ДЖ. БАРДИН, ДЖ. ШРИФФЕР
СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
ФИЗИКИ
НОВОЕ В ИЗУЧЕНИИ
СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Серия выпускается под общим руководством
редакционной коллегии журнала
«Успехи физических наук»
Перевод Н. И. ГИНЗБУРГ
Под редакцией
В. Л. ГИНЗБУРГА и Л. П. ГОРЬКОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962

RECENT DEVELOPMENTS
IN SUPERCONDUCTIVITY
by
J. BARDEEN and J. SCHRIEFFER
Department of Physics, University
of Illinois, Urbana, Illinois
(PROGRESS IN LOW TEMPERATURE PHYSICS,
VOLUME III, CAPTER VI)
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY,
AMSTERDAM 1961
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода 7
§ 1. Введение ...'.'.. ... 9
§ 2. Исторический обзор 15
§ 3. Основные положения теории Лондоиов и теории Пип-
парда 20
§ 4. Квантовая картина сверхпроводящего состояния (со-
(согласно Лондону) 24
§ 5. Элементарные возбуждения в нормальных металлах . 29
5.1. Квазичастичные возбуждения . 29
5.2. Экранирование и «противоток» 32
5.3. Взаимодействие между элементарными возбужде-
возбуждениями 35
§ 6. Электронно-фононное взаимодействие 37
§ 7. Элементарные возбуждения в сверхпроводниках ... 40
§ 8. Природа волновых функций сверхпроводников ... 44
8.1. Образование парных конфигураций 44
8.2. Волновая функция основного состояния 48
8.3. Спектр возбуждений 50
8.4. Связь с конденсацией Бозе — Эйнштейна .... 51
§ 9. Результаты для упрощенной модели 53
9.1. Интегральное уравнение 53
9.2. Кулоновское взаимодействие и эффекты, связан-
связанные с конечным временем жизни возбуждений 55
9.3. Спектр возбуждений 56
§ 10. Термодинамические свойства 61
§ 11. Вероятности перехода и эффекты когерентности ... 66
11.1. Теория 66
11.2. Затухание ультразвука 76
11.3. Релаксация ядерного спина 81
§ 12. Электромагнитные свойства 84
12.1. Теория ,,,,,,,,,, 84

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
12.2. Прохождение инфракрасного излучения через
тонкие пленки 97
12.3. Глубина проникновения 104
12.4. Поверхностный импеданс 112
§ 13. Коллективные возбуждения 120
§ 14. Двухжидкостная модель и незатухающий ток .... 135
14.1. Двухжидкостная модель 135
14.2. Критические токи в тонких пленках ...... 141
14.3. Теория Гинзбурга — Ландау 143
§ 15. Теплопроводность 146
15.1. Теплопроводность решетки 146
15.2. Электронная компонента 148
§ 16. Сверхпроводящие сплавы и соединения 153
§ 17. Заключение ; 159
Цитированная литература 163
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Явление сверхпроводимости было открыто 50 лет назад
(в 1911 г.), но его изучение по ряду причин происходило
сравнительно медленно. Достаточно сказать, что лишь
через 22 года было установлено такое фундаментальное свой-
свойство сверхпроводников, как их «идеальный диамагнетизм»
(эффект Мейсснера). Другой важнейший факт -— изотопи-
изотопический эффект в сверхпроводниках — был обнаружен
только в 1950 г. Между тем именно существование силь-
сильного изотопического эффекта указывает на то, что сверх-
сверхпроводимость обусловлена взаимодействием электронов
с колебаниями решетки. В этой связи представляется до-
довольно естественным, что до последних лет более или
менее успешно была развита лишь макроскопическая тео-
теория сверхпроводимости. Что же касается микроскопиче-
микроскопической теории, то в сколько-нибудь последовательной и
замкнутой форме ее не существовало вплоть до 1957 г.,
хотя в этой области и были ранее высказаны некоторые
важные идеи и предположения.
Создание микроскопической теории, являющееся одним
из выдающихся достижений теоретической физики, знаме-
знаменует начало нового этапа в изучении сверхпроводимости.
Для этого этапа характерен углубленный теоретический
анализ как самой проблемы, так и родственных вопросов,
а также появление большого числа интересных экспери-
экспериментальных исследований. Одновременно, хотя в известной
мере и по независимым причинам, сильно возрос интерес
к сверхпроводимости с точки зрения ее применений
в физике и технике.
В подобных условиях, очевидно, ощущается особенно
большая потребность в обзорах и монографиях, посвящен-
посвященных сверхпроводимости. Если не говорить о литературе,
рассчитанной преимущественно на физиков-теоретиков,

ПРЁДЙСЛбвИЁ РЁДАКТОРбВ ПЕРЕВОДА
то таких обзоров за последние годы появилось весьма
мало. Наиболее современным и лучшим из них нам
представляется предлагаемая вниманию читателей большая
статья Дж. Бардина и Дж. Шриффера, появившаяся
в 1961 г. в третьем томе «Успехов физики низких тем-
температур», выходящих в Голландии под редакцией К. Гор-
тера. Статья (или, скорее, небольшая монография)
Дж. Бардина и Дж. Шриффера рассчитана на довольно
широкие круги физиков, и в первую очередь на экспери-
экспериментаторов, работающих в области изучения сверхпрово-
сверхпроводимости. В соответствии с этим авторы, с одной стороны,
не используют сложный математический аппарат и боль-
большей частью приводят только результаты вычислений.
С другой стороны, проводится детальное сравнение тео-
теории с опытом, и в этом отношении книга представляет
несомненный интерес и для теоретиков. Нельзя также не
подчеркнуть, что авторы являются одними из создателей
современной теории сверхпроводимости и это обстоятель-
обстоятельство, естественно, положительным образом сказалось на
качестве статьи. Заметим также, что статья снабжена до-
довольно обширной библиографией новых работ, в том
числе советских.
Мы не можем вместе с тем не указать, что в отно-
отношении ряда вопросов придерживаемся несколько другой
точки зрения и предпочли бы другую форму изложения.
Представляется, однако, несомненным, что это Обстоя-
Обстоятельство не должно отражаться на переводе. Последний
поэтому выполнен без всяких сколько-нибудь существен-
существенных изменений текста, а замечания редакторов даются
в виде подстрочных примечаний и преимущественно со-
содержат ссылки на литературу (добавленная литература
отмечена звездочками).
В. Л. Гинзбург, Л. П. Горькое
Сентябрь 1961 г.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Явление сверхпроводимости вызывало большой интерес
с самого момента его открытия Камерлинг Оннесом
в 1911 г.1). Несмотря на большое количество экспери-
экспериментальных и теоретических работ, посвященных сверх-
сверхпроводимости, все попытки построения адекватной микро-
микроскопической теории до последнего времени не приводили
к успеху. За последние несколько лет, однако, достигнуты
большие успехи как в области эксперимента, так и в об-
области теории. В результате большинство существующих
экспериментальных данных можно объяснить, основы-
основываясь на теории, предложенной Л. Купером и авторами.
В настоящей монографии мы надеемся с наибольшей воз-
возможной ясностью изложить физические основы и содер-
содержание новой теории, а также остановиться на результатах
последних экспериментальных работ, подтверждающих
большинство ее предсказаний.
Замечательные свойства сверхпроводников (так же как
сверхтекучесть жидкого гелия) являются проявлением
квантовых эффектов в макроскопическом масштабе. Ф. Лон-
Лондон [10] (см. также [1]) указал общее направление, на
котором могло быть найдено объяснение сверхпроводи-
сверхпроводимости; предлагаемая теория находится в согласии с его
идеями. Сверхпроводящее состояние представляет собой
основное (невырожденное) квантовое состояние всего
сверхпроводящего образца, причем это состояние не раз-
разрушается локальными тепловыми возбуждениями. В основе
современной теории лежит учет эффективного притяжения
между электронами, возникающего в результате электрон-
но-фононного взаимодействия (§ 6). На это было указано
') См., например, обзоры теоретических [1—7J и экспери-
экспериментальных работ [8, 9].

ПРЁДЙСЛбВЙЁ РЁДАКТОРбВ ПЕРЕВОДА
то таких обзоров за последние годы появилось весьма
мало. Наиболее современным и лучшим из них нам
представляется предлагаемая вниманию читателей большая
статья Дж. Бардина и Дж. Шриффера, появившаяся
в 1961 г. в третьем томе «Успехов физики низких тем-
температур», выходящих в Голландии под редакцией К. Гор-
тера. Статья (или, скорее, небольшая монография)
Дж. Бардина и Дж. Шриффера рассчитана на довольно
широкие круги физиков, и в первую очередь на экспери-
экспериментаторов, работающих в области изучения сверхпрово-
сверхпроводимости. В соответствии с этим авторы, с одной стороны,
не используют сложный математический аппарат и боль-
большей частью приводят только результаты вычислений.
С другой стороны, проводится детальное сравнение тео-
теории с опытом, и в этом отношении книга представляет
несомненный интерес и для теоретиков. Нельзя также не
подчеркнуть, что авторы являются одними из создателей
современной теории сверхпроводимости и это обстоятель-
обстоятельство, естественно, положительным образом сказалось на
качестве статьи. Заметим также, что статья снабжена до-
довольно обширной библиографией новых работ, в том
числе советских.
Мы не можем вместе с тем не указать, что в отно-
отношении ряда вопросов придерживаемся несколько другой
точки зрения и предпочли бы другую форму изложения.
Представляется, однако, несомненным, что это обстоя-
обстоятельство не должно отражаться на переводе. Последний
поэтому выполнен без всяких сколько-нибудь существен-
существенных изменений текста, а замечания редакторов даются
в виде подстрочных примечаний и преимущественно со-
содержат ссылки на литературу (добавленная литература
отмечена звездочками).
В. Л. Гинзбург, Л- П. Горькое
Сентябрь 1961 г.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Явление сверхпроводимости вызывало большой интерес
с самого момента его открытия Камерлинг Оннесом
в 1911 г.1). Несмотря на большое количество экспери-
экспериментальных и теоретических работ, посвященных сверх-
сверхпроводимости, все попытки построения адекватной микро-
микроскопической теории до последнего времени не приводили
к успеху. За последние несколько лет, однако, достигнуты
большие успехи как в области эксперимента, так и в об-
области теории. В результате большинство существующих
экспериментальных данных можно объяснить, основы-
основываясь на теории, предложенной Л. Купером и авторами.
В настоящей монографии мы надеемся с наибольшей воз-
возможной ясностью изложить физические основы и содер-
содержание новой теории, а также остановиться на результатах
последних экспериментальных работ, подтверждающих
большинство ее предсказаний.
Замечательные свойства сверхпроводников (так же как
сверхтекучесть жидкого гелия) являются проявлением
квантовых эффектов в макроскопическом масштабе. Ф. Лон-
Лондон [10] (см. также [1]) указал общее направление, на
котором могло быть найдено объяснение сверхпроводи-
сверхпроводимости; предлагаемая теория находится в согласии с его
идеями. Сверхпроводящее состояние представляет собой
основное (невырожденное) квантовое состояние всего
сверхпроводящего образца, причем это состояние не раз-
разрушается локальными тепловыми возбуждениями. В основе
современной теории лежит учет эффективного притяжения
между электронами, возникающего в результате электрон-
но-фононного взаимодействия (§ 6). На это было указано
') См., например, обзоры теоретических [1—7] и экспери-
экспериментальных работ [8, 9].

10
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Фрёлихом A950). Волновая функция основного сверхпро-
сверхпроводящего состояния представляется в виде линейной ком-
комбинации конфигураций «нормального типа», т. е. относя-
относящихся к металлу в нормальном (несверхпроводящем)
состоянии. В этих конфигурациях индивидуальные элек-
электронные состояния заполнены парами электронов с про-
противоположными спинами и импульсами. Такая волновая
функция устанавливает корреляцию между электронами
с противоположными спинами на большом расстоянии
в реальном, пространстве, что отвечает учету притяжения.
В первоначальной короткой заметке [11] Купер и
авторы вычислили для упрощенной модели разность энер-
энергий между нормальной и сверхпроводящей фазами при
Г=0°К и показали, что для возбуждения электронов из
основного сверхпроводящего состояния необходимо пре-
преодолеть энергетическую щель. В подробной работе [12]
был найден спектр элементарных возбуждений при отлич-
отличной от нуля температуре. Этот спектр был использован
для вычисления тепловых и электромагнитных свойств
в постоянном и низкочастотном поле. Было показано, что
из теории следует фазовый переход второго рода, про-
происходящий при критической температуре; теория объясняет
эффект Мейсснера и существование незатухающего тока.
В статье [12] были вычислены матричные элементы, не-
необходимые для рассмотрения поглощения ультразвуковых
и электромагнитных волн, а также нахождения времен
релаксации ядерного спина.
Анализ математической структуры теории проводился
рядом авторов. Боголюбов с сотрудниками [13—21] и
Валатин [22] предложили альтернативную формулировку
теории, часто более удобную для вычислений и приводя-
приводящую к результатам, в общем находящимся в согласии
с первоначальной трактовкой.
Благодаря работам Андерсона [23, 24], Боголюбова
с сотрудниками [13—21], Намбу [25], Рикайзена [26],
Пайнса и Шриффера [27] была выяснена роль коллектив-
коллективных возбуждений электронов, а также решен вопрос
о градиентной инвариантности при вычислениях эффекта
Мейсснера. Нерешенным до конца остается вопрос о роли
кулоновского взаимодействия между электронами с точки
зрения существования сверхпроводимости, а также вопрос
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
11
об установлении надежного критерия, позволяющего отли-
отличать металлы — сверхпроводники от несверхпроводников.
В дальнейшем на основе предлагаемой теории был
рассмотрен ряд вопросов: электродинамика в случае полей
произвольной частоты, теплопроводность, учет влияния
примесей (включая парамагнитные примеси), критические
токи и поля для маленьких образцов, сдвиг Найта и спи-
спиновый парамагнетизм, проблема границы между нормаль-
нормальной и сверхпроводящей областями. В решение вышеука-
вышеуказанных проблем внесли вклад несколько авторов. Не-
Несмотря на то, что большинство вычислений было основано
на очень простой модели, почти все теоретические резуль-
результаты удивительно хорошо согласуются с экспериментом.
Наиболее непосредственное доказательство существо-
существования энергетический щели для возбуждений квазичастиц
дано, видимо, в работах Тинкхама и его сотрудников
[28—31], которые изучали отражение и прохождение
электромагнитных волн в далекой инфракрасной области
спектра.. При очень низких температурах поглощения
энергии не происходит до тех пор, пока энергия кванта
падающего излучения не превысит величину щели, после
чего поглощение быстро возрастает до его значения
в нормальном металле. Микроволновые измерения поверх-
поверхностного импеданса, в частности, недавние измерения
Бьонди и Гарфункеля [32], также определенно указывают
на существование щели, которая уменьшается от макси-
максимума при Г=0°К ДО нуля при температуре перехода ТС,
как это и предсказывалось теорией.
Ярким теоретическим результатом, подтвержденным
экспериментально, является предсказание сильного влия-
влияния когерентных свойств сверхпроводящей волновой функ-
функции на вероятность перехода системы под действием
внешнего поля. Электроны с противоположными спином
и импульсом поглощают когерентно. В зависимости от
конкретного явления поглощение либо возрастает, либо
становится меньше по сравнению с нормальным металлом.
Например, при обычном взаимодействии (типа взаимо-
взаимодействия, существенного для затухания ультразвуковых
волн) поглощение в результате интерференции сильно
уменьшается. В этом случае коэффициент поглощения
быстро падает с понижением температуры ниже Тс.

12
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Недавние измерения Морзе и др. [33—35] находятся в пре-
прекрасном согласии с теорией. Одновременно с разработ-
разработкой теории Гебель и Шлихтер [36, 37] провели первые
измерения времени релаксации ядерного спина в сверх-
сверхпроводящем алюминии. Они нашли неожиданно, что с по-
понижением температуры ниже Тс скорость релаксации
увеличивается более чем вдвое по сравнению с нормаль-
нормальным состоянием. Этот результат указывает на наличие
более сильного взаимодействия между электронами и
ядерными спинами в сверхпроводящем состоянии по срав-
сравнению с нормальным состоянием. В данном случае эффект
когерентности приводит к увеличению матричного эле-
элемента. Вместе с тем увеличение скорости релаксации по
сравнению с ее значением в нормальном металле связано
с существенным повышением плотности состояний в сверх-
сверхпроводнике сразу над энергетической щелью. Результаты
аналогичных, но более поздних измерений, проведенных
Редфилдом [38, 39] *) с большей точностью и в более
широком интервале температур, находятся в хорошем
согласии с предсказаниями теории. Когерентность приво-
приводит также к изменению поглощения электромагнитных
волн. Величина, соответствующая в двухжидкостной модели
электропроводности нормальной компоненты (жидкости),
при не слишком высоких частотах может быть больше,
чем в нормальном состоянии вблизи Тс. Такой когерент-
когерентный эффект подкрепляет концепцию спаренных электрон-
электронных состояний, на котором базируется теория.
Возродился интерес к измерениям теплопроводности.
Ранние работы указывали на существенную разницу между
свойствами свинца и ртути, в которых рассеяние электро-
электронов происходит в основном на колебаниях решетки, и
свойствами остальных сверхпроводников, в которых доми-
доминирует рассеяние на примесях. Существующая теория до-
достаточно хорошо согласуется с опытом в случае рассея-
рассеяния на примесях, но не может объяснить быстрого паде-
') Масуда и Редфилд [40] изучали вопрос о влиянии при-
примесей и размера частиц на время релаксации. Примеси не ока-
оказывают сильного влияния, а для коллоидных частиц с размерами
от 200 до 700 А обнаружено заметное уменьшение времени
релаксации.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
13
ния теплопроводности при температурах ниже Тс,
наблюдаемого для РЬ и Hg. Эти элементы с низкими
температурами Дебая отличаются от большинства сверх-
сверхпроводников и в других отношениях, например по зави-
зависимости их электронной теплоемкости от температуры.
Важно установить, является ли быстрое падение тепло-
теплопроводности свойством, присущим только РЬ и Hg, или же
оно будет наблюдаться и в других достаточно чистых
сверхпроводниках, когда доминирующую роль играет
рассеяние на фононах. Результаты недавних измерений
Генаулта [41], проведенных на очень чистом олове, хотя
и указывают на более быстрое падение теплопровод-
теплопроводности вблизи Тс, чем в случае рассеяния на примесях,
все же не находятся в соответствии с данными для РЬ
и Hg, согласно которым теплопроводность уменьшается
значительно быстрее.
Измерения ядерного магнитного резонанса, проведен-
проведенные Эндросом и Найтом [42] на тонких сверхпроводящих
пленках, подтвердили ранние данные Райфа [43], полу-
полученные на коллоидной ртути. Эти результаты указывают
на существование сдвига частоты, связанного с электрон-
электронным спиновым парамагнетизмом, который, по-видимому,
имеет место вплоть до 7'=0оК- Сдвиг вблизи 7ч=0°К
равен примерно 70% сдвига в нормальном состоянии.
Проблема найтовского сдвига в сверхпроводниках остается
неясной до сих пор, подробней она будет обсуждаться
в § 13.
В силу существования эффекта Мейсснера долгое
время считали, что сверхпроводимость и ферромагнетизм
несовместимы *). В высшей степени примечательны поэтому
недавние эксперименты Маттиаса и др., обнаруживших
сосуществование этих двух явлений в одних и тех же об-
образцах— сплавах редкоземельных элементов, ферромагне-
ферромагнетизм которых обусловлен /-электронами. При некото-
некоторых составах сплава его температура Кюри может ока-
оказаться выше температуры сверхпроводящего перехода Тс.
При охлаждении ниже Тс одновременно наблюдаются
остаточная намагниченность и характерные для сверхпро-
') См. статьи [237*, 238*], в которых рассмотрены условия
существования ферромагнитных сверхпроводников.—Прим. ред.

14
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
водимости диамагнитные свойства; некоторые из этих
работ обсуждаются в § 16.
Современная теория развивается в большинстве слу-
случаев в применении к упрощенной модели, в которой фи-
фигурируют в основном три параметра: 1) N(EF) — нор-
нормальная плотность энергетических состояний у поверх-
t-1
дк
ср
— средняя скорость элек-
ности Ферми, 2) vo =
тронов в нормальном состояний у поверхности Ферми и
3) параметр, который зависит от эффективного взаимо-
взаимодействия между электронами, приводящего к сверхпро-
сверхпроводимости, и который определяет щель при Г=0°К и
критическую температуру Тс. Только последний параметр
зависит от свойств сверхпроводящего состояния. При срав-
сравнении теории с опытом для данного металла все три
указанных параметра находятся эмпирически. Плотность
состояний N{EF) получается из константы нормальной
электронной теплоемкости -у, определяемой с помощью
соотношения cv=-\T. Произведение N(EF)vQ может быть
найдено из измерений поверхностного сопротивления нор-
нормального металла в условиях аномального скин-эффекта 1).
Третий параметр определяется обычно из Тс или исклю-
исключается путем использования приведенной температурной
шкалы t=T/Tc. Что касается матричных элементов для
вероятностей перехода в нормальном состоянии, то при
вычислении отношения поглощения в сверхпроводящем и
нормальном состояниях они обычно не требуются.
Полученные таким образом теоретические результаты
обычно удивительно хорошо согласуются с эксперимен-
экспериментом. Это указывает на то, что для сверхпроводников
приближенно выполняется закон соответственных состоя-
состояний. Имеются, конечно, существенные отклонения от этого
закона, что и не удивительно в связи со сложностью
зонной структуры сверхпроводящих металлов. Расхожде-
Расхождение теории с опытом наиболее значительно для металлов
') В теории [И, 12] не учитывается анизотропия металла.
Поэтому значения указанных в тексте трех параметров будут,
вообще говоря, зависеть от способа их экспериментального
определения. Использование данных по аномальному скин-эф-
скин-эффекту, например для AI, не дает хороших результатов
(см. [201]). — Прим. ред.
§ 2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
15
с низкой дебаевской температурой, особенно для свинца
и ртути. Возможно, что для этих элементов необходимо
дальнейшее обобщение теории.
Желательно было бы получить выражение для эффек-
эффективного взаимодействия, а также другие параметры на
основе точного гамильтониана системы. Это необходимо
для установления надежного критерия, с помощью кото-
которого можно отличать сверхпроводящие металлы от несверх-
несверхпроводящих, а также определять критические температуры.
Успех в решении этих важных вопросов пока еще невелик.
Возникающие здесь трудности частично связаны со сложно-
сложностью электронной структуры реальных металлов. С учетом
кулоновского взаимодействия трудны вычисления даже для
идеального металла, и несмотря на большую работу, про-
проделанную в этом направлении, проблема еще не решена.
Много вычислений было проведено с гамильтонианами,
включающими только электронно-фононное взаимодействие
и не учитывающими непосредственное кулоновское взаимо-
взаимодействие между электронами. Такая модель, представляю-
представляющая несомненный интерес с математической точки зре-
зрения, обладает свойствами, качественно отличными от
свойств реальных металлов. Наиболее важное отличие
состоит в том, что в этой модели появляются низколе-
жащие коллективные возбуждения, соответствующие про-
продольным флуктуациям плотности электронного газа.
В реальных же металлах с кулоновским взаимодействием
такие флуктуации отвечают плазменным колебаниям
с очень высокой частотой.
§ 2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Укажем наиболее важные вехи на пути, приведшем
к пониманию сверхпроводимости.
1) Камерлинг Оннес A911) [44] обнаружил бесконечную
проводимость, получив в металлическом кольце незату-
незатухающий ток; вместе с сотрудниками он установил суще-
существование критического магнитного поля, выше которого
сверхпроводимость разрушалась.
2) Кеезом, Ван ден-Энде, Кок [45, 46] A932) и др.
показали, что в отсутствие магнитного поля при тем-
температуре перехода имеет место скачок электронной

16
§ 2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
теплоемкости, характерный для фазового перехода вто-
второго рода.
3) Мейсснер и Оксенфельд [47] A933) обнаружили,
что наряду с идеальной проводимостью сверхпроводник
обладает идеальным диамагнетизмом. Магнитное поле
в толще массивного образца исчезает даже при его
охлаждении ниже температуры перехода в присутствии
магнитного поля. Диамагнитный ток, текущий в тонком
слое вблизи поверхности односвязного тела и экранирую-
экранирующий толщу образца от внешнего поля, является стабиль-
стабильным, а не метастабильным.
4) Кеезом [48] A924), Рутгерс [49] A933) и особенно
Гортер [50] A933) провели термодинамическое рассмот-
рассмотрение сверхпроводящего перехода и получили связь
между электронной теплоемкостью и критическим полем.
5) Гортер и Казимир [51] A934) с помощью двухжид-
костной модели феноменологически описали переход вто-
второго рода и ряд других свойств сверхпроводников.
6) Ф. Лондон и Г. Лондон [52] A935) развили феноме-
феноменологическую теорию электродинамических свойств, в ос-
основу которой положен диамагнетизм сверхпроводников.
Было предсказано, что глубина проникновения должна быть
порядка 10~6 см.
7) Ф. Лондон [10] A935) указал, что диамагнитные
свойства могут быть объяснены квантовомеханически, если
предположить «жесткость» волновой функции электронов
в сверхпроводящем состоянии. Под «жесткостью» имеется
в виду свойство волновой функции слабо изменяться под
влиянием внешнего магнитного поля.
8) Изучение магнитных свойств тонких свинцовых про-
проволочек Понтиусом [53, 54] A937), коллоидной ртути Шен-
Шенбергом [55] A940) и более поздние работы с тонкими
пленками и проволочками (см., например, Локк [56] A949))
качественно подтвердили предсказания теории Лондонов и
показали, что и глубина проникновения X сильно зависит
от температуры. Лаурман и Шенберг [57] A949) с помо-
помощью метода, предложенного Казимиром [58] A940), опре-
определили температурную зависимость глубины проникновения
для массивного олова и ртути. Их результаты согласуются
с полуэмпирическим законом Х=Хо[1—(Т/ТсL] , полу-
полученным из двухжидкостной модели Гортера — Казимира.
§ 2. исторический обзор
17
9) Ландау [59] A937) предсказал структуру промежу-
промежуточного состояния, которая была экспериментально под-
подтверждена Шальниковым, Мешковским и др. [60].
10) Г. Лондон [61] A940) измерял поверхностное сопро-
сопротивление Rs на микроволновых частотах (^~> 109 гц) и по-
показал, что при критической температуре значение Rs не
претерпевает разрыва, а быстро убывает при понижении
температуры ниже Тс, приближаясь к нулю с Г^>0°К-
Этот метод позже был развит и широко применялся Пип-
пардом и др. Пиппард (см. [62] и последующие работы,
а также обзор [63]) A947) показал, что из данных о реак-
реактивной части поверхностного импеданса можно получить
сведения о глубине проникновения поля в сверхпроводник.
11) Гинзбург и Ландау [64] A950) обобщили фено-
феноменологическую теорию Лондонов. Это позволило вычи-
вычислить поверхностную энергию на границе между нормаль-
нормальной и сверхпроводящей фазами, а также рассмотреть ряд
других вопросов.
12) Максвелл [65], а также Рейнольде и др. [66] A950)
обнаружили существование изотопического эффекта ,с
—¦> М , что явилось несомненным свидетельством связи
сверхпроводимости с взаимодействием между электронами
и колебаниями решетки (фононами).
13) В 1950 г. Фрелих [67] независимо развил теорию,
основанную на рассмотрении электронно-фононного вза-
взаимодействия. Теория указывала на существование изотопи-
изотопического эффекта, но не могла объяснить других свойств
сверхпроводников. Аналогичная попытка построения тео-
теории, предпринятая одним из авторов [68], также встрети-
встретилась с затруднениями.
14) Пиппард [69] A953) ввел в рассмотрение «длину
когерентности» и нелокальным образом видоизменил уравне-
уравнения Лондонов для объяснения результатов некоторых экспе-
экспериментов по определению глубины проникновения. Один из
авторов [70] (см. также [3]) A955) показал, что нелокаль-
нелокальная связь Пиппарда особенно естественно появляется в мо-
моделях с энергетической щелью.
15) Начиная с 1953 г. и по настоящее время получен
ряд экспериментальных доказательств (см. обзор [71]) су-
существования энергетической щели для возбуждения элек-
электронов из основного сверхпроводящего состояния. Эти
2 Зчк. 140, Дж. Бардин, Дж. Шриффер

18
§ 2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
доказательства будут обсуждены ниже более подробно.
Предположения о существовании такой щели неоднократно
высказывались ранее из теоретических соображений.
16) Маттиас [72] исследовал сверхпроводящие свойства
большого числа сплавов, соединений и твердых растворов.
Им были получены эмпирические правила для существова-
существования сверхпроводимости, учитывающие такие факторы, как
атомный объем, массу и число валентных электронов на
атом.
17) Купер [73] A956) показал, что основное состояние
ферми-газа (фермиевский фон) при любом сколь угодно ма-
малом взаимодействии, отвечающем притяжению, неустойчиво
по отношению к образованию связанных пар.
В течение многих лет считали, что сверхпроводящее со-
состояние в первую очередь характеризуется бесконечной про-
проводимостью. В этой связи в области теории основные уси-
усилия были направлены на объяснение равенства нулю сопро-
сопротивления. При отсутствии сопротивления (т. е. для беско-
бесконечной проводимости) из уравнений Максвелла вытекает,
что магнитное поле в толще массивного сверхпроводника
не может изменяться с изменением внешнего магнитного
поля. Отсюда следует', что распределение поля внутри
образца совпадает с распределением поля, существующим
при переходе из нормального в сверхпроводящее состоя-
состояние. Важным вкладом в понимание сверхпроводимости
было неожиданное открытие Мейсснера и Оксенфельда,
которые обнаружили, что магнитная индукция внутри мас-
массивного сверхпроводника всегда равна нулю. Только после
этого стало очевидным, что сверхпроводящее состояние
в первую очередь характеризуется идеальным диамагне-
диамагнетизмом и многие свойства, ранее связываемые с бесконеч-
бесконечной проводимостью, являются фактически следствием маг-
магнитных свойств системы.
В односвязном теле сверхпроводящие токи обусловлены
и однозначно определяются магнитным полем. Таким обра-
образом, вопрос сводится к объяснению идеально-диамагнитных
свойств сверхпроводника. Кроме того, остается нерешенной
проблема объяснения существования метастабильного тока
в сверхпроводящем кольце. В этом случае ток и маг-
магнитное поле должны определяться самосогласованным
образом.
§ 2. исторический обзор
19
Эффект Мейсснера означает, что при заданных усло-
условиях— температуре, давлении и внешнем магнитном поле—-
существует одно-единственное состояние односвязного
сверхпроводника. Таким образом, переход из сверхпро-
сверхпроводящего состояния в нормальное является обратимым,
и систему можно рассматривать термодинамически. Из тер-
термодинамики следует, что разность плотностей свободной
энергии Гиббса (т. е. термодинамического потенциала. —
Ред.) между двумя состояниями массивного тела в нулевом
магнитном поле равна:
Здесь Нс — критическое поле, разрушающее сверхпрово-
сверхпроводимость при данных давлении и температуре. Таким обра-
образом, критическое поле полностью определяется термодина-
термодинамически и может быть вычислено на основе измерений
электронной теплоемкости в отсутствие магнитного поля.
И наоборот, из измерений критического поля можно вы-
вычислить электронную теплоемкость. Этот метод особенно
удобен для исследования металлов типа свинца, обладаю-
обладающих низкой температурой Дебая, так как в этом случае
трудно отделить вклады в удельную теплоемкость, вноси-
вносимые решеткой и электронами.
Изотопический эффект наблюдался уже для целого
ряда элементов (табл. I). Все результаты измерений согла-
согласуются с соотношением ТсМа = const, где а очень близко
Таблица I
Значение степени а в законе Тс ^-> М~а для
различных элементов
Свинец .
Ртуть
0,478
0,504
Олово
Таллий
0,505
0,49
к 0,5. Ранние измерения дали для свинца значения а,
значительно превышающие величину 0,5. Однако после
целого ряда тщательных экспериментов, проведенных Хей-
ком, Мапотером и Деккером [74], получено значение
а = 0,48 ±0,01 (см. табл. I). Закон TeM4i = const очень
существен с точки зрения развития теории.
2*

20
§ 3. ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ И ТЕОРИЯ ПИППАРДА
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЛОНДОНОВ
И ТЕОРИИ ПИППАРДА
Беккер, Геллер и Заутер вывели электродинамические
уравнения для металла, в котором электроны проводимости
не встречают сопротивления. Ф. Лондон и Г. Лондон видо-
видоизменили эти уравнения, чтобы выделить из них класс реше-
решений, дающих однозначный результат для односвязного тела
во внешнем магнитном поле. Для случая бесконечной про-
проводимости, когда электроны ускоряются свободно, уравне-
уравнение, связывающее плотность тока js с магнитным полем Н,
имеет вид:
du dH
C.1)
Постулируя, что константа, возникающая при интегрирова-
интегрировании по времени, всегда равна нулю, Ф. и Г. Лондоны полу-
получили единственное решение этого уравнения в виде:
— Acrotis=n.
C.2)
Другими словами, если Н выражается через вектор-потен-
вектор-потенциал А таким образом, что div А = 0 и на поверхности
А, =0, то ":r-z::r-.:.: r, ,/.. ., г
Л^ = А. C.3)
Для газа свободных электронов Л = т/пе2, где п — кон-
концентрация электронов. В более общем виде:
Закон проникновения поля внутрь образца с плоской по-
поверхностью можно получить с помощью уравнения Лон-
донов C.2) и уравнения Максвелла с rot Н = 4uj. Если
поверхность образца совпадает с плоскостью z = 0,
а Ну {z) — напряженность магнитного поля, направленного
параллельно поверхности, то соответствующее решение
имеет вид:
//уСг) = //у@)в-*А. C.4)
Здесь X = 1/\Л.с2/4и — глубина проникновения. Подставляя
§ 3. ТЕОРИЯ ЛбНДбнбВ И ТЕОРИЯ ПИППАРДА
21
значение Л для газа свободных электронов, получаем
X = К/гес2/4тслв2. Эта величина для обычных плотностей
электронов в сверхпроводниках имеет порядок 10~6 см.
Экспериментальные значения X обычно порядка 5 • 10~6см,
т. е. в несколько раз больше лондоновской вели-
величины.
Пиппард [69], используя аналогию с теорией аномаль-
аномального скин-эффекта в нормальных металлах, предложил
нелокальную модификацию уравнения Лондонов. В случае
аномального скин-эффекта искомой величиной является
плотность нормального тока \п в условиях, когда изме-
изменение напряженности поля $ происходит на средней длине
свободного пробега.
Выражение, • полученное Чемберсом [75] и эквивалент-
эквивалентное полученному ранее Рейтером и Зондхеймером, может
быть записано в виде:
2тс
)vQ r
J
R*
C.5)
Здесь R = r — г' и Z — средняя длина свободного про-
пробега. В предельном аномальном случае, когда глубина
скин-слоя мала по сравнению с /, плотность тока, а сле-
следовательно, и поверхностное сопротивление Rs не зависят
от /. Этот случай имеет место в микроволновых полях
высокой частоты, если рассеяние на примесях не делает
величину / слишком малой. Фабер и Пиппард [76] пока-
показали, что из измеренных значений Rs можно получить
эмпирические значения параметра N(EF)v0. Зная этот па-
параметр, а также значение N(EF), полученное из резуль-
результатов измерений электронной теплоемкости, можно опре-
определить среднюю скорость электронов у поверхности
Ферми vQ.
На основе эмпирических данных Пиппард предположил,
что плотность тока в данной точке сверхпроводника не
является величиной, пропорциональной вектор-потенциа-
вектор-потенциалу А в этой точке, а определяется интегралом от А по
некоторой области вокруг рассматриваемой точки. Выра-
Выражение для плотности тока Пиппард предложил записать в

22 § 3. ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ И ТЕОРИЯ ПИППАРДА
форме, аналогичной C.5), а именно
J
C.6)
Здесь R = r — г' и опять divA = 0. Если А медленно
меняется, то выражение C.6) переходит в уравнение Лон-
Лондонов C.3). Вновь введенный параметр — длина когерент-
когерентности ?0 — по порядку величины равен 10~ см. Такой
порядок величины для длины когерентности в сверхпро-
сверхпроводнике Пиппард [77] установил на основании нижесле-
нижеследующих соображений !):
1) Резкость фазового перехода в нулевом магнитном
поле (Дойдж [78], измеряя сопротивление, получил ширину
перехода меньше 0,002° С) заставляет предположить, что
большое число электронов действует когерентно, снижая
тем самым локальные флуктуации, существенные обычно
шблизи Х-точки. ^ _<. . ¦ ¦ -
2) Пусть сверхпроводящая фаза характеризуется неко-
некоторым «параметром упорядочения». Можно ожидать, что
в больших магнитных полях этот параметр должен изме-
изменяться таким образом, чтобы обеспечить большее про-
проникновение поля и таким образом снизить свободную
энергию. Однако эксперименты показывают, что глубина
проникновения очень мало зависит от поля вплоть до его
критической величины. Это означает, что изменение «пара-
«параметра упорядочения» не ограничивается областью проник-
проникновения поля, а должно захватывать область до глубин
порядка 10 4 см.
3) Ряд экспериментов указывает на существование
большой поверхностной энергии а^ на границе между
') Сделанный Пиппардом вывод о нелокальной связи ^между
током и полем в сверхпроводниках оказался в большой мере
справедливым и плодотворным. В то же время некоторые из
приводимых в тексте аргументов не могут считаться непосред-
непосредственно связанными с вопросом о нелокальности. Достаточно
указать, что уже теория локального типа (см. [64] н § 14.3)
приводит к большой поверхностной энергии ans и длине
д ~ 10~4 см.— Прим. ред.
§ 3. ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ И ТЕОРИЯ ПИППАРДА
23
нормальной и сверхпроводящей фазами в промежуточном
состоянии. Если эту энергию выразить в форме A#j!/8ir,
то из наблюдаемого значения а^ вытекает Д^-^Ю см.
Как естественно предположить, такое большое значение а^
связано с тем, что переходный слой между нормальной и
сверхпроводящей фазами имеет ширину Д.
4) Еще одним доказательством, подтверждающим нело-
нелокальную теорию, служат эксперименты Пиппарда, который
наблюдал сильное увеличение глубины проникновения X
в олове, содержащем в качестве примеси 3% индия.
Такая небольшая присадка индия не оказывает заметного
влияния на температуру перехода и не сильно влияет на
плотность электронов.
Таким образом, по теории Лондонов в данном случае
можно ожидать лишь очень малого изменения X. Эф-
Эффект увеличения X может быть, однако, связан с влия-
влиянием множителя ехр(—R/1), входящего в ядро урав-
уравнения C.6) нелокальной теории. Дойдж [78] предполо-
предположил, что наблюдавшееся им снижение поверхностной
энергии а,^ с увеличением концентрации примесей также
связано с уменьшением длины когерентности в силу рас-
рассеяния на примесях.
На основании вышеприведенных соображений Пиппард
пришел к выводу, что сверхпроводящее состояние харак-
характеризуется некоторой «когерентностью», причем соответ-
соответствующий радиус действия велик. Поэтому в чистых
металлах существенные изменения электронного состояния
не могут происходить на расстояниях, меньших примерно
10 смл). В этой связи Пиппард предположил, что нело-
нелокальный характер уравнений есть результат слабого изме-
изменения волновой функции сверхпроводящих электронов под
влиянием магнитного поля. При этом возмущение, связан-
связанное с векторным потенциалом в данной точке, охватывает
область размером — ?0.
Согласно нелокальной теории закон проникновения
поля H(z) внутрь сверхпроводника уже не экспоненциаль-
экспоненциальный, как в теории Лондонов, а имеет более сложную
') Мейсснер [79] показал, что упорядочение, характерное
для сверхпроводящего состояния, может распространяться н на
барьер (прослойку) из нормального металла (см. также [239*]).

