коrда rруппа reHepaTopoB и rруппа двиrателей не имеют иных
взаимных связей, кроме как связь через узловую точку А (рис. 2-1).
В этом случае rруппа reHepaTopoB эквивалентируется отдельно от
rруппы двиrателей.
В схемах рис. 2-2 и 2-3 обращает на себя внимание то, казалось
бы, странное обстоятельство, что инерционные параметры пред-
ставлены емкостями, а не индуктивностями (как в обычных элек-
трических схемах), а упруrие связи отображаются индуктивностями,
а не емкостями. Однако попытка заменить в схемах рис. 2-2 и 2-3
индуктивности на емкости, и наоборот, не приводит к простому адек-
ватному отображению электромеханической системы рис. 2-1. Это
обнаруживается уже на простейшем примере рис. 2-4, rде единст-
венная синхронная машина присоединена к узловой точке А.
Приняв в качестве контрольноrо ВОЗМУLЦения АОА =i= О; и А = О,
имеем:
до! ==
OA
H 1 р2 + 1 f
й!
Н 1 Р
Н 1
__р2 + 1
аl
(рь"о А)
(2-10)
I ь,.р I =
24
rде
UAE 1
а 1 == cos (81 - 8 А)О.
Хl
Б то же время для чисто электрической схемы рис. 2-4
· С 1 Р
t -= и.
L 1 C 1p 2 + 1
Из сопоставления (2-10) и (2-11) ясно видно, что соответствие
i 1 .. t1P 1 будет достиrнуто только при условиях
(2- 1 1)
С 1 : Н 1; L 1 : ....!.... ; и " рМ А'
аl
Вышеизложенный вывод об адекватном соответствии (изомор"
физме) схем рис. 2-1 и t 2-3 можно распространить на JJюбое число
узлов возмущения.
Рассмотренные электрические схемы замещения (рис. 2-2 и 2-3)
открывают широкую возможность моделирования процессов малых
колебаний синхронных машин с помощью набора индуктивностей и
емкостей.
2-2. Линеаризация в конечном диапазоне.
Если 2Келательно учитывать специфические особенности исхuд-
Horo установившеrося режима и, кроме Toro, приблизить линеари-
зированные уравнения к более точному соответствию достаточно
широкоrо диапазона динамических процессов в конечных (а не бес-
конечно малых) пределах, тоrда целесообразно пользоваться за-
меной синусоиды функциями с разрывом их производных в отдель-
ных точках, а именно - треуrольной или трапецеидальной формы
(рис. 2-5 и 2-6).
Параметры этих фиrур можно выбрать различными способами,
в частности - как приближение по методу наименьших квадратов.
Однако представляется достаточным выбрать их из условия, что
охватываемая ломаными линиями площадь равна площади Qsin'
оrраниченной синусоидой в пределах е == о -;- 1t, которая (при вы-
ражении уrлов в радианах), как леrко вычислить, равна 2, т. е.
Q. == 2.
Sln
Соответственно для рис. 2-5 получим:
1
-1tУт == 2,
2
4
Ут == -:::- t
1t
tg == 1, 27 0,81
1/2 п
* Сокращенно бул,6М применять термин «ли..неаризация в большом».
25
и для рис. 2-6:
-.!- (2(1 + те) = 2, (1 0,43, tg = 1 0,876.
2 1
-1t-(J,
2
Амплитуда основной rармоники для первой фиrуры:
o,8Yт 1,03
7t 2
S[n8
с
Фf
Slп8
с А D
+1
о
I
I
I
8
7[/2
о
\, 8
\
в
Рис. 2-5.
Рис. 2-6.
и для второй фиrуры:
4.1 ( 1 ) 5
, 1 Sin 21t-a l,Ol ·
(2 -a)
Если для выбора параметров ввести условие, чтобы при «толчке
мощности» ОТ нуля до величины Упр, равной 0,727, которая является
предельной по динамической устойчивости соrласио правилу пло-
щадей в применении к нормальной синусоиде, для фиrур рис. 2-5
и 2-6 также соблюдалось то же условие устойчивости, то найдем
ДJlЯ tрИС. 2-5: Ут = 1,24; tg = 0,79 (причем амплитуда основной
rармоники приблизительно равна 1,005); для рис. 2-6: Уm = 1;
а. = 0,406; tg = 0,87.
Как видно, параметры, определенные по этим двум критериям,.
не слишком расходятся, и в среднем можно принять для рис. 2-5:
tg = 0,80 и соответственно У m = O,81t 1,25; для рис. 2-6:
tg = 0,87; а. = 0,42 : 240. 2
Сопоставляя свойства приближений по фиrурам рис. 2-5 и 2-6,
видим, что первое завышает статический предел мощности при-
близительно на 25 %, второе уменьшает зону устойчивой работы
на 240, снижая предельный уrол с 900 приблизительно до 660.
Поскольку исходные уравнения не учитывают демпфирования,.
можно приближение по рис. 2-5 считать более предпочтительным,.
что и принято в дальнейшем. Приняв ДЛS{ этоrо рисунка tg = 0,8,.
26
получим, что уравнение sin О = 0,8 О удовлетворяется при значе-
нии в:::::::: 66° ( + те - (х ). Для в = 80° получится разность:
0,80 - sin О = 0,13.
Считая допустимым ДЛЯ уrлов О в пределах О -< О < 800 заменять
синусоиду прямой линией
у = (tg ) О = 0,80,
получим взамен системы уравнений (2-3) следующую линейную ап-
проксимирующую систему уравнений при постоянстве модуля уз-
ловоrо нрпряжения (применительно к рис. 2..1):
H 1p 2 01 = М 1 - Ь} (а} - ОА)- Ь 12 (а 1 - а 2 )-
- Ь 1З (а} - ОЗ) - Ь 14 (01 - (4) ,
Н 2р 2 02 = М 2 - Ь 2 (02 - ОА) - Ь 12 (02 - (1)-
- Ь 2З (а 2 - Оз) - Ь 24 (02 - 04)'
Н зр 2 0з = - М з - Ь з (аз - а А ) - Ь 1з (Оз - (1)-
- Ь 2з (аз - (2) - Ь З4 (аз - (4) ,
Н 4р 2 04 = - М 4 - Ь 4 (а 4 - ОА) - Ь 14 (04 - (1)-
- Ь 24 (04 - (2) - Ь З4 (а 4 - оз) ,
(2.12)
(2-13)
rде
иАЕ/ E.E k
Ь I = 0,8 ,(j = 1, 2, 3, 4); Ь jk = 0,8 J ,
Х/ Xjk
(k = 1, 2, 3, 4 = j) (2.14 )
В этих уравнениях зависимость коэффициентов от начальноrо
режима сохраняется только в значениях э. д. с. E 1 , Е 2 , Е з , Е 4 И на-
пряжения и А' Очевидно, что и уравнениям (2..12), (2..13) можно со-
поставить чисто электрическую схему, как это изложено в Э 2-1,
с тем отличием, что в данном случае (вследствие оrраничеRИЯ
О е < 800) исключено появление в электрической схеме «отрица-
тельных индуктивностей».
Аппроксимацию, аналоrичную рис. 2-5, можно применять также
для rрубых численных расчетов методом последовательных интер-
валов динамических процессов с большими размахами уrлов, ВПЛОТЬ r
до О > 900. Однако при этом надо иметь в виду, что для О -< О 900
синусоида заменяется уравнением у = 0,8 О, а для 900 < в -< 2700-
уравнением у = 0,8 (те-О).
В предыдущем предполаrалось, что модуль узловоrо напряже-
ния не меняется и возмущения состоят лишь в изменении ero фазо-
Boro уrла ОА' При значительных возмущениях типа UA(t), при
OA = О, нельзя пренебреrать произведениями вида и A a} ,
27
и линеаризация синусов в уравнениях исходной системы уже не при-
водит сама по себе к линейным уравнениям с постоянными коэффи-
циентами. Если будет применена линеаризация «в большом», то
в произвольном режиме оrраниченных колебаний уравнение для
любой машины j получит форму:
H jp 2 a j = M j - /jU А (t) (Oj - аА) - bjl (Oj - 01) - . . . - b jk (Oj - 0k)
(2-15)
rде
О,8Е j О,8Е jE k . d 2
+. == , ь 'k == , р2 . dt 2 ·
J J Х j J Х jk
Рассматривая возмущенное движение относительно нормаль-
Horo установившеrося режима, при котором электрическая мощ-
ность P j == Mj, а фазовые уrлы равны 0jO' 0kO' И положив
Oj == 0jO -t- /J,:Oj' 0k == 0kO + Llo k , и А (t) == и АО + LlU А (t),
получим из (2-15) уравнение возмущенноrо движения:
[H jp 2 + /jLlU А (t) + /jU АО + b j1 + . . · + b jk ] дО j -
- Ь j1 дО 1 - · · . - bjkLlO k == - ЭjоLlU А (t), (2-16)
rде 6 jO == °jO-ОАО; UA(t) - некоторая произвольная (в частно-
сти - случайная) функция времени.
Не трудно преобразовать (2-16) так, что UA(t) сохранится
только в левой части. Для этоrо достаточно положить
LlO j = - Э jО -t- 'fj, Llo k == - Э jО + 'fk'
Тоrда будем иметь:
[ H jp 2 + /jb.U А (t) + и АО+ b j + · · · + b jk ] 'f j - b j1 'fl -...- b jk 9 k ==
== A j - B j == F j , (2-17)
А j == (/jU АО + Ь jl + · · · -t- Ь jk) Э jО ;
в j == ь jl э 1 О + Ь j2 Э 20 + · · · + Ь j k Э kO'
Таких уравнений будет п (по числу машин в системе). При t == О
будет 'fj == 8 jo , Cfk == Э kО , но все производные этих величин равны
нулю. Очевидно, только в единственном случае, коrда и А (t) ==
== const, в систеl\fе уравнений (2-17) все коэффициенты постоянны
вообще же это линейная система с переменными коэффициентами
fj;j.U A (t). Если UA (t) - периодическая функция, то в принципе
система (2-17) может быть, как известно, приведена к системе с по-
стоянными коэффициентами, что, однако, составляет довольно слож-
ную процедуру и едва ли оправдано для целей эквивалентирования.
Оставляя в стороне вопрос об определении вероятностных ха-
рактеристик величин Oj или 'fj' коrда I1и А (t) - случайная функ-
28
ция, заметим, что достаточно простым, с вычислительной точки зре-
ния, является случай, если и А (t) представляет однократное воз-
действие в форме прямоуrольноrо блока, определяемоrо условиями:
и A(t) == - U АО дЛЯ О < t < '1; и и A(t) == О для t < q и t > '1;'.
Тоrда на отрезке вреl\lени О < t < '1; в скобках левой части уравне-
ний (2-17) исчезает сумма [f j l1U А (t) + fjU АО ], а для t > '1; отсутст-
вует слаrаемое fjLlU А (t), т. е. оказывается достаточным рассмот-
реть последовательно одна за друrой две системы уравнений с по-
стоя н HbIl\f И коэффициентами, с учетом начальных условий при t = О
и t == '1;.
Указанное возмущение соответствует трехфазному короткому
замыканию длительностью '1; в контрольном узле А. Трехфазному
короткому замыканию неоrраниченной длительности, очевидно,
так)ке отвечает система уравнений типа (2-16) с постоянными ко-
эффициентами, но с правыми частями вида fjЭjОU АО' Она может быть
представлена электрической схемой замещения, подобной показан-
ной на рис. 2-2.
Сравнительно простой случай представляет собой и возмущение
типа д.и А (t) (при Lla А == О), воздействующее на приемную систему
в начальном режиме холостоrо хода по активной мощности, коrда
все B jo равны нулю, и соответственно обращаются в нуль все правые
части уравнений (2-16), хотя левые их части будут содержать пере-
менные коэффициенты. В этом случае линеаризированную динами-
ческую систему можно также представить электрической схемой
замещения, подобной схеме на рис. 2-3, однако с тем отличием, что
все L j должны быть представлены переменными индуктивностями
L j (t) по соответствию:
1 -.-:. f. [и АО + U А (t) 1 ·
Lj(t)' }
(I\pOMe Toro, на рис. 2-3 следует положить и = О.) Между узловыми
напряжениями Uj и вариациями уrлов aj будет существовать
интеrральное соответствие:
t
Lla j .. S и j dt .
О
Если и А (t) - случайная функция, то электрическая схема за-
мещения получится как бы с «шумящими элементами», т. е. изме-
няющимися как случайные функции времени.
К сожалению, осуществление электрических схем замещения
для уравнений с переменными коэффициентами, периодическими
или непериодическими, не является достаточно простой лаборатор-
ной задачей. Поэтому применение таких схем для целей эквивален"
тирования едва ли перспективно, оставаясь в принципе возможным.
29
2-3. Учет деМПфировани.
В предыдущем демпфирование качаний синхронных машин пред-
полаrалось исключенным. Теперь рассмотрим линеаризированные
уравнения и соответствующую электрическую схему замещения
с учетом демпфирования. Последнее проявляется, во-первых, по
причине относительноrо движения машин, обусловливающеrо воз-
никновение моментов скольжения, и, во-вторых, вследствие изме-
нения моментов вращения первичных двиrателей при изменении
скорости их вращения.
Сначала рассмотрим демпфирование первоrо рода. Возьмем одну
из синхронных машин системы, обознаЧflВ ее номером 1, а прочи-е
машины - номерами 2, 3,... в качестве OCHoBHoro положения
(которое оставляем без доказательства) примем, что демпферный
момент исследуемой машины (N2 1) должен зависеть от скорости ее
движения по отношению к эквивалентной э. д. С. (Ё 1э ) «подсистемы»,
образованной всеми прочими машинами (N2 2, 3, . . .) и напряже-
нием V А данноrо контрольноrо узла (А). Эта эквивалентная э. Д. с.
по общему правилу выражается соотношением:
jOA j02 jo
. jo УI и А е + У12 Е 2 е +... + Уln Е n е п
Е 1э = Е 1э е э =
А 1
jOA jo jon
= Е 1 и Ае + е 12 Е 2 е 2 + · · · + е 1n Е n е ,
А 1 = Уl + У2 + · · · + Уlп, е 1 = : . e 1k = : .
1 1
Уl = -, Y1k =-
Хl xlk
(х 1 , Х 12 ' . . . , х 1n - взаимные индуктивности на рис. 2-1).
Отсюда
n
Е 1э соsо э = E1U A COSO A + e 1k E k coSO k = 01'
k=2
п
Е 1э sin оэ = E1U А sin ОА + lkEk sin 0k = 02'
k=2
G
tg ОЗ = - сложная функция уrлов,
01
ЕIэ = GI + o .
(2-18)
Демпферный момент M d в общем случае, очевидно, также яв-
JIяется сложной нелинейной функцией относительно разности
dOl _ dо э . ( o - o ).
dt dt' Р 1 э
30
в линеаризированной системе можно принять:
Mld = glP ( OI - оэ),
причем коэффициент демпферноrо момента gl будет близко пропор-
ционален величине
в 2 *
lэ
Х1Э
1 2-
rде Х lэ = -=-, так что gl = D I Е 1э А l И
А
Mld = D 1 БIэ А I Р ( Ol - оэ).
(2-19)
Коэффициент D l примем за постоянную величину, хотя, cTporo
rоворя, он в свою очередь зависит от относительной скорости
Р (ОI- 0 э)'
Ввиду крайней сложности указанных выше функциональных
зависимостей Е 1э и O от основных э. Д. с. и уrлов, будем ради мак-
симальноrо упрощения исходить из метода «линеаризации В конеч-
ном диапазоне» (см. 2-2), полаrая, что все уrлы не выходят (при
надлежащем выборе оси отсчета) за пределы 0+ 75°, и принимая
для любоrо уrла а в этих пределах sin а = 0,8 а, а для cos а - по-
стоянное среднеквадратичное значение 0,75. Тоrда соrласно (2-18)
будет:
п
Е 1э = ; U А + ;lkEk
k=2
(2-20)
и
о _ е 1 и А о А 1 п
lэ - Е + Е ;lk E k o k' (2-21)
1э ....13 k=2
Соответственно для вариаций эквивалентноrо уrла и демпферноrо
момента, учитывая выражения коэффициентов ;1, E li через прово-
димости связей рис. 2-1, получим:
УIИАДОА 1 п ':\
ОIЭ = - + - Ylk E k ok'
АЕ tэ АЕ 1э k=2
(2-22)
JiM jd = DjЕjэР {УРА (ilO j -ilо А ) + 2YkEk (ilo j - L1O k )}.
Полное отклонение электрической мощности dPl в относитель-
ных единицах равно сумме отклонений синхронизирующей p 51
И демпфирующей p dl мощностей:
п
JiPl = Ь ! (L10 1 -Jiо А ) + bjk(JiOj -ilo k ) +.!!...- (il0 1 -L1O А ) +
k=2 R 1
* Это BЫT KaeT из аналоrии с работой reHeparopa на шины бесконечной
мощности через некоторую линию переJ!ачи.
31
п
+ L(MI-Mk)=(bl +L)( Оl- ОА)+
k 2 R 1 k R 1
п
+ (blk + -L)( 81- Ok)' (2-23)
k=2 R 1 k
rде
1 D 1 Б 1э И А 1 _ D 1 Б 1э Е k
-- --
R} Х1 R 1k Xlk
Отсюда уравнения малых движений данной машины (NQ 1) и по ана-
лоrии - прочих машин системы будут:
[ H iP 2 + t (b ik + ;iJ ]Mj=(b j + )MA+
+ (b jk + -L) Ok
RjJ
k = 1, 2, . . . , n =1= j),
D.E. E k
_ J /3
Xjk
(2-24)
(j = 1, 2, о . . , n;
1 D.E. И А 1
_ = / /э _
R j Х ] Rjk
Этой системе уравнений можно сопоставить чисто электрическую
схему замещения вида рис. 2-7 (для случая n = 3), rде операторные
- - - - - -
проводимости Уl' У2, Уз, У12' УIЗ, У2З представляют собой параллель..
ные соединения некоторых индуктивных и активных проводимостей;
- 1 1 - 1 1 - 1 1
например: Yl=-+-' У2=-+-' У12=-+- и т.Д.
L 1 P'1 L 2 P'2 L 12 P '12
При этом должно иметь место следующее соответствие парамет..
ров и переменных указанной схемы параметрам и переменным си-
стемы уравнений (2-24).
М А (Р) .. ИА (р)
Р
А ( ) . U j (Р) Ар'.
и.О j Р . ; и. j . t jC;
Р
Н . С Ь' 1 . ' .-!-
j . j; j . -L.; VJk. L '
J jk
R j .. 'i; R jk .. 'jk o
Из параметров системы уравнений (2-24) только определение
величин D j (в выражениях R jk ) представляет известную трудность.
Однако для-целей эквивалентирования представляется допустимым
эти величины (D j) определять для каждой машины (или станции)
в предположении прямой связи ее с узлов А через индуктивность
Xj и считая при этом, что демпферный момент определяется на ча-
стоте собственных колебаний машины, коrда узел А принимается
за шины бесконечной мощности [л. 20].
32
)
(2-25)
Если желательно учесть демпфирование, обусловленное изме-
нением вращающеrо момента первичноrо двиrателя, то необходимо
сумму в квадратных скобках левой части уравнения (2-24) допол-
нить еще одним слаrаемым вида ....L. В схеме замещения рис. 2-7
R Jo
этот аналитический акт будет соответствовать введению активноrо
шунта 'jO К каждой из емкостей C 1 , С 2 , . . . , СП так, чтобы имело
место соответствие:
R *
jO -;- 'jo.
Теперь ясно видно, насколько усложняется схема замещения
и насколько затруднен полный учет демпфирования в сложной си-
стеме, даже при упрощенном подходе
к АРВ. Вместе с тем, из анализа струк- С"
туры схемы замещения рис. 2-7 можно
установить, что наличие демпферноrо
эффекта хотя бы в одном элементе си-
стемы вообще должно создавать затуха-
ние всех возбужденных свободных коле-
баний. Исключения MoryT иметь место u
в частных случаях, например, коrда все
проводимости вида Yjk равны нулю, т. е.
коrда схема рис. 2-7 распадается на Рис. 2-7.
отдельные ветви, непосредственно при-
соединенные к узлу А. Аналоrичные выводы можно распростра..
нить и на случаи отрицательноrо демпфирования (самораскачива-
ния). Поэтому при наличии как положительноrо, так и отрицатель-
Horo демпфирования, вопрос о характеристических показателях
свободных колебаний «в малом» решается только на основе опреде-
ления корней соответствующих характеристических уравнений.
}-4. Замещение асинхронных двиrатепей
синхронными
Рассмотрим сначала упрощенные уравнения асинхронных дви-
rателей" пренебреrая свободными токами в цепях статора и ротора,
и прежде Bcero - простейший случай, коrда двиrатель работает
от так называемых «шин бесконечной мощности» (или от отдельноrо
reHepaTopa с постоянной э. Д. с. (рис. 2-8). Дополнительно пренебре-
жем активным сопротивлением цепи статора и намаrничивающим
током, рассматривая лишь такие переходные процессы, при которых
можно относить все индуктивные параметры к некоторой нормаль-
ной частоте. Тоrда получим эквивалентную схему обычноrо типа
(рис. 2-9) (которая, cTporo rоворя, относится только к стационар-
ным режимам), rде , - активное,сопротивление ротора; X s - сум-
* Доказательство этоrо положения опускаем, ввиду ero относительной
несложности, при учете ранее установленных соответствий.
зз
марное (приведенное к цепи статора) реактивное сопротивление ero
обмоток; s - скольжение, отнесенное к потоку, определяемому
напряжением iJ в в точке В схемы. * Этой схеме соответствует век-
торная диаrрамма рис. 2-10, на коroрой 1 - ток в цепи статора
двиrателя;
Х = Х Л + х в ; I U в I = 1 : ;
(2-26)
S
lJA
I
,.
\
(' Хт=ОО
,.
"
UA=COпst
Рис. 2-8.
АД
Рис. 2-9.
&s - переменный уrол скольжения ротора, связанный со скольже-
нием s уравнением:
d& (оов - U>R)
- ::Z: фв - (J)R =... фв = S(J)B' (2-27)
dt ООВ
rде Ш в И Ш R - абсолютные скорости векторов ив и u на рис. 2-10.
При указанных выше условиях и пре-
небрежении активными потерями электро-
маrнитная МОЩНОСТЬ, подведенная к дви-
jjx rателю и передаваемая ротору, очевидно
будет:
ив
J
иАu в
р = sin3.
а х
(2..28)
о
Полаrая все величины выраженными
в относительных единицах, можно считать
и электромаrнитный момент двиrателя рав-
ным Ра'
Так как соrласно диаrрамме рис. 2-10
и в = и А cos 3- ,
Рис. 2-10.
то из (2-28) получим:
u 2 1 u 2
М а о' Pa= sin&cos&=- sin2&.
х 2 х
(2-29)
* Скольжение S, CTporo rоворя, следовало бы относить к напряжению
точки С схемы рис 2-9, з.цесь .цопущено упрощение.
34
Уrловая скорость Фр ротора отличается от предполаrаемой постоян-
· d ( + )
ною скорости ФО вектора и А на величину S ,т. е.
dt
d (& + &$)
Фр = фо - dt ·
Поэтому, обозначая инерционную постоянную дв Irателя через Н
(В сек 2 ), получим в данном случае следующее уравнение движения
ротора:
н d oo p = _ н d 2 (& + &5) = -...!- U sin 2& _ М
dt dt 2 2 х п,
(2-30)
rде М п - тормозной момент приводз.
Из (2-30) исключим &5 с помощью (2-27) и очевидноrо соотноше-
ния (соrласно рис. 2-10)
tg&= = [х = = dt}s . (2-31)
U в 1 -!- , ,оо В dt
s
Допуская, что ФВ существенно не от.цичается от нормальной частоты
Ф О (абсолютной скорости вектора и А)' и ПрИНЯВ приближенно
tg {} 3, получим:
& ..!- d&s
{J)o' dt
или
d 2 & (j) о' d3-
-=--.
dt 2 х dt
Соответственно этому уравнение (2-30) после перемены знаков при--
водится к виду:
Н d23- + Н ())о' d + и . 2 - М
- -- -Sln '\1- п.
dt 2 Х dt 2х
(2-32)
Мы получили уравнение, которое указывает на возможность
колебательноrо процесса. Это обстоятельство уже было в свое время
отмечено и в основном рассмотрено Р. Рюденберrом [Л. 22].
Заметим, что уравнение (2-32) является в пределах сделанных
допущений более точным, чем обычное, учитывающее только изме-
нение скольжения s, выражающееся через первую производную
скорости ротора (Ф р ) и указывающее лишь на возможность аперио-
дическоrо процесса. Можно показа1Ь, что такое уравнение полу-
чается из (2-32) при х О.
Соrласио (2-32) уравнение малых свободных колебаний будет:
(L) r и 2
Н р 2А& + Н рА& + cos 2&oLl& = о.
х х
35
Этому отвечает характеристическое уравнение:
2 + (J)o' + а - О
Р ---;Р н -'
(2-33)
rде
u 2
а = cos 2{}о.
х
Отсюда
ООо' V(j) ,2 а 11 а
Р =--+ ---=-q+ q2_- H ..
1,2 2х - 4х 2 Н -
При q2 >...!!:- будет иметь место апериодический процесс; при
Н
q2 <...!!:- асинхронный двиrатель будет совершать затухающие
Н
колебания с частотой
'i = V _q2.
Наибольшая частота соответствует cos 2&0 == 1, т. е. 3-0 == О,
следовательно - холостому ходу.
По подсчетам Р. Рюденберrа постоянная времени затухания ко-
лебаний двиrателя средней мощности (с номинальным относитель-
ным скольжением s 1 %, относительной реаКТИВНОС1ЬЮ в 25 %
и инерционной постоянной в 1 сек, по обычной мере) равна 0,16 сек,
а собственная частота 5,55 2Ц. Это значительно выше частоты
колебаний мощных синхронных машин в энерrосистемах. Данные
Р. Рюденберrа мы положим в основу некоторых заключений в даль-
нейшем.
Введение асинхронных Д8иrателей в общую систему линеаризи-
рованных уравнений, указанных в 2-1 и 2-2, представляет значи-
тельные трудности как вследствие их мноrочисленности, так и в
силу особенностей наблюдающихся в них физических процессов,
обусловленных в основном отсутствием собственных автономных
э. д. С. В этом мы убедимся на следующих примерах, соответствую-
щих схемам рис. 2-11 и 2-13, rде электрические связи представлены
взаимными реактивностями, включающими в себе и реактивности
машин (reнepaTopoB и двиrателей). На этих рисунках узел А соответ-
ствует шинам беск нечной мощности, узлы М и N отвечают внутрен-
ним точкам эквивалентных схем асинхронных двиrателей, подобным
точке В на рис. 2-9, и узлы D и F на рис. 2-11 - воображае-
мым точкам приложения э. д. с. E D И Ер двух синхронных reHepa-
торов. Индуктивные проводимости взаимных связей ниже обозна-
чены соответственно концевым узлам: YAD' УАР' YDM' УАМ' . . · и т. д.
36
Для рис. 2-11 эквивалентная э. Д. с. относительно узла М выра-
жается, очевидно, формулой:
. УАм и А + YDMED+ УрмЁр
Е -
Мэ- YAM+YDM+YPM
. . .
Обозначив фазовые уrлы величин и А' Е D И Ер относительно неко.
торой синхронно вращающейся
ос и соответственно через ОА' 0D
И ар, получим:
Е»
Рис. 2-11.
о
1м
IM/Y
.
им
Рис. 2-12.
. jоэ jOA iOD jop
Е мэ = Емэе == еАми А + eDMEDe + Е рм Ере =
== (ЕАми А coso A + DMEDcosoD + EpMEpcoso p ) +
+ i(EAMU A sino A + eDMEDsino D + epA1Epsinop) == N + jQ,.
rде
УАМ
е АМ =
Y'JJ
YDM
E DM == Yr. '
УРМ
Е рм = Y'JJ '
Y'JJ == У АМ + YDM + У РМ '
откуда
Е э == N 2 + Q2,
Q
tgо э == -.
N
(2-34)
Соответственно изложенному можно построить диаrрамму
(рис. 2-12), аналоrичную рис. 2-10, однако с учетом тoro, что как
Е Мэ' так и Оэ теперь в процессах колебаний суть переменные вели-
чины; при этом
. . r
Им == 1-
s '
1 d&s
S --- .
Wo dt
37
t {t==
g Yr. r '
(2-35)
Допустив, что tg 3 3, взамен (2-35) имееlVI:
{) 1 d3- s
,
())oY'1J' dt
d3 1 d 2 \}s
-
dt (J)oY ' dt 2
Квазимrновенное значение электромаrнитной МОЩНОСТИ двйrателя
(или, полаrая, что скорость вращения потока несущественно укло-
няется от синхронной,- электромаrнитноro момента) аналоrично
(2-29) будет:
М э УЕЕ э sin 2 .
Ускорение ротора следует отнести к суммарному уrлу
a'1J = а э + & + &$.
В результате получаем:
d 2 3 d d 2 0 э 1 в2 М П
dt 2 + фоу ' dt + dt 2 + 2Н y Мэ - Н
м М
Если положить а э + 3- = 3м' то это выражение приводится к виду:
d 2 &M d M y .
dt 2 + ФОУ}]' - + -ЕмэU мSlп(з-м-аэ) =
dt Н М
dоэ + м п
= ФоУ ' dt Н '
м
(2-36)
(2-37)
rде
и м = Е Мэ cos (3 М - аэ) ·
Уравнение (2-37) следует присоединить к уравнениям синхрон-
ных машин, входящих в систему рис. 2-11, которые будут подобны
(2-3), но в каждое из которых теперь неизбежно будет входить в ка.
честве множителя в одном из слаrаемых переменная величина и м'
выражаемая через величины Е Мэ И Оэ' определяемые формулами
(2-34), в сложной зависимости от переменных уrловых координат
A' a D и Ор.
Поэтому даже линеаризированные уравнения малых колебаний
системы рис. 2-11 получаются достаточно сложными. Еще большие
осложнения уравнения обнаруживаются для системы рис. 2-13.
Для определения напряжений в узлах М и N (рис. 2-13) при
заданных комплексных значениях и А и Ба приходится решать сов-
местно два уравнения:
и ' _ еАми А + е ма Е а + eMNU N ( _ 1 )
- ТМ- ,
М 1 + i'M S l 'l Y '1JM
(; = AN(; А + MoEo + NM(; М (Т = 1 )
N 1 + 1Ns2 N '2 Y }JN'
38
(2-38)
r де '1' '2 И 51, 52 - соответственно активные сопротивления и «MrHO-
венные» скольжения роторов двиrателей; Y'1JM = УАМ + Ума + YMN;
Y'1JN =- YAN + YNO + YMN; е Ам , Е мо · · · и т. Д.- коэффициенты, опре-
деляемые подобно аналоrичным коэффициентам для схемы рис. 2-11.
Решение уравнений (2-38) относительно и м и V N дает:
. (1 + IN S 2) А м + ;MNAN
и м =
d
. (1+1М S 1)А N +;Nм А Л1
U N =
d
(2-39)
А м = AMU А + емоЕ о , A N = еАNи А + eNoE a ,
= (1 +rM 5 1)(1 +rN 5 2)- eMNENAf'
Полученные выражения (2-39) непосредственно не поз130ЛЯЮТ
для каждоrо двиrателя независимо от друrоrо найти эквивалент-
ную э. д. с. и повторить рассуждения, при-
мененные к системе рис. 2-11. Этоrо можно до-
стиrнуть только с каким-то приближением, пола-
rая в формулах для (; м и (; N соответственно
rN52 = О и rM5j =0, т. е. исключив влияние пере-
ходных режимов одноr:о двиrателя на друrой.
В режимах, близких к холостому ходу (51 О
И 52 О) эrо вообще вполне допустимо. Однако
в ряде реальных практических случаев такой
прием может оказаться. неприемлемым. Прием..
лемость ero должна быть оценена в каждом отдельном случае кон-
кретным расчетом проводимости связи У MN И отношением ее к дру-
rим проводимостям схемы рис. 2-13.
Трудности анализа, проявившиеся в приведенных простых слу-
чаях, станут, естественно, еще большими при увеличении числа
узлов, питающих моторную наrрузку, а таких узлов в любой ре-
альной энерrосистеме, конечно, roраздо больше, чем узлов reHepa-
торных. Это создает значительные трудности в построении линеари-
зированных уравнений, которые моrли бы быть с успехом исполь-
зованы в процедуре эквивалентирования. Поэтому представляется
целесообразным пойти предварительно на априорное упрощение,
а именно - на замену любой асинхронной наrрузки СИНХРОННЫl\IИ
двиrателями с возбуждением постоянным током, как это уже не-
однократно допускалось в анализе динамики энерrосистем. *
Следует признать, что если такая замена служит для получе-
ния окончательных представлений о процессах в энерrосистемах
Рис. 2-1 З.
* Нелишне отметить, что при ., о ВPIражение электромаrнитной мощ-
ности в (2-29) становится подобным выражению ее }!,,'IЯ явнополюсноrо синх"
pOHHoro реактивноrо виrателя.
39
то есть основания сомневаться в достаточной точности получаемых
результатов. Однако в данном случае замена асинхронных двиrате-
лей на синхронные будет являться лишь промежуточным этапом
эквивалентирования, поскольку в конечном эквиваленте синхрон-
ные наrрузочные элементы будут выделены в особый частный экви-
валент, который снова подлежит превращению в асинхронную ма-
шину. Можно надеяться, что ошибка, допускаемая на первом этапе
заменой асинхронных двиrателеи на синхронные, будет в значи-
тельной степени скомпенсирована обратной операцией - заменой
полученноrо эквивал нтноrо синхронноrо двиrателя на асинхрон-
ный. Отсюда возникает задача об установлении оптимальных усло-
вий соответствия между синхронными и асинхронными двиrателями.
В предыдущем в основу линеаризированных уравнении поло-
жено допущение, что крупные синхронные машины представлены
своими постоянными э. д. с. за некоторыми реактивностями, и со-
ответственно именно последние вводятся в уравнения. Это сделано
для Toro, чтобы динамические переходные процессы в системах от-
ражались простейшими уравнениями наиболее точно, и это оправ-
дывается как большими значеНИЯl\ и постоянных времени роторных
цепей (T do ), так и наличием в системах автоматическоrо реrулиро-
ва ия возбуждения, эффект KOToporo примерно соответствует усло-
,
вию E d == const. Однако эти условия не MQrYT быть распространены
на синхронные двиrатели, предназначенные в процессе эквивален-
'Тирования заменять собою большое число мелких асинхронных
двиrателей, отличающихся весьма малыми постоянными времени
протекающих в их роторах электромаrнитных процессов при тех
или иных переходных режимах и качаниях. Эти постоянные времени
порядка 0,05-0,1 сек, вследствие чеrо асинхронные двиrатели в
процессах KopoTKoro замыкания, как известно, MoryT оказывать
заметное влияние только на так называемый «сверхпереходный
режим» и на ударные токи.
К процессам же качаний энерrосистем с полным основанием
можно применять выражениw моментов и мощностей асинхронных
двиrателей, соответствующие стационарным режимам, с учеJОМ из-
менения скольжения, как это и нашло отражения в уравнениях
(2-32). Отсюда следует, что и синхронные двиrатели, заменяющие
в процессе эквивалентирования асинхронные машины, должны
в общих уравнениях системы представляться выражениями момен-
тов и мощностей, отвечающими стационарным режимам, что равно-
сильно пренебрежению ответной реакцией обмоток ротора в процес-
сах качаний, иными словами - равносильно допущению очень ма-
лых постоянных времени роторных цепей.
На основании изложенноrо следует выбирать заменяющий син-
хронный двиrатель из условий, что ero статический предел мощно-
сти и частота малых колебаний - в одинаковом по мощности и при-
ложенному напряжению режиме - равны соответствующим ана,.
лоrичным величинам для заменяемоrо асинхронноrо двиrателя.
40
Что касается коэффициента затухания колебаний, то для целей
эквиваленrирования на первой и второй стадиях мы исключим ero
из рассмотрения, так как внесение элементов с затухающими коле-
баниями даже в линеаризированные уравнения чрезвычайно ослож-
няет анализ системы. Таким образом от асинхронноrо двиrателя
с затуханием мы временно переходим к синхронному идеализиро-
ванному двиrателю без затухания.
Обратившись к простейшему случаю рис. 2-8 и предположив
для простоты, что синхронный двиrатель имеет круrлый ротор с сим-
метричной (например продольно-поперечной) обмоткой возбужде-
ния, найдем, что ero предельная мощность будет:
и АЕе
Р т" == ,
Х Л + ХС
rде Х с и Ее - синхронная реактивность и э. Д. с. двиrателя.
В то )ке время для асинхронноrо двиrателя соrласно (2-29)
u 2
р == . А
та 2
Х Л + X s
в соответствии с первым из указанных условий замены получим
уравнение:
и АЕе 1 u 2
А
-
x J1 + Х С 2 Х Л + X S
Ее 1 и 4
- .
х л + Хе 2 Х л + Xs
Ее == аи А' Х е == XS'
или
Положив
перепишем последнее уравнение в виде
2а (Х л + X S ) == Х Л + XS. (2-40)
Требования тождества исходноrо установившеrося режима опре-
делим как требование равенства активных мощностей и коэффици-
ентов мощности при одном и том же питающем напряжении (и А).
т. е. Ре == РаИ COS <Ре == COS <Ра (или <Ре == <Ра).
Если в стационарном режиме принять:
для асинхронноrо двиrателя
L.U A , Ив={t={tа
и для синхронноrо двиrателя
LU А' Ее = {tc'
41
'То из условия равенства активных мощностей получим:
и АЕс. 1 u
Sln {t = - sin 23 а .
Х Л + Х е с 2 Х л + Xs
или в друrом виде, учтя (2-40):
sin 3 с = sin 2{}а' (2-41)
Уrловой сдвиr LU А' i a для асинхронноrо двиrателя (при пренебре-
жении намаrничивающим током) будет:
epa {}a.
