Дж. Уилер
ФИЗИКИ
ГРАВИТАЦИЯ,
НЕЙТРИНО
и ВСЕЛЕННАЯ
Перевод с английского
н. в. Мицкевича
Под редакцией
Д. ИВАНЕНКО
646188
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1962

Книга представляет собой перевод лекций извест-
известного американского фнзика-теоретика Дж. А. Уилера
в Международной летней школе физики им. Энрико
Ферми в Варение (Италия); в дополнении помещены
оригинальные статьи автора и других крупных зару-
зарубежных ученых (Мак-Витти, Хойля, Мизнера). В це-
целом книга содержит изложение ряда проблем грави-
гравитации, космологии и теории элементарных частиц.
Основное внимание уделяется попытке .объединен-
.объединенного описания гравитационного и электромагнитного
полей (геометродинамика), включающего топологиче-
топологические обобщения; обсуждаются также такие актуальные
вопросы, как взаимные превращении гравитации и эле-
элементарных частиц, роль нейтрино и гравитационных
волн в общем балансе энергии во Вселенной.
Книга рассчитана на широкий круг физиков, астро-
астрономов и математиков, интересующихся современными
проблемами гравитационной физики и космологии.
Редакция литературы по физике

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Предлагаемые вниманию читателей новые работы по
гравитации и смежным вопросам принадлежат крупно-
крупному американскому физику-теоретику Джону Арчибальду
Уилеру, профессору Принстонского университета.
Уилер известен в науке прежде всего как соавтор тео-
теории деления ядер, развитой им совместно с Н. Бором в
1939 г. и одновременно с Я. И. Френкелем. Ему принад-
принадлежат расчеты мезоатомов, стабильности ядер и работы
по квантовой электродинамике, выполненные совместно
с его учеником Р. Фейнманом, получившим в свою оче-
очередь столь большую известность.
В последние годы Уилер обратился к теории тяготе-
тяготения наряду с Дираком, Мёллером, Вебером, Д. И. Бло-
хинцевым и другими учеными, работавшими в области
квантовой механики, физики ядра, электроники, оправ-
оправдывая полушутливое эмпирическое «правило», что фи-
физики, подобно Эйнштейну, обращаются к гравитации во
второй половине жизни.
§ 1. Геометродинамика Уилера
Уилер вместе с Мизнером, Брилем и другими со-
сотрудниками развивает концепцию совместного описания
гравитации и электромагнетизма, названную геометро-
динамикой. Предприняты попытки квантования геомет-
родинамики и включения в нее нейтрино. Хотя еще не
может идти речи о законченной теории, претендующей
на объединенное описание физической реальности на
базе геометрии, уже получен ряд интересных результа-
результатов, связанных с топологическими обобщениями, учетом
роли нейтрино во Вселенной и гипотезой «геонов». Под

Вступительная статья
электромагнитным «геоном» понимается огромная кон-
концентрация электромагнитного излучения, дающая столь
сильное искривление пространства, что подобное обра-
образование оказывается метастабильным и способным суще-
существовать долгое время при относительно малой утечке
энергии. В дальнейшем были набросаны контуры теории
нейтринных и гравитационных геонов. Последние пред-
представляют собой огромные сгустки гравитационных волн,
опять-таки вызывающих сильное искривление простран-
пространства и поэтому метастабильно удерживаемых, наглядно
говоря, в эффективной потенциальной яме, созданной
этими же волнами.
В квантовой геометродинамике существенную роль
играют квантовые флуктуации метрики. Флуктуации
слабого гравитационного поля рассматривались прежде
как для случая вакуумных флуктуации (наши работы),
так и недавно в работах Д. И. Блохинцева для случая
флуктуации, вызванных в свою очередь флуктуациями
обычной материи [4, 6]. Уилер, однако, делает следующий
шаг, замечая, что на расстояниях порядка L я» (Йк/с3)'/г—
<~ 10~33 см флуктуации метрики или гравитационных по-
потенциалов будут столь велики, что они смогут сущест-
существенно изменять даже топологический характер про-
пространства. В нем могут образовываться топологические
ручки (или рукава), наглядно именуемые «червячьими
(или кротовыми) норами», дырки, различные многосвяз-
многосвязные области. Уилер пытается сопоставить ручкам и их
горловинам реальные физические объекты, например
электрические заряды, хотя настойчиво предупреждает,
что геоны, ручки, горловины и другие объекты «зоопар-
«зоопарка» классической геометродинамики не имеют никакого
непосредственного отношения к элементарным частицам
или объектам реальной космологии. Лишь дальнейшая
квантовая теория сможет привести к возможности сопо-
сопоставления с элементарными частицами.
По справедливому мнению Уилера, по-видимому,
укрепившемуся после дискуссий на гравитационной кон-
конференции в Руайомоне — Париже A959 г.), наибольшей
трудностью той или иной геометризованной трактовки
элементарных частиц является включение нейтрино,
электронов, протонов и других фермионов со спином

Вступительная статья
1/2 в теорию. В самом деле, в основе римановой геомет-
геометрии лежит симметричный тензор 2-го ранга g^ (иг-
(играющий роль компонент гравитационного потенциала,
или, в конце концов, волновой функции гравитационно-
гравитационного поля). После выделения продольного гравитационного
поля оставшаяся поперечная часть, по крайней мере для
случая слабого поля, будет соответствовать гравитаци-
гравитационным волнам (гравитонам), способным излучаться и
уносить энергию. В дальнейшем подобные гравитоны
могут даже, согласно нашей гипотезе, поддерживаемой
Уилером, превращаться в электроны—-позитроны, ней-
нейтрино— антинейтрино и другие пары элементарных час-
частиц. Обратно, эти пары электронов, нейтрино могут пре-
превращаться в гравитоны. Наши расчеты подобных про-
процессов были продолжены И. Пийром [9] для случая
фотонов и Брилем и Уилером [10] для случая анниги-
аннигиляции нейтрино — антинейтрино (см. также § 6 гл. IV
настоящей книги). Однако последние ограничились лишь
получением формулы общего вида, не вычисляя коэффи-
коэффициентов. Точная формула была получена недавно
Ю. С. Владимировым [4] для случая аннигиляции е_—еъ
т. е. аналогичных спинорных частиц,
В нерелятивистском пределе получается прежний ре-
результат
-г*
\v)\mc*) '
где rg = xmfci (в обычных обозначениях).
Таким образом, поперечное гравитационное поле в
значительной мере эквивалентно обычному веществу.
Вместе с тем из тензорных функций бозонного поля не-у
посредственно нельзя перейти к спинорам. Это обстоя-
обстоятельство подчеркивается Уилером в данной книге (Вве-
(Введение, гл. II). Следовательно, последняя серьезная попыт-
попытка геометризации всей физики в лицегеометродинамики
впредь до дальнейших радикальных изменений, кото-
которые предварительно обсуждаются Уилером, не может
претендовать на окончательный успех.

8 Вступительная статья
В целом Уилер дает широкую картину космологиче-
космологических и элементарных процессов, рассматриваемых с но-
новой точки зрения. Автор считает себя продолжателем
традиции Римана, Клиффорда, Эйнштейна в смысле гео-
геометризации физики. Оправдывая замечание Лауэ о
преимущественном интересе человечества к проблемам
пространства — времени, Уилер приводит даже ряд вы-
высказываний древних (Конфуций. Упанишады). Для
лучшего понимания работ Уилера дадим самое краткое
резюме современной ситуации в теории гравитации,
отсылая за подробностями к сборнику «Новейшие
проблемы гравитации» [3] и нашей вступительной статье
к нему, вместе с тем дополняя эту статью, в частности,
материалами 1-й Советской гравитационной конферен-
конференции [4] и Ужгородской конференции 1961 г. по теоретиче-
теоретической физике [5].
§ 2. Теория Эйнштейна
Фундаментом понимания гравитации ныне является
эйнштейновская теория, полученная в рамках общей тео-
теории относительности и значительно обобщающая нью-
ньютоновскую теорию1). Во-первых, по аналогии с электро-
электродинамикой или мезодинамикой можно было построить
«гравидинамику», обобщая статическое уравнение, опи-
описывающее порождение поля распределением масс с
ллотностью р, беря справа в качестве источника весь
тензор Та? плотности энергии-импульса-натяжений,
включающих р как одну из 16 компонент; поэтому и в
левой части следует ввести обобщенный потенциал в
виде симметричного тензора /гар.
Действительно, гравитационное поле порождается не
только материей с массой покоя, но и, например, фото-
фотонами и нейтрино, а также за счет кинетической энергии.
[Гак как гравитационное поле может порождаться са-
/мим гравитационным полем, например гравитационны-
jjviH волнами, то новые уравнения будут. нелинейными.
•) Килмистер [11] обсуждает вариант нелинейной теории, со-
сохраняющей абсолютное время и вместе с тем удовлетворяющей
принципу эквивалентности.

Вступительная статья
(Нелинейность тесно связана с принципом эквивалент-
эквивалентности.) Подобные обобщения поднимают тензорное гра-
гравитационное поле по богатству свойств до уровня век-
векторного электромагнитного, псевдоскалярного мезонного
и других полей. Квантование этого поля приведет к гра-
гравитонам со спином 2, аналогичным фотонам и т. д.
Однако главная специфика эйнштейновской теории
заключается в том, что «нормальная» гравидинамика
непригодна, так как по ряду оснований гравитационное
поле оказывается резко отличающимся от других полей,
будучи теснейшим образом связанным с геометрией про-
пространства-времени [1]. Гравитационные потенциалы, или
волновые функции, совпадают с компонентами метриче-
метрического тензора g'i"eTp) =эg$aK-\ характеризующего рима-
нову геометрию искривленного от точки к точке 4-про-
странства.
В случае слабого поля и незначительного искрив-
искривления
g«* = 6Ai»-l-Ae? (ев = —1. -1. —1. -Ы)-
Ограничиваясь низшими (вторым) производными, но
отбрасывая ограничение линейностью, в конце концов
получаем знаменитые уравнения Эйнштейна
где Л£„р — космологический член, эмпирически крайне
малый, но для отбрасывания которого необходимы
дополнительные теоретические или наблюдательные
данные. (Факт его введения Эйнштейном для космоло-
космологии и затем отбрасывания после установления фридма-
новской теории нестационарной Вселенной, сам по себе
любопытен с точки зрения истории, но не является ре-
решающим аргументом; кроме того, фридмановские ре-
решения и т. д. применимы как в отсутствие, так и при на-
наличии Agap) Здесь R — скаляр, a R^—тензор Риччи,
построенные из кристоффелей Грт и их производных.
Кристоффели являются аналогами напряженности поля,
и в свою очередь построены из первых производных от
gap по координатам.

10 Вступительная статья
Из уравнений Эйнштейна (чаще всего рассматривае-
рассматриваемых с Л=0) вытекает множество следствий, из которых
наибольшее значение приобрело решение Шварцшильда,
дающее потенциалы поля сферически-симметричной мас-
массы и обобщающее закон Ньютона. Отсюда вытекают
три предсказания, подтвержденных астрономическими и
земными наблюдениями: 1) сдвиг перигелия Меркурия
D3" в столетие), 2) отклонение луча света от звезды в
поле Солнца (Г',75) и 3) красное смещение спектраль-
спектральных линий в поле тяготения, наиболее убедительно
подтвержденное в 1960 г. в опытах с ^-лучами (Паунд
и Ребка; Крэншоу). 4) Кроме того, в применении ко
всей известной части Вселенной теория приводит к не-
нестационарной расширяющей Вселенной Фридмана как
наиболее правдоподобной картине •). Неоднократно под-
подчеркивалось неприятное ощущение из-за небольшого
числа C+1) подтверждений теории, означающей столь
радикальный переворот в представлениях о простран-
пространстве-времени и тяготении.
Утонченные средства ядерной физики в виде безот-
дачных -j-лучей Мёссбауэра, использование элементар-
элементарных частиц, применение молекулярных и атомных стан-
стандартов частоты («атомных часов») [16], расширение
астрономических и радиоастрономических наблюдений,
предстоящее развитие нейтринной астрономии вместе с
замечательной возможностью использования спутников
и ракет лишь в последние годы создали новую ситуа-
ситуацию. На очереди стоит открытие поправок, обязанных
вращению тел (Тирринг — Лензе, Шифф) (см. [17]), от-
открытие нестационарных гравитационных полей, грави-
гравитационных волн и измерение их скорости [14, 18], откры-
открытие возможной экранировки [19], следствий квантован-
квантованной и различных обобщенных теорий.
За истекшие годы было проделано большое число
теоретических исследований, среди которых наибольшее
значение приобрели 1) получение уравнений движения
') Основы общей теории относительности и ее приложения см.
в монографиях, процитированных в нашей вступительной статье
к сборнику [3]. См. также монографии Синга [12], Петрова [13] и
Вебера [14]. Критический обзор новейшей литературы дан также
в нашей статье [15].

Вступительная статья 11
тел из уравнений поля ') (Эйнштейн — Гофман — Ин-
фельд с сотрудниками, В. А. Фок с Н. М. Петровой и
другими сотрудниками), 2) анализ алгебраической
структуры уравнений Эйнштейна и открытие трех типов
решений (А. 3. Петров, далее Пирани, Кундт, Хлава-
тый и др. [3, 4, 13]).
Много работ было посвящено проблеме энергии,
волнам, затем космологии, единой теории поля, кванто-
квантованию поля и связи гравитации с элементарными части-
частицами. В целом физика ныне вступает в третий (после
Ньютона и Эйнштейна) период исследования гравитации,
который коротко можно назвать «атомно-космическим».
В самое последнее время в этих направлениях полу-
получены интересные результаты. В частности, проблема
энергии гравитационного поля продвинулась вперед
благодаря недавнему исследованию Мёллера [20], кото-
которое должно содействовать и анализу гравитационных
волн. Ищется «комплекс» Tt. удовлетворяющий следую-
следующим условиям: 1) Комплекс должен быть аффинной тен-
тензорной плотностью, зависящей алгебраически от glk и
их 1-х и 2-х производных. 2) Должен выполняться за-
закон сохранения 7^,*= (дТЬдхк) = 0. 3) Для замкнутой
системы, когда 4-пространство плоско на бесконечности,
где асимптотически допустимы прямоугольные коорди-
координаты, величины
Pt = LfT\(d*x) (^ = const)
постоянны во времени и преобразуются как ковариант-
ные компоненты вектора при линейных преобразованиях
координат (это существенно для интерпретации инте-
интегрального выражения как импульса и энергии). 4) Т\ пре-
преобразуется как плотность 4-вектора при чисто простран-
пространственных преобразованиях; тогда полная энергия в ко-
конечном объеме не будет зависеть от пространственных
координат. Это есть условие локализуемости энергии.
Только старое выражение Эйнштейна удовлетворяло
условиям «1», «2», «3»; однако оно нарушало условие
•) Проблема уравнений движения в связи с объединенным опи-
описанием гравитационного и электромагнитного полей (геометродина-
микой) рассмотрена в недавней работе Уилера [23].

12 Вступительная статья
«4». Комплекс Мёллера — Мицкевича не удовлетворял
условию «3», но являлся единственным в смысле удовле-
удовлетворения условий «1», «2» и «4». Предлагается искать
выход в совсем другом направлении, конструируя комп-
комплекс энергии не из компонент метрического тензора, а из
тетрад или компонент ортогонального репера, сопоста-
сопоставленных каждой точке 4-пространства [21, 22]. Как из-
известно, для описания взаимодействия спинора с гравита-
гравитационным полем требуется ввести подобные величины
(Фок-—Иваненко, Вейль): g/ft = ft;(a)ftft(a). Тогда 16
реперных компонент определяют метрику, но при задан-
заданных gik компоненты ht (а) определены лишь с точностью
до лоренцова вращения. Образуя из реперных компонент
лагранжиан L, можно прийти к искомому комплексу энер-
энергии, удовлетворяющему всем условиям «1» — «4»:
где суперпотенциал Ui представляет собой уже ис-
истинную тензорную плотность 3-го ранга, антисиммет-
антисимметричную по двум значкам:
4k \ dhl (а\, i dhl (а)-, „ v ')
L = h(hr(a).s- hs(a).s — hr(a).r • hs(a).s);
однако для получения однозначного выражения энергии
необходимо еще установить условия, фиксирующие отно-
относительную ориентацию тетрад в различных точках про-
пространства.
Сложность уравнений гравидинамики и желатель-
желательность выделения различных аспектов, обязанных, напри-
например, наличию 10 компонент, или нелинейности, или от-
сутствию антигравитации в обычных условиях и т. д.,
-требует развития приближенных трактовок. Ввиду на-
наглядности представляет интерес проведение аналогии
между гравидинамикой и электродинамикой, которая
неоднократно подчеркивается Уилером и была в спе-
специальной форме развита Мёллером [24], М. Дубининым,
а также Форвардом [25]. В линейном приближении мож-
можно ввести вместе с Ю. Б. Румером [26] аналоги скаляр-
скалярного и векторного потенциалов, тензор напряженности

Вступительная статья 13
поля и рассмотреть гравитационные волны, а также ряд
других эффектов. До сих пор неизвестен ввиду своей ма-
малости квазимагнитный гравитационный эффект.
§ 3. Компенсирующие поля
Наряду с «нормальной» гравидинамикой, трактую-
трактующей гравитацию как погруженное в 4-пространство поле,
и эйнштейновской геометризованной трактовкой, недавно
стала вырисовываться третья точка зрения, подсказан-
подсказанная теорией элементарных частиц и сближающая гра-
гравитационное и прочие поля на базе законов сохранения.
С точки зрения иерархии взаимодействий гравитация
относится к ультраслабым и стоит после слабых (фер-
миевских), средних (электромагнитных) и сильных (ба-
рион-пионных) взаимодействий. Ослаблению взаимо-
взаимодействий соответствует понижение симметрии, уменьше-
уменьшение числа инвариантов и соответственно этому, в духе
теоремы Нетер, уменьшение числа законов сохранениям
Лишь для сильных взаимодействий сохраняется изо-
спин, странность и барионное число; для слабых — не
сохраняется четность и т. д. Поэтому риманова геомет-
геометрия общей теории относительности, соответствующая
отсутствию какой-либо однородности 4-пространства, от-
отвечает предельно слабому, гравитационному взаимо-
взаимодействию. В этом смысле риманова геометрия и общая
теория относительности не включается в рамки эрланген-
ской программы Ф. Клейна, как отметил Картан [27].
Можно пытаться искать наличие некоторой однород-
однородности для гравитации и существование группы, обобща-
обобщающей группу Лоренца. (Если бы это имело место для
реального гравитационного поля, то естественно было
бы допустить наличие еще более слабых взаимодействий,
связанных с отсутствием однородности.) Для ее отыска-
отыскания предположим, что параметры преобразований Ло-
Лоренца являются не константами, а функциями коорди-
координат; иначе говоря, перейдем к локальной группе. Можно
исходить либо из бесконечно малых поворотов в каса-
касательном пространстве [28], либо сразу из конечных пре-
преобразований [29, 30]. Тогда в уравнениях поля появятся
Дополнительные члены, содержащие производные от
параметров поворота, и для устранения этих членов с

14 Вступительная статья
целью сохранения инвариантности приходится ввести
компенсирующие члены, которые можно считать обязан-
обязанными некоторому полю. Тогда оказывается, что компен-
компенсирующее поле, введенное путем перехода от постоянных
к локальным параметрам группы Лоренца, играет роль
гравитационного поля, по крайней мере в отношении чле-
членов взаимодействия (но в общем случае может содер-
содержать вклад от кручения наряду с искривлением). Это
проверяется для случаев скалярных или псевдоскаляр-
псевдоскалярных частиц в уравнении Клейна — Гордона, и спинорных
частиц в уравнении Дирака, что означает получение но-
новым способом коэффициентов связности.
Указанная процедура вполне аналогична ситуации с
инвариантностью уравнений относительно фазового пре-
преобразования ф' = фехра(х), так как в случае, когда
а не является постоянной, компенсация членов да/дхг
происходит за счет одновременного калибровочного
(градиентного) преобразования вектор-потенциала элек-
электромагнитного поля A'V. = AV.+ (да/дхр). Вместе с Са-
кураи [31] можно сказать, что электромагнитное поле
вводится как «компенсирующее» при переходе от
постоянной к локальной фазе. С этой общей точки зре-
зрения были рассмотрены преобразования в изопростран-
стве, приводящие к новым компенсирующим полям [32].
В случае неточного сохранения соответствующее поле
обладает массой покоя (подобно пионам).
Будущее развитие интересных идей компенсирующе-
компенсирующего поля, обращающих на себя в последние месяцы все
большее внимание [33—44], покажет, имеем ли мы здесь
только лишь новую ценную интерпретацию эйнштейнов-
эйнштейновской теории, сближающую ее с другими бозонными по-
полями, или же речь может идти даже о более общей тео-
теории гравитации [45—47].
§ 4. Единая теория поля
В связи с попыткой Уилера построить единую карти-
картину материи — пространства-времени (в которую, впрочем,
еще не удается включить фермионы) дадим классифика-
классификацию геометризованных единых теорий.

Вступительная статья 15
Лишнеровиц [50] приводит классификацию всего по
двум признакам: а) обобщенная связанность, б) вари-
варианты пятимерия. Эта схема является слишком узкой и
не учитывает, например, топологии. Будем исходить из
римановой геометрии, характеризуемой: 1) интервалом
с симметричными ga-p 2) параллельным переносом век-
вектора ЬАа = — ГргЛр8лт, где кристоффели Грт задаются
через производные g^, 3) эвклидовой топологией-4-про-
странства, 4) непрерывным характером изменения
координат; кроме того, 5) имеется в виду 4-мерное про-
пространство-время и 6) допускаются любые преобразова-
преобразования координат, т. е. максимальная неоднородность 4-про-
странства. Различные обобщения, применявшиеся в еди-
единых теориях в том или другом из указанных пунктов,
выходили за рамки римановой геометрии [3]. В самом
деле, геометрии Вейля, Эддингтона, Скаутена и др. вво-
вводили обобщенные Гру. Вейль сверх того рассматривал
конформно-инвариантные интервалы. Эйнштейн допускал
несимметрию ga?. Пятимерные геометрии вслед за Ка-
лузой рассматривали О. Клейн, В. А. Фок, П. Иордан,
О. Веблен, В. Паули, И. Тири, Э. Шмутцер, В. И. Роди-
чев, Ю. В. Румер и др., в частности вводя или не вводя
условия периодичности по пятой координате. Компо-
Компоненты электромагнитного вектор-потенциала пытались
вводить за счет пятого измерения, так же как за счет
несимметричной метрики. В связи с изотопическими
свойствами элементарных частиц, характеризующими
внутренние степени свободы (изоспин, барионное число,
странность; вероятно, также лептонное число) и вместе
с тем взаимные связи частиц внутри изомультиплетов
(р — п, 2+— 2°— 2~ и др.), была развита теория изо-
пространства: 3-мерного, 4-мерного (эвклидова и псев-
доэвклидова). Возникла идея объединения 4-простран-
ства Минковского с изопространством (Иваненко —
Бродский—Соколик, Хоанг—Фонг, Пайс, Юкава, Рай-
Райский, Зайков и др.), и были развиты теории 6-, 7- и 8-
мерных пространств разных типов [52, 53].

16 Вступительная статья
Уилер относится резко отрицательно к модифика-
модификациям римановой геометрии типа единых теорий 20-х го-
годов и ищет обобщения лишь в направлении топологии,
вводя топологические ручки, дырки, многосвязные об-
области при сохранении римановой геометрии и обычной
топологии в малом (см. настоящую книгу). Поводом
_к подобным обобщениям, как подчеркивает Уилер, послу-
!жил анализ сингулярностей центрально-симметричного
решения Шварцшильда (см. § 10, 12 и др. гл. I на-
ттоящей книги). Замечание Уилера о неизбежности
кванто.вы,х флукТуаций метрики на самых малых рас-
расстояниях порядка универсальной длины L* ^ (hG/c3)'1*^
~ 103 см (гл. 1, § 7 и 11 настоящей книги) и возмож-
возможности благодаря этим флуктуациям изменения тополо-
топологии, следует считать очень сильным. Недавно Ч. Мизнер
и Д. Финкельштейн указали, что число переверток типа
листа Мёбиуса дает даже в неквантованной теории целое
число, которое они пытаются сопоставить с барионным
числом или странностью [54]. Не следует ли допустить
возможности перехода к дискретному 4-пространству
благодаря подобным флуктуациям?
Что касается непрерывности координат, то, как из-
известно, с целью устранения расходимостей были рас-
рассмотрены многие варианты дискретного пространства
[22, 55]: примитивная решетка точек (Амбарцумян —
Иваненко, Гейзенберг), операторы координат (Снайдер,
см. [55]); Кадышевский [56], считая, что новая геомет-
геометрия индуцирована слабым взаимодействием частиц, ана-
аналогично тому, как искривление 4-пространства обязано
наличию гравитируюших масс, и проявляется .при дли-
длинах волн порядка универсальной фермиевской длины
~10~17 см, вводит искривленное импульсное простран-
пространство (М. Борн [57]). Тогда вновь получаются операторы
Снайдера, причем прерывный характер пространствен-
пространственных и непрерывный характер временной координат со-
сопоставляется несохранению пространственной и сохране-
сохранению временной четности. Коиш [58] и И. С. Шапиро [59]
использовали поле Галуа, например поле вычетов, т. е.,
наглядно говоря, конечное число точек в некоторой об-
области; при этом интегралы заменяются суммами и рас-
расходимости исчезают. Теория оказывается очень жесткой

Вступительная статья 17
в случае дискретного пространства, как в известной
мере предвидел Риман. В частности, она приводит к со-
сохранению не пространственной, а комбинированной чет-
четности (РС-инвариантность).
Остановимся на теории пространства с кручением,
введенного Картаном еще в 20-х годах, но не давшего
ранее каких-либо физических результатов [51]. Однако
недавно В. И. Родичев [60] и Р. Финкельштейн [61], а
затем Ю. С. Владимиров [62] обратили внимание на то,
что поведение спиноров (а не векторов и тензоров, ко-
которые только и исследовались раньше самим изобрета-
изобретателем спиноров Картаном) в закрученном пространстве
представляет интерес, позволяя, в частности, дать гео-
геометрическую интерпретацию нелинейного добавка в
спинорном дираковском уравнении (типа нашего и Гей-
зенберга). Пусть обобщенные коэффициенты связности
несимметричны по нижним индексам:
где кручение определяется несимметричной частью С,
а геодезические линии определяются лишь Г. Задав
метрику, разлагаем коэффициенты связности на метри-
метрическую часть (кристоффели) и неметрическую часть:-
Т^Г + О —5,
"|li »<J ==Z^ya(i,,v"r ^ov, ц~Т ^|jv, о'
где *(ё^)о— обобщенная ковариантная производная,
не равная нулю. Для простоты возьмем частный случай
закрученного пространства, когда метрика галилеева
и геодезические линии прямые, а длина вектора сохра-
сохраняется при параллельном переносе (S = 0) (но геомег-
рия еще неэвклидова!); тогда
антисимметрично по трем индексам и
2 Зак. 3001.

18 Вступительная статья
Задавая параллельный перенос спинора в виде dty=
*Bd получаем
где *Ва обобщают для закрученного пространства полу-
полученные ранее (Фок — Иваненко [63, 64J; см. также [55],
ч. II, § 4) выражения для искривленного пространства;
здесь сра — электромагнитный потенциал, *ДО(°Ф) — обоб-
обобщенные коэффициенты вращения Риччи. В рассматри-
рассматриваемом частном случае
"о, |iv == Ф [ojiv] •
Из вариационного принципа
где
•^ — ■'-Дирак. J Ф [а^а] "арш
(Ра$а — билинейное в ф выражение плотности момента)
получается дираковское уравнение (для фундаменталь-
фундаментального спинора) с нелинейной добавкой, притом псевдовек-
псевдовекторного типа, выбранного Гейзенбергом на основе усло-
условий инвариантности по отношению к преобразованиям
Паули — Гюрши и Салама — Тушека. Ю. С. Владими-
Владимиров для кручения полагает
_ J/ ду^ д<?а? д<рп? \
■*«Р1— 2 \ дх? "+■ дха "+■ дх^ /I
вводя потенциалы в виде антисимметричного тензора
2-го ранга, который можно рассматривать как антисим-
антисимметричную часть мегрического тензора. Квантование
поля кручения дает его кванты — «торсионы». С другой
стороны, Р. Финкелынтейн пытается при помощи за-
закрученной метрики дать геометрическую интерпретацию
электродинамики и мезодинамики.
Недавно Мёллер, использовав для построения выра-
выражения энергии гравитационного поля в качестве основ-
основных величин 16 реперных компонент, пришел к уравне-

Вступительная статья 19
ниям, близким к теории «далекого параллелизма» Эйн-
Эйнштейна, причем пространство оказывается обладающим
кручением. Ему представляется естественным попы-
попытаться применить добавочные 6 компонент для описания \
электромагнитного поля [20, 65]. ^
Все эти интересные результаты (как и недавние ра-
работы А. Е. Левашова и О. С. Иваницкой по классиче-
классическому закрученному пространству [45, 66, 67]) показы-
показывают важность рассмотрения спиноров в обобщенных
геометриях, парируя в известной мере одно из возра-
возражений Уилера (гл. I, § 11.15 настоящей книги) против
нелинейной спинорной теории, связанное с прежним от-
отсутствием в ней геометрического толкования.
Нелинейная спинорная теория поля представляется
перспективным вариантом единой теории всех элемен-
элементарных частиц, включая гравитоны (но не продольную
часть гравитационного поля). В этом отношении мы не
можем солидаризироваться с Уилером, считающим идеи
слияния де-Бройля, а также нелинейную спинорную тео-
теорию слишком узкими. Однако с Уилером в этом пункте
можно согласиться в том, что для объяснения «есте-
«естественной» картины мира, т. е. реальной части Вселен-
Вселенной, подверженной расширению и обладающей конкрет-
конкретной преимущественной концентрацией частиц, а не анти-
античастиц, положений одной только нелинейной спинорной
«локальной», не космологической теории, конечно, недо-
недостаточно.
Хотя построение единой нелинейной спинорной тео-
теории поля еще далеко не завершено, за последние годы
был произведен ряд интересных исследований и продол-
продолжался переход на эти позиции ряда крупных ученых
(Маршак, Намбу, И. Е. Тамм и др.). Маршак и Окубо
рассмотрели нелинейные спинорные уравнения как с
массовым членом (наш первоначальный вариант), так
и без массового члена (гейзенберговский вариант), под-
подчеркнув неаналитическую зависимость решений от не-
нелинейной константы I. Это согласуется с тем, что, хотя
исходное «безмассовое» уравнение инвариантно относи-
относительно группы Тушека, из него в конце концов полу-
получаются уравнения нуклонов, обладающих массой и, сле-
следовательно, тушек-неинвариантные.
2*

20 Вступительная статья
Гейзенберг, Дюрр и др. [68] развивают работу
Намбу [69], отметившего аналогию между нелинейным
членом спинорной теории и 4-фермиовным членом в
лагранжиане теории сверхпроводимости (Дж. Бардин,
Н. Н. Боголюбов с сотрудниками). Что касается вы-
вывода не только масс протонов и констант сильной и
средней связи (Гейзенберг с сотрудниками) из нелиней-
нелинейной спинорной теории, но и получения из нее гравито-
гравитонов, то отметим любопытную оценку гравитационной
константы (Грановский [70]). Из четырех функций, не-
необходимых для получения гравитона как частицы спи-
спина 2, можно построить 44 матричных элемента, 16 - 44 ин-
инвариантных волновых функций. После разложения по
полной системе дираковских матриц каждая из этих
функций будет иметь множитель 1/( 16 - 44) = 2~12. Следо-
Следовательно, и выражение для энергии взаимодействия бу-
будет содержать множитель 2~24 ~ A/17)-Ю, что очень
близко к требуемому значению A/15) • 10~6. Этот подсчет
обобщает, очевидно, на гравидинамику рассуждения при
выводе зоммерфельдовской константы тонкой структуры
(по существу совсем в духе Эддингтона!).
§ 5. Космология
В работах Уилера весьма характерным является
стремление связать проблемы космологии и теории
элементарных частиц; он подчеркивает роль нейтрино и
гравитационных волн в балансе энергии Вселенной и
подробно обсуждает различные реакции трансмутации
частиц между собой и гравитонами. Эти обстоятельства
оправдывают название настоящей книги: «Гравитация,
нейтрино и Вселенная».
Одной из основных проблем космологии является вы-
выбор между моделями расширяющихся Вселенных «взрыв-
«взрывного» фридмановского типа, обладающих началом или
точкой поворота, и моделями «стационарного» типа
(Хойль — Голд — Бонди). Хойль [71] отмечает нудность
примирения относительно короткой шкалы време-
времени взрывных моделей с возрастом старых звезд
(«2- 10ю лет) при наилучшем эмпирическом зна-
значении хабблрвской константы hi ~ 75—100 км/сек-Мпс.

Вступительная статья 21
Согласно Мак-Витти [73], метрику однородной мо-
модели, как обычно, запишем в виде
, 2 , 2 R2 (t) dr2 + r2 db2 + r2 sin2 6 d<f
(й = + 1, —1. О соответственно для закрытой, открытой
и плоской моделей), причем в стационарной модели
а в кинематической теории Милна
/? = с/, * = —1.
Красное смещение
где константы Хаббла:
(причем Хойль принимает ft, = 1/7", /i2 = 1/^2 == + ^i»
а Милн: ft, = \/t0, h2 = 0).
Эйнштейновская теория дает
. ~n(p\ 2R" Я'2 kc*
тогда как в теории Хойля имеем Л = 0; но во втором
уравнении справа добавляется член + 3(с/а) (R'/R)
(от вектора «порождения материи»).
Согласно Мак-Витти, наилучшие значения дают зна-
значения И2 = —<7оЛ,, <7о^<1,5. Следовательно, в согласии
с первоначальным заключением Хаббла соотношение
между светимостью и скоростью является линейным.
С другой стороны, по Хейлю следовало бы взять /i2 > 0
(по Милну Лг = 0).
Таким образом, заключения Мак-Витти (как и Сэнд-
Эйджа [72]) совпадают в смысле приемлемости обычных
взрывных моделей фридмановского типа и отрицания

22 Вступительная статья
стационарной модели Хойля. Кроме того, Мак-Витти,
резко возражая против авторов, отбрасывающих космо-
космологический член, заключает, что Л < 0. Это означает
наличие универсальной силы притяжения, препятствую-
препятствующей разбеганию галактик, помимо обычного гравита-
гравитационного притяжения. Вместе с тем пространство ока-
оказывается гиперболическим, т. е. пространством Лоба-
Лобачевского, если взять лучшие данные для р = 10~31 г-см-3
(Оорт). Однако, как настойчиво подчеркивает Уилер,
до сих пор не учитывалась плотность нейтрино и грави-
гравитационных волн, наличие которых действует в сторону
благоприятствования положительной кривизне про-
пространства, а также в пользу стационарной модели. За-
Заметим, что применение уравнений Эйнштейна и сравне-
сравнение их выводов с эмпирическими значениями как в слу-
случае однородных изотропных, так неизотропных моделей
(Гекман и Шюкинг [74], А. Л. Зельманов [75]) является
наиболее разумной процедурой в противоположность
более формальному аргументу Уилера, который вслед
за Эйнштейном говорит об априорных преимуществах
модели замкнутой Вселенной. В модели Лемэтра галак-
галактики конденсировались в определенную эпоху, а в ста-
стационарной модели материя рождается непрерывно вновь
за счет допущения нового поля, которое предотвращает
обращение р в нуль за какой-либо конечный промежу-
промежуток времени; тогда оказывается, что галактики непре-
непрерывно образуются за счет межгалактического газа.
Вместе с тем Хойль отмечает, что в его стационарной
модели, по-видимому, необходимо допустить наличие
негравитационных сил для обеспечения конденсации.
Если материя возникает непрерывно, то должны наблю-
наблюдаться, в частности, продукты аннигиляции протонов —
антипротонов и других частиц — античастиц; часть кос-
космических лучей также должна образовываться в меж-
межгалактическом пространстве. Эти следствия стационар-
стационарной модели доступны экспериментальной проверке.
По мнению Хойля, открытие молодых галактик
(Бэрбриджи) и, по-видимому, молодых, странных ком-
комплексов галактик Б. А. Воронцова-Вельяминова [76]
качественно говорит в пользу стационарной модели,
тогда как другие данные не противоречат этой теории,

Вступительная статья 23
связанной, как мы видим, с введением добавочных пред-
предположений, выходящих за рамки собственно эйнштей-
эйнштейновской теории.
Однако Сэндэйдж, рассматривая существующие на-
наблюдательные данные (полученные с помощью 200-дюй-
200-дюймового паламарского телескопа), касающиеся величины
отклонения от линейности в законе красного смещения,
шкалы времени, соотношения между угловым диамет-
диаметром и красным смещением, а также соотношения между
красным смещением и наблюдаемой величиной, прихо-
приходит (как и Мак-Витти [73]) к выводу, что данные о коэф-
коэффициенте замедления расширения противоречат теории
стационарной Вселенной.
Отметим возобновление дискуссии об особой точке
.(начало «взрыва») моделей расширяющейся Вселенной.
Е. М. Лифшиц, В. В. Судаков и И. М. Халатников [77]
считают, что им удалось показать существование реше-
решения, не обладающего особенностями в виде бесконечной
плотности и т. д., в общем случае произвольного распре-
распределения материи.
М. Ф. Широков и И. 3. Фишер [78], а также
Г. И. Храпко [79] предложили в эйнштейновских уравне-
уравнениях космологической проблемы, наряду с обычным
усреднением распределения материи в правой части,
усреднить также левую метрическую часть. При этом
возникают добавочные члены, эффективно эквивалент-
эквивалентные отрицательному давлению Хойля и Мак-Кри (или,
заметим, космологическому затравочному члену). Тогда
сингулярности в виде бесконечной плотности не воз-
возникают.
Обращаем также внимание на исследования
А. Л. Зельмановым [80] анизотропных и неоднородных
моделей Вселенной, указывающих, например, что ани-
анизотропия на ранних стадиях должна была иметь боль-
большее значение, чем ныне.
Ввиду важности обсуждения проблем космологии с
новых точек зрения оказалось целесообразным поме-
поместить в качестве дополнения к настоящей книге перевод
Двух работ авторитетных астрономов—Дж. Мак-Витти
и Ф. Хойля, которые дают ценное сравнение всех
наиболее правдоподобных космологических моделей с

24 Вступительная статья
наблюдательными данными последнего времени (см.
Дополнения III и IV). Во многих пунктах работы Мак-
Витти и Хойля дополняют работы Уилера и перекры-
перекрываются с ними.
Таким образом, многочисленные теоретические иссле-
исследования, так же как и новые наблюдения, связывающие
космологию с физикой элементарных частиц (в частно-
частности, стимулирующие работы Уилера, публикуемые в
данном сборнике), в ряде пунктов продвинули наше по-
понимание Вселенной, хотя решающих успехов следует
ожидать лишь в будущем, в частности благодаря при-
применению новых наблюдательных средств.
§ 6. Нейтрино и гравитационные волны
В данной связи приобретают большой интерес пер-
первые шаги «нейтринной астрономии» и оценки плотности
нейтрино — антинейтрино во Вселенной, произведенные
Дж. Уилером (настоящая книга), Я. А. Смородинским
и. Б. М. Понтекорво [81, 82] и В. М. Харитоновым [83].
Энергия симметричного нейтринного фона была, вероятно,
на первых этапах эволюции Вселенной очень велика; она
даже сейчас, вероятно, сравнима с плотностью нуклонов.
Следует иметь в виду, что так как сечения взаимодействия
нейтрино с веществом очень малы (~10~43сл2 для мед-
медленных и ~10~37 см2 для быстрых нейтрино), то время
жизни в межгалактическом веществе быстрых нейтрино
будет -—1021 лет. Таким образом, известная часть Все-
Вселенной практически прозрачна для нейтрино, и они мо-
могут дать ценную информацию о первых стадиях ее эво-
эволюции.
Наряду с нейтрино особую важность приобретают
поиски гравитационных волн в земных и астрономиче-
астрономических условиях и наметки «гравитационной астрономии».
Наиболее подробно различные волновые решения урав-
уравнений Эйнштейна и принципиальные проекты генерации
и детектирования волн рассмотрены в монографии
Дж. Вебера [14] (см. также его статью в сборнике [2]).
Развивая проекты Вебера генерации и регистрации
гравитационных воль при помощи колебаний в пьезо-
электрике, В. Б. Брагинский и Г. И. Рукман [18] пред-

Вступительная статья 25
лагают дифференциальный эксперимент, в котором при-
применяются две группы возбужденных цилиндров, причем
наблюдаются разницы потерь на гравитационное излу-
излучение при синфазном и антифазном возбуждении. На-
Например, при возбуждении упругих продольных колеба-
колебаний с относительной амплитудой 10~5 в системе из 104
цилиндров с поперечным сечением 104 см2 мощность
гравитационного излучения составит 10~2Б вт [при ско-
скорости звука D—5) • 104 см/сек и плотности о г • см~3].
При частоте 106 и механической добротности 103 мощ-
мощность, необходимая для возбуждения, будет 106 вт. При
Т = 300° К время, необходимое для регистрации с досто-
достоверностью 0,99 сигнала со столь малой мощностью, как
1Q-25 вт> должно составить около 8 суток; при использо-
использовании титаната бария объем детектора должен соста-
составить 40 м3. Таким образом, подобные опыты находятся
на пределе возможностей эксперимента.
Обратим теперь внимание на предложение Н. Г. Ба-
Басова и др. [16] использовать для проверки сдвига частот
в поле тяготения и других гравитационных эффектов
(экранировка гравитации, гипотеза уменьшения кон-
константы тяготения, анизотропии масс и др.) современ-
современные молекулярные и атомные «часы», т. е. стандарты
частоты, дающие точность 10~10, которая, очевидно, бу-
будет еще повышена до 10~12. Тогда, в частности, опыт
типа Паунда можно произвести не с ^-лучами и раз-
разностью высот в несколько метров, но с радиоволнами
(например, с Я = 21 см в обычном генераторе Рамзея
на атомах водорода со стабильностью 10~12—10~14) и
расстояниями порядка радиусов орбит искусственных
спутников Земли.
С помощью молекулярного генератора уже был по-
повторен опыт Майкельсона с точностью, в 1000 раз пре-
превышающей точность оптического опыта. Отметим проект
Лилестранда измерения искривления световых лучей с
установок на искусственных спутниках Земли и балло-
баллонах с точностью до 0",01, и повторно подчеркнутую
Желательность и возможность наблюдения эффекта вра-
вращения и близкого эффекта релятивистской прецессии
оси вращения гироскопа, находящегося на Земле или
искусственном спутнике [84].

26 Вступительная статья
А. А. Бонч-Бруевич и Я. Э. Кариес [85] обратили
внимание на возможность измерения анизотропии масс
при помощи маятников и на возможность сравнения
скорости гравитационного воздействия с оптическим
эффектом от Солнца.
В заключение отметим предложения проверить нали-
наличие экранировки [86, 87], анизотропии массы (возможно,
индуцированной распределением масс во Вселенной),
предсказываемое отклонение от равенства инертной и
тяжелой масс и возможные антигравитационные свой-
свойства анти-К-мезонов, превращения которых особенно
чувствительны к величине и знаку массы [88], а также
вековое уменьшение гравитационной константы, возмож-
возможно являющееся причиной расширения Земли и Солнца
[86, 87]. Таким образом, современные экспериментальные
методы позволяют приступить к новым гравитационным
опытам, которые будут иметь большое значение в физике
элементарных частиц, гравитации и космологии.
Резюмируя, можно сказать, что ценность работ Уи-
Уилера, соприкасающихся с рядом важных исследований
других авторов, заключается не столько в отдельных
интересных результатах, сколько в эвристическом их
характере, который никого не оставляет равнодушным;
даже (не столь редкие) пункты, с которыми трудно со-
согласиться тому или другому читателю, побуждают к
дальнейшим исследованиям или, наоборот, к попыткам
опровержения. В этом смысле стиль Уилера (кстати
сказать, трудный для перевода) напоминает манеру
Эддингтона и отчасти Фейнмана. Так или иначе сме-
смелые, полные новых результатов и идей работы Уилера,
несомненно, имеют большое стимулирующее значение
и займут заметное место в новейшей литературе по гра-
гравитации, теории элементарных частиц и учении о Все-
Вселенной.
В заключение мы хотим выразить благодарность про-
профессору Дж. А. Уилеру за присылку препринтов своих
интересных работ, что содействовало подготовке настоя-
настоящего сборника.
Д. Иваненко

Вступительная статья 27
ЛИТЕРАТУРА
1. Эйнштейн А., Сущность теории относительности, ИЛ, 1955.
2. «Принцип относительности», Сборник работ классиков реляти-
релятивизма, М. — Л., 1935.
3. Сборник «Новейшие проблемы гравитации», ИЛ, 1961.
4. Тезисы 1-й Советской гравитационной конференции B7—
30 июня 1961 г.), Изд. МГУ, 1961.
5. Тезисы и программа докладов 3-й Всесоюзной межвузовской
конференции по теории квантованных полей и элементарных ча-
частиц B—8 октября 1961 г.), Изд. Ужгородского университета, 1961.
6. Блохинцен Д. И., Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 90.
7. Иваненко Д., Соколов А., Вестник МГУ, № 8 A947).
8. Соколова., Вестник МГУ, № 9 A952).
9. П и й р И., Теоретические труды Института физики и астроно-
астрономии Эстонской АН, Тарту, 1957.
10. Brill D., Wheeler J., Rev. Mod. Phys., 29, 465 A957). (См.
перевод в сборнике «Новейшие проблемы гравитации, ИЛ,
1961.)
11. К Minister С. W., Pre-print, King's College, London, 1961.
12. S у n g e J., Relativity, v. 2, General Theory, Amsterdam, 1950.
13. Петров A. 3., Пространства Эйнштейна, М., 1961; Пет-
Петров А. 3., Тезисы 1-й Советской гравитационной конференции,
1961, стр. 3; Кайгородов В. Р., там же, стр. 17; Голи-
Голиков В. И., там же, стр. 16; Schell J. F., Journ. Math. Phys.,
2, 202 A961); Goldberg J. N.. Kerr R. P., Journ. Math.
Phys., 2, 332; 3, 332 A961).
14. Weber J., General Relativity and Gravitational Waves, Lon-
London — New York 1961. (См. перевод: В е б е р Дж., Общая тео-
теория относительности и гравитационные волны, ИЛ, 1962.)
В о п d i H., Endeavour, 20, 121 A961)
15. Иваненко Д., Бюлл. «Новые книги за рубежом», сер. А, ИЛ
A961).
16. Б а с о в Н. Г., К р о х и н Д. Н., О р а е в с к и й А. Н., Стра-
Страховский Г. М., Чихачев Б. М., УФН, 75, 3 A961).
17. Гинзбург В. Л., Тезисы 1-й Советской гравитационной кон-
конференции, 1961, стр. 122; УФН, 63, 119 A957); сборник «Эйн-
«Эйнштейн и развитие физико-математической мысли», М., 1962,

28 Вступительная статья
18. Б р агинский В. Б., Рукман Г. И., Тезисы 1-й Советской
гравитационной конференции, 1961, стр. 133; ЖЭТФ, 41,34 A961).
19. В е г g m а п п P. G., Pre-print, 1961.
41 20. М 0 11 е г С, Kgl. Danske Selsk. Vid., Mat.-Fys. Medd., в печати.
ф; К а р т а и Э., Геометрия Римана в ортогональном репере, Изд.
МГУ, 1960.
22. L e v i - С i v i t а Т., The absolute differential Calculus, London, 1927.
J3. W h e e 1 e г J. A., Rev. Mod. Phys., 33, 63 A961). "',
j 24. M0I ler C, Theory of Relativity, London, 1952.
25. Forward F. A. E., Proc. IRE (May, 1961).
26. Румер Ю. Б., Тезисы Ужгородской конференции, 1961, стр. 104.
27. К. а р т а и Э., В сборнике «Основания геометрии», М., 1956.
28. Utiyama R., Phys. Rev., 101, 1590 A956).
29. Бродский А., Иваненко Д., Соколик Г., Тезисы
1-й Советской гравитационной конференции, 1961, стр. 57; Те-
Тезисы Ужгородской конференции, 1961, стр. 82.
• "ч!"So. Бродский А., Иваненко Д., Соколик Г., ЖЭТФ, 41,
1307 A961). ,-^м>*^«.с_. /^а-е.
31. Sakurai J. J., Ann. of Phys., 11, 1 A960).
32. Yang С. N.. Mills R. L., Phys. Rev., 96, 191 A954).
33. Sal am A.,. W a r d J. C, Nuovo Cimento, 19, 165; 20, 419, 1228
A961).
34. S a 1 a m A., Rev. Mod. Phys., 33, 426 A961).
35. Огиевецкий В. И., Полубаринов И. В., Препринт
ОИЯИ, 1961.
36. G 1 a s h о w S. L., G е 11 - М a n n M., Gauge Theories of Vector
Particles, Pre-print, 1961.
37. Gupta V., Nucl. Phys., 18, 149 A960); Nuovo Cimento, 19, 580
A961). MandelstamS., Pre-print, 1961.
38. Nakamura H., Toy о da Т., Nucl. Phys., 22, 524 A961).
39. Krol.ikowski W., Bull. Acad. Polon. Sci., 9, 105 A961).
40. Lee T. D., Yang С N.. Phys. Rev., 98, 1051 A955).
41. В lu dm a n S. A., Phys. Rev.., 100, 372 A955).
42. Ike da M., Miyachi Y., Progr. Theor. Phys., 16, 527 A956).
43. M а й е р М. Е., Препринт ОИЯИ, Р-212, 1958.
,*>$. Fu j ii Y., Progr. Theor. Phys., 21, 827 A959).
№~\ 45. И в а н и ц к а я О. С, Левашов А. Е., Тезисы Ужгородской
j конференции, 1961, стр. 63.
$ 46. В о р о н ц о в В. И., Левашов А. Е., Тезисы Ужгородской
конференции, 1961, стр. 64.
47. Kibble Т. W. В., Journ. Math. Phys., 2, 212 A961).

Вступительная статья 29
48. de Witt В., Journ. Math. Phys., 2, 151 A961).
49. SciamaD, Ann. Inst. Poincare, 17, § 11 A961).
50. Lichner ow icz A.. Theories relativistes de la gravitation
et de l'electromagnetisme, Paris, 1955.
51. Meller C, Ann. of. Phys., 12, 118 A961); Weitzenboek R.,
Bed. Ber., 466 A928); Einstein A., Berl. Ber., 156, 217 A929);
Levi-Civita Т., Ber]. Ber., 137 A929); 401 A930).
52. Иваненко Д., Соколик Г., Nuovo Cimento, 6, 226 A957);
Бродский А., Иваненко Д., ДАН СССР, 120, 995 A958).
53. Хоанг Фонг, Тезисы 1-й Советской гравитационной конфе-
конференции, 1961, стр. 114.
54. Finkelstein D., Mis пег A., Ann. of. Phys., 3, 230 A959K-J
55. Соколов А., Иваненко Д., Квантовая теория поля, ч. II,
М., 1951.
56. Кадышевский В. Г., Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 88; ЖЭТФ, 41, № 6 A961)\
57. Born M., Proc. Roy. Soc, A 165, 291 A938).
58. Coish H. R., Phys. Rev., 114, 383 A959).
59. Ш а п и р о И. С, Nucl. Phys., 21, 474 A960).
60. Родичев В. И., ЖЭТФ, 40, 1469 A961); Тезисы 1-й Совет-
Советской гравитационной конференции, 1961, стр. 75.
61. Finkelstein R., Ann. of Phys., 12, 200 A960), 1Я 223 A961).
62. В л а д и м и р о в Ю. С, Тезисы Ужгородской конференции,
1961, стр. 89.
63. Фок В. А., Иваненко Д., Phys., Zs., 30, 648 A929); Compt.
Rend.,.188, 1470 A929).
64. Фок В. A., Zs. f. Phys., 57, 216 A929).
65. Meller С, Ann. of Phys., 12, 118 A961).\J ■'■
66. Л е в а ш о в А. Е., Тезисы 1-й Советской гравитационной кон-
конференции, 1961, стр. 69 и 72.
67. Ива ни цк а я О. С, Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 74.
68. Duerr, Heisenberg W. at al., Zs. f. Naturforsch., 14a, 441
A959). (См. перевод в сборнике «Нелинейная квантовая теория
поля», ИЛ, 1959).
69. Nambu Y., Доклад на 10-й Рочестерской конференции, 1960.
70. Грановская Я. И., Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 100.
71. Hoyle J., Proc. Phys. Soc, A77, 1 A961), (См. Дополнение IV
настоящей книги.)

30 Вступительная статья
72. S andage A., Astrophys. Journ., 133, 355 A961).
73. М с V i 11 i e G. С.,, Доклад на конференции в Руайомоне — Па-
Париже, 1959. (См. Дополнение III настоящей книги.)
74. Н е с k m а п п О., S с h u е с к i n g E., Handbuch der Physik, Bd.
53, 1959, S. 489, 520.
75 Зельманов А. Л., Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 145.
76. Воронцов-Вельяминов Б. A., Trans, of 10 Congr. Astr.
Union, Москва, 1958.
77. Л и ф ш и ц Е. М., Судаков В. В., Халатников И. М.,
ЖЭТФ, 40, № 6 A961); Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 142; Phys. Rev. Lett., 6, 311 A961).
78. Широков М. Ф., Фишер И. 3., Тезисы 1-й Советской гра-
гравитационной конференции, 1961, стр. 143.
79. Храпко Г. И., Тезисы 1-й Советской гравитационной конфе-
конференции, 1961, стр. 144.
80. Зельманов А. Л., Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 145; ДАН СССР, 135, 1367 A960).
81. Смородинский Я. А., Понтекорво Б. М., ЖЭТФ, 41,
239 A961).
82. См о род и некий Я. А., Тезисы 1-й Советской гравитацион-
гравитационной конференции, 1961, стр. 170.
83. Харитонов В. М., Тезисы 1-й Советской гравитационной
конференции, 1961, стр. 152.
84. Зельманов А. Л.. Тезисы 1-й Советской гравитационной,
конференции, 1961, стр. 156.
85. Бонч-Бруевич А. А, Кариес Я. Э., Тезисы 1-й Совет-
Советской гравитационной конференции, 1961, стр. 141.
86. Е g у е d L., Zs. f. Geophys., 24, 260; Ann. Univ. Budapest, 3,
35 A960).
87. Иваненко Д., Сагитов М., Вестник МГУ, № 6 A961L
88. Подгорецкий М. И., Оконов Э. О., Хрусталев О. А.
Тезисы 1-й Советской гравитационной конференции, 1961,
стр. 134,

НЕЙТРИНО, ГРАВИТАЦИЯ И ГЕОМЕТРИЯ
Лекции в Международной школе физики
им. Энрико Ферми (Варенна)
ВВЕДЕНИЕ
Центральная роль нейтрино
в физике элементарных частиц
Интерес к физике нейтрино очевиден не только из
очень важных исследований проблемы четности в по-
последние два года, но также из превосходных и система-
систематических курсов лекций по слабым взаимодействиям и
превращениям элементарных частиц, прочитанных в лет-
летней школе в Варение. Сейчас нельзя в одной лекции, как
это было возможно несколько лет назад, исчерпываю-
исчерпывающим образом изложить теорию р-распада, которая не
имела бы отношения к нейтрино. Внушительные экспе-
эксперименты Рейнса и Коуэна с сотрудниками [1] вполне
убедили нас в том, что нейтрино переносит энергию
через пространство.
Нейтрино обнаруживается ныне в «фамильном де-
дереве» каждой элементарной частицы: в мезонных рас-
распадах
H->e + v-H, «->[* + *. /С->[1-И A)
и, следовательно, также в родословных тяжелых частиц;
каждая из последних может поглощать или испускать,
а также может быть приведена в возбужденное состоя-
состояние с последующим испусканием тс- или /(-мезона:
Барион—>(я- или /С-мезон) —> м. B)
Нейтрино представляет собой единственный фермион, не
имеющий массы и заряда. Оно переносит энергию со
скоростью света. Невозможно каким-либо образом «до-
«догнать» нейтрино и привести его в состояние покоя. В
этом смысле нейтрино имеет скорее характер поля, чем
частицы, в противоположность, например, электрону.
Таким образом, можно считать, что для нейтринного

32
Введение
поля не существует проблем внутренней структуры в том
же смысле, как это имеет место и в случае электромаг-
электромагнитного поля. Следовательно, нейтрино есть единственное
известное нам поле Ферми, которое является истинно
простым и фундаментальным. Это единственное поле, ко-
которое имеет спин 1/2 и антисимметричную статистику и
которое можно считать фундаментальным в том же смыс-
смысле, что и гравитационное и электромагнитное поля. Если
мы хотим знать, почему и как спин 1/2 и статистика Фер-
Ферми — Дирака приложимы к элементарным частицам, есте-
естественно начать с нейтрино. Физика нейтрино занимает
центральное место в физике элементарных частиц.
Таблица I
Сравнение эффективной энергии взаимодействия
Ферми gp/L3, энергии гравитационного взаимодействия двух
протонов GM2/L, энергии электростатического взаимодействия
е"/Ь и энергии флуктуации поля fic/L
Сравнение дается при различных предположениях относительно
расстояния L '). (Все энергии даны в эв.)
Расстояние L, см
Энергия гравитацион-
гравитационного взаимодействия
двух нуклонов
Эффективная энергия
Р-взаимодействия, скон-
сконцентрированная в обла-
области с размерами ~ L
Энергия электроста-
электростатического взаимодей-
взаимодействия
Энергия флуктуации
Комптонов-
ская длина
волны X
электрона
к/тс,
4-10-"
2 • 10~33
ю-6
4-Ю3
5-Ю5
Классиче-
Классический
радиус
электрона
еЧтс*,
3-Ш3
з-иг81
3
5-105
7-Ю7
Комптонов-
ская длина
волны X
нуклона
h/Mc,
2-104
4-Ю-30
104
7-106
9-108
Характеристи-
Характеристическая длина L
флуктуации
метрики
(ЙО/с8)'/2
2-1СГ33
4-10-"
106'
7 • 1025
1028
•) Мы благодарны д-ру С. Л. Глэшоу за участие в составлении таблицы.

Введение 33
Слабость нейтринных взаимодействий
Вопреки только что подчеркнутой важности нейтрино,
его взаимодействия долго рассматривались как слабые
по сравнению со всеми другими, кроме гравитационных.
Количественное сравнение двух слабых взаимодействий
зависит от некоторых допущений о масштабе длин, отно-
относящихся к р-взаимодействию, поскольку величины
ОМ2Р = 6,67 ■ 1<Г8 • A,6 • 1<Г24J = 1,7 • 1<Г55 эрг ■ см C)
и
gp=l,3- КГ49 эрг- см3,
характерные для двух связей, имеют разные размер-
размерности (табл. 1). Слабость рЬвзаимодействия нейтринного
поля представляет собой фундаментальную особенность
природы, которой пока не было дано удовлетворитель-
удовлетворительного объяснения.
Законы сохранения и равновесие
в нейтринной физике
Процессы испускания и поглощения нейтрино обеспе-
обеспечивают способ достижения равновесия. Какова же при-
природа такого идеального состояния равновесия? Анализ
Ферми теплового равновесия частиц, подчиняющихся
антисимметричной статистике, говорит о том, что для
характеристики этого равновесия одной температуры не-
недостаточно. Само существование температуры связано с
тем фактом, что полная энергия системы взаимодей-
взаимодействующих частиц сохраняется. Однако мы знаем, что для
системы фермионов существует другой первый интег-
интеграл уравнений движения: разность между числом частиц
и античастиц, или, в нашем случае, лептонное число.
Вследствие этого, как известно, не только темпера-
температура Т = kTlrpmcu), но также и энергия Ферми ц, необхо-
необходима для определения (фиг. 1) среднего числа заполне-
заполнения нейтринного состояния, имеющего энергию Е:
П <4)

34
Введение
Когда энергия Ферми положительна и больше или по
крайней мере сравнима с тепловой энергией Г, как показа-
показано на диаграмме (см. фиг. 1), в равновесии число нейтрино
превосходит число антинейтрино. Когда энергия Ферми
равна нулю, число частиц и дырок одинаково. В этом
случае типичная энергия тех и других будет порядка Т,
Дырки
представляют
антинейтрино
Положительные
энергии
Отрицательные
энергии
' I О
Число заполнения
Фиг. 1. Равновесное распределение ней-
нейтрино, сходное с аналогичным законом, сле-
следующим из электронной теории металлов.
При указанных здесь условиях число антинейтрино
значительно меньше числа нейтрино.
число заполненных состояний v или v в единичном объеме
составит ~ (T/tiC3) и общая плотность энергии1)
7ti2 Г4
120 (ticK "
Eа)
Для сравнения приведем плотность энергии электро-
электромагнитного излучения черного тела:
_ ^ __
еэ.м.— 120 (heK '
которая немного выше плотности энергии нейтрино, по-
поскольку числа заполнения в этом случае не ограничены
') См. [5]. В этом выводе предполагается, что задание импульса
нейтрино (или антинейтрино) единственным образом определяет
направления их спинов,

Введение 35
единицей, как это имеет место для нейтрино в силу
принципа Паули.
Так же как излучатель электромагнитной энергии не
может находиться в состоянии теплового равновесия,
если окружающее пространство не заполнено излуче-
излучением черного тела при температуре Т, система элемен-
элементарных частиц, способная излучать и поглощать ней-
нейтрино, не может находиться в состоянии равновесия,
пока температура Т и энергия Ферми ц, нейтринного из-
излучения не будут согласовываться сГиц, системы эле-
элементарных частиц.
Пока большое количество материи не сжато до ядер-
ядерной плотности, ее прозрачность остается, конечно, очень
высокой1). Следовательно, обычно невозможно под-
поддерживать плотность нейтринной радиации вокруг мате-
материи на уровне, достаточном для обеспечения р-распад-
ного равновесия этой материи. Только в случае, когда
температура материи падает до абсолютного нуля и ее
энергия Ферми fxv также становится равной нулю, в
принципе возможно сохранение C-распадного равновесия
для материи при отсутствии вокруг нее нейтрино.
Гамов и Шёнберг [7] еще давно подчеркивали, что
нормальная звездная система не в состоянии удержать
нейтрино. Они указали на нестабильность разогретой
сжатой звездной материи по отношению к р-распаду в
том смысле, что урка-процесс
р (горячий) + е (горячий) ->
->■ п (холодный) -f- v (испущенное),
п (горячий) -> р (холодный) -f- e (холодный) +
+v (испущенное)
F)
будет развиваться все быстрее с повышением темпера-
температуры и плотности звезды на последних стадиях гравита-
гравитационного сжатия (фиг. 2). В настоящее время мы недо-
недостаточно знаем об энергии, освобождающейся в сверх-
сверхновых звездах, чтобы сказать, доминирует ли урка-процесс
в любой из наблюдаемых вспышек. По мере развития
теории и средств наблюдения эволюции звезд, по-види-
') Относительно прозрачности материи по отношению к нейтри-
нейтрино в зависимости от плотности и температуры см. [6].
3*

36
Введение
мому, увеличиваются возможности проверки предсказа-
предсказаний физики нейтрино.
Снова приходится рассматривать звезды, когда воз-
возникает вопрос, какова та наибольшая масса холодной
Горячий в * Горячий р —»- Холодный п + и/Испущенное)
v(ltcnywpHHoe) + Колодный е * Колодный р-*— Горячий п '
Фиг. 2. Энергия в форме нейтрино и антинейтрино может беско-
бесконечно рассеиваться за счет урка-процесса до тех пор, пока ядерная
материя находится под давлением и нагрета и пока не существует
„контейнера", который дает возможность нейтрино и антинейтрино
прийти в термодинамическое равновесие с этой материей. В каждом
случае £_ означает соответствующую энергию Ферми. Если бы
температура была равна нулю, то точное равновесие и отсутствие
реакций обеспечивалось бы равенством
(Диаграмма Ювемы.)
материи, пришедшая к последней стадии термоядерной
эволюции, которая может выдерживать собственное гра-
гравитационное сжатие. Разнообразные аргументы указы-
указывают на то, что не существует стабильного конечного со-
состояния для системы, состоящей из более чем 1,5-10Б7
нуклонов, что примерно на 20% превышает количество

Введение 37
нуклонов в Солнце1). Но ничто не препятствует нам до-
добавить столько нуклонов, сколько мы желаем! Отсут-
Отсутствие какого-либо стабильного решения при большем
числе нуклонов вызывает серьезные сомнения в справед-
справедливости закона сохранения числа нуклонов при крайних
условиях, когда плотность материи во много раз больше
ядерной. Поэтому возникают также сомнения, сохра-
сохраняется ли даже для одного ядра количество нуклонов
в нем за большой промежуток времени, в особенности
когда ядро подвергнуто давлениям, высоким с точки
зрения ядерных масштабов.
До настоящего времени не обнаружено ни малей-
малейшего отступления от закона сохранения нуклонов. Было
найдено, что нуклоны имеют период полураспада 1024
лет или больше для любого типа распада, сопровож-
сопровождающегося испусканием ионизирующего излучения вы-
высокой энергии [9]. Если нуклоны действительно распа-
распадаются под большим давлением, то динамика такого
процесса полностью неизвестна2). Однако представ-
представляется разумным оставить три закона сохранения:
1) закон сохранения энергии-импульса, 2) закон сохра-
сохранения электрического заряда, 3) несколько обобщенный
вариант закона сохранения лептонного числа, чтобы при
тепловом равновесии равновесие между процессами рас-
распада и образования регулировался известной энергией
Ферми ц,„. Короче говоря, «закон сохранения нуклонов»
должен быть принят сегодня не как теорема, а как во-
вопрос; и вопрос этот будет ставиться тем острее, чем
дольше остаются без решения трудности, связанные со
сверх-массами. Эти трудности лежат на еще неисследо-
неисследованной границе между гравитацией и физикой элемен-
элементарных частиц.
Элементарные слабые взаимодействия
. Проблема рассеяния фотонов на фотонах и тесно свя-
связанная с ней проблема когерентного рассеяния электро-
') Обзор литературы и новые вычисления см. в работе [8].
2) А. Бродский и Д. Иваненко [10] предположили, что закон
сохранения барионов справедлив только по модулю 4 (см. так-
также [11]).

38 Введение
магнитного излучения кулоновским полем атомных ядер,
как известно, сыграли важную роль в эволюции новейшей
квантовой электродинамики. Поэтому представляются
уместными аналогичные вопросы о взаимодействии
нейтринного и гравитационного полей друг с другом
и с элементарными частицами. В связи с этим наиболее
интересными являются процессы
(пара е~ -\-е+ \
или e-+[i+ J-^v'-l-? Ga)
или другие промежуточные состояния/
(нелинейный эффект в нейтринном поле, обусловлен-
обусловленный вакуумом),
G (гравитон) + О/ _ G6)
(неклассические эффекты в гравитационном поле),
а также реакция
v+e--> К+ (*-)', Gв)
которая, вероятно, сможет быть обнаружена в ближай-
ближайшее десятилетие и будет служить проверкой универсаль-
универсальности взаимодействия Ферми.
Также большой интерес представляет новое теорети-
теоретическое доказательство того, что концепция гравитацион-
гравитационного излучения имеет определенный смысл и что некото-
некоторые простые типы гравитационных волн несут определен-
определенную положительную энергию. Возможности генерации и
обнаружения гравитационных волн подверглись широ-
широкому исследованию, и серьезная экспериментальная
работа в настоящее время направлена на окончатель-
окончательное наблюдение или установление верхней границы плот-
плотности космической гравитационной радиации. Другими
словами, в настоящее время гравитационное излучение
начинает занимать подобающее ему место, подобно тому,
как это было несколько лет назад с нейтринным излу-
излучением.

Введение 39
Описание нейтринного поля в пространстве
Исторически электромагнитное поле появилось в фи-
физике в виде пары векторов, компоненты которых могут
быть определены в каждой точке пространства. Лишь
позднее оно было разложено на независимые гармониче-
гармонические колебания. Еще позже появилось квантовое описа-
описание электромагнитного поля, которое дает другой спо-
способ представления поля через квантовые числа или чи-
числа заполнения, связанные с каждой из независимых
гармоник. Однако квантовая механика, очевидно, дает
широкий простор в выборе представления поля. Каково
бы ни было это представление, важно то, что состояние
определяет амплитуду вероятности для любой мысли-
мыслимой конфигурации электромагнитного поля. Эту конфи-
конфигурацию можно описать заданием квантового числа каж-
каждого осциллятора поля:
щ, п2,..., nk, (8)
С таким же успехом можно задать и амплитуды
каждого осциллятора поля
Е„ Е* •••• Ей. (9)
В этом представлении основное состояние электро-
электромагнитного поля, например, имеет форму бесконечного
произведения волновых функций гармонического осцил-
осциллятора:
ф = ЛГехр[—EJ — ^— ... —^ —....]. A0)
Наконец, пространственное описание поля можно дать
полностью путем задания амплитуд не осцилляторов
поля, а самого поля в каждой отдельной точке, на-
например магнитного поля:
Щха), Щх„), Щхе), ... . A1)
При таком описании волновая функция основного
состояния принимает вид

40 Введение
Хотя представления (8), (9) и A1) эквивалентны,
удобство применения первых двух зависит от возмож-
возможности применения к ним разложения Фурье для поля.
Этот подход не является естественным при рассмотрении
вопросов, связанных с искривленным пространством, ко-
которое должно использоваться в вопросах гравитации,
геометрии и общей теории относительности. Поэтому
естественно сосредоточить внимание на пространственно-
подобном описании квантового состояния электромагнит-
электромагнитного или гравитационного полей или того и другого.
Такое описание имеет разумный смысл и было подробно
проанализировано в деталях главным образом Мизне-
ром [12].
Чтобы завершить анализ, имеется серьезное основа-
основание искать аналогичным образом пространственное
описание квантового состояния нейтринного поля. Для
поисков такого описания, естественно, имеются и до-
дополнительные соображения: лучше понять природу про-
простейшего спинорного поля, подчиняющегося статистике
Ферми, и посмотреть, каким образом свойства этого поля
связаны с аналогичными свойствами гравитационного и
электромагнитного полей.
Связь нейтринного.поля с геометрией
Являются ли поля и частицы инородными объектами,
движущимися на арене пространства-времени? Или же
они являются объектами, некоторым образом сконструи-
сконструированными из пространства? Является ли метрический
континуум некой магической средой, которая, будучи
определенным образом искривлена, представляет грави-
гравитационное поле, будучи покрыта «рябью», представляет
электромагнитное поле и, будучи локально скручена,
представляет долгоживущие концентрации массы-энер-
массы-энергии? Другими словами, является ли физика в основе
своей чистой геометрией? Является ли геометрия только
ареной или же она есть всё?
Мы очень далеки сегодня от того, чтобы высказать
окончательное суждение о подобном взгляде на физику,
в развитие которого внесли вклад Риман, Клиф-
Клиффорд и Эйнштейн. Однако проблема «нейтрино, грави-

Введение 41
тации и геометрии» позволяет нам по-новому посмотреть
на этот старый вопрос. Можно констатировать прогресс
за последние годы в установлении чисто геометрической
трактовки гравитации, заряда, массы и электромагнит-
электромагнитного поля. Мы снова вернемся к перечисленным здесь
в обратном порядке вопросам об отношении простей-
простейшего фермионного поля к геометрии, о том, как сформу-
сформулировать пространственное описание нейтринного поля,
о слабых взаимодействиях и о законе сохранения нук-
нуклонов.

Глава I
ГЕОМЕТРОДИНАМИКА
ЧИСТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГРАВИТАЦИИ,
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА, НЕКВАНТОВАННОГО ЗАРЯДА
И ДОЛГОЖИВУЩИХ ЧИСТО КЛАССИЧЕСКИХ
КОНЦЕНТРАЦИЙ МАССЫ-ЭНЕРГИИ
Тот факт, что общая теория относительности Эйн-
Эйнштейна и уравнения Максвелла могут быть объединены
на основе чистой геометрии без введения новых посту-
постулатов и без каких-либо изменений, стал вообще изве-
известен лишь недавно [13], хотя основные уравнения такой
«исконно единой теории поля» были давно получены
Райничем [14, 15]. Так как этот анализ имеет дело иск-
исключительно с геометрией и ее изменениями во времени,
эту теорию лучше всего назвать «геометродинамикой»,
что, несомненно, лучше отражает существо дела, чем на-
название «общая теория относительности плюс электро-
электромагнетизм».
§ 1. Измерительные стержни
Измерительные стержни и атомные часы играют важ-
важную роль при изложении общей теории относительности.
Однако ссылки на атомы, жесткость и упругость вовсе
не требуются, поскольку общая теория относительности
является классической теорией. Постоянная Планка
должна быть введена в теорию при квантовании, а не
включаться в нее с самого начала на классическом уро-
уровне теории. Еще меньше сведений требуется об атомах
и их свойствах для определения величин, с которыми
имеет дело общая теория относительности.
Более того, представляется сомнительным, дают ли
обычные стандарты длины действительно точно опреде-
определенный метр. Длина парижского эталона метра, напри-
например, есть кратное постоянной металлической решетки.
Следовательно, этот метр есть некоторая безразмерная

Геометродинамика 43
величина, кратная основной единице h2lme2, которая
характеризует все атомные размеры:
A3)
Недавно вошел в употребление метр, определенный как
некоторое число длин волн, соответствующих некоторой
спектральной линии, принадлежащей одному из изото-
изотопов ртути. Расщепление двух энергетических уровней,
между которыми совершается этот переход, мало зави-
зависит от спин-орбитальной связи и других эффектов тон-
тонкой структуры. Таким образом, длина волны линии рту-
ртути выражается через ту же комбинацию констант
(h^c/me4), которые определяют длины волн характери-
характеристических линий спектра водорода. Следовательно, за-
заново определенный метр является кратным этой другой
атомной единицы
В основе этих двух определений метра лежат атомные
единицы, отличающиеся безразмерным множителем
-^-=137,0366+0,0005.
Дирак [16], Дике [17, 18] и другие выдвинули пред-
предположение, что hc/e2 и другие безразмерные физические
отношения величины, возможно, меняются со временем
по мере расширения Вселенной. Наиболее надежные дан-
данные при определении соотношения между красным сме-
смещением и расстоянием') приводят к значению обратной
константы Хаббла, равному 14 -109 лет. Другими слова-
словами, на протяжении 14 лет расртояния увеличиваются на
10~9. За эти 14 лет некоторые безразмерные физические
константы могут претерпевать изменения, согласно ги-
гипотезе Дирака, не слишком отличающиеся по порядку
от Ю~9. В этом случае два метра, L{ и L2, не будут более
совпадать друг с другом; поэтому они не могут быть бо-
более в согласии со стандартным метром общей теории
относительности, и нет никакой уверенности в том. что
') См., например, добавление Сэндэйджа в книге [8].

44
Глава I
е
E4
Фиг. 3. Устройство для
измерения неизвестного
интервала с помощью
стандартного интервала
(геометродинам и ч е с к и й
метр) АВ в плоской
области пространства-
времени.
Среди различных идеальных
пробных частиц, движущихся
в пространстве-времени, вы-
выбрана одна (о), проходящая
через события А и С. Вторая
пробная частица №), движу-
движущаяся по параллельной миро-
мировой линии на некотором рас-
расстоянии от а, определяет
вместе с а „геодезические
часы". Свет от а достигает р и
возвращается к <* через харак-
характерное собственное время т.
Зигзаги повторяют этот интер-
интервал бесконечное число раз
в прошлое и будущее.
какой-либо из них сможет слу-
служить надежным стандартом. Тем
самым пока что стержни и атом-
атомные часы не могут считаться на-
надежными для измерения таких
фундаментальных для общей
теории относительности величин,
как пространственно-временные
интервалы.
Поэтому существенно, что об-
общая теория относительности сама
содержит процедуры сравнения
любого интервала CD со стан-
стандартным интервалом АВ, что
было впервые показано Марзке
[19]. Это сравнение, во-первых, не
использует масштабы или атом-
атомные часы и, во-вторых, не исполь-
использует координаты для обозначения
точек в пространстве и во вре-
времени. Вместо этого точка — будь
то А, В, С, D или какая-либо дру-
другая — рассматривается, согласно
Эйнштейну, как пересечение ми-
мировых линий двух пробных час-
частиц или одной пробной частицы
со световым конусом, или трех
световых конусов и т. д. Измери-
Измерительная техника сама по себе
использует световые конусы и
траектории нейтральных пробных
частиц. Эти измерительные сред-
средства применяются вместо линей-
линейки и циркуля в геометрии Эйн-
Эйнштейна.
Две первоначально парал-
параллельные мировые линии и свет,
распространяющийся туда и об-
обратно между ними, образуют, со-
согласно Марзке, «геодезические
часы». Эти часы отсчитывают во

Геометродинамика 45
времени очень короткий временной интервал ((сек) или
соответствующий ему интервал ковремени т (еж). Когда
кривизна пространства в интересующей нас области по-
порядка L незначительна, здесь можно положиться на по-
показания наших часов. Тогда АВ и CD сравниваются, как
показано на фиг. 3. Интервал 0Ав проектируется на гео-
геодезические часы посредством двух световых лучей. Пусть
точка В имеет координаты х, Т относительно точки А,
взятой в качестве начала отсчета локальной лоренцов-
ской системы, где геодезические часы покоятся; тогда
Т1 = Т-х,
, A5)
Ковремена 7, и Т2 непосредственно выражаются через
интервал повторения х геодезических часов; например,
на диаграмме 7, = 5т и Г2 = 21т. Следовательно, харак-
характеристическое время часов выражается через стан-
стандартный интервал
т
E.21)'* '
или, в общем виде,
^^(ЛУУ2)'\ A6)
Таким же образом интервал gCD может быть записан
в виде
^ 1>. A7)
В конечном итоге неизвестный интервал выражается че-
через геометродинамический стандарт длины:
&со = {-щ^) Зав
или, в нашем примере,
12-28
Когда эффективный радиус кривизны пространства
не является более пренебрежимой величиной, а предста-
представляет собой величину порядка R, геодезические часы

46 Глава I
дают относительную ошибку порядка (L/RJ. В этом
случае удобно рассматривать последовательность повто-
повторяющихся интервалов т не для одних часов, а для после-
последовательности N часов. Две мировые линии частиц в
каждых часах теперь должны оставаться примерно
«ORES
EIj(h0S «IRES
Cfti4O
CAPETOWN
"iO D£ JA-VEIRO
be* f rmciSCO
SANTIAGO
S'4»po«E
TOnvO
к
11Я
H»
";i
ti*?
IJISO
КС
»>e
'III
«и
S'tS
J3!<
«J3«
tMJi
Mil
SOT
S»
t№
IMI
ГК?
t?«
1
|
ИЯ
JWI
S3»
7638
ЯЗЗ
A*41
983J
•HI
>0>?T
v«
5
I
9.3»
«33?
6919
«3*
J3i9
>2W
bW
>3>
9340
"Ml
B34I
g
<
ijjs
KM
44%
«И
1730
IJW
■1O0
■ОКО
1
3
tt'O
413?
»WJ
MM
•DUD
SOKl
4179
If
J3№
1»'
«Ш
«04
*fi»
.Kb
ИП
3
•i'i
tn>s
«%
ia9»
SUS
SJ?O
IDTO
s
£
IS»
B9?-.
'3?Q
Я"
?«»
*93i
C8M
1Ш
*
■Ш
£91»
ЧК90
ЭМ0
iJlD
W*0
7JJi
caie
HI»
1
•MO
Ш6
ВЧО
65Ю
sei'
•И90
«it
«40
ЧТО
ft 30
I'M
iif?
|
3
*зл
Ь2ЧЪ
i'O'
Wl
JMO
•tft"
«'0
ли
УХ
вы»
e№
a»;
5
:
»>B
5»?
Hit
J219
ЧЮ
'ОЭД
sno
«Tt
)H9
noo
new
?
?
is
0
b*U
•IK
t;«
38»
SI70
№00
ум
ОЯ0
«I'O
1311
IBU
чьоо
5
л
111*
■Ml
lOJJO
te»
44)
i%0
UJO
I
I
J3t
BIOO
wao
44
ГЧ0
4U
1Ш'О
1
»I>
u«
B'l
u..
ьово
I
i
B1U
»*0
i'«
«0!t
»43
UiB
m»
»1>
neoo
10J10
НУ)
»60
г
«?»'
■чо>
,;>
ww
IIEOO
,wi0
SIN
s
i
»»
(,JJ|
'0*0
ГЧЭ
ii-ЧО
4»
M'
'SM
i«0
„л
sxa
Фиг. 4. Расстояние между близлежащими точками пространства-
времени дает всю необходимую согласно Риману и Эйнштейну
информацию для полного определения геометрии 4-мерного много-
многообразия, включая все детали его кривизны. При этом не требуется
никакого упоминания о каких-либо координатах. Требуемая инфор-
информация при этом описании природы в одном отношении является
менее исчерпывающей, а в другом отношении более обширна, чем
информация типа содержащейся в таблице расстояний между неко-
некоторыми городами по воздушным путям: более длинные расстояния
не требуются, ибо они могут все быть получены на основании
более коротких. Однако более короткие расстояния должны быть
приведены во всех деталях. (Таблица расстояний по воздуху вос-
воспроизведена из .The 1960 General Electric Diary".)
параллельными только на меньшем расстоянии L/N.
Относительная ошибка для каждых часов будет порядка
(L/NRJ. Полная относительная ошибка всего процесса
распространения от АВ до CD есть
Л2
NR)
и может быть сделана сколь угодно малой путем увели-
увеличения числа часов.

Геометродинамика 47
Анализ Марзке может быть коротко резюмирован
словами: «измерительные стержни без измерительных
стержней». Любой интервал 0 CD может быть выражен
через интервал 0 Ав между двумя выбранными вспыш-
вспышками света, которые вполне могли произойти пятьдесят
лет назад. Никаких ссылок на координаты не требуется,
как и подобает чисто геометрической теории.
Сказать, что отношение 0CdISав не зависит от пути,
на котором происходит сравнение, значит сделать заяв-
заявление огромного содержания, заявление, которое в прин-
принципе может быть проверено тысячами экспериментов
(фиг. 4). Фундаментальной гипотезой общей теории от-
относительности является утверждение, что физический
мир в этом смысле есть риманово многообразие, но это
вместе с тем гипотеза, доступная проверке. Наиболее
очевидный способ проверки требует возвращения к атом-
атомной физике, а именно использования полной тождествен-
тождественности между атомами, прошедшими различные пути в
пространстве-времени.
§ 2. Ничего, кроме длин
Представляется непоследовательным употребление
футов для измерения ширины шоссе и миль для изме-
измерения его длины. Однако от этого недалеко уходит из-
измерение интервалов в одном направлении в секундах,
Фиг. 5. Отклонение луча света в гравитацион-
гравитационном поле.
а в других — в сантиметрах. Множитель перехода от од-
одной из этих метрических единиц длины к другой, 3- 1010,
в такой же степени вещь историческая и случайная по
своему характеру, как и множитель перехода 5280 от од-
одной английской единицы длины к другой. Чтобы оставить
попытки «объяснить» 3 • 1010, достаточно начать попытки
«объяснять» 5280.

48 Глава I
Согласно общей теории относительности, время не
есть новое и независимое понятие, а по существу есть
длина; масса также есть длина, выраженная другим
способом. Например, масса т* (см) Солнца может быть
определена путем измерения отклонения 6 света (фиг. 5),
проходящего на расстоянии г от него:
т* = ~ = F,94 • Ю10 см/4) X
X
8,50 • 10 радиан (предсказано),
(9,8 + 1,3) • Ю (наблюдение 1947 г.), B0)
(8,2+0,5)-10 "(наблюдение 1952 г.)
или
/п'=1,5- 105 см.
Выражение для массы т (в граммах) имеет вид
m = -Jw*=( 1,347- 1028г/сл0A,5-105слг)=2,0- Ю33 г. B1)
Однако множитель перехода в этой формуле в той же
мере является делом соглашения, как с и 5280. Масса,
время и длина в равной степени являются объектами
чистой геометрии. То же относится и к электромагнит-
электромагнитным полям. В принципе они могут быть определены
с помощью кривизны R^, создаваемой ими в про-
пространстве-времени:
)~ (Попе?. B2)
«Геометризованные» выражения Д, для компонент
электромагнитного поля измеряются в см~х. Они свя-
связаны с обычными компонентами поля Fpy(z'h-cMlh-сек~х,
или гаусс, или в/см) формулой
> = B,874 • 10Б еж /гаусс) />. B3)
Тот же множитель перехода связывает обычную меру
заряда
q{zli'-cM^-ceK~x или ед. CGSE)
и чисто геометрическую меру заряда q* (см)
q* = (^р) q = B,874 • 10~2Б сж/ед. CGSE) q. B4)

Геометродинамика
Короче говоря, классическая физика — гравитация!
плюс электромагнетизм — оперирует только с длинами]
и ни с чем другим; однако во многих случаях истори-'
чески сложившаяся терминология скрывает этот фает-J
Имеет смысл выписать основные уравнения клас-
классической физики в этих чисто геометрических единицах
длины. Четыре уравнения Максвелла принимают вид
B5)
или, короче,
^О (а = 0, 1,2,3). B6)
Здесь подразумевается суммирование по повторяю-
повторяющимся индексам; символ [0123] имеет значение 1,
а [аCу8] меняет знак при перестановке любых двух
индексов. Другие четыре уравнения Максвелла вклю-
включают в себя не только напряженности электромагнит-
электромагнитного поля
ех- foi \ Геометризованные Геометризованные '. /гз" ^х->
г I компоненты напря- компоненты напря- I , . , .„_.
еу /о2 I женности электри- женности магнит- | /зг "у К*')
а ■ f I ческого поля ного поля I -f ■ и
но также компоненты метрики, которая описывает
интервал между бесконечно близкими точками:
B8)
Пусть через g обозначен определитель метрического
тензора, а через g1" — обратная матрица этого тензора.
Положим также, что поднятый индекс означает резуль-
результат действия этой обратной матрицы на любой тензор,
так что
/*=«**%. , B9)
4 Зак. 3091.