24 § 4. КВАНТОВАЯ КАРТИНА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СОСТОЯНИЯ
форму; на больших глубинах направление поля изменяется
на обратное. В большинстве экспериментов измеряется
только полный поток магнитного поля. Глубина проник-
проникновения X определяется соотношением:
J
C.7)
= J H(z)dz.
о
Современная теория связывает js и А нелокальным
образом аналогично тому, как это предложено Пиппардом.
В § 12 предсказания теории сравниваются с эксперимен-
экспериментальными результатами. Там же перечислены соображения
в пользу того, что любая разумная модель сверхпровод-
сверхпроводника с энергетической щелью будет приводить к теории
нелокального типа.
§ 4. КВАНТОВАЯ КАРТИНА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО
СОСТОЯНИЯ (СОГЛАСНО ЛОНДОНУ)
Предполагая, что токи, удовлетворяющие уравнению
C.2), имеют диамагнитную природу, Ф. Лондон показал,
как уравнение такого типа может быть получено на основе
квантовомеханического рассмотрения. Существенная роль
квантовой теории следует из известной теоремы Бора и
ван Левена [80, 81], согласно которой классическая система
не может обладать диамагнетизмом. Сверхпроводимость
отвечает идеальному диамагнетизму, при котором внутри
массивного образца поле равно нулю. Согласно Лон-
Лондону [1] в изолированном сверхпроводнике, находящемся
в тепловом равновесии, в отсутствие магнитного поля нет
незатухающего тока; в присутствии поля ток появляется,
и его значение определяется величиной и направлением
внешнего магнитного поля. Незатухающий ток в кольце
является, конечно, метастабильным, а не стабильным.
При изменении внешнего поля поток через кольцо сохра-
сохраняется.
Для объяснения метастабильности токов в многосвязных
телах ограничиться концепцией идеального диамагнетизма
уже нельзя.
Какая квантовомеханическая система может обладать
большим диамагнетизмом? Хорошо известно, что для
§ 4. КВАНТОВАЯ КАРТИНА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СОСТОЯНИЯ 25
атомных или молекулярных систем выражение для магнит-
магнитной восприимчивости имеет вид:
Ne2
6/гес2
D.1)
Здесь N—число частиц в 1 см3 и г? — среднее значение
квадрата радиуса орбиты электронов. При плотностях
электронов, типичных для твердых тел, и при типичных атом-
атомных радиусах порядка 10~ ел получаем | ^ | ^—' 10 6—10~7*
как это и наблюдается для нормальных металлов и изо-
изоляторов. При выводе формулы D.1) предполагается, что
волновые функции под влиянием магнитного поля сколько-
нибудь существенно не изменяются. В нормальном же
металле орбиты изменяются, но, как показал Ландау,
восприимчивость мала и по порядку величины равна
вышеприведенному значению. Идеальный диамагнетизм
соответствует х = — Dтс)~\ что дает В~ Н(\ -\-4ъ%) = 0.
Величина такого порядка требует больших орбит для
электронов; эффективный радиус rt должен быть порядка
10 4 см. Конечно, модель с большим rt и с большим
диамагнетизмом не обязательно должна при этом обладать
всеми свойствами сверхпроводника, в частности возмож-
возможностью протекания незатухающего тока [82]1).
Лондон вывел уравнение C.3) из квантовой теории
следующим образом. Общее выражение для плотности
тока системы, состоящей из п электронов с волновой функ-
функцией ЧГ (гх, г2, .... гл) в магнитном поле, описываемом
') Выражение D.1.) фактически представляет собой коэф-
коэффициент xi = -—в— = 1 ^i—- . гДе, по определению, воспри-
имчивость х =
в— =
гу т_т
—77—
1 ^i—-
• Разумеется, при х
величины
и xi можно не различать, но значению
величина
>— ~т~ отвечает уже
-*¦со- Отсюда ясно, что сделанное в тексте утвер-
утверждение не точно и формально, х~>—-т~ только приг/->со.—
Прим. ред.

26 § 4. квантовая картина сверхпроводящего состояния
вектор-потенциалом А (г), имеет вид:
{ / [
- — А (О ЧГЧг
] 8 (г - г.) rfr t . . . dtn }.
D.2)
В отсутствие магнитного поля (А = 0), ЧГ = Ч?, и плот-
плотность тока равна нулю. В нормальном металле волновая
функция изменяется под влиянием магнитного поля таким
образом, что имеет место почти полная компенсация
«парамагнитного» вклада, связанного с градиентными
членами, за счет «диамагнитного» вклада, пропорциональ-
пропорционального вектор-потенциалу А. В результате остается лишь
небольшой диамагнетизм Ландау. В связи с изложенным
Лондон предположил, что сверхпроводник отличается от
нормального металла «жесткостью» волновой функции,
которая не меняется заметным образом под действием
магнитного поля, если это поле описывается с использо-
использованием калибровки div A = 0. Поскольку волновая функ-
функция не меняется, W можно заменить на WQ, и парамагнит-
парамагнитный вклад становится равным нулю даже в присутствии
поля. Остается лишь диамагнитный член, и уравнение D.2)
принимает вид, эквивалентный C.3):
ne2
тс
D.3)
Чтобы понять важность этого результата, нужно помнить,
что оператор импульса р отличается от оператора ско-
скорости:
В нормальном металле среднее значение р изменяется
в магнитном поле таким образом, что v практически
равно нулю. В лондоновском сверхпроводнике (р)ср
остается приближенно равным нулю и при включении
поля, так что средняя скорость пропорциональна А. Было
предположено, что (р)ср в сверхпроводнике не изменяется
при приложении поля в силу упорядочения, действующего
так, чтобы локальное среднее значение импульса остава-
§ 4. КВАНТОВАЯ КАРТИНА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СОСТОЯНИЯ 27
лось постоянным на больших пространственных расстоя-
расстояниях. Это упорядочение сохраняется даже в присутствии
магнитного поля. Упорядоченное основное состояние рас-
рассматривается как одно квантовое состояние, распростра-
распространенное на весь образец. В этой связи Лондон [1] назвал
сверхпроводник «квантовой структурой в макроскопиче-
макроскопическом масштабе», что соответствует «затвердению или
конденсации распределения среднего импульса».
Согласно современной теории «парамагнитный» вклад
обращается в нуль только в полях, медленно изменяю-
изменяющихся на длине когерентности. Если при изменении волно-
волновой функции в магнитном поле учитывать члены первого
порядка, то мы приходим к нелокальной теории, которая
аналогична, хотя и неидентична нелокальной теории
Пиппарда.
Вышеприведенное рассмотрение применимо только
к квантовому состоянию, которому отвечает температура
jT=0oK. При jT>O°K возникают тепловые возбуждения.
Проще всего рассматривать элементарные электронные
возбуждения как электроны, возбужденные из основного
состояния. Если температура достаточно низка, число этих
возбуждений так мало, что упорядочение, существующее
в основном состоянии, на больших расстояниях не нару-
нарушается. Только при достижении температуры перехода Тс
число возбуждений становится достаточно большим, чтобы
разрушить это упорядочение. В рамках двухжидкостной
модели основное состояние можно рассматривать как
сверхтекучую компоненту, а возбуждения—как нормаль-
нормальную компоненту жидкости. Вплоть до Тс основное состоя-
состояние сохраняет характер единого квантового состояния.
В этом отношении между сверхпроводимостью и сверх-
сверхтекучестью Не II существует аналогия. Основное состояние
покоящегося Не II есть квантовое состояние, в котором
в среднем конечная часть всех атомов имеет импульс,
строго равный нулю, как и в конденсированном бозе-
эйнштейновском газе [83]. Такая сильная корреляция
между импульсами сохраняется даже при наличии взаимо-
взаимодействия между атомами. С повышением температуры воз-
возникают возбуждения, называемые фононами и ротонами,
но вплоть до Х-точки число этих возбуждений недо-
недостаточно для разрушения упорядоченности в основном

28 § 4. КВАНТОВАЯ КАРТИНА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СОСТОЯНИЯ
состоянии. Указанный характер основного состояния жидкого
Не II наиболее ярко проявляется, пожалуй, в эксперимен-
экспериментах Вайнена [84] (см. также [85]), который показал, что
циркуляция Jvrfl вдоль нити, расположенной по оси
цилиндрического сосуда, квантуется и при этом равна
Bwh/M) I, где / — целое число. Такой результат можно
ожидать только в случае, когда волновая функция основ-
основного состояния отлична от нуля во всем объеме. В сверх-
сверхпроводнике имеет место аналогичное квантование токов.
Вследствие этого полный поток магнитного поля через
сверхпроводящее кольцо должен быть целым, кратным
2nhc/e (около 4 • 10~7 гс • см2I).
Можно показать [86—89], что для бозе-эйнштейнов-
ского газа, состоящего из заряженных частиц, ниже его
температуры перехода будут иметь место эффект Мейс-
снера и другие свойства, характерные для сверхпровод-
сверхпроводников. Пытаясь на таком пути объяснить сверхпроводи-
сверхпроводимость, Шафрот и др. [56—89] предположили, что могут
существовать локализованные связанные пары электронов,
подчиняющиеся статистике Бозе — Эйнштейна. Шафрот,
Блатт и Батлер [88] сделали попытку развить такую тео-
теорию с помощью метода, названного ими квазихимическим.
В силу математических трудностей им не удалось после^
довательно провести вычисления ни для одной модели,
обладающей сверхпроводящими свойствами. Для качествен-
качественного рассмотрения они предложили модель с локализован-
локализованными парами, в которой средний размер пар меньше рас-
расстояния между ними [90]. Такие пары «молекул» способны
двигаться поступательно, и возможна близкая аналогия
между основным состоянием и низколежащими возбужден-
возбужденными состояниями такой модели и бозе-эйнштейновского
газа.
Согласно современной теории основному состоянию
сверхпроводника присущи некоторые характерные свойства
бозе-эйнштейновского конденсата. В пространстве импуль-
импульсов электроны связаны в пары таким образом, что пол-
4) Фактически поток должен быть кратным nhc/e [255*—261*].
Это утверждение справедливо, если только сверхпроводник (про-
(проволока, из которой сделано кольцо, и т. д.) не слишком мал по
своим размерам [259*]. — Прим. ред.
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН, МЕТАЛЛАХ 29
ные импульсы каждой пары строго одинаковы. Однако
пары не локализуются в пространстве, в отличие от тео-
теории Шафрота, Блатта и Батлера, а спектр элементарных
возбуждений полностью отличается от спектра бозе-эйн-
бозе-эйнштейновского газа. Таким образом, хотя и существуют
одинаковые свойства (в частности, очень важное свой~
ство — упорядочение среднего импульса, происходящее на
больших расстояниях), различия между сверхпроводниками
и бозе-эйнштейновским конденсатом столь велики, что
аналогия между упомянутыми системами является далеко
не полной. Этот вопрос еще будет обсуждаться в § 8
в связи с исследованием структуры волновых функций.
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
В НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛАХ
5.1. Квазичастичные возбуждения1)
Существенная трудность при создании микроскопи-
микроскопической теории сверхпроводимости заключается в том, что
разность энергий между нормальной и сверхпроводящей
фазами очень мала. Эта разность равна H2cj?>iz на единицу
объема, что составляет по порядку величины 10~7 эв на
один атом. Величина такого порядка получается в пред-
предположении, что электроны, находящиеся в слое вблизи
поверхности Ферми с толщиной — kBTc, при переходе
снижают свою энергию на величину порядка kBTc. Именно
такая весьма небольшая энергия ответственна за столь
существенные изменения электромагнитных и других свойств
системы. Эту энергию нужно сравнить с обусловленной
кулоновским взаимодействием корреляционной энергией
порядка 1 эв/атом и с собственной энергией порядка
10 4 эв/атом, связанной с электронно-фононным взаимо-
взаимодействием.
Поскольку вычислить энергию каждой фазы с точ-
точностью примерно 10 эв невозможно, все внимание нужно
сосредоточить на членах в выражении для энергии,
') В советской литературе для таких возбуждений обычно при-
применяется термин: фермиевские возбуждения. — Прим. ред.

30 § 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ
обусловливающих появление разности энергий между нор-
нормальной и сверхпроводящей фазами. Эту разность нужно
оценить по возможности точно. Один из способов заключается
в том, чтобы выразить волновую функцию сверхпроводя-
сверхпроводящего основного состояния с помощью конфигураций вол-
волновых функций нормального состояния, учитывающих кор-
корреляционные эффекты, общие для обеих фаз. Сначала мы
обсудим нормальное состояние и спектр его элементарных
возбуждений, а затем, в следующем параграфе, рассмотрим
такой спектр для сверхпроводящего состояния.
Как в нормальном, так и в сверхпроводящем металле
существуют три основных типа элементарных возбужде-
возбуждений: квазичастичные возбуждения, фононы и плазмоны.
Эти возбуждения не являются точными собственными со-
состояниями гамильтониана и взаимодействуют как друг
с другом, так и с фермиевским фоном. Таким образом,
возбуждения имеют конечное время жизни т. В большин-
большинстве случаев элементарные возбуждения можно четко опре-
определить, если неопределенность в энергии й/т мала по срав-
сравнению с самой энергией возбуждения.
Всем элементарным возбуждениям можно сопоставить
волны, имеющие соответствующий волновой вектор к.
Определенное значение к отвечает волне, бегущей по всему
кристаллу; для образования локализованного волнового
пакета, протяженностью Дл:, как обычно, нужно считать,
что имеются волны с разными к, причем разброс Д& вокруг
рассматриваемого вектора к равен примерно 1/Дл:. В силу
конечности времени жизни элементарных возбуждений
лучше всего считать их локализованными в указанном
смысле.
Различные низколежащие квазичастичные конфигурации
в нормальном металле при учете взаимодействий могут
быть поставлены в однозначное соответствие с конфигура-
конфигурациями, отвечающими блоховской модели индивидуальных
частиц. Другими словами, конфигурация определяется за-
заданием числа заполненных состояний в ^-пространстве.
Для основной конфигурации при Г=0°К, все состояния
ниже поверхности Ферми заполнены, а выше — незапол-
нены. Энергия возбужденной конфигурации по сравнению
с энергией конфигурации, отвечающей основному состоя-
состоянию, может быть выражена в виде суммы энергий квази-
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ 31
частиц. Энергию квазичастицы е(к) мы будем отсчитывать
относительно энергии Ферми Ер. Таким образом, для нор-
нормального металла е (к) — непрерывная функция волнового
вектора к, обращающаяся в нуль на поверхности Ферми.
Если k < kF, где kP отвечает поверхности Ферми, то е (к)
отрицательно. Часто удобно описывать заполнение состоя-
состояний под поверхностью Ферми в терминах незаполненных
состояний или дырок. Энергия дырки с k <C kp является
тогда положительным числом, равным е (к). Если заполне-
заполнение состояния с волновым вектором к и спином а опре-
определяется значениями т](к, а)=1, 0, то энергия, необходи-
необходимая для возбуждения системы над энергией основного
состояния, равна:
W — Wo=
2
k>kp,
4- 2 [1—1 (к. «)][— е(Ю1- E-1)
k<kp, a
Здесь множитель 1—т](к, а) можно рассматривать как число
дырок при k < kF. Возбужденные частицы над и дырки
под поверхностью Ферми должны рассматриваться как эле-
элементарные квазичастичные возбуждения. В нормальном
металле, когда k^-kp, энергия е(к)—>0, так что для воз-
возбуждения электрона у поверхности Ферми требуется бес-
бесконечно малая энергия. Как мы увидим, различные возбу-
возбужденные конфигурации в сверхпроводнике, так же как и
в нормальном металле, могут быть описаны с помощью
чисел заполнения в ^-пространстве. Спектр возбуждений
характеризуется в этом случае существованием отличной от
нуля энергии (энергетической щели), необходимой для возбу-
возбуждения частицы из сверхпроводящего основного состояния.
Фононы — кванты колебаний решетки — имеют дебаев-
ский спектр со средними энергиями 5copll порядка 10 эв.
При переходе в сверхпроводящее состояние эти частоты
изменяются очень мало. Плазмоны — кванты плазменных ко-
колебаний электронного газа, энергия которых — 10*—20 эв,—
обычно не возбуждаются и в явлении сверхпроводимости
непосредственной роли не играют. Однако введение плаз-
плазменных степеней свободы важно при рассмотрении экра-
экранировки электронов (см. § 13).

32 § 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ
Когда частица возбуждается над фермиевским фоном,
в этом фоне остается дырка. Возбужденная частица и
дырка, вообще говоря, пространственно не связаны и могут
считаться независимыми возбуждениями. Квазичастичные
возбуждения образуются, таким образом, из основного со-
состояния парами.
5.2. Экранирование и «противоток»
Квазичастица не является «голой» частицей, двигаю-
двигающейся независимо от всех других частиц. Напротив, она
должна рассматриваться как частица, движущаяся в элек-
электронной жидкости. На языке теории поля эта частица
«одета» в результате взаимодействия с фононами, плазмо-
нами и другими частицами. Каждый электрон окружен
А д
Рис. 1. Экранирующая дырка, окружающая ка-
каждый электрон.
Когда электрон движется из А в В, возникает компенси-
компенсирующий «противоток», текущий в окружающей жидкости.
«экранирующей дыркой»; в занимаемой ею области отсут-
отсутствует заряд, равный как раз заряду рассматриваемого
электрона. В силу локального смещения других электро-
электронов, происходящего вследствие кулоновского отталкива-
отталкивания, возникает положительный ионный заряд, компенсирую-
компенсирующий заряд электрона в центре дырки.
Эта ситуация иллюстрируется рис. 1, на котором схе-
схематически показано также движение электрона из А в В.,
Поскольку экранирующая дырка движется вместе с элек-»
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ Ё НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ 33
троном, результирующего переноса заряда не происходит.
Когда рассматриваемый электрон переносится из точки А
в точку В, в жидкости, окружающей электрон, должен
возникать компенсирующий «противоток». Концепция
«противотока» была предложена Фейнманом и Коэном [91]
при обсуждении природы ротонов в Не II, которые также
можно рассматривать как квазичастицы, движущиеся в со-
сопровождении «противотока».
На больших расстояниях
«противоток» приводит к ди- —
польному по форме распре- _
делению тока. Потенциал _
скорости на больших рас- _
стояниях имеет вид:
Продольные Волны,
Поперечные Волны, Н-0
E.2) — ' ^~^~Z~Z.~^_
Сила диполя р. пропорцио- __^_ _^_ _^_ _^_
нальна скорости частицы. .
«Противоток» является кол- ""* * *~~
лективным движением и мо- ~*~ ""*"" ~"*~ -*--<--«- -*-
жет быть описан с помощью Рис. 2. Продольные и попереч-
коллективных переменных. ные волны намагничения.
С ТОЧКИ зрения формализма Поле скоростей в «противотоке», свя-
" ™ г " занном с квазичастицами, соответ-
ЬОМа И ПаЙНСа, В КОТОРОМ ствует полю Н магнитных диполей;
i_u/-\7TottfTD*ri/i a tr- полная плотность тока, связанная
ДаЛЬНОДеИСТВуЮЩаЯ чаСТЬ с движением частиц и «противотоком»,
КУЛОНОВСКОГО ВЗаИМОДеЙСТ- отвечает величине В^Н+АкМ. Для
3 длинных продольных волн В = 0, а для
ВИЯ ОПИСЫВаеТСЯ С ПОМОЩЬЮ поперечных волн Я=0.
плазмонных переменных,
«противоток» на больших расстояниях можно рассматри-
рассматривать как облако виртуальных плазмонов, двигающихся
вместе с электроном.
Проблема «противотока» для электронов в металлах
была обсуждена Пайнсом и одним из авторов [27]. Они
отметили, что введение «противотока» существенно для
того, чтобы квазичастичные возбуждения удовлетворяли
уравнению непрерывности, — этот вопрос тесно связан
с градиентной инвариантностью теории. В связи с этим
имеется заметное различие в описании тока в продольных
и поперечных волнах. На рис. 2 схематически показаны
3 Здк. 140. Дж. Барднн, Дж. Шрнффер

34 § 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ
элементарные диполи, связанные с движением квазичастиц
для двух типов волн. Здесь существует полная аналогия
с продольными и поперечными волнами намагничения; поле
скоростей соответствует //-полю магнитных диполей,
а полная плотность тока, связанная с движением частиц
и «противотоком», соответствует индукции В = //-(- 4тсЖ.
Для волн большой длины продольные токи описываются
почти полностью в терминах коллективного движения,
а следовательно, с помощью плазмонных переменных.
Квазичастицы и экранирующие их дырки в этом случае не
вносят заметного вклада в ток (это соответствует случаю
_8 = 0). Обратная ситуация возникает для поперечных
волн, где «противотоки» от различных участков волны
компенсируют друг друга (это соответствует случаю //=0),
и поэтому ток совпадает с током, получаемым при дви-
движении частиц без учета «противотока».
Приведенные выше рассуждения показывают, что при
рассмотрении продольных волн необходимо явно учиты-
учитывать коллективные возбуждения. С другой стороны, в по-
поперечных волнах ток почти полностью связан с движе-
движением квазичастиц, и вклад последних в ток может быть
вычислен обычным образом без учета «противотока». Это
и является по существу причиной выбора калибровки
divA = 0, которая выделяет поперечные волны. Для вы-
вычислений в общей калибровке необходимо ввести как
квазичастичные переменные, так и коллективные. В § 13
мы обсудим проведенные недавно градиентно инва-
инвариантные вычисления эффекта Мейсснера. Полученные при
этом результаты полностью совпадают с полученными
в более ранних работах, использовавших калибровку
divA=0 и учитывающих только квазичастичные возбуж-
возбуждения. «Противотоком» можно также пренебречь при рас-
рассмотрении стационарных токов, текущих в проволоке или
в другом проводнике. Нужно отметить, что плазменные
возбуждения являются просто когерентной суперпозицией
возбуждений типа электрон — дырка, носящих характер
флуктуации плотности электронного газа. Поскольку
плазмоны являются «хорошими» элементарными возбужде-
возбуждениями в области длинных волн, ясно, что в общем слу-
случае нужно описывать систему, рассматривая все возмож-
возможные квазичастичные и плазмонные возбуждения. Труд-
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ 35
ностей, связанных с пренебрежением специальными ком-
комбинациями квазичастичных возбуждений, которые соот-
соответствуют когерентным колебаниям плотности, в боль-
большинстве случаев не возникает. Фактически можно кор-
корректно провести вычисления без введения дополнительных
переменных, используя обобщения метода самосогласован-
самосогласованного поля Хартри, соответствующие нормальному и сверх-
сверхпроводящему состояниям (см. § 13).
Вокруг каждого электрона, кроме плазмонного облака,
имеется смещение ионов, которое следует за движением
электрона и может быть описано как облако виртуальных
фононов. Кроме того, при описании фононов важно учи-
учитывать экранировку полей ионов электронами. Плазмоны,
являющиеся в основном колебаниями электронного газа,
связаны также с некоторым движением ионов.
5.3. Взаимодействие между элементарными
возбуждениями
Теперь мы обсудим вопрос о взаимодействии квази-
квазичастиц с фермиевским фоном и друг с другом. Для
сверхпроводимости существенны электронно-фононное
взаимодействие и экранированное электронно-электронное
взаимодействие. Возбужденный электрон может терять
энергию или рассеиваться. Это происходит либо вследствие
испускания или поглощения фонона, либо при возбужде-
возбуждении другого электрона из фона (с образованием двух
новых квазичастиц), либо при взаимодействии с другой
квазичастицей.
Время жизни квазичастичных возбуждений х при сред-
средних температурах достаточно продолжительно в силу
ограничения, накладываемого на рассеяние принципом
Паули. Это и объясняет успех блоховской модели инди-
индивидуальных частиц. Частица с энергией возбуждения е
может выбить другую частицу из фермиевского фона
только в том случае, если энергия выбиваемой частицы
лежит в интервале е вблизи поверхности Ферми ЕР.
Энергии обеих частиц после рассеяния также должны
лежать в интервале е около ЕР. В результате этого огра-
ограничения, накладываемого на используемый объем фазо-
фазового пространства, длина свободного пробега для элек-

36 § 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В НОРМАЛЬН. МЕТАЛЛАХ
тронно-электронного рассеяния увеличивается по порядку
величины в {Epfef раз. При ЕР^^ 10 зв и е—0,01 эв
(это соответствует температуре 7*-—'100° К) получаем
длину свободного пробега порядка (lO6 • 10~8)= 10~2 см.
При значениях е такого порядка или меньших длина
свободного пробега ограничивается в большей мере элек-
тронно-фононным, чем электронно-электронным рассея-
рассеянием. В тяжелых элемен-
элементах с низкой температу-
температурой Дебая электронно-
фононное взаимодействие
велико, так что электрон
легко может рассеиваться
с испусканием фонона
со сравнительно неболь-
небольшой длиной свободного
пробега1). Можно пола-
полагать, что это объясняет
аномальные сверхпрово-
сверхпроводящие свойства РЬ и Hg
(подробнее см. § 9).
Существует большое
число низколежащих воз-
конфигура-
конфигураций нормальных состоя-
состояний, соответствующих ма-
малой энергии возбуждения
электрона над фермиев-
ским фоном. Эти конфигурации могут быть описаны, как
и в модели Блоха, заданием чисел заполнения квазича-
квазичастичных состояний в ^-пространстве. Типичная конфигу-
конфигурация показана на рис. 3. Чтобы сделать описание пол-
полным, нужно указать также заполнение фононных и плаз-
монных состояний. При этом предполагается, что кор-
корреляционная энергия в основном состоянии учитывается
надлежащим образом и что только взаимодействия между
элементарными возбуждениями мешают превращению этой
конфигурации в точное собственное состояние гамильто-
Рис. 3. Типичная возбужденная
конфигурация нормального со- бужленных
стояния. у
Квазичастичиые возбуждения — заполнен-
заполненные состояния над поверхностью Ферми
и дырки под поверхносью Ферми.
') Затухание фермиевских возбуждений благодаря фонон-
ному механизму изучено в работе [234]. — Прим. ред.
§ 6. ЭЛЕКТРОННО-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
37
ниана. Поэтому рассматриваемая конфигурация не совпа-
совпадает с конфигурацией, отвечающей детерминанту из бло-
ховских волновых функций.
Такой способ феноменологического описания фер-
миевского газа с учетом взаимодействия был обобщен
Ландау [92, 93, см. также 94] в его теории ферми-
жидкости. В этой теории зависимость энергии квазичастиц
от распределения частиц в ^-пространстве учитывается
подобно тому, как это делается в методе Хартри — Фока.
Теория ферми-жидкости была обоснована Ландау с по-
помощью использования функции Грина, однако дальнодей-
ствующее кулоновское взаимодействие в электронном
газе, вносящее усложнение, в явном виде не рассматри-
рассматривалось. Теоретики уделяют много внимания этому во-
вопросу, но несмотря на существенный прогресс здесь до
сих пор нет удовлетворительного количественного реше-
решения для обычных значений электронных плотностей.
§ 6. ЭЛЕКТРОННО-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Путь для успешного развития микроскопической тео-
теории был указан Фрелихом [67], обратившим внимание на
необходимость учета электронно-фононного взаимодействия
для объяснения сверхпроводимости. Предпринятые им вы-
вычисления [95] притяжения между электронами, обусловлен-
обусловленного обменом виртуальными фононами, были обобщены
затем Бардином и Пайнсом [96], с целью учета куло-
новского взаимодействия. Качественно взаимодействие
можно описать следующим образом [96]. Частица вблизи
поверхности Ферми в состоянии кх испускает виртуаль-
виртуальный фонон с волновым вектором q и рассеивается в со-
состояние ki = ki — q. Хотя электрон и не имеет доста-
достаточной энергии, чтобы испустить реальный фонон, он
может на мгновение сделать это в силу соотношения
неопределенности Д?Д?— h. Второй электрон в состоя-
состоянии к2 поглощает фонон, переходя в состояние кг =
= k2-}-q. В результате электроны в состояниях к\ и к2
рассеиваются в состояния кх и кг с сохранением волно-
волнового вектора:
?=kj.+ kg. F.1)

38
§ 6. ЭЛЕКТРОННО-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Такой процесс соответствует парному взаимодействию
между частицами, которое отвечает притяжению, если
разность энергий между рассматриваемыми электронными
состояниями меньше энергии виртуального фонона йсор^.
Критерий сверхпроводимости заключается по существу
в том, чтобы это притяжение доминировало над экрани-
экранированным кулоновским отталкиванием.
Физическая природа фононного взаимодействия связана
с тем, что электрон, совершая переход из состояния кх
в состояние кх — q, создает флуктуацию плотности за-
заряда Ьре с волновым вектором q и частотой
со (kv kx — q) = -g- [e (kx) — e (kx — q)].
Вследствие электронно-фононного. взаимодействия флук-
флуктуация Ьре может возбудить фонон. Этот фонон связан
с флуктуацией плотности ионного заряда 8р', которая
происходит в противофазе с первоначальной флуктуацией
электронного заряда ор,, если частота «(кр кх — q)
больше собственной частоты фонона coq. В противном
случае 8р? будет совпадать по фазе с 5р* Этот процесс
описывает динамическую экранировку электрического
поля, создаваемую виртуальным электронным переходом
кг—> kj — q. Величина «отдачи», испытываемой вторым
электроном (k2—>k2-}-q), зависит от эффективности ука-
указанного динамического экранирования. Если «(kj, kx—q) <
<С ">q, то происходит столь сильное экранирование (грубо
говоря, в результате того, что флуктуации положитель-
положительного ионного заряда достигают величины, которая с из-
избытком компенсирует кулоновское поле, создаваемое 8р,),
что вторая частица притягивается к первой, а не отталки-
отталкивается от нее. При «o(k1, kj-|-q)>coq экранирование не
полное,, так как 8р* и 8р* не совпадают по фазе. Как
и можно ожидать, взаимодействие, обусловленное обме-
обменом виртуальными фононами, пропорционально
1
, —q)a —»?
F.2)
^вынужденные колебания гармонического осциллятора).
§ 6. ЭЛЕКТРОННО-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
39
Нужно упомянуть, что фононное взаимодействие
и экранированное кулоновское взаимодействие вносят
также вклад в собственную энергию квазичастиц. Такой
вклад возникает, например, благодаря процессу, при ко-
котором электрон с волновым вектором klt испуская вир-
виртуальный фонон, переходит в состояние Ц, а затем
поглощает фонон, возвращаясь в исходное состояние.
Предполагается, что все такие собственно-энергетические
поправки учтены при выборе конфигурации волновых
функций нормального состояния и что эти поправки не
изменяются существенным образом при переходе к сверх-
сверхпроводящему состоянию. В эффективном гамильтониане,
описывающем электроны и фононы, должны таким обра-
образом учитываться только члены, отвечающие истинному
взаимодействию.
Матричный элемент для фононного взаимодействия
между электронами имеет вид:
Ц | "ph I ^i' Цг)
г— г \2_,
F.3)
Здесь Mq — матричный элемент электронно-фононного
взаимодействия и Йсо? — энергия соответствующего фо-
фонона. Взаимодействие отвечает притяжению (отрицательно),
если разность между энергиями состояний электрона
меньше Йсо^. Критерий сверхпроводимости заключается
в том-, чтобы это взаимодействие, имеющее характер при-
притяжения, превышало экранированное кулоновское взаимо-
взаимодействие, которое характеризуется выражением:
F.4)
Здесь ks — постоянная, характеризующая экранировку.
Условие появления сверхпроводимости может быть симво-
символически записано в виде:
где усреднение
(Vph + VcouiX 0,
проводится по области
F.5)
взаимодействия

40 § 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ S СВЕРХПРОВОДНИКАХ
вблизи поверхности Ферми, так что \ еь> — eft | < Йсос.
Здесь юс — средняя частота фононов, равная примерно
половине дебаевской частоты.
Этот критерий обсуждался Пайнсом [97], а также
более детально на основе упрощенной модели Морре-
лом [98]1). Они нашли, что в наиболее благоприятных
условиях с точки зрения появления сверхпроводимости
находятся элементы с большим числом валентных элек-
электронов на атом и одновременно с низкой электронной
плотностью (в согласии с эмпирическими правилами Мат-
тиаса). Такой критерий весьма грубо отделяет сверхпро-
сверхпроводники от несверхпроводников. Наибольший вклад в Vph
вносится областью процессов «переброса», где разность
kj—kj лежит вне первой зоны Бриллюена. Если состоя-
состояния к описываются с помощью расширенной зонной схемы,
то этот вывод относится к большинству возможных вир-
виртуальных переходов. В области процессов «переброса»
I kj — kj I может быть относительно велико (что уменьшает
кулоновский вклад), в то время как приведенный волновой
вектор q = k1:—kj-j-K, а также йсо^, малы. Здесь К —
вектор обратной решетки. Роль кулоновского взаимодей-
взаимодействия с точки зрения подавления сверхпроводимости будет
еще обсуждена в § 9.
§ 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
Наиболее ярким различием между возбуждениями в нор-
нормальном и сверхпроводящем состояниях является наличие
в последнем случае энергетической щели для квазичастич-
квазичастичных возбуждений. Квазичастицы в сверхпроводниках можно
характеризовать волновым вектором к и спином а в одно-
') Влияние кулоновского взаимодействия на сверхпроводи-
сверхпроводимость изучалось на основе простой модели также в работе [18].
Результат состоит в том, что большая величина отталкиватель-
ного кулоновского взаимодействия входит в критерий типа F.5)
не сама по себе, а деланная на некоторый логарифм (величина
логарифма — 5). Это облегчает возможность сверхпроводящего
перехода.—Прим. ред.
§ 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ 41
однозначном соответствии с нормальными металлами. Энер-
Энергия квазичастицы в сверхпроводнике Ек может быть запи-
записана в виде
Ek = Ve\-\-t?k. G.1)
Здесь ек — блоховская энергия в нормальном состоянии,
отсчитываемая относительно фермиевского фона,, а Дй—
параметр, характеризующий энергетическую щель и полу-
полученный из теории в результате решения интегрального
уравнения. Возбуждения соответствуют, грубо говоря,
частицам над поверхностью Ферми и дыркам под поверх-
поверхностью Ферми, хотя в сверхпроводнике свойства возбуж-
возбуждений и не меняются разрывным образом при переходе
через поверхность Ферми. Если t\(kt а)=1, 0 — числа
заполнения для возбуждений, то полная энергия возбуж-
возбуждения относительно энергии основного состояния Wj0
равна:
w exc wsO jZ14\k> Q)uk* G.2)
что находится в полной аналогии с нормальным состоя-
состоянием. Значение Дй зависит от распределения возбуждений
по состояниям и таким образом изменяется с температу-
температурой. Энергетическая щель имеет максимум при Г=0°К
и постепенно уменьшается с увеличением температуры,
обращаясь в нуль в точке перехода (при Г— Тс).
Вообще говоря, энергетическая щель может быть
анизотропна и зависеть от направления к так же, как
и от энергии. Целый ряд экспериментальных фактов ука-
указывает на существование анизотропных эффектов, кото-
которые, конечно, являются специфическими для каждого
отдельного металла. Однако, поскольку эти эффекты сравни-
сравнительно невелики и не существенны для понимания сверх-
сверхпроводимости, мы в большинстве случаев будем ими
пренебрегать и предполагать, что Дй является функ-
функцией только энергии ek рассматриваемого блоховского
состояния.
Из теории следует, что параметр Ak должен быть до-
достаточно велик в области, где существенно фононное
притяжение, т. е. в слое вблизи поверхности Ферми с ши-
шириной порядка средней энергии фононов tnx>Q (рис. 4).

42 § 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
Для упрощенной модели взаимодействия, использованной
в теории БКШ [12], параметр Д постоянен до энергии об-
обрезания Йсос, а при ббльших энергиях равен нулю. Обычно
представляют интерес энергии возбуждения не больше,
чем несколько kBTc. В пределе так называемой слабой
связи, справедливом для большинства сверхпроводников,
kBTc<^h(oc. В этом случае в интересующей нас области
можно без заметной ошибки считать, что Д = const. При-
Приближение слабой связи неприменимо к металлам с очень
низкими температурами Дебая, как, например, к свинцу
и ртути.
Рис. 4. Изменение параметра энергетической щели
Д (s) вблизи поверхности Ферми.
В случае слабой связи hu>? >> Д.
Некоторая часть из огромного количества экспери-
экспериментальных доказательств существования энергетической
щели будет более подробно обсуждена в последующих
параграфах. Как уже упоминалось во введении, наиболее
непосредственные доказательства получены из эксперимен-
экспериментов по поглощению электромагнитных волн как в микро-
микроволновой, так и в далекой инфракрасной частях спектра.
Другие данные получены из экспериментов по тепло-
теплоемкости, поглощению ультразвуковых волн, времен релак-
релаксации ядерного спина и теплопроводности. Все эти явле-
явления зависят от количества возбужденных электронов. Из
экспериментов, проведенных при сверхнизких температу-
температурах, следует, что число возбуждений экспоненциально
падает по закону ехр (—ЬТС/Т), характерному для нали-
наличия в спектре энергетической щели. Большинство упомя-
упомянутых доказательств собраны после 1953 г., когда Браун,
Земанский и Бурз [99] показали, что электронная тепло-
теплоемкость ванадия имеет экспоненциальный характер, а Гуд-
ман [100] обнаружил экспоненциальное падение тепло-
§ 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ 43
проводности олова, которое он интерпретировал, пред-
предполагая существование энергетической щели. В табл. II
помещены эмпирические значения щели для некоторых
металлов J).
Таблица II
Значения ширины энергетической щели
Сверхпроводник
3,39
3,73
4,15
4,39
5,1
7,15
9,0
as
31
19
52
18
15
76
35
2Д
I
4,1 ±0,2
3,6 + 0,2
4,6 ±0,2
=5=3,0
3,4 + 0,2
4,1 ±0,2
2,8 ±0,3
И
3,9 ±0,3
3,3 ±0,2
4,0 ±0,5
ш
3,5
3,6
3,7
3,6
3,6
3,9
3,7
IV
3,9
3,6
3,6
3,6
4,0
Индий .
Олово .
Ртуть
Тантал .
Ванадий
Свинец .
Ниобий
3,3
3,5
3,9
В таблице приведены значения энергетической щели
при абсолютном нуле (в единицах kBTc) по сравнению
с значениями, полученными (римские цифры указывают
номера столбцов):
I — Ричардсом и Тинкхамом из измерений отражения
инфракрасного излучения от массивных образцов;
II — Гинзбергом и Тинкхамом из измерений прохож-
прохождения излучения через тонкие пленки;
III — Гудманом из соотношения макроскопической
теории
2Д@) _ 2Н0
kBTe
Т ——ч
1 С \ "
(использованы экспериментальные значения
') Самым непосредственным свидетельством наличия энер-
энергетической щели явилось изучение туннельного эффекта
[262*—265*]. Оказалось, в частности, что туннельный эффект
из сверхпроводника в нормальный металл при низких темпера-
температурах появляется только тогда, когда разность потенциалов
достигает величины, равной удвоенному значению щели. —
Прим. ред.