Аналоrичный уrловой сдвиr ере для синхронноrо двиrателя не-
iрудно определить с помощью выражения тока:
i = ИА-Е е _ UA(I-acos&e+ajsin&e)
с j (Х л + Хс) j (х л + х с ) ·
Отсюда найдем, с учетом требования ерс = ера:
t 1 - а COS 3- с t t
gepc = . = g<Pa = gu a .
а Sln &с
При заданном значении 3 а из уравнений (2-40), (2-41) и (2-42)
однозначно определяются величины &с, а и . Действительно, cor..
ласно (2-41) в пределах до 900:
3 с = 2&а.
Соответственно (2-42) преобраэуется к виду:
sin &а 1 - а (1 - 2 sin 2 &а)
-
cos&a 2а sin &а COS &а
(2-42)
(2.43)
откуда и получим:
(Х=1, Ее = и А .
Из (2-40) находим теперь:
(2-44)
=2 + .
X s
(2-45)
Заметим, что, если в X s включить не только собственную реактив-
ность асинхронноrо двиrателя, но также и реактивность линий и
-трансформаторов до ближайшей узловой точки питания в мощной
сети более BbIcoKoro класса напряжения, то коэффициент 2.
Остается сопоставить частоты собственных колебаний; при этом,
поскольку влияние демпфирования будет исключено, следует срав-
нивать идеальные частоты колебаний, которые для асинхронноrо
и синхронноrо двиrателей рав ны соответст внен о:
... 1" а .../ ас
"а = V н а · "е = V ---н:'
42
rде
U Ееи А
а = . COS 2&а; ас = cos &с,
Х Л + Xs х л + хс
На' Не - инерционные постоянные.
Следует принять
V a = V c ,
т. е.
ас а
=-
Не На
(2-46)
Соrласно (2-43) cos 8 е = cos 2&а и соrласно (2-44)
этому условие (2-46) приводится к виду:
Не (х л + Х е ) = На (Х л + X S )
или, так как по (2-40)
Х С = (2 + :; ) X s = 2x s + х л .
ЕеИ А = И ; по-
имеем:
т. е.
Не (2:t л + 2x s ) = На (х л + X s ),
1
Не=-Н а .
2
(2-47)
Таким образом, эквивалентный синхронный двиrатель должен
иметь вдвое меньшую инерционную постоянную (совместно с при-
водной машиной или станком) по сравнению с замещаемым асин-
хронным arperaToM. Этот вывод является как бы «абсолютным» (не-
зависимо от х л ).
Остается ввести еще одно условие. В сложных системах, даже
если пренебречь взаимовлиянием rрупп асинхронных двиrателей,
для эквивалентноrо синхронноrо двиrателя следует принять Ее =
= Е э , причем Е э в процессе качаний будет переменной величиной
[см. формулу (2-34)]. Имея в виду только линеаризацию «в малом»,
можно оrраничиться для каждой rруппы асинхронных двиrателей
определением эквивалентной э. д. с. лишь в исходном установив-
шемся режиме, что не представит особых затруднений. Эти эквива-
лентные э. Д. с. затем, в силу условия (2-44), и придется принять
в качестве э. д. с. замещающих СИНХрОlIНЫХ двиrателей.
Что касается синхронной реактивности замещающих синхрон-
ных двиrателей, то и в сложной системе она не зависит от качаний,
и, например, для замещающих двиrателей рис. 2-13 в узлах М и
N будет в соответствии с (2-45) выражаться формулами:
1 1
Х м = 2х м + 'X cN = 2x sN + , (2-48)
с s УЕМ YEN
43
тде X sM и X sN - собственные суммарные (приведенные к обмоткам
статора) реактивные сопротивления рассеяния за..
мещаемых асинхронных ДВИI'ателей;
Yr.M И Yr.N - суммарные проводимости ветвей, примыкающих
к узлам М и N рис. 2-13, определенные с учетом
u u
указанных реактивностеи асинхронных двиrателеи.
После замены последних синхронными двиrателями проводимо-
оСти всех ветвей схемы рис. 2-13 (как и в общем случае) получат но-
* * *
вые значения УАМ' YAN' У АО , · · · , которые должны быть определены
по общим правилам с заменой в исходной схеме системы реактив-
ностей X sM ' X sN на реактивности Х сМ ' X cN '
2.5. Применение второй теоремы разложения Хевисойда
к преобрвэованиlO электрических систем
1. ОСНОВНОЙ анализ
в тех случаях, коrда рассматривается реакция на возмущение
электромеханической системы со стороны одноrо узла, линеаризи-
u u
рованные уравнения самои системы и уравнения соответствующеи
u u u
еи индуктивно-емкостнои электрическои
схемы замещения допускают применение
второй теоремы разложения [Л. 23].
При известных условиях оказывается,
что реакция системы на узловое возмуще-
ние распадается на составные колебания
разных частот, каждому из которых может
быть сопоставлена простая цепь из после..
довательно включенных индуктивности и
емкости. Так, например, пренебреrая демп-
ферными моментами, обращаясь к схеме
рис. 2-3 и предполаrая, что она соответ-
ствует rруппе четырех reHepaTopoB (или станций простой струк-
туры), можно в ряде случаев реакцию системы на возмущение со
стороны узла А совершенно точно представить по второй теореме
разложения как сумму реакций на то же самое возмущение со
стороны четырех элементарных цепей (L j *, С;*; j = 1-4), присо-
единенных к узлу А, причем индукrИВНОС1И L j * и емкости C j *
оказываются однозначно определенными.
Общее количество необходимых и достаточных параметров
сильно сокращается по сравнению с исходной схемой; например,
для схемы рис. 2-3 вместо 14 параметров в результативной лучевой
схеме (рис. 2-14) получим Bcero лишь 8. Таким образом, преобразо-
ванне по теореме разложения является в то же время эквивалентиро-
ванием, поскольку происходит сокращение числа необходимых для
определения реакции системы параметров: оно является точным
в такой степени, в какой линеаризированная система способна ОТО-
61*
С1 .
и
Рис. 2-14.
44
бразить свойства заданной исходной нелинейной динамической си-
стемы.
Распространяя схему рис. 2-3 на любое число п машин, не трудно
показать, что уравнения, отнесенные к входным токам i 1 , i 2 , . . . ,
i n , протекающим по ветвям L 1 , L 2 , . . . , L n , будуr в матричной
форме иметь вид
- -
Bi == ари,
rде
(р2 + i), - i2' .. · , - iп
в == - l (р2 + ), .. · , - п
- l' - 2' . . . , (р2 + )
k=п
j2 = + -!- -.!...., -.!.... = -.!.... , k = L k , а j = J...- .
L.C. С. L'k L.. L. J С L.L' k L. J
J J J k= 1 J 11 J J J J I
Суммарный (входной в схему) ток ir. представится оператором:
i == apN (р) u (а = а.)
r. М (р) I '
- 1
rде М (р) и N (р) - четные * полиномы от р вида
р2п + Ь 1р 2п-2 + ... + Ь n и р2 (п-!) + Ь;р2 (п-2) + + b:- 1 .
Уравнение М (р) = о определяет частоты свободных колебаний
в заданной схеме, а уравнение N (р) == о - для случая, коrда узел
А не имеет никаких прямых связей с обратным проводом, т. е. коrда
между этим проводом и узлом бесконечно большое сопротивление.
Поскольку в индуктивно-емкостной схеме (рис. 2-3) не может
быть ни убывающих, ни возрастающих свободных колебаний или
апериодических процессов,- все коэффициенты полиномов М (р)
и N (р) .должны быть положительны и сами полиномы должны до-
пускать разложение на множители по соБС1венным частотам Vt,
v 2' · · · , V п И r l' r 2' . · · , r п-l' т. е.:
а 1
а 2
а=
а п
(2-49)
(2-50)
м (р) == (р2 -l- V ) (р2 + V ) . . . (р2 + v ),
N (р) == (р2 + rI) (р2 + "( ) . . . (р2 + r -l)
N (р)
Если все частоты Vj различны, то рациональная дробь
м (р)
u d j
разлаrается на простеишие вида 2 2 ' Т. е. будем иметь тож-
р + j
дество:
* При отсутствии активных сопротивлений.
45
J:sп
N(p) = dj
M ) р2 +'iJ '
j=l
rде все d j - вещественные числа.
Соответственно
п
adjP
i)J = р2 + ,, и.
1 }
В то же вреrvIЯ для схемы рис. 2-14 имеем:
п п
i)J* = и 1 - = L j * (p + 1Ij) и,
1 Lj*p + 1
Cj*p
1
2 = .
Lj*C j *
Если все d j положительны, то, выбрав L j *
и C j * так, чтобы
1
1
= ad. и I'f) = V
L } ..) }
j*
L 1 С _ adj
j* = i* - 2
ad j j
обеспечим тоджественное преобразование исходной схемы рис. 2..3
в схему рис. 2-14, состоящую из разделенных ветвей.
Несложными рассуждениями можно показать, что для положи-
тельности всех d j необходимо и достаточно, чтобы на числовой оси
частоты r], r 2' · . · , r п-I располаrались по одной в промежутках
между частотами V 1 , V 2 , . . " , V п ' считая, что те и друrие пронуме-
рованы в порядке возрастания, т. е. чтобы при любом k было:
Vk<rk+l <V k + 1 " (2..52)
Вопрос О' том, каI{ИМ аналитическим условиям должны удовлет-
ворять параметры исходной схемы рис. 2-3 (L 1 , L 2 , · · · , L п ; JJ12, " . "
L jk ; С 1 , С 2 , . · · , Сп)' чтобы соблюдались условия (2-52), в общем
случае остается открытым вследствие алrебраической сложности
вопроса. Достаточно сказать, что определение корней уравнения
М (р) = о через радикалы в символах ero коэффициентов при
п > 4, по известной теореме Абеля, вообще невозможно, а при
п > 2 - для указанной цели - не эффективно. Для п = 2 условие
(2-52) удовлетворяется при любых (существенно положительных)
значениях параметров исходной схемы, которая в этом простейшем
случае имеет вид рис. 2-15. Ему соответствуют уравнения:
(р2 + I) i 1 - I2i2 = а 1 ри,
- l + (р2 + ) i 2 = а 2 ри.
46
2
Рис. 2-15.
или
(2-51 )
При этом
А2- L 12 + L 1
r'l - ,
C 1 L 1 L 12
А2_ L 12 + L 2 .
r'2 - ,
C 2 L 2 L 12
А2 _
r'12 -
L 2
C 1 L 1 L 12
L 1
C 2 L 2 L 12
Q2
1"'21 -
Суммарный ток i JJ выражается формулой:
. (а 1 + а 2 ) р (р2 + 17)
l=
JJ М (р) ,
rде
( 1 ,1)( 1 1 )
r - т- -+-
1- L 1 + L 2 L 12 С 1 С 2 '
М(р) = р4 + 2 p2 + d,
R =.-!- (R2 + R2) = R2R2 _ R2 R2 = L 1 + L 2 + L 12 > О.
r'т 2 r'l r'2' r'1r'2 r'12tJ21 LIL2L12CIC2
В данном случае разложение i JJ на простейшие дроби имеет два
слаrаемых. Поскольку частоты '.11 и '.12 леrко определяются из уравне -
ния М (р) = о и кв адраты их соответственно равны ( ; - v - fj. )
и ( ; + v - fj. ), у словие (2-52) приводит к требо ванию:
- v :п - 1:1 r [ + v iп - t1 ,
(2-53)
т. е.
или, наконец:
(ТТ- )2 - А
ТТ ( ТТ - 2 )<: -1:1.
УЧТЯ (2-53), найдем:
LiC 1 + L C2
T2-2 2 =-
1 т (L 1 +L 2 ) L 1 L 2 C 1 C 2 '
И требование (2-52), в конечном счете, после несложных преобразо-
ваний приводится к простому всеrда удовлетворяющемуся условию:
(L 1 C 1 - L 2 C 2 }2 > О.
Отсюда и следует, что схема рис. 2-15 во всех случаях (при '.11 =/= V 2 )
приводится относительно узла А к двум независимым цепям, со-
стоящим из последовательно включенных L 1 *, С 1 * и L 2 *, С 2 *, опре-
деляемым соrласно (2-51).
Если параметры исходной схемы рис. 2-3 заданы в конкретном
численном выражении, то принципиально в сколь уrодно сложных
случаях можно определить все частоты V 1 , '.12, . . . , " п И 1'1' Т2, . · · t
Tп-l' а затем проверить соблюдение условия (2-52), т. е. ВОЗl\10ЖНОСТЪ
преобразования к схеме рис. 2-14.
47
В ряде случаев возможность упрощения схемы рис. 2-3 очевидна
без специальноrо исследования. Так, например:
а) если все L jk = со или очень велики относительно L j , то схема
рис. 2-3 сама собой точно или с достаточной точностью распадается
на независимые цепи (L 1 , С 1 ; L 2 , С 2 : · · · ; L n , Сп);
б) если, напротив, все L jk == О или очень малы сравнительно
с L j , то схема рис. 2-3 точно или приближенно приводится к одной
цепи с последовательно включенными L э и с э , причем
n n
1 1 С э = Ci;
L э - Т;'
j=l j=l
в) если при любом j (от 1 до п) имеет место условие, что LjC j
есть инвариант, то при любых значениях L jk схема рис. 2-3 предста-
вима отдельными, не тождественными, цепями (L j , C j ) с одинако-
вой собственной частотой. Это утверждение вытекает из Toro, что
при указанном условии напряжения узловых точек и 1 , и 2 , . . . , и n
оказываются тождественно равными между собой, а потому связи
L jk не имеют значения. *
Важно отметить, что приближение исследуемой системы к слу-
чаю а) или б) зависит от первичных реальных связей контрольной
узловой точки (рис. 2-1) с основными элементами системы (reHepa-
торами и двиrателями), причем увеличение индуктивностей этих
связей ведет к некоторому уменьшению расчетных L jk , и наоборот.
Представляется естественным в качестве реальной контрольной
узловой точки А брать конец линии передачи (у понизительных
трансформаторов), устойчивость которой подлежит изучению. В та..
ком случае существенную роль будут иrрать понизительные транс-
форматоры.
Если изучаемая ЛЭП сравнительно маломощна, то относитель-
ное значение реактивности ее понизительных трансформаторов бу-
дет велико, и линейный эквивалент по своим свойствам будет при-
ближаться к случаю б). С друrой стороны, присоединение мощной
ЛЭП к компактной системе соизмеримой мощности требует большей
точности эквивалентирования, и потому в этом случае целесооб-
разно узловую контрольную точку А перенести на вторичные шины
понизительных трансформаторов. Тоrда несомненно линейный эк-
вивалент в большей мере будет отвечать случаю а).
Как уже отмечалось выше (э 2-1), контрольное возмущение
OA (t) (при U А = О) относится безразлично к энерrетическому
составу эквивалентируемой системы (при замене асинхронных ДВИ-
rателей синхронными), т. е. не дает возможности в результативной
схеме, образуемой по теореме разложения, отделить цепи reHepaTOff
u u
рОВ от цепеи двиrателеи.
* Это утверЖlf.ение справе)J.ЛИВО только для возмущений при нулевых
начальных условиях схемы рис. 2-3.
48
Представляется все же возможным на основе Toro же узловоrо
возмущения a (t) (при U А == О), которое приводит к более про-
стым уравнениям и более простой схеме замещения (рис. 2-3), опре-
делить частоты полинома М (р) и затем члены разложения на про-
стейшие распределить на две rруппы (рис. 2-16), отнеся к «reHepa-
торной» rруппе столько членов с низшими частотами, сколько
имеется reHepaTopOB в исходной системе, а к наrрузочной (<<двиrа-
тельной») rруппе - все остальные члены с более высокими часто-
тами. Такой прием оказывается единственно возможным при экви-
валентировании системы в режиме абсолютноrо холостоrо хода,
коrда все мощности и взаимные уrловые сдвиrи (Oj-Ok) равны
нулю, а э. Д. С. и напряжения - единице.
Существенная особенность преобразования линеаризированных
«в малом» уравнений системы по теореме разложения в режиме хо..
лостоrо хода заключается в том, что в таком режиме
полностью стирается различие между синхронными
rенераторами и двиrателями; результаты преобра-
зования вовсе не зависят от предварительноrо (ис..
ходноrо) режима, причем все индуктивности (L j ,
L jk ) схемы замещения (рис. 2-3) оказываются про..
сто численно равными собственным и взаимным
индуктивностям (Xj, Xjk) заданной динамической
системы (рис. 2-1). Таким образом, линейное пре-
образование системы по теореме разложения явля"
ется в данном случае только специфическим преобразованием
основных структурных параметров - индуктивностей (Xj, X jk ) и
инерционных постоянных (H j ).
Если в результате 1'aKOrO преобразования будет получено n не-
зависимых (относительно контрольноrо узла) цепей, то использо-
вание их в качестве «reHepaTOpOB» или «двиrателей» будет связано
с вопросом о том, какой режим должен быть представлен в преобра-
зованной системе так, чтобы он отражал заданный режим исходной
системы.
К этому следует добавить, что в случае применения линеариза-
ции «в большом» (э 2-2) при выборе всех э. Д. с. и напряжений (В от"
носительных единицах) так, что 0,8 EjE k == 1, все ве.пичины b J ,
Ь jk оказываются обратными индуктивностями X j , Xjk' И преобразо..
вани е по теореме разложения дает тот же результат, что и при ли-
неаризации системы «в малом» на холостом ходу.
Этот факт указывает на то, что, по крайней мере приближенно,
линеаризация и преобразование системы в режиме холостоrо хода
дает действительно правильное структурное преобраЗ0вание си-
стемы.
Применение преобраЗ0вания с помощью разложения входной
операторной проводимости [Y1J (р)] на простейшие дроби может
быть весьма полезным и при учете демпферных моментов в системе
Рис. 2-16.
49
( 2-3), хотя разыскание корней характеристическоrо уравнения
при большом числе машин, очевидно, становится довольно трудо-
емкой вычислительной задачей.
Рассмотрим этот вопрос в предположении, что в рациональной
дроби
i = у ( ).1 = (Р)
Р м (Р)
произведено сокращение общих множителей числителя и знамена-
теля и что уравне ие 1\1 (р) = О не имеет ни кратных, ни нулевых
корней, причем 1! (О) > о. Тоrда по теореме разложения
М (О)
.,. 2п_
i - (О) + N.,.{Pk) ePkt.
11- М (О) PkM'(Pk)
k=l
N (О) 1
Положим М (О) - r;; и B eдeM_ представление об универсальных
символ ич еских параметрах 'k и C k , соответствующих тому или иному
корню Pk характеристическоrо уравнения.
Так как при учете демпфирования BC корни вообще комплексны
(и, конечно, попарно сопряжены), то пусть
Pk =- a k + jVk (ak > О)
и
N (Pk ) 'Ь ( Ь О
- "', - = ak + J k ak и k ).
Pk M (Pk)
Если положить
1 1
'k = И - -- =- Pk
ak + jbk Ck'k
или
C k = ak + jb k
(J.,k - jVk
то каждый член суммы
п .,. _ _
_N (p _ Pkt
PkM' (Pk)
k=l
представится символической электрической схемой рис. 2-17, для
u . ( ) 1
которои оператор входноrо тока равен tk Р = .
- 1
'k + --==-
C/iP
50
Поскольку каждому корню Pk соответствует с ним сопряженный
л
корень Pk = - (J.k - j'Jk, очевидно:
- л
л (Pk! = ak - jb k = ,
Pk M ' (Pk) 'k
С _ ak - jbk
k- ·
ak + j'ik
Следовательно, цепи рис. 2-17 соответствует сопряженная и парал-
л л
лельно включенная с ней цепь 'k' C k , входной ток (ПРОВОДИl\10СТЬ)
которой при и == 1 будет:
л
i k ==
1
л l'
'k+
CkP
rK
FJ( СК
, ( t--J
и=1
u
Рис. 2-17.
Рис. 2-18.
1 - л
Сумма - + (i k + i k ) дает полное представление колебаний с ча.
'0
стотой 'Jk, причем операторная входная проводимость равна
- л - л - л
1 CkCk ('k + 'k)p 2 + (C k + Ck) р
+ 1 = ('k'kCkCk) р 2 + ('kCk + 'kCk)P +1 =
'k л
Ckp
1
- 1
rk + -
Ckp
+
DkP2 + FkP
A k P 2 + BkP + 1 ·
Коэффициенты A k , B k , D k И F k , очевидно, вещественны, из них A k
И В k - положительные.
При известных условиях выражение (2-54) представимо одной
реальной цепью вида рис. 2-18, которая соrлаено изложенному в
2-3 соответствует синхронной машине в малых колебаниях при на-
личии первоrо из указанных ранее двух родов демпфирования (ро-
TopHoro и приводноrо). Для этой схемы найдем входную проводи-
мость
(2-54)
у ( ) _ а о р 2 +аlР
Р - Ьор2 + Ь 1 Р + 1 '
(2-55)
rде
LkC k
й О = ,
'k
й 1 = C k ,
Ь о = LkC k ;
ь -
1 - 'k ·
51
Дробная форма (2-55), очевидно, алrебраически вполне отвечает
форме (2-54). Здесь также все коэффициенты вещественны, из них
коэффициенты знаменателя при степенях р - положительны.
Для Toro чтобы выражение (2-54) моrло быть реализовано в виде
схемы рис. 2-18, в которой L k , C k И 'k представляют собой сущест-
венно положительные величины, параметры B k , D k и F k И формуле
(2-54) должны удовлетворять определенному связывающему их
уравнению. Приведем ero без вывода, не представляющеrо особых
трудностей. Должно быть:
D k = BkF k .
(2-56)
Полное представление оператора Y (р) в виде параллельноrо вклю-
чения цепей вида рис. 2-18 (с общей параллельной проводимостью
) возможно в том случае, если уравнение (2-56) удовлетворяется
'0
для всех k, т. е. для всех частот собственных колебаний. Остается
открытым вопрос, каким условиям для этоrо должны в общем слу-
чае удовлетворять первичные параметры линеаризированной дина-
мической системы или ее схемы замещения (рис. 2-7) с учетом демп-
фирования. Однако, по-видимому, в ряде случаев рассмотренное
представление оператора У1} (р) действительно возможно.
2. ЛучеваJl схема с промежуточным узлом
Естественным является вопрос, отображает ли схема рис. 2-16,
полученная на основе линеаризации, достаточно хорошо поведение
исходной схемы при значительных конечных возмущениях любоrо
рода в узле А.
На этот вопрос следует ответить отрицательно, основываясь на
простейшем примере.
Действительно, в случае, коrда возмущение со стороны узла А
заключается в резком снижении ero напряжения до нуля на отрезке
времени 't, т. е. I:1U A ('t) = - и Ао (рис. 2-19), можно констатировать,
что в схеме рис. 2-16 на указанном отрезке времени (при пренебре-
жении активными сопротивлениями) электрические мощности всех
машин обращаются в нуль, тоrда как в исходной системе (рис. 2-1)
они сохраняют некоторые ненулевые значения вследствие наличия
взаимных связей. По этой причине начальные условия движения
после восстановления напряжения узла А MoryT быть существенно
неодинаковы для исходной системы и для ее преобразования в лу-
чевую схему рис. 2-16.
Эти соображения rоворят о том, что ради точности отображения
движения исходной системы целесообразно приводить ее к лучевой
схеме не относительно ожидаемоrо в реальных условиях узла воз-
мущения А, а относительно друrоrо промежуточноrо узла В, отде-
ленноrо от узла А некоторой индуктивностью х (рис. 2-20).
52
Отсюда следует, что если узел А является КОНЦОМ исследуемой
на устойчивость длинной линии передачи, то лучевую схему целе-
сообразно относить ко вторичным шинам понизительных трансфор-
laTopOB, которые, однако, не должны рассматриваться как узел
первичных возмущений в конечном анализе устойчивости дальней
лэп. В то же время узел В можно условно рассматривать как узел
возмущения для целей преобразования приемной системы к луче-
вой схеме на основе линеаризации «в большом» с последующим при-
менением теоремы разложения.
В тех случаях, коrда узел А реальных возмущений по каким-то
соображениям должен быть взят rде-либо в основной сети приемной
системы, причем не имеется реально предвключенной между ним и
прочей сетью индуктивности, можно, вообще rоворя, построить
'с
t
с)
Рис. 2-19.
Рис. 2-20.
лучевую схему замещения типа рис. 2-20 с искусственно образо-
ванным промежуточным узлом В инекоторой оrраниченной индук-
тивностью х между ним и узлом А.
Действительно, допустим, что входное оператор ное сопротив-
ление приемной системы относительно узла А в электрической схеме
замещения 1ипа рис. 2-3 получено для холосrоrо хода приемной
системы при линеаризации «в малом» или для специальноrо режима
( 2-5, п. 1) при линеаризации «в большом» и представлено в виде
[см. формулу (2-50)]
z (р) = м (р)
apN (р)
Тоrда, положив
z (р) = Lp + М 1 (р) _
apN 1 (р)
aLp2N 1 (р) + М 1 (р)
apN 1 (р)
,
найдем
N 1 (р) = N (р),
1\11 (р) = м (р) - aL p 2N (р).
Как указано ранее [к (2-50)], четные полиномы М (р) и N (р) имеют
степени соответственно 2п и 2 (п-l); следовательно, и полином
М 1 (р) будет вообще степени 2п, причем все ero коэффициенты
fj при степенях 2k >- 2 будут выражаться через соответствующие
коэффициенты b j и С, полиномов М (р) и p2N (р) равенством
fj = Ь/ - aLcj.
S3
Если все fj положительны, чеrо всеrда можно достиrнуть выбо-
ром достаточно малоrо значения L, то вообще не исключена воз-
1
можность применения теоремы разложения к оператору
Zl (р)
= apN 1 (р) , в результате чеrо и образуется схема рис. 2-20.
М 1 (р)
э. Реаnизация преобразования по теореме разnожения
Если имеется в виду осущесrвление эквивалентов на электроди-
намических моделях, то приведение заданной системы с помощью
линеаризации и теоремы разложения (с пренебрежением демпфи-
рованием) к совокупности независимых цепей вида рис. 2-16 следует
считать законченным лишь тоrда, коrда определены не только инер-
ционные постоянные всех reHepaTopoB F j и двиrателей Дk, но также
и индуктивности Xj, Xk' начальные уrловые сдвиrи (OjO,OkO) и модули
Э. д. с. (E j , E k ), т. е. параметры нормальноrо режима. Эта задача
вообще неопределенна, поскольку добавочно в установившемся ра-
бочем режиме должны быть твердо соблюдены лишь два условия,
а именно: чтобы в схеме рис. 2-16 суммарные активная и реактивная
мощности по rруппам reHepaTopoB и двиrателей были равны тако-
вым же в ИСХОДIfОЙ схеме. Неопределенность может быть снята вве-
денТАеМ, более или менее рациональных условий, что и будет рассмот"
рено эдесь.
Предположим, что была проведена линеаризация «в большом»
(9 2-2) и после применения теоремы разложения на базе уравнений
(2-12) и (2-13) для всех п ветвей схемы рис. 2-16 получены результа-
* * 111
тивные инерционные постоянные Н 1, Н 2, . . . , н п И коэффициенты
линеаризации Ь 1 , Ь 2 , . . . , Ь N ' Последние, как указано ранее, только
при особом подборе режима и э. д. с. в исходной схеме * являются
величинами обратными реальным реактивностям. Вообще же при
линеаризации «в большом» для схемы рис. 2-16 следует соrласн()
(9 2-2) принять:
0,8 U AOEk = b k (k = 1, 2, ..., n), (2-57)
Xk
rде и Ай - заданное напряжение узла А в нормальном режиме.
Если, далее, допустить соответствие между убывающим рядом
приведенных к общей базисной мощности инерционных постоянных
Н l' Н 2, . . . , н п всех машин (отдельно по rруппам reHepaTopoB и
двиrателей) исходной системы и аналоrичным рядом инерционных
постоянных, полученных по теореме разложения для линеаризи-
* * *
рованной системы, а именно Н 1, Н 2, . . . , н п так, что каждому Н k
*
первоrо ряда соответствует Н k BToporo ряда, то тем самым будет
*
установлено и соответствие между инерционными постоянными Н k
* При линеаризации «в малом» - только при холостом ходе системы.
54
и мощностями активными P k и реактивными Qk машин исходной си-
стемы в рабочем режиме, друrими словами - все мощности ветвей
схемы рис. 2-16 будут определены. Тоrда будем иметь еще 2п урав-
нений:
и AOEk sin Э k = P k ,
Xk
(2-58)
E
и AoEk
Xk соsЭk=Qk'
(2-59)
Xk
('де Э k - уrловой сдвиr между Ё k и и Ао , Т. е. Э k = a kO - а Ао .
Здесь Q представляет собой «внутреннюю» реактивную мощность
k-й машины, равную алrебраической сумме реактивной мощности
на зажимах машины и потере реактивной мощности в ее расчетном
реактивном сопротивлении, т. е.
Qk = QK3 + I KXMK
{знак «плюс» соответствует режиму rенерации, а «минус» - режиму
потребления реактивной мощности).
Из уравнении (2-57), (2-58) и (2-59) леrко определяются все E k ,
8 k , Xk'
rАава третьн
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И ЧАСТНЫЕ ПРИЕМЫ
ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ
3-1. ПРJlмые функциональные методы
и приемы эквивапентнрованиSl
В данной работе эквивалентирование понимается в оrраничен-
ном смысле, а именно - как построение некоторой физической
системы, подобной по своим качественным физическим характери-
стика 1 друrой, уже существующей системе, но с меньшим числоrvJ
различных основных элементов. Требование физическоrо ЦDдобия
усложняет эквивалентирование; оно, например, затрудняет воз-
можность рассматривать математический процесс эквивалентирова-
ния как задачу приближенноrо решения дифференциальных (или
интеrральных) уравнений исходной системы, так как не каждое
приближенцое решение может rодиться для построения эквивалента,
физически подобноrо исходной системе.
Во введении отмечены методы, которые позволяют выполнить
указанное требование. В настоящем параrрафе мы лишь весьма
кратко рассмотрим метод, названный нами «прямым функциональ-
ным». Этот метод разработан и. А. Орурком совместно с В. Ф. Же-
вержеевым и [. В. Рощиным И достаточно подробно освещен в ли-
тературе [Л. 2, 3, 4], к которой и следует обратиться для деталь-
Horo с ним ознакомления.
В прямом функциональном методе независимой переменной яв-
ляется время t, причем сопоставляются реакции на входах исход-
ной и эквивалентной систем при заданном характере контрольноrо
узловоrо возмущения. Если для исходной схемы реакция на входе
представляется функцией f (t), а для эквивалента - функцией
ер (t, (11' (1.2' . . . , а т ), rде а 1 , , . а 2 . . , а т - ero искомые параметры
то последние определяются из условия минимума интеrрала:
't
F('t, СХ 1 . СХ 2 , 000' СХт)=S[j(t)- (t, СХ 1 : СХ 2 , ..., CX т )]2dt (3-1)
о
с вариацией параметров (11, (12, . . . , (1т' причем выбор BepxHero
предела интеrрирования должен быть связан с быстротой затуха-
56
ния свободных колебаний или с моментом времени, соответствую-
щим наибольшему значению уrловоrо смеще ия роторов удаленной
станции относительно синхронной оси.
Заметим, что в [Л. 3, 4] рекомендовано определять параметры
эквивалента по минимуму более сложноrо интеrрала:
00
w = S I [Р А - Р Аэ] 2 + е [Q А - Q Аэ] 2} dt,
о
куда входят в качестве сопоставляемых функций времени не только
.активные (Р А И Р Аэ)' но также и реактивные мощности (QA И QАэ);
весовой коэффициент вводится для Toro, чтобы более точно характе-
ризовать свойства эквивалентируемой системы.
Аналитическое представление функции (t, (11, (12, . . . , (1т)
через неизвестные основные параметры эквивалента в случае ero
сложной структуры может даже при использовании линеаризации
()казаться чрезвычайно rромоздким, а последующее интеrрирова-
ние соrласно (3-1) - весьма трудоемким. Поэтому рассматривае-
мый метод для непосредственноrо практическоrо применения ro-
дится лишь при предельно простой структуре эквивалента, как,
например, в случае замены исходной системы одним reHepaTopOM.
Такое упрощение в большинстве случаев по мноrим физическим
(в частности - энерrетическим) признакам не является допусти-
мым, * за исключением вопросов из области анализа колебаний ча-
стоты.
Трудности, связанные с применением рассматриваемоrо метода,
проявляются уже в том относительно простом случае, коrда уместно
поставить задачу построения линеаризированноrо эквивалента по
типу лучевой схемы (рис. 2-14) с заданным числом (т) элементов.
В этом случае при возмущении со стороны общеrо узла в виде еди-
ничной функции и (t) = 1 имеем:
т т
<р (t. (11' (12, .. .. (1т) = ;j sin У/ = Yjsin у/.
j=l j=l
еде
1
vi=..i '
У Lj*C j *
- 1 - V Cj*
Yj - z:- - L.
1 J*
Искомыми параметрами являются 'Yj и у/. Необходимо будет
найти аналитическое выражение интеrрала (3-1), rде подыинтеrраль-
ная функция получает довольно сложную форму даже при условии,
что входная реакция исходной схемы f (t) будет аналитически пред-
ставлена с помощью наиболее удоqных функций.
* Прежде Bcero вследствие явной необхо]!имоети ОТ1!еления rенерирую-
щих элементов от наrрузочных.
57
в связи с этим будет целесообразно использовать приближен-
ные способы интеrрирования: в частности - разложение всех функ-
ций по целым степеням t; но все же результативная функция F (tt,
'J 1 , 'J 2 , · · · , V т ; Уl' У2, · · · , Ут) окажется весьма сложной.
Существенное упрощение можно получить (за счет HeKoToporo
отступления от оптимума), если предварительно определить все 'У!
методом «эквивалентирования В пространстве параметров», как
изложено далее в Э 3-3. Тоrда, во-первых, неизвестными парамет-
рами будут только величины Yj; во-вторых, окажется возможныМ
применять несложную процедуру численноrо интеrрирования из-
вестных функций. После определения амплитуд Yj можно уточнить
оптимальные значения частот Vj, полаrая
'Jj = VjO + j,
rде 'JjO - значения частот, полученные методом параметрическоrо
эквивалентирования, и выражая синусоидальные функции двумя
первыми членами разложения в ряд Тейлора, т. е. принимая
sin 'Jjt sin ('JjO + 8. j ) t = sin ('Jjot) + cos ('Jjot) 8. j t.
В результате в (3-1) искомыми параметрами будут теперь яв-
ляться только поправки частот A j , причем, считая их достаточно
малыми, допустимо в подынтеrральной функции исключить все-
члены, содержащие эти поправки в степенях выше первой.
Процедуру оптимизации можно продолжить и далее, снова вер...
нувшись к определению амплитуд Yj при фиксированных новых
значениях частот Vj' Таким образом, может идти речь об использо..
вании определенноrо алrоритма последовательной оптимизации.
В тех случаях, коrда исходная система представляет собой мно-
rолучевую схему или может быть приведена к ней с помощью тео-
ремы разложения (э 2-5) или ceTeBoro неканоническоrо преобразо-
вания (9 3-3), возможна разбивка ее на несколько близких между
собой rрупп лучей (по критериям параметрической близости) с
целью замены каждой rруппы одним эквивалентным лучом на ос-
нове минимума функции, определяемой интеrралом (3-1); при этом,
очевидно, для каждой rруппы 1, 11, 111, . . . должна быть заранее
определена ВХ0дная реакция 11 (t), 111 (t), III! (t), . . . в подобных
случаях для каждой rруппы будет не более двух (если пренебреrать
демпфированием колебаний) искомых параметров (Yk, V k ), через
которые без труда определяются соответственные основные пара-
метры эквивалентноrо элемента, т. е. L k и C k ; все выкладки и вычис-
ления при этом чрезвычайно упрощаются.
В [л. 2] предложен и разработан функциональный метод, ко-
торый, :е основном, также применим (просто и непосредственно)
только к исходным схемам лучевоrо типа, допускающим разбивку
на отдельные rруппы близких между собою элементов (reHepaTopoB,
двиrателей), каждая из которых может быть заменена одним экви-
валентным элементом. При этом исключается необходимость пред..
58
варительной линеаризации и аналитическоrо выражения переход-
ной функции эквивалента qJ (t, (11, (12, . . .).
Суть этоrо метода кратко заключается в следующем. допустим,
например, что контрольное возмущение со стороны общеrо узла
(А) задано функцией и А (t) модуля узловоrо напряжения при не-
изменном ero уrловом смещении ОА относительно базисной синхрон-
ной оси. Обозначим суммарные электрическую и механическую мощ-
u
ности подлежащеи эквивалентированию rруппы машин соответст-
венно через Р Е (t) ирм, их разность через f:.p (t), а изменяющееся
уrловое смещение, инерционную постоянную, индуктивность (от-
носительно узла А) и принимаемую за постоянную э. д. с. эквива-
лентной машины - соответственно через 0*, Н*, х*, Е*. Тоrда
будем иметь:
Н* d 2 o* = p (t)
dt 2 '
E* :(t) siп(3*-3 А )=Р Е (t)
(ОА = ОАО = const).
Переменные Р Е (t), Р м и p (t) леrко MoryT быть определены хо-
рошо известным методом последовательных интервалов.
К уравнениям (3-2) и (3-3) присоединим еще уравнения энерrе-
тическоrо баланса для рабочеrо режима, предшествовавшеrо воз-
мущению со стороны узла А:
Е*и А · ( * ) р
х* SlП 00 - ОАО = ЕО'
и 2
['UAOcos(3 -3 Ао ) - x O = QEO
(3..2)
(3-3)
(3-4)
([* = :: ),
(3-5)
(3-6)
rде Р ЕО и QEO - суммарные, активная и реактивная мощности (при-
текавшие к узлу А от той же rруппы машин исходной системы в
упомянутом рабочем режиме), а также условие
[* = [
,
выражающее требования равенства тока трехфазноrо KopOTKoro
замыкания * в узловой точке А со стороны искомоrо эквивалента
аналоrичному суммарному току замещаемой rруппы машин. Учи-
тывая (3-6) из (3-4), получим:
р
* . ЕО +
00 = аrСSIП о Ао.