50 Глава I
Тогда остальные четыре уравнения Максвелла запи-
запишутся в виде
(— g)'1' 6х? *"
или
roth-|fr = 4*f (а= 1,2,3).
Плотность энергии поля (Е2 + #2)/8тг и вектор Пойнтин-
га (с/4тг) [ЕН] являются четырьмя из шестнадцати ком-
компонент максвелловского тензора энергии-импульса-на-
тяжений; этот тензор после умножения на 8uG/c4 пред-
представляет собой выражение для источника в уравнениях
Эйнштейна для метрики, которая определяет геометрию
пространства-времени. Ковариантное обобщение опера-
оператора Даламбера □ g^ в этих уравнениях достигается
с помощью определенной комбинации первых и вторых
производных метрического тензора, или, другими сло-
словами, комбинацией тензора кривизны Риччи /?рт и ин-
инварианта кривизны R = g^R^. Когда поле выражено
в геометризованной форме / ' (см~1), эти уравнения при-
принимают вид
RI - \ KR = 2fjl -1 %f.fi. C1)
Эйнштейновская Геометризованный
кривизна тензор Максвелла
Уравнение движения бесконечно малой пробной частицы
имеет вид
где Г£р — определенная комбинация метрического тен-
тензора и его первых производных.
§ 3. Нахождение электромагнитного поля
на основании геометрических измерений
3.1. Следы электромагнитного поля на метрике. Поле
накладывает настолько характерные отпечатки на кри-
кривизну пространства, что по ним обратно почти все-

Геометродинамика
51
гда можно узнать все необходимое об электромагнитном
поле (фиг. 6). Даже более того, можно проверить
обязано ли искривление пространства только клас-
классическим источникам — гравитационным или электро-
электромагнитным. Не каждая мыслимая геометрия 4-мерного
пространства-времени, не каждый тензор кривизны
Поме
Тензор энергий-натяжений,
обусловленный полем
(имеет „массу", действует
как источник метрики)
Метрика
Фиг. 6. Следы электромагнитного поля на метрике. v
Эйнштейна может быть отождествлен с тензором натя-
натяжений Максвелла. Кривизна должна удовлетворять неко-;
торым условиям для того, чтобы вообще существовало
кекое-либо электромагнитное поле f^ (либо е и h), ко-
которое может вызвать эту кривизну. Условия, наклады-'
ваемые на кривизну и остающиеся в силе в общем слу-
случае, проще всего могут быть выведены для случая, когда
искривление производится «нормальным» электромаг-
электромагнитным полем, т. е. полем, для которого отношение по-
потока вектора Пойнтинга к плотности энергии меньше
скорости света. Это отношение в точности равно скоро-
скорости света для плоской волны, но оно меньше с для вол-
волны, исходящей от локализованного источника, и меньше
с для суперпозиции плоских волн, распространяющихся
в различных направлениях. Другими словами, в нормаль-
нормальном случае соотношение
1 th 26:
C3)
4*

52 Глава J
дает определенное значение для направления единичног©
вектора 1 и вещественное значение для гиперболиче-
гиперболического угла 6. Допустим теперь, что это поле анализи-
анализируется новым наблюдателем, чья местная лоренцова
система отсчета движется со скоростью
7- = lth6 C4)
по отношению к прежней системе отсчета. В этой систе-
системе отсчета поток вектора Пойнтинга равен нулю1). На-
Напряженности электрического и магнитного полей (е' и W
в см'1) будут, следовательно, параллельны. Ось, которой
они параллельны, назовем осью xf. Тогда в этой системе
отсчета все компоненты тензора энергий-натяжений
[правая часть уравнения C1)] обращается в нуль, за ис-
исключением компонент, указанных в табл. 2.
В этой системе отсчета тензор энергий-натяжений
диагоналей, обладая диагональными компонентами
(—g2, —g2, g2, g2). Следовательно, тензор энергии-натя-
жений имеет два очевидных свойства: 1) его след, т. е.
сумма его диагональных элементов, равен нулю; 2) его
квадрат есть произведение £4 на единичную матрицу. Бо-
Более того, оба эти свойства ковариантны в том смысле,
что если они выполняются в одной системе отсчета, то
они выполняются во всех системах. Специальная лорен-
лоренцова система отсчета помогла нам выяснить эти свойства
тензора энергии-импульса-натяжений2) и, следователь-
следовательно, те же свойства тензора кривизны Эйнштейна. Те-
Теперь можно обратить наше внимание на общую систему
отсчета. Совершенно общим является тот 'факт, что если
') Может показаться разумным отождествить v/c с отношением
2 [ehj/fe2 + h2), как было ошибочно сделано на фиг. 1 в работе [13]
(см. Дополнение I к настоящей книге). Это было бы возможно
в том случае, если бы выражения [eh] и -к (е2 + h2) были компонен-
компонентами 4-вектора. Однако они представляют собой 4 из 16 компонент
тензора — тензора Максвелла. Поэтому коэффициенты преобразо-
преобразования есть не sh fi и ch 6, а выражения типа sh2 6, sh 6 - ch С и ch2 6,
откуда и появляется двойной угол в соотношении C3).
2) Проф. В. Баргман любезно указал на свойства «1»и«2» тен-
тензора энергии-импульса-натяжений Ч. Мизнеру и автору в 1955 г.,
заметив, что они были независимо обнаружены многими исследо-
исследователями (Райнич, Рейх, Синг, Боинор и МариоI.

Геометродишмика
S3
Таблица 2
Ненулевые компоненты тензора энергнн-натяженнй Максвелла
для нормального электромагнитного поля, вычисленные
в надлежащим образом выбранной лоренцовой снстеме
отсчета
Выписанные компоненты — правая часть уравнения C1) — имеют
размерность см~2 и просто равны соответствующим компонентам
тензора крививны Эйнштейна Чтобы получить плотность энергии-
натяжений в эрг/см3 или дин/см2, их надо разделить на 8jiG/c4.
Верхние и
нижние
индексы
компонент
С.)
С)
(!)
(!)
Значение в общем случае
-el+el+el-hl+hl+hl
el-e^l+hl-hl+hl
Значение
в специально
выбранной ло-
лоренцовой си-
системе отсчета
-4-*2
4+**
Интерпретация этих
результатов в теории
Максвелла
Плотность
энергии с отри-
отрицательным зна-
знаком
Натяжение па-
параллельно сило-
силовым линиям
Давление пер-
перпендикулярно си-
силовым линиям
То же
искривление пространства обязано своим появлением
классическим причинам (например, электромагнитному
полю), то, во-первых, необходимо, чтобы обращался в
нуль следующий след:
о=/?:—\кя=я—2/?=—/?
или, более просто,
/Й = 0. C5)
Когда это условие выполнено, эйнштейновский тензор
кривизны в левой части уравнения C1) сводится к тен-
тензору кривизны Риччи Rp. Во-вторых, если искривление
пространства приписывается электромагнитному полю,

54 Глава I
необходимо также, чтобы квадрат тензора кривизны
Эйнштейна и, следовательно, квадрат тензора кривиз-
кривизны Риччи были кратными единичной матрицы:
C6)
В-третьих, необходимо, чтобы плотность энергии не была
отрицательно определенной
/?S<0. C7)
3.2. «Фаза» поля. Как обстоит дело, когда посред-
посредством пробной частицы и луча света измерена кривизна
Риччи в некоторой протяженной области пространства-
времени и найдено, что она удовлетворяет условиям
C5) — C7)? Рассмотрим нормальный случай, т. е. слу-
случай, когда величина
^ C8)
эквивалентная
((?+h?f — B|eh]J
или
не обращается в нуль. Тогда в каждой точке Р рас-
рассматриваемой здесь пространственно-временной области
существует соответствующая лоренцова система отсчета
Lp, такая, что тензоры кривизны Риччи и Эйнштейна в
этой точке диагональны в этой системе отсчета и диаго-
диагональные элементы равны —£2, —g2, g2, g2. ^Другими ело-'
вами, наблюдаемое искривление может рассматриваться
обязанным электрическому и магнитному полям, ко-
которые параллельны друг другу и оси х, а их амплитуды]
таковы, что е2 + № — |2. Точная «фаза» этого электро-
электромагнитного поля, правда, неизвестна; в этой специаль-
специальной системе отсчета можно только написать, что
е = (Е, 0, 0) cos a,
h = (E, 0, O)sincc,
где угол а определяет «фазу» (complexion) поля.

Геометродинамика 55
Уместно сказать несколько слов о «фазе» элек-
электромагнитного поля. Когда а = 0, можно сказать, что
поле (е = |, 0, 0; h =0,0. 0) имеет «чисто электрическую
фазу». Если тензор электромагнитного поля gp, рас-
рассматривается в этом случае не в стандартной си-
системе координат, то он, конечно, будет иметь как элект-
электрическую, так и магнитную компоненту; тем не менее
«фаза» поля все-таки будет чисто электрической. При
а = тг/2 «фаза» поля будет «чисто магнитной». Поле в
этом случае называется дуальным по отношению к по-
полю, для которого а = 0. Его компоненты в произвольной
системе отсчета') обозначаются символом *!-,,.„. Итак,
в произвольной системе отсчета электромагнитное поле
наиболее общего вида, которое воспроизводит наблюдае-
наблюдаемое искривление пространства [при выполнении условий
C5) — C7)] имеет вид
/,„ = &„., cos a+*E|iV sin а. D0)
Здесь g^ и *£,„, — функции координат, однозначно
определенные в нормальном случае, если кривизна из-
известна.
3.3 Нахождение «фазы» по кривизне. «Фаза» а
является все еще неизвестной функцией координат. Не
означает ли это обстоятельство, что следы электромаг-
электромагнитного поля на метрике недостаточно отчетливы для
') Эти компоненты можно вычислить по общей формуле
Например, для любой локальной лоренцовой системы отсчета
другими словами, х-компонента магнитной составляющей дуально-
дуального электромагнитного поля равна х-компоненте электрической со-
составляющей исходного электромагнитного поля. Аналогично
или
иначе говоря, х-компонента электрической составляющей дуального
электромагнитного поля равна со знаком минус х-компоненте магнит-
нон составляющей первоначального электромагнитного поля. Поле,
Дуальное дуальному полю, есть исходное поле с отрицательным
знаком.

56 Глава I
того, чтобы можно было вернуться от чисто геометриче
ских измерений к полному описанию электромагнитного
поля?
Однако была использована еще не вся доступная ин-
информация. Необходимо также потребовать, чтобы элек-
электромагнитное поле [соотношение D0)] удовлетворяло
уравнениям Максвелла. Понятно, что это требование
должно определить изменение «фазы» поля от точки к
точке. При фиксированном градиенте «фазы»
уравнения Максвелла вместе с D0) позволяют опре-
определить электромагнитное поле во всей рассматриваемой
области пространства-времени, с точностью до аддитив-
аддитивной постоянной интегрирования
D2)
Соответствующая формула для этой цели выведена впер-
впервые Райничем [14, 15] и затем независимо Мизнером
и Уилером [13]1):
(-£I/㹫И/?*е;(У
D3)
"^ 7Щ "
(определение а^). В эту формулу входят только геомет-
геометрические величины, так что поставленная цель выпол-
выполнена: электромагнитное поле выражено через чисто гео-
геометрические величины.
3.4. Исконно единая теория поля и закон структуры
пространства-времени. Электромагнитное поле, опреде-
определяемое соотношениями D0), D2) и D3), не будет по-
последовательно определено, пока величина а не является
независимой от пути интегрирования. Для этого необхо-
необходимо, чтобы ротор вектора а,,, обращался в нуль:
да., да„
»?-5?-а D4>
') Точка с запятой перед Р в формуле D3) означает коварвант-
ную производную ог R"? по лЛ

Геометродинамика 57
— требование, накладываемое на метрику ЛВектор
а. содержит первые производные кривизны и, таким
образом, D4) содержит ее вторые производные. Следо-
Следовательно, D4) содержит производные метрического
тензора вплоть до четвертого порядка. Эта система"]
уравнений 4-го порядка плюс алгебраические соотноше-
соотношения Райнича C5) — C7) в нормальном случае (/?а/??>0)
полностью воспроизводят содержание уравнений Макс-
Максвелла для пустого пространства плюс эйнштейновские
уравнения поля с максвелловским тензором энергий-им^
пульса в качестве источника. Одна система уравнений
4-го порядка — чисто геометрических по своему харак-
характеру— эквивалентна двум системам уравнений 2-го по-
порядка. Полученный таким путем формализм может быть
назван «исконно единой теорией поля». Это — перефор-
переформулировка обычной общей теории относительности, соз-
созданной Эйнштейном в 1916 г. В этом отношении она
сильно отличается от более поздних так называемых
единых теорий поля, которые отбрасывают гипотезу Ри-
мана о существовании интервала
Ни одна из модифицированных подобным образом теорий
не оказалась свободной от возражений. В противопо-
противоположность этому против первоначальной теории Эйн-
Эйнштейна не было выдвинуто ни одного возражения
логического или принципиального характера, не было
замечено ни одного противоречия с наблюдениями. Вза-
Взамен не было выдвинуто ни одной теории, близкой к общей
теории относительности по своей простоте и общности.
Более уместно объединенному аппарату теории гра-
гравитации и электромагнетизма дать название «геометро-
динамика» как более отвечающее его характеру, чем на-
название «общая теория относительности». Поскольку
можно сказать, что геометродинамика содержит всю фи-
физику, которая на сегодняшний день известна как чисто
классическая, постольку можно сказать, что вся эта фи-
физика резюмируется в уравнениях (ЗБ) — C7) и D4). Эти
уравнения устанавливают структуру пространства-вре-
пространства-времени. Они отбирают из всего множества мыслимых ри-
мановых пространств такие 4-мерные пространства.

58 Глава I
которые согласуются с классическими законами грави-
гравитации и электромагнетизма.
3.5. Геометродинамика не содержит констШт связи.
Когда законы взаимодействия электромагнитного и гра-
гравитационного полей записаны в обычной форме уравне-
уравнений Эйнштейна и в обычных единицах, то в правой ча-
части появляется множитель
8я F,670-1(Г8 см3/г- сек2) о „_ ,„-4
—СпЭЙ^Ю» см/секу— = 2'07 • 10
о котором часто говорят, что «константа связи гравита-
гравитационного поля очень мала». Однако такого рода утвер-
утверждение в рамках классической физики лишено какого-
либо смысла, ибо не существует естественного масштаба
для сравнения физических эффектов. Из двух констант
Сие невозможно образовать комбинации, имеющей
размерность длины, массы или времени. Уравнения
геометродинамики в «исконно единой» форме не содер-
содержат упоминания о каких-либо константах связи. Поло-
Положительной чертой теории представляется тот факт, что
нет необходимости добавлять каких-либо констант, ко-
которые должны быть в будущем объяснены некоторой
более фундаментальной классической теорией. То, что
квантовая теория должна вносить что-то новое, это, ко-
конечно, особый вопрос. В рамках классической теории
геометродинамика является самосогласованной. Коро-
Короче говоря, она обеспечивает описание взаимодействия
без константы взаимодействия.
3.6. Оценка исконно единой теории поля. Если под
«классической физикой» понимать всю ту физику, кото-
которая не зависит от кванта действия или от частиц с кван-
квантованными зарядом и массой, то вся классическая физика
содержится в законах структуры пространства-времени,
задаваемых уравнениями C5) — C7) и D4). Как в таком
случае показать, что эти уравнения являются наиболее
естественными? Если это не так, то какие выводы мож-
можно сделать из этого обстоятельства?
Шарп [20] предположил, что эти уравнения можно
вывести из вариационного принципа

Геометродинамика 59
исходя из инвариантной плотности лагранжиана
X
L=R~\ (RJTt cos2 f a9drf,
0
где ар выражено через величины, характеризующие кри-
кривизну, формулой D3). Из этого принципа Шарп вывел
уравнение D4). До сих пор не известно, могут ли другие
основные алгебраические уравнения быть выведены из
этого вариационного принципа.
Как предложенный вариационный принцип, так и
само первоначальное («роторное») уравнение D4) со-
содержат инвариант кривизны в знаменателе. Следова-
Следовательно, градиент «фазы» есть некоторая неопределен-
неопределенная величина^ там, где отсутствует электромагнитное
поле. Пенроуз') отметил, что это обстоятельство создает
принципиальные трудности для исконно единой теории
поля в следующем частном случае. Пусть электромаг-
электромагнитное поле существует в областях Л и В, но не в про-
пространстве между ними. Исходя из одной лишь метрики,
в этом частном случае всюду в такой специальной обла-
области трехмерного пространства, невозможно определить
«фазу» поля в области А относительно поля в области В
(табл. 3). Однако, если конфигурации I и II изменяются
во времени, поля будут распространяться из областей А
и В, будут встречаться и перекрываться все более и бо-
более. Совершенно различные результаты в области на-
наложения полей будут наблюдаться в зависимости от того,
какова была первоначальная конфигурация: I, II или
что-нибудь промежуточное. Измерения искривления про-
пространства, произведенные в такой момент времени, со-
совершенно достаточны для определения результатов в
случаях I и II, хотя «исконно единый» вариант геометро-
динамики был не в состоянии установить различие в на-
начальных состояниях I и II.
Эйнштейн-максвелловский вариант геометродинамики
не имеет этого недостатка. Этот недостаток появляется
лишь в том случае, когда две системы уравнений 2-го
') Автор выражает благодарность д-ру Р. Пенроузу за сообще-
сообщение об этом неопубликованном результате, а также ему, Д. Шарпу
и проф. Ч. Мизнеру за обсуждение его смысла.

60
Глава I
Таблица 3
Поля двух различных конфигураций (I и II), определенные
в пространствеиио-подобиой 3-поверхиости, выглядят
тождественными с точки зрения геометродииамики
Поля могут иметь тождественные метрику, кривизну и тензор энергии-
импульса. Однако оии могут быть очень различны, если их рассма-
рассматривать с другой возможной и более привычной точки зрения
обычной эйнштейновской теории, которая рассматривает потенциалы
как метрического, так и электромагнитного полей. Для возникно-
возникновения такой ситуации необходимо, чтобы существовали области
3-мерного пространства, содержащие электромагнитные поля,
целиком окруженные пространством, свободным от электромагнит-
электромагнитных полей.
Конфигурация
I
II
Поле в области
А
Только Е
Только Е
Поле в области
В
Только Н
Только Е
Поле в остальном
пространстве
0
0
порядка объединяются в одну чисто геометрическую си-
систему уравнений 4-го порядка. Существуют истинно фи-
физические различия между «фазами» в областях А и В,
даже если нет способа установить «фазу» в трехмерном
пространстве между ними. Ограничиваясь этим 3-про-
странством, исконно единая формулировка теории не мо-
может при известных обстоятельствах прослеживать раз-
различие между значениями «фазы» в двух или более об-
областях.
Эта трудность снимается, когда мы рассматриваем
полную историю поля (а не ситуацию на исходной 3-ги-
перповерхности) с чисто геометрической точки зрения.
Возникает следующая альтернатива. Либо 1) заданные
в двух областях поля распространяются и перекры-
перекрываются при изменении относительной «фазы». Тогда
в пространстве-времени должны существовать пути, со-
соединяющие указанные две области, причем, двигаясь
вдоль них, можно определить их относительные «фазы»
чисто геометрическими способами. Либо 2) рассматри-
рассматриваемые поля никогда не имеют области перекрытия.
Тогда нет разницы в относительной «фазе» этих двух

Геометродинамика 61.
областей и она не нуждается в определении. Короче
говоря, когда существенна относительная «фаза», она
может быть полностью определена путем чисто геомет-
геометрических измерений, если только с ними можно проник-
проникнуть в любые области пространства-времени.
Однако, будучи ограничены определенными 3-гипер-.
поверхностями и определенными условиями, чисто гео-
геометрические измерения не могут служить для определе-
определения различия значений «фазы» в разделенных областях.
Однако Природа умеет «вести учет» различия «фаз».
Значит, если Природа сводится к геометрии, «фаза»
также должна быть сводима к геометрии. Однако «фа-
«фаза» не всегда отчетливо отражает чисто геометрический
характер исконно единой теории поля. Не впадает ли
эта теория в чрезмерную узость, используя исключи-
исключительно средства дифференциальной геометрии — геомет-
геометрии в непосредственной окрестности точки? Не является
ли ее пороком невозможность признания общности
между отдаленными точками? Не являются ли обычные
геометрические средства непригодными потому, что они,
так сказать, вводят слишком много точек и допускают
различимость этих точек в качестве постулата, не подле-
подлежащего сомнению? Не существует ли какой-либо воз-
возможности отбросить подобные неудачные основы и все
же сохранить существенные черты глобальной струк-
структуры? Не достаточно ли одной точки? Не может ли эта
точка повторять свою роль вновь и вновь, подобно тому,
как электронный луч в телевизионной трубке, пробегая
достаточно быстро, воспроизводит все изображение. Не
будет ли взаимная «фаза» двух точек играть более важ-
важную роль, если между точками будет иметь место более
глубокая внутренняя связь этого типа? Конечно, здесь
не идет речь об изменении теорий Эйнштейна и Макс-
Максвелла; мы лишь ищем другую формулировку этой тео-
теории. Существование в основных законах классического
пространства-времени величины такого типа как относи*
тельная «фаза» двух отдельных точек приводит иссле-
исследователей, ищущих чисто геометрическое описание при-
природы, к заключению, что понятие «фазы» еще не нашло
своего наиболее удачного геометрического средства вы-
выражения.

62 Глава 1
Относительная «фаза» выступает на передний план
также в другой нерешенной проблеме: почему все за-
заряды в природе имеют одну и ту же «фазу»?
В заключение можно сказать, что исконно единая
теория поля дает нам разумные основания для утвер-
утверждения, что вся классическая физика может быть
сформулирована геометрическим образом. Однако эта
теория не является наиболее удобным средством трак-
трактовки соответствующей геометрии. Дуалистический язык
электромагнитных полей и метрики до сих пор оказы-
оказывался наиболее удобным.
§ 4. Уравнения движения без уравнений движения
Лишь спустя длительное время после создания об-
общей теории относительности в 1916 г. было найдено, что
теория содержит важное новое следствие. Оказалось,
что не нужно отдельно постулировать уравнение движе-
движения пробной частицы в известном геометродинамиче-
ском поле [уравнение C2)], как это принято во всех дру-
других формулировках физических теорий. Вместо этого
было показано, что уравнения движения объектов полу-
получаются как следствие уравнений поля1). Эта ситуация
наводит на мысль о следующей аналогии. Представьте
себе темные пятна, передвигающиеся по поверхности
озера в поле зрения наблюдателя, смотрящего с высо-
высокой башни. Он изучает их движение достаточно тща-
тщательно, чтобы вывести уравнения движения и закон
') Общая идея была высказана Эйнштейном и Громмером [21].
Рассмотрение случая медленно движущихся масс в асимптотически
плоском пространстве см. в работе Эйнштейна, Инфельда и Гофф-
мана [22]. Случай бесконечно малой нейтральной пробной частицы,
движущейся с произвольной скоростью в пространстве с заданной
метрикой, рассмотрен Инфельдом и Шильдом [23], а случай заря-
заряженной пробной частицы — Чейзом [24f и Инфельдом [25]. Примене-
Применение того же метода к последнему варианту «единой теории поля»
Эйнштейна (который теперь все отвергли) показывает, что, соглас-
согласно этой теории, пробная частица должна двигаться как незаряжен-
незаряженная — при любой величине ее заряда [26]. (Никакой циклотрон не
смог бы тогда работать!)) Общий обзор этой проблемы см. в моно-
монографии Инфельда и Плебанского [27]. [См. также J. A. Wheeler,
Rev. Mod. Phys., 33, 63 A961), где цитируются работы В. А. Фока
и его сотрудников, посвященные этой же проблеме. — Прим. ред.]

Геометродинамика 63
эффективных сил, действующих между этими «пятна-
«пятнами». Кроме того, из других исследований ему известны
законы гидродинамики жидкости в озере. В один пре-
прекрасный день, воспользовавшись новым биноклем боль-
большей разрешающей силы, он видит, что «пятна» вообще
не являются чуждыми объектами. Они являются вих-
вихрями в среде, свойства которой он уже знает. Тогда он
возвращается к уравнениям гидродинамики и выводит
из них законы движения завихрений и их взаимодей-
взаимодействия. Это дает гораздо более глубокое понимание уви-
увиденного.
Уравнения движения не могут быть выведены из
уравнений поля, если последние линейны. Уравнения
электродинамики, например, позволяют рассчитывать
поля, возникающие как при невозможных движениях
зарядов, так и при возможных. Тот факт, что уравнения
движения пробной частицы и лоренцова сила могут
быть выведены из общей теории относительности или
геометродинамики, означает, что эта теория в некото-
некотором смысле является «руководящей теорией» физики.
Какая-либо иная более узкая формулировка физическо-
физического закона не обладает такой мощью.
§ 5. Геон: масса без массы
5.1. Прежние модели массы. Вывод уравнений дви-
движения из уравнений поля предполагает существование
объектов с массой.
Введение в самосогласованную во всех иных отно-
отношениях теорию таких чужеродных объектов вызывает
возражения, которые осознаются при трактовке пробле-
проблемы движения. Такой анализ сам по себе примыкает
к теории относительности, но объекты здесь рассматри-
рассматриваются как сингулярности метрики. В связи с этим воз-
возникает много вопросов. Должны ли сингулярности пред-
предполагаться сферически симметричными? Как можно
определить такую симметрию? Допустимы ли иные сим-
симметрии, а если да, то какие? Если где-нибудь допустить
существование сингулярности, то не означает ли это в
принципе допущение сингулярностеи всюду? Можно ли со-
составлять из непрерывного распределения сингулярностеи

64 Глава I
источники произвольного вида, фигурирующие как
правые части уравнений? Если же такой член может
быть свободно введен, то как наилучшим образом опре-
определять при этом структуру теории? Другой подход
сводится к поискам устранения сингулярности через
рассмотрение каждого объекта как массы жидкости,
подчиняющейся тому или иному уравнению состояния.
Тогда метрика всюду регулярна. В такой модели масса,
очевидно, обладает внутренними степенями свободы, ко-
которые могут быть возбуждены внешними силами. Свой-
Свойства этих степеней свободы критически зависят от вы-
выбора уравнений состояния. Более того, уравнение состоя-
состояния само по себе является чем-то чуждым для чистой
геометродинамики, соотношением, вводимым извне. Та-
Таким образом, ни один подход не ведет к замкнутой тео-
теории движения.
5.2. Равновесие между давлением радиации и грави-
гравитационным сжатием в геоне. Таким образом, интересно
отыскать третий путь для рассмотрения концепции тела
в общей теории относительности. Объект в принципе
может быть построен из электромагнитного излучения,
которое сдерживается своим собственным гравитацион-
гравитационным притяжением в течение весьма длительного перио*
да времени. Гравитационное ускорение, необходимое для
удержания излучения на круговой орбите радиуса г, по
порядку величины составляет с2/г. Ускорение, имеющее
•место вследствие гравитационного притяжения в сгустке
лучистой энергии с массой М, по порядку величины рав-
равно GM/r2, где G = 6,670 • 10~8 см3/г ■ сек2 — ньютоновская
константа тяготения. Оба эти ускорения совпадают по
порядку величины, когда радиус
г ~ ~ =- @,742 • 10~28 см/г) - М. D6)
Сгусток излучения, которое таким образом удерживает
само себя («гравитационно-электромагнитный объект»,
или геон [28—30]), является чисто классическим объек-
объектом (фиг. 7). Он не имеет прямого отношения к миру
элементарных частиц. Его структуру и устойчивость
можно рассматривать всецело в рамках классической
геометродинамики при условии, что принимаемый при

— Г-
улавливания^ I
Область экспоненци-
экспоненциального затухания
Слабая выходящая еолнл
о
Фиг. 7. Условия внутри геона и в его окрестности.
А — Фотоны, циркулирующие по круговым орбитам под действием достаточно
концентрированной и достаточно большой массы М, расположенной в центре. По
мере все большего накапливания электромагнитной энергии на орбите радиация
сама по себе вносит все больший вклад в стабилизирующее гравитационное поле.
При этом масса может уменьшаться. В итоге масса М вообще может быть устра-
устранена, и тогда получается геон, т. е. иначе говоря, стоячая электромагнитная волна,
которая обладает достаточной массой-энергией, чтобы удерживать самое себя.
Тогда гравитационное поле служит волноводом для этой энергии. Такое поле в слу-
случае простого сферического геона описывается метрикой
ds2 = gTT dT2+g dr*+r? (rf62+sin! в d<f).
Б—Радиальный фактор этой метрики можно записать в виде
i-l -
Здесь величина т* (г) представляет собою массу (в см) внутри сферы радиуса г.
ота масса скачком возрастает в „активной области", где сконцентрирована большая
часть излучения.
В —Временной фактор метрики в случае простого сферического геона имеет
значение -gTT='/s всюду внутри геона и значение 1-2т* (оо)/г-всюду вне геона.
Радиус активной области геона составляет гактив =(%) т* (со). Стандартные часы
внутри геона „идут" в три раза медленнее, чем стандартные часы вдали от геона.
Г—Схематическое представление электромагнитных волн в активной области
Л—Более подробное изображение зависимости напряженности электромагнит-
рого поля от г, что показывает аналогию с а-распадом как прохождения через
Чохенциальный барьер (в данном случае—утечку излучения через барьер, обладаю-
обладающий некоторым показателем преломления).
5 Зак. 3001,

66 Глава I
этом рассмотрении размер его достаточно_велик, чтобы
квантовые эффекты еще не проявлялись. I На больших
расстояниях такие объекты не отличаются по своим
гравитационным свойствам от любой другой массы. Бо-
Более того, они движутся в пространстве как единое це-
целое и испытывают отклонения под действием медленно
меняющихся силовых полей точно так же, как это про-
происходит с любой другой массой. И все же внутри геона
нельзя указать места, где сосредоточена масса в обыч-
обычном смысле этого слова. Геон обязан своим существова-
существованием локализованному (но всюду регулярному) искри-
искривлению пространства-времени и ничему более. Короче
говоря, геон описывает массу без массы. - -'
5.3. Утечка энергии из геона. Полная стабильность
геона также невозможна, как невозможно удерживание
излучения внутри конечного куска стекла в течение
сколь угодно долгого времени за счет одного полного
внутреннего отражения. Оптический волновод, образо-
образованный поверхностями стекло — воздух, аналогичен
электромагнитному волноводу, образованному метрикой
(фиг. 7). Известно, что стекло дает идеальный эффект
при удержании излучения, если поверхности стекла пло-
плоские: электромагнитное возмущение в «запрещенной»
зоне экспоненциально затухает с характерной длиной
затухания порядка X = У2-гс = с/е>. Менее известен тот
факт, что вне стеклянной сферы радиуса а экспоненци-
экспоненциальное затухание имеет место лишь до расстояния так-
также порядка а, с последующими осцилляциями в виде
группы слабых волн. Поэтому происходит утечка улов-
уловленного излучения из стеклянной сферы, а также из
геона, что напоминает утечку а-частиц из радиоактив-
радиоактивных ядер. Можно сказать, что барьер в случае куска
стекла и геона имеет центробежную природу, в то время
как в случае а-частиц он обусловлен главным образом
кулоновскими силами. Постоянная распада, связанная с
механизмом утечки из геона, содержит экспоненту типа
введенной Гамовым:
ехр [- 4,56 • Радиус ак7ной зоны]. D7)
Вычисленные скорости утечки энергии из двух сфери-
сферических геонов приведены в табл. 4.

Таблица 4
Утечка радиации из двух простых сферических геонов
Последний столбец дает коэффициент изменения масштаба, в пре-
пределах которого геон остается классическим объектом (электриче-
(электрическое поле в активной области остается малым по сравнению с кри-
критическим полем, которое требуется для порождения электронных
пар непосредственно из вакуума). Для сравнения заметим, что
масса Солица составляет 1,987-1033 г, радиус Солнца — 6,94- 1010 см,
средняя плотность —1,42 г/см3, среднее расстояние
до Земли— 1.497- Ю13 см.
Свойство
Масса, г
Радиус активной зоны, см
Число волн по окружности
(см. фиг. 7, г)
Круговая частота излуче-
излучения, рад/сек^
Длина волны вне геона,
см ....
Протяженность активной
зоны, см
Потеря массы-энергии
электромагнитного колеба-
колебания на 1 рад
Время сжатия в предпо-
предположении, что влияет только
утечка и что поведение
геона на всех стадиях ра-
распада является классиче-
классическим
Геон 1
10*2
1,67-Ю'«
10
6,00- КГ4
3,14 • 10м
~3,59 ■ Ю'з
2,5 • 10~7
212 лет
Геон II
10«
1,67 • 10"
8,43 • 10s
5,06 ■ 105
3,72 • 105
-4,02 - Ш
iq-55700000UO
~'СО
Масштабный
фактор
х«
Х«
Неизменен
X A/п)
Х«
х«
XI
X A/п)
5*

68
Глава I
Продолжение
Свойство
Средние квадратичные
значения напряженности
электрических (и магнит-
магнитных) полей в наиболее ак-
активной зоне (эл. стат. ед.)
Критическое значение
медленно меняющегося элек-
электрического поля, связан-
связанное с механизмом рожде-
рождения пар (е+, е~) в вакууме
(эл. стат. ед.)
Плотность массы-энергии
в активной зоне, г/см3 . .
Геон [
4,66 • 10'°
4,41 • 1013
0,192
Геон
4,41-
4,41-
1,72-
п
И)'5»
10'3
105
Масштабный
фактор
X A/я)
Постоянная
ХA/«2)
Второй механизм, посредством которого геон может
рассеивать энергию, был любезно указан нам проф.
Мак-Милланом в частной дискуссии. Если объект пере-
пересекает космическое пространство даже в сильно разре-
разреженных межгалактических областях, то он будет встре-
встречать протоны и электроны от Ю'1 до 10 в 1 м3. Его сла-
слабо меняющиеся, но весьма интенсивные внутренние
электрические поля будут ускорять эти заряженные ча-
частицы (ионы) до весьма значительных энергий за счет
геона. Быстрота рассеяния энергии будет пропорцио-
пропорциональна поперечному сечению геона и его скорости. Если
скорость геона сравнима со скоростью света, то рассея-
рассеяние будет весьма быстрым. Наиболее благоприятным
является случай, когда относительные скорости оказы-
оказываются порядка скоростей хаотического движения ти-
типичных космических облаков газа, скажем 100 км/сек:
—7ПГ ""* (Плотность частиц) • (Скорость облака) X
X (Сечение геона) • (Энергия испускания).

Геометродинамика 69
„Например, в случае геона ] (или II) из табл. 4 это
произведение может быть порядка
1045 эрг\сек\ ( 1024 г/сек\ (I) /лоч
ИЛИ Ю*> эрг/сек Г Г" Ю* г/сек)" (И) D8)
что приводит к времени жизни геона порядка
10м сек, т. е. 3 • 1010 лет (I)
1024 сек, т. е. 3 • 1016 лет (И)
для геона в пространстве между галактиками; внутри
же галактики, где плотность ионизованной материи при-
примерно в миллион раз больше, время жизни геона при-
примерно в миллион раз меньше. Таким образом, не суще-
существует убедительных причин в пользу того, что геоны
могли бы сохраниться в течение всей прошедшей исто-
истории Вселенной. Но нет и каких-либо очевидных сообра-
соображений в пользу того, что они могли бы возникать пре-
прежде всего именно при тех экстремальных условиях, ко-
которые были характерны для ранней стадии развития
Вселенной. Другими словами, геонами имеет смысл ин-
интересоваться не потому, что они могут объяснить что-
либо реально наблюдаемое, а ввиду того, что с их по-
помощью можно получить некоторое представление об
исключительном богатстве физических явлений в искрив-
искривленном пустом пространстве, предсказываемых общей
теорией относительности.
5.4. Место геона в рамках классической физики. Рас-
Рассмотрение геона в качестве модели масс или тел, кото-
которые фигурируют в классической физике, позволяет более
глубоко понять некоторые стороны геометродинамики.
Во-первых, ясно, что уравнение движения тела по
геодезической является идеализацией. Зависящие от по-
положения величины, фигурирующие в этих уравнениях,
следует рассматривать как «фон» — гравитационные и
электромагнитные поля, которые должны существовать
в отсутствие геона. Можно лишь ■ говорить о поле по-
подобного фона, определенного разумным образом, толь-
только в тех случаях, когда полное поле, обязанное фону и

70 Глава I
геону, медленно меняется на расстояниях, сравнимых с-
линейными размерами геона. В этом случае подобный
объект будет ускоряться когерентно под действием
внешних сил. Это поведение укладывается в рамки фи-
физики Ньютона — Максвелла: существующие в готовом
виде тела являются источниками сил и сами испыты-
испытывают воздействие этих сил. Такая классическая схема
уравнений движения не нарушается включением попра-
поправок, связанных со специальной и общей теорией отно-
относительности.
Во-вторых, когда поля вне геона оказываются суще-
существенно неоднородными, то геон не может реагировать
на воздействие как одно целое. Возмущение испыты-
испытывают его внутренние степени свободы. Когда же внеш-
внешние неоднородности сильны, система распадается на две
и более частей.
Специальным примером такого взаимодействия, при-
приводящего к разрушению, является столкновение между
двумя геонами сравнимых размеров, когда расстояние
максимального сближения сравнимо или мало по срав-
сравнению с размерами обоих объектов. При этом возник-
возникнет не только значительное отклонение от эффективного
закона обратной пропорциональности квадрату рас-
расстояния для сил, но будет иметь место обмен энергией и
потери энергии. Там, где потенциальный барьер, харак-
характеризуемый показателем преломления, окажется наибо-
наиболее узким, будет иметь место перетекание излучения от
одного тела к другому. При этом увеличится энергия
некоторых гармоник колебаний уловленного излучения,
которые прежде были возбуждены слабо или вовсе не
были возбуждены; энергия же других гармоник будет
уменьшаться. Таким образом, два тела расходятся с
соотношением масс, отличным от того, с которым они
сходились. Их общая масса за это же время будет
уменьшаться как за счет быстрой вынужденной утечки
радиации, так и вследствие локальных возмущений гра-
гравитационного поля, которое отклонит и выведет часть
световых лучей со своих орбит, прежде относительно
стабильных.
Когда же два геона сталкиваются еще более непо-
непосредственно, то они будут расходиться без значительной!

Геометродинамика 71
потери масс только в исключительных случаях. Тогда
происходит почти все, что только может происходить.
Будет иметь место существенная потеря энергии в фор-
форме свободного излучения. Будут возбуждаться коллек-
коллективные движения, а отдельные электромагнитные гармо-
гармоники приобретут совершенно новые амплитуды. Силы
будут действовать так, чтобы вызвать деление перво-
первоначальных геонов на более мелкие фрагменты. Ввиду та-
такого богатства явлений уже не имеет смысла описывать
взаимодействие двух сблизившихся классических геонов
с помощью эффективного закона сил или с помощью по-
потенциалов. Вместо этого необходимо использовать более
сложный язык физики трансмутаций, когда главное
внимание уделяется распределению продуктов реакции
по массам, скоростям и направлениям. Короче говоря,
мы имеем физику трансмутаций без трансмутаций.
Существование геонных трансмутаций делает ясным
третье соображение относительно классической реляти-
релятивистской физики. Это соображение сводится к тому, что
в принципе не существует никакого резкого различия
между геонами как концентрациями электромагнитной
энергии, способными к распаду и слиянию, и «свободны-
«свободными» электромагнитными волнами, которые распростра-
распространяются в пространстве между геонами, испытывая рас-
рассеяние, поглощение и испускание геонами. Формально
выражаясь, состояние Вселенной с точки зрения клас-
классической физики описывается свободными от сингуляр-
ностей электромагнитными и гравитационными ампли-
амплитудами в каждой точке и ничем более.
§ 6. Проблема начальных условий.
Уравнения поля без уравнений поля
6.1. Начальные условия в электродинамике. Какая
информация должна быть задана в данный момент
времени, т. е. на трехмерной пространственно-подобной
поверхности с, чтобы определить однозначно и непро-
непротиворечиво все будущее (и прошлое) геометродинами-
ческого поля? Хотя уравнения поля общей теории отно-
относительности были установлены в 1916 г., важный
вопрос о начальных значениях был решен лишь три

72 Глава Т
десятилетия спустя в важной работе Лишнеровица [31—
33] и Фурес-Брюа [34, 35]1).
Аналогичная проблема хорошо известна в теории
свободных (без источников) электромагнитных полей.
Там достаточно знать электрическое и магнитное поля
на одной пространственно-подобной 3-поверхности о
(координаты и, v, w), чтобы можно было предсказать
поля на поверхности, сдвинутой на интервал собствен-
собственного времени dff (и, v, w), нормальный к о. Уравнения,
которые требуются для предсказания полей e + de и
h + dh на новой поверхности, лучше всего известны для
случая плоского пространства-времени2)
-^j. = rot h,
>) См. в особенности книгу Лишиеровица [36].
s) В искривленном пространстве-времени эти уравнения сохра-
сохраняются, если члены истолковывать в соответствующем ковариантном
смысле. Тогда е и h являются векторами, или /-формами, на про-
пространственно-подобной гиперповерхности о. Дуальными для них,
отнесенными к метрике Wgmn в 3-пространстве на о, являются
-Х-е и -x-h с компонентами Ofe)m/! = (sglk)[mnp\(sgpt')etl. Эти 2-формы,
или антисимметричные тензоры, отождествляются с проекциями
4-мерной 2-формы, или антисимметричного тензора, поля f и ему
дуального на гиперповерхности а:
* h = Проекция / на о,
* е = Проекция -*-/ на о.
Определим дополнительно обобщенный ротор, или «внешнюю про-
производную» da, от любого вектора или антисимметричного тензора
следующим соотношением:
По всем переста-
перестановкам Р
Тогда уравнения Максвелла преобретают форму
Об этих уравнениях и других аспектах геометродииамики см. работу

Геометродинамика 73
Начальные условия в электродинамике для величин е
и h на о не могут выбираться произвольно, несмотря на
отсутствие в этом пункте каких-либо явных запретов со
стороны уравнений D9). Эти данные должны удовле-
удовлетворять уравнениям для начальных значений:
dive = O, divh = O. E0)
Тогда уравнения D9) гарантируют, что те же условия
с дивергенцией выполняются для поля и на новой по-
поверхности:
e+de = e-j-(dT)roth
В результате уравнения E0) уменьшают число незави-
независимых переменных, значения которых заданы в точке
пространства, с шести (по три компоненты у векторов
напряженности электрического и магнитного полей) до
четырех. Этот стандартный результат можно связать с
более знакомыми выражениями, относящимися к пло-
плоскому пространству. Перейдем от координатного про-
пространства к пространству волновых чисел. Для каждой
точки в пространстве волновых чисел известны 4 сво-
свободные константы, связанные с электромагнитным по-
полем: координата и импульс (или амплитуда и фаза)
двух осцилляторов, связанных с двумя независимыми
состояниями поляризации. Поэтому не удивительно, что
и в координатном пространстве мы находим 4 свобод-
свободные константы для каждой точки. Такое своеобразное
и неявное отождествление числа точек в координатном
пространстве с числом точек в пространстве волновых
чисел дает полезный инструмент не только для теории
электромагнетизма, но и в теории гравитации.
6.2. Условия для задания начальных значений в гео-
метродинамике. Слабые гравитационные волны уже
давно изучались самим Эйнштейном и другими. В том
приближении, когда отклонения от плоского простран-
пространства малы, понятие волнового числа имеет определен-
определенный смысл. Для этих волн точно так же, как для элек-
электромагнитных волн, существует два поперечных состоя-
состояния поляризации для каждого волнового числа. Однако
поляризация носит тензорный характер, а не векторный

74 Глава I
(фиг. 8). Так как гравитационные волны требуют для
своего определения 4 константы [B константы на одно
состояние полярнзации) X B состояния поляризации на
одно волновое число)] в каждой точке пространства
волновых чисел (когда координатное пространство поч-
почти плоское), то разумно ожидать, что для задания на-
начальных условий в гравитационном поле необходимы
Электромагнетизм Волны Гравитация
_ J
I т- t перпендикулярны,
J } • направлению
Смещения
перпендикуу
напрамеа
распространения'
Та те еолт
J |* стойте
•" ' 1 поляризацией;
1+ •" »♦ запаздывание^
| по фазе на №0"
»-__ То те
-—• * направление
"*—£ | распространения;]
J—*- * независимое
состояние
веляризации
Фиг. 8. Сравнение поляризации электромагнитных и гравитацион-
гравитационных волн.
Гравитационная волна идет перпендикулярно плоскости чертежа и воздействует
на группу пробных частиц, расположенных по краю круга, изменяя их положения,
как показано на схеме. Два независимых состояния поляризации отличаются
на 45°, а не на 90°, как в случае электромагнитных волн.
четыре величины в точке 3-пространства, помимо и сверх
четырех величин в точке, необходимых для задания на-
начальных условий в электромагнитном поле. Поэтому
весьма удовлетворительно найтн эти величины, появ-
появляющиеся в анализе проблемы начальных значений, вы-
выполненном Лишнеровицем и Фурес-Брюа. Они доказали,
что для определения будущего н прошлого необходимо
и достаточно задавать на 3-поверхности о не только
магнитное поле h и электрическое е, но также и 3-мер-
3-мерную метрику этого пространства C)gmn и скорость ее из-

Геометродинамика 75
менения 2<3)Pmn по отношению к собственному ковре-
мени, измеряемому по нормали к 3-пространству о. Ана-
Аналогично тому, как начальные данные для электромаг-
электромагнитного поля подчиняются условию обращения в нуль
дивергенции, или (на языке внешних дифференциальных
форм) условиям
d*e = 0, d*h=:O, E2)
геометрические данные C)gmn и {3)Ртп нельзя задавать
совершенно произвольно; их значения подчиняются
условиям, в которых фигурирует вектор Пойнтинга и
максвелловская плотность энергии:
(Pf - Ь%Р$.т = -21* (ел h)]ft, E3)
а также
($f ^ C) h). E4)
Здесь {3)R — инвариантная кривизна для 3-пространства о.
Эта величина относится только к той кривизне, кото-
которая присуща пространству (фиг. 9), в то время как ве-
величины Ртп или Рт описывают внешнюю кривизну этого
же 3-пространства и внутри окружающего все еще не-
неизвестного 4-пространства. Поэтому условие E4) мож-
можно переписать в виде:
Плотность энер-
/ Внутренняя \ / Внешняя \
( инвариантная I — ( инвариантная ) =
\ кривизна о / \ кривизна о /
гии электро-
электромагнитного поля
в соответствую-
соответствующих единицах
E5)
Требование, чтобы дивергенция электрического и
магнитного полей обращалась в нуль, очевидным обра-
образом сводит 6 степеней свободы до требуемого числа 4.
Однако условия, накладываемые на начальные данные
в теории гравитации, представленные четырьмя соот-
соотношениями E3) и E4), с первого взгляда кажутся
недостаточными для сведения двенадцати величин,
характеризующих метрику в каждой точке F ком-
компонент {3)gmnu 6 компонент C)Р„,„). к четырем величинам,
поскольку, естественно, 12—4 отнюдь не равно 41 Но это
Расхождение на 4 можно понять следующим образом.
Насть информации, содержащейся в шести компонентах

76 Глава Т
метрического тензора C)gmn, вовсе не является настоящей
информацией о геометрии 3-пространства с, а является
лишь информацией о системе координат, которая поче-
почему-либо здесь использована для описания. Следователь-
Следовательно, имеется не более шести существенных компонент
i3)Smn Для каждой точки.
Фиг. 9. Элементарный пример различия между внутренней и внеш-
внешней кривизнами.
В данном примере лист бумаги взят плоским, так что внутренняя кривизна листа
равна нулю B)т?=0. Поэтому в данном примере справедлива теорема Пифагора
для треугольника, изображенного на листе бумаги. Вместе с тем теорема Пифа-
Пифагора справедлива и на поверхности свернутого листа бумаги (схема Б). Следо-
Следовательно, геометрия, внутренняя в отношении 2-поверхности —в данном случае
такой геометрией оказалась эвклидова геометрия —безразлична к тому, каким обра-
образом данная 2-поверхшсть вложена в окружающее 3-пространство. С другой сто-
стороны, внешняя кривизна зависит от того, каким образом осуществлено это вложе-
вложение. „Внешняя" кривизна равна 0 в случае А и отлична от нуля в случае В.
Аналогичные понятия применимы в общей теории относительности, в которой за-
задача о начальных значениях имеет отношение к внутренней геометрии для пер-
первичного 3-пространств а о, а также к внешней кривизне этого 3-пространства
в окружающей 4-геометрии—геометрии, которая вначале совершенно неизвестна,
если не считать информации, содержащейся во внутренней и внешней кривизне
поверхностно, но которая восстанавливается однозначно из начальных данных со-
совместно с уравнениями поля Эйнштейна.
Быть может, уместно более наглядно обрисовать эту
ситуацию. Крылья автомобилей Форда штампуются из
листовой стали и — хотя они все одинаковы — посту-
поступают из прессового цеха на конвейер разным размет-
разметчикам, одни из которых наносят один тип координатной
сетки, другие — другой тип. Поэтому расстояния между
точками с координатами G, 11, 57) и G,01; 11,01; 57,01)]
на разных крыльях будут значительно отличаться, или,
иными словами, будут сильно различаться метрические
коэффициенты gmn. Однако внутренняя геометрия оче-
очевидным образом тождественна у всех крыльев. Чтобы
разобраться в этом пункте, можно воспользоваться стан-
стандартными математическими приемами для вычисления

Геометродинамика 77
инвариантов кривизны по метрическим коэффициентам.
Тогда из зависимости gmn от положения можно сразу же
заключить, не пользуясь какими-либо дополнительными
данными, что крылья с метриками, кажущимися столь
различными, на самом деле одинаковы. Те же самые
приемы послужат и для того, чтобы отличить крыло
автомобиля «Фиат» от крыла автомобиля «Форд».
Однако нет необходимости углубляться в рассмотрение
инвариантов кривизны, чтобы разобраться в том, сколь-
сколько из шести компонент C)gmn в точке существенны гео-
геометрически в случае 3-пространства а. Для этого доста'
точно заметить, что координаты и, v, w в 3-пространстве
не зависят от любого изменения переменных типа
и = и(и, -V, w),
v = <v(u, v, w), E6)
w — w(u, v, <w)
— трех величин на одну точку пространства. Таким об-
образом, метрические коэффициенты C)gmn дают всего
6 — 3 = 3 величины, характеризующие геометрию для
каждой точки пространства. Другими словами, 6 + 6 =
= 12 компонент <3>Рт„ и C)gmn совместно дают всего
лишь 12 — 3 = 9 существенных компонент в точке.
Для чего же служит эта геометрическая информа-
информация? Знание внутренней и внешней геометрии началь-
начальной поверхности о совместно с эйнштейновскими урав-
уравнениями поля дает возможность определить геометрию
близлежащей 3-поверхности а', а затем отсюда — гео-
геометрию следующей близлежащей 3-поверхности а"
и т. д. Таким образом, шаг за шагом неизвестная гео-
геометрия 4-пространства может быть определена, исходя
из начальных данных на поверхности о плюс из уравне-
уравнений поля. Этот прием является геометродинамическим
аналогом приема электродинамики, с помощью которого
восстанавливают всю историю поля по значениям е и h
на о. Здесь же мы восстанавливаем всю геометрию 4-про-
4-пространства.
Каждый набор начальных значений ведет к един-
единственной геометрии. 4-пространства; однако геометрия,

78 Глава I
удовлетворяющая уравнениям Эйнштейна — структур-
структурным законам пространства-времени, — не определяет
однозначным образом набор начальных значений. При-
Причина этого проста. Имеется колоссальный произвол в
выборе 3-поверхности с, которая, вообще говоря, яв-
является искривленной. Любой данный выбор соответ-
соответствует произвольному рассечению 4-пространства с по-
помощью кривого и волнистого лезвия на области «до»
поверхности о и «после» о. На этой поверхности C)gmn и
C)Рт„ задают девять геометрически существенных вели-
величин, причем все эти величины имеют определенные зна-
значения. Однако, если сечение произведено несколько
иначе, в результате будем иметь иную 3-поверхность </
и эти девять величин будут иметь несколько иные зна-
значения.
Расстояние по нормали от о до о* может быть пред-
представлено как интервал собственного ковремени, который
зависит от трех пространственных координат на о.
В этом смысле можно сказать, что для задания положе-
положения на 3-поверхности с' требуется одно число для ка-
каждой пространственной точки. Может существовать мно-
много разных способов установить это число. Но как бы ни
было установлено это число, в конце концов оно выво-
выводится указанным выше способом по 9 геометрически су-
существенным величинам, содержащимся в C)gmn и {3)Ртп
на поверхности d'.
Можно еще остановиться более детально на том, как
проводить различие между о и </. Зададим {3)gmn и
C)Ртпна о (плюс е и h) и вычислим из эйнштейновских
уравнений поля (плюс уравнения Максвелла в кривом
пространстве-времени) всю геометродинамическую исто-
историю («4-мерное крыло»). Зададим соответствующие
данные для d, повторим расчеты и получим новую
геометродинамическую историю, со всей ее историей
геонов, столкновениями между ними, электромагнитны-
электромагнитными и гравитационными волнами и их рассеяйием и вза-
взаимодействием. Сравним эти две истории, i. e. как бы
два 4-мерных «крыла». Если между ними есть несов-
несовпадение, то два альтернативных набора начальных зна-
значений относятся к различным физическим задачам, так
что на этом обсуждение заканчивается. Если же они

Геометродинамика 79
«согласуются», то два 4-пространства можно отожде-
отождествить одно с другим точка за точкой. Более того, если
отсутствуют необычные виды симметрии пространства,
это отождествление будет единственным: та точка в од-
одном 4-пространстве, в которой инвариант его кривизны
максимален, может быть отождествлена с точкой дру-
другого пространства, где такой же инвариант кривизны
также имеет максимум, и т. д. Таким образом, относи-
относительные положения о и о' в 4-пространстве определены;
это же можно сказать и относительно промежутка ме-
между ними.
Отсюда следует, что из девяти величин в {3)gmn и
C>Рт„, содержащих геометрическую информацию, одна
просто указывает, где находится данная поверхность,
а восемь служат только для отличия одной физической
ситуации от другой. Кроме того, соотношения для на-
начальных значений E3) и E4) накладывают четыре ус-
условия на каждую точку пространства. Таким образом,
остаются только 8 — 4 = 4 произвольные величины в
каждой точке пространства, которые действительно про-
произвольны при описании гравитационных степеней сво-
свободы, точно так же, как имеются четыре электромагнит-
электромагнитные степени свободы для каждой пространственной точ-
точки, что мы попытались показать1).
6.3. Число различных историй. В то время как урав-
уравнения Максвелла в заданном плоском пространстве-вре-
пространстве-времени могут иметь, выражаясь несколько вольным язы-
языком, число решений
/ЧислоЛ
Число значении, р
информация о которых!
может быть получена!
в одной точке j
/Число видов\
I информации I
■>\ в точке /
= оо*«\ E7)
уравнения геометродинамики, т. е. уравнения объединен-
объединенной теории гравитации и электромагнетизма, согласно
') Автор выражает признательность Ч. Мизнеру и Д. Шарпу
за обсуждение, которое существенно помогло установлению дайной
трактовки проблемы начальных значений.

80 Глава I
предыдущему обсуждению, имеют число решений
KomD = co***. "E8)
Начальные значения на 3-поверхности служат для вы-
выбора единственной из возможных историй ереди этого
множества решений; кроме того, задание этих началь-
начальных значений служит для выбора одной из 3-поверхно-
с'тей в выбранном таким образом 4-мерном простран-
пространственно-временном континууме.
Формулировка задачи с начальными значениями, ко-
которую мы обсуждаем, близка к привычной задаче дина-
динамики частицы с одной степенью свободы. В данный мо-
момент времени t достаточно задать координату х и им-
импульс р, чтобы предсказать все будущее и воспроизвести
все прошлое частицы. Здесь принято говорить о числе
динамических координат, равном только двум, несмо-
несмотря на тот факт, что в задаче фигурируют три числа.
Это происходит потому, что в другой момент времени
V другие значения координаты х' и импульса р' могут
быть заданы так, что получающаяся история будет той
же самой. Иными словами, имеется со2 возможных
историй, а не со3. Новая особенность геометродинамики
заключается в том, что трудно разбить каким-либо про-
простым способом аналоги этих трех чисел на два числа,
относящихся к динамическим переменным, и одно — от-
относящееся ко времени. Никто не нашел способа разде-
разделить
МНачальн.) _^°°3 /сс\\
1MD = СО E9)
различных вариантов начальных значений [все они со-
совместимы с уравнениями для начальных значений грави-
гравитационного и электромагнитного полей E3), E4) и
E2)] на два класса (табл. 5) таким образом, чтобы все
утверждения о начальных условиях, которые принадле-
принадлежат к одному и тому же классу, принадлежали бы и
к той же самой из
NQMD = 00800»
возможных историй. Выберем одну историю. Другими
словами, возьмем один большой класс задач с началь-

Геометродинамика 81
ными значениями. В этом классе две задачи с началь-
начальными значениями отличаются друг от друга тем, что они
соответствуют двум различным способам выреза 3-по-
верхности в 4-мерном континууме той же самой кри-
кривизны. Очевидно, что вся динамика гравитационного
поля и свободного от источников электромагнитного
поля объединяется в геометрию единого пространствен-
пространственно-временного континуума — в единую историю. Такое
объединение является также гораздо более компактным,
чем совокупность всех возможных 3-мерных срезов, ко-
которые являются совокупностями всех возможных задач
с начальными значениями, совместимыми с данной ис-
историей. В этом смысле можно сказать, что история бо-
более фундаментальна, чем любые начальные данные или
динамические уравнения. Тем не менее эти данные и
эти уравнения более привычны как рабочие аппараты
динамики, чем сама история.
6.4. Соотношения для начальных значений плюс кова-
ковариантность дают уравнения поля. Углубление понимания
соотношения между начальными данными и историей
следует из рассмотрения требований, которым должны
удовлетворять эти данные на 3-поверхности о. В случае
электромагнетизма эти требования (обращение в нуль
divh и dive) наиболее просто выписываются в ковари-
антной форме через тензор электромагнитного поля f^
и дуальный ему тензор -к/j,., соответственно в следую-
следующем виде:
ЬЬ + Ь^ (»а)
Т^^ ^О. F06)
Теперь левая часть соотношения F0а) является с точ-
точностью до множителя (—g)~l/2 временной компонентой
4-вектора V*. иначе говоря, компонентой V0 4-век-
тора V^, которая перпендикулярна 3-поверхности с.
Допустим, что поле f^4 и вектор V^, а также соотноше-
соотношение F0а) для начальных значений ковариантным обра-
образом преобразованы (в смысле тензорного исчисления).
Тогда в любой данной точке Р пространства-времени
соотношения для начальных значений F0а), должны
6 Зак. 3001,

Таблица I
Сравнение «одноповерхиостной» формулировки условий, требуемых для установления истории
с «двухповерхиостной» формулировкой
В данной таблице не приводится случай, когда одновременно рассматриваются электромагнитные
и гравитационные степени свободы (см. [20]).
Данные, требуемые
для выбора истории си-
системы («одиоповерхно-
стная» формулировка)
Число существенных
данных на точку про-
пространства
Являются ли подобные
величины произвольны-
произвольными?
Механика частицы
с одной степенью
свободы
х = х' и р = р'
при t — t'
3
Да
Свободное от источников электромагнитное
поле в
лоренцовом про-
странстве~времени
е = е' (х, у, z)
h = h'(jc, у, z)
при V
6
div e = 0
div h = 0
искривленном
пространстве-времени
/^ = /^ на ПР°"
страиственио-подоб-
иой поверхности
ха = ха (и, v, w)
7
div е = 0
div h = 0
Свободное
от источника грави-
гравитационное поле
C)gmn («■ v. w)
Mp'mn(u,v,w)L
6+6—3 2) = 9
Нет
Число условий на точ-
точку пространства . . . .
Число свободно зада-
задаваемых и существенных
данных в точке про-
пространства, требуемых
для решения задачи с
начальными данными
Уравнения движения
плюс данные, опреде-
определяющие историю .

Механика частицы
с одной степенью
свободы
Свободное от источников электромагнитное
поле в
лоренцовом про-
пространстве-времени
искривленном
пространстве-времени
Число различных
историй
Число различных ва-
вариантов выбора началь-
начальных данных
«Двухповерхностная»
формулировка дает
координаты и не дает
импульсы
Число данных на точ-
точку пространства, имею-
имеющих физическое значе-
значение
со»
СО
,4оо»
х = х' при t'
х = х" при t"
h' (х, у, г) при V
h" (х, у, г) при Т"
(/^поверх, на
х = х' (и, v, w) и
(/|«>)поверх. на
х = х" (и, г/, гг»)
2-3 = 6
Являются ли эти дан-
данные произвольными? . .
Число условий на точ-
точку пространства ....
Число произвольных
условий на точку про-
пространства
Число различных вы-
выборов начальных дан-
данных
Да
0
4
оо4
dlv h = 0
2-1=2
4
оо2+4со3
div h = 0
2-1=2
6
оо6оог

86 Глава /
быть пригодны не только на одной 3-поверхности о,
проходящей через эту точку, но и на каждой 3-поверх-
3-поверхности, проходящей через эту точку. Иными словами,
временная компонента вектора V* должна обращаться
в нуль не только в данной лоренцовой системе отсчета,
но и в каждой лоренцовой системе отсчета. Этому усло-
условию нельзя удовлетворить до тех пор, пока не обра-
обращаются в нуль все компоненты вектора V*. Другими
словами, одно условие F0а), наложенное на начальные
значения в типичной точке Р плюс принцип ковариант-
ковариантности требуют, чтобы в этой точке обращались в нуль
все четыре величины типа F0а):
или, более кратко,
Аналогичное соотношение можно записать для величин
типа F06)
L F1б)
Таким образом, из условий обращения дивергенции в
нуль и принципа ковариантности можно вывести все
уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Ди-
Динамические уравнения могут быть названы не больше и
не меньше как гарантией того, что соотношения dive =
= 0, div h = 0 будут выполнены на каждой 3-поверхно-
3-поверхности, проведенной через каждую точку Р пространства-
(^времени. В этом смысле вся теория свободного от источ-
\ никое электромагнитного поля сводится к единственному
: утверждению, что «силовые линии не имеют концов-».
u Если мы смогли сократить восемь уравнений Макс-
Максвелла до двух таких элементарных соотношений, то
уравнения общей теории относительности, тензорные по

Геометродинамика 87
своему характеру, можно редуцировать еще сильнее,
а именно свести десять уравнений к одному. Достаточно
заметить, что @0)-компонента тензора
^l F2)
будет обращаться в нуль в каждой системе отсчета,
чтобы гарантировать обращение в нуль каждой ком-
компоненты этого тензора в одной (и во всех) системах от-
отсчета. Это простое требование, аналогичное условиям
обращения дивергенции в нуль в электродинамике,
имеет вид
h), F3)
иными словами
х- ) — {
р) |
/ Инвариант «внутреиней» j ^
( кривизны любой 3-поверх- ) — { веохности ппохопяшей (~
W™, проходящей через р) | *%™™'Т™? j
-„ /Плотность энергии (см~2) электромагнитногоЧ
= loir[ поля в точке р на этод же 3-поверхности )•
Все уравнения поля в общей теории относительности мо-\
гут быть выведены из утверждения о том, что внутрен-]
няя кривизна минус внешняя кривизна равна плотности)
энергии.
Если сравнивать 4-мерное многообразие с автомо-
автомобильными крыльями, то соотношение F3) можно срав-
сравнить со специальным шаблоном, который используют
для проверки правильности изготовления крыла. Про-
Проверка будет полной только в том случае, когда шаблон
прикладывают к крылу всюду и по всем направле-
направлениям — с севера на юг, с запада на восток, и по всем
промежуточным направлениям. Аналогичным образом
простое условие F3) вместе с соотношениями div e = 0,
divh = 0 достаточно для проверки того, удовлетворяют
ли всем законам электродинамики и общей теории от-
относительности совместно произвольно заданная история
электромагнитного поля и метрическая история. Короче
говоря, уравнения для начальных значений дают урав-
уравнения движения без уравнений движения.

88 Глава Г
§ 7. Задание начальных условий по слоям
и свобода выбора топологии
7.1. Граничные условия для вариационного принципа.
Уравнения динамики чаще выводятся из вариационного
принципа, чем из соотношений для начальных значений.
Эти два способа вывода уравнений соответствуют двум
способам получения характеристических решений. Осо-
Особенности вариационного метода лучше всего напомнить
на примере частицы с одной степенью свободы. Нахо-
Находится экстремум интеграла
f L(x, х, t)dt F4)
при граничных условиях «послойного» типа:
х = хг при t = tu
, (bo)
X ^^ Л^2 При t — t^.
Эти условия определяют искомую историю. В противо-
противоположность этому, при «одновременной» формулировке
начальных значений задают координату, а также им-
импульс в данный момент времени t = t\. Соответственно
при одновременной формулировке электродинамики
роль координат играет магнитное поле Н, заданное на
начальной 3-мерной пространственно-подобной гиперпо-
гиперповерхности, а роль импульсов — электрическое поле Е.
Однако, применяя вариационный принцип к электроди-
электродинамике, вообще удобно рассматривать только магнитное
поле (или только вектор-потенциал), заданное на двух
пространственно-подобных гиперповерхностях. Соотно-
Соотношение между этими двумя подходами легче всего видеть
при переходе к пределу, когда два момента времени или
две поверхности весьма близки: At или AT = cAt. Тогда
задание х в оба момента времени эквивалентно заданию
х и dx/dt в один и тот же момент времени; иными сло-
словами, это эквивалентно заданию координаты и импуль-
импульса. Аналогично обстоит дело и в случае магнитного
поля.
7.2. Эквивалентность «послойной» и одновременндй
формулировок задачи с начальными значениями в гео*

Геометродинамика 89
метродинамике. В геометродинамике ситуация аналогич-
аналогична ситуации в электродинамике, что легче всего видеть
из рассмотрения специального случая, когда отсут-
отсутствует электромагнитное поле. Конфигурационными ко-
координатами в этом случае являются величины, которые
определяют внутреннюю 3-геометрию $ на начальной
3-мерной пространственно-подобной гиперповерхности.
(Все эти величины содержатся в 3-мерной метрике
(»)gmn, которая не зависит от выбора системы координат.)
Импульсы же являются числами, необходимыми для за-
задания внешней кривизны этого З-пространства в свобод-
свободной от координат формулировке. При «послойной» фор-
формулировке опять имеет смысл считать, что задаются
только координаты (т. е. только 3-геометрии $х и с?2)
для двух пространственно-подобных 3-поверхностей1).
В качестве проверки такой точки зрения Шарп рассмо-
рассмотрел случай близких 3-поверхностей; он пришел к вы-
выводу, что в этом случае «послойная» формулировка, как
и в электродинамике, во всех деталях эквивалентна одно-
одновременной формулировке. Конечно, вполне возможны
всякие неожиданности в случае, когда эти поверхности
достаточно удалены одна от другой. Если это не имеет
места, то в постановке задачи в геометродинамике мож-
можно обойтись отысканием 3-геометрии <£? и внешней кри-
кривизны Р лишь на одной поверхности, которые должны
быть согласованы друг с другом в смысле соотношения
для начальных условий F3). Вместо этого достаточно за-
задать совершенно свободно какие угодно две 3-геометрии
&i -а а?2\ тогда уравнения геометродинамики позволяют
строить из этих двух 3-геометрий 4-геометрию, определяя
при этом «расстояние» между двумя 3-поверхностями, а
также их внешнюю кривизну. Какая чрезвычайно про-
простая и красивая ситуация!
7.3. Тонкости учета времени в «послойных» данных.
При «послойной» формулировке задачи одной частицы
имело место четкое различие между временными коорди-
координатами t-i, t2 и конфигурационными координатами хи х2.
Здесь это не так. Достаточно задать геометрии <£?, и <^2
') Автор выражает признательность Д. Шарпу за сообщение
неопубликованных результатов по данной задаче, а также ему же
в проф. Ч. Мизнеру за весьма ценное обсуждение этой задачи.

90 Глава I
и ничего более, чтобы задать не только пространствен-
пространственную геометрию в эти два момента времени, но также и
указать, где находятся эти 3-мерные детали относи-
относительно друг друга н относительно всех иных деталей
пространства-времени, которое они определяют. Данные,
содержащиеся в <£?, и е?2, хотя и относятся к чисто про-
пространственно-подобным поверхностям, тем не менее
представляют собой неразрывную комбинацию инфор-
информации о пространстве-времени. Шарп, например, смог
ограничиться рассмотрением случая пары 3-поверхно-
стей, которые близки одна к другой, ограничиваясь слу-
случаем, когда обе 3-геометрии были почти одинаковыми.
В этом случае он смог вывести явное выражение для
временно-подобного расстояния между этими двумя
3-поверхностями.
7.4. Пересчет числа историй. Легко произвести еще
одну проверку согласованности данного анализа, если
снова подсчитать число различных историй (для просто-
простоты в частном случае отсутствия электромагнитного по-
поля). Для каждой пространственной точки на одной по-
поверхности число независимых данных равно
6(C>gmn) — 3 (свобода выбора 3-координат) = 3. F6)
Из этих трех данных два можно считать соответствующи-
соответствующими амплитуде гравитационных волн в двух различных со-
состояниях поляризации; любое изменение третьей приводит
к сдвигу данной окрестности на гиперповерхности вперед
либо назад по времени. Хотя анализ Фурье непригоден
в искривленном пространстве, следует напомнить для
связи с привычными образами, что задание амплитуд
поля осциллятора на двух параллельных пространствен-
пространственно-подобных поверхностях обычно бывает достаточным
для задания его амплитуды и положения в один и тот же
момент времени. Оценка числа различных историй, оче-
очевидно, с помощью данных или других аналогичных спо-
способов дает
ЛГграв.=оа»°°3. F7)
На этом подсчет заканчивается. Обратим внимание на
то, что совершенно невозможно сказать, какая из трех
величин, заданных для некоторой точки в <^ъ описы-
описывает время!

Геометродинамика 91
7.5. Связь с квантовой теорией. «Послойная» фор-
формулировка динамической задачи представляет значи-
значительный интерес вследствие того, что переменные, зада-
задаваемые на двух поверхностях, являются в точности теми
же переменными на одной поверхности, которые являют-
являются независимыми переменными волновой функции в кван-
квантовой механике:
ф(х, t) —для гармонического осциллятора;
ф(Я(л:), t) —для электромагнитного поля [соотноше-
[соотношение A2)];
— для чисто гравитационных возмуще-
возмущений1).
F8)
7.6. Какова свобода в выборе топологии? Близкая
связь двухповерхностной формулировки и квантовой тео-
теории поднимает вопрос, насколько общей может быть гео-
геометрия а?? Насколько широкий класс топологий следует
рассматривать? Чтобы глубже понять эту проблему,
быть может, имеет смысл обратиться к классической ва-
вариационной проблеме. Какова свобода выбора топологии
на двух сторонах &х и <^2 нашего «сэндвича»? Проф.
Ч. Мизнер информировал меня, что проф. Р. Том в рам-
рамках своей теории «кобордизма» доказал теорему, кото-
которая в несколько вольном изложении состоит в следую-
следующем. Задание любых двух несингулярных топологических
(не обязательно метрических) 3-пространств позволяет
построить между ними несингулярное топологическое
4-пространство. При этом нет необходимости в том, что-
чтобы топологии двух 3-пространств были одинаковыми.
Это обстоятельство наводит на мысль, что на обеих по-
поверхностях в классической геометродинамике можно вы-
выбрать какую угодно топологию. Это приводит к мысли,
что волновой функционал ф(е?) должен рассматриваться
определенным при всех топологиях.
§ 8. Новая топология, обнаруженная в старом решении.
Метрика Шварцшильда
8.1. Внешнее решение; его применение и максимальное
продолжение. Из всех следствий уравнений Эйнштейна
') Мы признательны проф. Б. де-Внтту, проф. Ч. Мизиеру и
Д- Шарпу за ценные дискуссии по этому третьему пункту. См. [12].

Таблица в
Некоторые предсказания общей теории относительност-и
Эффект
Отклонение
света, прохо-
проходящего около
Солнца
Гравитацион-
Гравитационное красное
смещение, пере-
пересчитанное на
эквивалентный
допплер-эф-
фект
Прецессия
перигелия ор-
орбиты (в секун-
секундах дуги в сто-
столетие)
Предсказание
1,751" для света, про-
проходящего у края диска
Солнца
Солнце (MQ, RG):
0,6 км/сек
40 EriB @,43 MQ,
0,016 RQ): A7±3) км/сек
Sirius В A,0 MQ,
0,008 RQ): 79 км /сек
Две точки на Земле,
разделенные по высоте
на 22,5 -m::Av/v=4,92- 10~16
Меркурий 43,03
Венера 8,63
Земля 3,84
Марс 1,35
Наблюдения
Имеется много наблю-
наблюдаемых значений откло-
отклонения '), из которых два
типичные значения, полу-
полученные в 1947 и 1952 гг.,
соответственно дают [38]
2,01" ±0,27 и 1,70" ±0,10
Слишком мало для на-
надежных измерений ввиду
значительных скоростей
потоков газов ([39]; см.,
однако, [40])
21 ± 4 км/сек [41] 2)
Неудобно для надеж-
надежных измерений [42] 2)
Измерено при исполь-
использовании эффекта Мёсс-
бауэра [44]: Ач/ч =
= E,13 ±0,51). КГ15
42,56 ± 0,94 3)
4,6 ± 2,7 3)

Геометродинамика
93
Продолжение
Эффект
Предсказание
Наблюдения
Динамиче-
Динамические эффекты
во Вселенной
Вселенная постоянной
кривизны будет расши-
расширяться и снова сжи-
сжиматься. Экстраполиро-
Экстраполированное время с начала
расширения будет пре-
превышать действительное
время в 1,5 раза. Оба эти
числа вместе допускают
предсказание нижней и
верхней границ сред-
средней плотности массы-
энергии во Вселенной
Расширение действи-
действительно наблюдается. Зна-
Значения двух соответствую-
соответствующих времен могут быть
определены лишь с точ-
точностью до множителя по
крайней мере 2. Никакая
убедительная проверка
согласия этого отноше-
отношения с предсказанием пока
что невозможна. Средняя
плотность массы-энергии
также слишком неопре-
неопределенна для убедительной
проверки теории 3)
') Прекрасную сводку наблюдений во время затмений Солнца и результатов
возможных уменьшений наблюдаемых значений см. в книге Мак-Витти [37].
s) Согласно Дж. Kynepj (как цитировано в книге Мак-Витти [37]), рассеянное
в земной атмосфере излучение, первоначально обязанное Sirius А, примешивается
к прямому излучению от Sirius В, что дает излучение с измененным красным
смешением, требующим поправки. Относительно белых карликов и дальнейшего
обсуждения см. в книге [43]. Автор выражает признательность проф. У. Бндел-
ману и проф. М. Шварцшнльду за обсуждение астрофизических доказательств.
а) Дальнейшее обсуждение см. в гл. V настоящей книги.
более всего известна формула Шварцшильда для интер-
интервала— решение в частном случае сферической симмет-
симметрии и в отсутствие электромагнитного поля:
x^eir
F9)
Из этого решения в области вне массы следуют три наи-
наиболее известных предсказания общей теории относитель-
относительности: гравитационное красное смещение, отклонение
света гравитационным полем Солнца, прецессия периге-
перигелия орбиты (табл.6).
Решение F5) иногда называют «внешним» решением
в отличие от другого решения, с которым оно сшивается

Глава I
и которое справедливо в области с ненулевой плотно-
плотностью «реальной» массы. Такое «внутреннее» решение
Т-оо
Т=2т*
Г=-со
Фиг. 10. Представление Крускала для шварцшильдовской метрики
в координатах и (пространственно-подобных) и v (временно-подобных).
Это представление имеет преимущество перед обычными координатами, поскольку
в нем отсутствует свойственная обычному представлению сингулярность при
Т=2т* и подчеркивается присущая задаче сингулярность при г=0. Крускал за-
записывает метрическую форму в виде
2/п*
:arcth
lav
. 32m*"
Я=——- exp [ —
=(Трансцендентная функция от и2—о
Нулевые геодезические проходят под углом ± 45°, Для конечной (и только для ко-
конечной) областн значений временной координаты v метрика свободна от какнх-лнбо
сигнулярностей. Геометрия пространства, неразрывно связанная с решением Шварц-
шильда, лучше всего видна при v=0. Пространственная часть метрики описывает
ива эвклидовых пространства, плавно переходящих одно в другое через рукав
|см. фиг. 11). Если ограничиваться только рассмотрением области г > 2т* в обыч-
обычном представлении шварцшнльдовской метрикн (заштрихованная область на схеме),
то это приведет к выбрасыванию большой и совершенно регулярной части простран-
ственно-временнбго многообразия, части, которая, кроме того, необходима для про-
прослеживания истории всех возможных геодезических линий.
имеет смысл рассматривать в некоторых приложениях.
Но более интересен здесь принципиальный вопрос: ка-

Геометродинамика 95
ковы следствия предположения о всюду пустом искри-
искривленном пространстве?
В отсутствие «реальных» масс требование сфериче-
сферической симметрии неизбежно приводит к метрике, которая,
допуская возможность преобразований координат, экви-
эквивалентна F9), что давно было показано Биркгофом. Та-
Такая метрика обладает неприятной особенностью: grr
становятся бесконечными, a gtt обращаются в нуль,
если г — 2т *. Однако многие авторы отметили, что син-
сингулярность при г = 2т * является лишь кажущейся.
Она возникает вследствие используемой системы коор-
координат, а не за счет чего-то сингулярного в самой
внутренней геометрии при г = 1т *. В этой точке все ве-
величины, которые описывают кривизну многообразия
инвариантным образом, являются конечными. Крускал '
показал, что существует система координат, в которой
метрика регулярна в какой-то начальный момент, если
судить по инвариантам кривизны, и остается регулярной
для конечного собственного времени в прошлом и буду-
будущем (фиг. 10). Эта метрика представляет собой макси*
шальное расширение метрики Шварцшильда: только та-
такое расширение пространства позволяет продолжить каж-
каждую геодезическую первоначальной области до тех пор,
пока она либо уйдет на бесконечность, либо войдет в
область (верхняя и нижняя гиперболы на фиг. 10, обо-
обозначенные г = 0), где внутренняя кривизна бесконечна.
8.2. Новая топология, включающая «ручку». Геомет-
Геометрия, к которой нас неотвратимо ведут эти рассуждения,
не имеет эвклидовой топологии. Вместо этого следует
представить картину, изображенную на фнг. 11. Мы ви-
видим не одно, а два эвклидовых пространства, соединен-
соединенных «мостом», если употребить терминологию Эйнштей-
Эйнштейна и Розена [49]. В качестве другой возможности можно
представить себе два листа как две различные части од-
одного и того же эвклидового пространства, в действитель-
действительности столь удаленных друг от друга, что никогда не
проявляется никакого их взаимного влияния через «на-
«наружное пространство». В таком случае соединение мо-
') См. [47]; эта работа в некоторых отношениях предвосхищена
Фронзделом [48], которому мы выражаем признательность за сооб-
сообщение результатов своей работы до ее опубликования.

96
Глава I
жет быть названо для наглядности «кротовой норой»1),
или, пользуясь принятым топологическим термином,
«ручкой». Если бы пространство было статическим, то
птица могла бы влететь в одну горловину и вылететь из
другой. Расстояние вдоль этой ручки от одной горлови-
горловины до другой не имеет какой-либо связи с расстоянием
Фиг. 11. Две интерпретации трехмерной „максимально расширен-
расширенной шварцшильдовской метрики" Крускала при ковремени Т = ct = 0.
Вверху. Связь в смысле Эйнштейна —Розена между двумя пространствами,
которые в других отношениях эвклидовы. Внизу. Ручка [28], связывающая две
области одного и того же эвклидова пространства, в предельном случае, когда
эти области чрезвычайно сильно удалены одна от другой, по сравнению с длиной
ручки.
в открытом пространстве между этими же самыми горло-
горловинами. Элементарной иллюстрацией этого будет лист
бумаги с малым отверстием в верхней половине листа
(это будет одна горловина) и с таким же отверстием в
нижней половине листа; затем согнем без изломов лист
так, чтобы обе «горловины» накладывались. В этом слу-
случае длина рукава нулевая, а внутренняя геометрия его
все еще осталась эвклидовой. В аналогичном этому
3-мерном случае птица пролетела бы почти мгновенно из
1) У автора используется термин «wormhole» (буквально «нора
червя»). Здесь и в дальнейшем мы будем пользоваться термином
«ручка», принятым в топологии, а также термином «рукав». —
Прим. ред,

Геометродинамика 97
одного места в другое, удаленное на мили, если изме-
измерять это расстояние в «верхнем пространстве». Однако
метрика Шварцшильда, которая кажется статической в
координатах соотношения F9), далеко не статическая в
координатах Крускала. Используя его координаты, мож-
можно доказать, что частице никогда не хватит времени для
того, чтобы пройти из достаточно удаленной точки верх-
верхнего пространства в достаточно удаленную точку ниж-
нижнего пространства. В этом смысле не возникает противо-
противоречий с элементарным понятием причинности.
8.3. Ручка допускает чисто геометрическое описание
задачи двух тел. Две удаленные друг от друга горлови-
горловины ручки имеют массу в том смысле, что метрика в ок-
окрестности каждой горловины имеет шварцшильдовский
характер аналогично метрике вблизи «реальной» массы.
В силу этого они должны испытывать ньютоновское при-
притяжение. Таким образом, ручка обеспечивает свободный
от сингулярностей и чисто геометрический вариант нью-
ньютоновской задачи двух одинаковых масс. Анализ типа
Эйнштейна — Инфельда — Гоффмана показывает, что эти
два «объекта» будут притягиваться друг к другу ожи-
ожидаемым образом просто как следствие уравнений поля
самих но себе. Иными словами, кривизна будет расти у
ближайших сторон горловин и уменьшаться у удаленных
сторон, так что две искривленные области будут сбли-
сближаться.
Только что описанная ситуация с двумя телами пред-
представляет собой типичную задачу чистой геометродина-
мики. Все прошлое и будущее определяется, если зада-
заданы соответствующие геометрические параметры на на-
начальной пространственно-подобной поверхности. Однако
начальные данные еще не определены! Они могут зада-
задаваться с гораздо большей степенью произвола, чем мож-
можно ожидать для 6 начальных координат и 6 начальных
импульсов в теории Ньютона. Смысл этого нетрудно по-
понять. Массы будут посылать гравитационные волны, по-
поскольку они ускоряются навстречу друг другу. Но грави-
гравитационное излучение может, и в общем случае будет уже
иметь место и циркулировать по пространству, как толь-
только массы начнут сближаться. Таким образом, имеется
неограниченное множество задач двух тел, подлежащих
7 Зак. 3001.

98 Глава I
анализу. Среди этого множества Мизнер [50] выбрал не-
некоторые задачи, которые оказались особенно простыми.
Он сформулировал для них точные самосогласованные
начальные данные. Дальнейший анализ одной из этих
задач и полный расчет всей судьбы ручки является ак-
актуальной задачей, подлежащей анализу, по-видимому, с
помощью электронной вычислительной машины.
§ 9. Заряд без заряда
9.1. Сохранение потока через ручку. Если наиболее
известные решения уравнений Эйнштейна заставляют
нас рассматривать понятие многосвязного пространства,
то к каким следствиям приведет многосвязность в при-
присутствии электромагнитного поля? Такой вопрос приво-
приводит непосредственно к классическому образу электриче-
электрического заряда [28].
Фиг. 12 иллюстрирует ситуацию, при которой элек-
электрические силовые линии проходят через ручку. Они
всюду удовлетворяют уравнениям Максвелла. Вследст-
Вследствие этого полный поток напряженности электрического
поля через горловину ручки не может меняться со
временем, причем не имеет значения, насколько нерегу-
нерегулярно электромагнитное поле или насколько сильно ис-
искривлено пространство и как изменяется со временем
размер горловин и удаленность их друг от друга, пока
не меняется топология1). Следовательно, этот поток
удовлетворяет закону сохранения электрического заряда
и может быть отождествлен с электрическим зарядом.
Обратим внимание на то, что здесь нигде нет какого-
либо «реального» заряда. Таким образом, имеем чисто
геометрическое описание электрического заряда с по-
помощью метрики и топологии искривленного пустого про-
пространства, или, короче говоря, заряд без заряда.
Заряд, изображенный на фиг. 12, является чисто
классическим типом заряда. Он не имеет какого-либо от-
отношения к квантованному заряду элементарных частиц,
для которого предполагается совершенно иное описание.
9.2. Геометродинамический «зоопарк». Итак, теперь
можно считать, что положено начало заселению «зооло-
') Эта теорема сформулирована Мизнером (см. [13]).

Геометродинамика- 99
гического сада» геометродинамики. В нем имеются те-
теперь: 1) электромагнитные волны, 2) электромагнитные
геоны, 3) гравитационные волны, 4) гравитационные ге-
оны, 5) незаряженные горловины ручек, которые дви-
Ф и г. 12. Символическое изображение классического электрического
заряда: ручка, через которую проходит электрический поток.
Наблюдателю, располагающему инструментами с низкой разрешающей силой, две
горловины представляются электрическими зарядами, равными по величине и про-
противоположными по знаку. С точки зрения 3-пространства наблюдатель обнаружит,
что силовые линии выходят нз отверстия, заполняя телесный угол 4и.
В другой области он обнаружит сходящиеся силовые линии, также заполняю-
заполняющие телесный угол 4тс. Он может построить ограничивающую замкнутую поверх-
поверхность вокруг правого заряда, определить поток через эту „границу", некорректным
образом применяя теорему Гаусса, и „вывести" отсюда, что внутри этой поверхности
находится заряд. Но это не граница. То, что ею охватывается, фигурально выра-
выражаясь, может войти в горловину ручки, пройти через рукав, выйти из другой гор-
горловины ручки и возвратиться через окружающее почти эвклидово пространство.
Силовые линии нигде не кончаются. Уравнения Максвелла нигде не теряют
силу. Нельзя указать, где находится некоторый заряд. Эта классическая модель
электрического заряца не имеет никакого непосредственного отношения к кванто-
квантованному заряду элементарных частиц. В данном случае имеется свобода выбора
потока через ручку, а также характера связи между двумя зарядами, совер-
совершенно чуждая зарядам в физике элементарных частиц (относительно мыслимой
модели элементарной частицы см. фиг. 17). Для большей наглядности число из-
измерений пространства на схеме сведено к двум; изображенное здесь третье изме-
измерение не имеет физического смысла—оио представляет собою лишнее измерение,
в которое для наглядности вложена эта поверхность.
жутся подобно нейтральным объектам (но имеют элек-
электрическую поляризуемость), 6) горловины, или ручки,со-
ручки,содержащие потоки, которые описывают заряды и которые
Движутся подобно заряженным объектам, и, наконец, 7)
объекты, которые составлены из объектов 1—6. Однако
ни одно из этих образований не имеет сколько-нибуд1-
"рямого отношения к элементарным частицам, наблю-
Даемым на опыте.
7*

100 Глава I
§ 10. О возможности уравнений без разумных решений?
10.1. Об алгоритме для построения всех решений.
Вообще говоря, нам не представляется исключенным, что
может быть найден путь, позволяющий строить и клас-
сифицировать все истории, являющиеся решениями урав-
уравнений Эйнштейна 1) в случае чистой гравитации и даже,
возможно, 2) в случае геометродинамики, т. е. объеди-
объединенной теории гравитации и электромагнитного поля без
источников. Но существуют ли вообще нетривиальные
решения, свободные от сингулярностей?
Иногда утверждают, что эти уравнения даже в слу-
случае чистой гравитации крайне сложны. В случае, когда
уравнения гравитации записываются в явном виде через
частные производные 1-го и 2-го порядков от g^ и об-
обратную ему матрицу, это утверждение действительно
оказывается справедливым. В этой форме уравнения яв-
являются явно нелинейными. Однако в другом смысле эти
уравнения крайне просты; из них лишь следует, что
4-мерное многообразие должно быть таким, чтобы в ка-
каждой точке Р и на каждой 3-поверхности, проходящей
через эту точку, выполнялось условие:
f Инвариант внутреннейЛ /Инвариант внешнейЛ
\ кривизны ) \ кривизны )'
Трудно представить себе какое-либо более изящное со-
соотношение, имеющее геометрическую интерпретацию,
чем G0).
Возможность нахождения простого алгоритма, позво-
позволяющего решить G0), представляется соблазнительной
также и потому, что существует другая знаменитая за-
задача, несколько аналогичная сформулированной здесь
(также существенно нелинейная), для которой такой ал-
алгоритм удалось найти.
Погрузим замкнутую проволочную рамку, изогнутую
произвольным образом, в мыльный раствор и вынем из
него, чтобы образовалась мыльная пленка, натянутая на
рамку. Пленка будет представлять собой минимальную
поверхность в силу минимальности энергии пленки, рав-
равной произведению поверхностного натяжения на поверх-
поверхность пленки. Уравнение такой поверхности известно;

Геометродинамика 101
оно имеет сугубо нелинейную форму и может, быть вы-
выражено через расстояния z от плоскости (х,у) и произ-
производные 1-го и 2-го порядков zx = dz/дх, zxx = d2z/dx2
и т. д.:
В пределе почти плоской поверхности это уравнение, по-
подобно уравнениям общей теории относительности, сводится
к обычному линейному уравнению (zxx + zyy = 0).
Тем не менее при решении G1) мы не пользуемся непо-
непосредственно ни упомянутым обстоятельством, ни каки-
какими-либо другими приближениями [51]1). Рассмотрим
вместо этого «какую-либо вещественную плоскую алгеб-
алгебраическую кривую С в плоскости s, t», s — s(k) и t =
= t(X) (являющуюся аналогом потенциальной кривой) и
построим абелевы интегралы:
2s
х = Re Г , ,s 2 It ds,
z=Re ftds.
Пусть число s, вещественное вначале, становится комп-
комплексным: s = а + /р (переход в комплексную плоскость).
Тогда вместо трех интегралов G2) получим три функ-
функции от двух параметров аир. Эти функции позволяют
получить параметрическое представление уравнения по-
поверхности, автоматически удовлетворяющее нелинейно-
нелинейному уравнению G1) при выполнении следующих условий
(Липман Берс):
') Относительно более ранних решений задачи о мыльной плен-
пленке— знаменитой задачи Плато см. [52]. Уравнение G1) представляет
собой один из нескольких способов записи уравнения при обра-
обращающейся в нуль сумме главных кривизн в некоторой точке: х =
= (l//?i) + A/«г) = 0, т. е. при нулевой полной внешней кривизне.
Здесь ^i и /?2 означают главные радиусы кривизны в данной точке
на поверхности. В отличие от этого общая геометрия имеет дело
с внутренними кривизнами 4-пространства, построенными из произ-
произведений типа A//?т^п), где Rm и Rn — главные радиусы кривизны.