44 § -8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
IV — Гудманом с помощью подбора экспоненциальной
функции, ближе всего отвечающей экспериментальным
данным по теплоемкости.
V — Гудманом с помощью сравнения микроскопической
теории с экспериментальными данными по теплоемкости.
Предположение о существовании энергетической щели
в течение многих лет обсуждалось теоретиками. Вель-
кер [101] ввел в спектр щель для объяснения эффекта
Мейсснера. Даунт и Мендельсон [102] показали, что
в сверхпроводнике нет тепла Томпсона, связанного с то-
током, и что поэтому сверхпроводящий ток представляет
собой перенос в основном состоянии с равной нулю эн-
энтропией. Они предположили существование щели для
возбужденных состояний, которые вносят вклад в элек-
электронную теплоемкость. Гинзбург [2, 240*] предложил двух-
жидкостную модель, основанную на введении энергетиче-
энергетической щели. Один из авторов настоящего обзора развил
теорию ; эффекта Мейсснера на основе модели с энергети-
энергетической щелью и показал, что эта теория приводит к не-
нелокальной связи между током и полем пиппардовского
типа, если энергетическая щель не превышает несколь-
нескольких kBTc.
§ 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
СВЕРХПРОВОДНИКОВ
8.1. Образование парных конфигураций
Купер [73] показал, что в случае результирующего
притяжения две квазичастицы, находящиеся над фермиев-
ским фоном нормального металла, могут образовать свя-
связанную пару с выигрышем в суммарной энергии. При
этом образование пары происходит и при сколь угодно
слабом притяжении. Этот очень важный результат сви-
свидетельствует о том, что для взаимодействия типа притя-
притяжения фермиевский фон неустойчив по отношению к об-
образованию таких связанных пар. Купер показал также,
что если энергия связи пары порядка kBTc и Тс—1°К>
то протяженность волновой функции пары по порядку
величины равна 10~4 см. Волновая функция пары обра-
§ 8. природа волновых функций сверхпроводников 45
зуется в основном из функций состояний с энергиями,
лежащими в интервале порядка нескольких kBTc около Ер.
Задолго до работы Купера было известно, что про-
протяженность такого порядка величины следует из соотно-
соотношения неопределенности. Разность волновых векторов ДА,
соответствующая разности энергий kBTc у поверхности
Ферми A = kF, определяется соотношением:
Ak
kBTc
10
-4
(8.1)
F F
Поскольку обычно kF по порядку величины равно 108 см~г,
ДА по порядку величины составляет 104 см~1. Соотно-
Соотношение неопределенности ДА Дд: '-—' 1 дает минимальную
протяженность волновой функции ДлГ'—--Ю см.
Из этих соображений размерности немедленно следует,
что картина бозе-эйнштейновской конденсации изолиро-
изолированных пар невозможна. Число электронов в области
с шириной '—-ДА около kp, которые, по предположению,
принимают участие в образовании сверхпроводящего кон-
конденсированного состояния, по порядку величины равно
10~4Х Ю2 =10' см~3. Если эти электроны образуют
пары, расстояние между парами будет порядка 10~6 см.
Поскольку протяженность волновой функции равна
—' 10 см, должно возникать очень большое перекрытие,
и картина изолированных пар теряет смысл.
Таким образом, проблема состоит в том, как приме-
применить идею конденсации пар для объяснения сверхпрово-
сверхпроводимости. Купер и авторы [11, 12] получили формулы тео-
теории сверхпроводимости с помощью математической тех-
техники, использованной Купером в его работе для одной
пары. Этот метод кратко может быть описан следующим
образом. Предположим, что имеется гамильтониан
Н= Ho~\-U с невозмущенными собственными состоя-
состояниями //($? = E$t и матричными элементами Uy. Здесь
Но может, например, отвечать невзаимодействующим ча-
частицам, a U — взаимодействию между ними. Предполо-
Предположим, что можно выбрать подсовокупность функций tyt
с такими фазами, что матричные элементы Uц между лю-
любыми двумя функциями <!>г являются преимущественно

46 § 8. природа волновых функций сверхпроводников
отрицательными. Тогда пробная функция для основного со-
состояния гамильтониана Н задается линейной комбинацией
членов этой подсовокупности с коэффициентами at одного
знака: ЧГ = 2 а$г Соответствующая энергия равна:
(8.2)
Если все Uи отрицательны, их вклады в энергию взаи-
взаимодействия будут находиться в фазе и дадут когерентное
состояние с низкой энергией. Коэффициенты а{ могут при
этом подбираться с помощью вариационного метода.
Особенно простым примером является случай, когда
имеется совокупность состояний из N вырожденных <|^
с энергиями Et = Ео, причем каждое состояние связано с т.
другими состояниями с помощью отличного от нуля мат-
матричного элемента U t• = — V. Тогда все аг равны между
собой, и энергия основного состояния имеет вид:
W = Еп — mV.
(8.3)
Образуем сверхпроводящее основное состояние из ли-
линейных комбинаций конфигураций нормального типа, в кото-
которых частицы возбуждены только до низких энергий над
фермиевским фоном. Какая-либо конфигурация типа, приве-
приведенного на рис. 3, может быть обозначена с помощью
чисел заполнения в ^-пространстве для частиц над фер-
фермиевским фоном и для дырок под фермиевским фоном.
Предположим, что характер этих конфигураций таков, что
ими учитывается вся корреляционная энергия нормального
состояния и собственная энергия квазичастиц. Остается
еще неучтенным только эффективное взаимодействие U
между квазичастицами, обусловленное фононами и экра-
экранированным кулоновским взаимодействием. Сверхпрово-
Сверхпроводимость возникает, если фононное взаимодействие пре-
преобладает, т. е. если результирующее взаимодействие для
частиц вблизи поверхности Ферми имеет характер притя-
притяжения. Для оценки величины матричных элементов между
состояниями с упомянутыми нормальными конфигурациями
может быть использована блоховская модель индивидуаль-
индивидуальных частиц. Может быть развит также и более точный
метод. В любом случае для эффективного парного взаи-
§ 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ 47
модействия существует отличный от нуля матричный эле-
элемент между двумя конфигурациями, отличающимися друг
от друга только числами заполнения двух состояний от-
отдельных частиц. Например, klt k2, переходит в ki, кг с со-
сохранением волнового вектора:
k1 + k2 = ki + k2= Q. (8-4)
Для общих конфигураций частиц Ферми—Дирака знак
матричного элемента зависит от заполнения других со-
состояний ка, ко к8, которые не изменяются при пере-
переходе:
/, , . , ' . ' ITJ-I 1 , 1 1 1 \
I I/" If и If \Гп I \/ VC If и и ы I ¦
\ка* КР' • • • • Л8' К1' Л2 | У | ла> *3> • • • • Л8" Л1> Л2/
= ±(ki, kalVjkj, k2). (8.5)
Спиновые переменные здесь в явном виде не указаны.
Если выбирается определенное упорядочение всех состоя-
состояний, относительный знак матричного элемента опреде-
определяется значением (—l)N+N', где N и N' — соответственно
полные числа заполнения состояний, лежащих между к^
и к2а2 в начальном и k^<jj и Ца^ в конечном состояниях.
Для взаимодействующих частиц величина матричного эле-
элемента также будет зависеть от состояний, заполненных
другими частицами, но эта зависимость слаба для рас-
рассматриваемых нами конфигураций с малым возбуждением
над фермиевским фоном.
Поскольку для общих конфигураций сумма N-{-N'
может быть с равной вероятностью четной или нечетной,
матричные элементы будут иметь переменный знак и по-
получить когерентное состояние с низкой энергией описан-
описанным выше методом невозможно. Если различные конфи-
конфигурации входят в это состояние с примерно равным ветм,
энергия взаимодействия будет мала. Число матричных
элементов много больше числа конфигураций, по-
поэтому нельзя получить для них правильные знаки с по-
помощью изменения знаков волновых функций, соответствую-
соответствующих различным конфигурациям. Чтобы применить описан-
описанный выше метод, нужно отобрать подсовокупность кон-
конфигураций, матричные элементы между которыми для
случая притяжения преимущественно отрицательны. Как

48 § 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
легко видеть, это можно сделать, соединяя состояния па-
парами (kjOj, k2a2) с условием, что если в какой-либо кон-
конфигурации состояние одного из членов пары заполнено,
то и другое также заполнено. Таким образом и N, и N'-
будут обязательно четными числами, также как сумма
N-\-N'. Чтобы получить максимальное число матричных
элементов, а следовательно и наинизшую энергию основ-
основного состояния, желательно подобрать пары таким обра-
образом* чтобы каждая из них в результате всех взаимодей-
взаимодействий могла переходить в другую. Это означает, что они
должны иметь одинаковый суммарный импульс, т. е. для
всех пар k!-f-k2=Q. Вероятно также, что в большин-
большинстве случаев образующие пару квазичастицы должны
иметь противоположные спины, поскольку обменные члены
обычно приводят к уменьшению матричных элементов для
параллельных спинов. Для основного состояния Q = О
и парные состояния имеют противоположные спин и им-
импульс (k f , — к |). Случай параллельно спаренных спи-
спинов также, однако, рассматривается, иногда он может при-
привести к состоянию с более низкой энергией, если угло-
угловая зависимость взаимодействия такова, что обменные
и обычные матричные элементы имеют противоположные
знаки. В случаях, когда существенную роль играет рас-
рассеяние на примесях, волновой вектор не является хоро-
хорошим квантовым числом; вопрос об образовании пар в та-
такой ситуации обсуждается в § 12.
8.2. Волновая функция основного состояния
На указанном пути мы приходим к когерентному
сверхпроводящему основному состоянию Ws, причем Ws
представляется в виде линейной комбинации конфигура-
конфигураций нормального типа, в которых квазичастичные состоя-
состояния заполнены парами с противоположными спином и им-
импульсом. Такая пара характеризуется волновым вектором
k s= (к f ; — к | ). Конфигурация может быть определена
с помощью указания заполненных парных состояний. Та-
Таким образом, мы можем написать:
,. к2 кт),
(8-6)
§ 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ 49
где суммирование проводится по всем конфигурациям.
Образование такого состояния предпочтительно, если для
частиц с энергиями вблизи поверхности Ферми взаимо-
взаимодействие имеет характер притяжения. Различные конфи-
конфигурации <|>г, вносящие основной вклад в энергию наиниз-
наинизшего состояния, имеют примерно одинаковое общее рас-
распределение частиц в ^-пространстве. Вероятность h (k)
того, что данное состояние заполнено, падает непрерывно
от единицы при k<^kp до нуля при k ~^> kF, не пре-
претерпевая разрыва у поверхности Ферми (рис. 5). При
-ко
Рис. 5. Вероятность Л (s) заполнения данного
состояния с энергией е в сверхпроводящем
основном состояния.
этом разность 1 — h (k) в области k <C kF должна рас-
рассматриваться как вероятность существования дырки. Нор-
Нормальному основному состоянию соответствует h (k) = 1
для k
и h (fc) = 0 для k > k
F p
Нужно заметить, что полная разность энергий между
нормальным и сверхпроводящим состоянием в рассматри-
рассматриваемом приближении определяется теми отвечающими
взаимодействию членами в гамильтониане, для которых
ki-f-k2 = ki-f-k2 = Q = 0. Эти члены имеют нулевой вес
с точки зрения всего взаимодействия и вносят пренебре-
пренебрежимо малый вклад в энергию нормального состояния.
Если члены с Q = 0 рассматривать на основе теории
возмущений, то в любом приближении их вклад в энергию
для большой системы пренебрежимо мал (энергия на ча-
частицу порядка ОA/л)). Однако для сверхпроводимости
именно эти члены наиболее существенны.
4 Зак. 140, Дж. Бардии, Дж. Шриффер

50 § 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Образование линейных комбинаций парных состояний
имеет своим физическим следствием появление дальне-
действующей корреляции между частицами с противо-
противоположными спинами. Радиус корреляции в реальном про-
пространстве имеет порядок 10~4 см, причем характер кор-
корреляции отвечает наличию притяжения. Поскольку значение
суммарного импульса пар повсюду одинаково, существует
также дальнедействующая корреляция среднего импульса,
аналогичная предполагавшейся Лондоном. Состояние
системы как раз таково, каким оно предполагалось для
объяснения эффекта Мейсснера и других свойств сверх-
сверхпроводников. Подробные вычисления подтверждают выше-
вышесказанное.
8.3. Спектр возбуждений
Квазичастичные возбуждения в сверхпроводнике, нахо-
находящиеся в одно-однозначном соответствии с возбужде-
возбуждениями в нормальном металле, могут быть получены путем
выбора чисел заполнения определенных состояний в А-про-
странстве, с использованием остальных состояний для
образования линейных комбинаций парных конфигураций.
В случае «одночастичных» возбуждений теории ВКШ
одна из компонент пары, скажем kf, заполнена, а дру-
другая — к | незаполнена для всех конфигураций. Каждая
из таких конфигураций ортогональна с конфигурациями,
образующими основное состояние. Такая волновая функция
соответствует возбужденной частице в состоянии kf,
если ky-kP, и дырке в состоянии —к|, если k < kP.
Конструирование «парных» возбуждений, в которых оба
состояния kf и —к | «заполнены», нужно производить
с большей осторожностью. Основное состояние может
быть разложено на часть <р1% для которой пара к опре-
определенно заполнена, и часть ср0, для которой пара незапол-
незаполнена. Тогда:
Здесь г»| = 1 — н| = h (k) — вероятность заполнения со-
состояния к. Ортогональная комбинация
. (8-8)
§ 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ 51
является волновой функцией для «возбужденной пары»
в состоянии к. Боголюбов и Валатин показали, что «оди-
«одиночные» и «парные» возбуждения в сверхпроводниках
можно рассматривать на равных основаниях с помощью
преобразования операторов рождения и уничтожения квази-
квазичастичных возбуждений нормального состояния (см. § 11.1).
8.4. Связь с конденсацией Бозе — Эйнштейна
Если нормальное основное состояние рассматривать
как состояние невзаимодействующих частиц, то волновая
функция основного сверхпроводящего состояния может
быть выражена как антисимметричное произведение иден-
идентичных функций отдельных пар1) [103]:
Va= 2 (—
— U) ¦ ¦ ¦ <Р(гя_, — гя), (8.9)
где суммирование производится по всем перестановкам Р
рассматриваемых п частиц. Каждая функция пары имеет
симметричную пространственную часть и антисимметричную
спиновую часть (последняя в явном виде не указана).
Пространственная часть имеет вид:
(8.10)
В результате антисимметризации произведения исключаются
все корреляции в ср (rj — г2), за исключением дальнодей-
ствующих корреляций, связанных с отличием коэффи-
коэффициентов h (k) от их значений в нормальном состоянии,
равных единице при k < kF и нулю при k >• kF. Нор-
Нормальное основное состояние может быть выражено через
такое же произведение. В этом случае антисимметризация
устраняет все корреляции между частицами с противо-
противоположными спинами.
Выражение (8.9) можно использовать для выяснения
сходства и различия между сверхпроводящим основным
') F. J. Dyson, частное сообщение A957).
4*

52 § 8. ПРИРОДА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
состоянием и основным состоянием конденсированных
бозе-эйнштейновских пар, а также для установления связи
с теорией Шафрота, Блатта и Батлера [88]. Как показали
эти авторы, бозе-эйнштейновский конденсат, состоящий
из пар, может быть также описан произведением иден-
идентичных функций отдельных пар. Процесс антисимметри-
антисимметризации не должен сильно изменить характера состояния,
если протяженность волновой функции пары мала по срав-
сравнению с средним расстоянием между парами. В этом
случае входяшие в сумму (8.9) функции, отличающиеся
друг от друга обменом частицей между двумя или боль-
большим количеством пар (например, замена гх на г3 и на-
наоборот, но без одновременной замены г2 на г4), сильно
не перекрываются. Поэтому система в качественном отно-
отношении будет вести себя подобно конденсированному бозе-
эйнштейновскому газу. Если, однако, размер пар велик
по сравнению с расстоянием между парами, как это и
имеет место в реальных сверхпроводниках, то антисим-
антисимметризация вносит существенные новые черты. Как упо-
упоминалось ранее, полный спектр возбуждений сверхпро-
сверхпроводника является по существу спектром квазичастиц, под-
подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Имеется только
небольшое число коллективных возбуждений, соответ-
соответствующих движению пары квазичастиц в связанном со-
состоянии. Однако соответствующие энергии возбуждения
лишь слегка меньше ширины энергетической щели. Дви-
Движение таких связанных пар сильно отличается от движения
индивидуальных пар, которое имело бы место в случае
системы Бозе — Эйнштейна.
Использованная выше волновая функция пары ср является
функцией только расстояния | гх — г2| и поэтому пред-
представляет собой 5-функцию. Обсуждались и другие воз-
возможные функции пары. В некоторых случаях они могут
привести к состояниям с более низкой энергией, чем для
s-функции. Например, можно рассматривать простран-
пространственную функцию р-типа с симметричной спиновой частью;
такая функция, соответствующая образованию пары
из частиц с параллельными спинами, была изучена Фише-
Фишером. Функция d-тнпа была рассмотрена в качестве функции
пар в случае возможного в принципе сверхтекучего со-
состояния Не3. Эти вопросы еще будут обсуждены в § 13.
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ 53
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
9.1. Интегральное уравнение
Как указывалось в предыдущем параграфе, почти вся
разность энергии между нормальным и сверхпроводящим
основными состояниями определяется теми членами в га-
гамильтониане, которые ответственны за рассеяние пар
с суммарным импульсом, равным нулю. Для рассмотрения
квазичастичных возбуждений в сверхпроводнике удобен
эффективный гамильтониан, в котором оставлены только
такие члены. В настоящем параграфе мы приведем резуль-
результаты для упрощенной модели, использованной в тео-
теории БКШ. В этой модели предположено, что матричный
элемент Vkk' = Vk'k> отвечающий рассеянию пары
из kf,— kj в k'f,— W\, является отрицательным (при-
(притяжение) и постоянным в энергетическом слое с энергиями
электронов от Ер— йсос до EF-\- hu>c. Здесь /зсос — сред-
средняя энергия фонона в области, в которой взаимодействие,
вызванное фононами, велико и соответствует притяжению.
Эта модель не является столь ограниченной, как может
показаться на первый взгляд, поскольку в пределе слабой
связи (для которой энергетическая щель мала по срав-
сравнению с Йсос) почти все результаты зависят только от вели-
величины энергетической щели у поверхности Ферми. Очень
важный вопрос о том, что именно определяет «энергию
обрезания» йсос, будет обсужден ниже.
Для вычисления энергии взаимодействия мы можем
еще раз разложить функцию Ws [см. (8.7)], чтобы полу-
получить числа заполнения двух пар к и к'. С точностью
до членов ОA/л), где п — полное число частиц, коэф-
коэффициенты второго разложения совпадают с коэффициен-
коэффициентами в первом разложении {104]J):
') В результате более детального рассмотрения Н. Н. Бого-
Боголюбов, Д. Н. Зубарев, Ю. А. Церковников [105] показали, что
полученное на основе формулы (9.1) выражение для свободной
энергии в случае эффективного гамильтониана асимптотически
правильно для большой системы. — Прим. авт. при корректуре.

5U § 8. ПРИРОДА ВбЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
состоянием и основным состоянием конденсированных
бозе-эйнштейновских пар, а также для установления связи
с теорией Шафрота, Блатта и Батлера [88]. Как показали
эти авторы, бозе-эйнштейновский конденсат, состоящий
из пар, может быть также описан произведением иден-
идентичных функций отдельных пар. Процесс антисимметри-
антисимметризации не должен сильно изменить характера состояния,
если протяженность волновой функции пары мала по срав-
сравнению с средним расстоянием между парами. В этом
случае входящие в сумму (8.9) функции, отличающиеся
друг от друга обменом частицей между двумя или боль-
большим количеством пар (например, замена гх на г3 и на-
наоборот, но без одновременной замены г2 на г4), сильно
не перекрываются. Поэтому система в качественном отно-
отношении будет вести себя подобно конденсированному бозе-
эйнштейновскому газу. Если, однако, размер пар велик
по сравнению с расстоянием между парами, как это и
имеет место в реальных сверхпроводниках, то антисим-
антисимметризация вносит существенные новые черты. Как упо-
упоминалось ранее, полный спектр возбуждений сверхпро-
сверхпроводника является по существу спектром квазичастиц, под-
подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Имеется только
небольшое число коллективных возбуждений, соответ-
соответствующих движению пары квазичастиц в связанном со-
состоянии. Однако соответствующие энергии возбуждения
лишь слегка меньше ширины энергетической щели. Дви-
Движение таких связанных пар сильно отличается от движения
индивидуальных пар, которое имело бы место в случае
системы Бозе — Эйнштейна.
Использованная выше волновая функция пары ср является
функцией только расстояния | rx — r21 и поэтому пред-
представляет собой 5-функцию. Обсуждались и другие воз-
возможные функции пары. В некоторых случаях они могут
привести к состояниям с более низкой энергией, чем для
s-функции. Например, можно рассматривать простран-
пространственную функцию р-типа с симметричной спиновой частью;
такая функция, соответствующая образованию пары
из частиц с параллельными спинами, была изучена Фише-
Фишером. Функция d-типа была рассмотрена в качестве функции
пар в случае возможного в принципе сверхтекучего со-
состояния Не3. Эти вопросы еще будут обсуждены в § 13.
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ 53
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
9.1. Интегральное уравнение
Как указывалось в предыдущем параграфе, почти вся
разность энергии между нормальным и сверхпроводящим
основными состояниями определяется теми членами в га-
гамильтониане, которые ответственны за рассеяние пар
с суммарным импульсом, равным нулю. Для рассмотрения
квазичастичных возбуждений в сверхпроводнике удобен
эффективный гамильтониан, в котором оставлены только
такие члены. В настоящем параграфе мы приведем резуль-
результаты для упрощенной модели, использованной в тео-
теории БКШ. В этой модели предположено, что матричный
элемент Vkk1 = Vk'k> отвечающий рассеянию пары
из kf,— kj в k'f,— k'j., является отрицательным (при-
(притяжение) и постоянным в энергетическом слое с энергиями
электронов от Ер — йсой до EF-\-hwc. Здесь /зсос —сред-
—средняя энергия фонона в области, в которой взаимодействие,
вызванное фононами, велико и соответствует притяжению.
Эта модель не является столь ограниченной, как может
показаться на первый взгляд, поскольку в пределе слабой
связи (для которой энергетическая щель мала по срав-
сравнению с Йсос) почти все результаты зависят только от вели-
величины энергетической щели у поверхности Ферми. Очень
важный вопрос о том, что именно определяет «энергию
обрезания» йсой, будет обсужден ниже.
Для вычисления энергии взаимодействия мы можем
еше раз разложить функцию *PS [см. (8.7)], чтобы полу-
получить числа заполнения двух пар к и к'. С точностью
до членов ОA/л), где п — полное число частиц, коэф-
коэффициенты второго разложения совпадают с коэффициен-
коэффициентами в первом разложении [104]!):
') В результате более детального рассмотрения Н. Н. Бого-
Боголюбов, Д. Н. Зубарев, Ю. А. Церковников [105] показали, что
полученное на основе формулы (9.1) выражение для свободной
энергии в случае эффективного гамильтониана асимптотически
правильно для большой системы. — Прим. авт. при корректуре.

54
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
Разность энергий сверхпроводящего и нормального со-
состояний равна:
ft <ft.
к, ft'
Здесь y_k=z=ukvk и а\-\-v\=\. Коэффициенты uk, vk,
а следовательно и энергия, могут быть определены вариа-
вариационным методом. Удобно выразить их через пара-
параметр энергетической щели Дй и энергию квазичастиц
Ek= V е|-|-Д| следующим образом:
(9.3)
Энергия основного состояния минимальна, когда Дй является
решением интегрального уравнения:
ftft'
(9.4)
Для специального случая, когда Vfck>== — V при |ей|<
< Йсос, Дй = const при | s.k | < Йсос и Дй = 0 при | ек j > Йсос,
уравнение (9.4) принимает вид:
N(O)
с
+
(9.5)
Здесь плотность состояний заменена на Л^@) — ее зна-
значение на поверхности Ферми, т. е. при ей = 0. В пределе
слабой связи имеем:
(9.6)
Практически предельный случай слабой связи можно
использовать без внесения существенной ошибки, если
N(O)V <0,5.
В этом пределе разность энергий равна:
1
Ws — Wn = — -j N @) Д (ОJ,
(9.7)
где Д@) — параметр, характеризующий энергетическую
щель у поверхности Ферми. Поскольку взаимодействие Vktc'
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
55
по существу от массы изотопа не зависит, изотопи-
изотопический эффект возникает в силу того, что фононная энер-
энергия йсос, определяющая обрезание, изменяется пропорцио-
пропорционально М~1г (более общий вывод см. [106]).
Решение (9.1) построено так, чтобы наиболее полным
образом использовать доступную часть фазового прост-
пространства и получить таким образом максимальное число
парных взаимодействий. Вклад, вносимый состоянием пары
к в энергию конденсации, равен (для k > kp):
w* = *Л+2 2 ^«ал- =?* ~ *»• (9.8)
Первый член отвечает блоховской энергии обеих частиц
пары к, а второй — энергии взаимодействия, связанной
с матричным элементом, приводящим к переходу в состоя-
состояние пары к или выходу из этого состояния. Максималь-
Максимальный вклад вносится состояниями у поверхности Ферми,
где Wk = — b..
9.2. Кулоновское взаимодействие и эффекты,
связанные с конечным временем жизни возбуждений
Остается еще нерешенным вопрос о роли матричного
элемента Vkk1 экранированного кулоновского взаимодей-
взаимодействия, отличного от нуля в области вплоть до довольно
высоких энергий порядка ЕР над фермиевским фоном.
Боголюбов [13—17] предположил, что если не обрезать ку-
кулоновское взаимодействие при й(ос, но допустить образова-
образование пар вплоть до области энергий порядка ЕР, то можно
получить сверхпроводящее состояние с более низкой энер-
энергией. Его результат аналогичен получаемому при обреза-
обрезании у йсос, но с кулоновскими членами, уменьшенными на
множитель порядка log(EF/h(ac), который обычно равен <~5.
Если бы эти вычисления были правильны, возникли бы
два существенных затруднения: 1) показатель а для изо-
изотопического эффекта существенно отличался бы от 0,5,
что противоречит экспериментальным данным; 2) эффект
кулоновского взаимодействия снижается столь сильно,
что почти все металлы оказались бы сверхпроводниками.
Кроме того, хотя, конечно, речь идет лишь о приближенных

56
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
оценках, множитель, равный пяти, трудно согласовать с вы-
вычислениями Пайнса [97] и Моррела [98].
Один из авторов предположил, что обрезание при hmc
может определяться временем жизни квазичастичных
возбуждений. Когда |eft| велико, возбуждение может рас-
распадаться столь быстро, что само понятие возбуждения
становится уже недостаточно определенным. Математиче-
Математически это означает, что мнимая часть энергии при большом
\sk\ становится больше действительной части. Оценки,
приведенные в § 13 (см. рис. 33), показывают, что такая
ситуация имеет место при распаде, обусловленном фонон-
ным рассеянием вблизи дебаевской энергии; это может
дать желаемое обрезание. Однако существует, по-види-
по-видимому, еще одна энергетическая область, простирающаяся,
возможно, до 10Йсос, где возбуждения опять хорошо
определимы. При еще более высоких энергиях время
жизни становится опять коротким за счет процесса, в ко-
котором частица рассеивается с возбуждением другой ча-
частицы из фермиевского фона. Таким образом, неясно, ка-
какой именно процесс определяет обрезание. Разумное
значение для обрезания получалось бы, если потребовать,
чтобы время жизни было достаточно для прохождения
частицей расстояний порядка длины когерентности. Пока
еще не имеется достаточно хорошего математического под-
подтверждения этой гипотезы. Существенное затруднение свя-
связано с тем, что энергия сверхпроводящего перехода соста-
составляет очень малую,часть как кулоновской корреляционной
энергии, так и электронно-фононной собственной энергии.
Эффекты, связанные с конечностью времени жизни,
по-видимому, играют важную роль в случае свинца и
ртути, для которых энергия обрезания, вероятно, не
сильно превышает ширину энергетической щели. Для этих
двух элементов электронно-фононное взаимодействие яв-
является особенно сильным.
9.3. Спектр возбуждений
Энергию «единичного» квазичастичного возбуждения
можно определить следующим образом. Если во всех
конфигурациях одна из компонент пары, скажем kf, за-
заполнена, а другая компонента — kj. незаполнена, то cq-
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
57
стояние к в силу принципа Паули недоступно для перехо-
переходов пар с равными и противоположными импульсами. Это
приводит к вычитанию энергии Wk из энергии основного
состояния, т. е. дает возрастание энергии на Ek— ek [см.
(9.8)]. Энергия частицы к f равна sfe, так что суммарное
возрастание энергии равно Ek. Этим, конечно, и объясняются
принятые нами обозначения; Ek равно как раз энергии
квазичастиц в сверхпроводящей фазе. Минимальное зна-
значение Ek равно А @) — энергетическому параметру у по-
поверхности Ферми.
Парное возбуждение в состоянии к описывается функ-
функцией (8.8), ортогональной основному состоянию. Эта
функция описывает состояние, неблагоприятное с точки зре-
зрения связи: энергия при этом вместо Wk становится равной
sk-\-Ek. Энергия относительно основното состояния равна
поэтому 2Ek,, т. е. энергии двух единичных возбуждений.
При вычислении энергии с помощью эффективного гамиль-
гамильтониана нет необходимости различать между собой пары
«единичных» возбуждений и истинные «парные» возбужде-
возбуждения. Так же как и в нормальном металле, возбужденную
конфигурацию можно описать, задавая числа заполнения
т] (к, а), равные единице при наличии возбуждения и нулю
при отсутствии возбуждения. Заполнение обоих состояний
kf и —к | соответствует волновой функции возбужден-
возбужденной пары. Полная энергия возбуждения равна:
. а)Ек.
(9.9)
Из вышеприведенных рассуждений становится ясным,
почему в сверхпроводнике имеется энергетическая щель,
а в нормальном металле ее нет. Разрушение пары, ска-
скажем, при переходе электрона из состояния k f в другое,
бесконечно близкое состояние (k-|-Ak)f, приводит к по-
появлению единичных возбуждений — k | и (k-f-Ak)f. Это
исключает два состояния пар к и k-f-^k с точки зрения
возможности виртуальных переходов и приводит к соот-
соответствующему увеличению энергии на 2|^й(. В нормаль-
нормальном металле энергия взаимодействия связана с возможно-
возможностью виртуального перехода в состояния над фермиевским
фоном и в незаполненные состояния под фермиевским фо-
фоном. Перенос частицы из k f в (к-)-Дк)| означает, что

58
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
состояние (к + Дк) f больше недоступно, а состояние kf
доступно для таких переходов. Поскольку в нормальном
состоянии переходы (kf, —k|) не имеют преимуществ,
разность энергий становится бесконечно малой, когда Дк
приближается к нулю. Мы рассматриваем здесь только
когерентные вклады в энергию, обусловленные рассеянием
пар с противоположными спинами и импульсом. Влияние
других членов, входящих в гамильтониан взаимодействия,
как показывают оценки, невелико, если не говорить
о связанном с ними возникновении коллективных возбуж-
возбуждений.
При повышении температуры от 0°К число возбужде-
возбуждений возрастает, а энергия образования пар и энергетиче-
энергетическая щель уменьшаются. Поскольку квазичастичные со-
состояния в ^-пространстве могут заполняться независимо,
выражение для энтропии имеет вид, обычный для частиц,
подчиняющихся статистике Ферми — Дирака:
TS=— Г'2 {/(к, оIп/(к. а) — [1 —
— /(к. о)]1п[1— /(к, а)]}. (9.10)
Здесь § = kBT и /(к, а) — средние числа заполнения со-
состояний в окрестности (к, а). Параметр энергетической
щели определяется теперь таким образом, чтобы свобод-
свободная энергия, равная
k, k'
была минимальна. Миниминизируя F по отношению к hk,
находим совокупность квазичастиц, которая лучше всего
описывает состояния, возбужденные при температуре Т.
Это приводит к интегральному уравнению вида:
Д,
2Ek.
th
2kBT ¦
(9.12)
Максимальное значение Т, для которого имеется отличное
от нуля решение для Д, есть критическая температура Тс.
Как было указано Купером [107], форма интеграль-
интегрального уравнения такова, что при наличии энергетической
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
59
щели на части поверхности Ферми щель должна сущест-
существовать повсюду, за исключением, может быть, изолиро-
изолированных точек или линий1). Чтобы убедиться в этом, пред-
предположим противоположное, т. е. что параметр Ак повсюду
равен нулю, за исключением области R в /^-пространстве.
Тогда для точки k, не лежащей в области R, должно
выполняться условие:
2Ек.
th
2kBT
= 0.
(9.13)
Но если Vkk> не равно нулю для всех к', нет никаких
оснований считать, что сумма по k' равна нулю, за ис-
исключением, может быть, случайного обращения в нуль
в изолированных точках. Для общего взаимодействия па-
параметр ДА может принимать как положительные, так и
отрицательные значения2). Энергетическая щель, однако,
равна 2\Lk\. На рис. 6 энергетическая щель Д изобра-
изображена как функция температуры для упрощенной модели,
в которой Vkk,= — V при \ek\ < hu>c. В пределе слабой
связи критическая температура Тс дается равенством:
Ад7с=1.14А«.вехр[
] •
(9.14)
В большинстве случаев применения теории это равенство
используется для эмпирического определения средней кон-
константы взаимодействия. Энергетическая щель при Г=0
может быть выражена через Тс,
2Д@) = 3,52АвГс. (9.15)
Для упрощенной модели с постоянным взаимодействием
были проведены подробные вычисления свободной энергии
и теплоемкости как функций температуры. Результаты
будут обсуждены и сравнены с экспериментом в следую-
следующем параграфе.
') В работе [266*] было показано, что уравнение типа (9.12)
может быть сведено к однородному интегральному уравнению
типа Фредгольма. Щель Д^ пропорциональна решению этого
уравнения для основного собственного значения и поэтому не
имеет нулей.—Прим. ред.
2) Величина ДА.может быть и комплексной [168]. — Прим. ред.