U Aol
(3-7)
* ПеРИОJIической состаВJIяющей, опреJIеляемой по Е* и х*.
59
Далее, в предшествующем установившемся рабочем режиме следует
do*
считать = о.
dt
Поэтому из (3-2) повторным интеrрированием находим:
t t -
0* = * S dt S i\P (/) dl + o = * w (/) + o , (3-8)
о о
rде qr (t) обращается в нуль при t = О.
с друrой стороны, из (3-3) имеем:
Р (t)
* - а АО == arcsin Е == Ф (/)
I U А (t)
(3-9)
или
0* == ф (/) + ОАО'
отсюда
O = ф (О) + ОАО' O -ОАО =- Ф (О).
* 1
Сопоставив (3-8) и (3-9), определим величину КН == --;- из условия
минимума интеrрала: Н
1:
F (К'н) = S [Ф (/) - в - к чr (/)]2 dl
О
(rде e = (o - ОАО)' т. е. по методу наименьших квадратов.
Определение минимума функции F (K ) при известных Ф (t) и
qr (t) в данном случае также не представляет существенных затруд-
нений. \
Таким путем будет определена инерционная постоянная эквива-
лента данной rруппы машин. Что касается ero реактивности х*
(относительно узла А), то при условии (3-6) она непосредственно'
определяется из уравнения (3-5), rде 1* == 1 yj' После определения
х* находим и эквивалентную э. д. с. Е* == х* 1* .
Применяя рассматриваемый метод без использования какой бы
то ни было линеаризации, приходится иметь в виду, что численные
значения искомых параметров эквивалента MoryT существенно за..
висеть от вида и амплитуд контрольных возмущений. В связи с
ЭТИМ мыслимы два основных подхода: либо установить ,типовые
формы возмущений, соответствующие наиболее часто встречаю-
щимся на практике (подобно тому, как при импульсных испыта-
ниях высоковольтной изоляции применяют стандартные формы
волн), либо рассматривать возмущающую функцию как случай-
ную. Второй путь в данной работе не рассматривается.
В прямом и В излаrаемых ниже косвенных методах эквивален-
тирования по независимому переменному t необходимо иметь либо
аналитическое выражение, либо табулированную совокупность
большоrо числа значений функции t (t), т. е. входной реакции ис-
60
ходной системы. При достаточно сложной структуре последней это
требует большой затраты времени и труда.
Однако следует подчеркнуть, что основная трудность заключается
в необходимости аналитическоrо представления реакции эквива-
лента по ero качественно заданной структуре. В связи с этим при-
ходится обращаться к фундаментальным уравнениям движения
эквивалента и изыскивать метод численноrо их интеrрирования по
какой-либо известной реакции на то или иное возмущение. Эта за-
дача (при некоторых оrраничениях) весьма успешно решена в [Л. 3 J
и дополнительно рассмотрена И. А. Орурком В [Л. 4]. Практиче-
ская реализация содер)Кащихся здесь рекомендаций затрудняется
лишь требованием правильноrо представления наrрузочных сово-
купностей.
Достоинство прямоrо функциональноrо метода заключается
v
в возмо)Кности прямои оценки точности -эквивалентноrо переход-
u
Horo процесса и в том, что соответствующая этои оценке оптималь-
ная совокупность искомых параметров эквивалента системы полу-
чается как бы автоматически, т. е. без специальноrо поиска.
3.2. Косвенные функционапьные методы
Рассмотренный в Э 3-1 метод, основанный так или иначе на оты-
скание м;инимума интеrрала (3-1), мы назвали «прямым» функцио-
нальным; поводом к этому является З'ало)кенное в метод требование
TaKoro выбора параметров эквивалента, который обесп чивает ми-
нимум квадратичноrо уклонения входной реакции эквивалента от
входной реакции исходной схемы в пределах заданноrо отрезка
времени, причем эти обе реакции характеризуют переходный про-
цесс во времени.
Все друrие методы и способы, в которых производится сопостав-
ление входных реакций как функций времени не на основе метода
наименьших квартатов, а на основе иных принципов, а также ме-
тоды, оперирующие с реакциями, отображенными в область друrих
независимых переменных, таких, как оператор р в преобразовании
Лапласа или частота (j) в преобразовании Фурье,- естественно
назвать «косвенными» функциональными методами и способами. Та-
ких методов и способов, вносящих в задачу эквивалентирования
значительные упрощения; мо)Кно указать большое число. Остано-
вимся на важнейших из них.
1. Метод моментов
Предполаrая входную функцию f (t) реакции исходной системы
"t
известной, вычислим все ее моменты, Т. е. интеrралы вида S tSf(t) di
о
(для заданноrо промежутка времени О, 't) для всех значений s от
61
s = о до s = т-l включительно; получим т -чисел t-J-o, t-J-l' · · ','
t-J-m-l' Этим числом приравняем аналоrичные интеrралы от входной
функции эквивалента, т. е. положим:
't
S rp (t. 111' 112' · · · . 11т) dt = 11о.
о
't
S trp (t. 111' а 2 .
о
. . . ,
rJ. т ) dt == t-J-lt
(3-10)
't
S t m - 1 rp (t. 111' 112. · · · . 11т) dt = fJ. m - 1 '
о J
Будем иметь т уравнений с т неизвестными rJ. 1 , СХ 2 , . . . , rJ. т . Отсюда
и MoryT быть определены эти параметры. Если принять высшее
значение s > m-l, то получим для определения параметров rJ.j
избыточное число уравнений, позволяющее определить искомые
параметры уже по методу наименьших квадратов, т. е. из условия
минимума суммы квадратов:
2 [115 - S tsrp (t. 111' 112. ., , . 11т) dt]2
8=0 О
при k > m-l.
Не трудно видеть, что все необходимые в (3-10) интеrралы вы.
числяются несколько проще, чем в изложенном выше прямом методе,
но остается трудность аналитическоrо выражения ер (t, rJ. 1 , . . . t rJ. т ).
2. Метод частных значений
Допустим существование тождества
ер (t, rJ. 1 , .'. , rJ. т ) = / (t) (3-11)
в пределах О < t < 't И зададимся в этом промежутке рядом дис-
кретных значений времени t 1 , t 2 , . . . , t k таких, которые обеспечи..
вают достаточно точное представление функции f (t) интерполя,
ционным полиномом [Л. 24]. Тоrда, полаrая t в левой и правой
частях p BeHCTBa последовательно равным выбранным значениям,
получим при k > т избыточное число уравнений для определения
искомых параметров (J.j по методу наименьших квадратов, т. е. из
условия минимума суммы
k
[/ (t k) - ер (t k, rJ. 1 , ..., rJ. т )]2.
1
В данном методе вообще нет необходимости вычислять какие..
либо интеrралы; все сводится к решению некоторых нелинейных
уравнений.
62
Следует отметить, что для применения рассматриваемоrо метода
нет необходимости иметь аналитическое выражение функции ер (t,
(Х 1 , (Х 2 , . . . , (1m), если полную систему дифференциальных уравне-
ний удается свести к одному уравнению относительно переменной
ept, которая отождествляется с аналоrичной переменной ft в исход-
ной системе.
Определив все производные от ft для ряда частных значений t
(способами, излаrаемыми в курсах численноrо анализа) и подставив
их в упомянутое дифференциальное уравнение вместо производных
от ept, можно получить достаточное число алrебраических ур.авнений
для определения искомых параметров (Х 1 , (12, . . . , а m эквивалента.
Рассматриваемый метод не содержит прямых оценок точности
и по своему характеру является родственным точечной интерполя-
ции функций. Несомненно, что ero можно применять лишь для за-
ведомо rладких функций переходноrо процесса.
3. Операционный метод
Этот метод следует отнести к косвенным функциональным. Он при-
меним только к линеаризованным системам. Вместо функций вре-
l\1ени в процессе эквивалентирования рассматриваются функции
оператора дифференцирования (Р .' )- Операционный метод уже
был использован нами в вопросах об электрических схемах за-
мещения, о применении теоремы разложения и в дальнейшем при-
менен для установления принципов эквивалентирования «в про-
странстве параметров». Рассмотрим ero более подробно, причем
ради наrлядности будем относить ero к электрической схеме заме-
щения типа рис. 2-3.
Поскольку в линейных пассивных системах переходная функция
h (t), соответствующая возмущению в виде единичной функции
u (t) -+- 1 со стороны контрольноrо узла, т. е. со стороны «входа»
в исследуемую систему, предопределяет поведение последней при
всех друrl1Х возмущениях, мы будем для простоты предполаrать
именно это возмущение. При таком условии эквивалентность двух
систем, казалось бы, будет вполне определяться эквивалентностью
их входных операторных проводимостей:
У() _ 1 У() 1
n р - ZN (р) И т Р = Zт (р) ·
Однако эти проводимости содержат обедненную информацию и
не MoryT отражать всех свойств заданной конкретной системы. Дей-
ствительно, обратившись к схеме рис. 2-3 и предположив в ней n
внутренних узлов (исключая узел А), будем иметь в этой схеме
вообще 2n + n (n - 1) независимых параметров; в то же время вход-
2
ная проводимость Уn (р), как это следует из изложенноrо в Э 2-5,
63
будет содержать не свыше 2 п неэависимых коэффициентов. Таким
образом, определив последние, мы не получим достаточноrо числа
уравнений для определения всех параметров указанной схемы: не-
достаток выразится числом -.!- п (п - 1) уравнений.
2
Несомненно, что потеря информации, в связи с применением
входных проводимостей линеаризированных систем как критериев
эквивалентности, неизбежно привнесет дополнительные поrреш-
ности после возвращения к нелинейной системе. Это обстоятельство
особо резко подчеркивается, коrда линеаризированная система
преобразуется к лучевому виду «совершенно точно» по теореме раз-
ложения относительно контрольноrо узла А. В этом случае все
взаимосвязи, содержащиеся в схеме рис. 2-3, как бы исчезают, и
колебания основных элементов становятся независимыми одно от
друrоrо. Совершенно очевидно, что наличие в реальной системе
столь разнородных элементов, как синхронные reHepaтopbl и асин-
хронные двиrатели, определяет большую существенность их вза-
имных влияний через промежуточную сеть. Поэтому сохранение
в эквивалентных схемах цепей взаимосвязи является достаточно
важным. Это непосредственно не может быть обеспечено изучением
входных проводимосrей, а следовательно, и любых переходных
процессов на входе линеаризированных систем по типу рис. 2-3.
Далее (В 3-3 и 3-4) и изложены методы, позволяющие проводить
эквивалентирование с сохранением общеrо cTpyKTypHoro подобия.
Операционный метод все же можно с успехом использовать для
эквивалентирования отдельных rрупп физически родственных эле-
ментов, присоединенных к общим узлам исходной системы по лу-
чевой схеме, а кроме Toro - для ориентировочноrо преобразования
заданных сложных структур в лучевые или друrие удобные схемы.
Мы рассмотрим теперь основные приемы и способы, которые
можно применить для этих целей.
з. Сравнение коэффициентов при
одинаковых СТ,епенях оператора
Предположим, что исходная система в соответствии с рис. 2-3
имеет входную проводимость, представленную рациональной
дробью: *
у (р) = apN (р)
М (р)
rде
м (р) = р2п + Ь 1р 2 (п-l) + .., + Ь п ,
N (р) = р2 (п-l) + с1р2 (п-2) + ". + С п _ 1 '
* При условии преllебрежения активными сопротивленцями и провоДИ-
мостями.
64
причем требуется, чтобы и входная проводимость УЗ (р) эквива-
лента имела аналоrичный вид, но с меньшим порядком (2т < 2п)
знаменателя:
м. (р) = р2m + b;p2(m-l) + ... + b
и соответственно числителя
а* pN* (р) == а* р (р2 (m-l) + о; р2 (m-2) + . .. + C -l .
Для определения неизвестных коэффициентов а* , bj и cj эквивалент-
ной проводимости условно допустим ВОЗМОlКность равенства
Уэ(р) = у (р),
т. е.
a*pN* (р)
М* (р)
apN (р)
м (р)
или
а* М (р) N* (р) = аМ* (р) N (р).
Полиномы, получающиеся в результате перемножения сомно-
жителей в левой и правой частях последнеrо равенства, будут иметь
одинаковую высшую степень оператора р, а именно 2 (п + т-l),
причем ко ициентами при этих степенях явятся числа а и а*,
откуда и следует:
а* = а.
Результативные полиномы правой и левой частей указанноrо
равенства после сокращения их на равные множители а и а* будут
иметь одинаковый вид, но различные МНОlКители при степенях р,
меньших чем 2 (п + т-l), а именно в правой части получим поли-
ном
п+m-l
А . р2 (n+m-l-j)
. 1 I
J=
и в левой
п+т-l
B.p2(n+т-l- J ),
. 1 /
J=
rде коэффициенты А J и В J будут являться функциями искомых ко-
эффициентов проводимости УЗ (р) и известных коэффициентов про-
водимости У (,о):
u
для правой части
А о = 1,
А 1 = c 1 + b ,
А 2 = С 2 + Clb + ь;,
А п = Cп_lb + с п _ 2 ь; + . .. + Сп_тЬ;n'
................. .
65
A n + т - 1 == cn_lb ;
для левой части
Во == 1,
В 1 == С; + ы'
В 2 == С; + b1c; + Ь 2 ,
........ .
Вт == c _lbl + C _2b2 +
+ c bт_l'
................. .
в - * ь
n+т-l - С т - 2 n'
Приравняв коэффициенты А j и В j при одинаковых степенях
левых и правых полиномов, получим (п + m-l) алrебраических
нелинейных уравнений для определения (2m-l) оставшихся
(кроме а*) неизвестных коэффициентов эквивалентной проводимо-
сти; так как по условию п > т, то число уравнений будет избыточ-
ным, и потому искомые коэффициенты для эквивалента следует оп-
ределять по методу наименьших квадратов в параметрической форме
из условия минимума функции
j=n+m-l
р(ь;, ь;, . . . , b ; C , С;, ". , C _l) == (A j - B j )2.
j=1
б. Раз л о ж е н и е о пер а Ц и о н н ы х
1
про в о Д и м о с т е й У (р) и Уэ (р) п о с т е п е н я м р
и сравнение коэффициентов при одинаковых
степенях
Этот прием используется нами далее при рассмотрении метода
эквивалентирования «в пространстве параметров». Поскольку раз-
ложение рациональных дробей, представляющих У (р) и Уэ (р),
1
приводит К бесконечным степенным рядам от -, мы получаем со-
р
ответственно и бесконечное число уравнений для определения пара-
метров эквивалента. С целью применения метода наименьших квад-
ратов в параметрической форме указанные ряды, очевидно, при-
б u 1 О u
дется о орвать на некоторои степени от р. ценка допускаемои
при этом функциональной поrрешности относительно переменной t
может быть получена на основании известноrо соотношения опера-
ционноrо изображения и соответствующеrо ему ориrинала:
;п .' . При этом степенной ряд функции У (/) .. у (+) сле-
дует рассматривать как ряд Маклорена с надлежащим остаточным
членом.
66
В. И С П о л ь з о в а н и е о пер а Ц и о н н ы х
выражений с положительным
веrцественным apryMeHToM
Здесь имеется в виду метод, в некотором отноIi нии родствен-
ный методу, обстоятельно и cTporo разработанному и. А. Орурком
[л. 25, 26]. Однако мы считаем возможным для целей эквиваленти-
рования исходить из более простых представлении, целиком осно-
ванных на одностороннем преобразовании Лапласа-Корсона.
Допустим, что структура операционноrо изображения функции
у (t) заведомо представляет собой рациональную дробь (числитель
и знаменатель - полиномы от р), причем
00
Ур(Р) = S e-pty (t) dt.
о
Тоrда, задавшись достаточным числом положительных веществен-
ных значений р в правой и левой частях написанноrо равенства и
найдя для каждоrо из них значения интеrрала правой части, можно
найти все ко ициенты упомянутой рациональной дроби.
Считая, далее, допустимым для тех же целей эквивалентирова-
ния пренебреrать активными сопротивлениями, необходимо в ука-
занной процедуре исключить значение р = О, поскольку в схемах
типа рис. 2-3 придется иметь дело с синусоидальными, вообще с пе-
риодическими функциями, для которых интеrрал Лапласа при
р = о теряет смысл (не сходится). Поэтому в операционных выра-
жениях в дальнейшем будем вещественное значение Р полаrать
больше нуля. Так как операционная проводимость У (р) исходной
схемы может быть построена без использования ориrинала У (t),
то для определения коэффициентов проводимости эквивалента
Уэ (р) (из т э.пементов) достаточно составить 2т уравнений вида
(3-12)
у э (Pj) = у (Pj)
Уэ(qj) = у (q),
1
I'де все Pj > а >- О и qj = pj .
Пример использования TaKoro приема указан ниже при допол-
нительных условиях выбора rраниц Pj. Если вместо дискретных
значении Р рассматривать непрерывное множество ero положитель-
ных значений, то искомые коэффициенты эквивалента bj и cj (не
считая коэффициента а*, всеrда paBHoro а) должны определяться
методом наименьших квадратов по МИНИМУl\1У интеrрала:
или
00
F = 5 р2 [ N* (р) - N (р) ]2 dp (8 > О).
М* {р) М (р)
s
(3-13)
67
Если воздействующее со стороны контрольноrо узла возмуще-
ние представлено на основе одностороннеrо интеrрала J1апласа и
имеет форму рациональной дроби от р, то (3-13) можно распростра-
нить на общее выражение входноrо тока в виде u(р) apN (р) . в связи
М (р)
с этим нелишне отметить следующее обстоятельство. При исполь-
зовании дискретных значений р по способу, указанному выше,
форма узловоrо возмущения не оказывает никакоrо влияния на
результат определения параметров эквивалента, так как в опера-
ционной форме это возмущение вошло бы одинаковым множителем
в левую и правую части уравнений (3-12). Однако влияние формы
возмущения должно обнаруживаться в случае определения этих
параметров на основе интеrрала, аналоrичноrо (3-13), но для об-
щеrо выражения тока, так как в подынтеrральную функцию теперь
войдет квадрат операционноrо выражения II (р) узловоrо ВОЗl\1уще-
ния.
Отсюда вытекает важное принципиальное заключение: не только
для нелинейных но и для линейных или линеаризированных си-
стем операция эквивалентирования по методу наимеНЫllИХ квадра-
тов на основе функциональных уравнений является операцией не-
u u u u u
.пинеинои, результаты которои зависят, в тои или инои мере, от вида
возмущения. Это обстоятельство имеет наибольшее значение для
третьей стадии эквивалентирования.
Те из указанных выше в п. «а», «6» и «в» приемов эквивалентиро-
вания, в которых метод наименьших квадратов не используется
вовсе или используется только на основе параl\lетрических уравне-
ний, являю.тся более проетыми для праК'Тики, но они не :rvforyT обес-
печить оптимальноrо результата эквивалентирования с функцио-
нальной точки зрения. Эти приемы по своему значению примыкают
к излаrаемому далее в 3-3 методу эквивалентирования «в простран-
стве параметров» и требуют проверки точности полученных с их
помощью результатов на основе прямоrо функциональноrо
метода.
Если положить
y (/) = У (/)- Уэ(t)
и обозначить через 1 Им t't максимальное абсолютное значение узло-
Boro возмущения в пределах О < t <: 't, то, как леrко показать,
среднеквадратичная поrрешность эквивалентирования входной ре-
акции (входноrо тока) для линеаризированной системы не превзой-
дет величины
in = I им \, { + J [ y (t)J2 dt.
68
Качество эквивалентирования упрощенными методами, изложен-
u
ными выше можно оценивать величинои:
= !!Ji п = {l.- s' [L\Y (t}]2 dt.
I им 11: 'с
О
(3-14)
Из указанных выше разновидностей операционноrо эквивален-
тирования (п. «а», «б» «в») наиболее подходящим для инженерной
практики несомненно является использование операторных выраже-
ний с положительным apryMeHToM р (п. «в»). Для любых исходных
схем вида рис. 2-3 функцию проводимости У (р), при вещест-
венном р, можно построить с помощью расчетных столов постоян--
Horo тока, ПРИl\tlеняемых для определения токов KopoTKoro замыка-
ния в сложных энерrосистемах, так как любые элементы этих схем
( Lip, 1 ) представятся существенно положительными числами,.
Cjp
которым можно поставить в соответствие определенные значения
омических сопротивлений с соблюдением законов Ома и Кирхrофа.
Следовательно, рассматриваемый прием эквивалентирования, в от-
личие от двух друrих (п. «а», «б»), не требует аналитическоrо опера-
ционноrо представления входной проводимости исходной схемы.
При таких условиях основная трудность будет заключаться только
в необходимости аналитическоrо операционноrо представления
входной проводимости эквивалента У Э (р).
Как указывалоаь выше, при наличии m основных элементов и
пренебрежении демпфированием, эквивалент, определяемый только'
по входной реакции, не будет содержать более 2т неизвестных па-
раметров; соответственно, наиболее простой структурной схемой
эквивалента является лучевая схема (рис. 2-14), состоящая из т
параллельных ветвей. Для такой схемы соrласно (3-12)
т
.
ajq
у э (q) = /'.J 2 2 = У (q),
... 1 + 'JjQ
jr=}
rде
* 1 2_ 1
а. = --.- , 'У. - * * '
J L) J L J C j
Если т не велико, то Уэ (q) выражается сравнительно несложной
рациональной дробью, например, при т = 3 имеем:
* * .
у ( ) _ й q + d lq3 + d 2q 5 _ У ( )
э q - 1+b 1 *q2+b 2 *q4 + b 4 *q6 - q ,
(3-15)
rде
* 3 1 3 .
а = ---.- = а.,
L. J
. 1 } . 1
J= J=
69
lf; = а7 (v + v ) + а; (vi -t- ,, ) + а; ('JI + 'J ),
d * * 2 2 + * 2 2' 2 2
2 = а 1 'J 2 'J з a 2 'J 1 'J з I аз'J 1 'J 2 ,
Ь *- 2+ 2+ 2 Ь*- 22+ 22+ 22
1 - 'J 1 'J 2 'J з , 2 - 'J 1 'J 2 'J 2 'J з 'J 1 'J з '
Ь *- 222
3 - 'J 1 'J 2 'J з '
(3-16)
Из (3-15) получим:
a*q + d;q3 + d;q5 = (1 + b7 q 2 + b;q4 + b;q6) У (q).
В данном случае необходимо и достаточно задаться какими-либо
подходящими шестью значениями q, и тоrда коэффициенты а*, d;,
d;, ь;, ь;, ь; будут определяться с помощью шести линейных алrе-
браических уравнений. Выбранные шесть значений q должны быть
-таковы, чтобы все ИСКОl\1ые коэффициенты оказались положитель-
ными. К сожалению, затруднительно указать общие критерии, при
которых соблюдается это требование, необходимое для построения
эквивалента лучевой структуры. Кроме Toro, область значений q
должна быть оrраничена ус,ловием, чтобы рациональная дробь, вы-
ражающая Уз (q), разлаrалась в сходящийся ряд по целым степе-
ням q, как это будет иметь место для функции У (q) исходной си..
стемы, если Iрl превосходит наибольшую из частот ее свободных
колебаний, т. е. при
I Р I = ! + > '1 МаКС '
Если это условие не будет соблюдено, то ряд по степеням q не
будет представлять функцию У (q) и, следовательно, не может быть
использован для эквивалентирования ее структуры (хотя, может
быть, и определит ориrинал исходноrо операционноrо изображения).
Только при соблюдении всех указанных требований можно быть
уверенным в возможности построения эквивалента лучевой струк-
туры, близкоrо к исходной системе. Если эти условия соблюдены и
коэффициенты Ь 1 , Ь 2 ) ь з определены, то соответствующие им частоты
'J 1 , 'J2, 'J з эквивалента определятся из уравнения:
р6 + Ь7 р 4 + Ь;р2 + ь; = О.
Вслед за этим леrко определятся по коэффициентам а*, d;, d; и
величины а;, а;, а; из первых трех уравнений (3-16).
Изложенная процедура поиска лучевоrо эквивалента зна-
чительно упрощается, если частоты ero свободных колебаний будут
определены заранее на основе принципов эквивалентирования в
пространстве параметров ( 3-3, п. 2); тоrда в рассмотренном при-
мере потребуется выбрать лишь три частных значения q > О, удов-
летворяющих указанным выше условиям.
Укажем еще один эффективный подход к использованию функции
проводимости У (q) исходной схемы при положительных веществен-
70
ных значениях q = +. Вместо функций У (q) и Уэ (q) рассмотрим
функции qr (q2) = qY (q) и W Э (q2) = qУ э (q). Тоrда для т-лучевоrо
эквивалента будем иметь:
[ * 2 * 4 * 6 * 2т]
W 2 _ а q + d1q + d 2 q + · . · + dm-1q
э(q )- 1 + ь* 2 + ь* 4 + + ь* 2т ·
lq 2q · · · m q
(3-17)
Допустим, далее. что исходная функция W (q2) тем или иным
путем, например с помощью методов интерполяции, представлена
в виде конечноrо ряда
W(q2)=A 1q 2+A 2q 4+ ... +A 2тq 4m. (3-18)
Тоrда рациональную дробь (3-17) можно рассматривать в качестве
так называемой подходящей дроби для ряда (3-18) [Л. 27, 28]. Ко-
эффициенты рациональной дроби (3-17) найдутся из следующих
линейных алrебраических уравнений:
А lb + A 2 b:Z_ 1 +
А 2 Ь: + АЗЬ:_ 1 +
+ Am_1b* + А т + 1 == о,
+ Am+lb + А т + 2 == о,
АтЬ: + А m+lb -l + · · · + A 2m _ 1 b: + А 2m == О,
А 1 -а* == О,
Alb + А 2 -d == о,
(3-19)
A1b:_ 1 + А 2 Ь:_ 2 +
. . .
+ А m _ 1 Ь 7 + А m -d _l = о. J
Необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффици-
ентов при членах, содержащих Ь* j и == 1, 2, . . . , т) в уравнениях
(3-19), не был равен нулю. Этому условию должно быть подчинено
разложение функции W (q2) по четным степеням q. Если любое та-
кое разложение не будет оптимальным с точки зрения метода наи-
меньших квадратов, то это, вероятно, будет означать, что и пред-
u
ставление эквивалента в виде лучевои схемы также не является оп-
тимальным.
3-3. Параметрическое эквиваnентирование
Из всех возможных видов параметрическоrо эквивалентирова-
ния здесь будут рассмотрены только: 1) приближеНfIое преобразова-
ние мноrоуrольных схем типа рис. 3-1, а в лучевые схемы и 2) экви-
валентирование «в пространстве параметров».
71
1. Прибnиженное (<<неканоническое))) nреобразование MHoroyronIIHWX схем
8 nучевые
Как известно, лучевая схема рис. 3-1, б с любым числом ветвей
может быть однозначно и точно преобразована в мноrоуrольник
[Л. 18]; напротив, точное преобраэование мноrоуrольника с задан..
ными взаимными сопротивлениями Xjk (или проводимостями Yjk)
В лучевую схему возможно лишь при некоторых жестких условиях,
которым должны удовлетворять величины Xjk' Даже приближен...
ное преобразование (эквивалентирование) мноrоуrольника в луче...
вую схему не всеrда допустимо, так как может приводить к rрубому
1
5
2
5
2
хз4
4
Рис. 3-1.
искажению соотношений между совокупностью заданных в верши-
нах (узлах) мноrоуrольника напряжений и совокупностью опреде-
ляемых этими напряжениями токов. Однако в тех случаях, коrда
индуктивные сопротивления сетевых связей между станциями и
подстанциями невелики по сравнению с индуктивностями машин,
повысительных и понизительных трансформаторов, вся система
в целом по своим свойствам может быть близка к свойствам лучевой
си темы, и тоrда приближенное преобразование мноrоуrольника
взаимных индуктивнфстей в лучевую звезду будет вполне допусти-
l\1bIM. Соответствующий расчет индуктивностей лучевой cxe ы можно
проводить м:ноrими различными способами, которые вообще приво-
дят К не вполне .совпадающим результатам. Мы рассмотрим про-
стейшие из них, применительно к схеме полноrо пятиуrольника
(рис. 3-1, а). Пусть вершины ero обозначены 1, 2, 3, 4,5, а заданные
взаимные реактивности - Х 12 , Х 1з , Х 14 , Х 15 , Х2З, Х 2 4' Х2д' Х з4 , Хз , Х 45 .
Обозначим лучи искомой эквивалентной звезды (рис. 3-1, б), соот-
ветственно обозначению вершин мноrоуrольника, через X 1 , Х 2 , Ха,
Х4, X:Jo Предположим, что их значения так или иначе определены.
Тоrда этим значениям должен был бы точно соответствовать полный
u I I ,
пятиуrолрник, имеющии взаимные индуктивности Х 12 , X J3 ' . · о , Х 45 '
определяемые из изцестных соотношений:
72
,
Х 12 = х 1 х 2 у,
,
Х 13 = Х 1 Х з У,
,
X jk = XjXkY,
rде
у = (.--!- + .--!- + .--!- + .--!- + ) .
Хl Х2 ХЗ Х4 Х5 I
Очевидно, разности
( -1), ( -1), ..., ( -1)
Х12 Х13 \ Х4:)
представят собою относительные поrрешности эквивалентирования..
Подчиним их условию, чтебы сумма их квадратов, являющаяся
функцией величин Х 1 , Х2, · · · , Х 5 ,
( ' )2 (' )2
Х 12 Х 13
F (Х 1 , Х 2 , . . . , Х 5 ) == - -1 + - - 1 +...
Х12 X13
( ' )2
Х 4 5
... + --1 (3-21)
Х45
была минимальной.
Это приводит к системе нелинейных алrебраических уравнений
относительно Х 1 , Х 2 , . . . , Х 5 :
дР
== О (k = 1, 2, . . . , 5).
aXk
Вопрос О решении этих уравнений относится к области числен-
Horo анализа и Mor бы здесь не рассматриваться. Однако нелишне
указать способы, которые специфичны для рассматриваемой задачи
преобразования схем и которые доступны в инженерной практике.
Таких способов можно указать довольно MHoro. Сами по себе они
не обеспеч:uвают минимума функции F (Х 1 , Х 2 , . . . , Xk)' но дают
t.> u
значения параметров Х 1 , Х2, . . . ,Xk искомои лучевои схемы, до-
статочно близкие к тем, которые соответствуют этому минимуму.
Дальнейшее уточнение может быть получено с помощью линейноrо
приближения.
Все способы, о которых идет речь (здесь будут рассмотрены
только три из них), основаны на некоторых мысленных эксперимен-
'fax, сопровождаемых надлежащими вычислениями, или на соответст-
вующих измерениях, если мноrоуrольник представлен лаборатор-
ной схемой, допустим, на расчетном столе постоянноrо тока.
Пер вый с п о с о б - условное MHoroKpaTHoe приведение за.
данноrо мноrоуrольника (рис. 3-1, а) к виду треуrольника путем
rлухоrо (<<накоротко») соединения всех вершин мноrоуrольника t
73
кроме каких-либо двух. Так, например, соединив вершины 3,4 и 5
в один узел А 3,4, 5' получим треуrольник, так как связи Х 1з , X l4 И
Х 1Б , а также, аналоrично, связи Х2З, Х24 И Х2Б окажутся в параллель..
ном соединении между собой, образуя соответственно две стороны
треуrольника, третью сторону KOToporo представит связь Х 12 , а вер-
шинами ero будут узлы 1, 2 и А з , 4, 5' При выполнении такой же
операции (объединения вершин 3,4, 5) в лучевой схеме (рис. 3-1, 6)
получим трехлучевую звезду, двумя лучами которой будут искомые
сопротивления Х 1 и Х 2 , а третий луч, не принимаемый во внимание,
образуется параллельным соединением искомых лучей звезды Х з ,
Х 4 и X s .
Допуская, что будем иметь соответствие между указанным пре-
образованием мноrоуrольника в треуrольник и преобразованием
мноrолучевой звезды в трехлучевую, леrко определим сопротивле-
ния двух ее лучей Х 1 и Х2 путем точноrо (каноническоrо) преобразо-
вания треуrольника в звезду.
Повторив такую же операцию во всех возможных комбинациях
-связей и узлов заданноrо мноrоуrольника, оставляя попарно и по-
очередно свободными ero вершины 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 1 и 5, 2 и 3,
2 и 4,2 и 5,3 и 4,3 и 5,4 и 5, получим в данном случае для каждоrо
искомоrо сопротивления луч€й звезды по четыре значения, вообще
отличающихся одно от друrоrо; например, для луча Х 1 - значения
х 1 (l)' Х 1 (2)' Х 1 (3)' Х 1 (4).
в качестве первоrо приближения естественно принять среднее
- 1
Х 1 = 4 ( Х 1 (1) + Х 1 (2) + Х 1 (3) + Х 1 (4») и аналоrичные значения для
- - - -
u u
прочих сопротивлении лучевои схемы: Х 2 , Х з , Х 4 , Х Б .
Считая, что эти величины близки к тем, которые соответствуют
минимуму функции F (Х 1 , Х2, . . . , Х 5 ), можно получить следующее
приближение, положив
х) = х j + f1 j (j = 1, 2, .. ., 5);
-- 1 1 1
у=-=-+;-=-+ ... +-=-
Хl Х2 Хб
и соответственно (отбросив члены с произведениями f:1 j A k ):
X 2 = X X Y X l Y + и( х l l1 2 + X 2 11 1 ),
....... .
....... .
X Jk =.- x;x y Xj Xk Y + У ( x j l1 k + x k f1 j ).
Подстановка этих выражений величин X;k в выражение функции
F (х 1 , Х 2 , . . . , Xj) позволяет рассматривать последнюю уже как
.JIинейно-квадратичную функцию переменных l' 2"'.' Б' И
74
минимум ее определится системой линейных алrебраических урав-
нений:
дР = о дР = О дР = О
д 1 'д 2 ,. · ., д 5
относительно д 1 , д 2 , д з , д 4 , до.
Таким путем (если потребуется, с дальнейшими уточнениями)
можно найти наилучший, в смысле метода наименьших квадратов,
лучевой эквивалент заданноrо полноrо мноrоуrольника, после чеrо
среднеквадратичная поrрешность определится по формуле:
Е=
F (Хl' Х2, .. · , Хп)мин
n
(3-22)
в т о рой с n о с о б характеризуется опытом, в котором нако-
ротко смыкаются между собой четыре узла (например 2, 3, 4 и 5) за-
данноrо мноrоуrольника и соответствующие четыре входных зажима
лучевой схемы (Т. е. 2, 3, 4 и 5); затем вычисляется или измеряется
сопротивление между оставшейся свободной вершиной (1) и узлом,
образовавшимся при коротком смыкании прочих вершин (2, . . . ,5)
мноrоуrольника. Эта операция повторяется столько раз, сколько
вершин имеет мноrоуrольник (в нашем случае 5 раз). Отсюда по-
лучаем n нелинейных алrебраических ура нений для определения
п неизвестных проводимостей ветвей лучевой схемы; в данном слу-
чае:
+ 1 1 )
- ,
Уl У-Уl У12 + У13 + У14 + У15
+ 1 1
- (3-23)
У2 У-У2 У12 + У23 + У24 + У2Б
.............. .
+ 1 _ 1
- ,
УБ У - УБ У15 + У25 + УЗ5 + У45
rде в правой части - известные проводимости заданноrо MHoro-
уrольника, а в левой части - искомые параметры лучевой схемы:
5
Уl = , У2 = , У5 = 1-, у = --.!... ·
Хl Х2 ХБ Xj
Уравнения (3-23) без особых затруднений решаются методом
последовательных приближений, причем в качестве первоrо, rpy-
боrо, приближения можно пренебречь вторыми слаrаемыми левых
частей этих уравнений, т. е. принять
1 1
и т. д.
Уl (1) У12 + У13 + У14 + УIБ
Полученные рассматриваемым способом значения проводимостей
и сопротивлений (Х 1 , Х 2 , . . . , Х О ) лучевой схемы MoryT быть затем
75
уточнены линейно-квадратичным приближением ФУНКЦИИ F (X t ,
Х 2 , . . · , x s ) и ее минимизацией, как было указано выше.
т р е т и й с п о с о б основан на последовательном определении
сопротивлений между всеми возможными парами узловых точек за-
данноrо мноrоуrольника (1 и 2, 2 и 3, 1 и 4,1 и 5,2 и 3 и т. д.) В пред-
положении, что при определении сопротивления между какой-либо
парой узлов (например 1 и 2), все прочие узлы (например 3, 4 и 5)
-отключены от всех внешних источников напряжений.
Предполаrая, что такие же операции проводятся применительно
и к лучевой схеме, в общем случае получим для определения п со-
противлений (X t , Х2, . . . , Х n ) этой схемы n (n -1) алrебраиче-
еких уравнений вида: 2
S;k = X j + x k = Sjk'
тде все Sjk определяются по заданным параметрам мноrоуrольника
{при п = 5 будет 10 уравнений).
Оптимальными будем теперь считать такие значения сопротив-
лений X 1 , Х 2 , . . . , Х n , при которых относительная среднеквадратич-
ная поrрешность сумм S;k' определяемых по лучевой схеме, будет
минимальной. Для этоrо необходимо, чтобы был обеспечен мини-
мум функции
F ( ) [ Хl + Х 2 1]2 + [ Х1 + Х3 1 ]2
s Х 1 , Х 2 , · · ., Х N = - - +
812 813
[ Xk + ХI 1]2
+...+ - +...
Skl I
(при п = 5 число слаrаемых в последнем выражении равно 10).