102 Глава I
1) для каждой точки (s, t) на С из вещественности
5 следует вещественность t\
2) функции х(а, J3) и у (a, J5) однозначны на той ча-
чаF й С, р>0
) фу J ( J
сти F римановой поверхности С, где
Упомянутый результат теории минимальных поверх-
поверхностей позволяет построить модель весьма общих реше-
решений уравнений Эйнштейна. Мы исходим из произвольной
функции [в данном случае t = t(s)] и конструируем из
нее решение. Из свойств формализма, с помощью кото-
которого получается решение, можно сделать вывод о син-
гулярностях и других основных свойствах решения.
Оказывается, что единственные всюду регулярные
(для всех х и у) решения уравнений минимальных по-
поверхностей являются тривиальными и представляют со-
собой плоскости: z — С\Х + сгу. Эта изящная теорема, до-
доказанная С. Н. Бернштейном, является аналогом извест-
известной теоремы, которая заключается в том, что уравнение
Лапласа
ЧЦ = О G3)
нигде не имеет никаких регулярных конечных решений
при всех значениях х, у и z, кроме тривиального ф =
= const. В связи с этими теоремами возникает глубокий
и важный вопрос. Существуют ли всюду регулярные ре-
решения уравнений Эйнштейна, отличные от тривиального
решения, соответствующего плоскому пространству-вре-
пространству-времени? Хотя в настоящее время окончательного ответа
на этот вопрос не существует, можно привести некото-
некоторые рассуждения, касающиеся этого вопроса.
10.2. Регулярная метрика Крускала — Шварцшильда
.становится в конечном счете сингулярной. Наиболее из-
известный случай решения геометродинамических уравне-
уравнений в отсутствие электромагнитного поля описывается
метрикой Шварцшильда F9). Если перейти к координа-
координатам Крускала при v = 0, геометрия 3-мерного простран-
пространства будет всюду регулярной. Более того, она остается
регулярной для конечного интервала собственного вре-
времени в будущем и прошлом. Однако по прошествии ко-
конечного промежутка собственного времени инварианты
кривизны обращаются в бесконечность в связи с особен-
особенностью в точке г— 0 в F8). Кроме того, такая интерпре-

■Геометродинамика 103
тация решения Шварцшильда является единственно воз-
возможной в там смысле, что она основана на полной инфор-
информации о траекториях световых лучей и элементарных ча-
частиц. Любая несингулярная координатная система долж-
должна описывать то же явление. Другими словами, решение,
которое ранее считалось регулярным во времени и син-
сингулярным в пространстве, оказывается при более тща-
тщательном рассмотрении регулярным в пространстве в на-
начальный момент, но по существу сингулярным по исте-
истечении определенного промежутка собственного времени.
Это согласуется с упомянутым отсутствием нетривиаль-
нетривиальных сингулярных решений.
10.3. Сингулярность геодезических координат не озна-
означает еще сингулярности геометрии. В работах Райчауд-
хури [53] и Комара [54] исследовалась более общая за-
задача. Они рассматривали произвольную начальную ги-
гиперповерхность о в 4-мериом многообразии, удовлетво-
удовлетворяющую уравнениям общей теории относительности.
Рассмотрение проводилось в произвольной координатной
системе и, о, до в этом трехмерном пространстве. На пе-
пересечениях координатных поверхностей помещались бес-
бесконечно малые пробные тела. Затем прослеживались
траектории этих тел с течением времени, определялось
протекшее собственное время при движении тела вдоль
траектории, которое использовалось в качестве времен-
временной координаты. Пользуясь языком геометрии, можно
сказать, что эти авторы анализировали 4-мерное прост-
пространство с помощью семейства геодезически параллель-
параллельных пространственно-подобных гиперповерхностей. Ис-
Исходя из эйнштейновских уравнений поля, они показали,
что эти гиперповерхности становятся сингулярными по
истечении конечного промежутка времени в одной из
областей светового конуса в будущем или в прошлом
(но не обязательно одновременно в будушем и в прош-
прошлом), если исходное пространство не является плоским
,и не свободно от наличия концентраций массы-энергии.
Отсюда естественно было бы сделать вывод об отсутст-
отсутствии регулярных решений, за исключением тривиального
решения для плоского пространства-времени точно так
Же, как делается вывод об отсутствии несингулярных ре-
решений уравнений для минимальных поверхностей, за ис-

104 Глава I
ключением решений, описывающих плоские поверхности.
Однако Комар подчеркивает, что сингулярной, вообще
говоря, становится не обязательно внутренняя геомет-
геометрия, а лишь представление геометрии через семейство
геодезически параллельных пространственно-подобных
гиперповерхностей.
10.4. Пример: гравитационные волны, симметричные
по времени и регулярные во всех точках пространства и
(предположительно) времени. Представляется разумным
предположить в качестве гипотезы, что действительно
существуют решения уравнений геометродинамики,
асимптотически плоские на бесконечности, регулярные во
все моменты времени и переносящие энергию. Несмотря
на регулярность такого решения в любом временном ин-
интервале, возможно лишь сингулярное представление ре-
решения с помощью семейства геодезически параллельных
пространственно-подобных гиперповерхностей. Рассмо-
Рассмотрим в качестве простого примера гравитационную вол-
волну, приходящую издалека в пространство, до этого
плоское, достигающую состояния максимальной кон-
концентрации и снова расходящуюся со скоростью света.
Предположим, что это решение обладает временной сим-
симметрией [55] в том смысле, что существует такая коор-
координатная система, в которой метрика имеет следующие
свойства:
«ооG1. х, у, z) = goo(—T, х, у, г),
8м = «ом (Т, х, у, z) = — gOm (— Т, х, у, г), G4)
gmn(T> X, у, Z) = gmn(—T, X, у, Z).
Тогда достаточно знать лишь внутреннюю 3-мерную гео-
геометрию в 3-мерном пространстве, обладающем времен-
временной симметрией относительно Т = 0, чтобы полностью
определить метрику и внутреннюю геометрию 4-мерного
многообразия в прошлом и в будущем. Таким образом,
для этой специальной гиперповерхности внешняя кривиз-
кривизна, заданная путем погружения в окружающее 4-мерное
пространство, равна нулю

Геометродинамика 105
Полученное значение внешней кривизны автоматически
удовлетворяет трем из четырех соотношений [E3) и
E4)], которые приходится конкретизировать с помощью
начальных условий. Для удовлетворения четвертого ус-
условия достаточно потребовать равенства нулю внутрен-
внутренней кривизны гиперповерхности, на которой имеет место
временная симметрия:
C)/? = 0. G6)
Подсчет степеней свободы не представляет трудностей.
В нашем распоряжении имеется 6 компонент метриче-
метрического тензора на каждую пространственную точку гипер-
гиперповерхности Т = 0. Однако тремя координатами мы мо-
можем свободно распоряжаться, так что имеется 6 — 3 = 3
внутренних геометрических параметра на пространствен-
пространственную точку. Кроме того, они должны удовлетворять одно-
одному условию G6) на пространственную точку. Поэтому
окончательно мы имеем два независимых параметра на
пространственную точку.
Гравитационная волна, обладающая временной сим-
симметрией, аналогична электромагнитному полю, удовлет-
удовлетворяющему условиям временной симметрии:
еG\ х, у, 2) = — е(— Т, х, у, z),
hG\ х, у, z)=h(T,x,y, z). G7>
Электрическое поле тождественно обращается в нуль в
момент времени, относительно которого имеет место сим-
симметрия. Магнитное поле, подчиняющееся условию
div h = 0, имеет лишь две независимые компоненты в ка-
каждой точке пространства. На языке анализа Фурье мож-
можно сказать: 1) в пространстве волновых чисел возможны
два состояния поляризации на каждую точку простран-
пространства; 2) каждому состоянию поляризации соответствует
осциллятор; 3) каждый осциллятор обладает одной ко-
координатой и одним импульсом, но 4) в момент времени, от-
относительно которого имеет место симметрия, все импульсы
обращаются в нуль в частном случае поля, обладающего
временной симметрией. В этом случае обычные четыре не-
независимые величины в каждой точке сводятся к двум.
10.5. Распределение эффективной энергии в случае-
гравитационной волны. Бриль развил метод построения.

106 Глава 1
всюду регулярной 3-мерной метрики, удовлетворяющей
условию G6), которая ввиду этого может быть исполь-
использована в качестве начальных условий для гравитацион-
вой волны [56] (см. также [57]). Он ограничился случаем,
когда З-'мерное пространство обладает аксиальной сим-
симметрией. При этом метрику он записывает в форме, пред-
предложенной Бонд и:
ds2 = f(P, z){exp[2lql(P, z)](dP2-\-dz2) + p2df). G8)
Здесь множитель <?i(P» z) может быть качественно
интерпретирован как распределение эффективной энер-
энергии гравитационного поля в момент временной сим-
симметрии. Рассматриваются лишь такие распределения qx,
которые равны нулю вне сферы конечного радиуса:
. G9)
Величина X определяет напряженность поля в гравита-
гравитационной волне. Одна свободная переменная, которая
остается на точку пространства [т. е. на точку в мери-
меридиональной плоскости (р, z)], в случае аксиальной сим-
симметрии сводится к функции X<7j(p, z). Множитель ф
не является произвольным и определяется начальным
условием равенства нулю внутренней кривизны: C)/?=0,
принимающим вид
1 д
T YdPr+"а?
или, более кратко,
^Ф + тГ^ОФ-О. (80)
Качественно можно считать, что множитель ф описывает
гравитационное поле, обусловленное распределением эф<
фективной массы-энергии в гравитационной волне, при-
причем само распределение описывается функцией kqi(p,z).
Можно думать, что уравнение (80) допускает беско-
бесконечное число решений для множителя ф. Однако реше-
решения, которые ограничены на конечных расстояниях,
имеют, как правило, узлы на конечных расстояниях или
же обращаются в бесконечность на больших расстоя-
расстояниях, В обоих случаях им соответствуют внутренние син-

Геометродинамика 107
гулярные 3-геометрии. Трехмерная геометрия только то-
тогда свободна от сингулярностей и описывает локальную
концентрацию энергии в асимптотически плоском про-
пространстве, если 1) множитель ф имеет асимптотическую
форму
1 [ ^] (81)
и 2) напряженность X в распределении q(p,z) = Xq не
превышает определенного критического предела X = Xt.
Согласно Брилю, для каждого положительного значения
К, не превышающего критического предела, существует
одно и только одно регулярное решение ф(р, z), удовле-
удовлетворяющее требованию (81). Это решение описывает ло-
локализованную гравитационную волну с массой-энергией,
равной ш* (см) или (c2/G)m* — m(g).
10.6. Сходящаяся и вновь расходящаяся гравитацион-
гравитационная волна, регулярная для всех моментов времени. Этот
род гравитационной волны чрезвычайно близок сходя-
сходящимся электромагнитным волнам, обладающим времен-
временной симметрией, которые при этом достигают конфигу-
конфигурации с максимальной плотностью энергии, как бы под-
подходя к фокусу линзы с апертурой, превышающей 2и,
после чего уходят в бесконечность. Не существует схо-
сходящейся электромагнитной волны с постоянной интен-
интенсивностью в полном телесном угле, равном 4тг, и невоз-
невозможно построить поле векторов поляризации, равных по
модулю на поверхности единичной сферы, не вводя при
этом сингулярности. Точно так же не существует строго
сферически симметричных гравитационных волн. Тем не
менее существуют решения задачи с начальными усло-
условиями, обладающие в случае гравитационных, а также
электромагнитных волн почти сферической симметрией;
поэтому есть основания полагать, что, задаваясь тем или
иным произвольным решением в момент временной сим-
симметрии, мы приходим к гравитационным волнам, с тече-
течением времени затухающим подобно электромагнитным
волнам (фиг. 13). Другими словами, представляется
естественным предположить, что существуют регуляр-
регулярные, но нетривиальные пространственно-временные мно-
многообразия, описываемые уравнениями Эйнштейна для

Сходящаяся аравитоционная волна
4
,
Новее расширение
i I *
Максимум апатия
f
Волны различных интенсивностеп, сравниваемые в момент
симметрии времени
Фиг. 13. Сходящаяся и расходящаяся гравитационные волны.
Вверху приведена качественная схема гравитационной волны, приходящей
издалека, достигающей стадии максимального сжатия в момент временной
симметрии и затем распространяющейся во внешнее пространство. В центре
приведена качественная диаграмма, иллюстрирующая изменение метрики со
временем при сжатии и расширении гравитационной волны, причем показан
шварцшильдовский характер асимптотического приближения к плоскому про-
пространству на больших расстояниях. Масса, связанная с этой асимптотикой (по-

Геометродинамика 109
гравитационных волн без источников, в случае если про-
пространство является асимптотически плоским.
Можно думать, что доказанное математически Бри-
лем существование гравитационных волн, симметричных
по времени и, по-видимому, несущих конечную энергию,
регулярных в прошлом и будущем, не будет нарушать
в силу упомянутой регулярности решений теорему Рай-
чаудхури и Комара. Чтобы исследовать этот вопрос,
рассмотрим сферическую группу пробных тел с центром
в точке схождения волны, покоящихся задолго до при-
прихода волны. Что же случится с частицами после того,
как волна придет, снова начнет расходиться и уйдет,
оставив пространство в окрестности частиц таким же
плоским, как и до ее прихода? Частицы приобретут ско-
скорости, хотя и небольшие, но конечные и притом не оди-
одинаковые по величине и направлению1). В результате
сфера постепенно изменит форму и станет сингулярной
поверхностью. Геометрически это означает, что геодезиче-
геодезические линии, нормальные 3-мерной гиперсфере в далеком
прошлом (вместе с семейством последовательно распо-
расположенных геодезически параллельных поверхностей, пер-
перпендикулярных упомянутым геодезическим), в конце
концов образуют сингулярное многообразие. Однако от-
отсюда вовсе не следует наличие какой-либо внутренней
сингулярности в геометрии пространства-времени.
Мы видим, что имеются несингулярные решения урав-
уравнений геометродинамики для гравитационных волн, ко-
') Относительно исследования поведения пробных частиц в ана-
аналогичном случае цилиндрической гравитационной волны см. [55].
рядка 1/г), не меняется в течение всего процесса. Внизу дается более детальная
схема волны в момент временной симметрии. Сегмент, вырезанный в этот момент
в 4-пространстве, имеет собственную характерную трехмерную геометрию. Типич-
Типичная компонента метрики, связанной с этой трехмерной геометрией, тем более
Отлична от единицы, чем больше напряженность гравитационной волны в данный
Момент (здесь мы имеем дело с различными задачами, а не с одной задачей в раз-
Иые моменты времени).
При некотором критическом значении напряженности гравитационной волны
пространство искривляется настолько, что становится замкнутым, причем при уве-
увеличении напряженности метрика становится сингулярной и перестает быть при-
приемлемой. При критическом же значении напряженности трехмерная геометрия всюду
Вполне регулярна и сохраняет регулярность в течение конечного промежутка соб-
собственного времени. Однако высказывается предположение, что при изменении
метрики замкнутого пространства со временем в ней непременно появится
сингулярность независимо от первоначального выбора метрики.

ПО Глава 1
торые являются нетривиальными, в то время как каждое
несингулярное решение при отсутствии граничных усло-
условий уравнений для мыльной пленки является тривиаль-
тривиальным и соответствует плоскости. Подобное обстоятельство
на первый взгляд несколько ослабляет параллелизм ме-
между этими двумя задачами. Сходство, однако, вновь вы-
выступает особенно ярко, если ограничиться решениями
уравнений геометродинамики, соответствующими много-
многообразиям, замкнутым в пространстве. В этом случае
можно привести веские доводы в пользу утверждения,
что внутренняя геометрия всегда становится сингуляр-
сингулярной в пределах определенного промежутка собственного
времени.
10.7. Замкнутая Вселенная в общей теории относи-
относительности Эйнштейна. Эйнштейн приводит следующие
доводы в пользу концепции Вселенной, ограниченной в
пространстве [58].
1) «С точки зрения общей теории относительности,
условие для замкнутой поверхности много проще соот-
соответствующих краевых условий на бесконечности при на-
наличии квазиэвклидовой структуры Вселенной».
2) «Принцип Маха, утверждающий, что инерция за-
зависит от взаимодействия тел, содержится в первом при-
приближении в уравнениях теории относительности, из кото-
которых следует, что инерция зависит, по крайней мере ча-
частично, от взаимодействия между массами. Поскольку
предположение о том, что инерция обусловлена частично
взаимодействием масс, а частично независимым свойст-
свойством пространства, является неудовлетворительным, то
принцип Маха выигрывает в правдоподобии. Но эта
идея Маха соответствует только конечной Вселенной,
ограниченной в пространстве, и ни в коем случае не со-
соответствует бесконечной, квазиэвклидовой Вселенной.
Поэтому, с гносеологической точки зрения, более удо-
удовлетворительно считать, что механические свойства про-
пространства полностью определяются материей, а это
имеет место только в случае пространственно-ограничен-
пространственно-ограниченной Вселенной».
10.8. Сферическая Вселенная расширяется и снова
сжимается. Чтобы получить некоторое представление о
геометродинамике 4-мерного многообразия, ограничен-

Геометродинамика 111
ного в пространстве, полезно рассмотреть известную в
космологии идеализированную сферически симметрич-
симметричную Вселенную. В наши дни ситуация в этой задаче
много проще, чем во времена Эйнштейна, который иссле-
исследовал в своей работе устойчивость Вселенной, равномер-
равномерно заполненной пылью. При этом оказалось, что рассма-
рассматриваемая система не остается в состоянии покоя и нач-
начнет сжиматься. Иными словами, сферически симметрич-
симметричная Вселенная, подобно совокупности разбросанных,
взаимно притягивающихся камней, должна будет либо
расширяться, либо сжиматься, но никогда не окажется
статической.
В те времена этот вывод казался настолько абсурд-
абсурдным, что Эйнштейну позднее пришлось ввести в уравне-
уравнения поля искусственное отрицательное давление, или
«космологический член», чтобы уравнения поля давали
статическую Вселенную. Позднее Хаббл показал, что
красное смещение спектральных линий свидетельствует
в пользу расширяющейся Вселенной, предложенной Фрид-
Фридманом. Эти наблюдения могли бы рассматриваться в ка-
качестве четвертого экспериментального обоснования общей
теории относительности (превосходящего по важности
эффект отклонения лучей света звезд, проходящих вблизи
Солнца, прецессию орбиты Меркурия и гравитационное
красное смещение), если бы первоначальные предсказа-
предсказания теории относительности были сделаны достаточно
уверенно.
После того как Хабблом и другими было установлено
существование красного смещения, почти пропорцио-
пропорционального расстоянию между наблюдателем и изучающей
галактикой, Эйнштейн отказался от космологического
члена как математически искусственного и физически
неоправданного. Уравнения геометродинамики без этого
добавочного члена соответствуют именно тому, что ныне
обычно понимается под термином «общая теория отно-
относительности». В период 20-х и начала 30-х годов под
этим термином понималось нечто другое. Это был период
интенсивного исследования различных космологических
Моделей Вселенной, зависящих от выбора значения «кос-
«космологической постоянной». В наши дни дело обстоит
*Ш проще.

112 Глава I
10.9. Динамика, однозначно заданная уравнением со~
стояния. Если исходить из уравнений Эйнштейна в их
первоначальной простой форме и принять в качестве
удобной идеализации доводы Эйнштейна в пользу замк-
замкнутости и сферической симметрии Вселенной, то дина-
динамика расширения и повторного сжатия Вселенной одно-
однозначно определяется уравнением состояния источника
энергии-массы, заполняющей пространство. Обозначим
через а радиус кривизны, а через Т= ct — ковремя, про-
прошедшее с начала расширения. Расстояние, пройденное
фотоном за короткий интервал времени, будучи разде-
разделено на радиус кривизны в тот же момент времени, дает
угловой параметр т), пригодный для измерения времени,
который произвольно приравнивается нулю в момент на-
начала расширения:
di] = a~1d (расстояние в 3-пространстве). (82)
Тогда начальные условия на последовательных простран-
пространственно-подобных поверхностях
, /'Инвариант внутренней\
— (Инвариант внешней кривизны) -\- у кривизны ) =3
= const • (Плотность энергии) (83)
принимают вид
3 [( da \2 , Л 8яО ,о..
-аТ[\-^) +а J=~^- * (Плотность энергии). (84)
Уравнение состояния описывает изменение давления
и плотности при адиабатическом расширении и повтор-
повторном сжатии [59]:
3 da . d (Плотность энергии) „ /rc\
а ' (Плотность энергии + Давление) ' ^ '
Система уравнений (82), (84) и (85) полностью описы-
описывает динамику этого процесса.
Из любого уравнения состояния следует наличие
давления, лежащего между двумя крайними случаями:
между нулевым давлением («модель Вселенной, равно-
равномерно заполненной пылью») и максимальным давлением
(«Вселенная, заполненная излучением»).
В этих двух случаях уравнения имеют следующие
точные решения:

Геометродинамика 113
а) Вселенная Фридмана. Пыль. Нулевое давление:
Т = -н- а0 (г} — sin у]),
1 (86)
а (Т) = -g- а0 A — cos 73).
Эти уравнения представляют собой уравнения циклоиды
в параметрической форме, причем 0 <tj < 2u. Фотон как
раз успевает обойти сферическое пространство и вер-
вернуться снова в точку с исходными угловыми координа-
координатами в сферическом пространстве в течение всего вре-
времени расширения и повторного сжатия. В момент макси-
максимального расширения масса Вселенной связана с радиу-
радиусом кривизны Со соотношением
М = ^а. (87)
Величина, остающаяся постоянной при расширении Все-
Вселенной, аналогична сумме энергии покоя, кинетической
энергии и потенциальной энергии данной системы:
= 0. (88)
Однако величина, определяемая левой частью уравнения
(аналогичная полной энергии Вселенной), не является
произвольной константой интегрирования. Иначе говоря,
невозможно придать замкнутой Вселенной достаточно
большую энергию, чтобы она расширялась безгранично.
В этом отношении аналогия между динамикой Вселен-
Вселенной и движением системы разбросанных камней, испы-
испытывающих взаимное гравитационное притяжеиие, уже не
имеет места.
б) Вселенная Толмена, заполнен-ная излучением. Дав-
Давление равно Уз плотности энергии:
T=aQ(\ — cos?}),
a(T) = aosinrl. (89)
Эти уравнения задают окружность, на которой пара-
параметр т) пробегает значение от 0 до it. В течение времени
сжатия и повторного расширения фотон как раз успе-
успевает достигнуть противоположной точки 3-мерной сферы.
10.10. Гипотеза: каждая замкнутая метрика со вре-
временем становится сингулярной. Эти два предельных слу-

114
Глава I
Фиг. 14. Схематическое
изображение поведения
пузырька воздуха под
водой, сжимающегося до
минимального объема и
вновь расширяющегося.
Схема построена на основе
фотографий таких пузырьков,
приведенных в книге Коу-
ла [60]. Законно ли предполо-
предположить, что это дает схемати-
схематическое представление о пове-
поведении замкнутой Вселенной
вблизи стадии максимального
сжатия? Приводит ли числен-
численное интегрирование уравнений
геометродннамикн методом
последовательных шагов к пе-
переходу через эту фазу благо-
благодаря метрике, всегда Свободной
от сингулярности? В тексте
разбирается соображение, со-
согласно которому такое одно-
однозначно определенное продол-
продолжение начальных условий
никогда не может быть сво-
свободно от еннгулярностей.
чая столь подробно исследованы
нами здесь потому, что они при-
приводят по прошествии некоторого
конечного промежутка собствен-
собственного времени к истинной сингу-
сингулярности во внутренней геомет-
геометрии 3-мерного пространства. По-
видимому, то же самое имеет ме-
место для каждого промежуточного
уравнения состояния. Эта ситуа-
ситуация напоминает гипотезу, что для
любой замкнутой Вселенной,
имеющей топологию 3-сферы и
подчиняющейся уравнениям гео-
метродинамики, всегда имеются
геодезические траектории проб-
пробной частицы, которые не могут
быть бесконечно продолжены, по-
поскольку в конце концов они до-
достигают области с сингулярной
метрикой.
Этот вывод о внутренней син-
сингулярности решений, соответ-
соответствующих замкнутому простран-
пространству, заслуживает более глубо-
глубокого рассмотрения ввиду того об-
обстоятельства, что появление син-
гулярностей, возможно, связано
с необоснованным использова-
использованием понятия уравнений состоя-
состояния в теории Фридмана и Толмена.
С точки зрения микроанализа ни
пыль, ни радиация не являются
однородными. Как можно пока-
показать, масштаб неоднородностей
мог бы выбираться в качестве
минимального расстояния, с точ-
точностью до которого процесс по-
повторного сжатия происходил бы
в соответствии с предсказанием
теории. Можно предположить, что

Геометродинамика 115
после этого динамическая картина в основном пройдет
эволюцию, знакомую нам по поведению пузырьков в воде.
При сжатии такого объекта (фиг. 14) образуются рога
и пики. В результате обращение движения происходит
не везде в одно и то же время, но в разные моменты вре-
времени в разных местах, подобно тому как можно вывора-
выворачивать перчатку наизнанку палец за пальцем. Возмож-
Возможность более детального описания процесса вовсе не озна-
означает, что гидродинамический цикл свободен от сингуляр-
ностей. Кавитация, являющаяся одним из наиболее син-
сингулярных гидродинамических явлений, по-видимому,
имеет место во время последовательных циклов макси-
максимального сжатия в подводных пузырьках, образованных
сильным взрывом (см. [60]). Поскольку эта гидро-
гидродинамическая модель может служить для некоторой
ориентации в вопросе о том, что можно ожидать от ре-
решения уравнений Эйнштейна, она наводит на мысль, что
каждое решение проблемы надлежащим образом замк-
замкнутой Вселенной приводит где-либо к сингулярности по
прошествии конечного интервала собственного времени.
Очевидно, можно говорить лишь о степени правдоподо-
правдоподобия этого предположения. В пользу последнего говорят:
1) несколько односторонняя аналогия с теорией мини-
минимальных поверхностей (табл. 7), 2) наблюдаемые неста-
нестабильности при сжатии подводных пузырьков, 3) сходные
нестабильности, возникающие при сжатии почти сфери-
сферической релятивистской Вселенной, заполненной пылью,
в момент приближения к стадии максимального сжатия
[61] и 4) анализ динамики Вселенной, полностью замкну-
замкнутой благодаря содержащемуся в ней чисто гравитацион-
гравитационному излучению (неопубликованные работы Д. Бриля).
Бриль исследует частный случай Вселенной, допу-
допускающей симметрию в некоторый момент времени и акси-
аксиальную симметрию [см. соотношение G8) — (81)]. Им
было доказано существование замкнутых 3-мерных про-
пространств, удовлетворяющих начальным условиям
3R = 0 (90)
и свободных от сингулярности. Упомянутые начальные
условия могут быть без появления сингулярности про-

Таблица 7
Аналогня между теорией минимальиых поверхностей
и решениями уравнений Эйнштейна для свободного
от источников поля
Теорема Берн-
штейна о мини-
минимальных
поверхностях
Каждая не-
нетривиальная
(неплоская)
минимальная
поверхность
обладает син-
сингулярностью
Предварительная формулировка
аналогичного утверждения
относительно уравнений
Эйнштейна
1. Каждое неплоское
решение имеет где-либо
сингулярность
2. Каждое решение,
не являющееся асимпто-
асимптотически плоским, обла-
обладает где-либо сингу-
сингулярностью
3. Каждое решение,
описывающее замкнутое
пространство, иногда
становится сингулярным
Предварительное суждение
об этой формулировке
1. Неверно. Отметим ре-
регулярное поведение сла-
слабой симметричной во вре-
времени гравитационной
волны в асимптотически
плоском пространстве
2. Неверно. Следует
учесть бесконечную пло-
плоскую волну (Бонди, Ро-
Розен, Робинсон, Пенроуз,
Такено, Компанеец)
3. Неверно. Рассмотрим
3-мерный куб в плоском
3-пространстве и отожде-
отождествим топологически
противоположные грани.
получив, таким образом.
замкнутое пространство
с топологией 3-тора.
Будучи плоской, метри-
метрика не меняется со вре-
временем и, следовательно.
не возникает никакой
сингулярности

Геометродинамика
117
Продолжение
Теорема Берн-
штейна о мини-
минимальных
поверхностях
Пробная формулировка
аналогичного утверждения
относительно уравнений
Эйнштейна
Предварительное суждение
об этой формулировке
Каждая не-
нетривиальная
(неплоская)
минимальная
поверхность
обладает син-
сингулярностью
4. Каждое решение,
описывающее «надле-
«надлежащим образом замкну-
замкнутое» пространство, в не-
некоторый момент стано-
становится сингулярным. По-
Понятие «надлежащим об-
образом замкнутое» пока
не может быть точно
определено. Для более
точного определения,
по-видимому, потре-
потребуется исследование
принципа Маха
4. Предположение на-
настоящей работы. Понятие
«надлежащим образом
замкнутого» простран-
пространства включает топологию
3-сферы [(топология
2-сферы) X (топология
окружности)] и целый
класс связанных тополо-
топологий; при этом исклю-
исключается топология эвкли-
эвклидова 3-пространства, то-
топология 3-тора и, воз-
возможно, другие топологии
должены на конечный промежуток времени в будущее и
прошлое, согласно работам Лишнеровица [62] и Фурес-
Брюа [63], посвященным задаче Коши в общей теории
относительности. Поскольку динамика действует в любом
направлении от момента временной симметрии, объем
3-мерного пространства, как это было доказано Брилем '),
всегда имеет тенденцию к уменьшению. Другими словами,
симметрия по времени может быть совместима с фазой
максимального расширения, но никогда не совместима с
фазой максимального сжатия. Хотя из этих результатов
не следует прямого доказательства отсутствия свободных
от сингулярностей решений уравнений Эйнштейна без
источников для Вселенной, проходящей через стадию
расширения, они, несомненно, указывают на такую воз-
возможность. Последний аргумент в пользу правдоподобия
такого вывода следует из решения Шварцшильда [12],
') Автор признателен Д. Брилю за разрешение привести здесь
его результат.

118 Глава I
обсуждавшегося ранее и также подтверждающего появ-
появление, в конечном счете, сингулярностей в решениях,
соответствующих замкнутой Вселенной.
10.11. Каким образом классическое пространство-
время может стать сингулярным? Если верно, что любое
надлежащим образом замкнутое пространство, удовле-
удовлетворяющее уравнениям Эйнштейна, становится сингуляр-
сингулярным по истечении некоторого промежутка собственного
времени, то частный случай, в котором имеет место
шварцшильдовская «горловина», может использоваться
в качестве иллюстрации по крайней мере одного из воз-
возможных путей появления сингулярности при постепен-
постепенном стремлении кривизны к бесконечности. Другие пути,
приводящие к сингулярностям, пока неизвестны, по-
поскольку не существует систематического и не завися-
зависящего от координат анализа сингулярностей, которые мо-
могут встречаться в решениях уравнений Эйнштейна,
регулярных всюду.
10.12. Новые, действительно фундаментальные чер-
черты общей теории относительности. Если справедливы до-
доводы Эйнштейна о том, что только надлежащим образом
замкнутая Вселенная имеет физический смысл [58], и
если верно предположение, что, изменяясь согласно
классическим релятивистским уравнениям поля, такая
Вселенная неизбежно становится сингулярной, то гео-
метродинамика отличается от любого линеаризирован-
линеаризированного варианта теории поля даже более существенным об-
образом, чем это предполагалось ранее. Будучи настолько
своеобразной, общая теория относительности Эйнштейна
должна обсуждаться с ее собственной точки зрения в
свете наиболее общих принципов, а не с точки зрения
привычных средств и понятий, применяемых в линейной
теории поля.
1) Для замкнутой Вселенной полная энергия не яв-
является определенной величиной. При обычном выводе
закона сохранения энергии рассматривается 3-мерное
пространство, в котором вводится 2-мерная поверхность,
охватывающая все части рассматриваемой системы.
Однако в замкнутой Вселенной поверхности, распола-
располагающиеся все дальше и дальше от данной точки Р, в
конце концов должны стягиваться в точку в «антипод-

Геометродинамика 119
ной» области пространства. Тогда закон сохранения
энергии сводится к тривиальному тождеству 0 = 0. В ка-
качестве противоположного случая рассмотрим динамику
большого числа малых тел, выброшенных с общей ско-
скоростью из общего центра находящихся под действием
ньютоновских сил в плоском пространстве. В этом случае
полная энергия
F_M(day £M*_ Q
t—TVdt) ~ 2a W
может быть положительной, отрицательной или равной
нулю; массы снова могут упасть одна на другую (на
центр) или же навсегда разлететься. В случае замкнутой
Вселенной о такой свободе не может быть и речи [см.
уравнение (88)].
2) Уже не говоря о том, что для линеализованного
поля полная энергия является в этом случае определен-
определенной, она к тому же может быть представлена как сумма
вкладов отдельных' возбужденных состояний. Напротив,
нет ни малейших указаний на возможность естесхвенного
описания геометродинамической Вселенной с помощью
возбуждений нормальных колебаний.
Отсутствие полной энергии и нормальных колебаний
являются двумя характерными чертами геометродина-
мики. Имеется и третья ее особенность.
3) Существуют ситуации, когда имеются пары точек
в 4-мерном пространстве, которые не могут быть соеди-
соединены геодезической линией. Наиболее исследованным
примером такой ситуации является метрика Шварц-
Шварцшильда. На фиг. 15 никакая геодезическая линия, выхо-
выходящая из А, не может достигнуть В и наоборот. С этой
особенностью тесно связана другая деталь. Последова-
Последовательность равноудаленных событий Р\, Р2, Рз, ■■■ может
заполнить вполне конечный 'и, вероятно, очень малый от-
отрезок собственного времени и тем не менее быть нена-
ненаблюдаемой даже для наблюдателя, ожидающего их в те-
течение неограниченного промежутка собственного вре-
времени. В частности, он может ждать до бесконечности, но
даже не принять светового сигнала, который дал бы ему
понять, что кривизна в горловине метрики Шварцшильда
стремится к бесконечности. Вне горловины он может

120
Глава I
с успехом изучать прецессию пробного тела, красное сме-
смещение и отклонение света в искривленном пространстве,
и его нисколько не будет беспокоить возможная сингу-
Цилиндрическая -
увеличительная /
система У
Фиг. 15. Заштрихованные зоны, недостижимые никакими радиаль-
радиальными геодезическими, выходящими из точки А.
Радиальные геодезические изображены в временно-подобной н пространственно-
подобной координатах Крускала и и v, в которых шварцшильдовская метрика
имеет внд
где /2=C2m*3/r)-exp[-r/2m*] и |(r/2m*)-l]-exp [r/2m*] = «2-f2.
Пространственно-подобные геодезические обозначены номерами 2, 3, 4, 5, б, 7, 8.
В предельном случае пространственно-подобные геодезические 1 и 9 дают свето-
световой конус (геодезические 1 и 9). Не существует радиальных геодезических,
соединяющих А и какую-либо точку В в заштрихованной зоне.
Пространственно-подобные геодезические, выходящие из А, никогда не про-
проходят через г=0 (гипербол v2—u'=l), где внутренняя кривизна обращается в бес-
бесконечность. С другой стороны, проходящая из А временно-подобная геодези-
геодезическая, которая является траекторией идеальной пробной частицы, всегда заходит
хотя бы одним концом за этот барьер. Еслн же энергия частицы недостаточна для
того, чтобы уйтн от центра притяжения, оба конца геодезической лежат за барье-
барьером. Геодезическая 10 соответствует тому частному случаю, когда шварцшнльдов-
ская координата г пробной частицы достигает своего максимума в точке А. Эта
геодезическая заканчивается в точке О, не касаясь гиперболы в плоскости (и, v).
Наблюдатель, находящийся далеко справа, никогда не примет световых сиг-
сигналов Ру, Р2, Рг, Р(, как бы долго он не ждал. Однако интервал собственного
ковремени между J н К вполне конечен и равен Bоти*). Вычисления, на основании
которых был построен этот график, выполнены Р. В. Фуллером и будут направлены
для опубликования в другом месте.

Геометродинамика 121
лярность метрики. Это случится, но не в его будущем!
Другими словами, даже бесконечный интервал собствен-
собственного времени в искривленном пространстве-времени, до-
доступный наблюдателю, мог бы оказаться недостаточным
для того, чтобы принять сигналы источника света, по-
посылаемые в течение конечного интервала собственного
времени.
10.13. Значение вопроса о сингулярностях. Можно ли
при наличии таких неожиданных черт геометродинамики
заключить, что она физически бессмысленна или внутрен-
внутренне противоречива (или то и другое вместе)? Этот вопрос,
очевидно, является центральным при любой оценке того,
что может дать общая теория относительности для раз-
развития физики. В такой оценке недостаточно указать на
цель геометродинамики — на способность теории Эйнштей-
Эйнштейна описывать гравитацию без гравитации, электромагне-
электромагнетизм без электромагнетизма, массу без массы и заряд
без заряда. Необходимо еще разобраться в вопросе о син-
сингулярностях. Если бы этот вопрос не возникал, было бы
нетрудно согласиться с другими непривычными чертами
геометродинамики: с отсутствием должным образом
определенной энергии в замкнутой Вселенной, с невоз-
невозможностью анализа независимых видов возбуждений,
с существованием различных масштабов времени на раз-
различных мировых линиях. Может ли проясниться общая
картина геометродинамики, пока не решен этот вопрос?
§ 11. Геометродинамика и квант действия
//./. Аналогичная проблема сингулярностей, суще-
существующая с раннего периода развития атомной физики.
Пока что невозможно сказать последнее слово по во-
вопросу о сингулярностях, так как не все наиболее общие
следствия из уравнений Эйнштейна исследованы в до-
достаточной степени1). Однако можно сослаться на задачу,
возникшую на более раннем этапе развития физики, ко-
которая получила свое решение в рамках квантовой меха-
механики. Эта задача могла бы служить интересным анало-
аналогом проблемы сингулярностей в геометродинамике.
') Обзор современного состояния квантовой теории гравитации
дан Бергманом и К°маром [64].

122 Глава I
Около 1910 г. благодаря теореме Ирншоу стало ясно,
что система заряженных частиц не может иметь равно-
равновесной конфигурации. Очевидное противоречие этого
факта со стабильностью атомных систем породило мно-
множество предложений, ведущих к пересмотру закона сил,
действующих между частицами. Теперь, разумеется,
ясно, что закон Кулона выполняется на фантастически
малых расстояниях, т. е. до очень больших отрицатель-
отрицательных степеней десяти. В те же годы стало ясно, что,
согласно классической электродинамике, электрон дол-
должен был бы все быстрее приближаться к ядру по спи-
спирали, так как движущийся с ускорением заряд излу-
излучает энергию. Делались попытки избежать этой труд-
трудности путем произвольного изменения законов электро-
электродинамики. В настоящее время законы взаимодействия
с полем излучения проверены с огромной точностью пу-
путем сравнения теории лембовского сдвига 2в-уровня во-
водорода с экспериментом; это сравнение показываЪт пре-
прекрасное согласие теории с экспериментом.
Сингулярности в связанном состоянии пары заря-
заряженных частиц можно избежать не путем изменения
закона взаимодействия электрона и ядра или отказа от
законов электромагнитного излучения, а путем введе-
введения квантового постулата. Электрон не может быть ло-
локализован в слишком малой области с размерами L без
связанного с этим достаточно большого разброса по им-
импульсу Ар— ti/L и соответствующей кинетической энер-
энергии h2/2mL2, чтобы можно было с избытком компенси-
компенсировать кулоновскую энергию —e2/L. Излучение элек-
электрона прекращается не вследствие того, что электро-
электромагнитное поле более не в состоянии поглощать энер-
энергию, а ввиду отсутствия еще более низкого уровня, на
который мог бы перейти электрон. Иными словами,
квант действия предписывает физическим процессам бо-
более гладкую зависимость от пространственно-временных
переменных, чем можно было ожидать из неквантован-
ного варианта законов движения.
11.2. Возможная связь квантовых* эффектов с про-
проблемой сингулярности. Может ли квантовый постулат,
будучи примененным к геометродинамике, подобным об-
образом помочь предотвратить появление сингулярности?

Геометродинамика 123
Имеет ли смысл сравнивать сингулярности, возникающие
в геометрии при повторном сжатии замкнутой Вселен-
Вселенной, с загибающимися гребнями, образующимися на
волнах в океане, когда они проходят на мелководье? В
гидродинамическом случае действие капиллярности огра-
ограничивает остроту появляющихся сингулярностей. Вытяги-
Вытягиваясь и становясь более тонким, слой воды на гребне
волны рассыпается, превращаясь в мелкие капли и пену
под действием поверхностного натяжения. Имеется ли
подобное эффективное ограничение кривизны простран-
пространства-времени благодаря кванту действия? В гидродина-
гидродинамическом случае имеет место громадное несоответствие
между длиной волны прибоя (несколько метров) и раз-
размерами капель (миллиметры), которые образуются,
когда волна обрушивается на отлогий берег. В случае
геометродинамики имеет место еще большая несоразмер-
несоразмерность масштабов величин, которые естественно считать
эффективными: 1) радиус кривизны Вселенной (по-
видимому, —1010 световых лет, или —1028 см) или раз-
размеры какой-либо ее макроскопической части и 2) есте-
естественные масштабы квантовых флуктуации метрики, сле-
следующих из простых соображений размерности и равные
?I/2-1,6-10-33сж. (92)
При этом важно не то, что эта длина мала, а то, что
вообще существует некоторая характеристическая
длина. Существование такой длины гарантирует невоз-
невозможность появления сингулярностей кривизны простран-
пространства, предсказанных классической геометродинамикой.
Появление сингулярностей не означает, однако, внутрен-
внутренней противоречивости классической общей теории отно-
относительности. Напротив, они означают, что классическая
динамика кривизны прямо приводит к явлениям, кото-
которые можно удовлетворительно объяснить лишь в кванто-
квантовой теории. В этом отношении существует самая тесная
аналогия между появлением сингулярности в кривизне
в геометродинамике и спиральным движением электрона
к ядру в атомной физике.
11.3. Проливает ли геометродинамика какой-либо
свет на проблему элементарных частиц? Можно сказать,

124 Глава f
что динамическая эволюция искривленного пустого про-
пространства может привести к совершенно новым специфи-
специфическим особенностям на малых расстояниях, являю-
являющимся следствиями введения квантового постулата. Го-
Гораздо труднее указать, в чем состоят эти особенности,
хотя необходимо так или иначе ответить на этот вопрос.
Объяснить то, что электрон в атоме не движется по спи-
спирали и не падает на ядро, это значит объяснить суще-
существование атомов и вообще реальность физического
мира. Аналогично объяснение невозможности обраще-
обращения кривизны в бесконечность может оказаться ключом
к решению вопроса о том, почему вообще существует
материя как таковая.
Геоны не являются обычной материей, хотя и имеют
массу. Их огромные размеры и вполне классическая
структура исключают непосредственную связь с элемен-
элементарными частицами. Аналогично классические заряды,
проявляющиеся при искривлении пустого многосвязного
пространства, никак не связаны с квантованными заря-
зарядами теории элементарных частиц. Это, разумеется, не
означает, что элементарные частицы всегда должны рас-
рассматриваться как исходные необъясненные и необъясни-
необъяснимые сущности. В то же время это не означает, что основ-
основное содержание физики всегда будет связано (как это
теперь имеет место в современных предварительных фе-
феноменологических попытках трактовки элемевтарных ча-
частиц) с представлением о наборе взаимодействующих
друг с другом полей: электронного, мезонного, нейтрин-
нейтринного и др. В этом последнем случае развитие физики
было бы навсегда затруднено наличием некоторого на-
набора постулируемых затравочных констант: значений
характеристических масс полей, входящих в теорию, и
констант взаимодействия между ними. Принять любую
из этих точек зрения означало бы принять концепцию
пространства-времени лишь как арены для физики и от-
отказаться от эйнштейновской концепции искривленного
пустого пространства как единственной физической
реальности. Конечно, в настоящее время никто не может
дать сравнительную оценку плодотворности различных
направлений исследований. Однако нет никаких осно-
оснований игнорировать чисто геометрическое описание при<

Геометродинамика 125
роды особенно теперь, когда геометродинамика (и толь-
только геометродинамика) способна объяснить не только
гравитацию без гравитации и
уравнения движения без уравнений движения, но
также и
массу без массы,
электромагнетизм без электромагнетизма,
константы связи без констант связи и, наконец,
заряд без заряда.
Можно ли тогда интерпретировать элементарные ча-
частицы просто как квантовые аспекты пустого искривлен-
искривленного пространства?
11.4. Необходимость искать руководящие идеи в фи-
физике элементарных частиц и квантовой электродинамике.
На современном этапе развития физики напрасно было
бы надеяться на возможность построения чего-нибудь
подобного конкретной квантово-геометродинамической
модели элементарной частицы. Разумеется, можно пред-
представить себе, что области 4-мерного пространства могут
рассыпаться на элементарные частицы, когда они ста-
становятся все острее и кривизна возрастет подобно тому,
как морская волна, обрушиваясь на берег, превращается
в пену и брызги. Однако эта картина слишком каче-
качественна и легковесна для того, чтобы иметь четкость мо-
модели. Кроме того, если в гидродинамике и можно найти
полезные указания о нелинейных уравнениях общей тео-
теории относительности, то пройдет еще много времени,
пока в этих уравнениях действительно будет найдено все
феноменологическое богатство, которое в них содер-
содержится. Вихри, ударные волны, нестабильности Гельм-
гольца и нестабильности Рэлея — Тейлора, а также ге-
генерация звука турбулентностью были открыты экспери-
экспериментально до того, как они были исследованы
теоретически1). Поэтому в поисках чисто геометриче-
геометрического описания элементарных частиц разумно было бы
руководствоваться не только всем, что известно об урав-
уравнениях Эйнштейна, но и всей информацией, относящейся
') См. [30], где приведена таблица аналогий между гидродина-
гидродинамикой и геометродинамикой.

126 Глава Г
как к теории элементарных частиц, так и к эксперимен-
экспериментальным данным о последних.
11.5. Согласно квантовой электродинамике, во всем
пространстве происходят сильные возмущения. Самым
поразительным в теории элементарных частиц является
то обстоятельство, что эта теория относится ко всему
пространству сразу. Например, Вселенная, содержащая
один электрон, бессмысленна. Как было уже давно по-
показано Дираком, электрон в этом случае перешел бы
в состояние с отрицательной энергией через фантасти-
фантастически малое время. Наблюдаемая стабильность элек-
электрона относительно радиационной катастрофы такого
типа требует, чтобы все состояния с отрицательной энер-
энергией были заполнены. Электрон может обрести реаль-
реальность, возникнув где-либо из этого ненаблюдаемого, но
бесконечного резервуара, что подтверждается извест-
известными экспериментами по рождению пар.
Все пространство проникнуто не только электронным
полем, но и электромагнитными флуктуациями, имею-
имеющими место даже в «вакуумном» или основном состоя-
состоянии электромагнитного поля. Эти флуктуации неизбежно
возникают подобно хорошо доказанным нулевым коле-
колебаниям атомов в кристаллических решетках. Точно так
же полевые флуктуации действуют, например, на элек-
электрон в 2s-coctohhhh атома водорода, вызывая флуктуа-
флуктуации порядка (г2)ср. около состояния равновесия, в кото-
котором находился бы электрон при отсутствии флуктуации.
Тем самым к энергии электрона в поле атома с потен-
потенциалом V(r) добавляется энергия вакуума
(V. (93)
Зная величину <V2l/)cp- и измерив сдвиг Лэмба — Ри-
зерфорда Д£лэмб., получаем значение величины (г2)ср..
Это значение дает возможность убедительно проверить
теорию флуктуации электромагнитного поля ').
11.6. Центральное положение «голого» электрона.
Если вообще возможно чисто геометрическое описание
элементарных частиц, то пространство необходимо будет
') Этот способ описания лэмбовского сдвига изложен в лекциях
Дайсона [65]; см. также [66].

Геометродинамика 127
рассматривать как место бурных флуктуации, связанных
с электронами, электромагнитным и другими полями
(это с необходимостью следует как из квантовой элек-
электродинамики, так и из эксперимента). Второй вывод со-
состоит в том. что квантовая электродинамика указывает
также на возрастающую важность понятия «голого» элек-
электрона или какого-то близкого понятия, при этом значе-
значение этого понятия особенно важно, поскольку именно оно
не позволяет сформулировать квантовую электродинами-
электродинамику как замкнутую теорию. Эта теория имеет дело с мате-
математическими объектами — «голыми» электронами, —•
масса и заряд которых отличаются от наблюдаемых
массы и заряда множителями, которые формально обра-
обращаются в бесконечность; но которые в действительности,
по-видимому, очень велики. Взаимодействие дираков-
ских частиц с электромагнитным полем (а также через
его посредство с другими электронами бесконечного
океана электронов отрицательной энергии) образует
«шубу» заряда, являющуюся сложной системой вирту-
виртуальных пар и виртуальных фотонов, которая отожде-
отождествляется с «одетым» электроном. Большинство рассуж-
рассуждений в теории электрона можно провести таким
образом, чтобы рассматривались только «перенормиро-
«перенормированные» заряд и масса «одетого» электрона [67]1), что
подтверждает физическую разумность основных положе-
положений теории. Однако такой способ обойти проблему струк-
структуры «одетого» или «голого» электронов непригоден
для объяснения наблюдаемых значений заряда и массы.
В заключение отметим, что геометродинамика внесет
существенный вклад в решение проблемы элементарных
частиц только в том случае, если будет выяснено, что
представляет собой «голый» электрон и в каком смысле
все пространство является ареной сильных флуктуации.
Не связаны ли эти проблемы между соБой?
') Относительно последующего развития квантовой электроди-
электродинамики в работах Томонаги, Швингера, Фейнмана, Дайсона см.,
например, монографию Тирринга [68]. [См. также Н. Н. Бого-
Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных полей,
М, 1958; А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая
электродинамика, М., 1960; А. А. Соколов, Введение в кванто-
квантовую электродинамику, М., 1958; В. Гайтлер, Квантовая теория
излучения, ИЛ, 1956. — Прим. ред.]

128 Глава I
Как уже лавно было показано Пуанкаре и Лоренцом,
при попытках объяснить структуру заряженной частицы
возникают нсвые проблемы [69, 70]1). Энергия и им-
импульс электромагнитного поля являются компонентами
тензора и в известном смысле изменяются при преобра-
преобразованиях системы координат вдвое быстрее, чем компо-
компоненты 4-вектора. Пуанкаре дал физическую интерпрета-
интерпретацию этого факта: существуют неэлектрические натяже-
натяжения, удерживающие части заряженной частицы и обеспе-
обеспечивающие ее устойчивость. Имея в виду это заключение,
интересно отметить, что две изолированные горловины
топологической ручки, содержащей поток электромаг-
электромагнитного поля, представляют собой хорошую модель пары
заряженных объектов, причем гравитационные силы как
раз играют роль неэлектрических натяжений, о которых
говорил Пуанкаре. Геон является другим объектом, в ко-
котором гравитационное притяжение преодолевает электро-
электромагнитное давление таким образом, чтобы полная энер-
энергия и импульс правильно преобразовались при переходе
от одной координатной системы к другой. Наконец, сама
Вселенная является третьим подобным объектом, струк-
структура которого существенно зависит от наличия гравита-
гравитационных сил.
И все же ни один из перечисленных примеров не
имеет прямого отношения к проблеме «голого» элек-
электрона, так же как и к бурным флуктуациям во всем
пространстве. Если «голый» электрон или вакуумные
флуктуации и связаны каким-либо образом с гравита-
гравитацией и геометрией искривленного пустого пространства,
то причина этого лежит не в каком-нибудь непосред-
непосредственном вкладе классического гравитационного поля
или классической кривизны пространства, а в новых эф-
эффектах, обязанных квантовым флуктуациям этих вели-
величин.
11.7. Природа и следствия флуктуации метрики.
Можно рассмотреть порядок величины и качественный
характер геометродинамических флуктуации [72]. Интен-
Интенсивность вариаций поля зависит от размеров изучаемой
области. Если протяженность этой области в простран-
Обзор истории этих проблем см. в работе Пайса [71].

Геометродинамика
129
стве и в ковремени по порядку величины равна L, то
кванты, вносящие наибольший вклад в флуктуации, об-
обладают энергией порядка hc/L. При этом плотность
энергии поля будет порядка hc/L4. Поэтому сами напря-
напряженности поля с точностью до множителя перехода к со-
соответствующим единицам будут порядка (hc)'kjL2
(табл. 8).
Таблица 8
Порядок величины флуктуации поля в частном случае,
когда изучаемая область в пространстве и в ковремени
имеет протяженность порядка L
Величина L* равна (bGIc*)'1* = 1,6-10~33 см. В случае электро-
электромагнетизма прописными большими буквами обозначены величины
в системе COS, в то время как строчные буквы отнесены
к геометризованным единицам: безразмерным потенциалам
и напряженностям полей (в см).
Потенциал
Напряжен-
Напряженность поля
Кривизна
пространства
или
или
Электромагнетизм
фс)ъ
L*
(he)'1'
—
Гравитация
или
Д (ускорение) ~ -
или
c2L*
и-
расстояниях L порядка приведенной комптоновской
длины волны
[ = -А.==3,85-10-"сж
(94)

130 Глава I
от электрона статическое гравитационное поле и стати-
статическое возмущение метрики, разумеется, фантастически
малы:
Чрезвычайно малы также и флуктуации метрики
кт.-^-Ю-22- (96)
На еще меньших расстояниях статическое поле электро-
электрона не увеличивается по порядку, так как энергия и масса
частицы не локализированы в области, меньшей Lm.
Наоборот, на вычисленные флуктуации метрики бли-
близость к частице не влияет. Эти флуктуации имеют отно-
отношение только к размерам изучаемой области. С точки
зрения атомных масштабов, пространство плоско (по-
(подобно поверхности моря, рассматриваемой с самолета).
При ближайшем рассмотрении отклонение от регуляр-
регулярности становится, очевидно, все заметнее. Наконец, на
расстояниях порядка L* флуктуации метрической ком-
компоненты g^ становятся сравнимыми по порядку вели-
величины с самими g.,,. Тогда, как показано схематически
на фиг. 16, в геометрии появляются новые черты.
Многосвязность развивается точно так же, как и на
морской поверхности, когда на волнах появляются греб-
гребни с брызгами и пеной. Разумеется, необязательно ука-
указывать способ, позволяющий наблюдать флуктуации,
чтобы заметить, насколько непосредственно и неизбежно
они вытекают из квантовой теории метрики. Вовсе неза-
незачем употреблять слово «наблюдения»! Вместо этого до-
достаточно сказать:
1) Квантовомеханическое состояние метрического
поля является функционалом 3-мерной внутренней гео-
геометрии £? пространственно-подобной поверхности а:
(97)
2) Амплитуда вероятности W имеет характерный
быстрый спад при крупномасштабных отклонениях от
гладкой метрики, причем спад амплитуды очень мал

Геометродинамика
131
при отклонениях от гладкой метрики порядка L* =
«= (hG/c2)'1* или меньше. Кроме того, следует ожидать,
что быстрота этого спада будет не очень сильно разли-
различаться в зависимости от того, остается ли топология не-
неизменной при отклонении от гладкости или эти откло-
отклонения вводят многосвязносги высокого порядка, или
Фиг. 16. Схематическая иллюстрация роста флуктуации метрики
пространства вплоть до превращения пространства в многосвязное.
Вверху, слева направо: флуктуации, запирающие снловые лннни в топологической
ручке. Интеграл от напряженности поля по горловине ручки отличен от нуля.
Сама ручка обладает зарядом. Внизу, слева направо: появление многосвязности
того же типа через последовательность таких геометрий, что силовые линии ни-
никогда не могут проходить сквозь ручку. В этом случае заряд ручки равен нулю.
даже бесконечно разветвленную топологию. Как было
отмечено Вейлем [73], «более детальное исследование по-
поверхности может показать, что объект, казавшийся нам
элементарным, на самом деле имеет тонкие топологиче-
топологические ручки, изменяющие связность этого объекта, при-
причем микроскоп с более сильным увеличением мог бы
обнаружить новые топологические усложнения и так до
бесконечности».
11.8. Смысл флуктуации. В этом обсуждении слово
«флуктуация*^ употребляется как краткое обозначение
конфигураций системы, о которой идет речь (в данном
случае геометрии), описываемой некоторой заметной
амплитудой вероятности. Согласно этой терминологии,
элементарный гармонический осциллятор с массой m a

132 Глава I
циклической частотой со, описываемый волной функцией
(98)
«испытывает флуктуации положения» порядка
Аналогичным образом, электромагнитное поле в почти
плоском пространстве-времени часто описывается в ко-
координатах 1^ |2, |з, ... бесконечной системы гармониче-
гармонических осцилляторов. Основное состояние волновой функ-
функции задается нормированным произведением гауссов-
ских функций:
(99)
Тогда флуктуации амплитуд соответствующих осцилля-
осцилляторов поля будут порядка
где A„ — константы.
11.9. Калибровочная инвариантность функционала
состояний электромагнитного поля. Другой способ ана-
анализа является более удобным для пространственно-по-
пространственно-подобного описания флуктуации электромагнитного поля,
таких, которые представляют интерес также в геометро-
динамике. Амплитуда координаты |„ типичного осцилля-
осциллятора поля может быть записана в виде интеграла по
всему пространству от магнитного поля Н(х), умножен-
умноженного на соответствующим образом выбранную периоди-
периодическую функцию координат. Таким образом волновая
функция (99) основного состояния электромагнитного
поля становится представленной в виде функционала
магнитного поля '):
W = Nexp [— (\6к3Ис)-1] f f Н (х) ■ Н (у) | х—у |~2 dzxd3y.
. '■ A01)
:) Автор выражает благодарность слушателям курса квантовой
механики, в частности Г. Демистеру, за вычисления экспоненты в
этом выражении. Здесь требуется, чтобы дивергенция магнитного
поля обращалась в нуль.

Геометродинамика 133
Это выражение дает возможность вычислить и сравнить
амплитуды вероятности для любой произвольно выбран-
выбранной конфигурации магнитного поля: Н^х), Н2(х), ....
Hft (х), ■ ■ ■, определенного во всем пространстве и имею
щего нулевую дивергенцию. Разумеется, совершенно не-
необязательно ограничиваться основным состоянием эле-
электромагнитного поля. Можно рассмотреть и состояние,
соответствующее более высокому энергетическому
уровню, или даже состояние, вообще не являющееся
собственным вектором оператора энергии, как, напри-
например, функционал
f(J^J A02)
(дополнительное условие div Н = 0), где е —■ очень ма-
малое число. Полученный функционал описывает состоя-
состояние, в котором наиболее вероятной конфигурацией маг-
магнитного поля является
где а и к — константы.
Для изучения динамики электромагнитного поля ча-
часто применяется векторный потенциал А, связанный с Н
соотношением
H = rotA. A04)
Тогда амплитуда вероятности вычисляется сразу как
функционал от А. Лишь позже обнаруживается как
следствие градиентной инвариантности, что А входит
в выражение для функционала состояния только в виде
Н = rot A.
11.10. Калибровочная инвариантность функционала
состояний в геометродинамике. Для начала рассмотрим
амплитуду вероятности при любой заданной 3-мерной
геометрии & на пространственно-подобной поверхности а
как функционал компонент метрического тензора
i3)gmn A05)
на всей поверхности. Однако преобразование координат
на поверхности а изменит только компоненты метрики

134 Глава I
{3)ётп> не изменив внутреннюю геометрию <£?. Совер-
Совершенно аналогичную картину мы имеем в электродина-
электродинамике, где (градиентное) преобразование
А = Аиов. + grad X A06)
изменяет потенциал А, оставляя напряженность поля Н
неизменной. Отсюда следует, что функционал состояния
в теории относительности без источников в конечном
счете зависит не от 6 функций gmn, а только от внут-
внутренней геометрии:
A07)
Величина флуктуации может быть большой или ма-
малой в зависимости от того, рассматривается отдельный
механический осциллятор или же множество квантовых
состояний, допустимых для данной элементарной си-
системы. Электромагнитному полю доступно еще большее
множество квантовых состояний1). Поэтому можно по-
полагать, что для описания флуктуации электромагнитного
поля потребуется еще большее число параметров. Это во
всяком случае имеет место для крупномасштабных флук-
') Может ли метрическое поле находиться в каком-либо из боль-
большого числа квантовых состояний? Если допустить состояния, опи-
описывающие асимптотически плоскую метрику, появляется большая
свобода выбора. Таким образом, при наличии шварцшильдовской
массы, характеризующей быстроту приближения к плоскому про-
пространству в крупном масштабе, сама масса может иметь то или
иное значение, подобно соответствующему случаю электромагнит-
электромагнитного поля, где существует произвол в выборе состояния системы.
Однако, вообще говоря, не обязательно такая же свобода будет
иметь место в случае «надлежащим образом замкнутого простран-
пространства» в соответствии с рассмотрением Эйнштейна. Поскольку энер-
энергия замкнутой Вселенной даже не является поддающейся опреде-
определению величиной, невозможно говорить о системе, находящейся в
одном из возможных состояний собственной энергии. Еще более
важны новые обстоятельства, связанные с замкнутой Вселенной в
общей теории относительности [74, 75]. Невозможно наблюдать си-
систему со стороны, поскольку вне ее нет ничего, что могло бы вы-
вызвать переход из одного состояния в другое. Поэтому возникает
вопрос, как различать одно состояние oti другого. Либо имеются
такие граничные условия в случае замкнутой Вселенной, что воз-
возможно лишь одно квантовое состояние? Существует ли единствен-
единственная «универсальная» в этом смысле волновая функция? Это, пожа-
пожалуй, один из наиболее интересных вопросов, связанных с кванто-
квантованием общей теории относительности (см. в этой связи [12]),

Геометродинамика _ 135
туаций поля. Их амплитуда может быть малой или
большой в зависимости от исходного состояния системы.
Однако функционал состояния непрерывного поля при-
приобретает новые черты при рассмотрении мелкомасштаб-
мелкомасштабных флуктуации, если этот функционал несингулярен.
^Амплитуда флуктуации малого масштаба приближается
''к стандартному уровню, типичному только для этого
^масштаба (см. табл. 8), при условии, что этот масштаб
[меньше масштаба любых особенностей, отраженных в
хамом функционале ').
' 11.11. Виртуальная пенообразная структура про-
пространства. На этом мы заканчиваем изложение фор-
'мального аппарата, позволяющего описывать функции
.состояния, и обсуждение неизбежности мелкомасштаб-
мелкомасштабных флуктуации в электродинамике и в геометродина-
мике. Вернемся теперь к физическим следствиям этих
флуктуации, связанным с природой пространства и
с природой «голого» электрона.
к На фиг. 17 приведено символическое изображение
^типичной конфигурации, для которой функционал со-
астояния совокупности гравитационного и электромагнит-
электромагнитного полей дает амплитуду вероятности, лишь немного
меньшую ее максимального значения. Эта конфигурация
обладает следующими свойствами. 1) Пространство имеет
пенообразную структуру, обладая не только макрокри-
макрокривизной масштаба Вселенной, но и микрокривизной мас-
масштаба L*. 2) Почти всюду появляются горловины ручек,
размеры которых и расстояния между которыми по-
порядка L*. 3) Через ручку с размерами порядка L (не
обязательно точно порядка L *) проходит, как правило,
поле порядка Е — (he ) '!t/L2. Следовательно, ручка со-
|держит поток, а ее два конца являются эффективными
зарядами порядка ~L2E—(йсI/г~ 12 е. 4) Этот заряд
на порядок больше элементарного квантованного за-
заряда, но он не квантован и не имеет никакого прямого от-
'Ношения к заряду элементарной частицы. 5) Плотности
^энергии Е2/8п и массы Е2/8ъс2, связанные с полем,
ГОгромны по сравнению с привычными значениями для
,t ') Обсуждение связанных с этим вопросов см. в работе Бора и
ГРозенфельда [76].

136
Глава I
теории элементарных частиц и оказываются соответ-
соответственно равны ~£c/L*4 и ~£/L*4c=c5/£G2=5- 1093г/сж3.
0
о
0
р
о
0
с?
г?
]
к0
1 \
| V,
\°
h-fl
О
ч
Р t
-—'i
о
1
/ 1
Ъ |
1
!
Г"см—~\
с
&
9
п
{
\
1
^^v \ 1 /
X. j t J
-—^^^ J 1 —'
У j
Фиг. 17. Конфигурация геометрии 3-пространства (и электромаг-
электромагнитного поля), для которой амплитуда вероятности только незна-
незначительно уменьшена по сравнению со своим максимальным значением.
Малыми замкнутыми контурами обозначены горловины ручек, задающих связность
пространства. Характеристическая длина этой топологии имеет порядок
Z.* = (ftOft?s)'/2= l,6-10~33 см, что гораздо меньше любой длины, имеющей какое-либо
непосредственное отношение к проблеме элементарных частиц (й/тс = 3,9-10~" см)-
Как можно видеть на увеличенном изображении горловины ручки (а) справа,
с типичной ручкой, подобной а, связана не только большая кривизна пространства,
но и большое поле, как показано силовыми линиями в увеличенном виде справа.
6) Так же обстоит дело с электрической массой-энер-
массой-энергией ручки
—V/2 = 2-2- Ю-5 г (или ~ 1028 эв). A08)
С/ /
7) Гравитационная энергия взаимодействия двух типич-
типичных соседних горловин ручек будет порядка
= (
Gm\
■трав.
Связанное с ней уменьшение массы
-грав.
G he t с3
A09)
A10)
будет того же порядка, что и положительная масса двух
взаимодействующих сгустков электромагнитной энер-
энергии. Другими словами, гравитационные взаимодействия

Геометродинамика 137
вносят решающий вклад в компенсацию нулевой энер-
энергии электромагнитного поля, которая при вычислении
столь многими способами оказывается бесконечной. На-
Например, если каждый осциллятор поля обладает энер-
энергией йш/2, то общая энергия поля, вычисленная с точ-
точностью до круговой частоты, равной c/L, будет
2J
Ьс
Эта величина является расходящейся, если перейти к
бесконечно малым расстояниям. Однако на расстоя-
расстояниях L порядка L* и меньше вступают в игру совер-
совершенно новые геометрии, которые совершенно меняют
анализ проблем электромагнитной нулевой энергии.
Указанных трудностей нельзя избежать произвольным
вычитанием нулевой энергии. В общей теории относи-
относительности нет произвольной аддитивной константы энер-
энергии, поскольку энергия связана с массой, а масса искри-
искривляет пространство. Поэтому весьма существенно, что
квантовая геометродинамика приводит к радикально но-
новым и многообещающим точкам зрения на проблему
расходящейся энергии поля.
11.12. Отождествление флуктуационной ручки с
«голым» электроном. Таким образом, квантовая гео-
геометродинамика имеет много общего с такой более раз-
разработанной теорией, как квантовая электродинамика,
с точки зрения рассмотрения всего пространства как
арены бурных флуктуации. Но как обстоит дело с дру-
другой характерной чертой электродинамики, а именно с
«голым» электроном? Если существует какое-либо соот-
соответствие между чистой квантовой геометродинамикой
(без добавочных полей, без констант взаимодействия и
искусственных гипотез) и квантовой электродинамикой,
«голый» электрон должен быть отождествлен с элемен-
элементарной ручкой. Его масса будет порядка Ш\ = 2,2 • 10~5 г,
заряд — порядка (йс)'/»~ 12е ~ 56 • 100 CGSE и раз-
размеры— порядка L* == 1,6-10~33 см. Только путем та-
такого отождествления можно получить в квантованной
общей теории относительности естественную картину

138 Глава I
рождения пар, с необходимостью требуемую квантовой
электродинамикой.
11. 13. Перенормировка массы и заряда. Нельзя счи-
считать возражением против геометрической интерпрета-
интерпретации «голого» электрона тот факт, что эта интерпретация
не позволяет получить точно определенные заряд и
массу. В квантовой электродинамике уже была развита
теория перенормировок [77, 68], трактующая распреде-
распределение значений массы для «голого» электрона. Анало-
Аналогичным образом, разброс значений заряда этого объекта
нисколько не противоречит атомистической, квантовой
природе заряда наблюдаемого электрона.
11. 14. Следствия флуктуации малого масштаба в
феноменологической теории. Если понятие «голого»
электрона имеет какое-либо отношение к действитель-
действительности, то становится понятен тот интерес, который
•представляет физический вакуум (даже в отсутствие ка-
каких-либо реальных электронов) с его колоссальными
концентрациями электромагнитной энергии, многосвяз-
ностью и флуктуациями чрезвычайно малого масштаба.
Масштабы всех этих явлений на много порядков отли-
отличаются от масштабов обычных атомных процессов или
процессов в области элементарных частиц. Поэтому
феноменологическая теория этих явлений не должна со-
содержать в явном виде массы тх и длины L*. В извест-
известном смысле такая теория напоминает феноменологиче-
феноменологическую теорию упругости, в которой не фигурируют ни
атомы или молекулы, ни законы их взаимодействия.
Квантовая электродинамика (или вычитательная фи-
физика) является именно такой теорией. Она может иметь
дело с широким классом проблем, не задаваясь вопро-
вопросом, откуда черпают свои заряд и массу «одетые» и
«голые» электроны.
Наиболее поразительный успех (точность предсказа-
предсказания) и наиболее поразительная неудаца теории (ее
принципиальные расходимости) становятся несколько
более понятными, если геометродинамическая картина
«одетого» электрона имеет смысл. С этой точки зрения,
успехи и трудности обусловлены одной и той же причи-
причиной: крайней малостью характеристической длины фи-

Геометродинамика 139
зики вакуума L* по сравнению с характеристической
длиной физики электрона Lm =h/mc ■)•
11.15. Частицы, интерпретируемые как коллектив-
коллективные возмущения, наложенные на вакуум. Согласно
этому чисто геометрическому описанию природы, вклад
частицы в возмущение вакуума оказывается ничтожно
малым в процентном отношении по сравнению с бур-
бурными процессами в вакууме. Если сравнить вакуум с
твердым телом, то электрон следует сравнивать с про-
проходящим фононом. Эти коллективные возмущения, со-
соответствующие фонону, не вносят почти никакого вклада
в относительно огромные энергии атомных электронов в
каком-либо атоме твердого тела. Точно так же электрон
должен рассматриваться в микроскопических масштабах
геометродинамики относительно маловажным элементом
данной схемы. Поскольку соответствующая плотность
массы-энергии будет порядка
£ jf = 1.57 • 104 zjcms, A12)
то для вакуума она составит
-^ — б-КРг/сж3. A13)
Объяснить с этой точки зрения массу электрона — то же
самое, что интерпретировать скорость коллективных воз-
возбуждений, подобных фонону; при этом существование
частиц с различными характеристическими массами не-
несколько напоминает существование различных типов
коллективных возбуждений в жидком гелии или различ-
различные ветви кривой, выражающей зависимость частоты от
волнового числа. Специфические неэлектрические силы,
действующие между некоторыми частицами, и слабые
'Специфические силы, действующие между электроном и
ц-мезоном, следует сравнивать с взаимодействием ме-
между фононами, или экситонами, или спиновыми вол-
') Возможная роль гравитации в проблеме элементарных
частиц и возникающее за счет ее эффективное обрезание иа малых
расстояниях расходящейся собственной энергии электрона были
отмечены Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосовым, И. М Халатниковым
[78], Д. Иваненко [79, 80], Паули [81]; см. также [82J.

140 Глава J
нами, различающимися характером поляризации или
другими свойствами ')•
Это чисто геометродинамическое описание элемен-
элементарных частиц еще не стало определенной теорией, ко-
которую можно было бы проверить или опровергнуть
экспериментально. Более того, нет никакой связи между
этой теорией и недавними попытками интерпретации
элементарных частиц как состояний единого фундамен-
фундаментального спинорного поля, заданного в плоском про-
пространстве-времени и, следовательно, не имеющем оче-
очевидной связи с геометрией. Эта идея была высказана
еще Иваненко [84, 85, 79, 80] и недавно была активно
поддержана (в несколько измененном виде) Гейзенбер-
гом и др. [86—89]. Нелинейные уравнения спинорного
поля 2) содержат элементарную длину /:
Т"-^: + ^ТЛвФ (ФГТвФ) = 0, A14)
') О взаимодействии экситонов см., например, [83].
2) Иногда в шутку говорят: «Так как и природа, и нелиней-
нелинейные уравнения сложны, то природа должна описываться нелиней-
нелинейными уравнениями». Однако следует отметить, насколько сущест-
существенно нелинейность обшей теории относительности отличается от
нелинейности нелинейного спинорного уравнения. Прежде всего спи-
норное уравнение является локально нелинейным. Наоборот, «не-
«нелинейные» уравнения гравитации локально линейны в этом смысле,
г. е. систему координат в любой точке Р всегда можно выбрать
так, что метрика в этой точке будет иметь локально лоренцовский
характер. Отклонения от лоренцовской метрики входят лишь про-
пропорционально квадрату расстояния от Р. В окрестности этой точки
в данной координатной системе уравнения для таких отклонений
линейны. Иными словами, так называемые нелинейные черты общей
теории относительности проявляются только в областях простран-
пространства-времени большей протяженности и имеют очень тонкий и спе-
специальный характер. Это обстоятельство становится особенно су-
существенным при обсуждении топологических и глобальных свойств
решений уравнений Эйнштейна. Обычно решения считаются прием-
приемлемыми в некоторой заданной области лишь в том случае, если
метрика в окрестности каждой точки в этой области вполне регу-
регулярна. Этот локально лоренцовский характер пространства-времени,
конечно, диктуется принципом эквивалентности Эйнштейна, согласно
которому ускорения в данной точке всегда можно исключить соот-
соответствующим выбором системы отсчета.
В первоначальной формулировке принципа эквивалентности рас-
рассматривались ускорения лишь гравитационного происхождения. Для
заряженных частиц необходим другой подход. Однако, с точки зре-

Геометродинамика 141
не имеющую никакого отношения к характеристической
длине L* квантовой геометродинамики. Разумеется,
вполне возможно, что решение проблемы элементарных
частиц лежит в этом или в каком-нибудь совершенно от-
отличном направлении. Однако если более консерватив-
консервативный подход в какой-то мере обоснован, если есть неко-
некоторая надежда на решение проблемы элементарных ча-
частиц в рамках теорий Максвелла и Эйнштейна, а также
современной квантовой теории без новых добавлений и
изменений, если не вводятся извне поля и константы свя-
,зи, если вся физика есть чистая геометрия, то изложен-
изложенная нами теория является единственным возможным ва-
вариантом. Последнее заключение следует из того, что не
представляется возможным установить соответствие ме-
между выводами квантовой электродинамики и наиболее
очевидными чертами геометродинамики иначе, чем это
было изложено выше. Тогда, по-видимому, нельзя избе-
избежать представления о частицах как о чрезвычайно сла-
слабых коллективных возмущениях в физически содержа-
содержательном искривленном пустом пространстве, имеющем
виртуальную «пенообразную» структуру.
11.16. Совершенно различный характер классиче-
\ских и квантовых заряженных объектов. Этот краткий
(обзор почти всего, что известно в настоящее время о
|природе квантовой геометродинамики, подчеркивает, на-
насколько велико различие между физическими заряжен-
заряженными частицами, с одной стороны, и одним из геонов
или одной из горловин ручек классической геометро-
Ьшя классической геометродинамики, заряженные частицы являются
|нелокализуемыми объектами. В любой точке никогда не появляется
frro-либо напоминающее заряд. В любой окрестности размера /,
^алого по сравнению с размерами горловины ручки, вопрос об уско-
ускорении заряда просто не может возникнуть. В такой окрестности и
Ь соответствующим образом выбранной системе координат электро-
электромагнитное поле вносит нелоренцовский вклад в метрику только по-
порядка I2.
В этом микроскопическом смысле и в рамках классической гео-
геометродинамики принцип эквивалентности можно применять в рав-
равной мере как при наличии электромагнитного поля, так и в случае
[исто гравитационных полей. Другими словами, принцип эквива-
1ентности Эйнштейна играет в настоящее время еще более фунда-
«ентальную роль, требуя строгой локальной линейности уравнений
Юля.

Таблица 9
Сравнение современной геометродииамнческой концепции
классического и квантового заряда
Природа элементарного
заряженного объекта
Название
Наблюдаемость
Размеры, L
Топологическое
описание объекта
Поток силовых ли-
линий через одиночную
ручку (заряд ручки)
Классическая теория
Горловина ручки
Не наблюдался
Макроскопиче-
Макроскопические, L
Горловина отдель-
отдельной топологической
ручки
/
Любой от 0 вплоть
д0 ~{ik)L или
X(масса)
~- Gl/s ■ (масса)
Квантовая теория
Элементарная ча-
частица
Наблюдался
£~10~12 или
103 см
Порядка 106°—10вз
виртуальных ручек
в области с линей-
линейными размерами
~ 10~12 см; ее окрест-
окрестности вплоть до бес-
бесконечного расстоя-
расстояния имеют практиче-
практически равную плотность
виртуальных ручек
Изменяется от руч-
ручки к ручке, но обычно
порядка (ЙсI/2 ~ 12<?
и, следовательно,
огромный по сравне-
сравнению с классическим
пределом
О1/2-A(Г27 г) или
~10~21*

Продолжение
Природа элементарного
заряженного объекта
Полный заряд заря-
заряженного объекта
Важность кванто-
квантовых флуктуации ме-
метрики при описании
этого заряженного
объекта
Отношение сред-
среднего квадратичного
поля вдали от объек-
объекта к среднему квад-
квадратичному полю в
непосредственной
близости
Избыточная кри-
кривизна пространства,
обязанная присутст-
присутствию заряженного
объекта по отноше-
отношению к кривизне в его
отсутствие
Классическая теория
Такой же, как в пре-
предыдущем случае
Флуктуации не рас-
рассматриваются клас-
классической геометро-
динамикой
Пренебрежимо до
тех пор, пока рас-
рассмотрение совершен-
совершенно классическое и
пока действительные
флуктуации в реаль-
реальном вакууме упу-
упускаются из вида
Огромна
Квантовая теория
Квантованное крат-
кратное величины е; вели-
величина кванта заряда
не зависит от поля,
в котором движется
объект, согласно кван-
квантовой электродина-
электродинамике
Чрезвычайно важны
1:10~80
Пренебрежима по
сравнению с 1 : 10~80

144
Глава I
Продолжение
Природа элементарного
заряженного объекта
Классическая теория
Квантовая теория
Связь посредством
ручки между заря-
зарядом этого объекта
и противоположным
зарядом где-либо в
пространстве
Вполне определен-
определенная связь с некото-
некоторой горловиной руч-
ручки в пространстве
Не одна ручка, а
огромное множество
нх. Не реальная и
классическая, а вир-
виртуальная и кванто-
квантовая. Связь устанавли-
устанавливается со всем окру-
окружением, а не с еди-
единичным совершенно
определенным заря-
зарядом противополож-.
ного знака
Упрощенное ре-
резюме этой концеп-
концепции заряженного
объекта
Простая топологи-
топологическая ручка, содер-
содержащая силовые ли-
линии
Коллективное воз-i
мущение почти пре-
небрежимой величи-
величины в пеноподобной
среде
динамики — с другой (табл. 9). Эйнштейн и Розен [49]
в более поздний период, так же как Рейснер и Нордстрем
в первые годы теории Эйнштейна, пришли к заключению,
что заряженные частицы по своей природе не допускают
описания в рамках общей теории относительности. Гео-
Геометризованная масса электрона, например
г) @,74-
и его геометризованный заряд
е* = ^- = D,8 • 1(Г10 CGSE)B,9 • 1(Г25
= 1,4- 104 см
не удовлетворяют энергетическому критерию
(тУ > i
= 6,8 • 1(Г56 см,
A15)
A16)
A17)

Геометродинамика 145
применимому к сферически симметричному решению
объединенной системы уравнений гравитационного и
электромагнитного полей. Исходя из этого обстоятель-
обстоятельства, они пришли к выводу, что необходимо либо изме-
изменить уравнения общей теории относительности, либо
перейти к совершенно иной точке зрения. Однако такой
проблемы не возникает, если отказаться от мысли, что
электрон можно сравнивать с каким-либо классическим
объектом (см. отличие между собой двух последних
столбцов табл. 9). Поэтому необходимо сохранить рез-
резкое отличие между двумя совершенно разными карти-
картинами электрически заряженного объекта: 1) отдельная
классическая ручка в пространстве и 2) коллективное
возмущение в высшей степени квантового характера в
среде топологически столь многосвязной, что она напо-
напоминает пену. Что следует из этого различия в природе
элементарных частиц? Во-первых, нет оснований боять-
бояться, что чисто геометрическому описанию не хватает кра-
красок для описания всей • многогранности физического
мира. В конечном рассмотрении могут выявиться глу-
глубокие тонкости в природе «геометрии», но уже на дан-
данной стадии анализа оказывается, что 4-мерный рима-
римановский пространственно-временной континуум гео-
метродинамики обладает многими неподозревавшимися
ранее возможностями.
Во-вторых, топология оказалась необходимой для
чисто геометрического описания заряда. Следовательно,
есть все основания искать дальнейшие применения
многосвязности для трактовки спина, нейтрино и свойств
симметрии элементарных частиц. В-третьих, вновь воз-
возникли основания рассматривать физику вакуума как
чрезвычайно богатую по своим возможностям, а также
как существенную основу для понимания строения
элементарных частиц. Наконец, открывается возмож-
возможность выводить из чистой геометрии (и ничего более)
величины, имеющие наиболее важное значение для
физики.
В настоящее время применение концепций чистой
геометрии и топологии, вакуума и связанных с этим ве-
величин к физике нейтрино и элементарных частиц нахо-
находится в самой начальной стадии.
10 Зак. 3001,

146 Глава 1
1 Наиболее существенно то, что в современной схеме
геометродинамики не находится вполне естественного
места для нейтрино. Следовательно, все проблемы ней-
нейтринной физики, как решенные, так и нерешенные, ока-
оказываются вне этого рассмотрения. Но прежде, чем пе-
перейти к ним, следует несколько вернуться назад и оки-
окинуть взглядом основные темы настоящей главы — гео-
метродинамику и квантовый постулат, чтобы отыскать
какой-либо ключ к более широкому кругу идей, вклю-
включающих в себя как то, так и другое.
11.17. Топологический аспект квантовой теории. Од-
Одной из характерных черт квантования классической си-
системы оказывается его топологический характер1).
Эта черта особенно ясно обнаруживается в формули-
формулировке квантовой механики фейнмановским методом
сумм по историям [90—92]. Значение суммы по исто-
историям зависит от топологии класса историй, по которым
производится суммирование (фиг. 18). Разность между
значениями суммы для различных классов историй дает
коммутатор из операторной формулировки квантовой
механики. Тем не менее некоммутативные операторы
нигде 'явно не вводятся в основы фейнмановского ме-
метода. Вместо этого коммутаторы приобретают тополо-
топологический характер.
Чтобы проследить появление топологии в квантовой
механике после ее столь поразительного появления в
геометродинамике, возникает вопрос, существует ли ка-
какое-либо глубокое, в настоящее время лишь частично
обнаруженное, топологическое единство между этими
двумя аспектами физики. Пока неизвестно, в каком на-
направлении следует искать ответ на этот вопрос. Поэтому
последующее краткое изложение суммирования по исто-
историям и топологического описания коммутаторов будет
ограничено чистыми фактами и некоторыми деталями,
которые будут использованы в дальнейшем при рассмо-
рассмотрении квантовой теории нейтрино.
1) Этот способ формулировки вопроса возник при изложении
теории поля в курсе квантовой механики в 1955 г. и был описан
в «лоренцовских лекциях» в Лейдене в 1956г. (неопубликовано). Ав-
Автор выражает признательность X. Демпстеру за выяснение многих
сторон этой формулировки квантовой механики частиц и полей.

Геометродинамика
147-
11.18. Фейнмановский метод суммирования по исто-
историям. Чтобы проследить основные идеи этого метода,
достаточно рассмотреть динамическую систему с одной
степенью свободы. Конфигурация системы в момент вре-
времени V описывается единственным числом х1. История Н
Координата
х'
Фиг. 18. Структура историй развивается по-разному в I и II.
Истории имеют различные топологии в этих двух случаях, что иллюстрируется
двумя различными путями, которые переводят одинаковые начальные конфи-
конфигурации в одинаковые конечные конфигурации. Обозначим через /классиче-
/классическое действие для истории Н гармонического осциллятора. Пусть S означает сум-
Н
мирование по всем историям, с одинаковым весом для каждой и нормированное
таким образом, чтобы сумма
(x"t" I x't')=S exp (</tf/ft)
H
| была унитарна. Тогда это выражение будет функцией распространения. Оно имеет
одно и то же значение независимо от того, проводится ли суммирование по исто-
истории типа I или II. Однако значение суммы
| (x"t" I х (<6) х (ta) I x't')=&x (t ь) х (ta) exp {ilHlh)
не будет одинаковым для этих двух классов историй. Разность их равна коммута-
коммутатору операторов х (t ^) и х (t а) операторного формализма, несмотря на то, что
x{tb) и x{ta) являются обыкновенными с-числами, а ие операторами.
описывается функцией хИ (t). Ограничимся историями Я,
которые совместимы с начальной и конечной конфигура-
конфигурациями в том смысле, что
Центральной идеей квантовой механики является
существование амплитуды вероятности ф (х, f), которая
развивается во времени согласно дифференциальному

148 Глава Г
уравнению Шредингера, или, что эквивалентно, со-
согласно интегральному уравнению
ф (х", Г) — f {x"t" | x't') ф (x', t') dx'. A18)
Величина (x"t"\x'f), представляющая собой функцию
распространения, может быть найдена из любой клас-
классической функции Лагранжа L(x, x, t), являющейся
функцией квадратов скоростей с помощью одного
из двух способов.
1) Определяются импульсы p = dL/dx и гамильто-
гамильтониан Н—рх— L = H(p, х, f). Записывается уравнение
в котором необходимо рассмотреть вопрос о правиль-
правильном порядке некоммутирующих • сомножителей в Н.
Уравнение Шредингера решается при граничном усло-
условии: функция распространения в момент времени t — t'
обращается в нуль всюду, кроме точки х = х'. Это
решение умножают на нормировочный множитель с тем,
чтобы функция распространения для различных мо-
моментов времени подчинялась закону композиции:
f (x"'tm | x"t") dx" {x"t" | x't') = (x'"t"r | x't'). A20)
2) Альтернативный способ заключается в определе-
определении сетки историй (skeleton history) путем указания
последовательности промежуточных моментов времени
f < t\ < t2 < ... < tn <t и задания конфигурации в эти
моменты времени: xit х2, ..., хп. С помощью конечных
разностей типа
вместо производных вычисляем теперь функцию Ла-
Лагранжа и разностный вариант классического интеграла
действия
1И = J L {хн @, х„ @, t) dt. A21)

Геометродинамика 149
Отметим, что имеется некоторая неоднозначность в
том, как выражать производные через разности; эта не-
неоднозначность тесно связана с вопросом об упорядочении
сомножителей в гамильтониане. Теперь просуммируем
выражения ехр {UJh) по всей сетке промежуточных
шсторий, интегрируя по координатам х\, х2, ..., хп (*'
■ х" остаются фиксированными) и учитывая соответ-
соответствующий нормировочный множитель перед интегралом.
Затем переходим к пределу бесконечно мелкого разбие-
разбиения промежутка времени.. Предельное значение инте-
интеграла («сумма по всем историям») определяет функцию
распространения:
(x"t"\x't') = Sexp(^). A22)
В случае свободной частицы функция распростране-
распространения, найденная тем или иным способом, имеет одно и
то же значение, которое совпадает с величиной, полу-
полученной для наиболее простой мыслимой сетки, связан-
связанной со сдвигом, линейно зависящим от времени:
(x"t" I xff *> — ( m У/г exn im(x"-x'J
Kx t \xt ) — y 2n.h{t,,__ff) j exp 2h{f — f)
Для частицы в потенциальной яме гармонического
осциллятора экспонента в функции распространения
снова равна экстремальному значению классического
действия, т. е. функции Гамильтона:
2й sin со (Г —О *
Обобщение этой процедуры дает метод, достаточный
для квантования классического поля, как, например,
электромагнитного поля. Пространство разбивается на
конечные отрезки так же, как и время. Это дает четы-
четырехмерную решетку точек в пространстве-времени. Она
ограничена в прошлом и будущем пространственно-по-
пространственно-подобными поверхностями о' и о", т. е. двумя трехмер-
трехмерными решетками. Задание значений поля в каждой
точке на о' означает задание конфигурации поля С. За-
Задание поля в каждой точке четырехмерной решетки

150 Глава I
определяет историю поля Н. Ограничимся историями,
которые на о' согласуются с конфигурацией С и пере-
переходят в С" на о". Во всех точках решетки между о'
и о" переменные поля трактуются теперь как перемен-
переменные интегрирования. Таким путем еще раз вычисляется
сумма по историям, что дает нам функцию распростра-
распространения для поля:
(СV | CV) = S ехр (^-) A25)
в пределе все более и более мелкого разбиения про-
пространства и времени. Функция распространения снова
нормируется так, чтобы она удовлетворяла закону ком-
композиции
S (C"V" I Со") {Со" I Со') = {С"в'" I Со'). A26)
С"
В случае общей теории относительности без источников
переменные С, задающие конфигурацию и параметры,
а также поверхность о, переплетаются неразрывным
образом и образуют единый образ, соответствующий
внутренней 3-геометрии $.
11.19. Топологически различные истории. При при-
применении закона композиции, например, в его элементар-
элементарной форме A20) совершенно не обязательно, чтобы мо-
момент времени t" лежал между f и f". Функцию рас-
распространения для эволюции системы от V до t", где
t" > f", можно объединить с функцией распространения
обратной эволюции от t" к V" и получить функцию рас-
распространения для непосредственного перехода из V в i'"-
при этом не играет роли, какое значение имеет t". В то
время как функции распространения обладают этим ком-
композиционным свойством, матричные элементы, вообще
говоря, им не обладают.
Матричный элемент произведения координат х в два
определенных и различных момента времени ta и tb
определяется [65] как сумма по историям
то же самое имеет место для матричных элементов дру-
других операторов. Однако определение будет полным
лишь в том случае, если топология истории определена

Геометродинамика 151
в такой степени, что можно провести различие между
случаями I и II на фиг. 18. В случае гармонического
осциллятора два определения отличаются друг от друга
на величину
()n *<'•-'->• A28)
Это согласуется со значением коммутатора операторных
величин x.(tb) и x(ta) в обычной операторной формули-
формулировке квантовой механики.
11.20. Коммутаторы без коммутаторов; операторы
без операторов. Аналогичным образом для электромаг-
электромагнитного поля можно вычислить два неэквивалентных
значения матричного элемента произведения
\(ха, ОА(х„ tb). A29)
Разность между историями, имеющими различные топо-
топологии, согласуется с обычным значением коммутатора
двух переменных электромагнитного поля. Таким обра-
образом, исходя из сумм по историям, в которых ни разу не
появляются операторные величины, получаем эквива-
эквивалент обычных перестановочных соотношений; короче
говоря, находим «коммутаторы без коммутаторов».
Конечно, коммутаторы играют известную роль в
фейнмановской формулировке квантовой механики, но
второстепенную, по сравнению с их ролью в оператор-
операторной формулировке. В последней коммутаторы были не-
необходимы для определения алгебры операторов, которая
в своюг очередь была необходима для получения соот-
соотношений между наблюдаемыми. Эти соотношения
обычно приводят к дифференциальным уравнениям.
В фейнмановской формулировке уделяется гораздо
меньше внимания уравнениям, которые надо решать,
а больше формальным (и часто очень полезным) выра-
выражениям для решений. Короче говоря, эта процедура
обеспечивает получение «операторов без операторов».
Таким образом квантовая механика естественным об-
-разом приводит к топологическим рассмотрениям. Ка-
Какая же существует внутренняя связь, если вообще суще-
существует какая-либо связь, между подобной топологией и
топологией геометродинамики? Этот вопрос остается
еще не решенным.