60
§ 9. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ
Теория приводит к переходу второго рода со скачком
теплоемкости, но без выделения скрытого тепла при Тс.
Причиной отсутствия Х-точки с логарифмической особен-
особенностью (как это наблюдается в Не II и во многих других
случаях, связанных с появлением упорядоченности) яв-
является тот факт, что при сверхпроводящем переходе нет
ничего соответствующего ближнему порядку. Большая
0
Рис. 6. Изменение параметра энергетической щели Д с тем-
температурой вычисленное теоретически.
длина когерентности мешает образованию маленьких сверх-
сверхпроводящих областей с размерами порядка атомных (речь
идет о приближении к Тс из области более высоких тем-
температур). Вентцель [108] привел соображения в пользу
того, что разность между членами собственной энергии
для нормального и сверхпроводящего состояний, которая
не учитывалась при нашем рассмотрении, может привести
к появлению весьма небольшой скрытой теплоты пере-
перехода 2).
') Имеются все основания полагать, что фазовый переход
в сверхпроводниках в принципиальном отношении вполне подо-
подобен другим переходам 2-го рода (например, Х-переходу в Не4).
Отличие между сверхпроводящим и другими переходами 2-го рода
является количественным и связано с относительно очень ма-
малыми флуктуациями «концентрации сверхпроводящих электро-
электронов» в сверхпроводниках [241*]—Прим. ред.
§ 10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
61
§ 10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Ранние измерения электронной теплоемкости в сверх-
сверхпроводящем состоянии ces дают в согласии с двухжидко-
стной моделью Гортера—Казимира [51] зависимость ces Г3.
Отклонения от закона Г3 впервые наблюдались ^Брау-
^Брауном, Земанским и Бурзом [99] в опытах с ниобием. Эти
авторы обнаружили грубое согласие с моделью Коппе [3],
которую можно интерпретировать как модель с энергети-
энергетической щелью [100]. Поскольку одной из основных черт
современной теории является наличие энергетической
щели в спектре квазичастичных возбуждений, эта теория
предсказывает экспоненциальное понижение электронной
теплоемкости при Г—»- 0. Вычисления, основанные на вы-
выражениях (9.11) для свободной энергии, дают:
Здесь р= l/fsBT и Д— функция Ферми для квазичастиц.
В случае, когда Vkk> = — V при | ek | < Ишс и | гк. | < Ишс
V 0 | | \1
у kk ри |
и Vkk' = 0 для больших значений
| с |
ft | и \ек-1,
=Д= const и определяется из уравнения:
величина
th (l
ПРИ I ги I < Ьюс> вне эт°й области. Aft = 0. При
теплоемкость см может быть выражена в виде:
а с
8,5 ехр(—1,44-^-),
25 ехр^—1,62-^-),
-4# < 11.
A0.3)
При сверхнизких температурах коэффициент у экспоненты
стремится к 1,76.
Измерения теплоемкости, проведенные Кораком и
др. [109] на ванадии, а также Кораком и Саттервайтом^ГЮ]-

62
§ 10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
на олове, дали экспоненциальную зависимость теплоем-
теплоемкости при 7*f/7*> х/з:
= а ехр[--*?-].
(Ю.4)
Здесь а = 9,17 и 6=1,50, что находится в хорошем со-
согласии с теоретической кривой для этой области. Гуд-
ман [111] продолжил измерения на ванадии и олове до
значений 7"С/Г>8. Он нашел, что данные для ванадия
согласуются с законом A0.4) вплоть до сверхнизких тем-
температур, в то время как для олова кривая зависимости
\ogcesliTc от Тс/Т загибается вверх при 7"с/7"> 4. Результа-
Результаты недавних экспериментов Чжоу, Уайта и Джонстона [112],
проведенных на ниобии, не противоречат формуле A0.4)
с параметрами, определенными из данных для ванадия,
хотя для более низких температур их экспериментальные
точки также ложатся выше кривой A0.4). Гудман [111],
Заварицкий [113] и Филлипс [114] (см. также [115]) не-
независимо провели измерения теплоемкости алюминия. Дан-
Данные Заварицкого и Филлипса близки к экспоненциальному
закону до температур Тс/Т=6 с значением коэффициента
в A0.4), несколько меньшим теоретического. Данные Гуд-
мана определенно указывают на загиб кривой вверх, на-,
чиная с Тс/Т= 4 (рис. 7). Измерения, проведенные на
цинке Филлипсом, также дают загиб кривой вверх, хотя
аналогичные измерения Заварицкого опять совпадают
с экспонентой. Было предположено, что этот загиб кри-
кривой вверх обусловлен либо состояниями, расположенными
в энергетической щели, например коллективными состоя-
состояниями, либо анизотропией энергетической щели [115а].
Вычисления показывают, что плотность коллективных со-
состояний слишком мала, чтобы объяснить этот эффект.
Вторая возможность, по-видимому, не лишена оснований,
поскольку Морзе, Олсен и Гавенда [116] получили до-
доказательства анизотропии энергетической щели у олова,
для которого кривая теплоемкости загибается вверх при
Тс/Т~> 4!). Измерения критического магнитного поля как
функции температуры в комбинации с термодинамическим
') Результаты работы [267*] по измерению теплопровод-
теплопроводности в Оа, In и Cd дают для величины анизотропии щели
оценку ~30—40%. —Прим. ред.
§ 10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
63
соотношением
8*
A0.5)
дают точный метод определения ces при низкой темпера-
температуре. Данные Максвелла и Лутса [117], полученные на
Рис. 7. Теоретическая кривая для электронной теплоемкости
и эмпирические данные, полученные для некоторых сверхпро-
сверхпроводников со слабой связью.
Сплошная кривая для AI соответствует данным Заварицкого ГП31 и Фил-
лнпса [114]; пунктирная кривая для AI — данным Гудмана [II1J.
таллии, индии и олове, а также недавние результаты для
свинца, полученные Мапотером и др. [Ц8, 119], даны

64
§10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
на рис. 8, где приведены отклонения от закона 1 —(Т/ТсJ,
находящегося в согласии с моделью Гортера — Казимира.
0,021
Рис. 8. Отклонение критического магнитного поля от
закона Нс/Н0 = 1—(Т1ТСJ, согласующегося с двух-
жидкостной моделью Гортера—Казимира.
Отрицательные отклонения для олова, ванадия и др.
отражают экспоненциальное падение электронной теплоем-
теплоемкости. Положительные отклонения для ртути и свинца
. § 10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 65
указывают на то, что сверхпроводники с отношениями TC/QD
нужно рассматривать отдельно. Как мы увидим далее,
представляется вероятным, что эти металлы нужно рас-
рассматривать на основе теории промежуточной или сильной
связи, в то время как приближение слабой связи, по-ви-
по-видимому, хорошо описывает остальные сверхпроводники.
5 в
rjr
Рис. 9. Кривые электронной теплоемкости
в сверхпроводящем состоянии для элементов
с «промежуточной» связью и теоретическая
кривая для случая слабой связи.
Кривые электронной теплоемкости РЬ и Yig, полученные
из магнитных измерений, изображены на рис. 9.
Таким образом, на основе данных, полученных из
тепловых и магнитных измерений, можно заключить, что
экспоненциальное изменение ces с температурой ниже Тс —
общее свойство сверхпроводников и является следствием
наличия энергетической щели в спектре элементарных
5 Зак. 140. Дж. Бардин, Дж. Шрнффер

66 § И. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
ces ниже
возбуждений. Уменьшение скорости изменения
Тг/Т= 4 может быть связано либо с существованием
относительно небольшого числа состояний с меньшей
энергетической щелью, либо, что более вероятно, с ани-
анизотропией энергетической щели.
Скачок теплоемкости, соответствующий фазовому пе-
переходу второго рода при Тс, согласно теории [12] равен:
с.я — -[Т
= 1,43.
A0.6)
В модели Гортера — Казимира это отношение равно 2,00,
а в модели Коппе [120] — 1,71. Эмпирические значения
отношения ces/~(Tc приведены в табл. III1).
Таблица III
Отношение электронных теплоемкостей некоторых
элементов в сверхпроводящем и нормальном состояниях
(при Тс)
Элемент
РЬ
Hg
Nb
Sn
AI
e,siTe)fiTe
3,65
3,18
3,07
2,60
2,60
Элемент
Та
V
Zn
Tl
Теория
ces (Tc)HTc
2,58
2,57
2,25
2,15
2,43
§ П. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ
КОГЕРЕНТНОСТИ
11.1. Теория
Для многих применений теории необходимо вычислить
матричные элементы между возбужденными состояниями
системы для оператора взаимодействия, выраженного через
') Согласно работе [266*] теплоемкость анизотропного сверх-
сверхпроводника как функция приведенной температуры при низких
температурах больше, чем предсказываемая на основе изотроп-
изотропной модели. Там же показано, что изотропная теория дает за-
завышенное значение для скачка теплоемкости при Тс (ср. табл. III).
— Прим. ред.
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 67
одночастичные операторы в форме:
Вка, Wa'
к, а, к', а'
A1.1)
Здесь Вка.к'а' — матричный элемент для рассеяния из ко
в к'af, a eta и с^ — операторы рождения и уничтожения
квазичастичных возбуждений в нормальном состоянии.
В блоховском приближении волновые функции отдельной
частицы еря, (х) могут быть определены для самосогласо-
самосогласованного поля, которое мало изменяется при небольших
возбуждениях системы. В этом случае
Вк а, к'.' = / <(*'«' (X) Нх (X) срка (X) dx. A 1 .2)
Здесь величина х может быть определена так, чтобы она
включала спиновую переменную. В более общем виде
матричный элемент определяется для многочастичных функ-
функций нормального состояния, учитывающих эффекты кор-
корреляции и изменяющихся при переходе квазичастицы из ко
в к'а'. Другими словами, в начальном состоянии ко за-
заполнено, а к'а' свободно; в конечном состоянии к'а' за-
заполнено, а ко свободно. Заполнение других квазичастич-
квазичастичных состояний для начального и конечного состояний
системы одинаково. Матричный элемент Вкз, к'я' может
также слабо зависеть от конфигурации других частиц,
но для небольших возбуждений системы этой зависимостью
обычно можно пренебречь. Матричный элемент гамильто-
гамильтониана Нх между возбужденными состояниями сверхпрово-
сверхпроводящей фазы может быть вычислен непосредственно из соот-
соответствующих матричных элементов для нормального со-
состояния.
Сильное различие между сверхпроводниками и нор-
нормальными металлами вызвано эффектами когерентности,
связанными с волновыми функциями пар [12]. В нормаль-
нормальном состоянии рассеяние из ко в к'а' совершенно не зави-
зависит от рассеяния из —к', —а' в —к. —а, так же как
и от всех других переходов. Вероятность рассеяния из ко
в к'а' пропорциональна | -8ка, к'*' |2> а вероятность рас-
рассеяния из —к', —а' в —к, —а пропорциональна
\В-к\-а>,-к-а\2- В сверхпроводнике, в силу характера
волновых' функций пар, оба указанных вклада когерентны,
5*

68 § 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
и до возведения в квадрат матричные элементы нужно
сложить. Чтобы убедиться в правильности этого утвер-
утверждения, рассмотрим матричный элемент оператора неза-
независящего от спина взаимодействия между двумя возбу-
возбужденными состояниями сверхпроводника. Предположим,
что в начальном состоянии k f заполнено одной частицей,
а пара к' или находится в своем основном состоянии,
или возбуждена (см. § 9). В любом случае начальное со-
состояние есть линейная комбинация нормальных конфигу-
конфигураций, в каждой из которых k f заполнено, а — к j.
свободно. В некоторых конфигурациях (см. рис. 10, а)
Начальное состояние
к\ -к\ к'\ -к
(с) о
Конечное состояние
(Ь)т о.^ • _^J» (tfj* • • о
Рис. 10. Конфигурации, соответствующие случаю, когда
квазичастица переходит из заполненного состояния k f
в состояние к'f.
состояние пары k's=(k'f, —к'|) незаполнено, в других
(рис. 10, Ь) оно заполнено. Мы предполагали, что в ко-
конечном состоянии пара к находится или в своем основном
состоянии, или возбуждена и что к' f заполнено одной
частицей. В конфигурации (с) на рис. 10 пара к незапол-
нена; в конфигурации (d) пара заполнена.
Неравные нулю матричные элементы гамильтониана Нг
между двумя конфигурациями (а) и (с) (что соответствует
рассеянию из kf в k'f) должны существовать, если за-
заполнение всех других состояний одинаково. Однако су-
существует также неравный нулю матричный элемент пере-
перехода между начальным и конечным состояниями, соответ-
соответствующими рассеянию частицы из — к' | в конфигурации (Ь)
в —к j, конфигурации (d); в этом случае все остальные
состояния также должны иметь одинаковые числа запол-
заполнения. Полное число частиц в конфигурациях (а) и (с)
должно быть таким же, как в конфигурациях (Ь) и (d);
поэтому в (а) и (с) в состояниях, не показанных на рис. 10,
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 69
находится на две частицы больше, чем в (Ь) и (d). Когда
общее число частиц велико, это различие оказывает пре-
пренебрежимо малое влияние на вес, с которым различные
конфигурации нормальных состояний входят в сумму,
представляющую собой волновую функцию сверхпрово-
сверхпроводящего состояния.
В зависимости от природы взаимодействия два вклада
(а)->(с) и (b)—>(d) могут складываться в фазе или
в противофазе. Вообще говоря, В имеет одну и ту же
величину как для kf—>k'f, так и для —k'j.—> — k|,
поскольку разности волновых векторов одинаковы; однако
знак В может быть для обоих случаев переходов разли-
различен. Оба случая можно записать в виде:
(случай I)
-к, -о, -к-, -„'.
-к, -с,-к\ -а'.
II)
где
= -f- 1 для а = а' и
= — 1 для а = — а'
Первый случай применим к обычному потенциальному
взаимодействию типа, определяющего поглощение продоль-
продольных ультразвуковых волн. Второй случай относится
к электромагнитному взаимодействию волн и к приводя-
приводящему к сверхтонкой структуре взаимодействию, учиты-
учитываемому при вычислении времени релаксации при ядерном
магнитном резонансе.
Факторы когерентности можно наиболее просто вычи-
вычислить с помощью квазичастичных операторов, введенных
Боголюбовым и Валатиным [13—22]. Как «одиночные»,
так и «парные» возбуждения сверхпроводника могут быть
выражены через операторы:
ik+~ "*ск+—vkc-kr AL3)
Здесь так же как в § 9 uk = }/rl —hk и vk= у hk. Оди-
Одиночное возбуждение в (к, а) определяется как fk^o*
а возбужденная пара в к как Tk+Tflk^o- Эти выРажения
соответствуют «одиночным» и «парным» возбуждениям,
рассматриваемым в § 9. Операторы f подчиняются обыч-
обычным коммутационным соотношениям статистики Ферми —
Дирака. В нормальном состоянии (Д — 0) т?т порождает

70 § 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
частицу в kf, если к расположено над поверхностью
Ферми, и дырку в —kj., если к находится под поверх-
поверхностью Ферми. Сверхпроводящее основное состояние может
быть определено как вакуум для квазичастичных возбу-
возбуждений:
При таком определении ЧГ0 можно рассматривать как
смесь состояний с различным полным числом частиц, имею-
имеющую резкий максимум вблизи среднего числа частиц п.
Это упрощает математический формализм и не создает
никаких трудностей для систем с большим числом частиц.
В сказанном можно убедиться следующим образом. Мат-
Матричные элементы оператора Hv сохраняющего число ча-
частиц (но не квазичастиц), для перехода между состоя-
состояниями ЧГа могут быть вычислены с помощью разложения ЧГв
на компоненты ^ап>, каждая из которых отвечает фикси-
фиксированному числу частиц:
ЧГв = 2/!„.?•«,. (И-6)
л'
Здесь (Wans Ч!\ш')= 1- Поскольку Нг сохраняет число ча-
частиц, имеем:
(VW = 2 А*п'Ап
л'
(П.7)
Как и в случае канонического распределения, веса |Л„-|2
имеют резкие максимумы, расположенные вблизи среднего
числа частиц п. Поскольку матричный элемент для л-ча-
стиц медленно изменяется с п, полный матричный элемент
оператора Нх между функциями ЧГа с точностью до вели-
величин порядка 1/л равен соответствующему матричному эле-
элементу перехода между состояниями с я-частицами.
В терминах ^"опеРатоРов сумма двух когерентных
вкладов в матричный элемент (опуская общий множи-
множитель Bk'a't ktr) равна:
CkVCk ± в'С*кСк'' =
±
1.8)
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 71
Первый член правой части соответствует рассеянию квази-
частиц, а второй — образованию или уничтожению двух
квазичастиц. Например, матричный элемент для рассеяния
квазичастицы в сверхпроводящем состоянии из ко в к'а'
есть i?k'a', кя(«й'«й + Vk'Vk)- Верхний знак «—» соответ-
соответствует случаю I (см. выше), а нижний знак «-f-» ¦—слу-
¦—случаю II. В нормальном металле образование пары возбу-
возбуждений соответствует возбуждению электрона из состояния
под поверхностью Ферми в состояние над поверхностью
Ферми, что сопровождается образованием дырки под по-
поверхностью Ферми и появлением возбужденной частицы
над нею.
Вероятность перехода из состояния с энергией Е в со-
состояние с энергией E-\-hu>, вызванного взаимодействием
с полем угловой частоты ш, пропорциональна квадрату
матричного элемента и плотности конечных состояний
N(E-\-h(o). Чтобы получить суммарную скорость погло-
поглощения энергии, нужно взять разность между непосред-
непосредственным поглощением и индуцированной эмиссией, а также
провести суммирование по начальным состояниям. Отно-
Отношение Оу/а„ поглощения в сверхпроводнике к поглощению
в нормальной фазе можно получить, если принять, что
нормальные матричные элементы Bk'a't ka не зависят от
разности энергий между начальным и конечным состоя-
состояниями (хотя они могут зависеть от угла между к' и к).
Это приближение должно быть очень хорошим, поскольку
рассматриваемые разности энергии обычно очень малы по
сравнению с энергией Ферми. Результат можно наиболее
просто выразить, если отказаться от нашего обычного
обозначения и считать, что Е имеет одинаковый знак с е,
т. е. положительно над поверхностью Ферми и отрица-
отрицательно под поверхностью Ферми.
Тогда имеем [12]:
A1.9)
где / (Е) — обычная функция распределения Ферми,
a Ns (E) — плотность энергетических состояний в сверх-

72 § 11 . ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
проводнике, равная
»r dz
= N@) — = N@) —и-.
"dE t [Е2— Д2]/г
A1.10)
Мы можем предположить, что Л^л не зависит от энергии
и равно N@). Заметим, что Ns становится бесконечной
КО
0,6
"«Г
0,2
1
ОЯ
ол
0,6
0,8 1,0
т/тс
Рис. 11. Отношение коэффициентов затухания продоль-
продольных ультразвуковых волн в сверхпроводящем и в
нормальном состояниях и теоретическая кривая для
случая I в пределе ha> <^ ЬвТс.
Экспериментальные точки соответствуют: О — Sn, 33,5 Мгц;
9 — Sn, 54,0 Мгц; П —In .А', 28,5 Мгц; Д — In „В-, 35,2 Мгц.
Сплошная линия — теоретическая кривая.
на поверхности Ферми, т. е. при е = 0 или Е= ± Д.
Тогда отношение поглощения в сверхпроводящем и
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 73
нормальном состояниях равно:
Г7Ч~'' *'л11^- A1.11)
А2) {(Е + haJ —
Верхний знак соответствует случаю I, отвечающему вычи-
вычитанию матричных элементов при Йш < 2Д; нижний знак
соответствует случаю II. Разница особенно заметна при
0
Рис. 12. Отношение коэффициентов поглощения в сверхпрово-
сверхпроводящей и нормальной фазах для случая II.
Экспериментальные точки —величины, обратные временам релаксации спина
в алюминии; ошибки измерения не приводятся. Кривая для hu> 00lkT
вычислена Гебелем [37] для уширенных уровней; другие кривые получены
я переноса энергии, равного кш. Э
? — Редфилдом и Андерсоном
Миллером [149] для переноса энергии, равного кш
ные получены: ~
Шлихтером [36].
кспериментальные дан-
[38]; О — Гебелем и
очень низких частотах йш <^ Д. В случае I (затухание
ультразвуковых волн) отношение <x.Ja.n падает при темпе-
температурах ниже Тс с бесконечной производной в самой Тс.
В пределе hw—>0 получаем:
2 A1.12)
l + expf
v\l

74 § 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
Таблица IV
Термодинамические функции [148J (с0 = сеп (Тс) = уТс)
т
Тс
1,00
0,98
0,96
0,94
0,92
0,90
0,88
0,86
0,84
0,82
0,80
0,78
0,76
0,74
0,72
0,70
0,68
0,66
0,64
0,62
0,60
0,58
0,56
0,54
0,52
0,50
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
0,38
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
Л (Г)
МО)
0,0000
0,2436
0,3416
0,4148
0,4749
0,5263
0,5715
0,6117
0,6480
0,6810
0,7110
0,7386
0,7640
0,7874
0,8089
0,8288
0,8471
0,8640
0,8796
0,8939
0,9070
0,9190
0,9299
0,9399
0,9488
0,9569
0,9641
0,9704
0,9760
0,9809
0,9850
0,9885
0,9915
0,9938
0,9957
0,9971
0,9982
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
5
со
1,0000
0,9519
0,9048
0,8587
0,8136
0,7694
0,7263
0,6842
0,6432
0,6032
0,5643
0,5266
0,4900
0,4546
0,4203
0,3873
0,3554
0,3249
0,2956
0,2676
0,2410
0,2157
0,1918
0,1693
0,1482
0,1285
0,1103
0,0937
0,0784
0,0646
0,0524
0,0416
0,0322
0,0243
0,0177
0,0124
0,0082
0,0051
0,0030
0,0016
0,0007
0,0003
0,0001
0,0000
—р
С0ТС
0,5000
0,4805
0,4619
0,4443
0,4276
0,4117
0,3968
0,3827
0,3694
0,3569
0,3453
0,3344
0,3242
0,3148
0,3060
0,2979
0,2905
0,2837
0,2775
0,2719
0,2668
0,2622
0,2582
0,2545
0,2514
0,2486
0,2462
0,2442
0,2425
0,2410
0,2399
0,2389
0,2382
0,2376
0,2372
0,2369
0,2367
0,2366
0,2365
0,2365
0,2364
0,2364
0,2364
0,2364
я20
ь*оге
0,0000
0,0003
0,0011
0,0025
0,0044
0,0067
0,0096
0,0129
0,0166
0,0207
0,0253
0,0302
0,0354
0,0410
0,0468
0,0529
0,0593
0,0659
0,0727
0,0797
0,0868
0,0940
0,1014
0,1087
0,1162
0,1236
0,1310
0,1384
0,1457
0,1528
0,1599
0,1667
0,1734
0,1798
0,1860
0,1919
0,1975
0,2028
0,2077
0,2123
0,2164
0,2202
0,2236
0,2266
, А@)
А (Г)
1,0000
0,9601
0,9206
0,8814
0,8425
0,8041
0,7660
0,7283
0,6911
0,6544
0,6182
0,5826
0,5475
0,5131
0,4793
0,4463
0,4140
0,3825
0,3518
0,3221
0,2933
0,2656
0,2389
0,2133
0,1890
0,1660
0,1442
0,1239
0,1055
0,0878
0,0721
0,0580
0,0456
0,0348
0,0257
0,0182
0,0123
0,0078
0,0046
0,0024
0,0011
0,0005
0,0001
0,0000
ces
со
2,4261
2,3314
2,2378
2,1454
2,0541
1,9639
1,8750
1,7874
1,7010
1,6159
1,5321
1,4498
1,3689
1,2894
1,2115
1,1352
1,0605
0,9874
0,9162
0,8467
0,7792
0,7136
0,6501
0,5888
0,5298
0,4731
0,4190
0,3675
0,3188
0,2731
0,2305
0,1913
0,1555
0,1233
0,0950
0,0706
0,0502
0,0338
0,0212
0,0121
0,0061
0,0027
0,0009
0,0002
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 75
Эта функция (вычисленная с помощью значений для Д(Г),
приведенных в табл. IV), изображена на рис. 11. В слу-
случае II поглощение при низких частотах быстро возрастает
с падением температуры ниже Тс (рис. 12). Логарифми-
Логарифмическая расходимость интеграла в пределе Ьш —> 0 связана
с особенностью плотности состояний Ns. С повышением
fm/kj,.
Рис. 13. Поглощение за пределами щели для случая II при
Т=0° К, выраженное в виде отношения проводимостей в сверх-
сверхпроводящей и нормальной фазах.
Экспериментальные точки взяты из ранних измерений Гловера и Тиикхама
[28] по прохождению электромагнитного излучения сквозь тонкие пленки;
они соответствуют: / —РЬ, /?л=192 ом/см2; 7"/Гс = 0,30± 0,05; 2 —РЬ,
7?Л=Ш ом/см'; 77Гс = 0,30±0,05; 3 —Fb, #„ = 36 ом/см2, Т/Гс = 0,ЗО± 0,10;
1' с ~
f-Sn,
= 174 ом/см',
0,58±0,10.
частоты максимум поглощения понижается, пока частота
не достигнет значения, соответствующего энергии 0,5/гвТс.
Тогда падение поглощения начинается с Тс. При низких
частотах поглощение вызывается только частицами, уже
находящимися в возбужденном состоянии. При более вы-
высоких частотах возникает дополнительное поглощение,
связанное с возбуждением частиц при переходе через щель,
которое происходит при йш > 2Д (Г). Щель уменьшается

76 §11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
с повышением температуры; перегиб в кривой поглощения
наступает при температуре, для которой 2Д (Г)~Ло>.
При сверхнизких температурах, когда лишь небольшое
число частиц возбуждено в результате теплового движе-
движения, поглощение очень мало до тех пор, пока частота не
превысит значения и>г = 2Д @)/Й, соответствующего щели
при Г=О°К- На рис. 13 показано, как с возрастанием со
в области со > wg поглощение быстро увеличивается до
значения поглощения в нормальном металле. Такая картина
наблюдалась при прохождении электромагнитного излуче-
излучения через тонкие пленки [28—31]. Перейдем теперь к обсу-
обсуждению некоторых экспериментальных данных, связанных
с эффектами когерентности.
11.2. Затухание ультразвука
Основным источником затухания ультразвуковых волн
в металлах при сверхнизких температурах служит взаимо-
взаимодействие с электронами проводимости. Рассмотрим сначала
продольные волны. На основе ранних измерений поглоще-
поглощения в сверхпроводниках, произведенных Бёммелем [121]
и Макинноном [122], было выяснено, что быстрое падение
затухания с понижением Г ниже Тс связано с уменьше-
уменьшением числа «нормальных» электронов. Однако наблюдае-
наблюдаемое падение затухания оказалось столь резким, что его
было трудно согласовать с другими оценками уменьшения
плотности нормальной компоненты р„, основанными на
двухжидкостной модели. Например, теория Гортера — Ка-
Казимира [51] предсказывает, что р„/р со (Т/ТсL.
В современной теории в результате интерференцион-
интерференционного эффекта, соответствующего случаю I, влияние боль-
большой плотности состояний у края щели не сказывается.
Поэтому остается только фермиевский фактор A1.12).
Быстрое падение затухания отражает резкое увеличение
щели при температурах ниже Тс. Простая теория, приво-
приводящая к выражению A1.12), применима, когда ql^> 1,
где q — волновой вектор продольной волны, а / — средняя
длина свободного пробега для рассеяния на примесях.
Тогда взаимодействие с электронами можно рассматривать
как соответствующее излучению и поглощению фононов.
Другой предельный случай ql <С! 1 был рассмотрен Кре-
§ 11, вероятности Перехода и Эффекты когерентности 77
синым [123]; Цунето [124] провел общие вычисления, при-
пригодные при всех значениях /. Температурная зависимость
затухания не очень сильно отличается от случая /—>со.
С целью проверки теории Морзе и Бомом [33—35]
было поставлено несколько тщательных экспериментов.
о
Рис. 14. Температурная зависимость Д (получена из экспери-
экспериментов Морзе и Бома [33—35] по затуханию продольных зву-
звуковых волн в олове) и соответствующая теоретическая кривая.
Экспериментальные точки соответствуют: О —Sn. 33.5 Мгц; Ф—Sn, 54 Мги.
Сплошная линия —теоретическая кривая.
Они нашли, что выражение A1.12) прекрасно согласуется
с их измерениями, произведенными на поликристаллическом
индии и на очень чистом монокристалле олова (см. рис. 11).
Температурная зависимость ширины энергетической щели
для олова, определенная с помощью A1.12), в сочетании
с эмпирическими результатами, полученными на частотах
33,5 и 54 Мгц, приведена на рис. 14. Направление

78 §11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
распространения совпадает с осью [001]. Наилучшее значе-
значение для энергетической щели при Г=0°К равно 3,54kBTc.
Оно удивительно близко к значению 3,52kBTc, предска-
предсказанному для всех металлов на основе упрощенной теории
(т. е. теории, использующей постоянные матричные эле-
элементы с обрезанием при |е| ==Лшс). Более поздние изме-
измерения [116, 125] затухания волн, распространяющихся
в различных направлениях, указывают на заметную кри-
кристаллическую анизотропию величины Д@), и следовательно,
отмеченное выше согласие частично носит случайный ха-
характер. Таким образом, прежде чем тщательно сравнивать
теорию с экспериментом, необходимо провести рассмотре-
рассмотрение, учитывающее анизотропию параметров нормального
состояния. Наибольшее расхождение теории с эксперимен-
экспериментом наблюдается вблизи Тс, где экспериментальные резуль-
результаты указывают на более быстрое увеличение щели с по-
понижением температуры, чем это предсказывает теория.
Относительный коэффициент затухания, полученный
Морзе и Олсеном [116] на образцах из очень чистого
олова в условиях ql~^$>\, приведен на рис. 15 для трех
кристаллографических ориентации. При Тс/Т^> 1,5 кривые
хорошо аппроксимируются прямыми линиями, с помощью
которых получены значения 2Д@), приведенные в табл. V.
Таблица V
Кристаллическая анизотропия А для олова,
полученная Морзе и др. из данных по затуханию
продольных ультразвуковых волн
Параллельно [001]
Параллельно [ПО] •
Перпендикулярно [001] ">
18° с направлением [100] )
3.2 ±0,1
4.3 ±0,2
3,5 ±0,1
В силу закона сохранения энергии и импульса в процессе
поглощения проекция групповой скорости квазичастиц на
направление распространения звука должна быть равна
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 79
скорости звука s. Большая часть квазичастиц имеет ско-
скорости порядка Vp. Поскольку vF ^> s, вклад в затухание
вносят только частицы, волновые векторы которых
расположены на диске, перпендикулярном направлению
- 0,01
Рис. 15. Кристаллическая анизотропия относи-
относительного коэффициента затухания продольных
ультразвуковых волн, полученная Морзе и
Олсеном [116] из измерений на очень чистом
образце олова с gl ~^> 1.
распространения волны. Эксперименты, проведенные на
ориентированных монокристаллах, дают непосредственные
значения энергетической щели, усредненной по такому
диску [268*].
Некоторые экспериментальные данные [126] по погло-
поглощению поперечных волн в поликристаллическом олове при
1 приведены на рис. 16, где можно видеть еше

80 §11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
более резкое падение поглощения при Тс, за которым
следует более медленное понижение, отвечающее, по-
видимому, закону A1.12). Наиболее вероятно, что указанное
очень резкое падение, почти соответствующее разрыву,
Рис. 16. Температурная зависимость относительного
коэффициента затухания поперечных ультразвуковых
волн в олове, измеренная Бомом и Морзе [126].
обусловливается сильным экранированием поперечного поля
сверхпроводящими токами, поскольку благодаря эффекту
Мейсснера магнитное поле, создаваемое поперечными то-
токами, связанными с поперечными волнами, будет экрани-
экранироваться на расстоянии порядка Х^5- 10~6 см. Морзе
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 81
предположил, что более плавное уменьшение затухания
при температурах ниже Тс связано со сдвиговыми напря-
напряжениями, приводящими к изменению энергии электрона и
поэтому к затуханию. Частично это может быть связано
с эффектами релаксации типа эффекта, описанного Китте-
лем [127] для нормального состояния. Как заметил Морзе,
поперечные волны могут в принципе дать более подробные
сведения об анизотропии энергетической щели, поскольку
поперечная поляризация способствует расположению опре-
определенных групп квазичастиц на диске, перпендикулярном q.
Поэтому важно иметь более полное представление о про-
процессе затухания поперечных волн в сверхпроводящем со-
состоянии.
11.3. Релаксация ядерного спина
Примером эффектов когерентности, соответствующих
сложению матричных элементов (случай II), является свя-
связанная с квазичастицами релаксация ядерных спинов. Одно-
Одновременно с развитием современной теории Гебель и Шлих-
тер [36], используя изящный метод, смогли измерить ско-
скорость релаксации ядерных спинов при нулевом поле
в сверхпроводящем алюминии. Более поздние результаты,
полученные Редфилдом и Андерсоном [38], приведены
на рис. 17. Скорость релаксации увеличивается вдвое
сразу же при понижении температуры ниже Тс и затем
постепенно понижается по мере дальнейшего уменьшения
температуры. Поскольку релаксация в основном обусло-
обусловлена обменом энергии с электронами проводимости, воз-
возрастание скорости релаксации невозможно было бы объяс-
объяснить на основе обычной двухжидкостной модели с ее
резким падением плотности «нормальных» электронов
при 7*< Тс. Как показали Гебель и Шлихтер, современ-
современная теория находится в хорошем согласии с вышеприве-
вышеприведенными экспериментальными результатами. В процессе
релаксации фактически происходит крайне небольшой пере-
перенос энергии и, таким образом, соответствующее значе-
значение hia чрезвычайно мало. Чтобы получить согласие
с экспериментом Гебель и Шлихтер предположили, что
уровни квазичастиц не являются идеально резкими, а раз-
размыты на величину .— 0,01&_7*c«rf 10~6 эв. Благодаря этому
б Зак. 140. Дж. Бардин, Дж. Шриффер

82 §11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ
исчезает расходимость, которая в противном случае должна
была бы появиться в интеграле A1.11). Причина ушире-
ния уровней остается неясной.
Андерсон и Редфилд [38] недавно распространили изме-
измерения в алюминии на область температур вплоть до TJT— 6.
Рис. 17. Время релаксации ядер 7", для сверхпроводящего
алюминия.
Теоретические кривые построены на основе современной теории с плотностью
состояний вблизи края щели, замененной на функцию в виде прямоугольника
(ширина Id, высота 4,d, где Д/^ = г). Пунктирные и сплошные кривые вычи-
вычислены соответственно для значений 2A@)fkgTc, равных 3,52 и 3,25 (последнее
значение получено Бьонди н Гарфункелем из микроволновых измерений).
Экспериментальные точки получены: О — Андерсоном и Редфилдом [381, • —но-
—новые данные. Теоретические кривые соответствуют: 1 — 7", нормальному состоя-
состоянию (Н=Нсу, 2 — г=15 (не скорректирована); 3 — г = 60 (скорректирована);
4 — г=15 (скорректирована).
Их результаты, приведенные на рис. 17, находятся в хоро-
хорошем согласии с предсказаниями Гебеля и Шлихтера. Две
кривые на этом графике, отмеченные как «скорректиро-
«скорректированные», соответствуют различному выбору ширины уров-
уровней; значение энергетической щели было при этом на осно-
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И ЭФФЕКТЫ КОГЕРЕНТНОСТИ 83
вании экспериментов Бьонди и Гарфункеля [32] выбрано
равным 2Д = 3,25&ВГС, что на 7,5% меньше теоретически
предсказанной величины 2А=3,52?ВГС.
Недавно Хаммонд 1) наблюдал в Ga увеличение ско-
скорости релаксации в 1,7 раза при температурах ниже Тс.
Представляется вероятным, что увеличение скорости релак-
релаксации ядерного спина при температуре ниже Тс — общее
свойство сверхпроводников, хотя величина возрастания
зависит от конкретного вещества.
Важно ясно осознать, что наблюдаемое увеличение ско-
скорости релаксации ядерных спинов и резкое падение коэф-
коэффициента затухания ультразвука с понижением темпера-
температуры ниже Те предъявляет несовместимые требования
к обычной двухжидкостной модели. Одно из наиболее
важных достижений современной теории состоит в том,
что температурные изменения рассмотренных независимых
эффектов совершенно естественным образом следуют из
общего определения функций основного состояния и воз-
возбужденных состояний системы. Тем самым мы имеем убеди-
убедительное экспериментальное доказательство справедливости
концепции образования пар в сверхпроводящем состоянии.
Хотя экспериментально наблюдаемые эффекты когерент-
когерентности сами по себе не дают возможности убедиться в том,
что только взаимодействия kf, —k| обусловливают раз-
разницу между сверхпроводящим и нормальным состояниями,
концепция таких пар согласуется с эмпирическими фак-
фактами. Другие возможности образования пар будут обсу-
обсуждены в § 13 при рассмотрении коллективных возбуждений.
Не исключено, что системы с сильным взаимодействием
между частицами в состояниях с нечетными моментами
количества движения или при наличии больших сил, зави-
зависящих от спинов и стремящихся установить спины квази-
квазичастиц параллельно, лучше описывались бы при введении
пар с параллельными спинами. До сих пор еще не было
найдено доказательств в подтверждение такой точки зре-
зрения, и мы будем полагать, что для рассматриваемой нами
системы к основному состоянию приводит образование пар
с антипараллельными спинами, как это и было при-
принято выше.
') R. H. Hammond, частное сообщение.
6*

84 § 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
12.1. Теория
Для построения теории электромагнитных свойств сверх-
сверхпроводников необходимо иметь выражение для плотности
тока при полях, произвольно изменяющихся в простран-
пространстве и во времени. Действующее на систему полное поле,
т. е. сумма приложенного поля и поля, вызванного токами
в металле, согласованным образом определяется с помощью
уравнений Максвелла. В своей основной статье Купер и
авторы [12] получили выражение для тока, вызванного
слабыми квазистатическими полями, путем рассмотрения
электромагнитного взаимодействия по теории возмущений
и при учете только одночастичных возбуждений (это зна-
значит, что коллективные возбуждения не принимались во вни-
внимание. ^-Ред). Позже Маттисом и одним из авторов [128],
а также независимо Абрикосовым, Горьковым и Халатни-
ковым [4, 129, 130] теория была обобщена на случай полей
произвольной частоты. В настоящем параграфе мы при-
приведем только результаты этих работ и сравним теорию
с экспериментом для некоторых явлений. Как мы увидим,
в общем теория прекрасно согласуется с экспериментом
в широкой области температур и частот. Прежде чем
перейти к описанию результатов, остановимся кратко на
использовавшихся методах, а также поясним, каким обра-
образом эффект Мейсснера с нелокальным соотношением между
током и вектор-потенциалом следует из модели с энерге-
энергетической щелью.
Доказательство существования эффекта Мейсснера, при-
приведенное Купером и авторами [12], подверглось критике
в силу того, что рассмотрение не было градиентно инва-
инвариантным. Отсутствие такой инвариантности обусловлено
двуми обстоятельствами:
1) Первое обстоятельство связано с тем, что эффектив-
эффективное взамодействие с обрезанием при |е| > Ьшс является
взаимодействием, которое нелокальным образом зависит
от импульса, и следовательно выражение для тока, связан-
связанного с квазичастицами, должно отличаться от обычного.
Однако оценки показывают, что при использовании обыч-
обычного выражения в пределе слабой связи ошибки соста-
§12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
85
вляют лишь величину порядка (Д/АшвJ и поэтому ею можно
пренебречь. Чтобы в этом убедиться, можно начать с рас-
рассмотрения градиентно инвариантной теории, в которой
электронно-фононное взаимодействие не заменяется на
эффективное взаимодействие между электронами. Такое
вычисление эффекта Мейсснера было проведено Рикайзе-
ном [131], который нашел, что поправочные члены дей-
действительно малы, если энергии и скорости квазичастиц
соответствующим образом перенормированы с целью учета
собственно энергетических поправок. Физически нелокаль-
нелокальные эффекты несущественны, поскольку характерный раз-
размер пар порядка S^—10~4 см велик по сравнению
с областью нелокального взаимодействия, которая обычно
порядка 10" см.
2) Второе обстоятельство более серьезно и ограничи-
ограничивает применимость вышеупомянутых уравнений случаем
поперечных электромагнитных волн, описываемых потен-
потенциалами с «поперечной» калибровкой. При разложении
в ряд, отвечающий теории возмущений, в рассмотрение
были включены только квазичастичные возбуждения; при
этом для вклада в ток от квазичастиц было использовано
обычное выражение. В приближении плоских волн вклад
в «поперечный» ток, вносимый квазичастицами, отвечаю-
отвечающими «единичному» возбуждению с волновым вектором к,
определяется величиной v = Ьк/т*, где т* — эффективная
масса электрона в нормальном состоянии. Нужно помнить,
что v не равно групповой скорости возбуждения:
1 dE I dE fife dE e
vv=v
Заметим, что для возбуждений у поверхности Ферми е = 0
и скорость v^. равна нулю. Так же как и некоторые
возбуждения (ротоны) в Не II, квазичастицы можно пред-
представлять себе как вихревые кольца. Кольцо в целом,
вместе с сопровождающим его «противотоком», движется
со скоростью v^., но средняя скорость потока через центр
кольца равна v. Как обсуждалось в § 5, «противоток»
в случае поперечных волн погашается, и следовательно,
чтобы получить выражение для тока, нужно суммировать по
различным возбуждениям не v^., a v. Для выполнения вычи-
вычислений явно градиентно инвариантным образом необходим