Так как эта функция имеет квадратичную форму, то соответст-
вующие алrебраические уравнения, определяющие ее минимум,
т. е. уравнения:
aF s _ о. aF s - О aF s - О
-, - ".', -,
aXl дХ2 дхn
оказываются линейными; поэтому решение их не представляет прин-
ципиальных затруднений. Эти уравнения имеют простую симмет-
ричную матричную форму:
А *х = B :t,
тде
1 +...+11
-r
511 12 slп
1 1 1
-т- -r . . . -
А *= 2
821 822 S2п
. . . . .
1 1 1
-r 2 . . . -r
sпl sп2 sпп
76
l
В * = 2
(3-24)
п
1 1 t t
Sjk = Skj; 2" = -r + -т- -1- ... + () ;
8 jj 8 j1 5j2 Sjп
1 1 1
'E j = - + - + ... + -.
8 J l S/2 Sjn
Все Sjk находятся измерением или вычислением.
Следует заметить, что в данном способе оценка поrрешности ОТ-
несена не к сопоставлению результатов обратноrо преобразования
лучевой схемы в мноrоуrольник с соответст- а) 1 2
вующими параметрами заданноrо мноrоуrоль-
ника, а к сопоставлению как бы двух серий
идентичных измерений (или вычислений)
в схемах мноrоуrольника и звезды. Такой
метод должен приводить вообще к несколько
иному результату. Отсюда возникает жела-
тельность уточнения полученных рассматри-
ваемым способом сопротивлений лучевой
схемы на основе приближенноrо определения
минимума функции F (Х 1 , Х 2 , . . . Х n )' как ука-
зано при рассмотрении первоrо способ .
Достоинство TpeTbero способа заключается
в простоте операций по определению величин
Sjk == Х! + X k , причем для их выполнения, как,
впрочем, и в случае использования первых
двух способов, нет необходимости исходную
первичную схему предварительно преобразо-
вать в полный п-уrольник.
Числовой иллюстрацией изложенноrо мо-
ryT служить указанные ниже результаты
преобразования схемы рис. 3-2, а в четырех-
лучевую схему (рис. 3-2, б). Схема рис. 3-2, а
имеет 4 точки приложения внешних напряжений (или э. Д. с.): 1,
2, 3, 4. Центральную часть схемы составляет четырехуrольник без
диаrоналей с вершинами а, Ь, с, d, который сам по себе в лучевую
схему преобразован быть не может; в то же время при заданных
сопротивлениях (указанных на рис. 3-2, а в условных единицах)
схема в целом такое преобразование допускает с удовлетворитель-
ной точностью. (Искомые индуктивные сопротивления лучей на
схеме рис. 3-2, б обозначены через X 1 , Х 2 , Х з , Х 4 .)
Соответствующий схеме рис. 3-2, а полный мноrоуrольник пред-
ставлен на схеме рис. 3-3, rде цифры в десятиqных дробях означают
взаимные проводимости (Y12, У2З И т. д.). Они вычислены по схеме
рис. 3-2, а общеизвестным способом. *
причем
2
4
Ри\:. 3-2.
11= Все расчеты выполнены с ПОМОЩЬЮ поrаРИфМtf4lеекой линейки.
77
Результаты преобразования схемы 3-2, а в схему рис. 3-2, б
тремя изложенными выше способами указаны в сводной табл. 1.
Относительная среднеквадратичная поrрешность для оптималь-
ных значений оказалась приблизительно 10,5%.
Таблица показываеt, что третий способ дает сам по себе, по-ви-
димому, менее близкие к оптимальным значениям сравнительно с
двумя друrими способами.
Рассматриваемое приближенное преобразование полноrо MHoro-
уrольника в лучевую схему является весьма удобным для практики
эквивалентирования. Оно не требует предварительной линеариза-
1 2
0,0227
Xf Х2
ХЗ х"
0,0245 4 3
P c. 3-3. P c. 3-4.
ции уравнений электромеханической системы, значительно менее
трудоемко сравнительно с применением теоремы раЗЛОJКения и до-
пускает использование расчетных столов (моделей) постоянноrо
тока.
Таблица 1
Сопоставление результатов трех способов преобразования
схемы рис. 3-2, а в лучевую схему
Способ Реактивные сопротивления Реактивные проводимости
преобразования Х 1 I Х2 I Х З I Х, Уl I У2 I Уз I Ys { l1у
f
Первый 10,7 9,21 13,23 6,95 0,0935 0,1090 0,0758 0,1445 0,4230
Второй 10,60 9,25 13,24 6,90 0,0943 0,1080 0,0755 0,1450 0,4228
Третий 10,54 8,83 13,30 7,03 0,0950 0,1130 0,0752 0,1420 0,4252
Оптимальное 10,9 9,0 13,1 6,91 0,092 0,1110 0,0762 0,1445 0,4237
значение
При м е ч а н и е. В таблице указаны параметры лучевой схемы рис. 3-2, б в тех же
условных единицах, что и на рис. 3.2,а.
Важно отметить, что изложенные выше приемы параметрическоrо
эквивалентироввния применимы для преобразования различных
схем не только к виду звезды, но и к друrим типам схем, моrущих
оказаться в частньrх случаях по тем или иным соображениям более
удобными, чем схема лучевая. Так, например, схема рис. 3-2, а
при известных условиях допускает преобразования в схему рис. 3-4.
78
Поскольку рассматриваемое приближенное сетевое эквиваленти..
рование относится только к параметрам связей электрических си..
стем, не касаясь инерционных констант и природы ее основных
энерrетических элементов,- сам собой разрешается и вопрос об
отделении reHepaTopoB от приемников, что весьма важно для про-
цедуры rлубокоrо (т. е. со значительным уменьшением числа основ..
ных элементов) эквивалентирования.
1. Эквивалентирование в пространстве параметров
8. П Р е Д в а р и т е л ь н ы е с о о б Р а ж е н и я
и определения
Как уже отмечалось в rлаве первой, современные локальные
(<<концентрированные») электроэнерrетические системы MoryT со-
стоять из весьма большоrо числа rенерирующих и наrрузочных
узлов (станций и подстанций).
Обычно априори, но, вообще rоворя, с достаточным основанием,
reHepaTopbI, принадлежащие одной станции, заменяются одним эк-
вивалентным reHepaTopoM, а совокупность приемников, относя..
щихся к одному наrрузочному узлу, одним эквивалентным прием-
ником. В этом заключается процедура начальной стадии эквивален"
тирования, которая будет рассмотрена позже.
После завершения начальной стадии, система приводится к со-
вокупности все еще достаточноrо большоrо числа reHepaTopoB и
наrрузок, объединенных взаимными сетевыми связями и если усло-
виться представлять все наrрузки синхронными двиrателями (см.
Э 2-4), то по отношению к контрольному узлу систему можно пред..
ставить схемой вида рис. 2-1. Последнюю в свою очередь, путем
линеаризации можно привести к чисто электрической схеме
рис. 2-3.
Однако следует заметить, что основная идея рассматриваемоrо
метода сама по себе не связана с линеаризацией системы и основана
на отличительной характеристике rлавных элементов системы до-
статочным числом важнейших параметров, с учетом или независимо
от Toro или иноrо установившеrося режима.
К таким параметрам в первую очередь относятся инерционные
постоянные и взаимные индуктивности связей (X 1 , Х2, · · . , X 1 2,
Х 1З , . . . на рис. 2-1). Сюда можно присоединить еще и друrие число-
вые характеристики, например, удельные показатели демпфиро-
вания, коэффициенты усиления автоматическоrо реrулирования
и др.
Таким образом, каждый основной элемент системы можно пред-
ставить определенной точкой i в мноrомериом пространстве с коор-
динатами U t , b l , C i ,..., соответствующими значениям характер-
ных параметров и откладываемыми по координатным осям а, Ь,
с, . . ., причем каждая ось отвечает только одному какому-либо роду
параметров .
79
В результате заданная электрическая система представится со-
вокупностью п точек - по числу различных rлавных элементов
системы.
Эта совокупность характеризует основное «разнообразие» [Л. 1]
заданной системы, поскольку позволяет видеть совпадение или
несовпадение отображающих точек.
Если при каких-то исходных условиях первичное разнообразие
может быть точно сведено к меньшему числу элементов (Т. е. с мень-
шим числом различных отображающих точек), то будет иметь место
естественное «оrраничение разнообразия» или, в нашей терминоло-
rии, точный эквивалент с меньшим разнообразием. Однако в подав-
ляющем большинстве случаев в отношении электроэнерrосистем:
оказывается ВGЗМОЖНЫМ только приближенное, как бы принуди-
тельное оrраничение разнообразия, которое соответствует прибли-
женному эквивалентированию.
С математической точки зрения эквивалентирование в простран-
стве параметров означает требование оптимальной замены совокуп-
ности п точек мноrомериоrо пространства, совокупность меньшеrо
числа т точек в том же пространстве.
В качестве удобноrо (НО не единственноrо) критерия оптималь-
ности представляется целесообразным использо ать обобщение на
MHoroMepHoe пространство метода моментов, который для простых
вещественных совокупностей находит широкое применение в теории
вероятностей [Л. 29].
К сожалению, числовые характеристики MHoroMepHbIx прост-
ранств существенно оrраничены. Как известно, аналоrами обычных
комплексных чисел являются только кватернионы, соответствующие
четырехмерному пространству [Л. 30 J. Несомненно, что с помощью
этих rиперкомплексных чисел можно построить эквивалентирова-
иие в четырехмерном пространстве параметров иа основе принципа
числовых моментов, но вследствие особенностей алrебры кватернио-
нов (некоммутативности умножения) такой способ эквивалентиро-
вания при больших п и т едва ли был бы удобным для практики.
Поэтому в дальнейшем рассмотрим иные приемы эквиваленти-
рования в пространстве параметров, которые различаются по ма-
тематической процедуре и по критериям эквивалентности.
Отметим также, что практические приемы эквивалентирования
в пространстве параметров при известных условиях можно устано-
вить на основе изложенных выше функциональных методов, приме-
ром чеrо может служить эквивалентирование систем лучевоrо типа,
рассматриваемое ниже.
В оБIДем случае кроме вопроса об оптимальной процедуре экви-
валентирования в пространстве параметров весьма существенным
является правильный выбор этих параметров. Очевидно, что идея
рассматриваемоrо метода может иметь смысл и достаточные основа-
ния только при условии полноrо подобия уравнений динамики ис-
ходйой и эквивалентной систем.
80
б. Э к в и в а л е н т и р о в а н и е л и н е а р и-
эированных систем лучевоrо типа
На второй стадии эквивалентирования придется иметь дело со
схемами типа рис. 2-1 или соответствующими электрическими схе-
мами рис. 2-3. Эти схемы можно привести к лучевым, соrласно схеме
рис. 2-14, путем применения теоремы разложения (см. Э 2-5) или,
если это оказывается невозможным, путем приближенноrо преобра-
зования l\1ноrоуrольных схем в лучевые (см. выше Э 3-3, п. 1). Пред-
положим, что это выполнено и что в качестве точки контрольных
возмущений взята общая точка А лучевой схемы, друrими словами,
будем рассматривать схему рис. 2-14, однако с разделением ее на
две rруппы ветвей - rеиераториые и наrрузочные (двиrатеtпьные)
с тем, чтобы эквивалентирование одной rруппы проводилось неза-
висимо от эквивалентироваиия друrой. При принятых допущениях
это вполне возможно. В обоих случаях процесс эквивалентирова-
ния будет совершенно одинаков. Для определенности предположим,
что имеется n reHepaTopHbIx ветвей с индуктивностями L 1 , L 2 , . . .,
L п и с емкостями соответственно С 1 , С 2 , . . . , Сп И что требуется сок-
ратить число ветвей с n до т « п).
Предполаrая, что возмущение со стороны узла А представляет
собой единичную функцию, получим при нулевых начальных усло-
виях суммарный ток для исходной схемы (с разнообразием n) в опе-
рационной форме:
n
i1J(п) = L/l: vJq2) ,
rде q = ; .;. = 1 = '1jJ (квадрат собственной частоты), и после
р J LJC j
суммирования рядов разложения по степеням q:
. -qз 1. +
. 1 J . 1 1
J= J=
n 4 п 2k
+ qБ i. .. . (-1 )k q2k+ 1 i.
. 1 I . 1 J
J= J=
Аналоrично для эквивалента с разнообразием, уменьшенным до
совокупности т элементов:
iE(n) = q
(3-25)
т т т
. 1 з v*2 k2k+l V*2k
t}J(m)=q -q --т--1-...+(-1)q -L....
L. L. J'
j=l J j=l J j=l
Приравняв множители при одинаковых степенях q в этих рядах,
для первых 2т слаrаемых каждоrо ряда, будем иметь минимально
81
необходимое число уравнений для определения неизвестных экви-
валентной системы (Lj и vj при i = 1, 2, . . . , т):
т n
J.- = = А о .
L. L.
j=1 J j=1 1
т *2 n 'J
i = =А 1 .
j==1 J j=1
t
I
(3-26)
......... .
т п
(v?ym-I = (vJym-1 = А .
L L. 2m-l
)=1 J )=1 1 )
1 1
Не трудно видеть, что в этих выражениях величины -;;- , - (не-
L. L.
J J
которые условимся называть «индуктивными проводимостями»)
иrрают весовую роль, аналоrичную роли точечных масс или сосре-
доточенных сил, а величины vj2, v J - роль «расстояний» этих масс
от начальной точки на прямой, вследствие чеrо выражения левых и
правых частей последних уравнений, начиная со BToporo, оказы-
ваются аналоrичными выражениям механических моментов первоrо,
BToporo, TpeTbero И, наконец, (2т-I)-ro порядка сосредоточенных
масс или сил относительно начала координат. Соответственно, первое
из уравнений выражает как бы требование сохранения суммарной
массы, а последующие - требования сохранения моментов соот-
ветствующих порядков - не свыше порядка (2т-I). Тем самым
выражаются приближенные требования эквивалентирования при
переходе от n к т цепям в CXel\1e рис. 2-14.
При больших значениях n и т (наnример при n = 10 и т = 9)
удовлетворению этих требований соответствует разложение опера-
торных выражений (3-25) тока i}J, (n) до весьма высоких степеней q
(при т == 9 требуемая высшая степень равна 35). Это несомненно
обеспечивает и достаточную точность эквивалентирования. Однако
при сильном снижении разнообразия т точность эквивалентирова-
иия на основании указанноrо оrраничения моментов до порядка
(2т-l) может оказаться недостаточной, хотя при этом чрезвычайно
упрощается система уравнений (3-26), которая в предельном случае
т = 1 сводится Bcero лишь к двум:
n
+ = L 1 . = ;. = А о .
э 1 )=1 I
n ·
'J2 'J *2 'J2
2..---!-- i-A
- * - - 1-
L з L 1 L J
)=1
82
!1ля проверки точности эквивалентирования при таких резких
снижениях разнообразия необходимо взять дополнительно более
высокие моменты, и значения эквивалентных параметров определять
по методу наименьших квадратов. Так, для т = 1, учтя, кроме сумм
А о и А 1 В (3-26), еще дополнительно следующие по порядку два мо-
мента, получим уравнения для определения эквивалентных пара-
метров (У:> = э ; 'tj = '1 ) :
дР = О и дР = О
д д '
Уэ "1
rде
F = (Уэ - А о )2 + (Уэ э - А 1 )2 + (Уэ ; - А 2 )2 + (Уэ : - А з )2. (3-27)
Выражение функции F и весь расчет по методу наименьших квад-
ратов можно упростить, допустив как обязательное требование
u u
сохранения «массы», т. е. суммарнои индуктивнои проводимости.
Это требование является достаточно обоснованным, так как при
переходе к исходной электромеханической системе оно означает
требование точноrо эквивалента по суммарному сверхтоку * трех-
фазноrо KopoTKoro замыкания в контрольной узловой точке А,
соответственно параметрам так называемоrо «переходноrо процесса»
[л. 31]. в свою очередь, требование точности токов к. з. связано
с необходимостью достаточно правильноrо отображения в эквива-
ленте «импульсных моментов», воздействующих на rеиераторы и
двиrатели приемной системы (см. Э 4-3).
При допущении Уэ = А о выражение функции F для рассматри-
BaeMoro примера будет иметь вид
р* = (Ао'YJ э - А 1 )2 + (Ao ; - А 2 )2 + (Ao : - А з )2,
и минимум ее будет определяться уравнением с одним неизвест-
ным э:
дР*
-=0.
дт,э
Поскольку рассматриваемому параметрическому усреднению
вообще должна быть отведена самостоятельная роль метода эквива-
лентирования лишь для первоrо этапа второй стадии, коrда тре-
буется перейти от большеrо разнообразия n к меньшему, но все еще
довольно значительному разнообразию т, то возникает вопрос о
наилучших способах перехода ступенями в одну единицу, т. е. по-
следовательно от n элементов к (n-l) элементам, от (n-l) элемен-
тов к (n-2) элементам и т. д.- до требуемоrо уровня разнообразия.
* Термин «свер хток» здесь означает, что имеется та составляющая тока
к. З., которая непосредственно не зависит от э. д. с. приемной системы и ко-
торая как бы налаrается на рабочий ток, протекающий через контрольный
узел А {Л. 31].
83
Постепенный переход является значительно более трудоемким
сравнительно с весьма часто практикуемым переходом от п к m= 1,
который, однако, в общем случае нельзя признать обеспеченным
по точности даже на основе функциональноrо эквивалентирования,
так как последний сам по себе не может обеспечить необходимой
точности, если спад разнообразия (п-т) слишком велик.
Изложенный выше параметрический метод моментов оказыва-
ется слишком трудоемким для ступенчатоrо эквивалентирования;
поэтому следует учесть возможность для лучевых схем попарноrо
или вообще rрупповоrо объединения отдельных ветвей. Процесс
TaKoro объединения, вообще rоворя, не будет оптимальным, но
чрезвычайно прост и удобен для применения на практике.
Не трудно убедиться, что в линеаризированных лучевых схемах
рис. 2-14 объединение двух любых цепей с параметрами Yj, ТJ! и Yi'
'1Ji будет вполне точным, если точно удовлетворяется требование
равенства величин I и i' т. е. квадратов собственных частот. При
соблюдении этоrо требования напряжения UJ и U t на емкостях C j
и C l будут тождественно равны между собой при любых возмуще-
ниях со стороны контрольноrо узла А, и, следовательно, обе цепи
можно объединить параллельным соединением емкостей C j и C l ,
а также проводимостей У! и Yi' В полученном частном эквиваленте
ПРОВОДИl\fОСТЬ Уэ И емкость С э будут равны соответственно cyr-.1Me
проводимостей и емкостей объединяемых цепей.
Таким образом, только различие в частотах собственных коле-
баний (или их квадратов) является в данном случае показателем
разнообразия, и при объединении цепей с точно одинаковыми ча.,.
стотами происходит уменьшение числа элементов без уменьшения
точности эквивалентирования. Это справедливо не только для по-
парноrо, но и вообще для rрупповоrо объединения цепей в лучевых
схемах.
Если частоты не одинаковы, но достаточно близки, то можно
считать допустимым объединение соответствующих цепей на основе
только двух требований - сохранения суммарной проводимости
(<<массы») и суммы моментов первоrо порядка, т. е. определять пара-
метры частноrо эквивалента равенствами:
Уэ = У! + Yi, }
У э 'YJэ = Yj'YJj + Yi'YJi'
При каждом таком приближенном "'объединении цепей па-
раллельно с уменьшением разнообразия будет происходить и умень-
шение общей точности эквивалентирования. Чтобы поrрешность
возрастала возможно медленнее, необходимо всю данную совокуп-
ность величин '111' "fJ2, . . . , '11n, * расположенных на числовой оси в
(3-28)
* Предполаrается, что цепи с равными частотами пре]!варительно объе-
динены, как указано выше.
84
порядке возрастания, разбить на подходящие зоны соответственно
требуемому уменьшению разнообразия от n до т < п. Для этой
цели возьмем на числовой оси еще два дополнительные значения
квадратов частот:
1
'1/0 = '1/1 - 2 ('1/2 - '1/1) = 1,5'1/1 - 0,5'1/2
и
1
'YI = "'f} + - ('YI - 'YI ) = 1 5'У1 - О 5'У1
"n+l "n 2 "n "n-l "'n "'n-l ·
Всю область между o и n+1' заключающую в себе, очевидно,
все заданные j, разобьем на т неравных смежных участков так,
чтобы верхняя rраница ('11kB) любоrо из них, с порядковым номером
k, отличалась от нижней ero rраницы ( kH) на один и тот же множи-
тель а > 1, т. е. чтобы было '11kB == (J:1ikи' причем, очевидно, должно
быть:
kH = 1l (k-l) в'
lH = o,
,
mB = 7l n + 1 .
Из этих условий найдем:
т
'YJ n + 1 = а o.
11
_ (1J n + 1 )1/m
а- .
110
Отсюда же вытекает, что величина каждоrо последующеrо участка
dk+l отличается от величины предыдущеrо участка d k на один и тот
же множитель а:
d k + 1 = a.d k .
Изложенная система разбиения области O' n+l на т участков
учитывает необходимость равномерной точности эквивалентирова-
ния для всех показателей частот j от высших до низших.
После указанноrо разбиения можно все показатели частот из
заданной совокупности, приходящиеся на каждый из участн:ов, за-
менить одним показателем частоты из условия равенства первых
моментов и сохранения суммарной проводимости (3-28).
Таким путем будет Достиrнута если не оптимальная, то, по-ви-
димому, достаточно высокая точность эквивалентирования. В кон-
кретных случаях это всеrда можно проверить сопоставлением
достаточноrо числа моментов более высоких порядков реэуальтатив-
Horo эквивалента с соответствующими моментами исходной луче-
вой схемы.
85
.В. Э К В И В а л е н т и р о в а н и е в про с т р а н ·
стве параметров в общем случае
Не исключено, что схема общеrо вида (рис. 2-1), даже будучи
линеаризована, не может быть приведена -к лучевой схеме. Кроме
Toro, по некоторым соображениям может оказаться целесообраз-
ным вести эквивалентирование при условии, чтобы сохранялось
структурное подобие исходной и эквивалентной системы. В подоб-
ных случаях задача эквивалентирования в пространстве парамет-
ров становится достаточно сложной. Однако параметрические ха-
рактеристики исходных и эквивалентных систем следует признать
полезными для уяснения структурных соотношений и для rрубой
оценки точности эквивалентирования.
Необходимо отметить, что среди параметров, определяющих
динамику и режимы электрических систем, встречаются как допу-
скающие, так и не допускающие естественное физическое суммиро-
вание. Примером параметров первоrо рода MoryT служить индук-
тивные проводимости, активные и реактивные мощности и т. д.
Суммирование подобных параметров может входить в комплекс
обязательных критериев эквивалентности. К числу параметров
BToporo рода следует отнести постоянные времени цепей возбужде-
ния синхронных машин, коэффициенты усиления автоматических
реrуляторов и др. В отношении этих параметров в процессе эквива-
лентирования может быть реализовано только требование Toro или
иноrо вида оптимальноrо усреднения. Очевидно, что при построе-
нии любоrо способа эквивалентирования в пространстве параметров
должно быть учтено разделение их на два рода.
В связи с трудностями использования фундаментальных число-
вых представлений в мноrомериых пространствах, а также учитывая
вспом:оrательную роль рассматриваемоrо метода лишь как средства
снижения разнообразия на первых стадиях упрощения систем,-
представляется, целесообразным процесс эквивалентирования в
MHorOMepHoM пространстве свести к серии отдельных процессов
в двумерных пространствах. Это дает возможность применять про-
стой и привычный всем аппарат комплексных чисел.
Если из совокупности параметров a i , b i , C i ,..., которые
должны явиться основой эквивалентирования, выделить какие-либо
два вида rлавнейших a i и b i , то можно мноrомерный процесс эквива-
лентирования разбить на ряд двумерных процессов с попарными
сочетаниями параметров:
(1) ai b i ,
(2) a l Ci'
(3) a l di'
. . . .
При этом естественно принять, что эквивалентные значения са-
Moro rлавноrо параметра (ад, определенные в первой процедуре
86
(a i ...-..... Ьд, остаются неизменными во всех последующих процедурах
(2), (3), . . . и т. д.
им будет обеспечено соответствие всех эквивалентных пара-
метров мноrомерной совокупности.
Естественным является также требование, чтобы все попарные
процедуры эквивалентирования проводились одним и тем )Ке спо-
собом, с дополнительными критериальными условиями, если это
требуется при наличии суммируемых параметров.
Рассмотрим два из таких способов.
1) Использование Ф9РМУЛ центральных числовых моментов.
Допустим, что все rлавные (или координирующие) параметры a l
относятся к вещественной оси, а прочие параметры b i , С Ё ' . . . -
к мнимой оси комплексной плоскости. Тоrда каждому элементу i
исходной системы (i == 1, 2, . . . , п) будут соответствовать в пло-
ских подпространствах а/Ь, а/с, a/d, . . . комплексные числа (a i +
+ jb i ), (a i + jCi)' (a i + jd i ) , . . . и т. д. Аналоrично должны отоб-
ражаться и элементы эквивалентной системы с параметрами
а;, Ь i*' с; . . . (i = 1, 2, . . . , т).
Если не вводится никаких дополнительных критериальных тре-
бований, то в первой попарной процедуре эквивалентные параметры
а; и ь; подлежат определению из условия равенства центральных
моментов исходной и эквивалентной системы, т. е. в данном случае
из уравнений:
т п
(aj + jb;) (a i + jb i )
1 1 == М 1 ,
-
т n
т п
(* * .)2 (a i + jb i - м 1 )2
a i + jb i - М 1
1 1
-
т п
)
= М 2 , (3-29)
т
( 11: * ')8
a l + jb i - М 1
1
п
( a i + jb i - М 1 )8
1
т
n
=М
s
до моментоц порядка s включительно.
Каждое из написанных s КОl\1плексных уравнений распадается
на два вещественных; с друrой стороны, для эквивалентной системы,
Иl\IIеющей m различных элементов, будем иметь 2т неизвестных
параметра в плоскости а/Ь. Отсюда следует, что минимальный по-
рядок моментов в последнем уравнении должен быть не ниже s = m.
При т < 3 целесообразно взять s > т, чтобы повысить точность эк-
Вивалента с помощью усреднения по lVlетоду наименьших квадратов.
Прочие попарные процедуры эквивалентирования в плоскостях
а/с, a/d, . . . и т. Д. должны проводиться аналоrично, с тем отличием,
что для них число уравнений может быть уменьшено до порядка
87
s = 1/2 т, так как в этих уравнениях величины aj будут известными
из первой процедуры.
Если кроме требования равенства центральных моментов будут
введены какие-либо друrие обязательные критериальные условия,
выраженные дополнительным числом специальных уравнений, то
структура системы уравнений моментов должна соответственно видо-
измениться.
Допустим, например, что введено требование равенства суммы
* u
параметров a i эквивалента сумме параметров a i исходнои схемы, т. е.
т n
a; = ai'
1 1
Это условие можно соблюсти без изменения общей формы написан-
ных выше уравнений МОl\fеитов, если вместо исходных параметров
a i ввести пропорциональные им параметры:
n
а. = - а.. (3-30)
l. т /,
Такое преобразование можно рассматривать как смещение за-
данной совокупности точек исходной системы параллельно вещест-
венной оси.
В случаях, коrда требование равенства сумм параметров экви-
валента и исходной системы относится к обоим координатным пара-
метрам a i и b 1 , аналоrичное преобразование распространяется на
оба эти параметра и, следовательно, на составленные из них комп-
лексные числа. Соответственно в уравнения моментов вводятся
комплексные числа:
- n .
Zi (а, Ь) = - (a l + /Ьд.
т
2) Приведение эквивалентирования в пространстве параметров
к эквивалентированию полиномов. Разбиение процесса MHoroMep-
Horo эквивалентирования на попарные процедуры с использованием
комплексных чисел открывает возможность приведения задачи эк-
вивалентирования в пространстве параметров к функциональному
эквивалентированию простых степенных мноrочленов.
Действительно, каждому комплексному числу (a i + jb i ) одно-
значно соответствует сопряженное с ним число (ai-:-jb i ). Оба эти
числа можно рассматривать как корни мноrочлена 2-й степени от
произвольноrо переменноrо х.
Всем n точкам на КОl\lплексной плоскости, соответствующим па-
раметрам a t и b i исходной системы при i = 1, 2, . . . , n, очевидно,.
можно сопоставить полный мноrочлен степени 2п:
Е(х n ) = х 2п + A 1 x 2п - 1 +... + А 2n =
= (х 2 - 2a 1 x + а1 + bI) (х 2 - 2а 2 х +
+ a + b ). . . (х 2 _- 2а п х + a + b ). (3-31)
88
Аналоrично для искомоrо эквивалента из т элементов должен су.
ществовать отвечающий ему полином:
F ( 2т А* 2т-l А*
Х)т = Х + l Х + · · · + 2т'
Задача эквивалентирования теперь сводится к приближению
полинома F (Х)n степени 2п ПОЛИНОl\f10М F (Х)m меньшей степени
2т, который подобно полиному F (Х)п должен иметь корни только
в первой четверти (+ 1, -t- j) комплексной плоскости. Это можно
выполнить на основе общей теории интерполирования и приближе-
ния функций, а также упрощенными методами функциональноrо
эквивалентирования (см. 3-1, 2).
При использовании этих упрощенных методов предпочтитель-
вее процесс эквивалентирования отнести к обратным функциям:
чr(Х) = 1 иW(х) = 1
n F (Х)п т F (Х)m '
которые в отличие от F (Х)п и F (Х)m остаются оrраниченными при
любых чисто вещественных значениях Х.
В том случае, коrда необходимо ввести требование равенства
CYMlVI каких-либо параметров одноrо рода для эквивалентной и ис-
ходной систем, это леrко достиrнуть, относя эти параметры к веще-
ственным частям комплексных чисел. Тоrда, как леrко видеть,
указанное требование выразится простым уравнением:
*
А 1 = А 1 .
Т. С о О б Р а ж е н и я о в ы б о Р е
координатных параметров
Необходимо отметить, что рассмотренные способы - 1) и 2), -
вообще rоворя, не дают тождественных р qультатов. Последнее
является следствием Toro общеrо факта, что способов усреднения
чисел и функций можно указать неоrраниченное множество, и все
эти способы дают нетождественные, хотя и близкие при известных
условиях результаты.
С указанным фактом тесно связан и вопрос о выборе базисных
паRаметров в качестве координат для точек MHoroMepHoro простран-
TBa, отображающих исходную систему. Остановимся кратко на
этом вопросе.
Выше уже ОТl\1ечалось, что выбор надлежащеrо комплекса коор-
динатных параметров должен быть прежде Bcero связан с формой
и физическим смыслом основных уравнений, определяющих дина-
мику системы.
Оrраничимся представ.пением системы линеаризированными урав-
нениями по типу формул (2-49), соответствующих обобщению схем ы
рис. 2-3. Непосредственно из рассмотрения структуры матрицы В
и выражения cyMMapHoro, входноrо в cxe y тока i'g видно, что в ка-
честве rлавных откладываемых по вещественной оси параr..1етров
8'
следует принять проводимости а! = 1/ L j , которые должны быть
подчинены требованию равенства их CYMl\f для эквивалента и исход-
ной системы, а в !{ачестве сопряrаемых с ними параметров мнимой
1
оси - величины J O = · Последние должны и l\10rYT быть под-
L,C.
J J
чинены только процессу усреднения, поскольку их суммирование
не имеет под собой ник ких физических оснований. Указанный вы-
бор rлавных параметров находится в достаточном соответствии с ус-
ловиями эквивалентирования лучевых схем (для которых все
L jk = (0).
Выполнение первой процедуры эквивалентирования на комплекс-
ной плоскости в отношении параметров a j и Jo даст возможность
определить соответствующие им эквивалентные параметры aj и ;
(j = 1, 2, . . . , т), а, следовательно, и все Lj, cj.
Из прочих параметров эквивалентной схемы по типу рис. 2-3
останутся неопределенными лишь эквивалентные проводимости
внутренних связей Yjk = 1/ L;k' входящие в выражения квадратов
эквивалентных комбинированных частот:
L*
jf = с* L : L * (k = 1, 2, · · · , т =1= j).
j j jk
Совокупность аналоrичных частот исходной схемы, содержащей
п различных элементов, можно для каждоrо узла j заменить сово-
купностью HeKoToporo числа q центральных моментов по формулам:
п-l )
Jk
k=l
тjl =
n-l
п-l
( Jk - т .1)2
k=l J
т'2 =
J n-l
(3-32)
п-l
( Jk - m j1 )q
k=l
т. =
Jq n-l
J
После этоrо все процедуры попарноrо эквивалентирования
можно отнести к совокупностям координат (aj -.тjl)' (а ! тj2) . . .
и т. Д., учитывая при этом, что эквивалентные проводимости aj уже
будут определены из вышеуказанной первой процедуры (aJ ;o).
Если требуемый эквивалент, сохраняя подобие исходной схеме
по типу рис. 2-3, должен иметь т различных основных элемеНТОВ t
*
то число подлежащих определению комбинированных частот jk
90
1
составит - т (т - 1). Поскольку для каждоrо из т элементов бу-
2
дет найдено q числовых моментов по данным исходной схемы и этим
моментам следует приравнять аналоrичные моменты эквивалентной
CXel\1bI, то тем самым будет обеспечено для определения эквивалент-
ных комбинированных частот mq уравнений вида
m-l
*2
jk
1
== mjl'
т-l
m-l
( j - т 01)2
1 J
т-l
== mj2 ,
.......... ..
1
Очевидно, что для возможности определения всех - т (т - 1)
2
эквивалентны'Х комбинированных частот необходимо соблюдение
условия
1
mq>--т(m-l)
2
или
1
q>- -(m-l).
2
*2 111
После определения всех jk, при уже известных значениях Lj
* '
и C j , леrко определяются эквивалентные проводимости внутренних
. *2
связей, а также квадраты эквивалентных rлавных частот } , входя-
-*
щие в матрицу В эквивалентной схемы.
Заметим, что в принципе следовало бы исходить из непосредст-
BeHHoro эквивалентирования именно этих величин (вместо эквива-
лентирования квадратов условных частот ?Jo). Однако это повело
* *
бы к усложнению определения первичных параметров С } и L jk .
Леrко видеть, что изложенная процедура по су щес тву является
частным случаем эквивалентирования матриц типа В.
ДЛЯ схем мноrоуrольноrо типа (рис. 2-3) эквивалентирование
в пространстве параметров до т == 1 невозможно, так как в этом
случае не существует никакоrо конечнОrо параметрическоrо экви-
валента для совокупностей взаимных индуктивных связей исход-
ной схемы.
Принцип попарноrо эквивалентирования на комплексной пло-
скости дает возможность достаточно просто выполнять эквиваленти..
рование систем с любым'числом параметров, сверх входящих в урав-
нения (2-49). Эти дополнительные параметры, как правило, не
являются суммируемыми и не требуют указанноrо выше преобра..
зования.
91
Очевидно также, что изложенный метод позволяет включить в
процесс эквивалентирования не только неизменные машинные и
сетевые параметры, но также и меняющиеся параметры рабочих ре-
жимов, в первую очередь - активные и реактивные мощности, ко-
торые в отношении входных точек системы обычно подчиняются
критериальному требованию равенства их сумм для эквивалента и
исходной схемы.
Режимные параметры, в силу их ИЗl\1енчивости, нельзя в процессе
изложенноrо метода эквивалентирования относить к катеrории
rлавных: они должны включаться лишь в последние процедуры по-
парноrо эквивалентирования на комплексной плоскости. Этот прин-
цип отвечает и практике использования электродинамических мо-
делей.
д. О п р е Д е л е н и е э к в и в а л е н т н ы х
параметров установившеrося режима
Здесь имеется в виду установившийся режим, который в реаль-
ной сис,теме предшествует возмущению со с;тороны присоединенной
к ней дальней электропередачи.
Изложенные выше общие основы метода эквивалентирования
в пространстве параметров дают возможность - в применении к
приемным системам с одним узлом контрольных возмущений (или
с одним «входом» от удаленной станции) - непосредственно опреде-
* *
лить все режимные параметры эквивалентной системы [P j , Qj'
E , e;k (j = 1, 2, . . . , т; k = 1, 2, . . . , ln =f= j)] . При этом необ-
1 u
ходимо учитывать положенные в основу преобразовании указанные
во введении предварительные допущения, а именно - отсутствие
активных потерь, замену комплексных наrрузок синхронными дви-
rателями и т. д.
При использовании приемов попарноrо эквивалентирования мо-
ryT оказаться не обеспеченными правильные аналитические связи
между упомянутыми параметрами. Во избежание этоrо приемами
параl\1етрическоrо эквивалентироваltия следует определять лишь
часть режимных параметров, достаточную для последующеrо опре-
деления прочих параметров непосредственно из выражений актив-
ных и реактивных мощностей. При такой постановке вопроса мо-
жет быть MHoro вариантов последовательности вычислительных
операций. Рассмотрим два из них, представляющихся наиболее
целесообразными, причем будем предполаrать, что все эквивалент-
ные сетевые индуктивные взаимосвязи уже определены из пред-
шествующих попарных процедур эквивалентирования нережимных
параметров.
Соrласно первому варианту предположим, что с помощью по-
парноrо эквивалентирования далее определены активные и реак-
тивные мощности всех элементов упрощенной системы с соблюде-
нием обязательных требований, чтобы их суммы соответственно
92
были равны аналоrичным суммам активных и реактивных мощностей
исходной системы и чтобы сохранялись значения активной и реак-
тивной мощностей притекающих к узлу А от удаленной станции.
Если эквивалент должен состоять из т элементов, то в качестве
.
неизвестных мы будем иметь модуль узловоrо напряжения и А, элек-
* * *
тродвижущие силы E 1 , Е 2 , . . . , Е m и уrловые сдвиrи последних
( * * * *
относительно узловоrо напряжения 8 1А = 01 - ОА, 82 = 02 - а А
и т. д.), т. е. Bcero (2т + 1) неизвестных.
Вместе с тем мы будеl\1 иметь значения 2 (т + 1) активных и
реактивных мощностей, выражаемых аналитически через указан-
ные неизвестные. Это дает возможность составить (2т + 1) неза-
висимых уравнений, поскольку для активных мощностей автома-
тически будет соблюдаться условие
т
Pj=PA'
j=l
Вследствие наличия реактивных потерь в сети для реактивных мощ-
ностей TaKoro условия не будет.
