с. в. вонсовский
МАГНЕТИЗМ
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ДИА-, ПАРА-,
ФЕРРО-, АНТИФЕРРО-,
И ФЕРРИМАГНЕТИКОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1971

531.9
В 73
УДК 538.0
Магнетизм. С. В. Вонсовский, монография, Главная редакция физико-математи-
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971.
Цель книги — изложить современное состояние физических представлений
о магнитных свойствах различных твердых тел. •
В первой части изложены основные сведения об электродинамике, термодина-
термодинамике и статистической механике магнитных сред; дана также общая классификация
магнитных веществ.
Вторая часть книги посвящена физике магнетизма слабомагнитных веществ,
не обладающих атомным магнитным порядком, т. е. диа- и парамагнетиков. Здесь
рассмотрен диамагнетизм неметаллических тел, магнитные свойства сверхпроводни-
сверхпроводников, парамагнетизм атомов, молекул и кристаллов, магнитные свойства слабомаг-
слабомагнитных металлов и полупроводников; рассмотрен электронный парамагнитный резо-
резонанс (ЭПР), гальвано- и термомагнитные свойства, магнетооптические явления и мето-
методы магнитного охлаждения тел.
Третья часть посвящена описанию сильномагнитных веществ, обладающих
атомным магнитным порядком, т. е. ферро-, ферри- и антиферромагнетиков. Здесь
дано качественное описание ферро- и антиферромагнетиков, теория молекулярного
поля, квантовая теория ферро- и антиферромагнетиков — д.- и /-металлов и сплавов;
приводятся основные положения современной теории технической кривой намагни-
намагничивания, проблемы магнетодинамики ферромагнетиков, немагнитные свойства маг-
магнитно-упорядоченных веществ. В конце книги описаны ядерные эффекты в веществах
с атомным магнитным порядком.
Табл. 57. Рис. 446. Библ. 7000 назв.
Сергеи, Васильевич Вопсовский
Магнетизм
М., 1971 г., 1032 стр. с илл.
Редактор А. А. Гусев
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректоры Т. С. Плетнева, Н. Д. Дорохова
Сдано в набор 16/III 1971 г. Подписано к печати 1/IX 1971 г. Бумага 70xl08Vie
Физ. печ. л. 64,5. Условн. печ. л. 90,30. Уч.-изд. л. 103,5. Тираж 12 000 экз.
Т-14341. Цена книги 6 р. 73 к. Заказ 847.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография №16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9
2-3-2
87-71

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАГНЕТИЗМА
Глава 1. Введение 15
§ 1. Общие замечания A5). § 2. Краткие исторические сведения о раз-
развитии учения о магнетизме веществ A7). Литература к главе 1 B2).
Глава 2. Краткие сведения о магнитных свойствах электрона и электронной
оболочки атома 24
§ 1. Спин и спиновый магнитный момент электрона B4). § 2. Орби-
Орбитальный магнетизм одноэлектронного атома B5). § 3. Орбитальный
магнитный момент оболочки многоэлектронного атома B5). § 4. Зее-
мановское расщепление атомных энергетических уровней B9). § 5.
Аномальный магнитный момент электрона C2). § 6. Магнитный моно-
поль Дирака C3). § 7. Атом во внешнем магнитном поле: парамаг-
парамагнитный и диамагнитный эффекты C3). Литература к главе 2 C5).
Глава 3. Краткие сведения о магнитных свойствах нуклонов и атомных ядер 36
§ 1. Магнитные моменты протона и нейтрона C6). § 2. Магнитные
моменты атомных ядер C6). § 3. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
и взаимодействие сверхтонкой структуры (СТС) C8). Литература
к главе 3 D0).
Глава 4. Основы электродинамики магнетиков 41
§ 1. Магнитные действия постоянного электрического тока D1).
§ 2. Магнитные действия магнетиков, намагниченность D3). § 3. Ос-
Основные типы магнетиков D5). § 4. Кривая намагничивания, петля
гистерезиса и магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
D6). § 5. Теорема Ампера D8). § 6. Общее микроскопическое
определение магнитного момента D8). Литература к главе 4 D9).
Глава 5. Основы термодинамики и статистической механики магнетиков 50
§ 1. Уравнения 1-го и 2-го начала термодинамики E0). § 2. Термоди-
Термодинамические условия равновесия E2). § 3. Основные дифференциаль-
дифференциальные соотношения термодинамики E2). § 4. Статистическая механи-
механика E3). § 5. Общее квантовомеханическое определение энергии
и среднего магнитного момента электрона в магнитном поле E6).
Литература к главе 5 E8). .
— 3 —

Глава 6. Классификация магнетиков по основным опытным данным .... 59
§ 1. Феноменологическая классификация E9). § 2. Физическая клас-
классификация E9). § 3. Основные типы магнитных состояний вещества
F2). § 4. Детальная физическая классификация магнитных состоя-
состояний вещества F3). Литература к главе 6 F6).
часть п
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ, НЕ ОБЛАДАЮЩИХ
АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ. СЛАБОМАГНИТНЫЕ
ТЕЛА — ДИАМАГНЕТИКИ И ПАРАМАГНЕТИКИ
Глава 7. Диамагнетизм систем слабовзаимодействующих атомов, молекул
и неметаллических кристаллов 69
§ 1. Теория диамагнитной восприимчивости атомов, ионов и молекул
F9). § 2. Основные опытные данные G7). § 3. Метод молекуляр-
молекулярных орбит (82). § 4. Магнитное экранирование ядер (83). § 5. Диа-
Диамагнетизм неметаллических кристаллов (84). Литература к главе 7 (86)
Глава 8. Магнитные свойства сверхпроводников 89
§ 1. Критическая температура и критическое магнитное поле (89).
§ 2. Магнитные свойства сверхпроводников (91). § 3. Основы микро-
микроскопической теории сверхпроводимости. Куперовские пары (92). § 4.
Объяснение магнитных свойств',(94). § 5. Природа «промежуточного»
состояния по Ландау (доменная структура) (96). § 6. Природа поверх-
поверхностной энергии на границе сверхпроводящей фазы. Сверхпроводники
I и II рода (97). § 7 Феноменологическая теория Гинзбурга — Ландау
и ее обобщение по Абрикосову — Горькову (98). § 8. «Накач-
«Накачка» магнитного потока с помощью сверхпроводника A01). § 9. Раз-
Разрушение сверхпроводимости током A01). § 10. Квантование магнит-
магнитного потока A02). § И. Гиромагнитный эффект A02). Литература
к главе 8 A04).
Глава 9. Парамагнетизм систем слабовзаимодействующих атомов и молекул 107
§ 1, Теория? парамагнетизма атомов и ионов A07), § 2. Основные
опытные данные A20). § 3. Парамагнетизм молекул A26). Литера-
Литература к главе 9 A29).
Глава 10. Парамагнетизм кристаллов — твердых солей и других неметалли-
неметаллических соединений 130
§ 1. Типы неметаллических парамагнитных кристаллов A30). § 2.
Влияние на магнитные ионы внутрикристаллического окружения (поле
лигандов) A30). § 3. Гамильтониан магнитного иона в кристалле
A31). § 4. Частные случаи, различающиеся величиной лигандного
поля A32). § 5. Теоретико-групповая трактовка внутрикристалличе-
ских расщеплений уровней магнитных ионов A33). § 6. Физическая
интерпретация расщепления атомных уровней в кристаллах A43). § 7.
Влияние спина и «замораживание» орбитальных моментов A47). § 8.
Теоретико-групповая трактовка спин-орбитального расщепления A51).
§ 9. Теорема Крамерса A53). § 10. Эффект Яна — Теллера A54).
§ И. Оценки величин расщеплений A55). § 12. Эффект «разморажи-
«размораживания» орбитальных моментов A56). § 13. Метод спин-гамильтониана

A59). § 14. Учет магнитного взаимодействия ионов A61). § 15. Гиро-
Гиромагнитное отношение ионов в парамагнитных кристаллах A62).
Литература к главе 10 A64).
Глава 11. Магнитные свойства металлов, не обладающих атомной магнитной
структурой 166
А. Металлы нормальных групп 166
§ 1. Введение A66). § 2. Основные свойства идеального ферми-газа.
Поверхность Ферми A68). § 3. Паулиевский парамагнетизм электро-
электронов проводимости A70). § 4. Диамагнетизм электронов проводимости
A75). § 5. Основы электронной теории (слабого) магнетизма металлов
с произвольным законом дисперсии A87). § 6. Эффект де Гааза —
ван Альфена при произвольном законе дисперсии B07).
Б. Металлы переходных групп ' 216
§ 7. Магнитные свойства переходных металлов B16). Литература
к главе И B24).
Глава 12. Магнитные свойства полупроводников 229
-§ 1. Электронная структура полупроводников B29). § 2. Условие
нейтральности, химический потенциал B31). § 3. Различные состав-
составляющие магнитной восприимчивости B35). § 4. Сравнение с опытом
B47). § 5. Связь магнитных свойств полупроводников с природой
химических связей в них B51). § 6. Заключение B51). Литература
к главе 12 B52).
Глава 13, Магнитный (электронный) резонанс в веществах, не обладающих
атомным магнитным порядком 254
§ 1. Циклотронный резонанс B54). § 2. Электронный парамагнитный
резонанс B78). § 3. Резонансное поглощение звука в парамагнетиках
(магнетоакустический парамагнитный резонанс) C00). Литература
к главе 13 C03).
Глава 14. Гальвано- и термомагнитные явления в металлах и полупроводни-
полупроводниках, не обладающих магнитным порядком 313
§ 1. Феноменологическая теория гальвано- и термомагнитных эффектов
C13). § 2. Магнетосопротивление и эффект Холла C18). § 3. Микро-
Микроскопическая теория магнетосопротивления и эффекта Холла по модели
свободных электронов C20). § 4. Трудности модели свободных электронов
C23). § 5. Модель двух полос (двухзонная модель) и правило Коле-
Колера C25). § 6. Теория гальваномагнитных явлений в металлах при
произвольном законе дисперсии C27). §.7. Гальваномагнитные явле-
явления в квантующем магнитном поле C35). § 8. Термомагнитные явления
в квантующем магнитном поле C39). Литература к главе 14 C42).
Глава 15. Магнетооптические явления 346
§ 1. Феноменологическая теория эффекта Фарадея и эффекта Коттона—
Мутона (Фохта) C46). § 2. Микроскопическая теория C52). § 3.
Магнетооптические свойства полупроводников C57). § 4. Магнетоопти-
Магнетооптические свойства металлов C60). § 5. Геликоны C60). § 6. Фотомаг-
Фотомагнитный эффект (эффект Кикоина — Носкова) C62). § 7. Рассеяние
света на магнитном поле C63). Литература к главе 15 C63).
— 5 -

Глава 16. Магнитное охлаждение . 368
§ 1. Введение C68). § 2. Магнитный метод охлаждения C68).
§ 3. Метод магнитного охлаждения для ядерных парамагнетиков C75).
§ 4. Время релаксации при адиабатическом размагничивании C75).
§ 5. Типичная схема магнитных установок для получения сверхнизких
температур C77). § 6. Использование сверхпроводящего фазового
перехода для получения низких температур C79). § 7. Использование
адиабатического размагничивания металлов и некоторые другие вопросы
C80). Литература к главе 16 C81).
часть ш
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ С АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ
ПОРЯДКОМ. СЙЛЬНОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА — ФЕРРОМАГНЕТИКИ,
АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ, ФЕРРИМАГНЕТИКИ
Глава 17. Самопроизвольная намагниченность и природа атомных носите-
носителей магнетизма веществ 385
§ 1. Основные свойства ферромагнетиков C85). § 2. Основные свой-
свойства антиферромагнетиков и ферримагнетиков C89). § 3. Молекуляр-
Молекулярное поле Вейсса C91). § 4. Определение природы атомных носителей
магнитного момента по парамагнитному эффекту C93). § 5. Обменное
взаимодействие: метод магнитной нейтронографии C97). Литература
к главе 17 C98).
JTji а в а 18. Феноменологическое описание ферромагнитного состояния веще-
вещества 400
§ 1. Феноменологическая теория молекулярного поля D00). § 2.
Уточнение теории молекулярного поля в рамках квазиклассического
метода D07). § 3. Термодинамическая теория ферромагнитного! пре-
превращения D17). § 4. О критических явлениях вблизи точки Кюри
D31). § 5. Попытки построения строгой теории фазовых переходов
второго рода D38). § 6. Магнитные переходы первого рода D40).
Литература к главе 18 D46).
Глава 19. Теория самопроизвольной намагниченности ферромагнетика . . 455
§ 1. Обменная теория ферромагнетизма — метод энергетических центров
тяжести D55). § 2. Классическая теория спиновых волн D62)
§ 3. Квантовая теория спиновых волн D72). § 4. Уточнение теории
ферромагнонов D84). § 5. Применение квантовостатистического мето
да функций Грина D92). § 6. Оценка параметра обменного взаимо-
взаимодействия E03). Литература к главе 19 E05).
Глава 20. Теория ферромагнетизма и антиферромагнетизма переходных
металлов _ 512
§ 1. Предварительные замечания E12). § 2. Распределение зарядо-
зарядовой и спиновой электронной плотности в d- и] /-металлах E13). § 3
Обменное взаимодействие в /- и d-металлах E21). § 4. Ферромагне
тизм в модели коллективизированных электронов E26). § 5. Основы
s — /-обменной модели E53). § 6. Особенности магнитных и некоторых
других физических свойств редкоземельных металлов E64). § 7. Микро-
Микроскопическая s — /-обменная модель E74). § 8. Объяснение магнитных
— 6 —

свойств РЗМ на основе s —/-обменной модели E89). § 9. Заключитель-
Заключительные замечания F03). Литература к главе 20 F05).
Глава 21. Атомный магнитный порядок в металлических сплавах 615
§ 1. Классификация магнитных сплавов F15). § 2. Атомные магнитные
моменты и точки Кюри ферромагнитных сплавов F16).§ 3. Сильно раз-
разбавленные растворы парамагнитных атомов в кристаллах F25). § 4.
Общая задача поведения атомов магнитной примеси в металлических
кристаллах F30). § 5. Теория бинарных ферромагнитных сплавов по
модели Гейзенберга F38). § 6. Спин-волновая теория магнитно-упо-
магнитно-упорядоченных кристаллов с примесями F51). § 7. Эффекты, обусловлен-
обусловленные взаимодействием примесей F59). § 8. Случай линейных и плоских
дефектов F64). § 9. Зависимость среднего атомного магнитного момен-
момента сплава от состава и степени порядка по s — rf-модели F66). § 10.
Средний магнитный момент сплава с обменными взаимодействиями раз-
разных знаков F67). § 11. Заключительные замечания F71). Литерату-
Литература к главе 21 F72).
Глава 22. Теория антиферромагнетизма и ферримагнетизма 679
§ 1. Вводные замечания F79). § 2. Проблема основного состояния
F80). § 3. Нейтронографические исследования антиферромагнетиков
F86). § 4. Косвенная обменная связь в неметаллических соедине-
соединениях F87). § 5. Квазиклассическая теория антиферромагнетизма (при-
(приближение молекулярного поля) G02). § 6. Термодинамическая теория
антиферромагнетизма G14). § 7. Теория спиновых волн в антиферро-
антиферромагнетиках G18). § 8. Квазиклассическая теория ферримагнетизма
G24). § 9. Теория магнитных структур в антиферромагнетиках неме-
неметаллах по Дзялошинскому G41). § 10. Феноменологическая трактов-
трактовка ферримагнетизма G42). § И. Слабый ферромагнетизм G49).
§ 12. Антиферромагнетики со слоистой структурой и метамагнетизм
G59). § 13. Антиферромагнитные металлы G61). § 14. Ферромаг-
Ферромагнетизм и антиферромагнетизм соединений элементов rpynmjj урана
G62). Литература к главе 22 G63).
Глава 23. Теория кривых намагничивания ферромагнетиков 774
§ 1. Введение G74). § 2. Основные типы взаимодействий в ферромаг-
ферромагнитном кристалле G74). § 3. Другие типы магнитной анизотропии
G89). § 4. Распределение самопроизвольной намагниченности в кри-
кристалле G93). § 5. Малые (однодоменные) ферромагнитные частицы
(800). § 6. Суперпарамагнетизм (805). § 7. Тонкие ферромагнитные
пленки (808). § 8. Экспериментальные доказательства существования
доменов (811). § 9. Процессы намагничивания (826). § 10. Обра-
Обратимые процессы смещения (826). § И. Обратимые процессы вращения
(833). § 12. Приближение к насыщению (838). § 13. Магнитный
гистерезис (839). § 14. Магнитные материалы (853). Литература
к главе 23 (861).
Глава 24. Магнитно-упорядоченные вещества в переменных магнитных
полях и временные эффекты 878
§ 1. Дисперсия магнитной проницаемости (феноменологическая трак-
трактовка) (878). § 2. Влияние доменной структуры на дисперсию магнит-
магнитной проницаемости (881). § 3. Ферромагнитный резонанс, однород-
однородные магнетостатические колебания (886). § 4. Неоднородные магнето-
статические колебания (891). § 5. Спин-волновой резонанс (893).

§ 6. Связи ферромагнитного резонанса с магнетомеханическими эффек-
эффектами (895). § 7. Ферромагнитные релаксационные процессы и про-
проблема ширины резонансной линии (897). § 8. Нелинейные эффекты
и некоторые другие эффекты (898). § 9. Ферримагнитный и антифер-
антиферромагнитный резонанс (901). § 10. Магнитная вязкость (903). Лите-
Литература к главе 24 (907).
Глава 25. Влияние атомного магнитного порядка на немагнитные свойства
вещества 917
§ 1. Тепловые свойства (917). § 2. Магнитострикция и магнитоупру-
гие свойства ферромагнетиков (918). § 3. Электрические свойства
ферромагнетиков (925). § 4. Теплопроводность (940). § 5. Гальвано-
Гальваномагнитные и термомагнитные четные эффекты (941). § 6. Нечетные
кинетические эффекты (948). § 7. Оптические, магнетооптические
и некоторые другие свойства ферромагнетиков (958). § 8. Сверхпро-
Сверхпроводимость в металлах с магнитными ионами и влияние на нее магнитного
порядка (965). § 9. Эффект Кондо (969). Литература к главе 25 (974).
Глава 26. Ядерные методы исследований в магнетизме 987
§ 1. Введение (987). § 2. Магнитная нейтронография (987). § 3.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) в магнитно-упорядоченных веще-
веществах (993). § 4. Эффект Мессбауера и его применение в исследова-
исследованиях магнетизма A000). Литература к главе 26 A011).
Литература 1020
I. Общая литература A020). II. Сборники по различным вопросам
магнетизма A023). III. Всесоюзные и международные конференции по
различным вопросам магнетизма A026).
Предметный указатель 1027

Светлой памяти
Семена Петровича ШУБИНА,
учителя и друга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной физике учение о магнетизме — обширный раздел,,
органически связанный с большинством ведущих областей физической
науки. Это вытекает, прежде всего, из того факта, что у всех элементар-
элементарных частиц одним из основных первичных свойств являются их магнит-
магнитные характеристики. Все эти частицы, даже электрически нейтральные-
(например, нейтрон), суть носители элементарных магнитных моментов.
Электромагнитное поле также «наполовину» относится к магнетизму. Все
это делает магнетизм универсальным явлением природы. С магнитными
свойствами и процессами мы встречаемся повсюду — от микромира
до безграничных просторов космоса.
Автор еще в 1952 г. сделал попытку дать обзор состояния физики
магнитных явлений частиц и веществ (см. книгу «Современное учение
о магнетизме», Гостехиздат, М., 1952). Однако после выхода этой книги
в этой области физики произошли весьма заметные изменения, вызванные
все возрастающим потоком информации со стороны эксперимента и раз-
развитием теории. На наших глазах происходит процесс непрерывного обнов-
обновления и омоложения этой весьма почтенной по возрасту (более 2000 лет!)
физической дисциплины. Как и во всех областях естествознания, здесь-
блестяще оправдывается гениальное предвидение В. И. Ленина о вечном
прогрессе науки: «Электрон так же неисчерпаем, как и атом, природа
бесконечна...» *). В данном случае можно сказать: магнетизм материи
неисчерпаем в своих проявлениях!
Действительно, каждый новый шаг в физике, связанный с дальней-
дальнейшими, более детальными сведениями о свойствах микрочастиц, одновре-
одновременно раскрывает перед нами все новые и новые черты и их больших кол-
коллективов — макроскопических тел. «Передний край науки», там, где-
познают принципиально новые, ранее совершенно неизвестные нам свой-
свойства материи, тесно связан со всем, что было открыто ранее; в этой диа-
диалектической связи и заключена вечная молодость всех «старых» разделов
науки.
Для иллюстрации достаточно напомнить о том перевороте, который
произошел в физике конденсированных сред, в том числе и в физике
их магнитных свойств, 35—40 лет назад после появления квантовой
механики, являвшей собой новый этап в физике микромира. Тогда была
создана зонная теория твердых тел (кристаллов), в которой были преодо-
преодолены, казалось бы неразрешимые трудности («катастрофы») классической
электронной теории Друде — Лорентца. Зонная теория в свою очередь
привела к фундаментальным открытиям в физике металлов и полупровод-
полупроводников. В области магнетизма квантовая механика позволила впервые-
дать теоретическое объяснение равновесных магнитных свойств веществ,
которые не могли быть поняты в рамках классической статистической
*) В. И. Ленин, Полное собрание сочинений, 5-е издание, том 18, стр. 277,.
Госполитиздат, 1961.
— 9 —

механики. Квантовая теория магнетизма вещества шаг за шагом снимала
трудности, имевшиеся в классической теории (парамагнетизм щелочных
металлов, природа ферромагнетизма и т. п.), а также указала путь для
новых открытий (диамагнетизм Ландау, осцилляционные эффекты в маг-
магнитном поле, антиферромагнетизм, ферримагнетизм и т. п.).
Успехи в физике микромира, связанные с изучением атомного ядра,
также сказались и на дальнейшем развитии учения о магнетизме.
Здесь прежде всего следует упомянуть, во-первых, о широком при-
применении ядерных методов к исследованию свойств и структуры магнети-
магнетиков, а именно о магнитной нейтронографии, ядерном магнитном резо-
резонансе (ЯМР), магнитном аспекте резонансного поглощения гамма-лучей
(эффект Мессбауэра) и т. п., и, во-вторых, об открытии специфических
магнитных свойств нуклонов (магнитные форм-факторы), атомных ядер
и их совокупностей.
Наконец, существенное значение приобрели эффекты, связанные
с магнитным взаимодействием ядерной и электронной систем вещества
(сверхтонкая структура спектров — оптических ЯМР, ЭПР и т. т).
В самое последнее время передний край фронта исследований в физике
переместился в область изучения внутренней структуры элементарных
частиц, установления связи между ними (систематика элементарных частиц
по их основным характеристикам, в известной мере аналогичная тому,
что было сделано в прошлом веке Д. И. Менделеевым для атомов хими-
химических элементов). Следует ожидать, что успехи в этой области физики
приведут к новым открытиям и в области магнетизма. Первой ласточкой
этого является использование гипотезы кварков для объяснения аномаль-
аномальных магнитных моментов нуклонов.
Главная цель автора при написании этой книги состояла в том, чтобы
изложить, по возможности в доступной форме, ту ситуацию, которая
сложилась в магнетизме вещества к настоящему времени. Естественно,
что охватить одинаково подробно все многочисленные аспекты физики
магнитных явлений в одной книге — практически невыполнимая задача.
Поэтому в настоящей монографии затронут лишь круг вопросов, свя-
связанных с наиболее важными магнитными явлениями, протекающими
в макроскопических веществах.
Книга состоит из трех частей: первая часть — основные понятия
и представления магнетизма (гл. 1—6); вторая часть — магнитные свой-
свойства веществ, не обладающих атомным магнитным порядком (гл. 7—16);
третья часть — магнитные свойства веществ с атомным магнитным поряд-
порядком (гл. 17—26).
В начале первой части дается общее введение (гл. 1), затем приводятся
краткие сведения об электронном и ядерном магнетизме в атомных мас-
масштабах (гл. 2 и 3). В следующих разделах дана краткая сводка по фено-
феноменологической электродинамике, термодинамике и статистической меха-
механике магнитных сред (гл. 4 и 5). Гл. 6 посвящена общей классификации
магнитных веществ.
Последующие десять глав G—16), составляющие вторую часть книги,
посвящены отдельным проблемам магнетизма слабомагнитных веществ,
не обладающих атомным магнитным порядком (диа- и парамагнетики).
Последовательно рассмотрены диамагнетизм неметаллических тел (гл. 7),
магнитные свойства сверхпроводников (гл. 8), парамагнетизм систем
слабовзаимодействующих атомов и молекул (гл. 9), парамагнетизм кри-
кристаллов—твердых солей и других неметаллических тел (гл. 10), магнитные
свойства слабомагнитных металлов (гл. 11), полупроводников (гл. 12).
В гл. 13 рассмотрены различные типы электронного резонанса (цикло-
(циклотронный резонанс, ЭПР и др.) в веществах, лишенных атомного магнит-
магнитного порядка, а в гл. 14 и 15 — соответственно гальвано- и термомагнит-
термомагнитные свойства ж магнетооптические явления в этих телах. Наконец, в гл. 16
описаны методы магнитного глубокого охлаждения тел.
— 10 —

Третья наибольшая по объему часть монографии посвящена магнит-
магнитным свойствам веществ, обладающих атомным магнитным порядком,—
ферро-, антиферро- и ферримагнетиков. Вводная гл. 17 содержит фено-
феноменологическое описание ферро- и антиферромагнетиков. Далее изложе-
изложены: теория молекулярного поля (гл. 18), основы квантовой теории само-
самопроизвольной намагниченности ферро- и антиферромагнетиков (гл. 19).
Квантовой теории ферромагнитных металлов d- и /-типа посвящена гл. 20.
Состояние теории ферромагнитных сплавов изложено в гл. 21. Общая
теория антиферро- и ферримагнетизма дана в гл. 22. В гл.23 приводятся
основные положения современной теории кривых намагничивания и пере-
магничивания ферромагнитных веществ. Магнетодинамике ферромагне-
ферромагнетиков, т. е. их поведению в переменных магнитных полях (и другим вре-
временным эффектам), отведена гл. 24. Специфическое поведение некоторых
типичных немагнитных свойств в магнитно-упорядоченных веществах
рассмотрено в гл. 25. Наконец, в последней гл. 26 описаны ядерные
эффекты в веществах с атомным магнитным порядком.
В монографии автор ограничился в основном рассмотрением
физической стороны магнитных свойств макроскопических веществ.
Проблемы прикладного магнетизма — магнитные материалы, магнитные
измерения, магнитные методы контроля, магнитная дефектоскопия и т. п.—
почти не рассматриваются; о них лишь упоминается в связи с теми или
иными физическими проблемами (см., например, гл. 23). Эти практиче-
практические вопросы требуют специального подробного рассмотрения в отдель-
отдельных книгах. По тем же причинам не рассмотрен земной и космический
магнетизм, магнитная гидродинамика, магнитные свойства плазмы и т. д.
Книга не преследует энциклопедических целей. В ее задачу входит
лишь ввести читателя в самую гущу современных идей и трактовок, а также
новых результатов в различных разделах учения о магнетизме веществ —
этой живой и быстро развивающейся отрасли физической науки.
Важную часть настоящей книги составляет библиография. Работы,
цитируемые в каждой главе, даются в конце ее под номерами, ссылки
на них в тексте главы даются в квадратные скобках (например: см. работу
Турова [46]). Монографии, учебники и обзоры, часто упоминаемые в тек-
тексте (во всех главах), приведены в конце книги в разделе I «Общая литера-
литература» в алфавитном порядке по авторам. Ссылки на них в тексте даются
по фамилии автора и году издания (в скобках), например: Белов A957).
В дополнение к общей литературе приведен также список (см. II «Сбор-
«Сборники по различным вопросам магнетизма») сборников статей, коллектив-
коллективных монографий и некоторых томов продолжающихся изданий (типа
«Solid State Physics»), целиком или частично посвященных вопросам маг-
магнетизма. Эти сборники, как таковые, не упоминаются в тексте, за исклю-
исключением случаев, когда из них цитируются отдельные статьи (тогда ссылки
даются обычным путем в конце глав). Наконец, дан список проходивших
за последние 20 лет конференций по магнетизму (III. «Всесоюзные и меж-
международные конференции по различным вопросам магнетизма»); в этом
списке указан город и год проведения конференции, а также приводятся
данные о публикации трудов соответствующей конференции. Таким обра-
образом, эта литература, приведенная в конце книги, имеет самостоятельное
значение и может быть использована для справок.
Списки статей, цитированных в каждой главе, составляют свыше
7000 названий и, как надеется автор, отражают основные работы на период
написания книги, но при этом никак не претендуют на энциклопедическую
полноту. Работы по различным аспектам магнетизма появляются непре-
непрерывно и в очень большом числе, и поэтому работы самого последнего
времени, появившиеся в период подготовки книги к печати (со второй
половины 1969 г.), упомянуты лишь в отдельных довольно редких случаях.
По своему содержанию, уровню и форме изложения книга рассчита-
рассчитана на широкий круг читателей. В первую очередь это физики-магнитологи
— 11 —

а также все физики и физико-химики, работающие в различных областях
физики твердого тела. Книга может представлять интерес для металлове-
металловедов и металлургов, занимающихся изготовлением и обработкой магнит-
магнитных материалов и использующих магнетизм как метод исследования и кон-
контроля качества промышленной продукции. Книга принесет также извест-
известную пользу инженерам электрикам, радиотехникам и специалистам
до радиоэлектронике, интересующимся применениями магнитных мате-
материалов. Кроме того, читателями книги могут быть аспиранты и студенты
старших курсов физических и физико-технических факультетов универ-
университетов и вузов.
Автор посвятил эту книгу памяти С. П. Шубина. Это посвящение —
дань глубочайшей признательности своему учителю. С самых первых
шагов в науке,автор из лекций С. П. Шубина на теоретическом семинаре
впервые познакомился с основами квантовой теории магнетизма; особенно
ценным был оригинальный подход С. П. Шубина к оценке различных
физических концепций в этой области. В дальнейшей совместной научной
работе с С. П. Шубиным определился интерес автора к магнетизму и был
выработан метод анализа магнитных явлений и их теоретической интер-
интерпретации. Поэтому и в настоящей книге в трактовке многих проблем,
естественно, получили отражение научные идеи большого ученого
С. П. Шубина.
Хотя эта книга, имеет одного автора, но в ходе работы над ней автор
получал большую помощь от своих коллег по работе, своих друзей и уче-
учеников. Невозможно перечислить имена всех, кому автор в т.ой или иной
степени обязан за эту помощь. Однако некоторых из них автор считает
себя обязанным упомянуть и поблагодарить. Это прежде всего мои бли-
ближайшие коллеги: К. Б. Власов, Н. В. Волкенштейн, А. Н. Волошин-
ский, П. С. Зырянов, Ю. А. Изюмов, Б. В. Карпенко, Л. Я. Кобелев,
А. Н. Мень, А. И. Мицек, С. А. Немнонов, М. С. Свирский, С. К. Сидо-
Сидоров, Е. А. Туров, В. И. Черепанов, В. П. Широковский, Я. С. Шур.
Особенно мне хочется поблагодарить А. А. Гусева, который уделил
много времени и труда работе над рукописью всей книги. Его строгая
и вместе с тем доброжелательная критика во многом способствовала улуч-
улучшению изложения во всех главах книги.
Приношу также благодарность моим бывшим аспирантам В. В. Дяки-
ну и Р. Ф. Егорову за их работу по корректировке многих глав книги.
Выражаю свою благодарность также моим зарубежным коллегам:
К. Херрингу, Дж. Гудинафу, Р. В. де Блуа, В. Жаккарино, X. П. Вейну,
Г. Бушу за присланные ими препринты, обзоры, отдельные работы и фото-
фотографии.
Неоценимую помощь в многолетней работе над книгой мне оказывала
моя жена и друг Л. А. Шубина. Эта помощь проявлялась не только в систе-
систематическом и большом труде по корректировке текста и по многократному
перепечатыванию рукописи книги, но и в постоянном внимании и вооду-
воодушевлении автора для его работы над книгой. За это творческое участие
в работе над книгой я приношу ей свою глубочайшую благодарность.
Автор надеется, что, несмотря на неизбежные недостатки, эта книга
будет благосклонно принята читателем, принесет ему пользу и послужит
важному делу — прогрессу науки и техники нашей Родины.
СВ. Вонсовский

ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАГНЕТИЗМА

В первой части сначала дается общее введение, гДе приводятся краткие истори-
исторические сведения о развитии учения о магнетизме веществ, описаны современные пред-
представления и задачи физики магнетизма, а также программа книги и ее назначе-
назначение (гл. 1).
Поскольку магнетизм веществ, изложению теории которого посвящена настоя-
настоящая монография, определяется магнитными свойствами системы электронов и атомных
ядер в телах, то после общего введения приводится краткая сводка необходимых для
последующего изложения сведений о магнитных свойствах атомных носителей магне-
магнетизма — спиновом и орбитальном магнитных моментах электрона и электронной обо-
оболочки атома (гл. 2), а также нуклонов (протона и нейтрона) и образованных из них
атомных ядер (гл. 3). Таким образом, в этих двух главах дается основа для микроско-
микроскопической (квантовомеханической) трактовки физического механизма магнитных свойств
веществ.
В то же время конечной целью теории магнетизма веществ является объяснение
их макроскопических магнитных свойств. Поэтому здесь изложены также основы мак-
макроскопической (феноменологической) электродинамики магнетиков (гл. 4), термодина-
термодинамика и статистическая механика магнитных веществ (гл. 5).
В заключение первой части приводится общая физическая классификация магне-
магнетиков по их магнитным макроскопическим свойствам (гл. 6). В основу этой классифи-
классификации положен качественный анализ экспериментальных фактов, сравнение числен-
численных оценок некоторых энергетических характеристик, вытекающих из современных
теоретических представлений о взаимодействии атомных носителей магнетизма между
собой и с внешними магнитными полями.
В ходе изложения введены и основные понятия и определения физики магне-
магнетизма, сформулированы общие законы магнитных явлений. Все эти сведения и дан-
данные используются в последующих частях монографии и могут служить для справоч-
справочных целей.

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Общие замечания
Настоящая книга посвящена систематическому изложению совре-
современного учения о магнитных свойствах различных веществ окружающего
нас мира. На первый взгляд можно, казалось бы, предположить, что
в этой области физической науки все уже устоялось и имеется вполне
законченная во всех деталях физическая картина явлений, в которой уже
сделаны все завершающие мазки. Действительно, магнетизм — это далеко
не новая отрасль человеческих знаний. Из глубины веков приходят к нам
красивые легенды, случайно сохранившиеся летописи, отрывки поэтиче-
поэтических сочинений древних натурфилософов о замечательных и загадоч-
загадочных магнитных свойствах некоторых веществ — минералов. Таинствен-
Таинственность магнитного притяжения, этого actio in distance *), непонимание
древними его материальной природы невольно подсказывали людям,
находившимся в плену религиозных верований, мысли о связи магнетизма
с проявлением неких духовных сил. Не случайно термин «магнетизм»
стал использоваться как синоним «оккультных явлений». И хотя в дей-
действительности магнетизм представляет собой вполне объективное мате-
материальное явление природы, интерес и внимание людей к нему из-за этого
не только не уменьшились, но, напротив, непрерывно возрастают. Несмот-
Несмотря на то, что о существовании магнетизма мы знаем уже давно, что при
изучении магнитных явлений накоплен огромный опытный материал
и на основе квантовой механики электрона уже построен прочный теоре-
теоретический фундамент магнетизма, тем не менее магнетизм до сих пор остает-
остается интенсивно развивающейся областью физики, в''которой буквально
каждодневно появляются новые интересные, ранее^ совсем неизвестные
факты и возникают новые направления. Это вполне согласуется с общей
диалектикой развития научных знаний, когда «старые» отрасли науки
непрерывно «омолаживаются», впитывая результаты новых открытий,
возникающих на «переднем крае науки». Так, например, успехи атомной,
а затем ядерной физики, раскрывшие в деталях микроскопический физи-
физический механизм внутриатомных движений, позволили одновременно
раскрыть и микромеханизм магнитных свойств веществ, а вместе с этим,
как из рога изобилия, посыпались новые открытия в области магнетизма.
Можно ожидать, что новый этап в развитии микрофизики, который назре-
назревает в настоящее время в связи с исследованиями элементарных частиц
и процессов при высоких энергиях, создаст соответствующий резонанс
и в физике магнитных явлений. Первой ласточкой является попытка
использования магнитных свойств протона и нейтрона для проверки
разумности гипотезы кварков.
Современная наука достаточно глубоко проникла в сущность магнит-
магнитных явлений и вскрыла их основные квантовые закономерности. Это
позволило с большим эффектом заставить служить эту замечательную
силу природы человеческому обществу. Научные и технические
Действие на расстоянии.
— 15

¦применения магнетизма в наши дни столь обширны и разнообразны, что
.делают физику магнитных явлений одним из важнейших разделов естество-
естествознания, имеющим большие практические применения в ведущих отраслях
современной техники.
При попытке дать определение магнетизму мы сталкиваемся с фактом
его необычайной универсальности. Магнитные свойства обнаруживаются
во всем окружающем мире, от мельчайших материальных образований —
элементарных частиц — до безграничных космических просторов, запол-
заполненных магнитными полями.
В наиболее общем виде магнетизм можно определить как особую
форму материальных взаимодействий, возникающих между движущимися
электрически заряженными частицами. Передача магнитного взаимодей-
взаимодействия, реализующая связь между пространственно разделенными мате-
материальными объектами, осуществляется особым материальным носите-
носителем — магнитным полем. Оно является важнейшей характеристикой
электромагнитной формы материи *). Между магнитным и электрическим
полями нет полной симметрии. Источниками электрического поля являют-
являются электрические заряды, которыми обладают элементарные частицы —
электроны, протоны, мезоны и т. п. Аналогичных магнитных зарядов
мы пока не наблюдали в природе, хотя гипотезы об их существовании
высказывались (см. гл. 2). Источником магнитного поля, как уже сказано,
является движущийся электрический заряд, т. е. электрический ток.
В атомных масштабах для электронов и нуклонов имеются два типа микро-
микроскопических токов — орбитальные, связанные с переносным движением
центров тяжестей этих частиц, и спиновые, связанные с внутренними
степенями свободы их движения. В атомных ядрах и электронных оболо-
оболочках атомов мы имеем дело с некоторым результирующим орбитальным
и спиновым магнитным эффектом. Количественной характеристикой маг-
магнетизма частицы является так называемый магнитный момент М. В слу-
случае элементарного замкнутого контура, в котором течет ток силой i,
величина вектора магнитного момента | М | равна произведению силы
тока на площадь S контура: | М \ = iS. Направление вектора момента М
определяется правилом буравчика (правого винта).
Поскольку все микроструктурные элементы веществ — электроны,
протоны и нейтроны — суть элементарные носители магнитного момента,
то и любые их комбинации — атомные ядра и электронные оболочки —
и комбинации этих комбинаций, т. е. атомы, молекулы и макроскопиче-
макроскопические тела, в принципе могут быть источниками магнетизма. Отсюда и сле-
следует утверждение об универсальном характере магнетизма веществ: маг-
магнитные свойства присущи всем веществам, т. е. все они суть магнетики.
Внешнее магнитное поле оказывает влияние на эти атомные орбитальные
и спиновые токи (моменты). Известны два основных эффекта внешнего маг-
магнитного поля. Во-первых, диамагнитный эффект, являющийся след-
следствием закона индукции Фарадея. По правилу Ленца магнитное поле
всегда создает такой индукционный ток, магнитное поле которого направ-
направлено против начального поля. Поэтому создаваемый внешним полем диа-
диамагнитный момент всегда отрицателен по отношению к этому полю.
Во-вторых, если в атоме существует результирующий отличный от нуля
магнитный момент (спиновый, орбитальный или оба), то внешнее поле
будет стремиться ориентировать этот собственный атомный магнитный
момент вдоль своего направления. В результате возникает параллель-
параллельный полю положительный момент, который называют парамагнитным.
Из-за универсальности диамагнитного эффекта все вещества обладают
диамагнетизмом. Однако фактически диамагнетизм наблюдается далеко
*) Строго говоря, магнитное и электрическое поля — это две неразрывные сто-
стороны единого электромагнитного поля. Только в частном случае статических полей
можно говорить об их относительно самостоятельном существовании" (подробнее
см. гл. 4).
— 16 —

не у всех веществ. Это объясняется тем, что во многих случаях диамаг-
диамагнитный эффект перекрывается более сильным парамагнитным эффектом.
Таким образом, в веществах, называемых парамагнетиками, мы факти-
фактически всегда наблюдаем разностный магнитный эффект между преобла-
преобладающим парамагнетизмом и меньшим диамагнетизмом.
Хаотическое тепловое движение атомов всегда стремится разрушить
упорядоченное расположение атомных магнитных моментов. Магнитное
поле, например, в случае парамагнитного эффекта будет производить
тем большее упорядочивающее действие, чем больше абсолютная величи-
величина энергии атомного момента в поле (равная М -Л, т. е. произведению
атомного магнитного момента М на напряженность магнитного поля Н)
по сравнению со средней тепловой энергией кТ (к — постоянная Больц-
мана, Т — абсолютная температура).
Существенное влияние на магнитные свойства вещества может ока-
оказать также внутреннее взаимодействие между атомными магнитными
моментами. В некоторых случаях реализуется такая ситуация, что с точки
зрения этого взаимодействия оказывается энергетически выгоднее, чтобы
в веществе существовал самопроизвольный (не зависящий от внешнего
поля) атомный магнитный порядок. Этот случай осуществляется в веще-
веществах, которые называют ферромагнетиками (если атомные магнитные
моменты расположены параллельно друг другу) или антиферромагне-
антиферромагнетиками (если атомные моменты расположены антипараллельно, напри-
например в шахматном порядке).
Сложность атомной структуры веществ, построенных из огромного
числа атомов, приводит к практически неисчерпаемому разнообразию
их магнитных свойств. Все более глубокое проникновение в мельчайшие
детали атомного строения веществ позволяет нам непрерывно получать
и новые сведения о деталях их магнитных свойств.
Вполне естественно, что магнитные свойства вещества связаны с его
немагнитными свойствами — электрическими, механическими, оптиче-
оптическими и т. п. Эта взаимосвязь явлений позволяет очень часто использовать
исследования магнитных свойств как тонкий источник информации
о внутренней структуре как микрочастиц, так и тел макроскопических
размеров. Эта возможность с успехом реализована в современной теории
атома и атомного ядра, а в настоящее время начинается ее реализация
и при построении теории элементарных частиц и при исследованиях
космоса.
Универсальность магнетизма открыла широкие возможности для его
применений в технике. Во-первых, на основе изучения магнитных свойств
вещества можно создавать технические магнитные материалы, играющие
важнейшую роль в современной энергетике, электротехнике, радиотех-
радиотехнике, радиоэлектронике и т. п. Во-вторых, используя «информацион-
«информационный» аспект магнетизма, можно, измеряя магнитные характеристики,
получить детальные сведения о других физических свойствах тел, которые
зачастую оказываются труднодоступными для непосредственного изуче-
изучения. Это «информационное» использование магнитных измерений поло-
положено в основу широко применяемых в технике методов магнитно-струк-
магнитно-структурного анализа и магнитной дефектоскопии, важнейших неповреждаю-
щих методов контроля качества промышленной продукции.
§ 2. Краткие исторические сведения о развитии учения
о магнетизме веществ *)
Открытие магнитных свойств вещества произошло, по-видимому,
несколько тысяч лет тому назад. Наиболее древние письменные свидетель-
свидетельства о магнетизме идут из Китая. В частности, более двух тысяч лет тому
*) Интересный исторический этюд о магнетизме дан в 1-й главе книги Маттиса
A967).
2 СВ. Вонсовский — 17 —

назад китайский историк Сума Тзян (см., например, [1]) собрал достаточ-
достаточно надежные отрывки древних летописей, в которых описывались при-
применения естественных постоянных магнитов в виде компасов. Поэтому
надо считать, что в Китае магнетизм впервые был использован в практи-
практических целях. Вполне понятно, конечно, что само явление магнетизма
естественных постоянных магнитов было известно человеку задолго
до изобретения компаса.
В античную эпоху свойства магнитов были также хорошо известны.
Указанием на это может служить упоминание о «камне магнитном», вызы-
вызывающем бушующее движение железных опилок и колец, которое мы нахо-
находим в гениальной натурфилософской поэме знаменитого римского ученого-
материалиста Лукреция Кара «О природе вещей» [2]. Само название
«магнетизм», по-видимому, ведет свое начало от города Магнессы в Малой
Азии, вблизи которого была гора с залежами магнетитовой руды. Грече-
Греческие натурфилософы Фалес, Анаксагор, Диоген, Эмпедокл, Эпикур
и Демокрит в своих трудах и поэтических сочинениях уделяли внимание
чудесным свойствам магнитов и делали первые попытки их объяснения.
В средние века магнетизм также привлекал внимание. Свидетельством
этому может служить экспериментальная работа 1269 г. о магните Пьера
Перегрина де Марикура (псевдоним — Петрус Перегринус). В эпоху
Возрождения наиболее подробные исследования по магнетизму принад-
принадлежат известному английскому натурфилософу Уильяму Гильбертут
закончившему в 1600 г. свой многолетний большой труд «De Magnete» [3],
в котором был подведен итог всему, что в то время было известно о магне-
магнетизме. Почти одновременно с трудом Гильберта вышел из печати труд
о магнетизме итальянского ученого Иона Баптиста Порта [4]. Оба эти
ученые считали, что магнитные силы относятся к классу духовных сил.
Материалистическую концепцию магнетизма мы находим в трудах вели-
великого французского философа Рене Декарта, который дал первую подроб-
подробную теорию магнетизма [5]. Эпинус — немецкий физик, работавший
в России, применил в теории магнетизма [6] франклиновскую однофлюид-
ную гипотезу. Его ученик в Швеции Джоан С. Валлис и голландец Антон
Бургманс в 1778 г. (последний впервые открыл экспериментально притя-
притяжение парамагнетиков и отталкивание диамагнетиков, но еще не ввел этих
понятий), а также Шарль Кулон развили двухфлюидную теорию маг-
магнетизма.
Однако настоящее начало развитию учения о магнитных свойствах
материи было положено лишь в первой половине XIX века *), когда
Эрстед [7] в 1820 г. открыл магнитные действия электрического тока,
а затем Ампер (также в 1820 г. [8]) высказал свою знаменитую гипотезу
молекулярных токов, в которой была предвосхищена в качественной
форме современная электронная теория магнитных свойств атомов и
веществ. Гипотеза Ампера основывается на его знаменитой теореме экви-
эквивалентности токов и магнитов, в которой последовательно проводится
чисто токовая концепция происхождения магнетизма (см. гл. 4). Тем
не менее долгое время с амперовской токовой концепцией конкурировала
идея элементарных магнитиков (магнитных диполей). Первая детальная
математическая разработка идеи атомных магнитиков принадлежит Вебе-
ру A854 г.) [9] и в более позднее время Юингу [10].
Огромный вклад в учение об электромагнетизме сделал великий
английский ученый М. Фарадей [11], который в 1831 г. открыл закон
электромагнитной индукции и ввел впервые термин «магнитное поле».
Вскоре после этого русский академик Ленц A834 г.) [12] установил зна-
знаменитое правило о направлении магнитного поля индукционного тока.
Стройная система законов электромагнитного поля в последовательной
*) Несколько раньше Кулон A788 г.) распространил открытый им закон взаимо-
взаимодействия точечных элементарных зарядов на взаимодействие точечных полюсов
магнита.
— 18 —

математической форме была сформулирована в замечательных работах
Максвелла [13]. Предсказанные Максвеллом электромагнитные волны
открыл Герц [14]. Дальнейшее развитие максвелловской теории с учетом
электронного строения вещества предпринял Лорентц [15] в его клас-
классической электронной теории, в рамках которой ему удалось объяснить
большую совокупность магнитных свойств и, в частности, явление рас-
расщепления линий атомных спектров в магнитном поле, открытое в 1896 г.
Зееманом [16]. Большое значение для атомного магнетизма имела уста-
установленная Лармором теорема [17] о прецессии электронов во внешнем
магнитном поле.
Параллельно с развитием общей классической теории магнетизма
в XIX веке шло также развитие многих конкретных вопросов физики
магнитных явлений. Так, например, Фарадей в 1845 г. развил опыты
Бургманса и установил существование диа- и парамагнитного эффектов
(он же ввел эти термины). Подробные экспериментальные исследования
диа- и парамагнитных веществ в широком интервале температур проводил
Пьер Кюри [18], который установил практическую температурную незави^
симость диамагнитной восприимчивости и знаменитый закон Кюри для
температурного хода парамагнитной восприимчивости. Ланжевен A905 г.)
[19], используя теорему Лармора и лорентцевскую электронную теорию,
развил электронную (классическую) трактовку диамагнетизма и пара-
парамагнетизма.
Систематическое изучение магнитных свойств ферромагнетиков была
начато в знаменитой работе А. Г. Столетова A873 г.) «О функции намаг-
намагничивания железа» [20], в которой впервые была снята кривая магнитной*
проницаемости ферромагнетика (кривая Столетова). Одновременно в этой
работе были предложены два важнейших измерительных метода — метод;
тороида с замкнутой магнитной цепью и баллистическое измерение намаг-
намагниченности, которые с тех пор стали основными методами магнитных,
измерений ферромагнитных веществ. Исследования Столетова имелш
важное значение не только для развития физики ферромагнетизма,
но и дали рациональные основы для расчетов магнитных цепей электри-
электрических машин и трансформаторов.
Впервые идея о существовании внутри ферромагнитного тела особого
«молекулярного поля» была высказана в 1892 г. русским физиком
Б. Л. Розингом [21], который называл это поле «частичной магнитной
силой», вызываемой «магнитным движением вещества». Количественно
последовательную термодинамическую теорию «молекулярного поля»
в ферромагнетиках разработал известный французский физик П. Вейсс
122]. В основу этой теории он положил две гипотезы. Первая гипотеза
о существовании самопроизвольной намагниченности в области темпера-
температур от 0° К до критической температуры ферромагнетизма — точки
Кюри — независимо от присутствия внешнего магнитного поля. Однако
из опыта было известно, что в отсутствие внешнего поля при охлаждении
ферромагнитного образца ниже точки Кюри он всегда оказывается в целом
размагниченным. Это привело Вейсса ко второй гипотезе, по которой
ферромагнитный образец ниже точки Кюри в отсутствие внешнего поля
разбивается на малые области — домены, каждая из которых намаг-
намагничена спонтанно, но векторы намагниченности распределены по обла-
областям так, что результирующий магнитный момент образца равен нулю.
И только в присутствии внешнего магнитного поля начинается ориента-
ориентация векторов намагниченности доменов вдоль поля и возникает резуль-
результирующий момент в образце.
Результаты экспериментального изучения анизотропии ферромаг-
ферромагнитных свойств монокристаллов, полученные в работах П. Вейсса [23],
Бека [24] и других, нашли свое теоретическое объяснение в известных
исследованиях Н. С. Акулова [25], в которых были заложены основы
современной теории кривых намагничивания ферромагнитных моно-
- 19 — 2*

и поликристаллов, в первую очередь в области процесса вращения. Почти
одновременно с работами Акулова появились работы Гейзенберга [26],
Беккера [27], Блоха [28], Бозорта [29] и других, в которых развивались
различные аспекты теории намагничивания ферромагнитных веществ.
Опыты Сикстуса и Тонкса [30] наглядно подтвердили идею Лангмюра
о существовании процессов смещения граничных слоев между ферромаг-
ферромагнитными доменами. В работе Френкеля и Дорфмана [31] впервые были
оценены равновесные размеры однодоменных частиц ферромагнетиков.
Знаменитая работа Ландау и Лифшица A935) [32] дала окончательное
теоретическое обоснование гипотезе Вейсса о доменах, и в ней также была
предложена конкретная модель доменной структуры, которая была потом
обнаружена экспериментально с помощью визуального наблюдения
выхода доменной структуры на поверхность ферромагнитного кристалла
методом порошковых осадков, предложенным Биттером [33] и Акуловым
и Дехтяром [34]. Этот метод затем усовершенствовали Эльмор [35], Вильяме,
Бозорт и Шокли [36]. А позже к нему добавились также магнетооптиче-
ские и электроннооптические методы (см. гл. 23).
В работах Акулова [25], Блоха [37], Беккера и Керстена [38] и в осо-
особенности в работах Кондорского [39] были заложены основы современной
теоретической трактовки процессов магнитного гистерезиса. В работах
Януса и Шура [40] были выяснены закономерности анизотропии коэрци-
коэрцитивной силы в ферромагнитных монокристаллах, которые нашли свое
объяснение в рамках предложенных теоретических трактовок процессов
перемагничивания [41]. Важное значение имели работы Брауна [42]
по микромагнетизму, работы Деринга [43], Киттеля [44], Нееля [45],
Керстена [46] и других.
Физическая природа ферромагнитного состояния вещества была
раскрыта лишь после появления квантовой механики. Существенное зна-
значение в истории этого открытия сыграли опыты по гиромагнитным эффек-
эффектам, в которых была открыта спиновая природа ферромагнетизма в боль-
большинстве известных тогда ферромагнетиков. Поэтому стало ясным, что
ферромагнетизм есть особая форма спинового парамагнетизма. Однако,
как это вытекало из теоремы Бора — Ван-Леевен [47—48] (этот результат
был развит позже Терлецким [49]), классическая физика не могла в прин-
принципе объяснить равновесные магнитные свойства веществ, так же как
и динамическую модель электронной структуры атомов. Эта очередная
катастрофа классической физики могла быть ликвидирована лишь после
появления теории атома по Бору и затем последовательной квантовой
механики. Последняя дала законченное объяснение механизма орбиталь-
орбитального магнетизма — законы квантования механических и магнитных
моментов (пространственное квантование), сложение орбитальных и спи-
спиновых моментов, аномалию спинового g-фактора и т. п. Была объяснена
тонкая и сверхтонкая структура спектральных линий, открыт магнетизм
атомных ядер. Опыты Штерна и Герлаха [50] дали первые эксперимен-
экспериментальные методы измерения атомных и молекулярных магнитных моментов.
| ^Работа Паули [51] ликвидировала другую катастрофу классической
электронной теории — неспособность объяснить температурную незави-
независимость парамагнетизма щелочных металлов. Дорфман [52] первый ясно
указал, что это свойство щелочных металлов является специфическим
магнитным свойством электронов проводимости металлического кри-
кристалла. В работе Паули было количественно показано, что температурно-
независимый парамагнетизм щелочных металлов действительно является
прямым следствием фермиевского распределения электронов проводи-
проводимости. Работы Паули [51], Зоммерфельда [53], Френкеля [54] по электрон-
электронной теории металлов, Ландау [55], Пайерлса [56] по диамагнетизму элек-
электронов проводимости, работы Ван-Флека [57] по квантовой теории пара-
парамагнетизма положили начало современной квантовой теории магнитных
свойств вещества.
— 20 —

В области слабомагнитных веществ значительный прогресс был
достигнут после открытия ряда осцилляционных и резонансных магнитных
эффектов (де Гааз и ван Альфен [58], Шубников и де Гааз [59], Дорфмап
[60], Дингл [61], Азбель и Канер [62]). В теории магнитных и гальвано-
гальваномагнитных свойств слабомагнитных веществ металлов и полупровод-
полупроводников значительные успехи были получены в особенности в результате
развития зонной теории с произвольным законом дисперсии. Развитие
этого направления связано главным образом с работами И. М. Лифшица
с сотрудниками [63]. Непосредственными предшественниками основных
работ по квантовой теории ферромагнетизма можно считать работу Изинга
A925) [64], работу Дорфмана [65] (доказавшую немагнитную природу
молекулярного поля), а также работы Гейзенберга [66] (по атому гелия)
и Гайтлера и Лондона [67] (по молекуле водорода). В этих работах был
открыт и теоретически объяснен обменный эффект электростатического
взаимодействия электронов в оболочке атомов и молекул и установлена
его непосредственная связь с магнитными свойствами электронных систем,
для которых надо учитывать принцип Паули.
Квантовомеханическая теория ферромагнетизма была создана в рабо-
работах Френкеля [68] (коллективизированная модель) и Гейзенберга] [69]
(модель локализованных спинов). Затем коллективизированная модель
ферромагнитных металлов и сплавов развивалась в работах Блоха [70],
Стонера [71], Мотта [72], Слэтера [73], Вольфарта [74]. Гейзенберговская
модель локализованных спинов развивалась в работах Блоха [75], Ван-
Флека [77], Холстейна и Примакова [76]. Была также предложена про-
промежуточная полярная модель кристаллов в работах Слэтера [78], Шубина
и Вонсовского [79], Боголюбова и Тябликова [80]. Шубин [79] также
предложил s — d-обменную модель ферромагнитных металлов, которая
получила развитие в работах Вонсовского [81], Вонсовского и Турова
[82], Зинера [83], Касуйи [84] и Иосиды [85].
Ландау [86] и Неель [87] предсказали существование антиферромаг-
антиферромагнетизма. В работе Нееля [88] была дана теория ферримагнетизма. Крамере
[89] и затем Андерсон [90] развили теорию косвенного обменного взаимо-
взаимодействия. Работа Ландау [91] по теории фазовых переходов второго рода
дала толчок к систематическим исследованиям магнитных фазовых пере-
переходов. После открытия Неелем ферримагнетизма и введения представле-
представления о магнитных подрешетках были предсказаны, а затем обнаружены
неколлинеарные магнитные структуры. Здесь в первую очередь следует
упомянуть работы Дзялошинского по слабому ферромагнетизму [92J
и по теории винтовых магнитных структур [93].
Огромное значение в развитии теории ферро- и антиферромагнетизма
имело применение ядерных методов исследования — магнитной нейтро-
нейтронографии, ядерного магнитного резонанса, эффекта Мессбауэра, ядер-
ядерного вклада в теплоемкость (см. гл. 26).
Работы Аркадьева [94] положили начало развитию магнетодинами-
ки — изучению поведения магнитных сред в переменных магнитных
полях. Дорфман [95] предсказал явление электронного парамагнитного'
резонанса (ЭПР), которое было затем открыто в работе Завойского [96].
Гортер [97] открыл явление парамагнитной релаксации.
При изучении магнитных свойств атомов и веществ приобретают
огромное значение исследования с применением сильных и сверхсильных
магнитных полей. Пионером в этой проблеме является П. Л. Капица
[98], проведший классические работы в импульсных полях до 300 кэ.
Биттер [99] впервые соорудил источник (соленоид) стационарных маг-
магнитных полей до 80 кэ.
Параллельно с развитием физики магнитных явлений шло развитие
технических применений магнетизма: создавались и совершенствовались
технические магнитные материалы, а также методы магнитного контроля,
магнитных измерений и магнитной дефектоскопии.
— 21 —

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1
1. Я. Г. Дорфман, Беседы о магнетизме, Изд-во АН СССР, М.— Л., 1950.
2. Lucretius Carus, De Rerum Natura, I век до н. э. (см. Лукреций,
О природе вещей, редакция и перевод с латинского Ф. А. Петровского, Изд.
АН СССР, М., 1946).
3. W. Gilbert, De Magnete, London, 1600 (см. В. Гильберт, О магните,
магнитных телах и о большом магните — Земле, перев. с англ., Изд-во АН СССР,
М., 1956).
4. John Baptista Port a, Natural Magick, Naples, 1589.
5. Descartes, Oeuvres, publiees par Ch. Adam et P. Tannery, Paris, 1897.
6. E. V. T. A e p i n o, Tentamentheriae electricitatis et magnetismi, Petropoli, 1759
(см. Э п и н у с, Теория электричества и магнетизма, перев. с лат. под ред.
Я. Г. Дорфмана, Изд-во АН СССР, М.— Л., 1951).
7. Н. Chr. Oersted, Experimenta circa efficaciam conflictus electrici in acum mag-
neticam, Hafniae, 1820 (см. Г.-Хр. Эрстед, Опыты, относящиеся к действию
электрического конфликта на магнитную стрелку, Копенгаген, 21 июля 1820 г.
(в переводе Я. Г. Дорфмана опубликована в добавлениях к русскому изданию
книги А. М. Ампера «Электродинамика», Изд-во АН СССР, М., 1954, стр. 433).
8. А.-М. Ampere, J,de phys. 91, 166 A820).
9. W. W e b e r Pogg. Ann. 87, 145 A854).
10. J. A. E w i n g, Magnetic induction in iron and other metals, The Electricien, Lon-
London, 1900.
11. M. Faraday, Experimental researches in electricity, v. 1—3, London, 1839—
1855 (cm. M. Ф a p а д е и, Экспериментальные исследования по электричеству,
перев. с англ., т. 1—2, Изд-во АН СССР, М., 1947—1951).
12. Э. X. Л е н ц, Pogg. Ann. 31 A834).
13. J. С. М а х w e 1 1, A Treatise on Electricity and Magnetism, London, 1873 (см. Дж.
Масквелл, Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перев.
с англ., Изд-во АН СССР, М., 1954).
14. Н. R. H e r t z Gesammelte Werke, Bd. 1—3, Leipzig, 1895—1914 [имеется перевод
в сборнике «50 лет волн Герца» (избранные статьи), Изд-во АН СССР, М.—Л., 1938].
15. Г. А. Л о р е н т ц, Теория электронов и ее применение к явлениям света и тепло-
теплового излучения, перев. с англ. Гостехиздат, М., 1953.
16. P. Zeeman, Zittingskersl. Amsterdam 5, 181, 242 A896); Phil. Mag. E), 43,
226 A897).
17. L. L a r m о г, Phil. Mag. 47, 503 A897).
18. P. С u r i e, Сотр. rend. 118, 796, 859, 1134 A894); J. de phys. 4, 197, 263 A895);
Ann. de chim. phys. 5, 289 A895).
19. P. L a n g e v i n, Ann. de chim. phys. (8), 5, 70 A905); J. de phys. 4, 678 A905).
20. А. Г. Столетов, Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, М., 1939, стр. 81.
21. Б. Л. Р о з и н г, ЖРФХО (часть физ.) 24, 105 A892); 28, 59 A896); 42, 71 A910).
22. P. W e i s s, J. phys. et radium 6, 661 A907).
23. P. W e i s s, J. phys. et radium 3, 194 A904).
24. K. Beck, Zurich, naturforsh. Ges. 63, 116 A918).
25. H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 52, 389 A928); 54, 582 A929); 59, 254 A930).
26. W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 69, 287 A931).
27. R. В е с k e r, Zs. Phys. 62, 253 A930).
28. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 74, 295 A932).
29. R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. 42, 882 A932).
30. K. S i x t u s, L. T о n k s, Phys. Rev. 37, 930 A931).
31. Я. И. Ф р е н к е л ь, Я. Г. Д о р ф м а н, Nature 126, 274 A930).
32. Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 A935).
33. F. В i 11 e r Phys. Rev. 38, 1903 A931).
34. H. С. А к у л о в, М. В. Д е х т я р, Ann. Phys. 15, 750 A932).
35. W. С. Е 1 m о г е, Phys. Rev. 53, 757 A938); 62, 986 A942).
36. Н. J. Williams, R. M. В о z о r t h, W. S h о с k 1 е у, Phys. Rev. 75, 155
A949).
37. Ф. Блох, Молекулярная теория" магнетизма, ОНТИ, М., 1934.
38. R. В е с к е г, М. К е г s t e n, Zs. Phys. 64, 660 A930).
39. Е. И. Кондоре кий, Phys. Zs. Ud. SSR 11, 597 A937).
40. P. И. Я н у с, Я. С. Ш у р, Phys. Zs. Ud. SSR 12, 383 A937).
41. С. В. В о н с о в с к и й, J. Phys. USSR 2, 11 A940).
42. W.F.Brown, Jr., Phys. Rev. 52, 325 A937); 53, 482 A938).
43. W. D 6 r i n g, Probleme der technischen Magnetizierungkurve, Berlin, 1938, S.
26-41.
44. Ch. К i 11 e 1, Phys. Rev. 69, 640 A946); 73, 810 A948).
45. L. N ё e 1, Cahiers phys. 25, 1, 22, 241 A944).
46. M. К e r s t e n, Phys. Zs. 44, 63 A943).
47. N. Bohr, Dissertation, Copenhagen, 1941.
48. J. A. van Leeuwen, Dissertation, Leiden, 1919; J. phys. et radium F), 2,
361 A921).
— 22 —

49. Я. П. Т е р л е ц к и й, ЖЭТФ 9, 796 A939).
50. W. G е г 1 а с h, О. S t e r n, Zs. Phys. 9, 349 A922).
51. W. P a u 1 i, Zs. Phys. 41, 81 A927).
52. Я. Г. Д о р ф м а н, Новые идеи в физике, Сборник № 11, Л., 1928.
53. A. Sommerfeld, Zs. Phys. 47, 1 A928).
54. Я. И. Ф р е н к е л ь, Zs. Phys. 47, 819 A928).
55. Л. Д. Л а н д а у, Zs. Phys. 64, 629 A930).
56. R. P e i е г 1 s, Zs. Phys. 80, 763 A933).
57. J. H. Van Vleck, Proc. Nat. Acad. Sci. 12, 662 A926); Phys. Rev. 29, 729
A926); 30, 31 A927); 31, 587 A928).
58. W. J. de H a a s, P. M. van A 1 p h e n, Proc. Amsterdam Acad. Sci. 34, 1249 A931).
59. Л. В. Ш у б н и к о в, W. de Haas, Leid. Comm. 207, 210 A930); Proc. Amster-
Amsterdam Acad. Sci. 33, 418 A930).
-60. Я. Г. Д о р ф м а н, ДАН СССР 81, 765 A951).
61. R. В. Dingle, Proc. Intern. Conf. of Very Low Temp., Oxford, 1951, p. 165.
•62. M. Я. А з б е л ь, Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 29, 876 A955).
•63. И. М. Л и ф ш и ц, Доклад на сессии физ.-матем. отделения АН УССР, декабрь
1951.
•64. Е. I s i n g, Zs. Phys. 31, 253 A925).
65. Я. Г. Д о р ф м ан, Nature 119, 353 A927).
•66. W. Heisenberg, Zs. Phys. 38, 411; 39, 499 A926); 41, 239 A927).
67. W. H e i t 1 e r, F. L о n d о n, Zs. Phys. 44, 455 A927).
68. Я. И. Френкель, Zs. Phys. 49, 31 A928).
69. W. Heisenberg, Zs. Phy s. 49, 619 A928).
70. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 57, 545 A929).
71. E. S toner, Phil. Mag. G), 15, 1018 A933); Proc. Roy. Soc. A154, 656 A936);
A165, 372 A938); A169, 339 A939). '
72. N. F. M о 11, Proc. Phys. Soc. 47, 571 A935).
73. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 49, 537 A936).
74. E.P. Wohlfarth, Proc. Leeds Phil. Soc. 5, 89 A948).
75. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 61, 206 A930).
76. Т. Н о 1 s t e i n, H. P r i m a k о f f, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
77. J. H. Van Vleck, Theory of electric and magnetic susceptibilities, Oxford,
1932.
78. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 36, 57 A930).
79. С. П. Шубин, С. В. В о н с о в с к и й, Proc. Roy. Soc. A145, 159 A934).
80. Н. Н. Боголюбов, С. В. Т я б л и к о в, ЖЭТФ 19, 251, 256 A949).
«1. С. В. В о н с о в с к и й, ЖЭТФ 16, 981 A946).
82. С. В. В о н с о в с к и и, Е. А. Туров, ЖЭТФ 24, 419 A953).
83. С. Zener, Phys. Rev. 81, 440 A951).
«4. Т. К a s u у а , Prog. Theor. Phys. 16, 45 A956).
85. К. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 A957).
86. Л. Д. Л а н д а у, Phys. Zs. UdSSR 4, 675 A933).
87. L. N eel, Ann. de phys. 17, 64 A932); J. phys. et radium 3, 160 A932).
88. L. N e e 1, Ann. de phys. 3, 137 A948).
89. H. A. Kramers, Physica 1, 182 A934).
90. P. W. Anderson, Phys. Rev. 79, 350 A950).
51. Л. Д. Л анд ay, ЖЭТФ 7, 19 A937).
92. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 32, 1547; 33, 807, 1454 A957).
¦93. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 1420, 1722; 47, 336, 992 A964).
94. В. К. Аркадьев, ЖРФХО (часть физ.) 44, 165 A912).
95. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 17, 98 A923).
«6. Е. К. 3 а в о й с к и й, J. Phys. USSR 8, 377 A944).
97. К. Г о р т е р, Парамагнитная релаксация, ИЛ, М., 1949.
98. П. Л. Капиц a, Proc. Roy. Soc. A123, 292 A929).
39. F. В i 11 e r, Rev. Sci. Instr. 10, 373 A939).

Глава 2
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХ
ЭЛЕКТРОНА И ЭЛЕКТРОННОЙ ОБОЛОЧКИ АТОМА*)
§ 1. Спин и спиновый магнитный момент электрона
Современная физика твердо установила, что элементарная частица материи —
электрон, являющаяся основной составной частью атома (его оболочки), может быть-
двояким источником магнетизма — спинового и орбитального. Первый связан с соб-
собственным механическим моментом электрона, его спином, а второй — с переносным,
или орбитальным движением электрона в атоме, молекуле, кристалле и т. п. Как из-
известно, спин электрона s по величине равен
где 2л% = h = 6,6256-Ю-2' дрг-сек — постоянная Планка, s = г/2 — спиновое кван-
квантовое число. Направление вектора s определено лишь с точностью до одной слагающей
(вдоль оси квантования z). Имеются лишь две возможные проекции спина на ось z,
равные по величине и обратные по знаку:
«г = 1в,Й=±-|, B.2>
где ms = ± 1/2 —магнитное спиновое квантовое число. Спин электрона обладает
магнитным моментом, две, соответствующие B.2), возможные проекции которого равны
B-3>
где | е | = 4,80298-Ю-10 СГСЭ — электронный заряд, т = 9,1091 -Ю-28 г — масса
покоя электрона, с = 2,997925-Ю10 см-сек-1— скорость света в вакууме. Из B.3)
следует, что по направлению магнитный момент электрона антипараллелен спину (из-за
отрицательного знака заряда электрона, е < 0), а по абсолютной величине его проек-
проекции B.3) равны «атому» электронного магнетизма — магнетону Бора:
\^ъ\ = ^~~ = 0,92732-10-20 арг.гс-1. B.4)
Абсолютная величина спинового магнитного момента, согласно B.1) и B.3), равна
\^\ = -\^-V3^=V^B. B.5)
Из сравнения формул B.1) — B.5) следует, что отношение спинового магнитного
момента электрона к его спину (магнетомеханическое отношение **)) равно
g'= -^ =-L^I B.6>
Ss s тс '
или в единицах | е \/2тс получаем
gs = 2. {2.1}
В то же время по классическим законам для электрона, вращающегося по орбите, это
отношение (см. ниже) должно быть в два раза меньше. Эта так называемая гиромагнит-
гиромагнитная аномалия спина была объяснена в релятивистской квантовой механике Дирака
[см., например, Шифф A957)], а экспериментально наблюдалась при измерениях
гиромагнитного отношения в ферромагнетиках (см. гл. 17) или аномального эффекта
Зеемана [Шпольский A950)]. Используя B.7), формулу B.3) можно записать в виде
*) См., например, Шпольский A963), Блохинцев A961), Ландау и Лифшиц,
A963), Шифф A957), Компанеец A957).
**) Обратная величина | s/\is | = тс/ | е \ = ys называется гиромагнитным отно-
отношением.
— 24 -

§ 2. Орбитальный магнетизм одноэлектронного атома
Согласно квантовой механике стационарные состояния одноэлектронного атома
определяются четырьмя квантовыми числами: п — главным, I — орбитальным, тог—
магнитным орбитальным и ms — магнитным спиновым. Главное квантовое число п.
в первом, нерелятивистском, приближении определяет энергии стационарных состоя-
состояний атома еп (п = 1, 2, 3, . . .). Орбитальное кванто-
квантовое число I определяет абсолютную величину возмож-
возможных значений механического орбитального момента
Квантовые числа I—целые и (при данном п) прини-
принимают п возможных значений: I = 0, 1, 2, . . ., (п — 1).
Электронные состояния, которым отвечают эти числа,
именуются соответственно s (I = 0), р (I = 1), d (I =2),
/ (I = 3), g (I = 4) и т. д. по латинскому алфави-
алфавиту. Проекции орбитального механического момента на
ось квантования z (например, на направление внеш-
внешнего однородного магнитного поля Л) определяются
квантовыми числами mi
B.10)
-3] z.
Квантовые числа тог также целые и при заданном I име-
имеют 21 + 1 возможных значений: m, = I, (Z-1), ...
. . ., 0, . . ., — (I — 1), —I. На рис. 2.1 приведена графи-
ческая иллюстрация по векторной модели пространст-
венного квантования орбитального момента для /-со-
стояния с I = 3. Орбитальному механическому мо-
моменту SOJ; соответствует орбитальный магнитный момент с абсолютной величиной
Рис. 2.1. Пространственное
квантование (и прецессия}
орбитального механического
момента (дляг .= 3).
B.11)
Для возможных проекций орбитального магнитного момента по B.10) получаем
Для орбитального магнетомеханического отношения по аналогии с B.6) находим
\е\
8 Г
'2тс '
или, в единицах | е \/2тс,
gl = l-
Используя B.14), формулу B.12) можно записать в виде
B.14)
Векторная модель атома вводит в рассмотрение еще одно дополнительное квантовое-
число /, которое определяет полный механический момент электрона в атоме, равный
векторной сумме его орбитального и спинового моментов:
где
/ = Z±s=Z± —. B.17V
§ 3. Орбитальный магнитный момент оболочки
многоэлектронного атома
1. Векторная модель электронной оболочки. В приближении центрально-симме-
центрально-симметричного самосогласованного поля можно сохранить те же квантовые характеристики
состояний отдельных электронов, что и в водородоподобном атоме, а именно п, I, гаг,
ms. Квантовое состояние при этом определяется электронной конфигурацией, т. е.
числом электронов с заданными п и I. В соответствии с принципом Паули в каждом
эквивалентном состоянии (с данными п и I) может находиться не более 21 B1 + 1)
— 25 —

.электронов; когда это число достигнуто, возникает замкнутый электронный слои:
п12B1+1>, например, Is2, 2р6 и т. д. В табл. 2.1 приведена схема последовательного
заполнения таких слоев.
Таблица 2.1
Последовательное заполнение электронных слоев в оболочках атомов
Конфигурация с данными п та. 1
N. 1
П N.
1
2
3
4
5
6
7
S
1S2
2s2
3s2
4s2
5s2
6s2
7s2
V
2p2
3p2
4p2
5p2
6pe
7po
d
3dl°
4ЙЮ
5di»
6di°
7ЙЮ
4/14
5/14
6/14
7/14
g
5gl8
6gl8
7gl8
h
6Л22
7Л22
ft
7/c26
Полное
число
электро-
электронов в слое
2
8
18
32
50
72
98
Сим-
Символ
слоя
к
L
М
N
О
Р
Q
Для полного квантового описания многоэлектронных оболочек кроме конфигу-
конфигурации надо задать еще полные моменты — орбитальный L и спиновый S. Первый опре-
определяется орбитальным квантовым числом L, которое, например, в случае двух элек-
электронов с квантовыми числами 1± и 12 имеет следующие возможные значения:
>%)•
B.18)
Аналогичные правила сложения имеют место и для суммарного спинового момента S
-со спиновым квантовым числом S. Полный момент количества движения J равен
векторной сумме моментов L и S, т. е.
lJ = L-}-S. B.19)
Соответствующее квантовое число полного момента /, если
дующие значения:
J=L~}-S, L + S — i,
S, принимает сле-
сле, L — S, всего 2S-\-i значений; B.20)
«если же L<^S, то
J=S+L,^S+L—i,
., S—L, всего 2Z,-j-l значений.
B.21)
¦Соответствующая группа уровней 2S -\-1 при L > S обычно называется мулыпиплетом
{при L<S полная мультиплетность не достигается, поскольку число уровней
в мультиплете равно 2Z. + 1). Величина вектора J равна
B.22)
Проекции вектора J на ось квантования (как и проекции L и S) имеют лишь цело-
целочисленные значения в единицах h:
Jz=mjh,
где результирующие квантовые числа mj имеют 2J-\-i возможных значений:
Следовательно,
mj
/\
cos(J", H) =
У/G+1) '
B.23)
B.24)
B.25)
2. LS- и jj-евяяи *). Выше сложение моментов производилось так: орбитальные
и спиновые моменты отдельных электронов складывались в результирующие моменты
L я S. Это соответствует LS-связж, или рессел-саундерсовской связи, когда электро-
-статическое взаимодействие между электронами в оболочке значительно больше маг-
магнитного спин-орбитального взаимодействия. Поэтому разности энергий состояний
-электронной оболочки с различными моментами L и S заметно больше, чем разности
нее энергий с теми же L и S, но различными /, т. е. различными взаимными ориента-
*) См. Герцберг A948), Кондон и Шортли A949).
— 26 —

щиями этих заданных L и S. Эти близко друг к другу лежащие уровни в мультиплете
образуют тонкую структуру энергетического спектра оболочки атома. Разности элек-
электростатических энергий с различными L и S обычно лежат в интервале от 0,1 до 1,0 эв
{это в несколько раз меныпе разностей энергий между уровнями различных конфигу-
конфигураций, которые составляют обычно несколько электрон-вольт). Энергия спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия зависит от угла между векторами L и S и
приближенно имеет вид
XL-S, B.26)
<где X—константа спин-орбитальной связи. Соответствующий энерге-
энергетический уровень для какого-то из возможных значений / [см. B.30)
дли B.21)] будет определяться как
1
¦Здесь использованы следующие формулы:
Рис. 2.2. Сло-
Сложение механи-
механических и маг-
магнитных мо -
ментов элект-
электронной обо-
оболочки атома.
|?|2 =
В оболочках атомов тяжелых химических элементов магнитная
«пин-орбитальная связь может быть очень велика, и поэтому векторы
lt и S; отдельных электронов сначала связываются между собой в
вектор полного момента данного электрона jt = ?г-|-вг, и только за-
затем происходит сложение отдельных jt в суммарный момент атома J.
.Эта связь носит название //-связи.
3. Результирующий магнитный момент и фактор Ланде мно-
многоэлектронного атома. Результирующий магнитный момент электрон-
электронной оболочки ц. в силу гиромагнитной аномалии спина (gs ^ь g^ не
¦будет совпадать по направлению с результирующим механическим
моментом B.20) [см. Герцберг A948), Кондон и Шортли A949)].
На рис. 2.2 это показано графически. В избранном условном масштабе длина вектора
Jib равна длине вектора L, поэтому вектор ц8 в два раза длиннее вектора S. Результи-
Результирующий вектор магнитного момента ц. составляет с вектором J угол, отличный от 180°.
Нас будет интересовать лишь слагающая полного магнитного момента вдоль направ-
направления результирующего момента JT. Эта слагающая равна сумме проекций ц.?, и fis
на направление вектора J, т. е.
/\ /\
Hj=HbCos(i, Jr) + (j,scos(S, J). B.28)
Применяя обычные тригонометрические формулы к треугольнику, образованному
векторами L, S и JT, получим
/\
cos (L, <Т) =
cos (S, J) =
S(S+l)-\-J(J-\-i)-L(L + l)
B.29)
Подставляя B.29) в B.28), а также значения ць = ~]/L (L +1) \i5 и [J.s = 2 ~\/s (S-\-i) цБ,
иаходим
где
2/G +
B.30>
B.31)
— так называемый фактор Ланде электронной оболочки. Если L = 0, то / = S я gj =
= gs = 2; если же S = 0, то / = L и gj = gj_, = 1. Из B.31) видно, что gj-фактор
для различных составляющих мультиплета меняется по величине в определенных пре-
пределах, соответствующих при данных L и S экстремальным значениям квантового числа
J, а именно при L > S — значениям J = L ± S:
- 27

при L<C S — значениям J=S ± L:
Слагающие полного магнитного момента вдоль направления внешнего поля могут
иметь 27-j-l возможных значений, определяемых магнитными квантовыми числами
B.24):
V(zJ) = gjmjVB, B.34>
т. е. получаем выражение, аналогичное B.8) и B.15) только при gj = gs и gj = g^
В качестве эффективного магнитного момента атома обычно приводят не его проекцию
на вектор J', а максимальное положительное значение проекции (| mj |макс = /) на
магнитное поле:
4. Правило Хунда. Последовательность уровней с одинаковой конфигурацией,,
но различными L я S по величине энергии определяется двумя известными эмпириче-
эмпирическими правилами наивысшей мультиплетности, установленными Хундом A927) *).
Первое правило: наименьшей энергией обладает терм **) с наибольшим (при
заданной конфигурации) значением суммарного спина S и наибольшим (при этом зна-
значении S) суммарным орбитальным моментом L.
¦ Второе правило: если L и S не равны нулю, то, когда в слое оболочки nl нахо-
находится меньше половины максимального возможного числа электронов [т. е. меньше
B1 -\- 1)], наименьшую энергию имеет уровень мультиплета с /= \ L — S \, а при
числе электронов больше B1 +1) — уровень с / = L + S.
Правила Хунда можно записать еще так:
1а) Суммарное спиновое квантовое число ? = 2 ms в основном состоянии мак-
максимально в пределах, допускаемых принципом Паули.
16) Суммарное орбитальное квантовое число ?=2 ть в основном состоянии
максимально в пределах, допускаемых правилом 1а).
2) Суммарное квантовое число полного момента / для не полностью застроенного»
слоя дается выражениями:
J = L — S, если слой заполнен менее чем наполовину;
J = L -\- S, если слой заполнен больше чем наполовину.
Рассмотрим, с какими значениями S и L мы имеем дело при застройке электрон-
электронной оболочки для первых элементов таблицы Менделеева. В атоме Не с двумя элек-
электронами в оболочке в основном состоянии суммарные спиновый и орбитальный
моменты равны нулю: д5не=?'Не=0- Если добавить еще два электрона (т. е. перейти
в таблице через элемент Li с Z = 3 к элементу Be с Z = 4), то основному состоянию-
опять соответствует магнитно нейтральная оболочка с S#e = L#e = 0. Однако если
мы добавим еще два электрона, т. е. перейдем к атому углерода С (Z = 6) с шестью
электронами, то здесь характер заполнения нарушается. В основном состоянии атома
С с тремя парами электронов имеем Sq, = 1 и Lc = 1. Таким образом, если просмот-
просмотреть, например, первые 18 элементов в. таблице с четным числом электронов (вплоть
до элемента криптона cZ= 36), то только 8 из них магнитно нейтральны (т. е. у них
S = L = 0) в основном состоянии; из них 4 — инертные газы: Не, Ar, Ne, Кг и 4 дру-
других элемента — с замкнутыми валентными слоями Be Bs2), Mg Cs2), Ca Cp24s^>
и Zn Cdlo4s2). Все эти 8 атомов имеют основное состояние 1<S0 (см. примечание
о термах**). В качестве примера рассмотрим еще, как из правил Хунда определить
основные термы некоторых ионов. Ион Fe2* имеет незаполненный Зй-слой с шестью-
электронами:
1 \ 1 1 \ 1
_1__1__J__1_ 9
—2" 2 +2+ 2+2 2 '
Fe2+ === ^ —(— 2 =
*) См. также Маттис A967), Герцберг A948), Компанеец A957) и работы [1—3].
**) Для спектральных термов приняты следующие обозначения. В основе сим-
символа стоит орбитальное квантовое число L. т. е. буквы S, P, D, F, G, Н и т. д., соот-
соответствующие Z, = 0, L, 2, 3, 4, 5, . . . Слева вверху пишется индекс, равный 2<S + 1,
который указывает число состояний мультиплета с данным / (при S < L), справа
внизу — индекс, равный /, а индекс справа вверху указывает четность состояния
(g — четное им — нечетное). Например, для основного состояния атома железа имеем,
? что соответствует L = 2, / = 4, S = 2.
- 28 —

и, следовательно, основной терм будет 5?>4. Для иона Еи2+ имеем 7 электронов
в незаполненном 4/-слое:
11111117
и основной терм будет /
Качественно правила Хунда вытекают из требования минимума энергии электро-
электростатического взаимодействия электронов в атоме, а именно обменной части этого взаи-
взаимодействия (здесь, конечно, необходимо учитывать принцип Паули). Правила Хунда
имеют существенное значение для определения магнитных характеристик электронной
¦оболочки атомов.
5. Застройка электронных оболочек атомов — нормальные и переходные эле-
элементы. Прежде чем привести данные для магнитных моментов атомов всех элементов,
напомним, что приведенная в табл. 2.1 последовательность конфигураций при запол-
заполнении слоев электронной оболочки фактически нарушается, начиная с элемента калия
<К; Z = 19). В атоме калия и следующего за ним элемента кальция (Са; Z = 20)
начинают заполняться не Зй-состояния, которые следуют «по порядку» после заполнив-
заполнившихся у аргона (Ar; Z = 18) Зр-состояний, а следующие состояния 4s. Только у скан-
скандия (Sc; Z = 21) начинается запоздалое заполнение десятиместного Зй-слоя, завер-
завершающееся у атома меди (Си; Z = 29). При заполнении Зй-слоя (группа железа) наблю-
наблюдаются и другие нарушения простой последовательности: например, в атоме хрома
(Cr; Z = 24) вместо «правильной» конфигурации 3d44s2 реализуется конфигурация
3dB4s, а конфигурация 3d84s2 атома никеля (Ni; Z = 28) сменяется в атоме меди не
конфигурацией 3ds4s2, а конфигурацией 3dlo4s. Запаздывание с застройкой id-слоя
наблюдается в элементах от иттрия (Y; Z = 39) до палладия (Pd; Z = 46) (группа
палладия); для 4/-слоя — от элемента лантана (La; Z = 57) до иттербия (Yb; Z = 70)
(группа редких земель); для 5й-слоя — от лютеция (Lu; Z = 71) до платины
(Pt; Z = 78) (группа платины) и, наконец, для 6d- и 5/-слоев —от актиния (Ac; Z = 89)
до урана (U; Z = 92) и включая трансурановые элементы (группа актинидов) (см.
табл. 2.2). Таким образом, именно при застройке d- и /-слоев электронной оболочки
происходит нарушение нормальной последовательности ее заполнения. Элементы,
в которых происходит «запоздалая» достройка этих слоев, носят название переходных *).
Физическая причина существования внутренних незаполненных слоев в обо-
оболочке многоэлектронных атомов состоит в том, что энергия электрона в них сущест-
существенно зависит не только от квантового числа п, но также и от I. При заданном п энер-
энергия растет с ростом I. Чем сильнее самосогласованное поле оболочки многоэлектронного
атома отличается от кулоновского поля атома водорода, тем резче зависит энергия от
I. Поэтому может оказаться энергетически выгоднее, чтобы при переходе от элемента
Z к элементу Z -\- 1 у добавляемого электрона увеличивалось не число I (возможное
при данном п), а число п с одновременным уменьшением I. Так, например, состояния
in + 1) s и (в + 1) р могут быть энергетически выгоднее состояний nd или nf. Исполь-
.зуя приближенный статистический метод Томаса — Ферми **), можно количественно
предсказать минимальный атомный номер B()мин, с которого только и может начаться
застройка слоя с данным I. Элементарный расчет показывает,- что BР)МИН = 5,
(^й)мин = 21, B/)мин = 58 и т. д., что находится в прекрасном согласии с опытом.
В табл. 2.2 приведены для атомов переходных элементов, наряду с электронными
конфигурациями, также спектральные термы основного состояния, факторы Лан-
•Де Sj и величины gjj — максимальной проекции полного магнитного момента
,J[cm. ниже).
§ 4. Зеемановское расщепление атомных энергетических уровней
Известно, что, например, два электрона в конфигурации Is2 с I = 0 и s = ±1/2
имеют одинаковую энергию, поэтому соответствующий уровень 1<S0 двукратно вырож-
вырожден. Приложение внешнего магнитного поля снимает это вырождение и расщепляет
уровень на два зеемановских подуровня с s = + 1/2 и s = — 1/2 соответственно
с проекциями спиновых магнитных моментов антипараллельной и параллельной полю.
Поскольку магнитная энергия в поле равна—{fig H), то для абсолютного значения
разности энергий между зеемановскими подуровнями находим
= gsliBH. B.36)
*) Всего в таблице Менделеева (исключая трансурановые элементы) имеется
42 переходных элемента, из них й-металлов из группы железа, палладия и платины
имеется 24, редкоземельных /-металлов — 14 и актинидов — 4.
**) См., например, Ландау и Лифшиц A963), Комианеец A957), Гомбаш A951).
— 29 —

Таблица 2.2г
Электронные конфигурации и основные термы атомов элементов
d- и /-переходных групп
а) Группа железа Cd)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Аг
(l222263236)
Атомный
номер Z
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Элемент
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Электронная
конфигурация
внешней
оболочки
3d4S2
3d24s2
3d34s2
3<Ms
3d54s2
3d64s2
3d'4s2
3d84s2
3rfi°4s
Основной
терм
2D3J2
3F2
4F3/2
7*3
в55/2
5^4
4^9/2
3^4
2Sm
Фактор Ланде
Bj
4/5
2/3
2/5
2
2
3/2
4/3
5/4
2
?jJ. me
1,2
4/3
0,6
6
5
6
6
5
1
б) Группа палладия (id)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Кг
(l2222632363di04246)
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Y
Zr
Nb
Mo
Те
Ru
Rh
Pd
Ag
4d5s2
4d25s2
4d*5s
4d55s
4d55s2
4d'5s
4dS5s
4dio
4d«5s
2iK/2
2^2
в»т
7S3
в^9/2
5^5
4^9/2
1S0
2Sm
4/5
2/3
10/3
2
14/9
7/5
4/3
0
2
1,2
1/3
5/3
6
7
7
6
0
1
в) Группа платины Ed)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки иона Yb2+
(I2222632363dio42464dio4/i4256
71
72
73
74
75
76
77
78
79
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
Au
5d6s2
5d26S2
5d36s2
5d*6s2
5d56s2
5d66s2
5d76S2
5dS6s
5di°6s
2iK/2
8^2
^3/2
&DQ
^5/2
5^4
V9/2
4»з
4/5
2/3
2/5
0
2
3/2
4/3
4/3
2
1,2
1/3
0,6
0
5
6
6
4
1

Продолжение табл. 2.2
г) Группа редких земел ь—л антаниды (if)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Хе
(l2222632363di042464di°5256)
Атомный .
номер Z
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Элемент
La
Се
Рг
Nd
Pm
Sm
Eu
1 Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tu
Yb
Электронная
конфигурация
внешней
оболочки
5d6s2
4/5<$s2
4/36s2
4/*6s2
4/56s2
4/66s2
4/'6s2
4/'5d6s2
4/S5i6s2
4/iO6s2
4/n6s2
4/!26s2
4/136S2
4/1*6s2
Основной
терм
2iK/2
3#4
4/9/2
5/4
"#5/2
7F9
8SV2
^2
8#!7/2
5/8
*'l5/2
8^6
2^7/2
lso
Фактор Ланде
Sj
4/5
4/5
8/11
3/5
24/35
0
2
8/3
24/17
10/8
18/15
7/6 .
8/7
0
8jJ- ^Б
1,2
3,2
3,29
2,4
1,72
0
7
5,35
12
10
9
7
4
0
д) Группа актинидов E/ибй)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Rn
(I2222632363di(L24e4di(L/i452565dio6266)
89
* 90
91
92
93
94
' 95
96
97
98
Ac
Th
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
6d7s2
6d27s2
5/26d7s2 (?)
5/36d7s2
5/*6d7s2 (?)
5/67s2
5/'7s2
5/'6d7s2 (?)
5/S6d7s2 (?)
5/iO7s2 (?)
2^3/2
SF2
iK\\l2
2h
2LUl2
7Fo
8S112
*»2
8^17/2
5/8
4/5
2/5
10/3
5/7
8/13
0
2
8/3
24/17
10/8
1,2
4/3
4,23
4,28
3,24
0
7
5,33
12
10
Из B.36) видно, что gs определяет величину расщепления, поэтому g-фактор часто
называют фактором спектроскопического расщепления. В случае многоэлектронного-
атома при слабых магнитных полях //, не нарушающих LS-связь, величина зееманов-
ского расщепления определяется (вместо B.36)) формулой
B.37>
- 31 —

Зеемаиовскому расщеплению B.36) можно (исходя из квантового соотношения АЕ= tm).
сопоставить некоторую эквивалентную частоту
_А%Н
которая называется ларморовской частотой (см. гл. 7).
Если атом поместить во внешнее переменное магнитное поле частоты ш = ш^,,
то будет иметь место резонансное поглощение энергии атомом; это явление носит
название электронного парамагнитного резонанса (подробнее см. гл. 13).
§ 5. Аномальный магнитный момент электрона *)
Численное значение спинового gs-фактора, равное 2, даваемое формулой B.7),
оказывается неточным. Дело в том, что это значение вытекало из релятивистского
уравнения квантовой механики Дирака. Однако при этом не были учтены некоторые
тонкие эффекты взаимодействия между электрон-позитронным полем и полем элек-
электромагнитного излучения. Первым указанием на эту неточность было открытое на
опыте явление смещения некоторых уровней водородоподобных атомов (лемб-ризер-
фордовское смещение); по полученному ранее решению уравнения Дирака они должны
были быть двукратно вырожденными. Например, уровни 22р1/2 и 22Si/2 должны иметь
одну и ту же энергию, ибо энергия терма зависит только от квантовых чисел п и /,
но не от I. Лемб и Ризерфорд [4] нашли, что расщепление для этих «вырожденных»
уровней равно 1002 ± 5 Мгц (напомним, что 1 Мгц = 0,33-iO-4 см'1 = 4,1-Ю"9 ав).
Вначале это казалось катастрофой для теории Дирака. Однако все скоро разрешилось
благополучно —* оказалось лишь необходимым учесть в уравнении Дирака взаимо-
взаимодействие электрона с полем нулевых колебаний электромагнитного вакуума, тогда
теория с поразительной точностью предсказывает наблюдаемое смещение A040 Мгц
для атома водорода). Такое же блестящее совпадение теории с опытом было получено
в случае дейтерия и иона гелия [5]. Эффекту лемб-ризерфордовского смещения можно
дать очень наглядное толкование [6]. Электрон атома находится в поле ядра V(r);
в силу нулевых колебаний электромагнитного поля электрон будет испытывать своего
рода «броуновское» смещение Аг. Поэтому поле, Действующее на электрон, следует
брать в точке г-\-Аг. Разлагая потенциал V(r-\-Ar) в ряд по степеням малого сме-
смещения Аг и ограничиваясь членами не выше квадратичных, получаем добавочное изме-
изменение средней потенциальной энергии электрона в атоме, которое и следует отожде-
отождествлять с наблюдаемым смещением уровней.
При разработке теории этого смещения было предсказано также добавочное
изменение магнитного момента электрона [7]. При наличии внешних электрических
и магнитных полей в выражении для добавочной энергии (обусловливающей смещение
уровней) появляется дополнительный член, который указывает, что магнитный момент
электрона цэл отличен от магнетона Бора, а именно:
B.39)
где
в 1
— малая безразмерная постоянная, называемая постоянной взаимодействия тонкой
структуры. Параметр а, определяющий относительную слабость связи электрон-пози-
тронного и электромагнитного полей, можно использовать для вычисления различ-
различных эффектов (в том числе и лемб-ризерфордовского смещения и аномалии \iai[) этого
взаимодействия методами теории возмущения. Подставляя в B.39) численное значе-
значение параметра а, находим
Нал = Иб A+0,0011596 389). B.41)
Таким образом, для спинового g-фактора, вместо B.7), теория предсказывает величину
g-(Teop) = 2 + 0,0023192. B.42)
Наиболее точные опыты [8, 9] дали соответственно следующие результаты:
?(опыт) = 2+0,002320 ±0,00001 и 2+0,0023218 ± 0,0000024,
Несмотря на расхождение между этими данными и теоретическим значением B.42),
совпадение' очень хорошее, и поэтому открытие и объяснение аномалии в величине
спинового магнитного момента электрона является блестящим подтверждением совре-
современной квантовой электродинамики.
*) См., например, Ахиезер и Берестецкий A999), а также [8].
— 32 —

§ 6. Магнитный монополь Дирака'
Из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (см., например, Тамм
A956))
ав > B'43)
divB = 0, ^
с at
вытекает фундаментальная асимметрия между магнитным Н, В и электрическим Е, D
полями. Эта асимметрия проявляется в отсутствии магнитных зарядов и их токов.
Поэтому магнитное поле в каком-то смысле является вторичным эффектом электри-
электричества, возникая лишь при движении электрических зарядов. Поэтому из простых
соображений симметрии можно было бы предположить существование магнитных заря-
зарядов и соответствующих им токов, тогда в правых частях второй строчки уравнений
Максвелла B.43) стояли бы не нули. Такое предположение еще в 1931 г. и сделал
Дирак [10], который высказал гипотезу о возможности существования магнитного
монополя и позже развил эту идею [11].
После этого появился ряд работ по теории магнитного монополя (см., например,
работы Швингера [12]), а также были сделаны попытки обнаружить его на опыте,
которые пока не увенчались успехом (см., например, [13, 14]). Наиболее интересным
выводом теории монополя по Дираку является предсказание квантования его магнит-
магнитного заряда. При этом наименьший «квант» магнитного заряда должен быть в 68,5 раза
больше элементарного электрического заряда е. Следовательно, т = 68,5е. Два моно-
монополя действуют друг на друга в F8,5J = 4692 раза сильнее, чем два элементарных
электрических заряда, находящихся на том же расстоянии. По-видимому, и масса
покоя монополя должна быть большой (превышая не меньше чем в три раза массу
покоя протона). Существенно, что постоянная, аналогичная постоянной тонкой струк-
структуры B.40) для электрического заряда, равная m2/hc — 34, уже не является малой
величиной, и поэтому отделение поля монополя от электромагнитного поля является
весьма грубым приближением. Монополь должен обладать благодаря своему боль-
большому заряду высокой ионизационной способностью (как ядра с атомным номером
Z = 68). «Ловушками» для мопополей могут являться ферромагнитные тела. В маг-
магнитных полях космических пространств они могут ускоряться до очень больших энер-
энергий. Проблемы обнаружения магнитных монополей или получения доказательства
невозможности их существования вообще остаются актуальными вопросами современ-
современной физики [15, 16].
§ 7. Атом во внешнем магнитном поле; парамагнитный
и диамагнитный эффекты *)
1. Гамильтониан задачи. В нерелятивистском приближении (с точностью до
членов порядка у2/с2, но с учетом существования спина) гамильтониан электрона, нахо-
находящегося во внешнем электромагнитном поле, описываемом вектор-потенциалом А (г)
и скалярным потенциалом ф (г), имеет вид
96 = " Ьп +е(Р М -lb (-Л). B-44>
где %s — оператор вектора спина электрона, а Н — вектор напряженности магнит-
магнитного поля. Раскрывая квадрат числителя первого слагаемого правой части B.44)
и учитывая, что оператор импульса р и вектор-потенциал А (г) в общем случае не ком-
коммутируют, будем иметь
~—^Н). B.45)
В случае однородного магнитного поля И вектор-потенциал А можно выбрать в форме
А (г) = 1[Я>]. B.46)
Направляя вектор Н вдоль оси г, из B.46) имеем
Ах=—^-уН; Ay=±-zH; Az = 0. B.47)
*) См. Шпольский A951), Блохинцев A961), Ландау и Лифшиц A963), Шифф
A957).
3 С.В. Вонсовский •— 33 —

Таким образом, в случае однородного поля операторы р = — ihV и А (г) коммути-
коммутируют. В случае многоэлектронной оболочки гамильтониан будет равен сумме гамиль-
гамильтонианов отдельных электронов, т. е.
B-48>
Здесь сумма по к распространяется на все электроны оболочки, вектор А взят в виде
B.46) и использовано тождество ([Hrk]-pil) = {H [rkpk]). Первые две суммы в B.48),
обозначенные через <55?O> образуют «нулевой» гамильтониан свободного атома при _ff = 0.
Оператор [rftpft] по определению является оператором орбитального момента к-то
электрона, т. е. Mk, а их сумма дает оператор орбитального момента атома, т. е. hL.
Сумма 2sft дает оператор полного спина оболочки S. Используя это, получаем вместо
й
B.48) (учитывая, что заряд электрона отрицателен):
8^2 2
Второй член в правой части B.49) описывает парамагнитный, а третий — диамагнит-
диамагнитный эффект внешнего поля.
2. Случай слабых магнитных полей; парамагнитный и диамагнитный эффекты.
В случае слабых внешних магнитных полей (слабых по сравнению с внутриатомными
полями) оба магнитных члена в B.49) можно считать малым возмущением. При этом
главную роль будет играть линейный по полю парамагнитный член, диамагнитный
эффект (квадратичный по полю) будет более слабым. Оператор парамагнитного взаимо-
взаимодействия, выделяя в пространстве ось квантования (вдоль вектора Н), снимает вырож-
вырождение уровней свободного атома по магнитному квантовому числу m.j, приводя к уже
упоминавшемуся зеемановскому расщеплению уровней. В случае LS-съязш энергия
расщепления в однородном поле определяется в первом приближении теории возмуще-
возмущения средним значением оператора «собственного» магнитного момента атома, прису-
присущего ему при Н = 0:
Ъ
—
B.50)
Если поле направлено вдоль оси z, то для расщепления в первом приближении
имеем
(Д8)^ = |1Б «Л> + <?» В. B.51)
Поскольку Jz —[в данном случае интеграл движения, то </z) = m.j. Проекция спи-
спинового момента Sz не является интегралом движения, поэтому требуется найти ее сред-
среднее значение (Sz). В случае Z/iS-связи вектор S с большой «скоростью» прецессирует
вокруг вектора <Т, поэтому проекция *S" на плоскость, нормальную к J', дает при
усреднении нуль. Отлична от нуля лишь проекция S на направление вектора <Т. Ее
проекция на направление магнитного поля, т. е. на ось z, равна
¦ J) Jz
B.52)
Следовательно, формула B.51) имеет вид
( + fe2>). B.53)
Заменяя среднее значение скалярного произведения {(S-J)) по B.27) и вспоминая
определение gj-фактора по B.31), вместо B.53) имеем
B.54)
Используя [общее определение магнитного момента (см. гл. 5) М= —
находим^ из B.54)
Знак минус в B.55) означает, что парамагнитный момент направлен антипараллельно
механическому моменту nijh. Из B.55) видно, что условием существования парамагне-
парамагнетизма в первом приближении является одновременное отличие от нуля g^-фактора
и полного момента /.
— 34 -

Если атом в свободном состоянии с / = 0 полностью магнитно нейтрален, т. е.
у него одновременно S = 0 и L = 0, то ориентационный парамагнетизм отсутствует
и второй член в правой части оператора B.49) не приводит к расщеплению нулевого
уровня атома даже в высших приближениях теории возмущения [см. Блохинцев
A961), Кондон и Шортли A949), Собельман A963)]. В этом случае сохраняется лишь
эффект от диамагнитного члена в B.49). Смещение уровня будет определяться сред-
средним значением этого члена:
к
Заметим, что [Hrk]2 = IPr^sin2 0, где 0 — угол между векторами rh и Н. Поскольку
в ^-состоянии (L = S = 0) распределение заряда в оболочке атома сферически-симмр-
трично, то получаем (sin2 0) = 2/3; в итоге вместо B.56) получим
2 B-57)
h
Отсюда для диамагнитной восприимчивости по формуле
находим *)
2 <i>- <2-58)
Более сложный случай, когда равен нулю полный момент атома (/ = 0), однако спи-
спиновый и орбитальный моменты по отдельности отличны от нуля (L = S ф 6). В этом
случае магнитный момент атома равен нулю лишь в первом приближении теории воз-
возмущений. Уже во втором приближении поправка от парамагнитного члена в B.49)
может по абсолютной величине превышать диамагнитный эффект первого приближе-
приближения. Интересно отметить, что парамагнитная поправка второго приближения к основ-
основному уровню всегда отрицательна [см., например, Блохинцев A961)]. Поэтому пара-
парамагнитный момент, связанный с этой поправкой, будет всегда положителен, ибо
„B) оАбпм
Этот парамагнетизм, появляющийся во втором приближении, носит название поляри-
поляризационного или ванфлековского парамагнетизма (подробнее см. гл. 7).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2
1. J. S 1 a t e г, Phys. Rev. 34, 1293 A929).
2. G. F. К о s t e r, Phys. Rev. 98, 514 A955).
3. N. К а г a v i a n i s, С. А. М о r r i s о n, Am. J. Phys. 32, 216 A964).
4. W. E. L a m b, Jr., W. E. R e t h e r f о г d, Phys. Rev. 72, 241 A947).
5. H. В е t h e, Phys. Rev. 72, 339 A947).
6. T. W e 1 t о n, Phys. Rev. 74, 1157 A948).
7. J. S с h w i n e. e r, Phys. Rev. 73, 416 A948).
8. B. N. Taylor, W. H. Parker, D. N. L a ng e n b e rg, Rev. Mod. Phys. 41,
357 A969).
9. A. A. S с h u p p, R. W. P i d d, H. R. С r a n e, Phys. Rev. 121, 1 A961).
10. P. A. M. D i r a c, Proc. Roy. Soc. A133, 60 A931).
11. P. A. M. D ir ac, Phys. Rev. 71, 817 A948).
12. J. Schwinger, Phys. Rev. 144, 1087 A966), Phys. Rev. Lett. 16, Abstr. A2
A966).
13. E. M. P u г с e 1 1, G. В. С о 1 1 i n s, T. F u j u, J. H о r n b о s t e 1, F. T u r k о t,
Phys. Rev. 129, 2326 A963).
14. R. L. Fleischer, H. R. Hart Jr. et al., J. Appl. Phys. 41, 958 A970).
15. K. W. F о r d, Sci. Amer. 209, 122 A963).
16. «Моиополь Дирака», сб. статей, перевод с англ. под ред. Б. М. Болотовского
и Ю. Д. Усачева, Изд-во «Мир», М„ 1970. ,
17. P. Langevin, J. de phys. 4, 678 A905).
18. P. Langevin, Ann. chim. et phys. 5, 70 A905).
19. W. Paul i, Zs. Phys. 2, 201 A920).
Эту формулу получил впервые Ланжевен [17, 18] и затем Паули [19].
3*

Глава 3
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХ
НУКЛОНОВ И АТОМНЫХ ЯДЕР*)
§ 1. Магнитные моменты протона и нейтрона
Тяжелые элементарные частицы — протоны и нейтроны (нуклоны), а также
построенные из них атомные ядра обладают собственными магнитными моментами, кото-
которые служат источниками ядерного магнетизма. По аналогии с электроном можно было
бы ожидать, что протон, как заряженная (положительно) элементарная частица, спин
которой согласно B.1) равен ^3/2^, должен обладать спиновым магнитным моментом
по величине, согласно B.5), равным "|/3 ' ,* , где М — масса покоя протона, в 1836 раз
большая массы электрона. Таким образом, в ядерном магнетизме, значительно более
слабом, чем электронный, роль элементарного магнитного момента должен играть
ядерный магнетон Бора
(ЗЛ)
Для нейтрона — частицы, лишенной электрического заряда, казалось естествен-
естественным принять, что он не обладает магнитным моментом. Однако в действительности
опыт дал совершенно иную картину. Магнитный момент протона цр оказался почти
в три раза больше, чем цЯд. а именно:
цр= B,792782 ± 0,000017) цяд = A +1,792782) цяд. C.2)
Магнитный^момент нейтрона оказался отличным от нуля и равным
Мп= -A,913139 ± 0,00009), цяд = @-1,913139) цяд. C.3)
В последних выражениях в правой части C.2) и C.3) первые слагаемые в скобках (соот-
(соответственно 1 и 0) дают величину магнитного момента по теории Дирака в единицах цяд,
а вторые слагаемые (соответственно +1,792782 и —1,913139) —«аномальную» часть.
В отличие от электрона, где тоже есть аномальная добавка, вызванная флуктуацией
электромагнитного вакуума [см. формулу B.39)], эта добавка для нуклонов не малая,
а того же порядка и даже больше, чем величина [хпд. Современная квантовая теория
нуклонов не дает сколько-нибудь детального объяснения этой аномалии. Можно лишь
качественно предполагать, что эта аномалия связана с магнитными свойствами электри-
электрически заряженных я-мезонных облаков, окружающих «голые ядра» нуклонов. Сле-
Следует также указать, что появившаяся недавно гипотеза кварков в теории сильных
взаимодействий дает возможность довольно точно предсказать отношение магнитных
моментов протона и нейтрона:
2
(Н71/Мт>)теор= —у» —0,667;
укажем, что опыт дает величину — 0,685.
§ 2. Магнитные моменты атомных ядер **)
В табл. 3.1 в качестве примера приведены величины спиновых и магнитных
моментов атомных ядер некоторых изотопов.
Из таблицы видно, что для спинов ядер имеет место правило аддитивности, а ядер-
ядерные магнитные моменты явно неаддитивны (в единицах [хяд). Даже в простейшем мно-
гонуклонном ядре — деитероне, состоящем из протона и нейтрона со спином, рав-
равным единице, т. е. с параллельными спинами обоих нуклонов, результирующий
*) Более подробные сведения можно найти в книгах Дорфмана A948), Копфер-
мана A960), Блин-Стойла A957), Рамзея A953), Смита A957).
**) См., например, Копферман A960), Блин-Стойл A957), Давыдов A958), Бете
и Моррисон .-A9.58).
— 36 —

Таблица 3.1
Спины (Г) и дипольные магнитные моменты (\i) атомных ядер
Z
0
1
2
3
5
6
7
8
9
10
11
13
16
17
19
21
Ядро
п
Н
Не
Li
В
С
N
О
F
Ne
Na
Al
S
Cl
к
Sc
A
1*
1
2
3*
3
4
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
19
20
23
27
32
35
37
39
40*
45
некоторых изотопов i
I
1/2
1/2
1
1/2
1/2
0
1
3/2
3
3/2
0
1/2
1
1/2
0
5/2
5/2
0
3/2
5/2
0
3/2
3/2
3/2
4
7/2
Таблица составлена
в столбце массовых
мер элемента, / —
ных моментов \i (в
зуют
чисел
^. ^яд
-1,913139D5)
+2,79277E)
+0,8574073B)
+2,97884A)
-2,127544G)
—
+0,822008B2)
+3,256310(85)
+1,80081D9)
+2,68852D)
—
+0,702381 B)
+0,40371 F)
-0,28313A2)
—
-1,89370(9)
+3,50B4)
0
+2,21753A0)
+3,641421 C0)
—
+0,821808G1)
+0,68409F)
+0,39146G)
-1,2981D)
+4,75631 A2)
в основном по
! ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ
Z
22
23
24
25
26
27
28
29
31
34
37
49
55
56
83
92
94
95
данным
Ядро
Ti
V
Сг
Мп
Fe
Со
Ni
Си
Ga
Se
Rb
In
Cs
Ba
Bi
U
Pu
Am
А
47
49
50
51
' 53
55
57
56*
59
60*
61
63
69
71
80
85
87
ИЗ
115
133
135
137
209
235*
241*
241*
1
5/2
7/2
6
7/2
3/2
5/2
3/2
4
7/2
5
3/2
3/2
3/2
3/2
0
5/2
3/2
9/2
9/2
7/2
3/2
3/2
9/2
5/2
5/2
5/2
»*• Дяд
-0,788130(84)
-1,10377A2)
+3,34702(94)
+5,1470E7)
-0,74391D2)
+3,46766A4)
+0,05
3,855G)
+4,6488E)
+3,80B)
+0,10A0)
+2,22664A7)
+2,01605E1)
+2,56158B6)
+1,35268A1)
+2,750529C8)
+5,52317E4)
+5,53441F6^
+2,57887C0)
+0,832293B4)
+0,9324B7)
+4,07970(84)
1,8A)
1,4F)
1,4
[ обзора Смита A957). Звездочкой
(А) отмечены радиоактивные изотопы. Z
величина спина (в единицах
К). В
— атомный ио-
столбце днпольных магнит-
единицах цяп) последние знаки, взятые в скобки', характери-
экспериментальную
точность их определения.
магнитный момент не равен алгебраической сумме моментов составляющих. Сравнение
численных значений дает (точность эксперимента гарантирует правильность значений
выше 0,0001)
VH2 ~ (ЦР + Цп) = - 0,022228цяд.
Если считать, что между протоном и нейтроном действуют центральные силы, то основ-
основное состояние должно быть «S-состоянием, т. е. L = 0. Поскольку результирующий
спин равен единице, то это состояние является триплетом 3St. Вместе с тем явное нару-
нарушение аддитивности магнитного момента, а также обнаруженный на опыте квадру-
польный момент ясно указывают, что состояние 3Si не может быть основным. Поэтому
приходится предполагать, что основное состояние дейтерона является не «чистым»
^-состоянием, а «смесью» двух состояний, например 3St и 3J3j (ci= 2), причем при-
примесь последнего составляет примерно 4%. Отсюда следует, что L не является «хоро-
«хорошим» квантовым числом, а ядерные силы не центральные. Однако не следует думать,
что «примесь» орбитального магнетизма полностью объясняет неаддитивность магнит-
магнитных моментов ядра. Возможны еще специфические ядерные причины этой неаддитив-
неаддитивности, обусловленные «обменным» взаимодействием между нуклонами в ядре через
я-мезонное поле. Однако пока теория не в состоянии дать сколько-нибудь уверенного
количественного объяснения этого вклада в неаддитивность.
Из анализа опытных данных по спинам и магнитным моментам атомных ядер
можно сделать следующие общие выводы:
1) Все ядра с четным числом протонов (четный Z) и нейтронов (четные А — Z)
обладают нулевым спином.
2) Ядра с нечетным А (любым Z) имеют спин (п + 1/2)ft, где п = 0, 1, 2, ...
3) Ядра с нечетными Z и нечетным А — Z (т. е. с четным А) имеют спин nh, где
и = 1, 2, 3, ...
— 37 -

Под спином ядра I понимается полный момент количества движения ядра, рав-
равный векторной сумме орбитальных моментов составляющих его нуклонов и их спинов.
Орбитальные моменты нуклонов в единицах Ь. выражаются целыми числами, а спино-
спиновые моменты — полуцелыми (т. е. целыми числами в единицах h/2). Отсюда и вытекает,
что в ядрах с нечетным А результирующий спин, как говорят, полуцелый, а с чет-
четным Л — целый. То обстоятельство, что у ядер с четными ZnA — Z всегда спин/ = О
в основном состоянии, обусловлено спецификой ядерных сил. Из опыта, далее, сле-
следует, что все ядра с / ф 0 имеют и ненулевой магнитный момент, равный \л. = ^яд-^яд'
гДе ?яд — магнетомеханическое отношение, или g-фактор ядра.
Тот факт, что для большинства атомных ядер спины не превышают 7/2, позволяет
предположить, что нуклон, подобно электронам атомной оболочки, образует замкнутые
«слои», для которых значения спина и магнитного момента равны нулю. Следова-
Следовательно, спин ядра является результатом сложения спинов лишь небольшого числа
нуклонов, не вошедших в замкнутые слои. Например, в ядрах Не^, Q2, О1/ и т. п.
с / = О все нуклоны входят в замкнутые слои, а в ядре N$* шесть нейтронов и шесть
протонов образуют замкнутые слои, а седьмые нейтрон и протон дают результирую-
результирующий спин ядра, равный их сумме: / = 1. Однако соответствующий магнитный момент
этого ядра не равен, например, магнитному моменту дейтерона, у которого спин такой
же (т. е. / = 1), магнитный момент ц составляет всего лишь 0,40371 ряд.
В случае более тяжелых ядер энергии спиновых квантовых чисел могут достигать
больших величин. Например, у изотопов индия In^g и Injf5 спин/ = 9/2 и соответ-
соответственно велики магнитные моменты: 5,486 цяд и 5,500 цяд. За последнее время большой
успех приобрела оболочечная модель атомного ядра *). На основе этой модели были
сделаны попытки объяснений и магнитных свойств атомных ядер. Упомянем здесь
только о так называемых диаграммах Шмидта [1]. В случае средних и тяжелых ядер
наряду с ядерным взаимодействием между нуклонами, учитывается также и кулонов-
ское отталкивание между протонами и связанная с этим взаимодействием несферич-
несферичность ядер. Последнее приводит к тому, что магнитные моменты тяжелых ядер скла-
складываются не только из магнитных моментов «внешних» нуклонов, но также магнитного
момента, связанного с вращением аксиально-симметричного ядра.
Естественно, что одночастичная оболочечная модель ядра не может учесть в при-
приближении самосогласованного поля все влияние взаимодействия нуклонов на их маг-
магнитные моменты. Это видно из заметных отклонений величин наблюдаемых моментов
от линий шмидтовских диаграмм. Значительный прогресс в теоретическом объясне-
объяснении магнетизма атомных ядер достигнут в работах Мигдала A965), использовавшего
в качестве исходного пункта своей трактовки методы теории ферми-жидкости по
Ландау [4].
Численные расчеты Троицкого и Ходеля [5] дали очень хорошее согласие тео-
теории и опыта для случая симметричных ядер.
Итак, ядро, обладающее спином, имеет момент количества движения, по модулю
равный
G=-[/r(I + i)n, C.4)
где / принимает полуцелые и целые значения: Г = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... Магнитное
квантовое число то7 при заданном Г принимает 2Г-\-1 значений:
т1 = Г,Г-1, ...,0, ..., -G-1), -Г.
Механическому моменту G соответствует магнитный момент
У7Тяд, C.5)
где ?яд— ядерное магнетомеханическое отношение.
§ 3. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и взаимодействие
сверхтонкой структуры (СТС)
1. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР). Атомное ядро с отличным от нуля момен-
моментом, помещенное во внешнее постоянное магнитное поле Н, испытывает пространствен-
пространственное квантование, и его 2/ + 1-кратно вырожденный уровень расщепляется в зеема-
новский мультиплет, уровни которого обладают энергиями 'И/й'лдЦядЯ^ Если после
этого ядро поместить в переменное поле с частотой, совпадающей с ядерной парамаг-
парамагнитной частотой
C.6)
то возникает резонансное поглощение энергии поля атомными ядрами, которое носит
название ядерного парамагнитного резонанса или просто ядерного магнитного резо-
*) Подробные сведения об этой модели можно найти, например, у Давыдова
A958), Ландау и Смородинского A955), Блатта и Вайскопфа A954), Эллиота и Лейна
A959), а также в работах Бете [2] и Брендоу [3].
— 38 -

нанса (ЯМР). Эта формула аналогична выражению B.38) для электронной ларморов-
ской частоты с заменой gj на #яд и т на М. В силу того, что М s 1836 т, резонансная
частота ЯМР заметно меньше частоты ЭПР. Подставляя численное значение универ-
универсальных постоянных в C.6), находим для линейной резонансной частоты Bnv = ш)
v =2 13s1 H C.7)
где v измеряется в килогерцах, а Н — в эрстедах. Таким образом, ЯМР в полях по-
порядка 103 з наблюдается в области радиочастот. (Подробнее см. гл. 13 и 26). Впервые
ЯМР наблюдали в 1946 г. Блох и др. [6] и Парселл и др. [7].
2. Взаимодействие сверхтонкой структуры (СТС). Добрецови Теренин[8], а затем
Шюлер [9] показали на опыте, что отдельные линии тонкой структуры линейчатых
оптических спектров представляют собой совокупность нескольких различных линий
с весьма большими значениями частот. Так была открыта, сверхтонкая структура
(СТС) спектральных линий. Причина СТС та же, что и тонкой структуры,— магнитное
взаимодействие магнитных моментов электронной оболочки и ядра атома. Энергия
этого взаимодействия, как и энергия спин-орбитальной связи B.26), может быть пред-
представлена в виде
AI-J,
C.8)
где А — параметр взаимодействия СТС — зависит от ядерного и электронного g-
факторов, от величин магнитных моментов электрона и ядра и от волновой функции
основного состояния (подробнее об этом
взаимодействии см. в гл. 13 и 26).
При расчете СТС формула сло-
сложения моментов B.19) должна быть
уточнена. Полный момент количества
движения атома F равен сумме полного
момента электронной оболочки J и мо-
момента ядра I:
F=J + I. C.9)
Для возможных значений квантового
числа F по аналогии с B.20) и B.21)
имеем
F=J + r,J + r-i, ..., \J-T\.
C.10)
Из C.10) следует, что при Г > / чис-
число возможных подуровней мультиплета
ровно 2J -j- 1, а при / > Т их сущест-
существует 2Г + 1. На рис. 3.1 приведена век-
векторная схема сложения механических и
магнитных моментов электронной обо
лочки и ядра атома. Из рис. 3.1 видно,
что из-за гиромагнитной аномалии спи-
спина результирующий магнитный момент
атома fLp не параллелен результирующему механическому моменту F, вокруг
которого он совершает прецессию. Электронная оболочка в силу взаимодей-
взаимодействия СТС C.8) создает в центре ядра эффективное магнитное поле Нэл (см. гл. 26),
параллельное вектору J. Энергия взаимодействия C.8) записывается тогда в виде
Рис. 3.1. Векторная модель атома с учетом ядер-
ядерного момента, а) Общий случай электронной обо-
оболочки с L Ф Q и s Ф 0; б) случай s-состояния
(L= 0). (Масштаб для д^ увеличен примерно в
103 раз.)
/\
C.11)
где [J,/ дается формулой C.5) и
cos (
Таким образом,
C.12)
Взаимодействие СТС в твердом теле осуществляет главную магнитную связь
между ядерной и электронной подсистемами (подробнее см. гл. 26). Здесь мы лишь
приведем общее выражение для гамильтониана взаимодействия между отдельным
ядром и электронной оболочкой:
(Ir) (Sr)\ . C.13)
- 39 —

Первое слагаемое в C.13), содержащее дельта-функцию, называется контактным фер-
миевским взаимодействием [10]. Оно отлично от нуля только для s-электронов, волновая
функция которых не имеет узлов на ядре. Два же последних дипольных члена в правой
части C.13) для s-электронов равны нулю (при L = 0). Фермиевскому контактному
взаимодействию можно сопоставить эффективное магнитное поле, равное
где | if) @) | 2 = р @) — плотность s-электронов на ядре. Это поле в некоторых слу-
случаях достигает больших величин, порядка 106 а (подробнее см. гл. 26).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 3
1. Т. Schmidt, Zs. Phys. 106, 358 A937).
2. Н. А. В е t h e, Phys. Rev. 103, 353 A956).
3. В. Н. В г a n d о w, Phys. Lett. 4, 8 A963).
4. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 35, 97 A958).
5. М. А. Т р о и ц к и й, В. А. X о д е л ь, Ядерн. физ. 1, 205 A965).
6. F. В 1 о с h, W. W. Hansen, M. E. Packard, Phys. Rev. 69, 127 A946).
7. Е. М. Р и г с е 1 1, Н. С. Т о г г е у, R. V. Pound, Phys. Rev. ,69, 37 A946).
8. Л. Н. Д о б р е ц о в, А. Н. Т е р е н и и, Naturwiss. 16, 656 A928).
9. Н. S с h u I e r, Zs. Phys. 59, 150 A930).
10. Е. Ferm i, 60, 320 A930).

Глава 4
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАГНЕТИКОВ *)
§ 1. Магнитные действия постоянного электрического тока *)
Для того чтобы получить представления о магнитных свойствах тела с макро-
макроскопической точки зрения, необходимо изучить его поведение под действием магнит-
магнитных сил со стороны другого магнетика или электрического тока, протекающего по
проводнику. Следует поэтому начать с выяснения характера магнитных взаимодей-
взаимодействий токов и магнетиков.
Стационарный электрический ток, протекающий по проводнику, создает в ок-
окружающем пространстве магнитное поле. Величина этого поля в какой-либо точке-
пространства зависит от силы тока в проводнике и от расстояния между источником
поля и точкой наблюдения. Если рассмотреть малый элемент длины dl тонкого провод-
проводника, несущего ток силой i, то абсолютной величиной интенсивности, или напряжен-
напряженности, вектора магнитного поля в точке на расстоянии г от этого элемента по направле-
направлению, составляющему угол 0 с ориентацией элементарного вектора dl, называют вели-
величину (в ед. СГСМ)
\dH\ = — (закон Био и Савара). D.1)
Направление вектора поля перпендикулярно к плоскости, образованной век-
векторами dl и г. В силу принципа суперпозиции магнитное поле проводника конечной
длины и толщины равно сумме векторов dH. Если вместо силы тока i ввести вектор
плотности тока j:
1= Г jndS,
(S)
где jn — нормальная слагающая вектора J в направлении, перпендикулярном к пло-
плоскости поперечного сечения проводника S, то суммарное поле тока конечного про-
провода в силу D.1) равно
Н= \ dH= y-^dx, D.2)
где di — элемент объема проводника, а интегрирование распространяется по всему
его объему. Наряду с интегральным выражением D.2) часто пользуются дифферен-
дифференциальными уравнениями (Максвелла), которые могут быть получены из D.2). В слу-
случае постоянного магнитного поля они имеют вид
4л
d i v Я" = О, rot Д"= —у. D.3)
Физический смысл первого из уравнений D.3) заключается в утверждении отсут-
отсутствия истинных магнитных зарядов **), а второе уравнение гласит, что вокруг каж-
каждой линии тока создаются «вихри» (замкнутые силовые линии) магнитного поля.
Из первого уравнения D.3), а также теоремы Гаусса сразу же находим пер-
первое интегральное уравнение магнитного поля стационарных токов:
HndS = 0. D.4)
Далее, из второго уравнения D.3) и теоремы Стокса находим второе интеграль-
интегральное уравнение этого поля:
4я . ,. _
:— I, D.5>
*) С основами электродинамики можно познакомиться в ряде курсов: Тамм
A956), Френкель, A935), Ландау и Лифшиц A957, 1960).
**) См. по этому вопросу гл. 2, § 6 о монополе Дирака [1].
- 41 —

где i — суммарная сила тока во всех проводниках, охватываемых контуром I.
Теорема Гаусса гласит, что объемный интеграл от дивергенции любого вектора,
например I div H dx, равен поверхностному интегралу от потока этого вектора через
замкнутую поверхность, окружающую объем: ф Нп dS, где dS — элемент поверхно-
поверхности, а Нп— нормальная слагающая вектора к поверхности.
Теорема Стокса гласит, что поток ротора (вихря) любого вектора, например
\ (rot H)ndS, через поверхность S равен циркуляции этого вектора по контуру I,
ограничивающему эту поверхность, т. е. ф Htdl.
Из D.5) ярко виден соленоидальный, а не потенциальный характер магнит-
магнитного поля электрического тока. Поэтому это поле невозможно описывать однозначным
скалярным потенциалом, подобно электростатическому полю, а приходится пользо-
пользоваться вектор-потенциалом А. Последний связан с вектором Н известной формулой
Я" = rot Л. D.6)
По D.6) вектор А определяется неоднозначно с точностью до произвольного вектора,
имеющего вид градиента произвольной скалярной функции / (г), т. е. Vf (r) (ибо
rot у/ М = 0). Эта неоднозначность обычно снимается добавочным условием
D.7)
div A =
'adl-JAS-q
Рис. 4.1. Определение граничных условий для магнит-
магнитного поля токов.
Для полного определения магнитного поля стационарных токов к уравнениям
поля D.3) необходимо добавить условия, которым должен удовлетворять вектор Н
на поверхностях разрыва, т. е. на
поверхностях, по которым текут
поверхностные токи. Предполо-
Предположим, что ток течет по провод-
проводнику с весьма малым прямо-
прямоугольным сечением (рис. 4.1),
где а —«ширина» проводника, а
dl — малая его толщина, причем
плотность тока^' настолько вели-
велика, что произведение jadl = g
остается конечным. Такой ток
д (в пределе dl —>¦ 0) называется
поверхностным. Ток, протекаю-
протекающий через единичный отрезок
А В на поверхности проводника,
перпендикулярный к его осп
(рис. 4.1), называется плотностью поверхностного тока fc. В присутствии поверхност-
поверхностных токов вектор-потенциал А остается непрерывным во всем пространстве, а поле Н
может испытывать разрывы только на поверхностях с fc Ф 0, отделяющих область 2
•от области 1 (рис. 4.1). При этом, если применить уравнение поля D.4) к бесконечно
малому параллелепипеду с площадью основания а и средним сечением, совпадающим
« поверхностью с током, то при стремлении к нулю ребра q параллелепипеда, нормаль-
нормального к поверхности с током, получим при dl —>¦ 0
7 = (#2n-tfln)a=O.
¦Следовательно, граничные условия для нормальной слагающей поля токов можно
записать в виде
#27i—#m = 0 или Divfl" = 0, D.8)
где Div — символ поверхностной дивергенции.
Применяя уравнение поля D.5) к бесконечно малому контуру ABCD (рис. 4.1)
при AD = ВС = dl —> 0, получаем
(H2t-Hu)dt=~[lim ]ndS = ~ kNdt,
c dS=0 с
где Ht—слагающая поля по касательной * к поверхности тока, а kN — слагающая
¦вектора fc по другой касательной N к этой же поверхности, и перпендикулярной
к t. Таким образом,
H2t — Нц = &jv> или Rot .ff= fc,
с ¦ с
D.9)
где Rot — символ поверхностного ротора.
— 42 —

Система уравнений D.3) и граничных условий D.8), D.9) вместе с требованием
исчезновения поля на бесконечности (~-г~2) вполне однозначно определяют магнитное
поле заданного распределения стационарных токов j и fc при условии, что мы пре-
пренебрегаем влиянием магнитного поля на электропроводность материала проводника,
-г. е. не учитываем эффект изменения электросопротивления в магнитном поле (маг-
нетосопротивление) [см., например, Френкель A935) или Ландау и Лифшиц A957)].
§ 2. Магнитные действия магнетиков, намагниченность
Исторически магнетизм был открыт еще в древности (около 2000 лот до н. э.),
но не в виде магнитного поля электрического тока, а в виде магнитного поля естест-
естественных постоянных магнитов. Долгое время считалось, что источниками магнитного
поля магнетиков являются особые магнитные заряды двух знаков. Однако опыт пока-
показал, что изолировать эти магнитные заряды различных знаков невозможно. Поэтому
элементарной частицей начали считать магнитный диполь — систему двух равных по
величине и обратных по знаку и неразрывно связанных магнитных зарядов (полюсов).
Основной качественной характеристикой магнитного диполя является вектор его
згагнитного момента, который условно можно представить как произведение «магнит-
«магнитного заряда» тмат *) на вектор «длины» диполя I, т. е.
у1 = тшат1. D.10)
Магнитные свойства тела определяются коллективным поведением таких эле-
элементарных магнитных диполей. После открытия Эрстедом магнитного поля электри-
электрического тока была высказана гипотеза (Ампер) о том, что элементарные магнитные
диполи являются молекулярными круговыми токами.
Можно показать, что элементарный круговой ток ведет
-себя и во внешнем магнитном поле точно так же, как и эле-
элементарный магнитный диполь (теорема эквивалентности
магнитов и токов). При этом для полного количественно-
количественного совпадения их активных и пассивных магнитных свойств
необходимо выполнение следующего равенства:
Рис. 4.2. Определение маг-
нитного момента замкнутого
тока.
абсолютной величине маг-
маггде i — сила кругового тока, Л — площадь, охватывав-
мая током и щ— единичный вектор нормали к этой
площади. Таким образом, произведение силы элементар-
элементарного кругового тока на охватываемую им площадь равно
нитного момента этого тока.
Остановимся кратко на выводе формулы D.11). Для этой цели рассмотрим работу
&W, совершаемую в однородном магнитном поле Н замкнутым плоским контуром
с током i при его элементарном смещении на бесконечно малый вектор dr. Из элек-
электродинамики стационарных токов известно, что сила df, действующая на элемент тока
i dl в проводнике со стороны внешнего полл других токов Н, равна (закон Ампера)
D.12)
Поэтому при i = const интересующая нас работа равна
(H[dr.dl\).
Учитывая, что [dr-dl] = 6<S, где bS — вектор элемента площади поверхности AS,
¦описываемой элементом контура dl при его смещении на dr (рис. 4.2), будем иметь
(AS)
с J
(AS)
—6Ф;
с
здесь 6Ф—изменение магнитного потока при смещении контура, когда он описывает
поверхность AS (рис. 4.2). Вводя вспомогательную потенциальную функцию **)
*) Такое определение формально, поскольку в нем используется понятие маг-
магнитного заряда. В магнетостатике, в противоположность электростатике, первичную
роль играет не «заряд», а магнитный момент, который определяется распределением
электрических токов (а не зарядов, как это имеет место для электрических дипольных
моментов).
**) Потенциальную функцию не следует путать с потенциальной энергией,
поскольку в соленоидальном магнитном поле возникают не только пондеромоторные
эффекты, но и явление магнитной индукции.
— 43 —

i _
= Ф, имеем
bW = —
(при i = const).
Механический момент 3D?, действующий на смещающийся контур с током
в поле Н, определяем как обобщенную силу, сопряженную обобщенной координате
(углу •& между вектором Н и нормалью к плоскости контура п0):
В случае однородного поля и контура достаточно малых размеров поле на его поверх-
поверхности можно считать постоянным и поток через контур будет равен Ф = HS cos ft,
где S — площадь контура. Тогда
или 3Jl =
].] D.13)
Из D.13) видно, что вектор 9R зависит от силы тока i
и площади его контура S не по отдельности, а от их
произведения, которое и следует определить как маг-
магнитный момент D.11).
Для характеристики магнитного состояния ма-
рис. 4.3. Магнитный диполь. кроскопического образца удобно выбрать величину
результирующего магнитного момента, отнесенного или
к единице объема, или к единице массы, или к грамм-атому. Результирующий маг-
магнитный момент единицы объема принято называть намагниченностью I:
1= 2 V-
ед. об
D.14)
Для того чтобы установить связь намагниченности I с магнетостатпческпм
полем, рассмотрим сначала «потенциал» <p(i> отдельного i-ro элементарного диполя*)
(рис. 4.3) для расстояний, больших по сравнению с размерами диполей:
COS
где 1=г_— г+, г—расстояние от точки наблюдения (хп, уп, zn) до центра диполя
(xq, yq, zq):
Используя выражение для градиента скалярной функции /-1 относительно точки
«истока» (xq, yq, zq), т. е. учитывая, что Vgr-i= r-r~3= — Vnr-X, находим
^) = | т | г-2 cos ¦&, D.15а)
Ht=
D.156)
Таким образом, магнитный «потенциал», создаваемый в точке (хп, уп, zn) всем маг-
магнетиком, равен интегралу по всему объему тела от D.15а) с заменой jutj на магнит-
магнитный момент элемента объема I di;
Фт=
D.16)
Если еще учесть, что
а также воспользоваться теоремой Гаусса
div
где I2n — I in — разность нормальных составляющих вектора / по обе стороны гра-
граничной поверхности S магнетика, то D.16) примет вид
*) «Потенциал» фт, как уже упоминалось, не однозначен, если контур I в поле
охватывает линию тока, как это следует из уравнения D.5).
— 44 -

Следовательно, по аналогии с электростатикой, можно сказать, что влияние магне-
магнетиков эквивалентно действию объемных и поверхностных магнитных зарядов соот-
соответственно с плотностями
Pm=— divJ и ст= — Div-T, D.18)
а вклад в магнитное поле от магнетиков равен
j^] D.19)
Это поле должно удовлетворять системе дифференциальных уравнений и краевых
условий, аналогичных используемым в электростатике:
div Я"магн=4ярт = —4я div I, rot Я"магн = 0,
= —4я Div I,
Jo. } D-20)
Если наряду с магнетиками существуют и макротоки, создающие поло, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнениям D.3) и краевым условиям D.8) и D.9), то по принципу суперпозиции
полей суммарное поле Н = Нток -\- Ниат будет подчиняться следующей системе
уравнений и краевых условий:
div .В = 0, rot H= — j,
Гя
Вгп—5in = 0, H2t—Hit=——kN,
где введен вектор магнитной индукции В:
В=Н+Ы1. D.22)
Таким образом, можно сказать, что в статическом случае уравнения Мак-
Максвелла разделяются на две независимые системы: одна для определения электростати-
электростатического поля (div 1)=4яр, rot IS = 0) и другая — магнетостатического поля (div В =
4я
= 0, rot Н = — у). Однако из электродинамики известно, что магнитное и электри-
электрическое поля не независимы, а представляют собой лишь две стороны единого электро-
электромагнитного поля. Наиболее ярко это внутреннее единство полей видно из специального
принципа относительности, который и был открыт Эйнштейном, в частности, из анализа
этой связи. Например, если мы хотим определить силу, с которой ток в< проволоке
действует на заряженную частицу, движущуюся около нее со скоростью v параллельно
оси проволоки, то мы получим разную форму ответа в зависимости от выбора инер-
циальной системы отсчета. Если в этой системе покоится проволока, то на частицу дей-
действует чисто «магнитная» сила. Если же в качестве системы отсчета выбрать систему,
в которой покоится частица, то сила имеет вид чисто «электрический» *). Следователь-
Следовательно, характер разделения на магнитную и электрическую части взаимодействий токов
и зарядов зависит от выбора системы отсчета для их описания. Разумеется, полное
электромагнитное описание делается при этом инвариантным по отношению ко всем
инерциальным системам отсчета, что согласуется с принципом относительности
Эйнштейна.
§ 3. Основные типы магнетиков
Опыт показывает, что намагниченность является функцией внешнего магнитного
поля. Для некоторых веществ в определенном интервале полей и температур и при
квазистатическом характере всего процесса намагничивания **) эта зависимость
носит простой линейный характер, т. е.
1=%Н. D.23)
Коэффициент пропорциональности % носит название магнитной восприимчивости.
Восприимчивость единицы массы %р' определяется как %/Р'> где р'— плотность веще-
вещества. Атомная или молекулярная восприимчивости %д или Хд^ равны соответственно
произведению %р, на атомный или молекулярный вес. Если восприимчивость отрица-
отрицательна (з( < 0), то вещества называются диамагнетиками. Абсолютная величина вос-
восприимчивости диамагнетиков, как правило, очень мала (порядка 10~в). Типичными
представителями этих веществ являются инертные газы, многие органические соеди-
соединения и ряд металлов. Вещества с положительной восприимчивостью (% > 0) назы-
называются парамагнетиками. Величина восприимчивости их также мала (порядка 10 —
10"в). Типичными парамагнетиками являются газы — молекулярный кислород О2,
*) Этот случай весьма детально рассмотрен, например, в учебнике [2].
**) Вопрос о связи I и Н в быстропеременных полях требует особого рассмот-
¦рения (см. гл. 24).
— 45 —

окись азота NO, многочисленные соли редких земель и элементов группы железа,,
щелочные металлы.
Наряду с этими так называемыми слабомагнитными телами существует ряд
веществ, которые можно назвать сильномагнитными (например, железо, никель,
кобальт, редкоземельные металлы от гадолиния до тулия, их соединения и сплавы,
а также сплавы хрома и марганца). В этих веществах намагниченность, как правило,
не является линейной функцией поля, между намагниченностью и полем существует
более сложная функциональная связь — нелинейная и неоднозначная. К числу таких
веществ относятся ферромагнетики и ферримагнетики (примером могут служить при-
природные постоянные магниты, например куски магнетитовой руды, открытые еще в древ-
древности) *).
§ 4. Кривая намагничивания, петля гистерезиса, магнитная
восприимчивость и магнитная проницаемость
Связь намагниченности с полем графически изображается так называемой кри-
кривой намагничивания. В случае диа- и парамагнетиков эти кривые имеют вид прямых
(рис. 4.4), а для ферромагнетиков, впервые наиболее подробно изученных А. Г. Сто-
Столетовым A873) [3], кривая имеет гораздо более сложный вид (рис. 4.5). Из рис. 4.5-
0,3
о,г
0,1
о
-0,1
-0,2
-03
Рис. 4.4. Кривые намагничивания слабо-
магнитных веществ.
—-—
г <
i
1
—-1
1 '
нетЗ—-r"
\
2 14 16 18 2
L_ 1 1
1
¦ *
0 22 i
-
I
-
-4,
-?-
0 -i
0 -Z
/
.
k
ил
/*tl
Is
4
/
Л
г-' ^л/
ЛI
/
Ф
и 1
Не
Г
Г
в
0 3
0 40 SL
Н,э
Рис. 4.5. Кривая намагничивания
(ОКБ) и петля гистерезиса (EGBCSDE)
ферромагнитного вещества.
видно, что намагниченность ферромагнетика сначала резко возрастает, а затем дости-
достигает насыщения. Величина этого насыщения /,, уменьшается с повышением температуры,
и выше некоторой определенной для данного вещества температуры 0/ (точка Кюри)
ферромагнитные свойства вообще исчезают
и ферромагнетик превращается в парамагнетик
с линейной кривой намагничивания. В слу-
случае ферромагнетиков можно сохранить поня-
понятие магнитной восприимчивости как отноше-
отношения IIИ {полная восприимчивость) или как
производной dl/dll (дифференциальная воспри-
восприимчивость). Однако у ферромагнетиков эти
величины не являются уже постоянными, а
сложным образом зависят от величины магнит-
магнитного поля. Из рис. 4.6 видно, что кривая
Хдиф (Н) (так называемая кривая Столетова)
начинается при Н = 0 с некоторого конеч-
конечного значения Ха (начальная восприимчивость)
и достигает наибольшего значения Хмакс>(лак"
симальная восприимчивость), соответствующего-
наиболее крутому подъему кривой / (Н), и
затем стремится к нулю, когда намагничен-
намагниченность приближается к насыщению Is. Неодно-
Неоднозначность связи между / и Н в ферромагнетике проявляется при попытке размагни-
размагнитить намагниченный до насыщения (или меньше) образец. Если начать уменьшать
поле, которое довело образец до насыщения +/'s, то намагниченность, начиная с неко-
некоторого значения поля, будет «отставать» в своем уменьшении от уменьшения поля и при
II = 0 окажется отличной от нуля. В образце появляется остаточная намагниченность
/д, не равная нулю, но несколько меньшая значения, соответствующего насыщению
(IR < Is)- Для того чтобы сделать намагниченность ферромагнетика равной нулю,
Рис. 4.6. Кривая Столетова для магнит-
магнитной восприимчивости Хдид ферромагнит-
ферромагнитного вещества.
*) Вопросы классификации магнетиков подробно обсуждаются ниже, в гл. 6.
— 46 —

надо приложить обратное магнитное поле величины — Нс (так называемая коэрци-
коэрцитивная сила) *). Дальнейшее увеличение отрицательного поля доведет в конце концов
образец до насыщения в обратном направлении (—/s). Возвращаясь назад (уменьшая
отрицательное поле), мы при Н = О получим / = — /н, при Н = + Нс вновь / = О
и затем снова получим насыщение +/s. Таким образом, при полном цикле мы опишем
замкнутую, кривую, которую называют максимальной петлей магнитного гистерезиса
(см. рис. 4.5). Если максимальные значения намагниченности меньше /s, но одина-
одинаковы, то мы имеем симметричный частный цикл (кривая KLHI на рис. 4.5). Если
максимальные значения намагниченности не равны между собой по величине, то
соответствующая петля будет иметь вид так называемого несимметричного частного
цикла (см. рис. 4.5, кривая CSDN).
Наряду с зависимостью вектора I от Я можно определить также зависимость
магнитной индукции В от Н, используя D.22). Заменяя там I по D.23), получим
В = A + 4nx) Д= fi-ff. D.24)
Величина ц = 1 + 4я% носит название магнитной проницаемости **). Формула
D.24) справедлива и для ферромагнетиков, если ц считать функцией поля. В диамагне-
тиках ц < 1, а в парамагнетиках ц > 1.
В ферромагнетиках, где величина намагни-
намагниченности (точнее, 4я/) сравнима, а часто и значи-
значительно больше, чем само поле (см. рис. 4.5), следует
учитывать еще влияние поверхности образцов. Рас-
Рассмотрим, например, ферромагнитное тело в виде
промоугольного бруска. Поместим его во внешнее
магнитное поле Не, направленное вдоль ребер бру-
бруска. Тогда брусок намагнитится в этом направле-
направлении до величины / (ради простоты будем считать,
что намагниченность однородна по всему объему бру-
ска). При этом на торцовых поверхностях возник- рис_ 4?_ определение размашичи-
нут так называемые «магнитные полюсы». Плот- вающего поля /zo.
ность магнитного заряда ат на этих полюсах будет
равна 1п = ±1. Эти «заряды», наряду с внешним
полем Не, будут создавать свое магнитное поле До, которое внутри бруска будет
направлено против внешнего поля Де и против намагниченности I, т. е. оно будет
играть роль размагничивающего поля (рис. 4.7). Суммарное истинное поле внутри
бруска будет равно
Н = Не-\-Н^. D.25)
Во многих случаях приближенно можно принять, что величина размагничиваю-
размагничивающего поля До пропорциональна величине намагниченности и обратна ей по зна-
знаку, т. е.
Яо=-/У/, D.26)
где N —¦ размагничивающий фактор (коэффициент размагничивания), который опре-
определяется приближенно лишь геометрической формой образца. В общем случае анизо-
анизотропной ферромагнитной среды N является тензором Nth (i, к = х, у, z) . Из D.26)
и D.25) находим
H = He — NI. D.27)
Но в силу D.23) имеем
J3e и Х=Х-Н" = хA + ХЛ7)-1-Н"е=ХоДе, D.28)
где х называется магнитной восприимчивостью вещества, так как она определяется
лишь физической природой данного материала, а %о называется магнитной восприим-
восприимчивостью тела, так как она зависит не только от природы материала (через ¦/), по и от
формы тела (через N). Аналогичные определения можно сделать и для проницаемо-
проницаемости ((х —¦ проницаемость] вещества и (хо — проницаемость тела). Наиболее полный
*) Более точно это поле следует назвать коэрцитивной силой относительно
намагниченности и обозначить jHc, в отличие от коэрцитивной силы д//с относительно
индукции В, при которой достигается нулевая индукция В=Н -\- 4п1. В случае
«жестких» ферромагнетиков с большими коэрцитивными силами z#c и ВНС могут за-
заметно различаться.
**) Обозначение проницаемости ц не следует путать с обозначением вектора
момента магнитного диполя \i.
- 47 -

разбор вопроса о различных способах определения магнитных проницаемостей дал
В. К. Аркадьев A934, 1936) (см. также работу [8]) *).
Аркадьев [8] разработал также общую макроскопическую теорию электромагнит-
электромагнитного поля в ферромагнитных металлах (подробнее см. гл. 24).
§ 5. Теорема Ампера
Уравнения магнитостатики D.21) и D.22) были получены с помощью представле-
представления «дипольной» картины магнетиков. Можно, однако, легко показать, что эти урав-
уравнения вытекают и из менее абстрактной квазимикроскопической картины магнетиков,
основанной на представлении о молекулярных токах.
Сравнение уравнений D.20) и D.3) , D.8) и D.9) показывает, что величину и рас-
распределение токов j и к невозможно подобрать так, чтобы их поле -Н"ТОк было равно полю
магнетиков -ffMarH с данным распределением магнитных зарядов D.18). Таким обра-
образом, теорема Ампера об эквивалентности магнитного листка и кругового тока, упоми-
упоминавшаяся выше, в этом общем случае неверна. Однако если воспользоваться вектором
магнитной индукции В, то при некоторых специально подобранных j и к можно
добиться равенства НТ0К и -Вмагн = -Н"магн-Ь4яХ, т- е- поля, создаваемого токами,
и индукции, создаваемой магнетиками. Действительно, в силу D.22) и D.20) -Вмагн
удовлетворяет следующей системе уравнений:
divJ?MarH=0, rot JSMarH = 4nrot I,
4я/1п
G2п = 0, так как вторая среда —вакуум и 12 =0). Но если положить
=4я/1 J
rot I ~ — Аюлек. hn = — (^)молек- D.30)
Аюлек. hn
то поле токов НТОК, определенное по D.3), D.8) и D.9), будет полностью совпадать
с индукцией -ВМагн- определенной по D.29). На основании этого можно дать обобщен-
обобщенную формулировку теоремы Ампера: любое распределение магнетиков можно заменить
эквивалентным распределением токов, так что поле этих токов будет равно индукции,
создаваемой магнетиками, если выполнены условия D.30).
Из обобщенной теоремы Ампера вытекает, что поле Вмагн, которое на языке
дипольных представлений принято называть магнитной индукцией, совпадает с на-
напряженностью магнитного поля токов как макроскопических, так и молекулярных,
т. е. -Вдипольн = -Н"молек, где -Нмолек — среднее значение микроскопического поля
токов и магнетиков. Поэтому более последовательно называть магнитным полем вели-
величину В, а Н=В—AnI рассматривать как вспомогательный вектор и назвать его
индукцией [такую терминологию принял в своей монографии Я. И. Френкель A935)].
Однако в физике и особенно в технике старая «дипольная» терминология (В —¦ индук-
индукция, И —¦ поле) настолько укоренилась, что вряд ли имеет смысл менять ее, ибо это
может привести к ненужной терминологической путанице.
§ 6. Общее микроскопическое определение магнитного момента
Остановимся еще на общем микроскопическом определении магнитного момента
и покажем, что ему не противоречит определение Ампера D.11). В общем случае маг-
магнитный момент определяется выражением
M=~2ieh[rhvk], D.31)
k
ek—¦ электрический заряд &-й частицы, vk — ее скорость, rk— радиус-вектор; сумма
в D.31) берется по всем частицам магнетика. Вводя непрерывную среднюю плотность
заряда магнетика р (г), формулу D.31) можно представить в виде
Ж= — [r.pv]dT. D.32)
*) Здесь необходимо упомянуть работы Р. И. Януса [4], в которых дается даль-
дальнейшая разработка теории размагничивающего фактора с учетом его зависимости
от магнитных свойств вещества. Численные данные для N в эллипсоидальном одно-
однородно намагниченном образце приведены в работах Стонера [5], Осборна [6], а для
стержней прямоугольного и круглого сечения —¦ у Бозорта и Чапина [7] (см. также
гл. 23, табл. 23.2).
- 48 —

В системе микротоков и магнетиков суммарная плотность тока рг> равна сумме плот-
плотности макротока j и молекулярного тока Люлек = с rot -^:
рг» = i+^молек = J+c rot I, D.33)
м=4f Ifг'л dT+у Ifr"*°*Х] л* D-34)
В случае отсутствия магнетиков (/^ = 0) и для линейных токов первый интеграл
в правой части D.34) примет вид
.dl\ = ^SnQ, D.35)
где S — площадь контура. Легко видеть, что D.35) полностью совпадает с D.11).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 4
1. P. A. M. D i г а с, Ргос. Roy. Soc. A133, 60 A931).
2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэнд с, Феймановские лекции по физике,
вып. 5, Электричество и магнетизм, изд-во «Мир», М., 1966.
3. А. Г. Столетов, Собрание сочинений, т. I, ГТТИ, 1939, см. также Pogg. Ann,
144, 439 A873); Phil Mag. D), 45, 40 A873).
4. P. И. Я н у с, статья в сб., посвященном 70-летию акад, А. Ф, Иоффе, Изд-во
АН СССР, М., 1950, стр. 402, 411.
5. Е. S. S t о n e г, Phil. Mag. 36, 816 A946).
6. J. А. О s b о г n, Phys. Rev. 67, 51 A945).
7. R. M. В о z о г t h, D. M. С h a 3p i n, J. Appl. Phys. 13, 320A942).
8. В.К.Аркадьев, ЖРФХО 45, 103 A913).

Глава 5
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ МАГНЕТИКОВ
§ 1. Уравнения 1-го и 2-го начала термодинамики
Основное уравнение термодинамики для бесконечно малых обратимых процес-
процессов в применении к магнетикам с учетом изменения их магнитного состояния имеет
вид (для единицы объема)
^ E.1)
ЁЕЛ -г (ЛЕ.\ =
dS)p,B ' \ dp Is, в
Л =
dB)s,p 4я
где dU — изменение плотности полной энергии, dS — изменение плотности энтропии,
ф — изменение плотности магнетика, ? — химический потенциал и Г —¦ абсолютная
температура *). Последнее слагаемое в правой части E.1) равно работе магнитных
сил. При адиабатически-изохорном процессе (dS = dV = 0) и при dp = 0 эта вели-
величина равна изменению полной энергии магнетика. Плотность энергии при данных усло-
условиях является термодинамическим потенциалом —¦ функцией параметров S, р и В.
При другом выборе независимых переменных, например Т, В и р, в качестве основного
термодинамического потенциала вместо полной энергии U удобнее рассматривать
«свободную энергию» F (изотермически-изохорный потенциал)
F=U — TS, E.2)
для которой вместо E.1) имеем
^ E.3)
/ dF\ _ /j)F\ (j)F_\ _J_tt
\дТ)р,в ' \др)т,в~^" \дВ)т, р" An -"•
Из E.3) следует, что в случае изотермически-изохорных процессов без изменения плот-
плотности (т. е. при dT=dV=dp = 0) выражение т— Н dB равно изменению свободной
энергии системы.
Можно также выбрать в качестве термодинамических переменных Т, р, Н.
Такому выбору переменных будет соответствовать потенциал
^ E 4)
и уравнение первого и второго начала термодинамики примет вид
1 ^ E.5)
) =5 ( r (L\ __L
дГ)р, н ' \др)т,н fe> \дН )т,р 4я
*) Это относится к системам с жесткой конфигурацией, когда объем магнетика
сохраняется, т. е. изменение dV = 0. Магнетик может быть неоднородным, поэтому
объем в общем случае нельзя выбрать в качестве термодинамической характеристики
его состояния. Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в гл. 25.
— 50 —

Иногда наряду с потенциалами F и F1 рассматривают потенциалы /=i?—Я2/8я
и /1=/'1 + #2/8я, для которых
df=—SdT-{-t,dp-\-HdI и dfl= — S dT + t,dp— IdH.
Однако хотя их формально и можно рассматривать, но они не очень интересны, по-
поскольку Н уже не «внешнее» поле для магнетика, поскольку Н изменено присутствием
самого магнетика. Поэтому более целесообразно ввести другой термодинамический
потенциал:
где интеграл берется по объему всей системы, а Не — поле, создаваемое токами в отсут-
отсутствие магнетиков. Из E.6) видно, что разность gF11—SF1 (g:I= \ F1 d%\ не зависит от
свойств и термодинамического состояния магнетика. Вычислим изменение 8^п при
заданной температуре и при малом изменении магнитного поля [см. Ландау и Лиф-
шиц A957)]. Тогда по E.6) и E.5) и используя простые преобразования, имеем
8&п=—-^- [ (BbH-HjbHe)d% =
= --1- j (H-HeNHedT- -L- j B6(H-He)dx-±- J {B-H)bHedT. E.7)
Вводя в первом и втором интегралах правой части E.7) вместо Не и В соответ-
соответственно вектор-потенциалы Ле и А, будем иметь
(Н—Не)ЬНе={Н—Не) rot 6^e = div [&Ае{Н—Не)\+ЬАет<Л (H — He),
В8 (Н—Не) = д (Н—Не) rot Л = —div [б (H—He)A] + A6rot (H—He).
Легко видеть, что по теореме Гаусса интегралы от div по всему объему равны нулю,
a rot (H— He) = rot Д"магн = 0 в силу D.20). Поэтому E.7) с учетом D.22) прини-
принимает вид
б^п= - f IbHe di, или dFu = - IdHe. E.8)
Заметим только, что выражение E.8) —I dHe нельзя рассматривать как изменение
плотности свободной энергии магнетика, поскольку ^1Г отлична от нуля и вне
магнетика и, кроме того, поле Не не является истинным полем Н.
Если поле Не однородно, то E.8) дает
d&ll= - S dT—MdHe,
где Ж"= 1 I di—полный магнитный момент магнетика. При линейной кривой
11 *
намагничивания (B=\iH) можно вычислить не только б^1, но и зависимость
от I и Не. Действительно, из E.7) находим
He(B-H)dT. E.10)
±- j (H-He)(B + He)di±-
Как было показано выше при выводе E.8), первый интеграл в правой частп E.10)
равен нулю, и поэтому, используя D.22), находим
Fn=Fo(r, 7)--i
В случае однородного поля E.11) принимает вид
&а=Р0(У,Т)-±МШв. E.12)
В случае слабомагнитных тел, когда % < 1 (ц ~ 1) и I ~ %JIe, E-11) дает
F" = F0 (V, Ц~\ j HldT. E.13)
- 51 - 4*

§ 2. Термодинамические условия равновесия
Термодинамические условия равновесия находятся из требования минимума
полных свободных энергий: SF = \ F (Т, р, В) dx или 2F1 = \ f\t, p, H) dx. Ра-
Равенство нулю первой вариации SF1 или 2F дает необходимые условия минимума при за-
заданной температуре. При этом варьирование по р при условии постоянства полной
массы тела I I p dx = const J дает условие равновесия в виде постоянства химического
потенциала. Задавая для В (или -Н") одно из уравнений Максвелла, например div J? = 0
4я
или rot -Н" = — j, из условия минимума написанных выше интегралов находим второе
уравнение и соответствующие граничные условия для В или Н. Если внешние источ-
источники магнитного поля отсутствуют (магнетик в вакууме без токов), то из равенства
нулю первой вариации [см. формулу E.3)] сразу следует:
дВ~ 4я -"-"
и
div-B = 0.
Если это не ферромагнетик, то находим травиальное решение: Н = В = 0. В ферро-
ферромагнетике при Н = 0 возможно _В=4яХ ф 0, но при условии, что внутри магнетика
div В = 4я div I = 0, т. е. нет «магнитных зарядов».
Выяснение достаточных условий минимальности термодинамического потен-
потенциала требует исследования второй вариации. Эти условия имеют вид так называемых
термодинамических неравенств, представляющих условия, гарантирующие устойчи-
устойчивость состояния магнетика. Например, для функции F* эти условия [подробнее см.
Ландау и Лифшиц A957)] гласят:
-(¦
дрдН
В силу E.5) первое из этих условий примет вид
>0, E.14)
\ dp IH,
Г'
т. е. имеем обычное требование положительности изотермической сжимаемости, ибо
(К) =1(
\ др ) В, Т р \ др
>0
Второе условие имеет вид якобиана A/4я) (д (В, t)/d (H, р)) > 0. Переходя в нем
от -Н", р к новым переменным Н, t,, получим
а (в, С) ННЛ) /дв\ /а?ч
д(Н, 0 д(Ш, р) -\dH)t, т\др)н. Т-> (%>
и в силу только что полученного условия находим из E.15) специфическое для
магнетиков требование положительности магнитной проницаемости:
которое является единственным ограничением, накладываемым термодинамикой на
эту величину.
§ 3. Основные дифференциальные соотношения термодинамики
Основные дифференциальные соотношения термодинамики для магнетиков могут
быть получены из уравнения любого потенциала. Например, из E.3) имеем
ит-д-
Ниже эти соотношения будут использоваться по мере надобности.
Пользуясь такими соотношениями, можно в общей форме определять связи
между различными величинами, характеризующими макроскопические свойства маг-
магнетика. Зная какой-нибудь из термодинамических потенциалов как функцию соответ-
соответствующих ему переменных, например Fu (T, р, II), можно определить связь между
— 52 —

намагниченностью и полем, т. е. магнитное уравнение состояния. В частности, из
E.5) получаем
4я "х- дНх
-В -
1 в -
E.18)
1
т. е. находим 5, а следовательно, и -Т = -т—(-В—-Н").
Если магнетик изотропен, то направления векторов I и Н совпадают и E.18)
можно записать в более простой форме:
EЛ9)
§ 4. Статистическая механика
1. Общие формулы. Связь между изложенными выше термодинамическими ра-
равенствами и атомной теорией магнетизма осуществляется с помощью формул статисти-
статистической механики, устанавливающих соотношения между термодинамическим потен-
потенциалом и величиной фазовой суммы Z, которая вычисляется через известные микро-
микросостояния системы. Основное такое соотношение *) Гиббса —¦ Богуславского имеет вид
Fn= — kT In Z, E.20)
где
[g] E.21)
В E.21) суммирование идет по всем микросостояниям системы с энергиями еп и ста-
статистическими весами gn (к — постоянная Больцмана). Вычисление гп и gn— задача
механики. В частности, если ее решать последовательно квантовомеханически, то
необходимо определить возможные значения энергий микросистемы гп (ее энергети-
энергетический спектр), а из найденной степени вырождения волновых функций микросис-
микросистемы — статистические веса gn состояний системы. Из E.19)—E.21) следует, что
ибо магнитное поле Н входит в отдельные значения энергии микросистемы гп как
параметр **). Формулу E.22) можно представить в несколько другом виде, если
вспомнить, что выражение
gnexp Г—|^-П
L J E.23)
дает нормированную статистическую вероятность осуществления re-го состояния рас-
рассматриваемой макросистемы. Поэтому E.22) примет вид
E-24>
Величина производной (— деп/дН) равна, как известно, магнитному моменту системы
в состоянии п, т. е.
Мп = —fe- E.25)
*) См., например, книгу Ландау и Лифшица A964).
**) Здесь предполагается, что весь расчет проводится для единицы объема тела,
поэтому его магнитный момент отождествляется с намагниченностью I.
- 53 —

Следовательно, E.24) есть определение среднего статистического значения (матема-
(математического ожидания) магнитного момента системы, обладающей энергетическим
спектром гп, т. е. _
/ = ЛГ=2МЛ. E.26)
п
В качестве иллюстрации напомним вывод формулы E.25) для случая классиче-
классической механики. Прежде всего найдем энергию системы N заряженных частиц с заря-
зарядами eh (к = 1, 2, 3, . . ., N) при движении в постоянном и однородном внешнем маг-
магнитном поле Н, направленном вдоль произвольной оси z. Энергия будет функцией
обобщенных координат qh и импульсов pk отдельных частиц системы. В присутствии
поля импульс каждой частицы будет состоять из механической и электромагнитной
частей, т. е.
где А— вектор-потенциал поля, который в рассматриваемом случае в силу LD.6)
имеет составляющие
1
Ах =
Поэтому энергия системы % как функция обобщенных координат и импульсов будет
иметь вид
92,
Шу Н; Ои),-|Ы,Я; (pk)z; ...}, E.27)
и, следовательно,
i?_= V \ehDh)y d% ek(qh)x д% Л
дН ZA L 2c д (pk)x 2c д (ph)y J '
ft— 1
частные производные д%/д (pk)x и д%/д (ри)у дают в силу уравнений Гамильтона
соответственно составляющие скоростей отдельных частиц (i>k)x и (уь)у, и поэтому
-¦Ц-=2 -27
Выражение в правой части E.28) по общему определению является г-составляющей
магнитного момента, созданного движущимися заряженными частицами системы.
Таким образом, формула E.25) в действительности имеет место.
В случае квантовой механики справедливы аналогичные соотношения, только
там непрерывные классические динамические переменные заменяются их средними
значениями (матричными элементами операторов) в соответствующих стационарных
состояниях. Этим обстоятельством мы будем широко пользоваться ниже.
Укажем также статистическое определение магнитной восприимчивости. Огра-
Ограничимся случаем постоянной восприимчивости % из D.23). Если внешнее магнитное
поле изменяется на величину 6Не, то изменение термодинамического потенциала F11
будет равно в силу E.8)
dFu= —I dHe = —%He йНе,
таким образом,
dF
n
я7Ж E-29)
или по E.20)
%~не дне " {Ь-Щ
2. Теорема Ван-Леевен —¦ Терлецкого. Укажем, что выполнение изложенной
программы статистических вычислений оказалось принципиально невозможным в рам-
рамках классической статистики. Как было показано для частных случаев Бором [1]
и Лорентцем [2], а в общем виде Ван-Леевен [3, 4] и Терлецким [5], магнитный момент
любого магнетика, рассматриваемого как классический коллектив движущихся эле-
элементарных зарядов, помещенных во внешнее постоянное магнитное поле, в стацио-
стационарном состоянии точно равен нулю *). Приведем здесь одно из возможных доказа-
*) Подробный анализ этого вопроса см. в монографии Ван-Флека A932).
— 54 -

тельств теоремы Ван-Леевен — Терлецкого [см., например, Вонсовский и Шур A948)].
Допустим, что гамильтониан классической системы из N заряженных частиц с заря-
зарядами е^ и массами тк (к = 1, 2, 3, . . ., N) состоит из потенциальной энергии
U (/"i, г2, ¦ ¦ ., гн) — произвольной функции координат rk (xk, yk, zfe) всех частиц
системы и кинетической энергии этих же частиц. Необходимо также учитывать как
действие внешнего магнитного поля Не, которое будем считать постоянным и одно-
однородным [мы будем описывать его вектор-потенциалом Л согласно D.6)], так и эффект
магнитного взаимодействия между всеми движущимися зарядами системы. Это внут-
внутреннее магнитное взаимодействие описывается вектор-потенциалом А(ва>, значение
которого в точке, занятой к-м зарядом, равно
Зфк
где vj— скорость /-й частицы, rhj— расстояние между к-й и j-й частицами. При этом
не учитываются эффект запаздывания электромагнитного взаимодействия и существо-
существование спинового магнитного момента. В рамках классической теории этого и не имеет
смысла делать, поскольку при учете запаздывания нужно принимать во внимание
и электромагнитное поле излучения, которое, как и спин, можно последовательно
учесть лишь в квантовой теории. Таким образом, в принятых предположениях фазовый
интеграл E.21) с учетом вектор-потенциала E.31) будет иметь вид
... drN dpt ... dpN, E.32)
где ph— импульс к-й частицы, Ah— значение вектор-потенциала внешнего поля
в точке, занятой к-й частицей. Скорости vj суть функции импульсов рк, что следует
из общего выражения
Согласно определению магнитного момента E.22) для доказательства того, что в равно-
равновесном состоянии всегда 1 = 0, нужно лишь показать, что фазовый интеграл Z, опре-
определяемый по E.32), не зависит от магнитного поля Не. Для этого рассмотрим в E.32)
интегралы по импульсам dpi . . . dpx и введем в них новые переменные 2\= mvk
по формулам
-?- 2
В результате интегралы по dp^ примут вид
оо N
ехр {~Ми{г* -• р">+2
л /- г д (»i . ¦ ¦ р n)
где А — якобиан преобразования ^ ^^ от импульсов ph к импульсам Ph.
Из E.33) очевидно, что А не зависит от Не, ибо он состоит из производных типа дрк/дРк,
которые не зависят от Не [как это видно из E.33)]. Таким образом, Z из E.32) не зави-
зависит от Не, и, следовательно, теорема доказана, т. е.
В заключение необходимо указать, что изложенное доказательство имеет силу
лишь для состояний статистического равновесия. В моменты же непосредственно после
включения или выключения внешнего магнитного поля классическая теория может
привести к I Ф 0. Однако, как только система придет в состояние равновесия, намаг-
намагниченность должна исчезать. Положительный результат, который получался для
ряда случаев в классической статистической теории магнетизма, например в теории
диа- или парамагнетизма (см. ниже в гл. 7 и 9), является всегда следствием неявного
учета квантовой природы атома (устойчивость стационарных состояний и т. п.), чуж-
чуждой законам классической физики.
- 55 —

В связи с этим Ван-Флек A932) отмечает: в теории Ланжевена получена отлич-
отличная от нуля магнитная восприимчивость потому, что он не применил классическую
статистику к «внутренним», или электронным, степеням свободы молекул, как это
сделано в E.32), а только к «внешним» их координатам, определяющим их ориентацию
как целого. Допустим, следуя Ван-Флеку, что многоатомная молекула имеет / степе-
степеней свободы и из ее / обобщенных координат glt . . ., qf (и импульсов pit . . ., pf)
только три qu q2 и q3 (pt, р2 и р3) описывают ориентацию молекулы в пространстве
(трансляционное движение молекул в данном случае нас не интересует, поэтому можно
принять, что их центры тяжести покоятся). Таким образом, при обычном классиче-
классическом выводе формулы Ланжевена (см. ниже) больцмановское распределение приме-
применяется только к обобщенным координатам и импульсам qu q2, qs, Pi\ P2 и рз, но не
к qt, . . ., qN, p4, . . ., pN. Поэтому, строго говоря, обычные классические резуль-
результаты необходимо [см. ниже, например выражения для диамагнитной G.7) и соответст-
соответственно парамагнитной (9.3) восприимчивости] «проинтегрировать» по оставшимся
«внутренним» переменным:
* Г* / мч, — " ' E4)
\ ехр ^ —j^rj i?4 • • • dQf dpi--- dpt
где ffl — гамильтониан молекулы. Здесь (хат и rj следует считать не молекулярными
постоянными, как это делается в обычной классической теории Ланжевена, а функ-
функциями внутренних переменных q^ . . ., q/,Pi, ¦ • .,р/. Теорема Ван-Леевен [3] утвер-
утверждает, что после интегрирования в E.34) пара- и диамагнитные части точно компен-
компенсируют друг друга. Конечно, для строгого доказательства теоремы Ван-Леевен выра-
выражение E.34) для % не является достаточно корректным, поскольку согласно этой
теореме мы должны получить точную компенсацию пара- и диамагнитных эффектов,
в то время как в E.34) мы имеем дело лишь с первыми членами разложения по степе-
степеням Не. Однако и в этом случае доказательство теоремы Ван-Леевен можно, не пре-
претендуя на общность, провести для одной весьма простой динамической системы. Пред-
Предположим, что мы имеем частицу с зарядом е и массой т, движущуюся по некоторой
жесткой орбите постоянного радиуса го с постоянной угловой скоростью со. Тогда
такая частица будет иметь магнитный момент er\(ssl2c (если вспомнить формулу для
fiopg = еру12тс, где pv = тгагошго). По теореме классической статистики о равно-
равномерном распределении энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия
частицы (обладающей при такой орбите двумя степенями свободы) равна тг§ш2/2 = кТ.
Очевидно, что квадрат магнитного момента частицы отличается от ее кинетической
энергии на постоянный множитель е2г|/2тгас2. Поэтому среднее статистическое значение
квадрата магнитного момента будет равно в данном случае ((|Аат>> = кТе?Гд/2тс2.
Отсюда видно, что после усреднения (интегрирования) по формуле E.34) в перйом сла-
слагаемом температура в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем
6mc2
ЪкТ
Точно так же, исходя из простых наглядных соображений, можно показать, что в слу-
случае классической системы «свободных» электронов (электроны проводимости в металле)
отсутствует диамагнетизм [см. ниже гл. 11 или книгу Ван-Флека A932)]. Только учет
квантовой природы атомных законов позволил устранить эту основную трудность
классических попыток построения атомной теории магнетизма и создать последова-
последовательную квантовую теорию магнетизма на основе общих законов микроявлений, пред-
представляющих собой следующее, более точное приближение к реальной действительности,
чем законы классической физики.
§ 5. Общее квантовомеханическое определение энергии
и среднего магнитного момента электрона в магнитном поле
Получим с помощью квантовомеханического рассмотрения выражения для энер-
энергии и среднего магнитного момента системы электронов в магнитном поле. Эти резуль-
результаты будут нужны при квантовой трактовке диа- и парамагнетизма. Оператор энергии
любой системы электронов во внешнем постоянном магнитном поле имеет вид
()i E-35>
h k
где рк—оператор вектора импульса, sft — оператор вектора спина к-го электрона, А —
вектор-потенциал внешнего магнитного поля, U — потенциальная энергия электро-
электростатического взаимодействия электронов между собой и с внешним электризеским
полем *); суммирование по к ведется по всем электронам системы. Если магнитное
*) Поскольку эта часть взаимодействия нам в дальнейшем не понадобится, мы
не раскрываем явный вид оператора энергии U.
— 56 —

поле Н однородно, то можно воспользоваться формулой A =-g- [Иг]. Выбиралось z
вдоль поля Н и заменяя операторы импульса через —ifr Vk> вместо E.35) будем иметь
<*+*>]+*+2 ¦?¦ я^- E-36>
Множитель -^—#2 во втором слагаемом в квадратных скобках является операто-
Zmc
ром z-й слагающей механического момента трансляционного (орбитального) движения
электрона:
hd д \ /с ™.
Таким образом, члены в операторе энергии E.36), линейно зависящие от магнитного
поля, имеют вид
^ )= —^А- E-38)
где M2 — оператор суммарного орбитального и спинового момента всех электронов
системы. Этот член учитывается, например, при расчете явления Зеемана в свободных
атомах. Квадратичным по Н членом E.36) при этом можно пренебречь, ибо его отно-
отношение к E.38) для средних значений этих операторов имеет порядок 10~10 СГСМ.
При всех практически достижимых магнитных полях (^106 а) этой величиной можно
полностью пренебречь (т. е. пренебречь диамагнитной поправкой к эффекту Зеемана).
Согласно общей формуле E.25) среднее значение z-компоненты магнитного
момента электронов (диагональный матричный элемент в состоянии, характеризуе-
характеризуемом квантовым числом п *)) выражается формулой
Mz = (n\Mzl п) = —^д ' ; , E.39)
где (п | Ш | п) — диагональный матричный элемент оператора энергии E.36). Для
вычисления E.39) обычно пользуются теорией возмущения, считая, что в E.36) роль
малого «параметра» играет величина магнитного поля **)
здесь Подоператор энергии нулевого приближения (при Я=0), а &€' — оператор
энергии возмущения:
k
Таким образом,
(n\Mz\n) = -(n\ Wl" | n) — 2Hz (n | #<2> | re)+ ... E.42)
Проводя обычные вычисления по методу возмущений ***), находим
(п | W !> | п) = - (п | М«» | ге), E.43)
^_ / I (п I Ж I п') |2 __ е2
J 1 +Е^
га' ™ ™ fe
где штрих у суммы означает, что член с п = п' исключен, (п | Л?2°> | ге') — матричный
элемент оператора магнитного момента из E.38), взятый для невозмущенных состоя-
состояний (при Hz = 0), а %'п) и %п' — энергии невозмущенных состояний. В силу E.43)
и E.44) выражение E.42) для среднего магнитного момента примет вид
га'
*) Вообще говоря, под ге следует понимать полный набор квантовых чисел,
определяющих состояние атомной системы. В случае одноэлектронного атома п соот-
соответствует набору nlms или njms (см. выше гл. 2).
* *) Малыми полями следует считать такие, которые приводят к изменениям энер-
энергии системы, малым по сравнению с разностью энергий основного уровня системы
и первого из возбужденных уровней.
***) См., например, курсы квантовой механики Блохинцева A961) или Ландау
и Лифшица A963).
— 57 -

Поскольку энергия ге-го невырожденного стационарного состояния в отсутствие внеш-
внешнего магнитного поля равна Йя", то согласно теории возмущений с точностью до чле-
членов второго порядка малости относительно поля Н [см. E.40)] в силу E.41) для возму-
возмущенного значения энергии получим
к п' П П
Формулы E.44) и E.46) будут использованы в гл. 7 и далее для расчета диа- п пара-
парамагнитной восприимчивостей.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 5
1. N. Bohr, Dissertation, Copenhagen, 1911.
2. Н. A. Lorentz, Uber die kinetische Theorie der Materie und der Elektrizitat,
Leipzig, 1914.
3. I. A. van Leeuwen, Dissertation, Leiden, 1919.
4. J. A. van Leeuwen, J. phys. et radium F), 2, 361 A921).
5. Я. П. Т е р л е ц к и й, ЖЭТФ 9, 796 A939).

Глава 6
КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВ
ПО ОСНОВНЫМ ОПЫТНЫМ ДАННЫМ
Выше уже отмечалось, что все вещества являются магнетиками. В природе
наблюдается очень большое их разнообразие, поэтому возникает необходимость их
детальной классификации.
Классификацию магнетиков, или, точнее, различных магнитных состояний
веществ, можно произвести двумя способами. Во-первых, чисто феноменологически,
используя какую-нибудь макроскопическую характеристику магнетика (например,
восприимчивость). По ее величине или по наблюдаемым зависимостям ее от различных
физических факторов и проводится классификация, независимо от выяснения физи-
физической природы атомных носителей магнетизма и тех взаимодействий между ними,
которые определяют тип магнитного состояния. Второй способ — физической клас-
классификации основан на возможно более полном учете физических факторов и в пер-
первую очередь природы атомных носителей магнетизма и характера взаимодействия
между ними.
§ 1. Феноменологическая классификация
Простейший способ феноменологической классификации магнетиков исходя из
знака и величины магнитной восприимчивости % был уже использован в гл. 4. Упо-
Упоминались три основных типа магнетиков: 1) диамагнетики (% < 0), 2) парамагнетики
(% > 0) и 3) ферромагнетики (X > 0 и очень большая по величине). Эта формальная
классификация магнетиков стала традиционной. Однако благодаря накоплению боль-
большого опытного материала, а также развитию атомной теории магнетизма стали оче-
очевидными недостатки подобной классификации, поскольку при таком подходе игно-
игнорируется природа микроносителей магнетизма и не учитывается характер взаимодей-
взаимодействия между ними. Так, например, из этой классификации выпадают такие важные
типы магнитных состояний, как антиферромагнитное, ферримагнитиое, сверхпроводя-
сверхпроводящее и т. д.
§ 2. Физическая классификация
При попытке более глубокой физической классификации магнитных состояний
вещества необходимо прежде всего выяснить два основных вопроса: 1) какова природа
атомных носителей магнитного момента? 2) каков характер влияния внешних воздей-
воздействий на эти носители, а также внутренних взаимодействий между ними?
1. Природа атомных носителей магнетизма. Выше уже отмечалось, что атомными
носителями магнетизма в веществах являются элементарные частицы — электроны
и нуклоны (протоны и нейтроны), из которых построены атомы этих веществ. При
этом магнитные свойства нуклонов определяют магнетизм атомных ядер (см. гл. 3)
и ядерный магнетизм в веществах. Магнитные свойства электрона определяют магне-
магнетизм электронной оболочки атома (см. гл. 2) и тем самым электронный магнетизм
веществ. Магнетизм ядра значительно слабее магнетизма электронной оболочки. Это
наглядно видно из сравнения элементарных моментов этих двух типов магнетизма —
магнетона Бора цв и ядерного магнетона (хяд = (хБ/1836,5. Как мы уже видели (гл. 2
и 3), в обоих случаях — электронного и ядерного магнетизма — следует различать
орбитальный и спиновый магнетизм.
2. Основные эффекты внешнего поля — диа- и парамагнетизм. Перейдем теперь
к рассмотрению второго из поставленных выше вопросов — о влиянии внешнего маг-
магнитного поля и внутренних взаимодействий между отдельными атомными носителями
магнетизма в веществе на его магнитные свойства. Прежде всего выясним основные
эффекты, связанные с действием внешнего магнитного поля на магнитные моменты атом-
атомных носителей. Здесь можно указать два таких эффекта (см. гл. 2) — диамагнитный
и парамагнитный. Диамагнитный эффект является результатом индукционного воз-
воздействия внешнего магнитного поля на молекулярные токи. Благодаря ларморовской
прецессии электронных орбит в поле, в каждом атоме возникает добавочный магнитный
момент, направленный против создающего его внешнего поля, что и определяет отри-
— 59 —

цательный знак диамагнитной восприимчивости. Диамагнетизм присущ всем атомам,
ионам и молекулам (как электронным оболочкам, так и их ядрам), а также и их кол-
коллективам — конденсированным телам — жидкостям и кристаллам. Поэтому все тела —
диамагнетики, хотя их диамагнетизм очень часто маскируется, перекрываясь более
сильным положительным парамагнитным эффектом со стороны внешнего магнитного
поля и за счет внутренних взаимодействий. Как будет подробно показано ниже с по-
помощью физического анализа атомной структуры веществ, в которых наблюдается
диамагнетизм, атомные носители магнетизма (атомы, ионы, молекулы, молекулярные
комплексы и т. п.) оказываются магнитно нейтральными, т. е. в них наблюдается
полная компенсация спиновых и орбитальных магнитных моментов электронов в атом-
атомной оболочке и нуклонов в атомных ядрах.
В тех случаях, когда атомные образования, из которых построено данное веще-
вещество, обладают собственными результирующими магнитными моментами — спиновы-
спиновыми, орбитальными или и теми и другими, эти моменты испытывают ориентирующее
действие внешнего магнитного поля, благодаря которому в теле создается параллель-
параллельная полю намагниченность, что и является причиной появления положительной пара-
парамагнитной восприимчивости (разумеется, в тех случаях, когда этот эффект превышает
отрицательный диамагнитный эффект).
В простейшем случае диа- и парамагнетизм можно наблюдать в разреженных
газах. Там практически можно пренебречь взаимодействием между атомными носите-
носителями магнетизма. Поскольку диамагнитный эффект связан с внутренними движениями
электронов в оболочке или нуклонов в ядрах атомов (прецессия электронных и нук-
лонных орбит), влияние теплового движения (столкновения между атомами), пока
оно не очень сильно деформирует орбиты (не происходит возбуждения электронной
оболочки), будет весьма незначительным, и диамагнитная восприимчивость, как пра-
правило, практически не будет зависеть от температуры. Наоборот, ориентация атомных
магнитных моментов в парамагнетике (установление атомного магнитного порядка
вдоль внешнего намагничивающего поля) будет разрушаться хаотическим тепловым
движением, что и будет проявляться, как правило, в резкой зависимости парамаг-
парамагнитной восприимчивости от температуры *).
Таким образом, во всех указанных типах магнетизма (ядерном, электронном,
спиновом и орбитальном) мы должны считаться как с возможностью сосуществования
двух основных магнитных явлений, возникающих под действием внешнего магнитного
поля,— диамагнетизма и парамагнетизма, так и с дезориентирующим действием теп-
теплового движения. В случае систем, где можно пренебречь взаимодействием между
атомными носителями магнетизма, задача сводится к расчету двух указанных конкури-
конкурирующих эффектов при различных значениях внешнего магнитного поля и температуры.
При расчете различных термодинамических величин, связанных с магнитными свой-
свойствами веществ, необходимо принимать во внимание как квантовую природу самих
носителей магнетизма, так и квантовую статистику.
3. Влияние внутренних взаимодействий на магнитные свойства. Займемся теперь
выяснением влияния взаимодействия между элементарными носителями магнетизма
на магнитные свойства вещества. Возможность существенного влияния этих взаимо-
взаимодействий на магнитные свойства можно усмотреть уже из сравнения магнитных свойств
изолированных атомов различных элементов таблицы Менделеева. Как уже отмечалось
(гл. 2 и 3), переходя от элемента к элементу в периодической таблице, можно наблю-
наблюдать самые разнообразные магнитные свойства как в электронных оболочках, так
и в ядрах атомов. Существенная зависимость магнитных свойств вещества от характера
взаимодействия между атомными носителями магнетизма может приводить к тому,
что в одном и том же химическом веществе при неизменности его состава, но при раз-
различных внешних условиях (температура, давление, внешнее магнитное поле и т. п.),
а также при различной кристаллической и фазовой структуре (степень упорядочения
атомов в сплавах, фазовые превращения и т. п.) могут наблюдаться различные маг-
магнитные свойства. Именно поэтому, пожалуй, более правильно говорить не о магнети-
магнетиках как о каких-то определенных веществах данного химического состава, в которых
этот тип магнетизма существует при любых условиях, а о тех или иных магнитных
состояниях вещества, которые реализуются в нем лишь при строго определенных
внешних и внутренних условиях.
Внутреннее взаимодействие между атомными носителями магнетизма, которое
существенно сказывается на магнитных свойствах вещества, построенного из этих
частиц, количественно лучше всего охарактеризовать величиной энергии этого взаимо-
взаимодействия, рассчитанной на отдельную пару носителей магнетизма: 8ВЗ- Однако сама
по себе величина 8ВЗ еще ничего не говорит. Эта величина 8ВЗ приобретает смысл при
сравнении ее с величинами энергий других атомных взаимодействий, которые, с одной
стороны, могут влиять на магнитные свойства и, с другой стороны, могут зависеть не
только от свойств данного вещества (т. е. от образующих его частиц), но и от внешних
факторов, в первую очередь от величины внешнего магнитного поля Я" и от темпера-
температуры Т. Как известно, энергия атомного магнитного момента (хБ в поле Н равна (по
*) Могут быть, однако, и такие случаи, когда парамагнитная восприимчивость
очень слабо зависит от температуры (см. гл. 11), например, в щелочных металлах,
а также в случае так называемого поляризационного парамагнетизма (см. гл. 7).
— 60 —

модулю) eg ^ PftH, средняя тепловая энергия, приходящаяся на атом, равна ет «к кТ.
Сопоставление энергий евз с ejj и ет делается особенно наглядным, если, пользуясь
приведенными выражениями для ен и ет, ввести эффективное магнитное поле #эфф
и эффективную критическую температуру ГКр, представив энергию взаимодействия
в следующих двух формах:
8B3=fcrKp- F.1)
Пользуясь F.1), можно разделить шкалу температур и полей соответственно на два
интервала: 0° К < Т < Гкр и Т > Гкр; 0 < Н < #Эфф и Н > #Эфф- Очевидно, что
в областях Н < Яэфф или Т < Ткр будут сильно проявляться магнитные свойства
вещества, обусловленные внутренними взаимодействиями атомных носителей магне-
магнетизма, характеризуемыми энергией sB3. Наоборот, в областях Т > Ткр или Н > #Эфф
будут доминировать внешние условия — температура или поле, подавляющие
эффекты внутреннего взаимодействия. В известном смысле вещества, для которых вы-
выполнены условия «низких» температур или «слабых» полей (по сравнению с Ткр и #эфф),
можно назвать «сильномагнитными», а для которых выполнены противоположные
условия «высоких» температур или «сильных» полей (по сравнению с Ткр и #эфф),
«слабомагнитными». Иногда такая классификация может быть удобной, и ее следует
иметь в виду. Однако для полного выяснения физической природы магнитных свойств
вещества необходимо знать не только величину энергии евз по сравнению с ег и ен,
но также и ее физическое происхождение, а также учитывать характер магнитного
момента носителей (орбитальный или спиновый). Если исключить из рассмотрения
ядерный магнетизм, то в электронных оболочках атомоз и молекул, а также в элек-
электронной системе конденсированных тел действуют два типа сил — электрические
и магнитные. В качестве атомной меры сил первого типа можно взять энергию электро-
электростатического взаимодействия двух электронов, находящихся на расстояниях порядка
атомных размеров а ~ 10~8 см. По закону Кулона эта энергия равна
е2 10-20
%л « — « -п=!Г « 10-П + 10-13 °Рг- F-2)
Мерой магнитного взаимодействия (см. гл. 4) служит энергия связи двух магнитных
диполей с моментом цБ на расстоянии а:
at Ю-40
8 « « j « 105 + 10~17 3Рг- <6-3)
Из сравнения F.2) и F.3) видно, что электростатическая энергия на три или даже четы-
четыре порядка превосходит величину магнитной энергии *). Согласно F.1) соответствую-
соответствующие критические температуры и эффективные поля равны
Гкр.вл^Юв-нЮ^К, Яэфф.эл«109-10'э,
yKP.Mar«l-b0,l°K, Яэфф.ма1,«105-М03а.
На первый взгляд может показаться, что внутренние магнитные свойства должны
определяться исключительно магнитным взаимодействием между атомными носите-
носителями магнетизма, которое по F.3) характеризуетея энергиями 10~1B -^ Ю-17 эрг или
соответственно по F.4) критическими температурами 0,1 -г- 1° К и эффективными
полями 103 -^ 105 э. Однако такое поспешное заключение оказывается неправильным.
Можно сразу же привести конкретные примеры магнитных состояний, критические
температуры и эффективные поля для которых значительно превышают указанные
выше значения F.4). Для типичных ферромагнитных металлов — железа, кобальта
и никеля из опыта известно, что их магнитные критические температуры (точки Кюри,
см. гл. 18) равны соответственно 1043° К, 1404° К и 636° К, т. е. величинам на три,
четыре и более порядка выше, чем это может обеспечить магнитное взаимодействие.
Единственным объяснением этого расхождения остается предположение о том, что
в этом случае магнитные свойства вещества определяются электростатическим взаимо-
взаимодействием между атомными носителями магнетизма. В рамках классической физики
этот парадокс оставался неразрешимым. Только после возникновения современной
квантовой теории оказалось возможным раскрыть эту загадку, поскольку квантовая
механика объяснила зависимость электростатической энергии взаимодействия элек-
электронов от взаимной ориентации их спиновых моментов (см. ниже гл. 19). Оказалось,
что, помимо квазиклассической (кулоновской) электростатической энергии F.2),
существует по своему происхождению также электростатическая энергия, величина
которой того же порядка, что и кулоновская энергия (—10~13 эрг), но которая суще-
существенно зависит от взаимной ориентации спинов электронов. Эта часть электростати-
электростатической энергии носит название обменной энергии 8вз.Об (подробнее см. гл. 18—22).
*) В некоторых случаях, например у атомов тяжелых элементов, магнитная
(релятивистская) энергия может достигать и больших величин, приближающихся
к 8эл-
— 61 —

В гл. 2 мы уже упоминали об этой энергии. В частности, первое правило Хунда является
прямым следствием обменной связи между электронами в атомной оболочке *).
4. Различные типы атомного магнитного порядка. Как будет показано ниже
(гл. 18), существенной чертой обменного электростатического взаимодействия является
то, что под его влиянием в веществе может возникнуть упорядоченное распределение
направлении атомных магнитных моментов (атомный магнитный порядок). В некото-
некоторых случаях обменное взаимодействие может благоприятствовать параллельной
ориентации атомных моментов (ферромагнитный порядок, см. рис. 6.1, а), в других —
тоже упорядоченному распределению, но с антипараллельной ориентацией магнитных
моментов соседних атомных частиц в
теле. В этом случае хотя и появляется
упорядоченное распределение момен-
моментов, но результирующий момент в каж-
каждой элементарной магнитной ячейке
кристалла (подробнее см. гл. 18) равен
нулю (скомпенсированный антиферро-
антиферромагнитный порядок, см. рис. 6.1, б).
Возможны также и такие случаи, когда
при антиферромагнитном порядке атом-
атомных моментов по тем или иным причи-
причинам полная компенсация магнитного
момента в каждой элементарной ячейке
нарушается и в теле возникает резуль-
результирующий разностный самопроизволь-
самопроизвольный магнитный момент (нескомпенсиро-
ванный антиферромагнитный порядок*
а)
б)
в)
Рис. 6.1. Типы упорядоченного расположения
магнитных моментов, а) Ферромагнетик; б) анти-
антиферромагнетик; в) ферримагнетик.
или ферримагнетизм, см. рис. 6.1, в).
Реализация того или иного типа обмен-
обменного взаимодействия существенно зави-
зависит от конкретной электронной структуры данного вещества. Как будет выяснено
ниже (гл. 18—22), ферромагнитному порядку способствует положительное обменное
взаимодействие (sB3. об > 0)> а антиферромагнитному (и ферримагнитному)—отри-
ферримагнитному)—отрицательное (sB3. об < 0)-
5. Роль электронов наружных и внутренних слоев атомной оболочки. В кон-
конденсированных средах с более близким расположением атомов их электронные оболочки
деформируются по сравнению с оболочками изолированных атомов или атомов в газах.
Подробно об этом будет идти речь ниже (см. гл. 10, 11, 20), здесь только отметим, что
при конденсации сильнее всего изменяют свое движение наружные, валентные элек-
электроны. В металлах бывшие валентные электроны образуют систему коллективизи-
коллективизированных электронов проводимости, в полупроводниках и диэлектриках эти элек-
электроны участвуют в образовании коллективных валентных и других локализованных
связей. Электроны же внутренних слоев атолшой оболочки и в конденсированных
фазах практически находятся в таких же состояниях, как и в изолированных атомах.
Поэтому, когда мы говорим об электронных магнитных свойствах конденсированных
веществ, следует различать магнитные свойства системы коллективизированных элек-
электронов в телах различных классов (металлы, полупроводники, диэлектрики и т. п.)
и магнетизм ионных остовов (т. е. атомных ядер и внутренних практически
неискаженных областей электронной оболочки отдельных атомов в конденсированной
фазе).
§ 3. Основные типы магнитных состояний вещества
Учет природы атомных носителей магнетизма и характера их взаимодействия
дает возможность сразу же уточнить классификацию магнитных состояний вещества,
выделив прежде всего следующие три главные группы магнитных состояний:
1. Спиновый и орбитальный магнетизм систем слабовзаимодействующих атомов,
ионов и молекул (магнетизм слабовзаимодействующих частиц).
2. Спиновый и орбитальный магнетизм коллективизированных электронов в ме-
металлах, полупроводниках и диэлектриках, а также неколлективизированных частей
электронной оболочки (ионных остовов) в этих веществах с учетом их внутрикристал-
лических взаимодействий (магнетизм электронно-ионной системы в конденсирован-
конденсированных средах без атомной магнитной структуры, т. е. без атомного магнитного порядка).
*) На магнитные свойства вещества, конечно, оказывает влияние и магнитное
взаимодействие между атомными носителями магнетизма. Его также можно разделить
на квазиклассическое (кулоновское) сшга-сппновое и спин-орбитальное взаимодей-
взаимодействие, порядок величины которого определяется по F.3), и магнитное обменное взаимо-
взаимодействие, не превышающее первое по величине (Вонсовский, Власов, Туров [1]).
Однако все эффекты, обусловленные этими магнитными взаимодействиями, будут, как
правило, более слабыми (релятивистскими) по сравнению с сильными электростати-
электростатическими взаимодействиями.
- 62 —

3. Магнитные свойства веществ с атомным магнитным порядком, обусловленным
обменным взаимодействием.
Кроме того, к этим трем типам электронного магнетизма вещества необходимо
добавить четвертый тип, связанный с магнетизмом коллектива атомных ядер в конден-
конденсированной фазе:
4. Ядерный магнетизм в веществах. Хотя этот магнетизм и слабый по сравнению
с электронным, но в ряде случаев он имеет существенное значение и может быть с боль-
большим эффектом использован как средство изучения электронной структуры твердых
тел.
§ 4. Детальная физическая классификация магнитных
состояний вещества
Естественно, что приведенная физическая классификация магнитных состояний
не может отразить всего их многообразия. Возможны самые причудливые комбинации
сосуществования различных магнитных состояний, вклад которых в суммарные наблю-
наблюдаемые свойства сложно зависит от различных внешних и внутренних условий. Тем
ие менее, егли к приведенной классификации еще добавить наличие двух основных
эффектов во внешних магнитных полях — диа- и парамагнитного, то такая классифи-
классификация в целом будет отражать общий характер магнитных свойств всей совокупности
известных веществ. Возможный вариант такой классификации может быть, например,
следующим.
I. МАГНЕТИЗМ СЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
А. Преобладание диамагнетизма
а) «Классические» диамагнитные газы: все инертные газы,
а также газы, атомы или молекулы которых не имеют собственного результирующего
магнитного момента. Восприимчивость их отрицательна (%дм < 0), очень мала по
абсолютной величине (~10~7—10~5) и практически не зависит от температуры.
б) Диамагнетизм ионных остовов в конденсирован-
конденсированной фазе: некоторые чистые элементы в жидком и кристаллическом состоянии,
растворы и соединения (особенно в случае ионной связи), в которых этот диамагнетизм
преобладает над парамагнетизмом коллективизированных электронов проводимости
в металлах и когда внутрикристаллические связи не очень существенно влияют на
характер магнитного состояния электронной системы. К этой группе веществ отно-
относятся, например, инертные газы в жидком и кристаллическом состоянии, соединения
с ионными остовами, подобными атомам инертных газов (Li+, Be2+, А13+, О2~ и т. д.),
галоиды в жидком п твердом состоянии, некоторые металлы (цинк, золото, ртуть и др.).
Б. Преобладание парамагнетизма
а) «Классические» парамагнитные газы: все газы, атомы,
ионы или молекулы которых обладают результирующим магнитным моментом, отлич-
отличным от нуля (например, щелочные и переходные металлы в газообразном состоянии),
газы О2, N0. Восприимчивость их положительна (%пм > 0)» мала по величине (~10~6),
при не очень пизких температурах и не очень сильных магнитных полях {цБН/кТ <С 1)
не зависит от поля, но существенно зависит от температуры; для %вм имеет место закон
Кюри
Хпм=="уГ> F-5)
где С — постоянная Кюри (см. гл. 9).
б) Ионный парамагнетизм в конденсированной фазе
наблюдается в жидких растворах ионов переходных элементов, а также в кри-
кристаллах соединений этих элементов с ионной и неполярной связью при условии, что
магнитно активные ионы слабо взаимодействуют друг с другом и их ближайшее окру-
окружение в конденсированной фазе также-слабо влияет на их парамагнетизм. Типичными
представителями этого класса магнетиков являются растворы редкоземельных эле-
элементов. При не очень низких температурах и не очень сильных магнитных полях
(\1БН/кТ -С 1) их парамагнитная восприимчивость опять-таки не зависит от поля, но
зависит от температуры; для Хпм имеет место закон Кюри—Вейсса
С
%ПМ—~т 7J j F-6)
где вр— парамагнитная точка Кюри. В случае сильных магнитных полей и низких
температур {цвН/кТ > 1) магнитные свойства этих парамагнетиков начинают сильно
отличаться от свойств «классических» парамагнитных газов, поскольку наблюдаются
эффекты магнитного насыщения, а также начинают более резко сказываться и эффекты
внутрикристаллических взаимодействий (при sB3 ^> кТ).
- 63 —

И. МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННО-ИОННОЙ СИСТЕМ
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
А. Преобладание диамагнетизма
а) Диамагнетизм жидкостей и кристаллов, в которых
внутрикристаллические взаимодействия оказывают существенное влияние на маг-
магнитные свойства. К этой группе тел следует отнести диамагнитные органические соеди-
соединения (молекулярные кристаллы) с неполярной связью (исключая случаи, когда молеку-
молекулы или радикалы имеют отличный от нуля магнитный момент и когда парамагнитный
эффект подавляет диамагнетизм). Эти тела, так же как и классические диамагне-
тики, обладают небольшой восприимчивостью (| Хдм I — Ю~в), практически не зави-
зависящей от температуры, но с заметной анизотропией (в монокристаллах), обусловленной
внутрикристаллическими взаимодействиями.
б) Диамагнетизм электронов проводимости метал-
металлов и полупроводников. Этот вид магнетизма присущ всем металлам
и полупроводникам. Однако в обычных условиях он маскируется более сильным
и всегда сопутствующим ему электронным парамагнетизмом (см. ниже группу Б,
а также гл. 11 и 12), а также и более сильным магнетизмом ионных остовов. Только
в области более низких температур и при наличии достаточно сильных внешних маг-
магнитных полей {цЕН/кТ J> 1) можно обнаружить проявление характерных особенно-
особенностей диамагнетизма электронов проводимости, например периодическую зависимость
магнитной восприимчивости от внешнего магнитного поля (эффект де Гааза — ван
Альфена и т. п.). Эти проявления электронного диамагнетизма уже обнаружены
в монокристаллах большого числа металлов (подробнее см. гл. 11).
в) Сверхпроводники. Ряд металлов при очень низких температурах
(в интервале от 0° К до 15° К) обладает аномальными электрическими и магнитными
свойствами. В частности, при пропускании через них электрического тока от посто-
посторонней э. д. с. они ведут себя подобно идеальным проводникам с нулевым электросо-
электросопротивлением (отсюда термин — сверхпроводники). Однако не менее важной харак-
характеристикой сверхпроводника являются их магнитные свойства. Внутри массивного
сверхпроводника магнитная индукция всегда равна нулю: В = 0 (эффект Мейсснера).
Отсюда на первый взгляд можно на основании формулы D.22) получить I = — (l/4ix) Ш.
Таким образом, как будто бы можно сказать, что сверхпроводники являются одно-
одновременно и сверхдиамагнетиками с колоссальной (по сравнению с обычными диамагне-
тиками) восприимчивостью: Хсп = — (l/4ix) ~ 0,1. Надо заметить, однако, что такое
отождествление сверхпроводника со сверхдиамагнетиком носит лишь формальный
характер. Дело в том, что всякий массивный сверхпроводник, находящийся ниже своей
критической температуры всп (выше которой при внешнем поле Н = 0 металл пере-
переходит в нормальное состояние) и во внешнем поле также ниже некоторого критического
значения Нкр (Т) (выше которого сверхпроводимость снимается даже при Т < всп),
представляет собой тело, на поверхности которого циркулирует макроскопический
ток. Этот ток экранирует толщу сверхпроводника от внешних полей, и поэтому в нем
всегда В= И = 0 (кроме тонкого поверхностного слоя, толщиной —10~5 см), а про-
проницаемость ц ф 0 и имеет обычное значение, близкое к единице. Поэтому никакой
сверхдиамагнитной намагниченности внутри массивного сверхпроводника нет. Его
условно можно уподобить лишь одному диамагнитному атому, в котором роль пре-
прецессии электронных оболочек играет поверхностный макроскопический ток [см. книгу
Гинзбурга A946) и его обзоры [2—3], а также книгу Бардина и Шриффера A962)].
К сожалению, до сих пор в рамках микроскопической теории сверхпроводимости не
удалось объяснить все магнитные свойства сверхпроводников [Бардин и др. [41,
Боголюбов, Толмачев и Ширков A958)] (подробнее см. гл. 8 и 25).
Б. Преобладание парамагнетизма
а) Парамагнетизм электронов проводимости в ме-
металлах и полупроводниках. Типичными представителями веществ,
у которых преобладает спиновый парамагнетизм электронов проводимости, являются
щелочные и щелочноземельные металлы, а также большая часть металлов переходных
групп (палладий, платина, скандий, титан и ванадий из группы железа). Восприим-
Восприимчивость их мала (~10~7—10), практически не зависит от внешнего магнитного поля
и, в отличие от «классических» парамагнетиков, очень слабо зависит от температуры
(особенно в случае щелочных металлов; у переходных металлов эта зависимость более
заметнее).
б) Парамагнетизм ионных остовов в кристаллах,
когда на магнитные свойства этих ионов заметно влияет внутрикристаллическое
взаимодействие. К этой группе относятся парамагнетики группы I, Б, б (см. выше),
когда в них велико внутрикристаллическое взаимодействие, а также все кристаллы,
обладающие атомным магнитным порядком при температурах выше их критической
температуры (точки Кюри или Нееля) или при полях выше эквивалентных (см. ниже).
- 64 —

III. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА С АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ
ПОРЯДКОМ
К этой группе магнетиков относятся чистые переходные металлы группы железа:
железо, кобальт, никель, хром, марганец, практически все редкоземельные металлы,
а также многочисленные металлические сплавы и соединения, в которых хотя бы одна
пз компонент является переходным или редкоземельным элементом. Как уже отмеча-
отмечалось выше, здесь следует различать два основных типа атомного магнитного порядка —
ферромагнитный и антиферромагнитный. В последнем случае может наблюдаться
либо скомпенсированный, либо нескомпенсированный антиферромагнетизм (ферри-
магнетизм). С этой точки зрения возможна такая классификация магнетиков с атом-
атомным магнитным порядком:
а) Ферромагнетики (вещества с положительной обменной связью,
Евз. об > 0). К ним относятся кристаллы железа, кобальта, никеля, часть редкозе-
редкоземельных металлов (гадолиний, тербий, диспрозий, гольмий, эрбий, тулий и иттербий),
многочисленные сплавы и соединения этих элементов между собой и с другими нефер-
неферромагнитными элементами; сплавы и соединения хрома и марганца с неферромагнит-
неферромагнитными элементами, а также некоторые соединения металлов группы актинидов (на-
(например, UH3). Ферромагнетизм в этих веществах наблюдается в интервале температур
от 0° К до критической температуры — точки Кюри вф, выше которой ферромагнетики
ведут себя как парамагнетики группы И, Б, б или в более редких случаях как
II, Б, а (иногда имеет место наложение обоих этих типов парамагнетизма). Ниже точки
Кюри вф в ферромагнетиках наблюдаются не только специфические магнитные свой-
свойства, но также и особенности (аномалии) в поведении других, немагнитных физических
свойств. Эти аномалии достигают максимума вблизи точки Кюри.
б) Антиферромагнетики (вещества с отрицательной обменной связью,
8вз. об < 0, а также с полной компенсацией результирующего магнитного момента
в каждой элементарной магнитной ячейке кристалла). К этому типу магнетиков отно-
относятся кристаллы хрома, а-марганца, часть редкоземельных металлов (церий, празео-
празеодим, неодим, самарий, европий), многочисленные соединения переходных элементов
(например, MnO, FeO, V2O3, CrS, MnS, MnF2, FeCl2, CuCl и т. д.). Все они, так же
как и ферромагнетики, обладают некоторой критической температурой (антиферро-
(антиферромагнитная точка Кюри ваф или точка Нееля в^), выше которой они ведут себя почти
как нормальные парамагнетики, подчиняющиеся закону Кюри — Вейсса F.6). Ниже
температуры Нееля их восприимчивость снова уменьшается и стремится к наимень-
наименьшему значению при Т -*¦ 0° К, т. е. при Т = <dN восприимчивость антиферромагне-
антиферромагнетиков имеет максимум. При этой же температуре наблюдаются максимумы и всех анти-
антиферромагнитных аномалий и других немагнитных их свойств.
в) Ферримагнетики (вещества с отрицательной обменной связью,
евз. об < 0, но не с полной компенсацией результирующего магнитного момента
в каждой элементарной магнитной ячейке кристалла — нескомпенсированный анти-
антиферромагнетизм). К этому типу магнетиков относятся кристаллы из группы окислов
металлов со структурой кристаллической решетки типа шпинели *), с общей химиче-
химической формулой MO.Fe2O3, где М — двухвалентный катион металла переходных или
нормальных групп (Cu2+, Zn2+, Mn2+, Ni2+, Co2+, Fe2+ и т. п.). Эти магнетики обладают
свойствами, весьма похожими на свойства обычных ферромагнитных металлов и спла-
сплавов, лишь с той разницей, что практически все эти вещества являются неметалличе-
неметаллическими (полупроводники). Особые магнитные и другие физические свойства ферритов
наблюдаются в области температур ниже точки Нееля..
г) Вещества, в которых сосуществуют положитель-
положительное и отрицательное обменное взаимодействие. Здесь
можно выделить два подслучая:
Слабые ферромагнетики (вещества с отрицательной электростатической обмен-
обменной связью, 8В3. об < 0. У которых полная компенсация магнитных моментов в эле-
элементарной магнитной ячейке кристалла слегка нарушается под действием более слабого
магнитного взаимодействия sB3. магн <С 8вз. эл)- Типичными представителями этих
магнетиков являются кристаллы гематита (a-Fe2O3), карбонатов переходных эле-
элементов и др.
Вещества с «обменной)) анизотропией (магнетики, в которых сосуществуют
как положительная, так и отрицательная электростатическая обменная связь, евз.об >
> 0 и 8вз.об < 0). Это могут быть гетерогенные системы с пространственно разделен-
разделенными ферро- и антиферромагнитными фазами, но с тесным их контактом (например,
система Со — СоО) или вещества без такого четкого пространственного разделения
ферро- и антиферромагнитной фазы (например, сплав никель — марганец вблизи со-
состава Ni3Mn, когда имеется состояние с флуктуациями степени дальнего или ближнего
порядка по объему образца, и т. п.).
*) Шпинелью называют соединение MgAl2O4. К этой же группе магнетиков отно-
относятся химические соединения со структурой граната М3+М|+ [SiO4]3, где М2+ может
быть Cu2+, Mg2+, Fe2+, Mn2+, Y2+, а М3+ — Al3+, Fe3+, Cr3+, Ti3+ и др. (подробнее см.
гл. 22).
5 С. В. Вонсовский — Q5 —

Как будет подробно обсуждено ниже (гл. 18—22), для веществ с атомным маг-
магнитным порядком возможна и другая классификация, в которой за основу берется не
тип магнитного порядка (ферро- или антиферромагнитный), а тип электростатического
обменного взаимодействия (прямое или косвенное и т. п.)- Однако для понимания
такой классификации нужно хорошо представить себе физическую природу обменной
связи в реальных кристаллах, а также иметь более детальные представления об их
электронной структуре. Поэтому такую классификацию целесообразно привести не-
несколько позже (см. гл. 18—22).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 6
1. С. В. В о н с о в с к и й, К. Б. В л ас о в, Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 29, 37, A955).
2. В. Л. Г и н з б у р г, УФН 42, 169, 333 A950).
3. В.Л.Гинзбург, УФН 48, 25 A952).
4. J.Bardeen, L. N. Cooper, J.R. Schrieffer, Phys. Rev. 106, 162 A957);
Phys. Rev. 108, 1175 A957).

Ч А С Т Ь II
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ,
НЕ ОБЛАДАЮЩИХ АТОМНЫМ
МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ.
СЛАБОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА—
ДИАМАГНЕТИКИ И ПАРАМАГНЕТИКИ

Во второй части излагаются основные физические представления о веществах,
не обладающих самопроизвольным магнитным порядком атомных носителей магнит-
магнитного момента, т. е. о так называемых слабомагнитных телах — диа- и парамагнетиках.
Изложение начинается с описания простейшего случая — диамагнитных свойств
систем слабовзаимодействующих атомов, ионов и молекул (газы, разбавленные рас-
растворы) и неметаллических кристаллов (гл. 7). После этого рассматриваются магнит-
магнитные свойства сверхпроводников (гл. 8). Такая последовательность в изложении обу-
обусловлена тем, что сверхпроводники по их магнитным свойствам в некотором условном
смысле можно считать «сверхдиамагнетиками».
Затем дается описание другого простейшего случая — парамагнетизма систем
слабовзаимодействующих атомов, ионов и молекул (газы, разбавленные растворы)
(гл. 9) с последующим переходом к описанию более сложного случая — парамагне-
парамагнетизма кристаллов, в которых атомные магнитные моменты подвержены сильному
воздействию внутрикристаллических электрических полей (лигандные поля) (гл. 10).
Далее дано детальное описание специфических магнитных свойств слабомагнит-
слабомагнитных металлов и полупроводников (гл. 11 и 12), в которых эти свойства в основном
определяются системой коллективизированных электронов проводимости.
На этом заканчивается описание магнетизма различных типов слабомагнитных
веществ, и начинается изложение важнейших равновесных и кинетических явлений
в слабомагнитных телах, тесно связанных с их магнитными свойствами, а также с нали-
наличием внешних статических магнитных полей и переменных электромагнитных полей
различных частот. В первую очередь здесь рассматриваются основные проблемы маг-
магнитного резонанса в слабомагнитных телах — циклотронный резонанс (ЦР), элек-
электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) и парамагнитная релаксация, а также резо-
резонансное поглощение ультразвука в парамагнетиках (гл. 13).
Затем описываются типичные кинетические явления, а именно важнейшие галь-
гальваномагнитные и отчасти термомагнитные эффекты в слабомагнитных веществах
(гл. 14). Гл. 15 целиком посвящена описанию магнетооптических свойств слабомагнит-
слабомагнитных веществ (полупроводников и металлов), в ней также рассмотрены некоторые вопросы
распространения электромагнитных волн в веществе при наличии в нем магнитного
поля (геликоны), фотомагнитный эффект и явление рассеяния света на магнитном поле.
В заключительной гл. 16 этой части кратко рассмотрен вопрос о физическом механизме
адиабатического магнитного охлаждения.
Естественно, что ограниченные размеры монографии не позволили в сколько-
нибудь полной мере изложить содержание этого огромного и быстро развивающегося
раздела современного учения о магнетизме. Ее можно лишь рассматривать как введе-
введение, с очень кратким физическим анализом существующей ситуации, а также как
сводку самых необходимых сведений по основным направлениям развития экспери-
эксперимента и теории в этой области магнетизма.

Глава 7
ДИАМАГНЕТИЗМ СИСТЕМ
СЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ
И НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. Теория диамагнитной восприимчивости атомов, ионов и молекул
Как отмечалось выше, причиной диамагнетизма веществ является
электромагнитная индукция молекулярных токов, вызываемая в элек-
электронных оболочках атомов внешним магнитным полем *). Поэтому явле-
явление диамагнетизма универсально и присуще всем телам без исключения.
Однако во многих случаях мы не наблюдаем этого явления, ибо слабый,
как правило, диамагнитный эффект маскируется более сильным парамаг-
парамагнитным эффектом (см. гл. 9).
1. Классическая теория. Диамагнетизм наблюдается непосредственно
во всех случаях, когда атомы, ионы или молекулы не имеют результирую-
результирующего магнитного момента, т. е. находятся в So- или 20-состояниях. Веще-
Вещества, построенные из таких частиц **), будучи помещены во внешнее
магнитное поле, теряют свою магнитную нейтральность. Магнитное
поле вызывает индукционное действие, и электронная оболочка приобре-
приобретает добавочную угловую скорость ларморовской прецессии B.38). Воз-
Возникновение этой прецессии легко понять, если вспомнить, что потен-
потенциальная энергия V (Xf,, yh, zk), зависящая от координат электронов
атомной оболочки (к = 1, 2, . . ., Z), не меняется, когда все электроны
одновременно начнут вращаться вокруг направления внешнего магнит-
магнитного поля, и, кроме того, что в этом поле на каждый электрон, движущий-
движущийся со скоростью г>ь, действует дополнительная лорентцева сила e/clHv].
Классические уравнения движения электрона при одновременном нало-
наложении потенциального поля V и однородного магнитного поля Н, направ-
направленного по оси z, имеют вид
• _ dV __еН_ Ч
dV , еН • dV | G1)
mVyk = — j- -— vXk, mvzb = —-—. J
Решения G.1) ищем в виде
xk = xoh cos tot -f- у oh sin tot, 
Vk = — xok sin tot + у on cos tot, zk=-zOh- J
Здесь xOh, yok> zok (функции времени) — решения системы G.1) при Н = 0.
Физический смысл формул G.2) заключается в том, что в присутствии
внешнего однородного поля Н система дополнительно к своему «нуле-
«нулевому» движению вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг
*) Диамагнетизм присущ также и нуклонам атомных ядер. Однако большая
масса нуклонов (по сравнению с массой электрона) делает ядерный диамагнитный эф-
эффект исчезающе малым (Хяд ^ Ю~19), и поэтому его практически можно не учитывать.
**) При этом предполагается, что связь между атомами (ионами) в веществе
или молекуле не нарушает их магнитной нейтральности (см. § 5 настоящей главы).

направления поля (оси z). Подстановка G.2) в G.1) показывает, что реше-
решение, с точностью до членов порядка Н2 и (оН (слабые поля), удовлетворяет
уравнениям задачи, если положить
Это совпадает с выражением круговой частоты ларморовской прецессии
B.38). В сильных полях, когда энергия электрона в поле Н сравнима или
больше его энергии в поле ядра, пренебрегать членами порядка Н2
или а>Н уже нельзя, и движение в магнитном поле приобретает более
сложный характер. Однако во всех практически достижимых магнитных
полях этими «квадратичными» эффектами можно пренебречь.
Магнитный момент, соответствующий ларморовской прецессии,
направлен против поля и равен согласно B.49)
Заменяя в G.4) S — площадь проекции орбиты на плоскость, пер-
перпендикулярную к магнитному полю Н, — через л {г\), где (г\) — среднее
по времени от квадрата проекции радиуса электронной орбиты, и заме-
замечая, что для сферически-симметричной электронной оболочки атома
(г\) = 2/3 (г2), находим
где суммирование по к идет по всем Z электронам атома.
В результате для атомной диамагнитной восприимчивости вещества
получаем знакомую формулу B.58):
№ S <^> = - 2,832 • 10"> ^ </*> • G-6)
Здесь N = 6,022169'Ю23 — число Авогадро. Из G.6) видно, что диамаг-
диамагнетизм зависит от радиусов электронных орбит и поэтому не зависит
от температуры. Полагая (г|) « 10~16 см2, находим, что %«M ~ 10~6Z
в качественном согласии с опытом. Этот классический вывод применим
не только к инертным газам, но также и к ионам разведенных растворов
в тех случаях, когда электронная оболочка ионов подобна оболочке инерт-
инертных газов.
Изложенная классическая теория диамагнетизма будет справедливой,
если можно доказать, что сумма 2 (г?) имеет стационарное устойчивое
к
значение. Однако по теореме Ван-Леевен'— Терлецкого в классической
теории этого доказать нельзя. Таким образом, формула G.6) имеет физи-
физический смысл, лишь если сделать допущение о стабильности атомных
орбит, т. е. если отказаться от классической теории и с самого начала
явно учитывать квантовую природу атомов.
2. Квантовомеханичеекая теория, прецессионный диамагнетизм и по-
поляризационный парамагнетизм. Квантовомеханичеекая теория диамагне-
диамагнетизма была разработана Ван-Флеком [1], а затем Полингом [2]. В случае
атомов и молекул со сферически-симметричной электронной оболочкой
получается та же формула G.6), только вычисление (г|) производится
цо законам квантовой механики. Обратимся теперь к выводам квантовой
теории магнетизма, изложенным в § 5 гл. 5. В случае диамагнитных газов
или растворов атомы и ионы в нормальном состоянии (при Н = 0) не имеют
собственного магнитного момента, т. е. (п | Ж1? | п) = 0, и это состоя-
состояние невырожденное. Если при этом электрическое поле атома или иона
— 70 —

обладает шаровой симметрией, то и все недиагональные матричные эле-
элементы оператора магнитного момента (п | Ж1? | п) при п' Ф п равны
нулю, поэтому и второе слагаемое в E.45) также исчезает. В этом случае
диамагнетизм целиком определяется последним членом правой части E.45),
и, следовательно, восприимчивость таких диамагнетиков будет иметь
чисто классическую форму G.6) прецессионного диамагнетизма *):
z
r?rl>l'ik)- G.7)
Если условие сферической симметрии нарушается, то к правой части G.7)
в силу E.45) добавляется положительный (парамагнитный) член,
несколько снижающий абсолютную величину (х^прец! в этом случае
для %А получаем выражение
I /7Cn
ft=l п' п п
Из квантовой формулы G.8) видно, что магнитная восприимчивость
•системы слабовзаимодействующих частиц в том случае, когда электронные
оболочки у них не обладают шаровой симметрией [(п | МA> | п') Ф О
при п Ф п'], состоит из двух частей: A) «классической» чисто диамагнит-
диамагнитной части (Ха^прсц» связанной с прецессией электронных орбит в маг-
магнитном поле («прецессионный диамагнетизм»), и B) специфически «кван-
«квантовой» поляризационной **) положительной части %™поляр> связанной с вир-
виртуальными квантовыми переходами между «нулевыми» (при Н = 0) ста-
стационарными состояниями атома ***). Естественно, что это второе слагае-
слагаемое в G.8) будет существенно положительным, если во всех членах суммы
по п' знаменатели будут положительными: Шт — %^п > 0- Это будет
лишь при условии, что исходное состояние системы (п) является ее основ-
основным энергетически наинизшим, т. е. если %ty < Шп* для всех п'. В про-
противном случае эта часть восприимчивости в G.8) может быть отрицатель-
отрицательной (т. е. мы имели бы «поляризационный диамагнетизм»). Отсюда видна
вся относительность и условность терминов диа- и парамагнетик!
Парамагнитная добавка к диамагнитной восприимчивости несиммет-
несимметричных атомов и молекул впервые была получена Ван-Флеком [3, 4, 5;
Ван-Флек A932)], и ее поэтому называют ванфлековским парамагнитизмом.
О возможности его опытного определения см. ниже. Необходимо подчерк-
подчеркнуть, что ванфлековский поляризационный парамагнетизм совершенно
непохож на обычный ориентационный парамагнетизм. Существенным
различием между ними является то, что %™ляр пРактически не зависит
от температуры, а %™иен обычно сильно зависит от нее. Действительно,
до тех пор, пока можно не учитывать термического возбуждения более
высоких энергетических уровней, прецессионная диамагнитная и поляри-
поляризационная парамагнитная восприимчивости в G.8) не зависят от тем-
температуры. Ясно поэтому, что, например, в парамагнетиках с повышением
*) Здесь сумма по к в E.45) разбилась на N равных сумм по к от 1 до Z, где N —
число одинаковых атомов системы, каждый из которых имеет Z электронов. Кроме
того, в случае сферически-симметричного атома (п | х% + у% | п) = -=- (п \ Л \ п).
О
**) Термин «поляризационный» вводится потому, что электронная поляризуе-
поляризуемость атомной оболочки определяется формулой, похожей по своей конструкции
на второе слагаемое правой части G.8) [см. Блохинцев A961)].
***) Квадрат модуля недиагональных матричных элементов оператора
7kf(z0) | (п | М^ | п') |2 определяет величину вероятности квантовых переходов в систе-
системе, обусловленных возмущением, описываемым оператором (H-Mz) [см., например,
Блохиицев A961)].
- 71 -

температуры роль поляризационного парамагнетизма будет возрастать,
поскольку ориентационный парамагнетизм с температурой уменьшается
(см. гл. 10). Из вида второго члена G.8) также следует, что поляризацион-
поляризационный парамагнетизм тем больше, чем меньше разность энергий ШТ' — Ш(п
между нормальным п и соседними возбужденными состояниями п атома,
иона или молекулы. Отсюда также видно, что для атомных ядер, где раз-
разность энергий нормального и первого возбужденного состояний очень
велика (порядка 105 — 106 эв), вклад от ванфлековского парамагнетизма
весьма мал.
Для атомов и ионов, оболочки которых сами по себе обладают сфери-
сферической симметрией и осевой симметрией относительно внешнего магнит-
магнитного поля, поляризационный парамагнетизм во втором приближении,
теории возмущений исчезает [Ван-Флек A932)].
3. Теория диамагнетизма молекул. Особое значение поляризацион-
поляризационный парамагнетизм имеет для молекул. Он тем сильнее, чем асимметричнее
молекула. Как показывает опыт, большинство молекул диамагнитно,
ибо они обычно содержат четное число электронов, образующих замкну-
замкнутые магнитно нейтральные слои. Исключением из этого правила является
парамагнетизм кислорода. Хотя молекула О2 имеет четное число элек-
электронов, тем не менее ее нормальное состояние магнитно нейтрально.
Молекулы с нечетным числом электронов, которых гораздо меньше, чем
«четных» молекул, всегда парамагнитны. Типичным представителем этого
класса парамагнитных молекулярных газов является окись азота N0.
В простейшем случае двухатомных молекул векторная схема электрон-
электронной оболочки изменяется по сравнению со случаем атомной оболочки
[см. Ландау и Лифшиц A963)]. В данном случае результирующий орби-
орбитальный момент уже не является интегралом движения; сохраняется
лишь проекция этого момента на ось молекулы *), т. е. на линию, соеди-
соединяющую центры ядер атомов. Однако в двухатомных молекулах поле
ядер обладает аксиальной симметрией относительно оси, проходящей
через центры обоих ядер атомов молекулы. Поэтому и сохраняется проек-
проекция орбитального момента на эту ось. Для нее вводится новое квантовое
число Л, по значению которого и классифицируют электронные термы-
молекул. Термы, соответствующие значениям Л = 0, 1, 2, 3, . . .,
обозначаются через 2, П, Д, Ф (вместо S, P, D, F). Полный момент моле-
молекулы с квантовым числом J равен сумме «параллельной» проекции орби-
орбитального момента (Л), спинового момента электронов с квантовым числом
S **) и момента вращения атомов молекулы вокруг оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к линии, соединяющей центры ядер атомов (с квантовым числом N).
Следует различать два случая сложения: а) связь между орбитальным
моментом и спиновым моментом больше, чем связь между S и N; поэтому
суммарный момент \ J (J -\- 1) Ъ. равен векторной сумме момента N
и результирующей проекции орбитального и спинового моментов | О, | =
= | Л + Sx | на ось молекулы (рис. 7.1, а): б) связь S с Л меньше, чем
с N, и поэтому проекция S% спинового момента на ось молекулы исчезает
(рис. 7.1, б). Векторы Ли! дают результирующий вектор К, который,
складываясь с вектором спина S, дает суммарный момент У К (К + 1) %.
В случае диамагнитных молекул результирующий спин электронов равен
нулю, а также отсутствует параллельная слагающая момента (в случае
двухатомных молекул это состояние 12) или (в многоатомных молекулах
*) Это справедливо, если считать ядра неподвижными, а связь между спино-
спиновым и орбитальным моментами слабой. Несохранеяие полного орбитального момента
электронов в молекуле связано с тем, что электрическое поле двух или более ядер
не обладает сферической симметрией.
**) Число 2? + 1 определяет, как и в атоме, мультиплетность терма (кратность
вырождения по направлению спина) и обозначается индексом слева вверху у орбиталь-
орбитального символа терма; например, 5Д означает терм сЛ = 2и.5 = 2.
- 72 -

с числом атомов, большим трех) отсутствует орбитальный момент. Вос-
Восприимчивость для таких молекул дается тогда формулой G.8).
Для того чтобы ванфлековский вклад в восприимчивость исчезал,
необходимо, чтобы все недиагональные матричные элементы были равны
нулю, т. е. (п | Мт | п') = 0 для всех п'.
Вещество будет диа- или парамагнитно в зависимости от того, какие
из слагаемых правой части G.8) наибольшие. Здесь следует еще раз под-
подчеркнуть необходимость и в случае молекул учета ванфлековского пара-
парамагнетизма [см. Дорфман A961)].
При расчете диамагнитной восприимчивости мы полностью пренебрег-
пренебрегли парамагнитным эффектом, связанным с вращением молекул. Из-за
большой массы ядер этот вклад сам по себе очень мал по сравнению с G.8),.
Рис. 7.1. Векторная модель моментов количества движе-
движения молекулы.
ибо соответствующий момент пропорционален ядерному магнетону (хяд.
Более того, он в значительной степени компенсируется диамагнитным
вкладом ядер, как это следует из классической теоремы Ван-Леевен,
которая здесь хорошо оправдывается по причине больших масс ядер.
Однако развитие резонансных методов позволило очень точно измерять
вращательные магнитные моменты молекул *). Теорию этих моментов
для молекулы Н2 дал Вик [6] и далее развили Рамзей [7] [Рамзей (I960)]
и Эшбах и Стрендберг [8]. Ребане [9] на примере двухатомной молекулы
с одинаковыми ядрами показал, что электронный вклад в ее вращатель-
вращательный магнитный момент существенно обусловлен неадиабатичностью связи
электронного и ядерного движений.
В таких молекулах, как Н2, N2O, и многих других прецессионный
диамагнетизм оказывается больше поляризационного парамагнетизма,
но, как отметил еще Ван-Флек A932), существуют и обратные случаи,
т. е. когда | %ДМ | пре„ < | %™ |поляр. Последнее наблюдается в веществах,
содержащих атомы переходных элементов.
Из свойств двухатомных молекул следует, что недиагональные матрич-
матричные элементы в числителях членов суммы, определяющей в G.8) ванфле-
ковскую парамагнитную восприимчивость, отличны от нуля только для
слагающей орбитального момента, перпендикулярной к оси молекулы.
Поэтому в двухатомных молекулах поляризационный магнитный момент
всегда направлен под углом 90° к оси молекулы. В многоатомных моле-
молекулах эти матричные элементы отличны от нуля для всех трех главных
осей молекулы.
4. Анизотропия диамагнитной восприимчивости. Диамагнитная восприимчи-
восприимчивость большинства многоатомных молекул существенно анизотропна. В общем слу-
случае восприимчивость дается симметричным тензором второго ранга; здесь мы огра-
ограничиваемся случаем постоянных полей с шестью независимыми составляющими
Xik (*> к = х, у, z):
М = \\%\\Ш, G.9)
*) Детальные опытные исследования по определению вращательных магнитных
моментов резонансным методом в молекулярных пучках провели для щелочно-галоид-
ных молекул Меран и др. [10], для молекул щелочных элементов Брукс и др. [11],
для молекул азота Чен и др. [12], см. также [13].
- 73 —

где
11X11 = 1 Хух Хуу Хуг I. G.10)
/Ххх Хху Xxz\
I = I Хух Хуу Xyz 11
\Хгх Xzy Xzz/
причем Хху = Хух, Хжг=Хгж1 Xyz = Xzy Инвариантами этого тензора являются, во-пер-
во-первых, его шпур (сумма диагональных элементов) или средняя восприимчивость
- 1 1
X = Y^Xxx + Xyy+Xzz) = -^(Xxx + Xyy + Xzz), G.11)
гДе Ххх, Хуу Xzz — главные восприимчивости, и, во-вторых, параметр диамагнитной
анизотропии Ддм, определяемый формулой
ll(%y yy-XzzJ + (Xyy-XzzJ. G.12)
i, k г
Обе эти величины можно непосредственно найти из опыта.
Обобщение формулы G.8) на случай анизотропных молекул [14, 15] имеет вид
(п\М(?>\п')(п'\ЙA>>\п)
где ; — номера электронов, SU!)—дельта-символ, равный 0 при v ^ь и ш I при v = и.
С помощью G.11) из G.13) легко получить формулу G.8) для средней восприим-
восприимчивости.
Из G.13), а также G.8) видно, что метод теории возмущений, использованный
при выводе этих формул, при их конкретных применениях предполагает знание соб-
собственных функций и энергетического спектра (как его дискретной, так и непрерывной
ветвей) невозмущенной задачи. К сожалению, это известно только для случая атома
водорода и водородоподобных ионов Не+, Li2+, Be3+ и т. д. Все это затрудняет исполь-
использование формул G.13) или G.8).
5. Численные оценки, а. Атомы. Легко видеть, что порядок величины диамаг-
диамагнитной восприимчивости атомов и ионов, определяемый формулами квантовой теории,
такой же, как и по классической формуле G.6). Формулы G.8) и G.13) в принципе
применимы к любому атому или иону. Однако лишь в случае атома водорода можно
количественно точно вычислить магнитную восприимчивость. Используя известные
волновые функции невозмущенного водородоподобного атома для состояния с глав-
главным п и азимутальным I квантовыми числами, Ван-Флек [1] и Полинг [2] нашли
=0,39663-10-e |i[5»2_3Z(Z + l) + l]. G.14)
В частности, в случае атома водорода (при n = I, Z = 0, Z = 1) величина Xл"=
= — 2,4027 -10~в см [16]. К сожалению, этот результат не поддается непосредственной
опытной проверке, ибо, во-первых, при обычных температурах водород находится
в молекулярном состоянии (Н2), а во-вторых, даже в диссоциированном состоянии нор-
нормальным состоянием атома является 2S, а это приводит к сильному спиновому пара-
парамагнетизму, целиком затушевывающему диамагнитный эффект. Косвенный способ
проверки G.14) с помощью оценки вклада водорода в восприимчивость молекудярных
соединений, используя правило Паскаля (см. ниже § 2, п. 4), не имеет особого смысла
вследствие существенного изменения электронной оболочки атома водорода в соедине-
соединениях.
Вычисления для атомов гелия (см., например, работу Фридберга и Шугурова
[17]) и других более сложных атомов могут быть проведены лишь приближенно. Обычно
дело сводится к определению эффективного атомного номера путем введения так назы-
называемой постоянной экранирования заряда ядра электронами атома *). Однако следует
указать, что при этом делают грубые приближения, снижающие точность численного
результата. Тем не менее квантовая механика дает ясную физическую картину явления,
указывает на количественную связь между диа- и парамагнетизмом и дает вполне удо-
удовлетворительное согласие с опытом в смысле порядков величин.
В качестве оценочных расчетов для диамагнитной восприимчивости многоэлек-
многоэлектронных атомов можно упомянуть результат, полученный Слэтером [18] с помощью
*) В этом случае в G.14) вместо Z2 будет входить (Z — аJ, где а — постоянная
экранирования. Эти константы были впервые рассчитаны в работах Слэтера [18]
и Зинера [19]. Подробный обзор расчетов диамагнитной восприимчивости изолирован-
изолированных атомов можно найти в работе Курти [16], см. также Ван-Флек A932).
- 74 -

приближенных функций, предложенных Зинером [19]. Радиальная часть этих так
называемых слэтеровских функций имеет вид
где п'— эффективное квантовое число (его отношения к истинному главному кванто-
квантовому числу равны 1/1; 2/2; 3/3; 3,7/4; 4/5; 4,2/6; . . .), а — постоянная экранирова-
экранирования (подбирается в каждом конкретном случае). Используя эти функции, Слэтер
показал, что диамагнитная восприимчивость может быть записана в виде
XfI= —0,79326-10-6 2] ,z_ ' , G.15)
где суммирование ведется по всем электронам атома. При помощи формулы G.15)
были рассчитаны, в частности, диамагнитные восприимчивости инертных газов.
б. Ионы. Еще большие трудности возникают при попытках определения диа-
диамагнитной восприимчивости изолированных ионов. Это связано с тем, что ионы обычно
входят в соединения (молекулы, кристаллы, жидкие растворы), поэтому здесь
может оказаться существенным влияние химических связей. Подробнее этот вопрос
описан в книге Селвуда A958), в обзорах Пако [20] и Майера [21] и работах Курти
[16, 22, 23].
в. Вариационные методы расчета. В связи с трудностями расчета диамагнитной
восприимчивости по обычной теории возмущений делались попытки использовать
вариационные методы расчета. Впервые этот подход был применен Слэтером и Кирк-
вудом [24]. Дальнейшее развитие он получил в работах Ганса и Мровки [14] и Тийё
/15]. Основная идея метода сводится к тому, что возмущенная волновая функция г|)
ищется в виде
где г|H— волновая функция невозмущенного (при Н = 0) основного состояния атом-
атомной системы. Неизвестные функции gt (r) (i = х, у, z) определяются обычным для
вариационных методов способом из требования, чтобы средняя энергия системы в со-
состоянии, описываемом функцией G.16), была минимальной. При этом для тензора
{7.10) вместо G.13) получаем
— е2 ХЧ 2А
3
о — ¦ . _ й2
— (^о I Vgu-Vgo I Фо)- G.17)
Первый член в G.17) дает обычный вклад прецессионного диамагнетизма, а второй
и третий — ванфлековского парамагнетизма. «Нулевая» функция "ф0 выбирается по
рецептам, заимствованным.из квантовой химии (метод молекулярных орбит и т. п.),
когда оболочка диамагнитной молекулы разбивается на парные электронные связи
и замкнуты внутренние оболочки атомов, образующих молекулу.
г. Сравнение с оптической поляризуемостью. Имеется еще один, указанный Кирк-
вудом [25], независимый способ определения диамагнитной восприимчивости атомов
и ионов — путем ее сравнения с оптической электрической поляризуемостью а. Дело
в том, что последпяя, как и восприимчивость, определяется в случае симметричных
электронных систем топ же суммой средних квадратов радиусов орбит. Кирквуд [25]
получил для а выражение
где a-B = h/mc2 — радиус первой боровской орбиты в атоме водорода, равный
0.529167-10~8 см, a Z—полное число электронов молекулы. Из сравнения с форму-
формулой G.6) находим
Д'„2
G.19)
Подробный критический анализ и дальнейшее развитие этого метода дано в книге
Дорфмана A961).
д. Молекулы. Классическая теория не давала возможности вычислить диамаг-
диамагнитную восприимчивость молекулярных газов. Квантовая механика, по крайней
мере в принципе, дает возможность получить полное решение задачи, а в случае
простейших молекул (например, Н2) — даже количественно правильный результат.
— /5 —

По Ван-Флеку A932), молярная диамагнитная восприимчивость ^Jj* многоатомных моле-
молекул, не имеющих в отсутствие поля собственных моментов, выражается формулами типа
G.8) или G.13), где все величины следует относить теперь к молекуле. Оба слагаемых
в этих формулах и в данном случае имеют порядок 10~6. Следовательно, величина yj^jf
мала. Она также практически не зависит от температуры, как и атомная восприимчи-
восприимчивость %аМ (по этому вопросу см. также работу [26]). Молекулы будут диа- или пара-
парамагнитны в зависимости от того, какой из членов в G.8) больше. Количественный
расчет молярной восприимчивости труднее расчета атомной, поскольку в случае моле-
молекул мы еще хуже знаем вид волновых функций.
Для простейшей молекулы водорода расчет с приближенными волновыми функ-
функциями дает величину, лежащую в интервале от —3,93-Ю до —4,21 -К)-6 [27], а наи-
наилучшее опытное значение равно —4,0051 -10~6 [см. работы [28, 29, 15], Селвуд A958),
jf а также замечание о гиромагнитном
• . эффекте в диамагнетиках в гл. 8].
,Н "^ ?Н Можно указать для примера
' Sss?__? tf ^dC ^N результаты расчетов молярной диа-
;>?^ ^ магнитной восприимчивости двух-
Х^б ^S*^ р * атомных молекул: азота: —13,539 х
И_?_С/ \/ ^ > II хЮ-« [30], фтора: —15,14-Ю-*,.
>^N' б^у: хлора: —40,67-Ю-6, брома:
>¦? "Ч —58,84-Ю-6 и молекулы воды:
2—V> /* —12,82-10-е [31].
^> , х Дальнейшая разработка тео-
_ ^ Рии Диамагнетизма молекул велась
л ~ " в работах [14, 15, 27, 32—39].
. , В работах Хамеки [27, 32] дается
сГн^ПоиазТ/ыТ^я-с^РзГраасТоГнГмежТуЗОсЛо- обзор вариационных методов *),
седними атомами углерода С — С порядка 1,40 А. а также анализируется связь диамаг-
диамагнетизма молекул с их микроволновы-
микроволновыми спектрами. Эта связь очень важ-
важна, поскольку она открывает возможность для независимого определения ванфлеков-
ского вклада в диамагнитную восприимчивость молекулы. На это обратил вни-
внимание Вельтнер [42]. Вик [43, 6] указал, что возникающий (см. выше) во вращающей-
вращающейся молекуле магнитный момент, обусловленный круговыми токами электронов и ядер,,
вращающихся вокруг центра тяжести молекулы, связан с рассчитанным Ван-Флеком и
Франком [44] поляризационным парамагнетизмом молекулы **).
6. Диамагнетизм молекул ароматических соединений. Остановимся еще на во-
вопросе об упоминавшейся выше анизотропии диамагнитной восприимчивости молекул.
Наиболее ярко эта анизотропия наблюдается в молекулах ароматических соедине-
соединений. Она и была впервые обнаружена в бензоле, типичном соединении такого класса^
Раманом и Кришнаном [47]. Характерная особенность этих молекул заключается
в наличии особой циклической группировки (кольца) из шести атомов углерода, лежа-
лежащих в вершинах правильного плоского шестиугольника. На рис. 7.2 приведена струк-
структурная формула молекулы бензола СвН6. Каждый из атомов углерода образует в плос-
плоскости кольца по три а-связи под углами 120° друг к другу (две С — Си одну С — Н).
У шести атомов углерода в молекуле имеется 24 2s- и 2р-электронов. В а-связях уча-
участвуют 3x6 = 18 гибридизированных р- и s-электронов. Оставшиеся шесть р элек-
электронов делокализуются в поле шести центров и образуют коллективную электронную
оболочку молекулы (я-связь). Расчет такой оболочки может быть выполнен двумя
способами: 1) методом молекулярных орбит, как это было предложено Полингом [48],
а в квантовом варианте разработано Лондоном [49, 50] и другими [35, 51, 52]; 2) мето-
методом квантовой теории металлов. Второй метод впервые предложили Волькенштейн
и Боровинский [53] и далее развили Ребане [54, 55, 40, 38, 36] и Адамов и др. [56].
В обоих меюдах предполагается в первом приближении, что я-электроны полностью
коллективизированы и их движение происходит в ограниченном объеме в виде тонкой
трубки вдоль периметра кольца молекулы. На боковой поверхности этой трубки суще-
существует достаточно высокий потенциальный барьер, создаваемый силами притяжения
со стороны ионного остова молекулы.
Резкая анизотропия и большие абсолютные значения Хм* ароматических соеди-
соединений определяется в первую очередь заметно большей площадью орбит коллективи-
коллективизированных я-электронов по сравнению с площадью орбит электронов отдельных ато-
атомов или обычных молекул. Действительно, например, площадь бензольного кольца
*) Ребане [38, 40] отмечает, что вариационные методы Тийб [15] и Ги [41] можно
применять лишь для систем с безузловыми одноэлектронными состояниями и при
условии, что форма электронного облака молекулы мало отличается от сферической.
**) См. по этому вопросу Рамзей A960), Мухтаров [45], Ребане [9] и Дорфман
A961). Обращаем также внимание на работу Уайта [46], в которой указан еще один
источник информации о ванфлековском вкладе в восприимчивость молекул путем изу-
изучения СТС в микроволновых спектрах молекул.
- 76 -

равна по порядку величины 5-10~16 см2, а площадь первой боровской орбиты в водо-
водороде равна 0,2-10-16 см2. Восприимчивость, определяемая я-электронами, оказы-
оказывается большой по абсолютной величине, когда намагничивающее поле направлено
тсод углом в 90° к плоскости кольца (в этом случае восприимчивость обозначим через
у'"'). При этом в выражение для магнитного момента G.4), соответствующего лармо-
ровской прецессии, будет входить площадь S не атомной орбиты электронов, а всего
ароматического кольца. Поскольку орбиты я-электронов плоские *) и «жестко» свя-
связаны с ионным кольцом молекулы, то при внешнем поле, лежащем в плоскости кольца,
поле практически не вызывает ларморовской прецессии (S як 0) и, следовательно,
соответствующий вклад в восприимчивость, обозначаемый через Х^К будет практи-
практически отсутствовать. Суммарная восприимчивость молекулы при поле, лежащем в плос-
плоскости кольца, конечно, отлична от нуля за счет вклада электронов, локализованных
в а-связях и внутренних частях атомной оболочки. Так, например, в нафталине средняя
молекулярная восприимчивость в плоскости кольца Хц ^ — 4,1-Ю-6, а в перпенди-
перпендикулярном направлении %j_ ^ 187-10; для антрацена соответственно ъ, ^к — 50-Ю
и %±ъ — 273-10-«.
Более подробные сведения, помимо упомянутых работ и обзоров, можно найти
также в обзорах Кришнана [57], Лонсдейл [581 и книге Дорфмана A961), см. также
работы [59—61].
§ 2. Основные опытные данные
Благодаря малости диамагнитного эффекта его измерение представ-
представляет известные экспериментальные трудности. Наиболее совершенная
методика измерения диамагнитной восприимчивости газов и паров была
разработана Янусом и Шуром [62] [см. также Шур [63] и Дорфмап A955)]**).
1. Диамагнетизм атомов. На. рис. 7.3 приведен график атомных вос-
приимчивостей %аМ диамагнитных элементов. Следует отметить, что
в природе существует сравнительно очень мало устойчивых одноатомных
-10-
-100
„He
\bJL
Be
Si
Nels-
Cu
* p
p CLAr u
i
i
As
СЙ
IV \ Кг
QSeV
Br
In
AgM
TrXp
if0"
у i
Sb
1
1
Au
Hg
Bi*1
10 20 30
40
50 SO 70 80
Рис. 7.3. Атомная диамагнитная восприимчивость элементов при
комнатной температуре [данные взяты из книги Селвуда AU58)].
газов. Поэтому непосредственное опытное определение yj®* изолирован-
изолированных атомов возможно лишь в ограниченном числе случаев. Типичными
представителями одноатомных диамагнитных газов являются инертные
газы. В табл. 7.1 приведены опытные и теоретически вычисленные значе-
значения этих веществ по различным источникам.. Из этих данных видно, что
Х^м закономерно растет с атомным номером элемента и что расчетные
значения достаточно близки к наблюдаемым. Теоретические значения
получены с помощью слэтеровской формулы G.15) или ее дальнейших
модификаций (см., например, [22]).
*) Это означает, что рассчитанная по законам квантовой механики электронная
плотность, определяемая квадратом модуля волновой функции я-электрона, имеет
максимум по периметру кольца молекулы.
**) Экспериментально диамагнетизм был открыт Фарадеем в 1845 г. Впервые
наиболее детальные исследования диамагнитных свойств многих веществ в широком
интервале температур провел П. Кюри [64].
- 77 -

Таблица 7.1
Диамагнитная восприимчивость инертных газов
(в единицах 106 СГСМ/моль)
Элемент
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Опыт
—2,02 [65]
—6,96 [65]
—19,23 [28]
—28,02 [66]
—29,2 [67]
—42,02 [63]
—44,1 [64] ,
Теория
—1,86 [Бете
и Солпитер A960),
[68, 16]]
—5,8 [69]
—7,417 [70]
—7,46 [71]
—7,48 [72]
—11,4 [73]
—18,8 [73]
—31,7 [18]
—33,38 [71]
-42,0 [2]
—42,90 [74]
—48,0 [18]
—66,0 [2]
Кроме инертных газов, Шур [63] измерил величину %ДМ для одно-
одноатомных паров ртути. Она оказалась равной —78,2-10"°. Теоретический
расчет дает величину —84,6 -Ю.
2. Диамагнетизм ионов. Для расчета диамагнитной восприимчивости
ионов теория дает такие же формулы, как и для атомов. Однако из экспе-
экспериментальных результатов в данном случае всегда получают или моле-
молекулярную восприимчивость (если исследуется молекулярный газ), или
восприимчивость раствора, или, наконец, восприимчивость твердого кри-
кристалла. Поэтому в определениях ионной восприимчивости всегда имеется
некоторая неточность, связанная с влиянием на диамагнитную воспри-
восприимчивость сил связей между ионом и окружающими его атомами. С дру-
другой стороны, сравнивая между собой ионные магнитные восприимчивости
различных соединений, а также сравнивая их с атомной восприимчиво-
восприимчивостью, можно получить сведения о силах связи между ионами и о роли
валентных электронов в диамагнетизме. Так, например, Шур [63] получил
для атомной восприимчивости паров ртути величину —78,2 -10~6, которая
H2+
почти вдвое больше,
опытное значение
для иона Hg2+, которое
равно —40,4 -10. Это указывает на существенный вклад, вносимый валент-
валентными электронами в диамагнетизм ртути.
Диамагнетизм многих солей, например NaCl и т. п., объясняется
тем, что образующие их ионы (в данном случае ионы Na+ и С1~) имеют
замкнутую электронную оболочку, близкую к оболочке атомов инертных
газов (для Na+ и С1~ это будет соответственно Ne и Аг). Измерения про-
производятся обычно или твердых солей, или, чаще, растворов (водных).
Несмотря на указанную выше неточность, связанную с косвенностью
определения ионной восприимчивости, последняя, определенная разными
способами, оказывается достаточно постоянной.
На рис. 7.4 показана зависимость атомной диамагнитной восприим-
восприимчивости инертных газов и одно- и двухвалентных ионов соседних с ними
элементов, имеющих структуру электронной оболочки, подобную оболоч-
оболочке атомов инертных газов, от числа п электронов в оболочке атома или
иона. Более резкий рост кривых в интервале от п = 10 до п = 18 связан,
по-видимому, с ростом ионного радиуса [см. G.7)]. Ионы с одинаковым
значением п, но принадлежащие разным кривым рис. 7.4, например S2",
- 78 -

Cl~, Ar, K+, Ca2+, отличаются друг от друга зарядом ядра -\-Ze. При этом,
чем больше Z, тем сильнее «притяжение» электронного облака к ядру
[меньше сумма средних квадратов радиусов электронов оболочки в G.7)]
и, следовательно, тем меньше абсолютная величина восприимчивости.
Значения атомных восприимчивостей инертных газов, как видно и»
рис. 7.4, лежат между восприимчивостями соответствующих анионов,
галоидов и катионов щелочных
дм
металлов, как и должно быть,
согласно теории.
Диамагнетизм ионных ра-
растворов, в общем, следует пра-
правилу аддитивности:
Ъаств = СЪ +" A — С) ХН2О,
G.20)
50
30
&*10е
го
/о
Не;
И
П2
- г<
4
ц
{&>
/+Ь -
/ \У
+
0"
S
у
ЪУ
/
У
s
г* ~
/
/
.X
pi
oGs+
10
го
30
so
60
гДе Xs и %н2о — соответст-
соответственно восприимчивости со-
соли и воды, а с—концентрация
соли.
Из этого правила могут
быть исключения, как показа-
показано, например, на рис. 7.5 для
раствора LiCl, восприимчивость
которого дает заметные откло-
отклонения от правила аддитивности
[[75], Селвуд A958)]. Эти от-
отклонения могут быть обуслов-
обусловлены сильным взаимодействием
ионов со своим окружением в
растворе. Аналогичные отклоне-
отклонения от аддитивности наблюда-
наблюдаются и в твердых ионных соединениях [например, КС1, NaCl; см Дорф-
ман A961)].
В кристаллах, в силу взаимодействий менаду электронами, друг
с другом и с полем решетки, формулы G.7) и G.8) уже, строго говоря,
,= неприменимы. На это указывает
-xfilO6
0,725
Рис. 7.4. Диамагнитная восприимчивость атомов
инертных газов и катионов и анионов соседних с
ними элементов (имеющих структуру электронной
оболочки, аналогичную структуре оболочки атомов
инертных газов) в зависимости от числа Z электро-
электронов в оболочке [по данным работ [25, 63—67, 78—
80]; см. также Дорфман A961)].
0,705
0,685
0,665
хотя бы явление анизотропии
диамагнетизма ионных кристал-
кристаллов. Например, в цирконии глав-
главные значения атомной восприим-
восприимчивости соответственно равны:
-0,170-Ю-6 и -0,732-Ю-6 [[76],
Селвуд A958)]. На это же указы-
указывает некоторая зависимость вос-
восприимчивости и ее анизотропии
от температуры.
Детальный анализ результа-
результатов и методов измерений ионной
диамагнитной восприимчивости
можно найти в обзоре Майера [21],
где подвергнуто серьезной крити-
критике применение правила аддитивности, а также указано на не
очень большую точность существующих экспериментальных мето-
методов измерений. Следует также отметить наглядный метод проверки
применимости правила аддитивности для %2он' предложенный Вейлем
[77]. На рис. 7.6 приведен простейший пример использования этого
метода для галогенидов щелочных металлов. В этом примере исходят
О
Ю 20 30
Весовой '/.раствора
50
Рис. 7.5. Зависимость диамагнитной восприим-
восприимчивости от концентрации водного раствора.
— 79 —

Таблица 7.2
Аддитивность ионных воснршшчивостой для щелочно-галондных соединений
(значения—х2он приведены в единицах 10е СГСМ/моль; таблица составлена
на основе работ [78—80])
Анионы
галоидов
(А-)
F-
ci-
Br-
I-
LH
10
13
23
10
34
16
50
Ha пересечении
значение — %J
,1
,0
Д
,9
,0
,0
,0
6х
55
7,
7,
7
строчки
™ -Ювед.СГСМ
цах и строчках дли
пений А-В+.
6 стоят
1
1
катионы щелочных
Na+
15
14
30
10
41
15
57
6
6
2
9
1
9
0
а;ля галоида
6х
8,0
8,6
8,1
8,7
(А-) и
металлов (В+)
К+
23
15
38
10
49
16
65
6
2
8
4
2
5
7
столбца
,'моль для соответствующего
разности восприимчивостей
6%
8,3
7,6
7,2
6,5
Rb+
31
14
46
10
56
15
72
для щелочного
,9
,5
,4
,0
,4
,8
,2
6Х
12,6
10,3
10,8
10,4
металла (В+)
Ионного соединения
соседних с данной
А-В+; в
клеткой
Cs+
44
12
56
10
67
15
82
5
2
7
5
,2
,4
,6
стоит
столб-
соеди-
NqF
HF
NqCI
LiBr
Lil
NaBr
Nal
RbF
KC1
KBr
Kl
CsF
RbCl
RbBr
!Ы
CsCl
из соединения KBr и наносят по данным [78—80] восприимчивости бро-
лгидов других щелочных металлов по горизонтали, а восприимчивости
галогенидов калия по вертикали и т. д. Первые две линии при этом
образуют крест из двух прямых. Отклоне-
Отклонения же от строгой аддитивности выража-
выражаются отклонениями от прямоугольности
всей сетки на графике. Из правила ад-
аддитивности (если оно выполняется) выте-
вытекает, что разности восприимчивостей LiCl
и NaCl, LiBr и NaBr должны быть оди-
одинаковыми. Насколько это выполняется,
например, для галогенидов щелочных ме-
металлов, видно из табл. 7.2.
Дальнейшие подробности о воспри-
восприимчивости ионов можно найти в [21] и
в книгах Селвуда A958) и Дорфмана
A961). В последней (см. гл. III) убеди-
убедительно показано, что нарушение правила
аддитивности для ионных восприимчиво-
восприимчивостей связано с тем, что восприимчивость
ионного соединения А+В~ равна
CsBr
С si
Рис. 7.6. Проверка правила аддитив-
аддитивности ионной диамагнитной восприим-
восприимчивости по методу Вейля [77] (по дан-
данным измерений Бриндли и Гоара [78]).
уДМ __ уДМ _L_ уДМ .
АА+В- ЛА+ ' ЛВ-
. уПМ
"поляр'
где
Чюляр
у^дм — восприимчивости прецессионного диамагнетизма,
— восприимчивость ванфлековского поляризационного парамаг-
парамагнетизма, обусловленного деформацией электронных оболочек ионов А+
и В~ в соединении.
3. Диамагнетизм молекул. Как уже указывалось, расчет молекуляр-
молекулярной восприимчивости двухатомных молекул (кроме Н2), а также более
сложных молекул представляет большие трудности. Шур [63] измерил
восприимчивость паров молекулярного брома Вг2, которая оказалась
равной —74-Ю. Теория для ионов брома Вг~ и Вг+ в сумме дает значе-
значения в пределах от —62,24-10~6 до —89,81 -10~6, что довольно хорошо сов-
совпадает с найденной величиной молекулярной восприимчивости брома.
- 80 -

О
—
Г
si)
8
-200 О 200 Ш 600
1000 1200
Т.Х
Рис. 7.7. Скачок диамагнитной восприимчивости сурь-
сурьмы в точке плавления в,.,. [Селвуд A958)].
Особый интерес вызывают измерения восприимчивости воды (Сел-
вуд A958)), так как она очень часто используется для целей градуировки
аппаратуры и в качестве растворителя. Величина ее восприимчивости при
20° С равна %™ = —0,7218 -Ю с точностью до ± 0,0007. Температурная
зависимость восприимчивости воды исследована очень тщательно. Темпе-
Температурный коэффициент равен (хщо) —-™2° , он монотонно падает от
2,9-10 при 5° С до 0,62-Ю при 70° С. Полагают, что причиной слабой
температурной зависимости восприимчивости воды является деполиме-
деполимеризация молекул воды с температурой, которая вызывает небольшие
изменения в структуре электронной оболочки молекулы. Эти измерения
должны происходить наибо-
наиболее резко при плавлении и X^WS
испарении, что в некото-
некоторых случаях фактически
приводит к сильному из-
изменению диамагнитной вос-
восприимчивости, например
при плавлении сурьмы
(см. рис. 7.7).
В химии молекул раз-
различают два основных типа
связей—ионную и ковалент-
ную. В случае двухатомных
молекул с ионной связью, со-
состоящих из ионов двух хи-
химических элементов А и В,
процесс образования молеку-
молекулы описывается как переход
п электронов от атома А к ато-
атому В, превращающий эти атомы соответственно в я-кратно ионизованный
катион Ап+ и анион Ви~. Между ионами возникает обычное кулоновское при-
притяжение, которое и определяет в основном ионную связь молекулы. Попадая
в раствор (с достаточно большой диэлектрической постоянной) эти моле-
молекулы обнаруживают сильную тенденцию к диссоциации на ионы. То же
происходит при нагревании газа из таких молекул. Поэтому ионная моле-
молекула малоудобна как независимый объект наблюдения. В частности, это
относится и к измерениям диамагнитной восприимчивости. В твердом
состоянии такие молекулы образуют ионные кристаллы, типичным при-
примером которых является каменная соль NaCl. В этих кристаллах ионные
молекулы перестают существовать как особые образования, поскольку
в решетке такого кристалла каждый катион окружен z (координационное
число) одинаково расположенными анионами и, наоборот, каждый анион—
z катионами. Поэтому вся совокупность физических свойств ионного
кристалла и соответствующего молекулярного газа может быть существен-
существенно различной. Иначе обстоит дело в случае молекул с ковалентной связью.
Здесь соединяющиеся в молекулу атомы не превращаются в разноименно
заряженные ионы, а отдают свои наружные (валентные) электроны
в общую систему. Эти электроны образуют так называемые валентные
пары, как правило, с нулевым спиновым и орбитальным моментом. Эти
связи носят квантовый (обменный) характер (подробнее см. ниже гл. 19 —
22). Попадая в раствор или кристалл, эти молекулы не диссоциируют
и сохраняют там свою молекулярную индивидуальность. Между ними
в конденсированном состоянии возникают более слабые поляризационные
ван-дер-ваальсовские силы связи, вызванные взаимной электрической
поляризацией их электронных оболочек. Следует иметь в виду, что раз-
разделение молекулярных связей на чисто ионные и чисто ковалентные
6 С. В. Вонсовский
81.