86
§12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
формализм, который является достаточно общим и учитывает
«противоток» и коллективные возбуждения J). Этот вопрос
обсуждался несколькими авторами 2), причем наиболее пол-
полным образом Рикайзеном [26] 3). Мы обсудим его в § 13,
где перечислены доказательства в пользу существования
непосредственного поглощения, связанного с коллектив-
коллективными возбуждениями.
Теория развита для металла бесконечной протяжен-
протяженности, причем определяется реакция системы на попереч-
поперечное электромагнитное поле с произвольным волновым
вектором q и частотой ш, описываемое вектор-потенциалом:
A = Aoexp/(qr— Ы), A2.2)
где div А = 0. Поле может -быть создано частично источ-
источниками, частично токами, вызываемыми самим полем
в металле. Такая формулировка задачи впервые была ис-
') Общая структура уравнений для плотности тока в поле
с произвольным волновым вектором и частотой рассматривается
в статьях Накажима [132], а также Константинова и Переля [133].
Эти авторы показали, как проводимость связана с корреляцион-
корреляционной функцией токов, а также обсудили вопрос о правиле сумм.
В безграничной среде «продольная» проводимость содержит осо-
особенность типа^ В-функцин только в пределе длинных волн. Этот
предельный случай обсуждается в § 14 в связи с двухжидко-
стной моделью.
2) То обстоятельство, что коллективные возбуждения суще-
существенны при рассмотрении продольных волн, а следовательно
и для вопроса о градиентной инвариантности, было отмечено
Бардином [134].
Обобщение микроскопической теории, включающее коллек-
коллективные возбуждения, проведено Андерсоном [23, 24], Боголюбо-
Боголюбовым и др. [13—21], Намбу [25] и Рикайзеном [26]. Более фор-
формальный математический подход к проблеме содержится в статье
Мэя и Шафрота [135]. Эти авторы показали, что градиентно
инвариантные результаты получаются путем суммирования соот-
соответствующих членов ряда теории возмущений. Эта процедура
эквивалентна введению коллективных колебаний. Более ранние
работы на эту тему [136, 137], хотя и градиентно инвариантны,
но привели к неверным результатам. Работа Вентцеля критикова-
критиковалась в статье Пайнса и Шриффера [138] (см. также [139]).
3) Рикайзен [26] обсуждает и вопрос об эффекте Мейсснера
и проблему вычисления комплексной диэлектрической постоян-
постоянной в продольных полях. Проблема градиентной инвариантности
в теории сверхпроводимости в литературе сильно усложнена.
Градиентно инвариантная схема предложена в работе [168].—
Прим. ред.
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
87
пользована Клейном [140, 141] при обсуждении диамаг-
диамагнитных свойств металлов и затем Линдхардом [142] для
определения комплексной диэлектрической постоянной нор-
нормальных металлов в поперечных и продольных полях.
В последнее время эта формулировка особенно часто ис-
используется при обсуждении электромагнитных свойств
сверхпроводников.
Пусть Фо—многочастичная волновая функция основного
состояния с энергией Wo, или при конечной температуре
квантового состояния с распределением квазичастиц, соот-
соответствующим температуре Т. Пусть состояния Ф^ с энер-
энергией Wj G= 1. 2, 3, . . .) представляют спектр возбужден-
возбужденных состояний в отсутствии поля. Рассматривая электро-
электромагнитное взаимодействие как возмущение, можно написать:
iWot
W~)°j- A2-3)
7=0
В первом приближении по полю:
— is)t
A2.4)
Здесь 5 — малая положительная постоянная, указывающая
на то, что поле было включено давно в прошлом; в окон-
окончательном результате переходят к пределу 5—>0. Для
вычисления плотности тока в состоянии с возмущенной
волновой функцией используется выражение D.2). Как
отмечалось в § 4, выражение для плотности тока состоит
из двух частей: парамагнитного тока jp, связанного с опе-
оператором дифференцирования, и диамагнитного, или «гра-
«градиентного» тока }D, пропорционального вектор-потен-
вектор-потенциалу А. Последний член, т. е. jD, зависит только от
плотности электронов и одинаков для нормального и сверх-
сверхпроводящего состояний. Разница между этими состояниями
обусловливается, следовательно, выражением для )р и осо-
особенно его частью, содержащей коэффициенты а]г для
которых разность Wj— Wo по порядку величины равна
энергетической щели Eg или меньше ее. В сверхпровод-
сверхпроводнике (при Г=0), если не считать коллективных возбуждений,

88
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
не имеется членов, для которых W,— Wo <С Е ; в то
же время вклад членов, для которых Wj — Wo < » 2Eg,
значительно меньше, чем в нормальном металле. Для чле-
членов с Wj — Wo> ~2Eg разница между нормальным и
сверхпроводящим состояниями мала. Поскольку общий ток
jn = jnp + j/j. наведенный статическим магнитным полем,
в нормальном металле крайне мал (в соответствии с суще-
существованием лишь слабого диамагнетизма Ландау), мы имеем
jD~—\пр. Суммарный сверхпроводящий ток равен поэтому
Js = bp + in~b/» — inP> что> грубо говоря, отвечает
взятому с минусом вкладу в ток j в нормальном состоя-
состоянии членов с Wj — Wo < я=з 2Eg. До построения микро-
микроскопической теории один из авторов [70] использовал
аналогичную аргументацию, чтобы показать, что модель
с энергетической щелью должна, по-видимому, привести
к нелокальной теории эффекта Мейсснера, подобной теории
Пиппарда.
Пиппардовский предельный случай имеет место, если
доминирующие члены в разложении для jnp содержат
в знаменателе энергию, превышающую ширину щели. Тео-
Теория Лондона применима, если значения знаменателей
меньше ширины щели. Матричные элементы для волнового
вектора q соответствуют возбуждению частицы из состоя-
состояния к под поверхностью Ферми в состояние к—^— q над
поверхностью Ферми. Разность энергий W,— Wo по по-
порядку величины равна hqv0, где v0 — скорость у поверх-
поверхности Ферми. С точки зрения проникновения поля в сверх-
сверхпроводник основную роль играют значения q порядка
1/Х. (X — глубина проникновения), т. е. порядка 2 • 105 см~1.
При vQ ~ 108 см/сек получаем Wj— Wo—• 10~2 эв, что на
порядок больше ширины энергетической щели и, следо-
следовательно, применима теория типа Пиппарда. Уравнения
Лондона были бы применимы при q < 104 см~х.
Как указал Феррелл с сотрудниками [143, 144], эти
аргументы могут быть уточнены с помощью соотношений
Крамерса — Кронига. При ш Ф 0 ток можно выразить через
проводимость, зависящую от комплексной частоты и вол-
волнового числа
=Ol(?, (о)
, ш),
A2.5)
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
89
где aj — активная компонента, определяющая потери энер-
энергии, з2—реактивная компонента. Эти две величины свя-
связаны соотношением Крамерса — Кронига:
оо
. - 2@ _, С а. (а, (о.) rf(o,
a (q, (*) = —Р / ' w2 a '
A2.6)
где Р обозначает, что интеграл берется в смысле главного
значения. Связь между j и А может быть записана в виде:
Здесь
, o)) = — r^K(q, (o)A(q, ш). A2.7)
(q, to). A2.8)
Это выражение можно применить и к случаю статических
магнитных полей, если положить ш = 0. Чтобы описать
эффект Мейсснера, ядро K(q, 0) должно при q—>Q иметь
конечное значение, большее нуля. В лондоновском сверх-
сверхпроводнике, для которого предполагается, что jp = О,
К (q) = 1 А|. где Х| = (/гас2/4ияе2) — квадрат лондоновской
глубины проникновения.
Матричные элементы, входящие в сумму для K(q),
совпадают с теми, что определяют поглощение энергии
при частоте ш Ф 0, которая удовлетворяет условию
Wj — WQ^ihio. Как было указано Ферреллом [143], K(q)
можно определить из ах (q, ш), если последняя функция
известна для всех со. Вопрос сводится к тому, какую
информацию о a2(q, ш) можно получить при малых ш
из а1 с помощью соотношения Крамерса — Кронига. При-
Приведем коротко соответствующую аргументацию [143,
144. 242*].
При частотах.со, значительно превышающих максималь-
максимальную частоту (от, при которой может происходить погло-
поглощение, система ведет себя как совокупность свободных
электронов; это значит, aj=O и
mat
A2.9)

90
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
Комбинируя A2.9) с A2.6), получаем правило сумм:
/. ч , -кпе2
A2.10)
которое должно выполняться независимо от детальной
структуры системы. В сверхпроводнике часть вклада вно-
вносится в интеграл за счет 8-функции при ш = 0. Если
5 — «сила» 8-функции, A2.10) можно записать в виде:
A2.11)
~2т~'
О'
Тинкхам и Феррелл [144] применили это соотношение
к модели с энергетической щелью, предположив, что
аиD' «)=0 при (о < wg и als = aln при ш > u>g,
h<og—ЗЯ^.. Для модели свободных электронов:
пе2
mvoq
('"#) лри "<
при (о >
A2.12)
Если со > г>(#, поглощения не может происходить, поскольку
в этом случае скорость волны больше скорости электрона
и нельзя обеспечить сохранение энергии и импульса. Если
^ (пиппардовский предел), правило сумм дает:
8 4 mvoq 4mv0q
Вклад 8-функции в выражение A2.6) для а2 равен:
2S
A2.14)
При низких частотах <зх = 0 и
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
91
Таким образом, можно ожидать, что при
8S
A2.16)
Соответствующее соотношение Пиппарда, получающееся
после перехода к компонентам Фурье в выражении C.6)
в пределе ^q ^> 1, имеет вид:
Сравнивая эти два выражения [см. A2.16) и A2.17)], на-
находим выражение для ?0 через величину энергетической
щели:
?0=J^°_. A2.18)
2u>g
Микроскопическая теория приводит к выражению, анало-
аналогичному A2.18) с h<*>g— тс2А@)/2, что слегка превышает
удвоенное значение ширины щели.
Присутствие 8-функции при ш = 0 соответствует уско-
ускорению всей группы электронов с образованием результи-
результирующего тока. Это может иметь место в металле, но не
может произойти в изоляторе или полупроводнике со
щелью. Правило сумм для полупроводника со щелью вы-
выполняется за счет поглощения отличных от нуля частот.
Андерсон [23] показал в явном виде, почему для сверх-
сверхпроводимости требуется упорядочение на больших рас-
расстояниях.
Общее выражение для плотности тока j (r, f), вызван-
вызванного полем, выраженным через вектор-потенциал с попе-
поперечной калибровкой divA = 0, может быть записано [128]
в форме, аналогичной предложенной Пиппардом:
@)у0е1о>( С R (RA^ (г') / (a>, R, T)e-#/ldr'
А _
> 4 —
J
R*
A2.19)
Здесь R=r — г'. Ядро /(ш, R, T) — довольно сложный
интеграл по энергиям, который, за исключением предель-
предельных случаев, может быть вычислен только с помощью
численных методов. Вывод этого выражения был основан

92
§12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
на упрощенной модели (см. § 9) с постоянными матрич-
матричными элементами оператора эффективного электрон-элек-
электрон-электронного взаимодействия. Полученный результат имеет
однако более широкое значение и справедлив для изотроп-
изотропных поверхностей Ферми, если параметр энергетической
щели ДG) слабо зависит от энергии в области с шириной
в несколько kBT от поверхности Ферми. По существу это
и есть приближение слабой связи. Можно поэтому рас-
рассматривать А (Г) как параметр, определяемый из экспери-
эксперимента.
Упругое рассеяние на примесях, описываемое средней
длиной свободного пробега /, приводит к появлению
в выражении A2, 19) под интегралом множителя ехр(—R/1)-
Этот множитель, введенный Пиппардом в его феноменов
логической теории, проявляется в сверхпроводниках
таким же образом, как и в нормальных металлах [128].
Авторы работы [128] использовали волновые функции от-
отдельных электронов, пригодные для рассмотрения загряз-
загрязненных металлов с центрами рассеяния, в качестве основы
для построения многочастичных волновых функций сверх-
сверхпроводящего состояния и для вычислений по теории воз-
возмущений. Если ф„ — одна из таких функций, то другая
функция, соответствующая состоянию с той же энергией,
ф* будет комплексно сопряжена с первой, и они могут
рассматриваться как взаимно ортогональные. Состояния
пар, входящие в конфигурации основного состояния сверх-
сверхпроводника, могут быть выбраны в виде (ф„ж> Ф^)- Это
означает, что если одно из состояний данной конфигура-
конфигурации заполнено, то второе также заполнено. Можно по-
показать (см. § 16), что энергия приводящего к образованию
пар взаимодействия в загрязненном металле не намного
меньше энергии образования пары (k f , —к \ ) в чистом
металле, хотя средняя длина свободного пробега Много
меньше длины когерентности. Чтобы получить выражение
для плотности тока в рамках теории возмущений, необ-
необходимо провести усреднение выражений типа /ф* (г) ф„ (г')\
по случайным распределениям примесей и по состояниям
с одинаковой энергией. Усреднения, требуемые для слу-
случая сверхпроводимости, такие же, как усреднения, необхо-
необходимые при вычислении нормальной проводимости. В обоих
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
93
этих случаях усреднения приводят к появлению множи-
множителя ехр (— R/1). Вычисления с помощью методов квантовой
теории поля, проведенные Эдвардсом [145] (см. [3, 146]),
а также Абрикосовым и Горьковым [147], приводят к почти
эквивалентным результатам.
Часто удобно пользоваться преобразованием Фурье для
выражения A2.19). В результате между фурье-компонен-
тами j и А получаем связь типа A2.7), причем
оо 1
о -1
. T)dudR.
A2.20)
Здесь мы ввели обозначение Л@) для лондоновского
параметра при 7=0:
A@) x = 4
A2.21)
Рассмотрим выражение A2.19) в нескольких интерес-
интересных предельных случаях:
1) Если ширина энергетической щели стремится к нулю
(или -в более общем случае, если частота достаточно вы-
высока), так что h w]^g> Д, имеем:
/(со, R, D-> —irf?o>exp(——V A2.22)
При этом выражение для j (г, t) переходит в выражение
Чемберса для нормальных металлов C.5). Коэффициент
перед интегралом N@)v0 может быть оценен эмпирически
из величины поверхностного импеданса чистого металла
в нормальном состоянии в предельно аномальном случае
(глубина скин-слоя много меньше средней длины сво-
свободного пробега).
2) Предел ш—>0 или йох^Д соответствует квазиста-
квазистатическому случаю, рассмотренному Купером и авторами [12].
В результате введения функции J(R, T) было получено
выражение, очень похожее на уравнение Пиппарда C.6)'
/@, R, Г) =
, Г).
A2.23)

94
§12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
При (о=0 имеем:
1/-ч_ -Л С R(RA(rQ)./(/?,
¦rfr'. A2.24)
Ядро ехр (—R/t0) заменено на функцию J(R, T), опреде-
определенную таким образом, что при всех Т вплоть до Тс ин-
интеграл от У:
, -i
A2.25)
совпадает с таким же интегралом от экспоненты. Здесь
?0 — не зависящий от температуры параметр, соответствую-
соответствующий пиппардовой длине когерентности и выбранный таким
образом, что У@, 0)= 1. Оказывается, что J(R, Т) не
изменяется сильно с температурой и мало отличается по
форме от экспоненты. Предельное значение J(R, T) при
/? = 0 изменяется от единицы при Т= 0 до 1,33 при
Т=ТС. С повышением температуры Л G") увеличивается
в соответствии с уменьшением плотности сверхтекучей
компоненты ps в двухжидкостной модели. Отношение
}) может быть выражено через величину энергетиче-
энергетической щели:
А@)
Л
Р J
dy
ехр (у2 +
[1 + ехр (у2 + р2Д2)У2]2 •
A2.26)
Здесь р = . _ . Для модели Бардина, Купера, Шриф-
фера:
График отношения . .'_;. , основанный на вычислениях
Мюльшлегеля [148], приведен на рис. 18 (см. также табл. IV).
Следует отметить, что согласно A2.26) отношение . .—.
является функцией рД (Г). Если температурная зависимость Д
для данного металла отличается от температурной зависи-
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
95
мости Д в модели, рассмотренной в § 9, то отношение
^ лучше определять из эмпирического значения
3) Если поле мало изменяется на длине когерентности,
или в загрязненном металле поле мдло изменяется на длине
свободного пробега, то А (г') можно заменить на А (г) и
вынести А за знак интеграла. В квазистатическом пределе
это приводит к уравнению Лондона j(r) = — (""Xrl^W*
f
%
\
j
|
1,0
0,9
0,8
4 ns
" 0,it
0,3
0,2
0,1
Рис. 18. Обратный приведенный параметр Лондона
(A(rvA(O)r1 как функция [7УД(Г)]/[7уД@)]; Д @) = 1,76АвГс.
4) Если рассматривается поле в области, размеры ко-
которой малы по сравнению с длиной когерентности ?0, то
функция I (R, (о, Г) может быть заменена на свое значе-
значение при R = 0 и вынесена за знак интеграла. Этот пре-
предел применим, когда ^<^С?0> а также для тонких пленок и
других образцов малого размера х). Остающийся интеграл
¦) Применение теории к образцам малого размера затруд-
затрудняется из-за их поликристалличности. Отожженные пленки со-
состоят из кристалликов, размеры которых порядка толщины
пленки d и потому характеризуются длиной свободного пробега
I ~ d. Свежеосажденные пленки, получаемые при низких тем-
температурах, отличаются аморфным строением и обладают
обычно длиной пробега I <^ d. С теоретической точки зрения
свойства таких пленок ближе к локальному предельному слу-
случаю. — Прим. ред.

96
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
такой же, как в случае нормального состояния в том же
поле. Удобно ввести в рассмотрение отношение комплекс-
комплексных проводимостей в сверхпроводящем и нормальном со-
состояниях:
Выражение для ajan идентично формуле A1.11), опре-
определяющей as/an. Получающееся выражение для о^[вп таково:
д
— 2/ (-g
i-fto), -Д
A2.28)
Нижний предел здесь равен Д — Йш для Йш < 2Д и — Д
для Йш > 2Д. Отношения ои2/ап в пределе 7"= 0 могут
быть выражены через полные эллиптические интегралы
E(k) и Кф). В частности, ах = 0 для йш<2Д@), а для
Йш >- 2Д имеем:
-?¦=0
Соответствующее выражение для
всех частотах, имеет вид:
ая, справедливое при
В приведенных выражениях
2Д —йсо
и k' = {\—&f\ A2.31)
Значения, вычисленные с помощью этих формул, приве-
приведены на рис. 19. Предельные значения равны [4]:
A2.32,
для
2Д,
для
Здесь -{ = ec=\J% (с — постоянная Эйлера). Значения
o1jan и а2/ал для широкой области температур и частот
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
97
были вычислены Миллером [149] и приведены в табл. VI.
Они применимы, вообще говоря, к случаю изотропного
Рис. 19. Частотная зависимость Ts/Tn, о,/ол и о2/о„ согласно вы-
вычислениям Тинкхама на основе теории Маттиса и Бардина
(см. [30]).
сверхпроводника в пределе слабой связи, поэтому для щели
Д(Т) можно брать значение, определенное эмпирически.
12.2. Прохождение инфракрасного излучения
через тонкие пленки
Гловер и Тинкхам [28], а позже Гинзберг и Тинкхам
[30] изучали прохождение инфракрасного излучения через
пленки, толщина которых мала по сравнению с глубиной
проникновения. Поскольку напряженность поля на толщине
пленки приблизительно постоянна, результаты легко можно
сравнить с теорией. Наибольший интерес представляют
частоты, для которых йш близко к ширине энергетической
щели. Эта ширина порядка 10~3 эв, что соответствует
7 Зэк. 140. Дж. Барднн, Дж. Шрнффер

98 § 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
Таблица VI
Значения комплексной проводимости при различных
частотах н температурах
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0.0567Л
0.0850Л
0,113Л
0.199Л
0.283Л
0.425Л
0.567Л
0.850Л
1.13Л
1,99 A
2,83A
для предель-
предельного случая
A -> oo
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
3,33
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
1,74
0,198
0,297
0,396
0,692
0,990
1,48
1,98
2,97
3,96
6,92
9,90
0,130
0,196
0,261
0,457
0,652
0,978
1,30
1,96
2,61
4,57
6,52
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,424
0,596
0,505
0,444
0,326
0,257
0,186
0,143
0,0936
0,673
0,0887
0,478
1,54
1,38
1,24
0,992
0,835
0,665
0,548
0,396
0,304
0,449
0,673
a
55,4
36,9
27,6
15,8
11,0
7,30
5,43
3,52
2,53
1,03
0,419
49,7
33,2
24,9
14,3
10,05
6,70
5,01
3,27
2,35
0,883
0,384
29,7
20,3
15,4
9,00
6,44
4,40
3,35
2,22
1,59
0,499
0,237
oq
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
4,99
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
1,13
04
"з"
*
0,285
0,428
0,570
0,998
1,43
2,14
2,85
4,28
5,70
9,98
14,3
0,160
0,239
0,319
0,558
0,798
1,20
1,60
2,39
3,19
5,58
7,98
0,113
0,170
0,227
0,397
0,567
0,850
1,13
1,70
2,27
3,97
5,67
с
о
0,149
0,122
0,104
0,0714
0,0530
0,0359
0,0260
0,0160
0,0112
0,00604
0,434 -
1,064
0,923
0,822
0,632
0,513
0,389
0,308
0,211
0,155
0,222
0,550
1,73
1,56
1,44
1,24
1,04
0,866
0,737
0,565
0,449
0,97
0,819
¦С
to
54,5
36,3
27,2
15,5
10,9
7,20
5,36
3,48
2,50
0,999
0,414
42,6
28,4
21,4
12,5
8,74
5,89
4,43
2,91
2,09
0,733
0,326
17,6
11,4
8,69
5,21
3,78
2,73
2,05
1,36
0,884
0,273
0,125
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА 99
Продолжение табл. VI
•0;
?
¦Я
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,700
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
ё-ч
0,105
0,158
0,210
0,368
0,526
0,788
1,05
1,58
2,10
3,68
5,26
0,101
0,151
0,202
0,353
0,504
0,756
1,01
1,51
2,02
3,53
5,04
1,60
1,47
1,38
1,20
1,06
0,924
0,812
0,715
0,762
0,868
0,921
1,25
1,19
1Д4
1,04
0,972
0,940
0,944
0,950
0,958
0,979
0,987
"?
7,38
5,11
3,97
2,46
1,83
1,31
1,01
0,568
0,352
0,117
0,057
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0.400
0,400
0,400
0,400
ч
"з"
¦с
0,400
0,153
0,203
0,356
0,509
0,764
1,02
1,53
2,03
3,56
5,09
О
«Г
0,102
0,127
1,21
1,09
1,00
0,893
0,886
0,910
0,917
0,954
0,975
г
2,74
1,96
1,58
0,970
0,734
0,504
0,331
0,190
0,119
0,0406
0,019
длинам волн порядка 0,1 см. Эксперименты в этой об-
области спектра, расположенной сразу же за микроволновой
областью, наиболее трудны. Тинкхам и его сотрудники
для работы в далекой инфракрасной области разработали
специальную оптическую методику с применением больших
дифракционных решеток и зеркал. Эти опыты не только
дали наиболее непосредственное экспериментальное дока-
доказательство существования энергетической щели, но, кроме
того, убедительно свидетельствовали в пользу нелокальной
формы теории сверхпроводимости.
Удобной величиной для интерпретации данных, полу-
полученных из этих экспериментов, является комплексная про-
проводимость а = а1 — ia2, отнесенная к площади поверхности.

100
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
Данные относительно коэффициента прохождения были
получены в виде TJTn отношения мощностей излучения,
проходящего через пленку в сверхпроводящем и в нор-
нормальном состояниях (Ту> Тс). Это отношение выражается
через а следующим образом:
^]Т- A2'33)
Поскольку ах и а2 связаны соотношением Крамерса — Кро-
нига, из значений TJTn, известных для . широкой области
частот, можно определить отдельно и а1, и а2. Анализ
упрощается, так как TJTn определяется в основном либо
величиной av либо о2 везде, кроме узкой полосы частот
в непосредственной близости к щели. График теоретиче-
теоретических значений Oj/a,,, а^п и TJTn приведен на рис. 19.
Эксперименты также дают пик для TJTn при ш— <og (здесь
йш^.= 2Д), где значения ох и а2 малы.
Если построить в логарифмической. шкале график за-
зависимости величины [1—(ai/a/i)l~ от приведенной частоты
(о/(о , то теория дает приблизительно прямую линию с на-
наклоном около 1,65.
На рис. 20 приведены результаты, полученные в экс-
экспериментах Гинзберга и Тинкхама, проведенных с оло-
оловянными пленками; наклон несколько больше теоретиче-
теоретического и равен 1,83. Температуры были достаточно низки,
так что формулы для предельного случая Т== 0° К должны
быть достаточно точными. Экстраполяция к а1 = 0 дает
для ширины щели значение около 3,5 ks Tc.
Гловер и Тинкхам пытались определить о^ап на низких
частотах с помощью измерений прохождения микроволн
через пленки. Хотя их результаты не очень точны, они
обрабатывали их в предположении, что отношение
а2 (со)/ая (се) является универсальной функцией частоты типа:
1
~a~
fico
A2.34)
Параметр а здесь тот же самый, что и параметр, введен-
введенный ранее Фабером и Пиппардом в эмпирическом выра-
выражении для длины когерентности (предполагается, что этот
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
параметр одинаков для всех металлов):
kBTc
101
A2.35)
здесь v0 — скорость электронов на поверхности Ферми.
Фабер и Пиппард оценили параметр а путем сравнения
Рис. 20. Частотная зависимость A —<^\1ап) Для олова,
измеренная Гинзбергом и Тинкхамом [30] (в логариф-
логарифмическом масштабе).
Экспериментальные точки соответствуют:
О—Su 2, 230 ом/см2.
152 ом/см2,
нелокальной теории Пиппарда с глубиной проникновения
для алюминия и олова, измеренной в микроволновом
8 Зак. 140. Дж. Бардин, Дж. Шриффер

102
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
диапазоне, и нашли, что а ==0,15. Анализируя свои данные,
полученные с помощью микроволновой методики, Гловер
и Тинкхам получили значение а = 0,27. Используя пра-
правило сумм A2.10), которое следует из соотношений Кра-
мерса — Кронига, Феррелл и Гловер [143J на основе
данных для uj, определенных из измерений прохождения
инфракрасного излучения, получили значение а=0,21 ±0,05.
Они полагают, что это значение точнее, чем вычисленное
из данных, полученных с помощью микроволновой мето-
методики.
Теоретическое значение а из A2.25) при Д= 1.76kBTc
равно 0,18, что является средним между упомянутыми
эмпирическими результатами.
Недавно Гинзберг и Тинкхам [30] измеряли с большей
точностью коэффициент прохождения инфракрасного из-
излучения через тонкие пленки свинца, олова и индия. По-
Полученные из их измерений значения [1 —("l/13/!)]" приведены
на рис. 20. Оценки значений ширины энергетической щели,
полученные с помощью экстраполяции, равны 4,0 ± 0,5,
3,3 ± 0,2 и 3,9 ± О.З&в Тс для свинца, олова и индия
соответственно. Используя эти данные для ах, указанным
выше методом были получены следующие значения пара-
параметра а : 0,20 для индия, 0,23 для свинца и 0,26 для олова.
Последнее значение несколько больше полученного из бо-
более ранних экспериментов Гловера и Тинкхама. Интересно
отметить, что магнитное поле напряженностью 8000 гс не
оказывает заметного действия на прохождение излучения
сквозь свинцовую пленку.
В локальной теории Лондона проводимости равны:
4tiA.2u)
A2.36)
В этом случае значение а по порядку величины в сто раз
меньше вышеприведенных значений, если только не делать
предположения ad hoc, что концентрация сверхпроводящих
электронов в тонких пленках сильно понижается. Таким
образом, эксперименты с тонкими пленками подтверждают
модель с энергетической щелью порядка Ь,ЪквТс и ука-
указывают на существование нелокальной связи между плот-
плотностью тока и векторным потенциалом.
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
103
Значительный интерес представляет существование до-
дополнительного пика поглощения, наблюдаемого в свинце
на частоте несколько меньшей частоты главного пика по-
поглощения (рис. 21). Гинзберг и Тинкхам обнаружили та-
такой пик также для ртути. Аналогичные («предшествую-
(«предшествующие») пики поглощения наблюдались Ричардсом и Тинк-
хамом [31] в этих же веществах при изучении отражения
от массивных образцов (см. ниже).
1,0
Рис. 21. Частотная зависимость а1/ап для свинца, измеренная
Гинзбергом и Тиикхамом.
Обращает на себя внимание существование «предшествующего* поглощения
при йо>/2Д я 0,85. Не совсем ясно, имеется ли в этой области реальный «пик»
поглощения или наблюдается только изменение формы кривой.
Природа структуры края полосы поглощения еще не
выяснена. Однако было предположено, что здесь могут
играть роль либо анизотропия энергетической щели, либо
существование ряда поперечных коллективных возбуждений
с энергиями, близкими к энергии щели. Наличие «горба»
в кривой поглощения представляется неправдоподобным1),
если бы эффект определялся анизотропией энергетической
щели, поскольку в этом случае вклад каждой области
поверхности Ферми в поглощение увеличивался бы с уве-
увеличением ш. Однако эксперименты еще недостаточно точны.
') Учет анизотропии действительно не приводит к аномалии
в кривой поглощения [269*]. — Прим. ред.
8*

104
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
и нельзя сказать, действительно ли имеет место пик или
это просто изгиб в кривой поглощения.
Недавние вычисления Цунето [150] указывают на то,
что поперечные коллективные возбуждения rf-типа при-
приводят к поглощению на частотах со < 2Д/Й. Однако при
разумных предположениях о характере взаимодействия
между квазичастицами величина пика поглощения почти
на порядок меньше наблюдаемой. Поскольку поглощение
на частотах ш < 2Д/5 наблюдается только в случае свинца
и ртути, для которых должна использоваться теория силь-
сильной связи, объяснение этого явления нужно искать, по-
видимому, на пути дальнейшего развития теории !).
12.3. Глубина проникновения
Одним из наиболее важных применений теории является
вычисление средней глубины проникновения магнитного
поля внутрь плоской поверхности (речь идет о величине X,
определяемой уравнением C.7)). Как было упомянуто
в § 3, экспериментально определяют обычно полный маг-
магнитный поток, проходящий через образец, и поэтому не
удается получить достаточных сведений о том, каким об-
образом поле изменяется с расстоянием от наружной по-
поверхности. Ниже мы сравним некоторые эксперименталь-
экспериментальные значения X со значениями, полученными из микро-
микроскопической теории, но прежде остановимся кратко на
методике экспериментов, а также вычислении теоретиче-
теоретических значений X.
Наиболее ранние оценки глубины проникновения были
основаны на измерениях магнитной восприимчивости ма-
маленьких частиц или тонких пленок. Самая обширная серия
экспериментов такого: типа была проведена Локком на
тонких пленках олова, индия и свинца. Метод, предложен-
предложенный Казимиром, может быть использован для определения
изменений глубины проникновения с температурой в мас-
массивных образцах. При этом измеряется взаимная индукция
между катушками, плотно намотанными на цилиндрический
образец. С увеличением температуры увеличивается X и
') Имеется в виду выход за пределы приближения слабой
связи. — Прим. ред.
12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
105
пропорционально возрастаетчмагнитный поток, проходящий
через измерительную катушку. Лаурманн и Шенберг
успешно применили этот метод для измерений X в случае
олова и ртути (использовалась частота 70 гц). Анализ
результатов производился на основе эмпирического закона:
кт)=
A2.37)
Здесь t = -= приведенная температура. Этот закон,
'с
полученный из двухжидкостной модели Гортера—Казимира,
очень хорошо согласуется с зависимостью X от темпера-
температуры, наблюдаемой для образцов малых размеров. Если
этот закон справедлив, измеренные значения ДХ=Х(Г)—Х@),
нанесенные на графике как функция у = A — ^4)~'/*. должны
давать прямую линию с наклоном X @). Многие приводимые
значения Х@) были получены именно таким образом.
Другой метод определения глубины проникновения,
основанный на измерениях поверхностного импеданса
в микроволновом диапазоне, был предложен и применен
Пиппардом. Образец помещался в объемный резонатор и
наблюдались изменения добротности Q и резонансной
частоты. Последняя зависит от изменения глубины про-
проникновения поля в образец, и таким образом можно было
исследовать изменение X с температурой. Существует также
возможность оценить абсолютные значения X, сравнивая
резонансные частоты в нормальном и сверхпроводящем
состояниях. Трудность метода заключается в том, что
глубина проникновения изменяется с частотой, и предель-
предельное значение X для низких частот можно получить только
с помощью экстраполяции. Измерения поверхностного
импеданса более подробно рассмотрены в следующем па-
параграфе; здесь же мы просто приведем некоторые резуль-
результаты Пиппарда и его сотрудников, относящиеся к глубине
проникновения.
Недавно Сарачик, Гарвин и Эрльбах [151] измерили
проникновение поля сквозь тонкую свинцовую пленку,
нанесенную на внешнюю поверхность цилиндра. Измерялась
взаимная индукция между катушками, расположенными
внутри и снаружи цилиндра. Были приняты меры для
устранения паразитных полей, возникающих обычно около
9 Зак 140. Дж. Бардин, Дж. Шриффер

106
§ i2. электромагнитные свойства
концов цилиндра, и таким образом внутренняя катушка
регистрировала только поле, проходящее через свинцовую
пленку. Этот метод использовался и в более ранней работе
Шавлова [152].
В зависимости от природы рассеяния электронов, на
поверхности металла глубина проникновения Я может быть
выражена через интегралы, содержащие К{д), следующим
образом:
X = -±
(зеркальное отображение), A2.38)
л = —— (диффузное рассеяние). A2.39)
о
Эти выражения, полученные Пиппардом, являются обобще-
обобщением соотношений, выведенных Рейтером и Зондхеймером
для аномального скин-эффекта. Вычисления, основанные
на микроскопической теории, производились следующим
образом. Выводилось аналитическое выражение для K(q),
соответствующее предельным случаям большого и малого q,
а затем с помощью графической интерполяции были по-
получены значения его для промежуточной области, где не-
непосредственные вычисления затруднительны. Эксперименты
с нормальными металлами заставляют полагать, что случай
диффузного рассеяния на поверхности ближе к действи-
действительности, в связи с чем большая часть вычислений была
выполнена с соответствующим граничным условием [см.
A2.39)].
В изотропной модели имеются три параметра: Л @), $0
и Д @) (последний параметр может быть связан с Тс).
Фабер и Пиппард показали, что параметр Л@) лучше всего
определять из измерений поверхностного сопротивления
в условиях предельно аномального скин-эффекта. Из зна-
значения параметра А@) и из значения N(Br) — плотности
состояний для электронов (с одним значением проекции
спина) на поверхности Ферми можно определить скорость
Ферми v0, и следовательно ^ — тсД @)/fif0. Для Sn и А1
определение величины Д(Г) из Тс, а также Л(Г)/Л@)
производилось с помощью модели, обсужденной в § 9.
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
107
Таким образом, единственный параметр, связанный с сверх-
сверхпроводящим состоянием, — критическая температура Тс.
Если наблюдаемые значения b:\kBTc значительно отли-
отличаются от величин, получаемых теоретически в упрощенной
модели, то при рассмотрении электромагнитных свойств
нужно пользоваться эмпирической функцией Д (Т).
Соотношение Лондона XL(T) = Dv:fA(T)c2)lfi справед-
справедливо, если ?0<^Х. Пиппард получил выражение, справед-
справедливое при $^Х
X (Г)-
О, Т)
A2.40)
Как было отмечено выше, величина 7@, Т) изменяется
Таблица VII
Значения некоторых параметров для различных металлов *)
Металл
I. Sn
II. А1
III. Pb
IV. Cd
»
i
*s
1
§¦
1100 [215]
1370 [114]
1710 [118,119]
561 [153, 154]
e0, io-4 см
I. 0,23
11. 1,6
III. 0,083
IV. 0,76
' 2,2
Eo/X/. @)
6,5
102
2,2
6,9
59
CO 8
3
17,8
45,5
17—26
4,1
12,0
155]
155
155
164
156:
l/lL @)
1,57
3,36
1,30
1,60
2,8
5*
<U
e <->
к» ""—
** 4
CO
+
О
i-<
0,65
1,32
0,50
0,29
0,85
О
3,55
1,57
3,7
11,1
3,8
X, 10~6 CM
5,6
5,3
4,8
18
11
o*
(M
3,6 ±0,2 [157
3,37 [32, 149
4,1+0,2 [157
3,3**)
Я
о
3,73
1,18
7,15
0,56
5,1 [155]
4,9 [155:
3,9 [155:
13 + 1,4
; 5,15
164]
[32]
*) Цифры в квадратных скобках обозначают номер ссылки
на литературу, приведенную в конце книги.
**) С. В. S a 11 e r t h w a i t e, частное сообщение.
9*

108
J2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
от 1 до 1,33 при изменении Г от 0 до Тс. График зависи-
зависимости отношения k(T)/\L(T) от отношения io/kL(T), при-
приведенный в работе [14], может быть использован для
определения Я в промежуточных случаях. В табл. VII даны
значения параметров для нескольких металлов, для ко-
которых существуют измерения; там же сопоставлены вы-
вычисленные и наблюдаемые значения глубины проникновения
при Т=0°К.
На рис. 22 дан график глубины проникновения для Sn
и AI, вычисленной для случая диффузного рассеяния, как
If, 1 1 г 1
W
уф?
Рис. 22. Значения глубины проникновения для олова и алю-
алюминия, вычисленные для случая диффузного рассеяния от
поверхности.
Сплошная кривая соответствует олову, ее наклон равен 7,0-10~6 см; пунк-
пунктир соответствует алюминию, наклон составляет 4,8-10~6 см.
функция величины у — A—?4)~'/г. Для у> 1,5 (темпера-
(температура вблизи Тс) график приближенно выражается прямой
линией, но при у < 1,5 имеет место отклонение от прямой
линии вниз с возрастанием соответствующей производной.
Еще до развития микроскопической теории Льюис [158J
предсказал такое изменение наклона кривой на основе
двухжидкостной модели с энергетической щелью. Наклон
§12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
109
кривой для Sn в области значений у от ~2 до 6 равен
около 5,4 • 10~ см, что находится в хорошем согласии
с измерениями Лаурманна и Шенберга, проведенными для
той же области температур. В области значений у от 1,1
до 1,6 производная dX/dy равна примерно 7,0 ¦ 10~6 см,
что существенно превышает величину 5,0 • 10~ см, полу-
полученную Фабером и Пиппардом для Sn с помощью микро-
микроволновой методики. Однако теоретическое значение произ-
водной для Al, равное приблизительно 4,8 • 10" см,
то
1200
woo
800
s?
5ш
т
200
0
——¦—i
\
-
-
•
5~5"—3" о о
' ' 1 " 1 1 ,
-
¦
о
- и \_/ и
-
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
15
у-.
'4,5
v/-r
Рис. 23. Температурная зависимость dX/dy, определенная Ша-
вловым и Девлиным [159], и соответствующая теоретическая
кривая.
находится в хорошем согласии с результатами их измерений.
В точках пересечения кривой с линией у = 1 (или /=0)
теория дает лишь приближенное согласие с опытом. Значе-
Значения X в этих точках равны примерно 5,7 ¦ 10~ см и
5,2 • 10" см для Sn и А1 соответственно.
Недавно Шавлов и Девлин [159] определяли глубину.
проникновения для олова с помощью видоизмененной