Таким образом, мы будем иметь необходимое и достаточное число
уравнений для определения всех еще неизвестных режимных пара-
метров эквивалента, в том числе и модуля узловоrо напряжения и А'
Активная МОll НОСТЬ удаленной станции, очевидно (если пренеб-
речь потерями в линии), будет равна Р А' а реактивная леrко опре-
делится по уже найденному значеншо и А и по заданным значениям
QA ИРА.
Укажем теперь друrой вариант порядка вычислений, не тре-
бующий cOBMecTHoro решения (2т + 1) нелинейных уравнений.
Предположим, что процедура попарноrо эквивалентирования
распространена на заданные модули э. д. с. и их уrловые сдвиrи
относительно наПРЯ:lкения узла А для всех элементов упрощаемой
т
приемной системы, при сохранении требования Pj = Р А' но
jo=l
С остающимся пока еще неизвестным значением модуля и А узловоrо
напряжения. В качестве необходимых связывающих (или «коорди-
нирующих») параметров при попарном эквивален ировании ука-.
занных величин на комплексной плоскости можно выбрать соот-
ветствующие отдельным элементам инерционные постоянные (H J )
или какие-либо друrие из постоянных (нережимных) параметров.
т
Для суммы активных мощностей эквивалента Pj мы получим
следующее уравнение: j=l
т
и А siПЭ jА = Р А'
1
93
rде после выполнения указанной процедуры эквивалентирования
в пространстве параметров единственной неизвестной величиной
будет являться лишь и А' После определения и А без труда опреде-
ляются все Pj и Qj, а также полная мощность удаленной станции.
Сложный вопрос о том, какой из указанных двух или из числа
друrих возможных вариантов будет ближе к оптимуму с точки зре-
ния минимума поrрешности в предельной (по динамической устой-
чивости) мощности удаленной станции, остается открытым. Этот
вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.
Вопрос оприменении эквивалентирования в пространстве пара-
метров к случаю приемных систем со мноrими «входами» (т. е. со
мноrими не вводимыми в эквивалент элементами или удаленными
станциями) кратко рассмотрен в 3-6.
3-4. Эквнваnентнрованне в пространстве функций
1. Предварительные замечания и предпосылки
Вторую стадию эквивалентирования, при возможности исполь-
зования надлежащих вычислительных средств, ради повышения
точности можно разбить на два этапа: отнести изложенный выше
метод параметрическоrо эквивалентирования к первому этапу для
перехода от заданноrо числа различных основных элементов п к не-
которому промежуточному их числу т < п, а далее, на втором
этапе, применить более 'точный метод перехода еще к меньшему
числу элементов то < т, которое допускало бы уже эквиваленти..
U U U
рование нелинеаризованнои системы на третьеи завершающем ero
стадии.
Таким более точным методом, по-видимому, может служить
кратко излаrаемый ниже метод эквивалентирования «в пространстве
функций». Он основывается на представлении совокупности одно-
родных непрерывных функций W l (t) на отрезке времени (8, ),
обобщенными полиномами [Л. 24] вида
s
W i (/) = k 1i <Pl (t) + k 2i <P2 (/) + · · . + kSi<Ps (t) = kji<p J (t). (3-33)
j=l
При этом предполаrается, что числа k li , k 2i , . . . , k Si можно
рассматривать как составляющие функциональноrо вектора W i
В ортоrональных осях линейноrо пространства 5 измерений.
Вообще rоворя, число измерений 5 для точноrо представления
функций W l должно быть бесконечным. Однако при надлежащем
выборе базисной системы функций <Рl (t), · . ., <Ps (t), учитывая
существенно приближенный характер эквивалентирования электри-
ческих систем, несомненно можно оrраничиться конечным числом
измерений 5, т. е. конечным числом членов разложения функций
W l (t), по нашему мнению, вплоть до минимальноrо числа 5 == 2.
Коэффициенты k 1l , k 2i , . . . , k Sl можно рассматривать как рав-
ноправные кооординаты функций W i (t) (без введения добавочных
94
весовых коэффициентов) только в том случае, если они действи-
тельно характеризуют значимость отдельных слаrаемых выражения
(3-33), которую можно определить числом, квадрат KOToporo:
X . = ...!- s k .rf (f) df (j = 1, 2, . . . , s).
Jl 't О Jl J
Если система СРl, 'Р2, . . . , 'Ps нормирована в промежутке (О, rt),
т. е. если
vlrpi(f)df = vrlrp (f)df =.. · =vlrp (f)df = 1,
то
2 k]l
Х =-
't
(3-34)
Следовательно, при указанном условии коэффициенты kjl действи-
тельно можно принять эа координаты функций W l (t).
В случае ортонормированных функций epj (t) эти коэффициенты
определяются наиболее просто:
'с
k ii = S \If i (t) ер i (t) dt ·
о
(3-35)
Представление функций точками BeKTopHoro пространства s
измерений позволяет привести задачу эквивалентирования «в про-
странстве функций» К задаче эквивалентирования «В пространстве
параметров», рассмотренную в Э 3-3.
В частности, открывает возможность применения указанноrо
там разбиения всей процедуры эквивалентирования в MHoroMep-
НОМ пространстве на отдельные попарные процедуры эквиваленти-
рования на комплексной плоскости. Следовательно, всеrда можно
выбрать достаточно БОЛЫllое s для получения требуемой точности
представления функций обобщенными полиномами.
По сравнению с указанными ранее прямым и косвенными функ-
циональными методами рассматриваемый метод в принципе имеет
то преимущества, что не требует решения фундаментальных диффе-
ре:нциальных или интеrральных уравнений эквивалентной системы.
Необходимо иметь лишь полную функциональную картину про-
цессов в исходной системе при заданных контрольных возмущениях.
Так, наПРИl\fер, применительно к схеме замещения по типу рис. 2-3,
необходимо знать BpeMeHHbIe функции токов, протекающих через
все ИНДУI{тивные связи схемы. Все эти токи для отображения в про-
странство функций подлежат представлению обобщенными поли-
номами, как указано выше.
Процедура эквивалентирования в пространтсве функций несом-
ненно обеспечивает результат, более близкий к оптимальному,
нежели простое эквивалентирование в пространстве параметров,
95
поскольку функциональная картина, характеризующая движение
системы, более точно отображает относительное значение различных
факторов, хотя вычисления в данном случае существенно услож-
няются.
Поэтому большее практическое значение, по-видимому, может
иметь использование смешанных методов, наПРИl\1ер, сочетание
рассматриваемоrо метода эквивалентирования «в простр нстве
функций» С одним из функциональных методов, кратко изложен-
ных ранее, или сочетание ero с эквивалентированием на заданных
частотах и т. п.
В нижеследующем рассмотрены два таких смешанных метода
применительно к схеме замещения по типу рис. 2-3. Первый назван
нами методом «эквивалентирования В пространстве rлавных функ-
ций», второй - «частотно-амплитудным методом». Смысл этих наи-
менований будет ясен из KOHKpeTHoro изложения их сущности.
2. Эквнваnентирование в пространстве rnaBHbIX функций
Предположим, что заданная схема по типу рис. 2-3 имеет п ос-
новных элементов и что при заданном воздействии на входе в виде
приложенноrо в момент t === О напряжения u (t) и при нулевых
начальных условиях определены токи i c l' i C2 ' . . . , i cп ' . . . в ветвях
С 1 , С 2 , ..., Сп как функции времени в пределах отрезка О, 'С. Эти
переменные и будут являться rлавными в процессе эквивалентиро-
вания. Каждому из п узлов соответствует только одна из совокуп-
ности п таких функций. Непосредственно видно, что они по физи-
ческому смыслу допускают коммутативное и ассоциативное сумми-
рование.
В то же время узловые напряжения и 1 , и2, . . . , и п последнему
условию не удовлетворяют, так как их суммы не имеют определен--
Horo физическоrо смысла в схемах рассматриваемоrо типа.
Вместо этих величин введем функции:
t
Vj = CjU j = S icjdt,
о
удовлетворяющие указанному условию.
Не трудно видеть, что если токи i Cj будут надежно предстнвлены
обобщенными полиномами соrласно формуле (3-33), то для пере-
менных Vj автоматически получится аналоrичное представление
t
через функции w = S ер j (t) dt, причем координатные коэффициенты
о
kji (j === 1, 2, . . . , s) останутся неизменными.
Если все эти коэффициенты так или иначе найдены для всех то-
ков i cj , то в нашеl\f векторном пространстве (s измерений) по сово-
купности векторов i Cj приеl\1ами эквивалентирования в пространстве
параметров МЫ можем построить эквивалентную rруппу из т < п
96
векторов i j (j = 1, 2, . . . , т) и соответствующую rруппу эквива-
t
лентных функций vj = S i j dt .
о
В процессе эквивалентирования от п к т элементам, кроме мо-
ментных критериев, вводим обязательное критериальное требова-
ние:
т п
i j = iCj'
1 1
Это, как мы знаем, приводит при использовании формулами
числовых моментов к необходимости замены исходных функций
пропорциональными.
После Toro как будут определены все i j и vj, для эквивалента
из т элементов можно одним из простейших функциональных ме..
тодов определить все без исключения параметры, входящие в этот
эквивалент. Для этоrо следует, придерживаясь структуры эквива-
лента по типу рис. 2-3, использовать соответствующую систему диф-
ференциальных уравнений в предположении, что на входе схемы
эквивалента будет приложена, при нулевых начальных условиях,
та же функция напряжения U (t) U (р), что и в исходной схеме.
Не трудно показать, что требуемую систему уравнений можно
привести к следующей интеrральной форме:
.. _ 1 { . + * + + * + ('} \
t C1 - - - a l1 v 1 a 12 v 2 · · · a1mV m Q1U Р) ,
р
i 2 = !a 21 v; - a 22 v; + · · · + a 2т v*",. + а 2 и (р») ,
р
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · } (3 -36)
i m = (am1v; + a m2 v; + · · · -аmmv':п + аmи(р»).
р
* 1.* ( · 1 2 )
Vj == - t Cj J = , ,..., т ,
р
rAe
· st
. ,
р о
1
a j == ---;- ,
L j
1
ajj = * ... ,
Lj.C.
J J
i=т
1 1 1
-L*= L* + -L*'
jj j jC
i =1
i
а..=
]L L* с*
ji l
(i = 1, 2, . . . , т =1= j).
Задавшись значениями времени t 1 , ' 2 , . . . , t m + 1 В промежутке
(О, 't) И определив для них соотв тствующие значения всех функций
t
i;, vj, а также функции S U (t) dt, получим т (т + 1) линейных
о
97
алrебраических уравнений, достаточных для определения всех ко-
эффициентов (nj, аи, ajJ уравнений (3-36).
Все основные параметры эквивалентной системы, число которых
1
не превышает - т (т + 3), должны определяться по указанным
2
алrебраическим уравнениям, естественно, с помощью метода наи-
меньших квадратов (за исключением случая т = 1, который для
схем по типу рис. 2-3 нереален).
Рассмотренный пример линеаризированной системы по типу
рис. 2-3 показывает, что даже только частичное эквивалентирование
в пространстве функций, а именно - rлавных переменных i c l'
i C2 ' · · · , i Cп ; vl' V 2 ' · · · , V п , устраняет необходимость применения
сложных процедур интеrрирования уравнений эквивалента со мно-
rими еще неизвестными параметрами при наличии Bcero лишь од-
Horo дополнительноrо критериальноrо требования:
m п
.* .
t Cj = t Cj '
1 1
3. Частотно-ампnитудны метод
Этот метод вытекает из общих представлений, указанных в п. 1.
Относя по-прежнему все соображения к схемам типа рис. 2-3,
поставим себе задачу найти для каждоrо заданноrо синусоидальноrо
возмущения и (ш) определенной частоты ш все установившиеся
токи и узловые напряжения эквивалентной схемы по заранее опре-
деленным аналоrичным токам и напряжениям исходной схемы,
с переходом от п к т узлам (за исключением узла контрольных
возмущений), при соблюдении тополоrическоrо подобия этих схем.
Частота ш не должна быть близка ни К,одной из частот собствен-
ных колебаний как исходной, так и эквивалентной схемы.
Решение поставленной задачи, очевидно, даст возможность опре-
делить все параметры эквивалентной схемы при заданной частоте.
Допустим, что исходная схема не содержит никаких активных
сопротивлений. Естественно, это условие сохранится и для эквива-
лентной схемы. При соблюдении ero все токи по сотношению ко всем
Ф u 1
напряжениям MoryT иметь азовыи сдвиr только + 2 1t , а между
собой будут находиться в фазе или в противофазе так же, как и уз-
ловые напряжения между собой.
Отсюда следует, что все токи и напряжения можно будет пред-
ставлять положительными и отрицательными числами на соответст-
вующих осях координат. В качестве 'таких чисел можно принять
амплитуды токов и напряжений, условившись приписывать ампли-
тудам узловых напряжений И } знак «плюс» (+) при совпадении их
по фазе с вынуждающим напряжением и (ш), а амплитудам токов
98
lj - этот же знак при опережении ими вынуждающеrо напряже-
1
ния на -тс.
2
Предположим, далее, что для исходной схемы определены ам-
плитуды всех узловых lJапряжений Uj и всех токов 1;, /j,
lji (рис. 3-5) с соответствующими им фазовыми знаками.
Тоrда, рассматривая эти амплитуды как числовые параметры,
можно определить амплитуды аналоrичных напряжений и токов
для эквивалентной схемы на основе изложенной в 3-3 теории экви-
валентирования в MHoroMepHOM пространстве, которая непосредст-
венно применима к определению эквивалентных узловых напряже-
* '* "*
ний Uj, а также токов I} и I j по способу попарноrо эквиваленти-
рования на плоскости. Для этой цели до-
статочно рассмотреть две процедуры попар-
Horo эквивалентирования:
,
1) в плоскости 1 i, jU 1 ,
, "
2) » » 1 1, j / 1,
При этом должны быть соблюдены кри-
териаль ные условия:
т т п
I . = j7 = Ij.
1 1 1
Несколько более сложной задачей является определение эквива-
*
лентных обменных токов I ji .
Для решения этой задачи можно указать несколько приемов и
в частности - процедуру, вполне аналоrичную рассмотренной в
3-3, п. 2, r для определения квадратов взаимных частот эквивалента
( j ) применительно к схемам типа рис. 2-3 и к уравнениям (2-49)
с тем отличием, что первый числовой момент (т. е. среднее арифме-
тическое) для обменных токов каждоrо узла j эквивалентной схемы
должен удовлетворять очевидному условию
Рис. 3-5.
( m-l \
Iji) ,* "*
i==-l I j +I j О
+ =,
m-l т-l
rде суммирование является алrебраическим (т. е. с учетом знаков,
приписываемых амплитудам токов).
Наиболее простой прием эквивалентирования обменных токов
заключается в предварительном допущении существования проме-
жуточноrо эквивалента параметров взаимных связей в виде лучевой
" ,
схемы рис. 3-6 с индуктивностями L 1 , L 2 , . . . , L m и общей узловой
* * *
точкой В. Алrебраические амплитуды всех токов I 1 в, 1 2в , . . . , 1 тВ,
99
протекающих по этим индуктивностям, определяются из токовых
узловых уравнений:
* ,* ,,*
1 1В + 11 + 11 = О,
* ,* ,,*
1 2в + 11 + 12 == О,
......... .
J*' /'* 1"* == О
тВ + т + т '
причем, очевидно, соблюдается и условие:
А
1 ,,*
1
т
I;B= О.
j=1
С друrой стороны:
a (u -и;) = I вш, '
а;( и; -и;) = I;в ш , (3-37)
1;*
иА
........ .
I (* *) *
а т U т - U в == 1 тВ Ш '
Рис. 3-6.
rде
т
a;U j
1
т
a;
== fB(U;, и;, . . ., и:; а;, a , . . ., a ),
U =
в
aj = « ( 1, 2, . . . , т).
L j
Уравнения (3-37) независимы, хотя сумма их правых частей и
равна нулю. Поэтому этих уравнений (нелинейных относительно
величин a ), вообще rоворя, достаточно для определения всех a .
Лучевая схема (L , L; , . . . , L ), если это желательно, может
быть точно преобразована в соответствующую мноrоуrольную,
*
вслед за чеl\f леrко определятся и все обменные токи I ji эквивалента.
Очевидно, что изложенный прием значительно проще и естест-
веннее предыдущеrо, хотя требование оптимальности в нем непо..
средственно не отражается.
Таким образом, возвращаясь к основной задаче, можно утверж-
дать, что для любой заданной частоты, в отсутствие резонансных
явлений, мы можем только приемами усреднения функций напря-
жений и токов исходной схемы, с применением метода числовых МО-
100
ментов, определить все основные параметры эквивалентной схемы,
не прибеrая к решению дифференциальных, операторных или ин-
теrральных уравнений.
Для Toro чтобы полученные таким путем параметры эквивалента
моrли отвечать широкому диапазону возможных режимов, нельзя,
очевидно, оrраничиваться определением их лишь для одной частоты.
Необходимо выбрать некоторую достаточно широкую совокуп-
ность (или спектр) контрольных частот Ш 1 , Ш 2 , . . . , Ш п ' для каждой
из которых должна быть проделана изложенная процедура опреде-
ления пара:метров эквивалента. Последние вообще будут получаться
различными для различных частот; в ре ультате каждый из иско-
мых параметров, например с;, с; , . . . , c ; L;, L; , . . ., L ,
окажется некоторой функцией задаваемой частоты ш:
* *
с j =-= f j ( ш ), L j == j (ш).
Для выбора окончательных значений параметров эквивалента снова
придется прибеrнуть к методу наименьших квадратов так, чтобы
в заданном диапазоне частот Ш1, Ш 2 искомый параметр, например
cj, определялся из условия минимума интеrрала
s [f) (00) - с;] 2 dоо,
0>1
друrими словами, все параметры надлежит определять из условия
минимума квадратичноrо уклонения.
3-5. Особенности эквивапентирования наrРУЗ0ЧНЫХ
совокупностей и операции первой стадии
эквивапентирования
1. Учет пассивных наrрузок
В связи С задачами физическоrо моделирования к числу особых
электрических систем следует отнести и такие системы, приемники
энерrии в которых - все целиком или в значительной части - по
своей физической сущности являются постоянными комплексными
проводимостями Ун = gи-jЬ н (или комплексными сопротивлениями
Zп == 'и + jXfI)'
Замещение таких приемников синхронными машинами, в отли-
чие от приемников класса асинхронных двиrателей, явилось бы,
по-видимому, существенным нарушением свойств приемной системы
с точки зрения реакции на возмущения со стороны исследуемой
дальней ЛЭП, хотя и повело бы к упрощению анализа. Отсюда воз..
никает сравнительная трудность эквивалентирования приемных
систем с наrрузкой указаиноrо типа в том случае, коrда эквивален-
тирование связано с последующим использованием электродина..
мических моделей. Дело в том, что все собственные и взаимные про-
101
водимости, через которые выражаются мощности reHepaTopoB [Л. 10,
12] и узловых пунктов, оказываются зависящими от комплексных
проводимостей пассивных наrрузок, а эти последние частично как
бы «растворяются» в собственных и взаимных проводимостях, сли-
ваясь с сетевыми реактивностями. Это обстоятельство само по себе
не препятствует построению эквивалентов по принципам, изложен-
ным в предыдущем, причем полученные эквиваленты можно исполь-
зовать для анализа устойчи-
вости с помощью аналоrовых
математических машин.
Однако при физичеtком
моделировании на электроди-
намических моделях наrрузки
Е2
(.
иА
L
Рис. 3-7.
Рис. 3-8.
должны быть отдельно представлены СВОИl\fИ комплексными пара-
метрами (рис. 3-7). Отсюда возникает необходимость в таких при-
емах эквивалентирования, которые либо не связаны с упомянутым
выше «растворением» наrрузки в собственных и взаимных прово-
димостях, либо позволяют на последних этапах эквивалентирова-
ния снова выделить пассивные наrрузки.
Следует прежде Bcero заметить, что в принципе на основе урав-
нений узловых напряжений для тех узлов, rде присоединены п с-
сивные наrрузки, соответствующие этим узлам напряжения и 1 ,
Ь 2 , . . . , И k (см. рис. 3-8) можно представить как сложные функции
заданных электродвижущих сил и уrловых координат всех синхрон-
ных машин (Е 1 , Е 2 , . . . ; В 1 , В 2 , . . .), модуля и уrловой координаты
напряжения узла возмущений (и А' В А)' взаимных индуктивностей
системы (приведенной к виду рис. 3-8) и, наконец, активных и ре-
.активных параметров всех наrрузок ('IН' Х 1Н ; '2и, Х 2Н ' · · .).
При заданных же значениях модулей электродвижущих сил и
прочих постоянных параметров системы любое наrрузочное узловое
. jo .
напряжение и H1 = и Hte Ht можно рассматривать лишь как функ-
цию F (ар а 2 , . . . В п ; и А' В А ) переменных величин системыI: уrловых
координат синхронных машин 81' 82' . . . , 8 п и параметров возму-
щающеrо напряжения U А И а- А' В конечном счете можно активную
102
мощность любой синхронной машины с индексом i представить вы-
ражением:
Р Е[Е 1 . ( ) + EiEk · ( ) + I
i = 51 n ui - и 1 . .. + 51 n ul - U k · .. -"{-
Xll xlk
EtU А . .
+ Х/А SlП(Оi- О А)+W i (ОI'.О2' ....Оп. ОА' и А ). (3-38)
rде чr - весьма сложная нелинейная функция переменных 01'
02, . . Оп' характеризующих динамику системы и заранее ненз-
вестных.
Очевидно, что и к уравнениям вида (3-38) можно в принципе при-
менить тот или иной способ линеаризации и затем провести эквива-
лентирование одним из ранее рассмотренных методов.
Для приведения системы к простейшему виду рис. 3-7 необхо-
димо, при заданных и А и ОА как функциях времени, определить сум-
марную активную и реактивную мощности узла возмущения: Р А (t)
и QA (t) для исходной системы. Даже если это выполнено, остается
еще довольно сложная вариационная задача: параметры эквива-
лента соrласно рис. 3-7, а именно Е э , х 1э , Х 2з , 'иэ И Х нэ ' определить
так, чтобы аналоrичные функции Р Аэ (t) и QАэ (t) давали наимень-
шее квадратичное уклонение от действительных реакций Р А (t) и
QA (t) в пределах иекотороrо оrраниченноrо отрезка времени ,
в соответствии с длительностью существенных возмущений со сто-
роны исследуемой лэп.
На первых стадиях эквивалентирования нельзя рассчитывать
ни на экспериментальное определение в натуре функций Р А (t) и
QA (t), ни с помощью вычислительных машин, ввиду очень большоrо
числа основных элементов (синхронных машин и наrрузок). По-
этому непосредственный переход от заданной сложной приемной
системы к простейшему эквиваленту по рис. 3-7 практически исклю-
чается. С друrой стороны, и применение выражений вида (3-38) для
постепенноrо эквивалентирования связано, по крайней мере на пер-
вой стадии, с весьма трудоемкими вычислениями.
В связи с указанными выше трудностями эквивалентироваНI-JЯ
на первых ero стадиях, важное значение приобретают достаточно
удобные для практики частные приемы упрощения, основанные на
различных критериях.
Некоторые такие приемы известны уже давно и к ним, в частно-
сти, относится распределение наrрузок по «правилу моментов».
1( сожалению, все эти привычные приемы основаны либо на интуи-
ции, либо на не вполне законном распространении на динамические
системы приемов, заимствованных из теории установившихся ре-
жимов простейших сетей.
Ниже рассматриваются некоторые новые способы упрощения
систем с пассивными наrрузками, основывающиеся на принципах
103
изложенных ранее (rлавы вторая и третья). Эти способы можно
считать допустимыми на первой и второй стадиях эквиваленти-
рования.
а) Предположим, что в эквивалентируемой системе, кроме [ене-
раторов, имеются в общем случае как наrрузки асинхронноrо типа,
которые допускают замену синхрон-
ными двиrателями, так и наrрузки пас-
сивные, типа Zи === r и + jх и .
Далее предположим, что определены
все собственные и взаимные реактивно-
сти между заданными электродвижу-
щими силами синхронных машин, на-
пряжениями на шинах наrрузок и нап-
ряжением узловой точки контрольных
возмущений (с пренебрежением актив-
ными сопротивлениями машин и сети).
Соответственно этому получится схема
полноrо мноrоуrольника с п вершинами
E 1 , Е 2 , · . · U1' и 2' , · · , и А (рис. 3-8,
для п = 7), в котором все стороны и диа..
rонали будут являться чистыми реактив-
ностями. Приемами, указанными в 3-3,
этот мноrоуrо.пьник в ряде случаев можно приближенно свести
к эквивалентной лучевой CXel\fe рис. 3-9 с центром В. Очевидно.
что все наrрузки ZI, Z2' Zз, . . . с их добавочными реактивностями
Е 2
Рис. 3-9.
Е2
,
,
Рис. 3-10.
z;
Рис. 3-11.
можно заменить одной эквивалентной пассивной наrрузкой Zэ'
присоединенной непосредственно к центру В. Применением лине-
аризации «в большом» ( 2-2) можно, наконец, rруппу синхрон-
ных машин одним из методов, указанных в rлаве третьей, привести
к новой эквивалентной rруппе с меньшим числом rлавных элементов,
сообразуясь с составом этих элементов в исходной схеме (по нали"
чию [енераторов и двиrателей).
б) Весьма часто случается, что целая rруппа станций, имеющих
наrрузки на шинах reHepaTopHoro или средних ступеней напряже-
104
ния, присоединена к общему узлу А сети более BbIcOKoro напряже-
ния. После пересчета электродвижущих сил и реактивностей всех
станций, а также параметров наrрузок к общему базисному напря-
жению на уровне нормальноrо напряжения узла А соответствую-
щая схема примет вид, указанный на рис. 3-10.
При соблюдении некоторых условий эту схему можно привести
к друrой (рис. 3-11), в которой все пассивные наrрузки будут пере-
несены в узел А при надлежащем выборе их параметров, а также
новых значений э. Д. с., инерционных постоянных reHepaTopoB
станций и реактивностей связи между э. Д. с. станций и узловым
напряжением U А' Так как возмущающее воздействие со стороны
узла А является одновременным и одинаковым для всех присое-
диненных к узлу цепей, то для установления упомянутых условии
достаточно рассмотреть лишь одну из цепей, например, с индексом
i, основываясь при этом на простой линеаризации «в большом».
Для активной электрической мощности станции i имеем:
Е;. Е .и А · ( )
P.=-Slna..+ t Sln Ol-ОА-аiА'
l z.. lt Z"A
н l
(3..39)
Предполаrая синусную функцию относительных уrлов линеаризи-
рованной и рассматривая только достаточно оrраниченные уклоне-
ния от предшествовавшеrо рабочеrо режима под действием возму-
. jAoA
щения !lU А = и А е , из (3-39) находим изменение активной
электрической мощности в виде
ДРi = a l !1U А + b i (L\oi - L\oA)'
(3..40)
rде
a l = sin (а ю - а ОА - iX iA ),
Ь. = 0,8 ЕрОА .
t ZlA
(Заметим, что формула (3-40) предполаrает пренебрежение членами
с произведением I:1U А (l:10 i -1:10 А')
Допустим, далее, что механическая мощность станции i остается
неизменной; получим следующее операторное уравнение для опре-
деления 1:10 i :
- a. и А + b t !10 A
O. = t
е H i p2+b i
(H l - инерционная постоянная машин станции i).
Дл я активной мощности, получаемой узлом А, имеем:
и . EiU А
Р Al = - - Sln СХ А + sin (Oi - ОА + CX iA ),
ZA ZiA
(3.41)
105
откуда
I:1P Ai = а А/::"и А + Ь А (/::"0i - aA)'
(3..42)
причем
2и АО . Е 1 · ( }
а А = - ZA sт!X A + ZIA slП {)iO - а Ао + !XiA)'
ь А = b i .
Подставив в (3-42) выражение ai из (3-41), получим:
[ аАр 2 - b i (a i - aA)Hi 1 ] дИ А - Ьiр2ДОА
PA'= ·
l р2 + btHi 1
(3-43)
(3-44)
Рассмотрим теперь схему рис. 3-11 и выпишем для цепи с э. д. с.
Е; выражения относящихся к ней активных мощностей и их изме-
нений под действием возмущений со' стороны узла А.
Мощность, притекающая к узлу А от станции с э. Д. с. Е;
, ЕjИ А . (* )
р А = * SlП a i - а А А
Xi
Изменение той же мощности
, * * (* )
PA=al UA+bi аi- оА'
(3-45)
rде
* Е; . (* )
a i = ---;;- SlП 0iO - а АО '
X l
* E;и o
b i = 0,8 *'
X i
Изменение уrла
tf. *
o* = - a i ди А + b i дО А
l Н;р2 + ь;
Операторное изображение P' после подстановки выражения
(3-46) в (3-45):
(3-46)
Р ' Н;аi*р2ди А - Н;Ь;р26, О А
А = ·
Н;р2 + ь;
Абсолютное значение активной мощности, поrлощаемой пассив-
ной наrрузкой из узла А:
(3-47)
U . *
Р Az = ---;- SlП (lt'
Zt
106
Изменение этой мощности при изменении U А:
p Az = a t 6.U А'
rде
2и*
a i = :0 sin сх;
Zi
(линейное приближение).
Алrебраически суммарная активная мощность узла для схемы
рис. 3-11 (цепь i):
* ,
Р А =Р А -P AZ '
Изменение этой мощности в операторной форме:
[( '" ) 2 - * *- 1] * 2
* , а. -а. р -а.Ь.Н. д'иА-ь.р Д,8 А
P = P _ dP = l l l l t l . (3-48)
А А Az 2 * *-1
Р + b i H i
Для TOrO чтобы выражения (3-44) и (3-48) были тождественно
равны при произвольных значениях неаависимых переменных и А
и aA' необходимым и достаточным является соблюдение следующих
уравнений:
(1) а; - а i=а А ,
-* *
a i b l
(2)
H
l
b i (a i - а А )
H i
*
(3) b i = Ьр
Из (3) и (4) следует:
Ь *
i ь.
(4) - t
н; - H i ·
*
(5) H i = H t ,
из (2) и (4):
И,
(6) a t = a i -а А ,
(1) :
(7) *
a i =a i -а А
наконец, из (6) и (7):
(8) *
a i = ас
из
Таким образом, окончательно требуемые условия сводятся к сле-
дующим:
(1')H;=H p
(2') ь; = b i ,
(3') a i * = a i ,
(4')
а. =a.-а А -
l l
107
Или, конкретизируя три последних условия (2'), (3'), (4'):
Е*и. Е u
(2") i АО = i, АО ,
... Z'A
Х. l
t
(3") :; sin (8;0 - 8 Ао ) = z sin (8 io - 8 Ао -lX iА ).
t
*
(4 ") 2И АО. * Е i . ( )
* SlП fJ. lH = z'A SlП U ю - ОАО - cx iA +
Z - l
lH
2И АО . Ei.
+ SlПfJ. А --SlП(О-о-ОАО + fJ.- А ) = [ю.
z,,4 ziA t l
Не трудно видеть, что условие (4") равносильно требованию
Qдинаковоrо изменения мощности наrрузки цепи i в схемах рис. 3-10
и 3-11 при любых оrраниченных изменениях напряжения и АО'
Соотношения (2"), (3") и (4") еще не определяют однозначно
выбора начальных параметров рабочеrо режима эквивалентной
схемы рис. 3-11. Однако для всей совокупности цепей исходной
схемы рис. 3-10, очевидно, следует принять:
(5') U O = и АО'
Тоrда для определения параметров эквивалентных иаrрузок в схеме
рис. 3-11 получим из (4") единственное условие:
. * *
Sln (1.. ,. 1
(4 '11) (Н _ io --1
* ==...11 - 2и - 10'
ZiH ZiH АО
Далее еще остается некоторая свобода выбора параметров экви-
валентной схемы рис. 3-11, и это rоворит о возможности несколь-
ких вариантов. Естественно вводить наиболее простые дополнитель-
*
вые условия, например, принять E i = E i (6'), и тоrда, соrласно
(2") и (5'), получим:
(7') Х; = ZiA'
Теперь для окончательноrо установления параметров каждой
пассивной наrрузки Z;H, перенесенной в узел А (рис. 3-11), следует
ввести требование равенства реактивных мощностей узла А в ис-
ходной (рис. 3-10) и эквивалентной (рис. 3-11) схемах для каждой
ветви i в начальном режиме.
Учитывая уже принятые соотношения (3"), (5'), (6'), (7'), из ко-
торых следует, что О;О-ОАО = QiO-QАО- iА' на основании требо-
108
.
вания QIA = QIA путем несложных выкладок получим следующее
уравнение:
.
,Х 1и 1 COS cl А 2Е l . .
(8) -т+-- = SlП(3ю-ОАо)SlпаlА'
Z;И ZiA ZA ziA U Ао
Отсюда определяем
*
( 8") Хiи = h
*2 О
Ziи
и в связи с (4/")
(9) Z H = V 1 ·
15+ h
Из установленных соотношений не трудно вывести заключение,
что «правило моментов», которым иноrда пользуются для распреде-
ления импедансных иаrрузок, вообще rоворя, не оправдывается,
хотя и удовлетворяет условию (1').
Приняв во внимание условия (5') и (7') и помножив левую и пра-
вую части равенства (3") на и АО, получим следующее выражение
начальной рабочей электрической, а стало быть и механической,
мощности для каждой из станций эквивалентной схемы рис. 3-11:
* Е i U Ао . . (3 49)
Рю= ZIA sш(аiQ-аАо-а IА ). -
Отсюда видно, что при обязательных условиях (1 '), (2'), (3'), (4')
и дополнительных условиях (5'), (6') и (7') активная мощность стан-
ции в схеме рис. 3-11 оказывается равной лишь обменной мощности
соответствующей станции в схеме рис. 3-10. Этот результат не пред-
ставляется парадоксальным, если учесть, что в выражениях мощ-
ностей станций в исходной схеме рис. 3-10, соrласно (3-39), присут-
ствуют слаrаемые, которые являются постоянными при постоянстве
соответствующих э. д. с. (E i ). Аналоrичную ситуацию мы имеем и
в случае применения «правила моментов».
В заключение отметим, что обязательное условие (1') было уста-
новлено, исходя из rрубой линеаризации «в большом» синусных
функций, соrласно Э 2-2.
Если применить линеаризацию «в малом» соrласно Э 2-1, то вме-
сто условия (1) придется ввести:
Н *
(1") .-.-..!- = cos (010 - БАО + a lA ) .
Hi COS (ою - ОАО - (liA)
При существенно-активной наrрузке обычно (liA < О, И условие
(1") не всеrда может быть реализовано, а именно - при
1t
°tO - ОАО - (liA > 2 ·
коrда окажется, что н; / H 1 < О.
109
Это как раз соответствует статически неустойчивому режиму
станции i в схеме рис. 3-10. Таким обраЗОМ t требование Hl*IH l > О
есть одновременно и требование статической устойчивости стан-
ции i относительно узла А.
Перенос пассивной наrрузки в узел возмущения А можно рас-
пространить и на более общий случай рис. 3-12, rде Е 1 , Е 2 , . . . ,
Е n - э. Д. с. rруппы n синхронных машин. Если в эту rруппу вхо-
дят только re.нepaTopbI, то их на основе метода линеаризации или
по методу, указанному в 3-1, можно заменить одним эквивалент-
ным reHepaTopoM,- рассматривая при этом узел Б как узел контроль-
[2
Е;
Е,
Е п
Е п "
Рис. 3-12.
Рис. 3-13.
ных возмущений. Тоrда задача переноса наrрузки ZИ в узел А при-
водится к уже рассмотренному случаю.
Если же в состав синхронных машин рис. 3-12 входят и синхрон-
ные двиrатели, то непосредственно результатами решения задачи
для схемы рис. 3-10 воспользоваться уже нельзя, придерживаясь
требования, чтобы приемники никоrда не объединялись с reHepa-
торами в один эквивалент. В таком случае решение рассматриваемой
задачи для схемы рис. 3-12 несколько усложняется.
Если оrраничиться лишь эквивалентированием по условиям
тождества изменения активных мощностей узла при малых возму-
щениях, то схеме рис. 3-12 может быть сопоставлена схема рис. 3-13,
rде сопротивление наrрузки имеет некоторое новое значение, отли-
чающееся от заданноrо сопротивления Zп активной и реактивной
частью (т. е. ': =1= r н; х: =1= Хн), и rде реактивности Х;, Х;, . . . , X от-
личаются от реактивностей исходной схемы. Вводя дополнительные
условия, что в сопоставляемых схемах модули всех э. д. с. и все
*
инерционные постоянные соответственно равны, т. е. El = Ei И
* *
Hl = H i , а также, что все Xl = Xi (при i = 1, 2, . . . , п), получим
для изменения активных мощностей узла А при произвольных ма-
110
лых возмущениях /::,.И А И /::,.8 А идентичные выражения для обеих
схем:
п п
/::,.р = [ ai H ip 2 + gi ] /::,.и + [ Ci H ip 2 ] 8 ,
А Н [р2 + b i А Н ip2 + b i А
1= 1 l=l
(3-50)
п п
&р*= [ a;HiP2+g; ]8.U + [ с;Н Ё р 2 ]8.В. (3-51)
А н. 2 +ь"': А н 2+ь* А
tP l i P i
1=1 l=1
* * * *
Величины ai , b i , Ci И gi окажутся функциями четырех неизвестных
t * * *
параметров r;, Х О ' 'н И Хн' для определения которых из условия тож-
дества (3-50) и (3-51) будем иметь четыре уравнения:
*
a i = а Ё ,
*
С. = С.,
l Z.