является приближенным. Фактически в реальных молекулах имеют дело
лишь с преобладанием или ионной, или ковалентной связи.
Как указал Дорфман A955), при преимущественно неполярной кова-
ковалентной связи предметом исследования служат молекулы; при преимуще-
преимущественно ионной связи предметом изучения являются ионы.
К молекулам с ковалентной связью относятся, например, такие двух-
двухатомные диамагнитные молекулы с основным состоянием 1Б0, как Н2,.
D2, T2, N2, GO, галоиды (F2, С12, . . .), галоидоводороды (HF, HG1, . . .),
трех-, четырех- и пятиатомные молекулы (Н2О, H2S, H2O2, NH3, . . .),
а также огромное разнообразие органических молекул с насыщенной
валентностью (см. также более поздние работы [101—-105, 107, 109—112]).
4. Правило Паскаля. На основе анализа многочисленных опытных данных по
измерениям диамагнитной восприимчивости молекулярных соединений, особенно-
органических, Паскаль [81, 82] предложил эмпирическую формулу
где гед — число атомов сорта А в молекуле, %дМ — их атомная восприимчивость, а X —
поправка, которая может быть положительной или отрицательной и зависит от при-
природы химических связей в молекуле. Так, например, в случае молекулы СО атом
углерода входит в состав молекулы с восприимчивостью Х§о = —6,0 -10-8, атом кис-
кислорода — Хсо = — 4,6-10"8; двойная связь С = 0 понижает, по Паскалю, диамаг-
диамагнетизм на величину X = 6,35 -10"8, а тройная связь должна дать гораздо меньшее зна-
значение. С другой стороны, опыты Шура [63] дали yffi = — 11,8 -10~в. Таким образом,
А,со = 1,2-Ю, что говорит в пользу наличия тройной связи в молекуле СО.
По мере накопления опытного материала выяснилась ограниченность схемы
Паскаля, которая в основном проявлялась в том, что приходилось пользоваться
очень большим числом поправок Я, а это, конечно, обесценивало практическую при-
применимость всей схемы. Поэтому эта схема подвергалась, с одной стороны, некоторым
усовершенствованиям [83—86], а с другой стороны, многочисленным критическим
нападкам, в которых часто делались далеко идущие выводы о принципиальной непри-
непригодности такого рода схем для магнетохимии. Однако Дорфман A961) справедливо-
указал, что непригодной является не сам принцип схемы, а устарел лишь метод обра-
обработки и интерпретации опытных данных.
В связи с этим Дорфман предложил новый метод магнетохимического исследова-
исследования вещества, в котором, в отличие от схемы Паскаля, за основу был взят ванфлеков-
ский парамагнетизм [Дорфман A961)].
§ 3. Метод молекулярных орбит
Попль [33j развил общую квантовомеханическую теорию диамагнетизма на
основе метода молекулярных орбит (в приближении линейной комбинации атомных
орбит, ЛКАО) *). Этот расчет, по мнению Попля, может служить обоснованием схемы
Паскаля с учетом ванфлековского парамагнетизма. Расчет поправок X для простых
молекул, содержащих атомы элементов Н, С, N, О и F, дает удовлетворительный каче-
качественный результат, однако результаты количественного сравнения с опытом ока-
оказываются не очень хорошими. Несмотря на это, можно надеяться, что схема Дорфма-
на — Попля будет полезной для современной магнетохимии.
В своей работе Попль [33] одновременно рассмотрел очень интересный физиче-
физический эффект связи диамагнетизма с химическим смещением линий ядерного магнитного
резонанса (ЯМР). Тесная связь этих явлений обусловлена тем, что диамагнитная вос-
восприимчивость молекулы определяется магнитным моментом токов в ее электронной
оболочке, индуцируемых внешним (однородным) магнитным полем. Эти токи создают
вторичное магнитное поле, которое, складываясь с внешним полем, образует резуль-
результирующее поле, действующее на каждое атомное ядро молекулы. Поэтому химическое
смещение резонансной частоты (при заданном значении внешнего магнитного поля)
при ЯМР определяется точно теми же токами, которые создают диамагнитную вос-
восприимчивость. Таким образом, строго говоря, общая теория молекулярного диамагне-
диамагнетизма должна давать одновременно объяснение восприимчивости и химического сме-
смещения в ЯМР как различных сторон одного и того же явления.
Математическая схема теории Попля [33] весьма аналогична той, которая была
предложена Лондоном [49] для объяснения диамагнитной анизотропии ароматических
*) С основами этой модели можно познакомиться, например, в монографиях:
Козмана A960) и Коулсона A961).
- 82 -

молекул. А именно гамильтониан для каждого электрона выбирается в виде
где V — сумма электростатического потенциала ядер и среднего экранирующего по-
потенциала остальных электронов. В случае однородного внешнего магнитного поля Н
и поля расположенных в точках Д1? И2, . ¦ ¦ ядерных дипольных моментов jxi, jx2, . . .
потенциал А в точке г равен
G.22)
В рамках модели ЛКАО ищем решение уравнения Шредипгера &G г|)г- = <§г г|)г с га-
гамильтонианом G.21) и волновыми функциями г|)г в виде линейной комбинации атомных
функций срт. С учетом градиентной инвариантности по Лондону [49] это разложение
ведется по несколько измененным функциям
\ G.23)
где Ат— значение А в точке, занятой ядром Нт атомной функции фт. Итак, реше-
решение i|)j ищем в виде линейной комбинации функций G.23):
$i = ^Cimum. G.24)
то
Подставляя G.24) в уравнение Шредингера и используя вариационный принцип, полу-
получаем хорошо известную систему линейных уравнений [Ландау, Лифпшц A663)]
п
G.25)
где %i — корни секулярного уравнения
II ЯР V II
II ^mn — Ъ тп\\ —
%&6un dx и Smn= I u^un dx. G.26)'
J
Дальше развивается приближенный метод решения по схеме теории возмущения,
где роль параметра малости играет внешнее магнитное поле. В известном смысле этот
метод по своим результатам аналогичен тому, который был использован в работе
Тийё [15] [см. формулу G.16)].
Исследования молекулярного диамагнетизма имеют важное значение для проб-
проблем магнетохимии, так как дают возможность пролить свет на природу химической-
связи, механизм полимеризации и ряд других вопросов структуры молекулярных
систем [Дорфман A955, 1961), Селвуд A958)].
§ 4. Магнитное экранирование ядер
Диамагнетизм электронной оболочки атомов и молекул необходимо учитывать
при измерениях магнитных моментов их ядер в атомных и молекулярных пучках
[Рамзей (I960)]. При наложении внешнего поля Н благодаря диамагнитному эффекту
в электронной оболочке атомов (или молекул) в месте расположения ядер возникает
их внутреннее магнитное поле—сгядН, ослабляющее внешнее магнитное поле Н. Это
явление называется магнитным экранированием ядер. Величина апя (в общем случае
являющаяся тензором) называется постоянной магнитного экранирования. Первые
расчеты постоянной сгяддля атомов провел Лемб [87]; Рамзей [88] обобщил их на слу-
случай молекул. Согласно Рамзею, в случае двухатомной молекулы с 2ге электронами (без
учета эффектов ее вращения и колебания) постоянную магнитного экранирования
можно представить в виде суммы двух частей:
а ^ДМ I „ПМ
°яд —"Яд т"°яд-
где сг^д — чисто диамагнитная (ларморовская) часть, а сг™ соответствует ванфлеков-
скому поляризационному парамагнетизму. Для 2ге-электронной системы в основном
состоянии, описываемом волновой функцией ^0, компоненты этих двух частей тензора1
— 83 — 6*

экранирования имеют, по Рамзею [88], следующий вид:
2 <«*-
2и
2и
3=1
G-27)
2и
3=1
3=1
2п
3=1
G.28)
Здесь rtj~ радиус-вектор между i-м ядром и /-м электроном, mja — оператор а-ком-
поненты углового момента j-ro электрона вокруг г-го ядра (а, Р = х, у, z), y?k и %h—
соответственно волновая функция и энергия к-то возбужденного состояния свободной
молекулы. Дальнейшие подробности об этом эффекте можно найти в монографии Рам-
зея A960) (см. также более поздние работы [89, 90, 106, 108]).
§ 5. Диамагнетизм неметаллических кристаллов
Для выяснения изменения магнитных свойств совокупности слабовзаимодейст-
вующих атомов, ионов или молекул при их конденсации в жидкость или кристалл
необходимо прежде всего вспомнить, что в общем случае происходит с электронными
оболочками атомов, ионов и молекул, когда средние расстояния между ними стано-
становятся порядка их собственных линейных размеров. С точки зрения современной кван-
квантовой механики систему взаимодействующих атомных ядер и электронов, образующих
жидкость или кристалл, можно с большой степенью приближения представить как
совокупность двух автономных систем *). Во-первых, системы ионных остовов, кото-
которые, например, в твердых телах образуют ионную кристаллическую решетку, и, во-
вторых, системы коллективизированных электронов, образующих, например, в метал-
металлах так называемую ферми-жидкость (см. ниже гл. 11), а в неметаллических вещест-
веществах — «мостики» более или менее локализованных в пространстве химических связей.
В систему ионных остовов, наряду с атомными ядрами, входят внутренние замкнутые
слои электронной оболочки бывших свободных атомов. Критерием для включения
электронов в ионный остов может служить абсолютная величина так называемых инте-
интегралов перекрытия менаду индивидуальными волновыми функциями q)j (r) и <pj, (r)
электрона слоя I атома / и электрона слоя V атома /', а именно **):
(р ¦ (v) ф ¦, (v) dv.
G.29)
Волновые функции могут быть, например, определены в рамках приближенной теории
самосогласованного поля. Если интеграл перекрытия S1^, для электронов данного
слоя I соседних атомов f = / -\- 1 близок к нулю, то можно считать, что общий харак-
характер движения электронов этого слоя мало изменяется при переходе атома из изоли-
изолированного состояния в связанное в кристалле или жидкости. Однако при этом но сле-
следует забывать, что электронные оболочки ионных остовов в кристалле или жидкости
находятся в существенно иных условиях окружения, нежели в случае разреженного
газа, когда каждый нейтральный атом, за исключением редких моментов столкновений,
находится в практически изолированном состоянии (в вакууме ). Кристаллическое
или жидкостное «окружение» электронной оболочки ионных остовов создает внутрен-
внутренние электрическое и магнитное поля определенной симметрии, могущие оказать суще-
существенное влияние на состояние электронов ионного остова. Например, эти поля могут
привести к полному или частичному снятию вырождения индивидуальных орбиталь-
орбитальных состояний (благодаря эффектам Зеемана и Штарка в этих полях), и к явлению так
называемого «замораживания» орбитальных моментов и т. п. Кроме того, на электроны
ионных остовов могут оказывать заметное влияние коллективизированные электроны
(бывшие валентные). При строгой количественной трактовке задачи по установлению
*) Квантовая механика дает возможность записать строгие многочастичные
уравнения длл любой атомной задачи в любом квантовомеханическом представлении.
Однако точное решение этих уравнений в силу их сложности невозможно, поэтому
в квантовой теории конденсированных сред всегда используют те или иные прибли-
приближенные методы [Гомбаш A952), Хартри A960), Таулес A963), Гугенгольц A967)].
**) Этот критерий неприменим для ортогональных функций, к*огда Sl-'y = 0.
Тогда критерием может служить малость абсолютного значения произведения
1 ф] (**) ф5' (**) I. т- е- самого перекрытия функций.
- 84 —

критерия участия электронов в той или иной подсистеме конденсата необходимо учи-
учитывать самые тонкие нюансы изменений структуры электронных оболочек ионных
остовов в кристалле или жидкости (более подробно этот вопрос рассмотрен в гл. 10).
Иная ситуация имеет место для системы коллективизированных электронов.
Поскольку для них интеграл перекрытия G.29) достаточно велик, то характер их
движения в конденсированной среде существенно иной по сравнению с их движением
в свободных атомах. Здесь следует различать два основных случая. Во-первых, когда
система этих электронов по своим свойствам подобна замкнутому (спин-насыщенному)
слою электронной оболочки изолированного атома или молекулы с существенно неод-
неоднородным (в соответствии с симметрией кристалла) локализованным распределением
электронной плотности по объему конденсата («мостики» ковалентных или ионных
связей). В таких системах, в частности в кристаллах, энергия основного состояния
(при 0° К) отделена щелью конечной ширины от энергии первого возбужденного со-
состояния, и поэтому такие вещества относятся к неметаллическим телам, т. е. полу-
полупроводникам или диэлектрикам. Во втором случае бывшие валентные электроны обра-
образуют в объеме всего тела подвижную ферми-жидкость электронов проводимости, омы-
омывающую относительно малоподвижную «тяжелую» ионную систему (решетку). В та-
таких веществах (металлах) энергетический спектр электронов непрерывен — нет щели,
отделяющей энергетический уровень основного состояния от энергии возбужденных
состояний.
Таким образом, все физические свойства любой конденсированной фазы, в том
числе и магнитные, будут определяться в первом приближении как сумма свойств
двух подсистем — ионных остовов и коллективизированных электронов. Здесь мы
рассмотрим только случай неметаллических тел (металлы будут рассмотрены в гл. 11),
в которых наряду с ионными остовами, находящимися во внутреннем поле определен-
определенной симметрии, имеются еще коллективизированные электроны, осуществляющие
в основном ионную или ковалентную химическую связь в конденсате. Здесь мы также
ограничимся случаем диамагнитных тел, т. е. исключим из рассмотрения вещества,
содержащие в своем составе атомы или ионы переходных элементов с недостроенными
внутренними оболочками.
Если обратиться к основной формуле G.8) квантовой теории диамагнетизма ато-
атомов и молекул, то мы видим, что в ней никак не учитывается связь между отдельными
атомами или ионами в кристалле. Однако первый член этой формулы по своей струк-
структуре аддитивен. Каждая отдельная «орбита» со своим электроном в ионной оболочке
независимо прецессирует во внешнем магнитном поле и вносит свой вклад в ланже-
веновскую часть восприимчивости. Все изменения, которые могут произойти с этой
частью восприимчивости в конденсате, связаны с деформацией «орбит» электронов
в оболочке ионных остовов. Чем глубже, т. е. ближе к атомному ядру и ионному осто-
остову, расположена орбита, тем меньше она деформируется из-за взаимодействия с ок-
окружающими атомами в кристалле или жидкости. Поэтому вклад ионных остовов
в магнитную восприимчивость, если и меняется по сравнению с газообразным состоя-
состоянием, то не столь уж существенно. Что же касается ванфлековского парамагнетизма,
описываемого вторым слагаемым правой части формулы G.8), то он для ионных остовов,
как правило, очень мал, поскольку энергии основных состояний электронов ионного
остова сильно удалены (в энергетической шкале) от энергии даже первого возбужден-
возбужденного состояния (велики знаменатели во всех членах двойной суммы в правой части
G.8)). Поэтому можно ожидать, что вклад в диамагнетизм ионных остовов конденси-
конденсированной фазы остается почти таким же, каким он был и в случае изолированных ато-
атомов и молекул.
Более существенные изменения должен претерпеть вклад от бывших валентных
электронов. Они в конденсированной фазе могут изменить существенно состояние
своего движения, ибо орбиты валентных электронов изолированных атомов и молекул,
например, в кристалле испытывают весьма значительную деформацию.
Как уже отмечалось выше, химическая связь в диамагнитных молекулах может
быть ионная или ковалентная. Очевидно, что и в диэлектрических кристаллах неметал-
неметаллического класса следует ожидать существования этих двух типов связей. Однако
обычно мы имеем дело не с чисто ионной или чисто ковалентной связями, а с некоторой
их смесью (гибридизацией), в которой имеется лишь более или менее заметное преобла-
преобладание одной из компонент.
Остановимся кратко на двух основных случаях — кристаллах с преобладанием
ионной и ковалентной связи. Если считать, что электронные оболочки ионов обладают
центральной симметрией и в кристалле они не испытывают деформации, то весь их
магнетизм и в кристалле сводится только к ланжевеновскому прецессионному диамаг-
диамагнетизму. Поэтому магнитная восприимчивость диамагнитного ионного кристалла
подчинялась бы правилу простой аддитивности восприимчивостей всех анионов и ка-
катионов, образующих кристалл. Однако в действительности электронные оболочки
ионов в кристалле благодаря электростатическому взаимодействию испытывают взаим-
взаимную деформацию. Эта деформация носит анизотропный характер; центральная сим-
симметрия нарушается (если она была у изолированных ионов). Последнее приводит
к тому, что в магнитной восприимчивости появляется неаддитивный вклад от
ванфлековских парамагнитных слагаемых. Этот случай поляризационного пара-
парамагнетизма Дорфман A961) предлагает называть индуцированным ванфлековским
— 85 -

парамагнетизмом, в отличие от собственного ванфлековского парамагнетизма, суще-
существующего и у изолированных молекулярных ионов. В силу деформации электронных
оболочек ионов в кристалле собственный ванфлековский парамагнетизм также будет
претерпевать некоторое изменение (по сравнению с изолированными ионами). Оба
вклада в парамагнетизм ионных кристаллов должны быть связаны с поляризуемостью
кристалла (по мнению Дорфмана, эта связь должна иметь нелинейный характер).
Сопоставляя результаты измерений поляризуемости и диамагнитной (суммарной) вос-
восприимчивости для гомологических рядов соединений (например, кристаллов щелочно-
галоидных солей), а также используя соотношение G.19) Кирквуда [25] между ЗС"рец
и поляризуемостью а, можно выделить ванфлековский парамагнитный вклад и уста-
установить его связь с поляризуемостью. В работе Кристофеля [91] была сделана первая
попытка произвести теоретический расчет ланжевеновского вклада в магнитную вос-
восприимчивость ионных диамагнитных соединений с учетом деформации волновых функ-
функций свободных ионов (К+ и С1~) в кристалле по методу, предложенному Петрашень
и др. [92]. Хотя расчет Кристофеля, несомненно, более точен, чем прежние расчеты
Полинга [2], Слэтера [18] и Энпоса [93], тем не менее его еще нельзя считать достаточно
точным [подробнее см. книгу Дорфмана A961), стр. 71].
Еще более сложной является проблема диамагнетизма ионных соединений (кри-
(кристаллов), содержащих молекулярные ионы, которые и в изолированном состоянии
обладают собственным ванфлековским парамагнетизмом. К этим кристаллам отно-
относятся, например, галогениды аммония NH? (NH,,F, NH4C1 и др.), нитраты (NaNO3,
K.NO3 и др.), карбонаты (MgCO3, СаСО3 и др.), сульфаты (MgSO4, CaSO4 и др.) и т. д.
В неметаллических кристаллах с ковалентной химической связью мы также
встречаемся с большими трудностями при попытке разобраться в сложных закономер-
закономерностях их диамагнитных свойств. Здесь также нарушается правило аддитивности,
ж в первую очередь за счет активной роли ванфлековского парамагнетизма, который
оказывается особенно сильным при слабой ковалентной связи, когда перекрытие орбит
соседних атомов, участвующих в ковалентной связи, далеко от сферической симметрии.
В заключение краткого обзора диамагнетизма ионных и ковалентных кристаллов
можно сказать, что, несмотря на еще слабо разработанную теорию этого явления, оно
представляет большой интерес не только само по себе, но и как тонкий источник
информации об электронной структуре таких кристаллов, а также как один из актуаль-
актуальных разделов современной магнетохимии.
К вопросу о диамагнетизме кристаллов с ковалентной связью мы еще вернемся
ниже, когда речь будет идти о магнитных свойствах полупроводников. Отметим здесь
интересные работы Анищенко и др. [94, 95] по расчету диамагнитной восприимчивости
в статистической модели Томаса — Ферми — Дирака; Дорфмана [96] о диамагнетизме
и химических связях; Жуссо-Дюбьен [97] о диамагнетизме в сверхвысокочастотных
полях; о диамагнетизме квантовой плазмы [98]; о магнитной анизотропии органических
молекул [99] и о вращательном диамагнетизме молекул [10, 100].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 7
1. I. H.Van V 1 е с k, Proc. Nat. Acad. Am. 12, 662 A926).
2. L. Pauling, Proc. Roy. Soc. A114, 181 A927).
2
3. J.
4. J
5. J
H.Van V 1 e с к, Proc. Nat. Acad. Am. 12, 662
Pauling, Proc. Roy. Soc. A114, 181 A927).
H. V a 11 V 1 e с к, Phys. Rev. 29, 727 A927).
H. V a n V 1 e с к, Phys. Rev. 30, 31 A927).
J. H. V a n V 1 e с к, Phys. Rev. 31, 587, 600 A928).
6. G. С Wick, Nuovo Cim. 10, 118 A933); Phys. Rev. 79, 51 A948).
7. N. F. Ramsey, Phys. Rev. 58, 226 A940); 87, 1075 A952).
8. J. R. E s h b а с h, M. W. P. S t г a n d b e г g, Phys. Rev. 85, 24 A952).
9. Т. К. Р е б а н е, ЖЭТФ 47, 1342 A964); Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим. 20 № 1,
30 A965).
F. M e h г a n, R. A. Brooks, N. F. Ramsey, Phys. Rev. 141, 93 A966).
R. A. Brooks, С H. Anderson, N. F. Ramsey, Phys. Rev. 136, A62
10.
11.
A964).
12. S. I. '
13.
14.
и 1 и и л o, \j, 11, n л u с 1 з и ii, n. i. на 111 о с ^ , 1 ujo. licv, iw, jiuw
I.
„. .. Chan, M.R. Baker, N. F. Ramsey, Phys. Rev. 136, A1224 A964).
D. С J a i n, R. С S a h n i, Proc. Phys. Soc. 89, 409 A966).
R. G a n s, В. М г о w k a, Schriften d. Koenigsberger Gelehrt. Ges., N.-W., Kl.
12, 1 A935).
" T i 1 1 i e n, Ann. de phys. 2, 631, 771 A957).
Courty, J. phys. et radium 21, 233 A960).
Ш. Фридберг, В. К. Шугуров, ЖЭ
С. S 1 a t e r, Phys. Rev. 32, 349 A928); 36, 57
15. J. T
17. П. Ш. Фридберг, В. К. Шугуров, ЖЭТФ 43, 2308 A962).
18. J. С. S 1 a t e r, Phys. Rev. 32, 349 A928); 36, 57 A930).
19. С. Z e n e r, Phys. Rev. 36, 32 A930)
20. А ~ " " ~ -------
21
22
Z e n e r, Fhys. Rev. 36, 62 A930).
... Р а с a u 1 t, Rev. Sci. 84, 169 A946).
W. R. M у е г, Rev. Mod. Phys. 24, 15 A952).
С Courty, Compt. rend. 250, 54, 3293 A960).
23. С. С о u r t у, J. phys. et radium 22, 67S A961).
24. J. С S 1 a t e r, J. G. К i r k w о о d, Phys. Rev. 37, 682 A931).
25. J. G. К i r k w о о d, Phys. Zs. 33, 57 A931).

¦26. В. М г у g о n, L. W a j t с z а к, Acta phys. polon. 32, 887 A967).
27. Н. F. H a m е к a, Rev. Mod. Phys. 34, 87 A962).
28. G. G. H a v e n s, Phys. Rev. 43, 992 A933).
29. J. P. A u f f г а у, Phys. Rev. 126, 146 A962).
30. H. F. H a m e к a, J. Chem. Phys. 34, 366 A961).
31. С. С о u г t у, Compt. rend. 249, 2740 A959).
32. H. F. H a m e к a, Physica 28, 908 A962).
33. J. A. P о p 1 e, J. Chem. Phys. 37, 53, 60 A962).
34. J. A. Pople, J. Chem. Phys. 38, 1276 A964); 41, 2559 A964).
35. A. F. Ferguson, J. A. Pople, J. Chem. Phys. 42, 1560 A965).
36. Т. К. Р е б а н е, ЖЭТФ 38, 963 A960).
37. Т. К. Р е б а н е, Строение вещества, Сб. статей, Изд-во АН СССР, стр. 46, 1960.
38. Т. К. Р е б а н е, Вестник ЛГУ, сер. физ .-хим., № 22, 30 A963).
39. М. К а г р 1 u s, H. J. К о 1 к е г, J. Chem. Phys. 38, 1263 A963).
40. Т. К. Р е б а н е, Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим. № 16, 7 A963).
41. J. Guy, Cahier phys. 14, № 122, 418 A960).
42. W. W e 1 t n е г, Jr., J. Chem. Phys. 28, 477 A958).
43. G. C.Wic k, Zs. Phys. 85, 25, A933).
44. J. H. Van V 1 e с k, A. F г a n k, Proc. Nat. Acad. Am. 15, 539 A929).
45. Ч. К. М у x т а р о в, ЖЭТФ 45, 185 A963).
46. R. L. White, Rev. Mod. Phys. 27, 276 A955).
47. C. V. Raman, K. S. К г i s h n a n, Proc. Roy. Soc. A113, 511*A927).
48. L. Pauling, J. Chem. Phys. 4, 673 A936).
49. F. London, J. phys. et radium 8, 397 A937).
50. F. L о n d о n, J. Chem. Phys. 5, 839 A937).
51. A. Pullman, B. Pullman, Les theories electroniques de la chimie organi-
que, Paris, 1952.
.52. H. J. В г о о k s, J. Chem. Phys. 8, 939 A940); 9, 463 A941).
53. M. В. Волькенштейн, Л. А. Боровинский, ДАН СССР 85, 977
A952).
54. Т. К. Р е б а н е, Вестник ЛГУ, сер.физ.-хим., № 10, 3, 11; № 16, 19; № 22,
70 A957); ДАН СССР 114, 70 A957).
55. Т. К. Ребане, Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим., № 10, 24; № 22, 35 A963).
56. М. Н. А д а м о в, М. Г. В е с е л о в, Т. К. Р е б а н е, Изв. АН СССР, сер. физ.
22, 1015 A958).
57. К. S. К г i s h n a n, Le magnetism, vol. 3, 247, 1939.
58. K. L о n s d a 1 e, Rep. Prog. Phys. 4, 368 A937).
59. A. Galebiewski, J. Nowakowski, U. Kowalski, Acta phys.
polon 29, 195 A966).
60. J. M. G a i d i s, R. West, J. Chem. Phys. 46, 1218 A967).
•61. J.I. Musher, J. Chem. Phys. 46, 1219 A967).
62. P. И. Я н у с, Я. С. Ш у р, ДАН СССР 2, 465 A934).
63. Я. С. III у р, УФН 20, 410 A938).
64. P. Curie, Ann. chim. phys. G) 5, 289 A895).
65. С. Barter, R. G. Meisenheimer, D. P. Stevenson, J. Phys. Chem.
64, 1312 A960).
66. K. E.Mann, Zs. Phys. 98, 548 A936).
67. L. Abonnenc, Compt. rend. 208, 986 A939).
68. P. Я. Д а ш б у р т, Е. М. И о л и н, ЖЭТФ 42, 820 A962).
69. К. Е. В а п у а г d, J. Chem. Phys. 34, 338 A961).
70. M. Sacks, Phys. Rev. 124, 1283 A961).
71. B. H. W о r s 1 e y, Can J. Phys. 36, 289 A958).
72. R. P. H u r s t, M. К a r p 1 u s, T. P. D a s, J. Chem. Phys. 36, 2786 A962).
73. Т. Т i e t z, Ann. d. Phys. 6, 202 A960).
74. K. U m e d a, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., Ser. 11, 3, 246 A949).
75. A. F. S с о t t, С. М. В 1 a i r, J. Phys. Chem. 37, 475 A933).
76. W. V о i g t, S. К i n e s h i t a, Ann. d. Phys. 24, 492 A907).
77. U. V e i 1, Ann. de phys. 24, 697 A935).
78. G. W. В rind ley, F. E. H о а г e, Proc. Roy. Soc. A152, 342 A935).
79. G. W. В r i n d 1 e y, F. E. H о а г e, Proc. Roy. Soc. A159, 395 A938).
80. F. E. Hoar e, Proc. Roy. Soc. A147, 88 A934).
81. P. Pascal, Ann. chim. phys. 19, 5 A910); 25, 289 A912); 29, 218 A913).
82. P. Pascal, Traite de chimie organique (Grignard) vol. Ill A936).
83. P. P a s с a 1, A. P а с a u 1 t, J. H о а г a n, Compt. rend. 233, 1078 A951).
84. P. Pascal, F. G a 1 1 a i s, J. F. L a b a n e, Compt. rend. 252, 2644 A961).
85. A. Pacault, N. Lumbraso, J. Hoaran, Cahiers phys. 43, 54 A953).
86. A. Pacault, Experientia, 10, 41 A954).
87. W. E. L a m b, Phys. Rev. 60, 817 A941).
88. N. F. R a m s e y, Phys. Rev. 78, 699 A950); 86, 243 A952).
89. H. J. К oik er, M. К ar p lus, J. Chem. Phys. 41, 1259 A964).
90. R. H e g s t г о m, W. N. L i p s с о m b, J. Chem. Phys. 46, 4538 A967).
1I. H. H. К р и с т о ф е л ь, Труды Ин-та физ. астрон. АН Эст. ССР A958).
- 87 -

92. М. И. Петрашень, А. И. Иванова, Г. Вольф, Вестник ЛГУ, сер.
физ.-хим., № 10, 29 A956).
93. W. R. Angus, Proc. Roy. Soc. A136, 569 A932).
94. Р. И. А н и щ е н к о, ДАН СССР 145, 483 A962); ФММ 18, 941 A964).
95. Р. И. А н и щ е н к о, А. П. Н и к о л а е в, А. Н. М е н ь, ФТТ 8, 251 A966).
96. Я. Г. Дорфман, ЖЭТФ 35, 533 A958).
97. М. J.Joussot-Dubien, Ann. de phys. 6, 375 A961).
98. J. J. Q u i n n, J. Phys. Chem. Solids, 24, 933 A963).
99. M. A. L as h e e n, Phil. Trans. Roy. Soc. A256, 357 A964).
100. R. А. В г о о k s, M. К a u f m a n, J. Chem. Phys. 43, 3406 A965).
101. J. R. de la Vega, H. F. Ham eka, J. Chem. Phys. 47, 1834 A967), Physi-
Physica 35, 313 A967).
102. J. R. de la Vega, Y. Fang, H. F. II am eka, Physica 36, 577 A967).
103. J. R. de la Vega, D. Z i о b г о, H. F. Hameka, Physica 37, 265A967).
104. D. С Matt is, Phys. Rev. Lett. 20, 7, 92 A968).
105. J. T. Dehn, L. N. M u 1 a y, J. Chem. Phys. 48, 4910 A968).
106. J. K. Becconsall, Molec. Phys. 15, 129 A968).
107. G. P. Arrighini, M. Maestro, R. M о с с i a, J. Chem. Phys. 49, 882
A968).
108. F. D. Fliock, W. R. Johnson, Phys. Rev. 187, 39 A969).
109. H. Та ft, B. R. Dai ley, J. Chem. Phys. 51, 1002 A969).
110. В. М. Ludvvig, J. Voii lander, Molec. Phys. 16, 405 A969).
111. D. N. Tripathi, P. Tinari, D. K. R a i, Ind. J. Pure Appl. Phys. 7, 707
A969).
112. L. B. Mendelsohn, F. Biggs, Phys. Rev. A2, ИЗО A970).

Глава 8
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ*)
§ 1. Критическая температура и критическое магнитное поле
Выше уже отмечалось, что одним из интереснейших типов магнетиков являются
металлы и сплавы в сверхпроводящем состоянии при очень низких температурах.
Своеобразие и существенное значение магнитных свойств сверхпроводников ясно
видны уже из факта влияния магнитного поля Н на их фазовый переход из нормаль-
нормального в сверхпроводящее состояние. Это влияние заключается прежде всего в пониже-
понижении температуры Gcn фазового перехода с ростом внешнего магнитного поля, т. е.
иными словами, эта температура
является функцией поля Gcn (Я), "* >
причем
<*есп(Я) ^п
ан
(8.1)
Нормальная фаза
Рис. 8.1. Фазовая диаграмма сверхпроводника на
плоскости Н — Т.
На рис. 8.1 схематически изображе-
изображена фазовая диаграмма сверхпровод-
сверхпроводника на плоскости II — Т. Ее мож-
можно трактовать как кривую Gcn (Я)
или как кривую Якм (Т), где Якм—
критическое магнитное поле, снима-
снимающее сверхпроводимость при дан-
данной температуре Т. При Я = 0 тем-
температура фазового перехода макси-
максимальна: Gcn @) = Gcn- Начиная с
максимального значения критиче-
критического магнитного поля Якм и выше
его сверхпроводящей фазы, вообще, ни при каких температурах не существует. Значения
Gcn и Якм являются характерными константами сверхпроводящего состояния дан-
данного вещества. Температуры Gcn в разных сверхпроводниках колеблются в пределах
от долей градуса до 18° К (в сплаве Nb3Sn) **), а Якм— от сотни до нескольких сот
тысяч эрстед (в сплаве F3Ga).
При Я = 0 фазовый переход из нормального в сверхпроводящее состояние
является фазовым переходом второго рода, при котором нет ни скачка удельного объема,
ни скрытой теплоты превращения. При Я ф 0 это превращение становится фазовым
переходом первого рода и появляется скрытая теплота ***). Если через /<н обозначить
свободную энергию нормального, а через Fen— сверхпроводящего состояния нри
Я = 0, то в точке Gcn имеем по условию термодинамического равновесия фаз
ро
г сп
(8.2)
*) Подробное изложение теории сверхпроводимости, сводку основных опытных
фактов и подробную библиографию см. в монографиях и обзорах; Гинзбург A946)
[1—4]; Шенберг A955); Серии [5]; Бардин [6], Боголюбов, Толмачев, Ширков A958),
Абрикосов и Халатников [7, 8]; Бурз [9]; Купер [10], Бардин и Шриффер A962), Абри-
Абрикосов [11]; Келдыш [12], Гейликман [13], Блатт A964), Алексеевский [14].
**) Исследования четырехкомпонентноп системы Nb — Sn — Al — Ge пока-
показали, что G°n может быть при определенном составе и термообработке повышена до
19—20° К [15, 16].
***) Пока речь идет лишь о сверхпроводниках первого рода (см. ниже).
- 89 —

¦кроме того, при G?n равны и энтропии обеих фаз:
VO IplO \— V0 /СH V /Я Vl
° сп ^исп> — ° н \Рсп>' ^5- й>
это и означает отсутствие скрытой теплоты превращения.
При наличии магнитного поля Я Ф 0 в случае массивных образцов, все три
линейных размера которых больше 10~5 см, равенство (8.2) заменяется другим *):
(8.4)
Ввиду важности соотношения (8.4) остановимся на его выводе [подробнее см. Гинз-
Гинзбург A946)]. Если при Т = const переход из нормального A) в сверхпроводящее B)
состояние происходит столь медленно, что его можно считать обратимым, то изменение
свободной энергии тела равно работе А12, производимой над телом электромагнитным
полем, т. е.
F2-Fi = Ai2. (8.5)
До перехода свободная энергия единицы объема тела F± равна сумме [/^ и энергии
магнитного поля (Я°шJ/8я:
(Я0 J
В массивном образце (в пренебрежении эффектом проникновения поля и анергией
экранирующего тока) после перехода будем иметь
F2 = F°cn. (8.7)
При этом считается, что /<н и Fen не изменяются и при наличии поля, ибо магнитная
проницаемость сверхпроводника равна единице. Работа Ai2 внешнего магнитного поля
равна произведению Л/(ЯКМ)-ЯКМ, где М (Якм) — магнитный момент массивного
образца в поле Якм. Например, для цилиндра в поле, параллельном его оси,
М (#км) = ~ Нкм.1^л и' следовательно,
Я2
Л12= ^-. (8.8)
Подставляя (8.6)—(8.8) в (8.5), получаем (8.4).
Из (8.4) видно, что при Я Ф 0 свободная энергия нормальной фазы практически
не меняется (слабомагнитные тела), а свободная энергия сверхпроводящего состояния
существенно зависит от магнитного поля. В этом случае скрытая теплота отлична от
нуля и вместо (8.3) в силу (8.4) имеем
(8.9)
Согласно рис. 8.1 производная dHKMldT < 0, и, следовательно, Q > 0, т. е. при
переходе из нормального состояния в сверхпроводящее тепло поглощается, а при
обратном — выделяется. Для теплоемкости С = Т dS/dT получим
ДС = ССП-СН = —Якм-^-+—^--^-J . (8.10)
При Г = в»п, Якм = 0, <2 = 0и
Этот скачок теплоемкости впервые был измерен Кеезомом с сотрудниками [17].
Из термодинамических соображений (Гортер [18]) можно найти температурную
зависимость критического поля:
[?^] (8.12)
*) Подчеркнем различие в свойствах «массивных» и «тонких» сверхпроводящих
образцов; тонкими будем называть образцы, один из линейных размеров которых срав-
сравним с глубиной проникновения магнитного поля в сверхпроводящую фазу (подробнее
см. ниже). Через Якм обозначаем величину критического поля для массивного образца,
которая отлична от величины критического поля тонких образцов.
- 90 —

§ 2. Магнитные свойства сверхпроводников
Существенное влияние магнитного поля на процесс возникновения сверхпрово-
сверхпроводящего состояния тесно связано с магнитными свойствами этой фазы. Многочисленные
•опыты, начиная с работ Мейсснера — Оксенфельда [19], Рябинина и Шубникова [20,
21], показали, что внутри массивных сверхпроводников
В = Н = 0. (8.13)
С другой стороны, еще со времени открытия явлеппя сверхпроводимости (Камерлинг-
Оннес [22]) его первичным свойством считали отсутствие электрического сопротивле-
сопротивления. Если справедлив закон Ома, то тогда сразу следует, что и электрическое поле
внутри сверхпроводника равно нулю:
_Е=0. (8.14)
Но тогда из уравнения Максвелла (закона индукции Фарадея)
rotE =
с
1 dB
dt
(8.15)
¦следует, что В = const. Из этого вывода, казалось бы, можно ожидать, что в сверх-
сверхпроводниках должен быть так называемый эффект «замораживания» магнитного поля,
^которое существовало в металле при Т > Gcn. Опыт, однако, показал, что имеет место
Ml
о н„.
н
к.
IN
1
1
1
/
\
\
0
-1
1
\ ' н/н>
- ^
Рис. 8.2а. Кривая индунции беско-
бесконечно длинного сверхпроводящего ци-
цилиндра при поле, параллельном его
оси.
Рис. 8.26. Кривая намагни-
намагничивания бесконечно длинно-
длинного сверхпроводящего ци-
цилиндра при поле, парал-
параллельном его оси.
•(8.13), т. е. магнитное поле не «замораживается», а «выталкивается» из сверхпровод-
сверхпроводника при его охлаждении ниже Gcn (эффект Мейсснера). Поскольку формула (8.13)
не является следствием (8.14), то она может с равным правом считаться первичным
свойством сверхпроводника.
Если рассматривать сверхпроводник в форме цилиндра при Т < Gcn считая,
что нормальная фаза слабомагнитна (jx ;=& 1 иЯ *fi), то его кривые индукции и на-
намагничивания при поле, параллельном оси цилиндра, имеют вид, изображенный на
рис. 8.2а, б. При Н <С #км индукция В = 0, а при Я ]> Якм индукция совпадает
с полем, т. е. В = Я. В реальных сверхпроводниках цилиндрической формы в силу
неизбежных примесей и искажений кристаллической решетки вид кривой В (Я) услож-
усложняется — имеет место явление магнитного гистерезиса. Однако чем чище материал,
тем гистерезис менее ярко выражен.
Более детальное рассмотрение эффекта Мейсснера показывает, что при Я < Якм
в поверхностном слое массивного сверхпроводника появляется незатухающий элек-
электрический ток как раз такой силы, чтобы своим полем полностью компенсировать
индукцию внутри тела *). Глубина слоя 6СП, по которому течет этот ток, и есть та глу-
глубина, на которую магнитное поле проникает внутрь сверхпроводника. Величина бсп
оказывается порядка 10~5—10~6 см, т. е. составляет тысячи межатомных расстояний;
поэтому в тонких сверхпроводящих пленках, с толщиной, не превышающей 10~4—
10*5 см, строго говоря, уже нельзя считать, что имеет место условие (8.13). Параметр
6СП растет с температурой, и при Т -*¦ 0СП глубина проникновения бсп ->- оо, т. е.
сверхпроводник переходит в нормальное состояние.
Сверхпроводники, у которых наблюдается резкое затухание поля у поверхно-
поверхности (бсп мало), называются мягкими или сверхпроводниками первого рода. Кроме
того, имеются еще сверхпроводники жесткие, или второго рода (см. ниже).
В гл. 6 уже указывалось, что нет оснований отождествлять сверхпроводник со
«сверхдиамагнетиком». Действительно, как только что было указано, равенство нулю
магнитного поля внутри массивного сверхпроводника обусловлено тем, что при
*) Теоретически этот эффект впервые рассмотрели де Гааз и Лорентц [23], а экс-
экспериментально установил Шенберг [24].
- 91 -

включении внешнего поля или при охлаждении тела в присутствии магнитного поля
до Г < Gcn (H) в поверхностном слое сверхпроводника возникает макроскопический
электрический ток. Магнитное поле этого тока внутри тела обратно по направлению
внешнему полю, и в толще сверхпроводника эти поля компенсируются, а их сумма
равна пулю. Таким образом, можно сказать, что в сверхпроводниках внешнее маг-
магнитное поле экранируется поверхностным макротоком. В «идеальном» же диамагнетика
В = 0 потому, что во всем его объеме существует «обратная» внешнему полю диамаг-
диамагнитная намагниченность, равная — ЛУ4я, а само внешнее поле Н при этом не равно
нулю.
§ 3. Основы микроскопической теории сверхпроводимости.
Куперовские пары
С микроскопической точки зрения сверхпроводимость является специфическим
свойством заряженной квантовой жидкости — системы электронов проводимости.
В настоящее время известны две квантовые жидкости: 1) заряженная ферми-жидкость,
образованная электронами проводимости в металлах, и 2) незаряженная бозе-жид-
кость — жидкий гелпй II при Т < 2,17° К.
Сверхпроводимость является сверхтекучестью заряженной ферми-жидкости.
Явление сверхтекучести (отсутствие вязкого течения) в незаряженной бозе-жидкостп
открыл Капица [25]. Сначала остановимся на изложении основных представлений
теории сверхтекучести гелия II, что облегчит понимание основных положений микро-
микротеории сверхпроводимости. Ландау [26] впервые на основе феноменологических
представлений о том, что слабовозбужденные состояния квантовой жидкости имеют
вид элементарных возбуждений (квазичастиц, см. гл. 11) с энергией е (р) и импуль-
импульсом р, дал первое качественное объяснение явлению сверхтекучести. Представим себе
капилляр, по которому течет жидкость со скоростью v. При возникновении в этой
жидкости элементарного возбуждения ее энергия в системе координат, покоящейся
относительно стенок капилляра, изменится на величину
&(p)+p-v. (8.16).
Член p-v учитывает, что энергия возбуждения вычисляется в системе координат,
связанной со стенками капилляра. Это изменение должно быть отрицательным,
поскольку энергия возбуждения создается за счет кинетической энергии жидкости,
которая поэтому будет уменьшаться, если движение жидкости действительно может
возбуждаться, т. е.
в(р)+р.ъ-<0. (8.17)
Наименьшее значение левой части неравенства (8.17) при заданной величине импульса
| р | достигается при антипараллельности векторов р и v. Тогда из (8.17) находим, что
возбуждения возможны лишь при скоростях, больших некоторой критической скорости
г>кр (критерий Ландау):
>кр. (>
При меньших скоростях (v < укР) нарушается условие (8.17), и поэтому в жидкости
не могут возникать элементарные возбуждения и она будет сверхтекучей. Таким обра-
образом, сверхтекучесть возможна лишь в том случае, если энергетический спектр кванто-
квантовой жидкости е (р) таков, что минимум величины е (р)/р не равен нулю. Ландау [26]
предположил поэтому, что на кривой е (р) имеется минимум при р > 0, и тогда оче-
очевидно, что мин е (р)/р фО ж сверхтекучесть возможна. К сожалению, до сих пор не
удалось создать последовательную квантовомеханическую теорию Не II. Боголюбов
[27] впервые рассмотрел случай слабовзаимодействующего бозе-газа, нашел для него
энергетический спектр е (р) и показал, что для него выполняется критерий Ландау
(8.18). В рассмотрении Боголюбова важную роль играет явление бозе-эйнштейнов-
ской конденсации [см., например, Ландау и Лифшиц A964)]. Можно думать, что и яв-
явление сверхтекучести в Не II есть следствие этой конденсации, т. е. бозевской при-
природы самой жидкости. Кроме того, естественно, что в идеальном газе сверхтекучесть
также отсутствует, и поэтому для объяснения этого явления необходим учет взаимодей-
взаимодействия между частицами жидкости.
В случае газа свободных электронов энергетический спектр возбуждений носит
квадратичный характер: е (р) = ра/2т (см. гл. 11), и критерий Ландау дает в этом
случае укр = 0, т. е. сверхтекучесть отсутствует. Поэтому можно ожидать ее возник-
возникновения лишь как результат взаимодействия между электронами. Кроме того, раз-
различие между сверхтекучим гелием II и электронной жидкостью в металле состоит
в том, что атомы гелия имеют нулевой спин и являются бозе-частицами, а электроны
обладают отличным от нуля спином и подчиняются статистике Ферми. А выше отме-
отмечалось, что сверхтекучесть является свойством бозе-жидкости. Поэтому, если бы между
электронами действовали силы притяжения, то в принципе из них можно было бы
образовать, например, связанные пары с нулевым или целочисленным спиновым кван-
- 92 -

товым числом, т. е. некоторые эффективные бозе-частицы. Вначале казалось, что одно-
одноименно заряженные и поэтому отталкивающиеся электроны не могут образовывать
связанные пары. Эта загадка начала проясняться лишь после работ Максуелла [28],
Рейнолдса и др. [29], Аллена и др. [30], которые обнаружили, что критическая темпе-
температура сверхпроводников Gcn зависит от массы еМ изотопов ионов решетки: Gcn — qM -1/2.
Этот эффект по непонятным до сих пор причинам не обнаружен в сверхпроводящих
металлах Ru[31—33], Os [34, 35], Mo [35] и в Zr [37], точнее, в них Gcn ~ М~а, где
а <С 1/2. Этот изотопический эффект, несомненно, указывал, что сверхпроводимость
тесно связана с взаимодействием электронов с колебаниями кристаллической решет-
решетки — фонопами. Фрёлих [38] и Бардин [39], теоретически анализируя свойства элек-
трон-фононного взаимодействия, открыли новый тип косвенной связи (силы притя-
притяжения) между электронами. Эти силы связаны с колебаниями решетки кристалла, кото-
которые существуют даже при Т = 0° К (нулевые колебания). Электрон, взаимодействуя
N(e)
Sd.
Рис. 8.3. Схематическое изображение плотности состояний электронов
проводимости в сверхпроводнике по теории БКШ. а) При Т = 0° К. б)
При 0° К < Т < в„„. Заштрихованная площадь — состояния, заня-
тые электронами.
электростатически с соседними ионами кристалла, меняет характер их колебаний, что
и приводит к добавочным эффективным силам между электронами. Силы притяжения
между электронами в решетке можно наглядно представить как результат обмена
виртуальными фононами между электронами. Это всегда силы притяжения и в прин-
принципе могут при определенных условиях превышать по абсолютной величине кулонов-
ское отталкивание электронов. Однако сперва не удавалось получить таким способом
удовлетворительное объяснение сверхпроводимости. Существенный шаг в этом
направлении сделал Купер [40], показавший, что в системе ферми-частиц при наличии
сколь угодно слабого притяжения обязательно возникают связанные пары (куперов-
ские пары). В такой паре и импульсы, и спины обоих электронов антипараллельны
между собой, поэтому суммарные импульс (и соответствующий ему орбитальный
момент) и спин пары равны нулю*). Таким образом, куперовские пары являются бозе-
частицами. Если для них выполняется критерий Ландау (8.18), то газ этих пар будет
обладать сверхтекучестью, т. е. сверхпроводимостью, поскольку каждая пара несет
с собой заряд —2е. Энергия основного состояния системы спаренных электронов ока-
оказывается меньше, чем энергия свободного ферми-газа; разность этих энергий будет
равна энергии связи электронов в парах.
Последовательную микроскопическую теорию сверхпроводимости на основе
эффекта образования куперовских пар разработали Бардин, Купер и Шриффер [43]
(далее кратко: БКШ) и Боголюбов [44, 45] [см. также Боголюбов, Толмачев, Ширков
A958)]. Было показано, что энергия связи куперовской пары 2Д зависит от состояния
всей системы электронов, поэтому она зависит от температуры, имея максимальное
значение Д @) при 0° К и стремясь к нулю при Gcn. В простейшем случае изотропного
металла
(8.19)
где <Вд — дебаевская частота колебаний решетки, аЭф — константа электрон-фононного
взаимодействия, уф и рф — соответственно средняя скорость и квазиимпульс элек-
электронов на поверхности Ферми (см. гл. 11). Для создания в системе элементарных воз-
возбуждений необходимо разорвать по крайней мере одну куперовскую пару, для чего
требуется энергия 2Д. Эта минимальная энергия возбуждения 2Д и определяет вели-
величину энергетической щели в электронном спектре сверхпроводника. Кривая для
плотности электронных состояний, как функции энергии электрона нормального
металла, (см. ниже рис. 11.2) при его переходе в сверхпроводящее состояние резко
изменяется (см. рис. 8.3). Из рис. 8.3, а видно, что при Т = 0° К состояния
аэл>Ра J
*) В принципе возможно образование куперовских пар и при другом происхож-
происхождении сил притяжения между электронами (отличном от фононного, см. ниже гл. 25)
и с не равным нулю результирующим моментом (см., например, [41, 42]).
— 93 —

в интервале энергий от еф — До до еф -f- До в сверхпроводящем состоянии являются
запрещенными, а ниже уровня еф —До все состояния заняты электронами. При повы-
повышении температуры щель начинает сужаться (стремясь к нулю при Gcn), а выше энер-
энергии еф + До за счет пар, не разорванных тепловым движением кристалла, появляется
небольшое число «нормальных» электронов (пропорциональное ехр (—А/кТ). Расчет
по теории БКШ дает 2Д = 3,5 Шсп (эксперимент дает для численного коэффициента
значения от 3 до 4). Например, в случае свинца с Gcn = 7,19° К имеем BД0)БК111^&
=*г 3,48-10~15 эрг ях 2,16-10~3 зв. Из (8.19) следует, что Gcn — <Од, и, следовательно,
®сп — М'1!2, т. е. теория БКШ объясняет изотопический эффект. Эта теория объяс-
объясняет и магнитные свойства сверхпроводников. При этом весьма важной оказывается
не только энергетическая характеристика пары (ширина щели) 2Д, но также и ее
пространственная протяженность, т. е. размер пары \, поскольку электроны, свя-
связанные в пару, обладают пространственной корреляцией.
Теория БКШ дает для энергетического спектра элементарных возбуждений сле-
следующее выражение:
е(р) = [Д2 + г,ф(р-РфJ]1/2. (8.20)
При \р—рф | ^> Д выражение (8.20) переходит в обычный электронный спектр нор-
нормального металла (см. гл. 11):
Р + Рф р2 Рф
е(Р)«иф(р-рф)« 2т (р-Рф) м~2т~-~2т~ ¦
Спаривание электронов в сверхпроводнике, как видно из рис. 8.3, касается электро-
электронов, квазиимпульсы которых лежат в интервале Др = | р — рф | — Д /г;ф. Тогда
по соотношениям неопределенностей квантовой механики (Др-Дх =ss К) для размера
пары находим
Из (8.21) следует, что \ по порядку величины равно 10~5—Ю-4 см, ибо Д ^ Ю-15 орг.
а уф — 107—108 см/сек, т. е. в 103—104 раз больше постоянной кристаллической
решетки (^10~8 см).
§ 4. Объяснение магнитных свойств
1. Глубина проникновения магнитного поля. Для интерпретации магнитных
свойств сверхпроводников воспользуемся электродинамикой Максвелла. Однако надо
иметь в виду, что в сверхпроводниках вместо закона Ома, связывающего плотность
электрического тока с электрическим полем, имеет место другой закон. Суммарная
плотность электрического тока j в сверхпроводнике в общем случае складывается
из токов сверхпроводящего jcn и нормального jH, т. е. j= jon + JH, гце jH = аЕ (закон
Ома, а — удельная электропроводность), a jcn удовлетворяет уравнению (Лондон Ф.,
Лондон Г. [46])
— cmtAjcn = H (8.22>
или, в силу D.6),
где Л — некоторая постоянная, характерная для данного сверхпроводника. В грубой
инерционной модели сверхпроводника, где сверхпроводник трактуется как идеальный
проводник с удельной электропроводностью а -*¦ 0, постоянная Л = т/е2гесп, псп—
концентрация электронов, участвующих в сверхпроводящем токе.
Применяя уравнения электродинамики и формулу (8.22), например, для плос-
плоского массивного сверхпроводника находим, что поле в нем убывает (эффект Мейсснера)
по нормали к поверхности внутрь тела по закону
а плотность тока
где х—расстояние от поверхности, Яо—поле на поверхности, а глубина проникно-
проникновения магнитного поля в сверхпроводник бсп связана с постоянной Л формулой
У2
• (8-25>
- 94 —

При Т -*¦ Gcn величина бсп ->- оо, а следовательно, и Л ->- оо; таким образом, при
Т = Gcn сверхпроводящий ток равен нулю.
2. Предельные случаи по Лондону и Пиппарду. Несмотря на объяснение эффек-
эффекта Мейсснера и другие успехи, электродинамика сверхпроводников, основанная на
работах Ф. Лондона и Г. Лондона [46], в реальных условиях, как правило, неприме-
неприменима. Из микроскопической теории БКШ выяснилось, что характер электродинамики
сверхпроводников существенно зависит от величины отношения размера куперовской
пары | и линейного размера той области пространства в сверхпроводнике, где заметно
меняется величина электромагнитного поля. Последняя определяется величиной бсп.
Если бсп ^> |, то пары можно считать точечными, и поэтому между током и полем
будет чисто локальная связь, т. е. по (8.22) или (8.23) вектор j в данной точке опре-
определяется вектором Н (или А) в той же точке. Это так называемый лондоновский пре-
предельный случай. Поскольку обычно | «& 10 ч- Ю-4 см, а бс?1 =ь 10-4 -^ 10 см, то
условие бсп Э> | не выполняется и поэтому лондоновский случай не реализуется (кроме
очень узкой области вблизи всп).
Близким к реальным условиям является случай | J55 бсп, когда плотность тока
в данной точке сверхпроводника уже определяется электромагнитным полем, зани-
занимающим целую область вокруг этой точки с линейными размерами порядка |. В так
называемом предельном случае Пиппарда | 2> бсп дифференциальное уравнение (8.22)
или (8.23) должно быть заменено более сложным интегральным уравнением
Пиппрада *), которое он предложил [47] из феноменологических соображений еще
до появления микроскопической теории БКШ. Уравнение Пиппарда дает нелокальную
связь тока с полем. Из опыта известно, что для всех сверхпроводников чистых метал-
металлов (например, А1) имеет место условие | ^> бСп (случай Пиппарда) либо условие
?J5=6cn промежуточного случая (например, Sn).
3. Кривые намагничивания и индукции. Эти кривые, изображенные на
рис. 8,2а, б, имеют такой простой вид лишь для тел в форме достаточно длинного-
цилиндра или стержня с боковыми поверхностями, параллельными внешнему маг-
магнитному полю. Если же форма тела иная, то такие сверхпроводящие тела, находясь
Нормальная
/раза
Сдерхпрододящая
" фаза
Нормальная
д>аза
Н=0
Н=0/2)НО
Рис, 8,4, Искажение однородного внешне-
внешнего магнитного поля сверхпроводящим ша-
шаром, Н — поле в присутствии сверхпро-
сверхпроводящего шара, Н„ — в его отсутствие.
Рис, 8.5. Неправильная картина разделения
шара на нормальную и сверхпроводящую
фазы при внешнем поле 1 И„ | > 2/$Н .
во внешнем поле, будут о о искажать. Если, например, сверхпроводник имеет форму
шара, то его искажающее влияние на внешнее поле Но вне его объема (внутри объема
Н = 0) эквивалентно влиянию поля магнитного диполя, помещенного в центре шара
и имеющего момент М = — ЩН012, где До— радиус шара. На экваторе шара (Ь — Ъ
на рис. 8.4) мы будем иметь максимальное значение суммарного поля [см. формулу
D.156)]
Н,
макс —~9~-"о>
(8.26)
на полюсах (а — а на рис. 8.4) — минимальное значение, равное нулю.
Существование неоднородного магнитного поля вокруг сверхпроводников можно
наглядно показать, используя явление парения магнитов. На это впервые указал
Аркадьев [48], осуществивший опыт парения постоянных магнитов из железо-никель-
алюминиевого сплава над сверхпроводящим образцом из свинца.
Аналогичные явления будут иметь место для тел любой формы, если их размаг-
размагничивающий фактор для направления, параллельного внешнему полю, отличен от
нуля. Характерной особенностью процесса «намагничивания» таких сверхпроводни-
сверхпроводников является то, что при постепенном увеличении внешнего магнитного поля она
достигает критического значения не сразу по всей поверхности тела. Для шара, напри-
например, критическое поле будет достигнуто прежде всего по экватору (Ъ — Ъ рис. 8.4),
где суммарное поле максимально согласно (8.26). Поэтому на первый взгляд вполне
*) Мы не будем здесь его рассматривать. См., например, [6, 7].
— 95 —

•естественно предположить, что процесс разрушения сверхпроводящего состояния
должен начаться с экватора (при Я = 2/3 Якм) и постепенно проникать в объем шара
при Я > 2/з Нкм. Таким образом, шар должен был бы разделиться на две части: сверх-
сверхпроводящую сердцевину и нормальную оболочку (рис. 8.5). Однако легко понять, что
это предположение неверно. Действительно, положение границы определяется усло-
условием, что на ней магнитное поле равно критическому, а в нормальной фазе оно должно
быть больше критического. Последнее в данном случае не выполняется, так как поле
вне сердцевины (заштрихованная область на рис. 8.5) меньше, чем на ее поверхности
следовательно, меньше критического значения, и поэтому там снова должно восста-
восстанавливаться сверхпроводящее состояние. Более строгий количественный расчет также
доказывает невозможность такого перехода из сверхпроводящего в нормальное со-
состояние.
В случае шара кривые индукции и намагничивания имеют иной вид (рис. 8,6а, б),
чем для цилиндра (рис. 8.2а, б). При значениях внешнего поля Я от 0 до 2/3 Якм ин-
индукция В = 0, в интервале от Я = 2/з #км до Я = Якм имеем линейный рост индук-
индукции от В = 0 до В = //км и затем обычную прямую В = Я. Таким образом, интервал
В/Нн
2/3
Н/Нт
Рис. 8.6а. Кривая индукции
сверхнроводящего шара.
Рис.
8.66. Кривая намагничивания
сверхпроводящего шара.
полей для сверхпроводящего состояния шара уменьшился по сравнению с цилиндром
(намагничиваемым вдоль образующей), т. е. вместо прежнего от 0 до Якм он стал от О
до 2/3 Якм. Нормальная фаза по-прежнему начинается для полей Я >- Якм. Интервалу
же от 2/3 Якм до Якм, когда кривая намагничивания отличается и от нормального
и от сверхпроводящего состояния, стали приписывать новое промежуточное состояние
(Шенберг [49], Пайерлс [50]). Верхняя граница промежуточного состояния (обозна-
(обозначим ее через Яг) определяется полем Якм. а нижняя Я4 зависит от формы тела (его
размагничивающего фактора N) по формуле
Таким образом, для шара (TV = D/3) я) поле Я4 = 2/3 Якм, для цилиндра (TV = 2я
при поперечном намагничивании) Я4 = У2 Нки, для бесконечной плоской пластинки
(TV = 4я при поперечном намагничивании) Я4 = 0, т. е. вся область полей отно-
относится к промежуточному состоянию.
§ 5. Природа «промежуточного» состояния по Ландау
(доменная структура)
Ландау [51, 52] в известных работах показал, что никакой особой промежуточной .
фазы нет и что «промежуточное» состояние представляет собой смесь сверхпроводящих
и нормальных слоев вещества, чередующихся друг с другом (рис. 8.7). При этом, на-
например, для шара величина индукции на участке полей 2/3 Якм <С Я ^ #км опреде-
определяется величиной относительного объема шара, занятого нормальной фазой. Для пла-
пластины был проведен точный количественный расчет размеров этих слоев сверхпрово-
сверхпроводящей и нормальной фаз. В толще пластины эти слои являются плоскопараллельными.
Для суммы толщин сверхпроводящего и соседнего слоя нормальной фазы внутри пла-
пластины приближенно имеем
L \2/з
(8.27)
где L — толщина пластины (вдоль поля), а асп— коэффициент поверхностного натя-
7кения между нормальной и сверхпроводящей фазами. Таким образом, «геометрия»
промежуточного состояния зависит от размеров образца L, величины критического
- 96 —

поля ЯКм и величины поверхностного натяжения асп, связанного с поверхностной
энергией граничного слоя сверхпроводящих областей (см. ниже) *). Вблизи поверхно-
поверхности пластины слоистая структура может усложниться, отдельные нормальные слои
начинают разветвляться, и на самой поверхности толщина отдельных слоев становится
соизмеримой с глубиной проникновения бсп (8.25). Поэтому на поверхности, согласно
теории Ландау, возникает новое макроскопическое состояние, которое он называл
условно «смешанным». Лифшиц и Шарвин [53] показали, что разветвленная модель
оказывается термодинамически устойчивой по сравнению с неразветвленной только
для очень больших образцов.
В ряде тонких экспериментов была показана [54—62] принципиальная правиль-
правильность идеи Ландау о природе промежуточного состояния. Для визуального наблюдения
сверхпроводящих и нормальных слоев промежуточного состояния была использована
техника порошков — сверхпроводящих [63] и ферромагнитных [64]. Детально иссле-
исследовалось промежуточное состояние олова [65, 66], алюминия [67], индия [68]. Интерес-
Интересны исследования влияния на промежуточное состояние кристаллической структуры
Рис. 8.7. Сверхпроводящие I и нормальные I слои
пластины в промежуточном состоянии (по Ландау [52]).
[69], химической чистоты [70] и холодной обработки [71]. Эти опыты вместе с тем пока-
показали, что в реальных сверхпроводящих образцах, которые, как правило, всегда неодно-
неоднородны, наблюдается более сложная картина слоев. Очевидно также, что (как в случае
ферромагнетиков, см. гл. 23) расположение границ между сверхпроводящими и нор-
нормальными областями промежуточного состояния соответствует минимуму поверхно-
поверхностного натяжения асп. При изменении величины внешнего магнитного поля происхо-
происходят как обратимые, так и необратимые смещения границ между областями, что при-
приводит к явлениям гистерезиса в кривых намагничивания сверхпроводников.' За более
подробными данными отсылаем читателя к оригинальным статьям, ссылки на которые
приведены, например, в монографии Шенберга A955) и обзорах Серина [5], а также
Де Сорбо и Хили [72], где описан интересный магнетооптический метод исследования
промежуточного состояния сверхпроводников I и II рода, с использованием прозрач-
прозрачного парамагнитного цериевофосфорного стекла, которым покрывался исследуемый
образец. Андреев [73] развил электродинамическую теорию промежуточного состояния.
§ 6. Природа поверхностной энергии на границе
сверхпроводящей фазы. Сверхпроводники I и II рода
Для всей теории сверхпроводников и особенно для объяснения их магнитных
свойств весьма существен вопрос о природе поверхностной энергии асп, возникающей
в металле на границе между его сверхпроводящей и нормальной фазами. По совре-
современным представлениям, эта энергия является следствием пространственной корре-
корреляции сверхпроводящих электронов в куперовских парах. Приближенно возникнове-
пие этой энергии можно понять из следующего рассуждения. Соприкасающиеся участ-
участки нормальной и сверхпроводящей фаз в промежуточном состоянии сверхпроводника
будут находиться в равновесии, если в нормальной фазе присутствует магнитное поле
напряженности Якм, проникающее в сверхпроводящую фазу на глубину бсп, где оно
затухает. Из-за этого небольшого нарушения эффекта Мейсснера в тонком граничном
слое толщины бсп магнитостатическая энергия тела уменьшается на величину порядка
~°cn-ffKM/'8lt на единицу поверхности раздела (рис. 8.8). С другой стороны, вблизи
*) Величина асп имеет некоторое чисто формальное сходство с граничной энер-
энергией между доменами в ферромагнетиках (см. гл. 23). Непосредственно ее можно опре-
определить из исследования магнитных свойств тонких сверхпроводящих пленок или из
опытов по кинетике возникновения сверхпроводящего состояния при Я Ф 0.
св. Вонсовский
- 97 -

Поверхности сверхпроводящей фазы щель Д уменьшается до нуля на расстоянии по-
порядка ?. Если в этом слое, толщиной |, отсутствует поле Якм, то это приведет к росту
энергии на каждую единицу поверхности на величину порядка ?Якм/8я. Таким обра-
образом, в итоге находим, что в граничном слое между нормальной и сверхпроводящей
Н-
Н-
N V
a) 6)
Рис. 8.8. Проникновение магнитного поля Н в толщу сверхпроводника
(точечные линии) и параметр порядка Д (пунктирные линии), а) Слу-
Случай положительной поверхностной энергии; б) случай отрицательной
энергии.
фазами возникает избыток энергии, который и равен поверхностному натяжению асп:
Я2
™ (Ь А \ KJVt /Q OR\
^сп— \5 сп^ о • ^o.^iOb
оЯ
Поверхностная энергия положительна только при условии | > бсп. В случае же вы-
выполнения обратного неравенства бсп > ? поверхностная энергия отрицательна:
асп < 0. По знаку коэффициента асп и проводится классификация сверхпроводников:
сверхпроводники I рода с асп > 0; сверхпроводники II рода с асп < 0.
§ 7. Феноменологическая теория Гинзбурга — Ландау
и ее обобщение по Абрикосову — Горькову
Еще до появления микроскопической теории БКШ Гинзбург и Ландау [74J
(см. также Гинзбург [1, 2, 75]) предложили полуфеноменологическую квантовую тео-
теорию, которая, в частности, позволила вычислить и коэффициент асп. Они отметили,
что локализация «сверхпроводящих электронов» в поверхностном слое сверхпровод-
сверхпроводника толщиной бсп s& 10~5 см в силу соотношения неопределенностей приводит к по-
появлению импульса, пропорционального ЙУ6СП, и «нулевой энергии» ncnh2/m*dcn ^
я& 104 эре/см3, где т* а& 10~27 г — эффективная масса и гесп s& 1021— концентрация
сверхпроводящих электронов. Наряду с этим магнитная энергия (даже при полях
Я =& Якм =& 5-Ю2 э) составляет всего лишь Я2/8я =к 104 эрг/см3. Таким образом,
нулевая энергия во всяком случае не меньше магнитной. Поэтому все явление проникно-
проникновения поля должно носить существенно квантовый характер. Основной величиной,
характеризующей квантовую природу явления, от которой зависит термодинамиче-
термодинамический потенциал сверхпроводника, авторы предлагают считать концентрацию сверх-
сверхпроводящих электронов геСп. Предполагается, что число гесп зависит от Т: псп ->- О
при Т -*¦ Gcn. При Я = 0 свободную энергию сверхпроводника вблизи Gcn можно
разложить в ряд по возрастающим степеням псп. Величина гесп выражается череа
«эффективную» волновую функцию 4F по формуле
псп = 1 Л*. (8-29>
При этом авторы постулируют следующие два уравнения, заменяющие уравне-
уравнение (8.24):
Ч\ЪА, (8.30)
(8.31)
где
1/2
СП
(8.32)
q — заряд сверхпроводящего носителя тока (по теории БКШ он равен 2е), f> — постоян-
постоянная. Эти уравнения дают возможность установить зависимость между бсп и Я, найти
величину поверхностной энергии сверхпроводника и т. п. За подробностями отсылаем
читателя к оригинальным работам [1, 2, 74, 75].
Горьков [76, 77] обобщил теорию БКШ на случай пространственно-неоднород-
пространственно-неоднородного сверхпроводника, когда ширина щели является функцией точки А (г), и пока-
- 98 -

зал, что вблизи Gcn микроскопическая теория приводит к уравнениям феноменологи-
феноменологической теории Гинзбурга — Ландау (8.30), (8.31) с зарядом q = 2e. Дальнейшее раз-
развитие этого обобщения см. в работах [78—87].
Одним из самых больших успехов теории Гинзбурга — Ландау явилось пред-
предсказание существования сверхпроводников II рода (Абрикосов [88, 89]). В качестве
иллюстрации приведем теоретический расчет для одномерной модели. В этом случае
в уравнении (8.31) следует положить &Ч? ->- dP^ldx2 и А (х) = Нх; кроме того, при-
принимается, что член р^3 может быть опущен благодаря тому, что рассматривается слу-
случай температур, близких к Gcn, когда псп= \ Ч? |2 мало. В результате после замены
переменной х -*¦ t)y, где у2 = Н1к1~\/2 Якм6сп, вместо (8.31) получаем
(8.33)
Это уравнение Шредингера для задачи о квантовом линейном гармоническом осцил-
осцилляторе. Из квантовой механики известно, что (8.33) имеет физические решения при
условии, что А, = 2п-}-1 или
Я \/2у^ 0 123 (8.34)
Нкм
При ге = О отношение Н/Нкш имеет.наибольшее значение:
Н —
— l/9v 19. Ч^Л
"KM
Отсюда видно, что Я> Якм при х > 2"Vz даже при гесп = | Y |2 Ф 0, т. е. в сверх-
сверхпроводящем состоянии поле может быть выше критического. Теория показывает, что
при х > 2/2 коэффициент асп < 0, т. е. согласно (8.28) имеет место неравенство
? < бсп. Абрикосов [89] показал, что для чистых сверхпроводящих металлов пара-
параметр х имеет вид
б»п
хо = —-—А[(Т), (8.36)
где функция АУ{Т) слабо меняется от 1 при Gcn до 1,25 при Т = 0°К.
Чистые металлы, кроме ниобия (х* 1,2 при Т = 0° К), являются сверхпро-
сверхпроводниками I рода. Тем не менее всякий сверхпроводник I рода можно превратить
в сверхпроводник II рода, если ввести в его решетку примеси, создать в ней дефекты
типа вакансий, дислокаций и т. п. Эти дефекты сильно влияют на длину свободного
пробега электронов проводимости в металле в нормальном состоянии I (Т). При кон-
концентрации дефектов порядка нескольких процентов и более параметр корреляции
куперовских пар |j начинает зависеть от длины свободного пробега. Приближенно
эта зависимость имеет вид
l~i = 6 (T) УЩ/ УТЩ. (8.37)
С уменьшением параметра |j, согласно (8.28), знак поверхностной энергии может изме-
изменяться и происходит переход сверхпроводника I рода в сверхпроводник II рода. В свя-
связи с этим весьма интересны опыты Вина и др. [90, 91], в которых ртутью или свинцом
под давлением напитывалось пористое стекло и такой синтетический образец суще-
существенно повышал свое критическое поле по сравнению с его значением для сплош-
сплошного образца из ртути или свинца. Весьма сильно влияют на параметры сверхпровод-
сверхпроводника структурные превращения в соответствующих сплавах (см., например, [92]).
Очень интересен также вопрос о магнитных свойствах сверхпроводников малых
размеров, когда их минимальный линейный размер d становится меньше параметра
корреляции (мелкие частицы, тонкие пленки). См. по этому вопросу работы [93—101].
Отрицательный знак поверхностной энергии исключает возможность термодина-
термодинамического равновесия между нормальной и сверхпроводящей фазами и способствует
проникновению магнитного поля в сверхпроводник II рода в виде тонкой структуры
чередующихся нормальных и сверхпроводящих областей. Величину критического
поля ЯК2, до которого сохраняется сверхпроводимость в этом конкретном случае,
можно просто оценить по порядку величины, учитывая, что куперовская пара может
двигаться в магнитном поле, если радиус ее ларморовскоп спирали гн =& ср/еН (р —
импульс пары) больше размеров пары: rH > |j. С другой стороны, из соотношений не-
неопределенностей следует, что импульс пары не превышает fe/|i, поэтому окончательно
для поля Як2 находим
(8.38)
Из (8.38) видно, что поле Як2 возрастает обратно пропорционально длине свободного
пробега, т. е. пропорционально концентрации дефектов в решетке. Согласно теории
Абрикосова [88] переход сверхпроводника II рода в нормальное состояние в поле
- 99 — 7*

происходит следующим образом. В слабых полях магнитное поле не проникает в толщу
сверхпроводника вплоть до первого критического поля Як1, которое приближенно
пропорционально длине свободного пробега I. В случае образца цилиндрической
формы при поле Як1 внешнее поле начинает проникать в толщу образца в виде отдель-
отдельных сильно удаленных друг от друга нитей магнитного потока. Каждая такая нить
несет один квант магнитного потока (см.
ниже). В центре нити поле максимально
и составляет примерно 2ЯК1, а щель
Д = 0. При удалении от оси нити щель
растет и достигает значений, соответствую-
соответствующих данной температуре, при Я = 0 на
расстоянии порядка |4. Поле спадает до
нуля на расстоянии порядка бсп. С ростом
поля нити начинают сближаться, пока их
центры не подойдут друг к другу на рассто-
расстояние порядка \i. В идеальном случае нити
Рис. 8.9. Распределение магнитного по-
потока в толще сверхпроводника II рода
в смешанном состоянии (по Абрикосову).
Стрелки указывают направление цирку-
циркулярных токов флюксоидов, а цифрами
обозначена энергия связи пар в условных
единицах.
Рис. 8.10. Кривые намагничивания
(—4яМ (Я)) сверхпроводников при различ-
различных значениях параметра и. Кривая с
и <2—1/2 соответствует с верхпроводникам
I рода, а с х > 2—1/2 — сверхпроводникам
II рода,
II
-4-ЛМ
образуют какую-то правильную структуру- Состояние сверхпроводника
рода в интервале полей от Як1 до Як2 называется смешанным состоянием,
которое не следует путать с рассмотренным выше промежуточным состоя-
состоянием сверхпроводников I рода. На рис. 8.9 показана картина распределения потока
в смешанном состоянии сверхпровод-
сверхпроводника II рода, когда нити сблизились
на расстояние порядка gj. При даль-
дальнейшем увеличении магнитного поля
нити больше уже не сближаются,
поле монотонно достигает величины
внешнего поля и вся толща образца
переходит в нормальное состояние.
При этом исчезает диамагнитный
момент образца. Однако в поверхност-
поверхностном слое толщиной порядка gj до
полей Якз =&1,7Як2 электрического
сопротивления для слабого тока еще
не появляется (см. [102]). Один из
возможных теоретических пределов
для Як2 можно получить, приравни-
приравнивая энергию магнитного момента
электрона в поле величине энер-
энергетической щели: ЦБЯ *А%1,5%
s& &„пк. Эта грубая оценка дает для
'К2
Рис. 8.11. Кривые намагничивания сверхпроводни-
сверхпроводников II рода. А — дефекты структуры отсутствуют,
JS—после холодной обработки, С — после очень
сильной холодной обработки,
личных значениях параметра
никам I рода). Отклонения
Як2 величины порядка сотен кило-
эрстед.
На рис. 8.10 приведены теоре-
теоретические кривые намагничивания
сверхпроводников II рода при раз-
х (кривая с х < 2~V2 соответствует сверхпровод-
кривых от прямой —4пМ = Я начинаются при
полях Як1, соответствующих данному значению параметра х. При Я ->- Як2 намагни-
намагниченность стремится к нулю. В реальных неоднородных сверхпроводниках II рода
(так же как и I рода) кривые намагничивания заметно отклоняются от теоретических.
Эти отклонения обусловлены необратимыми эффектами при перемагничивании (гисте-
(гистерезис) и появлением остаточного момента при Я = 0. На рис. 8.11 показаны схематиче-
схематически типичные «петли гистерезиса» для неоднородных сверхпроводников II рода [103].
Имеется уже большое число теоретических работ и экспериментальных исследо-
исследований, подтверждающих реальность смешанного состояния (см., например, обзор
— 100 —

Лоуэлла [103] и работы [104—118]. Упомянем еще интересную работу Крибье и др.
[119], в которой с помощью нейтронной дифракции обнаружена непосредственно
периодическая структура магнитного поля.
Большая величина критических полей делает сверхпроводники II рода весьма
важным техническим материалом для изготовления сверхпроводящих магнитов.
В сплавах систем Nb — Sn, Nb — Zr, Ti — V, V — Si, V — Ga достигнуты крити-
критические поля, превышающие 106 а. Из них изготавливаются сверхпроводящие соле-
соленоиды, в которых получаются стационарные магнитные поля до 100 кв и более.
Подробнее см. в обзорах Крошпота и Арпа [120], Кюнцлера [121], Карасика
[122], Лаверика [123] и Алексеевского [14].
§ 8. «Накачка» магнитного потока с помощью сверхпроводника
В связи с вопросом о сверхпроводящих соленоидах для получения сильных
магнитных полей упоминаем, что зарядка таких соленоидов может производиться суще-
существенно более слабым полем с помощью методов «накачки» магнитного потока, осно-
основанных на использовании эффекта Мейсснера *).
Если многосвязный сверхпроводящий образец
охладить ниже всп в присутствии внешнего магнит-
магнитного поля, то магнитный поток будет «заморожен»
внутри отверстий в образце. Рассмотрим образец в
виде двойного «бублика» с двумя отверстиями а и 6,
соединенными узкой щелью с (рис. 8.12). Если такой
образец поместить во внешнее поле, параллельное
оси цилиндрических отверстий, и затем охладить
его ниже всп, то магнитный поток застрянет в от-
отверстиях а и Ъ. Если теперь вставить в отверстие 6
сверхпроводящий цилиндр d, то магнитный поток
из отверстия Ь «выжмется» в оставшееся свободное
пространство (через щель с в отверстие а), где ве-
величина потока соответственно возрастет. Если
предположить, что полный замороженный поток
остается постоянным до и после вставления сверх-
сверхпроводящего цилиндра d в отверстие 6, то поле
На в отверстии а при вставленном в отверстие Ъ цилиндре d будет связано с перво-
первоначальным полем Но соотношением
Рис. 8.12. Схема устройства для
«накачки» магнитного поля с по-
помощью двусвязного сверхпроводни-
сверхпроводника, а и Ь — цилиндрические отвер-
отверстия в «бублике»; с — узкая щель,
соединяющая эти отверстия; d —
цилиндр, равновеликий отверстиям
а и Ь.
На —
(8.39)
In/,
где Sa, Sb, Sd и Sc — соответственно площади сечения отверстий а, 6, цилиндра и щели.
Более подробно с результатами этого процесса накачки читатели могут ознакомиться
в указанных выше работах. Отметим
лишь, что с помощью многократного
повторения указанного цикла в установ-
установке с образцом из сплава Nb3Sn удалось
получить поле до 22 кв [125]. Цикл на-
накачки можно проводить и в обратном
направлении: можно «выкачивать» из
объема магнитное поле. Таким путем
удалось получить поле, не превышаю-
превышающее 0,0002 в. Такое устройство имеет
огромное практическое значение для
магнитного экранирования.
§ 9. Разрушение
сверхпроводимости током
Опыт показывает, что сверхпрово-
сверхпроводимость разрушается не только при
приложении внешних магнитных полей,
но и при пропускании через них доста-
достаточно сильных электрических токов.
В случае массивных сверхпроводников
I рода критическое значение тока /к
достигается тогда, когда создаваемое
им магнитное поле на поверхности
образца с током достигает критического значения Нкм (гипотеза Силсби [129]).
В случае сверхпроводников II рода, особенно неоднородных, вопрос о связи критиче-
Н
Рис. 8.13. Кривые критического тока для сверх-
сверхпроводников II рода в полулогарифмической
шкале In J (Н), аналогичные кривым намагничи-
намагничивания типа А, В и С, изображенным на рис. 8.11.
*) См. работы [124—128].
- 101 -

ских значений тока и поля пока еще до конца не выяснен. На рис. 8.13 при-
приведены схематические кривые критических токов в зависимости от поля для сверх-
сверхпроводников II рода, имеющие вид кривых намагничивания типа изображенных
на рис. 8.11 [103].
§ 10. Квантование магнитного потока
Остановимся на замечательном магнитном явлении в сверхпроводниках, пред-
предсказанном Ф. Лондоном [130] и обнаруженном на опыте Дивером и Фербанком [131]
и Доллом и Небауером [132]. См. также обзор [138] и работы [139—151]. Рассуждения
Лондона были следующими. Ток, переносимый зарядом q, пропорционален его импульсу
mv = р — qAlc, где А — вектор-потенциал электромагнитного поля. Поскольку
внутри сверхпроводника ток равен нулю, то р = qAlc. В этом случае применимы пра-
г»
вила квантования Бора: ф Р dl = nh, где п== 1, 2, 3 а интеграл берется по кон-
«j
ТУРУ тока. Следовательно, имеем
dl=-^- (?> A dl = S- С- Г HndS s-i- f f Bn dS=-^-O = nh,
где поверхностный интеграл берется по площади контура и использовано условие,
что в нормальном состоянии Н е^ В (Ф — магнитный поток). Поскольку в сверхпро-
сверхпроводнике носителем заряда является куперовская пара с зарядом q = 2e [133, 134],
то для правила квантования магнитного потока Ф в сверхпроводнике окончательно
находим
ф" = 7"ге- (8>40)
В упомянутых выше опытах на образце в форме полого цилиндра действительно
было обнаружено, что поток квантуется по закону (8.40). Эти опыты можно также рас-
рассматривать как доказательство существования куперовских пар, поскольку из них
следует, что q = 2e. Как показали Бардин [135], Келлер и Цумино [136] и в особен-
особенности Гинзбург [137], фактически квантуется не магнитный поток, а более сложная
величина, которую теперь принято называть флюксоидом. В простейшем случае им-
импульс р равен р = mv + qAlc. Выражая скорость у через плотность сверхпроводящего
тока /сп, т. е. v=:tTcn/ncnq, находим p=mtTcn/ncnq-\-qA/c. Поэтому
\ \ B-
(8.41)
Величина в квадратных скобках в (8.41) и носит название флюксоида. В тех случаях,
когда можно положить ;сп = 0 (массивный сверхпроводник I рода), правило кванто-
квантования (8.41) переходит в (8.40).
Мы еще вернемся к вопросу о магнитных свойствах сверхпроводников в гл. 25.
где будет рассмотрена природа связи сверхпроводимости с парамагнетизмом, ферро-
и антиферромагнетизмом и с влиянием на сверхпроводящее состояние магнитных при-
примесей. По разным аспектам сверхпроводимости см. также работы [155—160].
§ 11. Гиромагнитный эффект
В заключение рассмотрим еще вопрос о гиромагнитном эффекте в сверхпроводни-
сверхпроводниках. Кикоин иГубарь [152] нашли на опыте, что гиромагнитное отношение для сверх-
сверхпроводников равно единице. Теоретически этот результат объяснили Френкель и Руд-
Рудницкий [153], а также Брур [154].
Согласно квантовой механике среднее значение плотности полного импульса
имеет вид
pn=-^0r*VY —WP*); (8.42)
Li
импульс внешнего электромагнитного поля, описываемого вектор-потенциалом А,
равен
^ ' (8.43)
где Ч—волновая функция системы. Плотность кинетического импульса равна раз-
разности выражений (8.42) и (8.43):
Ркив = Рп—Рэм- (8-44)
Соответствующие значения момента импульса относительно некоторой точки О
определяются формулой
J"= i [r-pi] dx (i = n, эм, кин), (8.45)
— 102 —

где г — радиус-вектор элемента объема dr. В рассматриваемом случае спин эледтро-
нов не играет роли и поэтому не учитывается (см. гл. 9). Поскольку средняя скорость
v = ркин/т, то мы будем интересоваться кинетическим импульсом (8.44) и соответст-
соответствующим ему моментом </КШг При возрастании однородного магнитного поля в теле
сохраняется полный момент импульса вдоль направления поля, ибо увеличение мо-
момента относительно поля </эм компенсируется кинетическим моментом, созданным
электродвижущей силой индукции. Плотность электрического тока равна j = ev/c =
= еркин/ст, поэтому магнитный момент [согласно (8.45)] будет определяться формулой
М=i- j [r-Jl dr=-^- «Гкин. (8.46)
При обсуждении гиромагнитного эффекта следует рассматривать как момент электро-
электронов, так и момент положительно заряженной кристаллической решетки, т. е. <Т~ и </+.
Например, в опытах Эйнштейна и де Гааза измеряется «/^ин, тогда как магнитный
момент (8.46) практически целиком связан с моментом количества движения </кин элек-
электронов.
Если бы положительная и отрицательная плотности заряда были в каждой точке
тела равны по абсолютной величине, то согласно (8.45) момент электронов относительно
поля полностью компенсировался бы моментом положительных зарядов. В действи-
действительности такого равенства положительной и отрицательной плотностей заряда нет.
Момент G"эм можно представить в виде суммы момента электрона относительно ядер
и момента фиктивных отрицательных зарядов, расположенных в ядрах таким образом,
чтобы целиком компенсировать эффект положительных зарядов, т. е.
^м= )iP-Рэм] dx-J-M, (8.47)
где р — расстояние между электронным зарядом в элементе объема dx и ядром.
В присутствии однородного магнитного поля, ориентированного вдоль оси г, интег-
интеграл в (8.47) в силу (8.43) примет вид
Нze . 2 2гпс
Zc л у е
где -МдМ—нормальный атомный диамагнитный момент [см., например, G.7)], равный
а ./V — полное число электронов тела, и, следовательно, вместо (8.47) имеем
(8-48)
Если свободно подвешенное тело, находившееся вначале в покое, намагнитить
в однородном поле, то его полный момент количества движения должен сохраняться,
т. е.
^м + ^эм+^ин + «Г;ин = 0. (8.49)
В сверхпроводнике, который можно условно рассматривать как сверхдиамагнетик
(см. выше), магнитный момент М > Мдм. Поэтому, согласно (8.46), (8.48) и (8.49)
и пренебрегая Мдм, получаем
•Г?ня=-«Г«ин=--?7?--М-- (8.50)
Из (8.50) сразу находим, что гиромагнитное отношение g = | </кин I / I M \ в единицах
2пгс/е равно единице, что и было обнаружено в работах [152]. Этот результат, к сожа-
сожалению, не связан с физической микроскопической природой сверхпроводимости,
поскольку он является следствием общего закона сохранения момента количества
движения.
Остановимся вкратце на вопросе о характере гиромагнитного эффекта в диамаг-
нетиках. В гл. 7 мы условно разбили твердые диамагнетики на три группы: 1) веще-
вещества, в которых диамагнетизм обусловлен «связанными» электронами, движущимися
в симметричном центральном поле (ионные кристаллы); 2) вещества типа молекуляр-
молекулярных кристаллов, в которых связанные электроны движутся в нецентральном поле,
и, наконец, 3) диамагнитные металлы (см. гл. 11).
Для первой групцы (8.46) дает <Т^ИН = Bтс/е) Мдм, и поэтому в силу (8.49)
и (8.48) получаем «7"+^ = 0, т. е. отсутствие гиромагнитного эффекта (см. также гл. 9).
Для второй группы такой компенсации, как в ионных диамагнетиках, не полу-
получается, поскольку электроны частично коллективизируются в «объеме» молекулы.
Можно ожидать, что для этих веществ гиромагнитное отношение будет отличным от
- 103 —

нуля. Для диамагнитных металлов (третья группа) ответ на поставленный вопрос
очень труден, так как для этого требуется знать точную волновую функцию электронов.
Если же ограничиться приближением Ландау (см. гл. 11) и считать, что плотность как
отрицательного (электронного), так и положительного заряда постоянная (ЧГ*ЧГ =
= const), то в (8.48) Мям= 0 и согласно (8.49) имеем J^jm-[- J^vm = 0. т- е- S = 1-
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 8
1. В. Л. Г и н з б у р г, УФН 42, 169 A950).
2. В. Л. Гинзбург, УФН 42, 333 A950).
3. В. Л. Г и н з б у р г, УФН 48, 25 A952).
4. В. Л. Гинзбург, УФН 95, 91 A968); 101, 185 A970); Contemp. Phys. 9,
355 A968).
5. В. S е г i n, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., стр. 611, 1959.
6. J. Bardeen, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., стр. 679, 1959.
7. А. А. Абрикосов, И. И. Халатников, УФН 65, 551 A958).
8. А. А. Абрикосов, И. И. X алатников, в книге «Физика низких тем-
температур», ИЛ, М., стр. 885, 1959.
9. Н. А. В о о г s е, УФН 72, 99 A960).
10. L. N. С о о р е г, УФН 72, 117 A960).
И. А. А. А б р и к о с о в, УФН 87, 125 A965).
12. Л. В. К е л д ы ш, УФН 86, 327 A965).
13. Б. Т. Гейликман, УФН 88, 327 A966).
14. Н. Е. А л е к с е е в с к и й, УФН 95, 253 A968).
15. Н. В. А г е е в, Н. Е. А л е к с е е в с к и й, Н. И. М и х а й л о в, В. Ф. Ш а м
рай, Письма ЖЭТФ 6, 901 A967).
16. В. Т. М a t t i a s, Т. Н. G е b а 1 1 е, L. D. L о n g i n a t t i, E. С о г е n z-
wit, G. W. H u 1 1, R. H. W i 1 1 e n s, J. P. M a i t a, Science 156, 645 A967).
17. W. H. К e e s о m, J. N. van den E n d e, Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, № 219.
A932); W. H. К e e s о m, Y. А. К о k, Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, № 221
A932); Physica 1, 175 A934).
18. C. J. G о г t e r, Arch. Mus. Teyler 7, 378 A933).
19. W. M e i s s n e r, R. О с h s e n f e 1 d, Naturwiss. 21, 787 A933).
20. Ю. Н. Р я б и н и н, Л. В. Ш у б н и к о в, Nature 134, 286 A934); 135, 581 A935).
21. Ю. Н. Р я б и н и н, Л. В. Ш у б н и к о в, Phys. Zs. UdSSR 5, 641; 6, 557 A934);
7, 122 A935).
22. Н. Kamerlingh-Onnes, Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, № 119,
№ 120, № 122 A911).
23. A. de H a a s, G. L. L о г е n t z, Physica 5, 385 A925).
24. D. S h о e n b e r g, Nature 143, 434 A939).
25. П. Л. К а п и ц а, ДАН СССР 18, 21 A938).
26. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 11, 592 A941).
27. Н. Н. Б о г о л ю б о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 77 A947).
28. E.Maxwell, Phys. Rev. 78, 477 A950).
29. С. A. R е у п о 1 d s, В. S e r i n, W. H. W r i g h t, L. В. N е s b i t t, Phys. Rev.
78, 487 A950).
30. W. Allen, R. D a w t о n, M. Bar, R. M e n d e 1 s о n, J. О 1 s e n, Nature
166, 1071 A950).
31. T. H. G e b a 1 1 e, B. T. M a t t h i a s, G. W. H a 1 1, E. С о г е n z w i t, Phys.
Rev. Lett. 6, 275 A961).
32. D. K. F i n n e m о r e, D. E. M a p о t h e r, Phys. Rev. Lett. 9, 288 A962).
33. J. W. Gibson, R. A. H e i n, Phys. Rev. 141, 407 A966).
34. R. A. H e i n, J. W. G i b s о n, Phys. Rev. 131, 1105 A963).
35. E. В u с h e r, F. H e i n i g e r, J. M u 1 1 e r, J. L. О 1 s e n, Proc. 9th Intern.
Conf. on Low Temperat. Physices (LT-9), Columbus, Ohio A946), Plenum Press,
№ 4.
36. B. T. M a t t h i as, T. H. G e b a 1 1 e, E. С о r e n z w i t, G. W. Hall,
Phys. Rev. 129, 1025 A963).
37. E. В u с h e r, J. M u 1 1 e r, J. L. О 1 s e n, С. Р a 1 m y, Phys. Lett. 15, 303 A965).
38. H. F r 6 h 1 i с h, Phys. Rev. 79 845 A950).
39. J. В a r d e e n, Phys. Rev. 80, 567 A950).
40. L. С о о р е г, Phys. Rev. 104, 1189 A956).
41. С. В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, ЖЭТФ 40, 1676 A961).
42. С. В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, Phys. Stat. Sol. 9, 267 A965).
43. J. Bardeen, L. Cooper, J. S с h r i f f e r, Phys. Rev. 108, 1175 A957);
см. перевод: сб. «Теория сверхпроводимости», ИЛ, М., 1960.
44. Н. Н. Боголюбов, ЖЭТФ 34, 58, 73 A958).
45. Н. Н. Боголюбов, Nuov. cim. 7, 794 A958).
46. F. London, H. London, Proc. Roy. Soc. A149, 71 A935); Physica 2, 341
A935).
47. A. B. P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A216, 547 A953).
— 104 —

48. В. К. Аркадьев, ДАН СССР 47, 18 A945).
49. D. S h о е n b e r g, Proc. Roy. Soc. A152, 10 A935).
50. R. P e i e r 1 s, Proc. Roy. Soc. A155, 613 A936).
51. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 371 A937).
52. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 13, 377 A943).
53. E. M. Л и ф ш и ц, Ю. В. Ш а р в и н, ДАН СССР 79, 783 A951).
54. Л. В. Шубников, И. Е. Н а х у т и н, Nature 139, 589 A937).
55. И. Н ах у тин, ЖЭТФ 8, 717 A938).
56. И. Н а х у т и н, ЖЭТФ 9, 709 A939).
57. А. И. Ш а л ь н и к о в, J. Phys. USSR 9, 202 A945).
58. А. Г. М е ш к о в с к и й, А. И. Ш а л ь н и к о в, J. Phys. USSR 11, 1 A947).
59. А. Г. М е ш к о в с к и й, А. И. Ш а л ь н и к о в, ЖЭТФ 17, 851 A947).
60. А. Г. М е ш к о в с к и й, ЖЭТФ 19, 1 A949).
61. Ю. В. Ш а р в и н, Б. М. Балашова, ЖЭТФ 23, 222 A952).
62. A. L. S с h a w 1 о w, В. Т. М a t t h i a s, H. W. L e w i s, G. E. D e v 1 i n, Phys.
Rev. 95, 1344 A954).
63. A. L. S с h a w 1 о w, Phys. Rev. 101, 573 A956).
64. В. М. Б а л о ш о в а, Ю. В. Ш а р в и н, ЖЭТФ 31, 40 A956).
65. Ю. В. Ш арвин, ЖЭТФ 33, 1341 A957).
66. Ю. В. Ш а р в и н, В. Ф. Г а н т м а х е р, ЖЭТФ 38, 1456 A960).
67. Т. Е. F a b e r, Proc. Roy. Soc. A248, 460 A958).
68. Ю. В. Ш а р в и н, ЖЭТФ 38, 298 A960).
69. A. L.Schawlow, G. E. D e v I i n, Phys. Rev. 110, 1011 A958).
70. P. В. A 1 e r s, Phys. Rev. 105, 104 A957).
71. A. L. S с h a w 1 о w, G. E. D e v 1 i n, J. К. Н u 1 m, Phys. Rev. 116, 626 A959).
72. W. D e S о r b o, W. A. H e a 1 y, Cryogenics 4, 257 A964).
73. А. Ф. Андреев, ЖЭТФ 51, 1510 A966).
74. В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 20, 1069 A950).
75. В. Л. Г и н з б у р г, Nuov. cim. 2, 1234 A955).
76. Л. П. Г о р ь к о в, ЖЭТФ 34, 735 A958).
77. Л. П. Г о р ь к о в, ЖЭТФ 36, 1918 A959); 37, 1407 A959).
78. N. R. Werthamer, Phys. Rev. 132, 663 A963).
79. L. T e w о г d t, Phys. Rev. 132, 595 A963); Zs. Phys. 180, 385 A964); Phys. Rev.
137, A1745 A965).
80. K. Maki, Physics 1, 21, 127, 201 A964).
81. К. М a k i, Phys. Rev. 141, 331 A966).
82. K. Maki, Т. Т s u z u k i, Phys. Rev. 139, A868 A965).
83. W. S i 1 v e r t, L. N. С о о р е г, Phys. Rev. 141, 336 A966).
84. A. J.Bennett, L.M. Falicov, Phys. Rev. 154, 302 A967).
85. V. D. A r p, R. S. Collier, R. А. К a m p e r, H. M e i s s n e r, Phys. Rev.
145, 231 A966).
86. H. J. F i n k, A. G. P r e s s о n, Phys. Rev. 151, 219 A966).
87. E. Abrahams, Т. Т s u n e t o, Phys. Rev. 152, 416 A966).
88. А. А. А б р и к о с о в, ДАН СССР 86, 489 A952).
89. А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 32, 1442 A957).
90. С. Р. В е а п, М. V. D о у 1 е, A. G.Pincus, Phys. Rev. Lett. 9, 93 A962).
91. С. Р. В е a n, Rev. Mod. Phys. 36, 35 A964).
92. С. В. С у д а р е в а, Н. Н. Б у й н о в, В. А. В о з и л к и н, Е. П. Р о м а н о вг
ФММ 21, 388 A966).
93. P. G. de G e nn e s, M. T i n k h a m, Physics I, 107 A964).
94. G. R i с к а у z e n, Phys. Rev. 138, A73 A965).
95. H. L. С a s w e 1 1, J. Appl. Phys. 36, 80 A965).
96. E. А. Ш а и о в а л, ЖЭТФ 51, 669 A966).
97. R. К 1 е i n, G. F i s h e r, Phys. Rev. 150, 222 A966).
98. S. S t r a s s 1 e r, P. W у d e r, Phys. Rev. 158, 319 A967).
99. R. A b e 1 e s, R. W. С о h e n, W. R. S t о w e 1 1, Phys. Rev. Lett. 18, 902 A967).
100. R. H. P a r m e n t e r, Phys. Rev. 166, 392 A968).
101. R. S. Thompson, А. В a r a t о f f, Phys. Rev. 167, 361 A968).
102. А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 44, 1675 A963).
103. J. Lowell, Cryogenics 5, 185 A965).
104. J. Bardeen, M. J. Stephen, Phys. Rev. 140. A1197 A965).
105. R. R. H a v e, Phys. Rev. Lett. 15, 865 A965); Phys. Rev. 168, 442 A968).
106. К. М a k i, Ann. of Phys. 34, 363 A965).
107. P. G. de G e n n e s, Solid State Commun. 3, 127 A965).
108. В. П. Г а л а й к о, ЖЭТФ 50, 1322 A966).
109. И. О. К у л и к, ЖЭТФ 50, 1617 A966).
НО. A. L. F e t t е г, Р. С. Н о h e n b е г у, P. P i n с u s, Phys. Rev. 147, 140 A966).
111. W. F i t e, A. G. R e d f i e 1 d, Phys. Rev. Lett. 17, 381 A966).
112. I. Peschel, Solid State Commun. 4, 495 A966).
113. L. Neumann, L.Tewordt, Zs. Phys. 191, 73 A966).
114. G. Eilenberger, Phys. Rev. 153, 584 A967).
115. P. Lebwohl, M. J. Stephen, Phys. Rev. 163, 376 A967).
- 105 —

116. Ch. С а г о 1 i, К. М а к i, Phys. Rev. 164, 591 A967).
117. H. T r a u b 1 e, U.. E s s m a n n, Phys. Stat. Sol. 20, 95 A967).
118. R. Leadon, H. S u h 1, Phys. Rev. 165, 596 A968).
119. D. Cribier, B. Jacrot, L. MadhavRao, B. Farnoux, Phys. Letl.
9, 106 A964).
120. R. H. К г о p s с h о t, V. A r p, УФН 78, 653 A962).
121. J. E. К u n z 1 e г, УФН 86, 125 A965).
122. В. П. К а р а с и к, Физика и техника сильных магнитных полей, изд-во «Наука»,
М., 1964.
123. С. Laverick, Cryogenics 5, 152 A965).
124. A. F. H i 1 d e b r a n d t, H. W a h 1 q u i s t, D. D. E 1 1 е m a n, J. Appl. Phys.
33, 1798 A962); A. F. H i 1 d e b r a n d t, D. D. E 1 1 e m a n, F. C. W "h i t m о г e,
R.Simpkins, J. Appl. Phys. 33, 2375 A962).
125. D.D.Elleman, A.F. Hildebrandt, P.Simpkins, F.C. Whitmo-
r e, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 309 A962).
126. F. R о t w a r f, R. С T h i e 1, S. H. A u t 1 e r, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 189 A962).
127. H. van В e e 1 e n, A. J. P. T. A r n о 1 d, R. de В г и у n Ouboter, J.J.M.
Beenakker, K. W. Toconis, Phys. Lett. 4, 310 A963).
128. Т. Е r b e r, Discovery 24, № 2, 10 A963).
129. F. B. S i 1 s b e e, J. W a s h g t, Ac. Sci. 6, 597 A916).
130. F. London, Superfluids, vol. I, New York, p. 152, 1950.
131. B. S. D e a v e r, W. M. F a i r b a n k, Phys. Rev. Lett. 7, 43 A961).
132. R. Doll, M. N a b a u e r, Phys. Rev. Lett. 7, 51 A961).
133. L. О n s a g e r, Phys. Rev. Lett. 7, 50 A961).
134. N. В у e r s, C. N. Y a n g, Phys. Rev. Lett. 7, 46 A961).
135. J. В ardeen, Phys. Rev. Lett. 7, 162 A961).
136. J. В. К e 1 1 e r, B. Z u m i n o, Phys. Rev. Lett. 7, 164 A961).
137. В. Л. Г и н з б у р г, ЖЭТФ 42, 299 A962).
138. R. D. P a r k s, Science 146, 1429 A964).
139. W. В г е n i g, Phys. Rev. Lett. 7, 337 A961).
140. R. D. P a r к s, J. M. M о с h e 1, Phys. Rev. Lett. 11, 354 A963).
141. А. В о h r, B. R. M о t t e 1 s о n, Phys. Rev. 125, 495 A962).
142. M. Peshkin, Phys. Rev. 127, 1865 A962).
143. M. P e s h к i n, Phys. Rev. 132, 14 A963).
144. B. B. Schwartz, L. N. Cooper, Phys. Rev. 137, A829 A965).
145. D. A. U h 1 e n b г о с к, В. Z u m i n o, Phys. Rev. 133, A350 A964).
146. R. H. W h i t e, Phys. Rev. 141, 241 A966).
147. A. L. F e t t e r, Phys. Rev. 147, 153 A966).
148. T. W о 1 f r a m, G. W. L e h m a n, Phys. Lett. 21, 631 A966).
149. M. S с h i с к, Phys. Rev. 166, 404 A968).
150. F. В 1 о с h, Phys. Rev. 166, 415 A968).
151. J. E. Zimmerman, A. H. Silver, Phys. Rev. 167, 418 A968).
152. И. К. К и к о и н, С. В. Г у б а р ь, ДАН СССР 19, 248 A938); J. Phys. USSR
3, 333 A940).
153. Я. И. Ф ренкель, В. Е. Рудницкий, ЖЭТФ 9, 260 A939).
154. L.J.F. В г о е г, Physica 13, 473 A947).
155. Н. М. Буйлова, В. Б. С ан д ом и р с к ий, УФН 97, 119 A969).
156. Э. Кинтон, У. Маклин, УФН 97, 495 A969).
157. Н. Б. Брандт, Н. И. Гинзбург, УФН 98, 95 A969).
158. Б. Т. Гейликман, В. 3. Кресин, УФН, 99, 51 A969).
159. П. Хоэнберг, УФН 102, 239 A970).
160. Дж. Бардин, УФН 102, 247 A970).

Глава 9
ПАРАМАГНЕТИЗМ СИСТЕМ СЛАБОВЗАИМОДЕИСТВУЮЩИХ
АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
§ 1. Теория парамагнетизма атомов и ионов
Выше уже отмечалось, что необходимым признаком парамагнитного
состояния вещества является наличие у его атомов собственных магнит-
магнитных моментов. Поэтому парамагнетизмом обладают, например, все атомы,
ионы и молекулы, у которых в электронной оболочке нечетное число элек-
электронов, ибо при этом полный спин электронной системы всегда отличен
•от нуля: атомы щелочных металлов, молекула окиси азота N0, свободные
радикалы органических соединений, например трифенилметан С(С6Н5K)
и др. Парамагнитны также все атомы и ионы с незаполненной внутрен-
внутренней d- или /-оболочкой (переходные элементы) и когда они свободны
(в газах) и, как правило, в растворах и кристаллах. Могут быть парамаг-
парамагнитными и молекулы с четным числом электронов (молекулярный кис-
кислород, органические бирадикалы). Большое число твердых и жидких
металлов также парамагнитно.
В общем случае, в отсутствие внешнего поля, дезориентирующее дей-
действие теплового движения, как правило, не допускает образования
в макротелах самопроизвольной упорядоченной ориентации собственных
атомных магнитных моментов. Ниже (см. гл. 17—19) будет показано, что
лишь при особых условиях обменное взаимодействие между носителями
атомных магнитных моментов и при Н = 0 может создать самопроизволь-
самопроизвольную ориентацию, т. е. ферро- или антиферромагнитное состояние.
В парамагнетиках намагниченность возникает и начинает расти
лишь с включением и увеличением напряженности внешнего магнитного
поля. Если поле не очень велико, так что энергия элементарных магне-
магнетиков в поле, равная по порядку величины \хвН, мала по сравнению с их
средней тепловой энергией кТ, т. е. \хбН <^ kTt то намагниченность воз-
возрастает прямо пропорционально величине поля:
¦* *~ ЗСпм-" ,
где парамагнитная восприимчивость %пм не зависит от поля, но сильно
зависит от температуры. Опыт в ряде случаев подтверждает этот общий
вывод. Однако наряду с этим есть много случаев, когда парамагнитная
восприимчивость практически не зависит от температуры (например,
у щелочных металлов, см. гл. 11).
1. Классическая теория Ланжевена. Первая теория парамагнетизма была раз-
развита Ланжевеном [1] [см. также Ван-Флек A932), Введенский и Ландсберг A929)]
в рамках классической статистической теории. В этом первом варианте теории не учи-
учитывалось взаимодействие между атомами и пространственное квантование, т. е. рас-
рассматривался идеальный классический газ магнитных стрелок.
В гл. 7 при выводе формулы G.3) для ларморовской частоты [см. также B.38)]
мы видели, что в случае свободного атома магнитное поле Н не изменяет угла между
орбитальным магнитным моментом атома fi и направлением вектора Н, а лишь приво-
приводит к прецессии орбиты вокруг поля Н. Таким образом, непосредственное действие
магнитного поля на свободные атомы приводит лишь к возникновению в них диамаг-
диамагнитного момента. Однако если учесть взаимодействие между атомами, то оказывается
возможным и парамагнитный эффект, т. е. изменение ориентации магнитных моментов
атома по отношению к полю. Это имеет место даже в случае идеальных газов, где не
- 107 —

учитываются явно межатомные взаимодействия. Однако неявно они учитываются
в столкновениях атомов друг с другом при их хаотическом тепловом движении. Система
считается идеальной, если время удара туд (когда атомы взаимодействуют) значительно
меньше времени свободного пробега тпроб (когда атомы практически свободны):
тУд ^ тпроб- При каждом столкновении атомов направления их магнитных моментов,
вообще говоря, могут меняться: Д(х Ф 0. Если магнитное поле отсутствует (Я = 0),
то термодинамически равновесное суммарное изменение векторов магнитного момента
атомов по всему газу, в силу хаотичности теплового движения, будет равно нулю:
2 Д(х = 0 (газ не может намагнититься под влиянием тепловых столкновений). Если
же газ поместить в поле, то он намагнитится. Это произойдет .потому, что, как мы ви-
видели, энергия электронов атома в поле тем меньше, чем меньше угол между магнитным
моментом атома \х и полем -НГ(см. § 5 гл. 5). В статистической физике это учитывается
теоремой Больцмана, согласно которой вероятность данного состояния атома в системе,
находящейся в термодинамическом равновесии, тем больше, чем меньше энергия ато-
атома. Таким образом, в результате столкновений атомов в газе при Я Ф 0 они будут
изменять свои состояния главным образом так, чтобы при этом угол между их магнит-
магнитным моментом fi и полем ЯГ уменьшался. Вероятность таких процессов определяется
в классическом случае, согласно E.23), больцмановским фактором ехр (—Ай/кТ) —
= ехр (\iHlkT). Отсюда сразу видно, что интенсивность всего процесса определяется
величиной отношения двух энергий: энергии относительно поля —fi-fl" и средней
тепловой энергии кТ (см. ниже).
Обозначим через д угол между магнитным полем Н и вектором атомного магнит-
магнитного момента р, а через tp — азимут вокруг направления поля. Тогда энергия атома
в магнитном поле будет равна —\iH cos d и статистическая сумма (интеграл) E.21)
примет вид
Sh
u,H \-\N
V) J "
Часть выражения (9.1), зависящая от кинетической энергии, несущественна для
намагниченности, так как не зависит от поля. Доля термодинамического потенциала
F1 [см. E.4)], зависящая от поля, согласно E.20) равна
Ю- (Я, Т)= -NkT In (i^ sh ^L) , (9.1a)
и по E.22) будем иметь для намагниченности
Ч?)- (9-2>
Здесь L (х) = cth x классическая функция Ланжевена; ее предельные значения:
L @) = 0 и L (сю) = 1. При малых х имеем cth x «а 11х -{- х/3 и, следовательно, L (х) я,
я& 11х + xla — 11х я« х/3. В случае слабых полей, т. е. при (хЯ < кТ, из (9.2) следует
Лпм — н
Соотношение (9.3) дает теоретическое объяснение опытному закону Кюри F.5). При
очень низких температурах или сильных полях, когда цЯ > кТ, линейная связь
между / и Я нарушается и намагниченность, согласно (9.2), с ростом Я приближается
к своему максимальному значению N\i, т. е. к насыщению.
Полученный результат неявно учитывает квантовую природу атома самим фак-
фактом существования магнитного момента (i, определяемого квантом действия h.
Формула (9.2), полученная на основе классической теории, противоречит третьему
началу термодинамики. В простейшей форме этот закон сводится к тому, что энтропия
системы при Т -*- 0° К должна стремиться к нулю. Энергия системы относительно
внешнего поля равна % = — I-H; поэтому в силу (9.1а), (9.2) и E.2) для части энтро-
энтропии, зависящей от магнитного поля, будем иметь
=Nk hn(-^shx\— x (cthx—Ml , (9.4)
где ради упрощения записи введено сокращенное обозначение
При Т —> 0° К величина х стремится к бесконечности, а из (9.4) видно, что при
этом
— 108 —

Причина этого противоречия заключается в том, что в классической теории при выводе
•формулы (9.2) игнорируется пространственное квантование атомных магнитных момен-
моментов, при учете которого отпадает указанное противоречие.
До появления последовательной квантовой механики уточнение изложенной клас-
классической теории парамагнетизма сводилось: 1) к учету пространственного квантования
и 2) к учету взаимодействия между атомными магнитными моментами парамагнетиков.
2. Учет пространственного квантования. Чтобы учесть пространст-
пространственное квантование, достаточно принять, что в (9.1) величина cos ¦&,
согласно B.25), изменяется не непрерывно, а принимает дискретный ряд
возможных значений. Допустим для простоты, что каждый атом парамаг-
парамагнетика имеет один валентный электрон, участвующий в парамагнетизме,
и что имеется лишь два энергетических уровня соответственно со спино-
спиновыми квантовыми числами 1/2 и —1/2. Проекция магнитного момента
на направление внешнего магнитного поля для верхнего уровня будет
—?^б/2, а для нижнего +?^б/2. Тогда при температуре Т равновесные
относительные заселенности этих уровней будут
и
ех-\-е~х + ех-\-е~
где
2кТ •
Таким образом, намагниченность
где N—полное число атомов в единице объема парамагнетика. При
х <^ 1 th х « х; поэтому для намагниченности получаем
_ N
АкТ
¦а для восприимчивости
4кТ
Здесь фактор Ланде g = 2, а ^ = ]Лз^б по B.5), поэтому для %пм полу-
получаем классическую формулу (9.3).
В общем случае, когда имеется не только спиновый, но и орбиталь-
орбитальный момент, следует использовать формулу E.22). Замечая, что е„ =
= gmj\n^H, а статистический вес g—1, ее можно преобразовать к виду
"Ъ-ехр [ кт
(J^) (9.5)
где Bj (у) — обобщенная функция Ланжевена, называемая также функ-
функцией Бриллюэна [2]. Действительно, введем обозначение х = g\\,BH/кТ,
тогда сумму в (9.5) можно записать так:
+з
I = NgaE _ In ^ exp (mjx).
m.=-i
'С помощью формулы для геометрической прогрессии
- 109 -

получаем
и, используя формулу 2sh;r = ex— e~x, находим
т)
Это дает
/ = /0[^+icth(^l2/)-^cth(^)]=/0^B/), (9.5а)
где
кТ
При / —> оо (9.5) переходит в классическую формулу (9.2). Дейст-
Действительно, при / —> оо имеем cth(г//2/) « 2//г/ + • • •> следовательно,
Если элементарным носителем магнетизма в парамагнитных атомах
является электронный спин A = 0, / = s=.l/2), то число возможных
ориентации уменьшится до двух и (9.5а) примет более простой вид:
(9.56)
В случае слабых полей (\хвН<^,кТ) из (9.5) получаем
ЛПМ—
т. е. снова закон Кюри F.5) или (9.3) с заменой \x% на \x%g2j (j'-\-1).
Из (9.6) можно определить постоянную закона Кюри F.5), а именно:
lix%g2j(j + 1)]. (9.7)
Таким образом, зная из опыта С и универсальные постоянные к, N
и \лБ, можно определить эффективное число магнетонов рэфф, приходя-
приходящихся на один атом парамагнетика:
(9.8)
3. Квантовомеханическая теория (Ван-Флек) — общий случай. Стро-
Строгая квантовомеханическая теория парамагнетизма, развитая Ван-Флеком
[3] [см. также Кубо [4], Герлах [5] и Ван-Флек A932)], приводит внешне
к такому же выражению для парамагнитной восприимчивости (9.6),
как классическая теория и элементарная квантовая векторная модель
атома. Остановимся несколько подробнее на квантовомеханическом
выводе формулы для магнитной восприимчивости. При этом, в отличие
от рассмотрения, приведенного в гл. 5 и 7, энергию относительно магнит-
магнитного поля будем считать малой не только по сравнению с расстояниями
между энергетическими уровнями невырожденных состояний атома,
но также и по сравнению со средней тепловой энергией кТ (случай слабых
полей или высоких температур: \хвН <^ кТ); поэтому мы пока не будем
учитывать явления магнитного насыщения и в выражении магнитного
момента системы ограничимся только линейными членами относительно
магнитного поля. Подставляя выражение для энергии E.46) в статистиче-
статистическую сумму E.21), разлагая экспоненту в степенной ряд по малой
- 110 -

величине ixEH/kT и удерживая члены не выше второй степени относи-
относительно Н, находим *)
Z(H, Г)=2
п
-]}•
К'-К 2кт
(9.9)
Из простых соображений симметрии **) следует, что сумма
2 ехр (--§¦) (и | МП 71)== 0, (9.10)
п
т. е., другими словами, парамагнетик не обладает самопроизвольным
магнитным моментом. Таким образом, статистическая сумма (9.9) для
газа N частиц примет вид
+ s
<9Л1>
п'(фп) г=1
где через Z° обозначена статистическая сумма (9.9) при Н = 0, а через
z0 — полное число электронов в оболочке атома. Из (9.11) в силу E.30) в на-
наших приближениях {\УъН <С кТ) получаем для восприимчивости
27V ^ \(п\М\п)\г i %l v Ne2
Z'O) 2j %onl — %on exP\ kT j Z@Lme2 X
пфп'
X
Найденное общее выражение для магнитной восприимчивости системы
атомов или ионов носит название обобщенной формулы Ланжевена —
Дебая.
Первая сумма в правой части (9.12) дает вклад в восприимчивость
от ориентационного парамагнетизма, а вторая и третья суммы дают уже
знакомые нам [см. G.8)] вклады соответственно от ванфлековского поля-
поляризационного парамагнетизма и прецессионного диамагнетизма. Следуя
Ван-Флеку A932), придадим формуле (9.12) более простую форму. Обыч-
Обычно квантовым числам п и п' отвечают разности энергий %%.< — %%,, боль-
большие по сравнению с кТ, а состояние с п принимают за состояние с наи-
наименьшей энергией. Вторые индексы / или /' соответствуют внутреннему,
вращательному или спиновому квантовым числам, им обычно соответ-
соответствуют разности энергий ШпУ — $nj> сравнимые по величине или даже
*) Здесь под лиге' следует понимать полный набор квантовых чисел атома или
молекулы, например njm или nJmj.
**) А именно, если (п \ М^ \ п) Ф 0, то обязательно существует стационарное
состояние с той же самой энергией $?, но с z — проекцией магнитного момента —
другого знака, ибо при И = 0 энергия атома не зависит от «направления» вращения
электронов вокруг оси г.
- 111 -

меньшие, чем к Т. Третьи индексы т и т' соответствуют магнитному
квантовому числу, которое определяет ориентацию «орбиты» относительно
•оси квантования. Таким образом, различные компоненты (уровни) нор-
нормального (основного) мультиплета соответствуют фиксированному значе-
значению п и различным значениям / и т *). Для возбужденных мультиплетов
п ф п. Заметим здесь, что первые два из этих чисел (п и /) в общем слу-
случае символизируют каждое более чем одно квантовое число. Поэтому
п, j, т правильнее именовать индексами, а не квантовыми числами.
Таким образом, все дальнейшие расчеты имеют более общее значение и не
ограничены системами с тремя степенями свободы.
Энергия Шп (при Н = 0) не зависит от магнитного квантового числа
т, и поэтому Enjm -^-Snj. В формуле (9.12) можно перейти от матричных
элементов оператора слагающей момента М(хт к оператору абсолютного
значения момента Mw> согласно общей формуле («условие спектроскопи-
спектроскопической устойчивости»)
2 \(njm\M<zm\n'j'm')\* = \ 2 \{щт\М^\п'Ут')\\ (9.13)
т, т' т> т'
где
\(njm\Mi0>\n'j'm')\2 =
= | (njm | МТ\п']'т') |2 +1 (njm \ Mf\n'j'm) |2 +1 (njm \ Mf \ n'j'm') |2.
Для пояснения доказательства формулы (9.13) [см. Ван-Флек A932)]
рассмотрим унитарное преобразование волновых функций и операторов
в квантовой механике. Пусть мы имеем систему ортонормированных
и волновых функций tynjm (r) и какой-нибудь оператор А ; матрица этого
оператора в представлении данных волновых функций имеет вид
(njm | А | n'j'm'H = f i|;?*jm (r) A^n'j'm' (r) dt>.
Если теперь с помощью матрицы унитарного преобразования S (njm; n'j'm')
перейти к новым волновым функциям
tynmj(r)= S S(nmj; n'm'j')ty°n,m,;,(i'),
n'j'm'
то матрица оператора А в новых функциях tynmj будет связана с матрич-
матричными элементами в старых функциях формулой
(njm\A\n'j'm') =
Е s* {njm; n"j"m") (n"j"m" \ A \ n'"j'"m'"H S (n'"j'"m'"; n'j'm').
mimmm
п з т ; nmjfffm'
Рассмотрим случай вырожденного состояния с данной энергией, т. е.
с данным п, но различными /, т. Тогда матрица S будет диагональна
по в и мы будем иметь конечные суммы для преобразованных функций:
tynjm ('*)= zj S(njm; nj'm')tynj>m>(f),
i'm'
и поэтому
(njm\A\n'j'm') =
= S S* {njm; nj"m") (nj"m" \ A \ n j"'mm\ S (n j"'m'"; n'j'm').
*) Здесь использованы обозначения; и m (точнее, raj) для одноэлектронного ато-
атома; следует иметь в виду, что все последующие формулы справедливы и для много-
злектронных атомов. Для этого следует лишь совершить замену jm —>- Jnij.
- 112 -

Отсюда находим
2 \(njm\A\n'j'm')\* =
jm; j'm'
= 5j [S* (njm; nj"m") (nj"m" \ A \ n'j'"m'"H X
[v.5"vmv
У. о yn ] m ; n ] m ) Ь yn ] m ; n ] vmv) (ra/1 vmiV | .4 | re / vmvH X
Условия ортонормировки для унитарных матриц гласят:
2 S* (га/т; га/'/ге") 5 (nj^m™; njm) = б (/"/re'; j™miv),
jm
тогда из второго равенства, заменяя njm, j"m", /IV/reIV соответственно
на n'j'm', /vmv, /"/те", получаем
2 f (njm\ A | n'j'm') |2 = 2 | (re//re| J. | n'j'm'H12. (9.13a)
jm; j'm' jm; j'm'
Применим это равенство к случаю, когда на атом не действует магнитное
поле и заданы nj, т. е. когда мы имеем пространственное вырождение.
Магнитные квантовые числа т и т' соответствуют разным ориентациям
орбит относительно оси квантования. Каноническое преобразование от
tynjm K tynjm означает просто поворот осей, при котором ось квантования
переходит от одного направления к другому. Ясно, что если оператор А
есть вектор, то двойная сумма в (9.13а) в силу симметрии имеет то же самое
значение. Если вместо А взять любое из трех слагаемых Ах, Av, Az и затем
усреднить (9.13а) по всем возможным направлениям для оси квантова-
квантования, то после усреднения (при Н = О) ни для какой из осей х, у, z не будет
никакого преимущества. Но мы доказали, что выражение в виде (9.13а)
инвариантно по отношению к выбору оси квантования и, следовательно,
усреднение по всем направлениям для этой оси не обязательно. Поэтому
(9.13а) всегда имеет одинаковое значение для Ах, Ау и А2, ив результате
будем иметь
2 \(njm\Ax,v.2\n'j'm')\* = ±- 2 \(nmj\A\n'j'm')\\
т, т' т, т'
что и совпадает с формулой (9.13). Условие (9.13) в классическом пределе
л
аналогично условию (х2) + (у2) + (z2) = -~{r2) при наличии централь-
* о
ной симметрии.
При выполнении условия (9.13) формула (9.12) примет вид
- 2 I (nJ'm I -/^г<0) I nJm) I2 exP ( —Yi
n,j,m
+ Щт 2j ftV (и'/'; и/) еХр 1 W)~
п, 1, т
п', ]', т'
2 2 (njm\xi+yl\njm)exv ( —-^) • (9.14)
n, j, m i=l
Здесь во второй сумме штрих означает, что исключены члены с /' = /, но член
с п'= п сохранен, a hv(n'j';nj) = %n'j' — Snj- Далее мы будем рассматри-
рассматривать случай, когда
\hv(n'j';nj)\ykT (п'фп), (9.15а)
\hv(n'j';nj)\<^kT (п'фп); (9.156)
8 СВ. Вонсовский — 113 —

условие (9.15а) означает, что расстояние между соседними мультиплетами
(га' = п + 1) велико по сравнению с кТ, а условие (9.156) означает, что
расстояния между соседними уровнями внутри мультиплета (/' = / + 1,
га' = п) малые по сравнению с кТ. Если эти условия выполняются, то чле-
члены с п' = п из второй суммы (9.14) можно несколько преобразовать
[Ван-Флек A932)]. Для этого рассмотрим два каких-то слагаемых из вто-
второй суммы (9.14) с п' = п, а именно / = jt, m = mb /' = j2, m' = m2
и j = /2» m = m2> У = ju m' = mi> T- e-
hv (h; h)
2
2 | (и/ада | Jtf(Q) | щ^) p / 8Яй
4 Av (n/i; «У вХр \ AF
В числителях обеих дробей квадраты модулей матричных элементов
оператора М<0) в силу его самосопряженности одинаковы, знаменатели
же их отличаются лишь знаком. Величину Шпз2 можно представить в виде
Шпп + ^V (nh\ nh), разложить экспоненту второй дроби согласно(9.15б)
по степеням малой величины
fry (re/i; nj2)
____
кТ
и ограничиться членами не выше первой степени w. Тогда вместо (9.16)
будем иметь
nj2m2) |2 ехр ( -
nj2m2) |2 +1 (n/2m21 M<o> | ny-lini) |2] ехр ( --$) . (9.17)
Используя (9.17), формулу (9.14) можно представить в виде*)
27V
ZJ h\(n';n) P\ AT
jm; п'з'т'
(п'фп)
2 2И|4 + ^|/™)ехр(|) (9.18)
Здесь /jv (га';"; га/) заменено на hv (n'; n), так как в силу условия (9.156)
«высокая частота» v (n'; га) слабо зависит от индексов /, определяющих
расстояние уровней внутри мультиплета. Займемся дальнейшим упроще-
упрощением записи (9.18). Остановимся сначала на первом, так называемом низко-
низкочастотном слагаемом (определяющем восприимчивость ориентационного
парамагнетизма), поскольку в нем производится суммирование по груп-
группам близких уровней с п' = п внутри одного мультиплета. По правилам
умножения матриц **) имеем
2 | (МI ^<0) I j'm') |2 = (/ | МТ + Щт + m0)i | /) = (/1 .М@J1 /). (9.19)
I'm'
*) При этом мы объединяем члены с п = п из второй суммы с членами первой
суммы (9.14). Суммирование по п в первой, второй и третьей сумме опускается в силу
условия (9.15а).
**) Это правило гласит: (п" | АВ | п) = ^ (л" \ А | п') (п' | В \ п). В данном
п'
случае имеем п" — п и А = В.
— 114 —

В (9.19) индекс т опущен, ибо абсолютная величина момента не зависит
от его пространственной ориентации. Таким образом, низкочастотная
часть восприимчивости (9.18), т. е. восприимчивость ориентационного
парамагнетизма, равна
С 2 U I ЛГ'°» 11) ехр ( - Щ = Ц-, (9.20)
где [j,2 — сокращенная запись квадрата низкочастотной части вектора
магнитного момента. Двойная черта сверху означает, что усреднение
ведется дважды — квантовомеханически в (/ | М<°>2 | у) и статистически
по различным состояниям атомов. В силу известного «правила сумм»
[см., например, Бете и Солпитер (I960)] квантовой механики выражение,
входящее в «высокочастотную»*) (ванфлековскую) часть восприимчи-
восприимчивости (9.18),
2 | (nfm | М<°> 1 n'f'm') |2
З'т'
не зависит от индексов /, т. Поэтому ванфлековское слагаемое в (9.18)
примет вид [см. также (9.15а)]
27V v r|(re|JT<o>|re')P / l^-i_2JV v \(п\Мт\п')\г
"гшГ Zj L hv(n'; re) ехр \ ~W) ]~~Т 2л hv («'; в) ' ^^1)
п'(фп) '(ф)
Диамагнитная часть, т. е. третье слагаемое в (9.18), согласно G.6) или
G.7) равна
2<* (922)
г=1
Таким образом, в силу (9.21) и (9.22) ванфлековская высокочастотная
и диамагнитная части восприимчивости в нашем приближении не зависят
от температуры.
Введем сокращенное обозначение
l |(ге'Т:|ге:)|2#^2(Г|). (9.23)
3 ^-l hv (п ; п)
п'(фп) г=1
Тогда, используя (9.20) и (9.23), вместо (9.18) получим
Взамен магнитного момента \х удобно ввести величину ^эфф^б', тогда (9.24)
примет вид
Здесь Рэфф означает низкочастотную часть магнитного момента, измерен-
измеренную в магнетонах Бора.
Магнитный момент атома в общем случае состоит из двух частей —
орбитальной и спиновой. В различных стационарных состояниях атомов
доля этих двух типов моментов различна. Поэтому, хотя и принято гово-
говорить о «постоянных» магнитных моментах атомов, следует помнить, что-
в ряде случаев они могут меняться с температурой.
4. Частные случаи. При сравнении общей формулы (9.24) или (9.25)
с опытными данными ее надо записать в более конкретном виде, чтобы
*) Эта часть, согласно (9.15а), включает в себя «частоты»
nv (re'; re) > кТ.
— 115 — &*

в нее входили величины, непосредственно измеряемые на опыте. Для
этой цели удобно рассмотреть три частных случая, когда энергетические
разности hv (/, /') мультиплетной структуры электронных уровней
атомов а) малы по сравнению с кТ, б) велики по сравнению с кТ и в) срав-
сравнимы с кТ.
а) Случай узких мультиплетов [hv (/,/') <^ кТ].
В этом случае высокочастотная часть парамагнитного момента отсутствует
[Ван-Флек A932)].
На первый взгляд это утверждение может показаться непонятным,
поскольку при условии hv (/, /') <^ кТ знаменатели слагаемых второй
сулмы правой части формулы (9.14) будут малы, а поэтому сами слагае-
слагаемые велики. Однако в силу этого же условия узости мультиплетов можно
произвести разложение
кт
Тогда в первом приближении вклад в восприимчивость от второй суммы
в (9.14) исчезает, поскольку
I (nJmj | Л/«» | nJ'm'j) |2
-2j ftv(re/; re/') ~ '
J, J'
так как hv (nJ, nJ') = —hv (nJ', rc/).
Приведем наглядное физическое объяснение приближенного исчезно-
исчезновения ванфлековского парамагнетизма для атомов с узкими мультиплетами
[Киттель A963)]. Рассмотрим атомную систему, не имеющую в основном
состоянии, описываемом волновой функцией | 0 ) *), собственного маг-
магнитного момента @ | Mz | 0) = 0. Недиагональные матричные элементы
Мz между основным состоянием и возбужденными (и ф 0) предполагают-
предполагаются отличными от нуля: (п \ Mz \ 0) Ф 0, и соответствующая им разность
энергий равна Ап0 = Шп — Шо > 0. Тогда согласно теории возмущения
при слабом магнитном поле. {\лъН <С А„о) для возмущенной волновой
функции основного состояния в первом приближении получим
а возмущенные возбужденные функции будут иметь вид
Теперь диагональный матричный элемент оператора М2 в (возмущенном)
основном состоянии будет отличен от нуля и равен
а в возбужденном состоянии (п' \ Mz \п') — — 2# | (п \ Mz \ 0) |2/А„0.
Рассмотрим частные случаи: 1) А„о <^ кТ — случай узких мульти-
мультиплетов или низкочастотных матричных элементов. Относительное пре-
превышение числа атомов, находящихся в основном состоянии, по (9.5э)
приближенно дается выражением NAn0/2kT, и, следовательно, результи-
результирующая намагниченность равна
М _ Х^ 2Я I (» I -*г I 0) I2 ЛГД„0
„о
*) Здесь использованы дираковские обозначения для волновых функций | п)
и их сопряженных (п \ , где п — совокупность квантовых чисел, определяющих дан-
данное состояние.
- 1J6 —

а восприимчивость
Y 1 .
л~ кТ
Таким образом, мы пришли к обычному закону Кюри, хотя сам механизм
намагничивания обусловлен поляризационным эффектом Ван-Флека.
В случае свободных ионов появление намагниченности связано с их пере-
перераспределением между различными состояниями | п ). Любопытно отме-
отметить, что в выражении для % величины Ап0 выпадают.
2) В противоположном случае А„о Э> кТ (широких мультиплетов
или высокочастотных матричных элементов) все частицы находятся
в основном состоянии |0), следовательно,
т. е. мы имеем типичный случай ванфлековского парамагнетизма, не зави-
зависящего от температуры.
Если пренебречь также и диамагнитной восприимчивостью, которая
везде, как правило, мала по сравнению с парамагнитной, то останется
лишь низкочастотная часть. В силу малости (по сравнению с кТ) энергети-
энергетических разностей мультиплетной структуры атомы могут с большой
вероятностью находиться в состояниях с различными /' [поскольку
статистические факторы ехр ( — jFf) Для этих энергетически близких
состояний мало отличаются друг от друга]. С другой стороны, малость
энергий hv (/, /') позволяет считать, что связь орбитального и спинового
моментов атома мала по сравнению с их связью с магнитным полем. Это
эквивалентно предположению, что атом находится в сильном поле (эффект
Пашена — Бака), которое «разрывает» связь между векторами L и S,
квантовое число / теряет свой смысл и оба момента L и S квантуются
в поле независимо друг от друга. Однако этот же результат сохраняется
для случая слабых полей, когда «хорошим» квантовым числом является /.
[см. Ван-Флек A932)]. Поэтому энергия в поле принимает вид (mL + 2ms) x
X \хвН и выражение для дифференциальной восприимчивости по E.22)
равно
У.ПМ — ~gjj~ X
+L
X
m.o=-S
+L 17 +S О О-
exp(—кг-) Zi efP( Щ-)
(9.26)
в силу условия mL\iBII и m^^H <^ кТ находим, разлагая показательные
функции в ряд и удерживая в числителях и знаменателях лишь первые
неисчезающие члены,
Хпм- kT [2L + i ' 25 + 1 J { >
или поскольку
+L +S
2 ± l) и 2 mh^^BS+1)S(S+ 1), (9.28)
ms=-S
- 117 -

то для восприимчивости имеем
^^ (9.29)
причем
АфФ = [4?(? + 1)+?(?+1)]1/2. (9.30)
Таким образом, снова получается закон Кюри, но эффективное число
магнетонов рЭфф отличается от (9.8). Этот случай реализуется для ионов
элементов группы железа.
б) Случай широких мультиплетов [hv (/, /') ^>
^> кТ]. В этом случае почти все частицы должны находиться в наинизшем
энергетическом состоянии, ибо статистический фактор уже для первого
возбужденного нормального состояния (т. е. состояния с тем же глав-
главным квантовым числом, что и у нормального состояния, но с /' ф /
в силу условия hv (/, /') ^> кТ исчезающе мал. Таким образом, низко-
низкочастотная часть восприимчивости имеет классическую форму (9.6). Однако
в этом случае отлична от нуля и высокочастотная часть (диамагнитную
часть по-прежнему считаем равной нулю), которая имеет вид
Г
U
+
-l; J)+hv(J-i; J)
где*)
F (J) = ^-[(S + L+ If - Л][Л -(S - Lf], (9.32)
и, следовательно, окончательно имеем
(9.33)
Этот случай реализуется для большинства ионов элементов из группы
редких земель.
Остановимся подробнее на выводе формулы (9.31). Из формулы (9.12)
видно, что вклад второго приближения теории возмущения (его высоко-
высокочастотной части Na без диамагнитного слагаемого) в общем виде можно
записать так: •
== Z<o> ^Л hv (п; п') * \ кТ ) ' \ • )
п, п'
где согласно E.40) и E.38)
Wa) = -^-(Lz + 2Sz); (9.35)
здесь Lz и 2SZ— соответственно операторы z-й слагающей суммарного
орбитального и спинового момента в единицах Й. Учитывая, что энер-
энергия Шп зависит только от квантовых чисел п, J, в рассматриваемом
случае hv(J, J')^>kT для Na вместо (9.34) получим
+J
() hv(J;
П, J W.j=-J
\(Jmj\Lz + 2Sz\J-l, mj)\2l) /v « / %%j \
i hv(J; /-1) J/ / 2j 2l exp\ W) ~
I J J
2B/ + l)
n, J m T=—J
1, mj)|a-i
, /—1) _T
*) Эти члены эквивалентны зеемановским членам второго порядка (недиамаг-
(недиамагнитным).
- 118 -

Здесь использованы известные выражения [Блохинцев A961)] для матрич-
матричных элементов операторов Lz и Sz:
= —{J+l,mj\Lz\J,mj) = f (J, mj) =
(J+L+S+2) (-L+S+L) (J+S-L+i) (J+L-S+i) (/+Wj + 1) (/-mj+1) 14*
J
= J=|L~S1
(9.37)
в) Случай средних мультиплетов [hv(/,/') ж кТ].
В этом случае можно принять, что полное число атомов N разделяется
на группы с данным значением квантового числа /, т. е. N = Njt -j-
+ Nj2 + . . . Далее, можно считать, что Nj = N B/ + 1) ехр (—-§f),
где B/ + 1) дает число компонент мультиплета, a IS — энергия при
Н — 0 для состояния с данным /. В результате получаем следующую
формулу для восприимчивости:
(9.38)
где индекс / у величин g и а указывает, что фактор Ланде и частотная
часть восприимчивости а зависят от /.
Можно показать [Ван-Флек A932)], что в предельном случае узких
интервалов мультиплетной структуры формула (9.38) переходит в (9.29).
Действительно, если приближенно можно пренебречь зависимостью
Ш° от /, то можно целиком освободиться от экспоненциальных членов
в знаменателе и в первом слагаемом числителя в (9.38), предположив для
упрощения, что отсчет энергии ведется от состояния с / = 0. Второе
слагаемое в числителе (т. е. a.j) вносит некоторое усложнение в эту
процедуру, поскольку оно стремится к бесконечности для очень узких
мультиплетных интервалов, ибо при этом величина hv (J ± 1,/) в (9.31)
стремится к нулю. Однако здесь можно воспользоваться разложением
по степеням (Sj+i — ШУIкТ, аналогичным тому, которое было исполь-
использовано при переходе от (9.18) к (9.20). Это дает в результате
N
ЗкТ
Подставляя сюда F (/) из (9.32) и gj из B.21), а также выполняя элемен-
элементарные суммирования (типа (9.28)], найдем, что (9.39) переходит в (9.29).
Вообще же (9.38) приводит к температурной зависимости % (Т), отлич-
отличной от классической типа (9.20). Естественно, что сравнение формул (9.33)
и особенно (9.38) с опытом требует количественного определения энерге-
энергетических интервалов мультиплетов hv (J, J ± 1). В принципе их можно
определить непосредственно по тонкой структуре атомных спектров.
К сожалению, это не всегда удается сделать практически, особенно
в случае парамагнитных ионов в жидких и твердых растворах. Поэтому
желательно, конечно, иметь хотя бы теоретическую оценку этих теоре-
теоретических параметров.
— 119 —

§ 2. Основные опытные данные
1. Одноатомные парамагнитные газы. Приведенные выше формулы
относятся, строго говоря, к случаю одноатомных газов, в которых меж-
межатомное взаимодействие очень мало. К сожалению, однако, обычные одно-
одноатомные газы, которые существуют в естественном состоянии (при нор-
нормальных температурах и давлении), имеют замкнутую электронную обо-
оболочку (инертные газы) и поэтому диамагнитны. Пары щелочных металлов
хотя и являются парамагнитными, но упругость этих паров при нор-
нормальных температурах ничтожна. Измерения же при высоких температу-
температурах (« 500° С) технически весьма затруднительны и неточны, ибо сам
парамагнитный эффект очень мал (~ Т'1). Тем не менее для паров калия
Герлах [5] произвел наблюдения [см. также Ван-Флек A932)] и показал,
что, например, для паров калия в интервале температур от 600 до 800° С
и соответственно в интервале давлений от 0,5 до 300 мм рт. ст. атомная
парамагнитная восприимчивость подчиняется закону Кюри С/Т, где
С = 0,38. Естественно допустить, что нормальное состояние атома калия
есть 2S, т. е. имеется всего лишь один валентный электрон с нескомпенси-
рованным спиновым моментом, тогда по (9.29) %пм = Ы\кг1кТ = 0,372/Г.
Таким образом, согласие между теорией и опытом достаточно хорошее *).
Кубо [4] развил общий статистико-механический метод для расчета
термодинамически равновесных и кинетических коэффициентов, который,
в частности, можно в принципе применить и для расчета статической
парамагнитной восприимчивости. Однако именно в статическом случае
при конкретных расчетах метод Кубо вряд ли будет иметь существенные
преимущества перед изложенным выше методом расчета по Ван-Флеку
A932). О методе Кубо для расчетов в теории парамагнитного резонанса
(ЭПР) см. ниже гл. 13.
Все же приходится констатировать, что опытных данных о восприим-
восприимчивости парамагнитных одноатомных газов пока еще совершенно недо-
недостаточно, экспериментальная проверка изложенной выше теории до сих
пор остается одной из актуальных проблем магнетизма.
Кроме работ Герлаха и Лерера с калием, имеется еще работа Невги
[7] с паром таллия, который также парамагнитен. Скотт и Кромвелл [8]
измеряли парамагнитную восприимчи&есть газообразного атомарного
йода. Все эти эксперименты очень сложны и недостаточно точны. Более
«точным» экспериментальным доказательством парамагнетизма одноатом-
одноатомных газов являются опыты Штерна и Герлаха [см. Блохинцев A961),
а также монографию Фрезера A931)].
2. Ионы редкоземельных элементов. В настоящее время лучше всего
экспериментально изучены парамагнитные свойства ионов редкоземель-
редкоземельных элементов от церия Се (Z = 58) до иттербия Yb (Z = 70), соединения
(соли и растворы солей) которых являются сильнопарамагнитными веще-
веществами, подчиняющимися простым законам «атомного» парамагнетизма.
Последнее связано с тем, что в этих веществах практически всегда ответ-
ответственными за парамагнетизм являются ионы редкоземельных элементов,
а именно результирующий магнитный момент недостроенного 4/-слоя
электронной оболочки этих атомов. Электронная конфигурация наруж-
наружной части оболочки атомов редких земель имеет вид
Естественно считать, что замкнутые внешние электронные оболочки
Es25pe) достаточно хорошо экранируют недостроенную и магнитноактив-
*) Восприимчивость калия измерял также Лерер [6], который нашел рэфф =
= 3,04 с точностью до 10%. Поскольку температуры опытов были высокие, то можно
воспользоваться теоретической формулой (9.30), которая при L = 0 и 5 = 1/2 дает
для калия р|фф = 3,00. Таким образом, имеем хорошее согласие теории и опыта.
- 120 —

ную 4/-оболочку от влияния соседних атомов, и поэтому эти атомы (или
ионы) могут вести себя в магнитном отношении подобно атомам разрежен-
разреженных (идеальных) газов. На такую заэкранированность 4/-слоя от внеш-
внешних влияний соседних атомов указывает сходство химических свойств
и то, что полосы поглощения в спектрах и магнитная восприимчивость
лишь весьма незначительно зависят от изменения ((окружения» редкозе-
редкоземельного иона при переходе от одного соединения к другому или от рас-
раствора к твердой соли. В большинстве случаев ионы редких земель трех-
трехвалентны (отдают в кристаллические связи и т. п. три валентных элек-
электрона Ы1 и 6s2).
Первая детальная работа по расчету парамагнитной восприимчивости
ионов редких земель принадлежит Дорфману [9]. Затем эта работа была
продолжена Хундом [10] и
Ван-Флеком A932). На
рис. 9.1 приведены опытные
данные для эффективного
магнитного момента ионов
редких земель, который оп-
определялся по формуле (9.29):
(9.40)
Кружки с вертикальными
отрезками на графике по-
показывают разброс точек по
данным различных исследо-
исследований [11—13]. Проведена
также теоретическая кри-
кривая, для которой воспри-
восприимчивость %пм в формуле
(9.40) рассчитывалась по фор-
формулам Ван-Флека (9.24). Для
большинства элементов оказалось возможным, в великолепном согласии с
опытом, пользоваться для %Пм упрощенными формулами (9.6) и (9.31), полу-
полученными в предположении, что расстояния между соседними энергетиче-
энергетическими уровнями мультиплетной структуры велики по сравнению с кТ.
Значения же квантовых чисел /, S и L для основного состояния опреде-
определяются из спектроскопических соображений по Хунду. Для двух эле-
элементов — самария Sm (Z = 62) и европия Eu (Z = 63) — это предполо-
предположение не выполняется; энергетический спектр электронной оболочки
этих атомов таков, что hv (/, /') ж кТ) *). Поэтому в указанных двух
случаях приходится пользоваться более сложной формулой (9.38). Тем*
пературная зависимость %пм для этих ионов также отличается от закона
Кюри и при не очень высоких температурах может быть хорошо аппрок-
аппроксимирована формулой (9.38) **).
Исследования на солях показали, что парамагнитная восприимчи-
восприимчивость ионов Gd3+, Tb3+, Dy3+, Ho3+ и Ег3+ подчиняется закону Кюри (9.6).
Однако, как показали Кук и др. [18], например, для сульфата диспрозия
при очень низких температурах (^ 3° К) необходимо учитывать диполь-
10
<?
6
2
п
/
!
)
\
I
I
I
I
I
Г
\
— Теория Хунда
— Теория Ван - <pj,
\
Опд
/т
чкоу
\
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72Z
U Се Pr Nd Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tu Yb Lu
Рис. 9.1. Атомный эффективный магнитный момент рд^лу
(в магнетонах Бора) ионов рекдоземельных элементов как
функция атомного номера Z.
*) В некоторой степени это относится к неодиму Nd (Z = 60) и, по-видимому,
не встречающемуся в естественном состоянии в природе, но полученному искусственно
радиоактивному элементу прометию с Z= 61. Более подробно этот вопрос освещен
в монографиях Ван-Флека A932), Селвуда A958), а также в работах Франка [14],
Джадда [15] и Уриу [16].
**) Орбах и Пинкус [17] получили поправочный член для ванфлековского
парамагнетизма иона Еи3+, который изменяется с температурой (~У4).
- 121 -

дипольное взаимодействие магнитно активных ионов. Восприимчивость
же ионов Се3+, Pr3+, Nd3+, Tu3+ и Yb3+ подчиняется закону Кюри —
Вейсса (9.47) (см., например, работы Коэна и Дюкло [19], Худсона и Хос-
лера [20], Хельвега и др. [21, 22]). Янус и Дрожжина [23] исследовали
парамагнитные свойства наиболее чистых (в смысле количества ферромаг-
ферромагнитных примесей) образцов Се и Рг в твердом состоянии и нашли, что эти
редкоземельные металлы подчиняются закону Кюри — Вейсса. Эффек-
Эффективные атомные магнитные моменты оказываются несколько меньшими,
чем наблюдается для трехвалентных ионов при измерениях с солями
и получается по теории Ван-Флека. Это вполне может быть качественно
объяснено наличием неизбежных ферромагнитных примесей, а также
и тем, что валентные электроны в металле, образующие газ электронов
проводимости, имеют иные магнитные свойства, чем в солях и растворах;
кроме того, влияние электрического поля кристалла на орбитальные
моменты 4/-слоя в случае металла и соли может быть совершенно различ-
различным. Технические трудности в получении чистых и больших образцов
редкоземельных металлов до сих пор не давали возможности в широких
масштабах поставить их магнитные исследования, хотя изучение маг-
магнитных свойств этих металлов, особенно при сверхнизких температурах,
представляет очень большой интерес (см. ниже гл. 20).
3. Парамагнитное насыщение. До сих пор предполагалось, что
напряженность магнитного поля мала, так что намагниченность растет
линейно с полем. Для предельного случая hv (/, /') ^> кТ не представ-
представляет большого труда, не раскладывая экспоненту в ряд по степеням пока-
показателя g\iBH/kT, получить точное выражение для / (Н), которое соглас-
согласно (9.5) имеет вид
/ (Я, Т) = NJg^Bj (-%?-) • (9.4»
Для другого предельного случая, hv(J, J')<^kT, вместо (9.41) получаем
(9.42)
Эта формула, однако, не используется, ибо при низких температурах,
когда можно наблюдать на опыте явление насыщения, не выполняется
предположение hv (/, /') «^ кТ. При больших / (9.41) переходит в клас-
классическую функцию Ланжевена (9.2). Величина насыщения, согласно (9.41),
при Н —*- оо равна [см. (9.8)]
= NJgliB = NJ1U (J + 1)-1/2 рьффцв. (9.43)
Эта величина меньше, чем дает классическая формула, из-за множителя
[//(/ + l)]1^2, что является следствием соотношения неопределенности
для компонент момента количества движения электрона [Ван-Флек
A932)] *).
Наилучшее совпадение теории с опытом было получено при низких
температурах Вольтьером [24], Вольтьером и Камерлинг-Оннесом [25]
для твердой соли Gd2(SO4K#8H2O. В этом случае для иона Gd3+ имеем
L¦ = 0, / = S = 7/2 и формула (9.42) принимает вид
. (9.44)
*) Действительно, согласно квантовой механике z-слагающая момента количе-
количества движения имеет максимальное значение JK, но при этом х- и ^-слагающие
отличны от нуля, так как модуль вектора момента количества движения равен
{/ (/ + 1)]Х^2Й- Следовательно, даже при максимально возможной параллельной ориен-
ориентации магнитных моментов насыщение оказывается меньше того значения, которого
можно было ожидать с точки зрения грубых классических представлений.
— 122 —

Аналогичные измерения на этой же соли провел Генри [26], который
также исследовал гидратированные соли хрома KCr(SO4J*12H2O и железа
FeNH4(SO4J-12H2O. В этих солях орбитальные моменты ионов Сг3+
и Fe3+ заморожены, а спиновые моменты соответственно равны S = / =
= 3/2 и 5 = J = 5/2. На рис. 9.2
приведены теоретические кривые и
экспериментальные точки для этих
трех солей по данным работы Генри
[26]. Совпадение весьма хорошее.
Подобные же результаты для суль-
сульфата диспрозия получил Беккерель
и др. [27], см. также [28, 29].
4. Элементы й-переходных групп
и их ионы *). Как уже отмечалось,
кроме редкоземельных элементов есть
еще четыре группы элементов с внут-
внутренним незаполненным d-слоем элект-
электронной оболочки атомов: 1) группа
железа: от скандия Sc (Z = 21) до
никеля Ni (Z = 28) с незаполненной
Зй-оболочкой; 2) группа палладия:
от иттрия Y (Z = 39) до родия Rh
(Z = 45) с незаполненной Ы-обо-
лочкой; 3) группа платины: от люте-
лютеция Lu (Z=71) до платины Pt(Z=78)
с незаполненной 5й-оболочкой;
4) группа актинидов: от радия
Ra (Z=88) до урана U (Z=92) с неза-
незаполненной 6й-оболочкой **). Однако,
в отличие от редкоземельных эле-
элементов, незаполненный d-слой элект-
электронной оболочки в атомах элементов
этих групп лежит ближе к перифе-
периферии оболочки и поэтому не так хорошо
заэкранирован от внешних влияний.
Значение эффективных магнитных моментов этих ионов также меньше,
чем у ионов редких земель, хотя бы потому, что в данном случае ответ-
ответственным за парамагнетизм является d-слой, имеющий 10 электронных
«мест», в то время как в электронной оболочке редкоземельных атомов
магнитный момент создается 4/-слоем, имеющим 14 «мест».
Таким образом, в случае ионов группы железа приходится больше
считаться с влиянием «окружения» на магнитное поведение ионов. При
этом оказывается, что спиновая и орбитальная части магнитного момента
ведут себя различным образом. Наилучшее совпадение между теорией
и опытом получается, если допустить, что орбитальный магнетизм совер-
совершенно отсутствует и весь магнетизм обусловлен одними электронными
спинами. Это явление называют «замораживанием» электронных орбит
под влиянием электрического поля внутри кристалла (см. ниже гл. 10).
В этом случае согласно (9.29) восприимчивость
о 1,30 И
» 2,00 'К
» 3,00 'К
о 4,21 'К
Функция
бримюэна
20 30
Н/Т, 10 ~3 гаусс/град
Рис. 9.2. Сравнение экспериментальных зна-
значений магнитного момента р,
эфф
(в магнето-
пах Бора) в зависимости от отношения Н/Т с
теорией. Сплошные кривые — теоретические,
вычисленные при помощи функции Бриллюэ-
на (9.42). I — хромо-калиевые квасцы; II —
железо-аммониевые квасцы; III — сульфат
гадолиния. Различные обозначения экспери-
экспериментальных точек соответствуют разным тем-
температурам опыта (по данным работы [26]).
45E
(9.45)
*) См. также гл. 10.
**) Для ионов эти группы имеют несколько иной вид. Так, например, группа
железа распространяется от иона скандия Sc3+ до иона цинка Zn2+. Число электронов
в Зй-полосе при этом изменяется от 0 до 10. К группам актинидов следует еще доба-
добавить трансурановые элементы (Z > 92).
- 123 —

и эффективный магнитный момент на атом
Таким образом, если известна мультиплетность BS-\-l) или число непар-
непарных электронов п, то рЭфф можно вычислить по формуле
2. (9.46>
Таблица 9.1'
Данные для ионов группы железа приведены в табл. 9.1.
Эффективные магнитные моменты рэфф (число магнетонов Бора)
для ионов Зй-элементов.
Ион
Sc3+, Ti4+, V5+
Ti3+, V4+
Ti2+, V3+
V2+ Сг3+ Mn4+
Cr2+, Mn3+
Mn2+, Fe3+
Fe2+, Co3+
Co2+
Ni2+
Cu2+
Cu+, Zn2+
Число
Зсг-электро-
нов
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Основной
терм
ISO
w3/2
3F2
4/Г
/2
5jD0
3?L
*Fy2
3^4
2?>5/2
2S0
"Эфф
теория
0
1,73
2,83
3,87
4,90
5,92
4,90
3,87
2,83
1,73
0
эксперимент
0
1,77—1,79
2,76—2,85
3,82—3,86
3,68—3,86
f 4,00
4,80
I 5,0
5,2—5,96
5,4—6,0
5,0—5,5
4,4-5,2
2,9—3,4
1,8—2,2
0
Теоретические значения вычислены по формуле рэд,й)=[п (п + 2)]1^2 в предположении, что
орбитальные моменты «
заморожены».
Согласие между теорией и опытом здесь несколько хуже, чем в слу-
случае редких земель *). Для большинства этих ионов, благодаря явлению
электронного обмена (см. ниже гл. 10) и особенно действию кристалличе-
кристаллического поля со стороны соседних атомов, закон Кюри (9.3) практически
никогда не выполняется, и в данном случае имеет место закон Кюри —
Вейсса F.6) (см. Кидо и Ватанабе [32])
%пм ~
Здесь следует отметить, что закон Кюри — Вейсса (9.47), в отличие
от закона Кюри, имеющего, как известно, универсальное значение для
определенных интервалов полей и температур, не является столь общим.
Можно лишь сказать, что в определенной области температур (не очень
*) Отклонения от формулы (9.46) связаны в первую очередь с неполным эффектом
замораживания орбит благодаря спин-орбитальному взаимодействию и следствиям
из правил Хунда (см. Котани [30]). А именно для ионов с числом Зй-электронов мень-
меньшим чем пять спин-орбитальная связь делает векторы L и Л антипараллельными, и по-
поэтому Рэфф на опыте меньше, чем дает формула (9.46). Для ионов с числом Зй-электро-
нов большим пяти векторы L и S параллельны, и поэтому опытные значения рэфф
больше теоретических (см. также Ван-Флек [31]).
- 124 —

низких) формула (9.47) достаточно хорошо аппроксимирует опытную
зависимость восприимчивости от температуры. При более низких темпе-
температурах (ниже — 70° К) начинают
возникать низкотемпературные маг-
магнитные аномалии (криомагнитные ано-
аномалии), и восприимчивость при пони-
понижении температуры обычно начинает
возрастать медленнее, чем это следует
из формулы (9.47).
Одной из причин криомагнитных
аномалий и появления постоянной А
в формуле (9.47) может служить влия-
влияние неоднородных электрических по-
полей соседних ионов или ориентиро-
ориентированных диполей молекул растворите-
растворителя на орбитальный момент электро-
электронов. Эти поля вызывает расщепление
мультиплетных уровней при высоких
температурах, что приводит к появле-
появлению поправки А, а при низких темпера-
температурах — к заметным отклонениям от
формулы (9.47). На рис. 9.3 в качестве
примера приведены опытные данные
{см. точки на рисунке) измерений тем-
температурной зависимости %~г (Т) для
трехвалентных ионов Рг3+ и Nd3+; эти
данные хорошо согласуются с расче-
расчетом (сплошные кривые на рисунке)
Пенни и Шлаппа [33], в котором учтено расщепление энергетических
уровней ионов в электрическом поле кристалла (см. также гл. 10).
Исходя из общих представлений,
а лица . парамагнитную восприимчивость мож-
Значения постоянной Д н0 записать в виде ряда по убывающим
для некоторых соединений степеням трмпрпятопн-
гадолиния и неодима степеням температуры.
100 BOO
Температура Т, 'К
300
Рис. 9.3. Температурная зависимость об-
обратной величины парамагнитной восприи-
восприимчивости %~1 (Г) трехвалентных ионов
празеодима Рг3+ неодима Nd"+; сплошные
кривые — теория [33], точки — экспери-
экспериментальные данные [см. Ван-Флек A940)].
Соединение
GdCl3
Gd2(SO4K-8H2O
Nd2O3
Nd2F3
Nd(NO3K
Nd(C104)
Nd2(SOH4K-8H2O
Nd3+ (в растворе)
Д, °К
18+2
14
2(~0)
59
54
49
48
45
45
Значения Д получены из измерений
восприимчивости по
Каждая следующая
формуле (9.47).
строка соответ-
ствует большей степени магнитного
разбавления.
(9.48)
Эта формула совпадает с (9.47), если
^2 <С Ci и Сз ~ 0, так как тогда
(9.49)
Ci
и, следовательно, А я& C2/Ci. Можно
также в самом общем случае утверж-
утверждать, что появление величины А во мно-
многих случаях, характеризуя собой откло-
отклонения от закона Кюри, в основном
вызвано действием кристаллического
поля. В случае Gd, который не имеет
мультиплетной структуры, причиной
появления А в (9.47) являются, по-ви-
по-видимому, электростатические обменные
силы между электронами соседних ио-
ионов. Косвенным указанием на это является то, что величина А в случае
гадолиния при раздвижении ионов гадолиния Gd3+ путем магнитного раз-
разбавления инертными образованиями сильно уменьшается, а в случае
- 125 -

неодима изменения А с ростом расстояния между ионами Gd3+ значи-
значительно слабее (см. табл. 9.2). Квантовомеханический вывод формулы (9.47)
дал Голдстейн [34].
В последнее время начались исследования парамагнетизма ионов
актинидов и трансурановых элементов, образующих второй ряд «редких
земель» с незаполненной 5/-оболочкой. В табл. 9.3 приведены значения
Таблица 9.3
Эффективный магнитный момент рэфф (число магнетонов Вора)
для ионов трансурановых элементов [по Морришу A965)].
Соединения
Na(NpO2)(C2H3O2K
Na(PuO2)(C2H3O2K
U3+
PuF4
PuF3, PuCl3
AmF3
CmF3
Число
электро-
электронов
E/, 6d)
1
2
3
4
5
6
7
Теория
d- и /-
электро-
электроны
2,54
3,58
3,62
2,68
0,84
0,00
7,94
Теоретические значения для иона в целом
= g[J(J+ 1)]1/2, а для
d- и /- электронов
d- элек-
электроны
1,73
2,83
3,87
4,90
5,92
4,90
3,83
вычислены
/- элек-
электроны
1,73
2,83
3,87
4,90
5,92
6,92
7,92
Экспери-
Эксперимент
1,84
2,83
3,14
2,98
1,2; 1,0
1,3
7,9
по формуле рэ(Ь4 =
по отдельности — по
формуле
эффективного магнитного момента рэфф из работ Даусона [35], Грэна
и Хатчинсона [36]. Из этих данных видно, что для ионов с четырьмя
и более магнитными электронами лучшее совпадение с опытом дает расчет
Рэфф по формуле (9.8), а для ионов с одним и двумя магнитными электро-
электронами — по формуле (9.46). Некоторые теоретические соображения о маг-
магнитных свойствах ионов трансурановых элементов приводятся в работе-
Эйзенштейна и Прайса [37]. Однако пока еще нельзя делать окончатель-
окончательных заключений, поскольку нет точных сведений об электронной конфи-
конфигурации оболочки этих ионов.
По другим группам переходных металлов Dd и 5d) пока имеются слиш-
слишком скудные экспериментальные данные, чтобы можно было говорить
подробно о сравнении теории с опытом (см. работы [38—41]).
§ 3. Парамагнетизм молекул
Здесь, так же как и в случае атомов, можно рассмотреть задачу для
двух предельных случаев — малых и больших мультиплетных интерва-
интервалов. В первом случае, когда hv (/, /') <^ кТ, для состояний со связью как
типа а), так и типа б) (см. рис. 7.1), восприимчивость равна
(9.50>
Действительно, в этом случае квадрат низкочастотной части магнитного
момента молекулы равен квадрату оператора B$ + A) juib. Далее, ста-
статистическое среднее для произведения $А равно нулю, ибо для узких
мультиплетов мы можем пренебречь больцмановским температурным мно-
множителем, и поэтому матричные элементы скалярного произведения с раз-
разными знаками имеют одинаковый вес и взаимно компенсируют друг дру-
друга. Для матричных элементов оператора S2 получаем S (S + 1), а А2 =
= Л2, что и приводит к (9.50).
- 126 -

Если же hv (/, /') ^> кТ, то осуществляется лишь связь типа а)у
так как связь типа б) уже предполагает, что hv (//') много меньше, чем
расстояния между соседними вращательными уровнями, которые обычно-
меньше, чем кТ. При этом восприимчивость имеет вид
(9.51)
В случае молекулы кислорода О2 основным состоянием является
32 (Л = 0 и S = 1), т. е., несмотря на четное число электронов, два из них
остаются «неспаренными» *). Такими же особыми магнитными свойствами
обладают лишь некоторые формы паров серы [см. [43, 44] и Ван-Флек
A932)] и небольшое число молекул органических соединений («бирадика-
лы»). То, что у молекулярного кислорода наблюдается такая аномалия,
доказывается не только измерениями магнитной восприимчивости, но
и опытами с магнитным отклонением молекулярного пучка и детальным
изучением структуры молекулярного спектра. В случае кислорода муль-
типлетные интервалы малы по сравнению с кТ, поэтому, согласно (9.50),
при Л = 0 и S = 1 имеем
ЭД 0,993 ,
Таким образом, например, при 20° С % = 339 Л0~ъ; эксперимент же дает
342 «10 (среднее по измерениям различных авторов). При низких давле-
давлениях зависимость (9.52) подтверждается в широком интервале темпера-
температур A43—720° К). Однако при повышении давления возникают отклоне-
отклонения и вместо (9.52) имеет место закон Кюри — Вейсса (9.47) с постоянной
А, зависящей от плотности. То же самое имеет место для жидкого и твер-
твердого состояний. При этом все явление усложняется тем, что в газе и в
жидком растворе наряду с молекулами О2 присутствуют и молекулы 04
[см. Селвуд A958)].
У молекулы N0 основным термом является терм 2П, т. е. дублет
с уровнями 2П3/2 и 2IIi/2- При этом оказывается, что разность энергий этих
двух уровней — порядка кТ уже при комнатных температурах. Ван-
Флек A932) для этого случая вывел для восприимчивости более точную
формулу. В этих состояниях Л = 1 и 2 = ±1, возможными изменениями
квантового числа Л будем пренебрегать, поскольку такие изменения соот-
соответствуют в (9.18) членам, отвечающим очень высоким частотам. Введем
квантовое число Q = 2 + Л C/2, V2). В (9.18) будут входить матричные
элементы (Qjm | M<0} | Q'j'm'), j идентично с молекулярным вращатель-
вращательным квантовым числом /, a m — с компонентой / вдоль поля. Таким обра-
образом, (9.18) примет вид
%=-^ШГ 2 \(Qjm\M™\Q}'m')\*exp (—Щ
3kTZ«»
Qjm; i'm'
27V y I (Qjm I M<°> I Q'j'm') |2
"^ 3Z<°> 2л hv(Q'; Q)
Qjm; Q'j'm'
Здесь, как и в (9.18), частота v (Q'j'm'; Qjm) во второй сумме заменена
на v (Qr; Q). Первый и второй члены в (9.53) возникают соответственно
от параллельной и перпендикулярной слагающих момента. Это сле-
следует из того, что изменения величины Q кинематически связаны с
прецессией вокруг оси молекулы и поэтому зависят лишь от изменения
*) Теоретический расчет электронной структуры молекулы кислорода был про-
проведен Меклером [42], который впервые показал теоретически, что в этом случае три-
плетное состояние 32 является основным состоянием.
— 127 —

перпендикулярной слагающей. Далее аналогично (9.19) имеем
,l, (9.54)
+ ?-22)цБ = 2ц2Б, (9.55)
где, в силу вышеприведенного замечания относительно изменения Л,
М^> является перпендикулярной составляющей чисто спинового момента.
Далее имеем
j'm'
и соответственно
2 I (Qjm I Мш I Q'j'm") I2 = (QI М<Г1Q) =
Й)
кТ
то (9.53) можно записать в виде
1оа12, 3 — к1/2, 3 ~ ц" •
В силу того, что (9.54) и (9.55) не зависят от j и т, суммы по j, т
в числителях слагаемых (9.53) сократятся с Z<0> в знаменателях. Если
ввести обозначение
(9.56)
(9.57)
(9.58)
(9.59)
Вводя при помощи формулы
у = •
Naf
Эфф
ЗАГ
эффективный атомный магнитный момент, будем иметь
,, v Он Л
^*эфф — ^H*B \ ¦
где для указанного случая
- е~х + xe~x)lh (х
_ A'gj^ 173
-— кТ ~ т -
Здесь S.% — разность энергий между уровнями дублета 2П, равная
120 см'1. На рис. 9.4 приведено сравнение данных опыта с теоретической
— Теория [Ван-ФлекОШ)]
Опытные данные\
0 50 100 150 BOO 250 300 350
Температура, °Я
Рис. 9.4. Кривая температурной зависимости намагничен-
намагниченности окиси азота N0.
формулой (9.59). Хорошее совпадение теории и опыта в, данном случае
можно рассматривать как веское опытное подтверждение правильности
квантовой теории молекулярного парамагнетизма. По вопросу о парамаг-
парамагнитной восприимчивости молекул см. также работы [45, 46].
- 128 -

По парамагнетизму многоатомных молекул и комплексных соеди-
соединений, а также свободных радикалов имеется огромный эксперименталь-
экспериментальный материал [см. Селвуд A958)]. Конечно, во всех случаях нет возмож-
возможности столь непосредственного сравнения теории с опытом, как для
молекулы N0. Однако общие качественные положения квантовой теории
парамагнетизма всегда находят свое подтверждение и являются очень пло-
плодотворными при изучении структуры молекул (см., например, [47—51]).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 9
1. P. Langevin, J. de phys. 4, 678 A905); Ann. chim. et phys. 5, 70 A905).
2. L. В г i 1 1 о u i n, J. phys. et radium 8, 74 A927).
3. J. H. V a n V 1 e с k, Proc. Nat. Acad. Am. 12, 662 A926); Phys. Rev. 29, 727 A927);
30, 31 A927); 31, 587 A928).
4. R. К u b o, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 A957).
5. W. G e г 1 а с h, Atti del Congresso Internationale del Fisici Vol. 1, 1927, p. 119.
6. E. Lehrer, Ann. d. Phys. 81, 229 A927).
7. M. B. N e v g i, J. Univ. Bombay 7, Pt. 3, 19 A938).
8. A. B. S с о 11, T. M.Cromwell, J. Am. Chem. Soc. 70, 398 A948).
9. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 23, 286 A924).
10. F. Hund, Zs. Phys. 33, 855 A925).
11. C. J. G о r t e r, Arch. Mas. Tryler 7, 183 A932).
12. M. В. С a b г е г a, Compt. rend. 205, 400 A937).
13. W. К 1 e m m, H. В о m m e r, Zs. anorg. allgem. Chem. 231, 138 A937).
14. A. F г a n k, Phys. Rev. 39, 119 A932).
15. B. R. J u d d, Proc. Phys. Soc. 69, 157 A956).
16. N.Uryu, I. Phys. Soc. Japan 15, 2041 A960).
17. R. О г b а с h, P. Pincus, Phys. Rev. 143, 168 A966).
18. A. H.Cooke, D.T.Edmonds, F.R.McKim,W.P.Wolf, Proc. Roy. Soc.
A252, 246 A959).
19. J. С о h e n, J. D u с 1 о z, J. phys. et radium 20, 402 A959).
20. R. P. H u d s о n, W.R. Hosier, Phys. Rev. 122, 1417 A961).
21. K. H. H e 1 1 w e g e, W. S с h e m b s, B. S с h n e i d e r, Zs. Phys. 167, 977 A962).
22. K. H. H e 11 w e g e, S. H. К u s a n, H. L a n g e, W. Rummel, W.Schembs,
B.Schneider, Zs. Phys. 167, 487 A962).
23. P. И. Я н у с, В. И. Д р о ж ж и н a, Phys. Zs. UdSSR 9, 72 A935).
24. Н. R. W о 1 t j e г, Proc. Ac. Sci. Amsterdam 26, 613 A923).
25. H. R. Woltjer, H. Kamerlingh-Onnes, Proc. Ac. Sci. Amsterdam
26, 626 A923).
26. W. E. H e n г у, Phys. Rev. 88, 559 A952).
27. J. В е с q u e г e 1, W. J. de H a a s, J. van den H a n d e 1, Physica 3, 1133 A936).
28. P. B. Kissinger, R. T. Weidner, Phys. Rev. 126, 506 A962).
29. R. Stevenson, Canad. J. Phys. 40, 1613 A962).
30. M. К о t a n i, Prog. Theor. Phys. Suppl. 14, 1 (I960).
31. J. H. V a n V 1 e с k, Discuss. Farad. Soc. 26, 96 A958).
32. К. К i d o, T. W a t a n a b e, J. Phys. Soc. Japan. 16, 1217 A959).
33. W. G. P e n n e y, R. S с h 1 a p p, Phys. Rev. 41, 194 A932); 42, 666 A932); 43,
485 A933).
34. L. G о 1 d s t e i n, Ann. of Phys. 15, 141 A961).
35. J. K. D a w s о n, Nucleonics 10, 39 A952).
36. D. M. G г u e n, С H u t с h i n s о n, J. Chem. Phys. 22, 386 A954).
37. J. С E i s e n s t e i n, M. H. L. P г у с е, Proc. Roy. Soc. A229, 20 A955).
38. M. В. С a b г е г a, A. D u p e г i e r, Proc. Phys. Soc. 51, 845 A939).
39. D. M. В о s e, Zs. Phys. 48, 716 A928).
40. B. N. F i g g i s, J. L e w i s, R. S. N у h о 1 m, R. D. P e а с о с k, Discuss. Farad.
Soc. 26, 103 A958).
41. H. S e 1 i g, F. А. С a f a s s o, D. M. G г u e n, J. G. M a 1 m, J. Chem. Phys. 36,
3440 A962).
42. A. M e с k 1 e r, J. Chem. Phys. 21, 1750 A953).
43. L. N ё e 1, Compt. rend. 194, 2035 A932).
44. J. A. P о u 1 i s, С H. M a s s e n, P. van der L e e d e n, Trans. Farad. Soc. 58,
52 A962).
45. H. M e у e r, J. Phys. Chem. Solids 20, 238 A961).
46. J. H. V a n V 1 e с k, J. Phys. Chem. Solids 20, 241 A961).
47. W. D u f f y, Jr., J. Chem. Phys. 36, 490 A962).
48. R. L. G a r 1 i n, F. С a n z i a n i, J. Chem. Phys. 40, 371 A964).
49. R. M. M а с F a r 1 a n e, J. Chem. Phys. 40, 373 A964).
50. Z. G. S о о s, R. С. Н u g h e s, J. Chem. Phys. 46, 253 A967).
51. W. D u f f y, Jr., D. L. S t r a n d b u r g, J. Chem. Phys. 46, 456 A967).
9 С. В. Вонсовский — 129 —

Глава 10
ПАРАМАГНЕТИЗМ КРИСТАЛЛОВ — ТВЕРДЫХ СОЛЕЙ
И ДРУГИХ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
§ 1. Типы неметаллических парамагнитных кристаллов
Перейдем теперь к обзору теории и основных опытных фактов, касаю-
касающихся парамагнетизма твердых тел и прежде всего солей элементов пере-
переходных групп. По классификации, предложенной Ван-Флеком A932),.
следует различать три основных типа кристаллических парамагнетиков
неметаллов (о металлах см. гл. 11).
1. Кристаллы со слабой межионной связью (соединения редкоземель-
редкоземельных металлов). К этому типу относятся вещества, в которых межатомная
связь столь слаба, что парамагнитная восприимчивость может быть вычи-
вычислена в предположении, что магнитные характеристики составляющих
их атомов, точнее ионов, в кристаллической решетке таковы же, что-
и в идеальном газе. Критерием слабости межатомных сил может служить.
малость работы, совершаемой против этих сил при изменении ориента-
ориентации магнитных моментов ионов, по сравнению с энергией кТ. Этот случай
реализуется для солей редкоземельных элементов, рассмотренных в гл. 9'
как пример парамагнитных «газов». Необыкновенная свобода «орбит*
4/-слоя у ионов редкоземельных элементов проявляется не только в спе-
специфике магнитных свойств, но также и в исключительной резкости спек-
спектральных линий, связанных с / — /-переходами (внутри ^"-конфигура-
^"-конфигурации), для солей этих элементов. В рамках квантовых представлений это>
означает, что волновые функции электронов 4/-слоя ионов в кристаллах
редкоземельных элементов очень слабо перекрываются с функциями-
ближайших соседних узлов (см. [1, 2]).
2. Кристаллы с «замороженными» орбитальными моментами (соли
Зй-металлов). К этому типу веществ относятся кристаллы или растворы,
в которых межатомные силы «замораживают» орбитальные моменты, но-
при этом спиновые моменты остаются практически свободными. Этот
случай осуществляется в большинстве солей металлов переходной группы
железа (см. гл. 9, а также ниже).
3. Кристаллы с « замороженными» спиновыми и орбитальными мо-
моментами (соли id- и 5$-металлов). К этому типу относятся кристаллы,
в которых имеет место столь сильная внутренняя магнитная связь, т. е„
столь широкие мультиплеты, что, независимо от электростатического'
обменного эффекта, межатомные силы с необходимостью «замораживают»
как спиновый момент количества движения, так и орбитальный. Этот-
случай, по-видимому, осуществляется в солях переходных металлов,
группы платины и группы палладия.
§ 2. Влияние на магнитные ионы внутрикристаллического
окружения (поле лигандов)
Механизм «замораживания» орбитальных моментов обусловлен влиянием элек-
электрического поля кристалла на движение электронов внутренних недостроенных слоев;
парамагнитных ионов. Орбитальный момент как бы ориентируется в сильном внут-
внутреннем поле, и его направление не может быть изменено под более слабым действием
внешнего магнитного поля. Влияние этого внутрикристаллического эффекта Штарка
- 130 —

впервые детально исследовал Бете [3, 4], затем Крамере [5], Пенни и Шлапп [6] и Ван-
Флек A932). С подробностями теории внутрикристаллического поля можно позна-
познакомиться, например, по книге Бальхаузена A964) [см. также Лоу A962) и [7, 8]].
Следует заметить, что применение представлений теории внутрикристаллического
поля для трактовки химического строения комплексных соединений породило новый
термин: лигандное поле. В узком смысле это теория чисто ионной связи между «цен-
«центральным» ионом и окружающими его лигандными ионами (или лигандами), электро-
электростатическое поле точечных зарядов которых обладает определенной симметрией.
В таком понимании теория поля лигандов представляет собой весьма грубую модель
кристалла (см. [8]). Однако очень часто термин лигандное поле употребляют как сино-
синоним внутрикристаллического поля в общем смысле, когда это поле не связывают с ка-
каким-либо частным типом химической связи в кристалле, а используют лишь его общие
свойства симметрии. Именно в этом последнем смысле и используется ниже эта терми-
терминология.
Электрическое поле кристалла снимает вырождение для различных магнитных
состояний ионов с одинаковым результирующим моментом количества движения
(пространственное квантование). В зависимости от свойств симметрии этого поля сня-
снятие вырождения может быть полным, частичным или вообще отсутствовать.
Магнитно активные ионы с недостроенными й- или /-слоями электронной оболоч-
оболочки, находясь в кристалле неметаллического тела, испытывают в общем случае ряд.
воздействий со стороны своего окружения. А именно на магнитно активные ионы дей-
действует:
1) внутрикристаллическое, или лигандное, электрическое поле, приближенна
описываемое потенциалом VKp(r); это, в сущности, электростатическое.взаимодействие
между магнитным ионом и его диамагнитным окружением;
2) между магнитно активными ионами возникает обменное электростатическое
взаимодействие;
3) между этими же ионами существуют магнитные взаимодействия;
4) наконец, имеются взаимодействия, связанные с деформацией решетки вокруг
катионов (эффект Яна — Теллера [9], подробнее о нем см. ниже).
Следует также иметь в виду, что в реальных парамагнитных кристаллах фактор
спектроскопического расщепления gj, определяющий мультиплетную структуру спек-
спектра изолированного иона, изменяется из-за взаимодействия с окружением (под влия-
влиянием лигандного поля) и обычно становится анизотропным. В качестве простого при-
примера рассмотрим магнитные свойства иона меди Си2+. В основном состоянии свобод-
свободного иона Си24" имеем L = 2 и S = 1/2. Кратность вырождения этого состояния равна
BL + 1) BS + 1) = 10. Внутрикристаллическое поле частично или полностью сни-
снимает орбитальное вырождение. Расстояния между расщепившимися уровнями могут
быть столь большими, что только наинизший уровень будет занят при нормальных
температурах. Если спин-орбитальное взаимодействие мало, то орбитальный момент
при этом оказывается замороженным.' В случае нечетного числа электронов в ионе
остается двукратное крамерсовское вырождение [5] (см. ниже § 9), которое может
быть снято только внешним магнитным полем. При более сильном спин-орбитальном
взаимодействии происходит частичное размораживание орбит, и поэтому gj фактор
становится отличным от gj = 2 (точнее, от 2,0023). Во многих солях ионы меди окру-
окружены шестью ближайшими соседями (лигандами), расположенными в виде удлинен-
удлиненного октаэдра — два ближайших соседних иона раздвинуты на большее расстояние
вдоль оси симметрии. Поэтому gj-фактор оказывается анизотропным; для поля, парал-
параллельного оси симметрии, gjt] «к 2,4, а для поля, перпендикулярного к этой оси, gj , «*
«s 2,05. Эта анизотропия возникает из-за анизотропного распределения плотности
электрического заряда магнитных электронов, что в свою очередь обусловлено дейт
ствием лигандного поля, снимающего вырождение. Эту анизотропию можно рассчитать
количественно квантовомеханически. Например, в случае ионов Со2+ и Fe2+ анизотро-
анизотропия достигает порядка 30% (см. [10—12]), тогда как в случае иона Ni2+, основное
состояние которого — синглет, анизотропия исчезающе мала — менее 1% (см. [13—
16], а также [17—21]).
§ 3. Гамильтониан магнитного иона в кристалле
Гамильтониан свободного иона в кристалле можно приближенно представить
в виде суммы нескольких слагаемых.
1. Гамильтониан свободного иона, в оболочке которого находится N электронов,
можно записать в виде
N ~2 N N
<^своб.исн=2-?г-24г+ 2 -~ = Ж0 + Жзл; A0.1)
ft=l ft=i ft>j=l 3
здесь ph— оператор импульса k-то электрона, rk— радиус-вектор электрона относи-
относительно ядра с зарядом Ze. Первые две суммы в A0.1), обозначенные через <§??„, суть
соответственно операторы кинетической энергии электронов иона и потенциальной
— 131 — 9*

энергии притяжения между ядром и электронами, и третья, &вэп,— оператор потен-
потенциальной энергии кулоновского отталкивания электронов. Как уже отмечалось в гл. 2,
электростатическое отталкивание при одной и той же электронной конфигурации иона
вносит различные вклады в энергию электронной оболочки при разных ее состоя-
состояниях (т. е. при разных L a S или /). Если в качестве единицы энергии выбрать обрат-
обратный сантиметр A см'1 « 1,4" К « 1,932-10-16 эрг), то вклад в энергию, определяе-
определяемый оператором сЙ?Эл из (Ю.1), будет порядка 106 см'1 («101 эрг).
2. Гамильтониан магнитных взаимодействий. Он состоит из операторов спин-
орбитального &6ls, орбит-орбитального &6ll и спин-спинового g№ss взаимодействий:
2 A0.2)
jft
В случае d-ионов *) вклад этой части взаимодействия будет порядка 102 см'1
(«10-" эрг), а для /-ионов *) « 103 см-1 («10-13 эрг).
3. Гамильтониан лигандного поля. Оператор энергии взаимодействия электрона
с лигандным полем можно записать в виде
где FKP (rj) — электростатический потенциал лигандного поля. Если считать, что
волновые функции соседних ионов не перекрываются с d- или /-функциями данного
магнитно активного иона, то потенциал FKP удовлетворяет уравнению Лапласа и его
можно разложить в ряд по шаровым функциям. В случае d-ионов вклад а№кр в энергию
оказывается порядка 104 см-1 A0~12 эрг), а для /-ионов — порядка 102 см'1 A0~14 эрг).
4. Гамильтониан внешнего поля, обменных сил и эффект Яна — Теллера. В га_
мильтониан S№ магнитного иона входят также два члена, учитывающие эффект внеш-
внешнего магнитного поля Н:
При полях Н « 104 э вклад A0.4) в энергию составляет величину порядка 1 см-1
A0~16 эрг). Кроме того, в гамильтониан всего кристалла в целом необходимо еще вклю-
включить слагаемые обменного электростатического взаимодействия
a&oS=^AuSiSj, A0.5)
где Ац— интеграл обмена i-то и /'-го ионов, a Si, Sj— операторы векторов суммарных
спинов этих ионов. Необходимо также учитывать в гамильтониане слагаемое, свя-
связанное с эффектом Яна — Теллера &6т (§ 101. Наконец, если ядро иона обладает
спином и квадрупольным электрическим моментом, то в гамильтониан следует вклю-
включить члены, зависящие от взаимодействия магнитного и квадрупольного электриче-
электрического момента ядра соответственно с магнитным и электрическим полями, создавае-
создаваемыми спинами, орбитами и зарядами электронной оболочки иона. Вклад этих взаимо-
взаимодействий в энергию системы очень мал [порядка 10~2 см'1 A0~17 эрг)]. Этот эффект
взаимодействия сверхтонкой структуры (СТС) следует учитывать лишь в тех случаях,
когда мы интересуемся ядерным магнетизмом парамагнетика или самим явлением
СТС (см. гл. 26).
§ 4. Частные случаи, различающиеся величиной лигандного поля
Обычно в качестве гамильтониана нулевого приближения берут оператор <у&0.
Если не рассматривать внешнее магнитное поле, обменное взаимодействие, эффекты
Яна — Теллера и взаимодействие типа СТС, то основной частью возмущения будут
взаимодействие электростатического отталкивания электронов <й?эл, лигандное поле
<Й?Кр и спин-орбитальное взаимодействие <55?jls- Характер влияния возмущения, опи-
описываемого гамильтонианом
на состояния магнитных ионов в кристалле будет определяться взаимным соотноше-
соотношением величин энергетических расщеплений Лэл, Дкр и Aj^s, соответствующих трем
слагаемым в операторе энергии возмущения с^взм* Обычно здесь различают три основ-
основных случая:
*) Ниже для краткости так будем называть ионы и атомы переходных элементов
с недостроенными d- и /-оболочками.
- 132 —

1. Сильные лигандные поля. Это значит, что <кр5: АЭл 3> Ajls, причем Аэл ^
101 см'1 и Ajls я* Ю2 см'1. Этот случай реализуется для парамагнитных d-ионов,
когда они сильно ковалентно связаны с окружающими лигандными ионами кислорода
и т. п. Это главным образом имеет место для М- и Ы-ионов, но также наблюдается
и для Зй-ионов. В данном случае (Дкр > Дэл) наблюдается нарушение правила Хунда
(см. гл. 2). Это нарушение возможно лишь для ионов определенных конфигураций.
Например, в случае d-ионов для конфигураций d*, d5, de, d. По терминологии Гуди-
нафа A963), катионы d-металлов при этом находятся в низком спин-состоянии (low-
spin state).
2. Средние лигандные поля. В этом случае Лэл 2> Дкр ^ A^s. Из теории тон-
тонкой структуры атомов известно [Герцберг A948), Зоммерфельд A956)], что значения
Ajls заключены в пределах от 10 см'1 до 101 см'1. В этом случае, когда штарковское
расщепление в лигандном поле меньше, чем расстояние между различными мульти-
плетами, но больше, чем расстояния между отдельными уровнями внутри мультипле-
тов, который чаще всего реализуется для Зй-ионов (например, в солях элементов груп-
группы железа), взаимодействие Vgjl является основным возмущением.
3. Слабые лигандные поля. В этом случае Aj^s 3> АкР; он реализуется для
4/-, 5/-ионов и ионов элементов группы актинидов (например, в гпдратированных солях
редкоземельных элементов). Внутрикристаллическое поле лишь слабо «возмущает»
мультиплетную структуру и не может разрушить спин-орбитальную связь в /-слоях
электронной оболочки иона.
§ 5. Теоретико-групповая трактовка внутрикристаллических
расщеплений уровней магнитных ионов
1. Общие основы метода. Для последовательного определения указанных выше
расщеплений Акр, Ajls, Аэл необходимо решить задачу по крайней мере по теории
возмущений с нулевым гамильтонианом а№0 из A0.1). Однако качественный характер,
например, лигандного расщепления А,,р можно определить, используя общие сообра-
соображения теории симметрии, с помощью математического аппарата теории групп. Впер-
Впервые теоретико-групповой подход к исследованию подобного рода задач был реализован
в работах Бете [3, 4].
Мы не станем подробно останавливаться на изложении групповой трактовки
проблемы внутрикристаллических полей, а дадим лишь некую схему решения этой
задачи *).
Применение теории групп к задачам квантовой механики основывается на том
факте, что уравнение Шредингера offlty = $г|> любой физической системы (например,
иона в кристалле) инвариантно относительно всех преобразований симметрии этой
системы. Совокупность всех преобразований симметрии данной физической системы
называется ее группой симметрии.
В качестве простейшего примера можно привести, например, квадрат А В CD
с центром в О, изображенный на рис. 10.1. Симметрия этого тела определяется сле-
следующими восемью преобразованиями симметрии (группой симметрии), которые остав-
оставляют квадрат в положении, не отличающемся от начального:
Е — тождественное преобразование,
С\г — вращение против часовой стрелки на угол +90° вокруг оси г, перпенди-
перпендикулярной к центру О,
C2z — вращение на угол 180° вокруг той же оси г,
C^z — вращение по часовой стрелке на угол — 90° вокруг той же оси г,
ах — зеркальное отражение по линии, проходящей через центр О перпендику-
перпендикулярно К ОСИ X,
ву — зеркальное отражение по линии, проходящей через центр О перпендику-
перпендикулярно к оси у,
at— отражение в диагонали АС квадрата, а2— отражение в диагонали BD
(линии отражения и ось вращения г показаны на рис. 10.1). Одним из основных усло-
условий для элементов группы является то, что произведение (т. е. последовательное при-
применение) любых двух элементов группы есть также ее элемент. Это легко проиллю-
проиллюстрировать на рассмотренном примере группы квадрата таблицей умножения (см.
табл. 10.1). Например, мы хотим определить произведение сгхСу2. Для этого берем
строчку ах и столбец С^г и на их пересечении находим ст4, т. е. ахС\г = ai. Легко
видеть, что операторы могут не коммутировать; действительно, из табл. 10.1 следует:
Cjz^x = о2 ?= охС^г = o-j.
Применяя любую операцию симметрии t к уравнению Шредингера с определен-
определенным значением энергии $ и пользуясь тем, что гампльтониап системы инвариантен
к преобразованиям симметрии, т. е. коммутирует с ними: Т&6 = <fflT', находим
*) Со всем кругом вопросов читатель может познакомиться по монографиям
Вигнера A961), Любарского A957), Хейне A963), Хамермеша A966), Ельяшевича
A953), Бальхаузена A964). См. также Ландау и Лифшиц A963), Нокс и Голд A970),
Кракнелл A968), Соколов и Широковский [22, 23].
— 133 —

Отсюда следует, что если функция г|з является собственной функцией оператора <§??,
соответствующего собственному значению %, и iff] остается инвариантным под дейст-
действием операции симметрии Т, то функция Гг|з также будет собственной функцией опера-
оператора &&, соответствующей тому же самому собственному значению if (теорема Вигнера)
[см. Вигнер A961).].
2. Представление группы матрицами. Подействовав на функцию г|з всеми g опе-
операциями группы симметрии (g — порядок группы симметрии, т. е. число ее элементов,
например восемь в примере рис. 10.1), мы получим, вообще говоря, g различных функ-
функций г|зй. Однако, очевидно, может оказаться, что некоторые из этих функций линейно
зависимы. Пусть число линейно незави-
независимых функций i|)ft будет равно / (f^Cg).
Тогда легко понять, что под действием
любого оператора симметрии Т систе-
система волновых функций {фд} будет пере-
переходить в некоторую другую систему
{ф^}, причем каждая из новых функций
щ может быть представлена в виде
линейной комбинации старых, т. е.
справедливы равенства
A0.6)
3=1
или, в матричной форме,
а)
<hutz
Из записи A0.7) вытекает, что каждому
оператору группы Tk можно сопоставить
некую матрицу. Совокупность матриц
Th, соответствующих элементам группы
симметрии, называется ее представле-
представлением. Набор функций {'Фй}, с помощью
которого получались матрицы Tk, на-
называется базисом представления, а их
число, равное размерности матриц,—
размерностью представления. Если счи-
считать базис {г|зй} ортонормированным, то
понятие матрицы преобразования груп-
группы совпадает с понятием матрицы опе-
оператора в том виде, в каком им обычно пользуются в квантовой механике, а именно:
б)
Рис.г 10.1. Операции симметрии квадрата, а) Пло-
Плоскость (х, у) — линии отражения ах, Gy, at и а2;
бI пространство х, у, z — оси вращения dz, Ciz
И C2Z.
dr.
A0.8)
Можно наглядно проиллюстрировать появление матриц представления и на примере
квадрата (рис. 10.1). Представим себе в этом квадрате некий вектор Р (рис. 10.2),
выходящий из центра О, с координатами конца х и у. При преобразовании симметрии
Ctz (т. е. при вращении па угол +90° вокруг оси г) вектор Р перейдет вР'и координа-
координаты его конца х и у' будут связаны с х и у так:
х' = 0-х—
или
Отсюда видно, что, как и в A0.7), матрица
/0 -14
\1 0)
«представляет» оператор группы
квадрата f = Cfz- На рис. 10.2 показаны все положения вектора Р после действия
на него всех восьми операторов группы квадрата. Легко сообразить, какую матрицу
- 134 -

Таблица 10.1
Произведения операций симметрии группы квадрата
E
Ctz
C2z
Ckz
Ox
°y
o-i
0-2
Ctz
Ciz
Clz
E
0-2
Oi
Ox
°y
C2z
Clz
E
Ctz
ay
Ox
o2
Ol
Ckz
E
Ctz
C2Z
Ol
o2
°y
Ox
-с
о,
ау
о2
Е
C2z
Ctz
Clz
ау
о2
Ох
Oi
C2Z
Е
Clz
Ctz
*г
°У
o2
Ox
Clz
Ckz
E
C2z
Символ симметрии, стоящий в каждой клетке
CT2
Ox
Oi
°y
Ctz
Clz
c2z
E
i таб-
лицы, соответствует произведению операций симметрии,
а именно операции симметрии, символы которых
первыми в той строке
и в том столбце, пересечение
рых происходит в данной клетке таблицы (например
стоят
KOTO-
, СИМ-
вол o"i, стоящий на пересечении второй строки и пятого
столбца, означает aj =
-Ckz'Oy-, и т. д.).
¦следует сопоставить каждому оператору:
/О — 1
Е-
71 °).
\о 1) '
—1 0
о i
0
о -i
0 —
-i о
0 1
о
)"
A0.9)
kit
Можно легко проверить, что матрицы удовлетворяют всем соотношениям, которые суще-
существуют между элементами группы.
3. Неприводимые представления группы и расщепление энергетических уровней.
В проблеме расщепления уровней во внешних полях (которая нас и будет в основном
интересовать) понятие представления является фундаментальным, а поэтому мы оста-
остановимся на нем несколько более подробно. Из рассмотренного нами способа получе-
получения представления группы симметрии по заданному базису следует, что число раз-
различных представлений данной группы симметрии может быть сколь угодно большим.
Однако на самом деле определяющую роль в тео-
теории играют лишь так называемые неприводимые
представления.
Если мы имели какое-то исходное представ-
представление, то с помощью унитарных преобразований
можно перейти к другим представлениям.
Представление группы симметрии называ-
называется приводимым, если все его элементы с по-
помощью унитарных преобразований одновременно
могут быть приведены к одинаковому блочному
виду. Например,
A0.10)
т ft)
1 и
0
r(ft)
1 12
T(ft)
1 22
0
0 ..
0 ..
r(ft)
J33 • '
. 0
. 0
0
0
Рис. 10.2. Влияние операций симмет-
симметрии группы квадрата на положение
точки (вектора) (ж, у).
для всех к. На языке функций это означает, что
исходный базис может быть преобразован к та-
такому виду, что первые две его функции ср4 и ф2 при всех преобразованиях
симметрии будут преобразовываться только друг через друга. Тогда, очевидно, соот-
соответствующие матрицы второго порядка сами будут реализовать некоторое представ-
представление группы симметрии. В том случае, когда такого одновременного приведения
— 135 —

к блочному виду всех матриц представления выполнить нельзя, представление назы-
называется неприводимым. Например, для указанного нами двумерного представления воз-
возможность дальнейшего приведения означала бы просто одновременную диагонализа-
цию всех матриц, т. е. возможность построения таких линейных комбинаций функций
Ф1 и ф2, которые под действием преобразований симметрии просто умножались бы на
скаляр. Короче говоря, неприводимость означает, что базис представления не может
быть разбит на некоторые независимые подбазисы.
Если теперь вновь вернуться к теореме Вигнера, то легко понять, что функции,
являющиеся базисом данного неприводимого представления, с необходимостью при-
принадлежат к одному и тому же значению энергии. Фактически же имеет место и более
сильное утверждение, согласно которому функции, являющиеся базисом различных
неприводимых представлений, в общем случае относятся к различным уровням энергии.
Таким образом, проводя классификацию неприводимых представлений группы сим-
симметрии данной физической системы, мы тем самым получаем определенную классифи-
классификацию ее энергетических уровней.
В частности, проведенное нами рассмотрение уже позволяет сделать вывод, что
вырождение энергетических уровней в значительной мере обусловлено симметрией
задачи. Последний факт является определяющим в проблеме расщепления, и мы оста-
остановимся на нем более подробно.
4. Пример: атом во внешнем поле кубической симметрии. Не загромождая рас-
рассмотрение абстрактными построениями, подробно разберем один конкретный пример,
а именно исследуем изменение атомных энергетических уровней при помещении атома
в поле кубической симметрии.
Системой осей кубической группы симметрии (группа октаэдра) является система
осей симметрии куба: три оси проходят через центры противоположных граней, четыре-
оси (пространственные диагонали куба) проходят через противоположные вершины,
и шесть осей — через середины противоположных ребер. Углы, на которые необхо-
необходимо произвести соответствующие повороты, чтобы совместить куб сам с собой, чита-
читатель без труда найдет сам. Мы обратим еще внимание на то, что если выбрать прямо-
прямоугольную систему координат так, чтобы ее оси были параллельны ребрам куба, то для
переменных (х, у, г) преобразования симметрии [как это видно из примера для группы
квадрата, см. A0.9)], сводятся к всевозможным перестановкам и переменам знаков. Так,
например, при повороте вокруг оси г на 90° переменные (х, у, г) переходят в (у, —ж, z),
при повороте на 120° вокруг пространственной диагонали куба они перейдут в (у, л, х}
и т. д.
Далее заметим, что из теории атома водорода хорошо известно, что угловая зави-
зависимость собственных функций электрона в центрально-симметричном поле выражается
через сферические гармоники вида
Yf (ft, ф) = Pf (cos ft) exp (шгф), A0.11)
где Р™ — полиномы Лежапдра. Для нашей цели, однако, удобнее воспользоваться
вещественным представлением угловой части, так что, например, волновые функции
s-, р- и d-состояний будут записываться следующим образом:
A0.12)
A0.13)
Z2_r2), J
причем функции Ro, i?4 и R^ (t = 1, 2) зависят только от модуля | г \.
а. s-уровенъ. Теперь мы непосредственно перейдем к обсуждению задачи о рас-
расщеплении атомных уровней в поле кубической симметрии. Так как уровни s-типа в атоме
являются невырожденными, то ясно, что и в поле кубической симметрии вырождение
измениться не может. Это легче всего понять, если учесть, что s-функции остаются
неизменными под действием всех операций симметрии кубической группы.
б. р-урог.ень. Теперь возьмем функцию г|з4 (р) и произведем последовательно вра-
вращения вокруг упоминавшейся выше пространственной диагонали куба на 120° и 24O'J.
Так как под действием этих преобразований х переходит соответственно в у и г, то из
функции г|з4 (/;) в результате действия операторов симметрии возникают функции
г|з2 (р) и ф3 (р). Очевидно, что действие остальных операций группы уже не может при-
привести к появлению новых линейно независимых функций, поскольку, как уже гово-
говорилось выше, все они сводятся к перестановкам и переменам знака величин х, у, z.
- 136 —

Таким образом, функции A0.13) под действием операторов кубической группы симме-
симметрии преобразуются друг через друга, а следовательно, являются базисом некоторого-
представления этой группы.
Докажем теперь, что это представление будет неприводимым. Допустим проти-
противоположное. Тогда по крайней мере одно из полученных в результате приведения
представлений должно быть одномерным, т. е. должна существовать такая ненулевая
линейная комбинация функций A0.13), для которой действие каждого из операторов
группы сводится к умножению на скаляр. Обозначим эту искомую комбинацию через
т|> (Р):
хр (р) = о% (р) -\- М|J (Р) + <% (Р)>
причем для определенности будем считать, что с Ф 0. Если теперь произвести поворот
на 180° вокруг оси z, то согласно сказанному должно выполняться равенство
где а—некоторая постоянная, или, что то же самое,
а (ах-\-by-\-cz) = (— ах — by -j- cz).
Из последнего равенства непосредственно вытекает, что
а=1, а = 0, 6 = 0,
т. е. искомая комбинация имеет вид
Если теперь вспомнить, что при вращении вокруг пространственной диагонали куба-,
функция г|з3 (р) переходит в г|з4 (р), то, очевидно, что и константа с также должна рав-
равняться нулю. Иными словами, искомой ненулевой линейной комбинации не сущест-
существует. Это в свою очередь означает, что построенное трехмерное представление кубиче-
кубической группы является неприводимым.
Таким образом, атомные функции р-типа A0.13) образуют базис некоторого-
трехмерного неприводимого представления кубической группы симметрии, а следо-
следовательно, атомный уровень р-типа в поле кубической симметрии остается трехкратно
вырожденным, т. е. не расщепляется.
в. d-уровень. Перейдем теперь к исследованию d-состояний. Совершенно анало-
аналогично предыдущему можно показать, что под действием операторов кубической группы
симметрии из функций г|з4 (d) возникают функции г|з2 (d) и г|з3 (d), что получающаяся
система функций является базисом представления этой группы симметрии и что по-
построенное трехмерное представление неприводимо. В то же время оставшиеся две
функции i|L(d) иг|з5 (d) уже не могут быть получены из первых трех с помощью опера-
операторов симметрии. Более того, оказывается, что эти две функции сами образуют базис-
некоторого нового двумерного неприводимого представления кубической группы. Так
как функции, преобразующиеся по различным неприводимым представлениям группы
симметрии, относятся к различным уровням энергии, то из сказанного вытекает, что-
в поле кубической симметрии атомные уровни d-типа должны расщепляться на два
уровня, один из которых будет двукратно, а другой трехкратно вырождепньш.
г. Влияние понижения симметрии поля на вырожденные уровни. Аналогичный
анализ в принципе может быть проделан для любого атомного уровня. Не останавли-
останавливаясь больше на этом вопросе, мы несколько продолжим наш пример и проанализи-
проанализируем, каким образом изменяется полученная система уровней с понижением симметрии
от кубической до тетрагональной. Соответствующая группа симметрии совпадает
теперь с группой симметрии прямоугольного параллелепипеда, получающегося из куба
путем его сжатия (или растяжения) вдоль одной из осей координат, например вдоль,
оси z. Поскольку в этом случае ось z уже не будет физически равноправной осям iej
(разумеется, оси х и у все еще равноправны между собой), то из преобразований сим-
симметрии куба следует исключить все те, которые переводят переменную г в переменные х-
или у. Таким образом, если взять, например, функцию г|з3 (р), то действие на нее всех
преобразований тетрагональной группы симметрии сводится к умножению ее на ска-
скаляр. Иными словами, эта функция теперь уже сама по себе служит базисом некоторого
(одномерного) неприводимого представления тетрагональной группы симметрии. В то
же время, так как среди преобразований тетрагональной группы содержатся пре-
преобразования, переводящие переменные хну друг в друга, то функции г|з4 (р) и г|з2 (р)
образуют базис другого (двумерного) неприводимого представления. Следовательно,
мы можем сделать заключение, что трехкратно вырожденный в кубическом кристалле
р-уровень в поле тетрагональной симметрии расщепляется на два уровня, один из
которых не вырожден, а другой вырожден двукратно.
Совершенно аналогично можно показать, что трехкратно вырожденный в кубиче-
кубическом кристалле уровень d-типа [базисные функции г|з4 (d), г|з2 (d), г|з3 (d)] расщепится
также на один невырожденный [базисная функция г|з4 (d)] и один двукратно вырожден-
вырожденный [базисные функции г|з2 (d) и г|з3 (d)]. Двукратно вырожденный уровень d-типа [ба-
[базисные функции г|з4 (d), г|з5 {d)\ расщепится на два невырожденных.
— 137 —

5. Общее теоретико-групповое рассмотрение проблемы расщепления уровней.
Рассмотренные примеры позволяют думать, что вопрос о расщеплении атомных уров-
уровней кристаллическим полем, а также вопрос расщепления уровней при понижении
симметрии кристаллического поля исчерпывающим образом могут быть решены с по-
помощью теории симметрии. Вместе с тем из тех же примеров становятся очевидными
недостатки нашего рассмотрения, требующего постоянного обращения к конкретным
функциям и наглядным соображениям симметрии.
Аппарат теории представлений групп позволяет максимально формализовать
исследование задачи, сведя все рассмотрение к алгебраическим выкладкам. Мы не
станем вдаваться в детали построения математического аппарата, а, ограничившись
определением самых необходимых понятий, перейдем непосредственно к рассмотрению
примеров.
Важнейшим понятием теории представлений является понятие характера. Харак-
Характером X данного оператора Т группы симметрии в некотором представлении i назы-
называется шпур матрицы, соответствующей этому оператору в рассматриваемом пред-
представлении. Эта величина обычно обозначается следующим образом: X(i> (T). Из опре-
.деления характера сразу же вытекает, что характер единичного оператора X(i> (E)
равен просто размерности представления n-t [поскольку матрица оператора имеет
только единицы по главной диагонали, а все остальные элементы — нули, см., на-
например, A0.9)]. Далее, из инвариантности шпура матрицы при унитарных преобра-
преобразованиях вытекает, что любые два оператора группы Г4 и Г2, связанные соотношением
fi = f-if2f, A0.16)
где Т — также одпн из операторов группы симметрии, а Т'1— обратный ему
• (Г Г = Т~ХТ = Е), во всех представлениях будут иметь одинаковые характеры, т. е.
X(i>(Ti)= X(i> (Г2) для всех i. Это легко проиллюстрировать, например, с помощью
матриц A0.9).
Элементы группы симметрии, связанные соотношением A0,16), называют сопря-
сопряженными элементами группы и говорят, что они принадлежат к одному и тому же
классу сопряженных элементов. Можно показать, что всякая группа симметрии может
быть разбита на некоторые непересекающиеся *) классы сопряженных элементов. Раз-
Различные классы в дальнейшем мы будем нумеровать индексом /, а число элементов
.в классе (порядок класса) обозначим через hj.
Таблица 10.2
Сопряженные элементы
г \
Е
Ctz
с2г
Clz
Ох
av
Ol
ст2
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
С4г
Ctz
Ctz
Ctz
Ctz
Clz
Clz
Ckz
Clz
czz
c2z
c2z
C2z
c2z
c2z
C2z
c2z
c2z
группы квадрата Т
Clz
Clz
Clz
Clz
Ctz
Ctz
Ctz
Ctz
стх
Ox
°У
Ох
°У
Ox
Ох
°У
°У
av
Ох .
аУ
Ох
Оу
ау
Ох
Ох
= Г 1
о2
Ol
о2
о2
0-2
o-i
o-i
т2т
а2
СТ2
o-i
01
CTl
о2
о2
Элементы Т±, стоящие в клетках таблицы (кроме
крайнего левого столбца
и верхней
строки), являются
сопряженными соответствующему элементу Т<
зующем элементе Т, на
пересечении
при обра-
столбца и строки
которых расположена клетка данного определяемого эле-
элемента Г4.
Проиллюстрируем это снова на примере группы квадрата. В табл. 10.2 для
этой группы приведены все возможные элементы Т~^ТгТ, в крайнем левом столбце —
*) То есть не имеющие общих элементов.
- 138 —

все элементы Т (и Г), а в верхней строке — элементы Тг. Из табл. 10.2 видно, что
группа симметрии квадрата распадается на гчть непересекающихся классов Cj (/ = 1,
2, 3, 4, 5):
Ci С2 Сз Сц Съ
Е Сгг С\г, Си ах, оу аь а2, A0.17)
:п Л1 = ;г2=1, а к3 = ^ = къ = 2.
Если теперь вновь вернуться к понятию характера, то легко сообразить в силу
сказанного после формулы A0.16), что для всех операторов данного класса сопряжен-
сопряженных элементов характер имеет одно и то же значение, т. е.
(f i) = Ха) (Г2) = .. . =
A0.18)
где операторы
л
все принадлежат одному и тому же (/-му) классу
-сопряженных элементов. Это легко видеть и из сравнения A0.17) и A0.9) для группы
квадрата. Таким образом, можно сказать, что характеры являются фактически функ-
функциями не операторов симметрии, а функциями классов сопряженных элементов. Вслед-
Вследствие этого обычно пользуются обозначением Х^р, которое следует понимать как
характер /-го класса в i-м. неприводимом представлении.
Выше уже говорилось, что основную роль в теории играют неприводимые пред-
представления группы симметрии. Таблицы характеров неприводимых представлений
групп симметрии, обычно используемых в теории кристаллов, читатель может найти
в уже цитированной литературе. Мы приведем только две из этих таблиц, необходимые
для наших примеров (см. табл. 10.3 и 10.4).
Таблица 10.3
Характеры неприводимых представлений кубической
группы О
~~\^^ Классы сопряжен-
^^~--^^^ ных элементов
Представление ^^"\^^
по Малликену
А2
Е
по Бете
г2
Гз
г4
Е
1
1
2
3
3
8С3
1
1
—1
0
0
,0,
1
—1
0
—1
1
ЗС|
1
1
2
—1
6С2
1
—1
0
1
—1
Цифры каждой клетки таблицы дают величину
характера (сумму диагональных элементов матрицы пред-
представления) для класса сопряженных элементов, соответ-
соответствующего тому столбцу, и для представления, соответст-
соответствующего той строке, на пересечении которых находится дан-
данная клетка таблицы. Смысл обозначений классов пояснен
в тексте.
Указанные таблицы нуждаются в некоторых пояснениях. В левом верхнем углу
таблицы стоит обозначение *) группы симметрии. В первой (верхней) строке указаны
преобразования этой группы, расположенные по классам / сопряженных элементов;
число (коэффициент) перед элементом симметрии равно порядку hj соответствующего
класса сопряженных элементов. В первом (крайнем левом) столбце стоят обозначения
неприводимых представлений (i) рассматриваемой группы симметрии, причем для
каждого из представлений даны два обозначения: одно согласно работе Бете [3] и дру-
другое, обычно используемое в квантовой химии, по Малликену [24]. Этими же символами
обычно обозначают и соответствующие энергетические уровни. Содержащиеся в осталь-
остальных клетках таблицы числа являются соответствующими характерами Х'г^
*) Для преобразований симметрии и групп симметрии всюду использованы обо-
обозначения Шенфлиса.
- 139 —

Таблица 10.4
Характеры неприводимых представлений тетрагональной
группы ?>4
^^^^ Классы сопряшен-
^^~--^^ ных элементов
Представление ^^"~--^^
по Малликену
At
Bi
по Бете
Гц
Е
1
1
1
1
2
2С4
1
1
—1
—1
0
с\
1
1
1
1
2
2С/2
1
—1
1
0
2С/2
1
—1
—1
1
0
Цифры каждой клетки таблицы дают величину
характера (сумму диагональных элементов матрицы пред-
представления) для класса сопряженных элементов, соответ-
соответствующего тому столбцу, н для представления, соответ-
соответствующего той строке, на пересечении которых находится
данная клетка таблицы. Смысл обозначений классов пояс-
пояснен в тексте.
Так, например, табл. 10.3 содержит следующую информацию. Символ О озна-
означает, что рассматривается кубическая группа симметрии. Обозначения классов пре-
преобразований (первая строка) следует понимать так:
Е — единичное преобразование (тождественная операция симметрии) всегда
само по себе образует класс, состоящий из одного элемента;
Сз— вращение вокруг пространственных диагоналей куба на +120°, класс
состоит из восьми элементов:
С4— вращения вокруг координатных осей (ребер куба) на +90°, класс состоит
из шести элементов;
С\— вращения на 180° вокруг этих же осей, класс состоит из трех элементов;
Сч.— вращения на 180° вокруг пространственных диагоналей куба, класс состоит
из шести элементов.
Таким образом, общее число элементов группы равно 24.
Первый столбец таблицы дополнительных пояснений не требует, так как в ном
приведены лишь обозначения неприводимых представлений. Однако полезно обра-
обратить внимание на то, что группа О имеет только пять различных неприводимых пред-
представлений. Наконец, нахождение с помощью таблицы нужных значений характеров;
читатель сам поймет из следующих примеров: Xf> = 1, Х32> = — 1, Х1\> — 3.
Х«> = — 1 и т. д.
Для группы ZL (табл. 10.4) мы дадим только описание преобразований и необ-
необходимое нам в дальнейшем распределение их по классам сопряженных элементов куби-
кубической группы.
Е — единичное преобразование;
С\— вращения вокруг оси г на +90°, преобразования входили в третий класс
кубической группы;
С\— вращение на 180° вокруг этой же оси, преобразование входило в четвертый
класс кубической группы;
?/2— вращения вокруг осей х и у на 180°, преобразования входили в четвертый
класс кубической группы;
?/?— вращения на 180° вокруг диагональных прямых плоскости ху, преобразо-
преобразования входили в пятый класс кубической группы. Общее число преобразовании
(порядок группы) равно восьми.
Уже сейчас интересно посмотреть, какие физические сведения относительно-
классификации энергетических уровней в поле определенной симметрии можно
почерпнуть из таблицы характеров неприводимых представлений соответствующей
группы симметрии. Так как согласно теореме Вигнера каждому неприводимому пред-
представлению соответствует определенный энергетический уровень, то например, и.т
табл. 10.3 вытекает, что в поле кубической симметрии может быть только 5 (по числу
различных неприводимых представлений) различных типов энергетических уровней
(разумеется, полное число уровней системы может быть сколь угодно большим).
- 140 -

Далее, как уже говорилось выше, характер единичного преобразования рав-
равняется размерности неприводимого представления. Поскольку размерность представ-
представления определяет кратность вырождения (число функций), соответствующего этому
представлению уровня, то из этой же самой таблицы следует, что в поле кубической
симметрии могут быть только невырожденные, двукратно вырожденные и трехкратно
вырожденные уровни энергии. В то же время максимальное вырождение в поле тетра-
гопальной симметрии (см. табл. 10.4) равно двум.
Прежде чем перейти к рассмотрению задачи о расщеплении атомных уровней
полем определенной симметрии, необходимо сказать несколько слов о теоретико-груп-
пой классификации атомных энергетических уровней. Группой симметрии атомной
задачи является полная группа вращений. В теории групп показывается, что каждая
•совокупность сферических гармоник вида A0.11) с фиксированным I (и т, меняющимся
от —I до -\-1) образует базис некоторого B1 + 1)-мерного неприводимого представле-
представления I>i этой группы. Данный групповой результат естественным образом (опять теорема
Вагнера!) увязывается с результатами непосредственного вычисления энергетических
уровней атомов, согласно которым собственные функции атомной задачи с различ-
различными орбитальными квантовыми числами I соответствуют различным уровням энер-
энергии, а по квантовому числу т имеется B1 + 1)-кратное вырождение соответствующих
уровней.
В теории групп доказывается, что характер вращения на угол ср вокруг любой
из осей в 1-м неприводимом представлении группы вращений определяется по формуле
(Ф) =-
^ ч>
sin
A0.19)
В частности, придавая ср соответствующие значения, по этой формуле можно опреде-
определить, чему равны характеры преобразований кубической группы в каждом из представ-
представлений D i группы вращений. Результаты вычисления для нескольких первых значений
Л приведены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
Характеры представлений кубической группы,
полученных из неприводимых представлений
группы вращений
ф
\_ Классы сопряжен-
^^^^ ных элементов
0
1
2
3
0°
Е
1
3
5
7
120°
8С3
1
0
—1
1
90°
6С4
1
1
—1
^
180°
ЗС|
1
^
1
|
180°
6С2
1
^
1
—1
Числа в каждой клетке таблицы, получены по
формуле A0.19) для данного значения, 1, из той строки,
и значения (р из того столбца, на пересечении которых
находится данная клетка таблицы.
Смысл обозначений классов симметрии пояснен
в тексте.
Теперь мы снова вернемся к рассмотренному нами примеру расщепления атомных
уровней в поле кубической симметрии. Знание таблицы характеров неприводимых
представлений кубической группы (табл. 10.3) и знание характеров представлений
(уже не обязательно неприводимых) кубической группы, построенных из представле-
представлений группы вращений, позволяет решить эту задачу исчерпывающим образом.
Все необходимые вычисления ведутся по формуле *)
ir 2
A0.20)
вать
*) У приводимых представлений номер представления I мы всегда будем записы-
записыв аргументе X1- (q>) -> Xj (I).
- 141 -

Получающиеся целые числа а^ показывают, сколько раз в приводимом представлении
с номером I встречается неприводимое представление i. В терминах энергетических:
уровней величина а\ показывает, сколько раз в серии энергетических уровней, воз-
возникающих из атомного уровня с орбитальным квантовым числом I в результате его
расщепления полем кубической симметрии, содержится уровень определенного типа
(в классификации по неприводимым представлениям кубической группы симметрии).
В нашем случае кубической симметрии g = 24, s и / пробегают значения от 1 до
5; /ц = 1, h2 = 8, h3 = 6, h!k= 3, hb = 6; необходимые значения Х^ и Х^Р следует
брать из табл. 10.3 и 10.5.
Ниже приведены результаты вычисления а\ по формуле A0.20), позволяющие^
определить, каким образом происходит расщепление атомных d- и /-уровней в поло
кубической симметрии:
d-уровень
\ = -^j- [1-1-5 + 8-1 -(-
^ (-l).(-l)+ 3-2-1+ 6-0-1+ 6-0.(-1)] = 1,
-1)-1 + 6-(-1)-1 +6-1-(-1)] =
/-уровень
[ + + -1.(
$? (-1). 1 + 3-1-(_1
а%=-^ [1-2-7 + 8-(_1).1 + 6.0.(-1) + 3.2.(-1) +6-0-(-1I = 0,
Из приведенных расчетов величин а\ видно, что атомный d-уровень в поле кубической
симметрии расщепляется на трехкратно вырожденный уровень Г5 и двукратно вырож-
вырожденный Г3, что полностью совпадает с результатом, полученным ранее, /-уровень рас-
расщепляется на три: однократно вырожденный Г2 и два трехкратно вырожденных Г4
и Г5.
Вторая половина задачи, состоявшая в том, чтобы выяснить, каким образом
происходит дальнейшее расщепление уровней при переходе от кубической симметрии
к тетрагональной, может быть решена аналогичным же образом, если потенциал
лигандного поля можно представить в виде суммы
Для этой цели формулу A0.20) перепишем в виде
»1=72^И. A0.22).
j
где g = 8; i я j снова пробегают значения от 1 до 5; hi = 1, /г2 = 2, /г3 = 1, /г4 = 2
/г5 = 2; значения Х^ берутся из табл. 10.4, а X] (nt) — из табл. 10.6, представляю-
представляющей таблицу характеров представлений группы D 4, построенных с помощью неприво-
неприводимых представлений кубической группы (для получения последней таблицы необ-
необходимо воспользоваться распределением преобразований тетрагональной группы по
классам сопряженных элементов кубической группы). Не проводя очевидных вычис-
вычислений, мы дадим только окончательную схему расщепления соответствующих энергети-
энергетических уровней (рис. 10.3).
В заключение следует указать на два важных обстоятельства. Во-первых, мы
всюду умалчивали о том, что энергетические уровни имеют определенную четность
- 142 -

Таблица 10.6
Характеры представлений тетрагональной
группы, полученных из неприводимых
представлений группы вращений
^^^^ Классы сопряшен-
^-^^ ных элемен-
^^^^ тов
Представления ^-^^
Ги
1 f 2
Ги
Ги
Е
1
2
3
3
2С4
1
0
—1
1
1
2
1
—1
2Е/2
1
2
—1
—1
2t/2
1
0
1
—1
4S
'5
по отношению к инверсии, и, во-вторых, не обращали внимания на наличие спина-
Ко второму из этих вопросов мы еще вернемся в дальнейшем рассмотрении; что же
касается первого, то мы его обсудим сейчас.
Как известно, атомные энергетические уровни всегда имеют определенную чет-
четность по отношению к инверсии: s-уровень четный, р-уровень нечетный, d-уровень-
четный и т. д. В том случае, если внешнее по-
ле имеет центр симметрии (т. е. содержит ин- tt
версию в качестве операции симметрии), то ____,-—¦""
при расщеплении атомных уровней их чет- '/ _.--*¦""
ность будет сохраняться; в противном случае rt2
четность конечного состояния определить уже ; _..--
нельзя, она теряется. гг _,-''"
§ 6. Физическая интерпретация *г
расщепления атомных уровней 3 -=сС11 rti
в кристаллах ¦ /^
Обратимся теперь к физическому
анализу полученных результатов на
основе формальных соображений сим-
симметрии и теории групп. Во многих
парамагнитных соединениях кубиче-
кубическое лигандное поле создается моле-
молекулами воды, расположенными в вер-
вершинах октаэдра, в центре которого
находится парамагнитный ион. Любопытно отметить, что поле FKy6
оказывается приближенно одинаковым для многих солей, что, по-видимо-
по-видимому, связано с тем, что размеры октаэдра определяются размерами пара-
парамагнитного иона. Возникновение поля FTeTp может иметь две физические
причины: 1) оно создается всеми ионами кристалла и, следовательно, обла-
обладает островной симметрией того узла (или междоузлия) кристалла, в кото-
котором находится рассматриваемый парамагнитный ион, и оно может воз-
возникнуть из-за деформации октаэдра, вызываемой эффектом Яна — Телле-
ра (см. § 10).
Как мы видели, /^-уровень иона остается трехкратно вырожденным
в кубическом поле, а в тригональном и в тетрагональном расщепляется:
на два уровня — один простой и второй двукратно вырожденный.
Пятикратно вырожденный с?-уровень свободного иона расщепляется
в кубическом поле на два уровня — один двукратно вырожденный (Г5}
и другой трехкратно вырожденный (Г3). При этом мы еще не рассматри-
рассматриваем двукратное спиновое вырождение каждого из орбитальных состоя-
состояний (о нем речь будет идти ниже, в § 8).
- 143 -
Рис. 10.3. Схема расщепления термов (Г; )•
при понижении симметрии внутрикристал-
лического поля от кубической до тетраго-
тетрагональной (Г;р.