Глава II
о возможности чисто геометрического описания
нейтринного поля
§ 1. Без нейтрино геометродинамика неполна
Многие элементарные частицы имеют полуцелый
спин. Нельзя признать удовлетворительной ни одну из
трактовок элементарных частиц, в которой нет места
для частиц спина 7г. Что же в таком случае может
дать какое-либо чисто геометрическое описание для
объяснения спина '/г? Более конкретным и более важ-
важным является вопрос о том, какое место в квантовой
геометродинамике может найти нейтрино — единствен-
единственный объект полуцелого спина, — который является чисто
полевым в том смысле, что он имеет нулевую массу по-
покоя и движется со скоростью света? В настоящее время
не существует сколько-нибудь ясного и хотя бы удовле-
удовлетворительного ответа на этот вопрос. До тех пор пока
такой ответ не будет найден, чистая квантовая геометро-
геометродинамика в качестве основы физики элементарных
частиц должна считаться неполной. Поэтому следует
перечислить и рассмотреть некоторые попытки найти
естественное место для нейтрино в квантовой геометро-
динамике.
§ 2. Принцип соответствия не применим
к нейтринному полю;
«неклассическая двузначность»
Невозможно найти какое-либо классическое описа-
описание нейтринного поля на основе принципа соответствия.
В этом смысле данное, третье по счету, поле с нулевой
массой покоя по своему характеру совершенно отли-
отличается от гравитации и электромагнетизма. Для по-
последних возможен переход от квантовой теории к клас-
классическому пределу, допуская, например, что вибра-
вибрационные квантовые числа или «числа заполнения»

О возможности чисто геометрического описания нейтрино 153
различных колебательных состояний электромагнитного
поля становятся очень большими. Но нейтрино подчи-
подчиняется статистике Ферми и не может иметь числа за-
заполнения больше единицы. Таким образом, отсутствует
какой-либо очевидный классический отправной пункт
для анализа этого поля. Представляется необходимым
использовать более широкий круг идей. Мысль о полу-
получении понятия спина из одной лишь классической гео-
геометрии представляется столь же невозможной, как и
потерявшая смысл надежда некоторых исследователей
прежних лет вывести квантовую механику из теории от-
относительности. Насколько мы можем судить, при трак-
трактовке проблемы как нейтрино, так и спина следует с са-
самого начала принять квантовое рассмотрение этого
вопроса. Никто не сознавал это лучше, чем Паули. Его
необыкновенно наглядное выражение «неклассическая
двузначность» предвосхитило термин «спин».
§ 3. Составление полей с более высоким спином
из полей спина '/г оказывается невозможным
Иногда выдвигаются предложения ве стремиться
получить спинорное поле из геометрии, а попытаться
получить гравитационное и электромагнитное поля из
спинорного поля. Вместо того чтобы идти по напра-
направлению
Тензор -> Вектор ->Спинор,
одно время казалось более естественным идти по на-
направлению
Спинор -> Вектор -> Тензор.
Однако наиболее исследованная попытка подобного
типа (нейтринная теория света [93—96]J)) оставлена.
Прайс [98]2) установил, что эта теория в любой рас-
рассмотренной до сих пор форме не является релятивистски
инвариантной. Теория предполагает, что между ней-
нейтрино существует физическое взаимодействие, явно ни-
•) См. также статьи де-Бройля, Гейзенберга н Кронига в сбор-
сборнике [97].
2) Дополнительные замечания см. в работе автора [28],
етр. 534, а также в публикациях А. А. Соколова и К. М. Кейза.

154 Глава II
где не вводимое и не рассматриваемое, так что фотон
описывается парой, состоящей из одного нейтрино и од-
одного антинейтрино или, -скорее, линейной суперпозицией,
большого числа таких пар.
С другой стороны, была сделана попытка объяснить
гравитационные силы как обязанные обмену нейтрино,
после того как выяснилось, что ядерные силы нельзя
объяснить обменом пар легких частиц электронов и ней-
нейтрино между нуклонами на основе теории C-распада.
Вскоре после установления нуклониой модели ядра Гей-
зенберг [99]1), который считал, что нуклоны удержи-
удерживаются обменными силами, поддержал предположение,
что нейтрино вместе с электроном или позитроном может
быть посредником в таком взаимодействии. Это взаимо-
взаимодействие отмечается в книге Бете и Вечера [100]; оказы-
оказывается, что эффективное нуклон-нуклонное взаимодей-
взаимодействие 1) расходится, 2) может быть сделано конечным
только с помощью обрезания, 3) зависит от расстояния
между нуклонами как г~ъ и 4) при обрезании на рас-
расстояниях порядка 2 • 10~12 является слишком слабым
(в ~ 1012 раз слабее, чем требуется для объяснения
нуклон-нуклонной связи). Позже Гамов и Теллер
[101—103] предположили, что обмен парой нейтрино свя-
связан скорее с гравитационными силами, чем с ядерными;
Выдвигались некоторые искусственные гипотезы для
устранения расходимости интегралов в выражении вза-
взаимодействия [104, 105, 106].
§ 4. Спинор как квадратный корень из вектора?
Если попытки перейти от спина 72 к более высоким
спинам — спину 1 для электромагнитного и спина 2 для
гравитационного полей [107] — до сих пор оказались
тщетными, то что же можно сказать о попытках пойти
по иному пути? В исконно единой теории поля напря-
напряженность электромагнитного поля представляется как
') См. также В. Гейзенберг, УФН.16, 1 A936); в этой
статье Гейзенберг развивает идеи И. Тамма и Д. Иваненко о ядер-
ядерных силах как электронно-нейтринных. Обобщение в виде тесрии
мезонов дал Юкава [Proc. Phys. Soc. Japan, J7, 48 A935)].—
Прим. ред. .

О возможности чисто геометрического описания нейтрино 155
«максвелловский квадратный корень» из тензора кри-
кривизны Риччи, т. е. величиной, однозначно определенной
с точностью до угла «фазы» а:
Л* = ^v COS а + * ^, sin а,
где
ty.J?" + * ^а * 5*" = #1 = ( -74-) • (Тензор энергии-импульса).
A30)
В этом смысле можно говорить, что поле спииа 1 может
быть выведено из поля спина 2. Можно ли далее «взять
второй квадратный корень», чтобы вывести спинорное
поле? Иными словами, можно ли описать все содержа-
содержание теории нейтрино в формализме, использующем лишь
векторы и тензоры, как это делается в исконно единой
теории поля, где уравнения Максвелла полностью вы-
выражаются через метрический тензор и его производные?
§ 5. Несовместимость геометрии с фермиевским
характером нейтринного поля
Из волновой функции ф спинорного поля, каким и
является нейтринное поле, и сопряженной волновой
функции ф+ просто и естественно можно образовать
обычные билинейные комбинации, дающие скаляр, век-
вектор, тензор, псевдовектор и псевдоскаляр. Более того,
при условии, что эти комбинации удовлетворяют некото-
некоторым условиям совместности, можно перейти от них об-
обратно к самим ф-функциям [108, 112]. Однако на этом
пути не удалось.найти какой-либо полезной точки зре-
зрения, чтобы связать спинорные поля с геометрией про-
пространства. Этот отрицательный результат можно было
ожидать, исходя из того обстоятельства, что принцип
соответствия применим к геометрии, но не к спинорному
полю.
§ 6. Поворот дуальности
для электромагнетизма и нейтрино
- Было бы неправильным оставить «процесс извлече-
извлечения корня», не отметив одной поразительной аналогии
между нейтринным и электромагнитным полями. Если е

156 Глава II
и h обозначают соответственно электрическую и магнит-
магнитную части тензора поля f и если они удовлетворяют
уравнениям Максвелла в пустом искривленном простран-
пространстве, то, как хорошо известно, тем же уравнениям удо-
удовлетворяют новые поля е' и h', определенные с помощью
поворота дуальности:
e/ + ih/ = e*"»(e + /h), A31)
где ао — аддитивная константа «фазы». Точно так
же, если ф удовлетворяет волновому уравнению для
нейтрино в искривленном пространстве времени, то
этому же уравнению удовлетворяет дуально повернутый
спинор [113—115, 5]
Y = tfktki.ty. A32)
[Следовательно, естественно задать вопрос, на который
|пока что нет ответа: существует ли какая-либо глубокая
|связь между двумя видами поворота дуальности?
§ 7. Спиноры дают средство описывать
локальные вращения
Другой важный вопрос заключается в следующем.
Какую геометрическую функцию, выходящую за рамки
преобразований с помощью координат, выполняют спи-
норы? Они позволяют, отвечает Марсель Рисе, описы-
описывать то, что совершенно невозможно описать преобразо-
преобразованием координат с их свойствами непрерывности, а
именно вращение (или преобразование Лоренца) в од-
одной точке 4-пространства, которое никак не связано с
каким-либо локальным вращением в любой другой точке
пространства [116]1). Как же такой вид локализованного
вращения может оказаться важным при переходе от
классической геометродинамики к квантовой? Предпола-
Предполагается два возможных ответа.
') См. также [117]. Д-р Р. Пенроуз любезно подчеркнул, что
спиноры имеют значительно больше сходства с векторами, чем это
подразумевается в интерпретации работы Рисса; реальное отличие
состоит в неоднозначности в знаке (±i спиноров.

О возможности чисто геометрического описания нейтрино 157
§ 8. Возможность спинорного представления группы
преобразования координат не доказана
Возможность 1. «Спинорное поле для геометродина-
мики является тем же, чем спинор для вращающегося
твердого тела»1). Волновые функции симметричного ро-
ротатора, например
Шт. в, х), A33)
для заданных / и К. преобразуются при вращении си-
системы отсчета в новые функции, являющиеся линейными
комбинациями исходных. Коэффициенты обозначаются
двумя индексами m и т' и являются функциями пара-
параметров вращения. При рассмотрении вращений обычного
твердого тела требуются однозначные волновые функ-
функции. Поэтому коэффициенты преобразования должны
однозначно зависеть от выбора элемента R группы вра-
вращений
Вследствие этого / должно быть целым числом. Это тре-
требование не выполняется в случае электронного спина.
Как уже отмечалось, топология группы вращения такая
же, как у 3-мерной сферы, вложенной в 4-мерное эвкли-
эвклидово пространство (х, у, z, w), причем противоположные
точки отождествлены одна с другой. Если направляю-
направляющие косинусы оси вращения обозначить через а, |3, у, a
величину угла поворота — через 6, то в представлении
вращения по Гамильтону — Кэйли — Клейну
x=sin -к® cos а,
у = sin g-6 cos p,
z = sin -g-Q cos у,
W = COS g- 6.
f l) Относительно использования параметров Кэйли — Клейна для
описания ориентации твердого тела см., например, [118].

158 - Глава II
Увеличение 6 на 2it дает то же вращение, но противопо-
противоположную точку на сфере. Если теперь эти две противопо-
противоположные точки не будут тождественными [119], то полу-
полученная группа будет «покрывающей группой», которая
шире группы вращений. Для того чтобы потребовать
однозначности коэффициентов преобразования как функ-
функций элемента из этой расширенной группы, надо допу-
допустить не только целые, но и полуцелые значения спина/.
Тогда добавочные волновые функции и дадут «неклас-
«неклассическую двузначность» Паули.
Произведение двух волновых функций спина 1/2 мож-
можно подобным же образом сопоставить с системой двух
ротаторов и т. д. Таким образом, бесконечную совокуп-
совокупность вращательных степеней свободы можно естествен-
естественным образом рассматривать как источник спинорного
поля.
Простое ортогональное преобразование в одной точ-
точке сопоставляется с одним вращением. Но не приведет
ли изменение криволинейной системы координат в об-
общей теории относительности, с ее бесконечным множе-
множеством точек, к вращению локальной системы отсчета
в каждой точке? Не следует ли вследствие этого рас-
рассматривать бесконечное множество вращательных степе-
степеней свободы? Другими словами, нельзя ли общий эле-
элемент Т группы координатных преобразований выразить
в каком-то смысле в виде прямого произведения беско-
бесконечного числа вращений, каждое из которых связано с
отдельной точкой? Тогда, если окажется возможным со-
сопоставить каждое элементарное вращение со спином V2,
не закончится ли все на спинорном поле и не удастся ли
связать это спинорное поле каким-то разумным пу-
путем с группой общих координатных преобразований об-
общей теории относительности? По-видимому, нет. Топо-
Топология группы Т отличается от топологии бесконечного
произведения покрывающих групп, связанных с единич-
единичным вращением. Лоран не нашел представления группы
координатных преобразований, которое обладало бы
свойствами, присущими спинорному полю1).
') Laurent В. Е., частное сообщение; см. также [120].

О возможности чисто геометрического описания нейтрино 159
§ 9. Связано ли спинорное поле
с существованием «мелкозернистой» топологии?
Возможность 2. Существует другого рода двузначт
ность, представляющая интерес в связи с природой спи-
спина. Рассмотрим одиночную топологическую ручку в про-
пространстве. Другими словами, рассмотрим две полностью
разделенные сферы в 3-мерном пространстве. «Вырежем
пространство внутри этих сфер» и отождествим соответ-
соответствующие точки на их поверхностях. В тот момент, ког-
когда мы начинаем постепенно «погружать палец» внутрь
левой сферы, он начинает появляться (в рассматривае-
рассматриваемом нединамическом и классическом мире) из правой
сферы. Однако есть два неэквивалентных способа про-
проведения отождествления в зависимости от того, проис-
происходит ли вращение поверхностей сфер одинаковым или
противоположным образом. Правая перчатка, прошед-
прошедшая через сферу, в одном случае остается правой, в дру-
другом же случае становится левой (меняется четность).
В первом примере пространство называется ориенти-
ориентируемым, а во втором — неориентируемым. Вполне воз-
возможно, что неориентируемые пространства, или «про-
«пространства, не сохраняющие четность», исключаются
принципом, который кратко упоминался и который пока
что окончательно не сформулирован; «пространство дол-
должно быть надлежащим образом замкнутым». Этот прин-
принцип отбора топологий, вероятно, имеет глубокую связь
с принципом Маха. Если все же оба типа пространства
допустимы, то пространство с одной ручкой имеет клас-
классическую двузначность, связанную с ними, и простран-
пространство с п такими ручками имеет л-кратную двузначность.
Это дало бы 2" неэквивалентных способов прийти к гео-
геометрии с п рукавами и позволило бы получить 2" раз-
различных амплитуд вероятности для одного и того же ма-
макроскопического состояния поля. Тогда мы имели бы не-
неклассическую двузначность с числом спиноподобных
степеней свободы, равным числу рукавов. Таким обра-
образом, это направление исследований представляет значи-
значительный интерес.
Если перейти к виртуальному «пеноподобному» про-
пространству квантовой геометродинамики, то число воз-

160 Глава II
можностей имеет качественно тот же порядок, что и ко-
количество степеней свободы спинорного поля. Трудно
сказать что-либо более определенное о разумности или
неразумности такой мыслимой «корреляции спина с чет-
четностью» до тех пор, пока мы не узнаем больше о фор-
формализме квантовой геометродинамики. Весьма интерес-
интересно обсуждение Финкельштейном и Мизнером [121] воз-
возможности получения волновой функции, которая имеет
неклассическую двузначность в многосвязном простран-
пространстве. Это исследование привело их к предположению,
что 3-мерное пространство, не обладающее кручением
в топологическом смысле этого слова, не может приве-
привести к спину 1/2.
§10. Отсутствие фундаментальной
теории нейтрино
Итак, в настоящее время невозможно указать естест-
естественную и убедительную связь между спинорным полем
и квантовой геометродинамикой искривленного пустого
пространства.
§ 11. Предварительная трактовка нейтрино
как постороннего поля
в заданном пространственно-временном континууме
С другой стороны, электродинамика в схеме исконно
единой теории поля самым непосредственным образом
связана с геометрией. Тем не менее для многих целей
проще не выражать величины электромагнитного поля
непосредственно через метрические величины. Более
удобно использовать знакомый и эквивалентный дуали-
дуалистический язык «поля, погруженного в пространство».
Точно так же имеет смысл говорить о нейтринном поле,
рассматривая его динамическую эволюцию на фоне про-
пространства. Во всяком случае, сейчас это единственный
путь, на котором можно сформулировать теорию ней-
нейтрино достаточно полно, чтобы стало возможным вы-
вывести конкретные физические результаты.

О возможности чисто геометрического описания нейтрино 161
§ 12. Релятивистское волновое уравнение
для нейтрино
Волновое уравнение нейтрино в искривленном прост-
пространстве можно записать либо в дираковской четырех-
компонентной форме:
Т%ф = О, A36)
либо в двухкомпонентной форме Паули — Ли — Янга
5^„ф = 0. A37)
Здесь матрицы удовлетворяют соотношениям
Tub ~т~" "Мц.= ^£|о>1
Наряду с обычными символами Кристоффеля, обра-
образованными из производных метрического тензора:
необходимо определить матрицы, или коэффициенты
Фока — Иваненко Tk, такие, что
|J-Г^-ГрТа + ТаГр = 0; A40)
тогда ковариантная производная V, действующая на
спинор, даст
*.Ф=-£^-г.Ф- A41)
Волновое уравнение1) A36) [или A37)] дает формализм,
пригодный для рассмотрения многих черт взаимодейст-
взаимодействия гравитационного и нейтринного полей.
') См. общий обзор литературы Баде и Джеле [122] по урав-
уравнению Дирака в искривленном пространстве, а также оригиналь-
оригинальные работы В. А. Фока и Д. Иваненко [123], В. А. Фока [124], Берг-
Бергмана [125], Флетчера [126] и Бриля и Уилера [5]. В связи с соот-
соотношением (8) последней работы автор выражает признательность
Ф. Скарфу, указавшему, что в этом соотношении пропущен множи-
множитель 'А; исправленное соотношение (8) имеет вид:
что согласуется с формулой A7) работы В. Бергмана [127]
11 Зак. 3001..

Глава III
ПРОСТРАНСТВЕННО-ПОДОБНОЕ ОПИСАНИЕ
НЕЙТРИННОГО ПОЛЯ
§ 1. Оценка возмущения нейтринного поля
в вакуумном состоянии
Если нейтринное поле рассматривается как внешний
объект в уже существующей пространственно-времен-
пространственно-временной геометрии и если эта геометрия идеализированно
считается почти плоской, то возбужденные состояния
этого поля можно разложить по нормальным колебаниям
обычным путем. Каждому колебанию приписывается
число заполнения, которое может быть 0 или 1, но кото-
которое равно 0 для основного, или «вакуумного», состояния
нейтринного' поля. Нахождение в основном состоянии не
означает, что нейтринное поле — так же как гармониче-
гармонический осциллятор или электромагнитное поле — находится
в состоянии нулевого возбуждения. Можно ли при этих
условиях выразить функционал состояния нейтринного
поля в пространственно-подобном представлении [анало-
[аналогично соотношению A2) для представления основного
состояния электромагнитного поля], которое позволяет
более непосредственно ввести в рассмотрение это со-
состояние возбуждения? Как показал Клаудер [128], это
возможно. Так же как функционал состояния Ч^. элек-
электромагнитного поля сопоставляет некоторое число лю-
любому выбору магнитного поля Н(х), функционал состоя-
состояния нейтринного поля сопоставляет число любому вы-
выбору «х-поля». Здесь х — двухкомпонентное поле, обе
компоненты которого зависят от пространственных коор-
координат
Xi = Xi(*). Х2 = ХгИ- (Н2)
Для поля х, которое регулярно в смысле, более точно
определенном Клаудером, можно написать
(из)

Пространственно-подобное описание нейтринного поля 163
в полной аналогии с соответствующим выражением для
функционала состояния электромагнитного поля. Здесь
Л' — нормировочная константа; ох, °у и аг — спиновые
матрицы Паули, а стрелка над символом оператора
имеет следующий смысл:
Для поля х, которое зависит от пространственных коор-
координат нерегулярным образом, необходимо (как показал
Клаудер) пользоваться более общей формулой, чем
A43):
№)к.Г = ехр[Тг1пA-/О], A45)
где Тг — обозначает след оператора, а К—оператор, за-
зависящий от неквантованных полей х и х*. который был
определен Клаудером.
§ 2. Описание без антикоммутирующих
неквантованных операторов
Описание спинорного поля по методу Клаудера имеет
две совершенно новые и весьма интересные особенности:
■1) Х"поле описывает сверхполную систему состояний и
2) именно на этом основании можно провести квантова-
квантование фейнмановским методом сумм по историям без ка-
какого-либо обращения к так называемым антикоммути-
рующим операторам (с-числам), которые требовались
для этого ранее и которые являются математически не-
некорректными объектами1).
§ 3. Сумма по историям, выраженная
с помощью сверхполной системы состояний
Обычно функция состояния, связанная с одной фер-
мионной степенью свободы, выражается как два комп-
комплексных числа, причем одно дает амплитуду вероятности
') К- Симанзик [129] пишет: «При трактовке фермионных полей
вводятся спинорные функции, которые антикоммутируют сами с со-
собой, с их сопряженными и другими спинорными функциями. В этой
Ьнтикоммутации с комплексно-сопряженными функциями заклю-
заключается трудность, поскольку отсюда вытекает тождественное обра-
обращение в нуль этих' спинорных функций».

164 Глава III
того, что это состояние свободно, а другое — что оно
заполнено. Иными словами, два стостояния |0) и [1) об-
образуют полный набор для описания всех возможных со-
состояний для этой одной степени свободы. Функция рас-
распространения, которая описывает изменение во времени
одного из этих двух состояний или вообще любого со-
состояния, имеет вид
{b"t"|b't') =■ (b"| exp[~l(t'h ~t>)]H\b')- A46)
Закон композиции функций распространения прини-
принимает вид
(b'"t'" | b't') = S Ф'"Г" I b"t") {b"t" I b't'). A47)
6"=0
Этот закон композиции можно переписать в другой,
указанной Клаудером, форме. Определим состояние
\b)^(\-\b\*f\O)+b\\). A48)
Тогда, поскольку b пробегает все комплексные числа
bT-\-ibt с абсолютной величиной, меньшей 1, вектор
состояния \Ъ) пробегает сверхполную систему состоя-
состояний. Закон композиции может быть выражен с помощью
интегрирования по этому набору в виде
(b'"t'"\b't') = f{b'"t'"\bt")db(bt"\b't'), A49)
|Ы<1
где через db обозначен элемент объема
db^^dbrdbt. A50)
Эта точка зрения дает возможность определить обыч-
обычным образом сетку историй фермионной степени
свободы от начального момента f до конечного мо-
момента t". Значения комплексного числа Ь определены
не только в моменты V и t", но также в возрастающей
последовательности моментов времени в этом интервале:
Ь", Ьп, £„_!, ..., b2, bv Ъ'.

Пространственно-подобное описание нейтринного поля 165
Процесс суммирования по историям выражается тогда
в виде п-кратного интегрирования по элементам объема
типа A50) и предельного перехода к бесконечно дроб-
дробному разбиению времени. Обобщая эту процедуру с од-
одной на бесконечное число степеней свободы Ферми — Ди-
Дирака, Клаудер определяет понятие суммы по историям
для фермионного поля. В этом анализе, однако, нигде
не возникало необходимости введения операторов, или
так называемых антикоммутирующих с-чисел.
Вследствие того, что фермионное поле имеет спинор-
спинорный, а не скалярный характер, для описания сверхпол-
сверхполной системы состояний, связанной с одной спинорной
степенью свободы, в анализе Клаудера оказалось необ-
необходимым ввести два комплексных числа. Для определе-
определения двухкомпонентного поля %(х) Клаудера в момент £'
используется пара комплексных чисел Ь\ и Ьъ для каж-
каждой из бесконечного числа спиновых систем.
§ 4. Новая формулировка различия
между статистиками Ферми — Дирака
и Бозе — Эйнштейна по Клаудеру
В анализе Клаудера ничто не заставляет поле Фер-
Ферми— Дирака иметь спинорный характер. Следовательно,
не вносится ничего нового в понимание связи между
спином и статистикой. Но зато достигнута новая форму-
формулировка различия между фермиевской и бозевской ста-
статистиками. Клаудер проиллюстрировал это на примере
одиночного гармонического осциллятора, подчиняюще-
подчиняющегося классическому уравнению движения
Классическое действие имеет величину
t' A52)
а квантовомеханический гамильтониан будет
H = a*a==N. A53)

166 Глава III
В случае поля Ферми — Дирака правильная функция рас-
распространения из состояния | Ь') в состояние | Ь") имеет вид
фЧ" | Ь'Г) = A — | Ь" |2I/! A — | V |2)'/s -+-
+ b* exp I— / (t" —1')\ b', A54)
где как \b'), так и \b") принадлежат к сверхполному
набору состояний и определены соотношением A48).
Клаудер показал, что этот результат можно получить
непосредственно из суммы по истории, если функцию
распространения формально записать в виде
{b"t"|b't') = Nfexp [i f [-j(if ifb)-lfb] ]dtDb(t). A55)
Это выражение следует понимать как предел соот-
соответствующей суммы по сеткам историй, когда раз-
разбиение времени становится бесконечно дробным
^=JL=M^e-^0. A56)
Элемент объема до перехода к пределу равен произ-
произведению выражений типа A51):
dbxdb2 ... dbn. A57)
Подынтегральное выражение имеет следующую про-
простую форму в том случае, когда сетка историй пре-
превращается в непрерывную историю после перехода
к пределу:
A58)
Тем не менее очень важно то обстоятельство, что
основной вклад в фейнмановскую сумму дают про-
процессы, чья история не является непрерывной в этом
смысле. Чтобы последовательно вычислить функции
распространения для таких историй, Клаудер использует
из операторной формулировки квантовой механики
формулу
[~ i{t"~ Г)Щ\Ь') A59)

Пространственно-подобное описание нейтринного поля Т67
и, следовательно, записывает подынтегральное выраже-
выражение в A54) — до перехода к пределу — как произведе-
произведение (п -)-1) числовых, неоператорных сомножителей вида
(Ьк+1\ех9[-кЩ\Ьь) A60)
{(bk+l\bk)-ie(bk+1\H\bk)}. A61)
В том специальном случае, когда Н = а*а, это выра-
выражение имеет значение
{A -|**+i !2)V'A -\bk\2)'k+bl+1bk-ieb*k+M. A62)
или
Именно эта формула в действительности определяет то,
что подразумевается в подынтегральном выражении в
A55). Выражение A62) сводится, конечно, к A58) для
сетки историй, которая в пределе переходит в непрерыв-
непрерывную историю.
Такая же сумма по историям A55) применима и в
случае статистики Бозе! Надо только вместо b подставить
а в A56) и A58) и каждый элемент объема db =
= B/-K)dbrdbi с 1>|6|>-0 заменить на da =
= (Xl^da/jtui, где оо>-|а| ;>0. Функция распространен
ния (a"t"\a'tf), получаемая в результате этого нового
процесса интегрирования, связывает состояние \а) с со-
состоянием \а"), где состояние \а") снова принадлежит
к сверхполной системе состояний, но в этом случае со-
состояний бозевской системы. Обычный полный набор ор-
ортогональных состояний, описывающий бозевскую си-
систему, задается числом заполнения N:
С помощью этого базисного набора векторов состояний
типичное состояние сверхполной системы будет
A63)
N=0
Функция распространения между состояниями такого
рода определяется точно так же, как функция распро-
распространения между любыми другими видами состояний, и
вполне достаточно для описания динамики системы.

168 Глава 111
§ 5. Выбор действия
В этом формализме квантование бозе-эЙнштейновских
систем математически выглядит аналогично квантованию
ферми-дираковских систем. В чем же состоит различие?
Важным моментом, как указал Клаудер, является не то
обстоятельство, что комплексное число а в одном случае
не ограничено, в то время как в другом случае комплекс-
комплексное число b лежит внутри единичной окружности. На-
Напротив, основное различие заключается в том, что 1)
классическому интегралу действия в A55) или A58)
следует придать смысл и в случае разрывной истории
еще до вычисления суммы по историям и что 2) это рас-
распространение принципа наименьшего действия на «неза-
«незаконные» истории делается различным образом для бозе-
эйнштейновских и ферми-дираковских полей. Характерно,
что подынтегральное выражение фейнмановскоЙ суммы
по историям A55) снова является произведением (п + 1)
сомножителей, каждый из которых совершенно аналоги-
аналогичен A61):
(|> <
однако конкретное выражение этой величины [как след-
следствие равенств A53) и A63)]
|«la+«iAИ!2 /адл] A64>
будет совершенно отличным от значения A62), исполь-
используемого в случае статистики Ферми — Дирака. Тем не
менее для непрерывной истории элементарная функция
распространения для обеих статистик полностью совпа-
совпадает в пределе бесконечно мелкого разбиения времени
(в—0).
Резюмируя, Клаудер пишет:
«Фейнмановский метод требует значения численного
значения действия для историй, лежащих вне области,
в которой вводится интеграл действия, т. е. для историй,
которые разрывны во времени или в пространстве. Это
можно представлять как «свободу выбора действия»;
т. е. значение действия для таких «незаконных» историй
можно определить различными способами. В зависимо-
зависимости от сделанного выбора получающаяся квантовая тео-

Пространственно-подобное описание нейтринного поля 169
рия может подчиняться либо статистике Бозе, либо ста-
статистике Ферми. Эта неоднозначность присуща самому
формализму, но надлежащий способ расширения класси-
классической информации можно получить, записывая сумму
по историям в виде суммы произведений матричных эле-
элементов унитарных операторов, изменяющих состояние за
бесконечно малый промежуток времени. Этот процесс
суммирования можно не ограничивать обычными дискрет-
дискретными базисными векторами, но можно применять «обоб-
«обобщенное представление», которое включает для каждой
фермионной степени свободы непрерывное множество век-
векторов, не являющихся независимыми. Выбором надле-
надлежащей параметризации для этой «сверхполной системы
состояний» можно получить необходимый функционал
действия в экспоненте подынтегрального выражения,
который и определяет с-числовую сумму по историям».
То, что классическая физика есть предельный случай
квантовой физики, давно известно; однако новым яв-
является то, что здесь видна степень произвола, возникаю-
возникающая при обратном переходе (произвол в интерпретации
интеграла действия настолько велик, что заключает в
себе различие между противоположными видами стати-
статистики). Нет ничего удивительного в том, что это обстоя-
обстоятельство может оказаться ключом к более глубокому
осмысливанию ферми-дираковских (и спинорных) по-
полей. Совершенно независимо от этих принципиальных
вопросов работа Клаудера, по-видимому, позволяет при-
применить к фермионным полям эту технику квантования —
суммирование по историям, свободное от любых ссылок
на операторные величины, — которая, в частности, хо-
хорошо подходит для пространственно-подобного описания
нейтринного поля особенно в искривленном простран-
пространстве. Тем не менее достаточно и более простых методов,
которые вполне пригодны для анализа тех элементар-
элементарных процессов, которые теперь должны быть рассмотрены.
§ 6. Геометродинамика не объясняет
закон сохранения лептонов
В связи с пространственно-подобным описанием ней-
нейтринного поля возникает по аналогии с электромагнит-
электромагнитным полем еще один вопрос. Содержит ли это спинорное

170 Глава III
поле что-либо похожее на сохраняющийся поток через
ручку в многосвязном пространстве, подобно заряду,
определенному электрическим потоком? Если бы удалось
определить некоторый спинорный поток и установить,
что он сохраняется, то это обстоятельство могло бы иметь
отношение к интерпретации лептонного заряда. Но этого
нет. В исследованном случае [130] оказалось возможным
Nточно решить уравнение спинорного поля с нулевой мас-
массой покоя в пространстве с многосвязной топологией.
В эгом примере было показано, что невозможно кова-
риантно определить какую-либо величину со свойствами,
аналогичными свойствам полного потока. Следователь-
Следовательно, сейчас в рамках геометродинамики не видно пути к
пониманию, почему нечто вроде лептонного числа могло
.бы сохраняться ').
') В этой связи см. особенно [131].

Глава IV
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРИНО
И ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Образование реальных и виртуальных пар
из вакуума
Образование пар при столкновении двух фотонов [132]
hu>l-\-hw2^.e--\-e+ A65)
и рассеяние света на свете [133]
/icoj -)-Йш2—»Йш3-4-Лш4 A66)
были двумя процессами, проанализированными на ран-
ранней стадии развития квантовой электродинамики. Толл
[134]1) впервые установил, что сечение рассеяния вперед
во втором процессе (более высокого порядка) может
быть непосредственно получено из сечения более про-
простого процесса A65) и что дисперсионное соотношение
Крамерса — Кронига справедливо при релятивистских
энергиях. Эти результаты ясно говорят о богатстве фи-
физики вакуума. Что можно сказать о нейтринных анало-
аналогах этих электромагнитных процессов?
Существование процесса
v+v^(I-(-e+ A67)
непосредственно следует из спонтанного распада р-ме-
зона и принципа микроскопической обратимости. Зна-
Значительно выше порога,
A68)
вычисленное сечение для этого процесса растет [5, 28]
как
()y>2. A69)
') См. также более раннее сообщение [135],

172 Глава IV
В случае света сечение для образования пар сначала
растет с энергией, ио потом падает, так что дисперси-
дисперсионный интеграл сходится. Иначе обстоит дело здесь,
когда использование буквально той же формулы для
сечения рассеяния дает
Эта расходимость говорит о том, что дисперсионное со-
соотношение не следует применять для нейтрино так же,
как для света, или что сечение для процесса образования
пар A67) не может продолжать расти до бесконечности
пропорционально инвариантному произведению <ui<u2> или
что имеет место то и другое. В подобной ситуации, как,
например, в упрощенной теории торможения в среде
или в динамике плазмы, появляются логарифмические
расходимости, которые при более тщательном анализе
оказываются величинами порядка 10. Предположение,
что и здесь логарифмы представляют собой величину
такого же порядка, приводит, конечно, к сечению рассея-
рассеяния вперед нейтрино на нейтрино фантастически малому,
но все же существенному для теории геонов, образован-
образованных из нейтрино [5, 28].
§ 2. Формфактор. Прямое взаимодействие Ферми?
Существование конечного значения интеграла A70),
вообще говоря, зависит от предположения, что некоторого
рода формфактор осуществляет обрезание взаимодей-
взаимодействия Ферми на высоких энергиях и малых расстояниях.
Ли и Янг [136] обсудили возможности эксперименталь-
экспериментального следствия такого формфактора. Он гораздо более
существенным образом, чем логарифм, входит в фор-
формулы для сечения других нейтринных процессов, некото-
некоторые из которых проанализировал Ювема [6]. Однако этот
процесс рассеяния нейтрино на нейтрино уже сам по
себе привлекает внимание к другой трудности в оценке

Элементарные взаимодействия нейтрино 173
«акчений некоторых элементарных процессов нейтринной
физики. Вполне возможно, что рассеяние обусловлено
прямым взаимодействием Ферми, которое основано на
возможной тождественности констант связи процессов
v_l_v->v'+7' A71)
/>+-*?--»• л+v. A72)
Тогда вклад процессов 2-го порядка через образование
и аннигиляцию пар рг, е+ был бы пренебрежимо мал.
§ 3. Упругое рассеяние нейтрино электронами
и протонами
Аналогичный процесс прямого взаимодействия
' A73)
не представляет столь фантастических трудностей для
экспериментального изучения. Это прямое взаимодей-
взаимодействие фермиевского типа, если оно существует, будет
превосходить любой процесс взаимодействия 2-го по-
порядка, идущий через виртуальные промежуточные со-
состояния п + п и р + р. Прямое взаимодействие, если оно
вообще имеет место, может, естественно, иметь ту же
константу взаимодействия ') g = 1,37 • 10~49 эрг • см3, ко-
которая характеризует процессы в «треугольной диаграм-
диаграмме» [139—143]
р, п
/ \
е, v A, v
В этом случае сечение рассеяния будет порядка
A74)
для нейтрино с энергией Аш порядка энергии покоя
электрона и больше
/ ч о
»2 A75)
Относительно измерения этой константы см. [137, 138].

174 Глава IV
для меньших энергий, причем
а~1СГ44сл«2 A76)
при hu> = me2 — 0,5 Мэв.
Сечение, подобное A75), ожидается и для упругого
рассеяния антинейтрино на протонах, если здесь также
имеет место прямое взаимодействие Ферми. Воллан [144]
исследовал этот процесс. Его экспериментальная уста-
установка состояла из двух одинаковых сосудов, причем один
был наполнен СН4 при давлении 11 атм, а другой — арго-
аргоном под таким давлением, чтобы получить одинаковый
выход f-лучей. Никакой заметной разницы в ионизаци-
ионизационном токе, когда обе эти камеры были помещены сна-
снаружи защитного покрытия, реактора, создающего мощ-
мощный поток антинейтрино, не было обнаружено. Из этого
отрицательного результата следует, что сечение рассея-
рассеяния антинейтрино на протонах меньше 2- 100 см2. Новые
эксперименты по исследованию таких эффектов, согласно
любезному частному сообщению Рейнса (см. также [145,
146]), станут возможными при достаточной чувствитель-
чувствительности регистрирующей аппаратуры и достаточно боль-
большой мощности ядерного реактора, чтобы обнаружить се-
сечения —10~44 см2.
§ 4. Формфактор; обнаружение антинейтрино
Нейтрино, испускаемые при р-распаде продуктов де-
деления ядер, имеют слишком низкую энергию, чтобы с их
помощью можно было обнаружить какую-либо энергети-
энергетическую зависимость константы взаимодействия Ферми в
этом эксперименте по рассеянию, или формфактор, рас-
рассмотренный Ли и Янгом [136]. Также не представляется
возможным экспериментально исследовать важный во-
вопрос о формфакторе в знаменитой реакции поглощения
антинейтрино [147—149]:
\-\-р-+е+ (аннигилирует с электроном, давая два фотона, с корот-
коротким, но характерным временем запаздывания) -f- n (захватывается
в Cd, растворенном в воде, с испусканием нескольких 7-квантов
через некоторое более продолжительное характерное время A77)
вследствие низкой скорости счета. Эта реакция, имею-
имеющая столь решающее значение в установлении реально-
реальности антинейтрино, может служить, однако, для измере-

Элементарные взаимодействия нейтрино 175
ния потока антинейтрино в пространстве. Рейне и Коуэн
в измерениях на мощном реакторе Дюпона в Саванна-
Ривер получили сечение
о = A1±2,6)-1СГ44сж2 A78)
для реакции протона с антинейтрино средней энергии,
испускаемыми при распаде продуктов деления; если же
учесть, что на один акт деления испускается 6,1 нейтрино,
то эффективное сечение на протон будет равно
F,7 ± 1,5) • 1СГ43 см2/деление. A79)
Для вычисления ожидаемого в этом эксперименте зна-
значения требуется лишь: 1) знание числа независимых
спиновых состояний, разрешенных для антинейтрино,
2) принцип микроскопической обратимости, 3) знание
относительной энергетической зависимости сечения,
4) спектр нейтрино от продуктов деления, который можно
получить из р-спектра. Картер, Рейне, Вагнер, а также
Вайман [150] измерили этот спектр [145, 146] и вычислили
F,1 ± 1) • 1(Г43 см2/деление A80)
для антинейтрино, описываемых двухкомпонентными
волновыми функциями и имеющими лишь одно спиновое
состояние [151], и
C,05 ± 0,5) • 10~43 см2/деление A81)
для нейтрино, которое, подобно электрону, имеет два спи-
спиновых состояния и которое описывается четырехкомпо-
нентными волновыми функциями, подчиняющимися урав-
уравнению Дирака. Для четырехкомпонентной теории Майо-
Майорана предсказанная величина сечения [150] равна
14,4 • 10"3 отделение. A82)
Таким образом, наблюдения согласуются с принципом
микроскопической обратимости и двухкомпонентной
(одно спиновое состояние) теорией нейтрино.
§ 5. Нетождественность нейтрино и антинейтрино
Были предприняты попытки обнаружить поглощение
нейтрино, участвующее в реакции
CF(v, е~)Ат37 (радиоактивный), A83)

176
Глава IV
Таблица 10
Сравнение потоков нейтрино в антинейтрино
Значение потока нейтрино от реактора в Саванна-Ривер взято по
Рейнсу и Коуэну (см. [2, 3, 147, 148]). Значение потока от Солнца
по Аллену [151], который также отметил, что нейтрино от реакции
(р, р) имеют энергию ниже порога реакции на С137, тогда как в угле-
углеродно-азотном цикле позитроны от распадов N13 и О15 связаны
с максимальной энергией нейтрино 1,24 и 1,68 Мзв. Значения по-
потока нейтрино, образованных космическими лучами, основаны на
очень грубых оценках; 1 первичная частица (на I см2 в 1 мин)
и 10 нейтрино на одну первичную частицу (по 5 каждого сорта).
Значения потока от удаленных звезд основаны на известной ин-
интенсивности света звезды и предположении, что приблизительно '/ю
часть всей энергии переходит в нейтрино, как и в случае Солнца.
Значение потока, возникающего за счет урка-процесса, основаны
на предположении — только на предположении, — что за время сво-
свободного падения D час) в звезде часть массы, переходящая в энер-
энергию нейтрино и антинейтрино, равна 10~4 массы Солнца B ■ 1033 г);
при этом R — расстояние до звезды в миллионах световых лет
(~»2 для ближайших галактик; ~0,1 или меньше в пределах Млеч-
Млечного пути). Поток от ускорителей так сильно зависит от экспери-
экспериментальных условий, что он не приводится в данной таблице.
Реактор в Саванна-Ривер
(продукты деления) . . .
Солнце
Космические лучи ....
Звезды (кроме Солнца) . .
Урка-процесс
Реакция обнаружения . . .
Ее порог
Нейтрино
|
6-10"
-10
~103
~ W/R*
Cl37 (ve
0,816
1
~6-10"
~10»
103.
W/R2
-) Агзг
Мзв
Антинейтрино
1,3-10'3
~10
~ Ю2//?2
О)
~2-1013
~103
4 - Ю3//?2
р(че+) п
1,8 Мзв
в эксперименте, предложенном Понтекорво и рассмотрен-
рассмотренном затем Альварецем. Девис [150] нашел в подоб-
подобном эксперименте с 1000 галлонами ССЦ в Саванна-
Ривер о = @,3 ± 0,4) • 10~45 см2 и пришел к выводу, что
о < 0,09 • КГ44 см2; A84)

Таблица II
Предсказания Ювемы (по необходимости весьма неопреде-
неопределенные) для некоторых нейтринных реакций, рассчитанные
для области низких энергий в предположении обрезания
на энергии 1 Бэе.
Результаты, отмеченные звездочкой, особенно чувствительны к точ-
точному значению энергии обрезания. Сечение дано в см2, энергия
(е0 — начальная энергия, е — конечная энергия и т. д.) в Мзв.
Начальное
состояние
V, р
У, П
V,, IX
v,, e
V, V
v, f
v в поле Ze
V, И
-*, Р
V, <?
V
V, V
V, V
<?, «г
v, т
v в поле Ze
v, 7
Конечное
состояние
И, Й+
Р, <?
v2, £
W
Р-, ^+
V, (Л, £
v, (л, е
V, И
v, e
V, V, V
V, V
е, е
V, V
V, V, V
v в поле Ze
о*
^6,5-
-6,5-
-6,5.
-1,3-
-1,5-
~3-
~3-
~3-
~3-
Бесконечное
-6-
-1,4-
-4-
~5-
см2
io-««b
*** 20/^0
1 /\~~44 2
10-47v^3/co
10-67vr
10-67v|*
время жизни
lO-57v7*
107v7*
108v7*
lO-6lZ2v,v2*
12 Зак. 3001,

178 Глава IV
это согласуется с реальным различием между нейтрино
и антинейтрино (табл. 10).
Ювема [6] исследовал нейтринные процессы, перечис-
перечисленные в табл. 11. Вычисленное сечение в большинстве
случаев сильно зависит от предположения о формфакторе
взаимодействия Ферми. Он предположил, что этот форм-
фактор эквивалентен обрезанию энергий промежуточных
состояний выше 1 Бэв.
§ 6. Образование пар гравитонами
Были изучены элементарные процессы, включающие
взаимодействие гравитационного поля с элементарными
частицами [152—156, 80, 85], в частности с нейтрино [5].
Сечение взаимодействия двух гравитонов с образова-
образованием пары нейтрино или электронов можно определить
(табл. 12) методом, использованным Бором при рассмо-
рассмотрении образования электронной пары двумя ч-кван-
тами. Оцененное таким образом сечение
aft , 1 (\ р цж\
yi A85)
согласуется с вычислениями Иваненко и достигает вели-
величины, сравнимой с л2 лишь при длинах волн, сравнимых
с масштабом флуктуации гравитационного поля
и при массе (энергии) порядка 10~5 г A028 эв).
Вычисленное сечение обратной реакции следует той же
формуле A85) и имеет ту же энергетическую зависи-
зависимость, что и сечение образования ц+ и ет. Отношение
этих двух сечений равно
в согласии с известным огромным отношением константы
3-связи к константе гравитационной связи.

Таблица 12
Оценка порядка величины сечения образования пары при стол-
столкновении двух квантов с равными и противоположными им-
импульсами (по Брилю и Уилеру 15])
Процесс
Энергия кванта
Объем локализации
Плотность энергии
Соответствующее по-
поле
Квадрат напряжен-
напряженности поля
Потенциал в области
концентрации энергии
Потенциал, необходи-
необходимый для перехода из со-
состояния £, = — fic/Х2 в
состояние Е2 — -}- hc/X2
с вероятностью, близ-
близкой к 100%
Отношение имеюще-
имеющегося возмущения к не-
необходимому возмуще-
возмущению
Сколько раз этот мно-
множитель входит в матрич-
матричный элемент
Е = Йс/Х
— X3
~ Йс/Х4
Электрическое
~ (йс)'/г/Х2
6Л~,(йс)'/2/Х
ЬА — Ьфе
~ el (Йс)'/2
2
G + G-*v+* или е+е
Е = ЙС/Х
— X3
~ ЙС/Х4
Гравитационное
~ (ыа)ч'1>.2
tg-WGlc^/X
~ {hG/c*)'1*/*.
2
12*

180
Глава IV
Продолжение табл. 12
Процесс
Сколько раз матрич-
матричный элемент входит в
вероятность перехода
- Сечение образования
. пары при вероятности
образования 100%
Получающаяся оцен-
оценка сечения образования
пары
Асимптотическое по-
поведение точной форму-
формулы для сечения (высо-
(высокая энергия, неполяри-
зованное излучение)
Y+Y -*е+ + е~
2
~Х2
а ~ (е*/Г1сJХ2
~-(г2//ис2J(/ис2/£J
и~2к(е2/тс2УХ
Х(тс2/ЕJХ
X \n[2E/ehmc2]
O+O->4+v или е+е
2
~>.2
с ~ (fiG/cs)/X2
~A,6 • 10-sscmLA2
~(G£/c4J
Еще не
вычислено
§ 7. Поведение нейтрино в гравитационных полях
большого масштаба
До сих пор мы рассматривали нейтрино лишь с точки
зрения процессов испускания и поглощения, описываемых
некоторым эффективным сечением !). Если бы наши зна-
знания об электроне были ограничены подобным же образом,
то мы бы знали вероятность, с которой электроны испу-
испускаются и поглощаются при В-распаде и /С-захвате, но ни-
ничего бы не знали о движении электрона в электрическом
и магнитном полях, о связи электронов в атоме и очень
мало знали бы о тензоре энергии-импульса электрона. Ко-
') Имеются два хороших обзора: монография Дж. Аллена [151]
и статья «Нейтрино», написанная By в сборнике, посвященном па-
памяти В. Паули [157].

Элементарные взаимодействия нейтрино
181
нечно, на нейтрино не действуют непосредственно электри-
электрическое и магнитное поля. Поэтому всякий анализ его дви-
движения в пространстве сводится к тому, как он реагирует
на гравитационное поле. В последних исследованиях, пред-
предпринятых в этом направлении [5], рассматривались 1) дви-
движение, 2) энергетические уровни нейтрино в гравитацион-
гравитационном поле и 3) свойства геонов, масса и энергия которых
обязана нейтрино.
§ 8. Причина слабости
гравитационного излучения
Возвращаясь от нейтрино и их взаимодействий с гра-
гравитационным полем к чисто гравитационному излуче-
излучению, следует вспомнить аналогию с электромагнитным
излучением (табл. 13) и причину малой вероятности из-
излучения в одном случае по сравнению с другим. Для
Таблица 13
Поле ускоренных зарядов и ускоренных масс 1) на расстоя-
расстояниях, малых по сравнению с ковременем ускорения T=cAt,
и 2) на расстояниях, больших по сравнению с этим ковременем
В обоих случаях компонента ускорения, перпендикулярная на-
направлению наблюдения, обозначена через а.
Близко
Далеко
Эффект от пары тел,
вращающихся около
центра тяжести
Значение суммы при
учете закона действия
и противодействия
Влияние разности вре-
времен прихода от двух
центров
Электромагнетизм
е/г2
eajc2r
(ехах + е2а2)/с2г
То же
Не существенно
Гравитация
Gm/r2
Gma/c2r
G(m,a,-f-m2a2)/c2r
0
2
~ 2 («""л/с) X
X Цйтьгьы*1с2г)

182
Глава IV
Продолжение табл. 13
Множитель, на кото-
который надо умножить
квадрат напряженности
поля, чтобы получить
поток энергии
Результирующее зна-
значение — (dE/dt)
Момент, ответствен-
ответственный за излучение при
периодическом движении
Электромагнетизм
4пг2/8л
— е*а*1с3
~ (ОJрJ С'
Р = <?,Xi + е2х2
Гравитация
~(c*lG)r*
~ G (ш3/)/с5
/ = тхг[ + т/\
электрона, вращающегося вокруг ядра, излучаемое поле
определяется в основном дипольным моментом системы.
В случае же двух масс, вращающихся относительно друг
друга, дипольный момент масс относительно центра тя-
тяжести должен быть равен нулю. При анализе излучения
в этом случае необходимо вычислить следующее прибли-
приближение и учесть запаздывание по ковремени возмущения
от двух центров: Г\ и г2. Вклады от излучаемых полей
не будут теперь полностью компенсироваться вследствие
учета разности фаз i£>rjc и (ог2/с. Полученная оценка по-
потери энергии системой согласуется с прежними расче-
расчетами Эйнштейна и пропорциональна квадрату квадру-
польного момента масс и шестой степени частоты вра-
вращения.
§ 9. Импульсные источники гравитационного излучения
Предыдущие рассуждения относились к непрерыв-
непрерывному излучению. Не меньший интерес представляет и
другой крайний случай, когда источник испытывает вне-
внезапное возмущение, длящееся в течение времени At, и
дает импульс излучения в течение ковремени порядка
ДГ = cAt (табл. 14), Анализ этой таблицы несколько

Таблица 14
Анализ импульсного излучения ■)
Электромагнетизм
Гравитация
Основной момент, от-
ответственный за излу-
излучение
Его фурье-образ
X
Bл)-1*
X[i<»t]dt
Обозначение этой ве-
величины
Разложение полных
потерь энергии на из-
излучение ДЕ
Gc~5 fi'Ht)dt)
Разложение АЕ по
соответствующим угло-
угловым частотам
Ge-5
Подынтегральное вы-
выражение приблизитель-
приблизительно постоянно относи-
тельноластоты, от ш=0
до критического значе-
значения <й, за которым из-
излучение очень быстро
падает
I
ЛКРИТ.
"КРИТ.
— dAE/dot при
о> < шкрит.
3рЦ0)

184
Глава IV
Продолжение
Статический момент,
входящий в эту фор-
формулу
Другая запись
— (dAE/du)
Общая энергия в им-
импульсе
Электромагнетизм
~(«1Дг;л:1 +e2bvxi
~ (еДг/J/с3
/ПредыдущееХ
\ выражение /
Гравитация
А (.Кинетическая
энергия")^
~> С [Д („Кинети-
(„Кинетическая энер-
гия«)^]2/с5
/ Предыдущее \
\ выражение /'
х) Автор выражает признательность проф. В. Телегди за дискуссии, которые
помогли составить настоящую таблицу.
упрощается ввиду того, что существенной величиной бу-
будет не вся кинетическая энергия, а только «нецентраль-
«нецентральная», или квадрупольная, часть кинетической энергии.
Например, в случае звездных взрывов этой величиной
будет не вся освобождающаяся энергия, а лишь произ-
произведение этой величины на эксцентриситет, возникший
при расширении как вследствие вращения, так и других
причин.
Грубая оценка энергетического выхода некоторых
импульсных источников излучения дана в табл. 15. До
сих пор обращалось мало внимания на открытие эффек-
эффектов подобного рода путем наблюдения их влияния на
геометрию системы пробных тел, первоначально распо-
расположенных по кругу, нормальному к направлению при-
прихода излучения и внезапно вовлеченных приходящим
импульсом в движение эллиптического характера. Од-
Однако исследование генерации и обнаружения непрерыв-
непрерывного гравитационного излучения недавно было дано Ве-
бером [158]. Какой бы приемник ни использовался для
непрерывного или импульсного излучения, ясно, что
следует надеяться прежде всего на счастливую слу-
случайность природы, которая может предоставить нам, так

Таблица 15
Энергия, переходящая в импульсное гравитационное излучение
для четырех случаев
Составление этой таблицы было стимулировано интересным рас-
рассмотрением гравитационного излучения при делении ядер, сделан-
сделанным проф. Шюкингом на Руайомонской конференции 1959 г.
Случай
Масса, г .
Скорость, см/сек .....
Энергия, эрг
Предполагаемая доля, отно-
относящаяся к излучающему
моменту
Интеграл по времени от
этого момента = («Кине-
(«Кинетическая энергия»)^, эрг
(«Кинетическая энер-
гия»)лх/с*> г
dE/du> ~> — [(«Кинетиче-
[(«Кинетическая энергияхХ^/е2]2,
эрг • рад~1 -сек
ДЛ сек
Ди~>1/Д<, рад ■ сек~1 . . .
Л£ (излученное)" эРг
Предполагаемое расстоя-
расстояние до приемника, см . .
Д£/4да-2, эрг/см2
Одно
деление
с энергией
180 Мэв
4-10-"
1,2.10s
2,9-Ю4
1
2,9 • 10~4
3,2- КГ25
2,3 • 107
ю-21
1021
ю-46
10'
ю-63
Ядерная
бомба
(на делении)
17 килотонн
с эффек-
эффективностью
\0%
10"
4-Ю8
7 • Ю2°
0,1
7-1019
0,08
1,4.10-'°
10~8
108
ю-2
103
109
Метеорит,
ударяю-
ударяющийся
в землю
со ско-
скоростью
отрыва
109
11 • 105
6 - 102°
1
6 • 102"
0,67
1,0-КГ18
КГ8
103
ю-5
109
• ю-34
Взрыв
звезды,
освобо-
освобождающий
Ю~4 ее
массы
2 • 1033
4-108
1,8-1050
0,1
1,8 -10<9
2 • 1028
9 ■ 1088
104
ю-4
Ю23
ИГ12

186 Глава IV
сказать, бесплатно, требуемый источник излучения, по-
подобно тому же, как были открыты радиозвезды в каче-
качестве источников электромагнитного излучения. Если же
эти надежды на обнаружение природных источников
гравитационного излучения не осуществятся, то, соглас-
согласно оценкам Вебера, все же возможно создать искус-
искусственные источники гравитационного излучения с интен-
интенсивностью, достаточной для ее обнаружения.
§ 10. Длинноволновое гравитационное излучение
при достаточной интенсивности
может привести к многократному изображению
удаленных галактик
Нет никакой необходимости ограничивать наше рас-
рассмотрение гравитационным излучением, которое имеется
в настоящее время. Огромные количества этого излуче-
излучения должны возникать при сжатии и последующем
взрыве Вселенной, если этот процесс происходит пример-
примерно аналогично тому, как у пузырьков в воде образуются
выступы. Крупномасштабные возмущения метрики
будут в таком случае распространяться в виде гравита-
гравитационного излучения. Совершенно не очевидно, что это
излучение будет ограничено количеством эффективной
массы и энергии того же порядка, что и масса в форме
«материальных частиц». Поэтому интересно узнать, ка-
какова эффективная величина энергии, переносимой этими
возмущениями. Волны с длиной волны от сантиметров
до километров можно изучать с помощью приемной ап-
аппаратуры, которая будет создана в ближайшее одно-два
десятилетия. Однако вполне можно предположить, что
гравитационное излучение (если его много) возникает
в диапазоне длин волн, сравнимых с масштабами рас-
расстояний между большими скоплениями материи во Все-
Вселенной — галактиками. Расстояния между галактиками
будут меняться со временем в процессе расширения Все-
Вселенной, и пропорционально им будут меняться и длины
волн гравитационного излучения. В настоящее время эти
расстояния составляют порядка 2-Ю6 световых лет, и
было бы интересно изучить гравитационное излучение и

Элементарные взаимодействия нейтрино 187
возмущения в метрике, имеющие такой характеристиче-
характеристический размер ').
На фиг. 19 дано схематическое изображение замкну-
замкнутого пространства с изменяющейся кривизной. Две
близко расположенные точки можно связать только од-
одной геодезической. Однако точки, расположенные на
большем расстоянии, можно иногда связать двумя или
Фиг. 19. В нерегулярно искривленном про-
пространстве имеется более одной геодези-
геодезической со сравнимыми длинами, которые свя-
связывают достаточно удаленные точки А и В.
более геодезическими сравнимой длины. Аналогичная
ситуация, возникающая в акустике, хорошо известна.
Взрыв в одной точке может вызвать на некотором рас-
расстоянии три или пять «отзвуков»; число акустических
изображений источника зависит от неоднородностей в
показателе преломления атмосферы. Таким образом, в
искривленном пространстве g^ играет в обобщенном
') Автор выражает признательность проф. М. Шварцшильду за
обсуждение астрофизических приложений гравитационного излуче-
излучения, вопроса о наиболее существенных длинах волн и проблемы
возможности использования каких-либо сведений о внутренней ди-
динамике галактик для проверки наличия гравитационного излучения.
Признательность выражается также д-ру Б. Бертотти и д-ру ф. Грос-
Гроссу за обсуждение вопроса о многократных изображениях в про-
пространстве с нерегулярной кривизной, проф. У. Ингарду и проф.
Ч. Харрису за указание литературы по акустике и проф. С. Чандра-
секару за обсуждение его работ по проблеме сцинтилляций.

Требуемое р
Материя, сосредоточенная
в галактиках ,,. ,
С Куски обычного
Равномерно 1 еещества
распределенные^ Центральный Н2
(Нейтральный Н
Космическое излучение
Магнитные поля
Электромсгнитное излучение
Термоядерные нейтрино
Нейтрона другого происхождения
Антинейтрино с энергией >ЦВМэв
Гравитационное излучение
9
9
9
9
9
9
1
9
*а
9
9
9
9
9
9
9
1
9
9
9
9
9
9
9
9
, ?
9
9
9
?|?
9
9
9
9
?
9
?%
9
9
41
9
9
9
9
?
9
9
1\
?
9
9
?1
1
?
ю-з
ю-зг ю-зо ю-гз
р, г/см3
ю-'
Фиг. 20. Плотность массы-энергии, необходимая для удержания
Вселенной, согласно общей теории относительности Эйнштейна
(вверху) и сравнение ее с плотностями конкретных источников
массы-энергии (внизу); значения некоторых из них известны срав-
сравнительно хорошо, другие же практически неизвестны, что обозначено
вопросительными знаками.
Кривые на верхней диаграмме показывают, какая плотность необходима, если за-
задан какой-то возраст Вселенной в настоящее время и величина быстроты расши-
расширения Н или времени, продолженного назад к моменту начала расширения („об-
(„обратной постоянной Хаббла" ff~l). Если, например, для //~* принять значение
12-Ю9 лет, а возраст выбрать равным 5.109лет, то получаются две линии, пересе-
пересекающиеся в А. таким образом определяется требуемая плотность. Величина вы-
вычисленной плотности заметно изменяется в зависимости от того, какой источник

Элементарные взаимодействия нейтрино 189
смысле роль показателя преломления в акустике. Следо-
Следовательно, число оптических изображений удаленных звезд
(или звездных взрывов) позволит измерить крупномас-
крупномасштабные флуктуации метрики или, если этого не будет
обнаружено, даст верхний предел эффективной энергии,
содержащейся в гравитационном излучении.
Для иллюстрации можно заметить, что эффективный
общий радиус кривизны пространства R, который может
быть, вызван «рябью» на метрике масштаба L и ампли-
амплитуды bg, задается по порядку величины формулой
так что при Rs*" 1010 световых лет, Z, ~ 106 световых лет
и при отсутствии других источников кривизны будем
иметь 8g~10~4. Сравнение с уравнениями поля Эйн-
Эйнштейна
показывает, что правую часть A87) грубо можно рас-
рассматривать как эквивалент некоторой эффективной плот-
плотности энергии, хотя, конечно, согласно основным прин-
принципам, в гравитационном поле, свободном от источников,
плотность энергии в действительности равна нулю.
§11. Достаточно ли массы-энергии
для превращения пространства в замкнутое
Гравитационное излучение, нейтрино, фотоны, «обыч-
«обычная материя» и другие источники массы-энергии сравни-
плотности является основным: инертная масса (пыль; сплошные кривые) или из-
излучение (пунктирные линии).
Заштрихованные области получаются в предположении, что ! возраст Вселен-
Вселенной заключен в пределах от 5.I0» до 9-I09 лет, а обратная постоянная Хаббла —
между 10-109 и 16- Ю9 лет. Полученная при этом плотность лежит между 7-10~80
и 100-10 ° zjcMs, как показывает заштрихованная область на нижней диаграмме.
Там же указаны известные источники массы-энергии и приблизительные границы
неопределенности существующих значений. Среди возможных источников массы-
энергии, для которых не существует никаких оценок, имеются два (нейтральный Н
и антинейтрино), для которых можно указать примерный верхний предел. Так как
в настоящее время приходится пренебрегать некоторыми возможными источниками
массы-энергии, невозможно сказать, имеется ли какое-либо противоречие между
фактами и предсказаниями общей теории относительности Эйнштейна.
Диаграмма представляет собой уточненную диаграмму из работы [159].

190 Глава IV
ваются единым образом (фиг. 20), если задается вопрос:
является ли общая величина массы достаточной для
искривления пространства до замкнутого? Имеющихся
в нашем распоряжении наблюдательных данных') недо-
недостаточно для того, чтобы сделать что-либо большее, чем
попытку получить ответ на этот важный вопрос.
§ 12. Новое предсказание из теории Эйнштейна;
минимум эффективного углового размера
отдаленных галактик
Конечно, всегда возникают вопросы о том, действи-
действительно ли известно, что Вселенная замкнута и расши-
расширяется с убывающей скоростью, как это следует из об-
общей теорией относительности Эйнштейна в идеальном
случае постоянной кривизны. В связи с этим интересно
отметить, что из этой теории можно сделать поразитель-
поразительное предсказание A61), которое можно было бы прове-
проверить экспериментально.
Последовательность галактик с примерно одинако-
одинаковыми физическими размерами, но все более и более
удаленных от наблюдателя, не должна непрерывно
уменьшаться в своих кажущихся размерах. Напротив,
те галактики, которые удаляются со скоростью около
vie — 0,5, будут иметь минимальные угловые размеры,
те же, которые расположены дальше или ближе, будут
выглядеть больше (фиг. 21). Этот эффект проще всего
представить себе, вообразив сферу из прозрачного стек-
стекла, в которую здесь и там включены монеты. В этой
сфере высверлено углубление возле его северного по-
полюса. Свет, прошедший через стекло в это углубление,
наблюдается каким-либо методом. Тогда ближние мо-
монеты будут казаться большими, а монеты, находящиеся
на экваторе, будут выглядеть меньшими. Те же, которые
■) Сводку результатов и первый вариант фиг. 20 см. в [159];
относительно исследований содержания водорода см. [160]; А. Сань-
яр и М. Гольдхабер в частном сообщении указали предельное зна-
значение нейтринного потока ^ 2,5. 1020 на смЦсек, от реакции Rb87 ->
Sr87m.

Элементарные взаимодействия нейтрино
191
расположены возле южного полюса, будут снова выгля-
выглядеть большими, если наблюдатель находится на север-
северном полюсе. Оптические телескопы работают хорошо
4 5
Расстояние
Ф и г. 21. Зависимость частоты линий в их спектре относительно
стандартной частоты от кажущегося расстояния до удаленных
галактик.
Кривые проведены для различных значений Н~1 и возраста Вселенной в интере-
интересующей нас области фиг. 19. Сплошные линии относятся к случаю, когда источники
массы-энергии создают пренебрежимо малое давление („пыль"); штриховые линии
относятся к случаю, когда давление имеет максимально возможное значение—одну
треть плотности энергии („излучение"). Штрихпунктирные линии относятся к тео-
теории Бонди, Голда и Хойля, отличной от теории Эйнштейна. Шкала частот дает
наиболее однозначную физическую шкалу, отнесенную к истинному расстоянию.
Угловое эффективное расстояние отождествляется с истинным диаметром галак-
галактики (в предположении, что он тот же, что и для типичных близких галактик),
деленным на кажущийся угловой диаметр ближних галактик. Диаграмма взята
из работ Вакано и Уилера [161].
только до расстояний, несколько меньших тех, у кото-
которых v/c = 0,2, так что, по-видимому, проверить это пред-
предсказание и продвинуть таким образом вперед проверку
эйнштейновской теории можно лишь с помощью радио-
радиотелескопов.

192 Глава IV
§13. Изменяется ли масса частиц со временем?
Или с кривизной пространства-времени?
Или не меняется вовсе?
Элементарные частицы вносят свой вклад в плот-
плотность массы и энергии и влияют, таким образом, соглас-
согласно общей теории относительности, на кривизну Вселен-
Вселенной. Оказывает ли кривизна Вселенной обратное воздей-
воздействие на элементарную частицу? Если она меняется, то
отражается ли это на характерных массах частиц или
на других их свойствах? Не имея в виду подобные эф-
эффекты кривизны, из совсем других соображений, Дирак
тем не менее сравнительно давно предположил, что без-
безразмерные физические константы могут меняться со вре-
временем по мере расширения Вселенной [16]1). Он отме-
отметил совпадение порядков величины трех очень больших
чисел
N. ~ ~ 2 • 1039,
1 итети
N^4
Р^Вселен. I g in3g
lnp i
и заключил, что это совпадение нельзя рассматривать
как случайное. Если эти три величины остаются посто-
постоянными в процессе расширения, то физические кон-
константы должны меняться. Если применима точка зрения
геометродинамики, тогда набор единиц, давно введен-
введенный Планком, следует рассматривать как фундаменталь-
фундаментальные и постоянные величины:
'= 1,6 • \0~Аг см,
Время = -у-, A90)
■) Дальнейшее обсуждение этого предположения Дирака см в
работах [162, 163].

Элементарные взаимодействия нейтрино 193
и другие физические константы следует рассматривать
как изменяющиеся относительно этих стандартов. Дике
проанализировал несколько возможностей проверки
этого изменения со временем (см. [16, 162, 163]')). Пока
не очевидно, что этот эффект, если он и будет обнару-
обнаружен, будет несовместим с общей теорией относительно-
относительности. Конечно, если свойства частиц изменяются в про-
процессе расширения Вселенной, то, по-видимому, это будет
означать, что воздействие тензора кривизны на частицы
явится наиболее естественной инвариантной и локаль-
локальной величиной, которой можно описать этот эффект.
') См. также новейшие работы: R. H. D i с k e, Phys. Rev., 123,
A961); L. Egyed, Zs. f. Geophys., 24, 260 A960), Ann. Univ.
Budapest, 3, 35 A960); В. С. Нее sen, Sci. Amer., 203, 98 A960);
Д. Иваненко, М. Сагитов, Вестник МГУ, № 6 A961) и кни-
книгу: P. Jordan, Schwerkraft und Weltall, 2 Auflag., Braunschweig,
1955. — Прим. ред.
13 Зак. 3001.

Глава V
РАВНОВЕСИЕ НЕЙТРИНО
И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ НУКЛОНОВ
§ 1. Отсутствие равновесия
для сверхкритических масс
Крупномасштабная кривизна может оказывать или
не оказывать заметного влияния на массы частиц; од-
однако существует одно явление, при котором влияние
метрики на стабильность элементарных частиц оказы-
оказывается неизбежным. Существует предел массы порядка
0,7 массы Солнца, выше которого не существует равно-
равновесной конфигурации для массы холодной материи, об-
образующейся в конце термоядерной эволюции. Давление
в центре стремится к бесконечности по мере того, как
масса приближается к этому пределу; разница между
состояниями с положительной и отрицательной энер-
энергиями в центре стремится к нулю. Детали перехода за-
зависят от принятого уравнения состояния, но сам эффект
от него не зависит 1).
На фиг. 22 дана конфигурация в непосредственной
близости от критической массы, а также сама критиче-
критическая конфигурация для модели, в которой звездное ве-
вещество считается несжимаемой жидкостью. На фиг. 23
представлено более реалистическое уравнение состояния
(Б. Гаррисон), использованное при повторном анализе
проблемы.
§ 2. Уравнение состояния
Уравнение состояния Гаррисона допускает, что хо-
холодная материя идеальным образом катализирована до
конца термоядерной эволюции. При обычном давлении
это заканчивается на Fe56. При более высоких дав-
') Последующее изложение основано на статье Гаррисона, Ва-
кано и автора [8], из которой взяты также фиг. 22—24. В статье
учтен важный вклад Ландау, Оппенгеймера, Сербера, Волкова,
Чандрасекара, Снайдера и др. в проблему критической массы.

30 гт
го
ю
me'
/•■"/■"«ршл. „. ^««rr^l
Фиг. 22. Зависимость
давления (вверху) и ме-
метрики, или эквивалент-
эквивалентного гравитационного по-
потенциала, (внизу) от рас-
расстояния для двух коифи- а>
гураций идеальной не-
несжимаемой жидкости:
для массы, равной
0,512/0,838=0,611 от кри-
критической массы (пунк-
(пунктирная кривая) и непо-
непосредственно для крити-
критической массы (сплошная
кривая).
В ньютоновской теории гравитационный потенциал жидкой массы изменяется как
>//• вне тела и как потенциал гармонического осциллятора —внутри которые
гладко сшиваются на границе т=а. Соответствующая величина в общей теории
относительности есть квадратный корень из временной компоненты метрического
тензора
[ -g ГТ<Т)] '2 = (Ш варцшильдовская exp [v (r)]) ''*•
Эта величина, умноженная на массу покоя электрона, дает нижнюю границу
„океана" имеющихся энергетических уровней.
Заштрихованная область показывает, таким образом, как расстояние между
положительными и отрицательными энергетическими уровнями стремится к нулю
при приближении к центру критической конфигурации. Давление в центре стре-
стремится к бесконечности (верхний график). Формальное, но сингулярное решение
уравнений поля можно дать и для больших масс; тогда точка, в которой метрика
стремится к нулю и давление становится бесконечным, отодвигается вправо. Когда
эта точка совпадает с радиусом самой жидкой массы (случай а-Р, М = М
крит.»
на графике не показано), вся масса лежит внутри сферы так называемого
шварцшильдовского радиуса. В связи с этим иногда поднимается вопрос, не отде-
отделяет ли масса сама себя от остальной Вселенной? Однако все решения физически
-те*
неприемлемы с того момента, когда масса достигает 0,838М
вд
определенной
(не очень удачно) с помощью упомянутой выше конфигурации, или как только а
достигает 0,9427/?. Проблема равновесия становится неразрешимой уже тогда,
когда давление стремится ^бесконечности в центре. Вопрос об „отделений", никогда
не может возникнуть. Чтобы учесть сжимаемость жидкости, достаточно предпо-
предположить, что плотность растет к центру; при этом гравитационное давление повы-
повышается и. следовательно, стремится к бесконечности в центре при меньшие
критических массах.

w
Фиг. 23. Уравнение состояния, согласно Гаррисону, для холодной
материи (при абсолютном нуле), образовавшейся в конце термо-
термоядерной эволюции.
Сплошной кривой показана зависимость Я/р (в смЦсен?) от плотности р (в г/см')
Штриховой кривой изображена зависимость отношения Р/а4/' (г-см'/сек1) от числа
нуклонов в 1 см* (о). Вплоть до плотностей порядка 106 г/см' давление не доста-
достаточно для того, чтобы „втиснуть" электроны в ядро или сдвинуть положение ми-
минимума кривой дефекта массы.
При этом вещество будет на 100% состоять из Fe56. Более высокие давления
меняют положение минимума кривой дефекта масс в сторону более тяжелых ядер
с большим отношением нейтронов к протонам. В конце концов достигается точка/,
когда ядра не могут содержать уже больше нейтронов.
Равновесный состав представляет собой смесь свободных нейтронов, выро-
вырожденных электронов с высокой энергией Ферми и некоторых ядерных образова-
образований, свойственных данному давлению. Равновесие было рассчитано с использова-
использованием обычной полуэмпирической формулы для масс ядер. При плотности по-
порядка 1011 г1смъ среда становится столь же плотной, как и ядерная материя. Даль-
Дальнейший ход зависимости плотности от давления становится более неопределенным.
Если начинает превалировать отталкивание твердых сердцевин, то может ока-
оказаться разумным использовать в качестве идеализированного представления урав-
уравнение состояния несжимаемой жидкости, как это предполагалось при построении
фиг. 22. В настоящей кривой было предположено противоположное идеализиро-
идеализированное предельное поведение идеального газа Ферми при высоких давлениях*
В ультрарелятивистском пределе равновесное состояние асимптотически стремится
к смеси нейтронов, протонов и электронов в отношении 8:1:1.
Участок (а—Ь) кривых соответствует экспериментально наблюдаемым резуль-
результатам (Ре56) ; участок F—с) получен путем электрополяции; (с—^ — вычислением
в работе фейнмана—Метрополиса —Теллера; (d—e) — вычислением Чандрасе-
кара (Fe56) ; («>-/)-для ядер от Fe" до Y , если электроны „втиснуты" в ядро
(/— Й—Для ядер от Y до Cd , если нейтроны вылетают из ядра; (g—Л)—нейтроны;
Гв g— ядра, „растворенные" в нейтронах; в Л—смесь из нейтронов (%) и Н ('/эI.

Равновесие нейтрино и закон сохранения нуклонов 197
лениях состав ядер, соответствующий минимальной энер-
энергии, изменяется. Эта область исследовалась путем ис-
использования обычной полуэмпирической формулы для
энергии связи ядер и обычных принципов статистиче-
статистического равновесия. При очень больших плотностях ядер-
ядерные силы отбрасывались и все частицы рассматривались
как идеальный ферми-газ. Допущение отталкивающей
твердой сердцевины не может привести к стабильному
состоянию со сколь угодно большой массой, так как
критическое условие появляется уже в идеализирован-
идеализированном случае несжимаемой жидкости.
§ 3. Релятивистское гидростатическое равновесие
Уравнение Гаррисона было включено в то же обще-
общерелятивистское уравнение гидростатического равновесия,
что и использованное ранее Оппенгеймером и Волковым
[164]') для рассмотрения нейтронного газа
dp (r) [p (p) + c~*p] G [M (r) + 4та- F v,, -, Mqn
rfr /-[/- — 2GM(r)lc2] ' ^lyl>
Эти уравнения равновесия были численно проинтегриро-
проинтегрированы М. Вакано на вычислительной машине MANIAC в
Институте высших знаний (Принстон) при поддержке и
помощи д-ра Ганса Мейли и Барбары Вейман. Интегри-
Интегрирование проводилось таким образом, что значение плот-
плотности в центре р0 выбиралось произвольно. Уравнение
состояния дает тогда соответствующую величину давле-
давления в центре р0. Значение функции, описывающей массу
М(г) в центре было, конечно, равно нулю. Тогда уравне-
уравнения 1-го порядка однозначно определяют поведение
функций М(г), р(г) и р(г) при движении от центра к гра-
границе. Граница определена как точка, в которой давление
обращается в нуль: г = R. Тогда масса М = М (R) опре-
определена. Иными словами, сначала задача решалась, а по-
потом уже определялось, какая же задача решена. Резуль-
') См. также В. Амбарцумян, Г. Саакян, Астрон журн
38, 785 A961); В. А. С к р и п к и н, ДАН СССР, 135, № 5 A960), 136.
№ 4, 138, № 1 A961). — Прим. ред.

ю
10"
,20
\
/
/
/
t )
0,5-Me
M-
Me
Ф и г. 24. Масса звезды, состоящей из холодной материи, образо-
образовавшейся в конце термоядерной эволюции, в единицах массы
Солнца (MQ = 1,987 • 1033 г), как функция плотности р0 (в г/см3)
в центре звезды. [График построен по данным релятивистского гидро-
гидростатического анализа Вакано (на вычислительной машине MANIAC
в Институте высших знаний в сотрудничестве с Г. Мейли и
Б. Вейман).]
Нижняя пунктирная кривая показывает связь между массой и плотностью в центре,
полученную Чандрасекаром: 1) без введения поправок обшей теории относитель-
относительности, 2) без учета вступления электронов в соединения с протонами и образова-
образования нейтронов. Другими словами, Чандрасекар имел дело с эффективной массой
на электрон и полагал эту величину постоянной на этом графике (а=56/27 —2,07;
значение 56;26 = 2,15, соответствующее Fe2e, было бы более разумным; это привело бы
к небольшому изменению масштаба по оси М, пропорциональному \>.2, и по оси р,
пропорциональному^). Верхняя пунктирная кривая представляет результаты Оппен-
геймера и Волкова, полученные при интегрировании общерелятивистского уравне-
уравнения гидростатического равновесия для идеального релятивистского нейтронного
газа Ферми. Насколько известно, кривая никогда до сих пор не объединяла
разумным образом область, где давление имеет преимущественно атомное про-
происхождение с областью, где давление имеет преимущественно ядерное происхож-
происхождение. Две точки перехода на этой кривой от устойчивого равновесия к неустой-
неустойчивому означают то, что можно назвать „катастрофическими точками" („crushing
points"). Нижняя кривая, обозначенная словом „стабильно", там, где она лежит
под верхней кривой, обозначенной словом „стабильно", в действительности соот-
соответствует метастабильной звезде по отношению к сжатию до больших плотностей.
Тем не менее необходимо преодолеть потенциальный барьер, чтобы перейти от
менее компактного условия равновесия к более компактному. Все это рассмотре-
рассмотрение относится исключительно к холодным звездам. Горячие звезды обладают тер-
термическим давлением, помогающим им противостоять гравитационному притяжению,
и могут иметь массу, гораздо большую, чем предел Ландау—Оппенгеймера-Вол-
Ландау—Оппенгеймера-Волкова, равный 0JM , без появления нестабильности. Но для холодных компактных
звезде массой, большей г^ 0,7М , условий равновесия не существует.

Равновесие нейтрино и закон сохранения нуклонов 199
таты гидродинамического анализа Вакано представлены
на фиг. 24 (соотношение между общей массой и плот-
плотностью в центре) и фиг. 25 (соотношение между радиу-
радиусом и плотностью в центре).
Ф и г. 25. Зависимость радиуса от центральной плотности для хо-
холодной материи, образовавшейся в конце термоядерной эволюции,
найденная из общерелятивистского гидростатического анализа Ва-
Вакано, основанного на уравнении состояния Гаррисона.
Горизонтальная линия внизу диаграммы показывает, как вела бы себя кривая,
если бы железо было несжимаемым. Отдельные участки кривой BCD сопоста-
сопоставляются с нестабильными конфигурациями (ср. фиг. 24).
Работы Гаррисона и Вакано, как и прежние работы
Ландау [165] и Оппенгеймера и Волкова [164], подчер-
подчеркивают, что судьба компактного образования холодной
материи, получившегося в конце термоядерной эволю-
эволюции, просто неизвестна, если масса этого образования
превышает примерно 0,7 массы Солнца.
§ 4. Независимость от пути эволюции
Следует подчеркнуть, что обсуждаемые здесь во-
вопросы рассматриваются в принципе и не имеют никакого
непосредственного отношения к конкретному пути тер-

200 Глава V
моядериой эволюции. Известно низшее энергетическое
состояние системы из А нуклонов при А = 20 (Ne20),
при А = 56 (Fe56), при А = 112 (два ядра Fe56), при
А = 560 (десять ядер F56), при Л = 56-2-1054 (соответ-
(соответствует массе, немного меньшей 0,1 массы Солнца; рав-
равновесная конфигурация из 2-10м атомов Fe56, пока-
показанная на фиг. 24 и 25), но есть все основания пред-
предполагать, что не существует никакого состояния с наи-
наинизшей энергией обычного характера для компактной
системы с А = 56- 2- 1055 нуклонов (масса этого образо-
образования составляет около 0,9 Мо). В данной связи совер-
совершенно несущественно, сколько времени займет достиже-
достижение этого положения при нормальном пути «ядерного
горения» или через сколько различных режимов горе-
горения пройдет звезда: протон-протонная реакция, угле-
углеродно-азотный цикл, а-частичные реакции и т. д. Воз-
Возможно даже, что звезда каждый раз взрывается пре-
прежде, чем приблизиться к рассматриваемому состоянию.
Пусть в этом случае выброшенное вещество возвра-
возвращается обратно, а ее кинетическая энергия уносится так
же, как и энергия обратного падения на звезду. Тогда в
результате взрыва система оказывается в более низком
энергетическом состоянии, чем прежде, но число нукло-
нуклонов не меняется. Пусть эволюция продолжается до тех
пор, пока возможны превращения при предположении
как можно более эффективного удаления тепла. В конце
концов звезда обязательно начнет «уставать». Она не
может выбрасывать вещество, излучать фотоны и испу-
испускать нейтрино; она приходит к самому низшему состоя-
состоянию, возможному для системы из А нуклонов под дей-
действием как ядерных, так и гравитационных сил. Однако
сколь велико ни было бы время, необходимое для того,
чтобы прийти к этому конечному состоянию, именно это
состояние представляет интерес с принципиальной сто-
стороны.
До тех пор пока природа этого конечного состояния
не установлена, полную теорию термоядерных реакций
в звездах нельзя будет считать завершенной. Положе-
Положение, создавшееся в ядерно-гравитационной физике, могло
бы создаться в физической химии, если бы были из-
известны некоторые детали механизма и скорость чрезвы-

Равновесие нейтрино и закон сохранения нуклонов 201
чайно сложной реакции
2Н24-О2 5=± 2H2O,
но не была бы известна такая элементарная величина,
как разность свободных энергий начального и конечного
состояний реагентов! Поэтому снова приходится задать
вопрос: что такое конечное состояние равновесия систе-
системы из А нуклонов, взаимодействующих через гравитаци-
гравитационное поле, когда А велико? («Проблема больших зна-
значений Л».)
Проблема больших значений А наиболее сложным об-
образом включает и физику элементарных частиц, и гра-
гравитационную физику, так как 1) давление в центре рас-
растет к бесконечности и 2) расстояние между уровнями
состояний с положительной и отрицательной энергиями
стремится к нулю. Эти условия оказываются жесткими
для центральных нуклонов, но не для остальной си-
системы. Что случится, если добавить к системе извне один
килограмм вещества сверх критической массы? Резуль-
Результирующая масса — после того, как система снова при-
придет в равновесие — не должна превышать критической
массы. Следовательно, добавленная масса должна быть
излучена.
Если добавленная масса испускается в виде частиц,
то их кинетическая энергия может быть отделена от
нее, так же как и гравитационная энергия обратного па-
падения на массивное тело. Возвращение этих частиц об-
обратно в систему с необходимостью снова приведет к па-
парадоксальной ситуации, из которой мы ищем выход.
После того как добавленная масса уже полностью
испущена, число нуклонов 1) то же, что и до добавления
этого 1 кг, или 2) увеличилось на число нуклонов, содер-
содержащихся в 1 кг, или 3) не определено. Если реализуется
первый случай, то бесконечно большое количество ну-
нуклонов может содержаться в конечной области про-
пространства и, конечно, в ограниченной области простран-
пространства около центра звезды, так как условия в остальной
части системы неизменны. Допустить такую возмож-
возможность — почти значит предположить, что нуклоны могут
уничтожаться или что число нуклонов не имеет ника-
никакого смысла.