* *
b j =b t , gi = gc
Очевидно, что TaKoro рода эквивалентирование, не содержащее
требование сохранения мощностей исходноrо режима (Р АО' QAO)
не может обеспечить вполне точную информацию о свойствах исход-
ной схемы. Если будет введено это дополнительное требование, то
придется использовать вариацию рабочеrо режима эквивалента
(В;о, в;о) так, чтобы оно удовлетворялось. В результате задача о
переносе пассивной наrрузки в рассматриваемом случае существенно
усложняется.
Однако на первой стадии эквивалентирования при наличии не.
обыкновенной сложности исходной структуры системы (см. рис. 1-1)
неизбежно приходится идти на использование менее строrих тре-
бовании.
В) Несмотря на применение тех или иных приемов переноса
пассивных наrрузок от узла к узлу, мы можем на практике все же
столкнуться с такими случаями, коrда эти приемы не дадут воз-
можности получить заключительную эквивалентную структуру си-
стемы с однои или немноrими концентрированными пассивными
наrрузками, выделенными из состава реальных наrрузок подстан-
ций системы. В связи с этим возникает необходимость иметь какие-
либо общие алrоритмы преобразований, обеспечивающие доста-
точно правильную концентрацию пассивных наrрузок, кроме
способа, paccMoTpeHHoro выше в п. а). Мы можем здесь указать
некоторые алrоритмы, имеющие в принципе весьма общее значение.
Допустим, что после разделения подстанционных наrрузок на
пассивные и асинхроно-двиrательные, после замены последних
синхронно-двиrательными, и, наконец, после проведения элементар-
ных операций по типу изложенных выше перемещений пассив-
ных наrруэок - получившаяся структура системы приведена
111
к совокупности активно-реактивных связей между узлом контроль..
ных возмущений и всеми синхронными элементами (включая псевдо"
синхронные, полученные из асинхронных двиrателей), как указано
на рис. 3-14. При этом предполаrается пренебрежение активными
сопротивлениями как всех синхронных элементов, так и всех участ'"
ков сети. Отсюда следует, что активно-реактивный характер взаим-
ных связей на рис. 3-14 будет обусловлен исключительно наличиеl\1
пассивных наrрузок, которые, следовательно, окажутся частично
как бы «растворенными» в этих связях.
Отбросив все пассивные наrрузки Zl' Z2' . . . , Zп, получившиеся
в результате первичноrо преобразования и отнесенные к э. Д. с.
синхронных машин с надлежащим изменением механических мощ-
z4
[2
-с==з---
2/1
Рис. 3-14.
Рис. 3-15.
ностей, применим к системе рис. 3-14 новое неканоническое преоб-
разование к лучевой схеме по типу рис. 3-12 с общей пассивной на-
rрузкой Zи в центральном узле Б и с чисто реактивными лучами Х 1 ,
Х 2 , . . . , х n ' Bcero будем иметь (п + 3) неизвестных величины (х о ,
Х 1 , . . . , х n ; 'Н, ХН), дЛЯ определения которых можно составить
2- п(n + 1) комплексных уравнений или соответственно п (n + 1)
2
вещественных алrебраических (нелинейных) уравнений. Значитель-
ное превышение числа уравнений над числом неизвестных не обе-
щает большой точности и провидит К необходимости применения
метода наименьших квадратов.
Точность преобразования можно повысить, рассматривая более
сложную эквивалентную структуру, например, по рис. 3-15. В по-
следнем случае подлежат определению 4п + 1 неизвестных (х о , Х 11 '
Х 12 ' · · · , х 1n , Х2n; 'lи, Х 1Н ' · · · , 'nн' Х nн ), причем для п > 4 опять
неизбежно применение метода наименьших квадратов с поиском
минимума сложной функции.
Изложенное достаточно ясно характеризует осложнения, свя-
занные с наличием существенных пассивных активно-реактивных
иаrрузок, выделение которых необходимо для осуществления фи-
зическоrо моделирования (Т. е. использования электродинамиче-
ских моделей).
112
По-видимому, в тех случаях, коrда пассивные активно-реактив-
ные наrрузки иrрают превалирующую роль и не MoryT быть выде-
лены и концентрированы с помощью простейших приемов переноса ,
рассмотренных выше, более целесообразным является применение
для исследований устойчивости аналоrовых математических машин.
2. Концентрация иаrрузок и друrие операции
первой стадии эквиваленти ровання
Наиболее трудным является вопрос о концентрации наrрузок
распределительной сети (6-10 кв), питающейся одновременно от
нескольких подстанций, которые в общем случае MoryT, в свою оче..
Н1 Н2 Нз N'I Ns Н6 Н7
Рис. 3-16.
с D
Nf N2 Nз N q N5 N6 N'JI
Рис. 3-17.
редь, получать питание от сетей разных классов высшеrо напряже..
ния, как это указано на рис. 1-1 и 3-16.
Однако указанный вопрос вполне удовлетворительно разре..
шается методом неканоническоrо преобраЗ0вания схемы питания
наrрузок к лучевому (радиальному) виду рис. 3-17, если за опорные
точки принять точки А, В, С, D (рис. 3-16) присоединения пониаи-
тельных трансформаторов к соответствующим сетям высшеrо напря-
жения. При этом вполне допустимо пренебречь активными сопро-
тивлениями сетевых элементов. _В схеме рис. 3-17 все наrрузки
можно суммировать, заменив одновременно все отдельные индук-
тивности Х 1 , Х 2 , . . . , Х7 эквивалентной индуктивностью (по правилу
параллеJ!ьноrо включения).
Очевидно, что таким же путем можно осуществить и концентра-
цию HarpY30K всех друrих распределительных сетей 6-10 кв, пи-
тающихся от сетей разных классов напряжения или от шин reHepa-
торных станций (см. рис. 1-1). После выполнения этой операции
концентрированные наrрузки следует разложить по крайней мере
на два рода составляющих: электромоторны и пассивные. В том
случае, коrда наrрузки выпрямительноrо типа не имеют отдельноrо
11 3
питания, их неизбежно придется объединять с активно-реактив-
ными, заменив некоторой средней постоянной проводимостью go
(пунктирная линия на рис. 1-3).
Для возможности дальнейших удобных преобразований на ос-
нове линеаризации отделенную асинхронно-моторную наrрузку
следует заменить синхронно-моторной. После этоrо в отношении
схемы рис. 1-1 остается на первой стадии эквивалентирования не-
С Сеть р обходимым выполнить еще следующие про-
" 750 кВ стейшие операции:
" ,. ' 1) Объединить (эквивалентировать) сво-
УА бодные от местных наrрузок reHepaTopHbIe
станции с общими узловыми точками одним
из методов, изложенных в rлавах второй и
третьей.
2) Перенести все пассивные наrрузки
330 кВ на основные контуры и участки сетей соот-
ветствующих классов напряжения прие-
мами, указанными в 9 3-5.
220 кВ 3) Устранить с помощью способов, опи-
санных в 9 2-5, все общие узлы, объединя-
ющие синхронные reHepaTopbI с синхрон-
ными двиrателями (в том числе заменяю-
щими асинхронные двиrатели), располо-
женные вне основных контуров. (При этой
операции все узловые точки синхронных
машин переносятся на основные контуры
сетей соответствующеrо класса напряже-
ния.)
4) В том случае, коrда ряд подстанций или узлов, предназначен-
ных для питания наrрузок, расположен на одной линии OCHoBHoro
контура между двумя крупными rенераТОРНЫ iИ узлами, можно
число наrрузочных узлов свести к одному путем эквивалентирова-
пия на основе использования статических характеристик наrрузок.
Этот прием является более правильным сравнительно с наrрузоч-
ным методом моментов. Он изложен ниже.
Выполнением операций, указанных в п. 1)-4), завершается со-
вокупность простейших операций первоrо этапа эквивалентирова-
ния. Дальше остается чисто вычислительная, но достаточно трудо-
емкая процедура определения собственных и взаимных реактивных
сопротивлений между э. д. с. синхронных машин, напряжениями
точек примыкания пассивных наrрузок и узлом (или рядом узлов)
контрольных возмущений.
Если для анализа устойчивости дальних ЛЭП предполаrается
использование не электродинамических моделей, а каких-либо ма-
тематических машин, то в выделении пассивных наrрузок нет не-
обходимости, и тоrда вместо определения собственных и взаимных
реактивностей возникает задача определения собственных и взаим-
Nsoo
Nззо
Н220
И1fО
NЗ5
Сеть
500к8
Рис. 3-18.
114
ных комплексных проводимостей с учетом наrрузок указанноrо
типа. О способах определения собственных и взаимных проводимо-
стей с помощью вычислительных машин имеется литература [л. 32].
Определением собственных и взаимных проводимостей (или
реактивностей) в общем случае можно считать законченной первую
стадию эквивалентирования. Однако если основная сеть KaKoro-
либо класса напряжения (рис. 1-1) достаточно компактна, т. е. имеет
сравнительно большие проводимости отдельных участков, то уже
на первой стадии можно сделать дальнейший шаr к упрощению
данной концентрированной системы путем применения к этой сети
принципа неканоническоrо приведения к лучевой схеме. Если та-
кая операция окажется допустимой в отношении сетей всех классов
сопряжения данной системы, то схема рис. 1-1 будет приведена
относительно узла А к виду схемы рис. 3-18 (rде стрелками пока...
заны пассивные наrрузки; кружками - синхронные машины).
Последняя иноrда может быть непосредственно подверrнута даль-
нейшему упрощению, вплоть до приведения к цепной схеме. Это
значительно облеrчит процесс второй стадии эквивалентирования.
Первая стадия эквивалентирования рассредоточенной локальной
схемы (рис. 1-2) при прочих равных условиях менее трудоемка,
поскольку в таких системах сетевые связи обычно более просты.
Э. Эквивапентированне наrруэочных подстанций, расположенных
на одной пинии между двумя rенерируlOЩИМИ УЭIJами
Задача состоит в замене схемы рис. 3-19 схемой рис. 3-20. Часто
эту задачу решают по правилу наrрузочных моментов, что, однако,
не дает никакой уверенности в близком соответствии свойств экви-
валентной схемы свойствам исходной.
Можно дать ряд более обоснованных путей решения этой задачи.
В частности, если все наrрузки N l' N 2, . . . , N n исходной схемы
являются в основном асинхронно-двиrательными, допускающими
замену синхронно-двиrательными, то данную задачу можно решать
1eTOДOM линеаризации с применением одноrо из приемов, указан-
ных в rлаве третьей, учитывая, что в операторной форме уравнения
токов i A (Р) И i B (Р) будут в линеаризированной схеме рис. 3-19
иметь вид*
iA(p) = УА (Р) и А +УАв(р)и в ,
iB(p) = УАВ (р)и А + У В (Р) и в
и для схемы рис. 3..20
iA(p) = y (Р, X 1 ' Х]I' Х э ' нэ)u А + Y B(P, Хl' x11' Х э ' Нэ)U в ,
iB(p) = Y B(P, Х р x11' Х Э ' НЭ)U А + y (p, Х р x11' Х Э ' НЭ)U В '
* Схемы 3- 19 и 3-20 ДОЛЖНЫ быть замещены чисто электрическими cor-
ласно 2-1, причем Н .' с.
115
Отсюда для определения искомых параметров эквивалентной схемы
X I , X 11 ; Х Э и Н э (индуктивность и инерционная постоянная эквива-
лентной наrрузки) будем иметь уравнения:
y (Р, ХI' · · ., н э) == у А (р),
y (p, X 1 ' ..., н э ) ==Ув (Р),
Y B (Р, Х!' · · · , н э ) == УАВ (Р),
которые затем решаются по методу наименьших квадратов для ряда
положительных значений Р (см. 3-2) или путем разложения правых
и левых частей по степеням 1/ Р с последующим сопоставлением ко-
эффициентов при одинаковых степенях и т. п.
Если наrрузки N 1, N 2, . . . , N п не однородны и содержат, Kp01\fe
моторных приемников, также комплексные постоянные проводи-
х"
п-1 Хп п Хп+1
Н.,
N2
N п -1 Н п
Рис. 3-19.
Рис. 3-20.
мости, то при наличии в составе наrрузок предвключенных, свойст-
венных им или добавочных сетевых (например, кабельных и транс-
форматорных) индуктивных сопротивлений, возможно применение
«некононическоrо» преобразования исходной CXel\1bI к лучевому
виду с последующим переносом пассивных наrруэок в общий узел
и эквивалентированием моторных приемников как псевдосинхрон-
ных.
Мы не будем в деталях рассматривать все эти способы и остано-
вимся более подробно лишь на составлении эквивалента типа,
рис. 3-20 на основе статических характеристик наrрузок по напря-
жению типа Р == f (И) и Q == <р (и), которые будем считать извест-
ными для каждой наrрузки рис. 3-19. Допустим также, что при не-
изменном по модулю и фазе напряжении (; В узла В и неизменном
модуле напряжения V А узла А последнее Иl\1еет относительно (; в
переменный сдвиr Э, т. е.
,- и А , и в == 8== var.
Предположим, далее, что для любоrо з ачения 8, используя задан-
ные статические характеристики HarpY30K N 1, N 2, . . . , N"l' МЫ оп-
ределяем значения токов i А И i в в схеме рис. 3-19 так, что каждый
из них явится комплексной функцией BerцecTBeHHoro переменноrо:
j А == i A (8), i в == i B (8).
116
LLля этоrо наиболее подходящим является расчет по методу уз-
ловых напряжений, разработанный в [JI. 33], хотя для целей экви-
валентирования можно использовать и друrие менее точные приемы,
например, метод «шаrовоrо» изменения уrла 8, коrда напряжение
наrРУЗ0чноrо узла для шаrа k находится по значениям токов, опре-
деленных в конце шаrа (k-l).
Полаrая, что исходная схема приведена к схеме рис. 3-20, имеем
комплексное уравнение:
(; С == (; А - jx1i А == V - jxIli В' (3-52)
которое приводится к двум вещественным, определяющим значения
реактивностей Х} и ХН; последние, очевидно, являются веществен-
ными функциями 8:
Х 1 == l (8), ХII === 2 (8).
Оrраничив изменение уrла некоторыми пределами, например
1
{]о< 8<80 + - '1t, rде 80 - значение уrла в нормальном рабочем
4
режиме, усредним значения Х } и XJI в этих пределах:
4 в 1
Х lэ == п S l (8) d8,
во
4 81
Х IIэ == п S 2(8)de
80
и положим в схеме эквивалента
X 1 == Х Iэ == const,
X II == х IIэ == const.
Тоrда из уравнений (3-52) для каждоrо значени.я в найдем два во-
обще различных значения модуля напряжения и с' которые, однако,
заменяем одним средним значецием U Сэ == W (8). Последнему бу-
дет соответствовать полная (комплексная) мощность эквивалент-
ной наrрузки N (рис. 3..20):
$ Nэ = W (8) ( i А + i В) = Р (8).
Учтя зависимость между и Сэ и 8, получим статическую характе-
ристику эквивалентной наrрузки:
SJVЭ = Рэ(U сэ) + jQ (и сэ)'
Допустим теперь, что наrруэки исходной схемы рис. 3-19 можно
разбить на две катеrории - моторных и пассивных, причем их
статические характеристики, отнесенные к единичной полной
117
МОЩНОСТИ, известны; обозначим их соответственно через SOM = Ром +
+ j QOM И 802 = Р Oz + j Qoz и положим
SNэ == MS OM + K8 0z ,
принимая М и К за чисто вещественные числа. Для определения
последних будем иметь уравнения:
МР Ом + KP oz == Р Э (и сэ)'
MQOM + KQoz == Qэ (и сэ)'
Для каждоrо заданноrо значения и сэ из этих уравнений для
М и К получим, вообще rоворя, различные значения. Так как
и Сэ = W (6), соответственно будем иметь также:
М=ерм(Э), К=ерz(Э}.
Очевидно, что остается лишь усреднить полученные выражения
М и К в тех же пределах уrла 0:00 -< 8 -< 80 + -!.- ';t.
4
В изложенной процедуре эквивалентиро ания наиболее трудо-
емкой операцией является определение токов I и j в в исходной
схеме как функций уrла 8.
Остается открытым еще вопрос об эквивалентной инерционной
постоянной для моторной части наrрузки. В качестве этой постоян-
ной для первой стадии эквивалентирования представляется достаточ-
ным взять сумму передневзвешенных по мощности значений от
инерционных постоянных моторных наrрузок в исходной схеме..
]-6. Частичное эквивалентирование
сnожной эnектрической системы
В предыдущем рассмотрены подлежащие упрощению приемные
системы с одним узлом примыкания к ним одной или нескольких
удаленных-етанций. Этот узел и рассматривался как узел контроль-
ных возмущений. На практике бывает необходимость в упрощении
приемных систем, составляющих как бы ядро более сложной си-
стемы, Иl\fеющей несколько удаленных станций, присоединенных
к различным сетевым узлаlVl. При этом обычно ставится задача ис-
следования устойчивости какой-либо дальней передачи при ава-
риях на друrих линиях, примыкающих к ядру, или задача исследо-
вания устойчивости при одновременных авариях на двух или не-
скольких линиях.
Одновременные аварийные возмущения на более чем двух линиях
маловероятны. Поэтому всякую приемную систему можно было бы
эквивалентировать по возмущениям, отнесенным не более, чем к
двум контрольным узлам (<<входам»). Прибеrнув к линеаризации
OCHOBHbIX уравнений динамики системы и используя Функционально-
118
операционный метод, не трудно получить подходящий эквивалевт
для ядра системы.
К сожалению при числе «входов» более двух возникает вопрос,
не будут ли получаемые таким путем параметры эквивалента за-
висеть от выбора пары контрольных входов. Вероятно, какая-то
зависимость TaKoro рода будет существовать. Для Toro чтобы су-
дить о возможном расхождении параметров, следует сделать не-
сколько расчетов, варьируя попарные комбинации контрольных
входов. При зам:етном расхо- J,..
ждении одних и тех же пара- 1 /(+т=п --""'
,
метров эквивалента в разных ---- ""' к+3 ,
вариантах, придется параметры \
усреднять тем или И11ЫМ спосо- ,
бом, учитывая интенсивность "
воздействий на приемную си- /'
стему · к K+f ,. /о.ф
Если не rнаться за большой -.- - -
точностью эквивалента, оценка Рис. 3-21.
которой в данном случае стано-
вится особенно трудной, то наиболее простой путь заключается
в переходе по принципу параметрическоrо эквивалентирования
( 3-3) к лучевой схеме с центральным узлом, используя который
э....
к+т=п - - ",,
к+-З \
\%
\
'
'
I
/
/.\
/( +1 _ _'" о.\У
1
х
Рис. 3-22.
как узел контрольных возмущений, леrко эквивалентировать по-
лученную .п:учевую приемную систему к меньшему числу rлавных
элементов, не затраrивая при этом rруппу удаленных станций.
Только что ОТl\1еченный прием связан с существенным принуди-
тельным оrраничением ceTeBoro «разнообразия» в исходной системе
и не всеrда допустим.
Более точный результат будет достиrнут на основе параметри-
ческоrо преобразования исходной схемы рис. 3-21 к нелучевой
схеме рис. 3-22.
Пусть исходная система состоит из n = т + k синхронных ма-
шин, в числе которых имеются и псевдосинхронные двиrатели, вре-
менно замещающие асинхронную наrрузку, причем требуется уп-
ростить часть системы из т элементов до заданноrо уровня то < m.
Допустим, что для исходной системы известны все взаимные
119
реактивные * проводимости Уи (рис. 3-21) относительно э. Д. с. E j , E i ,
принимаемых за постоянные. Таких проводимостей будет J.. п (п-l).
2
Предположим, что схема рис. 3-21 приведена к схеме рис. 3-22,
имеющей центральный узел А, причем значения взаимных проводи-
мостей, относящихся только к левой (несжимаемой) и только к пра-
вой (сжимаемой) частям схемы рис. 3-21, остаются неизменными и
в CXel\1e рис. 3-22. Проводимости же между левой и правой частями
схемы рис. 3-21 в новой схеме заменяются неизвестными пока про-
водимостями между соотвеТСТВУЮЩИl\tlи элементами и узлом А (на-
примеР'УIА' У 2 А' · · · , Y(k+1) А' Y(k+2) А' · .). Таких неизвестных про-
водимостей будет в схеме рис. 3-22, очевидно, п. Обозначим их уп-
рощенно с индексами rлавных элементов: Уl' У2, .. .. , Уn' Через
эти проводимости по извеСТНЫl\1 правилам не трудно выразить про-
водимости всех связей между левой и правой частями исходной
схемы рис. 3-21, общее число которых будет равно km. Соответст-
венно получим km уравнений с п неизвестными:
fji (Yl' У2, · · · , Уп) -== Yjp
rде
j == 1, 2, . . . ,k; i == (k + 1), (k + 2), . . . , (k + т).
При km > k + т = n значения проводимостей Уl' У2, · . · , Уп
определяются по методу наименьших квадратов из условия l\1ИНИ-
мума функции:
rfji (Уl' У2' ., . , Уn) - Уи]2.
При km < k + m задача в указанной постановке неопределенна.
Однако это будет иметь место лишь при k == 1 или т = 1. В первом
случае (k == 1) единственный элемент левой части достаточно рас-
сматривать как контрольный узел, во втором (т= 1) задача эквива-
лентирования правой части рис. 3-21 теряет смысл.
После приведения исходной схемы к виду рис. 3-22 узел А можно
принять за узел контрольных возмущений и соответственно исполь-
зовать для эквивалентирования правой части методы, указанные
в rлавах второй и третьей
Изложенное выше чисто параметрическое преобразование схемы
рис. 3-21 к схеме рис. 3-22 имеет следующий недостаток. Поскольку
число rлавных элементов остается неизменным, не должны изме-
няться все активные и реактивные мощности узлов. Это для реак-
тивных мощностей приводит к п аналитическим условиям, а для
активных - к п-l условию, при отсутствии в указанных схемах
активных потерь. Bcero будем иметь 2п-l условий, подлежащих
удовлетворению в схеме рис. 3-22. В связи с этим придется устано-
* При пренебрежении активными сопротивлениями и отсутствии ак-
тивно-ин,цуктивных наrрузок.
120
вить новые значения модулей и взаимных уrловых сдвиrов всех
э. д. С., что составит 2п-l неизвестных, определяемых на основе
указанных 2п-l условий, т. е. уравнений мощности. В результате
получим для схемы рис. 3-22 значения э. д. с. и уrловых сдвиrов,
вообще отличающиеся от соответствующих значений этих величин
в исходной схеме рис. 3-21, так как в сопоставляемых схемах неко-
торые взаимные индуктивные проводимости различны; это-взаимные
проводимости между левыми и правыми частями сравниваемых схем.
Такой результат в известных отношениях может быть неприем-
лем (меняется возбуждение синхронных машин, в какой-то мере
искажаются переходные процессы на линиях передачи удаленных
станц й и т. п.). Для ослабления этоrо недостатка переход от схемы
рис. 3-21 к схеме рис. 3-22 можно осуществить, сохраняя неизмен-
ными, кроме указанных требований в отношении мощностей, мо-
дули всех э. д. с., в результате чеrо будем иметь в схеме рис. 3-22 п
неизвестных лучевых проводимастей (Уl' У2' · · . , Уn) относительно
узла А и п-l уrловых сдвиrов между заданными по модулю элек-
ТРОДВИЖУЮЩИМИ силами, т. е. снова 2п-l неизвестных при нали-
чии 2п-l уравнений (по мощностям rлавных эле lентов).
Сюда целесообразно присоединить еlце одно критериальное тре-
бование, указанное в [Л. 4], а именно - сохранение для всех эле-
ментов непреобразуемой части системы величин так называемых
собственных проводимостей, которые в данном случае просто равны
соответствующим суммам взаимных проводимостей каждоrо из k
элементов по отношению ко всем ПРОЧИ I элементам. Это требование
можно оправдать тем, что оно определяет важные слаrаемые в вы-
ражениях реактивных мощностей (вида УиЕ;).
Таким обраЗ0М, будем иметь 2п-l + k уравнений для опреде-
ления 2п-l неизвестных, т. е. предпосылки для ПРИ lенения метода
наименьших квадратов. При значитеспьных т избыточное число
(k) уравнений будет относительно невелико.
Изложенный подход к преобразованию и упрощению сложных
систем является частным случаем принципа, который можно назвать
«эквивалентированием под заданную структуру». Не останавли-
ваясь подробно на этом принципе, отметим олько, что всякое ап-
риорное задание структуры эквивалента вводит в скрытом виде не-
которые добавочные условия, относящиеся к взаимным связям в си-
стеме. Хотя такое эквивалентирование в своих рамках и может быть
оптимальным, тем не менее оно, вообще rоворя, не обеспечивает
абсолютноrо оптимума, достиrаемоrо лишь при возможности варьи-
рования всех параметров предельно полной структуры типа
рис. 3-21, без их предварительноrо оrраничения.
Рассмотренное предварительное приведение системы рис. 3-21
к виду рис. 3-22 также, по-видимому, не обеспечивает оптимально-
сти следующеrо затем упрощения правой части системы от т эле-
ментов к их меньшему числу то. Положительной стороной этоrо
преобрззования является лишь возможность непосредственноrо
121
использования общих методов эквивалентирования, изложенных
в rлавах второй и третьей.
Однако эквивалентирование правой части схемы рис. 3-21 мыс-
лимо и без преобразования ее к схеме 3-22. Для этой цели также
необходимо априорное введение тех или иных критериальных тре-
бований. К числу важнейших из них относятся [Л. 4]:
1) сохранение значений активных и реактивных мощностей всех
k станций непреобразуемой части системы;
2) сохранение модулей и взаимных уrловых сдвиrов э. д. с. этих
же станций;
3) сохранение всех взаИ IНЫХ индуктивных связей между этими
же танциями;
4) сохранение собственных индуктивных проводимостей этих же
станций;
5) сохранение сумм всех активных и реакти,:ВНЫХ мощностей т
станций эквивалентируемой части системы.
Эти критериальные требования сами по себе представляются
разумными, хотя вопрос о необходимости некоторых из них ос.
тается недостаточно ясным.
Число уравнений, доставляемых перечисленными требованиями,
1
как леrко подсчитать, составляет М = - k (k + 9) + 1. В то же вре-
2
мя полное число необходимых в аналитических выражениях мощно-
стей режимных и нережимных (<<сетевых») параметров для эквива-
лента из то элементов [учитывая взаимоиндуктивные связи между
всеми (k + то) станциями] составляет в общем случае:
N = (k + то) (k + то - 1) + 2 (k + то).
2
Если схема исходной системы не допускает очевидных или во-
обще точных сокращений числа сетевых индуктивностей, то лишь
при то < 3 будем иметь:
M>N.
Последнее условие необходимо для определения всех режимных и
нережимных параметров эквивалента.
Упрощенный эквивалент, имеющий менее трех rлавных элемен-
тов, нельзя считать приемлеМЫl\1 во всех случаях по соображениям
изложенным в Э 4-4. В ряде случаев конечный эквивалент должен
быть представлен не менее чем двумя станциями и хотя бы общей
наrрузкой, т. е. в нашей интерпретации при то == 3. В подобных
случаях эквивалентирование придется вести на основе каких-либо
дополнительных требований.
В изложенной постановке эквивалентирование постоянных ин-
дуктивных параметров тесно связано с эквивалентированием чисто
режимных параметров (например, э. д. с.). Следовательно, в полу-
ченном эквиваленте постоянство индуктивных параметров вообще
122
может оказаться фиктивным, и они будут меняться от перераспреде-
.ления мощностей в исходной схеме. В этом заключается основной
недостаток такой постановки эквивалентирования, по крайней мере
для пz o > 2.
Далее следует отметить, что в применении к большим значениям
,пl o (> 3) тот же указанный путь эквивалентирования не обеспечи-
вает оптимальноrо распределения активных и реактивных мощно-
.стей между элементами эквивалента, т. е. не отражает картины рас-
u u u
пределения мощностеи висходнои приемнои системе.
Эти недостатки нетрудно устранить частичным использованием
эквивалентирования «в пространстве параметров», коrда эквива-
.лентирование постоянных (машинных и сетевых) параметров можно
выполнить преждеэквивалентирования параметров чисто режимных.
I'акой порядок представляется нам более правильным и содержит
в себе вполне здоровую предпосылку для возможности эквивален-
тирования бездействующей систеl\1Ы или системы на холостом ходу.
Даже только частичное применение эквивалентирования «в про-
странстве параметров» (для установления инерционных постоянных
и взаимных индуктивных связей) существенно снижает число не-
известных и обеспечивает указанное выше требование (М >- N)
при значительных то.
Перейдем к краткому раССl\10трению применения эквиваленти-
рования в пространстве параметров для частичноrо упрощения
сложных систем.
Возможно большое число различных вариантов сочетания экви-
валентирования в пространстве параметров с дополнительными кри-
териальными условиями, указанными выше соrласно [JI. 4]. Выбор
наиболее подходящеrо сочетания зависит от частных свойств и осо-
бенностей исходной системы, а потому должен производиться в
каждом отдельном случае.
Ниже рассматривается эквивалентирование в пространстве па-
раметров всех взаимных связей заданной приемной системы для
случая то == 3 и k == 3 применительно к схеме рис. 3-21. При этом
будут учтены критериальные требования, чтобы в непреобразуемой
части общей ,системы сохранялись для каждоrо из k элементов соб-
ственные проводимости, а также внутренние взаимные связи, число
1
которых вообще равно - k (k - 1), в данном же случае равно 3.
2
Bcero надлежит определить 12 проводимостей взаимных связей;
сюда входят 3 внутренних связи эквивалента и 9 связей ero с непре-
образуемой частью системы, подчиняющихся условию 4.
Число связей каждоrо из т элементов исходной системы с эле-
ментами непреобразуемой части в данном случае (при k = 3) равно
трем. Следовательно, в отношении этих связей каждый элемент
исходной системы можно представить точкой в трехмерном подпро-
странстве параметров с координатами, численно равными проводи-
мастям связей этоrо элемента с каждым из внешних элементов (Т. е.
123
элементов непреобразуемой части системы). Таким образом, каждому
внешнему элементу должна соответствовать отдельная координат-
ная ось. Bcero в таком подпространстве будет т точек. Их (при
то == 3) надлежит свести к трем эквивалентным точкам при соблю-
дении требования 4), которое совместно с требованиеl\'{ 3) будет озна-
чать равенство сумм соответствующих координат эквивалентной и
исходной схем. Это значит, что все координаты данноrо подпрост-
ранства должны рассматриваться как СУМ1\1ируемые по координат-
ным осям параметры (см. 3-3).
Поскольку это подпространство входит в полное пространство
пара:метров системы, необходимо для обеспечения надлежащеrо
соответствия м жду параметрами, при переходе от исходной при-
еМIIОЙ системы с т элементаl\1И к приемной системе с тремя элемен-
там:и, воспользоваться разбиением процесса эквивалентирования на
отдельные попарные процедуры соrласно Э 3-3.
Выбрав Д.пя этой цели в качесrве связывающих парам:етров инер-
ционные постоянные и присоединив к ним в качестве сопутствующих
параметров суммы внутренних взаимных проводимостей приемной
системы
[УЕ (j t i) = ;/1 ; j = 1, 2, .. · , т; i = 1, 2, · · · , т + j] ,
можно провести первое попарное эквивалентирование до уровня
трех элементов на комплексной плоскости H j , Y'iJ (j, i). Этим будут
зафиксированы значения инерционных постоянных в последующих
попарных процедурах и одновременно будут определены три внут-
( . * . )
ренние взаи '{ные ПРОВОДИ1VIОСТИ У 1 2' У 1З ' У 2з для эквивалента при-
емной системы. Последние находятся по трем определенным в про-
цессе эквивалентирования суммам Y HJ , Y2'iJ' УЗ'iJ этих проводимостей
из уравнений:
+ *
У12 У13 == Yl'iJ'
* + *
у 12 У 2з =-= Y 2 'f.'
* + *
у 13 У 23 == Узr.:
Выбрав в дальнейших попарных процедурах эквивалентирова-
ния сочетания параметров Н ! с ПРОВОДИl\fОСТЯМИ УП, связывающими
элементы исходной приемной системы с каким-либо внешним эле-
ментом 1 (1 = 1,2, 3), получим в результате эквивалентирования на
плоскости (H j , Ул) (при соблюдении условия суммируемости вели-
чин Уп) проводимости взаимных связей всех элементов эквивалента
с каждым из трех внешних элементов.
В результате будут определены значения всех (12) неэаданных
проводимостей эквивалентной схемы. С учетом заданных взаимных
проводимостей внешних элементов будем иметь значения всех 15
124
возможных взаимных проводимостей в завершенном частичном
эквивалентировании.
Из числа режимных инережимных параметров, входящих в ана-
литические выражения активных и реактивных мощностей упро-
щенной системы, останутся неопределенными только 3 модуля
э. Д. с. эквивалента и 3 уrловых сдвиrа между этими э. Д. с. и Э. Д. с.
какоrо-либо из внешних элементов, Bcero 6 параметров. Для их оп-
ределения будем иметь два обязательных уравнения баланса актив-
ных и реактивных мощностей эквивалента, т. е.
то т
p = P.,
1 J 1 J
то т
Qj= QJ'
1 1
и кроме Toro 6 уравнений, соответствующих заданию активных и
реактивных мощностей внешних элементов, соrласно указанному
ранее требованию 1), а Bcero 8 уравнений. Отсюда, с ПРИl\,fенен:ием
метода наименьших квадратов, будут определены все указанные
режимные параметры. После этоrо определятся активные и реак-
тивные мощности эквивалента.
При таком методе эквивалентирования остается неизвестным,
в какой степени полученный эквивалент преобразуемой части си
стемы будет правильно отображать распределение мощностей в
установившемся режиме для этой части. Соответствующую про
верку леrко провести, разбив в исходной приемной системе все эле
1\1енты на три rруппы (при то = 3) по родственности энерrетичееких
характеристик (турбо- и rидростанций и наrрузки) и определив
отдельно для каждой rруппы суммы активных и реактивных мощ-
ностей.
При существенном расхождении соотношений полученных rруп-
повых мощностей с распределением мощностей по элементам экви-
валента следует исключить из числа параметров последнеrо, опре-
деляемых в процедурах попарноrо эквивалентирования, внутрен-
ние взаимные ПРОВОДИl'лости эквивалента. При этом первое попарное
эквивалентирование придется выполнить на одном из указанных
выше сочетаний (H j , Yjl). Исключенные из параметрическоrо экви-
валентирования параметры войдут в состав неизвестных, число ко-
торых теперь окажется равным девяти.
Приняв, далее, в качестве обязательноrо дополнительноrо кри-
терия соотношения как между активными, так и реактивными мощ-
ностями эквивалента, в соответствии с результатами указанноrо
подсчета мощностей исходной приемной системы по rруппам, при-
дем фактически к заданию активных и реактивных мощностей для
всех элементов эквивалента, поскольку соответствующие суммы
125
этих мощностей, соrласио требованию 5), должны быть равны анало-
rичным cYMMal\1 исходной схемы.
В результате TaKoro изменения процедуры эквивалентирования
будем иметь для девяти неизвестных одиннадцать уравнений по
активным и реактивным мощностям упрощенной систеl\1Ы в целом.
Эта процедура несколько проще первой в отношении эквивален-
тирования в пространстве параметров и соответствует лучшему
отображению эаданноrо установившеrося режима системы. Однако
в ней величины внутренних взаимных связей эквивалента оказы-
ваются зависящими от изменчивоrо установившеrося режима.
(лава четвертаR
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
И ЗАВЕРШАЮЩАЯ СТАДИЯ УПРОЩЕНИЯ СИСТЕМ
4-1. Особые спуча"
В предыдущем предполаrалось, что в составе эквивалентируемой
системы нет элементов с резким уклонением от средних типовых
значений основных параметров (реактивностей, постоянных времени
и инерции и Т. п.) и, В особеННОСТR, параметров автоматическоrо
реrулирования возбуждения reHepaTopoB и скорости первичных
двиrателей. Кроме Toro, предполаrалось, что основная цель экви-
валентирования заключается в подыскании подходящих эквивален-
u u
тов приемнои системы с точки зрения правильнои реакции на воз-
мущения, идущие со стороны некоторой линии дальней передачи
электрической энерrии при возникновении на ней аварий, оrрани-
ченных быстродействующей релейной защитой. При существенном
оrраничении длительности возмущения, одновременно с оrраниче-
нием величины последнеrо дальностью очаrа ero возникновения от
энерrетическоrо центра мощной приемной системы, можно быть
уверенным в допустимости методов эквивалентирования, изложен-
ных выше.
Однако от указанных допущений на практике MoryT обнаружи-
ваться существенные отступления. Это, в первую очередь, может
быть связано с изменением цели эквивалентирования. Последнее
может оказаться желательным как операция частичноrо упрощения
данной сложной энерrосистемы при авариях в ней самой, при утя-
u u
желенных аварииных условиях, например, при отказе основном
релейной защиты, коrда отключение KopoTKoro замыкания будет
производиться резервной защитой с большой выдержкой времени,
скажем, до 2-3 сек. В подобных случаях резкое различие в пара-
метрах, режимах и в систеl\1ах автоматическоrо реrулирования
возбуждения и скорости вращения reHepaTopoB, расположенных до-
статочно близко от очаrа аварии, может создать значительные труд-
ности в задаче их эквивалентирования и даже сделать ее неразре-
шимой , по крайней мере в смысле «подобноrо эквивалентиро-
вания».
Существо ТРУДНОСТИ может заключаться не только в большом
размахе взаимных колебаний разнородных объектов эквиваленти...
рования, но даже и в выпадении их из синхронизма. Так, например,
две станции 81 и 82 (рис. 4-1), объединенные общим сетевым узлом
А и испытывающие тяжелое аварийное возмущение со стороны
пункта В, MoryT в зависимости от различных условий наrрузки и
автоматическоrо реrулирования оказаться в трех различных aBa
u
рииных состояниях:
1) Одна станция (наПРИl\lер, 82) выпала из синхронизма по от..