Можно наглядно понять физическую причину такого расщепления
«i-уровня, если явно рассмотреть угловое распределение электронной
плотности, соответствующее волновым d-функциям, и учесть при этом
расположение соседних лигандных ионов, создающих внутрикристалли-
ческое поле.
Из формул A0.14) и A0.15) можно определить угловое распределение
плотности электронного заряда в пространстве для соответствующих
¦состояний. Это распределение изображено на рис. 10.4, а на рис. 10.5
Рис. 10.4. Угловое распределение электронного заряда в d-состояниях.
Функции^!, i|J,i|K,ijL и ¦fs определяются по формулам A0.14) и A0.15).
показано расположение лигандных ионов по отношению к магнитному
иону для различных координационных чисел (т. е. чисел ближайших
соседей: z\ = 4, 6, 8, 12). Из этих рисунков видно, что в случае рассмотрен-
рассмотренной выше октаэдрической симметрии (z\ = 6, рис. 10.5) наибольшая элек-
электронная плотность («лепестки» распределения плотности) в эквивалент-
эквивалентных состояниях, описываемых функциями г|M (d), г|54 (d), оказывается
вдоль линий, соединяющих магнитный
ион с лигандными ионами. Это двукрат-
двукратно вырожденное состояние с уровнями
энергии типа Г3 (как следует из табл.
10.3). Его по Бете [3, 4] обозначают ys
или dy, а по Малликену [24] eg. Наоборот,
в эквивалентных состояниях, описывае-
описываемых функциями tyi (d), г|J (d) и г|;3 (d)-
«лепестки» плотности направлены не в
сторону лигандных ионов. Это, согласно
табл. 10.3, трехкратно вырожденное состо-
состояние симметрии Г5 (по Бете 75 или dB, по
Малликену tZg). Поэтому при октаэдриче-
октаэдрической симметрии электроны магнитно актив-
активного иона в случае у3 (dv или eg) на
орбитах симметрии Г3 испытывают более
сильное электростатическое отталкивание
от отрицательно заряженного аниона
лиганда (к которому направлены «ле-
«лепестки» электронной плотности), чем в случае 75 (<4 или t2g). Таким обра-
образом, уровень типа Г3 лежит выше уровня типа Г5; величину энергети-
энергетического расщепления между этими уровнями в октаэдре принято обозна-
обозначать через Дкр = lODq (см. [6]); это расщепление показано на рис. 10.6.
Физически легко понять, почему тригональное или тетрагональное
искажение приводит к дальнейшему снятию вырождения. Действительно,
например, появление тетрагональной симметрии можно представить
«ебе как следствие небольшого смещения лигандных ионов, располо-
расположенных вдоль оси z, соответственно на некоторые малые расстояния ±а.
При этом вклад в энергию состояний типа Г5 с волновыми функциями
¦ф3 (d) та zx и г|;2 (d) » yz от взаимодействия с кристаллическим полем
будет одинаков, но отличен от вклада в энергию от состояния % (d) « ху.
Рис. 10.5. Расположение лигандных
ионов по отношению к магнитному
эдону для различных значений коорди-
координационного числа, a) z, = 4; б) Z\ — 6;
в) z, = 8; г) Zi = 12. Черный кружок—
магнитный ион, светлые кружки —
лигандные ионы.
— 144 —

Поэтому ранее (до искажения кубического поля!) трехкратно вырожден-
вырожденный уровень Г5 расщепляется в тетрагональном поле на двукратно вырож-
вырожденный уровень I\5 и однократно вырожденный уровень Tti (см. рис. 10.3
и 10.6, б). Что касается состояний типа Г3, описываемых функциями
¦ф4 (d) и i|i5 (d), то они обе различно относятся к расположению лигандов
вдоль оси z; поэтому при тетрагональном искажении здесь также произой-
произойдет расщепление ранее двукратно вырожденного уровня на два невырож-
невырожденных (см. рис. 10.3 и 10.6, б) Tti и Tt2. В тригональном поле уровень
Г3 не расщепляется (см. рис. 10.3).
В связи с проведенным наглядным объяснением расщепления уровней
типа Г5 и Г3 следует помнить, что оно основано на приближенной ионной
модели точечных зарядов ли-
гандных ионов. Клайнер [25]
сделал попытку учесть протя-
протяженность электронного заряда
лигандных ионов кислорода и
получил обратное расположе-
<h'№ts
б)
Рис. 10.6. Расщепление d-уровня катиона в внутри-
кристаллических полях различной симметрии, а —
свободный ион, р — ион в поле кубической симмет-
симметрии, v — ион в поле тригональной симметрии, б—
ион в поле тетрагональной симметрии, а) Случай с
координационным числом zi = 6 (см. рис. 10.5, б),
катион с конфигурацией d1 (терм 2D) или d" (терм'О,
а также с Zi = 4, или 8, или 12 (см. рис. 10.5, а, в, г),
катион с конфигурацией d4 (терм bD) или d9 (терм 2D).
б) Случай с координационными числами zi = 4, или
8, или 12 (см. рис. 10.5, а, в, г), катион с конфи-
конфигурацией d1 (терм 2?>) или d* (терм bD), а также с
zi = 6 (см. рис. 10.5, б), катион с конфигурацией
d4 (терм6!)) или d9 (терм 2р). (У каждого уровня
указано его неприводимое представление Г-, Г;- или
Гу. и соответствующие ему волновые функции ¦ф.;
i = 1, 2, 3, 4, 5.)
ние уровней типа Г3 и Г5 в
кубическом поле для хромовых
квасцов (он получил Dq =
= —550 см'1, а опыт дает Dq =
= +1750см*1). Танабе и Сугано
[26] учли обменное взаимодей-.
ствие Зй-электронов парамаг-
парамагнитного иона с электронами
лигандных ионов и эффект де-
деформации электронных орбит и
тех и других ионов. Они полу-
получили Dq = + 4750 см~г. Таким
образом, эти два эффекта в оп-
определенной степени могут ком-
компенсировать друг друга, поэ-
поэтому модель точечных лиганд-
лигандных ионов часто и дает неплохие
результаты. Однако для точного
теоретического определения ве-
величины Дкр следует учитывать, кроме этих эффектов, также влияние «при-
«примеси» ковалентных связей, которая присутствует даже в чисто ионных
соединениях. Обобщение теории кристаллического поля на случай учета
ковалентности химических связей проведено в работах Ван-Флека [27],
Сугано и Шульмана [28], Сугано и Танабе [29], Маршалла [30] и других
[подробнее см. по этому вопросу книгу Бальхаузена A964), а также ра-
работы [31-43]].
До сих пор мы рассматривали ион с конфигурацией d1 (например,
ионы Sc2+, Ti3+, V4+), т. е. с одним d-электроном. Электронная конфигу-
конфигурация d6 (например, ионы Fe2+, Co2+) отличается от d1 добавлением пяти
электронов. По правилу Хунда (гл. 2) они занимают все пять d-орбит,
и поэтому возникает состояние 6S (ионы Mn2+, Fe3+).
Ионы с наполовину заполненным Зй-слоем (Mn2+, Fe3+), с полностью
пустым (Sc3+, Ti4+, Vs+) или с целиком заполненным (Cu+, Zn2+) имеют
основное ^-состояние с L = 0 F6Г1/2)- В случае редкоземельных металлов
это будут ионы Gd3+, Eu2+ с основным состоянием 86г7/2. Поэтому магне-
магнетизм этих ионов обусловлен в первом приближении только спином. Кри-
Кристаллическое поле не должно также расщеплять основной уровень этих
ионов. Однако на опыте небольшое расщепление наблюдается. Оно объяс-
объясняется более сложными эффектами возмущения высших порядков.
Все пять спинов в состоянии 6S параллельны, и результирующее спи-
спиновое квантовое число равно S = 5/2. В первом приближении внутрикри-
Ю С В. Вонсовский
- 145 -

сталлическое поле не снимает шестикратного спинового вырождения.
Наблюдаемое на опыте слабое расщепление спинового мультиплета теоре-
теоретически может быть получено лишь в высших приближениях. Поэтому
характер расщепления, вызванного лигандным полем, для конфигураций
dl и de (соответственно состояний 2D и &D) будет одинаковый *)
(см. рис. 10.6). Далее, конфигурацию d9 мож-
можно представить себе как заполненный d-слой
с одной дыркой (эффективным положительным
зарядом -|* е). В таком же соотношении нахо-
находятся конфигурации d4 и d6. Поэтому характер
расщепления для конфигураций d9, d* будет с
обратной последовательностью уровней энер-
энергии, чем в случае d1, d6 (см. рис. 10.6, б). Схе-
Схемы расщепления уровней, приведенные на
рис. 10.6, а, б, имеют место и в тех случаях,
когда магнитный d-жои окружен четырьмя, во-
восьмью или двенадцатью лигандными ионами;
в этом случае последовательность уровней
изменится на обратную соответственно для
конфигураций d1, d6 и di, d9; это легко понять,
если опять сравнить распределение электрон-
электронной плотности d-иона и расположение лиганд-
ных ионов (см. рис. 10.5,а и б) **).
Нам осталось еще рассмотреть конфигура-
ции d2, ds и d3, d1, которым соответствуют со-
состояния 3F (например, ионы Ti2+, V3+, Ni2+)
и 4F (V2+, Cr3+, Mn4+, Co2+). Здесь мы имеем
дело с многоэлектронной задачей (два или три
электрона в конфигурациях d2 и d3 или две или
три дырки в конфигурациях ds и d1). Более про-
простым являлся бы случай одного /-электрона (например, редкоземельный
ион с конфигурацией 4/1). По аналогии с A0.12)—A0.15) угловые
части семи водородных волновых функций г|); (/) /-состояния имеют вид
Рис. 10.7. Расщепление'уровней
магнитного катиона с конфигу-
конфигурацией d' (терм *F) внутрикри-
сталлическим полем и под вли-
влиянием спин-орбитального вза-
взаимодействия (при условии
&Kpi> &LS). Цифры указывают
полную кратность вырождения.
Окружение лигандов октаэдри-
ческое. Масштаб расщеплений
произвольный.
Г4
(/) « х Bх* - Зу2 - 3z2), fy (/) « у Bг/2 - 3z2 _ Зя2),
A0.23)
Из самого вида трех функций во второй и третьей строчке A0.23) опять
видно, что они взаимно переходят друг в друга при циклических пере-
перестановках координат х, у, z. Поэтому в случае октаэдрического расположе-
расположения лигандных ионов семикратно вырожденный .F-терм расщепляется
на три терма: однократный типа Г2 и два трехкратно вырожденные типа
Г6 и Г4. Из электростатических соображений можно опять выяснить, что
в случае конфигураций d3 и da нижним орбитальным уровнем будет синглет
Г2, затем триплет Г5 и, наконец, триплет Г4. Для конфигураций d? и d2
будет обратная последовательность уровней (рис. 10.7). Строго говоря,
например, в двух электронной системе с конфигурацией d2 максимальное
суммарное орбитальное квантовое число L равно 4, поэтому возможны
состояния с L = 0, 1, 2, 3 и 4, т. е. состояния XS, 3P, XD, 3F и 1G. Эти
5 термов имеют соответственно кратности вырождения 1, 9, 5, 21, 9. Та-
*) Когда говорят об одинаковом характере расщепления в конфигурациях dn
и dn+5, то следует помнить, что речь идет только об основном терме конфигурации
(d1 и йв ->¦ D-терм; d% и d1 ->• F-терм; d3 и da ^>- /"-терм; d4 и d9 ^- D-терм), поскольку
возбужденные термы (проявляющиеся в оптических спектрах) у dn и d«+5 различны.
**) Здесь мы имеем пример реализации правила Хунда (гл. 2), согласно которому
ионы с конфигурациями nd1, nd*, nds и nd9 (n = 3, 4, 5) все находятся в Д-состояниях.
— 146 -

ким образом, уровень конфигурации d2 (ds) имеет кратность вырождения
1+9 + 5 +21 + 9= 45, т. е. кратность вырождения равна числу рас-
распределений двух электронов по десяти состояниям с учетом принципа
Паули: С\о = 10-9/1-2 = 45. По первому правилу Хунда в свободном
ионе триплетные состояния 3Р и 3F будут более устойчивы, чем синглеты
16r, W и 1G. Из этих двух состояний по тому же правилу наиболее устой-
устойчивым будет состояние SF. Поэтому лигандное поле FKp кубической сим-
симметрии расщепляет 25-кратно вырожденный (только орбитальный) уро-
уровень конфигураций d2, ds на одиннадцать уровней (см. рис. 10.7). Точно
так же можно рассмотреть в много электронном изложении расщепление
уровней для конфигураций d3, d7. В этом случае в свободном ионе уро-
уровень с минимальной энергией соответствует состоянию iF.
§ 7. Влияние спина и «замораживание» орбитальных моментов
До сих пор мы совершенно не учитывали спин электрона. Благодаря
наличию спина каждый электронный орбитальный уровень двукратно
вырожден. Для описания электронных состояний в нулевом приближении,
т. е. без учета магнитных спиновых взаимодействий, но с учетом этого
вырождения, необходимо образовать произведения орбитальных волновых
функций [например, в случае d-состояния взять функции A0.14) и A0.15)]
на спиновые функции аир, соответствующие двум возможным значе-
значениям проекции спина ((sz) = ± 1/2). Таким образом, вместо A0.14)
и A0.15) будем иметь
(d) -a = R^zx-a,
A0.24)
)
Оператор энергии спин-орбитального взаимодействия SSls из A0.2) в при-
приближении рессел-саундеровской связи можно записать в виде
zoz-\--2\J-'О +Ь о )], A0.^5)
где L± = Lx ± iZj,, б1* = 5Ж ± iSy, а Я — энергетический параметр
спин-орбитального взаимодействия (этот параметр положителен, если
Зй-слой заполнен более чем наполовину). Если рассмотреть, например,
состояния 2D или 5D (см. рис. 10.6, а), то учет возмущения спин-орбиталь-
спин-орбитальной связью A0.25) в первом приближении не изменит энергию орбитально
невырожденных уровней Га, Г/3 и Ти *). Это обусловлено тем, что все
диагональные матричные элементы оператора орбитального момента L
равны нулю **). Это легко показать в общем виде. Дело в том, что опе-
операторы X и Lz, Lx, Ly чисто мнимые например, Lz = i (у х —) ],
L- \ их оу} _)
а нулевые орбитальные волновые функции A0.24) вещественные. Поэтому,
если обозначить эти функции через г|50, то диагональный матричный эле-
элемент
<о|4|О) =
*) Мы не учитываем здесь их двукратного спинового вырождения, которое'
может быть снято, например, внешним магнитным полем.
**) Действительно, по теории возмущений поправка первого приближения!
к энергии для невырожденного уровня равна диагональному матричному элементу
оператора возмущения A0.25).
— 147 — ID*'

будет чисто мнимым числом. Тоже можно сказать и о диагональных матрич-
матричных элементах операторов Lx и Ly. Следовательно, и диагональный матрич-
матричный элемент оператора A0.25), т. е. @|А| (L -8) |0), тоже чисто мнимое
число. Но по своему физическому смыслу это должно быть поправкой
к энергии, т. е. вещественной наблюдаемой величиной. Для разрешения
этого противоречия остается единственная возможность, а именно считать,
что этот матричный элемент равен нулю.
В связи с полученным выводом следует напомнить общую теорему
квантовой механики: существование отличного от нуля среднего значе-
значения магнитного момента атома или молекулы в отсутствие внешнего маг-
магнитного поля Н предполагает наличие по крайней мере двукратного
вырождения их состояния. Если вырождение полностью снимается, то вол-
волновые функции с необходимостью вещественны (при Н =0), и мы полу-
получаем приведенный выше результат. Действительно, например, для опе-
оператора Lz диагональный матричный элемент будет содержать сомножи-
сомножителями интегралы
(* * dibn , I*
J ^i/ J
Если учесть, что в силу вещественности функций -ф* == г|50 и i|H исче-
исчезает на бесконечности, то после интегрирования по частям получаем
Этот факт означает не только исчезновение в первом приближении
поправки к энергии от спин-орбитального взаимодействия, но также
и исчезновение в нулевом приближении, т. е. при учете кристалличе-
кристаллического поля, но в пренебрежении спин-орбитальной связью {{3?ls) = 0),
орбитального магнитного момента. Действительно, магнитный момент
атомной системы в стационарном состоянии равен среднему значению
оператора \1в (L Ч~ 2$) в этом состоянии. Если внешнее магнитное поле
Н направлено, например, вдоль оси z, то орбитальная часть магнитного
момента определяется средним значением оператора Lz. Поскольку в кри-
кристаллическом поле это среднее значение равно нулю, то, следовательно,
отсутствует и орбитальный магнетизм (в данном приближении, конечно).
Это и объясняет явление замораживания орбитальных моментов в кри-
кристаллическом поле, о котором шла речь в гл. 9. Как мы увидим ниже, спин-
орбитальное взаимодействие, возмущая движение электронов, находя-
находящихся в сильном, замораживающем орбиту кристаллическом поле, может
частично «размораживать» орбитальное движение. Если знак спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия способствует параллельной ориентации орби-
орбитальных и спиновых магнитных моментов, то g-фактор будет несколько
больше 2 (т. е. больше чисто спинового значения). В противном случае
будет g ^ 2.
Рассмотрим подробнее вопрос о явлении замораживания орбитальных
моментов. В частности, если мы имеем дело с «широким» мультиплетом
(hv > кТ) и асимметричное внутреннее поле кристалла полностью снимает
вырождение по ML, то внешнее магнитное поле уже не может привести
к перераспределению электронов по состояниям с различными Мь,
ж поэтому магнитная восприимчивость будет равна нулю. Спиновое выро-
вырождение при этом сохраняется, так как расщепление уровней, связан-
связанное с эффектом Штарка в лигандном поле, не зависит непосредственно
от направления спина относительно магнитного поля. Поэтому кристал-
кристаллическое поле практически не оказывает никакого влияния на ионы, нахо-
находящиеся в б'-состояниях, например на ион Gd3+ (8S7/2).
- 148 -

Потенциальная энергия V (г) электрона в ионе, вызванная полем
окружающих ионов решетки, может быть выражена в виде степенного
ряда координат электронов иона. Если учесть неисчезающие члены этого
ряда с наинизшими степенями, то будем иметь
V = A^xl + B^yaq+C^zl, A0.26)
111
где суммирование распространяется по всем электронам данного иона.
Линейные члены и член с произведениями xqyq и т. п. в A0.26) исчезают
в силу соображений симметрии. Члены более высокого порядка, как пра-
правило, будут меньше A0.26). В общем случае эффектами членов высших
порядков пренебрегать нельзя, но для качественных рассмотрений [см.
Ван-Флек A932)] можно ограничиться выражением A0.26). Если А = В =
= С, то кристаллическое поле центрально-симметрично и ионы твердого
тела в магнитном отношении столь же свободны, как и в газе (см. гл. 9).
Если А = В Ф С, то ось z является осью симметрии и постоянной дви-
движения будет только z-я слагающая орбитального момента (для слагающих
х и у отличны от нуля только недиагональные матричные элементы с Пра-
Правилом отбора AML = ± 1). Если эффект кристаллического поля велик
( | ^4 — С | 2 Х11> кТ), то уровни энергии, соответствующие различным
1
Lz, будут далеко отстоять друг от друга; если наинизшее состояние при
этом соответствует Lz — L с ML = ± L, то магнитная восприимчивость
будет определяться, согласно (9.20), только низкочастотной частью.
Таким образом, в случае А=В Ф С вырождение не снимается только для
z-й слагающей орбитального момента, которая и участвует в восприимчи-
восприимчивости. Если коэффициенты А, В, С все не равны между собой, то не суще-
существует оси, относительно которой орбитальный момент сохраняется,
и поэтому вырождение полностью снимается. Тогда орбитальные моменты
будут участвовать только в высокочастотной части (9.21) восприимчиво-
восприимчивости, и если расстояние между энергетическими уровнями hv (n, п') велико
по сравнению с кТ (например, больше 103 см'1 при комнатных темпера-
температурах), то орбитальные моменты практически полностью «заморожены».
При нарушении условия hv (n, п') ^> кТ орбиты начинают постепенно
«размораживаться» и принимать участие в парамагнитной восприимчиво-
восприимчивости. Условия, необходимые для того, чтобы явление замораживания орби-
орбитальных моментов хотя бы приближенно имело место, могут быть легко
получены в предельном случае hv (/, /') <^ кТ (см. гл. 9). Обозначим
расщепление энергетических уровней, вызванное асимметричным кри-
кристаллическим полем, через hvKV ( = Акр); тогда эффект замораживания орби-
орбитального момента будет иметь место при условии
AvKp > кТ.
При нарушении условия hv (/, /') <^ кТ, т. е. когда мультиплетная
структура достаточно широка (кТ = 205 см'1 при Т = 293° К, a hv (/, /')
может достигать в ряде случаев величин 2000 см'1), приходится поль-
пользоваться более общей формулой (9.38) и учет эффекта замораживания
орбиты становится более трудным.
Мы видели уже, что симметрия кристаллического поля вокруг каж-
каждого данного иона может и не совпадать с симметрией кристалла в целом.
В случае квасцов, где парамагнитный ион окружен шестью молекулами
воды, кристалл в целом имеет кубическую симметрию, а относительное
расположение парамагнитных ионов имеет тригональную симметрию.
В жидких растворах коэффициенты А, В, С в A0.26) можно считать раз-
различными из-за беспорядка в расположении атомов. Однако в случае
ассоциации полярных молекул растворителя с парамагнитным ионом
может возникнуть местное асимметричное электрическое поле, снимающее
орбитальное вырождение.
- 149 -

В качестве наглядной иллюстрации рассмотрим еще упрощенный
конкретный пример расчета замораживания орбитальных моментов в слу-
случае катиона с одним электроном в р-состоянии (L = 1), находящимся
в лигандном поле ромбической симметрии с потенциалом вида A0.26).
Основное состояние свободного иона с L = 1 трехкратно вырождено.
Поэтому состояния с различными Мь (+1, —1, 0) имеют одинаковую
энергию. Во внешнем магнитном поле в свободном ионе возникает зее-
мановское расщепление уровня, полностью снимающее вырождение по
Мь\ в основном состоянии проекция Мь вдоль поля будет максимальной,
что и приводит к парамагнетизму атома. В сильном кристаллическом
поле A0.26) будет наблюдаться совершенно иная картина. Обозначим
комплексные водородоподобные р-функции через p+i, Po и p_i, соответ-
соответствующие значениям ML = -\-l, 0, —1. Из них можно образовать три
вещественные линейные комбинации A0.13). Можно показать, что все
недиагональпые матричные элементы оператора V A0.26) равны нулю.
Действительно, если, например, рассмотреть матричный элемент
оо
>1 (Р) Hz (P) dx = j [Rt (г)]2 ху (Ах2 + By2 + Cz2) dx dy dz,
— oo
то сразу видно, что из-за нечетности подынтегральной функции относи-
относительно переменной х этот элемент тождественно равен нулю. Поэтому
расщепление уровня под действием потенциала возмущения A0.26) будет
в первом приближении определяться диагональными матричными эле-
элементами I 11|); (p) |2 Vdx (i = 1, 2, 3). Эти поправки равны
где величины Р1 и Р2 имеют вид
Р, = j а* [Я, (г)]2 dx = j у* [Rt (r)]2 dx = j Z2 [Я, (г)]* dx,
Pz = j a*jf [Я, (r)]2 dx = j хЧ* [Rt (r)]2 dx = j *V [Д4 (г)]2 dx.
Разности §2 — Si, %z — §2 и дают штарковское расщепление Акр, о ко-
котором шла речь выше. В данном случае, поскольку недиагональные эле-
элементы оператора A0.26) равны нулю, то волновые функции A0.13) являют-
являются собственными функциями возмущенной задачи с гамильтонианом
3?0-\-V. С другой стороны, как показано выше, средние значения опера-
операторов Lx, Ly и Lz, вычисленные с помощью вещественных функций A0.13),
равны нулю, и поэтому равен нулю орбитальный магнитный момент. Обра-
Обращаем внимание, что последнее непосредственно следует из того, что состоя-
состояния^ (р) иг|J (р) из A0.13) являются суперпозициями состояний с ML =
= +1 и Мь = —1.
Иное влияние спин-орбитальное взаимодействие оказывает на уровни
орбитально вырожденных состояний. Для вырожденного нулевого уровня
поправки от возмущения к энергии в первом приближении определяются
также и недиагональными матричными элементами оператора энергии
возмущения. Поэтому, например, уровень 5F будет уже в первом прибли-
приближении расщепляться под влиянием спин-орбитального взаимодействия.
В рассматриваемом здесь случае солей d-элементов расщепление
в кубическом лигандном поле обычно больше, чем спин-орбитальное рас-
расщепление (Акр ^ AbS). Именно поэтому сначала следует найти расщепле-
расщепление от FKp, а затем уже искать добавочное расщепление от $Вls- Следует
— 150 —

отметить, что часто AbS может быть больше, чем расщепление от иска-
искажений кубического лигандного поля Д^, т. е. Ax,s ^> Д^. Можно ожидать
[см., например, Гудинаф A963)], что для магнитных d-катионов с конфи-
конфигурациями d3, d4, db, ds, d9 в октаэдрическом лигандном поле и d-катионов
с конфигурациями d1, d2, db, d6, d1 в тетраэдрическом окружении имеет
место неравенство At > AbS. В противоположном случае, наоборот,
At < AbS.
§ 8. Теоретико-групповая трактовка спин-орбитального расщепления
Теоретико-групповое исследование задачи, когда волновыми функциями явля-
являются не скалярные функции, а спиноры, значительно более сложно. Дело заклю-
заключается в том, что теперь одному и тому же преобразованию (вращению) в координат-
координатном пространстве соответствует два различных квантовомеханических оператора.
Для полного группового анализа задачи требуется определить неприводимые пред-
представления этой новой группы операторов, а не группы геометрических преобразований.
Возникающая «двузначность» имеет далеко идущие следствия *). Мы не станем углуб-
углубляться в существо данного вопроса, а укажем непосредственно на те изменения в фор-
формальной схеме расчетов, которые необходимо сделать, чтобы решить задачу о расщеп-
расщеплении термов при наличии спина.
Во-первых, формула A0.19) для вычисления характеров неприводимых пред-
представлений группы вращений остается в силе, если заменить I на /, где / = 1/2, 3/2, . . .
Заметим, что согласно этой формуле характер поворота на 0° (единичное преобразова-
преобразование), как и раньше, равен +B/ + 1), однако поворот на 360° уже не равноправен
с поворотом на 0° и имеет характер — B/ -+- 1). (Вот она двузначность!)
Во-вторых, основная формула A0.20) для определения расщепления также
остается в силе, однако ^-порядок группы симметрии следует заменить на 2g (для
кубической группы это равно 48). Величины hh и Х(^ нужно брать из соответствую-
соответствующих таблиц характеров двузначных неприводимых представлений точечной группы
симметрии (для кубической группы из табл, 10.7 **), а значения Xk (/) вычисляются
с помощью формулы A0.19) с заменой I на / (соответствующие значения для кубиче-
кубической группы приведены в табл. 10.8).
Таблица 10.7
Характеры двузначных неприводимых представлений кубической группы О'
\^ Классы сопряжен-
^^^^ ных элементов
Представления ^^^^
по Малликену
Е'г
Е'3
G'
по Бете
г6
г7
г8
Е
2
2
4
Q
—2
—2
—4
4С3
iC2Q
1
1
—1
4C3Q
—1
—1
1
ЗС4
3C?Q
V2
-У2
0
ЗСЗ
1Г2П
-V2
У2
0
ЗС|
3C|Q
0
0
0
6С2
6C2Q
0
0
0
Здесь для получения двузначных представлений использован, по Бете [3],
математический прием, согласно которому предполагается, что кристалл перехо-
переходит в самого себя не при вращении на угол 360° вокруг соответствующей оси,
а только при вращении на 720°. Тем самым определяется новый элемент группы
Q—вращение на угол 4я, —и поэтому, кроме элементов однозначной группы,
появляется еще столько же элементов в результате умножения на Q. Таким
образом, двойная группа содержит больше классов, чем простая, но не вдвое
больше, ибо все классы, содержащие вращение на угол я, не удваиваются (напри-
(например, ЗС| и 6С2 в случае данной группы). Смысл обозначений классов пояснен
в тексте, относящемся к табл. 10.3 и 10.4.
Окончательные результаты расчета суммированы в табл. 10.9.
Естественно, что методы теории групп в случае задачи спин-орбитального рас-
расщепления, так же как и в случае лигандного расщепления, не дают возможности
*) Термин «двузначность» возник в связи с тем, что матрицы представления ука-
указанных выше пар операторов отличаются друг от друга только знаками.
**) В табл. 10.7 и 10.8 преобразование Q формально означает поворот на угол 360°.
- 151 -

Таблица 10.8
Характеры двузначных представлений кубической
группы О', полученных с помощью представлений
. группы вращений
ч. Классы сопря-
^ч женных
ч. элемен-
ч. тов
j ^\
1
2
3
2
5
2
7
2
Е
2
4
6
8
Q
—2
—4
—6
—8
4С3
4C2Q
1
—1
0
1
4С2
4C§Q
—1
1
0
—1
зс4
3CJQ
У2
0
-V2
0
Смысл обозначений классов пояснен
сящемся к табл. 10.3 и 10.7.
ЗСЗ
3C4Q
-V2
0
V2
0
ЗС|
3C2Q
0
0
0
0
ее?
6C2Q
0
0
0
0
в тексте, отно-
Таблица 10.9
Расщепление атомных термов с различными квантовыми числами
в поле кубической симметрии
^ч Представ-
^ч ления
j \
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
7
2
Ti
1
0
0
0
0
0
0
0
Г2
0
0
0
0
0
0
1
0
Гз
0
0
0
0
1
0
0
0
В каждой клетке таблицы
г4
0
0
1
0
0
0
1
0
Ть
0
0
0
0
1
0
1
0
[ приведены
а, рассчитанных по формуле A0.20),
индекс суммирования / заменег
из табл. 10.7, а
[ на к
Гв
0
1
0
0
0
0
0
1
г?
0
0
0
0
0
1
0
1
г8
0
0
0
1
0
1
0
1
Число
тер-
термов
1
1
1
1
2
2
3
3
значения коэффициентов
в которой g заменяется на 2°,
, величины hh и X<ft> берутся
величины Xh(j) вычисляются по формуле A0.19)
с заменой 1 на / (см. табл. 10.8).
предсказать порядок величин расщеплений ДкР и A^S' Это приходится делать с по-
помощью расчетов по теории возмущений с гамильтонианом A0.1)—A0.5).
Прежде чем обратиться к этой задаче, остановимся еще на двух важных вопросах
для всей проблемы магнетизма кристаллов, а именно на теореме Крамерса [5] и эффекте
Яна — Теллера [9] [см. также Ландау и Лифшиц A963) и Гудинаф A969)].
- 152 —

§ 9. Теорема Крамерса
Теорема Крамерса утверждает, что в случае, если система содержит нечетное
число электронов, электрическое поле любой симметрии не может полностью снять
вырождение энергетического уровня. Всегда существует по крайней мере двукратное
(крамерсовское) вырождение, которое может быть снято лишь внешним магнитным
полем. Как впервые показал Вигнер [44] [см. также Вигнер A961)], крамерсовское
вырождение тесно связано с инвариантностью физических систем относительно изме-
изменения знака времени. Не останавливаясь подробно на этой интересной проблеме, дадим
несколько упрощенный вариант доказательства теоремы Крамерса [см. Лоу A962)].
В отсутствие внешних магнитных полей оператор Гамильтона электронной системы
содержит только четные степени импульсов и моментов количества движения. Это
имеет место для оператора кинетической энергии рг11т, а также для операторов спин-
орбитальной A{-Si) и спин-спиновой энергии (SfSj). Поскольку при замене f->-— t
р-^>— p,l -s I, s -»- — s, то и ёв (р, I, s) = &е (—р, —I, —s), т. е. он инвариантен
к преобразованию t —>- — t. Заметим, что хотя спин-орбитальную связь и можно рас-
рассматривать как результат взаимодействия момента спина с внутренним орбитальным
магнитным полем системы, но при замене J на —t это поле тоже меняет знак вместе
со спином, и поэтому спин-орбитальная энергия инвариантна по отношению к преобра-
преобразованию t —>- — t. Оператор же взаимодействия с внешним магнитным полем Н • (I +
+ 2s) не инвариантен по отношению к замене t —>- — t, так как он линеен по отно-
отношению к I и s. Обозначим через R оператор обращения времени, т. е.
R-Se(r, р, I, 8)-А-1 = Ж(г,—р, —I, — s)=c3§". A0.27)
В самом общем виде оператор ?№ одноэлектронной системы (при наличии электро-
электростатического и спин-орбитального взаимодействия) можно представить в виде
0
1
1
0
0
i
— i
0
•
1
0
0
— 1
&€{г, р, s)=&Eu{r, p)+3es{r,p)-sx + Sey(r, p)-sy+?fcz{r,p).sz, A0.28)
где компоненты оператора вектора спина определяются двухрядными матрицами
Паули
A0.29)
Нетрудно показать, что оператору R можно придать вид R = isy С, где С — оператор,
который при действии на комплексную функцию <р превращает ее в комплексно сопря-
сопряженную ф*, т. е. Сф = ф*. Оператор С перестановочен (коммутирует) с isy, т. е.
Cisy = isyC, и, кроме того, обратный оператор С'1 (определяемый равенством СС'1 =
= С-гС = 1) равен исходному, т. е. С'1 = С. Отсюда следует, во-первых, что
-p)-2y+a&z{r, -p)-sz,
и, во-вторых *),
ЛсШг-1= (isyc) &e (С-1 (is~y)-i =
= &SQ{r, —p)—&3x{r, —p)-sx — &?y(r, —p)-sy—&?z(r, —p)-sz = &?'. A0.30)
Таким образом, оператор isyC действительно совпадает с R. Для системы п электронов
легко показать, что Л = (i)ns, . . . sv С. Если две волновые функции гр и Лгр, соответ-
ствующие &€ (г, р, s) и So (г, —р, s), линейно независимы, то энергетические уровни
системы вырождены. Выясним, в каких случаях они могут быть линейно зависимы
(т. е. вырождение может отсутствовать). Итак, допустим, что гр и Ri!p линейно зави-
зависимы, т. е. Лгр = аф, где а в общем случае — какое-то комплексное число. В таком
случае
№$>== R (Щ) = Raty=z а*Щ= \ а \г ур.
Но, с другой стороны,
и поэтому
|а|2 = ( —1)п. A0.31)
Поскольку \ а | 2 > 0, т. е. квадрат модуля комплексного числа — величина существен-
существенно положительная, то равенство A0.31) может выполняться только для четных п. Для
*) Здесь использованы обычные правила умножения матриц A0.29) и также тот
факт, что Sy1 = sy, i'1 = — i.
— 153 -

нечетных п, т. е. для систем с нечетным числом электронов, функции гр и Щ> всегда
линейно независимы, и поэтому уровни вырождены, что и доказывает теорему Кра-
мерса. Снять крамерсовское вырождение может только присутствие внешнего поля,
о чем уже говорилось выше.
§ 10. Эффект Яна — Теллера
Рассмотрим теперь эффект Яна — Теллера [9, 45—48]. Он был установлен при
выяснении условий устойчивости симметричных конфигураций атомных ядер много-
многоатомных молекул. Исследуя все возможные типы симметричных расположений ядер,
они показали, что при вырожденном электронном состоянии всякое симметричное
расположение ядер (исключая расположение по одной прямой — линейные молекулы)
неустойчиво. Для доказательства использовались общие методы теории групп. По-
Поэтому ядра смещаются так, чтобы симметрия их расположения нарушалась настолько,
чтобы вырождение полностью снялось (за исключением, конечно, крамерсовского);
основной терм нелинейной молекулы вследствие этой деформации может быть только
невырожденным.
Физическая суть этого явления очень проста. Энергетический центр тяжести
уровней при расщеплении остается таким же, как и до него (т. е. при отсутствии воз-
возмущения). Это означает, что один из уровней, появившихся при снятии вырождения,
обязательно должен иметь меньшую энергию, чем имел наинизший уровень до расщеп-
расщепления, что и обеспечивает более низкую энергию молекулы в результате ее «самоде-
«самодеформации».
В этом и заключается эффект Яна — Теллера для молекул. На случай кристал-
кристаллов теорему Яна— Теллера обобщил Ван-Флек [46] (см. также [49—61]). Пока еще
нет полной уверенности в том, что в кристалле этот эффект имеет такой же простой
смысл, как и в случае свободных молекул [см., например, Лоу A962)]. В табл. 10.10
дана сводка типов расщеплений BN + 1)-кратно вырожденных уровней в кристалли-
кристаллических полях различной симметрии.
Видно, что для полуцелых значений N минимальное вырождение равно двум
(теорема Крамерса).
Таблица 10.10
Расщепление вырожденного уровня кратности B/V-j-l) кристаллическими
полями различной симметрии
N
(=S, L, J)
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
7
2
BЛЧ-1)
1
2
3
4
5
6
7
8
Кубическая
1
2
3
4
2, 3
2, 4
1, 3, 3
2, 2, 4
Тетрагональная
1
2
1, 2
2, 2
1, 1, 1, 2
2, 2, 2
1, 1, 1, 2, 2
2, 2, 2, 2
Тригональная
1
2
1, 2
2, 2
1, 2, 2
2, 2, 2
1, 1, 1, 2, 2
2, 2, 2, 2
Ромбическая
1
2
1, 1, 1
2, 2
1, 1, 1, 1, 1
2, 2, 2
1,1,1,1,1,1,1
2,'2, 2, 2
В первом столбце указаны в возрастающем порядке квантовые числа, опре-
определяющие мультиплетность (N = S, или L, или /); во втором столбце показана
кратность вырождения соответствующего энергетического уровня свободного иона;
в последующих столбцах каждая цифра означает кратность уровня в кристалли-
кристаллическом поле соответствующей симметрии, число цифр в каждой клетке таблицы
в этих столбцах означает число уровней, на которое данный уровень будет рас-
расщеплен в поле данной симметрии, а значение цифры указывает кратность вырож-
вырождения расщепленных уровней (например, в строке для iV = 3 для поля ромби-
ромбической симметрии приведено семь единиц—это означает, что семикратно вырож-
вырожденный уровень в поле ромбической симметрии расщепляется на семь невырож-
невырожденных уровней (с точностью до крамерсовского вырождения).
— 154 —

§ 11. Оценки величин расщеплений
Методы теории групп не позволяют определить величину расщепле-
расщеплений Акр или A.ls- Для этой цели необходимо воспользоваться конкретным
видом гамильтониана и теорией возмущений. При этом в теории кристал-
кристаллического поля, как уже отмечалось выше, пользуются приближением,
в котором лигандные ионы рассматриваются как точечные заряды.
В этом приближении предполагается, что химическая связь в пара-
парамагнитных кристаллах носит чисто ионный характер. Однако есть все
основания считать, что эта связь имеет более сложный характер. Факти-
Фактически в реальных кристаллах имеет место смесь (гибридизация) связей
различного типа (ионной, ковалентной, ван-дер-ваальсовской и т. п.).
Именно поэтому расчеты, основанные на чисто «ионном» приближении, не
имеют строгого физического обоснования, хотя иногда и приводят к удо-
удовлетворительным результатам при сравнении с опытом. Что касается
теоретико-группового аспекта теории лигандов, то он сохраняет свою
силу при любой количественной трактовке.
Полуэмпирический вариант теории внутрикристаллического поля,
в котором основные параметры теории рассматриваются как эмпириче-
эмпирические, по-видимому, может быть обоснован в более общей теории, посколь-
поскольку зависимость собственных значений энергии кристалла от этих пара-
параметров определяется в основном симметрией задачи. Например, в более
общей теории молекулярных орбит вместо орбиталей, составленных из
чистых d- или /-функций магнитного иона, появятся аналогичные орби-
тали, содержащие не только орбитали магнитного иона, но и орбитали
окружающих лигандных ионов. Существенно, однако, что симметрия
орбит 7з и Те ПРИ этом сохраняется [см. Бальхаузен A964)]. Это и застав-
заставляет предполагать, что все качественные результаты теории кристалли-
кристаллического поля (число и типы термов, параметрические зависимости соб-
собственных значений энергии) сохраняют свою силу и в более общих теориях.
В приближении точечных зарядов потенциал FKp (r) удовлетворяет
уравнению Лапласа AFKp = 0, решения которого имеют вид
^кР = S 2 ^гт:(#, ф) = 2 Vn, (Ю.32)
и т—п та, m
где г, й, ф — обычные сферические координаты, а нормированная поверх-
поверхностная сферическая функция имеет вид
YZ (О, Ф) = (- 1)" [^ {2П\^- \ ™ ')! ]'" Р\Г' (cos О) еЬпФ; (Ю.ЗЗ)
Р)/—присоединенные полиномы Лежандра, а вещественность FKp
дает, что А™ = (А^т)*. Используя свойства симметрии кристаллов,
можно значительно упростить A0.32). В самом деле, для магнитных ионов
с незаполненными d- и /-слоями в сумме по п в A0.32) следует отбросить
соответственно члены сп>4ип>6*). Кроме того, члены с нечетными
п в матричных элементах FKp также дадут нуль в силу инвариантности
по отношению к преобразованию инверсии **) (для кристаллов с центром
симметрии, каковыми и являются все изученные до сих пор парамагнитные
соединения). Наконец, член с п = 0 дает несущественную постоянную***).
*) Это обусловлено тем, что d- и /-волновые функции электронов также можно
разложить по сферическим функциям [см., например, A0.12)], а матричные элементы
суть интегралы от произведений ty*d,fVKtf§d,f- Из теории сферических функций следует,
что интегралы от таких произведений равны нулю для всех членов разложения A0.32),
для которых п > 11 (где I = 2 для d- и I = 3 соответственно для /-функций).
**) При преобразовании инверсии х ->- — х, у -*¦ — у, z —>- — z функции г|^
не меняются, a F' = ^ V%, —*¦ — V, где п? = 2р + 1 (нечетное число).
та', т
***) Она не играет роли в магнитных расчетах, поскольку дает общий сдвиг
всех уровней энергии системы, но важна при расчете сил связи, теплоты растворения
и т. п.
- 155 -

Далее, учет симметрии кристалла позволяет продолжить упрощение
выражения A0.32). Читатель может найти подробные выражения для
FKp в кристаллах различной симметрии в обзоре [62] и в монографиях
Лоу A962), Альтшулера, Козырева A961). Обычно от угловых коорди-
координат й, ф переходят к декартовым: х, у, z. Тогда, например, для куби-
кубического кристалла имеем
+т Y^i А°[2 (х*+ув+z6) -15
A0.34)
Если лигандные ионы расположены по углам октаэдра с координатами
х, у, z = ±a, то для коэффициентов А\ и А°в в A0.34) имеем
35 w2Z / 21
) И ^
о _ / 35 w2Z
*-\Т)~аГ И
При практическом вычислении матричных элементов операторов типа
A0.34) обычно пользуются методом эквивалентных операторов, предло-
предложенным Стивенсом [63] и другими [64, 65], который заключается в том,
что координаты х, у, z в A0.34) заменяются операторами проекций момента
Jx, Jy, Jz с учетом их перестановочных соотношений. Так, например,
(х2 - у2) -+ Рх — /•; Cz2 - г2) -уЗ/1 - / (/ + 1), а ху -+±(JJy +
+ JyJx)- Доказательство такой замены основывается на теории групп.
Существует также более общий метод вычисления матричных элемен-
элементов симметричных операторов, развитый в работах Вигнера A961), Рака
[66], Костера [67], Юциса, Левинсона, Вакагаса A960), Юциса и Банд-
зайтиса A965). Этот метод позволяет проводить более полные расчеты,
например, с учетом «взаимодействия термов» как внутри, так и между
конфигурациями. Он был использован также в работах [68—75].
§ 12. Эффект «размораживания» орбитальных моментов
Выясним теперь, как производится расчет спин-орбитального рас-
расщепления и его эффекта «размораживания» орбитальных моментов. Мы
уже видели, что спин-орбитальное взаимодействие в первом приближении
теории возмущений не может влиять на энергию невырожденного орби-
орбитального состояния. Однако в этом приближении это взаимодействие уже
меняет волновые функции. Обозначим энергию основного состояния через
Ш^, а энергии возбужденных состояний (без учета спин-орбитального взаи-
взаимодействия) через Ш°п (п — 1, 2, 3, . . .); волновые функции основного
состояния по A0.24) будут г|зоа и г|зор, а возбужденных состояний i|jJ,0)a,
¦ф^'р. Допустим, что включено также внешнее магнитное поле, оператор
энергии которого A0.4) можно в первом приближении (без учета диамаг-
диамагнитного эффекта) записать в виде
liBH(t + 2S). A0.35)
Это возмущение полностью снимает вырождение (по спинам). Спин-орби-
Спин-орбитальная связь в первом приближении меняет волновые функции по извест-
известной формуле теории возмущений
^» = ^+2><>t'gl^|)g|()'g>^0> • (Ю.36)
п
— 156 -

(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по п надо исклю-
исключить член с п = 0). Для г|)A>р надо заменить <ге, а \ Я (JL-S) |0, а) на
(п, р | Я (Zj-S) | 0, р). Поправочный член в A0.36) по порядку величины
равен Я/Дэл. Для Зй-ионов Я « 102—103 аи, а Аэл » 104 ел*, поэтому
Я/Дэл « 10~2 -г- 10. При наличии магнитного поля Н, направленного
вдоль оси z (оси тетрагональной симметрии иона, находящегося в состоя-
состоянии Ю; этот случай мы здесь и рассматриваем), функции г|?а>а и г|?а> р
суть собственные функции возмущенного гамильтониана A0.35), и по-
поэтому отличны от нуля только диагональные элементы, которые и дают
энергию возмущения A0.35) в первом приближении:
|>ша 1Ьг | г|за'а) + 2цБН (г|за'а | Sz \ г|за'а). A0.37)
Подставляя функции A0.36) в выражение для матричного элемента опе-
оператора Lz из A0.37), находим в первом приближении
Первый член в правой части A0.38) равен нулю (эффект замораживания
орбитальных моментов в лигандном поле). Далее, по A0.14) и рис. 10.5
имеем
-? = 2«й«. A0.39)
Поэтому в сумме в A0.38) сохраняется лишь член с « = 2. Кроме того,
легко показать, что
<l4M|Z,|i|30> = 2i; «>|4|i|5o> = <^°'|4H'o> = O; S'za = \a A0.40)
и, следовательно, 128
W u.\j-iz\y "v— Щ Wo' ^xu.ixy
02 ©о
Формула A0.41) показывает, что под влиянием спин-орбитального взаи-
взаимодействия (Я Ф 0) возникает «размораживание» орбитальных моментов.
Относительное участие орбитального магнетизма в общем магнитном
моменте определяется отношением 4Я/Акр, т. е. величинами порядка
4-Ю — 4-10~2. В этом легко убедиться, если в A0.37) вычислить еще
спиновую часть момента. В силу того, что
(где 6„,0—символ Кронекера), в выражении (г|?ша | Sz |г|за'а) пропадает
вклад от члена, аналогичного сумме, стоящей в правой части A0.38),
и поэтому
Li
Подставляя A0.11) и A0.42) в A0.37), имеем для зеемановского сдвига
энергии *)
A0.43)
*) Здесь мы, как обычно, пренебрегаем квантовоэлектродинамической анома-
аномалией электронного спинового g-фактора (см. гл. 2).
- 157 —

записывая зеемановское расщепление в обычной форме
находим для эффективного g-фактора, или фактора спектроскопического
расщепления в кристалле с частично размороженными орбитами,
4Х
= 2(l *¦). A0.44)
Например, для соединений с парамагнитным ионом Си2+ опыт дает gn ==
= 2, 4 = 2 A + 0,4), т. е. Я/Акр « 0,1.
Если магнитное поле Я перпендикулярно к оси симметрии кристалла,
например, параллельно оси х, то волновые функции г|зA'а и г|зA'Р уже
не являются собственными функциями оператора A0.26). Поэтому энер-
энергия возмущения определяется из секулярного уравнения
-f- 2ож) i[/ <x) (ij) а ^Б-" (,LX -f- 2SX) i|/ В)
= 0.
A0.45)
Пользуясь теми же приемами вычисления матричных элементов, можно
легко показать, что в данном случае диагональные матричные элементы
равны нулю.
Это также следует из простых соображений симметрии. Поворот
на угол 180° вокруг оси z не влияет на орбитальные волновые функции
[см. A0.14)], но вызывает появление множителей + s У спиновой функ-
функции а и —i у р. Поэтому диагональные матричные элементы не будут изме-
изменяться, поскольку оператор Lx + 2Sх изменит знак и матричный эле-
элемент в итоге сохранит знак (—i-i = 1). Но по физическим соображениям
среднее значение проекции момента должно изменить знак при повороте
на угол 180° вокруг оси z. Чтобы разрешить это противоречие, остается
предположить, что эти диагональные элементы равны нулю.
Вычислим теперь недиагональные элементы. Поскольку
(г|зоа | Lx | i|>oP) = 0 (из-за ортогональности спиновых функций), то
по аналогии с A0.38) имеем
чей \а -j-КОМПЛ. СОПр. \ ¦ A0.46)
п
По аналогии с A0.39) легко показать, что Lxty0 = — ityf', и поэтому
Далее имеем (г|)ша | Sx \ i|5a'P) и, кроме того, используя эрмитовость матри-
матрицы оператора A0.35), находим для A0.45)
= 0. A0.48)
Отсюда находим, что (Аёзеем) — g±^bH, где
A0.49)
Например, в случае тех же соединений с Си2+ опыт дает gj_ = 2,08. Для
поля Н, направленного вдоль оси у, получаем тот же результат. Из полу-
полученных результатов видно, что следствием анизотропии кристалла является
анизотропия его магнитных свойств.
— 158 —

При произвольном направлении поля, в силу линейности матриц
для определения g\\ и g_^, мы их можем представить в виде суммарной
матрицы:
и, вводя некоторый фиктивный спин S' с компонентами
можно ввести спиновый гамильтониан
SScn = Цб [g\\UzS'z +g± (Hj'x + HyS'y)). A0.52)
Таким образом, задача об определении энергии возмущения в магнитном
поле, произвольно направленном в кристалле, сводится к нахождению
собственных значений спинового гамильтониана типа A0.52). Если поле
составляет угол Ф с осью z, то собственные значения A0.52), в силу A0.50),
можно записать в виде
Ag = ± ЦвЯ (gfl cos2 0 + й. sin* #I/2 = + у Цвг*Я, A0.53)
где
g* = fef| cos* 0 + g± sin2 uI/2. A0.54)
По теории спин-орбитальной связи в парамагнитных кристаллах
и измерениям магнитной анизотропии см. [72—75].
§ 13. Метод спин-гамильтониана
Только что рассмотренный пример является частным случаем весьма
общего метода спин-гамильтониана, впервые предложенного Прайсом
[76] и затем разработанного Абрагамом и Прайсом [77]. Описание этого
метода можно найти также в ряде книг и обзоров [см., например, [62, 78—
82]; Альтшулер и Козырев A961); Лоу A962); Хейне A963); Пейк A965)].
Используя теорию возмущений для орбитальных состояний, полу-
получаем обычно во втором приближении (а в некоторых случаях в более высо-
высоких приближениях) выражение для гамильтониана, содержащего лишь
спиновые операторы. В общем случае эти операторы относятся не к истин-
истинному спину ? свободного магнитного иона, а к некоторому фиктивному
спину iS", который дает наблюдаемый на опыте зеемановский мультиплет
с 26" + 1 составляющими.
В достаточно сильных кристаллических полях (ДКр Э8 ДЭл) возни-
возникает эффект взаимодействия термов. Такое взаимодействие может, в част-
частности, приводить к смешиванию состояний основного терма с состояниями
возбужденных (оптических) термов и к разрыву рессел-саундерсовской
связи в магнитном поле. Учет этих эффектов в работах [83, 84] приводит
лишь к изменению констант спинового гамильтониана, сохраняя неизмен-
неизменной его общую форму.
Метод спин-гамильтониана модифицировали Костер и Статц [85].
Их метод применим к любым состояниям ионов (в том числе и к ¦S'-состоя-
ниям) и является более общим. Однако в обычно используемой области
частот первоначальный метод спин-гамильтониана является практически
достаточным (см. [86]).
Величина S' может как совпадать, так и не совпадать с истинным
спиновым квантовым числом S. Эффективный же магнитный момент этого
состояния определяется эффективным ^-фактором, в общем случае тен-
тензором, могущим сильно отличаться от обычного фактора Ланде. Таким
образом, метод спин-гамильтониана дает феноменологическое описание
— 159 -

влияния разнообразных связей на структуры нижних энергетических
уровней магнитных ионов в кристалле. Последние описываются всего
лишь одним квантовым числом S', хотя фактически квантовые состояния
ионов в кристалле являются сложной суперпозицией спиновых и орби-
орбитальных состояний изолированного иона.
Не останавливаясь на детальном выводе спин-гамильтониана, рас-
рассмотрим один простой пример. Пусть основное состояние является орби-
орбитальным синглетом, а оператор энергии возмущения включает только
спин-орбитальную энергию А (Х-$) и энергию во внешнем поле
A0.55)
Поправку от A0.55) в первом приближении
В члене 2\iB (H -S) нет операторов, действующих на орбитальные функции,
и поскольку последние нормированы (т. е. @|0) = 1), то поправка первого
приближения для A0.55)
). A0.56)
Член
<0|цв(Я"-Х> + Я.(Х--8)|0>= 2 (\iBHi + XSi)@\Li\0) = 0,
l(=x, y,z)
ибо (O|Lj|O) = O в силу синглетности основного орбитального состояния.
Поправка от A0.55) во втором приближении равна
\<0\lxB(H.(L+2S))+k(L.S)\n)\z
МФО)
Члены, не содержащие оператора L, дадут нуль в силу ортогональности
орбитальных функций (т. е. @ | п) = 0 при п Ф 0). Отличными от нуля
будут матричные элементы типа @ | Lt \ n) (i = х, у, z), конкретный вид
которых определяется в каждом случае особо. Здесь важно лишь отме-
отметить, что в A0.57) сохраняются члены, квадратичные по Н и ?. Поэтому
поправки первого приближения A0.56) и второго приближения A0.57)
в сумме имеют следующий общий вид:
<ШВЗ = цв2 (бу- АЛ„) HiS) - 1&АиН,Н, - WAijSiSjt A0.58)
где i, j = x, у, z, по дважды встречающимся индексам i, j предполагается
суммирование и вещественный симметричный и положительно определен-
определенный тензор Аи имеет вид*)
пфО
Величина
gu = 2(8u — XAtii A0.60)
является упоминавшимся выше тензором эффективного фактора спектро-
спектроскопического расщепления.
Для магнитного момента мы получаем из A0.58)
\|у#у. A0.61)
*) В рассмотренном выше частном примере спин-гамильтониана для иона Си2+
мы имели
1 4
- 160 —

Первый член в правой части A0.61) дает собственный эффективный момент,
слагаемое —2^,BXAijSj соответствует орбитальному вкладу в момент,
обусловленному эффектом размораживания орбит под действием спин-
орбитальной связи ионов в кристалле, существующей и без внешнего
поля. Второй член в правой части A0.61) дает индуцированный парамаг-
парамагнитный момент (создающий ванфлековский парамагнетизм!).
В общем случае спин-гамильтониан имеет гораздо более сложный
вид, поскольку кроме спин-орбитального взаимодействия должна еще
учитываться электронная спин-спиновая связь, взаимодействие между
магнитным моментом ядра и магнитным полем, создаваемым орбитальным
движением и спином электрона [взаимодействие приводящее к сверхтон-
сверхтонкой структуре (СТС)]. Далее следует еще учитывать электростатическое
взаимодействие с квадрупольным моментом ядра и, наконец, взаимодей-
взаимодействие магнитного момента ядра с внешним магнитным полем. Кроме того,
нужно также учитывать диамагнетизм иона. Все это приводит к более
сложному выражению для спин-гамильтониана. Не приводя подробного
вывода последнего [см., например, Лоу A962)], выпишем окончательный
результат:
^ SSj -H AtjStlj + Qljli Ij- Gцяд + Rtj) HJj +
- HiH3 ^ <W>>] , (Ю.62)
ft h
где
ltJ = у <° I ЪЪ + lA \0)-±L(L + l) 6U (i, j = x, y, z),
А и и Ru— тензоры, определяемые через тензор lij и параметры взаимо-
взаимодействия (СТС), Qlj— тензор, связанный с квадрупольным моментом ядра,
J — спин ядра; последний член в A0.62) дает диамагнитный вклад иона.
Входящая в D{j величина р есть параметр спин-спинового взаимодействия,
общее выражение для которого имеет вид
Спин-гамильтониан A0.62) можно легко упростить для каждого конкрет-
конкретного случая симметрии кристалла. Например, в случае тетрагональной
или тригональной симметрии A0.62) примет вид
Ж си = DSI + цБ [g\\HzSz + g± (Hjx + HySy)} + AjzSz +
+ A2 (fjx + iySy) + Q'll + R\\IZHZ - R± (IXEX + IyHy) -
-yPnii-m-VkAtjHtHj. A0.63)
Первый член описывает поведение уровней в нулевом магнитном
поле в отсутствие взаимодействия СТС при учете лигандного поля, спин-
орбитальной и спин-спиновой связи. Второй член, содержащий Ht и St,
указывает на анизотропию магнитного момента. Члены, содержащие Si
и 11, описывают анизотропию взаимодействия СТС, а член с Q'— анизо-
анизотропию квадрупольного взаимодействия; смысл остальных членов оче-
очевиден.
На примере A0.63) видно, что метод спин-гамильтониана дает воз-
возможность описать спектр магнитных ионов в кристаллах с помощью
небольшого числа постоянных: D, #ц, gj_ и т. д.
Результаты опытной проверки всех вышеприведенных теоретических
выводов, по существу, уже были рассмотрены в гл. 9. Эти выводы лишь
подтверждают изложенные в гл. 9 качественные физические соображения,
положенные в основу теории парамагнетизма.
11 С. В. Вонсовский — 161 —

Изложенная здесь теория внутрикристаллического поля, спин-
гамильтониана и т. п. имеет также большое значение для обширной обла-
области электронного парамагнитного резонанса (ЭПР). Эти вопросы будут
рассмотрены в гл. 13. Проблемы спин-гамильтониана рассмотрены также
в работах [87—96].
§ 14. Учет магнитного взаимодействия ионов
При исследовании свойств парамагнитных кристаллов в ряде случаев
необходимо учитывать и магнитное взаимодействие между ионами. Учет
этого взаимодействия в первом приближении может быть сделан и чисто
макроскопическим путем. Прежде всего, это может быть выполнено с по-
помощью введения размагничивающего поля, которое учитывает эффект
поверхностей образца, где имеются магнитные заряды (DivJ^=0). Сле-
Следующая поправка была внесена Лорентцем A934) введением так называе-
называемого локально (действующего в данном месте) магнитного (или электри-
электрического) поля Нл:
Н+-^-1, A0.64)
где II — внешнее поле с учетом размагничивающего эффекта поверхно-
поверхности. Лорентцевская поправка 4я173 является законным приближением,
если элементарные магнитные моменты расположены вокруг каждого дан-
данного магнитика изотропно или в узлах решетки кубической симметрии,
а также если относительная ориентация элементарных магнитных момен-
моментов статистически одна и та же по всему объему образца (пренебрежение
«ближним порядком»). Более точное определение локального поля было
сделано Онзагером [97] чисто макроскопическим путем, а также Ван-Фле-
ком [98], который развил квантовомеханическую теорию магнитного взаи-
взаимодействия в кристалле. За подробностями отсылаем читателя к ориги-
оригинальным работам, а также к монографии Зейтца A949).
При повышении концентрации магнитных ионов в диамагнетике
могут возникать обменносвязанные пары и более сложные комплексы маг-
магнитных ионов. Это должно влиять на магнитные, оптические, микровол-
микроволновые и другие физические свойства кристаллов. Изучению этого влия-
влияния посвящено много работ. В частности, по влиянию на оптические свой-
свойства см. работы [99—105]. Влияние пар на ЭПР рассмотрено в работах
[106—112]. По влиянию пар на сверхпроводимость см. работу Вонсовского
и Свирского [113].
§ 15. Гиромагнитное отношение ионов в парамагнитных кристаллах
Гиромагнитное отношение g для парамагнетиков было эксперимен-
экспериментально исследовано Сексмитом [114] для ряда веществ (соли металлов
группы железа и редкоземельных металлов). В табл. 10.11 приведены
данные этих измерений, а также теоретические значения.
В случае ионов редкоземельных элементов для определения гиромаг-
гиромагнитного отношения g можно воспользоваться формулой (9.38). Заметим
при этом, что средний момент количества движения вычисляется по ана-
аналогичной формуле без множителя [i%, а также без высокочастотного сла-
слагаемого <Xj, которое следует отбросить, так как перпендикулярная слагаю-
слагающая момента по отношению к полю не рассматривается. Таким образом,
для g (при Н = 0) будем иметь
A0.66)
- 162 —

Таблица 10.11
Гиромагнитное отношение для ионов 3d- и 4/- элементов
Ион
Сг34"
Мп2+
ре2+
Со2+
Nd3+
Eu3+
Gd3+
Dy3+
Вещество
CrCl3
M11CO3
MnSO4
FeSO4
COSO4
CoCl2
Nd2O3
Eu2O3
Gd2O3
Dy2O3
в
парамагнитных
^опыт
1,95
1,98
1,89
1,34
0,78
4,5
2,12
1,36
солях
^теор
0,40—1,38
2,00
1,50—1,67
1,33—1,39
0,73—0,76
6,56
2,00
1,33
3
5
5
4
РЭфф
,9+0,
,9±0,
,0+0,
,6+0,
—
—
—
—
2
2
2
3
причем g равно gj, если рассматривать одно-единственное /-состояние
и принять, что a,j = 0. Вычисленные по формуле A0.65) значения g при-
приведены в предпоследнем столбце табл. 10.11.
Теоретическое значение g в случае широких мультиплетов hv (/, /') ^>
^> кТ соответствует просто ^-фактору для энергетически наинизшего
состояния [см. (9.6)]. Для узких мультиплетов, т. е. когда hv (/, /') <^ кТ,
в силу (9.29) имеем
В случае полного выключения орбитального момента благодаря эффекту
«замораживания» (см. выше § 7) вместо A0.66) имели бы
F=2. A0.67)
Для иона марганца Мп2+, который находится в ^-состоянии (L = 0),
опыт дает g = 1,98, что очень близко к теоретическому значению A0.67)
для свободного спина. В случае ионов хрома Сг3+ опытное значение также
близко к двум. У ионов железа и кобальта, по-видимому, орбитальные
моменты заморожены лишь частично. Стонер [115] ввел в A0.66) множи-
множитель р, характеризующий эффективную свободу орбитального момента,
т. е.
Согласно (9.30)
Из этих выражений можно определить эффективное число магнетонов
через опытное значение гиромагнитного отношения g, а именно:
, = {[2S(S + i) + ^L(L+i)]gy
A0.68)
Вычисленные по A0.68) значения />эфф для измеренных значений ионов
Зй-металлов приведены в последнем столбце табл. 10.11, и они находятся
в удовлетворительном согласии с опытными данными (см. табл. 9Л). .
Обращаем внимание читателя на работу Гортера и Кана [116], в кото-
которой наиболее строго рассмотрен вопрос о гиромагнитнол! эффекте в пара-
парамагнетиках с точки зрения квантовой механики. В связи с определением
- 163 —
11*

^-фактора из гиромагнитных опытов Сексмита [114] необходимо указать
на определение ^-фактора спектроскопического расщепления. Этот вопрос
более подробно будет рассмотрен в связи с проблемой ферромагнитного
резонанса (см. гл. 24).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 10
1. A. J. Freeman, R. E. Watson, Phys. Rev. 127, 2058 A962).
2. В. R.Judd, H. M. Crosswhite, H. Crosswhite, Phys. Rev. 169, 130
A968).
3. H, В е t h e, Ann. d. Phys. 3, 133 A929).
4. H.Beth e, Zs. Phys. 60, 218 A930).
5. H. А. К г a m e г s, Proc. Amster. Acad. 32, 1176 A929).
6. W. G. Penney, R. Schlapp, Phys. Rev. 41, 194; 42, 666 A932); 43, 485A933).
7. J. S. Griffith, L. E. О г g e 1, Quart. Rev. 11, 381 A957).
8. Я. К. С ы р к и н, Усп. химии 28, 903 A959).
9. Н. A. J a h n, Е. Т е 1 1 е г, Proc. Roy. Soc. A161, 220 A937).
10. А. В os e, Indian J. Phys. 22, 74, 195, 276, 483 A948).
И. В. С. Guha, Nature 184, 50 A959).
12. L.C.Jackson, Phil, Mag. 4, 269 A958).
13. А. В о s e, S. C. M i t г a, S. K. D a t t a, Proc. Roy. Soc. A248, 153 A958).
14. A. Bose,A. S. Chakravarty, R.Chatterjee, Proc. Roy. Soc. A261,
207 A961).
15. А. В о s e, S. С M i t г a, R. R a i, Indian J. Phys. 39, 357 A965).
16. T. H a s e d a, H. R о b а у a s h i, M. Date, J. Phys. Soc. Japan 14, 1724
A959).
17. H. W. D e Wijn, I.C. M. Henning, Physica 28, 592 A962).
18. D.V.G. L. Narasimha Rao, A. Narasimhamurty, Phys. Rev. 132
961 A963).
19. M. T. H u t с h i n g s, W. P. W о 1 f, Phys. Rev. Lett. 11, 187 A963).
.20. G. G. H a 1 1, A. H а г d i s s о n, Proc. Roy. Soc. A278, 129 A964).
21. B. N. F i g g i g, M. G e г 1 о с h, R. M a s о n, Proc. Roy. Soc. A279, 210 A964).
22. А. В. С о к о л о в, В. П. Ш и р о к о в с к и й, УФН 60, 617 A956).
23. А. В. С о к о л о в, В. П. Ш и р о в с к и й, УФН 71, 485 A960).
24. R. S. M u I I i k e n, J.Chem. Phys. 3, 375 A935).
25. W. II. Kleiner, J. Chem. Phys. 20, 1784 A952).
26. Y. Tanabe,S. Sugano, J, Phys. Soc. Japan 11, 864 A956).
27. J. H. V a n V 1 e с к, J. Chem. Phys. 3, 803, 807 A935).
28. S. S u g a n o, R. G. S h u 1 m a n, Phys. Rev. 130, 517 A963).
29. S. S u g a n o, Y. T a n a b e, J. Phys. Soc. Japan 29, 1155 A965).
30. W.Marshall, Phys. Rev. 123, 2048 A961).
31. Ch. M. H e r z f e 1 d, P. H. E. M e i j e r, Solid State Physics, vol 12, Acad. press,
N. Y. 1961. p. 1.
32. V. J. F о 1 e n, J. Appl. Phys. 33, 1084 S A962).
33. A. M. Л е у m н н, ФТТ 5, 3373 A963).
34. Т. Р. D a s, Phys. Rev. 140, A1957 A965).
35. А. В о s e, S. L a h i г у, U. S. G h о s h, J. Phys. Chem. Sol. 26, 1747 A965).
36. J. M. W i n t e r, J. de phys,. 26, 41, 44 A965).
37. J. M a r g e r i e, J. de phys. 26, 268 A965).
38. P. J u n о d, A. M e n t h, O. V о g t, Phys. Lett. 23, 626 A966).
39. J. H. V an V 1 e с k, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1047 A966).
40. Sci. Sinica 15, 610 A966).
41. M. V e g s i e, B. Dreyfus, J. Phys. Chem. Sol. 28, 499 A967).
42. M. К i Ы e r, Cahiers Phys. 21, 141 A967).
43. F. С a 1 e n d i n i, G. M e s n а г d, Cahiers Phys. 21, 149 A967).
44. Б. W i g n e r, Nachr. Acad. Wiss. Gottingen, Math. phys. Kl. lla, 546 A932).
45. H. A. J a h n, Proc. Roy. Soc. A164, 117 A938).
46. J. H. V a n V 1 e с к, J. Chem. Phys. 7, 72 A939).
47. U. О p i c, U.H.L. P г у с e, Proc. Roy. Soc. A238, 425 A957).
48. H. С L о n q u e t, U. 0 p i c, M. H.L. P г у с e, R. A. S а с к, Proc. Roy. Soc.
A244, 1 A958).
49. U. О p i c, M.H.L. P г у с e, Proc. Phys. Soc. A65, 667 A952).
50. A. D. L i e h r, W. M о f f i t t, J. Chem. Phys. 25, 1074 A956).
.51. W. M о f f i t t, A. D. L i e h r, Phys. Rev. 108, 1195 A957).
52. W. M о f f i t t, W. T h о г s о n, Phys. Rev. 108, 1251 A957).
53. В.И.Аввакумов, ЖЭТФ 37, 1015 A959).
54. J.C. Slonczewski, Phys. Rev. 131, 1596 A963).
55. F. S. H a m, Phys. Rev. 138, A1727 A965); 166, 307 A968).
56. K. W.H. Stevens, F. Persic o, Nuov. cim. 41, 837 A966).
57. R. M. M а с f a r 1 a n e, J. V. W о n g, Phys. Rev. 166, 250 A968).
58. W. T h о r s о n, W. M о f f i t t, Phys. Rev. 168, 362 A968).
- 164 —

59. R. E n g 1 m a n, J. Appl. Phys. 39, 680 A968).
60. H. К a m i m u г a, S. M i z u h a s h i, J. Appl. Phys. 39, 684 A968).
61. J.Kanamori, M. Kataoka, Y. Itoh, J. Appl. Phys. 39, 688, A968).
62. В. В. В 1 e a n y, K. W. H. S t e v e n s, Re . Progr. Phys. 16, 108 A953).
63. K. W. H. S t e v e n s, Proc. Pbys. Soc. Ao ' 209 A952).
64. R. J. E 1 1 i о t t, K. W. H. S t e v e n s, Proc. Roy. Soc. A218, 553 A953).
65. B. R. J u d d, Proc. Roy. Soc. A227, 552 A955).
66. G. R а с ah, Phys. Rev. 61, 186 A941); 62, 438 A942), 63, 307 A943); 76, 1352
A949).
67. G. F. К о s t e r, Phys. Rev. 109, 227 A958).
68. Y. T a n a b e, S. S u g a n o, J. Phys. Soc. Japan 9, 753, 766 A954); 13, 394 A958).
69. W. Low, Advances in Quantum Electronics, New York, 1961 p. 138, (см. перевод
в сб. «Лазеры», ИЛ, М, 1963).
70. В. В. Дружинин, В. И. Черепанов, ФТТ 6, 2547 A964).
71. В. В. Дружинин, В. И. Черепанов, ФТТ 7, 2513, 3490 A965).
72. R. J. Eilliott, К. W. H. Stevens, Proc. Phys. Soc. A65, 205 A951).
73. H. H. S с h m i d t к e, Zs. Naturforschg. 18a, 276 A963); Forschritte d. Phys. 13,
211 A965).
74. A. A. M i s e t i с h, Т. В u с h, J. Chem. Phys. 41, 2524 A964).
75. B. D. В h a t 1 а с h a s у у a, Indian J. Phys. 38, 331 A964).
76. M.H.L. P г у с е, Proc. Phys. Soc. A63, 25 A950).
77. А. А Ь г a g a m, M.H.L. P г у с е, Proc. Roy. Soc. A205, 135 A951).
78. M.H.L. P г у с e, Nuovo cim., Suppl. 6, № 3, 817 A957).
79. K. D. Bowers, J. Owen, Rep. Progr. Phys. (London) 18, 304 A955).
80. B. Bleany, Phil. Mag. 42, 441 A951).
81. W. A'. N i e г e n b e г g, Ann. Rev. Nucl. Sci., vol. 7, Palo Alto A957).
82. K. W. H. S t e v e n s, в книге «Magnetism», ed. G. T. Rado, H. Suhl, vol. 1, New
York, 1963.
83. A. H. M e н ь, Ф. И. М у ф т a x о в а, А. П. Н и к о л а е в, В. И. Ч е р а п а-
н о в, ФТТ 7, 2180 A965).
84. В. В. Д р у ж и н и н, А. К а з а к о в, ФТТ 8, 2228 A966).
85. G. F. К о s t е г, Н. S t a t z, Phys. Rev. 113, 445 A959); 115, 1568 A959).
86. А. М. Л е у ш и н, в сб. «Парамагнитный резонанс», изд. Казанского гос. ун-та,
Казань, 1964, стр. 42.
87. К. S u g i h а г a, J. Phys. Soc. Japan, 14, 1231 A959).
88. F. S. H a m, G. W. L u d w i g, G. D. W a t k i n s, H. H. W о о d b u г у, Phys.
Rev. Lett. 5, 468 A960).
89. А. К. М о p о ч и, ЖЭТФ 43, 1804 A962).
90. F.E.Williams, H. G u t о w s k у, J. Appl. Phys. 33, 251S A962).
91. W. J. Nicholson, G. Burns, Phys. Rev. 129, 2490 A963).
92. W. J. Grant, M.W.P. Strandberg, Phys. Rev. 135, A715 A964).
93. T. R ay, Proc. Roy. Soc. A277, 76 A964).
94. Huang W u - H a n, Lin F u - С h e n g, Proc. Phys. Soc. 84, 661 A964).
95. B. H. F 1 о w г s, S. S z p i k о w s k i, Proc. Phys. Soc. 84, 673 A964).
96. T. R ay, D. K. R ay, Phys. Rev. 164, 420 A967).
97. L. О n s a g e r, J. Am. Chem. Soc. 58, 1486 A936).
98. J. H. V a n V 1 e с k, J. Chem. Phys. 5, 320 A937).
99. Y. T a n a b e, S. S u g a n о, в книге «Magnetism», ed. G. T. Rado, H. Suhe, vol.
1, New York, 1963.
100. A. L. S h a w 1 о w, D. L. W о о d, A. M. С 1 о g s t о n, Phys. Rev. Lett. 3, 271
A959).
101. P.Kislin, A. L. Schawlow, M. D.Stuige, Quantum Electronics, Third
Symposium, Columbia Univ., New York, 1964, p. 725.
102. А. А. Каплянский, А. К. Пржевусский, ДАН СССР 142, 313 A962).
103. A. E. H и к и ф о р о в, А. Н. М е н ь, В. И. Ч е р е п а н о в, ФТТ 6, 3288 A965).
104. А. Е. Никифоров, В. И. Черепанов, Phys. stat. sol. 14, 391 A966).
105. А. Е. Н и к и ф о р о в, В. И. Ч е р е п а н о в, А. Н. М е н ь, в сб. «Спектроско-
«Спектроскопия кристаллов», изд-во «Наука», М., 1966, стр. 47.
106. Н. S t a t z L. Rimai, M.J. W е Ь е г, G. A. de Mars, G. F. Roster,
J. Appl. Phys. 32, Suppl. 218 A961).
107. J. Owen, J. Appl. Phys. 32, 213 S A961); 33, 355 S A962).
108. С. А. А л ь т ш у л е р, Р. М. В а л и ш е в, ЖЭТФ 48, 464 A965).
109. И. Д. М а ш,.М. И. Р о д а к, ФТТ 7, 717 A965).
110. А. Е. Никифоров, В. И. Черепанов, ФТТ 7, 1162, 3431 A965).
111. С. В. В о н с о в с к и й, В. И. Черепанов, А. Н. М е н ь, А. Е. Ники-
Никифоров, ДАН СССР 170, 1288 A966).
112. Д. Т. Свиридов, Ю. Ф. Смирнов, ДАН СССР 180, 843 A968).
ИЗ. С. В. В о н с о в с к п й, М. С. С в и р с к и й, Phys. stat. sol. 10, ИЗ A965).
114. W. Suck smith, Proc. Roy. Soc. A128, 276 A931); A133, 179 A931); A135.
276 A932).
115. E. S t о n e r, Proc. Leeds Phil. Soc. 2, 309 A932).
116. С J. G о г t e г, В. К a h n, Physica 7, 753 A940).
- 165 —

Глава 11
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ, НЕ ОБЛАДАЮЩИХ
АТОМНОЙ МАГНИТНОЙ СТРУКТУРОЙ
А. МЕТАЛЛЫ НОРМАЛЬНЫХ ГРУПП
§ 1. Введение
Все металлы и металлические сплавы обладают магнитными свойствами, т. е.
являются магнетиками. В соответствии с общей классификацией (см. гл. 6) их можно
разбить на два больших класса: 1) металлы и сплавы, в которых ни при каких усло-
условиях не возникают состояния с атомным магнитным порядком, и 2) металлы и сплавы,
где такие состояния наблюдаются в определенных интервалах температур. Здесь мы
рассмотрим только первый класс — диа- и парамагнитные металлы, которые можно
назвать слабомагнитными металлами.
Начнем с рассмотрения чистых элементов. Среди металлических элементов
можно выделить две группы — нормальные и переходные металлы. Кристалл нор-
нормального металла представляет собой сложную систему, состоящую из коллективизи-
коллективизированных электронов проводимости и ионной кристаллической решетки диамагнитных
ионных остовов с замкнутой электронной оболочкой. В части I табл. ИЛ приведены
значения магнитной восприимчивости «слабомагнитных» нормальных металлов. Из
этих данных видно, что все щелочные металлы парамагнитны, а их восприимчивость
мала по величине (/пм « 10-6); отметим, что она практически не зависит от темпера-
температуры. То же можно сказать и о нормальных металлах второй группы таблицы Менде-
Менделеева, т. е. о щелочноземельных металлах. Исключением здесь является бериллий
{Z = 4), обладающий заметным диамагнетизмом *). Среди элементов третьей и чет-
четвертой групп только алюминий (Z = 13) и белое олово (Z = 50) в р-модификации
оказываются парамагнетиками. Все остальные нормальные металлы (около 20 эле-
элементов) — диамагнетики. Среди них особенно яркими диамагнитными свойствами
обладает висмут (Z = 83). В части II табл. 11.1 приведены значения восприимчивости
слабомагнитных переходных металлов. Отличие их электронной структуры по сравне-
сравнению с нормальными металлами заключается в существовании внутренних незаполнен-
незаполненных d- или /-слоев электронной оболочки их ионов. Здесь во всех случаях наблюдается
только парамагнетизм. Абсолютная величина их магнитной восприимчивости оказы-
оказывается заметно выше, чем у нормальных металлов (на один-два порядка), а также
обладает хотя и слабой, но более заметной температурной зависимостью, чем у нор-
нормальных парамагнитных металлов.
Что касается магнитных свойств слабых металлических сплавов как без участия,
так и с участием переходных элементов, то пока здесь проведено очень мало система-
систематических измерений, чтобы можно было вывести общие физические закономерности.
Следует отметить, что в силу малости восприимчивости многих парамагнитных
и диамагнитных металлов присутствие в них даже ничтожных ферромагнитных приме-
примесей может полностью исказить истинную картину магнитных свойств. Одним из спо-
способов исключения влияния ферромагнитных примесей является предложенный Хонда
[2] и Оуэном [1] метод измерения % при различных величинах внешнего магнитного
поля. В частности, если производить измерения в очень сильных полях (когда ферро-
ферромагнитная примесь находится в состоянии насыщения), то можно приближенно поль-
пользоваться формулой % — Хоо = а/Н, где % — измеренная восприимчивость, а — постоян-
постоянная, зависящая от величины магнитного насыщения примеси, а %оо — восприимчивость
чистого парамагнитного металла. Однако ферромагнитные примеси могут находиться
в толще слабомагнитного металла не в виде изолированных частиц, а могут сильно
взаимодействовать с окружающими атомами основного кристалла. Это взаимодействие
может зависеть от термической и механической обработки металла. Последнее обстоя-
обстоятельство дает возможность использовать такое поведение примесей для изучения
макро- и микроструктуры слабомагнитного металла [подробнее см. [3, 4] и Стонер
A934)], а также для изучения магнитных свойств малых ферромагнитных включений.
Постараемся теперь выяснить те специфические особенности магнитных свойств,
которые являются прямым следствием металлического состояния вещества. Еще до
появления современной квантовой теории металлов Дорфман [5] обратил внимание
*) Отметим, что измерения восприимчивости бериллия проводились очень давно
(Оуэн [1]), поэтому нуждаются в более тщательном контроле.
— 166 —

Таблица
Атомные (Ха) и объемные (%) магнитные восприимчивости слабомагнитных
(диа- и парамагнитных) металлов при комнатных температурах (Т « 300° К)
11.1
Элемент
Li
Na
К
Rb
Cs
Cu
Ag
Au
Be
Mg
Ca
Sr
Ba
Zn
Cd
Hg
Al
Ga
In
a-Tl
Oil 1
Pb
As
Sb
Те
Bi
Sc
Ti
V
Y
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
Rh
Pd
La
Yb
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
Th
U
Pu
белое
серое
Атомный
номер Z
3
11
19
37
55
29
47
79
4
12
20
38
56
30
48
80
13
31
49
81
82
33
51
52
83
21
22
23
39
40
41
42
43
44
45
46
57
70
71
72
73
74
75
76
77
78
90
92
94
Численные значения
I. H о р ма л
Атомный
вес А
6,940
22,9838
39,100
85,47
132,905
63,54
107,870
197,2
9,013
24,32
40,08
87,62
137,36
65,37
112,41
200,59
26,98
69,72
114,82
204,37
¦MS RQ
А АО, \Ju
207,19
74,9216
121,75
127,60
209,0
II. П е р ехо
45,10
47,90
50,95
88,92
91,22
92,906
95,94
99,0
101,07
102,905
106,4
138,92
173,04
174,99
178,6
180,948
183,92
186,2
190,2
192,2
195,09
232,05
238,07
239,0
для атомных
ьные металл
Плотность
р, г-см-З
0,534
0,9725
0,862
1,532
1,90
8,96
10,5034
19,32
1,8477
1,74
1,54
2,63
3,65
7,131
8,65
13,6902
2,70
5,91
7,31
11,85
7,2984
5,8466
11,3415
5,72
6,6909
6,25
9,80
дные металл
2,99
4,51
6,11
4,472
6,45
8,57
10,2
11,487
12,2
12,41
12,02
6,162
6,959
9,849
13,09
16,6
19,3
21,02
22,5
22,41
21,447
11,55
18,7
19,816
L.I
*А.1Ое
+24,6
+ 16,1
+21,35
+18,2
+29,9
—5,41
—21,5
—29,59
—9,02
+13,25
+44,0
+91,2
+20,4
—11,40
—19,7
—33,3
+16,7
—21,7
—12,6
—58,0
+4,5
-3,7
—24,86
—5,5
—107,0
—40,8
—284,0
ы
19,0
161,0
296,0
196,0
121,0
212,0
82,5
270,0
44,0
101,0
558,0
112,0
250,0
336,0
70,0
152,0
55,0
65,0
9,5
35,0
189,0
132,0
414,0
627,0
Х-10*
+1,89
+0,68
+0,47
+0,33
+0,42
—0,76
-2,1
-2,9
—1,83
+0,95
+1,7
+2,65
+0,56
-1,24
—1,52
—2,25
+1,67
—1,84
—0,8
—3,37
+0,276
—0,184
—1,36
—0,42
—5,9
-2,0
—13,0
19,0
14,4
28,5
8,17
8,40
18,9
8,5
'2,5
5,18
12,4
63,5
4,93
7,95
18,7
4,6
13,9
5,6
7,33
0,11
4,06
20,8
6,44
52,8
51,91
весов и плотности взяты из соответствующих
статей Физического энциклопедического словаря (изд-во
М.,
же
«Советск. ;
энциклопедия»,
1960—1966), магнитные восприимчивости нормальных металлов взяты из того
источника, а для переходных металлов литературные источники
см. в табл. 11.3.
— 167 —

на следующий факт. Если сравнить наблюдаемую восприимчивость нормальных диа-
диамагнитных металлов с диамагнитной восприимчивостью их ионов, полученной, на-
например, из измерений на солях, содержащих эти ионы, или их растворах, то всегда
' ^Змет I < I Хдшш I- Так> например, для меди Хлмет= —5,4 -Ю-6, а ионная восприимчи-
восприимчивость меди Си+ равна х5^он=—18,0>10-в; для золота и серебра соответственно имеем
ХАмет=-29'59-10 и -21,56.10-», хТион = -45'8-10 и-31,0.10-в. Исходя из этого
факта было высказано предположение [5], что электроны проводимости обладают
парамагнитным эффектом и что именно он ответствен за уменьшение абсолютной вели-
величины восприимчивости при переходе от ионов к металлам.
Поскольку восприимчивость диамагнитных металлов, как правило, не зависит
от температуры, то, по Дорфману, не должен зависеть от температуры и парамагне-
парамагнетизм влектронов проводимости. Это предположение полностью подтвердилось даль-
дальнейшим развитием квантовой теории металлов [см., например, формулу A1.11)].
Итак, для большинства парамагнитных металлов характерно то, что их маг-
магнитная восприимчивость практически не зависит от температуры (наиболее яркий
случай — щелочные металлы). Количественное объяснение этого важного опытного
факта оказалось возможным лишь после появления квантовой механики. Если бы
электроны проводимости в металлах подчинялись законам классической физики, то
парамагнетизм металлов был бы в основном аналогичен парамагнетизму газов, т. е.
восприимчивость должна была бы резко зависеть от температуры по закону Кюри
F.5), чего в действительности не наблюдается. В рамках классической механики проб-
проблема не зависящего от температуры парамагнетизма металлов, таким образом, остава-
оставалась неразрешимой. Более того, это явление стало одним из убедительных доказа-
доказательств неприменимости законов классической физики к электронам в металлах.
Именно работы по объяснению температурно не зависящего парамагнетизма металлов
(Паули [6], Френкель [7], Дорфман [8]) вместе с работой Ландау [9] по диамагнетизму
электронов проводимости положили начало не только квантовой теории магнитных
свойств металлов, но и вообще всей современной квантовой (электронной) теории твер-
твердого тела.
§ 2. Основные свойства идеального ферми-газа.
Поверхность Ферми
Принципиальное объяснение особых магнитных свойств металлов можно полу-
получить на основании представления, что они обусловлены бывшими валентными элек-
электронами атомов, образующих кристаллы металлических элементов. При этом следует
учитывать, что эти электроны не локализованы у отдельных атомов, а могут свободно
передвигаться по всему объему металла, образуя коллективизированную систему
электронов проводимости. Если для описания системы -коллективизированных элек-
электронов металла ограничиться приближением «идеального газа», пренебрегая учетом
межэлектронного взаимодействия и взаимодействия электронов проводимости с ион-
ионными остовами, то задача сводится к отысканию волновых функций и энергетических
уровней электрона, движущегося в потенциальном «ящике» (предполагаем, что обра-
образец металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Lx, Ly, Lz и объе-
объемом у = Lx-LyLz). В общем случае волновая функция г|з (х, у, z) и соответствующая
энергия е определяются из уравнения Шредингера для стационарных состояний
(*,У, *) = *№*, V,*)- A1-1)
Поскольку в модели идеального газа можно принять, что потенциальная энергия равна
нулю: U (х, у, z) = 0, а на границах металла имеется бесконечно высокий потенциаль-
потенциальный барьер (U -> оо при а; = 0, Lx, у = 0, Ly иг = 0, Lz), то решение уравнения A1.1)
будет иметь вид
ф (х, у, Z)= (Aietof + Bie-***) (A2eihvV + B^-«и») (A3eih*z + B3e-ih*z).
Граничные условия требуют, чтобы волновая функция на поверхности образца обра-
обращалась в нуль: г|з = 0 при х = 0, Lx; у = 0, Ly и z = 0, Lz. Из первых условий сле-
следует, что Аа = — Ва (а = 1, 2, 3), а из вторых, что sin kjLj = 0 (/ = х, у, z). Отсюда
находим для слагающих волнового вектора k: kj — nnj/Lj, где nj = 1, 2, 3, . . . Та-
Таким образом, волновые функции электрона в потенциальном ящике имеют вид стоя-
стоячих волн:
ППХ ППу ППг
ty(x, у, z) = Csin-=—sin—f—sin —=—. A1.2)
Lx by bz
Подставляя A1.2) в уравнение A1.1), находим для энергии г:
— 168 —

т. е. для идеального электронного газа имеет место квадратичный закон дисперсии.
Если образец имеет форму куба (Lx = Ly = Lz = L), то
Для импульса электрона проводимости имеем p = hk, и поэтому A1.4) запишется
в виде
здесь принято
~-ьГ=1Г (/=ж' "' z)-
A1.5)
A1.6)
Рассматриваемая задача обладает высокой степенью вырождения, поскольку
энергия электрона зависит от квадрата модуля волнового вектора к (или импульса р),
а ей соответствует множество различных волновых функций A1.2) для всевозможных
ориентации вектора к в пространстве. Величина Де = h2n2/2mL2 дает энергетическую
разность между соседними энергетическими уровнями A1.4). В реальных случаях,
когда, например, L « 1 см, имеем Де « К)-16 эв, т. е. энергетический спектр элек-
электрона проводимости в металле практически можно считать квазинепрерывным. На
первый взгляд может показаться, что мы по-
получили классический результат. Однако это
не так, ибо основное отличие квантовой тео-
теории электронного газа от классической заклю-
заключается в том, что электронный газ подчиняется
не классической статистике Максвелла —
Больцмана, как это предполагалось в теории
Ланжевена [10], а квантовой статистике Фер-
Ферми — Дирака (поэтому электроны проводимо-
проводимости называют также фермичастицами или ферм-
ионами).
В основе статистики Ферми — Дирака
лежит принцип Паули, которому должен под-
подчиняться квантовый коллектив электронов
даже при пренебрежении в нем всеми дина-
динамическими взаимодействиями. В применении к
газу «свободных» электронов принцип Паули
утверждает, что в «фазовой» ячейке не может
быть больше двух электронов с противополож-
противоположно направленными спинами. При температу-
температуре 0° К, т. е. в основном состоянии, элект-
электронный газ должен обладать наименьшей
энергией. По классической статистике это
означало бы, что все частицы собрались в
фазовой ячейке с минимальной энергией, т. е.
когда в A1.3) пх = п.у = nz = 1. Однако это для электронов как раз и
запрещено принципом Паули. Последний допускает, что при 0° К электроны по
одному наиболее плотно заполняют лишь ячейки с наименьшими значениями энергии.
Заполненный таким образом в фазовом пространстве объем в случае квадратичного
закона дисперсии A1.3) или A1.4) имеет вид сферы (рис. 11.1), изоэнергетическая
поверхность которой соответствует граничной максимальной энергии вмакс = еф =
= ?0. Эту поверхность принято называть поверхностью Ферми, а еф или ?,0— энергией
Ферми. Между ?0 и числом электронов в единице объема, т. е. их концентрацией п,
имеется простая связь. Объем сферы Ферми, занятой N электронами в фазовом про-
пространстве при 0° К, равен 4ярФ/3. Здесь
^ 1'\ A1.7)
Рис. 11.1 Изоэнергетическая поверхность
Ферми [е (р) = ?ф = ?„] для электронов
в импульсном пространстве в случае квад-
квадратичного закона дисперсии е(р)=р2/2тп.
Поверхность имеет форму сферы с ради-
радиусом рф.
наибольший импульс электрона при 0° К,— импульс Ферми; V(? = Рф/т — скоро-
рость Ферми. Объем фазовой ячейки, согласно соотношениям неопределенностей кван-
квантовой механики, приближенно равен h3/V, где V — геометрический объем металла.
Поэтому для концентрации электронов имеем
N 4я з
(множитель 2 учитывает две возможные проекции спина электрона в каждом состоянии
с данным р); отсюда находим
Зге \Чз
) . A1.7а)
- 169 —

Из A1.7) и A1.7а) получаем
8jtBmK/2 в/, у /г2 /Зге\2/з
У2, или g0 = —-(—-) . (Ц.8)
ЗЛ3 b
Из A1.8) следует, что при обычных концентрациях электронов проводимости в метал-
металлах (п = 1022—1023 еж-3) энергия Ферми оказывается порядка Ю-11—10-12 эрг A0 эв),
или в единицах эффективной температуры (вэл « ?„/&) порядка 10 000° К. Газ, под-
подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, называют вырожденным газом (в отличие
от классического газа, подчиняющегося статистике Максвелла — Больцмана). Усло-
Условие сильного вырождения обычно записывают в таком виде:
а температура вэл называется температурой вырождения электронного газа.
Из A1.7а) следует, что число состояний для электронов в шаровом слое между
бесконечно близкими изоэнергетическими сферами радиусов р и р + dp в единицах
объема металла с учетом спинового вырождения дается формулой
Отсюда ясно, что число электронов в единице объема, обладающих энергией в пре-
пределах от 8 до e-\-ds, равно по A1.5)
Множитель перед de определяет функцию плотности состояний электронов для
единицы объема металла:
g(e) = ~Bmf/2s1'i = As1'2. A1.9)
Такая «параболическая» зависимость для функции g (е) характерна именно для квад-
квадратичного закона дисперсии A1.5). В случае произвольного закона дисперсии (см. § 5)
функция g (г) может сильно отличаться от A1.9).
§ 3. Паулиевский парамагнетизм электронов проводимости
В отсутствие внешнего магнитного поля Н результирующий магнитный
момент газа электронов при 0° К равен нулю из-за полной компенсации
орбитальных и спиновых моментов всех электронов. Этот факт является
одним из примеров того, что принцип Паули в системе фермионов при-
приводит к существенной зависимости их энергии от магнитного момента,
даже в том случае, когда не учитывается магнитное взаимодействие ферми-
онов. С аналогичным обстоятельством мы столкнемся, когда речь будет
идти о ферромагнетизме (гл. 19—22), где учет электростатического взаи-
взаимодействия приводит к очень сильной зависимости энергии от результи-
результирующего магнитного момента кристалла, хотя магнитное взаимодействие
при этом не учитывается.
Если включить поле Н, то для того, чтобы хотя бы у одного элек-
электрона проекция спина из антипараллельной полю Н стала направленной
вдоль поля, последнее должно совершить работу, которая идет на «вытас-
«вытаскивание» электрона через поверхность Ферми в свободные ячейки фазового
пространства. До включения магнитного поля функция плотности состоя-
состояний g+ (г) электронов с параллельными («правыми») и g_ (e) антипарал-
антипараллельными полю («левыми») проекциями спина*) имеет [согласно A1.3)]
вид одинаковых парабол (рис. 11.2а, а'). Заметим, что
*) Ниже для краткости будем говорить просто о «правых» и «левых» спинах, либо
соответственно о + и — спинах. Иногда в том же смысле говорят о спинах, направлен-
направленных «вверх» или «вниз».
-— 170 —

После включения поля энергетическая «подполоса» электронов с «правы-
«правыми» спинами сместится вдоль оси е вниз на величипу \x-bH, а «подполоса»
электронов с «левыми» спинами сместится вверх на величину цвН. Таким
образом, обе полосы сместятся друг относительно друга на величину 2цвН
(см. рис. 11.2а, а"). Это смещение нарушает энергетическую равноправность
обеих ориентации спинов. Одинаковое заполнение энергетических под-
полос уже не соответствует минимуму энергии системы. Требование тер-
термодинамического равновесия заставит перейти часть электронов из под-
подполосы «левых» спинов в подполосу правых (рис. 11.2а, а'"). Минимуму
Н-0 Н*0
а')
п.")
а'")
Рис. 11.2а. Функции плотности состояний g (е) электронов проводимости. Левые части графиков
а, а", а'" относятся к функции g+ (е), описывающей разрешенные уровни подполосы для элек-
электронов с проекцией спина вдоль внешнего магнитного поля Н («правые» или + спины); правые
части графиков для функции g. (е) для электронов с проекцией спина против поля («левые», или —
спины), а') Заполненные уровни в отсутствие поля (Н = 0). Подполосы энергии для «правых»
и «левых» спинов не смещены друг относительно друга. ?„ — уровень Ферми, а") Включено магнит-
магнитное поле (Н ф 0); равновесие нарушено. Подполоса «правых» спинов сместилась по шкале энергии
вниз на величину iij^H, а «левых» спинов на ту же величину вниз. Относительное смещение под-
полос равно 2|j,gH. В результате граничной верхний уровень «правой» подполосы стал ниже пер-
первоначального уровня Ферми 5о на М*Б^> а «левой» подполосы — на столько же выше. Число элек-
электронов, занимающих в «левой» подполосе уровни выше ?о приближенно равно 6n~^zg- Eо)НбК>
а число пустых мест в «правой» подполосе ниже ?0, составляет &n+ «= g+ Eо)нв^- Приближенно
можно считать &п- =&6п+. а'"). Новое равновесное состояние устанавливается путем перехода элек-
электронов с «левые» спины из «левой» подполосы с уровней выше ?0, на свободные уровни «правой»
подполосы, лежащие ниже ?о- Новый равновесный уровень Ферми ? (Я) очень мало отличается
от ?„ (при Я = 0) при условии цБЯ « ?„.
энергии в новом состоянии будет уже соответствовать намагниченное
состояние. Это и будет так называемый паулиевский парамагнетизм элек-
электронов проводимости. Пренебрежем изменением функции g (e) в интер-
интервале Цв-ff. Это законно даже для магнитных полей порядка 104 э, так как
энергия цвН для полей не выше 103—104 э равна 10 ~7—10~16 эрг и, сле-
следовательно, при этом в 105 раз меньше энергии Ферми ?0 в металле, равной
101 — 10~12 эрг. Тогда изменение концентрации электронов с «правыми»
спинами равно
g+
а с «левыми» спинами
то для намагни-
намагниЕсли приближенно считать, что gv (е) « g. (г)
ченности, созданной полем Н, получим
I = Fn+-6rL.)\iB = [g+(Zo) + g-(U)]litBH& g(B)nhH. A1.10)
Используя A1.9) и A1.8), получим парамагнитную восприимчивость элек-
электронного газа*):
Ц^ ()"'1 ^?4 си-"»
*) Эта формула была впервые получена Паули [6]. Именно поэтому величину
X™ называют паулиевской парамагнитной восприимчивостью металлов. Заметим,
что из A1.11) следует, во-первых, что паулиевская восприимчивость электронного
газа определяется целиком функцией плотности состояний у поверхности Ферми
S (?о)> а> во-вторых, из A1.11) и A1.8) видно, что она обратно пропорциональна ?(/3.
— 171 —

В силу того, что температура вырождения электронного газа вэл, равная
по определению
_ Co _ >#
к 2тк
(A feO
^эл = -т- =
Зге \2/з
A1.12)
и
1,0
0,5
О
дс'сс" 4
велика (вэл ^> впл, где впл— обычная температура плавления, т. е.
верхнего предела существования твердого состояния металла), тепловое
движение слабо влияет на распреде-
распределение электронов в фазовом прост-
b[bb" ранстве. Поэтому величина %™ (И-И)
должна очень слабо зависеть от тем-
температуры, что и подтверждается
опытом.
Этот результат является, в сущ-
сущности, простым следствием того фак-
факта, что электронный газ в реальном
металле сильно вырожден. Как уже
отмечалось, для металла в твердом
состоянии любые температуры Т <^
<^вэл; поэтому электроны, «затрону-
«затронуты» тепловым движением и пере-
перешедшие в верхние свободные фазовые
ячейки, находятся в узкой зоне раз-
размытости у «ступеньки Ферми», шири-
шириной порядка кТ, и составляют неболь-
небольшую долю от полного числа элект-
электронов, пропорциональную отноше-
отношению 779ЭЛ (рис. 11.26). Таким образом, концентрация этих термически
активных электронов равна пт = п G7вэл). Эти электроны ведут себя
как классический газ. Поэтому при наличии внешнего магнитного поля
магнитная восприимчивость на один электрон, согласно (9.3), равна ц%/кТ,
а суммарная электронная восприимчивость единицы объема металла не
будет зависеть от температуры *) и по величине будет равна
A1.11а)
Рис. И.2°. Функция распределения Ферми —
Дирака /0 (е). при Г = 0° К функция /" (е)
имеет вид «ступень Ферми» abed. При Г > 0°
К в области «разрыва» Ъе (при е = ?„, где
50 — энергия Ферми) появляется «максвел-
ловский хвост» Ь'е" с эффективной шириной
с'с" «= ft Г <? ?„. На графике область теплово-
теплового размытия показана в увеличенном масшта-
масштабе, если ее относить к комнатным температу-
температурам (Г ^=300° К), поскольку в типичных ме-
металлах 5о = й®эл ^ 3 ав и, следовательно,
0 =t 10 000—100 000° К
Со '
что в силу A1.12) и A1.8), с точностью до численного множителя порядка
единицы (=3/2), совпадает с A1.11). При очень высоких температурах
(Т ^ вэл) газ свободных электронов перестает быть вырожденным и ведет
себя подобно классическому газу магнитных стрелок. Однако поскольку
температура вырождения вэл, как правило, выше, чем температура плав-
плавления и даже испарения металлов, то наблюдать такое «классическое»
поведение электрона в твердом и даже жидком металле практически
невозможно. (Исключением может служить лишь небольшое число «пло-
«плохих» металлов и среди них в первую очередь висмут.)
Проведем теперь более точный расчет %™> исходя из общей статисти-
статистической формулы для намагниченности. Вместо A1.10) получим при этом
^&, A1.13)
где /(е) — функция распределения Ферми—Дирака, определяющая ста-
статистическое распределение ферми-частиц (т. е. вероятность того, что
*) При более точном расчете в выражении для %™ появляется небольшой доба-
добавочный член, зависящий от температуры, как B7вэлJ [см. формулу (И.20)].
— 172 —

состояние с энергией е занято электроном) при Т > 0° К, равная *)
\ A1.14)
а 8 (8)— по-прежнему полная функция плотности состояний в спектре
энергии электронов. Следует учесть, что величина ? в A1.14) (которая,
в отличие от энергии Ферми ?0, не имеет индекса «0») представляет собой
химический потенциал газа электронов проводимости. Химический потен-
потенциал ? зависит от температуры Т [из анализа формулы A1.14) легко
показать, .что при Т = 0° К химический потенциал равен энергии Ферми,
t, @) = ?0] и определяется из условия постоянства полного числа элек-
электронов в металле или их концентрации, т. е. из равенства
«= { [/(е-ЦвЯ) + /(е + М0] ^f1^. (И-15)
и, следовательно, в данном случае он зависит также и от магнитного поля
//. Если учесть, что в реальных случаях \iBH <C ?о> то A1.15) можно раз-
разложить в ряд по степеням малого безразмерного параметра ^^Hlt^. Из
вида этого разложения следует, что зависимость п от магнитного поля
определяется лишь членами второго порядка малости, т. е. содержащими
множитель (|Лб-ЙУ?0J:
п= j/(e)g-(e)de+0(#2). A1.16)
В силу A1.8) можно сказать, что и Z, также зависит от Н. Этой «слабой»
квадратичной зависимостью ? от Н можно пренебречь, поскольку мы инте-
интересуемся лишь линейной зависимостью намагниченности от Н. Разложим
теперь в A1.13) функцию распределения (считая д?,/дН = 0) в ряд по Н
и ограничимся членами не выше первой степени. Тогда вместо A1.10),
имея в виду, что df/дг = —dfldt,, получаем
1. A1.17)
Поскольку производная df/дг близка к б-функции, всюду, кроме узко-
области значений е шириной кТ, производная df/дг я^ 0; вблизи точки
е = ?, она имеет резкий максимум, а при Т ->0° К df/дг-*- — оо (см)
рис. 11.26). Интеграл A1.17) можно *вычислить **) в виде ряда по степе-
степеням малого параметра (&77?0); это дает
*) Из A1.14) сразу видно, что при Т = 0° К функция /0 = 1 при 8 <! ?0 и /0 =
= 0 при 8 ^> ?о> т. е- на поверхности Ферми функция испытывает скачок [графически
функция / (е) имеет вид так называемой «ступеньки Ферми» (см. рис. 11.26)]. При
Т > 0 разрывность функции / (г) исчезает и появляется так называемый максвеллов-
ский хвост, эффективная ширина которого и дает нам введенную выше концентрацию •
пх термически активных электронов вырожденного ферми-газа.
**) С более подробным расчетом можно познакомиться, например, в монографии
Зейтца A949) или Займана A966). Заметим здесь только, что дело сводится к вычисле-
вычислению интеграла типа
п=1
где Cin = V (—l)s+1/s2™ и, например, С2 = л2/12; ф (г) обычно имеет вид степенной
фуНКЦИН ОТ 8.
- 173 -

Отсюда в первом приближении получаем уже известную формулу A1.10),
а во втором приближении, если еще учесть зависимость С от Т:
-Qo q-k* -jjQ ЖГ1 (ИЛУ)
и произвести замену g(t,) = g(Co) + (С — Со) ("JH > то с точностью до чле-
нов порядка Тг находим из A1.18)
Из A1.20) видно, что до тех пор, пока мы не знаем вида функции g (e),
нельзя получить явный вид для восприимчивости электронного газа. В слу-
случае свободного ферми-газа эта функция известна; она дается формулой
A1.9). Тогда, с точностью до членов порядка Н2, используя A1.17), для
намагниченности и восприимчивости соответственно получаем *)
(с) df dz
где введены сокращенные обозначения | =
f
)
v\ F' (u)~ dFa{y)
кТ ' У ~ кТ ) > р<хУУ)~ ду
В классическом пределе очень высоких температур (кТ ~^> ^0) имеем
/zfe) (^ гДе Г (Р) — гамма-функция, и, следовательно, A1.21)
переходит в закон Кюри
^ (и-23)
Отсутствие множителя 1/3 в A1.23) связано с тем, что электронный спин
может иметь только две проекции на направление поля, а не все возмож-
возможные, как это допускалось классической механикой.
В противоположном предельном случае сильного вырождения
(Со > кТ) из A1.19) и A1.21) легко получить
^^ГУГ--^—Н A124)
12 V Со / J № \3) П L1 12Uo
что согласуется при 'Т — 0° К с A1.11). В промежуточной области тем-
температур приходится пользоваться численным интегрированием, исполь-
используя таблицы, полученные Стонером и др. [11—15]. В приближении эффек-
эффективной массы в A1.24) можно тп заменить на т*, по при этом следует
помнить, что эту замену нужно сделать и в выражении для Со- Можно
исследовать также зависимость % от Н при нарушении условия Н <^ Со
(см. § 5, п. 6в). О сравнении с опытом см. § 5, п. 66.
*) При выводе этой формулы использованы следующие соотношения:
00 1/ ^°
Joexp^+1 Jo 3
где Л—постоянная из (И.9); отсюда следует, что Fll2 (I) = — 1гш) ; эта формула
дает зависимость t от Т [см. (И.19)].
- 174 —

§ 4. Диамагнетизм электронов проводимости
1. Уровни Ландау. Проведенное выше рассмотрение неполно, потому
что электроны проводимости обладают не только парамагнетизмом, но
также и диамагнетизмом *). По общей теореме классической статистики
Ван-Леевен — Терлецкого (см. гл. 6) диамагнитная восприимчивость
электронного газа должна была бы равняться нулю. Согласно Бору
[17], в случае металлического образца ко-
конечных размеров исчезновение диамагнитно-
диамагнитного эффекта наглядно объясняется тем, что на-
наведенный во внешнем поле диамагнитный
момент электронов внутри металла полно-
полностью компенсируется обратным моментом
«ломаной траектории» электронов, испыты-
испытывающих отражение от граничных поверхно-
поверхностей образца (рис. 11.3). Этот же вывод сле-
следует из энергетических соображений. Маг-
Магнитное поле, изменяя направление движе-
движения электронов и искривляя их траекторию,
не изменяет, однако, абсолютную величину
ИХ СКОРОСТИ. ПОЭТОМУ кинетическая Энергия Рис. Н.З. К «классическому» до-
г « казательству исчезновения диамаг-
ЭЛектроНОВ остается неизменной при ВКЛЮ- нетизма электронов проводимости
чении поля. Ландау [9] открыл замечатель- (по Бору [17"'
ный факт, что трансляционное движение
свободных электронов обладает отличным от нуля диамагнитным эффек-
эффектом. Если мы рассматриваем действие магнитного поля на классический
газ свободных электронов, то можно сказать, что благодаря искривлению
траекторий электронов в поле проекция их движения на плоскость, пер-
перпендикулярную к направлению магнитного поля, имеет в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении вид замкнутых траекторий (орбит), т. е. движение носит
периодический характер. Учет квантовых свойств электрона приводит
к тому, что всякое классически периодическое движение «квантуется»,
и поэтому при включении магнитного поля энергия электронов будет
изменяться и возникает диамагнитный эффект.
Пусть поле Н направлено вдоль оси z. Согласно классической тео-
теории ларморовская круговая частота связанного электрона в атоме по
B.38) или G.3) равна coj, = | е \ Н12тс. В случае же свободного электрона
соответствующая частота оказывается в два раза меньшей по абсолютной
величине и ее обычно называют циклотронной частотой
A1.25)
Покажем это в рамках полуклассической теории атома Бора. Движение
электрона по круговой орбите в кулоновском поле ядра заряда е описы-
описывается уравнением
где со0 = (еУтг3I/2 — собственная угловая скорость (круговая частота)
электрона в атоме, г — радиус орбиты. Если атом поместить в постоянное
*) При обычных измерениях магнитной восприимчивости парамагнитных метал-
металлов фактически измеряется алгебраическая сумма паулиевской парамагнитной вос-
восприимчивости (И.24), и диамагнитной восприимчивости как электронного газа, так
и ионных остовов. Однако с помощью методов парамагнитного резонанса можно выде-
выделить одну парамагнитную восприимчивость, поскольку линии парамагнитного погло-
поглощения (см. гл. 13) обусловлены только спиновым магнитным моментом электронов про-
проводимости. Эта процедура измерения была предложена и использована в работах
Шумахера и др. [14—16]. Парамагнитную восприимчивость можно также выделить
с помощью измерения смещения Найта. Подробнее об этих способах см. § 5, п. 66,
а- также гл. 13.
- 175 -

однородное магнитное поле, то, кроме кулоновской силы е2/г2, на электрон
будет действовать еще сила Лоренца
где v~(x>r—линейная скорость электрона на орбите. Если поле напра-
направлено перпендикулярно к плоскости орбиты, то уравнение движения
примет вид
и, следовательно,
со= —
торг = гслН
г с
\е\Н
2тс
В случае слабых полей [(\е\Н/2тс) <^ со0] имеем
где \е\Н/2тс=:(дъ и есть ларморовская частота B.38) электрона в атоме.
Для свободной частицы радиус орбиты r^-оо, т. е. со0^0, и поэтому
\е\Н . \е\Н
2тс -"" 2тс '
откуда сразу следует формула A1.25).
Круговое прецессионное движение вокруг оси z можно разложить
на сумму двух взаимно перпендикулярных периодических движений
. Pz
Н\
н=о
Рис.11.4а. Расщепление квазинепрерывного Рис. 11.46. Картина расщепления квазинеп-
(при отсутствии внешнего поля, Я = 0, см. рерывного спектра электронного rasa во внеш-
левую часть графика) энергетического спект- нем магнитном поле, направленном вдоль
ра электронов проводимости во внешнем оси г. Слагающая импульса рг остается непре-
магнитном поле (Я ф 0, правая часть гра- рывной и в поле Я, а возможные значения
фика), когда появляется система дискретных слагающих рх ир, квантуются по условию
эквидистантных уровней Ландау. (р2, 4- p2) Bm)-^= Bп + 1)нбН- Поэтому
Возможные значения рж> ру, рг внутри сферы
Ферми (один октант ОАВС которой показан
на графике) будут заполнять поверхности кон-
концентрических цилиндров (например, abed) с
радиусами p_L = (р| + рЗI/2 = [Bп + 1)Х
Х2тЦБ-Й1/г (п = 0, 1, 2, . . .), вписанных
в сферу Ферми.
вдоль осей х и у. Квантовомеханическое рассмотрение приводит к тому,
что в этом случае мы имеем дело с линейным гармоническим осциллято-
осциллятором [см., например, Блохинцев A961)] с дискретным спектром энергий
A) A1.25а)
где п = 0, 1,2,3, ... — квантовое число осциллятора и использована
формула B.4). Движение электрона вдоль оси z не изменяется магнит-
магнитным полем, остается свободным и не квантуется, соответствующая энер-
энергия равна рУ2т, где pz — слагающая импульса электрона вдоль оси z.
.— 176 —

Полная энергия электрона
ё ( !) (И-256)
Характер такого «частичного квантования» энергии свободных электро-
электронов в магнитном поле можно наглядно представить себе следующим
образом. В отсутствие магнитного поля энергетический спектр, отвечаю-
отвечающий слагающей движения свободного электрона в плоскости (х, у),— ква-
квазинепрерывный [энергия этого движения равна _{р% + р1I2т], что изо-
изображено сплошной полосой в левой части рис. 11.4а. При наличии же
внешнего магнитного поля весь спектр разбивается на отдельные узкие
полоски шириной
[( ±)( ±у\ 211БН, A1.26)
каждая из которых превращается («сжимается») в один дискретный уровень
(уровень Ландау), соответствующий середине полоски в квазинепрерывном
спектре (правая часть рис. 11.4а). Таким образом, степень вырождения
каждого дискретного уровня Ландау равна 2[1бН.
Картину появления энергетических уровней Ландау для газа элек-
электронов проводимости в магнитном поле можно изобразить и в ^-простран-
^-пространстве. На рис. 11.46 изображен один октант сферы Ферми. Появление
уровней Ландау сводится к тому, что «сплошная» сфера (при Н = 0)
заменяется набором вписанных в поверхность Ферми концентрических
цилиндров с общей осью z и с расстоянием между соседними цилиндрами,
равным 2[1^Н.
2. Элементарная теория диамагнитной восприимчивости. Для опреде-
определения диамагнитной восприимчивости электронного газа нам надо найти
соответствующую намагниченность. Для этого необходимо вычислить
статистическую сумму Z [см. E.21)]. Найдем сначала статистические веса
gn состояний, т. е. иными словами, число состояний в объеме фазового
пространства в виде цилиндрического кольца высотой dpz, радиусом
Рл = (р% + jOyI/2 и шириной dp±. Объем этого кольца равен 2itpj_dp±dpz
(см. рис. 11.46). Согласно A1.256) в квантовой механике
4—-¦?-*.
4
р± dp± —> 2пц1БНАп =-- 2т[1БН.
Если еще вспомнить, что величина элементарной ячейки в фазовом
пространстве равна h3/V, где V — объем металла, и учесть спин электрона,
то в результате, заменяя [1б по B.4), для статистического веса будем иметь
gn = 2np±dp±dpt-^- = ^^-dpt. A1.27)
Подставляя A1.27) и A1.25) в формулу E.21) для статистической суммы,
находим *)
п—0 — °
VH {2пткТI/^ I BяткТ) \ з/2 кТ
{ )
sh , _. sh
кТ \ kT
*) Здесь использовано, что сумма
__, Г Bn+l)llrj#-l . е-Х I
2 exP[-i-^^^J=^(l + r2x + e-4x+...)«___«__ =Bsha:)-i,
n=0
где х=цвН/кТ.
12 С. В. Вонсовсьий — 177 —

По E.19) и E.20) для намагниченности получаем*)
/_«Г *$« _ -N*, [с.Ь (>?) --&¦]- -Л^ (^) , A1.29)
где L{x) — уже известная функция Ланжевена (9.2).
В случае слабых полей и не очень низких температур, т. е. при
условии НцБ <^ кТ, выражение A1.25) принимает более простой вид.
(L (х) ж ж/3 — я3/45 + • • •) и Для диамагнитной восприимчивости электрон-
электронного газа получаем
Из формулы A1.30) следует, что в «классическом» случае диамагнитная
восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине-
равна одной трети парамагнитной восприимчивости, даваемой формулой
A1.23).
Следует заметить, что при выводе A1.30) мы допустили существен-
существенную неточность, так как считали, что электронный газ подчиняется клас-
классической статистике, в то время как он подчиняется статистике Ферми-
Дирака. Однако из A1.30) можно получить правильное выражение для
%эл элементарным путем, не производя заново статистического расчета,
как это было сделано выше при получении выражения A1.11а) для ~/™-
Подставляя снова число термически активных электронов пт = гс27вэл
вместо п в A1.30), используя A1.12) и учитывая еще множитель 3/2,
появляющийся при переходе от приближенной формулы A1.11а) к точной
A1.11), находим для диамагнитной восприимчивости
2/з
т. е. выражение, которое получил Ландау [9]. Формула A1.31) показывает,,
что квантовый газ свободных электронов обладает диамагнетизмом, кото-
который также нельзя непосредственно наблюдать, так как он перекрывается
в три раза более сильным положительным паулиевским спиновым пара-
парамагнетизмом A1.11).
3. Термодинамический потенциал системы фермионов. Приведенный
выше расчет магнитной восприимчивости для модели свободных электро-
электронов был совсем элементарным. При этом был упущен ряд эффектов, кото-
которые могут быть учтены лишь при более точных статистико-термодина-
мических расчетах. Из статистической физики известно [см., например,
Ландау и Лифшиц A9^4)], что термодинамический потенциал Q связан со>
свободной энергией F из E.2) соотношением
где ? — химический потенциал, п — концентрация частиц системы. В слу-
случае совокупности свободных частиц, находящихся в квантовых состоя-
состояниях j с энергией е^, для Q имеем
Qj= -АПп 2 (exp n^p. A1-32)
Здесь nj— число частиц в состоянии / (число заполнения), а ге^е/-— энер-
энергия всех частиц, находящихся в состоянии /. Поскольку для свободных
*) Из A1.29) видно, что в пределе при h -*¦ 0, т. е. при |лБ -*- 0, каждое из двух
слагаемых в квадратных скобках стремится к бесконечности, а сумма их — к нулю;
это и означает взаимную компенсацию «внутренней» и «пограничной» частей диамаг-
диамагнитного момента в классическом случае [17].
— 178 —

фермионов имеет место принцип Паули и числа заполнения nj могут при-
принимать только два значения: 0 и 1, то A1.32) примет вид
Of =-*Г In [l + exp (-?=?!)] . A1.33)
Отсюда можно сразу получить формулу для среднего числа частиц (фер-
(фермионов) в состоянии у, т. е. функцию распределения Ферми — Дирака
A1.14), которая равна взятой со знаком минус производной термодина-
термодинамического потенциала A1.33) по химическому потенциалу ?,. Из A1.33)
находим
f + I]. (И.14а)
Термодинамический потенциал газа фермионов с учетом всех квантовых
состояний равен сумме выражений A1.33) по всем возможным ;':
где
A1.35)
Двойка в A1.34) учитывает спиновое вырождение. Формула A1.34) и
является исходным пунктом для статистических вычислений магнитной
восприимчивости электронного газа. Определив потенциал A1.34) как
функцию внешнего магнитного поля Н, мы найдем магнитную восприим-
восприимчивость по формулам типа E.29). Магнитное поле входит в A1.34) через
энергии е^- и химический потенциал ?. Согласно A1.256), а также с учетом
энергии электронного спина в поле Н энергия е^- (Н) равна
г(п,р2). A1.36)
Два знака в последнем слагаемом в A1.36) соответствуют двум возможным
проекциям спина вдоль поля Н.
4. Осцилляционный эффект. Подстановка A1.36) в A1.34) позволяет
в принципе вычислить магнитную восприимчивость электронного газа
без разделения ее на диа- и парамагнитную части, как это мы делали выше,
а также более точно учесть все особенности влияния статистики Ферми —
Дирака на магнитные свойства газа фермионов. К сожалению, эти вычис-
вычисления довольно громоздки. Поэтому мы остановимся здесь на элементар-
элементарном способе выяснения некоторых особенностей в поведении магнитной
восприимчивости электронного газа. В связи с этим следует напомнить,
что еще в 1931 г. де Гааз и ван Альфен [18] обнаружили в висмуте на опыте
периодические изменения Диамагнитного момента при изменении напря-
напряженности магнитного поля в области низких температур. Это явление
можно количественно объяснить, если отказаться от ограничения, накла-
накладываемого неравенством [i^H <^ кТ, которое лежит в основе всех преды-
предыдущих вычислений, и провести более строгий расчет, пользуясь выраже-
выражением для термодинамического потенциала в форме A1.34). Качественно
это можно понять, если обратиться к рис. 11.4а, а также к элементарному
выводу в п. 2, из которого видно, что степень вырождения дискретных
уровней определяется величиной магнитного поля по формуле A1.27).
Если это число больше, чем полное число электронов N, то они все «уме-
«уместятся» на одном уровне с п = 0; с уменьшением поля число мест на уровне
уменьшается и может стать меньше N; тогда электроны начнут «переби-
«перебираться» на следующий уровень с п = 1 и т. д. Поэтому магнитные и вообще
все свойства электронов должны периодически изменяться с изменением
— 179 — 12*

величины магнитного поля, причем восприимчивость будет изменять не
только величину, но и знак, что и наблюдается на опыте [18].
Пользуясь рис. 11.4а, легко получить простую оценку для «периода»
этих изменений по обратной величине магнитного поля. Обозначим этот
период через А (\1Н).. Для этого рассмотрим два значения поля Н^ и Нг
(Hi > Нг), для которых число уровней Ландау с энергиями, меньшими
или равными ?0, соответственно равно N' и N' + 1. Тогда будем иметь
? л/"' So _ \т> | л
Г" ' 2цЯ +1-
Вычитая почленно из второго равенства первое, получим
?о / 1 L\- 1
2цБ \ Н2 Hj 2цБ u \Н
u \Н ) -
откуда для периода осцилляции получаем
А(-г)=-1Г- (и-37)
Следуя Зейтцу A949), можно проиллюстрировать этот результат на
простой двумерной модели этого явления. Согласно A1.25) уровни энер-
энергии электрона в присутствии поля (без учета движения вдоль поля и энер-
энергии ориентации спина в поле) определяются уравнением
В двумерном случае (V —> S, где 5 — площадь двумерной системы) для сте-
степени вырождения по A1.27) имеем
s
Если g' становится больше полного числа электронов N, то все они
занимают состояние сп=0 и полная энергия
ей соответствует, по E.39), постоянный магнитный момент М = — [
и нулевая восприимчивость. По мере уменьшения магнитного поля Н
уменьшается и полная энергия % до тех пор, пока g' не станет меньше,
чем N; тогда часть электронов в силу принципа Паули должна перейти
на уровни с п = 1, и, следовательно, с уменьшением поля энергия уве-
увеличивается, т. е. система становится парамагнитной. Легко найти общее
выражение полной энергии для интервала значений поля, заданных нера-
неравенством
или
^t<.4-H<JL. A1.38)
n-\-i ch n v '
Очевидно, что при этом условии п уровней заполнены целиком,
а (п 4- 1)-й — лишь частично. Напоминаем, что п принимает значения
О, 1, 2, 3, . . .; поэтому уровню п-то номера в формуле для энергии соот-
соответствует квантовое число п — 1 и т. п. Энергия электронов, заполняющих
п первых уровней, равна
п—1
РЯ 2 |^БЯBи+1) = Р|яБЯ2и2. A1.39)
п=0
Энергия (N — п$Н) электронов, частично заполняющих (гс+1)-й уровень,
равна
{N$H)H{2 \). A1.40)
Полная энергия дается суммой выражений A1.39) и A1.40) и равна
- J80 —

Следовательно, в интервалах значений поля, определяемых неравенством
A1.38), магнитный момент системы электронов
М= ^' — "-^Ив B^+1L 2-^-(Лвп (и + 1)Я. A1.41)
Магнитный момент как функция целочисленного параметра п является
дискретной функцией Я. Из A1.41) снова видно, что при $HIN > 1 маг-
магнитный момент М = — N\iB и не зависит от Я. При 1/2 < §HIN < 1
электроны переходят на уровень с квантовым числом п = 1. Магнитный
момент при $H/N = 1 и гс = 1
скачком изменяется до М = + Л^в
и дальше линейно изменяется с полем
до М = — JVfxB, когда §HIN = 1/2.
При дальнейшем уменьшении поля
электроны начинают переходить на
уровень с квантовым числом п — 2.
Здесь опять при рЯ/iV = 1/2 и п = 2
происходит скачок момента М к зна-
значению М — -\- NnB, а затем идет
линейное изменение до М = — iVfis
при рЯ/iV = 1/3 и т. д. Таким обра-
образом по мере уменьшения магнитного
поля М через определенные интер-
интервалы значений Я меняет знак и при
значениях Я, для которых 2eSHIch=
~ РЯ = Nln, испытывает разрывы
(рис. 11.5). Из A1.25) следует, что
реальный трехмерный энергетиче-
энергетический спектр непрерывный, поэтому
для него разрывов в величине намаг-
намагниченности не должно быть. Пайерлс
[19] (см. также Вильсон [20]) показал, вычислив A1.34), что в этом слу-
случае функция М (Я) действительно не имеет разрывов, но изменения знака
глх-ю"
0,6
-1
Рис. 11.5. Осцилляции магнитного момента М
двумерного электронного газа при т = 0°К в
зависимости от изменения напряженности
магнитного поля Н. По осям отложены без-
безразмерные величины: M/N\iB, где JV — число
электронов в газе, и PH/JV, где Р = 2eS/ch и
S — площадь, занятая газом. Каждый непре-
непрерывный участок разрывной функции М (Н)
отвечает определенному числу п уровней
Ландау, находящихся ниже энергии Ферми
to в данном интервале изменения поля Н
(эти числа указаны около каждого участка
кривой).
f/H-!O*a~'
Рис. 11.6. Типичная экспериментальная кривая зависимости магнитной вос-
восприимчивости от значений обратного магнитного поля (Zn, Т = 4,2° К, по
работе [21]). По осям отложены: разность восприимчивостей для двух глав-
главных осей в монокристалле цинка Дх = Xz — %х (или %z — Ху) и обратная
величина магнитного поля Н~' в э-1.
сохраняются. На рис. 11.6 для иллюстрации приведена опытная кривая
для значений магнитной восприимчивости цинка по данным Веркина
и Дмитренко [21]. Кривая имеет явный «колебательный» характер.
Теория эффекта де Гааза — ван Альфена разрабатывалась многими
авторами [19, 20, 22—27], а также изложена в работе Шенберга [28].
- 181 -

Особенно ценным вкладом в развитие теории эффекта де Гааза — ван Аль-
фена явились работы И. М. Лифшица и Косевича [29, 30], построивших
наиболее строгую теорию осцилляционных эффектов в металлах (подроб-
(подробнее см. §§ 5 и 6). Экспериментальные исследования эффекта де Гааза —
ван Альфена получили также широкое развитие. Упомянем в первую оче-
очередь работы Лазарева, Веркина и их сотрудников [21, 31—35]. В этих
работах впервые было показано, что эффект де Гааза — ван Альфена при
низких температурах (т. е. при цвН > кТ) наблюдается не только в висму-
висмуте, но также и в других нормальных металлах — цинке, олове, бериллии,
магнии, индии, кадмии, галлии, графите. Таким образом, это явление
следует рассматривать не как аномальный эффект для висмута, а как
универсальное свойство металлического состояния вещества.
5. Расчет магнитной восприимчивости ферми-газа. а. Идеальный газ. Для того
чтобы стал более понятным универсальный характер осцилляционный электронных
явлений в металлах, а также важность их изучения для квантовой теории металлов,
необходимо хотя бы вкратце ознакомиться с современными направлениями в этой
теории. Однако прежде чем сделать это, мы приведем количественный расчет в рам-
рамках модели свободных электронов [Вильсон A953)].
. Расчет магнитной восприимчивости можно выполнить и автоматически, если
известна зависимость термодинамического потенциала A1.34) от магнитного поля Н
и температуры Т : ?2Ф (Я, Т), поскольку согласно E.29) % = — A/Я) (dQfydH). Для
вычисления функции Q* (Н, Т) в правую часть формулы A1.34) надо подставить
в экспоненту выражение для энергии электрона в магнитном поле A1.36) и провести
суммирование. Это суммирование в случае энергетического спектра A1.36) можно
провести аналитически. Однако вычисления оказываются весьма громоздкими. Не
вдаваясь во все подробности этого расчета, укажем все же общую его схему. Здесь
обычно используют различные формальные математические приемы. Например,
можно для проведения суммирования ввести две вспомогательные функции: во-первых,
функцию z (е), связанную с классической статистической суммой Z (у) (здесь у =
= ЦкТ,) и, во-вторых, функцию Ф (у), связанную с функцией ср (е) из A1.35), в сле-
следующей форме:
оо оо
—ф-= \ z(e)exp(— ye) de, Ф(у)= \ ф (е) ехр ( — ye) d&.
о "о
Пользуясь теорией преобразования Лапласа [см., например, Снеддон A955)], эти
формулы можно обратить при е > 0. Это дает
c+ioo ' c+ioo
z(e)=2S7 J -^-exV(zs)ds, ф(е) = ^ J Ф(«)ехр(м)&; A1.42)
с—гоо с—ioo
при этом постоянная с выбирается так, чтобы все особые точки подынтегральных выра-
выражений лежали слева от контура интегрирования. Подставляя второе из выражений
A1.42) в A1.34) и используя первое соотношение A1.42), а также определение стати-
статистической суммы E.21): Z(s)= ^ ехр (— ejs), находим
c-f-too
O*2Pto) {
С—гоо з
с+гоо
В последнем интеграле выражение s2© (s) имеет трансформату Лапласа д2ф/3е2,
и поэтому в силу A1.42) имеем
О
Из A1.35) следует, что 32ф/де2=2д//де, где /—функция распределения Ферми —
Дирака A1.14), и, следовательно,
оо
Q*=2 f z(e) |^-cfe. A1.44)
о
- 182 -

Таким образом, вычисление потенциала Q$ сводится к определению функции z (e)
и взятию интеграла в A1.44).
Для вычисления z (е) подставим в первый интеграл A1.42) классическую стати-
статистическую сумму A1.28). Это дает после замены
sh
= exp
— exp ( — 2[iBHs)]
и некоторых простых преобразований
c+ioo
2 exp (es — \iBHs)
A1.45)
Подынтегральная функция в A1.45) имеет полюсы в точках
по мнимой оси nBHs = ± mi (г = 1, 2, . . .), а также точку
ветвления в начале координат. Если бы полюсов не было,
то функция z (е) была бы монотонной функцией Н, а наличие
полюсов, как будет показано ниже, обусловливает появле-
появление в z (е) слагаемого с периодической зависимостью
от Н'1, что и приводит к осцилляционному эффекту
де Гааза — ван Альфена. Физической же причиной его по-
появления является квантование орбит свободного электрона
в магнитном поле, которое приводит к квазипериодическо-
квазипериодическому изменению плотности состояний как функции энергии.
Чтобы вычислить z (е) в вещественной форме, рассмотрим интеграл в A1.45)
по замкнутому контуру (рис. 11.7) ABCDEFA, состоящему из разреза CDEF вдоль
отрицательной вещественной оси и дуг окружности ВС и FA круга радиуса
цв (Н | s \=(N-\-i/2) я, где N — большое число. При таком выборе контура интеграл
¦однозначен и контур не проходит ни через один полюс подынтегральной функции.
При N -*¦ оо интегралы по участкам окружности ВС и FA стремятся к нулю. Поэтому
интеграл по АВ можно заменить интегралом по петле FEDC (когда точки F и С -> оо)
плюс 2я?, умноженное на сумму всех вычетов R (mi). Это дает
Рис. 11.7. Контур интег-
интегрирования ABCDEFA,
по которому ведется ин-
интегрирование при вычис-
вычислении функции г (е) по
формуле A1.45).
h3
@+)
'/2
2 exp (es — \iBHs) ds
A1.46)
Вклад от вычета Я (rat) полюса
поэтому
— rni равен
A1.47)
Из A1.47) и видна уже периодическая зависимость потенциала A1.44) от Н~1. Кон-
Контурный интеграл в A1.46) можно преобразовать в вещественный интеграл следую-
следующим образом:
exp (es) ds
@+)
С
+)
С Г 1
J L (^Hs?/*
1
@+)
J U^HsI'*
(es) ds.
Первый интеграл в этой формуле определяется через гамма-функции по формуле
@+)
1 С
Г<"х» (z) =2^г 1 '~гехр(*)Л, а второй можно преобразовать в интеграл от 0 до
— оо
- 183 -

по вещественной оси, умноженный на 2i sin3/2 я =— 2г, поскольку подынтеграль-
подынтегральная функция вблизи начала координат ведет себя как s '2 *). В итоге, собирая все
члены в A1.46), находим**)
Bя^Г 8 g5/2_ 1 17
h3 Libya зуя Б ' ^
оо
+-L (цБЯM/2 j (j,-'/2_e-ij,-«/2_j,-»/2(shj,)-i) ехр (—j^) dy
Отсюда по A1.44) можно найти От в случае сильного вырождения кТ « ?0, исполь-
используя уже встречавшиеся асимптотические выражения для интегралов статистики
Ферми — Дирака. Однако интегралы от тригонометрических функций из A1.48) сле-
следует вычислять более точно, чем остальные члены, поскольку эти подынтегральные
выражения являются быстроменяющимися функциями е. Воспользуемся тождеством
/ я те \ Г / ni rnti \ Г т (е — Q
где Re означает взятие вещественной части от выражения, стоящего вправо от этого
символа, и рассмотрим интеграл
7 df Г гп(е—?) г  ,
1 -^- ехр —^— de.
Вводя новую переменную г) = (е—Q/кТ и заменяя, как обычно при сильном выро-
вырождении, нижний предел интегрирования —(?/АГ) на —оо [что вносит ошибку
порядка ехр (— Z/кТ)], получаем выражение
/ ткТц \ .
оо ехр I =-!¦ 1 i
1 ^ \ цБН I
~т 3 ch2 м \ л>
-оо Ch ^j
которое можно вычислить интегрированием по контуру; в результате получим ***)
sh
В итоге по A1.48) для Q* находим
*) Действительно,
1 1
**) Напоминаем, что
) = *Г(г) и Г A)=
***) При вычислении интеграла с осциллирующей функцией Я пользуемся
нулевым приближением, заменяя производную df/дг дельта-функцией —б (е—Q.
- 184 -

Нормальный (не осциллирующий) диамагнетизм дает первый (интегральный)
член в A1.49), а второй член дает магнитные осцилляции. Если мы пренебрежем зави-
зависимостью диамагнитной восприимчивости от магнитного поля Н, то для неосцилли-
рующей части по E.29) получим
¦ *u ,- l- ;"^* A1.50)
или, используя обозначения A1.22),
ДМ _ ' о ' Ч2\У (И 5П
Х°л 3*Г Л/2Ф }
Таким образом, и из более строгого расчета видно, что диамагнитная восприимчивость
электронного идеального газа по абсолютной величине точно равна одной трети его
парамагнитной восприимчивости A1.21) при всех значениях температуры. Для клас-
классического предела это уже было показано при выводе формул A1.30) и A1.31).
Если мы хотим учесть, вообще говоря, очень слабую зависимость нормальной
(не осциллирующей) части %дм от Н< т- е- член, получающийся от интегрального сла-
слагаемого в квадратных скобках правой части A1.49), необходимо с самого начала одно-
одновременно учитывать пара- и диамагнитные эффекты. Это вызвано тем, что спин сво-
свободного электрона и его орбитальное движение дают аддитивные вклады в магнитную
восприимчивость только с точностью до членов, линейных по Н; при учете членов
более высокого порядка относительно Н такой аддитивности уже нет. Поэтому клас-
классическую статистическую сумму Z из A1.28) необходимо уточнить, домножив правую
часть на ch (цвЩкТ). Это дает
2лткТ \3/2 кТ
/ 2пткТ \
sh (-
Заменим, далее, cth я по формуле
оо
(-> til •*¦ p ZrX 7 .
71=1
и запишем
4-th* *+2 у 1
z7/2
n=l
1/2
1 _2 У
n=l
Если теперь снова повторить приведенный выше расчет Q* с функцией распределе-
распределения A1.52), то для неосциллирующей части Q* вместо интегрального члена в A1.49)
получим
15 Уя 3 "|/я
( » Wl^rfe. A1.53)
л»/2\1 Г х— -ехр/ ^-\Лг\М.
п=1 О
Дальнейшее решение задачи по нахождению % (Щ сводится к вычислению интегралов,
входящих в A1.53),— численному или приближенному аналитическому (см. работы
[271—283]).
б. Взаимодействие с ионной решеткой. Более интересным является анализ
влияния на аддитивную часть магнитных восприимчивостей A1.21) и A1.51) взаимо-
взаимодействия электронов проводимости металла с его ионной кристаллической решеткой.
При вычислении диамагнитной восприимчивости электронов проводимости мы
считали, что они образуют газ свободных частиц, и, следовательно, не учитывали, что
электроны в металле находятся как под сильным воздействием потенциала ионной
- 185 -

решетки, так и взаимодействуют друг с другом. Более точный расчет Пайерлс [19],
Вильсон [20], см. также Зейтц A949), Вильсон A953)] (который здесь не приводим из-
за его сложности *)) показывает, что диамагнитная восприимчивость, как и следовало
ожидать, состоит из двух основных частей: %т, обусловленной диамагнетизмом ионов,
3(Дм, обусловленной электронами проводимости; эта часть в пределе слабой связи пере-
переходит в A1.31) или A1.50). Однако появляется также третья часть %дм, целиком свя-
связанная с взаимодействием электронов проводимости с ионными остовами. В предель-
предельных случаях слабой и сильной связи %№ обращается в нуль.
Для второй, наиболее интересной части диамагнитной восприимчивости теория
дает следующее выражение:
' Г Г дЧ дЧ I
J L дкх дк\ \
дЧ \2| df
) J
дкхдку) J де
df
де К'
здесь интеграл распространяется по объему, заполненному электронами, в простран-
пространстве квазиимпульсов (или волновых векторов кх, kv, kz, p = hk); ось z параллельна
внешнему магнитному полю. Из A1.54) легко видеть, что для свободных электронов,
когда е = h2k2/2m, или для связанных электронов в приближении эффективной массы
е = h2k2/2m*, в нулевом порядке по параметру малости kT/Z,o выражение A1.54)
сводится к формуле Ландау A1.31) соответственно с т или m2/m*. Из A1.54) также
видно, что в общем случае %2М определяется кривизной ферми-поверхности (выраже-
(выражение в квадратных скобках, стоящее под интегралом). Поскольку поверхность Ферми
может иметь сложную форму (см. § 5), %дм может быть как отрицательной, так и поло-
положительной величиной, но для почти пустой или почти заполненной энергетической
полосы (когда справедливо приближение эффективной массы) величина %дм всегда
отрицательна. Из A1.54) следует , что большой диамагнитной восприимчивостью долж-
должны обладать, например, щелочноземельные металлы и висмут (см. табл. 11.1), которые
имеют почти заполненные энергетические полосы с большой отрицательной кривизной
поверхности Ферми. Кристаллическая решетка висмута не типична для подавляющего
большинства металлов. Это, по-видимому, объясняет и температурную зависимость
диамагнетизма висмута **). Однако, поскольку одноэлектронное приближение яв-
является весьма грубым, вряд ли можно рассчитывать на получение численных значе-
значений диамагнитной восприимчивости.
Как только что указывалось при анализе формулы A1.54), выражение A1.51)
в приближении эффективной массы будет отличаться лишь тем, что в выражении для
ц| следует заменить массу свободного электрона на егр эффективную массу в решетке
т*. Таким образом, вместо A1.51) будем иметь
„ДМ_ "fb Л/2 E)
Хэ
^ ,ЗЛГ Л/2F)
Полная восприимчивость %эл электронного газа равна сумме парамагнитной A1.21)
[см. также A1.17)] и диамагнитной восприимчивости A1.55), т. е. ***)
2
Из A1.56) видно, что случай свободного газа, когда %эл = -^- %™, имеет место только
о
при пг* = т. Если т* < m/~l/3, то результирующая восприимчивость отрицательна
и система электронов ведет себя как диамагнетик. Наоборот, при т* > m/1/З система
в целом парамагнитна. Большая диамагнитная восприимчивость возможна поэтому
только при малой эффективной массе электронов, а это означает, что поверхность
Ферми лежит в тех областях пространства квазиимпульсов, где изоэнергетические
поверхности [е (к) = const] имеют большую кривизну, как это и следует из формулы
A1.54).
Величинах?*1 не имеет столь простого аналога, как первые две части, и зависит
от характера и величины связи электронов в кристаллической решетке.
*) Есть еще одна причина. Результаты расчета [19, 20] практически пока невоз-
невозможно сопоставить с экспериментальными данными.
**) Диамагнетизм висмута в рамках одноэлектронной теории теоретически ис-
исследовал Блекман [22]. В последнее время проблема металлов типа висмута с учетом
межэлектронного взаимодействия была рассмотрена Абрикосовым и Фальковским [36].
***) Подчеркнем, что замена т на т* производится в выражении для цБ только
в формуле для диамагнитной восприимчивости, поскольку в ней цБ появляется просто
как замена определенной группы констант. В формуле для %™ спиновый момент ра-
равен цв независимо от того, свободен электрон или связан, и поэтому эффективная
масса не должна входить в выражение для цБ, по крайней мере в нерелятивистском
приближении.
- 186 —

При более точном расчете магнитной восприимчивости металла необходимо учи-
учитывать: 1) электростатическое, т. е. обменное, и кулоновское взаимодействие валент-
валентных электронов, 2) их магнитное взаимодействие, 3) парамагнетизм по Дорфману —
Лаули одновременно с диамагнетизмом по Ландау, 4) диамагнетизм ионных остовов.
Теоретические значения восприимчивости для ряда металлов вообще достаточно удо-
удовлетворительно согласуются с опытными данными. Например, в случае натрия для спи-
спинового парамагнетизма теория дает +1,11 -Ю-6, для диамагнетизма Ландау —0,23 • 10~в,
для диамагнетизма ионных остовов —0,18 -10 6 (см. [37]). Таким образом, полная
восприимчивость равна 0,70-10-в, в то время как опыт [38] дает величину 0,63-10~6.
Расчет пара- и диамагнитных свойств «свободного» электронного газа произвели
Ахиезер [23], Румер [24, 25] и Зильберман [26, 27].
Расчеты по влиянию магнитного поля на электрон на основе зонной модели
проводились за последнее время рядом авторов [39—41]. Наиболее подробный
расчет, с учетом нескольких энергетических полос и магнитного (релятивистского)
спин-орбитального взаимодействия, проведен в работе Рот [42]. Однако полученные
ею выражения сложны и не позволяют сравнить их с опытом (см. также [271—283]
и [288]).
§ 5. Основы электронной теории (слабого) магнетизма металлов
с произвольным законом дисперсии
1. Введение. Недостаток всех упоминавшихся выше теоретических работ по
¦объяснению магнитных свойств слабомагнитных металлов заключается в том, что
в используемой в них модели свободных электронов полностью игнорируется сильное
динамическое взаимодействие (кулоновское отталкивание) между электронами, а учи-
учитывается лишь статистическое взаимодействие (принцип Паули). Попытки учесть дина-
динамическое межэлектронное взаимодействие наталкиваются на большие математические
трудности, которые практически до сих пор не дают возможности построить последо-
последовательную многоэлектронную теорию твердого тела, в том числе и металлов. Пост-
Построение такой многоэлектронной теории необходимо, поскольку многие физические
свойства, и, в частности, важнейшие, магнитные свойства металлов — ферро- и антифер-
антиферромагнетизм — не могут быть в принципе объяснены без учета межэлектронного взаимо-
взаимодействия в системе коллективизированных электронов в кристалле. Вместе с тем из
приведенных выше примеров использования одноэлектронной зонной теории для
объяснения магнитных свойств металлов видно, что, по крайней мере качественно, она
хорошо согласуется с опытом. Это указывает на то, что, по-видимому, ряд общих поло-
положений этой теории, не связанных с конкретными грубомодельными предположениями,
выходят, по существу, за рамки одноэлектронного подхода и имеют более универсаль-
универсальное значение, будучи связанными с общими свойствами реальной электронной системы
металлических кристаллов. В силу указанного совершенно естественно в качестве
предварительного этапа в построении строгой теории была развита феноменологиче-
феноменологическая трактовка для объяснения физических свойств системы электронов в кристалле.
В ней постулируется само существование межэлектронного взаимодействия и общие
статистические и теоретико-групповые свойства ферми-систем, но вместе с тем не
делается никаких модельных предположений. Последнее является наиболее сильной
стороной этой трактовки, в которой оказалось возможным получить много интерес-
интересных результатов и в первую очередь в области магнетизма слабомагнитных металлов.
При этом теоретические выводы нашли весьма убедительное количественное подтверж-
подтверждение на опыте. Начало этому новому направлению в квантовой теории металлов было
положено работами И. М. Лифшица с сотрудниками [43—46], см. также [47, 48]. С не-
некоторыми аспектами этого направления, имеющими важное значение для теории маг-
магнетизма, мы сейчас кратко познакомимся.
Только что отмечалось, что успехи в применении модели свободных электронов
для описания электронных свойств металлов позволяют высказать интуитивное пред-
предположение о том, что динамику системы взаимодействующих фермионов в металле
можно с известным основанием аппроксимировать динамикой отдельных практически
невзаимодействующих квазичастиц. При этом закон дисперсии е (р) (т. е. зависимость
энергии е от квазиимпульсар или волнового вектора к) для этих квазичастиц, конечно,
будет в общем случае более сложным и отнюдь не обязательно похожим на квадратичный
закон дисперсии A1.5) свободных электронов.
Между электронами в металле действует сильное кулоновское отталкивание,
описываемое дальнодействующим потенциалом е2/г, сравнительно слабо спадающим
с ростом г. Правда, в реальных кристаллах электронный заряд в среднем нейтрали-
нейтрализуется положительными зарядами ионных остовов решегки. Однако при хаотическом
движении электронов в кристалле могут возникать локальные флуктуации электри-
электрического заряда, которые будут создавать очень сильные электромагнитные поля. Бом
и Пайнс [см. Пайнс A955, 1963), Бом A964)] сделали попытку учесть эффект этих флук-
флуктуации электронного заряда в металле введением коллективных колебаний системы
электронов. Этот прием они заимствовали из дебаевской теории теплоемкости ионных
кристаллов, в которой сложное движение сильносвязанных ионов в решетке описы-
описывается системой независимых осцилляторов — фононое. Точно так же в электронной
системе, в которой действует кулоновское отталкивание между частицами, оказывается
— 187 —

возможным часть степеней свободы системы описать специфическими осцилляторами —
плазмонами (плазменными колебаниями), образующими идеальный газ (гармониче-
(гармоническое приближение). В отличие от фононов, энергия которых непрерывно изменяется,
начиная с нулевого значения, для плазмонов электронной системы существует мини-
минимальная плазменная частота о)Плаз = Dnrce2/m)V2. При обычных концентрациях
электронов проводимости в металлах (п « 1022) шПлаз ~ Ю16 сек-1. Следовательно,
величина минимального кванта энергии этих колебаний ^шплаз порядка 10*11 эрг
A0 эв). Иными словами, в электронном энергетическом спектре коллективных плаз-
плазменных колебаний в металле имеется большая энергетическая щель Деплаз = Асоплаз.
Отсюда видно, что при обычных температурах (кТ < йшпЛаз) плазменные колебания
в металле не возбуждаются. При этих условиях реализуются другие степени свободы
электронов — не коллективные, а индивидуальные, которые благодаря кулоновскому
взаимодействию и малой массе электрона (по сравнению с массой иона) носят свое-
своеобразный характер, отличный от индивидуальных (диффузионных) движений тяжелых
ионов, которые имеют место при высоких температурах в твердых телах. Электроны
благодаря своей большой подвижности (по сравнению с ионами) перераспределяются
в пространстве так, чтобы несколько заэкранировать кулоновское взаимодействие.
Поэтому фактически потенциал взаимодействия описывается не обычным кулоновским
потенциалом е2/г, а экранированным потенциалом (е2/г) ехр [—г/Яд] [см. Пайнс
A963), Бом A964)]. Здесь Яд — характерная длина системы взаимодействующих
электронов — так называемая дебаевская длина волны (радиус экранировки), равная
Яд = (m ( v2 ) /12лпе2I/2, где п — концентрация, a (v2) — средняя квадратичная
скорость частиц. В обычных металлах п ¦» 1022 см'3, и поэтому, заменяя (v2) по A1.7),
находим Яд « 10~8 см, т. е. величину порядка параметра решетки.
Итак, в системе взаимодействующих электронов можно выделить две группы
степеней свободы: 1) коллективные плазменные колебания с высокой энергией воз-
возбуждения и 2) индивидуальные движения квазичастиц, взаимодействие которых опи-
описывается экранированным потенциалом. Полное число плазменных степеней свободы
в системе электронов мало по сравнению с полным числом исходных частиц. В этом
смысле электронный коллектив существенно отличается от ионной решетки, где дви-
движение «тяжелых» ионов можно практически (в гармоническом приближении) цели-
целиком описать движением идеального бозе-газа фононов, совершенно отличным по своему
характеру от движения отдельных ионов. Эта диффузия ионов в кристаллах при
Т <С впл не играет существенной роли. В электронной же системе «львиная доля»
степеней свободы принадлежит индивидуальным движениям квазичастиц, которые
поэтому можно рассматривать похожими на свободные электроны (с точностью до
закона дисперсии и экранированного взаимодействия).
Здесь сразу же возникает вопрос: можно ли для этих частиц в какой-то мере
сохранить представления модели свободного газа Ферми с характерной для него функ-
функцией распределения A1.14), а именно с ее резким спадом (ступенькой) при Т = 0° К,
определяющим в пространстве квазиимпульсов поверхность Ферми *)? Этот вопрос
до сих пор еще не нашел окончательного строгого решения. Однако можно привести
некоторые общие качественные соображения, дающие положительный ответ на постав-
поставленный вопрос. Дело в том, что вид функции распределения A1.14) в статистике Фер-
Ферми — Дирака является прямым следствием принципа Паули. И в случае системы
взаимодействующих электронов этот принцип также имеет первостепенное значение-
в связи с ограничениями, накладываемыми им на влияние межэлектронного взаимодей-
взаимодействия на свойства системы. Если поверхность Ферми сохраняет свой смысл и для си-
системы взаимодействующих частиц, то квазичастицы для возбужденных состояний
системы, близких к основному (при 0° К), будут носить характер пар типа электрон —
дырка, но с произвольным законом дисперсии е (р). Если бы эти квазичастицы не под-
подчинялись принципу Паули, т. е. были не фермионами, то их сечение рассеяния (бла-
(благодаря экранированному кулоновскому отталкиванию) было бы таким, что средняя
длина свободного пробега I была бы порядка среднего расстояния между электронами
(узлами решетки), т. е. порядка 10~8 см. Среднее время свободного пробега при этом
было бы т « l/(v) « 10~8-10~8 « 10~16 сек. Тогда из соотношения неопределенности
энергия — время Де-Дг^А «ширина» уровня, т. е. точность определения энергии
одночастичного возбужденного состояния (квазичастицы), была бы равна Де «А/т «
як Ю1 эрг A0 эе). Поэтому нельзя было бы вводить представления о квазичастицах
*) Ландау [49] предложил более последовательную феноменологическую трак-
трактовку свойств системы квазичастиц — фермионов — теорию ферми-жидкости [см.
также Абрикосов и Халатников A958)]. Энергия жидкости не равна сумме энергий
отдельных фермионов, а является функционалом от их функции распределения. Энер-
Энергия же отдельных частиц определяется при этом вариационной производной от плот-
плотности полной энергии жидкости в импульсном пространстве. Силин [50] рассмотрел
вопрос о распространении теории Ландау на случай электронов проводимости ме-
металла. Теория ферми-жидкости, как показали расчеты [см., например, Пайнс и Нозьер
A967)], подтвердила все статистические выводы теории «газа» фермионов, внеся в них,
как правило, лишь малые поправки (исключая, конечно, случаи специфических «жид-
«жидкостных» эффектов, см. [51]).
— 188 —

как устойчивых образованиях для всех процессов, в которых обмен энергией, приходя-
приходящейся на одну частицу, оказывался меньше или порядка 10 эв, т. е. практически для
всех интересующих нас явлений.
Однако если частицы подчиняются принципу Паули, то вся ситуация резко ме-
меняется, так как в этом случае рассеяние может произойти лишь при наличии свободных
мест в пространстве квазиимпульсов, куда могут переходить обменявшиеся импульсами
частицы после столкновения. А эти «свободные» места имеются только в области «размы-
«размытия» функции распределения. Ширина этой области порядка к Т. Напоминаем, что прак-
практически во всех нормальных металлах система электронов сильно вырождена и кТ <С So
(см. рис. 11.26). Поэтому квазичастица может сталкиваться не со всеми N электро-
электронами, а лишь с их частью порядка N (kT/Z,0). Таким образом, длина свободного пробега
будет больше параметра решетки в (Z,0/kTJ раз, т. е. будет составлять примерно 10~4 см
при комнатных температурах (Т « 300° К) и примерно 10еж при Т « 10° К. Ширина
энергетического уровня квазичастицы с таким пробегом очень мала, а именно в &Z7?0
раз уже, чем расширение уровня, обусловленное тепловым движением частиц. Такие
квазичастицы достаточно устойчивы, чтобы их трактовать как квазинезависимые.
Отсюда и следует, что функция распределения Ферми A1.14) сохраняется в какой-то
мере и в системе взаимодействующих электронов.
2. Основные представления зонной теории при произвольном законе диссперсии.
Несмотря на качественный характер приведенных соображений, они вполне строги.
В последнее время появилось довольно много теоретических работ, подтверждающих
эти соображения с количественной стороны *). Мы не имеем возможности на них оста-
останавливаться. Для наших целей будет достаточно принять, что система электронов про-
проводимости в кристаллах достаточно хорошо аппроксимируется газом фермионов с произ-
произвольным законом дисперсии е (р), что и представляет собой содержание феноменологи-
феноменологического подхода в квантовой теории металлов по И. М. Лифшицу (см. выше п. 1). При
этом мы будем пользоваться лишь общими свойствами произвольного закона дисперсии
и волновой функции фермионов в кристалле, а также представлениями о поверхностях
Ферми.
Волновая функция ij)ft,s (г) и закон дисперсии е (р) фермионов в самом общем слу-
случае должны отражать симметрию кристалла. Из свойств трансляционной симметрии
кристаллической решетки сразу же следует **), что волновая функция фермиона в пе-
периодическом потенциальном поле кристалла имеет вид плоской волны, модулированной
в такт решетке (функция Блоха [53]):
и ей соответствует энергия
es(ft). A1.58)
Здесь к—волновой вектор, определяющий квазиимпульс р = Нк фермиона, Uk s(r) —
модулирующий фактор, обладающий периодичностью решетки:
U,c>s(r) = UkyS(r+Rn), A1.59)
где Rn—любой вектор решетки, определяемый через основные векторы решетки а\,
«2 и аз по формуле
(геь ге2> Щ—целые числа, включая нуль). A1.60)
Волновой вектор к и индекс s (о нем см. несколько ниже) играют роль квантовых чисел,
нумерующих состояния фермионов. Вектор к удобно выражать через основные векторы
6], 62 и ba обратной решетки [см., например, Займан A966)]. Эти векторы связаны с ос-
основными векторами «прямой» решетки условиями (аг-6;) = 2ябг7- (i, / = 1,2, 3; 6ц—
символ Кронекера), из которых следует:
61=2я[«2-а3] Й, b2 = 2n[a3-al]Q-1, Ь3 = 2п [ava2] Й, A1.61)
где Q = («i-[ «2-«з1)—объем элементарной ячейки кристалла. Вектор
(mi> m2> Щ — целые числа, включая нуль) A1.62)
по апологии с A1.61) называется вектором обратной решетки. Из A1.61) и A1.62)
следует, что (тт-Л„) = 2л (гпцщ-^m2n2-}-ni3n3), и поэтому
exp [i (ттДп)] = 1. A1.63)
*) Библиографию по этим работам можно найти в ряде книг: Тер-Хаар A961),
Таулес A963), Пайнс A963), Бом A964), Пайнс и Нозьер A967).
**) По основам зонной теории имеется весьма обширная литература; см., на-
например, Бете и Зоммерфельд A938), Мотт и Джонс A936), Вильсон A941, 1953),
Зейтц A949), Пайерлс A956), Киттель A963, 1967), Реймс A963), Займан A966) и [52],
Харрисон A968), Джонс A963), Каллауэй A970), И. М. Лифшиц и др. A971).
- 189 —

Для волнового вектора fe имеен [см. A1.3)]
к =
_ ii
(hi hi h — целые числа, включая нуль). A1.64)
Л
-Зл -2Л -Л о Я 2rt Зл
Из сравнения A1.63) и A1.62) видно, что fe-пространство — это пространство обратной
решетки. Из A1.63) следует, что замена любого fe на к-\-хт не должно изменять вол-
волновую функцию A1.57), а следовательно, и энергию A1.58) *). Поэтому имеет смысл
выделить некоторую основную- область в fe-пространстве для совокупности значений
fe, которые обладают тем свойством, что ни один из них не может быть выражен череэ
любой другой добавлением к нему какого-то вектора обратной решетки. Легко сообра-
сообразить, что из-за совпадения fe-пространства с пространством обратной решетки эта
основная область является единичной ячейкой обратной решетки. В зонной теории,
доказывается, что уравнение Шредингера для электрона в кристалле при каждом зна-
значении fe из основной области имеет бесконечное число состояний, которые и нуме-
нумеруются квантовым числом s. При каждом данном значении s энергия es (fe) является
квазинепрерывной функцией волнового вектора fe, которая, кроме того, является
периодической функцией fe с периодом обратной решетки. Таким образом, при каж-
каждом значении s мы имеем одну энергетическую полосу. На рис. 11.8 в качестве иллю-
иллюстрации этих выводов зонной теории приведена картина полосчатого энергетического'
спектра электрона в одномерном кристал-
кристалле, где показана периодичность и много-
многозначность функции es (fe).
Основная область в fe-пространстве,
т. е. единичная ячейка обратной решетки,
которая может выбираться многими спо-
способами и имеет обычно вид многогранни-
многогранника, носит название зоны Бриллюэна. Для
построения такой зоны можно из узла об-
обратной решетки с fe = 0 как начала коор-
координат провести векторы хт во все другие-
узлы и провести плоскости, перпендику-
перпендикулярные к этим векторам и делящие их
пополам. Тогда основной областью будет
наименьшая, окружающая начало и ог-
ограниченная этими плоскостями. Как пра-
правило, это будут плоскости, которые де-
делят пополам векторы хт, идущие из на-
начала к ближайшим соседним узлам и
иногда к следующим за ближайщими.
В зоне Бриллюэна число орбитальных
состояний [т. е. число векторов fe A1.64I
равно числу единичных ячеек в кристалле.
Каждое такое состояние может быть занято двумя электронами с противоположными
проекциями спина. Если кристалл имеет простую решетку Браве [см., например,
Киттель A963)], т. е. в единичной ячейке имеется по одному атому, то в зоне Брил-
Бриллюэна может поместиться по два электрона на атом кристалла. Если число электро-
электронов на атом больше двух, то электроны будут распределяться по нескольким зонам.
Основная область в fe-пространстве совпадает, таким образом, с первой зоной
Бриллюэна, или, как ее называют, приведенной зоной. Ясно, что по рецепту, указан-
указанному выше, все fe-пространство разбивается на зоны больших номеров — второго,
третьего и т. д., окружающие первую. Эти зоны имеют более сложную геометрическую
форму, образуя совокупность разъединенных многогранников (в одномерном случае
это разъединенные отрезки оси к, см. рис. 11.8). Введение зон Бриллюэна высших
номеров соответствует так называемой схеме расширенных зон, в которой энергию
е (fe) можно рассматривать как однозначную периодическую функцию fe. Если же
ограничиться только основной областью fe-пространства, то мы будем иметь дело со
схемой приведенной зоны. Обе эти схемы одинаково законны п в зависимости от необхо-
необходимости могут быть с равным успехом использованы.
В литературе по квантовой теории твердого тела утвердилась не совсем точная
терминология. Очень часто вместо термина «энергетическая полоса» [который правилен,
поскольку он точно соответствует физической природе спектра электрона в периодиче-
периодическом потенциальном поле (им мы и будем пользоваться ниже)] пользуются неудачным
термином «энергетическая зона». Термин «зона» следует сохранить лишь для «зон Брил-
Бриллюэна». Кроме того, саму одноэлектронную теорию кристалла, в которой электронная
система рассматривается как газ фермиевских квазичастиц, мы, как и повсюду в лите-
литературе на русском языке, будем называть зонной теорией (а не теорией полос — band
theory, принятой на английском языке).
*) То же самое можно сказать и о векторе р = hk. Именно из-за этой своеобраз-
своеобразной неоднозначности величина р для электрона в кристалле имеет смысл не импульса,
а лишь квазиимпульса, который определяется с точностью до вектора обратной:
решетки хт.
- 190 -
Рис. И.8. Энергия электрона в одномерном
кристалле в схеме расширенных зон; Из гра-
графика видно, что энергия е является периоди-
периодической функцией волнового числа h, а также
многозначной функцией, что учитывается ин-
индексом s (номером полосы): es №)• Точки
±Bп + 1)я/а (где п = 0, 1, 2, . . .) соответ-
соответствуют границам зон Бриллюэна одномерного
кристалла.

На рис. 11.9 в качестве примера приведены первые зоны Бриллюэна для кристал-
кристаллов с простой кубической (ПК), объемноцентрированной кубической (ОЦК) и гранецен-
трированной кубической (ГЦК) решетками.
При значениях к, лежащих на поверхностях, ограничивающих зоны Бриллюэна,
энергия испытывает разрыв. В одномерном случае это приводит всегда к тому, что для
каждого значения s мы имеем по-
полосу энергии, которая не пере-
перекрывается с соседними полосами
снизу и сверху. Однако в трех-
трехмерном случае из-за анизотропии
энергетических щелей для различ-
различных направлений векторов к в
кристалле, возможно и перекры-
перекрытие полос. Для того чтобы нагляд-
наглядно проиллюстрировать это, приве-
приведем график функций Si (к) и g2 (к)
для двух направлений вектора
к : fei и к2- На рис. 11.10, а при-
приведен случай больших энергетиче-
энергетических щелей, и поэтому, несмотря
на анизотропию, перекрытия нет.
На рис. 11.10 б показан случай
малых щелей, когда происходит
перекрытие.
Таким образом, если вспом-
вспомнить основной вывод статистики
Ферми — Дирака, что в основном
состоянии (при Т = 0°К) электро-
электроны занимают наинизшие возмож-
возможные уровни энергии, то будут
возможны следующие типы элект-
электронных энергетических спектров
кристаллов.
Если полосы не перекрыва-
перекрываются, то они либо целиком запол-
заполнены электронами, либо совершенно пусты, т. е. имеется энергетическая щель AS
между основным состоянием и первым возбужденным,—это случай диэлектриков или
Рис. И.9. Основные области — первые зоны Бриллюэна
в ft-проетранетве для (а)ПК, (б) ОЦК и (в) ГЦК
решеток.
Рис. 11.10. Схематическое изображение неперекрывающихся (а) и перекрывающихся (б) энерге-
энергетических полос для анизотропного трехмерного кристалла. На каждом графике показаны раз-
разрывы энергии на границах зоны Бриллюэна для двух направлений A и 2) в обратной решетке. На-
Направлению ht соответствует наименьшее значение энергии на границе зоны Бриллюэна, а направ-
направлению h2 — наибольшее. В случае а) энергетические щели A%i й А%2 велики по сравнению с анизо-
анизотропией энергии А% 4 аниз и А%г аниз (А%12 > A%i2 анИз), и поэтому между первой и второй энер-
энергетическими полосами сохраняется щель, А% , Ф 0. В случае б) имеем обратное соотношение
^1,2^ 1,2 аниз и полосы перекрываются.
полупроводников (рис. 11.11, а). При этом возможен также случай, когда одна из полос
(лежащая между целиком заполненными и пустыми) заполнена не целиком,— это
случай-металла (рис. 11.11, б). Если полосы перекрываются, то при любом их запол-
заполнении энергетическая щель отсутствует, и поэтому кристалл всегда относится к группе
металлов. Именно этот последний случай и характерен для большинства реальных
металлов, обладающих несколькими частично заполненными перекрывающимися энер-
энергетическими полосами.
- 191 -

3. Топологические свойства поверхностей Ферми. Как следует из рис. 11.11, б, в,
в металле поверхность Ферми расположена внутри одной из энергетических полос.
Поскольку во всех физических явлениях в металлах основную роль играют электроны
•с энергиями в интервале порядка кТ (<^ ?0), то прежде всего важно выяснить некоторые
Л€ I Энергетическая щель
'Заполненная *j-
полоса ilj
'W,.
'/М///НI f/ Пустая
'/УУ-/У/У'//'/УУ/У/У/ Частично запол-
v/'- ' полоса
Тровень Ферми ?
'.Заполненная
полоса
с)
6)
Уровень
Ферми
Рис. 11.11. Энергетический спектр электронов в кристалле, а) Неперекрывающиеся полосы (ди-
(диэлектрик); б) неперекрывающиеся полосы (металл); е) перекрывающиеся полосы (металл).
общие топологические свойства изоэнергетических поверхностей е (р) = const для
фермпонов в кристалле.
Внутри каждой полосы энергия фермионов при определенных значениях квази-
квазиимпульса Ро Мин и Ро макс имеет соответственно минимальное и максимальное значение.
Вблизи экстремальных значений энергию можно разложить в ряд по степеням
{Pi — Poi), где i = 1, 2, 3.
В отсутствие вырождения *) имеем
i—о—г) (?* — Poi)(Pj—Poj)- A1.65)
ij(=l, 2, 3) }
Симметричный тензор второго ранга
^-)^=К;Г. . (U.66)
имеющий размерность обратной массы (г), носит название тензора обратной эффек-
эффективной массы фермиона. Если энергию отсчитывать от точки р0 мин, то в силу A1.66)
вблизи минимума изоэнергетические поверхности (в случае отсутствия вырождения)
в координатной системе, совпадающей с их главными осями, будут иметь вид семейства
эллипсоидов
Pi
2т*е
2т*е
Здесь принята система отсчета
е(Ромин)=е(О)=О.
A1.67)
С ростом энергии е оси эллипсоида увеличиваются и вектор градиента V е = v, равный
¦квантовомеханической средней скорости фермиона, направлен по внешней нормали
к изоэнергетическим поверхностям. Из-за периодической зависимости функции е (р)
от р с периодом hb семейство эллипсоидов A1.67) будет периодически повторяться в р-
пространстве, разбивающемся на элементарные ячейки — многогранники, вид кото-
которых определяется симметрией решетки [зоны Бриллюэна; см., например, Джонс A968)].
Например, в случае ГЦК решетки эти ячейки являются усеченными октаэдрами
(рис. 11.12, а, б, а также рис. 11.9, в) **). В этом случае изоэнергетическая поверхность
вблизи точки р0 мин = 0 представляет собой периодическую совокупность эллипсои-
эллипсоидов типа A1.67), расположенных в центрах усеченных октаэдров (рис. 11.12, а). Мак-
Максимумы энергии расположены в других точках р-пространства, а именно в точках
*) Вырождение, т. е. когда данному экстремальному значению р соответствует
больше одной волновой функции, также приводит к квадратичной зависимости энергии
¦от модуля квазиимпульса | р — Ро12> н0 к более сложной зависимости от углов. См.,
например, расчеты Дрессельхауза и др. [54] для случая кристаллов германия
и кремния.
**) Октаэдры на рис. 11.12, а, б надо представлять себе периодически повторяю-
повторяющимися и плотно заполняющими все р-пространство (см. рис. 11.13, б).
— 192 -

Ро макс и ПРИ выборе системы отсчета е (р0 мин) = ° имеем е (р0 макс) = е (р') — е1<;
Поэтому из A1.65) для семейства изоэнергетических эллипсоидальных поверхностей
получаем уравнение
(Pi-PiJ , (P2-P2J , (Рз —РзJ _t A1б8)
^ 2т* (ве)
2m* (ej — е) ' 2т* (ej— е)
2т*
!—е)
В A1.68) оси эллипсоидов уменьшаются с ростом энергии е, поэтому вектор Vpe = v
направлен по «внутренней» нормали к изоэнергетическои поверхности. Семейство этих
х
б)
Рис. 11 12. Первая зона Бриллюэна и поверхности постоянной энергии в пространстве
квазиимпульсов для электронов проводимости (случай ГЦК решетки), а) Случай, когда
заполнено лишь «дно» полосы, б) Случай, когда полоса заполнена почти целиком.
эллипсоидов также может быть изображено на графиках, подобных графикам
рис. 11.12, а (см. также рис. 11.9, а).
Оба класса изоэнергетических поверхностей A1.67) и A1.68) мы будем называть
замкнутыми. Переход от эллипсоидов типа A1.67) к эллипсоидам A1.68) при непрерыв-
я
1
i
в
Ш
т
f /
кРупу
Ь
ш
щ
W
Ш
1)
W
д
w
Ра':.
h
б)
Рис 11.13. Изоэнергетические «поверхности» (кривые) для двумерного случая с законом дисперсии
е, = A, cos pxax/h + A2 сов puayth, где А, и Аг — произвольные энергетические параметры,
ах и аи — параметры плоской решетки, а) Случай А, = А2; наклонные прямые линии — откры-
открытые «поверхности», б) Случай А, ф А2; между эллипсами — слои открытых «поверхностей»
(Лифшиц и Каганов [45]).
ном изменении е (внутри полосы) от е = 0 до е = ej не может топологически произой-
произойти без того, чтобы при промежуточных значениях энергий 0 < е < Ej простые эллипсо-
эллипсоидальные замкнутые изоэнергетические поверхности не превратились бы в более
сложные поверхности — самопересекающиеся и открытые, проходящие через все
13 С. В. Вонсовский
— 193 —

пространство обратной решетки (рис. 11.13, а, 6 ирис. 11.14). Из-за сложности закон»
дисперсии изоэнергетические поверхности могут быть самых разнообразных типов
(подробнее см. [45, 46, 52]). Нас будет интересовать здесь не общая теория поверхностей
Ферми, а лишь те явления, которые связаны с влиянием на состояния фермионои
внешних магнитных полей, а также внутренних их взаимодействий, приводящих
Рис, 11.14. Открытая изоэнергетическая поверхность для трех-
трехмерного случая с законом дисперсии типа
(ПК решетка) (Лифшиц и Каганов [45]).
к особенностям в их магнитных свойствах. Мы рассмотрим лишь влияние внешнего»
магнитного поля на электроны проводимости в нормальных и переходных металлах г
не обладающих атомной магнитной структурой (см. работы [284, 285]).
4. Движение фермиоиов во внешнем магнитном поле. Прежде всего рассмотрим,
механику фермиона с произвольным законом дисперсии во внешнем магнитном поле.
Ради упрощения изложения мы ограничимся исследованием частного случая, когда
движение фермиона можно описывать уравнениями классической механики. При этом,
квантовые свойства электронов учитываются лишь тем, что статистика электронов
не классическая, а квантовая Ферми — Дирака, и тем, что предполагается существо-
существование какой-то общей формы зависимости е (р) (произвольный закон дисперсии). Для
того чтобы такое описание было возможно, необходимо выполнение следующих трех
условий.
1. Длина волны де Бройля фермиона Я б = hip должна быть гораздо меньше-
характерной длины, входящей в теорию. Для задач о движении заряженных частиц,
в магнитном поле такой характерной длиной является радиус циклотронной орбиты.
Его легко найти по формуле A1.25) для циклотронной частоты сон. Действительно,
для линейной скорости v электрона по общим формулам механики имеем v = ч>нгн>
где гн — радиус классической циклотронной орбиты свободного электрона. Исполь-
Используя выражение A1.25) для а>н и заменяя v на р/т, сразу находим
гн^- (И.69>
Таким образом, первое условие гласит: ЯБ <С гц, пли
1 2. rjj~^> а. Радиус циклотронной орбиты гц должен заметно превышать пара-
параметр решетки, или
"« (1>
Тогда движение электрона в кристалле можно описывать волновой функцией, имеющей
вид плоской волны *).
3. Расстояние между квантованными энергетическими уровнями в магнитном
поле ha>H должно быть заметно меньше энергии фермиона е, т. е. %шн <^ е, или
«e.
*) Условие 2 в силу A1.57) означает, в сущности, что мы можем пренебречь моду-
модулирующим множителем ?/;;5 (г) в выражении для волновой функции.
- 194 —

Наибольший интерес для нас имеют электроны вблизи поверхности Ферми. В силу
(ll.7) их импульс рф ~ Уп, концентрация электронов п связана с параметром
решетки а соотношением ге-—¦ аг3, поэтому
h Рф К1
иС Е^
— =
... _„.
A1.73)
Легко видеть, что в данном случае, в силу A1.73), все три условия: A1.70), A1.71)
и A1.72) — сводятся к одному условию: а 4^ гн. Из него можно определить верхнюю
границу магнитных полей, при которых это условие не нарушается:
ch З-ЮЮ-10-27
——
еп2
108—109 я
1U 1U э-
Любопытно отметить, что в правую часть этого неравенства для Н не входит эффектив^
ная масса фермиона, что еще раз указывает на независимость этого критерия от вида
закона дисперсии. Помимо приведённых условий, необходимо также в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении исключить из рассмотрения переходы между состояниями разных
полос, которые представляют собой чисто квантовые эффекты (см. [45]). Итак, если
критерий для // выполнен, то в случае постоянного и однородного внешнего магнит-
магнитного поля Н движение квазичастицы описывается классическим уравнением Лорентца
=[»Н] <и-74>
Из A1.74) легко получить два основных закона сохранения для движения частицы
в магнитном поле. Умножая обе части A1.74) скалярно на v, получаем (v-dp) = de = 0,
т. е. закон сохранения энергии при движении в магнитном поле. А умножая A1.74)
скалярно на Н, получаем (H-dp) = 0, т. е. в поле параллельная полю слагающая
импульса также постоянна. Таким образом, если направить поле И вдоль оси z, законы
сохранения примут вид
е = const, p2=const. . A1.75)
Из A1.75) следует, что траектория частицы в пространстве импульсов в однородном
постоянном магнитном поле Н определяется плоскими сечениями изоэнергетических
поверхностей е = е0 плоскостями pz = р°, т. е. изображается плоскими кривыми
е(Рх, Ру, p°z) = e0. A1.76)
Естественно, что эти траектории зависят от топологии изоэнергетических поверхностей,,
т. е. от того, замкнутые они или открытые. В случае замкнутых поверхностей сечения
всегда будут иметь вид замкнутых кривых, описываемых уравнением A1.76) (финитное1
движение). Если же поверхность открытая, то могут быть два типа сечений A1.76):
также замкнутые или незамкнутые, проходящие непрерывно через всю обратную решет-
решетку (инфинитное движение). Отсюда видно, что топология изоэнергетической поверхно-
поверхности и, в частности, поверхности Ферми может оказывать весьма существенное влияние
на характер движения фермионов в магнитном поле. В силу A1.75) векторное уравне-
уравнение A1.74) (при Нх = Ну = 0, Hz = Н) в составляющих будет иметь вид
Возведя первые два уравнения A1.77) в квадрат, складывая и извлекая корень ква-
квадратный, находим
dP\ eH
=» (И78)
np± = ~\/dp% + dpi, v± = ~\/v% + v\, а знак минус связан с тем, что заряд элек-
электрона е <0. Геометрически dp j^ в A1.78) определяет элемент дуги на траектории A1.76).
Интегрирование A1.78) вдоль замкнутой кривой A1.76) дает для периода обращения
Интеграл в правой части A1.79) можно связать с площадью плоского сечения A1.75)
S (во, р°)- Действительно, по определению
s (e, pz) = \ \ dpx dpy,
(S)
где двойной интеграл берется в пределах, ограниченных замкнутой траекторией типа
A1.76). Можно эту же площадь вычислить в других координатах, разбив ее на
— 195 — 13*

бесконечно узкие «колечки» толщиной de и длиной ф dp±, где интегралы берутся по
замкнутым контурам для всех энергий от емин до емакс = е0. Далее, используя соотно-
соотношение v± = de/dp±, находим
а отсюда сразу следует, что
Подставляя A1.80) в A1.79), находим (в случае замкнутых сечений)
Период обращения Тц по траектории A1.76) непосредственно связан с циклотронной
частотой: соц = 2я/Гд, поэтому из A1.81) находим
(П.82)
Эта формула является обобщением классической формулы A1.25) для циклотронной
частоты «свободного» электрона на случай фермионов с произвольным законом диспер-
дисперсии, который входит сюда через производную dS/de. В случае справедливости изотроп-
изотропного (т\ = mf = m* = т.*) квадратичного закона дисперсии A1.65) выражение для
а>н A1.82) совпадает по форме с классическим. Действительно, в данном случае
е = -—Т(р2 +pf), -j-^-=^- = v± и -_=(Т)—± = 2ят*.
Подставляя выражение для производной dS/de в A1.82), находим
Сравнивая частную формулу A1.83) с общей A1.82), мы видим, что величина
A/2я) (dS/de) играет роль эффективной массы
Существенно отметить, что эта величина — интеграл движения в магнитном поле, ибо
она — функция только сохраняющихся величин (е0 и p"z). Поэтому такое «магнитное»
определение эффективной массы фермионов с произвольным законом дисперсии гораздо
физичнее, чем обычное определение тензора эффективой массы A1.66) для состояний,
для которых значения р близки к экстремальным. Следует также помнить, что величи-
величина т* из A1.84) различна для различных фермионов. Поэтому в газе фермионов с про-
произвольным законом дисперсии частицы в постоянном магнитном поле «вращаются»
с различными циклотронными частотами, а не с одной частотой, как это имело место
в классическом случае. В случае открытых траекторий движение вообще не носит пери-
периодического характера — оно в этом случае инфинитно и т* ->- оо. Из уравнения
A1.78) можно видеть, что направление движения определяется знаком v_\_, а следова-
следовательно, по A1.80) — знаком dS/de, т. е. знаком эффективной массы A1.84). Если
т* > 0, то движение происходит по левому винту, что соответствует отрицательному
знаку заряда, как у электрона. Если же т* < 0, то движение происходит по правому
винту. Это соответствует движению положительного заряда (дырки). Именно это (зави-
(зависимость направления вращения фермионов в поле от закона дисперсии), как известно,
объясняет появление аномального знака эффекта Холла во многих металлических
и полупроводниковых кристаллах.
Выше речь все время шла о движении фермионов (или их фазовых точек) в про-
пространстве квазиимпульсов. Из уравнения Лорентца A1.74) можно легко установить
характер движения фермионов и в обычном пространстве (в классическом пределе).
Из уравнения A1.74) видно, что скорость v в обычном пространстве перпендикулярна
к «скорости» dp/dt в пространстве квазиимпульсов. Таким образом, траектория в г-
пространстве получается поворотом на угол 90° траектории в р-пространстве и измене-
изменением масштаба на множитель с/еН. Величина периода Тн и частота шн остаются преж-
прежними. Кроме того, в обычном пространстве добавляется равномерное прямолинейное
движение вдоль оси z (p% = const). Поэтому траектория в ^-пространстве имеет вид
спирали с осью вдоль оси г.
— 196 —

5. Учет квантования энергии по Ландау; осцилляционные эффекты. Выше дви-
движение фермионов (с произвольным законом дисперсии) в магнитном поле рассматри-
рассматривалось чисто классически; при этом совершенно не учитывалось явление квантования
энергии фермионов, открытое Ландау [9]. В случае свободного электрона его энергия
в однородном магнитном поле (направленном вдоль оси z) дается формулой A1.25а).
Причиной квантования энергии в A1.25а) является финитный периодический характер
движения электрона в плоскости (х, у), перпендикулярной к Н (по циклотронной орби-
орбите). В п. 4 было показано, что такой характер движения сохраняется и для фермиона
с произвольным законом дисперсии, если его траектория в пространстве квази-импуль-
сов — замкнутая кривая. Решение квантовомеханической задачи по определению энер-
энергетического спектра электрона с произвольным законом дисперсии в общем виде оказы-
оказывается практически невозможным (по этому вопросу см., например, [55, 56]). Однако,
используя то обстоятельство, что нас интересует область, близкая к поверхности Ферми,
т. е. электроны с энергиями вблизи ?0 яа 10~12 эрг, а энергия в поле Н ж 10* э при
этом равна цв Н ж 10~16 эрг, квантование в магнитном поле можно описывать квази-
классически (по Бору — Зоммерфельду), что во многих случаях оказывается вполне
достаточным. Согласно правилам квантования Бора имеем
xl = nth, A1.85)
где Pi и Qi — соответственно сопряженные импульс и координата электрона (I = х,
у, z), n-t — целые числа. Будем определять уровни энергии для электрона с произволь-
произвольным законом дисперсии е = е (р) в однородном магнитном поле Н @, 0, Н), описы-
описываемым вектор-потенциалом А, выбираемым в виде
Ах=—Н-у, Лу = Л2 = 0. A1,86)
Поскольку А зависит только от координаты у, то сохраняется но только слагаю-
слагающая Pz, но и Рх. Поэтому из A1.85) остается одно условие для движения вдоль
оси у:
y = nh, A1.87)
где интегрирование ведется по классической траектории электрона, при этом Ру
вычисляется как функция у при определенных значениях энергии е и проекции импуль-
импульса на направление поля Pz- Если A1.87) рассматривать как уравнение с неизвестной
е, то, решая его, можно найти квазиклассические уровни энергии электрона в магнит-
магнитном поле. Прежде чем решать это уравнение, преобразуем его, введя кинетические
импульсы рх, ру, pz [см. E.35) и A1.86)], которые в данном случае равны
Рх=Рх-\-—Н-у, Ру = Ру, pz = .P2= const. A1.88)
Поскольку Рх = сош1 (см. выше), то из первого равенства A1.88) имеем dy =
= (с/еН) dpx, и, следовательно, A1.87) примет вид
= ^-nh, A1.89)
где интегрирование ведется по траектории фермиона в р-пространстве. Легко видеть,
что интеграл в левой части A1.89) равен площади S (е, р2) сечения изоэнергетической
поверхности плоскостью, перпендикулярной к магнитному полю. Таким образом, мы
можем записать уравнение для определения квазиклассических уровней энергии элек-
электрона с произвольным законом дисперсии в такой форме:
р/,
S (г, Pz) = n~H. A1.90)
Строгий вывод выражения A1.90) впервые дал Лифшиц [43]. Он опубликован в работе
Лифшица и Косевича [44] *).
Легко видеть, что при квадратичном законе дисперсии A1.51) имеем S (г, pz) =
= я Bm*e — pf) п формула A1.90) переходит в формулу Ландау A1.25а) с заменой
(п + 112) на п. Эта замена связана с квазиклассичностью изложенного расчета энерге-
энергетического спектра. Более точные значения энергии в A1.90) можно получить, если
в исходном условии квантования A1.85) правую чать выбрать в виде (п -f- у) h,
где 0 < у < 1 (см. [44, 45]). Для квадратичного закона дисперсии у = 1/2, и тогда
A1.90) дает точные значения энергии свободного электронного газа в магнитном поле.
*) Качественные соображения по этому вопросу были независимо высказаны
Онзагером [47]. Заметим, что уровни энергии не зависят от выбора вектор-потенциала
в форме A1.86). Это ясно из того, что в уравнении A1.90) оси х и у никак специально
не выделены.
— 197 —

Поскольку квазиклассическое приближение справедливо при больших квантовых
числах (п > 1), то можно ожидать, что расстояние между соседними уровнями Де будет
малым (Де < е). Поэтому из A1.90) находим (для Дге == 1)
откуда получаем
Ae = 2n\e\hH_ A1_91)
Используя определение эффективной массы A1.84) или циклотронной частоты A1.82),
можно A1.91) представить в виде
cm*
A1.92)
Внешне формула A1.92) как будто полностью совпадает с выражением для расстояния
между соседними энергетическими уровнями в газе свободных электронов в магнитном
поле A1.22). Однако здесь имеются и существенные различия. Во-первых, уровни энер-
энергии электрона проводимости с произвольным законом дисперсии в магнитном поле
не эквидистантны, как это было в случае свободного электрона. Это видно из того, что
эффективная масса т* и циклотронная частота сон зависят от энергии е и значения pz
[через dS/(&, pz)/de]. Во-вторых, различие становится особенно резким для открытых
сечений (dS/de. -> оо), когда, по крайней мере при квазикласспческом квантовании,
энергия электрона проводимости не квантуется *). Таким образом, возникновение или
отсутствие дискретных уровней Ландау определяется при произвольном законе диспер-
дисперсии не только поверхностью е = const, на которой находится электрон, но и направле-
направлением вектора Н, а при фиксированном Н — величиной pz.
Как отмечалось выше, в квазиклассическом решении имеется, кроме интегралов
движения е и pz, еще один: Рх = const, однако в выражение для энергии входят только
два квантовых числа: п и pz. Таким образом, относительно Рх имеется бесконечно-
кратное вырождение. Однако, как показал Зильберман [27, 57], для электрона в кри-
кристалле это вырождение снимается и уровни энергии, определяемые по A1.90), получают
небольшое размытие за счет зависимости е от Рх. Наглядно это вытекает из того обсто-
обстоятельства, что Рх определяет положение траектории электрона в пространстве (центр
циклотронной орбиты на плоскости (х, у) в случае свободного электрона). Для свобод-
свободного электрона все точки пространства в однородном поле эквивалентны, в периодиче-
периодическом поле кристалла эта эквивалентность нарушается, что и приводит к снятию вырож-
вырождения относительно Рх. (Более строгое решение этой задачи дал Азбель [61], см. также
[62, 63].)
Из полученных результатов A1.90) и A1.91) можно ожидать, что для физического
объяснения эффектов в магнитном поле в металле не обязательно знать явный вид зако-
закона дисперсии е (п, pz, H), поскольку макроскопические характеристики металла в маг-
магнитном поле можно выразить через сечения S (e, pz) и их продзводные по энергии
OS (e, pz)/de.
Как уже отмечалось в п. 4 § 4, квантование энергии электрона приводит к специ-
специфическим особенностям поведения металлов в магнитном поле. Как показывает опыт,
все эти явления можно разбить на два основных класса..
1) Осцилляционние магнитные явления, для которых характерен немонотонный
ход зависимости той или иной физической характеристики металла от магнитного поля.
К этим явлениям относятся эффект де Гааза — ван Альфена (осцилляционная зависи-
зависимость магнитной восприимчивости от Н), Шубникова — де Гааза (осцилляционная
зависимость удельной электропроводности от Н), осцилляции с изменением Н в погло-
поглощении металлом ультразвуковых колебаний и т. п.
2) Резонансные явления, связанные с квантовыми переходами электронов прово-
проводимости с одного уровня Ландау на другой, сопровождаемые поглощением квантов
энергии внешнего поля.
Теория этих явлений носит не механический, а статистический характер, однако
некоторые общие важные черты этих явлений могут быть предсказаны на основе одних
только формул квантования A1.90) и A1.91) А именно осцилляции в магнитном поле
ряда равновесных величин и кинетических коэффициентов металла связаны с тем, что
число заселенных электронами уровней с энергией, меньшей энергии Ферми ?0, изме-
изменяется, согласно A1.90), на единицу при изменении обратного значения магнитного
поля ДA/Я) на величину | е | h/cS (?0, pz). Зависимость величины этого периода от pz,
конечно, несколько сглаживает резкую зависимость от магнитного поля. Поэтому
основную роль в осцилляционных явлениях должны играть электроны с теми значения-
*) Более строгое квантовое рассмотрение (см. [45, 57, 60]) показывает, что благо-
благодаря периодическому характеру функции е (р) и в случае открытых траекторий в ква-
квазинепрерывном спектре электрона проводимости возникают специфические разрывы.
— 198 —

туш pz, для которых площадь сечения S (?o> Pz) экстремальна (рис, 11.15), поскольку
для таких сечений период должен слабее всего зависеть от pz, т. е.
J экстр \Ш
Легко видеть, что для случая квадратичного закона дисперсии 5ЭКСтр (?0) = 2ято*?0,
и, следовательно, A1.93) точно переходит в полученное выше выражение для перио-
периода A1.37).
Естественно, что осцилляционные эффекты, в частности явление де Гааза —
ван Альфена, могут быть обнаружены, если выполнены условия
Wfft > I* A1.94а)
h<uH>kT, A1.946)
где т — среднее время свободного пробега электронов проводимости. Условие A1.94а)
означает, что соударения электронов с фононами не нарушают их циклотронных
«орбит» и их квантования, а условие A1.946) означа-
означает, что расстояние между уровнями Ландау у поверх-
поверхности Ферми не должио размазываться за счет появ-
появления там максвелловского «хвоста» при Т > 0° К.
6. Пара- и диамагнетизм фермионов с произ-
произвольным законом дисперсии в металлах, а. Слабые
.магнитные поля (?0 ^>> ц^Н ^> кТ). В случае сво-
свободного электронного газа этот вопрос был подробно
рассмотрен в §§ 3 и 4. Для произвольного закона Рис. И.15. Пример экстремальных
Т [ \АЧЬ сечений поверхности Ферми. На-
б
Ттгттопггит [гм \АЧЬ ттптт пттпрпрттрттии мягтттттттпгп сечений поверхности Ферми. На-
.дисперсии (см. L'ioj; при определении магнитного правление магнитного поля обозна-
момента металла следует учитывать вклад в диамаг- чено стрелкой [45].
нитный момент не только электронов проводимости
(т. е. электронов частично заполненных энергетических полос), но также электро-
электронов целиком заполненных полос* ). Как мы видели, расчет по модели свободных
электронов (см. § 3) показывает, что при низких температурах (кТ < ?о) %™ слабо
зависит от температуры и определяется в первом приближении, согласно A1.11),
числом электронов (на единичный интервал энергии) вблизи уровня Ферми, т. е.
При этом обычно принимается, что здесь магнитный момент ц совпадает с цБ. Если
же учесть, что фактически в металле находится не свободный электронный газ, а ферми-
жидкость квазичастиц с произвольным законом дисперсии, то под \i следует понимать
некоторую эффективную величину, отличную от цБ. Эта перенормировка магнитного
момента в какой-то мере и учитывает эффект межэлектронного взаимодействия [46].
Это затрудняет сколько-нибудь строгое количественное сравнение формулы A1.95)
•с опытом **), поскольку здесь мы имеем дело с двумя неизвестными величинами ц
н g (?0). Помимо этого имеются еще две причины, осложняющие такое сравнение.
Во-первых, как уже отмечалось выше, в ферми-газе парамагнетизм всегда сосуще-
сосуществует с диамагнетизмом, а соответствующие вклады в восприимчивости одного поряд-
порядка величины (для свободного ферми-газа | х"™ I = 1/3X™)> чт0 является прямым
следствием вырождения ферми-системы.
Поскольку в обычно используемых интервалах магнитных полей и температур
Хдд и Хэл практически не зависят от Т и Н, то их разделение весьма затруднительно.
Фик и Микеска [64] обратили внимание на то, что при наложении высокочастотного
магнитного поля можно поддерживать различными температуры спиновой Ts и орби-
орбитальной Го подсистем. Расчет показывает, что в этом случае для свободного ферми-
х™
¦выполнении условий
газа х™ оказывается пропорциональной отношению T0/Ts, в то время как ХдМ при
кТо
k Т
V2
*) Вклад в парамагнитный момент от электронов заполненных полос из-за отсут-
отсутствия свободных состояний вблизи занятых приводит к экспоненциальной зависимости
парамагнитного момента от температуры. Следовательно, парамагнетизм металла
в основном определяется только электронами проводимости. Заметим, однако, что раз-
разделение магнитного момента кристалла на пара- и диамагнитный возможно только
в «слабых» полях, когда магнитный момент линейно зависит от поля.
**) Из A1.90) при [г = цБ сразу вытекает исключительно простая корреляция
между парамагнитной восприимчивостью вырожденного ферми-газа и его теплоемко-
•стью (см. ниже раздел Б), используя которую и можно было бы проводить такое
«равнение.
- 199 -

по-прежнему не зависит от температуры. Для суммарной восприимчивости получаем
При Ts -— То получаем обычный результат; при Ts = ЗГ0 Хэл = 0; при | Тя [ >
> То и Ts < 0 (отрицательные спиновые температуры!) всегда хэл < 0. При насыще-
насыщении (Ts = оо) приходим к случаю диамагнетизма Ландау. Естественно, что эти резуль-
результаты могут измениться, если учесть взаимодействие электронов с кристаллической
решеткой, а также межэлектронное взаимодействие.
Во-вторых, в ряде кристаллов может быть сильной спин-орбитальная связь.
Это приводит к более сложной, чем в случае свободных электронов, структуре парамаг-
парамагнитных энергетических уровней, поскольку в данном случае квантовое состояние
электрона в магнитном поле уже не может определяться спиновым квантовым числом
(см. [42]).
б. Перенормировка магнитного момента фермиона. Покажем в несколько упро-
упрощенной форме, как взаимодействие между электронами может привести к необходимо-
необходимости заменить в A1.11) или A1.95) ц.Б па ц.. Полученные выше формулы для парамагнит-
парамагнитной восприимчивости электронного ферми-газа [см. A1.11), A1.20) и A1.20)] выводились
при полном игнорировании всех эффектов взаимодействия между электронами. Ряд
исследователей делали неоднократные попытки учесть влияние этого взаимодействия
на магнитные свойства электронов проводимости металлов [Пайнс A955, 1963). Бом
A964) и [63—69]). В случае электронного газа, когда взаимодействие между электро-
электронами учитывается в рамках самосогласованного поля, оператор энергии системы сво-
сводится к сумме операторов кинетических энергий ру 2т и аддитивных потенциальных
энергий V(ri) отдельных частиц:
2 [i >] (H.9R)
где i'i — радиус-вектор г-й частицы, pi — оператор ее импульса, т — масса. В зонной
теории предполагается, что в V (ri) включены периодические потенциалы ионной решет-
решетки и самосогласованный потенциал всех остальных электронов. Последнее требует,
конечно, специального количественного обоснования. Строго говоря, к гамильтониану
A1.96) нужно добавить еще энергию парного взаимодействия между электронами, т. е.
4з=2^-. AL97)
где r{j—расстояние между электронами i и /. В нулевом приближении каждый
электрон описывается волновой функцией в виде плоской волны, умноженной па
спиновую функцию са (s):
Здесь a — спиновое квантовое число, равное 1/2 или —1/2; L — линейный размер
кристалла. Волновая функция всего газа фермионов, в соответствии с требованиями
квантовой механики тождественных ферми-частиц, равна антисимметризироваиной
сумме произведений всех индивидуальных функций A1.98) (слэтеровский определи-
определитель):
.. ах (fi, ..., rN; sl: ..., sN) =
Если локальные потенциалы V (r^ заменить потенциалом равномерно распределенного
по объему положительного заряда ионов, то это обеспечит устойчивость системы и, кро-
кроме того, A1.99) будет собственной функцией оператора A1.96). Это дает возможность
вычислить энергию ферми-газа. При больших концентрациях электронного газа п
это основной вклад в энергию системы. Если A1.97) рассматривать как энергию возму-
возмущения, то, согласно теории возмущений поправка к энергии системы в первом прибли-
приближении равна диагональному матричному элементу оператора <3ffBS вычисленному с по-
помощью волновых функций A1.99). К сожалению, в силу дальнодействующего характе-
характера кулоновского взаимодействия (т. е. его медленного спадания с увеличением расстоя-
расстояния между электронами) обычная теория возмущения в данном случае неприменима
из-за расходимостей, появляющихся во втором и более высоких приближениях. С по-
— 200 —

мощью обычной теории возмущения можно учесть в первом приближении (по степеням
концентрации) лишь так называемую обменную энергию, которая определяется следую-
следующей двойной суммой:
2об— О
2L6 ZJ
А, к'
Появлепие слагаемого A1.100) в выражении для энергии газа фермионов является след-
следствием принципа Паули, так же как и появление большой (при больших концентрациях
электронов) нулевой кинетической энергии to [см. A1-8)] и установление корреляции
во взаимном расположении спинов электронов (результирующий спиновый момент
равен нулю при Я = 0 и Г = 0°К). В первом приближении, кроме обменной энергии
A1.100), следует учитывать еще квазикулоновскую энергию взаимодействия электронов
?...,„ = -! У У [\ и- (г s)\2 —f!_^-гМ',.' n,(r', s')\2drdr. A1.101)
л, к' а, а'
Ее также можно вычислить [см., например, Вильсон A953)], и она равна
Зге4/3. A1.102)
Эта энергия при всех магнитных расчетах входит в полную энергию газа как адди-
аддитивная константа, поскольку она зависит от полной концентрации электронов
с обеими проекциями спинов, равной сумме концентраций для -\- и — спинов:
В A1.100) интеграл
можно рассматривать как потенциал, создаваемый объемным зарядом с плотностью
e2exp[t((fc' — fc)-r2)], который удовлетворяет уравнению Пуассона AU(r)-'\-
-}-4.Tiea exp [i ((к' — k)-r)] = 0, решение которого известно [см. Маделунг (I960)]:
Подставляя это значение в матричный элемент A1.100), находим
/к к' eZ к' fc\- 1 Г ineZdri ¦ 4яе2
Сумму по к от A1.103) можно заменить интегралом
L3
(оя3)
\ dk:
J
После введения полярных координат в к '-пространстве к', ¦&, ц> тройной интеграл
в A1.104) вычисляется элементарно:
, A1.105)
о о
где кф—волновое число на поверхности Ферми, и поэтому по A1.7) /сф = Cя3геI/3.
Подставляя A1.105) в A1.104) и затем в A1,100), после элементарного интегрирова-
интегрирования находим
Это обменная энергия электронов с одной ориентацией спина, а поскольку в каждом
состоянии с данным к имеется два электрона с противоположными спинами, то пол-
полный вклад от обменной энергии равен удвоенной величине A1.106). Если записать
- 201 —

полную энергию обмена при неравных ге+ и ге_, то получим*)
%об(щ, в_) = --|^-[Fя2ге+L/з+Fя2ге_L/з]. A1.107)
Для свободных электронов закон дисперсии и функция плотности состояний опре-
определяются выражениями A1.4) и A1,9). Тогда, зная функцию распределения Ферми—
Дирака, легко вычислить также полную кинетическую энергию электронного газа,
произведя интегрирование по частям:
8/ 161/2™^» Р 5/2 5/
/(е)Л- gp js — *».
«кин р je /(е)Л-gp js —
о о
Заменяя в первом приближении df/de, дельта-функцией б (е—?0), находим, используя
также A1.8),
16
5/2
8Ф =
[( +) +Fll2re-
Однако энергии A1.107) и A1.108) не являются единственными энергиями, которые
зависят от «намагниченности» газа электронов, пропорциональной разности (ге+ — п_).
Кроме того, существует еще энергия корреляции электронов с противоположными спи-
спинами. Это как раз та часть энергии, которую нельзя учесть в рамках простой теории
возмущений. Ее обычно называют корреляционной энергией [см., например, Зейтц
A949), Бом A964), Пайнс A963)], и она формально определяется как разность истин-
истинной полной энергии электронного газа % и суммы энергий A1.108), A1.107) и A1.102),
т. е.
©корр— ©— Окин—©об— 6 Кул- (.и.ша;
Вычисление Йкорр представляет собой весьма сложную проблему. Поэтому мы
не имеем возможности останавливаться здесь на подробностях вывода зависимости
ёкорр от концентрации электронного газа. С некоторыми аспектами этой проблемы
читатель может ознакомиться в обзорах Пайнса A955), а также в работах Хаббарда
F9] и лекциях Пайнса A963). Здесь мы лишь укажем, что эту энергию мы можем пред-
представить в виде
L-4KOpp^n+G(n_) + n_G(n+), A1.110)
где функции G (п) у различных авторов имеют различный вид. Например, Вигнер [66,67]
для обычных значений концентрации электронов в металле предложил интерполя-
интерполяционную формулу
058г2
з
где гБ==Й2/те2 — боровский радиус. Таким образом, полная внутренняя энергия U
единицы объема как функция п+ и ге_ [без члена 18Кул («)] может быть записана
в виде [[37], Вильсон A953), Пайнс A955)]
U = *i [(^2»+M/з + Fя2ге_M/з] + F (в+) _|_
) + n_G(n+) + nB(n+-n_)H. A1.112)
Первые два члена дают кинетическую энергию Ферми A1.108], третий и четвертый —
обменную энергию A1.107), пятый и шестой — корреляционную энергию A1.110),
а последний член — энергию относительно внешнего поля Н. Согласно A1.106) функ-
функция F (п) имеет вид
F (п) = —е2 Fя2геL^3 (8яз)-1. A1.113)
Введем новые обозначения: п+ = ге/2 + М, ге_ = ге/2 — М (здесь 2М = п+ —
— ге_ — намагниченность электронного газа в единицах |аб) — и вычислим U в A1.112)
•с точностью до членов порядка М2 (при малых М), тогда получим
U(M) = U0 — 2|АБМЯ + аМ2. A1.113а)
Здесь
A1.114)
*) Действительно, если ге+ = ге_ = ге/2, то из A1.107) получаем удвоенное выра-
выражение A1.106).
- 202 —

где
акоррA)— —'
\
"p") ' акоррB) — ~2
A1.115)
л штрихи у F и G означают производные соответственно функций F (ге/2±М) из A1.113)
и G (ге/2 ± М) из A1.110) при М — 0. Если a < 0, то функция ?/(М) имеет максимум
при М Ф 0 (при // = 0), а это означает, что имеется самопроизвольная намагнитчен-
ность и металл ферромагнитен (см. ниже гл. 20, где более подробно рассмотрен вопрос
об устойчивости паулиевского парамагнитного состояния электронного газа, см. также
|70|). Здесь мы рассмотрим случай парамагнитного металла, тогда a > 0 и U (М)
имеет минимум при М = |ЛБ Я/a. Следовательно, для %™ при Т = 0° К имеем
Хэ
a0
1 + ai
A1.116)
Формула A1.116) переходит в A1.11) при G (re) = F (ге) = 0, когда а = а0. Формуле
A1.114) можно придать вид A1.11), если произвести «перенормировку» магнитного
.момента
"Эта перенормировка и показывает влияние межолектронного взаимодействия на эффек-
эффективную величину магнишого момента, о котором шла речь выше при обсуждении фор-
формулы A1.95). В частном случае, когда для F (ге) имеем выражение A1.113), а эффектом
корреляции можно пренебречь [G (ге) = 0], получим
упм = (
Лэл ^
-^) J
A1.118)
Из A1.118) видно, что обменное взаимодействие увеличивает паулиевскую восприим-
восприимчивость (обменные силы «помогают» внешнему полю намагничивать электронный газ).
Наоборот, корреляционные члены [при G (ге) Ф 0] уменьшают величину %™. Об учете
этих поправок см. также гл. 20. Для щелочных металлов Пайнс A955) провел расчет
по формуле A1.116) и сравнил с A1.11). Соответствующие значения приведены
в табл. 11.2 вместе со значениями обменных и корреляционных параметров, входящих
Таблица 11.2
Значения обменных и корреляционных параметров,
входящих в формулы A1.113)—A1.115) для внутренней энергии,
а также парамагнитной (паулиевской) восприимчивости
щелочных металлов *)
Металл
m *
пъ
а0
«об
акорр (.1)
акорр B)
(xSf)dra8-10«
Li
3,22
1,45
0,326
-0,253
0,013
0,115
0,201
1,90
1,17
Na
3,96
0,98
0,319
-0,206
0,015
0,112
0,240
0,85
0,64
*) Из обзора Пайнса A955).
**) Расчет по формуле A1.116).
к
4,87
0,93
0,221
-0,167
0,017
0,109
0,180
0,60
0,48
Rb
5,18
0,89
0,207
-0,157
0,018
0,108
0,176
0,52
0,44
Cs
5,57
0,83
0,191
-0,146
0,019
0,107
0,171
0,43
0,38
в выражение для коэффициента а в формуле для энергии A1.113). Здесь также введена
величина rs — среднее расстояние между электронами в единицах боровского радиуса
3) ^^ б R
s
ге = Dя/3) г^г^,
= 13,55 эв.
р ду р дц р рду
а энергии выражены в атомных единицах ридбергах: Ry =
— 203

Из табл. 11.2 видно, что в величинах, составляющих а, нет компенсации между
эффектами обмена и корреляции, и поэтому %™ > (Х™)о- С ростом rs эти эффекты начи-
начинают компенсировать друг друга, и можно ожидать, что при очень больших rs компен-
компенсация становится полной. К сожалению, полученные теоретические зиачепия нельзя
сравнить с опытом, поскольку практически отсутствуют прямые измерения %™ (из-за
участия х?™ и /ион)- Как уже отмечалось выше, только для Li [15] и Na [16] (см. также
[71—73]) прямые измерения %™ были проведены (подробнее см. гл. 13). Для Li при ком-
комнатных температурах получена величина %™ = B,08 ± 1) -106; соответствующее теоре-
теоретическое значение с поправками на температурную зависимость равно 1,87-Ю, что
показывает хорошее согласие. В случае Na опыт дает Хэ'л = A-09 ± °-08) -Ю^6,а тео-
теоретическое значение равно 0,85 -Ю, т. е. согласие несколько худшее *).
Учет влияния обменной и корреляционной энергии необходим также при расчете
диамагнитной восприимчивости электронов проводимости. Этот вопрос рассмотрел
также Пайнс A955), который в основу расчета Х™ взял формулу Пайерлса A1.54),
подставляя в нее выражение для <g (к), взятое с учетом эффектов корреляции. Сравне-
Сравнение с опытом обнаружило заметное расхождение между теоретическими и эксперимен-
экспериментальными значениями, указывающее на приближенность исходной формулы Пайерлса
A1.54).
Мы еще вернемся к рассмотрению вопроса о %™, когда поведем речь о магнитных
свойствах переходных металлов (см. также работу [287]).
в. Сильные магнитные поля (|ЛБ# > ?0). Свирский [77] (см. также [78]) рассмотрел
задачу о парамагнетизме электронного газа, не пользуясь условием |лБ# «С So- При
Т = 0° К эта задача (без учета диамагнетизма Ландау) может быть решена точпо **).
Он показал, что магнитный момент зависит от внешнего поля нелинейно и при полях
V'B^h ~ 2 /з?0 достигает насыщения. В обычных металлах ?0 ~ 10~12 эрг и критиче-
критическое поле оказывается порядка 108 э. В связи с развитием техники получения сильных
магнитных полей появляется реальная возможность изучения магнитного насыщения
в парагмагнптных металлах и проверки теоретического нелинейного хода кривой
X™ (Щ в области насыщения
г. Влияние изменения топологии поверхности Ферми. При изменении топологии
поверхрюсти Ферми следует ожидать некоторых аномалий в спиновой парамагнитной
восприимчивости [79, 46]. Эти
изменения могут возникать,
например, под действием внеш-
внешнего всестороннего давления/).
Рассмотрим, следуя [79], об-
общий характер этих аномалий.
Анализ общих свойств элект-
электронной системы в кристалле-
показывает, что аномалии
магнитной восприимчивости и
других термодинамических и
кинетических характеристик
металла связаны с особенно-
особенностями энергетического сиектра
электронов проводимости п
них, поскольку эти характе-
характеристики зависят от функции
плотности энергетических со-
состояний g (е) и от динамики
электронов у поверхности Фер-
Ферми. Если же энергия Ферми
?0 совпадает или близка к
критическому значению энер-
энергии екр, при котором происхо-
происходит изменение топологии пзо-
энергетических поверхностей,
то это приводит к возникновению особенности в функции g (e). Наиболее существенные
изменения топологии изоэнергетических поверхностей s (р) = С, где С — постоянная
(к таковым принадлежит п поверхность Ферми s (р) = ?0), могут иметь место, когда
а)
в)
Рис. 11.16. Разрыв «перемычки» на изоэнергетической по-
поверхности. Поверхность б) соответствует критической энер-
энергии ? . Поверхность а) соответствует энергии, большей
или меньшей ? , а поверхность в) — соответственно мень-
меньшей или большей ?„„.
кр
*) В работе Абе [74] (см. также [75]) проведено дальнейшее исследование у1™
на основе результатов, полученных Беллемансом и де Линером [76] для энергии элек-
электронного газа в решетке с учетом корреляции.
**) Аналогичную задачу в области очень высоких температур рассмотрел
Румер [24].
204

лри изменении величины постоянной С (или ?0) открытая поверхность переходит
в закрытую путем разрыва «перемычки» (см., например, рис. 11.16, а, б) и когда, в силу
особенностей вида функции е (р), изоэнергетпческая поверхность г (/>) = С при неко-
некоторых значениях постоянной С состоит (в пределах даже одной зоны Бриллюэна) не из
одной, а из двух или более не соприкасающихся между собой отдельных поверхностей.
Поэтому при вариациях величины постоянной С в /^-пространстве может происходить
«отщепление» плп «слипание» этих разъединенных поверхностей при каком-то критиче-
критическом значении С — екр (рис. 11.17). Поверхность Фермп в кристалле, конечно, не обя-
обязательно должна совпадать с критической поверхностью, т. е. энергия ?0 не должна быть
равна 8кр. Однако в принципе можно представить себе, что имеется некоторый физиче-
физический параметр, с помощью которого можно изменять величину разности | ?0 — 8кр1
О
©
а)
в)
Рис. 11.17. Появление новой полости изоэнергетической поверхности. Поверх-
Поверхность б) соответствует критической энергии ? , поверхность а) — энергии
? < ? , и поверхность в) — энергии ? > ?KD..
и сделать ее равной нулю. В принципе, согласно формуле A1.8), наиболее простым спо-
способом изменения величины энергии Ферми было бы изменение концентрации электро-
электронов. Однако практически это можно сделать, лишь меняя химический состав металла
(например, добавляя к нему какие-либо примеси с атомами большей или меньшей вален-
валентности, чем у основного металла). Однако при этом заметные изменения в величине ?0
требуют большого числа примесей, при котором уже может измениться сам закон дис-
дисперсии или даже вообще потерять свой смысл из-за резкого нарушения идеальности
кристалла. Более реальным практическим приемом может быть деформация кристалли-
кристаллической решетки при всестороннем сжатии под действием высоких давлений, когда из-за
уменьшения удельного объема кристалла растет концентрация электронов п, а следо-
следовательно, по формуле A1.8), растет и энергия Ферми ?0. Кроме того, при этом, как изве-
известно из опыта, уменьшается анизотропия многих свойств кристалла, а это и можно объ-
объяснить соответствующими изменениями формы поверхности Ферми (например, поверх-
поверхность Ферми типа «гофрированного целиндра» может переходить в замкнутую поверх-
поверхность, как это показано на рис. 11.16, б). При таком изменении топологии поверхности
Ферми симметрия решетки не меняется.
Вблизи особых точек изоэнергетическую поверхность е(р) = С можно аппрок-
аппроксимировать эллипсоидом или двухполым гиперболоидом *). По аналогии с формулами
A1.65) и A1.68) будем иметь
~'2 ~'2 ~/9.
A1.119)
Р а Р а
fc 2mf ± ~2rhT'
где р' = р — ркр. Если все знаки в правой части A1.119) одинаковые (все плюсы или
все минусы), то в точке р = ркр появляется новая поверхность (см. рпс. 11.17); если
эти знаки разные (поверхность — гиперболоид), то в критической точке происходит
разрыв перемычки (см. рпс. 11.16, б).
Для простого квадратичного закона дисперсии в изотропном случае A1.5) функ-
функция плотности состояний дается формулой A1.9). При анизотропном квадратичном
законе A1.65) вместо A1.9) будем иметь
( л/~> ,.
-(т*т*т*)/2(е-Е„ии)/2,
A1.120)
;с-еГ2.
(m*'m*'mf') '2 (
Следовательно, вблизи экстремальных точек емин, емакс функция g (е) имеет особен-
особенность типа (е — бэкстрI/;.; она имеется и вблизи критических (не экстремальных) зна-
значений энергии. В этом случае при значениях е, близких к екр, функцию плотности
состояний g (е) можно представить в виде
g (e) = g0 (e)+Sg (e), A1.121)
*) Экстремальные точки емин и емакс тоже можно рассматривать как
особые точки, где соответственно возникает или исчезает замкнутая изоэнергетическая
поверхность.
205 —

где g0 (e) — гладкая функция энергии, a 6g (e) отлична от нуля с той стороны от крити-
критического значения екр, где число отдельных изоэнергетических поверхностей с данным,
значением С возрастает. Если число поверхностей растет с увеличением энергии, то
по [79] имеем
0,
(е < екр),
(г-г )
Анарогичное рассмотрение имеет место для случая разрыва «перемычки» (подробнее-
см. [46]).
Используем теперь полученные формулы для выяснения характера поведения
паулиевского парамагнетизма при Т = 0° К вблизи критического состояния (?0 = екр).
Согласно A1.10) и с заменой |аб на Цэфф намагниченность электронного газа, созданная;
полем (без учета диамагнетизма), дается выражением
A1.123)
Тогда
вблизи
где
ясно, что парамагнитная восприимчивость х™
8кр, где справедлива формула A1.121), имеет вид
л = (Х™)о+ у
в критической области
A1.124).
A1Л25>
— нормальная часть парамагнитной восприимчивости A1.10), a 8g (? ± ^эФф-^О дается
формулой A1.122). Таким образом, аномальная часть парамагнитной восприимчи-
восприимчивости 8%™ в критической области дается выражениями:
0 при z ± ЦэффЯ < 0,
ПРИ г±
!/2
при 2±
при г±|АэффЯ >0,
A1.126)'
где z = (^о — екр). Естественно, что картина аномалии %™ в реальном металле будет-
несколько осложняться наложением диамагнетизма, поэтому приведенный расчет
аосит лишь качественный характер. Тем ае менее вблизи критического давления, когда
?0 = 8кр, следует ожидать резкую аномальную зависимость }(™ от магнитного ноля *).
д. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости металлов. Рас-
Рассмотренный в п. г случай особенности парамагнитной восприимчивости металлов при
высоких давлениях не исчерпывает всех аномалий в их магнитных свойствах (в обла-
области слабых полей), обусловленных спецификой их электронного энергетического спект-
спектра. В частности, эти аномалии проявляются в довольно существенной температурной
зависимости наблюдаемой (суммарной) магнитной восприимчивости ряда металлов.
Если мы обратимся опять ко всей совокупности нормальных металлов (см. табл. 11.1),
то их можно разбить на диа- и парамагнитные, но при этом диамагнитные в свою очередь .
разбиваются на металлы, диамагнетизм которых не зависит (впрочем, см. [80]) от тем-
температуры (Си, Ag, Аи), и металлы, диамагнетизм которых зависит от температуры
(Be, Mg, Zn, Cd, Hg, Al, Ga, In, Tl, C, Sn, Pb, As, Sb, Rh). Естественно предполо-
предположить, что в первой группе основную роль играет диамагнетизм ионных остовов, кото-
который практически не зависит от температуры, а во второй — диамагнетизм электронов
проводимости (Веркин [35]). Последний может существенно зависеть от температуры
лишь при очень слабом или, наоборот, при очень сильном заполнении полос (когда
поверхность Ферми лежит вблизи границ зон Бриллюэна) либо вблизи критических
точек (?0 * екр) (см' п' г)т когда отщепляются отдельные участки от поверхности
*) При Т > 0° К эти аномалии будут сглаживаться из-за «размытия» фермиев-
ской ступеньки. Они будут заметными при кТ < |?о — екр |, Кроме того, в случае
магнитных эффектов они будут разыгрываться лишь в узком интервале относительных
давлений Др/ркр, определяемых относительным смещением подполос энергий для пра-
правых и левых спинов (см, рис, 11,2), т, е, Ар/рКр * I^^^
— '206

Ферми *) или происходят разрывы поверхностей Ферми. Эти условия как раз и выпол-
выполняются в случае указанной выше второй группы диамагнитных металлов. Именно в них
также легче всего наблюдается эффект де Гааза — ван Альфеиа (см. ниже § 6, п. 3).
Что же касается щелочных металлов, то у них т* « т, закон дисперсии очень близок
к квадратичному, и поэтому они являются хорошими представителями паулиевских
2
парамагнетиков с %ПОлн = -д- X™ ~ %йон ' ^иот ~ восприимчивость ионных остовов —
у них относительно мала, так как эти остовы по своей электронной структуре аналогич-
аналогичны плотноупакованной оболочке атомов инертных газов.
Более детальное исследование температурной зависимости магнитной восприим-
восприимчивости металлов указанной группы можно найти в работе Зильбермана и Ицковича [60],
Заметим, что в областях р-пространства с аномально малым числом электронов
это число может существенно меняться с температурой [хотя общий химический потен-
потенциал в целом для всей поверхности Ферми, конечно, очень слабо зависит от темпера-
температуры; см., например, A1.19)]. Именно это и может оказаться весьма важным, когда
свойства металла в основном определяются этими малыми электронными группами,
В частности, это имеет место для диамагнетизма висмута, сурьмы и подобных им метал-
металлов (см. [36, 46, 81]).
§ 6. Эффект де Гааза — ван Альфена
при произвольном законе дисперсии
1. Введение. Выше рассматривались магнитные свойства металлов в основном
в случае слабых полей (|ЛБЯ <С кТ), когда в выражении для намагниченности можно
было ограничиться лишь членами, линейными относительно поля Н. Поэтому представ-
представляет интерес рассмотреть случай сильных магнитных полей. Это тем более важно, что,
как будет показано, осцилляционные свойства (о которых выше уже упоминалось в § 4,
п. 4) в основном определяются электронами с энергией, лежащей в узком (порядка кТ)
интервале у поверхности Ферми, и поэтому для теоретической трактовки этих свойств
достаточно пользоваться «газовой» моделью (с произвольным законом дисперсии).
В качестве примера мы рассмотрим здесь наиболее хорошо изученный равновесный
осцилляционный эффект де Гааза — ван Альфена в металлах в области сильных полей
и низких температур (кТ ^ Иб^)' ^ак Уже отмечалось в § 4, п. 4. (см. также [48]),
это явление носит вполне универсальный характер и оно наблюдалось для большого
числа металлов. Качественная теория эффекта де Гааза — ван Альфена в рамках зон-
зонной теории была предложена Пайерлсом [19], количественная, более строгая — Лан-
Ландау (ее изложение дано в работе [28]). Здесь мы остановимся на дальнейшем развитии
теории этого эффекта, которое было дано в работах Лифшица и Косевича [29, 30] (см.
также [46, 48]), на основе модели газа фермиевских квазичастиц с произвольным зако-
законом дисперсии и в квазиклассическом приближении**). Его здесь законно применять,
потому что, если магнитное поле не слишком велико, основной вклад в осциллирующую
часть термодинамического потенциала вносят квазичастицы с большими квантовыми
числами п, как это следует из A1.90):
re»l. A1.127)
Используя это уравнение, дающее неявную зависимость энергии фермиевской
квазичастицы в магнитном поле от квантового числа п в квазиклассическом прибли-
приближении, и учитывая зеемановское расщепление уровней в магнитном поле из-за сущест-
существования спинового магнитного момента фермионов, имеем для энергетического спектра
квазичастицы по A1.36)
eo(Pz, в; Я) = еп(Рг; Н) + оуЯ; A1.128)
в случае заметной спин-орбитальной связи ^i может не совпадать с магнетоном Бора,
и тогда вообще спиновое квантовое число не является хорошим квантовым числом.
Дальнейший расчет можно рассматривать как повторение «на более высоком уров-
уровне» аналогичного расчета для случая квадратичного закона дисперсии в модели свобод-
свободного газа Ферми, начало которого изложено выше, в § 4, п. 5.
Напомним еще раз, что магнитный момент газа ферми-частиц определяется, согла-
согласно общим формулам (см. гл. 5), как производная по полю Н от термодинамического
*) При определенных, близких к екр значениях энергии Ферми объем этих
«новых», отщепившихся областей в ^-пространстве очень мал по сравнению с основ-
основным объемом, ограниченным «старой» поверхностью Ферми. Число электронов, запол-
заполняющих эти малые объемы, мало по сравнению с полным числом в металле. Принято
называть эти электроны малыми электронными группами.
**) В работах 182, 46] показано, что теория эффекта де Гааза — ван Альфена, кото-
которая излагается ниже, сохраняет свою силу и в более общей модели ферми-жидкости
по Ландау [49].
— 207 -

потенциала A1.34), где, вместо &], следует взять выражение A1.128). Используя фор-
формулу для статистического веса A1.27) (без множителя 2, поскольку по спиновым проек-
проекциям а проводится суммирование), находим для термодинамического потенциала A1.34)
п = 0 ст — °° п = 0
Здесь следует воспользоваться известной из теории рядов Фурье формулой Пуассона,
которая имеет вид
оо оо оо
2 ср(ге)= С cp(re)dre + 2Re ^ ср («) ехр Bлг/ге) dre, A1.130)
n=no a J= 1
где~(ге0—1) < а < ге0, a Re означает, что от последующего комплексного выражения
берется вещественная часть; поскольку в данном случае гео = О, как это видно
из A1.129), то удобно взять а= —1/2. Тогда A1.129) можно записать так:
оо оо
Q = \ ср (п) dn¦{-2 Re ^ 1 ср (ге)ехрBш ln)tfre = Q04^i- A1.131)
-1/2 г= 1 —1/2
Сейчас мы покажем, что Qo монотонно зависит от Я и дает вклад лишь в паулиов-
ский парамагнетизм, а слагаемое Qi описывает диамагнетизм Ландау и осциллирую-
осциллирующие члены.
2. Парамагнетизм. Введем временное обозначение
A1.132)
Тогда первое слагаемое правой части A1.131) будет иметь вид
оо
dn \ dpzlnf~l-fexp ^*~~en,lPz' R' I. A1.133)
ОО ОО
*""- ch2 ZJ
CT -/2 -оо
Перейдем в A1.133) от интегрирования по dn к интегрированию по den. Для этого
воспользуемся формулами A1.90) и A1.82):
OS
(Ц.134)
ehH heH Йшя ч '
Итак, вместо A1.133) будем иметь
1 I
СТ 0 S(>0)
Напоминаем, что S = S (en, pz) — площадь сечения изоэнергетической поверхности
s = const плоскостью pz = const. формулу A1.135) можно переписать в виде, позво-
позволяющем произвести интегрирование по частям:
^ J
S
J[^]^ J
CT 0 S(>0)
ОО
= L-УЛ Р 1 ДРт F5-; \ S(en,pz)dPz. A1.136)
а 0 ехР [ ^у J+1 S(>0)
Легко видеть, что ивтеграл по dpz в A1.136) дает объем в р-пространстве U (гп).
ограниченный изоэнергетической поверхностью en = const. Введя обозначение
получим
^2- A1Л37)

Поскольку в рассматриваемом случае выполняется неравенство |Л# < ?, функ-
функцию W (?*) можно разложить в ряд по малому параметру |л#/?, ограничившись чле-
членами нулевого и второго порядка, как это обычно делается в статистике Ферми —
Дирака. Тогда, произведя суммирование по двум возможным проекциям спина,
получим для Qq
^] A1Л38)
Таким образом, магнитный момент будет равен
мим— г w н (и
Легко видеть, что при кТ <g ? мы имеем
W Q « j U (e) de
о
и, следовательно, дЦУ (?)/д?,2 « dU (?)/#?, п поэтому величина (V/№) dU/dt,, входящая
в A1.139), дает функцию плотности состояний g (?) вблизи поверхности Ферми.
В результате из A1.139) для магнитной восприимчивости имеем
т. е., действительно, первое слагаемое Qq в A1.131) описывает паулиевский парамаг-
парамагнетизм, и мы снова получили известную уже нам формулу A1.11) или A1.90) для
паулиевской парамагнитной восприимчивости (с учетом, что величина момента |а
может отличаться от |Ag).
3. Диамагнетизм и эффект Де Гааза—ван Альфена. Перейдем теперь к ана-
анализу второго слагаемого в A1.131), т. е. Qj, которое описывает диамагнетизм элек-
электронного газа и эффект де Гааза — ван Альфена:
оо
^2 2 Re 2 7Ь (И-140)
г=1 —1/2 а 1=1
где
йп | Дрг1п[1+ехр ^S^,yPz' П) 1 ехр BяИп). A1.141)
-1/2 -оо
Переходим в A1.141) от интегрирования по dn к интегрированию по den, как это
делалось в A1.133), используя соотношения A1.134), A1.82) и A1.90). Это дает
I[=kT j rferaln[l + exp g8n] \dpzj?-exvl2nlln(Bn,pz)]. A1.142)
0 -оо
Интегрируя A1.142) по частям и замечая, что получающийся после этого внеинте-
гральный член равен нулю, и учитывая также A1.90), находим
ОО ЕЛ
I- J en% J « J
0 ехР ^у^ Г1 0 п>0
r»(s, Pz)-y\\ .
о exp-^-^—hi о s(>o) " • '
A1.143)
Напомним, что мы используем квазиклассическое приближение A1.127). Кроме
того, в выражении /; все величины, за исключением (е + I) и ехр Bя?/ге),
медленно меняются с изменением еп и pz. Это позволяет для оценки интеграла A1.143)
применить метод перевала, известный из теории функций комплексной переменной.
При этом основной вклад в /г дает интегрирование 1) по окрестности точки экстремума
n(%, pz) или S(%, рг), т. е. стационарной точки, в которой dn/dpz = dS/dpz = 0
(случай экстремальных сечений — см. рис. 11.15), п 2) по окрестности вершин области
14 С. В, Вонсовский — 209 —

интегрирования, когда п = О, S = 0, т. е. когда сечения pz = const касаются поверхно-
поверхности Ферми. Нас будут интересовать лишь стационарные точки, поскольку вклад в ос-
осциллирующую часть термодинамического потенциала A1.129), как показано в [46],
дает интегрирование лишь вблизи этих точек. Интегрирование по окрестности вершив
дает непериодическую часть Q, определяющую обычный диамагнетизм Ландау *).
Итак, вблизи экстремальных сечений можно положить
_<m)
где pkzm) соответствует стационарной точке.
Таким образом, первое интегрирование по dpz в A1.141) дает
¦ехр[2т/гет(«)]
¦'-о
где суммирование по т ведется по всем экстремальным точкам функции п (%, р2) =
= cS (%, pz)/ehH при фиксированном значении %, точки с пт = 0 исключаются
из суммы. Легко показать (см. [30]), что интеграл в A1.145) равен
Фаза гя/4 в A1.146) входит со знаком плюс, если сечение максимально (Sm = SMaKC),
и со знаком минус, если оно минимально (Sm = SMIIH). При втором интегрированшг
по d% в A1.143) следует учесть, что, как правило (за редким исключением самопересе-
самопересекающихся изоэнергетических поверхностей), дпт1д% Ф 0. Поэтому при интегрирова-
интегрировании по d% функции A1.145) [после подстановки туда выражения из A1.146)] в интер-
интервале значений %, определяемом пределами интегрирования @, е„), нет стационарных
точек, и, следовательно, основной вклад дают точки на самих пределах интегрирования
(I = 0 и I = гп). При этом нижний предел (% = 0) нам неинтересен, так как он
дает основной вклад в неосциллирующую часть Qj [30]. Для верхнего предела разло-
разложим пт {%) по степеням {% —гп): пт {%) « пт (еп)-\-^-^ {% — гп). Таким образом,
второе интегрирование по d%, согласно A1.133) и A1.134), дает
Ere
S I
т ?ге=0
(8„)
дгп
ехр
X ехр
(±!1
г) \Х
2я/8/2
ехр
ехр[2яг/гет(8п)]. A1.147)
Подставляя A1.147) в A1.143), мы должны провести третье интегрирование по den:
ехр ( —
//=¦
ехр [2nilnm (en)] den
ехр-
кТ
1/2*
т
A1.148)
В подынтегральном выражении в A1.148) опять, как и в подынтегральном выражении
A1.147), нет стационарных точек (дпт/деп Ф 0). Однако мы здесь воспользуемся рез-
резким нестационарным характером функции распределения Ферми в точке еп = ?*,
интегрирование вблизи которой и дает основной вклад в интеграл A1.148). Используем
*) Следует заметить, что окрестность точек с S (%, pz) = 0 соответствует,
по A1.90), малым квантовым числам ге, для которых квазиклассическое приближение,
вообще говоря, неприменимо. Поэтому вычисление соответствующего этим точкам
вклада в интеграл 11 может дать правильное значение диамагнетизма Ландау только
в частных случаях, когда квазиклассические уровни энергии совпадают с точными уров-
уровнями при всех п, как, например, в случае квадратичного закона дисперсии.
210

разложение
п получаем для A1.148)
л=
; (en) = »m (S*)+Di^)ea=E* (8п~^
S m;en=?
X
==Bя)-1/2 (^_)
(-1I
(Ik) exp
~
-1/2
где
/X
A1.149)
A1.150)
При вычислении интеграла в A1.149) мы ввели яовую переменную х == (ея — Z*)lkT
и, используя условие кТ < t*> распространили пределы интегрирования от —оо
до +оо. Согласно A1.140), для того чтобы с помощью A1.149) найти термодинамиче-
термодинамический потенциал Qi (его осциллирующую часть), нужно еще произвести суммирование
по спиновым проекциям а и по I. При суммировании по а везде, кроме аргумента пока-
показательной функции, можно заменить ?* на ?,, так как \хН <^ ?,. Однако показатели
у exp Sm(?,*) нужно разложить по степеням \xHlt, и ограничиться первой степенью
разложения
Учет этого небольшого изменения Sm (?*) необходим, поскольку из условия квазиклас-
квазиклассичности задачи cS/ehH ^> 1 и небольшие изменения Sm приводят к существенным изме-
изменениям показателя в экспоненте в A1.149). Учтем указанное обстоятельство. Затем
произведем оба суммирования и возьмем вещественную часть от A1.140), используя
для /; выражение A1.149). В результате для осциллирующей части термодинамиче-
термодинамического потенциала находим
i] =
pz)
V2
dS
-1
X
1=1
Осциллирующую часть магнитного момента можно найти путем дифференцирования
A1.151) по полю Н. При этом члены, зависящие от // в A1.151), кроме косинуса, мед-
медленно меняются с Я и при дифференцировании их можно считать приближенно посто-
постоянными. Тогда для осциллирующей компоненты магнитного момента вдоль направле-
направления поля *) получим
,3/2
BЯI/2
/ dSm \
X
*2-
i=i
/3/2
sin
Из A1.152) видно, что амплитуда и период осцилляции магнитного момента целиком
определяются экстремальной площадью сечения граничной поверхности Ферми
*) Если нужно вычислить две другие компоненты М, лежащие в плоскости, пер-
перпендикулярной к вектору Н, то при дифференцировании Qt следует учесть зависимость
сечения Sm и ее производных от направления магнитного поля в кристалле.
- 211
14*

плоскостью ip'H) = const, а также производными от этой площади в экстремальных
точках. Заметим, что для квадратичного закона дисперсии s = p2/2m имеем
S(e, Pz) =
dpi
Поэтому в данном случае A1.152) принимает вид
т; I T 2
2l z3/2 X
1=1
или, используя A1.150), находим для объемной восприимчивости*)
V ( eh \V2 т*Щ
А
I , т* \ . Г я , ? 1
cos I я/ I sin -; /я
(О) ч _ v i en yiz nfKiL, у /^г+1 ;-1/2х
г=1
7 fa2fcr v
\ |^эффя /
sh
Выражение A1.154) является функцией двух параметров: ?/|лэфф# и /сГ/|АЭффЯ, где
|Аэфф = е%/2ш*с — эффективный магнетон Бора. Для того чтобы осцилляции были
заметны, необходимо, чтобы величина я2/сГ/|АЭффЯ была по крайней мере порядка еди-
единицы, т. е. Н « 105Г — . Поэтому, если т* « т, то эффект де Гааза — ван Альфена
может наблюдаться лишь в полях 105—106 а (при Т « 1° К). Фактически в тех метал-
металлах, где он наблюдается, применяются поля всего лишь порядка 104 а (при Т « 4° К).
Отсюда вытекает, что эффективные массы квазичастиц, участвующих в эффекте, малы,
а именно т* лежит в пределах от 0,1т до 0,01т. Далее, из A1.154) следует, что период
осцилляции ДA/Я) при I = 1 равен (я^/цдфф)-1; подставляя сюда известные выраже-
выражения для t из A1.8) и |АБ, находим
2 / е \ I л2 \2/з
Ш DР-
Из опыта известно, что периоды ДA/Я) во многих случаях действительно с большой
точностью сохраняются постоянными с изменением поля и по величине оказываются
порядка 10~6 а. Но тогда из формулы A1.155) сразу следует (если подставить туда
численные значения всех абсолютных констант и помнить, что период ДA/Я) «
« |Аэфф/я^), что п должно быть-порядка 1018—1019 см~3, т. е. число эффективных для
осцилляции магнитной восприимчивости электронов на узел решетки re/TV оказывается
порядка Ю"8—10~4 (а иногда еще меньше). Очень малые значения n/N и m*/m, требуе-
требуемые для объяснения эффекта де Гааза — ван Альфена, сильно отличаются от значений
этих же величин, получаемых из оценок величин других эффектов (например, работы
выхода, электропроводности и т. п.), где эти отношения оказываются близкими к еди-
единице (кроме случая висмута). Только что указанный «парадокс», заключающийся в том,
что из наблюдаемых осцилляции мы приходим к аномально малым значениям m*/m
и n/N, в принципе легко снимается, если исходить не из формулы A1.154),-справедли-
вой для квадратичного закона дисперсии, а из формулы A1.152) для произвольного
закона дисперсии. В этом случае периоды осцилляции определяются формулой A1.93),
т. е. экстремальными сечениями поверхности Ферми. Для квадратичного закона эти
сечения равны
*) Это как раз та самая формула, которая получается из последнего слагаемого
правой части выражения A1.49) в модели свободного электронного газа с заменой m
Ham* и|АБна|Аэфф.
- 212 -

если концентрацию электронов п0 заменить через а~3, где а—постоянная решетки.
Если же концентрация п не равна а"8, то можно записать
Для периода имеем
те op
eh
cSm
10-se
1010.10-37
-2/3
1-1.
A1.156)
Эксперимент дает значение ДA/Я)эксп « 10 6 a *.
Сравнивая эти две величины, находим, что п/п0 « 10"* -4- 10 5. Таким образом,
общая теория с произвольным законом дисперсии позволяет разрешить указанный
выше «парадокс» и утверждать, что наблюдаемые в полях Я « 10* а (при Т « 4° К>
осцилляции магнитной восприимчивости обусловлены аномально малыми экстремаль-
экстремальными сечениями поверхности Ферми при произвольном законе дисперсии. Эти малые
сечения могут соответствовать существованию отдельных малых замкнутых участков
поверхности Ферми (см. рис. 11.17) или наличию небольших выпуклостей или вмятин
на «большой» поверхности Ферми (см. Азбель [83]). Вообще по теорий осцилляционных
эффектов и в том числе по теории эффекта де Гааза — ван Альфена имеется довольно
обширная литература (см., например, [84—96, 284]).
4. Сравнение теории с опытом. В опыте измерения обычно ведутся на монокри-
монокристаллах с определенной ориентацией магнитного поля относительно кристаллографи-
кристаллографических осей. На рис. 11.6 в качестве примера приведены результаты исследований мо-
монокристаллов цинка, где измерялись разности восприимчивостей для главных осей
кристалла Дхгх = %z~Хх или Д%гг/=%г — %у в зависимости от 1/Я (см. Веркин, Дмит-
ренко [21]). На графиках показана типичная кривая зависимости разности магнитной
2АХ-Ю'
0,53
1/Н-1О4Э~
Рис. 11.18. Тонкая структура эффекта де Гаа-
Гааза — ван Альфена у кристалла Zn (Г = 4,2° К)
(см. рис. 11.6).
0,6
\O,5
-0,4
0,3
0,2
0,1
О
\
\
\
\
у
\
\
\
\
\
\
20 40 60 80
Рис. 11.19. Зависимости периода осцил-
осцилляции эффекта де Гааза — ван Альфена
от направления (угла # относительно гек-
гексагональной оси кристалла) магнитного
поля по работе [21] для цинка.
восприимчивости от обратного значения магнитного поля для &%гх и при векторе 1Г,
лежащем в плоскости xz под углом ¦& = 25° к оси z *). Во многих случаях зависимость
X A/Я) не ограничивается одной гармоникой, а представляет собой наложение многих.
При этом, как правило, периоды этих гармоник резко различны. Это указывает на то,
что у большинства металлов поверхность Ферми весьма сложная, что, конечно, затруд-
затрудняет расшифровку экспериментальных кривых. Кроме того, сама кривая биения типа,
изображенного на рис. 11.6, имеет еще тонкую структуру, показанную в виде быстро
осциллирующей кривой а рис. 11.18, которая представляет собой в очень растянутом
масштабе по обеим координатным осям маленький участок начала кривой на рис. 11.6.
*) Биения осциллирующих кривых, которые видим на рис. 11.6 (где приведено
одно такое биение), могут быть вызваны различными причинами, например расшире-
расширением уровней Ландау в кристаллическом поле или наличием двух электронных групп,
имеющих близкие параметры. Более подробно об этом можно узнать в работах Зиль-
бермана [57, 58].
- 213 —

Однако использование широких интервалов полей при измерениях, а также тщатель-
тщательное изучение зависимости периодов осциляции от ориентации магнитного поля в кристал-
кристалле (см., например, рис. 11.19) позволяют не только расшифровать кривые % A/Я),
но и по измерениям периодов А A/Я) восстановить форму поверхности Ферми в ряде
металлов. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе Лифшица и Погорелова [97],
а также в обзоре [46], к которым мы отсылаем читателей.
Шенберг [98], используя методику сверхсильных магнитных полей, сумел наблю-
наблюдать эффект де Гааза — ван Альфена и для основных групп электронов даже в таких
металлах, как медь, серебро и золото (см. также работы на этих металлах [99—102]).
Также удалось наблюдать эффект в щелочных металлах [103, 104]. Щелочноземельные
металлы (Be, Mg и Са) исследовались в работах [105—110]; Zn, Cd и Hg —• в работах
[Hl—117]; Al, Ga, In и Tl — в работах [118—123], графит исследован в работах [124—
126], As, Sb и Bi — в работах [127—131], некоторые разбавленные растворы — в рабо-
работах [132—135] и, наконец, сплавы и твердые растворы — в работах [136—142].
Исследования эффекта де Гааза — ван Альфена ведутся весьма интенсивно. Иссле-
Исследуется не только «классический» тип эффекта, но также и его особые формы, например
в случае тонких металлических пленок (см. [44, 98, 143]).
За последнее время появился ряд работ по измерению эффекта де Гааза — ван
Альфена в переходных металлах (см. ниже раздел Б).
5. Магнитный пробой. В области сильных магнитных полей, когда справедливо
квазиклассическое приближение, Коэн и Фаликов [144] предсказали возможность для
электронов проводимости в металлах перескока с одной квазиклассической орбиты
в р-пространстве на другую, соседнюю орбиту. При этом электрон должен преодолеть
потенциальный барьер между этими орбитами путем квантового туннельного эффекта.
Этот процесс получил наименова-
* ние «магнитного пробоя». Теория
этого эффекта разрабатывалась в
ряде работ [145—157]. Экспери-
Экспериментально он впервые был обна-
обнаружен в Mg [158, 159].
Для того чтобы понять фи-
физический механизм явления маг-
магнитного пробоя, рассмотрим очень
простую двумерную модель (в
плоскости ху) зонной структуры
металла. Пусть двумерное р-или
fc-пространство в схеме расши-
расширенных зон будет разделено на
зоны Бриллюэна в виде прямо-
прямоугольников с ребрами, равными
2л/а < 2л/Ь (где а > Ъ — пара-
параметры прямой решетки). Если
вначале считать потенциал пери-
периодического поля очень Малым, то
траектории электрона в магнит-
магнитном поле, направленном по оси
zi будут иметь вид окружностей
(рис. 11.20). Если орбита прибли-
приближается к границе зоны Бриллю-
Бриллюэна А В (или пересекает), то для
электрона появляется возмож-
возможность брэгговского отражения в
точке L. Он может не продолжать свое движение по окружности / в сосед-
соседней зоне, а перейти с окружности / на окружность //. Если периодический потен-
потенциал будет увеличиваться, то в точке «пересечения» орбит произойдет расщепление
по энергии, и мы будем иметь открытую траекторию /', а части.бывших окружностей,
попадавшие в соседние зоны, образуют отдельные участки поверхности Ферми и соот-
соответственно отдельные замкнутые траектории III (могут быть и такие случаи, когда обе
траектории будут "замкнутыми, но иметь различные площади). В очень сильном магнит-
магнитном поле электрон может двигаться не по открытой траектории Г, а «пробиться» через
энергетическую щель, т. е. совершить туннельный переход через область, разделяю-
разделяющую орбиты / и //, и оказаться на орбите ///.
Вероятность этого процесса может быть вычислена путем, аналогичным исполь-
используемому в теории электрического пробоя в диэлектриках (Зинер [160]). Из этой теории
следует, что электрическое поле напряженности Е может вызвать заметный туннельный
переход электронов через энергетическую щель А%, если выполняется условие
A1.157)
где %к — кинетическая энергия электрона (т. е. энергия Ферми $ф), а а — параметр
кристаллической решетки. В магнитном случае надо величину Е заменить эффективным
Рис. 11.20. Иллюстрация явления магнитного пробоя в
пространстве обратной решетки на примере двумерного
кристалла сезонами Бриллюэна в виде прямоугольни-
прямоугольников (АВЕС, ABGD, . . .) с ребрами 2я/а < 2я/Ь (а>Ъ—
параметры прямой решетки). Окружности I и II — ор-
битьцсвободного электрона в магнитном поле в соседних
зонах. (Эти окружности одновременно являются изоэнер-
гетическими «поверхностями».) Под влиянием возму-
возмущения периодического потенциала кристалла в точках
пересечения}!, окружностей In IIпроисходитрасщепле-
нив)энергии и возникает открытая траектория I' и новая
замкнутая траектория III. Возможность квантового тун-
туннельного перехода с орбиты I' на орбиту III и означает
в данном случае явление магнитного пробоя.
- 214 -

лолем, создаваемым силой Лорентца в магнитном поле Н:
где ь>ф—скорость Ферми электрона в плоскости, перпендикулярной к Н. Таким
•образом, условие A1.157) примет вид
Ф Ф_. en ф Ф>1 A1.158)
Или, вводя выражение для циклотронной частоты шд по A1.25), получаем окон-
окончательно
A1.159)
Из формулы A1.159) видно, что магнитный пробой будет возникать гораздо чаще
в случае узких щелей А% (порядка 10~8 эв), возникающих при расщеплении полос под
влиянием спин-орбитального взаимодействия, начиная с полей // « 10 э. В случае
же щелей порядка 0,1 эв пробой может возникнуть лишь в полях порядка 100 килоорстед.
Магнитный пробой вызывает, таким образом, появление новых орбит, с другими
по сравнению с беспробойным режимом площадями, а также превращение уровней
Ландау в узкие полосы (см. Зильберман [57]), и, наконец, могут возникать осцилляции
в случае пробоя при изменении Н. Все это может привести, например, к возникновению
насыщения в магнетосопротивлении (см. гл. 14), к появлению новых периодов в эффек-
эффекте де Гааза — ван Альфена [из-за изменения площади сечений поверхностей Ферми,
см. формулу A1.156)], а также зависимости амплитуд осцилляции от величины магнит-
магнитного поля.
В работе Пристли, Фаликова и Вейца [161] был исследован эффект де Гааза —
ван Альфена. Из измерения периодов и амплитуд осцилляции были определены сече-
сечения с величиной площади, большей сечения зоны Бриллюэна и хорошо согласующейся
с теоретическими оценками по теории магнитного пробоя. В работе [162] влияние пробоя
на осцилляции де Гааза —• ван Альфена было продемонстрировано на примере цинка
и его разбавленного сплава с медью @,14% Си). Здесь также найдено хорошее согла-
согласие с теорией.
В работе [163] эффект магнитного пробоя исследован в переходном металле Сг.
Работы [151, 164—168] посвящены изучению влияния магнитного пробоя на магнето-
сопротивление. В работе [169] рассмотренная связь пробоя с магнетоакустическим зату-
затуханием, в [170] —• с циклотронным резонансом, а в [171] —• с геликонами (см. гл. 14).
6. Заключение. Мы не имеем больше возможности останавливаться на описании
других осцилляционных эффектов статистически равновесных величин, подобных маг-
магнитной восприимчивости. Отметим лишь еще раз, что все они определяются осцилляция-
ми функции плотности состояний электронов у поверхности Ферми при изменении вели-
величины магнитного поля. В гл. 14 будут рассмотрены осцилляции некоторых кинетиче-
кинетических коэффициентов металлов при изменении величины магнитного поля.
Недостатком феноменологической теории, которая использовалась выше, являет-
является пренебрежение межэлектронным взаимодействием. Поэтому эта теория не может
в принципе учесть те эффекты, которые, по существу, определяются межэлектронной
динамической корреляцией (например, ферми-жидкостные эффекты, ферро- и антифер-
антиферромагнетизм, сверхпроводимость и т. п.). В настоящее время в теории существует един-
единственный последовательный путь подхода к рассмотрению динамического взаимодейст-
взаимодействия электронов и его влияния на физические и, в частности, магнитные свойства
твердого тела —• с помощью методов квантовой статистики, заимствованных из кванто-
квантовой теории поля. Это метод функций Грина, феймановская диаграммная техника и т. п.
Мы не имеем возможности останавливаться здесь на изложении этих работ (см. гл. 20—•
22); ограничимся лишь упоминанием некоторых из них. В работах Маркса и Донована
1172] и Флетчера и Ларсона [173] использован метод коллективных переменных по Бому
и Пайнсу [см., например, Пайнс [174] A963), Пайнс, Нозьер A967), Бом A964)] для
учета влияния кулоновского взаимодействия на магнитную восприимчивость газа
фермионов. При этом последовательно учтена перенормировка магнитного момента
квазичастиц и т. п. Стефен [175] использовал для этой же цели метод функций Грина.
Наконец, Ахиезер и Пелетминский [176] исследовали методом квантовой теории поля
влияние взаимодействия между фермионами на осцилляции магнитного момента систе-
системы и нашли изменение периода и амплитуды осцилляции магнитного момента, обуслов-
обусловленное взаимодействием между частицами. Можно также упомянуть работу Бракнера
и Савады [177], в которой более точно рассчитывалась магнитная восприимчивость
электронного газа высокой плотности; работу Вольфа [178], в которой использована
диаграммная техника по Фейнману; работы Юнга [179], Бонч-Бруевича и Герцен-
штейна [180] указали на необходимость учета вклада в магнитную проницаемость плаз-
плазменных колебаний в электронной системе металла; этот вклад может быть значитель-
значительным, поскольку нулевая энергия плазменных колебаний (не возбуждаемых при
- 215 —

обычных колебаниях из-за большой ширины энергетической щели) зависит от маг-
магнитного поля. Полученные в цитированных работах численные оценки %эл лучше
согласуются с опытными данными, чем прежние расчеты.
Наконец, обращаем внимание на интересные работы по исследованию магнитных
свойств ферми-жидкости типа гелия [3, 181], по расчету магнитных свойств реля-
релятивистского электронного газа [182], а также обзор Азбеля [284].
Б. МЕТАЛЛЫ ПЕРЕХОДНЫХ ГРУПП
§ 7. Магнитные свойства переходных металлов
1. Парамагнитная восприимчивость. Рассмотрим некоторые особен-
особенности магнитных , свойств металлов переходных групп, не обладающих
атомной магнитной структурой во всей области температур.
К этой группе металлов относятся:
1) Зс?-металлы группы железа (исключая Cr, Mn, Fe, Co, Ni), т. е.
Sc, V, Ti.
2) все 4с?-металлы группы палладия, т. е. Y, Zr, Nb, Mo, Те, Ru, Rh,
Pd, и
3) все 5с?-металлы группы платины, т. е. Lu, Hf, Та, W, Re, Os, Ir,
Pt *).
Как уже упоминалось выше, все эти металлы являются резко выра-
выраженными парамагнетиками. Величина атомной восприимчивости при ком-
комнатной температуре (см. табл. 11.1) практически для всех этих металлов
значительно превышает соответствующие величины для щелочных и щелоч-
щелочноземельных нормальных металлов, уступая лишь редкоземельным
металлам (при Т > 9 или в^). Еесьма своеобразна температурная зави-
зависимость восприимчивости этих веществ **). Закон Кюри — Вейсса F.6)
ни для одного из этих металлов не соблюдается. В одних d-металлах
(V, Nb, Та, Mn, Re, Pd, Pt) %™ убывает с повышением температуры, т. е.
d%™/dT < 0, а в других (Ti, Zr, Hf, Cr, Mo, W, Ru, Os, Rh, Ir) — возра-
возрастает, т. e. d%™/dT > 0. Характерным является также, что элементы
разных d-рядов, но расположенные в одной вертикальной группе таблицы
Менделеева имеют одинаковый характер температурной зависимости
%Z (Т) (например, dy^ldT > 0 для Ti, Zr, Hf или d%™ldT < 0 для
V, Nb, Та), а при переходе от одной группы к соседней имеет место, как
правило, изменение знака производной d%™/dT (например, при переходе
от Zr к Nb и от Nb к Мо или от Hf к Та и от Та к W). Наблюдается
также определенная корреляция в величинах восприимчивости %"л и пе-
перемене знака ее температурной производной dy^/dT с величинами элек-
электронных теплоемкостей этих металлов, как это можно увидеть из табл. 11.3.
В некоторых случаях на кривых %™ (Т) . наблюдаются максимумы
(например, у Pd) или минимумы (у Zr и Nb) ***).
2. Качественная теория парамагнитных свойств. Постараемся дать
хотя бы качественное объяснение изложенным выше фактам, полученным
при измерениях величины и температурной зависимости %™ слабомагнит-
слабомагнитных переходных металлов. Прежде всего выясним, чем отличаются элек-
*) Мы не рассматриваем здесь редкоземельные металлы, поскольку они все
обладают атомным магнитным порядком, а также актиниды и трансурановые элемен-
элементы, магнитные свойства которых мало исследованы. Наиболее исследованы некоторые
урановые соединения с атомным магнитным порядком (см. обзор Тжебьятовского [183J
и гл. 22; см. также [292—295]).
**) Подробные ссылки на оригинальные работы и теоретический анализ их ре-
результатов можно найти в обзорной статье Криссмана и Каллена [184].
***) Исследования магнитных свойств парамагнитных переходных металлов еще
далеки от прецизионности, так как они проводились в разных условиях эксперимента,
на материалах различного изготовления и качества и, как правило, не на монокри-
монокристаллических образцах высшей чистоты. Не хватает также данных о результатах изме-
измерений % (Т) в области низких и сверхнизких температур.
- 216 —

Таблица 11.3
Атомная парамагнитная восприимчивость %™, знак ее температурной производной
dy^/dT и температурный коэффициент у электронной теплоемкости
(Сэл = уТ) переходных d-металлов
Металл
Sc
Ti
V
Y
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
Rh
Pd
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
286
161
296
196
121
212
82,5
270
44
101
558
336
70
152
55
65
9,5
35
189
Знак dx™/dT
' +
—
+
—
+
+
+
—
+
—
+
—
+
+
—
Литература
[186]
[185]
[188]
[186]
[185]
[185]
f [190]
I [192]
[195]
[197]
[199]
[199]
[220]
[186]
f [190]
1 [199]
| [190]
I [192]
[185]
[199]
[2, 194]
[199]
7- 103,
дж ¦ мол ь~1 • град-%
f 11,3
I 10,66
3,3
9,1
10,2
OO O5
CS1CS1
7,8
2,0
8,3
3,04
4,8
f 10,7
I 10,5
11,27
2,16
5,9
| 0,84
1 0,95
2,48
2,3
2,9
f 6,9
I 6,7
Литература
f [187]
I [202]
[189]
[191]
[187]
f [193]
I [200]
I [198]
[266]
[267]
[196]
[194]
[198]
f [268]
{ Мендельсон
[ A963)
[269]
[200]
[201]
f [270]
I [201]
[267]
[198]
[198]
f [268]
I [194]
тронные структуры переходных d-металлов и нормальных. Особенности
электронной структуры первых в конечном счете обусловлены специфиче-
специфическими особенностями структуры электронной оболочки изолированных
атомов этих элементов,, а именно наличием недостроенного внутреннего
3d-, Ad- или 5й-слоя. Близость энергий этих слоев с энергиями валентных
соответственно As-, 5s- и бе-слоев приводит к тому, что вблизи уровня Ферми
системы электронов проводимости оказываются не только бывшие валент-
валентные s-электроны, но и внутренние электроны достраивающихся d-слоев.
Однако «геометрия» пространственного распределения электронной плот-
плотности s- и d-электронов делает их участие в коллективизированной системе
электронов проводимости различным. У s-слоев боровский диаметр орбиты
заметно больше наименьшего параметра кристаллической решетки. Это
приводит к сильному перекрытию волновых s-функций ближайших сосед-
соседних узлов кристаллической решетки. А это в свою очередь приводит
к образованию широкой энергетической s-полосы с небольшими значе-
значениями функции плотности состояний в ней gs (Щ. Наоборот, диаметр d-
орбит заметно меньше. Следовательно, слабее перекрытие d-функций.
Поэтому, если все же коллективизация d-электронов в кристалле замет-
заметная, то соответствующие^ энергетические d-полосы гораздо уже s-полос,
- 217 —

а значения функции плотности состояний в них ga A$), наоборот, значи-
значительно больше gs (Ш), что объясняется как самой узостью полосы, так
и большим числом d-состояний на атом (всего 10 состояний) *). Схемати-
Схематически такая картина перекрывающихся энергетических s- и d-полос
в переходных d-металлах иллюстрируется графиками на рис. 11.21
и 11.22. На рис. 11.21 приведен график функции плотности состояний
в s- и d-полосах для непереходного металла, например меди, серебра или
золота, с заполненной d-полосой, лежащей ниже уровня Ферми. В переход-
переходных d-металлах уровень Ферми расположен ниже верхней границы d-
полосы, которая только частично заполнена (см. рис. 11.22). Кривая
d-полоса
а-полоса
vs \ s-полоса
Рис. 11.21. Функция плотности состояний
g (ё) в нормальном металле типа Си с
заполненной Зс(-полосой по двухзонной мо-
дели Мотта [203].
Рис. 11.22. Функция плотности состоя-
ний g (ё) в переходном d-металле по
двухзонной модели Мотта [203].
функции плотности состояний в с?-полосе gd (Ш), изображенная на
рис. 11.22 и 11.21, имеет вид «двугорбой» кривой. Это связано с тем, что
кристаллы ^-металлов имеют решетки кубической симметрии. Как мы
видели в гл. 10, вырожденный d-уровень атома (иона) в кубическом поле
лигандов расщепляется на два уровня t2g и eg, трехкратно и двукратно
вырожденные. Дальнейшее их расщепление, благодаря межионному
взаимодействию, и приводит к указанной «двугорбости», изображенной
на рис. 11.22 и 11.21. Таким образом, при сравнении коллективизирован-
коллективизированной электронной системы переходных d-металлов с такой же системой
непереходных металлов следует ожидать, что в металлах будут более рез-
резкими те эффекты, которые определяются величиной функции плотности
электронных энергетических состояний у поверхности Ферми. Это фак-
фактически и наблюдается прежде всего для электронной теплоемкости (см.
[198, 204]). Из общей теории ферми-системы следует, что при сильном
вырождении теплоемкость системы в широком интервале температур
является линейной функцией температуры, т. е.
С9Я = уТ, A1.160)
где коэффициент у целиком определяется функцией плотности состояний
у поверхности Ферми, а именно:
^?o). A1-161)
Опыт показывает, что у переходных d-металлов коэффициент у заметно
больше, чем у нормальных металлов. Это обычно и рассматривают как
наиболее непосредственное и убедительное доказательство участия d-
электронов переходных d-металлов в системе коллективизированных элек-
электронов проводимости. На рис. 11.23 приведены экспериментальные зна-
значения температурного коэффициента у для 3d-, Ы- и 5^-металлов, а на
рис. 11.24 — значения функции g (?0) для них же, рассчитанные по фор-
формуле A1.161) и отложенные в зависимости от полного числа d- и s-электро-
нов [nd + (п + 1) s], приходящихся на один атом данного d-металла.
*) Фактически в реальном кристалле й-металла картина электронных состояний
€олее сложная из-за гибридизации d- и «-состояний (см. гл. 20).
— 218 -

2 3 4 5 6 7 8 9 W If
Полное тело электронов \nd*(n*t)s\
Рис. 11.23. Зависимость температурного коэффициен-
коэффициента 7 электронной теплоемкости (Сэл= уТ) 3d-, 4dn
5с*-переходных металлов от полного числа электро-
электронов nd- и (та + 1) s-слоев (та = 3, 4, 5).
Из вида зависимости g (?0) следует, во-первых, что существует определен-
определенная корреляция в величинах плотностей для элементов 3d-, Ad- и би-
биметаллов, расположенных в
одной и той же вертикальной
группе таблицы Менделеева, и,
во-вторых, эта зависимость но-
носит не монотонный характер,
а имеет максимумы и миниму-
минимумы. Все это, как уже отмеча-
отмечалось, находится в закономер-
закономерной связи со сменой знаков
производной d%™/dT и величи-
величиной самой восприимчивости %"л-
Весьма большой интерес пред-
представляют также исследования
электронной теплоемкости в
•системе сплавов d-металлов
(Ti - V, V - Сг, Cr - Fe,
Fe — Со, V — Fe, Cr — Мп и
т. п.), которые могут внести
большие уточнения в рассмат-
рассматриваемый вопрос о величине
плотности электронных со-
состояний d-металлов *); см.
[210-217].
Если считать, что в d-ме-
таллах внешние электроны образуют смесь двух ферми-жидкостей, а
именно фермиевских квазичастиц d- и s-электронов, то из общей кар-
картины их энергетического спект-
ра можно предполагать, что
эффективная масса d-электро-
нов гораздо больше эффектив-
эффективной массы s-электронов: т%^>
> т*. Это видно, например, из
рис. 11.22 при сравнении ши-
ширины d- и s-полосы. Тогда из
выражения A1.56) сразу сле-
следует, что в переходных метал-
металлах диамагнетизм играет очень
слабую роль. Поэтому переход-
переходные d-металлы должны быть
сильными паулиевскими пара-
парамагнетиками. Данные, приве-
приведенные в табл. 11.1 и 11.3, под-
подтверждают этот вывод. Отметим
специальный случай палла-
палладия. В свободных атомах
палладия внешние электроны
имеют конфигурацию Ad10, и
поэтому они магнитно нейт-
нейтральны (основное состояние атома ^о)- Однако из табл. 11.1 видно,
что парамагнитная восприимчивость металлического палладия очень ве-
велика. Это прямое следствие перекрытия энергетических полос Ad- и 5s-
« 5 6 7 в
Полное число электронов
9 10
\nd+(n+l)s\
11
Рис. 11.24- Значения функции плотности состояний у
поверхности Ферми g (?o)> вычисленные через изме-
измеренные температурные коэффициенты электронной
теплоемкости у (см. рис. 11.23) по формуле A1.161),
как функции полного числа электронов nd- и (та +1)
«-слоев (та = 3, 4, 5) переходных ci-металлов. Эта за-
зависимость для всех металлов 3d-, 4d- и 5d-rpynn
представлена заштрихованной двугорбой полосой.
*) Не менее важную информацию о g (й) может дать изучение распределения
интенсивностей в рентгеновских спектрах излучения и поглощения, связанных с пере-
переходами электронов в d-полосу или из d-полосы. Этот вопрос будет подробнее обсуждать-
обсуждаться ниже в гл. 20, см. также обзор Вонсовского и Изюмова [207], а также [208, 209].
- 219

электронов в кристалле палладия. Согласно Вольфарту [218], в среднем
около 0,6 электрона на атом переходят в 5s-nonocy и оставляют столько
же вакантных мест в 4й-полосе. Эти вакантные места — «дырки» — и вно-
вносят основной вклад в паулиевскую парамагнитную восприимчивость
металлического палладия.
Выясним теперь, как скажется особый характер плотности состояний
в d-металлах на температурной зависимости парамагнитной восприимчи-
восприимчивости. Если пренебречь более слабым диамагнетизмом Ландау и считать,
что диамагнетизм ионных остовов в кристаллической решетке также как-то
учтен, то приближенное [с точностью до членов порядка (/с77?0J] выра-
выражение для паулиевской парамагнитной восприимчивости дается форму-
формулой A1.20), которую мы еще раз приведем здесь:
W) (И.162)
Выражение A1.162) практически совпадает с A1.20), с заменой е на %,
(д,Б на цЭфф, a g"(?o) и g'(Co) означают производные d%g(%)ld%% и
dg<$)ld%, взятые при % = ?0, т. е. на поверхности Ферми. Таким обра-
образом, из A1.162) видно, что температурная зависимость %™ (Т) определяется
первой и второй производными функции g (Щ на поверхности Ферми.
При этом знак температурной производной зависит от соотношения вели-
величин и знаков слагаемых, стоящих в фигурных скобках в правой части
A1.162). Вблизи минимума кривой g (Щ), где g'(g) = 0, a g"(g) > 0,
знак dy^ldT всегда положителен. Поэтому, если граница Ферми проходит
вблизи минимума кривой g (Щ), то там d%™/dT > 0 и одновременно долж-
должна наблюдаться пониженная величина электронной теплоемкости. Это
и наблюдается в действительности, например, для Cr, Mo, W — трех
d-металлов, расположенных в одной вертикальной группе таблицы Менде-
Менделеева. В случае же, когда знак d%™/dT отрицателен, можно предположить,
что уровень Ферми проходит во всяком случае вдали от минимума функ-
функции g (g). Это, по-видимому, имеет место для V, Nb, Та — других трех
d-металлов, находящихся опять в одной вертикальной группе таблицы
Менделеева, что также согласуется с наблюдаемыми повышенными зна-
значениями электронной теплоемкости (см. Вонсовский и Изюмов [207]
и табл. 11.3).
Корреляцию между %™ и g (Co) можно также усмотреть при изуче-
изучении зависимости %™ от концентрации в системах сплавов переходных
парамагнитных металлов с непереходными диамагнитными металлами.
Так, например, в сплавах типа замещения переходного металла палладия
с непереходным металлом серебром наблюдается монотонный спад %™
с ростом концентрации серебра [219]. Примерно при 50% Ag величина
Хэл ->-0, и при дальнейшем росте содержания Ag в сплаве восприимчи-
восприимчивость быстро достигает постоянного отрицательного значения, равного
диамагнитной восприимчивости чистого серебра. Из этих данных можно
заключить, что в палладии имеется в среднем по 0,5 «дырок» в Зй-полосе,
которые и заполняются в сплаве при 50% Ag.
3. Учет обменного взаимодействия. Мы уже отмечали выше в связи
с формулой A1.90) для паулиевской парамагнитной восприимчивости, что
в нее входит не магнетон Бора ц,Б, как это обычно предполагалось в мо-
модели свободных электронов и зонной теории, а некоторое эффективное
значение (лЭфф "Ф l-iBi которое в какой-то мере учитывает неидеальность
газа фермионов в металле. Если в обычную формулу зонной теории для
^™ = |д,^? (?0) подставить значение g (t,0), определенное по теплоемко-
теплоемкости с помощью формулы A1.161), то для х"л получаются значения большие,
чем это следовало бы по элементарной теории. Можно качественно легко
- 220 -

показать *), что уже примитивный учет, например, обменного взаимо-
взаимодействия в системе электронов проводимости может объяснить это «рас-
«расхождение» обычной зонной теории и эксперимента, которое можно в сред-
среднем описать в виде неравенства |д,Эфф > ц.б- Действительно, следуя работе
Френкеля [7], где он впервые дал принципиальйЬе объяснение ферромаг-
ферромагнетизма металлов, можно получить указанное неравенство (см., напри-
например, Фридель и др. [221] и гл. 20). Обменное взаимодействие, подобно
внешнему магнитному полю, стремится произвести «сдвиг» по энергии
на величину S.% подполос энергии для «правых» и «левых» спинов (см.
рис. 11.2). В результате такого сдвига v электронов на атом перейдут из
левой подполосы в правую подполосу. Это приведет к росту кинетической
энергии на атом vAg (если считать, что число v <^ 1 и [S.% <С Со)- Обменная
энергия газа фермионов определяется взаимодействием их пар, поэтому
она пропорциональна квадрату числа d-электронов в каждой подполосе
(т. е. между электронами с параллельными спинами). Обозначим через
п+ и п _ числа электронов в правой и левой подполосах. В парамагнитном
¦состоянии (когда смещение полос отсутствует) п+ = п _ = /г/2. Тогда
изменение энергии системы на атом при переходе из парамагнитного
¦состояния в ферромагнитное равно
l [2 (iJ-(f +
(^|^)=v-Ag(l-|), A1.163)
где §об — средняя обменная энергия, приходящаяся на пару электронов.
Легко видеть, что плотность электронных состояний у поверхности Ферми
приближенно связана с v и ЬЖ формулой
*(C0)«-g-. A1.164)
Следовательно, безразмерный параметр | равен
5 = -§г8об»*(?о)8об. A1.165)
из A1.163) следует, что (а) если \ > 1, то равновесным является намаг-
намагниченное, т. е. ферромагнитное, состояние, и (б) если | < 1, то равновесно
ларамагнитное состояние. Здесь нас не интересует вопрос о критерии
¦ферромагнетизма в металле, о котором речь будет идти ниже (см. гл. 20);
мы тут покажем лишь, что обменное взаимодействие увеличивает парамаг-
парамагнитную восприимчивость электронного газа по сравнению с предсказа-
предсказанием теории, не учитывающей этого взаимодействия. Действительно, из
A1.163) видно, что обменная энергия газа равна — 2n2v2%o6, T- е- она
пропорциональна его намагниченности М = 2nv\iE; поэтому можно ввести
эффективное (молекулярное) поле
Я_ L 2 Bj ., <go5
дМ ц2, |Хб
Далее, по общему определению имеем %™ = М/Н (Я —внешнее магнитное
тюле), а восприимчивость по зонной модели равна
(Х™)аон = Ц|*(Со) A1.166)
и, с другой стороны, по теории молекулярного поля
- A1Л67)
*) Вывод, приведенный выше в § 5, п. 66 повторяется здесь в форме, более удоб-
удобной лри рассмотрении переходных d-металлов.
- 221 -

Из сравнения A1.166) и A1.167) находим, что Н -\-Нт — пу/\\,вё{^о)- Кроме
того, легко видеть, что (%™)зон(Н -\- Нт) = %™Н~ Подставляя в это соот-
соотношение приведенные выше выражения для Н-\~Нт и Нт, находим
отсюда уже легко получить, что
(Х™ )зон 2[i|g (So)
("ЛЬ»)
Если формуле A1Л68) придать вид A1.95),гто для эффективного магнит-
магнитного момента при учете обменного взаимодействия получим *)
-ттЧтг,- (И-169)
Экспериментально для поправочного множителя A — I) находят
значение между двумя и тремя (см. [198, 204]); отсюда по A1.168) и A1.165)
находим, что §Об ~ 0>3 -j- 1,0 эв, а это вполне разумные величины. При-
Приведенный расчет следует, конечно, рассматривать как чисто качествен-
качественный **).
4. Ванфлековский парамагнетизм и влияние спин-орбитальной связи»
К рассмотрению магнитных свойств переходных металлов мы еще вер-
вернемся в гл. 20 и 21, где будут рассмотрены случаи атомного магнитного
порядка. Здесь же мы остановимся лишь на учете ванфлековского «высо-
«высокочастотного» орбитального парамагнетизма (см. гл. 9) в металлах, в том
числе особенно в переходных металлах. Даже в случае, если орбитальные
моменты «заморожены», вклад ванфлековского парамагнетизма оказы-
оказывается сравнимым с паулиевским парамагнетизмом. Это приводит также
к тому, что гиромагнитное отношение в этих металлах меньше двух
(g' < 2). Физическая причина такой роли высокочастотного члена за-
заключается в том, что в парамагнитных солях, где электроны локализо-
локализованы, вклад от этого члена порядка цб/А, где А — среднее расстояние
(по энергии) между орбитальными уровнями [231]. Эта величина мала
по сравнению со спиновым вкладом, который при комнатных температурах
порядка [1в/кТ (поскольку кТ <^ А). Однако в случае металлов спиновый
парамагнетизм порядка цб/Coi т- е- в kTlZ,0 раз меньше, чем в солях. Этот
вопрос также рассматривается в работах Оргеля [232], Денбига и Ломера
[233]. В расчете последних авторов предполагается, что ванфлековский:
вклад в %™ возникает из-за понижения энергии занятых электронных
уровней благодаря возмущающей энергии — (д,Б A-Н), где I — оператор
орбитального момента. Ориентируя поле И вдоль оси z, этот оператор воз-
возмущения можно записать в виде V = — \\,ъН1г. Тогда изменение энергии
г-го состояния благодаря его связи (из-за возмущения) с /-м состоянием
будет
Здесь символ 6S.S. означает, что взаимодействуют только электроны
с параллельными спинами. Энергия всей системы равна нулю, если
состояния i и / оба заняты или пустые. Поэтому изменение полной энергии
*) Формулы A1.168) и A1.169) находятся в прямой связи с формулами
A1.116)—A1.118).
**) В работе Оверхаузера [222] предложена совершенно новая концепция, чта
основному состоянию электронного газа соответствует не парамагнитное состояние,
а состояние, которое он назвал стоячими волнами спиновой плотности. Этот вопрос,
будет подробнее рассмотрен в гл. 22. См. также п. 66 § 5 и работы [223—230].
- 222 —

равно сумме по всем занятым г-м состояниям и пустым /-м состояниям.
В металле при 0° К каждое орбитальное состояние в полосе либо дважды
занято, либо пустое. При этом не учитывается изменение гиромагнитного
отношения из-за спин-орбитального взаимодействия. Таким образом,,
оператор lz может связывать только состояния с одним и тем же приЕе-
денным волновым вектором к. Окончательно для изменения энергии метал-
металла получаем из A1.170)
^^?^\{к, i\iz\k, i)fdk, A1.171)
г, }
где состояние определяется волновым вектором к и номером зоны г, /.
Атомная восприимчивость равна
Хд = 4ВД S «I A - aj) {Si - %ifx \{k,i\lz\k,i)\\ A1.172)
где N — число Авогадро, а число а, = 1, если состояние i занято, и аг =
= 0, если оно свободно, а черта означает усреднение по ^-пространству.
Оценивая матричные элементы в A1.172), Денбиг и Ломер [233] с помо-
помощью приближенных функций Ванье для %А получили значение порядка
100 -10 СГСМ -моль'1. Экспериментальные результаты, полученные
в работе [234] для ванадия, показали, что вклад ванфлековского пара-
парамагнетизма оказался порядка 200-Ю СГСМ -моль'1. Ленгларт [235]
подробно -исследовал влияние спин-орбитальной связи на магнитную
восприимчивость переходных металлов и на стабильность парамагнитного
состояния (в рамках зонной теории в приближении сильной связи). Он
показал, что спин-орбитальное взаимодействие заметно снижает поправки
от обменной связи (см. п. 66 § 5) и поэтому делает парамагнитное состояние
более устойчивым.
5. Эффект де Гааза — ван Альфена. Эффект де Гааза — ван Альфена
в переходных металлах был исследован на рении [236—238], ниобии [236],
тантале [236], цирконии [239], хроме [240, 241], палладии [242—244],
никеле [245, 246], рутении [247], тории [248] и платине [249]. В этих
работах была установлена зависимость осцилляции от величины магнит-
магнитного поля при различных направлениях последнего в исследуемых кри-
кристаллах. По результатам опытов строились поверхности Ферми и сравнива-
сравнивались с расчетами этих поверхностей, проведенными в работах Голда [250]
и Харрисона [251] в модели почти свободных электронов. Результаты этих
сравнений показали заметное расхождение между теорией и эксперимен-
экспериментом, что указывает на необходимость более точного теоретического анализа
результатов наблюдений. Наблюдался [240] эффект де Гааза — ван Аль-
Альфена в полях 18 кэ в переходных металлах группы хрома (Cr, Mo, W).
Наряду с этими опытами для W и Мо экспериментально исследовались
изменение электросопротивления в магнитном поле и аномальный скин-
эффект [253], с помощью которых также делалась попытка восстановить
поверхность Ферми этих металлов. Ломер [254] предложил теоретическую
модель для поверхности Ферми этой группы переходных d-металлов.
Однако опытные данные работы [240] только в случае Мо согласуются
с моделью Ломера. К проблеме формы поверхности Ферми в переходных
металлах и связи этой формы с их магнитными свойствами мы еще вернем-
вернемся в гл. 20; см. также работы [255—261, 286J.
6. О магнитных свойствах металлических сплавов. Мы совершенно
не касались магнитных свойств слабомагнитных металлических сплавов.
К сожалению, в этой области мы до сих пор еще не имеем сколько-нибудь
систематических опытных данных (см. [262]). Теория этого вопроса также
практически отсутствует. Лучше разработан вопрос о магнитных свойст-
свойствах ферромагнитных сплавов, его мы подробно рассмотрим позже, в гл. 21.
Рассматривая сплавы как твердые растворы замещения одного металла
— 223 —

другим или несколькими, обычно предполагали, что каждый вносимый
в раствор атом металла отдает свои валентные электроны в общий «котел».
Иногда такое объяснение хорошо подтверждалось опытом. Однако более
тщательные измерения последних лет показали, что такая наивная точка
зрения, по-видимому, слишком груба. Есть основания считать, что элек-
электроны растворенных атомов могут образовать в решетке сплава локали-
локализованные состояния, энергия которых может быть как выше, так и ниже
уровня Ферми (см. [263, 221, 265]). Эти системы сейчас являются предме-
предметом тщательных исследований в связи с изучением магнитных свойств
сильно разбавленных растворов атомов переходных элементов в диа-
и парамагнитной матрице. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 21.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 11
1. М. Owen, Ann. d. Phys. 37, 657 A912).
2. K.Honda, Ann. d. Phys. 32, 1027 A910).
3. L. Pauling, Proc. Roy. Soc. A114, 181 A927).
4. P. И. Я н у с, В. И. Д р о ж ж и н a, Phys. Zs. UdSSR 9, 72 A935).
5. Я. Г. Д о р ф м а н, Новые идеи в физике, изд-во «Образование», сб. № 11, Л.
A924).
6. W. P a u I i, Zs. Phys. 41, 81 A927).
7. Я. И. Ф р е н к е л ь, Zs. Phys. 49, 31 A928).
8. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 23, 286 A924).
9. Л. Д. Л а н д а у, Zs. Phys. 64, 629 A930).
10. P. L a n g e v i n, J. de phys. 4, 678 A905); Ann. chim. et phys. 5, 70 A905).
11. J. McDougall, E. С Stone г, Phil. Trans. Roy. Soc. A237, 67 A938).
12. P. Rhodes, Proc. Roy. Soc. A204, 396 A950).
13. E. H. Sondheimer, Proc. Roy. Soc. A203, 75 A950).
14. R. T. Schumacher, T. R. Carver, С P. S 1 i с h t e r, Phys. Rev. 95,
1089 A954).
15. R. T. Schumacher, С P. S 1 i с h t e r, Phys. Rev. 101, 58 A956).
16. R. T. S с h u m а с h e r, W. E. V e h s e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l,
460 A962); J. Phys. Chem. Solids 24, 297 A963).
17. N. Bohr, Dissertation, Copenhagen, 1911.
18. W. J. de Haas, P. M. van A 1 p h e n, Proc. Ac. Sci. Amsterdam 34, 1249 A931).
19. R. Peierls, Zs. Phys. 80, 763; 87, 186 A933).
20. A.H.Wilson, Proc. Camb. Phil. Soc. 49, 292 A953).
21. Б. И. В е р к и н, И. М. Д м и т р е н к о, Изв. АН СССР, сер. фпз. 19, 409 A955).
22. М. В 1 а с k m a n, Proc. Roy. Soc. A166, 1 A938).
23. А. И. А х и е з е р, ДАН СССР 23, 872 A939).
24. Ю. Б. Р у м е р, ЖЭТФ 18, 1081 A948).
25. Ю. Б. Р у м е р, ЖЭТФ 20, 573 A950).
26. Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 21, 1209 A951); 23, 49 A952); 25, 713 A953).
27. Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 30, 1092 A956).
28. D. Sh о en berg, Proc. Roy. Soc. 170, 341 A939).
29. И. М. Л и ф ш и ц, А. М. К о с е в и ч, ДАН СССР 96, 963 A954).
30. И. М. Л и ф ш и ц, А. М. К о с ев и ч, ЖЭТФ 29, 730 A955).
31. Б. И. В е р к и н, Б. Г. Л а з а р ев, Н. С. Р у д е н к о, ЖЭТФ 20, 93, 995 A950);
21, 658 A951); ДАН СССР 80, 45 A951); сб. «Памяти С. И. Вавилова», Изд-во
АН СССР, М., 1952.
32. Б. И. В е р к и и, ДАН СССР 81, 525 A951).
33. Б. И. В е р к и н, Докторская диссертация, Харьков, 1956.
34. Б. И. В е р к и н, И. Михайлов, ЖЭТФ 24, 342; 25, 471 A953).
35. Б. И. В е р к и н, ЖЭТФ 32, 156 A957).
36. А. А. Абрикосов, Л. А. Ф а л ь к о в с к и й, ЖЭТФ 43, 1089 A962).
37. I. В. S a m p s о n, F. S e i t z, Phys. Rev. 58, 633 A940).
38. D. В о h m, W. К 1 e m m, Zs. anorg. allg. Chem. 243, 69 A939).
39. J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 84, 814 A951).
40. E. N. A d a m s, Phys. Rev. 85, 41 A952).
41. W. К о h n, Phys. Rev. 115, 1460 A959).
42. L. M. R oth, J. Phys. Chem. Solids 23, 433 A962); Phys. Rev. 145, 434 A966).
43. И. М. Л и ф ш ii ц, Доклад на сессии физ.-матем. отд. АН УССР, 1951.
44. И. М. Л и ф ш и ц, А. М. К о с е в и ч, ДАН СССР 91, 795 A953).
45. И. М. Л и ф ш и ц, М. И. Каганов, УФН 69, 419 A959).
46. И. М. Л и ф ш и ц, М. И. К а г а н о в, УФН 78, 411 A962).
47. L. Onsager, Phil. Mag. 43, 1006 A952).
48. А. В. Р i p p a r d, Reports on Progress in Physics, vol. 23, London, 1960, p. 176.
49. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 30, 1058 A956).
50. В. П. С и л и н, ЖЭТФ 33, 495 A956).
- 224 —

51. A. M. De G r a a f, R. L u z z i, Phys. Lett. 16, 256 A965).
52. Дж. 3 а й м а н (I. M. Z i m a n) УФН 78, 291, 679 A962); 79, 319; 80, 505 A963).
53. F.Bloch, Zs. Phys. 52,. 555 A928).
54. G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 98, 368 A955).
55. E.. N. Adam s, Phys. Rev. 89, 633 A953).
56. M. В. Ницович, ФММ 7, 641 A959).
57. Г. Е. 3 и л ь б е р м а н, ЖЭ.ТФ 32, 296 A957).
58. Г. Е. 3 и л ь б е р м а н, ЖЭТФ 33, 387 A957).
59. Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 34, 243 A958); ФММ 7, 504 A959).
60. Г. Е. 3 и л ь б е р.м а н, Ф. И. И ц к о в и ч, ЖЭТФ 32, 158 A957).
61. М. Я.Азбель, ЖЭТФ 44, 980 A963); 46, 929 A964).
62. J. Z a k, Phys. Rev. 136, А776 A964).
63. L. С. D a v i s, S. H. L i u, Phys. Rev. 158, 689 A967).
64. E. F i с к, H. J. M i к e s к a, Zs. Naturforsch. 16a, 435 A961).
65. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 57, 545 A929).
66. E.Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 A934).
67. E.Wigner, Trans. Farad. Soc. 34, 678 A938).
68. D. В о h m, D. P i n e.s, Phys. Rev. 92, 609 (.1953).
¦69. I.Hubbard, Proc. Roy. Soc. A243, 336; A244, 199 A958).
70. M. Я. А м у с ь я, Phys. Lett. 16, 254 A965).
71. R.Hecht, Phys. Rev. 132, 966 A963).
72. J. E. E n d e r b y, J. M. T i t m a n, G. D. W i g n a 1 1, Phil. Mag. 10, 633 A964)
73. E. W. Co 11 ings, J. Phys. Chem. Solids 26, 949 A965); Phil. Mag. 11, 617
A965).
74. R.Abe, Prog. Theor. Pbys. 29, 23 A963).
75. M. G 1 a s s e r, Prog. Theor. Phys. 31, 718 A964).
76. А. В e 1 1 e m a n s, M. de L e e n e r, Phys. Rev. Lett. 6, 603 A961).
77. M. С. С в и р с к и й, ФММ 15, 635 A963).
78. Е. P. W о h I f a r t h, Phys. Lett. 22, 280 A966).
79. И. М. Л и ф пг и ц, ЖЭТФ 38, 1569 A960).
S0. С. М. Hurd, J. Phys. Chem. Solids 27, 1371 A966).
•81. Л. А. Ф а л ь к о в с к и й, ЖЭТФ 44, 1935 A963).
82. Ю. А. Бычков, Л. П. Горькое, ЖЭТФ 41, 1592 A962).
83. М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 39, 875 A960).
84. D.Shoenb er g, Proc. Phys. Soc. 79, 1. A962).
85. M. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 45, 2022 A963).
86. А. В. Р i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A272, 192 A963).
87. А. Г. С а м о й л о в и ч, Е. Я. Рабинович, ФТТ 5, 778 A963).
88. R. D. Plummer, W. L. Gordon, Phys. Rev. Lett. 13, 432 A964).
89. E. A. S z i k 1 a s, Phys. Rev. 138, A1070 A965).
90. M. L. G 1 a s s e r, Phys. Lett. 15, 17 A965); Phys. Rev. Lett. 16, 1159 A966).
91. J. W. W i 1 k i n s, J. W.F.Wo o, Phys. Lett. 17, 89 A965).
92. M. F о w 1 e r, R. E. P r a n g e, Physics 1, 315 A965).
«3. W. К о h n, L. J. S h a m, Phys. Rev. 137, A1697 A965).
94. L. M. F a 1 i с о v, H. S t а с h w i a k, Phys. Rev. 147, 505 A966).
95. F.M.Mueller, Phys. Rev. 148, 636 A966).
96. J. H. С о n d о n, Phys. Rev. 145, 526 A966).
97. И. М. Л и ф ш и ц, А. В. П о г о р е л о в, ДАН СССР 96, 1143 A954).
«8. D. Shoenberg, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 787 A957); Phil. Mag. 5 105
A960); Phil. Trans. Roy. Soc. 255, 85 A962); Proc. Phys. Soc. 79, 1 A962).
99. A. S. J os eph, A. C. T h о r s e n, Phys. Rev. 134, A979 A964); 138, A1159
A965); Phys. Rev. Lett. 13, 9 A964).
100. A. S. J о s e p h, A. C. T h о r s e n, F. А. В 1 u m, Phys. Rev. 140, A2046 A965).
101. A. S. J о s e p h, A. C. T h о r s e n, E. G e r t n e r, L. E. V a 1 b y, Phys. Rev.
148, 569 A966).
102. J.-P. Jan, I. M. Templet on, Phys. Rev. 161, 556 A967).
103. K. Okumura, I. M. Templeton, Phil. Mag. 7. 1239 A962).
104. D. Shoenberg, P. J. Stiles, Proc. Roy. Soc. A281, 62 A964).
105. L. M. F a 1 i с о v, Phil. Trans. Roy. Soc. 255, № 1051, 55 A962).
106. J. H. Condon, J. A. Marcus, Phys. Rev. 134, A446 A964).
107. B. R. Walts, Proc. Roy. Soc. A282, 521 A964).
108. T. L. L о и с k s, Phys. Rev. 134, A1618 A964).
109. J.H.Terrell, Phys. Lett. 8, 149 A964).
110. R. W. S t a r k, Phys. Rev. .162, 589 A967).
111. F. T. H e d g с о с k, W. В. М u i r, Phys. Rev. 129, 2045 A963).
112. J. R. В о s n e 1 1, A. N у е г s, Phys. Lett. 12, 297 A964).
113. A. D. С G r a s s i e, Phil. Mag. 9, 847 A964).
114. R. J. H i g g i n s, J. A. Marcus, D. H. W h i t m о г e, Phys. Rev. 137
A1172 A965).
115. G. В. В r a n d t, J. A. R а у n e, Phys. Lett. 15, 18 A965); Phys. Rev. 148, 644
A966).
116. W. J. O'Sullivan, J. E. S с hirb or g, Phys. Rev. 151, 484 A966).
15 с. В. Вонсовский — 225 —

117. D. С. Т s u i, R. W. S t а г к, Phys. Rev. Lett. 16, 19 A966).
. 118. M. G. Priestley, Phil. Mag. 7, 1205 A962); Phys. Rev. 148, 580 A966).
119. A.A. Галкин, В.П. Набережных, В.А.Мельнин, ЖЭТФ 44, 127
. A963).
120. G. B.Brandt, J. A. Rayne, Phys. Rev. 132, 1512 A963); Phys. Lett. 12, 87
A964).
121. N.W.Ashcroft, Phil. Mag. 8, 2055 A963).
122. A. G о 1 d s t e i n, S. F о n e r, Phys. Rev. 146, 442 A966).
123. С. О. L а г s о n, W. L. Gordon, Phys. Rev. 156, 703 A967).
124. I.W.McClure, IBM J. Res. developm. 8, 255 A964).
125. M. S. Dresselhaus, J. G. Mavroides, IBM J. Res. developm. 8, 262'
A964).
126. S. J. Williamson, S. F о n e r, M. S. Dresselhaus, Phys. Rev. 140,
A1429 A965).
127. H. Б. Б р а н д т, Ю. П. Г а й д у к о в, Е. С. И ц к е в и ч, Н. Я. М и и и н а,
ЖЭТФ 47, 455 A964).
128. Н. Б. Брандт, Н.Я.Минина, ЧжуЧжень-ш и, ЖЭТФ 51,108 A966).
129. L. R. W i n d m i t 1 e r, Phys. Rev. 149, 472 A966).
130. M. G. Priestley, L. R. Windmitler, J. B. Ketterson, I. Eck-
Eckstein, Phys. Rev. 154, 671 A967).
131. J. V a n d e г k о о у, W. R. D a t а г s, Phys. Rev. 156, 671 A967).
132. P. E. К i n g Smith, Phil. Mag. 12, 1123 A965).
133. Д. Г. Долгополо в, ФММ 22, 326 A966).
134. R. J. Higgins, J. A. Marcus, Phys. Rev. 141, 553 A966).
135. A. D. В г a i 1 s f о г d, Phys. Rev. 149, 456 A966).
136. Б. И. В е р к и н, И. В. С в е ч к а р е в, ЖЭТФ 47, 404 A964).
137. J.-P. Jan, W. В. Pearson, M. Springford, Canad. J. Phys. 42, 235Г
A964).
138. Y. S a i t o, Sci. Rep. T 6 h о k u Univ. 16, 42 A964).
139. J.-P. J a n, W. B. P e a r s о n, Y. S a i t o, M. S p r i n g f о r d, I. M. T e m p-
1 e t о n, Phil. Mag. 12, 1271 A965).
140. O. Y. Shapiro, S. J. W i 1 1 i a m s о n, S. Fischler, Phys. Rev. 144, 715.
A966).
141. R. N. В h а г g a v a, Phys. Rev. 156, 785 A967).
142. J.-P. J a n, W. В. Р е а г s о n, Y. S a i t o, Proc. Roy. Soc. A297, 275 A967).
143. A. M. К о с е в и ч, И. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 29, 743 A955).
144. М. Н. Cohen, L. M. F а 1 i с о v, Phys. Rev. Lett. 7, 231 A961).
145. W. A. Harrison, Phys. Rev. 126, 497 A962).
146. E. I. В 1 о u n t, Phys. Rev. 126, 1636 A962).
147. A. B. P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A270, 1 A962); A282, 464 A964); Phil. Trans-
Roy. Soc. A256, 317 A964).
148. A. B. P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A287, 165 A965).
149. J. R. R e i t z, J. Phys. Chem. Solids 25, 53 A964).
150. U. N. U p a d h у а у a, Bull. Am. Phys. Soc. 9, 635 A964).
151. L. M. F a 1 i с о v, P. R. S i e v e r t, Phys. Rev. 138, A88 A965); Phys. Rev. Lett.
12, 558 A964).
152. R. G. С h a m b e r s, Proc. Phys. Soc. 84, 181 A964); Phys. Rev. 140, A135 A965)..
153. R. G. Chambers, Phys. Rev. 149, 493 A966).
154. R. G. Chambers, Proc. Phys. Soc. 88, 701 A966).
155. L. M. F a 1 i с о v, H. S t а с h о w i a k, Phys. Rev. 147, A 505 A966).
156. H. J. F i s с h b e с k, Phys. stat. sol. 17, 197 A966).
157. J. Ruvalds, J.W. McClure, J. Phys. Chem. Solids 28, 509 A967).
158. R. W. S t a r k, T. G. E с k, W. L. G о r d о n, F. M о a z e d, Phys. Rev. Lett..
8, 360 A962).
159. M. G. Priestley, Thesis, Univ. of Cambridg, England A961) (не опублико-
опубликовано).
160. С. Z e n e r, Proc. Roy. Soc. A145, 521 A934).
161. M. G. P r i e s t 1 e y, L. M. F a 1 i с о v, G. W e i s z, Phys. Rev. 131, 617 A963)..
162. R. J. Higgins, J. A. Marcus, Phys. Rev. 161, 589 A967).
163. A. J. A r k o, J. A. M a r с u s, W. A. R e e d, Phys. Lett. 23, 617 A966).
164. A. S. J о s e p h, A. C. T h о г s e n, Phys. Rev. Lett. 11, 67 A963).
165. H. E. Алексеевский, В. С. Егоров, ЖЭТФ 46, 1205 A964).
166. R. W. S t a r k, Phys. Rev. 135, А1698 A964).
167. R. С. Y о u n g, Phys. Rev. Lett. 15, 202 A965).
168. R. G. С h a m b e r s, Phys. Rev. 165, 799 A968).
169. P. R. Sievert, Phys. Rev. 161, 637 A967).
170. T. W. M о о г e, Phys. Rev. Lett. 18, 310 A967).
171. D. A. H а у s, W. L. M с L e a n, Phys. Rev. 168, ,755 A968).
172. N. H. M a r x, B. D о n о v a n, Proc. Phys. Soc. A67, 464 A954).
173. J. G. F 1 e t с h e r, D. С L a r s о n, Phys. Rev. Ill, 455 A958).
174. D. Pines, Phys. Rev. 95, 1090 A954).
175. M. J. S t e p h e n, Proc. Roy. Soc. A265, 215 A962).
- 226 —

176. А. И. Ахиез ер, С. В. Пелетминский, ЖЭТФ 39, 1308 A960).
177. К. A. Brueckner, К. Sawada, Phys. Rev. 112, 328 A958).
178. P. A. W о If f, Phys. Rev. 120, 814 A960).
179. W. H. Young, Phys. Rev. 129, 2019 A963).
180. В. Л. Бонч-Бруевич, М. Е. Герценштейн, ЖЭТФ 34, 261 A958),
181. А. С. A n d e r s о n, W. R e e s e, J. С. W h e a t 1 о у, Phys. Rev. 127, 671 A962).
182. S. Visvanathan, Phys. Fluids 5, 701 A962).
183. W. Trzebiatowski, Magnetismus, Struktur and Eigenshaften magnetischen
Festkorpers, VEB Deutsch. Verlag fur Grundstoffindustrie, Leipzig, p. 88, 1967.
184. С J. К r i e s s m a n, H. В. С а 11 e n, Phys. Rev. 94, 837 A954).
185. H. К о j i m e, R. S. T e b Ы e, D. E. G. W i 1 1 i a m s, Proc. Roy. Soc. A260,
237 A961).
186. H. В. Волкенштейн, Э. В. Галошина, ФММ 18, 784 A964), 20, 368
A965).
187. H.Montgomery, G. P. P e 1 1 s, Proc. Phys. Soc. 78, 622 A961).
188. B. G. С h i 1 d s, W. E. Gardner, J. P e n f о 1 d, Phil. Mag. 4, 1126 A952).
189. S. A. Friedberg, A. Estermann, J. Goldman, Phys. Rev. 87, 582
A952).
190. С J.Kriessman, Rev. Mod. Phys. 25, 122 A953).
191. R. D. W о r 1 e y, M. W. Z e m a n s k у, Н. А. В о о г s e, Phys. Rev. 87, 1142
A952).
192. W. J. de H a a s, P. M. van A 1 p h e n, Proc. Acad. Sci. Amsterdam 36, 263
A933).
193. R. P. Gupta, Phys. stat. sol. 20, 291 A967).
194. M. Horowitz, J. G. Daunt, Phys. Rev. 91, 1099 A953).
195. CM. Nelson, Ph. D., Dissertation, Univ. Tenn, 1952.
196. J. G. D a u n t, J. W. С о b Ы ef Phys. Rev. 92, 507 A953).
197. A. N. G u t h r i e, L. Т. В о u r 1 a n d, Phys. Rev. 37, 303 A931).
198. D. H. Parkinson, Reports on Progress in Physics, vol. 21, London, 1958,
p. 226.
199. F. E. H о a r e, J. С W a 1 1 i n g, Proc. Phys. Soc. B64, 337 A951).
200. G. D. К n e i p, J. О. В e t t e r t о n, J. O. S с a r b г о u g h, Phys. Rev. 130,
1687 A963).
201. E. В u с h e r, F. H e i n i g e r, J. M u 1 1 e r, Proc. IX Intern. Conf. Low Temp.
Phys. Ohio A964), NS 1965, p. 1059.
202. H. E. F 1 о t о w, D. W. О s Ь о г n e, Phys. Rev. 160, 467 A967).
203. N. F. M о t t, Proc. Phys. Soc. 47, 571 A935).
204. J. G. D a u n t, Progress in Low Temperature Physics, vol. 1, North Holl. Publ.
Co. Amsterdam, 1955, p. 202.
205. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 49, 537, 931 A936).
206. H. M. Krutter, Phys. Rev. 48, 66 A935).
207. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. А. И з ю м о в, УФН 77, 377 A962).
208. С. А. Н е м н о н о в, ФММ 19, 550 A965).
209. F. Heiniger, E. Bucher, J.Muller, Phys. kondens. Materie5, 243 A966)
210. С. Н. С h e n g, С. Т. W e i, Р. А. В е с k, Phys. Rev. 120, 426 A960).
211. С. Т. W e i, С. Н. С h en g, Phys. Rev. 124, 722 A961).
212. B. W. V e a 1, J. A. R а у n e, Phys. Rev. 135, A442 A964).
213. A. F. G. W у a t t, Phys. Rev. Lett. 13, 401 A964).
214. K. P. G u p t а, С. Н. С h e n g, P. А. В е с k, J. Phys. Chem. Solids 25, 73 A964).
215. N. P e s s a 1, K. P. G u p t а, С. Н. С h e n g, P. А. В е с k, J. Phys. Chem. Solids
25, 993 A964).
216. А. К a t z u k i, M. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan 19, 1135, 1856 A964); 21,
279 A966).
217. A. I. S с h i n d 1 e г, С. А. М а с k 1 i с t, Phys. Rev. Lett. 20, 15 A968).
218. E. P. W о h 1 f a r t h, Proc. Leeds Phil. Soc. 5, 89 A949).
219. B. Svensson, Ann. d. Phys. 14, 699 A932).
220. В. И. Ч е ч е р н и к о в, И. Поп, ЖЭТФ 46, 1226 A964).
221. J.Friedel, G. Leman, S. Olszewski, J. Appl. Phys. 32, 325S A961).
222. A. W. Overhauser, Phys. Rev. 128, 1437 A962).
223. J. С a 1 1 a w a y, D. M. Edwards, Phys. Rev. 136, A1333 A964).
224. L. H e d i n, Phys. Rev. 139, A796 A965).
225. J. Z ak, Phys. Rev. 139, A1159 A965).
226. V. С e 1 1 i, N. D. M e r m i n, Phys. Rev. 140, A839 A965).
227. S. N a k a j i a m a, Phys. Lett. 17, 22 A965).
228. Т. М. R i с e, Ann. of Phys. 31, 100 A965).
229. S. F о n e r, E. J. M с N i f f , Jr., Phys. Rev. Lett. 19, 1438 A967).
230. B. J ohanson, K. F. Berggren, Nuov. cim. 50, B362 A967).
231. R. К u b o, Y. О b a t a, J. Phys. Soc. Japan 11, 547 A956).
232. L. E. О r g e 1, J. Phys. Chem. Solids 21, 123 A961).
233. J. S. D e n b i g h, W. M. L о m e r, Proc. Phys. Soc. 82, 156 A963).
234. A. M. Clogston, A. C. Gossard, V. Jaccarino, Y. Yafet, Phys.
Rev. Lett. 9, 262 A962).
— 227 — 15*

235. P. L e n g 1 а г t, J. Phys. Chem. Solids 28, 2011 A967).
236. A. C. T h о г s e n, T. G. В е г 1 i n с о u г t, Phys. Rev. Lett. 7, 244 A961).
237. A. S. J о s e p h, A. C. T h о г s e n, Phys. Rev. 133, A1546 A964).
238. A. C. T h о г s e n, A. S. J о s e p h, L. E. V a 1 b y, Phys. Rev. 150, 523 A966).
239. A. C. T h о г s e n, A. S. J о s e p h, Phys. Rev. 131, 2078 A963).
240. G. В. В г a n d t, J. A. R а у n e, Phys. Rev. 132, 1945 A963).
241. B. R. W a t t s, Phys. Lett. 10, 275 A964).
242. J. J. Vuillemin, M. G. Priestley, Phys. Rev. Lett. 14, 307 A965).
243. J. J. Vuillemin, Phys. Rev. 144, 396 A966).
244. F. M. Mueller, M. G. Priestley, Phys. Rev. 148, 638 A966).
245. D. С T s u i, R. W. S t а г к, Phys. Rev. Lett. 17, 871 A966).
246. D. С Tsu i, Phys. Rev. 164, 669 A967).
247. P. T. Coleridge, Phys. Lett. 22, 367 A966).
248. A. C. T h о г s e n, A. S. J о s e p h, L. E. V a b 1 e y, Phys. Rev. 162, 574 A967).
249. L. R. Windmiller, J. В. К e t t e г s о n, Phys. Rev. Lett. 20, 324 A968).
250. A. V. Gold, Phil. Trans. Roy. Soc. A251, 85 A958).
251. W. A. H а г г i s о n, Phys. Rev. 118, 1190 (I960).
252. E. F a w с е t t, Phys. Rev. 128, 154 A962).
253. E. F a w с e t t, D. G r i f f i t h s, J. Phys. Chem. Solids 23, 1631 A962).
254. W. M.Lomer, Proc. Phys. Soc. 80, 489 A962); 84, 327 A964).
255. H. В. Волкенштейн, В. Н. Качинский, Л. С. Старостина,
ЖЭТФ 45, 43 A963).
256. J. С. Phillips, Phys. Rev. 133, А1020 A964).
257. S. L. A 1 t m a n n, С. J. В г a d 1 е у, Phys. Rev. 135, A1253 A964).
258. Т. L. L о и с k s, Phys. Rev. Lett. 14, 693, 1072 A965); Phys. Rev. 139, A1181
A965); 143, 506 A966); 144, 504 A966); 159, 544 A967).
259. L. F. M a t t h e i s s, Phys. Rev. 139, 1893 A965); 151, 450 A966).
260. P. T. Coleridge, Phys. Lett. 15, 223 A965).
261. D. M. S p а г 1 i n, J. A. M а г с u s, Phys. Rev. 144, 484 A966).
262. J. G. В о о t h, Phil. Mag. 17, 205 A968).
263. J. F г i e d e 1, Adv. Phys.3, 446 A954); Canad. J. Phys. 34, 1190 A956); J. phys.
et radium 19, 573 A958).
264. A. Blandin, J.Friedel, J. phys et radium 19, 573 A958).
265. А. В 1 a n d i n, J. F г i e d e 1, J. phys. et radium, 20, 160 A959).
266. B.J.C. van der Hoeven, P. H. Keesom, Phys. Rev. 134, 1320 A964).
267. F. J. M о г i n, J. P. M a i t a, Phys. Rev. 129, 1115 A963).
268. J. R а у n e, Phys. Rev. 95, 1428 A954).
269. O. V. L о u n a s m a a, Phys. Rev. 133, 219 A964).
270. T. H. G e b a 1 1 e, Rev. Mod. Phys. 36, 134 A964).
271. H. F. В u d d, Phys. Rev. Lett. 19, 1315 A967).
272. P. G. Harper, J. Phys. Chem. Sol. 28, 495 A967).
273. P.L.Taylor, Canad. J. Phys. 45, 2015 A967).
274. Б. И. Веркин, Л. Б. К у з м и ч е в а, В. Свечкарев, ЖЭТФ 54, 74
A968).
275. D. Childers, P. Pincus, Phys. Rev. 177, 1036 A969).
276. Р. К. М i s r a, L. M. R о t h, Phys. Rev. 177, 1089 A969).
277. D. Langbein, Phys. Rev. 180, 633 A969).
278. S. P. M о r r i s, J. Phys. Chem. Solids 30, 1873 A969).
279. M. E. Rensink, Am. J. Phys. 37, 900 A969).
280. A. D. J a n n u s s i s, Phys. stat. sol. 36, K17 A969^.
281. B. J о h a n s о n, K. F. В г у g r e n, Nuovo Cim. 50, B362 A967).
282. V. Cruto, Hong-Yu Chin, Phys. Rev. 173, 1210, 1220, 1229 A968).
283. M. Я. А м у с ь я, ФММ 29, 3 A970).
284. М. Я. А з б е л ь, УФН 98, 601 A969).
285. Ю. П. Гайдуков, УФН 100, 449 A970).
286. С. В. В о н с о в с к и й, В. В. Д я к и н, Р. Ф. Егоров, Сб. «Некоторые
вопросы магнетизма и прочности твердых тел», Изд-во АН СССР, Свердловск,
1968.
287. W. W. Warren, Jr., et, al., Sol. State Commun. 6, 371 A968).
288. V. K. Saxena, D. L. Bhattacharya, Phys. Stat. Sol. 27, 427 A968).
289. K. S. V i swa n a t han, Sol. Stat. Commun. 8, 1031 A970).
290. T. Schneider, Sol. Stat. Commun. 8, 279 A970).
291. H. J. Fifchbeck, Phys. stat. sol. 38, 11 A970).
292. K. M. Wunsch, W. D. Weiss, R. Kohlhaas, Zs. Naturforsch. 23a, 1402
A968).
293. N, M ori, J. Phys. Soc. Japan 26, 926 A969).
294. H. F u k u у a m a, R. К u b o, J, Phys. Soc. Iapan 27, 604 A969).
295. S. Kirkpatriek, B. Velicky, H. Ehrenreich, Phys. Rev. Bl,
3250 A970).