110
« 12. электроилпютныв
CBoflcm
зо.али н ю
Рис. 24. Зависимость глубины проникновения X
от у при различных значениях средней длины
свободного пробега /, выраженной с помощью
безразмерного параметра 21/п?0 (согласно вы-
вычислениям Миллера [161]).
температур, что находится в хорошем согласии с пред-
предсказаниями микроскопической теории. Вычисления произ-
эодились на основе модели с энергетической щелью 2Д@) =
sa= Ъ,5квТ(, так что для получения столь хорошего согла-
1U. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
lit
сия теории с опытом не было введено никаких дополни-
дополнительных параметров. Недавно Пиппард и др. [160] также
наблюдали увеличение производной при низкой температуре,
но это увеличение вдвое меньше предсказанного теорети-
теоретически. Еще неясно, может ли это расхождение быть
1,06
1,05\
¦1,03]-
1,02
1,01
1,00
-
гд
2 A -it,93k8
/
i i_
¦ч*л ,
/A
К
гд-5,05 ksTc
-
1
100
1,01
Щ
J,03
/,0i
1,05
1,06
Рис. 25. Температурная зависимость глубины про-
проникновения в свинце, измеренная Сарачиком, Гар-
виным и Эрльбахом [151].
Упомянутые авторы нашли хорошее согласие с теорией
при 2Д/ЙВГС=4,93.
отчасти связано с частотной зависимостью глубины проник-
проникновения.
Одним из экспериментальных фактов, приведших Пип-
парда к нелокальной теории, были данные, указывающие
на сильное увеличение глубины проникновения с уменьше-
уменьшением средней длины свободного пробега / для рассеяния
на примесях в сплавах олова с индием. Этот эффект
наблюдался в сплавах с малой концентрацией индия

112 § 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
(меньше 2%), которая не могла сильно изменять электрон-
электронную концентрацию, а следовательно и XL J).
На рис. 24 приведена зависимость X (/) от у, вычисленная
Миллером [161] для различных значений / или, точнее,
безразмерного параметра 2//тс<-0. Эти кривые снова заметно
искривляются при у < 1,5 в противоположность экспери-
экспериментальным данным. Предельные значения X при / = О
находятся в разумном согласии с результатами Пиппарда,
согласно которым X увеличивается вдвое, когда / сни-
снижается примерно до 10~5 см.
В заключение кратко остановимся на измерениях Сара-
чика и др. [151], основанных на наблюдении прохождения
сигналов с частотой 2,2 Мгц через тонкие свинцовые пленки.
Толщина пленок менялась от 1,5 • 106 до 4,0 • 10~ см, что
немного меньше глубины проникновения. Авторы провели
анализ данных и получили отношение Х^ (T)/XL @) для
лондоновского предела, или величину [Хоо (Т)/Х^ (О)]*'2 для
пиппардовского предела. В случае свинца, по-видимому,
более оправдан лондоновский предел. На рис. 25 приве-
приведены данные этих авторов для свинца. Результаты изме-
измерений хорошо согласуются с теорией, если температурная
зависимость ширины щели выбирается согласно упрощен-
упрощенной теории, но 2Д@)=4,93?д7;.
12.4. Поверхностный импеданс
Измерения поверхностного импеданса, проведенные
с помощью микроволновой методики, дали чрезвычайно
ценные сведения об электромагнитных свойствах сверх-
сверхпроводников. Из уравнений Максвелла следует, что должно
существовать электрическое поле, связанное с магнитным
полем, изменяющимся во времени в области проникнове-
проникновения, и что это электрическое поле значительно в микро»
волновом диапазоне. При 7>0 электрическое поле может
оказывать влияние на квазичастичные возбуждения и вы-
') Изменение глубины проникновения и прочих эффектов
при малой концентрации примесей зависит только от проводи-
проводимости в нормальном состоянии [147, 199, 200]. Эксперименталь-
Экспериментальные данные находятся в достаточно хорошем согласии с теоре-
теоретическими формулами. — Прим. ред.
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
113
зывает диссипацию энергии. Первые эксперименты Г. Лон-
Лондона в 1940 г. показали, что поверхностное сопротивле-
сопротивление Rs, являющееся мерой потерь, непрерывно при Тс и
монотонно уменьшается от своего нормального значения
при Тс до нуля при Т—>-0. В двухжидкостной модели эти
потери связаны с нормальной компонентой. В дальнейшем
метод измерения поверхностного импеданса был развит
Пиппардом, который совместно с сотрудниками провел
обширный ряд измерений. Как упоминалось в предыдущем
параграфе, Пиппард смог измерить обе компоненты импе-
импеданса — активную и реактивную. Объяснить полученную
температурную и частотную зависимость поверхностного
сопротивления в рамках простых вариантов двухжидкост-
двухжидкостной модели не удается. В то же время эти результаты
прекрасно согласуются с современной микроскопической
теорией.
В последнее время измерения поверхностного импеданса
проводились и другими авторами. Особенно заслуживает
внимания серия точных измерений, проведенных на алюми-
алюминии Бьонди и Гарфункелем [32] в широкой области частот
и температур. Прежде чем обсуждать их данные, а также
другие новые работы, остановимся на результатах теории.
Если сверхпроводник занимает полупространство х > 0,
поверхностный импеданс Z определяется выражением:
Z=R-\-tX=
f
A2.41)
/у (-*> °>) dx
Импеданс Z можно выразить через ядро K(q, ш), связы-
связывающее фурье-компоненты j и А A2.7). Для случая диф-
диффузного рассеяния на поверхности получаем:
\0
. A2.42)
Отношение поверхностного импеданса Zsco в пиппардовском
пределе к поверхностному импедансу в нормальном со-
состоянии в случае предельно-аномального скин-эффекта ZrtJO

114
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
может быть выражено через отношение комплексных ппо-
водимостей (см. табл. VI): Р
A2.43J
Миллер [149] вычислил интеграл A2.42) для А1 и Sn. При
15 20 2,5 3.0
Энергия, единицы пдТс
3,5
о и
Рис. 26. Частотная зависимость поверхностного
сопротивления алюминия, измеренная Бьонди и
Гарфункелем [32] (сплошные кривые). Пунктир"
ная кривая соответствует вычислениям
Миллера [149].
этом оказалось, что отношение поверхностных сопроти-
сопротивлений довольно сильно отличается от значения, получен-
полученного в пиппардовском пределе, даже для Al, для которого
*0~<3UA. Для реактивных частей импеданса соответствую-
соответствующее расхождение меньше, ^
^ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
Бьонди и Гарфункель измеряли калориметрическим ме-
методом энергию, поглощаемую металлом в микроволновом
поле и таким образом непосредственно определяли только
поверхностное сопротивление /?, т. е. активную часть Z.
Они провели измерения в столь широкой области частот
(длины волн от 20 до 3 мм), что смогли с помощью со-
соотношений Крамерса—Кронига определить мнимую часть Z,
т. е. X. Последняя может быть выражена через эффектив-
эффективную глубину проникновения ЬГ следующим образом:
сХ
A2.44)
На рис. 26 и 27 приведены экспериментальные резуль-
результаты и результаты вычислений Миллера, причем сплошные
линии отвечают экспериментальным значениям, а отдельные
точки — теоретическим значениям (экспериментальные дан-
данные более полны и точны, чем теоретические). Единствен-
Единственным изменением упрощенной модели, которое было здесь
использовано, является небольшое уменьшение величины
энергетической щели: вместо 3,52kgTc взято значение
3,37kBTc.
Изломы на кривых, характеризующих изменения по-
поверхностного импеданса в зависимости от энергии фотонов,
отвечают точкам, в которых энергия фотона становится
больше ширины щели при соответствующей температуре.
Увеличение поглощения за изломом связано с возбуждением
носителей через щель (образование двух квазичастиц).
Бьонди и Гарфункель эмпирически оценили ширину щели
и ее зависимость от температуры, используя для этого
изменение положения излома с температурой.
Существует большое число измерений поверхностного
импеданса олова; последние измерения проведены Капланом
и др. [162]'). Так же как и в предыдущих работах, экспе-
экспериментальные результаты этих авторов зависят от качества
поверхности образцов и от внутренних напряжений. Пиппард
') Зависимость поверхностного импеданса от напряженности
магнитного поля была измерена для олова на частоте 109 гц
Спивак [163]. Она нашла, что разности [RS(H)—-^@)] и
[XS(H) — Xs@)] могут быть любого знака в зависимости от
относительной ориентации статического и высокочастотного но-
нолей и от температуры.

116
§12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
отметил, что в широкой области (—0,47^ < Т < ~0,8Тс;
00\kTc < йсо < — l,0kBTc) отношение поверхностных
8
Рис. 27. Частотная зависимость поверхностного реактанса
(X) алюминия, выраженная через глубину проникновения
к сХ
5
Измерениям Бьонди и Гарфункеля [32] отвечают сплошные линии. На-
Нанесенные точки соответствуют вычислениям Миллера [149J.
сопротивлений может быть выражено как произведение
температурного и частотного множителей:
A2.45)
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
117
Здесь cp(/f) — функция приведенной температуры t=T/Tc,
а именно:
9 ^Г2. A2.46)
Этот эмпирический результат был подтвержден другими
авторами. Из вычислений Миллера следует, что зависи-
зависимость A2.45) в указанных интервалах измерения Г и со
справедлива с точностью около 10%. Миллер использовал
0,1
0,01
—I—I—I I I I 11
-т—I—i—гт-
-\—i—i i i ii i
0,1
у,103гц
Рис. 28. Частотный множитель А (Д входящий в выражение
для поверхностного сопротивления A2.45).
в своих вычислениях упрощенную модель без изменений
и, таким образом, теоретическое значение ширины энерге-
энергетической щели 3,5kдТг На рис. 28 приведены теорети-
теоретические результаты и различные экспериментальные значения
частотного множителя А (у). Согласие прекрасное, если
учесть отсутствие свободного параметра. Нижняя кривая,
справедливая для пиппардовского предельного слу-
случая A2.43), расположена значительно ниже и эксперимен-
экспериментальных точек, и результатов подробных вычислений.
Хайкин [164] измерял поверхностный импеданс кад-
кадмия, температура сверхпроводящего перехода которого
равна 0,56° К- Использованная им частота соответствует
энергии 0,9kBTc. На рис. 29 приведены наблюдаемые

118
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
значения и результаты теоретических вычислений Абрико-
Абрикосова, Горькова и Халатникова [129, 130], проведенных для
пиппардовского предела A2.43). Согласие опять прекрасное.
Рис. 29. Экспериментальные значения поверхностного
импеданса, измеренные [164] на кадмии, и теоретиче-
теоретические кривые Абрикосова и др. [129, 130] для пиппар-
пиппардовского предельного случая.
Наконец, на рис. 30 приведены результаты некоторых
измерений поверхностного импеданса, выполненных Ричард-
сом и Тинкхамом в далекой инфракрасной области. Они
измеряли поглощение энергии в зависимости от частоты
излучения для частот, больших частоты, отвечающей
ширине щели. Найденные значения ширины щели для
различных веществ приведены в табл. II. Они существенно
"§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
119
о
W !5
20 25 30
Частота, см~'
Рис. 30. Частотная зависимость электромагнитной мощ-
мощности, поглощаемой массивными сверхпроводящими
образцами в далекой инфракрасной области (согласно
измерениям Ричардса и Тинкхама).
Здесь Ps и Рп~мощности, поглощаемые в сверхпроводящем и
нормальном состоянии соответственно. Экспериментальные точки
соответствуют (цифры в скобках указывают значение Т в граду-
градусах Кельвина): х —свинец G,15); Д —ванадий E,10); Щ — олово C,73);
Q —индий C,39); Д —ртуть D,15); • —тантал D,39); Q — аиоОиЙ (9,00),

120
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
отклоняются от 3,5kBTc, изменяясь от 2,SkBTc для ниобия,
до 4,6k ВТС для ртути. В общем ширина щели падает
с ростом дебаевской температуры. Обнаруженный этими же
авторами ход кривых поглощения для свинца и ртути
указывает на возможность поглощения или в результате
возбуждения коллективных колебаний с энергиями, мень-
меньшими ширины щели, или в результате эффектов анизо-
анизотропии. Вообще говоря, экспериментальные кривые погло-
поглощения приближаются к соответствующим значениям
в нормальном состоянии быстрее, чем это следует из
теории.
Итак, микроскопическая теория электромагнитных
свойств сверхпроводников в целом удивительно хорошо
согласуется с экспериментом, особенно при использовании
эмпирических значений для ширины энергетической щели
и ее температурной зависимости. Имеющиеся расхождения,
возможно, могут быть связаны со сложностью зонной
структуры реальных металлов по сравнению с использо-
использованной при построении теории изотропной моделью.
Заметим, что интересные опыты Спивак [163, 165], изу-
изучавшей зависимость поверхностного импеданса от напря-
напряженности магнитного поля, полностью еще не поняты [166].
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
До сих пор мы обсуждали теоретические проблемы,
связанные только со спектром квазичастиц. Вместе с тем
с точки зрения градиентно инвариантного рассмотрения
эффекта Мейсснера и полного описания поведения сверх-
сверхпроводников во внешних полях, изменяющихся во .времени
и в пространстве, существенную роль играют коллектив-
коллективные возбуждения ')• Энергия этих возбуждений «отще-
«отщепляется» от непрерывного спектра в результате остаточных
взаимодействий, не учитываемых в приближении, исполь-
используемом для рассмотрения отдельных квазичастиц. По ана-
аналогии с нормальным состоянием коллективные возбуждения
можно описывать как когерентную суперпозицию кон-
конфигураций квазичастиц.
') См. второе примечание на стр. 86,
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
121
В сверхпроводящем состоянии могут- существовать
плазменные колебания, причем они, по сути дела, не отли-
отличаются от плазменных колебаний в нормальном состоянии.
В связи с высокими энергиями (<~ 15 эв) реальные плазмен-
плазменные возбуждения не проявляются в обсуждаемых нами
явлениях, отвечающих низким частотам (/jv <[ 10~2 эв).
Однако виртуальное возбуждение плазмонов существенно
при: получении градиентно инвариантной формы ядра К,
связывающего плотность тока с векторным потенциалом.
При кулоновской калибровке div A = 0 не нужно рассмат-
рассматривать ни реальных, ни виртуальных плазменных возбу-
возбуждений в силу того, что плотность плазменного тока носит
продольный характер. Поэтому вычисления часто упро-
упрощаются при выборе калибровки divA —0, как это и было
сделано в § 12.
Новой чертой сверхпроводящего состояния является
. возможность появления экситоноподобных возбуждений
с энергиями, меньшими ширины энергетической щели, как
это было указано Андерсоном [23, 24] и Боголюбо-
Боголюбовым [13—21]. Отсутствие таких возбуждений в нормальном
состоянии связано с тем, что конечная плотность одно-
частичных состояний вблизи поверхности Ферми должна
приводить к быстрому распаду коллективных возбуждений.
В сверхпроводящем состоянии, в силу отсутствия одно-
частичных состояний внутри щели, экситонные возбуждения
должны, по-видимому, иметь большое время жизни.
В противоположность плазмонным возбуждениям экситоны
могут играть роль и в реальных, и в виртуальных про-
процессах, и с ними связаны наблюдаемые физические эффекты.
Реальные переходы с образованием экситона вносят резо-
резонансный вклад в связанную с поглощением часть зависящего
от частоты и волнового вектора ядра К(д, ш) при q?0 < 1
и йш < 2А. Виртуальные же процессы с образованием
экситонов оказывают небольшое влияние на вещественную
часть ядра К для всех представляющих интерес частот.
Поскольку природа экситонного спектра тесно связана
с угловой зависимостью остаточного двухчастичного взаимо-
взаимодействия V (к, к'), параметр теории [12] N@) Ууже недоста-
недостаточен для выяснения вопроса о том, какие экситоны
появляются в данном сверхпроводящем металле. Для суще-
существования экситонного состояния с моментом L (соответ-
\0 Зак. 140, Дж. Барднн, Дж. Шриффер

120
§13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
отклоняются от 3,5kBTc, изменяясь от 2,8kBTc для ниобия,
до 4,6kBTc для ртути. В общем ширина щели падает
с ростом дебаевской температуры. Обнаруженный этими же
авторами ход кривых поглощения для свинца и ртути
указывает на возможность поглощения или в результате
возбуждения коллективных колебаний с энергиями, мень-
меньшими ширины щели, или в результате эффектов анизо-
анизотропии. Вообще говоря, экспериментальные кривые погло-
поглощения приближаются к соответствующим значениям
в нормальном состоянии быстрее, чем это следует из
теории.
Итак, микроскопическая теория электромагнитных
свойств сверхпроводников в целом удивительно хорошо
согласуется с экспериментом, особенно при использовании
эмпирических значений для ширины энергетической щели
и ее температурной зависимости. Имеющиеся расхождения,
возможно, могут быть связаны со сложностью зонной
структуры реальных металлов по сравнению с использо-
использованной при построении теории изотропной моделью.
Заметим, что интересные опыты Спивак [163, 165], изу-
изучавшей зависимость поверхностного импеданса от напря-
напряженности магнитного поля, полностью еще не поняты [166].
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
До сих пор мы обсуждали теоретические проблемы,
связанные только со спектром квазичастиц. Вместе с тем
с точки зрения градиентно инвариантного рассмотрения
эффекта Мейсснера и полного описания поведения сверх-
сверхпроводников во внешних полях, изменяющихся во .времени
и в пространстве, существенную роль играют коллектив-
коллективные возбуждения]). Энергия этих возбуждений «отще-
«отщепляется» от непрерывного спектра в результате остаточных
взаимодействий, не учитываемых в приближении, исполь-
используемом для рассмотрения отдельных квазичастиц. По ана-
аналогии с нормальным состоянием коллективные возбуждения
можно описывать как когерентную суперпозицию кон-
конфигураций квазичастиц.
§13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
121
') См. второе примечание на стр. 86,
В сверхпроводящем состоянии могут, существовать
плазменные колебания, причем они, по сути дела, не отли-
отличаются от плазменных колебаний в нормальном состоянии.
В связи с высокими энергиями (<~ 15 эв) реальные плазмен-
плазменные возбуждения не проявляются в обсуждаемых нами
явлениях, отвечающих низким частотам (/jv <; 10~2 эв).
Однако виртуальное возбуждение плазмонов существенно
при: получении градиентно инвариантной формы ядра К,
связывающего плотность тока с векторным потенциалом.
При кулоновской калибровке div А = 0 не нужно рассмат-
рассматривать ни реальных, ни виртуальных плазменных возбу-
возбуждений в силу того, что плотность плазменного тока носит
продольный характер. Поэтому вычисления часто упро-
упрощаются при выборе калибровки divA = 0, как это и было
сделано в § 12.
Новой чертой сверхпроводящего состояния является
.возможность появления экситоноподобных возбуждений
с энергиями, меньшими ширины энергетической щели, как
это было указано Андерсоном [23, 24] и Боголюбо-
Боголюбовым [13—21]. Отсутствие таких возбуждений в нормальном
состоянии связано с тем, что конечная плотность одно-
частичных состояний вблизи поверхности Ферми должна
приводить к быстрому распаду коллективных возбуждений.
В сверхпроводящем состоянии, в силу отсутствия одно-
частичных состояний внутри щели, экситонные возбуждения
должны, по-видимому, иметь большое время жизни.
В противоположность плазмонным возбуждениям экситоны
могут играть роль и в реальных, и в виртуальных про-
процессах, и с ними связаны наблюдаемые физические эффекты.
Реальные переходы с образованием экситона вносят резо-
резонансный вклад в связанную с поглощением часть зависящего
от частоты и волнового вектора ядра K(q, to) при qi0 < 1
и йю < 2Д. Виртуальные же процессы с образованием
экситонов оказывают небольшое влияние на вещественную
часть ядра К для всех представляющих интерес частот.
Поскольку природа экситонного спектра тесно связана
с угловой зависимостью остаточного двухчастичного взаимо-
взаимодействия V (к, к'), параметр теории [12] N@) V уже недоста-
недостаточен для выяснения вопроса о том, какие экситоны
появляются в данном сверхпроводящем металле. Для суще-
существования экситонного состояния с моментом L (соответ-
Зак. 140, Дж. Бардин, Дж. Шриффер

122
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
ствующего /?-, d-, ... экситонам)') необходимо, чтобы
потенциал VL был отрицательным (VL — часть взаимодей-
взаимодействия V(k, к'), отвечающая моменту L). Плазмон соот-
соответствует 5-состоянию экситона, энергия которого гораздо
больше в результате дальнодействующего кулоновского
взаимодействия.
Достаточно общий подход к рассмотрению возбуждений
обоих типов (квазичастичных и коллективных) в пределе
высокой плотности связан с использованием обобщенного,
зависящего от времени метода самосогласованного поля
или приближения случайных фаз, введенного Андерсе-
Андерсеном [23, 24] и независимо Боголюбовым, Ширковым и
Толмачевым [17]. Этот метод является обобщением метода,
предложенного Бомом и Пайнсом[169] (см. также [170])
для описания нормального состояния. Наиболее полное
описание метода имеется в работе Рикайзена [26], который
применял его для вывода градиентно инвариантной формы
ядра К(д, to) в сверхпроводящем состоянии.
Если не говорить о малых членах, связанных с эксито-
нами, то результаты ^икайзена для калибровки divA = 0
идентичны полученным в основной работе Купера и авто-
авторов [12].
С целью иллюстрации характера, зависящего от времени
приближения самосогласованного поля, начнем с рассмот-
рассмотрения спектра элементарных возбуждений нормального
состояния. Получающийся спектр справедлив в предельном
случае высокой плотности rs < 1 (п~1 = 4к/3 (rsa0K,
а0 = радиус Бора). В этом предельном случае энергия
кулоновского взаимодействия мала по сравнению с кинети-
кинетической энергией электронов. Поэтому хорошее приближение
можно было бы получить методом теории возмущений
с фермиевским фоном в качестве нулевого приближения,
если бы не сингулярный характер кулоновского взаимо-
взаимодействия для длинных волн
-оо при
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
123
') J. С. Fisher, частное сообщение A958). В дополнение
к экситонам типа частица — частица, возникающим при q, > 0,
в работе [167] указывается на возможность появления при q < 0
зк^итонов тцпа частица—дырка.
Как оказывается, влияние на данный электрон дальнодей-
ствующей составляющей V может быть выражено через
средний самосогласованный потенциал, обусловленный
когерентным движением электронов, плюс малый флуктуи-
флуктуирующий потенциал, связанный с остаточным хаотическим
движением этих электронов. В работе Бома и Пайнса
было показано, что в пределе высокой плотности флуктуи-
флуктуирующим потенциалом можно пренебречь.
Для получения спектра элементарных возбуждений
в рамках приближения самосогласованного поля удобно
а) б)
Рис. 31. Процессы рассеяния дырка — электрон,
рассматриваемые в приближения случайных фаз.
рассматривать движения пар электрон — дырка с общим
импульсом hq. Под влиянием кулоновских сил электрон
и дырка в состояниях k-j-q и к соответственно могут
рекомбинировать и возбуждать электрон в состоянии k'~f-q,
оставляя дырку в состоянии к'. Эта новая пара снова
может рекомбинировать, создавая пару к" —|— q и к". Такой
процесс иллюстрируется схемой на рис. 31, а. Возможны
другие, так называемые обменные процессы, при которых
пара в состояниях к —[— q и к рассеивается непосредственно
в k' + q и к' без рекомбинации (исчезновения) и появления
вновь (рождения) (рис. 31, б). Матричный элемент для
процесса (а) содержит множитель (матричный элемент)
4ne2/q2, в то время как матричный элемент в случае (б)
содержит множитель 4ire2/|k — k'j2. В силу этого в пре-
пределе q —> 0 процессы типа (а) в среднем значительно более
10*

124
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
существенны, чем (б). Если ограничиться рассмотрением
только прямых процессов, что (как показали Гелла-Ман и
Бракнер [171—175]) достаточно при гs < Г, то некоторые
линейные комбинации состояний электрон — дырка будут
собственными состояниями гамильтониана. Плазменные
колебания, отщепляющиеся от непрерывного спектра, отве-
отвечают суперпозиции конфигурации пар, в которых все
состояния имеют один и тот же знак и примерно равный
вес. Эта ситуация в известном смысле аналогична коге-
когерентной суперпозиции многочастичных конфигураций,
используемой для образования основного состояния сверх-
сверхпроводника. Остающиеся линейные комбинации пар элек-
электрон— дырка соответствуют состояниям рассеяния, в кото-
которых электрон и дырка слабо коррелируют. Формально
спектр элементарных возбуждений находится с помощью
определения тех линейных комбинаций \ьа (q)* операторов
пары электрон — дырка:
которые порождают собственное состояние приближенного
гамильтониана:
#Р«(Ч)* ^о = № (Ч) + ^о) Р» (Ч)* То. A3.2)
Здесь Н включает только члены взаимодействия, отвечаю-
отвечающие поляризационным процессам: hQa(q) — энергия возбу-
возбуждения а-й линейной комбинации операторов pko(q). Урав-
Уравнение A3.2) удовлетворяется, если операторы [*а (q)*
подчиняются соотношению:
\н. Mq)*]==?2a(q)^(q)*- A3.3)
Разложим pk(J(q) на среднее значение p^Cq). взятое по
отношению к самосогласованному состоянию, плюс флук-
флуктуацию pk]] (q) около этого среднего значения. Тогда про-
процессы типа рис. 31, а учитываются, если в коммутаторе
[Н, рк„ (q)] сохраняются только члены первого порядка
относительно р*1). Это как раз соответствует приближению
самосогласованного поля (см. вычисления [176, 177]).
В пределе высокой плотности существенно линеаризи-
линеаризировать уравнения относительно средних значений р^ (q),
соответствующих фермиевскому фону. В этом случае только
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
125
компонента рко@) = лк„ для волнового вектора q — 0 будет
иметь отличное от нуля среднее значение:
>ЬР.
A3.4)
Можно непосредственно показать, что энергия элементар-
элементарных возбуждений определяется дисперсионным соотноше-
соотношением:
График решений уравнений A3.5) приведен на рис. 32.
Появляются оба типа состояний: состояния, описывающие
пары электрон — дырка в состоянии рассеяния (состоянии
Лары злектран-дырки
В состоянии рассеяния
2kF «,
Рис. 32. Спектр элементарных возбуждений для нор-
нормального состояния.
несвязанных, но взаимодействующих электрона и дырки)
и коллективные плазмонные состояния. Энергия пар элек-
электрон— дырка в рамках приближения самосогласованного
поля сохраняет свое значение sk+q — ek, отвечающее отсут-
отсутствию взаимодействия; в то же время волновые функции
сильно изменяются. Каждая частица (электрон или дырка)
окружена областью с уменьшенной средней концентрацией

126
13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЙ
частиц того же типа (электронов или дырок соответственно),
и естественным образом мы приходим к картине «противо-
«противотока», описанной в § 5.
При более тщательном анализе оказывается, что раз-
разность eR —eR изменяется в связи с появлением
члена
Рис. 33. Энергетическая зависимость мнимой
части энергии возбуждения для нормального
состояния.
Для типичных значений электронной плотности, возбу-
возбуждения-плохо определены вблизи дебаевской энергии
и для энергий, превосходящих дебаевскую в 10 раз.
собственной энергии. Этот член комплексный, его мнимая
часть соответствует конечному времени жизни возбужде-
возбуждений [178, 179]'). Мнимая часть собственной энергии отдель-
отдельной частицы, вычисленная с помощью метода функций
Грина, показана на рис. 33 в зависимости от вещественной
части энергии возбуждения. Для энергий, меньших макси-
максимальной энергии фононовйсотах> основную роль играет излу-
') На важную роль эффекта конечного времени жизни для
случая сверхпроводников было ^казане Бардином [180].
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
127
чение реальных фононов; для энергий е > 10Awmax решаю-
решающее значение имеет образование пар электрон — дырка, и
уровни одиночных частиц становятся очень широкими.
Влияние конечного времени жизни на уравнение для энерге-
энергетической щели уже было обсуждено в § 9.
В сверхпроводящем состоянии взаимодействия способ-
способствующие образованию пар приводят к отличным от нуля
средним значениям для операторов вида (а также для пка):
bk== с
A3.6)
Как указали независимо Андерсон [23, 24] и Боголю-
Боголюбов [13—21], более полное описание элементарных возбу-
возбуждений в сверхпроводящем состоянии может быть получено
при учете остаточных взаимодействий, не принимавшихся
во внимание в работе Купера и авторов [12]. И Андерсон
и Боголюбов использовали обобщенное приближение само-
самосогласованного поля, связанное с введением обеих вели-
величин hk и ?к. Анализ выполняется наиболее просто [26]
с помощью операторов квазичастиц, рассмотренных в § 11.
Задача опять сводится к отысканию тех линейных комби-
комбинаций р%д) операторов Тк+ч*Пк*' Т-к-Ч4,Тк* и Ть+чЛь..
которые порождают элементарные возбуждения системы.
Нормальные колебания у линеаризованных уравнений
определяются для сверхпроводящего состояния несколько
более сложно, чем для нормальных металлов. Как указал
Рикайзен [26], ядро К и диэлектрическая постоянная могут
быть определены и без нахождения операторов нормальных
колебаний в явном виде. В результате получается пол-
полностью градиентно инвариантное описание эффекта Мейс-
снера, причем ядро К для нулевой частоты идентично
ядру, полученному Купером и авторами [12], если ограни-
ограничиться рассмотрением только s-волновой части двухчастич-
двухчастичного потенциала (см. § 9).
При проведении градиентно инвариантных вычислений
становится ясным, что продольные коллективные возбуж-
возбуждения вносят вклад в поляризационный ток, который
в сумме с квазичастичным поляризационным током по-
погашает диамагнитный градиентный ток, что приводит
к градиентно инвариантной форме ядра К, Если .?-$ 4*

128
§13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
волновые части потенциала положить равными, то по-
поправки, вносимые в К по порядку величины, будут равны
10~2, и ими вполне можно пренебречь.
Диэлектрическая постоянная s (д, ш) существенно от-
отличается от своего значения для нормального металла,
только если hu)tthvoq < Д. Из результатов Рикайзена
следует также, что выражение для коэффициента акусти-
акустического поглощения, вычисленное в § 11 в рамках при-
приближения отдельных квазичастиц, справедливо с точностью
до членов порядка:
Цунето [150] применил метод Рикайзена для рас-
рассмотрения поверхностного импеданса при отличной от
нуля частоте. Предполагая, что не равны нулю только
s- и й?-волновые части потенциала, он обнаружил суще- •
ствование «предшествующего» поглощения для частот,
лежащих ниже частоты 2Д/й, соответствующих ширине
энергетической щели. В применении к свинцу и ртути
результаты Цунето отвечают связанному с экситоннымй
состояниями в щели поглощению, которое на порядок
меньше поглощения, наблюдавшегося для этих веществ
Гинзбергом, Ричардсом и Тинкхамом [29]. Поскольку
эффекты конечного времени жизни должны, по-видимому,
играть важную роль в упомянутых сверхпроводниках
с сильной связью, желательно обобщить теорию на слу-
случай сильного взаимодействия. Только после этого можно
будет сделать выводы относительно роли, которую играют
коллективные возбуждения в экспериментах [29].
Спектр элементарных возбуждений сверхпроводящего
состояния схематически представлен на рис. 34. Как упо-
упоминалось выше, плазменные нормальные колебания в сверх-
сверхпроводнике почти идентичны плазменным нормальным
колебаниям для нормального состояния. Широкий спектр
квазичастичных пар в состоянии рассеяния (т. е. в не-
несвязанном состоянии.—Ред.) ограничивается снизу энер-
энергетической щелью 2Д.
Экситонные состояния (с энергиями, лежащими внутри
энергетической щели) могут быть представлены как пара
квазичастиц, связанных вместе в реальном пространстве.
§13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЙ
129
Центр тяжести пары имеет импульс, равный hq. Экси-
тонная волновая функция имеет вид [167]:
V*(r'iTt)=T«,^(ri-r^'<r'+^5»' <13-8)
где S12 — спиновая функция, а ср описывает относитель-
относительное движение компонент пары, которая имеет размер по-
порядка $0. В пределе д—>-0 получаем:
<РМ*~Г?(в12.<Р12). A3-9)
что соответствует обычной картине экситонных р-, d-, . . .
состояний в изоляторах.
Пары квазичастиц
0 состоянии россеяния
2А<*т эд
Рис. 34. Спектр элементарных возбуждений для сверхпро-
сверхпроводящего состояния.
Для больших q состояния с различными L смеши-
смешиваются, хотя для 9;0<С1 1 смешение мало; в то же время
М — хорошее квантовое число для всех q, если только
потенциал не имеет кристаллической анизотропии. По-
Поскольку квазичастицы являются фермионами, волновая
функция должна быть антисимметричной по отношению
к обмену rv <3j и г2, а2. Таким образом, состояние с чет-
четным L должно иметь синглетную спиновую функцию,
а нечетным значениям L отвечает триплетная спиновая
функция.

130
13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ЙОЗбУЖДЕНИЯ
Спектр экситонных состояний определяется угловой
зависимостью остаточного двухчастичного потенциала
V (к, к'). Если разложить потенциал на сферические гар-
гармоники
V{k, k') = 2 *Mlkl -lk/|)Yi49' <P)* ^@'. <р') A3.10)
и аппроксимировать УЛ (| к | , | к' | ) следующим образом:
A3.11)
; во всех других случаях,
то для существования экситонного состояния L должно
0 1 2 3 4 5 6 7 В 9 10 11 12 /
Рис. 35. Энергия экситонных состояний внутри
энергетической щели для нулевого импульса цен-
центра тяжести как функция константы связи.
соблюдаться условие g0 > gL > 0. Здесь константа связи
gL равна:
N0V A3.12)
и go =— N@) Vo — N@) V — константа связи, введенная
в § 9. На рис. 35 приведем график экситонной энергии
как функции gL при q — 0. Когда gL > g0, энергия воз-
§ 13. коллективные возбуждения
131
буждения мнимая и система нестабильна, если ее.основ-
ее.основное состояние описывать с помощью s-состояний пар, как
это было сделано в § 8. Например, если g1 — наиболь-
наибольшая константа связи, то основное состояние состоит из
функций пар (fj, имеющих симметрию р-типа [см. (8.10)]:
-r^cp^lr, -r2|)Kf@j2, cpJ2). A3.13)
Этому случаю соответствует образование триплетных пар,
рассмотренное Фишером!). Если преобладает ^волновой
Рис. 36. Энергия экситонных состояний как функция им-
импульса центра тяжести hq для магнитного квантового
числа МФО.
потенциал, основное состояние описывается с помощью
синглетных rf-функций (этот случай был рассмотрен Ан-
Андерсоном и др. [181] в применении к Не3). На рис. 36
дан график зависимости экситонной энергии от импульса
центра тяжести пары для различных значений gL. При
М Ф 0 дальнедействующий кулоновский потенциал не
!) J. С. Fiifter, частное сообщение A958).

132
§ 13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
играет никакой роли, и эти экситоны можно рассматри-
рассматривать как поперечные коллективные возбуждения. Состоя-
Состояния с М = 0 могут быть отщеплены от состояний с М Ф О,
причем экситоны в s-состоянии соответствуют плазмен-
плазменным колебаниям (если основное состояние получается
в результате образования пар в s-состоянии).
Для потенциалов V (| к |, | к' |), которые не могут
быть выражены в виде произведения W (| k) | W (| к' |),
может существовать больше чем одно связанное состоя-
состояние с данными L и М. В случае атома водорода это
соответствует состояниям с различными главными кванто-
квантовыми числами п.
Обсудим теперь кратко вопрос об электронной спи-
спиновой восприимчивости в сверхпроводниках. В нормаль-
нормальном состоянии спиновая восприимчивость равна Хп==
= 2(а^Л/ж@). Здесь fig — магнетон Бора и NM@)— эф-
эффективная плотность состояний у поверхности Ферми; она
отличается от плотности N@), фигурирующей в выраже-
выражении для электронной теплоемкости, наличием членов, свя-
связанных с кулоновской обменной энергией. В опытах по
ядерному резонансу найтовский сдвиг К прямо пропор-
пропорционален у'п (по определению К есть относительная раз-
разность резонансных частот для ядер в свободных ионах
и в металле). Поскольку восприимчивость %п пропорцио-
пропорциональна jV^ @), эксперименты по ядерному резонансу дают
сведения о плотности состояний у поверхности Ферми.
Райф [43] измерял найтовский сдвиг Ks в сверхпро-
сверхпроводящих ртутных коллоидах, состоящих главным образом
из частиц с диаметром, меньшим 500 А (меньше X). Он
нашел, что Ks быстро падает при Т<С Тс, но затем при
1 2
T^i-^TC достигает насыщения, равного -^Кп. На рис. 37
приведены данные Райфа, а также данные, полученные
недавно Эндросом и Найтом [42] в опытах с тонкими
пластинками из сверхпроводящего олова (толщина яьг 40 А,
диаметр ;=й140А). Отношение KJKn стремится к насы-
насыщению при Ks[Kn~0,73 (для сравнения была взята соль
SnCl2). Иосида [182] показал, что микроскопическая тео-
теория приводит к восприимчивости xs, которая в однород-
однородном магнитном поле обращается в нуль при Г—>-0о К [187].
§13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
133
Этот вывод, очевидно, находится в противоречии с экспе-
экспериментом. Указанный теоретический результат получается
в силу того, что минимальная энергия 2Д, необходимая
для образования двух квазичастиц из основного состоя-
состояния, больше зеемановской энергии ^д//0, которая выиг-
выигрывается при образовании возбуждений.
О
Рис. 37. Температурная зависимость приведенного
сдвига Найта, измеренная Райфом [43] на ртут-
ртутных каллоидных растворах и Эндросом и Найтом
[42] на оловянных пластинках.
Экспериментальные точки соответствуют: #— олову,
Q —ртути. Сплошная линия —теоретическая кривая.
Гейне и Пиппард [183] предложили такую альтерна-
альтернативную форму входящих в теорию матричных элементов,
которая приводит к отличному от нуля найтовскому сдвигу.
Пока не удалось, однако, построить волновых функций,
приводящих к таким матричным элементам.
Феррелл [184] и Андерсон [185] предположили, что в ре-
результате спин-орбитального взаимодействия для малых
образцов вблизи 7=0° К может быть получено отлич-
отличное от нуля значение %5; это связана с тем, что

134
§13. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
одночастичные волновые функции нормального состояния
не являются собственными состояниями спина. В этом слу-
случае магнитное взаимодействие
-V*
?л
будет иметь отличный от нуля матричный элемент для
перехода между основным и возбужденным состояния-
состояниями. Поэтому восприимчивость ?j, вероятно, можно вычи-
вычислить по теории возмущений с использованием основно-
основного состояния, определенного в отсутствие магнитного
поля.
Ряд авторов [183, 185, 186] *) указали, что и в отсут-
отсутствии спин-орбитальных эффектов получаются отличные
от нуля значения восприимчивости, если учесть ее зави-
зависимость от волнового вектора, что нужно иметь в виду
для изменяющихся в пространстве полей. В результате
этого внутри области проникновения поля в массивный
образец должен был бы наблюдаться положительный най-
товский сдвиг. Область же с обратным направлением спи-
спинов, которая должна существовать, чтобы удовлетворить
условию Xs(9 == 0) — 0, будет охватывать слой толщиной
— ?0 под поверхность образца и не должна оказывать
влияния на наблюдаемый резонансный спектр. В настоя-
настоящее время нет экспериментальных данных, подтвер-
подтверждающих такую картину. Зависящая от q восприимчи-
восприимчивость не может объяснить вышеупомянутые экспери-
экспериментальные результаты, полученные на олове. В любом
состоянии, которое получается с помощью теории воз-
возмущений из синглетного состояния без учета спин-орби-
спин-орбитальных эффектов, полное спиновое намагничение должно
быть равно нулю. В связи с этим теория предсказывает
уширение резонансной линии с небольшим или равным
нулю найтовским сдвигом. Эксперименты же, наоборот,
указывают на наличие сдвига, величина которого по
меньшей мере достигает ширины линии.
') А. А, Абрикосов и Л. П. Горькое [187] пока-
показали, что результат Иосиды справедлив в пределе длинных волн
и при наличии рассеяния на примесях/ не приводящего к пе»
реброеу спина, ¦= Прим, авт, при корректуре,
§14. двухжиДкостная мбДЁль и незатухающий ток 135
Один из авторов [188] предположил, что для одно-
однородного поля конечное значение ?, при Т—0° К. может
быть- получено, если основное состояние в присутствии
магнитного поля Но образуется из пар, отличных от пар
для случая //0 = 01). По аналогии с парами (k + qf ,
— k-(-q|), введенными для описания состояний, пере-
переносящих ток, можно начать g состояния с намагничением,
соответствующим нормальному металлу; затем рассматри-
рассматривается образование пар в состояниях, отвечающих по-
поверхностям Ферми для спинов, направленных по и против
поля. Эти одночастичные состояния не переходят друг
в друга при изменении знака времени. Однако такое усло-
условие и нельзя выдвигать в присутствии магнитного поля.
Расчет упомянутой модели еще не произведен.
Было бы интересно исследовать роль спин-орбитальных
эффектов, измеряя Ks в легких металлах типа алюминия
(в этом случае можно ожидать более слабое спин-орби-
спин-орбитальное взаимодействие, чем в олове и ртути).
§ 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ
И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК
14.1. Двухжидкостная модель
Двухжидкостная модель Не II оказалась исключительно
удачной и с ее помощью были предсказаны и объяснены
многие замечательные свойства сверхтекучей жидкости,
такие, как второй звук, конвекционный перенос тепла,
а также различные термомеханические эффекты. Возникает
вопрос о том, могут ли соответствующие эффекты наблю-
наблюдаться в сверхпроводниках. Гортером [190] был сделан
обзор и проведено сравнение двухжидкостной модели для
сверхпроводников и для жидкого гелия. Сверхтекучая
компонента — это часть жидкости, текущая без трения-; ее
течение соответствует потоку в основном состоянии и не
переносит энтропию. Нормальная компонента связана
с тепловыми возбуждениями; течение нормальной компо-
компоненты происходит с трением. Формально уравнения для
') Аналогичное предположение высказано Блаттом [189]
(в этой связи см. также статью [244*]. — Прим. ред.).