202 Глава V
§ 5. Критическая масса как катализатор образования
и аннигиляции нуклонов
Таким образом, представляется неизбежным считать
систему с критической массой катализатором, который
может притягивать нуклоны извне и превращать равное
количество нуклонов в центре в излучение — электро-
электромагнитное, гравитационное или нейтринное—с такой бы-
быстротой или в таком количестве, чтобы помешать об-
общему числу нуклонов системы превысить некоторое кри-
критическое число.
Процесс, который мы сейчас рассматриваем, является
распадом нуклонов на нейтрино и другие излучения при
большом давлении, и он полностью согласуется с зако-
законом сохранения энергии и импульса. Он нарушает закон
сохранения числа нуклонов, но не противоречит боль-
большинству других законов сохранения. Он не противоречит
эмпирическому факту [9], что нуклон имеет период спон-
спонтанного полураспада больше 4-1023 лет, так как давление
в центре критической массы, вероятно, более чем на поря-
порядок превышает давление в ядрах. Кинокартина развития
большой массы нуклонов, распадающихся под влиянием
высокого давления на свободные нейтрино, представляет
странное зрелище, если смотреть ее в обратном порядке.
Достаточно большое количество нейтрино с праьильной
спиральностью влетает одновременно со всех сторон в ка-
каталитическую область высокого давления и за короткое
время преобразуется в ядерную материю. Другими сло-
словами, нуклонное равновесие должно было бы регулиро-
регулироваться энергией Ферми ц„ нейтринного поля.
Если можно предположить, что число нуклонов во
Вселенной не является вечно некоторым таинственным и
необъяснимым числом, то представляется разумным рас-
рассматривать число нуклонов как динамическую перемен-
переменную со своим собственным законом изменения. Если эта
переменная вообще изменяется, то наиболее благоприят-
благоприятными условиями для изменения были бы высокое давле-
давление и малое расстояние между уровнями состояний с
положительной и отрицательной энергиями, т. е. значи-
значительное уменьшение разности масс между нуклонами и
нейтрино. Более того, не видно никакого объяснения

Равновесие нейтрино и закон сохранения нуклонов 203
«парадокса больших А», которое не требовало бы для
этого отказа от закона сохранения числа нуклонов.
§ 6. Непрозрачность по отношению к нейтрино
Нет необходимости обращаться к парадоксу сверх-
сверхкритических масс и нет нужды анализировать любые
процессы распада нуклонов на нейтрино, чтобы столк-
столкнуться с интересной астрофизической ситуацией, при ко-
которой может происходить массовое образование ней-
нейтрино. При определенных условиях урка-процесс Гамова
и Шенберга [7] может преобладать над другими процес-
процессами освобождения энергии. Нейтрино, стремясь вы-
вырваться из горячих недр звезды, не встречают таких пре-
препятствий, какие имеют место для света. Однако какова
же непрозрачность звезды для нейтрино? Этот вопрос
анализировал Ювема [6]. Вычисленное значение средней
длины свободного пробега нейтрино с энергией 1 Мэв в
Солнце (р~ 1,4 г/см3) оказалось ~ 1019 см; по сравне-
сравнению с этой длиной радиусом Солнца G•1010 см) вполне
можно пренебречь. Однако-наблюдаемая плотность бе-
белых карликов доходит до 108 г/см3 при соответствующем
радиусе ~ 108 см; в сильно сжатых образованиях, про-
проанализированных Оппенгеймером и Волковым, а также
Гаррисоном и Вакано, плотность достигает 1014 г/см3.
Следовательно, интересно узнать, могут ли нейтрино сво-
свободно проникать даже сквозь такие звезды.
Ювема исследовал отдельно случай высокой и низ-
низкой плотностей. При высокой плотности —1015 г/см3
электроны фермиевского фона имеют высокую энергию;
интересующая нас энергия нейтрино также высока, и
основным процессом в рассмотрении Ювемы (табл. 16)
Таблица 16
Средняя длина свободного пробега X при р = 1015 г/см3
в предположении, что преобладающим является процесс
Ev Мэв
к, см
21,3
со
23,4
7.3 - 10^
27,7
5,7 • Ю5
36,2
1,55 ■ W
45
1,3 • 102
128
1,9

204 Глава V
является процесс v + е -> |я + v. Из данных Ювемы
(Я = со при энергии ниже 21 Мэв) следует, что нужно
анализировать дальнейшие процессы, прежде чем по-
получится достоверный предел для доли энергии, уносимой
нейтрино из очень плотных звезд. Для звезд с меньшей
плотностью основными процессами будут
•*-\-п-+р-\-е~,
7 ->я, A92)
Ювема дал таблицы и диаграммы, из которых можно
вычислить прозрачность для белых карликов по отноше-
отношению к нейтрино. Интересно было бы посмотреть, яв-
является ли эта прозрачность достаточно существенной для
расчетов эволюции звезд, чтобы можно было проверить
процесс поглощения нейтрино, независимо от экспери-
экспериментов Рейнса — Коуэна.

Глава VI
СЛАБОСТЬ НЕЙТРИННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
В настоящее время нет никакого объяснения тому, по-
почему нейтринные взаимодействия так слабы по сравне-
сравнению с электромагнитными взаимодействиями и почему
они так сильны по сравнению с гравитационными.

Глава VII
ЦЕНТРАЛЬНАЯ РОЛЬ НЕЙТРИНО
В ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
В заключение можно сказать, что предвидения Ри-
мана, Клиффорда и Эйнштейна о чисто геометрической
основе физики предстают теперь на более высоком эта-
этапе своего развития, указывают на более широкие перт
спективы и выдвигают более глубокие проблемы, чем
когда-либо раньше. Квант действия придает геометроди-
намике новые характерные черты, наиболее важной из
которых является существование флуктуации типа ручек
во всем пространстве. Если имеется вообще какое-либо
соответствие между этой виртуальной пеноподобной
структурой и физическим вакуумом, как это понимается
в квантовой электродинамике, то, по-видимому, нет ино-
иного выхода, как сопоставить эти ручки с «голыми» элек-
электронами. Электроны и другие элементарные частицы
физики, согласно всем имеющимся указаниям, совер-
совершенно отличны от этих «голых» электронов. Для реаль-
реальных частиц геометродинамическая картина предполагает
модель коллективных возбуждений в виртуальном пено-
подобном вакууме, аналогично различным видам фоно-
нов или экситонов в твердом теле.
Огромная разница между ядерной плотностью
—1014 г/см3 и флуктуационной плотностью энергии поля
в вакууме ~ 1094 г/см3 показывает, что присутствие эле-
элементарной частицы в процентном отношении вносит
совершенно пренебрежимые изменения в бурные локаль-
локальные условия, характеризующие вакуум. Другими словами,
элементарные частицы не представляют действительно
фундаментального отправного пункта для описания
природы. Напротив, они представляют собой только
поправку первого порядка к физике вакуума. В качестве
первого шага надо надлежащим образом описать этот

Центральная роль нейтрино в физике элементарных частиц 207
вакуум с его колоссальной плотностью виртуальных фо-
фотонов, виртуальных положительно-отрицательных пар и
виртуальных рукавов, прежде чем появится фундамен-
фундаментальный отправной пункт для теоретического анализа
указанных поправок.
Эти заключения о плотности энергии в вакууме, о его
сложном топологическом характере и о богатстве физи-
физических процессов, происходящих в вакууме, не противо-
противоречат явно тому, что известно о вакууме из квантовой
электродинамики. Напротив, выводы о процессах на «ма-
«малых расстояниях» (—103 см), даже при их предвари-
предварительном характере, и о процессах на «больших расстоя-
расстояниях» A0~м см), по-видимому, могут подкреплять друг
друга естественным образом.
Нынешняя геометродинамика имеет следующий оче-
очевидный недостаток: 1) Она не может включить естест-
естественным образом частицы спина '/г вообще и нейтрино
в частности.
Не только эта проблема является важной. Она мо-
может иметь глубокую внутреннюю связь с другими че-
четырьмя нерешенными проблемами: 2) Могут ли идеи ри-
мановой геометрии и геометродинамики быть перефор-
переформулированы в таком виде, чтобы концепция относитель-
относительной «фазы» двух удаленных точек приобрела простой
смысл? 3) Почему элементарные частицы имеют еди-
единичный заряд? 4) Каков механизм, связывающий заря-
зарядовое сопряжение и пространственную инверсию?
5) Можно ли избежать нарушения закона сохра-
сохранения нуклонов в центре звезды с критической
массой?
Но из нейтринной теории и геометродинамики выте-
вытекают не только проблемы, но и предсказания, большин-
большинство из которых являются объектом экспериментальной
проверки. Среди наиболее интересных предсказаний, ко-
которые до сих пор еще не проверены, оказываются:
1) минимальный видимый угловой диаметр типичных
галактик на некотором удалении (более удаленные, так
же как и более близкие галактики, будут, как это пред-
предсказывается, иметь больший угловой диаметр) и 2) мно-
многократность изображений, достаточно удаленных светя-
светящихся объектов; минимальное расстояние, необходимое

208 Литература
для наблюдения этих эффектов с большой вероятностью,
связано с количеством энергии, переносимой длинновол-
длинноволновым гравитационным излучением.
О своих постоянных надеждах объяснить атомные
явления на основе теории поля Эйнштейн [166] писал:
«Все эти попытки основаны на убеждении, что реаль-
реальность имеет полностью гармоническую структуру. Ныне
мы имеем меньше, чем когда-либо раньше, оснований
допустить увести себя прочь от этого замечательного
убеждения».
Автор выражает признательность проф. Ж. Поль-
вани, проф. Л. Радикати и участникам летней физиче-
физической школы в Вилла Монастеро (Варенна) за стимули-
стимулирующие беседы по вопросам слабых взаимодействий;
д-ру С. Глэшоу, Т. Филипсу и Д. Шарпу за помощь в со-
составлении конспекта лекций; многим сотрудникам и кол-
коллегам за дискуссии.
ЛИТЕРАТУРА
1. ReinesF, Cowan С. L, Phys. Rev., 90, 492 A953).
2. Cowan С. L., R e i n e s F., Harrison F. В., К r u s e H. W.,
McGuire A. D., Science, 124, 103 A956). [См. перевод в
сборнике «Проблемы современной физики», № II A956).]
3. ReinesF., Cowan С. L, Phys. Rev., 113, 273 A959).
4. С а г t e r R. E., R e i n e s F., Wagner J. J., W у m a n M. E.,
Phys. Rev., 113, 280 A959).
5. Brill D. R., Wheeler J. A, Rev. Mod. Phys., 29, 465 A957).
(См. перевод в сборнике «Новейшие проблемы гравитации»,
ИЛ, 1961.),
6. Euwema R. N., Neutrinos and their Interactions with Matter,
Ph. D Thesis, Princeton, 1959.
7. Gamow G., Schoenberg M., Phys. Rev., 59, 539 A941).
8. H a r r i s о n В. К-, Wakano M., Wheeler J. A., Onzieme
Conseil de Physique Solvay, La structure et revolution de
l'univers, Bruxelles, 1958.
9. R e i n e s F., Cowan С L, Jr., Rruse H. W., Phys. Rev.,
109, 609 A958).
10. Бродский А., Иваненко Д., Nucl. Phys., 13, 447 A959).
11. Feinberg G., GoldhaberM., Proc. Nat. Acad. Sci. (USA),
45, 1301 A959).
12. Misner C. W., Rev. Mod. Phys., 29, 497 A957).

Литература 209
13. Mis пег С. W., Wheeler J. A., Ann. of Phys., 2, 525 A957).
(Дополнение I к настоящей книге.)
14. Rainich G. Y., Proc. Nat. Acad. Sci., (USA) 10, 124 A924).
15. Rainich G. Y., Trans. Am. Math. Soc, 27, 106 A925).
16. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A165, 199 A938).
17. D l с k e R. H., Science, 129, 621 A959).
18. Dick e R. H., Am. Jouin. Phys., 60, № 4 A960).
19. M a r z k e R. F. The Theory of Measurement in General Relati-
Relativity, A. B. Senior Thesis, Princeton, 1959, неопубликовано.
20. Sha l p D., Phys. Rev. Lett., 3, 108 A959).
21. Einstein A., Giommer J., Sitz. Ber. preuss. Akad. Wiss.,
2, 235 A927).
22. Einstein A., Infeld L., Hoffmann В., Ann. Math., 39,
65 A938).
23. Infeld L., Schild A., Rev. Mod. Phys., 21, 408 A949)
24. Cha se D. M., Phys. Rev., 95, 243 A954).
25. I nf eld L., Acta Phys. Polon., 13, 187 A954).
26. С a 11 a w а у J., Phys. Rev.. 92, 1567 A953).
27. 1 n f e 1 d L., P 1 e b a n s k i J., Motion and Relativity, New-
York — London — Paris — Warszawa, 1960. (См. перевод: И н-
фельд Л., Е. Плебанский, Движение и релятивизм, ИЛ,
1962.)
28. W h е е 1 е г J. A., Phys. Rev., 97, 511 A955).
29. Ernst F., Rev. Mod. Phys., 29, 480 A957).
30. Power E. A., Whee ler J. A., Rev. Mod. Phys., 29, 480iA957).
31. L i с h n er owicz A., Problemes globaux en mechanique relati-
viste, Paris, 1939.
32. Licher owicz A., Journ. Math. Pure Appl., 23, 37 A944).
33. Lichnerowicz A., Helv. Phys. Acta., Suppl., 4, 176 A956).
34. F о u r e s - В r u h a t Y., Acta Math., 88, 141 A952).
35. Foures-Bruha t Y., Journ. Rat. Mech. Anal., 5, 951 A956)\
36. Lichnerowicz A.. Theories relativistes de la gravitation et
de l'electromagnetisme, Paris, 1955.
37. Me V it tie G. C, General Relativity and Cosmology, London,
1956, Ch. V. (См. перевод: Дж. М ак-Витти, Общая теория
относительности и космология, ИЛ, 1962.)
38. Van Biesbroek G., Astron. Journ., 55, 49 A950); 58,87 A953).
39. Adams, Month. Not. Roy. Astron. Soc, 118, 106 A958).
40. St. John С Е., Astrophys. Journ., 67, 195 A928).
41. Popper D. M., Astrophys. Journ., 120, 316 A954).
42. Moore J. H., Proc. Ast. Soc. Pas., 40, 229 A928).
14 Зак. 3001.

210 Литература
43. L u у t e n W. J., White Dwarfs and Degenerate Stars in Vistas
in Astronomy, London, 1957.
44. Pound R. V., Rebka G. A., Phys. Rev. Lett., 4, 337 A960).
(См. перевод в сборнике «Новейшие проблемы гравитации»,
ИЛ, 1961.)
46. Clemence G. M., Rev. Mod. Phys., 19, 361 A947).
46. Clemence G. M., Proc. Am Phil. Sot, 93, 532 A949).
47. К r u s k a 1 M., Int. Conf. on Relativistic Theories of Gravita-
Gravitation, Royaumont, July 1959.
48. F г о n s d a 1 C, Phys. Rev. 116, 778 A959).
49. Einstein A., Rosen N.. Phys. Rev., 48, 73 A935).
50. M i s n e г С W., Phys. Rev., в печати.
51. Lipman Bers L. F., Proc. Int. Congr. of Math., vol. 2, Camb-
Cambridge, 1952, p. 157.
52. С о u r a n t R., Ann. Math^ 38, 679 A937).
53. Rayeha udhu ri A., Phys. Rev., 98, 1123 A955); 106, 172
A957).
54. Kom a r A., Phys. Rev., 104, 544 A956).
55. Weber J., Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys., 29, 509 A957).
(См. перевод в сборнике «Новейшне проблемы гравитации»,
ИЛ, 1961.)
56. Brill D. Ann. of Phys. 7, 466 A959); Lectures on Relativity,
Iowa, 1961.
57. A r a k i H., Ann. of Phys. 7, 466 A959).
58. Einstein A., The Meaning of Relativity, 3rd ed., Princeton,
1950, p. 107. (См. перевод: Эйнштейн А., Сущность теории
относительности, ИЛ, 1955.)
59. Л а н п а у Л. Д., Л н ф ш и ц Е. М., Теория поля, М.—Л., 1961.
60. Cole R. H., Underwater Ezplosions, Princeton, 1948. (См. пе-
перевод: Ко у л Р., Подводные взрывы, ИЛ, 1950.)
61. Adams J. В., Mjolsness R., Wheeler J. A., Onzieme
Conseil de Physique Solvay, La structure et revolution de I'uni-
vers, Brussels, 1958.
62. L i с h n e г о w i с z A., Theories relativistes de la gravitation et
de l'electromagnetisme, Paris, 1955.
63. Foures-Bruha t Y., Journ. Rat. Mech. Anal., 4, 951 A956).
64. Bergmann P. G., К о m a r A., Rep. at the Royaumont Con-
Conference of 1959. (См. перевод в сборнике «Новейшие проблемы
гравитации», ИЛ, 1961.)
65. Dyson F. J., Lecture Notes on Quantum Electrodynamics (pho-
tolithographed notes), Cornell University Ithaca, New. York, 1954.

Литература
66. Wei ton Т.. Phys. Rev., 74, 1157 A948). (Gm. перевод в сбор-
сборнике «Сдвиг уровней атомных электронов», ИЛ, 1950.J
67. Kramers H. A., Non-relativistic quantum electrodynamics and
correspondence principle, Solvay Congress, 1948 (Rapport et
Discussions, Bruxelles, 1950).
68. T h i r r i n g W., Principles of Quantum Electrodynamics. New
York, 1958.
69. Poincare H., Rendiconti Palermo, 21 A906). (См. перевод в
сборнике «Принцип относительности», М.—Л., 1935.)
70. Lorentz H. A, Versl. Kon. Ac. Amsterdam, 26, 981 A917».
71. Р a i s A., Developments in the Theory of the Electron, Princeton,
1948.
72. Wheeler J. A., Aim. of Phys., 2, 604 A957). (См. Дополне-
Дополнение II к настоящей книге.)
73. Weyl H., Philosophy of Mathematics and Natural Science, Prin-
Princeton, 1949, p. 91.
74. Everett III H., Rev. Mod. Phys., 29, 454 A957).
75. Wheeler J., Rev. Mod. Phys., 29, 463 A957).
76. Bohr N., R о s e n f e 1 d L., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-
fys. Medd., 12, №8 A933).
77. К a lien G., Handbuch der Physik, Bd., 5, pt. 1, Berlin, 1958.
78. Ландау Л. Д., Абрикосов А. А., Халатников И. М.,
ДАН СССР, 95, 497 A954).
79. Иваненко Д., Nuovo Cimento, Suppl., 6, 349 A957).
80. И к а н е н к о Д., в сборнике «Max Planck Festschrift», 1958,
стр. 353.
81. Pauli W., Helv. Phys. Acta, Suppl., 4, 267 A956).
82. Deser S., Rev. Mod. Phys., 29, 417 A957).
83. Merrif ield R. E., Journ. Chem. Phys., 31, 522 A959).
84. Иваненко Д.. Phys. Zs. der Sowjetunion, 13, 141 A938).
85. Соколов А., Иваненко Д., Квантовая теория поля ч Я
М—Л., 1952, § 3.
8С. Heisenberg W., Rev. Mod. Phys., 28, 269 A957). (См. пере-
перевод в сборнике «Нелинейная квантовая теория поля» ИЛ
1959.)
87. Heisenberg W., Padua — Venice Conference, Oct. 1957.
88. Heisenberg W., Leipziger Vortrag, April 1958.
89. D u e r r H. P., H e i s e n b e r g W., M i 11 e r R, S с h 1 i e d e r S.,
Yamazaki K. Zs. f. Naturforsch., 14a, 441 A959). (См. n&
ревод в сборнике «Нелинейная .квантовая теория поля» ИЛ
1959.)
14*

212 Литература
90. F е у n m a n R. P., Ph. D. Thesis, Princeton, 1942; Rev. Mod.
Phys. 20, 367 A948).
91. Polkinghorne J. C, Proc. Roy. Soc, A230, 272 A955).
92. Choquard P., Helv. Phys. Acta, 28, 89 A955).
93. Jordan P., Ergeb. exakt. Naturwiss.. 7, 158 A928).
94. Jor d a n P., Zs. f. Phys., 105, 229 A937).
95. Jordan P., Kronig R., Zs. f. Phys., 100, 569 A936).
96. KronigR, Physica, 3, 1120 A936).
97. Сборник «L. de Broglie, Physicien et Penseur», Paris, 1953.
98. Pryce M. H. L., Proc. Roy. Soc, 165A, 247 A938).
99. Heisenberg W., Lectures at Cavendish Laboratory, Camb-
Cambridge, 1934, неопубликовано.
100. Bethe H. А., Вас her R. F., Rev. Mod. Phys., 8, 201 A936).
(См. перевод: Бете Г., Б е ч е р Р., Физика ядра, Харьков,
1938J
101. Gamow G., Teller E., Phys. Rev., 51, 289 A937); G a-
mow G., Phys. Rev., 71, 550 A947).
102. Corben H. C, Nuovo Cimento, 10, 1485 A953).
103. Bocchier i P., Gulmanelli P., Nuovo Cimento, 5, 1016
A957).
105. Gulmanelli P., M о n t a I d i E., Nuovo Cimento, 5, 17ft
A957).
106. Kawaguchi M., Nuovo Cimento, 8, 506 A958).
107. Fierz M., Pauli W., Helv. Phys. Acta, 12, 297 A939).
108. Takabayasi Т., Proc. Theor. Phys., 8, 143 A952); 9, 187
A953).
109. Whittaker E., Proc. Roy. Soc, A158, 38 A937).
110. Singe J. L., Proc. Edinb. Math. Soc, 11, 39 A958).
111. Bohm D., Schiller R.t Tiomno J., Nuovo Cimento, Suppl.,
1, 48 A955).
112. Imaeda K-, Progr. Theor. Phys. Japan, 5, 133 A950).
113. Touschek B. F., Nuovo Cimento, 5, 1281 A957).
.114. Salam A., Nuovo Cimento, 5, 299 A957). (См. перевод в
сборнике «Новые свойства симметрии элементарных частиц»,
ИЛ, 1957.)
115. Иваненко Д., Бродский А., ЖЭТФ, 33, 910 A957).
116. Riesz M., L'equiation de Dirac en relativiste generale, Lund.
Univ. Math. Sem., 12 A954).
117. Riesz M., Compt. Rend, du douzieme congres des mathemati-
ciens Scandinaves tenu a Lund A0—15 Aoflt 1953), 241
A954J.

Литература 213
118. Casimir H. В. G., Rotation of a Rigid Body in Quantum
Mechanics, The Hague,, 1931.
119. Wigner E. P., Group Theory and Its Applications to the
Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York—London,
1959. (См. перевод: Виги ер Е., Теория групп, ИЛ, 1961.)
120. Laurent В. Е., International Conference on Relativistic Theo-
Theories of Gravitation, Royaumont, 28 June 1959.
121. Fink els tein D., Misner С W., Ann. of Phys., 6, 230
A959); International Conference on Relativistic Theories of Gra-
Gravitation, Royaumont, 30 June 1959.
122. Bade W. L., Jehle H., Rev. Mod. Phys., 25, 714 A953).
123. Фок В., Иваненко Д., Compt. Rend., 188, 1470 A929).
124. Фок В., Zs. f. Phys., 57, 261 A929).
125. В e r g m a n n P. G, Phys. Rev., 107, 624 A957).
126. Fletcher J. G., Nuovo Cimento, 8, 451 A958).
127. Bargmann V., Sitz. Ber. preuss. Akad. Wiss., Phys. Math.
Klasse, 346 A932).
128. К1 a u d e r J. R., The Action Option and a Feynman Quantiza-
Quantization of Spinor Fields in Terms of Ordinary c-Number, Ph. D.
Thesis, Princeton, 1959.
129. Symanzik K., Zs. f. Naturforsch., 9a, 809 A954).
130. Klauder J. R., Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys., 29, 516
A957).
131. Feynman R. P., G e 11 - M a n n M.. Phys. Rev., 109, 193
A958). (См. перевод в сборнике «Проблемы современной фи-
физики», № 4 A958).)
132. Breit G., Wheeler J. A., Phys. Rev. 46, 1087 A934).
133. Ахиезер А. И., Phys. Zs. der Sowjetunion, 11, 263 A937).
134. Toll J. S., The Dispersion Relation for Light und Its Applica-
Application to Problems Involving Electron Pairs, Ph. D. Thesis Prin-
Princeton, 1952.
135. Toll J. S., Wheeler J. A., Phys. Rev., 81, 654 A951).
136. Lee T. D., Yang С N,, Phys. Rev. Lett., 4, 307 A960).
137. К о f о e d - H a n s e n O., G a 11 о R., Rendiconti S I F XI
' 1960, 251.
138. Kof oed-Hansen O., Gatto R., Rendiconti S. 1 F i960
p. 336.
139. Klein O., Nature, 161, 897 A948).
140. P u p p i G., Nuovo Cimento, 8, 587 A948).
141. T i о m n о J., Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys 21 144
A949).

214 Литература
142. L е е Т. D., R о s e n b 1 u t h M. N., Y a n g С. N.. Phys. Rev., 75,
905 A949).
143. Sudarshan E. С. С, M a r s h а к R. E., Phys. Rev., 109,
1860 A958).
144. WollanE. O., Phys. Rev., 72, 445 A947).
145. Ronzio A. R., Cowan С L., Reines F., Rev. Sci. Instr.,
29, 146 A958).
146. Methods of Experimental Physics, vol. 5, ed. by L. C. Y u a n,
C. S. W u, New York, в печати.
147. Reines F., Cowan С L., Phys. Rev., 92, 830 A953).
148. Reines F., Cowan С L., Phys. Today, 10, 12 A957).
149. Lee T. D., Yang С N., Phys. Rev., 105, 1671 A957).
150. Davis R., Jr.. Phys. Rev. 97, 766 A955); Bull. Am. Phys. Soc,
№ 4, UA5 A956).
151. Allen J. A., The Neutrino, Princeton, 1958. (См. перевод: Ал-
Алле н Дж., Нейтрино, ИЛ, 1960.)
152. Иваненко Д., Соколов А., Вестннк Московского универ-
университета, № 8 A947)
153. Соколов А. А., Вестник Московского университета, № 9
A952).
154. Иваненко Д., Бродский А., ДАН СССР, 92, 731 A953).
155. Иваненко Д., Соколов А., Классическая теория поля, М.,
1951, § 56.
156. П н й р И., Теоретические работы института физики и астроно-
астрономии Эстонской Академии наук, Тарту, 1957.
157. W u С. S., в сборнике «Theoretical Physics of XX Century»,
New York — London.
158. Weber J., Phys. Rev., 117, 306 A960). (См. перевод в сбор-
сборнике «Новейшие проблемы гравитации», ИЛ, 1961.),
159 Klauder L., Willey R.. Wheeler J. А, в сборнике
«La structure et revolution de l'univers», Bruxelles, 1958.
160. Field G. В., Astrophys. Journ., 129, 536 A959).
161 Wakano M., Wheeler J. А., в сборнике «La structure et
revolution de l'univers», Bruxelles, 1958.
162. TellerE., Phys. Rev., 73, 801 A948).
163. DickeR. R, Rev. Mod. Phys., 29, 363 A957).
164. Oppenheimer J. R., Volkoff G. M., Phys. Rev., 55, 379
A939).
165. Ландау Л. Д., Phys. Zs. der Sowjetunion, 1, 285 A932).
166. Einstein A., Essays in Science, New York, 1934.

ДОПОЛНЕНИЯ

I. КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КАК ГЕОМЕТРИЯ
ГРАВИТАЦИЯ, ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ, НЕКВАНТОВАННЫЕ
ЗАРЯД И МАССА КАК СВОЙСТВА ИСКРИВЛЕННОГО
ПУСТОГО ПРОСТРАНСТВА!)
Ч. Мизнер и Дж. Уилер
С. М i s n е г and J. Wheeler, Ann. of Phys., 2, No. 6, 525—603
С 957)
Если классическую физику рассматривать как совокупность тео-
теорий гравитации, свободного от источников электромагнитного поля,
иеквантованного заряда и неквантованной массы, связанной с кон-
концентрацией энергии электромагнитного поля (геонов), то классиче-
классическая физика может быть описана с помощью искривленного пустого
пространства и ничего больше. При этом существующая теория ни-
никак не меняется. Электромагнитное поле задается «максвелловским
квадратным корнем» свернутого тензора кривизны Риччи и Эйнштей-
Эйнштейна. Как показал Райнич тридцать лет назад, уравнения Максвелла
сводятся тогда к простому утверждению о связи кривизны Риччи со
скоростью ее изменения. В противоположность другим единым тео-
теориям поля в этом случае обычные теории Максвелла и Эйнштейна
приводят к «исконно единой теории поля». Детально рассматривается
это чисто геометрическое описание электромагнетизма. Заряд полу-
получает естественную интерпретацию с помощью электромагнитных по-
полей' без источников, которые 1) всюду подчиняются уравнениям
Максвелла для пустого пространства, но 2) загнаны в «ручки» про-
пространства с многосвязной топологией. В таком пространстве элек-
электромагнетизм может быть подробно описан с помощью существую-
существующих и весьма полно разработанных разделов математики — тополо-
топологии и теории гармонических векторных полей. Элементарные частицы
и «реальные массы» полностью исключены из рассмотрения как
относящиеся к области квантовой физики.
') Настоящая работа представляет собой шестую часть иссле-
исследования, посвященного критике классической теории поля. Пятая
часть опубликована в журнале Physical Review [97, 51 A956)].

218 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
«Я передаю, но не творю;
я искренне уважаю древность».
Конфуций
I. ВВЕДЕНИЕ
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ КОНТИНУУМ
ЛИШЬ АРЕНОЙ ДЛЯ ЯВЛЕНИЙ ИЛИ ИМ ИСЧЕРПЫВАЕТСЯ ВСЕ?
КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КАК СОВОКУПНОСТЬ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ,
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА, НЕКВАНТОВАННЫХ ЗАРЯДА И МАССЫ. ВСЕ ЭТИ
ЧЕТЫРЕ ПОНЯТИЯ ОПИСЫВАЮТСЯ С ПОМОЩЬЮ ПУСТОГО ИСКРИВ-
ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА БЕЗ КАКИХ-ЛИБО ДОБАВЛЕНИЙ К ПРИ-
ПРИНЯТОЙ ТЕОРИИ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ КАК «МАКСВЕЛЛОВСКИЙ
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ» ОТ СВЕРНУТОЙ КРИВИЗНЫ. НЕКВАНТОВАН-
НЫЙ ЗАРЯД ОПИСАН С ПОМОЩЬЮ МАКСВЕЛЛОВСКОГО ПОЛЯ БЕЗ
ИСТОЧНИКОВ В МНОГОСВЯЗНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. НЕКВАНТОВАННАЯ
МАССА СОПОСТАВЛЯЕТСЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ,
УДЕРЖИВАЕМОГО КАК ОДНО ЦЕЛОЕ ЕГО СОБСТВЕННЫМ ГРАВИТА-
ГРАВИТАЦИОННЫМ ПРИТЯЖЕНИЕМ. ИСТОРИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТРАКТОВКИ
ФИЗИКИ. РЕЗЮМЕ СТАТЬИ.
Имеются две прямо противоположные точки зрения
на сущность физики:
1) Пространственно-временной континуум служит
лишь ареной проявления полей и частиц. Эти последние
сущности чужды геометрии. Их следует добавить к гео-
геометрии для того, чтобы вообще можно было говорить
о какой-либо физике.
2) В мире нет ничего, кроме пустого искривленного
пространства. Материя, заряд, электромагнетизм и дру-
другие поля являются лишь проявлением искривления про-
пространства. Физика есть геометрия.
Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы понять,
в какой степени классическую физику можно рассматри-
рассматривать как геометрию. Здесь не будет идти речь о заме-
замечательном результате') квантования этой чисто класси-
классической «геометродинамики» (см. табл. 1).
Описывая классическую физику как геометрию (в
смысле табл. 1), мы не изобретаем новых идей. Мы опи-
опираемся на электродинамику Максвелла 1864 г. для пус-
пустого пространства, на его формулировку тензора энер-
энергии — импульса — натяжений электромагнитного поля и
') Частичное обсуждение некоторых аспектов этой проблемы
см. в работах Мизиера [1] и Уилера [2].

Таблица 1
Различие между классической и квантовой физикой в свете настоящей работы')
Разделы классической физики
в определении настоящей
работы
Гравитация
Электромагнетизм
Неквантованный заряд
Неквантованная масса
Описание с точки зрения геометрии
пустого искривленного пространства
Проявляется в искривлении геодези-
геодезических линий в римановом пространстве
Определяется кривизиой и быстротой
ее изменения в том же самом римановом.
пространстве (см. фиг. 2)
Проявление силовых линий, заклю-
заключенных в „ручку", образованную
многосвязной топологией (см. фиг. 3)
Геоны: метастабильное объединение
энергии электромагнитных или грави-
гравитационных волн, сдерживаемое воедино
своим собственным гравитационным
притяжением
G = 6,67 • 10~8 см*/г ■ сек2 и с не определяют никаких харак-
характерных длины, массы или времени. Напряженность электро-
электромагнитного поля F^ [в гауссах, электростатических вольтах
на 1 см или (г/см -сек2)'^] преобразуется в чисто геометриче-
геометрические величины fp, (размерности см*1) при умножении на
(jVs/c2 _ 1/з,49 • 1024 гаусс ■ см.
Описание с точки зрения квантовой
физики, не рассматриваемой
в данной работе
Гравитоны; фотоны; спин; ней-
нейтрино; квантование заряда; кванто-
квантование массы; электроны, мезоны и
другие частицы; характерные поля
с ненулевой массой покоя, по-види-
по-видимому связанные с некоторыми из этих
частиц; процессы взаимопревращений
частиц, а также все явления, при ко-
которых квантовые флуктуации метрики
существеннее, чем любые статические
гравитационные поля
О', с и Й определяют характерные
единицы, введенные впервые План-
ком: L* = (ЙС//с3)'/г = 1,63 • 10~33 см;
Г* = L*/c и М* = (/jc/G)'/2 =
= 2,18-КГ6 г.
Ч Неквантоваиные классические заряд и масса, упоминаемые в данной таблице, не имеют непосредственного отношения
ни к каким элементарным массам и зарядам, известным из области квантовой физики.

220 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
на эйнштейновское описание гравитационного поля
A916 г.) с помощью искривленного пространства. Огра-
Ограничиваясь классическими понятиями (табл. 1), мы берем
в качестве источников метрического поля guv исключи-
исключительно электромагнитное поле /\,р= (c2lG4*)fap и притом
такое электромагнитное поле, которое само не имеет
никаких источников'):
C!) " [ap-j-8] —-у = 0 (одна группа уравнений Максвелла), A)
(- g)"'k ~£р l—gLtf? = 0 (другая их группа), B)
.- □ &,р" =з Ra? — ~ ga^R = 2/a2/« — 1 ^ (Д/-) (кривизна
метрики при наличии максвелловской плотности энергии-импульса-
иатяжений). C)
') Мы используем следующие обычные обозначения: греческие
индексы относятся к 4-мерному пространству; латинские индексы —
к 3-мерному. Четвертая координата х° ("=7"=с/=«ковремя» в плос-
плоском пространстве) берется с индексом 0 для предотвращения ие-
доразумеиий, так как в специальной теории относительности х4 обо-
обозначает ict. Собственный интервал длины ds или собственный интер-
интервал ковремени dt между двумя соседними событиями определяется
как
(dsf = — (dxf = ga? dxa dx*.
В плоском пространстве и в декартовых координатах метрический
тензор имеет диагональный вид, и его диагональные элементы рав-
равны соответственно —1, 1, 1, 1. В этой статье часто используются
пространственно-подобные гиперповерхности, иа которых удобнее
вводить положительно определенную метрику, к чему и приводит
настоящий ее выбор (см. также монографии Паули, Ландау и Лиф-
шица, Яуха и Рорлиха). Детерминант (^ | метрики в 4-простран-
стве обозначается через g, а детерминант | gik I метрики на про-
страиственно-подобной гиперповерхности — через 3£. Среди других
важных величин следует упомянуть коэффициенты связности
^~ 2\ дх«
имеющий двадцать различных компонент тензор кривизны Римаиа
дТ v- dTV-
, RV-= — — 4- Г " Т г> Г Т 1*
/ v(" дхс дх^  VT тч va'

/. Классическая физика как геометрия 221
Эти уравнения описывают электромагнетизм и гра-
гравитацию как самосогласованную, но замкнутую динами-
динамическую систему.
Решим уравнения C) для приведенного электромаг-
электромагнитного поля faz. выразив его через свернутый тензор
кривизны Rap. Подставим полученные выражения в ура-
уравнения Максвелла. Тогда содержание уравнений Макс-
Максвелла — Эйнштейна выразится чисто геометрически. Эта
программа была реализована Райвичем в важной
симметричный теизор Риччи или свернутый теизор Римаиа
инвариант кривизны R = /?° (скалярную кривизну)'; обобщение опе-
оператора Даламбера для гравитационных потенциалов
и, наконец, электромагнитные потенциалы Аа, связанные с тензором
электромагнитного поля соотношением
дАя дА„
а дха дх?
Символ преобразования дуальности, который часто пишется в виде
Еар-(В> ие является тензором и обозначается здесь как [сфт8]-
Он меняет знак при перестановке любых двух индексов, причем его
компонента [0123] равна единице. Теизор (-Х-'Оц», дуальный антисим-
антисимметричному тензору Fap, определен соотношением
(# F)^ = -=- (— ^)'/« [^.мат] g^g^Fa».
Геометризоваиным иапряженностям электромагнитного поля /ир =
■= (G'h/c2)Fap сопоставляются геометризованные электромагнитные
потенциалы аа— (C'k/c2)Aa, являющиеся безразмерными. В пло-
плоском пространстве и в декартовых координатах:
dxl = dXi — сдвиг в направлении оси х,
dx° = — dx0 — интервал ковремеии,
А1 = А\—jc-компонента обычного векторного потенциала,
А0 = — Л о— обычный скалярный потенциал V (в единицах
CGSE),
^2з==—/"'з2 — х-компонента магнитного поля,
^10 = — /'о1 — -^-компонента электрического поля.

222 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
работе [З]1), которая оставалась долгое время незаме-
незамеченной. Результат этот прост.
1) Симметричный тензор Риччи /?ир может быть опре-
определен, согласно уравнению C), как «максвелловский
квадрат» антисимметричного тензора /от в том и только
в том случае, если этот тензор (фиг. 1), во-первых, имеет
след, равный нулю, и, во-вторых, квадрат его пропор-
пропорционален единичной матрице
#==/£ = 0, D)
Поэтому мы требуем, чтобы тензор Риччи удовлетворял
этим условиям.
2) В этом случае свернутый тензор кривизны одно-
однозначно с точностью до некоторого произвольного угла
а определяет локальное значение приведенного электро-
электромагнитного тензора напряженности /от. Символически
эту связь можно выразить в форме 2)
/от = (/?Максв. корень)от COS О. -\- (* /?Максв. корень)^ Sin (X. F)
3) В уравнения Максвелла подставляется выражение
для напряженности электромагнитного поля через кри-
кривизну Риччи. Начиная с этого момента, законы электро-
электродинамики приобретают чисто геометрический характер.
') Даже в более поздней книге Райнича [4] эта работа не
учтена прежде всего ввиду его подхода к классической физике,
отличного от исследуемого в настоящей статье. Мы занялись проб-
проблемой выражения уравнений A) — C) в рамках «исконно единой
теории», и одни из нас (Ч. Мизнер) независимо пришел к резуль-
результатам Райнича, еще ие зная о его ценном исследовании. Возмож-
Возможность построения такой «исконно единой теории» была нам впер-
впервые подсказана д-ром X. Эвереттом.
2) Мы выражаем нашу признательность профессору В. Баргма-
ну, который два года назад обратил наше внимание на уравнения
E) й F), заметив, что их содержание было независимо обнаружено
различными исследователями, и выразил его сущность в изложен-
изложенной выше исключительно простой форме. Первоначальное доказа-
доказательство было дано самим Райничем [3]. Этот результат неявно фи-
фигурирует в теореме V в работе Синга [5] (см. также книгу Син-
га [6], статью Боииора [7] и диссертацию Л. Марио [8], за которую
мы выражаем признательность Л. Марио).

Фиг. 1. Упрощение рассмотрения тензора энергии-импульса-нати*-
зкений при переходе к локально лореицовой системе отсчета, в ко-
которой вектора Е н Н параллельны (см. примечание 1 на стр. 52).
Слева — векторы напряженности электрического и магнитного полей в исходной
системе отсчета. Читателю предлагается вычислить поток энергии с [Е х Н]/1^.
плотность энергии (Е2-}-Н2)/87: и их отношение — скорость v. Справа — конфигура-
конфигурация полей в системе координат, движущейся с этой скоростью. Поток энергии
должен обращаться в нуль. Поэтому Е' и Н' будут параллельны. Назовем их
общее направление осью х''. Вдоль этой оси существует максвелловское натя-
натяжение (е' -f Н'2), а вдоль двух перпендикулярных ей осей у' и г' —столь же
«ильное максвелловское давление. Поэтому тензор энергии-импульса-натяжений
имеет вид
где F'2—сокращенная запись инварианта
[(Е2-
2-4 (E X
Этот тензор обладает двумя важными свойствами: 1) его след равен нулю и
2) квадрат его пропорционален единичной матрице. Оба свойства не зависят
от выбора координатной системы. Они выполняются независимо от того, яв-
является ли тензор Максвелла диагональным или нет.
Рассмотрим теперь, наоборот, вещественный симметричный тензор, обладающий
свойствами A) и B). Можно найти координатную систему с выделенным направле-
направлением xf', в которой этот тензор приводится к указанной выше диагональной форме.
В частности, сразу же можно найти инвариантную величину напряженности поля
г(8и • Тензор МаксвеллаJ"]'/*
I (Единичная матрица) J
Затем следует выбрать произвольный угол а и определять векторы Е' и Н',
направленные вдоль выбранной оси х' и обладающие абсолютной величиной
Е'=F' sin ч, H'=F' cos a.
Векторы Е' и Н' определены однозначно с точностью до единственного произволь-
произвольного параметра а. Преобразуем определенное таким образом электромагнитное
поле к исходной системе отсчета. Для этого поля максвелловский подход к тен-
тензору натяжений приводит к симметричному выражению, с которого мы начали
это рассуждение.
Эти рассуждения теряют силу, когда электромагнитное поле является нулевым,
когда вектор Е перпендикулярен Н и по абсолютной величине равен Н; однако
утверждение в тексте все же остается справедливым.

22 i У. Мизнер и Дж. Уилер
Во-первых, с помощью производной тензора Риччи мы
строим вектор az, определяемый соотношением
(В случае нулевого поля, когда R^Ri& обращается в
нуль, необходим особый подход.) Во-вторых, мы требуем
обращения в нуль ротора «того вектора:
ат; п — «ij; т — Ox. ij — «Ч -с = 0. (8)
4) Дифференциальное уравнение (8) в совокупности
с алгебраическими уравнениями D) ы E) содержит во
вполне геометрической форме как всю электродинамику
Максвелла в искривленном пространстве без источников,
так и законы Эйнштейна искривления пространства этим
полем. Уравнения D), E) и (8) составляют то, что мы
называем «исконно единой теорией». Электрическое и
магнитное поля не являются стимулами для изобретения
единой теории поля или введения того или иного нового
типа геометрии. «Исконно единая теория поля» Макс-
Максвелла, Эйнштейна и Райнича, изложенная в настоящей
работе, описывает электрическое и магнитное поля через
скорость изменения кривизны чисто римановой геомет-
геометрии и ничего более.
Сущность этого объединения может быть следующим
образом выражена математически: уравнения Макс-
Максвелла, как и уравнения Эйнштейна, являются уравне-
уравнениями 2-го порядка; две системы уравнений могут быть
объединены в одну систему уравнений (8) 4-го порядка.
Физически это означает, что электромагнитное поле ос-
оставляет отпечаток') на метрике, и этот отпечаток на-
настолько характерен (фиг. 2), что по нему можно про-
прочесть все необходимые сведения об электромагнитном
поле.
В случае если задано чисто метрическое поле, удовлетворяю-
удовлетворяющее уравнениям D), E) и (8) исконно единой теории поля, элект-
электромагнитное поле можно найти следующим образом. Во-первых,
вычислим всюду вектор электромагнитного поля а^, согласно G).
') Этим выражением мы обязаны профессору П. Бергману.

/. Классическая физика как геометрия
225
Во-вторых, вычислим, исходя из некоторой точки 0, интеграл
(9)
Так как ротор а^ равен нулю, интеграл ие зависит от пути, по-
поскольку различные пути могут быть переведены друг в друга не-
непрерывным образом. (Для многосвязного пространства необходимо
новое рассмотрение.) Поэтому мы имеем безразмерное число или
угол «, определенный как функция точки с точностью до аддитив-
аддитивной постоянной «о- Наконец, подставляем этот угол в соотношение
F) и находим электрическое и магнитное поле в любой точке про-
пространства.
■gs* \
Фиг. 2. Схематическое представле-
представление связи между электромагнитным
полем и геометрией.
Вверху изображены силовые линии. Посере-
Посередине— тензор натяжений Максвелла, соответ-
соответствующий этим силовым линиям. Этот тензор
натяжений служит источником гравитацион-
гравитационного поля и, согласно Эйнштейну, равен
свернутому тензору кривизны простран-
пространственно-временного континуума с точностью
до постоянного множителя. Внизу — влияние
этой кривизны на метрику 4-пространстаа.
Иначе говоря, электромагнитное поле накла-
накладывает свой отпечаток на пространство. Бо-
Более того, этот отпечаток на метрике так
своеобразен и характерен, что может служить
для обратной операции восстановления всех
необходимых сведений об электромагнитном
поле. Отсюда следует чисто геометрическое
описание электромагнетизма.
Мы видим, что давно уже сформулированная теории
оказывается хорошо приспособленной для описания гра-
гравитации и электромагнетизма с помощью пустого ис-
искривленного пространства. Как же обстоит дело с за-
зарядом?
Эйнштейн подчеркивал, что уравнения электромаг-
электромагнетизма и общей теории относительности имеют чисто
локальный характер. Они связывают условия в одной
точке с условиями в другой, бесконечно близкой к ней

226 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
точке. Они ничего не говорят о топологии пространства
в целом. Эйнштейн [9] руководствовался принципом
Маха при рассмотрении пространства, топологически ие
эквивалентного эвклидову, — сферического или почти
сферического мира. Однако Эйнштейн чувствовал себя
в долгу перед мыслителем, обладавшим еще более
далеко идущими идеями. Риман') в своей знаменитой
вступительной лекции рассмотрел связь между физикой
и кривизной пространства — связь, которая должна
чувствоваться не только на очень больших расстояниях,
но также и на очень малых расстояниях: «...мера кри-
кривизны может обладать тогда в каждой точке любым зна-
значением в трех направлениях при том лишь" условии, что-
чтобы полная кривизна любой измеримой части простран-
пространства не отличалась заметно от нуля;...». Умирая двадца-
двадцатью годами позднее от туберкулеза и пытаясь дать еди-
единое объяснение гравитации и электромагнетизму, Риман
сообщил Бетти свою систему рассмотрения топологии
многосвязных пространств2). Каков же характер элек-
') Во вводной части своей лекции [10] Риман заявил, что «те
свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых
трехмерных величин, могут быть почерпнуты не иначе, как из опы-
опыта» (цитировано по статье Клиффорда в работе [11])-
2) Вейль [12] подчеркивает, что уравнения поля никак не могут
служить для исключения ни многосвязных, ни иеориентируемых
пространств, подобных бутылке Клейна. Он отмечает, «что более
внимательное исследование поверхности, возможно, обнаружит у
участка, рассматривавшегося ранее элементарным, наличие в действи-
действительности мельчайших выступающих из него «ручек», изменяющих
характер связности этого участка, и что микроскоп с большим уве-
увеличением открыл бы и новые топологические усложнения этого типа,
ad infinitum. Точка зрения Римаиа допускает также и для реаль-
реального пространства существование топологических условий, полно-
полностью отличных от условий, реализуемых в эвклидовом пространстве.
Я полагаю, что философски плодотворный подход к проблеме про-
пространства может быть осуществлен лишь с позиций более сво-
свободных и общих геометрических представлений, возникших при
развитии математики в течение последнего столетия, и без предвзя-
предвзятого мнения в отношении воображаемых возможностей, обнаружен-
обнаруженных при этом развитии». Эйнштейн и Розен [13] предложили
в 1935 г. рассматривать обычное пространство связанным со своим
зеркальным двойником посредством коротких трубок. Такая топо-
топология значительно более специальна, чем рассмотренная здесь
или в следующей статье [2]. Эйнштейн и Розен вопреки экспе-
эксперименту приписали также электромагнитному полю отрицательно'

/. Классическая физика как геометрия 227
тродинамики при отсутствии зарядов в пространстве, об-
обладающем такой многосвязной топологией?
Можно развить полную классификацию всюду регу-
регулярных начальных условий для уравнений Максвелла
в замкнутом пространстве. Этот анализ приводит к не-
необходимости рассмотреть также ситуации — подобные
описанной одним из нас [14] (фиг. 3), — когда имеется
суммарный поток силовых линий через ручку в много-
многосвязном пространстве [этот термин употребляют топо-
топологи; для физиков в этом случае было бы нагляднее
пользоваться более ярким термином — «кротовая нора»
(wormhole)]. Поток силовых линий, исходящий из гор-
горловины небольшой ручки, покажется наблюдателю, рас-
располагающему малой разрешающей силой приборов, по-
порожденным элементарным электрическим зарядом. Но
здесь нет никакой точки, где можно было бы указать:
«Вот здесь локализован некоторый заряд')». Силовые ли-
линии нигде не кончаются. Этот факт нулевой дивергенции
ни в какой мере не препятствует изменениям напряжен-
напряженности поля. Силовые линии, не захваченные в ручки,
могут непрерывно сжиматься и исчезнуть, как и в знако-
знакомых примерах в электродинамике. Однако заключенные
в ручки силовые линии не могут уменьшаться в числе.
Поток из горловины ручки не может измениться со вре-
временем, как бы сильны ни были возмущения электромаг-
электромагнитного поля, как бы резко ни менялась метрика и как
бы стремительно ни удалялись или сближались соответ-
соответствующие ручки, до тех пор пока они не сольются и не
изменится топология. И уравнения Максвелла, и экви-
эквивалентная им физическая картина силовых линий Фара-
дея плюс представление о многосвязном пространстве
приводят нас к заключению о неизменности потока через
ручку. Эта константа движения представляет заряд.
определенную плотность энергии. Мы узнали, что профессор Сиидж
также отметил иа одной из лекций в Дублине в 1947 г. возмож-
возможность существования многосвязного пространства.
') В 1895 г. известный физик Генри А. Роуланд сказал: «...более
не существует электричества, так как слово «электричество», как оио
использовалось до сего времени, означает, что подразумевается не-
некоторая субстанция, а ведь нет ничего определеннее того факта, что
электричество не есть субстанция». (Цитировано по Дарроу [15].);
Его слова как раз кстати в нашем случае!

Фиг. 3. Символическое представление неквантованного заряда
в классической теории.
Для наглядности вместо трех пространственных измерений даны два. Вместе с тем
двумерное искривленное и многосвязное пространство изображено включенным
в трехмерное эвклидово пространство. Выходящее за-пределы поверхности третье
измерение не имеет физического смысла. Конечно, топология и геометрия 2-про-
странства наилучшим образом формулируется замкнутым образом, без такого
вложения этого многообразия в пространство более высокого числа измерений.
Это 2-пространство многосвязно, но не обладает никакими особенностями. Вообра-
Воображаемый муравей, ползая по этой поверхности, проникает в туннель (или ручку)
и обнаруживает там то же самое двумерное пространство, которое встречалось
ему во всех других местах. Электрические силовые линии, сходящиеся у правого
вхоца в туннель, продолжают удовлетворять в каждой точке уравнению Макс-
Максвелла div E —0. Поле нигде не имеет особенностей, а силовые линии неизбежно
продолжают углубляться в туннель. Затем они выходят из левого его отверстия.
Вне тумнеля ход силовых линий воспроизводит картину поля, создаваемого
равными друг другу положительным и отрицательным зарядами.
Наблюдатель, не вооруженный микроскопом с достаточным увеличением, считает
очевидным существование двух точечных зарядов. Он может даже окружить
правый заряд границей, определить поток поля через нее, неправомерно приме-
применить теорему Гаусса и „доказать", что в ограниченной таким образом области
содержится заряд. Он не заметит, что неявно использовал неправильные предпо-
предположения о топологии пространства. Он не узийет, что его „граница" не ограни-
ограничивает какую-либо область внутри нее. Он будет считать, что либо уравнения
Максвелла терчют смысл вблизи заряда, либо существует некоторое чудесное
вещество, на котором заканчиваются силовые линии и которому он даст назва-
название „электричество". Но более внимательное рассмотрение обнаружит, что сило-
силовые линии не имеют конца и что уравнения Максвелла справедливы в свободном
от зарядов пространстве. Нельзя указать места, где расположен заряд. Такова
чисто топологическая модель неквантованного электрического заряда, принятая
в настоящей работе. Этот классический заряд не имеет прямого отношения
к квантованному электрическому заряду. На этом классическом уровне имеет
место полная свобода выбора величины заряда и нет никакого стандарта, касаю-
касающегося связи одного заряда с другим. Это положение должно быть полностью
изменено в любой собственно квантовой теории электричества.
Расстояние вдоль ручки от одной ее горловины до другой вовсе не должно быть
каким-либо образом связано с расстоянием в открытом пространстве между этими
двумя горловинами. Это расстояние может оказаться таким же коротким, как
радиус самой ручки, даже если горловины очень удалены друг от друга во внеш-
внешнем пространстве, как можно видеть сгибая верхнее пространство вплоть до
совпадения этих двух горловин. (Диаграмма взята из работы [14].)

/ Классическая физика как геометрия 22Э
Заряд, или поток через ручку, является не кванто-
квантованным. Он в равной степени может иметь то или иное
значение и непосредственно не может быть связан с
квантованным зарядом, наблюдаемым в квантовой фи-
физике у элементарных частиц. Подобное обстоятельство
не может служить возражением против понятия класси-
классического неквантованнюго заряда. Это есть предупрежде-
предупреждение о совершенно ином содержании понятия квантован-
квантованного заряда. Такое различие не будет неприемлемым в то
время, когда будет понято, как велико различие между
«голым» и «одетым» зарядом в квантовой электродина-
электродинамике (см., например, [16]). Поэтому не представляет-
представляется безосновательным ограничить рассмотрение чисто
классическим неквантованным зарядом, тем более в
статье, посвященной классической физике (см. табл. 1).
Вокруг горловины ручки сконцентрировано электро-
электромагнитное поле, придающее массу этой части простран-
пространства. Масса возникает даже в односвязном простран-
пространстве, где с полем Максвелла, не имеющим источников,
не будет связан заряд. Уравнения Максвелла и Эйн-
штейва предсказывают возможность существования дол-
гоживущих концентраций электромагнитной энергии,
или «геонов», удерживаемых собственным притяжением.
Как в многосвязном пространстве, так и в односвязном
континууме масса, с которой мы имеем дело, является
классической, нелокализованной и неквантованной. Она
не имеет ничего общего с квантованной массой элемен-
элементарных частиц.
Можно дать несколько парадоксальное резюме этих
рассуждений. Настоящая хорошо установленная исконно
единая классическая теория [уравнения D), E), (8)]
позволяет описывать с помощью пустого искривленного
пространства
1) гравитацию без гравитации,
2) электромагнетизм без электромагнетизма,
3) заряд без заряда,
4) массу без массы.
Она ничего непосредственно не дает нам для понимания
5) спина без спина,
6) элеменорных частиц без элементарных частиц и
каких-либо других явлений квантовой физики. Однако

230 Ч. Миэнер и Дж. Уилер
мы едва ли взялись бы за исследование классической гео-
метродинамики, если бы не надеялись в конечном счете
выяснить, какое отношение имеет квантовая геометро-
динамика к физике элементарных частиц (если она
вообще имеет к ней отношение). Нашей конечной целью
является выяснение вопроса о том, может ли квантовая
физика, подобно классической (табл. 1), быть описана
с помощью геометрии.
В наши дни не принято придерживаться крайних
точек зрения — взгляда на пространство-время только
как на арену явлений и на пространство-время как на
все содержание физики. Одни разлагают состояния частиц
и полей по плоским волнам, движущимся как чуждые
элементы в заранее определенном плоском пространстве.
В то же время другие рассматривают кривизну про-
пространства, хотя и не равную точно нулю, но весьма ма-
малую на расстояниях, незначительных по сравнению с
протяженностью Вселенной. Эйнштейновское геометри-
геометрическое описание гравитации принимается всерьез. Его
попытки геометрического описания электромагнетизма—
путем видоизменения римановой геометрии — были при-
признаны несовместимыми [17, 18] с хорошо проверенным
законом силы Лоренца и отвергнуты. Считается, что
частицы и поля, отличные от гравитации, должны до-
добавляться к геометрии, но не выводиться из геометрии.
Можно сказать, что природа описывается в наши дни
смешанным образом: частично с помощью чистой гео-
геометрии, частично с помощью чуждых геометрии сущно-
сущностей.
Однако логическая крайность — мысль о чисто гео-
геометрическом описании природы — не была новой идеей
даже до того времени, когда вообще могли различать
квантовую и классическую физику. Известный матема-
математик Клиффорд представил 21 февраля 1870 г. Кемб-
Кембриджскому философскому обществу статью «О про-
пространственной теории материи», в которой он высказал
предположение о том, что «в физическом мире не проис-
происходит ничего, кроме этого изменения (кривизны прост-
пространства), подчиняющегося (возможно) закону непрырыв-
ности»; далее он говорил о соображениях, «которые

I. Классическая физика как геометрия 231
указывают на возможность выражения расстояния или
количества через расположение в широком смысле то-
топологии, и затем вновь о конечном объеме простран-
пространства постоянной кривизны, но с явным упоминанием того
обстоятельства, что «сделанные здесь предположения о
связности пространства (лишь) простейшие» [19]. Был
ли когда-либо до Эйнштейна, Клиффорда и Римана —
и римановой геометрии — взгляд на физику, хоть чем-
нибудь подобный представлению о физике как о геомет-
геометрии? Каковы были взгляды Ньютона на теорию поля и
на мысль о том, что пустое пространство является уни-
универсальным строительным материалом?^ Давно известно
его письмо к Бентли: «Мне кажется до такой степени
абсурдным положение, при котором одно тело может
действовать на другое на расстоянии через вакуум, без
посредства чего-либо иного, что я не верю, чтобы
кто-нибудь, в достаточной степени способный мыслить
на философские темы, мог поверить в это»1). Максвелл
говорил: «Из его «Вопросов оптики» и его писем Бойлю
мы видим, что Ньютон давно сделал попытку объяснить
гравитацию давлением среды и что причина того, что он
не опубликовал этих исследований «состоит лишь в том,
что он не смог на основании опыта и наблюдений дать
удовлетворительное объяснение этой среде и ее поведе-
поведению при проявлении основных явлений природы».
Новый взгляд на идеи Ньютона и их происхождение
содержится в недавних исключительно интересных
исследованиях Фирца [21]. Фирц особо цитирует
Патриции [22], который пишет о пространстве и веще-
веществе: «Итак, пространство есть то, что было прежде
мира и будет после него, что стоит во главе мира, из
него исходит и, наконец, обращается в нечто... Разве оно
тогда не является субстанцией? Если субстанция есть
то, что лежит в основе, то пространство и есть скорее
всего сущность (мира)». Некоторые песни древнеиндий-
древнеиндийских Вед [23] также позволяют предположить, что эта
идея —идея о том, что природа черпает всю своюструк-
') Эта и следующая цитаты взяты из заметок Кэджори [20].

232 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
туру и поведение из свойств пространства1) — очень
стара.
Может ли пространство рассматриваться как изуми-
изумительное творение, заключающее в себе все свойства?
Попытаемся проанализировать эту идею независимо от
её истоков, как древних, так и современных.
') Профессор Г. Л. Чандратрейя обратил наше внимание на ин-
индийские Веды в связи с первыми идеями, относящимися к «физике
как геометрии». В этой связи нам хотелось бы поблагодарить Свами
Никхилананда, разъяснившего нам соответствующие тексты: «Со-
«Согласно Ведам, акаша (akasa), часто переводимая ка(? «простран-
«пространство» или «эфир», является первым простейшим элементом, из ко-
которого развиваются другие элементы, а именно воздух, огонь, вода
и земля. Единственными материальными элементами, упоминаемыми
в Ведах, являются эти пять элементов. Индийские философы при-
признавали пять элементов ввиду того обстоятельства, что человек
имеет пять путей общения с внешним миром: слух, осязание, зре-
иие, вкус и обоняние... (в связи с этим он ссылается на Taittiriya
Upanishad II, i. 3.J». Таким образом, мы находим акаша в каче-
качестве первичного элемента в этом первоначальном, относящемся ко
времени примерно 700 лет до н. э., наброске физики. (Брахмаихотя
и предшествовал акаша, но представляет собою чистый дух вне
рамок физики.) Мы можем сказать, что в этой физике пространство
было первичным элементом, из которого должно было появиться
все прочее, если, конечно, мы сможем убедить себя в том, что ака-
акаша означало нечто подобное мировому пространству в обычном
понимании. В этой связи мы обращаемся к уже упомянутому [23]
наиболее авторитетному древнему комментатору Упанишад. Шанка-
рачария G88—820 гг. н. э) пишет: «Акаша является такой вещью,
которая обладает свойством звучания и которая придает пространство
всем телесным сущностям». Саяна далее разъясняет: «...способность
акаша создавать пространство всем (телесным) вещам, является ее
собственным специфическим свойством.- И звук является ее свой-
свойством. Эхо, слышимое в горных пещерах и в прочих местах, пред-
предполагается присущим акаша, и поэтому говорится, что это есть свой-
свойство акаша». Если не считать странной ссылки на звук, то кажет-
кажется, что эти объяснения подтверждают попытку отождествления ака-
акаша с пространством: физик мог бы написать — «пространство дает
место всем вещам» вместо слов переводчика «акаша придает простран-
пространство всем вещам». Ссылка на звук понятна, если вспомнить о вы-
выборе пяти элементов в соответствии с пятью органами чувств. Шаи-
карачария пишет: «Отсюда, т. е. из акаша, находит свое бытие
Вайю, воздух, обладающий двумя свойствами — своим особым свой-
свойством осязаемости и свойством звучания, принадлежащим уже вхо-
входящей в него акаша». Было бы, пожалуй, чрезмерным ожидать, что-
чтобы в такой глубокой древности люди знали, что звук передается
через воздух, но не через пустое пространство. [О единстве материи
см. Платона («Тимей»). — Прим. ред.]

/. Классическая физика как геометрия 233
В разделе II мы восстанавливаем в современных
обозначениях уравнения Райнича исконно единой тео-
теории поля. Исходная теория Эйнштейна и Максвелла рас-
рассматривает лишь локальные свойства объектов, и то же
имеет место для окончательной системы уравнений Рай-
Райнича.
Для того чтобы перейти от локальных свойств к гло-
глобальным и/ш топологическим и вместе с тем сохранить
простоту обсуждения, в разделе III мы вернемся к бо-
более привычному дуалистическому языку метрики плюс
поля. Там мы изложим необходимые сведения из топо-
топологии и дадим необходимое обобщение теоремы Гаусса
и теории гармонических векторных полей. Большая
часть необходимого математического аппарата уже име-
имеет свое выражение в виде исчисления внешних диффе-
дифференциальных форм Картана. Большинство результатов
мы запишем как в этих обозначениях, так и в привыч-
привычном тензорном виде. Лишь немногие выводы приобре-
приобретают в тензорной записи такой сложный вид, что мы от-
отказываемся от введения в них обычных обозначений.
Мы докажем, что уравнения Максвелла требуют сохра-
сохранения потока независимо через каждую ручку, что
оправдывает отождествление этого потока с зарядом.
В разделе IV рассматриваются частные примеры
многосвязной метрики, не обладающей особенностями,
в которой появляются как заряд, так и масса. Прежде
всего дается несингулярная запись метрики Шварц-
шильда, что доказывает существование частного случая
пространства, не включающего ни заряда, ни массы (в
обычном смысле этих слов), но тем не менее обладаю-
обладающего массой. Далее получена регулярная форма метрики
Райснера — Нордстрема. Она описывает сферически сим-
симметричное пространство, не содержащее «реальных» за-
зарядов и масс, но тем не менее обладающее обоими эти-
этими свойствами. Наконец, придана замкнутая математи-
математическая форма некоторому классу метрик, обладающих
большим числом горловин ручек, причем каждый из них
обладает своими собственными зарядом и массой. Если,
таким образом, определить начальные условия, то буду-
будущее развитие пространства определится, конечно, ура-
уравнениями поля. Другими словами, к этому случаю при-

234
Ч. Мизнер и Дж. Уилёр
менимы доводы Эйнштейна, Инфельда и Гофмана. Пред-
Предметом чистой геометродинамики является вся динамика
системы зарядов и масс при отсутствии сингулярностеи.
Раздел V посвящен изложению проблем, нуждаю-
нуждающихся в дальнейшем исследовании для ,придания клас-
классической геометродинамике полноты и расширения об-
области ее применимости.
II. ИСКОННО ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ РАИНИЧА
Тензор Максвелла
Прежде всего напомним соотношение между напря-
напряженностью электромагнитного поля F^ и максвеллов-
ским тензором энергии-импульса-иатяжеиий Т^. Это
соотношение имеет чисто алгебраический характер,
Гввиду чего можно ограничиться рассмотрением одной
какой-либо точки пространства-времени и для удобства
использовать координатные системы, в которых в дан-
данной точке компоненты метрического тензора g^ прини-
принимают значения, присущие метрике Минковского] Кон-
Концентрируя внимание на геометрии, мы будем использо-
использовать вместо F «геометризованную», или «приведенную»,
напряженность поля f = (G'Vc2)F, а вместо напряжен-
ностей электрического и магнитного полей Е и Н при-
приведенные напряженности е= (G'/2/c2) и h= (G'<We2)H,
имеющие размерности см~1. При рассмотрении метрики
Минковского приведенный тензор напряженности поля
имеет форму
U.» '
'О — ех ~ev —,
-л, у
ех 0 hz —,
еу —hz О
er ft,, —ft, (
(см
а дуальный ему тензор
(Ю)
(И)
отличается от f лишь заменой е—>h, Ъ > — е. Из тен-
тензора напряженности поля строятся два известных

/. Классическая физика как геометрия 235
инварианта:
(=h2—e2 в системе отсчета Минковского),
(=2e-h в системе отсчета Минковского).
Уравнения
1 D 8яО т
A3)
связывающие свернутый тензор кривизны с тензором
натяжений (и через него с полем), позволяют стоящую
справа величину называть равным образом как «при-
«приведенным», или «геометризованным», тензором энер-
гии-натяжений, так и свернутым тензором кривизны,
поскольку речь идет о чистой геометродинамике.
В системе отсчета Минковского типичные компо-
компоненты A3) равны
г> л00 г>° I 2 i t,2\ 8яО
*Хт = Н — — /<о = (е-|-пу|= g4 (Плотность энергии) .
— /?ю = R — Ri = 2е X h = g4 (Плотность умноженной
на с х-компоненты импульса) = —j— (Поток электромагнитной
энергии через 1 см2 поверхности, нормальной оси х, в течение
1 см прошедшего ковремени);
h2
= 1—7i~) (Давление) = I—— I (Сила, приложенная в направлении
оси х к единичной площадке, нормальной этой оси х, со стороны
электромагнитного поля в области х — ей действующая на область
+ 0
^у-2Му = ^ (Сдвиговое уси-
лие) = —— (Сила, приложенная в направлении оси к к единичной
площадке, нормальной оси у, со стороны электромагнитного поля
в точке у — ей действующая на среду в точке у + е). A4)

236 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Из выражений A4) очевидна инвариантность тензора
энергий-натяжений относительно замены е—>h, h—> — е;
однако в уравнениях A3) это обстоятельство отчетливо
не выражено. Поэтому желательно переписать приве-
приведенный тензор натяжений, или «максвелловскии квадрат
тензора f», в левой части уравнений A3) в более сим-
симметричном виде
° */va, (На)
что можно сделать на основании тождества ')
Повороты дуальности2)
Тензор натяжений, или максвелловскии квадрат тен-
тензора f, обладает следующими свойствами симметрии.
Заметим, что дважды примененная к f операция взя-
взятия дуальной величины вновь приводит к —f, так что
квадрат операции * равен тождественному преобразова-
преобразованию со знаком минус. Поэтому рассмотрим угол а и
определим операцию е*а с помощью соотношения
. A6)
В системе координат Минковского эта операция при-
принимает вид
К нов. = К cos a + ех Sin a
1
г (одинаково для X, у, Z). A/)
Эта операция кажется на первый взгляд простым пово-
поворотом, так как будучи примененной к линейно поляри-
поляризованной волне, для которой ]e| = |h| и ej_h, она по-
поворачивает направление поляризации на угол а вокруг
направления распространения этой волны. Однако для
более общего случая полей этот оператор не приводит
к столь просто интерпретируемому результату. Более
того, он равным образом затрагивает все три простран-
пространственные оси. Это не есть обычный поворот в 3-прост-
') См. примечание на стр. 240.
2) См. примечание 2 на стр. 222

/. Классическая физика как геометрия
237
ранстве, ввиду чего мы будем называть его поворотом
дуальности. Этот оператор обладает свойством аддитив-
аддитивности
' ' " й A8)
и, в частности, имеет значение
» = *. A9)
Тензор, дуальный дуально повернутому, дает тензор
напряженности
1 = — f sina-|-*f cosa. B0)
На основании соотношений A4), A6) и B0) заключаем
о следующем важном свойстве поворота дуальности:
максвелловский квадрат дуально повернутого поля тож-
тождествен с максвелловским квадратом исходного поля
S(e*af) = 2:(f). B1)
При этом порознь взятые электрическое и магнитное
поля меняются, тогда как все компоненты тензора
Таблица 2
Различие между собственными преобразованиями Лоренца
и поворотами дуальности
Величина
Компоненты тензора Максвелла
или максвелловский квадрат f . . ■.
Инварианты f2 и f X *
Общее собствен-
собственное преобра-
преобразование
Лоренца
Меняются
Неизменны
Поворот
дуальности
Неизменны
Меняются
энергий-натяжений остаются неизменными. Напротив,
поворот дуальности изменяет инварианты полей
(табл. 2). Определим
g = e-*f B2)
как напряженность поля, дуально повернутого на угол
а. Тогда инварианты поля преобразуются, как при

238
Ч. Мизнер и Дж. Уилер
повороте на угол —2а:
|й = (f Cos а —. * f sin аJ = Р cos 2а — f
jj X ? = f2 sin 2а + f X f cos 2a.
f sin 2а,
B3)
Допустим, что оба инварианта (f2 и f X f) одновре-
одновременно не обращаются в нуль. Тогда мы выбираем
угол а так, чтобы одна инвариантная величина § X |
обращалась в нуль:
= —Ц^-. B4)
Разрешая это уравнение относительно sin 2a и cos 2a
с точностью до знака, вычисляем другой инвариант,
находя
S2=±[(f2J+(fXfJ]'/2. B5)
Пусть в правой части имеет место знак минус, так что
угол 2а будет определен с точностью до положительного
или отрицательного слагаемого, кратного 2и. Тогда тен-
тензор напряженности поля § определяет чисто электриче-
электрическое поле, направленное по оси х, или полученное из
него путем преобразования Лоренца (табл. 3). Назовем
Таблица 3
Преобразования общего (ненулевого) тензора напряженности
электромагнитного поля f = (e, h) в локальной системе
отсчета Минковского
Напряженности поля
Исходные
После канониче-
канонического преобразова-
преобразования Лоренца
Исходные
е, h
е' и h' парал-
параллельны друг другу
и оси х
После канонического
поворота дуальности
е" и h" взаимно пер-
перпендикулярны, причем
е" больше, чем h"
е параллельно оси х;
h = 0
такое преобразование дуальным поворотом исходного
поля до экстремального поля, или до существенно элек-
электрического. В избранной лоренцовой системе, в которой

/. Классическая физика как геометрия 239
это поле направлено вдоль оси х и не имеет отличной от
нуля компоненты магнитного поля, напряженность его
равна
<£ = [(h2 — е2J + Bе ■ W\u = ((h2 -+- е2J-2 (е X hJ]''*. B6)
«Фаза» поля
Исходя из экстремального или существенно электри-
электрического поля \ как основного стандарта, мы полу-
получаем действительное поле f, очевидно, с помошью пово-
поворота дуальности на угол а:
При преобразовании Лоренца компоненты трех тензо-
тензоров f, ? и *{; преобразуются одинаковым образом. По
этой причине угол а. не меняется. Это представляет со-
собой важное лоренц-инвариантное скалярное свойстве нал
пряженности поля f. Будем называть угол а «фазой»
(complexion) электромагнитного поля.
В том случае, когда поле f является нулевым, т. е.
(e-h) = 0 и h2 — e2 = 0
или
fXf = O и f2 = 0,
уравнения B4) для угла а становятся неразрешимыми.
В этом случае «фаза» не может быть определена чисто
локальным способом.
Квадрат тензора Максвелла
и алгебраические соотношения для кривизны
Вернемся теперь к случаю, когда поле не является
нулевым. Вычислим здесь максвелловский квадрат, или
тензор энергии-натяжения исходного поля, используя ра-
равенство его максвелловскому квадрату экстремального
поля.[см. соотношение B1)] или максвелловскому квад-
квадрату поля, дуального по отношению к предельному:
К («) - К (?) = 2W" - 8х, • (f),

240 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Возведем теперь в квадрат максвелловский квадрат f
путем умножения первого тензора на второй. Смешан-
Смешанные по § и *§ члены, возникающие при этом вычисле-
вычислении, обращаются в нуль ввиду тождества:)
2£„а * г=~ s;iOT * г=к. E х а B8)
и предельного свойства 1-х 5 — 0. Здесь мы исполь*
зовали также тождество A5). В результате для квадрата
находим
ад = 2 (f) (^г - * е.» * Г) - К (?f=
=^(ГJ=s;[(f2J -+-(* х fJ]=
= К. [(h2 - е2J + Bе • hJ] = ИГ, [(h2 + e2J-Be X h)aJ. B9)
Доказательство этого результата в случае нулевого поля
даже еще проще, и ввиду равенств f X f = 0, f2 = 0 пра-
правая часть равенства B9) обращается в нуль. Итак, квад-
квадрат максвелловского тензора энергии-импульса-натяже-
ний пропорционален единичной матрице. Это изящное и
интересное соотношение является центральным в исконно
единой теории поля Райнича. Будучи записанным через
компоненты кривизны, оно имеет вид
1X1 = ftRi = в; A ад*).
Значение постоянного коэффициента определено здесь
путем сравнения следов обеих частей уравнения. К это-
этому соотношению добавляется равенство нулю следа при-
приведенного тензора Максвелла
г:=я:=./?=о CD
[уравнение D)], что следует непосредственно из опреде-
определения A3) и утверждения [см. соотношение A4)] о по-
') Это равенство является частным случаем соотношения
AvaBn -*Ava* В™ = 1 в^В*.
справедливого для любых двух антисимметричных тензоров А и В
в 4-пространстве.

/. Классическая физика как геометрия 241
ложительной определенности плотности электромагнит-
электромагнитной энергии
гоо = ^оо>0. C2)
Другими словами, величина
^^(Dxi? C3)
неотрицательна для любого временно-подобного век-
вектора v. Соотношения C0) — C2) выражают алгебраиче-
алгебраические соотношения, которым подчиняется кривизна в ис-
исконно единой теории поля.
Необходимым условием возможности выражения
свернутого тензора кривизны R^ в виде масквелловского
квадрата некоторого антисимметричного тензора напря-
напряженности поля f является то, чтобы свернутый тензор
кривизны удовлетворял соотношениям C0) — C2). На
фиг. 1 эти же условия получены несколько иным путем.
Из фиг. 1 видно, что соответствующее преобразова-
преобразование Лоренца приводит тензор R^ = 2^,, ненулевого поля!
к диагональному виду
—1
C4)
Этот диагональный вид тензора £ с необходимостью оди-
одинаков для любого симметричного тензора с нулевым
следом, квадрат которого отличен от нуля и пропорцио-
пропорционален единичной матрице. Тензор R^ в рассматривае-
рассматриваемой точке определяет то, что на языке Скаутена [24] на-
называется двухлистной структурой (см. также [4]) 1).
Преобразование поворота в плоскости yz вокруг оси х
не изменяет тензора C4); напряженности электрического
и магнитного полей остаются параллельными оси х (см.
фиг. 1). Подобная картина параллельных векторов на-
напряженности не изменится и при преобразовании Ло-
Лоренца в плоскости хТ. Плоскости yz и хТ являются дву-
двумя листками, определяемыми тензором Максвелла 3:J.(f)
') Мы выражаем признательность проф. Скаутену за ряд со-
содержательных дискуссий.

242 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
и, следовательно, в свою очередь определяемыми са-
самим f.
Будучи записанным в диагональной форме, тензор
Максвелла характеризуется единственным параметром.
К этому параметру следует добавить лишь четыре до-
дополнительных параметра от общего 6-параметрического
собственного преобразования Лоренца, поскольку пово-#
роты в плоскостях yz и хТ не приводят к изменениям
этого тензора. Таким образом, свернутый тензор кри-
кривизны R^ «электромагнитной римановой геометрии» или
«геометродинамики» (табл. 4) характеризуется совокуп-
совокупностью пяти параметров, несмотря на наличие в общем
случае у тензора /?^„ десяти различных компонент и не-
несмотря также на тот факт, что, казалось бы, уравнения
B9) и C1) накладывают на эти десять компонент де-
десять условий. Очевидно, что эти нелинейные алгебраиче-
алгебраические уравнения не являются все независимыми.
То, что свернутый тензор кривизны R^ удовлетво-
удовлетворяет условиям Райнича C0) — C2), не только необхо-
необходимо (как было показано выше), но и достаточно для
возможности представления R^ в виде максвелловского
квадрата, или тензора электромагнитного поля f^,. Более
того, соответствующий тензор поля определяется отсюда
однозначно с точностью до преобразования поворота
дуальности. Такой тензор поля мы называем максвел-
ловским корнем от тензора кривизны Риччи R^. Мы до-
доказываем эти утверждения отдельно для случаев нену-
ненулевого и нулевого (когда R^R[>y = 0 и в R^ остается
лишь три независимых параметра) тензора R^v.
I) Построим «риччиеву часть» ZiJ"тензора кривизны
Римана
ятГ^ 1 (_ ьж+ьж - Ш+№;)■ C5)
Она обладает теми же свойствами симметрии, что и тен-
тензор кривизны Римана, причем свертка дает тот же тен-
тензор кривизны Риччи
Emm = - у & + 2/£ - ±& + ЖК = RI ^ ЯгГ C6)
благодаря условию /?' = 0 и приводит к необходимой
при взятии максвелловского корня антисимметрии.

Частичная классификация римановой геометрии
Таблица 4
Свойство Наименование | Примечания
= (h2 — е2J + Bе • hJ
^ = o; tf<x»o;
д^ = °
а — константа во всем прост-
пространстве и времени
Произвольный тензор R^
Неискрнвленное пространство
Чистое гравитационное поле
.Электромагнитная риманова
геометрия" илн „геометроди-
намика"
Нулевое поле; е • h = 0 и
h2 — е2 = 0 — частный случай
электромагнетизма
Статическое поле; путем заме-
замены наименований (поворота дуаль-
дуальности) приводится к условиям,
когда присутствует лишь элек-
электрическое поле, но не магнитное;
другой частный случай электро-
электромагнетизма
Общий случай геометрии
Римана
Все подобные пространства недавно
классифицированы Маркусом ')
Десять „локальных" компонент
тензора /?ару5 Равны нулю, но другие
десять „дальнодействующих" компонент
определяются путем решення дифферен-
дифференциальных уравнений /?^7 = 0 для мет-
метрики. Свободных компонент R^ нет
Имеются пять свободных компонент
у R^. Метрика находится путем реше-
решения уравнений исконно единой теории
поля
Ry.-, — %рч (f) = ky. kv где k — нуле-
нулевой вектор; имеются лишь три свобод-
свободных параметра у тензора R^
На тензор R^., накладываются доба-
добавочные нелокальные (дифференциаль-
(дифференциальные) условия в добавок к обычным
уравнениям поля исконно единой теории
Отсутствие физических законов
') L. Markus, в печати.

244 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
2) Определим эстремальный масквелловский корень
i^, тензора кривизны Риччи (случай чистого электриче-
электрического поля) с точностью лишь до знака с помощью со-
соотношения
Любая заданная компонента |^ находится с точностью
до знака при подстановке (о, т) = (ц, v) и извлечении
корня в C7). Далее то же соотношение C7) исполь-
используется для нахождения относительных знаков различ-
различных компонент, |^ и ?„. Совместность полученных вы-
выражений гарантируется условиями Райнича.
Только что изложенный рецепт отыскания максвел-
ловского квадратного корня наиболее просто прове-
проверяется в системе отсчета Минковского, в которой тензор
кривизны Риччи имеет диагональный вид
-М2
Здесь Е01 является положительным вещественным чи-
числом, определенным, если задан тензор R^. Мы исполь-
используем это число для определения антисимметричного
экстремального тензора поля!;, все компоненты которого,
за исключением Е01 и ?10 = —101, обращаются в рас-
рассматриваемой лоренцовой системе в нуль. Тогда дуаль-
дуальный тензор обладает единственными ненулевыми ком-
компонентами
Таким образом, экстремальное поле обладает свойством
(Магнитная компонента приведенного экстремального поляJ —
(Электрическая компонента приведенного экстремального поляJ=
— 1 (R ff"ik ■
§ X § = 0 = (Магнитная компонента) X
X (Электрическая компонента);
№ Ы2 = -Г, *%Х*% = 0. C9)

/. Классическая физика как геометрия 245
В той же самой системе Минковского единственные
отличные от нуля значения компонент тензора Е C5)
равны
О1 4(!°) 2
и D0)
= - \ {Rl ■+- Rt) = - (U2 = - (
Поэтому общая компонента тензора Е может быть
записана в ковариантной форме
Произведение этого тензора на самого себя равно
(r)'h9*^) D2)
ввиду свойств C9) экстремального поля. Умножим D1) на
—7г и прибавим к нему D2), умноженное на
—lli(R'"R<n)~11*' Для исключения членов, включающих
дуальное поле. Мы получаем соотношение C7) для ком-
компонент приведенного предельного тензора электромаг-
электромагнитного поля. Тензорное уравнение справедливо во всех
координатных системах, если оно выполняется в этой
упрощающей расчет системе. Таков аппарат извлечения
максвелловского квадратного корня из ненулевого тен-
тензора Риччи, т. е. из тензора, квадрат которого не равен
нулю и пропорционален единичной матрице.
Рассмотрим теперь другой случай, когда свернутый
тензор кривизны является нулевым тензором
^/Г = 0, D3)
но сам тензор не равен нулю тождественно. Как и пре-
прежде, рассмотрим этот тензор в системе отсчета Минков-
Минковского, где компоненты метрического тензора g^ имеют
лоренцовы значения. Система координат определяется
тогда произвольно с точностью до шести-параметриче-
ского преобразования Лоренца. Произведем такой пово-
поворот в трехмерном пространстве (затрагивая три пара-
параметра), который диагонализирует пространственную

246 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
часть R^; тогда Ri2 = #23 = #31 = 0. Обращение в нуль
квадрата Rl (см. табл. 4)
(У*) Р Рв =0 D4)
\о /Лоренц. р<п vpv \ /
приводит к условиям вида
— /?со+/?1О+^?2О + ^?зо==О (временно-временное); D5)
— RooRoi + Ro\Ru +0+0 = 0 (пространственно-
временное); D6)
— M)i+/?u + 0 + 0 = 0 (пространственно!-
пространственное!); D7)
— ^10^02 +0+0+0 = 0 (пространственно i -
пространственное2). D8)
Из соотношений типа D8) мы заключаем, что лишь одна
из компонент R0\, R02, R03 может отличаться от нуля.
Пусть этой ненулевой компонентой будет Roi и пусть
ось х выбрана так, что Roi является отрицательной ве«
личиной (—2и2). Тогда компонента R01 положительна и
соответствует потоку вектора Пойнтинга в положитель-
положительном направлении оси х. Тогда из соотношений D5) — D8)
и требования Roo^-Q положительной определенности
плотности энергии следует, что тензор кривизны Риччи
имеет вид
2х2 — 2х2 0 0\ Строка: 0
-2*2 2х2 0 0] 1
0 0 0 о] 2' ^
О 0 0 0/ 3
Этот тензор может быть записан в виде
где вектор-к является нулевым:
К — как — U.
Будучи ковариантным и справедливым в одной из си-
систем отсчета, представление E0) имеет силу в любой
системе.

/. Классическая физика как геометрия 247
Преобразования Лоренца, способного диагонализи-
ровать нулевой тензор Риччи, не существует так же, как
не существует преобразования Лоренца, делающего ну-
нулевой вектор временно-подобным или вектора напря-
напряженности поля е и h, удовлетворяющие нулевым усло-
условиям (е • h) = 0, h2 — е2 = 0, параллельными. В случае
индефинитной метрики теорема о возможности диагона-
лизации произвольного симметричного тензора не имеет
места; выяснением этого обстоятельства мы обязаны
проф. В. Баргману. Эта особенность ни в коей мере не
препятствует извлечению максвелловского корня из D9):
(О 0 —х
!-! ooi E2)
о о о
или
е = @, х, 0); h = @, 0, *), E3)
чго может быть проверено прямой подстановкой в фор-
формулы A3) или A4) для максвелловского квадрата. Тен-
Тензор D9) описывает поток энергии в направлении оси х
со скоростью света, а формулы E2) или E3) разлагают
поток вектора Пойнтинга на множители е и h. Максвел-
ловский квадратный корень оставляет неопределенным
лишь направление поляризации. Применение операции
поворота дуальности с параметром а к напряженности
E2) поворачивает вектор поляризации на угол а вокруг
направления распространения, не меняя ее максвеллов-
максвелловского квадрата /?^.
Правило извлечения максвелловского квадратного
корня из нулевого тензора Риччи можно резюмировать
ковариантным образом:
1. Извлекается «обычный» квадратный корень k^, со-
согласно соотношению E0).
2. Берется 4-вектор v, который а) обладает модулем,
равным единице:
\2 — vava=l, E4)
б) нормален вектору к
kav" = 0 E5)

248 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
и в) в специальной системе отсчета Минковского, где
выполняются равенства D9) и E2), например, имеет
компоненты:
v = @, 0, 1, 0). E6)
3. Строится антисимметричное произведение
/nv = ^v — *V*V E7T)
или, в так называемых внутренних обозначениях, *
E7B)
4. Тогда приведенный тензор поля E7) представляет
собой максвелловский квадратный корень от нулевого
тензора R^v и является с точностью до поворота дуаль-
дуальности единственным максвелловским квадратным корнем
из R^v.
Как легко видеть из E1), E4) и E5), приведенное
поле f является нулевым в избранной нами системе от-
отсчета Минковского. Поэтому оно остается нулевым по-
полем в любой другой системе отсчета. То же самое имеет
место и после применения операции поворота дуаль-
дуальности.
Влияние на f поворота дуальности может быть выра-
выражено через сомножители, входящие в f. Таким образом,
к остается неизменным, a v поворачивается вокруг к.
Однако v не определяется однозначно величиной f: но-
новый вектор v' = v + (const) k приводит к тому же полю
f и удовлетворяет условиям E4) и E5) в той же мере,
как и v. Более того, нужно быть осторожным при ис-
использовании описательного понятия «поляризации», так
как оно в нашем изложении обозначает лишь ориента-
ориентацию пары взаимно перпендикулярных 3-векторов е и h.
Речь не идет о поляризации монохроматической направ-
направленной волны, которая не может быть определена при
отсутствии сведений о поле в соседних точках — даже
если бы имелась возможность говорить о монохромати-
монохроматической направленной волне!
Двоякая связь поля и кривизны
Резюмируя, можно сказать, что любой приведенный
тензор электромагнитного поля /fv, будь он нулевым или

Классическая физика как геометрия 249
нет, вызывает появление кривизны Риччи, удовлетво-
удовлетворяющей условиям Райнича. Обратно, любой тензор кри-
кривизны Риччи, будь он нулевым или нет, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям Райнича, обладает максвелловским ква-
квадратным корнем fik, однозначно из него следующим с
точностью до поворота дуальности. Кроме того, в нену-
ненулевом случае кривизна Риччи — или напряженность
поля — определяет структуру, обладающую двумя лист-
листками А и В в любой точке пространства-времени.
Листки не смыкаются
Какова геометрическая структура пространства-вре-
пространства-времени в одной точке по сравнению со структурой в сосед-
соседней? На этот вопрос должно ответить геометрическое
описание электромагнитного поля. Поэтому нам пред-
представляется полезным поставить вопрос о том, что про-
происходит, если двигаться в локальной двумерной поверх-
поверхности или в касательной поверхности листка А к сосед-
соседним точкам, в которых листок А обладает несколько от-
отличными ориентациями. Придем ли мы таким образом
к строго определенной двумерной поверхности
^ = дй(и, V) E8)
или же совокупность листков образует структуры, по-
подобные спиральным дислокациям в кристалле, так что
можно из одной точки попасть в любую другую, двигаясь
соответствующим образом по листку А? В этом случае
не будет существовать поверхностей типа E8). Приво-
Приводит ли требование образования листками поверхности
E8) к уравнениям Максвелла? Этот вопрос был нами
исследован, и мы нашли, что такое требование чрезмер-
чрезмерно жестко и не может быть удовлетворено общим реше-
решением уравнений электродинамики. Поэтому мы пред-
предпочли исходить из свойств уравнений Максвелла. На-
Напряженность электромагнитного поля была представлена
как максвелловский корень тензора Риччи, причем
fv = e*%, или f = <?**§, E9)
§ = (Экстремальный максвелловский корень из /?mV).