лава
12
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Электронная структура полупроводников
Магнитные свойства полупроводников, как и в случае металлов, обусловлены
лх электронной структурой. Однако, в отличпе от металла, полупроводник в основном
состоянии (при 0° К) не имеет электронов проводимости. Они появляются лишь с повы-
повышением температуры, и число их растет по закону типа ехр (—А%1кТ), где А.% —
величина порядка «энергии активации», т. е. величины энергетической щели, отделяю-
отделяющей уровень энергии основного состояния от ближайшего возбужденного уровня, где
появляются носители тока (электроны и «дырки»). Поэтому можно ожидать, что часть
магнитной восприимчивости, обусловленная носителями тока, будет резко зависеть
от температуры. Помимо этого, вклад в восприимчивость будет вноситься ионными
остовами кристаллической решетки, а также различными дефектами кристалла, в пер-
первую очередь атомами примеси.
1. Валентная полоса, полоса проводимости, примесные уровни. Прежде чем
перейти к рассмотрению различных составляющих магнитной восприимчивости полу-
полупроводника, напомним кратко основные положения теории энергетического спектра
полупроводников [см. Иоффе A957); Ансельм A962), Данлэп A959), Шокли A953);
Блекмор A964)]. Как уже отмечалось в гл. 11, энергетический спектр электронов в кри-
кристалле имеет вид чередующихся разрешенных и запрещенных энергетических полос
(см. рис. 11.11). В случае полупроводника при 0° К мы имеем целиком заполненные
(нижние) полосы и полностью пустые (верхние) полосы. Энергетическая щель Ь.%
(запрещенная полоса) между верхним уровнем самой верхней из заполненных полос
(так называемой валентной полосы) п нижним уровнем самой нижней из пустых полос
(так называемой полосы проводимости) представляет собой энергию активации для воз-
возбужденных состояний полупроводника *). С повышением температуры некоторое коли-
количество п электронов **) из заполненной валентной полосы будет совершать квантовые
переходы в пустую полосу проводимости, превращаясь там в электроны проводимости
поставляя после перехода р(=п) дырок у верхнего уровня валентной полосы (рис. 12.1а).
Эти носители заряда осуществляют так называемую собственную проводимость полу-
полупроводника. Поскольку Ь.% в реальных полупроводниках оказывается порядка 3 ее,
а числа п та р пропорциональны ехр [—&%/кТ], то собственная проводимость может
играть существенную роль лишь при достаточно высоких температурах (Т « 103° К),
При низких температурах гораздо более активную роль в полупроводниках пграют
электроны проводимости или дырки, происхождение которых связано с наличием
в кристалле атомов примесей. Различают два основных типа атомов примесей: доноры
и акцепторы. При внедрении примесных атомов в кристалл полупроводника в запре-
запрещенной полосе возникают примесные уровни. При этом уровни донорных примесей %$
лежат близко от «дна» полосы проводимости (рис. 12.16), так что энергии активации
для них гораздо меньше энергии активации для собственной проводимости, т. е. А%а =
= I ^минВ°Д — %d I «= 0,1 -f- 0,01 эв < А%. Наоборот, уровни атомов акцепторов %а
лежат, как правило, близко от потолка валентной полосы (рис. 12.1в), и для них энер-
энергия активации А%а = | %а — %^кс Is*5 ^,1 -г- 0,01 эв <^ &.%&. В основном состоянии
*) Напоминаем еще раз (см. гл. 11), что вопреки традиции, укоренившейся
в литературе по физике твердого тела и особенно полупроводников, области электрон-
электронного энергетического спектра кристалла мы называем энергетическими полосами
(разрешенными пли соответственно запрещенными), не делая исключения и для полу-
полупроводников, при описании которых обычно употребляют термины не «полоса», а «зона
проводимости» или «валентная зона» и т. п. Термин «зона» сохраняем лишь для зон
Бриллюэна п зонной теории.
**) Величины п, р, nd, pa и (ниже) Na, N,i относятся к единице объема полупро-
полупроводника, т. е. представляют собой концентрации соответственно носителей заряда
и примесей. Подразумевается, если это не оговорено особо, что концентрации однород-
однородны по всему объему и соответствуют равновесному состоянию кристалла полупровод-
полупроводника. Для простоты предполагается также, что каждый донорный (акцепторный) атом
имеет один «работающий» уровень.
- 229 -

(при 0° К) уровни всех Nd доноров заняты электронами, при повышении темпера-
температуры они легко ионизуются, при этом число ионизованных донорных уровней или
равное им число электронов в полосе проводимости (Nd— п^) пропорционально
ехр [—к'ба/кТ], где п^ — число неионизованных доноров. При 0°К все Na атомов
акцепторов нейтральны. С ростом температуры они начинают захватывать (на уровень,
лежащий на величину %а выше ?^ддС и пустой при 0° К) электроны из валентной полосы,
образуя в ней дырки, и сами при эюм превращаются в отрицательные ионы. Если число
нейтральных акцепторов обозначить через ра, то число акцепторов ионизованных, т. е.
с занятыми уровнями %а, будет равно Na — ра, и оно будет меняться с температурой
по закону (Na — ра) — ехр [ — &%а1кТ\- Например, для типичного полупроводникового
/////////////////////////////////$¦
Рис.
кий
вал
12.1а. Электронный энергетичес-
спектр собственного полупровод-
полупроводника.
jg нейтральные полижите/иные
Рис. 12.16. Электронный энергетиче-
энергетический спектр примесного полупроводни-
полупроводника п-типа.
Рис. 12.1 в. Электронный энергетиче-
энергетический спектр примесного полупроводни-
полупроводника р-типа.
элемента Ge донорными примесями могут служить, например, Р, As, Sb, а акцептор-
акцепторными,— например, In и Ga. Вообще говоря, донорами могут быть как примесные атомы
(замещения или внедрения), так и атомы электроположительной компоненты ионного
полупроводникового соединения, избыточные по отношению к стехиометрическому
составу (например, Mg в MgO и т. п.), а также другие дефекты кристаллической решет-
решетки. В случае, когда донором, например, в Ge является атом Sb или As, то у этих атомов
имеется на один валентный электрон больше, чем у основного атома кристалла Ge.
Этот электрон не участвует в образовании химических связей между соседними узлами
решетки и занимает отдельный локализованный у атома примеси донорный уровень %&.
Это состояние остается локализованным, если концентрация донорной примеси невели-
невелика, в противном случае из-за взаимодействия между соседними примесными атомами
возникает узкая донорная энергетическая полоса. Аналогичное явление может иметь
место и при акцепторных примесях. Образование примесных полос приводит к тому,
что в полупроводнике примесного типа при Т -*¦ 0° К сопротивление не стремится
к бесконечности (как в собственно полупроводнике). В тех случаях, когда примесная
полоса перекрывается с полосой проводимости и для электронов уже следует приме-
применять статистику Ферми, примесные полупроводники называют вырожденными полупро-
полупроводниками, похожими по своим электрическим свойствам на полуметаллы *). Перекры-
Перекрытие волновых функций примесей происходит тем легче, чем больше «диаметр» орбит
их валентных электронов, т. е. чем больше диэлектрическая проницаемость 8* раство-
*) Строго говоря, полуметаллами называют кристаллы с удельной электропровод-
электропроводностью в 102—105 раз меньшей, чем у обычных металлов. Столь низкая электропровод-
электропроводность обусловлена не структурными дефектами кристаллической решетки, а связана
с особенностями ее электронного энергетического спектра. Характерным признаком
— 230 —

рптеля и меньше эффективная масса электрона [см. ниже формулу A2.37)]. При воз-
возбуждении этот электрон переходит в полосу проводимости и легко перемещается по ре-
решетке (рис. 12.2).
2. Типы полупроводников. Полупроводник с донорными примесями называется
примесным полупроводником п-типа: re-Ge, re-Si, и т. п. (от слова «negative»—
«отрицательный», поскольку носителями тока у них являются отрицательно заряжен-
заряженные электроны, перешедшие в полосу проводимости с донорных уровнен при Т > 0° К).
Все эти соображения применимы и к акцепторным примесям, только у них имеется
до крайней мере на один валентный электрон меньше (Al, In, T1), чем у атомов основной
X
/7-Ge
Рис. 12.2. Донорная примесь (Sb в Ge).
Избыточный электрон (—е) атома замеще-
замещения (Sb) перемещается по решетке n-Ge.
[Каждый узел основной решетки (типа ал-
алмаза) кристалла Ge связан с четырьмя
ближайшими соседними узлами двухэлект-
ронными насыщенными валентными
связями.]
Рис. 12.3. Акцепторная примесь (In в Ge).
Движение дырки (-\-е) эквивалентно пере-
перемещению разорванной связи между атома-
атомами по решению p-Ge. [Каждый узел ос-
основной решетки (типа а.> маза) кристалла
Ge связан с четырьмя ближайшими сосед-
соседними узлами двухэлектронными насыщен-
насыщенными валентными связями.]
компоненты (Ge, Si). Поэтому валентных электронов примеси не хватает для образова-
образования насыщенных химических связей. Эти «недостающие» электроны и поступают из ва-
валентной полосы, в которой остается дырка, легко перемещающаяся по решетке
(рис. 12.3). Полупроводники с акцепторными примесями называются примесными
полупроводниками р-типа: p-Ge, p-Si и т. п. (от слова «positive» — «положитель-
«положительный», поскольку носителями тока в них являются положительно заряженные дырки
от электронов, ушедших из валентной полосы на пустые уровни акцепторов при Т >
> 0° К). При наличии обоих типов примеси мы имеем дело с примесными полупровод-
полупроводниками смешанного типа.
Кроме того, полупроводники классифицируются по химическому составу и типу
химических связей:
атомные полупроводники (чистые химические элементы): В, Ge, Si, Те, серое Sn
и Se (иногда сюда же включают С — алмаз и графит);
полупроводники с ионной решеткой — галогениды щелочных металлов: NaCl,
КВг и т. п.
полупроводниковые соединения с валентной связью: Si3C (карбид кремния), InSb,
'GaAs и т. п.
§ 2. Условие нейтральности, химический потенциал
1. Общие положения. В полупроводнике при нормальных условиях должно
выполняться условие электрической нейтральности, наглядно изображенное
на рис. 12.1, которое сводится к требованию равенства числа отрщательно заряжен-
заряженных частиц [электронов в полосе проводимости (ге) и ионизованных акцепторов
(Na — ра), т. е. электронов на акцепторных уровнях], числу положительно заряжен-
заряженных частиц [дырок в валентной полосе (р) и ионизованных доноров (iV^ — ге^), т. е.
полуметалла является очень слабое перекрытие полос (см. рис. 11.11). Концентрация
.электронов ге в верхней из слабо перекрывающихся полос оказывается очень малой
по сравнению с числом узлов решетки N (nIN <^ 1), а поскольку электропроводность
определяется величиной ге, то, следовательно, и она оказывается малой (рПолумет
порядка 10—10~4 ом'см). К полуметаллам относятся, например, Bi, As, Sb. В случае
вырожденных примесных полупроводников мы имеем примерно такие же значения
р (если концентрация примесей в них порядка 1018—1020 см~3). Однако в этом случае
электропроводность определяется электронами (дырками) атомов примеси, а в полуме-
полуметаллах — электронами самого кристалла. Впрочем, иногда полуметаллами называют
и вырожденные примесные полупроводники, когда примесная полоса соприкасается
или перекрывается с валентной полосой или полосой проводимости основного кристал-
кристалла [см. например, Блекмор A964)].
— 231 —

Свободных донорных уровней]:
^d-pd), A2.1)
(a) (d)
где суммы берутся по всем акцепторным (а) и донорным (d) уровням (однократным).
В гл. 11 отмечалось, что коллективизированные электроны в кристалле подчиня-
подчиняются статистике Ферми — Дирака и при статистическом равновесии среднее число
электронов в квантовом состоянии с энергией 8 (к) при температуре Т дается функцией
распределения / (е) по A1.14). Число электронных квантовых состояний в единице
объема и в интервале энергии de равно g (г) ds, где g (г) — функция плотности состоя-
состояний электронов в единице объема в случае квадратичного закона дисперсии, даваемая
формулой A1.8) с учетом вырождения по спину. Поэтому число электронов в 1 см3
с энергиями между е и 8 + йг будет равно
g (в) 1 (е) «fe. A2.2)
Согласно формуле A1.3)
где т*—эффективная масса электронов. Поэтому концентрация электронов равна
Flfi(z), A2.4)
где z = t,lkT, a Fy (z) — интеграл, определяемый по A1.22). Мы уже знаем из гл. 11,
что формулу A2.4) можно считать определением химического потенциала ? как функ-
функции п, Т и гп*. В случае сильно вырожденного газа (ZJkT > 1) это приводило к фор-
формулам A1.8) при Т = 0° К и A1.19) при Т > 0° К. Однако в случае полупроводников,
условие сильного вырождения электронного газа часто не выполняется, поэтому целе-
целесообразно выяснить, к чему приводит вычисление интеграла A2.4) в противоположном
предельном «классическом» случае, когда exp (—ZJkT) > 1. В данном случае функция
распределения A1.14) имеет вид
A2.5}
Из A2.5) видно, что в классическом пределе мы получили функцию распределения Мак-
Максвелла — Больцмана с нормирующим фактором А = exp (tJkT). Таким образом, фор-
формула A2.4) для концентрации электронов в полосе проводимости в данном случае
примет вид
ибо \ e-xx1lzdx = ~\/n/2. Из {12.6) сразу получаем
о
Из A2.7) видно, что в классическом случае, в противоположность случаю вырожде-
вырождения A1.14), химический потенциал Z, электронного газа более резко зависит от темпера-
температуры. Из A2.7) и A2.5) находим функцию распределения в классическом пределе:
критерием применимости которого является неравенство
°»'.
Из A2.9) видно, что этому критерию применимости классической статистики благопри-
благоприятствует малая концентрация п, большая эффективная масса т* и высокая темпера-
температура Т. Например, при п ж 1017 см'3, Т « 100° К, гп* « Ю7 г А -1 ж 300 > 1. При
п »; 1019 см'3 и тех же значениях Т ж т* имеем А'1 ж 1. Таким образом, при комнат-
— 232 —

ных температурах электронный газ с эффективной массой, близкой к массе свободного
электрона, ведет себя классически при концентрациях п < 1019 см'3.
В случае полупроводника приведенные формулы хотя и применимы, но не вполне
удобны, поскольку плотность- электронов в полосе проводимости является функцией
температуры, так как эти электроны появляются в результате термического возбужде-
возбуждения. При этом в валентной зоне возникают положительные дырки. Кроме того, в при-
примесных полупроводниках присутствуют еще электроны и дырки, связанные с донор-
нымп и акцепторными уровнями (рис. 12.1). Обычно в этом случае все энергии принят»
отсчитывать от общего нуля, совмещаемого с самым нижним уровнем (дном) полосы
проводимости *): ВдР^В0Д = ^- Тогда энергию электронов у дна полосы проводимости
можно запвсать в виде 8 = %2к2/2т%, энергию на донорном уровне — в виде % —
= —k%d = — %d< на акцепторном уровне — в виде % = — (К% — &%а) и энергию
дырки в валентной зоне — в виде 8 = — А% — е' = — &% тг-^ , где г' — «кинети-
«кинетическая» энергия дырки. Если ввести химический потенциал дырки Z? = —&*& — ?. т(>
функцию распределения дырок можно записать в виде
A2ЛО>
Условие нейтральности A2.1), из которого определяется химический потенциал полу-
полупроводника, теперь можно записать в такой общей форме:
Д,
(в') <fe' -^ 1 M2 1
& (Jd#L')T'
где индексы у интегралов (п. п.) и (в. п.) означают, что интегрирование ведется
соответственно по полосе проводимости ii валентной полосе. Если выполняется крите-
критерий A2.9), то вырождение для электронов в полосе проводимости и дырок в валентной
полосе отсутствует. Если также оба сорта этих частиц имеют квадратичный закон
дисперсии соответственно с эффективными массами т% и т^, то интегралы в A2.11)
аналогичны интегралу из A2.6), и поэтому будем иметь
B*т*кТK'*
Здесь Na и Nd — концентрации акцепторов и доноров. Из A2.12) находим соответ-
соответственно концентрации п и р:
A2.14).
Из условия нейтральности A2.12) в форме, справедливой в классическом пределе,
можно найти химический потенциал Z, = кТ In А в общем случае как решение алгеб-
алгебраического уравнения четвертой степени. Это решение можно получить численными
или графическими способами. Здесь мы рассмотрим два типичных случая, когда
решение A2.12) относительно А элементарно.
2. Собственный полупроводник. В этом случае примесей нет и поэтому Na =
= Nd = 0. Тогда из A2.12) сразу следует, что для А имеем
*) Часто отсчет энергии производят также от квазиуровня Ферми, обычно распо-
расположенного примерно в середине запрещенной полосы.
— 233 —

откуда
Если mj = т^, то In (трш^) = 0 и Z, лежит точно в середине запрещенной полосы
энергий и не зависит от температуры. В более общем случае, когда т% Ф т%,
но 3/4 In (m$/m%) й; 1, второе слагаемое в A2.15) будет порядка кТ, и поэтому значение
Z, в собственном полупроводнике находится примерно (с точностью до А: Г) в середине
запрещенной полосы.
При этом мы не учитываем, что и сама величина &% изменяется с температурой.
Это вызвано тем, что при нагревании кристалла изменяется постоянная решетки. Учет
этих факторов позволил Фэну [1, 2] получить приближенную линейную зависимость
-энергии Д® от температуры:
— аТ. A2.16)
В собственном полупроводнике ясоб = рсоб и, следовательно,
Bл Утрп* kTfl*
A2Л7)
Если m* = m* да Ю7 г и Г да 300° К, то ге», да 2,5-Ю1» еж-3. Из сравнения A2.17)
•с A2.13) и A2.14) получаем формулу, которую можно назвать «законом действующих
масс» носителей тока в полупроводнике:
Bл Vm*rn* кТK Г д
U^ ixp[f]^ A2Л7а)
3. Примесный полупроводник и-типа. В этом случае ^„ = 0; предположим
также, что Д^ > A'Sd- Тогда из A2.12) находим [считая, что можно пренебречь членом
•с ехр( — А%/кТ)]
Здесь можно различать два подслучая:
a) A exp(A(Jd/W) ~P 1- Поскольку мы рассматриваем классический предел, т. е.
А <С 1, то этот случай реализуется лишь при Д(?^ ^> кТ. Тогда, пренебрегая единицей
:в скобках в левой части A2.18), находим
^(^ A2.19)
A2.19а)
При 7Vd да 1017 сж-з, т* да Ю7 г и Г ж 300° К логарифм в A2.19а) близок к 1
и, следовательно, в силу условия Д^ > кТ химический потенциал лежит внутри
¦запрещенной полосы между дном полосы проводимости и уровнем донора. Из A2.19)
находим в этом случае для концентрации электронов проводимости
у /
Bяй)/* d V\
т. е. п пропорционально N^2.
б) А ехр (№dlkT) <g 1. Поскольку ^4 <С 1, то для осуществления этого случая
необходимо, чтобы ^Г^ДЙ^- Оставляя теперь в скобке в формуле A2.18) единицу,
получим
A2.22)
Концентрация электронов проводимости, как следует из A2.21), равна
n-.= Nd, A2.23)
т. е. все доноры ионизованы — имеет место явление насыщения.
Аналогично можно рассмотреть и случай примесного полупроводника р-типа
¦Nd — 0), если в приведенных выше формулах для случая б) заменить Nd &%
— 234 -

соответственно на Na, h.Ua и m* и отсчитывать энергию от верхнего уровня валент-
валентной полосы.
В случае вырождения электронного или дырочного газа химический потенциал
лежит близко к краю одной из полос или внутри полос. В этом случае для концентра-
концентраций электронов и дырок, вместо классических формул A2.13) и A2.14), получаем более
сложные формулы типа A2.4), в которых необходимо лишь условиться о выборе нуля
для отсчета энергий электронов и дырок. Этот случай подробно исследован в работах
Щифрина [3] и других (см., например, [4—6]).
§ 3. Различные составляющие магнитной восприимчивости
Перейдем теперь к рассмотрению магнитных свойств полупроводников.
При вычислении магнитной восприимчивости полупроводника прежде
всего необходимо указать различные типы атомных носителей магнитного
момента в электронной подсистеме кристалла *), а именно **):
1) электроны замкнутых оболочек ионных остовое кристаллической
решетки полупроводника (как основных компонент кристалла, так и ато-
атомов примесей);
2) валентные электроны, заполняющие валентную полосу энергий
полупроводника и образующие насыщенные направленные химические
•связи в кристалле; .
3) электроны незаполненных внутренних d- и f-оболочек ионных
¦остовое решетки полупроводника — в случае, когда эти ионы относятся
к переходным d- или /-элементам ***);
4) электроны и дырки — свободные носители тока, возникающие при
возбуждении собственного или примесного полупроводника соответ-
соответственно в полосе проводимости или валентной полосе;
5) электроны и дырки, находящиеся на локализованных уровнях ато-
атомов примеси или в добавочной примесной полосе, которые лежат в запре-
запрещенной энергетической области (между дном полосы проводимости и потол-
потолком валентной полосы);
6) электроны и дырки, локализующиеся на различных других дефек-
дефектах решетки: дислокациях, границах блоков и зерен, на наружных поверх-
поверхностях кристаллов, дефектах, возникающих при тепловых колебаниях
решетки, и т. п.
В соответствии с таким подразделением электронных носителей магне-
магнетизма магнитную восприимчивость полупроводника, не обладающего атом-
атомным магнитным порядком, %Пш п, можно приближенно представить
в виде следующей суммы шести слагаемых:
Хп. п = %At +* Хл2 + %d<f> + %l + %s + %t, A2.24)
тде %Ai — атомная восприимчивость замкнутой электронной оболочки
ионных остовов, а %&2 — электронов валентной полосы, %аф — магнитная
восприимчивость незаполненных внутренних d- или /-оболочек ионных
остовов атомов основной решетки и атомов примесей, %l — магнитная вос-
восприимчивость свободных носителей заряда в полупроводнике, %$ —
магнитная восприимчивость электронов (дырок) на локализованных уров-
уровнях атомов примесей, %Т — магнитная восприимчивость, обусловленная
всеми другими дефектами решетки, помимо атомов примесей.
Рассмотрим более подробно характер каждого из этих шести слагае-
слагаемых в A2.24).
1. Атомные восприимчивости %Al и %а%- Эти части восприимчивости
обусловлены электронами, более или менее сильно связанными с узлами
*) Магнетизмом атомных ядер в силу его малости будем опять пренебрегать
(см. гл. 11).
**) Впервые вопрос о магнитной восприимчивости полупроводника был подроб-
подробно рассмотрен в работе Буша и Моозера [7].
***) В этом случае возможно возникновение магнитно-упорядоченных состояний
ферро-, с1нтиферро- или ферримагнитного типа (см. гл. 19—22).
- 235 —

решетки. Число электронов заполненной внутренней оболочки ионных"
остовов не меняется, число же валентных электронов может меняться
с температурой, поскольку происходят их переходы в полосу проводимо-
проводимости или на акцепторные уровни. Однако вплоть до самых высоких темпера-
температур число таких термически активированных электронов составляет
ничтожную долю от всех валентных электронов. Поэтому их число можно
практически также считать постоянным и сумма %ах + %а2 будет пропор-
пропорциональна числу атомов полупроводника. Пусть в 1 см3 кристалла имеет-
имеется N атомов основной компоненты и, кроме того, атомы различных при-
примесей; если обозначить через JVS. число их для ?-й примеси, то для %а -\-
Ц~%а можно записать
i
здесь коэффициенты с и cs. зависят как от типа атомов полупроводника,,
так и от связей между ними. В общем случае с и с могут быть функциями,
температуры и магнитного поля. В типичных полупроводниковых элемен-
элементах (Ge, Si, a-Sn) атомы (ионы) ни в свободном состоянии, ни в кристалле
не обладают собственными магнитными моментами. Поэтому идеальные
кристаллы этого типа в пределе при Т —*- 0° К (когда можно пренебречь
всеми остальными вкладами в %п.п, кроме %Al и %д2) должны быть диамаг-
нетиками, что и наблюдается в действительности. Опыт показывает, что
в области низких температур магнитная удельная восприимчивость атом-
атомных полупроводников оказывается небольшой по абсолютной величине-
(меньше 10~6 г'1) и в общем не очень сильно зависящей от температуры1
(см. § 4). В гл. 7 уже отмечалось, что аддитивность диамагнитной воспри-
восприимчивости для системы атомов (ионов) справедлива лишь для сферически-
симметричных замкнутых электронных оболочек. В случае же алмазо-
подобных кристаллических решеток валентные электроны образуют на-
каждый атом по четыре гибридизованных sp3 ковалентных направленных
парных связей, для которых обычные предположения о сферической сим-
симметрии уже, строго говоря, неприменимы. Лишь приближенно можно-
считать, что суммарная атомная восприимчивость полупроводника %А,
аддитивно складывается из восприимчивости %Аг внутренних замкнутых
слоев электронной оболочки ионного остова и восприимчивости %а2 быв-
бывших валентных электронов, участвующих в кристалле в химической
связи, т. е.
A2.25>
Так, например, для удельной диамагнитной восприимчивости ионов Sn4+
имеем (см. Клемм [8]) %Аг = — 1,35 «10~7. Для расчета %А2 можно восполь-
воспользоваться классической формулой *) G.6), если, согласно Лонсдейл [9],
взять в этой формуле для {г\) эффективный радиус атомов, образующих
тетраэдр в алмазоподобной решетке полупроводника. В случае олова
((r|))V2 = 1,4 А, и тогда по G.6) находим %А2 = —1,85-10~7. Следова-
Следовательно, по A2,25) находим %А =—3,2-10. Опыт дает [7] при экстраполя-
экстраполяции на 0° К для a-Sn значение %^ксп=—2,65 -10~7, что находится в удовле-
удовлетворительном согласии с теорией (см. § 4).
Восприимчивость %А, которую часто называют также решеточной, мож-
можно разделить и по-другому, чем в формуле A2.25). А именно можно, во-
первых, выделить диамагнитный вклад ионного остова %дм, описываемый
формулой типа G.7). Этот вклад дается той частью электронной плотности,
которая обладает сферической либо аксиальной симметрией (относительно
оси, совпадающей с направлением магнитного поля). Во-вторых, можно
*) Если в ней перейти от атомной восприимчивости к удельной, поделив N (чис-
(число Авогадро) на аюмный вес данного вещества.
- 236 -

Фо о ПМ *»
лековскии парамагнитный вклад Хв.ф> даваемый вторым
-слагаемым в формуле G.8). Этот вклад существенно зависит от несферич-
несферичности электронного облака ионов в решетке и тесно связан с природой
химической связи в кристалле (см. ниже, в конце § 4).
2. Восприимчивость %</(/> незаполненных cl- или /- слоев ионов основ-
основной и примесной компоненты полупроводника. Этот вклад в ^п.п всегда
носит парамагнитный характер. Для его расчета необходимо знать не
только магнитные свойства соответствующих свободных ионов d- или
/-металлов (см. гл. 9), но также и влияние на свойства незаполненных
оболочек внутрикристаллического поля (см. гл. 10, а также [10]). За
последнее время в связи с интересом к изучению различных физических
-свойств d- и /-слоев атомов, внедренных в диамагнитные кристаллы (этот
интерес вызван, в частности, проблемой создания кристаллических лазе-
лазеров), много внимания уделяется также изучению их магнитных свойств.
Эти вопросы будут достаточно подробно рассмотрены в гл. 21. Здесь же мы
будем интересоваться примесями атомов нормальных элементов, для
которых вклад в восприимчивость %dif) отсутствует.
3. Восприимчивость свободных носителей заряда %L. Эта часть вос-
восприимчивости обусловлена электронами в полосе проводимости и дырками
в валентной полосе [7] и по своему характеру аналогична магнитной вос-
восприимчивости электронов проводимости металлов. В первом приближении
величину удельной восприимчивости %L можно считать аддитивно состав-
составленной из парамагнитной восприимчивости Паули %пм и диамагнитной
восприимчивости Ландау %дм. Эта сумма, согласно формуле A1.56) [см.
также A1.17I, в общем случае имеет вид
[?] A2.26)
где щ — концентрация свободных носителей заряда при Н = 0, a F* —
усредненное (по различным ориентациям кристаллитов в поликристалле)
выражение комбинации компонент тензора обратной эффективной массы
(mfj)'1, p' — плотность полупроводника. В простейшем изотропном слу-
случае, когда тензор (mfj)'1 сводится к скаляру (т*), величина F2 =
= (т/т*J, как это и было принято в A1.56). В общем случае при выборе
оси z вдоль направления магнитного поля
T* = fxxfyy-fly, где U^JjLl^L {i,j = x,y,z), A2.27)
•а е (к) — энергия носителя заряда как функция волнового вектора
к>(кх, ку, kz). Формула A2.26) имеет место как для электронов в полосе
проводимости (Хь)п1 так и для дырок в валентной полосе {%L)P- Если отсчет
энергий вести от середины запрещенной полосы, т. е. энергию электронов е„
считать положительной при отсчете «вверх» (см. рис. 12.1) и для дырок
&р — положительной при отсчете «вниз», то химические потенциалы для
электронов и дырок будут равны по величине и обратны по знаку: ?„ =
= — ?р = ?. Таким образом,
^(ф) A2.28а)
<12'28б>
Щп, Щр — концентрация электронов и дырок при // = 0, а
K = (fxxfyy-fxy)n, F% = {fxxfyy-nv)p A2.29)
— безразмерные величины, в основном представляющие собой среднюю
кривизну сечения изоэнергетических поверхностей е„ = const и ер =
= const плоскостями kz = const. Усреднение производится по всем
- 237 -

состояниям (кх, кч, kz), занятым в полосе проводимости и валентной полосе,
и по всем возможным ориентациям оси z относительно кристаллографиче-
кристаллографических осей. При не очень высоких температурах все занятые состояния
лежат вблизи краев полос §макс и 2э^инВ0Д и имеют подобные изоэнергети-
ческие поверхности. Поэтому при этих температурах F\ и F\ лишь несу-
несущественно зависят от числа занятых состояний, т. е. от концентраций
носителей заряда пп и пр.
Итак, для полной восприимчивости %L имеем
?DM} • <12-зо>
Из A2.30) следует, что %L зависит от ?. Однако ?, как мы видели выше,
можно определить из условия нейтральности A2.11) или A2.12) и тем
самым исключить эту зависимость из A2.30). Как и в случае металлов,
(см. § 3 гл. И), слабой зависимостью ? от магнитного поля можно пренеб-
пренебречь. В § 2 было показано, что в общем случае невозможно получить ана-
аналитическое выражение для ?, поэтому, вообще говоря, приходится обра-
обращаться к графическим методам.
а. Собственный полупроводник. В случае невырожденного собственного-
полупроводника химический потенциал ? определить легко. Действительно,
в этом случае для концентраций можно воспользоваться формулами A2.13)
и A2.14), переписав их для новой системы отсчета энергий:
кТ
Связь между т%, т% и F%, F% можно установить лишь при известных
закбнах дисперсии е„ (к) и гр(к). Из A2.31) и A2.32) сразу следует:
дЩп_пОп дщр _— пОр M
dl ~ кТ ' dZ, ~ кТ ' A
Кроме того, из условия нейтральности для собственного полупроводника
следует, что тгоп = ?гОр [см. A2.17)], а химический потенциал по A2.15)
равен
4^(J) A2.34)
Подставляя A2.34) в A2.31) и A2.32), а затем в A2.33) и в A2.30),
находим выражение для магнитной восприимчивости невырожденного
собственного полупроводника:
у
A2.35)
Следует иметь в виду, что характер структуры электронного энерге-
энергетического спектра может существенно влиять на магнитную восприимчи-
восприимчивость полупроводников. Примером этого может служить работа Бойко
и Рашбы [11], в которой теоретически исследована магнитная восприим-
восприимчивость полупроводников с особой структурой энергетических полос,
когда экстремальные значения энергии носителей тока расположены вдоль
окружности, охватывающей ось кристалла (петля экстремумов).
- 238 -

б. Примесный полупроводник. В этом случае %L будет зависеть от кон-
концентраций атомов примеси (Nd или Na). Вообще говоря, число занятых
акцепторных и свободных донорных уровней [см. A2.11)] будет зависеть-
от магнитного поля Н. Однако в случае слабых полей, \\,вН -С kT, этой
зависимостью можно пренебречь.
При наложении на полупроводник магнитного поля концентрация
электронов в полосе проводимости меняется. Это явление существенно-
учитывать при анализе магнетосопротивления или зависимости постоянной
Холла от магнитного поля. Строгое рассмотрение этой зависимости встре-
встречается с затруднениями, поскольку она обусловлена рядом эффектов:
1) зеемановским расщеплением уровней (+|Лб#) в полосе проводимости
и примесных уровней в запрещенной полосе — парамагнитный эффект [12];
2) квантованием орбит электронов собственного полупроводника и при-
примесей [13] — диамагнитный эффект; 3) увеличением энергии активации
примесей, обусловленным сжатием электронного облака вокруг атома
примеси в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю (в области
сильных полей). Теория этих эффектов рассмотрена в работе Яфета и др.
[14], а экспериментально они исследованы в работе Кейеса и Сладека [15]-
Парамагнитный эффект подробно исследовал Ландсберг [16].
Если ограничиться примесным полупроводником ?г-типа (см. § 2, п. 36)
с Na = 0 и S.% ^> b>%<i, то химический потенциал определяется форму-
формулой A2.18). Если еще принять, что S.%d ^> kT, то ? определяется из A2.19а),.
а для производной дпОп/д?, по-прежнему имеем A2.33). Используя, далее,
для пОп формулу A2.20), находим (%ь)„ из A2.28а):
4Г1 A2.36)
Аналогично можно рассмотреть случай примесных полупроводников
р-типа и т. д.
4. Восприимчивость примесных атомов y^s [7, 17]. Эта часть магнитной
восприимчивости существенно зависит от типа и концентрации примесных
атомов в полупроводнике, а при неполной их ионизации и от температу-
температуры. Как мы уже видели, если речь идет о примесях замещения в алмазо-
подобной решетке атомных полупроводников четвертой группы элемен-
элементов (Ge, Si, a-Sn), атомами элементов третьей группы (Al, Ga, In, . . .).
или пятой группы (Р, As, Sb), то мы соответственно имеем донорные или
акцепторные примеси. Связанные с этими центрами электрон (у доноров)
или дырка (у акцепторов) движутся в поле положительного заряда
с потенциалом V = е/г*г, где е* — диэлектрическая проницаемость,
атомного полупроводника, а г — расстояние от ядра атома примеси. Эта
форма потенциала приводит к тому, что электрон или дырка у атома при-
примеси находятся в водородоподобном состоянии. Однако радиус орбиты
оказывается в е* раз больше, а энергия — в е*2 раз меньше соответствую-
соответствующих величин свободного атома водорода. А именно для примеси в основ-
основном состоянии радиус орбиты
го = гве*-^- = О|53.1О-8е*-^-сж, A2.37>
где гБ — боровский радиус основного состояния атома водорода, а тп* —
эффективная масса электрона или дырки. Энергия же ионизации в электрон-
вольтах равна
[^L]-1 [^]~1, A2.38)
где §н — 13,5 эе — энергия ионизации свободного атома водорода. Таким
образом, между основным состоянием донора или акцептора и соответ-
соответственно минимальным уровнем полосы проводимости или максималь-
максимальным уровнем валентной полосы «вклинивается» водородоподобный энерге-
энергетический спектр.
- 239 —

Если концентрация примеси не очень-велика и поэтому волновые функ-
функции основного состояния электронов или дырок атомов примеси не пере-
перекрываются, то мы имеем случай невзаимодействующих примесей с локали-
локализованными дискретными уровнями. В рассматриваемом случае система
ведет себя как газ водородоподобных атомов. Например, магнитная вос-
восприимчивость такого газа водородоподобных доноров, находящихся
в основном состоянии, слагается, во-первых, из парамагнитной спиновой
восприимчивости (если основное состояние 2Si/2, то оно лишено орбиталь-
орбитального момента) и, во-вторых, из слабой диамагнитной восприимчивости,
обусловленной ларморовской добавкой к орбитальному движению. Спино-
Спиновый парамагнитный момент определяется как разность между концентра-
концентрацией п+ донорных электронов с положительным спином и концентраци-
концентрацией п_ электронов с отрицательным спином. Обозначая через п0 концентра-
концентрацию доноров, лишенных электрона, имеем
Nd = n0 \-п+ + п-. A2.39)
Пусть %+ и % _ означают энергии электропов донорной примеси соответ-
соответственно с положительными и отрицательными спинами. В отсутствие маг-
магнитного поля Ш+ = % - = &¦%&, а при наличии магнитного поля %± =
= А%а + ЦбН- Для вычисления намагниченности М = {п+ — п _) и.Б
надо вычислить распределение па = п+ + п _ электронов по Na донорным
уровням. При тепловом равновесии химический потенциал ? находим
с помощью свободной энергии всех электронов на примесях
//\щ{ , A2.40)
используя термодинамическое определение ?, т. е. ? = dF/dn+ — dF/dn-,
а также приближенную формулу Стирлинга для In я! « ?гAп?г—1). В итоге
получаем
^——J , A2.41)
]. A2.42)
В отсутствие магнитного поля из A2.39), A2.41) и A2.42) находим
A2.43)
При наличии магнитного поля из A2.42), A2.39) и A2.43) находим
п+ — ?г_ = -^ . к<? т. tj— A2.44)
и для парамагнитной восприимчивости х§™ = М/Н получим
В области слабых полей (цБЯ < кТ при Я^5-104э и
вместо A2.45) имеем более простую формулу:
^ A2-46)
— 240 —

поскольку
"" кТ ~ "' "" кТ ~ кТ '
здесь а$ дается формулой A2.43). Выражение A2.45) показывает, что
парамагнетизм электронов изолированных доноров оказывается ланжеве-
новского типа. При достаточно низких температурах можно получить
насыщение. Действительно, при цвН ^> кТ из A2.45) получаем
1 + ехр ( d kT ^ )
Поскольку условие цвН ^> кТ при экспериментально достижимых полях
порядка 105 э или меньше реализуется при температурах менее 1° К, то
A2.47) можно еще упростить. Так как при таких температурах ? да
да A^d/2, то при |Лб^ Э* кТ экспонента в знаменателе A2.47) много
меньше единицы, и поэтому A2.47) примет вид
х™=-пг-- A2-48)
Кроме рассмотренного парамагнитного слагаемого в %а, необходимо
еще учесть индуцированный диамагнетизм, который дается формулой G.7):
Полная магнитная восприимчивость донорных примесей при цБН <^ кТ
в силу A2.49) и A2.46) будет равна
Х-»* (#--?§). A2.50)
Можно попытаться произвести сравнительную оценку абсолютных величин
парамагнитной и диамагнитной слагающих восприимчивости %s [18].
Величины тп* и (г2), входящие в A2.49), трудно определить непосред-
непосредственно. Однако водородоподобность донорного состояния позволяет
ИМ " "
вычислить %s по известной энергии ионизации донора и диэлектрической
проницаемости чистого полупроводника Ge или Si. Из A2.38) видно, что
в диэлектрической среде энергия ионизации пропорциональна тп*/е*2,
а радиус орбиты пропорционален г*/т* [см. A2.37)]. Произведя соот-
соответствующую замену в A2.49), находим для n-Si
где N — число Авогадро, Хн" — атомная диамагнитная восприимчивость
водорода, равная —2,4-10~в (см. гл. 7), A%d — энергия ионизации доно-
донора, равная 0,05 эв, р' — плотность (для Si р' = 2,33, е* = 11,9).
Для соответствующей парамагнитной слагающей имеем по A2.46)
^W 2,67.10-^-1^. A2.52)
Из сравнения A2.51) с A2.52) видно, что при Т = 10° К диамагнитная
слагающая %& составляет примерно 6% от парамагнитной.
Гейст [19] обобщил этот расчет на случай атомов доноров (или акцепто-
акцепторов) с двумя электронами на.локальном уровне, а также на случай не-
нескольких различных сортов атомов примеси *). Это обобщение весьма
просто, поэтому мы не будем его здесь излагать.
*) Этот вопрос также качественно рассмотрен в первоначальной работе Буша
и Моозера [7] в разделе гёлиоподобных и литиоподобных примесей.
16 С. В. Вонсовский •— 241 —

5. Восприимчивость примесных атомов при повышенных концентра-
концентрациях. Более интересным является расчет магнитной восприимчивости
электронов примесей (доноров или акцепторов), когда при повышенной
концентрации их нельзя считать изолированными, поскольку волновые
функции внешних электронов примесных атомов существенно перекрыва-
перекрываются. При теоретическом рассмотрении этой задачи были предложены две
модели: а) модель примесной полосы [7, 20] и б) модель донорных молекул
[18, 19, 22, 23]. Остановимся на кратком рассмотрении этих моделей.
а. Модель примесной полосы. Парамагнитные свойства электронов
в донорной полосе такие же, как и для электронов в металле. Парамаг-
Парамагнитная восприимчивость дается формулой A1.56), в которой концентрацию
электронов проводимости следует заменить величиной ад
Х§м = ^^- A2.53)
Таким образом, задача сводится к определению зависимости па от ?,.
Если предположить, что к коллективизированным донорным электронам
применим обычный зонный подход, то число мест в донорной полосе равно
удвоенному числу доноров 2Na- Это, строго говоря, не так, так как донор-
ные примеси распределены не в виде правильной решетки, а хаотически.
Поэтому ситуация здесь больше напоминает кристалл неупорядоченного
металлического сплава или жидкий металл (см., например, [24, 25, 27]).
Если через g (e) обозначить функцию плотности состояний в донорной
полосе, то
2Nd= \ g(e)de, A2.54)
где Шв.1 и Шао — энергии двух крайних уровней полосы, а фактор 2 у инте-
интеграла отсутствует, поскольку в g(e) уже учтено спиновое вырождение.
Число занятых состояний в рассматриваемом ферми-газе дается обычной
формулой:
g(e) de ..„ ...
AА55)
В общем случае интеграл в A2.55) можно вычислить, если известна
функция g(s). Однако при высоких температурах, когда
Шаг-%*г<кТ, A2.56)
интеграл вычисляется в A2.55) при произвольной функции g(e). Дей-
Действительно, при выполнении условия A2.56) функцию Ферми под знаком
— 1
интеграла в A2.55) можно заменить ее значением для %& = -^{%&x-\-%d^),
и поэтому
[ (fci)f j ™< A2.57)
I ^ri I
и по A2.53) находим
exp
+ ехр
A2>58)
— 242 -

Б случае низких температур, когда
Шъ-Шь>кТ, A2.59)
•функцию распределения Ферми можно заменить «ступенькой»
О для
для
и поэтому A2.55) примет вид
nd= J g(e)de. A2.60)
Подставляя A2.60) в A2.53), находим
Х§" = 1*б?(С)- A2.61)
Диамагнитный вклад в данном случае состоит из двух частей: 1) части,
соответствующей связанным состояниям донорных электронов (обусловлен-
(обусловленным их движением вокруг отдельных примесных атомов):
W§ ^ <12-62>
и 2) части, соответствующей диамагнетизму Ландау. Как отметили Буш
и Моозер [7], из-за узости донорнои полосы расчет у™ и ^дм нельзя,
строго говоря, проводить в рамках модели квазисвободных электронов,
так как верхний предел занятых состояний в соответствующих интегралах
определяется не функцией распределения, а верхней границей донорнои
полосы %d2- Только в предельном случае очень низких температур
A2.59) спад функции распределения Ферми происходит в столь узком
интервале уровней донорнои полосы. В этом интервале также можно опре-
определить эффективную массу тп* и аппроксимировать энергию е квадратич-
квадратичным законом: е = %2к2/2т*. Тогда
Из сравнения A2.45) или A2.46) и A2.58) или A2.61) видно, что
парамагнетизм изолированных доноров (ланжевеновского типа) существен-
существенно отличается от паулиевского парамагнетизма электронов донорнои поло-
полосы даже в отсутствие вырождения [см. A2.58)].
б. Модель донорных молекул. Как было показано в гл. 5, намагничен-
намагниченность системы определяется общей статистической формулой
М = кТ*^-, A2.64)
где Z — статистическая сумма. Зондер и Швейнлер [23] предполагают, что
Nd доноров (в единице объема) объединяются в Ndl2 двухцентровых
молекулоподобных образований, в которых и располагаются донорные
внешние, электроны. Статистическая сумма Z в присутствии магнитного
поля содержит члены с нулевым, одно- и двухэлектронными состояниями,
и имеет вид
1=1 t=l
(.12:65»
— 243 — 16*-

где 8;, 8; и 8;/ — энергии собственных состояний, ? — химический потен-
потенциал. Сумма по j берется по всем одноэлектронным состояниям отдельного
двухдонорного центра, а суммы по I и V относятся соответственно к три-
плетным и синглетным двухэлектронным состояниям молекулы. Доста-
Достаточно двух наинизших одноэлектронных состояний молекулярного иона
lscr и 2ро с энергиями es и ер, чтобы описать систему «атом + ион =
= донор», а наинизших синглетных и триплетных двухэлектронных состо-
состояний 12g и 32U с энергиями е4 и е3 достаточно для описания всех нейтраль-
нейтральных атомов в основном состоянии. Все остальные возбужденные состояния
имеют гораздо большие энергии [см., например, монографию Герцберга
A948)], и поэтому их можно не учитывать. Таким образом, Zt в A2.65)
приближенно состоит из пяти слагаемых. Заметим, что сомножители Z,
в A2.65) (или сумма в фигурных скобках), вообще говоря, различны *),
поскольку электронные энергии е различны для различных расстояний
между примесными атомами в молекулах. Однако химический потенци-
потенциал ? один и тот же для всей системы и определяется числом наличных
электронов, которое равно концентрации доноров iVd. Эта связь дается
известным соотношением
^^ A2.66)
Выполняя дифференцирования, указанные в A2.66) и A2.64), а также
производя разложение по степеням малого параметра цвН/кТ <^ 1, получаем
,A2.67)
М = ^-Х
X
. A2.68)
Учитывая равенство знаменателей и сходство числителей в A2.67)
и A2.68), можно ввести Nd в выражение для М; в результате получим
чт
. A2.69)
Переход от формулы A2.68) к A2.69) позволяет получить для магнитного
момента выражение, более удобное для сравнения с экспериментом. Выра-
Выражение A2.69) можно упростить, если ввести обозначение е31 = е3 — е4
*) Индекс i у фигурных скобок в правой части A2.65) опущен.
- 244 —

и пренебречь нулевыми и одноэлектронными состояниями *); тогда имеем
Сумма от первого члена в квадратных скобках A2.70) дает полное число
электронов. Сумму в A2.70) можно заменить интегралом, поскольку NJ2—
очень большое число (порядка 1015). Однако энергия триплет-синглетного
расщепления e3i может быть резкой функцией расстояния между атомами-
донорами в молеуле. Поэтому необходимо знать функцию распределения
размеров донорных молекул. Зондер и Швейнлер [23] принимают статис-
статистическое распределение доноров и получают для функции распределения
размеров Р распределение Пуассона
'j A2.71)
где г — расстояние между донорами, а V = 4лг3/3 — соответствующий
этому расстоянию объем сферы (при этом один из доноров расположен
в центре сферы). Это предположение, строго говоря, неточно, поскольку
между донорами имеется электростатическое взаимодействие с энергией
ег/г*г, а также и потому, что имеется не одна, а много пар. Однако Зондер
и Швейнлер [23] показали, что предположение A2.71) выполняется доста-
достаточно удовлетворительно.
Таким образом, формулу A2.70) можно представить в виде
м = пат \ Nd Ii ~ 6XP / Г! -1ех? (- VN«)N*dV- A
Сравнивая A2.72) с формулой для изолированных доноров A2.46)
(М = \i%HNd/kT), видим, что в A2.72) фактически появился поправочный
множитель A — р), где
l-exp(-gL)
Выражение A2.73) имеет правильное асимптотическое поведение. Вели-
Величина р -> 0 при е31 -> 0 и Р -> 1 при е31 ->¦ оо, и парамагнетизм исчеза-
исчезает. Для оценки р необходимо знать зависимость ез1 от г. Ее можно
найти используя теорию молекулы водорода, учитывая, что донорные
молекулы находятся в среде с диэлектрической проницаемостью е*
и электрон имеет эффективную массу т*. В результате графического реше-
решения получаем экстраполяционную зависимость
где Ац = 9,66 эв и Z?H = 7,84-1022 см~3. Далее, функция f (х) =
= [1 — ехр (—;г)]/[1 — 3ехр (—х)\, где х = г31/кТ имеет вид кривой
с насыщением и ее можно аппроксимировать (с точностью порядка 10%)
*) То, что это можно сделать, легко видеть, например, для случая re-Si. В нем
вблизи Т = 10° К уровень Ферми лежит на расстоянии примерно 0,025 эв ниже края
полосы проводимости, в то время как энергии одно- и двухэлектронных состояний для
пары доноров оказываются равными соответственно —0,06 и —0,10 эв. Поэтому экспо-
экспоненты с (? — г3IкТ и B? — г%IкТ при этой температуре соответственно равны 41
и 58, и, следовательно, первые три слагаемых в знаменателе второго слагаемого в
квадратных скобках выражения A2.69) после перехода к A2.70) дадут величину,
меньшую 1/2.
- 245 -

двумя прямыми / (х) = ж/3,7 при 0<л;<3,7 и/(х) = 1 при х > 3,7.
Это приближение окончательно дает для поправочного множителя 1 — р
1_p=] A2>74)
где a-^Nd/B{m*f, Л=Лн/(е*J и 5 = 5н/(е*K (для Si A = 0,068 эв,
В —-4,65-1019cm~3). Подставляя A2.74) в A2.72), находим для парамаг-
парамагнитной восприимчивости
X™ = СТа~\ A2.75)
где
^ (?&)• ¦ («-те)
в. Восприимчивость электронов в узкой примесной полосе проводимости.
Рассмотрим особенности магнитной восприимчивости электронов в узкой
примесной полосе проводимости в сильном магнитном поле [21]. В этом
случае возникает своеобразный тип немонотонной зависимости магнитной
восприимчивости х Ш) электронов кристалла от магнитного поля Н. При
расчете [21] учитывались электроны проводимости, принадлежащие лишь
одной примесной полосе. Вклад других полос считался несущественным.
Если примесная полоса достаточно узка, так что ее ширина D подчиняется
неравенству
D<kT, A2.77)
то свойства электронов проводимости в ней существенно определяются
законом дисперсии е (к) в данной полосе. Расчет показал, что при доста-
достаточно сильных магнитных полях, удовлетворяющих неравенству
he
#>#„ =
\e\,
где а — эффективное расстояние между соседними примесными атомами.
В химическом потенциале ? (Н) с ростом поля появляется осциллирующее
слагаемое Д? (Н). С ним автоматически связано появление осциллирую-
осциллирующего слагаемого А% (It) магнитной восприимчивости и других физических
величин. Такие осцилляции качественно отличны от осцилляции де Га-
Гааза — ван Альфена, поскольку они не зависят от степени вырождения
электронного газа и обусловлены, в конечном счете, периодичностью зави-
зависимости энергии от квазиимпульса в обратной решетке, е (Аг) = е (к + К),
где К — вектор обратной решетки, и квантовыми свойствами (неком-
(некоммутативностью) компонент импульса в магнитном поле. Периоды таких
осцилляции определяются величинами типа 2Н0 (они могут быть различ-
различными при разных направлениях Н) и не зависят от | Н \ и Т; с ростом Т
их амплитуды уменьшаются.
Конкретный расчет явных выражений для осциллирующих частей
Д? (Н) и А% (Н) в работе Клингера [21] дан для простейшего случая s-no-
лосы простой кубической решетки (в приближении сильной связи).
В этом случае существует один-единственный период осцилляции
2Н0. Азбель [27] обобщил этот расчет на случай произвольного закона
дисперсии.
Если эксперимент покажет существование таких осцилляции, то это
Ьудет своего рода доказательством наличия примесных полос с периодиче-
периодическим или почти периодическим законом дисперсии е (Аг) (см. в этой связи
работы Джемса и Гинцбарда [24, 25] и Лифшица [26]).
6. Восприимчивость термических дефектов- %т- Эту часть восприим-
восприимчивости считают обусловленной термическими дефектами решетки (см.
Буш и Винклер [28]), дислокациями и влиянием поверхностных (таммов-
ских) энергетических уровней. Никакого специального теоретического
— 246 -

анализа для нее пока не проводилось. Обычно ссылаются лишь на экспе-
экспериментальную работу Буша и Хелфера [29], в которой наблюдались
гистерезисные явления для магнитной воспримчивости [различие кривых
Хэксп (Т) при нагревании и охлаждении измеряемых образцов]. Некото-
Некоторые авторы, например Хедкок [30], считают, что %т не зависит от темпе-
температуры (см. также Буш и др. [31]).
§ 4. Сравнение с опытом
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых опытных данных по изме-
измерению магнитной восприимчивости полупроводников и сравнению их
с теорией.
Начнем со способа определения слагающей магнитной восприимчиво-
восприимчивости Хд- Согласно изложенным выше теоретическим представлениям эта
часть восприимчивости, казалось бы, не должна зависеть от температуры,
X
-2,6
X(O)*XA
-г,в
-2,9
-3,0
-3,1
-3,2
'О7
.
-
-
-
ar-Sn
V
\ v
//\\
\
0 50 100 150 200 250 300
Т,"К
Рис. 12.4. температурная зависимость
магнитной восприимчивости чистого a-Sn
(I — олово фирмы «Чемпер», II — фирмы
«Джонсон — Маттей») (из работы "Буша и
Моозера [7]). Пунктирное продолжение
кривой I дает Гэкстраполированное значе-
значение % @), которое приближенно приравни-
приравнивается вкладу %а магнитной восприимчи-
восприимчивости полупроводника.
Рис. 12.5. Температурная зависимость
магнитной восприимчивости xL (T) для
a-Sn. Отложенная по оси ординат величи-
величина Xj_, равна разности % (т) — %А [зде.сь
ХА =5= X @) = —2,65-10-'], светлые круж-
кружки и крестики — экспериментальные точки.
Теоретическая (пунктирная) кривая рас-
рассчитана по формуле A2.35) (Д^ = 0,08эв,
0 33 F2=41 F2=23).
п ' р
m/m*
l,5,m/m*
если опыты проводятся в области низких и средних температур, т. е. в той
области, где практически отсутствует собственная проводимость, а имен-
именно при Т <; ts.%lk = Tm (A§ — ширина запрещенной полосы энергии).
Поэтому на первый взгляд представляется следующая реальная возмож-
возможность для экспериментального определения %а: измерить магнитную вос-
восприимчивость максимально чистых образцов полупроводников(чтобы
исключить влияние составляющих %а и %т) при температурах ниже Тт
и затем экстраполировать ее на 0° К. Это экстраполированное значение %
и следует отождествить с %А (при этом исключается и Хь> поскольку кон-
концентрация носителей тока при Т —*-0°К стремится к нулю). Именно
такой путь и был принят в первоначальной работе Буша и Моозера [7],
которые измеряли % в a-Sn. На рис. 12.4 приведены данные для % (Т)
этих измерений. Пунктирное продолжение кривой / дает экстраполиро-
экстраполированное значение
Х@)«Ха=-2,65.10^.
Если теперь из наблюдаемых значений % (Т) вычесть эту экстра-
экстраполированную величину 1 @) = %а, то полученную разность можно
— 247

отождествить приближенно с магнитной восприимчивостью носителей
тока Хь(Л = %(Т) - %А.
На рис. 12.5 показана температурная зависимость разности %(Т) —
—У.А ж 1b{T)i там же для сравнения нанесена теоретическая кривая, рас-
рассчитанная по формуле A2.35). Если в A2.35) принять А$ = 0,08 эв,
тг.1гп% = 1,5, лг/тПр = 0,33; F\ — 41 и F% = 23, то теория хорошо согла-
согласуется с опытом.
Более сложным оказался случай германия. Измерения наиболее чис-
чистых образцов Ge (где можно считать %s = 0) показали странный резуль-
результат. А именно при Т < Тт (Тт ж 900° К, Ag « 0,75 зв), когда %ь « 0,
наблюдаемые значения % существенно зависят от температуры. На рис. 12.6
и 12.7 приведены данные из работ [29, 32, 33] (аналогичные результаты
Х-107
-1,11
в
•
•
*
•
*•
-0,92
-1,00
-/,04
-1,08
100 300 500 700 900 1100 '300
Т.'К
Рис. 12.6. Температурная зависимость диа-
диамагнитной восприимчивости германия; разные
точки (белые и черные) соответствуют двум раз-
различным по форме образцам (Буш и Хелфер [29]).
-1,10
-1,09
-1,08
-1,07
-1,06
-1,05
\
\
о /
-3
/7-Ge
V
\
\
100
гоо
, 300
Т,'Н
Рис. 12.7. Температурная зависимость
диамагнитной восприимчивости для n-Ge
(Стивене и др. [зз]). 1 и 2—эксперимен-
2—экспериментальные точки для n=10ls; з — то же для
п=10".
были получены в работах [30, 34]). На основании этих результатов Стивене
и др. [33] приняли как факт (хотя и непонятный) зависимость %А от тем-
температуры в чистом образце Ge, а затем при измерениях восприимчивости
Ge с примесями при различных температурах они из суммарной наблю-
наблюдаемой восприимчивости для каждой температуры вычитали соответ-
соответствующие %а(Т)- Получаемую разность %(Т) — %а(Т) они более или
менее произвольно разделяли на сумму %s(T) + %ь{Т). Тем самым эти
авторы предполагали, что наличие примесей не влияет на вид зависи-
зависимости %А(Т).
Зависимость %А(Т) от температуры наблюдается и для других полу-
полупроводников: Si [33] и соединений типа AniBv (GaP, GaAs, GaSb и др.),
как это можно видеть из данных, например, работ Буша и Керна [35,
36]. Указанная непонятная зависимость %А от температуры дала основа-
основание Дорфману [37] подвергнуть сомнению используемые методы выде-
выделения отдельных составляющих магнитной восприимчивости полупровод-
полупроводника. В связи с этим Дорфман [37] предложил резонансные методы непо-
непосредственного определения магнитной восприимчивости носителей тока
в полупроводнике (см. ниже гл. 14).
Критический обзор теории магнитной восприимчивости полупроводни-
полупроводников дан в работах Крумансля [38] и Хеджкока [39]. Основные замечания
по отношению к теории Буша — Моозера [7] по расчету %А сводились
к тому, что магнитную восприимчивость в кристалле нельзя считать
аддитивной суммой восприимчивостей отдельных ионов. Кроме того,
указывалось на необходимость учета ванфлековского поляризационного
парамагнетизма [40]. Ясно, что эта составляющая магнетизма, возникаю-
- 248 -

щая во втором приближении теории возмущения (см. гл. 7), будучи обычно
не очень существенной в свободном атоме или ионе, может быть важной
в кристалле благодаря межзонным переходам, вызываемым магнитным
полем. Однако здесь возникает много трудных вопросов, связанных
с общими недостатками теории движения электронов в кристалле. Еще
в работах Пайерлса [41] были указаны трудности, возникающие при
расчете %А, связанные с тем, что члены, содержащие магнитное поле
в гамильтониане, нельзя считать малым возмущением. Для преодоления
этих трудностей в теории наметилось два подхода: в одном из них исходят
из индивидуальных электронных
энергетических уровней [42—45],
а в другом — из квантовомехани-
ческой статистической суммы [46 —
49]. Во всех расчетах в выраже-
выражении для $? появляются всегда три
члена, которые при переходе к
асимптотике (изолированные ато-
атомы или свободные электроны) при- -1,05
обретают простой физический
смысл. Это, во-первых, обычный
зеемановский член «7-.Н" (первого ~1,Ю
порядка), дающий парамагнетизм.
Во-вторых, ларморовско-ланжеве-
Й (
-0,95
-1,00
/°
/.'
/,
/°«
/
4,
о
/
/
'г*
»/
-2
'3
\
бе
\
\
о 200 400 600 вОО
1ООО 1200
Т,'К
рр
НОВСКИЙ член (ВТОРОГО ПОрЯДКа), Рис. 12-8. Температурная зависимость удельной
ПООПОШТИОНЭЛЬНЫЙ (г2) Оба ЧТИ Диамагнитной восприимчивости германия (Буш
и1)ииирциидс1Л11йыи \i I. \j\ja din и Керн [36]). Сплошная кривая — теоретическая,
Члена Существенно «аТОМНОГО» ПО- вычисленная по формуле A2.78), штрих-пунктир-
_„ тс „ „ ная — прямая х» + ВТ; экспериментальные точ-
рядка. Х\рОме ТОГО, появляется ки 1, г и ,3 относятся к разным образцам германия.
член, аналогичный тому, который
для свободного электронного газа дает циклотронный диамагнетизм Лан-
Ландау, и его вид близок к формуле A1.54) (если магнитное поле направ-
направлено вдоль оси z). Этот член приводит к диамагнитным составляющим
X, содержащим компоненты тензора эффективной массы [см. член с F*
в приводимых выше формулах A2.26), A2.28) и т. д.]. Но эти члены
не исчерпывают всего выражения %, и это понятно, поскольку реаль-
реальный кристалл по своим свойствам находится где-то «посередине» между
изолированными атомами и свободными электронами, и поэтому для не-
него естественно ожидать появления специфических эффектов.
Буш и Керн [35, 36], анализируя трудности с теоретической интерпре-
интерпретацией %а, предложили для чистого Ge следующую эмпирическую формулу:
A2.78)
где параметр Ag0 имеет смысл энергии активации (порядка ширины запре-
запрещенной полосы); авторы брали ее из измерений электропроводности. Пара-
Параметры Xoi В и А определяются графически (рис. 12.8). В частности, для
чистого Ge имеем Ag0 = 0,75 эв, Хо = — 1Д1 -Ю, В = 2,4-Ю1,
А = 2,7 А0~8. Член Хо> конечно, не имеет никакого «самостоятельного»
значения, поскольку при Т ->-0°К «прямая» рис. 12.8, аппроксимируе-
аппроксимируемая суммой Хо + ВТ, может «загибаться» и подходить к оси ординат так,
что касательная к ней будет параллельна оси абсцисс. Таким образом,
из A2.78) видно, что для %А имеем хорошую аппроксимацию (кроме
области в непосредственном соседстве к 0 °К):
Ха = Хо + #Г, A2.79)
а третье слагаемое в A2.78) отождествляется с восприимчивостью свобод-
свободных носителей Хь для собственного полупроводника [см. A2.35)].
— 249 —

Используя более детальные современные представления об энергети-
энергетическом спектре Ge, Энц [32] рассчитал %ь для области собственной прово-
проводимости (Т > Тт), конкретизировав для этого случая общую формулу
A2.35). Согласно теоретическому расчету Германа [50], подкрепленному
измерениями циклотронного резонанса (см., например, Дрессельхауз
и др. [51]), и измерению магнетосопротивления [52, 53], изоэнергетические
поверхности в полосе проводимости (при слабом ее заполнении) имеют
вид эллипсоидов вращения (число этих эллипсоидов равно 4 или 8)
с главными осями, направленными вдоль [111] в пространстве квазиим-
квазиимпульсов, которым соответствуют эффективные массы т* = ml = m\
и т* = mf\. В валентной полосе мы имеем систему из двух изоэнергети-
ческих поверхностей в виде гофрированных цилиндров. В этом случае
после усреднения по углам можно ввести два типа дырок в валентной
полосе — тяжелые и легкие дырки со скалярными эффективными массами
ml. и т+. Энц [32] получил следующее выражение для %ь электронов
и дырок:
-JJ5-) "W exP[—2ftrJ' A2.80)
где
т0 = [zm^rn1!2{т3!}-\-m3j_2) m~3]1/2 x
X
771 , 771,, / 6
Здесь z — число эллипсоидов в зоне проводимости, равное 4 или 8,
р' — плотность.
Если для Ge принять 7тг^ = 0,08m, m\\ = 1,3m, m+ = 0,04m, m- = 0,3m,
Ag = @,754-3,5^7") зв, то для коэффициента А в A2.78) находим
-С:
2,44-Ю-8, (z = 4),
45-Ю-8, (z=8),
т. е. величины, близкие к экспериментальному значению Л=2,7-10"~8.
В работах Буша и Керна [35, 36] производится аналогичное сравне-
сравнение эмпирической формулы с опытом для полупроводниковых соединений
InSb, InAs, InP0,2As0)8, InP, GaSb, GaP и Si.
В связи с проблемой расчета %а{Т) следует упомянуть работу Энца
[54], предложившего более строгую теорию магнитной восприимчивости
кристаллов, близкую к теории Хебборна и Зондхеймера [48]. Позже поя-
появилась еще одна аналогичная теоретическая работа Морита и др. [56].
Однако этот расчет, по мнению Энца [54], не дает объяснения наблюдае-
наблюдаемой температурной зависимости %А. Эту зависимость он связывает
с эффектом электрон-фононного взаимодействия, которым Фэн [1, 2]
объяснял температурную зависимость энергии активации полупроводни-
полупроводников А$(Т). К сожалению, расчет Энца [54] столь громоздок и содержит
такое большое число неопределенных констант, что количественное срав-
сравнение с опытом пока невозможно. Единственный качественный вывод
сводится к тому, что учет электрон-фононного взаимодействия приводит
к появлению добавочного члена в выражении магнитной проницаемости,
в основном линейно изменяющегося с температурой, как этого требует
опыт [см. A2.79)].
Что касается экспериментального изучения влияния примесей на
магнитную восприимчивость примесных полупроводников, то в целом
можно сказать, что первоначальные идеи Буша и Моозера [7] и Моозе-
ра [20] и их развитие в работах Зонд&ра и Стивенса [18] и Зондера, Швейн-
лера [23] в общем качественно подтверждаются опытными исследования-
исследованиями Буша и др. [31]. Однако, как показывает работа Деймона и Герритсе-
на [55], представление о донорных двухцентровых молекулах, введенное
- 250 —

в работах [18, 23], не может объяснить всех наблюдаемых закономерно-
закономерностей в поведении %s в широком интервале концентраций примесей от 101в
до 2-Ю17 см~3 в n-Ge.
Боуэрс и Яфет [57] измеряли магнитную восприимчивость n-InSb
в широком интервале концентраций примесных носителей тока (от 101в до
6-1018 см'3) и температур (от 300 до 1,3° К). При этом была определена
величина %ь- При теоретическом анализе учитывалась непараболическая
форма закона дисперсии в полосе проводимости InSb (этот вопрос рас-
рассмотрен, например, в работе Коне [58]). Кроме того, учитывалось влияние
на % гибридизации полос проводимости и валентной (см. гл. 20) в при-
присутствии магнитного поля, что, по-видимому, и объясняет наблюдаемую
специфическую зависимость у_ от концентрации примеси. Уровни электро-
электронов в магнитном поле для рассматриваемого случая InSb рассчитывал
Яфет [59]. Гейст [60] специально исследовал магнитную восприимчивость
Ge с примесями Fe и обнаружил уменьшение диамагнитной восприимчи-
восприимчивости, которая вызвана ферромагнитными выделениями железа (когда
в качестве примеси использовался Ni, ему не удалось наблюдать подобное
явление). Кроме того, он исследовал Ge с примесью Zn, атомы которого
являются акцепторами с двумя уровнями ионизации, что приводит к осо-
особой зависимости % от температуры (см. работу Гейста [19]).
Исследования магнитной восприимчивости теллурида свинца (РЬТе)
провел Матиаш [61]. Им же была исследована восприимчивость ряда дру-
других теллуридов (Sb2Te3, Bi2Te3) и селенидов (PbSe, Sb2Se3, Bi2Se3) [62] *).
Упомянем также исследования магнитных свойств полупроводниковых
теллуридов в работах Товстюка и Гавалешко [64] (HgTe), Потикевича
и др. [65-69] (GdTe, GdTe - HgTe и GdTe - In2Te3).
§ 5. Связь магнитных свойств полупроводников
с природой химических связей в них
В последнее время появились работы, в которых устанавливается связь между
решеточной магнитной восприимчивостью %А и природой межатомных связей в полу-
полупроводниковых соединениях различного химического состава (Матиаш [70]; Байли
и Манка [71, 72]; Микхайл, Агами [73]), а также работы по выделению парамагнитной
составляющей в Ха на основе опытного определения распределения электронной плот-
плотности в кристалле полупроводника (см. Сирота, Шелег [74]; Сирота, Олехнович [75];
Сирота [76]).
В частности, если с помощью метода, предложенного в работах [74—76] выделить
из полной решеточной магнитной восприимчивости ванфлековский парамагнитный
вклад (см. гл. 7), то последний может быть непосредственно коррелирован с ионно-
ковалентной природой межатомных связей полупроводниковых соединений. Эта корре-
корреляция осуществляется через параметр ионности решетки (введеный полуэмпирически
Сюше [77] и рассчитанный квантовомеханически Байли [78]), весьма чувствительный
к структуре электронного облака ионов полупроводникового соединения. Байли и Ман-
Манка [71, 72] нашли хорошее согласие теории с опытом на изрэлектронных и изокатионных
рядах полупроводниковых соединений со структурой алмаза и цинковой обманки.
Подробности читатель может найти в указанных работах, а также в [93].
§ 6. Заключение
В заключение можно сказать, что изучение магнитной восприимчи-
восприимчивости полупроводников представляет собой один из интересных разделов
магнетизма, поскольку магнитные данные позволяют получить ценную
информацию о многих основных параметрах полупроводников (Ag,
эффективные массы носителей тока, состояния атомов примесей и т. п.)
в самых разнообразных условиях. Очень интересным и многообещающим
является дальнейшее развитие изложенной здесь теории путем ее рас-
распространения на различные возбужденные состояния в полупроводни-
полупроводниках — экситоны, поляроны. В связи с этим обращаем внимание на работу
*) См. заметку этого автора [63] по анализу данных по магнитной восприимчи-
i типа А1ПВ"
- 251 -
вости полупроводниковых соединений типа AInBv, а также [101].

по теории магнитных свойств медленных электронов (поляронов) в поляр-
полярном кристалле Хелворта и Плацмана [79], а также [80—84]. В работе [85]
развита теория диамагнетизма полупроводников в квантующемся магнит-
магнитном поле. Обращаем внимание и на ряд других работ по магнитным свой-
свойствам полупроводников [86—92, 94—100, 102—105].
Ниже мы еще вернемся к вопросу о магнетизме полупроводников
в связи с изучением циклотронного резонанса (гл. 13), гальваномагнит-
гальваномагнитных явлений (гл. 14), а также ферро- и антиферромагнетизма соединений
(гл. 22).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 12
1. Н. Y. F a n, Phys. Rev. 78, 80S A950).
2. Н. Y. F a n, Phys. Rev. 82, 900 A951).
3. К. Ш и ф р и н, J. Phys. USSR 8, 242 A944); ЖТФ 14, 40, 43, 49 A944).
4. J. В. A u s t i n, D. R. М с С 1 у m о n t, Physica 20, 1077 A954).
5. A. W. E w a 1 d, R. К о h n k e, Phys. Rev. 102, 1481 A956).
6. E. Г. Ц и ц и ш в и л и, ФТТ 8, 1193 A966).
7. G. A. Busch, Е. М о о s e r, Helv. Phys. Acta 26, 611 A953).
8. W. К 1 е m m, Zs. anorg. allg. Chem. 250, 223 A942).
9. K. L о n s d a 1 e, Proc. Roy. Soc. A159, 149 A937).
10. M. M a t у a s, M. К 1 i g 1, Czech. J. Phys. B18, 376 A968).
11. И. М. Б о й к о, Э. И. Р а ш б а, ФТТ 2, 1874 A960).
12. I. M. Mackintosh, Proc. Phys. Soc. B69, 403 A956).
13. J. A p p e 1, Zs. Naturforsch. Ha, 689 A956).
14. Y. Y a f e t, R. W. К е у e s, E. N. A d a m s, J. Phys. Chem. Solids 1, 137 A956).
15. R. W. К е у e s, R. J. S 1 a d e с k, J. Phys. Chem. Solids 1, 143 A956).
16. P. T. L a n d s b e r g , Proc. Phys. Soc. 71, 69 A958).
17. E. M о о s e r, Zs. angew. Math. u. Phys. 4, 433 A953).
18. E. S о n d e r, D. K. Stevens, Phys. Rev. 110, 1027 A958).
19. D. G e i s t, Zs. Naturforsch. 12a, 873 A957).
20. E. M о о s e r, Phys. Rev. 100, 1589 A955).
21. M. И. К л и н г е р, ЖЭТФ 33, 379 A957).
22. F. Т. Н е d g с о с k, Canad. J. Phys. 37, 381 A959).
23. Е. S о n d е г, Н. С. S с h w e i n 1 е г, Phys. Rev. 117, 1216 A960).
24. Н. М. J a m e s, A. S. G i n z b a r d, Phys. Rev. 77, 749 A950).
25. H. M. J a m e s, A. S. G i n z b a r d, J. Phys. Chem. 57, 840 A953).
26. И. М. Л и ф ш и ц, УФН 83, 617 A964).
27. М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 39, 1276 A960).
28. Г. Буш, У. В и н к л е р, Определение характеристических параметров полу-
полупроводников (перев. с нем.) ИЛ, М., 1959.
29. G. А. В u s с h, N. Н е 1 f e r, Helv. Phys. Acta 27, 201 A954).
30. F. Т. Н е d g с о с k, Canad. J. Phys. 34, 43 A956).
31. G. A. Busch, N. Heifer, O. V о g t, Helv. Phys. Acta 29, 188 A956).
32. С. Р. Е n z, Helv. Phys. Acta 28, 158 A955).
33. D. K. S t e v e n s, T. W. С 1 e 1 a n d, J. H. С r a w f о r d, Jr., H. С S с h w e i n-
1 e r, Phys. Rev. 100, 1084 A955).
34. V. van Itterbeck, W. Duchatean, Physica 22, 649 A956).
35. G. А. В u s с h, R. К е г n, Helv. Phys. Acta 29, 189 A956).
36. G. А. В u s с h, R. К е г n, Helv. Phys. Acta 32, 24 A959).
37. Я. Г. Д о р ф м а н, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 796 A957).
38. J. А. К r u m h a n s 1, J. Appl. Phys. 30, 1183 A959).
39. F. Т. Н e d g с о с k, J. Electronics 2, 6 A957).
40. J. А. К r u m h a n s 1, H. В г о о k s, Bull. Am. Phys. Soc. Ser. 11, 1, 117 A956).
41. R. Peierls, Zs. Phys. 80, 763; 87, 186 A933).
42. L. О n s a g e r, Phil. Mag. 43, 1006 A952).
43. J. M. L u t t i n g e r, W. К о h n, Phys. Rev. 97, 869 A955) (см. перевод, в сб.
«Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
44. Т. К j e I d a s s, W. К о h n, Phys. Rev. 105, 806 A957).
45. P. J. H a r p e r, Proc. Phys. Soc. A68, 879 A955); A70, 275 A957).
46. E. N. A d a m s, Phys. Rev. 89, 633 A953).
47. С. Р. Е n z, Nuovo cim. Suppl. 6, 1224 A957).
48. J. E. H e b b о r n, E. H. S о n d h e i m e r, Phys. Rev. Lett. 2, 150, A959); J.
Phys. Chem. Solids 13, 105 A960).
49. A. H. W i 1 s о n, Proc. Camb. Phil. Soc. 49, 292 A953).
50. F. H e r m a n, Phys. Rev. 95, 847 A954); Physica 20, 801 A954) (см. перевод в сб.
«Электрофизические свойства германия и кремния», изд-во «Советское радио»,
М., 1956).
- 252 -

51. G. D r e s s e 1 h a u s, A. F. К i p, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 98, 368 A955)
(см. перевод, в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
52. S. Mecboom, В. A b е 1 е s, Phys. Rev. 95, 31 A954).
53. М. S h i b u у a, Phys. Rev. 95, 1385 A954).
54. С. Р. Е n z, Helv. Phys. Acta 33, 89, 115 A960).
55. D. H. D a m о n, A. N. Gerritsen, Phys. Rev. 127, 405 A962).
56. A. M о r i t a, Y. A b e, H. Y a m a z a n i, J. Phys. Soc. Japan 18, 341 A963).
57. R. В о w e r s, Y. Y a f e t, Phys. Rev. 115, 1165 A959).
58. E. О. К о n e, J. Phys. Chem. Solids 1, 249 A957).
59. Y. Y a f e t, Phys. Rev. 115, 1172 A959).
60. D. G e i s t, Zs. Phys. 158, 123 A960).
61. M. Mat у as, Czech. J. Phys. 8, 301 A958).
62. M. M a t у a s, Czech. J. Phys. 8, 309 A958).
63. M. M a t у a s, Czech. J. Phys. 9, 257 A959).
64. К. Д. Т о в с т ю к, М. П. Г а в а л е ш к о, Укр. физ. журн. 7, 11 A962).
65. И. В. П о т и к е в и ч, Укр. физ. журн. 8, 7, 793 A963).
66. И. В. П о т и к е в и ч, Кандидатская диссертация, Черновцы, 1964.
67. И. В. П о т и к е в и ч, И. Р. Г а в р и щ а к, И. М. Р а р е н к о, Укр. физ.
журн. 8, 1274 A963).
68. И. В. П о т и к е в и ч, О. М.Беляев, Укр. физ. журн. 8, 967 A963).
69. И. В. П о т и к е в и ч, С. В. Ч е п у р а, Укр. физ. журн. 8, 889 A963).
70. М. М a t у a s, Czech. J. Phys. 12, 838 A962); В17, 227 A967).
71. F. В a i 1 1 у, P. M a n с a, Compt. rend. 262, B1075 A966).
72. F. В a i 1 1 у, Р. М a n с a, These of Symposium on the chemical bond in semi-
semiconductors, May 28 — June 3, Минск, 1967.
73. H. M i k h a i 1, F. I. A g a m i, J. Phys. Chem. Solids 27, 909 A966).
74. H. H. С и р о т а, А. У. Ш е л е г, ДАН СССР 147, 1344 A962).
75. Н. Н. С и р о т а, Н. М. О л е х н о в и ч, ДАН СССР 148, 71; 151, 1079 A963).
76. Н. Н. С и р о т а, ДАН СССР 150, 781 A963).
77. J. P. S u с n e t, Chemical Physics of Semiconductors, Van Nostrand, London, 1964.
78. F. Bailly, J. phys. et radium, 27, 335 A966).
79. R. W. H e 1 1 w a r t h, P. M. P 1 a z m a n, Phys. Rev. 128, 1599 A962).
80. К. К. В a j a j, Phys. Rev. 170, 694 A968).
81. E. W. Fen ton, Phys. Rev. 170, 816 A968).
82. G. С S m i t h, R. С. Н u g h e s, Phys. Rev. Lett. 20, 1358 A968).
83. D. M. Lars en, Phys. Rev. 135, A419 A964).
84. D. В. С h e s n u t, J. Chem. Phys. 40, 405 A964).
85. Д. С и р о т а, 3. У р и ц к и й, Г. Ш у с т е р, Письма ЖЭТФ, 1, 1 A965).
86. А. Г. А р о н о в, Г. Е. П и к у с, ФТТ 6, 506 A964).
87. В. М. Г л а з о в, С. Н. Ч и ж е в с к а я, ФТТ 6, 1684 A964).
88. Т. S h i n d o, J. Phys. Chem. Solids 26, 1431 A965).
89. L. К. К е у s, L. N. M u 1 a y, Appl. Phys. Lett. 9, 248 A966).
90. H. И. А к и ме н к о, П. А. Старик, К. Д. Т о в с т ю к Phys. stat. sol.
23, 93 A967).
91. М. S u f f с z у n s k i, Phys. Lett. 25A, 55 A967); Acta Phys. Polon. 23, 625 A968).
92. M. К a p 1 i t, J. N. Z e m e 1, Phys. Rev. Lett. 21, 212 A968).
93. H. Б. Б р а н д т, Е. А. Е в и с т о в а, Р. Г. В а л е е в, Письма ЖЭТФ 6, 724
A967); ЖЭТФ 55, 469 A968).
94. Л. И. Т р у с о в, ФТТ 9, 1805 A967).
95. А. Ю. К у д з а н, И. М. Черненко, ФТТ 9, 1822 A967).
96. L. К. Keys, Phys. Lett. 24A, 628 A967).
97. G. R 6 m e 11, D. G e i s t, Zs. angew. Phys. 17, 438 A964).
98. D. Paul, Ind. J. Phys. 41, 943 A967).
99. Л. П. С т p a x о в, М. П. Щ е т и н и н, Б. А. К а з е н о в, ФТТ 10, 2248 A968).
100. И. Г. К е р и м о в, Т. А. М а м е д о в, Н. Г. А л и е в, Изв. АН Азерб. ССР,
№ 4, 3 A968).
101. М. М a t у a s, Helv. phys. acta 41, 1032 A968).
102. Т. R. Sandin, P. H. К e e s о m, Phys. Rev. 177, 1370 A9G9).
103. H. Hasegawa, M. Nakamura, J. Phys. Soc. Japan 26, 1362 A969).
104. Y. Yamaguchi, S. Ishiguro, Sol. State Commun. 8,833A970).
105. J. E. L e w i s, Phys. stat. sol. 38, 131 A970).

лава 13
МАГНИТНЫЙ (ЭЛЕКТРОННЫЙ) РЕЗОНАНС В ВЕЩЕСТВАХ,
НЕ ОБЛАДАЮЩИХ АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ
В настоящей главе кратко описаны общие характеристики широкого
круга явлений современной радиоспектроскопии, носящих название
магнитных резонансов различного типа, обычно подразделяемые на пять
отдельных групп: 1) циклотронный резонанс (ЦР), 2) электронный пара-
парамагнитный резонанс (ЭПР), 3) ядерный магнитный резонанс (ЯМР),
4) электронный ферромагнитный резонанс (ЭФР) и 5) электронный анти-
антиферромагнитный резонанс (ЭАФР). Под общим термином «магнитный
резонанс» понимается избирательное (резонансное) поглощение энергии
переменного электромагнитного поля электронной или ядерной подсисте-
подсистемой вещества, подверженного действию постоянного магнитного поля.
Механизм поглощения связан с квантовыми переходами в этих подсисте-
подсистемах между дискретными уровнями энергии, возникающими в присут-
присутствии магнитного поля. Как указывалось выше, такие уровни могут быть
двух типов. Один из них связан с квантованием в магнитном поле орби-
орбитального движения заряженных микрочастиц *) — уровни Ландау, а дру-
другой — с пространственным квантованием результирующих магнитных
моментов (спиновых и орбитальных) в магнитном поле — зеемановские
уровни. Первый из перечисленных выше типов магнитных резонансов —
ЦР — связан с квантовыми переходами между уровнями Ландау, а все
остальные четыре типа — ЭПР, ЯМР, ЭФР и ЭАФР — с переходами
между зеемановскими уровнями. В этой главе мы остановимся на рас-
рассмотрении первых двух типов магнитных резонансов — ЦР и ЭПР. Осталь-
Остальные три типа будут рассмотрены позднее, в гл. 24 и 26.
§ 1. Циклотронный резонанс
В ЦР имеют дело с избирательным поглощением энергии электро-
электромагнитного поля в электронных проводниках (полупроводниках и метал-
металлах), находящихся в постоянном магнитном поле, обусловленным кван-
квантовыми переходами заряженных микрочастиц между энергетическими
уровнями Ландау A1.25а).
Явление ЦР для свободных частиц было понято еще в работах по
классической электронной теории Друде — Лорентца. Для таких частиц
ЦР в наиболее простой форме наблюдается в ионизованных газах (плаз-
(плазме). Впервые он наблюдался для свободных электронов в магнитном поле
Земли при распространении радиоволн в ионосфере [1—3]. Позже с этим
эффектом встретились при изучении разрядов в газах, вызываемых высоко-
высокочастотным электрическим полем в присутствии постоянного магнитного
поля (см., например, [4, 5])**). Наконец, в более позднее время ЦР также
наблюдался и для ионов [7]. Более подробные сведения об этих типах ЦР
можно найти в подробном обзоре Лакса и Мавродеса [8].
В случае твердых тел это явление было теоретически предсказано
Дорфманом [9] и независимо Динглом [10], а впервые на опыте его обна-
*) Это утверждение справедливо независимо от того,,обладает или не обладает
система отличным от нуля собственным результирующим магнитным моментом.
**) ЦР наблюдался также и в пламенах [6].
- 254 -

ружили Дрессельхауз и др. [11], Лаке и др. [12], Декстер и др. [13].
В настоящее время этот эффект наблюдался и изучен в десятках полу-
полупроводников и металлов *).
1. Классическое рассмотрение. Здесь главное внимание будет уде-
уделено описанию явления ЦР в твердых телах. Суть физического механизма
ЦР можно понять и в рамках классической теории. Рассмотрим простей-
простейший случай свободного электрона, движущегося в постоянном однород-
однородном магнитном поле Н (направленном вдоль оси z) по спиральной траекто-
траектории вокруг магнитных силовых линий с циклотронной частотой а>н,
для которой, согласно A1.25), имеем
(Заметим, что величина сон не зависит от «шага винта».) Включим теперь
радиочастотное электрическое поле с электрическим Е вектором, перпен-
перпендикулярным к магнитному полю Н (например, вдоль оси х); тогда, если
электрон имеет подходящую фазу своего движе-
движения по спирали, то, поскольку частота его вра- —-^-
щения совпадает с частотой внешнего поля, он
будет ускоряться и спираль будет расширяться.
Действительно, радиочастотное электрическое по-
ле ускоряет электрон на первом полуцикле дви- т -с
жения (рис. 13.1). На втором полуцикле электри- U^"
ческое поле изменяет знак на обратный, но и
электрон, двигаясь по спирали, изменяет соответ- \-JDj-
ственно направление своего движения и поэтому
снова ускоряется. Это в общих чертах похоже на
то, что происходит при ускорении заряженных
частиц в циклотроне, откуда и происходит тер- g)
мин «циклотронный резонанс». Электроны с не- рис. 1зл. к объяснению
подходящей фазой будут замедляться, и их спираль ^Жация°пол?щ<Т1^)
будет СТЯГИВаТЬСЯ К ее ОСИ, а Энергия ЭТИХ ЭЛекТ- иЧВИД траектории электрона;
JH _ ' г б) связь^проекции vn (*) ско-
рОНОВ будет передаваться раДИОчаСТОТНОму ПОЛЮ. рости|электрона * <t) с нап-
Однако общий баланс передачи энергии будет равлением поля ж <«.
в пользу передачи энергии от поля электронам,
т. е. будет иметь место резонансное поглощение **). Это можно легко понять
из несколько упрощенного рассмотрения задачи, если принять, что все
электроны делятся на две одинаковые группы: одну, находящуюся точно
в фазе с электрическим полем Е (t), а другую — точно в противоположной
фазе. Тогда, обозначая через + At» изменение величины скорости электронов
за период 2я/сон, получим для изменения кинетической энергии электрона
т/2 [(v + Д"УJ — (v — AwJ] = 2mv Av. Это и показывает, что энергия
системы электронов растет за счет поглощения энергии от источника
радиочастотного поля. Из этого элементарного классического рассмотре-
рассмотрения можно уже сделать вывод относительно общих необходимых условий
для осуществления ЦР, а именно:
1) Частота со внешнего переменного электромагнитного поля, энер-
энергия которого поглощается, должна совпадать с циклотронной частотой
частиц A3.1), т. е.
ю = юн. A3.2)
2) Вектор напряженности электрического поля Е электромагнитной
волны должен иметь компоненту, нормальную к направлению постоян-
постоянного магнитного поля Н.
*) Подробную библиографию работ можно найти в обзорах [8, 15].
**) Происходящее при этом резонансное поглощение электромагнитной энергии
при ЦР предполагает электрические, а не магнитные дипольные переходы, поэтому
в опытах по ЦР необходимо использовать переменное электрическое поле.
- 255 -

3) Среднее время свободного пробега электрона в кристалле т дол-
должно превышать период колебаний переменного поля при резонансе A3.2),
равный 2я/сон, т. е.
сонт>2я. A3.3)
Первые два условия необходимы для случая совершенно свободного
электрона, а третье добавляется в том случае, когда движение электронов
время от времени возмущается какими-либо столкновениями. При этом
для наблюдения резонанса необходимо, чтобы время т для электрона
равнялось по крайней мере сумме нескольких циклотронных периодов,
что и выражено условием A3.3). Если это условие не выполняется, то
траектория электрона в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к Н, уже не имеет вида раскручиваю-
раскручивающейся (или закручивающейся) спирали, а пред-
представляет собой траекторию, подобную траекто-
траектории «броуновской частицы» (рис. 13.2).
Выполнение условий 1) — 3) достигается
а* 6) соответствующим выбором частоты переменно-
Рис. 1з.2. зависимость вида го поля со, величины внешнего магнитного
шРен^Лр^™ТОлаакОс1ц™т?ой поля Л", температуры, химической однородно-
циклотронного периода 2л/ин. сти и совершенства кристаллической структу-
а) х » 2л/ин; б) х ^; 2л/ин. рЫ образца, ибо последние два фактора опре-
определяют величину т. Обычно в реальных опы-
опытах по ЦР имеют дело с частотами сон та 1,5-1011 сек'1. Согласно
A3.1) это соответствует полям Я «2-Ю3 э. Следовательно, из A3.3)
имеем т ^> 4-Ю1 сек, в то время как при комнатной температуре в по-
полупроводниках и металлах обычно т порядка 103—10~15 сек. Поэтому
опыты по изучению ЦР должны проводиться с химически очень чистыми
образцами с совершенной кристаллической решеткой и при очень низких
температурах (порядка 4° К), когда ничтожно мало влияние теплового
движения кристалла.
Как мы видели в гл. 11 и 12, движение электрона в твердом теле
благодаря влиянию поля кристаллической решетки и межэлектронному
взаимодействию имеет весьма сложный характер. В общем случае систе-
система электронов проводимости в металле и полупроводнике представляет
собой газ или, скорее, жидкость фермиевских квазичастиц с произволь-
произвольным законом дисперсии е {к). Тем не менее, как было показано в гл. 11,
в постоянном однородном магнитном поле Н движение электрона остается
периодическим (хотя и не обязательно по окружности) и циклотронная
частота дается формулой A1.82) или A1.83):
где т* — эффективная масса, определяемая формулой A1.84) через
dS/дг — производную сечения S поверхности Ферми по энергии е. Там
же упоминалось, что изучение ЦР дает возможность прямого определе-
определения эффективной массы т* носителей тока в металлах и полупроводниках.
В настоящее время этот метод определения т* является основным.
Экспериментальное наблюдение ЦР гораздо легче осуществить в полу-
полупроводниках, нежели в металлах. В последних дело осложняется тем,
как это впервые указал Шокли [16], что толщина скин-слоя б, на которую
проникает радиочастотное поле в металл, оказывается значительно мень-
меньше, чем «радиус» циклотронных орбит rH = v/a>H электронов в магнитном
поле Н. Поэтому характер рассматриваемого явления в полупроводниках
и металлах оказывается совершенно различным. Имеет смысл проанали-
проанализировать оба эти случая по отдельности.
2. Циклотронный резонанс в полупроводниках, а. Квазиклассическая
теория. Расчет эффекта в полупроводниках сильно облегчается из-за
- 256 -

того, что их высокое электросопротивление увеличивает глубину проник-
проникновения б электромагнитного поля в толщу образца (она значительно
превышает циклотронный радиус и длину свободного пробега б ^> гн, I),
и поэтому можно не учитывать неоднородность поля в образце. Ограничим-
Ограничимся сначала рассмотрением простейшего случая закона дисперсии в виде
е = р2/2т* для фермиевской квазичастицы со скалярной эффективной
массой т* [17]. На эту частицу с зарядом е действует постоянное магнитное
поле Н и радиочастотное электрическое поле Е = Ео exp (iwt) (радио-
(радиочастотной составляющей магнитного поля можно пренебречь). Кроме
того, действует эффективная сила трения Fr, обусловленная взаимодей-
взаимодействием электрона проводимости с фононами решетки или ее статическими
искажениями (атомы примеси, вакансии, дислокации), что приводит
к появлению конечного времени свободного пробега т. Если это время
можно отождествить с временем релаксации скорости электрона г; под
влиянием силы Fr, т. е. принять, что при выключении внешних воздей-
воздействий скорость спадает по закону v = v0 exp (—t/x), то *)
В итоге уравнение движения электрона примет вид
Направим постоянное поле Н вдоль оси z, а плоскополяризованное элек-
электрическое поле Е — вдоль оси х и предположим, что скорость v пропор-
пропорциональна ехр(гсог); тогда A3.6) примет вид
A3.7)
dvr «
——- = 0, vz — const.
Решая эту систему относительно vx, находим комплексную 'удельную
электропроводность
/ж nevx _ Г1+гсот
-1
т J,
где п — концентрация носителей тока, а
— статическая удельная электропроводность. Поглощение радиочастот-
радиочастотного электромагнитного поля в образце пропорционально вещественной
части электропроводности A3.8) (если размеры образца достаточно малы
по сравнению с глубиной проникновения б и длиной волны поля). Вводя
безразмерные величины
v = «t, vh = coht, A3.10)
находим для вещественной части Re а электропроводности A3.8):
Reg
0О
*) Строго говоря, для учета столкновений необходимо решать кинетическую
задачу, например, в рамках кинетического уравнения Больцмана. Однако для получе-
получения качественной картины можно ограничиться введением изотропного времени релак-
релаксации т, не зависящего от скорости электрона (эффективная масса считается здесь
также изотропной и не зависящей от v).
17 С. В. Вонсовский — 257 —

Графики зависимости функции *) Re а/а0 от vH/v = сон/со, т. е. от магнит-
магнитного поля при различных фиксированных значениях v = сот, приведены
на рис. 13.3. Из этих графиков видно, что-уже при сот ^ 2, когда усло-
условие A3.3) начинает выполняться, кривые имеют отчетливый резонансный
вид. Полезно рассмотреть некоторые асимптотические случаи:
1) vh Э> v и vh Э> 1- Это случай низкочастотных переменных элек-
электрических полей и сильных стационарных магнитных полей. При этом
из A3.11) находим
Reo
A3.12)
Рис. 13.3. Зависимость поглощаемой энергии
электромагнитного поля P[Ooi]^° ~ ^е °/°° от
величины постоянного внешнего магнитного поля
Я(@д/ю) при различных значениях »х (Лаке и
др. [12]) [см. формулу A3.11)L Р[оо1] — погло-
поглощаемая энергия при поле Н, параллельном [001] в
кристалле, о0 — статическая электропроводность,
р0 поглощаемая энергия при Я = 0 и и=0,
ре о вещественная часть комплексной удель-
удельной электропроводности, ю#—циклотронная ча-
частота, х время релаксации, а — частота внеш-
внешнего переменного поля.
ного изменения
A3.13) получаем
сопротивления
Ар
Ро
Следовательно, поглощение в об-
области значительно выше резо-
резонансной убывает обратно пропор-
пропорционально Нг. «Орбиты» носите-
носителей тока имеют малый радиус, и
возможен очень малый дрейф вдоль
электрического поля.
2) v <^ vH <^ 1. Это случай:
низкочастотного переменного поля
и слабого статического магнит-
магнитного поля [температура может
быть низкая (т. е. т не мало) и
высокая (комнатная, т мало)].
Опять из A3.11) находим
— ^l-vH. A3.13)
"о
Если вместо электропроводности
ввести удельное электросопротив-
электросопротивление р = 1/ст, то для относитель-
i Дет \
| I /-^/
on ) ~
где w — подвижность носителей тока:
ет
A3.14)
A3.15)
Таким образом, в этом предельном случае мы имеем обычный поперечный
эффект изменения электросопротивления в магнитном поле (эффект магые-
тосопротивления) в отсутствие электрического поля Холла (см. гл. 14).
3) v ^> I, vh = 0. Это случай облучения высокочастотным полем
(например, инфракрасным светом) в отсутствие магнитного поля. Из-
A3.11) находим
4)
1. Это условие циклотронного резонанса. Из A3.11) имеем-
Reo 1
A3.17)
*) На рис. 13.3 по оси ординат отложена величина Р[ooi/^O' пропорциональная
отношению Re 0/0о, где Pf00i] — поглощаемая энергия при поле Н, параллельном осж
[001], а Ро — то же при Н = 0.
- 258 -~

Из A3.17) видно, что при резонансе высокочастотная проводимость в два
раза меньше, чем в статическом режиме. Это связано с тем, что мы рас-
рассматривали в A3.7) линейно поляризованное излучение, поглощение же
испытывает только одна из двух поляризованных по кругу компонент,
а именно та из них, которая при резонансе находится в фазе с дрейфовой
скоростью в процессе движения, как и в обычном статическом случае.
Другая компонента в рассматриваемом случае проходит свободно, без
поглощения. Поэтому, если бы высокочастотное электрическое поле было
поляризовано по кругу, а не линейно, то в A3.17) мы получили бы
Re акруГ/схо & 1- Из сравнения A3.17) и A3.16) можно найти отношение
радиочастотных проводимостей при резонансе и в отсутствие магнитного
поля (при частоте vh ~^> 1), а именно:
Re 0рез
A3.18)
Re0H=o 2
Таким образом, при сонт « 10 это отношение равно примерно 50.
Полуширина Лео кривой Re а (со) при половинном значении Re a
определяется из условия
т-Асо = 1. A3.19)
При не очень низких концентрациях носителей тока необходимо учиты-
учитывать эффекты электростатической поляризациии токов смещения [см. A7.8)].
Здесь могут возникнуть различные вторичные явления типа магнитного
резонанса плазмы, эффектов деполяризации, диэлектрические аномалии,
которые затрудняют наблюдение истинного ЦР.
Опыты Дрессельхауза и др. [17—19] с соединением InSb показали,
что когда число носителей тока возрастает так, что плазменная частота
©плзм (см. гл. 11, § 5, п. 1) становится сравнимой с циклотронной часто-
частотой сод, то сильная связь плазменных колебаний с индивидуальным дви-
движением частиц приводит к расширению пиков ЦР. Это и позволило выска-
высказать предположение (Киттель [20]), что эффекты экранирования не поз-
позволяют наблюдать в металлах резонансные эффекты (см. ниже п. 3).
Здесь мы не имеем возможности останавливаться на этих вопросах
и отсылаем читателя к цитированным выше работам. Можно лишь заме-
заметить, что для чистых Ge и Si при достаточно низких температурах концен-
концентрация носителей тока мала. Однако с ростом концентрации (при более
высоких температурах) появляются эффекты пространственного заряда
или плазменные эффекты, которые могут быть учтены введением деполя-
деполяризующего члена в уравнение типа A3.5). Эти эффекты приводят к умень-
уменьшению резонансных частот, а поэтому при достаточно высоких концентра-
концентрациях электронов резонанс уже не зависит от эффективной массы. Таким
образом, плазменные эффекты накладывают верхний предел на величину
концентраций носителей тока, при которых возможно наблюдать ЦР.
6. Учет анизотропности закона дисперсии в полосе проводимости. Проведенный
выше классический расчет для простейшего изотропного случая относится скорее
к ионизованному газу, чем к реальному кристаллу полупроводника, в котором закон
дисперсии для носителей тока (электроны или дырки) имеет существенно анизотропный
характер. Так, например, в случае Ge и Si область вблизи дна полосы проводимости
(т. е. вблизи минимумов энергии) описывается изоэнергетическими поверхностями
в виде эллипсоидов *)
4ФМ)
занимающих эквивалентные положения в fc-пространстве в соответствии с симметрией
кристалла. Волновой вектор к в A3.20) отсчитывается от своего значения к0, соответ-
соответствующего минимуму энергии, а индексы 1,2,3 относятся к осям прямоугольной
декартовой системы координат (в fe-пространстве), совпадающим с главными осями
*) На это указывает вся совокупность экспериментальных данных по исследова-
исследованию физических свойств этих веществ, а также и теоретические расчеты Германа
[21—24] и Германа и Каллауэя [25].
— 259 — 17»

изоэнергетическпх эллипсоидов. Задачу о ЦР будем решать квазиклассически в при-
приближении «эффективной массы». Обоснование законности такого приближения для
полупроводников было дано в работе Латинджера и Кона [26]. Решение же задачи о ЦР
для общего случая анизотропного квадратичного закона дисперсии было дано Шоклп
[16]. Уравнение движения по аналогии с A3.6) можно записать в виде
m*v
A3.21)
где 77i* — тензор эффективных масс. Поскольку Е (t) = E exp (ttoi), то скорость v =
= v0 + v exp (tint). Таким образом, уравнение A3.21) для компоненты скорости,
зависящей от времени, будет иметь вид
Н ; )• A3.22)
Из уравнения A3.22) находим скорость v через ее слагающие или в векторной форме
(см. [27]), откуда сразу же получаем выражение для плотности тока j п тензора
электропроводности о:
A3.23)
Г- 771* Н
где | 771 | = 77i*77i|77i*. Мощность электромагнитного поля, поглощаемая электронами
дается выражением Р = V2 RejE*. В работах Лакса и др. [12] получены явные
Теория
Рис. 13.4. Зависимость мощности P[ift/] поглощаемой энергии электромагнитного по-
поля в n-Ge от величины постоянного магнитного поля Н (и^/и), выраженного через
циклотронную частоту, для различных направлений Н ([001], [110] и [ill]) в плоско-
плоскости A10) монокристалла. Р350 — поглощение для поля, ориентированного под уг-
углом 35° к оси [001]; (по данным работы [14]).
выражения для Р при различных ориентациях магнитного поля в кристалле. При
выполнении условия шт > 1 из выражения для знаменателя в A3.23) легко найти
резонансную частоту:.
)
т*т*т$
1/2
где а, Р, у — направляющие косинусы магнитного поля относительно главных осей
эллицсоида. На рис. 13.4 приведено сравнение теоретических кривых Р (шн/ш) с опыт-
- 260 -

ными (при соответствующем подборе значений mf, mf и т%). Согласие получается доста-
достаточно хорошим. Определяя циклотронную частоту (по максимумам на кривых, подоб-
подобных изображенным на рис. 13.4) при различных ориентациях магнитного поля в кри-
кристалле (т. е. при различных а, |3, у), можно определить компоненты тензора эффектив-
эффективной массы mf, т% и т%. В случае Ge и Si энергетические поверхности — эллипсоиды вра-
вращения *) (рис. 13.5) с поперечной mf = т\ = mf и продольной mf = m*t эффективными
то Y2 = cos2l&
массами. Если угол между полем Н и осью 3 (т. е. осью z) равен ¦&
и а8 + Р2 = 1 — y2 = sin2 вниз A3.24) следует:
+¦
mfmf
eH
где nifj — циклотронная эффективная масса, определяемая соотношением
A3.25)
A3.26)
которая зависит не только от закона дисперсии (т. е. mi л mi), но и от направления
постоянного магнитного поля в кристалле. Поскольку Ge и Si имеют кубическую сим-
симметрию, то расположение семейства эллипсоидов A3.20) должно иметь туже симметрию.
а) б)
Рис. 13«5. Энергетические поверхности; а) в германии; б) в кремнии. Многогранник—
первая зона Бриллюэна (Гейст [15]).
Поэтому, если ось вращения эллипсоида расположена вдоль осей типа [100], то их
должно быть 3 или 6 в зависимости от того, локализованы ли минимумы энергетиче-
энергетических поверхностей у краев пли внутри первой зоны Бриллюэна. Точно так же, если
эллипсоиды ориентированы вдоль диагоналей куба, то их должно быть 4 или 8.
Из рис. 13.4 видно, что когда поле Н направлено вдоль оси [001], то наблюдается всего
лишь один максимум на кривой Р (Н). Следовательно, это направление наибольшей
симметрии, и поэтому эллипсоиды должны ориентироваться вдоль осей [111]. Поэтому
при О = Омы имеем {™*)[\\ц = mf ж при # = 90° (m*)(-110-j = (mf-mfI/2. Зная из
опыта Тод, можно найти по этим соотношениям mmf и mf. Для случая полосы прово-
проводимости Ge по данным работы Дрессельхауза и др. [17] получено
mf = A,58 ± 0,04) т и mf =@,082 ± 0,001) т.
По данным работы Декстера и др. [28] имеем
mf = A,64+ 0,03) т и т* = @,0819 ± 0,0003) т.
В случае Si по данным работы Дрессельхауза и др. [17]
mf = @,97 ±0,02) т и mf = @,19 + 0,01) т.
По данным работы Декстера и др. [28]
mf = @,98 + 0,04) т и т* = @,19 + 0,01) т.
в. Учет анизотропности закона дисперсии в валентной полосе. Расчет ЦР для
дырок **) в валентной зоне p-Ge n p-Si является более сложным. В кристаллах этих
*) В Ge ось вращения совпадает с осью [111], а в кремнии — с [100].
**) В опытах по ЦР можно сравнительно просто определить знак заряда носите-
носителей тока (электрон или дырка). Для этого нужно пользоваться переменным радиочас-
радиочастотным электрическим полем не с линейной, а с круговой поляризацией, которое будет
ускорять только заряды, вращающиеся в том же направлении, как п вектор электри-
электрического поля в волне.
- 261

веществ имеется два типа дырок с различными эффективными массами — легкие и тя-
тяжелые дырки. Первые работы, в которых был рассмотрен теоретически и исследован
экспериментально этот вопрос, принадлежат Дрессельхаузу [17, 29] и Киттелю [20],
которые опирались в своих исследованиях на предшествующие работы Шокли [30]
и Германа [21—24]; затем этот вопрос исследовался в работе Декстера и др. [28].
Появление дырок с двумя различными массами объясняется в теории атомных
полупроводников типа Ge и Si следующим образом. Валентные энергетические поло-
полосы в электронном спектре этих кристаллов возникают путем расщепления р-уровней их
изолированных атомов и поэтому обладают при к = 0 трехкратным вырождением
(с учетом спина — шестикратным), характерным для этих атомных состояний. Однако
в изолированных атомах спин-орбитальное взаимодействие типа (L-S) частично сни-
снимает вырождение, расщепляя р-уровень на два подуровня Р3/2 и ^i/2' соответствующие
значениям полного момента / = 3/2 и / = 1/2. При этом четырехкратно вырожденная
энергетическая полоса с / = 3/2 лежит выше, чем двукратно вырожденная с / = 1/2,
на величину параметра спин-орбитального расщепления к (в Ge к = 0,3 ев, см. Кан
[31] и Дингл [32], а в Si к = 0,044 + 0,001 ее, см. Цвердлинг и др. [33]) *). Для
двукратно вырожденной полосы **) [21—23, 17, 30] (/ = 3/2, без учета спина) закон
дисперсии имеет вид
e(k) = --?—{Ak2±
A3.27)
где А, В и С — константы, определяемые экспериментально или вычисляемые теоре-
теоретически (методом теории возмущения), и они могут быть связаны с величиной эффек-
эффективных масс. Два знака перед корнем в A3.27) объясняют наличие двух типов дырок:
с легкой эффективной массой (знак минус) и с тяжелой (знак плюс). В табл. 13.1 приве-
приведены экспериментальные значения эффективных масс, определенные по ЦР дырок
В валентных полосах Ge и Si [28].
Таблица 13.1
Опытные значения эффективных масс, определенные по циклотронному
резонансу дырок в валентных полосах Ge и Si.
Значения т * даны в единицах массы электрона; из работы Декстера,
Цайгера и Лакса [28]
^~~~~-~—^____^ [Направление
^~~~~~^^^^^ поля
Вещество -^^
/™легк
i ттяж
(m*erK
М-т*яж
[100]
0,0438+0,003
0,284+0,001
0,171+0,006
0,46+0,01
[Hi]
0,0426+0,002
0,376+0,001
0,157+0,005
0,57+0,01
[HO]
0,0430+0,003
0,352+0,004
0,163+0,005
0,53+0,01
«Деформированный», а не чисто «эллипсоидальный» характер изоэнергетических
поверхностей вблизи края валентной полосы оказывает существенное влияние на часто-
частоты ЦР. В этом случае мы имеем дело уже не с одной резонансной частотой (при заданной
ориентации постоянного магнитного поля относительно осей эллипсоида), а с целым
распределением частот [17].
г. Произвольный закон дисперсии. Используя общую формулу для эффективной
массы из теории с произвольным законом дисперсии A1.84), можно определить для
каждого направления магнитного поля и сечения kH = const связь между т* и констан-
константами А, В я С в A3.27). Используя для т* их значения, найденные из опытов по ЦР,
можно таким образом определить численные значения этих констант. Действительно,
с помощью A1.84) и A1.80) и цилиндрических координат р, ср и рн (рн — компонента
*) Метод эффективной массы допустим, когда расстояние между «спин-орбиталь-
«спин-орбитальными» энергетическими полосами (т. е. к) гораздо больше энергий, с которыми имеют
дело в задаче. Поскольку энергии, встречающиеся в опытах по ЦР, значительно мень-
меньше к, то метод эффективной массы в данном случае вполне допустим.
**) Закон дисперсии для полосы с / = 1/2 (двукратное вырождение с учетом
спина) имеет виц
Обычно эта полоса (по крайней мере в Ge при низких температурах) не имеет дырок,
н поэтому ЦР для нее не наблюдается.
- 262 -

квазиимпульса р = Ьк вдоль направления магнитного поля Д, а р — в плоскости,
перпендикулярной к вектору -Н", ф — азимут в этой плоскости) находим
дР
В общем случае использование A3.28) для определения констант А , В и С в законе дис-
дисперсии A3.27) связано с очень большими вычислительными трудностями. Однако для
¦случая, когда вектор -ff лежит в плоскости A10) ж рн = 0 *), вычисления не столь
¦сложны. При этих условиях, как было показано в работе [17], имеем
Я/2
-=4 J ¦ г Т^ Р7Г' A3-29)
J0 Л±|В2+1С2[1+?(ф)]|
t C2(i—3cos2QJ ч
Ф1] Г «[*+(*)']>* (т)Т 7
где А, В и С определяются законом дисперсии A3.27),
и ¦& — угол между магнитным полем и осью [100], откладываемый в плоскости A10).
Разложение в ряд функции g (ф) дает **)
т* ?2/2
^^ L ~^~ V z / J с L ' \ 2 / j L \ 2 / j
A3.31)
Подставляя в A3.31) три подходящих опытных значения эффективных масс, найденных
из опытов по ЦР, можно найти константы А , В и С.
Для вычисления формы линий ЦР в классическом приближении необходимо вос-
воспользоваться классическим уравнением Больцмана. По этому вопросу мы отсылаем
читателя к оригинальным работам [34—36] или к обзору [8].
д. Квантовая теория и сравнение с опытом. До сих пор мы, по существу, ограни-
ограничивались квазпклассическим рассмотрением явления ЦР в полупроводниках. Кванто-
Квантовая теория должна включать в себя расчет энергетических уровней Ландау (см. гл. 11),
возникающих для носителей тока в постоянном магнитном поле, вероятностей перехода
между этими уровнями под влиянием внешнего электромагнитного поля и кинетиче-
кинетические расчеты с учетом квантовых эффектов. Расчет уровней Ландау в связи с пробле-
проблемой ЦР был проведен еще в работах Дингла [10] для свободных носителей тока. Был
получен энергетический спектр A1.9), а также правила отбора для электрических
дипольных переходов (п ->- п ± 1). Квантовая теория ЦР для анизотропного квадра-
квадратичного закона дисперсии, а также для более сложного закона типа A3.27) была позже
рассмотрена в работах Кона и Латтинджера [37] и Латтинджера и Кона [26]. Для
наиболее общего вида гамильтониана эта проблема была рассмотрена Латтиндже-
ром [38] ***).
Основные результаты квантовой теории сводятся к следующему ****). Для ферми-
частиц носителей тока в полупроводниках гс-типа (например, электрон в невырож-
невырожденной полосе проводимости Ge или Si) результаты квантового расчета совпадают
с классическими. В случае же носителей типа дырок в вырожденных валентных
полосах (p-Ge и p-Si) ситуация существенно усложняется. Квантовая теория приводит
для таких носителей заряда другие значения для энергетических уровней Ландау
(которые оказываются не эквидистантными) и другие правила отбора при малых кван-
квантовых числах (при достаточно больших квантовых числах, разумеется, приходим
к обычному классическому пределу). Это особенно четко должно наблюдаться при
самых низких температурах (около 1° К), когда квантовые эффекты, связанные с пере-
переходами между наиболее низкими энергетическими уровнями, будут заметно усиливать-
усиливаться. В первую очередь при таких температурах должны появляться дополнительные
резонансные максимумы, связанные с этими переходами. Первые указания на это были
получены еще в работе Дрессельхауза и др. [29]. Однако наиболее детальное наблю-
наблюдение квантовых эффектов было проведено Флетчером и др. [39], которые наблюдали
*) Строго говоря, частота и форма линии ЦР зависят от значения параллель-
параллельной магнитному полю составляющей квазиимпульса рн дырки. Если учесть эту зави-
зависимость, то должно наблюдаться смещение максимума линии ЦР (для Ge порядка 3%)
и ее асимметричное уширение (для Ge порядка 40%); см. работы [34, 35].
**) Для направления [111], когда cos2d = 1/3, этот результат — точный, для
других ориентации магнитного поля вклад следующих членов разложения не превы-
превышает 1% (см. [17]).
***) Для определения закона дисперсии дырок валентной полосы в обоих слу-
случаях, Ge и Si, в присутствии внешнего магнитного поля необходимо знать пять
констант.
****) За подробностями читателю полезно обратиться к обзору [8].
- 263 -

дополнительные линии ЦР в очень чистом p-Ge при наинизшей (из применявшейся
в опытах по ЦР) температуре в 1,3° К, которые исчезали при повышении температуры
до 4,2° К, когда на кривой поглощения оставалось лишь два обычно наблюдаемых
максимума, отвечающих легким и.тяжелым дыркам (рис. 13.6). В работе Гудмена [40]
проведено наиболее полное сравнение квантовой теории ЦР в полупроводниках с опыт-
опытными результатами работы Флетчера и др. [39]. В работе Гудмена [40] показано, что
с точностью около 3% можно считать, что проекция квазиимпульса вдоль поля равна
нулю (рн = 0). Анализ показал, что многие из дополнительных линий, наблюдавшихся
в опытах [39] при 1,3° К, предсказываются теоретически. Однако есть линии, которые
теоретически предсказываются, но на опыте не были еще обнаружены, а также есть
линии, найденные на опыте, но не предсказываемые теорией [40]. Эти несогласия,
1,0
I
[wo]
ом
cvWK
1,3"R
I
8
0,376
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
т*/т
0,6
Рис 13.6. Резонансы тяжелых и легких дырон в чистом p-Ge при 4,2° К
(пунктирные кривые) и 1,3° К (сплошные кривые) в трех главных кристал-
кристаллографических направлениях ([100], [111] и [НО]) при круговой поляриза-
поляризации. Появление добавочных максимумов на кривых при более низкой темпе-
температуре A,3°) указывает на квантовые эффекты. Внизу дана шкала значений
для относительных эффективных масс дырок т*/т (т — масса свободно-
свободного электрона). У осей абсцисс указаны значения т*/т для соответствую-
соответствующих максимумов (или изломов на кривых для 1,3° К). Значения т*/т
при 4,2°К указаны непосредственно у максимумов пунктирных кривых. По
Флетчеру и др. [39].
по-видимому, могут быть отнесены за счет приближенности теории и ошибок экспери-
эксперимента. Гудмен [40] при обсуждении своих выводов высказывает предположение, что
некоторые из резонансных пиков, не наблюдавшихся в опытах Флетчера и др. [39],
были обнаружены Дусманисом [41] в опытах по ЦР на дырках отрицательной эффек-
эффективной массы. Внимание к случаю отрицательной эффективной массы для тяжелых
дырок в Ge было привлечено работами Кремера [42—45]; Дусманис и др. [46] и Фирсов
[47] указали на возможность обнаружения отдельных линий ЦР для этих дырок при
использовании микрорадиоволн с круговой поляризацией. В работе [41] как будто
бы наблюдались такие эмиссионные линии ЦР. Однако в более поздней работе Дек-
стера и др. [48] это не было подтверждено. Вообще свойства носителей с отрицательной
эффективной массой рассматривались рядом авторов (см., например, Каган [49], а так-
также обзор [8]). В теоретической работе Дункана и Розенблюма [51], точнее учитываю-
учитывающей характер закона дисперсии в Ge и квантование уровней в магнитном поле, показа-
показано, что при низких температурах (порядка 4,2° К) интенсивность линий ЦР для дырок
с отрицательной эффективной массой должна резко спадать, ибо при низких темпера-
температурах из-за квантования уровней лишь исчезающе малая доля носителей занимает
состояния с отрицательной эффективной массой. Таким образом, этот эффект должен
- 264 —

наблюдаться при более высоких температурах, например при Т ж 50° К, т. е. при
Пы/кТ < 1.
Существенно также при сравнении теории с опытом учитывать еще один эффект,
а именно эффект Штарка от внешнего электрического поля, действующего при наблю-
наблюдении линии ЦР. В случае невырожденных энергетических полос расчет показал [52],
что с помощью соответствующего преобразования координат можно преобразовать
уравнение Шредингера так, чтобы исключить в гамильтониане электрическое поле.
Хотя это преобразование и смещает уровни Ландау, но можно показать, что правила
отбора допускают переходы только между энергетическими уровнями, которые испы-
испытывают одинаковое смещение. Однако в случае вырожденных энергетических полос,
подобных валентным полосам Ge и Si, штарковское смещение должно наблюдаться
для низких уровней Ландау. Величина относительного смещения Av/v может дости-
достигать примерно 10% для типичных экспериментальных условий: Е ях 0,3 в/см и Н ж
ж 1000 а (см. [52]).
Для определения констант А, В и С, входящих в закон дисперсии типа A3.27)
для дырок валентных полос Ge и Si, оказывается, может быть полезным также наблю-
наблюдение ЦР в образцах, подвергнутых одностороннему растяжению. Этот вопрос был
рассмотрен теоретически Пикусом и Биром [53] и исследован экспериментально Хен-
селем и Фехером [54]. В этом случае можно определить не только константы А, В и С,
но и отношение констант деформационного потенциала, играющих важную роль в тео-
теории рассеяния носителей тока в полупроводниках.
До сих пор речь шла о ЦР в атомных полупроводниках Ge и Si. Однако этот эффект
наблюдался, правда с меньшим успехом, и в образцах полупроводниковых соединений.
Первая из работ на не слишком чистом образце соединения InSb была выполнена Дек-
стером и Лаксом [55]. Анализируя очень размытый максимум на кривой поглощения,
они оценили эффективную массу электрона проводимости m* «s 0,02m при сот = 1/3.
Дрессельхауз и др. [19] на чистом образце p-InSb (при концентрации примесей
5-Ю14 см'3 и при 2,2° К) обнаружили более четкую картину резонанса с одной более
узкой линией при слабом поле (=& 100 э), связанной с электронами с эффективной
массой т* =& @,013 ± 0,001) т. По ширине этой линии было определено время ре-
релаксации т яг 1-Ю1 се&. Две другие широкие резонансные линии дали эффективные
массы т* ж 0,18т и т* ж 1,2т. По-видимому, первая из этих масс связана с
дырками.
Более отчетливые результаты были получены в работе Декстера [56] на
монокристалле чистого CdS, на котором он наблюдал электронный и дырочный
резонанс при 4,2° К и 1,3° К соответственно с эффективными массами т*л = 0,35т и
тдыр = °.°7т-
Делались также попытки обнаружить ЦР в других полупроводниковых
соединениях: InAs, GaAs, PbS, PbSe, а также в диэлектриках типа SiC, алмазах
и др. [8], но все они были безуспешны. Одной из самых удачных работ по изучению ЦР
в полупроводниковых соединениях является исследование Стивенсона [57] на монокри-
монокристаллах CdAs2, выращенного из спектрально чистых компонент. Измерения велись
при 2° К и сот « 3. Найдены две резонансные линии — одна для электронов и другая
для дырок. Для разных ориентации постоянного магнитного поля в плоскости a — с
эффективная масса дается формулой A3.26) (О — угол между Н и осью с) с парамет-
параметрами продольной mf и поперечной mf массы, которые для электронов соответственно
равны 0,16 и 0, 57 т, а для дырок 0,11 и 0,32 т.
В работе Аскарелли и Броуна [58] исследовался ЦР в ионном соединении
AgBr на поляронах, для которых найдена эффективная масса в 0,21т.Определяя
ширину линий ЦР как функцию температуры, можно получить сведения о природ©
релаксационных процессов, определяющих саму ширину линии. В случае n-Ge
в опытах Баггли и др. [59] было найдено, что при Т < 10° К ширина линии
определяется столкновениями с нейтральными примесями. При более высоких
температурах, по-видимому, основную роль начинают играть электрон-фононны©
столкновения. В качестве примера можно указать более поздние работы по ЦР
в полупроводниках [60—73, 50, 552—558].
3. Циклотронный резонанс в металлах, а. Общие замечания. Как
уже отмечалось выше, наблюдение ЦР в веществах с большой кон-
концентрацией носителей тока, к которым относятся и металлы, невоз-
невозможно или во всяком случае сильно затруднено из-за эффектов экра-
экранирования.
В опытах по поглощению микроволнового излучения в магнитном
поле изучаемый металл обычно делают частью стенки резонансной полости.
Энергия электромагнитного поля поглощается в таком поверхностном
слое металла. Для вычисления этого поглощения необходимо определить
вектор Умова — Пойнтинга плоской волны, нормально падающей на
поверхность металла. Явление нерезонансного поглощения электромагнит-
электромагнитной энергии внешнего поля в металлах в магнитном поле при низких
— 265 —

температурах и микроволновых частотах было теоретически предсказано
Дрессельхаузом и др. [17]. Это явление наблюдали экспериментально
Галт и др. [74], Декстер и Лаке [75] и проанализировали теоретически
Андерсон [76], Тинкхэм [77], Лаке и др. [78]. Декстер и Лаке [75] показали
возможность экспериментального определения ЦР по точкам перегиба
на кривой поглощения. Этот метод широко использовали Галт и Ягер [79]
на графите; теория метода была развита в работах Лакса и Цайгера [80]
и Нозьера [81]. Более детально с этим вопросом можно ознакомиться
в обзоре [18]. Здесь же мы остановимся на более подробном описании
другого типа ЦР в металлах, который впервые предсказали Азбель и Ка-
нер [82] и теория которого была разработана ими же [83—90].
В металлах из-за большой концентрации носителей тока — электро-
электронов проводимости (»1022 см~3) ситуация для наблюдения магнитно-резо-
магнитно-резонансных явлений существенно изменяется *). Отметим при этом две
¦специфические «особенности» металлов.
б. Первая «особенность» металлов. Высокая концентрация электронов
проводимости в металлах приводит к существенной неоднородности
электромагнитного поля (резонансное поглощение которого мы хотим
исследовать) на расстояниях порядка радиуса циклотронной орбиты
rH = mvcleti. Порядок величины этого радиуса для обычных металлов
•со скоростями у поверхности Ферми 1>ф » 108 см/сек и эффективной массой
т* я? т* ?& 10~27 г определяется соотношением
_ ф Ю-27.108.1010
еН ~
т. е. при магнитных полях Н « 104 э имеем гн » 10~3 см. С другой сто-
стороны, глубина проникновения высокочастотного электромагнитного поля
в толщу металла от его наружной поверхности, т. е. глубина скин-слоя б,
для чистых металлов при низких температурах и микроволновых часто-
частотах оказывается порядка 10~5 см, т. е. на два порядка меньше, чем гн.
Чтобы наблюдать в металле ЦР, должно выполняться условие A3.3),
т. е. сонт > 1- Если сон заменить по A3.1), а время свободного пробега
носителей тока т выразить через среднюю длину свободного пробега
1 (т = l/v), то вместо A3.3), используя еще формулу для гн, можно полу-
получить эквивалентное условие
1>гн. A3.32)
Для чистых металлов при гелиевых температурах («4° К) времена релак-
релаксации лежат в интервале от 10~9 до 10~п сек, а длины свободного пробега —
соответственно в интервалах от 10-1 до 10~3 см. Таким образом, при этих
условиях выполняются неравенства
Т> гн > б. A3.33)
Условие I ^> б означает, что осуществляется так называемый аномальный
скин-эффект.
Этот эффект вначале теоретически исследовали Рейтер и Зандхей-
мер [91] и впервые исследовал экспериментально Чамберс [92], а затем
Пиппард [93, 94]. Дальнейшее развитие теории дали Каганов и Азбель [95].
В случае аномального скин-эффекта глубина проникновения б уже не
зависит от т и оказывается по порядку величины равной баном » с/соплзм,
*) Выше также отмечалось, что и в полупроводниках с повышенной концентра-
концентрацией носителей тока (свыше 1019 см'3) опыты по ЦР становятся практически неосуще-
неосуществимыми из-за поляризации кристалла, которая создает дополнительное электриче-
электрическое поле, «разрушающее» условие циклотронного резонанса. Это приводит к смеще-
смещению и расплыванию резонансных пиков, что лишает возможности определить эффектив-
эффективные массы носителей и т. п.
— 266 -

где плазменная частота (см. гл. 11) определяется концентрацией носителей
тока п, а именно соПЛзм ~ (пе^/тI^. Если принять, что п « 1022 см~3,
то баном « 10~5 -I- 10~6 см. Поскольку гн « 10 см, то неравенство
A3.33) выполняется.
Азбель и Канер [82] обратили внимание на то, что существенная неод-
неоднородность высокочастотного электромагнитного поля может целиком
изменить механизм поглощения носителями тока энергии от внешнего
поля и сделать этот механизм чрезвычайно чувствительным к ориентации
внешнего магнитного поля относительно поверхности исследуемого
.металлического образца. Действительно, как видно из рис. 13.7, а, если
направление магнитного поля составляет с поверхностью образца угол,
¦отличный от нуля (точнее, угол ф > б/гн), то практически все электроны
выходят из скин-слоя толщины б, не совершив даже полного оборота по
¦одной петле спирали, и ускоряются полем на малом отрезке ее дуги,
которая очень мало отличается от отрезка прямой. Если же магнитное
поле строго параллельно плоской поверхности металлического образца
(точнее, составляет с ней угол ^ б/гн <С 1° или 1')> т° основной вклад
ъ ток вносят электроны, движущиеся вблизи поверхности, не сталкиваю-
сталкивающиеся с ней (рис. 13.7, б) и многократно A/2пгн ^> 1) возвращающиеся
по виткам спирали в скин-слой, где они ^.
ускоряются внешним электромагнитным ч I H >
полем. В глубину металла эти электроны
не диффундируют, поскольку среднее зна-
значение проекции скорости на направление
нормали к поверхности металла равно
jj Рис. 13.7. Схематический вид возмож-
НуЛЮ. Движение таКИХ ЭЛеКТрОНОВ про- ных «траекторий» носителей тока в
вп1Г1гмпг"гп аиитлэа ттотттттп ттитт1и-отттпл QancT металле вблизи плоской поверхности
ВОДИМОСТИ эквивалентно движению Заря- образца, а) Магнитное поле составляет
ЖенНЫХ чаСТИЦ В ЦИКЛОТрОНе С ОДНИМ ЗазО- с поверхностью металла угол Ф^; 6/гя;
ром между дуантами [см., например, б) то же для ф ^ е/гя.
Шпольский A950)]. Если частота со внеш-
внешнего поля равна циклотронной а>н или кратна ей: со = гесоя {п —
целые числа), то может иметь место специфический для металлов
ч<циклотронный» резонанс, который и был предсказан Азбелем и Кане-
ром [82]) *). Как указал Азбель [96], этот резонанс может, по-видимому,
наблюдаться не только в «хороших», но и в «плохих» металлах, с резко
пониженной (по сравнению с «хорошими» металлами типа Ag, Си и т. п.)
концентрацией электронов проводимости, порядка 1017 см~3, таких, как
Bi, С (графит), As, Sb и т. п. Это обусловлено тем, что при резонансе резко
возрастает удельная электропроводность (в сот раз), а это приводит
к уменьшению толщины скин-слоя б в (сотI^2 раз, и она может стать мень-
меньше радиуса циклотронной орбиты, как этого требует условие A3.33).
в. Вторая «особенность» металлов. Эта «особенность», приводящая
к усложнению явления ЦР в них, также связана с высокой концентрацией
электронов проводимости, которые лишь частично заполняют полосу
проводимости. При высокой плотности заполнения в большинстве метал-
металлов («хороших») граничная энергия Ферми находится не вблизи гранич-
граничных (минимального или максимального) уровней полосы, где закон дис-
дисперсии имеет приближенно квадратичный характер, а где-то в середине
полосы, где этот закон даже приближенно нельзя считать квадратичным
(см. гл. 11). Действительно, вся совокупность сведений о поверхностях
Ферми е (р) = Еф в таких металлах, имеющаяся в настоящее время,
товорит о том, что эти поверхности обладают весьма сложной структурой.
Как было показано в гл. 11, в этом случае траектория электрона (с рн =
=0) уже не является ни окружностью, ни эллипсоидом, поскольку сечение
поверхности Ферми произвольной формы плоскостью, перпендикулярной
*) В литературе этот резонанс часто называют резонансом Азбеля — Канера.
См., например, обзор [8].
— 267 -

к Н, также, как правило, имеет сложную форму. Важно также отме-
отметить, что в случае открытых сечений (см. гл. 11) электроны проводимо-
проводимости внутри металла имеют бесконечно большой период вращения и поэтому
не возвращаются в скин-слой, и, следовательно, такие электроны не
участвуют в ЦР.
г. Случай произвольного закона дисперсии. Из формулы A1.82) следует, что ч>н
при произвольном законе дисперсии зависит от энергии е и слагающей квазиимпульса
р вдоль поля Н, направленного по оси Oz [поскольку от них зависит сечение поверх-
поверхности Ферми S (е, pz)]. Только при квадратичном законе дисперсии эта зависимость
пропадает, так как dS/de = 2пт* = const. Зависимость а>н от энергии в металлах
несущественна, поскольку в металле в токе принимают участие лишь электроны с энер-
энергиями, близкими к фермиевской еф. Остается, однако, зависимость ч>н (pz); поэтому
в общем случае только электроны отдельных сечений, для которых ын (pz) = to, могут
участвовать в резонансе. Поэтому в случае произвольного закона дисперсии условия
возможности существования цилотронного резонанса требуют дополнительного иссле-
исследования. Используя самые общие соображения, можно сразу же выяснить, какие
электроны у поверхности Ферми находятся в относительно более благоприятных усло-
условиях для резонанса. Пусть точный резонанс достигается при pz = poz, тогда для
электронов с pz, близкими к poz, циклотронные частоты будут равны
(poz) (Pz — Poz)+~2 aH(P0z) (Pz — P0zJJT ¦ • .
Отсюда видно, что если pOz отвечает экстремуму функции сон (pz) [т. е. ш'н (pOz) = 0],
то частота (он (pz) слабо изменится с изменением pz, а именно как квадрат малой вели-
величины (pz — PozJ- Поэтому вблизи таких сечений с (dS/deKKCTV весьма большое число
электронов имеет циклотронные частоты, близкие к шн (pOz); при этих частотах и сле-
следует ожидать наиболее яркого проявления ЦР в металлах с произвольным законом
дисперсии для электронов проводимости.
д. Общий расчет в квазиклассическом приближении. Основной задачей теории
является вычисление компонент тензора полного поверхностного импеданса Z)iv =
= ЛдГ -\- iX^v металла, находящегося в высокочастотном электромагнитном и посто-
постоянном магнитном полях, параллельном его поверхности, при условиях аномального
скин-эффекта A3.33). Тензор поверхностного импеданса Z^.v определяет связь между
электрическим полем Е @) на поверхности металла (z = 0) и полным током _Г, текущим
в металле:
е» @) = 2 Wv=-^- 2 zmv?v @);
v v A3.34)
;= \ Jv(y)dy(ll, V=x, y, z).
0
Как будет потазано ниже, при резонансе R^v и XMV минимальны.
Полная система уравнений задачи состоит из уравнений Максвелла (при прене-
пренебрежении токами смещения) для переменного электромагнитного поля частоты ш:
rot J9T = — /, mtE=——Н, A3.35)
где J — плотность тока, которую находят из кинетического уравнения для добавки
/i exp (lat) к равновесной фермиевской функции распределения /0 из A1.14), которое
для полной функции / = /о + /i exp (icot) имеет вид
=0. A3.36)
столки
Исключая Н из A3.35) и учитывая, что vy =& 0, т. е. проекция скорости у электронов,
ускоряемых вдоль их орбит в скин-слое, перпендикулярная к поверхности металла,
практически отсутствует *), находим
*-,,,<«> = Т'-'<'>' /, = 0,
h z=-—[vx
4,'
I A3.37)
*) Следует, однако, иметь в виду, что при резонансе слагающая поля Еу растет
пропорционально (шт) '2 и относительный вклад Еу возрастает пропорционально 6/г;
поэтому пренебрегать влиянием Еу можно лишь вне резонансной области или в ней,
если выполнено условие, что (шт) ^2 С г/6; в последующем расчете предполагается,
что последнее условие выполнено.
- 268 —

где ihp = dpxdpydpz и интегрирование ведется по всему импульсному пространству,
ось Оу направлена по внутренней нормали к поверхности металла, а ось Oz — вдоль
проекции Я на эту поверхность. Линеаризуя кинетическое уравнение*), получим
^ + -1 + Шоя^+(#-)столк1ГИ^1, A3.38)
где
_ еН
Щн~ тс ' A3.39)
a t\—время обращения электрона проводимости по орбите, которое для замкнутых
орбит, согласно A1.78) —A1.81), равно
J ——\7\H~te' A3-40)
— инте-
СТОЛКН
где Si — площадь сектора в сечении е (р) = ел, рн = pz = const, I ~i I
грал столкновений электронов с фононами и другими нарушениями правильности
кристаллической решетки. В работе Азбеля и Канера [83] найдена общая формула
для плотности тока. Однако в условиях аномального скин-эффекта можно ввести время
релаксации при любых температурах. Действительно, интеграл столкновений в A3.38)
в общем случае имеет вид
=/i(P) f A(p;p')dx,-\ В(р;р')Ь(р')<Ь ,, A3.41)
олкн .! J
где величины А и В связаны с вероятностями переходов и их конкретный вид зависит
от температуры [см., например, Вильсон A953)]. Условие аномального скин-эффекта
делает два слагаемых в A3.41) существенно различными по величине. А именно первое
слагаемое в этой области значительно больше второго (в котором /j (p) усредняется),
и в нулевом приближении по параметру малости 6/гн этим вторым членом можно пре-
пренебречь. Таким образом, при предельно аномальном скин-эффекте (б <g rH, 1) при
любых температурах, не нарушающих это условие, имеем
т. е. всегда можно ввести время свободного пробега (релаксации) т (р). Физически
это связано с тем, что «заселенность» неравновесных состояний с | vy | як 0 при ано-
аномальном скпн-эффекте гораздо больше, чем состояний с | vy | ^ v, и поэтому при стол-
столкновениях более вероятен переход из состояний с | vy \ <? v, чем в них.
Существенно также отметить, что электрон-фононное время свободного пробега
в условиях аномального скин-эффекта имеет другую температурную зависимость, чем
в статическом случае. В последнем величина I tS*1 J -1 пропорциональна числу
фононов при низких температурах, т. е.^G7вдK, где вд — температура Дебая, и еще
«S G7вдJ благодаря малости смещений, вызываемых отдельными столкновениями
с низкотемпературными фононами; таким образом, (т^^1101) ^—-~ (дГ~) • При
аномальном скин-эффекте даже малое смещение электрона оказывается существенным
и выводит его из скин-слоя, поэтому фактор G7вдJ выпадает и
Введение времени релаксации позволяет упростить расчет Азбеля и Канера [83].
Это сделали Чамберс [92] и Азбель [96], которым мы и будем следовать ниже. Ради
упрощения предположим еще, что т (р) = const. Тогда, согласно A3.37), имеем
1ъхр(Ш)=~ j v[f(e)-f(e + be)]dpxdpydpz=-?L^. j « ^h. де dt dPz dtu
A3.43)
где использована связь dtt с dpx dpy [см. A3.40)], Де — энергия, получаемая электроном
от электромагнитного поля, когда он достиг точки у в момент времени t [ко-
[координата у отсчитывается от поверхности кристалла по нормали внутрь него (рис. 13.8)].
*) Здесь использовано условие, что dfo/dt = Vr/o = 0, уР /0 = (d/0/3e) Vz>(e) =
= (dfo/дг) v; (ypf0 [vH]) = 0, — [vH] • V«/i = —e^ x -Л^ - Кроме того, в последнем
с 1 с vpy
выражении использовано уравнение A1.78) с заменой р. =& рх, v, s» vx.
- 269 -

Поскольку число электронов не меняется, функция распределения / меняется только
за счет изменения энергии электронов; Де (у, t) — энергия, приобретенная электроном,
попавшим в точку у в момент t (de/dt = ev-E). Величины е, pz определяют (см. гл. 11>
положение электронной орбиты на поверхности Ферми. Время tt дает положение-
центра орбиты у — г (ti) (рис. 13.8); интегрирование по йц от 0 до Т = 2зх/шя соот-
соответствует интегрированию по центрам всех орбит, проходящих через точку у, и
Такой выбор переменных позволяет учесть граничные условия вблизи резонанса-
(| ш — пан |< ш, п = 1, 2, . . .). Отражение-
-у=О электронов от поверхности металла является
всегда диффузным или почти диффузным (см.
[92, 97], а также Канер [87]). Однако в данном
случае электроны, сталкивающиеся с поверхно-
поверхностью, выключаются из периодического движения
и потому не участвуют в резонансе. Поэтому
в формуле A3.43) важно учитывать лишь элек-
электроны, не сталкивающиеся с поверхностью, т. е.
для которых (см. рис. 13.8) у — г (t\) — г0 > 0;
здесь г0 — радиус орбиты. Это можно сделать,
введя под интегралом в A3.43) сомножители
¦ф (У — r (h) — го). гДе функция i|) (х) = 1 для
х > 0 и i|) (х) = 0 для х < 0.
Определим теперь Де. Пусть t — момент,
соответствующий времени tt вращения по орбите-
(т. е. в момент t — ^ электрон находился на та-
таком же расстоянии от поверхности металла, как и
центр орбиты). Тогда с вероятностью (т) элект-
электрон за время от t1 до t1 + dtx получает энергию»
ev (t[) -E (<j) dtlt где напряженность электриче-
электрического поля должна быть взята в точке у —
- г (t^ + г (t[) в момент t — (ti — t[) (см. рис. 13.8), причем Е (t[) exp (itot) =
— Е (у — г (t^ + г (t[)) exp [1Ш — гсо (ti — t[)\. Таким образом,
Рис. 13.8. Квазиклассическая траекто-
траектория электрона в магнитном поле в по-
поверхностном слое металла. Центр орби-
орбиты радиуса г0, двигаясь по которой
электрон не сталкивается с поверхно-
поверхностью металла, удален от поверхности
на расстояние у —т (U) >т0. В мо-
момент времени t электрон находится на
орбите в точке B, у). В момент t — tt
электрон пересекает линию АВ. А в
момент t — (i, — t'j) — линию CD (см.
Азбель [96]).
Де„.2 =
t[) E (у — r(t{)-\-r (t[)) exp [tot — г'ш (ti —1[)].
A3.44>
После подстановки A3.44) в A3.43) находим связь между / и Е:
+dedpzdti
-^-} dt[.
A3.45>
Учтем теперь периодичность скоростей и г (tt) no tt с периодом Тн — 2п/шн, преобра-
преобразуем f к f , а интеграл | Й,к \ dtt; умножив их на сумму фазовых факторов, кото-
_оо t-Tjj О
рые возникают при каждом полном обороте по циклотронной орбите, и, кроме того,,
используем условие dfjdz ъ — б (е — ео), удерживая только основной член п»
(шт) С 1 *)> получим
X
J v (t[) E(y
t[)) exp (iu>t[) dt[.
A3.46>
*) To есть полагая, что
- 270 -

Действттельно (см. Хейне [98]), при каждом полном обороте электрон возвра-
возвращается в скин-слой и подынтегральное выражение в A3.45) изменяется на фактор
ехр Г (J^-H^-Uexpl-.], A3.45а)
L V сонт а>н IJ
где в левой части второе слагаемое в показателе возникает из-за изменения фазы
поля Е. Поэтому в A3.45) возникают множители [1 + ехр ( —ш) + ехр (—2ш)+ ...],
которые при условии (шдт) С 1 дают
[1 — ехр( — w)\~\ A3.456)
т е сумму геометрической прогрессии. Ошибка, обусловленная тем, что оборот не всег-
всегда полный, несущественна, ибо она дает нерезонансный вклад в 3. Формула A6ЛЬ)
справедлива для случая vy ъ 0, поэтому векторы »,ЕиУв A3.46) лежат в плоскостях
у = const. Из A3.46) сразу же вытекает факт существования ЦР при частотах пшн
(и = 1 2, 3, . . .), а также различие между случаями квадратичного и произвольного
закона'дисперсии. В первом случае сон не зависит от pz (см. гл. 11) и поэтому
2п
следовательно, при т ->¦ оо плотность тока при резонансе (со = гссон) с точностью-
до х/Тн растет неограниченно.
При неквадратичном законе дисперсии легко видеть, что, совпадение частоты
поля со с одной из частот сон, которая отлична от экстремального значения, приводит
к нерезонансным свойствам. Если частота со равна или кратна одному из экстремальных
значений (сон) экстр [ш = п (шн) экстр], резонанс наблюдается. Однако, в отличие
от случая квадратичного закона дисперсии, j ~ (т/Гн) '2, т. е. высота резонансных
пиков гораздо ниже.
Для вычисления импеданса необходимо решить уравнения Максвелла A6.61)
совместно с A3.46).
Уравнения A3.37) и A3.46) могут быть четно продолжены на область вне металла
(у < 0), если положить Еа (—у) — Еа (у) (а = х, z). Поскольку поверхность Ферми
центрально-симметрична, поле Е (у),
симметричное по у, есть решение
уравнений, еслит); (у — г (ti) — г0) в
A3.46) заменить такой же функцией
для у > 0: ¦ф (| у — г (ti)\— r0). В
этом случае /а (у) = /а (~У)' ОДна
ф (
этом случае /а (у) /а (У)' ОДн„а 3 2
ко мы еще упростим формулу A3.4Ь), рис_ Jg>9> Электронные квазиклассические траекто-
заметив, согласно Азоелю и панеру рии вдлизи граничной поверхности АВ металла. 1,
Г «31 что функцию 1|) ( I у — г (h) — 2 — траектории, не обрезаемые граничной поверх-
!Л мпжнп с большой точностью ностью; з, 4 — траектории, обрезаемые граничной
— г„) можно с оольшои точиосхьл. поверхностью; б — толщина скин-слоя (см. [96] .
заменить единицей (приближение «не-
«неэффективности» электронных столк- ц
новений с поверхностью металла), поскольку точный учет этой функции приводит
лишь к численному фактору в импедансе порядка единицы [83]. Физическая причина
малости влияния граничных условий при аномальном скин-эффекте заключается в том,
что существенную роль (даже при отсутствии границы) могли бы играть только траек-
траектории по которым электрон проходит в скин-слое порядка (т-бI/2, т. е. близкие к мак-
максимально возможным (траектории 1, 2, но не 3, 4) на рис. 13.9). Учет границы обрезает
траектории типа 4, 3, т. е. просто несколько уменьшает эффективную проводимость.
Это уменьшение мало эффективно потому, что импеданс пропорционален а1/3- В итоге,
подставляя A3.46) в A3.37), находим
4ягсо 2е2 еН
а= ^2 /РГ с
\ i>a(i)exp( —icoi)(ui j up (t'y) Ej(y-
Y Я J Я
X
о о
Хехр(Ш,')Л1' (а, р=г, j/, z). A3.47)
Напоминаем, что в A3.47) для упрощения принято, что т = const. Уравнение A3.47)
легко решается с использованием преобразования Фурье, которое дает связь между
- 271 -

Ea @) и .Ер @) и, следовательно, импеданс по A3.34), а именно:
Еа @) = ^ ^ 2
A3.47а)
h = J /p (г/)'
о
Вблизи резонанса тензор поверхностного импеданса можно всегда привести к главным
осям, где существенно проявляется
также различие между квадратичным
и неквадратичным законами диспер-
дисперсии.
е. Формулы для тензора поверх-
поверхностного импеданса. Квадра-
Квадратичный закон дисперсии.
Обратимся снова к формуле A3.46),
в которой положим т); (у — г (t) —
- г0) = 1.
Заметим, что время, проводи-
проводимое электроном в скин-слое, приб-
приближенно равно 2rymlvx (рис. 13.10),
г — г cos фт =s? 6/2, т. е.
г <s 1. При этих временах
экспериментальные факторы в A3.46)
остаются эффективно постоянными»
Рис. 13.10. К оценке времени t пребывания электро-
электрона в скин-слое у граничной поверхности металла.
Время t = 2фтг/их, где 2фт — угол (в радианах),
стягиваемый дугой ABC части квазиклассической
траектории электрона, лежащей в скин-слое, г —
радиус орбиты, а их — проекция скорости электрона
вдоль оси х.
причем
2 s
Поэтому для плотности тока находим из A3.46)
-1
где
п — — (nx=sin О cos ф, Пу =sin О sin <p, rcz=cosd),
A3.48)
A3.49)
& К — гауссова кривизна поверхности Ферми в точках ф, О = —. Из теории аномаль-
аномального скин-эффекта следует (см. Пиппард [93, 94], а также Хейне [98]): ja = аа$6Е$@).
Таким образом, тензор эффективной удельной электропроводности равен (аЭфф)ар =
= аарб. Учитывая, что б = ф^г, находим из A3.48)
dpz. A3.50)
Далее, для поверхностного импеданса имеем также
1/3
A3.51)
^ "¦ар / \ ^ /
Подставляя A3.50) в A3.51) и опуская промежуточные выкладки (см. Азбель
и Канер [83] или Хейне [98]), находим для главных значений тензора ZCJ0a|3:
V3 л
A3.52)
2я
¦Sap =
d(f.
О
Неквадратичный закон дисперсии. В этом случае, кроме усло-
условия Vy я? 0, должно выполняться условие pz я& р0, где р0 определяется из соотноше-
соотношения ч>н (р0) = соЭКСТр, т. е. электроны движутся почти параллельно поверхности метал-
металла с частотой, близкой к экстремальным значениям. Для главных значений импеданса
получаем более сложное выражение (см. [83]):
exp
(*)"•
A3.53)
- 272 -

в общем случае
Pi
3/гЗ
i=l
л
Pi-"- / Ф=ф; J
О
x{l-exp[-(^-
2я
шнт
A3.54)
Тензор аар ^ 1 имеет довольно сложный вид, однако он несуществен для резонанса.
Интегрирование в A3.54) ведется по углам вдоль «пояска» поверхности Ферми, где
R@)
J
/
//
уч
\
ч
ч
/
so
ч
Х(Н),
Х@)\
XI
б)
си,
•н
•н
Рис. 13.11. Зависимость поверхностного импеданса частоты а внешнего переменного алект-
ромагнитного поля при различных значениях произведения ах (см. цифры у кривых: 1,10
и 50; т — время релаксации электронов проводимости). Кривые рассчитаны по формулам
A3.52). а) В (Н)/Н @); б) X (НIХ @); в) X (Н)/Н (Я) /з, где В (Я) и X (Я) — вещест-
вещественные и мнимые части импеданса Z (H) — R (Щ+iX (Я). По оси абсцисс отложены а/а д.
оч = 0;
ф2 ФЗ.
— точки, где
имеет экстремальное значение по отно-
отношению к изменению угла ф. При взятии кубического корня в A3.52) и A3.53) нужно
брать корень, соответствующий Raa > 0 (который всегда существует).
ж. Поверхностный импеданс вблизи резонанса. Анализ выражений поверхностного
импеданса вблизи резонанса тоже имеет смысл провести для двух рассмотренных слу-
случаев законов дисперсии.
Квадратичный закон дисперсии. В этом случае можно по-
построить кривую для всего интервала частот ын (включая и нерезонансные области).
На рис. 13.11, а — в в качестве примера приведены графики функций R (H)/R @),
X (Н)/Х @) и X (H)IR (H) Уз"для (от = 1, 10, 50, построенные по формулам A3.52).
Небольшие максимумы R и X при ш = (q + 1/2) а>н (q — целые числа) не связаны
с резонансом, ибо при шнт ->¦ оо значения импеданса в этих точках стремятся к посто-
постоянному пределу, отличному от нуля. Важно отметить, что при конечных т глубина
резонансных минимумов и смещение частоты минимума *) относительноч ы/q сильно
различаются для R и X:
)
R
I 2щ \ 2/з
)
2nq
¦»>(#)"¦.
A3.55)
рез
((ОТ)
-1
В экспериментах часто измеряют не сами R и X, а их производные по полю, т. е.
dRldH и dXIdH. Поэтому имеет смысл рассмотреть и эти величины. На первый взгляд
можно подумать, что поскольку при резонансе R и X минимальны, то при резонансе
их производные обращаются в нуль. Однако фактически резонанс соответствует не ну-
нулевым значениям dRldH и dX/dH, а их максимальным значениям. Это обусловлено тем,
что при (от = оо функции R (Н) и X (Н) не имеют минимума при резонансе, а имеют
*) Эти смещения для R и X имеют разные физические причины (см. обзор [99]).
18 с. В. Вонсовский
- 273 -

наименьшее значение (равное нулю), которое соответствует излому этих функций
А именно, из A3.52) при шт =оо находим, что в области, полей, где Н < Я™, имеем
R (Я) % (Я ^1 — ЯL/3 и dR/dH=0, когда мы приближаемся к резонансу из этой обла-
области; в области, где Я > Н^Ц, имеем R (Я) яа (Я' ^ — ЯL/з и d~R/dH ->¦ аз, если при-
приближаться к резонансу с этой стороны (рис. 13.12). Следовательно, положение резо-
резонанса действительно, удобнее всего определять по максимуму кривой dRldH (или
dXIdH, для которой имеем аналогичные свойства).
Неквадратичный закон дисперсии. Этот случай гораздо более
сложный. Однако и здесь анализ экстремальных сечений поверхности Ферми произ-
произвольной формы позволяет установить и характер резонансных кривых, и связь их
R
иреэ
dR/dH
с определенными характеристиками поверхности Ферми. Это
последнее и делает явление ЦР в металлах одним из наиболее
эффективных средств экспериментального изучения поверхно-
поверхностей Ферми в металлах. Для детального знакомства с теорией
ЦР в случае произвольного закона дисперсии отсылаем
читателя к оригинальным работам [82 — 88] и обзором
[99, 8, 100]. Здесь лишь укажем, что кривые для dRldH (и
dXIdH) в случае неквадратичного и квадратичного законов
дисперсии имеют аналогичный вид, когда резонансная частота
отвечает минимуму эффективной массы. Когда же резонанс
соответствует максимальному (по pz) значению эффективной
массы, то dRldH = — оо при Я = Ярез—0 и dRldH = + оо
при Я = Ярез + 0 (см- Рис- 13.11, б). В последнем случае
резонансное магнитное поле можно определить как по мак-
максимуму, так и по минимуму производной dRldH. Близость
положений минимума и максимума кривой dRldH (даже при
конечном шт) позволяет отличить максимальную эффектив-
эффективную массу от минимальной. Следует в заключение подчерк-
подчеркнуть, что поведение резонансных участков на кривых R,
dR/dH и т. д. очень чувствительно к свойствам поверхности
Ферми, что и дает возможность получить много интересных
сведений об этих свойствах.
з. Квантовая теория. До сих пор излагалась чисто клас-
классическая теория ЦР в металлах, в которой использовалось
лишь квантовое понятие поверхности Ферми. Этой теории
достаточно для изучения основных черт явления, ибо энерге-
энергетическое расстояние йшн между уровнями Ландау в магнит-
магнитном поле значительно меньше энергии Ферми бф = ?0
(для основных групп электронов) и поэтому квантовые поправки оказываются
обычно гораздо меньше, чем первые из отбрасываемых членов в разложениях, исполь-
используемых при классической трактовке. Однако принципиально рассмотрение квантовых
эффектов представляет существенный интерес. Эти эффекты, как уже отмечалось
в гл. 11, носят осцилляционный характер по отношению к изменению магнитного поля
с периодом в обратном поле, пропорциональным \х g/?0. который существенно меньше,
чем «периоды» ЦР (т. е. расстояния между соседними гармониками с q = 1, 2, 3, . . .),
пропорциональные е/тсы. Это дает возможность отличать квантовые осцилляции
от классических свойств ЦР. Вместе с тем знание периодов квантовых осцилляции
много дает для определения формы поверхности Ферми.
Квантовая теория поверхностного импеданса для магнитного поля произвольной
ориентации и произвольного знака дисперсии и интеграла столкновений была развита
в работах Азбеля [89, 90], а также независимо в работе Маттиса и Дрессельхауза [101]
при более частных предположениях (квадратичный закон дисперсии, постоянное время
релаксации т и при поле Н, параллельном поверхности металла). Азбель [89, 90]
показал, что периодичность осцилляции, вызванных магнитным полем, в радиочастот-
радиочастотном случае такая же, как и в статическом поле (эффекты де Гааза — ван Альфена
и Шубникова — де Гааза):
„ - eh
Рис. 13.12. К определе-
определению производпых веще-
вещественной части импедан-
импеданса В (Я) по полю Я:
dR/dH в точке резонан-
резонанса (Я = Нрез' (масш-
(масштаб произвольный).
с^эфф (еф> Pz)
Это делает экспериментальный анализ импеданса в магнитном поле очень полезным
для определения поверхности Ферми.
Более подробная квантовая теория ЦР была разработана Лифшицем [102] и Лиф-
шицем и др. [103], которые показали, что при достаточно низких температурах и боль-
больших временах релаксации возникают «гигантские» осцилляции высокочастотных харак-
характеристик, периодичные по обратному магнитному полю, не совпадающие, однако, по
периоду с осцилляциями типа эффекта де Гааза — ван Альфена. Это проявление резо-
резонанса на дискретных частотах, возникающего вследствие квантования эффективных
масс в сильном магнитном поле в металлах со сложным законом дисперсии. За подроб-
подробностями отсылаем читателя к оригинальным статьям [102—104].
— 274 —

Можно также учесть поправки в теории ЦР в металлах, обусловленные корреля-
корреляцией между электронами проводимости, например, в рамках метода ферми-жидкости
по Ландау (см. гл. И). Этот вопрос рассматривали Азбель [105], Платцман и Джекобе
{106]. См. также обзор [99].
Следует отметить, что в теоретических работах Хейне [98], Родригеса [107],
Филлипса [108] и Маттиса и Дрессельхауза [101] недостаточно корректно учтены гра-
граничные условия (см. [85, 104]).
и. Сравнение с опытом. Первое экспериментальное доказательство эффекта Азбе-
ля — Канера дал Фосетт [109] на Sn и весьма неотчетливо на Си. В случае Sn этот
эффект позднее исследовался в ряде работ: Безуглым и Галкиным [110], Кипом и др.
fill], а также особенно тщательно Хайкиным [112—115], который разработал новый
метод [116] частотной модуляции для исследования зависимости высокочастотного
поверхностного сопротивления металла от приложенного к нему постоянного магнит-
магнитного поля. Эта методика позволила значительно повысить точность измерений ЦР
в металлах. В Си более успешно, чем у Фосетта [109], ЦР наблюдали Лангенберг п др.
[117—118]. Весьма детальное исследование на Си провели также Кип и др. [119];
они подтвердили теорию Азбеля и Канера, а также ранее предложенную «геометрию»
поверхности Ферми. В работе Коха и др. [120] также на Си была усовершенствована
экспериментальная техника и установлены новые нюансы эффекта, еще не нашедшие
своего количественного теоретического объяснения. На РЬ эффект наблюдали Безуг-
лый и Галкин [НО] и Хайкин и Мина [121]. В последних работах с помощью ЦР была
проверена модель поверхности Ферми для РЬ. ЦР наблюдался в In [122], Zn [123, 124],
Al [118, 125—128]. В работе Гримса и др. [129] дается анализ наблюдаемых расхожде-
расхождений между данными [127] и теорией и проведены дополнительные эксперименты, разъяс-
разъясняющие этот вопрос. В Cd ЦР наблюдали Галт и др. [130]. Гриме и Кип [131] наблюдали
ЦР Азбеля — Канера в ориентированных монокристаллах Na и К. Их результаты дали
возможность определить эффективные массы: mfoa/m = 1,24 + 0,02 и т^ /т =
=1,21 zt 0,02. Изотропность результатов для Cd указывает на то, что в этом металле
поверхность Ферми очень близка к сферической (с точностью по кф до 1%). На Na
результаты оказались неточными из-за низкотемпературного фазового превращения.
На монокристаллах Bi ЦР исследовали Галт и др. [74, 132], Декстер и Лаке [75], Обри
и Чамберс [133] и Обри [134]. Наиболее детальные исследования, с анализом данных
и сравнением их с имеющимися моделями поверхности Ферми, проведены в работах
Хайкина, Мины и Эдельмана [135] и Као [136]. ЦР для нескольких типов носителей
(гибридный резонанс), а также для наклонных орбит в случае Bi был рассмотрен тео-
теоретически и экспериментально в работе Смита и др. [137].
Первый эксперимент по ЦР на кристаллах переходных металлов провели Фосетт
и Уолш [138], они изучили монокристалл вольфрама достаточно большой чистоты
(с отношением удельных сопротивлений Р2950 к/Pi ,6е к ^ ^50) (см. также гл. 25).
Как уже отмечалось выше, ЦР наблюдался также и в полупроводниках с большой
плотностью носителей тока (як 1017/cw~3). Этот случай, очевидно, реализуется в р-
РЬТе [139]. Здесь отличие от металлов заключается в том, что в полупроводниках
отношение гн/6 из-за большой глубины скин-слоя гораздо меньше, чем в металлах.
Кроме того, не наблюдается также резонанс на высших гармониках (кроме первой).
Последнее связано с тем, что при малых гн/6 вероятности соответствующих переходов
также очень малы, как это показано в теоретической работе Берстейна и др. [140],
в которой рассмотрен ЦР типа Азбеля — Канера в полупроводниках и полуметаллах.
Мы не имеем возможности останавливаться на других частных случаях проявле-
проявления ЦР в металлах. К этим случаям относится ЦР, наблюдаемый, когда постоянное
магнитное поле направлено нормально к поверхности металла и измеряется поглоще-
поглощение (или отражение) циркулярно поляризованного электромагнитного поля, которое
также нормально к металлу (т. е. параллельно постоянному магнитному полю),— это
так называемая «геометрия Галтаь (см. обзор Пиппарда [100]). В этом случае наблю-
наблюдались точки перегиба и изолированные пики. Более детально с теорией этого случая
можно ознакомиться в работе Миллера и Хакнинга [141].
Кох и Кип [142] рассмотрели другой специальный случай ЦР типа Азбеля —
Канера при постоянном магнитном поле, перпендикулярном к поверхности образца,
который они наблюдали в монокристалле Sn. В этом случае мы имеем дело с так назы-
называемым резонансом на наклонных орбитах, возникающим при движении электронов
по экстремальным орбитам, которые хотя и лежат в плоскости, перпендикулярной
к магнитному полю в пространстве квазиимпульсов, но в обычном пространст-
пространстве они наклонены к полю (к нормали к поверхности образца), как это показано
на рис. 13.13.
Более сложный случай этого типа резонанса также рассмотрел Уолш [ 143], который
учел указанную Кохом и Кипом [142] возможность существования орбит (в обычном
пространстве), которые не лежат в одной плоскости и допускают многократные про-
прохождения электрона через скин-слой (skipping orbits). Этот эффект наблюдался Уолшем
на монокристалле весьма чистого W (р2д5° к^Р4,2° к ^ ^8 000).
Интересную возможность наблюдения ЦР в наклонных магнитных полях при
открытых траекториях электронов указали в теоретической работе Песчанский и Лех-
цнер [144].
— 275 — 18*-

В качестве примера наиболее типичных экспериментальных результатов
на рис. 13.14 приведено сравнение опытной и теоретической кривых dR(H)l dH как
функции И для меди (см. Кип [145]). Обращаем внимание на некоторые более поздние
исследования ЦР в металлах [146—182].
к. Резонансные всплески магнитного поля в толще металла. В металлах на высо-
высоких частотах возможен еще один резонансный эффект, предсказанный теоретически
б)
Рис. 13.13. Циклотронный резонанс на наклонных орбитах,
а) Поверхность Ферми в пространстве квазиимпульсов; v^ —
скорость Ферми, АВ — траектория электрона в плоскости, нор-
нормальной к полю И. б) Наклонная орбита в обычном прост-
пространстве; 6 — толщина скин-слоя у наружной поверхности
металла CD.
Азбелем [96, 105] (см. также [99]) для случая, когда закон дисперсии электронов прово-
проводимости неквадратичный. Выше уже многократно использовался хорошо известный
факт, что переменное электромагнит-
электромагнитное поле в металле затухает тем бы-
быстрее, чем больше частота поля со.
Однако фермиевская природа элект-
электронов в металле может при извест-
известных условиях привести к резким
максимумам («всплескам») магнитно-
магнитного поля и тока на глубинах, значи-
значительно больших толщины скин-слоя
(до двух порядков). Рассмотрим дви-
движение электрона в металле по какой-
то орбите 1 (рис. 13.15), которое про-
происходит внутри поверхностного слоя
толщины б. На длине дуги в этом
слое порядка (r6)i/2 (r — радиус ор-
орбиты) электроны будут ускоряться
электрическим полем и создадут ток
плотности J. При движении «вниз»
по орбите будет меняться слагающая
скорости электронов, параллельная
поверхности металла, и поэтому ток
будет уменьшаться пропорционально
cos ф1/„ и электроны еще будут
«разбегаться» по глубине при ср ^
^(б/гя^/г,поэтому эффективным будет
не слой б, а слой (гид) '2 sin ср. Таким
образом, плотность тока J будет
уменьшаться по закону / ctg ср х
Х(бт-)~:/2. При ф ~ (б/гI/2, т. е. на
расстояниях от поверхности порядка
б, ток J достигнет, очевидно, своего
значения на поверхности (^ 1/6).
На глубине у > г плотность тока
ивменит знак, но будет такой же ма-
малой по величине по сравнению с //б до тех пор, пока ф не достигнет ф0
(см. рис. 13.15), когда плотность тока будет отличаться от своего значения на поверх-
поверхности лишь знаком. Эта плотность тока создала бы электрическое поле, которое уско-
ускоряло бы внутренние электроны (орбиты которых подходили бы к слою б в нижней части
орбиты 1, рис. 13.15). Это в свою очередь приводило бы к всплеску поля при у = Id
0
0,25
Рис. 13.14. Циклотронный резонанс типа Азбеля —
Канера в монокристалле меди по данным работы Кипа
[145]. По оси ординат отложена в произвольном мас-
масштабе измеряемая величина dR/dH (производная ве-
вещественной, активной части импеданса В по полю
Я), а по оси абсцисс — магнитное поле в относи-
относительных единицах (Я/Яс). Поверхность образца со-
совпадает с кристаллографической плоскостью A10).
Измерения проводились при фиксированной частоте
внешнего электромагнитного поля (о=2,4-107 гц при
(от = 10. Верхняя кривая опытная, нижняя — теоре-
теоретическая [см. A3.52)].
— 276 —

и т. д. Орбиты данного радиуса г имеют разброс своих центров по оси у порядка б. Они
все приведут к уширениям «всплесков», также порядка б. Однако другая картина воз-
возникает при наличии орбит с различными радиусами (орбиты 2 и 3 на рис. 13,15), отвеча-
чающих другим сечениям поверхности Ферми. Разброс по радиусам приводит к тому,
что при любом у в слое б собирается лишь небольшая часть электронов (^ б/г), и поле,
Zd
А-
Рис. 13.15. К определению резонансных всплесков магнит-
магнитного поля и электрического тока в толще металла на глу-
глубинах, значительно больших толщины скин-слоя 6 (Азбель
196, 105]). 1,2,3 — три орбиты электропа, проходящие че-
через скин-слой, с различными радиусами г, отвечающие раз-
различным сечениям поверхности Ферми. Угол ф определяет
положение электрона на орбите (см. подробпое объяснение
рисунка в тексте).
«проталкиваемое» в глубину металла, будет поэтому очень быстро убывать в последую-
последующих «всплесках» при у > d. Если закон дисперсии квадратичный, поверхность Ферми
имеет форму эллипсоида, то шн не зависит от сечения, и поэтому указанный разброс
по радиусам ликвидировать нельзя. Поэтому при квадратичном законе дисперсии
эффект «всплесков» поля практически полностью размазывается. Наоборот, если шн
зависит от сечения (т. е. от pz), то г
разброс устраняется при исполь-
использовании ЦР, в котором участву-
участвуют, как мы видели выше, только
электроны, находящиеся вблизи
экстремальных частот ЦР с раз-
разбросом по pz *):| Apz^poz/icoxI^2-
Строгое решение задачи опреде-
определения указанной выше самосогла-
самосогласованной системы токов и полей
приводит к зависимости Е (у) [и
/ (у)], качественно изображенной
на рис. 13.16. Из этого рисунка
видно, что при у = d, Zd, . . .
поле (и ток) имеют резкие макси-
максимумы; при этом при уь = 2Ъ к
у d F = 0, 1, 2, . . .) имеются
одиночные экстремумы, знаки ко-
которых чередуются как (—1)ь, а при уь = B6 + 1) d(b =0, 1,2,.. .) имеются два
экстремума, отличающихся знаком. Знаки первых из двух соседних экстремумов
чередуются как (—1)ь+1; первый экстремум при у= d имеет знак, противоположный
знаку поля (тока) при у = +0.
В работах Азбеля [96, 105] также перечислены возможные новые резонансные
эффекты, связанные с рассмотренным эффектом всплесков поля: скачки резонансных
значений импеданса (при сохранении резонанса) и скачкообразное исчезновение резо-
резонанса в пластинках на гармониках толщины D > d: а) с увеличением частоты пере-
переменного поля и б) при вращении постоянного магнитного поля в плоскости пластинки;
селективная прозрачность пластинок в резонансе; электронное «эхо», аналогичное
спиновому «эху». Кроме того, эти эффекты дают еще один способ непосредственного
воспроизведения поверхности Ферми.
Эффект, предсказанный Азбелем, относится к группе так называемых размерных
аффектов, возникающих в достаточно чистых металлических образцах с большой
длиной свободного пробега электронов проводимости при их помещении во внешнее
постоянное магнитное поле и одновременно в постоянное или радиочастотное электри-
электрическое поле и определяемых соотношением между размерами электронных (циклотрон-
(циклотронных) орбит и размерами образца. В случае радиочастотных полей эти эффекты становят-
становятся наиболее яркими (при измерении высокочастотного импеданса), поскольку в этом
*) В работах Азбеля [96, 105] получены критерии возможности реализации рас-
рассматриваемого эффекта как для центральных сечений поверхности Ферми, так и для
нецентральных.
Рис. 13.16. Резонапспые всплески электрического поля в
толще металла на глубинах у (отсчитываемых от поверх-
поверхности образца), больших толщины скин-слоя 6 и кратных
диаметров d циклотронных орбит электронов проводи-
проводимости [96, 105].
277 —

случае входит еще один существенный параметр размерности длины — глубина про-
проникновения переменного электромагнитного поля б.
Впервые размерный эффект наблюдал Хайкин [114], обнаруживший исчезнове-
исчезновение ЦР при уменьшении внешнего статического поля, при котором диаметр циклотрон-
циклотронной орбиты становится меньше размеров образца. Размерные эффекты наблюдали и тео-
теоретически рассматривали Гантмахер [184], Канер [185], Гантмахер и Канер [186], Гант-
махер и Крылов [187]. За подробностями отсылаем читателей к этим интересным иссле-
исследованиям, а также см. работы [188—190, 559—566, 568, 569].
Упомянем здесь еще некоторые явления, которые также можно отнести к группе
эффектов типа ЦР.
4. Магнетоплазменные явления. Эти явления присущи системам с повышенной
плотностью носителей тока. Более подробно с этим вопросом можно ознакомиться в об-
обзоре [8]. См. также работы [191, 192] и приведенные в них библиографии, а также рабо-
работы [193, 194, 567].
5.Циклотронный резонанс в инфракрасной области. Этот случай ЦР представляет
интерес для полупроводников, где при обычных частотах не выполняется условие шт >
> 1 или сильны магнетоплазменные и деполяризациионные эффекты из-за высокой
плотности носителей тока (ш < (оПЛзм)- Именно в этих случаях ЦР при инфракрасных
частотах окрывает возможности для преодоления указанных трудностей. Даже при
комнатной температуре, где т «к 10~13 сек, при резонансе при % «» 100 микрон шт J> 1,
а в Bi ^плзм ^ ЮО микрон (при п чк 1018 см,-3). Поэтому в опытах при комнатных тем-
температурах и длинах волн от 1 до 100 мкм условия для наблюдения ЦР оказываются
выполненными. Однако есть еще одна трудность даже при малых эффективных массах
(т* я& 0,001т): частота и ^ 3-Ю13 требует полей порядка 106 э, чтобы осуществлялся
ЦР (см. работу [195]). Здесь возможны два пути: высокие постоянные поля, до 6 .Ю4 э,
или импульсные поля до 3 -105 в. Подробнее см. обзор [8] и [570].
§ 2. Электронный парамагнитный резонанс
1. Общие замечания. При внесении парамагнитного ионного кри-
кристалла, полупроводника или металла в переменное магнитное поле часто-
частоты со наблюдается явление дисперсии магнитной проницаемости (т. е.
зависимости от частоты со) и поглощение энергии внешнего поля. При
этом поглощение носит ярко выраженный резонансный характер. Типич-
Типичные условия такого эксперимента следующие: образец парамагнитного
вещества помещают в постоянное магнитное поле Н, под прямым углом
к которому включается переменное магнитное поле Н^ = Hi exp (iat)
частоты со с амплитудой Н± и производится измерение комплексной
магнитной восприимчивости *) %* = yj -\- i%", где вещественная часть %'
называется высокочастотной или динамической восприимчивостью, а мни-
мнимая часть %" характеризует коэффициент поглощения **). Резонансный
характер этого поглощения открыл экспериментально Завойский [197,
*) Выше (в гл. 9—12) рассматривалось поведение парамагнетиков в квазистати-
квазистатических магнитных полях в термодинамически равновесном состоянии. Время установ-
установления такого состояния (время релаксации т) считалось очень малым, что с большой
точностью согласуется со всей совокупностью опытов в квазистатических полях.
Однаков быстропеременных магнитных полях с очень малым периодом Т (^Ш),
который уже сравним со временем релаксации д, как правило, наблюдается отстава-
отставание по фазе намагниченности / (t) от внешнего поля Н~ (f). Пусть в общем случае
на парамагнетик действует поле Н (t), равное сумме полей Н и Н~, т. е. Н (t) = Н +
+ Hi exp (icot). Тогда для намагниченности I (t) получим
I @ = Jo + Ji = Jo+Х*Л exp (iat),
где Jo = Xoff ихо — статическая парамагнитная восприимчивость, а %* = %' + i%" =
= I X* I exp (Щ, или tg ф = %"/%', где ср — сдвиг фаз между намагниченностью и по-
полем и %' = (IJHl) cos ф, х" = (IJHi) sin ф.
**) Действительно, энергия U магнитного поля Н~, поглощаемая за 1 сек в еди-
единице объема кристалла, равна
u= —-_
[пер'иод]
Заметим также, что %' и х" суть функции частоты ш и статического поля Н. Кроме
- 278 -

198] в солях ионов группы железа. Это явление было названо электронным
парамагнитным резонансом (ЭПР). Одна из первых экспериментальных
работ по ЭПР принадлежит Куммероу и Холлидею [199]. Открытию
Завойского предшествовали общие теоретические соображения о возмож-
возможности существования этого явления. Вскоре после опытов Штерна и Гер-
лаха по изучению явления пространственного квантования атомных
моментов Эйнштейн и Эренфест [200] высказали предположение о возмож-
возможных квантовых переходах между магнитными подуровнями атомов под
влиянием внешнего электромагнитного поля. Дорфман [201], анализируя
открытое Аркадьевым [202] селективное поглощение энергии переменного
электромагнитного поля в ферромагнетиках и основываясь на упомянутой
работе Эйнштейна и Эренфеста, высказал идею о возможности резонанс-
резонансного поглощения электромагнитной энергии парамагнетиками, дав этому
явлению термин «фотомагнитного эффекта». Валлер [203], по предложению
Паули, подробно разработал теорию парамагнитной релаксации в твер-
твердых телах; эта работа явилась исходной для последующего развития теории
динамических явлений в парамагнетиках, в том числе и для ЭПР *).
Интенсивное и систематическое экспериментальное изучение дисперсии
и поглощения электромагнитного поля в парамагнетиках в области час-
частот 106—3 -107 гц в присутствии постоянного магнитного поля было пред-
предпринято школой Гортера в Голландии [см. монографию Гортера A949)].
Гортер для измерения %" пользовался прямым калориметрическим мето-
методом измерения поглощаемой в парамагнетиках энергии. Этот метод обла-
обладает рядом недостатков; в частности, с его помощью нельзя производить
измерений при комнатных температурах не только в растворах, но
и в твердых телах из-за огромных омических и диэлектрических потерь,
практически целиком затушевывающих] малый эффект парамагнитного
поглощения. Метод Гортера не может быть применен также в области
частот выше 108 гц.
Заслугой Завойского [197, 198] является то, что он разработал
косвенные радиотехнические методы измерения поглощаемой энергии
в парамагнитных телах. В этих методах используется обнаруженная на
опыте линейная связь между сеточным или анодным током электронного
генератора и ваттной нагрузкой на последний при условии, что величина
этой нагрузки равна очень малой части мощности генератора. Чувстви-
Чувствительный и простой метод Завойского дал возможность расширить измере-
измерения до частот порядка 3 -109 гц и производить их при комнатной темпера-
температуре даже в жидких растворах. Все это позволило обнаружить резонансную
природу парамагнитного поглощения в присутствии постоянного под-
магничивающего поля, перпендикулярного к переменному магнитно-
магнитному полю.
того, согласно Крамерсу [204] и Кронигу [205], между %' и %" существует универ-
универсальная связь (соотношение Крамерса — Кронига):
, , 2 ? coy" (со) da
X"
2 Р сооХ' (ш) ^ш
1 = ~ Г . с^~
ъ —-о
(обычно %' (оо) = 0). Вывод этих соотношений можно найти, например, в книге Пей-
ка A965).
*) Валлер [203] указал, что в магнитной подсистеме кристалла (например, в слу-
случае кристаллов Зс?-металлов или Gd, где орбитальные моменты заморожены или их
нет, это просто спин-система 3d- или 4/-оболочек) возможны два типа релаксационных
процессов. Один из них протекает внутри самой магнитной (спиновой) системы и опре-
определяется взаимодействием атомных магнитных моментов (спинов) — так называемая
спин-спиновая релаксация. Другой протекает между магнитной (спиновой) подсисте-
подсистемой и колеблющейся кристаллической решеткой — спин-решеточная или спин-фонон-
ная релаксация.
— 279 —

Завойский усовершенствовал также методику измерения динамиче-
динамической восприимчивости %' при частотах порядка 109 гц. Вместе с тем он не
только открыл явление ЭПР, но и изучил ряд его закономерностей, а так-
также значительно расширил область исследования парамагнитной релакса-
релаксации (см. его работы [197, 198, 206—209]). Работы Завойского положили
начало как широкому развитию теоретических и экспериментальных
исследований по ЭПР и парамагнитной релаксации, так и практическому
применению этих явлений для изучения структуры твердых тел, природы
химической связи и структуры молекул и кристаллов и т. п. В настоящее
время ЭПР представляет собой один из важнейших разделов современно-
современного учения о магнетизме.
Первое теоретическое объяснение опытов Завойского по парамагнит-
парамагнитной дисперсии и поглощению было предложено Френкелем [210]. Даль-
Дальнейшее развитие теории дано Альтшулером, Завойским и Козыревым [211].
Шапошников [212], используя методы Мандельштама и Леонтовича [2131
для теории акустической релаксации, развил общую теермодинамическую
теорию парамагнитной релаксации, учитывающую не только спин-решеточ-
спин-решеточную релаксацию (Казимир, Дю-Пре [214]), но и спин-спиновую.
2. Общие условия электронного парамагнитного резонанса. Для
того чтобыУуяснить себе физическую природу явления ЭПР, обратимся
снова к рассмотрению влияния внешнего постоянного магнитного поля
и внешнего электромагнитного поля на изолированный атом (ион), обла-
обладающий в своем свободном состоянии отличным от нуля результирующим
магнитным моментом. Каждый энергетический уровень такого атома
характеризуется квантовым числом полного момента (см. гл. 2). Если
внешнее статическое магнитное поле Н относительно слабее по сравнению
с внутренними магнитными полями атома, то оно не нарушает спин-
орбитальной связи, и поэтому вокруг направления Н будет прецесси-
ровать результирующий вектор момента J. Под действием поля в этом
случае энергетический уровень атома расщепляется на 2/ -+- 1 эквиди-
эквидистантных магнитных подуровней (зеемановское расщепление, см. гл. 2,
§ 4). Под действием переменного магнитного поля частоты со возможны
магнитные дипольные переходы (с правилами отбора для магнитного
квантового числа т: \ Am' \ = 1) между соседними подуровнями, если
выполняется резонансное соотношение (боровское правило частот)
H(u = gjliiiH = $m—8m^u A3.56)
где фактор Ланде gj определяется формулой B.31). Заменяя магнетон
Бора [Хб его выражением по B.4), вместо A3.56) находим
= 7#- A3-57)
Формула A3.57) и дает условие для частот элементарного магнитного
резонанса изолированного атома (иона). В простейшем случае, когда мы
имеем дело с чисто спиновым моментом (L = 0), согласно B.13) и B.42)
gj = gs = 2,0023 (для орбитального магнетизма gL = 1) и A3.57) дает
. A3.58)
Из A3.58) следует, что для свободного электронного спина резонансная
частота соэ'пр отличается на 0,116% от циклотронной частоты*) сон-
*) Однако ЭПР невозможно практически наблюдать в условиях, когда наблю-
наблюдается ЦР, потому что интенсивность линий ЭПР гораздо меньше, чем линий ЦР. Это
обусловлено тем, что возмущающей силой, вызывающей переходы при ЭПР, является
радиочастотное магнитное поле, которое всегда слабее по своему действию, чем радио-
радиочастотное электрическое поле (более чем в 104 раз), обусловливающее ЦР.
- 280 -

Из формул A3.57) и A3.58) следует, что резонансные частоты ЭПР
определяются величиной магнитного поля, в частности, из A3.58) имеем
«эпр « 1,401-10». Я. A3.58а)
Из A3.58а) видно, что при полях от 1 до 104 э резонансные частоты лежат
в интервале частот 10'—1011 гц A0—105 Мгц), т. е. в радиочастотной A07—
109 гц) или микроволновой A010—1011 гц) областях (интервал длин волн
Ю1-1 см).
Наблюдение ЭПР на сравнительно низких частотах и соответственно
в слабых магнитных полях хотя принципиально возможно [см. A3.56) —
A3.59)], но практически оказывается невозможным. Это обусловлено тем,
что вероятности соответствующих квантовых переходов резко падают
с уменьшением частоты и эффект становится неразличимым. Последнее
и было причиной неудачи перевоначальных попыток обнаружения ЭПР
[Гортер A949)] *).
Основные условия ЭПР можно также с большой наглядностью полу-
получить из анализа классических и квантовых уравнений движения магнит-
магнитного момента. Как известно из классической механики, намагничен-
намагниченность I в магнитном поле Н подчиняется уравнению движения
?f = y[I(t)-H(t)], A3.59)
где
^ и H(t)
Направим постоянное однородное поле Л" вдоль оси z @, 0, Н), а пере-
переменное линейно поляризованное поле Н„ — вдоль оси х. Последнее мож-
можно рассматривать как суперпозицию двух полей с круговой поляризацией
(с правым — по часовой стрелке и с левым — против часовой стрелки
вращением), а именно:
{
Ну = lf1sinco<, левое вращение ) Ну=—i
#2=#, [hz=h.
Если Н~ = 0, то статическое поле Hz = Н, действующее вдоль оси z,
будет создавать прецессию магнитного момента I вокруг своего направле-
направления с ларморовской частотой a>L = yH. Поскольку составляющая пере-
переменного поля Н~ с левым вращением совпадает с направлением враще-
вращения I (t), то вращательный момент [I 'Ш„\ будет стремиться увеличивать
угол Ф, т. е. отклонять прецессирующий магнитный момент I от направ-
направления Н. Если частота со поля Н__ заметно отличается от ларморовской
частоты аь, то фаза между I (t) и H~(t) будет непрерывно меняться, так
что средний по времени вращательный момент [I (t) -H~ (t)] будет исче-
исчезать. Если же | со | = | соь | , то I и Н„ будут вращаться синхронно, и по-
поэтому среднее значение по в'ремени от вращательного момента будет отлич-
отличным от нуля и постоянным. Следовательно, со временем намагниченность I
будет либо приближаться к оси z (отдавая энергию), либо удаляться от нее
(поглощая энергию). Слагающая поля с правым вращением действует
также, как слагающая с левым вращением, и I со | = | со^ | , и поэтому ее
*) См., например, исследование Кавера и Сликтера [215]. Одной из основных
трудностей измерений(ЭПР в радиочастотном диапазоне является также то, что шири-
ширина резонансных линий может заметно превышать сами значения полей Н (эти поля,
например, при частотах ш « 10 Мгц порядка 10 э). Преимущество наблюдений ЭПР
в микроволновом диапазоне заключается еще и в большом различии заселенности
электронами зеемановских уровней в более сильных полях Н, что дает большие интен-
интенсивности линий ЭПР. Однако сама техника эксперимента в микроволновой области
достаточно сложна.
- 281 -

эффект в среднем сводится к нулю. Таким образом, мы снова приходим
к условию ЭПР в виде A3.57). Действительно, уравнение A3.59) в ком-
компонентах имеет вид
_^_ = _ iyI+H + iyIzHi exp (Ш), ~)
A3.59а)
i
dl
—Z- = у [I+ exp (— iat) — /~ exp (iat)] H,
где введены обозначения I± = Ix±ily- Решение A3.59а) имеет вид
I± — it]_z exP (zh ?ft>?), Iz = const
или
Г± ..и и
A3.59G)
7
Из A3.596) видно, что при резонансе со = аь = — уН, так что Ф = л/2.
Таким образом, восприимчивость, определяемая отношением слагающих
намагниченности /± к амплитуде переменного поля Hi, неограниченно
возрастает при резонансе, поскольку мы в A3.59) не учитывали затуха-
затухания (см. ниже).
В квантовом случае намагниченность I заменяется на оператор I
и уравнение движения A3.59) принимает операторную форму:
-i%^- = Sei-ise, A3.6O)
где Мб = — I H — гамильтониан (зеемановское слагаемое полного гамиль-
гамильтониана, зависящее от внешнего поля Ш). Подставляя в A3.60) это
выражение <Ш после несложных алгебраических преобразований
и используя соотношения коммутации для операторов механического
момента (см. гл. 19), находим
¦^Г = у[1-Н]. A3.60а)
Таким образом, квантовое уравнение для оператора 1 целиком ана-
аналогично классическому уравнению A3.59). Поэтому для средних или
собственных значений оператора I (из 13.60а) получаем обычные клас-
классические результаты.
На магнитные моменты парамагнитных ионов в кристалле, как пра-
правило, действует не только внешнее статическое поле Н, но и внутреннее
поле h, об источниках которого речь будет идти ниже. При наличии
поля h условие резонанса A3.57) изменится:
«3nP = g/|J^+ft|. A3.57а)
Из A3.57а) видно, что внутреннее поле h вызывает сдвиг резонансной
частоты. Если для различных парамагнитных ионов поле неодинаково, то
это может привести к уширению резонансной линии (см. ниже).
Переменное магнитное поле резонансной частоты с одинаковой веро-
вероятностью будет вызывать переходы с нижних магнитных подуровней
энергии на верхние (поглощение) и наоборот (индуцированное испуска-
испускание) *). Однако в системе атомов (ионов), находящихся в термодинамиче-
*) Кроме\ индуцированного излучения, вообще говоря, возможно и спонтанное
излучение. Однако в микроволновой и радиочастотной областях этим излучением
можно пренебречь (чего нельзя сделать в области оптических частот), поскольку
вероятности спонтанных переходов значительно меньше вероятностей индуцирован-
индуцированных переходов.
- 282 —

ском равновесии со своим окружением, состояния с более низкой энергией
обладают большей заселенностью. Поэтому число атомов, поглощающих
кванты электромагнитного поля, в этих условиях будет преобладать над
числом атомов испускающих; в итоге парамагнитная система будет погло-
поглощать энергию внешнего электромагнитного поля. Допустим в качестве
простого примера, что мы имеем систему из N свободных атомов, обладаю-
обладающих двумя магнитными подуровнями с энергетической разностью Ы$.
Пусть частиц с энергией нижнего подуровня будет пи а верхнего — п2
{ni + п2 = N). Внешнее поле частоты со вызывает переходы между уров-
уровнями: 1 ч* 2. Если вначале был больше заселен нижний уровень (rcj > га"),
то под влиянием поля будет происходит выравнивание чисел заполнения,
пока не наступит равенство п\ = п\ = N12, т. е. наступит так называемое
насыщение, после которого прекратится поглощение энергии. Если
магнитная (спиновая) часть рассматриваемой системы может обмениваться
энергией (т. е. взаимодействовать) с другой ее частью (в кристалле это
колеблющаяся ионная решетка — фононы!), то система будет стремиться
к равновесию. При равновесии
4—'(HI-)-
т. е. п\ ~^> nl (если Д§ ^> кТ) *). Число актов поглощения больше числа
актов индуцированного излучения; поэтому, как отмечалось выше, наблю-
наблюдается поглощение, ведущее к росту п\. Однако благодаря взаимодействию
с решеткой поглощаемая энергия в виде тепла передается решетке,
и обычно настолько быстро, что при используемых частотах отношение
njn2 очень слабо отличается от своего равновесного значения A3.61) **).
3. Тонкая структура линий ЭПР. Итак, условие резонанса A3.56) или A3.57)
определяет спектр ЭПР. Естественно, что в реальных кристаллах g-фактор может суще-
существенно отличаться от своего значения для свободного иона благодаря эффекту внутри-
кристаллических взаимодействий (см. гл. 10). Поэтому g-фактор в кристалле уже не оп-
определяется формулой B.31). Наоборот, можно его найти экспериментально, используя
явление ЭПР и измеряя Н и соЭПр. А именно из A3.57) находим
2mc \ мэпр 21,4178
) КН - A3-576)
/ 2mc \
[ —)
д
где Н измеряется в килоэрстедах, а Хэпр— в см. (резонансная длина волны микровол"
нового излучения). В гл. 10 мы уже видели, что g-фактор является тензором, отражаю-
отражающим анизотропию поля лигандов. Кроме того, как уже отмечалось там же, поле лиган-
лигандов может приводить к частичному снятию вырождения состояний изолированного
иона. Это в свою очередь приводит к возникновению тонкой структуры в спектрах
ЭПР. Поясним это явление на конкретном примере иона Сг3+. Основным состоянием
этого иона является состояние 4.?\ обладающее семикратным орбитальным вырожде-
вырождением (L = 3; 22/ + 1 = 7). В поле лигандов октаэдрической симметрии вырождение
частично снимается, и уровень iF расщепляется на три: наинизший, синглет (Г2) и два
триплета (Г4 и Г5) с большими энергиями (рис. 13.17). Синглет Г2 обладает четырехкрат-
четырехкратным спиновым вырождением (S = 3/2, 2S + 1 = 4), которое не снимается при одновре-
одновременном действии кубического поля лигандов и спин-орбитальной связи (гл. 10). Это
вырождение может быть снято только внешним магнитным полем (эффект Зеемана).
Переходы |Дт'| = 1 между соседними линейно расходящимися зеемановскими уров-
уровнями дают одну-единственную спектральную линию (А на рис. 13.17, о) при данной
частоте внешнего поля со и всех полях Н, удовлетворяющих условию A3.57), и тонкой
структуры нет. Если в кристалле имеется слабая аксиальная добавка к кубическому
полю лигандов, то спиновое вырождение уровня Г2 частично снимается (рис. 13.17, б)
и при Н = 0 имеем расщепление основного уровня парамагнитной частицы, лежащего
в микроволновой области. Поэтому линии ЭПР могут наблюдаться под влиянием маг-
магнитных дипольных переходов и в отсутствие постоянного магнитного поля. Внешнее
поле дает дальнейшее расщепление этих двух крамеровских дублетов (см. гл. 10).
При разных ориентациях поля Н в кристалле это расщепление будет, вообще говоря,
*) В противоположном случае (Af = gj^^H <^ kT) имеем rej/n§ « 1 +
+gJliBH/kT.
**) В некоторых случаях, например при ядерном магнитном резонансе, где
взаимодействие с решеткой очень слабое, может наблюдаться заметное отклонение
от условия равновесия A3.61) (см. гл. 26).
— 283 —

различным. Если поле Н направить под углом к лигандному полю, то здесь также надо
различать случай слабых полей, когда ось квантования определяется направлением поля
лигандов, и сильных, когда ось квантования определяется направлением поля Н.
m
i
Нет танкой структуры
а)
Есть тонкая структура
6)
Рис. 13.17. Тонкая структура линий ЭПР иона Сг3+ с основным состоянием
*F в кристалле с октаэдрической симметрией. Имеет место частичное снятие
вырождения в поле лигандов: три уровня с симметрией типа Г2, Г4 и Ть',
тд — магнитное спиновое квантовое число, а) Случай, когда зеемановское
расщепление уровня Гг'не приводит к тонкой структуре,—одна линия в спект-
спектре ЭПР (А), б) Случай частичного снятия вырождения уровня Тг под влия-
влиянием слабой «аксиальной» добавки к лигандному полю — зеемановское рас-
расщепление дает тонкую структуру — три линии в спектре ЭПР (А', В' и С).
Зеемановские уровни при этом расщеплении расходятся опять линейно с ростом поля
Я (но для разных дублетов с разным наклоном).
Если фиксировать частоту внешнего электромагнитного поля со, что обычно и де-
делается в опытах по ЭПР *), и менять силу поля Я, то для переходов Дт/ = ±1 в спект-
спектре ЭПР появляются три линии, i Это расщепление называется «тонкой структурой».
На рис. 13.18 приведены фотографии тонкой
структуры спектра ЭПР ионов Сг3+ в кристал-
кристалле А12О3 для двух ориентации Н: вдоль триго-
нальнойоси и перпендикулярно к ней.
Для расчета тонкой структуры спектра
ЭПР в кристаллах тетра- и тригональной сим-
симметрии можно воспользоваться методом
«спин-гамильтониана» (см. гл. 10). Если опу-
опустить члены, обусловленные спином ядра
(/ = 0) и члены, квадратичные по полю Я, то
A0.52) примет вид
A3.62)
Напоминаем, что ось z выбрана вдоль оси
симметрии кристалла. Если поле Я парал-
параллельно этой оси, то собственные значения
A3.62) будут
~mS2' A3.62а)
Рис. 13.18. Фотографии тонкой структуры
спектра ЭПР на ионах Сг3+ в кристалле
А12О3. По оси ординат отложены величи-
величины, пропорциональные поглощению, а по
оси абсцисс — напряженности внешнего
магнитного поля, частота которого фик-
фиксирована, а) Случай внешнего поля Я,
параллельного тригональной оси кристал-
кристалла, б) Случай внешнего поля и, пер-
перпендикулярного к тригональной оси
кристалла.
где ms = S, S — 1, S — 2 —E — 1), —
— S — магнитные спиновые квантовые числа. Правила отбора в этом случае будут
| Ams 1=1. Тогда, если записать начальные и конечные значения ms в симметрич-
симметричной форме m's — п + 1/2, то условия резонанса будут
= A% = gll\iBH + 2nD, A3.63)
*) Поскольку в микроволновой области стандартные источники излучения имеют-
имеются для ограниченных интервалов частот.
284 —

где re = 5 — 1/2, S — 3/2, . . ., — (S — 3/2) — (S — 1/2). Если D мало, то это ука-
указывает, что «тонкая структура» ЭПР имеет 2S равноотстоящих линий. Если D велико,
то для достижения резонанса необходимы более высокие частоты со. Если магнитное
поле Н имеет другое направление, то картина ЭПР усложняется. При малых D можно,
однако, воспользоваться приближенными методами. Угловая зависимость расстояния
между составляющими тонкой структуры от угла й между Н и осью симметрии z оказы-
оказывается пропорциональной угловому множителю C cos2 й — 1).
4. Сверхтонкая структура линий ЭПР. Если ядро парамагнитного
иона также обладает магнитным моментом, соответствующим его спину /,
который имеет 21 + 1 ориентации в поле Н, благодаря взаимодействию
ядерного спина со спином электронной оболочки в спектре ЭПР наблю-
наблюдается также сверхтонкая структура (СТС). Например, если мы имеем
т; ион с S = 1/2 и / = 3/2, то при достаточно
сильных полях оба зеемановских уровня с
m's = + 1/2 расщепляются на четыре под-
подуровня и их энергия будет линейно меняться
с полем (рис. 13.19а). При заданной частоте
внешнего электромагнитного поля со перехо-
переходы с Ami = 0 будут происходить при четы-
четырех значениях внешнего поля Н — это и бу-
будут линии СТС ЭПР. Сверхтонкую структуру
АААА
2900з
ШОэ
Рис. 13.19а.
Рис. 13.196.
Рис. 13.19а. Схема зеемановской зависимости положения энергетических уровней иона Си2+ при
возрастании внешнего поля Я и переходах между этими уровнями (при фиксированной частоте
внешнего электромагнитного поля со), приводящих к возникновению сверхтонкой структуры (СТС)
спектра ЭПР парамагнитного иона со спиновым квантовым числом! электронной оболочки S =
=1/2 и ядра I = 3/2. Все переходы соответствуют правилу отбора Amj = 0, | Ат'д | = 1. Цифры под
схематическим изображением линий («гребенки») СТС (внизу рисунка) указывают значения ядер-
ядерного магнитного квантового числа mj уровней, между которыми происходит соответствующий
переход (см. [283]).
Рис. 13.196. Сверхтонкая структура (СТС) спектра ЭПР иона Мпг+ в водном'растворе МпС1г при
фиксированной частоте переменного электромагнитного поля со/2я = 9345 Мгц. По оси ординат
отложена интенсивность'линий, по оси абсцисс—внешнее постоянное магнитное поле в пределах от
2900 до 4300 9 [Альтшулер и Козырев A961)].
ЭПР впервые наблюдал Пенроз [216], следуя указанию Гортера
[217]. На рис. 13.196 приведена картина фактически наблюдаемой СТС в
ЭПР для иона Мп2+ в водном растворе МпС12 при со/2л = 9345 Мгц.
Количественно СТС спектра ЭПР описывается членами в спин-гамиль-
спин-гамильтониане A0.63) с постоянными Аи А2 и Q'. Все линии СТС обычно
(рис. 13.196) имеют одинаковую интенсивность, и поэтому их легко можно
отличить от линий тонкой структуры, интенсивность которых спадает от
середины мультиплета к его краям. Угловая зависимость СТС также ока-
оказывается иной, чем для тонкой структуры.
5. Ширина линий спектра ЭПР и парамагнитная релаксация. Приведенные выше
соображения, строго говоря, применимы лишь к сильно разведенным растворам магнит-
магнитных ионов в монокристаллах. В реальных парамагнитных кристаллах или жидких
растворах имеется много усложняющих причин, приводящих к существенному ушире-
нию резких линий резонансного поглощения. Поскольку ЭПР обычно наблюдают при
фиксированной частоте микроволнового электромагнитного поля, а изменяют величину
напряженности постоянного магнитного поля Н, то уширение резонансных линий
- 285 -

принято измерять в эрстедах. В явлении уширения резонансных линий мы имеем дело
с двумя основными эффектами: один из них обусловлен взаимодействием между магнит-
магнитными ионами (спин-спиновое взаимодействие), а другой — взаимодействием между сис-
системой магнитных^ моментов парамагнитных ионов и колебаниями решетки (спин-реше-
(спин-решеточное взаимодействие). Эти взаимодействия определяют и соответствующие времена
спин-спиновой релаксации тсс и спин-решеточной релаксации тср в парамагнетиках
[Гортер A949)]. Приближенно принимают следующую связь между полушириной:
линии поглощения ЭПР и этими временами:
тсс ^ср
В действительности эта связь, конечно, более сложная. Взаимодействие парамагнетика
с внешним электромагнитным полем частоты со, согласно Казимиру и Дю-Пре [214],
схематически изображено на рис. 13.20. Парамагнитный кристалл, как уже отмечалось,
можно представить как совокупность двух подсистем: спин-системы и кристаллической
решетки, к которой относятся все остальные (не спиновые) степени свободы парамагне-
парамагнетика: фононы и др. Такое разделение, естественно, предполагает, что эти подсистемы
сравнительно слабо взаимодействуют друг с другом (в нулевом приближении они счи-
считаются независимыми), т. е. что спин-решеточная связь заметно меньше спин-спиновой.
В этом случае равновесие внутри спин-системы устанавливается гораздо быстрее, чем
tico
Спин-
система
*cp
Решетка
Термостат
Рис. 13.20. Схема релаксационных процессов в парамагнетике при ЭПР (й&>—
квант внешнего электромагнитного поля, %сс и тСр — времена релаксации,
спин-спиновое и спин-решеточное).
между спин-системой и решеткой (тсс < тср), и спин-системе можно приписать, вооб-
вообще говоря, свою температуру, отличную от температуры решетки. Как мы видели выше,
в условиях теплового равновесия для заселенности уровней в спин-системе последняя
поглощает энергию падающего на нее излучения, а затем благодаря спин-решеточному
взаимодействию непрерывно передает ее решетке (фононам) с восстановлением равно-
равновесного распределения парамагнитных ионов по уровням энергии, между которыми
происходят магнитные переходы. Затем она отдает эту энергию термостату (при не очень
низких температурах, когда теплоемкость решетки велика и заметно выше чем у спин-
системы, термостатом может явиться и сама решетка) *). Время тср сильно изменяется
при переходе от вещества к веществу и сильно зависит от температуры.
Опыт показывает, что температурная зависимость времени тср имеет видтср~Г.
По величине | тср | ^ 10~в сек при Т ^ 20° К, и оно возрастает до значений порядка
10 сек при Т = 4,2° К. Время спин-спиновой релаксации гораздо короче, а именно^
тсс =%; 10J0 сек, и оно практически не зависит от температуры. Именно эти различия
и позволяют рассматривать оба процесса как автономные, и поэтому, например, при
со < 107 гц спин-спиновую релаксацию можно не рассматривать. Следует также иметь
в виду, что времена релаксации зависят и от соотношения величин внешнего поля | II ]
и внутренних полей | ft | [см. A3.57а)]. При | Н | <С | ft | в основном изменение Н
меняет направление результирующего поля Н + ft, но не его величину. Это приводит
к некоторой разориентации атомных моментов, поскольку меняются их оси прецессии
(эта поляризация магнитной спиновой подсистемы не связана с взаимодействием с ре-
решеткой и определяется небольшими изменениями энергии зеемановских уровней атом-
атомных магнитиков). Если же | Н | > | ft |, небольшие изменения меняют в основном
величину результирующего поля Н + ft, а не его ориентацию. В данном случае поля-
поляризация связана с изменением заселенности уровней, что требует взаимодействия
с решеткой. Отсюда следует, что спин-решеточную релаксацию можно изучать в боль-
больших статических полях и в параллельном переменном поле со столь малой частотой,
что спин-спиновой релаксацией можно пренебречь (ибо со < т^.1). С другой стороны,
эту последнюю релаксацию следует изучать при высоких частотах.
Установление равновесия в спин-системе, происходящее путем обмена энергией
между отдельными ее частями, идет так, что полная энергия спин-системы не ме-
меняется. Наоборот, спин-решеточная релаксация происходит с изменением энергии
спин-системы.
К проблеме о ширине линий ЭПР можно подойти очень просто и чисто феномено-
феноменологически. В микроскопическом аспекте это весьма сложная задача. Здесь, например,
необходимо выяснить связь между релаксационными процессами в нерезонансных
и резонансных опытах [см. Пейк A965)].
*) При очень низких температурах наиболее затрудненным каналом передачи
энергии мешду подсистемами —«узким местом»— будет передача энергии от фононов
к термостату.
— 286 -

6. Физический механизм релаксационных процессов, а. Спин-спино-
Спин-спиновое взаимодействие. Выше уже указывалось, что в уравнениях A3.59)
необходимо учитывать затухание при ЭПР. Вводя времена релаксации
Тсс и Тер, можно, следуя Блоху [218], обобщить уравнения A3.59), добав-
добавляя члены затухания IXi у/тсо и A0 — /г)/тср, где /0 — равновесное зна-
значение I'г. В итоге имеем
г.
± iyHI* + ?- = + iyIzHi exp (± Ш),
СС A3.64)
Решение для 1± ищем в виде
^"gff^. A3.65)
При определении 1г будем предполагать, что dIz/dt = O, т. е. в спино-
спиновой системе существует равновесная температура, определяемая погло-
поглощаемой энергией, релаксацией и температурой решетки (которая может
не совпадать с температурой спиновой подсистемы). Величину Iz нахо-
находим из второй строки A3.64), подставляя туда выражения A3.65):
Подстановка A3.66) в A3.65) дает
г± т
-7
Из A3.67) находим комплексную парамагнитную восприимчивость в пло-
плоскости (х, у):
/± ехр (Ш)
% -»Х"= hi ,
где
сс ср V A3.68)
где %0 = 10/Н; поскольку yH=—aL, то %">°-
Выражения для слагающих комплексной восприимчивости значительно
упрощаются, если выполняется условие *)
72Я?тсртсс<1. A3.69)
Действительно, тогда по A3.66) следует, что Iz-*-I0. Это означает, что,
несмотря на увеличение заселенности мультиплета из-за поглощения
энергии переменного поля, благодаря малости времени релаксации тср
температурное равновесие быстро восстанавливается и температура маг-
магнитной (спиновой) подсистемы практически совпадает с температурой
кристаллической решетки. При выполнении условия A3.69) для угла
прецессии $ вместо A3.596) имеем
=tgfl= ^ г—, A3.70)
*) Поскольку v2 « Ю14, тср <; Ю-6 сек при Т > 10° К, тсс ^ 101-10 сек, то для
выполнения условия A3.69) на амплитуду микроволнового поля накладывается усло-
условие Hi < 10 э.
— 287 —

а вместо A3.68)
7Ят|с(ш+7Я)
Xo
X — ¦
Xo
A3.71)
Графически соотношения A3.71) приведены на рис. 13.21, а, б. Из
рис. 13.21, б видно, что %" имеет максимум при резонансе, т. е. при <а =
= —уН = ыь. Полуширину резонансной линии, соответствующую поло-
половине высоты максимума %", находим из A3.71):
х" 1 1
Xomltcc
или
Лм = |(о — u)L|=^Tc|. A3.72)
Если условие A3.69) не выполняется, то ситуация делается]более слож-
сложной. Тогда из A3.66) при резонансе получаем
h _ 1
/0
Таким образом, в этом случае Iz < 10, и мы имеем дело с так называемым
явлением насыщения, поскольку спин-решеточная релаксация не в сос-
состоянии установить термодинамическое равновесие в магнитной подсисте-
подсистеме. Восприимчивости %' и %" при этом
уменьшаются по величине и резонансная
линия расширяется.
Остановимся теперь на выяснении
вопроса о физическом механизме процес-
процессов релаксации в парамагнетиках. Среди
спин-спиновых взаимодействий парамаг-
парамагнитных ионов между собой в свою очередь
можно указать два главных типа: 1) ди-
поль-дипольное магнитное взаимодейст-
взаимодействие и 2) обменное (электростатическое)
в заимодействие.
а. Диполь-дипольное (ма-
(магнитное) взаимодействие
можно наглядно представить себе так, что
каждый парамагнитный Гион находится в
магнитном поле, представляющем собой
сумму внешнего поля и полей, созда-
создаваемых его соседями (подобно входящему
в A3.57а) внутреннему полю h). Ионы в
парамагнетике ориентированы хаотически,
следовательно, суммарное поле случайным
образом отличается от постоянного внеш-
внешнего поля. Поэтому резонанс для каждого
отдельного иона происходит при поле,
отличающемся на случайную величину от
резонансного поля, даваемого формулой
A3.56), т. е. от
Рис. 13.21. Зависимость вещественной
части комплексной восприимчивости х
(верхний график а) и ее мнимой части
X" (нижний график б) от частоты внеш-
внешнего электромагнитного поля со [по
формулам A3.71)]. По оси ординат от-
отложены безразмерные величины
x7XoeoLTcc и x7Xo(oltcc, а по оси
абсцисс — безразмерные величины
тсс (со — &>?,), где тсс — время спин-
спиновой релаксации, а ео^ — лармо-
ровская частота; хо — статическая
восприимчивость парамагнетика.
-Нрез =
Резонанс для всего кристалла или жидкости в целом наблюдается в неко-
некоторой области полей (частот) около некоторого среднего значения. Уши-
рение линии Дм по порядку величины определяется средним значением
магнитного поля h, создаваемого другими магнитными ионами в кристалле
- 288 -

или растворе. Поскольку это поле падает обратно пропорционально кубу
расстояния: h ~ (хБ/г3, то основной вклад в него дают лишь ближайшие
соседи. В кристаллах с большой концентрацией магнитных ионов ширина
линий обычно 500 э *). Наоборот, в сильно магнитно разведенных систе-
системах она падает до нескольких эрстед.. В качестве примера диполь-диполь-
ного уширения линий ЭПР на рис. 13.22 приведен спектр ЭПР ионов
Мп2+, растворенных в решет-
1%
0,5%
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
Н
ке вюрцита (ZnS), при раз-
различных концентрациях мар-
марганца (см. ван Виринген
[220]). Из рис. 13.22 видно,
что при увеличении концент-
концентрации ионов Мп2+от 0,05 ат. %
до 1 ат. % вместо шести до-
довольно ясно разделенных ли-
линий СТС мы получаем спектр
в виде одного широкого мак-
максимума с почти исчезнувшей
структурой. Приведенный
пример наглядно иллюстри-
иллюстрирует причину невозможно-
невозможности разрешения отдельных
линий в спектрах ЭПР в чи-
чистых парамагнитных соедине-
соединениях, например МпО и т. п.
Эти линии разрешаются лишь
при условии сильного раз-
разбавления парамагнитных ио-
ионов немагнитными: Zn2+,
Mg2+ и т. п. Теорию спин-спинового дипольного взаимодействия в
парамагнетиках впервые предложил Валлер [203], а затем развили Брур
[219]; Ван-Флек [221, 222], Прайс и Стивене [223], Киттель и Абрагамс
[224] и Глебашев [225]; см. также монографию Касперса A964).
р. Обменное (электростатическое) взаимо-
взаимодействие. Парамагнитные ионы, не слишком сильно удаленные друг
от друга, испытывают также эффект обменных взаимодействий, являющих-
являющихся следствием антисимметрии электронных волновых функций ионов
(или в более простом выражении—принципа Паули); благодаря этому
электростатическая энергия двух ионов зависит от взаимной ориентации
их спинов. Эти эффекты можно наглядно представить себе как «обмен»
электронными спинами между соседними парамагнитными ионами с часто-
частотой «оби ~ Alb., где А — энергетический параметр обменной связи
(интеграл обмена). Если этот «обмен» очень быстрый и происходит между
подобными ионами (имеющими одинаковую энергию в суммарном магнит-
магнитном поле Н + h), то он будет усреднять (выравнивать) локальные поля h,
действующие на данный ион, и тем самым приводить к сужению резонанс-
резонансной линии («обменное сужение» Ван-Флек [222] **)).
Рис. 13.22. Спектры ЭПР кристаллов ZnS (вюрцита),
содержащих примеси ионов Мп2+. По оси абсцисс отло-
отложены значения напряшенностей магнитного поля (в
вебер/м?). Числа справа от кривых для интенсивностей
поглощенной энергии указывают содержание Мп2+ в
образце (в атомных %) [220].
*) Ширина линии ЭПР АН ~ h, а поле
нитных ионов по порядку величины равно
— ^б 100
при больших концентрациях парамаг-
" ~ Г3 ~ Ю~22 ~ 1и"'
если среднее расстояние между парамагнитными ионами порядка 5-10~8 см. Заметим
здесь, что указанная связь ширины резонансной линии с h согласуется с форму-
формулой A3.72), поскольку Брур [219] показал, что тсс « gjeh/2mc.
**) При неодинаковых ионах, ларморовские частоты которых различны, обмен
ведет к выравниванию этих частот и тем самым к уширению линии.
19 С. В. Вонсовский
- 289 -

у. Форма линии ЭПР. Теория спин-спинового взаимодей-
взаимодействия парамагнитных ионов разработана в довольно грубом варианте, не
допускающем точного расчета формы резонансной линии. Развитые
методы расчета позволяют лишь вычислять так называемые «моменты
кривых резонансного поглощения». По определению к-й момент линии
поглощения со средней частотой <и0 равен
где g(a>)— функция формы резонансной линии.
При сравнении с опытом предполагают, что g (<a) имеет гауссову форму
или лорентцеву
где Аса — ширина линии поглощения. Для гауссовой формы М^м) = о2
и A/W = За4 и (M(c°)I^/(M2(c°)I/2 = 1,32. Обменное сужение будет увели-
увеличивать это отношение, а диполь-дипольное — уменьшать. Поэтому, опреде-
определяя из опыта это отношение, можно судить о наличии эффектов обменного
сужения. Следует, однако, отметить, что в теории Ван-Флека [221, 222]
имеется много упрощающих предположений [см. Альтшулер, Козырев
A961)], которые могут быть неприменимы в реальных случаях.
Поскольку ЭПР исследуется при со = const и при изменяющемся маг-
магнитном поле, то ширину линии, как отмечалось, необходимо измерять
в эрстедах. В этом случае формула для моментов будет иметь вид
со со
MiH) = j (Я - Ярез)* g* (Я)/ J g* (Н) dH.
и о
Обычно ограничиваются вычислением второго и четвертого момента.
Глебашев [226] вычислил также шестой момент.
Более общий подход к расчету формы линий ЭПР на основе теории
стохастических процессов развит в работах [227—231].
б. Механизм спин-решеточной релаксации. Рассмотрим теперь кратко
механизм спин-решеточной релаксации, заключающейся в передаче
энергии от магнитных (спиновых) степеней свободы парамагнитных ионов
к колебательным степеням свободы (фононам) кристаллической решетки.
Если этот обмен энергией очень быстрый, то уже нельзя считать, что
парамагнитные ионы находятся в состояниях с определенными дискрет-
дискретными уровнями энергии. Действительно, согласно соотношению неопре-
неопределенности между энергией и временем
А% At 3* Й
можно ожидать, что если время жизни данного состояния т^р ж At умень-
уменьшается, то возрастает неопределенность (размазанность) энергетических
уровней парамагнитных ионов: А^>-/г/тСр. Это в свою очередь приводит
к уширению спектральной линии, которая возникает при переходах
между такими размазанными уровнями. Время релаксации тср растет
с понижением температуры, поэтому можно сделать спин-решеточное
уширение линий ЭПР (— тёр) пренебрежимо малым, проводя эксперимен-
эксперименты при достаточно низких температурах (<20° К).
Проблема спин-решеточной релаксации была предметом исследования
многих авторов [203, 214, 232—238]. Мы не будем останавливаться на
деталях различных теоретических трактовок и перечислении различных
- 290 -

механизмов спин-решеточной релаксации, с которыми читатель может
ознакомиться в монографиях и обзорах [Гортер A949), Альтшулер, Козы-
Козырев A961), Лоу A962), Пейк A965)].
Здесь мы упомянем лишь два главных механизма: механизм Вал-
лера [203], или прямой, и механизм Кронига — Ван-Флека [232, 233],
или рамановский.
а. Механизм Валлера. Идея, которая была высказана
Валлером, сводилась к тому, что изменение ориентации магнитного момен-
момента парамагнитного иона относительно внешнего поля под влиянием коле-
колебаний решетки происходит благодаря изменению магнитного взаимодей-
взаимодействия ионов, вызываемому изменением расстояний между магнитными
m' t
s 2
Фонон
Фонон
6)
Рис. 13.23. Схема спин-решеточной релаксации, а) По Валлеру (прямой процесс);
б) по Кронигу — Ван-Флеку (косвенный процесс рамановского типа).
ионами при этих колебаниях. Действительно, магнитное поле, создаваемое
магнитным ионом в точке, занимаемой его соседом, изменяется, согласно
D.15), со временем приближенно, как ((хБ/д3) (Аг/й) cos at, где а — рас-
расстояние между соседними ионами, а Аг — средняя амплитуда тепловых
колебаний. Иными словами, спин-система обменивается энергией с систе-
системой фононов через моуляцию магнитных взаимодействий между пара-
парамагнитными ионами, вызываемую колебаниями решетки. Схема этого
механизма представлена на рис. 13.23, а.
Механизму Валлера в общем случае соответствуют очень большие
времена релаксации тср, на несколько порядков величины большие, чем
дает опыт, например, в титано-цезиевых квасцах (см. Декстер [56] и Сти-
Стивенсон [57]).
р. Механизм Кронига — Ва н-Ф лека. Крониг [232]
и Ван-Флек [233] предложили другой механизм спин-решеточной релак-
релаксации, в котором она осуществляется благодаря тому, что тепловые коле-
колебания модулируют электрическое внутрикристаллическое поле (поле лиган-
дов) и через посредство спин-орбитального взаимодействия вызывают
переходы в спин-системе. Схема этого «рамановского» механизма изобра-
изображена на рис. 13.23, б.
Альтшулер [237] показал, что механизм Валлера может играть глав-
главную роль в случае парамагнитных нонов с достаточно большими магнит-
магнитными моментами, при большой концентрации этих ионов или, наконец,
для ионов, находящихся в ^-состоянии с нулевым орбитальным момен-
моментом *) [см. Альтшулер, Козырев A961) и работу Башкирова [240]].
7- Другие механизмы. Кроме указанных двух основных
механизмов спин-решеточной релаксации возможны и другие типы. В ка-
качестве примера можно указать на механизм, рассмотренный Орбахом
[241], в котором передача энергии от спин-системы редкоземельных ионов
происходит через реальные промежуточные состояния.
*) В этом случае взаимодействие спинов с электрическим кристаллическим полем,
являющееся главным этапом в механизме Кронига — Ван-Флека, может происходить
лишь за счет «примеси» возбужденных орбитальных состояний (см. также Леу-
шин [239]).
— 291 — 19*

в. Времена релаксации при ЭПР. Таким образом, для описания пара-
парамагнитной релаксации необходимо знать по крайней мере два основных
временных параметра — время спин-спиновой релаксации тсс и время
спин-решеточной релаксации тср. Как уже отмечалось выше, равновесие
внутри спин-системы устанавливается значительно быстрее, чем между
спин-системой в целом и решеткой. Именно в этом случае можно ввести
эти два времени, причем они связаны неравенством тсс <^ тср. В литера-
литературе эти времена часто отождествляют соответственно с двумя другими:
тСр с 7\ — временем продольной релаксации, а тсс с Т2 — временем
поперечной релаксации. Времена Т^ и Т2 были введены Блохом [218] в его
феноменологическом уравнении магнитного резонанса
{Mz-M0)k Л
dt ё [injli т2 т, ' ^ A3.73)
Н = Нк + #1 cos cat-г, i
где М — магнитный момент системы в момент времени t, Мо — равно-
равновесное значение магнитного момента в постоянном поле Hk, Hi cos at-i —
переменное поле частоты со, а г, j, к — орты координатных осей. Из A3.73)
видно, что если парамагнетик помещен в Статическое поле, то время Т^
(продольная релаксация) характеризует скорость установления равно-
равновесия, если мгновенно изменить величину поля Н без изменения его
направления. Время же Т2 характеризует релаксацию при мгновенном
изменении направления поля Н, но при сохранении его абсолютной
величины. Время 7\ определяет релаксационный процесс, связанный
с изменением энергии спин-системы, поэтому 7\ и следует отождествлять
с тср. Время Т2 определяет релаксацию при неизменной энергии спин-
системы, а это и позволяет связать его с тсс. Эквивалентность времен Ti:
Т2 и тср, тсс не всегда может иметь место. Действительно, понятия времен
продольной и поперечной релаксации могут быть введены всегда для
любой системы, а о временах тср и тсс можно говорить, лишь если спин-
система достаточно автономна, т. е. тсс <^ тср.
Развитие теории и накопление опытных фактов по ЭПР показало,
что далеко не всегда достаточно двух времен Т^ и Т2 (или тср и тсс) для
описания весьма сложного процесса парамагнитной релаксации и тре-
требуется введение еще дополнительных параметров. В частности, например,
Бломберген и др. [242] *) ввели понятие еще одного параметра — времени
перекрестной релаксации (кроссрелаксации) Т12, за которое устанавли-
устанавливается равновесие в спин-системе между системой индивидуальных спино-
спиновых уровней парамагнитных ионов, с одной стороны, и системой диполь-
дипольных взаимодействий — с другой **).
Мы не имеем возможности больше останавливаться на вопросе о пара-
парамагнитной релаксации и отсылаем читателя к соответствующим обзорам
и оригинальным статьям ***).
7. Связь с экспериментом (неметаллические вещества). ЭПР пара-
парамагнитных ионов, о котором шла речь выше, наблюдается в неметалли-
неметаллических ионных кристаллах (в солях с растворенными в них парамагнит-
*) См. также работы: Киль [243], Клишко, Туманов, Ушакова [244].
**) Очевидно, это будет иметь место, если зеемановское расщепление превышает
энергию дипольного взаимодействия (или зеемановские уровни не эквидистантны)
и тсс не может, следовательно, являться временем установления теплового равнове-
равновесия внутри спин-системы. Естественно, что наибольший интерес для кроссрелаксации
представляет случай Г12 < ?V По теории кроссрелаксации см. также работу Генкина
[245] и [246—248].
***) Общая теория спин-спиновой релаксации, включая и перекрестную, разви-
развита в обширной работе Касперса [249] и его обзоре [см. Касперс A964)]; см. также
более поздние оригинальные работы по спин-решеточной [250—277, 571—575]
и спин-спиновой 1278—282] релаксациям.
- 292 -

ными ионами), парамагнитных жидких растворах и газах. Главное вни-
внимание уделялось изучению ЭПР в различных солях элементов группы
железа (Зй-металлов) и редкоземельных элементов D/-металлов); за
последние годы начались также исследования ЭПР в солях 4d- и би-
биметаллов (группы палладия и платины), а также актинидов (включая
и соли трансурановых соединений). Конкретные сведения о спектрах ЭПР
в солях d- и /-металлов можно найти в специальных перечисленных ранее
монографиях и обзорах Блини и Стивенса [283], Боуэрса и Оуена [284]
и Вертца [285].
Особое внимание, в частности в работах казанской школы физиков,
уделялось изучение ЭПР в органических соединениях, а именно в рас-
растворах свободных радикалов. Первая работа в этой области была выполне-
выполнена Козыревым и Салиховым [286] (см. также Холден и др. [287]). Сведе-
Сведения об этом типе ЭПР читатель может найти в книгах Альтшулера и Козы-
Козырева A961), Инграма A958) и в обзорах Вертца [285] и Блюменфельда
и Воеводского [288].
Большое число работ по применению ЭПР в химии печатается
в «Journal of Chemical Physics». Можно упомянуть несколько более позд-
поздних работ по ЭПР [289-302, 577].
Явления, связывающие ЭПР и ЯМР, будут рассмотрены в гл. 26.
За последнее время явление ЭПР прибрело особый интерес для кван-
квантовой электроники в связи с тем, что открылась возможность использова-
использования этого явления в твердых телах для создания чрезвычайно удобных
парамагнитных усилителей и генераторов с исключительно низким уров-
уровнем шумов как в микроволновой («мазеры»), так и в оптической («лазеры»)
области *). Сведения по этому вопросу можно найти у Альтшу-
Альтшулера и Козырева A961), в обзорах Басова и Прохорова [303], Зверева
и др. [304].
8. Электронный парамагнитный резонанс в электронных проводни-
проводниках, а. Общие замечания. Специфический характер носит ЭПР в металлах
и полупроводниках, где носителями парамагнетизма являются электроны
проводимости. В переходных металлах можно также ожидать ЭПР для
электронов d-или /-оболочек. Остановимся кратко на описании этого
особого случая ЭПР **). Условие резонанса A3.58) для электронов про-
проводимости и электронов d- или /-оболочек дает возможность определить их
^-фактор. Из ширины линии ЭПР в металлах можно, очевидно, определить
соответствующее время релаксации. Наблюдение ЭПР в металлах, однако,
затруднено из-за скин-эффекта ***), который делает существенно неодно-
неоднородной величину напряженности магнитного поля на расстояниях поряд-
порядка глубины скин-слоя. В частности, вероятность перехода электронного
спина в единицу времени (определяющая интенсивность линии ЭПР)
можно ввести только при том условии, что электрон находится в доста-
достаточно однородном поле в- течение времени, во много раз большего, чем
период поля Т = 2лсо. Поскольку глубина скин-слоя б « 10~5 -г-
Ч- 10~6 см, а смещение электрона при свободном движении за время Т
равно Уф/м, то вышесказанное условие требует, чтобы иф/а <^ б, или
со > уф/6 fv 108: A0~5 ч- 10~6) сек-1 ---= 1013 ч- Ю14 сек'1.
*) Эти термины приняты в зарубежной литературе как сокращения длинного
названия «Mikrowave (Light) Amplificaton Stimulated by Emission of Radiation», что
означает «микроволновое» (световое) усиление при помощи индуцированного излуче-
излучения». В настоящее время имеется обширная литература по теории, исследованиям
и применениям мазеров и лазеров.
**) Подробное описание можно найти в книге Альтшулера и Козырева A961);
см. также обзор Азбеля и Лифшица [99].
***) Одним из способов уменьшения влияния скин-эффекта является проведе-
проведение резонансных опытов на мелких металлических порошках, погруженных в пара-
парафин или в аммиак.
¦ — 293 -

Иными словами, для магнитных полей получаем условие
Это означает, что при обычных полях порядка 104 э (частотах до 1011 гц)
электрон покидает скин-слой за время, значительно меньшее периода
переменного поля. На первый взгляд может показаться, что наблюдение
ЭПР в металлах практически невозможно (поскольку мы можем распо-
располагать стационарными полями лишь до 105 э), так как электрон не может
даже «почувствовать» частоту внешнего поля. Однако такой вывод непра-
неправилен. Дело в том, что ввиду слабой связи спина электрона с его орбиталь-
орбитальным движением время Тs между двумя последовательными изменениями
ориентации спина велико по сравнению со средним временем свободного
пробега т. Опыт, например, в случае натрия показывает, что лишь одно
из 106 столкновений вызывает переориентацию спина, т. е. Т Jx да 106
(см. Фехер и Кип [305]). Поэтому электрон испытывает много столкнове-
столкновений и медленно диффундирует внутрь металла. За время Т'„ он проходит
расстояние 6афф = v (t77s/3I''2. Это означает, что благодаря столкнове-
столкновениям электрон за время Тs много раз возвращается в скин-слой и нахо-
находится в нем в течение времени Тs F/6эфф) та (8/v) (T'а/тI/2. Поэтому усло-
условие резонанса в данном случае имеет вид
или
V \ Т / СО
со > 2я-д- (-^-I/2 « (Ю18 ч- 10м) • 10-* та 10" ч- 1011 сек,
а для полей получаем условие Н ^ 104 э ч- 103 э, которое легко выпол-
выполнимо. Таким образом, ЭПР в металлах может быть наблюдаем. В теории
этого эффекта необходимо рассматривать диффузию спинов от поверхности
металла внутрь его толщи, а сравнение теории с опытом дает возмож-
возможность определить ^-фактор электорнов проводимости и время спин-реше-
спин-решеточной релаксации тср.
В теории парамагнитного резонанса в металлах имеется две само-
самостоятельные задачи: 1) определение времени спин-решеточной релаксации
тср и 2) вычисление поверхностного импеданса металла при заданной
величине тср.
Заметим, что ^-фактор электронов проводимости из-за внутренних
взаимодействий отличается от ^-фактора изолированного электрона
(в последнем случае ge та 2,0023). Основной вклад в этот «магнитный»
эффект (Ag = g — ge) вносит магнитное спин-орбитальное взаимодей-
взаимодействие *); можно ожидать, что электростатические корреляционные и обмен-
обменные эффекты несущественны. Магнитная связь спинов ядра и электронов
проводимости в силу малости может вносить заметный вклад лишь при
сверхнизких температурах (ниже 1° К).
Теоретический расчет Ag провел Яфет [306], а затем Брукс [307]
и Аргирес и Кан [308]. Для Na они нашли, что Ag = —6,6 -10~4, а для
Li Ag та 6,0-Ю. Опыт (Фехер и Кип [305], Леви [309]) дает соответ-
соответственно Ag = — (8 + 2) • 10~4, Ag <C 10~4. Хорошее согласие между
опытными [309] и рассчитанными [307] величинами Ag было также полу-
получено для К и Cs.
Форма линий парамагнитного резонанса в металлах определяется
спин-решеточной релаксацией, поскольку из-за большой подвижности
электронов проводимости и относительной слабости их спин-спинового
взаимодействия спин-спиновая релаксация не играет в металлах сущест-
существенной роли. Время парамагнитной релаксации в металлах впервые рас-
*) Малость опытных значений Ag указывает на то, что спин-орбитальную связь
для электронов проводимости можно рассматривать как малое возмущение.
- 294 -