136 § 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ fOK
Не II представляют собой уравнения для двух взаимопрони-
взаимопроникающих и невзаимодействующих жидкостей. Ландау [191]
показал, однако, что эти уравнения можно интерпретиро-
интерпретировать на языке свойств основного состояния и спектра
элементарных возбуждений жидкости.
Аргументация Ландау может быть формально применена
для построения двухжидкостной модели сверхпроводни-
сверхпроводников [192], но в силу целого ряда обстоятельств для
сверхпроводников эта модель значительно менее полезна,
чем для Не II. Прежде чем остановиться на выводе фор-
формул, укажем причины, благодаря которым многие явления,
характерные для двухжидкостной модели Не II, трудно
наблюдать в сверхпроводниках. Ниже мы остановимся
также на применениях модели к незатухающим токам и кри-
критическим токам в тонких пленках, а также на теории
Гинзбурга — Ландау.
Некоторые усложняющие факторы, ограничивающие
использование двухжидкостной модели в сверхпроводни-
сверхпроводниках, таковы:
1) В сверхпроводнике ток создает магнитное поле,
которое сильно влияет на сам ток. Например, при прохо-
прохождении через сверхпроводящий стержень ток распределяется
в тонком поверхностном слое с толщиной, равной глубине
проникновения. Можно считать, что этот ток создает маг-
магнитное поле, или наоборот, что магнитное поле создает
токи, приводящие к эффекту Мейсснера, т. е. препятствую-
препятствующие проникновению поля в сверхпроводник. Сумма всех
этих экранирующих токов дает общий ток, текущий по
стержню. Плотность тока становится приблизительно одно-
однородной только в случае образцов с размерами порядка
глубины проникновения или меньшей. Практически это
легко достигается в тонких пленках. Чтобы избежать
усложнений, ниже мы будем пренебрегать эффектами маг-
магнитного поля и предположим, что ток однороден. Тогда
электроны обладают сверхтекучими свойствами, и возможно
существование незатухающего тока.
2) Возбужденные электроны (нормальная компонента)
рассеиваются и приходят в равновесие с решеткой.
Поэтому трудно создать поток нормальной компоненты
в отсутствие электрического поля. Это одна из причин,
объясняющих трудность наблюдения второго звука в сверх-
§ 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК 137
проводниках. Для простоты мы сначала будем пренебре-
пренебрегать релаксационными эффектами, но позднее рассмотрим
следствия, вытекающие из учета релаксации.
3) Соотношение неопределенности приводит к значи-
значительно большему минимальному размеру возбуждений в сверх-
сверхпроводнике, чем в Не II (в основном это является следствием
большой разницы масс электрона и атома гелия); квази-
квазичастичные возбуждения в сверхпроводнике могут быть
определены разумным образом, лишь если их протяженность
больше длины когерентности (— 10~ см). Локальные со-
соотношения двухжидкостной модели могут быть использо-
использованы только при условии медленного изменения характера
движения жидкости на длине такого порядка. Это нала-
налагает, например, ограничения на минимальную длину волны,
на которой можно надеяться наблюдать второй звук.
4) Как указывалось выше, теплопроводность в Не II
может осуществляться в результате противотока нормальной и
сверхтекучей компонент, причем тепло переносится нормаль-
нормальной компонентой. Аналогичный эффект может иметь место
в сверхпроводнике, но величина его будет мала по срав-
сравнению с обычной электронной теплопроводностью [193,
245*, 246*]. Элементарные возбуждения, возникающие при
нагреве сверхпроводника, соответствуют электронам над
поверхностью Ферми и дыркам под поверхностью Ферми.
Электроны и дырки образуются примерно в равных коли-
количествах и стремятся перемещаться в одном и том же на-
направлении. В силу этого суммарный электрический ток,
связанный с тепловым потоком, очень мал. В нормаль-
нормальном металле этот ток связан с термоэлектрическим эф-
эффектом и определяет разницу между теплопроводностью
при / = 0 и при ?'=0. Как известно, эта разница очень
мала. Соответственно мала величина рассматриваемого
эффекта в сверхпроводнике г).
Для формального вывода уравнений двухжидкостной
модели пренебрежем влиянием магнитного поля и процес-
процессами релаксации электронов с решеткой. Предположим,
') Положение в принципе может оказаться несколько иным,
если существенную роль в электропроводности в сверхпроводящем
состоянии играют экситонные возбуждения с большой длиной
пробега [244*]. — Прим. ред.

138 § 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК
далее, что изменение характера движения происходит
медленно на длине когерентности. Кроме того, с целью
простоты примем для нормального металла модель сво-
свободных электронов. Сначала рассмотрим ускорение, созда-
создаваемое электрическим полем Ъ. Общий импульс mv^
= -9ЧР1 — Р2) паР основного состояния (Р! f , р2 I ) возра-
возрастает согласно уравнению Ньютона mvs= е$. При абсо-
абсолютном нуле тепловые возбуждения отсутствуют, и рас-
распределение электронов смещается в ^-пространстве как
целое. Из-за энергетической шели рассеяние электронов,
сопровождающееся переходом с одной стороны фермиев-
ского распределения (в ^-пространстве. —Ред.) на про-
противоположную его сторону, энергетически невыгодно, пока
не достигается критическая скорость, выше которой
сверхпроводимость разрушается. Если v0 — скорость на
поверхности Ферми, то последнее происходит, когда
\ т (vo+ v5J — -i m(v0— у,)* > Eg= 2Д, A4.1)
т. е. при v, > A/(mv0).
Для температуры, большей нуля, тепловые возбуждения
могут уменьшить ток, так что только часть электронов
будет свободно ускоряться полем. Второе уравнение
Лондона имеет вид:
()
где Л G) — параметр Лондона, зависящий от температуры.
Можно записать j5 = — eps —- , где р^— плотность сверх-
сверхтекучей компоненты. При Т= 0 р5 = р = ят. В общем
случае
-?*. — 1 _ -Ег. — А(°) п 4 я->
9 Р Л(П V '
Эта функция, определяемая с помощью формулы A2.26),
изображена графически на рис. 18 (см. стр. 95).
Лондон [1] показал, как, исходя из волновой функции
овного состояния ^'(г г г)
[]
основного состояния
функцию:
фуции
гл), можно построить
A4.4)
§ 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК 139
для которой Vj — медленно изменяющаяся функция поло-
положения. В локальной области около точки г функция A4.4)
соответствует смещению распределения в ^-пространстве
на 8k = grad ф (г) и скорости потока
vi(r)^=A/«~Igradcp(r). A4.5)
Из выражения A4.5) следует, что течение является потен-
потенциальным, так как rotVy = 0. Согласно Лондону [1] таким
же образом может быть описан ток в сверхпроводящем
кольце. В этом случае при обходе вокруг кольца <р может
изменяться на величину 2тс/, где / — целое число.
Выражение для рл может быть получено также мето-
методом, использованным Ландау в случае Не II и обобщен-
обобщенным Динглем [194] на ферми-системы. Тепловые возбуждения
могут обеспечить существование результирующего тока отно-
относительно основного состояния (т. е. состояния, имеющего
место при Т= 0). Рассмотрим сначала основное состоя-
состояние в покое (Vy = 0) и предположим, что имеется резуль-
результирующий импульс (поток массы):
J»=Sp/(p).
р
A4.6)
обусловленный возбуждениями с функцией распределе-
распределения /(р). Последняя может быть определена из требова-
требования минимальности свободной энергии F при заданном 5п
с помощью введения скорости v в качестве множителя
Лагранжа
IF — v8Jn=0. A4.7)
Это приводит к выражению:
/ (Р) = 1 + ехр ([?(р) - vp]/kBT) • A4'8>
Когда скорость v мала, импульс Jn пропорционален v и
соответствующий коэффициент определяется как плотность
нормальной компоненты р„:
оо
злз«' Р dE
1
dp.
A4.9)

140 § 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК
Этот результат находится в согласии с выражением, вы-
выведенным из A4.3).
В случае, когда имеется поток в основном состоянии,
нормальная скорость определяется как vn = vs -j- v и полный
поток массы равен:
l = pvs-hpnv = psvs-+-pnvn. A4.10)
Из A4.4) и выражения для кинетической энергии, связан-
связанной с Vj, находим полный прирост свободной энергии:
A4.11)
Можно легко показать, как это сделал Дингл [194],
что энтропия переносится нормальной компонентой. При
этом не надо путать поток массы с потоком числа воз-
возбуждений А^ехс = 2/(Р)- Последние движутся с норма ль -
ч
ной компонентой таким образом, что их поток равен \nNexc>
этот поток, вообще говоря, отличен от vnpjm.
Поток сверхтекучей компоненты со скоростью vs может
образоваться под действием электрического поля, имею-
имеющего характер импульса. Все электроны ускоряются полем,
и общая скорость пар увеличивается до значения \s.
Рассеяние тепловых возбуждений стремится снизить ток,
чтобы свободная энергия стала минимальной, но рассея-
рассеяние не изменяет vs. Согласно A4.11) рассеяние может
лишь привести к равенству vB = 0 с сохранением резуль-
результирующего потока Jj = psvs. Именно эта часть потока
непосредственно определяется из уравнения Лондона A4.2). .
Изменить Vy может только сила, действующая или на все
электроны или на их большую часть. При отсутствии
такой силы ток не затухает.
Хотя наблюдение второго звука в сверхпроводниках
затруднительно, интересно оценить скорость такого
звука с2. Формально для этой цели можно использовать
то же выражение, что и для Не II [195]:
A4.12)
§ 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ Й НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК 141
Здесь 5 — энтропия и Ср — электронная теплоемкость на
единицу массы. Чтобы оценить порядок величины С
можно использовать модель Гортера — Казимира, для
которой — = 1—t4, 5 и С в сверхпроводящей фазе
пропорциональны Г3; и при температуре перехода S = ^TC
равно энтропии нормальной фазы. В результате получаем:
т Г2
с? = 4^-П— *4). A4.13)
Если для f использовать значение в модели свободных
электронов, то в олове находим:
.A — t4)'2 я^ 103 см/сек.
Эта скорость имеет тот же порядок величины, как и в Не II.
Для наблюдения второго звука на частоте со нужно,
чтобы соблюдалось неравенство сох > 1 (здесь х— время
релаксации электронов с решеткой); необходимо также,
чтобы длина волны была больше длины когерентности,
с2 > <»?0. Из обоих этих требований вытекает неравен-
неравенство х > ?0/с2 или для олова t > Ю~8 сек, которое очень
трудно реализовать практически, так как оно соот-
соответствует средней длине свободного пробега около 1 см
(см., однако, [244*1).
14.2. Критические токи в тонких пленках
Критический ток в массивном образце определяется
критическим полем. С увеличением тока поле у поверх-
поверхности образца также увеличивается до тех пор, пока оно
не достигнет критического значения Нс, при котором обра-
образец переходит в нормальное или в промежуточное состоя-
состояние. Иная картина наблюдается при протекании тока
в пленках, толщина которых достаточна мала для того,
чтобы магнитное поле могло проходить сквозь пленку.
11 Зак. 140. Дж. Бардин, Дж. Шриффер

142 § 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОк
Влияние магнитного поля может быть сведено к минимуму
при использовании образцов соответствующей формы.
Н. Гинзбург и Шальников [196] измеряли критические
поля в оловянных пленках, нанесенных на наружнюю по-
поверхность цилиндра. В этом случае нет краев, где могут
возникнуть аномально большие поля, разрушающие сверх-
сверхпроводимость. Указанные авторы особенно интересовались
критическими полями при температуре вблизи Тс. Они
нашли, что критический ток изменяется как {Тс — Т)'^2
в согласии с феноменологической теорией Гинзбурга —
Ландау и микроскопической теорией. В более ранних
работах, где уделялось меньше внимания устранению
краевых эффектов, были получены результаты, отвечающие
изменению критических токов по закону (Тс—ТI/г
или {Тс — Т)\
Если применить теорию Лондона, то для увеличения
свободной энергии при протекании тока с плотностью js
имеем:
bF=±-Psv2s = ±.AG)ji A4.14)
Здесь, по предположению, А(Т) не зависит от js, что может
не выполняться для очень больших токов. Критический
ток, очевидно, должен быть таким, чтобы AF становилось
равным разности энергий между нормальной и сверхпро-
сверхпроводящей фазами Нс1Ъ-к; это приводит к соотношению
A4.15)
Вблизи Тс и поле Нс, и Л G) 1 изменяются как {Тс—Г),
поэтому jse должно, видимо, изменяться как {Тс—Т}'/:.
При учете изменения распределения квазичастиц и измене-
изменения ширины энергетической щели, возникающих при
увеличении тока, критический ток уменьшается на 25%
(Роджерс [197]).
Для очень тонких пленок, в которых средняя длина
свободного пробега / сильно снижается в результате
рассеяния на поверхности, скорее можно применять фор-
формулы, относящиеся к пнппардовскому, а не лондоиовскому
§ 14. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК 143
предельному случаю!). Скорость возрастания тока можно
выразить через нормальную проводимость ал и ядро пиппар-
довского интеграла J(R, T) в пределе R—>0:
d'h _J{0, T)l ?
dt — A(T)Z0 •* A4.1b)
Тогда прирост свободной энергии равен:
aF — L(A?Bl\ /2 ri4 m
^— 2\J@,T)l)Js- A4.1/)
Плотность критического тока в результате рассеяния сни-
снижается на множитель порядка (//$0) ; при этом темпера-
температурная зависимость меняется не очень сильно.
14.3. Теория Гинзбурга — Ландау
Несколько лет назад Гинзбург и Ландау [64] обобщили
феноменологическую теорию Лондона с целью учета про-
пространственного изменения эффективной концентрации сверх-
сверхпроводящих электронов ns. Это позволило рассмотреть
целый ряд вопросов, наиболее важным из которых яв-
является, по-видимому, вопрос о границе между нормальной
и сверхпроводящей фазами в промежуточном состоянии.
В этом случае значение ns меняется от нуля в нормаль-
нормальной области до равновесного значения, соответствующего
данной температуре в сверхпроводящей фазе (рис. 38).
В то же время магнитное поле падает от своего крити-
критического значения Нс с нормальной стороны до нуля на
сверхпроводящей стороне переходного слоя. Большая длина
') Нам неизвестны основания для такого утверждения. Поли-
Поликристаллические пленки должны вести себя подобно сверхпро-
сверхпроводящим сплавам, в которых роль длины когерентности играет
средняя длина свободного пробега /. Если l<^.d(d — толщина
пленки), то пригоден лондоновский предельный случай; при I < d
этот предел также, видимо, должен приближенно соответство-
соответствовать действительности. Разрушение пленок током и полем в рам-
рамках феноменологической теории [64] рассмотрено в статье [247 *].
Укажем последние экспериментальные работы по измерению
критического поля и тока в пленках [196, 248 *, 249 *, 274 *].
Большой интерес представляет, по-видимому, изучение свеже-
осажденных (аморфных или очень мелкодисперсных) пленок,
для которых уравнения макроскопической теории локального
типа должны быть заведомо применимы. —Прим. ред.
11*

144 § 14. ДВУХЖЙДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК
когерентности сверхпроводящих волновых функций мешает
резкому изменению ns на границе [198].
Гинзбург и Ландау предположили, что ns(r) пропор-
пропорционально квадрату эффективной волновой функции ^(г).
Плотность свободной энергии F(WS,T) зависит от Ws
(или от ns), в равновесии F минимально при постоян-
постоянном Ws. Предполагается далее, что в магнитном поле
с вектор-потенциалом А (г) в выражении для свободной
Рис. 38. Изменение магнитного поля и эффективной концен-
концентрации сверхпроводящих электронов в области, отделяющей
нормальную фазу от сверхпроводящей.
энергии имеется дополнительный член, пропорциональный
— ifrgradWs-\-( \WS . Для определения поверхностной
энергии а^ с помощью вариационного метода находятся
функции А (г) и Ч^(г), отвечающие минимуму полной сво-
свободной энергии. Параметры теории полностью определяются
значениями критического поля Нс G) и глубины проник-
проник^(Т) Для абсолютных значений ans, а также для
новения
ns,
) ns д
ее температурной зависимости теория довольно хорошо
согласуется с экспериментом J).
') См. [201, 250*, 251*]. Небольшие систематические рас-
расхождения между теорией и опытом отмечены в работе [270*];
скорее всего эти расхождения следует отнести за счет анизот-
анизотропии. Измерения [271*] на олове свидетельствуют о заметной
(~20%) анизотропии поверхностной энергии. При не слишком
§ 14. ДВУХЖЙДКОСТНАЯ МОДЕЛЬ И НЕЗАТУХАЮЩИЙ ТОК 145
Недостатком теории является тот факт, что она основана
на теории Лондона, а не на нелокальной теории, кото-
которая как теперь известно, отвечает в общем случае дей-
действительности. Только .для температур, очень близких
к Тс, нелокальная теория переходит в локальную теорию
Лондона!).
Горькое [199, 168] 2) обобщил микроскопическую тео-
теорию на случай изменяющейся в пространстве величины
щели. В приближении слабой связи, справедливом для
большинства сверхпроводников, параметр энергетической
щели Д (г) можно рассматривать как функцию координат.
Горькое сформулировал проблему с помощью «термоди-
«термодинамических» функций Грина, в которых температура рас-
рассматривается как мнимое время. Хотя легко написать со-
соответствующие дифференциальные уравнения для функций
Грина, решение их очень трудно, за исключением пре-
предельных случаев.' Горькое выполнил вычисления только
для температур вблизи Тс, где можно ожидать спра-
справедливости теории Лондона, и нашел уравнения, иден-
идентичные с уравнениями, предложенными Гинзбургом и Лан-
Ландау. Было найдено, что эффективная волновая функция^ (г)
пропорциональна Л (г). Единственное отличие заключается
в том, что заряд е заменен на 2е, последний, оче-
очевидно, соответствует заряду пары. Гинзбург [201] ука-
указал, что это изменение улучшает согласие теории с экспе-
экспериментом.
низких температурах эта анизотропия носит нетензорный харак-
характер, но анизотропия становится тензорной при приближении
к Тс. Нетензорная анизотропия имеет место только в нелокаль-
нелокальной теории. —Прим. ред.
') Вопрос о границах применимости локального рассмотре-
рассмотрения зависит от того, какой характерной длиной определяется
рассматриваемая физическая величина. По отношению к глубине
проникновения поля в массивный сверхпроводник локальная тео-
теория для чистых металлов обычно пригодна лишь при температ
турах, весьма близких к Тс. Но в отношении вычисления по-
поверхностной энергии ans или поля, отвечающего границе пере-
переохлаждения, область применения локальной теории шире [241*,
199, 200]. — Прим. ред.
2) Недавно Горькое [200] распространил теорию на случай
переохлаждения; он вычислил температуру, при которой нор-
нормальное состояние становится неустойчивым относительно обра-
образования областей с бесконечно малыми значениями Д.

146
§ 15. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
В своем обобщенном «методе компенсации» Боголю-
Боголюбов [16] приводит другую формулировку, которая также
является достаточно общей для учета пространственного
изменения щели. Волновая функция пары <р (Гр г2) может
зависеть не только от разности г1 — г2, но также от rj
и г2 в отдельности. Этот метод пока еще не был исполь-
использован для обсуждения вопроса о поверхностной энергии.
§ 16. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
15. 1. Теплопроводность решетки
Теоретическая интерпретация теплопроводности сверх-
сверхпроводников трудна в силу того, что могут действовать
одновременно несколько механизмов. В сверхпроводящем
состоянии, так же как и в нормальном, тепловой поток
состоит из двух частей: одна из них связана с электро-
электронами проводимости, а другая — с фононами [202, 203].
Теплопроводность х равна сумме электронной теплопро-
теплопроводности %е и теплопроводности решетки х :
х = х, + хг A5.1)
В том и другом случае существует несколько механиз-
механизмов рассеяния, ограничивающих тепловой поток. Для нор-
нормального состояния имеем:
1
. = AT2 4- ВТ* .
A5.2)
A5.3)
Первый и второй члены в выражении для -леп отвечают
соответственно рассеянию электронов на фононах и на
статических примесях. Соответствующие члены в выраже-
выражении %gn отвечают рассеянию фононов на электронах и на
поверхности образца. Те же механизмы рассеяния дейст-
действуют и в сверхпроводящем состоянии. Однако температур-
температурные зависимости в этом случае заметно отличаются от
температурных зависимостей для нормального состояния.
§ 15. ТЕПЛОПРОЙОДНбСТЬ
147
Для сверхнизких температур (обычно Г < 0,15ТС) теп-
теплопроводность сверхпроводников, по-видимому, изме-
изменяется по закону Т3, что характерно для рассеяния фо-
фононов на поверхности. Этот эффект хорошо исследован.
При более высоких температурах теплопроводность
решетки определяется рассеянием фононов на электронах.
Однако этот механизм трудно выделить, так как в чистых
металлах в этой области температур существует большая
теплопроводность, связанная с электронами. Поскольку
примеси рассеивают электроны более эффективно, чем
фононы, электронная компонента может быть снижена
с помощью увеличения концентрации примесей. Рассеяние
фононов на электронах было оценено Хульмом [204], ко-
который производил измерения на олове с присадками ртути
и тантала. Ларедо [205] произвел измерения на олове
с присадками индия, а Сладек [206] выполнил аналогич-
аналогичные измерения на сплавах индия с таллием. С целью
учета вклада в теплопроводность, связанного с электро-
электронами, соответствующий электронный член описывался с по-
помощью функции *esl*en, определенной из данных для от-
относительно чистых веществ, для которых теплопровод-
теплопроводность по существу чисто электронная.
Рикайзен, Тевордт и один из авторов [207] (см. также
[4, 208, 209]) вывели на основе современной теории вы-
выражение для теплопроводности решетки в условиях, когда
она определяется рассеянием на электронах. Полученная
ими кривая вместе с экспериментальными результатами
Хульма, Ларедо и Сладека приведена на рис. 39. Экспе-
Экспериментальные значения носят несколько неопределенный
характер, поскольку они получены путем вычитания боль-
большой электронной теплопроводности с использованием от-
отношения *eshen. справедливого для значительно более
чистых веществ. Кроме того, значения х для нормаль-
нормального состояния, определенные Сладеком и Ларедо, нахо-
находятся в хорошем согласии с теоретическим законом Г2,
в то время как данные Хульма лучше аппроксимируются
законом Г3. Это указывает на дополнительное действие
другого механизма рассеяния. Теоретическая кривая также
может оказаться недостаточно точной. Электронно-фонон-
ное взаимодействие, которое определяет значение y-gn в
вышеприведенных случаях, определяет также рассеяние

148
§ 15. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
электронов фононами, существенное при вычислении %es.
В этом случае имеется большая ясность в эксперименталь-
экспериментальном отношении, но в то же время теория заметно рас-
расходится с опытомJ
О
0.2
Рис. 39. Отношение теплопроводностей ре-
решетки в сверхпроводящем и нормальном со-
состояниях (т. е. r.gS и «.g-л) для случая, когда
преобладает рассеяние на электронах.
Сплошная линия—теоретическая кривая; штрихпунк-
тирная — данные Ларедо [205], пунитирная — данные
XyjbMa [2C4].
15.2. Электронная компонента
Несколько авторов [207, 209, 246*] вывели выраже-
выражение для y-es/y-en на основе микроскопической теории в слу-
случае, когда определяющим является рассеяние на примесях.
Они нашли
- У) + 2yln(l
A +
2Fl @)
A5.4)
где У = ~ТВТ
§ 15. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
zn dz
149
A5.5)
Недавно Заварицкий [210] и Саттервайт [211] провели
измерения на алюминии и цинке, для которых этот меха-
механизм определяет теплопроводность в большой области тем-
температур ниже Тс. То же относится к чистым образцам
олова и таллия, использованных Хульмом, к оловянным об-
образцам Заварицкого и в меньшей степени к индиевым об-
образцам Хульма и Сладека. Все эти данные, однако, менее
надежны, чем данные, полученные на алюминии и цинке.
На рис. 40 приведены экспериментальные данные и тео-
теоретическая кривая, вычисленная для 2Д@) = 3,50 kBTc.
Прекрасное согласие между теорией и экспериментом но-
носит несколько случайный характер, поскольку имеются
доказательства того, что для алюминия 2Д@) = 3,30 kBTc,
и эта разница существенно изменит теоретическую кривую 1).
Электронная теплопроводность, ограниченная фононами,
изучена значительно меньше. Большинство данных, отно-
относящихся непосредственно к этому механизму, были полу-
получены на образцах свинца и ртути, которые, как упоми-
упоминалось выше, обладают в сверхпроводящем состоянии ано-
аномальными тепловыми и электромагнитными свойствами.
Недавно была измерена 2) теплопроводность двух серий оло-
оловянных образцов различной чистоты в зависимости от кри-
кристаллографической ориентации. Согласно оценке вклад рас-
рассеяния, обусловленный фононами, изменяется при Тс от 70
до 15% для обеих серий образцов. Результаты для темпера-
температур, ббльших 0,7 Тс, приведены на рис. 41, из которого ясно
наличие анизотропии (см. также [267*]). Для каждой ориен-
ориентации с изменением концентрации примесей наблюдается
систематическое изменение Y.Jv.n. Это изменение находится
') См., однако, статью [209].—Прим. ред.
1) Теплопроводность при учете анизотропии теоретически
рассмотрена в статье [252*]. Нужно иметь в виду, что при ис-
использовании формул изотропной теории определяемый с помо-
помощью этих формул и экспериментальных данных параметр Д @)
будет разным для различных эффектов. — Прим. ред.
2) А. М. Quenault, частное сообщение A959).

1
150
§ 15. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
в соответствии с использованием характеристических функ-
функций (т. е. функций отношения Т/Тс) и для фононного рассея-
рассеяния, и для рассеяния на примесях, как предположил
Хульм [204]. Кривая, отвечающая характеристической функ-
функции для рассеяния на примесях при тепловом потоке вдоль
тетрагональной оси, располагается ниже теоретической кри-
кривой (см. §15.1), а при тепловом потоке вдоль оси второго
0
Рис. 40. Отношение электронных теплопровод-
ностей в сверхпроводящем и нормальном со-
состояниях для случая, когда преобладает рас-
рассеяние на примесях.
Очень хорошее согласие с теоретической кривой носит
несколько случайный характер. Кривые соответствуют:
1 — Zn (данные Заварицкого [210J); 2 — Sn (данные Хульма
|204]); 3 — А1 (данные Заварицкого [2Ю] и теория); 4— In
(данные Хульма [204J и Сладека [206]); 5 —А1 (данные
Саттер в айта [211]).
порядка — сразу над этой кривой. Эти результаты не проти-
противоречат ранним исследованиям Хульма, проведенным на
поликристаллических образцах. Соответствующие функции
дляфононного рассеяния имеют положительную производную
у Тс. Однако были получены производные, равные только
единице (ось второго порядка) и двум (тетрагональная
§ 15. теплопроводность
151
ось), что резко расходится с более ранними измерениями
на свинце и ртути, которые дали для начальной произ-
производной значение, равное примерно 5 (рис. 42).
При теоретическом выводе [207] выражения для отно-
отношения *es/'*-en в случае рассеяния на фононах было найдено
приближенное решение уравнения переноса с помощью
вариационного метода Колера. Это дает нижнюю границу
Рис. 41. Приведенная теплопроводность не-
нескольких оловянных образцов различной чи-
чистоты, измеренная параллельно и перпендику-
перпендикулярно тетрагональной оси.
Согласно оценке часть рассеяния при Т , обусловленная
фонолами, изменяется от 70 до 1Я% для обеих этих
ориентации.
для коэффициента теплопроводности. Если предположить,
что неравновесная часть функции распределения квазича-
квазичастиц имеет вид:
= bB
cos 9 ,
A5.6)
то для производной t-esl^en п0 ^/^с ПРИ температуре Тс
получаем значение —^0,5. Вычисления дают значение
*es/*en = 0,75 при Т/Тс = 0,72. Хотя производная при
Т —*¦ Тс имеет другой знак по сравнению с измерениями
Генаулта, значение *es/v-en при Г/Гс = 0,72, вычисленное
на основе изотропной модели, близко к среднему изме-
измеренному значению. Природа расхождений в отношении
производной у Тс пока еще не выяснена. Для объяснения
больших положительных производных в случае свинца и

152
§15. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ртути нужно провести вычисления для случая «промежу-
«промежуточной» связи1).
Как установили Каданов и Мартин [213], данные, по-
полученные для олова, приближенно согласуются с теорией,
если предположить, что время релаксации для электронно-
фононного взаимодействия одинаково для нормального и
Рис. 42. Теплопроводность свинца.
Отмечается быстрое падение ниже Т? и пик при Г~Гс/2,
по-видимому, когда начинает преобладать рассеяние на при-
примесях [212]. Пунктирная линия отвечает нормальной фазе,
сплошная — сверпроводящей.
сверхпроводящего состояний. Это предположение, однако,
не согласуется с описанными выше детальными вычисле-
вычислениями, основанными на уравнении Больцмана. Из вычис-
вычислений Кресина [214]х) следует, что эта трудность,
быть может, связана с коротким временем релаксации х
') См. в этой связи работу [243*]. — Прим. ред.
§ 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ И СОЕДИНЕНИЯ 153
для квазичастиц. Согласно расчетам Кресина *вв/у.вя^0,81
для &/kBTtt0,25 и у-ез/~'-еп^0,72 для i^/k?T%/o,5. Эти
значения приводят к еще более быстрому падению вблизи Т ,
чем наблюдается для свинца и ртути.
§ 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ И СОЕДИНЕНИЯ
Недавно было проведено много экспериментов на
магнитных и немагнитных сверхпроводящих сплавах. Осо-
Особенно интересны вещества, которые одновременно являются
ферромагнитными и сверхпроводящими. Хотя полного тео-
теоретического объяснения экспериментальных данных в на-
настоящее время нет, некоторые результаты были интерпре-
интерпретированы. Обсудим сначала свойства немагнитных сплавов.
Линтон, Серии и Цукер [215], а также Чейнин, Линтон и.
Серии [216] изучали влияние различных немагнитных при-
присадок (от 0,01 до 1,0 ат.%) на критическую температуру
олова, индия и алюминия. При достаточно малых кон-
концентрациях всех твердых растворов они нашли, что Тс
линейно уменьшается с возрастанием обратной величины
средней длины свободного пробега электрона. Для боль-
больших концентраций кривые зависимости Тс от концентра-
концентрации образуют две группы в соответствии со знаком раз-
разности валентностей AZ между растворимым и растворите-
растворителем. Кривая температуры перехода имеет резкий загиб
кверху у твердых растворов с более высокой валентно-
валентностью присадки. При более низких валентностях присадки
величина Тс стремится к насыщению в области высоких
концентраций. Соответствующие кривые для индия приве-
приведены на рис. 43. Подобие результатов для трех совер-
совершенно различных растворителей — индия, алюминия и
олова заставляет предположить, что эти результаты ха-
характерны для немагнитных сверхпроводящих сплавов.
Андерсон [217] (см. также [128]) предположил, что
анизотропия энергетической щели, имеющая место в чистых
металлах, может быть уничтожена в результате рассеяния
на примесях. Это может вызвать уменьшение Тс при ма-
малых концентрециях1). Андерсон счител, что обрезование
') Анизотропия щели порядка самой ширины щели (см. на-
например, [267*]). Поэтому предполагаемое [217] усреднение ши-
ширины щели порядка самой этой ширины. Между тем изменение

154 § 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВУ И СОЕДИНЕНИЙ
пар в основном состоянии должно происходить на основе
состояний срла и ср*па, определенных в присутствии рассеи-
рассеивающих центров. Пока средняя длина свободного пробега
электрона мала по сравнению с ?0 при движении элект-
электрона на длине когерентности, примеси будут слабо сме-
смешивать состояния, отвечающие плоским волнам. Если же
l/l, W " см-7
0,04 0,05/ 0,06
-0,06L
Рис. 43. Понижение Тс для индия, вызванное немагнит-
немагнитными примесями, как функция средней длины свобод-
свободного пробега (см. Серии и др. [215, 216]).
/ <С $0' ФУНКЦИЯ fna не может больше аппроксимироваться
отдельной плоской волной, и состояния, лежащие на всей
поверхности Ферми, перемешиваются с более или менее
одинаковым весом. Последнее приводит к уничтожению
источника анизотропии энергетической щели. Как только
температуры перехода при концентрации примесей -^1%, когда
/ > ?0> еще мало и составляет —5%. Наблюдаемый малый
эффект, вероятно, связан с изменением решетки при внесении
примесей. Согласно [147] при малых концентрациях &Т/ТС ~ а/1,
где а — межатомное расстояние. — Прим. ред.
§ 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ И СОЕДИНЕНИЯ 155
смешение состояний становится полным, влияние увеличе-
увеличения числа примесей на Тс должно исчезать. Именно факт
насыщения кривой Тс для твердых растворов с отрица-
отрицательной разностью AZ побудил Андерсона высказать свои
предположения.
Абрахаме и Вейсс [218]х) рассмотрели влияние приме-
примесей на плотность состояний на поверхности Ферми, а также
на фононно-электронные матричные элементы с учетом
изменения электронного экранирования. Их выражение
для зависимости Тс от концентрации примесей содержит
разность больших членов и пока еще не доведено до точ-
точной оценки. Однако такой подход к решению проблемы
представляется обещающим.
Чейнин, Линтон и Серии [216] предположили, что слож-
сложность зависимости Тс от концентрации за пределами ли-
линейной области может быть связана с изменением концен-
концентрации электронов, а следовательно и плотности состояния
N {(У). Однако вопрос остается невыясненным, поскольку
Линтон, Серии и Цукер [215] нашли, что f (Л следова-
следовательно и N@)), по-видимому, увеличивается для всех
концентраций примесей.
Переходя к обсуждению магнитных сплавов, заметим,
что в последнее время большое число работ было посвя-
посвящено выяснению связи между сверхпроводимостью и фер-
ферромагнетизмом [220 — 227,237*]. Маттиас, Комптои, Сул
и Коренцвит неожиданно обнаружили, что присадка маг-
магнитных переходных металлов повышает, а не понижает
температуру сверхпроводящего перехода Гс(рис. 44). По
их мнению, возрастание не может быть объяснено только
изменением электронной концентрации. Подтверждением
этой точки зрения служит сравнение твердых растворов,
включающих первый ряд переходных элементов с твер-
твердыми растворами для второго ряда переходных элементов.
Последние вносят такое же количество электронов, но
не обладают никаким магнитным моментом.
При добавлении малых концентраций редкоземельных
элементов Те снижается. Это понижение грубо описы-
описывается функцией вида J{J-\- l)(g— 1J> где J—спин атома
') См. также статью [219], в которой рассеивающий потен-
потенциал рассматривается как возмущение.