ношению к друrой (81)' но последняя осталась в «качающемся» син
хронизме по отношению к системе 80' примыкающей к узлу А.
s. s 2) Станции 81 и 82 приобрели асинхронный
f 1 2 ход одна относительно друrой и относительно
N системы 80'
3) Обе станции 81 и 82 остались в синхро
низме между собой, но вышли из синхронизма
по отношению к системе 80'
Вероятность таких ситуаций можно в общих
чертах предвидеть на основе параметрическоrо
анализа (см. 3-3), в который при этом надо
Рис. 4-1. включить, кроме основных параметров станций
81 и 82, также параметры систем их автоматиче
cI\oro реrулирования и параметры рабочеrо режима, предшество-
вавшеrо аварии. Реальную картину явлений MoryT дать лишь опыт
в натуре, достаточно точные физическое или математическое моде..
лирование или расчет движения reHepaTopoB станций 81 и 82
совместно с системой 80. Совершенно очевидно, что в указанных
ситуациях 1) и 2), если хотя бы одна из них проявится В действи..
тельности, невозможно заменить две станции 81 и 82 одной экви-
валентной.
Таким образом, предел возможности «подобноrо эквивалентиро-
вани я» (т. е. замены двух станций 81 и 82 одною эквивалентною обыч-
ной структуры) определяется таким уровнем тяжести аварийноrо
возмущения со стороны пункта В на рис. 4-1, при котором еще воз-
можно сохранение взаимноrо синхронизма станций 81 и 82' Если
тяжесть аварийноrо ВО3l\лущения со стороны пункта В можно оха-
рактеризовать какими-либо двумя переменными величинами, на-
пример, величиной и длительностью снижения напряжения в этом
пункте U в и "Св' то rраницы возможности построения «подобноrо
эквивалента» можно представить поrраничной кривой в простран-
стве этих величин на основе опытов на моделях или с помощью рас-
четов.
Для целей эквивалентирования сложных приемных систем в
связи с вопросами динамической устойчивости дальних электропере-
дач энерrии при наличии в составе этих систем какой-либо особой
rруппы разнородных элементов, имеющих резко различные систеl\1Ы
автоматическоrо реrулирования, начальные режимы и параметры,
128
можно оrраничиться введением в расчеты функциональноrо экви-
валента для этой особой rруппы элементов в виде комплексной Функ-
ции
S (t, л) = Р (t, J,) + jQ (t, Л), *
исходя ИЗ типовых возмущений, характерных для узловой точки
А системы, через которую особая rруппа элементов 8* связывается
с остальной частью системы 80 и с линией дальней передачи энерrии
(рис. 4-2) от станции 8 у . Очевидно, что предварительно должна быть
--, осуществлена операция выделения осо-
' ,
/ \ бой rруппы S* из состава приемной
So " системы.
" _/ Далее возможны по крайней мере два
простейших варианта типовых возму-
'" s* щений:
а) возмущение типа простоrо сниже-
ния напряжения узла, соrласно rрафику
рис. 4-3, с постоянной величиной U*
ХЛ
j i
<SSy
--thr--
. t.
Ри(:. 4-2.
Рис. 4-3.
и длительностью спада , с варьированием величины спада от
И* = о дО U* = U/UАО = 1;
б) возмущение типа нормальноrо трехфазноrо KopOTKoro замы..
кания на линии передачи --при постоянной ero длительности , но
при различной ero удаленности от узла А, измеряемой реактив-
ностью х/). (рис. 4-2).
В последнем варианте спад наIIряжения узла А при коротком
замыкании в точке k не задается заранее и должен быть рассчитан
с учетом всех переходных процессов как электромаrнитных, так и
элеКТрОl',1еханических. Это, конечно, для определенной конкретной
системы дает лучшее представление функции S (t, л), хотя и свя-
зано с более трудоемкими расчетами, чем по первому варианту.
Чтобы по возможности упростить расчет функции 8 (t, л) во втором
варианте, можно считать допустимым всю приблизительно одно-
родную часть системы (80 на рис. 4-2) привести к предельно про-
стому эквиваленту в виде одной станции с одной наrрузкой, поль-
зуясь методами второй стадии эквивалентирования (rлавы вторая
и третья).
* Параметр Л характеризует изменчив,ость возмущения.
129
В обоих вариантах функция S (t, л) предполаrается зависящей
не только от времени, но и от параметра л, причем для первоrо ва-
рианта л = !1U* = 6.U/U Ао , а для BToporo л = х: = .
Х Л
Зависимость от параметра л в обоих случаях весьма существенна.
Она должна явственно выражать предел устойчивости особой
rруппы S* элементов системы. Для Toro чтобы исследуемый процесс
в этой rруппе не осложнялся во втором варианте выпадением из
синхронизма удаленной станции Sy, исходный рабочий режим по-
следней в предварительном анализе следует взять ниже предела
ее динамической устойчивости при любом ХА в пределах (О, Х л ).
Нащупать этот предел можно предварительными ориентировоч-
ными расчетами.
Для получения достаточно надежных данных, выявляющих
зависимость S от л, необходимо в обоих вариантах проделать не
менее 10 расчетов или модельных исследований переходных процес-
сов, задаваясь различными значениями Л i в пределах 0-1. Для
каJКдоrо определенноrо значения л вычисление или модельное,ис-
следование даст две функции времени:
Pi=f(t) и Qi= Cf>[(t).
Эти функции по общим правилам [Л. 24] MoryT быть представлены
в пределах t == О, . . . , 't- В виде линейных комбинаций каких-либо
классических ортоrональных полиномов Ро (t), Р1 (t), · · · , Рп (t)
до HeKoToporo порядка п:
fi (t) == CiOPo (t) + С Д Р1 (t) + ... + CiпPп (t),
'fi (t) == diOPO (t) + d i1 P1 (t) + ... + diпpn (t).
Уже при п == 5 такие суммы достаточно хорошо выражают даже
разрывные функции.
Коэффициенты c i и d[ находятся, как известно, по способу наи-
меньших квадратов и выражаются rотовыми интеrральными фор-
мулами. Все эти коэффициенты являются функциями л., которые
можно построить по результатам вычисления их для частных зна-
чений )"'i' Это дает возможность в свою очередь представить каждый
из указанных коэффициентов через те же полиномы:
Cj == ajOPO (л) + aj1P1 (л) + '" + ajnPп (л),
d j == Ь/оРо (л) + b j1 P1 (л) + + bjnpn (л).
Таким образом, мы можем при вышеуказанных допущениях
представить реакцию rруппы S* особых элементов аналитическими,
как бы независимыми функциями S (t, л), что даст возможность на
третьей стадии эквивалентирования не вводить в расчет указанную
rруппу ее дифференциальными уравнениями и тем самым сократить
130
объем расчетов на третьей стадии. Это может оказаться существен-
ным, поскольку в специальных расчетах на третьей стадии все эле-
менты, входящие в систему 80 на рис. 4-2 должны быть представлены
отдельно, и число их может быть еще достаточно велико к концу
второй стадии эквивалентирования.
Очевидно, что в rруппу «особых» элементов может быть иноrда
допустимым и включение друrой удаленной станции, чувствитель-
ной к авариям на исследуемой линии передачи.
После приведения системы 80 к конечному ЭI{виваленту, приrод-
ному для дальнейшеrо использования на электродинамической
модели, особую rруппу станций 8* можно представить отдельно
необходимым числом машин с параметрами и автоматическими ре-
rуляторами, соответствующими натуре. Это открывает ВОЗl\jОЖНОСТЬ
проверки точности изложенноrо приема эквивалентирования путем
сопоставления предварительно определенной функции S (t, л) с ана-
лоrичной функцией, получаемой уже на совместной конечной 1\10-
дели . системы 80 и rруппы S*.
4.2. Учет автоматических perynSlTopoB возбуждения
и CKOpOCTHblX реrупяторов первичиых двнrатепей
Все ИЗЛОJКенное НИlКе связано с задачами эквивалентирования
для расчетов и моделирования процессов динамической устойчивости
дальних ЛЭП и не затраrивает некоторых вопросов эквивалентиро",
вания, поставленных в недавнее время рядом авторов [Л. 13, 14,
15; 34] в связи с определением «устойчивости В малом» СЛОlКной
автоматизированной системы.
К концу второй или к началу третьей стадии эквивалентирова-
ния все основные rенерирующие элементы полученной эквивалент-
ной системы следует предполаrать оснащенными автоматическими
реrуляторами возбуждения (АРБ) и реrуляторами скорости пер'"
вичных двиrателей (РСПД), поскольку процесс эквивалентирова-
ния на третьей стадии предполаrается основанным на расчетах
динамической устойчивости с учетом всех существенных факторов,
без ПРИl\1енения или с оrраниченным применением методов линеари-
зации. Предъявление таких lКe жестких требований к процессу экви-
валентирования на второй стадии практически неосуществимо, по
крайней мере на первых этапах этой стадии, вследствие наличия
очень большоrо числа основных элементов. Поэтому эквиваленти-
рование на второй стадии приходится основывать на упрощающих
допущениях.
Прежде Bcero можно допустить, что основная совокупность reHe-
рирующих энерrию элементов объединяется сходными свойствами
в отношении наличных видов АРБ и РСПД, а также по номиналь-
ным значениям реактивных и инерционных параметров и по удален..
ности относительно узла контрольных возмущений.
131
При наличии отдельных элементов или rрупп элементов с резким
уклонением от средних характеристик АРВ, РСПД и друrих пара-
метров данной системы такие элементы или их rруппы не должны
включаться в общий эквивалент (см. 4-1). В нижеследующем мы
будем основываться на общих представлениях метода эквивален-
тирования в пространстве параметров, предполаrая, что в составе
исходной системы нет каких-либо особых элементов. В таком слу-
чае вопрос об эквивалентировании параметров АРВ и РСПД ре-
шается на основе изложенноrо в Э 3-3 разбиения процесса эквивален-
тирования на отдельные попарные процедуры. Однако возможно
uрименение и более простоrо приема для нахождения эквива-
лента из числа вышеуказанных параметров,.
Пусть некоторые основные параметры h j ,
Xj исходной схемы (например, инерционные
постоянные и реактивные проводимости отно-
сительно контрольноrо узла) приняты за коор-
динаты точек 1, 2, . . . , j, . . . , п на пло-
h.J скости (рис. 4-4) и определены любым подхо-
дящим методом т « п) эквивалентных зна-
чений, представленных на той же плоскости.
Возьмем один (любой) из этих эквивален-
тов, обозначим ero * и найдем ближайшие
к нему, по среднеквадратичному расстоянию,
три точки а, И "[, соответствующие парамет-
рам трех основных элементов исходной системы. Этим трем точкам
соответствуют три вполне определенных параметра, из числа пара-
метров, подлежащих эквивалентированию: пусть их численные зна-
чения будут соответственно Са' C И Ст, Такими параметрами, напри-
мер, MoryT быть кратности форсировок, соответствующие исходным
элементам а, И "[. Если т перь числа Са' C И С Т представ ить от рез-
KaMи, параллельными оси Cj, ортоrональной к плоскости h j , Xj, то,
будучи отложены от точек <х, И "[, эти отрезки определят неко-
торую плоскость (П с ) параметров С/. Тоrда при oroBopeHHbIx выше
условиях можно считать, что эквиваленту Е* основных элементов
на этой плоскости соответствует эквивалеlП с (Е*) из совокупности
неrлавных элементов.
Очевидно, что рассматриваемая процедура есть не что иное, как
линейная интерполяция в трехмерном пространстве. Отсюда сле-
дует, что для всех точек l*' изображающих эквиваленты основных
параметров, должны быть построены отдельные интерполяционные
плоскости из условия, чтобы выбранные для их построения три
точки исходных основных параметров (как а, И "[) были наиболее
*
БЛИЗI{И к точке EI.
Уравнение плоскости П С можно записать в виде
Х)
./3
*
.ct · .(
J
Рис. 4-4.
Cj = fh j + gXJ + k,
132
rде h J , Xj, Cj - текущие координаты по осям h J , X j и ;
f, g, k - коэффициенты, подлежащие определению из ли-
нейных уравнений:
fh a + gX a + k = Са'
fh + gx + k = C ,
fh, + gx, + k :!::= С,.
После определения " g и k находим:
С (E i *) = fh; + gx; + k.
В отношении АРВ возможен иной, более rрубый способ учета,
основанный на ориентировочном представлении, что действие АРВ
сводится к некоторому эквивалентному уменьшению синхронной
реактивности Xd reHepaTopa, а именно при компаундировании или
пропорциональном электронном реrулировании примерно до 0,95 x
и при сильном реrулировании даже до Xd = О. Как известно [Л. 10],
это связано с допущением отсу твия самораскачивания. В соответ-
ствии с этим каждому reHepaTopy, в заВИСИl\10СТИ от наличной си-
стемы АРВ, можно приписать некоторую реактивность и некоторую
постоянную э. д. с. Тоrда все эквивалентирование можно проводить
так, как если бы АРБ не было. I
В результативном эквиваленте (к концу второй стадии эквива-
леитирования) следует провести обратную операцию: для каждоrо
rеиератора по найденной для иеrо эквивалентной реактивности
подобрать подходящую систему АРБ. При этом в процессе эквива-
fl7Jентирования необходимо отделение внешних, сетевых реактивно-
стей от reHepaTopHbIx.
Указанный упрощенный способ учета АРБ приемлем при рас-
С!vl0трении статических режимов. Однако эквивалентирование в за-
вершающих стадиях необходимо подчинять более жестким требова-
ниям, связанным с динамическими процессами. Этим требованиям
в известной мере удовлетворяет изложенный выше метод линейной
интерполяции, который в одинаковой мере распространим и на
РСПД.
Однако если в эквивалентируемой системе имеются элементы,
резко уклоняющиеся от среднеrо уровня характеристик автомати-
ческоrо реrулирования, то, как уже указывалось, необходимо либо
выделить их в отдельную rруппу, либо перейти к принципиальио
иному методу эквивалентирования, который практически сравни-
тельно леrко осуществим после преобразования заданной исходной
CXel\1bI к ,,1Jучевому виду. В этом случае основным показателем дина-
мическоrо процесса может служить энерrия, отданная reHepaTopoM
(или полученная двиrателем) при rлубоком возмущении 8 А в уз-
ловой точке А с заданной длительностью "с, Т. е. интеrрал вида
133
.
"Jf
"t
S P/Adt = А/, rде индекс j относится к определенной машине. Вычис-
о
ление мощности Р jA = f j (t) методом последовательных интервалов
следует выполнять с учетом действия всех автоматических pery-
ляторов.
Каждой машине j будет соответствовать одно определенное (при
данном 't и максимальном значении o А) значение А j'
Все реальные параметры, характеризующие мащины, входящие
в систему (постоянные инерции, суммарные реактивности до узла А,
параl\1етры АРВ и РСПД) MoryT быть табулированы или построены
в функции от A j (см. примерный rрафик на рис. 4-5 HeKoToporo па-
раметра k, например, кратно-
сти форсировок или KaKoro-
либо коэффициента усиления).
п чисел А j должны быть
заменены (эквивалентирова-
_ _ . ны) наиболее подходящими т
А п A J числами В j так, чтобы удов-
летворялось требование
п т
Aj = Bj(m < п).
1 1
При этом эквивалентирование ряда чисел А j можно вести по методу
числовых моментов [Л. 29] с предварительной заменой чисел A j
числами А; = А ] (э 3-3).
Рассматривая числа A j как весовые показатели известных пара..
метров k j ориrинала и эквивалентные числа В j как весовые показа-
,
тели ИСI{ОМЫХ аналоrичных параметров k j эквивалента, можно со-
"Ставить т уравнений моментов (от l-ro до m-ro порядка):
Blk + B 2 k; + ... + Bmk = A 1 k 1 + A 2 k 2 + ... + Aпk п = D 1 ,
B 1 k? + B 2 k;2.t + Bтk = A 1 kI + A2k + + Aпk = D 2 ,
--_..
А1
А2
Аз
A q
А5
Рис. 4-5.
...... .
Blk m + B 2 k;m + · . · + Bmk m=Alkrz -f- A 2 k'; + .. · + Aпkr;: =D m .
,
Отсюда и определятся все kj. В частном случае при т = 1, очевидно,
п
A.k.
/ /
k' = l п (4-1)
Ai
1
Изложенная процедура определения эквивалентных параметров
по весовым показателям А i несколько обременительна для практики.
134
Поэтому идти на ее применение целесообразно лишь в тех случаях
коrда ДОС1УПНО использование вычислительных машин и коrда
можно ожидать существенноrо влияния параметров автоматиче-
cKoro реrулирования отдельных элементов на результативный ЭК-
вивалент.
По-видимому, в большинстве случаев практики можно довольст-
воваться более rрубым приемом, который заключается в следующем.
Произведя сrлаживание кривой рис. 4-5 (состоящей вообще из пря-
молинейных отрезков) так, как это делается при обработке экспе-
РИl\lентальных данных, следует на оси A j отложить значения вели-
чин в; = : B i и найти на оси k J соответствующие им значения па-
,
раметров k i , которые и принимаются за искомые эквивалентные.
Если этот прием при т == 1 дает большое уклонение от средневзве-
шенноrо значения (4-1), то пользоваться им едва ли допустимо.
Изложенный метод определения параметров по весовым значе-
ниям А j требует выбора определенноrо 't при заданном определен-
ном возмущении a А' Величина 't должна быть выбрана достаточно
большой, чтобы проявилось не только действие любых формировок
возбуждения, но и реrуляторов скорости первичных двиrателей.
В предыдущем весовые факторы А i определялись по изменяю-
щимея во времени активным мощностям P j , определяемым специ-
альными расчетами относительноrо движения машин при возмуще-
нии типа a А в точке А. Однако в некоторых случаях при эквивален-
тировании параметров реrулирования машин более чувствительным
аппаратом может оказаться совокупность аналоrичных интеrралов
реактивных мощностей (! QjAdt) , соответствующих возмущению
U А (<<посадка напряжения» в контрольной точке); эти весовые
показатели А i (Q) должны быть эффективны в особенности при эк-
вивалентировании систем автоматическоrо реrулирования возбуж-
дения; их, конечно, также можно найти на основе специальных
расчетов электромеханических и электромаrнитных процессов при
возмущении ДU А' В остальном процедура эквивалентирования па-
раметров реrулирования остается той же, что и при использовании
ПОI{азателей А j'
Что касается вопроса о том, какие параметры систем реrулиро-
вания возбуждения и скорости первичных двиrателей должны быть
эквивалентированы тем или иным И3 указанных способов, то это
зависит, вообще rоворя, от вида конкретных устройств TaKoro рода
в исходной системе.
АРВ сильноrо действия, как известно, может осуществляться на
основе использования различных параметров режима (их отклоне-
ний и производных): напряжения, относительноrо уrла, 'тока, ча-
стоты и даже в раэ.ПИЧНЫХ их комбинациях [Л. 10].
135
Для обычных компактных приемных систем, как правило, ха-
рактерно применение так называемоrо компаундирования по току
или электроиноro пропорциоиальноrо реrулирования по отклоне-
нию напряжения (без производных).
В общем случае для второй стадии эквивалентирования можно
оrраничиться рассмотрением автоматическоrо реrулирования по
отклонениям относительных уrлов и их производным ( ej, e;,
де;), поскольку этот вид реrулирования является наиболее уни-
версальным по своей эффективности. При этом друrие виды АРБ,
имеющиеся в исходной системе, можно заменить эквивалентным ре-
rулированием по уrлу на основе имеющеrося опыта сопоставления
раЗJ1ИЧНЫХ систем АРБ или по rрубо-приблизительному подобию
их действия:
I /).и 1 /)'8, II:!U l' 1:!8',
I:!I 1:!8, 111' 118',
11 f -+ /)'9', /). f' /),8".
При таких условиях индивидуальные системы АРБ можно ха-
рактеризовать параметрами [Л. 10]: Те, Т р , k o , k 1 , k 2 , rде Те - по-
стоянная времени возбудителя; Т р - результативная постоянная
caMoro реrулятора (сумма постоянных времени преобразовательноrо,
измерительноrо и усилителъноrо устройств); k o , k 1 И k 2 - коэффи-
циенты усиления по отклонению, по первой и второй производным
параметра реrулирования (АВ). За исключением удаленных стан-
ций вообще будем иметь k 1 == k 2 == о. Но в таком случае можно
использовать изложенный выше упрощенный способ учета и экви-
валентирования реrуляторов возбу)Кдения путем замены синхрон-
ной реактивности ее уменьшенным значением, если все особые стан-
ции будут при этом выделены из эквивалента в особую rруппу.
В качестве основных параметров скоростных реrуляторов пер-
вичных двиrателей в принципе следует принять [Л. 10]:
T s - постоянную времени серводвиrателя,
а - коэффициент неравномерности,
Т р - постоянную времени маятника реrулятора скорости,
T k - постоянную времени демпфера,
T i - то )Ке ИЗ0дрома,
ТТ -» » трубопровода,
Ан - условную массу ИЗ0дрома.
Полный комплект этих параметров вообще характерен лишь для
ысоконапорных rэс.
На практике систему дифференциальных уравнений РСПД дЛЯ
целей расчета относительноrо движения роторов машин обычно зна-
чительно упрощают, сводя все параметры лишь к четырем (Тз, T i ,
k c ' kp.) [Л. 10]. Такое упрощение в особенности допустимо в процес-
ax первоrо и BToporo этапов эквивалентирования.
1l:!U 1" -+ 8",
I:! 1" -+ l1е"
,
136
В заключение заметим, что хотя мы допускаем некоторый произ-
вол в выборе критериальных возмущений (АВ, АИ), тем не менее
этим значительно упрощается процедура эквивалентирования, по-
зволяющая учитывать, так сказать, интимные тонкости различных
систем реrулирования.
Изложенный подход не исключает статистических методов, по-
скольку может быть выбрана рациональная система вероятностных
величин o и /).и на основе имеющихся статистических данных по
длинным лэп. Также ничто не мешает приписать этим величинам
те или иные универсальные статистические характеристики (напри-
мер, нормальный закон распределения), и получить, соответственно.
на основе изложенных принципов, статистические распределения
эквивалентных параметров с тем, чтобы за основу моделирования
принять их математические ожидания, а дисперсии их - за оценку
точности моделирования параметров по этим эквивалентам.
4.3. Учет влияния импульсных моментов
Термином «импульсные моменты» мы условно называем электро-
маrнитные моменты, действующие на ротор синхронной машины
при внезапных скачкообразных изменениях параl'lIетров или схемы
коммутации внешней сети [Л. 19, 20 J.
Только в сравнительно недавнее время эти моменты начали учи-
тывать в расчетах динамической устойчивости [Л. 21]. Их жела-
тельно учитывать на третьей стадии эквивалентирования при со-
поставлении эквивалентов Э (т 1 ) и э (m 2 ) (при m 1 > m 2 ), rде пl 1
и m2 - числа rлавных Эcl1ементов системы, причем основное значе-
ние имеют импульсные моменты при внезапных замыканиях на даль-
них ЛЭП; учет аналоrичных моментов при отключении цепей после
KopoTKoro замыкания более сложен, но в то же время является ме-
нее существенным, а потому мы оrраничимся рассмотрением только
импульсных моментов при коротких замыканиях вне эквиваленти-
руемой системы.
Поскольку импульсные моменты связаны только с появлением
свободных токов в цепях статоров и роторов сицхронных машин,
эти моменты в порядке uepBoro приближения, достаточноrо для
целей эквивалентирования, можно расс:матривать как дополнитель-
ные, налаrающиеся на квазистационарные электромаrнитные мо-
менты, определяемые в предположении полноrо отсутствия свобод-
ных токов в цепях статора и ротора. При этом, хотя указанные мо-
менты в принципе и зависят от общей динамики системы, допустимо
все же считать, что они определяются по начальным условиям пе-
реходноrо процесса и не зависят от дальнейшеrо движения системы.
Тоrда оказывается возможным довольно просто осуществить при-
ближенный учет импульсных моментов на основе допущений, часто
принимаемых при расчетах начальных токов коротких замыканий,
а именно: пассивная иаrрузка замещается реактивными шунтами,
137
асинхронные двиrатели - синхронными и взаимные уrловые сдвиrи
Э.д. с. синхронных машин принимаются равными нулю. При таких ус.
ловиях можно воспользоваться rотовыми выражениями импульсных
моментов, установленных для случая трехфазноrо KopOTKoro замыка.
ния непосредственно на зажимах синхронной машины [Л. 20 J,
рассматривая, однако, аналоrичные короткие на дальней ЛЭП,
примыкающей к эквивалентируемой системе. Возникающие при этом
импульсные моменты, действующие на роторы синхронных машин
системы, в конечном счете оказывают на них тормозящее действие,
которое может быть существенным лишь для коротких замыканий
вблизи точек примыкания дальних ЛЭП к системе. Хотя подобные
короткие замыкания не столь важны для динамической устойчиво-
сти дальних ЛЭП, но MoryT иметь значение при сравнении эквива-
лентов приемной системы, если в последней наблюдается значитель-
ная структурная асимметрия.
Как видно из приведенных ниже выражений, величины импульс-
ных моментов при коротких замыканиях в цепях статоров отдель-
ных машин зависят, кроме параметров предшествовавшеrо режима
(напряжений, токов, фазовых сдвиrов и т. п.), rлавным образом от
()сновных параметров цепи KopoTKoro замыкания:
X d = X d + Х Л ' X = X + Х л '
Х "" Х""
d = X d + Х л ' q = X q + Х л ,
, " "
T d , T d , T q , Та,
тде Х Л - внешняя индуктивность от зажимов машины до места
трехфазноrо KopoTKoro замыкания, а постоянные времени (T ,
T , . . . и т. д.) предполаrаются определенными с учетом Х л .
При указанных выше допущениях для каждой из синхронных
машин эквивалентируемой системы можно определить эквивалент-
ную удаленность KopoTKoro замыкания, принимая все э. д. с. рав.
Бым нулю, считая приложенныIM к данной системе единичное (и == 1)
'Трехфазное напряжение нормальной частоты в заданной аварийной
точке с замещением всех машин их известными параметрами (по-
очередно X d , X , X , X ) и находя каждый раз коэффициенты распре.
деления токов для всех машин по отношению к току в аварийной
точке (эта процедура, как известно, леrко выполняется на расчет.
ных моделях постоянноrо тока).
Общие суммарные эквивалентные реактивности для каждой
-синхронной машины при данном конкретном роде всех собственных
реактивностей машин (X d , X и Т. д.) будут являться, как леrко видеть,
взаимными их реактивностями (Xjk) относительно точки KopOTKoro
замыкания и получаемые отсюда значения эквивалентной внешней
реактивности X J1 окажутся, вообще rоворя, различными для различ-
ных родов машинных реактивностей. Поскольку, однако, действие
138
импульсных моментов достаточно оrраничить лишь отрезком вре.
мени 'Со, В течение KOToporo еще ощуrцается так называемый сверх-
переходный процесс свободных токов статора [Л. 31], целесооб-
разно упомянутые взаимные реактивности (Xjk) определять лишь
по значениям сверхпереходных реактивностей синхронных машин
по продольной оси, соответственно чему найдем:
"
Х . == X' k - X d "
ЛJ J J
rде Хлj - эквивалентная внешняя реактивность для данной машины j.
После нахождения всех Хлj леrко определятся и все суммарные
реактивности X dj , Х' dj И т. д.
Более сложным является вопрос о выборе эквивалентных зна-
чений постоянных времени, которые зависят не только от индук-
тивных удаленностей KopoTKoro замыкания (Хлj), но также и от
активных сопротивлений заданной сложной сети; последнее в особен-
ности относится к Та' Однако едва ли целесообразно в целях сопо-
ставления эквивалентов вводить сложные расчеты постоянных
" "
времени. Для T d и T q , а также и для Та допустимо принять общее
среднее значение, равное 0,1 сек [Л. 31 J, и в соответствии с этим
,
'Со 0,3 сек. и T d 00, т. е. не учитывать изменение так называе-
,
Moro «переходноrо тока KopoTKoro замыкания» (принять E d == cOllSt).
В результате, соrласно [Л. 20 J, мы получим выражение импульс-
Horo момента М Зj (t) для синхронной машины j при трехфазном
коротком замыкании на приемном конце ЛЭП, состоящее из трех
слаrаемых:
М Зj (t) == м;} (t) + м;} (t) + M (t),
rде
м; = J[ EdJo
j 1 X dj
! t J]
1 1 -- 1 1
+ (--;;--- , )е 0,1 + , -- Иjсоs8 jо Х
X dj X dj X dJ Xdj
t
Х siп(шоt + 8 jo ) - ИjsiпЭ jо ( ) e-o:r соs(шоt + B jo )-
X qj x q
t J t
1 1 1 -(),Т · -от
-- (-- ) е И'Slп(2ш о t + в. о ) И.е
2 х" х" . J J J '
dJ qJ
! Е d /0 [(' 1 1) _.-!.-
м; (t) == Х. + -;;- - , е 0,1 +
dJ X d } X dJ
1 1] }2
+ ---- И.соs8.0 ,.
Х ' Х. J J /3 '
dj d]
-2t
М'" (t) == U ( 1 + 1 ) O:I
3 2 J"2 "2 е , рjэ ·
X dj X qj
139
В этих уравнениях все величины предполаrаются выраженными
'в относительных единицах, причем E djo - э. д. с. рабочеrо возбуж-
дения машины j, U j - напряжение в точ е KopoTKoro замыкания
и Э jО - фазовый сдвиr между векторами E djo и U j перед моментом
KopoTKoro замыкания; 'jэ - эквивалентное активное сопротивле-
ние статора; 'Р}9 - то же для роторных цепей (в совокупности).
С достаточной для рассматриваемых целей точностf>ю можно
принять:
" " " "
Xdj+X qJ = Xdj+X q ] 16(X".+X".)
'iэ 2w Т О 4п" ' dJ q) ,
о а , :10
,. = 2е ! ('2. - , .),
рtэ ) J
rде '2j и 'j - собственные реальные активные сопротивления re-
нератора i для обратной и прямой последователь-
ности;
Е ! - коэффициент приведения от частоты 100 2Ц К частоте
50 ёЦ, который приблизительно равен 0,9.
, " /"
В выражениях моментов М з (t), М з (t), М з (t) величины
E djo , U j И (JjO вообще являются некоторыми эквивалентными ВeJIИ-
чинами, соответствующими реальному рабочему режиму данноrо
reHepaTopa j перед аварией на ЛЭП. Они должны быть определены
так, чтобы реальный эффект тре фазноrо KopoTKoro в заданной
1'очке k, с рабочим напряжением U k, наиболее точно отражался эф-
фектом эквивалентноrо трехфазноrо KopoTKoro замыкания непо-
средственно в цепи данной машины j.
Самыми существенными величинаl\1И, определяющими моменты,
действующие на ротор машины, являются величина рабочеrо тока
возбуждения перед моментом KopOTKoro замыкания И, следова-
1"ельно, EdjO, а также разность векторов (ij-i Hj ), которая, как
известно, определяет начальное значение апериодической состав-
ляющей тока статора и ответную реакцию цепей ротора, проявляю-
щуюся в виде апериодических экстратоков. Поэтому указанную
разность желательно было бы найти для каждой машины j специ-
альным расчетом исходной схемы, для чеrо можно без большой по-
" "" u
rрешности принять X d = X q = Х или в краинем случае
" 1 ( " ")
х =2 Xd+X q .
Соrлаено известному принципу наложения имеем:
.
" U k ·
I j = ." +lи}
]Х э }
или
iJ k = jX;J (1; - j 8})'
140
Аналоrичное соотношение должно иметь место П для трехфаэ-
Horo KopoTKoro замыкания в эквивалентной цепи каждой машины,
т. е.
И ] == jХ эj (i; - i Н}),
откуда U j = U k для всех j.
Из Сl\азанноrо следует, что в выражениях моментов величины
E djo ДОЛЖНЫ быть равны реальным значениям э. д. с. возбуждения
в предшествующих рабочих режимах машин; уrловые сдвиrи Э jО
должны равняться уrловым сдвиrам между действительными э. д. С.
E djO И напряжением U k в действительной аварийной точке перед
моментом KopoTKoro замыкания.
После определения функции момента М Зj (t) можно найти из
дифференциальных уравнений динамики данной машины j дополни-
тельное влияние, которое оказывает этот момент на движение ее
ротора на основе сформулированноrо выше допущения независи-
мости действия импульсных моментов от последующеrо движения
ротора.
Обозначив ДОПОtl нительное ускорение ротора, обусловленное
действием момента М З } (t), через 8 d }, имеем:
H/O dj = Мз-} (t).
После первоrо интеrрирования получим:
a .('to) = С"Мзо(i)di
J Н. J IJ
/ О
(предполаrая, что при t == О O'l1j == О; ОА) = О). После двух интеr-
рирований будет:
'to t
3 J ('Со) = o S di S Мц и) di.
/ о О
Учитывая относительно медленное движение ротора машины
под влиянием друrих моментов, можно принять, что это движение
при наличии импульсных моментов начинается для каждой машины
не при обычно допускаемых начальных условиях Oj = 0jO и 8 jo = О,
а при иных, именно при
0,*;0 = o.jO + °Aj( 1:0)' I
(4..2)
0jO = ОА} (1:0).
Следовательно, учет действия импульсных моментов при коротких
замыканиях можно свести к изменению начальных.. условий в со-
ответствии с (4-2); в остаЛЬНО 1f расчет движения системы будет
141
выполняться обычным методом последовательных интервалов или
друrими методами [л. 35].
Мы полаrаем, что изложенная методика учета влияния импульс-
ных моментов может быть использована не только для целей экви-
валентирования, но и для первоrо уточнения расчетов динамиче-
ской устойчивости.
В заключение заметим, что величины tJ Aj ('Со) и 8 Aj ('Со) В (4-2)
нормально должны быть отрицательными.
4-4. Третья -стадия эквиваnентирования
Вопросы и операции, относящиеся к третьей стадии эквивален",
тирования, указаны в Э 1-2, Рассмотрим их по порядку:
1. Типовые схемы
Соблюдение требования максимальной точности эквиваленти-
рования в увязке с возможностью предстаВJIения эквивалента на
электродинамической модели приводит к необходимости, cTporo
rоворя, иметь в конечном эквиваленте следующий комплект основ-
ных элементов:
1) reHepaTop, отображающий неанормальные (по параметрам)
турбоrенераторы тепловых станций центральной части данной ло-
кальной системы.
2) reHepaTop, отображающий неанормальные rидроrенераторы
той же системы.
3) rидро- или турбоrенератор, отображающий имеющиеся в си-
TeMe rидро- или турбоrенераторы с анормальными параметрами
(например, капсульные rидроrенераторы; rидроrенераторы с попе-
речной и продольной обмотками возбуждения; турбоrенераторы
с исключительно большими значениями реактивностей и постоян-
ных времени цепи возбуждения и Т. п.).
4) reHepaTopbI, эквивалентные reHepaTopaM достаточно удален-
ных станций, связанных с цenтpoи локальной системы через длин-
ные ЛЭП с небольшим запасом устойчивости.
5) Асинхронно-наrрузочный 8I'peraT.
б) Пассивно-наrрузочный элемент.
7) Элемент наrl?У3КИ особоrо рода (например, электролизерной,
транспортной и т. п.).
Примененный в п. 1) и 2) термин «неанормальные» турбо- и rид-
poreHepaTopbl означает, что основные параметры этих машин не
уклоняются слишком сильно от средневзвешенных значений по си-
стеме в целом для каждоrо из этих типов машин.
Если особые типы машин и наrрузок, упомянутые в п. 3) и 7),
в данной системе отсутствуют, то, кроме контрольноrо узла, к ко..
ТОРОМУ ожида тся присоединение какой-либо новой дальней ЛЭП,
в типовой схеме все же останется, вероятно, не менее 4--5 узлов
142
С присоединенными к ним элементами, указанными в п. 1), 2), 4)
5) и 6).
Соответственно этому мы получим общую типовую схему в виде
шестиуrольника с чисто сетевыми диаrоналями (рис. 4-6). * Чтобы
получить эту схему к концу второй стадии эквивалентирования
с полностью определеННЫl\1И связями, практически возможным ока-
зывается только применение линеаризации и эквивалентирования
в пространстве функций на холостом ходе исходной системы, если
не считать более простой, но менее точный метод эквивалентирова-
иия в пространстве параметров.
0 H f
'1 /1
/y
[2 ,1- \:J\ [.
r:LV/1 1 \ . \ В Л '1
. I \ I ---tL--<DrЭС(IJЛlJТЭС)
Тэс \ I VI
-\\!, /;//
\ ><.... i/
Е1;:с---- \'л1
\
\
0rэе(ипи тэе)
Рис. 4-6.
тэс
А 8
I I
'л., ,
1 ЛО
I
е ,
е
Рис. 4-7.
Приведение схемы рис. 4-6 к лучевой с помощью неканониче--
CKoro преобразования ( 3-3), очевидно, дает максимально упро-
щенный эквивалент с одним узлом в центре, что, однако, l\10жет быть
неприемлемым при тех или иных конкретных условиях моделиро..
вания. Поэтому может оказаться целесообразным использовать ко-
нечный эквивалент с двумя или тремя узлами. Хотя схема с тремя
узлами (рис. 4-7) имеет на один узел больше, однако она проще,
так как не требует разбивки общей асинхронной и пассивной на.
rрузки между двумя узлами.
Схему рис. 4-7 можно получить из схемы рис. 4-6 путем надле-
жащих неканонических преобразований. Если ориентировочная
оценка точности конечных эквивалентов окажется блаrоприятной,
скажем, для схемы рис. 4-7, то можно на ней и остановиться.
В некоторых случаях, однако, идут дальше, стремясь свести всю
u U
приемную систему к одному rеиератору соднои наrрузкои и даже
просто к одной синхронной машине. Если эквивалент с одним rеие..
ратором и наrРУЗКQЙ еще можно считать при известных условиях
допустимым, а именно - при включении данной локальной системы
* На рис. 4-6 через А Н и Zп обозначены соотеетственно асинхронная и
пассивная наrруэки.
143
в объединенную «мета-систему», то замена всей локальной системы
одной синхронной машиной едва ли приемлема вообще, поскольку
этим искажаются самые элементарные физические качества исход-
ной системы.