считал Оверхаузер [310], который в рамках одноэлектронной теории
свободных электронов рассмотрел ряд релаксационных механизмов:
взаимодействие электронов проводимости с поперечными и продольными
фононами, магнитное дипольное взаимодействие электронных спинов,
взаимодействие электронов с ядерными спинами и, наконец, взаимо-
взаимодействие электронных спинов с магнитным полем токов, возникающих
при поступательном движении электронов проводимости. Опыт показал
1305, 309], что даже в случае последнего из этих механизмов наблю-
наблюдаемые времена релаксации (« 10~9 сек) на два порядка меньше пред-
предсказываемых теорией. Недостаток расчета Оверхаузера был устранен
в работах Эллиота [311], который указал, что основной причиной релак-
релаксации, помимо столкновений с парамагнитными примесями, является
обмен энергией между спинами электронов проводимости и колебаниями
решетки, обусловленный спин-орбитальной связью. Расчет Эллиота
был позже уточнен в работе Андреева и Герасименко [312], которые
развили общую теорию парамагнитной релаксации на основе метода
матрицы плотности. Они доказали равенство времен поперечной и про-
продольной релаксаций для электронного газа и доказали возможность
считать тср заданным параметром при расчете поверхностного импе-
импеданса. При Т <^ вд (вд — температура Дебая)
тср«^1п^, A3.74)
где
3,г§р'«ЗД 2цБЯ*
as — средняя скорость звука, р' — плотность металла, е — средняя
энергия электрона, %0 — статическая парамагнитная восприимчивость
электронов проводимости, к — постоянная Больцмана, уф — скорость на
поверхности Ферми, Ag — аномалия g -фактора электронов проводимости:
| Ag | fa | 2 — g\ . При высоких температурах, когда Т ^> вд.
тСр «-?- InМ. A3.75)
Например, в случае Na в интервале температур от 4° до 293° К опыты
[305] в согласии с теорией дают тср ~ Т~х. Найденное при комнатной
температуре значение тср = 9-10~8 сек находится в хорошем согла-
согласии со значением, даваемым теоретической формулой A3.75), кото-
которая дает тсР fa 10~6 Т'1 сек*).
На ширину линии парамагнитного резонанса очень сильно влияют
примеси [305, 315]. Гарифьянов и Стариков [316] показали, что ничтож-
ничтожные примеси атомов тяжелых металлов (Hg, Pb) в металлах Na и Li
могут значительно увеличить ширину резонансной кривой (до 10* раз),
что связано с большой величиной спин-орбитального взаимодействия
с атомами тяжелых металлов.
б. Общие выводы теории (металлы). Теория резонансного парамагнитного погло-
поглощения в металлах при заданном значении тсР при постоянном магнитном поле, нор-
нормальном к поверхности металла, была впервые предложена Дайсоном [317] как для
тонких пленок, так и для сплошного металла. Дайсон определял магнитный момент,
решая уравнение движения для оператора электронного спина, учитывая диффузию
спина в неоднородном переменном электромагнитном поле. Диффузия учитывалась
следующим путем. Переменное магнитное поле бралось в точке, где в данный момент,
находится диффундирующий электрон, а затем производилось усреднение по всем траек-
траекториям хаотически движущегося электрона. Метод расчета, принятый Дайсоном, ока-
оказался весьма сложным, несмотря на целый ряд упрощающих предположений. Во-пер-
*) Вопрос о температурной зависимости времени релаксации для электронов
проводимости при ЭПР был пересмотрен Яфетом [313], который показал, что при
Т <С вд имеем тср « 10"8 сек. Эти теоретические расчеты получили качественное под-
подтверждение в опытах Вессиаля и др. [314].
— 295 —

вых, он принял, что электроны проводимости имеют квадратичный закон дисперсии.
Во-вторых, считалось, что. постоянное магнитное поле перпендикулярно к поверхно-
поверхности металла, а напряженность переменного поля такова, что резонанс далек от насы-
насыщения.
Все эти ограничения теории Дайсона были преодолены в серии работ Азбеля,
Герасименко и Лифшица [318—320]. В этих работах была развита теория парамагнит-
парамагнитного резонанса, основанная на решении кинетического уравнения для матрицы плот-
плотности электронов, рассматриваемых как газ невзаимодействующих квазичастиц с про-
произвольным законом дисперсии 8 (р) и без ограничений относительно ориентации посто-
постоянного магнитного поля Н и величины напряженности переменного поля Н^ При этом
был вычислен поверхностный импеданс в условиях парамагнитного резонанса в зави-
зависимости от закона дисперсии электронов проводимости и угла наклона Н к поверхности
металла, а также рассмотрен случай насыщения резонанса.
Результаты перечисленных выше работ, весьма сложных по своему математиче-
математическому аппарату, находятся в хорошем согласии с данными опыта.
Каплан [321] предложил более простой метод для получения качественных резуль-
результатов работ [317, 319]. Он воспользовался обобщенным учетом релаксации и диффузии
с помощью уравнения Блоха [218] в форме, которую предложил Торри [322]. Если
ограничиться случаем, когда Н перпендикулярно к поверхности металла, и считать,
что для электронов проводимости выполняется закон дисперсии е = р2/2т *, то урав-
уравнение Торри для переменной части намагниченности запишется так:
^+Ж, A3.76)
где у = е/тс, Z)=i;2t/3, t —время релаксации для импульса электрона проводимости.
В линейном приближении по переменному полю Н^ вместо A3.76) имеем
^ 2 AM, j
тср
Учитывая уравнения Максвелла
A3.78)
и полагая, что Н направлено по оси г, а переменное поле Щ циркулярно поляризовано
в плоскости (х, у), и полагая также, что компоненты М, Н-\- Ht и И меняются по за-
закону exp i(a>t — kz), из A3.77) и A3.78) находим
= 0, "I
где
ЧЖ = МХ — iMy, 3V = Hix — iHiy, (%-2 =
с2
а = тср(о)-о)н), Р = Хо«нтСр- и 62=
Система A3.79) имеет ненулевые решения при условии
~^ о =°. A3.80)
а отсюда уже не представляет особого труда вычислить импеданс Z:
„ 4я [fcn [-
{Н+Щ? - с — <Я?0 '
где fe0 — единичный вектор вдоль оси г, а %—Ех—iEy*), а затем и поглощаемую
мощность:
^° = —-Ж1т2, A3.81)
4я ° '
где <У<?0 — магнитное поле у самой поверхности металла (снаружи).
*) Необходимо только корректно учесть граничные условия: 1) непрерывность
тангенциальной слагающей и 2) feo-V3ER = 0. Второе условие можно получить, инте-
интегрируя уравнение A3.76) по плоскому диску, одно основание которого — над поверх-
поверхностью образца и другое — под ней. В пределе, когда объем диска стремится к нулю,
все члены уравнения A3.76) дадут нуль, кроме диффузионного. Интеграл от послед-
последнего равен fe0 • V3R, и он также должен быть равен нулю.
- 296 -

Метод Каплана [321] на случай металлов с двумя полосами проводимости (щелоч-
(щелочноземельные и переходные d-металлы, полупроводники с примесной полосой) был
обобщен в работе Мурао [323]. Этот случай представляет интерес для более детального
изучения электронного энергетического спектра в кристаллах с несколькими типами
носителей тока (спина).
в. Сравнение с опытом. Впервые ЭПР в металлах наблюдали Гри-
суолд и др. [324] на порошке Na. Затем на различных щелочных металлах,
как чистых, так и с примесями, и на бериллии (на образцах в виде порош-
порошков и пленок) этот эффект исследовался в работах [325—329, 305, 309,
315, 316]. Хайкину [112, 113] удалось впервые наблюдать ЭПР в массив-
массивном монокристалле Sn (с размерами 11 X 6 X 1 мм3) высокой чистоты
(с содержанием примесей менее 6-10%), используя свой высокочув-
высокочувствительный метод частотной модуляции. Сравнение формы резонансной
линии, наблюдавшейся, например, на пленке натрия (Фехер и Кип [305])
при 4° К и со = 314 Мгц, с теорией Дайсона [317] показывает, что согла-
согласие можно считать вполне удовлетворительным, если учесть приближе-
приближения, принятые в расчете.
Отметим еще одно интересное свойство ЭПР в металлах. Дело в том,
что площадь под кривой парамагнитного резонансного поглощения про-
пропорциональна чисто парамагнитной части статической восприимчивости.
Поэтому, как это было уже отмечено в гл. 11, измерения ЭПР могут дать
возможность отделить диамагнитную часть восприимчивости от пара-
парамагнитной. Этот способ впервые применили в своей работе Шумахер
и др. [328] (см. также гл. И).
Укажем на более поздние работы по теории и наблюдениям ЭПР
в нормальных металлах [330—349, 578—584].
Азбель и Лифшиц [350] показали, что в металлах в сверхпроводящем
состоянии парамагнитный резонанс наблюдать нельзя.
г. Случай переходных металлов. Большой интерес представляет иссле-
исследование ЭПР в переходных d- и /-металлах. Здесь мы имеем дело с двумя
типами носителей магнитного момента: 1) электронами незаполненных
d- или /-слоев электронной оболочки и 2) электронами проводимости.
Однако пока опытные данные весьма скудны. А именно исследованы
сплавы Си — Мп с содержанием Мп от 0,07 до 11% (Оуен и др. [351]),
а также сплавы Ag — Мп и Mg — Мп. Сплав Си — Мп при небольших
содержаниях марганца оказался ферромагнитным, а сплавы Ag — Мп
и Mg — Мп — антиферромагнитными, что обусовлено косвенным (s — d)-
взаимодействием, поскольку оператор (s — й)-обменного взаимодействия
имеет вид (см. Вонсовский [352])
S?sd = Asd(Sds), A3.82)
где Sd — оператор спина d (/)-иона, as — электрона проводимости. Опе-
Оператор A3.82) имеет точно такой же вид, как и оператор взаимодействия
СТС между электронами проводимости и спинами атомных ядер: Ш&i =
=Asi (I -s). Это взаимодействие определяет форму линий ЯМР в металлах
(см. Корринга [353]) и приводит к двум эффектам: 1) появляется найтов-
ское смещение [354] резонансных линий ЯМР, ибо на ядерные спины
вследствие намагничивания в статическом поле Л электронов проводи-
проводимости, кроме поля Н, будет еще действовать «внутреннее поле» Hsi =
= XsiMe, где Ме — намагниченность электронов проводимости, а посто-
постоянная Ksi = —AsI/4\i%ne, где пе — концентрация электронов; 2) взаимо-
взаимодействие AsT(I's) обусловливает главный механизм спин-решеточной
релаксации. Если эту картину перенести по аналогии на сплавы типа
Си — Мп, то теория согласуется с опытом, если принять, что параметр
(s — й)-обменной связи в сплаве будет на порядок меньше, чем в изолиро-
изолированном атоме (где 48(!я; 7*10~13 эрг).
— 297 —

Также весьма скудны сведения по измерению ЭПР в /-металлах ред-
редкоземельной группы [355—357]. Теоретически этот вопрос рассмотрел
Альтшулер [358]. Более поздние исследования ЭПР в переходных метал-
металлах см. в работах [359—362].
д. Случай примесных полупроводников. Работа Портиса и др. [364]
положила начало интенсивному исследованию ЭПР в примесных полу-
полупроводниках как на электронах проводимости (при высоких температурах,
когда кТ более энергии ионизации примеси, и при концентрациях при-
мбсей не меньше 1018 см~3), так и в донорных электронных оболочках
(при низких температурах и малых концентрациях примеси). ЭПР на
донорах наблюдали в Si [365, 366] и в Ge [367], а также на акцепторах
в Si при гелиевых температурах [368]. Было установлено, что при Т <С
< 2° К релаксация в спин-системе осуществляется валлеровским меха-
механизмом с тср ж 5-Ю сек [369—373]. При более высоких температу-
температурах (Т > 2° К) вступает в силу механизм релаксации Кронига — Ван-
Флека и тср ~ 71; обращаем внимание также на работы [374—381].
Существенное внимание стали уделять изучению ЭПР на примесях
ионов переходных металлов 3d-, Ad-, 5d- и 4/-групп (см., например, работы
[382, 383]). За подробностями отсылаем читателя к книге Гортера A949)
и обзорам [384—386]. Укажем также некоторые работы по ЭПР с примеся-
примесями ионов d-металлов [387—406] и /-металлов [407—421]. Наблюдается
также СТС ЭПР, обусловленная ядерным магнитным моментом примес-
примесных ионов Li, P, As, Sb, а также ионов группы железа [422, 423].
Большое внимание начали уделять исследованию ЭПР центров окра-
окраски в ионных кристаллах, которые в большинстве случаев являются также
парамагнитными центрами. Типичным примером таких кристаллов явля-
являются галогениды щелочных металлов, например, при нарушениях их
стехиометрического состава за счет избытка ионов металла.
Для краткого ознакомления с вопросом о физической природе цент-
центров окраски рекомендуем соответствующий раздел в книге Киттеля A963)
или обзор Зейтца [424]. Отметим только, что i^-центр представляет собой
локализованный электрон в вакантном узле отрицательного иона кри-
кристалла; Vi -центр—локализованная дырка (возникающая из-за «ухода»
электрона от одного из окружающих ионов) в вакантном узле положи-
положительного иона; F2eHTP — немагнитное образование (молекула!) из двух
соседних Fi-центров; У3-ЦентР — образование из двух вакантных узлов
соседних положительных ионов с одной «прилипшей» дыркой; наконец,
СУ-центр — это вакантный узел отрицательного иона, содержащий отри-
отрицательный ион водорода.
Появляющаяся вакансия в узлах, занятых галоидом, может локали-
локализовать электрон — это и образует так называемый .F-центр. Наиболее
последовательную теорию ЭПР на ^-центрах в ионных кристаллах с уче-
учетом СТС взаимодействия локализованного электрона с ядерными магнит-
магнитными моментами развил Дейген с сотрудниками [425—433] [см. также
книги Гортера A949), Лоу A962) и обзор Зайделя и Вольфа [434]].
Экспериментально ЭПР наблюдали на F-, U- и F3eHTPax B работах Хат-
Хатчинсона [435] и других [436—441]. В этих работах, в частности, было пока-
показано, что значения ^-фактора ^-центров лежат в пределах от 2,00 до 1,98.На
У3-ЦентРах ЭПР наблюдал Канциг[442], а в [/-центрах—Дельбекидр.[443].
Явление ЭПР применяется как метод исследования не только центров
окраски, но также любых других дефектов, если они приводят к образо-
образованию парамагнитных центров в диамагнитной среде или меняют уровни
уже существующих парамагнитных ионов в кристаллах. Большое зна-
значение в связи с указанным имеет изучение ЭПР кристаллов, подвергнутых
облучению нейтронами и другими типами ядерных излучений. По этому
вопросу см. книги Гортера [1949] и Лоу A962). Для иллюстрации
в табл. 13.2, взятой из книги Морриша A965), приведены данные по ЭПР
для некоторых облученных материалов.
- 298 —

Таблица 13.2
Электронный парамагнитный резонанс на дефектах радиационного происхождения
[из книги Морриша A965)]
Вещество
SiO2 с примесью А1
LaMg3(NO3)-24H2O
KNO3
K.N3 с примесью
нитрата
H2SO4 (в твердом
состоянии)
Н2О (лед)
Тефлон
CF3CONH2
CF3CF2CONH2
Алмаз
LiH
AgCl
Тип излучения,
создающего
дефект
Рентгеновские
лучи при
290° К
а-, Р-или у-
лучи при
290° К
у- лучи
7- лучи
Y-лучи при
77° К
-у-лучи при
77° К
Рентгеновские
лучи при
290° К
-у-лучи при
290° К
-у-лучи при
290° К
Нейтроны
при 290°К
Ультрафиоле-
Ультрафиолетовые лучи
Ультрафиоле-
Ультрафиолетовые и
рентгенов-
рентгеновские лучи
Тин дефекта
Ионы О~
Молекулы
NO2
NO2 и NO|-
NO и NO2
Атомы Н
Н и ОН
Разорванные
связи С —С
Свободные
радикалы
Свободные
радикалы
Атомы с ва-
вакансией и
в междо-
междоузлиях.
Возможно,
молекулы С2
Коллоидаль-
Коллоидальный Li
Коллоидаль-
Коллоидальное Ag
Значение
^-фактора
2,00-2,06
1,993—2,005
1,993—2,007
2,00
2,0024
2,00
2,02
0,0025-2,0045
2,00 .
2,0028
2,0
2,0
СТС для ядер
На А127 (/=5/2)
На Ni*(/ = 1)
На Nil
На К"
На № (/ = 1/2)
На №
На F1» G=1/2)
HaFi«G = l/2)
На F19
Нет
Нет
Нет
е. Металлоаммиачные растворы. Явление ЭПР было подвергнуто под-
подробному исследованию в металлоаммиачных растворах [т. е. растворах
металлов, например щелочных и щелочноземельных, в аммиаке (NH3),
электропроводность которых по порядку величины близка к проводимости
твердых металлов [см. Альтшулер и Козырев A961)]. В этих растворах
была обнаружена исключительно узкая линия поглощения, шириной
примерно 0,1 э (см., например, [309, 444]). Значение ^-фактора оказалось
близким к его значению для свободного электрона, но все же заметно
меньшим. Огг [445] предложил модель металлоаммиачных растворов,
согласно которой атомы растворенных металлов теряют валентные элек-
электроны, которые по одному или по два локализуются в полостях, сущест-
существующих между соседними молекулами NH3 жидкого аммиака (так
называемые е- и е2-центры) Каплан и Киттель [447] воспользовались этой
моделью, чтобы объяснить опытные факты по ЭПР в металлоаммиачных
растворах. Однако эту теорию подвергнул серьезной критике Дейген
[448], который показал, что причиной специфических свойств ЭПР в метал-
металлоаммиачных растворах являются не локальные е- или е2-центры, а
- 299 —

поляроны*). В другой работе Дейген и Пекар [450] показали, что в первом
приближении поправка к энергии полярона от взаимодействия СТС равна
нулю и поэтому оно не может вызвать уширения линии ЭПР. Поэтому
узость линий ЭПР в металлоаммиачных растворах и может служить дока-
доказательством того, что в них носители тока — поляроны. В этой же работе
Дейген и Пекар предсказали, что при интенсивном освещении ионных
кристаллов можно получить столь большую концентрацию экситонов,
что окажется возможным наблюдать ЭПР на экситонах **).
9. Двойной магнитный резонанс. Упомянем еще об одном аспекте ЭПР, а именно
о двойном магнитном резонансе, который заключается в одновременном резонансном
поглощении электромагнитного излучения не одной, а двух различных частот. Можно
указать три важнейшие конкретные области: 1) одновременное возбуждение электрон-
электронного и ядерного магнитных резонансов; 2) парамагнитные усилители и генераторы
(мазеры) и 3) одновременное воздействие на атомы электромагнитного излучения двух
частот — оптического и радиочастотного диапазонов.
Мы не имеем возможности останавливаться здесь на описании этих интересных
явлений. Первый из этих типов двойных резонансов будет рассмотрен в гл. 26, где речь
будет идти о ЯМР и связанных с ним явлениях***). О втором типе мы уже упоминали
выше. А с третьим типом читатель может ознакомиться по монографии Альтшулера
и Козырева A961) ****).
§ 3. Резонансное поглощение звука в парамагнетиках
(магнетоакустический парамагнитный резонанс)
Выше была рассмотрена теория резонансного поглощения электромагнитной
энергии при переходах электронов проводимости (при наличии магнитного статическо-
статического поля) между уровнями Ландау (ЦР), электронов проводимости и электронов, лока-
локализованных в атомах (ионах), между зеемановскими уровнями (ЭПР). Однако эти пере-
переходы могут быть индуцированы не только электромагнитным полем, но и другим внеш-
внешним воздействием, например звуковыми колебаниями, возбуждаемыми в веществе.
На эту возможность впервые указал Завойский (см. примечание на стр. 459 в обзоре
[453]) сразу же после открытия им явления ЭПР.
1. Электронный акустический парамагнитный резонанс. Теория электронного
акустического парамагнитного резонанса (сокращенно ЭАПР) была развита Альтшуле-
ром [454] и другими [455, 456] для па-
т L /7?=+— рамагнитных солей переходных d-метал-
Г 2 s % лов, редкоземельных 4/ — металлов и
Фонон г их солей, для жидких растворов солей
'¦ух/^* + = I и газов *****).
"шду I ' Эффект ЭАПР сводится к передаче
g =J QUH S-r'+ig/tcH- энергии ультразвуковых колебаний кри-
2"™* & ' ° сталлической решетки спин-системе при
=Ea+nuKg- условии типа A3.56), т. е. что звуковой
Рис. 13.24, Схема электронного акустического квант ftco3B равен разности энергий маг-
парамагнитного резонанса (ЭАПР). нитных подуровней. Механизм этой
передачи такой же, как и парамаг-
парамагнитной спин-решеточной релаксации, т. е. эта первая происходит благодаря
наличию сшш-фононного взаимодействия, с тем только отличием, что спин-
решеточная релаксация (исключая область очень низких температур) обычно происхо-
происходит путем косвенных процессов релаксации (процесс Кронига — Ван-Флека рама-
новского типа, см. рис. 13.23, б). ЭАПР является однофононным процессом рассеяния
ультразвука рамановского типа; схема эффекта изображена на рис. 13.24. Энергия
от звукового поля, поглощенная спин-системой, из-за релаксации будет передаваться
решетке с помощью процесса, изображенного схематически на рис. 13.23, б.
*) Полкронами (этот термин впервые ввел Пекар [449]) называются особые
состояния электронов проводимости в ионных кристаллах, возникающие при поляри-
поляризации ионной решетки электроном проводимости. Такая поляризация приводит к по-
понижению энергии электрона, который попадает в созданную им самим потенциальную
яму и локализуется там. Это автолокализованное состояние может свободно переме-
перемещаться по всему идеальному кристаллу.
**) Экситопи— особое возбужденное состояние электронной системы в неме-
неметаллических кристаллах, впервые введенное Френкелем [451].
* **) Рекомендуем читателям также ознакомиться с этим вопросом в обзоре
Хардемана [452] и книге Альтшулера и Козырева A961).
****) Вопросы магнетооптики (эффект Фарадея и т. п.) микрорадиоволн будут
рассмотрены в гл. 15.
*****) д также для веществ, обладающих ядерным парамагнетизмом.
- 300 —

Коэффициент парамагнитного резонансного поглощения звука будет определять-
определяться вероятностью Раа' того, что парамагнитный ион в единицу времени перейдет с маг-
магнитного подуровня а на а', поглотив один квант звуковых колебаний кристалла часто-
частоты созв. Эта вероятность равна (см. Блохинцев A961))
Раа'= "If Р Кв) I <«, п(созв)|с#Ср|а', п(созв)-1>|2, A3.83)
где <...| &&ср | . . .) — матричный элемент гамильтониана сшш-фононного взаимодей-
взаимодействия, п (созв)— число фононов с резонансной частотой созв, а р (созв) = со|в F/2n2s3
— спектральная плотность плоскополяризованных продольных или поперечных фоно-
фононов, распространяющихся в кристалле объема V со скоростью s. Энергия звуковой почти
монохроматической волны с разбросом частот Дсо, проходящая за 1 сек через площадку
1 еж2, равна
Энергия, поглощаемая за 1 сек в 1 см3, в котором находится N магнитных
частиц при температуре Т при тех же условиях, равна
A3.84)
о
где g (со) — функция формы линии поглощения. Множитель На>/кТ определяет разность
заселеиностей пары магнитных подуровней а и а' *) и тем самым превышение числа
актов поглощения звуковых квантов над числом актов их испускания. Из A3.84)
и A3.83) получаем для коэффициента поглощения звука
а _^тютл= 2я >,,^, ^ (ц ) | (К, п (со ц) | ?yu I а', ге(со в) —1> |2. A3.85)
Дальнейшее вычисление аа а, требует знания структуры энергетических уровней маг-
магнитных частиц и природы связи спин-системы с фононами. Численная оценка 0а а,,
например, для хромовых квасцов [456] дает при комнатных температурах аа а. ж
як Ю-21 со2 см-1, а опыт дает аа,а' « 0,1 см-1 при со/2я « 1010 сек-1 (см. [457, 458].
Таким образом, получаем хорошее согласие между теорией и опытом.
Определение аа а, требует абсолютных измерений потерь звуковой мощности, что
весьма затруднительно технически. Шерен [459, 460] предложил метод двойных фонон-
фотонных квантовых переходов, вероятность которых пропорциональна произведению
плотности энергии фотонов и фононов. Измерить энергию поглощенных фотонов очень
легко, а тем самым можно легко определить и связанное с ней поглощение фононов.
Теория этого метода рассмотрена в работе Кесселя и Копвиллема [461].
Трудности экспериментов с ЭАПР обусловлены тем, что для получения четкого
эффекта должно выполняться условие созв > Дсо1/2, где Дсо1/2 — полуширина линии
поглощения. А это в большинстве случаев требует применения гиперзвука, т. е. частот
больше чем 109 гц, техника генерации которого не столь проста. Более детальные све-
сведения по вопросу ЭАПР можно найти в книгах Альтшулера и Козырева A961), Гортера
A949); см. также теоретическую работу Доброва [465]. Экспериментально был исследо-
исследован своего рода обратный эффект ЭАПР, а именно влияние парамагнитных ионов
на распространение ультразвука в кристалле [459, 460]; теория этого эффекта дана
в работе [466].
2 Случай металлов. Особенно интересным оказался случай металлов, когда мы
имеем дело с взаимодействием звука с электронами проводимости. Вопрос о той части
поглощения звука, которая обусловлена его взаимодействием с электронами прово-
проводимости, был впервые теоретически рассмотрен в известной работе Ахиезера [462].
Однако более широкое внимание к этой работе было привлечено лишь после появления
экспериментальных исследований по поглощению звука в металлах [463, 464].
После этого появились теоретические исследования для произвольного закона
дисперсии (см. работы Ахиезера, Каганова и Любарского [467], Блаунта [468], Силина
[469]). Почти одновременно с этим начались опытный исследования поглощения звука
в металлах при одновременном наложении внешнего магнитного поля [468], что
*) Действительно, число занятых подуровней определяется формулой Больцма-
на (при Ча < кТ), т. е. Na « ехр (- %а/кТ), Na> ^ ехр (- %а'1кТ),
«•-*.--(-#) [•--р (-^)J-»^-«-3*•
ибо ехр (— %а1кТ) есть число магнитных частиц.
— 301 —

послужило началом развития исследований обширной области магнетоакустических
явлений в металлах.
Первые опытные данные, полученные в работе [468] на очень чистом Sn при 4,2° К,
обнаружили резонансный характер поглощения. Пиппард [470] (см. также [471]) дал
феноменологическое объяснение этих результатов, введя представление о магнетоаку-
стическом резонансе, аналогичном циклотронному резонансу (переходы между уровня-
уровнями Ландау обусловлены поглощением звуковых квантов). Подобное резонансное погло-
поглощение в настоящее время наблюдено во многих металлах *) (Sn, Pb, Си, Аи, Ag, A1,
Zn, Mg, Cd, Tl, In, Bi, As, Sb, W, Mo, Re). После работ Пшшарда [470, 471] теория
магнетоакустических явлений подвергалась детальной разработке в многочисленных
работах различных авторов [509—529]. Фундаментальный обзор теории магнетоакусти-
магнетоакустических явлений в металлах написан Штольцем [530].
Можно считать, что в чистых металлах существует три основных магнетоакусти-
магнетоакустических эффекта в зависимости от соотношения между величинами длины волны X
(частоты со) звука, магнитного поля Н (частоты сон или радиуса циклотронной орбиты
гн) и средним временем свободного пробега т электрона проводимости в металле. Эти
эффекты обычно называют так: 1) акустический циклотронный резонанс (АЦР), 2) про-
пространственный (геометрический) магнетоакустический резонанс (ПМАР), 3) магнетоаку-
стические осцилляции типа эффекта де Гааза — ван Альфена.
а. Акустический циклотронный резонанс (АЦР). Наблюдался при слабых магнит-
магнитных полях, когда частота звука созв кратна циклотронной частоте сон: созв = па>н.
Этот эффект был предсказан теоретически [511, 516] и изучен экспериментально на гал-
галлии [107]; детальную теорию АЦР развил Канер [524]. Отличие АЦР от обычного ЦР
в металлах заключается в том, что переходы электронов между уровнями Ландау воз-
возбуждаются не электромагнитным полем, а звуковым. Для реализации АЦР, так же
как и в случае ЦР, необходимо, чтобы время свободного пробега электронов было
больше периода звуковой волны, т. е. а>зв т > 1. Эти условия удовлетворяются при
достаточно низких температурах и в области микроволновых частот. Если в условие
мзв т > 1 подставить частоту фундаментального резонанса (п — 1) сон = еН/ст *
и т = 1/иф, то для магнитного поля получим условие Н > ифст */е~1 и при I =к 10 см,
уф ж 108 см/сек, т* як 107 г, с й 1010 см/сек, е ж 100 СГСЭ получаем, что Н >
> 103 8. Различие между АЦР и обычным ЦР заключается еще и в том, что в случае
АЦР могут появляться гармоники резонанса (п > 1). Физически это связано с тем, что
когда электрон движется в направлении электрического поля, созданного звуковой
волной, и находится в фазе с полем в какой-то момент, то он будет опять в фазе спустя
период своего обращения по орбите. Электрическое поле за время обращения электрона
по орбите может испытать несколько циклов изменения; это дает резонансные гармони-
гармоники (п > 1). Преимущество АЦР проявляется в металлах в том, что он не связан со скин-
эффектом и магнетоплазменными явлениями.
В общем случае произвольного закона дисперсии для электронов проводимости
теория АЦР достаточно сложна [524], но вместе с тем, изучая этот эффект эксперимен-
экспериментально, можно не только определить экстремальные значения эффективных масс и диа-
диаметров сечений поверхностей Ферми, но также найти т* и иф на произвольных сечени-
сечениях, направления и период открытых траекторий и т. п.
б. Пространственный магнетоакустический резонанс (ПМАР). Этот эффект был
открыт экспериментально Бёммелем [531], а первое качественное объяснение ему было
дано Пиппардом [470, 94]. Он наблюдается при более высоких магнитных полях, чем
АЦР. В этом случае размеры электронной орбиты и длины волны звука должны быть
одного и того же порядка величины. А именно, как показали качественно Пиппард
[470, 94] и более строго Гуревич [509] (см. также [516]), магнитные осцилляции коэффи-
коэффициента поглощения звука в металле связаны с таким «пространственным резонансом»,
при котором экстремальный диаметр электронной орбиты в направлении, перпендику-
перпендикулярном к векторам q и H(q—волновой вектор звуковой волны, q ±H), оказывается
порядка длины волны фонона. Этот эффект также дает возможность определить ряд
свойств поверхности Ферми. См. также работы [532—535].
в. Магнетоакустические осцилляции. Этот эффект связан с квантовыми явлениями,
возникающими в системе ферми-частиц, помещенных в магнитное поле, когда энерге-
энергетическое расстояние между уровнями Ландау (см. гл. 11) больше кТ : Ьа>н 2> кТ.
Кроме того, в этом случае также необходимо наложить условие на время т: сонт > 1,
т. е. электрон должен совершить много оборотов по циклотронной орбите, прежде чем
он испытает столкновение с решеткой, а также условие X > гн (чтобы не было простран-
пространственного резонанса). В отличие от эффектов де Гааза — ван Альфена (или Шубнико-
ва — де Гааза), эти осцилляции в некоторых случаях не являются малыми поправками
к неосциллирующей части коэффициента поглощения звука аа, а,. Возможны случаи,
когда @а, а/)макс >(аа, а')мин> т- е- когда возникают гигантские квантовые осцилляции
поглощения звука (см. работы Гуревича и др. [518], Свирского [526], Ганцевича и Гуре-
вича [527]. Этот эффект наблюдали в ряде металлов [472, 476, 479, 486, 536—540].
Подробные сведения о теории всех изученных магнетоакустических эффектов читатель
может найти в обзоре Штольца [530] (см. также [541—546]).
*) См. оригинальные работы [472—508J.
— 302 —

г. Спин-акустический резонанс в парамагнитных металлах. Этот эффект состоит
в поглощении в металлах энергии ультразвука, обусловленном связью звуковых коле-
колебаний решетки со спиновыми магнитными моментами электронов проводимости. Этот
эффект является аналогом ЭАПР неметаллических кристаллов, а также акустическим
аналогом обычного ЭПР в металлах. Вместе с тем изучение этого эффекта представляет
особый интерес, поскольку здесь можно избежать влияния скин-эффекта. Теория этого
эффекта была рассмотрена Герасименко [517], который показал, что резонансные значе-
значения магнитного поля оказываются низкими (сон =к Ю8—10е сек'1, т. е. Н =к 10—100 э)
и времена релаксации т должны быть малыми (не низкие температуры). Отсюда сразу
следует невозможность поляризации ядер (эффект Оверхаузера), поскольку для полу-
получения заметной поляризации нужны сильные магнитные поля и низкие температуры,
что противоречит условиям рассматриваемого типа ЭАПР.
Укажем еще на работы по изучению влияния магнитного поля на скорость звука
в металлах [547 — 549], по осцилляциям скорости звука [550, 551].
О некоторых магнитно-фононно-резонансных явлениях в полупроводниках будет
идти речь еще и в гл. 14.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 13
1. Е. V. А р р 1 е t о n, Proc. Phys. Soc. 37, 160 A925).
2. Н. W. N i с h о 1 s, J. С. S с h e 1 1 i n g, Bell. System Tech. J. 4, 215 A925).
3. A. H. T а у 1 о г, Е. О. H u 1 1 b u r t, Phys. Rev. 27, 189 A929).
4. E. W. G i 1 1, Nature 140, 1061 A937).
5. J. S. T owns end, E. W. Gill, Phil. Mag. G) 26, 290 A938).
6. J.Schneider, F. W. Hofmann, Phys. Rev. Lett. 1, 408 A958).
7. T. H. S t i x, R. W. P a 1 1 a d i n o, Phys. Fluids 1, 446 A958).
8. B. L a x, J. G. M a v г о di e s, Solid State Physics, vol. 11, New York, 1960 p. 261
9. Я. Г. Д оi p ф м а н, ДАН СССР, 81, 765 A951).
10. R. В. Dingle, Proc. Intern. Conf. on Very Low Temperatures, Oxford, 1951,
p. 165; Proc. Roy Soc. A212, 38 A952).
11. G. D r e s s e 1 h a u s, A. F. Kip, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 92, 827 A953).
12. B. Lax, H. J. Z e i g e r, R. N. Dexter, E. S. R о s e n b 1 u m, Phys. Rev.
93, 1418 A954).
13. R. N. D e x t e r, H. J. Z e i g e r, B. L a x, Phys. Rev. 95, 557 A954).
14. B. L a x, H. J. Z e i g e r, R. N. D e x t e r, Physica 20, 818 A954).
15. D. G e i s t, Paramagnetische Elektronenresonans in Halbleitern, Festkorperpro-
bleme, II. Braunschweig, 1963, S. 93; Phys. stat. sol. 5, 217 A964).
16. W. S h о с k 1 e y, Phys. Rev. 90, 49 A953).
17. G. D r e s s e 1 h a u s, A. F. К i p, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 98, 368 A955) (см.
перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
18. G. D r e s s e I h a u s, A. F. К i р, Ch. К i t t e I, Phys. Rev. 100, 618 A955) (см.
перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
19. G. D r e s s е 1 h a u s, A. F. К i р, Ch. К i t t е 1, G. W о g о n e r, Phys. Rev.
98, 556 A955).
20. Ch. Kittel, Physica 20, 829 A954).
21. F. H e r m a n, Phys. Rev. 88, 1210 A952); 95, 847 A954).
22. F. H e r m an, Physica20, 801 A954) (см. перевод в сб. «Электрофизические свойства
германия и кремния», Изд-во «Советское радио», М., 1956).
23. F.Herman, Phys. Rev. 93, 121 A954).
24. F. H e r m a n, Proc. IRE 43, 1703 A955).
25. F. Herman, J. С a 1 1 a w a y, Phys. Rev. 89, 518 A953).
26. J. M. L u t t i n g e r, W. К о h n, Phys. Rev. 97, 869 A955) (см. перевод в сб.
«Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
27. М. S h i b u y a, Phys. Rev. 95, 1385 A954).
28. R. N. D e x t e r, H. J. Z e i g e r, B. L a x, Phys. Rev. 104, 637 A956).
29. G. D r e s s e 1 h a u s, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 95, 568 A954).
30. W. Shock ley, Phys. Rev. 78, 173 A950).
31. А. К ahn, Phys. Rev. 97, 1644 A955).
32. R. B. D i n g 1 e, Phys. Rev. 99, 1901 A955).
33. S. Z w e r d 1 i n g, K. J. В о t t о n, B. L a x, L. M. R о t h, Phys. Rev. Lett. 4,
173 A960).
34. J. M. L u t t i n g e r, R. R. Goodman, Phys. Rev. 100, 673 A955).
35. H. J. Z e i g e r, B. L a x, R. N. D e x t e r, Phys. Rev. 105, 495 A957).
36. J.M. McClure, Phys. Rev. 101, 1642 A956).
37. W. К о h n, J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 96, 529 A954).
38. J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 102, 1030 A956).
39. R. С F 1 et с h e r, W. A. Y a g e r, F. R. M e r r i t t, Phys. Rev. 100, 747 A955).
40. R. R. G о о d m a n, Phys. Rev. 122, 397 A961).
41. G. С D о u s m a n i s, Phys. Rev. Lett. 1, 55 A958).
42. H. К г о е m e r, Phys. Rev. 109, 1856 A958).
43. H. К г о е m e r, Proc. Inst. Radio Engrs 47, 397 A959).
44. H. К г о e m e r, Progress in Semiconductors, vol. 4, London, 1959, p. 1.
- 303 —

45. Н. К г о е m e r, Intern. Solid State Conf., Philadelphia, 1960, p. 86.
46. G. С D о u s m a n i s, R. C. D u n с a n, J. J. T h о m a s, R. C. W i 1 1 i a m s,
Phys. Rev. Lett. 1, 404 A958).
47. Ю. А. Ф и р с о в, ФТТ 1, 44, 528 A959).
48. R. N. D е х t е г, D. Н е n s 1 е г, Е. Н о 1 1 а г, М. Н а 1 о г a n, Bull. Am. Phys.
Soc. 5, 177 A960).
49. Ю. М. К а г а н, ЖЭТФ 38, 1854 A960).
50. J. M. Chamberlain, R. A. S t r a d 1 i n g, Solid State Commun, 7, 1275 A969).
51. R. С D u n с a n, Jr. B. Rosenblum, Phys. Rev. 125, 484 A962).
52. J. С H e n s e 1, M. P e t e r, Phys. Rev. 114, 411 A959).
53. Г. Е. П и к у с, Г. Л. Б и р, ФТТ 1, 139 A959); Phys. Rev. Lett. 6, 103 A961).
54. J. С. Н е n s e 1, G. F e h e r, Phys. Rev. Lett. 5, 307 A960).
55. R. N. D e x t e г, В. L a x, Phys. Rev. 99, 635 A955).
56. R. N. Dexter, J. Phys. Chem. Solids 8, 494 A959).
57. M. J.Stevenson, Phys. Rev. Lett. 3, 464 A959).
58. G.Ascarelli, F. С Brown, Phys. Rev. Lett. 9, 209 A962).
59. D. M. S. В a g g a 1 e y, R. A. S t r a d ing, J. S. S. Whiting, Proc. Roy. Soc.
A262, 340, 365 A961).
60. W. S. В a e r, R. N. D e x t e r, Phys. Rev. 135, A1388 A964).
61. D. G e i s t, Phys. stat. sol. 5, 217 A964).
62. M. Fukai, H. К a w a m u r a, J. Phys. Soc. Japan 19, 30 A964).
63. R. N i i, J. Phys. Soc. Japan 19, 58 A964).
64. H. К a w a m u r a, H. S a j i, J. Phys. Soc. Japan 19, 288 A964).
65. K. S a w a m о t o, J. Phys. Soc. Japan 19, 318 A964).
66. Ф. Г. Б а с с, И. Б. Л е в и н с о н, ЖЭТФ 49, 914 A965).
67. J. С. Hensel, H. Hasegawa, M. Nakayama, Phys. Rev. 138, А225
A965).
68. Е. О s u k a, S. N a g a t а, К. М u r a s e, J. Phys. Soc. Japan 20, 727 A965).
69. Л. Е. Благосклонская, Е. М. Гершензон, Ю. А. Г у р в п ч,
Н. Г. Птицын а, Н. А. Серебрякова, ФТТ 8, 332 A966).
70. R. A. S t r a d I i n g, Phys. Lett. 20, 217 A966).
71. J. С Hen sel, Solid State Commun. 4, 231 A966); Phys. Rev. Lett. 21, 983A968).
72. J. W. H о b d y, J. А. В о r d e s e, F. С. В г о w n, S. F о n e r, Phys. Rev. Lett.
19, 952 A967).
73. M.Ownes-Petersen, M.R.Samuelsen, Phys. stat. sol. 28, 211 A968).
74. J. K. G a 1 t, M. A. Y a g e r, F. R. M e r r i t t, В. В. С e t 1 i n, H. W. D a i 1,
Jr., Phys. Rev. 100, 748 A955).
75. R. N. D e x t e r, B. L a x, Phys. Rev. 100, 1216 A955).
76. P. W. A n d e r s о n, Phys. Rev. 100, 749 A955).
77. M. T ink ham, Phys. Rev. 101, 902 A956).
78. B. L a x, K. J. В о t t о n, H. J. Z e i g e r, L. M. R о t h, Phys. Rev. 102, 715
A956).
79. J. K. G a 1 t, M. A. Y a g e r, Jr., Phys. Rev. 103, 1586 A956).
80. B. L a x, H. J. Z e i g e r, Phys. Rev. 105, 1466 A955).
81. P. N о z i e r e s, Phys. Rev. 109, 1510 A956).
82. M. Я. А з б е л ь, Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 30, 811 A956).
83. M. Я. А з б е л ь, Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 32, 896 A957).
84. М. Я. А з б е л ь, Э. А. К а н е р, J. Phys. Chem. Solids 6, 113 A958).
85. М. Я. А з б е л ь, Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 39, 80 A960).
86. Э. А. К а н е р, М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 33, 1461 A957).
87. Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 33, 1472 A957).
88. Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 35, 962 A958).
89. М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 34, 1158 A958).
90. М. Я. А з б е л ь, J. Phys. Chem. Solids 7, 105 A958).
91. G. E. H. R e u t e r, E. H. S о n d h e i m e r, Proc. Roy. Soc. A195, 336 A948).
92. R. G. С h a m b e r s, Proc. Roy. Soc. A215, 481 A952); A238, 344 A956).
93. A. B. P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A224, 273 A954); Advances in Electronics and
Electron Physics, vol. 6, New York, 1954, p. 1.
94. A. B. P i p p a r d, Phil. Trans. Roy. Soc. A250, 325 A957).
95. M. И. Каганов, М. Я. А з б е л ь, ДАН СССР 102, 49 A955).
96. М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 39, 400 A960).
97. К. F u с h s, Prog. Cambr. Phil. Soc. 34, 100 A938).
98. V. Heine, Phys. Rev. 107, 431 A957).
99. M. Я. А з б е л ь, И. М. Л и ф ш и ц, Progress in Low Temperature Physics, vol.
3, Amsterdam, 1961, p. 288.
100. А. В. Р i p p a r d, Reports on Progress in Physics, vol. 23, London, 1960, p. 176.
101. D. Ch. M a t t i s, G. D r e s s e 1 h a u s, Phys. Rev. Ill, 403 A958).
102. И. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 40, 1235 A961).
103. И. М. Л и ф ш и ц, М. Я. А з б е л ь, А. А. С л у ц к и н, ЖЭТФ 43,1464 A932).
104. М. Я. А з б е л ь, ДАН СССР 99, 519 A954).
105. М. Я. А з б е л ь. ЖЭТФ 39, 1138 A960).
106. Р. М. Р 1 a t z m a n, К. С. Jacobs, Phys. Rev. 134, А974 A964).
- 304 -

107. S. Rodriguez, Phys. Rev. 112, 80, 1616 A958).
108. J.C.Philiips, Phys. Rev. Lett. 3, 327 A959).
109. E.Fawcett, Phys. Rev. 103, 1582 A956).
НО. П. А. Б е з у г л ы й, А. А. Галкин, ЖЭТФ 33, 1076 A957); 34, 236 A958).
111. A. F. Kip, D. N. Langenberg, В. Rosenblum, G. Wagoner,
Phys. Rev. 108, 494 A958).
112. M. С X а й к ii н, ЖЭТФ 37, 1473 A959).
ИЗ. М. С X а й к и н, ЖЭТФ 39, 212, 513 A960).
114. M. С. X а й к и н, ЖЭТФ 41, 1773 A961).
115. M. С. X а й к и н, ЖЭТФ 42, 27; 43, 59 A962).
116. М. С. X а й к и н, Приборы и техн. экспер. № 3, 95 A961).
117. D. N. Langenberg, A. F. Kip, В. Rosenblum, Bull. Amer. Phys.
Soc. 3, 416 A958).
118. D. N. L a n g e n b e r g, Т. W. M о о г е, Phys. Rev. Lett. 3, 137, 328 A959).
119. A. F. К i p, D. N. L a n g e n b e r g, T. W. M о о г e, Phys. Rev. 124, 379 A961).
120. J. F. К о с h, R. A. S t r a d 1 i n g, A. F. К i p, Phys. Rev. 133, A240 A964).
121. M. С X а й к ii н, Р. Т. М и н а, ЖЭТФ 42, 35 A962); 45, 1304 A963).
122. П. А. Б е з у г л ы й, А. А. Галкин, ЖЭТФ 37, 1480 A959).
123. J. К. G al t, W. A. Y a g e r, F. R. M erri t t, В. В. С е t I i n, A. D. В г ails-
ford, Phys. Rev. 114, 1396 A959).
124. J. К. G a 1 t, F. R. M e r r i t t, Proc. Intern. Conf. on Fermi Surface in Metals,
Cooperstown, 1960, New York, p. 159.
125. E. F a w с е t t, Phys. Rev. Lett. 3, 139 A959).
126. H. F a w с e t t, Proc. Intern. Conf. on Fermi Surface in Metals, Cooperstown,
1960, New York, p. 166.
127. T. W. M о о r e, F. W. S p о n g, Phys. Rev. 125, 846 A962).
128. А. А. Галкин, В. П. Набережных, В. Л. Мельник, ФТТ, 5, 201
A963).
129. С. С. G r i m e s, A. F. К i p, F. S р о n g, R. A. S t r a d I i n g, P. P i n с u s,
Phys. Rev. Lett. 11, 455 A963).
130. J. K. G a 1 t, F. R. M e r r i t t, P. H. S с h m i d t, Phys. Rev. Lett. 6, 458 A961).
131. С. С. G r i m e s, A. F. К i p, Phys. Rev. 132, 1991 A963).
132. J. K. Gait, F.R.Merritt.W. A. Yager, H.W.Dail, Jr., Phys. Rev.
Lett. 2, 292 A959).
133. J.E.Aubrey, R. G. Chambers, J. Phys. Chem. Solids, 3, 128 A957).
134. J. E. A u b r e y, J. Phys. Chem. Solids 19, 321 A961).
135. M. С X а й к и п, Р. Т. М и н a, B.C. Э д е л ь м а н, ЖЭТФ 43, 2063 A962).
136. Y. Н. К а о, Phys. Rev. 129, 1122 A963).
137. G. E. S m i t h, L. С. Н е b e 1, S. J. В и с h s 1 a u m, Phys. Rev. 129, 154 A963).
138. E. F a w с e t t, W. M. W a 1 s h, Jr., Phys. Rev. Lett. 8, 476 A962).
139. P. J.Stile s, E.Burstein, D. N. Langenberg, Phys. Rev. Lett. 9, 257
A962).
140. E.B u r s t e i n, P. J. S t i 1 e s, D. N. L a n g e n b e r g, R. F. W a 1 1 i s, Phys.
Rev. Lett. 9, 260 A962).
141. P. B. M i 1 1 e r, R. R. H а с n i n g, Phys. Rev. 128, 126 A962).
142. J. E. К о с h, A. F. К i p, Phys. Rev. Lett. 8, 473 A962).
143. W. M. Walsh, Jr., Phys. Rev. Lett. 12, 161 A964).
144. В. Г. П е с ч а н с к и й, В. С. Л е х ц н е р, ЖЭТФ 46, 764 A964).
145. A. F. К i p, Proc. Intern. Conf. on Fermi Surface in Metals, Cooperstown, New
York, 1960, p. 176.
146. В. П. Набережных, В. П. Толстолужский, ЖЭТФ 46, 18 A964).
147. В. П. Набережных, В. Л. Мельник, ЖЭТФ 47, 873 A964).
148. Э. А. К а н е р, В. Г. С к о б о в, ФТТ 6, 1104 A964).
149. Y. Н. К а о, R. D. В г о w n, R. L. Н а г t m a n, Phys. Rev. 136, А858 A964).
150. D. W. L a n g e n b е г g, S. М. М а г с u s, Phys. Rev. 136, A1383 A964).
151. M. Т. Т а у 1 о г, Phys. Rev. Lett. 12, 497 A964); Phys. Rev. 137, A1145 A965).
152. M. С J о n e s, E. H. S о n d h e i m e r, Proc. Roy. Soc. A278, 256 A964).
153. P. Т. М и н а, М. С X а й к и н, ЖЭТФ 48, 111 A965); 51, 62 A966).
154. В. С. Э д е л i, м а н, М. С. Х а й к и н, ЖЭТФ 49, 107 A965).
155. Г. А. Б е ш а ш в и л и, ФММ 20, 641 A965).
156. F. S р о n g, A. F. К i p, Phys. Rev. 137, А431 A965).
157. J. J. Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. 137, A1400 A965).
158. L. С H e b e 1, Phys. Rev. 138, A1641 A965).
159. J. K. G al t, F. R. M err i t t, J. R. К 1 aud er, Phys. Rev. 139, A823 A965).
160. D. G. Howard, Phys. Rev. 140, A1705 A965).
161. A. E. D i x о n, W. R. D a t a r s, Sol. Stat. Comm. 3, 377 A965).
162. R. G. С h a m b e r s, Proc. Phys. Soc. 86, 305 A965).
163. S. J. M i у a k e, J. Phys. Soc. Japm 20, 412 A965).
164. M. P. S h a w, P. I. S a m p a t h, T. G. E с k, Phys. Rev. 142, 399 A966).
165. M. P. S h a w, T. G. E с k, D. A. Z у с h, Phys. Rev. 142, 406 A966).
166. P. Т. М и н а, В. С. Э д е л ь м а н, М. С. X а й к и н, ЖЭТФ 51, 1363 A966).
167. Н. S с h е г, Т. Н о 1 s t e i n, Phys. Rev. 148, 598 A966).
20 С. В. Вонсовский — 305 —

168. L. E. H a r t m a n n, J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 151, 430 A966).
169. P. Haussler, S. J. Welles, Phys. Rev. 152, 675 A966).
170. Y. Yafet, Phys. Rev. 152, 858 A966).
171. T. W. M о о г e, Phys. Rev. Lett. 16, 581 A966); Phys. Rev. 165, 864 A968).
172. J.P. Goldshorough, Appl. Phys. Lett. 8, 218 A966).
173. A. R о n , M. R e v z e n, Phys. Lett. 20, ,106 A966).
174. S. J.Williamson, M. S u г w a, H. С P r a d d a n d e, R. A. P a t t e u,
J. K. Furdyna, Sol. Stat. Comm. 4, 37 A966).
175. J. M. W а с h t e 1, J. L. H i r s h f i e 1 d, Phys. Rev. Lett. 19, 293 A967).
176. Э. А. К а н е р, А. Я. Б л а н к, J. Phys. Chem. Solids 28, 1735 A967).
177. А. Я. Б л а н к, Э. А. К а н е р, Phys. Stat. Sol. 22, 47 A967).
178. D. A. S m i t h, Proc. Roy. Soc. A297, 205 A967).
179. A. Kawabata, J. Phys. Soc. Japan 23, 999 A967).
180. В. Г. П е с ч а н с к и й, Письма ЖЭТФ 7, 489 A968).
181. W. L. D a h 1 q u i s t, R. G. G о о d r i с h, Phys. Rev. 164, 944 A968).
182. G. А. В а г a f f, Phys. Rev. 167, 625 A968).
183. J. В. К e t t e r s о n, L. R. W i n d m i 1 1 e r, Phys. Rev. Lett. 20, 321 A968).
184. В. Ф. Г а н т м a x e p, ЖЭТФ 42, 1416; 43, 345 A962).
185. Э. А. К а и е р, ЖЭТФ 43, 1036 A963).
186. В. Ф. Г а н т м а х е р, Э. А. К а н е р, ЖЭТФ 45, 1430 A963); 48, 1572 A965).
187. В. Ф. Г а н т м а х е р, И. П. Крылов, ЖЭТФ 47, 2111 A964).
188. J. F. С о с h r a n, M. Y a q u b, Phys. Rev. 140, А2174 A965).
189. Э. А. К а н е р, В. Л. Ф а л ь к о, ЖЭТФ 51, 586 A966).
190. Р. Н. Haberland, С. A. Shiifman, Phys. Rev. Lett. 19, 1337 A967).
191. M. С. X а Й к и н, В. С. Э д е л ь м а н, Р. Т. Мина, ЖЭТФ 44, 1704 A963).
192. М. С. X а й к и н, Л. А. Ф а л ь к о в с к и й, В. С. Э д е л ь м а н, Р. Т. М и п а,
ЖЭТФ 45, 1704 A963).
193. A. L. McWhorter, J. N. Walpole, Phys. Rev. 158, 719 A967).
194. S. В е г m о n, Phys. Rev. 158, 723 A967).
195. E. В u r s t e i n, С S. P i с u s, H. A. G e b h 1 e, Phys. Rev. 103, 825, 826 A956).
196. R. J. К e у e s, S. Zwerdling, S. F о n e г, Н. Н. К о 1 m, В. Lax, Phys.
Rev. 104, 1804 A956).
197. E. K. 3 а в о й с к и и, Докторская диссертация, ФИАН, М., 1944.
198. Е. К. 3 а в о и с к и й, J. Phys. USSR 9, 245 A945).
199. R. L. Cummerow, D. Halliday, Phys. Rev. 70, 433 A946).
200. A. Einstein, P. E r e n f e s t, Zs. Phys. 11, 31 A922).
201. Я. Г. Дорфиа н, Zs. Phys. 17, 98 A923).
202. В.К.Аркадьев, ЖРФХО 45, 103 A913).
203. I. W a 1 1 e r, Zs. Phys. 79, 370 A932).
204. H. А. К r a m e r s, Atti. congr, fis. (Como), 545 A927).
205. R. К г о n i g, J. Opt. Soc. Am. 12, 547 A926).
206. E.K. Завойский, J. Phys. USSR 8, 377 A944).
207. E. К. Завойский, ЖЭТФ 15, 345 A945).
208. E. К. 3 а в о й с к и й, J. Phys. USSR 10, 170 A946).
209. Е. К. 3 а в о й с к и й, J. Phys. USSR 11, 197 A947); ЖЭТФ 17, 155 A947); ДАН
СССР 57, 887 A947).
210. Я. И. Френкель, ЖЭТФ 15, 409 A945).
211. С. А. А л ь т ш у л е р, Е. К. Завойский, Б. М. Козырев, ЖЭТФ 17,
1122 A947).
212. И. Г. Шапошников, ЖЭТФ 17, 824 A947); 18, 533 A948).
213. Л. И. М а н д е л ьш т а м, М. А. Л е о н т о в и ч, ЖЭТФ 7, 438 A937).
214. Н. Casimir, F. D u - Р г ё, Physica 5, 507 A938).
215. Т. R. С a v е г, С. P. S 1 i с h t e г, Phys. Rev. 92, 212 A953).
216. R. P. P e n г о s e, Nature 163, 992 A949).
217. С J. G о г t e r, Physica 14, 504 A948).
218. F. В 1 о с h, Phys. Rev. 70, 460 A946) (см. перевод в сб. «Проблемы современной
физики», вып. 8, ИЛ. М., 1958).
219. L.J.F. Broer, Physica 10, 801 A943); 13, 353 A947).
220. J.S. van Wieringen, Physica 19, 397 A953).
221. J. H. Van Vleck, Phys. Rev. 74, 1168 A948).
222. J.H. Van Vleck, Phys. Rev. 73, 1249 A948).
223. M. H. L. P г у с e, K. W. H. S t e v e n s, Proc. Phys. Soc. A63, 36 A950).
224. Ch. Kittel, E. Abrahams, Phys. Rev. 90, 238 A953).
225. Г. Я. Глебашев, ЖЭТФ 30, 612 A956); Уч. записки КРУ, 116, 121 A956).
226. Г. Я. Г л е б а ш е в, ЖЭТФ 32, 82 A957).
227. P. W. Anderson, P. R. Weiss, Rev. Mod. Phys. 25, 269 A953).
228. P. W. A n d e r s о n, J. Phys. Soc. Japan 9, 316 A954).
229. R. К u b о, К. J.'Tomita, J. Phys. Soc. Japan 9, 888 A954).
230. R. К u b o, J. Phys. Soc. Japan 9. 935 A954).
231. M. Y ok о t o, S. К о i d e, J. Pliys. Soc. Japan 9, 953 A954).
232. R. de К г о n i g, Physica 6, 33 A939).
233. J. H. V a n Vleck, Phys. Rev. 57, 426 A940); 59, 724 A941).
— 306 —

234. W. H. Heitler, E. Teller, Proc. Roy. Soc. A135, 629 A936).
235. А. И. A x и е з е р, И. Я. П о м е р а н ч у к, ЖЭТФ 14, 342 A944); ДАН СССР
87, 917 A952).
236. С. А. А л ь т ш у л е р, ЖЭТФ 24, 68 A953).
237. С. А. А л ь т ш у л е р, Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1207 A956).
238. В. И. Аввакумов, ФММ 4, 199 A957).
239. А. М. Л е у ш и н, ФТТ 4, 1564 A962).
240. Ш. Ш. Б а га к и р о в, ФММ 6, 577 A958).
241. R. Orbach, Proc. Phys. Soc. A77, 261, 821 A961).
242. N. Blocmbergen, S. Shapiro, P. S. Pcrshan, J. O. Artman
Phys. Rev. 114, 445 A959).
243. A. Kiel, Phys. Rev. 120, 137 A960).
244. Д. Н. К л и ш к о, В. С. Т у м а н о в, Л.Л.Ушаков а, ЖЭТФ 43, 25 A962)
245. В.Н.Гснк и п, ФТТ 6, 368 A964).
246. W. J.C. Grant, Phys. Rev. 134, А1554, А1565, А1574; 135, А1265 A964)
247. И. Д; М а ш, М. И. Р о д а к, ФТТ 7, 717 A965).
248. Г. Ф. Е ф р с м о в, ЖЭТФ 51, 156 A966).
249. W. J. Caspers, Physica 26, 778, 798, 809 (I960).
250. А. М. П р о х о р о в, В. Б. Ф е д о р о в, ЖЭТФ 46, 1937 A964).
251. Э. М. Г а с а н о в, А. М. П р о х о р о в, В. Б. Ф е д о р о в, ФТТ 6, 193 A964).
252. И. В. Александров, А. В. Кессеннх, ФТТ 6, 1006 A964).
253. В. Я. Кравченко, В. Л. Винецкпй, ФТТ 6, 2075 A964).
254. J. Korringa, J. L. Motchanc, P. Papon, A. Yoshimori, Phys
Rev. 133, A1230 A964).
255. H. S с h w e g 1 с г, Zs. Phys. 181, 22 A964).
256. H. N a k a n o, A. Yoshimori, Prog. Theor. Phys. 32, 685 A964)
257. И.В.Александров, ЖЭТФ 48, 864 A965).
258. В. А. А ц а р к и н, ЖЭТФ 49, 148 A965).
259. Б. М. '% а б и б у л л и н, ФТТ 7, 2894 A965).
260. А. Б. Р о й ц ц н, ФТТ 7, 3169 A965).
261. R. L. Peterson, Phys. Rev. 137, А1444 A965).
262. S. P. H e i m s, Phys. Rev. 138, A587 A965).
263. M. Д. Г л и н ч у к, В. Г. Грачев, М. Ф. Д е й г е н, ФТТ 8, 3354 A966).
264. J. L. Motchane, P. Papon, Phys. Rev. 141, 246 A966).
265. G. Ы. L a r s о п, С. D. J e f f г i с s, Phys. Rev. 141, 461; 145, 311 A966)
266. D. L. M i 1 1 s, Phys. Rev. 146, 336 A966).
267. W. J. В г у а, Р. Е. Wagner, Phys. Rev. 147, 239 A966).
268. D. K. Ray, T. Ray, P. R u d r a, Proc. Phys. Soc. 87, 985 A966).
269. R. A n g s t m a u m, Zs. Phys. 189, 433 A966).
270. H. Nakano, Prog. Theor. Phys. 35, 214 A966).
271. Ю-. И. Няшин, ФММ 23, 728 A967).
272. С. П. Д о в г о п о л, Т. Г. И з ю м о в а, ФММ 24, 3 A967).
273. R. R. Wangs ness, Phys. Rev. 160, 1190 A967).
274. С. Y a n g, A. H о n i g, Phys. Rev. 168, 271 A968).
275. W. L. Gamble, I. Miyagawa, R. L. H а г t m a n, Phys. Rev. Lett. 20,
415 A968).
276. M. B. Walker, Canad. J. Phys. 46, 161 A968).
277. С F. W e i s s f 1 о с h, Canad. J. Phys. 46, 943 A968).
273. M. И. Р о д а к, ФТТ 6, 521 A964).
279. J. Philip pot, Phys. Rev. 133, A471 A964).
280. R. E. W a 1 s t e d t, Phys. Rev. 138, АЮ96 A965).
281. M. Goldman, L. S h e n, Phys. Rev. 144, 321 A966).
282. J. F. F r a n z, Ch. P. S 1 i с h t e r, Phys. Rev. 148, 287 A966).
283. В. В. В 1 e a n y, K. W. H. Stevens, Reports on Progress in Physics, vol. 16
London, 1953, p. 108.
284. K. D. Bowers, J. Owen, Reports on Progress in Physics, vol. 18, London,
1955, p. 304.
285. J. E. W e r t z, Chem. Rev. 55, 829 A955).
286. Б. М. Козырев, С. Г. С а л и х о в, ДАН СССР 68, 1023 A947).
287. А. N. Н о 1 d e n, Ch. К i t t e 1, F. R. M e r r i t t, W. A. Y a g e r, Phys. Rev.
75, 614 A949).
288. Л. А. Б л ю м е н ф е л ь д, В. В. В о е в о д с к и и, УФН 68, 31 A959).
289. С. А. А л ь т ш у л е р, Р. М. В а л и in e в, ЖЭТФ 48, 464 A965).
290. Л. К. А м и н о в, ЖЭТФ 48, 1398 A965).
291. А. Е. Никифоров, В. И. Черепанов, ФТТ 7, 1162 A965).
292. Б. М. X а б и б у л л и н, ФТТ 7, 2070 A965); ЖЭТФ 54, 1865 A968).
293. М. Goldman, Phys. Rev. 138, А1668 A965).
294. R. М с W e e n у, J. Chem. Phys. 42, 1717 A965).
295. А. В i e r i, F. K. Kneubiihl, Phys. Kondens. Matorie 4, 230 A965).
296. Г. P. X у ц и ш в и л и, ЖЭТФ 50, 1641 A966).
297. А. А. С а м о х и н, ЖЭТФ 51, 928 A966).
298. В. И. Коновалов, С. М. Рябченко, ФТТ 8, 3541 A966).
— 307 — 20*

299. В. П. С а к у н, ФТТ 8, 3631 A966).
300. P. M. Richards, Phys. Rev. 141, 189, 196 A966).
301. J. A. T j о n, Phys. Rev. 143, 259 A966).
302. J.Maruani, Cahiers de phys. 21, 209, 412 A967).
303. H. Г. Басов, А. М. Прохоров, УФН 57, 485 A955).
304. Г. М. Зверев, Н. В. Карлов, Л. С. Кориенко, А. А. Маненков,
А.М.Прохоров, УФН 77, 61 A962).
305. G. F e h е г, A. F. К i p, Phys. Rev. 98, 337 A955).
306. Y. Y af et, Phys. Rev. 85, 478 A952); 106, 679 A957).
307. H. J. В г о о ks, Phys. Rev. 94, 1411 A954).
308. P. A r g у r e s, А. К a n, Phys. Rev. 98, 226 A955).
309. R. A. L e v y, Phys. Rev. 102, 31 A956).
310. A. W. Overhauser, Phys. Rev. 89, 689 A953).
311. R. J. E 1 1 i о t t, Phys. Rev. 96, 266 A954); в книге «Defects in Crystalline Solids»,
Bristol, 1954, p. 12.
312. В. В. Андреев, В. И. Герасименко, ЖЭТФ 35, 1209 A958).
313. Y. Y af e t, Solid State Phys., vol. 14, New York, 1963, p. 1.
314. F. Vescial, N. S. von Vander, R.T. Schumacher, Phys. Rev. 134,
A1286 A964).
315. H.C. Гарифьянов, ЖЭТФ 32, 149 A957).
316. H. С. Гарифьянов, М. А. Стариков, ЖЭТФ 35, 798 A958).
317. F. J. Dyson, Phys. Rev. 98, 349 A955).
318. М. Я.Азбель, В. И. Герасименко, И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 31, 357
A956); 32, 1212 A957).
319. М. Я.Азбель, В. И. Герасименко, И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 35, 69
A958).
320. И. М. Лифшиц, М. Я. А з б е л ь, В. И. Герасименко, Phys. Chem.
Sol. 1, 164 A956).
321. J. I. К а р 1 a n, Phys. Rev. 115, 575 A959).
322. H. С. Т о г г е у, Phys. Rev. 104, 563 A956).
323. Т. М и г а о, J. Phys. Soc. Japan 16, 1940 A961).
324. Т. W. G r i s w о 1 d, A. F. К i p, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 88, 951 A952).
325. A. F. К i p, T. W. G r i s w о 1 d, A. M. P о г t i s, Phys. Rev. 92, 544 A953).
326. G. F e h e r, T. W. G r i s w о 1 d, Phys. Rev. 93, 952 A954).
327. S. Gutowsky, P. J. Frank, Phys. Rev. 94, 1067 A954).
328. R. T. Schumacher, T. R. Carver, С P. S 1 i с h t e r, Phys. Rev. 95,
1089 A954}.
329. G. F e h e r, A. F. К i p, Phys. Rev. 95, 1343 A954).
330. P. L. P e n d e r, Phys. Rev. 134, A1174 A964).
331. A. Biencnstock, H. Brooks, Phys. Rev. 136, A784 A964).
332. R. B. L e w i s, T. R. С а г v e r, Phys. Rev. Lett. 12, 693 A964).
333. A. D. С a p 1 i n, Phil. Mag. 10, 241 A964).
334. L. С H e b e 1, E. I. В 1 о u n t, G. E. S m i t h, Phys. Rev. 138, A1636 A965).
335. R. J. P r e s s 1 e y, N. L. Berk, Phys. Rev. 140, A1207 A965).
336. H. J. Kearney, A. R. Mackintosh, R. С V о u n g, Phys. Rev. 140,
A1671 A965).
337. S. S с h u 1 t z, C. L a t h a m, Phys. Rev. Lett. 15, 148 A965).
338. J. E. Cousins, R. Dupree, Phys. Lett. 14, 177 A965).
339. В. П. Калашников, ФТТ 8, 2130 A966); ФММ 22, 786 A966).
340. M. M. W a 1 s h, Jr., L. W. R u p p, Jr., P. H. S с h m i d t, Phys. Rev. 142, 414
A966); Phys. Rev. Lett. 16, 181 A966).
341. M. L a m p e, P. M. P 1 a t z m a n, Phys. Rev. 150, 340 A966).
342. G. D. Gaspari, Phys. Rev. 151, 215 A966).
343. S. Schultz, M. R. Shanabarger, Phys. Rev. Lett. 16, 178 A966).
344. M. Strongin, O. F. Kammerer, Phys. Rev. Lett. 16, 456 A966).
345. W. J. O'S u 1 1 i a n, J. E. S с h i r b e r, Phys. Rev. Lett. 16, 691 A966).
346. D. Griffiths, B. R. С о 1 e s, Phys. Rev. Lett. 16, 1093 A966).
347. J. I. Kaplan, J. Phys. Chem. Solids 27, 19 A966).
348. R. H. Webb, Phys. Rev. 158, 225 A967).
349. N. S. Van der V e n, Phys. Rev. Lett. 18, 277 A967).
350. M. Я. А з б е л ь, И. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 33, 792 A957).
351. J. Owen, M. Browne, W. D. Knight, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 102,
1501 A956); J. О w e n, M. В г о w n e, V. A r p, A. F. К i p, J. Phys. Chem.
Solids 2, 85 A957).
352. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 A946).
353. J. Korringa, Physica 16, 601 A950).
354. W. D. Knight, Phys. Rev. 76, 1259 A949).
355. A. F. К i p, Rev. Mod. Phys. 25, 229 A953).
356. A. F. К i p, Ch. К i t t e 1, A. M. P о r t i s, R. В a r t о n, F. H. S p e d d i n g,
Phys. Rev. 89, 518 A953).
357. С. Г. С а л и х о в, ЖЭТФ 26, 447 A954).
358. С. А. А л ь т ш у л е р, ЖЭТФ 26, 439 A954).
— 308 —

?-. ?n ?n J^ ?n ?n 4N. ?n 4N. hJN. ?n CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO COCO COCO COCO CC CO CO CO CO OJ СОСОСОСОСОСОСОСОСО CO CO CO CO CO CO CO
н^. О О О О О О ООООСО COCO СО СО СО СОСОСО СО 00 00 Q0 0000 0000 0000 ОС -J -J -J -J -J -J-J-J-J-JO5O5O5O5 О5 G5 О) О) О5 О5 СЛ
н^ О СО 00 -J С5СЛ?-* СО СО >-^ О СО QO -J С5 СЛ >?>• СО СО н^ О CD 00 ¦<] О5СЛ ?¦- СО ЬЭн^- О СО ОС ~J О СЛ hC^COtOh^-OCOOO-JO СЛ ?-* СО СО н^ О СО

413. E. S. S a b i s к у, Pliys. Bev. 141, 352 A966).
414. F. R. M e г r i t t, H. Guggenheim, С G. B. G a r г e t I, Phys. Rev. 145,
188 A966).
415. K. L. В г о w e r, H. J. Stapleton, E.O. Brower, Phys. Rev. 146 , 233
A966).
416. S. D. M с L augh 1 an, P. A. Forrester, A. F. Fray, Phys. Rev. 146,
344 A966).
417. S. D. McLaughlan, Phys. Rev. 150, 118 A966); 160, 287 A967).
418. L. А. В о a t n e r, M. M. A b r a h a m, Phys. Rev. 163, 213 A967).
419. J.Rosenthal, Phys. Rev. 164, 363 A967).
420. K. L. Brower, H. J. Stapleton, J. Chem. Phys. 46, 888 A967).
421. Z. S г о n b e к, М. Т а с h i к i, P. H. Zimmerman, К. О r b а с h, Phys.
Rev. 165, 435 A968).
422. I. С. К r a v i t z, W. W. P i p e r, Phys. Rev. 146, 322 A966).
423. T. L. E s t 1 e, W. С. Н о 1 t о n, Phys. Rev. 150, 159 A966).
424. F. S e i t z, Rev. Mod. Phys. 18, 384 A954).
425. M. Ф. Д е и г е н, ЖЭТФ 33, 773 A957).
426. M. Ф. Д е й г е н, Л. А. Ш у л ь м а и, Журнал оптики и спектроскопии 3, 21
A957).
427. В. Я. 3 е в и н, /Курн. оптики и спектроскопии 3, 660 A957).
428. Л. А. Ш у л ь м а н, Журн. общ. химии 3, 684 A957).
429. М. Д. Г л и п ч у к, М. Ф. Д е й г е н, ЖТФ 28, 1981 A958); ФТТ 4, 2521 A962).
430. М. Ф. Д е и г е и, О. Б, Ройцпн, Укр. физ. журн. 3, 439 A958),
431. М. Ф. Д е и г е н, Г. В. К о р о б к о, ФТТ 5, 1126 A963).
432. М. Ф. Д е п г е н, М. Д. Г л и н ч у к, ФТТ 5, 3250 A963).
433. М. Ф. Д е й г е н, В. М. М а с в с к и й, В. Я. 3 е в и н, И, И, Витрихов-
ск и й, ФТТ 6, 2756 A964).
434. Н. S e i d e 1, II. С. W о 1 f, Phys. stat. sol. 12, 3 A965),
435. С. A. Hutchinson. Phys. Rev. 75, 1769 A949).
436. E. E. S с h n e i d e r, T. S. E n g 1 a n d, Physica 17, 221 A951),
437. M. T i n k h a m, A. F. К i p, Phys. Rev. 83, 657 A951).
438. С P. S 1 i с h t e r, Phys. Rev. Lett. 5, 197 A960).
439. W. С. Н о 1 t о n, H. В 1 u m, Phys, Rev, 125, 89 A962),
440. F. Hughe s, Phys. stat. sol. 5, 55 A964).
441. J. A r g e n d s, A. J. Dekker, Phys. stat. sol, 5, 265 A964).
442. W. К a n z i g, Phys. Rev. 99, 1890 A955).
443. С J. D e 1 b с с q, B. S m a 1 1 e r, P. H. Y a s t e r, Phys. Rev. 104, 599 A956).
444. А. А. Г а л к и н, Я. А. Ш а м ф а р о в, А. В. Стефани ш и и а, ЖЭТФ 32,
1581 A957).
445. R. A. Ogg, J. Chem. Phys. 14, 114, 205 A946).
446. R. A. Ogg, J. Am. Chem. Soc. 68, 155 A946).
447. J. К a p 1 a n, Ch. К i t t e 1, J. Chem. Phys. 21, 1429 A953).
448. M. Ф. Д е й г е н, ЖЭТФ 26, 293, 300 A954); Укр. физ. журн, 1, 245 A956).
449. С. И. П е к а р, ЖЭТФ 16, 341 A946),
450. М. Ф. Д е и г е н, С. И, П е к а р, ЖЭТФ 34, 684 A958),
451. Я. И. Френкель, Phys. Rev. 37, 17, 1274 A931).
452. G. E, G. Hardeman, Philips Teclm. Rev. 24, 206 A962/63).
453. С. А. А л ь т ш у л е р, Б. И. К о ч е л а е в, А. М. Л е у ш и н. УФЫ 75, 459
A961).
454. С, А, Альт ш у л е р, ДАН. СССР 85, 1235 A952); ЖЭТФ 28, 38, 49 A955).
455. С. А. А л ь т ш у л е р, М. М. 3 а р и н о в, Л. Я. Ш е к у н, Изв. АН СССР,
сер. физ. 21, 844 A957).
456. С. А. А л ь т ш у л е р, Ш. Ш, Б а ш к и р о в, А, М. Л е v ш и н, ФТТ 3, 1501
A961).
457. Е. Ы. J а с о Ь s о n, N, S. S h i r e n, E. В. Tucker, Phys. Rev, Lett. 3, 81
A954),
458. N. S, S h i r e n, E, В. T u с k e r, Phys, Rev. Lett, 6, 105 A961).
459. N. S. S h i r e n, Phys. Rev. Lett. 6, 168 A961).
460. N.S. Shiren, Phys. Rev. 128, 2103 A962).
461. A. P. К е с с е л ь, У. X. К о п в it л л е м, ФТТ о, 667 A963).
462. А. И. А х и е з е р, J. Phys. USSR I, 290 A939).
463. N. Е. В о ш m e I, Phys, Rev. 96, 220 A054).
464. L. М а с К е n n a m, Phys, Rev. 98, 1181; 100, 655 A955),
465. W. I. D о b г о v, Phys, Rev. 134, A734 A964); 146, 268 A966),
466. E. H. J а с о i> s e n, K, W. H. Stevens, Phys. Rev. 129, 2036 A963).
467. А. И. A x и е з e p, M. И, Каганов, Г, Я. Любарски и, ЖЭТФ 32, 837
A957).
468. Е. I, Blount, Phys. Rev, 114, 418 A959).
469. В. П. С и л и и, ЖЭТФ 38, 977 A960).
470. А. В. Р i р р а г d, Phil, Mag. (8) 2, 1147 A957).
471. А. В. Р i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A257, 165 A960).
472. D. H, R e n e с k e r, Phys. Rev. 115, 303 A959),
- 310 -

473. R. W. М о r s e, J. D. G a v e n d a, Phys. Rev. Lett. 2, 250 A959).
474. А. А. Г а л к и н, Э. А. К а н е р, А. П. К а р о л ю к, ДАН СССР 134, 74 A960).
475. Е. В. Tucker, Phys. Rev. Lett. 6, 183, 547 A961).
476. А. П. К а р о л го к, Т. А. П у щ а к, ЖЭТФ 41, 1689 A961).
477. В. W. Roberts, Phys. Rev. 119, 1889 (I960); Phys. Rev. Lett. 6, 453 A961).
478. A. Myers, Am. J. Phys. 29, 143 A961).
479. D. F. Gibbons, Phil. Mag. 6, 445 A961).
480. П. А. Б е з у г л ы й, А. А. Г а л к и н, А. И. П у ш к и н, А. И. X о м ч е н к о,
ЖЭТФ 42, 84 A962).
481. V. J. E a s t e r I i n g, H. V. Bohm, Phys. Rev. 125, 812, 128, 1021 A962).
482. I. G. M a v г о i d e s, В. L а х, К. I. В u t t о n, Y. S h a p i r a, Phys. Rev. Lett.
9, 451 A962).
483. J. A. R ay n e, Phys. Lett. 2, 128 A962); Phys. Rev. 129, 652; 131, 653 A963);
133, A1104 A964).
484. ГГ. А. Б е з у г л ы й, А. А. Г а л к и н, А. И. Пушкин, ЖЭТФ 44, 71 A963).
485. Y. Eckstein, Phys. Rev. 129, 12 A963).
486. J. B. Ketterson, Phys. Rev. 129, 18 A963).
487. G. N. К a mm, H. V. В о h m, Phys. Rev. 131, 111 A963).
488. B. S eg a 11, Phys. Rev. 131, 121 A963).
489. A. R. Mackintosh, Phys. Rev. 131, 2420 A963).
490. Т. О 1 s e n, J. Phys. Chem. Solids 24, 649 A963).
491. M. R. Daniel, L. M а с k i n n e n, Phil. Mag. 8, 537 A963).
492. П. А. Б е з у г л ы ii, А. А. Г а л к и н, С. Е. Ж е в а г о, ЖЭТФ 47, 825 A964);
ФТТ 7, 480 A965).
493. С. К. J о n e s, J. A. R а у n e, Phys. Lett. 8, 155 A964).
494. L. Eriksson, О. R e с k m a n, S. H 6 г и f e 1 d t, J. Phys. Chem. Solids 25,
1339 A964).
495. R. F о s s h e i m, Т. О 1 s e n, Phys. stat. sol. 6, 867 A964).
496. H. J. F о s t e r, P. H. M e i j e r, E. V. M i e 1 с z a r e k, Phys. Rev. 139, A1849
A965).
497. С. К. J о n e s, J. A. R а у n e, Phys. Lett. 14,13 A965); Phys. Rev. 139,1876 A965).
498. В. С D e a t о n, Phys. Rev. 140, A2051 A965).
499. Y. S h a p i r a, S. J. Williamson, Phys. Lett. 14, 73 A965).
500. J. T r i v i s о n n o, M. S. S a i d, L. A. P a n e r, Phys. Rev. 147, 518 A966).
501. E. W. F e n t о n, S. B. W о о d s, Phys. Rev. 151, 424 A966).
502. B. I. M i 1 1 e r, Phys. Rev. 151, 519 A966).
503. J.R. Boyd, J.D. Gavenda, Phys. Rev. 152, 645 A966).
504. J. D. Gavenda, Phys. Rev. Lett. 16, 228 A966).
505. S. M a s e, Y. Fujimori, H. Mori, J. Phys. Soc. Japan 21, 1744 A966).
506. H. P. Anbaner. Phys. Rev. 155, 673 A967).
507. .Т. В. К e t t e r s о n, R. W. S t a r k, Phys. Rev. 156, 748 A967).
508. L. R. T e s t a r d i, R. R. S о d e n, Phys. Rev. 158, 581 A967).
509. В. Л. Г у р е в и ч, ЖЭТФ 37, 71, 1680 A957).
510. M. S. S t e i n b e t g, Phys. Rev. 109, 1486; 110, 772 A958).
511. N. M i k о s h i b a, J. Phys. Soc. Japan 13, 759 A958).
512. Т. К j el da as, Jr. Phys. Rev. 113, 1473 A959).
513. Т. К j e 1 d a a s, Jr., T.Halstein, Phys. Rev. Lett. 2, 340 A959).
514. A. B. P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A257, 165 A959).
515. Э. А. Кане р, ЖЭТФ 38, 212; 39, 1071 A960).
516. M. H. С о h e n, M. J. Harrison, W. A. Harriso n, Phys. Rev. 117, 937
A960).
517. В. И. Герасименко, ЖЭТФ 40, 585 A961).
518. В. Л. Г у р е в и ч, В. Г. С к о б о в, Ю. А. Ф л р с о в, ЖЭТФ 40, 786 A961).
519. Г. Л. Коткив, ЖЭТФ 41, 281 A961).
520. Э. А. К а н е р, В. Г. П е с ч а н с к и й, И. А. П р и в о р о ц к и й, НгЭТФ 40,
212 A961).
521. Н. Stolz, Phys. stat. sol. 1, 222, 451 A961).
522. H. S t о 1 z, Ann. d. Phys. 7, 353 A961).
523. H. Stolz, Zs. Naturforsch. 16a, 406 A961).
524. Э. А. Капер, ЖЭТФ 43, 216 A962).
525. J. J, Quinn, S, Rodriguez, Phys. Rev. 128, 2494 A962),
526. M. С. С вире к и й, ЖЭТФ 44, 628 A963).
527. С. В. Г а н ц е в и ч, В. Л. Г у р е в и ч, ЖЭТФ 45, 587 A963).
528. П. С, Зырянов, ФММ 13, 641 A962).
529. Б. Н. Филиппов, ЖЭТФ 46, 223 A964).
529а.К. Б. В л а с о в, ФММ 21, 176 A966).
530. Н. Stolz, Phys. stat. sol. 3, 1153, 1493, 1957 A963); 9, 3 A965).
531. H. E. В 3 m m e 1, Phys. Rev. 100, 758 A955).
532. Э. А. К а н е p, В.Л.Фальк о, ЖЭТФ 46, 1344 A964).
533. Y. Eckstein, J. B. Ketterson, S. G. Eckstein, Phys. Rev. 135.
A740 A964).
534. S. G. Eckstein, Phys. Rev. Lett. 12, 360 (i964).
- 311 -

535. Y. Sawada, E. Burstein, Phys. Rev. 150, 4E6 A966).
536. D. N. Langenberg, J.J. Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. Lett, 12.
104 A964).
537. Y. S h a p i r a, B, L a x, Phys, Rev. Lett. 12, 166 A964).
538. Y. S h a p i r a, Phys. Rev. Lett. 13, 162 A964).
539. A. M. T о x e n, S, t a n s a 1, Phys, Rev. 137, A211 A965).
540. J. J. Q u i ii n, Phys, Rev. 137, A889 A965).
541. Г. 3. Г ершу ни, ЖЭТФ 39, 326 A960).
542. В. Г. П е с ч а н с к и й, И. А. П р и в о р о ц к и и, ФММ 12, 327 A961).
543. Г. А к р а м о в, ФТТ 5, 1310 A963).
544. S. H. L i п, А. М. Т о х е n, Phys. Rev. 138, А487 A965).
545. J. M e r t s с h i n g, H. S t о 1 z, Phys. stat, sol. 8, 847 A965).
546. Б. Н. Филиппов, П. С, Зырянов, ФММ 23, 769, 24, 18 A967).
547. J.J. Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. Lett. 9, 145 A962).
548. G. A. A 1 e r s, P. A, F 1 e u г у, Phys. Rev. 129, 2425 A963).
549. S. Rodriguez, Phys. Rev. 130, 1778 A963).
550. S. Rodriguez, Phys. Rev. 132, 535 A963).
551. G. A. A 1 e r s, R. T. S w i m, Phys. Rev. Lett. 11, 72 A963).
5,c;2. Л. Д. А б д у л а д а о, 3. С. К а г л и ш в и л и, ФТТ 10, 1902 A968).
553. К. J. Button, В. L а х, С. С. Bradley, Phys. Rov. Lett. 21, 3 0 A968).
554. P. Eisenberger, P. S. P e r s h a n, D. K. Bosomworth, Phys. Rev.
188, 11.-7 A969).
555. K. J. Button, G. Landwclir, С. С. Bradley, Phys. Rev. Lett. 23, U
A969).
5.C6. J. Wai dm an, D. M. Larsen et al., Phys. Rev. Lett. 23, 1033 A969).
557. J. R. A p e 1, Т. О. Р о e h 1 e г, С R. Westgate, Appl. Phys. Lett. 14, 161
A969).
5F8. A. L. Mears, R. A. S t r a d 1 i n g, Sol. State Commun. 7, 1267 A969).
5,r9. IO. Ф. Коми и к, Е. И. Б у х ш т а б, ЖЭТФ 54, 63 A964).
?60. М. С. X a it к п л, С. М. Ч е р е м с и п, ЖЭТФ 54, 69 A068).
561. М. Я. А з б е л ь, В. Г. П е с ч а и с к и й, ЖЭТФ 54, 477 A968).
562. В. П. С и л и и, ЖЭТФ 54, 1016 A968).
563. В. П. Набережных, Н. К. Д а и ь ш и н, Л. Т. Цимбал, ЖЭТФ 55,
389 A908). ¦
564. А. Е. Dixon, W. R. Datars, Phys. Rev. 175, 928 A968).
56"). R. G. Chambers, Phys. Kondens. Matprie 9, 171 A969).
566. J. F. С а г о 1 a n, A. P. von G e 1 d e r, Phys. Rpv. Lett. 25, 1433 A970).
?67 В. С. Э д е л ь м а п, ЖЭТФ 54, 1726 A968); УФН 102, 55 A970).
568. Б. А. Т а в г с р, В. И. Демиховс к и л, УФН 96, 61 A968).
569. Э. А. Капер, В. Ф. Гаитмакер, УФН 94, 193 A968).
570. Т. О. Р о е h 1 е г, J. R. Ape], Phys. Lett. 32, А208 A970).
571. К. Pfeuffei, Phys. stat. sol. 29, 171 A968).
572. U. Haeberlen, J. S. W a n g h, Phys. Rev. 185, 420 A969).
573. H. Bottger, Phys. stat. sol. 32, 415 A969).
574. J. Levy, Phys. Rev. IB, 4261 A970).
575. Д. И. Кадыров, И. Г. Шапошников, Compt. rend. 271, B611 A970);
ФММ 29, 58 A970). .
576. D. Walftrad, P. Brockmans, Phys. Rev. 187, 421, 430 A969).
577. N. M. Atherton, Sci. Progr., Oxford 56, 179 A968).
578. Б. М. X а б и б у л л и н, ЖЭТФ 54, 1865 A968).
579. A. W. О v е г h a u s е г, А. М. de G г a a f, Phys. Rev. 168, 763 A968).
580. Н. С. Г а р и ф ь я и о в, Э. Г. ХарахашьяЕ1, Ф. Г.Черкасов, ФММ 28,
383 A969).
581. В. Caroli, С. С а г о 1 i, D. R. F r e d k i n, Phys. Rev. 178, F98 A969).
582. А. М. d с Graaf, A. W. Overhauser, Phys. Rev. 180, 701 A969).
583. J. I. Kaplan, M. L. G 1 a s s e r, Phys. Rev. 183, 408 A969).
584. M. B. Walker, Phys. Rev. IB, 3690 A970).

лава
14
ГАЛЬВАНО- И ТЕРМОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ,
НЕ ОБЛАДАЮЩИХ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ
§ 1. Феноменологическая теория гальвано- и термомагнитных
эффектов
1. Классификация эффектов. В предыдущих главах книги в осповном шла речь
о термодинамически равновесных магнитных свойствах вещества (магнитная воспри-
восприимчивость в постоянных и переменных полях). Только при изложении проблемы вре-
времени релаксации (гл. 13) рассматривались процессы перехода электронно-ионной сис-
системы кристалла из неравновесных состояний в равновесные. При этом на электроны
и иопы могли действовать внешние электромагнитные поля, звуковые колебания, могли
сказываться и внутренние взаимодействия. Процессы, связанные с перепосом заряда,
импульса, магнитного момента, массы частиц и т. п., принято называть процессами
переноса или кинетическими явлениями. Здесь мы кратко *) рассмотрим некоторые
кинетические явления в металлах и полупроводниках, не обладающих атомным магнит-
магнитным порядком, когда среци внешних полей обязательно присутствует магнитное поле.
При этом мы ограничимся лишь случаем стационарных кинетических явлений,
когда величины, характеризующие процесс переноса — плотность электрического
тока, тепловой поток, напряженности внешних электрических и магнитных полей
не зависят от'времени. Конкретно будут рассмотрены два класса стационарных кинети-
кинетических явлений:
1) гальваномагнитные под которыми понимается совокупность эффектов, возникающих
в электропных проводниках (металлах и полуметаллах) под действием магнитного
поля Н, когда в них протекает электрический ток плотности ¦/, и 2) термомагнитные.
под которыми понимается совокупность эффектов, возникающих в электронных про-
проводниках под действием магнитного поля Н, когда в них имеется тепловой поток плот-
плотности W.
При этом главное внимание будет уделено гальваномагннтным эффектам в метал-
металлах, которые хорошо иллюстрируют класс магпитных кинетических явлений в кристал-
кристаллах вообще.
Эти явления с равным правом можно отнести не только к магнитным, но также
к электрическим и соответственно к тепловым эффектам. Однако наиболее характер-
характерные черты этих явлений связаны с активным воздействием внешнего магнитного поля
на движение носителей тока. Именно этот магнитный аспект и будет интересовать нас
прежде всего.
Дело в том, что сильные магнитные поля здесь выступают в качестве уникального
«инструмента» для исследования важнейшей динамической характеристики носителей
тока в кристаллах — закопа дисперсии е (/>). описывающего зависимость энергии носи-
носителей тока s от его квазиимпульса р. Это становится возможным благодаря тому, что в
сильных магнитных полях циклотронная частота шн3>т~' ,т.е. значительно больше часто-
частоты столкновений носителей с различного рода рассенвателями. и поэтому в первом при-
приближении можно пренебрегать эффектами рассеяния. Тогда движение носителя в кри-
кристалле полностью определено его законом дисперсии г (р) и внешним магнитным полем.
Иными словами, сильное магнитное поле позволяет как бы отключить эффект слу-
случайных столкновений, мешающий исследованию динамических свойств носителя.
Именно поэтому изучению гальвано- и термомагнитных явлений в сильных магнитных
полях уделяется большое внимание. Эти явления позполяют также, наряду с другими
методами, исследовать и механизмы релаксации носителей тока в кристаллах металлов
и полупроводников.
Гальвано- и термомагнитные эффекты могут быть трех типов в зависимости
от взаимной ориентации вектора магнитного поля // и вектора плотности электрическо-
электрического тока j или теплового потока и>.
*) Более подробное изложение можно найти в монографиях по теории металлов
и полупроводников, а также в специальных обзорах: Жан [1], Цидильковский (i960);
Зоммерфельд и Фрапк [2]: Макдональд и Саргинсон [3]: Блатт A963); Дрезден [4]. Лиф-
шиц и Каганов [5], Вир [6], Дельвс [7]. До 1957 г. наиболее полная библиография дана
в обзоре [1].
- 313 -

1. Поперечные эффекты в поперечном магнитном поле, когда поле перпендикуляр-
перпендикулярно к токам (If _!_¦/; И L и>), а исследуемый эффект (разность потенциалов, градиент
температуры и т. п.) измеряется в «третьем» направлении — перпендикулярном
к Н и J (или w).
2. Продольные эффекты в поперечном магнитном поле, когда поле перпендикуляр-
перпендикулярно к токам, а эффект измеряется вдоль направления тока.
3. Продольные эффекты в продольном магнитном поле, когда поле параллельно
токам (Jff|! J; ХГII w) и эффект измеряется в этом же направлении.
2. Общие соотношения. В основу определения всех гальвано- и термомагнитных
коэффициентов положены [Ландау и Лифшиц A957)] формулы для двух векторных
потоков: объемной плотности тока проводимости *) J я объемной плотности потока
тепла **) w. Это следует здесь подчеркнуть, потому что при изучении термомагннтных
явлений необходимо рассматривать пространственно-неоднородные системы, поскольку
в качестве обобщенных сил, создающих потоки, выступают пространственные неодно-
неоднородности температуры Т (г) и химического потенциала t,(r). В таких системах
(дТ1дхг Ф 0 и dXJdx-j Ф 0) ток проводимости J, вообще говоря, не совпадает с ,?'<е) —
объемной плотностью потока заряда. Это различие J и >/<е) в пространственно-неоднород-
пространственно-неоднородных системах появляется тогда, когда носители тока начинают давать заметный вклад
в намагниченность системы, другими словами, когда среди термодинамических харак-
характеристик состояния системы носителей появляется их намагниченность -Гнг,сит (диа-
(диамагнетизм Ландау, парамагнетизм Паули и ферромагнетизм в модели коллективизи-
коллективизированных электронов). Действительно, в этих условиях [когда -ГносиТ зависит от г
через Т (г) и ? (г)]
/e)=i+crot Хносит.
Как следует из этой формулы, j =,/<e) только в пространственно-однородпых системах,
когда rot -Гноеит = 0 и всегда при -ГнОсиТ = 0.
Еще оольшую осторожность следует проявлять при пахождении величины плот-
плотности потока тепла w. Даже в пространственно-однородных системах (когда потоки
обусловлены слабым электрическим полем М) величина разности потока энергии У(С/)
и A,1е) / (е—за,ряд носителя тока) не является потоком тепла, поскольку в j1-^'^ содержит-
содержится еще поток магнитной энергии (вклад в вектор Пойнтинга от намагниченности),
равный (с/4гс)[72 A1 — В)] = — с [75ХН,,СИТ]. В общем случае пространственно-неодно-
пространственно-неоднородных систем, когда носители тока вносят вклад в намагниченность (равный jfH ,сит),
ток проводимости j и поток тепла w определяются формулами, найденными впервые
в работах Зырянова и Силина [8, 9] (см. также работы Образцова [10], Ахиезера, Барь-
яхтара и Пелетмипского [11], а также [12—17] и обзор [18]):
j (г) = Sp (р, >>) - с rot Т„0СИТ) |
^)=sP(p,i<«>-^-aw j A4Л)
где
Q, =-c[EIaocm.] Л-~{т Dг)Л^DАЛ [ <*?' rot вносит (Т, С).
'носит е i \О1 IX \ "ь / Т) J
'носит
Все соотношения термодинамики необратимых процессов (принцип симметрии кинети"
ческнх коэффициентов Онзагера, соотношение Эйнштейна, возрастание энтропии)
относятся к потокам j (г) и w (г), но отнюдь не к /е> и ,/<?/). С помощью этих потоков j
и w определяются гальвано- и термомагнитные коэффициенты как в классических, так
и в квантовых системах. Для дальнейшего нам удобно соотношения, связывающие
обобщенные салиЕ, dtjdxh, oTldxk и вызванные ими потоки j и w, записывать в форме,
предложенной Мейкспером [19] и Калленом [20] ***):
¦ I дТ с l , 9 чч
*) Ток проводимости есть часть объемной плотности потока заряда jj"<e) ^^
"= Sp (р.у(е)) (р — матрица плотности, a _fe) — оператор плотности потока заряда), вно-
вносящая вклад в перенос, заряда через поперечное сечение всего проводника.
**) Аналогично w — часть объемной плотности потока энергии t/U) = Sp (p}'<0))
(/0> — оператор плотности потока энергии), вносящая вклад в перенос энергии через
поперечное сечение всего проводника при j= 0.
***) Дважды встречающийся индекс у символов в данном одночлене (напри-
(например, Pi7(/ft) здесь и во всех последующих формулах настоящей главы, если пет специ-
специальной оговорки, означает суммирование от 1 до 3 по этому индексу.
- 314 -

где dTldxk — градиент температуры вдоль оси xh, Ei — аффективное электрическое
поле, равное E-t—A/е) 3?/йгг-. Тензорные коэффициенты в A4.2^ представляют собой
вполпе определенные физические величины, характер которых обусловлен условиями
•опыта (см. ниже), р^—тензор удельного электросопротивления, "кш—тензор удельной
теплопроводности, eih—тензор абсолютной термо-э. д. с. (или Зеебека) и л11г — тензор
Пельтье. Все эти тензоры являются функциями магнитного поля Н, температуры, дав-
давления и других термодинамических переменных. Вид этих функций может быть опре-
определен лишь в микроскопической теории. Компоненты тензоров p/ft, Xlk, eih и nih связа-
связаны между собой; характер этой связи можно установить с помощью соотношений
взаимности Онзагера, известных из статистической физики (см., например, Ландау
и Лифшиц A964, 1957), а также работы [21—29]). Эти соотношения имеют вид
A4.3)
Детальное исследование пространственно-временной симметрии линейных кинетиче-
кинетических коэффициентов в присутствии внешнего магнитного поля для кристаллов, обла-
обладающих и не обладающих атомным магнитным порядком, провел Клайнер [30]. Раз-
Развитый им метод может быть в принципе использован и для анализа свойств
симметрии нелинейных кинетических коэффициентов. Клайнер показал, что
соотношения Онзагера A4.3) можно обобщить, и нашел это обобщение. Все A651)
трехмерные пространственные группы (см. гл. 18 и 19), в которых учитывается инвер-
инверсия времени, разбиваются на три класса. I класс: 230 групп, которые одним из элемен-
элементов симметрии содержат ипверелю времени; II класс; 230 групп, не содержащих такого
элемента, и III класс; 1191 группа, содержащая инверсию времени лишь в комбинации
с пространственными преобразованиями симметрии. Класс I соответствует немагнит-
немагнитным кристаллам, а классы II и III — магнитным. Соотношения взаимности в обычной
форме A4.3) справедливы всегда для кристаллов класса I и для некоторых кристаллов
класса II. В случае же класса III они применимы лишь в видоизмененной форме, най-
дешгоп Клайпором [30] (см. также гл. 25),
В случае изотропных и однородных образцов *). когда магнитное поле И направ-
направлено по осп ,г3 @, 0, Я3), общие уравнения A4,2) (применимые и в анизотропном случае
монокристаллов) принимают более простой вид **):
дТ ОТ _,,_ , , . „ дТ , „ дТ )
— Рзз7з
«33
дТ
ОТ
0xi
дТ
"ll 0х2
14.4
" dxi " дх2
дТ
дх3 ' j
В «изотропные» соотношения A4,4) входят 12 различных компонент тензоров pih,
Xik, л/й и eik (по три от каждого), В табл. 14.1 п14,2 (Фиши и др,[27] Фиши. [31]) дано
перечисление обычных изотропных эффектов с принятыми для них наименованиями
и обозначениями, В этих таблицах также учитывается различие между изотермиче-
изотермическими н адиабатическими условиями эксперимента, что соответствует для оси х2;
либо дТ1дх2 = 0 (изотермические), либо w2 = 0 (адиабатические). Из A4.4) и формул
таблиц, 14,1 и 14.2 легко получить связь между изотермическим (с индексом i) и адиаба-
адиабатическим (с индексом а) коэффициентами;
Ra^^lijJreiiP (Холла), \
Qa = Qi-tenS (Нернста — Эттннгсхаузеиа), | A4 б1!
Pn=Pii—Q1PH2 (удельного электрического
сопротивления), j
( ~—\ \' ~^~\ 1
i <_?j_ i _ М fi_ I _ pgfl2 (Нернста, продольный
4 7i 'a L V /1 'i J эффект),
А,?! = Xjj A -)- ?'2#2) (теплопроводности),
(термо-э,д,с).
*) В однородных образцах химический потенциал ? не зависит от координат,
а только от температуры, поэтому для случая электрического сопротивления М* совпа-
совпадает с К,
**) Они инвариантны относительно поворота на произвольный угол вокруг
направления Н (ось х4).
— 315 —

Продольные эффекты
Поперечные эффекты
1-3
1
в продольном
поле
в поперечном поле
Н=Н3; /3=Яз=Л =
S
X
о
а
а
в
ills
i
lls
о\>в-го
i
Н в к
>
•D
I
"О
>
•О
•D
в a
. t4
«a*
>> а
I ^
8
>¦ a
3 о
"I
2| ,F
«о*
II
е
s

Термомагнитные явления в изотропных образцах
Т абл ица 14.2
Тип эффекта
Эффект
Первич-
Первичный тепло-
тепловой поток
Измеряемая
величина
Соотношение, определяющее
эффект
Дополнительные
условие
•А
о
а
м
V
о
ft
о
о
а
У
Л
Риги—Ледюка (адиабатический)
(коэффициент S)
дТ
дхг
от
дх2
дГ
| изотермический
Нернста— I (коэффициент Q-t)
Эттингсхаузена \ адиабатический
I (коэффициент Qa)
дТ
E*
riT I Л г/ /121
M
о
о
е
о
§
В
о
Я
|
«: о
о и
Тепловое
магнето-
сопротивления
изотермический
адиабатический
w*
дТ
дТ
fel
Магнето- Г изотермический
термо-э.д.с. | адиабатический
Е*
дТ
Теплового магнетосопротивления
л-о — /
дТ
дТ_
дх3
= Л33
Магнетотермо-э.д.с.
-=«зз
/1 = /2 ="-¦*
дТ

Кроме того, в изотропном случае между 12 коэффициентами в A4.4) существуют
три соотношения:
Te2
) = я21 (Я),
которые вытекают из того факта, что в данном случае рИ, р33, Хп, Л33, пц, я33, еп
и «зз — четные функции магнитного поля, a p2i, А,21, л24 и е21 — нечетные функции.
Первые два соотношения A4.6)-это соотношения Кельвина для случая поперечного
и продольного магнитного поля, а третье — соотношение Бриджмепа для изотермиче-
изотермического коэффициента Нернста — Эттингсхаузена Q и коэффициента Эттингсхаузена
Р: TQi = Р%ц, где %п — изотермическая удельная теплопроводность в поперечном
магнитном поле.
Гораздо сложнее обстоит дело в случае анизотропных монокристалличеекпх
образцов. Этот вопрос, однако, мы не будем здесь рассматривать из-за недостатка
места [см. обзор Жана [1] и Ландау и Лифшиц A957)].
§ 2. Магнетосопротивление и эффект Холла
В качестве конкретного примера рассмотрим более подробно магнетосопротивло-
ние и эффект Холла для изотропного случая, когда измерения проводятся в изотерми-
изотермических условиях (VT — 0). Уравнения A4.4) при этом примут вид
=P_L/i — Рхол/г
= РхолП +
ч
A4.7)
гДе P_L = Рн = Р22 — удельное сопротивление в поперечном магнитном поле (II =
= Я3), Ри = р33 — то же в продольном поле, рхол = p2i = RH — изотермическое-
Рис. 14.1. Типичные условия для наблюдения эффекта Холла
в пластине металла или полупровпднг ка. .4 и В—токоподводя-
щие электроды; С и D— контакты дпя гзмеренгя э.д.с. Холл-а;
G— npi'Oop дтя этого ^зморен1"я; ^хо^—угол Холла между
векторами напряженности ялектрического поля Ж и плотности
тока J. Справа показаны координатные оси ж,, хг и хг.
холловское сопротивление. Магнетосопротивление обычно определяется как относи-
относительное изменение сопротивления образца в виде стержня (проволоки) Др по отноше-
отношению к его удельному сопротивлению в отсутствие магнитного поля р0- Если поле парал-
параллельно или перпендикулярно стержню, то мы имеем соответственно
AP
_L
— Ро
Ро
Ро
Ро
Рц — Ро
Ро
A4.8)
Если поле Я составляет с осью стержня угол ф, то
р (ф) = р . sin2 ф -\- р,, cos2
При обычно используемых полях Я s?C 104 з и при комнатных температурах магнетосо-
магнетосопротивление Др/ро для большинства металлов весьма мало. Например, в случае меди
Др/Ро ^ Ю~4 при Я = 2-Ю4 а. Исключением является висмут, у которого Др/р0 «^ 2
при Я = 3- Ю4 а. В полупроводниках этот эффект значительно больший, чем в металлах
(кроме висмута): (Др/ро)п/п ^ КИч-Ю, а, например, в германии при Т яь 100° К
иЯ% 2-Ю4 а Др/р0 % 3.
- 318 -

Эффект Холла связан с существованием отличного от нуля угла (Холла) дхол
между векторами Е и j (рис. 14.1). Граничные условия в обычных условиях дают
/)=/, /2 =-/3=0 И
Е2 Е sin ft „r,
у- = -. = рХОл = ЯЯ. A4.9)
Здесь ft—угол между вектором Е и осью 2. В качестве меры эффекта можно также
использовать угол Холла:
- я=нЯ я = ^, A4.10)
 P_l P_L ¦"
где м—подвижность носителей тока (см. ниже).
Экспериментаторы обычно предпочитают пользоваться но уравнениями A4.7),
а уравнениями, разрешенными относительно заданных в эксперименте компонент
плотности тока:
/2= — ^холЕ1-Уа±Е2, ^ A4.11)
/з = 0 ц Ез-
Легко показать, что
В общем анизотропном случае, как это уже было видно из A4.2), электрическое
поло К связано с вектором плотности тока соотношениями удельного сопротивления
Ei = Pihik,, A4.13)
где р^ —07^ — тензор удельного сопротивления. Уравнения A4.13), разрешенные
относительно компонент вектора j, имеют вид
li = oikEk. A4.14)
Компоненты тензоров pih и aik — функции магнитного поля Н. Кроме того, они зависят
от других термодинамических параметров (температуры, давления) и свойств вещества;
в анизотропном случае эти компоненты уже не симметричны по своим индексам ink,
а в соответствии с A4.3) удовлетворяют соотношениям
Pik(H) = Pki(-H), oik(H) = ohi(-H). A4.15)
Оба эти тензора второго ранга общего вида, и их можно разбить на симметричную
и антисимметричную части:
РН^Р^+Р^. *« = < + «$>. A4.16)
Тогда по определению будем иметь
p^W^fiiViH), р<(«>(Л)=-рй>(Я), ]
а&>(Я) = аЙ>(Я),- о${Н)=~а${Н). j A4Л7)
Тогда из A4.15) следует, что
РЙ)(Я) = рЙ)(-Я) = -р(Д>(-Я), о<г>(Я)=оЙ>(-Я)=-а&>(-Я). A4.19)
Таким образом, из A4.18) следует, что слагающие симметричных частей тензоров явля-
являются четными функциями магнитного поля, а слагающие антисимметричных частей —
нечетными функциями. Антисимметричные части тензоров можно нредставять в виде
эквивалентного аксиального вектора:
axy — ftz, axz — ~°V' ayz
— 319 —

"С помощью векторов а и Ь формулы A4.13) и A4.14) можно записать в следующем
виде *):
¦ A4.22)
В слабых магнитных полях симметричная часть тензоров сопротивления и проводи-
проводимости в силу их четности в нервом приближении зависит квадратично от ноля:
(i,k,l,m = x,y,z), A4.23)
где ош, р\% — соответственно проводимость и сопротивление при Н = 0, а тензоры
Pih/m п $Шт симметричны поиндексам 1,ки1,т. Аксиальные векторы а и Ь в первом
приближении линейны по полю:
A4.24)
Поскольку векторы а, Ь и Н все аксиальны, то тензоры a;h и fiik являются полярными
тензорами.
В изотропном образце или в монокристалле с кубической симметрией векторы
« и Ь могут быть направлены только вдоль поля Н, а тензоры р^ и о^ сохраняют лишь
диагональные члены; и если поле Л направлено вдоль оси z, то р^ = р(^ и o^l =
= в^уу, откуда и вытекают формулы A4.7).
Опыт показывает, что коэффициент Холла R может быть как больше, так и мень-
меньше нуля и даже менять знак с изменением температуры. По абсолютной величине в слу-
случае металлов значение R оказывается порядка 10~4 СГСМ, а в случае полупроводни-
полупроводников R принимает значения от 106 до 10.
§ 3. Микроскопическая теория магнетосопротивления
и эффекта Холла по модели свободных электронов
Для того чтобы перейти к микроскопическому анализу магнетосопротивления
и эффекта Холла, начнем с простейшей трактовки, впервые проведенной Франком [32]
(см. также [2]) в рамках модели свободных электронов по Зоммерфельду. Оба этих
кинетических эффекта обусловлены влиянием магнитного поля на траектории электро-
электронов проводимости металлов и полупроводников. В квазиклассическом приближении
Рис. 14.2. Наглядное объяснение Еффекта Холла. Электроны,
движут иеся рдоль оси х в токе л , отклоняются магнитным
полем Н: к нр»ней поверхности пластины. В результате между
ее верхней и ни»ней поверхностями возникает поле Холла Еу.
Слева показаны координатные оси х, у и z.
можно принять, что при 11 = 0 электрон проводимости между двумя последовательны-
последовательными актами рассеяния (на фононах или статических дефектах) движется прямолинейпо.
В магнитном же поле под действием силы Лорентца {elс) [Hv] его траектория искривля-
искривляется (рис. 14.2). Радиус кривизны этой траектории определяется циклотронным (лар-
моровским) радиусом гн, даваемым формулой A1.69). Искривление траекторий электро-
электронов проводимости приводит к изменению электросопротивления и к появлению добавоч-
добавочного нечетного по Н поперечного электрического поля или тока Холла.
При микроскопическом расчете любых кинетических коэффициентов можно при
определенных условиях пользоваться методом кинетического уравнения типа Больц-
мана **) для функции распределения / (р. I) микрочастиц (зависящей от их импульса
и времени), принимающих участие в процессе переноса. Эта функция может изменяться
как под действием внешних полей, так и под влиянием взаимодействий (столкновений)
*) Из A4.21) и A4.22) можно, используя также A4.13) и A4.14), легко получить
формулу для джоулева тепла:
поскольку векторы [ Eb\ v. IS ж \ja\ и j соответственно перпендикулярны.
**) Область применимости этого метода обсуждается, например, в работе [4].
- 320 -

между частицами. Из статистической теоремы Лнувилля полная производная функции
распределения по вред1ени замкнутой системы равна нулю:
где [df/dt]noa и [df/dt]CT — изменения функции распределения под воздействием соот-
соответственно внешних полей и столкновений. Бели ограничиться рассмотрением уже
установившихся кинетических процессов, когда процесс не меняется со временем, т. е.
положить dfldt = 0, то A4.25) примет вид
\Щ =-\Щ . A4.26)
L dt _]пол L dt Jct v '
Из A4.26) следует, что в стационарном режиме воздействия полей и столкновений
на распределение частиц точно компенсируют друг друга. Изменение [df/dt]n03I равно
где v — скорость частицы, a dpldt — изменение ее импульса; первое слагаемое в правой
части A4.27) учитывает пространственную неоднородность функции распределения
(V,- /)> а второе — ее неоднородность в пространстве импульсов. В случае электромаг-
электромагнитного поля имеем *)
^ ( ±) A4.28)
Ограничимся случаем однородных полей И (О, О, Hz), Е (Ех, Еу, 0) и однородной
функции распределения (vr/ = 0); тогда
Предположим пока, что внешние поля слабы и не приводят к большим изменениям
равновесной (ферми-дираковской или максвелл-больцмановской) функции распреде-
распределения /о, т. е. / — /0 = fi « /0. Будем искать изменение/ — /0 функции распределения
в виде
f- fo = fl = "XXx(v)+vyx4(v), A4.29)
где малые добавки х^и Ху предполагаются зависящими лишь от модуля скорости (Ганс
[33]). Далее также примем, что изменение из-за столкновений можно учесть простым
введением одного времени релаксации т (р) **), т. е.
Таким образом, кинетическое уравнение A4.27а) можно записать в виде
„о -.. cm — <14-31)
В A4.31) вместо производных по импульсам введены производные по энергии, в пред-
предположении квадратичного закона дисперсии 8 = mv2l2 = p2/2m, а именно:
д/дрх ->- vxdlde и т. д. Кроме того, в A4.31) мы пренебрегли произведениями Ех и Еу
на Хх и Ху и производными от Хх и Ху. как малыми величинами более высокого порядка
малости. Приравнивая в A4.31) коэффициенты при их и иу, получаем два уравнения
для определения поправок Хх и Ху\ решения этих уравнений имеют вид
' /--/» - '- h + Sfx A4.32)
где введены сокращенные обозначения
fx,y = eEx,y^, * = ^HZ. A4.32a)
Легко видеть, что безразмерная величина s равна отношению длины свободного
пробега / = ту к радиусу циклотронной орбиты [см. гл. И, формулу A1.69)]
*) Здесь и ниже е = | е | — абсолютное значение элементарного заряда элек-
электрона.
**) Введение одного времени релаксации, имеющего смысл среднего времени сво-
свободного пробега частиц, законно лишь в рамках простой модели идеального газа.
21 с. В. Вонсовский — 321 —

, а именно:
s = y~- A4.326)'
Воспользуемся обычным определением плотности тока по Лорентцу:
/,d3p, A4.33)
ибо в силу симметрии члены с «нулевой» функцией распределения /0 выпадают:
' vf0 &р г= О,
/i — «несимметричная добавка» к /0 по A4.29), определяемая из кинетического урав-
уравнения в присутствии внешних полей и при учете столкновений.
Поэтому для слагающих jx и /у плотности тока / находим
f _ fx— sfy
A4.34)
¦
е Г ,
SneVm?
где V—объем образца. Здесь также выпали члены с %у в выражении для /я и с Ху
в /у из-за нечетности по vx и vy. Кроме того, в A4.34) проведено интегрирование
по углам и использовано, что объем для квантовой элементарной ячейки в фазовом
пространстве равен
V 2Ут? 2Ут?
<Рр = 2 -j— dpx dpy dpz = —yg— dvx duy dvz = —j—- v2 dv sin ¦& dd dtp.
В соответствии с условиями эксперимента ищем решение A4.34) при /у = 0:
8яе2таз Г Г ts а/0 f т а/о
Переходим к новой переменной интегрирования е:
7? dp 2 1/2f3^2
v* dv -v = —; dz,
и в итоге получаем
A4.35)
A4.35а)
где
оо оо
— [ :
о
Решая систему A4.35) относительно Ех и Еу, находим
3m Lt ; к _ _^«_ _____ (
'"~ '"" ' A4.36)
Первое из уравнений A4.36) дает удельную электропроводность в магнитном поле:
Поскольку, в силу фермиевского характера /0, производную а/о/ае в первом при-
приближении можно заменить дельта-функцией: а/о/ае «— б (е — ?0Ь гДе So — энергия
Ферми, то из A4.35а) и выражения для s из A4.32а) получаем
?2=— eT(go) Яг?,. A4.38)

Подставляя A4.37) в A4.36), находим
Для интеграла Ьц в этом же приближении, согласно A4.35), имеем
'. A4.35b)
Подставляя ?i из A4.35в) и ?о из (И-8) в A4.39), видим, что в первом приближении
a«_?!lMZL A4.40)
не зависит от Hz, т. е. без учета отклонения от вырождения газа ферми-частиц (см.
гл. 11) эффект магнетосопротивления в модели Зоммерфельда с квадратичным
законом дисперсии отсутствует (для сферической поверхности Ферми). Это связано
с тем, что поперечное холловское электрическое поле в данном случае точно компенси-
компенсирует отклонение носителей тока, вызываемое магнитным полем Н~, поэтому траектория
каждого носителя будет такой же, как при Hz = 0 и Еу = 0 (см. рис. 14.2).
§ 4. Трудности модели свободных электронов
1. Два знака коэффициента 3?олла. Прежде чем выяснить возникшую трудность
с микроскопическим объяснением явления магнетосопротивления, выясним, как обстоит
дело с подобным объяснением эффекта Холла. Из второго уравнения A4.36) сразу же
находим изотермический коэффициент Холла, используя A4.37) и A4.38):
3m
ex (
1xHz
тсо (Hz)
A4.41)
A4.42)
Поскольку е < 0, то, следовательно, R; <; 0. С другой стороны, опыт показывает, что
все электронные проводники примерно поровну делятся на две группы, причем у одной
№)эксп > 0, а у другой (ЛгЬксп>
< 0 *). Это расхождение теории
Зоммерфельда с опытом (так же как
и отсутствие магнетосопротивления
в первом приближении) было одной
из главных ее трудностей. Причина
этой трудности заключается в пред-
предположении о «свободных» электро-
электронах. Она была в принципе снята
уже в одноэлектронной блоховской
теории, которая допускает, как пра-
правило, отклонение поверхностей Фер-
Ферми от сферической формы (неквадра-
(неквадратичный закон дисперсии), а также
появление во многих случаях эффек-
эффективно положительно заряженных
носителей тока, т. е. электронных
«дырок» (см. гл. 11 и 12).
2. Невозможность объяснения
эффекта магнетосопротивления в
случае сферической поверхности
Ферми. Рассмотрим эффект магнето-
магнетосопротивления в квазиклассическом
приближении (когда можно пренеб-
пренебречь всеми специфическими квантовыми эффектами). Как мы уже знаем, состояние
свободного «электронного газа» в импульсном пространстве изображается сферой
Ферми (рис. 14.3). Под действием внешнего постоянного и однородного электриче-
электрического поля Е импульс электрона меняется со временем по закону
Р=еЕ. A4.43)
За время свободного пробега т вся сфера Ферми сместится на расстояние &р вдоль
поля Я:
6p = xp = exJ2. A4.43а)
*) Так, например, Дг- < 0 у металлов Li, Na, К, Rb, Cs, Cu, Ag, Аи, Mg,
Са, Hg, Al, Ga, In, Ti, Mn, Ni, Sn, Bi, Pd, Pt; Rt > 0 у металлов Be, Zn, Cd, Tl
V, Cr, Fe, Co, Pb, Mo, Ru, Rh, As, Sb, Та, W, Re, Ir.
б)
Рис. 14.3. Смещение сферы Ферми под действием
внешнего постоянного и однородного электрического
и магнитного полей, а) Смещение сферы при вклю-
включении электрического поля вдоль ссих. бр — вели-
величина смещения между центрами сфер О (несмещен-
(несмещенной) и О' (смещенной). ABCD —«линза» фаговых
точек электронов, несущих ток в поле Ж. б) Поворот
смещенной сферы (с центром в О') в магнитном поле
И, направленном по оси z, на угол Холла Охол к
направлению вектора ж (j—вектор плотности тока,
РФ— величина импульса Ферми). Сверху показаны
координатные оси х, у и z.
- 323 —
21*-

Это смещение эквивалентно появлению электрического тока вдоль IS, поскольку, как
это видно из рис. 14.3, а, оно нарушает сферическую симметрию в распределении
электронов по импульсам из-за того, что компонента импульса вдоль поля увеличивает-
увеличивается, тогда как компонента импульса против поля уменьшается. Величина вектора плот-
плотности тока дается интегралом по поверхности Ферми
=-ш* J
Множитель перед Е в A4.44) равен удельной электропроводности
( vdS. A4.45)
Для электронного газа v = р/т и поверхность сферы [ dS = 4ярф. Используя связь
рфс концентрацией электронного газа п [см. A1.7а)], получаем классическую формулу
A4.40) для электропроводности электронного газа.
Выясним теперь, каково влияние на ток постоянного и однородного магнитного
поля. Как мы видели в гл. 11, магнитное поле вызывает изменение импульса электро-
электронов проводимости, равное
p=-^—[vH]. A4.46)
С
Это изменение действует в течение времени т. Магнитное поле будет поворачивать сме-
смещенную электрическим полем поверхность Ферми как целое вокруг направления маг-
магнитного поля /f(cM. рис. 14.3, б, где поле направлено к плоскости чертежа) с угловой
скоростью р/рф. Поэтому «линза» A BCD, несущая с собой ток, повернется за время
т на угол Холла йХол [°м- A4.10)]. Согласно A4.46)
2? !!^ 2?!11 аД4Я. A4.47,
1 '
ход ф 4
Рф СРФ ф тс т пес 1
Таким образом, из этого наглядного рассмотрения мы видим, что магнетосопротивле-
ние для сферической поверхности Ферми (иф = const) должно равняться нулю, так
как происходит уже упоминавшаяся выше полная компенсация отклонений носителей
тока холловским полем Еу. Однако для поверхностей Ферми, отклоняющихся от сферы,
уже одно-единственное значение поля Холла не в состоянии в точности скомпенсировать
отклонения у электронов, поскольку скорости иф у них будут различными. Поэтому
только при отклонениях от квадратичного закона дисперсии в вырожденном электрон-
электронном газе можно в первом приближении получить отличное от нуля магнетосопротивле-
ние. Этот эффект будет отличен от нуля также, если учесть отклонения от полного
вырождения при Т > 0, т. е. провести расчет до второго приближения по параметру
малости (kT/t,0J (см. гл. И). Как впервые показал Франк [32] [см. также Бете и Зом-
мерфельд A938)], магнетосопротивление во втором приближении отлично от нуля
и равно
где
А = ±Г —тВ~ . 5=Р^- • A4'49)
Из A4.48) и A4.49) снова видно, что при Т = 0, т. е. полном вырождении, Др ->- 0.
В области слабых полей (ВН2 <5С 1) наблюдается квадратичный рост Др с полем,
а в сильных полях {ВIP » 1) — эффект насыщения. Хотя качественно в некоторых
металлах такой ход Др с полем и наблюдался, но количественное сравнение A4.48)
с опытом показало, что «постоянная» А в 10* раз меньше, чем это вытекает из экспери-
эксперимента (см. Корец [34], Колдуэлл-Хорсфал, Тер Хаар [35]).
3. Линейный закон Капицы. Одним из существенных противоречий «изотропной»
теории с опытом было открытое Капицей [36] (см. такжь Танабе [37]) линейное возраста-
возрастание сопротивления с полем, полученное им в его фундаментальных опытах с сильными
магнитными полями до 3-105 а на целой серии непереходных металлов до температуры
жидкого азота. При дальнейшем понижении температуры до 4—2° К отношение Др/р0
в очень чистых металлах сильно увеличивается, достигая значений порядка 102—103,
а в висмуте даже 106. Трудность с объяснением линейного закона Капицы рассматри-
рассматривалась как одна из очередных «катастроф» электронной теории металлов. Ее разреше-
разрешение было достигнуто лишь в последнее время, как это будет ясно из последующего
изложения (см. § 5). Малость коэффициента А в A4.48) указывает, что модель со сфе-
— 324 -

рической поверхностью Ферми и изотропным временем релаксации т не может объяс-
объяснить количественно эффект магнетосопротивления (как и разные знаки коэффициента
Холла). Пайерлс [38] пытался объяснить этот эффект, вводя анизотропное время т.
Джонс и Зинер [39] и Дэвис [40] рассмотрели эту задачу для несферической поверхно-
поверхности Ферми (неквадратичный закон дисперсии).
§ 5. Модель двух полос (двухзонная модель) и правило Колера
Для объяснения указанных трудностей использовалась также модель двух пере-
перекрывающихся полос проводимости (см. [41—48]). При этом каждой из полос может соот-
соответствовать свой квадратичный закон дисперсии и свое изотропное время релаксации.
Дадим краткое феноменологическое описание результатов расчетов этой модели
[см. Жан [1] или Займан A966)], поскольку она исполь-
используется до сих пор во многих работах *). Пусть в металле
имеются два тока — электронов с плотностью ji и дырок
с плотностью j2- Оба тока вызываются одним и тем же
электрическим полем Е и образуют с ним какие-то (произ-
(произвольные!) углы Холла д^д ид(х^ч в присутствии магнит-
магнитного поля Н **). Знаки этих углов из-за различия знака
зарядов носителей также различны (рис. 14.4). Суммарный
ток j=ji 4- j2 имеет свой угол Холла "&хол- Введем удель-
удельные электропроводности для каждой полосы а4 и а2:
о,—
A4.50)
и предположим, что они не зависят от магнитного поля
(квадратичный закон дисперсии для каждой из полос).
Для результирующих о^ или pj_ из A4.7) и A4.11) чисто
геометрический расчет дает
Рис. 14.4. Относительное
расположение векторов
плотностей гоков — элект-
электронного Ji, дырочного j2 и
результирующего j—и нап-
напряженности электрического
Е cos ф
поля ж.
*<!>
¦и*хол~
A + tg2 egg + а2
A4.51)
Отсюда легко находим
+tg*
Ро
угол Холла
Теперь по A4.10), A4.51) и A4.53) имеем
н
tg d^J2
ХОЛ
углы Холла соответственно
для токов ju j2 и j. Маг-
Магнитное поле направлено нор-
нормально к чертежу.
A4.52)
(t+tg» а»
tg ^
A4.53)
A4.54)
Придадим формулам A4.52) и A4.54) более удобный вид. Воспользуемся выра-
выражением для «парциальных» углов Холла й^д, йх2оЛ в изотропной модели [см. A4.10)
и A4.42)]:
— Н
1 сеп2 '
A4.55)
*) Преимуществом этой модели, несмотря на ее несомненные недостатки, явля-
является то, что она дает (в случае слабых полей и изотропии закона дисперсии в каждой
из полос) конечный результат в ясной количественной форме [см., например, ниже фор-
формулу A4.566)].
**) А именно
где
ех2
- 325 —

где ni и га2 —соответственно концентрации электронов и дырок. Тогда A4.52) при-
примет вид
ДР_1_ 0-2^2 @4 4- О2J \"^7 "~/ ,.,„.
• = п ¦— , A4.0и)
р0 0lOi {П1ТУJ Н2
Можно еще больше конкретизировать выражение A4.56), используя формулу
A4.40) для парциальных электропроводностей
reje^Tj гс2е2т2 ,,, „
01 = ~- , о = j—. A4.5Ьа)
В частном случае гс1=га2 = гс, ti = t2 = t и а1=а2 = -=-а0 A4.56) принимает вид
¦??-= l-^—Y т. A4.566)
Ро \ 2пес /
Эта формула, например, для Zn и Cd дает правильный порядок величины
[см. Вильсон A953)].
Точно так же, используя A4.54) и A5.55), находим выражение для коэффи-
коэффициента Холла в модели двух полос:
о2 а\ Н2 2 2 п1 — п2
В слабых полях и при гс4 ф п2 имеем часто используемую формулу
В предельном случае очень сильных полей
lim Щ « —т-^ • A4.59)
Н-*ос се(щ— п2)
Наконец, при ге1 = га2 = ге коэффициент Холла не зависит от Н:
SS- A4'60)
Из формул A4.56а) и A4.40) следует, что магнетосопротивление в данном веще-
веществе зависит только от произведения %Н или. поскольку р0 — т~1, от отношения Н/р0.
На это впервые обратил внимание Колер [49]. Этот результат известен как правило
Колера и может быть записан в виде
-*?-=/ (—
Ро \ Ро
где функция / (Н/ро) определяется физическими свойствами данного металла и геомет-
геометрическими размерами исследуемых образцов. Правило Колера экспериментально
детально проверил Юсти [50, 51]. На основании этих экспериментов были построены
кривые по уравнению A4.61) для большого числа металлов («диаграмма Юсти — Ко-
Колера»), см. [50, 47]. Из A4.61) видно, что магнетосопротивление больше при малых
значениях р0, т. е. при низких температурах. Для сравнения кривых A4.61) различных
металлов удобнее вместо сопротивления р0 G*) при произвольной температуре Т ввести
приведенные сопротивления в виде отношения остаточного сопротивления ро @) к со-
сопротивлению при комнатной р0 {Ткожа) или дебаевской ро (®д) температуре. В послед-
последнее время на очень чистых металлах наблюдались весьма заметные отклонения от пра-
правила Колера. Например, в работе Боровика и др. [52] па образцах чистого алюминия
были обнаружены отклонения до 100%. Джонс и Зондхеймер [53] пытались дать неко-
некоторое обобщение правилу Колера, заменив формулу A4.61) на более сложную
Дрн/Др<х> = / (Н/Ароо), где Дрк = Дрн=0о, а / (х) — некоторая универсальная для
данного металла функция, возрастающая от значения / @) = 0 до / (оо) = 1. Правило
Колера и его обобщение по Джонсу — Зондхеймеру не являются выводами строгой
теории, их следует рассматривать как полуэмпирические [см. Лифшиц и Каганов
[54, 5]; Займан A966); Чамберс [55]). Отклонение от этих правил указывает, что раз-
различные механизмы рассеяния приводят к различным временам релаксации у носителей
тока различных типов.
- 326 —

§ 6. Теория гальваномагнитных явлений в металлах
при произвольном законе дисперсии
1. Общие замечания. Теория гальваномагнитных эффектов получила существен-
существенное развитие в работах И. М. Лифшица и его сотрудников (см. [56—63]). На основе
изложенного выше, а также развитой общей теории движения электронов проводимости
в кристаллах в магнитном поле (см. п. 4 § 5 гл. 11) становится очевидным, что изотроп-
изотропная модель свободных электронов слишком груба для описания гальваномагнитных
явлений. Трудности квазиклассической теории этих явлений, основанной на модели
свободных электронов, и ряд не поддающихся объяснению экспериментальных фактов
привели к естественной необходимости построения более общей, универсальной теории
с несферическими поверхностями Ферми и анизотропными временами релаксации, т. е.
с произвольным законом дисперсии е (р) и временем релаксации т (р). Вместе с тем
по этим же причинам стало ясным, что гальваномагнитные явления могут быть источ-
источниками ценной информации о форме поверхностей Ферми и о механизме процессов
рассеяния электронов проводимости в кристалле. Этот аспект гальваномагнитных
эффектов уже был использован и в более ранних работах Блохинцева и Нордгейма
[41], Джонса и Зинера [39].
Развитии более общей теории гальваномагнитных явлений в металлах предшест-
предшествовали также детальные экспериментальные исследования Юсти [51] и в особенности
комплексные исследования Боровика [64—70] на достаточно чистых металлах при низ-
низких температурах. Обширный опытный материал позволил Юсти с помощью диаграмм
Колера чисто формально разделить исследованные металлы на две группы: 1) метал-
металлы с неограниченным ростом сопротивления в магнитном поле, пропорциональным
Н2 (Bi, Be, Zn, Hg, Cd, Ga ,W и др.), и 2) металлы, у которых с ростом поля сопро-
сопротивление стремится к насыщению (Си, Na, In, A1 и др.). Боровик показал, что для
металлов каждой из этих двух групп характерно и различное^ловедение величины отно-
отношения полей Еу1Ех. В металлах первой группы это отношение в сильных полях с ростом
поля уменьшается, а в металлах второй группы оно неограниченно возрастает. Боро-
Боровик установил также, что линейный закон Капицы для Ар/р0 наблюдается в промежу-
промежуточной области между двумя квадратичными зависимостями.
Однако более обоснованная классификация металлов по характеру их гальвано-
гальваномагнитных свойств могла быть дана лишь после развития теории электронного энерге-
энергетического спектра металлов с произвольным законом дисперсии. Если учесть возмож-
возможные топологические особенности поверхностей Ферми, то все металлы по характеру
зависимости их электросопротивления от магнитного поля можно разделить на три
группы. К первой группе следует отнести металлы, сопротивление которых стремится
к насыщению при Н -*¦ оо вне зависимости от направления магнитного поля в кристал-
кристалле. Увеличение электросопротивления (которое всегда растет в больших полях) у этих
металлов достигает сотен процентов, т. е. отношение Др^/ро составляет несколько еди-
единиц. Ко второй группе относятся металлы, у которых сопротивление возрастает про-
пропорционально Я2 с ростом магнитного поля, опять-таки независимо от ориентации Н
в кристалле. Электросопротивление при этом может возрасти в миллионы раз (напри-
(например, в Bi); по сути дела, металл в сильном магнитном поле приобретает свойства изоля-
изолятора. Третья группа металлов обладает промежуточными свойствами: при некоторых
направлениях магнитного поля в кристаллах сопротивление растет пропорционально
Н*, а при других — стремится к насыщению. Как будет ясно из дальнейшего, эта тео-
теоретическая классификация тесно связана с формой поверхностей Ферми соответствую-
соответствующих металлов.
Систематические экспериментальные исследования поверхностей Ферми на осно-
основе изучения гальваномагнитных явлений были начаты в работах Алексеевского и Гай-
Гайдукова [71, 72] (см. также Гайдуков [73]). Следует еще отметить, что при рассмотрении
гальвано- и термомагнитных явлений нужно считаться с различным характером этих
эффектов в зависимости от величины внешнего магнитного поля Н или, что более
удобно, от пропорциональной ему циклотронной частоты <вн = еН/т*с по отношению
к некоторым внутренним параметрам металла — его времени релаксации т, энергии
Ферми ?0! а также к внешним параметрам — в первую очередь к температуре. В связи
с этим можно указать на различные области магнитных полей по их относительной
величине:
т — область слабых полей,
т-1—область средних полей,
т—область сильных полей (квазиклассический случай),
—область квантовых осцилляции,
— ультраквантовый предел.
Из сказанного выше ясно, что для объяснения особенностей гальваномагнитных
эффектов в металлах в указанных различных областях полей Н модель со сферической
поверхностью Ферми (квадратичный закон дисперсии) явно недостаточна. Поэтому
естественно, что были предприняты попытки произвести расчеты для более сложных
— 327 —

случаев закона дисперсии. Например, был произведен расчет для эллипсоидальных
поверхностей Ферми [74] или для цилиндрических [55]. Упомянем также работы [39,
40, 75], в которых производится общий расчет тензора а^ для случая слабых полей
в виде ряда по степеням Н при произвольных е (р) и т (е). В области средних полей
(сот — 1), где разложение в ряд по степеням Н невозможно, были предложены вариа-
вариационные методы для расчета оц (см., например, работы [76, 77]).
Из общих соображений ясно, что в области слабых полей (сот <С 1) электрон
на квазиклассической траектории в ^-пространстве (см. п. 4 § 5 гл. 11) проходит лишь
по малому участку поверхности Ферми между двумя последовательными столкнове-
столкновениями. Поэтому гальваномагнитные эффекты в этом случае не будут зависеть сколько-
нибудь существенно от формы всей поверхности Ферми. Иначе обстоит дело в области
сильных полей (сот ^ 1), когда фазовая точка электрона между столкновениями успе-
успевает обежать большую часть замкнутой траектории или даже опишет ее многократно.
Тогда форма поверхности Ферми будет очень существенно влиять на характер кине-
кинетического процесса.
Если мы ограничимся квазиклассическим приближением, когда можно прибли-
приближенно говорить и о траектории электрона в обычном пространстве, то из уравнения
движения A4.46) следует, как это уже отмечалось (в гл. И), что при магнитном поле,
направленном вдоль оси z, проекция на плоскость х, у траектории электрона в обычном
пространстве подобна его траектории в р-пространстве. Она лишь повернута на угол
я/2 с коэффициентом подобия еН/с. В случае замкнутых траекторий для средних от со-
составляющих скорости имеем ~х = Ъу = 0 и Ъг Ф 0. Но для открытых траекторий
(см. гл. 11), которые, например, вытянуты в р-пространстве вдоль оси рх, движение
вдоль оси у в обычном пространстве неограниченно и поэтому их = 0, как и в преды-
предыдущем случае, a vy Ф 0 и Ъх Ф 0. Это и вносит существенное различие в роль замкну-
замкнутых и открытых траекторий в кинетических процессах в магнитных полях.
2. Решение кинетического уравнения в квазиклассическом приближении. В ра-
работах Лифшица, Азбеля и Каганова [58, 59], посвященных теории гальваномагнитных
эффектов в сильных полях при произвольном законе дисперсии, использовалось кине-
кинетическое уравнение, которое решалось в квазиклассическом приближении. При этом
не делалось никаких специальных предположений о виде интеграла столкновений
[df/dt]CT. Однако качественно их выводы можно получить вообще не привлекая аппарат
кинетического уравнения, а лишь приняв факт существования времени релаксации
т (е). Чамберс [75, 55] предложил соответствующий метод расчета, которым мы здесь
и воспользуемся. Выражение для плотности тока, согласно A4.33), можно записать
в такой форме:
f uf
cPp, A4.62)
где интеграл берется по всему р-пространству. Добавку к функции распределения /4
ищем в виде
/i = —§?де, A4.63)
где Ае — средняя энергия, которую получает электрон в электрическом поле JS после
его последнего столкновения. В принятом приближении о существовании времени
релаксации величина Де равна интегралу по времени t:
о
Де= j dtE-v(t) exp [- j ^] . A4.64)
t
Заметим, что вектор v (t), взятый в момент t, отличается от вектора v в A4.62), т. е.
от v @) (как и т (s) соответственно от т @)), если т зависит от е (р) вследствие движения
электрона по его траектории в магнитном поле Н. В случае сильных полей, когда элек-
электроны между последовательными столкновениями успевают много раз обежать свои
замкнутые траектории или большие участки открытых траекторий, величины v (H)
и t(s) в A4.64) являются быстроперемешшми функциями t. Поэтому в пределе можно
т (s) заменить средним значением т~1 вдоль траектории. Тогда для тензора электро-
электропроводности oij из A4.62)—A4.64) будем иметь
и
j dtvj (t) exp (i-) . A4.65)
Интегрирование в A4.65) и в следующих формулах ведется по всему р-пространству.
Дальнейшее преобразование выражения A4.65) зависит от того, равны ли нулю пли
отличны от нуля средние значения компонент скорости. Если vt, vj Ф 0, то vj (t)
в A4.65) можно заменить на uj, поскольку ехр (i/т) — лишь медленно спадающая
— 328 —

функция. Таким образом, мы находим в пределе очень сильных полей величину, не
зависящую от Я:
(Ш56)
Величина компонепты тензора электропроводности, определяемая формулой A4.66),
оказывается меньше, чем величина этой же компоненты при .Н~ = 0, т. е.
-F^ A4'67)
Это различие обусловлено анизотропией vz и тг1. Если в металле существуют открытые
траектории, то компоненты ауу (со) и ау: (со) тоже не зависят от Н, как и A4.66), но
обычно по величине эти компоненты меньше az2 (со), поскольку открытые траектории
заполняют лишь часть поверхности Ферми.
Если vj = 0 для / = х, у, z, то нет членов, не зависящих от магнитного поля Н.
В этом случае необходимо более общее рассмотрение [58, 5]. Состояние электрона
удобно описывать не декартовыми слагающими импульса рх, ру и р2, а координатами,
связанными с квазиклассической траекторией электрона в р-пространстве. Этими
координатами являются энергия е и проекция импульса на магнитное поле pz, опреде-
определяющие траекторию (как сечение поверхности Ферми плоскостью pz = const), и, нако-
наконец, положение фазовой точки электрона на траектории. Удобнее всего это положение
определить по времени t движения электрона от какой-то выбранной начальной точки
траектории в данную. Формулы преобразования от координат рх, ру, pz к е, pz и t
находим с помощью закона дисперсии и уравнения движения электрона в магнитном
поле A4.46) и формулы для скорости
«=!?-. A4'68)
которые дают [см. A1.78)]
г« A469)
где t>j_ и р^ — векторы с компонентами vx, vy (vz = 0) и рх, ру (pz=0). В выбран-
выбранных переменных кинетическое уравнение для функции распределения / (е, pz, t)
в силу A4.26) имеет вид
= 0, A4.70)
причем
где W {f} — интеграл (оператор) столкновения, вид которого нам здесь несуществен,
т—время релаксации. Используя уравнение движения A4.46) и A4.43), находим
обобщенные скорости pz, e и t:
Pz=eEz, г = еЕи, t = 1 --^— [v±.E)z. A4.71)
Линеаризуя*) уравнение A4.70) относительно Е ((df/dpz) pz« 0, ?«<вдг), получаем
^+*.+ *т=„, A4П)
где, как обычно, положено
Фг^1. /о=[ехр (i^Lj+iJ, t = x, у, ж. A4.73)
Здесь г|)г- (i = x, у, z)— векторная функция, дающая искомые «добавки» к функции
распределения /0. Подставляя A4.73) в A4.72), находим
pi} = ui. A4.74)
at
*) Это можно сделать, если предположить, что энергия, приобретаемая электро-
электроном в электрическом поле за время свободного пробега, мала не только по сравнению
с энергией Ферми, но и с тепловой энергией кТ, характеризующей ширину зоны размы-
размытия распределения Ферми.
— 329 —

Граничные условия уравнений A4.74), соответствующие решениям, описывающим зам-
замкнутые траектории, тождественны требованию периодичности функций i|)j с перио-
периодом Тн [см. формулу A1.81)], а для открытых траекторий — требованию конечности
г|зг при t = zt со.
Усредняя уравнение A4.74) по времени t [по правилу и = Т^1 (е, pz) \ v dt,
где Тн (е, рг) — циклотронный период, см. формулу A1.81)], находим
i = x,y,z).
A4.75)
Для открытых траекторий (см. гл. И) среднее в A4.75) означает переход к преде-
пределу при Т —> со. Равенство A4.75) можно рассматривать как граничное условие, нало-
наложенное на функции г|);.
Случай больших магнитных полей означает, что в уравнении A4.74) член
dtytldt ^tyt/TH значительно превышает член с оператором столкновений: ^{/фг} ^
**= i|),-/t; действительно, условие [ dtyjdt \ ^>\W{tyi} I означает, что Тн < т или гн < I
(где I — средняя длина свободного пробега). Это позволяет воспользоваться методом
последовательных приближений при решении A4.74) путем разложений искомых реше-
решений в ряд по степеням обратного магнитного поля (см. [59]).
В случае замкнутых траекторий из уравнения движения A4.46) следует, что
. = vv = U и
0.
A4.76)
Итак, будем искать решение уравнений A4.74) при условии A4.75) в виде ряда
по степеням Н~1 = у:
A4.77)
й=0
Подставляя A4.77) в A4.74) и приравнивая члены с одинаковыми степенями у, получаем
систему уравнений для функций ty^ из A4.77):
dt
-=0,
dt
dt
Интегрируя A4.78), находим
с = 2, 3, 4, ...).
A4.78)
Т
Ч
>}dt (k = 2, 3, 4, ...).
A4.79)
Величины c\ ** зависят только от е и pz и находятся из условий периодичности A4.75).
Из системы A4.79) и условий A4.75) можно в пределе сильных полей найти все i|^ft*,
если известен вид оператора W. Однако для ряда важных общих следствий теории нам
нет необходимости знать конкретный вид оператора столкновений W. Асимптотические
значения величин, характеризующих измеряемые значения соответствующих кинети-
кинетических коэффициентов, можно получить, если известна лишь топология изоэнергети-
ческих поверхностей вблизи поверхности Ферми для двух типов траекторий: 1) замкну-
замкнутых и 2) открытых (при заданном направлении вектора Н в интервале размытия поряд-
порядка кТ функции распределения Ферми).
— 330 —

В первом случае в силу A4.76) из A4.79) находим
A4.80)
Из A4.80) видно, что г|зж, г|зу, с одной стороны, и i|)Z! с другой, при сильных полях
(Н'1 -> 0) имеют различную асимптотику.
Во втором случае при произвольной ориентации поля разложение всех компо-
компонент г|з; начинается с нулевого члена:
A4.81)
Для частного случая «гофрированного цилиндра» (см. гл. 11) и поля Н, перпенди-
перпендикулярного к его оси х, когда vx = 0, vy Ф 0, uz Ф 0, имеем
A4.82)
A4.83)
отсюда очевиден способ получения явного вида компонент тензора ац.
Подставляя в эти выражения для оц решения г|зг A4.80) для случая замкнутых
траекторий, получаем
Для компонент вектора плотности тока j viz A4.34) и A4.73) получаем
^otjEj (i, / = аг, у, z);
/ а.
о у (Н) =
'¦ху
№
а-ух
Н
azx
Н
аУУ
#2
a-zy
н
н
\ н
н
J
A4.84)
при этом разложение элементов матрицы atj по Н~х начинается, вообще говоря, с нуле-
нулевого члена. Эти элементы являются функционалами от С\' и, таким образом, зависят
от оператора столкновений W. Мы рассмотрим нулевой член разложения по Н~г эле-
эле4°> «>
рр
мента 4°> (= -««>)
A
Подставляя в A4.83) решение A4.80), используя A4.76) для замены vx и переходя
к переменным е, t, pz с помощью A4.46) и A4.69), находим
Интеграл ф рх dpy = ± S (e, pz), где S (e, pz) — площадь сечения поверхности
е (р) = е плоскостью pz = const, а знак определяется направлением обхода, т. е.
знаком эффективной массы (см. гл. 11). Итак, для оху = аху1Н в приближении асимп-
асимптотически больших полей и учитывая, что dfjdz = —б (е — ?), находим
->ху-
2се
HW
)-5+(C, Pz)]dPz.
A4.85)
Если рассматриваемые замкнутые траектории электронов лежат на замкнутых
поверхностях Ферми, то
tee
A4.86)
Здесь F+(?) — объем, ограниченный замкнутыми поверхностями е (р) = ?, внутри
которого энергия меньше ? (т. е. та* > 0), a VL (?) — такой же объем, внутри которого
- 331 —

энергии больше ? (т. е. т* < 0). Поскольку при Т = 0 электронами заняты только
состояния с энергией меньше ?, то из A4.86) следует *):
Здесь щ — число занятых электронных состояний с та* > 0 («электроны»), а п2 —
число свободных состояний с та* < 0 («дырки»).
Таким образом, в сильных полях в случае замкнутых траекторий при произволь-
произвольном операторе столкновений [58, 59] **) имеем ахх, ауу — Н~2, atj — H~l (i Ф ;'),
т. е. эти компоненты стремятся к нулю при Н -* со (но по-разному), а а22 не зависит
от И [см. A4.66)]. Поэтому, если существуют только замкнутые траектории, то зави-
зависимость компонент тензора проводимости ог-} или сопротивления p,j ***) от Н такая
же, как и в случае модели свободных электронов (см. выше). А именно диагональные
члены Рн при Н -»- со дают насыщение, а рху = —рух =& Н 1(п2 — щ)се. Дру-
Другие же компоненты насыщаются в слабых полях; значения полей насыщения, за-
зависят от анизотропии поверхности Ферми и направления Н. Если пг = Щ,
то а^ = 0 я, следовательно, необходимо проводить расчет до второго приближения;
это дает
°ху ~ Н-ъ. A4.88)
Поэтому
Ра|3~#2. 9az~H, pzz~ const (а, Р = зг, у). A4.89)
3. «Дырки» и понятие компенсации в металлах. Равенство числа электронов
и «дырок» не является особым случаем, поскольку все металлы с четным числом валент-
валентных электронов обладают электронами проводимости только из-за перекрытия энерге-
энергетических полос, когда п% = щ. Естественно, что это имеет место лишь при малом пере-
перекрытии и при Т = 0° К. С повышением температуры и при наличии в зоне размытия
открытых или самопересекающихся траекторий (см. гл. 11) равенство п2 = щ наруша-
нарушается. При Т > 0° К пг — щ ~ п ехр ( —ДеДУ), где Де — расстояние от поверхности
Ферми до ближайшей открытой поверхности. Каганов и Песчанский [80] специально
рассмотрели случай металлов с почти равными числами электронов и «дырок»:
n-i — ni = An -С п = 1/г (щ + гаг). Введение дополнительного малого параметра
Ап/п <С 1 позволило уточнить зависимость компонент тензора сопротивления р^
от магнитного поля Н.
В связи с изложенной проблемой гальваномагнитных, а также и других кинети-
кинетических явлений в металлах с электронной и дырочной проводимостью оказалось весьма
полезным понятие компенсации в металлах, введенное впервые Фосеттом и Ридом
[81]. Металл называется компенсированным, если полное число щ электронов прово-
проводимости на элементарную ячейку решетки Браве, просуммированное по «электронным
участкам» поверхности Ферми (т. е. если все сечения — «циклотронные орбиты» —
для этих участков имеют электронный характер, см. гл. 11), равно полному числу
пг «дырок», просуммированному по всем «дырочным участкам» (см. гл. 11). Является
ли металл компенсированным или нет, зависит от полного числа занятых состояний
на элементарную ячейку, которое равно rZ, где Z —¦ порядковый номер элемента, а г —
число атомов на ячейку. В каждой бриллюэновской зоне имеется точно по два состоя-
состояния на элементарную ячейку из-за спинового вырождения (в неферромагнитных метал-
металлах). Поэтому F заполненных зон содержат 2F занятых состояний, а / незаполненных
дырочных зон — B/ — П2> состояний и электронные зоны — щ состояний. В итоге
будет иметь
rZ = 2F + B/— n2)+n1%
или
— nA=(ni — n2) = rZ — 2(F-\-J), A4.87а)
где па — алгебраическая сумма чисел электронов и дырок, которую можно назвать
полным числом носителей тока на элементарную ячейку. Это имеет существенное
значение для гальваномагнитных явлений в области высоких полей. Случаи па Ф 0
и па = 0 приводят к качественно различным свойствам металлов. Из A4.87а)
следует, что металл никогда не может быть компенсированным, если rZ нечетно, а па
тогда должно быть равно положительному или отрицательному нечетному целому
числу. Если же rZ четно, то па может быть равно положительному или отрицатель-
отрицательному четному числу, или же металл может, быть компенсированным, если
2/ = rZ —2F. A4.876)
Опыт показывает (см. табл. 14.3), что пока все изученные немагнитные металлы с чет-
четными rZ являются компенсированными.
*) В случае более частных предположений о виде этого оператора аналогичные
результаты получили также Мак-Клюр [78] и Чамберс [79].
**) Впервые эти формулы получил Колер [47].
***) О связи компонент тензора a;j и pi-] см., например, задачу в конце § 21 в мо-
монографии Ландау и Лифшица A957).
- 332 -

Таблица 14.3
Значения полного числа носителей тока пА (на элементарную ячейку)
в различных металлах, а также сводка основных работ по изучению
гальваномагнитных эффектов в области сильных полей
(из работы Фосетта [111])
Группа
IA
IB
ПА
ИВ
ША
IIIB
IVA
VA
VB
VIB
VIIB
VIII
Металл
Li
Na
К
Си
Ag
Аи
Be
Mg
Zn
Cd
Al
Ga
In
Tl
Sn '
Pb
Bi
Sb
Nb
Та
Mo
W
Re
Pd
Pt
nA
теория [81]
-1
-1
_1
-1
-1
_1
0
0
0
0
+1
0
+1
0
0
0
0
0
?
?
0
0
0
0
0
nA
эксперимент
-0,89 [82]
-0,96 [82]
-0,94 [83]
-0,96 [82]
— —1
-1,04 [88]
0
0
0
0
+0,93 [82]
+0,98 [95]
0
+0,95 [82]
0
0
0
0
0
у
у
6
0
0
0
0
Наличие
открытых
траекторий
нет
»
»
есть
»
»
»
»
»
»
у
есть
нет
есть
»
нет
есть
»
нет
есть
»
»
Работы по измерению
магнетосопротивления,
эффекта Холла
и магнитного пробоя
в тех же веществах
—
[82]
[84—87]
[88]
[73]
[89]
[90, 91]
[92—94]
[94]
[52, 95, 96]
[97]
[98]
[88, 99]
[100]
[101, 102]
103]
104]
105]
105]
[106, 107]
[106, 107]
[108, 109]
[110]
[72]
4. Влияние открытых траекторий. Из A4.89) видно, что в случае пг = щ магнето-
сопротивление квадратично возрастает с полем. Поскольку компоненты рху и рух
содержат также члены, пропорциональные И2, то, вообще говоря, и в выражении для
поля Еу (Н) появится такого типа член, т. е.
Ey(H) = (AHs + BH)j, A4.90)
где А, В — постоянные, определяемые конкретным видом оператора столкновений
и закона дисперсии. В изотропном случае А = 0.
Член в формуле A4.90), пропорциональный Н2, обычно называемый «четной попе-
поперечной напряженностью», обнаружен в пяти металлах: Sn [112], Си [85], Ga [97],
W [ИЗ] и Мо [114]. Клаудер и Кунцлер [85] объясняют появление поперечной четной
напряженности в Си возникновением мощного слоя открытых траекторий носителей
тока. В случае компенсированных металлов Sn, W и Мо этот эффект находит объясне-
объяснение в теории (см. [59]).
Из сказанного выше можно сделать вывод, что наблюдаемые на опыте случаи
«аномального» возрастания магнетосопротивления (в Be, Zn, Cd, Mg, Ga, Sn, Pb, C,
Bi, Sb, As, Mo, W, Ba) согласуются с самыми общими положениями современной
электронной теории металлов. Как было показано в работах [56—59], для этого нет
необходимости делать какие-то специальные допущения, которые обычно делались
ранее (см., например, [43]). Что касается линейного закона магнетосопротивления
Капицы [36], то, в соответствии с качественным выводом Боровика [69], он относится
к переходной области от квадратичной зависимости магнетосопротивления в слабых
нолях к квадратичной зависимости с другим коэффициентом в сильных полях.
При отличных от нуля температурах, когда dfo/de Ф —б (е — ?), уже нельзя
считать vx<y = 0 везде, ибо могут появиться открытые траекториии. Это приводит к по-
появлению нулевых членов разложения по Я в функцииг|зг. Из-за множителя dfjdz эти
нулевые члены пропорциональны ехр(—A&i/kT) (см. выше стр. 332). Эти же члены появ-
появляются во всех, кроме azz, компонентах тензбра оц, но эти члены пренебрежимо малы
- 333

вплоть до полей Но exp (AeJkT), которые в настоящее время недостижимы. Кроме
того, при значительно более слабых полях возникают квантовые эффекты (см. § 7).
Рассмотрим теперь случай, когда в интервале бе — кТ есть открытые траектории.
Этот вопрос был впервые исследован в работах [58, 59], а более подробно — в работах
Лифшица и Песчанского [62, 63]. Как следует из A4.84), в данном случае все функции
г|з|0> отличны от нуля. Следовательно, все компоненты тензора atj при Н^>Н0 стремятся
к насыщению и существенно зависят от температуры даже при низких тем пературах,
где обычно все кинетические коэффициенты (при Н=0) металлов слабо зависят от Т *).
Когда имеется одномерное (двугранный угол) или двумерное (телесный угол) множество
направлений магнитного поля, приводящих к открытым траекториям, то должна
//А
а)
б)
Рис. 14.5. Построение стереографической проекции направлений магнит-
магнитного поля для различных типов нормальных к полю сечений (траекторий)
изоэнергетической поверхности Ферми типа «пространственной сетки»,
а) Вид поверхности Ферми. Для одного узла решетки показаны оси координат
1, 2 и 3, а также отсчет полярных углов О (от оси 3) и ср (в плоскости
1—2 от оси 1) для вектора магнитного поля И. б) Стереографическая про-
проекция (каждая точка круга соответствует определенным значениям поляр-
полярных углов #иф, определяющих направление вектора и в обратной ре-
решетке) направлений магнитного поля. Заштрихованные области (I) —
направления поля, при которых существует слой открытых траекторий.
В областях II открытые траектории отсутствуют. Области III, отделен-
отделенные пунктирными; линиями,— направления поля, при которых сущест-
существуют растянутые, замкнутые траектории (охватывающие много ячеек).
Центр круга проекции соответствует значению О = 0; наружная окруж-
окружность соответствует концам векторов Яс# = л/2; стрелка у горизонталь-
горизонтального диаметра показывает отсчет углов ср.
наблюдаться резкая зависимость оц от направления магнитного поля. Когда вектор IT
приближается к направлениям, в которых существуют открытые нормальные сечения,
то величина слагающих тензора afj (или p;j) существенно изменяется [ибо изменяется
характер решений уравнении A4.78)L Поэтому определение оц в сильных полях при
различных углах в принципе позволяет выяснить топологию изоэнергетических поверх-
поверхностей вблизи граничной энергии Ферми. В частном случае поверхности типа «гофри-
«гофрированного цилиндра» при Н, перпендикулярном к его оси, как это следует из A4.83)'
и A4.82), тензор atj, вместо A4.84), принимает вид
н
ху
Н
УУ
гу
н
A4.91)
Здесь разложение элементов матрицы aij по степеням Н'1 начинается с нулевогочлена.
Симметрия открытой поверхности может весьма сильно изменить конкретный вид
полевой зависимости магнетосопротивления и поля Холла. Так, например, в частном
случае «гофрированного цилиндра», когда магнитное поле перпендикулярно к его оси,
из A4.91) получаем для тензора магнетосопротивления
A4.92)
Н2Кх
Hb'yx
нъ'
ПЪ'ху
Ь'уу
Ь'гу
н
Ь'хг
Ь'уг
Ь'гг
*) В случае открытых траекторий тензор otj как у компенсированных, так и у не-
некомпенсированных металлов не имеет прямой связи с числом пА.
334 -

Элементы bij определяются через элементы матрицы aij из A4.91). При произвольном
направлении тока сопротивление возрастает квадратично; при токе, направленном
вдоль оси у, оно стремится к насыщению. Поле Холла линейно растет с увеличением
магнитного поля.
Более подробное изложение общей теории и анализ частных случаев читатель
может найти в цитированных оригинальных работах, а также в детальных обзорах
[54, 5, 111]. В обзоре Фосетта [111] также дается достаточно подробное описание
экспериментальных методов и результатов. Остановимся кратко на последних. Напом-
Напомним прежде всего построение стереографической проекции направлений магнитного
поля, для которых имеются открытые траектории [62,
63, 55, 111]. На рис. 14.5 приведенное такое построение
для типичного случая поверхности Ферми вида «прост-
*/>//>„
3500
\
\
V
/
[//27]
/\ л
/\п
\
\
[Ю
1
/
о]
Л
-30
О 30 ВО
Угол р, град
90 120
Рис. 14.6. Анизотропия магнетосопротивления Др/р0
монокристалла W (P3000 к/Р4'2° К = 13 000) при
температуре Г = 4,2° К и Н = 8,95 кэ. Плоскость
вращения магнитного поля перпендикулярна к оси
[001]; угол ф, определяющий направление поля в
этой плоскости, отсчитывается от оси [0Т0](по [115]).
25000
15000
10000
5000
J
гзп
\
1/
1
j
1
-0°
/о
го
Н,кэ
Рис. 14.7. Зависимость маг-
магнетосопротивления монокри-
монокристалла W от магнитного по-
поля в направлениях, соотве-
ствующих максимуму (при
Ф = 37°) и минимуму (при
Ф = 0°) на кривой диаграм-
диаграммы вращения, приведенной
на рис. 14.6 (по [115]).
ранственной сетки». В задачу эксперимента и входит построение такой стереографиче-
стереографической проекции на основании измерений асимптотического поведения гальваномагнитных
эффектов в сильных полях (H~x ->- 0). Кроме того, эксперимент дает возможность опре-
определить при данной величине поля зависимость магнетосопротивления от ориентации
поля в монокристалле. На рис. 14.6 и 14.7 приведены в качестве примера результаты
подобного исследования для монокристалла вольфрама (Волкенштейн, Новоселов,
Старцев [115]). В табл. 14.3, дана сводка основных экспериментальных источников
для исследованных металлов. Эти исследования не во всех случаях дают полные сведе-
сведения о тензоре о;; (или p,-j), но то, что установлено, дает возможность получить инфор-
информацию об общем характере геометрии поверхности Ферми (наличие или отсутствие
открытых траекторий и т. п.), а также о принадлежности металла к группе компенси-
компенсированных или некомпенсированных.
5. Эффект Есаки. Есаки [116] открыл новый гальваномагнитный эффект (нелиней-
(нелинейный в смысле отклонения от закона Ома) сильного возрастания магнетосопротивления
при определенном значении электрического поля. Есаки объяснил это явление тем, что
при возрастании электрического поля скорость дрейфа электронов в скрещенных 'маг-
'магнитном и электрическом полях удрейф = еЕ/Н может стать больше скорости звука
в металле. Но тогда, в силу «эффекта Черенкова» для звуковых волн, электроны начи-
начинают терять энергию за счет излучения фононов, что и обусловливает рост электросо-
электросопротивления (более подробные сведения об эффекте Есаки можно найти, например
в работе Калашникова [117]).
§ 7. Гальваномагнитные явления в квантующем магнитном поле
1. Общие замечания. До сих пор мы ограничивались рассмотрением гальваномаг-
гальваномагнитных эффектов хотя и в сильных магнитных полях (<вн > т), но в квазиклассиче-
квазиклассическом предельном случае (h<?>H <^kT). Если последнее неравенство уступает обрат-
обратному Лсо# > кТ, то становится существенным квантование орбитального движе-
движения носителей тока. При этом все термодинамические и кинетические характеристики
— 335 —

сносите лей тока, зависящие от плотности состояний на поверхности Ферми,
являются немонотонными — осциллирующими функциями магнитного поля. Обуслов-
Обусловлено это тем, что при изменении величины магнитного поля уровни Ландау
(см. гл. 11) перемещаются относительно уровня Ферми. И всякий раз, когда один
из уровней Ландау совпадает с уровнем Ферми, плотность состояний на поверхности
Ферми резко возрастает из-за того, что каждый уровень Ландау сильно вырожден
(кратность вырождения пропорциональна напряженности магнитного поля). Когда
же уровень Ферми находится между уровнями Ландау, плотность состояний минималь-
минимальна. Ясно, что эти рассуждения имеют силу только тогда, когда тепловые и столкнови-
тельные уширения энергетических уровней Ландау, равные по порядку величины соот-
соответственно кТ и fit'1, малы по сравнению с разностью энергий соседних уровней Лан-
Ландау, т. е. когда выполняются неравенства
кТ, Йшн > Йт.
Наиболее удобными объектами для эксперимента являются полуметаллы и полу-
полупроводники, поскольку в них эффективные массы носителей тока та* могут быть почти
на два порядка меньше массы свободного электрона, что способствует выполнению
последних неравенств с большим запасом (ибо а>н — Нпг*'1).
Ниже роль квантования орбитального движения носителей тока иллюстрируется
на примере гальвано- и термомагнитных явлений в полупроводниках и полуметаллах.
Итак, квантующими магнитными полями Н будем называть поля, удовлетворяю-
удовлетворяющие приведенным выше неравенствам. Как только что отмечалось (см. также гл. 11),
квантование это проявляется в специфической — осциллирующей зависимости от маг-
магнитного поля Н электросопротивления и многих других физических свойств.
Первые работы по квантовой теории гальваномагнитных явлений принадлежат
Титейка [118], Давыдову и Померанчуку [119]. К более поздним работам относятся
исследования Аргириса и Адамса [120], Лифшица [121] и Лифшица и Косевича [61].
Последовательная квантовая теория гальваномагнитных явлений была создана Кубо
[122] и Кубо с сотрудниками [123], Адамсом и Холстейном [124]. Обзор квантовой тео-
теории гальваномагнитных явлений содержится в работе [125].
Ниже влияние квантования орбитального движения электронов будет проиллю-
проиллюстрировано несколькими наиболее характерными и простыми примерами.
Так, поперечное магнетосопротивление ржх в классической области магнитных
полей имеет монотонную зависимость от Я, а продольное магнетосопротивление ргг
в случае изотропного закона дисперсии вообще не зависит от Н [см. формулу A4.66)].
В квантующем же магнитном поле появляется более сложная зависимость от Н
не только рхх, но также и pZ2.
Явление переноса вдоль квантующего магнитного поля можно описывать [126]
в рамках обычного кинетического уравнения Больцмана, записав его для функции
распределения (диагональной матрицы плотности) /ц в пространстве квантовых чисел
ц (и, ку, kz) представления Ландау в виде
<-Ег~=У, [WWu(l-/v)-Wvu(l-/n)/v]- A4.93)
°Pz *—*
V
Для упругого рассеяния вероятности переходов W^v равны
И^=-^|К^|2 6(ец-ег), A4.94)
где Fjxv — матричные элементы энергии взаимодействия электрона с рассеивающими
центрами, е^ и ev — энергия электрона в состояниях ц и v. Для случая неупругого
электрон-фононного взаимодействия формула A4.94) принимает вид
A4.95)
где
Й 1-1
a ha>q — энергия фонона, С — фурье-образ константы электрон-фононной связи.
Для вычисления поперечного магнетосопротивления рхх необходимо знать ком-
компоненты тензора проводимости аху и охх. Первая из этих величин точно такая же, как
и в классическом случае. Для нахождения компоненты охх необходимо знать недиаго-
недиагональные элементы матрицы плотности f^v. Последовательное решение задачи вычисле-
вычисления величины ахх приведено в работе [124]. Результат имеет вид
°хх = 2кТа>н h /n^-WWV^-Av) , (Ц.уо)
— 336 —

Хц— —гнку> гн — —тт,
где
сП
а вероятности определяются формулами A4.94) или A4.95). Поскольку в приближе-
приближении содт 3> 1 имеет место неравенство аху ;j> oxx, то поперечное магнетосопротивление
пропорционально компоненте охх:
РххЪ-^=(^-J°хх, A4.97)
а продольное
аху
сеп
A4.98)
2. Ультраквантовый предел. Рассмотрим ультраквантовый предел, когда харак-
характерная энергия электрона (кТ или So)- гораздо меньше энергии Ь-<ин. При этом можно
считать, что все электроны занимают самый нижний уровень Ландау с п = 0 и в про-
процессах рассеяния изменяются только квантовые числа ку и kz (и, возможно, спиновое
квантовое число а).
A4.с
Уравнение A
.93) допускает при этом решение вида
, , dfov shHz j-,
/v — /ov 37 ~— •C'zt 1
где
,0ft 1
—Г"). k,=(ky,kz).
A4.99)
A4.99a)
В формуле A4.96) также необходимо учитывать лишь члены с п = п' = 0. Вычисле-
Вычисление компонент pzz и рхх показывает, что в ультраквантовом пределе обе эти величины
монотонно зависят от Я в случае упругого рассеяния, причем характер зависимости
определяется видом потенциала взаимодействия электрона с рассеивателями. Дей-
Действительно, квадрат модуля матричного элемента | С |2 зависит от | q |, а характерная
величина изменения импульса в направлении, перпендикулярном к магнитному полю
д, , пропорциональна rH = (eh/eHI/2. Поэтому зависимость р (Н) в ультраквантовом
пределе непосредственно отражает зависимость I С |2 от \ д \. Это иллюстрируется
табл. 14.4, заимствованной из работы [124]. В табл. 14.4 rs — радиус экранирования,
es = h.2/2mrs2, So — уровень Ферми при Н = 0.
Таблица 14.4
Зависимость компонент электросопротивления р22 и рхх от магнитного поля
в ультраквантовом пределе
Механизм
рассеяния
Точечные дефек-
дефекты (б-образный
потенциал рас-
рассеяния) .
Акустические
фононы (квази-
упругое рассеяние)
Пьезоэлектриче-
Пьезоэлектрические фононы;
высокие темпера-
температуры (гн С rs)
Ионизованные
примеси (rH<rs)
Характер
зависимости
квадрата
фурье-образа
константы
злектрон-
фононной
связи | С |2
от импульса
фонона
5 = |9|
const
const
(?2 + rs-2)-l
(?2+г7а)
Статистика
Максвелла — Больцмана
Pzz
Ро
ЙО)Н
кТ
ha>H
кТ
In / Ыя \
1 \Ш1+ег)
const
Рхх
Ро
/Нв>ну
\ кТ )
/Йшн\2
~\кт)
кТ
const
Статистика
Ферми—Дирака
Ри
Ро
/ЙОЗН\2
\ So 1
(Гга>ну
\ So 1
П(йН
So
\ So )
Рхх
Ро
(Па>ну
\ So )
1 Нв>н \5
\ So 1
\ So i
I So i
22 С. В. Вонсовский
— 337 —

Экспериментальное изучение магнетосопротивления в ультраквантовой области
является многообещающим и в принципе может дать информацию о процессах рассе-
рассеяния электронов. Имеющиеся пока данные в мировой литературе относятся в основном
к полупроводникам типа АщВу с малой эффективной массой (см. [127] и 1128]).
Интерпретация данных не вполне однозначна (особенно это относится к поперечному
магнетосопротивлению). Как показал Херринг [129], вследствие неоднородности рас-
распределения примесей в кристалле возникает добавочное магнетосопротивление Архх,
пропорциональное Н. Однако есть надежда, что возможности, которые открывает
изучение различных кинетических эффектов в ультраквантовой области, будут реа-
реализованы.
3. Осцилляционные эффекты, а: Эффект Шубникова — де Гааза. Значительно
подробнее исследована квантовая область, определяемая неравенством
^ Йшн > кТ.
В ней особенно детально исследуются осцилляционные эффекты. Здесь прежде всего
следует упомянуть эффект Шубникова — де Гааза, открытый ими в 1930 г. (см. [130,
131]) на монокристалле Bi. Этот эффект заключается в осциллирующей зависимости
статического удельного электросопротивления электронного проводника от обратной
величины внешнего магнитного поля Н~1, которая наблюдается в области низких тем-
температур. Для обнаружения этих осцилляции необходимо выполнение следующих
неравенств:
т. е. иными словами, в кристалле должно быть достаточно сильное вырождение элек-
электронного «газа», а расстояние между соседними уровнями Ландау ha>H должно заметно
превышать ширину теплового размытия уровня Ферми (кТ), а также уширение уров-
уровней Ландау, обусловленное столкновениями электронов (Й-т~1).
Вероятность перехода электрона из состояния ц во все другие состояния с той же
энергией пропорциональна функции плотности состояний g (e). Поэтому эта вероят-
вероятность резко возрастает всякий раз, когда е = гЛв>н, т. е. когда возможны переходы
в конечные состояния с kz = 0. Обусловленные этим осцилляции сопротивления впол-
вполне аналогичны осцилляциям термодинамических величин. Например, формула для
продольного магнетосопротивления при рассеянии электронов на точечных дефектах
имеет вид (при квадратичном законе дисперсии)
= j J (|r
Po \ ?o / -^J rl/2 sm KX.T \ ha>H 4
где
|*Lr_ « ) exp (-^M , A4.100)
а Г характеризует уширение уровней Ландау из-за столкновений. По порядку величи-
величины обычно можно считать, что Г — hx~x. Детальные вычисления величины Г, которая
определяет амплитуду осцилляции, приведены в работах [125, 132]. Эксперименталь-
Экспериментальные результаты (см. [133]) подтверждают периодическую зависимость p2Z (Я).
В случае квадратичного закона дисперсии период осцилляции равен
eh
(тЬ
и поэтому он зависит, по существу, лишь от концентрации электронов (при заданной
величине та*). В некоторых случаях удается по температурной и полевой зависимости
амплитуд осцилляции определить эффективную массу та* (см. [134]).
В веществах с большим ^-фактором (InSb, InAs) в достаточно сильных полях
наблюдалось спиновое расщепление осцилляционных пиков [135], по.величине кото-
которого и был определен ^-фактор.
См. также более поздние работы по исследованию эффекта Шубникова — де
Гааза, главным образом в полуметаллах и полупроводниках [136—154].
б. Магнитофононный резонанс. Другой тип осцилляции магнетосопротивления
связан с неупругим характером рассеяния в квантующих магнитных полях (магнито-
(магнитофононный резонанс). Он возникает, когда энергия между соседними уровнями Ландау
%шн становится равной энергии оптического фонона ^<ВфОн. При этом вероятность
неупругого рассеяния электронов на этих фононах резко возрастает в области низких
температур: кТ < Й.<Вф0Н. Вследствие этого магнетосопротивление и другие кинетиче-
кинетические коэффициенты, зависящие от рассеяния, должны осциллировать при изменении
величины магнитного поля. Физические причины магнитофононного резонанса в слу-
случае поперечного магнетосопротивления проще всего понять, если формулу A4.96)
представить в несколько ином виде после интегрирования по dk и dk':
— 338

Здесь Впп, (е) — некоторая плавная функция энергии е. Из A4.101) видно, что при
интегрировании по de величина охх логарифмически расходится при
Йшфон = ге"Йшн К=1, 2, 3, ...), A4.102)
поскольку при этом подынтегральное выражение содержит полюсы первого порядка.
Эта расходимость устраняется, если учесть уширение уровней Ландау, но величина
ахх по-прежнему будет резко возрастать в магнитных полях, удовлетворяющих условию
A4.102). Этот вывод справедлив при любой статистике электронов. Период магнито-
фононных осцилляции равен А {Н~1) — е/т*с<Лф0Н и, таким образом, зависит от эффек-
эффективной массы т* и предельной частоты <»фОН оптических фононов.
Магнитофононный резонанс, теоретически предсказанный Гуревичем и Фирсовым
[155], а также Клингером [156], был впервые исследован экспериментально
на re-InSb Пури и Джеблом [157], а затем более детально Шалытом и др. [158] и Ци-
дильковским и др. [159] в re-InSb, а также в re-InAs [160—163], в re-GaAs [164]
и re-Ge [165j как для поперечного, так и для продольного магнетосопротивления.
Интересную особенность имеет магнитофононный резонанс для продольного
магнетосопротивления в случае вырожденного электронного газа [см. [166]). Посколь-
Поскольку основной вклад в проводимость о22 вносят электроны, расположенные вблизи
уровня Ферми ?0> и время релаксации т (е) обращается в нуль при условии
е + ^Юфон == (п ^~ 1/2) Й.<вн, то а22 имеет минимум (а рг2 — соответственно макси-
максимум) при выполнении равенства
( ) A4.103)
Резонансные значения магнитного поля зависят в этом случае от концентрации элек-
электронов п, эффективной массы и предельной частоты Шф0Н. По существу, это осцилля-
осцилляции Шубникова — де Гааза, связанные с неупругим рассеянием электронов.
е. Спин-магнитофононный резонанс. В случае магнитофононных переходов
ориентация спина электронов не изменяется. Возможна, однако, и иная ситуация,
когда расстояние между двумя спиновыми (зеемановскимп) подуровнями одного уров-
уровня Ландау (см., например, рис. 15.5) становится равным энергии фонона Л<»фОн.
Тогда возникает неупругое резонансное рассеяние электронов на оптических фононах
с изменением ориентации электронного спина, т. е. спин-магнитофононный резонанс.
Этот резонанс также приводит к появлению осцилляции магнетосопротивления. Усло-
Условие резонанса имеет вид
где а, о' = + 1/2 или —1/2 в зависимости от ориентации спина. Возможны, конечно,
комбинированные переходы с одновременным изменением номера уровня Ландау
и ориентации спина. Этот тип резонанса должен сравнительно легко наблюдаться
на опыте в полупроводниках с сильной спин-орбитальной связью, так как прямое
фонон-спиновое взаимодействие невозможно.
Впервые спин-магнитофононный резонанс наблюдали в re-InSb Цидильковский,
Аксельрод и Соколов [159], а затем Машовец, Парфеньев и Шалыт [167]. Теорию этого
явления дали Цидильковский, Аксельрод и Урицкий [168], а также Фирсов и Павлов
[169].
§ 8. Термомагнитные явления в квантующем магнитном поле
1. Общие замечания. При построении теории гальвано магнитных явлений доста-
достаточно рассматривать пространственно-однородные системы в однородном электриче-
электрическом Е и магнитном Н полях. Когда же мы переходим к рассмотрению квантовой теории
термомагнитных явлений, то задача усложняется тем, что необходимо с самого начала
рассматривать пространственно-неоднородные системы, чтобы последовательно вклю-
включить в рассмотрение наряду с полями Еж И силы статистической природы, обусловлен-
обусловленные градиентами температуры VrJ1 и химического потенциала Vr?. В классической
теории, основанной на кинетическом уравнении Больцмана, учет градиентов VTT
и Vrg не вызывает затруднений. В квантовой теории ситуация изменяется радикаль-
радикальным образом по двум причинам. Одна из них заключается в том, что квантовомехани-
ческие системы описываются с помощью гамильтониана, всегда зависящего лишь
от динамических переменных частиц, поэтому включить в него термодинамические
величины типа VrT и Vr? невозможно. Вторая причина сводится к тому, что средние
значения операторов плотности потока заряда j^ и энергии j1- u\ вычисленные с помо-
помощью матрицы плотности, не удовлетворяют требованиям термодинамики необратимых
процессов — принципу симметрии кинетических коэффициентов Онзагера A4.3)
— 339 — 22*

и соотношению Эйнштейна *), связывающему коэффициенты диффузии и электропро-
электропроводности. На это нарушение соотношения Эйнштейна впервые и обратили внимание
Касуя [170] и Накаджима [171]. Нарушение принципа симметрии Онзагера и соотно-
соотношений Эйнштейна было обнаружено Зыряновым и Силиным [8]; они же [8, 9] вскрыли
и причины нарушения: пространственные неоднородности намагниченности Ландау
-Гноеит [Т {г), ?(»•)]• Эти неоднородности вносят вклад в объемную плотность потока
заряда и энергии, равный соответственно
с rot -Гносит. Qr>
но не вносят никакого вклада в ток проводимости и поток тепла. Иными словами,
в [8, 9] были получены с помощью микроскопической теории формулы A4.1).
Формула для тока проводимости была получена также Образцовым [10]. В рабо-
работах Пелетминского и Барьяхтара [172], Пелетминского [17] были найдены формулы,
совпадающие, по существу, с A4.1) и отличающиеся лишь формой записи.
Все термомагнитные коэффициенты определяются в квантовой теории, так же
как и в классической, с помощью формулы A4.2) для тока проводимости и потока тепла.
Поэтому для этих коэффициентов остается в силе табл. 14.2. Тензоры кинетических
коэффициентов, характеризующие ток проводимости и поток тепла, вычислялись в раз-
разных модельных предположениях в работах Зырянова [13, 14], Зырянова и Окулова
{15], Ахиезера, Барьяхтара и Пелетминского [11], Барьяхтара и Пелетминского [16],
Зырянова и Калашникова [173], Окулова [174]. Обзору работ по квантовой теории
термомагнитных явлений посвящена статья Зырянова и Гусевой [18], в которой чита-
читатель может найти подробное изложение вопроса и соответствующие ссылки на литера-
литературные источники. Здесь мы ограничимся лишь кратким рассмотрением наиболее
интересных, на наш взгляд, квантовых термомагнитных явлений в полупроводниках
и полуметаллах с носителями тока, подчиняющимися статистике Ферми — Дирака,
а именно:
а) Осцилляционные эффекты в двух случаях: во-первых, когда выполняется
условие кТ <^ На>н <^ ?, при котором заполнено большое число уровней Ландау
¦(большие квантовые числа: п — ?/Йсон 5>1), и во-вторых, при условии кТ <^ На>н < ?,
когда заполнено небольшое число уровней Ландау (малые квантовые числа: п —
?/Й>1)
н>);
б) явления в ультраквантовом пределе кТ <^ ? < На>н. Все носители размещены
на одном наинизшем уровне Ландау с п = 0.
В полупроводниках, где носители тока подчиняются статистике Максвелла —
Больцмана из термомагнитных эффектов в квантовом пределе кТ <^ ? <С ^мн наиболь-
наибольший интерес представляет дифференциальная термо-э. д. с, обусловленная неравно-
весностыо фононной подсистемы полупроводника (термо-э. д. с. увлечения).
2. Осцилляционные термомагнитные эффекты, а. Случай больших квантовых
чисел. Квантовые осцилляции термомагнитных коэффициентов (теплопроводность,
дифференциальная термо-э. д. с.) при больших квантовых числах впервые экспери-
экспериментально наблюдали на очень чистых монокристаллах Bi Стил и Бабискин [175].
Эта работа замечательна прежде всего тем, что в ней установлены весьма важные зако-
закономерности общего характера, а именно совпадение периодов и фаз квантовых осцилля-
осцилляции теплопроводности, термо-э. д. с. и электропроводности при больших квантовых
числах. Эти закономерности могут быть поняты с точки зрения элементарных представ-
представлений об осцилляции плотности состояний. Действительно, при больших квантовых
числах зависимостью энергии Ферми ?0 от магнитного поля можно пренебречь, как это
Отмечалось выше, тогда как при изменениях величины Н уровни Ландау смещаются
относительно уровня Ферми и при совпадении с ним какого-либо из уровней Ландау
плотность состояний на поверхности Ферми резко возрастает. При больших кванто-
квантовых числах плотность состояний можно разбить на две части. Первая из них меняется
плавно с полем Н, а вторая, малая добавка к ней,— осциллирующая при изменении
величины Н. Теплопроводность, электропроводность и термо-э. д. с. зависят от плот-
плотности состояний, поэтому все эти величины также можно представить как часть, плавно
изменяющуюся с Я, и осциллирующую малую добавку. Следовательно, при больших
квантовых числах периоды и фазы осцилляции всех кинетических и термодинамиче-
термодинамических величин должны совпадать с периодом и фазой осцилляции плотности состояний.
Эти качественные соображения можно подтвердить расчетами (см. [18]). Заметим здесь,
что периоды и фазы осцилляции при больших , квантовых числах нечувствительны
к механизму рассеяния носителей тока
*) Напомним, что соотношение Эйнштейна является следствием принципа мак-
максимума энтропии при термодинамическом равновесии. Как известно из термодинамики,
максимуму энтропии соответствует состояние, в котором температура Т и электрохи-
электрохимический потенциал ?ф = ? + вер (здесь ср — потенциал электрического поля) посто-
постоянны во всей системе; при этом ток проводимости и поток тепла равны нулю. При
отклонениях от термодинамического равновесия в системе возникают токи проводимо-
проводимости и поток тепла, пропорциональные при малых отклонениях от равновесия простран-
пространственным градиентам Vrtq> = « (Е—e^Vrt), E — — V»-cp и VrT. Поскольку ток прово
димости и поток •тепла пропорциональны Vr?ip, то кинетические коэффициенты перед
Е и (—A/е) Vr?) в этих потоках одинаковы. В этом и заключается соотношение Эйн-
Эйнштейна.
- 340 -

Очень интересные экспериментальные результаты по изучению квантовых осцил-
осцилляции изложены в работе Кунцлера и др. [176], в которой изучались магнетотерми-
ческие осцилляции в Bi, т. е. обратимые изменения температуры адиабатически изоли-
изолированного образца, возникающие при изменении величины или направления прило-
приложенного магнитного поля. Эти осцилляции температуры обусловлены осцилляциями
энтропии носителей тока S и имеют такую же физическую природу, что и осцилляции
намагниченности этих носителей/носит, поскольку и S и /носит определяются как част-
частные производные термодинамического потенциала F" с помощью формул E.9):
/носит --
Осцилляции же F", как известно, обусловлены немонотонной, осциллирующей зави-
зависимостью от Н функции плотности состояний g СО на поверхности Ферми. Изучение-
магнетотермических осцилляции и осцилляции термомагнитных коэффициентов позво-
позволяет определить форму поверхности Ферми и концентрацию носителей тока.
б. Случай малых квантовых чисел. В области небольших квантовых чисел харак-
характер осцилляции кинетических коэффициентов изменяется. Амплитуды осцилляции
становятся большими, сравнимыми с плавно изменяющейся частью этих коэффициен-
коэффициентов, возникает сдвиг фаз осцилляции различных величин. Так, например, Энтклиф
и Стредлинг [177] на образцах и-InSb наблюдали сдвиг фаз осцилляции эффекта Холла
и поперечного магнетосопротивления. Этот сдвиг фаз зависит от механизма рассеяния
носителей тока.
3. Ультраквантовый предел. В ультраквантовой области различные термомаг-
термомагнитные коэффициенты вычислялись в работе [173]. В этом пределе зависимость термо-
термомагнитных коэффициентов от температуры и магнитного поля определяется механиз-
механизмом рассеяния носителей тока. Поэтому изучение термомагнитных эффектов в ультра-
ультраквантовой области позволяет определить наиболее существенные механизмы релак-
релаксации носителей тока.
4. Эффекты увлечения в магнитном поле. Остановимся теперь на обсуждении
дифференциальной термо-э. д. с. в и-InSb, обусловленной эффектом увлечения! элек-
электронов потоком фононов, когда выполняется условие квантового предела ha>H ~^> kT.
Ниже всюду предполагается, что носители тока подчиняются статистике Максвелла —
Больцмана. В таких полупроводниках с помощью квантующего магнитного поля Н
можно в широких пределах изменять частоту столкновений электронов с фононами
соэл.фон. Ясно, что все кинетические характеристики электронов, зависящие от соЭл. фон>
будут также изменяться в широких пределах, как функции Н. Рассмотрим этот вопрос
подробнее в рамках простых качественных соображений, основанных на использова-
использовании закона сохранения импульса при взаимодействии электрона с фононом и на соот-
соотношении неопределенностей. По закону сохранения импульса электрон, имеющий
импульс Рэл> может взаимодействовать лишь с фононами, импульсы которых удовлет-
удовлетворяют условию hq <; рэл. При температуре фононов Т их средний тепловой импульс
равен hqT да ТЫ (s — скорость звука). Соотношение между рэл и ТЫ существенно
при изучении соэл. фОн. Так, например, объем фазового пространства импульсов фоно-
фононов, взаимодействующих с электронами, при рэл <¦? hqT определяется величиной р8лг
а не Й<?эл. В классическом случае, а также в слабых неквантующих магнитных полях,
т. е. при Йсон < кТ, имеем рэл ~ (пгкТI^2. Поэтому число фононов, взаимодействую-
взаимодействующих с электронами, зависит лишь от температуры, но не зависит от магнитного поля.
В случае квантующего магнитного поля порядок величины импульса электрона (харак-
(характеризующего его движение в плоскости, перпендикулярной к вектору Н) можно оце-
оценить с помощью соотношения неопределенностей, зная локализацию волновой функции
электрона. В квантовом пределе при кТ <¦? На>н волновая функция локализована
на магнитной длине или радиусе циклотронной орбиты гн = (сЙ/е/ГI^2(гл. 11). Отсюда
следует, что порядок величины импульса электрона равен рэл *=« Йгн. Тогда объем
фазового пространства импульсов фононов, взаимодействующих заметным образом
с электронами, будет пропорционален величине (Й/гнJ ~Н. Поскольку частота <вэл.фОВ
пропорциональна этому объему, то в квантовом пределе с помощью внешнего магнит-
магнитного поля можно «управлять» величиной <вэл. фон изменяя ее в широких пределах.
Сейчас уже нетрудно показать, что ток проводимости, обусловленный увлечением
электронов потоком фононов, созданным градиентом температуры, пропорционален
шэл.фон- При наличии такого градиента (который направлен вдоль оси х, перпендику-
перпендикулярной к вектору И) возникает поток фононов в отрицательном направлении оси х.
Плотность этого потока пропорциональна длине свободного пробега фонона: 1ф ~ s/софф
(ШФФ — частота релаксации фононов на фононах, на дефектах решетки, примесях,
границах кристаллитов, одним словом, неэлектронная часть времени релаксации
фононов).
При столкновениях электронов с фононами электроны приобретают упорядочен-
упорядоченный импульс в направлении потока фононов. Величина этого импульса пропорциональ-
пропорциональна частоте столкновений электрона с фононами соэл. фон и плотности потока фононов,
т. е. —s/шфф, тем самым импульс пропорционален отношению Шфон.эл/^фф- Поэтому
ток проводимости, обусловленный эффектом увлечения электронов фононами, опре-
определяющий величину термо-э. д. с. увлечения, также пропорционален отношению-
шэл. фон/шфф-
— 341 —

Поскольку в квантующем магнитном поле частота соэл. фон — возрастающая
функция Н, то и термо-э. д. с. увлечения также растет с увеличением поля Н. Что
касается электронной части термо-э. д. с, не связанной с эффектом увлечения, то она
обычно невелика и от поля Н зависит логарифмически. При низких температурах
этой частью термо-э. д. с. можно пренебречь. Экспериментально термо-э. д. с. увлече-
увлечения изучали в и-InSb Пури п Джебалл [178]. Они обнаружили, что термо-э. д. с.
в квантующем магнитном поле почти на два порядка величины больше ее классического
значения. Теоретический анализ этих опытов, данный Гусевой и Зыряновым [179],
позволяет по экспериментально наблюдаемой зависимости термо-э. д. с. увлечения
от Т п Н определить частотную и температурную зависимость неэлектронной части
времени релаксации фононов для частот ультразвука порядка со — s(eHlch) ^2. Этот
анализ привел к выводу, что основным механизмом релаксации продольных длинно-
длинноволновых [q 4' (eHlch) ^2] фононов являются процессы рассеяния их на продольных
же тепловых фононах (см. работы Саймонса [180], Зырянова и Талуца [181]). Этот
вывод также подтверждается прямыми измерениями коэффициента поглощения про-
продольного звука, проведенными Беммелем и Дрансфельдом [182], Чикарелло и Дранс-
фельдом [183].
В заключение укажем еще некоторые теоретические и экспериментальные работы
по гальвано- и термомагнптным эффектам в полупроводниках [184—208] и в металлах
[209-228].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 14
1. J. P. J an, Solid State Physics, vol. 5, Acad. press, New. York, 1957, p. 1.
2. A. S о m m e r f e 1 d, N. H. Frank, Rev. Mod. Phys. 3, 1 A931).
3. D. К. С M a k D о n a 1 d, K. S a r g i n s о n, Reports on Progress in Physics,
vol. 15, London, 1952, p. 249.
4. M. Dresden, Rev. Mod. Phys. 33, 265 A961).
5. И. М. Л и ф ш и ц, М. И. К а г а н о в, УФН 87, 389 A965).
6. А. С. В е е г, Galvanomagnetic Effects in Semiconductors, Acad. Press, New York,
1963.
7. R. T. D e 1 v e s, Reports on Progress, in Physics, vol. 28, London 1965, p. 249.
8. П. С 3 ы р я н о в, В. П. С и л и н, ЖЭТФ 46, 537 A964).
9. П. С. Зырянов, В. П. С и л и н, ФММ 17, 934 A964).
10. Ю. Н. О б р а з ц о в, ФТТ 6, 414 A964); 7, 573 A965).
11. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, С. В. П е л е т м и н с к и и, ЖЭТФ
40, 365 A961); 48, 204 A965).
12. П. С. Зырянов, ФТТ 5, ЗОИ A963).
13. П. С. 3 ы р я н о в, ФТТ 6, 3563 A964).
14. П. С. 3 ы р я н о в, ФММ 16, 13 A963); ЖЭТФ 47, 206 A964); Phys. stat. sol. 6,
401 A964); 7, 223 A964).
15. П. С. Зырянов, В. И. Окулов, ФТТ 7, 1749 A965).
16. В. Г. Б а р ь я х т а р, С. В. П е л е т м и н с к и й, ЖЭТФ 48, 187 A965).
17. С. В. П е л е.т м и н с к и й, ФММ 20, 777 A965); ФТТ 7, 2666 A965).
18. П. С. 3 ы р я н о в, Г. И. Г у с е в а, УФН 95, 565 A968).
19. J. M e i х n er, Ann. der Phys. 35, 701 A939); 40, 165 A941).
20. Н. В. С а 1 1 е n, Phys. Rev. 85, 16 A952).
21. Н. B.G. Casimir, Rev. Mod. Phys. 17, 343, A945).
22. H. В. С a 1 1 e n, Phys. Rev. 73, 1349 A948).
23. P. M a z u r, I. P r i g о g i n e, J. phys. et radium 12, 616 A951).
24. P. M a z u r, S. R. de G г о о t, Physica 19, 961 A953).
25. S. R. d e G г о о t, Nuovo cim. Suppl. (9) 12, 51 A954).
26. F. F i e s с h i, S. R. de G г о о t, P. M a z u r, Physica 20, 67, 259 A954).
27. R. F i e s с h i, S. R. de G г о о t, P. M a z u r, J. V 1 i e g e r, Physica 30, 245
A954).
28. S. R. de G г о о t, N. G. van К a m p e n, Physica 21, 39 A955).
29. L. G r a b n e r, I. A. Swanson, J. Mat. Phys. 3, 1050 A962).
30. W. H. Kleiner, Phys. Rev. 142, 318 A966).
31. R. F i e s с h i, Nuovo cim. Suppl. A0) 1, 1; 2, 1165 A955).
32. N.H.Frank, Zs. Phys. 63, 596; 64, 650 A930).
33. R. G ans, Ann. d. Phys. 20, 293 A906).
34. M. А. Корец, Phys. Zs. UdSSR 5, 877 A934).
35. R. А. С о 1 d w e 1 1 - H о r s f a 1 1, D. t e r H a a r, Phil. Mag. 46, 1149 A955).
36. П. Л. К а п и ц a, Proc. Roy. Soc. A123, 292 A929).
37. Y. T a n a b e, Sci. Repts. Res. Inst. Tohoku Univ. Al, 267, 275 A949); A2, 341.
531 A950); A3, 91 A951).
38. R. Peierls, Ann. der Phys. 10, 97 A931).
39. H. Jones, С Zene r, Proc. Roy. Soc. A145, 101, 268 A934).
40. L. D a v i s, Phys. Rev. 56, 93 A939).
41. Д. И. Б л о х и н ц е в, Л. Н о р д г е й м, Zs. Phys. 84, 168 A933).
42. Я. И. Френкель, Т. А. К о н т о р о в a, Phys. Zs. UdSSR 7, 452 A935).
- 342 —

43. М. К о h 1 е г, Phys. Zs. 39, 9 A938).
44. К. А г i у a m a, Sci. Rap. Inst. Phys. Chem. Res. (Tokyo) 34, 344 A938).
45. E. H. S о n d h e i m e r, A. H. W i 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A190, 435 A947).
46. E. H. S о n d h e i m e r, Proc. Roy. Soc. A193, 484 A948).
47. M. К о h 1 e r, Ann. der Phys. 6, 18 A949).
48. E. С. Б о р о в и к, ЖЭТФ 23, 83, 91 A952).
49. М. К о h I e r, Ann. der Phys. 32, 211 A938).
50. Е. J u s t i, Phys. Zs. 41, 486, 563 A940).
51. E. J u s t i, Leitfuhigkeit und Leitungsmechanismus. Ruprecht, Gottingen,
1948.
52. E. С. Б о р о в и к, В. Г. В о л о ц к а я, Н. Я. Ф о г е л ь, ЖЭТФ 45, 46"A963).
53. М. С. J о n e s, E. H. S о n d h e i m e r, Phys. Lett. 11, 112 A964).
54. И. М. Л и ф ш и ц, М. И. К а г а н о в, УФН 78, 411 A962).
55. R. G. С h a m b e r s, в сб. «Fermi-Surface», New York, 1960, p. 100.
56. И. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 30, 814 A956).
57. И. М. Л пфшиц, J. Phys. Chem. Solids 44, 11 A958).
58. И. М. Л и ф ш и ц, М. Я. А з б е л ь, М. И. К а г а н о в, ЖЭТФ 30, 220 A955).
59. И. М. Л и ф ш и ц, М. Я. А з б е л ь, М. И. К а г а н о в, ЖЭТФ 31, 63 A956).
60. И. М. Л п ф ш и ц, А. М. К о с е в и ч, ЖЭТФ 33, 88 A957).
61. И. М. Л и фш и ц, А. М. К о с е в и ч, J. Phys. Chem. Solids 4, 1 A958).
62. И. М. Л и ф ш и ц, В. Г. П е с ч а н с к и й, ЖЭТФ 35, 1251 A958).
63. И. М. Л п ф ш и ц, В. Г. П е с ч а н с к и й, ЖЭТФ 38, 188 A960).
64. Е. С. Б о р о в и к, ДАН СССР 69, 737 A949).
65. Е. С. Б о р о в и к, ДАН СССР 70, 601 A950).
66. Е. С. Боровик, ДАН СССР 75, 639 A950).
67. Е. С. Б о р о в и к, ДАН СССР 95, 485 A954).
68. Е. С. Б о р о в и к, ЖЭТФ 27, 355 A954).
69. Е. С. Б о р о в и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 429 A955).
70. Е. С. Боровик, ЖЭТФ 30, 262 A956).
71. Н. Е. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 36, 497 A959).
72. Н. Е. А л е к с е е в с к и й, Ю. П. Г а й д у к о в, ЖЭТФ 38, 1720 A960).
73. Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 37, 1281 A959).
74. М. П. Б р о н ш т е й н, Phys. Zs. UdSSR 2, 28 A932).
75. R. G. Chambers, Proc. Phys. Soc. 65A, 458 A952).
76. F. G a r с i a - M о 1 i n e r, S. S i m о n s, Proc. Cambr. Phil. Soc. 53, 848 A957).
77. M. Tsuji, J; Phys. Soc. Japan 13, 133, 818, 979 A958).
78. J.M. McClure, Phys. Rev. 101, 1642 A956).
79. R. G. С h a m b e r s, Proc. Roy. Soc. A238, 344 A956).
80. M. И. Каганов, В. Г. П е с ч а н с к и й, ЖЭТФ 35, 1052 A958).
81. Е. F a w с е t t, W. A. R e e d, Phys. Rev. 131, 2463 A963).
82. R. G. С h a m b e r s, В. К. J о n e s, Proc. Roy. Soc. A270, 417 A962).
83. F. E. Rose, M.T. Taylor, R. Bowers, Phys. Rev. 127, 1122 A962).
84. J. R. К 1 a u d e r, J. E. Kunzler, веб. «Fermi-Surface», New. York, 1960, p. 125.
85. J. R. К 1 a u d e r,. J. E. К u n z 1 e r, Phys. Rev. Lett. 6, 179 A961); Phil. Mag.
6, 1045 A961).
86. J. R. К 1 a u d e r, Bell Syst. Tech. J. 40, 1 A961).
87. R. V. С о 1 e m a n, A. J. F u n e s, J. S. P 1 a s k e t t, С M. T a p p, Phys. Rev.
133, A521 A964).
88. H. E. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 42, 69 A962).
89. Н. Е. Алексеевский, В. С. Егоров, ЖЭТФ 45, 388 A963).
90. W. A. R е е d, G. F. В г е n n e r t, Phys. Rev. 130, 565 A962).
91. R. W. S t а г к, Т. G. Е с k, W. L. G о г d о n, Phys. Rev. 133, A443 A964).
92. Ю. П. Г а й д у к о в, Е. С. И ц к е в и ч, ЖЭТФ 45, 71 A963).
93. М. G. P r i e s t 1 е у, L. M. F а 1 i с о v, G. Weisz, Phys. Rev. 131, 617 A963).
94. Н. Е. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 43, 2094 A962).
95. В. Г. В о л о ц к а я, ЖЭТФ 44, 80 A963).
96. R. J. В а 1 с о m b e, Proc. Roy. Soc. A275, ИЗ A963).
97. W. A. R e e d, J. A. M a r с u s t, Phys. Rev. 126, 2398 A962).
98. В. Г. В о л о ц к а я, ЖЭТФ 45, 49 A963).
99. A. R. М а с k i n t о s h, L. A. S p a n е 1, R. С. J о u n g, Phys. Rev. Lett. 10,
434 A963).
100. H.'E. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, И. М. Л и ф ш и ц,
В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 39, 1201 (i960).
101. Н. Е. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 31, 354 A961).
102. J.E.Schirber, Phys. Rev. 131, 2459 A963).
103. W. S. В о у 1 е, G. E. S m i t h, Progress in Semiconductors, vol. 7, Hevwood, Lon-
London, 1963, p. 1.
104. G. N. Rao, N. H. Zebouni, C. G. Grenier, J.M.Reynolds, Phys.
Rev. 133, A141 A964).
105. E. В u d n i k, E. F a w с e t t, W. A. R e e d (не опубликовано).
106. E. F a w с е t t, Phys. Rev. 128, 154 A962).
107. E. F a w с e t t, W. A. R e e d, Phys. Rev. 134, A723 A964).
- 343 —

108. Н. Е.Алексеевский и др., ЖЭТФ 44, 1116 A963).
109. W. A. R e e d, E. F a w с е 11, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 478 A962).
110. H. E. А л е к с е е в с к и й, В. С. Егоров, Г. Е. К а р с т е н с, Б. Н. Ка-
Казак, ЖЭТФ 43, 731 A962).
111. E. F a w с е t t, Adv. Phys. 13, 139 A964).
112. В. Н. К а ч и н с к и й, ДАН СССР 135, 818 A960); ЖЭТФ 41, 665 A961).
ИЗ. Н. В. Волкенштейн, В. Н. К а ч и н с к и й, Л. С. Старостина,
ЖЭТФ 45, 43 A963).
114. В. Е. Старцев, Н. В. Волкенштейн, В. А. Новоселов, ЖЭТФ
51, 1311 A966).
115. Н. В. Волкенштейн, В, А. Новоселов, В, Е. Стапцев ФММ 22
175*A966); 24, 677 A967).
116. L. Esaki, Phys. Rev. Lett. 8, 4 A962).
117. С. Г. Калашников, ФТТ 6, 2435 A964).
118. S. T i t e i с a, Ann. der Phys. 22, 128 A935).
119. Б. И. Давыдов, И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 10, 1294 A940).
120. Р. N. Ar'gires, E. N.Adam s, Phys. Rev. 104, 900 A956).
121. И. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 30, 774 A956).
122. R. К u b о, Canad. J. Phys. 34, 1279 A956); Phys. Rev. Lett. 1, 279 A958).
123. R. К u b о, et al. I, Phys. Soc. Japan. 14, 56 A959).
124. E. N. A d a m s, T. D. Hro 1 s t e i n, J. Phys. Chem. Solids 10, 254 A956).
125. R. Kubo, S. Mayake, N. Hashitsume, Solid. State Physics, vol. 17,
Acad. press New York, 1965, p, 270.
126. P. A r g i r e s, Phys. Rev. 117, 315 A960).
127. R. S 1 a d e k, J. Phys. Chem. Solids 16, 1 A960).
128. X. И. А'м и p x а н о в, Р. И. Б а ш и р о в, Ю. Э, 3 а к и е в, ЖЭТФ 41, 1699
A961).
129. С. Herring, J. Appl. Phys. 31, 1939 A960).
130. L. W. S h u b n i k о v, W. de Haas, Proc. Amst. Acad. 33, 418 A930).
131. W. I. de H a a s, L. W. S h u b n i k о v, Leid. Comm. 207, 210 A930).
132. Ю. А. Б ы ч к о в, ЖЭТФ 39, 1401 A960).
133. Н. R.Fred e r i k s e, W. Hosier, Phys. Rev. 108, 1136 A957); 110, 886 A958).
134., W. В е с к е г, Т. Y e p, Bull. Am. Phys. Soc. 10, 106 A965).
135. С, Т. П а в л о в, Р. В. П а р ф е н ь е в, Ю. А. Ф и р с о в, С. С. Ш а л ы т,
. ЖЭТФ 48, 1565 A965).
136. Y. Eckstein, J. В. Ketterson, Phys. Rev. 137, A1777 A965).
137. Ch. R. Whifsett, Phys, Rev. 138, A829 A965),
138. L. G. H у m a n, L. S i к 1 о s s y, Phys. Rev. 139, A271 A965),
139. J. R. В u г к e, Jr., R, S. A 1 i g a i r, B. B. Houston, Jr., J. В a b i s к i n,
P. G. Siebenmann, Phys. Rev. Lett. 14, 360 A965).
140. T. O. Y e p, W. M. В е с к е r, Phys. Rev. 144, 741 A966).
141. G. A. A u t d i f t e, R. A. S t r a d 1 i n g, Phys. Lett. 20, 119 A966).
142. E. В r a u n, G. L a n d w e h r, Zs. Naturforsch. 21a, 495 A966).
143. H. R. Frederikse, W. R. Hosier, W. R. T h u r b e r, J. В a b i s к i n,
P. G. Siebenmann, Phys. Rev. 158, 775 A967). '
144. B. L. В о о t h, A. W. E w a 1 d, Phys. Rev. Lett. 1Й, 491 A967).
145. W. G i r i a t, Phys. Lett. 24A, 515 A967).
146. P. Drath, G. Lavdweher, Phys. Lett. 24A, 504 A967).
147. J. R. S у b e r t, H. J. M а с к е у, R. Б. M i 1 1 e r, Phys. Lett. 24A, 655 A967).
148. R. I. В a s h i г о v, Phys. Lett. 25A, 593 A967).
149. I.Konop'ka, Sol. State. Comm. 5, 809 A967).
150. H. M i у a z a w a, H. I к о m a, H. M a e d a, Sol. State Comm. 5, 847 A967).
151. M. N а к a m u r a, J. Phys. Soc. Japan 22, 830 A967).
152. Л. С. Д у б и н с к а я, Г. Е. П и к у с, И. И. Ф а р б ш т е й н, С. С. Ш а л ы т,
ЖЭТФ 54, 754 A968).
153. Л. С. Д у,б и н с к а я, В. А. Н о с к о в, И. Г. Т а гп е в, И. И. Ф а р б ш т е й н,
С. С. Ш а л ы т, Письма ЖЭТФ 8, 79A968).
154. М. Yamamoto, J. Phys. Soc. Japan, 24, 73 A968).
155. В. Л. Г у р е в и ч, Ю. А. Ф и р с о в, ЖЭТФ 40, 198 A961); 47, 734 A964).
156. М. И. К л и н г е р, ФТТ 3, 1342 A961).
157. S. P u r i, Т. G e b a 11 e, Bull. Am. Phys. Soc. 8, 309 A963).
158. С. С. Ш а л ы т, Р. В. П а р ф е н ь е в, В. М. М у ж д а б а, ФТТ 6, 647 A964);
ЖЭТФ 47, 444 A964).
159. И. М.Цидильковский, М. М. Аксельрод, В. И. Соколов, ФТТ
7, 316 A965).
160. М. М. Аксельрод, И. М. Цидильковский, В. И. Соколов,
Phys. stat. sol. 8, К15 A965).
161. И. М. Ц и д и'л ь к о в с к и'й и др., Phys. stat. sol. 9, К91 A965).
162. И. М. Цидильковский, М. М. Аксельрод, Proc. Intern. Conf. Semi-
cond. Phys. Kyoto, 1966, p. 362.
163. M. M. Аксельрод, И. М. Цидильковский, Письма ЖЭТФ 4, 205
A966).
- 344 —

164. М. М. А к с е л ь р о д, В. И. Со колов, И. М. Цидильковский,
Phys. stat. sol. 9, К163 A965).
165. В. И. Соколов, И. М. Цидильковский, ФТП 1, 835 A967).
166. Р. В. П о м о р ц е в и др, ЖЭТФ 54, 1348 A968).
167. Д.В.Машовец и др., ЖЭТФ 47, 2007 A964).
168. И. М. Цидильковский, М. М. Аксельрод, 3. И. Урицкий,
Phys. stat. sol. 12, 667 A965).
169. Ю. А. Ф и р с о в, С. Т. П а в л о в, ЖЭТФ 49, 1664 A965).
170. Т. К a s u у a, J. Phys. Soc. Japan 14, 410 A959).
171. S. N a k a j i m a, Prog. Theor. Phys. 20, 948 A958).
172. С. В. Пелетминский, В. Г. Барьяхтар, ФТТ 7, 446 A965).
173. П. С. Зырянов, В. П. Калашников, ФММ 18, 166 A964).
174. В. И. О к у л о в, ФТТ 8, 2405 A966).
175. М. С. S t e e I e, J. В a b i s k i n, Phys. Rev. 98, 359 A955).
176. I. E. К u n z 1 e r, F. S. L. H s u, W. S. В о у 1 e, Phys. Rev. 128, 1084 A962).
177. G. A. A n t с 1 i f f e, R. A. S t r a d 1 i n g, Phys. Lett. A20, 119 A966).
178. S. M. P u r i, T. H. G e b a-1 1 e, Phys. Rev. 136, A1767 A964).
179. Г. И. Г у с е в а, П. С. 3 ы р я н о в, Phys. stat. sol. 8, 759 A965).
180. S.Simons, Proc. Phys. Soc. 83, 749 A964).
181. П. С 3 ы р я н о в, Г. Г. Т а л у ц, ЖЭТФ 49, 1942 A965).
182. Н. Е. В 6 m m е 1, К. D r a n s f e 1 d, Phys. Rev. 117, 1245 A960).
183. J.S. Ciccarello, K. D. Dransfeld, Phys. Rev. 134, A1517 A964).
184. В. Н. Л у ц к и й, А. А Жирное, М. И. Е л и н с о н, ФТТ 7, 521 A965).
185. В. С. Л ь в о в, ФТТ 7, 1680 A965); 8, 1351 A966).
186. В. А. К у д и н о в, Б. Я. М о й ж е с, ФТТ 7, 2309 A965).
187. И. И. Фарбштейн и др., ФТТ 7, 2383 A965).
188. Р. Г. Т а р х а н я н, ФТТ 7, 2688 A965).
189. Л. С. Д у б и н с к а я, ФТТ 7, 2821 A965).
190. А.И. А н с е л ь м, Ю. Н.О бр а з ц о в, Р. Г. Т а р х а н я н, ФТТ 7, 2837A965).
191. Э. А. Завадский, Ю. Т. К о в р и ж н ы х, И. Г. Ф а к и д о в, ФТТ 7,
3582 A965).
192. J. McKenna, H. L. Frish, Ann. of Phys. 33, 156 A965).
193. К. Д. Ц э н д а л, А. Л. Э ф р о с, ФТТ 8, 378 A966).
194. Е. Г. Стрельченко, ФТТ 8, 965 A966).
195. С. И. П е к а р, ФТТ 8, 1115 A966).
196. М. И. Д а у н о в, ФТТ 8, 1574 A966).
197. М. Е р е ж к о в, ФТТ 8, 1807 A966).
198. А. В. К а л ю ш, ФТТ 8, 1859 A966).
199. Г. И. Г у с е в а, П. С. Зырянов, ФММ 24, 1124 A967); Phys. stat. sol. 25,
775 A968).
200. О. Beckmanet al., Phys. Rev. Lett. 18, 773 A967).
201. L. M. R о t h, S. H. G г о v e s, P. W. W у a t t, Phys. Rev. Lett. 19, 576 A967).
202. M.A.Kinc h, Phys. Lett. 24A, 23 A967).
203. К. Д. Т о в с т ю к, П. И. В о р о н ю к, Phys. stat. sol. 23, 75 A967).
204. А. Г. Самойлович и др., Phys. stat. sol. 23, 229 A967).
205. С. N. Р 1 a v i t u, Phys. stat. sol. 24, 361 A967).
206. J. H. W i 1 s о n, W. F. L о v e, S. С M i 1 1 e r, Phys. Rev. 165, 923 A968).
207. В. П. К а л а ш н и к о в, А. М. 3 л о б и н, Phys. stat. sol. 28, 105 A968).
208. Б. М. А с к е р о в, Ф. М. Г а ш и м з а д е, Phys. stat. sol. 28, 783 A968).
209. М. С. Jones, E. H. S о n d h e i m e r, Phys. Rev. 155, 567 A967).
210. D. J. S e 1 1 m у e r, J. A h n, J. P. J an, Phys. Rev. 161, 618 A967).
211. R. С Y о u n g, Phys. Rev. 163, 676 A967).
212. R. S. Newbower, J. E. Neighbor, Phys. Rev. 18, 538 A967).
213. D. С T s u i, R. W. S t a r k, Phys. Rev. Lett. 19, 1317 A967).
214. Ch. С. С h e n, S. F u j i t a, J. Phys. Chem. Solids, 28, 607 A967).
215. J. Kolodziejczak, Phys. stat. sol. 19, 373 A967).
216. A. Seeger, E. Mann, K. Clausecker, Phys. stat. sol. 24, 721 A967).
217. H. E. Алексеевский и др., ЖЭТФ, 54, 350 A968).
218. Ю. А. Б о г о д, В. Б. К р а с о в и ц к и й, Письма ЖЭТФ 7, 301 A968).
219. Ю. А. Б о г о д, В. В. Е р е м е н к о, ФММ 25, 175 A968).
220. А. М. 3 л о б и н, ФММ 25, 605 A968).
221. J. W. М с С 1 u r e, W. J. S р г у, Phys. Rev. 165, 809 A968).
222. J. M. Dishman, J. A. R а у n e, Phys. Rev. 166, 728 A968).
223. K. T a n a k o, S. K. S u r i, A. L. J a i n, Phys. Rev. 170, 664 A968).
224. J. R. R ei t z, A. W. О v e r h a u s e r, Phys. Rev. 171, 749 A968).
225. R.B.Thomas, Jr., Phys. Rev. 171, 827 A968).
226. H. F. В u d d, Phys. Rev. Lett. 20, 1099; 21, 425 A968).
227. A. P. Clark, R.L.Powell, Phys. Rev. Lett. 21, 802 A968).
228. Ю. А. Б о г о д и др., Phys. stat. sol. 28, К155 A968).

Глава 15
МАГНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Под магнетооптическими явлениями в широком смысле понимают эффекты, про
исходящие при взаимодействии света *) с веществом обязательно в присутствии внеш-
внешнего магнитного поля (не связанного с электромагнитным полем световой волны).
В гл. 2 уже рассматривалось одно важное магнетооптическое явление — аффект
Зеемана, заключающийся в изменении частоты света, излучаемого атомами, помещен-
помещенными во внешнее магнитное поле. В гл. 13 было исследовано другое магнетооптическое
явление — циклотронный резонанс. Здесь будет кратко описано, что происходит
со светом, проходящим через вещества, подвергнутые воздействию внешнего магнитно-
магнитного поля [при этом источник света находится вне действия этого магнитного поля,
см. Хвольсон A923), Френкель A935), Ван-Флек A932), М. Борн A937), Волькенштейн
A951), Ландау и Лившиц A957), Соколов A961)].
Рассмотрим прежде всего два основных магнетооптических явления с распро-
распространением линейно поляризованного света через однородно намагниченное вещество,
лишенное собственных атомных магнитных моментов: 1) вращение плоскости поляри-
поляризации света, если луч света распространяется параллельно вектору магнитного поля,—
аффект Фарадея и 2) магнитное двойное лучепреломление, если луч света распростра-
распространяется перпендикулярно к направлению магнитного поля,— аффект Коттона —
Мутона или Фохта. Прежде всего остановимся на элементарной макроскопической
теории этих явлений.
§ 1. Феноменологическая теория эффекта Фарадея
и эффекта Коттона — Мутона (Фохта)
Если вещество помещено во внешнее магнитное поле, то, даже будучи изотроп-
изотропным при Н = 0, оно становится анизотропным по отношению к внешним электромаг-
электромагнитным и другим воздействиям. Мы начнем с рассмотрения более общего случая веществ
(кристаллов), когда благодаря их анизотропной внутренней структуре оптические
свойства становятся анизотропными и характеризуются тензорами диэлектрической
(е,{к) и магнитной (|Л;^) проницаемости. Компоненты этих тензоров определяют связь
между компонентами векторов электрической (D) и магнитной (В) индукции и слагаю-
слагающими векторов соответствующих напряженностей поля (Ж и Н) **):
Di = eikEk, Bi = nikHk (i, fe=l, 2, 3). A5.1)
Как обычно, если в одночленном выражении встречается по два одноименных
индекса, это означает суммирование по всем их возможным значениям (в данном слу-
случае от 1 до 3). В наиболее общем случае формулы A5.1) могут быть записаны так:
A5.1a)
где Doi и Boi— «спонтанные» значения индукции в случае пироэлектрического или
ферромагнитного кристалла.
Тензоры n;fe и s,ik, естественно, зависят от термодинамических величин, харак-
характеризующих состояние вещества (температуры Т, давления р и т. п.), от его структуры
и химического состава. Помимо этого, они также зависят от частоты внешнего электро-
электромагнитного поля ***), а также и от напряженностей внешних статических полей
Же и Не, наложенных на вещество, через которое пропускается электромагнитная
волна. Эта зависимость от магнитного поля, e;fe (He), ^,ik (He), и определяет характер
*) Под светом здесь'подразумевают не только видимую, инфракрасную и ультра-
ультрафиолетовую области спектра, но также миллиметровые, субмиллиметровые и сантимет-
сантиметровые (СВЧ) электромагнитные волны.
**) Тензоры eife и |Л;Ь при со фО связывают компоненты не самих напряженно-
напряженностей полей, а их фурье-компоненты. В случае плоских волн эта оговорка не нужна.
***) При очень больших значениях напряжедностей поля может также нару-
нарушиться и линейная связь A5.1). Тогда тензоры s,ik и \ilk сами будут функциями ампли-
амплитуд электромагнитного поля.
- 346 —

магнетооптических эффектов; ее конкретный вид можно получить лишь с помощью
микроскопической теории вещества, взаимодействующего с электромагнитным полем.
Однако из общих термодинамических соображений в статическом случае (со -> 0) или
из обобщенного принципа симметрии кинетических коэффициентов (Онзагер [1],
Каллен [2]) можно (при со Ф 0) между компонентами тензоров e;fe и \xik установить
некоторые универсальные соотношения симметрии *).
Для того чтобы вывести соотношения симметрии (сначала для случая со = 0),
необходимо воспользоваться основным уравнением первого и второго начал термоди-
термодинамики для диэлектрической среды. По аналогии с магнитной средой [см. формулы
E.2), E.3)] будем иметь
1
dF= — S dT + t dp'A--—Е dD, A5.2)
где A/4л) JS dD — плотность «электрической работы», равной изменению свободной
энергии dF при изотермическом процессе (dT = 0) и постоянной плотности вещества
(dp' = 0), ? — химический потенциал, S — плотность энтропии. Часто бывает удоб-
удобнее в качестве термодинамической «координаты» пользоваться полем Е, а не индукцией
D. Для этого надо перейти от Fk другому термодинамическому потенциалу F' [см. E.4)]:
F>=F—zrMD- A5-3)
Тогда A5.2) примет вид
1
dF'= —SdT-\-tdp' ;—DdJE, A5.4)
1 в г 4я
D=— 4л/-^Л # A5.5)
Если от каждой г-й компоненты векторного равенства A5.5) взят производную
по «координатам» Е^ и использовать A5.1), то будем иметь
Так как d2F'/dEi dEk=d2F'/dEkdEt, из A5.6) сразу находим, что тензор е;& сим-
симметричен, т. е.
eih = ehi. A5.7)
Интегрируя A5.4) и используя A5.1), находим для свободных энергий диэлектрика
F' = F0(T, p')_^-BtkEiEk, F = F0(T,p')+-±rB$DiDk. A5.8)
Симметричный тензор второго ранга eife можно, как известно, привести к главным осям
т. е. к диагональному виду: eik = Zitfiik-
В зависимости от симметрии кристалла может быть три случая:
1) Все диагональные элементы тензора е,Ш равные — оптически двуосный кри-
кристалл (триклинная, моноклинная и ромбическая системы).
2) Два диагональных элемента тензора одинаковы, но не равны третьему. Это
случай одноосного кристалла (ромбоэдрическая и гексагональная системы).
3) Изотропные кристаллы, в которых все три диагональных (главных) значения
тензора гш = ебг-^ совпадают (кубические кристаллы, изотропные жидкости и газы).
Более сложным является случай переменного электромагнитного поля (со Ф 0)
когда одновременно включено внешнее статическое поле Не. Для установления
и в этом случае свойств симметрии коэффициентов eife необходимо воспользоваться
обобщенным принципом симметрии кинетических коэффициентов [1, 2]. Не имея воз-
возможности остановиться на изложении этого принципа, отсылаем читателя к моногра-
монографии Ландау и Лифщица A957). Из этого принципа следует, что при Не = 0, но при
со Ф 0 тензор по-прежнему симметричен:
eife(co) = efei(co). A5.9)
Если же среда прозрачна (отсутствует поглощение), то
е|кИ = е&(<о), A5.9а)
*) Поскольку здесь рассматриваются лишь «слабомагнитные» тела, то ниже везде
считается, что магнитная восприимчивость близка к нулю и, следовательно, тензор
Hife (со) « 8ife и сводится к скаляру. Таким образом, среда считается немагнитной по от-
отношению к переменному электромагнитному полю света. Этим, однако, не исключается,
что среда может иметь отличную от единицы статическую проницаемость |л.
- 347 —

откуда в силу A5.9) вытекает условие вещественности всех eik. Однако в присутствии
постоянного магнитного поля Ше, как это следует из обобщенного принципа Онзагера,
тензор eife (со, Не) уже несимметричен и должен удовлетворять условию
егь(со, JTe)=efei(co, -He). A5.10)
Тогда из A5.10) и A5.9) следует, что этот тензор для случая прозрачной среды не веще-
вещественный, а лишь эрмитовский, т. е. его вещественная часть гщ симметрична, а мнимая
zik антисимметрична (e;fe = eih-\-is,ik):
e'ife(co, Я"е) = е?{ (ш, Не) =
eife(w. не) = — ей К Не)
Eife(co- -He), I
Из A5.11) следует, что в прозрачной среде компоненты eife — четные, a e,'ik — нечет-
нечетные функции поля Не. Наряду с тензором диэлектрической проницаемости e,ik удобна
рассматривать также обратный тензор eife, обладающий теми же свойствами симмет-
симметрии, который можно обозначить так:
e^ = T)ife = T):fe+'TlW Ei = r)ikDk. A5.12)
Заметим, что i\'ik ф (е'^)'1 и r]"ik ф (ejy1.
Из тензорной алгебры известно, что антисимметричный тензор второго ранга
эквивалентен аксиальному вектору. Антисимметричные тензоры e."ih и T)?fe обозначим
соответственно через д и G. Соотношения между e^k иди r\^k и G можно записать
с помощью совершенно антисимметрического тензора третьего ранга еш *):
A5.13)
Поэтому
»Ж г » ",, r J,,Z f ( A5.13а)
С помощью векторов див формулы A5.1) и A5.12) можно записать в виде
, . [ A5.14)
Связь между коэффициентами в первом и втором уравнении A5.14) дается сле-
следующими соотношениями **):
гДе II eih II и II e^fell — определители тензоров eik и elk.
Вектор д носит название вектора гирации, а среду с зависимостью М от D типа
A5.14) именуют гиротропной средой.
Для того чтобы выяснить характер распространения света в гиротропной среде
при произвольном значении поля Не, надо воспользоваться решением общей задачи
распространения электромагнитных волн в анизотропном веществе (немагнитном, т. е.
с \>4k (ш) = fyfei и прозрачном), для которой зависимость индукции от времени дается
фактором ехр (—icoi). Ограничимся случаем монохроматической плоской волны. Тогда
уравнения Максвелла
rot^=_l^, rot *-!*?. A5.15)
с dt с dt '
примут вид
icoJT=crot JE, icoi>=— с rot H. A5.16)
Зависимость Е, ?>,ШиВ плоской волны, распространяющейся в прозрачной среде,
от г пропорциональна ехр [i (кг)], где к—вещественный (нет затухания!) волновой
*) Очевидно, что e123 = e3i2=e23i = l = —e32i=— em=—e2i3> BCe остальные
компоненты с двумя или тремя одинаковыми индексами равны нулю.
**) Вывод этих соотношений см., например, в задаче к § 21 книги Ландау
и Лифшица A957).
- 348 —

вектор. Произведя дифференцирование по координатам в правых частях A5.16),
находим
— Н=[кЩ, — Л=— [кН]. A5.17)
Введем вектор п по формуле
fc = — n, A5.18)
тогда уравнения A5.17) примут вид
Н=[пЕ], D= — [nH]. A5.19)
Подставляя Н =[пЕ\ в выражение для D, получим вместо A5.19)
D = [ot[JE-ot]] = »2JS—от(от-15). A5.20)
В изотропном случае [(пЕ) = Щ, используя A5.1) с enl = e6ik, находим из A5.20)
п2 = е, A5.21)
где п—показатель преломления *). В анизотропном случае A5.20) с учетом A5.1)
дает **)
A5.22)
Если нас интересует вопрос о поляризации электромагнитной волны в анизотропной
гиротропной среде, необходимо еще раз напомнить, что вектор п (или к) перпендику-
перпендикулярен не к Е, а к D. Пусть одна из координатных осей, скажем Oz, направлена вдоль
вектора к (или п). Две другие (поперечные) координатные оси обозначим через а, Р =
= х, у. Поперечные составляющие уравнения A5.20) будут тогда иметь вид Ьа =
= п2Еа. Подставляя сюда Еа = T)ag.D|3> находим
>р = 0. . A5.23)
Выберем теперь оси х, у вдоль главных осей двумерного тензора т)^6, главные зна-
значения которого обозначим п^ и п^у. Тогда в силу A5.13) уравнения A5.23) примут
вид
A5.24)
Из условия совместимости этой системы однородных уравнений находим
Если статическое поле 1Ге = 0, то антисимметричная часть тензоров е,^ и т)^
отсутствует (е^ = T)?fe = 0) и, следовательно, равен нулю вектор гирации. д = G = 0,
и п = п или по Однако при Н Ф 0 п и п в A524) отличаются й
уу (^ )fe ) , д, р ую ектор гирации. д = G 0,
и п = пОх или поу. Однако при Не Ф 0 пОх и пОу в A5.24) отличаются от значений
при Не = 0, ибо от Не зависит не только вектор G, но и тензор T)-fe.
Исключая га~2 в A5.24) с помощью A5.25), нахоим ля он
т индукции
\DX)± Gz\2\n2x n2y) L4 Vn
Не = 0, ибо от Не зависит не только вектор G, но и тензор T)-fe.
Исключая га~2 в A5.24) с помощью A5.25), находим для отношения поперечных
компонент индукции
*) Заметим, что формула A5.20) примет более простой вид в изотропной среде,
где п 1 Е, и, следовательно, (от-.Е) = 0. В анизотропной же среде хотя и 1 В, но век,
тор .D в общем случае не параллелен вектору Е. В анизотропном случае \п | тоже
обычно называют показателем преломления, однако его связь с законом преломления
света не столь проста, как в изотропном случае.
**) Условие совместимости уравнений A5.22) (г = х, у, z) требует обращения
в нуль определителя из их коэффициентов:
- 349 —

Чисто мнимое значение этого отношения означает, что волна в среде эллиптически
поляризована и главные оси эллипса совпадают с осями ж и у. Из A5.26) видим, что
т. е. если
то
{Dy).-=±
где а — вещественное число. Это означает, что отношения главных осей эллипсов
поляризации одинаковы, но эллипсы повернуты друг относительно друга на угол 90°,
а направления вращения в них противоположны.
Выясним характер зависимости вектора G и тензора щк от статического поля Не.
Поскольку G = 0 при Не— 0 и, кроме того, слагающие этого вектора (как и эквива-
эквивалентный ему тензор т)^) — нечетные функции поля, то в слабых полях в первом прибли-
приближении будем иметь
Gt = aik(He)k, A5.27)
где тензор второго ранга а^, вообще говоря, несимметричный. Компоненты симмет-
симметричного тензора r\'ik должны быть четными функциями Не, т. е. в первом прибли-
приближении имеем
Tlife = Tlife)' + ^feim {Не)г {Не)т, A5.28)
где fiikim — тензор 4-го ранга. Не останавливаясь более на случае анизотропных гиро-
тропных сред, рассмотрим более простой случай изотропной зиротропной среды
с T)ife = E^"]6;fe, где е0 — диэлектрическая постоянная среды при Не = 0. В рассматри-
рассматриваемом случае A5.14) дает
JS = — D+l[DG\, Л
ео [ A5-29)
где
G= %-д- A5.30)
ео
Формула A5.27) при этом принимает вид
д=аНе. A5.31)
Скалярный коэффициент а может быть как положительным, так и отрицательным.
В уравнениях A5.24) теперь имеем «ож = пОг/ = по = ео • Вместо A5.25) будем иметь
J _1__
или, в том же приближении,
n%=nl±nlGz = nl + gz- A5.32)
Из A5.26) в данном случае находим, что
Dx = +iDy. A5.33)
Следовательно, в изотропной гпротропной среде мы имеем дело с круговой поляризацией
(| Dx | = | Dy |) и с двумя, право- и левополяризованной, волнами [два знака в A5.33)].
Различие показателей преломления для этих двух волн [п_фп+ъ A5.32)] означает, что
при вхождении плоской волны в гиротропную среду возникают две поляризованных
по кругу преломленных волны, то есть имеет место двойное круговое преломление.
Пусть линейно поляризованная плоская волна (Е || D \\ Ох) падает из вакуума
нормально (вдоль оси Oz) на плоскопараллельную гиротропную пластинку толщиной I.
Такую волну можно представить как сумму двух волн, поляризованных по кругу,
с противоположными направлениями вращения, которые, после перехода в гпротроп-
ную среду, будут в ней распространяться с различными скоростями (из-за различия
волновых векторов: к± = —п±)- Обозначив амплитуду волны через Do, имеем
-Do
Dx = —w- [exp (ik
ID > (l5-34)
Dy=~- [ — exp (ife+z) + exp (ik_z)\.
— 350 —

Введя обозначения
найдем
Dx = Do exp (ikz) cos xz, Dy = D0 exp (ifcz) sin xz,
где 0<;z<;Z. При выходе волны из гиротропной пластинки находим согласно
A5.32)
если принять, что в+-)~»_ « 2 п0. Вещественность отношения A5.34а) указывает, что
при выходе из пластинки в вакуум волна опять становится линейно поляризованной,
но повернутой относительно первоначального направления поляризации на угол к1.
Это явление поворота направления поляризации света после прохождения гиротроп-
гиротропной среды носит название эффекта Фарадея. Угол поворота пропорционален пройден-
пройденному волной пути. Угол удельного (на единице длины) вращения вдоль направления
волнового вектора равен [в силу A5.34)]
Dy л , cog cos ft coacosft „ ,.._ огч
—=х(п_-п+) = ^-_ = ^-_Яе, A5.35)
где ft— угол между векторами д (или Не) и к' (или от). При заданном направлении маг-
магнитного поля Не при изменении знака к направление вращения в волне (по отношению
к оси вдоль вектора к) меняется на обратное: правое ^ левое. Поэтому, если в гирот-
роппой среде луч испытывает многократные внутренние отражения от поверхностей
пластинки, то углы вращений будут аддитивно складываться. Связь х с напряженно-
напряженностью поля Не была установлена на опыте еще Фарадеем в 1846 г. и имела вид
x = RvHe, A5.35а)
где Ry — так называемая постоянная Верде.
Когда волновой вектор к перпендикулярен к полю Не, т. е. ft= л/2, линейный
эффект по полю, даваемый формулой A5.32), исчезает (поскольку gz = g cos ft = 0).
Поэтому при ft || л/2 следует учитывать высшие члены в разложениях вектора д и
тензора \{ih по полю (начиная с квадратичных). В силу аксиальной симметрии вокруг нап-
направления магнитного поля Не два главных значения симметричного тензорат)гй будут, как
и в случае одноосного кристалла, одинаковыми. Направление луча по-прежнему сов-
совмещаем с осью Oz, а направление поля Не — с осью Ох; главные значения rjifc вдоль
и поперек магнитного поля обозначим через т)|,ит)^; их разность будет пропорциональ-
пропорциональна Н%.
Чисто квадратичный эффект при от J. д носит название эффекта Коттона—Муто-
Коттона—Мутона или Фохта *). В данном случае в уравнениях A5.24) и A5.25) следует положить
Gz = 0, п\х = т)ц и п1у = t)j_. Одно решение примет вид
_L = T) Dy = 0, A5.36)
"II
т. е. линейно поляризованной волны, с вектором D вдоль оси х, т. е. векторы D и Не
параллельны друг другу. Это так называемый обыкновенный луч.
Второе решение:
-i-=T),s Dx = 0, A5.36а)
т. е. линейно поляризованная волна, с вектором D вдоль оси г/, т. е. векторы D и Не
перпендикулярны друг другу. Это так называемый необыкновенный луч. Пусть на пло-
плоскопараллельную пластинку из гиротропного изотропного вещества, находящуюся
в параллельном ее плоскости поле Ше, падает нормально линейно поляризованная
волна. В гиротропной среде будут распространяться две волны — обыкновенная и не-
необыкновенная с векторами D, соответственно лежащими в плоскостях xz и ух. По выхо-
выходе из гиротропной пластинки свет оказывается эллиптически поляризованным. Это
есть явление магнитного двойного лучепреломления. Разность фаз Д двух лучей на
на единице длины пластинки эмпирически может быть выражена формулой
Д= (п л —п±)-^-= АкмНе, A5.37)
*) Впервые он наблюдался в 1907 г. Коттоном и Мутоном [3], в затем более под-
подробно изучен Фохтом [4].
- 351 —

где со —частота света, а ^4^11 — постоянная Коттона — Мутона; последняя зависит
в общем случае от природы вещества, длины волны света и температуры.
Познакомившись достаточно подробно с общими чертами феноменологической
теории магнетооптических явлений, обратимся к краткому изложению их микроско-
микроскопической теории, учитывающей электронную структуру вещества.
§ 2. Микроскопическая теория
Следует различать магнетооптику газообразных тел, т. е. систем практически
не взаимодействующих друг с другом атомов или молекул, и магнетооптику конден-
конденсированных тел, в которых, наряду с системой ионных остовов (подвижной в жидко-
жидкостях и плазме и слабо колеблющейся и упорядоченной в кристаллах), имеется система
коллективизированных электронов (ферми-жидкость электронов проводимости в ме-
металлах и полупроводниках и «неподвижная» электронная система, осуществляющая
химическую связь в кристаллах диэлектриков).
В последнее время (с 1956 г.) магнетооптическим явлениям в полупроводниках
уделяется очень большое внимание (см. обзоры [5—7]), поскольку изучение этих явле-
явлений дает весьма ценную информацию об электронной (зонной) структуре этих веществ.
1. Классическая электронная теория магнетооптических эффектов, а. Общее
рассмотрение. Остановимся на элементарной лоренцевской квазиклассической теории
магнетооптических эффектов.
Пусть электрическое поле световой волны F частоты со с учетом лоренцевской
поправки можно записать в виде
где jBo— амплитуда электрического поля, Р и Ро — вектор поляризации и его ампли-
амплитуда. Тело помещено во внешнее однородное постоянное магнитное поле Не =
=Hehe (he—постоянный единичный вектор поля). Тогда уравнение движения свя-
связанного электрона под действием поля F примет вид
• • • еНе • е2
р-\-ЩР~\~уР [phg] =—Fo ехр (icot), A5.38)
где р = ег— электрический момент электрона в атоме, у — постоянная затухания,
Y=x~1, где т—время релаксации, со0 — собственная частота электрона в атоме. Ищем
решение A5.38) в виде
р =Ро ехр (гсог). A5.39)
Подставляя A5.39) в A5.38) и производя суммирование по всем N электронам в еди-
единице объема: ^ Po = -f(b находим
ед. об.
Eo = aPo-i$[Pohe], A5.40)
где
'« 4л . Я„со .._ ,,,
3 ' м~ Nee '
Если электромагнитное поле имеет вид плоской световой волны *)
Е = Е0 ехр г» It — J , Н = Н0 ехр ico (t 2—
то уравнения поля после замены Ео по A5. 40) примут вид
, [rotJT = -(i;
)]=He, [rotJE = —i
n'o (а'Ро-ф [Pohe]) =0, [div (Е+ЫР) =0],
где а'=а-|-4я.
Уравнения A5.42) в рамках сделанных предположений описывают все магнетооп-
тические эффекты. Рассмотрим два частных случая: Не \\ п'о (эффект Фарадея)
и Не _1_ п'о (эффект Коттона —Мутона).
*) Здесь вектор п'о означает орт волновой нормали [в отличие от вектора п,
введенного в формуле A5.18)].
— 352 —

б. Эффект Фарадея, В этом случае he || п'о и уравнения A5.42) примут вид
—с-[пЬШе] = а'Ро-$[Роп'о], A5.43а)
-?- К («Ро-'Р [Р0<]) = Не, A5.436)
«(а'-Ро — ф[-РЬЧ1)) = О, A5.43b)
(п'оНе) = 0. A5.43г)
Пусть световой луч распространяется вдоль оси Oz. Тогда п'Ох = п'Оу = О и n'Oz — l.
Из A5.43г) следует, что вектор Но волны лежит в плоскости ху (волны поперечные),
а из A5.43в) находим, что Р02=0. Введем обозначения:
А = ^а-а', * = p(-J_i); A5.44)
тогда A5.43а) и A5.436) можно записать в виде
APOx-iBPOy = O, -,
iBPOx+APOy = O. \ A55)
Однородная система уравнений A5.45) имеет нетривиальное решение при условии
^2_Д2=о, т. е. ,4 = ±Я. A5.46)
В случае А = В имеем из A5.45) Роу——iPoxi или
^at — ~-^']. A5.47)
Такое соотношение составляющих Р отвечает левому вращению (если смотреть
на конец вектора Р со стороны -\-Oz). Обозначим, как и прежде, с/у+=п+. Тогда
из A5.44) и A5.46) будем иметь
п%а-а' = §п%— р,
или, в силу A5.41),
^[4^^^]-1. A5.48)
Если пренебрег эффектом затухания (у=0), то A5.48) примет вид
1. A5.49)
При наличии нескольких собственных частот электронов co0; и при слабых внеш-
внешних полях, т. е. при условии, что ларморовская частота
будем иметь вместо A5.49) выражение
Э:214К. A5-51)
В случае А= — В аналогично находим для показателя преломления
я_ правого вращения выражение
^^2 ^K. A5.52)
Получим теперь формулу для вращения плоскости поляризации, возникающего
при прохождении света через прозрачное тело, помещенное в однородное магнитное
поле 11 е (параллельное оси Oz). Предположим, что тело имеет длину I вдоль оси Oz.
Воспользуемся формулой A5.34). В силу условия A5.50) и формул A5.51) и A5.52)
имеем
П_— Я+=П (CO-j-COjJ— п(С0 — C0L) « —— 2С0ь.
Подставляя это выражение в A5.35) и принимая во внимание, что
dn , dn 2лс
®Чп~~~ ~Ж И Ш ТГ '
23 с. В, Воасовокий — 353 —

будем иметь для удельного фарадеевского вращения
со . ек
dn
2тс2
A5.53)
(формула Беккереля [8]). Вне линий поглощения dn/dk < 0 (нормальная дисперсия),
заряд электрона е = — | е |, поэтому вращение совпадает с направлением поля (левое
вращение !). Внутри полос поглощения знак вращения обратный. Эффект Фарадея тесна
связан с эффектом Зеемана, когда фарадеевское вращение плоскости поляризации про-
происходит в том же внешнем поле Ше, которое одновременно действует на источник света
рЦг
О
¦ т=-1/2
О
¦/77
vl/2
Sl/2
-/77=-//?
п- / \ У
II
к
1 '
ч_^—->
Л
/
"*/
У \
^' п \\
-А-—^-"
М /
I V/
/\
\
f V7--/7+
N.
¦—
О О
/7.-/7+
/'
/
U
Рис. 15.1. Дисперсия показателей преломления право- и левополяризованных волн
п- (со) и п+ (со) для линий зеемановского дублета 2Si/2 -> 2Pi/2- о) Схема энергетиче-
энергетических уровней с указанием разрешенных переходов и поляризаций линий (верхний
график), а также расположение линий дублета в спектре (нижний график); и0 — ча-
частота несмещенной линии (при Не = 0); 6) кривые дисперсии показателей п_(со) и
п+(а) и их разности п-(а) — п+ (со); верхний график — случай одинаковой интенсив-
интенсивности обоих зеемановских дублетов; нижний график — случай их резко различ-
различной интенсивности.
и приводит к зеемановскому расщеплению спектральных линий. Для иллюстрации
этого рассмотрим простейший случай спектральной линии 2^1,2-:>'2Р1, дающий при
Це ф 0 зеемановский дублет (дублет, поскольку наблюдение ведется вдоль направле-
направления вектора Не). Схема уровней с указанием разрешенных переходов и поляризаций
приведена на рис. 15.1, а. На рис. 15.1, б показана дисперсия показателей преломления
п+ и п_ и их разности п_ — п+, т. е. согласно формуле A5.53), вращение 2хс/со для слу-
случая одинаковой и различной интенсивности ябоих зеемановских дублетов.
в. Эффект Коттона — Мутона (Фохта). В этом случае nz = 1, пх — пу = 0,
hey = 1, hex = hey = 0, и поэтому после простых преобразований из A5.42) вместо
A5.45) получим
- 4-а')РОх+Ф(-1)Л,2 = О, |
A5.54)
где п = с/у. Условие разрешимости системы A5.54) гласит:
:0. A5.55)
Множитель (п2 — 1) в уравнении A5.55) не равен нулю (так как п ф 1), поэтому оста-
остаются две возможности для выполнения условия A5.55).
1) п2а — а' = 0. Тогда в силу A5.54) Рох — POz = 0, а Роу = 0 и произвольно.
Из A5.40) в этом случае ([.Ройе] = 0) имеем Еу = аРу, т. е. вектор Е параллелен век-
вектору he. И для показателя преломления обыкновенной волны получаем следующую
формулу дисперсии:
- 354 -

или по A5.41) при 7=0 получаем обычный закон дисперсии (нет зависимости
от Не):
. = _?! V. N; — fco2,-co2]-i. A5.56)
„2 _)_ 2 3 ZJ
m
2) „2(а2_р2)_(аа'_р2) = о. Тогда в силу A5.54) имеем Р0у = 0 и $РОх =
_ — iaPOz, Поэтому согласно A5.40) получаем
E0y = E0z = 0 и Е0хф0.
Таким образом, мы снова видим, что в этом случае необыкновенного луча колебания
электрического вектора происходят в направлении, перпендикулярном и к распро-
распространению волны, и к внешнему полю. За- г- п -
кон дисперсии для показателя п^ прини- - Гк "< ""
мает вид
или
?4л
4л
легко видеть, что
Л.
A5.57)
Следовательно, A5.51) и A5.52) в со-
совокупности с A5.57) дают нам закон диспер-
дисперсии для второго, необыкновенного луча с
показателем преломления п^. Из этих фор-
формул можно в принципе определить посто-
постоянную Коттона — Мутона Акш из формулы
A5.37)
Эффект Коттона — Мутона (Фохта),
так же как эффект Фарадея, может нахо-
находиться в связи с эффектом Зеемана.
На рис. 15.2 показаны кривые дисперсии
магнитного двойного лучепреломления в
области зеемановского триплета (триплет—
поскольку наблюдение ведется в перпенди-
перпендикулярном направлении к вектору Ше) при
двух значениях напряженности магнитного
поля | Hei | и | Не2 | (> | Hei |).
2. Основы квантовой теории магне-
тооптичесиих эффектов. Изложим кратко
основные положения квантовой теории
[Шютц A936)] магнетооптических явлений
в прозрачных средах (у = 0).
При квантовомеханическом расчете
вращения плоскости поляризации следует
исходить из известной дисперсионной формулы Крамерса — Гейзенберга [9] *), кото-
которая дает выражение для индуцированного электрического момента Ps атома (или моле-
молекулы) в стационарном состоянии s как функцию электрического вектора падающей
световой волны частоты со: Е (t) = ReiSexp (гсог), а именно:
Рис. 15.2. Дисперсия показателей прелом-
преломления необыкновенной волны nj (со) и обык-
обыкновенной волны пц (со) (сплошные кривые) и
разности этих показателей nj_ (со) —пм (и)
при эффекте Коттона — Мутона (пунктирные
кривые) вблизи зеемановского триплета. По
оси абсцисс отложены частоты со. Верхний
график соответствует полю II .меньшему,
чем Нрг на нижнем графике.  Ан (со) по-
показывает полуширину зеемановского триплета
по оси частот; п0 — значение показателя пре-
преломления вдали от линии спектра.
42 [
P0(s's)(JS.p*(s's))
со0 (s's) —со
P*(s's)(E.P0(s's))
со0 (s's)—со
• exp (U
A5.58)
где со0 (s's) — собственные частоты атома (или молекулы), соответствующие переходам
s' -*¦ s; Po (s's) — недиагональный матричный элемент электрического момента невозму-
невозмущенного атома; Pft (s's) — соответствующая комплексно сопряженная величина; s —
сокращенная запись совокупности четырех квантовых чисел njlmf*).
*) См., например, курсы квантовой механики: Блохинцев A961), Дирак A960),
а также работу [10].
**) Эта формула получается в теории возмущений; кроме того, поле электромаг-
электромагнитной волны рассматривается приближенно как чисто классическая величина (т. е.
пренебрегается эффектами квантования поля).
- 355 —
23*

Выражение A5.58) остается справедливым и для атома (молекулы) во внешнем
магнитном поле Не, если величины сос (s's) и Ро (s's) заменить соответственно череа
со (s's) и P(s's), в которых учитывается изменение энергетических уровней атома под
действием внешнего магнитного поля. Тогда для обеих поляризованных по кругу
составляющих поля световой волны [см. A5.34)], распространяющейся вдоль оси z
(параллельно внешнему полю), будет иметь место A5.58) для Ех = iEy (левое враще-
щение)
co(s's) —со / + ^\ со (s's) _1-со j_\Ex(t) A5.59)
ц для ?х= —iEy (правое вращение)
со (s's) + со ;++l co(.s's)-co j_
Индексы плюс и минус у круглых скобок означают, что при суммировании по s' надо
принимать во внимание соответственно только левые (mj = m.j -\- 1) или только правые
(ttij = mj — 1) составляющие поляризации. Для слагающих по оси у получим анало-
аналогичные формулы.
Индуцированный момент в единице объема при статистическом равновесии будет
выражаться формулой
Z= ^ exp (-%8/кТ), A5.61)
где %s — энергия s-ro состояния атома. Отсюда получаем показатели преломления
п+ и п_. Общий закон дисперсии [см. A5.51) или A5.52)] имеет вид
±Nl±NhSl A562)
3 Ex(t)~ 3 " Ey{t) ¦ A0^>
Для удельного фарадеевского вращения плоскости поляризации света находим
в приближении п2-1~2«3 и п = (п+ -\-п_)/2
х_(„ СО 27VCQ2 у , %s\ Г/ |Р»(«'«)|2 У / |Р, (S'S) |2
х(м п) 2 exP i HI I
%s\ Г/ |Р»(«'«)|2 У
АГ HI и2 («'«)-©«/- )
A5.63)
Формула A5.63) является основой для теоретического исследования эффекта Фарадея.
В области частот, далеких от зеемановских компонент линии поглощения, в A5.63)
можно %s, со (s's) и Р (s's) разложить в ряд по степеням Не и ограничиться линейными
членами. Тогда, проведя суммирование по mj и mj, получаем
Xf S L(S') Г +&(') !+
^L(SS) [С003E'Г)-С02]2 +&(*S) [C0§ (S'!)-C02J2
гДе ^os— не возмущенные полем энергии стационарных состояний атома, a a (s's)
b(s's) и c(s's) —величины, зависящие от внутренней структуры электронной оболочки
атома. Член с c(s's) дает в первом приближении температурную зависимость х и носит
название парамагнитного вращения, а первые два члена A5.64) практически не зави-
зависят от температуры, и их обычно называют диамагнитным вращением. Формула A5.64),
так же как и A5.63), может быть конкретизирована для частных случаев. За подробно-
подробностями отсылаем читателя к оригинальным работам (см., например, [11]). Квантовоме-
ханическую теорию магнетооптических явлений (эффект Фарадея, Коттона — Мутона
и т. п.) впервые рассмотрел Крониг [12] для двухатомных молекул. Розенфельд [13]
решил эту задачу для атомов; Кроль [14] — для одноэлектронных систем в релятивист-
релятивистском приближении; Крамере [15] — для парамагнитных ионов; Сербер [16] — для
произвольных молекул и Карролл [17] уточнил расчет [12] для двухатомных. Позднее
Гуссенс [18] развил более детальную квантовомеханическую теорию для молекул,
Хуген [19] рассмотрел аномальную дисперсию в кислороде, Эбергардт и др. [20] иссле-
исследовали магнитное вращение в С1 и Вг, Стефенс [21] и Стоун [22] рассчитали вращение
для молекул тетраэдральной симметрии, Тобиас и Кауцманн [23] рассмотрели линейные
молекулы и, наконец, Любченко [241 исследовал эффект Фарадея на примесных цент-
центрах в кристаллах. Случай многоатомных молекул низкой симметрии рассмотрел Грён-
вего [25].
Во всех перечисленных работах рассматривается, как правило, случай диамаг-
диамагнитных веществ. Парамагнитное вращение в рамках квазиклассической теории было
рассмотрено Дорфманом [26] и Френкелем [27].
- 356 —

Квантовомеханическая теория эффекта Фарадея в парамагнитных конденсиро-
конденсированных системах оказывается более сложной, чем для веществ с диамагнитными ато-
атомами или молекулами. Теория эффекта Фарадея для ферромагнетиков будет обсуждать-
обсуждаться ниже (см. гл. 25).
Еще Гольдгаммер в 1899 г. [28]. а позднее Дорфман в 1923 г. [26] подвергли кри-
критике классическую теорию магнетооптических явлений. В работах Ковадло [29] и Серо-
Серовой [30] была разработана теория эффекта Фарадея для квантового электронного газа
с учетом релятивистских поправок. В работах Шена [31], Шена и Блумбергена [32]
дается теоретическое обобщение формул фарадеевского вращения для парамагнитных
редкоземельных ионов и описываются опыты (на образцах CaF2 с примесями ионов
Nd3+, Er3+, Gd3+, Eu2+и Еи+3), которые показали интересные особенности этого явле-
явления, связанные с особой электронной структурой редкоземельных ионов.
В связи с парамагнитным вращением заметим, что за последнее время магнето-
оптические явления в области микроволн используются как весьма полезный источник
информации при изучении парамагнитного резонанса. Не имея возможности оста-
остановиться на описании этих интересных исследований, укажем лишь на основные рабо-
работы. Открытие эффекта вращения на радиоволнах принадлежит Вилсону и Хулу [33],
а первые теоретические объяснения дали Кастлер [34] и Опеховский [35]. Эксперимен-
Экспериментально эти явления изучались в работах Непримерова [36], Курушина [37], Ишмутди-
нова, Непримерова, Шекуна [38], теоретически в работах Цырульниковой, Шапошни-
Шапошникова [39] и Шекуна [40]. В работе Скроцкого, Зырянова и Изюмовой [41] развита изящ-
изящная макроскопическая трактовка влияния ЭПР на эффект Фарадея в оптической области
(обусловленного спин-орбитальным взаимодействием), допускающая простое срав-
сравнение с опытными данными. В работе Ройцина [42] теоретически исследованы микро-
микроволновые аналоги эффектов фарадея и Коттона — Мутона в полупроводниках с учетом
влияния электрической компоненты электромагнитной волны (в предположении, что
парамагнитный центр обладает не только магнитным, но и электрическим дипольным
моментом). Укажем также на более поздние работы из этой области [43, 44].
§ 3. Магнетооптические свойства полупроводников
За последнее время большое внимание уделяется теоретическому и опытному изу-
изучению магнетооптических явлений в кристаллах полупроводников. Измерение этих
эффектов может дать очень ценную информацию об электронной системе полупровод-
полупроводников, в частностх! об эффективных массах электронов и дырок. Вместе с тем возмож-
возможные переходы электронов под влиянием электромагнитного поля в полупроводниках
между квантовыми уровнями Ландау, возникающими во внешних магнитных полях,
приводят к большой совокупности магнетооптических явлений, специфичных для полу-
полупроводникового электронного спектра. Некоторые из них наблюдаются при поглоще-
поглощении электромагнитного поля в полупроводнике, и их теперь называют магнетопогло-
щением (хотя эти явления могут проявляться и как свойства дисперсии «света» в среде
в зависимости от частоты внешнего поля). Первым назовем циклотронный резонанс
(ЦР), уже рассмотренный в гл. 13. Далее следует указать эффект магнетооптических
осцилляции в области края собственного поглощения полупроводников, открытый
в 1957 г. одновременно Гроссом, Захарченей и Павинским [45], Берстейном и Пикусом
[46, 47], а также Звердлингом и Лаксом [48]. Этот эффект обусловлен прямыми пере-
переходами электронов с уровней Ландау валентной полосы на такие же уровни в полосе
проводимости. После теоретических работ Рот и др. [49], Гуревича и Урицкого [50]
и Урицкого [51] этот эффект используется как один из лучших способов исследования
зонной структуры полупроводников (см., например, работу Аронова [52], в которой
теория этого эффекта обобщается на случай скрещенных электрического и магнитного
полей, а также работы [53—70]).
Упомянем еще магнитное поглощение при косвенных переходах электронов (с уча-
участием излученного или поглощенного фонона, необходимого для сохранения квазиим-
квазиимпульса при переходе), а также магнитное поглощение при запрещенных переходах,
которые возникают при расщеплении валентных полос, благодаря спин-орбитальному
взаимодействию, в Ge, GaAs и др. (см. [71. 72]). Большой интерес представляет эффект
Зеемана на примесных уровнях при переходах электронов или дырок на возбужденные
уровни [75]. Помимо этого, переходы их с основного уровня на уровни Ландау полосы
проводимости и валентной приводят к магнетооптическим осцилляциям на примесях
(см. [5]). Не менее интересным является аффект Зеемана на экситонах, впервые иссле-
исследованный экспериментально Гроссом и Захарченей [73] и теоретически — в работе
Самойлович и др. [74] (см. также [5, 76, 77]). Большое внимание теперь уделяется
эффектам Фарадея и Коттона — Мутона (Фохта) в полупроводниках (см. [5], а также
Мосс [6]). В работах Митчелла [78], Клингера и Чабана [79] было впервые указано
на возможность получения с помощью эффекта Фарадея ценной информации о зонной
структуре полупроводников. Первые опыты по измерению эффекта Фарадея при микро-
микроволновых частотах в Ge провели Pay и Каспари [80] и в инфракрасной области — Ким-
мел [81] и Смит и др. [82]. Подробную библиографию работ до 1962 г. можно найти в об-
обзорах Лакса и Звердлинга [5], Мосса [6, 7]. Теорию явления впервые развили Стефенс
и Лидьярд [83].
— 357 —