156 § 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ И СОЕДИНЕНИЯ
редкоземельного элемента и g — фактор спектроскопиче-
спектроскопического расщепления. При больших концентрациях сплав
становится ферромагнетиком. На рис. 45 показаны ре-
результаты, полученные для лантаново-гадолиниевых твер-
твердых растворов. Последующие результаты Хейна и др.
указывают на возможность одновременного сосущество-
сосуществования сверхпроводимости и ферромагнетизма при Т= 0,5° К
10 15
Содержание Fe или Ru в
20
Рис. 44. Температуры сверхпроводящего перехода твердых
растворов железа или рутения в титане [226].
для 1%-ной концентрации Gd. Образуя смешанные кри-
кристаллы Y и CdOs2, а также CeRu2 и GdRu2, можно по-
получить системы одновременно сверхпроводящие и ферро-
ферромагнитные (рис. 46). Существует область концентрации,
где температура Кюри 9 выше Тс. Если один из таких
образцов охладить ниже Тс, то одновременно наблюдается
остаточное намагничение, свойственное ферромагнетизму,
и диамагнитное экранирование, характерное для идеаль-
идеального проводника. Возможно, что существуют чередующиеся
сверхпроводящие и ферромагнитные домены, и в одной
и той же области оба эффекта фактически не существуют.
§ 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ И СОЕДИНЕНИЯ 157
Очень вероятно, что сверхпроводящие домены во всяком
случае являются узкими, так как критические поля должны
быть высокими. В сплавах с переходными элементами (не-
(незаполненная d-оболочка) аналогичных эффектов не наблю-
наблюдается.
На основе этих результатов Маттиас предположил,
что магнитный момент сам по себе не мешает сверхпро-
сверхпроводимости, а скорее обусловливает существование обмен-
обменного взаимодействия с s-электронами, которое усиливает
4 5 S 7
Содержание Ed б La, %
ГО
Рис. 45. Температуры сверхпроводящего (пунктир) и ферромаг-
ферромагнитного (сплошная линия) переходов твердых растворов гадо-
гадолиния в лантане, измеренные Маттиасом и др. [226].
сверхпроводимость. Дальнодействующие обменные взаимо-
взаимодействия между присадками редкоземельных элементов
(/-оболочка) и электронами проводимости приводят к фер-
ферромагнетизму. Как указали Херринг и Сул [228], тем-
температура перехода сплавов, содержащих атомы редкозе-
редкоземельных элементов, понижается в результате ослабления
косвенного обменного взаимодействия в сверхпроводящем
состоянии, что происходит в результате отсутствия вир-
виртуальных переходов с малыми энергиями возбуждения. Вычи-
Вычисления во втором приближении теории возмущений дают
правильную спиновую зависимость изменения Тс. С другой
стороны, для сплавов, содержащих переходные металлы,
12 Зак. 140. Дж. Бардин, Дж. Шриффер

158 § 16. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ И СОЕДИНЕНИЯ
дальнодействующий потенциал косвенного обменного вза-
взаимодействия, по-видимому, очень слаб. Вместо того чтобы
снижать Тс, эти магнитные ионы могут привести к но-
новому механизму притяжения между электронами, что уси-
усиливает тенденцию к сверхпроводимости. Таким образом,
1
3-*
I
о
4 6 8 W
Содержание Gd 0sz в У,'/.
12
Рис. 46. Температуры сверхпроводящего (пунктир) и
ферромагнитного (сплошная линия) переходов твер-
твердого раствора Y1_^Gd^rOs2, измеренные Маттиасом
и др. [226].
Точечная линия — экстраполяция к 0%.
введение редкоземельных присадок снижает свободную
энергию для нормального состояния в большей степени,
чем для сверхпроводящего, что приводит к понижению Тс.
С другой стороны, в сплавах с переходными металлами
свободная энергия сверхпроводящего состояния снижается
сильнее, чем для нормального состояния. Возможно, это
происходит благодаря эффективному взаимодействию между
электронами в результате существования спиновых об-
обменных сил. Кроме того, в случае переходных элементов,
•§ if. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15§
по-видимому, нет дальнодействующих косвенных обмен-
обменных взаимодействий между примесями, приводящих к фер-
ферромагнетизму в разбавленных системах. Хотя все эти ар-
аргументы внушают доверие, теория нуждается в более
детальном развитии, прежде чем можно будет прийти
к окончательному выводу о роли взаимодействия элек-
электрон — примесь — электрон по сравнению с взаимодейст-
взаимодействием примесь — электрон — примесь1).
§ 17. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как мы видели, согласие между экспериментом и пред-
предсказаниями микроскопической теории, основанной на упро-
упрощенной модели, в общем случае много лучше, чем этого
можно было ожидать. Ряд экспериментальных данных хо-
хорошо подтверждает: 1) факт наличия зависящей от темпе-
температуры энергетической щели; 2) существование заметного
когерентного влияния волновых функций пар на величину
матричных элементов и вероятности переходов, 3) нело-
нелокальную теорию, объясняющую электромагнитные свой-
свойства, и 4) наличие быстрого перехода от сверхпроводящего
«поведения» к нормальному, когда hta становится больше
ширины щели. Теория объясняет появление перехода вто-
второго рода при Тс, эффект Мейсснера и метастабильность
1) Из теории [12] следует [272*], что при достаточно ма-
малых концентрациях парамагнитных примесей температура пере-
перехода должна убывать с увеличением концентрации. Физически
этот результат связан с тем, что рассеяние на спине примеси
способно разрушать спиновую корреляцию в куперовской паре.
Такая ситуация имеет место до тех пор, пока концентрация на-
настолько мала, что примеси можно считать равномерно распре-
распределенными по металлу. При концентрациях, отвечающих усло-
условиям работы [226], видимо, наступает заметное упорядочение
примесей. В противном случае следовало бы ожидать гораздо
меньших температур ферромагнитного перехода, поскольку силы
между атомами примеси (возникающие благодаря обмену элек-
электронами проводимости) быстро осциллируют с расстоянием
между этими примесными атомами. Поэтому в результате ус-
усреднения температура ферромагнитного перехода была бы экс-
экспоненциально мала.
В случае сверхпроводящих сплавов, вообще говоря, суще-
существенную роль играют также эффекты, связанные с уменьшением
или даже изменением знака поверхностной энергии ans (см. [253!:,
254*]). — Прим. ред.
12*

160
§ [7. ЗАКЛЮЧЕНИЙ-
незатухающего тока. Вопросы, возникшие по поводу гра-
градиентной инвариантности теории, были полностью разре-
разрешены. Были указаны некоторые возможные объяснения
сдвига Найта и соответствующего спинового парамагне-
парамагнетизма электронов.
Мы попытались дать физическую картину сверхпро-
сверхпроводника в терминах основного состояния и спектра его
элементарных возбуждений. Незатухающий ток и эффект
Мейсснера связаны с дальнодействующей корреляцией им-
импульсов спаренных электронов в основном состоянии. Тео-
Теория развивалась в направлении, предложенном Ф. и Г. Лон-
донами с учетом изменений, сделанных Пиппардом в связи
с введением длины когерентности. Несмотря на некото-
некоторую аналогию с бозе-эйнштейновской конденсацией, имеются
также заметные различия, так что по существу такая
аналогия является далеко не полной. Наиболее сущест-
существенными возбуждениями являются квазичастицы, подчи-
подчиняющиеся статистике Ферми. Тепловые возбуждения не
разрушают дальнодействующей корреляции импульсов, пока
температура не достигает критического значения.
Необходимо дальнейшее развитие теории для деталь-
детального объяснения свойств сверхпроводников с большим
электронно-фононным взаимодействием и низкими темпе-
температурами Дебая, для которых приближение слабой связи
не является удовлетворительным. Это относится, в част-
частности, к свинцу и ртути, свойства которых существенно
отклоняются от приближенного закона соответственных
состояний, справедливого для большинства других сверх-
сверхпроводников. Возможно, что отсутствие согласия теории
с экспериментом для случая, когда электронная теплопро-
теплопроводность ограничена рассеянием на фононах, частично
объясняется отклонением реальных сверхпроводников
от сверхпроводников, рассматриваемых в пределе слабой
связи.
В вычислениях, которые были выполнены до настоя-
настоящего времени, не учитывались эффекты зонной структуры,
за исключением тех случаев, когда они могли быть от-
отражены введением изотропной эффективной массы. Известно,
что эффекты анизотропии существенны для нормальных
металлов; то же относится и к сверхпроводникам. Из экспе-
экспериментов по затуханию ультразвука в монокристаллах
§ 17. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
161
олова следует, что свойства энергетической щели раз-
различны в различных направлениях. Анизотропия энергети-
энергетической щели объясняет, вероятно, отклонения наблюдае-
наблюдаемой теплопроводности от теоретических значений при
сверхнизких температурах.
Одним из наиболее важных вопросов, которые до сих
пор остаются еще открытыми, является вопрос о крите-
критерии сверхпроводимости и, в частности о том, как именно
кулоновское отталкивание противодействует электрон-фо-
нонному притяжению, и тем мешают появлению сверхпро-
сверхпроводимости. Представляется вероятным, что для этого
нужно рассмотреть эффекты конечного времени жизни
квазичастичных возбуждений в нормальном состоянии. Хотя
микроскопическая теория согласуется качественно с эм-
эмпирическими правилами Маттиаса, еще очень много надо
сделать, прежде чем можно будет дать даже грубые тео-
теоретические оценки критических температур для реальных
веществ, в том числе сплавов.
В связи с экспериментами Маттиаса и др., посвящен-
посвященными ферромагнетизму и сверхпроводимости, возникло
много интересных вопросов. Могут ли ферромагнетизм
и сверхпроводимость сосуществовать в одной и той же
области кристалла или это имеет место только для всего
образца в целом? Почему имеется такая тесная связь между
сверхпроводящими соединениями и соединениями, стано-
становящимися ферромагнитными при малых присадках к ним
редких земель (/-электронов)? Существуют ли другие ме-
ханизмьь ответственные за сверхпроводимость, кроме
электронно-фононного взаимодействия? Так, Сул пред-
предположил 1), что может иметь место эффективное взаимо-
взаимодействие между валентными электронами, возникающее
в результате взаимодействия между валентными электро-
электронами и d-электронами 2).
') Н. S u h 1, частное сообщение.
2) В работе [273*] обнаружено отсутствие изотопического
эффекта в сверхпроводящем рутении, что указывает на возник-
возникновение сверхпроводимости не за счет взаимодействия электро-
электронов с решеткой. Отметим, что в работе [224] были высказаны
соображения в пользу того, что в ферромагнетиках притяжение
между электронами может быть связано с обменом спиновыми
возбуждениями (магнонами). — Прим. ред.

162
17. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем обзоре мы обсудили явление сверхпро-
сверхпроводимости только с точки зрения его существования в ме-
металлах. Вслед за первоначальным предположением Бора,
Моттельсона и Пайнса [229—234] было проведено под-
подробное рассмотрение аналогичных, приводящих к образо-
образованию . пар, взаимодействий в ядрах. Существуют указа-
указания на наличие щели в спектре возбуждения ядер, а также
на существование других явлений, свойственных сверх-
сверхпроводимости. Имеется прямая аналогия между эффек-
эффектом Мейсснера и тем фактом, что момент инерции вра-
вращающихся ядер значительно меньше момента инерции
твердого тела. Силы Кориолиса, возникающие во вра-
вращающейся системе отсчета в первом приближении, экви-
эквивалентны силам, обусловленным магнитным полем. Умень-
Уменьшение момента инерции по сравнению с его «твердотельным»
значением указывает на наличие большого тока частиц,
текущего во вращающейся системе навстречу вращению.
Этот ток соответствует диамагнитному току в случае эф-
эффекта Мейсснера. Оболочечная структура, относительно
малый размер и небольшое число частиц в ядрах вносят
здесь усложнения, отсутствующие в металлах. Мы упоми-
упоминали о возможности существования сверхтекучести в Не3,
где пары скорее всего могут образовываться в rf-состоя-
нии [181, 235]. Намбу [236] предложил теорию сверхпро-
сверхпроводимости для элементарных частиц, в которой масса
нуклонов определяется энергетической щелью. Мезоны же
рассматриваются как низколежащие коллективные или экси-
тоноподобные состояния. Таким образом, может оказаться,
что сверхпроводимость — общее явление для всех ферми-
систем.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
London F., Superfluids, vol. 1, New York, 1950.
Гинзбург В. Л., Fortschr. d. Phys. 1, 101 A953); УФН 42,
169, 333 A950); 48, 25 A952).
В а г d e e n Y., Handbuch der Physik B15, S. 274, Berlin, 1956
(см. перевод: «Физика низких температур», стр. 679, ИЛ,
1959).
Халатников И. М., Абрикосов A. A., Phil. Mag.
Suppl. 8, 45 A959) (см. УФН 65, 551 A958)).
Kuper С. Q., Phil. Mag. Suppl. 8, 1 A959).
S с h a f г о t h M. R., Solid State Physics, vol. 10, p. 293, New
York (I960).
В а г d e e n Y., Physica 24, 527 A958).
Shoenberg D., Superconductivity, Cambridge University
Press, 1952 (см. перевод: Д. Шенберг «Сверхпроводимость»,
ИЛ, 1955).
Serin В., Handbuch der Physik B15, S. 210, Berlin, 1956
(см. перевод: «Физика низких температур», стр. 611,
1959).
London F., Phys. Rev. 74, 562 A948).
Bardeen J., Cooper L., Schriffer
106, 162 A957).
Bardeen J., Cooper L., Schriffer
ИЛ,
J., Phys. Rev.
j-> a i u с е и j., uooper L., Schriffer J., Phys. Rev.
108, 1175 A957) (см. перевод «Теория сверхпроводимости»,
стр. 103, ИЛ, 1960).
Боголюбов Н. Н., Nuovo Ciraento 7, 6, 794 A958).
Боголюбов Н. Н., ЖЭТФ 34, 58 A958).
Боголюбов Н. Н., ЖЭТФ 34, 73 A958).
Боголюбов Н. Н., УФН 67, 549 A959).
Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В.,
Fortscher. d. Phys. 6, 605 A958).
Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В.,
Новый метод в теории сверхпроводимости, Изд. АН СССР,
1958.
Толмачев В. В., Тябликов С. В.,
A958).
Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н.,
ков Ю. А., ДАН 117, 778 A957).
Ширков Д. В., ЖЭТФ 37, 179A960).
Valatin J. Q., Nuovo Giraento 7, 843 A958) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 204? ИЛ, 1960).
ЖЭТФ 34, 66
Церковни-

162
i7. заключение
В настоящем обзоре мы обсудили явление сверхпро-
сверхпроводимости только с точки зрения его существования в ме-
металлах. Вслед за первоначальным предположением Бора,
Моттельсона и Пайнса [229—234] было проведено под-
подробное рассмотрение аналогичных, приводящих к образо-
образованию-пар, взаимодействий в ядрах. Существуют указа-
указания на наличие щели в спектре возбуждения ядер, а также
на существование других явлений, свойственных сверх-
сверхпроводимости. Имеется прямая аналогия между эффек-
эффектом Мейсснера и тем фактом, что момент инерции вра-
вращающихся ядер значительно меньше момента инерции
твердого тела. Силы Кориолиса, возникающие во вра-
вращающейся системе отсчета в первом приближении, экви-
эквивалентны силам, обусловленным магнитным полем. Умень-
Уменьшение момента инерции по сравнению с его «твердотельным»
значением указывает на наличие большого тока частиц,
текущего во вращающейся системе навстречу вращению.
Этот ток соответствует диамагнитному току в случае эф-
эффекта Мейсснера. Оболочечная структура, относительно
малый размер и небольшое число частиц в ядрах вносят
здесь усложнения, отсутствующие в металлах. Мы упоми-
упоминали о возможности существования сверхтекучести в Не3,
где пары скорее всего могут образовываться в d-состоя-
нии [181, 235]. Намбу [236] предложил теорию сверхпро-
сверхпроводимости для элементарных частиц, в которой масса
нуклонов определяется энергетической щелью. Мезоны же
рассматриваются как низколежащие коллективные или экси-
тоноподобные состояния. Таким образом, может оказаться,
что сверхпроводимость — общее явление для всех ферми-
систем.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
A., Phil. Mag.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
London F., Superfluids, vol. 1, New York, 1950.
Гинзбург В. Л., Fortschr. d. Phys. I, 101 A953); УФН 42,
169, 333 A950); 48, 25 A952).
В а г d e e n Y., Handbuch der Physik BI5, S. 274, Berlin, 1956
(см. перевод: «Физика низких температур», стр. 679, ИЛ,
1959).
Халатников И. М., Абрикосов А.
Suppl. 8, 45 A959) (см. УФН 65, 551 A958)).
К и р е г С, Q., Phil. Mag. Suppl. 8, 1 A959).
S с h a f г о t h M. R., Solid State Physics, vol. 10, p. 293, New
York A960).
В а г d e e n Y., Physica 24, 527 A958).
Shoenberg D., Superconductivity, Cambridge University
Press, 1952 (см, перевод: Д. Шенберг «Сверхпроводимость»,
ИЛ, 1955).
Serin В., Handbuch der Physik B15, S. 210, Berlin, 1956
(см. перевод: «Физика низких температур», стр. 611, ИЛ,
1959).
London F., Phys. Rev. 74, 562 A948).
Bardeen J., Cooper L., Schriffer J., Phys. Rev.
106, 162 A957).
Bardeen J., Cooper L., Schriffer J., Phys. Rev.
108, 1175 A957) (см. перевод «Теория сверхпроводимости»,
стр. 103, ИЛ, 1960).
Н. Н., Nuovo Cimento 7, 6, 794 A958).
Н. Н., ЖЭТФ 34, 58 A958).
Н. Н., ЖЭТФ 34, 73 A958).
Н. Н., УФН 67, 549 A959).
Н. Н., Толмачев В. В., Ш и р к о в Д. В.,
Fortscher. d. Phys. 6, 605 A958).
Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В.,
Новый метод в теории сверхпроводимости, Изд. АН СССР,
1958.
Толмачев В. В., Тябликов С. В., ЖЭТФ 34, 66
A958).
Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковни-
Церковников Ю. А., ДАН 117, 778 A957).
Ширков Д. В., ЖЭТФ 37, 179 A960).
Valatin J. Q., Nuovo Cimento 7, 843 A958) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 204, ИЛ, 1960).
Боголюбов
Боголюбов
Боголюбов
Боголюбов
Боголюбов

164
23.
24.
25..
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Anderson P. W., Phys. Rev. 110, 827 A958) (см. пере-
перевод: «Теория сверхпроводимости», стр. 264, ИЛ, 1960).
Anderson P. W., Phye. Rev. 112, 1900 A959) (см. пере-
перевод «Теория сверхпроводимости», стр. 285, ИЛ, 1960).
Nambu Y., Phys. Rev. 117, 648 A960).
Rick ay sen Q., Phys. Rev. 115, 795 A959).
Pines D., Schriffer J., Nuovo Cimento
(см. перевод: «Теория сверхпроводимости»,
1960).
Glover R. E. Ill, Tinkham
A957).
Ginsberg D. M., Richards
Phys. Rev. Lett. 3, 337 A959).
Ginsberg D. M., Tinkham
A960).
Richards P. L., Tinkham M.
Biondi M. A., Garfunkel M.
10, 496 A958)
стр. 328, ИЛ,
М„ Phys. Rev. 108,
P. L., Tinkham
M., Phys. Rev. 118,
243
M.,
990
Phys. Rev. 119,575A960).
P., Phys. Rev. 116, 853
A959).
Morse R. W., В о h m H. V., Phys. Rev. 108, 1094 A957).
Morse R. W., В о h m H. V., G a v e n d a J. D., Bull. Am.
Phys. Soc. II, 3, 44, 203 A958).
Morse R. W., Progress in Criogenics, vol 1, p. 220, Lon-
London, 1959.
Hebel L. C, Shlichter С. Р., Phys. Rev. 113, 1504
A959).
Hebel L. C, Phys. Rev. 116, 79 A959).
G., Anderson A. G.. Phys. Rev. 116,
L. C,
R e d f i e 1 d A.
583 A959).
Redfield
A. G., Phys. Rev. Lett. 3, 85 A959).
M a s u d a Y., R e d f 1 e 1 d A., Phys. Rev. Lett, (в печати).
G u e n a u 11 A. M., Superconductivity Conference, Camb-
Cambridge, 1959.
A n d г о e s G. M., Knight W. D., Phys. Rev. Lett. 2,
386, A959); Phys. Rev. 121, 779 A961).
R e i f F., Phys. Rev. .106, 208 A957).
Kamerlingh OnnesH., Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden,
№ 119, 120, 122 A911).
Keesom W. H., v a n d e n E n d e J. N., Comm. Phys.
Lab. Univ. Leiden, № 2196 A932).
Keesom W. H., К ok Y. A., Comm. Phys. Lab. Univ.
Leiden, № 221 A932); Physica 1, 175 A934).
Meissner W., Ochsenfeld R., Naturwiss 21, 787 A933).
Keesom W. H., Rapp. et Disc. 4-e Congr. Phys. Solvay,
288.
utgers A. J., Physica 1, 1055 A934).
Gor ter C. J., Arch., Mus. Teyler 7, 378 A933).
G о r t e г С J., С a s i m i r B. G., Phys. Z. 35, 963 A934);
Z. techn. Phys. 15, 539 A934).
London H., London F., Proc. Roy. Soc. (London) A149,
71 A935); Physica 2, 341 A935).
Pontius R. В., Phil. Mag. 24, 787 A937).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
165
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
v. Laue M., Ann. Phys. 32, 71, 253 A938).
Shoenberg D., Proc. Roy. Soc. (London) A175, 49 A940)
Lock J. M., Proc. Roy. Soc. (London) A208, 391 A951)
L a u r m a n E., Shoenberg D., Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London) A198, 560 A949). * У
С a s i m i r H. G. В., Physica 7, 887 A940).
Ландау Л. Д., Phys. Z. Sowet. 11, 129 A937).
Мешковский А. Г., Шальников А. И, J Phvs
11, 1 A947); ЖЭТФ 17, 851 A947). У
London H., Proc. Poy. Soc. (London) A176, 522 A940)
Pippard А. В., Proc. Roy. Soc. (London) A191, 370 A947)
PJppard А. В., Adv. Electorics and Electron Phys. 6, 1,
у 1УО^ 1.
Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д., ЖЭТФ 20, 1064 A950).
Maxwell E., Phys. Rev. 78, 477 A950).
Reynolds, Serin, Wright, Nesbitt, Phys. Rev. 78,
*o/ AУoOj.
Frolic h H., Phys. Rev. 79, 845 A950) (см. перевод: «Тео-
«Теория сверхпроводимости», стр. 11, ИЛ, 1960).
Bardeen J., Rev. Mod. Phys. 23, 261 A951).
Pippard А. В., Proc. Roy. Soc. (London) A216, 547 A953).
Bardeen J., Phys. Rev. 97, 1724 A955).
Biondi M. A., Forrester А. Т., Garfunkel M. P.,
Safferwaite С. В., Rev. Mod. Phys. 30, 1109A958).
Matthias В. Т., Prog. Low Temp. Phys., vol 11, p. 138
Amsterdam, 1957.
Cooper L. N., Phys. Rev. 104, 1189 A956).
Hake R. R., Mapother D. E., Dexter D.
Rev. 112, 1522 A958).
Chambers R. G., Proc. Roy. Soc. (London)
A952). '
F a b e г Т. Е., Pippard А. В., Proc. Roy. Soc. (London)
A231, 336 A955). ;
Pippard А. В., Physica 19, 765 A953).
Doidge P. R., Phil. Traus. Roy. Soc. (London) A24S,
L., Phys.
А65, 458
89.
) , 553
()
Meissner H., Phys. Rev. Lett. 2, 458 A959).
Bohn N., Dissertation, Copenhagen, 1911.
van Leeuwen Y. H., J. de Phyisique F) 2, 361 A921).
Slater J. C, Phys. Rev. 51, 195 A937); 52, 214 A937).
Feynman R. P., Prog. Low. Temp. Phys., vol. 1, p. 17,
Amsterdam, 1955.
Vinen W. F., Nature 181, 1524 A958); Physica 24, 13 A958).
Chase С. Е., Phys. Rev. Lett. 4, 220 A960).
Гинзбург В. Л., УФН 48, 25 A952).
S с h a f г о t h M. R., Phys. Rev. 100, 463 A955).
Schafroth M. R., Blatt J. M., Butler S. Т., Helv.
Phys. Acta 30, 93 A957) (см. перевод: «Теория сверхпрово-
сверхпроводимости», стр. 62, ИЛ, I960).
М a s t u b а г а Т., Blatt Y. M., Prog. Teor. Phys. 23, 45
A960).

166
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
90. Schafroth M. R., Phys. Rev. Ill, 72 A958) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 245, ИЛ, 1960).
91. Feynman К. Р, Cohen M., Phys. Rev. 102, 1189A956).
92. Ландау Л. Д., ЖЭТФ 34, 262 A958); 30, 1058 A956).
93. Ландау Л.-Д., ЖЭТФ 32, 59 A957).
94. Абрикосов А. А., Халатников И. М., Pep. Prog.
Phys. 22, 329 A959) (см. УФН 66, 177 A958)).
95. Frolich H., Proc. Roy. Soc. (London) A215, 291 A952)
(см. перевод: «Теория сверхпроводимости», стр. 37, ИЛ,
1960).
96. Bardeen J., Pines D., Phys. Rev. 99, 1104 A955).
97. Pines D., Phys. Rev. 109, 280 A958) (см. перевод: «Теория
сверхпроводимости», стр. 186, ИЛ, 1960).
98. Morrel P., J. Phys. Chem. Solids 10, 277 A959).
99. Brown A., Zemansky M. W., Boorse H. A., Phys.
Rev. 92, 52 A953).
100. Goodman В. В., Proc. Roy. Soc. (London) A66, 217 A953).
101. Welker H., Phys. Z. 39, 920 A938).
102. Daunt J. Q., Mendelssohn K., Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London) A185, 225 A946).
103. Nakamura K., Proc. Theor. Phys. 21, 713 A959).
104. Bardeen J., Rickayzen Q., Phys. Rev. 118, 936 A960).
105. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковни-
Церковников Ю. А., ЖЭТФ 39, 120 A960).
106. Swihart Y. С, Phys. Rev. 116, 45 A959).
107. Cooper Z. N., Superconductivity Conference, Cambridge,
1959.
108. Wentzel Q., Helv. Phys. Acta 33, 859 A961).
109. Corak W.S., Goodman В. В., Satterthwaite C.B.,
Wexler S., Phys. Rev. 96, 1442 A954); 102, 656 A956).
110. Corak W. S., Sattefthwaite С. В. Phys. Rev. 102,
662 A956).
111. Goodman В. В., Сотр. Rend. 224, 2899 A957); 245, 3031
A958).
112. Chou C, White D, Johnston H. L., Phys. Rev.
109, 788 A958).
113. Заварицкий Н. В., ЖЭТФ 34, 1116 A958).
114. Phillips N. E., Phys. Rev. 114, 676 A959).
115. Seidel G., Phys. Rev. 112, 1083 A959).
115a. Cooper Z. N., Phys. Rev. Lett. 3, 17 A959); Boorse H. A.,
Phys. Lett. 2, 391 A959).
116. Morse R. W., Olsen Т., Gavenda J. D., Phys. Rev.
Lett. 3, 15 A959); 4, 193 A959).
117. Maxwell E., Lutes O. S., Phys. Rev. 95,333 A954).
118. Decker D. C, Mapother D. E., Shaw R. W., Phys.
Rev. 112, 1888 A958).
119. Finnemore D. K., Mapother D. E., Shaw R. W.,
Phys. Rev., 118, 127 A960).
120. H. Koppe, Ergebn. exact. Naturw. 23, 283 A950).
121. В 5m me 1 H. E., Phys. Rev. 96, 220 A954).
122. MacKinnon L., Phys. Rev. 98, 1181 A955); 105, 70 A957).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
167
123.
124.
125.
126.
127.
128.
К р е с и н В. 3., ЖЭТФ 36, 1957 A959).
Tsuneto Т., Phys. Rev. 118, 1029 A960).
Безуглый П. О., Галкин А. А., Каролюк А. П
ЖЭТФ 36, 1951 A959).
В ohm Н. V., Morse R. W., Bull. Аш. Phys. Soc. 11,
3, 225 A958).
Kittel C, Phys. Rev. 98, 1181 (A) A955).
Mattis D. C, Bardeen J., Phys. Rev. 111,412A958)
(см. перевод: «Теория сверхпроводимости», стр. 172, ИЛ,
1960).
Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Халатни-
Халатников И. М., ЖЭТФ 35, 1 A959).
Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Халатни-
Халатников И. М., ЖЭТФ 37, 187 A960).
Rickaysen G., Phys. Rev. Ill, 817 A958) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 252, ИЛ, 1960).
N a k a j I m a S., Proc Theor. Phys. 22, 430 A959).
Константинов О. В., Перель Б. Л., ЖЭТФ 37, 786
A959).
Bardeen J., Nuovo Cimento 5, 1766 A957) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 241, ИЛ, I960).
May R. M., Schafroth M. R., Phys. Rev. 115, 1446
A959).
Wentzel G., Phys. Rev. Ill, 1488 A958) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 347, ИЛ, 1960).
Gupta К. К., Math ur V. S., Phys. Rev. 115, 75 A959).
Pines D., S с h r i e f f e r J. R., Phys. Rev. Lett. 1, 407
A958).
Wentzel G., Phys. Rev. Lett. 2, 33 A959).
Klein O., Ark. Mat. Astronom. Fys. Ser. A31, № 12<1944).
Klein O., L in d hard J., Rev. Mod. Phys. 17, 305
A945),
Lindhard J., Dan. Mat. Fys. Medd. 28, № 8 A954).
Ferrell R. A., Glover R. E. Ill, Phys. Rev. 109, 1398(L)
A958).
144. T i n к h a m M., Ferrell R. A., Phys. Rev. Lett. 2, 331
A959).
Edwards S. F., Phil. Mag. 3, 1020 A958).
Weiss P. R., Abrahams E., Phys. Rev. Ill, 722 A958).
Абрикосов А. А., Горькое Л. П., ЖЭТФ 35, 1558
A958).
М u h 1 s с h 1 е g e 1 В., Z. Phys. 155, 313 A959).
Miller P. В., Phys. Rev. 118, 928 A960).
Tsuneto Т., Phys. Rev. 118, 1029 A960).
S а г а с h i k M. P., G a r w i n R. S., E r 1 b а с h E., Phys.
Rev. Lett. 4, 52 A960).
Shaw low A. Z., Phys. Rev. 109, 1856 (L) A958).
Clement J. R., Phys. Rev. 92, 1578 И953).
. Самойлов Б. Н., ДАН 86, 281 A952).
'. F a b e г Т. E., P i p p а г d А. В., Proc. Roy. Soc. (London)
A231, 336 A955),
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154
155

168
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Chambers R. О., Ргос. Roy. Soc. (London) A215, 481
A952).
Richards P. Z., T i n к h a m M. (в печати).
Lewis H. W., Phys. Rev. 102, 1508 A956).
Schawlow A. L., Devlin Q. E., Phys. Rev. 113, 120
A959).
Pippard А. В., Superconductivity Conference, Cambridge,
1959.
Miller P. В., Phys. Rev. 112, 1209 A959).
Kaplan R., Nethercot A. H., Jr., Boorse H., Phis.
Rev. 116, 270 A959).-
Spiewak M-, Phys. Rev. 113, 1479 A959).
X а й к и н М. С, ЖЭТФ 34, 1389 A958).
Spiewak M., Phys. Rev. Lett. 1, 4, 136 A958).
Dresselhaus Q., Dresselhaus M. C, Phys. Rev.
118, 77 A960).
Bardasis A., Schrieffer J. R., Phys. Rev. 118, 1029
A961).
Горьков Л. П., ЖЭТФ 34, 735 A958).
Bohm D., Pines D., Phys. Rev. 92, 609, 626 A953).
Pines D., Solid Slate Physics, vol. 1, p. 368, New York,
1955.
Q e 11 - M a n n M., В г e u с k n e г К. A., Phys. Rev. 106,
364 A957).
S a w a d a K., Phys. Rev. 108, 372 A957).
S a wad a K., Brueckner K. A., Fukuda N.. В rout R.,
Phys. Rev. 108, 507 A957).
В rout R., Phys. Rev. 103, 515 A957).
Wentzel Q., Phys. Rev. 103, 1593 A957) (см. перевод:
«Теория сверхпроводимости», стр. 337, ИЛ, 1960).
Ehrenreich H., С о h e n M. H., Phys. Rev. 115, 786
A959).
Q о 1 d s t о n e J., Q о 11 f i г е d K-, Nuovo Cimento 13, 849
A959).
Quinn J. J., Ferrell R. A., Phys. Rev. 112, 812
A958).
Мигдал А. Б., ЖЭТФ 34, 1438 A958).
Bardeen J., Superconductivity Conference, Cambridge,
1959.
Brueckner K. A., Soda Т., Anderson P. W., Mo-
Morel P., Phys. Rev. 118, 1442 A960).
Yosida K-, Phys. Rev. 110, 769 A958).
Heine V., Pippard А. В., Phil. Mag. Ser. 8, 3, 1046
A958).
Ferrell R. A., Phys. Rev. Lett. 3, 262 A959).
Anderson P. W., Phys. Rev. Lett. 3, 325 A959).
Martin P. С, К ad an off L. P., Phys. Rev., Lett. 3,
322 A959).
Абрикосов А. А., Горьков Л. П., ЖЭТФ 39, 480
A960).
Schriffer J. R., Phys. Rev. Lett. 3, 323 A959).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
169
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224
225,
J. M., Superconductivity Conference, Cambridge,
189. В 1 a 11
1959.
Oorter С J., Prog. Low Temp. Phys., vol. 1, Amsterdam,
Ландау Л. Д., J. Phys. (СССР) 5,71 A951); И, 91 A947).
Bardeen J., Phys. Rev. Lett. 1, 399 A959).
Oorter С J., Can. Journ. Phys. 34, 1334 A956).
Dingle R. В., Phil. Mag. 42, 1080 A951).
Atkins K. R-, Liquid Helium, Cambridge, 1959.
Гинзбург Н. И., [Пальников А. И., ЖЭТФ 37,
399 A960).
Rogers К- Т., thesis, Univ. of Illinois, 1960.
Pippard А. В., Proc. Roy. Soc. (London) A203, 210 A950).
Горьков Л. П., ЖЭТФ 36, 1918 A959).
Горьков Л. П., ЖЭТФ 37, 833 (I960).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 36, 1930 A959).
Mendelssohn К., Prog. Low Temp. Phys., vol 1, p. 185,
Amsterdam, 1955; Cam. Jorn. Phys. 34, 1315 A956).
Klemens P. Q., Handbuch der Physik B14, S. 198, Berlin.
1956.
H u 1 m J. K., Proc. Roy. Soc. (London) A204, 98 A950).
Laredo S. J., Proc. Roy. Soc. (London) A229, 473 A955).
S 1 a d e k R. J., Phys. Rev. 97, 902 A955).
Bardeen J., Rickaysen G., Tewordt L., Phys.
Rev. 113, 982 A959).
Г е й л и к м а н Б. Т., К р е с и н В. 3., ДАН 123, 259 A958).
Г е й л и к м а н Б. Т., К р е с и н В. 3., ЖЭТФ 36, 959 A959).
Заварицкий Н. В., ЖЭТФ 33, 1085 A958).
S a 11 e r t h w a i t e С. В., Superconductivity Conference,
Cambridge, 1959.
Rosenberg H. M., Phil. Trans. A247, 441 A955).
К a d a n о f f L. P., Martin P. С. (в печати).
К р е с и н В. 3., ЖЭТФ 36, 1947 A959).
L у п t о п Е. A., Serin В., Z и с к е г М., J. Phys. Chem.
Solids 3, 165 A957).
Chan in Q., Lynton E. A., Serin В., Phys. Rev.
114, 719 A959).
Anderson P. W., J. Phys. Chem. Solids П, 26 A959).
Abrahams E., Weiss P. R., Phys. Rev. Ill, 722 A958).
Nakamura K-, Prog. Theor. Phys. 21, 435 A959).
Matthias В. Т., S и h 1 H., Corenzwit E., Phys. Rev.
Lett. 1, 92, 449 A958).
. He in R. A., Falge R. L., Matthias В. Т., Coren-
Corenzwit C, Phys. Rev. Lett. 2, 500 A959).
. Suhl H., Matthias В. Т., Corenzwit E., Zacharia-
sen W. H., Phys. Rev. 112, 89 A958).
Suhl H., Matthias В. Т., Phys. Rev. 114, 977A959).
Ахиезер А. И., Померанчук И. Я., ЖЭТФ 3S, 859
A959).
Matthias В. Т., Suhl H,, Phys. Rev. Lett. 4,
A960).
51

170 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237*.
238*.
239*.
240*.
241*.
242*.
243*.
244*.
245*.
246*.
247*.
248*.
249*.
250*.
251*.
252*.
253*.
254*.
255*.
256*.
257*.
258*.
259*,
Matthias В., Compton V. В., Suhl H., Corenz-
wit E., Phys. Rev. 115, 1597 A959).
Anderson Q. S., Levgold S., Sped ding F. H.,
Phys. Rev. 109, 243 A958); Phys. Rev. Lett. 1, 322 A958).
Herring C, Suhl H., Phys. Suppl. 24, 184 A958).
Pines D., Procedlng Rehovoth Conference Nuelear. Struc-
Structure, September 1958.
Bohr A., Mot te Is on B. R., Pines D., Phys. Rev.
110, 936 A958).
M о 11 e 1 s о n B. R., The Many Body Problem, p. 283, New
York, 1959.
В e 11 a e v S. Т., The Many Body Problem, p. 343, New York
1959; Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 34, № 11 A959).
Mills R. L., Sessler A. M., Moszkowski S. A.,
S h a n к 1 a n d D. Q., Phys. Rev. Lett. 3, 381 A959).
M и г д а л А. Б., ЖЭТФ 37, 249 A960).
Cooper L. N., Mills R. L., Sessler A. M., Phys.
Rev. 114, 1377 A959).
Nambu Y., Proc. Midwest Theoret. Phys. Conference
Purdue Univ., April 1960; Phys. Rev. 122, 345 A961).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 31, 202 A956).
Жарков Г. Ф., ЖЭТФ 34, 412 A958).
Smith P., C'ooper L., et al., Phys. Rev. Lett. 6, 686, 689
A961).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 14, 134A944).
В. Л., ФММ 6, 994 A958); Физика твердого
8, 148 A1
Г е й л и к м а н
Гинзбург
тела 2, 2031 A960).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 29, 748 A955); Nuovo Cimento 2,
1234 A955).
Гейликман Б. Т., Кресин 3. В., ЖЭТФ 41, 1143 A961).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 41, 828 A961).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 14, 177 A944); J. Phys. (СССР)
44).
ч Б. Т., ЖЭТФ 34, 1042 A958).
Гинзбург В. Л., ДАН 118, 464 A958); Proc. VII Interna-
International Conference on low Temperature Physics, p. 312, 1961.
Bremer J. W., Newhouse V. L., Phys. Rev. 116, 309
A959).
Севастьянов Б. К., ЖЭТФ 40, 52 A961).
Шарвин Ю. В., ЖЭТФ 33, 134A957).
Da vies E. A., Proc. Roy. Soc. (London) 255, 407 A960).
Халатников И. М., ЖЭТФ 36, 1818 A959); 38, 298
A960).
Абрикосов А. А., ЖЭТФ 32, 1442 A957).
Гинзбург В. Л., ЖЭТФ 31, 541 A956).
D e a v е г В. S., F a i r b a n k W. H., Jr., Phys. Rev. Lett. 7,
43 A961).
Byers N., Yang С N.. Phys. Rev. Lett. 7, 46A961)
Onsager L., Phys. Rev. Lett. 7, 50 A961).
Doll R., Nabauer M., Phys. Rev. Lett. 7, 51 A961).
Гинзбург В, Л„ ЖЭТФ, 42, 299 A962).
Цитированная Литература
'
O960L
y ^- Lett- 7' 162 A961)-
aPlro S- Smith p! Phy, Rev. Let, 5>
*"й°Кр°ВСКИЙ В- Л- ЖЭТФ 40, 898 A961)
*.П^К)Ровский В. Л., Рывкин' М. сГжЭТФ 40, 1859
тарВИН Ю- 5- ЖЭТФ 33> 298 (I960).
A960Р)ВИН ' ГантмахеР В. Ф., ЖЭТФ 38, 1456
А > Г°РЬКОВ Л- П., ЖЭТФ 39, 1781
A960) , 1
273*. О е b а 11 е Т. Н., М a 11 h i a s В. J., H u 11 Q W Со
ой* ?,enzwiV E-, Jr Phys. Rev. Lett. 6, 275 A961). "
274*. Toxen A. M., Phys. Rev. 123, 442 A961).