250 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
и подставлена в уравнения Максвелла
/■";. = 0,
. ./-„-а
Отсюда прежде всего следует, что Райнич еще до нас
выяснил истинное геометрическое содержание электро-
электромагнетизма.
Четыре уравнения Максвелла как следствия то-
тождеств, удовлетворяемых тензором кривизны или
тензором энергии-натяжении
Восемь уравнений электродинамики F0) прини-
принимают вид
0 = *f-\ v = (- Г;, - * Г £) Sin a + F1)
или, в более простой форме,
, F2)
*Г:,-Г-|=г = 0. F3)
Скомбинируем эти уравнения таким путем, чтобы
представить раздельно информацию, даваемую этими
уравнениями относительно § и а. Сначала умножим F2)
на So(Jl и просуммируем по (а. Используя свойства C9)
величины § и тождество
5Ч1*еи = 0, F4)
которое, будучи справедливым в системе отсчета Мин-
ковского и в то же время ковариантным, выполняется
во всех системах отсчета, получаем
F5а)

/. Классическая физика как геометрия 251
Исходя аналогичным образом из уравнения F3), на-
находим
v = 0. F56)
Из восьми уравнений F5а) и F56) независимы лишь
четыре, что видно при переходе к такой координатной
системе, в которой Е01 и *£23——^oi являются един-
единственными отличными от нуля компонентами §. В этой
системе координат видно, что восемь уравнений F5а)
и F56) эквивалентны четырем независимым уравне-
уравнениям
Цл? ; v -р * ?ац * Z ; v = U. (OOJ
Тождество ')
t pi" ^ It IE _L P ^ F1111
Кар.; * ч "H" ^ор.; ■< Т^ ?и; p. ~p ?[j.v; o^ ?
и аналогичное соотношение, получающееся из него при
замене § на *§, приводят уравнение F6) к виду
F7)
Выражение в скобках является тензором натяжений
Максвелла. Оно может быть отождествлено с кривизной
Риччи, след которой обращается в нуль, так что F7)
можно переписать в виде
F8)
Однако это условие вообще не является новым требова-
требованием. Бианки показал, что тензор Риччи, будучи постро-
построенным из произвольного метрического тензора, тожде-
тождественно удовлетворяет уравнению F8). Давно известно,
что половина уравнений Максвелла следует из этих
') Вторая строка этого тождества является частным случаем
тождества
которое справедливо для любых двух антисимметричных тензоров
в 4-пространстве.

252 Ч. Мизнер и Дж. Уилер .
тождеств Бианки. Какая же информация о кривизне про-
пространства заложена тогда в других четырех уравнениях
Максвелла?
Другие четыре уравнения Максвелла требуют, чтобы
некоторый вектор, построенный из кривизны и ее первой
производной, обладал нулевым ротором
Умножим уравнение F2) на *£?|1, а F3) — на Е^»»
просуммируем по ц; тогда, используя соотношение A5),
ИЛИ
-gr = «P, F9)
где введено сокращение
у—«УГ"+*'*'Ч G0)
ч
Вектор otp выражается через кривизну Риччи следую-
следующим образом:
^—I. G1)
Чтобы получить G1), вспомним выражение D1) для
риччиевой части C5) тензора кривизны Римана через
экстремальное поле § и запишем свернутую первую
ковариантную производную этого тензора:
} R"? -g'V +g VR'% -
= ±(R^-R^). G2)
Здесь мы использовали свойство обращения в нуль
всех компонент ковариантной производной от gr? и
учли тождества Бианки в виде R''z;x = 0, благодаря чему

/. Классическая физика как геометрия 253
из восьми получающихся при дифференцировании
членов остается лишь два. Определим величину
\ - КГ - * К, * Г) =
4 (- £)'/2 [т&н у (- вад+ад -
( ^)
Построим, наконец, произведение
\ -. = — 2f (* |ар|РТ; t + Ь-Р * f'; t) —
= -5" (—в>* 1«»ТИ] /^ T^p. G4)
Следующее из соотношения | X 1 = 0 при его дифферен-
дифференцировании уравнение
было применено при вычислении G4) на основании G2)
и G3) наряду с тождеством F4). Теперь выражение
G1) получается путем деления G4) на 2(§2J =
= lh /?сгт^". что и требовалось доказать.
Вектор а9, определенный равенством G1), суще-
существует во всяком римановом пространстве, в котором
тензор кривизны Риччи является ненулевым и диффе-
дифференцируемым. Геометрия теории Эйнштейна — Макс-
Максвелла отличается от этих более общих римановых про-
пространств тем обстоятельством, что этот вектор (как по-
показал Райнич) не произволен, но является градиентом
«фазы» а электромагнитного поля. Отсюда следует, что
Ротор ар должен быть равен нулю:
% т — а? ~ аР- т — аг- Р== О*

254 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Обратно, если равен нулю ротор G5), то криволинейный
интеграл от вектора ар, задаваемого равенством G1),
от избранной нами точки 0 до произвольной точки ху-
худает скалярную «фазу»
х
J G6)
с точностью до аддитивной постоянной ао, если, конечно,
рассматриваемая область пространства является одно-
связной, а путь интегрирования не проходит через точ-
точки, где величина RmRaz обращается в нуль. Для много-
многосвязных пространств соотношение G5) следует заме-
заменить требованием, чтобы интеграл от &р по любому зам-
замкнутому пути был равен целому кратному 2тс:
ф ар dх$ = 2тил G7)
при условии, что этот путь не проходит через какие-либо
нулевые точки. Это условие в совокупности с требова-
требованием Райнича
G8)
составляет необходимые и достаточные условия описа-
описания физики Эйнштейна и Максвелла данной римановой
геометрией в случае, если тензор кривизны R^ не яв-
является нулевым. Возможно, что случай нулевых полей
также можно включить в рассмотрение, если внести ка-
какое-то простое изменение в формулировку теоремы; од-
однако этот вопрос пока еще не исследован.
Почему именно геометрия Райнича — Римана?
Назовем геометрией Райнича — Римана геометрию
любого 4-пространства, удовлетворяющего условиям
G7) и G8) и обладающего сигнатурой (— + + +).
При этом встает вопрос об основаниях, на которых мо-
можно было бы считать геометрию Райнича — Римана осо-
особенно естественным и заслуживающим рассмотрения

/. Классическая физика как геометрия 255
типом геометрии. По-видимому, наиболее естественным
отправным пунктом для обсуждения этого вопроса был
бы вариационный принцип для соответствующей ла-
гранжевой скалярной плотности. Каковы бы ни были бо-
более фундаментальные достоинства геометрии Райнича —
Римана, исключительно привлекательно уже то обстоя-
обстоятельство, что она приводит в пустом искривленном про-
пространстве ко всему стандартному механизму максвел-
ловских натяжений, электромагнитных волн и порож-
порождения гравитационных сил под действием энергии поля.
III. ЗАРЯД КАК ПОТОК СИЛОВЫХ ЛИНИЙ
В МНОГОСВЯЗНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А. Электромагнетизм
в рамках заданной метрики
Представляется, что «исконно единая теория поля»,
или геометродинамика, сводится исключительно к диф-
дифференциальным уравнениям и алгебраическим соотноше-
соотношениям для кривизны [соотношения G5) и G8)] (иначе
говоря, кажется, что она имеет исключительно локальный
характер), поскольку рассматривается одно связное про-
пространство. Но как только допускается возможность су-
существования двух или более топологически различных
путей, связывающих какие-либо две точки (см. фиг. 3),
появляется необходимость наложить условие периодич-
периодичности
G9)
f
на каждый топологический различный замкнутый контур
Q> не содержащий нулевые точки. Лишь при удовлетво-
удовлетворении этого условия напряженность электромагнитного
поля f = е*Сбудет однозначной функцией координат.
Условие G9) имеет нелокальный характер. Ввиду этого
обстоятельства встает вопрос, какие дополнительные не-
нелокальные черты приобретает физика Эйнштейна —
Максвелла в многосвязном пространстве.
Для того чтобы ввести в теорию заряд в качестве не-
нелокального следствия электродинамики без источников

256 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
в многосвязном пространстве, мы находим удобным
вновь перейти от идей более привычной геометродина-
мики к языку теории Максвелла в заданном простран-
пространственно-временном континууме. Для сохранения нагляд-
наглядности терминологии мы не будем отрицать внутренней
нелинейности электродинамики. Поле обладает плотно-
плотностью энергии, искривляющей пространство. Эта кривиз-
кривизна влияет на распространение поля, и поэтому поле уд-
удвоенной напряженности распространяется иначе, чем
исходное поле. В дальнейшем исследовании эта нели-
нелинейность будет скрываться за кулисами, и мы ограни-
ограничим свое внимание уравнениями Максвелла и их след-
следствиями. Однако эти следствия останутся справедли-
справедливыми и в том случае, когда уравнения Максвелла для
напряженности будут дополнены уравнениями Эйнштей-
Эйнштейна для метрики.
Понятие многосвязности имеет топологический ха-
характер и логически предшествует идее метрики. По-
Поэтому в разделе Б мы резюмируем необходимые началь-
начальные топологические понятия, включая концепции не-
непрерывности, многообразия, границы, гомологического
класса, числа Бетти, дифференцируемого многообразия,
координатного включения. Ни одно пространство, топо-
топологически не эквивалентное открытому подпространству
эвклидова пространства, не может быть охвачено несин-
несингулярным образом несингулярной координатной систе-
системой. Это обстоятельство делает исследование тензоров,
векторов и других величин с помощью компонент — в
традиционном духе тензорного исчисления — менее дей-
действенным, чем внутренний тип исчисления, знакомый по
векторному анализу в 3-пространстве.
В разделе В использованы внутренние обозначения
Картана наряду с обычными обозначениями для опреде-
определения необходимых понятий дифференциальной геомет-
геометрии в пространстве, еще не связанном с какой-либо мет-
метрикой: векторов, антисимметричных тензоров, вектор-
векторного произведения, ротора, не зависящей от метрики по-
половины уравнений Максвелла, теоремы Стокса, сохра-
сохранения потока, заряда, векторного потенциала, теоремы
де-Рама и появления электрического и магнитного заря-
зарядов. Конец раздела В посвящен важнейшим дополни-

/. Классическая физика как геометрия 257
тельным следствиям, вытекающим из существования
метрики: дуальности, расходимости, дифференциальным
операторам, соотношениям и интегральным формулам,
включающим эти операторы.
Раздел Г содержит исследование электрического и
магнитного полей на одной или двух пространственно-
подобных гиперповерхностях как начальных условий
уравнений Максвелла. Найдено новое свойство заряда,
обязанное многосвязности, а сам заряд описан с по-
помощью теории гармонических векторных полей.
Б. Топология
Топология и точечные множества
Топология •) изучает неколичественное понятие «бли-
«близости». Это понятие само по себе не определено обыч-
обычным образом; напротив, топология аксиоматически опре-
определяет, что следует понимать под окрестностью точки:
открытое или замкнутое подпространство. Можно задать
следующее соотношение этого понятия с «близостью»:
1) Окрестность точки есть подпространство, содержа-
содержащее все точки, достаточно близкие к х. 2) Открытое под-
подмножество является таким подмножеством, все точки
которого достаточно близки любой из его точек. 3) За-
Закрытое подпространство С является таким подмноже-
подмножеством, все точки которого сколь угодно близки к С.
Пусть два подпространства Х^ и Х2 будут эквива-
эквивалентны друг другу как множества, так что они содержа!
также одинаковое число точек. Тогда они будут эквива-
эквивалентны как топологические пространства, т. е. гомеомор-
фны, если имеется взаимно однозначное преобразование
h множества Х\ в Х2, называемое гомеоморфизмом,
при котором открытые подмножества Xi находятся во
взаимно однозначном соответствии с открытыми подмно-
подмножествами Х-2. Эти открытые подмножества определяют
• ') Стандартным руководством по топологии точечных прост-
пространств является книга Келлн [25]. Краткое изложение этой теории
см- в монографии Л. С. Понтрягина [26]. Наиболее существенные
пРи изучении многообразии определения и теоремы Топологии то-
точечных пространств можно найти в монографии П. С. Александ-
Александрова [27].
17 Зак. 3001.

258 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
понятие «близости». Поэтому мы можем сказать, что го-
гомеоморфизм h является взаимно однозначным соответ-
соответствием Х\ и Х2, всегда переводящим близкие точки од-
одного пространства в близкие точки другого, т. е. обладает
свойством непрерывности, как и обратное соответствие.
Мы нашли необходимым рассматривать простран-
пространства, топологически более общие по сравнению с прост-
пространствами, принятыми в физике. Тем не менее мы огра-
ограничимся использованием весьма специального класса
пространств, именуемых многообразиями. Можно опре-
определить «-многообразие [28], представляющее собой топо-
топологическое пространство, которое является 1) локально-
эвклидовым пространством п измерений, 2) хаусдорфо-
вым пространством и 3) обладающим счетным базисом.
1) Локально-эвклидовым пространством п измерений
называется пространство, каждая точка которого обла-
обладает окрестностью, гомеоморфной n-мерному эвклидову
пространству.
2) Хаусдорфовым называется пространство, каждые
две различные точки которого обладают различными
окрестностями. Можно сказать, что в пространстве Ха-
усдорфа никакие две различные точки не могут быть
произвольно близки друг к другу; это интуитивное опре-
определение может быть выражено более точно иными спо-
способами.
3) Пространство обладает счетным базисом, если
имеется счетное множество открытых пространств, каж-
каждое из которых является объединением открытых про-
пространств этого множества. Это условие накладывается
для того, чтобы многообразие не было чрезмерно боль-
большим.
Примеры многообразий
Простейшим примером многообразий являются эв-
эвклидовы пространства. Эвклидовым «-мерным простран-
пространством R" называется пространство всех сочетаний п ве-
вещественных чисел х = (хх, х2, .... хп) с обычно упо-
употребляемой топологией. Открытое подпространство про-
пространства R", определяемое как
1, (80)

7. Классическая физика как геометрия
259
называется n-мерным шаром (n-шаром). Это также
есть n-многообразие, и оно фактически гомеоморфню
связано с Rn преобразованиемх-> х A—л;-л;). Другим
известным примером многообразия является n-фаза S",
являющаяся подпространством Rn+l и состоящая из всех
точек х, удовлетворяющих условию
п+1
(81)
Из S" может быть получено проективное п-простран-
ство Рп путем отождествления противоположных то-
точек S", т. е. точка х в Рп соответствует неупорядочен-
неупорядоченной паре (х, —х) . точек х в /?л+1, удовлетворяющих
Фиг. 4. Пронзённые сферы.
Удаляя полярные шапки сферы и отождествляя возникающие при этом границы
как это отмечено соответствующими точками А а В (см. о), мы приходим к про-
пространству, которое можно назвать пронзённой сферой W(. Это совмсш иие
мэжет быть сделано наглядным при совмещении краев через центр сферы (см. б),
так что полученное многообразие представляет собой шар с каналом, просверлен-
просверленным через его центр. Если в сфере просверлено k таких каналов, причем ни один
из них не пересекается с Другим, мы приходим к ft-кратно пронзённой сфере W^
и, в частности, к двукратно пронзённой сфере W2 (см. е). Здесь изображены
двумерные многообразия, в то время как в тексте W^ — трехмерные многообразия.
условию х-х= 1. В общей теории относительности про-
пространства S3 и Р3 использовались в космологических
моделях [29, 30]. Другое многообразие — 3-тор, Г3,—
часто встречается в теоретической физике в тех слу-
случаях, когда накладываются периодические граничные
условия. Далее, n-тор представляет собой пространство,
точки которого суть семейства точек в R": х = {х +
+ 2тсгп}т, где т пробегает все наборы п целых чисел
m = (mi, m2, ..., tnn). В качестве последнего примера
сконструируем пространство Wm, простым образом ил-
иллюстрирующее некоторые топологические возможности,
интересные в исследованиях в связи с идеей заряда. Ис-
Исходя из 3-сферы S3 будем рассматривать лишь те точ-

260 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
ки х = (х\ х2, х3, х4), которые удовлетворяют как усло-
условию х-х= 1, так и условию \х*\ < A—е). Далее ото-
отождествим каждую точку (х1, х2, х3, 1-е) с точкой
(х1, х2, х3, — 1 +е). Это можно назвать «пронзённой»
сферой Wi. Вырезая k пар противостоящих шаров, на-
например, xi > 1 — е и xi < 1 + е, упомянутых выше, во-
вокруг k пар точек в S3 [таких, что х = @, 0, 0, ±1)] и
аналогичным образом отождествляя границы, можна
сконструировать k раз «пронзённую» сферу Wk (фиг. 4).
Произведение многообразий
Если имеется р-многообразие Шр и ^-многообразие
Ш9, то мы можем построить (р + ^-многообразие
Шр X ЗК9, точки которого являются парами (х, у),
где х есть какая-либо точка из Шр, а у — какая-либо
точка из Ш11. Эвклидово 2-пространство R2 является,
например, произведением Rl XR1; аналогично, /?" —
= R] X /?' X ... X R1 (п сомножителей). Заметим, что
S1 и Т1 гомеоморфны:
}п-^(х1, х2) при jc1 + /JCB = e". (82)
[Мы пишем Т1 = S1, так как обычно нет необходимости
различать гомеоморфные многообразия, если только
при их конструировании нет нужды именовать точки,
т. е. {х + 2ип}„ 6 Т1 и (х1, х2) £ SK] Тогда Тп является про-
произведением п окружностей: Тп — S1 X S1 X ... X S1.
Можно также видеть, что W\ = S2 X S1.
В изложенных примерах мы не определили тополо-
топологию; иными словами, мы не сделали выбора открытых
множеств, так как соответствующий выбор довольно
очевиден.
Дифференцируемые многообразия
Для рассмотрения дифференциальной геометрии нам
потребуется как понятие многообразия, так и понятия
дифференцируемой функции на этом многообразии.
Введем критерии диференцируемости функций, опреде-
определенных на многообразии Ш. Такие функции называются
дифференцируемой структурой на Ш, а само Ш назы-
называется дифференцируемым многообразием. Для класса

/. Классическая физика как геометрия 261
дифференцируемых функций установлены некоторые
аксиомы [28].
Для каждой точки х на УЯ существует открытая окрестность
U точки х и п вещественных функций х^х), х2{х), ..., хп(х), опре-
определенных на U и удовлетворяющих следующим условиям.
а) Преобразование х-> {xi(x), x^{x) ■*«(*)) окрестности
U в Rn является гомеоморфным отображением U на открытое мно-
множество Rn, так что каждая функция f, определенная в U, может
быть выражена через xf.
/(■*) =/(■*!, Ха, .... Хп). (83)
б) Функция f(x) является дифференцируемой в точке, принад-
принадлежащей U, в том и только в том случае, если она определена в
открытой окрестности W этой точки, причем W содержится в U,
a f(xi, Хъ ..., хп) обладает непрерывными производными всех поряд-
порядков по xi для значений xi, соответствующих точкам, принадлежа-
принадлежащим W.
Окрестность U с функциями xt называется коорди-
координатным включением, а набор функций Xi(x), х2(*),...,
хп(х) системой локальных координат в V. Из этого
определения следует, что координата xt(x) является
дифференцируемой функцией.
Проиллюстрируем определение дифференцируемых
функций на некоторых из упомянутых выше многообра-
многообразий. На n-сфере мы можем определить х1 (х), где х =
= {х\, Х2, ..., хп+1), как дифференцируемую функцию
точек х в Sn. Тогда некоторые п из этих п + 1 функций
будут служить координатами вокруг любой точки в ча*
сти «а» изложенных аксиом, в то время как остальные
дифференцируемые функции даются частью «б». В слу-
случае проективного n-пространства Р", точки которого
представляют собой пары точек (х, —х) в Sn, мы на-
называем f(x) дифференцируемой функцией на Р", если
f((x, —х)) является дифференцируемой функцией от
x£Sn. В случае пространства Wi, или «пронзённой»
сферы, мы рассматриваем хи х2 и х3 как дифференци-
дифференцируемые функции, как если бы они были заданы на
сфере. Величина х* является дифференцируемой лишь
в области |х4|<1—е. Эта функция не определена на
границах, отождествляемых друг с другом. Поэтому
следует использовать другую функцию, которая опре-
определена и может называться дифференцируемой, вклк>

262 ч, Мизнер и Дж. Уилер
чая эту область отождествления. Для этой цели опре-
определим f(x) равенствами
при 0<х4<1—е,
х) при —1 + е<х4<0
и потребуем дифференцируемости f{x) при jc4 =£ 0. Ло-
Локальные координаты вокруг любой точки можно вы-
выбрать из числа функций Х\, х2, х3, xi и /.
Несмотря на то обстоятельство, что каждому топо-
топологическому многообразию можно приписать более од-
одной дифференцируемой структуры [31], будем в даль-
дальнейшем сокращенно называть дифференцируемые мно-
многообразия просто многообразиями, а в понятие тополо-
топологии включать наряду с топологией дифференцируемую
структуру.
В. Дифференциальная геометрия
и формулировка уравнений Максвелла
Дифференцируемые функции и поля
Для установления количественной формы физиче-
физических законов мы вынуждены использовать вектора и
тензора в искривленном пространстве. В многосвязном
пространстве знакомый язык тензорного анализа не
представляется самым удобным для описания этих ве-
величин. Нужен новый, внутренний, метод описания.
Тензорный анализ уже не является наиболее при-
пригодным. Он требует использования несингулярных ко-
координатных систем, в которых могут быть заданы ком-
компоненты векторов и тензоров. Однако, согласно опре-
определению дифференцируемого многообразия, одна несин-
несингулярная координатная система недостаточна для того,
чтобы охватить многообразие, не эквивалентное топо-
топологически открытому множеству в эвклидовом про-
пространстве. Для физических приложений существенно,
чтобы можно было различать сингулярные и регуляр-
регулярные тензорные поля. Сингулярность поля приводит
обычно к появлению в дифференциальных уравнениях
плотности локализованного источника. Такой источник
представляет собой негеометрические заряд или массу,

/. Классическая физика как геометрия 263
которые не были исключены из теории, но лишь идеа-
идеализированно сведены к точечному заряду или к точеч-
точечной массе. Поэтому мы исключаем все сингулярности
полей для того, чтобы исследовать содержание чистой
геометродинамики. Рассмотрим, например, двумерную
поверхность единичной сферы. Полярные углы 6 и ф,
называемые обычно координатами, не покрывают, од-
однако, этой поверхности несингулярным образом: 1) Ме-
Метрика
f2 rfe2 + i2erf2 (85)
обладает компонентой gw = sin~26, обращающейся в
бесконечность в двух полюсах 6 = 0 и 6 = it. 2) Вектор-
Векторное поле, явно не обладающее сингулярными компонен-
компонентами (у6 = 1 и уф=0), не является вполне определен-
определенным в смысле направления на каждом из полюсов. Эта
сингулярность вектора v = grad 6 ставит под вопрос
возможность называть 6 координатой. 3) На меридиане
Гринвича угол ф претерпевает скачок от 0 до 2и, что
делает эту величину также непригодной в качестве ко-
координаты. 4) Полярные углы образуют корректно опре-
определенные «координатные включения» лишь в области
О < 6 < и, 0 < ф < 2и.
Необходимо иное «координатное включение». Уста-
Установим на северном полюсе небольшой валик, на кото-
который нанесена краска, и начнем его двигать вниз по ме-
меридиану Гринвича к южному полюсу. Нас интересует
новая координатная система, регулярная во всей за-
закрашенной области. Конечно, новая координатная си-
система может оказаться регулярной и в более широкой
области. Рассмотрим, например, точку 6 = тс/2, ф = тс/2.
Пусть это будет северный полюс новой системы полярных
углов 6' и ф', в которых 1) координаты прежнего север-
северного полюса суть 6' = тс/2, ф' = и/2, 2) границы преж-
прежнего меридиана Гринвича суть 6' = тс/2, ф' = и/2 и 6' =
= и/2, ф' = Зи/2 и 3) прежний южный полюс имеет ко-
координаты 6' =и/2 и ф' = Зи/2. Очевидно, существует
обширная область, на которой перекрываются старое и
новое координатные включения. Более того, в любой
наперед заданной точке сферы хорошим поведением
обладает по меньшей мере одна несингулярная пара

264 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
координат: 6, ф или 6', ф'. Если мы не знаем, что пред-
представляют собой несингулярные координаты, значит мы
еще не определили дифференцируемой структуры мно-
многообразия. Однако, как только мы уточним понятия
дифференцируемой функции, определится смысл диффе-
дифференцируемого тензорного поля: тензор является
дифференцируемым в точке х, если его компоненты по
отношению к (несингулярной) координатной системе
в окрестности х являются дифференцируемыми функ-
функциями в точке х.
Внутреннее представление тензоров
В произвольном дифференцируемом многообразии
невозможно описать такое поле, как поле Максвелла,
задав его компоненты F^ в некоторой конкретной си-
системе координат. Если же вообще использовать компо-
компоненты, то их следует задать по отношению к координа-
координатам нескольких различных координатных включений.
В каждом включении существует значительная свобода
выбора координатных систем. Поэтому компоненты на-
напряженности поля Максвелла в различных координат-
координатных системах сами по себе не так существенны, как
понятие, к которому можно прийти, абстрагируясь от
них, — внутреннее значение F напряженности поля Мак-
Максвелла. Этот метод абстрагирования известен из ана-
анализа декартовых векторов. Утверждение, что вектор
скорости v известен, означает возможность задания
в случае нужды компонент v в любой несингулярной
системе координат. Мы предлагаем обобщить этот аб-
абстрактный формализм на случай искривленного про-
пространства и тензоров выше 1-го ранга.
В векторном анализе удобно выражать связь между
вектором v и его компонентами формулой
v = vmem, (86)
где компоненты vm зависят от- выбора базисных векто-
векторов е„,. «Внутренняя дифференциальная геометрия» вы-
выражает соотношение того же типа более явно в виде
у = va gratis, (87)

/. Классическая физика как геометрия . 265
а в более кратких обозначениях — в виде
x = vadx°, (88)
где d означает градиент. В современных учебниках диф-
дифференциальной геометрии [32—36] даже заменяется d
на d (как будем позже делать и мы); однако пока что
мы сохраним жирный шрифт в обозначениях, чтобы
подчеркнуть векторный характер операции градиента.
Будучи примененной к любой функции точки / = f{P),
операция градиента выражается во внутренних обозна-
обозначениях привычным образом
или
Ковариантные векторы, например grad / или d/, и v яв-
являются линейными комбинациями градиентов коорди-
координат и называются дифференциальными формами 1-го
ранга, или 1-формами.
Вместо того чтобы в качестве базисных векторов
в некотором координатном включении использовать гра-
градиенты конкретного набора координат, можно также
взять в качестве базисных векторов любой другой на-
набор п линейно независимых векторов w°. Здесь индекс а
указывает номер вектора, а не его компоненты. Компо-
Компоненты вектора v по отношению к этому набору базис-
базисных векторов можно вновь выразить в виде разложе-
разложения
v = vawa. (90)
Компоненты grad/ или d/ в этой системе называются
пфаффовыми производными от / (или /iB) по отноше-
отношению км":
grad/=d/=/>». (91)
Внешние дифференциальные формы
Для описания максвелловского поля требуется об-
обратиться к использованию тензора более высокого
Ранга, или 2-формы. Простейшая 2-форма а является

266 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
векторным произведением двух 1-форм (и и V), так что
a = uAv
во внутренних обозначениях, или
(92)
на привычном языке тензорного анализа, или
йГАй1 (grad x*) X (grad
в форме, связывающей внутренние обозначения с пред-
представлением через компоненты.
Операция внешнего произведения А обобщает век-
векторное произведение на случай умножения векторов и
антисимметричных тензоров таким образом, что вновь
получаются антисимметричные тензоры. Эта операция
неприменима к симметричным тензорам. Внешнее про-
произведение' Л определяется требованиями 1) ассоциа-
ассоциативности, 2) дистрибутивности, а для произведения двух
векторов также 3) антикоммутативности, т. е. для лю-
любых двух 1-форм или векторов и и v мы требуем
uAv= -vAu. (93)
В частности, и/К и = 0.
Внешнее произведение р векторов, или линейная
комбинация этих векторов, образует р-форму. Пусть
каждый вектор выражен через базисные векторы ыа.
Произведение р векторов, или линейная комбинация
таких произведений, может быть выражена как
a =
■■■ <ар
(94)
Здесь коэффициенты, или тензорные компоненты, уже
определены в первой сумме. Появляющиеся во второй
сумме компоненты определяются через них из требо-
требования, чтобы они были функциями, антисимметрич-
антисимметричными по своим индексам.
Внешнее произведение dxlA Ах2 — (grad л:1) X
X (grad л:2) геометрически означает площадь, заклю-
заключенную между базисными векторами, направленными

/. Классическая физика как геометрия 267
вдоль осей х1 и х2. Аналогично, произведение
dx1 Л d>? Л dx3 представляет собой объем параллелепи-
параллелепипеда, построенного на этих трех базисных векторах.
Правило коммутации р-формы а и G-формы b
(95)
может быть просто найдено. В эту схему внешних диф-
дифференциальных форм функции (инварианты. — Ред.) и
векторы включаются соответственно как 0-формы и
1-формы.
Внешнее дифференцирование
Оператор d, переводящий 0-форму / в 1-форму
df = grad /, может быть распространен на случай форм
более высокого ранга:
а = (/»!)"' с... пр йхщЛ • • • Л йх'р (96)
с помощью определения
1 . (97)
На языке тензорного анализа это соотношение прини-
принимает вид
где Я = 0 или +1 в зависимости от того, образуют ли
индексы ри ..., Pp+1 соответственно четную или не-
нечетную перестановку индексов av ..., ар+1. Опера-
Операция d, или внешняя производная, представляет собой
антисимметричное дифференцирование, обобщающее
обычные операции градиента и ротора. Она линейна:
d(a1 + a2) = da1 + da2. (99)
Будучи примененной к произведению, в котором пер-
первый сомножитель является р-формой, она дает
d(aAb) = (da)Ab+(—l)"aAdb. A00)
Повторное применение ее дает нуль:
d(da) = 0. A01)

268 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Это обстоятельство было использовано при переходе о г
выражения (96) для внешней дифференциальной фор-
формы а к выражению (97) для ее внешней производ-
производной da. Здесь базисные векторы Ах" — grad х" не дают
вклада при применении к ним операции внешнего диф-
дифференцирования:
d(bca = rot grad x« = 0. A02)
Такой простоты мы не получим при выражении той же
внешней формы а через более общую систему базис-
базисных векторов ш"; таким образом, dwa —rot wa обычно
не обращается в нуль.
В уравнениях Максвелла фигурируют два антисим-
антисимметричных тензора, /ар и */в0, или — в инвариантной
терминологии — две 2-формы:
YP A03)
Рассмотрим внешнюю производную от f, т. е. 3-форму
A04)
Здесь коэффициент при типичной базисной 3-форме,
такой, как Ахх/\&х^/{dx1 при X < (а < v, равен
или, в локальной системе Минковского,
divh (к, [х, v=l, 2, 3),
I I dll ., „ 1 П ОЧ A06)
rote + -^r (X = 0, (i, v = l, 2, 3).
Согласно уравнениям Максвелла, эти выражения
обращаются в нуль, так что половина этих уравнений
принимает вид
df = O. A07)

/. Классическая физика как геометрия 269
Диалогично, при отсутствии зарядов другая половина
уравнений Максвелла принимает вид
d'*f = O. A08)
Для удовлетворения первой системы уравнений
Максвелла достаточно представить напряженность по-
поля f как ротор от 4-потенциала
w и
= d (aY
ИЛИ
Тогда внешняя производная от f автоматически обра-
обращается в нуль
df = dda==O. (ПО)
Интегрирование. Мотивировка и метод
Какие интегральные свойства 2-формы f могут быть
получены из ее дифференциальных свойств? В чем со-
состоит различие в этих выводах, если 1) мы знаем лишь,
что df = 0, и 2) нам известно, кроме того, что f = da?
Как следует, выражаясь в более общей форме, опреде-
определять интегралы от форм?
Интегрирование р-формы по р-мерному пространству
Может быть проведено так, что оно приведет к скаляр-
£°й или не зависящей от системы координат величине.
Комбинация локальной <7-формы (q Ф р) и локального
Р-мерного элемента поверхности приводит к величине,
°бладающей локальной ориентацией; однако не суще-
существует инвариантного метода сложения векторов или
^РУ ориентированных величин в различных точках
образом, чтобы он приводил к корректной сумме.
ому следует рассмотреть лишь интегралы от р-форм
. ° Р-мерным поверхностям.

270 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Поверхности интегрирования требуют для своего
описания построения одного или более р-мерных коор-
координатных включений. Разобьем поверхность на криво-
криволинейные р-мерные параллелепипеды в количестве, по
меньшей мере равном числу необходимых координат-
координатных включений. Рассмотрим стандартный единичный
р-мерный куб 1р с координатами Iй
0<Х"<1 (<х=1, 2, .... р). A11)
Нанесем точки F на Tt
C:F->Ti. A12)
Это отображение С может рассматриваться как криво-
криволинейный параллелепипед в Ш, но мы будем называть
его кубом в Ш, так как у нас нет метрики для опре-
определения „искривленности" и „прямолинейности". Этот
куб можно описать с помощью координат следующим
образом:
ха = С(х\ X2, ..., Хр), , A13)
где С" — дифференцируемые функции. Например,
х* = СаA— X1, X2, .... X") A14а)
Х\ ...,ХР) A146)
суть кубы в SO?, отличные от С и обладающие противопо-
противоположной ориентацией по сравнению с С, в то время как
ха = С"A — X1, 1 - X2, Х\ . ■ ■, Хр) A15)
есть куб в Ш, отличный от С, но имеющий ту же ориен-
ориентацию. Ориентация куба влияет на знак вычисляемого
нами интеграла, но другие различия между кубами,
включающими одни и те же точки в Ti, не влияют на
значение этого интеграла. Если отображение f:Ip—>Ip-
является гомеоморфизмом, т. е. обладает положитель-
положительным якобианом, то мы не будем делать различий между
кубами х=С(%\ %\ .... X") и x = C(f(V, \\ .... Л"))
Поэтому мы будем говорить об «ориентированном кубе
в Ш ». Подставим параметрическое уравнение нашей

/. Классическая физика как геометрия
271
поверхности A13) в выражение (96) для р-формы а и
получим отображение
С:а^ас, A16)
переводящее форму а на Ш в форму ас на 1Р:
"■.
/£
A17)
«■<
<«,
Заменим элемент объема dX'A- •. ЛйЯ,рна элемент объе-
объема стандартного единичного куба dX'dA.2... &%р и опре-
делим интеграл от а по ориентированному кубу С как
величину
/Р
а,< ... <К/7
Появление под знаком интеграла якобиана гарантирует
независимость его значения а) от выбора координат
л" в ЭД и б) от выбора отображения 1Р—>Т1, используе-
используемого для представления ориентированного куба в Ш.
Определив интеграл по одному ориентированному
криволинейному р-кубу, мы представим теперь всю
р-мерную поверхность в Ш как сумму конечного числа
таких ориентированных р-кубов:
с^С, + С2+ ... +<V A19)
Оказывается, однако, более удобным и важным выход
За рамки рассмотрения этих поверхностей (см. ниже
теорию гомологии) и включение несколько более общих
объектов, а именно р-цепей с, являющихся просто фор-
формальными линейными комбинациями конечного числа
°Риентированных р-кубов:
N
A20)

272 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Может показаться, что единственными необходимыми
алгебраическими величинами являются знаки « + » и
«—», так что если через С обозначен ориентированный
куб, определенный отображением A13), то —С есть
ориентированный куб, определенный A14). Однако мо-
может оказаться, что один и тот же куб С неоднократно
встречается на краю поверхности; поэтому мы запишем
пС, где п — положительное или отрицательное целое,
число или нуль. Если в соотношении A20) потребовать,
чтобы все коэффициенты sl были целыми числами, то
мы будем называть с целой цепью. В связи с интегри-
интегрированием представляется более целесообразным прида-
придавать коэффициентам sl значения любых вещественных
чисел, так что в соотношении A20) мы имеем дело с
вещественной р-цепью. Интеграл от р-формы а по р-мер-
ной поверхности, или р-цепь с, определится тогда как
сумма элементарных вкладов вида A18):
С / = 1 Cl « = 1 [P
Поверхности или р-цепи и их границы. Теорий"
гомологии
Особенно интересна связь между р-цепью или по-
поверхностью с и ее границей дс. Эта связь весьма проста
в случае куба С.
Обозначим символом CJ+ /-ю верхнюю грань куба С;
тогда для (р— 1)-мерного куба будем иметь
ха = СаA\ ..., Xj-\ I, Xi+1, ..., \"). A22)
Пусть аналогичным образом О' обозначает нижнюю
грань
jc" = Ce(XI, .... Х'-\ 0, Х'+1, .... 1Р). A23)
Определим теперь границу ориентированного куба С
как цепь
дС= J2 (—I/ (Ci+ -CJ-).

/. Классическая физика как геометрия
273
Очевидно, р-мерный куб обладает (р— 1)-мерной
границей. Можно представить в свою очередь существо-
существование (р— 2)-мерной границы у этой (р— 1)-мерной
поверхности. Однако, будучи замкнутой, эта поверх-
поверхность, очевидно, не имеет вообще никакой границы.
К этому же выводу можно прийти, дважды используя
уравнение A24). Полученный таким образом для кубов
результат применим к объемам и поверхностям и вооб-
вообще к любым р-цепям, построенным из кубов.
Таблица 5
Примеры /j-цепей как замкнутых (циклов),
так и открытых ')
Раз-
ыер-
ность,
Р
\
1
1
1
2
2
2
2
3
3
Описание р-цепи, с
Открытая линия
Замкнутая линия в эвклидо-
эвклидовом пространстве
Замкнутая линия вокруг
меньшего обхвата тора . . .
Замкнутая линия вокруг
большего его обхвата ....
Верхняя сторона диска . .
Поверхность сферы в пло-
плоском 3-пространстве
Поверхность сферы, вписан-
вписанной в горловину ручки . . .
Поверхность тора .....
Объем сферы в плоском
3-пространстве
Трехмерное замкнутое про-
пространство ... . . .
Является ли
цепь замкну-
замкнутой (циклом)?
Нет
Да
»
Нет
Да2)
»3)
я
Нет
Да
Ее граница,
дс
Две конечные
точки
0
0
0
Окружность
0
0
0
Сфера
0
') Нет необходимости включать в эту таблицу последний столбец с указанием
а отсутствие всюду границы у (р — 1)-мерной границы дс /7-цикла с: д (д£)=*=и.
а) Да; к тому же она ограничивает некоторый объем, внутренний по отно-
щению к сфере.
k B) Да; однако не существует конечного объема, внутреннего по отношению
* сфере> который она ограничивала бы.
18 Зак. 3001.

274 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Зададим р-цепь в виде
с = 2«'Сг. A25)
Определим тогда границу р-цепи с помощью границ со-
составляющих ее кубов Ct в Ш уравнением
dc = ^sldCt. A26)
При обращении в нуль границы р-цепи
дс = О A27)
эта цепь с называется циклом, или замкнутой р-цепью.
Например, замкнутая ориентируемая поверхность, раз-
разбитая на кубы и представленная с помощью цепи с, за-
задается как замкнутая цепь. Как для замкнутой цепи,
так и для незамкнутой цепи (как для равного нулю дс,
так и не равного нулю) из формулы ddCt = 0 и из опре-
определения A25) следует, что граница любой цепи яв-
является замкнутой цепью, т. е. не имеет границы:
ддс = О. A28)
Некоторые иллюстрации этого вывода приводятся в
табл. 5.
Это определение понятия границы эквивалентно вы-
выводу общего вида теоремы Стокса, а следовательно, ча-
частного случая теоремы Гаусса с ее электромагнитными
приложениями. Более детальный анализ границ и их
взаимоотношений рассматривается в алгебраической
топологии, известной как теория гомологии х). Некоторые
идеи этой теории необходимы для исследования элек-
электродинамики без источников в многосвязном простран-
пространстве. В качестве примера рассмотрим сферу в 3-про-
странстве, проведенную вокруг одной из горловины руч-
ки, а в примере с более низкой пространственной раз-
') Основная теория in extenso приведена в I томе монографии
Эйленберга и Стинрода [37]; II том содержит рассмотрение практи-
практических методов вычислений. Менее пространное изложение теорий,
включая приложения, выполнено Зейфертом и Трелфаллем [38]. Де"
тали и дополнительные интуитивные замечания см. в монографиях
Лефшеца [39] и Зейферта и Трелфалля [40]. Строгое рассмотрение
кубической сингулярной теории гомологии дано Серре [41].

/. Классическая физика как геометрия 275
мерностью (см. фиг. 3) — окружность, описанную в рас-
рассмотренном 2-пространстве вокруг одной из горловин
ручки. В силу существования ручки не существует не-
непротиворечиво определенного понятия внутренней сто-
стороны сферы или окружности. Воображаемое существо,
заключенное, скажем, на внутренней стороне сферы, мо-
может войти в ручку, свободно пройти через нее, выйти
из другого входа, пройти по наружной стороне сферы и
увидеть, что делается вне его «тюрьмы». Такая же топо-
топологическая информация может быть установлена в ана-
аналогичной форме при рассмотрении сферической границы
как пузыря. Пусть этот пузырь будет сжимаем, но не
может лопнуть. Он втягивается внутрь ручки, протал-
проталкивается сквозь туннель, выходит с другой его стороны
и расширяется вокруг противоположной горловины руч-
ручки. Пусть положительная сторона исходной и новой сфер
определена направлением какой-либо силовой линии,
проходящей через туннель и пересекающей обе сферы.
Определим две ориентированные поверхности, или 2^цепи
С\ и Сч, или более явно с\ и с\, для выражения размер-
размерности (р = 2) этих цепей. Тогда можно сказать, что
С\ и Сч взаимно гомологичны. Когда в более общем слу-
случае две цепи cf и cf образуют границу конечной
(р + 1)-мерной цепи в смысле
dcS+1 = cf —с?. A29)
мы говорим о гомологичности этих двух р-цепей. В при-
примере, приведенном на фиг. 3, две 1-цепи, или окружно-
окружности, вокруг двух горловин полностью охватывают в со-
совокупности двумерную область туннеля, или 2-цепь с\,
В противоположность этому окружность с*, описанная
в 2-пространстве на фиг. 3 вокруг области, не включаю-
Щей горловины ручки, сама по себе полностью окружает
2-пространственную область, или 2-цепь с\, внутреннюю
по отношению к ней:
дс\ = с\. A30)
Если в этом случае замкнутая линия с| подвергается
одностороннему давлению и соответствующей деформа-
18*

276 Ч. Мизпер и Дж. Хилер
ции, то через нее не пройдет рукав, а она сама не смо-
сможет вновь расшириться в окружность. Вместо этого она
сожмется и исчезнет. Если в более общем случае р-цикл
ср сам по себе представляет границу
<f = dcp+\ A31)
то можно сказать, что он гомологичен нулю.
Две взаимно гомологичные поверхности (или вооб-
ше цепи) принадлежат к одному и тому же классу го-
гомологии. По определению, класс гомологии состоит из
всех замкнутых р-цепей, или р-циклов, которые взаимно
гомологичны. Класс гомологии, включающий р-цикл с?г
будем обозначать через {ср}. В топологически эвклидовом
пространстве все р-циклы могут быть сжаты до исчезно-
исчезновения их, и, таким образом, все оии гомологичны нулю и
потому принадлежат нулевому классу гомологии {ср\ —
= {0}. В многосвязном пространстве р-циклы, вообще
говоря, не гомологичны друг другу. Число линейно не-
независимых классов гомологии порядка р
\с?\, Ш,..., {су A32)
называется р-м числом Бетти Rp этого пространства
(табл. 6), число же
p=0 e
называется эйлеровой характеристикой этого простран-
пространства.
Рассмотрим две поверхности, принадлежащие одно-
одному классу гомологии, тождественные между собой во
всем, за исключением «бородавки», или пузырька, на
одной из них. Вычтем эти поверхности друг из
друга, и они уничтожатся, за исключением пузырька.
Результирующая поверхность, подобная малой сфере,
гомологична нулю. Это рассуждение без труда обоб-
обобщается на случай р-циклов любого порядка. Поэтому
при подсчете числа различных классов гомологии
мы всегда отбрасываем гомологичный нулю класс
циклов. Как правило, существует бесконечное множе-

Таблица 6
Классы гомологии {ef}, {cf}, ..., \cpR } и числа Бетти для двух
• случаев пространств
р-цикл является /;-мерной областью или р-цепью, для которой
характерно отсутствие границы.
Пространство: Двумерная поверхность тора, погруженная в эвкли-
эвклидово 3-пространство, короче говоря, 2-тор Тг. Его
числа Бетти равны Яо = 1, Rl = 2, R2 = 1. Эйле-
Эйлерова характеристика ■/. = 0.
Классы
гомологии
Описание типичного /j-цикла в этом классе гомологии
{}
{с2}
Точка; все точки гомологичны между собою
Замкнутая кривая, проходящая вокруг меньшего
обхвата тора ')
Замкнутая кривая вокуг большего обхвата ')
Сам 2-тор
Пространство: Исходя из 3-мерного замкнутого пространства
(наглядно говоря, 3-мерной сферы в эвклидовом
4-пространстве), топологически модифицируем его
так, чтобы образовалась одна ручка с горловинами Мх
и М2. Полученная таким образом пронзённая сфера
W^&X Sl обладает числами Бетти Яо = 1, Я, = I,
R2 = 1, У?3 = 1 и эйлеровой характеристикой у — 0.
Классы
гомологии
Описание типичного р-цикла в этом классе гомологии
{с°У
{с3}
Точка; все точки гомологичны между собою
Замкнутая силовая линия, однократно проходящая
сквозь ручку 2)
Замкнутая поверхность вокруг горловины руч-
ручки Mt 3)
Само 3-пространство
') Замкнутая кривая, которую можно стянуть к нулю, может быть построена
с помощью двух таких линий, описанных во взаимно противоположных направле-
направлениях вокруг тора.
2) Замкнутая линия, которую можно стянуть к нулю, представляет собою
линейную комбинацию с противоположными знаками (т. е. разность) двух таких
линий. Замкнутая кривая, идущая вокруг горловины М, ручки, может быть уда-
удалена отсюда и стянута к нулю. Три измерения позволяют произвести такую опе-
операцию, которая невозможна в пространстве низшей размерности (см. фиг. 3).
") Замкнутая поверхность, которая может быть стянута к нулю, является
линейной комбинацией двух таких поверхностей с противоположными знаками.

278 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
ство классов гомологии и ни один из них не является
более фундаментальным, чем остальные. Это положе-
положение напоминает смещения кристаллической решетки, на-
например простой кубической решетки; эти смещения пе-
переводят решетку в состояния, эквивалентные исходному.
Можно задать сдвиг а вдоль оси х, либо сдвиг в на-
направлении оси у, либо ход конем — сдвиг на а в направ-
направлении оси х и одновременно на 2а в направлении оси
у—и т. д. Общий случай допустимого движения может
быть представлен в виде линейной комбинации трех ос-
основных или линейно независимых движений. Однако не
существует однозначного выбора этих основных движе-
движений. Аналогично, под числом различных классов гомо-
гомологии мы разумеем число линейно независимых классов
гомологии в следующем смысле: Система классов го-
гомологии {ср} называется линейно независимой в том и
только в том случае, если соотношение
где коэффициенты sl — вещественные числа, имеет ме-
место лишь при условии равенства всех этих коэффициен-
коэффициентов нулю, т. е. в том и только в том случае, когда ни-
никакая линейная комбинация циклов с? не является гра-
границей. В случае линейной независимости классов го-
гомологии {ср} мы будем говорить, что циклы, представ-
представляющие эти классы гомологии, являются независимыми
циклами ср.
Рассмотренные основные соотношения между цепя-
цепями, циклами и границами можно кратко изложить в
чисто алгебраической форме. Ввиду возможности
сложения цепей их совокупность в многообразии Ш об-
образует группу. Мы можем также умножать р-цепь на
вещественное число. Следовательно, р-цепи образуют
бесконечномерное векторное пространство СР(Ш, /?). назы-
называемое группой вещественных р-цепей. Цепи сР, удовле-
удовлетворяющие условию dcp ~ 0, образуют подпространство
Zp(Tl,R), называемое группой р-циклов. Каждая
цепь ср, представляющая собой границу (cp = dcp+1)>
является циклом. Следовательно, набор всех ограничи-

/. Классическая физика как геометрия 279
р-циклов ВД9Й, R) является векторным про-
пространством, представляющим собой подпространство
пространства £ДЯК, R). Пространство-частное
«д^Ж A34)
называется р-мерной группой гомологии многообра-
многообразия Ш с вещественными коэффициентами. Число Бет-
Бетти Rp равно размерности векторного пространства
Фиг. 5. Проективная плоскость Р2 как при-
пример неориентируемого многообразия.
Точки проективной плоскости суть пары противополож-
противоположных точек на 2-сфере S2. На схеме мы видим верхнюю
полусферу с2 сферы S2 н ее экватор. Две точки эква-
экватора S2, подобные обозначенным через с0 на схеме, со-
соответствуют в точности одной точке с° на Р2. Анало-
Аналогичным образом одна линия с1 на Р2 появляется дважды,
как это видно на экваторе сферы 52. Рассматривая с«,
с1 а с как цепи, т. е. как объекты, разбитые на боль- л
шое конечное число малых „кубов", мы видим, что &
дс?=*2с1, если с2 и с1 ориентированы, как это указано
стрелками на схеме. Так как с2 обладает границей 2с1
в d-смысле границы, то число Бетти /?2 (Р2) равно
нулю. Кривая с1 не обладает границей: йс1 = с° —с«=0. Однако £> является грани-
чей 2-цепн ~^-сг, так что каждый 1-цнкл является ограничивающим, и 7?, (Р®)—0.
Точка с», конечно, не обладает границей, она сама не является границей ни для
ожной 1-цепи, так что имеется один класс 0-циклов {сУ, отличный от нуля, и
?, R) и является конечным для всех компактных
многообразий.
Может оказаться, что в замкнутом (компактном)
n-многообразии каждая n-цепь обладает границей, так
что Rn = 0. Такое многообразие называется неориенти-
руемым; в противном случае RB — \, и многообразие
ориентируемо. Это обстоятельство поясняет различие
между понятием границы, выраженным с помощью д,
и понятием о границе как о совокупности точек на
«краю» множества. В многообразии каждая точка об-
обладает окрестностью, гомеоморфной эвклидову про-
пространству, так что в нем никакая точка не может рас-
рассматриваться на «краю», или «границе», многообразия.
Однако если мы разбиваем многообразие на кубы
aR = c«==gC?. A35)

280 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
то может оказаться невозможным выбрать такую ориен-
ориентацию этих кубов, чтобы лицевые стороны всех их по-
попарно уничтожились при вычислении дс. Таково поло-
положение, когда многообразие является неориентируемым.
На фиг. 5 дан пример, в котором вычислены числа Бетти
для проективной плоскости Р2.
Теорема Стокса
Теперь можно сформулировать теорему Стокса для
интеграла от р-формы а по р-мерной границе dc+1
(р + 1)-цепи ср+1:
/da = fa. A36)
Интеграл от некоторой формы по цепи определяется
с помощью интеграла A18) по стандартному единич-
единичному кубу. Поэтому доказательство теоремы Стокса
сводится к интегрированию по частям на этом кубе Ip+l.
Простейший случай теоремы Стокса состоит в том, что
берется 0-форма или функция Д градиент которой ин-
интегрируется по кривой с1 с концами хг и х0:
fd/= f /^/(xj-fixo). A37)
с1 дс*=х,-х„
Мы приняли здесь, что интеграл от функции по 0-кубу
(по точке) равен значению этой функции в этой точке.
Для 1-формы, например для напряженности магнитного
поля h = htdxl в 3-пространстве, теорема Стокса прини-
принимает вид
/I r I dhi dh; \ r
dlls4/fer-^7 )^Adx/= /М-*'- A38)
с*
Эту формулу обычно называют теоремой Стокса. Фор-
Формула A36) включает также теорему Гаусса, как можно
видеть при рассмотрении 2-формы: .
A39)

/. Классическая физика как геометрия 281
этом случае для объема с3 в 3-пространстве
= j f *etJuj(*AuxJ za /*e. A40)
дс* дс
Это соотношение принимает обычный вид теоремы
Гаусса в плоском пространстве, если заменить *£2з
на ех и т. д.
Приложения теоремы Стокса. Электрический заряд,
магнитный заряд и векторный потенциал
Особый интерес представляют два частных случая
теоремы Стокса:
1) Если ср+1 является замкнутой цепью, т. е. цик-
циклом, а а = ар — р-формой, то формула A36) имеет вид
J dap = 0, если дср+1 = О. A41)
2) Называем &р замкнутой формой, если dap = 0;
Для нее теорема Стокса дает
J &р = 0, если da" = 0. A42)
0cP+1
Этот второй случай можно выразить в виде закона со-
сохранения. Пусть са и сь — гомологичные р-циклы, так
что сь — ca = dcp+l. Тогда соотношение A42) принимает
вид
J а"= /а"— /ар = 0. A43)
Иными словами, интеграл от замкнутой формы по замк-
нутой поверхности зависит лишь от класса гомологии

282 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
этой поверхности. Значение этого интеграла называется
периодом а на {са} при совпадении классов гомологии са
и сь. Согласно уравнениям Максвелла A04) и A08),
как f, так и *f представляют собой замкнутые формы.
Назовем периоды этих тензоров следующим образом1):
if = 4тг/>* = 4тс (магнитный заряд) {с2}), A44а)
*f = 4тг<7* = 4^ (электрический заряд {с2}); A446)
эти утверждения будут обоснованы в следующем пара-
параграфе.
Если напряженность электромагнитного поля полу-
получается из векторного потенциала а = а^дх^, то поток
силовых линий сквозь всякую замкнутую (дс2 = 0) по-
поверхность с2 равен нулю:
ff:= fda= Га = 0. A45)
<? & дс2
Иными словами, факт существования векторного потен-
потенциала означает, что магнитный заряд не существует.
В качестве разумных примеров класса гомологии по-
поверхности с2 можно привести а) представляющиеся
сходными поверхности большего или меньшего размера,
взятые одновременно, т. е. на общей пространственно-
подобной поверхности, и б) аналогичные предыдущим
поверхности в более ранние или в более поздние момен-
моменты времени. Величины f и *f обе являются замкнутыми.
Тогда из соотношения A43) следует, что через все эти
') Звездочка справа вверху означает, что мы измеряем оба
рода зарядов в чисто геометрических единицах длины. Так как пе-
переход от геометрических единиц напряженности поля f (см~1) к обще-
общепринятым единицам напряженности поля F (гаусс или гЧ*/смЧг • сек)
осуществляется путем умножения на величину c2/Glk(alhcM'l2 ■ сек),
то и переход от геометрических единиц заряда q* (см) к обычным
электростатическим единицам заряда (e'h- ciihjceK) осуществляется
путем умножения на ту же величину:
^-?* (см).

/. Классическая физика как геометрия 283
поверхности проходит один и тот же поток линий вне
зависимости от размера поверхности (закон Гаусса)
и независимо от момента времени (закон сохранения за-
заряда). Поэтому определенный соотношениями A44) за-
заряд обладает теми свойствами, которых мы обычно тре-
требуем. Четырехмерный характер рассмотрения позволил
ебъединить в один закон два закона, обыкновенно рас-
рассматривавшихся порознь. Короче говоря, на основании
уравнений Максвелла мы показали, что заряд (рассма-
(рассматриваемый как силовые линии, включенные в тополо-
топологию) постоянен во времени вне зависимости от отдель-
отдельных изменений электромагнитного поля и вне зависи-
зависимости от изменений пространства. В доказательстве
этого закона сохранения нет даже упоминания о ме-
метрике.
Для более детального обоснования отождествления
A44) рассмотрим плоское пространство с обычными
пространственными и временной координатами. Тогда
формы f и *f описывают электрическое и магнитное
поля следующим образом:
f = - ut/\(et AA + (* h)tJ йх'Лйх*, A46а)
* f = At Л (ht их1) + (* е)и их1 A dxJ\ A466)
Здесь et и ht — соответственно компоненты обыч-
обычных электрической и магнитной напряженностей, а
(*А)^у = Ь.г, (*ё)уг — ех и т. д. В том случае, когда с2 яв-
является замкнутой поверхностью, например сферой на ги-
гиперповерхности Т= const, a i—напряженность электро-
электромагнитного поля, порожденного частицей, заключенной
внутри этой сферы, то величины магнитного монополя р*
и электрического заряда д* этой частицы могут быть
найдены по формулам
bzjf = jV %djc*Adjc' = ft, A47a)
4-кд* = f(* e)tJ Uxl A &X> = J * f. A476)
c* c1
Первые равенства в этих соотношениях представляют
собой знакомые нам выражения закона Гаусса в пло-

284 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
ском пространстве; вторые же равенства справедлив г
ввиду того обстоятельства, что члены, содержащие дТ
в соотношениях A46), не привносят никакого вклада в
интеграл по поверхности, подобной с2, на которой Т по-
постоянно. Иными словами, вектор d7' = grad7' ортогона-
ортогонален любой поверхности, на которой Т постоянно, и по-
поэтому проекция AT на эту поверхность равна нулю. Та-
Таким образом, мы видим, что соотношения A44) яв-
являются непосредственным обобщением привычных урав-
уравнений на случай искривленного пространства-времени.
Примеры пространств, допускающих существование
заряда
Чтобы установить некоторую связь между весьма об-
общим языком законов сохранения в последнем разделе
и простым интуитивным изображением заряда на фиг. 3
в виде силовых линий, «захваченных» в топологиче-
топологические ручки, целесообразно привести здесь два при-
примера пространств, допускающих существование заряда,
т. е. пространств, включающих один или более рука-
рукавов: /?2^> 1. Этими примерами являются многообразия
RxWk и RxT3, уже определенные в разделе Б (см.
п. «Примеры многообразий». «Произведение многообра-
многообразий», стр. 258—260). В целях определения дифференци-
дифференцируемой структуры Wk (см. п. «Дифференцируемые мно-
многообразия», стр. 260), мы ввели на Wl функцию f(x); на
Wk используем k таких функций ft (x), i= 1, 2 k.
Пусть с\(г) есть сфера в Wk определенная уравнением
fi(x) —г. В двумерном аналоге Wh, изображенном на
фиг. 4, эта сфера является дважды пронзённой (k — 2).
Типичной поверхностью с,(л) является окружность,
окружающая выход одной из трубок, связывающей про-
противоположные стороны сферы. Типичная поверхность
Сг(/") окружает вход в другую трубку. В многообразии
R X Wk, являющемся произведением действительной
линии (— оо < Т < оо ) и Wk на каждой гиперповерх-
гиперповерхности Т — const, имеется отображение с\ (г), которое мы
назовем t\(r, T). Кроме того, р-е число Бетти
RP(R X Wk) для произведения многообразий равно
р-му числу Бетти RJ^Wk), относящемуся к самому мно-

I /. Классическая физика как геометрия 285
гообразию Wk. Теперь рассмотрим на R X Wk 2-форму
f или *f. Поток силовых линий
4тг/>* (г, Т)= ft A48а)
с2 (г, Т)
4*q't{r, T)= f *f, (I486)
ИЛИ
очевидно, зависит от л и Г. Чтобы убедиться в том, что
р*(г, Т) или q* (r, T) в действительности зависят лишь
от i, нам следует а) потребовать выполнения равенства
df = 0 или d -х- f = 0 и б) заметить, что все поверхности
c\(r, T) принадлежат к одному и тому же классу гомо-
гомологии. Поверхностью c2t@,0) является 2-сфера. При воз-
возрастании г эта сфера проходит 3-пространство c\(R)
О</-</?, которое топологически тождественно объему
1 < х2 + у2 + z2 -< 2 эвклидова 3-пространства. Исходя
из этого мысленного образа 3-пространства cf(/?) в
привычном эвклидовом 3-пространстве R3, находим гра-
границу пространства с|(/?):
дс* (/?) = с2 (/?, 0) — с\ @, 0). A49)
Мы заключаем, что с2(г, 0) гомологична cj(O, 0). До
сих пор не было введено никакого метрического поня-
понятия, так что можно предоставить с\ @, Т) «пронзить»
3-поверхность с\(Т) так же, как это было ранее про-
проделано для г; тогда найдем
дс3. (Т) = с2 @, Т) — с\ @, 0), A50)
так что с2@, Т) и с? @,0) гомологичны. Подобный же
подход показывает, что с2 (г, Т) гомологично с\ (г, 0).
Таким образом, приходим к выводу, что, вообще говоря,
все поверхности с\ (г, Т) для каждого данного i гомоло-
гичны между собой. Более того, уравнения df = 0 и
d * f = 0 свидетельствуют о том, что между гомоло-
гомологичными поверхностями не существует потерь потока

286 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
линий. Поэтому заряды р\(г,Т) и q*(r,T) не зависят
от л и Г.
Приведенное обсуждение не использовало вообще
метрики на R X Wk и поэтому справедливо для любой
метрики, которую мы захотим ввести. Например, при
некотором одном значении Т пространственно-подобная
гиперповерхность Т = const может иметь вид дважды
«пронзённой» сферы (см. фиг. 4, в). В более поздний
момент Т оба конца одной из ручек могут сдвинуться,
приближая аннигиляцию, подобно тому как это изо-
изображено на фиг. 3. Но до тех пор, пока топология в дей-
действительности не изменится, силовые линии останутся
заключенными в ручку, и поток 4тт^* через замкнутую
поверхность c\(r, T) не будет нарушаться возмущения-
возмущениями метрики.
В этом исследовании пространства-времени с рука-
рукавами R X Wk мы предположили существование замкну-
замкнутых форм *f или f, для которых величины заряда и мо-
нополя, согласно соотношениям A48), не равны все
нулю. В следующем пункте настоящего раздела, посвя-
посвященном теории де-Рама, мы увидим, что существует
много таких форм. Это можно показать явно на про-
простейшем примере R XT3.
Функции х' (г = 1, 2, 3) не могут быть определены
непрерывно на всем торе Т3: необходимо учесть возмож-
возможность появления аддитивных слагаемых, кратных 2it.
Однако градиенты Ах1 представляют собой дифференци-
дифференцируемые векторные поля. В более простом случае 2-тора
один из этих градиентов может быть полем единичных
векторов (красных!), очерчивающих меньшие окружно-
окружности тора. Другое поле единичных векторов (зеленых!)
может быть расположено параллельно большей окруж-
окружности. Аналогично, могут быть определены векторные
поля и в пространстве R X Р. Из них можно построить
форму
которая, очевидно, будет закрытой ("d-x- f = 0). Она
описывает однородное электрическое поле в направле-
направлении х1 [см. соотношение A466)]. Интегрируя эту 2-фоР'

/. Классическая физика как геометрия 287
Si— "
му по поверхности с2г(х\ T), определенной уравнениями
f = const, xl = const, получаем значение
4izq]= f йх2ААх3 = BъJ. A51)
c\ (Л т)
Таким образом, мы непосредственно убедились в том,
что в этом случае q\ не зависит от х1 и Т. Можно была
бы считать разумным называть q\ зарядом, поскольку
невозможно легко представить себе метрики, заставляю-
заставляющей все силовые линии исходить из малой области про-
пространства. Однако q\ явно измеряет полный поток на-
напряженности электрического поля вокруг 3-тора через
замкнутую поверхность с\. Аналогично, существует два
других независимых направления на 3-торе, в каждом
из которых потоку может быть придано любое желае-
желаемое значение. Тогда это пространство будет обладать
тремя произвольными константами заряда.
Теорема де-Рама доказывает существование 2-форм,
обладающих зарядом
Существование примера зарядоподобного решения
еще не является доказательством того обстоятельства,
что такие решения всегда возможны в 4-пространстве
с ручками, т. е. в пространстве с числом Бетти, равным
R%%- 1. Существование таких решений устанавливается
первой теоремой де-Рама (см. [42, 43]). Если сЧ пред-
представляют собой Rp независимых р-циклов многообра-
многообразия Ш, a Qt представляют собой Rp некоторых веще-
вещественных чисел, то существует р-форма ар, обладаю-
обладающая свойствами замкнутости (da/)=0) и дифференци-
Руемости на всем Ш и удовлетворяющая условиям
p = Qt (/=1, 2 , Rp). A52)
Чтобы перевести это на язык физики, заметим, что при
,a = f2 или*!2 наша форма представляет собой напря-

288 . Ч. Мизнер и Дж. Уилер
женность электромагнитного поля или дуальную вели-
величину последней. Число Бетти /?2 равно числу ручек, а
Qi — 4тф* или 4 nq* — магнитному или электрическому
потоку через i-ю ручку. Точнее, Qt является потоком че-
через поверхность t-ro независимого класса гомологии,
или, ва языке математики, через так называемый пе-
период на этом классе. Снова напомним произвольность
выбора #2 независимо от основных классов гомологии
2-го порядка, линейные комбинации которых дают все
классы гомологии 2-го порядка. Имеются случаи, когда
довольно ясно, что две ручки хорошо разделены друг
от друга, так что целесообразно было бы назвать Q,
потоком через одну'ручку, a Qi— потоком через другую.
Однако можно также привести примеры, когда одна
ручка находится в другой, причем Q[ = Qi + Q2 и
Q'2= Qi — Q2, а также примеры других комбинаций, не
менее естественных, чем Qx и Q2, являющиеся мерами
заряда. Таким образом, теорема де-Рама утверждает,
что существует решение f уравнений Максвелла df = О
или решение *f уравнений Максвелла d * f = 0, кото-
которым можно произвольно приписать магнитные или элек-
электрические заряды.
Потребуем теперь, чтобы магнитный заряд каждой
ручки был равен нулю; иными словами, пусть период f
на каждом классе гомологии {с2} будет равен нулю:
= 0 при всех с2. A53)
Тогда вторая теорема де-Рама гарантирует суще-
существование векторного потенциала а.
Если f есть р-форма на 2R, являющаяся замкнутой
(df = 0) и обладающая лишь нулевыми периодами, то
Ь> следует из дифференцируемой (р—1)-формы
f = da"-1. A54)
В этом случае, подобном тому, когда существует по-
потенциал, так что одна форма f может быть записана в
виде ротора от другой формы а, форма f называется Ж-
зактной. Экзактность является более сильным в отноше-
отношении формы требованием, чем ее замкнутость (табл. 7)«

Таблица 7
Аналогии между понятиями циклов или замкиутых цепей
(наподобие замкнутых поверхностей) и замкиутых форм')
с
dc = 0
cp = dcp+l
Теорема Стокса
Теорема де-Рама
Поверхности
Общий случай /j-цепи; поверхность при
Это означает, что /j-цепь является замкну-
замкнутой, и тогда с называется /j-циклом. В случае
р=2 — это замкнутая поверхность
Это означает, что ср является границей
cp+l, откуда следует, что дс = 0; иначе го-
говоря, д2 = 0. Однако из соотношения дср = 0
не следует с необходимостью существования
некоторого с , для которого с есть граница
Пусть задана одна цепь ср, являющаяся
границей: ср = дср+1 (причем дср — 0 и ср —
цикл); тогда иа этом цикле период 1 f pa-
сР
вен нулю для каждой /г-формы f, являю-
являющейся замкнутой (df = 0)
Пусть задана одна цепь ср, являющаяся
замкнутой .(ср — цикл; дср = 0); и пусть пе-
период I f равен нулю для каждой /;-формы,
сР
являющейся замкнутой; тогда ср сама есть гра-
граница: с" = дср+1
19 Зак. 3001.

Продолжение
f
df = O
f = da
Теорема Стокса
Теорема де-Рама
Формы
Общий случай /?-формы; при р = 1 — век-
вектор, при р = 2 — антисимметричный тензор.
Тогда f называется замкнутой формой. Мак-
свелловский тензор напряженности поля опи-
описывается замкнутой формой
Тогда f называется экзактной формой,
или, как говорят, f связывает а (например,
4-потенциал). Тогда из соотношения d2 = 0 сле-
следует, что f автоматически является замкнутой.
Однако из замкнутости формы f ие следует
с необходимостью существования какой-либо
(р—1)-формы а, по отношению к которой 1
является ротором или границей
Пусть задана одна р-форма f, являющаяся
экзактной: f = da'' (так что df = 0); тогда пе-
период 1 f обращается в нуль иа каждом
р-цикле (дср = 0)
Пусть будет задана одна р-форма f, явля-
являющаяся замкнутой (df = 0) и пусть период
1 f обращается в нуль на каждом р-цикле
СР
(dcp — 0); тогда f является экзактной формой:
f = dap-'
■) Определенное ранее и используемое здесь понятие цепи обозначает линей-
линейную комбинацию конечного числа кубов (форма определения, важная в случае от-
открытых или некомпактных многообразий).

/. Классическая физика как геометрия 291
Понятия, основанные на метрике. Дуальность
и дивергенция. «Фаза» уравнений Максвелла
Мы уже вывели теорему Гаусса и закон сохране-
сохранения заряда из восьми уравнений Максвелла df = 0 и
d*f = 0, не обращаясь в какой-либо мере к понятиям
метрики или длины. Все бремя этого доказательства ло-
ложилось на топологию. Мы избегли каких-либо ссылок
на риманову геометрию, рассматривая поле Максвелла
4, A55а)
и дуальное ему поле
** = у*Л^Л<1х* A556)
как два совершенно независимых объекта. Учитывая
взаимно однозначное соответствие между этими двумя
полями, устанавливаемое при помощи метрики, мы из-
извлекаем новую информацию из уравнений Максвелла
и налагаем дополнительные ограничения на поле f. По-
Поэтому мы определим теперь дуальность и дивергенцию
и изложим остальную часть содержания уравнений
Максвелла.
Связь (И) между тензором напряженности электро-
электромагнитного поля f и дуальным ему тензором *f можно
обобщить на связь между любой р-формой.
'A ••• АйхаР A56)
« &
и дуальной ей (п—/>)-формой
<
ь< ■■•<*„-„
X К ... арр, ... р„_р| dxPlA • • • Ad.A-p. A57)
Здесь п — размерность многообразия, р и (п—р) —
ранги наших двух форм, g — детерминант метрического
тензора g^, а величины с поднятыми индексами суть
контравариантные компоненты исходного тензора:
a--;-P = g'-"...^Palll...v A58)
19*

292 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Применяя операцию дуального сопряжения к частному
виду 0-формы (к постоянному скаляру 1), получаем
элемент объема
A59)
Следующие общие формулы легче всего проверить,
находя дуальную величину в ортонормированной си-
системе отсчета:
■Х--Х-а =(—1) а (дважды дуальная величина); A60)
аРЛ*Ьр = ЬЛ*а = (/>!)"'аа""'"Л...... * 1 A61)
(связь между внешним и скалярным произведениями);
(*а)Л*(*Ь) = (—1)*аЛ*Ь A62)
(скалярное произведение дуальных форм, выраженное
через скалярное произведение самих форм).
В этих уравнениях s изображает сигнатуру метрики:
s = О на пространственно-подобных гиперповерхно-
гиперповерхностях, где метрика имеет вид + + +; s = 1 на 4-поверх-
ностях с метрикой h + +; вообще говоря, s есть
максимальное число ортогональных векторов с отрица-
отрицательной нормой.
Отметим, что р-форма и дуальная ей форма разли-
различаются таким образом, что интеграл
A63)
может быть назван интегралом от касательной компо-
компоненты а по поверхности или от р-цепи ср, в то время
как величина
J*a A64)
п-р
представляет собой интеграл от нормальной компонен-
компоненты а по (п—р)-цепи сп~р.
Рассмотрим напряженность электрического поля е,
являющуюся 1-формой в 3-пространстве, и построим
дуальную ей величину, или 2-форму. Возьмем ее внеш-
внешнюю производную и получим 3-форму. Наконец, вновь

/. Классическая физика как геометрия 293
произведем дуальное сопряжение и получим 0-форму
или скаляр. Этот скаляр представляет собой диверген-
дивергенцию электрического поля, что можно проще всего уви-
увидеть, записав изложенную последовательность операций
в плоском пространстве:
е = ek Ахь,
#е —^йл^Л^Ь^Ц-Два аналогичных члена,
d * е = -g-j- Ax1 A&X2Л^Л3 -+- Два аналогичных члена= A65)
* d * е = div e.
Обобщая эти действия на случай искривленного про-
пространства и на р-формы произвольных рангов, вводим
в теорию форм обобщенную дивергенцию, или ко-диф-
ферещиальную операцию S, переводящую />-форму а
в (р—1)-форму:
b"-1 = Sap = (-l)n"+n+s+1*d*a/'. A66)
где знак «±» введен для упрощения формулировки
теоремы Грина. В случае (р — 1)-формы а и р-формы b
эта теорема связывает «-кратный интеграл двух ска-
скаляров по всему многообразию WI или по его части
с (п— 1)-кратным интегралом от нормального вектора
a#bs=aA*-b по границе этой области
Ja*b= Jd(a£b)= Jb*da— JSb*a. A67)
дШ Ш SI Ш
Отрицательный оператор Даламбера
A=8d-r-d8(=— „V2tt или -Л" для скаляра). A68)
переводит />-форму в />-форму. В частности, он пере-
переводит скаляр ср в скаляр
Acp = Sd'-p = — divgradtp = — <?k.k. A69)
Свойства дифференциальных операторов d, 8 и Д ре-
резюмируются в табл. 8.

Таблица 8
Свойства операции дуального сопряжения *. внешней производной d и операции взятия дивер-
дивергенции 8 в пространстве-времени и на пространственно-подобной гиперповерхности.
Обозначение и * v пишется вместо векторного произведения и Л *v = vA*u.
Свойство
Сигнатура метрики
Форма, дважды дуальная
-форме
Дивергенция />-формы ....
Дифференциальный оператор
2-го порядка
4-многообразие
»— Q" =* А = Sd + ds
З-многообразие
8 = *d~(-l)"
Общие формулы для гг-многообразия 501" и любой метрики
#d 8( l)p+1 S d#A)"
Теорема Стокса:
/-;
дс с
da
Интегральные формулы для случая
= 0
8 является сопряженным d
Д является самосопряженным
При п = Am — 1 оператор * А
является самосопряженным на
Bт — 1)-формах
,1
fb*da =
ill !Й
/ь*Да= /Д
т Hi
_ Г
(а = a"; b = b")
(.a = a > b = D )

/. Классическая физика как геометрия 2Р5
С помощью операции дивергенции 8 полное содер-
содержание уравнений Максвелла может быть теперь кратко
записано в виде
df = O = 8f. A70)
Г. Выбор решений уравнений Максвелла
с помощью начальных условий.
Заряд и волновое число
Различные формулировки задачи начальных условий.
Резюме исследования
Хорошо известно, что достаточно задать на простран-
пространственно-подобной поверхности, обладающей метрикой,
те или иные значения напряженностей электрического
и магнитного полей, удовлетворяющие уравнениям
div е = 0 и div h = 0, чтобы можно было продолжить
эти поля в будущее и прошлое с помощью уравнений
Максвелла1). Этот тип задания начальных условий
является естественным аналогом задания значений
х и х или х и р в некоторый момент времени, не-
необходимых для предсказания движения классической
частицы. Иной выбор дополнительных значений де-
делается в лагранжевой формулировке. В применении
к частице в последнем случае требуется задание х в
начальный и конечный моменты, причем не требуется
никакой информации об х или р. В случае максвеллов-
ского поля лагранж«ва формулировка требует задания
на двух пространственно-подобных гиперповерхностях
Т = Т\ и Т = Г2 либо напряженности магнитного поля,
либо напряженности электрического поля, но не той и
другой сразу. Этот «двухповерхностный» тип гранич-
граничных условий удобен при рассмотрении классического
действия для поля при интегрировании по простран-
пространственно-временному промежутку между этими двумя
поверхностями или же в том случае, когда требуется
определить квантовый фейнмановский пропагатор — ам-
амплитуду вероятности перехода от конфигурации Ci на
а к конфигурации С2 на ог- При конечном различии
') Подобная задача представляет собой известное приложение
стандартной теории Коши — Ковалевской (см. [44]),

296 V. Мизнер и Дж. Уилер
между двумя ковременами известно, как исследовать
классическую краевую задачу в плоском пространстве
и в некоторых типах искривленных пространств (см.
ниже), но не в общем случае искривленного простран-
пространства. Однако, когда рассматриваемые две поверхности
так близки друг к другу, что граничные значения мо-
могут рассматриваться как задающие напряженность
магнитного поля и ее первую производную по ковре-
меви, задача двухповерхностного типа сводится к задаче
с граничными значениями на одной поверхности. Та-
Таким образом, мы впредь будем ограничиваться рассмо-
рассмотрением либо случая А, либо случая Б:
А) На о заданы h и dh/dT, а также Яг электрических зарядов или
потоков через ручки q\ раз и навсегда. A71А)
Б) На а заданы h и е. A71Б)
Проанализируем сначала связь между некоторой
формой в 4-пространстве и ее проекцией или следом
на 3-пространство. затем связь между метрикой на ги-
гиперповерхности и метрикой в 4-пространстве и, нако-
наконец, выразим уравнения Максвелла через формы на
гиперповерхности. Мы увидим, что подходы A71А) и
A71Б) в равной мере пригодны для однозначного оп-
определения эволюции системы в будущем. Наконец, мы
кратко затронем вопрос о конкретизации начальных
данных, однако не непосредственно в пространственно-
подобном виде, как в случаях A71 А) и A71 Б), а пу-
путем естественного обобщения анализа Фурье на случай
искривленного пространства.
Понятие проекции или следа
В многообразии 2R можно определить гиперповерх-
гиперповерхность о с помощью уравнения вида q(x) = 0, где q> яв-
является функцией, удовлетворяющей условию dcp ф О
на о. При желании можно выбрать в качестве <р одну
из наших координат и назвать ее Т или х°. Рассмотрим
теперь операцию, позволяющую получить из всякого
ковариантного. тензора на 4-многообразии Ш соответ-

/. Классическая физика как геометрия 297
ствующий тензор на 3-поверхности о. В частном слу-
случае, когда ф(х) является некоторой скалярной функ-
функцией на Ш, ее проекцией, или следом, на а является
функция ^{х), определенная для х на о сотношением
<p»(jc) = <p(x), х на а. A72)
Выражая <р через координаты как <рG\ х1, х2, х3), где а
задается уравнением
jfl(x)=T(x)=T0, х на а, A73)
соотношение A72) можно переписать в особенно про-
простом виде
<?°(х\ х2, х?) = 9(Т0, л», х2, л3). A74)
Аналогично, для /»-формы
а = (/»!ГЧ,...Р.р(х°, х1, х2, я?)их*/К ... Ad*** A75)
мы получим след а" вектора а на а, подставляя в со-
соотношение A75) значения х°—Т0, dxo==O. Подобным
же образом квадратичная форма
us* = gv,ux?ux" (j*. v==0, 1, 2, 3) A76)
на а сводится к виду
= g,-/ их uxi = (usf = guuxluxi (t,y=l, 2, 3),A77)
Откуда следуют значения компонент метрического
тензора g£y , используемого на 3-многообразии а.
Внешняя производная d" на а не включает диффе-
дифференцирования по х°, однако тождество
dV = (da)" A78)
гарантирует нам отсутствие недоразумений при напи-
написании d вместо d°.
Теперь можно определить отнесенные к простран-
пространственно-подобной гиперповерхности о дуальную маг-
магнитную напряженность *h и дуальную электрическую
напряженность *ес помощью уравнений
*Ь = Г. A79а)
*e = (*f)e. A796)

298 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Здесь мы написали *h и #-е, так что е и h будут векто-
векторами или 1-формами обычного рода на а. Использо-
Использованное здесь дуальное сопряжение основывается на
метрике g\j на о и может быть обозначено через .*„;
это позволяет нам определить
h = *of°. A80а)
е = *„(**)'• A806)
Эти соотношения совместны с соотношениями A79) бла-
благодаря тождеству *0*0= 1. Мы никогда не будем при-
применять •*„ к форме на Ш, так что, если мы отбросим
индекс у *о, как это сделано в соотношениях A79),
смысл будет ясен из контекста. Из уравнений Мак-
Максвелла df = O = d*f на Ш и из тождества A78) полу-
получаем след уравнений Максвелла на о: df° = 0 = d(*f)°.
С помощью определений A80) и обозначений табл. 8
следу уравнений Максвелла на пространственно-подоб-
пространственно-подобной гиперповерхности можно придать вид
8oh = 0 = 8oe. A81)
Обычно' мы будем отбрасывать индекс о у 3, так как из
контекста будет ясно, что речь идет о пространственно-
подобной гиперповерхности. Мы используем индексы
у 80 и *0, так как они не являются просто следами на а
соответствующих операций на Ш; иначе говоря, для 8 или
* не существует тождества типа A78); например, *0 fa
есть 1-форма, в то время как (*f)° есть 2-форма.
Уравнения Максвелла в 3-мерной форме
Выразить напряженность электромагнитного поля f
через 3-мерные напряженности поля е и h будет проще,
если уточнить выбор координаты ковремени Т по срав-
сравнению с выбором ее в предыдущем разделе. Пусть Т
будет ковременем, измеряемым вдоль геодезической,
восстановленной нормально к пространственно-подоб-
пространственно-подобной гиперповерхности о0. Тогда о0 задается уравнением
Т(х) = 0 и также есть пространственно-подобная ги-

f /. Классическая физика как геометрия 299
^—. . , .
перповерхность. Квадратичная форма ds2 может быть
записана в виде
I ds2 = — (d7J+dl2, A82)
|де dlz — положительно определенная квадратичная
^)орма, заданная метрикой на а . Наша система гео-
геодезически параллельных поверхностей ат может про-
продвинуть нас в 4-пространстве лишь на незначительный
интервал по Т (см. [47, 48]), но в 3-пространствах ат
мы тем не менее имеем вполне определенную общую
топологию. Из определений ей h мы знаем, что f и-x-f
на а должны иметь вид
= *ob —dTAe, A83а)
A836)
|де е и х суть 1-формы, нуждающиеся еще в опреде-
определении. Когда мы используем Т и любые координаты х1
(i= 1,2,3) на со в качестве координат х* в 4-простран-
С'тве (ц = 0, 1,2, 3), где х° = Т, компоненты метрики
Сказываются равными: gOo = —1, goi = 0. Тогда из со-
соотношений A57) и A83) вычислим *f и *(*f) =—i.
Гаким образом мы находим, что е = е и я == h, так что
A84а)
A846)
*
Так как d и d° связаны между собой формулой
эти выражения можно подставить в уравнения Макс-
Максвелла df = O=d*f наряду с соотношениями A84а),
A846) и A00); тогда найдем
= 0, A86а)
= 0. A866)
Здесь д/дТ — производная вдоль геодезической линии,
нормальной к а. Содержащие йТ в уравнениях A86)

Таблица 9
След уравнений Максвелла на пространственно-подобной поверхности
Уравнениия
в 4-прост-
ранстве
След на о
.Электрические уравнения"
Внутренние обозначения
8f=0
или
d*f = 0
d (* f у = 0
Определим е = *в(**У;
тогда d (*а е) = 0,
или 8„е = 0
З-векторные
обозначения
в плоском
пространстве
div е = 0
и
de/dr=roth
dive = 0
.Магнитные уравнения"
Внутренние обозначения
df = O
(или S*f = O)
d (P) = 0
Определим h = ■*„ (f");
тогда d (#■„ h) = 0,
или 80h = 0
З-векторные
обозначения
в плоском
пространстве
div h = 0
и
dh/dT = —rote
div h = 0

/. Классическая физика как геометрия 301
члены должны обратиться в нуль независимо от дру-
других членов, так что мы можем переписать уравне-
уравнения A86) в виде 3-мерных уравнений (табл. 9), рас-
рассматривая Т в качестве параметра и отбрасывая а:
8h=0, ^L*L = —de, A87a)
8e = 0, di*Te) = — dh. A876)
Мы написали здесь 8h = 0 вместо d-Jf h = 0 из уравне-
уравнения A86a) ради сближения с привычным видом 3-мер-
3-мерных уравнений Максвелла.
Формулировка Б задачи с начальными условиями
Уравнения A87а) и A876) приведены теперь к виду,
удобному для применения теоремы Коши — Ковалев-
Ковалевской. Точнее говоря, уравнения
= — d*(*e), A88а)
= d*(*h) A886)
представляют собой шесть уравнений, разрешенных
относительно»производных по времени, для шести не-
неизвестных функций — компонент *е и -jfh. Они опре-
определяют *е и *h однозначно при задании начальных
значений же и *h на гиперповерхности о0. Если,
кроме того, эти начальные значения удовлетворяют
уравнениям
d*h = 0 = d*e A89)
на со, то эти же требования обращения в нуль дивер-
дивергенций будут удовлетворяться и на аГ вследствие урав-
уравнений A88а) и A886):
дТ ~v дТ
Доказательство этого обстоятельства связано с тем
фактом, что d = d° коммутирует с д/дТ и что d2 = 0.

302 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Теорема де-Рама гарантирует нам возможность нахо-
нахождения таких начальных значений -x-h и #е на оо, кото-
которые: 1) удовлетворяют дивергенциальным требованиям
A89), 2) обладают любыми требуемыми значениями
магнитного и электрического зарядов
h A91а)
e A916)
A
на /?2 независимых ручках на со. Принятием таких
начальных данных гарантируется') существование в
течение некоторого конечного времени вслед за о0 одно-
однозначного решения уравнений Максвелла без источни-
источников, постоянно имитирующего наличие выбранных нами
зарядов.
Формулировка А задачи с начальными условиями
До сих пор мы рассматривали случаи, когда е и h
были заданы на о; обратимся теперь к другому воз-
возможному случаю, когда: 1) нам раз и навсегда изве-
известен электрический заряд q] и, кроме того, 2) мы
знаем на о значения величин *h и d^h/dT в качестве
предельной информации о напряженности магнитного
поля на двух бесконечно близких пространственно-по-
пространственно-подобных поверхнортях — информации того же типа, что
и используемая при лагранжевой формулировке кван-
квантовой механики.
Начальные данные должны удовлетворять дивер-
дивергенциальным условиям
d*h = O, A92)
') Теорема Коши — Ковалевской требует аналитичности, в то
время как теорема де-Рама опирается лишь на дифференцируе-
мость начальных значений е и h. Для исправления этого недостатка
в доказательстве можно использовать теорему существования
Фурес-Брюа [49] (см. также [46]).

/. Классическая физика как геометрия 303
4
A93)
а также требованию постоянства во времени магнит-
магнитного потока, если он существует, через все ручки
^ = 0. A94)
А
В таком случае мы однозначно определим напряжен-
напряженность электрического поля е на пространственно-по-
пространственно-подобной поверхности на основании трех источников
информации
8е = 0, A95)
Je = 4^*, A97)
«5
например, с помощью разложения Фурье, описанного
в следующем разделе (табл. 10). Зная как е, так и h,
мы вновь приходим к задаче с начальными условиями,
которая уже встречалась нам и которая обладает един-
единственным решением для некоторого конечного времени,
следующего за оо-
Обобщение анализа Фурье на искривленное
пространство
При рассмотрении электродинамики в искривленном
пространстве естественнее всего выбирать начальные
данные в виде функций от координат на о, как это сде-
сделано в A71А) и A71Б). Об обычном разложении
Фурье здесь нет и речи. Однако анализ Фурье можно
обобщить на искривленное и даже на многосвязное
пространство, что полезно при рассмотрении частных
случаев постоянной или почти постоянной по отноше-
отношению к соответствующим образом выбранной координате
ковремени Т метрики. Этот подход позволяет выражать
начальные данные через коэффициенты Фурье.