12
Рассмотрим в качестве примера квазиклассическую теорию эффектов Фарадея
и Коттона — Мутона в полупроводниках. По аналогии с A5.38) рассмотрим уравнение
движения электрона проводимости с эффективной массой т* под влиянием внешнего
переменного Еехр (гсог) электрического
поля частоты со в присутствии внешнего по-
постоянного магнитного поля
оси Oz:
и -\ и———— и = ехр (+ гсог),
¦ % т*с т* F ч~ '
A5.65)
где u~x-\-iy — комплексная амплитуда от-
отклонения носителей тока в плоскости ху,
а т — их время релаксации. Решение
A5.65) имеет вид
pF 1
и=——- т ^-гг ехр (± гсог) =
соя ± it'1)
= щ ехр (+ гсог). A5.66)
л
1 я
А
100 200
Л2, (микронI
300
Рис. 15.3. Удельное фарадеевское вращение и
в полупроводниковом соединении GaAs как
функция квадрата длины волны света X2. На-
Напряженность внешнего магнитного поля Не =
=8100 э; толщина образца вдоль луча I =
= 0,795 мм [7].
т*со ( — со
Отсюда получаем хорошо известную фор-
формулу для комплексной диэлектрической
проницаемости при концентрации носителей тока Л:
1\!иае
т*со (— со + соя ± if1)
A5.67)
Где п± _ показатель преломления, к± — коэффициент поглощения (индексы плюс
и минус соответствуют двум противоположным круговым поляризациям света), сон —
= еНР1т*с — циклотронная частота носителя тока и е* — диэлектрическая проница-
проницаемость. Разложив A5.67) на вещественную и
мнимую части, находим /80
(со + сон)
га*со [(со :
сояJ + х~2] '
A5.68а)
2п±к±=-
m*w
[(со
A5.686)
Из A5.686) видно, что возможно резонанс-
резонансное поглощение (при со = соя) для одной из
циркулярно поляризованных компонент све-
света, какой именно — это зависит от направ-
направления вращения, знака (ориентации) Не и
от знака заряда носителя тока е. Из формул
A5.68) можно в принципе получить все магне-
тооптические эффекты в квазиклассическом
приближении (см. обзор Мосса [7]). Мы остано-
остановимся только на эффектах Фарадея и Коттона—
Мутона, которые в основном определяют дис-
дисперсию, связанную с циклотронным резонанс-
резонансным поглощением. По общей формуле A5.35)
получаем, в силу A5.68а), для фарадеевско-
го вращения в предельном случае слабого
поглощения (сот > 1, &2 < ге2) п слабых маг-
магнитных полей (соя <^ со)
.. _ Ne2 шн _
-
-
-
-
¦
-
-
- А
/
/
/
/
¦/
4
/
У
У
/
/
-
-
.-
-
-
-
-
-
-
т*
Не (со>соя,
/60
/40
/20
\и
i
60
40
20
О
Рис. 15.4. Эффзкт Коттона — Мутона в
полупроводниковом соединении InSb.
Экспериментальные точки (кружки) и про-
проведенные по ним прямые 1 и 2 дают сдвиг
фаз Д как функцию квадрата напряженно-
напряженности внешнего магнитного поля Н2 в ки-
лозретедах2. 1 — длина волны К =
=18,2 мкм, концентрация носителей тока
N = 2 • 101' CAi-3, эффективная масса но-
носителя m*/m = 0,023; 2 — К — 22,6 мкм,
JV = 4-Ю1" си-3, т*/т = 0,019.
A5.69)
Из A5.69) видно, что в этом приближении х пропорционально Не и не зависит от т,
т. е. от механизма рассеяния носителей тока в полупроводнике. На рис. 15.3 для GaAs
приведена зависимость х (К2) при Не = 8100 э, которая имеет строго линейный ход
в интервале длин волн от 10 до 20 мкм (см. Мосс и Уалтон [84]). Из этой прямой нахо-
находим, что для GaAs т* = 0,074 т0.
Для связанных электронов пользуемся формулой A5.53) (см. также [7]).
— 358 —

Для сдвига фаз в эффекте Коттона — Мутона, согласно A5.37) и A5.68а), находим
со N
;Н1.
Из A5.70) и A5.69) легко находим, что
х
A5.70)
A5.71)
Формула A5.71) дает еще один способ определения циклотронной частоты. На рис. 15.4
приведены для InSb зависимости Д от Н2 при разных X, N л т* по данным Палика и др.
[85], которые имеют вид прямых в соответствии с
A5.70). Значения эффективных масс т*, полу-
полученные из измерений обоих эффектов, находятся
в хорошем согласии друг с другом.
При переходе к квантовой теории необхо-
необходимо учитывать квантование уровней энергии в
магнитном поле по Ландау. Поэтому континуум
уровней полосы проводимости (при квадратич-
квадратичном законе дисперсии при //е=0) расщепляет-
расщепляется на подполосы с полной энергией
для валентной полосы имеем
A5.73)
Рис. 15.5. Схема расположения уров-
уровней Ландау (сплошные горизонталь-
горизонтальные линии, с указанием значения
квантового числа п = 0, 1, 2, 3 слева
от каждой линии), а также их зеема-
новские расщепления в том же магнит-
магнитном поле. Справа от каждого уровня
Ландау пунктирными горизонтальными
линиями показана пара зеемановских
линий с магнитными квантовыми чис-
числами т.? = ± 1/2 в полосе проводи-
проводимости (верхняя часть графика) и в
валентной полосе (нижняя часть гра-
графика). Жирные параболы дают закон
дисперсии s (ft): о — для электронов
в полосе проводимости, б—для легких
дырок ив — для. тяжелых дырок в ва-
валентной полосе.
где сон' = еНе/т.*.с, ш'^1 = eHJmvc и eg — ши-
рипа энергетической щелп.
На рис. 15.5 представлена схема магнитных
уровней для валентной полосы и полосы проводи-
проводимости в случае, когда имеются «тяжелые» и «лег-
«легкие» дырки [7]. Приведенный результат справед-
справедлив для простых энергетических полос для квад-
квадратичного закона дисперсии и когда экстремум
находится npnfc=0. Здесь также не учитывается
эффект электронного спина. Квантовые «поправ-
«поправки» к дисперсионным магнетооптическим эффек-
эффектам имеют существенное значение, когда закон
дисперсии отклоняется от квадратичного (см. ра-
работы [86, 87]), а также при учете осцилляции в об-
области сильных магнитных полей. Донован и Вебстер [88] развили феноменологическую
теорию эффекта Фарадея для анизотропных полупроводников (см. также [89]). Рот [90]
дала более строгую квантовую теорию эффекта Фарадея для кристаллов, используя пред-
представления о переходах между валентной полосой и полосой проводимости, а также пере-
переходах внутри полос. Она применила их к полупроводникам типа Ge и соединений АщВу-
Строгую квантовую трактовку эффектов Фарадея и Коттона — Мутона для межполос-
межполосных переходов дали Халперн и др. [91]. Там же имеется достаточно подробная библио-
библиография других исследований (см. также [92—94]). Теорию эффекта Фарадея в полупро-
полупроводниках с электронами с анизотропной эффективной массой в сильном (квантующем)
магнитном поле развили Гуревич и Ипатова [95]. В работе Ипатовой и Казаринова
196] рассмотрена теория эффекта Фарадея вблизи линий поглощения экситонов
большого радиуса.
Среди магнетооптических эффектов в полупроводниках наблюдаются также
магнетоплазменные эффекты (см. гл. 13). Спитцер и Фэн [97] наблюдали в большом
числе полупроводников отражение инфракрасного света при частотах выше и ниже
плазменной частоты свободных носителей тока. Эти измерения позволили им опреде-
определить эффективную массу таких носителей. (Подробнее см. обзор Лакса и Звердлинга
[5].) Вторым магнетоплазменным эффектом является вращательная дисперсия при отра-
отражении (аналог магнетооптического эффекта Керра в ферромагнетиках, см. гл. 25),
по этому вопросу см. работы [98—103].
Следует упомянуть еще магнетооптический аналог эффекта де Гааза — ван Аль-
фена. Этот эффект связан с квантованием уровней в сильно вырожденных полупро-
полупроводниках при низких температурах (см. гл. 11 и [52, 104]).
Как указал Энгелер [105], результаты для Bi, полученные Ботлем и Роджерсом
{106], вначале ошибочно считали экспериментальным доказательством существования
таких осцилляции типа де Гааза — ван Альфена. Фактически они наблюдали осцилля-
осцилляции магнетопоглощеиия, обусловленные прямыми переходами между уровнями Лан-
Ландау различных полос. Этот эффект в Bi исследовали также Броун и др. [107].
— 359 —

Для разработки количественной квантовой теории магнетооптических эффектов
(включая и ЦР) начали применяться также квантовостатистические методы, в частно-
частности метод функций Грина (см., например, работы [108, 72]).
Магнетооптические свойства собственных и примесных полупроводников иссле-
исследовались также в работах [109—129]. Рассматривались также специальные вопросы
магнетооптических эффектов на горячих электронах [130, 131], при учете многофонон-
ных процессов переходов [132, 133], а. также магнетооптические явления в световых
пучках высокой интенсивности, полученные с помощью лазеров [134, 135]. Среди неме-
неметаллических веществ, на которых проводились магнетооптические исследования,
появились также и полимеры (см. [136]).
§ 4. Магнетооптические свойства металлов
Более сложная ситуация наблюдается при попытках исследования магнетоопти-
магнетооптических явлений в металлах. Это прежде всего связано с тем, что металлы непрозрачны
в видимом свете, за исключением тонких пленок. Поэтому методически легче измерять,
например, эффект Фарадея не на просвет, а в отраженном свете. Это и есть упомянутый
выше аналог магнетооптического эффекта Керра в ферромагнетиках *). Если наблю-
наблюдать вращение плоскости поляризации и эллиптичность при отражении света от по-
поверхности неферромагнитного металла при магнитном поле Не, перпендикулярном
к поверхности, то получаем полярный отражательный эффект Фарадея. Впервые
этот эффект обнаружил Майорана [137] в Al, Ag, Au, Pt и Bi. Затем эти измерения
были с большой точностью проведены в работах [138—140]. Несмотря на малость эффек-
эффекта, эти измерения очень важны, так как они могут дать полезную информацию о свой-
свойствах поверхности Ферми металлов. За подробностями теории и эксперимента отсылаем
читателя к работе Штерна и др. [141], в которой дается общая феноменологическая
и полумикроскопическая теория эффекта и приведены результаты измерений для AI
и Ag, а также к более поздним работам [142—149].
§ 5. Геликоны
Твердые кристаллические тела — металлы и полупроводники — в известном
смысле похожи на газообразную заряженную плазму, состоящую из свободных отри-
отрицательно заряженных электронов и положительно заряженных тяжелых ионов.
Кристалл, как и газовая плазма, представляет собой квазинейтральную смесь носите-
носителей положительного и отрицательного заряда. Однако имеется существенное различие
между этими физическими системами. В кристалле металла или полупроводника поло-
положительные ионы сильно связаны внутрикристаллическими силами и могут принимать
участие лишь в малых звуковых (и в некоторых случаях в оптических) колебаниях
около своих положений равновесия — узлов решетки. Подвижность легких электро-
электронов гораздо больше, но и на них оказывает сильное влияние поле кристалла. Это, есте-
естественно, делает задачу плазмы в твердом теле более сложной, нежели в газообразной
плазме. Однако, несмотря на это различие, специфические для плазменного состояния
типы электромагнитных колебаний могут возбуждаться и в электронной системе кри-
кристаллов. В свою очередь эти колебания могут быть использованы как источники инфор-
информации о некоторых чертах структуры электронного энергетического спектра металлов
и полупроводников. Следует напомнить еще об одном различии плазмы твердого тела
и газообразной. Дело в том, что в газовой плазме обычно имеют дело с концентрацией
носителей заряда п порядка или даже менее 101* см~3. Поэтому к этим носителям можно
применять классическую статистику Больцмана (слабое вырождение). В полупровод-
полупроводниках и в особенности в металлах эти концентрации гораздо выше — в пределах от 1017
до 1022 см~3. Поэтому здесь необходимо пользоваться статистикой Ферми — Дирака.
Нас здесь будут интересовать только те свойства электромагнитных волн, распро-
распространяющихся со слабым затуханием в заряженной плазме твердого тела, которые
не зависят сколько-нибудь существенно от деталей структуры электронного энергети-
энергетического спектра в нем. Плазму в кристалле можно определить заданием четырех пара-
параметров: концентраций электронов пэ и дырок пд, их эффективных масс т* и т*, вре-
времени релаксации т и, наконец, функции распределения по импульсам. Концентрации
п и массы т* входят в формулы, описывающие распространение электромагнитных
колебаний в плазме через плазменную частоту шплзм = Dлпе2/т*I/2 и циклотроннун>
частоту а>н = еНе/т*с. Предполагается, что кристаллы достаточно однородные по со-
составу и структуре, поэтому выполняется условие слабого затухания волн а>нх J> 1.
Волны в плазме твердого тела можно условно разбить на два типа: 1) волны, похо-
похожие, на обычные поперечные электромагнитные волны, фазовая скорость которых
в основном определяется скоростью света в вакууме, и 2) специфически плазменные
волны (близкие к продольным звуковым), фазовая скорость которых определяется
i *) В ферромагнитных металлах этот эффект, обусловленный спин-орбитальным
взаимодействием, оказывается порядка 1°. В неферромагнитных металлах в магнит-
магнитных полях порядка 103 э он составляет всего 0,001°.
- 360 -

скоростью Ферми у* [а в квазиклассическом случае средней тепловой скоростью-
v « (ЗШтI/2].
Здесь мы остановимся в виде примера на одном низкочастотном плазменном коле-
колебании (со <^ сон и со <^ соплзм), носящем название геликонов. Этот случай интересен
хотя бы потому, что для него уже имеется много экспериментальных результатов и он
прост для понимания физического механизма возбуждений плазменных колебаний.
Относительная простота этого случая заключается в том, что в случае замкнутых
циклотронных орбит электронов
(в отсутствие электромагнитного
облучения кристалла) при выпол-
выполнении условия со <^ сод движение
носителей заряда относительно
силовых линий магнитного поля
будет адиабатическим, т. е. заряды
будут следовать за силовыми ли-
линиями («прилипать» к ним). По-
Поэтому амплитуды колебаний, ин-
индуцируемые электрическим полем
JE электромагнитной волны в на-
направлении, перпендикулярном к
плоскости, в которой лежат век-
векторы Е и Не, т. е. в холловском
направлении (см. гл. 14), будут
одинаковыми для всех носителей
Рис. 15.6. Схема экспериментальной установки по наб-
наблюдению геликонов. Л — цилиндрический образец чи-
чистого Na (длина 30 мм, диаметр 4 мм); BiBi — соленоид.
C00 витков) первичной цепи Си В2В2 — соленоид A200
витков) вторичной цепи С2; D — источник тока в цепи
Си Е — устройство для размыкания и замыкания цепи
Си Не — внешнее магнитное поле; F — осциллограф.
Температура опыта 4,2° К. (Из работы [156].)
заряда (независимо от их эффек-
эффективной массы). Если плазма ском-
скомпенсированная, т. е. пд = Гсд, то
электронный ток в холловском
направлении будет исчезающе мал
(практически равен нулю), ибо ток электронов будет компенсироваться током дырок.
Однако при этом в холловском направлении будет осуществляться движение массы.
Кинетическая энергия этого движения определяет механизм магнетогидродинамиче-
ских волн, или волн Альфвена (последний открыл эти волны при изучении солнечных
пятен, см. [150]).
Если плазма не скомпенсирована, т. е. если пэ Ф гед, то компенсация холловских
токов электронов и дырок нарушается и природа колебаний будет определяться этими
токами. Эти колебания для металлов и полупроводников были впервые предсказаны
Константиновым и Перелем [151] и независимо Эгрэном [152]. В этих работах указы-
указывалось, что при наличии сильного постоянного магнитного поля Не, направленного-
нормально к поверхности металла, последний становится «прозрачным» для радиоволн
и при этом могут возникать возбуждения со слабым затуханием в виде плоских цирку-
лярно поляризованных электромагнитных воли с волновым вектором, параллельным
полю Не. Эти возбуждения были названы «геликонами» (helicon) *). Как уже отмеча-
отмечалось, условия для возникновения геликонов сводятся к требованиям, чтобы 1) их час-
частота со была меньше циклотронной частоты сон = еНе/тс, т. е. со <^_ срн, и 2) сонт ^> 1,
где т — время релаксации свободных носителей тока в кристалле металла или полу-
полупроводника [72].
Константинов и Перель [151] нашли, что спектр геликонов имеет вид
Аппе
—1
TCOH J
где индексы минус и плюс соответствуют правому и левому вращению в циркулярно
поляризованной (спиральной) геликонной волне. Эффективная диэлектрическая про-
проницаемость для волны с поляризацией «плюс» отрицательна. Поэтому эта волна зату-
затухает резко (на расстоянии, равном длине волны). Для волны с поляризацией «минус»
диэлектрическая проницаемость положительна, и эта волна затухает слабо. Относи-
Относительное затухание этой геликонной волны равно (тсон)-1, и оно уменьшается с ростом
магнитного поля Не.
Экспериментально геликоны уже наблюдались в металлах (в Na [156], в In [157] ^
в Си, Ag, Аи, Pb, Zn, Sn, Cd и Hg [158]) и в полупроводниках [159].
Исследовалось также взаимодействие геликонов с фононами [160, 166]).
Приведем в качестве иллюстрации схему установки и результаты наблюдений
геликонов в Na по работе Боуэрса и др. [156]. Схема установок показана на рис. 15.6:
цилиндрический образец А из чистого монокристалла Na (длиной 30 мм и диаметром
4 мм, с отношением удельных электросопротивлений Рзоо°К'/Р4 2°к ** 7500) помещался
внутри двух коаксиальных соленоидов Bt и В2, включенных соответственно в первич-
первичную С4 и вторичную С2 цепи. При замыкании и размыкании первичной цепи в образце
возбуждались вихревые токи, присутствие которых обнаруживалось во вторичной
цепи. К образцу перпендикулярно к его оси могло прикладываться внешнее постоян-
*) Ранее подобные возбуждения были обнаружены в ионосферной физике и на-
названы «свистунами» (whistler) (см. Стори [153], Бреммер [154] и Гинзбург [155]).
— 361 —

ное магнитное полеЖе, значительно большее переменного магнитного поля (не превы-
превышающего нескольких сот эрстед), создаваемого первичной обмоткой. На рис. 15.7
показаны осциллограммы напряжения во вторич-
вторичной обмотке как функции времени для различных
значений поля Не (Не = 3600, 7200 и 10 800 з).
В нулевом поле (Не = 0, самая верхняя осцил-
осциллограмма на рис. 15.7) происходит нормальное
быстрое затухание вихревых токов. На остальных
трех осциллограммах (при Не Ф 0) наблюдались
гораздо более медленно затухающие колебания
с частотами, пропорциональными полю Не (нап-
(например, в поле Не = 10* з частота равна 32 гц).
Эти колебания и представляют собой результат
распространения геликонов в электронной плазме
исследуемого металлического образца.
Более подробные сведения о геликонах
можно найти в обзорах [167—171, 253], а так-
также в оригинальных статьях [172—198].
§ 6. Фотомагнитный эффект
(эффект Кикоина — Носкова)
Рассмотрим кратко еще один магнетооптиче-
ский эффект, а именно фотомагнитный эффект *)
(эффект Кикоина — Носкова) в полупроводни-
полупроводниках (см. Кикоин, Носков [199]). Это явление
заключается в возникновении э. д. с. в освещен-
освещенном однородном полупроводнике, помещенном в
магнитное поле. На рис. 15.8 показана принци-
принципиальная схема опыта. На плоскость АА'ВВ'
прямоугольного кристалла полупроводника нор-
нормально падает свет. Фотон Йсо пучка поглощаемо-
поглощаемого света создает в. полупроводнике вблизи этой
поверхности пару электрон—дырка (е<-> и е<+)).
Таким образом, вдоль направления распростра-
распространения света возникает градиент концентрации
неравновесных носителей тока (электронов и ды-
дырок), а следовательно, и их диффузия внутрь об-
образца. Магнитное поле Не, перпендикулярное к плоскости CABD (т. е. направлению
света ^диффузионного тока), будет, благодаря силе Лоренца, отклонять электроны к
400 500
Время t, мимисек
Рис. 15.7. Осциллограммы, показыва-
показывающие зависимость напряжения во
вторичной обмотке (см. ВгВг на рис.
15.6) при различных значениях внеш-
внешнего магнитного поля Не- а. Не=0.б.
Не = 36015 э. е. Не = 7200 э. г. Не =
=10 800). По оси абсцисс отложено
время в миллисекундах, а по оси ор-
ординат — напряжение в милливольтах.
Свойства образца: Рзоо° к/Р4,2° К ^
яь 7500, (OjjT =& 40 при Не = 11)' 000 э.
Свет
А' В'
Свет
Рис. 15.8. Принципиальная схе-
схема опыта по обнаружению фото-
фотомагнитного эффекта Кикоина—
Носкова. Пучок монохроматиче-
монохроматического света частоты со падает
нормально на поверхность полу-
полупроводникового образца А' ABB'
Фотон ha рождает пару электрон
(е*"') — дырка (е<+>). Внешнее
магнитное поле Ы, приложенное
нормально к поверхности образ-
образца CABD, «заворачивает» элект-
электроны к поверхности А'АС,а дыр-
дырки — к B'BD, что и создает
электрическое поле, параллель-
параллельное ребру АВ.
Рис. 15.9. К объяснению квад-
квадратичного фотомагнитного эф-
эффекта. Пучок света падает на
грань образца, параллельную
координатной плоскости yz,
внешнее постоянное магнитное
поле Ы лежит в плоскости я>г,
составляя с осью Z угол ф.
Компонента поля О А, равная Н
cos ф, создает вдоль оси у э.д.с.
и ток обычного (линейного) фо-
фотомагнитного эффекта. На этот
ток будет действовать слагаю-
слагающая поля по оси ж, равная Н sin
Ф, которая и создает вдоль оси Z
квадратичный фотомагнитный
эффект.
плоскости САА' и дырки—kDBB' , на которых, таким образом, будут скапливаться за-
заряды противоположных знаков. Это приведет к возникновению электрического поля
*) Его называют также фотомагнетоэлектрическим эффектом.
- 362 -

Падающий
свет
Термопара В
и э. д. с. параллельно ребру АВ. Накопление зарядов и рост э. д. с. будут происходить
до тех пор, пока диффузионный ток, созданный светом в магнитном поле, не будет
¦скомпенсирован током проводимости, возникшим под действием э. д. с. Первые теоре-
теоретические объяснения фотомагнитного эффекта дали Френкель [200] и Ландау и Лиф-
шиц г'201] (см. также Лифшиц [202]). Более полную теорию развил Ван-Росбрук [203].
Этот эффект нечетный (линейный), поскольку знак э. ц. с. изменяется при измене-
изменении знака магнитного поля. Если магнитное поле не перпендикулярно к диффузионному
току, созданному поглощением света, то возникает
«ще квадратичный фотомагнитный аффект. Схемати-
Схематически физическое объяснение этого эффекта легко по-
понять из рис. 15.9. Пусть поле Не лежит в плоскости
¦xz, составляя с осью z угол ф. Тогда составляющая
поля Hz=He cos cp(OA), будет создавать вдоль оси
обычную э. д. с. линейного фотомагнитного эффекта.
Эта э. д. с. будет создавать ток вдоль оси у, пропор-
пропорциональный Не cos ф. На этот ток действует слагаю-
слагающая поля Нх = Не sin ф (ОБ), что приводит к по-
появлению тока вдоль оси z, пропорционального
Нг-Нх = Щ cosф-sin ф. Четный эффект также отк-
открыл Кикоин [204]. Он более подробно исследован
позже (Кикопн и др. [205, 2061). Феноменологиче-
Феноменологическую теорию этого эффекта далп Каган и Сморо-
динскнй [207] (см. также [208]). Однако она не-
неприменима в области низких температур (см. Кпкопн
и Лазарева [209], Николаев [210]).
В присутствии неоднородного магнитного поля
фотомагнптный эффект приобретает новые черты
{Тауц [211]). За более подробными сведениями по
теории и экспериментальным результатам изучения
фотомагннтного эффекта и разнообразных его разно-
разновидностей отсылаем читателей к обзорам и моногра-
монографиям по полупроводникам (см. Мосс [6], Гаррета и Гросвалет [212], Тауц [213],
Рыбкин [214], Баркер [215] *)),
Существует еще фотомагнетотермическпй эффект [230, 235], заключающийся
в появлении в полупроводнике в присутствии поперечного магнитного поля градиен-
градиента температуры, наличие которого вызывает при освещении диффузионный ток
{рис. 15.10). Обнаружен также холловский фотоэффект (см., например, [228, 236]),
который можно использовать как средство изучения кристаллов.
Термопара А
Рис. 15.10. Схема типичного экс-
экспериментального устройства для
наблюдения фотомагнетотермиче-
ского эффекта. Градиент темпера-
температуры измеряется в направлении АВ
(между термопарами).
§ 7. Рассеяние света на магнитном поле
В заключение укажем на возможность существования еще одного электродина-
электродинамического магнетооптического эффекта (предсказанного Померанчуком [245], см. так-
также [246]), когда фотон в присутствии магнитного поля создает электрон-позитронную
пару. Этот эффект приводит к рассеянию света на магнитном поле. Этот эффект, оче-
очевидно, возможен, когда энергия фотона удовлетворяет условию hu> > 2т0с2, где т0 —
масса покоя электрона и позитрона. Кроме того, расчет показал [245—251], что попе-
поперечник сечения для этого рассеяния будет заметным лишь в полях, близких к некото-
некоторому критическому полю Нкр « m2c3/eh « 1013э. Поэтому пока не удалось наблюдать
этот интересный эффект экспериментально. В указанных работах рассмотрен также
другой квантово-электродпнамический процесс более высокого порядка (см. [252]),
когда электрон-позитронная пара образуется виртуально, но при этом под влиянием
магнитного поля появляется добавочный фотон. Поперечное сечение этого процесса
очень мало, но он не требует очень сильных полей. Однако пока такой процесс не рас-
рассчитан. В цитированной работе Ортеля [252] указаны также другие возможные про-
процессы подобного рода.
1. L.
2. Н.
3. А.
4. W.
5. В.
6. т-.
7. Т.
8. Н.
9. Н.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 15
Onsager, Phys. Rev. 37, 405 A931); 38, 2265 A931).
В. С а 1 1 е n, Phys. Rev. 73, 1349 A948).
Cotton, H. Mouton, Сотр. rend. 145, 229 A907).
V о i g t, Lehrbuch der Magneto und Electrooptik, Leipzig— Berlin, 1908.
Lax, S. Zwerdling, Progress in Semicoductors, vol. 5, London, 1960,
221.
M о с с, Оптические свойства полупроводников, перев. с англ. ИЛ, М., 1961.
S. М о s s, Phys. stat. sol. 2, 601 A962).
Becquerel, Compt. rend. 125, 679 A897).
A. Kramers, W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 31, 681 A925).
См. также работы [216—244].
- 363 -

10. М. В о r n, W. H e i s e n b e r g, P. J о г d a n, Zs. Phys. 35, 570 A926).
11. R. L a d e n b u r g, Zs. Phys. 34, 898 A925).
12. R. de L. Kronig, Zs. Phys. 45, 458, 508 A927); 47, 702 A928).
13. L. R о s e n f e 1 d, Zs. Phys. 57, 835 A929).
14. W. К г о 1 1, Zs. Phys. 66, 69 A930).
15. H.A.Kramers, Proc. Amster. Acad. 33, 959 A930).
16. R. S e r b e r, Phys. Rev. 41, 489 A932).
17. Т. С а г г о 1 1, Phys. Rev. 52, 822 A937).
18. W. J. A. G о о s s e n s, Dissertation, Leiden University, 1958.
19. J. Т. Н о u g e n, J. Chem. Phys. 32, 1122 A960).
20. W. H. E b e r h a r d t, Ch. Ch. W u, H. R e n n e r, J. Mol. Spectrosc. 3, 664 A959).
21. M. J. S t e p h e n s, Mol. Phys. 1, 301 A958).
22. A. J. S t о n e, Mol. Phys. 4, 225 A961).
23. I. T о b i a s, W. К a u z m a n n, J. Chem. Phys. 35, 538 A961).
24. А. Ф. Л ю б ч е н к о, Оптика и спектроскопия 10, 379, 477 A961).
25. М. P. G г о е n e w e g e, Mol. Phys. 5, 541 A962).
26. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 17, 98 A923).
27. Я. И. Ф р е н к е л ь, Zs. Phys. 36, 234, 621 A926).
28. Д. А. Г о л ь д г а м м е р, Уч. записки Казанск. ун-та, кн. 4, 109 A899).
29. Г. Г. К о в а д л о, ЖЭТФ 11, 312 A941).
30. Ф. Г. С е р о в а, ЖЭТФ 18, 780 A948).
31. Y. R. S h e n, Phys. Rev. 133, А511 A964).
32. Y. R. S h e n, N. В 1 о e m b e r g e n, Phys. Rev. 133. A515 A964).
33. M. С W i 1 s о n, С F. H u 11, Jr., Phys. Rev. 74, 711 A948).
34. А. К a s t 1 e r, Compt. rend. 288, 1640 A949); J. phys. et rad. 11, 255 A950); Phy-
sica, 17, 191 A951).
35. W. Opechowski, Rev. Mod. Phys. 25, 264 A953).
36. H. И. Н е п р и м е р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 368 A954); 20, 1236 A956).
37. А. И. К у р у ш и н, ЖЭТФ 37, 297 A959).
38. Ф. С. И шам у т д и н о в, Н. И. Н е п р и м е р о в, Л. Я. Шек у н, ЖЭТФ 34Г
1019 A958).
39. Л. М. Цырульникова, И. Г. Шапошников, Изв. АН СССР, сер.
физ. 20, 1251 A956).
40. Л. Я. Ш е к у н, Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1262, 1265 A956).
41. Г. В. С к р о ц к и й, П. С. 3 ы р я н о в, Т. Г. И зюм о в а, ЖЭТФ 35,1471 A958)
42. А. Б. Р о й ц и н, ФТТ 5, 2395 A963).
43. В. Г. П о к а з а н ь е в, Г. В. С к р о ц к и й, ЖЭТФ 49. 163 A965).
44. Y. Hayaschi, M. F u k и i, H. Y о s h i о к a, J. Phys. Soc. Japan 23, 312
A967).
45. Е.Ф. Гросс, Б.П.Захарченя, П. П. Павинскпй, ЖТФ 27, 2177 A957).
46. Е. В u r s t e i n, G. S. P i с u s, H. A. G e b bl e, Phys. Rev. 103, 825, 826 A956).
47. Е. В u r s t e i n, G. S. P i с u s, Phys. Rev. 105, 1123 A957).
48. S. Z w e r d 1 i n g, В. L a x, Phys. Rev. 106, 51 A957).
49. L. M. R о t h, B. L a x, S. Z w e r d 1 i n g, Phys. Rev. 114, 90 A959).
50. Л. Э. Г у р е в и ч, 3. И. У р и ц к и й, ЖТФ 28, 932 A958); ФТТ 1, 1188 A960).
51. 3. И. У р и ц к и й, Изв. вузов, Физика, № 1, 143 A959).
52. А. Г. А р о н о в, ФТТ 5, 552 A963).
53. Л. Э. Г у р е в и ч, И. П. И п а т о в а, 3. И. Урицкий, Proc. Intern. Conf.
Semicond., Prague, 1960, p. 328.
54. Л. И. К о р о в и н, ФТТ 3, 1790 A961); Phys. stat. sol. 15, 751 A966).
55. Л. И. Коровин, Е. В. X а р и т о н о в, ФТТ 4, 2813 A962); 5, 2035 A963);
7, 2162 A965).
56. J. К о 1 о d z i e j с z а к, В. L a x, Y. N i s h i n a, Phys. Rev. 128, 2655 A962).
57. E. D. P a 1 i k, R. F. W a 1 1 i s, Phys. Rev. 130, 41 A963).
58. E. D. P a 1 i k, D. L. M i t с h e 1 1, Phys. Rev. 135, A763 A964).
59. I. M. В о s w a b v a, Proc. Phys. Soc. 84, 389 A964).
60. Б. М. А с к е р о в, Ф. М. Г а ш и м з а д е, ФТТ 7, 3631 A965).
61. D.L.M i tchell, E. D. Р а 1 i к, R. F. W а 1 1 i s, Phys. Rev. Lett. 14, 827A965).
62. M. V. H о b d e n, Phys. Lett. 16, 107 A965).
63. Л. И. К о р о в и н, Е. В. X а р и т о н о в, Phys. stat. sol. 14, 445 A966); ФТТ
8, 181 A966).
64. Q. H. F. V г е h e n, Phys. Rev. 145, 675 A966).
65. С. R. P i d g e о n, R. N. В г о w n, Phys. Rev. 146, 575 A966).
66. W. Z a w a d z к i, Q. H. F. V r e h e n, B. Lax, Phys. Rev. 148, 849 A966).
67. C. R. P i d g e о n, D. L. Mitchell, R. N. Brown, Phys. Rev. 154, 737
A967).
68. W. S. В a e r, J. Phys. Chem. Solids 28, 677 A967).
69. О. А к i m о t o, H. H a s e g a w a, J. Phys. Soc. Japan 22, 181 A967).
70. M. Z v a r a, Phys. Stat. Sol. 27, K159 A968).
71. J. Hal pern, B. Lax, J. Phys. Chem. Solids 26, 911 A965).
72. 3. И. Урицкий, Г. В. Шустер, Phys. stat. sol. 11, 105 A965); ФТТ 7,.
3415 A965).
- 364 -

73. Е. Ф. Гросс, Б. П. 3 а х а р ч е н я, J. phys. et rad. 1, 68 A957).
74. А. Г. С а м о й л о в и ч, Л. Л. К о р е н б л и т, ДАН СССР 100, 55 A955).
75. R. F. W а 1 1 i s, H. J. R о w I d e n, J. Phys. Chem. Solids 8, 318 A959).
76. И. П. И п а т о в а, Р. Ф. К а з а р и н о в, ЖЭТФ 41, 209 A961).
77. Е. М a j e r n i к о v a, Phys. stat. sol. 22, 113 A967).
78. Е. W. J. M i t с h e 1 1, Proc. Phys. Soc. B68, 973 A955).
79. M. И. К л и н г е р, М. М. Ч а б а н, ЖТФ 26, 938 A956).
SO. R. R. R a u, М. Е. С a s p a r i, Phys. Rev. 100, 632 A955).
81. Н. von К i m m e 1, Zs. Naturforsch. 18a, 1016 A957).
:82. S. D. S m i t h, T. S. M о s s, K. W. T а у 1 о r, J. Phys. Chem. Solids 11, 131
A959).
«3. M. J. S t e p h e n, A. B. L i d i a r d, J. Phys. Chem. Solids 9, 43 A958).
84. T. S. M о s s, A. K. W a 1 t о n, Proc. Phys. Soc. 74, 13i A959); Physica 25, 1142
A959).
.85. E. D. P a 1 i k, S. T e i t 1 e r, R. F. W a 1 1 i s, J. App. Phys. 32, 2132 A961);
Phys. Rev. 123, 1631 A961).
86. E. О. К о n e, I. Phys. Chem. Solids 1, 249 A957).
-87. J. К о 1 о d z i e j с z a k, Acta phys. Polon. 21, 637 A962).
88. B. Donovan, J.Webster, Proc. Phys. Soc. 79, 46 A962).
89. S. T e i t 1 e r, J. Phys. Chem. Solids 24, 1487 A963).
90. L. M. R о t h, Phys. Rev. 133, A542 A964).
91. J. H a 1 p e r n, B. L a x, Y. N i s h i n a, Phys. Rev. 134, A140 A964).
92. H. S. Bennett, E. A. Stern, Phys. Rev. 137, A488 A965).
¦93. А. И. К о с и н с к а я, 3. И. У р и ц к и й, Phys. stat. sol. 23, 57 A967).
¦94. S. К i e 1 i с h, Acta phys. Polon. 31, 929 A967).
•95. Л. Э. Гуревич, И. П. Ипатова ЖЭТФ 37, 1324 A959).
¦96. И. П. И п а т о в а, Р. Ф. К а з а р и н о в, ЖЭТФ 41, 209 A961).
-97. W. G. S p i t z е г, Н. Y. F a n, Phys. Rev. 106, 882 A957).
98. L. Sniadower, J. Rautuszkiewicz, R. R. Gatazka, Phys. stat.
sol. 6, 549 A964).
99. M. E. В г о d w i n, R. J. V e r n о n, Phys. Rev. 140, A1390 A965).
'100. L. C. R о b i n s о n, Phys. Rev. 145, 91 A966).
101. S. H. Groves, С R. P i d g e о n, J. F e i n 1 e i b, Phys. Rev. Lett. 17, 643
A966).
102. H. P i 1 1 e r, J. Appl. Phys. 37, 763 A966).
103. L. Sniadower, Phys. stat. sol. 25, 233 A968).
104. P. Byszewski, J. Holzman, J. Kolodziejczak, Phys. stat. sol.
27, K125 A968).
105. W. E. E n g e 1 e r, Phys. Rev. 129, 1509 A963).
106. W. S. В о t 1 e, K. F. R о d g e r s, Phys. Rev. Lett. 2, 338 A959).
107. R. N. Brown, J. G. M a v г о i d e s, B. Lax, Phys. Rev. 129, 2055 A963).
108. G. С i о b a n u, L. Banyai, Phys. stat. sol. 3, 2299 A963).
•109. T. P. D a s, A. N. J e 11 e, R. S. К n о x, Phys. Rev. 134, A1079 A964).
110. С H. H e n r y, Phys. Rev. 140, A256 A965).
111. Б. П. Захарченя, И. Б. Русанов, И. И. Тахистов а, ФТТ 8, 3602
A966).
112. Е. J. J ohnson, D. M. L a r s e n, Phys. Rev. Lett. 16, 655 A966).
113. R. L. В e 1 1, R. Т. R о g e r s, Phys. Rev. 152, 746 A966).
114. P. Byszewski, B. Kalinska, J. Kolodziejczak, Phys. stat.
sol. 23, K53, A967).
115. U. K. M i s h r a, A. K. W a 1 t о n, Phys. stat. sol. 24, K87 A967).
116. F. С. В г о w n, В. С. С a v e n e 11, W. H а у е s, Proc. Roy. Soc. A300, 78 A967).
'117. A. K. W a 1 t о n, U. К. М i s h r a, Proc. Phys. Soc. 90, 1111 A967).
118. С J. S u m m e r s, S. D. S m i t h, Proc. Phys. Soc. 92, 205 A967).
119. P. С H a r p e r, Proc. Phys. Soc. 92, 793 A967).
120. S. К u r i t a, J. Phys. Soc. Japan 22, 1150 A967).
121. T. H. L e e, H. Y. F a n, Phys. Rev. 165, 927 A968).
122. I. W. S h e p h e r d, Phys. Rev. 165, 985 A968).
;123. J. С. К e m p, W. M. Z i n i k e r, J. A. G 1 a z e, J. С. С h e n g, Phys. Rev. 171,
1024 A968).
'124. H. P a u s, F. L ii t y, Phys. Rev. Lett. 20, 57 A968).
125. E. Courtens, Phys. Rev. Lett. 21, 3 A968).
126. P. R. Wallace, R. К. С handles, J. H arn ad, Canad. J. Phys. 46, 243A968).
127. W. Thielemann, Phys. stat. sol. 26, K29A968).
'128. B. G a r 1 e n, H. S e 1 i g e r, Phys. stat. sol. 29, K27 A968).
'129. Nguyen Van Huong, Acta phys. Polon. 23, 635 A968).
'130. Ю.В.Гуляев, Письма ЖЭТФ 1, И A965).
'131. И. П. Ипатова, Р. Ф. К а з а р и н о в, А. В. С у б а т и е в, ФТТ 7, 2129
A965).
132. R. J. Button, В. Lax, M. H. W e i I e r, M. R e i n e, Phys. Rev. Lett- 17,
1005 A966).
133. М. H.Weiler, M. Reine, В. Lax, Phys. Rev. 171, 949 A968).
._ 365 -

134. S. К i e 1 i с h, Phys. Lett. 25A, 517 A967); Acta phys. Polon. 32, 405 A967).
135. N. V a n T r a n, J. H. M с F e e, C. K. N. P a t e 1, Phys. Rev. Lett. 21, 735 A968).
136. R. A. H a r r i s, J. Chem. Phys. 46, 3398, 4481 A967).
137. Q.Majorana, Nuovo cim. 2, 1 A944).
138. E. A. S t e r n, Bull. Am. Phys. Soc. 5, 150 A960).
139. E. A. S t e r n, R. D. M у е г s, Bull. Am. Phys. Soc. 3, 416 A958).
140. J. С. М с G г о d d y, E. A. S t e r n, Bull. Am. Phys. Soc. 8, 392 A963).
141. E. A. S t e r n, J. С. М с G г о d d y, W. E. H a r t e, Phys. Rev. 135, A1306 A964).
142. J. L. С a 1 1 i e s, C. R i g a u x, J. Phys. Chem. Solids 25, 1363 A964).
143. Л. А. Афанасьева, Г. А. Болотин, М. М, Носков, ФММ 19, 944
A965).
144. J.C. McGroddy, A. J.McAlistes, E.A. Stern, Phys. Rev. 139, А1844
A965).
145. J. С. Р h i 1 1 i p s, Phys. Rev. 140, A1254 A965).
146. J. P. d'H a e n e n s, D. L. С а г t e s, Phys. Rev. 140, A1992 A965).
147. J.P.van derZiel, P. S. Pershan, L. D. Malmestrom, Phys. Rev,
Lett. 15, 190 A965).
148. P. S. Pershan, J. P. vanderZiel, L. D. Malmestrom, Phvs. Rev
143, 574 A966).
149. P. G г о s s e, K. W i n z e r, Phys. stat. sol. 26, 139 A968).
150. H. A 1 I v e n, Cosmical Electrodynamics, Clarendon Press, Oxford, 1950 Ch 4
151. О. В. Константинов, В. И. П е р е л ь, ЖЭТФ 38, 161 A960).
152. P. A i g r a i n, Proc. Inter. Conf. Semicond. Phys., Prague, 1960, p. 224.
153. L. R. S t о r e y, Phil. Trans. Roy. Soc. A246, 113 A953).
154. H. В r e m m e r, Handbuch der Physik, Bd. 16, Berlin, 1958, S. 570.
155. В. Л, Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плазме Физ-
матгиз, М., 1960, гл. III.
156. R. Bowers, С. L e g e n d у, F. Rose, Phys. Rev. Lett. 7, 339 A961).
157. P. Cotti, P. Wyder, A. Quattropani, Phys. Lett. 1, 50 A962).
158. M. T. Taylor, J. R. Merrill, R. В о w e r s, Phys. Rev. 129, 2525 A963)
159. A. L i b с h a b e r, R. V e i 1 e x, Phys. Rev. 127, 774 A962).
160. D. N. L a n g e n b e r g, J. В о k, Phys. Rev. Lett. 11, 549 A963).
161. J.J.Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. Lett. 11, 552 A963).
162. J. J. Q u i n n, S. R о d r i q u e z, Phys. Rev. 133, A1589 A964).
163. С. С Grimes, S. J.Buchsbaum, Phys. Rev. Lett. 12, 357 A964).
164. R. E. P r a n g e, Phys. Lett. 12, 181 A964).
165. С. С G r i m e s, G. A d a m s, P. H. S с h m i d t, Phys. Rev. Lett. 15, 409 A965)-
166. J. L. S t a n f о r d, E. A. S t e r n, Phys. Rev. 144, 534 A966).
167. Proc. 7th Intern. Conf. Phys. Semicond., vol. 2 — Plasma Effects in Solids, ed.
J. Bok, Dunad, Paris, 1964; статьи S. J. Buchbaum, p. 3, R. Bowers, p. 19; N. Per-
rin, B. Perrin, W. Mercouroff, p. 37; Y. Kanai, p. 45; J. Maurer, A. Libchaber,
J. Bok, p. 49; P. Aigrain, p. 83; С. С. Grimes, p. 87.
168. А. А. В е д е н о в, УФН 84, 533 A964).
169. Э. А. К а н е р, В. Г. С к о б о в, УФН 89, 367 A966).
170. D.P.Morgan, Phys, state sol, 24, 9 A967).
171. J.Mertsching, Phys, state sol. 26, 9 A968).
172. ]. Furdyna, Phys. Rev. Lett, 13, 426 A964); 14, 635 A965); 16, 646 A966).
173. A, W, Overhauser, S, Rodriguez, Phys. Rev, 141, 431 A966).
174. J.C.M с Gr od dy, J, L.S t anf or d, E. A. St e r n, Phys. Rev. 141,437A966).
175. M. A. L a m p e r t, J. J. Q u i n n, S, T о s i m a, Phys. Rev. 152, 661 A966).
176. С Greebe, W. F, Druyvesteyn, Philips Res, Repts 21, 423 A966).
177. P, B, M i 1 1 e г, Р. С. К w о k, Phys, Rev, 166, 629 A967).
178. A. L. M с Whort er, J. N, Wai pole, Phys. Rev, 163, 618 A967).
179. W. A. R e e d, P. P. M e i n k e, Phys, Rev. 163, 664 A967).
180. G. Weisbuch, A, Libchaber, Phys. Rev. Lett. 19, 498 A967).
181. P. R. A n t о n i e w i с z, Phys. Lett. 24, A83 A967).
182. S. W. H u i, Phys. Lett. 24, A265 A967).
183. P. K. L a r s e n, K, S a e r m a r k, Phys. Lett. 24, A374 A967).
184. K. S a e r m a r k, P. K. L a r s e n, Phys. Lett. 24A, 668 A967).
185. Э. А. К а н е р, В. Г. С к о б о в, Phys. Lett. 25A, 105 A967).
186. P. A, P e n z, J. Appl, Phys, 38, 4047 A967).
187. W. S с h i 1 z, Sol. Stat. Comm. 5, 503 A967).
188. H. Gobrecht, A. Tausend, J. Danekwerts, Sol. Stat. Comm. 5,
551 A967).
189. B, W. M a x f i e 1 d, Sol. Stat, Comm. 5, 585 A967).
190. H. H a s e g a w а, А, К о у a m a, J. Phys. Soc. Japan. 23, 575 A967).
191. В. С, Э д е л ь м а н, ЖЭТФ 54, 1726 A968).
192. И. П. К р ы л о в, ЖЭТФ 54, 1738 A968).
193. Е. П. Вольский, В. Т. П е т р а ш о в, Письма ЖЭТФ 7, 427 A968).
194. Г. М. Н е д л п н, Р. X. Ш а п и р о, ФТТ 10, 2223 A968).
195. R. С. А 1 i g, Phys. Rev. 165, 833 A968),
19fi, J. R. Houck, R. Bowers, Phys. Rev. 166, 397 A968).
- 366 -

197. J.R.Merrill, Phys. Rev. 166, 716 A968).
198. J.M. Goodman, Phys. Rev. 171, 641 A968).
199. И. К. К и к о и н, М. М. Н о с к о в, Phys. Zs. UdSSR 5, 586; 6, 478 A934).
200. Я. И. Ф р е н к е л ь, Phys. Zs. UdSSR 5, 597 A934); 8, 185 A935).
201. Л. Д, Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 9, 477 A936).
202. Е. М. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 9, 641 A936).
203. W. van R о о s b г о е с k, Phys. Rev. 101, 1713 A956).
204. И. К. К и к о и н, ДАН СССР 3, 418 A934).
205. И. К. К и к о и н, Ю. А. Б ы к о в с к и й, ДАН СССР 109, 735 A956); 116, 381
A957).
206. И. К. К и к о и н, С. Д. Л а з а р е в а, ДАН СССР 135, 1371 A960).
207. Ю. М. К а г а н, Я. А. С м о р о д и н с к и й, ЖЭТФ 34, 1376 A958).
208. Г. И, Харус, И. М. Цидильковский, ФММ 10, 341 A960).
209. И. К. Кикоин, С. Д. Л а з а р е в а, ЖЭТФ 39, 1971 A960).
210. И.Н.Николаев, ЖЭТФ 45, 1678 A963).
211. J. T a u с, Czechoslov. J. Phys. 6, 421 A956).
212. С. Garret a, J. Grosvalet, Progress in Semiconductors, vol. 1, London,
1956, p. 165,
213. Я. Т а у ц, Фото- и термоэлектрические свойства в полупроводниках, перев.
с англ., ИЛ, М., 1962,
214. С. М, Рывкин, Фотоэлектрические явления в полупроводниках, Физматгиз,
М,, 1963,
215. R. Е. В а г k e r, Jr., Phys. Rev. 149, 663 A966).
216. А. П. К о м а р, Н. М. Р е й н о в, С. С. Ш а л ы т, Изв. АН СССР, сер. физ. 19,
444 A955).
217. S. W. К u r n i с к, R. N. Z i 11 e r, J. Appl, Phys. 27, 278 A956).
218. W. W. Gartner, Phys, Rev. 105, 823 A957); 126, 1680 A962).
219. Т. В u с к, F. M с К i m, Phys. Rev. 106, 904 A957).
220. J. D i x о n, Phys. Rev. 107, 374 A957).
221. R. N. Z i t t e r, Phys, Rev. 112, 852 A958); 139, A2021 A965); Phys. Rev. Lett.
14, 14 A965).
222. M. С a r d о n a, W. P a u 1, J. Phys. Chem. Sol. 7, 127 A958).
223. A. A m i t h, Phys. Rev. 116, 330 A959).
224. M. Bernard, J. Phys. Chem. Sol. 8, 332 A959).
225. А. А. Г р и н б е р г, ФТТ 2, 153 A960).
226. T. Y о u n g, Phys. Rev. 117, 1274 A960).
227. A. R. M о о r e, J. О. К e s s 1 e r, Phys. Rev. Lett. 4, 121 A960).
228. R. H. В u b e, H. E. M с D о n a 1 d, Phys. Rev. 128, 2062, 2071 A962).
229. K. Thiessen, H, Hornung, Phys. stat. sol, 2, 1158 A962).
230. W. W. Gartner, С Loscoe, H. M e 11 e, Phys. Rev. 126, 1680 A962).
231. В. К, С у б а ш и е в, ФТТ 5, 556 A963).
232. Э. А, Завадский, Ю. Т. К о в р и ж н ы х, И. Г. Ф а к и д о в, ФТТ 6,
173 A964).
233. В. П. С у ш к о в, М. И. И г л и ц и н, ФТТ 6, 3107 A964).
234. Т. Sakurai, M. I s h i g a m e, Phys. Rev. 135, A1619 A964).
235. T. J.Martin, J. С Anderson, Phys. Lett. 11, 109 A964).
236. J. Dresner, J. Phys. Chem. Sol. 25, 505 A964); Phys. Rev. 143, 558 A966).
237. Ю. М. К а г а н, В. И. С о б а к и н, ФТТ 7, 2565 A965); Письма ЖЭТФ 2, 71
A965).
238. И. К, К и к о и н, С. Д. Л а з а р е в а, ФТТ 7, 2564 A965); Письма ЖЭТФ 2, 75
A965); J. Phys. Chem. Sol. 28, 1237 A967).
239. В. А. Г р и д и н, В. Ф. Е л е.с и н, ФТТ 7, 730 A965).
240. Н. L. M e t t е, А. В о a t r i g h t, Phys. Rev. 140, A919 A965).
241. В. И. С о б а к и н, ДАН СССР 167, 318 A966).
242. R. W. Т е а 1 е, D. W. T e m p I e, Phys. Rev. Lett. 19, 904 A967).
243. Р. И. Лягущенко, Р. В. Парфенов, И. И. Фарбттейн, С. С. Ша-
fl ы т, И. М. Я с с и е в и ч, ФТТ 10, 2241 A968).
244. U. En z, H. van der Heide, Sol. Stat. Comm. 6, 347 A968).
245. И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 9, 915 A939); J. Phys. USSR 2, 65 A940).
246. H. Y. T z u, Proc. Roy. Soc. A192, 231 A948).
247. J. S. T о 1 1, Dissertation, Princeton Univ., 1952.
248. H. П. К л е п и к о в, ЖЭТФ 26, 19 A958).
249. H. R о е b 1, Acta phys. Austr. 6, 105 A952).
250. Т. Е r b e r, Proc. Intern. Conf. High Magn. Fields, 1961, p. 706.
251. Т. Е r b e r, Discovery 24, № 2, 16 A963).
252. G. К. О e r t e 1, Nature 202, 684 A964).
253. А. Максфилд, УФН 103, 233A971).

Глава 16
МАГНИТНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
§ 1. Введение
За последнее время парамагнитные свойства вещества оказались весьма суще-
существенным фактором в важной физической проблеме получения сверхнизких температур
(менее 1° К). Значение магнитного метода охлаждения обусловлено тем, что методы
охлаждения, основанные на процессе сжижения газов, т. е. использующие изменения
энтропии при парообразовании, по мере понижения давления газа становятся все менее
эффективными, так что технически уже невозможно получить заметное изменение
внтропии за конечное время. Наиболее низкая температура, полученная таким методом
с помощью жидкого гелия, а именно откачкой паров над жидким наиболее распростра-
распространенным изотопом Не*, составляет 0,71° К. За последние годы очень редкий изотоп
Не3 стал довольно доступным в достаточно больших количествах. Этот изотоп гелия
•обладает относительно высоким значением скрытой теплоты испарения, поэтому доста-
достаточно небольшого количества жидкого Не3 (около 1 см3), чтобы откачкой паров над
жидким Не3 охладить опытную аппаратуру от 1° К примерно до 0,3° К. Это и есть тот
предел охлаждения, которого можно достичь таким способом. Для получения более
низких температур (вплоть до 10~7 °K (необходимо иметь такую физическую систему,
в которой 1) энтропия S при температурах вблизи 1° К была бы еще вполне заметной
и при этом 2) сильно зависела от какого-то отличного от температуры физического
параметра, легко варьируемого извне. Еще в 1926 г. независимо друг от друга Дебай
[1] и Джиок [2] предложили использовать в качестве такой системы парамагнетики *).
Они хорошо подходят для этой цели, поскольку в отсутствие магнитного поля их эле-
элементарные магнитные моменты направлены хаотически, что соответствует относитель-
относительно большой энтропии S (магнитный беспорядок). Включая при гелиевых температурах
сильные магнитные поля A03—10* э), парамагнетики (обычно это соли) можно намагни-
намагнитить, т. е. перевести их в состояние магнитного порядка и тем самым уменьшить их эн-
энтропию S.
§ 2. Магнитный метод охлаждения
1. Качественное рассмотрение. В основе магнитного метода охлаждения **)
лежит использование магнетокалорического эффекта, когда при адиабатическом (без
теплообмена с окружающей средой) намагничивании парамагнетика мы имеем дело
с двумя эффектами, связанными с действием магнитного поля на атомную магнитную
систему: во-первых, энергия системы элементарных магнетиков уменьшается за счет
появления добавочной отрицательной потенциальной энергии во внешнем магнитном
поле — (цБ-#), и, во-вторых, вырождение микросостояний системы снимается (зее-
мановское расщепление), т. е. уменьшаются статистические веса микросостояний [gn
в формуле E.21)]. Эти причины и приводят при низких температурах к уменьшению
аддитивного члена в выражении для «магнитной части» энтропии системы, пропорци-
пропорционального R In go, где go — статистический вес основного состояния. В силу условия
адиабатичности, т. е. постоянства, или неубывания, энтропии, это ее уменьшение
должно компенсироваться за счет иных источников внутри самой системы. Последнего
можно достичь путем увеличения интенсивности теплового движения, т. е. нагреванием
*) Первые экспериментальные исследования с помощью этого метода выпол-
выполнили де Гааз и др, [3], Джиок и Мак-Дугалл [4], Кэрти и Симон [5], после чего этот
метод прочно вошел в физику низких температур как основной метод получения сверх-
сверхнизких температур.
**) Физически сходную идею адиабатической деполяризации предложили и экс-
экспериментально осуществили Шеферд и Фехер [6]. Они охлаждали систему путём адиа-
адиабатической деполяризации системы ионов ОН~ в кристалле КС1, используя электро-
электрокалорический и пьезокалорический эффекты. Этот метод по аналогии можно было бы
назвать электрическим методом охлаждения. Однако этот путь еще не получил широко-
широкого применения в технике сверхнизких температур.
— 368 —

системы от начальной температуры Tt до конечной температуры Гу. Энтропия при этом
возрастает на величину
J Т
dT,
где Cv — теплоемкость вещества. Напротив, при адиабатическом размагничивании
парамагнетика энергия элементарных носителей магнитного момента возрастает, поэто-
поэтому растет и магнитная часть энтропии тела, интенсивность теплового движения при
этом падает вместе с его энтропией, что и приводит к понижению температуры.
Такая наглядная интерпретация процесса магнитного охлаждения возможна
лишь в том случае, когда элементарные магнитные вещества образуют идеальный газ.
В противном случае взаимодействие между элементарными магнитными моментами
усложняет все явление. В частности, например, взаимодействие не дает возможности,
используя магнитное охлаждение, точно достичь 0° К (тепловая теорема Нернста).
Приведем еще наглядную графическую иллюстрацию принципа магнитного
метода охлаждения. На рис. 16.1 схематически изображена (Т — 5)-диаграмма.
Энтропия парамагнетика складывается из энтропии его кристаллической решетки
Speal, связанной с тепловыми колебаниями атома, и магнитной части ?магн, связанной
с его спиновой (магнитной) системой. При обычных тепературах (Т 3* 100° К) ?магн <^
<С Speui- Однако при очень низких температурах (Т ^ 1° К) ситуация существенно
меняется. Энтропия решетки 5рещ уменьша-
уменьшается с понижением температуры пропорцио-
пропорционально Т3 и при Т ^ 1° К становится уже еле
заметной. Магнитная же часть энтропии ?магн
в отсутствие магнитного поля (Н = 0) при
Т » 1° К слабо зависит от температуры. Толь-
Только при еще более низких температурах
(Т < вкр) ?магн начинает заметно умень-
уменьшаться. Здесь 0Кр — некая критическая тем-
температура, величина которой определяется
внутренними взаимодействиями между маг-
магнитными ионами, а также их взаимодействием
с внутрикристаллическим (лигандным, см.
гл. 10) полем *), всегда снижающими энтро-
энтропию магнитной подсистемы кристалла. Кри-
Крит.°к
реч1
П
5магнидает ход энтро-
энтроРис. 16.1. Схематическая иллюстрация
магнитного метода охлаждения с помощью
энтропийной диаграммы (Т — S) парамаг-
парамагMarH — энтропия магнитной под-
поднетика.
агн
системы при Я = 0, вяагн —то же при
Н=И$ (Hs — поле, создающее в парамаг -
нетике насыщение), S
рега
¦ энтропия ре-
решетки, ©кр— критическая температура,
определяемая внутренним взаимодействи-
взаимодействием, АВ — изотермическое намагничива-
намагничивание, ВС — адиабатическое размагничива-
размагничивание. Пунктирная кривая АС — темпе-
температурная зависимость S?j3rH
поле Я <HS-
S при
реш
вая 5магн
пии ниже 1° К. "При наложении сильного маг-
магнитного поля Н в кристалле возникает маг-
магнитный порядок в пределе очень сильных по-
полей Hs, стремящийся к магнитному насыще-
насыщению (полному магнитному порядку), что и
приводит к существенному снижению энтро-
энтропии. Это и изображено кривой ¦SMrarH + Spem
на рис. 16.1. Таким образом, намагничива-
намагничивание парамагнетика, как и сжижение газа
при условии изотермичности (Т = const), при-
приводит к выделению тепла, которое необходимо
убрать из системы. С другой стороны, если
адиабатически, т. е. изоэнтропически, размагнитить парамагнетик, выключив магнит-
магнитное поле, не допуская притока тепла к системе извне, то это тепло будет черпаться из
внутренних ресурсов системы; и поэтому она охладится.
Несмотря на высокую современную технику в осуществлении тепловой изоляции,
никогда не удается избежать паразитного притока тепла. Однако вредное влияние
этого паразитного притока тепла будет тем меньше, чем больше теплоемкость рабочего
вещества. Большая теплоемкость также очень полезна, если требуется с помощью рабо-
рабочего вещества охладить до низкой температуры какое-либо другое вещество, которое
не может быть само эффективно адиабатически охлаждено размагничиванием, напри-
например, если оно диамагнитно. Из опыта известно, что все парамагнетики в области тем-
температур, близких к критической точке 0кр, имеют максимум теплоемкости, поэтому
наиболее удобно использовать рабочее вещество именно в этой области температур.
Поэтому, вообще говоря, следует располагать набором парамагнетиков с различными
у,
значениями в
кр.
*) Эти внутренние взаимодействия всегда приводят к какому-то более «упорядо-
«упорядоченному», чем парамагнитное, состоянию. В некоторых случаях это может быть ферро-
илп антиферромагнитное. Во всяком случае этому состоянию,
ченному, всегда соответствует меньшая энтропия ?магн.
как более упорядо-
24 с. В. Вонсовский
- 369 -

На рис. 16.1 показан тепловой цикл, используемый для охлаждения. Он состоит
из изотермы АВ и адиабаты ВС. Конечная температура цикла Тк — 0кр будет соот-
соответствовать той точке (S — Г)-диаграммы, в которой S^am (Тк) = SjfJ11 A° К).
Из рис. 16.1 видно, во-первых, что при Т ^ 0кр энтропия уже очень слабо зависит
от величины внешнего магнитного поля; в этой области парамагнетик становится мало-
малоэффективным как агент цикла магнитного охлаждения. Во-вторых, возможный эффект
охлаждения (прямая ВС) при заданном начальном изотермическом уменьшении энтро-
энтропии (прямая АВ) сильно зависит от формы кривой 5"агн (Т). Если эта кривая имеет
крутой наклон (пунктирная кривая АС на рис. 16.1), то конечная температура Тк =
= 7" оказывается более высокой, чем вкр, достигаемая в случае «плоской» кривой
энтропии (сплошная кривая ?"агн (Т)). Поскольку теплоемкость парамагнетика равна
Т (dSldT)H, то чем более плоской будет кривая 5"агн (Т), тем меньше будет производная
(dSldT)H, и, следовательно, для достижения более низкой температуры желательно,
чтобы при Н = 0 теплоемкость была малой. Или иначе можно сказать, что относитель-
относительное понижение температуры дается выражением ДГ/Г = &S/Cp, где Т и Ср — сред-
средние значения температуры и теплоемкости цикла.
Таким образом, парамагнетик может быть эффективным рабочим веществом для
получения сверхнизких температур, если величина энергии взаимодействия его атом-
атомных магнитных моментов емагн л; &вкр будет мала по сравнению с их средней тепло-
тепловой энергией при Т « 1° К, т. е. 0кр <^ 1° К, а энергия этих моментов в магнитном
поле, наоборот, будет порядка или даже больше тепловой энергии, т. е. цвН^кТ
(чтобы можно было достичь магнитного насыщения и тем самым заметно снизить энтро-
энтропию ^агн)-
2. Термодинамическая теория. Используя выражение E,21) для статистической
суммы и E.20) для свободной энергии, можно найти энтропию S = —(dF"/dT)H и на-
намагниченность М = — (dF"/dH)T. Примем, что момент количества движения парамаг-
парамагнитного иона в основном состоянии равен % ~[/J (J + 1). При И = 0 этот уровень
B/ + 1)-кратно вырожден, если пренебречь внутренними взаимодействиями. Далее,
если более высокие уровни считать незанятыми (низкие температуры), то статистиче-
статистическая сумма будет равна
\ A6.1)
откуда для энтропии и намагниченности получаем
5 = Л1пB/ + 1). М=0. A6.2)
Из A6.2) видно, что энтропия не зависит от температуры, и поэтому теплоемкость равна
нулю. Эти формулы, конечно, приближенные и справедливы для Т ^> вкр (см. гори-
горизонтальный участок кривой ?"агн на рис. 16.1).
В магнитном поле B/ + 1)-кратно вырожденный уровень расщепляется на
2/ + 1 эквидистантных уровней с расстоянием между ними, равным g\i^H, где
g — фактор Ланде. Поэтому при Г=1°Ки#« 10* э имеем ?ЦБ# « кТ и будут
заняты лишь нижние уровни, что снижает энтропию. Действительно, если включить
магнитное поле Н, то в этом случае статистическая сумма
S exppg?)]W. A6.3)
При малых полях ?ЦБ# С к? находим
где С определяется по (9.7), ai? = fe/V, N—число Авогадро, к—постоянная Больцмана.
Из A6.4) находим
С
М~Н. A6.5)
Таким образом, энтропия уменьшается с ростом поля и с понижением температуры
(см. кривую для 5дагн (Т) на рис. 16.1), а намагниченность подчиняется закону Кюри
[см. (9.3)]. Из A6.5) можно также вычислить магнитную часть теплоемкости:
Первое условие пригодности парамагнетика для целей магнитного охлаждения,
требующее, чтобы энергия g\iBH в поле Н » 10* а была порядка кТ (для Т & 1° К),
выполняется для многих ионов группы железа и редких земель. Второе условие требу-
- 570 —

ет, чтобы расщепление и уширение основного уровня, вызываемые силами взаимодей-
взаимодействия при 1° К, были малы по сравнению с кТ. Силы взаимодействия между ионами
парамагнетика могут быть различного происхождения:
1) магнитное дипольное взаимодействие;
2) электростатическое обменное взаимодействие между магнитно активными
ионами;
3) взаимодействие магнитного иона с электрическими полями его немагнитного
окружения (лигандное поле, см. гл. 10), приводящее к штарковскому расщеплению
уровней;
4) взаимодействие магнитного момента электронной оболочки с магнитным момен-
моментом атомного ядра, приводящее к появлению СТС в спектрах.
Учет взаимодействий первого и второго типа представляет большие трудности,
поскольку он требует решения в райках задачи многих тел. Так как обменное взаимо-
взаимодействие быстро спадает с расстоянием, а в методе адиабатического размагничивания
используют парамагнитные соли, в которых магнитные ионы сильно разбавлены их
немагнитным окружением (для понижения точки вкр), то на первый взгляд можно
было бы предположить, что обменное взаимодействие намного меньше магнитного
дипольного. Однако это не так, поскольку в солях мы имеем дело не с прямым обменным
взаимодействием магнитных ионов, а с косвенным обменом, осуществляющимся через
посредство возбужденных состояний промежуточных диамагнитных ионов (см. гл. 22).
Ширина энергетической полосы около уровня основного состояния, возникающая из-за
этих взаимодействий, имеет в интересующих нас полях порядок 10~2 см'1 (напомним,
что единица энергии 1 см'1 соответствует в температурной шкале 1,438° К). В общем
случае энергию взаимодействия двух магнитных ионов i и ; можно записать в виде
wu = r-rf[U+Au)\ii\ij-3(rrf) (тги) (fijTij)}, A6.7)
где (r~^) Aij — параметр обменного взаимодействия, а для изотропного парамагнетика
\i{ = гцБ/г-. Ван-Флек и Пенни [7] использовали разложение статистической суммы Z
с энергией A6.7) в ряд по степеням Т'1 и вычислили несколько первых членов разло-
разложения, что справедливо при высоких температурах. К сожалению, ряд сходится очень
медленно, и поэтому не удается получить хорошего решения для области температур,
где величина кТ становится порядка ширины полосы энергий, обусловленной взаимодей-
взаимодействием магнитных ионов A6.6). Ван-Флек [8] получил выражение для части теплоем-
теплоемкости, обусловленной взаимодействием A6.7); она, так же как и A6.6), зависит от Т~г;
сумма берется по всем парам магнитных ионов*). Для магнитной восприимчивости
относительно внешнего поля получаем
х= г71—=—v й—I—? • A6Л°)
т-\ (т-лгР8)]
где Л^рзм — усредненный размагничивающий фактор образца, ®пм — парамагнитная
точка Кюри, а
Если предположить, что обменный параметр А\) не зависит от ориентации
моментов ионов относительно гц и быстро спадает с расстоянием, то в приближении
ближайших соседей для величины 0ПМ имеем
вПм=-*1 3 3fe ' A6Л2)
S — спиновое квантовое число иона, z4 — число ближайших соседей узла решетки.
В магнитных расчетах с парамагнитными солями необходимо различать внешнее
поле (например, поле соленоида или электромагнита) Не, внутреннее поле (измеренное
внутри узкой длинной полости, параллельной силовым линиям в образце) Ht и, нако-
наконец, локальное поле, действующее на данный ион, -Н"лок> которое равно сумме Д",- и эф-
эффективного поля ионног,о окружения. Восприимчивость % можно также определять
по отношению ко всем трем полям: %е = MjHe, %[ = MIHt и %лок = М/Нлок. Как
*) Если нет обменного взаимодействия (Ац & 0), то в случае кубической решетки;
(например, квасцы) приведенное в A6.9) выражение для Q дает Q & 14,4.
- 371 — 24*

, мы видели, связь между Не я Hi при условии однородной намагниченности определяет-
определяется с помощью размагничивающего фактора (в общем случае тензора N;j). Определение
Нлок сопряжено с большими трудностями. Этот вопрос рассмотрел впервые Лорентц
A934), а затем Онзагер [9]. См. также Зейтц A949) и Ван-Флек и Пенни [7].
Третий тип взаимодействия, приводящий к этффекту Штарка, оказывает влия-
влияние на энтропию и теплоемкость парамагнетика при Н = 0, а также на % и М в слабых
и сильных магнитных полях. Этот эффект приводит к уменьшению энтропии, а его
вклад в теплоемкость зависит от температуры по закону Т~г, т. е. тому же, что и эффект
магнитного и обменного взаимодействия [см. A6.8)].
Расщепление, обусловленное эффектом Штарка, может быть порядка 10* си.
Наинизший орбитальный подуровень (см. гл. 10) — основное состояние — обладает
спиновым вырождением, которое не может быть.снято прямым влиянием электриче-
электрического поля лигандов. Возможен еще небольшой косвенный эффект спин-орбитального
взаимодействия, приводящий к слабому расщеплению, порядка 0,1 см'1. Если спино-
спиновое вырождение основного состояния четное, то по теореме Крамерса [10] оно может
быть снято магнитным полем (см. гл. 10).
Наконец, четвертый тип взаимодействий может появиться, если ядро парамагнит-
парамагнитного иона обладает отличным от пуля магнитным моментом или электрическим квадру-
польным моментом (или тем и другим). Взаимодействие ядерного момента с электронной
оболочкой иона приводит к слабому расщеплению основого уровня иона (расщепление
СТС). Это расщепление состоит из двух частей, обусловленных: 1) магнитным взаимо-
взаимодействием между магнитными моментами электронной оболочки и ядра и 2) электро-
электростатическим взаимодействием между ядерным квадрупольным моментом и электри-
электрическим потенциалом (в месте расположения ядра), создаваемым электронами ионной
оболочки. Первая составляющая порядка 10-* см, а вторая еще меньше. Поэтому
при температуре выше Окр можно пренебречь их влиянием на кривую намагничива-
намагничивания и энтропию. Вклад же в теплоемкость оказывается, как и в A6.8), пропорцио-
пропорциональным Т~г. То обстоятельство, что все перечисленные вклады в теплоемкость оказы-
оказываются пропорциональными Т~г, затрудняет их экспериментальное разделение. Здесь
может помочь «разбавление» магнитных ионов парамагнетика путем замены их в кри-
кристалле эквивалентными немагнитными ионами (см. Бенци и Кук [11]), поскольку
штарковское расщепление и СТС слабо зависят от разбавления (см. де Клерк и Полдер
[12]), в то время как магнитные и особенно обменные взаимодействия зависят от него
весьма существенно.
Количественное выражение магнетокалорического эффекта, т. е. изменение .тем-
.температуры dT, вызванное адиабатическим изменением напряженности магнитного поля
dH, можно получить из основного уравнения первого и второго начала термодинами-
термодинамики *), используя условие адиабатичности (dS = 0). Вводя термодинамический потен-
потенциал U' [см. E.1)]
U' = U—4-H2 A6.13)
оЯ
и считая, что плотность парамагнетика не изменяется (dp' =0), получаем
dS = ^r(dU'—HdI) = O. A6.14)
Выбирая в качестве независимых переменных температуру и магнитное поле (отвле-
(отвлекаясь от указанного выше различия между Не, Hi и -Н"лок), из A6.14) получаем
т \ дт а ~W)с" ~г т \ дН и di
и, следовательно,
dU' „ 81
A6.15)
—Н
дТ " дТ
Используя известные термодинамические соотношения
8S
~W \~W)~~ дТ \~dir)
и определение теплоемкости Сц при постоянном поле, находим
dU' di di dU' di
дН
*) Анализ термодинамических соотношений для процесса адиабатического охла-
охлаждения проведен в работе Киршнера [13].
- 372 —

поэтому вместо A6.15) будем иметь
ат=
H
A6.16)
Поскольку в обычных парамагнетиках намагниченность уменьшается с повышением
температуры и, следовательно, производная (дЦдТ)н отрицательна, то отрицательное
dH (т. е. уменьшение поля при размагничивании) влечет за собой по A6.16) отрица-
отрицательное dT, т. е. охлаждение парамагнетика. Однако могут быть и такие случаи, когда
производная (дЦдТ)н положительна, например в антиферромагнетиках (см. гл. 22),
тогда адиабатическое размагничивание будет вызывать нагревание (см. Курти [14]) *).
Поскольку dU' в A6.14) является полным дифференциалом, то
и поэтому зависимость температуры от поля при изоэнтропическом процессе можно
получить интегрированием A6.17) или A6.16):
A6.18)
Оценим порядок величины этого эффекта (см. Рихеман [17]). Как мы видели, при
высоких температурах (кТ > (ХБЯ) в парамагнетиках приближенно имеет место закон
Кюри (9.3); поэтому
д1/дТ=—СН/Т2
и A6.16) примет вид
я я IJ!L\
- \ l*L) dH^-т \ ±°UJLdH.
Ho Ho
Сн
A6.19)
Интегрируя A6.19) в пределах от какой-то начальной температуры Гг- до конечной
и от Нг = Н до Я/ = 0, получаем (считая M—Tf—Тг < T + T 2T)
A6.20)
Например, в случае кислорода
Сн = 0,156- 4,18 -107 эрг I град -г,
С = 0,0316
и при
Т = 293° С
.имеем
ДГ= — 0,83.10-"-Я2.
Даже при
Я = 30 000э
величина
| ДГ | « 0,007°,
т. е. эффект явно ничтожный. Однако при очень низких температурах теплоемкость
тела резко уменьшается; можно считать, что при Т« 1° К практически играет
роль лишь электронная часть теплоемкости, которая почти в 100 раз меньше
теплоемкости кристалла при обычных температурах. Тогда A6.20) дает
приГ»1°К | ДГ | = 2,43- 1
и
при Я = 3000 о | ДГ | « 2,2°.
*) Киттель [15] и Вольф [16] независимо предложили новый метод получе-
получения температур ниже 1° К, используя тот факт, что энтропия некоторых парамагнит-
парамагнитных солей возрастает при изотермическом приложении магнитного поля: (dS/dH)T >
> 0. Это н обусловливает тот факт, что охлаждение должно происходить при намаг-
намагничивании, а не размагничивании таких солей.
— 373 —

Этот результат количественно явно неправилен, однако он показывает, что при очень
низких температурах магнетокалорический эффект может иметь относительно гораздо
большее значение, чем при комнатных температурах. Количественная ошибка, допу-
допущенная в приведенном расчете, заключается в том, что мы без всякого основания допу-
допустили справедливость закона Кюри вплоть до самых низких температур. Как уже ука-
указывалось выше, при таких температурах намагниченность парамагнетиков уже не под-
подчиняется закону Кюри (9.3). В данном случае он должен быть заменен более общим
законом Кюри — Вейсса (9.47). При этом вместо A6.20) получаем
Из формулы A6.21) видно, что даже при Т = 0°К ДГ ф 0, так как Д ф 0. Это озна-
означает, что благодаря наличию взаимодействия между элементарными носителями
магнитного момента парамагнетика, обусловливающего появление константы Д, абсо-
абсолютный нуль точно недостижим. Вместе с тем из A6.21) следует, что для целей магнит-
магнитного охлаждения наиболее подходящими являются те вещества, у которых постоянная
Д имеет минимальное значение.
Из A6.19) интегрированием получаем
или
1* — Т\ = -?-(Щ—Щ). A6.20а)
Пусть Hf = 0 н Tf «0, тогда ТуЩ» С/Сц, и, следовательно, из A6.20а) находим
Tf = Hf^-. A6.2C6)
3. Опытные результаты. В упомянутых выше первых опытах по магнитному
охлаждению [4] в качестве рабочего вещества использовался сульфат гадолиния
Gd2 (SO4K'8H2O и была получена температура незначительно ниже 1° К. Де Гааз
и др. [3], размагничивая такой же препарат от поля 27 600 э при начальной темпера-
температуре 1,35° К до поля в 850 з, получили более низкую температуру, а именно 0,13° К.
Еще большего успеха добились, когда вместо упомянутого вещества стали поль-
пользоваться солями типа квасцов, в которые входят ионы переходных элементов группы
железа. Хороший результат получили де Гааз и Вирсма [18] с помощью хромо-калие-
хромо-калиевого сульфата K2SO4Cr2 (SO4K-24H2O, растворенного в пемагнитных квасцах
К 2SO4A12(SO4K-24H2O; была достигнута температура 0,0044° К. Объем образца при этом
был равен 56 см3 и процесс размагничивания велся от поля в 24 075 э при 1,174° К
до поля в 1 а. Еще более низкая температура в 0,003° К была получена при аналогич-
аналогичных опытах с размагничиванием хромо-калиевых квасцов. В ряде работ по глубокому
охлаждению были обнаружены новые интересные данные о характере магнитных свойств
хромо-калиевых KCr(SO4J-12H2O и железо-аммониевых квасцов NH4Fe(SO4J -12H2O
(см. [19—21]). Прежде всего было установлено, что магнитная восприимчивость
этих веществ растет с уменьшением температуры и при определенном значении
Т = Тма1<с достигает максимума. Кроме того, было найдено, что эти квасцы при очень
низких температурах становятся ферромагнетиками или антиферромагнетиками.
Хромо-калиевые квасцы имеют точку Кюри 0, равную 0,0040° К, а железо-
аммониевые — 0,042° К; соответственно для Умакс было найдено 0,0037° К и 0,035° К.
Ниже температур Кюри квасцы обладали и остаточной намагниченностью /д (порядка
нескольких гс-см3! моль) и, следовательно, гистерезисными петлями.
К настоящему времени исследовано уже довольно много парамагнитных веществ
и в качестве рабочих материалов в методе адиабатического размагничивания, а также
как объектов исследования физических свойств в области сверхнизких температур —
от 1 до 10-3° К.
Подробную сводку экспериментальных данных по этим веществам можно найти
в обстоятельном обзоре де Клерка [22], в обзоре Амблера и Хадсона [23] или в моногра-
монографии Гарретта [24]. Исследования магнитных свойств при сверхнизких температурах
проводятся в двух различных температурных интервалах, граница между которыми
для (каждого парамагнитного вещества определяется температурой Тмакс, отвечаю-
отвечающей максимуму восприимчивости *). В области Т > Тиакс ПРИ сравнительно высокой
температуре вещества ведут себя как парамагнетики, подчиняющиеся закону Кюри —
Вейсса F.6). В области Т < Тмакс магнитные свойства оказываются более сложными,
поскольку они в значительной степени определяются внутренними электрическими
и магнитными взаимодействиями. Здесь очень существенными становятся явления
*) Численные значения Тыакс для разных веществ варьируют в довольно широ-
широком интервале от Т « 10~2°К и выше.
- 374 -

релаксации и гистерезиса, столь характерные для ферро- и антиферромагнетизма.
Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в гл. 23. Магнитные свойства парамаг-
парамагнитных солей, исследованных по методу адиабатического размагничивания, описаны
в обзорах [22—24].
§ 3. Метод магнитного охлаждения для ядерных парамагнетиков
Описываемый выше метод адиабатического размагничивания с помощью парамаг-
парамагнитных солей дает возможность получить охлаждение до 10~2—10~3 °К. Этот предел
^обозначим его через УщинЬ как мы видели, определяется величиной внутренних взаи-
взаимодействий. Минимальная температура, достигаемая с помощью адиабатического раз-
размагничивания таких веществ, может быть оценена по порядку величины из соотношения
""мин — 1^Б вз>
где Нвз—эффективное магнитное поле внутренних взаимодействий. Для солей
¦с сильным разведением магнитных ионов
п
вз~ A0а)» '
где а—порядка размера атома (~ 10~8 см). Таким образом,
ГЬ10-3°к- <16-22>
Одним из способов понижения Тмик, как это видно из A6.22), могло быть дальнейшее
увеличение разбавления парамагнитных ионов путем замещения их изолированными
магнитно нейтральными ионами. Однако при этом в такое же число раз будет умень-
уменьшаться и максимально возможное изменение энтропии AS при заданном объеме веще-
вещества. Поскольку количество тепла, которое может быть поглощено системой после
¦ее размагничивания, т. е. ее охлаждающая способность, по порядку величины пропор-
пропорционально Тмин AS, то способы, вызывающие уменьшение AS, нецелесообразны.
Из формулы A6.22) вытекает еще одна возможность уменьшения 2"мин, которая
не приводит к уменьшению Л S, а именно уменьшение числителя дроби в правой части
равенства. Это можно сделать, если вместо электронного магнетона Бора (хБ в выра-
выражении для Явз был бы в 1000 раз меньший ядерный магнетон цяд, т. е. если в качестве
охладителя использовать «ядерный» парамагнетик, в котором носителями магнетизма
являются атомные ядра.
Идею о возможности ядерного охлаждения впервые независимо высказали Гор-
тер [25] и Кэрти и Симон [26]. Симон [27] подробно проанализировал необходимые
экспериментальные условия осуществления ядерного охлаждения. Первый экспери-
эксперимент по ядерному охлаждению выполнили Хаттон и Коллин [28]. Большую роль в раз-
развитии метода играли также работы Кэрти с сотрудниками [29—33].
Здесь возникают, однако, свои специфические трудности. Во-первых, для выпол-
выполнения условия ^ядИяд^е ~ ЬТЬ для первоначального намагничивания ядерного
парамагнетика из-за малости (хяд необходимы большие магнитные поля. Поэтому
нужно, чтобы начальная температура была максимально низкой (Не « kTi/\ian «
« 10' Tt, т. е. при Tt « 10~2OK требуются поля »105—10* э), а этого можно достичь,
•если ядерному размагничиванию предпослать обычное адиабатическое размагничива-
размагничивание электронного парамагнетика. Второй трудностью является очень медленный тепло-
теплообмен между системой ядерных магнитных моментов и кристаллической решеткой.
Так, например, время установления теплового равновесия (время релаксации) в систе-
системе «ядерные спины + кристаллическая решетка» в диэлектриках при температурах
10° К может достигать недель. Более удобными в этом смысле являются металлы,
в которых передача энергии от ядерных спинов к решетке осуществляется через элек-
электроны проводимости, что уменьшает времена релаксации до минут и даже секунд (при
температурах 1—0,01° К) *).
§ 4. Время релаксации при адиабатическом размагничивании
1. Электронные системы. В связи с изложенным можно сказать, что при исполь-
использовании методов магнитного охлаждения возникает существенный вопрос о кинетике
этого процесса, т. е. о времени установления теплового равновесия между элементар-
элементарными носителями магнитного момента (например, электронными спинами в незапол-
незаполненных слоях атомных оболочек или ядерными спинами) и кристаллической решеткой.
Вообще, процесс намагничивания парамагнетиков существенно зависит от взаимодей-
*) Осгуд и Гудкинд [34] получили с помощью адиабатического размагничивания
ядерных спинов в меди (от полей ~ 57 а и температур 0,013°К) температуру, близкую
К U,UUt> iv.
- 375 —

ствия между атомными магнитиками. Теория показывает, что непосредственное дей-
действие магнитного поля на атомный магнитный момент сводится к прецессии этого
момента вокруг направления магнитного поля, т. е. к диамагнитному эффекту. Однако,
если учесть, например, для реальных газов, что атомы вещества испытывают столкно-
столкновения, то необходимо принять во внимание, что при каждом акте удара направление
магнитных моментов атомов, вообще говоря, должно изменяться. Методы статистиче-
статистической механики (как было указано в гл. 9) автоматически и достаточно точно учитывают
этот эффект теплового движения для процессов намагничивания макроскопических
тел. Однако при этом мы узнаем лишь окончательный результат, который соответствует
термодинамически равновесному состоянию.
Вопрос же о времени установления (времени релаксации) этого термодинамически
равновесного состояния должет решаться методами физической кинетики. Для случая
одно- и двухатомных парамагнитных газов этот вопрос был подробно исследован Гуре-
вичем [351, который показал, что для одноатомных газов, атомы которых находятся
в S-состоянии (пары щелочных металлов), времена релаксации порядка 10~5 сек. В слу-
случае двухатомных молекул в силу несферической симметрии их электронной оболочки
и в 2-состоянии возможно «намагничивание» (изменение ориентации) даже изолиро-
изолированной молекулы. Гуревич нашел, что магнитная восприимчивость, соответствующая
этому процессу, составляет 2/3 от полной восприимчивости газа. Остальное намагничи-
намагничивание происходит вследствие столкновений; его время релаксации, как и в случае
одноатомного газа, оказалось равным 10-5 сек. Такое разделение «процесса» намагни-
намагничивания двухатомных парамагнитных газов должно приводить к своеобразной диспер-
дисперсии магнитной восприимчивости.
Таким образом, для того чтобы при адиабатическом размагничивании магнитная
энергия, равная 2\iBH, могла перейти от кристаллической решетки к элементарным
моментам, должно существовать взаимодействие между спинами и колебаниями решет-
решетки. Кинетику установления теплового равновесия между спинами и решеткой наиболее
полно и последовательно исследовали Ахиезер и Померанчук [36], которые, вместо
полученной ранее Гайтлером и Теллером [37] сильно завышенной величины, нашли,
что время, по истечении которого температура спинов и кристаллической решетки
будет отличаться менее чем на 1%, при начальной температуре спинов 0,0001° К и на-
начальной температуре решетки много меньше 0,0001° К не превышает 1 сек. Для прове-
проведения кинетического расчета авторы прежде всего должны были сделать определенные
предположения относительно энергетического спектра спиновой системы. Вид этого
спектра определяется кристаллическим электрическим полем (см. гл. 10), магнитным
и обменным взаимодействием между магнитными моментами отдельных ионов решетки.
В результате этого взаимодействия с электрическим полем решетки происходив полное
(если число электронов в системе четно) или частичное (для нечетного числа электро-
электронов) снятие вырождения.
Кроме того, благодаря магнитному и обменному взаимодействию из каждого
уровня изолированного иона создается энергетическая полоса, содержащая N тесно
расположенных уровней (N — число ионов в кристалле). Ширина полосы по порядку
величины равна энергии взаимодействия между двумя соседними моментами и состав-
составляет в типичных случаях около_0,02° К. Таким образом, в рассматриваемой системе
возбужденный ионный уровень не локализуется в определенном месте решетки.
Слабовозбужденное состояние спиновой системы можно рассматривать как сово-
совокупность элементарных возбуждений, с которыми связаны распространяющиеся в кри-
кристалле волны. Каждое элементарное возбуждение является квазичастицей и характери-
характеризуется вектором квазиимпульса р, определяющим энергию в (р) этой квазичастицы
(«экситона»). Авторы предполагают, что экситоны подчиняются квантовой статистике
Ферми—Дирака)*). Приняв это предположение, можно легко составить обычное кинети-
кинетическое уравнение, если энергию взаимодействия между экситонами и фононами (тепловы-
(тепловыми колебаниями решетки) представить в виде ряда по степеням составляющих тензора
деформаций, соответствующего тепловым колебаниям. Решение кинетического урав-
уравнения дает возможность вычислить энергию, передаваемую решеткой спинам, а затем
и время релаксации, т. е. время установления теплового равновесия между системой
спинов и решеткой.
2. Ядерная система. Еще более сложными являются физические процессы, обу-
обусловливающие установление теплового равновесия при ядерном охлаждении. В упо-
упомянутых опытах Кэрти и др. на Си, а также на Pt и Na (см. работу [38]) была, достигнута
температура 20-10-6°К. Из этих опытов можно было определить порядок величины
характеристической температуры вкр, обусловленной внутренними взаимодействия-
взаимодействиями. Для этого нужно обобщить формулу A6.206), с тем чтобы учесть внутренние взаи-
взаимодействия, добавляя к внешнему полю эффективное магнитное поле Нвз, а именно:
т Л
Tf=
*) Справедливость этого предположения может быть проверена, например,
по температурному ходу энтропии, который должен в этом случае иметь линейный
характер. По-видимому, это в некоторой степени имеет место, например, в калиево-
хромовых квасцах.
- 376 —

и при Hf «О имеем
Если положить
находим для конкретного случая опытов Кэрти с
Ht = 27,8-103э, Tf & 16-Ю-6 °К,
Т, = 0,012° К,
что
в,
¦кр
2.Ю-6 °К.
С другой стороны, механизм взаимодействия СТС с электронами проводимости [39, 40J
приводит к вКр«2-10~6 °К, т. е. к температурам на порядок ниже наблюдаемой. Кит-
тель[41]объясняет это тем, что более высокую температуру 0кр может обусловить наличие
электрического квадрупольного момента ядер атомов меди, приводящее к более высо-
высокой энергии взаимодействия. Использование метода ядерного охлаждения сопряжено,
вообще говоря, с большими техническими трудностями, и поэтому пока работы по это-
этому методу не получили еще широкого распространения. Основная трудность заклю-
заключается в том, чтобы охлажденная система ядерных спинов могла через электроны про-
проводимости охладить кристаллическую решетку и чтобы во всей системе наступило теп-
тепловое равновесие при температуре Уяд> достигнутой в результате адиабатического
размагничивания ядер. Дело в том, что электроны проводимости рабочего вещества
(металла) при ядерном охлаждении получают тепло от внешних источников (через
обычную теплопроводность, излучение, внутреннее трение, вихревые токи и т. п.),
в противоположность ядрам, которые могут получить тепло только через электроны
проводимости. Это внешнее тепло, получаемое электронами проводимости, и ограничи-
ограничивает возможности практической реализации метода ядерного охлаждения. Кэрти
[33] показал, что при начальном магнитном поле Hi = 50-Ю3 э и начальной темпера-
температуре Tt = 10°К температура электронов проводимости может быть 7 -=- 3-10-6°К.
§ 5. Типичная схема магнитных установок
для получения сверхнизких температур
Схема типичной экспериментальной установки для получения сверхнизких тем-
температур методом адиабатического размагничивания изображена на рис. 16.2. Образец
парамагнитной соли А помещают внутри камеры Б, наполненной газообразным гели-
гелием, установленной в дьюар В с жидким гелием. При этом образец монтируется в камере
Рис. 16.2. Схема холодильной установки
по методу адиабатического размагничива-
размагничивания парамагнитных солей. А — образец
из парамагнитной соли; Б — камера, за-
заполненная газообразным гелием; В—дью-
В—дьюар с жидким гелием; Г — трубка для от-
откачки гелия из камеры Б; N и S — полю-
полюсы электромагнита.
Рис. 16.3. Схема холодильной установки
непрерывного (циклического) действия по
методу адиабатического размагничивания.
А — образец из парамагнитной соли (ра-
(рабочее вещество"); Б — камера, заполнен-
заполненная газообразным гелием; В — дьюар с
жидким гелием; N и S — полюсы электро-
электромагнита; Ki и Иг — тепловые ключи, mi
и т,—намагничивающие устройства клю-
ключей; Г — образец исследуемого вещества.
Б с помощью креплений из материала с низкой теплопроводностью. Температура гелия
в дьюаре В откачкой понижается примерно до 1° К. Тепло, выделяющееся в образце А
при намагничивании, отводится с помощью газообразного гелия в камере Б к жидкому
- 377 —

гелию, налитому в дьюар В, Магнитное поле создается электромагнитом. Перед размаг-
размагничиванием образца газ из камеры Б откачивается через трубку Г, и таким образом
образец А практически теплоизолируют от внешней среды. Такая схема прибора позво-
позволяет получить температуры до 10~3°К. Естественный отогрев соли происходит за время
порядка нескольких десятков часов.
В настоящее время разработана непрерывно (циклически) действующая магнит-
магнитная холодильная установка, работающая по методу адиабатического размагничива-
размагничивания (см. схему на рис. 16.3 и работы [42—45]). Здесь, так же как и в обычной схеме
(рис. 16.2), парамагнитная соль А (рабочее вещество) последовательно соединяется
через тепловые ключи *) Ki и К2. при намагничивании с гелиевым дьюаром В, а при
размагничивании с исследуемым веществом Г. Имея около тепловых ключей Kt и К2
маленькие намагничивающие устройства mi и т2, можно легко переводить тепловые
ключи из сверхпроводящего в нормальное состояние и обратно.
Если исследуемое вещество Г (рис. 16.3) также после первоначального охлажде-
охлаждения из-за теплового контакта с рабочим веществом А изотермически намагнитить,
а затем, отключив ключ Л> адиабатически размагнитить, то мы будем иметь холодиль-
холодильную установку для двухступенчатого каскадного охлаждения (см. Дарби и др. [46]).
Преимущество этого типа установки заключается в том, что в ней требуются более
¦слабые магнитные поля. Если в качестве вещества А взять желеэо-аммониевые квасцы,
а в качестве вещества Г — разбавленные хромо-калиевые квасцы, то в последних
можно достичь температуру около 0,003°К спомощью магнитного поля, равного всего
лишь 4000 э, тогда как при одноступенчатом намагничивании потребовалось бы по-
поле в 15 000 э.
Сложнее схема экспериментальной установки, используемой при ядерном ох-
охлаждении (см. рис. 16.4. [31]). В этой установке различают четыре различных этапа
1'К
Г К
ИГ* К
1О'г°М
Н*>0
Н<200з
Н*5-Ю*з
Ю'2°Н
~10~5°К
Я
6)
в)
в)'
Рис. 16.4. Схема работы холодильной установки по^методу
ядерного охлаждения. Э —электронный парамагнитный обра-
образец (соль), Я —ядерный парамагнитный образец (металл),
И — тепловой ключ; три параллельные линии, соединяющие
прямоугольники 9 и Я, символизируют тепловой контакт меж-
между ними [который открыт при вертикальном положении клю-
ключа И (t) и разорван при горизонтальном положении ключа Я
(-*)]. Вся система (9 — К — Я) помещена в дьюар с жид-
жидким гелием, не изображенный на чертеже. Этап а): Образец 9
изотермически намагничен в поле 3-Ю4 а, ключ И открыт, и
образец Я находится в нулевом поле; оба образца охлаждены в
гелии под откачкою до 1° К. Этап б): образец 9 адиабатичес-
адиабатически размагничивается, и температура образца падает до 10-2° К.
Этап в): образец Я изотермически намагничивается в поле
5-10* 8, и тепло поглощается образцом 9. Этап г): адиабати-
адиабатическое размагничивание образца я при разомкнутом ключе.
а) —г). Установка содержит два рабочих вещества — электронный (Э) и ядерный (Я)
парамагнитные образцы (соль и металл). Вначале оба образца находятся в тепловом
контакте (тепловой ключ К открыт!) при температуре около 1°К (образцы охлажде-
охлаждены в гелии под откачкой; предполагается, что все устройство находится внутри дьюа-
ра с жидким гелием под откачкой **)) и электронный парамагнетик намагничивает-
намагничивается изотермически до полей Н » 3 -10* э (этап а). Когда тепло намагничивания пог-
поглощается окружающей средой (жидким гелием), магнитное поле адиабатически вы-
выключается (этап б), при этом температура образца Э понижается до 10~2°К, а вместе
с ним и у образца Я, поскольку они находятся в тепловом контакте. Затем произво-
производят изотермическое намагничивание ядерного парамагнетика (Я) в поле Д^5-10* 9
*) Тепловым ключом называют устройство, теплопроводность которого может
по желанию экспериментатора меняться в широких пределах. Обычно тепловые ключи
представляют собой теплосопротивления из сверхпроводящих веществ, теплопровод-
теплопроводность которых в сверхпроводящем и нормальном состоянии в области температур
0,1 -=- 0,01°К может меняться на 4 порядка величин.
**) В действительности аппаратура оказывается еще более сложной (см., напри-
например, рис. 3 в работе Кэрти [31]).
— 378 —

(этап в). При этом тепло намагничивания поглощается образцом Э (во время этого
этапа надо принять меры к тому, чтобы магнитные поля рассеяния в области образ-
образца Э были по возможности слабыми, меньше 200 э, для предотвращения заметного по-
повышения температуры образца Э). Наконец, этап г) заключается в адиабатическом
размагничивании ядерного парамагнетика (Я) и получении в нем температуры Т я*
105 °К
Тепловой ключ К при этом должен быть закрыт. Обычно ядерный пара-
парамагнетик — это металл, и для уменьшения вредного влияния вихревых токов обра-
образец Я изготавливается в виде очень тонких проволочек, концы которых запрессовыва-
запрессовываются в электронный парамагнетик.
§ 6. Использование сверхпроводящего фазового перехода
для получения низких температур
Мендельсон и Мур [47], а также Кеезом и Кок [48] обратили внимание, что адиа-
адиабатический переход между сверхпроводящим и нормальным состояниями может быть
¦связан с магнетокалорическим эффектом, который может быть использован для полу-
получения низких температур. Они и экспериментально доказали существование этого
эффекта. Принцип метода можно легко понять из следующих рассуждений. Из опыта
известно, что сверхпроводник ниже его критической температуры 0СП можно перевести
в нормальное состояние, помещая его в критическое магнитное поле Нкм (см. гл. 8).
При этом оказывается [см. (8.9)], что разность энтропии нормального SH и сверхпрово-
сверхпроводящего состояния Scu
4л dT
A6.23)
Поскольку dHKM/dT < 0, то SH — Scu > 0, исключая случаи, когда Нкм = 0
и dHKM/dT = 0, т. е. когда Т = всп и Т = 0° К, где производная dHKM/dT должна
Рис. 16.5. Диаграмма (Т— S) для сверхпроводника, иллю-
иллюстрирующая метод получения сверхнизких температур,
основанный на использовании [сверхпроводящего фазового
перехода. S и ~
н
температурного хода энтро-
энтропии для нормального и сверхпроводящего состояний. S_ —
энтропийная кривая решетки; пунктирная прямая —
электронная энтропия нормального состояния (SH — S_еш=
= VT); ©сп—температура сверхпроводящего фазового пе-
Рехода (при Я=0); ТА — температура сверхпроводника,
охлажденного в отсутствие магнитного поля; АВ—адиаба-
АВ—адиабатическое намагничивание образца, переводящее его в нор-
нормальное состояние при температуре Тв[8 (Тд)=8к (Тв)].
обращаться в нуль в согласии с третьим началом термодинамики. Таким образом, сверх-
сверхпроводящее состояние, как упорядоченное состояние, обладает меньшей энтропией.
На рис. 16.5 схематически приведена диаграмма (S — Т) для сверхпроводника.
Энтропия решетки уменьшается с температурой по закону Т3 и поэтому не играет суще-
существенной роли. Разность энтропии SH — -Speui = yT, как это следует для вырожденного
электронного газа (см. гл. 11) (пунктирная прямая на рис. 16.5). Из A6.23) и диаграммы,
приведенной на рис. 16.5, ясно, что при изотермическом разрушении сверхпроводимо-
сверхпроводимости магнитным полем тепло должно поглощаться образцом. Если же намагничивание
производится адиабатически (пунктирная прямая Л Б на рис. 16.5), то температура
образца должна упасть от ТА до Тв. Таким образом, сверхпроводник, охлажден-
охлажденный в нулевом поле до температуры Tj±, затем, после адиабатического намагничи-
— 379 —

вания, охлаждается до температуры Тв, где его энтропия нормального состояния
Зц (Тв) равна энтропии Scu (TA). Как было найдено экспериментально на Sn (см.
[49, 50]), такой метод адиабатического намагничивания сверхпроводника весьма
полезен для получения температур в интервале от 0,3° до 1°К. Более подробные
сведения можно найти в книге Мендельсона [50].
§ 7. Использование адиабатического размагничивания металлов
и некоторые другие вопросы
Обычно в методе адиабатического размагничивания электронных парамагнети-
парамагнетиков используются неметаллические вещества — соли. Однако было показано, что
для этой цели могут быть использованы также и некоторые металлические сплавы
редких земель. А именно в ряде сплавов системы Th — Er (с 0,82; 2,3; 5,2 и
0,6 ат.% Ег) при размагничивании от полей Я =5= 8 -10s а и при Ti я« 0,73° К удавалось
снизить температуру до 0,07° К (см. Парке и Литл [51]). Использовались сплавы Y с
Gd @,3 и 1,0 ат.% Gd), с Dy A,0 ат.% Dy) и Но @,6 и 1,0 ат.% Но). Эти сплавы пара-
парамагнитны в интервале от 1,2° до 4,2° К. Они адиабатически размагничивались от
поля Ht = 11 ЛОРэ и Т{ = 1,25° К. Наинизшая конечная температура Г/ = 0,76° К
была получена в монокристаллах Y — Но (с 1,0 ат.% Но) при намагничивании вдоль
оси а гексагонального кристалла (см. также работу Нельсона и Легволда [52]).
Преимущества металлических сплавов перед парамагнитными солями — диэлек-
диэлектриками заключается в том, что при Т ^ 1° К их теплопроводность гораздо выше.
В диэлектриках существует только теплопроводность решетки, которая изменяется
пропорционально Т3 и очень мала в этой области температур. Поэтому при температу-
температурах ниже 0,1° К из-за исключительно низкой теплоемкости устанавливается очень
низкая скорость теплообмена между парамагнитной солью и образцом, подвергающим-
подвергающимся охлаждению.
В металлах теплопроводность в основном определяется электронами проводи-
проводимости и изменяется с температурой линейно. При Т ^, 0,1° К она существенно
выше, чем для диэлектриков.
Кроме того, металл более прочен, чем обычно используемые при методе
адиабатического размагничивания охлаждающие соли, которые разлагаются
при соприкосновении с воздухом или при нагревании. Неприятности, которые
связаны с возбуждением вихревых токов в металлах при размагничивании, в этих
сплавах не столь велики благодаря большому значению их остаточного удельного
электросопротивления.
В качестве примера исследования, целью которого был выбор охлаждающих
парамагнитных систем, можно указать на работу [52].
Абрагам [53] и Джеффрис [54] указали, что при вращении анизотропного пара-
парамагнитного кристалла в магнитном поле при низких температурах должна возникать
поляризация атомных ядер. Робинзон [55] наблюдал периодическое изменение темпе-
температуры в кристалле La2Mg3(NO3)i2-24H2O, в котором 2% диамагнитных ионов La
замещены ионами С1, при его вращении в магнитных полях в интервале от 1 -103 до
4-Ю3 а с частотами от 0,75 до 6 гц.
Упомянем также идею адиабатического вращательного охлаждения в системе
парамагнитных ионов, обладающих заметной анизотропией ^-фактора [56, 57]. Слик-
тер и Холтон [58] рассмотрели адиабатическое размагничивание во вращающейся сис-
системе отсчета.
Азбель [59] предложил идею нового способа получения низких температур с по-
помощью эффекта де Гааза — ван Альфена, в которой реализуется существенная зависи-
зависимость от температуры осциллирующей части магнитного момента. Оценки показывают,
что относительное изменение температуры ДГ/Г при адиабатическом размагничивании
или намагничивании может достигать 1 -=- 10 % , и поэтому при повторном проведении
циклов адиабатического намагничивания и изотермического размагничивания, можно
достичь сколь угодно низкой температуры. Однако пока эта идея не была реализована
на опыте.
Весьма существенным является также вопрос об установлении температурной
шкалы в области ниже 1° К. В связи с этим в качестве примера можно указать на весьма
обстоятельное исследование Блока и др. [60], в котором устанавливается температур-
температурная шкала с помощью этилсульфата неодима при Т < 1° К.
В заключение можно сказать, что метод магнитного охлаждения не только инте-
интересное и мощное средство изучения магнитных свойств веществ при сверхнизких темпе-
температурах, но также дает богатейшую информацию о всей совокупности их физических
свойств.
Интересно отметить, что Шелленг и Фридберг [61] исследовали явление адиаба-
адиабатического охлаждения антиферромагнетика при его намагничивании. См. также
работу по установлению температурной шкалы от 2° до 0,002° К [62], а также
работы [63, 64].
Альтшулер [65] (см. также [66]) предложил теоретически новый метод адиабати-
адиабатического размагничивания, промежуточный между описанными выше электронным
— 380 -

и ядерным методами. Он заключается в размагничивании ядерных моментов в полях
взаимодействия СТС, создаваемых внешними магнитными полями, путем поляризации
4/-электронов ионов редкоземельных элементов, находящихся в синглетном основном
состоянии. Андрее и Бэчер [67] осуществили на опыте этот метод охлаждения в соеди-
соединении PrBi от начальной @,026° К) до конечной температуры 0,01° К. Подробности
см. в цитированных выше работах, а также более поздних [68—72].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 16
1. P. D е Ь у е, Ann. der Phys. 81, 1154 A926).
2. W F.Giauque,!. Am. Chem. Soc. 49, 1864, 1870 A927).
3. W. J. de H a a s, E. C. W i e г s m a, H. А. К г a m e г s, Leiden Comm. № 229a,
Physica, 1, 1 A933).
4. W. F. G i a u q u e, D. P. M с D о u g a 1 1, Phys. Rev. 43, 768 A933).
5. N. К u г t i, F. S i m о n, Nature 133, 907 A934).
6. I. Shepherd, G. Feher, Phys. Rev. Lett. 15, 194 A965).
7. J. H. V a n V 1 e с k, W. G. P e n n e y, Phil. Mag. 17, 961 A934).
8. J.Van Vleck, J. Chem. Phys. 5, 320 A937).
9. L. О n s a g e r, J. Am. Chem. Soc. 58, 1486 A936).
10. H. А. К r a m e r s, Proc. Amster. Acad. 32, 1176 A929).
11. R. J. В e n z i e, A. H. С о о k e, Nature 164, 837 A949); Proc. Phys. Soc. A63, 210,
213 A950).
12. D. de К 1 e r k, D. P о 1 d e r, Physica 8, 508 A941).
13. I. K i r s с h n e r, Acta Phys. Hung. 15, 325 A963).
14. N. К u r t i, J. phys. et rad. 12, 282 A951).
15. Ch. К i t t e 1, Physica 25, 88S A958).
16. W. P. W о 1 f, Phys. Rev. 115, 1196 A959).
17. M. R e e h e m a n n, Low Temperature Physics, Oxford, 1937.
18. W. J. de Haas, E. C. W i e r s m а, Доклад на 7-м международном конгрессе
холода, 1936.
19. D. de К 1 er k, M. J. S t e e n I a n d, С. G. G о г t e г, Physica 15, 649
A949).
20. М. J. Steenland, D. de Klerk, С. G. G о г t e r, Physica 15, 711 A949);
М. J.Steenland, L. С. van der Mare 1, D. de Klerk, С G. G о r t e r
Physica 15, 906 A949).
21. A. H. С о о к e, Proc. Phys. Soc. A62, 269 A949).
22. Д. де Клерк, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., 1959, гл. VII.
23. В. А м б л е р, Р. П. X а д с о н, УФН 67, 445 A959).
24. С. G. В. G a r r e t t, Magnetic Cooling, Harvard Univ. Press, Cambridg, Massachu-
Massachusetts, 1954.
25. С G. G о г t e r, Phys. Zs. 35, 923 A934).
26. N. К u r t i, F. S i m о n, Proc. Roy. Soc. A149, 152 A935).
27. F. E. S i m о n, Le Magnetism, vol. 3, Strasbourg, 1940, p. 1.
28. J. H a 11 о n, B. V. К о 1 1 i n, Proc. Roy. Soc. A199, 222 A949).
29. N. К u r t i, F. N. H. R о b i n s о n, F. E. S i m о n, D. A. S p о h r, Nature 178,
450 A956).
30. M. V. H о b d e n, N. К u r t i, Phil. Mag. 4, 1092 A959).
31. N.Kurt i, Science Prog. № 179, 401 A957).
32. N. К u r t i, Cryogenics 1, 2 A960).
33. N.Kurt i, Adv. Cryogen Engineering 8, 1 A963).
34. E. В. О s g о о d, J. M. G о о d k i n d, Cryogenics 6, 54 A966).
35. Л. Э. Г у р е в и ч, ЖЭТФ 7, 544 A937); 14, 318 A944).
36. А. И. А х и е з е р, И. Я. П о м е р а н ч у к, ЖЭТФ 14, 342 A944).
37. W. Н. Н е i t 1 е г, Е. Т е 1 1 е г, Proc. Roy. Soc. A155, 629 A936).
38. С. Froidevaux, E. L. H a h n, R. W а 1 s t e d t, Proc. VII Int. Conf. Low
Temperature Physics, Toronto, 1961, p. 118.
39. H. F г б h 1 i с h, F. R. N. N a b a r r o, Proc. Roy. Soc. A175, 382 A940).
40. M. A. R u d e r m a n, Ch. К i 11 e 1, Phys. Rev. 96, 99 A954).
41. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 104, 1807 A956).
42. J. G. D о u n t, С V. H e e r, Phys. Rev. 76, 985 A949).
43. С V. H e e г, С. В. В a r n e s, J. С D о u n t, Phys. Rev. 91, 412 A953).
44. С V. H e e г, С. В. В a r n e s, J. С D о u n t, Phys. Rev. 93, 362 A954); Rev. Sci.
Instr. 25, 1088 A954).
45. P. А. Ч е н ц о в, УФН 61, 303 A957).
46. J. D a r b у, J. H a 11 о n, В. V. R о 1 1 i n, Proc. Phys. Soc. A63, 2 A951); J. D a r-
by, J.Hatton, B. V. Rollin, E. F. Seymour, N. S. Silsbee, Proc.
Phys. Soc. A64, 861 A951).
47. K. Mendelssohn, J. R. Moore, Nature 133, 413 A934).
48. W. H. К e e s о m, J. А. К о k, Physica 1, 595 A934).
49. M. Y a q u b, Cryogenics 1, 1 A960).
- 381 —

50. К. Мендельсон, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., 1959, гл. X.
51. R. D. Parks, W. A. Little, Proc. VII Int. Conf. Low Temperature Physics,
Toronto, 1961, p. 114; Phys. Rev. Lett. 6, 539 A961).
52. D. T. N e 1 s о n, S. L e g v о 1 d, Phys. Rev. 123, 80 A961).
53. A. A b r a g a m, Cryogenics 3, 42 A963).
54. С D. J e f f r i с s, Cryogenics 3, 41 A963).
55. F. N. H. R о b i n s о n, Phys. Lett. 4, 180 A963).
56. G. S. В о g 1 e, A. H. С о о k e, S. W h i 11 e y, Proc. Phys. Soc. A64, 93 A951).
57. T. L. E s tl e, H. R. H art, J. С W h e a 11 e y, Phys. Rev. 112, 1576 A958).
58. С P. S 1 i с h t e r, W. С. Н о 1 t о n, Phys. Rev. 122, 1701 A961).
59. M. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 45, 396 A963).
60. J. В 1 о k, D. A. S h i r 1 e у, N. J. S t о n e, Phys. Rev. 143, 78 A966).
61. J. H. Schelleng, S. A. Friedberg, J. Appl. Phys. 34, 1087 A963).
62. R. P. H u d s о n,'R. S. К а е s e r, Physics 3, 95 A967).
63. S. J. Williamson, J. А. С ape, Phys. Rev. Lett. 21, 370 A968).
64. W. R.Abel, J. С W h e a 11 e y, Phys. Rev. Lett. 21, 597 A968).
65. С. А. А л ь т ш у л е р, Письма ЖЭТФ 3, 177 A966).
66. С. А. А л ь т ш у л е р, М. А. Т е п л о в, Письма ЖЭТФ 5, 209 A967).
67. К. Andres, Е. В и с h e r, Phys. Rev. Lett. 21, 1221 A968).
68. Н. Е. А л е к с е е в с к и Й. Письма ЖЭТФ 4, 468 A966).
69. А. Е. Clark, Е. С а 1 1 е n, Phys. Rev. Lett. 23, 307 A969).
70. J. R. McColl, С D. Jeffries, Phys. Rev. IB, 2917 A970).
71. K. Anders, E. В u с h e r, Phys. Rev. Lett. 24, 1181 A970).
72. A. E. Clark, R. S. A 1 b e n, J. Appl. Phys. 41, 1195 A970).

ЧАСТЬ III
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ
С АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ
СИЛЬНОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА—
ФЕРРОМАГНЕТИКИ,
АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ,
ФЕРРИМАГНЕТИКИ

Ферромагнитных свойств ясна причина —
Непарный электрон в них виноват:
Все атомы, по поправленью спина,
Глядящего вперед или назад,
Построены, как войско на парад.
Во внешнем поле, разрушая стены,
Сливаются соседние домены.
Так создает гармонию Вселенной
Ничтожных сил суммарный результат]
(Джон Апдайк, Танцы твердых
тел, Журнал «Химия и жизнь» № 11,
стр. 56, 1969 г.).
В третьей части излагаются основные физические представления о веществах,
обладающих магнитным порядком, т. е. каким-то упорядоченным расположением атом-
атомных носителей магнитного момента,— ферромагнетиках, антиферромагнетиках,
ферримагнетиках, которые принято называть сильномагнитными телами.
Изложение этой части книги начинается с подробного феноменологического ана-
анализа кривых намагничивания и специфических черт немагнитных свойств веществ
с атомным магнитным порядком, что позволяет сформулировать основные задачи тео-
теории (гл. 17). Затем дается феноменологическое описание ферромагнетизма (теория моле-
молекулярного поля и статистико-термодинамическая трактовка ферромагнитных фазовых
превращений) (гл. 18) и основы микроскопической (квантовомеханической) трактовки
проблемы (гейзенберговская модель, теория спиновых волн и ее развитие) (гл. 19).
В последующих главах рассматриваются специфические особенности ферромаг-
ферромагнитных свойств металлов (гл. 20) ц металлических сплавов (гл. 21). В гл. 22 рассмотре-
рассмотрены проблемы антиферромагнетизма и ферримагнетизма. Гл. 23 посвящена изложению
основных проблем физики магнитных материалов. В гл. 24 рассмотрено поведение
ферро-, ферри- и антиферромагнетиков в переменных магнитных полях — дисперсия
магнитной проницаемости и различные типы магнитного резонанса.
В двух заключительных главах описаны специфические особенности некоторых
равновесных и кинетических свойств ферро- и антиферромагнетиков (гл. 25), а также
применения методов ядерной физики и изучению магнитных свойств вещества: магнит-
магнитная нейтронография, ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и эффект Мессбауэра (гл. 26).
Раздел магнетизма, к которому относится третья часть книги, имеет большое
теоретическое значение. Явление магнитного порядка весьма интересно само по себе
и ценно как источник богатой информации о совокупности других, немагнитных свойств
этих веществ. Все немагнитные свойства в той или иной степени зависят сами от маг-
магнитного порядка или влияют на него. Благодаря относительной простоте изучения
магнитных свойств удается развить косвенные методы исследования немагнитных —
механических, структурных, оптических и т. п.— свойств, непосредственное изучение
которых представляет более трудную задачу. Не менее интересны вещества с магнит-
магнитным порядком и в практическом аспекте. Из них изготовляются многочисленные тех-
технические магнитные материалы, находящие широкое распространение в ведущих
отраслях современной техники, где во многих случаях эти материалы играют опреде-
определяющую роль. Магнитные свойства ферромагнитных веществ используются также при
различных методах промышленного контроля изготавливаемых из этих материалов
изделий и для целей магнитной дефектоскопии.

Глава 17
САМОПРОИЗВОЛЬНАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
И ПРИРОДА АТОМНЫХ НОСИТЕЛЕЙ МАГНЕТИЗМА ВЕЩЕСТВ
§ 1. Основные свойства ферромагнетиков
1. Поведение ферромагнетика во внешнем магнитном поле; магнитное
насыщение. Как уже указывалось (гл. 6) и как будет подробно рассмот-
рассмотрено ниже, ферромагнитным атомным порядком обычно называется парал-
параллельная ориентация магнитных моментов всех атомных носителей магне-
магнетизма в веществе *).
Среди кристаллов чистых элементов имеется только девять ферро-
ферромагнетиков (около 10% всех элементов таблицы Менделеева): это три
Зй-металла: Fe, Со и Ni — и шесть 4/-металлов: Gd, Dy, Tb, Но, Er, Tm
(из них коллинеарным ферромагнитным порядком обладают Fe, Co, Ni,
и, возможно, Gd). Практически необозримо число ферромагнитных спла-
сплавов и соединений. При этом в основном ферромагнитными материалами
являются металлы, а также металлические сплавы и соединения. Число
известных ферромагнетиков неметаллического класса пока весьма неве-
невелико **); это, например, ионные соединения типа Ьа^СаяМпОз^Д >
>? >0,2), ЕиО (Маттиас и др. [1]), Eu2Si04, EuS, EuSe, EuI2 (Мак-Гир
и Шафер [2]), CrBr3 (Тсубокава [3], Диллон [4]), соединения типа халко-
генидов со структурой шпинели; CdCr2S4, CdCr2Se4, HgCr2S4, HgCr2Se4
(Бальтцер и др. [5]), соединения типа К2СиС14«2Н2О (см., например,
Форд и Джеффрис [6]), Dy (C2H5 •SO4K-9H2O (Кук и др. [7]), модамит
Fe3 (РО4J-4Н2О(Абрахамс [8]), см. также [9—И, 61—63].
В основном неметаллические тела с атомным магнитным порядком от-
относятся к антиферро- или ферримагнетикам.
Если подойти к описанию ферромагнетика с чисто феноменологической
стороны, то можно сказать, что отличительной особенностью поведения
ферромагнетиков во внешних магнитных полях Н является специфический
видих кривой намагничивания I (И) (см. рис. 4.5), впервые A870 г.) наибо-
наиболее детально изученной Столетовым [12, 13]. Для выяснения физической
природы магнитных свойств этих веществ необходимо прежде всего про-
проанализировать вид кривой намагничивания и ее изменения, возникающие
при внешних воздействиях (температуры, давления и т. п.). Из рис. 4.5
видно, что в отсутствие поля (Н = 0) отсутствует и намагниченность
(I = 0), т. е. в этом случае в исходном состоянии образец не обладает
результирующей намагниченностью ***). С увеличением поля намагничен-
намагниченность образца начинает расти сначала медленно, потом очень быстро,
*) Вопрос о детальной классификации веществ с атомным магнитным порядком
не столь прост из-за наличия неколлинеарных типов магнитного упорядочения (см.
гл. 6). Более подробно этот вопрос будет изложен в гл. 18, 20 и 22. Здесь мы ограни-
ограничимся для простоты условным рассмотрением двух основных типов коллинеарного
магнитного порядка: ферромагнитного (параллельного) и антиферромагнитного (анти-
(антипараллельного).
**) У большинства из них точка Кюри лежит ниже 1° К; только у соединений
европия, в СгВг3 и халкогенидах она порядка 100° К.
***) Исключением могут служить очень малые однодоменные образцы (см. гл. 23),
а также случаи, когда образец при охлаждении от высоких температур случайно нахо-
находился уже в присутствии внешнего магнитного поля.
25 С, В. Вонсовский — 385 —

и в полях порядка 102 э наступает насыщение Is, после достижения кото-
которого намагниченность испытывает лишь слабый и практически линейный
рост (парапроцесс). Процесс намагничивания до насыщения принято
называть техническим намагничиванием, а соответствующий участок
кривой I (Н) — технической кривой намагничивания. Область парапро-
цесса при I > Is называют истинным намагничиванием *). Наиболее
ярким внешним проявлением магнитных свойств ферромагнетика и явля-
является прежде всего существование магнитного насыщения 1$, достигаемого,
как правило, в сравнительно слабых полях. В случае парамагнетиков
также существует эффект магнитного насыщения (см. гл. 9). Однако,
исключая область температур, близких к 0е К, его практически не наблю-
наблюдают даже в самых сильных достижимых полях (»105 э). В случае же
типичных ферромагнитных тел маг-
магнитные поля насыщения Нs даже при
комнатной температуре могут не
превышать нескольких единиц или
!s,sc
500
400
300
гоо
100
Is,ac
500
е-"-""
. °—
>^ —
> —
го°с
__Л05,8°
_J77,5'
_J[6,5°
333,7°
350,7°
361,8°
-°-
376,5°
405,7°
гоо'-
/оо
Рис. 17.1. Изотермы намагниченности ни-
никеля (Вейсс и Форрер [14]).
\
Ni
\
\
9
1
0
-273-200 -И
WOT
о
Ш 500 600 700"К
Рис. 17.2. Температурная зависимость магнит-
магнитного насыщения никеля (Вейсс и Форрер [14]).
десятков эрстед. Как будет показано ниже, величина поля насыщения
ферромагнетика определяется его магнитной анизотропией. Даже в наи-
наиболее совершенных монокристаллах ферромагнетиков насыщение дости-
достигается в очень слабых полях (порядка или даже меньше 1—10 э) лишь
при намагничивании вдоль небольшого числа (одной или нескольких)
главных осей симметрии кристалла — осей легчайшего намагничивания.
Для остальной бесконечной совокупности направлений насыщение насту-
наступает в полях порядка сотен эрстед **).
2. Магнитное насыщение и самопроизвольная намагниченность. Опыт
показывает, что величина насыщения Is сравнительно слабо зависит от
упругих и пластических деформаций и других «дефектов» кристалличе-
кристаллической решетки, если они затрагивают пе очень большую долю всего объема
ферромагнетика. Но некоторые структурные изменения в веществе могут
приводить к весьма резким изменениям величины Is и даже к ее полному
*) Такие термины введены потому, что в технических применениях ферромаг-
ферромагнетиков интересуются в первую очередь участком кривой до достижения насыщения
Is. Термин «истинное намагничивание» означает, что на этом участке кривой рост на-
намагниченности определяется внешним полем, в то время как на участке технической
кривой, как будет показано ниже, внешнее поле не меняет величины самопроизволь-
самопроизвольно существующей в магнетике намагниченности Is, а лишь изменяет ее распределение
по объему образца.
**) В ферромагнетиках с очень резкой анизотропией магнитных свойств поля
насыщения для некоторых направлений в монокристаллах могут достигать величин,
превышающих 104 э.
- 386 -

исчезновению или, наоборот, к возникновению. Например, в сплавах при
изменении расположения по узлам кристаллической решетки атомов
различных компонент (т. е. характера и степени атомного порядка) I,
может резко менять величину. Можно, наконец, уничтожить насыщение,
нагревая ферромагнетик. На рис. 17.1 приведено семейство магнитных
изотерм никеля для разных температур Т (от 20е до 405,7е С). Из кривых
видно, что с ростом Т насыщение Is сначала медленно, а потом довольно
быстро падает и, начиная с некоторой температуры, практически отсут-
отсутствует (рис. 17.2). Ферромагнетик выше этой температуры лишается
своих характерных магнитных свойств и превращается в парамагнетик
с магнитной восприимчивостью, подчиняющейся во многих случаях обыч-
обычному закону Кюри — Вейсса F.6). Из кривых рис. 17.1 и 17.2, однакот
трудно установить вполне определенную температуру, при которой про-
происходит магнитное превращение — ферромагнетизм ^ парамагнетизм.
поскольку этот переход «размазывается» в присутствии внешнего поля
благодаря увеличению удельного веса парапроцесса с ростом Т. Из при-
приведенных данных можно лить указать некоторую переходную температур-
температурную область. На кривой рис. 17.2 для Is (T) это отмечено пунктирным
«хвостом». Можно исключить этот хвост и проэкстраполировать кривую
Is (T) от более низких температур до пересечения с осью Т. Тогда для
каждого ферромагнетика получим определенную критическую температу-
температуру в, выше которой можно считать, что ферромагнетизма уже не сущест-
существует. Температуру в принято называть точкой Кюри, по имени открыв-
открывшего ее в 1896 г. французского физика Пьера Кюри [15].
Более прямые доказательства «точечного» характера магнитного пре-
превращения, т. е. существования критической температуры —«точки» Кюрит
можно получить при косвенном изучении этого превращения, например
измеряя температурный ход совокупности немагнитных свойств ферромаг-
ферромагнетиков в интересующей нас области температур. Как упоминалось выше,
на всех немагнитных физических свойствах ферромагнетиков лежит спе-
специфический отпечаток их особой магнитной природы. Все эти свойства
обладают, как принято говорить, ферромагнитными аномалиями, кото-
которые наглядно выявляются при их сравнении с аналогичными свойствами
слабомагнитных веществ. Детальное изучение температурного хода этих
аномалий показало, что они исчезают с потерей ферромагнетиком его
характерных магнитных свойств (см. Герлах [16]) и практически не зави-
зависят от внешнего магнитного состояния тела, т. е. от того, намагничено
оно или размагничено. Такая слабая чувствительность аномалий к магнит-
магнитному состоянию ферромагнетика при условии относительной слабости
парапроцесса позволяет сделать вывод, что насыщение Is есть проявление
внутренних свойств ферромагнетиков, а не эффект внешнего поля, как
это имеет место в парамагнетиках. Изучение температурной зависимости
ферромагнитных аномалий позволило достаточно точно определить
зависимость Is (Т) в переходной области вблизи в. [Подробнее см. гл. 18
и книгу Белова A959).] В качестве примера на рис. 17.3а и 17.36 приведе-
приведены кривые температурной зависимости теплоемкости и температурного
коэффициента удельного электросопротивления для одного и того же
материала — никеля; максимумы этих аномалий достаточно близки друг
к другу и к точке Кюри в *).
На основании изложенного естественно высказать гипотезу, что основ-
основным внутренним свойством ферромагнитных тел является наличие в них
в интервале температур от 0° К до точки Кюри в самопроизвольной {спон-
{спонтанной) намагниченности, не зависящей от внешнего магнитного поля
и по величине равной наблюдаемому магнитному насыщению /s.
*) Эти максимумы могут быть довольно чувствительны к структурным несовер-
несовершенствам измеряемых образцов и наличию примесей в них, причем по-разному для
разных свойств, что, конечно, лишает возможности «прецизионного» определения в
по положению этих максимумов [см. гл. 18 и книгу Белова A959)].
- 387 - 25*

Самопроизвольная намагниченность Is существенно зависит от температуры
и выше точки Кюри полностью исчезает. Гипотезу самопризвольной намаг-
намагниченности наиболее детально развил в 1907 р. И. Вейсс [17] и несколько
раньше A892—1896 гг.), в менее разработанной форме, Б. Розинг [18].
Сразу возникает вопрос: почему в естественном равновесном состоя-
состоянии *) при Н = 0 ферромагнитные образцы не обладают результирующей
намагниченностью? Как будет показано ниже, отсутствие суммарного
магнитного момента в образце является
следствием требования термодинамическо-
термодинамического равновесия. Выше (гл. 5) указывалось,
что в ферромагнетике возможно состоя-
0,16
}
v
V
Ni
о ,
- "П J
-—о
0,13
0,12
200 230 360 НО
Т,'С
Рис. 17.3а. Аномалия теплоемкости никеля
вблизи точки Кюри в.
360
370 380
Г,'С
Рис, 17.36. Аномалия температур-
температурного коэффициента удельного элект-
электросопротивления никеля вблизи
точки Кюри в.
ние, когда при нулевом поле (Н = 0) индукция и намагниченность
отличны от нуля (В = Ап1ф0), но при условии, что div J = 0
и Div I = 0, т. е. что при этом векторы 1.(ф0) так распределены по объему
образца, что в нем не возникают магнитные заряды, которые создавали
бы поле. Отсюда становится понятным второе предположение Вейсса —
гипотеза областей самопроизвольной намагниченности, или доменов,
согласно которой'ферромагнетик в термодинамически равновесном состо-
состоянии разбивается на отделенью малые, но макроскопические области
(домены), намагниченные до насыщения Is (отвечающего данной темпера-
температуре). Однако распределение направлений векторов Ia по этим доменам
таково, что средняя результирующая намагниченность по всему объему
образца равна нулю: ~^jISi^i = 0, где vt — относительный объем i-й области.
г
Действие магнитного поля на ферромагнетик по гипотезе доменов
заключается в основном не в истинном увеличении намагниченности
(т. е. в слабом парапроцессе), а лишь в преодолении влияния вторичных
«факторов, приводящих к стабилизации термодинамически равновесной
(а иногда и неравновесной) доменной структуры, которое и составляет
.физическое содержание процессов намагничивания ферромагнетиков,
.определяющих характерный нелинейный вид их кривых намагничивания
м петель гистерезиса.
В соответствии с упомянутыми выше двумя гипотезами теорию ферро-
ферромагнетизма можно разделить на две части:
1) теория самопроизвольной намагниченности (в доменах), объясня-
объясняющая самую природу ферромагнетизма, и
2) теория возникновения и изменения ферромагнитных областей
(доменов), или теория технической кривой намагничивания, объясняющая
доведение ферромагнитных тел во внешнем магнитном поле.
В такой последовательности ниже и будет вестись изложение теории
ферромагнетизма.
*) Этого состояния можно достичь, например, при медленном охлаждении ферро-
ферромагнитного образца от температур выше точки Кюри в надежной магнитной «защите»,
т. е. при строгом соблюдении условия Н = 0.
- 388 —

@c
L-«L
АЗЕУ*
ы
**—
-^-тг~
a)
qc
®c
®r
ec
) ©„——j e--
®'\
/J>\ ^
/ A @c
Я
A
6)
§ 2. Основные свойства антиферромагнетиков
и ферримагнетиков
Как отмечалось в гл. 6, кроме параллельного упорядоченного распо-
расположения атомных магнитных моментов, соответствующего ферромагне-
ферромагнетизму, может иметь место и другой тип магнитного порядка, когда моменты
атомов хотя и образуют упорядоченное распределение, но такое, что
в каждой магнитной элементарной ячейке кристалла результирующий
магнитный момент равен нулю. На рис. 17.4, а — в представлены примеры
антиферромагнитного упорядоченного распределения спиновых магнитных
моментов одинаковых магнитно активных л л ,
атомов (ионов), образующих г.ц.к. кристал-
кристаллическую решетку, при котором достигает-
достигается полная компенсация магнитного момента
в кристалле. Как известно, в кристаллогра-
кристаллографическом смысле г.ц.к. решетку можно пред-
представить в виде совокупности четырех встав-
вставленных друг в друга простых кубических
подрешеток (п.к.) с ребром куба d. На рис.
17.4 эти четыре подрешетки обозначены сим-
символами А, В, С, D. Каждый атом кристалла
имеет по 12 ближайших соседей, например,
атом типа А — по четыре соседа из каждой
из трех подрешеток В, С, D. В следующей
координационной зоне имеется шесть соседей
из своей подрешетки. Знаками плюс и ми-
минус на рис. 17.4 обозначены две возмож-
возможные антипараллельные ориентации магнит-
магнитных моментов. На рис. 17.4, а показана
антиферромагнитная структура в виде чере-
чередующихся плоских слоев, параллельных гра-
граням куба A00). Таким образом, одна из маг-
магнитных подрешеток (атомы со знаком плюс)
совпадает с кристаллографическими подре-
шетками (п.к.) А и С, а вторая (атомы со
знаком минус) — с В и D. В случае, изобра-
изображенном на рис. 17.4, б, имеем восемь маг-
магнитных подрешеток, попарно образованных
из четырех кристаллографических подреше-
подрешеток А, В, С и D в виде вставленных друг
в друга тетрагональных решеток А + и А _,
В+ и В _, С+ и С _, D+ иВ.с удвоенной
длиной ребра куба Id вдоль оси [100] и с реб-
ребрами длиной d вдоль осей [010] и [001]. На-
Наконец, на рис. 17.4, в изображен случай, когда параллельные
спины заполняют «косые» плоскости и при этом намагниченности
соседних плоскостей оказываются антипараллельными. Таким образом,
весь кристалл разбивается на четное число магнитных подрешеток с парал-
параллельными атомными магнитными моментами в подрешетке данного типа,
но с антипараллелыюй ориентацией магнитных моментов в подрешетках
разного типа. Магнитная подрешетка кристалла обладает своей само-
самопроизвольной намагниченностью. В случае двух подрешеток с парциаль-
парциальными намагниченностями Igl и JTs2 эти векторы антипараллельны и равны
по величине и весь кристалл в целом не намагничен: JTsl+jrs2 r= 0 (при
этом предполагается, что Н = 0). Вещества с подобными магнитными
структурами называют антиферромагнетиками, а состояния с таким
магнитным порядком — антиферромагнетизмом. Теоретически такой тип
магнитного порядка предсказали Ландау [19] и Неель [20].
 1
ес2
/А,
ее,
У
• ' ос, j/Ч
/4
<$
А,
Рис. 17.4. Антиферромагнитное
расположение атомных магнитных
моментов в г i,.k. решетке. Поло-
Положения магнитных атомов Показа-
Показаны светлыми кружками; плюс —
спин направлен вверх, минус —
спин направлен вниз, а) Чередую-
Чередующиеся плоскости A00); б) восемь
магнитных подрешеток; в) «косые»
плоскости.
- 389 —

В отличие от парамагнетиков такой кристалл будет обладать спе-
специфическими магнитными и другими физическими свойствами.
В области не очень сильных полей (менее 102 а) кривая намагничи-
намагничивания антиферромагнетика мало чем отличается от кривой намагничива-
намагничивания парамагнетика и, следовательно, его восприимчивость %афм не зави-
зависит от внешнего поля, а по величине в типичных случаях заключена
в интервале 10~4—10~б гс/э. Однако при более сильных полях кривые
I (H) могут перестать быть прямыми линиями — возникают нелинейные
участки, а иногда и резкие скачки. В силу этого восприимчивость %афм
становится сложной функцией поля. Магнитные и другие физические
Щ80
70
' ВО
/
ОООэ
//
/
5000з
\
ч
\
\
N
МпО
100
200
400
Т.'Н
Рис. 17.5. Температурная зависимость маг-
магнитной восприимчивости типичного антифер-
антиферромагнетика МпО (поликристаллический
образец) при полях Н = 5000 и 24 000 э
(Бизетти др. [21]).
I 20
I
10
\.
/
/
к
К
m
200
300
W0
т, °к
Рис. 17.6. Температурная зависимость магнит-
магнитной восприимчивости (на моль) антиферромаг-
антиферромагнитного монокристалла MnF2, измеренная
вдоль тетрагональной оси (%,,) и в перпен-
перпендикулярной к ней плоскости (%j_); 6^ —
точка Нееля.
свойства антиферромагнетиков обладают также специфической темпера-
температурной зависимостью. На рис. 17.5 приведена типичная кривая %афм (Т)
для поликристаллического образца антиферромагнетика МпО. Вначале
5Сафм растет с температурой и при Т = 120° К достигает максимума, а за-
затем подчиняется обычному закону Кюри — Вейсса [см. формулу F.6)].
Температура, соответствующая максимуму кривой %афм (Г), аналогична
температуре Кюри ферромагнитных тел. Выше нее антиферромагнетик
теряет свои специфические магнитные свойства и превращается в пара-
парамагнетик. Вблизи этой критической температуры, называемой антиферро-
антиферромагнитной точкой Кюри ©афМили точкой Нееля @N, наблюдается макси-
максимум аномалий немагнитных свойств антиферромагнетиков (теплоемкости,
коэффициента теплового расширения, температурного коэффициента
электропроводности и т. п.). Таким образом, антиферромагнетизм наблю-
наблюдается лишь в температурном интервале с верхним пределом в точке
Нееля (ГафмС = @iv)- Нижний предел этого интервала может быть равен
нулю, но может и отличаться от него (Гафм > 0е К). В области темпера-
температур Т < Гафм вещество обычно находится в ферромагнитном состоянии *).
В монокристаллах антиферромагнетиков наблюдается магнитная
анизотропия восприимчивости %афм- Это видно, например, из рис. 17,6,
где изображены кривые зСафм(У) для монокристалла MnF2 F^ = 72° К).
Восприимчивость 5Сафм||> измеренная параллельно тетрагональной оси
кристалла, стремится к нулю при Т—>-0° К, а 5СаФм±) измеренная в на-
направлениях, перпендикулярных к этой оси, практически не меняется с тем-
температурой, лишь слабо возрастая при Т -> 0е К.
*) Примером веществ, имеющих
мельные металлы (см. гл. 20).
> 0, могут служить некоторые редкозе-
редкозе— 390 —

Из приведенных типичных свойств антиферромагнетиков можно
заключить, что самопроизвольная намагниченность магнитных подрешеток
существенно зависит от температуры и в точке Нееля исчезает.
Отметим еще одно важное обстоятельство. В некоторых случаях анти-
антиферромагнитный порядок, подобный изображенному на рис. 17.4, а — в,
может быть не только между па- i i i + А
раллельными кристаллографически- |х|х| х Т х J х
ми плоскостями, заполненными оди- . . а а *
наковыми магнитно активными ато- * J х | х I * 1 * 1
мами, но и между плоскостями с ато- '
мами с различными магнитными 1 х J х [ xjxjx
моментами или плоскостями, запол- а^ ' '
пенными хотя и атомами с одинако-
одинаковыми моментами, но с различным I х I х I х \ х \ х
числом узлов в соседних плоскостях, т т т II1
В этих случаях, несмотря на анти- I о I о о х о х о
ферромагнитный характер обменного I \
взаимодействия, в кристалле возмож- II! \ \
на неполная компенсация магнитного т х т * т I I
момента кристалла в упорядоченном S)
СОСТОЯНИИ. На РИС. 17.7, а, б приве- Рис. 17.7. Два основных типа ферримагнит-
ного атомного порядка. Стрелками указаны
деНЫ Схемы ДВух ТИПОВ таких маг- магнитные узлы (длина стрелки указывает
ttittht.ty тшпятткпр п гттлтояр vnnfTai величину атомного момента, направление
НИТНЫХ ПОРЯДКОВ В Случае КриСТаЛ- стрелки 1_ ориентацию намагниченности под-
ЛОВ С ДВУМЯ МаГНИТНЫМИ ПОДрешеТ- решетки) в левой половине рисунка для од-
тт ной подрешетки, в правой — для другой (уз-
КаМИ. Появляется ОТЛИЧНаЯ ОТ нуля лы «чужой» подрешетки в обеих половинах
r>P4VTTT.TirnvTnTTTasi пячтгпгттгяст тгямяг рисунка обозначены крестиками). Кружками
результирующая раЗНОСТНая Намаг- обозначены узлы, занятыемагнитно-нейтраль-
НИЧенНОСТЬ МаГНИТНЫХ ПОДрешеТОК: ными атомами, а) Случай двух магнитных
У | у __,_ п ф подрешеток с одинаковым числом узлов, но
s — J- si ~1~ J- $2 zr~ "• Хакие вещества занятых ионами с различными по величине и
ттпгстт тгячпятгсто vpricmuinpvmiT\nanwv.Tr направлению магнитными моментами (стрелки
НОСЯТ название НвСКОМПеНСироваННЫХ va3?ou длИНы). б) Случай двух магнитных
антиферромагнетиков, а СООТвеТСТ- подрешеток с разным числом узлов, занятых
ионами с одинаковыми по величине, но анти-
Вующее СОСТОЯНИе называется НеСКОМ- параллельными магнитными моментами.
пенсированным антиферромагнетиз-
антиферромагнетизмом. Типичными представителями этих веществ являются окислы
переходных d-металлов типа ферритов (например, магнетит
FeO-Fe2O3, см. гл. 6), и поэтому в этом случае начали пользоваться тер-
термином ферримагнетики (для веществ) и соответственно ферримагнетизм
(для магнитного состояния). Существование отличной от нуля разностной
спонтанной намагниченности Is делает ферримагнетики во многом похо-
похожими на обычные ферромагнетики. Особенности нескомпенсированного
антиферромагнетизма, т. е. ферримагнетизма, будут рассмотрены в гл. 22.
§ 3. Молекулярное поле Вейсса
1. Общая идея метода. Вопрос о природе внутренних взаимодействий,
обусловливающих появление самопроизвольной намагниченности в фер-
ферромагнетиках и антиферромагнетиках, был кратко рассмотрен в гл. 6.
Здесь мы еще раз остановимся на этом вопросе в качественной форме.
Для объяснения спонтанного магнитного момента ферромагнетиков,
как уже отмечалось выше, Розинг [18] и Вейсс [17] *) предложили гипо-
гипотезу о существовании в них внутреннего эффективного молекулярного
поля Ниол, которое, подобно внешнему магнитному полю Н в парамагне-
парамагнетиках, создает в кристалле ферромагнетиков параллельную ориентацию
атомных магнитных моментов при Н = 0. В качестве меры энергии этого
гипотетического молекулярного поля можно рассматривать величину
средней тепловой энергии, приходящейся на один атом в точке Кюри,
*) Неель [20] и Ландау [19] обобщили эту гипотезу на случай антиферромагне-
антиферромагнетиков и ферримагнетиков.
- 391 -

т. е. величину порядка &б©, поскольку при этих температурах происхо-
происходит разрушение магнитного порядка. Так как во многих ферромагнети-
ферромагнетиках точка Кюри достигает нескольких сотен и даже может превысить
тысячу градусов Кельвина, то должно существовать взаимодействие,
ответственное за ферромагнетизм, величина энергии которого, приходя-
приходящаяся на один атом, будет порядка евз да &в© да 10~16 -103 да 10~13 эрг
@,1 эв). В атомных электронных оболочках в основном мы встречаемся
лишь с двумя типами взаимодействий — электрическими и магнитными.
Поэтому естественно сравнивать приведенную здесь величину евз с элек-
электрическим или магнитным атомным взаимодействием. Как отмечалось,
I Фатопластшша \ | Фотопластинка
Рис. 17.8. Схема опыта Дорфмана по исследованию природы молеку-
молекулярного поля в ферромагнетиках [22]. Е — радиоактивный источник
р-лучей; АВ — просвечиваемый р-лучами образец (тонкая фольга ни-
никеля); N и S — полюсы электромагнита, намагничивающего образец,
а) Вид схемы в направлении, перпендикулярном к намагниченности
образца, б) Вид вдоль направления намагниченности, в) Изображение
пучка на фотопластинке, неотклоненное (без поля) и отклоненное
при намагничивании образца).
магнитные взаимодействия могут обеспечить точки Кюри не свыше 1 —
10° К *). Таким образом, единственный выход — это принять, что при-
природа энергии, обусловливающая атомный магнитный порядок, по крайней
мере в ферромагнетиках с точками Кюри, равными 1000° К, не магнитная,
а электрическая. Объяснение этого парадоксального с точки зрения пред-
представлений классической физики результата может быть надежно полу-
получено лишь на основе квантовой механики. Как было уже сказано в гл. 6,
ответственным за появление молекулярного поля в ферро- и антиферро-
антиферромагнетиках является обменное электрическое взаимодействие.
2. Опыты Дорфмана. Предположение о том, что молекулярное поле
в обычных ферромагнетиках вызвано магнитным взаимодействием элемен-
элементарных носителей магнетизма, которое высказывалось в классической
физике, было еще до появления квантовой теории ферромагнетизма экспе-
экспериментально опровергнуто Дорфманом [22]. Опыт Дорфмана, схема кото-
которого представлена в двух проекциях на рис. 17.8, состоит в том, что через
тонкую никелевую фольгу, толщиной d да 20 мкм, помещенную между
полюсами электромагнита, нормально к ее поверхности пропускался
узкий пучок быстрых электронов (Р-частиц от какого-нибудь радиоактив-
радиоактивного препарата). После прохождения через фольгу пучок электронов
попадал на фотопластинку, на которой отмечался их след. При постановке
опыта предполагалось, что если никелевая фольга будет намагничена до
насыщения параллельно ее поверхности и, следовательно, перпенди-
перпендикулярно к скорости электронов в пучке, то молекулярное поле Нмол будет
ориентировано во всем образце параллельно внешнему полю. Если это
•) Малость магнитного (спин-спинового и спин-орбитального) взаимодействия
атомных носителей магнитных моментов обусловлена тем, что в выражение, определяю-
определяющее величину его энергии, входит малый параметр i>2/c2 » 10-* (поскольку v — атом-
атомные скорости порядка Ю8 см/сек, а'с =[1010 см/сек).
— 392 —

поле магнитной природы, то пучок электронов после прохождения
через фольгу должен отклоняться под действием суммарного поля В +
-}- Нмол, что должно быть замечено по смещению следа электронов на
фотопластинке. Ожидаемое отклонение Ъ т 10 мм показано на рис. 17.8, б
пунктирной стрелкой. Однако на опыте было обнаружено значительно
меньшее отклонение пучка электронов (Ъ « 0,3 мм), которое соответ-
соответствовало действию поля В як 104 э, то есть величине магнитной индукции
в образце. На основании этого опытного результата и был сделан вывод
о немагнитной природе молекулярного поля. Опыты по отклонению
электронов и мезонов в образце железа толщиной в 15 еж и образце тонкой
фольги железо-кобальтового сплава, толщиной 0,06 см, полностью под-
подтвердили результат, полученный ранее Дорфманом (см. [23—27]). Теоре-
Теоретически этот вопрос подробно рассмотрел Ваннье [28].
Неудачи с попыткой «магнитной» интерпретации Нмол, естественно,
привели к попыткам «электрического» объяснения. Но в рамках класси-
классической теории получить его для такого, казалось, чисто магнитного явле-
явления, как ферромагнетизм, не удалось. Только квантовая механика смогла
разрешить эту трудность классической теории.
§ 4. Определение природы атомных носителей магнитного момента
по гиромагнитному эффекту
1. Общее рассмотрение. Известно, что основными атомными носите-
носителями магнитного момента во многих ферромагнетиках являются электрон-
электронные спины. Это было доказано в опытах по измерению магнетомеханиче-
ского отношения в этих телах (см. гл. 10) с помощью эффекта Барнетта
^. (см. [29—33]) или эффекта Эйнштейна — де Гааза
(см. [34—38]). За подробностями отсылаем чита-
читателя к обзорам Барнетта [30] и Ауверса [32], к
оригинальным работам Скотта [37, 38], а также к
монографиям Беккера и Деринга A939), Вонсовс-
кого и Шура A948), Дорфмана A955), Бозорта
A956). Здесь лишь вкратце остановимся на общей
термодинамической трактовке гиромагнитных яв-
явлений [см. Ландау и Лифшиц A957)].
g~i UJJJJXDJ
Рис. 17.9а. Схема
установки по измере-
измерению эффекта Эйнш-
Эйнштейна—де Гааза. А—
образец; В—упругая
нить подвеса, стрел-
стрелкой около нити по-
показано направление
закручивания, изме-
измеряемое углом а; С —
зеркальце, жестко
связанное с образцом;
D — намагничиваю-
намагничивающий, соленоид, по ко-
которому проходит ток г.
Рис. 17.96. Схема установки по измерению
эффекта Барнетта. А — вращаемый образец
ферромагнетика (аа' — ось образца, стрелка
указывает направление вращения). Намагни-
Намагниченность, возникающая в образце А при его
вращении, индуцирует ток в цепи, измеряе-
измеряемой гальванометром G. В — неподвижный
образец с компенсационной обмоткой.
В гиромагнитных опытах либо наблюдают возникновение вращения
(механического момента) в результате изменения магнитного момента,
вызванно говнешним магнитным полем (рис. 17.9а),—эффект Эйнштейна—
393 —

де Гааза либо, наоборот, вращая тело с помощью внешних механи-
механических сил, наблюдают изменение магнитного момента (рис. 17.96) —
эффект Барнетта. В первом случае тело вращается только из-за возник-
возникновения в нем намагниченности без участия внешних механических сил.
Во втором случае, наоборот, в теле создают намагниченность без участия
внешнего магнитного поля, лишь приводя тело во вращение. Из этих
опытов вытекает, что момент импульса тела L (отнесенный к единице
объема) связан с намагниченностью I. Атак как момент Xпропорционален
угловой скорости тела со, то и она должна быть связана с намагниченно-
намагниченностью. Это согласуется с общими соображениями симметрии, поскольку
величины со и JT обе являются аксиальными векторами и одинаково меняют
свой знак при изменении знака времени. Далее, из классической механики
известно [Ландау, Лифшиц A965)], что момент X является обобщенным
импульсом, сопряженным обобщенной координате со. Связь между ними
дается известным соотношением
*=--?-¦ <»¦«>
Здесь F1 — свободная энергия (см. гл. 5), являющаяся функцией со и I.
Гиромагнитные явления описываются в F1 добавочным слагаемым ^гм ,
которое в первом приближении содержит лишь члены, пропорциональные
произведениям первых степеней слагающих векторов со и I:
F\m= — SP/A/z (k, l = x, у, z), A7.2)
где Рй/ — постоянный тензор гиромагнитных отношений. Из A7.1) и A7.2)
находим выражение для гиромагнитной части момента импульса тела:
^k /i- A7.3)
Как мы видели выше, вместо размерного тензора $м чаще пользуются
безразмерным тензором гиромагнитных отношений (в единицах тс/ё)
или обратным ему тензором магнетомеханических отношений (в едини-
единицах е/2тс)
gM = ^rfti. A7.5)
Из A7.2) можно найти эквивалентное магнитное поле, возникающее
при вращении тела:
^4 A7.6)
Поэтому, если известна восприимчивость вещества %, то, зная поле A7.6),
можно вычислить намагниченность, создаваемую в теле вращением с угло-
угловой скоростью со, равную
2. Схема основных гиромагнитных опытов. Опишем теперь схему
двух упомянутых выше основных гиромагнитных опытов: Барнетта — по
определению намагниченности, возникающей при вращении, и Эйнштей-
Эйнштейна — де Гааза — по определению вращения, возникающего при намагни-
намагничивании, доказавших спиновую природу магнетизма в ряде ферромагнит-
ферромагнитных тел. Эти эксперименты аналогичны двум основным гироскопическим
опытам с механическим волчком, которые заключаются в следующем.
— 394 —

Рис. 17.10. Прецессионное движение тяжело-
тяжелого волчка К, вращающегося вокруг своей
оси АО (составляющей угол О с вертикалью
ОС) и опирающегося без трения на горизон-
горизонтальную плоскость BOD. Р — сила тяжести.
В гиромагнитных опытах намагниченность
направлена вдоль оси АО волчка, роль силы
тяжести Р играет внешнее магнитное поле и.
1. Пусть волчок К вращается в поле тяготения вокруг своей оси АО,
проходящей через его центр массы, и опирается без трения в точке О
на горизонтальную плоскость ВОТ). Ось АО составляет угол $ с верти-
вертикалью СО. Если бы волчок не вращался вокруг своей оси АО, то под
действием силы тяжести Р он упал бы на горизонтальную плоскость ВОВ.
При вращении вокруг оси АО волчок
не падает, а совершает прецессион-
прецессионное движение при ft = const вокруг
вертикали СО (рис. 17.10).
2. Если на тот же волчок К, вра-
вращающийся вокруг оси АО, подейство-
подействовать внешней силой, приводящей его
во вращение вокруг оси СО при
ft = const, т. е. искусственно соз-
создать прецессию, то возникает мо-
момент силы, который будет стремиться
изменить угол ft так, чтобы оси АО
и СО совпадали.
а. Опыт Эйнштейна — де Гааза
по обнаружению вращения магнети-
магнетиков при их намагничивании является
макроскопическим аналогом первого
основного гироскопического опыта.
В этом случае роль* волчка играет
элементарный атомный магнитик, обладающий механическим моментом —
спиновым или орбитальным, а роль поля тяготения играет внешнее маг-
магнитное поле. Обычно магнетик в виде цилиндрического образца намагни-
намагничивается вдоль своей оси внешним полем Н и наблюдается возникающее
при этом его вращение вдоль той же оси. В настоящее время разработано
несколько экспериментальных методов по определению гиромагнитного
отношения путем измерения вращения магнетика при его намагничива-
намагничивании: баллистический [39, 40], резонансный [41] и нулевой [42] методы.
Принципиальная схема опыта состоит в следующем (см. рис. 17.9а).
Исследуемый образец цилиндрической формы А, подвешенный на тонкой
упругой нити В, при изменении его магнитного момента вдоль оси образца
поворачивается на небольшой угол а. Этот поворот измеряется по отклоне-
отклонению зеркальца С, жестко связанного с образцом. При баллистическом
методе, коммутируя намагничивающий ток i в соленоиде, в который поме-
помещается исследуемый образец, изменяют его намагниченность от —/ до
+/, а затем наблюдают затухающие вращательные колебания образца.
Для начального угла отклонения а0 в типичных случаях получают вели-
величины порядка 1 — 5-10~4 град. Таким образом, при наблюдениях отраже-
отражения светового зайчика от зеркала при расстоянии до шкалы около 5 м
эти отклонения составляют 1—5 мм. Из-за малости наблюдаемых величин
эти опыты требуют высокой техники эксперимента. В табл. 17.1 приведены
из обзора Скотта [33] некоторые результаты измерений величины g,
полученные с помощью этих методов для различных ферромагнитных
веществ. Видно, что почти во всех случаях магнетомеханическое отноше-
отношение близко к 2 (наибольшее отклонение, порядка 7%, от этого числа
наблюдается у сплава Co0j5Ni0,5).
б. Опыт Барнетта аналогичен второму основному гироскопическому
опыту в применении к атомным моментам. Вращая магнетик, измеряют его
намагниченность вдоль оси вращения из-за ориентировки осей атомных
волчков вдоль этого направления. Как и в случае опыта Эйнштейна —
де Гааза, необходимо допустить, что между элементарными носителями
магнетизма и кристаллической решеткой магнетика имеется взаимодей-
взаимодействие типа спин — решетка или орбита — решетка. Только при этом
условии вращение тела как целого передается атомным моментам или,
— 395 —

Таблица 17.1
Значения магнетомеханического отношения g ряда
ферромагнитных веществ, полученные при помощи измерений
эффекта Эйнштейна—де Гааза (Скотт [33])
Вещество
Fe
Со
Ni
Feo,9oNio,io
Feo,75Nio,25
Feo,65Nio,35
Feo,5oNio,5o
Feo,35Nio,65
Feo,25Nio>75
Feo,ioNip,9o
Co0,9oNio,io
COo,5oNio,50
Супермаллой
NiO-Fe2O3
Cu2MnAl
MnSb
Пирротит
8 ¦
1,919+0,002
l,850±0,004
l,835±0,002
l,915±0,004
1,914+0,004
1,912+0,002
1,908+0,004
1,904+0,004
1,895+0,004
1,880+0,008
1,850+0,002
l,843±0,002
1,905+0,002
1,849+0,002
1,9934-0,002
1,978+0,002
1,9+15%
Год исследования
1959
1956
1951—1959
1954
1954
1955
1954
1955
1955
1955
1960
1960
1960
1961
1960
1960
1960
наоборот, их намагниченность вызывает вращение тела как целого. На
рис. 17.96 изображена схема, иллюстрирующая основную идею опыта
Барнетта. Цилиндрический образец А магнетика приводится в быстрое
вращение с угловой скоростью со вокруг своей оси аа . Под влиянием
эффективного магнитного поля Нгм A7.6), возникающего при этом вра-
вращении, появляется намагниченность. В изотропном магнетике величина
магнитного поля Нгж = ?, (тс/е) со. Задавая в опыте со, зная отношение
Таблица 17.2
Значения магнетомеханического отношения g для ферромагнитных
металлов, полученные при использовании эффекта Барнетта
(Скотт [33])
Вещество
Fe
Ni
Со
8
1,938+0,006
1,936±0,008
1,927+0,004
1,929±0,006
1,919±0,006
1,932+0,008
1,917+0,002*)
1,919±0,002**)
1,837+0,004
1,831+0,004
1,830+0,006
1,837±0,002
1,866+0,002
1,859+0,004
1,854+0,008
1,850±0,004
Год иссле-
исследования
1944
1951
1951
1952
1955
1957
1960
1960
1952
1955
1955
1960
1944
1952
1952
1956
*) Цилиндрический образец.
**) Эллипсоидальный образец.
Источник
Барнетт [43]
Мейер [44]
Скотт [37]
Барнетт и Кении [31]
Скотт [45]
Мейер и Броун [46]
Скотт [47]
Скотт [47]
Gkott [38]
Скотт [45]
Скотт [45]
Скотт [47]
Барнетт [43]
Барнетт и Кении [31]
Скотт [38]
Скотт [48]
- 396 -

mcle и измеряя Нги, например, методом компенсации [29] или магнето-
метрическим способом (см. [49—51]), можно определить отношение ?.
Легко видеть, что при 1000 об/сек, т. е. при со = 2я. 1000 да 6000 и mcle да
да 10~7, получаем для Нгм да 6-10 э. В табл. 17.2 приведены экспери-
экспериментальные данные, полученные в опытах типа Барнетта для Fe, Co и Ni.
Здесь также для всех веществ значения g близки к 2 *).
Недавно был открыт новый, независимый способ определения гиро-
гиромагнитных отношений в ферромагнетиках с помощью опытов по так
называемому ферромагнитному резонансу. Подробно это явление будет
рассмотрено в гл. 24.
§ 5. Обменное взаимодействие; метод магнитной нейтронографии
Из совокупности гиромагнитных и магниторезонансных опытов можно
считать установленным, что самопроизвольная намагниченность во мно-
многих ферро- и ферримагнитных веществах (за исключением редкоземель-
редкоземельных металлов, их сплавов и соединений) в основном обусловлена спино-
спиновым магнетизмом электронов. Участие орбитальных магнитных моментов
в этих веществах носит лишь подчиненный характер и приводит к срав-
сравнительно небольшим отклонениям в факторах g от их значения для сво-
свободного электрона, равного 2 или, точнее, 2,0023. На примере парамагне-
парамагнетизма электронного газа (гл. 11) мы видели, что его энергия (в данном
случае кинетическая, а при учете взаимодействия с решеткой и между
электронами также и потенциальная) тесно связана с намагниченностью
системы. Это непосредственное следствие принципа Паули. Любое изме-
изменение магнитного состояния электронного коллектива связано с сущест-
существенным изменением его энергии. Минимуму энергии свободного электрон-
электронного газа соответствует полная компенсация спинового магнитного
момента системы.
Именно эта обнаруженная квантовая механикой своеобразная зави-
зависимость энергии систем электронов от величины их результирующего
спинового магнитного момента открыла возможность теоретического
объяснения явления ферромагнетизма как особого свойства системы
электростатически взаимодействующих электронов. Эту важную задачу
физики магнитных явлений впервые решили в 1928 г. Френкель [59]
и несколько позже независимо Гейзенберг [60], показавшие, что указанное
свойство газа свободных электронов отнюдь не является общим. При
наличии сильного электростатического взаимодействия между электронами
зависимость энергии от намагниченности может быть как раз обратной,
т. е. делать намагниченное состояние энергетически более выгодным.
Детальный квантовомеханический анализ электрического взаимо-
взаимодействия электронов с учетом их спинового момента показал (см. гл. 18,19),
что наряду с квазиклассической кулоновской энергией взаимодействия,
в силу принципа Паули, появляется еще добавочный специфический
квантовый вклад в энергию, существенно зависящий от взаимной ориен-
ориентации электронных спинов. Для двух электронов эту энергию можно
представить в таком виде:
$ов=—А (агаг), A7-7)
где А — параметр (имеющий размерность энергии), зависящий от взаим-
взаимного расстояния электронов, а а4 и а2 — единичные векторы спинов.
Эту энергию принято называть обменной. Если постоянная А положитель-
положительна (А > 0), то минимуму Що§ соответствует параллельная ориентация
спинов: ol-a2 = + 1. Если же А < 0, то минимуму %оъ отвечает их
*) Барнетт и Джиамбони [52] [см. также Дорфман A955)] предложили еще одну
модификацию гиромагнитного опыта, в котором вращение атомных магнитных момен-
моментов, ориентированных вдоль оси покоящегося цилиндрического образца, вызывается
наложением вращающегося или осциллирующего магнитного поля, перпендикуляр-
перпендикулярного к намагниченности. См. также более поздние работы [53—58,64,65].
— 397 —

антипараллельная ориентация, i. e. (T^Og = — 1. Отсюда мы приходим
к упомянутой выше принципиальной возможности существования маг-
магнитно-упорядоченных коллективов взаимодействующих электронов, в кото-
которых этот «обменный» магнетизм с атомным магнитным порядком носит
либо ферромагнитный характер {А > 0), либо антиферромагнитный
{А < 0). Во втором случае, как мы видели, возможна либо полная ком-
компенсация результирующей намагниченности в объеме каждой магнитной
элементарной ячейки кристалла, т. е. скомпенсированный антиферромагне-
антиферромагнетизм или просто антиферромагнетизм, либо неполная компенсация
результирующей намагниченности в кристалле — некомпенсированный
антиферромагнетизм или ферримагнетизм.
Собственно ферромагнитные вещества и ферримагнетики можно было
бы объединить в одну группу магнетиков, поскольку они в общем обла-
обладают аналогичными магнитными свойствами (одинаковый характер кривых
намагничивания, их температурной зависимости и т. п.). Однако между
ферро- и ферримагнетиками могут иметь место и существенные различия
в более тонких чертах их магнитных и других физических свойств.
Важно отметить, что в настоящее время имеется прямой эксперимен-
экспериментальный метод для определения типа атомного магнитного порядка в фер-
ферро-, антиферро- и ферримагнетиках. Этот метод нейтронной магнитной
дифракции [см. гл. 20 и 26, а также книгу Изюмова и Озерова A966I,
который дает возможность определять величины и ориентации элементар-
элементарных атомных моментов в различных узлах кристаллической решетки.
Нейтроны, обладая спиновым магнитным моментом, при прохождении их
монохроматических пучков через кристалл ферро- или антиферромагнети-
антиферромагнетика испытывают селективные отражения при наличии в кристалле атомного
магнитного порядка, подобные селективным отражениям рентгеновских
лучей при их прохождении через кристалл. Определяя максимумы ней-
нейтронной магнитной дифракции, можно однозначно установить существо-
существование ферро- или антиферромагнитного атомного магнитного порядка.
В случае собственно ферромагнитных кристаллов (при А > 0) атомная
магнитная структура такова, что все атомные магнитики (при температу-
температурах, близких к 0° К) параллельны друг другу. При антиферромагнитной
связи (А < 0), например в указанном выше простейшем случае, нейтрон-
нейтронная дифракция подтверждает наличие шахматного порядка антипараллель-
антипараллельных соседних спинов (см. рис. 17.4, а), когда кристалл разбивается па
две (в общем случае иа большее число) магнитные подрешетки с парциаль-
парциальными самопроизвольными намагниченностями JTS;.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 17
1. В. Т. М at t h i as, R. M. В о z о г t h, J. H. V a n V 1 e с k, Phys. Rev. Lett.
7, 160 A960).
2. T. R. M с Guire, M. W. S h a f e r, J. Appl. Phys. 35, 984 A964).
3. I.Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 1664 A960).
4. J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. Appl. Phys. 33, S1191 A962).
5. P. K. Baltzer, H. W. L e h m a n n, M. R о b b i n s, Phys. Rev. Lett. 15,
493 A965).
6. N. C. F о г d, Jr., С D. Jetfries. Phys. Rev. 141, 381 A966).
7. A. H. С о о k, D. T. E d m о n d s, C. B. F i n n, W. P. Wolf, J. Phys. Soc. Japan
17, Suppl. B-l, 42 A961).
8. S. С A b г a h a m s, J. Chem. Phys. 44, 2230 A966).
9. R. J. В i г g e n о a u. M. T. Hutching s, W. P. Wolf, J. Appl. Phys. 38,
957 A967).
10. S. von M о 1 n a r, S. M e t h f e s s e 1, J. Appl. Phys. 38, 959 A967).
11. R. C. Le С г a w, H. von Phillipsborn, M. D. Stuge, J. Appl. Phys.
38, 965 A967).
12. А. Г. С т о л е т о в. Pogg. Ann. 144, 439A873); Phil. Mag. D) 45, 40 A873).
13. А. Г. Столетов, Собрание сочинений, т. 1, Гостехиздат, М., 1939.
14. P. W e i s s, R. F о г г е г, Ann. de phys. 5, 153 A926).
15. Р. С u r i e, Ann. chira. phys. G) 5, 289 A895).
16. В. Г е р л a x, УФН, 23, 308 A940).
- 398 -

17. P. W e i s s, J. phys. et rad. 6, 661 A907).
18. Б. Л. Р о з и н г, ЖРФХО, часть физ. 24, 105 A892); 28, 59 A896); 42, 71 A910).
19. Л. Д. Л а н д а у, Phys. Zs. UdSSR 4, 675 A933).
20. L. N ё е 1, Ann. de phys. 17, 61 A932).
21. H. В i z e 11 e, С. S q u i г е, В. Т s a i, Compt. rend. 207, 449 A938).
22. Я. Г. Д о р ф м а н, Nature 119, 353 A927).
23. S. R о s s i, Atti Acad. Lincei 11, 478 A930); Nature 128, 300 A931).
24. N. F. M о 11, L. M. S m i t h, Phys. Rev. 39, 403 A932).
25. W. F. G. S w a n n, Phys. Rev. 49, 574 A936).
26. S. В е г к о, Phys. Rev. 86, 598 A952).
27. S. В е г к о, F. L. H e r e f о г d, Phys. Rev. 91, 1128 A953).
28. G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 72, 304 A947).
29. S. J. В а г n e 11, Phys. Rev. 6, 171, 239 A915).
30. S. J. В а г n e 11, Rev. Mod. Phys. 7, 129 A937) [см. перевод: УФН 18, 392 A937)].
31. S. J. В а г n e 11, A. S. К e n n у, Phys. Rev. 87, 723 A952).
32. 0. von A u \v e г s, Naturwiss. 23, 202 A935).
33. G. G. S с о 11, Rev. Mod. Phys. 34, 102 A962).
34. С W. R i с h а г d s о n, Phys. Rev. 26, 248 A908).
35. A. E i n s t e i n, W. J. de H a a s, Verch. deutsch. phys. Ges. 17, 152 A915).
36. A. E i n s t e i n, Verch. deutsch. phys. Ges. 18, 173 A916).
37. G. G.Scott, Phys. Rev. 82, 542 A951).
38. G. G. S с о 11, Phys. Rev. 87, 697 A952).
39. J. Q. S t e w а г t, Phys. Rev. 11, 100 A918).
40. A. P. С h a 11 о с к, L. F. В a t e s, Phil. Trans. Roy. Soc. A283, 257 A923).
41. W. S u с к s m i t h, Proc. Roy. Soc. A128, 276; A133, 179 A931); A135, 276 A932);
Helv. phys. Acta 8, 205 A935).
42. W. S u с к s m i t h, L. F. В a t e s, Proc. Roy. Soc. A104, 499 A923).
43. S. J. В а г n e t t, Proc. Am. Acad. Arts. Sci. 75, 109 A944).
44. A. J. P. M e у е r, Ann. de phys. 6, 171 A951).
45. G. G. S с о 11, Phys. Rev. 99, 1241 A955).
46. A. J. P. M e у e r, S. В г о w n, J. phys. et rad. 18, 161 A957).
47. G. G. S с о 11, Phys. Rev. 119, 84 A960).
48. G. G. S с о 11, Phys. Rev. 104, 1498 A956).
49. S. J. В а г n e 11, Phys. Rev. 104, 7 A917).
50. S. J. В а г n e t t, J. Wach. Acad. 11, 162 A921).
51. S. J. В а г n e 11, L. J. В а г n e 11, Phys. Rev. 17, 404 A921); 20, 90 A922); Proc.
Acad. Am. 60, 126 A925).
52. J. S. В а г n e t t, L. A. G i a m b о n i, Phys. Rev. 88, 28 A952).
53. S. P. H e i m s, Physica 29, 1430 A963).
54. W. N. S h а г m a, J. Appl. Phys. 36, 1450 A965).
55. В. М. Цукерник, ЖЭТФ 50, 1631 A966).
56. G. G. S с о t t, Phys. Rev. 148, 525 A966).
57. R. Huguenin, D. В a 1 d о с k, Phys. Rev. Lett. 16, 795 A966).
58. W.M.Lomer, Proc. Phys. Soc. 91, 933 A967).
59. Я. И. Френкель, Zs. Phys. 49, 31 A928).
60. W. H e i s e n b e г g, Zs. Phys. 49, 619 A928).
61. С. М. Н о g a n, Phys. Rev. 188, 870 A969).
62. J. T. H o, J. D. L i s t e r, Phys. Rev. Lett. 22, 603 A969).
63. С H. Cobb, V. Jaccarino, Phys. Rev. 3B, 1677 A971).
64. G. G. Scott, H. W. Stumer, Phys. Rev. 184, 490 A969).
65. F. M. Mueller, A. J. Freeman, D. D. К о e 1 1 i n g, J. App]. Phys. 41.
1229 A970).

Глава 18
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФЕРРОМАГНИТНОГО
СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
§ 1. Феноменологическая теория молекулярного поля
1. Случай Ш = 0, s = 1/2, самопроизвольная намагниченность и точка
Кюри. При феноменологическом описании ферромагнетизма взаимодей-
взаимодействие, приводящее к самопроизвольной намагниченности, учитывается
введением молекулярного поля, связанного с намагниченностью. Для иллю-
иллюстрации теории выберем простейшую модель ферромагнетика — свобод-
свободный газ электронных спинов •) (см. Биттер [2]); из N электронов этого
газа соответственно двум возможным проекциям спина выделим г «пра-
«правых» и (N — г) = I «левых». Относительная намагниченность газа пра-
правых спинов равна
г—Z
или
r=-%-(i + y), г=^A-2/). A8.1)
Для получения магнитного уравнения состояния необходимо определить,
например, свободную энергию газа F как функцию у и найти ее минимум.
Энтропия газа S (у) при пренебрежении взаимодействием между электро-
электронами равна (по Больцману) **)
S (у) = къ hi W(у) = кв In -?L ; A8.2)
W (у) — термодинамическая вероятность состояния с данной величиной
намагниченности у. Допустим, что в отсутствие внешнего поля энергия
газа U не зависит от намагниченности (классический парамагнитный газ).
Тогда, согласно A8.1), A8.2) и E.2) получаем
F (у) = TS (у) « i- МкъТ [A + у) In (I + у) + A - у) In A - у)]. A8.3)
Из условия минимума выражения A8.3)
ду . дуЪ
находим, что у = 0, т. е. самопроизвольной намагниченности нет. Для
возможности ее существования необходима зависимость энергии ферро-
ферромагнетика U от у. Следуя Вейссу [3], постулируем эту зависимость в виде
простейшей квадратичной формы ***), используя четный характер
*) В этой модели речь идет, разумеется, не о газе свободных электронов (кото-
(который, по-видимому, не может обладать ферромагнетизмом), а о рассматриваемой как
газ совокупности нескомпенсированных спинов в узлах решетки ферромагнитного
кристалла. Эту модель впервые предложил Изинг [1].
**) Эта формула точна лишь в пренебрежении взаимодействием между спинами,
когда W (у) действительно дает число возможных состояний, обладающих определен-
определенной энергией при любой расстановке «правых» и «левых» спинов по узлам решетки.
***) При малых у формулу A8.4) можно рассматривать как первый член разло-
разложения функции U (у) по степеням малого параметра (;/<С !)•
— 400 -

функции U (у):
U(y)=—NA^2, A8-4)
где Ах — неизвестная пока по своей природе, отнесенная к одному элек-
электрону энергия молекулярного поля. При этом из условия минимума F
находим
в
кБТ
1-
или и =
— у,
где 0—величина, имеющая размерность температуры и равная
A8.5)
A8.6)
§0,4
П9
0 и есть определенная выше (см. гл, 17) точка Кюри.
Анализ формулы A8.5) показывает, что при температурах ниже кри-
критической (Т < 0) термодинамически устойчивому состоянию с d^Fldy2 > О
соответствует отличная от нуля самопроизвольная намагниченность. Выше
этой температуры в равновесии
1,0
всегда у = 0. Таким образом,
если энергия ферромагнетика
зависит от намагниченности по
A8.4), то он обладает спонтан-
спонтанным магнитным моментом. С
ростом температуры от 0° К
до 0 величина этого момента
уменьшается по закону A8.5)
от максимального значения
у = 1 (у = IJI0, где /s — са-
самопроизвольная намагничен-
намагниченность, зависящая от темпера-
температуры по A8.5), а /0 = N\ib —
абсолютное насыщение) до г/=0.
Физическое значение этого вы-
вывода можно установить, если
выяснен порядок величины тем-
температуры Кюри 0, определяе-
определяемой энергией Ах по формуле
A8.6). Из опыта известно, что
существует много ферромагне-
ферромагнетиков с высокими точками Кю-
Кюри 0 ~ 1000° К, например Fe,
Со и множество сплавов. Поэто-
Поэтому для энергии Ai в этих случаях получаем из A8.6) величину порядка
103 эрг/атом.' Такая величина энергии атома, как мы видели в гл. 6
и 17, может определяться лишь электрическими силами между электро-
электронами, так как максимальное значение магнитной энергии между двумя
электронами на атомных расстояниях (в кристаллах, подобных Fe, Co и
многим сплавам) не превышает 106 эрг. Поэтому «магнитное» молеку-
молекулярное поле может привести к ферромагнетизму лишь с точкой] Кюри око-
около 1° К *).
На рис. 18.1 приведены теоретические кривые у G70) для значений
квантового числа / = 1/2, 1 и оо, рассчитанные по A8.5). Там же приве-
приведены экспериментальные точки для Ni и Fe. Из сравнения кривой и опыт-
опытных данных видна качественная справедливость теории. Для более деталь-
х x"Tr-j:
о /
х 9
х^
\
!
1
I
и 0,2 Ofi 0,6 0,8 1,0
Относительная температура Т/8
Рис. 18.1. Температурная зависимость самопроиз-
самопроизвольной намагниченности, рассчитанная по форму-
формулам A8.5) и A8.9а) при Я=0 для случаев J = 1/2,
/ = 1 TI ,7=оо (сплошные кривые). 1 — эксперимен-
экспериментальные точки для N1 (Вейсс и Форрер [4]); г —
для Fe (IIoTTej) [5]).
*) Сейчас известны многие ферро-, антиферро- и ферримагнитные вещества с'низ-
кими точками Кюри и Нееля (менее 10° К и даже порядка 0,01° К). Однако здесь мы
хотели подчеркнуть, что в реальных телах, где 9 порядка 1000° К, природа обменного
взаимодействия уже обязательно электрическая.
26 с. В. вонсовский
- 401 -

ного сравнения приведем асимптотические зависимости у (Т) соответ-
соответственно при высоких (Т sg G) и низких (Г х- 0) температурах *):
/8«/0[-|-(в-Г)]1/2 (Т^в), A8.7)
/,«/0[1-2вхр(—^-
A8.8)
Оказывается, что формула A8.7) качественно более или менее (см. ниже
§ 4) согласуется с опытом, а A8.8) явно противоречит ему (см. ниже § 3
и гл. 19).
2. Влияние внешнего магнитного поля. Полученный в п. 1 результат
о существовании спонтанного момента при Г < в ничего, однако, не гово-
говорит о направлении вектора Is в теле, т. е. имеет место бесконечная крат-
кратность вырождения по направлению. Это вырождение может быть снято
— -
.
'
.
г,
"т~-
¦ — —
—.—'
1=0'Н
—¦ —
,—¦—
V
.—'
<--
--
—=
——-
^—
- ¦*
.-^—¦
m *
—-—
Ии —
— —
в-
ш •
.. -
н
Абсолютная температура Т
Рис. 18.2. Идеализированные кривые намагничивания изотропного
ферромагнетика при различных температурах.
внутренними магнитными взаимодействиями, приводящими к явлению
магнитной анизотропии (см. гл. 19 и 23), а также внешним магнитным
полем Н, стремящимся ориентировать вектор Is вдоль своего направле-
направления. Этот последний случай мы здесь и рассмотрим.
При наличии внешнего магнитного поля к энергии A8.4) надо при-
прибавить член —(Is-H), причем /s = N[iBy. Тогда условие минимума сво-
свободной энергии, вместо A8.5), дает
в
)=th
A8.9)
Из формулы A8.9) видна формальная возможность уподобить величину
5» = -^-. '18-10>
молекулярному полю, пропорциональному намагниченности /; коэффи-
коэффициент пропорциональности Ш носит название постоянной молекулярного
поля. Кроме того, из A8.9) вытекает, что при Т = 0° К имеем у @) = 1
или /0 = N\ib- Таким образом, при 0° К любое слабое поле снимает
вырождение по направлению и намагничивает ферромагнетик вдоль
своего направления до насыщения. Кривая намагничивания при Т = 0° К
имеет вид прямых (см. рис. 18.2). С повышением температуры, если Г
*) Используя разложение th х « х — х3/3 при i ^ 1 и th а: « 1 — 2 ехр (—2х)
при х ->- оо.
- 402 —

не очень близка к в, в слабых полях (Н <С Ныоя) намагниченность прак-
практически равна своему значению из A8.5), меньшему, чем насыщение /0.
С ростом поля намагниченность монотонно возрастает и при Н -> оо
стремится к 70. Из A8.9) видно, что в широкой области значений Н и Т
возрастание намагниченности с полем (истинное намагничивание) столь
мало, что практически не играет никакой роли по сравнению с величиной
самопроизвольной намагниченности, даваемой формулой A8.5). Таким
образом, анализ A8.9) позволяет утверждать, что влияние «внутренних»
сил на величину намагниченности можно уподобить влиянию молеку-
молекулярного поля Ныол. До тех пор пока у не очень мало по сравнению с еди-
единицей, что имеет место почти при всех температурах Т < в, исключая
непосредственную близость к точке Кюри, величина Нмоя оказывается
порядка 107 э. Эту оценку можно получить, если воспользоваться равен-
равенством
Поскольку для ферромагнетиков, подобных железу," в « 1000°К, то мы
находим
_ кБ& _ lo-ie.ipa ,п.
-"мол ^^ .. ^ Щ-20 ^^ 1U ^*
г Ъ
Из этой оценки можно определить порядок^ величины^, и постоянной
молекулярного поля Ш; при I« 103 гс имеем
ш = ?мол__ 104э/гс.
Из этой оценки видно, между прочим, что постоянная Ш значительно
превышает постоянную 4л/3 в лоренцевской поправке в локальном маг-
магнитном поле [Н"лок = Dл/3) I], которую по этой причине в ферромагне-
ферромагнетиках можно приближенно не учитывать. Величина эффективного поля
Hmozl значительно превосходит обычно используемые на практике внеш-
внешние стационарные магнитные поля (порядка 104 э). Наибольшие поля,
полученные по методу Капицы [6], в импульсном режиме не превышали
10s—10е э. И лишь в самое последнее время получены импульсные маг-
магнитные поля до 107 э методом взрыва (Сахаров [7]).
3. Обобщение на случай произвольного спинового и орбитального моментов
Вывод формулы A8.9) для самопроизвольной намагниченности был основан на исполь-
использовании простейшей классической модели спинового газа (квантовая природа которого
учитывалась существованием только двух возможных спиновых проекций). Формула
A8.9) может быть обобщена с помощью метода, использованного в гл. 9, именно соглас-
согласно (9.5), где Н следует заменить на сумму Н -\- Нмол, вместо формулы A8.9) будем
иметь
\ j A8.9a)
Можно, так же как и в г Л. 9, рассмотреть асимптотический случай малых х:
4-2/ + 1
30/8 ' *"+••• (*«1). A8.96)
При Г = 0 (при Я=0) 7@) = О,~ и, следовательно, находим связь точки Кюри
с постоянной молекулярного поля
A8Л0а>
которая при /=1/2 и g = 2 переходит в A8.10).
Можно также получить обобщение асимптотических формул A8.7) и A8.8):
J" ехр(у^-|-)] G^0°К). A8.8а)
— 403 — 26*

На рис.{18.1 [приведены] кривые A8.9а) для / = оо, / = 1 и / = 1/2, а также экспе-
экспериментальные точкп для Fe и Ni. Из сравнения теории и опыта видно, что наилучшее
совпадение в области не очень низких температур дает кривая с / = 1/2 и при g « 2.
Это указывает на то, что в Fe и Ni основными носителями магнетизма, по-видимому,
являются электронные спины. Этот вопрос будет рассмотрен ниже более подробно
(см. гл. 19—22). Там же будет разобран случай низких температур, где теория молеку-
молекулярного поля дает грубо неверный результат.
Вблизи Т = в влияние внешнего поля (парапроцесс) становится более активным
и явление технического насыщения постепенно исчезает (см. рис. 18.2). Выше точки
Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик с линейной зависимостью I от Н
и с восприимчивостью, подчиняющейся закону Кюри — Вейсса F.6); действительно,
если сохранить в разложении A8.96) лишь первый член, пропорциональный х, получим
что качественно хорошо подтверждается опытом *).
4. Аномалии теплоемкости вблизи Т = 0. Как уже отмечалось выше (гл. 17),
существованпе самопроизвольной намагниченности проявляется не только в своеобраз-
своеобразном магнитном поведении ферромагнетиков. Опыт показывает, что и немагнитные
свойства ферромагнитных тел отличаются особенностями (аномалиями), наиболее
резко проявляющимися вблизи точки Кюри. Так, например, теплоемкость фер-
ферромагнетиков имеет аномальный температурный ход по сравнению с другими типа-
типами твердых тел. В самом общем виде эту аномалию можно объяснить тем, что
у ферромагнетиков в свободной энергии появляется добавочный член типа A8.4),
существенно зависящий от намагниченности. Этот член и дает добавочную (по сравне-
сравнению с неферромагнитными телами) теплоемкость ДСМ, необходимую для разрушения
самопроизвольной]намагниченности при нагревании ферромагнетика:
лг сК/(Г) Ах d(I% кБв Л(П) _ зд d{ll)
А м~ dT ~~ N\l% dT ~ 2ЛГц! dT ' 2 dT ' < %М
Используя A8.7) или A8.7а), находим, что в точке Кюри атомная теплоемкость
ферромагнитных тел должна испытывать скачок (пли разрыв) величиной
Д A8.13)
(Я — универсальная газовая постоянная, если N — число электронов в моле спиново-
спинового газа). Ниже, на рис. 18.23, приведены кривые удельной теплоемкости Ni по данным
ряда авторов. Из этих кривых видно, что скачок теплоемкости при Г = 0 существует,
однако, величина его не совпадает с теоретическим значением, даваемым формулой
A8.13). Таким образом, лишь общая картина наблюдаемой аномалии теплоемкости
совпадает с предсказанием теории, основанной на модели молекулярного поля. Отме-
Отметим наличие небольших остатков аномалии теплоемкости и выше точки Кюри (см.
ниже). Скачок теплоемкости в Ni очень подробно проанализирован в работе Краусса
и Варнке [10]. Скачок теплоемкости в Fe исследовали Клинкхарт [11] и Цуитхоф [12],
в Со — Умино [13]. Сплавы Ni — Fe исследовались в работах [9] и Кайя и Накайама
[141, сплавы Ni — Си — в [И] и работе Грю [15], сплавы Fe — Со — Ni и Со — Ni —
в работе [14], сплав Ni3Mn — в работе Томпсона [16]. Проведены также подробные
исследования скачка теплоемкости вблизи точек Кюри и Нееля в редкоземельных
металлах: Gd [17], ТЬ [18], Dy [19], Но [20], Ег [21], Ти [22] и Sm [23]. Более подробно
вопрос о теоретической интерпретации «максимумов» теплоемкости и других свойств
вблизи точек Кюри и Нееля, который оказывается гораздо сложнее, чем это предска-
предсказывается теорией молекулярного поля, будет обсужден в § 4 (см. также [509, 510]).
5. Магнетокалорический эффект. В гл. 17 мы уже указывали на невозможность
точного определения /s (T) и точки Кюри из чисто магнитных измерений и на то, что
имеются экспериментальные возможности, позволяющие обойти эти затруднения,
исключив влияние истинной намагниченности на функцию /s (T). Это делается при
помощи исследования температурного хода немагнитных свойств ферромагнетиков.
Одним из наиболее точных косвенных методов определения /s (T) и 0 является
измерение магнетокалорического эффекта (см. гл. 16). Исторически изучение именно
*) При Т « в опыт дает отклонение от A8.11), и, кроме того, при количествен-
количественном сравнении теории с опытом вместо 0 (ферромагнитной точкп Кюри) в A8.11)
следует подставить несколько отличную величину вПМ ф 0 @ПМ — парамагнитная
точка Кюри). Этот вопрос рассмотрен, например, в работах Вонсовского [8, 9]; см.
тзакже ниже в § 2, н. 3 и § 4.
- 404 —

этого эффекта и явилось наиболее ярким экспериментальным доказательством суще-
существования самопроизвольной намагниченности, а также позволило определить ее зави-
зависимость от температуры.
Повышение температуры магнетика ДГ при его адиабатическом намагничивании,
как это следует из формул A6.15) и A6.18), имеет место лишь при истинном намагни-
намагничивании {Н Ф 0) *). Происходящее при этом увеличение числа параллельных спинов
уменьшает энергию обменного взаимодействия и энергию по отношению к внешнему
магнитному полю. Получающийся «выигрыш» в энергии не может «уйти» из системы
при условии ее адиабатической тепловой изоляции, поэтому увеличивается тепловая
энергия элементарных магнитиков, т. е. происходит нагревание тела. Наоборот, при
выключении поля в адиабатически замкнутом магнетике разрушается упорядоченная
параллельная ориентация спинов за счет внутрен-
внутренней тепловой энергии тела, что и приводит к его /,50
охлаждению (см. гл. 16).
Если вместо формулы A6.13) выбрать
другой термодинамический потенциал U' = U—
A/4я) НВ, то для приращения энтропии (при 1,25
ф' = 0) получим вместо A6.14)
A8.14)
Используя условие адиабатичности [(AS=0), a
также соотношения типа
д I dS \ _ д I dS \
~дН~\дТ~)~~дТ\дн)'
находим пз A8.14)
(—)
1,00
0,75
0,50
dT= —
4я
A8.15)
гДе Сн~Т (dS/dT)H—теплоемкость. Заменяя в
A8.15) (дВ/дТ)н на 4n(dIs/dT), получаем [см.
также A6.18)]
A8.16)
Fe
/
./
/
/
/ /
А
-о—-°-
,756
/
/
?*\
'С
7
734'
/Ъо'
716'
,663°
620'
3,5-
Н,ю
Рис. 18.3. Зависимость магнетокало-
магнетокалорического эффекта А Г от магнитного
поля Я в Fe при разных температурах
(Поттер [5]).
Величина (dIJdT) отрицательная (см., например,
рис. 18.1), поэтому при адиабатическом увеличе-
увеличении поля ферромагнетик нагревается. Таким
образом, вдали от точки Кюри, где (dIJdT)
п Сн слабо зависят от Н, рост температуры по A8.16) происходит линейно
с полем. Приведенные на рис. 18.3 графики ДГ для Fe, полученные Поттером
15], подтверждают этот вывод. По наклону этих прямых при Н ->- 0 п по данным для
(dIs/dT)H=0 из A8.16) можно определить теплоемкость Сн (Т) из чисто магнитных
измерений и сравнить ее со значениями, полученными из калориметрических измере-
измерении. Сравнение вычисленных таким образом значений Сн с калориметрическими данны-
данными [11] дает расхождение примерно в 15—25 %, что достаточно удовлетворительно для
такого рода сравнений. Это расхождение связано с качественным описанием теплоемко-
теплоемкости решетки (в рамках теории Дебая), что и сказывается на сравнении с калориметри-
калориметрически определяемым значением Сн, поскольку последнее получается после вычитания
пз измеренной полной теплоемкости приближенно оцененной теплоемкости решетки.
На основании этих данных можно построить температурную зависимость магне-
магнетокалорического эффекта ДГ (Т), На рис. 18.4 изображены кривые ДГ (Т) для трех
различных значений поля. Все они имеют максимум в точке Кюрп, позволяя тем самым
точно определить последнюю.
Весьма важным является вывод зависимости магнетокалорического эффекта от на-
намагниченности. Чтобы найти явный вид этой зависимости воспользуемся соотношением
для dT при dS = 0, полученным из выражения, аналогичного A8.14), в котором вместо
независимой переменной Н выбрана индукция В. Это дает вместо A8.15)
дН
дТ
dB.
A8.17)
) Строго говоря, это не совсем точно, так как на этот эффект оказывает влияние
п часть свободной энергии, связанная с энергией магнитной анизотропии, а следова-
следовательно, с процессами вращения (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 25).
- 405 -

При Я = 0, найдя (дН/дТ)в из A8.9), а именно:
дН
- Н + #мол
(ибо [/сБ/4яЛГиБ (Т— в)] С 1), получим
1
мол) при
dT = 0 при /</s,
но так как прп всех достижимых полях Н <jC Яыол = 91/, то в ферромагнитной обла-
области температур (Т < в)
dT;
прп / < /s,
прп />/s,
или, интегрируя, получаем
2С,
(/2—/1).
A8.18)
В парамагнитной области A8.18) принимает вид ДГ = A/2СВ) [A/Х) + ЭД ^2- Если
имеет место закон Кюри — Вейсса A8.11), то, подставляя значение % и используя
соотношение С' = в/й, находим
/2
A8.19)
Итак, мы приходим к выводу, что ДГ ниже п выше точки Кюри растет пропорцио-
пропорционально квадрату истинной намагниченности. Различие между ферромагнитной и пара-
парамагнитной областями заключается в том, что в первом случае прямые ДГ (I2) пересе-
пересекают ось /2 в точках Ш112СВ, а во втором — выходят из начала координат. Кроме
того, эти прямые отличаются
и угловыми коэффициентами.
Для Т < 0 ятот коэффициент
практически не зависит от
температуры и равен 91/2Са,
а для Г>в он равен 9Ш2вСа,
т. е. линейно растет с темпе-
температурой. Опытные данные для
A8.18) и A8.19) приведены на
рис. 18.5 (Поттер [5]).
Наиболее интересной
является возможность опре-
определения самопроизвольной
намагниченности /s с помощью
формулы A8.18). Как видно
из рис. 18.5, ниже точки Кю-
Кюри линейная зависимость ДГ
от /2 будет наблюдаться лишь
при достаточно сильных по-
полях, когда намагничивание
становится истинным. Откло-
Отклонение от прямолинейности
обусловлено тем, что при выводе A8.18) не учтены процессы технического намагничи-
намагничивания, благодаря которым истинное намагничивание начинается еще до того, как
достигнуто техническое насыщение во всем образце. Если продолжить прямолинейную
часть экспериментальных изотерм до пересечения с осью /2, то точки пересечения дадут
/|, соответствующие температурам изотерм. Именно таким образом и определяется
самопроизвольная намагниченность вблизи точки Кюри. На кривой /s (T) (рис. 18.6)
экспериментальные точки для температур вблизи точки Кюри получены путем экстра-
экстраполяции кривых ДГ (I2) магнетокалорического эффекта.
Измерения магнетокалорического эффекта были проведены на сравнительно
небольшом числе ферромагнетиков. Кроме классических исследований Вейсса и Фор-
рера [4] и Поттера [5], упомянем еще работы Сексмпта и др. [24, 25], в которых иссле-
исследовался этот эффект в кобальте, а также в сплаве из системы Си — Ni (с 27,5 % Си)
780 820
Т,°С
Рис. 18.4. Зависимость магнетокалорического эффекта ДТ от
температуры Т для Fe при различных полях: 1) H=800U э;
Ч 2) 5000 э; 3) 2000 э (Поттер [5]).
— 406 -

и в магний-цинковом смешанном феррите (MgO -ZnO -2Ре2Оз). А. К. Кикоин [26] провел
исследования на соединении Сг — Те, Ивановский [27] — на Со, Ивановский п Дени-
Денисов [28] — на соединении Fe3Al и в высококоэрцитпвном сплаве альнико п на кобальте
AT,'К
2,5
2,0
1.5
W
0,5
<
/
/
ЧМ'К
/
/
У
/
/
J
/
У
/
/°
го'К
100
гоо
wo
Рис. 18.5. Зависимость магнетокалорического эффекта ДТ от
квадрата удельной намагниченности Р/р'2 для Fe (p' — плот-
плотность). Пересечение экспериментальных кривых (каждая из ко-
которых соответствует определенной температуре) с осью абсцисс
дает значение квадрата удельной самопроизвольной намагни-
намагниченности 1|/р'2 (Поттер [а]).
0,3
0,4 Oj 0,6 07 0,8
Относительная температура, Т/в
0,9 1,0
Рис. 18.6. Температурная зависимость относительной само-
самопроизвольной намагниченности Is/Io. Сплошная кривая — те-
теоретическая, построенная по формуле A8.5). На внутреннем
графике показан участок кривой вблизи т = 6. Точками
казаны экспериментальные данные: 1 — монокристалл
2—электротехническое железо [5]; з—армко-железо; 4-
щами по-
i Fe [51;
4—Ni [4].
129]; наконец, Карчевский [30] исследовал эффект в ферромагнитных соединениях ура-
урана, Гартон и др. [31] — в трихлориде гадолиния, Знаменский и Факидов — в сплаве
CuMn [32], Белов и др. [33] обнаружили аномальный знак магнетокалорического
эффекта в ферритах вблизи точки компенсации (см. гл. 22) *).
§ 2. Уточнение теории молекулярного поля
в рамках квазиклассического метода
1. Общие замечания. В изложенной выше теории молекулярного поля
взаимодействие между электронами учитывалось слишком грубо — введе-
введением добавочного члена A8.4) в энергию, зависящего от намагниченности
тела. Это эквивалентно тому, что принимается во внимание лишь порядок
в расположении спинов на далеких расстояниях (дальний магнитный
порядок). С другой стороны, как будет показано ниже, энергия Ах во мно-
многих случаях приводит к силам, действующим заметным образом именно
*) О методе измерения магнетокалорического эффекта в ферромагнитных полу-
полупроводниках см. работу Заветы [34].
— 407 —

на близких расстояниях. Поэтому термодинамически равновесное состоя-
состояние ферромагнетика должно определяться ближним порядком между
спинами *). Однако, оставаясь в рамках классического статистического
метода, есть опасность получить результаты, которые могут даже каче-
качественно не совпадать с опытом, ибо ферромагнетизм — существенно кван-
квантовое явление. Тем не менее квазиклассическая теория молекулярного
поля с учетом порядка на близких расстояниях в иллюстративно-каче-
иллюстративно-качественном отношении безусловно полезна.
Впервые учет «магнитного порядка» на близких расстояниях в схема
Изинга [1] был сделан в работе Стильбанса [35], который, используя ква-
квазихимический метод, развитый в теории упорядочивающихся сплавов,
дал теоретическое объяснение «остаткам» аномалии теплоемкости при
температурах выше точки Кюри. Эти «остатки» вызваны необходимостью
разрушения порядка на близких расстояниях, который еще частично
сохраняется и выше точки Кюри.
Разработка этого метода была продолжена Вонсовским [8, 9] [см. также
Вонсовский и Шур A948)], который дал теоретическое объяснение упомя-
упомянутому выше опытному факту различия между ферромагнитной и пара-
парамагнитной точками Кюри и показал, что парамагнитная восприимчивость
вблизи точки Кюри имеет конечное значение, а не стремится к бесконеч-
бесконечности, как это следует из A8.11), где не учтен ближний порядок.
Канер [36], а также Тредголд [37] развили квазиклассическую стати-
статистическую теорию ферромагнетизма, используя метод моментов, приме-
применяемый также и в теории упорядочивающихся сплавов (см. Кирквуд [38])..
Квазиклассическая теория ферромагнетизма была также рассмотрена
в работах [39—59]. Имеется обширная более поздняя литература (см.,
например, [60—80]) и обзоры Домба [81] и Браута [82] и, наконец, весьма
интересная в связи с рассматриваемой проблемой монография о природе-
критического состояния Фишера [83], в которой имеется подробная
библиография, а также книга Стенли [511].
На первый взгляд может показаться, что такой большой интерес
к грубой изинговской модели не оправдан физически. Однако принци-
принципиальные трудности, возникающие при теоретической трактовке фазовых
переходов второго рода, к которым относятся и многие «магнитные пре-
превращения», заставляют обратиться к изинговской модели, рассмотрение-
которой может помочь в решении этого принципиального вопроса (см. § 3).
В отличие от теории молекулярного поля, когда учитывается только-
зависимость энергии U от степени дальнего порядка г/, будем теперь учи-
учитывать зависимость U от ближнего порядка. Если ограничиться взаимо-
взаимодействием ближайших соседей (такое приближение допустимо в случае
«короткодействующего» характера обменных сил, см. гл. 19), то энергию U
можно представить в виде
U = 2p+-A, A8.20)
где р+_ — полное число ближайших антипараллельных соседств во всем
кристалле, а 2А — энергия, приходящаяся на пару ближайших соседей.
При выбранной нормировке энергия обмена двух параллельных спинов
считается равной нулю, а двух антипараллельных —равной +2Л.
Используя обозначения A8.1) для намагниченности системы (вправо),
получим
(^) A8.21)
Полная энергия системы в присутствии внешнего магнитного поля Я
будет иметь вид
.A. A8.22)-
*) В этом смысле проблема магнитного порядка является частным случаем общеж
задачи кооперативных явлений взаимодействующих атомных частиц.
- 408 -

Термодинамические свойства системы будут определены, если известна
статистическая сумма E.21), которая в данном случае равна
2= 2 g(y,P.-)<*v[-U{y\p+fH)]. A8.23)
У, Р+-
Эта общая формула переходит в формулу теории молекулярного поля,
если считать, что число р+ _ пропорционально квадрату относительной
намагниченности г/2 [замена A8.20) на A8.4)], и принять, что статистиче-
I, т.е. зависит только от у ==
= Br/N) — 1. Оба эти условия означают, что в теории Вейсса учитывает-
учитывается лишь порядок на дальних расстояниях, который определяется раз-
разностью правых и левых спинов по всему домену, независимо от их деталь-
детального взаимного расположения. Ближний же порядок считается при этом
просто равным дальнему, т. е. числа ближайших соседей разной ориен-
ориентации у любого спина предполагаются пропорциональными полным числам
правых и левых спинов в домене. Это значит, что если из полного числа z
ближайших соседств какого-то спина некоторая доля их г' относится
к правым, а 1 — г' к левым спинам, то считается, что г' = rIN. Таким
образом, локальная намагниченность ближайших соседей у каждого
спина равна намагниченности, рассчитанной по всему кристаллу, а чис-
число р+ _ равно
()^- <18-24>
В реальном кристалле это не имеет места, так как параллельные спины
под действием обменных сил стремятся «слипаться» в отдельные рои,
подобно атомам газа при его конденсации или образованию флуктуации
плотности в неидеальном газе. При низких температурах эти флуктуации
очень велики. При высоких температурах (Т > в) приближение, не учи-
учитывающее ближнего порядка, более законно. Однако и в этом случае
имеются еще флуктуации параллельных спинов в малых объемах, вызы-
вызываемые силами обмена и приводящие к отличной от нуля локальной
намагниченности в отсутствие результирующего магнитного момента
во всем объеме ферромагнетика, т. е. в отсутствие дальнего порядка
(У = 0)-
В отличие от теории Вейсса, статистическая сумма A8.23) учитывает
ближний порядок. Мерой этого порядка является число антипараллель-
антипараллельных соседств р+ _, которое, вообще, связано с дальним порядком у,
но уже не так просто, как в случае теории молекулярного поля. При каж-
каждом данном значении у может быть много распределений с различными
значениями р+ _ и энергиями U(y, р+J). Основная трудность в вычисле-
вычислении суммы A8.23) заключается в подсчете статистического веса g (у, р+J),
который равен числу способов распределения г правых и N — г левых
спинов по N узлам решетки при заданном числе р+_. Эта задача стано-
становится элементарно простой в случе очень высоких температур, когда
энергия обмена не в состоянии поддержать корреляцию между спинами-
даже на близких расстояниях ввиду интенсивного действия теплового
движения, разрушающего ближний порядок (квТ ^> zAi).
Статистическая задача теории ферромагнетизма в изинговском при-
приближении с учетом ближнего порядка решается точно в единственном
случае одномерной цепочки спинов. Изящное математическое решение
одномерной задачи Изинга принадлежит Беккеру и Дерингу A939).
Переход к двух- и трехмерным кристаллам сильно усложняет расчет.
Поэтому приходится идти путем приближений. Двухмерный случай
подробно рассмотрели Монтролл [40], Крамере и Ваннье [41], Онзагер»
[42, 43]. (См. также Домб [81], Дыхне и Румер [57] и ниже § 3.)
- 409 —

Наиболее простым приближенным решением трехмерной проблемы
Изинга является квазихимический метод, развитый Фаулером и Гуген-
хеймом [84]. К теории ферромагнетизма этот метод применили Стильбанс
[35] и Вонсовский-[8, 9]. Остановимся на кратком изложении этого метода.
2. Квазихимпческий метод. Полное число блпжайших соседств между N узлами
решетки равно 1/2 zN. Если через х обозначить долю антипараллельных ближайших
соседств, то их полное число р+_ равно
p+_=4-zA7x. A8.24а)
При полном порядке (ближнем и дальнем) при 7т = 0°К величина z = 0 и согласно
A8.24а) р+_ = 0 Обменная энергия кристалла согласно A8.20) равна
U=zNAx. A8.25)
Таким образом, для того чтобы описать магнитные свойства ферромагнетика, надо
определить термодинамически равновесное значение х. При вычислении х и использует-
используется квазихимический метод. Изменение числа х связано с процессом (реакцией) обмена
между антипараллельными спинами. Каждая такая реакция изменяет число параллель-
параллельных и антипараллельных соседств, а следовательно, по A8.25) связана с изменением
величины обменной энергии кристалла. Пусть участвующий в реакции обмена поло-
положительный спин (+) имел вначале z1+ параллельных и zj_ = z — z1+ антипараллель-
антипараллельных ближайших соседей, а отрицательный спин (—) имел z2+ антипараллельных
и z2_ = z — z2+ параллельных соседей. Тогда процесс обмена для положительного
спина можно оппсать реакцией
zl+) ( ) + 2 Bz1+-z) A
(последнее слагаемое в правой части дает возрастание энергии обмена при реакции),
а для отрицательного—реакцией
z2_) (- + ) ^z2_ (+ -) + (z-z2_) (+ -f )+2 Bz2_-z) A.
Складывая почленно эти равенства п перенося члены (-|—\-) и ( ) в одну
сторону, находим
Поэтому, независимо от числа ближайших соседей z и способа разбиения его на z^+
положительных и z;_ отрицательных соседей, каждая реакция обмена имеет вид
A8.26)
4А дает работу, затраченную при эдотермической реакции замены двух параллель-
параллельных соседств двумя антипараллельными. Согласно A8.24а) полное число ближайших
соседств между положительными спинами равно
|() A8.27)
и между отрицательными
(^) A8.28)
здесь использовано введенное выше обозначение r' = r/N. При равновесии «реакция»
A8.26) требует, чтобы выполнялся «закон действующих масс»
Р++-Р- =1 ехр (J?-\ . A8.29)
Р+- 4 V /СБ'/ '
Если правую часть A8.29) заменить единицей (что законно при кБ Т > iA), а в A8.27),
и A8.28) положить х/2 равным нулю, то мы снова приходим к приближению Вейсса,
не учитывающему ближнего порядка х = г' A — г') [см. A8.24)]. Экспоненциальный
фактор ехр (АА/кБТ) делает более выгодным два параллельных соседства по сравне-
сравнению с двумя антипараллельными. Соотношение A8.29), безусловно, точнее приближе-
приближения Вейсса, однако строгого доказательства законности такого уточнения пока еще
никем не дано.
Согласно A8.24а), A8.27) п A8.28) «закон действующих масс» A8.29) принимает
вид
- 410 —.

откуда, решая квадратное уравнение, находим термодинамически равновесное зна-
значение х при заданном дальнем порядке г':
{поскольку х > 0, то корень квадратный со знаком минус не дает физически допу-
допустимого решения)*). Вводя вместо r' = r/N относительную намагниченность у
по A8.21), находим
Найденное равновесное значение х, учитывающее ближний порядок, позволяет
дать в рамках данного приближения полное термодинамическое описание исследуе-
исследуемой системы. В частности, для равновесного значения энергии, согласно A8.25)
и A8.30), имеем
иМ - *-*? A8.31)
zNA
Если в A8.31) ехр (АА/к^Т) заменить единицей, то снова (с точностью до аддитив-
аддитивной постоянной) приходим к формуле Вейсса A8.4), если учесть, что А± = гА/2.
С помощью A8.31) можно вычислить свободную энергию по известной термодинами-
термодинамической формуле [см. E.2) и E.3)]
¦-^Sfr-U{y)- A8-32)
Если интегрирование вести от определенного предела 1/Г = 0 (Г=оо), то константа
интегрирования для F1 (у)/Т равна—k^\ng(y) (т. е. энтропии идеального газа спи-
спинов при kj/Г ^ АА), где g (у) — статистический вес, равный числу способов распреде-
распределения спинов по узлам решетки при заданном у, т. е.
ТУ!
(r'N)\[(i-r')N]\ "
В приближении Стирлинга
lag(y)^N[21n2-(l+y)\n(l+y)-(l-y)\a(l-y)]. A8.33)
Итак, по A8.32), A8.31) и A8.33) имеем
-уIпA-У)-21п2 +
Для удобства вычисления интеграла вводим обозначение
|l + (l-ya) [exp J^Lj_iJ|1;aea(y, T) = a A8.34)
и после интегрирования находим
- A8-35)
*) Величина х, входящая в эти равенства, является уже не микроскопической
величиной, а ее средним термодинамическим (статистическим) значением, поскольку
мы имеем дело с термодинамическим законом A8.29) для равновесных состояний.
- 411 -

Соотношение A8.35) дает зависимость свободной энергии ферромагнетика от тем-
температуры Т и намагниченности у. При квТ » 1А A8.35) переходит в соответствующую-
формулу A8.3) теории Вейсса. Фактически при каждой температуре Т осуще-
осуществляется намагниченность у, отвечающая минимуму F' (у), условием которого
является 1
NkBT дуг l-j2Ta(l-jr
Равновесные значения намагниченности являются, таким образом, корнями
уравнения:
J±!U * iLtL A8.37).
I —у z—2
а —у
Исследование этого уравнения показывает, что оно всегда имеет корень у = 0. Выше
некоторой критической температуры 0 этот корень единственный и соответствует мини-
минимуму F (у). Для 0 <С Т -4^. 0, кроме корня у = 0, который в этом интервале темпера-
температур соответствует максимуму F1 (у), есть еще один корень у > 0 (если исключить
симметричные значения у < 0), соответствующий минимуму F1 (у). Таким образом,
ниже критической температуры — точки Кюри в > 0, — имеется самопроизвольная
намагниченность у > 0. Точка Кюри определяется из условия, что в ней должны удов-
удовлетворяться одновременно три равенства:
ЭР1 (V)
' (у)
ду*
Последнее вытекает из того, что для Т > 0
соответствует минимуму F' (у), а для
соответствует максимуму F1 (у). Таким образом, в самой критической точке Г = в
вторая производная должна обращаться в нуль. В силу A8.36) находим для г/=0,
что exp By4//cB0)=z/(z —2), и, следовательно,
2А
Из A8.38), в согласии с точным решением задачи одномерной модели Изинга, сле-
следует, что при z = 2, т. е. в одномерном случае, 0 = 0. При z > 2 точка Кюри 0 > 0
и увеличивается с ростом z. Для плоской квадратной решетки (г = 4) при А > 0-
0
Полученные результаты с количественной стороны весьма приближенные. Подробнее
см. обзор Ньюэлла п Монтролла [55].
3. Сравнение с опытом. Первая проблема, которая может быть решена,
хотя бы качественно, в теории, учитывающей ближний порядок,— это
проблема различия между пара- и ферромагнитными точками Кюри [8, 9].
При выводе основных формул теории для парамагнитной области надо
учесть внешнее магнитное поле, так же как это было сделано в § 1, п. 2.
В правой части A8.37) появится при этом член 2цвН/квТ. При Г ^> в
получаем снова закон Кюри — Вейсса A8.11):
Л/ =;
"•Б '
и, следовательно, для впм согласно A8.11) имеем
Я — —
АБ
- 412 -
A8-39>

Парамагнитные и ферромагнитные точки Кюри
Таблица 18.1
Вещества
Ni(z = l2)
Co(z = l2)
Gd(z = 12)
Fe(z = 8)
Плоская решетка (z = 4) *)
Линейная цепочка (z = 2)**)
®пм. °К
эксперимент
650
1428
302,5
1101
4Л/АБ
2А/кБ
*) Согласно A8.38) и A8.39)
А 1
(®пм ®)теор— д. у
что дает « А/к^ при z=8 и ;*; 2Д//сБ при
из сравнения (впм)ЭКСп с формулой A8.39).
**) Две нижние строки относятся
решетке и линейной цепочке спинов; знач
и третьем столбцах таблицы, для этих си(
в; °К
эксперимент
631
' 1403
289
1043
2,8А/кь
0
впм-в, °к
эксперимент
19
25
12,5
58
—
—
2 \
впм-®. °К
теория
108
238
50
172
1,2.4/АБ
2А/кБ
ln[z/(z-2)]/'
z = l2. Отношение А/к^ определяется
к гипотетическим системам—плоской
ения 0ПМ и в, помещенные во втором
/тем— теоретические.
Из сравнения A8.39) и A8.38) видно, что впм > в. На рис. 18.7
.дана схематическая картина температурной зависимости самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности /s (Т) и парамагнитной восприимчивости %пм
по теории Вейсса (сплошная кривая)
и по теории, учитывающей ближний
порядок (пунктирная кривая).
В табл. 18.1 приведены эксперимен-
экспериментальные значения впм> 0 и разно-
разности впм — © для четырех ферро-
ферромагнитных элементов и теоретиче-
теоретические значения для плоской (z = 4)
. и одномерной (z = 2) решеток. Из
данных табл. 18.1 видно, что тео-
теория качественно удовлетворительна,
но количественно, как и следовало
ожидать, очень несовершенна. Впро-
ВпроРис. 18.7. Сравнение температурных зависи-
зависимостей Is (левая часть графика до температур
Г < в или впм) и зспм (правая часть графика
для Г > в или впм) по теории молекулярного
чем наттО Укачать ЧТО ЧКСПРПИМРН- поля без учета ближнего порядка (сплошная
чьм, надо yHdddib, 410 эксиеримен кривая) и с его учетом (штриховая кривая).
тальная точность в определении
Авэксп не очень велика. Этот вопрос более детально рассмотрен в работах
Бердышева [85] и Зайцева [86] *).
Второй вопрос, получивший также качественное решение в теории,
учитывающей ближний порядок, относится к объяснению «остатков»
*) В работе Зайцева [86] рассмотрение ведется в рамках общей термодинамиче-
термодинамической теории фазовых переходов второго рода, а в работе Бердышева [85] — модель-
модельной квантовой s — d-обменной теории (см. гл. 20). Неель [87], обобщив теорию моле-
молекулярного поля с учетом флуктуации мгновенных значений намагниченности, также
предсказал различие ферро- и парамагнитной точек Кюри.
- 413 -

ферромагнитных аномалий выше точки Кюри [см. [8, 9] и Вонсовский
и Шур A948)]. Как уже указывалось, все ферромагнитные аномалии имеют
довольно резкий максимум при Г — Q, после которого они не сразу
исчезают, как этого требует теория Вейсса (см. § 1) или термодинамиче-
термодинамическая теория (см. § 3), учитывающие лишь дальний порядок, а могут
сравнительно медленно убывать
стремясь асимптотически к нулю при
Т -*- оо. Подробное обсуждение это-
этого вопроса можно найти, например,
в обзоре Герлаха [88].
Ландау [89] на примере рассея-
рассеяния рентгеновских лучей вблизи то-
точек Кюри в упорядочивающихся
сплавах показал, что «остатки» ано-
аномалий выше точки Кюри хотя бы
частично объясняются флуктуациями
дальнего порядка при Г > в. Флук-
Флуктуации самопроизвольной намагни-
намагниченности особенно резко должны сказываться вблизи точки Кюри, ибо в са-
самой точке Кюри флуктуации /s стремятся к бесконечности (см. § 3).
Как будет указано в § 3, вблизи точки Кюри имеются особенности тер-
термодинамических величин, характер которых еще до конца не выяснен.
Для того чтобы объяснить наличие «остатков» ферромагнитных ано-
аномалий выше точки Кюри в качественной теории ближнего порядка, рас-
рассмотрим температурную зависимость энергии ферромагнетика A8.31).
На рис. 18.8 приведены схематические графики этой зависимости. Кривая
ОаЪс [U = xlizNA A — г/2)] соответствует теории Вейсса [с точностью
до постоянного слагаемого она совпадает с A8.4)]. При Г = в, когда
у —>- 0, кривая энергии имеет излом, и при Г > в энергия равна постоян-
постоянному значению 1lizNA. Кривая Oade соответствует A8.31). Вблизи Т = &
она не достигает максимума и лишь медленно приближается к своему
предельному значению 1i2.zNA при
Г—>-оо. Выражение энергии A8.31) б
при Т > в (где у = 0) имеет вид
о
Рис. 18.8. Температурная зависимость энер-
энергии ферромагнетика U (Т): ОаЪс( — без учета
ближнего порядка [по формуле ?/' = V2 zNA
A — уг)] и Oade — с его учетом [см. формулы
A8.31) и A8.40)].
Рис. 18.9. Температурная зависимость па-
параметра а ближнего магнитного порядка.
A8.40)
Кривая Oade не имеет резкого из-
излома. Медленный рост U при Т > в
соответствует постепенному разруше-
разрушению ближнего порядка, который исчезает лишь при Т —»- оо. Если ввести
обычное определение параметра ближнего порядка а = B'ziV) (р++ -I-
+ р __ — р+ _), то с помощью A8.30), A8.24а), A8.27) и A8.28) легко по-
показать, что
при Т
при Г>6
г/2
На рис. 18.9 приведено схематическое изображение температурной
зависимости параметра ближнего порядка; видно, что а резко уменьшает-
уменьшается вблизи Т = в и при Т > в асимптотически стремится к нулю. Такая
«нерезкость» температуры Кюри с точки зрения ближнего порядка при-
приводит к тому, что все аномалии ферромагнетиков хотя и имеют крутой
максимум при Г = в, но при Г > в не должны сразу идти в нуль, а лишь
постепенно убывать в соответствии с постепенным разрушением порядка
- 414 -

на близких расстояниях. В частности, для теплоемкости получаем:
при
при
dT
см=
zNA
2кБТ
Температурная зависимость Ся (Г) схематически изображена на
рис. 18.10*).
В работе Губанова [90] квазихимический метод распространен на слу-
случай аморфных ферромагнетиков, где координационные числа для бли-
ближайших соседей в кристаллах заменены на «функцию распределения
соседей» в аморфных телах. Однако этот рас-
расчет нельзя считать доказательством возможно-
возможности существования магнитного атомного по-
порядка в аморфных телах (жидкостях) ввиду его
квазиклассического характера **)
4. Метод Бете — Пайерлса — Вейсса. Способ уче-
учета ближнего магнитного порядка в несколько отличной
форме от изложенного выше квазихимического метода
разработал П. Р. Вейсс [46] на основе работ Бете [95] п
Пайерлса [39] (см. также Фирго [51], Браун и Латтпнд-
жер [53]). При этом подходе рассматривается кластер
(рой) магнитно активных атомов, состоящий из i-ro
центрального атома и его z ближайших соседей. Вза-
Взаимодействие z соседних атомов друг с другом п с
центральным рассматривается по обычной гейзенбер-
гейзенберговской схеме обменной связи. Связь же с магнитными атомами, находящимися вне
кластера, учитывается с помощью эффективного поля -Нэфф> которое определяется само-
самосогласованным способом. Точка Кюри определяется как температура, ниже которой
поле -Н"эфф исчезает.
Например, в случае п. к. или о. ц. к. решетки гамильтониан кластера
в изинговском приближении можно записать в виде
Рис. 18.10. Температурная за-
зависимость См (Т) с учетом
ближнего порядка.
2 2
(б. с) (б. с)
где szi — z-слагающая спина центрального атома; #Эфф — эффективное поле, действую-
действующее на z соседних атомов (ближайших к атому i) с проекциями спинов s^; H — внеш-
внешние поле, действующее юлько на центральный атом (оба поля #Эфф и Н в Данном СЛУ~
чае направлены вдоль оси г.). Суммирование ведется по всем ближайшим соседям (б. с).
В случае более сложных решеток, г. ц. к. или гекс. п. у., в 3€ необходимо еще
явно учитывать добавочный член взаимодействия между ближайшими соседями —
— 2А ~y\szhSzh'. В модели Изинга обычно предполагается, что szi = szk = 1/2. Тогда
(б.с)
суммарная z-проекция спинов ближайших соседей равна sz = ^j szk- При этом возмож-
(б. с)
ные значения Sz равны —z/2, —(z/2—1), . . ., 0, . . ., z/2. Статистический вес состоя-
состояния с данной энергией, являющийся собственным значением гамильтониана Зё, опре-
определяется числом возможных размещений спинов с положительной z-проекцией
(Sz + z/2) no z узлам ближайших соседей, т. е.
*) Детальный анализ высокотемпературных разложений для См в схеме Изинга
дан в работе Домба и Сайкса [59]; см. также §§ 3 и 4, где дается более близкая к опы-
опыту теоретическая зависимость Сш (Т), и обзоры Домба [81], Броута [82] и книги Фи-
Фишера [83] и Стенли [511].
**) Обращаем внимание на сообщение об экспериментальном обнаружении ферро-
ферромагнетизма в аморфных пленках. Так, в работе Григсона и др. [91] было показано, что
в аморфной тонкой пленке железа, осажденного на аморфную угольную подложку
при комнатной температуре, имеется намагниченность, составляющая примерно
0,16 /s (/s — значение насыщения для массивного образца Fe). При кристаллизации
пленки величина ее намагниченности возрастает до 0,65 /s. В работе Мадера и Нови-
Новика [92] доказано существование ферромагнетизма в аморфных метастабильных сплавах
системы Со — Аи (в интервале составов с 25—60% Аи) в виде пленок толщиной 200 —
600 А. См. по этому вопросу также работы [93, 94, 512—519].
- 415 -

Следовательно, статистическая сумма имеет вид
FeO-Fe2D3
где {&€) — собственные значения оператора. Вычисления этой фазовой суммы, в част-
частности, приводят к формуле A8.38) для точки Кюри. Кривая для температурной зави-
зависимости теплоемкости представлена на рис. 18.10.
Результаты расчетов качественно такие же, как и в изложенном выше квазихими-
•ческом методе учета ближнего порядка. Заметим, что в методе Вейсса учитывается
локальный ближний порядок внутри кластеров и пренебрегается дальним порядком.
Поэтому этот метод применим в области температур, близких к точке Кюри (см. также
{96, 97, 520]).
5. Общее качественное описание ферромагнитного превращения. На
основании изложенного можно дать общее качественное описание ферро-
ферромагнитного превращения.' При очень высоких температурах (Г ^> О)
тепловое движение столь интенсивно, что оно практически разрушает
всякую упорядоченную параллельную ориентацию спинов даже в очень
малых объемах. При понижении температуры, но при f ^ в обменные
силы становятся уже доста-
достаточными для установления
порядка на близких расстоя-
расстояниях. Появляются кластеры
параллельных спинов, т. е.
флуктуации самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности при
о / Г ^ О. Однако в среднем
,2 по всему объему домена чис-
число кластеров правой и левой
ориентации одинаково, поэ-
поэтому нет дальнего порядка,
нет скачка симметрии, т. е.
нет самопроизвольной намаг-
намагниченности в обычном смыс-
смысле этого слова. Ориентация
локальной намагниченности
кластеров сильно зависит
от теплового движения, по-
поэтому для их параллельной
ориентации требуются гораз-
гораздо большие магнитные поля,
чем для намагничивяния фер-
ферромагнетика при Т < О. Кроме того, при Т > О магнитное поле вызы-
вызывает одновременно сильное истинное намагничивание, и поэтому в при-
присутствии поля при Т > О вообще мало смысла говорить о самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности. При приближении к точке Кюри энергия обмена,
рассчитанная на спин, становится сравнимой с тепловой энергией, и при
Т = О имеем zA ~ к-вТ. В этом случае обменное взаимодействие уже
может установить не только ближний порядок в виде кластеров упоря-
упорядоченных спинов с небольшими радиусами корреляции. При Т = в
радиус корреляции, а с ним и размер кластера растут настолько, что
создается дальний порядок во всем объеме домена. Симметрия всего тела
меняется при этом скачком. Дальний порядок начинает непрерывно расти,
и уже очень скоро после охлаждения ниже точки Кюри самопроизвольная
намагниченность в пределах домена делается столь большой, что даже
в присутствии не очень сильного внешнего поля (Н <С Ныол), могущего
создавать истинную намагниченность (и тем самым «снимать», по существу,
магнитный фазовый переход), самопроизвольная намагниченность начи-
начинает играть основную роль, задавая тон всему магнитному поведению
ферромагнетика.
575,0 576,0
Температура, "О
577,0
Рис. 18.11. Температурная зависимость относительной
намагниченности 1/10 монокристалла магнетика
(FeO-Fe208). 1 — в отсутствие внешнего магнитного
поля (Я = 0); 2 — при Я = 628 э. По оси абсцисс
точка Кюри получена экстраполяцией (см. пунктирную
часть кривой для Я = 0). Справа от пересечения пунк-
пунктирной кривой на оси абсцисс показана точка, где уже
обнаружено парамагнитное состояние. Эти эксперимен-
экспериментальные данные служат доказательством точечного ха-
характера ферромагнитного превращения (Смит [98]).
- 416 -

При количественной оценке величины «остатков» аномалий различ-
различных свойств ферромагнетиков выше точки Кюри надо проявлять чрезвы-
чрезвычайную осторожность. Дело в том, что величина этих «остатков» анома-
аномалий и размытость максимумов на кривых температурной зависимости
вблизи точки Кюри в значительной степени определяются химической чи-
чистотой и однородностью данного ферромагнитного вещества, а также особен-
особенностями термодинамического потенциала вблизи точки Кюри (см. ниже).
В связи с обсуждаемым вопросом обращаем внимание на измерения
намагниченности в монокристалле магнетита вблизи точки Кюри, которые
провел Смит [98]. В этом исследовании с большой степенью точности
(~ 0,05° К) показан точечный характер ферромагнитного превращения.
На рис. 18.11 приведены кривые IS(T) в непосредственной близости к в
при наличии и в отсутствие внешнего магнитного поля. Таким образом,
если флуктуации ближнего порядка существуют и влияют на резкость
фазового превращения для кривой /s, то это влияние не приводит к раз-
размытию точечного характера превращения на величину, большую 0,05° К.
(См. по этому вопросу также работы [99—102].)
§ 3. Термодинамическая теория ферромагнитного превращения
1. Термодинамика фазовых переходов второго рода. Успех феноменологической
теории молекулярного поля, несмотря на ее упрощенный характер, показывает, что
ряд ее результатов, нашедших качественное подтверждение на опыте, можно получить
из общей термодинамической теории.
Переход из ферромагнитного состояния в парамагнитное по классификации
Эренфеста [103] является фазовым переходом второго рода *). В точке Кюри, где исче-
исчезает самопроизвольная намагниченность (дальний магнитный порядок), ферромагнетик
сразу меняет свою симметрию. Это прерывное изменение касается только симметрии
тела; его состояние при этом меняется непрерывным образом, т. е. остаются непрерыв-
непрерывными термодинамический потенциал Ф и его первые производные (энтропия, объем
и т. п.); поэтому, например, в точке Кюри нет скрытой теплоты превращения. Однако
вторые производные потенциала Ф (теплоемкость, сжимаемость и т. п.) терпят разрыв
(или скачок) при Т = &. Из общих термодинамических условий равновесия при фазо-
фазовых переходах первого рода известно (см., например, Леонтович [104], Самойлович
[105]), что при равновесии в обеих фазах должны быть равны давление, температура
и удельные термодинамические потенциалы **), а именно:
Pi = P2 = P, Ti = T2 = T, Ф1(р,Т)=Ф2(р,Т). A8.41)
Третье условие A8.41) дает функциональную связь между р и Т, при которых воз-
возможно равновесие фаз. Разрешая это уравнение относительно р, получаем
Plz2 = f(T). A8.42)
На плоскости (Т, р) соотношение A8.42) дает уравнение кривой равновесия двух фаз.
Для фазовых превращений первого рода при переходе через кривую равновесия пер-
первые производные потенциала Ф (р, Т) терпят разрыв, т.е. имеет место скачок энтропии
А А дТ ~ \ дТ дТ
и удельного объема
Дк=д
dp
Поэтому происходит поглощение или выделение тепла: &.S/T = q — теплота перехода.
Фазовые переходы второго рода определяются следующими условиями ***):
1. Термодинамический потенциал Ф (р, Т) и его первые производные непрерывны
вдоль кривой равновесия A8.42); поэтому энтропия и удельный объем не имеют скачков
*) Об исключениях из этого правила см. § 5.
**) Термодинамический потенциал Ф (в узком смысле слова), или свободная
энергия Гиббса, связаны с энергией системы U и свободной энергией (Гельмгольца)
F = U — TS соотношением Ф= U — TS + pV = F + pV [см. гл. 5 и Ландау
и Лифшиц A964)].
***) Здесь используется предположение о возможности дифференцирования термо-
термодинамического потенциала Ф как функции параметров р, Г и т. д. вблизи точки Кюри.
Однако, в силу особенности функции Ф в точке Т = 0 это предположение может и не
выполняться (см. ниже).
27 СВ. Вонсовский — 417 —

в точках перехода
Д5т = Д7 = 0. A8.43)
2. Вторые производные потенциала имеют разрыв непрерывности вдоль кривой
A8.42), что приводит к скачку теплоемкости
сжимаемости
и коэффициента теплового расширения
¦ _ 1 д дУ — 1 д ""- _ ± I " ^* " — i \ М846\
у а дТ ~~ V дТ др ~~~ ' Я7ТЯ- атя. ) • uo.id;
Эти скачки связаны общими термодинамическими соотношениями. Их можно найти,
продифференцировав равенства A8.43) вдоль линии фазового перехода, что дает
Д-
Поскольку dpi2 и dT — дифференциалы вдоль кривой равновесия A8.42), то dT можно
записать как d®, где 0 — точка Кюри — является функцией давления pi2; скачки же
вторых производных Ф в A8.47) можно заменить по A8.44) — A8.46); в итоге находим
d® 7УЛа Лж
dpl2 ДСр Да * U° >
Уравнения A8.48) для фазовых переходов второго рода аналогичны уравнению Кла-
Клапейрона — Клаузиуса для переходов первого рода: d@/dpi2 = TA.V/A.S, которое
получается дифференцированием третьего условия A8.41). Однородные уравнения
A8.48) имеют нетривиальное решение относительно d®/dpl2, если их детерминант
V Ь.а — ДСр
-Д* Да -°'
откуда и находим искомую связь между скачками A8.44) — A8.46):
1 V (Да)^ = АСр- Дж. A0.49)
Из A8.48) видно, что скачки термодинамических величин связаны не только между
собой по A8.49), по и с величиной смещения точки Кюри, вызванного всесторонним
давлением, т. е. d®/dp.
2. Сравнение с опытом. К сожалению, сравнение этих термодинами-
термодинамических соотношений с экспериментом не может быть проведено в полной
мере из-за отсутствия достаточного числа необходимых опытных данных
для одного и того же вещества *). Подробное экспериментальное исследо-
исследование смещения точки Кюри с давлением в различных ферромагнетиках
произвел Патрик [106]. Однако наиболее детальный анализ этого вопроса
можно найти в работе Д. Блоха [107], где приведен также достаточно пол-
полный обзор и библиография важнейших экспериментальных исследований
по влиянию высоких давлений на намагниченность и на точки Кюри
и Нееля. В табл. 18.2а и 18.26, заимствованных из работы [107], приведены
важнейшие работы по этим исследованиям, и в них указаны диапазоны
давлений и температур и исследуемые вещества. Сам Блох провел иссле-
исследования по влиянию давления на магнитные свойства редкоземельных
металлов (Gd, Tb, Dy и Но), d-металлов (Ni и Со), твердых растворов
(Ni — Си, Ni — Si), ряда ферритов со структурой шпинели и граната,
интерметаллического соединения MnAu2 и других веществ. В качества
примера на рис. 18.12, а приведены данные его измерений по смещению
точки Кюри в Gd и точек Нееля в Tb, Dy и Но, а на рис. 18.12, б показаны
кривые зависимости изменения величины удельной намагниченности
а = 7/р' (р' — плотность) от давления для Gd, Tb и Dy (при Т = 77° К
и в поле Н = 29 000 э). Свои опытные результаты и результаты других
*) Следует также всегда проявлять особую осторожность в связи с упомянутой
возможной особенностью функции Ф в точке Т = в.
- 418 -

Таблица 18.2а
Важнейшие работы по исследованию изменения намагниченности ферромагнитных
и антиферромагнитных веществ под высоким давлением с указанием значений
максимальных давления и магнитного поля и области температур при измерениях
Вещество
Fe, Ni, Fe—Ni,
Fe—Co — Pt,Ni — Al,
Ni— Cr, Ni—Cu,
Ni—Mn
Fe
Ni, Fe—Ni, Co
Ni, MnAu2
Fe,Ni,Fe—Ni.Ni — Cu
Fe, Ni, Fe—Ni, Co
(монокристалл)
Fe, Ni
MnAs
Gd, Tb, Dy, Ni, Co,
Ni—Cu, Ni —Si,
ферриты, MnAu2
Максимальное
давление, бар
3000
2000
5000
4500
1900
3000
15000
1000
7000
Область темпе-
температур, °К
комнатные
77—293
комнатные
комнатные
1,7—77
комнатные
200—373
273—373
77—420
Максимальное
магнитное поле,
э
11000
2000
слабые поля
10000
7000
12000
5000
100000
30000
Источники
[108]
[109]
[110]
[111]
[112]
[ИЗ, 114]
[115, 116]
[117]
[107]
Таблица 18.26
Важнейшие работы по исследованию влияния давления на точку Кюри
и точку Нееля с указанием максимального давления и интервала
температур при|измерениях
Вещества
Fe, Ni, Fe2O3-FeO
Монели
Fe —Ni, Ni—Cu, Ni —Al
Fe2O3.(NiO)a;(ZnOI_:i;
MnTe, CrTe, Ci-Te^Se^
MnAs, Mn2Sbi_xCrx
CoO'
Fe, Ni, Co, Gd, Fe—Ni, FeSi,
Fe2O3(NiO)a;(ZnOI_a;
MnF2
MnAu4, FeNi, CuMn^In^g
Dy
MnF2,CoF2, MnCO3, CoCO3
Gd, Tb, Dy, Ho, Ni, Co, Ni—Cu, Ni—Si,
ферриты, MnAu2, Fe—Rh
Fe — Ni (инвар и коллинвар)
Fe, Fe—Ni (инвар)
Ni
MnTe
Максимальное
давление, бар
3700
3000
3000
6000
5000
16500
6000
8000
100
3000
8?00
1900
10000
25000
60000
60000
10000
Область тем-
температур, К"
273—1300
273—373
273—373
272—373
273—373
272—373
230-550
273—1430
4—77
273—520
170—270
10—300
77—1200
?
273—1050
273—700
273—350
Источники
[118]
[119—121]
[122]
[123]
[124, 125]
[126]
[127]
[106]
[128, 129]
[130, 131]
[132]
[133, 134]
[107]
[135]
[136]
[137]
[138]
- 419 -
27*

-/ff\-
2000
р,бар
то
авторов. Д. Блох анализирует с точки зрения современных представлений
о различных механизмах обменного взаимодействия в /- и d-металлах
и ионных соединениях [косвенный обмен через электроны проводимости
(гл. 20) и косвенный обмен
8000 через электронные оболочки
немагнитных ионов (гл. 22)].
Во многих случаях ему уда-
удалось получить достаточно
удовлетворительное качест-
качественное согласие теории и
опыта. За всеми подробно-
подробностями отсылаем читателей к
оригинальной литературе
(кроме упомянутых выше, см.
также [139-164, 521-523]).
3. Роль симметрии кристал-
кристалла. Термодинамическая теория
фазовых переводов второго рода
была детально разработана Лан-
Ландау [165] и Е. Лифшицем [166] *).
В основу кладется предположение,
что для макроскопического опи-
описания свойства кристаллов необ-
необходимо предже всего знать ска-
скалярную функцию плотности веро-
вероятности распределения электро-
электронов (и ионов) в каждой точке тела
р (г). Однако ферро- и антиферро-
магнетикп обладают атомной маг-
магнитной структурой. Для опреде-
определения макроскопических свойств
кристаллов с магнитной структу-
структурой, кроме скалярной функции
р(г), следует рассматривать еще
векторную функцию s (г), опре-
определяющую плотность вероятности
распределения атомных магнит-
магнитных моментов. Функции р (г) и
* (г) — это усредненные статисти-
статистические величины, зависящие не
только от координат г, но в от термодинамических параметров Т, р, и т. п. Таким об-
образом, симметрия кристалла с атомной магнитной структурой определяется симмет-
симметрией как скалярной р (-/•), так и векторной функции s (r) **).
Из кристаллографии известно (см. также гл. 10), что симметрия тела определяется
заданием всех возможных преобразований координат, при которых каждый атом кри-
кристалла попадает в кристаллографически эквивалентное положение и поэтому все свой-
свойства кристалла остаются также инвариантными при любом из таких преобразований
<элементов симметрии). Так, например, в кристалле с кубической решеткой операция
•его поворота на угол, кратный 90°, вокруг оси типа {100} (оси четвертого порядка С4)
или операция зеркального отражения в плоскости типа A00) переводит узлы решетки
в эквивалентные места; поэтому такие преобразования для кубических кристаллов
являются элементами симметрии. Каждому типу кристаллической решетки (кубиче-
(кубической, гексагональной, ромбической и т. п.) можно сопоставить определенный набор
таких преобразований симметрии, образующих точечную группу симметрии данного
кристалла. К этим элементам симметрии еще следует добавить преобразования коор-
координат в виде параллельных переносов на определенные расстояния вдоль определенных
направлений в кристалле, т. е. трансляции, которые также переводят все узлы решет-
решетки в эквивалентные положения. Добавляя трансляции к точечной группе и учитывая
4-*
Рис. 18.12. а) Смещение (Д0) точки Кюри для Gd и то-
точек Нееля для Tb, Dy и Но под гидростатическим дав-
давлением (Д. Блох [107]); б) изменение удельной намаг-
намагниченности До = os (р) — Os @) (as = Js/p'. где р' —
плотность) Gd, Tb и Dy с давлением р, при темпера-
температуре Т = 77° К (Д. Блох [107]).
*) См. также изложение этой теории в монографиях Ландау и Лифшпца A964)
и Любарского [167]. Применение этой теории к магнитным фазовым переходам произ-
произвел в элементарной форме Вонсовский [8, 9] [см. также Вонсовский и Шур A948)
и Гинзбург [168]]. Более детальный теоретико-групповой анализ магнитных переходов
дали Дзялошинский [169], Ковалев [1701, Солиом [171]; см. также обзор [172] и ори-
оригинальные работы [173—190, 524—528].
**) Если s (г) = 0, то кристалл не обладает магнитным порядком, т. е. он либо
парамагнетик [когда равно нулю среднее по времени от в (r)], либо диамагнетик [когда
равны нулю и мгновенные значения функции .<* (г) в каждой точке тела].
420 -

еще элементы симметрии, являющиеся комбинацией трансляций с поворотами и отра-
отражениями (винтовые оси и плоскости зеркального скольжения), получаем простран-
пространственную группу симметрии кристалла.
Методы кристаллографии дают возможность определить полное число допусти-
допустимых типов кристаллических решеток. Существует 32 кристаллических класса, каждо-
каждому из которых соответствует определенная группа точечной симметрии. Эти 32 класса
разбиваются на семь кристаллических систем, а именно:
Кристаллическая
система (сингония)
Триклинная
Моноклинная ....
Ромбическая
Тетрагональная . . .
Ромбоэдрическая . . .
Гексагональная . . .
Кубическая
Кристаллические классы (группы)
Ci d
is s ^2 ^2/l
is 2V ^2 -L^2h
04 04 6 4^ &2& is 4u -^4 *J&h
^6 ^3/г ^6/г ^3/г is§v ^6 ^6/г
T Th Ta 0 Oh
Здесь использованы обозначения Шенфлиса [191] для точечных групп: С; — операция
инверсии относительно центра симметрии; Сп {п = 1, 2, 3, 4, 5, 6) — поворотная ось
гс-го порядка; Cnh — ось п-то порядка и перпендикулярная к ней плоскость симмет-
симметрии; Cs = Cj/j! CnV — ось п-то порядка и плоскости симметрии, проходящие через
нее; Sn — зеркально-поворотная ось п-то порядка; Dn (п = 2, 3, 4, 6) — ось п-то
порядка и семейство перпендикулярных к ней осей второго порядка; Dnh — то же,
что и Dn, с добавлением еще плоскостей симметрии, проходящих через оси второго
порядка; Dna — то же, что и Dn, с добавлением вертикальных плоскостей симметрии,
проходящих через ось п-то порядка посередине между каждыми двумя соседними
горизонтальными осями второго порядка; группа Т получается добавлением к системе
осей группы Dn четырех наклонных осей третьего порядка, повороты вокруг которых
переводят оси второго порядка друг в друга; группа Та получается из Т добавлением
плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго и две оси
третьего порядка; группа Гд получается из Т добавлением трех взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостей симметрии, проходящих через каждые две оси второго порядка,
а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными; О — система осей симмет-
симметрии куба; в группе Од к О добавляются плоскости симметрии. В каждой из 32 точечных
групп имеется определенное число элементов симметрии A, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 и 48).
Учет трансляций приводит к тому, что каждому из 32 кристаллических классов соот-
соответствует одна или более (до 28) пространственных групп, полное число которых равно
230, как это показал в 1891 г. Федоров [192] *).
Введенные выше функции плотности р (г) и .s {r) должны быть инвариантными
по отношению к преобразованиям соответствующей группы симметрии. Тем самым
в них учтется дискретная анизотропная структура кристалла в макроскопически усред-
усредненном смысле. В связи с тем, что в кристаллах, обладающих магнитной симметрией,,
необходимо рассматривать две функции плотности, следует сделать некоторые допол-
дополнительные замечания. Дело в том, что не все элементы симметрии, допустимые в кри-
кристалле при я (г) = 0, т. е. в отсутствие магнитного порядка, будут таковыми при s (r) ф
ф 0. Действительно, рассмотрим случай о. ц. к. ферромагнитного кристалла (Fe),
у которого вектор Is направлен вдоль оси [100]. Легко видеть (рис. 18.13), что, напри-
например, при преобразованиях симметрии — поворотах вокруг оси [001] на угол 90° или
180° (операции С4 и С4-С4 = С2),— оставляющих инвариантной функцию р (г), функ-
функция ,ч (г) оказывается неинвариантной, так как спиновые магнитные моменты различ-
различных узлов при этих поворотах не попадают в эквивалентные положения. Таким обра-
образом, класс симметрии функции s (r) оказывается более низким (содержит меньше эле-
элементов), чем класс симметрии скалярной функции р (г). Между функциями р и s имеет-
имеется еще одно существенное различие, а именно их различное отношение к операции
изменения знака (инверсии) времени (см. также гл. 10). Смысл введения такого преоб-
преобразования связан с тем, что механические уравнения движения инвариантны к преоб-
преобразованиям инверсии времени. Поэтому применение этой инверсии к любому термоди-
термодинамически равновесному состоянию макросистемы должно приводить опять к ее равно-
равновесному состоянию. Здесь возможны два случая: либо оба этих состояния (до и после
инверсии времени) одинаковы, либо различны. Легко сообразить, что скалярная плот-
плотность электронно-ионных зарядов р (г) остается при инверсии времени инвариантной,,
а векторная функция s (r) изменит знак на обратный **).
*) См. например, приложение IV в книге Любарского [167].
**) Это можно усмотреть из того, что магнитный момент s является величиной,
пропорциональной току J, а этот последний пропорционален скорости, которая меняет
знак при инверсии времени.
- 421 -

Инверсию времени можно обозначить оператором R. Легко видеть, что если в дан-
данном кристалле все свойства инвариантны по отношению к действию преобразования R,
то отсюда следует, что для функции s (r) (если она существует) должно выполняться
условие инвариантности, т. е. Rs (r) = s (r), но, с другой стороны, по самой природе
s {г) мы имеем Rs (r)= —s (г). Отсюда мы приходим к единственному выводу, что s (r)=
= —s (г) = 0, т. е. кристалл, инвариантный к преобразованию R, не может обладать
атомной магнитной структурой (s = 0). В случае кристаллов, не имеющих атомной
магнитной структуры, рассмотрение операции R не представляет интереса, так как она
а)
Рис. 18.13. Центрированная кубическая ячейка (о.ц.к.) со спинами в
узлах (всего 9 узлов; Oi, а2, а3, а, — на верхней грани, Ь,—в центре-
куба и с„ с2, с3, с4 — на нижней грани), а) Исходное положение; б)
поворот на 90' (С„); в) поворот на 180" (С,-С, = Сг). Эволюция поло-
положений от а) к в) иллюстирует неинвариантность магнитной кубической
решеуки к поворотам вокруг осей типа С„.
сводится к тождественному преобразованию. В случае же «магнитных» кристаллов учет
операции R весьма существен. Свойства таких кристаллов не могут быть инвариантными
¦по отношению к преобразованию R, но они могут оказаться инвариантными по отно-
отношению к некоторым комбинациям R с какими-либо из элементов симметрии из 32 обыч-
обычных классов точечной симметрии. Так, в случае примера рис. 18.13, если одновременно
с поворотом на угол я (операция С2) произвести операцию R, то под действием сложной
операции C2R произойдет совмещение эквивалентных узлов и направлений спинов
в них. Детальный вывод различных групп симметрии для кристаллов с магнитной атом-
атомной структурой был проведен в работе Тавгера и Зайцева [193], Тавгера [194] и в ряде
других работ [195—207], а также цитированных выше [169—190]. Всего возможна 1651
магнитная пространственная группа *).
4. Теория ферромагнитных превращений по Ландау. Вернемся к во-
вопросу о природе фазового перехода второго рода. Функции р (г) и s (r)
в точке фазового перехода могут претерпевать изменения как по величине,
так и в свойствах симметрии. И величина может меняться либо непрерыв-
непрерывно, либо скачком, симметрия же меняется всегда скачком (так как ее изме-
изменения сводятся к появлению или исчезновению каких-либо элементов
симметрии). В случае фазового перехода первого рода функция р (г)
всегда меняется в точке перехода прерывно. Это можно проиллюстри-
проиллюстрировать с помощью скачка удельного объема. Последний связан с изме-
изменением средних расстояний между атомами (переход кристалл —
жидкость, жидкость — пар, переходы между различными модификация-
модификациями кристаллов). Поэтому функция р (г), расстояние между максимумами
которой и соответствует межатомным расстояниям, будет при этом изме-
изменяться скачком. Напротив, при фазовых переходах второго рода не наблю-
наблюдается прерывных изменений величины функций р (г) и s (r), а лишь пре-
прерывное изменение их симметрии. Так, например, в ферромагнетиках выше
точки Кюри в нет магнитного порядка (s = 0), а ниже точки Кюри
он появляется (s =f= 0). При этом функция s (r) в отсутствие внешнего
*) Впервые эти группы были в другой связи предсказаны Шубниковым (см. книги
Шубникова, Флинта и Бокия [208] и Когщика [209]); см. также обзор Опехов-
ского и Гучионе [172], где приведены таблицы магнитных групп (точечных и простран-
пространственных).
— 422 -

магнитного поля (Н = 0) начиная от Т = 0 и при дальнейшем пониже-
понижении температуры (Т < в) растет непрерывно, без всяких скачков *).
При построении количественной термодинамической теории ферро-
ферромагнетизма и антиферромагнетизма в большинстве случаев можно при-
принять, что переход из ферро- или антиферромагпитпого состояния в пара-
парамагнитное является фазовым переходом второго рода, и считать заданной
магнитно-кристаллическую симметрию обоих этих состояний. Задача
теории сводится к вычислению зависимости намагниченности тела от тем-
температуры, давления и внешнего поля. При другом подходе можно не
делать никаких предположений о характере фазового перехода и на основе
использования только общих свойств симметрии функций р (г) и s (r)
решать вопрос о возможности тех или иных магнитно-упорядоченных
состояний и характере переходов между ними, затем уже определять
зависимость намагниченности от различных термодинамических пара-
параметров. Второй путь более общий и последовательный, но и более труд-
трудный; поэтому, чтобы лучше уяснить себе конкретное содержание термоди-
термодинамической теории, мы воспользуемся первым способом.
Напомним еще раз, что существование самопроизвольной намагни-
намагниченности, по крайней мере в ферро- и антиферромагнетиках с высокими
точками Кюри и Нееля (^ 100° К), связано не с магнитными (релятивист-
(релятивистскими) анизотропными взаимодействиями между элементарными маг-
магнитными моментами, а с изотропным электростатическим обменным взаи-
взаимодействием. Влияние магнитного взаимодействия, всегда сущестйую-
щего в кристаллах ферромагнитных тел, во многих ферромагнетиках
является, как правило, очень слабым, и в первом приближении его можно
рассматривать как малое возмущение. Тогда величину Is можно считать
интегралом движения по отношению к главному обменному взаимодей-
взаимодействию, и в термодинамической теории вектор Is допустимо трактовать
как независимую переменную, равновесное значение которой можно
найти из условия термодинамической устойчивости.
Исходя из приведенных соображений, поведение ферромагнитного
тела вблизи точки Кюри удобно описывать с помощью термодинамического
потенциала Jp' типа свободной энергии (см. гл. 5), рассматривая его как
функцию обычных термодинамических параметров, например плотности
р' и температуры Т, и еще одного параметра магнитного порядка т) (см,
18, 9], Вонсовский и Шур A948) и [168]). Величина т] определяет степень
отклонения симметрии тела в состоянии ниже точки Кюри в от симметрии
состояний выше в. Ниже предполагается, что два из этих параметров,
например р' и Т, могут быть заданы произвольно, а третий, г\, опреде-
определяется из условий минимума потенциала jF'. В случае ферромагнетизма
состояния выше точки Кюри обладают более высокой степенью, симмет-
симметрии, соответствующей беспорядочному распределению правых и левых
спинов (/s = 0); поэтому в данном случае (в пренебрежении магнитными
силами) в качестве параметра т), определяющего степень «магнитного
порядка», можно взять относительную величину самопроизвольной
намагниченности т) = 1J10.
Для определения термодинамического потенциала ер (J, Т, р', Н)
в присутствии магнитного поля Ы используем одно из равенств E.5):
Интегрируя A8.50) при фиксированной намагниченности (dI = 0), находим
^r' = ^:'(T,p',I)-I-H — ~. A8.51)
*) Хотя в некоторых кристаллах фазовый переход ферромагнетизм — парамаг-
парамагнетизм может быть и первого рода (см. ниже § 5).
- 423 -

Выше точки Кюри минимуму $р' соответствует состояние с т) = О
(нет самопроизвольной намагниченности), а ниже — состояния ст] Ф 0 *).
Вблизи самой точки Кюри параметр т] мал, и поэтому там вр' можно
разложить в ряд по степеням х\:
A8.52)
где J?~o и все вр\ являются функциями р' и Т.
Прежде чем проводить дальнейшие преобразования, необходимо сде-
сделать одно существенное замечание. Как отмечают сами Ландау и Лифшиц
A964) (см. также обзор Румера [56]) и как неоднократно указывалось
выше, фазовый переход второго рода представляет собой особую точку
термодинамического потенциала, который мы рассматриваем как функ-
функцию термодинамических параметров. В этом смысле имеется существенное
различие между точками фазового перехода первого и второго рода. В пер-
первом случае никаких особенностей для Jp' нет. Действительно,
в точке фазового перехода первого рода потенциалы обеих фаз равны
I^Hp'» Т) = $р'\\ (р', Т)] и каждая из функций Jp\ и Jf'u имеет смысл
по обе стороны от линии фазового перехода, где они соответствуют либо
абсолютному, либо метастабильному равновесному состоянию. Сама
точка является случайным пересечением кривых для этих потенциалов.
Во втором случае функции J?~J и Jf'i\ в «чужой» области температур не соот-
соответствуют никакому равновесному состоянию (даже метастабильному).
Отсюда вытекает важный вывод о невозможности явлений перегрева
и переохлаждения при фазовых переходах второго рода (возможны лишь
временные явления, связанные с кинетикой установления равновесного
распределения моментов, см. ниже). Из сказанного следует, что спра-
справедливость разложения A8.52) не очевидна, ибо из-за особенностей в точке
фазового перехода второго рода разложение может оборваться на каком-то
конечном члене, а коэффициенты разложения могут иметь особенности,
как функции параметров р' и Т (подробнее см. обзор Кастелейна и ван
Кранендонка [210]). Пока еще нельзя сказать, можно ли будет после
выяснения особенностей сохранить полученные ниже результаты. В настоя-
настоящее время проводятся упоминавшиеся уже исследования с моделью
Изинга, а также Гейзенберга, которые ставят своей целью выяснить
особенность в точке фазового перехода второго рода хотя бы для этой
конкретной модели (см. [81, 82, 209—213, 511], а также § 4).
Имея в виду все эти замечания, выясним теперь, какие физические
выводы можно получить из разложения A8.52), если оно справедливо.
Выше точки Кюри в более симметричной фазе (с ц = 0) и при Н = 0
имеем $F' = $р й. Для того чтобы это соответствовало минимуму вр', необ-
необходимо выполнение условий
Отсюда следует, что выше точки Кюри jFJ (p', T) = 0. Ниже точки Кюри
условие т] = 0 соответствует неравновесному состоянию. Но так как
состояния с положительным значением степени магнитного порядка т)
физически ничем не отличаются от состояния с отрицательным значе-
значением т), то кривые вр' (т)) (рис. 18.14) должны быть симметричны относи-
относительно оси г]. Поэтому ниже точки Кюри т] = 0 будет соответствовать
максимуму ,<р', и, следовательно, J?~j (р', Т) == 0 по всей области темпе-
температур **). jp'2 (р\ Т) > 0 выше точки Кюри в силу A8.53), а ниже точки
*) Термодинамика не запрещает и обратного расположения этих фаз по темпе-
температурной шкале, но на опыте его пока не наблюдалось.
**) Доказательство этого может быть получено с помощью теории групп [см.
Ландау и Лифшиц A964)].
- 424 -