2. Опредеnение параметров рабочеrо режима
дnя конечноrо эквивалента
Процедура определения параметров рабочеrо режима и самый
состав этих параметров для конечноrо эквивалента зависят от
схемы последнеrо и от использования метода эквивалентирования.
Во всех случаях следует считать заранее определенными (в пред-
шествующем процессе эквивалентирования) инерционные постоян-
ные rеиераторов и двиrателей эквивалента отнесенные к некото-
рой общей базисной мощности.
Если во второй стадии эквивалентирования асинхронные двиrа-
тели были замещены синхронными по правилам, изло)кеННЫl\1
в Э 2-4, причем реактивности этих двиrателей, как и реактивности re-
нераторов, уже определены для конечноrо эквивалента по схеме
рис. 4-6, то на третьей стадии необходимо вернуться к нормальному
представлению асинхронных двиrателей. Только после этоrо, cTporo
rоворя, следовало бы определять параметры рабочеrо режима re-
нераторов эквивалента для рис. 4-6, учитывая как асинхронную,
так и пассивную наrрузку их статическими характеристиками.
Хотя в такой постановке задачу и можно решить методом узло-
вых напряжений [л. 33], однако значительно более ПРОСТЫl\I будет
расчет в друrом порядке, а именно сохранив сначала представле-
ние эквивалентной асинхронной наrрузки синхронным двиrателем
(с э. д. с. Е з и уrлом 330)' Тоrда считая модули напряжений и их ко-
ординатные yr"ТJ:bl для узлов А и В заданными, можно определить
собственные и взаимные проводимости относительно э. д. с. син-
хронных машин и узлов А и В (с учетом пассивной наrрузки), а за-
тем непосредственно написать уравнения активных и реактивных
мощностей по rруппам синхронных машин (в том числе замещаю-
щих асинхронную наrрузку):
P;r = F 1 (Е l' Е 2 , Е з ; 010' 020' Озо) = Р Tr'
Q;r = ф 1 (Е l' Е 2 , Е з ; 010' 020' Озо) = QTr'
P;r = Р 2 (Ер Е 2 , Е з ; 010' 020' Озо) = Р rr'
Q;r = Ф2(Еl' Е 2 , Е з ; 010' 020' Озо) = Qrr;
Р: н = F з (ЕI' Е 2 , · .. , 310' 020 · · .) = PaH'
Q:H = Ф (Е l' Е 2' " ., 010' 320 · · .) = Q ан'
тде правые части находятся суммированием активных и реактив-
ных мощностей по соответствующим rруппам машин исходной
схемы.
(4 3)
144
Следует заметить, что так как эквивалент не может точно соот-
ветствовать исходной схеме, не исключено в этом порядке расчета
некоторое энерrетическое рассоrласование в узлах А и В, т. е. не-
соответствие активной и реактивной мощностей, рассчитанных по
заданию значений напряжений и координатных уrлов, значениям
этих величин в исходной схеме. При значительном расхождении
предпочтительно будет напряжения И А и ив считать (по МОДУЛЯl\1
и координатным уrлам) неизвестными, одновременно добавив к
указанным уравнениям 4 новых уравнения, правые части которых
будут выражать активные и реактивные мощности узлов А и В,
взятые из исходной схемы. Е з
Все эти уравнения являЮтся
тра нсцендентными, выражаемы-
ми через синусные и косинусные
функции. Решение их возможно [2
только тем или иным И3 методов
последовательных приближений.
В первом rрубом приближении
искомые величины Е 1 , Е 2 , . . . ,
810, 020, . . . можно принять рав-
ными средневзвешенным (по пол-
ной мощности) их значениям для
соответствующих rрупп машин
в исходной схеме. После опреде-
ления э. д. С. и уrла синхронноrо двиrателя, замещающеrо асин-
хронную иаrрузку, можно будет вернуться к натуральному пред-
ставлению последней.
Если c eMa конечноrо эквивалента уже принята к реализации
на электродинамической (или аналоrовой) модели, то последнюю
можно использовать для определения искомых параметров режима
с помощью реrулировки величин активных и реактивных мощно-
стей эквивалентных машин так, чтобы они были равны правым ча-
стям в уравнениях (4-3). При этом нет необходимости в замещении
асинхронных двиrателей синхронными. Нелишне заметить, что на-
стройка эквивалентных reHepaTopOB модели, а также reHepaTOpOI;J
удаленной станции на требуемый режим может быть автоматизиро"
вана с помощью простейших реrуляторов активной и реактивной
мощности.
В тех случаях, коrда на второй стадии эквивалентирования вся
наrрузка заменена синхронными двиrателями с использованием
линеаризации «в маtЛОМ» не на холостом ходе и исходная схема
в конечном счете приведена к виду рис. 4-8, rде Е 1 , Е 2 , Е з - еще не
определенные э. д. с. эквивалентных синхронных машин, Е 4 - за-
данная э. Д. с. существующей удаленной станции, необходимо иметь
в виду, что условные взаимные связи на этой схеме a 1A , Л 12 . . . и т. д.
являются функциями указанных э. д. С., напряжения U АО' а также
8 Л о _ -!.
'Л1
"-
"
Рис. 4-8.
145
реальных взаиl'ЛНЫХ реактивностей Х 1А ' Х 12 ' . . · и начальных уrло-
8ЫХ сдвиrов; например:
а 1А =
Е 1 и А
cos (010 - О АО)'
ХIА
Е 1 Е 2 ( ")
cos а 1 о - 020 ,
Х12
а 1 2=
............ .
иАи в
а АВ = COS (ОАО - Ово),
ХАВ
ИЗ этих величин только а Ав является величиной, отдельные сомно-
жители которой можно было бы заранее считать определенными
в исходной схеме уже в конце первой стадии эквиваленти-
рования. Число уравнений рабочеrо режима превышало бы
число неизвестных, и последние подлежали бы определению по-
методу наименьших квадратов. Чтобы избежать TaKoro усложнения,
допустим, что напряжение и ero координатный уrол для узла
В, а также все реактивности связи последнеrо с друrими
узлами схемы рис. 4-8 подлежат определению наравне с друrими
неизвестными Е!, Е 2 , · · · ; 010' 020' · · . ; Х 1А ' Х 2А ' Х 1В ' Х 2В ' · · · ,
Х 12 ' Х 13 · · · и Т. д. Тоrда, считая напряжение и АО и координатный
уrол ОАО контрольноrо узла А заданными, будем иметь 18 искомых
величин. Учитывая, что все условные проводимости а 1А , а 2А , . . .
и т. д. будут определены в предшествующей стадии эквивалентиро-
вани я и что для схемы в целом будет иметь место равенство узло-
вых комплексных мощностей суммам мощностей исходной схемы
(для соответствующих rрупп машин и опорных узлов), составим
для определения неизвестных 18 уравнений:
EjEl
Xjl COS (о/о - 0iO) = ал
EjU АО
XjA COS(OjO - оло) = a jA
EjU ВО
XjВ COS (OjO - Ово) = a jB
v Ао и ВО ( )
COS О АО - а ВО = а АВ
Х АВ
(3 уравнения)
ji = 1, 2; 1, 3; 2, 3.
(3 уравнения)
j = 1, 2, 3.
(3 уравнения)
j = 1, 2, 3.
(1 уравнение)
Р; = F j (Ер Е 2 ,
U ВО;
j*
(31 О' · · · , (3 ВО) = Р j * о
1
(6 уравне-
ний)
. . . ,
j*
Q;= Фj(Еl' Е 2 , ..., и во ; 010"'" 0BO)= Qj.O
1
(j* - число элементов исходной схемы в rруппе j)
146
Р в (Еl' Е 2 ,
Фв(Еl' Е 2 ,
. . . ,
и во;
и во;
81 О' · · · , о ВО) = р в J
s ) = Q (2 уравнения).
U 10 ' "., ВО В
. . . ,
Нетрудно видеть, что в данном случае число неизвестных ра-
бочеrо режима и трансцендентных уравнений для их определения
по сравнению с предыдущим случаем возросло в три раза. Приме-
нение линеаризации «в большом», не устраняя этоrо обстоятельства,
лишь несколько упрощает систему необходимых уравнений.
Если к CXel\tle рис. 4-8 применить неканоническое преобразован е
к лучевой схеме с центральным, еще lIеизвестным напряжением и с ,
то, считая комплексы напряжений узлов А и В заданными из исход-
ной схемы, можно свести число неизвестных и соответствующих им
уравнений до 13, что остается еще значительно большим, eM это
было указано для схемы рис. 4-6, в которой все связи предполаrа..
лись известными.
3. Оценка точности эквиваnента
Как уже указывалось во введении, безупречной l\10ЖНО считать
только оценку эквивалента на основе прямоrо сопоставления ero
с исходной системой по rлавному эффекту, для исследования кото..
poro предпринимается УПРОII ение заданной системы. Так, в случае
динамической устойчивости дальней ЛЭП сопоставлению подлежат
пределы передаваемой мощности при одинаковых аварийных усло-
виях; при исследовании статической устойчивости должно быть по
крайней мере установлено ИЗl\1енение ее запасов при замене исход-
ной системы ее эквивалентом.
К сожалению, указанные сопоставления эквивалента с первич-
ной системой требуют либо проведения дороrих экспериментов в на-
туре, либо чрезвычайно большой вычислительной работы с исполь..
зованием математических машин.,
Смысл BToporo пути вообще не вполне ясен, так как, если идти
на использование сложных вычислительных процедур, то можно
обойтись и без эквивалентирования. Тем не l\1eHee, в следующем
пункте кратко будет рассмотрен и этот путь в некоторой упрощен-
ной модификации.
Здесь мы остановимся на приближенной оценке точности экви-
валента по динаl\1ической устойчивости, которая возможна и на
основе ручноrо счета и на основе применения электродинамических
моделей или каких-либо математических машин. Предположим,
что конечный эквивалент приведен к схеме рис. 4-7 и что к контроль-
ному узлу присоединена конкретно заданная ЛЭП Л 1 , передающая
9нерrию от некоей проектируемой станции; и та и друrая будет
иметь только испытательное значение, а потому параметры их можно
выбрать ориентировочно, с некоторым ухудшением против реально
ожидаемых; по проекту. Тоrда следует сделать серию расчетов (или
147
опытов на электродинамической l\10дели) с целью выявления пре-
дельных по динамической устойчивости наrрузок ЛЭП Л 1 дЛЯ трех
вариантов:
1. Машинам rэс и ТЭС приписаны наихудшие по динамической
устойчивости параметры: наименьшие инерционные постоянные и
наименьшие реактивности, * отнесенные к номинальным мощностям
и выбранные из параметров комплекта соотвеТСТВУЮII ИХ машин
исходной (первичной) схемы.
2. Тем же машинам приписаны наилучшие по динамической ус-
тойчивости параметры: наибольшие инерционные постоянные и
реактивности, выбранные из параметров комплекта машин исход-
u
нои схемы.
3. Тем же машинам приписаны аналоrичные параметры, опреде-
ленные для конечноrо эквивалента.
Пусть, далее, расчетом или на модели для указанных случаев
найденыI предельные по динамической устойчивости мощности для
двухполюсноrо на землю к. з. в начале ЛЭП Л 1 (т. е. на отправном
, "
конце): Рпр, Р ПР ' Рэпр. Тоrда можно из общих физических сообра-
жений утверждать, что при правильном эквивалентировании по-
rрешность последнеrо (LlP l1P ) по пределу динамической устойчиво-
" ,
ети не превысит разности (Рпр-Р пр ), т. е. будет Иl\flеть место соот-
ношение:
Р' ..,/ Р /' Р"
пр эпр пр.
При наличии достаточно мощных вычислительных средств можно
использовать для оценки точности эквивалента иной способ - экс-
траполяцию.
Так как несомненно, что при постепенном переходе от п элемен-
тов исходной системы к конечному эквиваленту с то «< п) элемен-
тами точность эквивалентирования падает, то, выбрав в процессе
эквивалентирования второй стадии некоторый уровень эквивалента,
характеризуемый m rлавными элементами, именно такой, что при
m > то уже становится возможным прямое определение предель-
ных по динамической устойчивости мощностей, передаваемых по
ЛЭП Л 1 , И определив эти мощности в одинаковых условиях аварии
на ЛЭП Л 1 дЛЯ т, т-l, т-2, . . . , то эле.ментов, можно построить
кривую зависимости:
Р пр = j(m'(),
(4-4)
rде
то<mх<т.
При этом метод постепенноrо эквивалентиров ания должен быть
однообразным, чтобы rviОЖНО было рассчитывать на вы явление опре-
* Таким выбором параметров обеспечивается наиболее сильное торможе-
ние машин приемной системы при коротком замыкании на отправном конце
ЛЭП Л 1 .
148
деленной закономерности. Если ход указанной кривой подтвердит
наличие такой эаКОНОl\1ерности, то можно считать допустимым экс-
траполяцию зависимости (4-4) до т = п, т. е. получить оценку дей-
ствительноrо динамическоrо предела мощности.
Такой способ, конечно, не прост и должен рассматриваться лишь
как один из мотивов детальных исследований процессов эквивален-
тирования.
4. Определение параметров простеншнх эквивалентов
Простейшими мы называем эквиваленты, состоящие из одной
синхронной машины с обобщенной асинхронной наrрузкой. .Про-
должая методы второй стадии эквивалентирования до уровня то =
== 2 (reHepaTop + двиrатель), мы, конечно, можем прийти к про-
стейшему эквиваленту.
Такой предельный эквивалент, вообще rоворя, не является не-
обходимым для обычных целей проверки устойчивости дальних
ЛЭП. Однако он может быть желателен для включения данной ло-
кальной системы в «мета-систему» (например, ЕВС).
Самый надежный путь определения оптимальных параметров
предельноrо эк!3ивалента данной локальной системы - это, конечно,
проведение экспериментов в натуре, что, однако, является дале]{о
не всеrда осуществимым.
Едва ли не единственным случаем возможности (и то - только
в принципе) экспериментальноrо определения параметров простей-
u
шеrо эквивалента опытами в натуре является случаи, коrда упро-
щаемая локальная система войдет в «мета-систему» единственной
связью, присоединенной к той же узловой точке В, к которой при-
соединена и сущеСТВУlощая, относящаяся к локальной системе
дальняя уединенная ЛЭП Л О (рис. 4-9). Тоrда, если допус.кают ус-
ловия эксплуатации, в принципе возможна постановка достаточ-
Horo числа опытов KopOTKoro замыкания на ЛЭП Л О с тем, чтобы, I
u
меняя длительность и место искусственных аварии, с последующим
успешным АПВ, определить предельные по динамической у тойчи-
вости мощности удаленной станции для реальной системы.
I< числу параметров простейшеrо эквивалента (в который рабо-
тающая через ЛЭП Л О станция не войдет), подлежащих определе-
нию, следует отнести инерционные постоянные (Н 1 и Н 2 ) эквива.
лентноrо reHepaTopa r и наrрузочноrо асинхронноrо двиrателя АД,
их реактивности (Х 1 и Х 2 ) дО общеrо узла С (рис. 4-9), постоянную
времени цепи возбуждения reHepaTopa (T do ); активное сопротивле-
ние (, А) ротора асинхронноrо двиrателя, общее реактивное сопро-
тивление (х з ) до точки присоединения ЛЭП Л о , демпферные пара-
метры и др.,- Bcero 8-10 постоянных параметров.
Для упрощения расчетов и поиска оптимума можно пойти на
принятие некоторых параметров по средним типовым значениям
(например, постоянную времени цепи возбуждения, демпферный
149
коэффициент для reHepaTopa). И все же останется не менее шести
подлежащих определению постоянных параметров и еще два варьи-
руемых по режиму параметра, а именно - модуль и уrловой сдвиr
э. д. с. эквивалентноrо reHepaTopa. Следовательно, на ЛЭП Л о ,
должно быть поставлено большое число существенно различных опы-
тов, в каждом из которых - достаточное число «подопытов» (с варьи-
рованием передаваемой по ЛЭП мощности), вплоть до выпадения
удаленной станции из синхронизма.
Последнее обстоятельство является несомненно нежелательным
в реальных условиях эксплуатации. Поэтому предпочтительно
r ориентироваться на какие-либо косвен-
Н, rv ные способы выявления динамическоrо
предела мощности. При наличии хоро-
ших измерительных реrистрирующих
приборрв электрической активной мош
Рис. 4-9.
+JPi
о
Р пр
Рис. 4-10.
ности И уrловых сдвиrов (относительно синхронной оси) можно,
например, придерживаться следующеrо порядка экспериментальных
исследований.
N\еняя для всех фиксированных условий коротких замыканий
на ЛЭП Л О (место, длительность, пауза АПВ) лишь передаваемую
по ней активную мощность (Р Hi) и реrистрируя для каждоrо ее зна-
чения предельные уrловые отклонения роторов удаленной станции
и соответствующие им превышения ( P i) электрической мощности
относительно данноrо ее начальноrо значения, получим возмож-
ность построить rрафик p i == F (Р Hi)' примерный характер кото-
poro показан на рис. 4-10.
Предельная по динамической устойчивости мощность (Р пр ) со-
ответствует на этом рисунке точке k пересечения кривой I1P i с осью
абсцисс. Дальнейшее увеличение Р Hi уrрожает выпадением удален-
ной станции из синхронизма. Во избежание этоrо точку k следует
определять экстраполяцией кривой I1P t == F (Р H1)' которую необ-
ходимо строить точка за точкой паралллельно с выполнением опытов
при постепенном увеличении Р иt от достаточно малых значений
(превышающих, однако, эффект eCTecTBeHHoro торможения при ко-
ротких замыканиях).
150
При некоторых определенных значениях искомых параметров
эквивалента (обозначим их все через "'l1, "'l2, · · · , "'l6) с помощью ма-
тематических машин не трудно построить зависимость типа рис. 4-10
и для предполаrаемоrо эквивалента, не прибеrая ни к какой линеа-
ризации и задавая синхронные и друrие машины в схеме рис. 4-9
достаточно точными уравнениями, с учетом импульсных моментов.
К сожалеfIию, не представляется возможным даже для схемы
рис. 4-9 выразить достаточно точно и аналитически просто зависи-
мость предельной мощности ЛЭП л о от параметров эквивалента
1' 2' · · · , "'l6' Это затрудняет определение их оптимальных значе-
ний. Последнее можно в принципе выполнить методами «поиска»
IЛ. 36].
Однако целесообразнее предварительно определить приближен-
u
ные значения этих параметров одним из методов второи стадии экви"
валентирования. В особенности наиболее ПОДХОДЯIЦим по точности
представляется прямой функциональный метод, не требующий ли-
неариэации (9 3-1).
Если приближенные значения указанных параметров "'l10' 20' · . .,
вo определены, то, фиксируя по очереди каждое из них, кроме од-
Horo "'lj, которому эадается вариация 1l"'l/, не трудно для схемы
рис. 4-9 также с помощью математических машин определить част-
ные производные дРпр = 1/ (i) для заданных конкретных условий
дУIj
аварии на ЛЭП Л О ' Тоrда для всей серии i опытов на линии Л о'
(i > 6) получим i линейных алrебраических уравнений относительно
всех 1l"'l/:
/1 (1) Ll 1 + /2 (1 ) L\ "'l2 + ... + /6 (1) L\ "'l6 = Р 10 - P a'
/1 (2) L\"'l1 + /2 (2) /). 2 + .. · + /6 (2) L\"'lB = Р 2п - Р;п,
........................ .
/1 (6) "'ll + /2 (6) "'l2 + ... + /6 (6) 6 = Р 60 - Р П'
rде Р 1а , Р2а, . . . , Рва - предельные мощности из опытов в реаль
ной системе;
=11 * =11
Рlа, Р2п, . · . , Р6п - те же величины, вычисленные для при-
ближенных значений искомых парамет-
ров эквивалента.
Вся описанная процедура уточнения оптимальных значений па-
раметров простейшеrо эквивалента отпадает, если не представится
возможным провести необходимое число опытов «в натуре», не пред-
ставится возможным использовать подходящие вычислительные
машины или, наконец, если будет доказана с помощью оценки точ-
ности достаточность использования для построения простейшеrо
эквивалента функциональных методов второй стадии, в частно...
сти использования некоторых типовых воздействий на входе А
151
приемной системы в виде комплексной функции напряжения
. jOA
и А = и А е , rде и А и ОА суть функции времени.
эти воздействия должны быть приложены, с одной стороны, к
какой-либо проме2КУТОЧНОЙ схеме второй стадии эквивалентирова-
иия при т > то (см. выше п. 3), а с друrой - на входе схемы про-
стейшеrо эквивалента (то = 2). Соrласно [Л. 3, 4 J, в качестве вход-
ных реакций следует использовать активные и реактивные мощно-
сти. Если входные реакции Р А (t, т) и QA (t, т) проме)I{УТОЧНОЙ
схемы второй стадии эквивалентирования (с т элементами) принять
за реальную действительность, то параметры эквивалента будут
определяться при тех )ке воздействиях на входе из условия мини-
мума функционала:
00
s {[ р А (1, т) - Р э (1. '1/1' '1/2' .. · , '1/6)J2 +
О
+ B [Q А (t, т) - Q э (t, l' 2' .. · , 'fl6)] 2} dt
rде ев - некоторый весовой коэффициент.
Типовые входные возмущения QЫЛО бы целесообразно выбрать
на основании анализа реальных переходных процессов, в большом
количестве изучавшихся за ряд лет в различных научно-исследова-
тельских орrанизациях.
Подходящее значение BecoBoro коэффициента ев можно устано-
вить лишь на основе предварительных исследований (хотя бы на
моделях), долженствующих показать относительное влияние не-
точностей активной и реактивной мощносТ'"ей реакции эквивалента
на предельную по динамической устойчивости наrрузку дальней
передачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Прежде (лет 20-30 тому назад) в распоряжении инженера
или ИСС.педователя имелись только элементарные средства для вы-
числительной работы. Поэтому оказывались -неизбежными прими-
тивные способы эквивалентирования. В прследние rоды выдвинуты
и развиваются значительно более обоснованные методы с широким
использованием новых вычислительных средств и моделей [Л. 2,
3, 4, 5, 6, 7 J. Однако во мноrих работах по эквиваJIентированию
до сих пор по традиции сохранились некоторые недопустимые опе-
рации, например замена асинхронной наrрузки пассивною и дру-
rие.
2. В данной работе автор отказался от всех приемов упрощения
электрических систем, которые явно и rрубо противоречат физике
явлений. Такой подход следует считать первым шаrом к повышению
точности эквивалентирования.
3. В работе впервые подробно рассмотрены вопросы линеари-
зации исходных дифференциальных уравнении и построены чисто
электрические схемы замеll ения линеаризированных электромеха-
нических систем; рассмотрено применение второй теоремы разложе-
ния Хевисойда для приведения линеаризирqванных систем к лучево-
му виду; разработана теория приближенной замены асинхронной
моторной наrрузки синхронною; указана возможность и целе-
сообразность применения. для эквивалентирования ряда математи-
ческих метuдов, еще не нашедших эдесь отражения; предложены
и рассмотрены, в принципиальном отношении, совершенно новые
методы: неканоническое преобразование миоrоуrольных сетевых
структур, эквивалентирование «в пространстве параметров» и эк-
вивалентирование «в пространстве функции», допускающие даль-
нейшее развитие.
Кроме Toro, в работе paCLMoTpeH ряд частных задач и вопросов,
относящихея К случаю преобладания в электрической системе пас-
сивных (активно-реактивных) наrрузок; рассмотрено эквиваленти-
рование систем аВТОl\1атическоrо реrулирования возбуждения и ско-
рости первичных двиrателей; предложен приближенный учет им-
пульсных MOl\feHTOB, действующих на роторы rенерзторов СЛОЖНОЙ
системы; даны рекомендации по ориентировочной oI eHKe точности
конечных эквивалентов.
,..
153
4. Исходя из. несомненной связи процесса упрощения электри-
чеGКИХ систем с кибернетическим понятием «потери разнообразия»,
характеризующим снижение точности по мере упрощения системы;
автор рекомендует разделение этоrо процесса на три стадии, имею..
щие свои специфические особенности. К третьей, завершающей
стадии, предъявляются наиболее высокие требования в отношении
точности: отказ от линеаризации, от замещения асинхронной на-
rруэки синхронною и Т. д.
5. Автор рекомендует следующую схему использования рассмот-
ренных или кратко отмеченных в работе методов и частных приемов
упрощения электрических систем отдельно по трем стадиям:..
На первой стадии - частные приемы концентрации наrрузок;
неканоническое преобразование мноrоуrольных сетевых контуров;
прямой (без линеаризации) функциональный метод для объединения
станций, имеющих общий сетевой узел.
На второй стадии, для первоrо этапа - неканоническое преобра-
зование мноrоуrольных сетевых структур; эквивалентирование
«в пространстве параметров»; линеаризация с ПРИl\1енением теоремы
разложения; использование операционных функций с положитель..
ным apryMeHToM в соединении (если требуется) с использованием
расчетных столов постоянноrо тока.
На второй стадии, для BToporo этапа, так же как и на первом
этапе - линеаризация и все известные косвенные функциональные
методы и, кроме Toro, «эквивалентирование В пространтве функций»,
в том числе «частотно-амплитудный» метод, а также комбинация
эквивалентирования в пространстве параметров с прямым функ-
циональным методом.
На третьей стадии, по мере реальной возможности:
а) метод прямоrо определения параметров простейшеrо эквива-
лента, на основе достаточноrо числа экспериментов в натуре, по
оценке динамических пределов мощности;
б) то же, но на основе использования мощных вычислительных
машин;
в) сочетание экспериментов в натуре с прямым функциональным
методом (без линеаризации), с последующим определением поправок
к полученным параметрам эквивалента на основании пределов ди-
намической устойчивости, найденных из опыта;
r) использование только прямоrо функциональноrо метода пу-
тем сопоставления входных реакций двух эквивалентов системы:
эквивалента с уменьшенным (на второй стадии) числом т элеl\'Iен-
тов (т « п) и простейшеrо эквивалента с двумя элементами (условно
принимая реакцию для эквивалента с т элементами за истинную
для исходной системы).
6. Самыми трудными вопросами теории априорноrо эквивален-
тирования являются вопрос об оценке точности эквивалента и еще
вопрос об установлении .хотя бы высшеrо предела допустимой не-
точности.
154
I< сожалению, убедительная оценка точности не может основы-
ваться только на среднеквадратичной поrрешности переходноrо
процесса. В настоящей работе сделана весьма скромная попытка
установить некоторые способы оценки поrрешности пределов дина-
MичecKoй устойчивости при априорном эквивалентировании.
Этот вопрос заслуживает дальнейшеrо изучения.
Что касается BToporo вопроса, то он тесно связан с более широ
ким вопросом о необходимой общей точности определения пределов
устойчивости, а этот последний - с вопросом о требуеl\IЫХ запасах
устойчивости, который имеет уже технико экономический характер.
Вследствие обнаруживающихся здесь трудностей, до выполения
надлежащих обстоятельных исследований неизбежно пользоваться
лишь косвенными оценками точности эквивалентирования.
7. В настоящей работе рассмотрено эквивалентирование, в ос-
новном, применительно к локальным системам с одним входом (с
одним узлом возмущений). Следует признать своевременным иваж..
ным постановку и исследование в ряде работ, например в [Л. 4, 5]
вопроса об эквивалентировании расчлененных сверхсложных си.
стем. OMY вопросу в данной работе уделено относительно мало
внимания, причем изложено rлавным образом применение к указан..
ной задаче метода эквивалентирования «в пространстве параметров».
8. В ряде работ [Л. 13, 14, 15, 34] делаются шаrи в направле.
нии оптимизации автоматичеекоrо реrулирования сложных систем,
также с использованием частичноrо их эквивалентирования. Этот
сложный вопрос также требует дальнейшей разработки. В данной
работе он не рассматривался, если не считать процедуры эквивален-
тирования параметров автоматическоrо реrулирования на основе
представлений опараметрических пространствах.
ЛИТЕРАТУРА
1. У. Р о с с Э 111 б И, Введение в кибернетику, Изд-во иностр. ЛИТ.,
1961.
2. О Р У Р к И. А., Ж е в е р ж е.е в В. Ф., Рощ и н r. В., Эквива-
лентирование rруппы еинхронных reHepaTopoB, связанных линиями передачи
одной машиной из условия подобия колебаний, Сборник работ по вопросам
электромеханики, выл. 6, Изд-во АН СССР, 1961.
3. О Р У Р к и. А., Рощ и н r. В., Моделирование rрупп параллельно
работающих rеиераторов, связанных линиями передачи, одним arperaToM из
условия подобия колебаний, Доклады четвертой межвузовской конференции
по применению физическоrо и 1..fзтематическоrо моделирования в различных
отраслях техники, Сб. 4, МЭИ, 1962.
4. О Р У Р к И. А., Эквивалентное замещение rрупп станций сложных
энерrосистем в колебательных режимах, Изв. АН СССР, Энерrетика и транс-
порт, 1964, Ng 2.
5. )J( у к о в л. Л., о преобразованиях сложных систем при расчетах
устойчивости, Изв. АН СССР. Энерrетика и транспорт, 1964, Ng 2.
6. К о в а л е н к о В. П., Эквивалентное преобразование сложных си-
стем, Изв. АН СССР. Энерrетика и транспорт, 1964, Ng 2.
7. r у с е й н о в Ф. r., Некоторые вопросы эквивалентирования мно-
rомашинной системы, Труды ЭНИН Азерб. ССР, 1964, т. XVI.
8. Поп о в Е. П., Динамика систем автоматическоrо реrулирования,
rостехиздат, 1954.
9. Пер в о з в а н с к и й А. А., Случайные процессы внелинейных
автоматических системах, Физматrиз, 1962.
10. В е н и к о в В. А., Переходные электромеханические процессы
в электрических системах, rосэнерrоиздат, 1962.
11. А зар ь е в Д. И., Математическое мо елирование электрических
еистем, rосэнерrоиздат, 1 62.
12. )f( д а н о в П. С., Устойчивость электрических систем, fосэнерrо-
издат, 1948.
13. М и х н е в и ч f. В., Об электромеханическом эквивалентировании
в автоматически реrулируемой энерrосистеме, Изв. АН СССР. Энерrетика и
транспорт, 1964, NQ 2.
14. М о роз о в с к и й В. Т., К вопросу об эквивалентировании reHe-
раторов автономных электрических систем при расчетах статической устой-
чивости, J1зв. АН СССР. Энерrетика и транспорт, 1964, Ng 2.
15. Т а r и р о в М. А., Устойчивость в малом сложных систем при на-
личии симметрии, Труды Сибирскоrо научн.-исслед. энерrетическоrо инсти-
тута, 1964, выл. 1 (20).
16. С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, ч. 11, rocTex-
издат, 1950.
17. Ж Д а н о в П. С., О статической устойчивости сложных электриче-
ских систем, Труды ВЭИ, вып. 40, tосэнерrоиздат, 1940.
18. r о р е в А. А., Введение в теорию устойчивости параллельной ра-
боты электрических станций, ч. 1, КУБУЧ, 1935.
156
19. К а з о в с к и й Е. я., Переходные процессы в электрических ма-
шинах переменноrо тока, ИЗД-ВО АН СССР, 1962.
20. В а ж н о в А. И., Основы теории перехо,цных процессов синхрон-
ной маIllИНЫ, rОС9нерrоиздат, 1960.
21. Е ж к о в В. В. и А. Н. I о в ь я н о в, Уточнение методики рас-
чета динамической устойчивости, Доклады четвертой межвузовской конфе-
ренции по применению физическоrо и математическоrо мо,целирования в раз-
личных отраслях техники, Сб. N2 4, МЭИ, 1962.
22. Р ю д е н б е р r Р., Переходные процессы в элеКТРИtJеских систе-
мах, Изд-во иностр. лит., 1955.
23. Л е в и н ш т е й н М. Л., Операционное исчисление и ero прило-
жения к задачам электротехники, «Энерrия», 1964.
24. Д е м и Д о в и ч В. П., М а р о к И. А., Ш у в а л о в а Э. З., Чис-
ленные методы анализа, Физматrиз, 1962.
25. О р у р к и. А., Расчет переходных режимов телеrрафной линии
по методу характеристик вещественноrо apryMeHTa, вып. 151, Сборник
ЛИИЖТ, 1956.
26. О Р у Р к И. А., Новые методы синтеза линейных и некоторых нели..
нейных динамических систем, «Наука», 1965.
27. М а р к о в А. А., Избранные труды, rостехиздат, 1948.
28. Д е м и Д о в и ч Б. П., М а р о н И. А., Основы вычислительной
математики, Физматrиз, 1960.
29. В е н т Ц е льЕ. С., Теория вероятностей, Физматrиз, 1962.
30. Большая Советская энциклопедия, 1953, т. 20, стр. 473.
31. У л ь я н о в С. А., Короткие замыкания в электрических системах,
rОС9нерrоиздат, 1952.
32. К а ч а н о в а А., Методика расчета на цифровых вычислительных
машинах собственных и взаимных сопротивлений сложных энерrосистем,
Сб. «Вопросы применения вычислительной техники в энертетических систе-
мах», Изд-во АН СССР, 1962.
33. Фаз ы л о в Х. Ф., Методы режимных расчетов электрических
систем, Изд-во «Наука» УзССР, 1964.
34. Л и т к е н с И. В., м а ч и н с к и й М. В., Упрощение исследова-
ния устойчивости сложных автоматически реrулируемых систем при внутри-
rрупповой симметрии, Доклады четвертой межвузовской конференции по при-
менению физическоrо и математическоrо моделирования в различных отрас-
лях техники, Сб. N2 4, МЭИ, 1962.
35. Ц У к е р н и к Л. В., Приведение к нормальной форме уравнений
возмущенноrо движения сложных систем при расчетах устойчивости, Сб.
«Вопросы применения вычислительной техники в энерrетических системах»,
Изд-во АН УССР, 1962.
36. Энциклопедия современной техники, Автоматика ПрОИЗВОJ.!ства и
промышленная электроника, т. 3, ПЗЛ. «Советская энuиклопе)!ия», 1963,
стр. 11.
оrпАВЛЕННЕ
Пред и сл о в и е ...........................
[лава первая. Характеристика процесса упрощения энерrосистем
1-1. В ведение .......................
1-2. Предварительные условия анализа . . . . . .
1. Структура сложных электрических систем . . . .
2. Три стадии упрощения сложных систем .
3. Основные допущения . .. ......
4. Исходные уравнения . . . . . . . . . .
5. Контрольные возмущения .
6. Критерии эквивалентности
3
5
r лава вторая. Линеаризация исходных уравнений и схемы замещения
2-1. Линеаризация «в малом» в области рабочеrо режима . . . .
2-2. Линеаризация в конечном диапазоне . . . . . . . . . . .
2-3. Учет демпфи рова ни я ..................
2-4. Замещение асинхронных двиrателей синхронными . . . . .
2-5. Применение второй теоремы разложения Хевисойда к преобр&-
зованию электрически х систем . . . . . . . . . . .
1. Основной анализ . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Лучевая схема с промежуточным узлом . . . . . . .
3. Реализация преобразования по теореме разложения . . .
9
12
14
15
17
18
20
25
30
33
44
fлава
третья. Основные методы и частные приемы эквивалентирования
3-1. Прямые функциональные методы и приемы эквивалентирова-
ни я .............. ........
3-2. Косвенные функциональные методы . . . . . .
1. Метод моментов ...........
2. Метод частных значений . . . . . . . . . . . 62
3. Операционный метод . . . . . . . . . . 63
3-3. Параметрическое эквивалентирование ........ 71
1. Приближенное (<<неканоническое») преобразование MHoro-
уrольных схем в лучевые . . . . . . . . . . . . 72
2. Эквивалентирование в пространстве параметров . . . 79
3-4. Эквивалентирование в пространстве функций . . . . . 94
1. Предварительные замечания и предпосылки . . . . .
2. Эквивалентирование в пространстве rлавных функций 96
3. Частотно-амплитудный метод .. !. . . . . . . . . . . 98
3-5. Особенности эквивалентирования наrрузочных совокупностей
и операции первой стадии эквивалентирования . . . . . . . 101
1. Учет пассивных наrрузок . . . . . . . . . . . . . . .
2. Концентрация наrрузок и друrие операции первой стадии
эквивалентирования ................. 113
52
54
56
61
3. Эквивалентирование наrрузочйых по,«станций, расположен-
ных на одной линии между ]!вумя rенерирующими узлами 115
3-6. Частичное эквивалентирование сложной электрической си-
стем ы ......................... 118
rлава четвертая. Некоторые специальные вопросы и завершающая ста-
дия упрощения систем .............. 127
4-1. Особые случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-2. Учет автоматических реrуляторов возбуждения и скоростных
реrуляторов первичных двиrателей . . . . . . 131
4-3. Учет влияния импульсных моментов . 137
4-4. Третья стадия эквивалентирования . . 142
1. Типовые схемы . . . . . . . . · · · . . . . . · . · ·
2. Определение параметров рабочеrо режима ]!ля конечноrо
эквивалента ................ . 144
3. Оценка точности эквивалента . . . . . . . . . 147
4. Определение параметров простейших эквивалентов . 149
3 а к л ю ч е н и е . . . . . . .. .... . 153
Литература .... . . . 156
LЦвдрuи Нинолаи Нинолаввич
УПРОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
М.-Л., издательство «Энерrия», 1966,
159 стр. с pl1C
Редактор Е. А. А л е к с е е в а
Техн. редактор О. С. ж и т н и к о в .
Корректор А. Л. П а в л о в а
Обложка Б. Н. С е r а л ь
Сдано в производство 11/1 1966 r.
Подписано к печати 6j1V-1966 r. М-16650.
Печ. л 10 Уч-изд. л. 9,2. Бум. л. 5.
Типоrрафская Н2 1, 60 Х 901/16. Тираж 3500.
Цена 66 коп. Заказ 151.
Ленинrрадская типоrрафия N2 4
rлавполиrрафпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР,
Социалистическая, 14.