Таблица I
Классификация вещественных несингулярных векторных полей в компактном 3-пространстве,
обладающем положительно определенной метрикой
Поперечным волнам приписывается правая или левая поляризацня в зависимости от того, положительн
или отрицательно скалярное волновое число к.
Символ
Определение
Сопоставление с соб-
собственными значениями
нли с поверхностями
Результат
Потенциал
Связь потенциала
с полем
продольное
L
Д L = *? L
dL = 0
L,, L2> • • ■
4 4 • • •
Д ( 8L) = х2 ( 8L)
Скаляр у
Тип векторного поля
поперечное
X
Хц Х2, • ■ •
ДХ = k2X
2— форма Y
кулоиовское (гармоническое)
С
So. St. ...,S^
Нет
Связь поля с потен-
потенциалом
Уравнения для
тенциала
по-
Упрощает ли потен-
потенциал исследование?
Нормировка
Скалярное
произведение с
L
X
С
i
L = х-' d<j>
Д? = *2?
Да
J LTO - Ln = Зтп
/хи-ц, = о
J Ca *■ Ln = 0
-* 8Y = kY
dY = 0
Нет
Г X* X = 1
Jlot *х„=о
Г \ X
—
—
Sa
f Lm ♦• С* = 0
Гсй*Са^8^амин
Г г
J
^Si4jc ^ (+ 11 (+ \\r./r
^^ ^J * to, \~ /Ы' (a \(h \

306 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Рассмотрим' на пространственно-подобной поверхно-
поверхности о начальные значения, например напряженности
электрического поля е или магнитного поля h, или во-
вообще любого векторного поля или 1-формы v. Со-
Согласно работе Ходжа [34], можно однозначно предста-
представить v как сумму трех составляющих, охарактеризо-
охарактеризованных в табл. 10 как продольная, поперечная и гар-
гармоническая или, как мы будем говорить иначе, куло-
новская, составляющие. Ограничимся рассмотрением
трехмерного случая. Тогда подобно тому, как это сде-
сделано в табл. 10, можно будет отбросить индексы о, от-
отражающие пространственно-подобный характер опера-
операций ротора da и дивергенции 8°. Для простоты иссле-
исследования будем считать пространство замкнутым.
Продольное поле имеет равный нулю ротор, но по-
поток его не сохраняется, так как оно обладает отличной
от нуля дивергенцией. Электрическое и магнитное поля
этого типа соответствуют распределениям реальных за-
зарядов и магнитных монополей. Поэтому в дальнейшем
мы исключаем это поле из рассмотрения.
Поперечное поле обладает равными нулю диверген-
дивергенцией и потоком через любую ручку, однако его ротор
отличен от нуля. Это поле может быть разложено по
собственным состояниям Хт, каждое из которых обла-
обладает характеристическим скалярным волновым числом
Ьт(ф0):
*UXm(=rotXm) = kXm. A98)
При положительном k мы говорим о состоянии с пра-
правой поляризацией, при отрицательном k — о состоянии
с леЕой поляризацией.
Гармоническое, или кулоновское поле, обладает рав-
равными нулю дивергенцией и ротором; однако его поток
хотя бы через одну ручку отличен от нуля. Такое век-
векторное поле может быть единственным образом пред-
представлено в виде линейной комбинации характеристиче-
характеристических гармонических векторных полей Са(а— 1,2, ....
/?г), причем Са сообщает а-й ручке единичный заряд
и не вносит никакого вклада в потоки через другие руч-
ручки, т. е. в отличные от /?2 основные линейно незави-
независимые классы гомологии.

/. Классическая физика как геометрия 307
В общем случае векторное поле в искривленном
многосвязном 3-пространстве может быть представ-
представлено в виде разложения Фурье:
Xm + 2 QaCfl. A99)
Соотношения ортогональности и условия нормировки,
которые приведены в табл. 10, позволяют определить
все коэффициенты этого разложения с помощью соот-
соотношений следующего типа:
B00)
Мы не ставим здесь перед собой задачу вывести
общее разложение A99), но отметим некоторые соотно-
соотношения. 1) Внутреннее произведение двух векторных по-
полей
(а, b) = J а * b B01)
является положительно определенным, так что имеет
место неравенство
(а, а) > 0, B02)
если только вектор а отличен от нуля. 2) Следовательно,
набор всех векторных полей или 1-форм, обладающих
конечными нормами, образует гильбертово простран-
пространство. 3) Операторы Д и -кd являются самосопряжен-
самосопряженными при их действии на векторы в 3-пространстве
(см. табл. 9) и, таким образом, обладают собствен-
собственными значениями и полными системами собственных
функций. 4) Из свойства
(v, Av) = (8v, Sv) +• (dv, dv) > 0 B03)
следует, что собственные значения Д суть неотрица-
неотрицательные числа k2. 5) Если задано какое-либо нетри-
нетривиальное решение уравнения
. bv = k2x B04)
20*

308 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
при k > 0, то оно может быть разбито на две части
v=a-fb.
a = *r2d8v, B05)
которые удовлетворяют одному и тому же простран-
пространственно-подобному варианту B04) волнового уравне-
уравнения. Одна из этих частей продольная, другая же —
поперечная:
da = 0, B06)
8b = 0. B07)
6) Для тех собственных значений Д, которые соответ-
соответствуют отличному от нуля поперечному полю Ь, мо-
может быть построен ротор этого поля
c = fe~1*db(=-ferotb), B08)
такой, что
fe~I*dc(=*f1rotc) = fe~2Ab = b. B09)
Из b и с можно построить поля с правой и левой по-
поляризациями:
Х
/T1*dX+(=*~IrotX+) = X+ B10)
Х_ = Ь —с,
/Гг*<1Х_(= — k~1rotX_) = X_, B11)
которые не могут быть оба равны нулю. Например,
рассмотрим в плоском пространстве поперечное поле
или 1-форму
с = k~x rot b = k'1 #■ db = dx3 cos kxl,
из которой мы построим поля с круговой поляриза-
поляризацией
Х± = их2 sin kxl ± djc3 cos kx\ B12)

/ Классическая физика как геометрия 309
Связь гармонического поля с обычной картиной
электрических силовых линий
Гармонические, или кулоновские, поля свойственны
лишь многосвязному пространству с числом Бетти
/?2>Л. Для этих полей характерна картина сило-
силовых линий, подобная изображенной на фиг. 3. Рас-
Рассмотрим случай пространства с весьма большим радиу-
радиусом кривизны, т. е. почти плоского всюду, за исключе-
исключением непосредственных окрестностей ( + )- и (—)-гор-
(—)-горловин типичных ручек а, Ь, ..., обладающих исключи-
исключительно малыми радиусами Ra, Rb, ....Пусть протяжен-
протяженность связи через ручку между парными горловинами
одной и той же ручки будет весьма мала — также по-
порядка Ra, Rb Пусть потоки 4т:<7*, ^Tiq*b, ... проходят
через соответствующие ручки. В этой очень частной
модели поле почти всюду выглядит так, как если бы оно
было порождено Ri парами равных и противоположных
по знаку зарядов:
B13)
Электростатическая энергия полей
складывается 1) из собственно-энергетических членов
порядка
2 2
и 2) из членов взаимодействия вида
На этом основании можно непосредственно получить
интеграл от произведения отдельных гармонических
форм
;0*Ct, B17)

310 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
как это показано в табл. 10. Можно видеть, что эти
гармонические формы составляют весь механизм опи-
описания классического заряда вполне непротиворечивым
и свободным от расходимостей образом.
Коэффициенты Фурье как начальные данные;
динамические уравнения для их изменения
Мы заключаем, что для задания начальных значе-
значений е и h на пространственно-подобной поверхности о
достаточно знать коэффициенты Фурье следующих раз-
разложений:
B18)
Во втором выражении мы отбросили член с магнитным
монополем как не представляющий интереса.
Изменение магнитного поля имеет самый простой
характер, если метрика не изменяется при возрастании
геодезически нормальной координаты ковремени Т. То-
Тогда динамические уравнения A88) принимают непос-
непосредственно интегрируемую форму:
dq,
-57- = 0» 9* = const,
^f = kmhm, B19)
dhm_ и „
=  (em + ihm)o exP (— ikmT) + Компл. сопр.,
dT
! B20)
hm = -к (em — ihmH exp (— ikmT) -\- Компл. сопр.
Здесь обобщение привычного разложения поля на
взаимно ортогональные состояния имеет простой и оче-
очевидный вид.

/ Классическая физика как геометрия 311
Такой простоты не будет, если метрика сложным
образом изменяется во времени. Тогда меняются сами
ортогональные состояния, и в результате динамические
уравневия B19) приобретают новые члены:
Kmnen + ^ Lmaq*a,
B21)
E±sl — — ъ p -i_Y к и
которые могут быть без труда интерпретированы как
1) передача энергии поперечному полю или поглоще-
поглощение энергии из поперечного поля кулоновским полем
вследствие перемещения зарядов или других измене-
изменений метрики и 2) как перекачка, или рассеяние, энер
гии от одного поперечного колебания или от самой мет-
метрики к другому состоянию поля вследствие изменений
метрики. Действительно, локальная плотность энергии
электромагнитного поля может быть определена одно-
однозначным образом. Однако этого нельзя сказать об ин-
тегральвой полевой энергии (см. [30], стр. 380). Не суще-
существует обычного набора пространственных и временной
координат, к которым можно было бы вообще надеяться
отнести компоненты полного 4-вектора эвергии-импульса.
Более того, локальные законы сохранения при интегри-
интегрировании по замкнутому пространству, подобному рассма-
рассматриваемому здесь, не приводят ни к чему достойному
внимания, кроме тривиального тождества 0 = 0. Сле-
Следовательно, необходимо проявлять осторожность при
употреблении понятия перехода энергии от одного со-
состояния к другому. Эта осторожность никоим образом
не преуменьшает значения ни динамических уравне-
уравнений B21), ни следствий из них, касающихся интерес-
интереснейшей связи между состояниями поля и модифика-
модификациями метрики.
IV. ЗАРЯД И МАССА КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
Мы только что завершили рассмотрение вопроса
о влиянии на электромагнитное поле кривизны и мно-
госвязности метрики, не задаваясь вопросом о дей-
действии этого поля на метрику (или не имея нужды в та-

312 Ч. Мизнер и Дж Уилер
кой постановке вопроса). Однако реалистическое ис-
исследование классических заряда и массы (в смысле
табл. 1) требует учета такого обоюдного взаимодей-
взаимодействия. По этой причине 1) рассмотрим пространствен-
пространственно-подобную поверхность о и постараемся узнать, ка-
какие начальные данные должны быть заданы на этой
поверхности и каким условиям они должны удовлетво-
удовлетворять для однозначного определения будущего измене-
изменения как электромагнитного поля, так и метрики; 2) ис-
исследуем свойства решений Шварцшильда и Райснера —
Нордстрема как решений этих уравнений, дающих
массы и массы вместе с зарядом; 3) укажем точное
решение наложенных на начальные данные условий,
обобщающее решение Райснера — Нордстрема на слу-
случай пространства, содержащего много зарядов и масс,
которые покоятся в момент наблюдения, и 4) заметим,
что такие решения в виде ручек варяду с геонами
образуют два метода построения возмущений в пустом
пространстве и могут образовать множество комбина-
комбинаций.
Начальные данные
и существование решений уравнений
Максвелла — Эйнштейна
Рассмотрим пространственно-подобную поверх-
поверхность о. Пусть след метрического тензора dl2 примет на
ней наперед заданные значения как функция точки
dl2 = grtodx'djc*. B22)
Пусть также е и h обладают наперед заданными зна-
значениями на о. Тогда, вообще говоря, не существует
приемлемого решения ни для уравнений Максвелла, ни
для уравнений Эйнштейна. Уравнения Максвелла бу-
будут обладать корректными решениями в том и только
том случае, если будут удовлетворены условия A89),
налагаемые на начальные значения:
Soe = 0 = 8oh. B23)
Аналогично, уравнения поля Эйнштейна будут иметь
корректные решения в том и только том случае, если

/. Классическая физика как геометрия 313
будут удовлетворены определенные требования относи-
относительно начальных условий [см. ниже соотношения B24)
B25)]. Допуская, что эти условия, а равно и уравне-
уравнения B23) удовлетворены, мы приходим к существова-
существованию в течение некоторого конечного времени решения
объединенных уравнений Эйнштейна и Максвелла с за-
заранее заданными начальными значениями.
Задача с начальными условиями в общей теории от-
относительности подробно исследована Лишнеровицем
[50, 51], а теорема существования, не требующая ана-
аналитичности, была дана Фурес-Брюа [52]. В общей тео-
теории относительности четыре уравнения Эйнштейна, со-
содержащие R0—'/28°/?, составляют требования, нала*
гаемые на начальные значения, подобно соотношениям
B23) в теории электромагнетизма, — требования, свя-
связывающие скорость изменения во времени кривизны
на о с вектором Пойнтинга и максвелловской плотно-
плотностью энергии:
И - MP\j = - 2 (gC))'/! ДО] e>h* = - 21* (e Ah)],, B24)
h). B25)
Мы придерживаемся здесь обозначений Фурес-Брюа [53],
которая доказала существование решений уравнений
B24) и B25) в отсутствие электромагнитного поля. За-
Зададим поверхность о как х°=71 = 0 и запишем
goo = ~V2, go,= Vyi, (/-1,2,3). Тогда glJ=gfl дает
метрику dl2 на с, используемую для поднятия индек-
индексов и определения ковариантных производных в урав-
уравнениях B24) и B28). При 'i2 —7]г7)' определяем
\ B26а)
в, = A + yf)"'1' (V% -firf). B266)
B27>

314
Ч. Мизнвр и Дж. Уилер
Р*=*Р\. B28)
Таким образом, Ру является по существу производной
от метрики по времени, в то время как /?C) является
скалярной кривизной метрики gf) на о. Формулы B26)
переводят уравнения A80) в компоненты относительно
выбранных здесь координат.
Решения Шварцшильда и Райснера — Нордстрема
Метрика Шварцшильда является самым привычным
примером решения уравнений поля и, таким образом,
удовлетворения требований B24) и B25), наложенных
на начальные значения. В этом случае напряженности
электрического и магнитного полей равны нулю:
e = 0 = h. B29)
Метрика
+ (l — ~
-f. sin2
B30)
удовлетворяет уравнениям поля 7?^ = 0. В противопо-
противоположность этому тензор кривизны Риччи для метрики
на пространственно-подобной поверхности Т = const не
равен нулю:
2т*
m*
г»
но все же обладает равным нулю следом:
Г)C) г\
t\ === U.
B31)
B32)
В силу постоянства метрики обращаются в нуль также
и величины Plk. Таким образом, требования B24) и
B25), налагаемые на начальные значения, полностью
удовлетворяются решением Шварцшильда.

/. Классическая физика как геометрия 315
На первый взгляд может показаться, что метрика
Шварцшильда обладает сингулярностью в точке г =
= 2т*. Однако тензор кривизны Риччи B31) не имеет
особенности в этой точке, как и полный тензор кри-
кривизны Римана в соответствующем смешанном кова-
риантно-контравариантном представлении. Для явного
представления части этой регулярности произведем пре-
преобразование координат, уже предлагавшееся многими
авторами (см. [30], стр. 344, а также [54—56]) '):
- B33)
Тогда метрика принимает вид
-—V
НЁ (|)V - B34)
Здесь
2 B35)
представляет собою метрику единичной сферы. Этот вы-
вывод можно истолковать следующим образом. Производя
■)Во всех этих случаях регуляризация устраняет сингулярность
лишь в пространственной части метрики, но не во временной, а по-
потому она не Достигает цели во всех описанных в тексте случаях
регуляризации. Эйнштейн и Розен, полагая, что нельзя устранить
эту сингулярность в пространственной части метрики простым пре-
преобразованием координат, изменили также знак гравитационной по-
постоянной. Это, конечно, приводит к отрицательному значению элек-
электромагнитного вклада в массу и к отрицательному значению энер-
энергии электромагнитного поля вообще, что противоречит опыту. Эйн-
Эйнштейн и Розен изобразили свое преобразование регуляризации с по-
помощью пространства, почти плоского, за исключением окрестности
частиц, и зеркального пространства, близкого и параллельного пер-
первому пространству и соединенного с иим мостиком через шварц-
шильдовскую особенность. Согласно этой модели заряд или заряды
в первичном пространстве не обязаны давать в сумме нуль. Напро-
Напротив, рассмотрение г помощью гармонических форм 1) не приписы-
приписывает пространству такого свойства зеркальности; 2) касается всех
точек пространства равным образом; 3) приводит к идее об истин-
истинной непрерывности электрических силовых линий на всем протя-
протяжении ручки и 4) естественно, касается замкнутого пространства;
не содержащего лишних силовых линий, которые должны оканчи-
оканчиваться на бесконечности.

316 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
преобразование B33), мы переопределили дифференци-
дифференцируемую структуру рассматриваемого нами многообра-
многообразия таким образом, что дифференцируемой функцией
следует теперь считать р, а не г, так что метрика dP на
пространственно-подобной поверхности Т = 0 не имеет
теперь особенности на шварцшильдовском радиусе. Про-
Пространственно-временная метрика ds2 остается, однако,
сингулярной, так как gT7 на шварцшильдовском радиусе
IT
обращается в нуль, и g ->oo . Мы не знаем, как явным
образом устранить эту сингулярность для всех времен,
но, согласно теории начальных значений Лишнеровица
и Фурес-Брюа, можно удалить ее на некоторый неопре-
неопределенный, но не равный нулю интервал времени. Это
можно заключить из того обстоятельства, что условия
B24) и B25), налагаемые на начальные значения, оста-
оставляют величину gn =— V2 совершенно неопределенной
на исходной поверхности. Поэтому в качестве началь-
начальных условий выберем следующие:
ds2 = — V3 dV- + dP, B36)
ТГГ = 0. B38)
Например, можно положить V= 1. Так как от V тре-
требуется лишь свойство дифференцируемости, а не анали-
аналитичности, можно также, как в B34), положить V = Ушв.
при значениях р, близких с внешней стороны к особой
поверхности р = /л*/2 (на малом от нее расстоянии е);
однако V выбирается дифференцируемым и отличным
от нуля при значениях р внутри этой области. Если gn
задано на начальной поверхности Т = 0 подбным обра-
образом, то получаемое при интегрировании уравнений Эйн-
Эйнштейна решение будет по меньшей мере асимптотически
стабильным. Оно будет существовать и совпадать [57]
с решением Шварцшильда для ковремени Т, сколь угод-
угодно большого при р->оо. Более того, при любом фикси-
фиксированном ро > m */2 может быть найдено такого типа ре-
решение, существующее при всех р > ро, по крайней мере

I. Классическая физика как геометрия 317
в течение любого наперед заданного времени, скажем
Ю100 лет.
Эти же аргументы могут быть равным образом ис-
использованы и в том случае, когда центр притяжения об-
обладает не только массой, но и зарядом. Будем исходить
из решения этой задачи, данного Райснером и Нордстре-
мом [58, 59]. Оно отличается от решения Шварцшильда
B30) лишь заменой в нем множителя A—2m*jr) на
Напряженность дуального электрического поля в этом
случае равна
*e=q*€\KbdS[\dy. B39)
Запишем тогда
B40)
и получим для метрики
ds2 = - VpN dT2 + dl2, B41)
где
Сингулярность пространственно-временной метрики,
обусловленную обращением в нуль VRN при 2р =
= (/и*2 — </*2) ', можно вновь устранить путем видоиз-
видоизменения gTT = — V2 на некоторой начальной поверх-
поверхности, близкой к этому критическому значению р. Для
выполнения этой регуляризации необходимо потребо-
потребовать, чтобы масса превышала то минимальное значе-
значение, которое общая теория относительности связывает
с рассматриваемым зарядом:
тх (см) > q* (см)
или
т (г) > О'ч'д = C,88 ■ 10s г/CGSE) q (CGSE). B44)

318 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
Это условие совершенно несовместимо со свойствами
«одетых» частиц, наблюдаемых на опыте. Это обстоя-
обстоятельство вновь подчеркивает тот факт, что мы имеем
здесь дело исключительно с описанием классических за-
заряда и массы, которые непосредственно не имеют ни-
ничего общего со свойствами элементарных частиц.
Пока что мы показали, каким образом может быть
устранена сингулярная поверхность в метрике Шварц-
шильда, но, очевидно, в соотношениях B37) и B43) все
же сохраняется особенность при р-*0. Теперь мы уви-
увидим, что ее нельзя назвать сингулярностью, если мы при
этом не склонны также назвать сингулярным поведение
метрики при р—> + оо. Преобразование
2" y>(m*2-g*2)'/2. B45)
переводит все многообразие р >0 в целом в самое себя
взаимно однозначным и сохраняющим метрику образом.
Поэтому окрестность р = О во всех смыслах эквива-
эквивалентна окрестности р = оо. Начальная поверхность
Т = 0 является полным римановым многообразием, что
означает возможность неограниченного продолжения
каждой геодезической линии. Несмотря на это, можно
было бы потребовать более сильного свойства для кон-
конкретизации всеобщего понятия «несингулярности». Мо-
Можно было бы потребовать либо замкнутости многообра-
многообразия, либо наличия лишь одной области (р—>оо или
р->0), в которой пространство является асимптотически
плоским. Такого рода пример можно построить, исходя
из решения Шварцшильда B37) без заряда. Мы завер-
завершим определение отображения /, положив
Т-*-> Т, B46)
e-i^-e, B47)
B48)
Отображение / не содержит тогда фиксированных то-
точек, и мы можем отождествить точку х с точкой Jx с тем,
чтобы получить новое многообразие, обладающее лишь

/. Классическая физика как геометрия 319
одной асимптотически плоской областью р -> -\- оо . По-
Поверхность Т = 0 этого многообразия топологически экви-
эквивалентна проективной 3-поверхности Р3 (см. раз-
раздел III, Б), из которой удалена одна точка — «точка
оо». Эту процедуру нельзя применить к решению Райс-
нера — Иордстрема, так как, хотя метрика инвариантна
относительно /, напряженность электромагнитного поля
меняет знак, что противоречит такому отождествлению.
Временная зависимость этой регулярной модификации
решения Шварцшильда без заряда исследовалась Даб-
меном [60] с точностью до первого порядка по Т2. Он на-
нашел, что область критической сферы начинает умень-
уменьшаться.
Случай многих зарядов и масс
Начальные условия Райснера — Нордстрема B39) и
B41) — B43) можно обобщить на случай N горловин
ручек, которым приписывают заряды и массы следую-
следующим образом. Полагая
ds2 = —V2 dT2 + (х2 — Ф2J (dx2 + dy2 + dz2), B49)
B50)
■ = 0 B51)
dT
при 7 = 0, зададим V как любую несингулярную по-
положительно определенную функцию; пусть при этом
как х, так и ц> удовлетворяют уравнению Лапласа
в плоском пространстве:
Эти начальные значения придадут начальной поверх-
поверхности свойства полного риманова многообразия, если
мы выберем
где /-о = |г — го| и «в>|Ро|, а= 1, 2, .... N. Точки
rB = (xft, yff, 2?), конечно, исключаются из многообразия.

320 V. Мизнер и Дж. Уилер
Ограничение аа!>|Ро| следует из того факта, что мет-
метрика была бы сингулярной при (х2—ф2) = 0 в какой
угодно точке. Требование полноты также исключает от-
отрицательные массы, как и мультипольные члены в х Иф.
Величины а и Р связаны соответственно с массой и с за-
зарядом, но не дают непосредственно этих масс и заря-
зарядов '). В частном случае, когда заряды отсутствуют (т. е.
Ф = 0), мы приходим к классу задач, исследованных
Лишнеровицем [62]. Поскольку требуются лишь мгно-
мгновенно-статические решения условий, налагаемых на
начальные значения, множитель, подобный (%2 — ф2J
можно использовать для представления dx2 + dy2 + dz2
в формуле B49) в виде какой-либо трехмерной метрики.
Тогда условия, налагаемые на начальные значения, сво-
сводятся к уравнению
ДХ+!^Х = О B54)
плюс подобное _же уравнение для ф вместо уравнения
B52). Здесь — А и R — соответственно лапласиан и ска-
скалярная кривизна, выраженные через первоначальную
метрику.
Связь с геонами
Электромагнитные геоны [14] представляют собою
объекты, состоящие из электромагнитного излучения,
удерживаемого его собственным гравитационным при-
притяжением. В области расположения геона метрика силь-
сильно изменена, но топология пространства все же изо-
изоморфна обычной топологии эвклидового пространства.
Коротковолновое излучение, направленное непосред-
непосредственно на геон, проходит сквозь него, испытав более
или менее сильное отклонение при столкновении. В про-
тиположность этому, коротковолновое излучение, на-
направленное на одну горловину ручки, выйдет из ее дру-
другой горловины. Несмотря на это различие в свойствах,
') О связи та и аа, а также об исследованиях зависимости не-
некоторых решений этого типа от времени см. статью Линдквиста и
Уилера [61].

/. Классическая физика как геометрия 321
оба объекта в равной мере искривляют пространство и
не различаются между собою как массы в смысле их
гравитационного притяжения по закону 1/г2.
Эти два метода конструирования решений уравнений
геометродинамики, отвечающих наличию массы, не долж-
должны использоваться порознь. Можно рассматривать
объект, содержащий как циркулирующую радиацию,
так и горловины ручек, связанные между собою и обра-
обращающиеся друг около друга благодаря взаимному гра-
гравитационному притяжению. Кроме того, движение доста-
достаточного числа горловин ручек, обладающих одинаковым
зарядом, по почти совпадающим орбитам будет имити-
имитировать ток. Оно может породить магнитное поле, доста-
достаточно сильное для того, чтобы оказать существенное,
а может быть, и преобладающее воздействие на струк-
структуру пространства. Таким образом, искривленное пустое
пространство может послужить материалом для построе-
построения множества объектов, слишком обширного для исчер-
исчерпывающего их исследования и даже для простого пере-
перечисления.
Уравнения движения
Массы и заряды в предлагаемой здесь теории суть
объекты, не отличающиеся от полей; они не являются
даже особыми точками этих полей. Поэтому предста-
представляется очевидным, что уравнения этих полей должны
определять движение масс и зарядов. Однако нам сле-
следует потребовать, чтобы это движение соответствовало
в должном пределе ньютоновскому закону сил тяготе-
тяготения и закону силы Лоренца, так как эти законы отра-
отражают самые основные и хорошо проверенные свойства
идеализированных классических точечных частиц. В гео-
метродинамике масса и заряд не представляются в иде-
идеализированной форме как свойства точечных частиц; их,
скорее, можно назвать проявлениями геометрической
структуры пространства. Для обсуждения уравнений
движения следует рассматривать пространство-время
при помощи прибора с меньшей разрешающей силой, чем
прежде, и таким образом сводить всю структуру массы
или заряда к точке, закон движения которой может

322 V. Мизнер и Дж. Уилер
затем сравниваться с законами Ньютона и Лоренца.
Например, вся область вокруг одной горловины ручки
(подобно изображенной на фиг. 3) может быть на-
названа одной точкой х\, аналогичная же область вокруг
другой горловины — точкой х2. Соединяющую обе эти об-
области трубку мы попросту игнорируем. Аналогично мож-
можно идеализировать геон, а также объект, построенный из
радиации и ручек. Тогда многообразие на фиг. 3 бу-
будет сингулярным образом отображаться на топологиче-
топологически эвклидово пространство, и метрика в последнем бу-
будет содержать сингулярности Х\ и х2. Подобным же об-
образом рассматривается большее число масс и зарядов;
при представлении каждого из них в виде точки мы
опускаем все детали их внутренней структуры и перехо-
переходим к пределу, в котором их движение становится срав-
сравнимым с движением точек под действием сил Ньютона
и Лоренца. Определенная таким образом задача и есть
та проблема, которую так подробно исследовали Эйн-
Эйнштейн, Инфельд и Гоффман. Вместе с другими исследо-
исследователями они выводят уравнения механического движения
сингулярностей ') из уравнений поля. Мы можем, следо-
следовательно, заключить, что рассмотренные здесь объекты-
заряды и массы, построенные из одного только искрив-
искривленного пустого пространства, — удовлетворяют в соот-
соответствующем пределе уравнениям Ньютона и Лоренца.
Отсутствие в чисто классической физике
всех единиц, кроме единицы длины
Чисто геометрический характер классической физики
проявляется в факте измерения кривизны пространства
в см'2, электромагнитных напряженностей в смт1, заря-
зарядов в см и масс в см. Для каких-либо иных единиц,
кроме единицы длины, не остается места. Мы позволим
себе привести гротескный пример королевства, в кото-
:) Эйнштейн, Инфельд и Гоффман [64] рассматривали лишь
сингулярности, связанные с незаряженными конечными массами при
медленном движении; Инфельд и Шилд [65] рассмотрели сингуляр-
сингулярности, связанные с бесконечно малыми незаряженными массами,
движущимися с произвольными скоростями; Чейз [66] (см. также
[67]) исследовал сингулярности, отвечающие заряженным малым
доассам при произвольных скоростях.

Л Классическая физика как геометрия 323
ром измеренные к северу расстояния были бы священны
и выражались в милях, в то время как расстояния на
восток и запад, а также вниз и вверх — в футах. Были
бы необходимы специальные навыки для вычисле-
вычисления расстояний по диагонали, исходя из значений коор-
координат, пока не обнаружилось бы, что нужна лишь одна
мировая постоянная для построения теории таких вы-
вычислений. После этого было бы уделено много внимания
«объяснению» того обстоятельства, что в природе суще-
существует естественное «соотношение»: 5280 футов в одной
миле. Эта притча, возможно, безобиднее подобных попы-
попыток «объяснения», почему скорость света равна
3-Ю10 см/сек. И, конечно, привычной является мысль о
том, что постоянная Больцмана k является просто мно-
множителем перевода двух случайных единиц энергии друг
в друга. Менее привычно думать, что граммы и санти-
сантиметры являются двумя эквивалентными единицами изме-
измерения длины и что шварцшильдовский радиус объекта
Л™. = -%г = т* (см) B55)
является чисто геометрическим способом описания меры
его инерции. Мы видели также, что классическая электро-
электродинамика подобным же образом не нуждается в каких-
либо единицах, кроме длины, в своем простейшем выра-
выражении. Напряженность поля является просто проявле-
проявлением искривленного пустого пространства. Классическая
физика (в смысле табл. 1) сводится к чистой геометрии.
V. ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ ГЕОМЕТРОДИНАМИКИ
В логической структуре геометродинамики еще тре-
требуется устранить некоторые пробелы, и почти все, что
остается сделать для использования богатства этой тео-
теории, является делом будущего.
Случай нулевых полей
Алгебраические соотношения D) и E) исконно еди-
единой теории поля были выведены самым общим образом,
но дифференциальные уравнения G) и (8) выведены в
21*

324 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
предположении о неравенстве нулю тензора Риччи.Дело
в том, что если нарушится это упрощающее предполо-
предположение, т. е. тензор R^ (и F^) будет равен нулю, то с не-
необходимостью одновременно обратятся в нуль оба инва-
инварианта электромагнитного поля:
eh = 0, h2 —e2=0. B56)
В данный момент времени это условие будет просто вы-
выполняться лишь на некоторых изолированных линиях
в пространстве. При возрастании времени эти линии бу-
будут описывать поверхности в пространстве-времени:
хР = лРF, ч)- B57)
На таких поверхностях уравнение G) не дает опреде-
определенного значения вектора ар — градиента «фазы»
электромагнитного поля. Является ли определенной сама
«фаза» а? Могут ли уравнения исконно единой тео-
теории поля быть сформулированы так, чтобы сохранять
силу на таких поверхностях? Накладывает ли существо-
существование этих поверхностей какие-либо дополнительные
топологическне условия или условия периодичности на
тензор кривизны Риччи? Возникают ли какие-либо осо-
особые проблемы при обращении в нуль инвариантов B56)
не только на поверхностях в пространстве-времени, но и
в областях большей размерности? Все эти вопросы, оче-
очевидно, связаны между собой.
Почему существует лишь один вид заряда?
Вторая группа вопросов касается заряда. Интерпре-
Интерпретация заряда с помощью силовых линий, «захваченных»
топологией, позволяет всем зарядам быть в равной мере
как чисто магнитными, так и чисто электрическими.
Однако хорошо известно, что эти две возможности раз-
различаются лишь названиями. Преобразование дуальности
r = *f, *f' = **f = —f
или
h' = e, е' = —h, B58)
переименовывает все магнитные заряды в электрические
в соответствии с обычными правилами. Заряды, связан-

/ Классическая физика как геометрия 325
ные со всеми ручками, или классами гомологии раз-
размерности два, могут быть вновь переименованы в чисто
электрические заряды, если в исходной системе отсчета
каждый из них представляет собою смесь электриче-
электрического заряда et и магнитного монополя pt при условии,
что их отношение одинаково для всех ручек
Тогда поворот дуальности
f' = /f B60)
переводит нас к традиционным обозначениям. Однако
это переименование всех зарядов в электрические воз-
возможно лишь при строго одинаковой величине отноше-
отношения B59) этих двух родов зарядов для всех классов го-
гомологии или ручек в исходной системе отсчета дуаль-
дуальности. Можно ли переформулировать это условие дру-
другим образом?
В случае малости областей, в которых пространство
существенно искривлено, по сравнению с расстояниями
между различными горловинами ручек имеет место при-
приблизительная локализация типичного заряда. Рассмот-
Рассмотрим его в локальной лоренцовой системе, в которой этот
заряд в какой-то момент покоится. В этой системе поле
в непосредственной близости к заряду практически яв-
является чисто электрическим. Следовательно, либо вокруг
горловины ручек, либо глубоко в его трубке существует
поверхность, на которой «фаза» а всюду равна нулю
или числу, целому кратному 2и. Более того, мы ожидаем,
что поверхность а = 2un остается связанной с краем
горловины ручек единым образом при возрастании вре-
времени. Дело обстоит подобным же образом и для любой
другой ручки с номером /. Поскольку характерная «фа-
«фаза» «харак. =«(') вполне определена в каждом случае,
условие, при котором все заряды можно назвать элек-
электрическими, имеет вид
) (/) „ J Положительное или отрицатель-
а ^ ' I ное число или нуль
\
J *

326 V. Мизнер и Дж. Уилер
Это условие напоминает одно из требований перио-
периодичности
a dx* — 2п • (Целое число) B62)
[соотношение G7)], налагаемое исконно единой теорией
поля на тензор кривизны Риччи. Несмотря на это об-
обстоятельство, мы не видим способа, позволяющего вы-
вывести B61) из B52). Поэтому нам неясно, является ли
требование, чтобы все заряды были электрическими, со-
составной частью существующей уже теории или его не-
необходимо добавить к этой теории.
Для равенства всех магнитных монополей нулю1)
достаточно, согласно соотношению A45), чтобы напря-
напряженность поля следовала из векторного 4-потенциала
f = da B63)
или
да да
fv дх» dx*'
Это предположение выходит за рамки уравнений Макс-
Максвелла, так как в разделе III, Г мы убедились в существо-
существовании решений уравнений Максвелла, описывающих од-
одновременное присутствие электрического и магнитного
заряда. Однако в этом случае электромагнетизм рассма-
рассматривался в рамках заранее заданной метрики. Лишь эти
идеи помогают понять, что исключение магнитных моно-
монополей— или существование 4-потенциала — является не-
независимым или дополнительным требованием по отно-
отношению к самим уравнениям Максвелла.
Когда же мы обращаемся к полным объединенным
уравнениям Эйнштейна — Максвелла и замечаем, что
кривизна Риччи полностью определяется напряженно-
напряженностью поля, то становится неясным, почему условие ра-
равенства нулю магнитных монополей, или существование
4-потенциала, должно добавляться в качестве дополни-
дополнительного условия. Более того, не известно такого примера
решений системы уравнений Эйнштейна—Максвелла, в
:) Относительно убедительного экспериментального доказатель-
доказательства отсутствия в природе свободных магнитных монополей см. [68].

/ Классическая физика как геометрия 327
котором магнитные монополия не могли бы быть устра-
устранены путем поворота дуальности. Очевидно, важным и
принципиальным вопросом является вопрос о необходи-
необходимости действительного добавления утверждения о суще-
существовании 4-потенциала к уравнениям D), E), G) и
(8) исконно единой теории поля. Или же 4-потенциал
может быть выведен из этих ураввений?
Возникает и другой вопрос. Могут ли уравнения гео-
метродинамики D), E), G) и (8) вместе или-без веро-
вероятного дополнительного условия о 4-потенциале быть
выведены из одного-единственного вариационного прин-
принципа? В связи с этим была проделана некоторая ра-
работа [69—71], однако сяма постановка этого вопроса не
была еще даже сформулирована в литературе.
Перейдем теперь от вопроса наилучшей формули-
формулировки уравнений поля к задаче наилучшего выбора тре-
требований, налагаемых на начальные значения. В случае
чистого электромагнитного поля уже давно было обна-
обнаружено, что требование divh = —8h = 0 на исходной
гиперповерхности автоматически удовлетворяется при
выборе в качестве начальных данных не самих h, а 3-по-
тенциала а, обеспечивающего нужные свойства h. В слу-
случае самосогласованных уравнений геометродинамики мы
сталкиваемся с нелинейными требованиями B24) и
B25), наложенными на начальные значения в отноше-
отношении Ру, производной от метрики по времени. Существует
ли что-либо вроде произвольно определяемого суперпо-
суперпотенциала, подобного а, который порождает тензор Ру,
в свою очередь автоматически удовлетворяющий требо-
требованиям B24) и B25)? Если это так, то свойства этого
суперпотенциала прояснили бы в значительной мере во-
вопрос об истинно независимых переменных в геометроди-
намике. Это прояснение существенно для понимания
сущности исконно единой теории поля, для наиболее
действенных ее приложений и для внесения ясности в
само понятие ее квантования.
Возникает еще один принципиальный вопрос. В элек-
электродинамике мы можем брать линейную комбинацию
двух решений в качестве нового решения. Геометроди-
намика же, конечно, нелинейна. Существует ли, несмо-
несмотря на это обстоятельство, способ комбинирования двуя

328 У. Мизнер и Дж. Уилер
решений для получения третьего? Для поисков такого
правила комбинирования представляется существенным
исследовать непрерывное бесконечномерное простран-
пространство историй полей. После того как возникла эта про-
проблема, проф. В. Баргман любезно указал нам, что ме-
методы Софуса Ли [73, 74] могут оказаться достаточными
для получения исчерпывающего ответа ча этот вопрос.
К указанным нами принципиальным проблемам о ну-
нулевых полях, о существовании 4-потенциала, о возмож-
возможном существовании суперпотенциала и о свойствах ком-
комбинируемое™ в бесконечномерном пространстве историй
полей следует добавить много вопросов о следствиях
этой классической теории, которых мы здесь лишь слегка
коснемся ').
1) Насколько обширно топологически мыслимое раз-
разнообразие ручек и многосвязности пространства?
2) Какие новые явления происходят в том случае,
когда детерминированное изменение метрики во времени
приводит в определенный момент к слиянию или соеди-
соединению горловин ручек или к другим изменениям в то-
топологии?
3) Каким образом можно строить замкнутые мате-
математические выражения для метрики пространств, содер-
содержащих возможно большее богатство геометродинамиче-
ских объектов — гравитационных волн, ручек, ударных
волн, «захваченной» в ручки радиации и комбинаций
этих объектов?
Не ограничиваясь этими увлекательными пробле-
проблемами, внимание исследователя неизбежно обратится к
еще более глубоким вопросам о том, какова природа
квантовой геометродинамики2) и какие идеи должны
быть добавлены к квантовой геометродинамике для опи-
описания природы.
Мы хотим выразить нашу признательность В. Барг-
ману, П. Бергману, X. Эверетту и М. Фирцу за дискус-
') См. статью Пауэра и Уилера [63], содержащую таблицу ана-
аналогий между геометродинамикой и гидродинамикой, а также проб-
проблем, подсказываемых этой аналогией.
2) В этой связи см. статьи Эверетта [75], Мизнера и Уилера
[1, 2, 76]. .

/ Классическая физика как геометрия 329
сии физического характера, а также П. Коннору,
Ж. Жеэньо, Дж. А. Скаутену, Д. Спенсеру, Г. Троттеру
и многим другим коллегам за разъяснение математиче-
математической стороны геометродинамики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Misner С. VV., Rev. Mod. Phys., 29, 497 A957).
2. Wheeler J. A., Ann. of Phys.. 2, 604 A957). (Дополнение II
к настоящей книге.)
3. Rainich G. Y., Trans. Am. Math. Soc, 27, 106 A925).
4. Rainich G. Y., The Mathematics of Relativity, New York, 1950.
5. S у n g e J. L., Principal Null-Directions Defined in Space Time by
an Electromagnetic Field (No. 1 in the University of Toronto Stu-
Studies, Applied Mathematics Series), Univ. of Toronto Press, To-
Toronto, 1935.
6. S у n g e J. L., Relativity: The Special Theory, Amsterdam, 1956,
p. 326.
7. Bonnor W. В., Proc. Phys. Soc, A67, 225 A954).
8. M a r i о t L., thesis, «Le champ electromagnetique pur en relati-
vite generale», Ch. IV, University of Paris, 1957.
9. Einstein A., The Meaning of Relativity, 3rd ed., Princeton,
1950, p. 107. (См. перевод: Эйнштейн А., Сущность теории
относительности, ИЛ, 1955, стр. 89.)
10. Riemann В., Habilitationsvorlesung, June 10, 1854. «Ueber die
Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen», в Rie-
Riemann В., Gesammelte Mathematische Werke, 2nd. ed., New
York, 1953. (См. перевод: Р и м а н Б., Сочинения, М.—Л., 1948,
стр. 279, «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».)
11. Clifford W., Nature, 8, 14 A873).
12. Weyl H., Raum-Zeit-Materie, 4. Aufl., Berlin, 1921, § 34; цити-
цитируется no книге Вейля: «Philisiphy of Mathematics and Natural
Science», Princeton, 1949, p. 91
13. Einstein A., Rosen N.. Phys. Rev., 48, 73 A935).
14. Wheeler J. A., Phys. Rev., 97, 511 A955).
15. D arrow К. К-, Phys. Today, 9, No. 8, 24 A956).
16. Dyson F., Advanced Quantum Mechanics, Ithaca, 1954, pp. 120,
167.
17. I nf eld L., Acta Phys. Polon., 10, 284 A950).
18. С a 11 a w а у J., Phys. Rev., 92, 1567 A953).

330 Ч. Миэнер и Дж. Уилер
19. Clifford W. К., Mathematical Papers, London, 1882, p. 21;
Lectures and Essays, Vol. 1, London, 1879, pp. 244, 322.
20. Cajory F. (пересмотренный английский перевод Мотта),
Newton I., Mathematical Principles of Natural Philosophy, Ber-
Berkeley, 1934.
21. F i e r z M., Ueber der Ursprung und die Bedeutung der Lehre
Isaac Newton's vom absoluten Raum, Gesnerus, 11, 62 A954).
22. P a t r i z z i F., Nova de Universis Philosophia, part IV, Pan-
cosmia, книга 1, de Spacio Physico. Meiettus, Venice, 1593.
23. «The Taittirtya Upanishad with commentaries» pp. 293, 305—307,
Mysore, 1903. (См также том III «The Upanishads», New York.)
24. S с h о u t e n J. A., Ricci-Calculus: An Introduction to Tensor Cal-
Calculus and Its Geometrical Applications, 2nd ed., Berlin, 1954,
p. 36, 46.
25. Kelley J. L., General Topology, New York, 1955.
26. П о н т р я г и н Л. С, Топология, М., 1900.
27. Ал екс а н д р о в П. С, Комбинаторная топология, М., 1947,
гл. 1.
28. de Rham G., Varietes Differentiables, 1955, p. 1.
29. M 0 11 e r C, The Theory of Relativity. London—New York, 1952,
p. 361.
30. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, М., 1960.
31. М i 1 п о г J., Ann. Math, 64, 399 A956).
32. С а г t a n E., Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann,
Paris, 1946.
33. Chevalley C, Theory of Lie Groups 1, Princeton, 1946, Ch. 3.
(См. перевод: Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, М., 1948.)
34. Hodge W. V. D., The Theory and Application of Harmonic In-
Integrals, London—New York, 1952.
35. L i с h n e г о w i s z A., Algebre et analyse lineaires, 2nd ed., Pa-
Paris, 1956, Ch. 1.
36. d e Rham G., Varietes Differentiables, Paris, 1955.
37. E i 1 e n b e r g S., S t e e n г о d N., Foundations of Algebraic
Topology, Vol. 1, Princeton, 1952.
38. S e i f e r t H., T h r e 1 f a I 1 W., Variationsrechnung in Grossen,
New York, 1951, pp. 16—21.
39. Lefschetz S., Introduction to Topology. Princeton, 1949.
40. S e i f e r t H., T h r e 1 f a 11 W., Lehrbuch der Topologie, New
York, 1947. (См. перевод: З ей ферт Г., Трелфалль В., То-
Топология, М.—Л., 1900.1

I. Классическая физика как геометрия 331
41. S е г г е J. P., Ann. Math., 54, 439 A951).
42. Н о d g e W. V. D., The Theory and Applications of Harmonic In-
Integrals, London—New York, 1952, pp. 88—100.
43. de R h a m G., Varietes differentiables: formes, courants, formes
harmoniques, Paris, 1955, Ch. 4.
44. G о u r s a t E., Cours d'analyse mathematique 2nd ed., Vol. 2,
pp. 632—637, Paris, 1911. (См. перевод: Г у р с а Э. Курс матема-
математического анализа, т. II, М.—Л., 1933.))
45. Riesz M., Acta Math., 81, 1 A949).
46. Duf f G. F., Canad. Journ. Math., 5, 57 A953).
47. Raychaudhuri A., Phys. Rev., 104, 455 A956); 106, 172
A957).
48. Komar A., Phys. Rev., 104, 544 A956).
49. Foures-Bruhat Y., Acta Math., 88, 141 A952).
50. Lichnerowicz A., Problemes Globaux en Mechanique Relati-
viste, Paris, 1939; Journ. Math. Pure Appl., 23, 37 A944).
51. Lichnerowicz A., Helv. Phys. Acta, Suppl. IV, 176 A956).
52. Foures-Bruhat Y., Acta Math., 88, 141 A952).
53. Foures-Bruhat Y., Journ. Rat. Mech. Anal. 4, 951 A956)
54. Lemaitre G., Ann. soc. sci. Bruxelles, 53A, 51 A933).
55. Einstein A., Rosen N.. Phys. Rev., 48, 73 A935).
56. Synge J. L,, Proc. Roy. Irish Acad., 53A, 83 A950).
57. Stellmacher K-, Math. Ann., 115, 136, 740 A938).
58. Reissner K., Ann. of Phys., 50, 106 A916).
59. Nordstrom L., Proc. Amsterdam Acad., 20, 1238 A918).
60. D u b m a n M. R., Диссертация, представленная Принстонскому
университету, 1957, не опубликовано.
61. Lindquist R. W., Wheeler J. A.. Rev. Mad. Phys., 29, 432
A957).
62. Lichnerowicz A., Journ. Math. Pure Appl., 23, 37 A944).
63. Power E., Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys., 29, 480 A957).
64. Einstein A., I n f e 1 d L.. Hoffman В., Ann. Math., 39. 65
A938).
65. Infeld L., S chi Id A., Rev. Mod. Phys., 21, 408 A949).
66. Chase D. M., Phys. Rev., 95, 243 A954).
67. I nf e 1 d L., Rev. Mod. Phys., 29, 398 A957).
68. Malkus W. V. R., Phys. Rev., 81,315 A951).
69. P a u 1 i W., Phys. Zs., 20, 457 A919).
70. Weyl H., Math.-Sitz., 2, 384 A918); Ann. of Phys., 59, 101
A919); Phys. Zs., 22, 473 A921).
71. Bach R., Math. Zs., 9, 110 A921).

332 Ч. Мизнер и Дж. Уилер
72. Lanczos С, Phys. Rev., 39, 716 A932); 61, 713 A942); Ann.
Math., 39, 842 A938); Rev. Mod. Phys., 21, 497 A949).
73. Lie S., E n g e 1 F., Theorie der Transformationsgruppen, 3 Brie.,
Leipzig, 1888—1893.
74. Lie S., Vorlesungen fiber continuierliche Gruppen mit geometri-
schen und anderen Anwendungen, Leipzig, 1893.
75. Everett R, Rev. Mod. Phys. 29, 454 A957).
76. Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys. 29, 463 A957),

II. О ПРИРОДЕ КВАНТОВОЙ
ГЕОМЕТРОДИНАМИКИ
Дж. Уилер
J. Wheeler, Ann. of Phys., 2, 604—614 A957)
В предыдущей статье с помощью одного только искривленного
пустого пространства были описаны классические гравитационное и
электромагнитное поля, заряд и масса. Прежде чем перейти к кван-
квантованию подобной чистой геометродинамики Эйнштейна — Макс-
Максвелла, здесь предпринимается попытка 1) выяснить некоторые важ-
важнейшие ожидаемые свойства квантованной геометродинамики и
2) оценить возможную роль этой теории в понимании проблемы
элементарных частиц без привлечения каких бы то ни было допол-
дополнительных гипотез. Обнаружено, что флуктуации гравитационного^
поля приводят к качественно новым следствиям на расстояниях
порядка (HG/c3) '2 = 1,6 • Ю-33. Они приводят к возможности вир-
виртуальных порождения и уничтожения пар во всем пространстве, об-
обладающих электрическими зарядами порядка ~(Ас)'/г и энергиями
порядка (Ac5/G)'/2= B,18-10-5 г) • с2 = 2,4 • 1022 m&j
Обсуждается вопрос о том, в какой мере можно отождествить
эти заряды с неперенормированными, или «голыми», зарядами в
теории электрона. Для выяснения будущей роли квантовой геомет-
геометродинамики решающим является вопрос: появляется ли спин как
неизбежный геометрический спутник квантования или он наряду
с прочими свойствами должен быть добавлен к этому чисто гео-
геометрическому описанию природы?
Согласно предыдущей статье [1], классические грави-
гравитационное и электромагнитное поля, заряд и масса мо-
могут быть описаны исключительно с помощью варианта
Райнича римановой геометрии искривленного пустого
пространства. При таком описании мы ничего не добав-
добавляем к общепринятым уравнениям Максвелла и Эйн-
Эйнштейна. Напомним лишь, что указанные уравнения, как
это впервые было показано Райничем, могут быть при-
приведены к «исконно единой форме», где фигурируют лишь
геометрические величины. Мы также отбрасываем мол-
молчаливо принимавшееся до сих пор предположение об од-
односвязности пространства, для принятия которого ура-
уравнения Эйнштейна — Максвелла сами по себе не дают
оснований. Тогда классический заряд проявляется в виде

334 Дж. Уилер
«заключенного» в многосвязную метрику потока сило-
силовых линий. Таким образом, мы приходим к исключи-
исключительно далеко идущему описанию классической физики,
имеющему тем не менее чисто геометрический характер
и основанному на наиболее строго установленных прин-
принципах электродинамики и общей теории относительности.
Эти принципы принимаются нами без изменений, и к ним
не добавляется никаких новых гипотез.
Появляющиеся при таком рассмотрении заряд и
масса удовлетворяют неравенству
т > Q-%q = C,9 • 103 г/CGSE) q A)
и являются неквантованными, так что не имеют непо-
непосредственного отношения к квантованным зарядам и
массам элементарных частиц.
В каком же отношении друг к другу стоят тогда
геометродинамика и мир элементарных частиц?
Для ответа на этот вопрос можно было бы дополнить
чистую геометродинамику электронно-позитронным, ме-
зонными, нейтринным и иного рода полями. Мы пришли
бы тогда ко всем обычным затруднениям теории поля и
были бы вынуждены ввести в физическую теорию кон-
константы связи и величины характерных масс в качестве
простейших необъясненных составных частей. Таким об-
образом, были бы потеряны черты, характеризующие гео-
геометродинамику как описание природы на классическом
уровне, которые можно резюмировать следующим
образом: 1) Пространство-время не есть арена для
физики, это вся классическая физика. 2) Не суще-
существует нуждающихся в объяснении «мировых констант»:
ни с, ни G. Скорость света — это всего лишь множитель
перехода между двумя исторически сложившимися еди-
единицами длины, световой секундой и сантиметром, точно
так же как число 5280 является множителем перехода от
футов к милям. Аналогично, инертная масса выражается
с помощью геометрической величины — шварцшильлов-
ского радиуса, который можно измерять либо в сантимет-
сантиметрах, либо в старых единицах, которым, подобно милям,
присвоено особое наименование — грамм. С точки зре-
зрения общей теории относительности отношение между
этими двумя единицами длины G/c2 = 0,74 • Ю^28 см/г

//. О природе квантовой геометродинамики 335
является случайным и сложилось исторически так же,
как и число 5280. В классической геометродинамике фи-
фигурирует лишь длина. 3) Не существует «констант
связи», как нет и независимо существующих по-
полей, взаимодействующих друг с другом. Электромагнит-
Электромагнитное поле не является особым объектом; оно может быть
просто выражено через первые производные тензора
кривизны Риччи.
Следует ли требовать отказа от этих отличительных
особенностей геометродинамики? Знает ли кто-нибудь
физику настолько, чтобы сказать, что закономерно-
закономерности, установленные Максвеллом и Эйнштейном, суть за-
заблуждения в описании природы? Как можно требовать,
чтобы добавлялись квантованные поля и константы свя-
связи, если никто еще не проанализировал следствий кван-
квантования исходной формулировки чистой геометродина-
геометродинамики Эйнштейна-—Максвелла? Пусть эти вопросы по-
послужат основанием для более конкретного рассмотрения
квантовой геометродинамики!
Прямой путь перехода от классической теории к кван-
квантовой дает формулировка Фейнмана. Выражение
B)
11>
представляет собой ключ, необходимый для оценки всех
имеющих физический смысл величин: амплитуды веро-
вероятности перехода от некоторой конфигурации Сх на про-
пространственно-подобной гиперповерхности о\ к С2 на ог-
Здесь Н символизирует любую историю -изменения си-
системы между ci и О2, обладающую в качестве граничных
значений конфигурациями С\ и С2. Величина 1Н является
классическим действием, связанным с этой историей.
Символ S обозначает суммирование с одинаковыми ве-
н
сами по всем историям, как допустимым, так и недопу-
недопустимым с классической точки зрения, при такой норми-
нормировке, чтобы функция распространения B) была уни-
унитарной.
Для практической реализации этой программы еще
недостаточно предположить, что в принципе вся кванто-
квантовая геометродинамика содержится в рецепте B)! Мизнер

336
Дж. Уилер
сделал первый решающий шаг [2]1) на этом важном
пути. Вплоть до завершения полного исследования мож-
можно оценить порядок величины, определенной по ана-
аналогии с обычной квантовой электродинамикой. Фазу
экспоненты Фейнмана — Гюйгенса качественно можно
записать в виде
Рассмотрим изменение этого интеграла, вызываемое ва-
вариациями Ag типичной компоненты метрики g^ и вари-
вариациями АА типичной компоненты электромагнитного по-
потенциала Ар в области пространства-ковремени с разме-
размерами порядка L X L X L X L:
Д (фаза) = 4" ~ (т) L"(Д^2 + Ш L* (ДЛJ- D)
Мы видим, что изменения поля в таких областях дают
вклад в сумму по историям, не внося искажающей
интерференции [А(фаза) ~ 1 рад], если только они имеют
порядок величины не более указанного в табл. 1. К той
Таблица 1
Порядок величины флуктуации поля
Здесь для краткости через V обозначена величина
(fiO/cs)'/2 = 1,6 • 10~33 см
Электромагнитные
величины
Гравитационные величины
Потенциал . . .
Напряженность . .
Кривизна про-
пространства
Д/4 ~< (ftcI'2//.
Д/- ~ (fic)'/!/l2
Д (Ускорение) ~
Д/? ~ L*/L3
же самой оценке можно прийти, рассматривая квант
энергии, заключенный в области с размерами поряд-
') См. работу Эверетта [3] по поводу метода приложения квлн-
тового постулата к системе, аналогичной геометродинамике и яв-
являющейся замкнутой в себе и не подверженной внешнему наблю-
наблюдению.

/Л О природе квантовой геометродинамики 337
ка L. Эта энергия будет порядка hc/L, плотность энергии —
порядка /ic/Z,4, так что напряженность по порядку вели-
величины равна (ficI/2/Z,2, где в случае необходимости сле-
следует учесть соответствующий множитель для перехода
к общепринятым единицам.
Как флуктуации метрики, так и статические вариа-
вариации метрики фантастически малы в атомных масшта-
масштабах и даже в областях порядка характерной комптонов-
ской длины Lm = h/mc электрона:
. 2Gm I L* \2 -44
Дзетах. ~ 72^ ' ( -JT ) ~ 10 '
._.
Более того, это статическое поле не увеличивается по
порядку величины при переходе к областям с мень-
меньшими по порядку величины размерами вследствие от-
отсутствия локализуемости энергии и массы электро-
электрона. Напротив, вычисленные здесь флуктуации метрики
не зависят от степени близости к частице и, подобно
флуктуациям электромагнитного поля, связаны лишь с
размерами области наблюдения. В атомных масштабах
метрика представляется плоской, как океан летящему
высоко над ним пилоту. Чем больше мы приближаемся
к нему, тем больше степень нерегулярности. Наконец, на
расстояниях порядка L * флуктуации компонент метрики
g^v достигают по порядку величины самих g^. Здесь
характер пространства претерпевает существенное из-
изменение, что схематически изображено на фиг. 1. Раз-
Развивается многосвязность, как это имеет место на по-
поверхности океана, где разбиваются волны. Конечно, нет
необходимости предлагать метод наблюдения этих
флуктуации для того, чтобы заметить, насколько непо-
непосредственно и неизбежно они следуют из квантовой тео-
теории метрики. Здесь слово «наблюдение» вообще не долж-
должно использоваться. Можно просто сказать, что 1) функ-
функция распространения выражается как сумма по историям,
2) каждая история (траектория) представляет собою
некоторую последовательность конфигураций и 3) сим-
символически изображенный на фиг. 1 тип конфигурации
вносит существенный вклад в сумму по историям. Тогда
22 Зак. 3001,

338 Дж. Уилер
термин «флуктуация» служит лишь сокращением для
обозначения конфигураций, вносящих наибольший вклад
в сумму по историям.
Наряду с флуктуациями метрики происходят флук-
флуктуации электромагнитного поля. В результате этого ти-
типичное многосвязное пространство, подобное изобра-
изображенному на фиг. 1,в, приобретает некоторый результи-
Фиг. 1. Влияние локальной флуктуации
метрики иа появление миогосвязности.
На схеме в верхняя часть пространства не оторвана
от нижней, как могло бы показаться на основании
рассмотрения одного сечения этого пространства;
поэтому пунктирные линии символически изображают
связь между двумя областями, как это обнаружи-
обнаружилось бы при построении сечения в другом месте.
рующий поток электрических силовых линий через «руч-
«ручку». Эти линии сконцентрированы благодаря топологии
пространства; все это выглядит так, как если бы на од-
одном конце ручки существовал положительный заряд, а
на другом — отрицательный.
Для оценки типичного заряда, связанного с ручкой,
обозначим масштаб размера ручки через L. Тогда об-
область, через которую проходит поток, будет порядка L2.
Флуктуация напряженности поля по порядку величины
равна (hc)'l2/L2. Следовательно, полный поток и заряд
будут порядка
.~(^)'/2~12е F)
независимо от размеров ручки.
Существование таких пар зарядов требуется самыми
основными положениями квантовой теории и геометро-
динамикой Максвелла — Эйнштейна. Однако получен-
полученный заряд ни в какой мере не похож на заряд элемен-
элементарной частицы.
1) Типичный заряд в данном случае на один поря-
порядок больше элементарного кванта заряда.

II. О природе квантовой геометродинамики 339
2) Этот заряд не является квантованным. Напротив,
в сумме по историям следует учесть конфигурации со
всеми значениями заряда. Однако вклады в эту сумму
взаимно уничтожаются за счет деструктивной интер-
интерференции, когда заряд превышает по порядку величины
<7флукт. в соотношении F).
3) Масса электромагнитного поля, связанного с од-
одной такой ручкой типичных размеров L~L*, имеет по-
порядок
с~2Е ~ с'2 (AFJ Z.3 ~-д- ~(~f = 2,2 • 10 г, G)
совершенно несравнимый с массами элементарных ча-
частиц.
4) Наиболее важным является то обстоятельство,
что эти флуктуационные заряды являются свойствами
всего пространства, а не частиц1).
На фиг. 2 символически представлена типичная кон-
конфигурация, дающая основной вклад в сумму по исто-
историям. В этой конфигурации всюду возникают горло-
горловины ручек, разделенные типичными промежутками и
обладающие типичными размерами порядка характер-
характерной длины L*. Изображенная справа в увеличенном ви-
виде горловина ручки обнаруживает исходящие из нее же
силовые линии, какие аналогичным образом выходят
из любой другой горловины ручки или входят в нее.
Вся эта картина может быть кратко описана следую-
следующим образом. 1) Квантование теории Максвелла и Эйн-
Эйнштейна приводит к пенообразной структуре простран-
пространства. Пространство обладает не только макрокривизной
в масштабах Вселенной, но и микрокривизной масшта-
масштаба L*. 2) В вакууме постоянно образуются и аннигили-
аннигилируют виртуальные пары зарядов. 3) С этими парами
ассоциируются заряды и особенно массы электромагнит-
электромагнитной природы, много большие, чем известные нам из фи-
физики элементарных частиц.
') Рассмотренная здесь и ранее [4] структура противоположна
«структуре типа швейцарского сыра», описанной Белинфанте [5] и
обязанной лишь существующим в готовом виде «истинным массам»,
которые мы здесь не рассматриваем.

340
Дж. Уилер
На первый взгляд может показаться, что плотность
энергии вакуума, описанного выше, должна быть со-
совершенно неразумно велика. Умножая величину массы-
энергии bjct*, приходящейся на типичную ручку, на
Ф и г. 2. Разрез при постоянном времени через историю полей того
типа, который дает большой вклад в сумму по историям в фейн-
мановском пропагаторе.
Мелкие кружки изображают горловины ручек, связанные с многосвязностью про»
странства. Типичная ручка связана с флуктуацией, подобной изображенной на
фиг. 1, и обладает размерами порядка (йС/е>)'/г = 1,6 ■ 10~33 см, много меньшими,
чем все непосредственно относящиеся к проблеме элементарных частиц расстояния
(й/тс = 3,9 • 10~и см). С типичной ручкой, такой, как а, связывается не только
большая кривизна пространства, но и флуктуация электромагнитного поля, как
это иллюстрируется силовыми линиями на увеличенном изображении а справа.
число виртуальных пар в единице объема порядка
1/Z.*3, можно получить такую огромную плотность массы
cL*
2,2- 10~а г
A,6-10"3слK
(8)
что даже одна кубическая комптонова длина волны
содержит массу, большую массы всей известной Все-
Вселенной:
М
Вселенн.'
, = 5,0 • 1093 • C,87 • КГ11K =-2,9 • 1062 г,
^Вселенн, ^A>з5 . 10» г/см) Х
(9)
X @,94 • 1018 см/лет) • 5 • 109 лет —6 ■ 1055 г.

// О природе квантовой геометродинамики 341
Эта трудность не нова. Она представляет собой про-
проблему нулевой энергии электромагнитного поля. Про-
Просуммировав энергию типичного осциллятора поля '/г/до
по всем частотам вплоть до длины волны c/a>~L*, на
которой микрокривизна совершенно нарушает свойства
осциллятора поля, придем к массе-энергии (8). Обычно
пытаются не решать эту проблему, а обходить ее, вычи-
вычитая нулевую энергию. В специальной теории относитель-
относительности такая процедура законна; однако в общей теории
относительности отсутствует произвол во введении адди-
аддитивной постоянной энергии, и эта процедура уже не
может быть оправдана. Более того, вычитаемый член
не является постоянным, но зависит от кривизны
пространства.
До сих пор мы пренебрегали вкладом гравитации в
плотность энергии и массы. Однако в типичной ручке
флуктуации электромагнитных полей чрезвычайно вели-
велики, и их гравитационным взаимодействием нельзя пре-
пренебрегать. Характерная электромагнитная масса-энергия
на одну ручку равна
и среднее расстояние между двумя такими возмуще-
возмущениями поля имеет порядок L* ~ (hG/c3)'12. Из этой оцен-
оценки следует, что гравитационная энергия взаимодействия
двух соседних ручек составляет по порядку -величины
£*грав."^ £*~' \^■^)
Результирующее уменьшение полной массы пары сосед-
соседних ручек на величину
/ Ьс \ V.
имеет тот же самый порядок величины, что и положи-
положительная электромагнитная масса двух таких концентра-
концентраций энергии. Иначе говоря, обстоятельства благоприят-
благоприятствуют локальной компенсации электромагнитной энер-
энергии гравитационной энергией. Более того, при такой ло-
локальной компенсации соседние ручки не оказывают гра-
гравитационного притяжения на отдаленные скопления

342 Дж. Уилер
массы-энергии. Остается открытым вопрос о том, при-
приведет ли это к возможности получения состояния ваку-
вакуума с равной нулю результирующей плотностью энер-
энергии. Во всяком случае, мы приходим к заключению, что
допущение существования флуктуации метрики и гра-
гравитационных взаимодействий является существенным в
любом последовательном подходе к компенсационной
проблеме — проблеме компенсации «бесконечных» энер-
энергий, стоящей в центре внимания физики полей и элемен-
элементарных частиц *).
Общая теория относительности утверждает, что не-
невозможно приписать вполне определенного смысла
энергии электромагнитного поля в искривленном про-
пространстве [6]. В геометродинамике определенный смысл
имеет только сумма энергии электромагнитного поля и
гравитационной энергии, к тому же лишь в асимптоти-
асимптотически плоском или, возможно, также в замкнутом
пространстве [7]. Это обстоятельство подкрепляет за-
заключение о незаконности пренебрежения гравитацией
в каком бы то ни было удовлетворительном рассмотре-
рассмотрении плотности нулевой энергии вакуума.
Мы не утверждаем, что нашли доказательство того,
что квантовая геометродинамика в границах ее примени-
применимости решила проблему компенсации. Это может быть
проверено только путем углубленного исследования,
методы которого находятся пока что в стадии установле-
установления [2]2).
Однако если будет установлена такая компенсация
энергии, то мы будем иметь свободную от расходимо-
стей квантовую теорию континуума, подобную которой
мы еще никогда не имели.
Является ли такое представление, как континуум,
совершенно несовместимым с миром физики элементар-
элементарных частиц? Начнем с электронов. В теории электронов
проводится различие между массой и зарядом «голого»
электрона и массой и зарядом экспериментально на-
наблюдаемого электрона. Множители перехода от одной
') Это обстоятельство особенно подчеркивается Н. Бором в
лекциях и дискуссиях.
2) См. примечание на стр. 336.

II О природе квантовой геометродинамики 343
величины к другой являются расходящимися (но толь-
только логарифмически расходящимися). Ввиду этой расхо-
расходимости иногда считается, что только перенормирован-
перенормированная теория имеет физический смысл. Однако если пред-
представление о континууме имеет смысл, то разумно пред-
предполагать, что множители перехода не бесконечны, но
лишь очень велики. Если аргументом логарифмической
функции является отношение двух волновых чисел, то
мы придем не к бесконечному верхнему пределу, а к
Z,*-1, ввиду того обстоятельства, что при таких волновых
числах микромножественная связность пространства
вносит существенные изменения в общепринятую тео-
теорию. Такой логарифм появляется в главном члене стан-
стандартного выражения для электромагнитной собственной
энергии или собственной массы Ьпг электрона [8]:
Ът 3 е2 , /*максЛ По\
т 2* hcin\ km )• W
Следует ожидать, что импульс &макс. должен быть равен
величине порядка L*~ ; к тому же мы должны будем
добавить к A3) выражение иной математической струк-
структуры для того, чтобы представить вклад в энергию, обя-
обязанный волновым числам от kMaKC. до оо . Имея в виду
порядки величины
km 10" ^
мы не можем утверждать, что соотношение A3) несов-
несовместимо со взглядом на электромагнитное происхожде-
происхождение всей энергии электрона, что долгое время отстаивал
Лоренц.
Поэтому мы вынуждены рассматривать электрон не
более и не менее как коллективное состояние возму-
возмущения пенообразной среды, символически изображенной
на фиг. 2. Это коллективное возмущение представлено
на фиг. 2 как некоторое уплотнение в распределении ру-
ручек внутри круга, проведенного штриховой линией. До-
Дополнительное возрастание концентрации электромаг-
электромагнитных массы и энергии внутри электрона
J1^15710
Lm

344 Дж. Уилер
ничтожно мало по сравнению с концентрацией электро
магнитной энергии, уже имеющейся в вакууме:
5• 1093 г/см3 [см. соотношение (8)]. Иными словами, со.
гласно настоящему новому толкованию взглядов Ло-
Лоренца, электрон не является естественным исходным
пунктом в описании природы. В самом деле он предста-
представляет собою поправку первого порядка к физике ва-
вакуума. Вакуум, представляющий собой первое приближе-
приближение в трактовке задачи, с его огромными концентраци-
концентрациями электромагнитной энергии и многосвязной топологи-
топологией следует рассмотреть до перехода к теории возму-
возмущений. С этой точки зрения удивительным достижением
«вычитательной» физики является ее способность рас-
рассматривать такой широкий круг вопросов, какой она
действительно рассматривает, не имея в своем распоря-
распоряжении удовлетворительной теории заряда и массы элек-
электрона. Точность ее предсказаний, как и ее расходимости,
связаны, с точки зрения настоящей работы, с малостью
характерной длины L~L* физики вакуума по сравне-
сравнению с длиной Z. ■~ Lm физики электрона.
Согласно квантовой теории электрона заряд экспери-
экспериментально наблюдаемого электрона мал по сравнению
с зарядом «голого» электрона. Несмотря на первое впе-
впечатление, этот результат не противоречит атомизму
электрического заряда, даже если заряду «голого» элек-
электрона приписано единственное значение. Теория описы-
описывает экспериментальный заряд как нечто вроде среднего
значения, которое не только не должно быть, но и дей-
действительно не является целым кратным «голого»
заряда. Следовательно, нет очевидного противоречия
между квантованным зарядом е квантованных коллек-
коллективных возмущений и неквантованным зарядом порядка
<7флукт. ~ {Ъс)'!г для «голых» частиц.
В той интерпретации идеи Лоренца, плодотворность
которого мы пытаемся показать, энергия и масса электро-
электрона рассматриваются как низшая характерная энергия
устойчивого коллективного возмущения поля Эйнштей-
Эйнштейна — Максвелла. Почему эта масса-энергия должна
быть мала по сравнению с единственной характерной
массой-энергией, фигурирующей в квантовой геометро-
динамике: тх= фс/О)Ч' = 2,18 - 10 5 г? В табл, 2 мы

// О природе квантовой геометродинамики
345
Таблица 2
Расхождения между наблюдаемыми величинами и элементар-
элементарными оценками, полученными на основе наиболее естествен-
естественных единиц длины и энергии 1) для физики электронов
и 2) для сверхпроводимости
Расстояния
Значения массы-
аиергии
Наблюдаемые
Ожидаемые
Наблюдаемые
Ожидаемые
10
Физика
электронов
-"-К)'13 см
10~33 см
КГ27 г
10~6г
Сверхпрово-
Сверхпроводимость
10 см
10~8 см
10~3—10~4 зе
10 58
проводим сопоставление этой проблемы с другим зага-
загадочным явлением •— сверхпроводимостью. Известно, что
сверхпроводимость представляет собою коллективное
явление, связанное со слабыми остаточными взаимодей-
взаимодействиями [9]. Очевидно, нет оснований ожидать какой-
либо непосредственной аналогии между полем Эйнштей-
Эйнштейна — Максвелла и полем, существующим в кристалли-
кристаллической решетке. Тем не менее следует настаивать на
том, чтобы не осталось ни одной неисследованной воз-
возможности в поисках специальных явлений, связанных с
прохождением энергии через пространство. Тогда при-
придется рассмотреть соотношение между эффективной
частотой и эффективным волновым числом (фиг. 3), ко-
которое должно быть линейным в плоском пространстве.
Однако возмущения с весьма малой длиной волны, по-
порядка 10~33 см будут чувствовать микрокривизну про-
пространства и не смогут распространяться нормально. Это
будет иметь место и в случае возмущений с весьма
большой длиной волны, сравнимой с радиусом Вселен-
Вселенной. Следовательно, первоначально локализованные
возмущения будут подвергаться дисперсии. Однако, если
Дисперсионная кривая имеет точку перегиба, как это

346
Дж. Уилер
изображено на фиг. 3, то возмущения, содержащие близ-
близкие к точке перегиба длины волн, будут сохранять в
линейном приближении свою компактность в течение
долгого времени и даже могут рассматриваться как
вполне стабильные при выходе за рамки элементарного
приближения, допускающего суперпозицию. Легко запи-
записать математическое выражение дисперсионной кривой,
точка перегиба которой расположена при волновых
I
Область когерентности
'вблизи точки перегиба, Ю'гсм~'
Эффективное волновое число
Фиг. 3. Схематическое представление ха-
характера распространения возмущений в про-
пространстве, обладающем как макрокривизной
в масштабах Вселенной, так и микрокривиз-
микрокривизной порядка элементарной длины (hG/c3)'^2,
типичной для гравитационных флуктуации.
числах порядка 10й—1013 см, характерных для физики
электронов. В настоящее время еще отсутствует возмож-
возможность проверки этих идей. Мы пытаемся здесь выяс-
выяснить не соответствие чистой квантовой геометродива-
мики физике элементарных частиц, а возможность до-
доказательства ее несоответствия этой физике.
Мы не видим никакого простого пути, свободного от
детальных исследований, который опровергал бы воз-
возможность приведения в соответствие масс электрона и
других элементарных частиц и характерных возбу-
возбужденных состояний коллективных возмущений метрики,
как это символически изображено на фиг, 2.

// О природе квантовой геометродинамики 347
Что же касается ядерных сил, то возникает вопрос,
будут ли Два локализованных коллективных возмущения
взаимодействовать между собою через чистые электро-
электромагнитное и гравитационное поля с силой, достаточной
для объяснения связи двух нуклонов? В этой связи на-
напомним то обстоятельство, что наблюдаемая сила этого
взаимодействия лишь на один или два порядка больше
обычных электростатических взаимодействий. Напомним
также, что химическим силам между атомами долгое
время приписывали природу, отличную от природы элек-
электрических сил, пока не была обнаружена связь между
ними (в значительной мере благодаря Дж. Н. Льюису
и П. Дебаю). Весьма трудной представляется опровер-
опровержение возможности чисто геометродинамического объяс-
объяснения ядерных сил.
Затронув вопросы о порядках величин масс частиц и
о ядерных силах, мы приходим к последнему и решаю-
решающему вопросу — проблеме спина. Каким образом класси-
классическая теория, рассматривающая поля с целыми значе-
значениями спина, способна после квантования привести к
спину '/г, как это требуется для объяснения свойств
нейтрино, электрона и других фермионов? С самого нача-
начала Паули говорил о спине как о «неклассической двузнач-
двузначности». Содержится ли что-нибудь в процессе фейнма-
новской формулировки сумм по историям или в двух
выборах ориентации каждого элементарного простран-
пространственно-временного объема или в каких-либо других
операциях чего-либо такого, что сделало бы необходимым
введение неклассической двузначности такого рода? Если
это не будет иметь места, то чистая квантовая геометро-
динамика должна рассматриваться как схема, недоста-
недостаточная для построения основы физики элементарных
частиц. Поэтому вопрос о происхождении спина является
решающим при оценке возможностей квантовой геометро-
Динамики.
ЛИТЕРАТУРА
*• Misner С. W., Wheeler J. A., Ann. of Phys., 2, 525 A967),
(Дополнение I к настоящей книге.)
2. Mi sner С, Rev. Mod. Phys., 29, 497 A957).

348 Дж. Уилер
3. Everett H., Rev. Mod. Phys., 29, 454 A957)
4. Wheeler J. A., Phys. Rev., 97, 511 A955).
Б. В e 1 i n f a n t e F. J., Phys. Rev., 98. 793 A955).
6. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, М., I960,
стр. 351.
7. Weber J., Wheel er J. A., Rev. Mod. Phys., 29. 509 A957).
8. Weisskopf V., Phys. Rev., 56, 72 A939); Rev. Mod. Phys.. 21,
309 A949).
9. В a r d e e n J., Cooper L. N.. S с h r i e f f e r J. R., Phys. Rev.,
106, 162 A957). (См. перевод в сборнике «Теория сверхпроводи-
сверхпроводимости», ИЛ, 1959.),

III. КОСМОЛОГИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
АСТРОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ1)
Дж. Мак-Витти
§ I. Введение
Данная работа посвящена трем проблемам космоло-
космологии, а именно, применимости модели однородной Вселен-
Вселенной к наблюдаемой Вселенной, современному состоянию
вопроса о расширении Вселенной и распределению в про-
пространстве внегалактических радиоисточников класса II.
В целях сокращения изложения та часть математиче-
математических выкладок, которую можно найти в учебниках, здесь
не излагается, а соответствующие формулы приводятся
в Приложении. Обсуждаемые вопросы по возможности
объединены: общая теория относительности (А. А. Фрид-
Фридман и др.), теория стационарной Вселенной (Ф. Хойль)
и теория кинематического релятивизма (Милн) обсуж-
обсуждаются одновременно. Действительно, формулы, с по-
помощью которых проводится сравнение теории с наблю-
наблюдениями, настолько близки, что все три теории могут
рассматриваться вместе.
§ 2. Однородность
Необходимо различать между наблюдаемой Вселен-
Вселенной, населенной галактиками, и моделью Вселенной, за-
заполненной идеальной жидкостью. Представление, что
распределение галактик статистически однородно в на-
наблюдаемой нами части Вселенной, основано на работе
Хаббла A930 г.) [1].
Подсчитывая число галактик до некоторых последо-
последовательных границ яркости или видимой величины, как
говорят астрономы, Хаббл полагал, что он установил для
') Доклад, подготовленный для конференции по гравитации
в Руайомоне — Париже, 21—27 июня 1959 г.

350 Дж. Мак Витти
числа галактик /V, у которых граница этой яркости ниже
некоторого значения т, довольно точное соотношение
lgyV=0,6m + const. A)
Эту формулу следовало бы ожидать при условии, что
все галактики обладают одинаковой собственной ярко-
яркостью и распределены равномерно в покоящемся состоя-
состоянии в эвклидовом пространстве. Это заключение было
подвергнуто серьезной критике на том основании, что
хаббловские пределы яркости весьма неопределенны.
Было также показано, что распределение галактик на
фотопластинке не носит случайный характер и что эти
объекты имеют тенденцию образовывать скопления
чаще, чем можно было бы ожидать, исходя из случай-
случайного распределения [2—4]. Один из астрофизиков зашел
так далеко, что стал утверждать, будто бы заключения,
основанные на предполагаемой справедливости соотно-
соотношения A), в наблюдаемой части Вселенной должны
быть отвергнуты [5]. Хотя эта точка зрения и является
крайней, необходимо признать, что однородность в рас-
распределении галактик в наблюдаемой части Вселенной
имеет место лишь в том случае, если единица объема
будет выбрана достаточно большой, например
3,5- 108 парсек в диаметре [6]. Меньшие объемы будут
иметь очень неравномерное распределение материи, в за-
зависимости от того, будут или не будут они содержать
скопления галактик. Еще меньшие объемы порядка раз-
размеров галактик могут вообще не содержать вещества.
Короче говоря, следуя Оорту [6], «одним из наиболее
удивительных свойств (наблюдаемой) Вселенной яв-
является ее неоднородность».
Напротив, в модели однородной Вселенной материя
строго однородна в следующем смысле: в данный момент
t плотность и давление материи одинаковы в любом объ-
объеме, как бы велик или мал он ни был. Таким образом, в
настоящее время материя вряд ли может рассматри-
рассматриваться как жидкость, «частицами» которой являются
галактики. В самом деле, такое представление противо-
противоречило бы гипотезе, на которой базируется теория
красного смещения. Лишь некоторые частицы с осо-
особыми мировыми линиями считаются в такой модели ис-

///. Космология и интерпретация астрономических данных 351
точниками излучения, частицы же с мировыми линиями
других типов рассматриваются как «невидимые». Но это
было бы нелепо, если бы каждая «частица» материи в
модели Вселенной рассматривалась как галактика. Сле-
Следовательно, будем считать, что материю в модели одно-
однородной Вселенной следует представить как некоторый
эффективный газ. Этот газ возник в результате некото-
некоторого воображаемого мгновенного распада содержимого
всех галактик на соответствующие атомы, которые так-
также мгновенно распространились равномерно в простран-
пространстве. В этом процессе распада потеряна важная фи-
физическая характеристика галактики — момент количе-
количества движения J).
С этой точки зрения плотность, входящая в уравне-
уравнения (А.16) или (А.18), есть плотность эффективного
газа, и давление, найденное с помощью (А.17) и (А.19),
должно давать часть энергии наблюдаемой Вселенной,
находящуюся в форме материи с равной нулю массой
покоя. Эквивалент плотности р/с2 этого давления
даст меру внутренней энергии звезд и межзвездных
газовых облаков, вращательную, кинетическую и
потенциальную энергии галактик, и их содержимого,
конечно, кроме кинетической энергии общего расширения,
эквивалент плотности давления радиации и т. д. Вся эта
энергия предполагается распределенной равномерно в
каждый данный момент между всеми частицами эффек-
эффективного газа. Этот газ находится в движении, каждая
его часть движется относительно других частей, причем
вид этого движения определяется специальной зависи-
зависимостью масштабного фактора R от времени t. Однород-
Однородность «пространства для подобно движущихся систем
может быть определена как постоянство всех свойств
газа в каждый момент времени t в любом объеме про-
пространства.
Ясно, что это справедливо для плотности и давления,
если считать правильными уравнения (А.16) и (А.17)
или (А.18) и (А.19). Но мы должны распространить это
') В связи с этим встает вопрос: может ли абсолютное вра-
вращение в модели неоднородной Вселенной К. Геделя [7], А. Л. Зель-
манова [8], О. Хекмана и Э. Шюкинга [9] быть связано с подобным
Моментом количества движения.

352 Дж. Мак-Витти
определение также на свойства источников излучения,
т. е. на их собственную светимость (абсолютные вели-
величины), на плотности потоков их радиоизлучения и на
плотность числа источников. Это является обобщением
понятий, введенных в теории стационарной Вселенной.
В этой теории параметр а в (А.13) — (А.15) полагается
пропорциональным R3, чтобы плотность числа источни-
источников сделать постоянной. Но а не обязательно меняется
подобным специальным образом, и, кроме того, мы не
обязаны связывать ее изменение с каким-либо процес-
процессом порождения. Источники могут создаваться и исче-
исчезать просто в результате обычвых физических процессов;
например, в наблюдаемой Вселенной столкновения меж-
между галактиками могут приводить к образованию источ-
источников радиоизлучения, которые исчезают, когда столк-
столкновение оканчивается.
Если U есть одна из физических характеристик ис-
источников излучения, всеобщий постулат однородности
предполагает, что U должно быть одной и той же функ-
функцией времени t для всех источников. Эта идея подска-
подсказывается формулами для плотности и давления эффек-
эффективного газа, которые содержат одну лишь функцию
R(t). Физические характеристики, которые зависят толь-
только от времени и не меняются от объекта к объекту, об-
обладают, как мы скажем, «(/-свойством». Наблюдатель
в точке О не может видеть всю Вселенную одновременно,
он должен ждать, пока излучение дойдет до него, неся
с собой информацию о положении вещей, там, где оно
было испущено. На фиг. 1 показано сечение двух сфери-
сферических слоев различных (постоянных) радиусов rs и г.
Моменты испускания излучения от источников в двух
слоях обозначим через ts и t соответственно; эти мо-
моменты времени должны быть различны, если излучение
от этих слоев (и любых других) достигает точки О од-
одновременно в момент времени t0. Таким образом, свой-
свойство U принимает значения U(ts) и U(t) для источников
в двух слоях и в общем случае эти значения U не совпа-
совпадают. Следовательно, наблюдатель регистрирует слож-
сложную и неоднородную картину положения вещей в ука-
указанной модели Вселенной, причем вклад каждой
оболочки представляет, так сказать, экстракт того, что

/// Космология и интерпретация астрономических данных 353
происходило в некоторый момент времени в истории Все-
Вселенной. Важным следствием этих идей является то, что
U(t) можно рассматривать как £/(8), где 8 — красное
смещение, наблюдаемое в точке О от источников в слое г.
Слой г
Фиг. 1.
Это следует из соотношения (А.5), которое устанавли-
устанавливает связь между временем испускания t и наблюдае-
наблюдаемым красным смещением 6.
§ 3. Проблема расширения
Опишем сейчас кратко определение из наблюдатель-
наблюдательных данных параметра Хаббла и параметра ускорения:
h\ и fta» определяемых равенствами (А.7). Внимание было
сосредоточено на скоплениях галактик, и было фотогра-
фотографически измерено красное смещение для отдельных га-
галактик в 18 скоплениях вплоть до 6 = 0,2 [10]. С много
меньшей точностью были измерены видимые величины
наиболее ярких галактик в скоплениях. Затем было пред-
предположено: а) что светимость наиболее ярких галактик в
каждом скоплении одинакова и б) что спектрально-энер-
спектрально-энергетические кривые этих галактик одинаковы. Уточнение
теории допускает зависимость этих величин от времени
и, таким образом, делает их «{/-свойствами» в указан-
указанном выше смысле. Из уравнений (А.11) и (А.12) исклю-
исключается фотометрическое расстояние D и устанавливается
23 Зак. 3001.