Кюри J^2 (р'> Т)<.0, так как там минимуму jp', т. е. устойчивому состоя-
состоянию, соответствуют значения т] Ф 0. В самой точке Кюри, очевидно,
имеем
J^(p', 0) = О. A8.54)
Но для того, чтобы точка Кюри сама соответствовала устойчивому состоя-
состоянию, т. е. чтобы в ней функция JF' (т)) имела минимум при т] = 0, необ-
необходимо выполнение условий
^гз(Р'>®) = 0> .^(Р''®)>'0- A8.55)
Здесь возможны два случая: либо jFg(p', Т) = 0J только при 71—
= 0, тогда точка перехода второго рода определяется из двух уравне-
уравнений A8.54) и A8.55) и, следовательно, является изолированной точкой;
либо, в силу свойств симметрии кристалла, $р'ъ (р', Т) = 0, тогда для точки
перехода имеется одно уравнение
A8.54), которое дает линию точек
Кюри на фазовой плоскости (Г, р').
Поскольку мы пренебрегаем
магнитной анизотропией ферромагне-
ферромагнетика, то векторы I и Н параллель-
параллельны, a j^~h=o является анизотропной
функцией абсолютной величины на-
намагниченности. Итак, разложение
A8.52) в силу всего сказанного вы-
выше, примет вид
Т<0
IH
Я2
8я
Рис. 18.14. Зависимость термодинамического
потенциала g?^ от степени магнитного поряд-
порядка т] при различных температурах вблизи точ-
точки Кюри в. Кривым g:' (n) для температур
Ts < Т2 < Г) < в соответствуют отличные от
нуля значения параметра т\: I гь | > I ri, I >
> И, | >0,
Согласно A8.54) а = jf'2 = 0 при
Т = 0, а < 0 при Т < в и а > 0
при Т > в.
Разлагая а вблизи Г = в по степеням малой разности Т — в при
постоянном давлении, находим
а = а(Т-@)+ . .., а>0. A8.57)
В силу A8.55) коэффициент Ъ = ^\>0 при Г = 0, а также в окре-
окрестности 0. Таким образом, для малых ц A8.56) принимает вид
^' = ^'0 + а(Т — 0)т]2 + Ьт]4 — IH — -^ (а>0, Ь>0). A8.58)
Здесь величина 6 в первом приближении берется для точки 0, т. е. Ъ =
= Ъ @). Выше точки Кюри (при Н — 0) равновесному состоянию соот-
соответствуют вр' = J^ и т) = 0. Ниже точки Кюри равновесное значение т)
(при Н — 0) находим из условия djf' 1дх\ — 0, или в силу A8.58)
¦Г). A8.59)
Заменяя т]2 через 1ЦР0, находим
"@— Т)>2. A8.60)
С точностью до коэффициента (а/26I/2 формула A8.60) совпадает с резуль-
результатом теории Вейсса A8.7), но, в отличие от A8.7), полученный здесь темпе-
температурный ход Is не зависит от частных предположений модельного харак-
характера. Этот вывод являлся бы совершенно строгим термодинамическим
выводом, если бы термодинамический потенциал не имел особенностей
при Г = 0. Фактически, как показывают опыт и более точные расчеты,
— 425 -

здесь все обстоит гораздо сложнее (см. ниже § 4). Еще одним недостат-
недостатком A8.60), как и всех термодинамических выводов, является невозмож-
невозможность определить численно величину коэффициентов а и Ъ и их зависи-
зависимость от давления. Из сравнения A8.60) и A8.7) находим
Выясним, что происходит с энтропией 5 и теплоемкостью Ср вблизи
точки Кюри. Из A8.53), согласно результатам гл. 5, находим
S = -^- = S0-ai\*. A8.62)
Здесь So = —djjp'JdT — часть энтропии, не зависящая от т], т. е. от само-
самопроизвольной намагниченности. Член дер' 1дх\-дх\1дТ выпадает в силу усло-
условия djp'/дг\ =0. Отсюда видно, что энтропия изменяется в точке Кюри
непрерывно, так как т) меняется там тоже непрерывно. Подставляя
в A8.62) т] из A8.59), находим
S = S0 + ^(T-S). A8.63)
Непрерывность 5 при Т = в означает отсутствие скрытой теплоты пре-
превращения. Теплоемкость равна (см. гл. 5)
-С аТ дц2
где СОР = Т (dS0/dT)p. Выше 9 имеем т] = 0 и, следовательно, СР = СОР,
~-
]
ниже в, согласно A8.59), Ср = Сор-{-~-Т, и поэтому скачок теплоем-
теплоемкости АСР при Т = в равен
АСр = ~в. A8.64)
Термодинамическая формула A8.64) обладает теми же преимуществами
и теми же недостатками по сравнению с выражением для АСР, получаемым
из теории Вейсса, как и A8.60) по сравнению с A8.7).
Если Н Ф 0, то вместо условия равновесия A8.59) будем иметь
(заменив т) = IIIо)
^ Ая = 01 A8.65)
А
т. е. получаем уравнения парапроцесса при Т « в; отсюда можно найти
начальную восприимчивость % = (д1/дН)н=0 как выше, так и ниже точки
Кюри. Из A8.65) находим
^]|1-_=1. A8.66)
Следовательно, при Т 3* в, где 1 = 0 при Н = 0, имеем
Таким образом, мы опять получили знакомую формулу A8.11), из сравне-
сравнения с которой находим
аж~. A8.68)
Если еще произвести сравнение A8.64) и A8.13), то найдем
Ь = -^-. A8.69)
- 426 —

Легко видеть, что сравнение A8.68) и A8.69) приводит к формуле A8.61).
Таким образом, термодинамическая теория в известном смысле подтвер-
подтверждает модельную теорию Вейсса для Т да 9.
При f <0и при Н = 0 намагниченность /дается формулой A8.60),
поэтому из A8.66) находим в этом случае
п
Y =:
4a @— T) '
A8.70)
Здесь х является начальной восприимчивостью парапроцесса, так как
/ = Is Ф 0 при В. = 0. К этому вопросу мы вернемся в § 4.
Из A8.67) и A8.70) следует, что при Т -*- ® % -у- оо. В действитель-
действительности это означает, что % может достигать больших значений лишь в узкой
области температур в непосредственной близости к в. При Т заметно
ниже в восприимчивость % <^ 1 и можно в первом приближении считать,
что / практически не зависит от Н (насы-
(насыщение!) *).
Развитую здесь термодинамическую
теорию можно обобщить и на случай
учета релятивистских взаимодействий,
включающих явления магнитной анизот-
Н/б
150
351,5°
" 350,5'
100
349,5°
Ni
MB'
346,5°
345°344°
О
100
300
ропии**) и магнитострикции [см., на-
например, Ландау и Лифшиц A957), Гинз-
Гинзбург [168]]. Однако эти случаи целе-
целесообразно будет рассмотреть позднее, в
гл. 19 и 23.
5. Сравнение с опытом. Белов с сот-
сотрудниками ***) провели систематические
исследования по проверке ряда количе-
количественных выводов изложенной выше тер-
термодинамической теории. В этих работах
была детально проверена на опыте фор-
формула A8.65). Перепишем ее в несколько
ином виде:
a1(/s+/i)+Pi(/s + /i)8=#; A8.71)
здесь ai = 2а/Рй, Pi = 46//*, I s — са-
самопроизвольная намагниченность при
температуре Т, /о — при Т = 0° К, /^ — истинная намагниченность
(парапроцесса) и Is + It = /. На рис. 18.15 приведены кривые зависимо-
зависимости Н/а от ст2 (здесь а = as -\- at — измеряемые на опыте соответствую-
соответствующие удельные намагниченности, связанные с /, /s и /^ формулой ст«р' = /,
где р' — плотность ферромагнетика) для образца чистого Ni при различ-
различных температурах по данным Белова и Горяги [215]. Из кривых рис. 18.15
видно, что экспериментальные точки хорошо ложатся на прямые, пред-
предсказываемые теоретической формулой A8.71). Аналогичные опыты были
проведены и для других ферромагнетиков (Fe, различные сплавы). Из
A8.71) можно получить связь между /г и Н в самой точке Кюри, когда Is =
= 0иа( = 0, а именно:
A8.72)
Рис. 18.15. Зависимость отношения Я/с
от удельной намагниченности а2 (с =
= 1/р', где р' — плотность) для электро-
электролитического никеля при разных тем-
температурах. Числа у кривых — темпе-
температура опыта (в * С).
*) Зайцев [214] рассмотрел поведение ферромагнетиков в магнитном поле вбли-
вблизи точки Кюри, используя термодинамическую теорию.
**) Формулы A8.67) и A8.70), полученные без учета магнитной анизотропии,
могут оказаться количественно неверными в магнитно-одноосных кристаллах, в кото-
которых энергия магнитной анизотропии пропорциональна I2 и при малых / может превы-
превышать член с а в A8.59).
***) В книге Белова A959) детально описаны результаты теории ферро-, антифер-
ро- и ферримагнитных превращений и экспериментальные данные по изучению этих
превращений.
- 427 —

Соотношение A8.72) также хорошо оправдывается на опыте. Весьма суще-
существенно, что эти опытные исследования позволяют определить темпера-
температурный ход термодинамических коэффициентов ai и Pi (или аи Ь, посколь-
поскольку /0 не зависит от Т). Значения коэффициента ai (точнее, онр') опреде-
определяются по отрезкам на оси Н/о, отсекаемым прямыми на рис. 18.15, а зна-
значения Pi (или Pip'3) находятся по углам наклона этих прямых к оси а2.
3-
- -1000
а)
-15 -Ю -5 0 5
6) Т~
Рис. 18.16. а) Кривые температурной зависимости термодинамического коэффициента cci.
Кривые: 1 — Fe; 2 — сплав 36% Ni, 64% Fe; 3 — Ni; 4 — сплав 15% Си, 85% Ni. б) Кривые
температурной зависимости термодинамического коэффициента р,. Кривые: 1 — Fe; 2 —
сплав 36% Ni, 64% Fe; з — Ni; 4 — сплав 15% Си, 85% Ni.
На рис. 18.16, а, б по данным Белова A959) приведены зависимости
at (T) и Pi (T) для ряда ферромагнетиков. Из этих кривых видно, что
ai (©) = О, ai < 0 при Т < О и а( > 0 при Т > в, как этого требует
теория [см. формулу A8.58)]. Коэффициент Pi оказывается всегда поло-
положительным, что также согласуется с требованием теории. Точно так же
в непосредственной близости к в для ai (или а) выполняется соотношение
A8.57). Однако в целом температурный ход а4 и Pi существенно зависит
как от химической природы вещества, так и от его термической обработки.
В опытах Белова A959) был также исследован парапроцесс в слабых
полях при температурах, близких к точке Кюри, и качественно проверены
формулы A8.67) и A8.70). Количественная их проверка затруднена тем,
что в теоретической формуле A8.70) не учтено влияние процессов техни-
технического намагничивания.
Термодинамическая формула A8.71) может быть также использована
для наиболее строгого определения температурного хода самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности и точки Кюри [см. книгу Белова A959), а также
[216—218]]. Действительно, из A8.71) при Н = 0 и. следовательно,
при /г — 0 приходим к формуле A8.59), или
7Г=—гЦг^^1""^)- A8-73)
На рис. 18.17 приведены опытные данные для зависимости квадрата отно-
относительной намагниченности (/s//0J от 776 для некоторых ферромагнит-
ферромагнитных веществ. Эти данные очень хорошо подтверждают теоретическую
формулу A8.73). Вместе с тем из этих кривых видно, что численное значе-
значение коэффициента а0/2Ь отличается от значения, предсказываемого
по модельной теории Вейсса, которое, согласно A8.7), равно 3. Это
- 428 -

расхождение между опытом и теорией Вейсса вполне понятно, ибо коэф-
коэффициент а©/2Ь в A8.73) зависит от структурного состояния данного фер-
ферромагнетика. Кроме того, в самой непосредственной близости от точки
Кюри могут быть отклонения от линейной зависимости A8.73) и там
необходимы более точные измерения (см. ниже § 4).
Температурный ход Is (T) можно определить также и другими мето-
методами, например измеряя в области парапроцесса магнетокалорический
эффект (см. выше) или гальваномагнитный эффект (т. е. изменение удель-
удельного сопротивления ферромагнетика при его истинном намагничива-
намагничивании) или, наконец, используя метод
«линий равной намагниченности», раз-
разработанный Вейссом и Форрером
[4]. На рис. 18.18 приведены экспери-
экспериментальные кривые Is(T) по данным
Белова и Пачеса [217] для сплава
Ш\
ВО
60
20
0,99 1,00
Т/9
Ni- Si C am. %)
х /
* г
° з
235
250
260
Т,°С
Рис. 18.17. Зависимость (I Д0J от Т/в Рис. 18.18. Температурная зависимость самопроиз-
яйттичи точки Китай ; Fe-2 36°/ Ni вольной намагниченности сплава 97 ат. % Ni;
«4«¦ 1?р- i_Nf 4—i 5»/ Гп 85»/ Ni' 3 ат- % si. определенная тремя различными методами.
* ' ill,* "/• ^и> °°'о ¦ j _ метод термодинамических коэффициентов; 2 —
метод гальваномагнитного эффекта; з — даетод линий
равной намагниченности.
Ni— Si C ат. % Si), полученным по методу термодинамических коэффи-
коэффициентов, по методу линий равной намагниченности и из кривых гальвано-
гальваномагнитного эффекта. Из рис. 18.18 видно, что если исключить область,
близкую к точке Кюри, то все три способа дают практически совпадаю-
совпадающие результаты. Вблизи температуры Кюри между кривыми наблюдается
.существенное расхождение. Кривая, построенная по методу термодинами-
термодинамических коэффициентов, в этой области резко спадает к оси Т. Две другие
кривые асимптотически приближаются к оси Т, образуя так называемые
«хвосты» самопроизвольной намагниченности. Эти «хвосты» связаны
либо с остатками ближнего магнитного порядка при температурах выше
точки Кюри (см. § 2), либо с неоднородностями вещества ферромагнетика,
размазывающими резкость фазового перехода ферромагнетизм — пара-
парамагнетизм. Таким образом, метод термодинамических коэффициентов дает
возможность однозначного определения «хвостов» на экспериментальных
кривых Is (T), полученных другими методами, а также наиболее точно
определять саму точку Кюри. Обычно принято было считать, что наиболее
точным методом определения точки Кюри ферромагнетиков является
определение положения максимумов аномалий их «немагнитных» свойств
(см. Герлах [88]). Однако из-за влияния ближнего магнитного порядка,
особенностей термодинамического потенциала в точке Кюри, а также
различного рода структурных неоднородностей и примесей этот способ
определения точки Кюри уступает в точности методу термодинамических
коэффициентов. Можно утверждать, что упомянутые максимумы
- 429 —

а'
О
практически никогда (кроме, по-видимому, идеальных кристаллов) не
совпадают точно с Т = в. Белов A959) с сотрудниками исследовали
влияние структурных изменепий и упругих напряжений на магнитные
свойства ферромагнетиков вблизи точки Кюри и сравнили результаты
с выводами термодинамической теории.
6. Кинетика ферромагнитного превращения. В случае фазовых переходов перво-
первого рода могут наблюдаться явления переохлаждения или перегрева. В случае же фазо-
фазового перехода второго рода эти явления не имеют места. Для того чтобы это понять,
рассмотрим изображенные на рис. 18.19 графики термодинамического потенциала
3-' (ц) ниже температуры фазового перехода первого
рода ©I (кривая /) и ниже точки Кюри 0ц (кривая
//). При Т > ©I или Т > @ц соответствующие кри-
кривые 3-' (ц) в обоих случаях имели бы абсолютный ми-
минимум при т) = 0. Если тело, испытывающее фазовый
переход первого рода, быстро охладить (закалка!) от
какой-то температуры Т > ©j до Tt <; @i, то система
«застрянет» в своего рода потенциальной яме относи-
относительного минимума а (рис. 18.19). При быстром наг-
нагреве она также может «застрять» в соответствующем
метастабильном состоянии с т) > 0. В этих состоя-
состояниях система может находиться иногда очень долго,
поскольку для выхода из них требуется преодолеть по-
потенциальный барьер А. Процесс перехода из мета-
стабильного состояния в стабильное происходит путем
роста зародышей, возникающих в результате тепловых
флуктуации и увеличивающихся в объеме, например,
в твердых телах, как правило, путем процесса диффу-
диффузии. Из-за малой скорости диффузии при низких тем-
температурах скорость роста новой фазы при сильном
переохлаждении может быть очень малой. Зародыши
новой фазы имеют критические минимальные размеры,
определяемые величиной потенциального барьера А
(рис. 18.19), который в кинетике химических реакций
принято называть энергией активации.
В случае фазового перехода второго рода состо-
состояние с т) = 0, бывшее абсолютно устойчивым при
Т > @ц, ниже точки Кюри становится абсолютно
неустойчивым (оно соответствует максимуму &-' (г\) в
точке а'; см. рис. 18.19). Поэтому, сколь бы быстро
мы ни охлаждали ферромагнетик через точку Кюри,
переход из парамагнитного состояния в ферромагнитное
будет практически происходить сразу по всему объему.
Никаких зародышей и явления переохлаждения при
этом не будет *). Наблюдаемый иногда температурный
гистерезис точки Кюри в ферромагнетиках, особенно в
Рис. 18.19. Кривые зависимости
термодинамического потенциала
$Р • (Т|) от т|-параметра «поряд-
«порядка», иллюстрирующего отсутст-
отсутствие явления переохлаждения
при фазовых переходах второ-
второго рода. I — кривая в случае
фазового перехода первого рода;
0, — соответствующая темпера-
температура превращения. При ТК9]
на кривой 1 для яр' (Т|) имеет-
имеется два минимума: а — для вы-
высокотемпературной фазы (мета-
стабильный) и Ь — для низко-
низкотемпературной фазы (устойчи-
(устойчивый); А — потенциальный барь-
барьер. II — кривая в случае фа-
фазового перехода второго рода;
@ п—точка Кюри. При Т2<вп
на кривой Яр' (T|) имеем один
минимум Ь' для п > 0. Точке
П = 0 соответствует максимум
а' (абсолютная неустойчивость).
гетерогенных сплавах (например, в системе Ni— Fe прп содержании Ni около 36%
или больше), связан не с ферромагнитным превращением, а чаще всего с одновре-
одновременно протекающими структурными фазовыми превращениями первого рода, которые
происходят в сплаве вблизи ферромагнитной точки Кюри и создают лишь видимость
«ферромагнитного переохлаждения». Однако возможны п магнитные фазовые пере-
переходы первого рода (см. § 5).
7. Характер линий точек Кюри на плоскостях (р, Т) и (Н, Т). Рассмотрим теперь
характер ферромагнитных линий точек Кюри на фазовых плоскостях с различным
выбором термодинамических параметров. На плоскости (р, Т) (рис. 18.20) линия точек
Кюри начинается от оси Т при Т = 0<р_О). Она может идти или в сторону уменьше-
уменьшения 0 по сравнению с 0(р=О), если давление снижает точку Кюри (кривая / с dQ/dp <;
< 0), или в сторону увеличения 0, если давление повышает точку Кюри (кривая //
с dQ/dp > 0), или, наконец, она может пойти по вертикали, если давление не влияет
на точку Кюри (кривая /// с dQ/dp « 0). Имеющиеся попытки теоретического опреде-
определения хода кривой, основанные на рассмотрении зависимости интеграла обмена [219,
220] или постоянной молекулярного поля [221] от давления, из-за своей грубой модель-
ности вряд ли заслуживают серьезного внимания. Примеры экспериментальных линий
точек Кюри на плоскости (р, Т), построенные по опытным данным [см. [9], Вонсовский
п Шур A948) и [220]], приведены на рис. 18.12а (см. также табл. 18.26).
На плоскости (Н, Т) (рис. 18.21) наблюдается совсем иная картина. В присут-
присутствии поля точка Кюри вообще исчезает как точка фазового перехода, ибо при Н Ф 0
*) Могут, конечно, быть релаксационные явления, связанные со временем уста-
установления равновесного распределения атомных магнитных моментов (спин-спиновая,
спин-решеточная релаксация).
- 430 -

исчезает скачок в симметрии, так как под влиянием поля намагниченность остается
и при Т > 0. Поэтому на плоскости {Н, Т) точка Кюри является изолированной точ-
точкой, лежащей на оси Т при Т = 0 (р)<н=о> tCM- [9], Вонсовский и Шур A948), [83,
222]].
8. Дальнейшее развитие термодинамической теории фазовых переходов второго
рода. Изложенная термодинамическая теория хотя и дает ряд сведений о свойствах
ферромагнитного превращения, однако, как и теория Вейсса, не может объяснить коли-
количественно, а возможно и качественно, свойства ферромагнетиков вблизи точки Кюри,
обусловленные ближним магнитным порядком и особенностями термодинамического
потенциала вблизи Т = 0.
Интересно отметить дальнейшее развитие термодинамической теории (фазового
перехода второго рода в работах [223—225], в которых учитываются пространственно-
неоднородные флуктуации характерного параметра перехода. Такое развитие теории
существенно улучшает ее, по крайней мере для области температур ниже и выше 0,
Н
\ш
/\
О
9(Н'О)
Рис. 18.20. Линии фазового перехода точек
Кюри второго рода на плоскости (р, Г).
I — линия точек Кюри в (р) при d&/dp < 0;
II — при de/dp > 0 и III — при de/dp Ч: 0.
Рис. 18.21. «Линия» (изоли-
(изолированная точка) фазового
перехода второго рода на
плоскости (Я, Г).
но не в самой точке 0 (!). Для случая ферромагнитного превращения идея такого учета
флуктуации впервые была указана в работах Вонсовского [8, 9]. За подробностями
отсылаем читателя к оригинальным работам. Самым существенным результатом этих
работ является то, что в них при учете (в рамках теории Ландау) пространственно-
неоднородных флуктуации параметра магнитного порядка в системе для магнитной
части теплоемкости получается особенность (ДСМ /т-+в) ~"" °°)- По-видимому, эта
особенность действительно существует. Во всяком случае опыт приводит не только
к существенным количественным расхождениям между рассчитанной и наблюдавшейся
на опыте величиной скачка АСМ, но и к явному появлению зависимости типа In | Т —
— 0 |. Заметим кстати, что по мере уточнения измерений и использования более чистых
и однородных по структуре образцов указанное расхождение возрастает. Подробнее
этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе (см. также работы [226—248, 529]).
§ 4. О критических явлениях вблизи точки Кюри
1. Обзор основных опытных фактов. Из всего сказанного выше ясно,
что теория молекулярного поля, приближенные статистические теории
ближнего магнитного порядка, а также термодинамическая теория маг-
магнитных превращений (по Ландау) не могут количественно описать свой-
свойства магнитно-упорядоченных веществ при критической температуре
(в окрестности точки Кюри или Нееля). Проанализируем сложившуюся
ситуацию с экспериментальной и с теоретической точки зрения (см. также
книги Фишера [83] и Стенли [511]).
Приведем краткую сводку результатов некоторых опытных исследо-
исследований по измерению температурных зависимостей самопроизвольной
намагниченности Is (Т) и парамагнитной восприимчивости %~х (Т) ряда
ферро- и ферримагнетиков (металлов и неметаллов) в непосредственной
близости соответственно ниже и выше критических точек (Кюри или
Нееля). Во всех исследованных случаях экспериментальные кривые
достаточно хорошо описываются простыми формулами типа
= a(Tc-T)f, %-i =
— 431 —
A8.74)

тде Тс — в или QN, а а, Р, / и п — постоянные для данного вещества.
Численные значения для показателей степеней / и п из A8,74), определен-
определенные различными авторами, сведены в табл. 18.3, из которой видно, что
эти значения лежат в интервалах
0,33 </эксП< 1,96;
0,91<йэксп<1,37.
Из формул A8.7), A8.7а) и A8.60) по теории молекулярного поля и по тер-
термодинамической теории для показателя / имеем /сеор = 0,5, а для пока-
показателя п из формул A8.11) и A8.70) по тем же теориям имеем гг,еор = 1,0.
Теоретические расчеты, проведенные по модели Изинга (см. Бейкер
1211], Эссам и Фишер [212]), дали для / значения от 0,3 до 5/16 = 0,31.
Расчеты же по модели Гейзенберга для ферромагнитных изоляторов дают
/ггйз — 1/3 [266]; соответственно расчет показателя п по модели Изинга
дал па3 =¦ 1,25 [212], а по модели Гейзенберга для п. к. и о. ц. к. ферро-
ферромагнитных кристаллов дает соответственно ггГейз = 1,31 и 1,33, а для
г. ц. к. кристаллов ггГсй3 = 1,50 [70, 267]. Наконец, более поздний расчет
Таблица 18.3
Опытные значения показателей степени / и п в зависимостях
/s=a(e — Г)', х~1 = Р(Т'—в)" для некоторых ферромагнетиков и ферримагнетиков *)
Вещество
Fe
Со
Ni
Ni (пленка)
Gd
Gd (пленка)
Примесь Fe в Ni
1 ат. % V в Fe
Fe B,65%) Pd (97,35%)
GaFeO3
EuS
MnF2
KMnF3
Y3Fe6012
Fe — NiD,5% Fe)
Fe—NiA9% Fe)
Fe —NiB3% Fe)
Fe —NiE0% Fe)
CuK2Cl42H2O
Cu(NH4JCl2-2H2O
0
0
1
0
*) Значения / и п в выражениях
/
_
—
—
0,5
—
0,5
33+0,03
51+0,04
1,24
0,33
98+0,10
33+0,015
0,335
0,37
0,63
—
—
—
для /s и
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
точки Кюри в (или Нееля вЛт) соответственно ниже
п
,33+0,03
,37+0,04
1,33
,32+0,02
,21+0,04
,32+0,02
,35+0,02
,29+0,03
—
,16+0,02
,17+0,01
1,33
—
—
—
—
—
—
—
1,33
0,91
,30+0,03
,29+0,02
,28+0,02
,28+0,02
1,36
1,37
ОТНОСЯТСЯ I
(для /) или
Источники
[249—251]
[252, 253]
[249, 254, 255]
. [256]
[249]
[257]
[256]
[258]
[259]
[260]
[26!]
[262]
[129]
[263]
[264]
[252]
[265]
t области вблизи
выше (для п) ее.
- 432 —

Бейкера [268] по модели Гейзенберга дал для всех трех типов кубических
решеток (п. к., о. ц. к. и г. ц. к.) значение ?гГейз = 4/3 (см. также работы
[269-279]).
Рассмотрим теперь температурный ход магнитного вклада в удель-
ную^теплоемкость ферромагнетиков вблизи точки Кюри. Однако прежде
20 -
12 -
1
L
к.;
Не -
О
-W-W-H5 0 0,5 W 1,5 -<f -2 О 2 4 6 -20-10 0 10 20 30
\Т-Тк\,Ю*драд
\Т-Т,\,Ю°га
Рис. 18.22а. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как
функция | Г — Г^ | (Букингем и Фэрбенк [280]). Одна и та же
кривая в трех масштабах; вертикальные отрезки у точек край-
крайней правой кривой показывают точность измерений.
Рис. 18.226. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функ-
функция | Г — Г^ | в логарифмической шкале (см. рис. 18.22а) (Бу-
(Букингем и Фэрбенк [280]). Вертикальные прямые отрезки у то-
точек показывают точность измерений. 1 — область температур
1 Г — Г^ | < 0,25 град; 2 — область температур | Г — Г, | >
> 0,25 град.
приведем некоторые данные по измерениям теплоемкости вблизи точки
фазового перехода второго рода в других, не магнитно-упорядоченных
веществах, где оказалось легче исключить плохо контролируемые влия-
влияния различных несовершенств изучаемых образцов (примеси, искажения
решетки и т. п.). Примером такого чистого материала может служить
жидкий гелий. В обзоре Букингема и Фэрбенка [280] дана сводка опытных
значений по измерениям теплоемкости жидкого гелия в интервале темпе-
температур вблизи Я-точки. На рис. 18.22а приведена кривая Ср (Т — 7\)
жидкого гелия, построенная по данным различных авторов для трех раз-
различных масштабов по оси абсцисс. На рис. 18.226 теплоемкость €р также
нанесена как функция разности \ Т — Т% \ в °К, но в логарифмической
шкале. Такой метод нанесения, кривых очень удобен для выяснения харак-
характера поведения кривых вблизи Я-точки и сразу же наглядно показывает,
28 С. В. Вонсовский
- 433 -

0,16
•0,15
I
1
как точно выполняется логарифмическая зависимость исследуемой;вели-
чины. Из кривых рис. 18.226 следует, что коэффициент при логарифма
In | Т—Т% | одинаков по обе стороны от точки перехода. Аналогичный
логарифмический характер температурной зависимости теплоемкости
обнаружен вблизи критической точки аргона [281] и кислорода [282].
В случае ферро- и антиферромагнетиков до последнего времени
результаты по измерению аномалий теплоемкости вблизи точек Кюри
и Нееля были весьма разноречивы.
Причиной этого, очевидно, было
плохо контролируемое влияние все-
всевозможных искажений кристалличе-
кристаллической решетки исследуемых образцов.
В связи с этим следует упомянуть
интересный анализ, проведенный
Воронелем и др. [283], измерявшими
скачок теплоемкости в Gd на двух
образцах разной чистоты. Из этого
анализа следует, что несовершенст-
несовершенства измеряемых образцов маскируют
наличие «особенностей» в поведении
термодинамического потенциала и его-
производных в критической точке.
Кроме того, в этой работе отмечено,
что «максимум» аномалии и «верти-
«вертикальная» часть скачка могут быть раз-
разделены по температуре также из-за
структурных несовершенств образца.
Этот вывод следует учитывать при
попытках точного количественного-
определения критических точек по-
максимумам немагнитных свойств
ферро- и антиферромагнетиков. В ра-
работе Крауса и Варнке [10] были про-
проведены детальные исследования теп-
теплоемкости Ni в интервале 180—1100°С
На рис. 18.23 показан температурный ход Ср в Ni вблизи точки Кюри
по данным различных авторов. Гофман и др. [288] измерили ферромаг-
ферромагнитные аномалии теплоемкости Fe, Ni, Gd. В работе Балленсифена и Ваг-
Вагнера [289] проведено сравнение упомянутых опытных результатов с рас-
расчетными кривыми, полученными Кастлейном и ван Кранендонком [210]'
по улучшенному варианту теории молекулярного поля в приближении
постоянной связи *). Результаты приведены на рис. 18.24, а—в. Из срав-
сравнения видно, что опыт дает существенно иной ход аномальной части тепло-
теплоемкости АСР (Т) вблизи точки Кюри, указывающий на то, что в модели
молекулярного поля, так же как и в термодинамической теории Ландау
и в теории ближнего магнитного порядка, не учитываются особенности тер-
термодинамического потенциала в критической точке. Из кривой рис. 18.24, б
видно, что, например, в случае Fe особенность для АСР имеет симметрич-
симметричный характер по обе стороны от точки Кюри. В работе Крафтмахера и
Ромашиной [290] была детально исследована температурная зависимость
теплоемкости Fe вблизи точки Кюри и был обнаружен логарифмиче-
логарифмический характер этой зависимости в широком интервале температур, причем
i
/ у
' S ••¦'\
//,
//>
//
щ
'://4
/Л
/
1
•
\
\
\\
\\\
|л
V
\\\
\\
о
\
Ni
г
4
5
— 6
ч^
ч
ч.
ч. ^
ч^
од
300 320 340 360 330 W0
Г,-С
Рис. 18.23. Температурный ход удельной теп-
;анным разных авторов. 1—[284]; 2—
3—[2851; 4—[Ю]; 5—[286]; 6—[287].
*) В этом приближении явно учитывается обменное взаимодействие лишь между
двумя атомами; связь с другими атомами описывается эффективным полем; значения
параметра А/кв@ получаются в этом методе очень близкими к соответствующим
результатам модели ближнего магнитного порядка Бете — Пайерлса — Вейсса
(см. § 2, п. 4).
— 434 —

коэффициент при логарифме, как и в случае Не (см. рис. 18.226), одинаков
по обе стороны от точки Кюри. Эти результаты приведены на
рис. 18.25, а, б *). Можно указать еще работу Брауна и Колхааса [291]
т/в
"й—i—i—п—I—I—1—г-1—п г
в)
Рис. 18.24. Температурная зависимость аномальной (магнитной) части теплоемкости АСр (Г).
а) Никель [s = 72, z = 12, в = 630= К, Сёос/ЛЬвв^^ = 0,57 ± 0,07 и (Sao/NkBe)Teov = °'61];
б) железо [« = 1, z = 8, в = 1043° К, (^оо/ЛГЙБв^и, = 0,93 ± 0,06 и СЙоо/^вв),,,,,, = 0,93];
в) гадолиний [s = 7/2, 2 = 12, в =292* К, (%oo/NhB&KKCn = 1,38 ± 0,07 и (^оо/ЛГйБв)теор = 1,3].
Сплошные кривые — теоретические, рассчитаны в приближении постоянной связи в [210]; пунктир-
пунктирные кривые — экспериментальные (по работе [288]). s — спиновое квантовое число, z — число
оо
ближайших соседей, %оа = V ACp(T)dT.
0,3
0,1
А
&
1
Fe
X
1100
1200
Т,'К
0,1
Fe
6)
Рис. 18.. Удельная теплоемкость железа вблизи точки Кюри (Крафтмахер и Ромашина
[290]).
по прецизионному определению теплоемкости Fe вблизи точки Кюри.
На рис. 18.26 приведены кривые, построенные на основе результатов
этой работы и теоретического расчета с использованием данных измере-
измерений магнетокалорического эффекта, проведенных Колхаасом и др. [292].
Видно, что в самой точке перехода в присутствии внешнего магнитного
поля характер аномалии Ср существенно меняется (аномалия как таковая
исчезает при Н Ф 0), а при Н = 0 имеет место логарифмический ход **).
*) Аналогичные результаты были получены для Ni Крафтмахером [295] и для
Со Крафтмахером и Ромашиной [296].
**) Аналогичные результаты получены (см. обзор Домба и Мидема [265]) для1
ферромагнитных диэлектриков, например C11K2CI4 -2Н2О и Cu(NH4JCl4 -2H2O.
— 435 ~
28*

Наконец, отметим, что Робинсон и Фридберг [293] обнаружили логариф-
логарифмическую особенностьТтеплоемкости вблизи точки Нееля для двух анти-
антиферромагнетиков: СоС12-2Н2О и ШС12-6Н2О. Мидема и др. [294] полу-
получили аналогичные результаты для соли СиК2С14 -2Н2О, которую можно
считать гейзенберговским ферромагнети-
ферромагнетиком с о. ц. к. решеткой. Однако для со-
солей CoCs3Cl5 и CoK2(SO4J-6H2O, которые
можно считать изинговскими антиферро-
антиферромагнетиками, особенность для Ср не сим-
симметрична по обе стороны от точки Нееля
©iv и для Т > ®N величина Ср имеет не
логарифмический ход, а изменяется про-
пропорционально A — <dN/T)~n св« 2/3,
что не согласуется с теорией изинговских
решеток; см. также работу [394].
2. Теория критических явлений. Обратимся
теперь к теории критического поведения физиче-
физических величин магнитных систем вблизи их точек
фазовых магнитных превращений второго рода.
Более подробную сводку по этому вопросу чи-
читатель может найти в обстоятельных обзорах
Домба и Мидема [265], Домба [81], Браута [82],
Фишера [83]{и Стенли [511]. Мы здесь остановимся
лишь на очень кратком перечислении различных
методов теоретического расчета термодинамиче-
термодинамических функций магнитных систем для температур
выше (и вблизи) их критической точки.
Во всех этих расчетах используются три ос-
основные модели для магнитных систем: 1) модель
75
70
%60
55
50
/
1,
у
у
1
Fe
YH"°
Ik
1 1 у-Н-ЗОкэ
Л
\\
650
750 300
350
Г,'С
Рис. 18.26. Влияние магнитного поля
на ^температурный ход теплоемкости
железа вблизи точки Кюри в (Браун
и Колхаас [291]).
Изинга •), 2) модель Гейзенберга, 3) зонная модель.
В модели Изинга исходят из гамильтониана
A8.75)
где Szi —с-числа (коммутирующие1 между] собой), принимающие значения —S,
—{S — 1), . . ., {S — 1), S, т. е. г-слагающие спина; ±Atj — параметры изотропного
обменного взаимодействия для i- и /-узлов решетки; Н — внешнее магнитное поле;
суммирование по i и /' идет по ближайшим соседям, а по i — по всем узлам решетки;
ms — максимальный магнитный момент спина S. Эта модель имеет чисто классиче-
классическую природу.
Гамильтониан гейзенберговской модели отличается от A8.75) тем, что Szi Szi
заменены скалярным векторным произведением:
SiSj = SxiSxi-\-SyiSyj-\-SziSzh A8.76)
где St, Sj — операторы вектора спина i и / узлов решетки. Эта модель широко приме-
применяется для описания неметаллических ферро-, антиферро- и ферримагнетиков и, воз-
возможно, /-металлов, в которых параметр Atj описывает косвенное обменное взаимодей-
взаимодействие через электроны проводимости.
Зонная модель применима для ферро- и антиферромагнитных d-металлов
и сплавов. '
Если ограничиться высокотемпературными приближениями **), то основной рас-
расчетный метод заключается в использовании разложений функций распределения (ста-
(статистических сумм или интегралов) в ряды цо возрастающим степеням малого парамет-
параметра в/Т.
Точное решзние удалось получить пока только Онзагеру [43] для одного частного
случая изинговской плоской ***) прямоугольной решетки. Особенности физических
величин при Т = 0 сводятся к следующему: теплоемкость обладает логарифмической
особенностью, а самопроизвольная намагниченность почти вплоть до точки Кюри
слабо отличается от своего максимального значения (при 0° К), а в непосредственной
*) Примером наибольшего соответствия изинговской трехмерной модели реаль-
реальным кристаллам может служить редкоземельный гранат Dy3Al5O12 [297—299].
. **) С низкотемпературными приближениями (метод спиновых волн) мы позна-
познакомимся в гл. 19.
***) Вопрос о возможности фазового перехода для двухмерной изотропной гей-
гейзенберговской модели рассмотрели Стенли и Каплан [259].
-436 —

близости к точке Кюри быстро уменьшается по закону Is « Ia [1 — (Г/в)] . Реше-
Решение дает точное выражение для функции распределения и ее первой производной по
полю Н (для Н = 0). Для второй производной по Н точного выражения не получено.
Поэтому не получено и точного значения для критического поведения начальной вос-
восприимчивости при Г = 0. Однако Фишер [64], учитывая корреляции между атомны-
атомными моментами, нашел, что вблизи Т = 0 % ~ (Т/в — 1)~7^1- В связи с термодинамикой
плоской изинговской модели обращаем внимание на обзоры Румера [56, 300] и Дыхне
и Румера [57], а также на работы [301 —314].
Статистическая сумма Z (Т, Н) вычисляется в указанном приближенном методе
с помощью разложения экспоненты в ряд и последующего вычисления шпуров от членов
с возрастающими степенями малого параметра А/к^Т:
Z(T, ff) = <exp(-[W)) = l-[3<<l?) + |f<<gff2>+--- + (~РГ <<%"•)+.-.+; A8.77)
(В) означает шпур оператора В, деленный на BS + 1)~N, где S — спиновое кванто-
квантовое число, N число частиц в системе, а Р= (к^Т)'1.
Точка Кюри, которая будет появляться как особенность функции распределения
или одной из ее производных, определяется свойствами степенного ряда A8.77), в кото-
котором практически достаточно учитывать не больше четырех или пяти членов. Идею
этого метода предложил Крамере [315], а впервые использовал — Опеховский [316].
Браун и Латтинджер [53] (см. также [59, 3171) показали, что вблизи точки Кюри
парамагнитную восприимчивость %пы ферромагнетика можно представить в виде ряда
где х = А/квТ. Если в A8.78) ограничиться нулевым членом (п = 0), то получим изве-
известный закон Кюри F.5). При учете двух членов ряда (п = 0 и п = 1) получаем закон
Кюри — Вейсса F.6). Учет членов более высокого порядка [п ;> 2) дает отклонение
от линейного хода в зависимости %~г от Т, предсказываемые теорией молекулярного
поля. Этот метод дает, по крайней мере качественное, описание наблюдаемого на опыте
нелинейного характера кривых %~* (Т). Коэффициенты в A8.78) до а2 включительно
зависят лишь от значения координационного числа (т. е. от чисел ближайших соседей
в кристаллической решетке). Коэффициенты начиная с а3"и более высокого порядка
зависят также и от типа решетки.
Бейкер [211] и Гаммель и др. [213] (см. также [318—321]) для описания фазового
магнитного перехода использовали приближение Падэ соответственно в рамках модели
Изинга и Гейзенберга *). Обычно во всех подобных расчетах, например для точки
фазового перехода, особенность восприимчивости уже заранее ищут в виде
У0 i A8.79)
А0 (хс — х)п ' v ;
где хс = А/кБТс. В этом случае логарифмическая производная Хо будет иметь простой
полюс в критической точке х=хс, а ее вычет будет давать степень
(ШЮ)
*) Приближение Падэ [п, т]-порядка к некоторой функции / (х) переменной х
имеет вид частного от деления двух полиномов п-& и m-й степени:
рп / ao + aix-\-a2x2+...+anxn ^ Р (х)
mW l + M + &2*2+-.-+&m*'n Q(x)'
Если функция / [х) задана в виде степенного ряда
оо
f(x) =2 onxl,
1=0
то приближение Падэ [п, тп] определяется из уравнения
j(x)Q(x)—P(x)~0.
Приравнивая в этом уравнении нулю коэффициенты при одинаковых степенях х до сте-
степени я™" (более высокими степенями пренебрегаем), получаем п + m + 1 уравнений;
из первых п + 1 уравнений находим коэффициенты аа, ait . . ., ап, а из остальных m
уравнений — коэффициенты bit Ъ2 bm. Заметим, что если степенной ряд содер-
содержит L членов, то приближения Падэ имеют смысл только для п + m < L. Дальнейшее
развитие применений приближения Падэ см. в работах [70, 211, 212, 268, 318—323],
а также в книгах Фишера [83] и Стенли [511].
- 437 -

Поскольку приближение Падэ сводится к вычислению отношения двух полиномов,
то простой полюс возможно точно представить как нули полинома Q (х), и поэтому
можно ожидать хорошей сходимости рядов. Именно поэтому Бейкер [211] и предложил
приближение Падэ для вычисления логарифмической производной восприимчивости %.
В физической литературе непрерывно появляются работы, в которых произво-
производится дальнейшее уточнение или обобщение приближенных расчетов в рамках моделей
Изинга и Гейзенберга различных термодинамических параметров магнитных
систем вблизи их точки фазового перехода. Не имея возможности изложить содержа-
содержание всех этих исследований, мы отсылаем читателя в первую очередь к обзору
Браута [82], книгам Фишера [83]. Стенли [511] и последующим оригинальным публи-
публикациям [324—385].
§ 5. Попытки построения строгой теории фазовых
переходов второго рода
В добавление к п. 8§3ип. 2 § 4 здесь мы приведем результаты некоторых иссле-
исследований статистико-термодинамического типа по теории фазовых переходов второго
рода. В работе Паташинского и Покровского [386] хотя и не дается полного решения
проблемы о поведении упорядочивающихся (в том числе и магнитных) систем вблизи
точки фазового перехода второго рода, но указывается определенная связь в поведении
различных термодинамических величин в области перехода с корреляционными функ-
функциями, определяющими связь магнитных моментов в различных точках кристалла *).
При Т > 0 и Н Ф 0 свободная энергия системы 2F (Н) ищется в виде ряда
со ( В \2».
71=1
где
Г2я = 2 <?2п (П, г2 г2п). A8.82)
ri
При Г < 0 имеем тогда
со / Н \ПТ„
Яц^Я (В)-9= @) = feBr ^ Нш°„\ . A8-83)
71=1
Гп = 2<?п(п- г2 г„). A8.84)
Можно ввести радиус корреляции гс, который при Г->0 и Н = 0 ведет себя как
Гс (т) ~ т"а, A8.85)
где т = (Г—0)/0 (т>0 при Г>0).
Для корреляционной функции получаем
<?2 (П- r2) = Q @, г) ~ г-Р'; A8.86)
здесь 1 <С г <^ гс и принято, что постоянная решетки d = 1.
В предпереходном состоянии в области с размерами порядка радиуса корреля-
корреляции гс магнитный момант ЯК отличен от нуля. Но между областями нет корреляции,
и поэтому 0Я) = 0.
Оценку величин Г2„ из A8.82) можно получить, разбивая там суммирование по Г]
на области с радиусами гс (существенную роль играют лишь те области, в которых rj
по величине не превышают гс). Суммирование по каждой такой области дает для момен-
момента величину 3J?2m. Всего таких областей V/r% (a — размерность пространства). Следо-
Следовательно, оценка для Г2я дает
т™^—^-' T2^~sr~- A8-87>
с с
Из A8.86) находим
Г2 « Fr^-P. A8.88)
*) Если магнитный момент кристалла ЯК определить как сумму магнитных момен-
моментов m {г) в дискретных точках г конфигурационного пространства: ЯК = ^ *** (**)>
г
то корреляционная функция гс-го порядка Qn (rit rz гп) может быть определена
Через квантовомеханические средние значения произведений локальных моментов
Кп (ri, r2 rn) = (m {ri)-m {r2) ... «г. (гп)). Например, если <ЯК> ф 0, то
Ki = Qi = (Щ/V, где V — объем системы, К2 = Q2 (rit r2, ) + Qi (rt) Qi (r2) и т. д.
Если <3Ji> = 0, то сохраняются Кпж Qn с четными индексами п.
- 438 —

Несколько иным путем этот результат получил ранее Фишер [64]. Из A8.87) и A8.88)
находим
271 ' ' q ' ' • /
Если Г<0, то (ffl) ф 0 (или при Г>0, но при 0Я) ф 0 из-за Н ф 0), и мы имеем
ПтК2@, r) = \im(m(Q)-m(r))=--nfi=--^^-. A8.91)
Таким образом, в пределе в A8.91) получаем конечную величину. Ясно, что влияние
внешнего поля Н становится существенным на расстояниях г <^ гс, где К2 — г"**
и по порядку величины ~ т2. Из этих условий можно определить магнитный корреля-
корреляционный радиус
rc (H) »>-2^." A8.92)
В случае сильных полей будем иметь
гс (Н) <^ гс (т), Г^ ^ V?nn [rc (-ff)] ^ Vui^m . A8.93)
Из A8.81) и A8.90) получаем
A8'93а>
где f (х) — безразмерная функция (сходящаяся в круге конечного радиуса х0, как
показали Ли и Янг [387]). Вторая производная от A8.92) по полю Н дает величину
магнитной проницаемости
Jg A8.94)
Для спонтанного момента получаем
а для магнитной теплоемкости
Таким образом, поведение термодинамических величин вблизи Т = 0 определяется
двумя независимыми, параметрами. В качестве таковых можно выбрать, например,
аир.'
Сравнение полученных выражений с опытом или результатами модельных расче-
расчетов (по изинговской или гейзенберговской схеме) дает возможность определить показа-
показатели степени а, Р и у.
Изложенный расчет имеет достаточную общность и очень полезен именно при срав-
сравнении его выводов с модельными теориями.
Метод самосогласованного поля при описании фазовых переходов второго рода
рассмотрен также в работе Вакса, Ларкина и Пикина [388]. Авторы прежде всего ука-
указывают, что с микроскопической точки зрения феноменологическая теория фазовых
переходов второго рода эквивалентна нулевому приближению для самосогласованного
поля (приближение молекулярного поля). В этом случае поле, действующее на выде-
выделенную частицу со стороны остальных, заменяется средним его значением, независимым
•от положения данной частицы и определяемым из условия самосогласования. Очевидно,
что это приближение тем более законно, чем больше отношение радиуса взаимодейст-
взаимодействия гс к среднему расстоянию между частицами (d = 1). Поэтому поправки к нулевому
приближению самосогласованного поля содержат обратные степени «объема взаимодей-
взаимодействия» г%. В указанной работе дается метод построения таких разложений. •
Следует иметь в виду, что с приближением температуры к критической точке 0
растет корреляция в положении частиц. Поэтому даже при большом объеме взаимодей-
взаимодействия г% приближение среднего поля становится непригодным. Формально это сказы-
сказывается в том, что при малых значениях параметра т = | Т — 0 |/0 параметром раз-
разложения становится величина rj^/2 (или rj3 In т). Феноменологическая теория
исходит из разложения термодинамического потенциала в ряд по параметру т, т. е.
применима она при малых т. Поэтому область применимости этой теории лежит только
при достаточно больших радиусах взаимодействия гс в интервале температур гс~в <С
<С т < 1 [или ехр (—г3.) < т <С !]• Так, например, в модели Изинга с взаимодействи-
взаимодействием только для ближайших соседей, когда гс — 1, мы находимся вне области примени-
применимости термодинамической теории, что, например, явствует из точного решения, полу-
чевного Онзагером [43]. Эффекты первого поправочного члена рассматривались уже
в работах Леванюка [225, 389]. В работе [388], основанной на микротеории, указана
¦область применимости используемых ранее приближений и дан метод построения более
высоких приближений, чем первое. Конкретно в работе рассмотрены: модель Изинга
- 439 —

с произвольным дальнодействующим потенциалом, фазовые переходы с изменением
симметрии кристаллов, влияние диполь-дипольных взаимодействий и исследован
вопрос о фазовых переходах в одномерных системах.
Основные выводы рассматриваемой работы сводятся к следующему. При больших
радиусах взаимодействия приближение самосогласованного поля хорошо описывает
фазовые переходы в рамках модели Изинга всюду, кроме узкой области вблизи точки
перехода. В широкой области температур 0 j» | Т — 0 | Э> ©г^6 такие термодина-
термодинамические величины, как теплоемкость, магнитная восприимчивость, самопроизволь-
самопроизвольная намагниченность, имеют температурные зависимости, которые следуют из феноме-
феноменологической теории. Предположение о большом радиусе взаимодействия (rjj Э> 1).
по-видимому, хорошо выполняется, поскольку отклонения от феноменологической тео-
теории наблюдаются обычно в очень узком интервале температур по сравнению с величи-
величиной 0. К сожалению, пока еще нет достаточно надежных опытных данных, чтобы про-
произвести их сравнение с температурной зависимостью поправочных членов. Можно
лишь сравнивать знаки отклонений, которые совпадают с предсказаниями теории.
Обращаем внимание на интересную работу по феноменологической теории фазо-
фазовых переходов Рязанова [390].
Как уже отмечалось неоднократно выше, главная трудность проблемы фазовых
переходов второго рода связана с тем, что в окрестности точки фазового перехода!©
термодинамический потенциал и его производные являются неаналитическими функ-
функциями от переменной @ — Т). В этом случае вопрос о малом параметре теории не яв-
является тривиальным. Во всяком случае величина @ — Т)/& не может быть выбрана
в качестве малого безразмерного параметра, как это предполагалось в теории Ландау.
Обзор различных вариантов феноменологических трактовок фазовых переходов вто-
второго рода дан, например, в обзоре Покровского [391]. Многие микроскопические тео-
теории, выходящие за рамки метода самосогласованного поля, используют, как прави-
правило, для получения результатов в области @ — Т) ->- 0 метод аппроксимантов Падэ
(см. выше п. 2 § 4).
Аналитический вывод выражения для термодинамического потенциала в критиче-
критической температурной области @ — Т) (для сверхтекучего бозе-газа, гейзенберговской
спиновой системы и системы сверхпроводящих куперовскпх пар) был впервые получен
в работах Кобелева [233, 234, 392, 393].
С помощью методики так называемого континуального интегрирования *) в рабо-
работе {392] была найдена термодинамическая одночастичная функция Грина (см., например,
гл. 19) системы взаимодействующих частиц, содержащая точки неаналитичности по тем-
температуре. В работе [234] найденная функция Грина была применена для описания тем-
температурной зависимости намагниченности, магнитной восприимчивости и теплоемкости
гейзенберговского ферромагнетика вблизи точки Кюрп. Эти результаты имеют вид
/ /0 — Т\Чз I Т \ /0 —Г\-«/з
где величины а, & и с не зависят от @ — Т); они согласуются с результатами Домба
и Сайкса [267].
§ 6. Магнитные переходы первого рода
Рассмотрим магнитные переходы первого рода. Мы видели, что основ-
основным признаком магнитного фазового перехода второго рода является посте-
постепенное (без скачка) исчезновение параметра магнитного порядка (самопро-
(самопроизвольной намагниченности) при Т —>- Э. Однако наблюдаются случаи,
когда магнитное насыщение исчезает скачком при некоторой температуре
Т\ при нагреве ферромагнетика, а при охлаждении его возникает тоже
скачком, но, вообще говоря, при другой, более низкой температуре Т{ <
< Th (гистерезис превращения), как если бы имел место фазовый переход
первого рода. Это наблюдал, например, Кюльвейн [395] в сплаве железо —
кобальт E0% Fe, 50% Со). В данном случае такое поведение самопроиз-
самопроизвольной намагниченности ферромагнетика объясняется тем [см. Вонсов-
ский и Шур A948)], что истинная температура перехода ферромагнитного-
состояния в парамагнитное фактически не успевает реализоваться, ибо
при более низкой температуре ва? происходит переход а-решетки сплава
со структурой о. ц. к. в у-решетку со структурой г. ц. к. Последняя из-за
своих структурных особенностей парамагнитна, благодаря чему и проис-
происходит скачкообразное исчезновение самопроизвольной намагниченности.
*) Мы не имеем возможности останавливаться на объяснении этой сложной мото»
дики и отсылаем всех интересующихся к работам Кобелева [233, 234, 392, 393].
— 440 -

Таблица 18.4
Вещества, в которых обнаружены фазовые переходы первого рода
Вещество
Кристаллическая
структура
Магнитный
переход
Температура
магнитного
перехода, °К
Источники
MnAs
KMnF3
Cr3As
TiCl3
MnBr2
NiO
MnO
UO2
Eu
Cr
Мп2_жСгж8Ь
Mn2_xCrxSb
0,025 < x < 0,035
Мп2_жСгж8Ь
0,025 < x < 0,035
Mn3Ge2
MnP
FeRh
Mn3GaC
a-Fe2O3
CrS1>17
MnSn2
Dy
Mn3Pt
V2O3
Ti2O3
NiS
Гексагональная (типа
NiAs) орторомби-
ческая
Моноклинная
Тетрагональная
Ромбоэдрическая
Гексагональная слои-
слоистая
ромбоэдри-
ромбоэдрическая
Т > 6jv, кубическая
Т < Qn, ромбоэдри-
ромбоэдрическая
Т ]> QN, кубическая
г. ц. к.
о. ц. к.
о. ц. к.
Тетрагональная
Ромбоэдрическая
Кубическая (типа CsCl)
Кубическая (типа пе-
ровскита)
Ромбоэдрическая
Гексагональная (типа
NiAs)
Тетрагональная
Кубическая (типа NaCl)
Гексагональная
Ф —> П
АФ-
Ф-
АФ-
АФ-
АФ-
АФ-
АФ-
АФ
АФ-
АФ-
Ф-
АФ-
АФ-
АФ-
АФ-
АФ-
тр
¦П
-П
¦П
-П
¦П
АФ —> П
-П
¦П
¦П
-П
АФ—>C
С—>Ф
-ф
¦П
¦Ф
-Ф
-Ф
¦СФ
¦Ф
АФ—>Ф
АФ—>Ф
Ф—>С
АФ,
АФ—>П
АФ—>П
АФ—>П
313
400
88,3
213
210
2,16
647
523
122
115,9
30,8
90
311,5
200—350
4,2—150
50—150
148
283
50
350
150
250
158
73
71
85
383
161
473
263
[398—407]
[464—466]
[408, 409]
[410]
[411]
[412, 413]
[414, 415]
[414]
[467—470]
[416, 417]
[471, 492]
[493, 494]
[418]
[419—426]
[472]
[421, 425]
[427]
[428]
[429—432]
[473, 474]
[433]
[107, 423]
[434—444]
[475, 476]
[445—447]
[448, 449]
[423]
[450-453]
[454]
[455, 456]
[457—459]
[477, 478]
[459]
[460, 461]
[462]
[463]
Там, где приводится два значения температуры перехода, верхняя цифра
соответствует магнитным, а нижняя—тепловым измерениям.
Условные обозначения: Ф—ферро- или ферримагнетизм, АФ — антиферро-
антиферромагнетизм, П — парамагнетизм, С — спиральная магнитная структура, СФ — слабый
ферромагнетизм (Дзялошинский — Мория), АФтр — неколлинеарный антиферро-
антиферромагнетизм («треугольная» структура).
— 441 —

Таким образом, это лишь кажущийся магнитный переход первого рода.
Однако наряду с этим были обнаружены довольно многочисленные
случаи истинных магнитных фазовых переходов первого рода *).
В табл. 18.4 (заимствованной из обзора Гражданкиной [396], см.
также работу Родбелла и Вина [397]) приведен список веществ, где
наблюдаются такие переходы. Из приведенных данных видно, что в число
магнетиков, испытывающих переходы первого рода, попадают вещества
самых различных типов: металлы, сплавы,
диэлектрики и сложные многокомпонентные
соединения. В точке перехода изменения
симметрии решетки обычно не очень суще-
существенны. Однако изменения удельного объ-
объема могут быть весьма заметными. Типы
переходов между упорядоченными магнит-
магнитными структурами: ферромагнитной и фер-
римагнитной (Ф), антиферромагнитиой (АФ),
спиральной (С) и неупорядоченной парамаг-
парамагнитной (П) — также весьма разнообразны.
Поэтому, согласно [397], их можно разбить
на две группы: а) порядок — порядок и б) по-
^ I | Сжатый
Г
7
а)
Увемный ¦
объем
V'
a №)
Температура
б)
Свободный
Сжатый рядок — беспорядок.
При изучении фазового перехода
АФ -»- Ф в соединении Mn2Sb с добавка-
добавками Сг (Mn2 „^Gi'jcSb) Свобода и др. [419] наз-
назвали переходы типа порядок — порядок «об-
«обменной инверсией». Теорию такого перехода
впервые дал Киттель [479]. Он предположил,
что в выражении для свободной магнитной
энергии следует учесть зависимость обменно-
обменного слагаемого от деформации решетки. По
Неелю [480] эта часть энергии называется
обменной магнитострикцией. Она оказы-
оказывает существенное влияние на характер
магнитного фазового превращения и приво-
приводит к добавочному биквадратичному члену
типа (Si-S/tJ в эффективном спин-гамильто-
виане магнетика (см. также [481]). Киттель
показал, что если одна из обменных постоян-
постоянных изменяется с температурой линейно и
проходит через нуль при некотором крити-
критическом значении параметра решетки, то при
соответствующей температуре может прои-
произойти фазовый переход первого рода. Идея
Киттеля получила дальнейшее развитие в ра-
работах [422] и [482]. Детальная эксперимен-
экспериментальная проверка этой теории для перехода
типа АФ — Ф проводилась на сплавах
Мп2-хСгж8Ь (см. [419 — 421, 423—428, 472,
483, 484]).
Другой вид фазового*перехода типа Ф —>• С, наблюдаемый в редкозе-
редкоземельных металлах (например, в Dy), согласно расчету Иосиды и Мивы
[484], при достаточно большой энергии магнитной анизотропии может
также быть фазовым переходом первого рода. Появление этого типа
перехода не связано с предположением о зависимости обменных парамет-
параметров от деформации.
*) Подробная сводка экспериментальных результатов и критический анализ
теоретических работ по магнитным фазовым переходам первого рода даны в обзоре
Гражданкиной [396].
Рис. 18.27. К объяснению маг-
магнитного фазового перехода пер-
первого рода типа порядок — бес-
беспорядок, а) Схематическое изоб-
изображение зависимости точки Кю-
Кюри 0 j (т. е. обменного взаимодей-
взаимодействия) от удельного объема V
магнетика; б) обусловленный
этой зависимостью температур-
температурный ход удельного объема
V'(ej); в) температурный ход
самопроизвольной намагничен-
намагниченности Is @j).
- 442 -

Фазовый магнитный переход первого рода типа порядок — беспоря-
беспорядок рассмотрели Родбелл и Бин [397] (см. также [465, 466]). Они показали,
что если параметр обменного взаимодействия (или точка Кюри) ферромаг-
ферромагнетика достаточно резко зависит от межатомного расстояния и кристал-
кристаллическая решетка обладает большой сжимаемостью, то переход Ф —*- П
может быть фазовым переходом первого рода со скрытой теплотой и пре-
прерывным изменением удельного объема и намагниченности. Это возможно,
если предположить, что обменная энергия (и тем самым точка Кюри)
существенно зависит от деформации решетки (рис. 18.27, а). При 0° К
свободная энергия системы может быть уменьшена путем спонтанной
деформации решетки, повышающей точку Кюри 6 i0> (отрицательную
обменную энергию). Однако одновременно будет расти положительная
энергия упругих деформаций. В результате достигается некоторое равно-
равновесное значение деформации V (рис. 18.27, а). На рис. 18.27, в показано
сравнение температурного хода самопроизвольной намагниченности ферро-
ферромагнетика, свободного от напряжений (свободный), и с фиксированным
удельным объемом Vo (сжатый). При этом мы пренебрегаем тепловым рас-
расширением для того, чтобы сосредоточить внимание на магнитных эффек-
эффектах. При низких температурах намагниченность свободного материала
уменьшается с температурой медленнее, чем у сжатого, поскольку у пер-
первого точка Кюри выше F{ > 6i0>). Если это смещение точки Кюри доста-
достаточно велико, то при повышении температуры в свободной системе возмож-
возможно сохранение намагниченности и при температурах выше точки 6i0) —
температуры Кюри сжатой системы. Поскольку спонтанная деформация
решетки связана с самопроизвольной намагниченностью, то при умень-
уменьшении последней будет уменьшаться и первая, как это изображено на
рис. 18.27, б. При некоторой критической температуре 6(i ' (< S[)
равновесному состоянию будет соответствовать недеформированное
состояние Fo, и поэтому намагниченность скачком обращается в нуль.
При охлаждении в интервале температур в{ — ei0> возможны мета-
стабильные состояния с нулевой намагниченностью (магнитное пере-
переохлаждение!), что приводит к явлению гистерезиса для температуры фазо-
фазового перехода первого рода.
Зависимость энергии обмена или точки Кюри от деформации решетки
в работе [466] бралась в простейшей линейной апроксимации:
A8.95)
где 6i — точка Кюри, a 6i0) — точка Кюри, которой обладала бы систе-
система, если ее сжать до «нулевого» объема Vo (без спонтанной деформации),
т. е. удельного объема при 0° К в отсутствие самопроизвольной намаг-
намагниченности и внешних напряжений. Коэффициент C для не очень больших
значений разности V — Vo можно считать постоянным; он, очевидно,
определяется наклоном прямой 6i (V), т.е. C = д (SilS°i)'d (VIV0).
Далее Бин и Родбелл [466] записывают термодинамический потенциал
в приближении молекулярного поля:
+ TNkB [b 2—у In A - if) - т) arctg t)] , A8.96)
где 1] = IIIs — относительная намагниченность, К = —V'1 (дУ/др)т,н —
изотермическая сжимаемость (предполагается, что она постоянная),
р — давление; первый член в A8.96) дает энергию относительно внешнего
поля Н, второй член — обменную энергию, третий — энергию спонтанной
деформации, четвертый — энергию внешнего давления и последний —
энтропию (см.. например, Смарт [485]). В A8.96) мы пренебрегали рядом
членов, например энтропией решетки. Кроме того, эта формула записана
- 443 -

для спинового квантового числа s = 1/2. В работе [466] рассматривается
и более общий случай. Подставляя в A8.96) выражение A8.95) и мини-
минимизируя A8.96) относительно объема V, находим
Z^pL = ±NkBKe$rf-pK. A8.97)
Отсюда видно, что изменение объема есть сумма деформаций, вызванных
намагниченностью и внешним давлением. Подставляя A8.97) в A8.96),.
минимизируя полученное выражение относительно т| и приравнивая
внешнее поле нулю, получаем уравнение для определения самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности:
Ч^О ) A8.98).
где введено обозначение а = C/2) Nk^QK^. Ha рис. 18.28 показана зави-
зависимость г\ (Г/в'10>) при различных значениях параметра а. Из рис. 18.28
видно, что при значениях параметра а< 1 имеет место переход второго
рода [при а = 0 получаем уже известную формулу A8.9а) для S = / =
= 1/2 или см. A8.9I. При значениях же параметра а > 1 происходит
разрывное изменение намаг-
намагниченности и мы имеем пере-
переход первого рода. Банерджи
[486] обратил внимание на то,
что если разложить энтро-
энтропийный член в A8.96) в ряд
по степеням г\ (при малых у\),.
то находим
Рис. 18.28- Относительная самопроизвольная намагни-
намагниченность л как функция приведенной температуры
T/0jO) для различных значений параметра а, рассчи-
рассчитанная по формуле A8.98) для спинового квантового
числа S = */2- Пунктирная кривая соответствует состоя-
состояниям, отвечающим максимуму термодинамического по-
потенциала яр' (абсолютно неустойчивое состояние).
A8.99>
т. е. формулу, имеющую та-
такую же структуру, как и
A8.56) в теории фазовых
переходов второго рода по
Ландау. Коэффициенты Ао,
А ж В зависят от давления,
температуры, сжимаемости,
коэффициента C из A8.95) и
т. д. При малых г\, по Бину и
Родбеллу [466], коэффициент
Р равен нулю [сравнить с
формулой A8.57)], и если при этом коэффициент В >¦ 0, то переход
будет второго рода, если же В < 0, то минимум достигается при т| =f= О,
а это означает, что фазовый переход будет первого рода. Банерджи [4861
обращает внимание на то, что при помощи уравнения A8.71) можно опре-
определить тип фазового магнитного перехода из чисто магнитных измерений,
определяя знак наклона прямых Н/г\ (относительно оси i|2): для переходов
первого рода наклон отрицателен, а для второго рода — положителен.
Дальнейшее развитие теория Бина и Родбелла получила в работах
де Блуа и Родбелла [406, 407], а также Фаррелла и Мейера [487]; в послед-
последней рассмотрен более общий случай фазовых диаграмм на плоскости
(Н, Т) для магнитных фазовых переходов.
Для проверки теории Бин и Родбелл [466] выбрали арсенид марган-
марганца (MnAs). Это же вещество изучали де Блуа и Родбелл [406, 407]. В боле&
ранних работах Гийо [400] и Серре [401] показали, что изменение магнит-
магнитных свойств происходит при двух температурах: 313° К и 399° К. При
температурах от 0° до 313° К MnAs находится в ферромагнитном состоя-
состоянии. Точка eiu = 313° К является твердо установленной точкой магнит-
магнитного фазового перехода первого рода с выделением скрытой теплоты
- 444 —

и скачкообразным изменением удельного объема и намагниченности.
В интервале температур от 313° до 399° К обнаружено возрастание вос-
восприимчивости с ростом температуры. И только выше температуры 6i2> —
= 399° К магнитная восприимчивость ведет себя, как у типичных пара-
парамагнетиков, подчиняющихся при высоких температурах закону Кюри-
Вейсса F.5). В связи с этим Гийо [400] высказал предположение, что при
в\и = 313° К в MnAs происходит переход Ф -+ АФ, а при 6i2) = 399° К—
переход АФ ->• П. Это предположение подтвердили Мейер и Таглан [402],
измерившие магнетокалорический эффект в MnAs и обнаружившие изме-
изменение знака этого эффекта при температурах 6il) и 6]2). Однако нейтро-
яографические исследования Бэкона и Стрита [403] не подтвердили нали-
наличия антиферромагнитной упорядоченной структуры в интервале темпе-
температур между 6iu и 6i2). Поэтому Вин и Родбелл [466], а также де Блуа
и Родбелл [406, 407] считают, что при ©i" происходит переход типа Ф ->•
—»- П. Максимум же восприимчивости при 6i2) = 399° К вызван, по их
мнению, эффектом Яна — Теллера (см. гл. 10) и связан со структурными
изменениями в решетке MnAs.
В связи с этим Гражданкина и др. [404, 405] произвели детальное
исследование упругих свойств и влияния внешнего давления на магнит-
магнитные превращения в MnAs. Был измерен температурный ход модуля Юнга
я модуля сдвига, а также коэффициента теплового расширения MnAs
в интервале температур от 300° до 460° К, т. е. включая и температуры
магнитных превращений. По опытным данным для модулей упругости
вычислен также температурный ход сжимаемости. В окрестности точки
O(i2) наблюдались существенные изменения упругих модулей и сжимае-
сжимаемости, характерные именно для превращения АФ->• П (см., например,
¦{488, 489]). В то же время в области температуры в!1' никаких аномаль-
аномальных изменений упругих свойств не обнаружено. В связи с этими резуль-
результатами нет оснований считать решенным вопрос о типе фазового перехода
при вA1) = 313° К в MuAs (Ф ->• П или Ф -*- АФ). Ясно лишь, что &?> —
это точка магнитного фазового перехода первого рода.
Магнитный фазовый переход первого рода наблюдался также в анти-
<|юрромагнитном соединении урана UO2 (см. [416, 471]) *). Теорию для
этого случая развил Блюм [491]. Он предположил, что электронная струк-
структура парамагнитного иона U4+ имеет синглетный уровень энергии основ-
основного'состояния и низко лежащий магнитный триплетный уровень. Учиты-
Учитывая лишь билинейное изотропное обменное взаимодействие в приближении
молекулярного поля, он рассматривает расщепление триплетного уровня
внутренним магнитным полем, величина которого пропорциональна намаг-
намагниченности. При достаточно сильном молекулярном поле одна из компо-
компонент триплета может иметь уровень ниже синглетного уровня. Это будет
соответствовать магнитному основному состоянию при Т = 0° К. С ростом
температуры намагниченность будет падать, а энергия основного трип-
триплетного состояния будет, наоборот, повышаться. При критической тем-
температуре может произойти переход в основное синглетное состояние,
и намагниченность скачком упадет до нуля. В зависимости от отношения
разности энергии триплета (не расщепленного) и синглета к расщеплению
триплета в молекулярном поле можно либо вообще не получить магнитно-
упорядоченного состояния, либо оно возникает и магнитный фазовый
переход в парамагнитное состояние может быть или первого, или вто-
второго рода **).
*) Антиферромагнитное превращение в Ей также является фазовым переходом
первого рода (см. [492, 493]). Возможно, что механизм этого случая такой же, как и
для UO2. Дальнейшую дискуссию по этому вопросу см. в'обзоре [396] и в работе"[490].
**) В связи с опубликованием результатов дилатометрических измерений и изме-
измерений упругих свойств UO2 (см. [417]), отчетливо указывающих на изменение объема
магнитной решетки при фазовом превращении, механизм последнего по Блюму тре-
•бует пересмотра. Окончательное решение требует дальнейших экспериментов.
- 445 -

На возможность ферромагнитного фазового перехода первого род*
в случае d-металлов (на основе модели коллективизированных электро-
электронов) указал Шимицу [494] (см. также [495—497] и гл. 20). Эксперимен-
Экспериментально этот переход в соединении Mn3Ge2 изучался в работах [429—432].
Обращаем внимание также и на другие исследования (теоретические-
и экспериментальные) магнитных фазовых переходов первого рода.
[498-508, 530-532].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 18
1. Е. I s i n g, Zs. Phys. 31, 253 A925).
2. F. В i t t е г, Proc. Roy. Soc. A145, 629 A934).
3. P. W e i s s, J. rhys. et rad. 6, 661 A907).
4. P. W e i s s, R. F о г г е г, Ann. de phys. 5, 153 A926).
5. H. P о t t e r, Proc. Roy. Soc. A146, 362 A934).
6. П. Л. К а п и ц a, Proc. Roy. Soc. A131, 243 A931).
7. А. Д. С a x a p о в, УФН 89, 3 A966).
8. С. В. В о н с о в с к и й, ДАН СССР 27, 550 A940).
9. С. В. В о н с о в с к и й, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 485 A947).
10. F. К г a u s s, Н. W а г п с к е, Zs. Metallkunde 46, 61 A955).
11. Н. К 1 i n к h а г d t, Ann. der Phys. D) 84, 107 A927).
12. A. J. Z u i t h о f f, Proc. Acad. Sci. Amst. 41, 264 A938).
13. S. U m i n o, Sci. Rep. Tohoku Univ. 16, 593 A927).
14. S. К а у a, Z. N а к а у a m a, Zs. Phys. 112, 420 A939).
15. LE.Grew, Proc. Roy. Soc. A145, 509 A934).
16. N.Thompson, Proc. Phys. Soc. 52, 217 A940).
17. M. Griff el, R. E. S к о с h d a p о 1 e, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev.
93, 657 A954).
18. L. D. J e n n i g s, R. M. S t a u t о n, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys.
27, 909 A957).
19. M. G г i f f e 1, R. E. S к о с h d a p о 1 e, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys.
25, 75 A956).
20. В. С G e г s t e i n, M. G г i f f e 1, L. D. Jennings, R. E. Miller,
R. E. S к о с h d a p о 1 e, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 27, 394 A957).
21. R. E. S к о с h d a p о 1 e, M. G г i f f e 1, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys.
23, 2258 A955).
22. L. D. J e n n i n g s, E. H i 1 1, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 34, 2082 A961).
23. L. D. J e n n i n g s, E. H i 1 1, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 31, 1241 A959).
24. W. S u с к s m i t h, С. А. С 1 а г k, D. J. О 1 i v e r, J. E. T h о m p s о n, Rev.
Mod. Phys. 25, 34 A953).
25. H. P. Myers, W. S u с к s m i t h, Proc. Roy. Soc. A207, 427 A951).
26. А. К. Кикоин, Тр. Ин-та физики металлов, Изд-во АН СССР, вып. 15, М.,
1954, стр. 70.
27. В. И. И в а н о в с к и й, ФММ 7, 29 1959).
28. В. И. Ивановский, П. П. Денисов, ФММ 4, 550 A957).
29. В. И. Ивановский, П. П. Денисов, Изв. вузов, Физика, № 6, 147
A966).
30. А. Н. К а р ч е в с к и й, ЖЭТФ 36, 638 A959).
31. G. G а г t о n, M. J. M. L e a s k, W. P. W о 1 f, A. F. G. W у a t t, J. Appl. Phys.
34, 1083 A963).
32. Б. В. Знаменский, И. Г. Ф а к и д о в, ФММ 13, 312 A962).
33. К. П.Белов, Е.В.Талалаева.Л.А. Черникова, В. И. Иванов-
Ивановский, Письма ЖЭТФ 7, 423 A968); К. П. Б е л о в, Helv. Phys. Acta 41, 679 A968).
34. К. Z a v 6 t а, Чехослов. физ. журн. 8, 727 A958).
35. Л. С. С т и л ь б а н с, ЖЭТФ 9, 432 A939).
36. Э.Кане р, ЖЭТФ 10, 67, 407 A940).
37. R. Н. Т г е d g о 1 d, Proc. Phys. Soc. A66, 421 A953).
38. J. G. К i г k w о о d, J. Chem. Phys. 6, 70 A938).
39. R. P e i e г 1 s, Proc. Cambr. Phil. Soc. 32, 477 A936).
40. E. W. M о n t г о 1 1, J. Chem. Phys. 9, 706 A941); 10, 61 A942).
41. H. A. Kramers, G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 60, 252, 263 A941).
42. L. О n s a g e r, Phys. Rev. 62, 559 A942).
43. L. О n s a g e r, Phys. Rev. 65, 117 A944).
44. J. H. V a n V 1 e с k, Rev. Mod. Phys. 17, 27 A945).
45. G. H. W a n n i e r, Rev. Mod. Phys. 17, 50 A945).
46. P. R. W e i s s, Phys. Rev. 74, 1493 A948).
47. Т. О g u с h i, Phys. Rev. 76, 1001 A949).
48. В. К a u f m a n n, Phys. Rev. 76, 1232 A949).
49. D. t e г Н а а г, В. М a r t i n, Phys. Rev. 77, 721 A950).
50. E. T r e f f t z, Zs. Phys. 127, 371 A951).
- 446 —

51. U. F i i- g a u, Ann. der Phys. 40, 295 A951).
52. С N. J a n g, Phys. Rev. 85, 808 A952).
53. H.A. Brown, J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 100, 685 A955).
54. С A. H u г s t, H. S. G г e e n, J. Chem. Phys. 33, 1059 A961).
55. G. F. N e w e 1 1, E. W. M о n t г о 1 1, Rev. Mod. Phys. 25, 352 A953).
56. Ю. Б. Р у м е p, УФН 63, 245 A954).
57. A. M. Д ы x н е, Ю. Б. Р у м е р, УФН 75, 101 A961).
58. С D о m b, Adv. in Phys. 9, 149 A960).
59. С D о m b, M. F. S у к е s, Phys. Rev. 108, 1415 A957).
60. D. t e г Н а а г, Physica 19, 611 A953).
61. E. D e m p s о у, D. t e г Н а а г, Physica 22, 1 A956).
62. K. W. S t e v e n s, Proc. Roy. Soc. 70, 537 A957).
63. A. L e v i t a s, M. L a x, Phys. Rev. 110, 1016 A958).
64. M. E. F i s h e r, Phys. Rev. 113, 969 A959); Physica 25, 521 A959); J. Math.
Phys. 4, 124 A963).
65. M. F. S у к e s, M. E. F i s h e r, Phys. Rev. 114, 45 A959).
66. J. Seiden, Compt. rend. 248, 389 A959); J. phys. et rad. 21, 141 A960).
67. D. M. В u г 1 e y, Phil. Mag. 5, 909 A960).
68. A. D a n i e 1 i a n, Phys. Rev. Lett. 5, 570 A961).
69. R. O. R о b i n s о n, Canad. J. Phys. 40, 992 A962).
70. G. A. Baker, Jr., Phys. Rev. 129, 99 A963).
71. M. E. F i s h e r, J. S t e p h e n s о n, Phys. Rev. 132, 140, 1411 A963).
72. B. G. D о m a n, Phys. Lett. 4, 156 A963).
73. R.J.Glauber, J. Math. Phys. 4, 294 A963).
74. E. W. M о n t г о 1 1, P. В. Р о t t s, I. C. W а г d, J. Math. Phys. 4, 308 A963).
75. S. S h e r m a n, J. Math. Phys. 4, 1213 A963).
76. H. S. Green, Zs. Phys. 171, 129 A963).
77. M. E. F i s h e r, D. S. Gaunt, Phys. Rev. 133, A224 A964).
78. R. B. G г i f f i t h s, Phys. Rev. 136, A437 A964).
79. F. H. S t i 1 1 i n g e r, Jr., Phys. Rev. 135, A1646 A964); 138, A1174 A965); 146
209 A966).
80. A. S. E d e 1 s t e i n, J. Chem. Phys. 40, 488 A964).
81. С D о m b, в книге «Magnetism», vol. 2A (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York,
1965, p. 1).
82. R. В г о u t, в книге «Magnetism», vol. 2A (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York,
1965, p. 43).
83. М.Фишер (M. E. Fisher), Природа критического состояния, дерев, с англ.
изд-во «Мир>>, М., 1968.
84. R. F о w I e r, E. A. Gugenheim, Proc. Roy. Soc. A174, 189 A940).
85. А. А. Б е р д ы ш е в, Изв. вузов, Физика, № 1, 63 A959).
86. В. М. 3 а й ц е в, ФММ, И, 803 A961).
87. L. N ё е 1, Ann. de phys. 18, 5 A932); 8, 237 A937); Le magnetisme, vol. II, Strass-
bourg, 1940, p. 67.
88. В. Г е р л a x, УФН 23, 368 A940) (с добавлениями С. В. Вонсовского).
89. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 1232 A937).
90. А. И. Г у б а н о в, ФТТ 2, 502 A960).
91. С. W. В. G r i g s о n, D. В. D о v e, G. R. S t i 1 w e 1 1, Nature 204, 173 A964)
92. S. M a d e r, A. S. N о w i с k, Appl. Phys. Lett. 7, 57 A965).
93. P. D u w e z, S. С H. L i n, J. Appl. Phys. 38, 4096 A967).
94. С. С. T s u e i, G. Longworth, S. С. Н. Lin, Phys. Rev. 170, 603 A968)
95. H. В е t h e, Proc. Roy. Soc. A154, 207 A935).
96. B. R. H e a p, Proc. Phys. Soc. 80, 248 A962).
97. H. А. В г о w n, J. Phys. Chem. Solids 26, 1369, 1378 A965).
98. D. O. S m i t h, Phys. Rev. 102, 959 A956).
99. J. К 1 a m u t, G. К о z 1 о w s k i, Proc. Phys. Soc. 92, 517 A967).
100. H. Kavakatsu, S. Tsukahara, J. Phys. Soc. Japan 21, 12 A966).
101. J. К 1 a m u t, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math, astr., phys. 16, 237 A968).
102. G. Kozlowski, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys. 16, 245 A968).
103. P. E r e n f e s t, Proc. Kon. Akad. Amsterdam 36, 153 A933).
104. M. А. Л е о н т о в и ч, Введение в термодинамику, Гостехиздат, М.— Л., 1951.
105. А. Г. С а м о й л о в и ч, Термодинамика и статистическая физика, Гостехиздат,
М., 1955.
106. L. Patrick, Phys. Rev. 93, 384 A954).
107. D. В 1 о с h, Ann. de phys. 1, 93 A966).
108. H.E b e r t, А. К u s s m a n n, Phys. Zs. 38, 437 A937).
109. Ф. М. Гальперин, С. Ларин, А. Шишков, ДАН СССР 78, 451 A951)-
89, 419 A953). '
110. D. G u g a n, Диссертация, Лондон, 1956; Proc. Phys. Soc. 72, 1013 A958).
111.' К. H. von К 1 i t z i n g, J. G i e 1 e s s e n, Zs. Phys. 146, 59 A956); 150, 409
A958).
112. E. И. К о н д о р с к и й, В. Л. Седов, J. phys. et rad. 20, 185 A959); J.
Appl. Phys. 31, 331S A960); ЖЭТФ 38, 773 A960).
- 447 -

113. J. S. К о u v e 1, R. H. W i 1 s о n, J. Appl. Phys. 32, 435 A961).
114. J. S. К о u v e 1, С. С H a r t e 1 i u s, Rep. 63-RL-3509 M. General Electric Co.
A963).
115. E. T a t s u m о t o, H. F u j i w a r a, H. T a n g e, Y. К a t o, J. Phys. Soc.
Japan 17, 592 A962); Phys. Rev. 128, 2179 A962).
116. E. Tatsumoto, H. Fujiwar.a, H. T a n g e, T. H i г а о k a, J. Phys.
Soc. Japan 18, 1348 A963).
117. R. W. de В 1 о i s, в сб. «High Magnetic Fields», New York, 1962, p. 658.
118. L. H. A d ams, J. W. Green, Phil. Mag. 12, 361 A931).
119. A. M i с h e 1 s, A. Jasper, J. S t r i j 1 a n d, Physica 4, 1007 A937).
120. A. M i с h e 1 s, J. de В о е r, Physica 5, 775 A938).
121. A. M i с h e 1 s, J. S t r i j 1 a n d, Physica 8, 53 A941).
122. H. Ebert, A. Kussmann, Phys. Zs. 34, 598 A939).
123. K. W e r n e r, Ann. de phys. 2, 403 A959).
124. H. П. Гражданкина, ЖЭТФ 33, 1524 A957).
125. H. П. Гражданкина, Л. Г. Гайдуков, К. П. Родионов, ЖЭТФ
40, 433 A961).
126. D. S. R о d b e I I, Progress in Very High Pressure research, New York, 1961.
127. T. P. J a n u s z, Techn. Report 150, MIT A960).
128. G. В. В e n e d e k, Т. К u s h i d a, Phys. Rev. 118, 46 A960).
129. P. Heller, G. В. В e n e d e k, Phys. Rev. Lett. 8, 428 A962).
130. Т. К a n e k o, J. Phys. Soc. Japan 15, 2247 A960).
131. Т. К a n e k o, T. H i г о n e, К. К о n d o, J. Phys. Soc. Japan 18, 65 A963).
132. P. Landry, R. Stevenson, Canad. J. Phys. 41, 1273 A963).
133. Д. Н. А с т р о в, С. И. Н о в и к о в а, М. П. О р л о в а, ЖЭТФ 40, 851 A960).
134. Д. Н. А с т р о в, Г. Р. К у т и н е, М. П. О р л о в а, ФТТ 4, 777 A962).
135. Л. Д. Лифшиц, Ю. С. Геншафт, ЖЭТФ 46, 821 A964).
136. J. M. L e g е г, С. S u s s е, В. V о d a r, Solid State Comm. 4, 503 A966).
137. J. M. L e g е г, С. Susse, R. E p a i n, В. V о d a r, Solid State Comm. 4, 197A966).
138. К. О z a w a, S. Anzai, Y. Hamaguchi, Phys. Lett. 20, 132 A966).
139. S. N. L i u, Phys. Rev. 127, 1891 A962).
140. D. Bloch, R. Pauthenet, Compt. rend. 254, 1222 A962); J. Appl. Phys. 36,
1229 A965).
141. К. П. Б е л о в, С. А. Н и к и т и н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ 45, 26 A963).
142. Н. И. Сирота, Ю. М. Хачатурян, ФТТ 5, 3110 A963).
143. Л. И. Винокурова, Е. И. Кондорский, ЖЭТФ 46, 1149 A964).
144. J. S. К о u v е 1, С. С. Н а г t е 1 i u s, J. Appl. Phys. 35, 940 A964); J. Phys. Chem.
Solids 25, 1357 A964).
145. T. N a k a j i m a, J. Phys. Soc. Japan 19, 520 A964).
146. Л. Д. Л и ф ш и ц, Ю. С. Г е н ш а ф т, ЖЭТФ 48, 1050 A965).
147. D. В. Me Whan, A. L.Stevens, Phys. Rev. 139, А682 A965).
148. E.Endo, S. Kume, M. Kuizumi, С. Okazaki, E. Hirota, Phys. Lett.
18, 232 A965).
149. L. B. R о b i n s о n, S. I. T a n, K. F. S t e r r e t t, Phys. Rev. 141, 548 A966).
150. D. В. М с W h a n, P. С S о u e r s, G. J u r a, Phys. Rev. 143, 385 A966).
151. С J. С о s t о n, R. I n g a 1 Is, H. G. D r i e k a m e r, Phys. Rev. 145, 409 A966).
152. D. В. М с W h a n, E. С о r e n z w i t, A. L. Stevens, J. Appl. Phys. 37,
1355 A966).
153. D. Bloch, F. Ch'aisse, R. Pauthenet, J. Appl. Phys. 38, 1029 A967).
154. J. E. Milton, T." A, Scott, Phys. Rev. 160, 387 A967).
155. P. S с h w о b, O. V о g t, Phys. Lett. 24A, 242 A967).
156. J. M. L e g e г, С S u s s e, B. V о d a r, Solid State Comm. 5, 755 A967).
157. H. Bartholin, D. Bloch, R. Georges, Compt. rend. 264, B361 A967).
158. T. Okamoto, H. Fuji i, M. Tsurui, H. Fujiwar a, E. Tatsumoto,
J. Phys. Soc. Japan 22, 337 A967).
159. А. С. П a x о м о в, ФММ 25, 595 A968).
160. N. D. Lang, H. E h r e n r e i с h, Phys. Rev. 168, 605 A968).
161. В. С. W а у n e, Phys. Rev. 170, 523 A968).
162. Н. Bartholin, D. Bloch, J. Appl. Phys. 39, 889 A968); Phys. Rev. 188,
845 A969).
163. E. Tatsumoto, H. Fujiwar a, H. Fuji i, N. Iwat a, T. Okamoto,
J. Appl. Phys. 39, 894 A968).
164. N. К a w a i, A. S a w а о k a, J. Phys. Chem. Solids 29, 575 A968),
165. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 819 A937).
166. E. M. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ И, 253, 269 A941); J. Phys. USSR 6, 61 A942).
167. Г. Я. Любарский, Теория групп и ее применения в физике, Физматгиз,
М., 1957.
168. В. Л. Г и н з б у р'г, ЖЭТФ 17, 833 A947).
169. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 32, 1547 A957); 47, 336, 992 A964).
170. О. В. К о в а л е в, ФТТ 5, 3156, 3164 A963); 7, 919 A965); Кристаллография 9,
783 A964).
471. J. S 6 1 у о m, Physica 32, 1243 A966).
- 448 —

172. W. Opechowski, R. Guccione, в книге «Magnetism», vol. 2A, (ed. G. T.
Rado, H. Suhl, New York, 1965, p. 105). '
173. Б. А. Т а в г е p, Кристаллография 3, 342 A958).
174. S. F 1 о d m а г k, Phys. Rev. 132, 1343 A963).
175. J. Z a k, Phys. Rev. 134, A1602, A1607 A964).
176. S. Bhagavantam, P. V. Pantulu, Proc. Ind. Acad. A59, 1 A964).
177. И. Н. А д а м е н к о, О. В. Ковалев, ФММ 19, 286 A965).
178. M. Lax, Phys. Rev. 138, A793 A965).
179. N. A s h b y, S. С M i 1 1 e r, Phys. Rev. 139, A428 A965).
180. M. A t о j i, Am. J. Phys. 33, 212 A965).
181. H. Thomas, Zs. angew. Phys. 18, 404 A965).
182. A. P. С г а с k n e 1 1, Prog. Theor. Phys. 33, 812 A965); 35, 196 A966); 38, 1252
A967); Austr. J. Phys. 19, 519 A966); Adv. in Phys. 17, 367 A968).
183. W. G. Tam, W. Opechowski, Phys. Lett. 23, 212 A966).
184. А. К i t z, Phys. stat. sol. 10, 455 A966).
185. M. V e г s с h n e г е k, Phys. stat. soi. 15, 299 A966).
186. A. J a n n e r, Helv. phys. acta 39, 665 A966).
187. E. F. В е г t a u t, Compt. rend. 252, 76, 252, 2078 A961); 258, 3835 A964); J. phys.
et radium 23, 460 A962); J. Appl. Phys. 33, S1138 A962); 39, 631 A968).
188. H. О v e г h о f, Phys. stat. sol. 26, 461 A968).
189. A. P. С г а с k n e 1 1, S. J. J о s h u a, Proc. Phys. Soc. 1, 40 A968).
190. G. E. В а с о n, Sci. Prog. (Oxford) 56, 59 A968).
191. A. Schonf lies, Krystallsysteme und Kristallstructur, Berlin, 1926.
192. E. С. Ф е д о р о в, Записки Минералогического общества, том 28, 1891 (эта работа
перепечатана в сб. «Симметрия и структура кристаллов», Изд-во АН СССР, М.,
1949).
193. Б. А. Т а в г е р, В. М. 3 а й ц е в, ЖЭТФ 30, 564 A956).
194. Б. А. Т а в г е р, Кристаллография 3, 339 A958).
195. J. L е С о г г е, J. phys. et radium 19, 750 A958).
196. М. Н. Н е р о н о в а, Н. В. Б е л о в, Кристаллография 4, 807 A959).
197. Е. F. В е г t a u t, в сб. «Magnetism», vol. I (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York,
1963, p. 149—209).
198. В. Е. Н айш, ФММ 14, 315 A962); Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1496 A963).
199. I.Dimmok, Phys. Rev. 130, 1337 A963).
200. J. D i nun о k, R. G. Wheeler, Phys. Rev. 127, 390 A962); J. Phys. Chem.
Solids 23, 729 A962).
201. S. Alexander, Phys. Rev. 127, 420 A962).
202. R. R. В i r s s, Proc. Phys. Soc. 79, 946 A962); Am. J. Phys. 32, 142 A964).
203. 10. И. С и р о т и н, Кристаллография 8, 259 A963).
204. S. S t г i k m a n, D. T r e v e s, Phys. Lett. 4, 294 A963).
205. R. Guccione, Phys. Lett. 5, 105 A963).
206. V. V. R aghavacharyalu, С. В. Shvestha, Ind. J. Pure Appl. Phys.
1, 130 A963).
207. А. Г. X а ч а т у р я н, ФТТ 5, 2178 A963); 6, 684 A964).
208. А. В. Шубников, Е. Е. Флинт, Г. Б. Б о к п й, Основы кристаллогра-
кристаллографии, Гостехиздат, М.-Л., 1940.
209. В. А. К о п ц и к, Шубниковские группы (Справочник по симметрии и физиче-
физическим свойствам кристаллических структур), Изд-во МГУ, М., 1966.
210. P. W. К a s t е 1 е у n, J. van Kranendonk, Physica 22, 317 A956).
211. G. А. В a k e r, Jr., Phys. Rev. 124, 768 A961).
212. J. W. E s s a m, M. E. F i s h e r, J. Chem. Phys. 38, 802 A963).
213. J. Gammel, W. Marshall, L. Morgan, Proc. Roy. Soc. A275, 257 A963).
214. В. М. Зайцев, ФММ 7, 284 A959).
215. К. П. Б е л о в, Л. Н. Г о р я г а, ФММ 2, 441 A956).
216. К. П. Б е л о в, И. К. П а н и н а, ДАН СССР 111, 985 A956).
217. К. П. Б е л о в, Я. П а ч е с, ФММ 4, 48 A957).
218. Я. П а ч е с (J. Paces), Чехослов. физ. журн. 7, 729 A957).
219. О. И. Л е й п у н с к и й, ЖЭТФ 8, 1026 A937).
220. J. S 1 a t e г, Phys. Rev. 58, 54 A940).
221. R.Smoluchowski, Phys. Rev. 93, 392 A954).
222. P. J. W о j t о w i с z, M. R а у, Phys. Rev. Lett. 20, 1489 A968).
223. В. Л. Г и и з б у р г, УФН 38, 490 A949); ЖЭТФ 19, 36 A949); ДАН СССР 105,
240 A955); ФТТ 2, 2031 A960).
224. В. Л. Г и н з б у р г, А. П. Л е в а н ю к, J. Phys. Chem. Solids 6, 51 A958); Сб.
памяти Г. С. Ландсберга, Изд-во АН СССР, М., 1959, стр. 104.
225. А. П. Л е в а н ю к, ФТТ 5, 1776 A963).
226. В. Г. В а к с, А. И. Л а р к и н, ЖЭТФ 49, 975, 1180 A965).
227. Ch. К i t t е 1, Н. S h о г е, Phys. Rev. 138, А1165 A965).
228. S. S t г a s s 1 е г, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 139, A758 A965).
229. С G. W i n d s о r, Proc. Phys. Soc. 86, 236 A965).
230. K. K. G e i s 1 e r, R. К о h 1 h a a s, Zs. angcw. Phys. 18, 458 A965).
231. В. Г. Вакс, В. М. Г а л и ц к и й, А. И. Л а р к и н, ЖЭТФ 51, 1592 A966).
29 с. В. воноовокий — 449 —

232. J. Н. В а г г у, J. Chem. Phys. 45, 4172 A966).
233. Л. Я. К о б е л е в, ФММ 24, 395 A967).
234. Л. Я. К о б е л е в, ФММ 24, 401 A967).
235. С. И. М а ш а р о в, ФММ 24, 569 A967).
236. R. В. Griffiths, Phys. Rev. 158, 176 A967).
237. J. S. К о u v e 1, D. S. R о d b e 1 1, Phys. Rev. Lett. 18, 215 A967).
238. M. E. F i s h e r, A. E. Ferdinand, Phys. Rev. Lett. 19, 169 A967).
239. B. I. H a 1 p e r i n, P. С. Н о h e n b e r g, Phys. Rev. Lett. 19, 700 A967).
240. H. E. S t a n 1 e у, Т. А. К a p 1 a n, J. Appl. Phys. 38, 975 A967).
241. J.C. Slonczewski, J. Appl. Phys. 38, 1052 A967).
242. M. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 38, 1225, 1243 A967); J. Phys. Soc. Japan 22,
757 A967).
243. T. I z u у a m a, J. Phys. Soc. Japan 22, 58 A967); J. Appl. Phys. 39, 478 A968).
244. M. H. С о о р е г s m i t h, Phys. Rev. 167, 478 A968).
245. F. E. G о 1 d r i с h, J. L. В i r m a n, Phys. Rev. 167, 528 A968).
246. D. T. T e a n 1 y, B. J. С v a n d e г Н о e v e n, Jr., V. L. M о г u z z i, Phys..
Rev. Lett. 20, 722 A968).
247. A. A r г о t t, Phys. Rev. Lett. 20, 1029 A968).
248. R. D. M a t t u с к, Adv. in Phys. 17, 509 A968).
249. G. D e v e 1 e y, Compt. rend. 260, 4951; 261, 4659 A965).
250. J. E. N о а к e s, A. A r г о t t, J. Appl. Phys. 35, 931 A964).
251. S. A r a j s, R. V. С о 1 v i n, J. Appl. Phys. 35, 2424 A964).
252. G. D e v e 1 e y, Compt. rend. 262, B-103 A966).
253. R. V. С о 1 v i n, S. A r a j s, J. Phys. Chem. Solids 26, 435 A965).
254. J. S. К о u v e 1, M. E. F i s h e r, Phys. Rev. 136, A1626 A964).
255. S. A r a j s, J. Appl. Phys. 36, 1136 A965).
256. B. R. L i v e s a y, L. K. Jordan, E. J. Scheibner, J. Appl. Phys. 37r
1266 A966).
257. С D. G r a h a m, Jr., J. Appl. Phys. 36, 1135 A965).
258. D. G. H о w a r d, B. D. D u n 1 a p, J. G. D a s h, Phys. Rev. Lett. 15, 628 A965).
259. H. E. S t a n 1 e у, Т. A. Kaplan, Phys. Rev. Lett. 16, 981; 17, 913 A966).
260. Т. А. К i t с h e n s, P. P. С r a i g, J. Appl. Phys. 37, 1187 A966).
261. С H. N о w 1 i n, R. V. Jones, J. Appl. Phys. 34, 1262 A963).
262. P. Heller, G. В. В e n e d e k, Phys. Rev. Lett. 14, 71 A965).
263. M. J. M. С о о p e r, R. Nathans, J. Appl. Phys. 37, 1041 A966).
264. E. E. A n d e r s о n, Phys. Rev. Lett. 17, 375 A966).
265. С D о m b, A. R. M i e d e m а, в книге «Progress in Low Temperature Physics»),
vol. 4, Amsterdam, 1964, p. 296.
266. H. В. С a 1 1 e n, E. R. С a 1 1 e n, Phys. Rev. 139, A455 A965); J. Appl. Phys. 36,
1140 A965).
267. С D о m b, M. F. S у к о s, Phys. Rev. 128, 168 A962).
268. G. А. В aker, Jr., Phys. Rev. 129, 99 A963); 136, A1376 A964).
269. P. J. W о j t о w i e z, Phys. Rev. 155, 492 A967).
270. G. A. Baker, Jr., D. S. Gaunt, Phys. Rev. 155, 545 A967).
271. M. H. С о о p e r s m i t h, Phys. Lett. 25A, 66 A967).
272. H. E. S t a n 1 e у, Т. А. К a p 1 a n, J. Appl. Phys. 38, 977 A967).
273. M.E. Fisher, J- Appl. Phys. 38, 981 A967).
274. N. Menyuk, P. M. R а с с a n, K. D w i g h t, Phys. Rev. 166, 510A968)..
275. M. F. Collins, R. Nathans, L. P a s s e 1 1, G. S h i r a n e, Phys. Rev.
Lett. 21, 99 A968).
276. S. Freeman, P. J. Wojtowicz, J. Appl. Phys. 39, 622 A968).
277. J. E. N о a k e s, A. A r г о t t, J. Appl. Phys. 39, 1235 A968).
278. H. А. В г о w n, Phys. stat. sol. 25, Kll A968).
279. G. D e v e 1 e y, J. Phys. 29, 74 A968).
280. M.J.Buckingham, W. M.Fairbank, в книге «Progress in Low Tempera-
Temperature Physics», vol. 3, Amsterdam, 1961, p. 80.
281. M. И. Б а г а ц к и й, А. В. В о р о н е л ь, В. Г. Г у с а к, ЖЭТФ 43, 728 A962).
282. А. В. В о р о н е л ь, Ю. Р. Ч а ш к и н, В. А. П о п о в, В. Г. С и м к и н, ЖЭТФ
45, 828 A963).
283. А. В. В о р о н е л ь, С. Р. Г р а б е р, А. П. С и м к и н а, И. А. Ч а р к и н а,
ЖЭТФ 49, 429 A965).
284. Е. A h r e n s, Ann. der Phys. 21, 169 A934).
285. E.Lapp, Ann. de phys. A0) 12, 442 A929).
286. С S у k e s, H. Wilkinson, Proc. Phys. Soc. 50, 834 A938).
287. H.Moser, Phys. Zs. 37, 737 A936).
288. I.A.Hofman, A. Poskin,K. I. Taner, R.J.Weiss, J. Phys. Chem.
Solids, 1, 45 A956).
289. G. Bal lensifen, D. Wagner, Physica 30, 1543 A964).
290. Я. А. К р афтмахер, Т. Ю.Ромашина, ФТТ 7, 2532 A965).
291. М. В г a u n, R. К о h I h a a s, Phys. state sol. 12, 429 A965).
292. В. К о h 1 h a a s, W. Rocker, W. H i г с Ы е r, Zs. Naturforsch. 21a, 183-
A966).
- 450 —

293. W. К. Robinson, S. A. F г i e d b e г g, Phys. Rev. 117, 402 A960).
294. A. R. M i e d e m a, R. F. W i e 1 i n g a, W. J. Huiskamp, Phys. Lett. 17,
87 A965).
295. Я.А. Крафтмахер, ФТТ 8, 1306 A966).
296. Я. А. Крафтмахер, Т. Ю. Ромашина, ФТТ 8, 1966 A966).
297. W. P. Wolf, Proc. Int. Conf. on Magnetism, Nottingham, 1964, p. 555.
298. D. Ch. M a t t i s, W. P. Wolf, Phys. Rev. Lett. 16, 899 A966).
299. В. Е. К e e n, D. P. L a n d a u, W. P. W о 1 f, Phys. Lett. 23, 202 A966); J. Appl.
Phys. 38, 967 A967).
300. Ю. Б. Р у м е p, ЖЭТФ 47, 278 A964).
301. T. D. S с h u 1 t z, D. С M a t t i s, E. H. L i e b, Rev. Mod. Phys. 36, 856 A964).
302. L. E. В a 11 e n t i n e, Physica 30, 1231 A964).
303. H. В. Вдовиченко, ЖЭТФ 47, 715 A964); 48, 526 A965).
304. Т. Т. W u, Phys. Rev. 149, 380 A966).
305. С A. H u г s t, J. Math. Phys. 6, 11 A965); 7, 305 A966).
306. С J.Thompson, J. Math. Phys. 7, 531 A966).
307. M. E. Fisier, I. Math. Phys. 7, 1776 A966).
308. L. P. К a d a n о f f, Nuovo cim. 44, B276 A966).
309. В. М. М с С о у, Т. Т. W u, Phys. Rev. 155, 438; 162, 436 A967).
310. R. Н е с h t, Phys. Rev. 158, 557 A967).
311. H. Cheng, Т. Т. W и, Phys. Rev. 164, 719 A967).
312. M. E. L i n e s, Phys. Lett. 24, A591 A967).
313. P. G. W a t s о n, Proc. Phys. Soc. 91, 940 A967).
314. G. A. T. A 1 1 a n, D. D. В e t t s, J. Appl. Phys. 39, 1351 A968).
315. H. A. Kramers, Comm. Kamerlingh Onnes, Lab. Leiden, № 83 A936).
316. W. Opechowski, Physica 3, 181; 4, 715 A937).
317. G. S. R и s h b г о о k, P. J. W о о d, Proc. Phys. Soc. A68, 1161 A955); A70, 765
A957); Mol. Phys. 1, 257 A958).
318. G. А. В a k e r Jr., J. L. G a m m e 1, J. Math, and Appl. 2, 21 A961).
319. G. А. В aker Jr., J.L.Gammel, J. G.Wills, J.Math. and Appl. 2, 405 A961).
320. M. Suzuki, С. К a w a b a t a, J. Phys. Soc. Japan 21, 1063 A966).
321. J. D. P a t t e r s о n, P. С Y. С h e n, A. L. В г о z, J. Appl. Phys. 39, 1629 A968).
322. A. V. Ferris-Prabhu, Phys. Lett. 15, 127 A965).
323. G. А. В a k e r Jr., H. E. Gilbert, J. E v e, G. S. R и s h b г о о k e, Phys.
Lett. 20, 146 A966).
324. J. S t e p h e n s о n, J. Math. Phys. 5, 1009 A964); 7, 1123 A966).
325. G.S. Rushbrooke, J. Math. Phys. 5, 1106 A964).
326. E. В у с k 1 i n g, Physica 30, 1793 A964).
327. R.Abe, Prog. Theor. Phys. 31, 412 A964); 33, 600 A965); 38, 72, 568 A967).
328. С. А. М а ш к о в, ЖЭТФ 49, 857 A965).
329. Е. И. Н е с и с, ФТТ 7, 665 A965); 8, 608 A966); ФММ 20, 775 A965); УФЖ 10,
340 A965).
330. N. W. D а 1 t о n, D. W. W о о d, Phys. Rev. 138, А779 A965).
331. В. V. Т h о m p s о n, Phys. Rev. 138, A1433 A965).
332. R.B.Griffiths, Phys. Rev. Lett. 14, 623 A965).
333. M.Suzuki, Phys. Lett. 18, 233 A965); Prog. Theor. Phys. 38, 289 A967).
334. M. F. S у k e s, J. W. E s s a m, D. S. G а и n t, J. Math. Phys. 6, 283 A965).
335. С. С. Y a n, G. H. W a n n i e r, J. Math. Phys. 6, 1833 A965).
336. B. J. H i 1 e y, G. S. J о у с е, Proc. Phys. Soc. 85, 493 A965).
337. D. M. В и г 1 e у, Proc. Phys. Soc. 85, 1163 A965).
338. С D о m b, Proc. Phys. Soc. 86, 933 A965); J. Appl. Phys. 39, 614, 620 A968).
339. С D о m b, D. L. H и n t e r, Proc. Phys. Soc. 86, 1147 A965).
340. R. L. В e 1 1, Phys. Rev. 143, 215 A966).
341. Ch. K. M a j и m d a r, Phys. Rev. 145, 158 A96G).
342. K. Kawasaki, Phys. Rev. 145, 224; 148, 375; 150, 285, 291 A966);
Phys. Lett. 25A, 448 A967); J. Phys. Chem. Solids 28, 1277 A967); Solid State
Comm. 6, 57 A968).
343. J. S. M a r s h, Phys. Rev. 145, 251 A966).
344. Т. М о г i t о, Т. Т a n a k a, Phys. Rev. 145, 288 A966).
345. С N. Y a n g, С P. Y a n g, Phys. Rev. 147, 303; 151, 258 A966).
346. H. F a 1 k, Phys. Rev. 151, 304 A966).
347. H. W. С a p e 1, Phys. Lett. 23, 327 A966).
348. J. P h i 1 h о и r s, G. L. H a 1 1, Phys. Lett. 23, 653 A966); Phys. Rev. 163 460
A967): 170, 496 A968).
349. L. P. К a d a n о f f, Physics 2, 263 A966).
350. N. W. D a 1 t о л, Proc. Phys. Soc 88, 659 A966).
351. В. Н. Т о г г i c, Proc. Phys. Soc. 89, 77 A966).
352. J. Kocinski, Acta phys. Polon. 30, 591 A966); Phys. Lett. 25A, 39, 92 A967).
353. К. К a n o, Prog. Theor. Phys. 35, 1 A966).
354. J.Kanamori, Prog. Theor. Phys. 35, 16 A966).
355. M. H a 11 о г i, Prog. Theor. Phys. 35, 600 A966).
356. Т. О g и с h i, I. O n o, Prog. Theor. Phys. 35, 998 A966).
— 451 — 29*

357. С. В. Т я б л и к о в, В. К. Ф е д я н и н, ФММ 23, 193 A967).
358. J. Z i t t а г t z, Phys. Rev. 154, 529 A967).
359. M. E. Fisher, R. J. В u г f о г d, Phys. Rev. 156, 583 A967).
360. E. H elf and, J. S. L a n g e r, Phys. Rev. 160, 437 A967).
361. G. A. Baker, Jr., Phys. Rev. 161, 434 A967); Phys. Rev. Lett. 20, 990 A968);
J. Appl. Phys. 39, 616A968).
362. С J. W e n g, R. B. G г i f f i t h s, M. E. P i s h e r, Phys. Rev. 162, 475 A967).
363. M.E.Fisher, Phys. Rev. 162, 480 A967).
364. J.M.Conway, Phys. Lett. 24A, 597 A967).
365. P. R ё s i b о i s, M. de Leener, Phys. Lett. 25A, 65 A967).
366. R. A. Tahir-Kheli, Phys. Lett. 25A, 641 A967).
367. N. Matsudaira, Canad. J. Phys. 45, 2091 A967); J. Phys. Soc. Japan 23,
232 A967).
368. M. F. S у k e s, J. L. M а г t i n, D. L. H u n t e r, Proc. Phys. Soc. 91, 671 A967).
369. D. S. Gaunt, Proc. Phys. Soc. 92, 150 A967).
370. H. H а г t m a n n, H. P. N e u m a n n, Zs. Naturforschg. 22a, 604 A967).
371. K. K. G e i s s 1 e г, К. К о h 1 h a a s, H. L a n g e, Zs. Naturforschg. 22a, 830
A967).
372. I. В i a 1 у n i с k i-B i г u 1 a, J. P i a s e с k i, Bull. Acad. Polon. Sci. 15, 211
A967).
373. J.Piasecki, Bull. Acad. Polon. Sci. 15, 357 A967).
374. В. Я. Кривнов, О. А. Ольхов, Б. Н. Провотворов, ЖЭТФ 54,
456 A968).
375. Е. И. Ш а п о в а л, Письма ЖЭТФ 8, 36 A968).
376. В. М. 3 а д в е р н ю к, В. Я. Кривнов, ФТТ 10, 188 A968).
377. С. И. К у б а р е в, О. А. Пономарев, ФММ 25, 976 A968).
378. G.L.Jones, Phys. Rev. 171, 243 A968).
379. J. D. Gunton, M. J. Buckigham, Phys. Rev. Lett. 20, 143 A968).
380. D. D. Betts, R. V. Ditzian, Canad. J. Phys. 46, 971 A968).
381. G. A. T. A 1 1 a n, D. D. В e t t s, Canad. J. Phys. 46, 15 A968).
382. J. V i 1 1 i a i n, Phys. State Sol. 26, 501 A968).
383. W. В i t t e г 1 i с h, R. J. J e 1 i t t o, Phys. stat. sol. 28, 365 A968).
384. M. Date, M. M о t о k aw a, J. Phys. Soc. Japan 24, 41 A968).
385. M. S u z u k i, R. К u b o, J. Phys. Soc. Japan 24, 51 A968).
386. A. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, ЖЭТФ 50, 439 A966).
387. Т. D. L е е, С. N. J a n g, Phys. Rev. 87, 410 A952).
388. В. Г. В а к с, А. И. Л а р к и н, С. А. П и к и н, ЖЭТФ 51, 361 A966).
389. А. П. Л е в а н ю к, Изв. АН СССР, сер. физ. 29, 879 A965).
390. Г. В. Р я з а н о в, ЖЭТФ 52, 1688 A967).
391. В.Л.Покровский, УФН 94, 127 A968).
392. Л. Я. К о б е л е в, ДАН СССР 180, 567 A968).
393. Л. Я. К о б е л е в, Ю. И. С к р я б и н, Уч. записки УрГУ 62, вып. 3, 91 A967).
394. D. L. Connelly, J. S. L о о m i s, D. E. Mapother, Phys. Rev. 3B,
924 A971).
395. H. К u hi ewe in, Wiss. Verof. Simens Konz. II. Hf. 1, 124 A932).
396. H. П. Г р а ж д а н к и н а, УФН 96, 291 A968).
397. P. S. R о d b е 1 1, С. Р. В е a n, J. Appl. Phys. 33, S1037 A962).
398. F. H e u s 1 е г, Zs. angew. Chem. 1, 260 A904).
399. L. F. В a t e s, Phil. Mag. 8, 714 A929).
400. Ch. G u i 1 1 a u d, J. phys. et rad. 12, 223 A951).
401. A. S e г г e s, J. Phys. et rad. 8, 146 A947).
402. A. J. Meyer, P. T a g 1 a n g, Compt. rend. 246, 1820 A958).
403. G. E. В а с о n, R. S t г е е t, Nature 175, 518 A955).
404. H. П. Г р а ж д а н к и н а, А. М. Б у р х а н о в, ЖЭТФ 50, 1519 A966).
405. Н. П. Г р а ж д а н к и н а, Ю. С. Берсенев, ЖЭТФ 51, 1052 A966).
406. R. W. D е В 1 о i s, D. S. R о d b e 1 1, Phys. Rev. 130, 1347 A963).
407. R. W. D e В 1 о i s, D. S. R о d b e 1 1, J. Appl. Phys. 34, 1101 A963).
408. A. J. H e e g e г, О. В е с k m a n, A. M. P о г t i s, Phys. Rev. 123, 1652 A961).
409. A.Okazaki, Y. S u e m a n e, J. Phys. Soc. Japan 16, 67 A961).
410. M. Y u z u г i, J. Phys. Soc. Japan 15, 2007 A960).
411. S. О g a w a, J. Phys. Soc. Japan 15, 1901 A960).
412. E. O. Wollan, W. С. К о e h 1 e r, M. R.Wilkinson, Phys. Rev. 110,
638 A958).
413. W. С. К о e h 1 e r, J. phys. et rad. 20, 180 A959).
414. P. L. Richards, J. Appl. Phys. 34, 1237 A963).
415. M. T г о m b e, J. phys. et radium 12, 170 A951).
416. В. С F г a z e г, G. S h i г a n e, D. E. Сох, С. Е. О 1 s e n, Phys. Rev. 140,
A1448 A965).
417. O. G.Brand,C.T. Walker, Phys. Rev. Lett. 18, 11 A967).
418. А. А г г о t t, S. A. W e г n e г, Н. К e n d г i с k, Phys. Rev. Lett. 14, 1022 A965).
419. T. J. S w о b о d a, W. H. С 1 о u d, Т. А. В i t h e r, M. S. S a d 1 e r, H. S. J а г -
г е t t, Phys. Rev. Lett. 4, 509 A960).
- 452 —

420. W. Н. С 1 о u d, H. S. ,Т а г г e t t, A. E. A u s t i n, E. A d e 1 s o n, Phys. Rev.
120, 1969 A960).
421. A. E. A u s t i n, E. A d e 1 s о n, W. H. С 1 о u d, Phys. Rev. 131, 1511 A963).
422. W. A. Doemer, R. R. F 1 i p p e n, Phys. Rev. 137, A927 A965).
423. R. R. F 1 i p p e n, F. J. D а г n e 1 1, J. Appl. Phys. 34, 1094 A963).
424. R. R. F 1 i p p en, J. Appl. Phys. 34, 2026 A963).
425. P. E.Rierstedt, Phys. Rev. 132, 669 A963).
426. H. П. Гражданкина, ЖЭТФ 47, 2027 A964).
427. P. Rierstedt, F. Darnell, W. Cloud, R. Flippen, H. J arrett,
Phys. Rev. Lett. 8, 15 A962).
428. F. J. D а г n e 1 1, W. H. С 1 о u d, H. S. J а г г е t t, Phys. Rev. 130, 647 A963).
429. И. Г. Факидов, Н. П. Гражданкина, R. H. Новогрудский,
Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1509j;i956).
430. С. Д. М а р г о л и н, И. Г. Факидов, ФММ 7, 157 A959).
431. R. Fontaine, R. P a u t h e n e t, Compt. rend. 254, 650 A962).
432. Э. А. 3 а в а д с к и Й, И. Г. Ф а к и д о в, ЖЭТФ 51, 1317 A966).
433. Е. Е. Н u b е г, D. H. R i d g 1 а у, .Т. Appl. Phys. 34, 1099 A963).
434. М. F a 1 1 о t, Compt. rend. 205, 558 A937).
435. М. F a 1 1 о t, Ann. de phys. 10, 231 A938).
436. M. F a 1 1 о t, R. H о с а г t, Rev. Sci. 77, 498 A939).
437. F. В е г t a u t, F. de R e г g e v i n, G. R о u 1 t, Compt. rend. 256, 1698 A963).
438. F. Bertaut, A. Delapalm, F. Forrat, G. Roult, F. defiergevin,
R. P a u t h e n e t, J. Appl. Phys. 33, S1123 A962).
439. F. de R e г g e v i n, L. M u 1 d a w e r, Compt. rend. 252, 1347 A962).
440. G. S h i r a n e, С W. С h e n, P. A. F 1 i n n, Phys. Rev. 131, 183 A963).
441. E. M. H о f e г, Р. С u с k a, J. Phys. Chem. Solids 27, 1552 A966).
442. J.S. Kouvel, J. Appl. Phys. 37, 625 A966).
443. Э. А. Завадский, И. Г. Факидов, ФТТ 9, 139 A967).
444. А. И. Захаров, А. М. Кадомцева, Р. 3. Левитин, Е. Г. П о н я -
т о в с к и й, ЖЭТФ 49, 1348 A964).
445. J. P. Rouchaud, R. Fruchart, Compt. rend. 261, 458 A965).
446. J. P. Rouchaud, R. Fruchart, R. Pauthenet, M. Guillot,
H. R а г t h о 1 i n, F. С h a i s s e, J. Appl. Phys. 37, 971 A966).
447. M. G xi i 1 1 о t, R. Pauthenet, Compt. rend. 263, R-527 A966).
448. P. A. R о с к а н я н, Р. 3. Л е в и т и н, R. А. Ш у р о в, ЖЭТФ 53, 459 A967).
449. Т. К a n e k о, S. A b e, J. Phys. Soc. Japan 21, 451 A966).
450. Н. Н а г а 1 d s e n, A. N е u b е г, Zs. anorg. allg. Chem. 234, 337 A937).
451. H. П. Гражданкина, И. Г. Факидов, Изв. АН СССР, сер. фпз. 21,
1116 A957).
452. К. D w i с h t, R. W. G e г m a n n, N. M e n у u k, A. Wolf, J. Appl. Phys.
33, S1341 A962).
453. T. Kamigaichi, T. Okamoto, N. Iwata, E. Tatsumoto, J. Phys.
Soc. Japan 21, 2736 A966).
454. J. S. К о u v e 1, С. С. Н а г t e 1 i u s, Phys. Rev. 123, 124 A961).
455. S. J. P i с k а г t, R. N a t h a n s, G. S h i г a n e, Phys. Rev. 121, 707 A961).
456. R. R. H e i k e s, T. R. M с G u i г e, R. J. H a p p e 1, Phys. Rev. 121, 703 A961).
457. D. R. R e h r e n d t, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 109, 1544
A958).
458. M. K. W i 1 k i n s о n, W. С. К о e h 1 e r, E. O. W о 1 1 a n, J. С a b 1 e, J. Appl.
Phys. 32, 485 A961).
459. E. К г ё n, G. К a d a r, L. P a 1, J. S 6 1 у о m, P. S z a b o, Phys. Lett. 20, 331
A966).
460. T. S h i n j о, К. К о s u g e, S. К а с h i, H. T a k a k i, M. S h i g o, Y. N a k a -
m u г a, J. Phys. Soc. Japan 21, 193 A966).
461. M. F о e x, M. P. L e b e a u, Compt. rend. 223, 1126 A946).
462. M.Foex, J.Loriers, Compt. rend. 226, 901 A948).
463. J. T. Sparks, Т. К о m о t о, J. Appl. Phys. 34, 1191 A963).
464. A. S m i t s, H. G e г d i n g, F. V e г M a s t, Zs. Phys. Chem. 157A, 335 A931).
465. C. P. R e a n, D. S. R о d b e 11, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. R-I, 154 A962).
466. С P. R e a n, D. S. R о d b e 1 1, Phys. Rev. 126, 104 A962).
467. С G. S h u 1, W. A. S t г a u s e r, E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 83, 333 A951).
468. M.Foex, Compt. rend. 227, 193 A948).
469. R. W. M i 1 1 a r, J. Am. Chem. Soc. 50, 1875 A928).
470. D.S.Rodbell,I.S. Jacobs, J.Owen, E.A. Harris, Phys. Rev. Lett.
11, 10 A963).
471. B.T.Willis, R.I. Taylor, Phys. Lett. 17, 188 A965)..
472. H.S.Jarrett, P. E.Bierstedt,F. J.Darnell, M.Sarks, J. Appl.
Phys. 32, 57S A961).
473. И. Г. Факидов, Ю. Н. Ц и о в к и н, ФММ 7, 685 A959).
474. С. С Л е в и н а, Труды ИФМ АН СССР 22, 67 A959).
475. J. S. К о u v е 1, С. С. Hartelius, J. Appl. Phys. 33, 1343 A962).
476. P. 3. Левитин, Б. К. Пономарев, ЖЭТФ 50, 1478 A966).
- 453 -

477. М. К. W i 1 к i n s o n, H. R. С h i 1 d, W. С. К о e h 1 е г, I- W. С a b 1 е, Е. О.
W о 1 1 a n, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 27 A962).
478. W. С Koehler, J. W. Cable, E. O. W о 1 1 a n, M. K. Wilkinson,
J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 32 A962).
479. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 120, 335 A960).
480. L. N ё e 1, Bull. soc. franc, mineral, crist. 77, 257 A954).
481. H. S. J a r r e t t, Phys. Rev. 134, A942 A964).
482. H. S. Jarrett, W. H. Cloud, F. J. Darnell, P. E. В i e r s t e d t,
Т. А. В i t h e r, P. H. W a 1 t e r, T. J. S w о b о d a, J. Phys. Soc. Japan 17,
Bl 261 A962).
483. W. H. С 1 о u d, Т. А. В i t h e r, T. J. S w о b о d a, J. Appl. Phys. 32, S55 A961).
484. K. Y о s i d a, H. M i w a, J. Appl. Phys. 32, Suppl. № 3, 8S A962).
485. J. S. S m a r t, Phys. Rev. 90, 55 A953). -
486. S.K.Banerjee, Phys. Lett. 12, 16 A964).
487. R. A. F a r r e 1 1, P. H. E. M e i j e r, Physica 31, 725 A965). •
488. M. E. F i n e, Phys. Rev. 87, 1143 A952).
489. К. П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, Докл. на III Всесоюзн. совещ. по ферритам,
Минск, 1960.
490. J. В. G о о d e n о u g h, J. А. К a f a 1 a s, Phys. Rev. 157, 389 A967).
491. М. В 1 и m e, Phys. Rev. 141, 517 A966).
492. А. М. Б у р х а н о в, Н. П. Г р а ж д а н к и н а, И. Г. Ф а к и д о в, ФТТ 9,
748 A967).
493. Н. П. Гражданкина, ЖЭТФ 52, 397 A967).
494. М. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan 15, 376, 1127 A960).
495. M. S h i m i z u, А. К a t s u k i, Phys. Lett. 8, 7 A964).
496. M. S h i m i z u, Proc. Phys. Soc. 84, 397 A964).
497. M. S h i m i z u, Proc. Phys. Soc. 86, 147 A965).
498. А. Ф. А н д р е е в, ЖЭТФ 45, 2064 A963).
499. S. M ii 1 1 e r, H. L a n g e, Zs. angew. Phys. 17, 142 A964).
500. B. E. Keen, D. L a n d a u, B.Schneider, W. P. W о 1 f, J. Appl. Phys.
37, 1120 A966).
501. Z. S. К о u v e 1, J. Appl. Phys. 37, 1257 A966).
502. F. M i 1 s t e i n, L. B. Robinson, Phys. Rev. 159, 466 A967).
503. E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 160, 369 A967).
504. Y. S у о n о, Y. I s h i k a w a, Phys. Rev. Lett. 19, 747 A967).
505. R. M. Rosenberg, W. H. С 1 о u d, F. J. Darnell, R. B. F 1 i p p e n,
Phys. Lett. 25A, 723 A967).
506. E. К г ё n, G. К a d a r, L. P a 1, P. S z a b 6, J. Appl. Phys. 38, 1265 A967).
507. E. К г ё n, P. S z a b 6, L. P a 1, T. T a r n о с z i, G. К a d a r, С. Н a r g i t a i,
J. Appl. Phys. 39, 469 A968).
508. R. B. F 1 i p p e n, Phys. Rev. Lett. 21, 1079 A968).
509. P. H a n d 1 e r, D. E. M a p о t h e r, M. R a y, Phys. Rev. Lett. 19, 356 A967).
510. R. B. Griffiths, Phys. Rev. 188, 942 A969).
511. H. E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena,
Oxford Univ. Press, Oxford, 1971.
512. В. В. Бондарь, К. М. Горбунова, Ю. М. Полукаров, ФММ 26,
568 A968).
513. К. Т a m u r a, H. E n d о, Phys. Lett. 29A, 52 A969).
514. S. С. Н. L i n, J. Appl. Phys. 40, 2173, 2175 A969).
515. K. H a n d r i с h, Phys. stat. sol. 32, K55 A969).
516. S. С H. L i n, P. D u w e z, Phys. stat. sol. 34, 469 A969).
517. S. Kobe, Phys. stat. sol. 41, K13 A970).
518. K. Handrich, S. Kobe, Acta Phys. Polon. A38, 819 A970).
519. R. Hasegawa, Phys. Rev. 3B, 1631 A971); Solid State Phys. (Japan) 5, 63
A970); J. Appl. Phys. 41, 4096 A970).
520. R. L. Peterson, Phys. Rev. 171, 586 A968).
521. H. П. Гражданкина, А. М. Бурханов, Ю. С. Берсенев, ЖЭТФ
55, 2155 A968).
522. Г. К. Соколова, А.А. Самохвалов, К. П. Родионов, А. Я.Афа'
н а с ь е в, Письма ЖЭТФ 8, 350 A968).
523. Л. Винокурова. М. Пардав у-Хорват, Phys. stat. sol. 41, К5 A970).
524. О. В. Ковалев, А. Г. Горб анюк, J. Phys. Chem. Solids 31, 149 A970).
525. Е. F. Bertaut, Acta Cryst. A24, 217 A968); J. Phys. Chem. Solids 30, 763
A969).
526. T. S. G. Krishnamurty, P. Gopalakrishnanurty, Acta Cryst.
A25, 329, 1333 A969).
527. J. Sixardiera, Acta Cryst. A25, 658 A969).
528. T. L u b e k, Acta Phys. Polon. A38, 71 A970).
529. W. С z a j a, Phys. kondens. Materie 10, 299 A970).
530. S. J. Allen, Phys. Rev. 167, 492 A968).
531. R. L. Cohen, S. H ii r n e r, K. W. West, Phys. Rev. 184, 263 A969).
532. L. P a 1, Acta Phys. Hung. 27, 47 A969).
- 454 —

Глава 19
ТЕОРИЯ САМОПРОИЗВОЛЬНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ
ФЕРРОМАГНЕТИКА
§ 1. Обменная теория ферромагнетизма — метод
энергетических центров тяжести
1. Основные модели—коллективизированных и локализованных момен-
моментов и s — ^-обменная. Из оценок порядков величины энергии в A8.6),
полученных в теории молекулярного поля и опытов Дорфмана [1] выте-
вытекала полная несостоятельность «магнитной концепции» для объяснения
самопроизвольной намагниченности в ферромагнетиках с высокой точ-
точкой Кюри.
Разрешение загадки ферромагнетизма могла дать лишь квантовая
механика, предсказавшая зависимость электростатической энергии
системы электронов от ее намагниченности, обусловленную принципом
Паули.
В опытах по гиромагнитному эффекту было установлено, что носите-
носителями магнитного момента во многих ферромагнетиках являются электро-
электроны, обладающие спином. Отсюда следовало, что ферромагнетизм в них
является своеобразной формой спинового парамагнетизма. Из сопостав-
сопоставления этого вывода с рассмотренными в гл. 11 магнитными свойствами
парамагнетиков типа щелочных металлов сразу вытекало, что ферро-
ферромагнетизм нельзя объяснить без учета электронного взаимодействия.
В связи с этим Френкель [2] высказал идею, что предсказанные Дорфманом
[3] и объясненные Паули [4] парамагнитные свойства газа свободных
электронов отнюдь не являются общими и что при наличии электроста-
электростатического взаимодействия между электронами зависимость их энергии
¦от намагниченности может носить противоположный характер, делая
намагниченное состояние энергетически более выгодным.
В 1928 г. Френкель [2] и несколько позже Гейзенберг [5] дали первое
математическое оформление этой идеи на основе приближенной обмен-
обменной модели, в которой вся обусловленная принципом Паули зависимость
электронной энергии кристалла от намагниченности проявляется через
энергию обмена. Ясно, что учет только одних процессов обмена и отказ
от точного вычисления энергетического спектра даже в этой упрощенной
модели не могли дать сколько-нибудь точных количественных результа-
результатов. Однако качественно ферромагнетизм получил свое принципиальное
объяснение. Основной успех при этом заключался в получении правиль-
правильного порядка величины обменной энергии Ai.
В квантовой теории ферромагнетизма используются два основных
подхода. Один из них, впервые предложенный Френкелем [2], основы-
основывается на модели фермиевского газа коллективизированных электронов
проводимости металлов с учетом их обменного взаимодействия. В теории
устанавливается условие, при котором эта связь делает выгодным само-
самопроизвольно намагниченное состояние, несмотря на то, что кинетическая
энергия электронов при этом увеличивается. Это направление развивалось
в работах Блоха [6], Вигнера [7], Мотта [8] [см. также [9] и Мотт и Джонс
- 455 —

A936)], Слэтера [10—12], Стонера [13], Вольфарта [14, 15] и многих
других [16-81] *).
Естественно, что модель коллективизированных электронов ближе
всего подходит для объяснения магнитных свойств d-металлов и сплавов
со спонтанным моментом, обусловленным спинами электронов недо-
недостроенных d-слоев оболочки атома. Для описания ферромагнетизма
в металлах редкоземельной группы и их сплавах с недостроенными ^-слоя-
^-слоями и во всей совокупности неметаллических ферромагнетиков более есте-
естествен второй подход, основанный на работе Гейзенберга [5], в котором
предполагается, что атомные моменты, образующие упорядоченную ферро-
или антиферромагнитную структуру, локализованы около узлов кристал-
кристаллической решетки. Это направление развивали Блох [84], [85] [см. также
Блох A934)], Слэтер [86], Бете [Бете и Зоммерфельд A938)], Ван-Флек
A932), Шубин и Вонсовский [88] [см. также [89, 90] и монографию Вонсов-
ского и Шура A948)], Холстейн и Примаков [91], Боголюбов A949), Бого-
Боголюбов и Тябликов [92] и другие [93—156] **).
После работ Боголюбова и Тябликова [160] (см. также [161—166])
в квантовой теории ферромагнетизма стал широко применяться кванто-
востатистический метод функций Грина (см. работы [167—205]). Несколько
другой метод предложили Гинзбург и Файн [206].
Кроме указанных моделей — коллективизированных и локализован-
локализованных электронов, была разработана еще одна промежуточная модель,
учитывающая возможное сосуществование локализованной и делокали-
зованной составляющих спиновой плотности электронной системы кри-
кристалла. Идея такой модели (полярной is — d-обменной) и первая ее коли-
количественная разработка были даны в работе Шубина и Вонсовского [88].
Дальнейшую разработку теории провели Вонсовский [207], Вонсовский
и Туров [208] (см. также последующие работы [209—257]). Эта модель,
по-видимому, имеет наибольшие преимущества для редкоземельных
s — /-металлов, их сплавов и соединений.
Более подробно эти три модели рассматриваются ниже (в гл. 20—22).
Здесь же речь будет идти о простой форме обменной модели ферро-
ферромагнитного кристалла с локализованными моментами в изложении, близ-
близком к первым работам Гейзенберга [5], Блоха [84, 85], Холстейна и При-
Примакова [91]. Эта модель является обобщением простейших задач кванто-
квантовой химии для молекулы водорода по Гайтлеру и Лондону [258] или двух-
электронного атома гелия по Гейзенбергу [259]. Поэтому вначале напом-
напомним кратко основные результаты теории молекулы водорода [см., напри-
например, [26, 260] и Блохинцев A961)].
2. Теория молекулы водорода и определение обменной энергии. Наи-
Наиболее общее определение обменной энергии для двухэлектроиной системы
(Нг, Не и т. п.) с гамильтонианом, не содержащим членов, описывающих
магнитное (спинорбитальное) взаимодействие, связано с возможностью
существования двух типов основного состояния — синглетного с нуле-
нулевым спином S = 0 и энергией х% и триплетного со спином S = 1 и энер-
энергией Щ. Обменная энергия А определяется как полуразность этих энергий
А^^Ш-Щ). A9.1)
Из A9.1) видно, что при А > 0 имеем Щ < х% и в основном триплетном
состоянии спины обоих электронов параллельны (точнее, проекции обоих
*) Наиболее полный обзор теории ферромагнетизма по модели коллективизи-
коллективизированных электронов дан Херрингом [82]; см. также обзоры [9, 83] и монографию Мат-
тиса A967).
**) Обзор Херринга [159] дает достаточно полную сводку по локализованной
модели ферромагнетизма с прямым обменным взаимодействием. См. также обзоры Що-
нё'вского и др. [157], Кеффера [158] и книги Тябликова A965) и Ахиезера, Барьяхтара
и Пелетминского A967).
- 456 -

спинов на ось квантования имеют одинаковые знаки, случай ферромаг-
ферромагнетизма), а при А<0 имеем 1Ш<3Ш, т.е. спины антипараллельны
(точнее — их проекции имеют различные знаки, случай антиферромаг-
антиферромагнетизма). Определение A9.1) позволяет записать обменную часть электро-
электростатической энергии двухэлектронной системы в виде скалярного произ-
произведения векторов спинов по Дираку [см. Дирак [262] и Ван-Флек A932)].
Для этой цели представим энергию % системы в виде
2 V * 2 '
при х = — 1: %=-1% и при х = +1: Ш =Щ- Квадрат вектора суммарного
спина системы S = Si + S2 в единицах Л равен
с2 1 9 © О C/Cl<1\ /1 Q Q \
О — ~п—[- Li&i ' Л2 == *-* \^ ~~Г •*¦/» {La .О}
поскольку собственное значение оператора квадрата спина одного элек-
электрона равно st (si + 1) = V2 (V2 + 1) = 3/4, а собственное значение
квадрата суммарного спина равно S (S + 1). Поэтому из A9.3) следует,
что оператор
A9.4)
имеет собственные значения [S (S + 1) — 1]; при S = 0 собственное
значение равно —1, и при S = 1 оно равно +1; эти собственные значе-
значения совпадают с возможными значениями параметра х в A9.2). Заменяя
х в A9.2) через A9.4), для оператора энергии системы находим
ФЬ ^ 0о — 6Л& л * Л2, {LJ .О)
который имеет требуемые собственные функции по отношению к спину
и точные собственные значения энергии. Здесь Що = Q-% + 33§)/4 — сред-
средняя энергия всех четырех спиновых состояний *) с учетом их статисти-
статистических весов. Формула A9.5) не зависит ни от каких предположений,
принимаемых при обычной приближенной трактовке задачи [258]
(т. е. от использования неортогональных одноэлектронных функций,
неучета корреляции, «полярных» состояний, магнитных взаимодействий
и т. п.), что очень удобно для обобщения A9.5) на случай кристалла.
Получим теперь конкретные выражения для обменной энергии А ив A9.1).
Для двухэлектронной системы гамильтониан (без учета магнитных взаимо-
взаимодействий) в обычном координатном представлении:
, A9.6)
где $6 о •= гагъе2/гаъ — энергия кулоновского отталкивания для ядер
аи Ь,$вi = ft + Vi — сумма кинетической Tt и потенциальной Vt энер-
энергии взаимодействия i-ro электрона с ядрами Vt = Vai + Уы = ———^~
rai ГЫ
и i = 1,2 a S?i2 =e2/ri2 — энергия кулоновского отталкивания электро-
электронов. Из A9.6) видно, что оператор перестановки частиц Pi2 коммутирует
с 3?, т. е. является интегралом движения. Введем пробную нормирован-
нормированную функцию Ф = Ф A, 2) пространственных координат электронов
Г\ и г2, обозначаемых для краткости через 1 и 2:
фA, 2) = 4-[ФA, 2) + ФB, 1)] + -|-[ФA, 2)-ФB, 1)] =
| 41-Л2]ФA,2), A9.7)
*) Триплетное состояние с S = 1 является совокупностью трех состояний с раз-
различными возможными значениями z-проекций Sz полного спина системы: Sz = 0, ±1.
— 457 —

равную сумме симметричной и антисимметричной частей ортогональных
друг к другу. Из требования антисимметрии полной волновой функции
(равной произведению декартовой части на спиновую) видно, что первое
слагаемое в A9.7) соответствует синглетному, а второе — триплетному
состоянию. После нормировки каждого из слагаемых в A9.7) находим
1.3g _ (Ф | (§g | Ф) ± (Ф | &еРп I Ф) ,19 8)
где приняты дираковские обозначения для матричных элементов
и (ф|ф) = 1. Подстановка A9.8) в A9.1) дает
л (Ф\&еРп\Ф)—<Ф | Pis | ф> <ф | «я? | Ф> ,,QO,
л = г^—;—т. • AУ.У)
1—(Ф|Р12|Ф>2
Если Ф —«смесь» двух точных собственных функций задачи, то A9.9)
является точным выражением для обменной энергии А, а также удобным
исходным пунктом для обсуждения приближенных трактовок проблемы.
Если же принять, что Ф либо симметрична, либо антисимметрична, то Ф
не дает достаточной информации относительно другого состояния,
и поэтому формула A9.9) для А лишается смысла. Рассмотрим теперь
конкретную приближенную модель, когда два электрона занимают соб-
собственно два орбитальных (нормированных) состояния, описываемых
одноэлектронными функциями а A) и Ъ B), так что Ф A, 2) = а A) Ъ B).
Введем для интеграла перекрытия обозначение
<ф | р | ф) = j а* A) Ь* B) а B) Ъ A) dxi dx2 =
= | j а* A) b A) dx{ |2 = | Sab f, A9.9a)
тогда в силу A9.9) получим приближенное выражение для обменной
энергии
А = ; —Г—,
Это выражение обычно называется обменным интегралом. Очень часто
ради упрощения пренебрегают интегралом перекрытия *), и тогда для
обменного интеграла получаем более простое выражение: А ={аЪ \$?\ Ъа).
Подставляя A9.6) в A9.10), находим
-\Sab\% A9.11)
Если пренебречь] интегралом перекрытия (т. е. положить Sab—-O) или
считать функции а и Ъ ортогональными, то
А =
) = е- \ а* A>Ъ ^ B>6* ^ dx, drz. A9.12)
Ъа) =
Интеграл дает выражение для «собственного потенциала» электронного
облака с плотностью еа* A) Ъ A) и является существенно положительной
величиной, т. е. при 6'аь = 0
А>0. A9.13)
*) Интеграл неортогональности Sab может быть равен нулю и при сильно пере-
перекрывающихся функциях, если они ортогональны. Для нас же часто существенна ма-
малость перекрытия, т. е. малость произведения двух волновых функций, входящих
в матричные элементы. По числу таких произведений и определяется порядок малости
тех или иных матричных элементов (интегралов).
- 458 -

Из A9.13) следует, что модель Гайтлера — Лондона — Гейзенберга
(ГЛГ) при пренебрежении интегралом перекрытия или при ортогональных
функциях а A) и Ъ B) не в состоянии объяснить антиферромагнетизм,
поскольку обменный интеграл A9.13) не может изменять знак. Это свя-
связано с тем, что для ортогонализованных или неперекрывающихся функ-
функций а A) и Ъ B) использование пробной функции в форме Ф = а A) Ъ B)
всегда делает триплетное состояние основным C§< гШ) и, следовательно,
синглетное состояние никогда не может осуществлять химическую связь
(см. Слэтер [12]). Ортогонализованные функции можно использовать
лишь при условии учета «полярных состояний» а A) а B) и 6 A) Ъ B),
которые изменяют энергию синглетного состояния. В случае неортого-
неортогональных функций а, Ъ обменный интеграл А содержит оператор S?i =
= Тг + Vi и, следовательно, кинетическую энергию Т. Пусть в рас-
рассматриваемой системе имеется два атома каждый с одним валентным элек-
электроном и с межъядерным расстоянием R. Ионные потенциалы в случае
водородоподобного атома равны
т/ е2'а т/ «2Zb
у al = : . V ь2 = —— >
ria r2b
где za и гь — атомные номера или «эффективные» ядерные заряды. Функ-
Функции а и Ъ обычно считаются решениями уравнения Шредингера изоли-
изолированных атомов:
{\) = ШъЪ{\). A9.14)
Замечая, что V = Fa + Fb, и используя A9.14), находим из A9.11)
А = { J а* A) Ъ* B) [Vai -I- Vb2 + -?] b A) а B) dx, dx2 -
Все слагаемые в числителе A9.15) одного порядка величины, т. е. порядка
| Sab |2. Поэтому нет никаких оснований пренебрегать каким-либо
из слагаемых *). Тем не менее обычно в A9.15) опускают члены с множи-
множителем | Sab I2) и выражение
[J'j(l)aB)dridr2 A9.16)
известно как гейзенберговский обменный интеграл. Лёвдин [260] считает,
что использование приближения A9.16) столь же незаконно, как и A9.12).
Для двухэлектронной задачи не представляет трудности учесть члены
с | Sab [2 (=5^=0) и произвести расчет по более точной формуле A9.15).
Однако фактически при сближении атомов и образовании молекулы про-
происходит деформация атомных электронных оболочек, поэтому функции
а и 6 уже не должны удовлетворять уравнениям A9.14) (см. [263]).
3. Обобщение на случай кристалла. Критерий ферромагнетизма.
Херринг [263, 159] и др. [264—266] подвергли критике использование
метода Гайтлер — Лондона для вычисления спиновой связи типа A9.5).
Они показали его неточность даже в случае больших межатомных рас-
расстояний, где всегда считалось, что он вполне законен. Следует подчерк-
подчеркнуть, что в реальных задачах квантовой химии и физики твердого тела
эти расстояния малы, и поэтому данный метод заведомо неприменим для
количественных расчетов. Оставляя пока вопрос о методах вычисления
параметра А в A9.5), обобщим это выражение па случай системы из N
локализованных спинов. Следуя Дираку [267] и Ван-Флеку A932)
*) Действительно, хотя в первом слагаемом A9.15) и нет множителя | Sab \ 2,
но зато под интегралом стоит произведение четырех функций: а* A) Ъ A)-6* B) а B),
т. е. произведение двух «перекрытий», а это тоже величина второго порядка малости.
— 459 —

(см. также [268]), этот гамильтониан обычно записывают в виде
^ 8о-2 3^«в«вл. A9.17)
Строго говоря, формула A9.17) была выведена для случая системы элек-
электронов [267], т. е. когда st в A9.17) — операторы вектора спина отдель-
отдельного электрона со спиновым квантовым числом s = 1/2 *). Фактически
же ее распространяют на случай, когда под векторами st- в A9.17) под-
подразумевают полные спины незаполненных й- или /-слоев электронной
оболочки атомов (с5^> 1/2) 8а = 2**> т- е-
^об = Шо -2 S AafJSaSf>. A9.18)
а, Р
Законность перехода от A9.17) к A9.18) не столь очевидна и требует спе-
специального доказательства (см. ниже, а также работы [117,113,114, 240]) **).
Здесь же мы пока будем считать, что A9.18) дает достаточно хорошее
приближение для рассматриваемой задачи. Если предположить, что
обменный интеграл заметно отличен от нуля только для атомов а, C —
ближайших соседей в кристаллической решетке, а для более далеких
соседей Аа$ ->¦ 0, то, обозначив его через
Аа$ — А (а и р — соседние узлы), A9.19)
вместо A9.18) будем иметь
<$?об « %0-2А 2 SaSfi, A9.20)
где сумма берется по парам ближайших соседей.
Для квадрата суммарного спина всего кристалла [см. A9.3)] имеем
( 2 «аJ= 2 «а+ 2 sjs^Ns;(S + i)+ 2 sjs^s'is' + i), (i9.2i>
a=l a=l a=?fl a=^p
где S'—спиновое квантовое число всей системы N атомов. Число членов,
в двойной сумме в A9.21) равно N (N — 1), поэтому среднее от ее отдель-
отдельного члена дается выражением
Число членов в сумме A9.18) равно Nz/2, где z — число ближайших
соседей у [узла решетки. Поэтому среднее значение {3?о&) с точностью-
до аддитивной постоянной §0 равно
> » - -^ [S' (S' +1) - NS (S +1)].
*) Здесь сразу возникает вопрос, можно ли обобщить определение обменного
интеграла A9.1) для систем с числом электронов больше двух. Как показал, например,
Фолкнер [117], это можно сделать строго еще только для системы трех электронов.
Для систем с большим числом электронов формула A9.17) всегда приближенная (см.
ниже). В общем случае наряду с квадратичными (относительно операторов s) появ-
появляются члены более высоких четных степеней. В некоторых случаях опыт также ука-
указывает на необходимость учета более высоких, например биквадратичных, членов
тппа ^]Aih (Si~shJ (см. [269, 270]).
**) В A9.18) не входит внутриатомная часть взаимодействия A9.17), поскольку
мы предполагаем, что в d-оболочках каждого иона по правилу Хунда (см. гл. 2) имеется
максимально возможный суммарный спиновый момент. Кроме того, считается, что-
все обменные интегралы между отдельными электронами двух атомов а и Р, спины
которых входят слагаемыми в суммарные векторы Sa и <Sg, в каждом атоме одинаковы,
поэтому интегралы Аа$ в A9.18) просто увеличены по сравнению с их значениями А^
в формуле A9.17) на множитель, равный полному числу отдельных взаимодействую-
взаимодействующих электронных пар d- (или /-) оболочек атомов аир.
- 460 -

Результирующий спин S отдельного узла решетки — порядка единицы,
а число S' —порядка доли всех узлов кристалла, участвующих в намаг-
намагниченности, которая равна т = Ny (здесь у = //Л^р-относительная
намагниченность). Поэтому в ферромагнетиках, с точностью до величины
порядка N'1, имеем
?об-<<^об> » —^™2= -NzAy2. A9.23)
Замена истинного энергетического спектра A9.20) средними значениями
A9.23) и является так называемым приближением энергетических центров
тяжести (Гейзенберг [5]).
Из сравнения A9.23) и A8.4) сразу видна внешняя эквивалентность
квантовой теории ферромагнетизма в рассматриваемом приближении
и теории «молекулярного поля», если положить zA = Aif поэтому все
результаты последней можно использовать и в данной теории. Однако
в квантовомеханической теории существование энергии А не просто
постулируется, а является результатом расчета, который также показы-
показывает, что абсолютная величина А, например, по A9.15) достаточна для
получения точки Кюри порядка 100—1000° К, как это и наблюдается
на опыте во многих случаях.
Количественные результаты по «обменной» модели в приближении
энергетических центров тяжести, конечно, являются весьма грубыми.
Единственно правильным количественным выводом ее могла бы являться
температурная зависимость парамагнитной восприимчивости при Т ^> в
[закон Кюри — Вейсса A8.11)]. Однако величина численных коэффи-
коэффициентов в этих теоретических формулах заметно расходится с опытом.
Для температур, близких к критическим (точке Кюри), результат оказы-
оказывается неправильным (см. § 4 гл. 18), для низких температур (область
вблизи абсолютного насыщения) рассматриваемая модель также приводит
к неправильному результату A8.8).
Из выражения для обменного интеграла A9.15) видно, что он может
быть любого знака, ибо даже если функции а и Ъ положительны, энергии
V и е2/г12 входят под интеграл с разными знаками. С другой стороны,
именно знак этого интеграла определяет, соответствует ли минимуму
энергии §Об из A9.23) намагниченное состояние с у = + 1 или, наоборот,
размагниченное с у = 0. Поэтому можно сказать, что положительный
знак обменного интеграла (А > 0) является необходимым условием для
появления ферромагнетизма. Однако в силу приближенности обменной
модели этот критерий не может носить характера достаточного условия
(см. ниже).
Из формулы A9.16) следует, что обменный интеграл является функ-
функцией расстояния между узлами кристаллической решетки аи р, а также
зависит от вида волновых функций. Слэтер [271] и затем Бете и Зоммер-
фельд A938) дали качественный анализ этой зависимости. При этом утвер-
утверждалось, что положительный знак будет иметь место, если: 1) волновые
функции а; и ah малы вблизи ядер и 2) расстояние между узлами велико
по сравнению с радиусами орбит, соответствующих этим волновым функ-
функциям. Выполнение этих условий хорошо удовлетворяется для волновых,
функций с большим азимутальным квантовым числом, то есть для элек-
электронов 3d- или 4/-слоя, что и имеет место в реальных ферромагнетиках.
Следует, однако, отметить, что эти соображения носят грубо качествен-
качественный характер, так как само выражение обменного интеграла A9.15)
является результатом очень грубого приближения. [Подробнее см. Вон-
совский и Шур A948)]. Кроме того, более детальные расчеты величины
Аар [272, 261] на основе формулы A9.15) показали, что абсолютная вели-
чина Аа$ оказывается слишком малой (а может иметь даже другой знак),
чтобы, например", обеспечить ферромагнетизм в d-металлах (см. ниже,
а также Херринг [82 и 263]).
- 461 -

Были попытки (см. Канер [273]) уточнить обменную модель в ее-
статистической части, то есть при вычислении статистической суммыг
но точный энергетический спектр при этом заменялся снова грубой схемой
энергетических центров тяжести.
§ 2. Классическая теория спиновых волн
1. Постановка задачи. Первым шагом дальнейшего уточнения кван-
квантовой теории ферромагнетизма явился отказ от использования прибли-
приближения энергетических центров тяжести A9.23) и более точный расчет-
энергетического спектра системы взаимодействующих электронов. Эта
задача может быть решена достаточно точно лишь в предельном случае
низких температур, когда кристалл находится вблизи состояния абсо-
абсолютного магнитного насыщения. При этом почти все атомные магнитные
моменты имеют проекцию, направленную в одну сторону (например, «вле-
«влево»), т. е. основному энергетически наинизшему состоянию ферромагне-
ферромагнетика соответствует однородная самопроизвольная намагниченность 10*).
При повышении температуры ферромагнетика его энергия будет возра-
возрастать за счет появления «перевернутых» электронных спинов. Благодаря
обменному взаимодействию эти «перевернутые» («правые») спины не будут
локализованы вблизи определенных узлов кристаллической решетки,
а в виде «волн» магнитного возбуждения спиновых волн (ферромагнонов
[274]) будут распространяться по кристаллу. Если ограничиться не очень
сильным возбуждением, когда число ферромагнонов мало по сравнению
с числом узлов решетки, то энергетический спектр системы можно с боль-
большой точностью представить как сумму энергий отдельных элементарных
возбуждений (квазичастиц)—ферромагнонов. Для вычисления энергети-
энергетического спектра и волновых функций в этом приближении обратимся
снова к гамильтониану A9.18). Для точного решения задачи нужны
детальные сведения об электронной структуре кристалла, отсутствующие
в настоящее время. Поэтому приходится пользоваться приближенными
микромоделями, в связи с чем появляется опасность, что полученные
результаты не только не отражают изучаемые явления количественно,
но могут приводить и к качественно неправильным выводам. Поэтому
возникает тенденция по возможности избегать грубых модельных упро-
упрощений, используя лишь самые общие свойства симметрии ферро- и анти-
антиферромагнитных тел и опытные факты. Естественно, что при этом в теорию
будут входить феноменологические постоянные, которые можно опреде-
определить только из опыта или вычислить с привлечением лшкромоделей.
Такой подход является естественным развитием изложенной выше термо-
термодинамической теории.
2. Определение обменного гамильтониана. В силу сделанных замеча-
замечаний необходимо придать «модельному» гамильтониану A9.18) «феномено-
«феноменологическую» форму. Для этого заменим «дискретные» векторы спинов
в узлах кристалла S-, непрерывной функцией координат: Si-^-j (г) =
= —у—, где векторная функция j (г) является относительной намагни-
ченностью в точке г, а /0 — самопроизвольная намагниченность при 0° К.
Эта замена аналогична переходу от атомной теории кристаллических
решеток к макроскопической теории упругости непрерывных сред. Оче-
Очевидно, что все это имеет физический смысл лишь для тех движений в систе-
*) Постулируя это, мы оставляем открытым вопрос о происхождении основного
состояния. Этот вопрос будет обсуждаться при выяснении физического критерия
ферромагнитного состояния (см. гл. 20—22). Полное абсолютное насыщение в ферро-
ферромагнетике при 0° К согласуется с требованием третьего начала термодинамики. Кро-
Кроме того, предполагается, что ось квантования (например, ось г) выделяется с помощью
слабого внешнего магнитного поля, приложенного вдоль отрицательного направле-
направления оси ж.
— 462 —

ме, которые нечувствительны к деталям атомной структуры. Движения
в «упругих» средах носят колебательный характер. Поэтому каждому
отдельному гармоническому обертону таких колебаний можно сопоставить
некоторую длину волны К. Если через d обозначить среднее расстояние
между ближайшими соседними ионами кристалла, то условием законности
перехода к приближению непрерывной среды будет неравенство *)
Я>г/. A9.24)
Допуская близкодействующий характер обменных взаимодействий **),
можно с большой точностью заменить гамильтониан A9.18) оператором
A9.20), учитывающим лишь взаимодействие ближайших соседей. Рас-
Рассмотрим для простоты случай простой кубической (п. к.) решетки. Тогда
каждый узел с радиусом-вектором г (х, у, z) будет иметь шесть ближай-
ближайших соседей с координатами (х + d, у, z), (х, у + d, z) и (х, у, z + d).
Пользуясь малостью отношения d/K (< 1) для различных «движений»,
при которых намагниченность j (r) совершает «малые колебания» с «боль-
«большой» длиной волны (к ^> d), значения 3 в узлах ближайших соседей с точ-
точностью до второго приближения можно записать в виде ряда по степеням
малой величины d:
A9.25)'
Таким образом, в сумме A9.20) каждая группа членов у одного узла,,
равная
"ж, у, 2 ("x+d, у, 2 т~ *-*x-d, у, 2 Т" "х, yi-d, 2 ~г *-*х, y-d, 2 ~1~"х, у, 2+d~r "ж, у, 2-d)?
заменится на
3 И [б? (/•) + d2 (-g -f-0- + -g-) =j (r) [zj (r) + d*Aj (r)], A9.26).
где z = 6 — число ближайших соседей у узла решетки.
Подставляя A9.26) в A9.20), трактуя полученное выражение как
квазиклассическую функцию Гамильтона, а не как оператор и переходя
от суммирования к интегрированию по всему объему ферромагнетика,
умножая A9.26) на dr/d3, где d3 — объем элементарной ячейки кристалла,
находим
«об = -^- \ ? (г) dr~^\з ('О Д./(г) dr =
= - "Ж" J Р И d>'~ Ц- \ 0*Д/* + hAh + Шг) dr. A9.27)
Преобразуем второй интеграл в правой части A9.27) по формуле Грина:
j jxAjxdr=- — j (V/xJ dr — § h-^ da и т. д.,
где в правой части второй интеграл берется по поверхности всего ферро-
ферромагнитного образца, a djjdn — производная /х по нормали к этой поверх-
поверхности. Если вообще отвлечься от поверхностных эффектов или считать,
*) Кроме того, мы будем здесь предполагать, что к <f L, где L — линейные раз-
размеры образца, т. е. предполагать, что средние размеры магнитных неоднородностей
заметно меньше размеров образца.
**) Это допущение отнюдь не очевидно, поскольку есть реальные случаи-
(см. гл. 20), когда оно не выполняется и обменная связь имеет дальнодействующий-
характер.
— 463 —

что нет магнитных поверхностных зарядов djjdn = 0 (см. гл. 5), то этот
интеграл можно опустить. Тогда вместо A9.27) имеем
go6 = - 4т- J /2 dr+ir) [(V/,J + (Viyf + (V/2J] dr. A9.28)
Таким образом, нарушение однородности намагниченности при усло-
условии A9.24) приводит к появлению добавки к обменной энергии, которая
с точностью до поверхностных эффектов равна
(V/S2J] dv =
f + (VayJ+(VazJ]dr, A9.29)
где ax, ay, az — направляющие косинусы вектора Is соответственно
относительно осей х, у и z.
Переход от квантового гейзенберговского гамильтониана A9.20)
к классической энергии A9.29) можно осуществить и несколько иным
путем. Операторы в A9.20) будем рассматривать как классические векто-
векторы. Тогда вместо A9.20) получим
§об — Шо = А^об = — 2AS2 2 cos 4>ih
б. с
где сумма косинусов в правой части берется по ближайшим соседям (б. с),
<Рг/ — угол между векторами St и Sj. При малых отклонениях от одно-
однородной намагниченности углы фг;- очень малы и можно приближенно
положить: cos ф^ ж 1 — ф|3- /2. Тогда
AgO6 = AS2 2 ф!j- A9.29а)
б. о
Замечая, что углы фг-;- связаны с направляющими косинусами векторов Ts
в узлах i и / формулой
cos <pij = axiaxj + ayia.y)A-aziaz},
нетрудно показать [производя разложение типа A9.25) для косинусов
¦ахХ, ау1 и azl] полную эквивалентность формул A9.29) и A9.29а).
Из A9.29) снова видно, что минимуму обменной энергии соответ-
соответствует однородная намагниченность. Надо подчеркнуть, однако, что
было бы преждевременным считать любое конечное ферромагнитное тело
всегда намагниченным до насыщения однородно, ибо выражения A9.20)
и A9.29) обладают высокой степенью вырождения по направлению. Нали-
Наличие сколь угодно малого возмущения, снижающего это вырождение,
будет весьма существенно сказываться на ориентации вектора Is в раз-
различных участках тела. Из полученных выражений можно сделать лишь
вывод, что при всяком нарушении однородности намагниченности обмен-
обменная энергия стремится сохранить эту однородность. Формулу A9.29)
можно получить и непосредственно из соображений симметрии (см. гл. 22).
Однако здесь для начала дан полумикроскопический вывод, чтобы была
ясна физическая связь между строгим квантовым подходом и феноменоло-
феноменологической трактовкой ферромагнетика как «непрерывной» среды с «маг-
«магнитной структурой».
Покажем теперь, как получить феноменологическое определение
параметра А в A9.29). Это проще всего сделать с помощью следующих
соображений (см. Ландау и Лифшиц [275]): энергия A9.29) достигает
максимума, когда Is меняет свое направление на обратное на расстояниях
порядка постоянной решетки d (VIS ~ IJd), т. е. когда
AV/ds,
464 —

где V — объем тела, что имеет место при температурах Кюри в, когда
исчезает самопроизвольная намагниченность. Поэтому поправка (Д§Об)макс
должна быть порядка тепловой энергии &БвУ/й3, откуда, в согласии
с A8.6), сразу следует
А да кБв. A9.30)
3. Определение спектра спиновых волн. а. Метод диагонализации
гамильтониана. Обратимся теперь к расчету энергетического спектра
ферромагнетика, описываемого формулой A9.28). Решим сначала эту
задачу в классическом приближе-
приближении, определив малые колебания
самопроизвольной намагниченности
Is ОКОЛО ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ .Го-
Примем, что вектор Js отличается от
Jo на малую величину \:
JS = JO+Y, A9.31)
где " ВС
, , ,, , т , ,.п гуг,\ Рис. 19.1. К определению изменения у векто-
[ Y | <45ч |-to |- (ly.oZJ pals
\Is\ = \Io\ = OC — OA; |Y|=AC;
Используя условие A9.32), примем, _i_ , вс_ D. _ 2_,_ 2
что изменение вектора Js сводится 2 ~ ~ • - ~ • ух < Чу> г~-
к изменению его ориентации в раз-
различных точках ферромагнетика; абсолютная же величина вектора | Js |
остается при этом неизменной*), т. е.
Л =/2 = const. A9.33)
Выберем направление однородной намагниченности /0 за ось z; тогда
в принятых приближениях имеем
/ х = ух, Is =v , ISZ = IO yz. A9.34)
Как легко видеть из рис. 19.1, величина yz будет в первом приближе-
приближении квадратичной функцией ух и уу**), и поэтому вместо A9.34) можно
написать
A9.35)
получим
A9.36)
Подставляя A9.35) в A9.29) и пренебрегая V/Sz~V/0 =
А^об « щ j 1(УухJ+(УууJ] dr.
Поскольку обменное взаимодействие изотропно, оно не определяет ориен-
ориентации вектора Jo B ферромагнетике. Эта ориентация определяется сово-
совокупным действием внутренних магнитных полей и внешних упругих сил
и магнитных полей. Здесь мы ограничимся простейшим случаем изот-
изотропного ферромагнетика и для снятия; ориентационного вырождения,
как уже отмечалось, включим вдоль оси z слабое внешнее однородное
и постоянное магнитное поле Н (Нх = Hv = 0, Нz = Н). Тогда для
плотности энергии (зеемановской), связанной с действием этого поля,
*) В действительности величина /s, конечно, также изменяется, однако предпо-
предполагается, что это изменение при условии A9.32) оказывается поправкой более высо-
высокой степени малости, чем изменения, вносимые отклонением вектора Is от своей рав-
равновесной ориентации Го.
**) Действительно, из подобия треугольников ODC и ABC (рис. 19.1) имеем:
ВС = {DC/ОС) АС, где ВС = yz, DC = у!2, ОС = /0, АС = у. Таким образом,
2/о '
поскольку отброшенный член у\{21й имеет более высокий порядок малости.
30 с. В. Вонсовский — 465 —

при отклонении вектора Is от оси z2 в силу A9.35), имеем
- (ISH) = - ISZH = - I0H + -^pJL Я,
и увеличение энергии ферромагнетика в поле Н, обусловленное неодно-
неоднородностью намагниченности (у^=0), равно
dr. A9.37)
Полная добавочная энергия неоднородно намагниченного кристалла в при-
принятых приближениях будет равна сумме A9.36) и A9.37)
= j
[(Vy*J+ (V7,J] + (yl+ yl) -щ-} dr. A9.38)
Зная энергию A9.38) как функцию ух и уу, можно решить классическую
задачу о колебаниях намагниченности изотропной квазинепрерывной
магнитной среды, свойства которой описываются «намагниченностями»
ух (г, t) и уу (г, t) как функциями координат и времени *). Для решения
этой задачи нужно записать энергию A9.38) в канонической форме [Лан-
[Ландау и Лифшиц A965)]. В качестве обобщенных координат можно выбрать
фурье-компоненты величин ух и уу. Однако, прежде чем это делать, удоб-
удобнее ввести вместо ух и уу две их независимые линейные комбинации
У+=Ух+1уу, y- = y=c — iyy A9.39)
(i = V — l). Отсюда для A9.38) находим
ASoS = J [ж{Vy+' Уу~] + Ж у+у~\dr- A9-40)
Произведя теперь разложение у+ и у_ в ряды Фурье, получим
7_ = а 2 Qk exp {i [со (fc) (+ кг]},
t, A9-41)
7+ = « Zj <А ехр { — i [со (к) t + кг]},
It
где со (к) — частота колебаний, к — их волновой вектор, qk и qt —
обобщенные координаты системы, а — нормировочный фактор, который
будет определен ниже. Поскольку у+ и у _ являются функциями, опре-
определяемыми во всех точках пространства и времени, то их можно было
бы разложить в интегралы Фурье. Следовательно, число обобщенных
координат должно быть бесконечным [см. Гайтлер A956)]. Можно, однако,
выбрать дискретную счетную их совокупность, введя условия периодич-
периодичности для намагниченностей у+ и у _, допустив, что их период равен
ребру L некоторого куба. Поскольку мы отвлекаемся от граничных эффек-
эффектов, то длина L может быть сравнима с линейными размерами образца,
и поэтому мы примем, что у+ и у _ периодичны с периодом, равным ли-
линейным размерам образца, и поэтому на противоположных поверхностях
образца значения у+ и у .. равны между собой.
Подставляя A9.41) в A9.40) и учитывая, что
(Vy+-Vy_) = cc2 2 Quql'kk'exp {i [со (к)-со (k')]t+i (k-k') r},
к, к'
находим
J [ Тр-Ш'
ехр <*[со W ~
+ i(Jn — k')r}dr. A9.42)
*) Строго говоря, в A9.38) следовало бы учесть диссипативные силы [Ландау
и Лифшиц A958)], т. е. ввести члены, описывающие затухание колебаний магнитного
момента в ферромагнетике вследствие перехода энергии этих колебаний в тепло, и т. п.
— 466 —

В силу принятых условий периодичности интегралы по dr сразу берутся
и равны
A9-43)
Здесь б/^' — символ Кронекера. Используя A9.43) в A9.42), находим
A9-44)
Выберем теперь нормировочный фактор а так, чтобы член в A9.44) с внеш-
внешним полем (a2F/2/0) H имел вид [iH, где [i = geh!2mc = gfiB есть z проек-
проекция спинового магнитного момента атомного носителя намагниченности
с магнетомеханическим отношением g (см. гл. 17) и спиновым квантовым
числом s *). Это дает
(^I/2. A9.45)
Размерность а совпадает с размерностью /s или у, поэтому, согласно A9.41),
координаты qk и q% безразмерны. Подставляя A9.45) в A9.44), получаем
окончательно
Из A9.46) видно, что энергия системы при выполнении условия A9.32)
имеет вид аддитивной суммы энергии отдельных собственных колебаний.
Возможные значения волновых векторов к, нумерующие эти собствен-
собственные колебания непрерывной среды, можно определить из условий перио-
периодичности. Действительно, при замене г на v + L величины у± в A9.41)
не должны меняться. Поэтому к (кх, кд, kz) может принимать только
следующие дискретные значения:
*v = -^-nv (v = x,y,z), K = 0, +1, +2, ...). A9.47)
Формулу A9.46) естественно интерпретировать следующим образом.
Величина
^ A9.48)
имеющая размерность энергии, может быть названа энергией собствен-
собственного колебания системы с волновым вектором к. Первое слагаемое в A9.48)
определяет «кинетическую» часть этой энергии, a \iH — потенциальную
энергию магнитного момента ц,, антипараллельного полю Н. В терминах
волновой теории е (к) является энергией плоской волны — отдельной
гармоники сложного движения ферромагнетика, которую, следуя Блоху
[84, 85] и Слэтеру [86], принято называть спиновой волной. На корпуску-
корпускулярном языке величину е (к) можно рассматривать как энергию некоторой
квазичастицы — ферромагнона (Вонсовский [274]). Первое слагаемое
в A9.48) можно записать в форме, обычной для кинетической энергии.
Используя формулу де Бройля к =p/h, где р — вектор импульса, можно
A9.48) представить в виде
Здесь введена эффективная масса ферромагнона
*) Строго говоря, под \i следует понимать средний магнитный момент, приходя-
приходящийся на узел решетки.
— 467 — 30*

если учесть, что /0 — N\i/Nd3 ¦-= [i/d3. Поскольку обменный интеграл А
по A9.30) можно выразить через точку Кюри в, то
«•=4*55*' A9.50а)
где &б — постоянная Больцмана. Таким образом, в обычных ферромаг-
ферромагнетиках (где в порядка 103 °К) эффективная масса ферромагнона т* «
« 106 г. Безразмерный множитель qh qt = nk в A9.46) имеет смысл
числа спиновых волн или ферромагнонов с квазиимпульсом к. В этом
можно убедиться, если, используя A9.41), A9.43) и A9.45), вычислить
интеграл
_7+ dr = а2 2 J ЧьЧи' exp {i [со (к) - со (к1)] t + i(k'-k) г) dr =
к, к'
^ A9.51)
С другой стороны, в силу A9.39) и A9.35) имеем
yjy+dr = \ (yl-\-yl)dr = 2I0 \ [IQ — Isz(r)]dr. A9.51а)
Из сравнения A9.51) и A9.51а) получаем
2п,/,', — "V и, — _L Г/¦ F f Т f>1 г1чЛ i\Q Ъ9\
ЦкЦк' — 7\ "'к — ^Г \ 10' — 1 ¦* sz V* ) и' • (Ш .Об)
к к
Из A9.52) видно, что величина B«fc) М- Дает уменьшение z-компоненты
магнитного момента ферромагнитного образца объема V по сравнению
с насыщением IqV. Следовательно, 2И^ равно полному числу ферромаг-
к
нонов (спиновых волн), а пк равно их числу в состояниях с волновым
вектором к.
Для вычисления равновесных термодинамических величин и кинети-
кинетических коэффициентов ферромагнетика (например, их температурных
зависимостей) необходимо уметь определять средние статистические
значения чисел заполнения {пи), а для этого нужно знать функцию рас-
распределения ферромагнонов. В классической теории известна одна функ-
функция распределения — Максвелла — Больцмана. Однако ферромагноны
это квантовые квазичастицы, и поэтому они должны подчиняться кван-
квантовой статистике. Вопрос о том, какой именно из квантовых статистик —
Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна — должны следовать ферро-
ферромагноны, может решить только квантовая теория спиновых волн, которая
будет рассмотрена в следующем параграфе.
Среднее значение чисел заполнения можно определить по обычной
статистической формуле
У п -ех-Г Пк&{к)
/| пк ех
(Пк)=^4,—
пкг(к)
пк=0
где суммы берутся по всем разрешенным состояниям. Вводя обозначение
оо
л = е(к)/квТ и используя формулу A — у)~1= 2 Уп (при г/<1), находим
п=0
ехр
— 468 —

т. е. мы получили для среднего числа заполнений спиновых волн хорошо
известную функцию распределения Планка.
б. Решение динамических уравнений. Динамические свойства спино-
спиновой системы можно описывать, используя уравнения движения классиче-
классической механики. Согласно последней уравнение движения твердого тела
в «неподвижной» инерциальнои системе координат имеет вид
¦7F = «F, A9-54)
где L — момент импульса твердого тела, а г/Г — вектор действующего
на тело вращательного момента. Если твердое тело представляет собой
«магнит» с магнитным моментом I, то, согласно A7.3)—A7.5), для изо-
изотропного ферромагнетика имеем
i = pi", A9.55)
где р — размерный тензор гиромагнитного отношения р — ? Bтс/е) [см. A7.4)]
или р~1 = g (e/2mc). Кроме того, для момента силы &С в случае однород-
однородного внешнего магнитного поля Н имеем
& = [1-Ш\. A9.56)
Используя A9.55) и A9.56), уравнение A9.54) можно записать в форме
*
В общем случае под Н следует понимать некоторое эффективное «магнит-
«магнитное» поле -ВГэФФ- Это поле можно определить, зная энергию системы [276].
Используя A9.28), A9.29) и A9.38) и переходя повсюду к /s, эту
энергию можно записать в виде
So6 = ~ iw J п dr + Ж J[(v/s*J + (v/'"J + (v/szJ] dr ~~ \ IszH dr'
A9.58)
Из условия, что Шоъ должна быть минимальной в равновесном состоянии,
вытекает требование равенства нулю первой вариации 8Шоъ = 0 при
произвольных малых изменениях намагниченности 8IS- Из вариационного
исчисления известно, что
= j 8/(Js; VISX, VISV, VISz)dr =
2^[k]} V/- •••)№dr> A9.59)
где га( = х, у, z) и
f(Is;VIsx, .. .)= —^Ps + ^l(VlsxJ + (VlsyJ + (VlszJ]-ISzH A9.60)
— плотность энергии ферромагнетика. Подставляя A9.60) в A9.59) и про-
произведя дифференцирование, находим
Из-за произвольности вариации bls интеграл в A9.61) равен нулю, если
равно нулю подынтегральное выражение, которое имеет вид
(#эфф-6/8) = 0, A9.62)
где
^* + ^гМэ + Н A9.63)
- 469 -

и представляет собой эффективное поле *). Подставляя в уравнение дви-
движения вместо / вектор Is и вместо Н эффективное поле из A9.63),
получаем
# !?[( ?)] A9.64)
ибо [Is, l"s] = 0. Заменим теперь в A9.64) Is по A9.31) на Jo+Y> это
даст (если учесть, что Д/0^0)
f ^{^} A9.65)
так как J0||BT, a [y^yI — величина высшего порядка малости. Будем
далее считать, что у2, у\ и, следовательно, (yl + yl) не изменяются со вре-
временем. Изменяются со временем лишь слагающие ух и уу, то есть мы
имеем дело с прецессией вектора Is вокруг оси z (см. рис, 17.10) с постоян-
постоянным углом прецессии. В этом случае уравнение A9.65) в компонентах
по осям х и у имеет вид
A9.66)
Предполагая, что уравнения A9.66) имеют решения в виде плоских волн
у х = R sin (<ot-\-kr), yy = Rcos((ot+kr), A9.67)
после подстановки A9.67) в A9.66) находим
- со sin (cot + кг) = -
A9.68)
- к2) sin (cof + кг). I
Отсюда находим дисперсионное соотношение
?i(o = ^-k2 + iiH, A9.69)
которое в точности совпадает с A9.48); здесь (х = g[is-
4. Наглядная картина спиновых волн. Следуя Кефферу и др. [277],
а также Киттелю [278], спиновой волне можно дать очень простую нагляд-
наглядную классическую интерпретацию. Рассмотрим цепочку из N атомов,
расположенных в узлах qu q2, . . ., qN. Пусть расстояния между сосед-
соседними атомами равны а (рис. 19.2) и слабое внешнее поле Н направ-
направлено вдоль оси z. Если спиновое квантовое число атомов равно S, то модули
их спиновых магнитных моментов равны ^б!^ E + 1). В основном
состоянии, когда волновой вектор спиновой волны равен нулю (к -— 0),
все спины в цепочке прецессируют в фазе вокруг направления поля Н.
Слагающая спиновых моментов вдоль оси z будет иметь максимальное
значение Sz = S **). Как следует из A9.69), частота этой однородной
*) Действительно, из A9.62) мы видим, что б!±НЭфф. С другой стороны, 6Z_LZS,
a Zs должен быть параллелен эффективному полю -Н"эфф. Условие A9.62) определяет
-Н"Эфф с точностью до произвольного постоянного множителя. Однако поскольку при
А = 0 по A9.63) -Н"эфф = Н, то отсюда следует, что этот множитель равен единице.
Первое слагаемое в A9.63) дает «однородную», второе —«неоднородную» слагающие
молекулярного поля, а третье — вклад внешнего поля.
**) Напомним, что спиновые магнитные моменты ц не будут в квантовом случае
параллельны полю И. В этом отличие выводов квантовой механики от классической
относительно максимальной величины намагниченности. Согласно квантовой меха-
механике и в основном состоянии имеются слагающие вдоль осей х и у. Это приводит к су-
существованию «нулевой энергии» спиновых волн (см. ниже, а также [279]).
— 470 —

прецессии будет равна ларморовской частоте:
г а е
Ъпс
н.
A9.70)
В случае спиновых волн с отличными от нуля волновыми числами
(к ф 0) прецессии отдельных спинов уже не будут в одной фазе. Между
каждой парой моментов, прецессирующих вокруг оси z, возникает сдвиг
фазы, который обусловлен появлением фазовых факторов (kv) в реше-
решениях A9.67) при & Ф0. Легко видеть, что поскольку расстояние между
соседними атомами равно а, то и сдвиг фаз прецессий для них будет равен
(к-а), или для линейной цепочки просто ка. На рис. 19.2, а приведен
6)
Рис. 19.2. Полуклассическая наглядная картина спиновых волн,
а) Прецессия N векторов спинов в линейной цепочке («моментальный
снимок»); б) вид сверху на концы стрелок трех соседних векторов
спинов 1, 2, 3, приведенных в один узел; в) то же, вид сбоку (Кеффер,
Каплан, Яфет [277]).
«моментальный снимок» картины прецессирующих спинов в цепочке
атомов ферромагнетика согласно [277]. На рис. 19.2, б показан вид сверху
на окружность, описываемую при прецессии концом вектора спинового
магнитного момента в плоскости, параллельной плоскости (х, у). На этой
одной окружности прецессии показаны мгновенные положения концов
трех соседних векторов: ць ц2. М-з- Расстояния между этими точками
в углах равны ка. На рисунке эти углы значительно увеличены для нагляд-
наглядности. В действительности при слабых возбуждениях системы эти углы
очень малы, что легко видеть из формулы A9.47), согласно которой
ка = 2nna/Na (L = Na, аи — целые числа). При малых к (или малых
п < N) угол ка = 2nn/N очень мал. Наоборот, длина спиновой волны
X — 2л/к = N/n при этом очень велика. Например, при п = 1 К^ = Na =
= L, то есть она порядка размеров образца. Величина радиуса окружно-
окружности прецессии R, равная R = Уц% + D, изменяется при появлении
одной спиновой волны на величину 1/N (см. [280]).
Выясним, чему равен угол ф между соседними спиновыми магнитными
моментами в пространстве (рис. 19.2, в). Длина дуги окружности пре-
прецессии между концами векторов ц соседних спинов равна kaR (рис. 19.2, б)
(при малых к стрела дуги 2ка приближенно равна (kaJR/2). Поэтому в тех
же приближениях угол ф равен (kaJR/2YS E + 1). Отсюда сразу видно,
что обусловленный обменным взаимодействием вращательный момент,
действующий на данный спин со стороны его двух ближайших соседей,
находящихся к нему под углом ф, пропорционален выражению
Ы (j/5E + l)J sin ф да 2А /5E + 1) (каJ R.
— 471 —

Добавка к ларморовской частоте соь оказывается пропорциональной
Ак2, т. е. мы снова приходим к закону дисперсии для спиновой волны
A9.69) или A9.48).
Выше мы получили чисто классическим путем динамическое описа-
описание поведения системы электронных спинов при учете обменного взаимо-
взаимодействия между ними в присутствии слабого внешнего магнитного поля.
Для дальнейшего теоретического исследования как равновесных свойств
этой системы, так и кинетических процессов с участием ферромагнонов
нужно знать равновесную функцию распределения этих квазичастиц,
время их жизни и вероятность переходов, связанных с их «столкнове-
«столкновениями» между собой и с другими элементарными возбуждениями системы
(тепловыми колебаниями решетки — фононами, электронами проводи-
проводимости и т. п.). Рассмотрение всей совокупности указанных вопросов
требует более строгого микроскопического подхода на основе квантовой
механики и квантовой статистики.
Кроме того, в приведенных выше в основном иллюстративных расче-
расчетах совершенно не учитываются магнитные анизотропные взаимодействия
между спиновыми моментами. Однако все уточнения такого рода целесо-
целесообразнее производить уже после перехода к квантовомеханической теории
спиновых волн.
§ 3. Квантовая теория спиновых волн *)
1. Определение гамильтониана. При переходе от классической теории
к квантовой вместо классической функции Гамильтона (энергии) вво-
вводится оператор Гамильтона как функция квантовых переменных, которые
являются операторными величинами. В общем случае некоторые из этих
операторов могут не коммутировать друг с другом и удовлетворять особым
перестановочным соотношениям. Момент количества движения прямо
пропорционален магнитному моменту. Такая же связь существует
и между соответствующими операторами механического и магнитного
моментов в квантовой механике.
В классической механике аксиальный вектор механического момен-
момента JL определяется как векторное произведение L = [rp] (p — вектор
импульса) или в составляющих
ypx. A9.71)
Если выбрать квантовомеханическое координатное представление [см.
Блохинцев A961)], то координаты х, у, z сохраняют свой классический
вид, а импульсы заменяются дифференциальными операторами (рх ~>
-+(%Ц)д1дх и т. д.). Таким образом, вместо A9.71) для операторов слагаю-
слагающих момента будем иметь
A9.72)
Для оператора вектора момента L имеем
L=\[r4r\. A9.73)
Перестановочные соотношения коммутации для операторов A9.72) имеют вид
1, j = x,y,z). A9.74)
*) Детальное изложение квантовой теории спиновых волн можно найти в ряде
монографий: Туров A963), Тябликов A965), Маттис A967) и Ахиезер, Барьяхтар
и Пелетминский A967), а также в обзорах: Ван-Кранендонк и Ван-Флек [103], Ахие-
Ахиезер, Барьяхтар и Каганов [106, 107], Щенёвский и др. [157] и Кеффер [158].
— 472 -

Используем A9.74) для получения перестановочных соотношений для сла-
слагающих магнитного момента. Полный магнитный момент М ферромагнит-
ферромагнитного образца с намагниченностью I (г) равен
M=\l(r)dr, A9.75)
где интегрирование ведется по всему объему образца. Связь между М и L
дается универсальным соотношением A9.55). Поэтому из A9.75) находим
MjMi — Mi M3 = iftp-Wft A — bi3). A9.76)
С помощью A9.75) можно из A9.76) найти перестановочные соотношения
для операторов слагающих вектора намагниченности /г-(г). Заменяя
в A9.76) Mi интегралами по A9.75), получаем
j j [I, (г) /, (г') -./, (г') I, (г)] dr dr' =
= 1Ц-1 A - 6i/) j j Л (г') б (r — rl) dr dr',,
где 8(r — r') — дельта-функция Дирака, обладающая известным свойством,
что \ Д (г') б (г — r')dr' = Д (г). Полученное интегральное равенство
не должно зависеть от вида функции I (г), поэтому необходимо, чтобы
подынтегральные функции от левой и правой частей этого равенства были
равны, т. е.
1} (г) It (r') -It {г') 1} (г) = iSp-i Л {г') б (г - г') A - btJ). A9.77)
Воспользуемся теперь формулами A9.31) — A9.34) и перейдем к пере-
переменным A9.39). Это дает
7_ (г) 7+ (г') - 7+ (г') у. (г) = 27ф-1/об (г-г'). A9.78)
Оператор Гамильтона (точнее его часть, связанная с возмущениями одно-
однородной намагниченности) квантованной системы по принципу соответствия,
согласно A9.40), имеет вид
= J
1
-] dr. A9.79)
Перейдем теперь по аналогии с классической теорией от операторов у+ и у_
к их фурье-компонентам — операторам bk и bi [аналогам классических
фурье-компонент qk и q% из A9.41)]:
(cofci+ кг)], у+= а ^\Ь% ехр [ — i(<oht + kr)]. A9.80)
к к
Найдем перестановочные соотношения для новых операторов. Для этого
подставим разложения A9.80) в формулу A9.78). Это даст
2 Ф* Ь%> - ЪЬЪк) ехр [i(kr- к'г')] = \ 2йр/8б (г - г').
к, к'
Умножим почленно обе части этого равенства на ехр [i (k[r'—кгг)],
где ki и к[ — два допустимых произвольных постоянных значения век-
векторов квазиимпульсов к и к', и затем произведем интегрирование по dr
и dr' по всему объему образца:
j j dr dr' 2 Ф* bt— к'Ьк) ехр {i [(к - к,) г + (к[ - к') г']} =
к, к'
= -^ 2Ц~Ч0 j j б (г- у') ехр [i (к[гг - k,r)]dr dr'.
— 473 —

Используя свойства дельта-функции б (г — г'), а также соотношение A9.43),
получаем после интегрирования
к, к'
Используя далее определение а2 по A9.45) и снимая суммирование в левой
части с помощью символов Кронекера, находим
Операторы bk и bt, подчиняющиеся перестановочным соотношениям
A9.81), носят название бозе-операторов вторичного квантования. Из
квантовой механики также известно [см., например, Блохинцев A961)],
что в представлении чисел заполнения пк отличными от нуля матричными
элементами операторов б^и bt, являются следующие:
(п.к \bk «fe4-l) = («fc + l) 'ехр ( г-
V h ' * A9.81а)
{Пк | bt \nh — 1) = nh' ехр
откуда видно, что оператор Ьк соответствует увеличению, а Й — умень-
уменьшению числа бозе-частиц в состоянии к на единицу. В частности, через
них выражается оператор Гамильтона системы частиц, которые подчи-
подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (т. е. волновая функция которых,
в противоположность системам из ферми-частиц, например электронов,
симметрична, а не антисимметрична относительно перестановок пары
частиц). Как следует из классического варианта теории спиновых волн,
оператор Гамильтона системы A9.79) после подстановки в него A9.80)
и преобразований, аналогичных описанным выше, можно записать в виде
ibk¦. A9.82)
Как уже было показано в A9.53), оператор bt bk' = пк должен иметь
смысл оператора числа бозе-частиц в состоянии с квазиимпульсом к.
Возможные (собственные) значения этого оператора — числа заполнения
могут быть любыми целыми положительными числами, включая и нуль
(статистика Бозе). Энергия бозе-частицы в этом состоянии е (к) опреде-
определяется формулой A9.48). Таким образом, возможные значения энергии
всей системы, т. е. энергия длинноволновых колебаний самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности при слабых возбуждениях в области низких темпе-
температур имеет вид
|=2вд(А;), пк = 0, 1, 2, 3,... A9.83)
к
Из приведенного расчета следует, что в системе взаимодействующих
электронов (при учете электростатических обменных' сил!), основному
состоянию которой соответствует однородная намагниченность (ферро-
(ферромагнетизм), элементарные спиновые возбуждения имеют характер неза-
независимых спиновых волн, образующих идеальный газ бозевских квази-
квазичастиц - ферромагнонов.
Очевидно, что развитая здесь теория является приближенной (см.
замечание в начале § 2). Строгое рассмотрение проблемы спиновых волн
представляет собой весьма сложную задачу, не нашедшую еще своего
окончательного решения [см. Маттис A967), Тябликов A965), Кеффер
[158]). Детальное рассмотрение квантовой механики спиновой волны
провел Цукерник [281].
— 474 —

Во всех изложенных расчетах мы пользовались приближением идеаль-
идеального бозе-газа, в котором каждый «перевернутый» спин или, точнее, соот-
соответствующее коллективное возбуждение — спиновую волну или ферромаг-
нон, можно было рассматривать индивидуально. Однако если мы захотим
более строго рассмотреть случай не одного, а хотя бы двух переверну-
перевернутых спинов, то возникло бы сразу по крайней мере два осложнения.
Во-первых, две спиновые волны или два ферромагноыа могут «встретить-
«встретиться» при своем распространении по кристаллу, что приведет к эффектам
рассеяния. Во-вторых, энергетически не безразлично, на каком расстоя-
расстоянии друг от друга находятся перевернутые спины, С точки зрения обмен-
обменной связи наиболее выгодно, чтобы они были ближайшими соседями
в решетке, т. е. чтобы они образовали спиновый комплекс (Бете [87]).
Распространение коллективных возбуждений, соответствующих таким
комплексам, будет более сложным эффектом, чем распространение «оди-
«одиночных» спиновых волн. С увеличением числа перевернутых спинов обе
эти трудности усугубляются (см. ниже). Однако, как показывает опыт
и более строгое теоретическое рассмотрение этой задачи (см. Дайсон [99]),
область применимости этого приближения достаточно широка и в тем-
температурной шкале составляет примерно 1/5 часть интервала между 0° К
и точкой Кюри, непосредственно примыкающего к 0° К.
2. Закон Т3/2 Блоха для намагниченности. Как уже указывалось,
преимущество квантовой трактовки заключается, во-первых, в том, что
можно сразу определить среднее статистическое значение чисел запол-
заполнения ферромагнонов, т. е. их функцию распределения. В принятом
приближении (идеальный бозе-газ) эта функция распределения имеет
вид обычного распределения статистики Бозе — Эйнштейна
Зная функцию распределения, можно вычислить все равновесные термо-
термодинамические свойства рассматриваемой спин-системы.
Постараемся прежде всего оценить величину уменьшения намагничен-
намагниченности, связанную с возбуждением спиновых волн [278]. Из вида функции
распределения A9.84) следует, что при низких температурах ферромагно-
ны с е (fe) > кБТ заметным образом не возбуждаются (для них пк да 0).
Ферромагноны с е (fe) < к^Т возбуждаются и соответствующие числа
заполнения будут отличны от нуля, по крайней мере с пк = 1, а при
достаточно малых А-и с nh > 1. Далее число состояний с квазиимпульсом
в интервале от fe до fe + dk, как известно из статистики идеального газа,
пропорционально k2dk (т. е. объему шарового слоя толщины dk в про-
пространстве волновых чисел fe), а число состояний с квазиимпульсом, мень-
меньшим какого-то значения к, пропорционально к3 (то есть объему шара
радиуса к в fe-пространстве). В среднем можно сказать, что при низких
температурах возбуждаются ферромагноны с пк да 1 и е (fe) да квТ.
Поэтому для относительного изменения намагниченности имеем
AL~ кз .... Hfc)]3/2
'о ~ ^акс ~ (емаксK/2 '
Величина емакс, согласно оценке A9.30), пропорциональна кв®, а е (fe) да
даквТ. Таким образом, мы имеем
То Ы ' A9-85)
Формула A9.85) и есть знаменитый закон Т312, выведенный Ф. Блохом
[84] для температурного хода самопроизвольной намагниченности ферро-
ферромагнетика в области низких температур.
- 475 —

Поскольку средняя энергия ферромагнона пропорциональна кБТ,
а среднее их число пропорционально Г5'2, то средняя энергия всей систе-
системы спиновых волн равна % « аТЬ12, а энтропия и теплоемкость газа ферро-
магнонов пропорциональна Тзп. Ниже все эти выводы будут получены
в более строгой количественной формулировке.
3. Учет магнитных взаимодействий. Изложенный выше расчет может
быть уточнен, если" наряду с обменным электростатическим взаимодей-
взаимодействием принять во внимание также и магнитные взаимодействия между
спиповыми магнитными моментами ферромагнетика. Хотя в гамильто-
гамильтониане A9.38) учтен эффект внешнего поля, а также получена зависимость-
от поля и энергия спиновых волн в A9.46), однако это было сделано
не совсем последовательно, так как при этом не учитывались спин-спи-
спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодействия, обусловливающие магнитнув>
анизотропию в ферромагнитных кристаллах, а также дальнодействующее
(квазиклассическое) взаимодействие спинов с полем, которое создается
самими магнитными неоднородностями (с div 1фО), т. е. их собственной
намагниченностью. Более детально вопрос об учете магнитных взаимодей-
взаимодействий в ферромагнетиках будет рассмотрен ниже. Здесь мы постараемся
учесть эти факторы простейшим путем (см. [282]), а именно постулируя
некоторые эффективные поля: поле магнитной анизотропии Нц, и поле
самих неоднородностей распределения спинов Нсп- Так, например, в слу-
случае магнитно-одноосных кристаллов свободная энергия магнитной анизо-
анизотропии при малых углах ¦& между Is и осью легчайшего намагничивания
равна *)
A9.86)
С другой стороны, энергию FK можно представить как энергию относи-
относительно некоторого эффективного поля анизотропии Нь в обычной форме
(см. гл. 23):
FK^-HKIS= -#K/Scos#«-#K/S(l-^). A9.87)
Из сравнения A9.86) и A9.87) сразу находим
Нк^~- A9.88)
Отсюда видно, что при комнатных температурах, например, для Со (К я=
« 4 -106 эрг/см3, /5 « 1,4 -103 гс) Нк « 6 -103а, для Fe (К х 4 -105 эрг/см3,
/g « 1,7 -103 гс) Нк х 5-Ю2 э. Поэтому при внешних полях Н < 102 —
— 103 э учет влияния магнитной анизотропии весьма существен при расчете
энергетического спектра спиновых волн. Собственное поле спиновых
неоднородностей определяется из выражения
Первый член в правой части A9.89) дает поле плотности объемных «маг-
«магнитных зарядов» (рт = —div I (r)), а второй — поле плотности поверх-
поверхностных «магнитных зарядов» (от = Div I (r)). Поле Нсп удовлетворяет
дифференциальным уравнениям магнетостатики **)
divjffcn= -4ndivJ, rotjffcn = 0. A9.90)
*) Это выражение справедливо при малых углах див случае кубических кри-
кристаллов с тремя осями легчайшего намагничивания (¦& — угол между Zs и осями
типа [100]).
**) Поскольку мы не интересуемся поверхностными эффектами, то можно не рас-
рассматривать граничных условий [см. вторую пару равенств в D.21)]. Кроме того, пред-
предполагается, что в ферромагнетике отсутствуют токи проводимости j = 0 (диэлектрик),
а эффектами токов смещения можно пренебречь (dDldt « 0).
- 476 -

Таким образом, в принятом здесь приближении все магнитные эффекты
могут быть учтены, если к «обменной» части классической функции Гамиль-
Гамильтона A9.40) или гамильтониана A9.79) добавить энергию (или соответ-
соответственно оператор) суммарного поля Нк -f jffcn + Н *)
-(HK + Hcn+H)Is. A9.91)
Как мы убедились, классический расчет собственных колебаний маг-
магнитного момента дает тот же результат, что и квантовомеханическое реше-
решение задачи. Поэтому, следуя Херрингу и Киттелю [282], мы приведем
здесь классический расчет с помощью феноменологического уравнения
движения A9.64), учтя в нем эффект полей Нк и Нсп. В итоге вместо
^19.64) получим
^[( ^)] A9.92)
Следует помнить, что для нахождения поля Нсп необходимо учитывать
уравнения Максвелла A9.90). Будем искать решение для Js = J0-(~y
в виде, аналогичном A9.67):
A9.93)
ж
Hcn = H°cnexp[i((ot + kr)]. A9.94)
Подставляя A9.94) и A9.93) в уравнения магнетостатики A9.90), находим
-связь между амплитудами Н°сп и Yo после сокращения на общий множи-
множитель exp [i (cof + for)]:
] = 0. A9.95)
Умножая второе из уравнений A9.95) векторно на fc, получим
[fc[fcjff°n]] = fc(JH°cnfc)-A2jff°n = 0. A9.96)
Исключая из уравнений A9.95) и A9.96) скалярное произведение (НЦе),
¦сразу находим
-. A.9.97)
Далее, как и в п. 3 § 2, примем, что dyz/dt = O, и учитывая, что поля
Нк я Н направлены вдоль оси z, а также отбрасывая члены высших
лорядков малости [уАу] и [уНсп], получим обобщенное уравнение A9.65)
A9.98)
которое в составляющих примет вид
A9.99)
Здесь введены сокращенные обозначения
Jo, Р=«*(НК + Н), Е--?^. A9.100)
*) Следует заметить, что эффект спин-орбитального взаимодействия лишь
в первом приближении «аддитивно» складывается с эффектом внешнего поля Первый
¦из этих эффектов изменяет эффективный g-фактор электрона и тем самым энергию (HI).
- 477 —

Решение системы A9.99) ищется в виде гармонических волн
= (Vo)*, у ехР U («Н *»*)]• Эт0 Дает
2
кхку  Г I У \ "Л
а —Tj ш Gо)ж + Р + а (—г- I + Ъ,к2 (уо)у = О,
л л У A9.101)
[р + а (-хJ+ I*2] Ы* + [а-^-+ i«J Ын= О-
Из условия разрешимости однородной системы A9.101) находим диспер-
дисперсионное соотношение для собственных частот колебаний
A9.102)
где ^fe —угол между вектором к и осью z.
Отсюда видно, что полученный ранее энергетический спектр A9.69)
получается из A9.102) в предельном случае: а = 0, р = (giiB/ti)H, т. е.
при Нсп = НК = 0. Ясно, что и в квантовой теории мы получили бы для
спектра тот же самый результат (см., например, Холстейн и Примаков [91]).
Наличие магнитных взаимодействий (полей!) приводит к появлению
энергетической щели в спектре ферромагнонов, т. е. Йсо @) ф 0. Интуи-
Интуитивно очевидно, что для создания спиновой волны, т. е. волны обратной
намагниченности, нужно всегда «перевернуть» в поле Н хотя бы один
электронный спин, а это связано с затратой энергии \iH, которая и играет
роль энергии активации, создающей в спектре энергетическую щель для
спиновых возбуждений. Наличие поля -йГСп делает величину этой щели
различной для разных направлений распространения спиновых волн,
т. е. для различных ориентации $к волнового вектора к. «Закон анизо-
анизотропии» энергетической щели легко получить из A9.102). А именно,
из A9.102) при к -*- 0 и с учетом A9.100) имеем
[4jx/n sin2 О, п1/2
1 + н +Н ] ¦ A9Л03)
Таким образом, минимальная ширина щели будет при $к = 0, л, а макси-
максимальная — при $к = л/2:
е@; 0) = *цБ (Нк + Н), A9.104)
0; ?)=№В(Я* + Л) (l + ^F)V2. A9.105)
При больших волновых векторах к разность между энергией ферро-
магнона с учетом и без учета магнитных взаимодействий приближенно
равна
=g[iB[HK+H+2nIosm2®k]. A9.106)
При ftfe = л/2 и ftfe = 0, л получаем соответственно
(Йсо - ПЪ&)(«к==я/2; ъ»»а ~ № (Ик + Н+ 2л/0). A9.107)
НК + Н). A9.108)
Из точной формулы A9.102) [ср. также A9.104) и A9.105)] видно, что
при ¦&*;= 0 кривые Йсо (к) при Нк ~Ь Н ф 0 и при Нк + Н •¦= 0 являются
параболами, сдвинутыми друг относительно друга вдоль оси Йо> на вели-
величину g[iB (Нк + Н) (см. рис. 19.3 — кривые %Ъ,к2 и fe||Jg). Что касается
кривых для Ьк, то все они лежат выше кривой с Ьк = 0, но разность
между кривыми не превышает величины (frco — fil^k2) из A9.107). Поэтому,
если эта величина заметно меньше к^Т в интервале температур, где разум-
разумно ожидать справедливости сделанных выше приближений, то можно
практически пренебречь эффектом магнитных взаимодействий. Если
— 478 —

Нк
Н < 4л/0, то нижний предел применимости закона дисперсии
можно определить из условия
АбГ>4пцб/о, т. е. Г>1,7°К A9.109)
fi(o(k)
(\1Б « 0,9-Ю0 эрг/гс, Io « 2-103 гс и къ = 1,3-Ю6 эрг/град). Однако
следует заметить, что в веществах с низкой точкой Кюри и большой энер-
энергией магнитной анизотропии (Hh л;
я» 4л/0) влияние «магнитных» членов
в A9.102) может оказывать существен-
существенное влияние на температурный ход
намагниченности и других термодина-
термодинамических величин ферромагнетиков.
4. Термодинамические величины
спиновой системы ферромагнетика *).
Займемся теперь более подробным и ко-
количественным расчетом термодинамиче-
термодинамических величин спиновой системы фер-
ферромагнетика, энергетический спектр
которой дается формулой A9.102) (см.
[283, 284, 106, 108, 157, 158]). Пере-
Перепишем эту формулу в несколько ином
виде:
/w*
0
Рис. 19.3. Схематическое изображение за-
закона дисперсии для спектра спиновых волн
Лео (к) в присутствии внешнего магнитно-
магнитного поля И и поля внутренней магнитной
A9.110) анизотропии НК (при fe|| ls имеем #fe =0,
а при k _J_ Is имеем #fe = я/2). Пунктир-
Рассматриваемая система является бо- пер^шГдл^пЖ^нТ/^орГЛ^Г-
зе-газом с переменным числом частиц. Х^иГТЙрринг Т к™ельвт™~
Согласно известным формулам кванто-
квантовой статистики [см. Ландау и Лифшиц A964)] термодинамический по-
потенциал газа равен
I— I— _/»_\i-.
A9.111)
химический потенциал не входит в A9.111), поскольку для газа ферро-
магнонов, как и в случае фононов и фотонов, он равен нулю. Ввиду того,
что в макроскопических образцах спектр энергии A9.110) квазинепре-
рывен, в A9.111) можно перейти от суммирования по к в пространстве
волновых чисел к интегрированию. Для этой цели введем полярные коор-
координаты в этом пространстве с полярной осью вдоль оси z (считаем Oz || Jo)
и полярным углом ftfe. Число собственных колебаний с компонентами вол-
волнового вектора к в элементарном объеме dk равно
-g^5- dk = -g^- sin ®kk2 dk dftk dyk,
где угол фь — азимут, отсчитываемый в плоскости (х, у). Поскольку
энергия ферромагнона A9.110) не зависит от <рк, то можно в A9.111) сразу
проинтегрировать по dq>k (от 0 до 2я), что дает множитель 2я, и поэтому
для Q получим
A9Л12)
Интеграл по dk можно взять по частям; при этом внеинтегральный
член равен нулю. В новом интеграле переходим к новой переменной
*) См. Ахиезер, Барьяхтар, Пелетминский A967).
— 479 —

интегрирования de. Интеграл по d$k в пределах от 0 до л можно заменить
удвоенным интегралом от 0 до л/2. В итоге получим
j K—±[ . A9.113)
e@, %)exp (fe^-)—1
Находим из A9.110) e@, $к) выражаем к3 через е и ft* и вводим новую
леременную х = е!квТ и новые обозначения
тогда A9.113) примет вид
VkJT кТ a/, "f
J
J j X
0 (Р'2+а'Р' sin2%)
[(а'2 sin* d,. +a;2I''2_ (а' sin2 a i R')]3/2 da.
Из формулы A9.115) простым дифференцированием можно найти любую
термодинамическую характеристику системы ферромагнонов. Так, напри-
например, для «магнитной» (спин-волновой) части теплоемокости (при V =
= const) т. е. для Cv (Т, Н) и для намагниченности / (Т, Н) находим
^ Н)=-±^Г + 1О. A9.116)
В общем случае вычисление интеграла в A9.115) затруднительно, поэтому
имеет смысл рассмотреть некоторые предельные ситуации.
а. Внешнее магнитное поле отсутствует (Н = 0) и исчезающе мала
магнитная анизотропия (НК = 0), т. е. р = р'« 0. Здесь следует различать
два случая, определяемые соотношением между средней тепловой энер-
энергией квТ и энергией в «лоренцевом поле» 2ng\i?l0.
Случай квТ > 2л?цБ/0 (Т > 1° К), т. е. а' < 1 (или а « 0).
Легко видеть, что в этом случае A9.115) принимает вид
A9.117a)
где ? (у) — дзета-функция Римана *):
оо
'~ Г (у) J
У-1 dx
ехр (х) — 1
здесь Г (у) — гамма-функция. Отсюда для теплоемкости (спин-волновой)
сразу находим, вводя новые обозначения %\ -=2Ad2 = kB0d2 и учитывая,
что ГE/2)=ЗКл/4,
A9.1176)
Самопроизвольную намагниченность Is (T, 0) вычислить сложнее,
так как здесь следует сначала продифференцировать A9.115) по Н, а потом
*) Дзета = функцию можно вычислить, разложив подынтегральную функцию
оо
в степенной ряд и затем интегрируя почленно. Это дает ? (у) = У] у-1. В частности,
имеем I C/2) = 2,612, ? E/2) = 1,341, ? G/2) = 1,127.
- 480 -

положить Н = 0. В первом приближении можно не учитывать зависи-
зависимость нижнего предела интеграла от Н и дифференцировать только под
знаком интеграла. Это дает
дН ~ 4я2 ^в { йЕ ) J exp(z) —1 '
о
и следовательно, по A9.116), переходя от | к G и замечая, что
VgpB/d' = I0 и Г C/2) =/я/2, имеем
/.=
- 7° Г1-
Таким образом, мы снова пришли к «закону Блоха» Тъ^, как и в A9.85).
Только теперь более точно указана нижняя температурная граница
области его применимости (ГМин ~ 2nyLEI0/ks « 1° К). При этих усло-
условиях ферромагнонная часть теплоемкости A9.1176) носит степенной
характер и на ней не сказывается наличие щели в спектре энергии, обу-
обусловленной эффективным магнитным полем (Нк + Н).
Случай кБТ <^ 2я#|хБ/0 (Т s? 1° К), т. е. а' > 1- Производя
приближенную оценку интегралов находим вместо A9.117) и A9.118)
147 g G/2) V кБТ (Т\Ч2_0,5 Т / Г \'/>
) I j
(
64 яз/2 d3 2я§м.Б/0 \в ) ~ rf3 2ягм.Б/0 I 0 j
A9.119)
т \\ п ( квТ \У2( Т У12'
Мт)(Т Пч .
В этом случае закон Г3/2 уже не имеет места ни для /s, ни для Су"\
но зависимость от Т остается все еще степенной.
б. Сильное внешнее магнитное поле. Более существенное изменение
температурных зависимостей /s и Су имеет место в сильных магнитных
полях, когда в спектре энергии имеется щель; щБ (НК + Щ Э> кБТ,
т. е. f>' ^> 1. Здесь тоже можно рассматривать два случая.
Случай g\iE (Нк + Щ % кБТ и > 2-ng\iEI0. Тогда получим
Случай /сб?1 <С ё^в {НК + -^) <С 2яёр(ХвЛ- Аналогичным путем приходим
к выражениям
(
/0
/Г\'/2 Г SV-bWk + H) -л
\в) XPL АБГ J'
A9.123)
ту/2
В случае сильных магнитных полей, когда энергетическая щель в спектре
спиновых волн больше средней тепловой энергии Eй кБТ), теплоемкость
газа ферромагнонов экспоненциально мала.
5. Сравнение с опытом. Первая попытка проверить «закон Г3/г» для
самопроизвольной намагниченности ферромагнетиков была предпринята
в работе Фалло [285], который исследовал температурный ход намагни-
намагниченности от комнатной температуры до температур жидкого водорода
(~ 20° К). В случае железа экспериментальные точки оказались
31 ,С. В. Вонсовский — 481 —

в удовлетворительном согласии с теоретическим законом Г3/2 во всем
исследованном температурном интервале. Для никеля и некоторых метал-
металлических сплавов также наблюдалось согласие теории с опытом, только по
сравнению с железом интервал «низких» температур (где наблюдается такое
согласие) оказался несколько ниже *). Аналогичные результаты полу-
получил также П. Вейсс [287] для ферромагнитного сплава Fe3Al. Лишь 15 лет
спустя появилась работа Кондорского и Федотова [288], которые ясно
доказали выполнение закона Г3/2 для сплавов Fe — Ni пермаллоевого
класса (от водородных температур и выше). Затем начали регулярно
появляться экспериментальные исследования подобного типа, в которых
справедливость закона была убедительно подтверждена на широком классе
ферромагнетиков. Кондорский, Роде и Гофман [289] на сплавах Fe — Си
провели измерения, в которых нижняя температурная граница была впер-
впервые распространена до температур в области 4,2° К, и опять-таки обна-
обнаружили зависимость У3/2. Исследование на чистом Ni провели Фонер
и Томпсон [290], а для Fe, Со и Ni — Роде и Геррманн [291] и сплавов
Gd — Араис и Миллер [292].
Во всех упомянутых работах исследовались металлические ферро-
ферромагнетики. Теория же спиновых волн Блоха скорее относится к ферро-
ферромагнитным диэлектрикам. Впервые проверкой справедливости закона
Г3/2 для неметаллических ферромагнетиков — ферритов (точнее говоря
ферримагнетиков) занялся Потне [293]. Он исследовал несколько поли-
поликристаллических образцов ферритов до азотных и водородных темпера-
температур. Опыты с ферритами были распространены до более низких (гелиевых)
температур в работах Белова и Никитина [294], Царева и Заварицкого
[295], Волкенштейна и Зотова [296]. Однако ферриты — это нескомпенси-
рованные антиферромагнетики с двумя или более магнитными подрешет-
ками. Важно было исследовать ферромагнитные диэлектрики, поскольку
именно для них, строго говоря, была построена теория ферромагнетизма
Гейзенберга на основе модели локализованных магнитных моментов.
Одной из первых работ на ферромагнитных диэлектриках было исследо-
исследование Госсарда и др. [297] на ферромагнитном ионном кристалле (диэлек-
(диэлектрике) СгВг3 (О » 37° К). В этой работе использовалась новая техника
измерения /„ (Г), основанная на открытии ядерного магнитного резо-
резонанса (ЯМР) в ферромагнитных металлах (см. [298]). Частота ЯМР про-
пропорциональна намагниченности: сорез (Т) = A' Is (T). Поэтому, если
коэффициент А' не зависит от температуры, что отнюдь не очевидно (см.,
например, [299]), то, определяя сорез (Т), можно найти и /„ (Т.) Эти опыты
с СгВг3 хорошо подтвердили закон 7*3/2, а также влияние следующих
членов разложения в /s (Г) до Г5/2 и др. **) Аналогичные опыты были про-
проделаны и с другими ферромагнитными диэлектриками: ЕиО (Маттиас
и др. [302], Лоу [303], Самохвалов и др. [304]), EuS (Чарап и Бойд [305]);
они та^же дали подтверждение выводов теории ферромагнетизма в рам-
рамках модели Гейзенберга.
Наряду с измерением Is (T) экспериментально изучался также вклад
спиновых волн в теплоемкость магнитно-упорядоченных веществ в интер-
интервале гелиевых температур. Впервые спин-волновой вклад в теплоемкость
ферримагнитного полупроводника — магнетита (Fe3O4) обнару;кил
Кувель [306], который нашел, что температурный ход теплоемкости кри-
кристалла Fe3O4 можно с большой точностью представить в виде суммы двух
слагаемых: С(т) = а73'2 + ЬТ3, т. е. суммы спин-волнового вклада
*) Вейсс и Форрер [286] (еще в 1929 г. до появления теории Блоха) на основании
своих измерений намагниченности Ni и Fe (до температуры жидкого азота около
63° К) обнаружили зависимость Т2.
**) Вопрос о применимости теории спиновых волн к описанию магнитных свойств
ферромагнитных диэлектриков рассмотрен также в работе Дэвиса и Нарата [300].
Заметим здесь, что наиболее убедительным примером законности гейзенберговской
модели является ферромагнетизм, наблюдаемый в соединениях: СКСЦ^НО
и Cu(NH4JCl4-2Н2О (см. работу [301] и обзор [158]).
— 482 -

() и фононного (~Г3). Аналогичные исследования на магнетите
также провели Кенан и др. [307], Диксон и др. [308]. В случае иттриевого
гранита спин-волновой вклад в теплоемкость обнаружили Эдмондс и Петер-
сон [309], Мейер и Харрис [310], Кюнцлер и др. [311], Шинозаки [312],
а для литиевого, кобальтового, магниевого и никелевого ферритов —
Поллак и Аткинс [313]. Хотя все эти исследования уверенно показали
само существование спин-волнового вклада в теплоемкость (—Г3'2), одна-
однако численные значения коэффициента а из формулы A9.1176), рассчи-
рассчитанные теоретически и измеренные экспериментально, сильно расходятся.
Это прежде всего связано с тем, что исследуемые в упомянутых работах
вещества относятся не к ферро-, а к ферримагнетикам. Поэтому парамет-
параметры, входящие в их спин-волновой спектр, несколько иные. Кроме того,
возможны расхождения между низкотемпературными параметрами и вели-
величиной точки Кюри, которая введена в наши формулы так, как если бы
этих расхождений не было. Подробный анализ этого расхождения имеется,
например, в работе Кувеля [306] и Диксона и др. [308] (см. также гл. 22) *).
Для ферромагнитного диэлектрика EuS спин-волновой вклад в теплоем-
теплоемкость определили Каллауэй и Мак Коллум [316]. Он находится в соответ-
соответствии с данными Чарапа и Бойда [305] для Is (Г) в этом же веществе.
В случае ферромагнитных d-металлов выделить спин-волновой вклад
в теплоемкость оказывается гораздо труднее, чем в случае неметалличе-
неметаллических ферро- или ферримагнетиков, поскольку в металлах главную роль
в области гелиевых температур начинает играть вклад от электронов
проводимости, линейно зависящий от температуры. Тем не менее в работе
Диксона и др. [317] удалось доказать существование члена, пропорцио-
пропорционального Т31'" в случае Fe; для Ni и Со этого пока показать не удалось
(подрбнее см. гл. 20).
За последнее время появились исследования температурного хода
теплоемкости (в гелиевой области) и для редкоземельных металлов.
Однако эти металлы имеют особый тип магнитных структур (геликоидаль-
(геликоидальные и т. п.), а также заметную энергетическую щель в спин-волновом спек-
спектре, что может существенно сказываться на температурном ходе теплоем-
теплоемкости (этот вопрос будет рассмотрен подробнее в гл. 20).
Мы рассмотрели в элементарном изложении феноменологический
аспект теории спиновых волн. Развитая трактовка может быть обобщена
и уточнена в различных направлениях. Так, например, наряду с энерге-
энергетической ветвью спиновых волн можно учесть энергетическую ветвь
электронов проводимости, имеющихся в металлах и сплавах. Рассмот-
Рассмотренный выше случай, строго говоря, применим лишь для ферромагнит-
ферромагнитных диэлектриков или полупроводников. Изложенную трактовку можно
обобщить также на случай ферримагнетиков (в частности, антиферромаг-
антиферромагнетиков), если ввести представление о магнитных подрешетках. Наконец,
остается еще достаточно открытым вопрос о физическом механизме обмен-
обменного взаимодействия в кристаллах. Решение этой проблемы требует
более точных сведений о распределении электронной и спиновой плотно-
плотности в ферромагнитных кристаллах, а также использования более конкрет-
конкретных модельных микроскопических представлений. К последовательному
изложению такого рода обобщений мы сейчас и перейдем**).
*) В случае неколлинеарных атомных магнитных структур спин-волновой вклад
в теплоемкость при достаточно низких температурах оказывается пропорциональным
Т3 (см., например, Унру и Милфорд [314]), а для IS(T) вместо закона Г3/2 имеем закон
Г2 (Вонсовский и Туров [315]).
**) Естественно, что в настоящей монографии, посвященной изложению совре-
современного состояния всей теории магнетизма веществ, мы не имеем возможности подробт
но останавливаться на деталях математического аппарата квантовомеханическои трак-
трактовки теории самопроизвольной намагниченности. Поэтому ниже главное внимание
мы будем уделять качественному описанию методов расчета и общим физическим
следствиям. Подробности теории можно найти в цитированных выше специальных
книгах и обзорах. *
— 483 — 31*

§ 4. Уточнение теории ферромагнонов
1. Гамильтониан в представлении вторичного квантования. Изло-
Изложенный в §§ 2 и 3 простейший вариант феноменологической теории спино-
спиновых волн может быть уточнен по нескольким линиям. Во-первых, путем
построения более общей феноменологической теории ферромагнонов
(с учетом антиферро- и ферримагнетизма, магнитных и магнитоупругих
взаимодействий). Это будет сделано ниже (см. гл. 22). Во-вторых, путем
учета фермиевских ветвей в электронном энергетическом спектре металлов
и сплавов (см. гл. 20). Наконец, в третьих, возможно уточнение самого
исходного обменного гамильтониана A9.18). На этом мы кратко здесь
и остановимся. Прежде всего запишем строгое выражение для гамильто-
гамильтониана системы взаимодействующих электронов, находящихся в поле
неподвижных ионов кристаллической решетки (адиабатическое приближе-
приближение *). Хотя электроны между собой взаимодействуют, и поэтому полная
волновая функция системы не распадается на произведения одноэлектрон-
ных функций [см. Блохинцев A961)], но ее удобно искать в виде ряда
по антисимметрированным произведениям некоторых произвольных одно-
электронных функций ij)a. (?г), образующих полную ортонормированную
систему; здесь at — совокупность квантовых чисел, определяющих
«номер» одноэлектронного состояния, а ?г (rt, аг) — совокупность декар-
декартовых (гг) и спиновой (аг) координат частицы. Если бы частицы, описы-
описываемые этими функциями, не взаимодействовали, то, согласно квантовой
теории тождественных ферми-частиц [см., например, Ландау и Лифшиц
A963) или Блохинцев A961)], их волновая функция должна была бы
иметь вид антисимметричной комбинации произведений из N волновых
функций всех ij)ai (t,i) с каким-то набором чисел аи т. е.
.(?0Фи(?*)•.. *ЫЫ
, A9.125)
где множитель (TV!)~1/2 введен для нормировки. Функции A9.125) назы-
называются «слэтеровскими детерминантами». Из антисимметрии функ-
функции A9.125) вытекает фундаментальный результат: если среди «номеров»
а; есть хотя бы одна пара одинаковых, то детерминант A9.125) тождест-
тождественно обращается в нуль. Следовательно, ij)ai . . . aiV (?1 ... ?jv)=^O
лишь при условии, что все а; различны. Это и есть одна из общих форму-
формулировок принципа Паули для ферми-систем [Блохинцев, A961)]. Если
функции A9.125) действительно образуют полную систему, то разложение
^(?i •••?*)= S e(ai.-.a«r)l>a1...aw(?i, ...,Ы A9.126)
(«1-%)
(где суммирование ведется по всем возможным значениям чисел аг для
каждого из них) является точным, а коэффициенты а (а4 ... aN) —
точные волновые функции **) системы в новом квантовом представлении,
где роль обобщенных координат играют числа а*. Используя унитарное
преобразование [см. Блохинцев A961), Ландау и Лифшиц A963)], опера-
*) В адиабатическом приближении используется малость отношения масс элек-
электрона и иона (тэл/М < 1), а в нулевом приближении систему ионов считают неподвиж-
неподвижной, т. е. считают тэл/М -*- 0, а ионы заменяют решеткой «силовых центров». В сле-
следующих приближениях учитывают малые колебания ионной решетки — фононы [см.,
например, Ландау и Лифшиц A964)].
**) Обычно их выражают не как функции квантовых чисел at, а как функции
чисел заполнения па состояний, определяемых квантовыми числами сег. В случае
ферми-систем числа па принимают два возможных значения 0 и 1.
- 484 -

тор энергии системы в обычном координатном представлении, имеющий
вид (если учитывать только аддитивные и бинарные члены)
N
^« = —|г2 ^-+2G(l»V—E'D + T-S 7<I»V-''H) A9-127)
3=1 i. } гф}'
(h2&j/2m) — оператор кинетической энергии /-го электрона, G(\i-j — J?i |) —
оператор потенциальной энергии электрона в точке Г] в поле ионов
в узлах Ri, а V (| гj —Ту |) — энергия взаимодействия между электро-
электронами j и /'), можно записать в новом представлении, так называемом
представлении вторичного квантования [Боголюбов A949), Вонсовский
[90, 207, 318]]:
<Ш^ = 2 L(a,a')u&a.+ S Fia^iay^a^a^a-. A9.128)
а, а' (а1а2\
Здесь Z, и F— матричные элементы отдельных слагаемых соотвественно
аддитивной и бинарной частей A9.127), вычисленные при помощи одно-
электронных функций
F (а1аг; а&) =2 j j К (?) 1& (?') F (| г - >-' |
а, а'
A9.129)
aj и аа — ферми-операторы рождения и уничтожения вторичного кван-
квантования, действующие на функции от чисел заполнения па. Произведение
этих операторов дает оператор числа заполнения па, диагональный в дан-
данном представлении
aJaa = rea( = 0 или 1); <zaa? = l — na. A9.130)
Перестановочные соотношения для ферми-операторов имеют вид
a?ffla'+ffla'«? = 8aa'; A9.131)
они отличаются знаком в левой части от аналогичных соотношений для
бозе-операторов [см. A9.81)]. Основная задача теории заключается
в нахождении собственных значений и собственных функций оператора
A9.128). Решить эту задачу в общем случае практически невозможно
и в представлении вторичного квантования. Но здесь легче найти пути
приближенного решения. Если гамильтониан A9.128) содержит только
аддитивную часть (сумму с L), то его собственные значения можно опре-
определить сразу. Для квадратичной формы операторов aj aa- в принципе
всегда можно найти унитарное преобразование, которое диагонализирует
аддитивную часть оператора A9.128). В этом случае энергия системы
будет иметь вид аддитивной суммы энергий эффективных ^осцилляторов»,
или квазичастиц, каждая из которых умножается на соответствующее число
заполнения. Здесь нас интересует возможность вычисления энергетиче-
энергетического спектра как раз с учетом бинарной части оператора A9.128) с матрич-
матричными элементами F и именно той ее части, которая дает зависимость
энергии от магнитного момента системы (обменное взаимодействие).
Поскольку бинарная часть A9.128) биквадратична, ее нельзя диагона-
лизировать в общем случае. Это оказывается возможным лишь в рамках
теории возмущения, когда диагонализируется лишь часть операто-
оператора A9.128), представляющая собой малые колебания около какого-то
основного состояния. Например, это могут быть малые нарушения маг-
магнитного насыщения в ферромагнетике и т. п. (см. § 2).
— 485 —

2. Вывод спинового гамильтониана модели Гейзенберга. Поскольку
нас интересуют вопросы магнетизма, то возникает вопрос, при каких
условиях точный гамильтониан электронной системы A9.128) может быть
заменен обычным эффективным спиновым гамильтонианом A9.18). После
того как этот гамильтониан предложили Гейзенберг [5] и Ван-Флек
A932), законность его неоднократно подвергалась сомнениям (см. Инглис
[319], Слэтер [86, 271, 12]). Однако эта критика была связана не с рас-
рассматриваемым здесь вопросом, а скорее с процедурой вывода гамильто-
гамильтониана A9.18) по Гайтлеру — Лондону [258]. Наиболее отчетливо эти
возражения были сформулированы в работе Слэтера [12], где отмечались
две главные причины несостоятельности метода.
Во-первых, использование в A9.129) неортогоналъных одноэлектрон-
ных волновых функций для вычисления обменных интегралов Atj приво-
приводит к расходимостям в матричных элементах, входящих в Atj (так назы-
называемая «катастрофа неортогональности»). Причина этого состоит в появ-
появлении фактора N\Sab\2 1см. формулу A9.10)], который приносит
неприятности при ./V —»-оо *).
Во-вторых, для ортогональных функций, как мы уже видели, обмен-
обменный интеграл всегда положителен, и поэтому нельзя объяснить существо-
существование антиферромагнитной связи (или ковалентных химических связей
в молекулах). Недавно вопрос о катастрофе неортогональности был еще
раз рассмотрен в работах ряда авторов [320—322, 263, 159], где были
сделаны дальнейщие попытки доказать ее отсутствие **). Вместе с тем,
например, в работах Араи [113, 114] указаны границы применимости
гейзенберговского спин-гамильтониана A9.18). Не останавливаясь больше
на этом вопросе, обратимся к главному вопросу о том, как можно полу-
получить эффективный спин-гамильтониан A9.18) из точного гамильтониана
A9.128). Этот вопрос рассмотрели Боголюбов A949), Изюмов [323], а также
Вонсовский и Свирский [240]. Естественно, что при этом приходится
ограничиться конкретной системой.
Рассмотрим кристалл, в узлах /, /' решетки которого находятся
атомы с незамкнутым и локализованным слоем электронной оболочки,
с z электронами в каждом. Пусть между этими электронами действует
слабая рессел-саундерсовская связь, поэтому атому в целом можно сопо-
сопоставить суммарное спиновое квантовое число S. Орбитальные состояния
указанных электронов обозначим индексами X, X'. Тогда гамильтониан
A9.128) можно записать, используя ортогональность спиновых функций
[см. Боголюбов A949)] в виде
V/', v I
+ " Zj F (fu Ki; f2, X2; f[, Я(; f2, X2) ati\ia1a-%i2a2c-f^'2a2af'1xi<!i'
(fi, &i; /2. Яг \
, , . . ; aia2)
A9.132)
*) Ван-Флек [268] первый попытался показать, что катастрофы неортогональ-
неортогональности не существует, поскольку при правильном расчете множитель N | Sab I 2 заме-
заменяется на z | Sab |2, где z — число ближайших соседей. Однако доказательство Ван-
Флека для трехмерного случая является неполным (см. обзор Херринга [159]).
**) Любопытно привести заключительную фразу'Херринга в гл. VII его обзора
[159], посвященного проблеме неортогональности: «Жаль, что огромный труд, затра-
затраченный на решение этой проблемы и вывод интересных математических теорем, обесце-
обесценивается плохим приближением всей проблемы прямого обмена, которая, строго гово-
говоря, имеет весьма ограниченную применимость к магнитным веществам».
- 486 -

о — спиновое квантовое число. Если пренебречь переходами между раз-
различными орбитальными состояниями электронов *), а также образова-
образованием полярных состояний (когда в состоянии с данным X находится один
электрон с а = + 1/2 или —1/2), что выражается условием гомеополяр-
ности:
2«Аа«А<т=1 (X = Xlf Яг, ...ДО, A9.133)
a
то A9.132) упрощается и принимает вид
2 ^(М f^)a}(laU A9.134)
где A (/Д4; /Д2) = F (/Д4; /Д2; /2Л2; /ДО — обменный интеграл между
состояниями (/ДО и (/Д2). Поскольку орбитальные переходы считаются
запрещенными, то единственными динамическими переменными системы
являются спиновые переменные, поэтому гамильтониан A9.134) можно
выразить только через операторы спинов. По Боголюбову A949) эти опера-
операторы связаны с операторами а+, а соотношениями
A9.135)
После замены A9.135) гамильтониан A9.134) примет вид
счр тт vi а а \ ' i \ \ ч ^ нЧ1Чб^
где Uo — несущественная постоянная. Чтобы из A9.136) получить гай-
зенберговский гамильтониан A9.18), разобьем сумму в A9.136) на две
части: первая относится к взаимодействиям между атомами /i ф /2, а вто-
вторая внутри атомов (/i = /2):
<Ж^и0- S ^(Mi; M^M^^-SaV, A2)^ai«a2- A9.137)
(/1=5^/2) /
Введем еще два предположения:
1) Интегралы обмена между двумя ^узлами слабо зависят от орби-
орбитальных состояний, т. е.
A{h%u иЪ)»А(Ш (ПФк)- A9.138)
2) Обменная связь электронов внутри атомов (хундовская связь)
заметно больше межатомной, т. е.
\A0(fX; A')|> \A(fi%i; /2Яг) | (/i^/г)- A9.139)
В силу A9.139) можно пренебречь операторным характером последней
суммы в A9.137) и считать ее постоянной величиной. Точно так же можно
считать интегралы А (/Д1; /Д2) не зависящими от орбитальных индексов,
т. е. А (/Д4; /Д2) = А (/4/2). Тогда в силу A9.138) гамильтониан A9.137)
можно выразить через операторы суммарного спина узлов
Sf=j]Sfk, A9.140)
*) Например, считая, что «орбиты» заморожены (см. гл. 10). Учет орбитальных
состояний был проведен, например, в работе Ирхина [324], который рассмотрел вто-
вторично квантованный гамильтониан межэлектронного взаимодействия (при наличии
нескольких магнитных электронов на атом) с помощью теории /-коэффициентов.
— 487 —

а именно
Se = W,- 2 A(fuh)ShSf2, A9.141)
а это выражение с точностью до обозначений совпадает с гайзенбергов-
ским гамильтонианом A9.18) (см. также [113]). Однако теперь виден
характер приближения последнего. А именно A9.141) можно применять,
если незамкнутому слою (d- или /-) электронной оболочки атома, содер-
содержащей несколько электронов, можно приписать суммарный спин S
(т. е. суммарное спиновое квантовое число атома является «хорошим»)
и если этот слой достаточно «жесткий», т. е. благодаря внутренним (хун-
довским) обменным взаимодействиям ведет себя как целое. В случае же,
если электронная оболочка «рыхлая», нужно пользоваться выраже-
выражением A9.137) или еще более общим гамильтонианом A9.132)*). Точно
так же гамильтониан Гейзенберга A9.141) неприменим в том случае,
когда суммарное спиновое квантовое число иона в решетке не является
интегралом движения, а сохраняющимся квантовым числом является,
например, квантовое число полного момента /. Это осуществляется
у большинства редкоземельных ионов. Такой случай был рассмотрен
в ряде работ [235, 240, 325—329]. К этому вопросу мы вернемся ниже
(в гл. 22).
3. Формализм Холстейна — Примакова. Здесь мы рассмотрим задачу
ферромагнетизма для систем, описываемых гамильтонианом A9.141),
следуя известной работе Холстейна и Примакова [91]**). При этом, как
и в случае феноменологической трактовки (см. §§ 2 и 3), ограничимся
случаем низких температур, т. е. состояний, близких к магнитному насы-
насыщению. Если учесть еще зеемановскую энергию, обусловленную наличием
однородного внешнего магнитного поля Н (направленного вдоль оси z,
т. е. Н = Нz ^ 0), то в приближении ближайших соседей полный гамиль-
гамильтониан системы в силу A9.141) будет равен (без учета внутреннего маг-
магнитного взаимодействия)
где А — обменный интеграл для ближайших соседей, вектор б соединяет
атом/с его ближайшими соседями в первой координационной зоне в решет-
решетке Браве; jx0 = g\iB/2 — магнитный момент атома. Ниже предполагается,
что А > 0 (положительный ферромагнитный обмен). Квадрат полного
спина системы B$/J и ег0 z-слагающая ^Szf являются интегралами дви-
жения [коммутируют с гамильтонианом A9.142)]. В основном состоя-
состоянии | 0 } системы (решетка из N ионов) имеем
(%~SfJ.\0) = NS(NS +1)-\0), B^)-|0> = 7VS-|0>. A9.143)
Для вычисления спектра элементарных магнитных возбуждений — спино-
спиновых волн (ферромагнонов) Холстейн и Примаков вместо операторов
*) Здесь не затрагивался вопрос о влиянии на расчет с Ш неортогональности
атомных одноэлектронных функций. Боголюбов A949) развил общий метод ортого-
нализации атомных функций, который позволяет вычислить в любом приближении
матричные элементы A9.129), предварительно представив их в виде разложения по воз-
возрастающим степеням малого безразмерного параметра, которым здесь является инте-
интеграл перекрытия атомных функций соседних узлов кристалла.
**) В этой работе было также учтено влияние на спин-волновые состояния маг-
магнитного дипольного и псевдодипольного взаимодействия. Однако главное в этой
работе — новый метод, который был использован во многих последующих работах
по теории спиновых волн в ферро- и антиферромагнетиках.
- 488 -

f ввели бозевские операторы рождения Ъ} и уничтожения Ъг
Sf --= Sxf-iS"f = BSf'4} (l- -^-); A9.144 )•
где [см. A9.81)] для операторов Ъ имеют место перестановочные соотно-
соотношения
Из A9.144) и A9.145), используя (S}J = S(S+ 1) — у(S?S? + SjS}),.
легко найти, что
Sf = S — b}b}^S — nf. A9.146>
Так же как в §§ 2 и 3 [см. A9.80)], здесь удобно перейти к фурье-ком-
понентам операторов b}, b}, а именно
Ц- = 7V-V2 ^ exp (ikBf) fa, Щ = N-1/? S exp ( - ikBf) Pi, A9.147)
к к
где к — волновые векторы в первой зоне Бриллюэна. Перестановочные
соотношения для f>i, $~к в силу A9.145) имеют вид
Здесь и ниже для символа Кронекера использовано выражение, аналогич-
аналогичное A9.43):
Sexp[t(fe — k')Bf] = Ndkk>. A9.149)
f
Условие слабости возмущения [см. A9.32)] в операторах bf, b} гласит *)¦
- = -^-<1. A9.150)
Г1оэтому имеет смысл воспользоваться разложением квадратных корней
в A9.144) в ряд
— (b+fb-fb-flAS) +...] =
2 {2 вхр
к
X 2
к, к', к"
I j v exp (ikl
к
2 exp[i(fe + fe' —fe")iJ/]Pipi'Pl»+ ... j .
X
к
X
Л, Л', Л"
Для z-составляющей имеем точную формулу
- *) Здесь ге^.— оператор чисел заполнения бозонов в узле /, собственные значения
которого —целые числа п^= 0, 1, 2, 3, ... Однако, согласно A9.146), ге^, может ме-
меняться не от 0 до оо, а от 0 до 25. Здесь мы встречаемся с основной трудностью мето-
метода — появлением нефизических состояний с п > 2S (см. ниже, а также [105, 357]).
— 489 —

Оператор полного отклонения спина решетки точно равен
2$2S# 2 (fc-*')-B/]PSP*' = 2Pifo- A9.152)
к
2
fkk'
Из A9.152) следует, что величину $$%' можно рассматривать как опе-
оператор числа заполнения состояний U для ферромагнонов [см. A9.52)
и A9.82)], собственные значения которого — положительные целые числа:
пк = 0, 1, 2, 3,... Используя A9.151) и A9.149), можно выразить
гамильтониан A9.142) через бозе-операторы $%, f}^:
SB = W0-NzAS*-2yLQHNS-zSA 2 [?,
к
+ 2A,ДЗ№+^1. A9.153)
/с
где
2 2v* = 0 A9-154)
б л
z-число ближайших соседей. Если кристаллическая решетка обладает
центром симметрии, то Ук = У-к, и тогда A9.153) принимает вид
¦ &?e = %l2AzS(l-yu) + 2p0H]№u + ?gi, A9.155)
к
где S.SS = 36 — Wp + NzAS2 + 2\i0HNS, а в слагаемом Sei собраны все
числа высшего порядка в операторах спиновых волн, которыми пренебре-
пренебрегают в обычном спин-волновом приближении (см. §§ 2 и 3). В этом приб-
приближении A9.155) принимает вид
ьЗе<> = УлПкП(х>к; n(ok=2AzS(l—yk) + 2yL0H. A9.156)
к
Для малых волновых векторов спиновых волн, т. е. при условии
|Ь6|<1, A9.157)
величину ук можно разложить в ряд, а именно
2z A - ук) « 2 * (бJ. A9.158)
и тогда получаем квадратичный закон дисперсии для спиновых волн
^ A9.159)
б
В случае кубической решетки с ребром элементарного куба d A9.159)
принимает вид
A9.160)
что точно совпадает с A9.69), если выразить \i0 через (х, взять 5 = 1/2,
заменить А на 2А и учесть, что для простых кубических, о. ц. к. и г. ц. к.
решеток имеем соответственно
Отсюда также легко находим для температурной зависимости самопроиз-
самопроизвольной намагниченности
4. Учет недиагональных членов и кинематического взаимодействия.
При выводе полученных выше формул спин-волновой теории [A9.155)—
— 490 -

A9.161)] учитывались только диагональные члены в гамильтониане
A9.153) и отбрасывались все члены, описывающие взаимодействие спи-
спиновых волн, входящих в недиагональную часть гамильтониана $B\.. Глав-
Главный член в SB\ биквадратичен в операторах $к, и он приводит к связи между
спиновыми волнами (описывает их столкновения). Первая последователь-
последовательная трактовка членов, входящих в S6i, и их влияние на термодинамические
свойства спин-системы даны в работе Дайсона [99]. Наглядное объясне-
объяснение результатов этой работы приводят Кеффер и Лоудон [330] (см. также
1331, 332]). Для низких температур поправки от спин-волновых столкно-
столкновений малы. Это следует из того, что поперечник для столкновений двух
ферромагнонов с волновыми векторами к я к' оказывается порядка
\(kid) (k2d) d]2, где d та 10~8 см — параметр решетки. Для спиновых
волн из микроволновой области kd а; 10~2 — 10~3; таким образом, для
сечения рассеяния находим в среднем величину 10"~26 смг, которая очень
мала для сечений атомных процессов (^ 10~п см2). Выражение для недиа-
недиагональной части гамильтониана S6i после подстановки разложений A9.151)
и A9.151а) в A9.142) имеет вид
^ 2
(ЛЬ fc2, fc3, fc4)
Х[2ук1 + 2укз-Аук1_кз], A9.162)
где
Для |fc6| <^ 1 имеем
Как мы видели в § 2, использование квадратичного закона дисперсии,
т. е. приближения длинных волн, приводит к известной формуле Блоха
для температурной зависимости намагниченности ~ A — аГ3'2) [см.
[280, 182] и Абрикосов, Горьков, Дзялошинский A962)]. Если в разложе-
разложении A9.158) учесть члены более высоких степеней, то в формулах для
1s (T) появятся члены, содержащие более высокие степени Г : Г5/2, 7*7/2
и т. д. Однако при этом при вычислении интегралов по dk в A9.112) сле-
следует учитывать, что пределы интегрирования распространяются не по
всему бесконечному пространству, а по первой зоне Бриллюэна (см. § 2).
Первый член в Is (T), возникающий от учета обменного взаимодействия
ферромагнонов, пропорционален Г4 (Дайсон [99]). Согласно Кефферу
и Лоудону [330], это можно получить из элементарного рассмотрения.
Исходя из динамических соображений, в формуле A9.161) вместо S сле-
следует подставить среднее статистическое значение (S) проекции спина
иона на спин его ближайшего соседа: (S) = (SfSf+(,)/S. Из A9.117) сле-
следует, что температурная зависимость средней энергии пропорциональна
Г3'2, т.о. по A9.142) S— <«)~Г5'2. Разлагая в ряд выражение
/ кБТ \3/2
I = I в A9.161), мы получаем для первого поправочного члена
( кВТ \3'Ч кБТ \5/2 Г4
\-2ST) \-2SA) ~Т ¦
Отсюда видно, что в области низких температур динамические поправки
к закону Блоха очень малы. Они делаются существенными лишь при
более высоких температурах (ближе к точке Кюри) *).
*) Вебер и Танненвальд [333] показали экспериментально (измеряя спин-волно-
спин-волновой резонанс) необходимость учета члена четвертой степени в операторах f> в гамиль-
гамильтониане.
— 491 —

В работе Дайсона [99] учтены не только динамическое взаимодействие-
спиновых воли, обязанное соответствующим членам «поправочного»
гамильтониана S6\, но и кинематическое взаимодействие, появляющееся
из-за ограничений на числа заполнений спиновых волн, связанное с тем,
что спин в узле решетки может принимать только конечное число значений
BS). Было показано, что поправки от динамического и кинематического
взаимодействия почти точно компенсируются и начинают давать вклад
в разложение для А/(Г), только начиная с членов с Г4. В связи с работой
Дайсона появилась большая литература. Еще до Дайсона делались
попытки, используя метод Холстейна и Примакова [96, 334] или без него
(см. [335, 103]), учесть «поправочные члены» к обычному спин-волновому
приближению. Однако они приводили к результатам, не согласующимся
ни между собой, ни с результатами Дайсона. Огучи [109] показал, что
все эти расчеты были ошибочны и что гамильтониан Холстейна и При-
Примакова [91] приводит к точному результату [99] (член с Г4) лишь в пре-
пределе S— >оо. При конечных J? метод [91] не дает правильного учета спин-
волнового взаимодействия. Как показал Малеев [355], все результаты
Дайсона получаются из обменного гамильтониана с помощью неэрмитов-
ского преобразования операторов спина 8/ к операторам Бозе Ь/ и Ъ}\.
S? = BS)lhb}; S} = ^
Возникающая при этом неэрмитовость гамильтониана [99] не вызывает
трудностей при вычислении, наблюдаемых в низкотемпературной области,
О методе Дайсона [99] см. в книге Ахиезера, Барьяхтара и Пелетмин-
ского A967), а также работы [130, 133, 140, 144]. О низкотемпературных
разложениях в теории ферромагнетизма на основе расцепления функций
Грина см. работы [100, 101, 122, 180, 182, 174].
§ 5. Применение квантовостатистического метода функций Грина
1. Метод функций Грина. Выше уже отмечалось (§ 1), что в послед-
последнее время появилось много работ по применению квантовостатистических
полевых методов для расчета энергетического спектра и термодинамиче-
термодинамических функций спиновой системы ферромагнетиков и антиферромагне-
антиферромагнетиков *).
Среди различных вариантов этих методов, используемых в теории
твердого тела, наибольшее распространение в задачах магнетизма полу-
получил метод двухвременных температурных функций Грина, предложенный
Боголюбовым и Тябликовым [160, 161].
В квантовой теории ферромагнетизма, как и в любой квантовостати-
стической теории, необходимо вычислять средние значений различных
величин, усредненных по температурному ансамблю.
Среди такого рода средних величин, могущих изменяться во времени,
важное место занимают корреляционные функции (корреляторы) двух
величин A (t) и В (t'), которые являются средними от их произведения,
усредненного по статистическому ансамблю Гиббса. Такие корреляцион-
корреляционные функции обозначаются в виде (A (t) В (tr)). В дальнейшем будет
показано, что в теории магнетизма многие наблюдаемые величины выра-
выражаются через спиновые корреляторы вида
<S?@ $(*')>. a,fi = x,y,z, A9.163)
где iS" (t) — а-проекция спина в узле / в момент времени t. Таким обра-
образом, величина A9.163) описывает пространственно-временную корреляцию
*) См. Бонч-Бруевич и Тябликов A961), Абрикосов, Горьков, Дзялошинский
A962), Киржниц A963), Тябликов A965), а также обзоры [336, 337, 338].
- 492 —

двух выбранных спинов в полной системе их. Если система находится
в стационарных условиях, то, очевидно, корреляторы типа A9.163) долж-
должны зависеть лишь от разности времен т = t — t', но не по отдельности
от каждого из них. Аналогично, если система пространственно однородна
(или имеет трансляционную симметрию), то корреляторы типа A9.163)
зависят от разности координат/—/'.
Таким образом, в общем случае в квантовой статистике интересуются
корреляторами вида
(A(t)B(i')}, A9.164)
где A (t) и В (tr) — величины А ш В, взятые в момент времени tut' соот-
соответственно. Поскольку в квантовой механике физические величины
выступают обычно как операторы, их временная зависимость формально
определяется через гамильтониан системы SB, а именно, A (t) следует
понимать как гайзенберговское представление оператора А:
A9.165)
К определении коррелятора A9.164) символ (...) следует понимать как
усреднение по ансамблю Гиббса с гамильтонианом SB-
где Sp означает операцию шпура.
Для вычисления корреляторов типа A9.164) оказывается весьма
полезным ввести так называемые двухвременные функции Грина —
запаздывающую Gr (t, t') и опережающую Ga (t, t'), определив их следую-
следующим образом:
GT(t, t') = ((A(t)\B(t')))r= — i@(t — t')([A(t), B(t')]n), A9.167)
Ga(t, t')s={(A(t)\B(t')))a = iQ(tr — t)([A(i), B(t')]n), A9.168)
где G (t) — функция включения:
•О,
A9.169)
а [А, В]ц означает коммутатор или антикоммутатор:
[A, B]ri = AB-x]BA, ti = ±1. A9.170)
Знак т] в общем определяется в зависимости от статистики тех частиц,
которые образуют исследуемую систему, причем т] = +1 берется в слу-
случае статистики Бозе, а т| = —1 — в случае статистики Ферми.
В дальнейшем будет показано, каким образом находятся введенными
соотношениям A9.167) и A9.168) функции Грина и как выражаются инте-
интересующие нас корреляторы A9.164) через функции Грина. Знание корре-
корреляционных двухвременных функций позволяет вычислить нам и обычные
термодинамические средние величины, не зависящие от времени, ибо,
согласно A9.164)—A9.166), такие величины можно рассматривать как
корреляционные функции от операторов, взятых в один и тот же момент
времени:
= (A(t)B(t)}. A9.171)
2. Основные уравнения и методы их решения. Для нахождения функ-
функций Грина необходимо получить соответствующие уравнения. Это можно
сделать, воспользовавшись уравнением движения для гейзенберговских
¦операторов [см. Ландау и Лифшиц A963)]
) A9.172)
- 493 -

и соотношением
где 8(t) — дельта-функция Дирака. В итоге получаем*), беря производ-
производную по времени от обеих частей равенств A9.167) и A9.168) и исполь-
используя A9.172) и A9.173):
~
= 8(t-t')([A(t), B(t)U) + (({A(t)d&-d&A(t)}\e(t'))). A9.174)
Таким образом, видно, что в правую часть A9.174) входит функция Грина
более высокого порядка, чем исходная (порядок функции Грина опре-
определяется числом сомножителей А, В и т. д., входящих в ее отдельные
слагаемые). Для них можно также получить уравнения типа A9.174),
которые опять будут содержать функции Грина еще более высокого
порядка, и т. д. Так мы получаем бесконечную цепочку зацепляющихся
уравнений для функций Грина возрастающего порядка **).
Решения уравнений A9.174) значительно упрощаются, если восполь-
воспользоваться спектральным представлением ***) функций Грина, которое
можно получить в самом общем виде, не делая никаких конкретных пред-
предположений о характере взаимодействий между частицами в системе.
Сначала найдем спектральное представление для временных корреля-
корреляционных функций A9.164). Обозначим через J(co) фурье-образ или спек-
спектральную плотность корреляционной функции:
+СХ.
(B(t')A(t))^ j J (со) exp [—to (* — *')] d<o. A9.175>
— oo
С другой стороны, по определению имеем
--Q 2л\с-
*,
= Q 2 (с*' в (°)с») (с& ^ (°) cv) х
xexp(--j^r) exp Г—r(?v — &i) (* — *')],-
A9.176)
где Cv и Ш\ — собственные функции и собственные значения гамильтониа-
гамильтониана <Ш- Сравнивая A9.175) и A9.176), находим
A9.177).
Для другой корреляционной функции находим также [это легко прове-
проверить, подставив A9.177) в A9.178) и преобразуя полученный результат
*) Индексы у функции Грина опущены, поскольку для всех их уравнения A9.174)'
имеют одинаковый вид.
**) Отметим, что уравнения A9.174) неоднозначно определяют функцию Грина,
так как у нее могут быть особенности типа полюсов, правила обхода которых должны,
задаваться дополнительно-
***) Спектральным представлением функций Грина называют их интегральные
представления типа интегралов Коши.
— 494 -

к виду, аналогичному A9.176)]
оо
(A(t), B(t'))= j J ((o)exp[^r-m (t-t')jd(o. A9.178)
Если теперь ввести фурье-образ ((A(f.)\B(t')))r <g для запаздывающей функ-
функции Грина с помощью разложений:
оо
A9.179)
оо
')))Ti<s = -±r j ((A(i)\B(t')))r&v[l%-(t-t')]d(t-tf),
A9.180)
то, подставляя в A9.180) Gr(t— t') из A9.167) с использованием A9.171),
а также A9.175) и A9.178), находим
Л exp[l(«-)]
A9.181)
Разрывную функцию в (t) можно представить в виде
0(О = ехр( —е*) (е->0, е>0) для t>0; 9@ = 0, t<0. A9.182)
Из A9.181), A9.167) и A9.175) находим
X
erp[-to(«-O*»] = -^r J [еЧ.^-
A9.183)
Для опережающей функции Грина имеем
*•<«> = 15Г 1 [^(^"^^H^-iB- A9-184>
— оо
Согласно своим аналитическим свойствам, функция <?(§), определяемая
формулой
^ { H(^)]H^-, A9.185)
является аналитической функцией для комплексных %, которая равна
Gr(j$) в верхней полуплоскости и Ga(M) — в нижней. Составляя разность
выражений A9.183) и A9.184), находим
A9-186)
и, воспользовавшись представлением б-функции в виде
' A9-187)
- 495 —

шаходим
G(R<o+fe)-G(Reo —fe)= —i [exp (-yjr) —t)J J(«). A9.188)
Таким образом, если удалось определить фурье-образ функции Грина,
то сразу же находим спектральную плотность J ((*>) корреляционных
функций.
Вернемся еще раз к уравнению движения A9.174) и произведем в нем
преобразование Фурье, помня, что фурье-образ б-функции равен 1/2я,
а в фурье-образе производной по времени появляется множитель -^Ш.
Таким образом, мы получаем вместо A9.174)
4A A9.189)
Это уравнение и является основой во всех применениях метода запазды-
вающих и опережающих функций Грина.
3. Расчет намагниченности и спектра спиновых волн. Теперь
применим этот метод для расчета намагниченности ферромагнетика и спек-
спектра спиновых волн [160, 171]. Будем исходить из гамильтониана A9.142).
в котором для 5 = 1/2 перейдем к операторам Паули Щ и Ъ} по формулам:
s} = Ъ}, s-f = Ь}, s'f = 1 -Цъг, Vf bf. - ъ?> If - о
b}Sj.-bpbf = OVW); b}b}+ hfb} = i; A9.190)
это дает:
^j-)+ B[i0H+2zA) ^ bfo -
- 2 2 AfrHbf. - 2 ^ Affhfhf. A9.190a)
f,f f,r
Из A9.190а) ясно, что метод следует применять для функции {ф}'\Ъ})),
связанной с намагниченностью. Уравнение A9.189) для этой функции примет
вид
Ц ^ A9.191)
Выбирая т)—- +1 и используя A9.190), находим
[Ъ?, nr] = 8ff'bf; [b+f, nr]= -8frb}. A9.192)
Заметим далее, что в силу трансляционной инвариантности и тождествен-
тождественности узлов решетки среднее число «левых» спинов у любого узла решет-
решетки (nf) = n не зависит от /. Введем обозначение
^ K(k); A9.192а)
тогда, используя A9.191) для fc = 0, из A9.191) и A9.190) находим
- 2 2Лгг (Ф?I Ъ}))% + 4 2iAf'f" [««/-67-1 Ц))% - ((nrbr | Ъ}}}%]. A9.193)
/" f
При решении уравнения A9.193), с которым «зацепляется» бесконечная
цепочка уравнений для функций Грина все повышающегося порядка, мы
ограничимся «расцеплением», эквивалентным первому приближению слу-
случайных фаз (см. ниже п. 4), положив
Ър))% = (nf) {ф-г | ЪЦ)% = п (ф-г | Ър))%. A9.194)
— 496 —

Тогда из A9.193) находим
^»«=4гA-2»)в/у4-
(\-2п)К@)] «67-1Ц))% -2A -2п) 2 &гг Ф>'г I #
A9.195)
Совершим теперь еще раз преобразование Фурье [см. A9.147)]. В силу
трансляционной симметрии решетки функция ((&/1 Ъ}>))^ зависит только
от относительного расстояния двух узлов /' —/. Поэтому можно записать
(Ф? | Ь}})% = ЛГ-1 S exp [i (/" -/) fc] -<?fc (g). A9.196)
Используем также формулу для фурье разложения б-функции
A9.197)
Суммирование в A9.196) и A9.197) производится по всем разрешенным
значениям к, лежащим в первой зоне Бриллюэна. В силу A9.196)
и A9.197) уравнение A9.194) примет вид
<?fc (g) [g - 2ио# - 2 A - 2гё) Я @)] +
= ^r(l-2«). A9.198)
г
С помощью A9.192) находим из A9.198)
efc= 2ц0Я+ 2A-2п) [К @) — К(к)]. A9.200)
Из A9.199), A9.188) и A9.187) находим для фурье-образа спектральной
плотности Jfc(co):
4 ОЙ
S(u-efc). A9.201)
Поэтому, согласно A9.175) или A9.176), для корреляционной функции
(bf(t')bj'(t)} получаем
= ( ехр [- ко (t -1') ]d(oN~i ^ exp [i (f'-f)k] j
ехр(
rie. -¦
= ^—;- -z. * 1-. A9.202)
Если в A9.202) положить/'—/, *=¦-?', то в левой части мы получим п
и, таким образом, получим уравнение для п:
32 с. В, Вонсовский