354 Дж. Мак-Витти
соотношение между наблюдаемыми бит, справедливое
до величины порядка 82. Анализ данных по способу наи-
наименьших квадратов показывает, что параметр /г2 отри-
отрицателен, хотя его точное значение неизвестно. Имеющие-
Имеющиеся данные приводят к соотношению
h h\ B)
где <7о — вероятно, больше 1,5 и может быть порядка
5 [10—12]. Отрицательный знак /г2 подтверждается фото-
фотоэлектрическими наблюдениями одного из скоплений га-
галактик, для которого 8 найдено равным 0,4 [13, 14]. По
этому методу q0 = 1,0 ± 0,5, что приводит к тому, что со-
соотношение между фотометрическим расстоянием D
и скоростью сЬ линейно с точностью до величин вто-
второго порядка по 8 [см. соотношение (А.11)]; это является
интересным подтверждением первоначальной гипотезы
Хаббла. Отрицательный знак параметра ускорения оз-
означает, что расширение Вселенной в настоящую эпоху
замедляется.
Численное значение самого параметра Хаббла h\, ко-,
торый дал бы существующую в настоящее время скорость
расширения, не может быть найдено только из соотноше-
соотношения между краевым смещением и видимыми величинами.
Необходимо применить некоторый процесс калибровки,
с помощью которого можно независимо вайти фотомет-
фотометрическое расстояние, соответствующее некоторому за-
заданному значению красного смещения. Быстрое измене-
изменение мнений по данному вопросу произошло в последние
семь лет. Принятое значе'ние h\ изменилось с
17,8-10~18 секгх (=540 км/сек ■ мегапарсек) в 1952 г. на
2,43-10~18 сек-1 (=75 км/сек-мегапарсек) в 1959 г. [15].
Изменение шкалы расстояний, связанное с подобной пе-
переоценкой, означает увеличение всех расстояний, соот-
соответственно уменьшению значений hi.
Эти результаты, и в особенности отрицательное зна-
значение h2, вызвали ряд возражений. Поскольку /г2 равно
нулю в модели Милна и положительно в стационарной
модели, заключения, сделанные из наблюдательных дан-
данных, несомненно неприятны сторонникам этих теорий.
Справедливо замечают, что данные наблюдений не-
неточны. Но ведь большинство астрономических данных

///. Космология и интерпретация астрономических данных 355
также неточны в большей или меньшей степени! Но
пока критики не смогут предоставить более точные дан-
данные, я не вижу оснований к тому, чтобы отвергнуть за-
заключения, сделанные на основании имеющихся наблю-
наблюдений. Возражения основываются также на том, что Лг
перестанет быть отрицательной величиной, если предпо-
предположить, что внутренняя светимость самых ярких членов
в скоплении галактик систематически возрастает по
мере того, как мы переходим ко все большим значениям
красного смещения и, следовательно, отодвигается все
далее и далее назад во времени. Это утверждение сво-
сводится к тому, что соответствующим образом выбранное
отрицательное значение Wt в (А.12) может сделать h2
равным нулю или положительным, что вполне справед-
справедливо. Но опять-таки отсутствуют убедительные наблю-
наблюдательные данные, которые оправдали бы подобный вы-
выбор. Остроумной альтернативой было бы предположение,
что эффект является результатом отбора — слабые скоп-
скопления с большим красным смещением выбираются при
измерениях просто потому, что самые яркие члены в них
обладают необычно большой светимостью [12, 16]. В
этом случае опять-таки следовало бы подтвердить на-
наблюдениями наличие подобного отбора.
Эйнштейновские уравнения поля (А. 16) и (А. 17) и
предшествующие определения параметров Лг и h\ позво-
позволяют определить космологическую постоянную и кри-
кривизну пространства. Предположим, как это обычно де-
делается, что р/с2 в настоящее время пренебрежимо мало
по сравнению с принимаемой в настоящее время плот-
плотностью р0. Последнюю можно отождествить с принимае-
принимаемой ныне средней плотностью материи в наблюдаемой
Вселенной. При шкале расстояний, соответствующей
h\ — 2,43-10~18 сект1, последняя оценка плотности ро,
данная Оортом, есть 3,1 • 10~31 г/см5 [6]. Таким образом,
4itGp0 = 4,4 • 10-2Л2 и, если Ro есть принимаемое в на-
настоящее время значение масштабного фактора, уравне-
уравнения (А.16) и (А.17) дают -^
Л = 3fc2+4*GPo = (— 3q0+4,4 • 10~2) *?, C)
■*£- = fe — h\ + 4*GPo = (- qQ - 1 + 4,4 • 10) h\. D)
23*

Дж. Мак-Витти
Значение <7о примерно равно 3 и, следовательно, космо-
космологическая постоянная и k будут отрицательными. Ясно
также, что для того, чтобы сделать Л равным нулю и
иметь дело с пространством нулевой или положительной
кривизны, современное значение плотности надо увели-
увеличить примерно в 200 или более раз. Оорт считает воз-
возможным, что его значение плотности может быть увели-
увеличено в «десять или более» раз. Однако это еще весьма
далеко от множителя 200. Итак, мы заключаем, что пока
не будут получены новые наблюдательные данные для
пересмотра значения р0, существующим данным лучше
всего удовлетворяет отрицательная космологическая по-
постоянная и открытое пространство гиперболического типа.
Отрицательное значение Л означает, что во Вселен-
Вселенной существует универсальная сила (см. [22], § 6.5), ко-
которая препятствует галактикам разбегаться. Эта сила до-
дополняет взаимное гравитационное притяжение галактик.
Эти две силы между ними ответственны за замедление
расширения. Но если устранить первую из этих сил
(Л-силу), приняв априори, что космологическая постоян-
постоянная равна нулю, вся ответственность за замедление па-
падает на гравитацию. Тогда, чтобы получить достаточно
большое гравитационное притяжение, необходимо уве-
увеличить среднюю плотность материи в 200 раз, как было
отмечено выше, и это действительно делается теми, кто
считает, что космологическая постоянная Л должна быть
равной нулю').
Несоответствие между наблюдаемым и вычисленным
значениями р0 в теории стационарной Вселенной неиз-
неизбежно. При k = 0 из (А.18) получаем 4nGp0 = \,5h\
вместо 4,4-10~2/h. Этот разрыв может быть ликвидиро-
ликвидирован путем предположения, что наблюдаемое значение
плотности надо умножить примерно на 30. Здесь
мы имеем дополнительную трудность наряду с пред-
предсказанным этой теорией положительным значением па-
параметра ускорения.
4icGp
') Так, Хойль и Сэндейдж [11], полагая А=0, находят, что

///. Космология и интерпретация астрономических данных 357
§ 4. Распределение источников радиоизлучения класса II
Следующая проблема, которую необходимо обсудить,
заключается в распределении слабых источников радио-
радиоизлучения, названных в работах австралийских авторов
[17] источниками класса II. Коротко говоря, наблюдались
следующие результаты: на исследованной части неба об-
обнаружено 1003 источника класса II, и из них лишь не-
небольшая часть отождествлена оптически. Когда такие
источники удается отождествить, они часто оказываются
галактиками особого рода. Количество энергии, полу-
полученное от источника радиоизлучения в единицу времени
через единицу площади в точке наблюдения и в единич-
единичном интервале частот, называется плотностью потока и
выражается в ваттах на квадратный метр на герц. Об-
Общее число N источников класса II в некоторых последо-
последовательных пределах плотности потока S можно предста-
представить следующей таблицей:
S, 10~26 em-м~2-гц~1 . 7 10 20 40 80 160
N 982 754 218 63 19 4
Легко показать, что эмпирическое соотношение между
N и S имеет вид
N= (const) 5 2 , E)
где (х равно примерно 0,31). При изучении источников,
близких к классу II, было найдено, что излучение энер-
энергии на радиочастотах меняется как (Частота)* в каж-
каждом интервале частот, где х — константа, называемая
спектральным индексом; ее значение лежит между —0,6
и —1,2 [19].
При попытках интерпретации этих данных с помо-
помощью модели однородной Вселенной, как согласно общей
теории относительности, так и в теории стационарной Все-
Вселенной, необходимо допустить, что источники класса II
на самом деле являются галактиками и участвуют в
') В работах Кэмбриджской группы предполагается, что ц мо-
может быть равным 1,4 или даже 2,4. (См. [18].)

358 Дж. Мак-Витти
общем расширении. Далее, надо иметь в виду, что каж-
каждый источник класса II имеет свою особую мировую ли-
линию. Отсутствие оптических отождествлений означает,
что источники в большинстве настолько удалены, что де-
делают невозможным подобное отождествление. Они, по-
видимому, являются сильными источниками, возможно
сравнимыми с парами сталкивающихся галактик, таких,
как, например, NGC1275 или А в созвездии Лебедя. При
этих предположениях мы произведем подсчет числа ис-
источников, обладающих выбранными мировыми линиями
в модели Вселенной (А.1) и попытаемся связать это
число с последовательностью значений плотностей по-
потока с помощью формулы (А. 15).
Параметр а для источников радиоизлучения клас-
класса II рассматривается обладающим [/-свойством. Сле-
Следовательно, он является функцией времени и, с течки
зрения наблюдателя, также функцией красного смеще-
смещения, соответствующего слою, в котором находится
источник. Плотность числа источников, определяемая
формулой (А. 14), меняется не только при изменении
масштабного фактора, или, что эквивалентно, при изме-
изменении красного смещения, по мере того как мы переходим
от слоя к слою; плотность числа источников сама
изменяется благодаря изменению а.
Источники в типичном слое г (см. фиг. 1) предпола-
предполагаются одинаковыми и подчиняющимися закону испуска-
испускания (Частота)*. Спектральный индекс также предпола-
предполагается одинаковым для источников во всех слоях.
Однако может случиться, что источники в слое г подвер-
подвержены однородным вековым изменениям интенсивности
излучения. Это может быть учтено, если предположить,
что энергия излучения в слое г и в интервале частот от
fe до fe+ dfe есть
c(t)f*dfe = Ob)f*dfe. F)
Здесь предполагается, что множитель С обладает
[/-свойством и может быть представлен в виде ряда по
степеням 8. Это излучение достигнет наблюдателя, имея
интервал частот от / до f + af, где fe = /A + 8) и dfe =
= A +b)df; его интенсивность будет уменьшена в I/O2

111. Космология и интерпретация астрономических данных 359
раз. Таким образом, наблюдатель зарегистрирует плот-
плотность потока, пропорциональную
{1+$+Х fdf. G)
Но / и df фиксированы характером используемого опре-
определенного наблюдательного прибора, то же самое мож-
можно сказать относительно источников во всех слоях. Та-
Таким образом, коэффициенты пропорциональности могут
быть исключены путем рассмотрения источников в со-
соседнем слое rs, как «стандартном» слое. Если теперь S,
Ss — плотности потока источников в слоях радиусов г
и rs соответственно, то имеем [20]1):
С(Ъ) A+&)'+■* Di
(8)
Прежде чем переходить к получению формулы, свя-
связывающей N и S, путем комбинирования соотношений
(А. 15) и (8), полезно взглянуть на модель Вселенной,
которую используют наблюдатели [17, 21]. Принимается,
что все источники класса II обладают одинаковой мощ-
мощностью (вт • м~2 • гц'1), а сами источники рассматри-
рассматриваются как находящиеся в покое и беспорядочно рас-
распределенные с постоянной плотностью числа источников
в эвклидовом пространстве классической механики. Если
S и Ss — плотности потока, измеренные наблюдателем
для источников на эвклидовом расстоянии I и /, соот-
соответственно, то
<?— Р <? — Р
1 S
Если «о есть плотность числа источников, то число их
внутри сферы радиуса / с центром в точке наблюдения
равно
') В этой работе предполагается, что соотношения C.05)
C.06) имеют место с постоянным р(=—х—I).

Дж. Мак-Витти
Следовательно, соотношение между предельной плот-
плотностью потока S и числом N может быть выражено од-
одной из двух формул:
~4
Каждое из этих выражений можно потом сравнить
с эмпирической формулой E), а эффект ненулевого зна-
значения (х можно учесть соответствующим изменением,
например, в множителе 1/зПоР*'2-
Возражения против этой статической ньютоновой
Вселенной заключаются в следующем. Распределение
должно стремиться к нулю на конечном расстоянии от
наблюдателя; в противном случае небо было бы равно-
равномерно освещено, что не имеет места в действительности.
Более того, если каждый источник является галактикой,
такая ограниченная система источников немедленно
сжалась бы («коллапс») под действием взаимного
гравитационного притяжения составляющих ее частей.
Все спектральные линии были бы смещены к фиоле-
фиолетовому концу вместо красного. Другое важное возра-
возражение заключается в том, что эта теория отвлекает
внимание на усложнение, а именно на отклонение от
«закона —3/2», выраженного в ненулевом значении ц.
Ведь именно факт существования соотношения между
N и S, которое так близко апроксимирует «закон —3/2»,
является основной загадкой, которую следует объяс-
объяснить в первую очередь.
Оставляя этот способ подхода, вернемся к модели
однородной Вселенной, в которой источники класса II
принимают участие в общем расширении. Плотность
числа источников в слоях г и rs будет соответ-
соответственно п и ns. Так как слой г3 находится близко
к наблюдателю, то плотность числа источников во всех
точках объема, ограниченного этим слоем, может счи-
считаться равной ns. Таким образом, из (А. 14) имеем
(Ю-а)
n.= ^Z" • (Ю.б)
Ко

/// Космология и интерпретация астрономических данных 361
где в качестве а0 можно принять значение а, соответ-
соответствующее нулевому красному смещению. Когда а
является константой, изменение п с ростом 8 происхо-
происходит только благодаря расширению Вселенной и дается
соотношением
(#£)Г (.а.,
Чтобы воспроизвести эмпирический закон E), допустим,
что число источников, задаваемое формулой (А. 15),
в объеме, внешней границей которого служит слой
радиуса г, пропорционально отношению плотностей
потока, определяемому соотношением (8). Запишем
где А — численная константа нормировки, которую
нужно определить. Теперь продифференцируем A1) по
г и используем соотношения (А. 15), (А. 10) и (8). От-
Отсюда найдем
П __ а М+в\3
где
_l\-x 1 dc\r db 1
~\l+j с db) 2 dr^
1
kr* '
здесь Fs есть значение F при 8 = bs, а константа А по-
подобрана так, чтобы получить п — ns при 8 = 84. Фор-
Формула A2) применима, конечно, только для r~^>rs или
8^.8S. Это соотношение показывает, что п и а должны
меняться вместе с 8, если нужно получить эмпирический
закон E). Если это — «закон —3/2», то в A2) ц = 0.
Чтобы показать, как п меняется с 8, необходимо ис-
использовать некоторую конкретную модель, которая бы

362
Дж. Мак-Витти
позволяла выполнить интегрирование в (А. 4). Про-
Простейшей моделью такого рода является модель Милна
(А. 2), в которой, если и нет отрицательного параметра
ускорения, то он по крайней мере равен нулю. Допустим
2.2
(U-t), 10 лет
4,9 6,5
О? 0,4 0,6 0,8 Ifl I,Z
6
Фиг. 2.
для простоты, что коэффициент интенсивности излуче-
излучения С есть константа. Тогда соотношение A2) прини-
принимает вид
7~Зх-,1.П+х)
—s—B+ь
A4)
В этой модели при х = —1 получается сравнительно
простая формула, и это значение х принято на фиг. 2,

III. Космология и интерпретация астрономических данных 363
Кривая а показывает ход lg(n/ns) в зависимости от 8
для эмпирического закона E) при ц = 0,3, кривая б от-
относится к «закону —3/2» при ц = 0, а кривая в — к слу-
случаю A0 в), в котором п меняется только благодаря
расширению. Во всех трех случаях 8S = +0,004. Срав-
Сравнение кривых бив показывает, что существование «за-
«закона —3/2» для распределения в пространстве источни-
источников радиоизлучения класса II предполагает, что они
были существенно более многочисленны в прошлом, чем
в настоящее время. Положительное значение ц просто
делает это внутреннее возрастание более ярко выра-
выраженным.
Таким образом, пониженную плотность более силь-
сильных источников радиоизлучения по сравнению со стати-
статической в нашем ближайшем окружении [17] можно
было бы предвидеть в каждом случае. Момент в про-
прошлом, к которому относится какое-либо конкретное
значение п, может быть вычислен из соответ-
соответствующего 8 и времени распространения ^0 — t излу-
излучения от источника. Используя соотношения (А. 2),
(А. 5) и (А. 7), получаем время, равное 8{/ii(l + 8)},
для модели Милна. Некоторые из этих данных приве-
приведены на фиг. 2 для h\ = 2,43 • 10~18 сек'1. Таким обра-
образом, 2,2 • 109 лет тому назад (8 = 0,2) плотности числа
источников, предсказываемые кривыми а, б и в, должны
были относиться друг к другу как 12 : 3,5: 1,7.
Соотношение A2) показывает также, что плотность
числа источников будет меняться в результате одного
лишь расширения (а = ао) при некоторых специальных
условиях. Одни из подобных случаев можно охаракте-
охарактеризовать набором х = +1, k = 0, ц = 0 и С = const.
Хотя известно, что источники радиоизлучения класса II
не имеют спектральных индексов, равных единице, этот
результат тем не менее интересен, так как он показы-
показывает, как соответственно выбранный закон испускания
для источников излучения мог бы воспроизвести «закон
■—3/2», даже если источники очень далеки от пребыва-
пребывания в состоянии покоя в статической ньютоновой Все-
Вселенной. Можно также доказать, что, когда х не равен
единице, условие а = ао может быть обеспечено только
предположением, что R(t) зависит от х и С. Другими

364 Дж. Мак-Витти
словами, расширение Вселенной зависело бы от закона
испускания радиоизлучения источниками класса II, что
вряд ли допустимо.
Эффект переменной интенсивности излучения может
быть проиллюстрирован следующим образом. Положим,
что источники класса II расположены сравнительно
близко от наблюдателя и что соотношение A2) огра-
ограничено только первой степенью 8. Если ц = О,
С = 1 + CiS и 84~0, то
(
какими бы ни были R и константа кривизны. Плотность
числа источников будет меняться только вследствие
расширения с точностью до данного приближения по 8,
если ')
Сг = \ — х.
Так как х отрицательно, С\ является положительной
величиной и фактор интенсивности растет с 8. Следова-
Следовательно, все источники более интенсивно излучали в
прошлом, чем теперь. Другая альтернатива заключается
в предположении, что источники радиоизлучения класса
II расположены так близко от наблюдателя, что их крас-
красное смещение практически равно нулю. Но тогда тот
факт, что оптических отождествлений очень мало, стано-
становится совершенно непонятным.
Приближенные формулы A5) показывают также, по-
почему Пристер [29] смог заключить, что если п меняется
как A + 8N и С—константа, то «закон —3/2» воспро-
воспроизводится почти точно. Положив С\ = 0 и х = — 0,8,
имеем:
■£-«0 + 6,68)^A +8)ад. A6)
Гипотеза Пристера заключается в том, что все источ-
источники радиоизлучения класса II представляют собой
сталкивающиеся галактики. Однако эта интерпретация
•) Этот результат был найден другим способом автором в [20],
где это соответствует случаю р = const, b\ = —1.

/// Космология и интерпретация астрономических данных 365
становится тем менее правдоподобной, чем больше
источников отождествляются с кратно-центрированными
эллиптическими галактиками.
Отсюда следует вывод: если масштабный фактор и
кривизна произвольны, а источники класса II являются
галактиками, не находящимися в непосредственной
близости к наблюдателю, то должна иметь место некото-
некоторая зависимость а от 8, если распределение источников
в пространстве подчиняется «закону —3/2», причем
это также справедливо, когда ц отлично от нуля. Та-
Таким образом, плотность числа источников в прошлом
отличается от ее значения в настоящее время в окрест-
окрестности наблюдателя; это различие не может быть учтено
одним расширением Вселенной.
Основное допущение теории стационарной Вселенной
заключается в том, что отношение плотностей числа
источников n/ns всегда равняется единице. Кроме того,
никакие общие вековые эффекты не допускаются тео-
теорией, и, следовательно, коэффициент интенсивности из-
излучения С должен быть константой. Но теперь отноше-
отношение n/ns может быть вычислено для стационарной мо-
модели (А. 3) из соотношений A2) и A3), причем в ре-
результате получим
Сравнение с A4) показывает, кстати сказать, как
сильно изменение модели меняет формулу для плотно-
плотности числа источников. Если бы правая часть равнялась
единице, она определенно не должна была бы зависеть
от 8. Но это не может быть достигнуто для произволь-
произвольной комбинации величин ц и х. Таким образом, мы за-
заключаем, что эмпирическое правило E) не может быть
воспроизведено теорией стационарной Вселенной.
§ 5. Выводы
Как обычно, когда теория сопоставляется с суро-
суровыми фактами эксперимента или наблюдения, наряду
с ответами возникает столько же новых вопросов.
Если однородность в наблюдаемой Вселенной

366 Дж. Мак-Витти
представляется только крупномасштабным явлением,
теоретикам следует теперь вернуться к построению
модели Вселенной, которая является однородной в
большом, но становится неоднородной, когда объем эле-
элемента пространства становится меньше, чем определен-
определенное минимальное значение. Но если тем не менее при-
применять однородные модели, то следует сосредоточить
внимание на тех из них, которые соответствуют гипер-
гиперболическому пространству и отрицательной космологи-
космологической константе. Релятивистские модели Вселенной
подобного рода существуют, и часть из них удовлетво-
удовлетворяет условию нулевого давления. Поскольку это усло-
условие может быть экстраполировано в отдаленное про-
прошлое, а также продолжено в отдаленное будущее — две
очень сомнительные экстраполяции — эти модели имеют
масштабные факторы R, которые являются эллиптиче-
эллиптическими функциями t. Масштабный фактор R возрастает
от нуля до максимального значения, а потом снова
уменьшается до нуля. Таким образом, эти модели отно-
относятся к типу осциллирующих, или циклически повто-
повторяющихся.
Но я думаю, что было бы иллюзорным претендовать,
как это делается в теории стационарной Вселенной и в
теории кинематического релятивизма, что может быть
выбрана одна единственная весьма специальная модель
Вселенной для того, чтобы представить наблюдаемую
Вселенную.
Наш обзор поднял также ряд физических проблем,
например, проблему: может ли универсальная сила
притяжения, представленная отрицательной космологи-
космологической константой, быть интерпретирована другими
способами? Можно ли представить себе физический
процесс излучения радиоволн источниками класса II,
который предсказывал бы их большее количество в про-
прошлом, чем в настоящем? Вероятно, это усиление в
прошлом связано с тем фактом, что галактики раньше
были ближе друг к другу. В этом смысле можно ска-
сказать, что Пристер [29] ответил на наш вопрос, если его
гипотеза, что большинство источников класса II яв-
являются сталкивающимися галактиками, может быть
принята.

/// Космология и интерпретация астрономических данных 367
Сторонники теории стационарной Вселенной пола-
полают, что необходимы новые виды наблюдений [30], для
(ГО чтобы «проверить» их теорию по сравнению с об-
обей теорией относительности. Астрономы-наблюдатели
1, 31] тоже, по-видимому, склоняются к мысли, что
от вопрос все еще остается открытым. Действительно,
1956 г. было известно, что теория стационарной Все-
;нной предсказывает неправильный знак для парамет-
з ускорения. Мы указали, что предсказываемая сред-
ая плотность материи оказывается слишком высокой.
Наконец, один из результатов настоящей работы за-
лючался в указании на то, что теория стационарной
.селенной не может воспроизвести эмпирический закон
аспределения источников радиоизлучения класса II.
•виду этих соображений неясно, каким образом даль-
ейшие «проверки» могли бы усилить позиции теории
тационарной Вселенной. Соответствующая ей модель
вселенной просто не согласуется с наблюдениями, тогда
:ак некоторые модели Вселенной, вытекающие из общей
'еории относительности, наблюдениям удовлетворяют.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, .СПРАВЕДЛИВЫЕ В ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНОЙ
ВСЕЛЕННОЙ И ТЕОРИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО
РЕЛЯТИВИЗМА
Метрика в модели однородной Вселенной (см. [22]
§ 8.2; 123])
Sin» 8 rf?» ,. .,
- ^гТ!
Теория кинематического релятивизма (модель Милна)
B4, 25]:
R = ct, * = —1. (А. 2)
Модель стационарной Вселенной [26]:
R = R/*--mrt k = 0, (A.3)
где RQ и 7' постоянны.

368 Дж. Мак-Витти
Особая мировая линия: геодезическая линия, для
которой (г, 6, ср) постоянны [10].
Источники излучения предполагаются имеющими
особые мировые линии.
Наблюдатель в точке г==0 находится на особой
мировой линии и производит все свои наблюдения
в момент времени t0.
Уравнение движения для излучения от источника,
находящегося в точке {г, 8, 9) в типичном слое г (см.-
фиг. 1), есть ([18], стр. 145):
t0 о
с ("_*_=,_ f_*L_. (A 4)
Излучение испускается источником в момент времени t
и достигает наблюдателя в момент t0.
Красное смещение излучения от источника, изме-
измеренное наблюдателем ([22], стр. 146), есть
если R — возрастающая функция времени t.
Параметр Хаббла {«постоянная» Хаббла) и пара-
параметр ускорения: если R представить в виде разложе-
разложения в ряд по степеням времени распространения (t0—t)
излучения от источника, то (А. 5) принимает вид (см.
[22], уравнение (9.201))
2h2 h
.., (А. 6)
где константа Хаббла и параметр ускорения соответ-
соответственно равны * *
здесь штрих означает производную по времени /. Для
модели Милна
А, = т-- Л2 = 0, (А. 8)

гп. Космология и интерпретация астрономических данных 369
а для модели стационарной Вселенной —
и *■ \ U /Л Q4
1 ~Т ' 2 ~у^2" г=^ —I— <*1> {."■• У/
Фотометрическое расстояние источника ([22], § 8.5,
уравнение (9.210)). Операция, определяющая его изме-
измерение, состоит в измерении видимой величины. Интен-
Интенсивность источника убывает как 1/D2, где
D = Ro(\+Щ-^-^-щ, (А. 10)
или
Выражая D через наблюденную видимую величину т
источника и ее теоретическую абсолютную величину Мо
([22], § 8.6, стр. 164, [27]), имеем
lg D = 0,2 [т — КгЪ — (Мо+ IF.8)] + 1, (А. 12)
где КгЬ есть /С-поправка и 1F,8 есть поправка к УИ0,
если имеют место вековые изменения собственной све-
светимости источника.
Число источников излучения в слое г (см. [22],
§ 8.7):
^="A + ^/4K- (АЛЗ)
Плотность числа источников излучения (их число на
единицу объема в слое г) равна
a A-fBK /a , л\
п = -^= l \ ' а, (А. 14)
где а—плотность числа источников в момент времени,
когда R = 1. Если а изменяется со временем, то общее
число источников внутрь слоя радиуса г в долях те-
телесного угла 4tc/Q небесной сферы равно
г- (А. 15)
24 Зак. 3001,

Дж. Мак-Витти
II. ФОРМУЛЫ, КОТОРЫМИ ТЕОРИИ РАЗЛИЧАЮТСЯ
Эйнштейновские уравнения общей теории относи-
относительности (теория А. А. Фридмана) для плотности р и
давления р эффективного газа ([22], § 8.2) имеют вид
Щ (А. 16)
^ \~сг]= R W2 7j2~-f~^' (A. 17)
где G — гравитационная и Л — космологическая постоян-
постоянные.
Для применения этих уравнений к модели Милна
следует положить 8^Gp, 8^G(pfc2) и Л равными нулю.
В теории стационарной Вселенной 8тсGр и 8^0 (/>/с2)
равны нулю, но Л = 3/Г2(> 0). Это соответствует Вселаи-
ной де-Ситтера.
Уравнения поля в теории стационарной Вселенной
имеют вид |28]
о г 3 (fee2+ /?'') ,. 1R.
8тсОр = ~ '-, (А. 18)
()(£) (АЛ9)
где Зс/а—универсальная константа, внесенная вре-
временно-подобным вектором «рождения материи»:
3(с/а)A, 0, 0, 0). Полученное решение (А.З) этих ура-
уравнений делает плотность р постоянной и р/с2 = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hubble E. P., Astrophys. Journ., 79, 8 A934).
2. Shane С. D., W i r t a n e n С A., Astrophys. tfourn., 59, 285
A954).
4. N e у m a n J., Scott E. L., Shane С D., Astrophys. Journ.,
117, 92 A953).
5 Z w i с k у F., Morphological Astronomy, Berlin—Gottingen—Hef-
delberg, 1957, § 20e.
6. О о r t J. H.., Distribution of Galaxies and the Density in the Uni-
Universe (Solvay Congr., 1958), Stoops, Brussels, 1959.

///. Космология и интерпретация астрономических данных 371
7. God el К., Proc. Int. Congr. of Math., 1950, 7, 175 A952).
8. Зельманов А. Л., Trans. I. A. U. (Moscow, 1958). т. 10,
Report of Commission 28.
9. Heckmann O., Trans I. A. U. (Moscow 1958), т. 10. Re-
Report of Commission 28.
10. H u m a s о n M. L., M а у a 11 N U., Sandage A. R.. Astron.
Journ., 61,97 A956).
11. Hoyle F.. Sandage A. R., Publ. Astron. Soc. Pacific, 68, 301
A956).
12. McVittie G. C, Handb. d. Physik, 53, 445 A959); Science,
133, 1231 A961).
13. BauraW. A.. Astron. Journ., 62, 6 A957).
14. Baum W. A., Trans. 1. A. U. (Moscow 1958), т. 10, Report of
Commission 28.
15. Sandage A. R., Astrophys. Journ., 127, 513 A958).
16. Scott E. L., Astron. Journ., 61, 190 A956).
17. Mills B. Y., SI ее О. В., Hill E. R., Austr. Journ. Phys.. II,
360 A958).
18. Edge D. O., Scheuer P. A. C, Shakeshart J. R., Mon.
Not. Roy. Astron. Soc, 118, 183 A958).
19. Whitf ield G. R., Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 117, 680 A957).
20. McVittie G. C, Austr. Journ. Phys., 10, 331 A957).
21. Ryle M., Proc. Roy. Soc. A248, 289 A958).
22. McVittie G. C, General Relativity and Cosmology, London,
1956. (См. перевод Дж. Мак-Витти, Общая теория относи-
относительности и космология, ИЛ, 1961.
23. Robertson H. P., Helv. Phys. Acta, Suppl. IV, p. 128 A956).
24. Kermark VV. О., М с С г е a, Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 93,
519 A933).
25. M с V i 11 i e G. C, Astron. Journ., 60, 105 A955).
26 Bondi П., Gold Т., Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 108, 252
A948).
27. Davidson W., Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 119, 54 A959).
28. Hoyle F., Mon Not. Roy. Astron. Soc, 108, 372 A948).
29. PriesterW., Zs. f. Astrophysik, 46, 179 A958).
30. Hoyle F., Symp. on Radio Astronomy, Paris, 1958.
31. Pawsey J. L., Trans. I. A. U. (Moscow 1958), т. 10, Report
of Commission, 40.

IV. ПРОВЕРКА КОСМОЛОГИИ НАБЛЮДЕНИЯМИ >?
Ф. Хойль
F. Hoyle, Ргос. Phys. Soc, 77, Pt. 1, 1—16 A961)
Космологические теории резко разделяются на два класса.
В теориях одного класса предсказывается, что Вселенная образова-
образовалась строго определенное конечное время тому назад; в теориях
же другого класса этого не требуется. Существующие методы на-
наблюдения позволяют произвести выбор между этими двумя типами
теорий. В частности, такими методами являются:
1) Геометрическая проверка. Эти наблюдения позволяют иссле-
исследовать предполагаемую разницу между существующим состоянием
Вселенной (определяемым по локальным наблюдениям) и условиями
во Вселенной в прошлом (определяемыми по наблюдениям весьма
удаленных объектов).
2) Проверка локальной эволюции. Прошлое Вселенной должно
быть таким, чтобы привести к ее современному состоянию. Приме-
Применительно к образованию галактик, их возрасту, а также к проис-
происхождению космических лучей и космических радиоволн это простое
условие имеет глубокий смысл. В связи с этим двумя проблемами
будет рассмотрено современное состояние вопроса.
Как правило, в науке имеют дело с изолированными
системами, которые рассматриваются заключенными
внутри некоторого сосуда — возможно весьма боль-
большого. В космологии, однако, имеют дело со всей Все-
Вселенной, так что любая мысль о каких-то рамках, внутри
которых заключена система, должна быть отброшена.
Тогда наступают затруднения даже для простых при-
привычных концепций. Предположим, что пространство
бесконечно, как это принимается во многих космологи-
космологических моделях. Как тогда следует формулировать со-
сохранение энергии? Этот вопрос является частью двух
более общих вопросов: Насколько далеко простирается
универсальная пригодность законов физики, выведенных
из локальных наблюдений? Насколько универсальны
') 44-я Гэтриевская лекция, прочитанная в Физическом обще-
обществе 21 марта 1960 г.

IV Проверка космологии наблюдениями 373
наши представления о распределении материи, основан-
основанные на локальных наблюдениях?
Современная физика уверенно дает утвердительный
ответ на первый вопрос. Законы носят полевой харак-
характер, а это зцачит, что если полностью известна ситуа-
ситуация в «бесконечно малом» объеме пространства-време-
пространства-времени, то известна и ситуация во всей Вселенной. Однако
важно, чтобы ситуация в бесконечно малом объеме
формулировалась со всей общностью. Слишком часто
мы довольствуемся принятием формулировок на языке
частных случаев, которые являются только привычными
случаями. Примером этому служит формулировка за-
закона сохранения энергии со ссылкой на изолированную
систему. Общее же утверждение о сохранении энергии
должно выводиться не из идеи об изолированной си-
системе, а из нулевой дивергенции тензора энергии-им-
энергии-импульса. Именно последняя формулировка обладает
универсальной применимостью.
Что касается второго вопроса, то под локальным
наблюдением подразумевается наблюдение не букваль-
буквально бесконечно малого объема, как в случае формули-
формулировки физических законов, а диапазон, доступный на-
нашим телескопам. Распределение галактик становится
настолько близким к однородному на расстоянии всего
лишь около 1/10 «радиуса действия» наиболее мощных
телескопов, что последующее постулирование однород-
однородности в космологических моделях является естествен-
естественным ответом на второй вопрос.
Разбиение пространства-времени на элементарные
объемы можно производить так, что в любой момент
времени галактики будут распределены в пространстве
равномерно при условии, что тем самым подразумевается
усреднение по пространственным объемам с протяжен-
ностями порядка 100 мегапарсек, т. е. примерно 1/10
«радиуса действия» наиболее мощных телескопов.
Иными словами, наблюдатель, который игнорирует
детальные формы и распределение ближайших галак-
галактик, не сможет различать своего местоположения в про-
пространстве. Наблюдатель не ограничен одним моментом
времени. Ему дозволено сравнивать свои наблюдения
в различные времена, и все же он не может отличить
25 Зак. 3001.

574 Ф. Хойль
свое собственное положение от положения любого дру-
другого наблюдателя, использующего те же самые про-
пространственно-временные координаты. Таким образом, от-
ответ и на второй вопрос опять является утвердительным.
Однородность не только подразумевает, что наблю-
наблюдатель не может выделить свое положение, он неспосо-
неспособен также выделить и какое-либо преимущественное
направление в пространстве: свойства объектов, которые
он видит в любой данной части пространства, оказы-
оказываются аналогичными тем свойствам, которые он нахо-
находит в любой другой «части неба». Здесь опять-таки под-
подразумевается, что он игнорирует ближайшие объекты
вроде звезд в его собственной галактике.
Иногда спрашивают: откуда мы можем знать, что
пространственно-временная система координат с этим
свойством однородности имеет реальный смысл? Ведь
возможно, что вне пределов достижимости наших наи-
наиболее сильных телескопов распределение галактик ста-
становится резко неоднородным. Возможно, что наблюдае-
наблюдаемая однородность является более или менее случайной?
Имеется два ответа на это возражение. Один ответ
неожиданно практический, а другой — принципиаль-
принципиальный. Наука занимается не доказательством справедли-
справедливости гипотез, а наоборот — доказательством их несо-
несостоятельности. Когда наблюдение противоречит теории,
то по крайней мере одна из гипотез, на которых осно-
основана теория, должна быть отвергнута. Наука достигает
прогресса через процесс отрицания, а не через процесс
доказательства. В таком случае наша цель должна со-
состоять в сравнении следствий из постулата однородно-
однородности с наблюдениями. Если имеет место согласие с на-
наблюдениями, то все остается на своих местах, ибо ни
одна научная теория не может сделать большего, чем
объяснить все факты! Но если имеется несогласие с на-
наблюдениями, то мы должны узнать, какой из наших
утвердительных ответов на поставленные вначале два
вопроса был ложен. И, если исключить тот неприятный
случай, что мы в корне ошибаемся в понимании приро-
природы физического знания, ошибка заключалась бы в по-
постулате однородности. Тогда мы были бы вынуждены
предполагать, что нет такой системы координат, в кото-

IV. Проверка космологии наблюдениями 375
рой общее пространственное распределение галактик
однородно. Это было бы заключением, имеющим весьма
глубокое значение.
Отсюда вытекает, что наш постулат однородности
нужно проанализировать, если это возможно, вплоть до
той стадии, когда возможно непосредственное сравнение
наблюдений с теорией. Настойчивый критик может воз-
возразить, что поскольку постулат однородности основан на
наблюдении, то как же наблюдение может давать что-
либо еще кроме подтверждения этого постулата? Не бу-
будет ли это тавтологией? Подобной критике можно под-
подвергнуть любую отрасль науки. На это отвечают, под-
подчеркивая, что теоретические гипотезы в действительности
формулируются на основе опытных данных, которые яв-
являются более ограниченными, нежели те, которые ис-
используются для проверки следствий из теории. К посту-
постулату однородности пришли — это исторический факт,—
подсчитывая число галактик по различным направлениям
и на различных расстояниях. Были приняты во внимание
лишь особенности наиболее крупного масштаба самих
галактик, такие, как их общая структурная форма. Но,
прийдя таким образом к постулату однородности,
можно попытаться уточнить наблюдательные данные.
Можно рассмотреть свойства, которые зависят от инди-
индивидуальных звезд, и, в частности, свойства, которые за-
зависят от эволюции звезд. Как мы теперь покажем, это
приводит к поразительному расширению наблюдатель-
наблюдательных данных.
Первоначальные наблюдения относились к расстоя-
расстояниям порядка 500—1000 мегапарсек. Эволюция звезд
подразумевает рассмотрение физических процессов,
действовавших на протяжении более чем 1010 лет, воз-
возможно даже 2 • 1010 лет. Такие временные интервалы
превращаются в расстояния путем умножения на ско-
скорость света — в этом случае мы сравниваем абсолютные
расстояния в смысле теории относительности. В резуль-
результате получаются величины порядка 5000 мегапарсек.
Следовательно, вводя в рассмотрение астрофизику
звездной эволюции, мы приходим к временно-подобным
расстояниям, которые превышают первоначальные про-
пространственно-временные расстояния в 10 раз. Ситуация
25*

376 Ф. Хойль
такова, что когда мы касаемся астрофизики звезд, даже
близких к нам, то мы включаем в рассмотрение собы-
события, которые имели место в пространственно-временных
точках, гораздо более удаленных от нас, нежели те со-
события, которые мы наблюдаем в самых слабых галак-
галактиках, наблюдаемых в самые мощные телескопы!
В принципе эти обстоятельства объясняют, почему
включение астрофизических наблюдений в космологию
обеспечило полезное и далеко идущее расширение пер-
первоначальных данных. Кроме данных, ограниченных
сравнительно малой частью светового конуса, мы обла-
обладаем информацией (правда, ни коим образом неполной)
о событиях в более или менее цилиндрическом объеме
пространства-времени, причем пространственный радиус
цилиндра составляет примерно 1000 мегапарсек, а вре-
временно-подобная длина — около 5000 мегапарсек.
Постулат однородности приводит к далеко идущим
выводам, в особенности при упрощении выкладок в кос-
космологии, на что впервые было указано Лемэтром, а за-
затем, независимо — Робертсоном и Уокером. Главный
результат постулата вполне может быть выражен сле-
следующими словами. В заданной пространственно-вре-
пространственно-временной системе координат, для которой имеет место
однородность, рассмотрим заданный момент времени.
Возьмем множество галактик. Считая галактики точеч-
точечными массами, получаем, что это множество задает ре-
решетку точек. Те же галактики также задают решетку
в последующие значения времени. Все эти решетки оди-
одинаковы, если не считать масштабного фактора R(t), за-
зависящего от времени t. Решетка просто расширяется
или сокращается в соответствии с тем, растет или
уменьшается R(t) со временем t. В этой связи будет
считать t возрастающим в том смысле, что свет распро-
распространяется (от источника). (Мы выбираем знак t та-
ким, что если световой сигнал покидает Р\ в момент t\ и
достигает Р2 в момент t2, то U > tx. Вместе с тем мы
должны представлять себе размеры ячеек современной
решетки, составляющие примерно 100 мегапарсек,
иначе идея однородности неприменима. Решетки со зна-
значительно меньшими ячейками могут эволюционировать
во времени более общим образом.)

IV. Проверка космологии наблюдениями 377
Центральной проблемой космологии является опре-
определение зависимости R(t) от t. Уравнения общей тео-
теории относительности обеспечивают требуемые математи-
математические средства. Теория относительности дает уравне-
уравнения, которые являются формальными в одном важном
отношении. В уравнениях фигурирует тензор энергии-
импульса. Этот тензор должен конструироваться из фи-
физических соображений, которые сами по себе лежат вне
теории относительности. В этот тензор вносят свой вклад
все физические поля: гравитационное, электромагнит-
электромагнитное, ядерное...
Если брать ту форму тензора энергии-импульса, ко-
которую дает обычная физика сегодняшнего дня, то оказы-
оказывается, что возможно некоторое статическое решение R,
независимое от t. Такое решение было найдено Эйнштей-
Эйнштейном еще в период установления общей теории относи-
относительности. Сначала думали, что это решение описы-
описывает Вселенную. Но когда было открыто красное сме-
смещение в спектрах отдаленных галактик, то стало ясно,
что это не так. Для получения красного смещения не-,
обходимо, чтобы R возрастало с t. Оказалось возмож-
возможным найти решения, которые вели себя соответствую-
соответствующим образом. Все они обладали тем замечательным
свойством, что R обращалось в нуль для конечного t.
Иными словами, если мы проследим эволюцию назад
по времени, то дойдем через конечный промежуток вре-
времени до R = 0; попросту говоря, точки нашей решетки
сожмутся, а плотность материи устремится к бесконеч-
бесконечности (теория А. А. Фридмана).
Решение уравнения для R(t) получается с двумя
постоянными интегрирования. В дополнение к ним
имеется также возможность включения в уравнение
Эйнштейна члена с космологической постоянной Я,, так
что в этом случае R зависит от X. Поскольку R опреде-
определяет красное смещение спектра отдаленных галактик,
в принципе можно определить все эти постоянные из
наблюдений, т. е. из сравнения наблюдений галактик на
различных расстояниях с их красным смещением.
К сожалению, трудности в отборе наблюдательного ма-
материала, которые мы обсудим ниже, пока что не дают
возможности осуществить эту процедуру удовлетвори-

378 Ф. Хойль
тельным образом. Тем не менее некоторый прогресс
возможен.
Рассмотрим случай К = 0. Пусть t = 0 при R = G,
т. е. примем за нуль время, соответствующее сингуляр-
сингулярному состоянию, упомянутому выше. Чему равно тогда
нынешнее значение t? В соответствии с лучшими дан-
данными, которыми мы располагаем, t не может суще-
существенно превышать 1010 лет. Мы уже видели, что заклю-
заключение о времени такого порядка можно получить прямо
из астрофизических соображений. Но имеется ли какое-
либо указание на сингулярное состояние Вселенной? От-
Ответ будет отрицательным. Наиболее старые звезды в на-
нашей Галактике, по-видимому, обладают возрастом око-
около 1,5 - 1010 лет. Такой возраст простирается уже за
сингулярное состояние, что сразу приводит к противо-
противоречию.
Противоречие устраняется, если к Ф 0. Но в этом
случае возникает возможность добавочной астрофизиче-
астрофизической проверки. Можно показать, что галактики скон-
сконденсировались из межгалактической газообразной
среды лишь на определенной фазе расширения Вселен-
Вселенной. Эта фаза теперь пройдена. Следовательно, этот
вариант космологии может быть опровергнут, если
будет открыто образование новых галактик в нашу
эпоху.
Данные здесь еще неопределенны. Некоторые астро-
астрономы полагают, что нашли несомненные признаки об-
образования новых галактик; другие отрицают это. Эти
доказательства мы обсудим ниже, в более подходящем
месте.
Условие R —> 0 столь существенно, что естественно
спросить, действительно ли существует уверенность в
том, что Вселенная образовалась в столь сингулярном
состоянии. Не может ли наш постулат однородности
быть действительно ответственным за бесспорные за-
заключения?
Хекман и Шюкинг недавно показали, что условия
/?->0 можно избежать ценою отказа от простран-
пространственной изотропии пространства, хотя и оставаясь в
рамках однородности пространства. Иными словами,
наш наблюдатель все еще не различает своего положе-

IV. Проверка космологии наблюдениями 379
ния в пространстве, но может обнаружить в нем пред-
предпочтительные направления. Такое отступление от посту-
постулата однородности допускает, что Вселенная обладает
абсолютным вращением. При этом в уравнения поля
входят новые члены. Эти члены и препятствуют
масштабному фактору R решетки строго стремиться
к нулю.
Хекман и Шюкинг склоняются к модели Вселенной,
в которой R периодически изменяется (осциллирует)
между конечными значениями Ri и /?2. (Другой воз-
возможностью является начало эволюции Вселенной, начи-
начиная с бесконечно диспергированного состояния. Сжатие
происходило в течение бесконечно большого периода,
пока R достигло минимального значения R\. После это-
этого R начало возрастать опять до бесконечности.) Позже
мы обсудим возможности проверки теории Хекмана —
Шюкинга.
ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
Если продолжать строго придерживаться постулата
однородности и стараться предотвратить стремление R
к нулю, то единственной возможностью является моди-
модификация тензора энергии-импульса. Сначала возникает
вопрос: существуют ли поля, не известные современной
физике? Никакого определенного ответа, разумеется,
дать нельзя, ню есть определенные указания в пользу
существования таких полей. Физика постоянно попол-
пополняется новыми полями, и маловероятно, чтобы послед-
последняя их разновидность уже была открыта. Более неопре-
неопределенен второй вопрос: возможно ли, чтобы новое поле
вносило значительный вклад в тензор энергии-импуль-
энергии-импульса? Возможности важных изменений в космологии за-
зависят от утвердительного ответа на этот вопрос.
Следует заметить в этой связи, что хотя в прин-
принципе возможно открывать законы физики наблюде-
наблюдениями в пределах лишь весьма малого пространственно-
временного объема, например в земной лаборатории, но
это может оказаться весьма трудным делом. Если бы
существование тяготения не привлекло нашего внима-
внимания своими проявлениями макроскопического и космиче-

380 Ф Хойль
ского масштаба вне лаборатории, то открытие гравита-
гравитации было бы делом тонким и трудным. Хотя это и зву-
звучит несколько иронически, но гравитация вносит гораз-
гораздо более важный вклад в космологию, чем поля, от-
открытые с большей легкостью. Не может ли существо-
существовать еще како'е-нибудь поле, которое еще труднее обна-
обнаружить в лаборатории и которое также имеет важное
значение в космологии?
Первой работой по этому вопросу явилось наше ис-
исследование [1], где было показано, что можно посту-
постулировать поле, которое в значительной мере изменит
структуру уравнений Эйнштейна, в результате чего бу-
будет устранено стремление R к нулю для любых конеч-
конечных значений t. Новым решением является выражение
R = exp(Ht), где Н—постоянная, связанная с кон-
константой взаимодействия нового поля. Таким образом,
/?-*0 только при t-*- — оо. Аналогичные результаты
были получены позже Мак-Кри [2].
В период первых наших работ и работ Мак-Кри
число возможностей для введения нового поля требуе-
требуемого вида казалось крайне большим. Но несколько
позже М. Прайс, формулируя задачу с помощью вариа-
вариационного принципа, показал, что если речь идет о по-
полях простого типа, то свобода выбора оказывается го-
гораздо меньшей, чем предполагалось ранее. В самОхМ
деле, формулировка скалярной теории однозначна, за
исключением значения константы взаимодействия. При
одном только условии, что константа взаимодействия
не равна нулю, уже получается замечательный резуль-
результат, что R = exp(Ht). Вселенная должна обладать гео-
геометрией, открытой примерно сорок лет назад де-Сит-
тером.
Хотя R все еще следует рассматривать в качестве
масштабного фактора решетки, необходима некоторая
осторожность при интерпретации R для прошлых
эпох. Мы считаем для наглядности галактики точеч-
точечными массами в решетке. Однако галактики, принадле-
принадлежащие к нынешней решетке, не обязательно существо-
существовали в прошлом, ибо по мере углубления в прошлое
галактики одна за другой выпадают из решетки. Та-

IV. Проверка космологии наблюдениями 381
ким образом, R—>0 при t—*• — оо не требует стремле-
стремления плотности масс к бесконечности. Фактически урав-
уравнения требуют постоянства средней плотности масс во
все времена; это происходит в силу того, что новое поле
приводит к непрерывному порождению материи. По-
Постоянство же плотности массы выводится из приравни-
приравнивания нулю дивергенции тензора энергии-импульса (ко-
(который теперь включает в себя новое поле) и является
тем самым выражением закона сохранения энергии.
Уже существующие галактики разлетаются в соот-
соответствии с возрастанием масштаба: R = ехр(Ш). Одна-
Однако из вновь создаваемого материала могут конденси-
конденсироваться новые галактики. Эти новые конденсации со-
создают теденцию к росту пространственной плотности
галактик, в то время как расширение создает компенси-
компенсирующую тенденцию к уменьшению этой плотности. По-
Положение вещей в любой данный момент времени пред-
представляет собой компромисс между конденсацией и раз-
разлетом, и если новые конденсации образуются равно-
равномерно, то противоположные эффекты будут., сохранять
стационарность. Идея о том, что во Вселенной сохра-
сохраняется подобное условие стационарного состояния,
является основным постулатом Бонди и Голда [3].
Их постулат является обобщением гипотезы однород-
однородности. Но вместо простого утверждения о невозможности
для какого-либо наблюдателя определить свое положение
в пространстве Бонди и Голд постулируют, что
никакое множество наблюдений, относящихся только
к осредненным по большим объемам величинам
(характерный размер 100 мегапарсек) не может опреде-
определить эпоху, т. е. не существует крупномасштабной
эволюции Вселенной, которая могла бы послужить
часами для наблюдателя. Связь этой точки зрения
с теорией поля уже была отмечена выше.
Порождение материи следует представлять себе как
происходящее простейшим образом: элементарные ча-
частицы создаются в пространстве. Не может быть речи
относительно непосредственного порождения организо-
организованных структур наподобие галактик. Подобные слож-
сложные организованные структуры должны образовываться
путем явных астрофизических процессов, и их непрерыв-

382 Ф. Хойль
ное образование при помощи таких процессов должно
быть'решающим требованием, иначе увеличение харак-
характерного масштаба решетки до бесконечности уже к на-
настоящему времени уменьшило бы их пространственную
плотность до нуля. Отсюда в теории стационарного со-
состояния все наблюдаемые объекты должны находиться
в состоянии непрерывной регенерации. Это требование
подвергает теорию суровой наблюдательной проверке.
В этом смысле данная теория представляет собою бла-
благоприятный пример для возможности более явных и
разнообразных опровержений, чем это имеет место для
других космологических моделей.
НАБЛЮДЕНИЯ
Дав резюме различных космологических теорий, мы
переходим теперь к главной теме данной лекции — про-
проверке различных космологии наблюдениями.
Проблемы шкалы времени и возраста
Возраст наиболее старых звезд в нашей Галактике
составляет, по-видимому, по крайней мере 1,5 -1010 лет
или даже 2-Ю10 лет. Если принять нынешнюю оценку
расстояний между галактиками, то требование, чтобы
наша Галактика являлась более молодой, чем вся Все-
Вселенная, делает невозможным обычные космологии с
X = 0. Исключается также модель осциллирующей Все-
Вселенной Хекмана и Шюкинга. В этом случае испытание
выдерживают только космология Лемэтра с X + 0 и
теория стационарной Вселенной.
Однако есть подозрение, что нынешняя оценка
шкалы расстояний во Вселенной является ошибочной.
Эта шкала обычно выражается через быстроту роста
скорости, определяемой по красному смещению, с рас-
расстоянием, т. е. через —cAv/v, где с — скорость света, а
•—Av — измеряемое красное смещение частоты световых
волн при первоначальной частоте v. Современная оцен-
оценка быстроты роста составляет
с Д^
^=75 — 100 км • сек~х мегапарсек'1.
V

IV. Проверка космологии наблюдениями 383
Для тех радиальных расстояний г, при которых еще не
сказывается неэвклидовость, можно написать
Если г выражать в мегапарсеках, а с в км/сек, то по-
постоянная Хаббла Н есть как раз только что упомянутая
величина, т. е. 75—100 км/сек-магапарсек. Эта же ве-
величина фигурирует в теории стационарной Вселенной
R = ехр(Ш). Постоянная Хаббла имеет размерность,
обратную времени, т. е. в единицах С. G. S.
Н~1 = 3 ■ Ю" секты Ю
10
лет.
В обычных космологических теориях, где прини-
принимается X — 0, Н~1 представляет собой верхний предел
возраста Вселенной; в осциллирующей космологической
модели типа Хекмана и Шюкинга время, прошедшее
после последнего минимума, будет меньше 2/3-Н'1, т.е.
менее ==; 7 • 109 лет. Поскольку по соображениям, кото-
которые мы вскоре приведем, необходимо принять, чтобы
возрасты галактик были меньше, чем указанное время,
то в таком случае возникает расхождение примерно в
3 раза.
Для спасения этих космологических теорий необхо-
необходимо удвоить или даже утроить значение Н~1. По-
Поскольку Av/v есть точно измеряемая величина, то по-
подобный пересмотр Н~1 требует соответствующего уве-
увеличения оценки расстояний г. В последние годы оценки
расстояний на самом деле значительно выросли, от-
откуда можно предположить, что дальнейший рост в
3 раза ни коим образом не исключен. Имеется, однако,
одно важное соображение, несколько дискредитирую-
дискредитирующее такую точку зрения. Видимый угловой размер 8
галактики, наблюдаемой во фронт, связан с ее реаль-
реальным физическим диаметром й и расстоянием г соотно-
соотношением 6 = d/r при условии, что г опять-таки не настоль-
настолько велико, чтобы неэвклидовость играла роль. По-
Поскольку 6 можно измерить с хорошей точностью, оценка
для г подразумевает оценку для й. Тогда, при нынеш-
нынешних оценках шкалы расстояний г диаметры d галактик,
структура которых напоминает нашу, оказываются

384 Ф. Хойль
подобными определенным независимо диаметрам нашей
Галактики и близлежащих галактик типа М31 и М.81.
Но если бы значения г для удаленных галактик были
бы систематически пересмотрены в сторону увеличения
в 3 раза, то это удовлетворительное согласие было бы,
очевидно, нарушено. Известные из независимых оценок
размеры близлежащих галактик оказались бы ано-
аномально малыми.
Снова обращаясь к осциллирующей модели, заме-
заметим, что может возникнуть недоумение, почему все га-
галактики должны конденсироваться в эпохи, более позд-
поздние, чем фаза последнего минимума. Это объясняется
опять-таки астрофизическими соображениями. Водород
превращается в гелий внутри звезд. Но тогда ясно, что
Вселенная не могла бы испытать множество бесконеч-
бесконечных пульсаций без того, чтобы сгорание водорода вну-
внутри звезд не сменялось некоторым обратным процессом
преобразования гелия в водород. Такой обратный про-
процесс требует состояния с высокой плотностью и высо-
высокой температурой, при котором вся материя Вселенной
плотно сжата. Это означает невозможность существо-
существования отдельных галактик в фазе минимума. Все галак-
галактики, которые мы теперь наблюдаем, должны тем самым
возникать как упорядоченные структуры в эпохи, более
поздние, чем эпоха последнего минимума.
Стоит добавить, что даже допущение о состоянии
материи Вселенной с высокой плотностью и высокой
температурой с очевидностью не означает возможности
действительного превращения гелия обратно в водород.
Вполне возможно, что из соображений ядерной физики
модель осциллирующей Вселенной будет отвергнута.
Этот вопрос все еще остается открытым.
При современных данных лишь две космологиче-
космологические теории удовлетворяют критерию возраста: теория
стационарного состояниям космология Лемэтра сА,=£О.
Положение в этих двух случаях, однако, совершенно
различное. В космологии Лемэтра все галактики скон-
сконденсировались в одну данную эпоху, в момент, когда
скорость расширения R прошла через минимальное зна-
значение. Таким образом, все галактики обладают возра-
возрастом, сравнимым с возрастом нашей Галактики, ска-

IV. Проверка космологии наблюдениями 385
жем, 1,5 • 1010 лет. Совершенно иное положение имеет
место в теории стационарной Вселенной.
Вспоминая, что R является масштабным фактором,
легко видеть, что плотность в пространстве, скажем, Q
уже существующих галактик уменьшается со временем
с быстротой 3QR/R. Для R = exp (Ht) это составляет
как раз 3HQ. Чтобы поддерживать ситуацию стацио-
стационарного состояния, должны, очевидно, рождаться но-
новые галактики с таким же темпом, т. е. 3HQ, в единице
объема за единицу времени. Далее, обозначая через
q(t)dt плотность галактик с возрастом от t до t + dt,
получаем
q(t)dt,
о
а также
что дает
откуда легко видеть, что q убывает со временем t по
закону ехр(—ЗШ). Подставляя это выражение в вы-
вышеупомянутый интеграл для Q, получаем
q = 3HQexp( — 3Ht).
Отсюда можно ожидать существования галактик всех
возрастов, начиная с галактик только что зародивших-
зародившихся, вплоть до галактик с возрастом t—>oo. Однако, по-
поскольку пространственная плотность уменьшается бы-
быстро, после того как возраст t превысит Я, мы не долж-
должны ожидать, что обнаружим более чем одну галактику
с возрастом t~^>H~l.
Средний возраст всех галактик составляет
Q l f tq[t)dt.
Легко найти, что это составляет (ЗН)~1. Таким обра-
образом, при современной оценке для Я средний возраст
составляет не более чем 4 • 109 лет. Отсюда в теории

386 Ф. Хойль
стационарной Вселенной большинство галактик долж-
должно быть гораздо более молодым, чем наша Галак-
Галактика.
Прежде чем рассмотреть выводы из этих простых
заключений, следует заметить, что аналогичные аргу-
аргументы пригодны по отношению к объектам любого
типа, сохраняющим свою индивидуальность после воз-
возникновения. Плотность короткоживущих объектов—.
например, источников радиоизлучения — уменьшается
быстрее, чем SQR/R. Таким образом, чтобы поддержи-
поддерживать стационарное состояние, такие объекты должны
порождаться со скоростью, превосходящей 3HQ. Когда
же время жизни объектов во много раз ниже, чем
(ЗЯ), то скорость порождения будет по существу
контролироваться законом естественного распада са-
самих объектов, а не расширением Вселенной.
Возвращаясь к галактикам, отметим, что можно без
труда понять, что подразумевается под рождением га-
галактик, при условии, что речь идет о всех галактиках
вместе взятых. Новые галактики должны создаваться
из газа, распределенного по межгалактическому про-
пространству— газа, который постоянно воссоздается про-
процессом порождения.
Однако проблема становится более сложной, если
рассматривать лишь галактики данного структурного
типа. Совершенно верно, что если считать каждый тип
галактики чем-то вроде отдельного вида животных —
который никогда не может превратиться в другой,—
то должна быть выдвинута в точности такая же интер-
интерпретация относительно образования галактик каждого
типа. Тогда каждый тип галактик должен образовы-
образовываться в отдельности из межгалактической среды. Ба-
аде [4], на наш взгляд без должного анализа сделанных
им предположений, утверждал, что безуспешность его
попыток наблюдать галактики типа Е, вновь конденси-
конденсирующиеся из межгалактической среды, доказывает не-
непригодность теории стационарной Вселенной. Эти ар-
аргументы Бааде недавно повторил Бок, не подвергавший
критическому анализу всю проблему.
• Если объект типа А изменяется в объект типа В че-
через процесс астрофизической эволюции, то сама по себе

IV. Проверка космологии наблюдениями
387
астрофизическая эволюция вызывает образование объ-
объектов типа В. Таким образом, если галактики подвео-
жены эволюции в смысле
A->B->C->D->E,
то вовсе не требуется какой-либо непосредственной
конденсации галактик типа Е из межгалактической
среды.
Природа стадий А, В, С и D нами выше намеренно
не уточнялась, поскольку точное отождествление этих
стадий несущественно для логики рассуждений. В ра-
работе Моргава [5] делается попытка провести следующее
отождествление:
Тогда стадия А представляет собой первоначально не-
незначительную и простейшую галактическую конденса-
конденсацию.
В этой картине Астрофизической эволюции все еще
справедливо утверждение, что средний возраст галак-
галактик типа Е должен составлять (ЗЯ)"' = 4-109 лет. Од-
Однако это не есть возраст наиболее старых звезд, ибо
наиболее старые звезды принадлежат к стадии А. Счи-
Считая, что каждая стадия длится время (ЗЯ)-1, и прини-
принимая упомянутое выше предварительное отождествле-
отождествление, приходим к ситуации, представленной в табл. 1.
Таблица 1
\и и галактики
Возраст наиболее старых
звезд в средней галактике
(в 109 лет)
Простейшие
формы
4
Sc Sb Sa E
8 12 16 20
В некоторых частных случаях возрасты наиболее
старых звезд могут быть, конечно, выше значений, при-
приведенных в табл. 1. Это, по-видимому, имеет место для
нашей Галактики, хотя расхождение величин не слиш-
слишком велико. Возрасты самых старых звезд а Галактике

388 Ф. Хойль
вряд ли составляют более 15- 109 лет. Тогда достаточно
было бы всего лишь незначительное изменение вели-
величины Я, чтобы эти значения пришли в соответствие. (Это
не привело бы к упомянутой выше трудности, состоя-
состоящей в аномальном уменьшении линейных размеров на-
нашей и близлежащих галактик при значительном увели-
увеличении величины Я.)
Во избежание возможных недоразумений, упомя-
упомянем, что рассмотренные здесь эллиптические галактики
являются так называемыми гигантскими эллиптиче-
эллиптическими, а не малыми объектами, типа спутников туман-
туманности М31.
Аргументация Моргана в пользу эволюционной
схемы упомянутого выше типа основана на интеграль-
интегральном спектре галактик. Аналогичные аргументы полу-
получаются также из усредненных характеристик цвета.
Звезды ядер спиральных галактик типа Sb и Sa, по-ви-
по-видимому, аналогичны звездам галактик типа Е; однако
интегральные характеристики цвета становятся все бо-
более красными вдоль последовательности Sb, Sa, E. Со-
Согласно недавним теоретическим работам (Крэмпин и
Хойль [6]), цвет группы звезд с возрастом действитель-
действительно должен изменяться в сторону красного, так что на
самом деле наблюдения находятся в качественном со-
согласии с возрастной последовательностью, приведенной
в нашей таблице. Более того, предварительные количе-
количественные оценки, произведенные на основе цветовой ха-
характеристики, очень хорошо согласуются с приведен-
приведенными в табл. 1 значениями возрастов. Однако нельзя
переоценивать эти предварительные результаты. На
цвет ядер спиральных туманностей могло повлиять
гало, состоящее из голубых звезд типа шаровых скоп-
скоплений. До учета таких эффектов придавать слишком
большое значение критерию цвета было бы преждевре-
преждевременным.
Самые убедительные доказательства существования
сравнительно молодых галактик, вероятно, получили
Бербиджи на основании исследования динамики скоп-
скопления галактик, главным образом спирального типа
в созвездии Геркулеса (Бербидж и Бербидж [7]). Это
скопление обладает в целом формой буквы V, что не-

IV. Проверка космологии наблюдениями 389
сомненно свидетельствует о молодости скопления. В са-
самом деле, измерения скоростей движения отдельных
галактик показывает, что это скопление находится в со-
состоянии распада, если только исключить, что галактики
обладают неправдоподобно большой массой каждая или
в этом скоплении неправдоподобно много диффузного
вещества; но если скопление действительно разлетается,
то вся структура должна быть молодой.
Имеются и другие факторы, которые действуют в том
же направлении. Гигантские эллиптические галактики
оказываются систематически более массивными и более
яркими, нежели спиральные, как будто бы существует
процесс их роста вдоль нашей последовательности. Бо-
Более того, общей особенностью всего поля галактик яв-
является то, что спиральные галактики обнаруживаются
в малых группах, в которых кажется господствующей
одна или, возможно, две гигантские эллиптические га-
галактики. Это наводит на мысль, что спиральные галак-
галактики в таких группах сконденсировались из межгалак-
межгалактической среды через посредство господствующей эл-
эллиптической галактики. Бербидж и Хойль [8] рассмо-
рассмотрели возможный механизм подобного процесса.
В заключение данной дискуссии о формировании но-
новых галактик поставим вопрос: имеются ли доказатель-
доказательства образования в больших количествах примитивных
галактик, возможно галактик совсем малой массы? Не-
Недавно Б. А. Воронцовым-Вельяминовым A958 г.) опуб-
опубликован каталог странных объектов, отобранных из па-
ломарских снимков. Удивительной особенностью этого
каталога является неожиданно большая доля странных
объектов: вплоть до объектов 15-й величины эта доля
доходит до 3—4% общего числа более или менее нор-
нормальных галактик. Если считать, что время жизни этих
странных объектов не превышает в большинстве слу-
случаев примерно Ю8 лет, то следует, что число странных
объектов, которые возникали за интервал времени
4 • 109 лет, должно быть по крайней мере порядка всего
числа галактик.
Пока ничего неизвестно относительно абсолютных
величин и расстояний до этих объектов, но имеется ве-
вероятность, что эти объекты не являются гигантскими

390 Ф. Хопль
системами. Вероятно, они являются довольно слабыми
и сравнительно близкими. Если это так, то простран-
пространственная плотность странных объектов, возникавших за
время 4- 109 лет, должна быть действительно весьма вы-
высокой. Вполне может оказаться, что часть их является
примитивными галактиками типа А, существование ко-
которых требуется теорией стационарной Вселенной.
Геометрическая проверка космологии
До сих пор мы ограничивались рассмотрением столь
малых расстояний от наблюдателя, что пригодность
эвклидовой геометрии не нарушалась. Однако неэвкли-
довость становится существенной при увеличении рас-
расстояний, причем соответствующие эффекты получаются
различными в разных космологиях. Отсюда наблюде-
наблюдения, которые обнаруживают характер неэвклидовых
эффектов, смогут служить доказательством той или
иной космологии или некоторых ее особенностей.
К данному вопросу имеет отношение связь между
расстоянием и красным смещением. Здесь неэвклидо-
вость означает введение членов второго порядка мало-
малости. Вводя длины волн вместо частот, имеем
исключая случай теории стационарной Вселенной, где
К = 0. Можно ли показать, что К Ф 0?
Фактически, конечно, астрономы не измеряют г. Они
измеряют наблюдаемую величину М галактики, связан-
связанную с г соотношением
M = 2,51g£ — 21gr — 21g(l+-^)+-const.,
где L — испускательная способность галактики (изме-
(измеряемая, например, в единицах светимости Солнца). Кон-
Константа в этом соотношении задает просто начало от-
отсчета времени.
Если мы имеем дело только с галактиками, обладаю-
обладающими одной и той же величиной L, то мы можем решшь
эти уравнения и выразить М через АК/К. Полученная та-

/V. Проверка космологии наблюдениями
391
ким образом связь приводится на фиг. 1 как для теории
стационарной Вселенной, так и для известной космоло-
космологической модели Эйнштейна — де-Ситтера (которая яв-
является особым примером среди многих других с нуле-
нулевой космологической постоянной). Кривая, соответствую-
соответствующая космологии Лемэтра, проходит близко к случаю
-Z 0 2 4 6 8 10 12 И W
Мв, произвольные единицы
Фиг. 1. Видимая величина как функция красного
смещения для источника стандартной интенсивности,
согласно теории Эйнштейна — де-Ситтера (кривая /)
и теории стационарной Вселенной (кривая 2).
стационарной Вселенной, так что настоящий критерий
неудобен для отделения выводов двух последних упомя-
упомянутых теорий.
Как М, так и АК/К — величины измеряемые. Следова-
Следовательно, здесь мы имеем решающую проверку, которая
послужит выбору между теорией Эйнштейна — де-Сит-
де-Ситтера, теорией Лемэтра и теорией стационарной Вселен-
Вселенной, если мы уверены в том, что L действительно одина-
одинаково для всех наблюдаемых галактик. Но как раз здесь
и возникает трудность. Галактики сильно отличаются по
своим значениям L. Наблюдение сравнительно близких
галактик говорит, впрочем, о том, что L стремится к
верхнему значению, близкому 1044 эрг/сек. Если на са-
самом деле имеется верхний предел и если мы всегда
26*

392 Ф. Хойль
имеем дело с галактиками, относящимися к верхнему
пределу, то L будет действительно постоянной. Именно
на этой гипотезе основывают свои работы Хаббл, а за
ним и Сэндейдж.
Однако почти наверное верхний предел не является
жестким. Более того, имеет место селективный эффект
при росте |ДАД| благодаря отбору галактик со все
большими значениями L. Чтобы измерять ДАД, нужно
получить спектр, для чего желательно пропускать через
спектрограф возможно больше световых лучей. Есте-
Естественно, что это склоняет наблюдателя в пользу отыска-
отыскания наиболее ярких галактик, а поскольку число галак-
галактик с расстоянием быстро растет, то при росте отби-
отбираются скорее всего образцы с наибольшей яркостью и,
следовательно, с большими величинами) ДА Д|.
Этот эффект отражается на кривой, представляющей
наблюдательные данные. Однако важно знать, до какой
степени? Если систематическая ошибка для |ДАД| = 0,4
составляет величину, существенно меньшую одной «на-
«наблюдаемой величины», т. е. одной единицы для М, тогда
полученные до настоящего времени результаты проти-
противоречили бы как теории стационарной Вселенной, так и
теории Лемэтра. Они говорили бы тогда в пользу тео-
теории типа Эйнштейна — де-Ситтера (при нулевой космо-
космологической постоянной), но, поскольку мы не можем
быть в этом уверены, положение так и остается на мерт-
мертвой точке.
Для эффективного прогресса в данном направлении
совершенно ясна необходимость отбора галактик при
помощи критерия, свободного от упомянутой селектив-
селективности. В этом направлении уже сделан ряд предло-
предложений. Методы, полностью основанные на оптической
астрономии, вряд ли будут удовлетворительными. Од-
Однако гораздо большие надежды возлагаются на воз-
возможность использования данных радиоастрономии.
Наиболее мощный из известных источников радиоиз-
радиоизлучения— это особый объект в созвездии Лебедя, яв-
являющийся, по мнению многих астрономов, парой стал-
сталкивающихся галактик. Этот объект содержит чрезвы-
чрезвычайно горячий газ, излучающий интенсивные яркие
спектральные линии, особенно линию 3727 дважды иони-

IV Проверка космологии наблюдениями 393
зованного кислорода (Оц). Аналогичный объект, распо-
расположенный на гораздо более далеком расстоянии, был
бы обнаружен как источник радиоизлучения. У него
также можно хорошо измерить АК/К, ибо делать это
легче в случае испускания яркой линии, чем для излу-
излучения нормальной галактики.
Такая программа была выполнена недавно Болтоном
и Минковским. В качестве источника радиоизлучения
выбран объект № 295 по Кэмбриджскому каталогу ЗС.
Измеренная длина волны одной зарегистрированной
яркой линии дает |ДАД| = 0,4614, если линия интерпре-
интерпретируется как линия 3727 для Оц.
Вряд ли надежным является предположение, что
столь необычные объекты обладают стандартными зна-
значениями L. Однако по счастливой случайности источник
радиоизлучения 295 ЗС оказывается связанным со скоп-
скоплением галактик, причем среднее значение L, скажем, для
десяти самых ярких галактик из этого скопления, может
приниматься равным среднему значению L для десяти
самых ярких галактик в других скоплениях.
В данном случае мы намереваемся использовать ис-
источники радиоизлучения в качестве критерия отбора
скоплений галактик, избегая тем самым трудностей оп-
оптического метода отбора. Источники радиоизлучения
помогают также при измерении ДХД. поскольку излуче-
излучение концентрируется в одной или нескольких ярких ли-
линиях.
Недостаток указанного метода заключается в том,
что трудно получить приемлемое число случаев.
А это необходимо для устранения нормального стати-
статистического разброса, присущего значениям L для скоп-
скоплений галактик. Если бы было найдено около десяти
аналогичных случаев, то статистический разброс был бы
в основном устранен и можно было бы провести про-
проверку, показанную на фиг. 1. Для получения примерно
десятка случаев было бы, вероятно, необходимо рассмо-
рассмотреть радиоисточники, значительно более слабые, не-
нежели источник 295 ЗС. Но тогда стало бы весьма затруд-
затруднительным точно измерять положение, а без этого необ-
необходимое для метода оптическое отождествление источ-
источников весьма трудно. Таким образом, представляется

394
Ф. Хойль
весьма маловероятным, чтобы в ближайшем будущем
были обнаружены многие аналогичные случаи. Полу-
Получается, что трудность, связанная с селективностью, как
бы заменяется трудностью статистики.
Если теперь обратиться к иному типу геометрической
проверки космологических моделей, то наш постулат
_ 8 -
8 5
О S Ю 15 20 25 3D 35
/WB, произвольные единицы
Фиг. 2. Число объектов на единичный
интервал видимой величины как функция
видимой величины для теории Эйнштей-
Эйнштейна — де-Ситтера (кривая /) и теории ста-
стационарной Вселенной (кривая 2).
однородности, совместно со знанием неэвклидовых ха-
характеристик модели, позволяет произвести подсчет чи-
чисел объектов как функции ДАД и как функции М. Ре-
Результаты теории стационарной Вселенной и теории Эйн-
Эйнштейна— де-Ситтера .представлены на фиг. 2 (число
объектов в зависимости от М). Две теории совпадают
до тех пор, пока расстояние не становится достаточным
для проявления неэвклидовости.
Что касается теории стационарной Вселенной, то эти
соображения могут однозначно применяться к любому
типу объектов: галактикам или источникам радиоизлуче-
радиоизлучения, при одном лишь условии, что объект достаточно часто
встречается (т. е. что средняя пространственная плот-

IV. Проверка космологии наблюдениями 395
ность не должна быть намного меньше, чем плотность,
равная одному объекту в кубе со стороной 100 мегапар-
сек). Однако в случае теории Эйнштейна—де-Ситтера
необходимо предположение, что отношение простран-
пространственной плотности объектов ко всей пространственной
плотности масс остается неизменным для всех эпох.
Однако это не имеет места для случая, когда число объ-
объектов изменяется как квадрат пространственной плотно-
плотности массы — как это может оказаться в случае источни-
источников радиоизлучения, если источники радиоизлучения в
самом деле возникают главным образом при столкнове-
столкновении между галактиками.
Классической попыткой подсчитать число галактик с
целью проверки космологии являлась работа Хаббла.
К сожалению, ее результаты были крайне неубедитель-
неубедительными. С тех пор астрономы в общем не были склонны
проделать столь большую работу по такой проверке, по-
поскольку вполне вероятно, что любая новая программа
также не увенчается успехом.
В случае источников радиоизлучения положение бо-
более благоприятно, поскольку число источников, подле-
подлежащих счету, гораздо меньше, чем галактик. Однако воз-
возникают усложнения в силу того факта, что радиоастро-
радиоастрономы не могут оперировать с каждым источником в от-
отдельности (источники радиоизлучения имеют 1енденцию
перекрываться в луче «радиозрения»). Это обстоятель-
обстоятельство не допускает непосредственного применения диа-
диаграммы, представленной на фиг. 2 к наблюдениям ра-
радиоизлучения. Радиоастроному остается при помощи
кривых на фиг. 2 решать, как подобное распределение
числа объектов может повлиять на его конкретное
оборудование. После этого он может сравнивать свои
теоретические выводы, основанные на различных космо-
космологических теориях, с результатами наблюдений.
В этой области наиболее обширные наблюдения про-
проведены Райлем и его сотрудниками. Новейшие резуль-
результаты, которые сообщили Райль и Шоер [9], содержат
подсчет примерно 2000 источников при длине волны 1,9 м.
Эти результаты совместимы с эвклидовой геометрией.
Среди самых ярких источников имеются довольно боль-
большие флуктуации числа объектов При этом не ясно, по-

396
Ф Хойль
лучается ли это вследствие комбинации статистических
причин или инструментальных ошибок или здесь влияют
свойства, физически присущие ближайшим источникам.
Отсюда можно сделать вывод, что наблюдения еще не
проникли вплоть до достаточно больших расстояний,
чтобы могли проявиться искомые эффекты. В настоящее
1,0 7,5 2,0
lg A6 (единицы DH/c)
2,5
3,0
Ф и г. 3. Зависимость видимого диаметра AG источника
с абсолютным диаметром D от красного смещения
в теории Эйнштейна — де-Ситтера (кривая 1) и теории
стационарной Вселенной (кривая 2).
время в Кэмбридже проводится" работа, которая, воз-
возможно, позволит обнаружить эти ускользающие неэвкли-
неэвклидовы эффекты.
По-видимому, наиболее значительная геометрическая
разница между теорией стационарной Вселенной и тео-
теорией Эйнштейна — де-Ситтера заключается в измере-
измерении видимых угловых диаметров, скажем, Д6 при раз-
различных ДАД для источников с фиксированными физиче-
физическими размерами (например, для сфер диаметром D).
Результаты сопоставления приведены на фиг. 3. Для
случая теории Эйнштейна — де-Ситтера весьма приме-
примечателен минимум значений Д8. Этот минимум примерно
в три раза выше предельного значения, вытекающего из
теории стационарной Вселенной. Если окажется, что су-
существуют радиоисточники фиксированного диаметра, то
анализ этого свойства может указать путь для выбора
между теориями, поскольку реальные численные значе-

IV. Проверка космологии наблюдениями
397
ния Д6 лежат как раз в области, доступной измерениям.
Для источников диаметром порядка источника в-созвез-
в-созвездии Лебедя минимальное значение Д6 по теории Эйн-
Эйнштейна—де-Ситтера составляет около 15".
ДРУГИЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ
Данные о конденсации галактик под действием чисто
гравитационных сил в разных космологических моделях
сведены в табл. 2.
Таблица 2
Космология
Осцилляторные модели
Теория Эйнштейна — де-Сит-
де-Ситтера
Другие космологии с ну-
нулевой космологической по-
постоянной
Космология Лемэтра при
ненулевой космологической
постоянной
Теория стационарной Все-
Вселенной
Рост малых флуктуации плотности
под влиянием чисто гравитационных сил
Конденсации происходят по-
постоянно
Конденсации происходят по-
постоянно
Конденсация никогда не имеет
места
Конденсация в некоторую опре-
определенную эпоху (соответствует
минимальной скорости расшире-
расширения)
Конденсация никогда не имеет
места
Возникает представление, что следует ввести негра-
негравитационные силы, если теория стационарной Вселенной
должна выдержать требование о наличии формирова-
формирования галактик. Если бы межгалактический газ был горя-
горячим, то локальное охлаждение газового облака давало
бы эффект конденсации вследствие давления, оказывае-
оказываемого более горячими окружающими областями. После
сжатия, как только образуется повышенная плотность,
гравитация, несомненно, может стать доминирующей си-
силой.

398 Ф. Хойль
Межгалактический газ может быть очень горячим в
теории стационарного состояния, но не в других космоло-
космологических моделях. В последнем случае Вселенная долж-
должна расширяться из фазы с высокой плотностью, при
которой кинетическая температура Ткр_ и температура из-
излучения Тизл.должны полагаться одинаковыми, посколь-
поскольку при высоких плотностях имеет место сильное взаимо-
взаимодействие между излучением и веществом. Далее, легко
показать,что вследствие расширения Вселенной Гкр. па
дает со скоростью, большей или равной скорости умень-
уменьшения Т„зл (равенство имело бы место, если бы частицы
двигались как ультрарелятивистские; в противном слу-
случае получаем неравенство).
Следовательно, мы ожидаем, что Гкр.< ТкаЛш, а по-
поскольку Гнзл.ве может превышать примерно 10° К, отсюда
следует, что от первоначальной фазы высокой плотности
Вселенной не могло сохраниться до настоящего времени
какого-либо заметного значения Гкр_ (Правда, значение
Ткр локально может повышаться за счет лучистого на-
нагрева звездами, однако это может повысить значения
Гкрлишь до нескольких тысяч градусов, что совершенно
недостаточно для целей данной дискуссии. Нас могут
интересовать лишь температуры, превышающие 106°К).
В случае теории стационарной Вселенной причиной
нагрева может быть особая природа порождаемого веще-
вещества. Если при этом речь идет о нейтронах, то при их рас-
распаде выделяется примерно около 3-Ю17 эрг!г тепла;
это оказывается достаточным для повышения Гкр. до зна-
значений, близких к 109°К.
Вся привлекательность рассуждений об охлаждении
заключается в том, что естественный масштаб для раз-
размера конденсаций будет тогда фиксирован. Включая
скорость звука V3b_b соотношение для красного смеще-
смещения
мы получим значение гс, которое представляет собой
естественный масштаб. Поскольку V3B_ ~ Т'Ь , то re—-7^
При Гкр. = 109°К, Я = 3- 1017 сек, гс= 30 мегапарсек.
Таким образом, теплота нейтронного распада должна

IV. Проверка космологии наблюдениями 399
вносить в распределение вещества во Вселенной нерегу-
нерегулярности, причем максимальный масштаб этих нерегу-
лярностей составляет примерно 30 мегапарсек.
Данное значение весьма удовлетворительно согла-
согласуется с наблюдениями. Как мы видели вначале, для
получения однородности в среднем необходимо рассма-
рассматривать распределение вещества в масштабе около
100 мегапарсек. Это согласуется с величиной 30 мега-
мегапарсек для максимального масштаба нерегулярностей.
В противоположность этому, неудовлетворительная
особенность чисто гравитационного конденсационного
процесса заключается в том, что он не дает какого-либо
размера конденсации. Конденсации, возникающие по
чисто гравитационным причинам, согласно другим кос-
космологическим моделям могут быть любой величины.
Все сказанное может быть связано с наблюдением.
Если в пространстве имеется газ и если он обладает
весьма высокой кинетической температурой, то должно
существовать слабое испускание довольно жестких рент-
рентгеновских лучей. При Ткр = 109°К рентгеновские кванты
обладают энергией —50 кэв, т. е. свободно проходят
сквозь нашу Галактику. Следовательно, в небе должно
наблюдаться слабое рентгеновское свечение. Теоретиче-
Теоретический подсчет дает для потока энергии оценку
10~7—10~8 эрг/см2-сек, что не превышает предела чув-
чувствительности наших приборов.
Может оказаться, конечно, что Ткр имеет более низкое
значение. Значение 107°К было бы достаточным, чтобы
привести к конденсациям в масштабе индивидуальной
галактики. Кванты в этом случае должны приходиться
на диапазон 500 эв; подобное излучение поглощалось бы
в межзвездном газе. Проблема их обнаружения тогда
не была бы столь ясной.
Эти выводы непосредственно связаны с нашей общей
точкой зрения. Если материя непрерывно создается, то-
тогда она вполне может порождаться также в формах, ко-
которые приводят к квантам высокой энергии. Например,
если создаются вместе вещество и антивещество, то сле-
следует ожидать появления f-лучей, обязанных аннигиля-
аннигиляции. Наблюдение подобных рентгеновских или f-кван-
тов высоких энергий явилось бы сильным подтвержде-

400 Ф. Хойль
нием теории стационарной Вселенной, поскольку их при-
присутствие было бы трудно объяснить на основании дру-
других космологических моделей. Наоборот, если не будет
обнаружено никаких проявлений высокой энергии, свя-
связанных с процессом порождения вещества, тогда заро-
зародится сомнение в выводах теории стационарной Вселен-
Вселенной. В частности, тогда было бы трудно объяснить воз-
возникновение галактик.
В некоторой степени можно считать, что существо-
существование космических лучей и релятивистских электронов
уже дает указание на наличие процессов высокой энер-
энергии. Вопрос состоит в том, происходят ли эти процессы
вне галактик или внутри них? Здесь мы углубляемся
в новый класс проблем: могут ли все космические лучи
рождаться внутри галактик? Могут ли они удержи-
удерживаться внутри галактик? Почему все источники радио-
радиоизлучения обладают примерно одинаковым частотным
спектром? Рассмотрение этих вопросов увело бы нас
слишком далеко от главной темы данной лекции.
Достаточно сказать, что если эти проявления процессов
высокой энергии окажутся скорее межгалактическими,
чем межзвездными, то их значение для космологии бу-
будет фундаментальным и тогда космологические наблю-
наблюдения обогатятся совершенно новыми наблюдательными
данными.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hoyle F., Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 108, 372 A948).
2. McCreaW, H., Proc. Roy. Soc, A206, 562 A951).
3. Bondi H., Gold Т., Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 108, 252 A948).
4. В a a d e W., 11th Solvay Conf., 1958, p. 303.
5. Morga n W. W., 11th Solvay Conf., 1958, p. 297.
6. Crampin I, Hoyle F., Mon. Not. Roy. Astr. Soc A961).
7. Burbidge E. M., В u r b i d g e G. R., Astrophys. Journ., 130,
629 A959).
8. Burbidge G. R., Hoyle F., Astrophys. Journ. A961).
9. R у 1 e M., S с h e u e r P. A. G., Session of the International Sta-
Statistical Institute, Brussels A960).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Вступительная статья 5
Введение 31
Центральная роль нейтрино в физике элементарных
частиц 31
Слабость нейтринных взаимодействий 33
Законы сохранения и равновесие в нейтринной фи-
физике 33
Элементарные слабые взаимодействия .... .37
Описание нейтринного поля в пространстве 39
Связь нейтринного поля с геометрией 40
Глава I. Геометродинамика. Чисто геометрическое опи-
описание гравитации, электромагнетизма, некван-
тованного заряда и долгоживущих чисто клас-
классических концентраций массы-энергии 42
§ 1. Измерительные стержни 42
§ 2. Ничего, кроме длин 47
§ 3. Нахождение электромагнитного поля на основании
геометрических измерений 50
§ 4. Уравнения движения без уравнений движения ... 62
§ 5. Геон: масса без массы 63
§ 6. Проблема начальных условий. Уравнения поля без
уравнений поля 71
§ 7. Задание начальных условий по слоям и свобода вы-
выбора топологии 88
§ 8. Новая топология, обнаруженная в старом решении.
Метрика Шварцшильда 91
§ 9. Заряд без заряда 98
§ 10. О возможности уравнений без разумных решений . . 100
§ 11. Геометродинамика и квант действия 121
Г л а в а И. О возможности чисто геометрического описа-
описания нейтринного поля . 152
§ 1. Без нейтрино геометродинамика не полна 152
§ 2. Принцип соответствия не применим к нейтринному
полю; .неклассическая двузначность" 152

402 Оглавление
§ 3. Составление полей с более высоким спииом из полей
спина '/г оказывается невозможным 153
§ 4. Спинор как квадратный корень из вектора? 154
§ 5. Несовместимость геометрии с фермиевским характе-
характером нейтринного поля . . 155
§ 6. Поворот дуальности для электромагнетизма и ней-
нейтрино 155
§ 7. Спиноры дают средство описывать локальные вра-
вращения 156
§ 8. Возможность спинорного представления группы пре-
преобразования координат ие доказана 157
§ 9. Связано ли спинорное поле с существованием „мелко-
„мелкозернистой" топологии? 159
§ 10. Отсутствие фундаментальной теории нейтрино . . . 160
§ 11. Предварительная трактовка нейтрино как посторон-
постороннего поля в заданном пространственно-временном
континууме " 160
§ 12. Релятивистское волновое уравнение для нейтрино . . 161
Глава III. Пространственно-подобное описание нейтрин-
нейтринного поля 162
§ 1. Оценка возмущения нейтринного поля в вакуумном
состоянии 162
§ 2. Описание без аитикоммутирующих неквантованных
операторов 163
§ 3. Сумма по историям, выраженная с помощью сверх-
полиой системы состояний 163
§ 4. Новая формулировка различия между статистиками
Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна по Клаудеру . 165
§ 5. Выбор действия 168
§ 6. Геометродинамика не объясняет закон сохранения
лептонов 169
Глава IV. Элементарные взаимодействия нейтрино и гра-
гравитационного излучения 171
§ 1. Образование реальных и виртуальных пар из ва-
вакуума 171
§ 2. Формфактор. Прямое взаимодействие Ферми? . . . 172
§ 3. Упругое рассеяние нейтрино электронами и прото-
протонами 173
§ 4. Формфактор; обнаружение антинейтрино . . 174
§ 5. Нетождественность нейтрино и антинейтрино .... 175
§ 6. Образование пар гравитонами 178

Оглавление 403
§ 7. Поведение нейтрино в гравитационных полях боль-
большого масштаба igO
§ 8. Причина слабости гравитационного излучения ... 181
§ 9. Импульсные источники гравитационного излучения . 182
§ 10. Длинноволновое гравитационное излучение при до-
достаточной интенсивности может привести к много-
многократному изображению удаленных галактик . 186
§ 11. Достаточно ли массы-эиергии для превращения
пространства в замкнутое ]89
§ 12. Новое предсказание из теории Эйнштейна; минимум
эффективного углового размера отдаленных галактик 190
§ 13. Изменяется ли масса частиц со временем? Или с кри-
кривизной пространства-времеии? Или не меияется вовсе? 192
'лава V. Равновесие нейтрино и закон сохранения ну-
нуклонов ... 194
§ 1. Отсутствие равновесия для сверхкритических масс . 194
§ 2. Уравнение состояния 194
§ 3. Релятивистское гидростатическое равновесие .... 197
§ 4. Независимость от пути эволюции 199
§ 5. Критическая масса как катализатор образования и
аннигиляции нуклонов 202
§ 6. Непрозрачность по отношению к нейтрино 203
'лава VI. Слабость нейтринных взаимодействий .... 205
'лава VII. Центральная роль нейтрино в физике элемен-
элементарных частиц .... 206
Литература • 208
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Ч. Мизнер и Дж. У и л ер. классическая физика как
ГЕОМЕТРИЯ. ГРАВИТАЦИЯ, ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ, НЕ-
КВАНТОВАННЫЕ ЗАРЯД И МАССА КАК СВОЙСТВА
ИСКРИВЛЕННОГО ПУСТОГО ПРОСТРАНСТВА ■*1'
Литература 329
И. Дж. У и л е р. о природе квантовой геометродинамики 333
Литература
И. Дж. Мак-Витти, космология и интерпретация астро-
НОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ . . • •
Литература ....
r J r 079
V. Ф. X о й л ь. проверка космологии наблюдениями . . . «"*
Литература ^^

Д ж. У и я е р
Гравитация, нейтрино
и Вселенная
Редактор С. И. ЛАРИН
Худ. редактор Е. С. Подмарькова
Технический редактор В. П. Рыбкина
Корректор И. П. Максимова
Сдано в производство 2?/Х1196] г.
Подписано к печати 24/IV 1962 г.
Букага 84vlO(:V.s=6,3 б^м л.
20,7 печ. л.
Уч.-изд. л. 19,8. Изд. №. 2/0443
Цена 1 р. 59 к. Зак. 3001
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза
Ленинград, Измайловский пр., 29

ОПЕЧАТКИ
Стр.
12
132
161
168
172
173
196
Строка
17 сн.
8 св.
1 сн.
8 »
7 »
3 »
5 »
Напечатано
h'(o).s-h'(o).s
Основное состояние
волновой функции
В. Бергмана
значения
возможности
больше
электрополяции
Следует читать
hr{a).s.h*{a).T
Волновая функция
основного состояния
В. Баргмана
задания
возможные
больше, и
интерполяции
По чьей
вине
Ред.
»
»
»
»
»
»
Зак. 3001.