где v — объем, приходящийся на один спин (v = VIN, а V — полный
объем системы). Заметим, что efc, согласно A9.200), зависит также от п.
Из A9.203) можно найти уравнение для относительной намагниченности,,
равной
7 =
Вводя безразмерные величины: магнитное поле h', температуру т и обмен-
обменный параметр а (к):
формулу A9.204) можно переписать в виде
Здесь использовано условие нормировки: [у/BяK] 1 aPfc=l. Заменяя
в A9.236) gfc, определенное по A9.200), с помощью безразмерных величин
A9.205) находим окончательно
j-i = _JL_ j cthV + /I1t+a(fc)]d»*. A9.207>
Темпер'атурная зависимость намагниченности, определяемая из урав-
уравнения A9.207), имеет интерполяционный характер: на краях температур-
температурного интервала она дает известные результаты теории спиновых волн (для.
низких Т) и теории молекулярного поля (для высоких Т), а в промежу-
промежуточной области дает лишь качественную картину, переходную от низких
к высоким температурам. Приближенность уравнения A9.207) внесена
использованным расцеплением гриновских функций, причем в развитой,
схеме не представляется возможным сделать оценку.этого приближения.
Однако в следующем пункте мы остановимся на результатах исследования
гейзенберговской модели так называемым диаграммным методом, в кото-
котором показывается, какому физическому параметру соответствует при-
приближение расцепления гриновских функций, приводящее к самосогла-
самосогласованному уравнению. A9.207).
Из A9.199) видно, что величины е& являются полюсами рассматри-
рассматриваемых функций Грина и, следовательно, они непосредственно связаны
со спектром элементарных возбуждений [см. Бонч-Бруевич и Тябликов
A961I. Из A9.200) следует, что энергия спиновых волн efc. в отличие
от обычной теории спиновых волн [см. A9.156)], зависит от температуры
через п. В высших приближениях полюс на действительной оси исчезает
и появляется затухание, определяющее конечность времени жизни эле-
элементарных возбуждений (этот вопрос будет рассмотрен более подробно
в гл. 20).
В области низких температур, где /^ 1, разложение A9.207) в ряд
по степеням т дает
/ = 1— Лз/2т3/2 — Л5/2т5/2_л3т3 — Л7/2т'/2_Л4т4— . . ., A9.208)
где коэффициенты Ai зависят от структуры кристалла. Этот результат
(случай S = 1/2) отличается (членом с А3) от результата Дайсона [99],
как уже упоминалось выше. Возможно, что это различие обусловлено
принятым приближением, т, е. способом расцепления цепочки уравнений
A9.194) (см. [122, 124, 134, 172, 174, 181, 182, 187, 189, 192, 194, 333]).
Применение метода функций Грина для случая S > 1/2 можно найти
в оригинальных работах, например, Изюмбва и Яковлева [165], Тахир-
Кели и тер Хаара [171] и других [170, 182].
- 498 —

4. Метод самосогласованного поля в задаче ферромагнетизма* р
менение метода запаздывающей и опережающей функций Грина к про-
проблеме гейзенберговского ферромагнетика позволило получить интерпо-
интерполяционную формулу [типа A9.207)], описывающую температурную зави-
зависимость самопроизвольной намагниченности в широком интервале темпе-
температур. При этом было введено представление о существовании спиновых
волн при всех температурах, в которых имеется спонтанное упорядоче-
упорядочение, вплоть до точки Кюри. Их энергия, однако, должна зависеть от тем-
температуры согласно формуле A9.200), которую удобнее здесь записать
в несколько ином виде [см. A9.204)]:
eh^gli0H + 2CSz}lK(Q)-K(k)]. A9.209).
Таким образом, обменная часть энергии спиновой волны должна меняться
с температурой как самопроизвольная намагниченность. Эти результаты
были получены с помощью описанной выше процедуры расцепления
в уравнениях для функций Грина. Однако в ней чрезвычайно трудно оце-
оценить допущенное приближение, а также вычислить затухание спин-вол-
спин-волновых возбуждений с энергией A9.209). В последнее время в этой пробле-
проблеме наметился значительный прогресс в связи с разработкой диаграммной
техники*) для спиновых операторов (Вакс и др. [340, 341])**).
Исходным пунктом построения любой диаграммной техники (теории
возмущений) является разложение гамильтониана системы 3@ на две
части
ёе = ёвъ+ёеъ A9.210)
такие, чтобы оператор J^o допускал точное решение задачи с одной сто-
стороны и давал при этом разумное описание основных свойств системы —
с другой. Для гамильтониана Гейзенберга [типа A9.141)], описывающего
ферромагнетик, в работе [340] предложено следующее разбиение:
S А (/-/')] 2 (Sz)f. A9.211)
= —j 2
A9.212)
Здесь $Bq, очевидно, соответствует нулевому приближению самосогла-
самосогласованного (молекулярного) поля, в котором при пренебрежении 3?Ъъ,
легко получить выражение для свободной энергии /Ч°>, используя общую
формулу
/-«»=_ й;БГ In Зрехр^--^). A9.213)
Вычисляя шпур от статистического оператора ехр ( 1—— \ , находим
\ кБг I
' A9-214)
*) Графический метод Фейнмана для представления амплитуд рассеяния частиц
при построении инвариантной теории возмущений в квантовой электродинамике
нашел широкое применение в не релятивистской квантовой теории многих тел
[см., например, Абрикосов, Горьков, Дзялошинский A962)].
**) Строгий вывод правил диаграммной техники для спиновых операторов дали
Изюмов и др. [356, 357].
- 499 - 32*

где для краткости введено обозначение
Б
A9.215)
Средний спин (Sz) находится из условия минимума свободной энергии
dF/dy = 0:
kTy — gUnH
^° =Ъ(у), A9.216)
где b (у) — функция, просто связанная с известной функцией Бриллюэ-
на В8\у):
±)y-±cth^. A9.217)
Уравнение A9.217) — это обычное уравнение для намагниченности
в теории молекулярного поля. Это вполне естественно, ибо приближение
молекулярного поля есть нулевое приближение самосогласованного поля.
При отсутствии магнитного поля (Н = 0) из уравнения A9.217) следует,
что в системе происходит фазовый переход второго рода при температуре
в, равной
е= J (* + !)* @) •
CStfg
Вблизи в термодинамические величины, согласно A9.214) и A9.216),
меняются в соответствии с феноменологической теорией, в частности (Sz)
оказывается пропорциональным (9 — Т)л^.
Для того чтобы найти поправки к результатам нулевого приближе-
приближения самосогласованного поля, т. е. учесть член 36ВЗ, в работах [340, 341]
была развита специальная диаграммная техника, позволяющая найти
вклад в свободную энергию или корреляционную функцию ферромагне-
ферромагнетика в любом порядке по Звъъ- Для вычисления таких вкладов необходи-
необходимо, в сущности, уметь вычислять средние значения от произведения
любого числа спиновых операторов (точнее, их проекций S+, S~ и S2)
со статистическим оператором нулевого приближения (зависящим только
от 36о). В случае систем Ферми и Бозе такого рода средние вычисляются
с помощью так называемой теоремы Вика *), позволяющей сводить сред-
среднее от определенного числа Ферми (или Бозе) — операторов через сред-
среднее от меньшего числа их. Эта возможность основана на последовательной
коммутации какого-либо оператора под знаком среднего со всеми дру-
другими, а результат коммутации есть число (например, [а, а+]+ = 1,
lb~, b+] _ = 1) и, таким образом, число операторов под знаком среднего
уменьшается.
В случае спиновых операторов результат коммутации двух проекций
друг с другом дает не с-число, а третью проекцию оператора. Таким обра-
образом, при коммутации число операторов уменьшается не на два (как в слу-
случае ферми- или бозе-систем), а на один. Однако это открывает возможность
сводить среднее от произведения к среднему от меньшего числа спин-опе-
спин-операторов. На основе этой идеи в работе [340] и была построена диаграммная
техника для спиновых операторов. При этом оказалось возможным отби-
*) В квантовой теории поля приходится вычислять средние от любого числа
фермиевских или бозевских операторов по основному состоянию системы. Определен-
Определенный алгоритм сведения среднего от произведения данного числа операторов к среднему
от меньшего числа их называется теоремой Вика [см., например, Берестецкий, Е. Лиф-
шиц, Питаевский A968)].
В статистике приходится вычислять произведения операторов Ферми или Бозе,
усредненные по всем квантовым состояниям и по статистическому ансамблю Гиббса.
В этих условиях существует аналогичный алгоритм, который часто называется также
теоремой Вика (см., например, Матцубара [342]).
— 500 -

рать из бесконечного числа возникающих диаграмм лишь некоторые част-,
ные совокупности их (бесконечные последовательности) и суммировать их.
Именно в этой возможности — легко определить эти частные главные сово-
совокупности — и заключается все преимущество диаграммной техники.
В основе такого отбора всегда должен быть какой-либо физический прин-
принцип, приводящий к малому параметру. В указанной работе были найдены
поправки к результатам нулевого приближения самосогласованного поля,
отвечающие разложению по обратному объему взаимодействия между
частицами в системе (в случае ферромагнетика — обменного взаимодей-
взаимодействия) и показано, что все результаты приближения самосогласованного
поля, являются фактически результатом нулевого приближения по обрат-
обратному объему взаимодействия.
Поправка первого порядка по обратному объему для свободной, энер-
энергии FW (она получается суммированием бесконечного числа членов
в разложении свободной энергии по $?ъз) равна
[D^)]-y)]. A9.219)
л-
Здесь Ъ' означает производную по у, в дальнейшем Ъ" — вторую произ-
производную по у и т. д.
Первое слагаемое в A9.219) описывает термодинамический вклад
флуктуации z-компоненты спинов. Второй член, с учетом условия A9,216),
принимает вид свободной энергии идеального газа спиновых волн со спектт
ром efe, зависящим от температуры. В самом деле, при условии A9.218)
имеем
A9.220)
Намагниченность получается из условия минимума свободной энергии
W _jy-i2nfc(l-*gLb-)-B,. A9.221),
к к
Здесь пь — функция распределения спиновых волн:
-I]-1. A9.222)
В формуле A9.221) главный член (первое слагаемое) соответствует прибли-
приближению молекулярного поля. Второй член описывает вклад флуктуации
Sz компонент спинов и, наконец, третий соответствует спиновым волнам.'
При большом радиусе взаимодействия г0 последние члены — малые
поправки порядка г~3 к первому. При низких температурах, однако, вид
температурной зависимости (Sz) определяется блоховским слагаемым
в A9.221). Действительно, при Т —»- О, V, Ъ" и пу экспоненциально стре-
стремятся к нулю, а Ъ — к S. В итоге A9.221) переходит в формулу
(ог) = о —1\ 2-ink, A9. ZZo)
даваемую обычной спин-волновой теорией (хотя в последней не делалось
предположения о большом радиусе взаимодействия). В работах [340, 341J
показано, что формула A9.221) дает все известные результаты для намаг-*
ниченности при всех температурах, которые были получены различными
специальными для каждого температурного интервала методами.
Сравним выражение A9.221) для (Sz) с выражением A9.207),- полу-1
ченным Боголюбовым и Тябликовым и определяющим (Sz) в случае спина
- 501 —

S = 1/2. Это уравнение в обозначениях, принятых здесь, можно записать
в виде
(Sz) -^—| . A9.224)
При больших г0 сумма по к, стоящая в знаменателе, пропорциональна г~а,
так что при г0—> оо формула A9.224) переходит в
(Sz) да уth I = l5jSs №/)]s=i/2, A9.225)
т. е. при г0 -> оо выражение, полученное Боголюбовым и Тябликовым,
переходит в уравнение первого приближения самосогласованного поля,
как и формула A9.221). Однако член, пропорциональный г, и более высо-
высокие в методе расцепления учитывались неправильно, как видно из сравне-
сравнения выражений A9.224) и A9.221), за исключением лишь случая низких
температур, где уравнение A9.224) дает результат A9.223) спин-вол-
спин-волнового-приближения. Таким образом, метод расцепления в действитель-
действительности является разумной интерполяционной формой нулевого приближе-
приближения самосогласованного поля.
Представление о температурно зависящих спиновых волнах с энер-
энергией A9.220), введенное в методе расцепления, снова появляется в теории
?же в первом приближении по обратному.объему взаимодействия, однако
рассматриваемая теория позволяет вычислить и их затухание, чего никто
не мог получить в методе расцепления. В работе [341] показано, что зату-
затухание спиновых волн с энергией е& определяется в широком интервале
температур формулой
Г (ft) = nb'N-* ^ IJC(g^1y)(g)ia б («« -«*>¦
При низких температурах Ъ' экспоненциально стремится к нулю и это
определяет малость затухания спиновых волн. В окрестности точки Кюри,
оказывается, выражение A9.226) можно "вычислить при малых к: отноше-
отношение затухания к энергии спиновой волны зависит от параметров следую-
следующим образом:
¦^«iTlrV*'- A9'227)
Хотя при приближении к точке Кюри затухание сильно возрастает с ро-
ростом температуры, при достаточно малых квазиимпульсах к отношение
Г (й;)/ел может остаться малым. Таким образом, можно говорить о суще-
существовании длинноволновых спиновых волн в ферромагнетике вплоть до
точки Кюри, однако область малых к, для которых это понятие имеет
смысл, сужается при приближении к точке Кюри. С помощью неупругого
рассеяния нейтронов в ряде ферро- и антиферромагнетиков были дейст-
действительно обнаружены длинноволновые спиновые волны в окрестности маг-
магнитного фазового перехода (см. гл. 26).
В последнее время показанная в работах [340, 341] принципиальная
возможность применения диаграммной техники к спин-гамильтонианам
привлекла большое .внимание исследователей. Изюмов и Кассан-Оглы
1343] развили несколько иную форму диаграммного метода [340] и приме-
применили его к задаче о двухподрешеточном ферромагнетике. В частном слу-
случае антиферромагнетика они вычислили затухание спиновых волн и пока-
показали, что вблизи температуры Нееля в антиферромагнетике существуют
слабозатухающие длинноволновые спиновые возбуждения. Ряд вопросов
- 502 —

теории двухподрешеточных магнетиков рассмотрен этим же методом в ра-
работах [344, 354] (см. также [360—362, 365, 366, 368]) *).
5. Проблема спиновых комплексов. В заключение этого параграфа
-остановимся на вопросе о возможности существования так называемых
"спиновых комплексов по Бете [87] [см. также Бете и Зоммерфельд A938)].
Блох еще в своей первой работе по спиновым волнам [84] решал систему
уравнений Шредингера в представлении, где в качестве координат выбра-
выбраны номера / узлов со спиновыми отклонениями /4, /2, . . ., /V- Эти урав-
уравнения (в приближении ближайших соседей) имеют вид
га (А ... Д) = 2 Aff. [a (Tff |Д ... fr) -а (А ... /г)], A9.228)
f.f
где /i . . . /г — номера г узлов / с «левыми» спинами, а символ Tff озна-
означает перестановку двух номеров / и /'; е — энергия спиновых волн.
При г = 0 мы имеем основное состояние полного насыщения. При г = 1
уравнение A9.228) имеет точное решение в виде плоской волны [84]:
«(/) = iV~1/2exp(i/fe). При г = 2 уже возникают эффекты спин-волнового
взаимодействия, которое не позволяет легко получить точное решение.
Для одномерной цепочки и для спина 5 = 1/2 эта задача при г = 2
точно была решена Бете [87]. Он нашел, что в пределе бесконечной одномер-
одномерной цепочки существует единственное связанное состояние для каждого
значения полного квазиимпульса К = ki -\- fc2 спиновой пары («спино-
(«спинового комплекса»). Однако он не дал обобщения на двух- и трехмерные
¦случаи.
Попытку решить эту задачу в общем виде сделал ван-Кранендонк
[93]. Однако он не смог преодолеть математические трудности и решить
задачу в приемлемых приближениях. Этот же вопрос рассмотрел Дай-
¦сон [99]. Он пришел к выводу, что связанные состояния типа спиновых
комплексов Бете не могут возникать в двух и трехмерных случаях. Одна-
Однако, в работе Уортиса [345] с помощью метода функций Грина было пока-
показано, что предположение Дайсона, по-видимому, ошибочно. В двумерном
•случае, благодаря некоторым особенностям входящих в расчеты интегра-
интегралов, при К = 0 связанные состояния существуют и при произвольно
малых К ф- 0. В трехмерном случае существует область малых К, для кото-
которых связанные состояния отсутствуют. С ростом величины К достига-
достигается предел, выше которого такие состояния разрешены. В [345]
выяснены условия, при которых энергия связанных состояний может
лежать ниже «дна» непрерывной полосы (при заметной энергетической
щели, обусловленной магнитной анизотропией), и поэтому эти состояния
могут существенно сказаться на характере температурной зависимости
термодинамических свойств ферромагнетика в области низких темпера-
температур (см. также Ахиезер, Барьяхтар, Пелетминский A967), Маттис A967)
я [346—349, 359]).
§ 6. Оценка параметра обменного взаимодействия
Остановимся еще раз (см. § 1) несколько подробнее на оценке основ-
основного параметра (интеграла) обменного взаимодействия А, существование
которого (и его положительный знак) определяет возникновение ферро-
ферромагнетизма. Раньше для параметра А использовали выражение A9.16)
и пренебрегали членами порядка квадрата интеграла перекрытия | Sab | 2
из A9.9а) и более высокими. Гейзенберг [5] предполагал, что хотя ^4гейз
из A9.16) отрицателен для молекулы водорода, но при значениях отноше-
лия расстояния между соседними ядрами к «радиусу» электронных атом-
лых «орбит», превышающих некоторое критическое значение, знак
*) Полное изложение диаграммной техники спиновых операторов, анализ
результатов Дайсона [99] и связь метода диаграмм с методом континуального инте-
интегрирования см. в работах Изюмова и др. [343, 356—358].
- 503 —

может измениться. Принципиально это казалось возможным, поскольку
выражение A9.16) равно сумме двух членов
A9.229)
Слагаемое .4гейа в A9.229), отвечающее чисто электронному обмену,
в случае свободных электронов или при положительных функциях а
и Ъ положительно, а слагаемое ^4гейз> содержащее потенциалы взаимо-
взаимодействия электронов с ионами, может быть отрицательно. Для ферромаг-
ферромагнетизма необходимо выполнение неравенства
ИгИейз|<Мгейз|. A9.230)
Слэтер [86], а затем Бете [см. Бете и Зоммерфельд A938)] высказали при-
приведенные в § 1 соображения о необходимых условиях, гарантирующих
выполнение неравенства A9.230), а именно: 1) произведение волновых
функций в -Дгейз должно быть максимальным в малом объеме на середине-
расстояния между ядрами, где одновременно максимален потенциал
e2/ri2", 2) произведение функций в ^4г"йз должно быть малым вблизи ядер,,
где велик потенциал e2[zo/rlo + гъ1г2ъ\- Оба эти условия выполняются,,
если максимумы функций а и Ъ далеки от обоих ядер, а вблизи последних
функции малы. Это в свою очередь возможно, если: 1) велико орбитальное
квантовое число I электронного состояния, когда радиальная часть волно-
волновой функции вблизи ядра пропорциональна г', и 2) расстояние Rab между
ядрами должно быть настолько велико, чтобы максимумы волновых функ-
функций перекрывались по возможности в какой-то более узкой области (т. е.
с линейными размерами r0 <^ Rab) вдали от ядер. Таким образом, крите-
критерий ферромагнетизма по Бете сводится к таким условиям: а) должна суще-
существовать незаполненная d- или /-оболочка с большим орбитальным числом Z;
б) «лепестки» (см. гл. 10), определяемые угловой зависимостью волновых
d- или /-функций, должны быть у соседних атомов направлены друг
к другу и перекрываться в узкой области между ядрами; в) радиальная
протяженность (средний радиус оболочки по Слэтеру [86]) функций мала
по сравнению с межъядерным расстоянием в решетке. Все эти условия
удовлетворяются, например, в ферромагнитных d-металлах. На основе-
этих общих соображений Бете даже построил схематический график
[«кривая Бете — Слэтера», см. Бете и Зоммерфельд A938)] зависимости
величины ^.гейз °т отношения Rablfn, где гп — радиус магнитно актив-
активной (незамкнутой) электронной d- или /-оболочки иона в кристалле. Спра-
Справедливость рассуждений Бете подвергалась уже давно серьезной критике-
в работах Шубина и Вонсовского [88, 90] [см. также Вонсовский и Шур
A948)], Боголюбова и Тябликова [92], Боголюбова A949), Слэтера [11,.
12], Ван-Флека [350] и Зинера [209]. В частности, было указано [Вонсов-
[Вонсовский и Шур A948)], что даже в рамках самой модели Гейзенберга критерий
Бете не вполне точен, ибо в кристалле выражения для интеграла обмена
даются не формулой A9.16), а более сложной *). При переходе же к фор-
формуле A9.16) отбрасываются члены, которые могут радикально изменить
соотношения между слагаемыми, составляющими параметр ЛГейз-
Использование «полярного» обобщения гейзенберговской модели ферро-
ферромагнетизма, предложенное Шубиным и Вонсовским [88], привело к суже-
сужению обычного критерия ферромагнетизма ^.рейз > О.
В работах Зинера [209] особенно подчеркивалось, что параметр АТеЪл.
никогда не может быть положительным, он лишь монотонно и экспонен-
экспоненциально изменяется от больших отрицательных значений при малых Rab.
*) См., например, у Вонсовского и Шура A948) формулу A8.8), работу Вонсов-
Вонсовского [90] или в монографии Боголюбова A949) формулу D.125).
- 504 -

к незначительным отрицательным значениям при больших Rab. В послед-
последнее время был проведен ряд прямых вычислений интегралов типа ^гейз-
Вольфарт [15] провел упрощенный расчет ^4гейз> заменив анизотропные
3^-функции сферически усредненными и нашел, что параметр АГейз дол-
должен быть всегда отрицательным. Каплан [351] учел угловую зависимость
волновых функций. Однако из-за трудности расчетов он провел вычис-
вычисления только для аномально малого межъядерного расстояния (примерно
в 3 раза меньше реально наблюдаемого) и получил для АГейз положитель-
положительную величину @,60 зв). Для больших значений Rab Каплан расчетов
не проводил, но предполагал, что при реальных значениях Rab интеграл
^гейз, по-видимому, остается положительным. В расчетах Каплана
и Вольфарта принималось, что Sab = 0. В более поздней работе Стюарт
и Маршалл [272] провели более точный расчет *) и нашли, что параметр
^гейз> определяемый по формуле A9.15), положителен при всех межъядер-
межъядерных расстояниях Rab. Однако при реальных Rab в Fe, Ni и Со вели-
величина ^.гейз оказывается примерно в 70 раз меньше, чем определяемые
из опыта параметры обмена в этих металлах. Фримен и Ватсон [261]
отметили, что в расчете Стюарта и Маршалла [272] не были учтены все
члены в выражении A9.15) для ATeii3, и поэтому их результат нельзя
считать убедительным. Фримен и Ватсон исходили из более точного выра-
выражения для параметра ^гейз по Лёвдину [260], а также рассчитали пара-
параметр прямого обмена для пар орбитальных состояний 3dn (mt = 1}
и 3d& (mi = 2). При этом они провели вычисления для двухэлектронной
двухатомной системы как для водородных 3<2-функций,так и для.З^-функ-
ций атомов группы железа. Кроме того, они провели расчет более реаль-
реального случая для двух атомов группы железа, находящихся в 3^9-конфигу-
рации, отказавшись при этом от использования модели точечного заряда
иона, т. е. провели учет влияния конечности размеров ионного остова.
В наиболее близких к реальности случаях расчет для параметров Агейз
дал отрицательные и малые значения, что противоречит критерию ферро-
ферромагнетизма **). Эти «неудачи» расчета параметра «прямого» обмена в моде-
модели локализованных спинов, конечно, указывают на неудовлетворитель-
неудовлетворительность этой модели. Действительно, современное состояние наших знаний
о физической природе магнитно-упорядоченных состояний практически
все больше сужает область возможной применимости концепции гейзен-
гейзенберговского прямого обмена. Для неметаллических соединений основной
тип обмена — крамерсовский косвенный обмен (см. ниже гл. 22), а в слу-
случае 4/-металлов и разбавленных растворов d- и /-металлов в немагнитных
матрицах господствует концепция косвенного обмена через электроны
проводимости (см. гл. 20). Единственный случай, где, казалось бы, при-
применима концепция прямого обмена по Гейзенбергу, это в ферромагнетиз-
ферромагнетизме ферми-жидкости, однако в этом случае неприменима модель локали-
локализованных спинов (см. также [363, 364, 367]).
К вопросу анализа обменных параметров мы будем обращаться еще-
неоднократно (см. ниже. гл. 20—22)..
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 19
1. Я. Г. Д о р ф м а н, Nature 119, 353 A927).
2. Я. И. Ф р е н к е л ь, Zs. Phys. 49, 31 A928).
3. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 23, 286 A924).
4. W. P a u 1 i, Zs. Phys. 41, 81 A927).
*) Этот расчет проведен для пары 3da орбит свободного атома железа (взятых
из работы Вуда и Пратта [352]), т. е. для состояний с магнитным квантовым число!*
т; = 0 и осью квантования вдоль линии, соединяющей ядра.
**) Некоторые качественные попытки «реабилитации» концепции прямого обмена-
были сделаны Гудинафом A969); см. также работу Уоллана [353]. в которой приво-
приводятся доводы в пользу существования прямого обмена гейзенберговского типа в N»
в сплавах Ni — Си.
— 505 -

5. W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 49, 619 A928).
6. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 57, 545 A929).
7. E. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 A934); Trans. Faraday Soc. 34, 678 A938).
8. N. F. M о t t, Proc. Phys. Soc. 47, 571 A935).
9. N. F. M о t t, Adv. Phys. 13, 325 A964).
10. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 49, 537, 931 A936).
11. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 52, 198 A937)
12. I.CSlater, Rev. Mod. Phys. 25, 199 A953); Phys. Rev. 165, 658 A968); J. Appl.
Phys. 39, 761 A968).
13. E.Stoner, Phil. Mag. G) 15, 1018 A933); Proc. Roy. Soc. A154, 656 A936); A165,
372 A938); A169, 339 A939); Rept. Progr. Phys. 11, 43 A948); J. phys. rad. 12,
372 A951); Acta Met. 2, 259 A954).
14. E. P. W о h 1 f а г t h, Proc. Roy. Soc. A195, 434 A949); Phil. Mag. 40, 703, 1095
A949); 42, 374 A951); Proc. Phys. Soc. A65, 1053 A952); Rev. Mod. Phys. 25, 211
A953); Phys. Lett. 4, 83 A963); 24A, 666 A967); J. Appl. Phys. 39, 1061 A968).
15. E. P. W о h 1 f а г t h, Nature 163, 57 A949).
16. G. С Fletcher, E. P. W о h 1 f а г t h, Phil. Mag. 42, 1061 A951).
17. A. B. L i d i а г d, Proc. Phys. Soc. A64, 814 A951); A65, 885 A952).
18. G. С F 1 e t с h e r, Proc. Phys. Soc. A65, 192 A952).
19. CHerring, Phys. Rev. 85, 1003 A952); 87, 60 A952).
20. CHerring.J. Appl. Phys. 31, 3S A961).
21. F. В a d e r, Zs. Naturforschung 8a, 334 A953).
22. F. В a d e r, K. G a n z h о г n, U. D e h 1 i n g e r, Zs. Phys. 137, 190 A954).
23. G. F. К о s t e r, Phys. Rev. 98, 901 A955).
24. J. С a 1 1 a w a y, Phys. Rev. 99, 500, 627 A955); 115, 346 A959); 140, A618 A965).
25. Г. С. К р и н ч и к, ФММ 3, 422 A956); 4, 36 A957); Изв. АН СССР, сер. физ.
21, 869 A957).
26. J. B.Ehrman, Phil. Mag. 2, 404 A957).
27. Т. М о г i t a, R. A b e, S. M i s a w a, Prog. Theor. Phys. 18, 326 A957).
.28. А. А. Абрикосов, И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 35, 771 A958).
29. E. О. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 110, 1205 A958).
¦30. H. W a t a n a b e, J. Phys. Soc. Japan 13, 187 A958).
31. HsiangJen-sen, Acta Phys. Sinica 14, 375 A958).
32. D. M. E d w а г d s, E. P. W о h 1 f а г t h, J. phys. rad. 20, 136 A959).
33. J.B. Goodnough, A. Wold, R.Arnott, J. Appl. Phys. 31, 342S (I960}.
34. M. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan 15, 376, 1127 A960); Proc. Phys. Soc. 84, 397
A964); 86, 147 A965); J. Appl. Phys. 39, 1101 A968).
35. T. I z u у a m a, Prog. Theor. Phys. 23, 969 A960); Phys. Rev. Lett. 12, 585 A964);
Phys. Lett. 9, 293 A964).
36. С. В. В о н с о в с к и й, Л. Я. К о б е л е в, ФММ 11, 820 A961).
37. W. J. С а г г, Jr., Phys. Rev. 122, 1437 A961).
38. Е. P. W о h 1 f а г t h, I. F. Cornwell, Phys. Rev. Lett. 7, 343 A961).
39. M. И. К у р к и н, ФММ 14, 327 A962); 16, 808 A963); 20, 494 A965).
40. Е. L i е Ь, D. M a t t i s, Phys. Rev. 125, 164 A962).
41. T. W о 1 f г a m, J. С a 1 1 a w a y, Phys. Rev. 127, 1605 A962).
42. D. Mat t i s, W. S. D о n a t h, Phys. Rev. 128, 1618 A962).
43. D.M.Edwards, Proc. Roy. Soc. A269, 338 A962).
44. E. P. W о h 1 f а г t h, F. Rhodes, Phil. Mag. 7, 1817 A962).
45. J. F г i e d e 1, J. phys. rad. 23, 501 A962).
46. R. G e г s d о г f, J. phys. rad. 23, 726 A962).
47. Th. W. R u i j g г о k, Physica 28, 877 A962).
48. J. К a n a m о г i, M. T а с h i k i, J. Phys. Soc. Japan 17, 1384 A962).
49. L. E g g e s, Phys. Rev. 130, 2218 A963).
50. D. M a t t i s, Phys. Rev. 132, 2J2 A963); 151, 278 A966); Phys. Rev. Lett. 12,
561 A964); J. Appl. Phys. 35, 1085 A964).
-51. M. С Gutz wilier, Phys. Rev. Lett. 10,. 159 A963);. Phys. Rev. 134, A923
A964); 137, A1727 A965).
-52. E.D.Thompson, Ann. of Phys. 22, 309 A963).
53. J. H u b b а г d, Proc. Roy. Soc. A276, 238 A963); A277, 237 A964); A281, 401
A964); A285, 542 A965); Proc. Phys. Soc. 84, 455 A964).
54. J. К a n a m о г i, Prog. Theor. Phys. 30, 275 A963).
55. F. E n g 1 e г t, M. M. A n t о п о f f, Physica 30, 429 A964).
-56. И. Е. Дзялошинский,- ЖЭТФ 46, 1420, 1722 A964).
-57. П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 46, 1438; 47, 1536 A964); 50, 769 A966);
54, 1844 A968).
58. К. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 29, 156 A963); Phys. Rev. 135, A1371 A964).
59. T. I z u у a m a, R. К u b o, J. Appl. Phys. 35, 1074 A964).
•60. J. B. Goodenaugh, J. Appl. Phys. 35, 1083 A964); 37, 1415 A966); 38, 1054
A967); 39, 403 A968).
-61. M. S h i m i z u, А. К a t s u k i, Phys. Lett. 8, 7 A964).
62. J.F. Cornwell, Proc. Roy. Soc. A279, 346 A964); A284, 423 A965).
'63. M. В a i 1 у n, Phys. Rev. 139, A1905 A965).
- 506 —

«4. S.Misawa, Phys. Rev, 140, A1645 A965); Prog. Theor. Phys. 38, 1207 A967).
65. L. Hodges, H. Ehrenreich, Phys. Lett. 16, 203 A965).
€6. Т. М о г i у a, Prog. Theor. Pbys. 33, 157 A965).
67. J. L. В e e b y, Phys. Rev. 141, 781 A966); Proc. Phys. Soc. 90, 765, 779 A967).
68. Y. N a g а о к a, Phys. Rev. 147, 392 A966).
69. P. Lederer, D. L. Mills, Pbys. Rev. 148, 542 A966).
70. L. M. R о t h, Phys. Rev. 149, 306 A966); J. Appl. Phys. 38, 1065 A967); 39, 474
A968).
71. L. Hodges, H. Ehrenreich, N. D. Lang, Phys. Rev. 152, 505 A966).
72. D.M.Edwards, Phys. Lett. 20, 362 A966); 24, A350 A967); Proc. Roy. Soc.
A300, 373 A967); J. Appl. Phys. 39, 481 A968).
73. A. K. R a j a g о p a 1, S. D. M a h a n t i, Phys. Rev. 158, 353 A967).
74. J. W. D. Connolly, Phys. Rev. 159, 415 A967).
75. S. Alexander, G. Horwitz, Phys. Rev. 164, 642 A967).
76. G. К e m e n y, Phys. Lett. 25A, 307 A967).
77. A. K. Rojagopal, H. Brooks, N. R. Rauganathaus, Nuov. cim.,
Suppl. 5, № 3, 806 A967).
78. M. B. Walker, Th. W. R u i j g г о к, Phys. Rev. 171, 513 A968).
79. G. W. Pratt, Jr., L. G. Caron, J. Appl. Phys. 39, 485 A968).
80. S. Doniach, J. Appl. Phys. 39, 751 A968).
81. S. Szczeniowski, J. Wojtezak, J. Appl. Phys. 39, 1377 A968).
82. С Herrin g, «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 4, Academic Press,
New York, 1966.
83. E.D.Thompson, Adv. phys. 14, 213 A965).
84. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 61, 206 A930).
85. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 74, 295 A932).
86. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 35, 509 A930).
87. H. В е t h e, Zs. Phys. 71, 205 A931).
88. С. П. Ш у б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Proc. Roy. Soc. A145, 159 A934); Phys.
Zs. UdSSR 7, 292 A935); 10, 348 A936).
89. С. В. В о н с о в с к и й, Труды ИФМ АН СССР, № 12, 9 A950).
90. С. В. В о н с о в с к и й, УФН 48, 289 A952).
91. Т. Н о 1 s t e i п, Н. Р г i m a k о f f, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
.92. H. H. Боголюбов, С. В. Т я б л и к о в, ЖЭТФ 19, 257 A949); Изв. АН
СССР, сер. физ. 21, 893 A957).
93. J. van Kranendonk, Physica 21, 81, 749, 925 A955).
94. Н. N a k a n о, Prog. Theor. Phys. 9, 403 A953).
95. R. H. T г e d g о 1 d, Proc. Phys. Soc. A67, 148 A954).
96. M. R. S с h a f г о t h, Proc. Phys. Soc. A67, 33 A954).
«7. С. В. В о н с о в с к и й, К. Б. В л а с о в, Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 29, 37 A955).
¦98. P. W. К a s t е 1 ё j n, J. van Kranendonk, Physica 22, 317 A956).
99. F. J. D у s о n, Phys. Rev. 102, 1217, 1230 A956).
100. С. В. Т я б л и к о в, ФММ 3, 3 A956); 15, 641, 801 A963); 16, 321 A963).
101. СВ. Тябликов, ДАН СССР 149, 573 A963), ФММ 17, 883 A964).
102. К. М е у е г, Zs. Naturforschiing 12a, 797 A957).
103. J. van К г a n e n d о n k, J. N. Van V 1 e с k, Rev. Mod. Phys. 30, 1 A958).
104. E. A. T у р о в, Ю. П. И р х и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168 A958).
105. Ю.А.Изюмо-в, ФММ 7, 495, 669 A959); ДАН СССР 125, 1227 A959).
106. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. Каганов, УФН 71, 533
A960).
107. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. Каганов, УФН 72, 3
A960).
108. А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, ЖЭТФ
40, 365 A961).
109. Т. О g u с h i, Phys. Rev. 117, 117 A960); Prog. Theor. Phys. 25, 721 A961).
110. F. E n g 1 e г t, Phys. Rev. Lett. 5, 102 A960).
111. R. K.Nesbet, Phys. Rev. 122, 1497 A961).
112. A. J.Freeman, R. K.Nesbet, R.E.Watson, Phys. Rev. 125, 1978 A962>.
113. Т. А г a i, Phys. Rev. 126, 471 A962).
114. Т. А г a i, Phys. Rev. 134, A824 A964). /
115. J.Szaniecki, Acta phys. Polon. 20, 983, 995 A961); 21, 3, 125, 219, 376, 389,
481, 491, 504 A962); 22, 3, 9 A962); 25, 359 A964); 34, 457 A968); 26, 57 A964);
Phys. stat. sol. 3, 630 A963).
116. G. Dresselhaus, Phys. Rev. 127, 1136 A962); 139, A855 A965).
117. J. S. Faulkner, Phys. Rev. 128, 202 A962).
118. E. L i e b, D. M a t t i s, J. Math. Phys. 3, 749 A962).
119. L. Kowalewski, Acta phys. Polon. 21, 121 A962); 24, 415, 583 A963).
120. J.Morkowski, Prog. Theor. Phys. 27, 1284 A962).
121. D. M a t t i s, Phys. Rev. 130, 76 A963).
122. A. C. H e w s о n, D. ter H a a r, Phys. Lett. 6, 136 A963).
123. N. I. Greenbery, J. Math. Phys. 4, 405 A963).
J24. С W. H a a s, H. S. J а г г е t, Phys. Rev. 135, A1089 A964).
- 507 —

125. G. А. В а к е г, Jr., G. S. R u s h b г о о к s, H. E. G i I b e г t, Phys. Rev. 135.
A1272 A964).
126. S. P. H e i m s, Phys. Rev. Lett. 13, 50 A964).
127. E.M.Flsher, Am. J. Phys. 32, 343 A964).
128. S. Katsura, S. Inawashiro, J. Math. Phys. 5, 1091 A964).
129. G. О b e г m a i r, Zs. Phys. 182, 5 A964).
130. S. T. D e m b i n s к i, Physica 30, 1217 A964).
131. A. Pawlikowski, Bull. Ac. Pol. 12, 275 A964).
132. T. Fujishiro, F. Takano, T. Oguchi, J. Phys. Soc. Japan 19, 1666-
A964).
133. M. W о г t i s, Phys. Rev. 138, A1126 A965).
134. S. H. L i u, Phys. Rev. 139, A1522 A965).
135. S. Katsura, S. Inawashiro, J. Math. Phys. 6, 1916 A965).
136. S. К a t s u г a, Ann. of Phys. 31, 325 A965).
137. В. Н. К а щ е е в, Phys. stat. sol. 8, 687 A965); 9, 685 A965).
138. J. Z i t t а г t z, Zs. Phys. 184, 506 A965).
139. T. Tanaka, K. Moorjani, T. Morita, Phys. Rev. 141, 323 A966).
140. P. D. L о 1 у, S. D о n i а с h, Phys. Rev. 144, 319 A966).
141. R. B. G г i f f i t h s, Phys. Rev. 152, 240 A966).
142. P. J. Wood, G. S. Rushbrooke, Phys. Rev. Lett. 17, 307 A966).
143. N. D. M e г m i n, H. W a g n e r, Phys. Rev. Lett. 17, 1133, 1307 A966).
144. R. E. M i 1 1 s, R. P. К е n a n, Ann. of Phys. 37, 104 A966).
145. К. Т о m i t a, Proc. Phys. Soc. 88, 293 A966).
146. С. В. Т я б л и к о в, Е. М. Сорокина, ФММ 24, 200 A967).
147. G. S. J о у с е, Phys. Rev. 155, 478 A967).
148. S. H. L i n, D. В. S i a n о, Phys. Rev. 164, 697 A967).
149. H. E. S t a n 1 e y, Phys. Rev. 164, 709 A967).
150. E. J a g e г, А. К u h n e 1, Phys. Lett. 24A, 747 A967).
151. L. M. R о t h, J. Appl. Phys. 38, 1063 A967).
152. D. L. M i 1 1 s, A. A. M а г a d u d i n, J. Phys. Chem. Sol. 28, 1855 A967).
153. G. A. T. A 1 1 a n, D. D. В e t t s, Proc. Phys. Soc. 91, 341 A967).
154. U.Lindner, R. Gruner, G. Heber, Zs. Naturforschg 22a, 856 A967)_
155. K. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 38, 1052 A967).
156. D. A. D u b i n, Nuov. cim. 53, B182 A968).
157. S. Szczeniowski, J. Morkowski, J. Szaniecki, Phys. stat.
sol. 3, 537 A963).
158. F. К e f f e г, в книге «Handbuch der Physik», Bd. 18/2, Springer, Berlin, p. 1T
1966.
159. С H e г г i n g, в книге «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 2B, Academic-
Press, New York, 1966.
160. H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ДАН СССР 126, 53 A959).
161. С. В. Т я б л и к о в, Укр. мат. журн. 11, 287 A959).
162. С. В. Тябликов, ФММ 16, 321 A963).
163. Пу фу-чо, С. В. Тябликов, Т. Шиклош, Acta phys. Hung. 12, 323-
A960).
164. С. В. Т я б л и к о в, Т. Ш и к л о ш, Acta phys. Hung. 12, 35 A960).
165. Ю. А. И з ю м о в, Е. Н. Я к о в л е в, ФММ 9, 667 A960).
166. K.Kawasaki, H.Mori, Prog. Theor. Phys. 25, 1043, 1045 A961); 28, 690
A962).
167. С. В. Т я б л и к о в, Е. Н. Я к о в л е в, ДАН СССР 144, 303 A962); ФТТ 5, 137
A963).
168. В. G. S. D о m a n, D. ter H а а г, Phys. Lett. 2, 15 A962).
169. J.Szaniecki, Phys. stat. sol. 2, 1354, 1364 A962); Phys. Rev. 129, 1018 A963).
170. J.Czerwpnko, Bui. Ac. Polon Sci. 10, 589 A962); ДАН СССР 147, 88 A962).
171. R. A. T a h i г - К h e 1 i, D. ter H а а г, Phys. Rev. 127, 88, 95 A962).
172. R. A. T ahir-Kheli, Phys. Rev. 132, 689 A963); Phys. Lett. 11, 275 A964).
173. R. A. T a h i г - К h e 1 i, B. G. S. D о m a n, D. ter H a a r, Phys. Lett. 4, 5
A963).
174. H. В. С a 1 1 e n, Phys. Rev. 130, 890 A963); Phys. Lett. 4, 161 A963).
175. B. S t г i e b, H. В. С a 1 1 e n, G. H о г w i t z, Phys. Rev. 130, 1798 A963).
176. W. Haubenreiser, Phys. Lett. 6, 613 A963).
177. Ю. А. И з ю м о в, ФТТ 5, 717 A963).
178. А. Г. X а ч а т у р я н, ФТТ 5, 2178 A963).
179. Т. О g u с h i, A. H о n m a, J. Appl. Phys. 34, 1153 A963).
180. E.Praveczki, Phys. Lett. 6, 147 A963); Phys. stat. sol. 5, 481 A964); 18, K3I'>
A966); ФММ 12, 296 A961).
181. W. С. Н a a s, Phys. Lett. 10, 23 A964).
182. Г. А. Б р о с с, Phys. stat. sol. 4, 645, 661 A964); ДАН СССР 158, 1299 A964).
183. W. Haubenreiser, E. lager, Phys. stat. sol. 5, 33 A964). . .
184. R. A, T a h i г - К h e 1 i, H. В. С a 1 1 e n, Phys. Rev. 135, A679 A964); J. Appl.
Phys. 35, 948 A964).
185. R. A. T a h i г - К h e 1 i, H. S. J а г г e t t, Phys. Rev. 135, A1096 A964).
- 508 —

186. S. S a u t e г, D. Wagner, Ann. der Phys. 7, 156 A964).
187. T. Morita, T. T a n а к a, Phys. Rev. 137, A648 A965); 138, A1395, A1403
A965).
188. Т. М u s i e v о w i e z, Phys. Lett. 15, 20 A965); Acta phys. Polon. 29, 363 A966).
189. A. Corciovei. G. Ciobanu, J. Phys. Chem. Sol. 26, 1939 A965).
190. В. Н. К а щ е е в, Phys. stat. sol. 11, 371 A965).
191. А. И. М и ц е к, В. К. З в е з д и н, ФТТ 7, 1057 A965).
192. А. И. М и ц е к, ФТТ 8, 1498 A966); ФММ 23, 409 A967).
193. J. А. С о p e 1 a n d, H. A. G e г s с h, Phys. Rev. 143, 236 A966).
194. R. E. M i 1 1 s, R. P. К e n a n, F. J. M i 1 f о г d, Phys. Rev. 145, 704 A966).
195. R. A. T a h i г - К h e 1 i, H. В. С a 1 1 e n, H. S. J а г г e t t, J. Phys. Chem.
Sol. 27, 23 A966).
196. J. E b i n a, Phys. Rev. 153, 561 A967).
197. J. F. С о о к e, H. A. G e r s с h, Phys. Rev. 153, 641 A967).
198. J.C. Raich, R.D.Etters, Phys. Rev. 155, 457 A967).
199. R. V. L a n g e, Phys. Rev. 156, 630 A967).
200. W. Lewis, R. B. S t i n с h с о m b e, Proc. Phys. Soc. 92, 1002, 1010 A967).
201. G. M e i s s n e r, Zs. Phys. 205, 249 A967).
202. G. R e i t e r, J. Appl. Phys. 38, 1056 A967); Phys. Rev. Lett. 20, 1170 A968).
203. H. J. Spencer, Phys. Rev. 167, 434 A968).
204. S. T. D e m b i n s к i, Canad. J. Phys. 16, 1021 A968).
205. А. И. М и ц е к, Н. П. К о л м а к о в а, В. А. Ф е й г и н, П. Ф. Г о й д а н-
с к и й, Phys. stat. sol. 28, 83 A968).
206. В. Л. Г и н з б у р г, В. М. Ф а й н, ЖЭТФ 39, 1323 A960).
207. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 A946); Изв. АН СССР, сер. физ. 16,
387 A952); 19, 477 A955); 21, 854 A957), J. phys. rad. 20, 264 A954); J. Phys. Soc.
Japan 17, S854 A957); B-l, 44 A962).
208. С. В. Вонсовский, Е. А. Туров, ЖЭТФ 24, 419 A953).
209. С. Z e ne г, Phys. Rev. 81, 440 A951); 82, 403 A951); 83, 299 A951).
210. R. R. H e i k e s, Phys. Rev. 84, 376 A951).
211. С Zener, R. R. Heikes, Rev. Mod. Phys. 25, 191 A953).
212. A. T e v i о t d a 1 e, Proc. Phys. Soc. A65, 957 A952).
213. С. В. В о н с о и с к и й, К. Б. Власов, ЖЭТФ 25, 327 A953).
214. Е. А. Туров, ДАН СССР 98, 945 A954).
215. E.Abrahams, Phys. Rev. 98, 387 A955).
216. Т. К a s у a, Prog. Theor. Phys. 16, 45, 58 A956); 22, 227 A959); в книге «Magne-
«Magnetism», vol. 2B (ed. G. T. Rado, H. Suhl), Acad. Press, New York, p. 215, 1966.
217. А. А. Б е р д ы ш е в, Ю. А. Изюиов, ФММ 5, 552 A957).
218. А. Н. М i t с h e I I, Phys. Rev. 105, 1439 A957).
219. J.Pratt, Phys. Rev. 106, 53 A957)./
220. K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 A957).
221. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 35, 1447 A958).
222. Е. А. Туров, В. Г. Ш а в р о в, Труды ИФМ 20, 101 A958).
223. Ю. А. И з ю м о в, ЖЭТФ 35, 1148 A958).
224. Y. Y. L i, Acta Phys. Sinica 14, 225 A958).
225. H. Hasegawa, Prog. Theor. Phys. 21, 483 A959).
226. С. В. В о н с о в с к и й, А. А. Б е р д ы ш е в, 10. А. И з ю м о в, Б. В. К а р-
п е н к о, Ю. Я. П о л я к, ДАН СССР 132, 797 A960).
227. С. В. Вонсовский, 10. А. И з ю м о в, ФММ 10, 321 A960).
228. Е. А. Т у р о в, Ю. П. И р х и н, ФММ 9, 488 A960).
229. D. L. P a u I, Phys. Rev. 118, 92 A960); 120, 463 A960).
230. A. J. F. В о g 1 е, D. S. Р. В u n b u г у, С. Е d w а г d s, Phys. Rev. Lett. 5, 553
A960).
231. J. S e i d e n, Compt. rend. 251, 1062, 2311 A960); 252, 249 A961).
232. E. А. Туров, Ю. П. И р х и н, в книге «Ферриты», Изд. АН БССР, Минск,
1961, стр. 7.
233. А. А. Б е р д ы ш е в, Э. Д. К о р ж, ФММ 12, 476 A961).
234. С. В. Вонсовский, Л. Я. Кобеле в, ФММ 12, 814 A961).
235. S. H. L i u, Phys. Rev. 121, 451 A961); 123, 470 A961).
236. С. В. Вонсовский, Ю. А. И з ю м о в, УФН 77, 377 A962); 78, 3 A962).
237. A. Bassompierre, Compt. rend. 254, 1948 A962).
238. R. A. T a h i г - К h e 1 i, D. ter Haar, Phys. Rev. 130, 108 A963).
239. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 182 A964).
240. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 1354 A964).
241. R.E.Watson, A.I.Freeman, Phys. Rev. Lett. 14, 695 A965); Phys. Rev.
152, 566 A966).
242. J. M a t h о n, D. F г a i t о v 'a, Phys. stat. sol. 9, 97 A965).
243. Т. К a s u у a, D. H. L у о n s, Techn. Rep. of ISSR, Ser. A, № 167 A965); J. Phys.
Soc. Japan 21, 287 A966).
244. Ю. П. И р x и н, ЖЭТФ 50, 379 A966).
245. В. Б. К о б ы л я н с к и й, А. Е. Г л а у б е р м а н, Изв. АН Каз. ССР, сер.
физ. 4, 68 A966).
- 509 —

246. A. J. F e d г о, М. В a i 1 у n, Phys. Rev. 142, 337 A966).
247. J. S m i t, J. Appl. Phys. 37, 1445 A966).
248. A. F u г г е г, Т. S с h n e i d e r, W. H a 1 g, Sol. State Comm. 4, 99 A966).
249. J. M a t h о n, С S. J. Phys. 16, B869 A966).
250. П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 54, 1844 A967).
251. С. В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, ФММ 24, 793 A967).
252. V. Heine, Phys. Rev. 153, 673 A967).
253. F. Rys, J. S. Helman, W. Baltensperger, Phys. Kondens. Materie
6, 105 A967). . .
254. H.Miw a, Prog. Theor. Phys. 34, 1040 A.967).
255. P. R. P. S i 1 v a, Phys. Rev. 166, 679 A968).
256. P. A. F e d d e г s, Phys. Rev. 168, 631 A968).
257. G. Vertogen, Phys. stat. sol. 25, 729 A968).
258. W. H e i 11 e г, Г. L о n d о n, Zs. Phys. 44, 455 A927).
259. W. H e i s e n b e г g, Zs. Phys. 38, 411 A926); 39, 499 A926); 41, 239 A927).
260. P. O. L 6 w d i n, Rev. Mod. Phys. 34, 80 A962).
261. A. J. F г e e m a n, R. E. W a t s о n, Phys. Rev. 124, 1439 A961).
262. P. A. M. D i г a c, Proc. Roy. Soc. A112, 661 A926).
263. С Herring, Rev. Mod. Phys. 34, 631 A962).
264. С Herring, M. Flicker, Phys. Rev. 134, A362 A964).
265. Л. П. Горько в, Л. П. Питаевскнй, ДАН СССР 151, 822 A963).
266. W. J. Carr, Jr., M. Ashkin, J. Chem. Phys. 42, 2796 A965).
267. P. A. M. D i г a c, Proc. Roy. Soc. A123, 714 A929).
268. J.H.Van Vleck, Phys. Rev. 45, 405 A934).
269. E. A. H а г г i s, J. О w e n, Phys. Rev. Lett. 11, 9 A963).
270. D. S. R о d b e 1 1, I. S. J а с о b s, J. О w e n, E. A. H а г г i s, Phys. Rev. Lett .
11, 10 A963).
271. J.C.Slater, Phys. Rev. 36, 57 A930).
272. R.Stuart, W. Marshall, Phys. Rev. 120, 353 A960).
273. Э. К а п е p, ЖЭТФ 10, 67, 407 A940).
274. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 18, 219 A948).
275. Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 A935).
276. I. R. М а с Donald, Proc. Phys. Soc. 64, 968 A951).
277. F. К e f f e г, Н. К a p 1 a n, Y. Y a f e t, Am. J. Phys. 21, 250 A953).
278. Ch. К i t t e 1, Nuovo cim., Suppl. 6, № 3, 895 A957).
279. M. I. К 1 e i n, R. S. S m i t h, Phys. Rev. 80, 1111 A950).
280. G. Heller, H. A. Kramers, Proc. Roy. Acad. Amsterdam 37, 378 A934)_
281. В. М. Ц у к е р н и к, ФТТ 10, 1006 A968).
282. С. Н е г г i n g, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 81, 869 A951).
283. M. И. Каганов, В. М. Ц у к е р н и к, ЖЭТФ 35, 474 A958).
284. М. И. Каганов, В. М. Ц у к е р н и к, ФММ 5, 561 A957).
285. М. F а 1 1 о t, Ann. de phys. 6, 305 A936).
286. P. Weiss, R.Forrer, Ann. de phys. 12, 279 A929).
287. P. W e i s s, Ext. Actes VII Congr. intern, froid, vol. 1, Paris, p. 508, 1937.
288. E. И. К о н д о р с к и й, Л. Н. Федотов, Изв. АН СССР, сер. фнз. 16, 432
A952).
289. Е.. И. К о н д о р с к и й, В. Е. Роде, У. Гофман, ЖЭТФ 35, 549 A958),,
290. S.Foner, E.D.Thompson, I. Appl. Phys. Suppl. 30, 229S A959).
291. В. E. P о д e, P. Г e p p м а п н, ЖЭТФ 46, 1598 A964).
292. S.Arajs, D.S.Miller, J. Appl. Phys. 31, 213 A960).
293. R. Pauthenet, Ann. de phys. 7, 710 A952).
294. К. П. Б е л о в, С. А. Н и к и т и п, ФММ 9, 470 A960).
295. В. А. Царев, Н. В. 3 а в а р и ц к и й, ЖЭТФ 47, 2102 A964).
296. Н. В. В о л к е н ш т е й п, Т. Д. 3 о т о в, ФММ 21, 463 A966); Изв. АН СССР.,
сер. фнз. 30, 979 A966).
297. А. С. Gossard, V. Jaccarino, J. P. Remeika, Phys. Rev. Lett. 7.
122 A961).
298. A. M. P о г t i s, A. C. Gossard, J. Appl. Phys. 31, 205S A960).
299. G. В. В ene dek, J.Armstrong, J. Appl. Phys. 32, 106S A961).
300. H. L. D a v i s, A. N а г a t h, Phys. Rev. 134, A433 A964).
301. A. R. M i e d e m a, II. V. К e in p e n, W. J. H u i s k a m p, Physica 29, 1261!
A963).
302. B. T. M a t t i a s, R. M. В о z о г t h, J. II. Van Vleck, Phys. Rev. Lett.
7, 160 A961).
303. G. С L о w, Proc. Phys. Soc. 82, 992 A963).
304. А. А. С а м о х в а л о в, В. Г. Б а м б у р о в, Н. В. В о л к е н ш т е й н, Т. Д.
3 о т о в, А. А. И в а к и н, Ю. Н. М о р о з о в, М. И. С и м о н о в а, ФТТ 8, 245<>
A966).
305. S. H. Ch а г ав, Е. L. В о у d, Phys. Rev. 133, А8И A964).
306. J. S. К о u v e 1, Phys. Rev. 102, 1489 A956).
307. R. P. К e n a n, M. L. G 1 a s s e г, F. J. M i 1 f о г d, Phys. Rev. 132, 47 A963).
308. M. D i x о n, F. E. H о а г е, Т. М. Н о 1 d e n, Phys. Lett. 14, 184 A965).
- 510 -

309. D. T. Edmonds, R. G. P e t e г s о n, Phys. Rev. Lett. 2, 499 A959); 4, 92
A960).
310. H. M e у е г, А. В. Н а г г i s, J. Appl. Phys. 31, 49S A960).
311. J. E. К u n z 1 e r, L. R.Walver, J. K. G a 1 t, Phys. Rev. 119, 1609 A960).
312. S. S. S h i n о z а к i, Phys. Rev. 122, 388 A961).
313. S. R. Pollack, K. R. Atkins, Phys. Rev. 125, 1248 A962).
314. H. U n г u h, Jr., F. J. M i 1 f о г d, Phys. Rev. 123, 1619 A961).
315. С. В. В о н с о в с к и й, Е. А. Туров, J. Appl. Phys. 30, 9S A959).
316. J. С а 1 1 a w а у, D. С Me С о 1 1 u m, Phys. Rev. 130, 1741 A963).
317. M. D i x о n, F. E. H о а г e, T. M. H о 1 d e n, D. E. M о о d у, Proc. Roy. Soc.
285, 561 A965).
318. С. В. Вонсовский, Труды ИФМ АН СССР, № 20, 13 A958).
319. D. R. I n g I i s, Phys. Rev. 46, 135 A934).
320. F. T a k a n о, J. Phys. Soc. Japan 14, 348 A959).
321. Y. M i z u n o, T. I z u у a m a, Prog. Theor. Phys. 22, 344 A959).
322. W. J. M u 1 1 i n, Phys. Rev. 136, A1126 A964).
323. IO. А. И з ю м о в, ФММ 8, 3 A959).
324. Ю. П. И р х и н, ЖЭТФ 50, 379 A966).
325. P. G. de G e n n e s, Compt. rend. 247, 1836 A958).
326. J. Chevallier, W. Baltensperger, Helv. Phys. Acta 34, 859 A961)..
327. Т. А. К a p 1 a n, D. H. L у о n s, Phys. Rev. 129, 2072 A963).
328. С. В. Вонсовский, М. С. "С в и р с к и й, ЖЭТФ 49, 682 A965).
329. D. M a t t i s, Physics 1, 183 A964).
330. F. К e f f e r, R. L о u d о n, J. Appl. Phys. 32, 2S A961).
331. R. G. В о у d, J. С а 1 1 a w a y, Phys. Rev. 138, A1621 A965).
332. J. Szaniecki, Acta phys. Polon. 28, 599 A965).
333. R. W e b e r, P. E. T a n n e n w a 1 d, Phys. Rev. 140, A498 A965).
334. G. H e b e r, Fortschr. Phys. 1, 707 A954).
335. W.Opehowski, Physica 4, 715 A937).
336. Д. Н. Зубарев, УФН 71, 71 A960).
337. А. И. А л е к с е е в, УФН 73, 41 A961).
338. J.D. Patterson, W. H. Southwell, Am. J. Phys. 36, 343 A968).
339. M. R i s t i g, G. Obermair, Zs. Phys. 186, 114 A965).
340. В. Г. В а к с, А. И. Л а р к и н, С. А. П и к и н, ЖЭТФ 53, 281 A967); Препринг
ИАЭ им. Курчатова, № 1312 A967).
341. В. Г. В а к с, А. И. Л а р к п н, С. А. П и к и в, ЖЭТФ 53, 1089 A967); Препринт
ИАЭ им. Курчатова, № 1314 A967).
342. Т. Matsubara, Prog. Theor. Phys. 13, 628 A955).
343. IO. А. И з ю м о в, Ф. А. К а с с а н - О г л ы, ФММ 26, 385 A968).
344. М. А. Савченко, В. В. Т а р а с е н к о, ФТТ 9, 3284 A967).
345. М. Wortis, Phys. Rev. 132, 85 A963).
346. J. G. H a n u s, Quaterly Prog. Rep. Sol. State and Mol. Theor. Group (MIT) 43
96 A962); 44, 38 A962); 46, 137 A962); Phys. Rev. Lett. 11, 336 A963).
347. N. F u k u d a, M. W о г t i s, J. Phys. Chem. Sol. 24, 1675 A963).
348. R. S i 1 b e r g 1 i t t, A. B. Harris, Phys. Rev. Lett. 19, 30 A967).
349. А. А. О в ч и н н и к о в, Ппсьма ЖЭТФ 5, 48 A967).
350. J. H. Van Vleck, Rev. Mod. Phys. 25, 220 A953).
351. H. К a p 1 a n, Phys. Rev. 85, 1038 A952).
352. J. H. W о о d, G. W. P г a t t, Jr., Phys. Rev. 107, 995 A957).
353. E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 148, 517 A966).
354. Э. М. П и к а л е в, М. А. С а в ч е н к о, Й. Ш о й о м, ЖЭТФ 55, 1404 A968)-
355. С. В. Мале е в, ЖОТФ 33, 1010 A9 7).
ЗГ6. Ю. А. И з ю м о в, Ф. А. К а с с а и - О г л ы, ФММ 30, 22", 449 A970).
357. Ю. А. И з ю м о в, Ф. А. К а с с а н - О г л ы, Ю. Н. Скрябин, J. de phys.
32, Suppl. 2-3, С 1-86 A971).
358. Ю. А. И з ю м о в, ф. А. К а с с а н - О г л ы, М. В. М е д в е д е в, J. de phys.
32, suppl. 2-3, Cl-1076 A971).
359. D. I. Lalovic, В. S. Tosic, J. В. Vujaklija, R. В. Zakula, Nuov.
cim. 68, B75 A970).
360. А. И. М и ц е к, А. С. Н о с к о в, Н. П. К о л м а к о в a, Phys. stat. sol. 41,
861 A970V
361. J. I. Davis, Ann. of Phys. 58, Г29 A970).
362. С. G. M о n t g о m e г у, J. I. К г u g 1 e г, R. M. S t u b b s, Phys. Rev. Lett. 25^
669 A970).
363. G. M. С о p 1 a n d, P. M. Levy, Phys. Rev. IB, 3043 A970).
364. Г. Репке, ФММ 30, 655 A970).
365. В. I. Halpcrin, P. С Hohenberg, Phys. Rev. 188, 898 A969).
366. J. B. S о k о 1 о f f, Phys. Rev. 173, 617 A968).
367. В. В. Друживн н, А. С. М о с к в и н, ФММ 26, 415 A968).
368. В. М. Ц у к е р н и к, ФТТ 10, 1006 A968).
— 511 -

Глава 20
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМА
ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ
§ 1. Предварительные замечания
Рассматривая в гл. 19 спиновую ветвь электронного энергетического
«пектра в ферромагнитном кристалле, мы не учитывали другие ветви этого
спектра, интересуясь единственным типом элементарных возбуждений —
ферромагнонами (нарушениями однородности самопроизвольной намагни-
намагниченности). Такое упрощенное рассмотрение допустимо в случае ферромаг-
ферромагнитных диэлектриков, у которых величина минимальной энергии актива-
активации (Леэл)мин для всех электронных элементарных возбуждений (кроме
ферромагнонных) значительно превышает величину энергетической щели
A9.103), отделяющую самый нижний уровень энергии спин-волновой вет-
ветви спектра от основного уровня системы, т. е.
(Аеэл)мин > цБ#офф, B0.1)
где Н3фф — сумма] внешнего и внутренних магнитных полей. С другой
¦стороны, для металлов и сплавов характерно существование возбуждений,
у которых (Аеэл)мин = 0, т. е. энергетическая щель отсутствует и нера-
неравенство B0.1) нарушается. Это требует уточнения в трактовке ферромаг-
ферромагнонных возбуждений в случае металлов, где необходимо учесть фермиев-
скую ветвь спектра электронов проводимости с (А8эл)мин = 0) играющую
существенную роль в формировании магнитных свойств металлов.
Выше отмечалось, что необходимым условием возникновения ферро-
лли антиферромагнетизма является наличие в кристалле атрмов (ионов)
переходных элементов. Особенности физико-химических свойств таких
кристаллов связаны с существованием в электронной оболочке атомов
недостроенных внутренних d- или /-слоев. Изучение изолированных ато-
атомов d- или /-элементов указывает на то, что в формировании их свойств,
наряду с валентными электронами наружных s- или /ьслоев, принимают
активное участие также электроны внутренних недостроенных слоев.
Естественно, что в конденсированных веществах (жидкостях и кристал-
кристаллах), содержащих такие атомы, также следует ожидать активного участия
электронов этих слоев в формировании физических свойств, в том числе
и магнитных. Последнее обусловлено тем, что эти слои обладают неском-
пенсированным электронным спином и орбитальным моментом и связан-
связанными с ними магнитными моментами (правило Хунда, см. гл. 2). Это
и определяет заметный парамагнетизм в газообразном и жидком состоянии
веществ, содержащих такие атомы. В твердом кристаллическом состоянии,
кроме парамагнетизма (всегда наблюдаемого в области высоких темпера-
температур), а также активного участия d-электронов в химических связях, при
выполнении некоторых условий (см. ниже) могут возникать состояния
•с атомным магнитным порядком (ферро- или антиферромагнетизм). Есте-
Естественно, конечно, что переход от изолированных атомов к конденсиро-
конденсированным системам связан, как правило, с существенным изменением в про-
пространственном распределении электронной плотности. Можно говорить
о практическом сохранении электронной конфигурации изолированных
- 512 —

атомов лишь по отношению к пространственно наиболее глубоким и зам-
замкнутым слоям электронной оболочки *). Подтверждением этого является
большое сходство соответствующих рентгеновских термов изолированных
атомов и кристаллов. Что же касается валентных электронов и электро-
электронов недостроенных d- или /-слоев, то их конфигурация при переходе от изо-
изолированного атома к кристаллу обычно радикально изменяется. При кон-
конденсации атомы сближаются настолько, что расстояния между их центра-
центрами (порядка параметра кристаллической решетки d « 10~8 см) становятся
сравнимыми с их собственным диаметром. Поэтому внешние слои элек-
электронных оболочек перекрываются друг с другом и испытывают существен-
существенную перестройку. В зависимости от конкретной электронной структуры
атомов эта перестройка может носить различный характер. Как уже отме-
отмечалось выше (см. гл. 11), здесь возможны следующие случаи.
1. Практически полная делокализация внешних электронов, которые
превращаются в ферми-жидкость электронов проводимости, омывающую
ионную кристаллическую ^решетку с локализованными «сгустками» элек-
электронной плотности у ядер из сохранившихся в практически неизменном
виде замкнутых внутренних слоев оболочки отдельных атомов. Это слу-
случай металлических кристаллов (элементов или сплавов), в которых кол-
коллективизированные электроны проводимости обладают непрерывным
спектром возбуждений фермиевского типа [(Ae3JI)MIte = 0].
2. Перестройка в системе внешних электронов в кристалле состоит
в образовании локализованных «мостиков» между отдельными ионами
(соответствующих сшшнасыщенпым химическим связям). Это случай
диэлектрических (полупроводниковых), ионных, валентных и молекуляр-
молекулярных кристаллов. Энергетический уровень основного состояния такой
локализованной системы бывших валентных электронов отделен энергети-
энергетической щелью от возбуждений [(Леэл)мин > 0].
§ 2. Распределение зарядовой и спиновой электронной плотности
в d- и /-металлах
Поскольку здесь рассматриваются магнитно-упорядоченные металлы, то прежде
всего следует выяснить вопрос, какие электроны атомной оболочки коллективизируют-
коллективизируются, а какие нет и как те и другие участвуют в формировании магнитных свойств. Как
только что указывалось, в основном речь.идет о бывших валентных s- и р-электронах
наружных слоев **) и внутренних недостроенных d- и /-слоев.
Из общих качественных соображений можно ожидать, что в тех случаях, когда
недостроенный слой атомной оболочки целиком делокализуется (а это относится, как
привило, к недостроенным наружным s- и р-слоям), в кристалле обычно не возникает
атомное магнитное упорядочение. Система коллективизированных электронов в этом
случае (например, в щелочных металлах) обладает обычным для ферми-газа парамагне-
парамагнетизмом Паули — Дорфмана (см. гл. 11). Это, по-видимому, и имеет место во всех без
исключения непереходных металлах н сплавах, построенных из атомов, в оболочках
которых имеется лишь наружный недостроенный s- и р-слой, испытывающий сильный
эффект коллективизации. Количественной мерой последней может служить относитель-
относительная величина интеграла перекрытия [см. A9.9а)] волновых функций изолированных
атомов соответствующего элемента, расположенных в двух соседних узлах кристалла.
Чем больше этот интеграл, тем больше эффект коллективизации.
Вопрос об осповном состоянии системы электронов проводимости в кристаллах
представляет собой весьма сложную и еще далеко не решенную проблему. В модели
свободного ферми-газа, когда полностью пренебрегают динамическим взаимодействием
между электронами и учитывают лишь их статистическую корреляцию, основному
состоянию соответствует однородное распределение зарядовой и спиновой плотности.
Включение взаимодействия нарушает эту однородность. При этом надо различать элек-
электронный газ с большой и малой плотностями.
В первом случае кинетическая энергия электронов гораздо больше энергии элект-
электростатического отталкивания, и последнюю можно рассматривать как малое возмущение
*) Хотя и здесь, конечно, имеют место некоторые изменения, связанные с вну-
трикристаллическими взаимодействиями (см. гл. 10).
**) Эти наружные слои атомов могут быть как замкнутыми (спиннасыщенными),
так н недостроенными и поэтому магнитноактивными.
33 с. В. Бонсовский — 513 —

В случае очень низкой плотности, наоборот, кинетическая энергия становится ничтожно
малой по сравнению с потенциальной. Тогда разумно предположить, что в пространст-
пространственном распределении электронной плотности устанавливается какой-то порядок,
минимизирующий потенциальную энергию системь! (Вигнер [1]). При этом можно ожи-
ожидать появления ферро- или антиферромагнитного порядка при учете обменной энергии
взаимодействия. Этот вопрос детально рассмотрен в обзоре Херринга [2].
В принципе возможен еще один тип основного состояния электронного газа, когда
зарядовая плотность однородна, или почти однородна, а спиновая плотность неоднород-
неоднородна. Говоря о таком состоянии, принято пользоваться термином «волны спиновой плот-
плотности» (ВСП, см. гл. 11). Впервые это представление использовал Слэтер [3], затем
Херринг [4] в связи с проблемой границ между доменами. К этой же проблеме отно-
относится вопрос об осцилляциях локальной спиновой поляризации в системе электронов
проводимости при косвенном обменном взаимодействии 4/-оболочек в редкоземельных
металлах, а также проблема антиферро- и ферромагнитных геликоидальных маг-
магнитных структур (см. ниже). Оверхаузер [5] считает, что синусоидальные спиновые
структуры магнитных примесей в металле могут быть стабилизованы низколежащими
возбужденными состояниями металла растворителя, обладающими синусоидальной
спиновой плотностью, т. е. ВСП. Позже Оверхаузер [6] высказал предположение, что
основное состояние электронного газа всегда носит характер ВСП. По-видимому, это
реализуется в случае реальных металлов лишь в Сг [9—12] (см. гл. 22) *).
Заметим, что при решении вопроса о возникновении магнитного порядка в системе
электронов проводимости в крдстадле существенно иметь в виду влияние периодиче-
периодического поля ионной решетки (см. ниже гл. 22, § 13, а также [131 и обзор Херринга [2]).
Металлы переходных элементов, их сплавы или соединения, содержащие хотя
бы одну компоненту из таких элементов, можно разбить на две группы в зависимости
от того, имеется ли недостроенный d- и /-слой. В соответствии с этим говорят о d- и /-
металлах и сплавах. Такое разделение обусловлено тем, что эффективные радиусы /-
слоев значительно меньше половины расстояния между ближайшими узлами в кристал-
кристалле (rf <^ d/2), в то время как для d-слоев оба эти расстояния соизмеримы (г,; 3^ d/2).
Поэтому /-функции ионов ближайших соседей практически не перекрываются, а для d-
функций может иметь место заметное перекрытие. Электронные конфигурации, сред-
средние радиусы (по Слэтеру [14]) d-, /- и s-оболочек атомов переходных элементов и рас-
расстояния между ближайшими соседними ионамп в кристаллической решетке металлов
приведены в табл. 20. t. Это различие в размерах d- и /-слоев дает право предполагать,
что эффект коллективизации должен иметь большое значение для d-металлов и практи-
практически не будет проявляться в /-металлах. Отсюда сразу следует, что ферро- и антифер-
антиферромагнетизм гораздо чаще можно ожидать в d- металлах, чем в /-металлах, что в дей-
действительности и наблюдается. Ферро- или антиферромагнетизм обнаружен практически
во всех 14 редкоземельных 4/-металлах. Из 24 d-металлов только в трех наблюдается
ферромагнетизм (Fe, Со, Ш) ив двух — антиферромагнетизм (Сг, Мп).
Для количественного решения вопроса о поведении бывших s-. p- и d-, /-элек-
/-электронов в кристалле необходимо провести либо строгий теоретический расчет распре-
распределения электронных зарядовой р (г) и спиновой S {г) плотностей (точно сделать это
пока невозможно из-за очень больших математических трудностей), либо определить
их экспериментально с помощью рентгеновских или нейтронных методов, что также
представляет нелегкую задачу. Не останавливаясь на подробном обсуждении этого
вопроса (см. также гл. 26), мы отметим лишь некоторые результаты рентгеновских
и нейтронных исследований. (Подробнее см. Изюмов и Озеров A966) и [15, t6]). Тео-
Теоретически эти плотности можно найти, если известна волновая функция системы, ибо
квадрат ее модуля и дает пространственную плотность электронов. Из общей теории
волновая функция электрона в кристалле имеет вид (см. гл. 11):
¦ф (fe; г) — охр (/fe.-) и (к; г) с0 (s), B0.2)
где модулирующий множитель и (fe, r) обладает периодичностью решетки, а вид его
определяется потенциалом последней, са (s) — спиновая функция электрона с проек-
проекцией спина су, s — спиновая «координата». Из B0.2) видно, что зарядовая плотность
электронов в кристалле р (г) определяется модулирующим фактором и (fe; r) **):
р(г) = ]и(к;г)Г~. B0.3)
*) Оверхаузер [7] считает, что основное состояние электронной системы в таком
типичном нормальном металле, как К, является состоянием типа ВСП. Теория Овер-
хаузера позволяет предсказать, например, зависимость от направления магнитного поля
относительно осей кристалла для угловой корреляции при аннигиляции позитронного
излучения в металле. Густавсон и Барнес [8] на образце К экспериментально проверили
(с еще не окончательно доказанным результатом) это теоретическое предсказание.
**) Строго говоря, пространственное распределение плотности электронов должно
определяться с помощью точной многоэлектронной функции (Ч (г,, г*, . . ., rN);
при этом плотность B0.3) определяется как интеграл от квадрата модуля этой функции,
взятый по координатам всех остальных (N — 1) электронов*
р (г) = I ... \ | ? (т"с г* fi-ь г, rui, . .., ry) р drx dr2 . . . dr,_, dri+l ... drK.
— 514 —

Таблица
Некоторые характеристики металлов переходных групп
Данные о межатомных расстояниях и типе решетки цитируются по книге
Ормонта A950)
а. Группа железа Cd)
(Внутренняя электронная оболочка Аг: Is22s22pe3s23pe)
20.1
Атомный
номер Z
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Символ
элемента
Sc
Ti
V
Сг
Мп
Fe
Со
Ni
Си
Электронная кон-
конфигурация наруж-
наружных оболочек
3<24s2
3d24s2
3#»4s2
3<Ms
3<Ms2
3*>4s2
3d4s2
M4s*
3<2104s
Радиусы
электрон-
ных слоев, А
3d
3,00
2,36
2,09
1,96
1,60
1,44
1,30
1,19
1,14
4s
4,56
4,35
4,15
4,98
3,80
3,39
3,51
3,40
3,70
Расстояния между ионами
в металле (А) и тип решетки
3,24 гекс. п. у. (а)
3,204 г. ц. к. (Р)
2,900 гекс. п. у. (а)
2,875 о. ц. к. (Р)
2,6274 о. ц. к.
2,493 о. ц. к. (а)
2,70 гекс. п. у. (Р)
2,494 сложи, (а)
2,4778 о. ц. к. (а)
2,507 гекс. п. у. (а)
2,4878 г. ц. к.
2,5509 г. ц. к.
б. Группа палладия (Ad)
(Внутренняя электронная оболочка Кг : Is22s22p63s23pe3dio4s24p6)
Атомн ый
номер Z
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Символ
элемента
Y
Zr
Nb
Mo
Те
Ru
Rh
Pd
Ag
Электронная кон-
конфигурация наруж-
наружных оболочек
4d5s2
4<225S2
4**5s
4<255s
4<Z65s2
4<F5s
4<285s
id10
4di°5s
Радиусы электрон-
электронных слоев, А
id
4,56
3,75
3,47
2,98
2,44
2,32
2,09
4,75
3,29
5s
5,33
5,08
5,72
5,42
4,44
4,92
4,70
4,32
Расстояния между ионами
в металле (А) и тип решетки
3,59 гекс. п. у.
3,18 гекс. п. у. (а)
3,126 о. ц. к. (Р)
2,852 о. ц. к. (Р)
2,72 о. ц. к. (Р)
2,735 гекс. п. у.
2,693 гекс. п. у.
2,684 г. ц. к. (Р)
2,7448 г. ц. к. (р)
2,883 г. ц. к. (Р)
в. Группа редких земель—лантан иды D/)
(Внутренняя электронная оболочка Хе : i2222^Z3»3d10i4ii
Атомный
номер Z
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Символ
элемента
La
Се
Рг
Nd
Pm
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Электронная кон-
конфигурация наруж-
наружных оболочек
5<26s2
4/5d6s2
4/36s2
4/<*6s2
4/66s2
4/66s2
4/?6s2
4f5<26s2
4/85<26s2
4/106s2
4/s2
4/126S2
4/136S2
4/146S2
Радиусы электрон-
электронных СЛОв!
4/
.
1,14
1,11
1,05
1,00
0,98
0,92
0,85
0,83
0,80
—
—
0,78
0,70
5d
5,33
5,33
—
—
—
—
—
5,33
5,33
—
—
—
—
—
6s
5,88
5,88
6,20
6,20
6,20
6,20
6,20
9,80
9,80
6,20
6,20
6,20
6,20
6,20
Расстояния между ионами
в металле (А) и тип решетки
3,71 гекс. (а)
3,634 г. ц. к. (Р)
3,65 гекс. п. у. (а)
3,662 гекс. (а)
3,642 г. ц. к. (Р)
3,657 гекс. п. у.
—
4,084 о. ц. к.
3,622 гекс. п. у.
3,585 гекс. п. у.
3,578 гекс. п. у.
3,557 гекс. п. у.
3,532 гекс. п. у.
3,523 гекс. п. у.
3,866 г. ц. к.
— 515 —
33*

г. Группа платины
(Внутренняя электронная оболочка Yb2+ :
Eс?)
Атомный
номер Z
71
72
73
74
75
76
77
78
79
Символ
элемента
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
Au
Электронная кон-
конфигурация наруж-
наружных оболочек
5d6s2
5rf26s2
5d36s2
5di&s2
Sds&s2
5rf66s2
5d76s2
5d96s
M1°6s
Радиусы
электрон-
ных слоев, А
5d
5,33
4,35
3,72
3,25
2,86
2,56
2,32
2,22
1,94
бе
9,80
9,33
8,40
7,90
7,35
6,88
6,53
7,51
7,06
Расстояния между ионами
в металле (А) и тип решетки
3,509 гекс, п. у.
3,14 гекс. п. у. (а)
2,854 о. ц. к.
2,735 о. ц. к. (а)
2,755 гекс. п. у.
2,725 гекс. п. у.
2,708 г. ц. к.
2,769 г. ц. к.
2,883 г. ц. к.
д. Группа актинидов E/ и 6d)
(Внутренняя электронная оболочка Rn : Is22s22p63s23p63dio4s2 x
Атомный
номер Z
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
Символ
элемента
Ас
Th
Ra
и
Np
Pu
Аш
Сш
Bk
Cf
Электронная кон-
конфигурация наруж-
наружных оболочек
W7s2
6<227s2
5/26d7s2 (?)
5/36<27s2
5/W7S2 (?)
5/67s2
5/?7s2
5/?6d7s2 (?)
5/8W7s2 (?)
5/s2 (?)
Радиусы электрон-
электронных слоев
5/
—
—
1,11
1,11
1,07
—
ы
5,80
4,8
4,1
5,88
—
—
—
—
, A
7s
-10
— 9
8,4
10
—
6,2
6,2
—
Расстояния между ионами
в металле (Л) и тип решетки
Г3,59 г. ц. к.
3,25 тетрагон.
2,77 сложи.
2,97 о, ц. к.
К сожалению, пока еще неизвестна не только точная многоэлектропная функция элект-
электронов кристалла, но даже сколько-нибудь точная одноэлектронная функция B0.2),
что не позволяет произвести корректный расчет плотности B0.3). В последнее время
этому вопросу уделяется большое внимание и появились работы, в которых делаются
попытки, используя метод Хартри — Фока, рассчитать возможно точно электронную
плотность в переходных металлах (см. Ватсон и Фримен [17]). Однако наиболее надеж-
надежные сведения пока получают из опыта по измерению атомных форм-факторов при опре-
определении сечений рассеяния в кристаллах рентгеновских лучей и нейтронов. Атомный
форм-фактор рассеяния F(q) [Ландау и Лифшиц A963), Компанеец A957), Слэтер [18]]
находится в прямой связи с плотностью р (г) электронной оболочки атома *):
\ B0.4)
F{q)= \ р (г) exp (irq) dr,
где q — изменение вектора импульса рассеиваемой атомом частицы (фотона или ней-
нейтрона), возникающее при столкновении. Поскольку, как это видно из B0.4), форм-
фактор и плотность связаны фурье-преобразованием, в предельном случае однородной
плотности (случай свободных электронов: ip (к; г) « exp (ikr) и p-const) для форм-
фактора имеем F (q) = 6 (q), т. е. рассеяния нет: в противоположном предельном слу-
случае максимально неоднородного распределения электронов р (г) — 6 (г)) форм-фак-
форм-фактор не зависит от угла рассеяния F (q) = const. Очевидно, что в наиболее интересных
промежуточных случаях F (q) является какой-то функцией q, определяя которую на
опыте, можно с помощью B0.4) найти и р (г).
Поскольку спиновая плотность связана в основном лишь с наружной частью обо-
оболочки атома, то максимум радиального распределения спиновой плотности лежит
*) В случае рентгеновских лучей под р (г) следует понимать плотность электрон-
электронного заряда, а в случае нейтронов — плотность нескомпенсированных магнитных
й Д )
моментов, т. е. разность плотностей заряда для электронов с
= р+ {г) —р_{г),
— 516 —
р
и — спинами: Др (г) =

дальше от центра ядра, чем максимум зарядовой плотности. Отсюда из B0.4) сразу сле-
следует, что магнитный форм-фактор нейтронов спадает с ростом q быстрее, чем рентге-
рентгеновский форм-фактор, как это видно из рис. 20.1.
Из сказанного ясна важность измерений рентгеновских и нейтронных форм-фак-
форм-факторов переходных металлов. Вейсс и де Марко [19] сделали первую попытку экспери-
экспериментального определения рентгеновского форм-фактора в чистых металлах группы
железа (Ti, V, Сг, Mn, Fe, Co, Ni и Си). Они
поставили задачу экспериментально разде-
разделить электронную плотность в кристалле на
три части:
1) плотность заполненной оболочки ти-
типа атома аргона, содержащую во всех иссле-
исследуемых металлах 18 электронов (см. табл.
20.1а):
2) плотность электронов, радиальное
распределение которых у узлов решетки на-
напоминает атомные З^-электроны;
3) коллективизированные электроны Ds,
&р) с плотностью, близкой к однородной.
Опыт заключается в измерении абсолют-
абсолютных форм-факторов и вычитании из них вкла-
вкладов от замкнутой оболочки с конфигурацией
Аг, которые рассчитываются по обычному ме-
методу самосогласованного поля для изолиро-
изолированного атома. При этом, также предполага-
предполагается, что радиальное распределение 4s- и &р-
электронов в кристалле таково, что их
форм-факторы исчезающе малы при всех углах
Брэгга — Вульфа для кристаллов металлов
группы железа с высокой симметрией. Пос-
После вычитания вклада «замкнутой оболочки
Аг» в форм-факторе остается лишь вклад от
локализованной части плотности Зй-электро-
нов. Используя далее формулу B0.4), можно определить эту радиальную плот-
плотность. В результате обработки измерений Вейсс и де Марко получили в исследован-
исследованных кристаллах для среднего числа локализованных Зй-электронов, приходящихся
на один узел, следующие значения:
Сг Fe Co Ni Си
0,2 2,3 8,4 9,7 9,8
с точностью в каждом случае порядка +0,3 электрона на узел. Результаты этих
экспериментов для случая Fe были подвергнуты серьезной критике как с экспери-
экспериментальной [20—22], так и с теоретической [23] стороны. В частности, Баттермен
и др. [21] произвели весьма детальное измерение рентгеновских форм-факторов для
Fe, Си и А1 и нашли, что для Fe, в отличие от результатов работы [19], число
локализованных 3d электронов у узла решетки равно не 2,3, а ближе к значению
для свободного атома (около 6). Пока нет оснований считать полученные результаты
окончательными. Здесь требуется еще большая и кропотливая работа. Однако, сама
постановка таких исследований весьма актуальна для всей проблемы переходных
металлов. Работа Вейсса и де Марко [19], несмотря на ошибку для случая железа,
послужила началом нового направления исследований по изучению рентгеновских
и нейтронных форм-факторов и уточнению методов расчета электронной плотности
в кристаллах.
Важную информацию об электронной плотности в кристалле дает изучение маг-
магнитных форм-факторов с помощью поляризованных пучков медленных нейтронов.
В соответствии с общей формулой B0.4) нейтронный форм-фактор, нормированный
на число электронов в ячейке Вигнера — Зейтца [см. Зейтц A949); Бете и Зоммер-
фельд A938)], связан с плотностью нескомпенсированных электронных спинов Др (г)
формулой (Вейсс и Фримен [24])
Рис. 20.1. Нейтронный N и рентгенов-
рентгеновский X форм-факторы F (д) железа кан
функции волнового числа q, определя-
определяемого изменением импульса рассеивае-
рассеиваемой атомом частицы: q = 4я sinOA.
(X—длина волны фотона или нейт-
нейтрона, О — угол рассеяния) (Натане
и Пикар [16]).
И l2—^- I Ф- (»•) I2} exP
B0.5)
где | ip+ (г) |2 и |ip_ (r) |2 — плотности зарядов, нормированные на единицу объема и на
один электрон, a N+ и N_ — число электронов соответственно для проекций спина -?¦
и —. Интегрирование в B0.5) ведется по объему т ячейки Вигнера — Зейтца. Форм-
фактор рентгеновских лучей, очевидно, имеет вид
- 517 -

При q = 0 форм-фактор ^нейтр @) = N+ — N_, т. е. равен среднему атомному маг-
магнитному моменту в единицах цБ, a FpelITr @) = N+-\-N_ = Z, т. е. равен атомному
номеру элемента. При этом вклад 18 электронов оболочки Аг предполагается таким же,
как и в свободном атоме. Для ^Нейтр оболочка Аг дает незначительный вклад, поскольку
для нее выполняется во всех точках ячейки приближенное равенство N,\ ib, (r) I2 я^
»ЛГ_Ц>_(г) I2-
Для рентгеновского форм-фактора B0.6) вклад от оболочки Аг можно вычесть,
предварительно рассчитав его для свободного атома по методу самосогласованного
поля. Таким образом, формулы B0.5) и B0.6) дают нам форм-факторы, обусловленные
рассеянием нейтронов и рентгеновских фотонов на 3d- и 4s 4р-электронах. Вейсс
U (г)
9
8
7
6
5
1 -
и 0,2 ОЛ 0S 08 1,0 1,2 1,4
г, А
Рис. 20,3. Радиальное распределение
плотности U (г) полного заряда у узла
решетки Ni (сплошная кривая) и ра-
радиальное распределение спиновой плот-
плотности, нормированные на одно и то же
число электронов (пунктирная кри-
кривая). Масштаб по оси ординат в услов-
условных единицах (Вейсс и Фримен [24]).
.0,2 W 0,6 0,8 1,0 1,2 /А
г, А
Рис. 20.2. Радиальное распределение
электронной плотности U (г) в кри-
кристалле Fe (в условных единицах) с не-
скомпенсированным спином (кривая
3d) и с нулевым спином (кривая 4s, 4p).
Пунктирная кривая — радиальное
распределение плотности при одно-
однородном распределении заряда в кри-
кристалле (Вейсс и Фримен [24J).
-
-
-
-
-
-
_
_
_
7
/
i
i
i
i
i
i
ii
ii
f
[
г
1
If
1
\
\
\\
V
\
\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\
VS.
N1
п Фримен [24], используя новые методы расчета форм-факторов [171, а также данные
рентегеновских [19—22] и нейтронографических [25] исследований, вычислили плот-
плотность электронов для кристаллов Fe и Ni *). На рис. 20.2 приведены кривые зависи-
зависимости от г (где г — расстояние от центра ядра) плотности U (г) электронов в кристал-
кристалле Fe для слоя с нескомиенсированным спином (кривая 3d), а также для слоев со ском-
скомпенсированным спином Ds и 4р). Там же нанесена пунктирная кривая для однородной
плотности с нулевым форм-фактором для всех углов Вульфа — Брэгга. Из сравнения
кривых для 3d- и 4s — 4р-электронов с пунктирной видно, что плотность 4s — 4р-
электронов близка к однородной, тогда как плотность Зй-электронов резко локализо-
локализована. Таким образом, по данным работы [24] магнитный момент в кристалле Fe созда-
создается зарядом с плотностью 2,2 \\р+ Cd) |2, локализованным у узлов кристалла, а все
остальные З^-электроны C,8 на узел) образуют вместе с двумя 4в-электронами близкую
к однородному распределению систему коллективизированных электронов с плотностью
6 случае кристаллов Ni картина оказывается иной. Здесь спиновая плотность
получается от Зй-электронов в количестве 5,0 ва узел с проекцией спина (+) и в коли-
количестве 4,4 на уэел с проекцией спина (—). На рис. 20.3 приведена кривая для распре-
распределения плотностей локализованного заряда и спина у узла кристалла Ni. Различие
кривых рис. 20.3 показывает небольшое смещение к центру узла спиновой плотности.
Оно обусловлено обменным взаимодействием электронов Зй-слоя при наличии отлич-
отличного от нуля суммарного спина слоя, что и приводит к разному распределению заря-
зарядовой плотности для электронов с различной ориентацией спина. Опыт позволил уста-
*) При этом учитывается отклонение от сферической симметрии для электронной
плотности у узлов кристалла, приводящее к появлению «наростов» на кривой F (q).
Далее также учитывалось влияние кристаллического поля па Зй-состояния (взаимное
расположение З-d уровней, частичное снятие их вырождения, см. гл. 10).
- 518 —

новпть, что в Ni Зй-электроны E,0 на узел) имеют радиальную плотность U+ (г), не-
несколько более сжатую к центру узла, чем плотность {/_ (г) у 4,4 на узел Зй-электронов
с противоположной проекцией спина. На рис. 20.4 приведены кривые разности этих
плотностей для Ni (пунктирная кривая) и для Fe (сплошная кривая). Для Fe различие
U+ и U_ больше, чем у Ni; это связано с более сильным обменом в Fe и с большей
величиной спина.
Важно учитывать анизотропию (асферичность) форм-факторов, определяемую
симметрией кристалла. Форм-фактор для каждого из электронных состояний, на кото-
которые расщепляется вырожденный d- и '-уровень в кристаллическом поле данной сим-
симметрии (например, трехкратно вырожденный t2g и двукратно вырожденный eg уровень,
U+(r)-UJr)
0,20
-Oflk -
Рис. 20.4. Разность плотностей-
заряда U+ (г) — U- (г) (на один
электрон) для двух спиновых
проекций (+и—) в изолирован-
изолированном атоме Fe (сплошная кривая)
а в атоме N1 (пунктирная кри-
кривая) (Вепсе и Фримен [24J).
Рис. 20.5. Нейтронный форм фактор F (q) (q =
= 4я sin ФА) нейтрального атома Fe. Теоретические
кривые F+ и F- (Вуд и Пратт [31]); опытная кри-
кривая F,
ДР-
эксп
для иона Fea+ по данным Натанса и
[25] w [32]. Экспериментальные точки получены
на металлическом Fe (Шалл и Ямада [30]).
возникающие из пятикратно вырожденного З^-уровня в поле кубической симметрии)
можно представить сумму сферической и асферической частей (см., например, [26]).
Приведенная выше теоретическая интерпетация опытов по нейтронной дифрак-
дифракции ограничена приближенностью используемого метода самосогласованного поля.
Ватсон и Фримен [28] указали, что благодаря эффектам спиновой поляризации воз-
возникает измеримое различие в нейтронном и рентгеновском форм-факторах, что затруд-
затрудняет получение прямой и детальной информации о распределении З^-электронов с по-
помощью измеряемых нейтронных форм-факторов. Кроме того, эти авторы обратили вни-
внимание еще на одну трудность, возникающую при интерпретации результатов по изме-
измерению форм-факторов в опытах типа Вейсса и де Марко [19] и заключающуюся в том,
что теоретическая интерпретация форм-факторов существенно зависит от степени «иони-
«ионизации» атомов в кристалле, которая не может быть определена из этих опытов. В связи
с этим интересен расчет Вуда [29], в котором показано, что одноэлектронные функции
d-полосы в о. ц. к. решетке Fe уменьшают степень своей делокализации при переходе
от «дна» полосы к ее «верху». При этом Вуд считает, что его расчеты находятся в про-
противоречии с данными работы [19]. Херринг [23] из простых электростатических сооб-
соображений показал, что ни число З^-электронов, ни их пространственное распределение
не могут существенно отличаться от соответствующих величин для изолированного
атома. В основном, его доводы сводятся к тому, что при равномерном «размазывании»
заряда З^-электронов по всей ячейке увеличивается их электростатическая энергия
взаимодействия с положительно заряженным ионным остовом.
В качестве примера определения распределения спиновой плотности в кристаллах
по нейтронным измерениям (с помощью поляризованных пучков нейтронов) рассмо-
рим случай Fe. Этот металл был исследован в работах [25, 30]. На рис. 20.5 показаны
экспериментальные точки работы [30] в сравнении с теоретическими кривыми форм-
факторов F+ и F_ для свободного атома Fe (для 3d% и 3&), вычисленными Вудом и Прат-
том [31]. а также экспериментальной кривой, полученной Натансом и др. [32] для иона
Fe3+ в магнетите. Экспериментальные точки лежат выше теоретической кривой F+
л экспериментальной для Fe3+. Это показывает, что в кристалле Fe спиновая плотность
несколько больше, чем в свободном атоме или в ионном соединении. Наличие пар
— 519 —

экспериментальных точек на рис. 20.5 при одном и том же абсолютном значении вол-
волнового вектора q, указывает на асферичность спиновой плотности. Точки в этих парах
относятся к отражениям от плоскости с разными миллеровскими индексами га, т, I, но
с одинаковыми суммами их квадратов га2 + т2 + I2 (например, E11) и C33) в г. ц. к.
решетке), т. е. к одному и тому же модулю вектора q, но к двум различным его направ-
направлениям. Этот вывод о несферичности нашел широкое подтверждение на множестве
Fe ~\iuu\ -j
Рис. 20.6. «Топографическая карта» распределение
спиновой плотности в плоскости типа @ 10) элементар-
элементарной ячейки кристалла Fe (d—период решетки). Цифры
па кривых дают значения плотности магнитного момен-
момента в единицах Hg/АЗ; нон Fe3+ находится в левом
верхнем углу чертежа (Шали и Ямада [30]).
Рис. 20.7. «Топографическая карта» распределения спиновой
плотности в плоскости типа A10) элементарной ячейки кри-
кристалла Fe. Обозначения те же, что и на рис. 20.6 (Шалл
и Ямада [30]).
исследованных кристаллов. На рис. 20.6 и 20.7 в качестве примера показаны «топогра-
«топографические карты» распределения спиновой плотности соответственно для двух плоско-
плоскостей @10) и A10) в элементарной ячейке кристалла Fe по данным [30]. Из этих данных
(где отдельные линии соединяют точки с одинаковым значением спиновой плотности,
а цифры около них означают величину плотности магнитного момента в единицах
ц.Б/А3), видна существенная асимметрия распределения спиновой плотности у узлов
кристалла. Так, из рис. 20.6 видно, что линии постоянной плотности более сжаты в на-
направлении оси [НО], чем вдоль оси [100], а из рис. 20.7 видно, что картина линий вдоль
оси [111] еще более сжата к центру атома Fe. Аналогичные карты были получены также
для Со [33] и Ni [25, 34]. Весьма интересны измерения магнитного форм-фактора Mi,
проведенные Муком [35], для первых 27 брэгговских отражений с помощью поляри-
поляризованных нейтронов. Он также обнаружил асферическое распределение спиновой плот-
- 520 —

ности. Анализ опытных данных позволил с достаточным основанием считать, что
81+1% Зй-магнитных электрона находятся на t2g орбитах, а также, что намагничен-
намагниченность на атом в кристалле складывается из следующих трех компонент (на атом):
1) 0,656 цБ — спиновый (положительный) вклад Зй-электронов; 2) 0,055цБ — орби-
орбитальный (положительный) вклад Зй-электронов; 3) —0,105цБ — отрицательный вклад.
Последний был обнаружен также в работах Шалла и Ямада [30] и Муна и др. [33]
соответственно для Fe и Со; он обусловлен либо отрицательной спиновой поляриза-
поляризацией 48-электронов, либо таким же эффектом внутри Зй-системы.
Итак, по-видимому, необходимым, но еще недостаточным условием существова-
существования ферро- и антиферромагнетизма в металлах является сохранение (хотя бы частичное)
недостроенного d- или /-слоя электронной оболочки с нескомпенсированными магнит-
магнитными моментами, достаточно локализованного около узлов решетки. Можно высказать
следующее соображение о распределении электронной плотности в ферро- и антиферро-
антиферромагнитных металлах. Вокруг положительно заряженных ионных остовов, с практиче-
практически неискаженной и спин-насыщенной электронной оболочкой расположены частично
сохранившиеся (по сравнению с оболочкой изолированных атомов) недостроенные
d-слои, или почти полностью сохранившие свою атомную локализацию /-слои с не-
нескомпенсированными магнитными моментами. Эта квазилокализованная система
омывается ферми-жидкостью электронов проводимости из бывших валентных s- и р-эле-
ктронов и в некоторых случаях частично также из d-электропов.
§ 3. Обменное взаимодействие в /- и d-металлах
В переходных d- и /-металлах приобретает особенно важное значение
вопрос о происхождении атомного магнитного порядка. В редкоземельных
кристаллах недостроенные 4/-слои практически не перекрываются (имен-
(именно поэтому они сохраняют тот же локализованный характер, какой они
имели в изолированном атоме). В связи с этим невозможно существование
сильного прямого / — /-обменного взаимодействия. Вместе с тем, напри-
например, в случае Gd точка Кюри в достаточно высока («300° К), следова-
следовательно, порядок величины энергетического параметра Aff ~кБ@, харак-
характеризующего / — /-обменную связь, оказывается порядка 3-10~14 эрг.
Учитывая это обстоятельство, Зинер [36] высказал предположение, что
в формировании положительного обменного взаимодействия активную
роль должны играть электроны проводимости (см. работы [37—40]). Идея
Зинера также приобрела интерес, когда было обнаружено, что в сильно
разбавленном растворе Мп (-<;2%) в диамагнитном Си наблюдается анти-
ферро- и ферромагнитное состояние с точками Кюри и Нееля порядка
25° К (см. [41—43]). В таких разбавленных растворах (как и в случае
чистых редкоземельных металлов) прямое короткодействующее обменное
взаимодействие между парамагнитными ионами Мп исчезающе мало из-за
больших расстояний между этими ионами (более 10с?). Приходится пред-
предположить, что антиферро- или ферромагнитное состояние в этих сплавах
вызвано эффективной дальнодействующей обменной связью, обусловлен-
обусловленной s — d- (или s — /-) обменом между электронами проводимости и пара-
парамагнитными ионами или косвенным обменом между этими ионами через
возбужденные состояния электронов наружных слоев, лежащих между
ними диамагнитных ионов Си или других элементов (см. гл. 21).
Еще труднее вопрос о возникновении ферро- и антиферромагнитного
состояний в d-металлах. Заметное перекрытие d-функций в кристалле как
будто позволяет говорить о прямой d — d-обменной связи. Однако, как
мы видели в гл. 19, до сих пор нет ясности, может ли ьта связь обеспечить
наблюдаемые величины точек Кюри и Нееля; не выяснено также влияние
коллективизации d-электронов на характер и величину обменной связи.
Анализ электронных свойств d-металлов (их электронной теплоемкости,
парамагнитной восприимчивости, рентгеновских спектров, электропро-
электропроводности и т. п.) позволяет утверждать, что система электронов проводи-
проводимости в них существенно отличается по своим характеристикам от тако-
таковой, например, для непереходных щелочных металлов или для Си, Ag
и Аи. Это отличие прежде всего заключается в заметно повышенной плот-
плотности электронных состояний вблизи поверхности Ферми (определяемой
— 521 —

по величине электронного вклада в теплоемкость металла в области низ-
низких температур порядка 1° К), что является непосредственным доказа-
доказательством того факта, что d-электроны входят в коллективизированную
систему электронов проводимости. Вместе с тем описанные выше измере-
измерения нейтронных и рентгеновских форм-факторов в этих металлах указы-
указывают на практически почти неизмененную (по сравнению с изолирован-
изолированными атомами) локализацию вклада в электронную плотность от d-элек-
тронов. Можно с известным правом сказать, что в d-металлах у электронов
имеет место своего рода «суперпозиция» кристаллической коллективиза-
коллективизации и пространственной локализации, характерной для изолированных
атомов. Эта суперпозиция отражена и в записи волновой функции элек-
электрона B0.2) в кристалле. Фактор плоской волны exp (ikr) характеризует
тенденцию коллективизации, а модулирующий множитель и (к; г) — лока-
локализацию у узлов. Как мы видели выше, при рассмотрении атомных форм-
факторов в d-металлах модулирующий множитель очень близок к атомным
d-функциям. В металлах нормальных групп в системе коллективизирован-
коллективизированных электронов обменные силы подавляются фермиевской энергией (см.
гл. 11) и не могут привести к возникновению магнитного порядка. В пере-
переходных же металлах ситуация для обменных сил может оказаться более
благоприятной. Поэтому в некоторых случаях в них и наблюдается ферро-
или антиферромагнетизм, как результат преобладания обменной связи.
Именно, как будет показано ниже, наличие узких энергетических полос
бывших внутренних d-электронов при сохранении заметной локализации
зарядовой и спиновой плотности у узлов кристалла и делает возможным
спиновое упорядочивание в системе коллективизированных s- и d-электро-
нов в d-металлах и сплавах.
Таким образом, происхождение обменной связи электронных магнит-
магнитных моментов в металлах обусловлено активным влиянием электронов
проводимости на систему нескомпенсированных магнитных моментов быв-
бывших d- и /-электронов.
Наряду с этим возникает другой важный вопрос об обратном влиянии
системы d-электронов (или /-электронов) и вообще атомного магнитного
порядка па свойства системы электронов проводимости и через них на весь
комплекс электронных свойств переходных металлов.
Так, например, в случае ферромагнетизма результирующая самопро-
самопроизвольная намагниченность связана со снятием спинового вырождения
в системе электронов проводимости. Это приводит к «сдвигу» энергетиче-
энергетических уровней для электронов с + и — проекциями спина, а также к ана-
аналогичному расщеплению внутренних уровней ионных остовов. На
рис. 20.8 показано, к чему приводит это расщепление уровней для фер-
ми-газа электронов проводимости в металлах. На каждой из шести схем
(а — е) рис. 20.8 показаны графики зависимости от энергии е плотностей
состояний g+(s) и g _ (е) для электронов проводимости соответственно с +
и — проекциями спина. (Для упрощения предполагается, что функции
g± (e) имеют квадратичную зависимость от е.) Заштрихованные участки
полуокружностей соответствуют занятым уровням. Рис. 20.8, а и 20.8, г
отвечают случаю, когда обменного расщепления уровней нет, поэтому
заполнение полос для + и — спинов совершенно одинаковое и разделение
энергетической полосы на подполосы для электронов с -f- и — спинами
носит чисто формальный характер. На рис. 20.8, б, в, д и е показана кар-
картина этих подполос при наличии обменного расщепления (АеОб Ф 0).
При этом на рис. 20.8, б, в подполосы для + и — спинов оставлены несме-
несмещенными, и показано лишь изменение их заполнения электронами
(на рис. 20.8, б для случая АеОб < ?о> гДе ?о — энергия Ферми в нулевом
приближении, т. е. при Аеоб = 0, а на рис. 20.8, в — для случая Aeog >
> ?о) и введены обозначения уровней Ферми ?+ и ? - в каждой из подпо-
подполос. На рис. 20.8, д, е показана картина со смещенными подполосами для
тех же двух случаев. Из этих схем видно, что при таком смещении в обоих
— 522 -

подполосах имеется общий уровень Ферми ?, от которого обычно и ведет-
ведется отсчет энергии.
Количественно эффект расщепления полос в общем виде может быть
описан включением в гамильтониан системы электронов металла членов
вида [44—48]
Asd(r)M-s, B0.7)
где М — намагниченность системы электронов кристалла, s — оператор
вектора спина электрона проводимости, & Asd (r) — энергетический пара-
параметр обменного взаимодействия между электронами и намагниченностью,
в общем случае являющейся функцией координат. Более конкретный вид
оператора B0.7) можно получить из общих соображений кристаллохими-
ческой и магнитной симметрии данного металла. Оператор типа B0.7)
при этом будет, конечно, содержать параметры типа Asd, для определе-
определения которых необходимы более детальные микроскопические представле-
представления об электронной структуре кристалла (подробнее см. ниже). В частном
случае, если систему электронов проводимости можно рассматривать как
газ ферми-частиц с произ-
произвольным законом дисперсии
е (к), то общий вид послед-
последнего в «изотропном» по спи-
спиновым членам приближении
дается формулой
е (к, а) = е0 (к) + Asd (к) Mza,
B0.8) .
где к — вектор квазиимпуль-
квазиимпульса электрона проводимости,
а — проекция его спина, а
Мz — проекция намагничен-
намагниченности системы на ось кван-
квантования z, е0 (к) — часть
энергии ферми-частицы, не
зависящая от спина, A sd (к)—
параметр обменной связи,
вообще говоря, зависящий
от к.
В случае антиферромаг-
антиферромагнетизма атомный магнитный
порядок (наличие магнитных
подрешеток) в кристалле
также оказывает существен-
существенное влияние на характер движения электронов проводимости. Это можно
понять из того факта, что в антиферро- и ферримагнитных кристаллах
электрон проводимости при переходе от узла одной магнитной подрешетки
к узлу другой будет переходить от узла со спином одной какой-то вели-
величины и одного направления к узлу со спином другой величины и направ-
направления, т. е. движение электронов будет происходить в своего рода упоря-
упорядоченном спиновом «сплаве». Поэтому состояние электронов проводимо-
проводимости в кристалле с несколькиим магнитными подрешетками должно суще-
существенно отличаться от их состояния в кристалле с одной подрешеткой или
в парамагнитном кристалле. Отличие сводится к тому, что в антиферро-
антиферромагнитном кристалле у электронов проводимости происходит частичное
снятие пространственного вырождения, поскольку наличие нескольких
магнитных подрешеток приводит к изменению периодичности потенциаль-
потенциального поля (т. е. к понижению его симметрии), в котором движутся элек-
электроны. В этом случае для электронов проводимости с различными проек-
проекциями спина сдвига, энергетических подполос не происходит (рис. 20.8),
Рис. 20.8. Сдвиг A8Qg энергетических полос коллективи-
коллективизированных электронов в металле под влиянием обменного
взаимодействия | eQg I • Парамагнитное состояние (о) и
(г); ферромагнитное состояние (б) и (9) — «слабое» (ког-
(когда | Eg j меньше некоторого критического значения
| EQg | j); (в) и (е) — «сильное» (когда |е об | больше
некоторого другого критического значения |EQg | jj
'*" 'Еоб 'кр 1^' ?± ^—плотность электронных состояний
соответственно с + и с — спинами; ?0 — уровень Фер-
Ферми при AEQg = 0, а ?+ и ?- — уровни Ферми в подполо-
подполосах электронов с + и— спинами; ? — общий уровень
Ферми в «сдвинутых» подполосах при AEQg ф 0.
— 523

но тем не менее энергетический спектр может существенно измениться.
Например, возможно появление в средней части энергетической 4я-полосы
электронов проводимости запрещенного участка Аеаф [49], подобно тому
как это происходит при атомном
упорядочении в металлических
сплавах (рис. 20.9) [50].
Итак, наличие магнитного по-
порядка в кристалле переходного
металла приводит к существенным
изменениям энергетического спект-
спектра электронов проводимости. При
этом здесь наблюдаются два f ос-
основных эффекта: 1) снятие спино-
спинового вырождения (по направлению)
и 2) снятие пространственного
вырождения.
Естественно, что эти изменения
в энергетическом спектре электро-
электронов проводимости должны сказываться на равновесных физических свойст-
свойствах металла него кинетических эффектах, в которых участвуют электроны
проводимости. В ферро- и антиферромагнетиках электроны проводимости,
участвуя в электрическом или тепловом токе, рассеиваются не только
. Металлическая
связь
-3d
Рис. 20.9. Появление запрещенного участка
энергий Деаф J середине полосы проводимости
Ds) под влиянием антиферромагнитного упоря-
упорядочения локализованных спинов Зй-электронов в
металле (показанных на чертеже стрелками).
Локализованные / ч
моменты /
/ НелокализоВанные
/ моменты
i Неметаллически!
связь
Рис. 20.10. Схема, иллюстирующая связь четырех различных основных механиз-
механизмов обмена в кристаллах с металлической (ее преобладание указано вертикаль-
вертикальной стрелкой, направленной вверх) и неметаллической (см. вертикальную
стрелку, направленную вниз) связью для локализованных (горизонтальная
стрелка, направленная влево) и делокализованных (горизонтальная стрелка, нап-
направленная вправо) моментов. Каждый тип обмена представлен двумя концентриче-
концентрическими окружностями; из них внутренняя (сплошная линия) представляет основную
область действия данного типа связи, а внешняя (пунктирная линия) возможную
область (подчиненного) действия (Херринг) [2]).
на тепловых колебаниях (фононах) или статических искажениях (дефек-
(дефектах) кристаллической решетки, но также и путем столкновений с различ-
различными неоднородностями. Механизм взаимодействия, определяющий эти
последние столкновения, отличен от механизма рассеяния на фононах или
дефектах решетки, поэтому соответствующие ему вклады в кинетические
коэффициенты будут иметь специфическую температурную зависимость
(ферро- и антиферромагнитные «аномалии»). Поскольку флуктуации маг-
— 524 —

нитного порядка резко возрастают вблизи точек Кюри и Нееля, то вблизи
них следует ожидать максимального проявления указанных выше осо-
особенностей (подробнее см. гл. 25).
В рассматриваемой трактовке энергия s — d- (или s — /-) связи мала
по сравнению с энергией Ферми ?. Действительно, в реальных случаях
t, » 10~12 эрг, а4„,« 10~13—10~14 эрг, и следовательно Asdlt, » 0,01 —
— 0,1, т. е. это отношение можно считать малым безразмерным парамет-
параметром и пользоваться для расчетов методами теории возмущений.
Приведенные качественные соображения в целом правильно предска-
предсказывают общий характер отличий в поведении электронно-спиновой систе-
системы в переходных металлах от ее поведения в нормальных.
На рис. 20.10 по Херрингу [2] показано в виде наглядной схемы соот-
соотношение между четырьмя конкурирующими типами обменной связи в ме-
металлах и неметаллах при наличии локализованных моментов. Граница
области действия каждого типа связи несколько расплывчата — это пока-
показано пунктирными линиями. Поэтому в реальном кристалле мы, строго
говоря, всегда имеем дело с суперпозицией почти всех типов связи. Обмен
коллективизированных электронов относится в основном к металлам
с делокализованными моментами. Поэтому его область действия почти
не перекрывается с прямым обменом, который может иметь место в диэлек-
диэлектриках с локализованными моментами. Крамерсовский косвенный обмен
(см. гл. 22) более характерен для диэлектриков, но он больше перекры-
перекрывается с другими типами обмена, чем прямой обмен. Весьма существенно
перекрытие между обменом коллективизированных электронов и косвен-
косвенным обменом через электроны проводимости (по Рудерману — Киттелю
[51]), поскольку обе эти разновидности обменной связи относятся к ме-
металлам.
При строгой постановке задачи о ферро- и антиферромагнетизме в ме-
металлических кристаллах необходимо было бы исходить из точного гамиль-
гамильтониана системы всех внешних и внутренних электронов в кристалле,
в котором учтены все возможные взаимодействия и уже только в резуль-
результате расчета получить выражения для эффективной обменной связи, уста-
установить критерий возникновения атомного магнитного порядка того или
иного типа, а также объяснить все особенности свойств электронов про-
проводимости обусловленные наличием магнитного порядка. Большие мате-
математические трудности, возникающие на пути решения строгой задачи для
случая переходных металлов, заставили пойти по пути приближенных
трактовок, среди которых отметим два основных направления: 1) зонную
модель ферро- и антиферромагнетизма {модель коллективизированных
электронов) и 2) s — d- или s — f-обменную модель ферро- и антиферромаг-
антиферромагнитных металлов. На кратком изложении содержания этих моделей и их
критике мы остановимся ниже.
Было бы весьма заманчиво на основе теоретических соображений
предсказать, какие из металлов ферромагнитны, а какие — нет. К сожа-
сожалению, в настоящее время мы не в состоянии этого сделать. Можно одна-
однако попытаться на основании опытных фактов дать оценку энергии намагни-
намагничивания, т. е. найти разность энергий между ферромагнитным (парамаг-
(парамагнитным) основным состоянием при 0° К и гипотетическим немагнитным
(ферромагнитным) состоянием. Если рассмотреть типичный парамагнитный
металл с восприимчивостью % порядка 10~7 гс-э~г, то энергия намагничи-
намагничивания Демаг будет равна Р/2% (если % не зависит от /). В случае Na при
намагниченности fiB на атом получаем рост энергии в 1 эв/атом. В случае
парамагнитных металлов (например, W или а-Mn), у которых % заметно
больше, чем у Na, энергия намагничивания соответственно делается мень-
меньшей @,3 эв/атом и соответственно 0,01 эв/атом). В ферромагнитном метал-
металле эта энергия будет отрицательной. Ее можно оценить по площади между
кривой температурной зависимости удельной теплоемкости ферромаг-
ферромагнитного металла и такой же кривой для гипотетического немагнитного
— 525 -

-0,2
Рис. 20.11. Зависимость энергии электронного
газа Демаг от его намагниченности A в
Hg/атом) для различных металлов (Гофман
и др. [52], Херринг [2]).
состояния. Расчеты Гофмана и др. [52] показали, что в случае Fe при на-
намагниченности в 2,2|ЛБ на атом выигрыш в энергии равен —0,08 эв/атом.
Для Ni при намагниченности около 0,5|лБ на атом получаем соответственно
—0,02 эв/атом. Эти результаты (см.
[2, 52]) в виде кривых Аемаг (/) при-
приведены на рис. 20.11.
§ 4. Ферромагнетизм в модели
коллективизированных электронов
1. Общие замечания. Как от-
отмечалось в § 2, состояние электро-
электрона в кристалле описывается волновой
функцией B0.2), вид которой отра-
отражает две основные тенденции поведе-
поведения электрона в самосогласованном
периодическом поле: коллективиза-
коллективизации и локализации. Очень трудно
строго учесть влияние обеих этих
тенденций. Поэтому приходится опи-
описывать их в искусственно «разорван-
«разорванном» виде. Отсюда и возникли две
приближенные трактовки: зонная
модель, фиксирующая внимание на
первой тенденции, и s — d- или s —
/-обменная модель, учитывающая на-
наряду с первой важную роль второй.
В обеих этих моделях с самого начала предполагается, что в переходном
металле можно, хотя бы условно, выделить две автономные группы
электронов, которые можно назвать системой s-электронов или элект-
электронов проводимости и системой d-электронов (/-электронов) или магнит-
магнитных электронов; соответственно s- и d-электронам приписываются разные
волновые функции *):
i|)s(fc; r)=--exp(ikr)us(k; r); % (к; г) = exp (ikr) ud (к; г). B0.9)
Функция для s-электронов выбирается одинаковой в обоих моделях-
функции же для d- или /-электронов аппроксимируются по-разному,
Исторически первая A928 г.) работа по «коллективной модели» фер-
ферромагнетизма металлов в рамках газовой модели принадлежит Френке-
Френкелю [53], показавшему, что в ферми-газе электронов проводимости возмо-
возможен ферромагнетизм, если абсолютная величина обменной энергии намаг-
намагниченного газа находится в определенном соотношении с его кинетической
энергией. Затем A929 г.) этот вопрос детально рассмотрел Блох [54].
Работа Блоха была подвергнута критике со стороны Бете (см. Бете и Зом-
мерфельд A938) и Вигнер [1]). Было показано, что в нулевом приближе-
приближении полностью свободных электронов ферромагнетизм возможен лишь,
когда постоянная решетки превышает определенную минимальную вели-
величину (>5A). Кроме того, в расчете Блоха некорректно применялась тео-
теория возмущения (нет параметра малости) и не учитывались другие корре-
корреляционные эффекты, помимо обменного. Дальнейшее развитие коллекти-
коллективизированная модель ферромагнетизма нашла в работах Слэтера [55],
Стонера [56—59], Мотта [60] (см. также работы [14—83], цитированные
*) Здесь еще раз следует подчеркнуть всю условность такой терминологии: s-
электроны — это в основном делокализоваиная часть электронной плотности в кри-
кристалле, а d-электроны — это ее локализованная часть. Иными словами, под s-электро-
нами следует понимать систему электронов проводимости металла, а d-электроны —
это система его атомных магнитных моментов, участвующих в спонтанном моменте
кристалла.
526 -

в гл. 19), в которых делались попытки уточнения критерия ферромагне-
ферромагнетизма Френкеля — Блоха путем большей конкретизации зонной модели
переходных d-металлов.
Как уже отмечалось, в зонной модели основное внимание в выраже-
выражениях B0.9) уделялось фактору плоской волны («свободные», полностью
делокализованные электроны с и (к; г)ж
const). Различие для s- и d-электронов
проявляется в различных законах ди-
дисперсии для них [см. B0.8)], а именно:
е<"> (*; а а) = e<d> (A')
Ad(k)M2od.
B0.10)
nd-полоса
(n*1)s-полоса
Энергия е
Энергия е
Рис. 20.12. Схематическое изображение
кривых для функций плотности уровней
электронов g (е) в перекрывающихся энер-
энергетических nd- и (?г -(- 1)в-полосах. о) Пере-
Переходный d-металл; б) нормальный металл.
Заштрихованная часть — уровни, занятые
электронами в основном состоянии; ?„ —
уровень Ферми при т = 0° К.
При этом предполагается, что функции =»>
Sos)' eod)> А-s w A-d такие, что энергети- |
ческая полоса для s-электронов заметно §
шире d-полосы (поэтому в приближении 1
эффективной массы [см. Бете и Зом- ^
мерфельд A938); Мотт и Джонс A936)]
последняя для s-электронов заметно
больше, чем для d-электронов, т. е.
^(м/^фф -^ ^ш При этом s-полоса и
d-полоса накладываются друг на дру-
друга и имеют общую энергию Ферми
(рис. 20.12). В рамках этих представ-
представлений удается получить качественные
объяснения ряду физических свойств
переходных металлов (электронная
теплоемкость, парамагнитная воспри-
восприимчивость). Ферромагнетизм в переход-
переходных металлах эта модель объясняет с помощью учета обменной энергии,
которая осуществляет сдвиг полос для электронов проводимости со спи-
спинами разных проекций и тем самым делает минимальной энергию само-
самопроизвольно намагниченного состояния электронного газа.
2. Критерий ферромагнетизма свободного ферми-газа *). Прежде
всего проведем чисто качественную оценку критерия ферромагнетизма для
свободного ферми-газа. Допустим, что в результате обменного взаимодей-
взаимодействия произошел сдвиг ДеОб энергетических спиновых подполос
(рис. 20.8, д). В результате такого сдвига v электронов на узел решетки
перейдут из правой подполосы (спин 4-) в левую (спин —) и тем самым уве-
увеличат кинетическую энергию системы (на величину 2vAeO6) **)• Обменная
энергия системы складывается из взаимодействий всех пар электронов
с одинаковыми проекциями спинов (пары с антипараллельными спинами
ничего не дают из-за ортогональности спиновых функций). Таким образом,
можно приближенно считать, что обменная энергия пропорциональна
квадрату числа электронов в каждой из спиновых подполос (п+ и п
соответствующие числа для единицы объема металла). В размагниченном
(парамагнитном) состоянии гс°_ = пй_ = п/2. В намагниченном состоянии
п+ = п/2 4- nv и гс_ = п/2 — nv, и следовательно, гс+ — гс_ = 2rcv.
*) Этот критерий впервые наиболее полно сформулировал Стонер [56]. Модель,
из которой мы исходим в излагаемом ниже расчете, обычно называют стонеровской
моделью коллективизированных электронов в металле.
**) Выше уже отмечалось, что этот рост кинетической энергии будет тем сильнее,
чем больше плотность газа. В связи с этим напомним, что если вместо плотности вве-
ввести эквивалентную ей величину — радиус сферы г,„ приходящийся на один электрон
проводимости в металле [см. ниже формулу B0.14)], то кинетическая энергия (есте-
(естественно — положительная) растет обратно пропорционально г§. а обменная энергия
(отрицательная) обратно пропорциональна rs.
527 -

Таким образом, по Стонеру, обменная энергия электронов проводимости
равна
где | goe | обменный энергетический параметр, эквивалентный параметру
молекулярного поля А из гл. 18. Вообще говоря, параметр | Що5 | зависит
от волнового вектора электронов к. Тогда ферромагнитное состояние
будет более устойчивым, если изменение энергии при переходе из парамаг-
парамагнитного в ферромагнитное состояние будет положительным (т. е. энергия
парамагнитного состояния будет больше энергии ферромагнитного состоя-
состояния). Таким образом, это изменение энергии (на атом) положительно:
— 2vAeO6 + -p-^v21 gO6 | > 0. B0.11)
При более строгом расчете следует исходить из условия минимума
энергии основного состояния системы:
Ш = j eg+ (е) de + j eg_ (e) de - -i | go6 | (n+ - n_)\
о о
где
\+ \~
n+= j g+(e)de, n_= j g_(e)de,
о о
g+(s) и g'-(e) — соответственно функции плотности состояний в спино-
спиновых подполосах. Стонер [59] провел расчет для случая квадратичного
закона дисперсии, когда g (e) — у е. Вольфарт [62] обобщил этот расчет
на более общий случай аналитической функции g (ё). Шимицу [63] про-
провел подобный вариационный расчет даже для случая неаналитических
функций g{s), чтобы подчеркнуть возможность появления резких пиков
функций плотности состояний (см. также Вольфарт и Корнуэлл [64]).
Вариационный расчет приводит в принципе к трем различным случаям
(рис. 20.8, а, б, в). Если обменная связь меньше некоторого критического
значения | gO6 | <^ | ёОб |npi» то минимуму энергии отвечает парамагнит-
парамагнитное состояние (п+ = п _, ?? = ?~ и АеОб = 0). Когда молекулярное поле
становится более сильным и | go6 | > | ШОб |крь то имеем п+ > п _
и ?}¦;>¦ ?Ц". Однако если при этом молекулярное поле меньше, что соответ-
соответствует некоторой другой критической энергии | Шоб | кр и, т. е. | gO6 j кр i <
< | ёоб | кр п, то минимум осуществляется еще при п_Ф 0. Такую систе-
систему обычно называют слабым ферромагнетиком *), поскольку внутреннее
обменное поле не в состоянии еще осуществить полную поляризацию в его
«борьбе» с размагничивающим эффектом фермиевской кинетической энер-
энергии, т. е. АеОб < ?о- Наконец, если | |об | > | gO6 |крп, то смещение
АеОб будет больше ширины ?0, занятой всеми наличными электронами
левой подпол осы, и мы будем иметь случай сильного ферромагнетика
с п _ = 0 (см. рис. 20.8, в или е).
Если для безразмерной величины nv \ g0o |/4ДеОб, ввести обозна-
обозначение |, то неравенство B0.11) примет вид
•об | Г> 1 B0.12)
(здесь использовано, что rcv/2AeO6 ^ g (?о)> где g (t,0) — плотность состоя-
состояний электронов у поверхности Ферми ?0), тогда величина параметра ?
может служить критерием для реализации пара- или ферромагнитного
*) Не следует путать со слабым ферромагнетизмом антиферромагнетиков —
явлением, которое будет подробно описано в гл. 22.
— 528 —

0,3
I
0,2
I
0,1
/
/
——
\
N
/
3,8^
6fi^
\8fl
\
состояния в электронном газе:
?>1 (ферромагнетизм), B0.13а)
\ < 1 (парамагнетизм). B0.136)
Из полученного критерия видно, что в зонной модели для реализации
ферромагнетизма необходимо выполнение двух условий: 1) существование
заметной по абсолютной величине отрицательной энергии обмена go6 < 0,
2) наличие высоких плотностей состояний у поверхности Ферми (что сле-
следует ожидать для узких полос энергий и высоких значений эффективной
массы магнитных электронов в кристалле). Так, например, в случае 3d-
металлов группы железа для элементов
начала этого периода (Sc, Ti, V) из-за
большего радиуса Зй-слоев электронной
оболочки их атомов и, следовательно,
из-за большей величины интегралов пере-
перекрытия A9.9а), Зй-полосы в этих.метал-
этих.металлах достаточно широкие, они сильно сме-
смешиваются («гибридизируются») с is- и
4/?-полосами (Вуд, [29]). Это приводит к
низким значениям плотности состояний
g (?0), а энергии | ШОб | оказываются близ-
близкими к значениям, соответствующим слу-
случаю «свободных» электронов. Наоборот,
для более тяжелых Зй-элементов интегра-
интегралы перекрытия A9.9а) малы, Зй-полосы
узки, менее гибридизируются с широкой
полосой электронов проводимости. Поэто-
Поэтому в этих случаях плотность состояний
велика и обменная энергия | go6| также
больше и ближе к своему значению в изо-
изолированных атомах. Следовательно, в
этих металлах есть больше оснований
ожидать выполнения критерия B0.13а)
для ферромагнетизма.
Для выяснения более точного коли-
количественного критерия ферромагнетизма в
свободном ферми-газе с неэкранированным
кулоновским взаимодействием, воспользу-
воспользуемся выражениями A1.107) и A1.108) для
обменной gO6 и кинетической gKHH энер-
энергии, внеся в них некоторые простые видо-
видоизменения. А именно, введем радиус г8сферы, объем которой равен объему,
приходящемуся на один электрон проводимости в металле:
B0.14)
(здесь Тгкф± — импульс Ферми в спиновых подполосах, а N — полное число
и jV± — числа электронов с + и — спинами во всем объеме), и относи-
относительную (спиновую) намагниченность
у^ N+~NN~ = "+7"~- B0.15)
Если энергию выражать в атомных единицах (в ридбергах), а гь в боров-
ских радиусах ан, то для суммы gKHH + go6 (на один электрон) находим
'-0,1
-0,2
-0,3
0 0,2 Ofi 0,6 0,8 7,0
У
Рис. 20.13. Кривые зависимости энер-
гии с? намагниченного состояния в за-
зависимости от относительной намагни-
намагниченности у = (п+ —п _)/п для ферми-
евского газа с неэкранированным ку-
кулоновским взаимодействием в прибли-
приближении Хартри — Фока. По оси орди-
ординат энергия отложена в относительных
единицах: ?0TH. ед = «/«кин^де «
дается формулой B0,16), a %"Kvln —
средняя кинетическая энергия: ^кин=
=(9/10) (9я/4J/Зг^2' Отдельные кривые
соответствуют различным плотностям
электронного газа, определяемым ра-
радиусами г.ч сферы, приходящейся на
один электрон (выраженным в едини-
единицах боровских радиусов ад).
(Херринг [2],)
Зависимость энергии намагничивания B0.16) (точнее отношения g/gKHH)
от у приведена в виде семейства кривых на рис. 20.13 для различных
34 с. В. Вонсовский
— 529 —

g(e)
значений rJaH (см. цифры у кривых). Из рис. 20.13 видно, что когда
rs превышает 5,45 ан, то ферромагнетизм делается устойчивым. В интер-
интервале от rs = 5,45 ан до 6,03 ан немагнитное состояние (у = 0) может
быть метастабильным, а ферромагнитное — метастабильно в интервале
значений rs от 3,80 ан до 5,45 ан. Это приводит к возможности фазового
перехода первого рода из ферромагнитного состояния в немагнитное
и обратно (см. гл. 18). Можно также рассмотреть случай, когда силы
взаимодействия между электронами имеют вид дельта-функции. В этом
случае ферромагнетизм наблюдается для больших плотностей ферми-газа,
а немагнитное состояние — для малых плотностей. Подробнее этот вопрос
рассмотрен в обзоре Херринга [2]. Ивамото и Савада [65] рассмотрели
также случай экранированного кулоновского потенциала.
Естественно, конечно, что все эти расчеты страдают существенным
недостатком — в них игнорируется учет корреляционной энергии (см. ниже).
3. Критерий ферромагнетизма в ферми-газе с произвольным законом дисперсии.
Если отказаться от рассмотрения модели ферми-газа с квадратичным законом дисперсии,
то можно установить связь критерия ферромагнетизма с видом функции плотности
состояний g (e) в энергетической полосе при
произвольном, законе дисперсии е (к). Этот воп-
вопрос детально рассмотрел Шпмицу [63]. Прежде
чем изложить основное содержание этой ра-
работы, сделаем следующее замечание.
Мы считаем целесообразным уделить вни-
внимание этому расчету потому, что в нем дела-
делается удачная попытка установить некоторые
общие черты энергетического спектра электро-
электронов проводимости, необходимые для воз-
возможности реализации спонтанно намагничен-
намагниченного состояния. Хотя при расчете и делается
ряд грубых упрощений и полностью остается
открытым вопрос о «происхождении» закона
дисперсии е (к), тем не менее некоторые
черты расчета носят общий характер и в пла-
пе феноменологической трактовки проблемы.
он несомненно заслуживает внимания.
Введем, следуя работе [61], как это по-
показано на рис. 20.14, схематическое изобра-
изображение типичной «двугорбой» кривой для функ-
функции g (е) плотности состояний в d-полосе,
соответствующей какому-то произвольному
закону дисперсии е (к). Далее обозначим
через ?0 уровень Ферми в парамагнитном
состоянии при 0° К. Введем также обозначения
g (е) = gi (е) для е > ?о и g (e) = g2 (e) для
е < ?0, Пусть в намагниченном состоянии
уровни, занятые двумя электронами (с +
и — спинами) занимают интервал энергий
от дна полосы с энергией емин до уровня ?2,
а однократно занятые уровни электронами с -f- спинами занимают интервал энергий от
?i до ?2, таким образом, ?2 это уровень Ферми намагниченного состояния. Поэтому
число «лишних» правых спинов щ (?j) и число «недостающих» левых спинов п2 (?2)
в намагниченном состоянии по сравнению с парамагнитным будут определяться фор-
формулами
Рис. 20,14. Схематическое изображение
кривой плотности состояний g (е) в d-поло-
се при произвольном законе дисперсии
е (fc). So — уровеь Ферми в парамагнитном
состоянии, емин и Емакс — соответственно
энергии дна и потолка d-полосы, g1 (е) —
обозначение функции g (e) для энергий
е > ?,, a g2 (е)—для энергий е < ?„, Zl—
уровень Ферми в намагниченном состоя-
состоянии; в интервале энергий от е
. до
все уровни заняты каждый двумя электро-
электронами с + и — спинами, а в интервале
от ?, до ?, на каждом уровне находится
только один электрон с + спином, п^ (?i) —
число «лишних» электронов с + спином,
а п2 (?2) — число «недостающих» электро-
электронов с — спином в намагниченном состоянии
по сравнению с парамагнитным (Шимину
[63 J).
«2 (?г) = ) g2 (e) ^е-
B0.16а).
B0,166)
Очевидно, в равновесном намагниченном состоянии
щ (?i) = "з (&>) = «
и магнитный момент равен
М = 2цБуп = 2пц,
B0.17)
B0.18),
530 —

где u.—средний магнитный момент на электрон (который может не совпадать с иБ,
см гл. 11). Для увеличения кинетической энергии в намагниченном состоянии
(см. выше п. 2) имеем
1=J
So
@
B0 10)
Ъг
Уменьшение обменной энергии в общем случае есть функция величины магнитного
момента B0,18): <6оц(М), Обычно эту функцию раскладывают в ряд по степеням Ж2
и пренебрегают всеми членами, кроме первого, пропорционального Ж2 (приближение
«молекулярного поля»). Полная энергия намагниченного состояния е равна сумме (!„„„
и %об (М), т. е,
<? <? 1 <? ( Л/Т\ (ОС\ 90^
(о —~- \Э тс тл"Т4 —Г~ ^ ПН W*-» ) * V ^w ?d\J Ь
Выясним зависимость % от Af. Из B0,20) с учетом B0.19) находим условие экстре-
экстремума функции % (Л/):
аМ 2а ' ^-"^
Поскольку ?i и ^2. согласно B0,17) и B0,18), являются функциями Ж, то можно опре-
определить % и Ж, решая совместно уравнения B0.20) и B0,21), Эти решения будут ста-
стабильными, если энергия будет минимальной, т. е. если д2з/дМ2 > 0. Используя B0.20)
и B0.1), находим
4.1/2
¦>0.
B0.22)
В случае, если %об = -аЖ2/2, то д%об/дМ = -aAf и дЩо6/дМ2 = -а. Из B0,20)
и B0.19) следует, что при Ж = 0 энергия 'ё = 0, поэтому возникновения ферромагне-
ферромагнетизма можно ожидать, если при МфО есть
область значений, где
< С,
B0.23)
Неравенство B0.23) является наиболее важ-
важным условием существования ферромагне-
ферромагнетизма в системе электронов проводимости
при 0° К по зонной модели. Используя
B0.10а), B0.166), B0.17) и B0.20) и про-
произведя интегрирование по частям, находим
go
to
t-
B0.24)
Для выяснения знака полной энергии %
представим себе некоторую связь между п
и ?i и ?2, даваемую по B0.17), откуда
можно однозначно *) получить кривую п
как функцию разности Л? = ?4 — ?2> со-
соответствующую данному значению п. Эта
зависимость изображена кривой OG^G^Gi
KFiF2F3FkFb на рис, 20.15, Сумма 1-го,
2-го и 3-го членов в правой части формулы
Рис. 20.15. Число однократно занятых элект-
электронных уровней в d- полосе 2и [см. формулу
B0.17)] как функция энергетического интер-
интервала однократно занятого участка d- полосы
Si — tz = Л?, а также связь между полной
шириной полосы и магнитной энергией. Ког-
Когда Л&макс = Емакс ~ Емин величина интер-
вала внергий, соответствующего однократно
занятому участку полосы совпадает с полной
шириной полосы. Прямая ОА — касательная
к кривой п (AS) в точке AS=O (Шимицу [63]).
B0,24) точно равна площади области
OG3G2GiKFiF2F3n'O между осью ординат и кривой п (Д?) на рис, 20,15 при п = п'
и Д? = Si — ?2 **)•
В силу B0,18) условие B0,21) принимает вид
п)
дп
*) Эта задача решается графически для функции g (e) заданной конкретной кри-'
вой, изображенной на рис. 20,14, Величина п связана с g (e) по формулам B0,16а)
и B0.166),
**) Действительно, первый член (?j — ?2) п дает площадь прямоугольника
On'F3 (Zi — ?г)> а Два интеграла — площадь, ограниченную кривой OG3G2GjЛГ^^^з
и осью абсцисс от О до ?4 — ?2.
- 531 -
34*

и связь между Л? и М иди п, даваемая по B0.21), изобразится какой-то кривой,
например OG3LF3N (см. рис. 20.15). Если %об= — aiW2/2, то B0.21) дает
т. е. кривая OG3LF3N является в данном случае прямой линией. Легко видеть, что
площадь треугольника OG^LFyn'O равна абсолютной величине энергии обмена. Дей-
Действительно,
М 1_
~2]Г~^а' ""
Кривая п (At,) и прямая ON пересекаются в точках О, Gg и F3. Очевидно, что решения
в точках О и F3, удовлетворяющие B0.17), B0.21) и B0.22), соответствуют минимумам
энергии как функции М. Решение же, соответствующее пересечению в точке G3, удовлет-
удовлетворяющее B0.17) и B0.21), но не удовлетворяющее B0.22), соответствует максимуму
энергии. Если площадь OG3G2G^KF^F2FЗп'О меньше площади треугольника OG3LF3n'O,
то энергия в состоянии F3, соответствующему минимуму энергии, становится отри-
отрицательной, как это следует из B0.24). И тогда это состояние является наинизшим
устойчивым ферромагнитным состоянием. На рис. 20.15 из точки О, кроме прямой
OG3LF3, проведены еще прямые OK, OGiFi, OG2F2,
OF\ и OFb. Точки пересечения этих прямых с кри-
кривой п (At,) дают экстремальные значения энергии
системы.
Уравнение касательной к кривой п (At,) при
At, = 0 дается формулой п = A/2) g (Co) At, (см.
точечную прямую О А на рис. 20.15). Уравнение же
касательной к кривой B0.21) при At, = 0 имеет
впд: п = D:/u,2d) At,. Поэтому, поскольку
Хпм @) = а?г = 2u.2g (So) — парамагнитная восприим-
восприимчивость Паули, то при a < as кривые At, =
= —д %orjdn лежат выше касательной к кривой
п (At,) при At, = 0. Следовательно, в этом случае
мы можем иметь устойчивые ферромагнитные состо-
состояния электронов проводимости по зонной модели,
если форма кривой (рис. 20.14) плотности состояний
g (г), положение уровня Ферми ?0 имеют соответ-
соответственно подходящие вид и значение, а кривая п (?)
имеет резкий подъем над касательной для точки
At, = 0, как это показано на рис. 20.15 (участок
кривой G3G2GiK). На рис. 20.16 приведено схемати-
схематическое изображение в произвольном масштабе ше-
шести из семейства возможных кривых ? (М), отвеча-
отвечающих случаям, когда уравнение Л?= д%0^ (п)/дп
соответственно изображается шестью кривыми ОК,
OGiFi, OG2F2, OG3F3, OF,, и OFb на рис. 20.15.
На шести кривых % (М) рис. 20.16 показаны точки
О, К, Gi, G2, G3, Fi, F2, F3, F^ и F5, соответствующие
экстремумам %, т. е. точкам пересечения кривой
n(At,) и шести кривых (прямых) М(At,). Как видно,
например, из кривой 4 рис. 20.16, можно ожидать,
что при переходе из пара- в ферромагнитное состоя-
состояние или наоборот (при охлаждении или нагревании металла в области точки Кюри)
возможен фазовый переход первого рода в точке Кюри (см. гл. 18). Последнее обу-
обусловлено наличием «потенциального барьера» в точке G3 максимума кривой 4 для ? (М).
Если обе упомянутые выше площади на рис. 20.15 равны (см. прямую OG2F3), то энер-
энергия состояния F2 хотя и соответствует минимуму на соответствующей кривой 3 рис.
20.16, но она не отрицательна, а равна нулю.
Если %0§ = —aM2/2 и если мы обозначим через ас критическую величину коэф-
коэффициента молекулярного поля а, соответствующую кривой OG2F2 на рис. 20.15 и кри-
кривой 3 на рис. 20.16, то легко видеть, что ac < as. Из рис. 20.16 далее видно, что a <
< ac для кривых 1 и 2, a = ac для кривой 3, ас < a < as для кривой 4 и a > as
для кривых 5 и б. Устойчивые состояния на кривых 1 ж 2 соответствуют парамагне-
парамагнетизму, а на кривых 4, 5 н б — ферромагнетизму. Зависимость % (М), которую получил
Слэтер [55] при О3 К для N1 подобна кривой 6 рис. 20.16. Аналогичный анализ про-
проводился и в более ранней работе Шимицу [66] (сравнить также с рис. 20.13).
Если кривая ? (е) имеет более сложную форму, чем это изображено на рис. 20.14,
то на кривых ? (М) возможно появление нескольких максимумов и минимумов.
При малых значениях М приближение %о5 = — аМ2/2 хорошее, и % из B0.20)
можно записать в виде
B0.25)
Рис. 20.16. Схематическое изобра-
изображение кривых полной энергии
электронной системы как функции
намагниченности, отвечающих ше-
шести случаям, при которых уравне-
уравнение Д? = — д%об (п)/дп изобра-
изображается шестью кривыми (прямы-
(прямыми), изображенными на рис. 20.15
(OK, OG,F,, OG,F2, OG3F3, OF,,
OFS). Кривые l и 2 соответствуют
парамагнитному, а 4—в — ферро-
ферромагнитному состоянию. Кривая з
соответствует границе между пара-
и ферромагнитными областями
(Шимицу [63]).
V-Ч (So)
532 -

Из B0.25) видно, что кривизна (д2<ё/дМ2) кривой % (М) при М = 0 положительна, если
а < as, ii отрицательна, если а > а,. Условие а > as — уже известный из B0.12)
стонеровский критерий ферромегнетизма [56, 57]. Ясно, что это достаточное условие
ферромагнетизма для металла с несложной формой кривой для плотности состояний.
Следует, однако, отметить, что даже если a < а,, то можно ожидать ферромагнетизма,
если имеются резкие пики на кривой g (г) по обе стороны от уровня Ферми или с одной
из двух его сторон (см. рис. 20.14).
В качестве примера Шимицу [63] рассмотрел два случая, когда уровень Ферми
парамагнитного состояния при 0° К лежит вблизи минимума или максимума кривой
g (е). В первом случае (рис. 20.14) можно ожидать, что температурная зависимость
парамагнитной восприимчивости %пм (Т) и коэффициент электродной темплоемкости
достигают максимума при некоторой температуре [67]. В этом случае ферромагнетизм
возможен не только при a > as, но даже и при a < as для не слишком малых а (см.
кривую 4 на рис. 20.16). Во втором случае ферромагнетизм возможен при выполнении
условия Стонера: a > as. Однако если ниже или выше или по обе стороны максимума
на кривой g (е), вблизи которого лежит уровень Ферми ?0, имеются еще более резко
выраженные пики, то металл может быть ферромагнитным даже если a < as.
Вольфарт [681 обратил внимание на то, что при трактовке ферромагнетизма
металлов по модели коллективизированных электронов, в тех случаях, когда относи-
относительная намагниченность г/0 < 1, при 0° К в сильных внешних магнитных полях сле-
следует ожидать возрастания г/0. Он также вывел качественно функциональную зависи-
зависимость г/0 (Н). Позднее Огава и Сакамото [69] наблюдали этот эффект в ферромагнитном
металлическом соединении ZrZn2 (см. также работы Пикара и др. [70] *)). Вопрос о па-
парамагнитной восприимчивости металлических ферромагнетиков рассмотрен также
в обзоре Херринга [2], а также в работах [73, 74].
Естественно, возникает вопрос о физическом механизме возникновения обменного
взаимодействия %О6 (или а). Обычно указывают на четыре таких механизма (иногда
проводят еще более детальную классификацию). Все эти механизмы дают положитель-
положительный знак %0§, т. е. благоприятствуют ферромагнетизму. Эти четыре механизма сле-
следующие (см. обзор Томпсона [75]):
I) Внутриатомный обмен н одной полосе (Изуяма и др. [76]).
II) Междуатомный обмен в одной полосе (Томпсон [77]).
III) Внутриатомный обмен между полосами или хундовская связь (Слэттер [55];
Маттис [78]).
IV) Междуатомный обмен между полосами. ,
Есть все осиовапия считать, что многополосные эффекты играют существенную
роль, в особенности в связи с внутриатомным обменом (см. Мотт [79]); хотя Канамори
[80] и Хаббард [81] придерживаются другой точки зрения. Этот вопрос будет рассмот-
рассмотрен ниже.
4. Пути уточнения коллективизированной модели ферромагнетизма металлов.
Естественно, конечно, что приведенные иллюстрации зонной модели весьма прибли-
приближенны. Однако они все же ясно указывают на имеющуюся в газе электронов проводи-
проводимости определенную тенденцию к установлению ферромагнетизма. Помимо грубо при-
приближенного характера приведенного здесь оценочного расчета (этот недостаток можно
устранить при более точных вычислениях в рамках той же зонной модели), здесь сразу
же можно указать и на более существенные принципиальные недостатки модели, свя-
связанные с полным игнорированием пространственной неоднородности в зарядовой и спи-
спиновой плотностях электронов проводимости (исключая неоднородности, обусловленные
учетом принципа Паули, т. е. антисимметричностью волновой функции электронного
газа относительно перестановки координат двух электронов). Последнее не позволяет,
например, в рамках такой модели объяснить антиферромагнетизм металлов (Фридель
и др. [82]) наблюдаемый в Мп и Сг — в металлах, лежащих в средней части Зй-периода.
Для того чтобы объяснить этот антиферромагнетизм, необходимо учесть некоторые кор-
корреляционные поправки, связанные с кулоновским взаимодействием и его экранировкой
в реальной системе коллективизированных электронов кристалла.
Уточнения зонной модели ферромагнетизма d-металлов идут по двум основным
направлениям. С одной стороны, делаются попытки уточнить картину энергетических
полос в d-металлах и получить в каком-то приближении явное выражение для закона
дисперсии 8 (к). Затем вычисляется плотность энергетических уровней g (e) (см. гл. 11)
с помощью формулы
Ba26)
где интегрирование ведется по изоэнергетическим поверхностям 8 (к) = const. И, на-
наконец, учитывается «сдвиг» подполос для -f- и — спинов и для них находятся соответ-
соответствующие поверхности Ферми.
*) Ферромегнетизм в этом интерметаллическом соединении был открыт Маттиа-
сом и Бозортом [71] (см. также Маттиас и Гебалл [72]); он является в известном смыс-
смысле необычным, поскольку ни один из атомов его компонент не обладает сильным пара-
парамагнетизмом. Дискуссию о ферромагнетизме в чистом ZrZn2 см. в работах Фонера
и др. [515], Кнаппа и др. [516, 517].
- 533 —

С другой стороны, пытаются подойти к решению рассматриваемой задачи с по-
помощью общих квантовостатистических методов (метод функции Грина и т. п.), не поль-
пользуясь по возможности грубыми модельными упрощениями.
Остановимся кратко на главных результатах обоих этих подходов.
5. Расчет энергетических полос d- и s-состояний в перзходных металлах.
о. Общая схема расчета. Расчет d-полосы впервые провел Круттер [83], позже их прово-
проводили другие авторы [55, 60—62, 80—86]. Обзор этих расчетов дан в статье Каллауэя
[87]. Более поздние работы принадлежат ему же [88], см. также [89—91] и монографию
Каллауэя [92]. Наиболее детальные расчеты энергетических полос для 3<2-металлов
группы железа были проведены школой Слэтера. Некоторым итогом их может служить
работа Маттхейсса [93] *). Существенно, что в этих работах автоматически учиты-
учитывается гибридизация d- и s-состояний в кристалле.
Для иллюстрации всех этих расчетов по коллективизированной модели приведем
общую схему вычислений, используя результаты работы Флетчера [86]. Изпостно, что
задача определения энергетического спектра электрона в кристалле в одноэлектронном
линеаризованном самосогласованном приближении сводится к решению уравнения
Шредингера
(/•) = [ — -J^A-j-V(>-)l ty(r) = %$(r), B0.27)
Где А — оператор Лапласа, "ф (г) и % — соответственно искомые волновые функции
и энергия электрона, V (г) = V (/• + п) — периодическое самосогласованное потен-
потенциальное поле (п = п^ал-\-пгаг-Уща3 —вектор решетки, щ, п2 и п3 — целые и полу-
полуцелые числа, «J, а2. ч3 — основные векторы решетки). При решении B0.27) пользуются
тем или иным приближением (см. Мотт и Джонс A936); Бете и Зоммерфельд A938);
Зейтц A949); Пайерлс A956); Рейтц [114]). Поскольку d-состояпия испытывают мепь-
шее возмущение со стороны кристаллических «полей» (см. гл. 10), чем валентные элект-
электроны, то в данном случае целесообразно использовать приближение сильной связи**).
В этом случае волновая функция ищется в виде ряда
i))?u (к; г)— V exp (ink) Фт (г — п), B0.28)
п
где Фт (г — п) — одна пз пяти (т = 1, 2, 3, 4, 5) d-функций от-го узла решетки [см.
A0.14), A0.15)]. Как уже отмечалось, разложение B0.28) следует, строго говоря, вести
сразу по d-, s- и р-атомнымфункциям ***), поскольку в кристалле имеются «гибриди-
зированпые» полосы энергий. Но здесь с целью иллюстрации мы излагаем более гру-
грубую схему перекрывающихся негибридизированных d- и s-полос.
Из-за вырождения атомных d-функций, правильной функцией нулевого прибли-
приближения электрона в кристалле для уравнения B0.27) будет линейная комбинация реше-
решений B0.28) с неизвестными коэффициентами атт'(к):
Vm (к; г) = 2 атт. (к) х\,т, (к; г). B0.29)
т'
Подставляя B0.29) в B0.27), получаем для определения коэффициентов атт' (к) одно-
однородную систему алгебраических уравнений. Условием ее разрешимости будет равенство
нулю определителя системы. Отсюда мы и приходим к секулярному уравнению для
определения энергии
|j#mm, — %Ьтт, || = 0 (от, от'= 1, 2, 3, 4, 5), B0.30)
где
1 Г - 1
Нтт, = \ "ф^ (к; г) Жфт, (к; г) dr,
ата,п' J B(Ш)
г),
= \
*) Укажем еще ряд более поздних работ по расчету энергетических полос в
d- и /-металлах: [94] — Sc, [95] — Сг, [96—99]—Fe, [99—104]—Ni, [105]—Gd; см.
также работы [106 — 113, 518—521].
**) На это впервые указали Джонс и Мотт [115]. Однако во многих расчетах поль-
пользуются и другими методами: методом ячеек по Вигнеру и Зейтцу [116] в работах Крут-
тера [83] и Слэтера [55], методом присоединенных плоских волн в работах Слэтера [117],
Саффрена и Слэтера [118], Маттхейсса [93] и т. п.
***) Это непосредственно следует из критерия применимости теории возмущения
[см. Блохинцев A961) или Ландау и Лифшгщ A963)], т. е. из требования малости «рас-
«расщепления» уровня под влиянием возмущения по сравнению с энергетическим расстоя-
расстоянием между соседними невозмущенными уровнями энергии.
- 534 -

Пользуясь малостью интеграла перекрытия для d-функций [см. A0.14) и A0.15)]
и сохраняя в интегралах ат члены только с от = 0, получим для матрицы энергии
&(r-n)\V(r)-U(r)]Om.(r)dr, B0.32)
-где %\—нулевой d-уровень, a U (г) — потенциал изолированного атома,
С = j ф& (г) [V (г) - U (г)] Фт (г) dr
— понижение атомного rf-уровня, обусловленное взаимодействием rf-электрона данного
узла с другими атомами решетки. За начало отсчета энергии в полосе выбирают обычно
уровень %"а + С и, кроме того, пользуются приближением ближайших соседей. Для
вычисления матричных элементов B0.32) приходится делать конкретные предполо-
предположения о виде радиальной волновой функции в A0.14) и A0.15), ч также о потенциале
V (г) — U (г) *). Волновые функции выбирают либо по Хартри, либо по Хартри —
Фоку, а для потенциала используют, например, такую аппроксимацию: V (г) = U (г)
ннутри сферы радиуса, равного половине расстояния между ближайшими соседями,
и U (г) = 0 вне этой сферы, где V (г) заменяется
потенциалом атомов ближайших соседних узлов.
При этих грубых упрощениях получают численные
значения матричных элементов B0.32) и затем ре-
решают секулярное уравнение B0.30). Такой расчет
(без учета гибридизации с s-полосой и между самими
d-полосами) приводит к пяти перекрывающимся d-no-
лосам с вырождением в некоторых точках.
б. Конкретные примеры формы d-полос. Об-
Общий характер d-полос можно представить себе сле-
следующим образом (см. [79. 85, 86. 90, 119]). Как было
показапо в гл. 10, пять d-функций изолированного
атома разделяются на две группы; 1) три с симмет-
симметрией ху, yz, zx и 2) две с симметрией х2 — у2, у2 — z2.
В случае о. ц. к. или г. ц. к. кристаллов в центре зо-
зоны Бриллюэна (к = 0) будем иметь три вырожден-
вырожденные связующие волновые функции (у которых отсут-
отсутствуют узлы между соседними атомами в кристал-
кристалле), образованные из атомных функций с симмет-
симметрией типа ху, н две антисвязующие функции, обра-
обрадованные из атомных функций с симметрией х2 —
— у2, с узлами между соседними атомами. На рис.
20.17 дается схематическая зависимость % (к) для
какого-то направления в кристалле для всех полных
решений уравнения B0.30).
Более сложной оказывается картина d- полос,
если учесть гибридизацию между различными
^-состояниями. На рис. 20.18 приведена схема
рис. 20.17, но с учетом их гибридизации [119]. В данном случае две узкие наинизшие
полосы образованы из функций симметрии ху в центрах зрн и функций симметрии х2 —
— у2 на границах. Две узкие наивысшие полосы возникли из антисвязующих функций
х2 — у2 в центрах и антисвязующих функций ху на границах зон. Наконец, появляются
широкие полосы связующего типа с симметрией ху в центрах зон и антисвязующие
с той же симметрией на границах.
На основании схемы рис. 20.18 можно ожидать для кривой плотности состояний
g (е) появления минимума в середине d-полосы. Это, конечно, зависит от энергетиче-
энергетического расстояния Ае' между энергиями вырожденных состояний в центрах зон (см.
рис. 20.17 и 20.18). На рис. 20.19 показаны кривые g (e) для пяти d-иолос, рассчитан-
рассчитанные Асденте и Фриделем [90] для о. ц. к. кристалла Сг, где наблюдается минимум
в центральной части суммарной d-полосы. В случае г. ц. к. кристаллов такой минимум,
по-видимому, отсутствует (Бэрдик [120]).
Более строгими, естественно, являются расчеты, в которых учитывается гибри-
гибридизация между всеми s- и ^-состояниями. В этом случае мы уже имеем не 5, а 6 подполос.
При этом наинизшая по энергиям полоса будет s-образная у своего «дна» и d-образная
у «потолка» и с обратным порядком вклада s- и d-состояний у полосы, наивысшей по энер-
энергиям. Четыре «внутренних» подполосы будут в основном d-образные. На рис. 20.20
Рис. 20.17. Схематическое изобра-
изображение зависимости энергии % (ft)
в Зй-полосах, возникающих из
атомных Sd-уровней, соответствую-
соответствующих состояниям с d-функциями
симметрии ху (Г2,6) и х2 —у2 (Г12)
без учета их гибридизации
(смешивания); пунктирная линия
показывает s-полосу (Эветт [119]).
тех же d-полос, что и на
*) Это наиболее трудный и «слабый» пункт всей рассматриваемой проблемы, в зна-
значительной мере обесценивающей количественные результаты. Трудность в основном
•связана: 1) с очень большой «чувствительностью» конечных результатов расчета (т. е.
вида закона дисперсии) от выбора волновых функций и потенциала и 2) с тем, что в рас-
расчете отсутствует малый безразмерный параметр.
— 535 —

дана схема s- и d-иодполос при учете их взаимной гибридтыации [119]. Учет гибриди-
гибридизации приводит к значительному усложнению картины s — d-подполос. Для случая Си
весьма подробные вычисления подполос провел Сегал [121, 122]. Как уже отмечалось,
Рис. 20.18. Схематическое изобра-
изображение зависимости энергии % (k) в
Зй-полосах при учете гибридизации
d-функций с симметрией ху и х2 —у2;
пунктиром показана s-полоса
(Эветт [I19j).
Рис. 20.19. Функции плотности состояний g^ (e>
(г = I, II, III, IV и V) для пяти Зй-подполос Сг
(Асденте и Фридель [90]).
s — d-гибридизация может в ряде случаев приводить к тому, что часть поверхности
Ферми в одной и той же зоне Бриллюэна для одних направлений в обратной решетке
s-подобна, а для других — d-подобна. Это показали Ломер [10] для случая Сг Альтман
и Бредли [123] для Мо.
Весьма сложную форму имеют кривые g (е), как это было уже видно из рис. 20.19.
На рис. 20.21 показана кривая g (e) для суммарной плотности состояний в пяти
d-подполосах о. ц. к. железа, вычисленная Вольфартом и Корнуэллом [64] (см. также
elk)
1.Я7
10
Fe
-0,6
-ол
-0,2
Рис. 20.20. Схематическая картина
учета гибридизации Зй-полос и 4s-no-
лосы. (Эветт [119]).
Рис. 20.21. Функция плотности состояний^ (е>
коллективизированных электронов в о.ц.к.
кристалле Fe. На кривой видны резкие пики
(особенности функции g (е) типа ваи Хове
[125]) (Вольфарт и Корнуэлл [64]).
[124]). Наличие резких пиков на кривой g (е) (или в точках, где g'(e) —>- оо) связано-
с существованием сингулярных критических точек в законе дисперсии е (к) в зонах
Бриллюэна для металлов *). В случае г. ц. к. кристаллов на кривой g (e), по-видимому,
нет минимумов. На рис. 20.22 приведены результаты расчета g (e) из работы Бэрдика
Г120] для г. ц. к. кристалла Си. Такой ход кривой g (e) в какой-то мере подтвердили
экспериментально Спайсер и Берглунд [127], наблюдавшие фотоэмиссию в Си, а также
рентгеноспектральные исследования Немнонова и др. [128]. Весьма интересна уже упо-
*) Теоретико-групповой и топологический анализ этого явления для спектра
фононов в кристаллах дали ван Хове [125] и Филлипс [126] [см. также Займан A966)]^
— 536 —

ыияавшаяся работа Вуда [29], в которой подчеркивается, что волновые функции»
электронов в каждой половине d-нолосы связующего типа имеют разумно большую
амплитуду в междоузлиях. Функции же верхней половины, которые обычно имеют узлы
в междоузлиях и которые поэтому
принадлежат к антисвязующему
типу, больше напоминают волновые
функции свободного атома. Графи-
Графически эти результаты представлепы на
рис. 20.23.
6. Некоторые эксперименталь-
экспериментальные методы определения энергети-
энергетического спектра d-металлов. В гл.
11 мы познакомились с эксперимен-
экспериментальными методами изучения поверх-
поверхностей Ферми в металлах. Однако
эти методы не могут дать "нам ин-
информацию об электронных состояни-
состояниях, лежащих заметно ниже или выше
энергии Ферми ?„. С другой стороны,
именно в случае d- и /-металлов
приобретает особый интерес изучение
всего распределения электронных
состояний по их спектру. Историче-
Исторически первым таким методом явилось
изучение рентгеновских $. спектров
испускания и поглощения, которое
открыло возможности получения
сведений о плотности состояний в
полосе проводимости и валентной
полосе. Позднее для этих же целей
начали использовать измерения оп-
оптических свойств кристаллов от ин-
инфракрасной до ультрафиолетовой об-
области, а также измерения фотоэмис-
фотоэмиссии электронов из кристаллов.
К краткому изложению содер-
содержания этих методов мы сейчас об-
обратимся.
а. Рентгеноспектралъные ме-
методы. Изучение линейчатых оптиче-
оптических и рентгеновских спектров изо-
изолированных атомов дает картину
их электронных спектров. В случае
кристаллических тел изучение спект-
спектров испускания или поглощения
электромагнитных волн также дает важную информацию о структуре электронного спект-
спектра этих веществ. В отличие от большинства других физических свойств кристаллов, кото-
которые определяются либо всем спектром в целом (силы связи, большинство магнитных
параметров), либо характером распределения электронных уровней вблизи поверх-
поверхности Ферми (теплоемкость, кинетические явления it др.), спектры испускания или
» Рис. 20.22. Рассчитанная функция плотности состо-
состояний в d-и s-полосах (s-полоса показана не полностью);
с ?о=— 0,384 Ну. Отсчет энергии ведется от дна d-uo-
лоеы (-0,939 Ну) (Бэрдик [120]).
Рис. 20.23. Вид радиальных частей R (г) волновых
функций электронов в d-полосе. (Расстояния г от-
считываются в атомных единицах от центра узла ре-
решетки.) Кривая а соответствует волновой функции-
для уровней у верха d-полосы. Кривые бив соответ-
соответствуют состояниям уровней, все более близких к дну
d-полосы. Пунктирная кривая соответствует
ходу функции R (г) для изолированного атома
Sd-элемента (Вуд [29]).
Рис. 20.24. Схема уровней рентгеновских спектров металлов, о) Спектр испу-
испускания; б) спектр поглощения (?„ — уровень Ферми при 0° К, ВС — ширина
заполненной части валентной полосы).
поглощения электромагнитных волн могут в принципе раскрыть всю структуру энерге-
энергетического спектра электронов в кристалле. В качестве наиболее удобных методов изу-
изучения энергетического спектра электронов в кристаллах могут быть, например, исполь-
использованы спектры испускания электромагнитных волн, которые получаются после того,,
как из кристалла выбиваются внутренние электроны (в рентгеновской трубке) и на
ЧЯ7

- Lm - спектры
поглощения
Ni
-6 -it -2
освобождающиеся места переходят наружные коллективизированные электроны
(рис. 20.24) из какой-либо полосы энергий. Ширина (ВС) этих полос может достигать
величины порядка 10 эв, поэтому мы будем иметь непрерывный спектр испускания,
который (с точностью до естественной ширины уровня начального состояния, когда
-имеется вакансия на внутреннем уровне) *) будет отражать в какой-то степени харак-
характеристики заполнений части спектра коллективизированных электронов, принимаю-
принимающих участие в переходах. Длины волн этих спектров обычно оказываются порядка 100 А
и больше, т. е. в области мяг-
\jl(e) ких Рептгеновских лучей. Рент-
' геновские спектры поглощения,
отражающие специфику элект-
электронных спектров кристалла,
возникают при возбуждении
какого-либо из внутренних
электронов в свободные уров-
уровни энергетических полос кол-
коллективизированных состояний
(рис. 20.24, б). Таким обра-
образом, мы можем ожидать, что
связанные с данным внутрен-
внутренним дискретным К~, Ь~, М~, ...
уровнем рентгеновские спект-
спектры испускания будут иметь
вид непрерывной полосы,
ширина которох! находится в
прямой связи с шириной (ВС
на рис. 20.24) заполненной
части энергетической полосы
электронного спектра при тем-
температурах, низких по сравне-
сравнению с вэп, полоса испускания
должна иметь резко выражен-
выраженный край со стороны коротких
волн, что соответствует пере-
переходам (СА на рис. 20.24) элект-
электронов с уровня Ферми ?„.
Спектр поглощения также име-
имеет сплошной характер, однако
у него резкий край располо-
расположен со стороны длинных волн
(что соответствует переходу А С
на рис. 20.24, б), совпадающих
с коротковолновым краем по-
полосы испускания; со стороны
же коротких воли спектр пог-
поглощения не ограничен.
На рис. 20.25 приведе-
пы результаты для Lln спект-
спектров испускания и поглощения
Ni и Си, которые полностью
подтверждают описанную выше
картину; но оси ординат для
спектра испускания отложе-
отложена интенсивность / (е) как
функция энергии е в электрон-
вольтах, а для спектра погло-
поглощения — коэффициент погло-
поглощения ц (е). Эти «оптические»
характеристики спектров нахо-
находятся в прямой связи с характеристиками электронного спектра. Действительно, из
квантовой теории излучения (см. Блохин [129]) известно, что / (е) и ц (е) опреде-
определяются произведением двух факторов: плотности электронных состояний g (e) в полосе
Си
-8 -6 -it -г
8 ю
Рис. 20.25. Сравнение рентгеновских Ljjj спектров испуска-
испускания и поглощения для Ni и Си. Сплошные кривые — экспе-
экспериментальные, пунктирные кривые построены с учетом по-
поправок на ширину Ljjj уровня; ступенчатая кривая для
¦Си — результат теоретического расчета функции плотности
состояний g (e) по Бэрдику [120] .Отсчет энергии по осям аб-
абсцисс ведется в ов от уровня Ферми ?0 (точка О на осях).
Функции Г (t) и |i (е) отложены по оси ординат в условных
единицах. (Немнонов и др. [128, 130]).
*) Очевидно, что обратную величину ширины рентгеновского уровня можно
определить как теоретический предел разрешающей способности всего метода опреде-
определения структуры уровней в полосах, т. е. в определении функции g (e). Следует напом-
напомнить, что рентгеновские уровни (когда имеется «дырка» на внутреннем уровне атома)
расширяются не только из-за внутрикристаллических взаимодействий, но также бла-
благодаря радпацпонному затуханию и вероятностям безрадпацпонных переходов (эффект
Оже). Этот фактор ограничивает область длин волн рентгеновских спектров нескольки-
несколькими ангстремами, если мы хотим, чтобы разрешающая способность была порядка 1 эв
(подробнее см. Блохин [129').
— 538 —

и вероятности соответствующего перехода Р (е) из начального в конечное состояние:
/(e)«cosP(e)g(e), е < ?0, B0.33)
|i(e)«P (в) *(«?). е>?0, B0.34)
где (о—циклическая частота СЕета. Вероятность Р (е) в свою очередь определяется
квадратом матричного элемента, соответствующего днпольному, квадрунольному
л т. д. излучению, который имеет вид
)dr, B0.35)
дМ—электронная волновая функция атомного состояшш (s, р, d, . . .),г|)(/с; г) —
волновая функция коллективизированного состояния (занятого для испускания и сво-
свободного при поглощении), А. — оператор взаимодействия с электромагнитным полем.
Естественно ожидать, что в случае переходных металлов их особая электронная
структура приведет и к специфическим особенностям в их спектрах испускания и по-
поглощения мягких рентгеновских лучей. Однако ввиду того, что интенсивность в спектре
испускания или коэффициент поглощения пропорциональны произведению вероятности
перехода иа плотность состояний [см. B0.33) и B0.34)], мы не можем сказать ничего
определенного о последней, пока не будут сделаны какие-нибудь предположения или
оценки вероятности переходов. Из B0.35) видно, что вероятность перехода существен-
существенно зависит от вида волновой функции электрона в решетке, которая нам точно не из-
известна, тем более в случае переходных металлов.
Отметим, что из формулы B0.35) вытекает также нриблщкеппая справедливость
обычных правил отбора для дппольного и квадрупольного излучения, если вспомнить,
что волновая функция ij) (&; г) в решетке аппроксимируется линейной комбинацией
атомных функций s-, p-, или d-состояннй. В тех случаях, когда мы имеем дело с близко
расположенными атомными уровнями и соответственно в кристалле с перекрывающи-
перекрывающимися энергетическими полосами, то в разложении г|) (fc; r) но атомным функциям пеоб-
ходнмо учитывать одновременно функции всех перекрывающихся состояний. Однако
в образовании спектра будет участвовать пе вся плотность состояшш g (е), а лишь
часть ее (в соответствии с правилами отбора). Поэтому, например, в динольных рент-
рентгеновских ЛГ-спектрах в случае металлов группы железа мы не можем надеяться
достаточно ясно выявить участие одной 3<2-нолосы (поскольку соответствующий диполь-
ный атомный переход s ~?_ d запрещен правилами отбора). Более простую картину спект-
спектра можно ожидать в случае ^-спектров (атомный переход типа р ~^L d). На рпс. 20.25
приведен примор сравпения Ьщ спектров испускания и поглощения мягких рентгенов-
рентгеновских лучей для переходного металла Ni и нормального металла Си (Немнонов и др.
[128, 130]), из которого видпо, что в Ni вблизи края поглощения и. (е) резко увеличи-
увеличивается по сравнению с Си.
Спектры испускания могут также дать информацию и о полной ширине энерге-
энергетической полосы, участвующей в испускании. К сожалению, пока имеется большой
разнобой в результатах, полученных в исследованиях различных авторов. Требуется
ещо очень большая и систематическая экспериментальная работа для получения надеж-
надежных результатов по всей совокупности переходных металлов как 3d- id- и 5rf-rpynn,
так и особенно для группы редких земель, которые еще практически совершенно не ис-
исследованы. В связи с этим обращаем внимание на теоретические [131 —135] и экспери-
экспериментальные [136—155] работы.
б. Фотоэмиссионные измерения. Фотоэмиссию электрона из кристалла можно
рассматривать как двухстадийный процесс: 1) электрон оптически возбуждается из
начального состояния в состояние с более высокой энергией и 2) затем он движется
к поверхности кристалла, испытывая (или не испытывая) при этом упругие или неупру-
неупругие столкновения с различными «препятствиями» и вылетают в вакуум. Измеряется
спектральное, распределение фотоэлектрического выхода и распределение энергии
фотоэлектронов при различных энергиях фотонов, которые можно использовать для
изучения и процессов оптического возбуждения и процессов рассеяния электронов
и кристалле. В конечпом итоге все это дает возможность определить зонную структуру
электронного спектра металла и, в частности, плотность уровней в его энергетических
полосах. Теория фотоэмиссионного излучения энергетического спектра металлов (в том
числе и переходных d-металлов) была детально развита Берглундом и Спайсером [156]
(см. также [158—161]). Измерения проводились для нормальных металлов Си и Ag
[157] и для переходных металлов Ni [1G2], Fe [163] и Со [164]. Результаты для Си и Ag
находятся в удовлетворительном согласии с результатами теоретических расчетов
[120, 122] (за исключением обнаруженного у Си максимума на кривой плотности состо-
состояний g (е) при е = 0,2 эв, т. е. ниже энергии Ферми ?0). Что же касается результатов
для переходных металлов Ni, Со и Fe, то они существенно отличаются как от результа-
результатов теоретических расчетов (см., например, [93]), так и от экспериментальных рентге-
носпектральных исследований [130, 165]. В частности, фотоэмнесионные измерения
в случае Ni обнаружили очень большой максимум на кривой g (е) при е = 4,6 эв,
т. е. ниже t,0, в случае Fe такой максимум (значительно менее резкий) наблюдается при
е = 5,5 эв. Экспериментальные результаты для Ni [162] согласуются с теоретической
.кривой g (e), которая может быть получена для Ni в рамках моделп жесткой полосы
— 539 —

(см. гл. 21) и соответствующей кривой для Си и подбора величины обменного расщеп-
расщепления Деод подполос для + и — спинов. Результаты сравнения при АеОб = 0.G эв *)
приведены на рис. 20.26, из которого видно, что обе кривые расходятся во всем интер-
интервале энергий е <; ?0. Этот результат указывает на то, что простая одноэлсктронная
зонная теория недостаточна для правильного описания электронного энергетического
спектра переходных cf-металлов. Филлипс [158] указывает, что максимум на кривой
g (е) в Ni при ?0 — е = 4,5 эв (и такие же максимумы в других d-металлах, а также
в Си и Ag) можно объяспить с помощью многоэлектронных (корреляционных или ре-
резонансных) эффектов. Однако Мотт (см. дискуссию к статье Спайсера [160]) считает,.
д(е>
3
г -
I -
-6 -5 -4
¦ /\
Леоб=0.6эд
г/
\
\
\
—L.
-з -г
е.ав
Рис. 20.26. Функция плотности состояний g (е) (число
состояний/атом- эв) в спектре коллективизированных ялектронов
Ni. Кривая 1 определена фотоэмиссионным методом, кривая
2 построена с использованием расчетов для Си по модели жест-
жесткой полосы (рассчитанные для подполос функции g (е) показаны
пунктирными кривыми). Сдвиг подполос с 4- и — спинами при-
принимают равным Де fp=0,6 эв. Из графика видно, что никаким
подбором величины Ле ^ кривые 1 и 2 нельзя совместить (Блод-
жетт и Спайсер [162]).
что этот максимум в Ni может быть объяснен в рамках полярной модели d-металлош
(Шубин и Вонсовский [44], Ван Флек fl66]), присутствием заметной примеси в узлах
решетки ионов с электронной конфигурацией 3d8.
В заключение укажем, что для окончательных выводов требуются дальнейшие-
измерения фотоэмиссии и сравнение с результатами, полученными другими методами
(рентгеноснектральными, оптическими и т. п.)-
в. Оптические межполосные переходы. Принципиальная трудность использования
оптических межполосных переходов для получения информации о структуре электрон-
электронного спектра в кристалле связана с тем, что в обоих полосах уровни распределены непре-
непрерывно. Поэтому при заданной энергии Ткл фотона возможно очень большое число
переходов, что затрудняет четкую интерпретацию оптического спектра, если только
мы не знаем начальное и конечное состояния электронов независимо от оптических
переходов. Преимущество только что рассмотренного (в п. б) фотоэмиссионного метода
заключается в том, что конечное состояние в нем является достаточно узким по эпер-
гиям. Тем не менее оптический метод привлекает к себе все возрастающее внимание.
Укажем, что информацию о структуре энергетических полос в кристалле можно полу-
получить также с помощью магнетооптических эффектов Фарадея и Керра (см. гл. 15 и 25).
Не имея возможности остановиться здесь более подробно на этом вопросе, отсылаем
читателя к обзорам [167], [168] и оригинальным работам [169—172].
В связи с описанными методами определения структуры энергетического спектра
системы валентных и магнитных электронов в металлических ферромагнетиках, можно-
сделать следующие замечания. Результаты измерений, как правило, стремятся срав-
сравнивать с количественными расчетами в первую очередь функции плотности состояний
g (e) в полосе, хотя эти расчеты велись различными методами, но все они исходили
из одноэлектронной зонной модели. Вместе с тем теперь хорошо известно (см. гл. 11),
что количественные выводы зонной теории об электронном энергетическом спектре,
и сами представления о фермиевских квазичастицах — электронах проводимости —
справедливы только для состояний, расположенных в узкой области энергий в непо-
непосредственной близости к поверхности Ферми. Поэтому само понятие, например, плот-
плотности одночастичных состояний при энергиях, лежащих достаточно далеко (более 1 эв)
от уровня Ферми ?0, строго говоря, не имеет физического смысла. Речь может идти
лишь о некоторых усредненных значениях, которые отнюдь не обязательно соответ-
соответствуют теоретическим предсказаниям зонной схемы в одночастичном приближении.
Также отнюдь не ясно, должны ли результаты определения этих усредненных характе-
*) Это значение Ae0R подбирается так, чтобы получить при ?0 наблюдаемое зна-
значение g (t,o), например, по измерениям электронной теплоемкости (см. гл. 11).
— 540 -

ристик электронпого спектра, полученные различными экспериментальными методи-
методиками (например, рентгеноспектральными и фотоэмпсспонными), совпадать друг с дру-
другом (сравнить, например, данные для g (e) для Ni на рис. 20.25 и 20.26). Во всяком слу-
случае вся проблема экспериментального изучения электронного энергетического спектра
в областях, удаленных от поверхности Ферми, еще весьма далека от завершения.
7. Учет энергии корреляции. Вопрос о расчете электронпого энергетического
спектра металлов и о критерии ферромагнетизма тесно связан с учетом энергии корре-
корреляции в системе .?- и d-электронов в кристалле. Эффекты корреляции в свободном элект-
электронном газе исследовались в работах Бома и Пайиса [173], Гелл-Манна п Бракнера
[174], Савада и др. [175], Хаббарда [176], Пайнса и Нозьера [177]. Слэтер и др. [178]
рассмотрели асимптотический случай двух взаимодействующих электронов или дырок
в кристалле. Укажем сразу, что в рассматриваемой проблеме также еще не найдено
сколько-пибудь закопченного решения. Остановимся на качественном рассмотрении
проблемы, следуя Мотту [79] *). Необходимость учета корреляций связана с тем, что
в выражении для энергии электропной системы как отдельного атома, так и кристалла
входит величина вида
= Г
^ f n (i) %,\r2) d,-i dr2. B0.36)
'12
Здесь г|)„, г|)п, — атомные функции (или функции Ваннье [179]) для двух электронов
л одном и том же атоме, находящихся либо на одной и той же rf-орбите (п = га'), либо
на разных d-орбитах (га =/= га'). В первом случае B0.36) дает энергию электростатическо-
электростатического отталкивания двух электронов с антпиараллельными спинами, а во втором — такую
же энергию, но при любом соотношении двух возможных проекций спинов. Порядок
величины энергии B0,36) оценивается в 10 эв (см. [80, 166, 180]). Поэтому энергия U
больше «ширины» tf-полосы (около 4 эв) и заметно превышает внутриатомную обменную
энергию
|?, (r2) JiL уп(Г2) ^ (П) dri dr2i B0.37)
которая по порядку величины составляет около 1 эв п дает разность энергий двух элект-
электронов в состояниях я|)п и фп, в одном и том иге атоме, когда их спины параллельны
и антппараллельны (по правилу Хупда (см. гл. 2) энергия первого ниже, чем второго).
В литературе до сих пор идет оживленная дискуссия о роли энергии U в форми-
формировании магнитных свойств электронной системы переходных металлов. Хаббард [81,
181] в ряде работ показал, используя метод функций Грина, что если энергия U больше
ширины d-полосы, то произойдет расщепление d-полосы, содержащей целое число
¦d-электронов на атом, на некоторое число d-подполос, содержащих по одному электрону
на атом. Поскольку эти полосы целиком заполнены, то отсутствует поверхность Ферми
и вклад d-электронов в электропроводность. По Мотту [79], это соответствует случаю
диэлектрика, например окислов переходных металлов типа NiO и т. п. Однако из
¦опыта известно, что в переходных металлах наблюдается дробное число d-электронов
на атом. Это возможно благодаря присутствию электронов, число которых на атом так-
также может принимать дробные значения **). Возможны также полярные флуктуации
в d-полосе ***). Металлический Ni, папример, может состоять из «смеси» ионов с конфи-
конфигурациями: 3d8, 3d3 и 3d10 [см. Мотт и Джонс A936), Ван-Флек [166]]. Для возможности
¦существования ионов с конфигурацией 3d8 в кристалле необходимо, чтобы невыгодное
лри этом действие большой энергии U из B0.36) было эффективно снижено до значе-
значений, меньших 1 эв, благодаря экранирующему влияпию s-электронов. Некоторые авто-
авторы утверждают, что такого «эффективного снижения» не может быть (см. [80, 180]).
Однако другие считают, что этот эффект вполне возможен и даже необходим (см. статьи
Херринга f2, 23], а также примечание на стр. 233 в работе Ван Флека [166] и [79]).
Хотя этот вопрос пока яе получил окончательного разрешения, но есть основания считать
более правильной вторую точку зрения, согласно которой допускается существенная
роль экранировки d-электронов s-электронами металла ****).
Таким образом, имеются две точки зрения на причину ферромагпетпзма
в d-металлах. Согласно первой, ведущей начало от работы Слэтера [55], развитой
Фриделем [184] и особенно подчеркиваемой Филлипсом [185], предполагается, что
*) Наиболее детальный анализ учета корреляции при установлении критерия
ферромагнетизма в металлах дан в обзоре Херрпнга [2] (см. также [75]).
* *) Впервые представления о дробном числе s-электронов на атом были высказаны
» работе по полярной модели Шубина и Вонсовского [44] (см. также Вонсовский [46],
Вопсовский и Власов [182]).
***) На желательность учета полярпых состояний в кристалле впервые указал
Слэтер [18]. Общая схема полярпой модели была развита Шубиным и Вонсовскпм [44—
46]. См. также [183! и ниже п. 10.
****) В случае 4/-металлов экранировка s-электронамп не в состоянии уменьшить
эффективные значения энергии типа B0.36) до величии, даже сравнимых с очень малой
шириной 4/-полосы. Поэтому в большинстве редкоземельных металлов находят почти
целые значения для чисел 4/-электронов на атом.
— 541 -

эффективная энергия корреляции не столь велика, чтобы помешать двум d-электронам
или дыркам попасть в один и тот же атом (узел решетки) и за счет внутриатомной
(хундовскои) обменной связи создать носкомпенсированный магнитный момент. Согласно
второй точке зренпя, особенно пропагандируемой в работах Канамори [80], Хаб-
барда [81, 181] и Гютцвиллера [186] *), причину ферромагнетизма видят в большой
энергии отталкивания между электронами с антипараллельными спинами. Тенденция
к ферромагнетизму возникает, согласно этому представлению, потому что электроны
с антипараллельными спинами, так как они не могут двигаться в'одном и том же атоме,
имеют меньший объем для движения, и поэтому их кинетическая энергия возрастает
(по соотношению неопределенностей Ах Ар ~ Ь). Для электронов же с параллельными
спинамп (хотя онп в силу свойств симметрии волновой функции и не могут находиться на
одной орбите в данном атоме) такого роста кинетической энергии нет. Любопытно отме-
отметить, что обе эти точки зрения приводят примерно к одинаковой (около 0,5 эв) величине
«смещения» подполос для «правых» и «левых» спинов для случая Ni. К этому вопросу
мы вернемся еще в гл. 22.
8. Уточнение критерия магнитного порядка. Вернемся теперь еще раз к вопросу
о том, является ли условие B0.13) «крптерием» только для ферромагнетизма в зонной
Рис. 20.27. Изменение электронной плотности Др как функция
расстояния г от центра локального возмущения (X (г) — длина
волны осцилляции плотности). (Фридель и др. [82]).
модели или же это есть вообще условие существования локализованных нескомпенси-
рованных спинов в каждом узле решетки, которые могут быть связаны как ферро-,
так и антиферромагнитно. Это обстоятельство впервые подчеркнули Фридель п др. [82]
(см. также [193]), рассмотревшие влияние внутриатомной обменной связи [%,,?, w
B0.12)] внутри одного иона на d-электроны с волновыми функциями B0.9). Если
условие B0.13а) выполнено, то энергия %0^ будет создавать локальную поляризацию.
Это означает, что функции B0.9) г|) (к) вблизи уровня Ферми (к = кф) будут иметь ло-
локально разные значения для «правых» и «левых» спинов **). Излишек спиновой плот-
плотности одного знака при этом будет осциллировать, так же как п в случае эффекта поля-
поляризации электронов проводимости локализованными моментами по Иосида [1941 (см.
ниже гл. 21), с той лишь разницей, что здесь речь идет о d-полосе. Характер этой осцил-
осцилляции показан на рис. 20.27. «Длина волны» осцилляции X будет порядка обратной ве-
величины фермиевского волнового числа (X «а 1/^ф)- Таким образом, между локализо-
локализованными моментами возникает обменная связь типа Иосиды, которая переносится как
самими d-электронами, так и s-электронами. Эта связь может быть как положительной,
т. е. ферромагнитной, так и отрицательной, т. е. антиферромагнитной. В рамках этой
модели в области низких температур можно различать три случая в зависимости от
величины параметра ? из B0.12) и X (см. рис. 20.27).
1) ? < 1", локализованные моменты отсутствуют. Это случай чисто паулевского
парамагнетизма.
2) ? > 1 п X > d (где d — межатомное расстояние). Это случай ферромагнетизма,
ему благоприятствуют, очевидно, малые значения кф (см. также работу Маттиса [78]),
3) ^ > 1 и 1, < i Случай коллинеарного или геликоидального антиферромагне-
антиферромагнетизма. Здесь предполагается, что ближайшие соседи попадают в участки кристалла
с плотностью электронных спинов обратного знака (см. рис. 20.27). Совмещение бли-
ближайших соседей со следующей областью осцилляции положительного знака мало
вероятно, так как величина X не может быть много меньше d (см. [821).
При высоких температурах (т. е. выше точки Кюри или Нееля) можно различать
два случая в зависимости от наличия или отсутствия локализованных моментов:
1) Если ? > 1 и X < d (или X превышает d ненамного), то локализованные
моменты устойчивы при низких температурах и слабо связаны между собой. Выше точки
Кюри или Нееля можно ожидать парамагнетизма ланжевеновского типа, налагающе-
налагающегося на парамагнетизм Паули. Этот случай, по-впдимому, реализуется для Fe. Mn и Сг.
2) Если ? < 1 или | > 1, но X > d, то при высоких температурах это случай
чистого парамагнетизма Паули. Это очевидно в случае ?< 1, когде нет устойчивых
*) См. также работы [187 — 192, 522—526].
**) Таким образом, основная идея этого рассмотрения заключается в том, что
энергия, идущая на локализацию заряда электронов с одной проекцией спина, компен-
компенсируется энергией электростатического отталкивания электронов с другой проекцией
спина. Условие стабильности такой локализации совпадает с условием B0.13).
— 542 —

Таблица 20.2'
Некоторые характеристики состояний атомов Sd-элементов в чистых металлах
и сплавах (Вейсс [i95])
(Стрелка вверх соответствует -репину, а вниз —спину)
Эле-
Элемент
Сг
Мп
Fe
Со
Ni
Pd
Вещество
Чистый металл
В сплаве СгМп
Чистый металл
В сплаве МпСг
» » Ni3Mn
» » MnFe
» » Cu2MnAl
Чистый металл
» »
В сплаве FeCo
» » FeMn
» » FeNi3
Чистый металл
» »
В сплаве CoFe
» » CoNi
Чистый металл
В сплаве Ni3Mn
» » Ni3Fe
» » NiCo
В сплаве PdNi
Магнитная
структура
афм
»
»
»
фм
афм
фм
фм
афм
¦ фм
афм
фм
»
»
»
»
»
»
»
»
Число
неспаренных
электронов
0,4
0,7
2,4
0,7
3,4
2,4
3,9
2,2
0,5
2,8
2,8
0,5
2,8
1,6
1,5
1,6
1,6
0,5
0,4
0,5
0,5
0,5
Приближенная
конфигурация
3d^3d^4*°.G
3d4'43d2-°4S°-6
3d3t'63d^'94s0'5
3a5t'°3d^64s0'4
3d4t'43d^°4s0'6
3dt'°3di'l4s°'9
3d\-°3d\'8As0'2
3d4t'o3d^54s0-5
3d4'°3d3'54s0'5
34'03d2-24S°'8
3d5t'°3d3'44S"'6
34'°3d^54s0'5
Sd^Sd^'^s0'6
3d5t'°3d:|'44S°'6
3d5t'°3d4'54S°'5
3d5t'°3d4'64S°'4
3d5t'°3d4'54s0-5
4d5t'o4d4'55S°'5
Кристалли-
Кристаллическая
структура
О. ц. К.
»
г. ц. к.
о. ц. к.
г. ц. к.
»
Сплав Гей-
слора
о. ц. к.
г. ц. к.
о. ц. к.
г. ц. к.
»
»
гекс. п. у.
о. ц. к.
г. ц. к.
»
»
»
локализованных моментов. При ? > 1 локализованные моменты столь сильно связаны,
что при разрушении этой связи разрушается и сама локализация.
В связи с уточнением критерия ферромагнетизма в d-металлах отметим еще одно
обстоятельство, на которое обратил внимание Р. Вейсс [195]. Как мы уже видели, при
выяснении основных причин ферро- или антиферромагнетизма в d-металлах возникают
два вопроса: а) каковы причины появления отличных от нуля атомных магнитных
моментов и б) каков характер обменного взаимодействия между ними (ферро- или анти-
антиферромагнитный). В первом вопросе речь идет по существу о «борьбе» в кристаллах
d-металлов между действием правила Хунда, т. е. стремлением реализовать состояния
с максимальной мультиплетностью в отдельных ионах и тенденцией к образованию
спин-насыщенных межатомных связующих орбит. Р. Вейсс обратил внимание на то,
что ферромагнетизм в d-металлах и их сплавах реализуется, лишь когда все пять
3d-ypoBHeu целиком заняты электронами со спином одного знака (т. е. имеется конфигу-
конфигурация 3d+ или 3dt, а антиферромагнетизм — когда электроны для обоих знаков спина
не занимают всех 3d-ypoBHeii (т. е. имеется конфигурация 3d" 3d™ с п и т < 5). Напри-
Например, ферромагнитный никель имеет приближенную конфигурацию 3d|3di,54s0,6,
а антиферромагнитный хром — 3d%'9 3d?,-4s°'e. В табл. 20.2 приведены данные, под-
подтверждающие это заключение. Качественная картина хода кривых энергии связи
Йсв (гет). хундовской й'х («т) и полной энергий <?-пол„ (гет) в зависимости от числа
неспаренных электронов на узел пт для типичных ферро-, антиферро- и парамагнетиков
приведена на рис. 20.28. Из графиков видно, что в Со (рис. 20.28, а) энергия %х пони-
понижается более резко с ростом пт, чем энергия %св, поэтому наименьшее значение ЙПОлн
достигается при максимально возможном значении числа пт —- 7,8. В Мп обе энергии
- 543 —

$св и их изменяются более или менее одинаково, и поэтому минимум %иопн достигается
при каком-то среднем (а не максимальном) значении пт = 2,4; в V более резко воз-
возрастает %св, и поэтому наименьшее значение %11Ояп соответствует ненамагниченному
состоянию с пт = 0.
9. Трактовка ферромагнетизма металлов в рамках полярной модели. Выше уже
упоминалось, что для описания электронной системы металлов Шубин и Вопсовский
[44, 45] (см. также [183, 196]) предложили полярную модель. Остановимся здесь кратко
па качественном описании основ этой модели и ее выводов для ферромагнетизма.
Трудности, возникающие при попытках точного решения мпогоэлектронноп зада-
задачи кристалла, заставляют обращаться к приближенным трактовкам. В настоящее время
О
?,ЗВ
-1
-2 '-
-3
-5 ¦
1,0 Р„0
1,0 2jO 40 45
\
V
- \
\
\
/
У
\
\
\
\
ч
s,2
а)
\
- \
-3
-5 х-
7
/1
у\
п
и
-1
-2
-з
1,0
-
У
1- У
у
у
У
у
у
/,
-<
^^
рамагнетик (V) (Вейсс ([195]).
в)
. идовской энер-
тренных ялект-
(V-Mn), д) па-
•иользуются двумя приближениями, одно из которых исходит из обобщенной модели
Гайтлера — Лондона — Гейяенберга (ОМГЛГ), а другое — из модели коллективизи-
коллективизированных электронов. Обычно считается, что первая модель должна использоваться при
изучении электронной системы диэлектрических (полупроводниковых) кристаллов,
¦л вторая — для металлических кристаллов.
Однако в работах [44,45] была указана возможность применения ОМГЛГ для трак-
трактовки свойств металлических кристаллов. В этой так называемой полярной модели,
в отличие от обменной модели, учитываются и такие состояния, в которых, в соответ-
соответствии с принципом Паули, у отдельных узлов решетки имеется не только по одному
валентному электрону с любой из двух возможных ориентации проекции спина (ней-
(нейтральные, или простые узлы), но также имеются узлы с двумя валентными электронами
с антипараллельными спинами (отрицательно ионизованные узлы, или двойки) и, на-
наконец, узлы, вообще лишенные валентного электрона (положительно ионизованные
узлы, или дырки). Наличие в основном состоянии кристалла двоек и дырок и их сво-
свободное распространение по решетке позволяет объяснить его металлическую электро-
электропроводность и другие связанные с ней свойства.
В работах Шубина и Вонсовского [44, 45] было использовано квазиклассическое
приближение, которое дало возможность строго определить зависимость взаимного
расположения минимальных энергетических уровней электронной системы от числа
ионизованных узлов 2s. Этот расчет был проведен в предположении, что число двоек s
(равное числу дырок) является интегралом движения, и поэтому в энергетическом спект-
спектре можно провести классификацию полос по определенным значениям чисел s *).
В рассматриваемом расчете имеют дело с четырьмя основными энергиями взаимодей-
взаимодействия: 1) энергией отталкивания U двух валентных электронов в двойке, 2) энергией
отталкивания В q, двух валентных электронов, расположенных в двух любых раз-
различных узлах q и q', 3) обменной энергией А , двух электронов и, наконец,
4) энергией переноса L ,, соответствующей переходу электрона от узла q к узлу а'.
Легко понять физическую роль, которую играют эти эпергии при изменении сте-
степени ионизации кристалла.
С ростом ионизации доля взаимодействия U в энергии системы электронов кри-
кристалла возрастает пропорционально числу s, т. е. она равна sll. Изменение доли взаи-
взаимодействия В в полной энергии (в приближении ближайших соседей) определяется при
этом величипой
(а-РJ?,
B0.38)
*) Указанное приближение предполагает малость вероятностей образования
и распада пар двойка — дырка по сравнению с вероятностями других процессов,
например обмена или переноса ионизованных узлов. Этот случай может, например,
реализоваться в ферромагнитном кристалле при спиновом магнитном насыщении
нейтральных узлов в пренебрежении магнитным взаимодействием.
— 544 —

где а — сумма чисел пар соседей двойка — двойка и сосецей дырка — дырка, а |3 —
число пар соседей двойка — дырка. Из этих выражений следует, что взаимодействие U
(порядка энергии ионизации) всегда препятствует ионизации узлов кристалла, в то
время как взаимодействие В существенно зависит от взаимного распределения иони-
здианных узлов по кристаллу и поэтому в зависимости от соотношения абсолютных
величин параметров а и f> может иметь как положительный, так и отрицательный знак
п. следовательно, препятствовать или способствовать росту ионизации кристалла.
Наряду с этими квазикулоновскими энергиями существенное влияние на общий
энергетический баланс системы могут оказывать и специфические квантовые энергии
обмена А и переноса L. Вклад первой из этих величин в полную энергию системы
в приближении ближайших соседей равен
, B0.39)
где v — число узлов решетки ближайших соседей к данному, а у — число пар соседних
нейтральных узлов с антипараллельными спинами. В зависимости от знака интеграла А
л соотношения величин vs. а и у этот вклад, так же как и в случае B0.38), может спо-
способствовать или препятствовать росту числа ионизованных узлов. Интеграл переноса L,
который в противоположность «потенциальным энергиям» U п В носит черты своего
рода «кинетической энергии», связанной с трансляцией электронов по решетке, при
заданном числе s определяет ширину соответствующей энергетической полосы. При
известном соотношении абсолютных величин энергий U, \ А | п | L | может оказаться,
что наипизший уровень полосы, соответствующей какому-то значению s0 > 0, лежит
ниже энергий гомеополярных состояний (с s = 0). В частности (см. Ортель [197]),
для случая п. к. решетки при выполнении условия
U+6A— 12[Lj<0 B0.40)
наинизший из минимальных уровней энергетических полос соответствует полосе с
где n — N/2 и N—полное число узлов кристалла, а энергия этого уровня равна
®мин— 48ТТ1 ' (^u.4Z)
Таким образом, видно, что только наивные классические представления, не учи-
учитывающие влияния распределения ионизованных узлов по кристаллу, а также суще-
существенно квантовых «энергий», могут привести к неправильному выводу об абсолютной
энергетической невыгодности ионизованных состояний.
Мотт [198], исследуя природу ионизации электронных состояний в кристалле,
сделал вывод о непригодности ОМГЛГ для объяснения явлений в кристалле, связан-
связанных с металлической проводимостью. В частности, он утверждал на основании чисто
качественных соображений, что при малых значениях s энергия системы всегда только
растет с увеличением степени ионизации в силу тривиального факта увеличения клас-
классической энергии st/. Лишь при очень больших значениях s, когда существенное влия-
влияние начинает оказывать эффект экранировки, автор допускает энергетическую выгод-
выгодность ионизованных состояний.
На основании приведенного выше анализа. Свпрский и Вонсовский [199] пока-
показали, что выводы Мотта [198] об абсолютной неустойчивости слабоионизованных
состояний недостаточно обоснованы, прежде всего, потому, что в нем совершенно не уч-
учтена роль специфически квантовых членов (с А и L) в энергии системы. Вывод Мотта
может иметь значение лишь в частном случае, когда энергия ионизации U значительно
превосходит по абсолютной величине остальные «энергии». Как следует из полярной
модели, это реализуется в случае диэлектрических и полупроводниковых кристаллов.
На основании результатов, получепных в работах [44, 45], можно легко построить
кривые зависимости энергии % электронной системы кристалла от степени его иониза-
ионизации s/N. В работе [199] эта зависимость исследована для различных соотношений абсо-
абсолютных величин интегралов U, | А | и | L |. Результаты этих квазиклассических рас-
расчетов схематически изображены на рис. 20.29. Поскольку в пих вместо дискретных
квантовых операторов вторичного квантования вводятся непрерывные классические
функции точки, то квазикулоновское взаимодействие, связанное с интегралами В
в среднем исчезает. Можно исследовать влияпие членов гамильтониана с интеграла-
интегралами В, не переходя к непрерывности. Это исследование показывает, что взаимодействие,
описываемое интегралами В, может привести к спаду кривой % (s) в области боль-
больших s, как это имело место и у Мотта [198]. но, кроме того, это взаимодействие может
снижать эпергию и в области малых s (подробнее см. [45]). Таким образом, состояния
со спонтанной ионизацией при малых значениях s. вопреки утверждению Мотта,
в принципе возможны, как это показал учет квантовых эффектов.
Задача определения наипизшего энергетического состояния системы взаимодей-
взаимодействующих электронов может быть рассмотрена в рамках более строгого варианта
полярной модели, предложенного Боголюбовым и Тябликовым [200] (см. также
Боголюбов A949)). На первый взгляд может показаться, что в этих работах дается
35 с. В. Вонсовсний — 545 —

количественное обоснование изложенных выше качественных соображений Мотта
об энергетической невыгодности слабоионизованных состояний. Однако более деталь-
детальный анализ вопроса, приведенный в работе [199], показал, что такой вывод не соот-
соответствует действительности.
В работах [44, 45] получено также условие, при котором энергия полностью иони-
ионизованного состояния (s = п) ниже энергии неионизованного гомеополярного состояния
(s = 0). имеющего вид неравенства
U <2В.
B0.43)
Отметим, что при прочих равных условиях энергетическая выгодность (или не-
невыгодность) ионизованных состояний зависит от межатомных расстояний в кристалле.
Действительно, поскольку, например, в условии B0.43) от межатомных расстояний
зависит только правая часть неравенства, можно думать, что существует критическое
расстояние Ro такое, что при R < Ra энергетически вы-
выгоднее ионизованное состояние, а при R > Ro — го-
меополярное *). Это имеет место, например, в молеку-
молекуле водорода [см. Бете, A935)], когда при бесконечно
удаленных атомах водорода уровень ионизованного
состояния лежит выше основного уровня нейтраль-
нейтрального атома на 12.83 ов. При сближении атомов до
равновесных размеров молекулы (порядка 1,4 А) энер-
энергия ионизованного состояния превышает энергию ос-
основного уровня всего лишь на 2 эв, т. е. разность
уменьшается в 6 раз. К сожалению, подобный коли-
количественный расчет для кристалла пока невозможен из-
за отсутствия точных сведений о волновых функциях
в решетке.
Из сказанного следует, что расположение энерге-
энергетических уровней гомеополярного и ионизованного со-
состояний в кристалле не является чем-то раз и навсег-
навсегда заданным, а находится в прямой и сложной зави-
зависимости от соотношения абсолютных величин различ-
различных типов атомных энергий в кристалле, обусловленных
как квазиклассической, так и специфически квантовой
частью электростатического взаимодействия электронов
в кристалле. Поэтому в кристалле возможна как ча-
частичная, так и полная самопроизвольная ионизация
электронных состояний.
Выясним теперь общие качественные выводы по-
полярной модели для описания ферромагнетизма металлов.
Схема расчета в полярной модели строится так же,
как и в теории Гейзенберга — Блоха. Однако, кроме
процессов обмена, учитываются процессы переноса, при которых один валент-
валентный электрон переходит от узла к узлу независимо от того, имеется ли во
втором узле свой валентный электрон (с противоположным спином). Эти процессы
создают полярные состояния и обеспечивают перенос электронного заряда в металле.
Таким образом, в полярной модели число независимых переменных, описывающих,
состояние системы, значительно увеличивается. Кроме числа правых спинов г, необ-
необходимо задать еще число s атомов с двумя валентными электронами (двойки), равное
числу s атомов, лишенных валентных электронов (дырки). Полное число атомов с левы-
левыми спинами у валентных электронов при этом равно N — s — г. Полное число правых
спинов равно г -j-- s и, следовательно, результирующий магнитный момент вправо
2m = 2 (r+s — n).
Отсюда видно, что при каждом заданном значении т (т. е. намагниченности системы)
число s может изменяться в пределах
0<s<>— | та |. B0.44)
В силу процессов переноса'число s не является постоянной движения, подобно
числу т при1 пренебрежении спиновыми силами, и поэтому, строго говоря, в каждом
стационарном состоянии можно говорить лишь о среднем значения <s>. Это среднее
берется по всем значениям s, которые при заданном т допускаются условием B0.44).
Однако если исключить из рассмотрения процессы переноса, приводящие к рождению
пар двойка — дырка или к их аннигиляции, оставив лишь процессы переноса между
двойками или дырками и атомами с одним электроном, которые не меняют числа s,
то s приближенно является постоянной движения, и поэтому энергетический спектр
системы в этом случае будет состоять из полос, каждая из которых относится неопре-
неопределенному значению s. В частности, при s = 0 получается уже известная нам|иегео-
лярная полоса, рассмотренная в гл. 19 теории Гейзенберга — Блоха. Величина энер-
*) Аналогичный критерий в несколько иной форме дал Мотт [201] [см. также-
Гудинаф A969)].
Рис. 20.29. Зависимость энергии
% электронной ь системы кри-
кристалла от степени ее поляри-
поляризации s при различных соотно-
соотношениях между абсолютными
значениями энергетических па-
параметров U, 1 А | и | L | . По оси
абсцисс отмечены точки для s =
= п/2 И1=л, где п = N/2, а
N — полное число узлов кри-
кристалла) (Свирский и Вонсов-
ский [199]).;
— 546 —

гетических центров тяжести полос растет пропорционально s и при данном т она рав-
равна sU. Из этого простого классического результата может показаться на первый взгляд,
что минимум энергии всегда принадлежит состояниям с s = 0 и, следовательно, поляр-
полярные состояния не играют никакой роли.
Однако это не так, ибо, как было упомянуто выше, каждому стационарному
состоянию с заданным s соответствует не изолированный энергетический уровень, сов-
совпадающий со средней энергией, а целая непрерывная полоса уровней. Энергетический
центр тяжести этих полос действительно повышается с ростом s, но ширина их может
быть такой, что в результате полосы с s > 0 могут перекрыть частично или даже цели-
целиком полосу с s = 0. При этом возможен такой случай, когда минимальный уровень
полосы с s > 0 ляжет ниже минимального уровня полосы с s = 0, что и должно иметь
место в металлах *).
Из-за математических трудностей не удалось решить квантовомеханическую зада-
задачу расчета электронного энергетического сцектра в полярной модели. Рассматривалось,
однако, квазиклассическое приближение, позволившее определить наинизшие и наи-
наивысшие уровни для полос энергетического спектра системы для самого общего случая
-W-s0)
-гЛ
(n-sJ
1
77 /77
Рис. 20.30. Зависимость энергетических минимумовт ?мин (т)Гот намагниченно-
намагниченности m по полярной модели (квазиклассическое приближение) [при различных
значениях энергетических параметров А и <s> =~0. а) Случай Л>0, <s> = 0;
б) случай А 5 0, 0 sS <s> ^ п; в) случай А > 0,—(n—•?«>) ^ m ?S (n — <s>),
0 < <5> < п (и = JV/2). (Шубин и Вонсовский [44]).
трехмерной решетки и любых соотношений между энергиями, входящими в теорию.
Из этого рассмотрения видно, что энергетические минимумы полярной модели [44]
(независимо от квазиклассического приближения) можно разбить на три класса:
1) при <s> = 0, 2) при 0 <(!)<» и 3) при (s> = п. Здесь среднее число «двоек» (s)
является мерой полярности состояния кристалла; п = N12 — максимально возмож-
возможное число этих квазичастиц. Эти энергетические минимумы в зависимости от намагни-
намагниченности т можно разбить на три группы:
а) Энергетические минимумы принадлежат всем значениям т от —п до +п.
При этом интеграл обмена положителен, А > 0 и <s> = 0 (рис. 20.30, а). В полярной
модели он осуществляется лишь при условии, что \L\/U<&lm\y\/U<Ki, где у —
величина, определяющая вероятность «рождения» пары двойка — дырка.
б) Энергетический минимум принадлежит полосе с т = 0 (рис. 20.30, б). При этом
интеграл обмена может быть как положительным, так и отрицательным. Это наиболее
часто осуществляющийся случай парамагнетика. Если А < 0 и <s> = 0, то мы имеем
случай гейзенберговского антиферромагнетизма полупроводников. При А > О
и <s> -^ n имеем парамагнетик, специфичный для полярной модели (металл).
При <s> = n и любом знаке А также имеем парамагнетизм. Этот случай, по-ви-
по-видимому, осуществляется в щелочных металлах (паулиевский парамагнетизм).
в) Энергетический минимум принадлежит полосе со значениями т, заключенны-
заключенными в пределах: — (п — <s>0) •< т 4j + (п — <s>0), где <s>0 не равно ни нулю, ни п
(рис. 20.30, в). При этом А > 0. Это ферромагнетик с дробным значением атомного
магнитного момента. Очевидно, именно этот случай встречается в реальных ферромаг-
ферромагнитных металлах.
В теории, основанной на неполярной модели (см. гл. 19), необходимым и доста-
достаточным критерием ферромагнетизма является условие положительности интеграла
обмена (А > 0). В полярной модели это условие является лишь необходимым, но отнюдь
не достаточным, оно должно дополняться условием для (s>0 @ <^ <s>0 < га) и т. п.
Возможность появления ферромагнетизма сужается, так как могут быть парамагнит-
парамагнитными и те кристаллы, у которых интеграл обмена положителен. В частности, в метал-
металлах, у которых <s>0 ^ п (наиболее высокая степень поляризации), т. е. число квази-
квазичастиц «двоек» (равное эффективному числу свободных электронов) порядка числа
атомов в кристалле, мы никогда не получим ферромагнетизма независимо от знака
интеграла обмена А. Это осуществляется, по-видимому, в щелочных металлах.
Согласно полярной модели, как только что отмечалось, возможны ферромагне-
ферромагнетики, магнитный момент которых при насыщении равен не максимально возможному
*) Более того, в полярной модели состояния с s = 0 не могут вообще образовать
изолированный класс состояний, что вытекает из конечности вероятности образования
двоек и дырок. Единственным исключением является тривиальный случай полного
насыщения г = 2п. Действительно, из B0.44) следует, что в этом случае всегда s = 0.
— 547 —
35*

значению iV|xB, a {N — 2<s>0) |лБ, т. е., иначе говоря, мыимеемдело с моделью ферро-
ферромагнетика, обладающего дробным значением элементарного магнитного момента |х0 =
= A—2<s>0/iV) |хБ. Из опыта известно, что фактически именно эта возможность всегда
и осуществляется. Тем самым факт кажущейся дробности элементарных магнитных
моментов ферромагнитных металлов получает теоретическое объяснение без каких-либо
дополнительных гипотез.
В частности, как показал расчет Ортеля [197] по полярной модели, критерий
ферромагнетизма сводится к одновременному выполнению трех условий: А > О,
L > О, U -\- 6Л — 12L < 0, а для <s>0 имеет место равенство B0.41). Если для энер-
энергий взять разумные порядки величин: U «а 27 эв, L да 10 эв и А як 0,1 эв, то получим:
(s>0/JV %0,2 и |х0 =аО,6|хБ, что имеет место, например, для чистого Ni. Конечно, в та-
такой оценке имеется большой элемент произвола, тем не менее здесь полярная модель
без всяких искусственных дополнений дает принципиальное объяснение факту дроб-
дробности |х0 у чистых ферромагнитных металлов.
На основе полярной модели были проведены расчеты температурной зависимости
самопроизвольной намагниченности /s (Г) (при низких температурах). В случае полу-
полупроводников (Арпама [202]), когда <s>0 ->- 0 при Т ->- 0 в выражении Is (Г), наряду
с блоховским членом ~7"^2 появляется еще небольшой поправочный член
~ Г3^2 ехр (—07У) (в' — постоянная, пропорциональная и/кБ), пропорциональный
среднему числу «двоек» <s>0, которое растет с температурой по тому же закону, что
и число электронов проводимости в обычной зонной теории полупроводника. Этот член
может играть заметную роль лишь при более высоких температурах, где, однако, все
приближение, па основе которого он получен, перестает быть достаточно точным.
В случае металла такой поправочный член в выражение Is (Г) не входит и все изме-
изменение по сравнению с прежней неполярной теорией сводится к появлению дробности
атомного момента (Ортель [197]). Укажем еще работы, в которых развиваются различ-
различные аспекты полярной модели (см. [203—213, 227, 228]). См. также гл. 22.
10. Спиновые волны и фермиевские возбуждения по коллективизиро-
коллективизированной модели. До сих пор все рассмотрение в рамках зонной модели
проводилось для случая Т = 0° К. Возникает естественный вопрос: к ка-
каким выводам приводит зонная модель для Т > 0° К? Появляются ли здесь
возбуждения, подобные спиновым волнам, рассмотренным в гл. 19?
Рассмотрим вопрос об элементарных магнитных возбуждениях прежде
всего в рамках элементарной коллективизированной модели, следуя Томп-
Томпсону [75]. Здесь обычно сначала рассматривают температурное измене-
изменение самопроизвольной намагниченности, обусловленное зависимостью от
Т фермиевской функции распределения. Этот эффект имеет существенно
различный вид в зависимости от того, имеем ли мы дело со слабым или
сильным ферромагнетиком (см. рис. 20.8, б, д и 20.8, в, г). В случае слабо-
слабого ферромагнетика для Т < в намагниченность уменьшается пропорцио-
пропорционально квадрату температуры
6/GVpMH«aT2. B0.45)
Коэффициент а' зависит от величины молекулярного поля, от функций
плотности состояний и их производных вблизи уровней Ферми положи-
положительных и отрицательных спинов (Стонер [57], Вольфарт [62], Томпсон
и др. [214]).
В случае же сильного ферромагнетика, когда одна из d-подполос
(с отрицательными спинами) пуста, т. е. когда ее нижний уровень лежит
выше уровня Ферми, то
(^) B0.46)
где IS.% — энергия, необходимая для перевода электрона из этой полосы
на свободные уровни в отрицательной подполосо выше уровня Ферми.
Например, оценка для Aj? дает значение порядка 1 эв. Предэкспоненци-
альный фактор р' (Т) зависит от вида функции плотности состояний g (e)
(см. Томпсон и др. [214]) и является медленно меняющейся функцией тем-
температуры по сравнению с экспонентой. В случае квадратичного закона
дисперсии р' (Т) ~ Т3'2, а для g (е) = coDSt, р' (Т) ~ Т (см. [62, 214]) *).
*) Оценки коэффициента f>' (Г) не согласуются с данными для электронной теп-
теплоемкости. Это свидетельствует о грубости модели (Томпсон [75]).
- 548 —

Более сложен учет индивидуальных, а не статистических возбужде-
возбуждений носителей магнитного момента. Здесь надо различать два типа воз-
возбуждений: во-первых, возбуждений, при которых спин носителя не ме-
меняется, т. е. электрон переходит в состояния с более высокой энергией
в той же подполосе, где он был и до перехода, и, во-вторых, возбуждения
с изменением спина, т. е. с перехо-
переходом в другую подполосу. В первом
случае носитель магнитного момента
переходит из занятого первоначаль-
первоначально одночастичного состояния с вол-
волновым вектором к в другое первона-
первоначально свободное состояние с волно-
волновым вектором к + q (рис. 20.31, а).
а)
б)
TTorKOTTbKV ППИ ЭТОМ ПРПРХОПР ЧИСЛО Гис' м-31--Спектр элементарных (спин-вол-
ноокольку при diOM перьАоде чиыш новых) возбуждений без изменения направле-
положительных и отрицательных
спинов не меняется, то «магнитная»
энергия системы в приближении
молекулярного поля также не ме-
меняется. Энергия этого возбуждения
равна
B0.47)
ния спина, т. е. с переходами в одной подпо-
подполосе по коллективизированной модели, а) Схе-
Схематическое изображение части А-пространства,
соответствующего d-подполосе с положитель-
положительными спинами (стрелка f указывает направ-
направление спина): шестиугольник показывает гра-
границы зоны Бриллюэна, заштрихованная об-
область — состояния, занятые электронами в
подполосе, граница этой области — поверх-
поверхность Ферми. 1 — начальное состояние элект-
электрона с волновым вектором fc (после перехода
остается дырка х), 2 — конечное состояние
fc + 9 (в — изменение волнового вектора);
б) схематическое изображение зависимости
энергии элементарного (спин-волнового) воз-
возбуждения [см. формулу B0.47)] &,е («, fc)
(отложены по оси ординат) от волнового век-
вектора q (отложен по оси абсцисс). Левая и
правая сплошные кривые, ограничивающие
заштрихованную область, соответствуют мак-
максимальными минимальным значениям Ats («,*•)
при каждом данном q (соответственно интер-
интервалу возможных значений fc при фиксирован-
фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
и она ничего не вносит в магнитные
свойства системы, но должна учиты-
учитываться в теплоемкости и кинетиче-
кинетических коэффициентах. Для заданного
q энергия возбуждения зависит от на-
начального состояния к, и поэтому энер-
энергия возбуждения А^ (q, к) как функция q будет иметь максимальное
и минимальное значения (соответственно интервалу возможных значений А'
при заданных q и A4e). Это схематически изображено на рис. 20.31. б
в виде полосы энергий возбуждений.
Возбуждение второго типа возникает при переходе магнитного носи-
носителя с положительным спином из занятого состояния к положительной
подполосы в свободное состояние fc + дв отрицательной подполосе. Обрат-
Обратный процесс этого типа может быть лишь в случае слабого ферромагнетиз-
ферромагнетизма. В результате число положительных спинов уменьшится, а отрицатель-
отрицательных — увеличится на единицу. Поэтому изменение магнитной энергии
будет равно
(ге+1 ге lJg (и )g
а для энергии возбуждения получим
А2е (q, k) = e(k-\-q) — е (к)
B0.48)
где индекс 0 указывает, что значения п+ и п _ следует брать для основного
состояния. На рис. 20.32, а—г даны схемы переходов и энергетического
спектра второго типа возбуждений (с изменением спина). Здесь снова при
заданных q и Aze(q, к) существуют максимальное и минимальное значе-
значения, соответствующие интервалу значений к. Специфическим для этого
случая является то, что полоса энергии возбуждения при уменьшении
волнового вектора q сужается и стремится к нулю при q—>0.
В слабых ферромагнетиках минимальная энергия возбуждения при
изменении знака спина равна нулю и реализуется при q =? 0. Это соответ-
соответствует переходу электрона с уровня Ферми в положительной подполосе
на уровень Ферми в отрицательной подполосе. В случае сильных ферро-
ферромагнетиков уровень Ферми находится вне отрицательной подполосы.
— 549 —

Поэтому имеется минимальная не нулевая энергия возбуждения А% для
переворачивания спина при переходе носителя с уровня Ферми положи-
положительной подполосы на наинизший уровень отрицательной подполосы. Эта
энергия А% определяется смещением подполос и входит в выражения для
б/ (Г)ферми сильных ферромагнетиков.
Перечисленные возбуждения, однако, не включают коллективных маг-
магнитных возбуждений или спиновых волн. Вместе с тем существование спи-
спиновых волн в металлических ферромагнетиках было экспериментально
доказано в опытах по неупругому
рассеянию нейтронов в работах Лау-
да [215] и Синклера и Брокхауза [216],
в опытах по спин-волновому резонан-
резонансу в работах Сиви и Танненвальда
q [217] (см. также [218]), а также по из-
измерению температурного хода само-
самопроизвольной намагниченности ме-
металлических ферромагнетиков в ра-
работах [219-224].
Вопрос о спиновых волнах в фер-
ферромагнитных металлах в феномено-
логическом аспекте был рассмотрен
в работах Е. М. Лифшица [225],
Херринга и Киттеля [226] и Хер-
ринга [227]. Более подробно в рамках
коллективного описания взаимодей-
взаимодействия электронов в металле по Бому—
Пайнсу [228, 229] эту проблему
рассмотрел Шимицу [66], который по-
получил более точный критерий суще-
существования ферромагнетизма в при-
приближении эффективной массы (для
случая больших масс) и одновременно
рассмотрел вопрос о спиновых вол-
волнах. Однако при этом он искусственно
постулировал локализованные состо-
состояния. Абрикосов и Дзялошинский
[230] в рамках теории ферми-жидко-
сти по Ландау [231, 2321 впервые рас-
рассмотрели вопрос о законе дисперсии
спиновых волн и показали, что в пер-
первом приближении он квадратичен (так
же, как и в неметаллах). При этом они
использовали в энергии ферми-ча-
стиц член типа B0.7), описывающий
обменное взаимодействие спинов этих частиц с намагниченностью системы
(см. Вонсовский [46]). Изуяма [233] исследовал вопрос о спиновых вол-
волнах в рамках зонного приближения, рассматривая эти магнитные возбуж-
возбуждения как связанные состояния в системе ферми-частиц типа экситонов.
Вонсовский и Кобелев [234] на основе метода температурных функций
Грина произвели учет влияния флуктуации плотности намагниченности
в системе коллективизированных электронов ферромагнитного металла.
При этом они показали, что при температурах Т < в самопроизвольная
намагниченность ферромагнитного металла уменьшается, во-первых, из-за
рассмотренной выше температурной зависимости фермиевской функции
распределения атомных носителей магнетизма (d-электронов) б/ферми (Т)
[см. формулы B0.45) и B0.46)] и, во-вторых, благодаря возникновению
спиновых неоднородностей — спиновых волн б/сп. волн (Т). В случае
дробного значения атомных магнитных моментов и квадратичного закона
в)
Рис. 20.32. Спектр элементарных (спин-вол-
(спин-волновых) возбуждений с изменением знака спи-
спина, т. е. с переходами из одной d-подполосы
в другую по коллективизированной модели,
а) и б) Случай слабого ферромагнетика; в) и
г) случай сильного ферромагнетика. На схемах
а и в стрелками f и J. обозначены направле-
направления спина электронов в соответствующих d-
подполосах и соответствующие последним ча-
части fc-пространства; шестиугольниками пока-
показаны границы зоны Бриллюэна, заштрихо-
заштрихованные области — состояния, занятые элект-
электронами в подполосах, границы этих обла-
областей — поверхности Ферми. 1 — начальное
состояние электрона с волновым вектором fc
(после перехода остается дырка х); г — ко-
конечное состояние электрона с волновым векто-
вектором fc + 9 (в — изменение волнового векто-
вектора); з — состояние электрона в подполосе со
спином |, аналогичное его начальному состоя-
состоянию в подполосе f- ДгЕ — величина энерге-
энергетической щели для спин-волновых возбужде-
возбуждений с изменением знака спина сильного фер-
ферромагнетика. На схемах б и г изображены ти-
типичные зависимости энергии элементарных
(спин-волновых) возбуждений Д2ё (q, fc) [см.
формулу B0.48)] (которые отложены на оси
ординат) от волнового вектора q (отложены
по оси абсцисс). Сплошные кривые, ограничи-
ограничивающие заштрихованную область, соответству-
соответствуют максимальному (верхняя кривая) и мини-
минимальному (нижняя кривая) значениям
Д2е(в, fc) при каждом данном ц (соответственно
интервалу возможных значении fc при фикси-
фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
— 550 —

дисперсии ферми-частиц имеем для слабых ферромагнетиков
ЬТфети(Т)ж-а'Т* и 6/сп.вол„(Г)«-рТ3/2. B0.49)
К аналогичным результатам, хотя и иными путями, пришли и другие
авторы (см. [75—78; 235—241], а также Маттис A967)).
Наиболее детальное исследование ферромагнетизма металлов в рам-
рамках статистического метода квантовой теории поля проведено в работах
Кондратенко [242—244] (см. также [245]). В первой из этих работ установ-
установлено условие возникновения ферромагнетизма, которое имеет вид обраще-
обращения в бесконечность парамагнитной восприимчивости системы, вытекаю-
вытекающее из определенного условия, накладываемого на двухчастичную
вершинную часть, а также исследуются низкотемпературные свойства изо-
изотропной ферми-жидкости. Еще Ландау [232] показал, что в неферромаг-
неферромагнитной ферми-жидкости могут возникать возбуждения типа колебаний
спиновой плотности, подобные нулевому звуку при деформационных коле-
колебаниях поверхности Ферми с линейным законом дисперсии (е = А | к |).
Кондратенко показал, что в ферромагнитной ферми-жидкости поперечных
спиновых колебаний (типа нуль-звука) нет. Это связано с тем, что имеет
место смещение поверхностей Ферми для спинов разных знаков (см.,
например, рис. 20.8, б), и следовательно, невозможны переходы квази-
квазичастиц с одной из них на другую без изменения энергии и импульса. Это
и обусловливает качественное различие спиновых возбуждений в пара-
и ферромагнитной ферми-жидкости. Далее, как и в работе [234], без при-
привлечения модельных представлений показано, что спиновые волны в фер-
ферромагнитной ферми-жидкости имеют квадратичный закон дисперсии.
Учет магнитного дипольного взаимодействия приводит к такому же
изменению в спектре спиновых волн, которое было получено для фер-
ферромагнитного диэлектрика Холстейном и Примаковым [246]. Вклад
в температурную зависимость от фермиевских возбуждений систе-
системы б/ферми оказался таким же, как и в B0.49). Рассмотрены также
вклады обоих типов возбуждений в теплоемкость системы при определен-
определенных условиях, пропорциональные соответственно Т и Г3/2. Было уста-
установлено, что фермиевские и спиновые возбуждения в наинизшем по тем-
температуре порядке дают независимые вклады в теплоемкость и магнитный
момент ферромагнитной ферми-жидкости. Во второй работе Кондратенко
[243] показано, что все выводы, полученные им для изотропной ферромаг-
ферромагнитной ферми-жидкости, могут быть перенесены на анизотропный случай
ферромагнитного кристалла переходного металла с двумя перекрываю-
перекрывающимися энергетическими полосами — широкой s-полосой и узкой d-поло-
сой. В этой работе также получено условие возникновения ферромагне-
ферромагнетизма (в виде некоторого соотношения для двухчастичной вершинной
части), а также выражения для вкладов в намагниченность и теплоемкость
от фермиевских и спин-волновых возбуждений (для случая слабого фер-
ферромагнетика).
В третьей работе Кондратенко [244] исследовал характер особенно-
особенностей спектра спиновых волн ферромагнитного металла, обусловленных
взаимодействием их с электронами проводимости. Спектр спиновых волн
ферромагнитного металла остается квадратичным, пока квазиимпульс
спиновой волны q мал по отношению к разности фермиевских квазиим-
квазиимпульсов электронов проводимости с антипараллельными спинами на по-
поверхности Ферми, т. е. | q | < Арф = \ ptt> \ — | р<& |. При этом условии
для q распад спиновой волны на электрон и дырку невозможен, поскольку
нельзя одновременно удовлетворить законам сохранения энергии и квази-
квазиимпульса. При значениях q, близких к Арф, наступает порог распада
спиновой волны на пару фермиевских возбуждений, что и приводит
в этой области к появлению особенности (всплеска) в спектре спино-
спиновых волн металлического ферромагнетика. Исходя из самых общих
соображений (см. ниже), можно ожидать, что.если взаимодействие между
— 551 -

s- и ^-возбуждениями в металле не является аномально малым, то отноше-
отношение разности Арф к самому квазиимпульсу Ферми равно
РФ V"/
Вместе с так называемыми коновскими особенностями (см. Кон [247].
Уолл и Неттел [248], а также ниже), имеющими место при значениях ква-
квазиимпульса спиновой волны, близком к экстремальной полусумме диамет-
диаметров поверхностей Ферми s-полосы, найденная Кондратенко [244] особен-
особенность в спектре спиновых волн может служить добавочным источником
информации для восстановления формы поверхности Ферми электронов
проводимости в ферромагнитных металлах.
В теории спиновых волн ферромагнитных металлов по модели коллек-
коллективизированных электронов, кроме акустической ветви ферромагнопов,
[для которой при к = 0 имеем е @) = 0] предсказывается существование
еще оптической ветви [с е @) =?= 0], для кристаллов, в элементарной ячей-
ячейке которых имеется более одного атома [см., например, Киттель A967),
Маттис A967)], и поэтому электронный спектр оказывается существенно
мпогополосным. Расчет «оптических» спин-волновых состояний был про-
проведен в работах [78, 249]. Кроме того, Слэтер [250] еще в 1937 г. высказал
предположение, что даже в случае одной полосы энергий, когда в элемен-
элементарной ячейке кристалла имеется один атом, то при условии, что обменное
взаимодействие между электронами имеет конечный радиус действия,
также возможно существование оптической ветви в спин-волновом спек-
спектре, так называемые полярные спиновые волны. Более подробно об оптиче-
оптических и полярных спиновых волнах см. в книге Маттиса A967), а также
в работе Соколова [251].
Укажем еще некоторые работы, в которых исследуются вопросы
о спин-волновых возбуждениях по модели коллективизированных элек-
электронов [252—266]. Детальный обзор экспериментальных работ дан в статье
Ширане и др. [264].
Подводя итоги краткому описанию зонной модели ферромагнетизма
d-металлов, можно подчеркнуть ее сильные стороны в объяснении дроб-
дробного характера атомных моментов, а также в учете того, что d-электроньг
активно участвуют в формировании состояний общей ферми-системы .у-
и d-электронов.
Вместе с тем эта модель имеет ряд принципиальных трудностей. Глав-
Главной из них является постулирование резко автономного существования
d- и s-полос в энергетическом спектре системы и искусственное «склеива-
«склеивание» их у общей поверхности Ферми. Кроме того, в обычной зонной трак-
трактовке практически игнорируется факт пространственной неоднородности
электронной плотности в кристалле, вытекающей уже из статистической
корреляции электронов в пространстве (из антисимметричного характера
полной волновой функции ферми-системы). Благодаря этому не учиты-
учитывается индивидуальность спиновых состояний электронов в кристалле,
что не дает возможности объяснить результаты измерений нейтронных
и рентгеновских форм-факторов и количественные оценки кинетических
коэффициентов, обусловленные различного рода «столкновениями» между
электронами и нейтронами, с одной стороны, и спиновыми магнитными
неоднородностями — с другой.
В целом можно сказать, что зонная модель, подчеркивая делокализа-
цию J-электронов в кристалле, затрудняет трактовку их магнитных
свойств, которые существенно связаны с сохранением локализованного
распределения плотности электронного заряда *) и в особенности плотио-
*) Подчеркнем, что возможно локализованное распределение спиновой (маг-
(магнитной) плотности при почти однородном распределении зарядовой электронной
плотности.
- 552 —

сти магнитных моментов бывших d-электронов в кристалле. Поэтому эту
модель с известным правом можно применять в случае (^-металлов, но она
мало пригодна для объяснения физических свойств /-металлов. Однако
развитие применений статистических методов квантовой теории поля и рас-
расчетных методов вселяет надежду, что в ближайшем будущем будет достиг-
достигнут прогресс в этой области теории магнитно-упорядоченных тел.
§ 5. Основы s — /-обменной модели
1. Общие замечания. Обратимся теперь к краткому описанию s — /-
обменной модели. В ней основное внимание в волновой функции B0.9)
для /-электронов обращается на модулирующий множитель, который
аппроксимируется локализованной атомной волновой функцией *). Для
волновой же функции s-электрона сохраняется та же самая аппроксима-
аппроксимация, что и в зонной модели. Поэтому закон дисперсии для s-электронов
в нулевом приближении берется в обычной форме, как и для зонной моде-
модели: s<s> (к), а энергия /-электрона — в виде дискретной энергии атомного
/-уровня ^/0>. Таким образом, ширина энергетической полосы /-электро-
/-электронов, связанная с переносом заряда в кристалле, принимается рав-
равной нулю, а эффективная масса /-электрона — бесконечно большой
(w-эУф/гаэфф -> 0). В следующих — первом и втором приближении тео-
теории возмущения в системе s-f-/-электронов учитывается энергия взаимо-
взаимодействия обменного электростатического типа как между /-электронами,
так и между /- и s-электронами (s — /-обменная связь!).
Учитывая эти соображения, электронную систему переходного /- или
d-металла с атомным магнитным порядком следует описывать скалярной
функцией р (г), определяющей суммарную электронную (зарядовую)
плотность в кристалле, и векторной функцией электронной спиновой
плотности s (г). Симметрия первой совпадает с кристалло-химической сим-
симметрией металла, а симметрия второй -*- с его магнитной симметрией.
Кроме того, необходимо учитывать еще функцию 1* (/•) плотности импуль-
импульса, описывающую нелокализованность электронов в кристалле. Эти функ-
функции являются квантовомеханическими операторами, поэтому для нахож-
нахождения статистико-термодинамических характеристик электронной систе-
системы кристалла необходимо определить средние статистические значения
этих операторов по известным формулам квантовой статистики (Ландау,
Лифшиц A964)):
)=Sp[p(r)fr] SpH,)H4 р(г)=8р^(г)ТУ| 5
где W — ехр (—$в 1кцТ) — оператор матрицы плотности, a. <ffl — оператор
гамильтона системы **). Естественно, что строгое вычисление функ-
функций B0.50) наталкивается на большие математические трудности. Это
заставляет пользоваться приближенными методами решения поставленной
проблемы. Ниже будет рассмотрена приближенная трактовка задачи пере-
переходных металлов, обладающих атомным магнитным упорядочением. Глав-
Главное внимание будет обращено на выяснение влияния магнитного упорядо-
упорядочения на электроны проводимости ***).
*) В литературе очень часто применяется также термин s — d-обменпая модель.
Однако, по-видимому, более правилен термин s — /-обменная модель, поскольку она
с большим правом применима к 4/-металлам, а не Зй-металлам, где существенно учи-
учитывать эффект коллективизации Зй-электронов.
**) Sp—символ операции взятия шпура матрицы, т. е. сумма всех ее диагональ-
диагональных элементов; в данном случае это суммы диагональных элементов матрицы произ-
произведения двух операторов pW, sW и PW, а также одного оператора W.
***) Мы будем допускать, что в металле может иметь место либо прямой / — /-
(или d — d-) обмен в системе «магнитных» электронов, либо косвенный обмен через
электроны проводимости и замкнутые слои.
— 553 —

2. Приближенная трактовка s—/-обменной связи. В элементарной
форме в рамках приближения молекулярного поля расчет s — /-взаимо-
/-взаимодействия провел Зинер [36]. Энергия прямого / — /- или d — d-обмена
(на один узел решетки) записывается в виде: —A^fjn)l2 или —Амт%12,
где Aff и Add — энергетический параметр этого взаимодействия, а т/ и
md — средние значения относительных намагниченностей соответственно
/- и (^-электронов *). Энергия s — /-обмена на узел решетки равна
— ASfnifms, где ms— средняя относительная намагниченность s-электро-
нов. Система s-электронов сама по себе считается парамагнитной, т. е.
для нее | < 1 [см. B0.13)]. Добавка к энергии Ферми, связанная с намаг-
намагниченностью s-электронов, равна Афт%/2, где энергетический параметр
Аф = N\ib/%um (N — плотность s-электронов, а %пы — обычная паулиев-
ская парамагнитная восприимчивость **), определяемая плотностью со-
состояний у поверхности Ферми (см. гл. 11)). Таким образом, полная энер-
энергия кристалла на узел, зависящая от nif и ms, будет равна
1 1
M(mf,ms)= —-^Aijm) — Asjmsmi+-^A<bm\. B0.51)
Поскольку энтропия сильно вырожденного газа s-электронов в металле
очень мала, то равновесное значение намагниченностей nif и ms можно
найти прямо из требования, чтобы выражение B0.51) имело наименьшее
значение (при условии, что | mf | ^ mf макс и | ms | < т& макс)- Одно из
возможных решений имеет следующий вид:
"V = m/MaKC, ms = ^—mf. B0.52)
Поскольку в обычных условиях Asf л; 104—10~13 эрг, Аф л; 1022 X
X 10-40/10-7 « Ю-11—Ю-12 эрг, то отношение | ^s//^o j= | A;t| « 0,1— 0,01,
поэтому подмагничивание парамагнитной системы s-электронов составляет
•от 1 до 10% намагниченности внутренних /-электронов. Подставляя
B0.52) в B0.51), находим равновесное значение спиновой части энергии
¦системы s + / электронов как функции nif:
^) ). B0.53)
Величина в скобках в правой части B0.53) представляет собой эффек-
эффективный энергетический параметр обмена /-электронов:
(AffU* = Aff + ^-. B0.54)
Таким образом, s — /-обменное взаимодействие приводит к эффективной
обменной связи между внутренними электронами, определяемой косвен-
косвенным интегралом обмена:
л™»~^-~-тг- B0-55)
Поскольку ^4косв > 0 всегда, то s — /-связь всегда (в пределах данного
приближения квадратичного закона дисперсии) способствует ферромаг-
*) Ниже мы будем оставлять лишь индекс /, понимая под ним принадлежность
данной величины либо к /-, либо к й-системе.
**) Действительно (см. гл. 11), энергия намагниченных s-электронов равна по об-
общему правилу MsH/2, где Н =¦ МУ%пм- Следовательно, энергия на один узел равна
" z Хпм ^Хпм
при квадратичном законе дисперсии Хпм = 37\Г|хат/2^0' а Аф ~ ?,о (|^ат — средпий
магнитный момент на электрон, который из-за корреляции отличается от |хБ).
— 554 —

нетизму. Прямая / — /-обменная связь может быть как ферро-, так и анти-
антиферромагнитной (Aff ^ 0). Следовательно, критерий ферромагнетизма
в рамках s — /-обменной модели, в отличие от критерия по модели Гей-
зенберга имеет вид )*:
^->0. B0.56)
Сложнее расчеты, если главную роль играет не прямая / — /-связь, а кос-
косвенная обменная связь через обменное взаимодействие /- и s-электронов.
Если Aff « 0, то Акосп из B0.55) целиком определяет магнитный поря-
порядок в металле, и тогда из B0.55) следует, что Asf/t,o & &Бв. Следовательно,
s — /-обменный параметр в этом случае по порядку величины равен
Atf « F?0I/2. B0.57)
Полезно, следуя работе Касуйя [267], установить связь между выра-
выражением для энергии взаимодействия, предложенного в элементарном рас-
расчете Зинера B0.51) и микроскопическим гамильтонианом s — /-обменной
связи. В общем виде зинеровская трактовка s — /-связи эквивалентна
приближению молекулярного поля, в котором s — /-взаимодействие запи-
записывается в виде
сЖязинер) = Asf @) (Sz) <az>, B0.58)
где Asf @) — параметр s — /-обмена, (Sz) и (az) — средние спиновые
поляризации соответственно /- и s-электронов на один атом или элек-
электрон. В микроскопической трактовке (см. ниже) это взаимодействие при-
приближенно описывается гамильтонианом
MSf = ^ASf(rj-Bn) 8naj=^Asf(g)8ga_g, B0.59)
п) q
где
B0.59а)
Из сравнения B0.58) и B0.59) видно, что для получения энергии s— /-об-
/-обмена по модели Зинера необходимо использовать три весьма существен-
существенных приближения: 1) заменить средним статистическим значением спины
/-оболочки (Sn); 2) ограничиться рассмотрением только ферромагнитного
порядка для Sn и поэтому учитывать только z-компоненту и только член
с q = 0; 3) в системе s-электронов не учитывать изменения, а рассматри-
рассматривать только среднее статистическое значение спиновой плотности. Эти
приближения детально рассмотрены в обзоре Касуйя [267]. Ниже мы бу-
будем постепенно отказываться от этих приближений.
Трактовка Зинера аналогична рассмотрению Фрелиха и Набарро
[268] поляризации ядер в металле, основанному на использовании фер-
миевского взаимодействия СТС:
<$Фврми = N-1 2 ^Ферми ( Г) -Rn) In- Oj, B0.60)
i,n
где In — спиновый момент ядра в узле п\ rj и Oj — радиус-вектор и век-
вектор спина /-го электрона. Параметр фермиевской связи ^4ферми пропор-
пропорционален произведению б-функции Дирака на квадрат модуля волновой
*) Если при этом Aff < 0, то B0.56) дает Лкосв > |'.
— 555 —

функции электрона на ядре
Л-ерми = «б (Rn - Г;) | ifc (г,) |2. B0.60а)
Аналогия с B0.58) будет полной при условии точечной локализации
/-электронов на узлах решетки кристалла. Именно цоэтому гамильтониан
B0.58) лучше описывает s — /-, чем s — d-обмен, поскольку 4/-электроны
гораздо более локализованы, чем 3d-, Ы- или 5й-электроны.
Для количественного изучения проблемы s — /-обмена можно вос-
воспользоваться либо феноменологической трактовкой, либо микроскопи-
микроскопической моделью. Сначала остановимся на первом из указанных путей.
3. Феноменологическая трактовка s — /-обменной связи в ферромаг-
ферромагнитных металлах, а. Постановка задачи. При общей феноменологической
трактовке ферромагнитного кристалла металла или полупроводника
[[269—274, 48], Туров A963), Ахиезер, Барьяхтар, Пелетминский A967)]
последний рассматривается как непрерывная среда, характеризуемая
не только плотностью магнитного момента I{v), но также [см. B0.50)]
функцией плотности импульса Р (г), учитывающей существование в кри-
кристалле коллективизированной системы электронов. Вспоминая все ска-
сказанное выше, можно ввести предположение о возможности приближен-
приближенного разделения электронной системы в интересующих нас кристаллах
на две подсистемы /- и s-электронов. Первую можно считать локализован-
локализованной, и поэтому плотность импульса Pf (r) для нее приближенно равна
нулю. Гамильтониан всей s -\- /-системы можно записать в виде
3e = <mf+ees+3esf, . B0.61)
где гамильтониан /-системы 36 f зависит только от 1{г), гамильтониан
s-системы 36 s — от I' (г) и Р (г) и, наконец, гамильтониан s — /-взаимо-
/-взаимодействия 36sf — от I(r), I'(r) и Р (г); I'(r) — плотность намагниченности
поляризованных s-электронов, а I (г) — локализованных /-электронов.
Если учесть магнитные взаимодействия, то в 36 будут входить члены,
зависящие от внешнего и внутренних магнитных полей обеих подсистем.
При такой общей постановке задачи можно с самого начала пе де-
делать предположений о происхождении обменной связи в системе. Эта
связь должна быть объяснена в ходе решения самой поставленной задачи.
Здесь мы пока не будем интересоваться происхождением обменной
связи в /-системе и рассмотрим лишь подмагничивающее влияние каким-то
образом возникшего самопроизвольного магнитного момента на спектр
энергий внешних электронов проводимости. Тогда можно ограничиться
решением более простой задачи. В этом случае в качестве гамильтониана
нулевого приближения возьмем
B0-62)
где 36 о/ — гамильтониан спиновой системы /-электронов без учета влия-
влияний со стороны системы s-электронов, а 36 Os — обычный гамильтониан
электронов проводимости металла без учета влияния на них /-электронов.
Выбор именно такого «нулевого» приближения не может вызвать сомнений,
например, в том случае, когда параметр s — /-взаимодействия ASf мал
по сравнению с параметром / — /-обмена Aff и с энергией Ферми ?0) т. е.
A*t < Aft, So. B0.63)
Что касается второго неравенства B0.63), то оно практически всегда вы-
выполняется. Первое же неравенство часто не удовлетворяется из-за слабо-
слабого перекрытия /- или d-слоев друг с другом. Поэтому выбор нулевого при-
приближения B0.62) означает (при Ajf » 0). что можно независимо рассмат-
рассматривать, с одной стороны, влияние s — /-связи на возникновение сильной
косвенной спиновой связи в /-системе за счет взаимодействия с s-системой
И1 с другой стороны, влияние результирующей самопроизвольной намаг-
— 556 —

ниченности s + /-системы на электроны проводимости (их поляризацию)
и обратное влияние поляризованных s-электронов на /-систему.
В связи с обсуждением малых параметров в s — /-модели, заметим,
что она наиболее приемлема в случае редкоземельных 4/-металлов (РЗМ).
Для РЗМ можно с большой точностью принять, что параметр прямого
/ — /-обмена очень мал (Aff « 0). Однако внутри каждого иона РЗМ
имеется очень сильная обменная связь (хундовская) Af, которая и являет-
является характерным энергетическим параметром «магнитной» подсистемы
4/-электронов РЗМ. Величина этой энергии в температурной шкале может
достигать значений 104 °К, т. е. она такого же порядка, что и энергия
Ферми ?о- Поэтому можно с полным правом принять, что в РЗМ суще-
существуют два безразмерных параметра малости
•?«•?<!• B0-64)
Итак, в качестве оператора энергии возмущения будем рассматривать
гамильтониан SBsf- Такой путь решения впервые предложил С. П. Шубин
(см. Шубин и Вонсовский [45]) и впервые реализовал Вонсовский [46,
196] и Вонсовский и Туров [47] (см. также работу Пратта [280]).
В качестве оператора 36 of можно взять обычный гамильтониан теории
ферромагнонов из гл. 19. Под оператором 36Os будем понимать оператор
энергии системы электронов проводимости, которую можно рассматривать
как ферми-газ или ферми-жидкость. Поправку от учета возмущения 36 sf
будем искать по отношению к нулевой энергии 36 о si T- е- будем интере-
интересоваться лишь подмагничивающим влиянием /-системы на энергию элек-
электронов проводимости *).
б. Гамильтониан s — f-системы. Оператор плотности энергии такой
квазичастицы (электрона проводимости) записывается в форме
36 {r)=SBw (r) + 36sf (г) = 36OS (г)-В (/•) ^t± . B0.65)
Здесь оператор 36os (>') ничем не отличается от аддитивного оператора для
газа ферми-частиц и удовлетворяет требованиям инвариантности относи-
относительно трансляций на период dXVIM кристаллохимической решетки:
36os (>' + f^xmi)~36 os (**)• Этому же условию инвариантности удовлетво-
удовлетворяет и коэффициент обменного взаимодействия В (г -j- ^хим) = В (/•).
Однако весь оператор B0.65) может быть и неинвариантным относительно
таких трансляций. Слагаемое В (г) I (r)-s/I0 в B0.65), описывающее изо-
изотропное s — /-обменное взаимодействие **), инвариантно относительно
трансляций на период d4arH магнитной элементарной ячейки, которая
в общем случае отличается от кристаллохимической, ибо, вообще говоря,
I (Г + <1,шш) ф I G-).
Оператор энергии всей системы s-электронов дается выражением
36 = ^ \.^*(r,sK6(r)y>(r,s)dr. B0.66)
s
Здесь интегрирование ведется по всему объему кристалла, а суммирова-
суммирование — по двум значениям спиновой переменной (s = ±1/2); ф (r, s) —
квантованная волновая функция s-электрона (ферми-частицы) **). Кванто-
*) «Обратное» влияние подмагниченных s-электронов на энергию d-электронов
рассмотрел Бешидзе [281]. «Смещение» уровней Зй-электронов оказывается пропор-
пропорциональным ASf/t,0, т. е. в силу B0.57) пропорционально (в/?0I''2-
**) Конкретный вид &Ssf (r) в B0.65) соответствует выбору простейшего инва-
инварианта s — /-связи скалярного произведения намагниченности d-системы I (г) на век-
вектор спина s-электрона.
***) Выражение B0.66), согласно принципу соответствия квантовой механики,
является квантовым обобщением энергии некоторого классического поля с плотностью
гамильтоновой функции &6КЯ (г).
- 557 -

ванную волновую функцию можно представить, например, в виде ряда
по обычным функциям электрона'проводимости в периодическом поле
кристалла B0.2)
Ур(г,з)= 2 ahtOyp(k;r)Ca(s)= 2 V~lj2exp(ikr)u(k; r)akaCa(s). B0.67)
к, a fc, a
Функции i|) (fc; г) являются собственными функциями оператора энергии
нулевого приближения, т. е.
сШОв (г) Ур (fc; г) = е0 (fc) Ур (fc; r), B0.68)
где е0 (fc) — энергия электрона проводимости в кристалле без учета взаи-
взаимодействия с системой /-электронов.
Величины а%а и afca в B0.67) и B0.68) — ферми-операторы вторич-
вторичного квантования (см. гл. 19), удовлетворяющие перестановочным соотно-
соотношениям A9.131). Произведение ata «fca = nha no A9.130) является опера-
оператором числа ферми-частиц в состоянии fc, a.
Подставляя в B0.66) оператор энергии B0.65) и волновые функции
B0.67) и учитывая A9.131), находим
<Ш = 28o(fe)r"fca— 2 afca«fc'a'2 ty*№**)в(г)~т i>(k';r)drCa(s)sCa-(s).
fc, a fc, fc'; s
a, a'
B0^69)
Входящие в B0.69) матричные элементы оператора спина 2 Са (s) sCa' (s)
s
могут быть определены через элементы так называемых спиновых матриц
Паули [см. Блохинцев A961)]. А именно, в представлении, в котором опе-
оператор sz диагоналей, имеем (в единицах ft/2)
s s
¦^i /~t ( q\ я С ( q\ 1 * ^ С (ч*\ ч С (ч*\ 1* (?0 70\
s ' s
Все остальные матричные элементы равны нулю.
Заменяя матричные элементы оператора спина по B0.70), а также
принимая, что система d-электронов близка к насыщению вдоль оси z
(когда спиновое квантовое число равно —1/2), и вводя обозначения A9.35)
и A9.39), получим из B0.68) после некоторой перегруппировки членов
fc ,a
eo(fc)njto- 2 <1
к, к'
- 2 «t, -i/^fc-. i/2 J Г (к; г)В(г)&-Ур(к'; r)dr-
ь, fc'
-у 2 <Чг^',Ч
Перейдем от операторов 7-> Y+ к их Фурье-компонентам
7_ (г) = ос 2 by exp (igv), 7+ (*") = а 2 ^» ех
- 558

тогда, введя обозначения
С P(fr) (А),
J *•<*; г)*<гЖ*'; r)dr=-- { /Д,} (fc^ B0.72)
;r)dr = ${k,k'; д-д'),
вместо B0.71), получим
fc, a fc fc=/-fc'
^ 2 ^A-, A-'; ^—gr') —
о ^^
fc, А"
2
g) —
--^ 2 e*.-'/2e*',V2bJP(A'.fc'; -jf). B0.73)
fc, fc', у
Первые два слагаемых в B0.73) дают энергию всех электронов проводимо-
проводимости, подмагниченных благодаря обменному взаимодействию с полностью
намагниченной системой внутренних электронов. Небольшие отклонения
от насыщения имеют вид ферромагнонов, энергия которых дается, напри-
например, гамильтонианом A9.82). Остальные члены в операторе B0.73) опи-
описывают взаимодействие между ферромагнонами и электронами проводи-
проводимости, при этом «нулевой» энергетический спектр последних уже изменен
взаимодействием с «нулевым фоном» («вакуумом») системы внутренних
электронов, возбуждениями которого и являются ферромагноны.
Таким образом, взаимодействие электронов проводимости с внутрен-
внутренними электронами в рассматриваемом приближении естественно разбивает-
разбивается на две части: первая из них приводит к изменению энергии электронов
проводимости, вторая, представляющая взаимодействие с ферромагнона-
ферромагнонами, может рассматриваться как малое возмущение, вызывающее переходы
между пулевыми энергетическими уровнями системы. При этом члены
с четверной суммой в B0.73) описывают «упругие» столкновения между
электронами проводимости и ферромагнонами, а две последние тройные
суммы —«неупругие» соударения, сопровождаемые процессами рождения
и поглощения ферромагнонов с одновременным изменением проекции
спина у электронов проводимости. Учет этих членов возмущения суще-
существен при описании аномалий кинетических процессов в ферромагнетике.
в. Энергия «подмагниченных» электронов проводимости. В рамках
термодинамической теории возмущений, в первом порядке по взаимодей-
взаимодействию {SSsf) получим энергию системы в виде
% =- 2 8>fc (т) + 2 8*га* ( —f ) • B0.74)
fc fc
Здесь введены новые обозначения
е? = —!" A =F mi) p (k) + е0 (А-) B0.75)
использовано соотношение
где m,j = III о — относительная намагниченность /-электронов, а двойка
в знаменателе учитывает гиромагнитную аномалию электронного спина.
— 559 —

Формулу B0.75) можно записать более компактно, обозначив магнитный
момент электрона проводимости через as (= +1), а именно
г1 = е0 (к) -\ A + aamf) Р (к), B0.76)
где ostiif принимает значение -j-тге/ или —mf в зависимости от того, сов-
совпадает или не совпадает направление спина электрона проводимости с век-
вектором намагниченности системы /-электронов. Формула B0.76) впервые
была получена в работах [45, 46].
Формулу B0.76) в некотором приближении можно считать законной
не только в области низких температур (где справедливо приближение
спиновых волн, т. е. (B b^bg})IN <^ 1), но и в более широкой области,
а
вплоть до точки Кюри. Основанием к такому обобщению может служить
то обстоятельство, что в B0.76) член с m,j является малой добавкой, ибо
его отношение к первому слагаемому определяется величиной введенного
выше параметра малости Asf/t,0. Из теории металлов, кроме того, извест-
известно, что вплоть до температур 103 °К электронный газ практически остается
вырожденным (?о ^> квТ). Именно поэтому формулу B0.76) можно при-
применять для электронов проводимости в ферромагнетиках вплоть до тем-
температур Кюри, понимая под nif среднее статистическое значение намагни-
намагниченности как функцию температуры.
Формулу B0.76) можно наглядно толковать так: в результате s — /-
обменного взаимодействия на спин s-электрона действует мощное моле-
молекулярное поле. При этом важно подчеркнуть, что: во-первых, появление
члена с osvrif связано не с грубо качественными модельными представле-
представлениями, а вытекает из общей теории и, во-вторых, действующее на s-элек-
тропы эффективное поле существенно зависит от состояния s-электрона.
Физический смысл членов с asmf в B0.76) заключается в том, что ве-
величина намагниченности mf, особенно вблизи точки Кюри, существенно
зависит от температуры, В результате в «газе» электронов проводимости
ферромагнитного металла вблизи точки Кюри должно происходить замет-
заметное перераспределение этих электронов по импульсам (в области спада
Ферми), а также изменение их эффективной массы. Последняя опреде-
определяется по хорошо известной формуле
т%= ?—-, B0.77)
где d — постоянная кристаллической решетки. Используя формулу B0.76),
находим
т* (к) -.--- Й2 [а (к) + р' (/;) Osttif}-1 d~2. B0.78)
Здесь а (к) — величина порядка энергии Ферми ?0, а Р'(&) — порядка
энергетического параметра s — /-обменного взаимодействия. В приближе-
приближении эффективной массы (т. е. если считать энергию электрона B0.76)
квадратичной функцией модуля квазиимпульса | к \)
г1^а0-№amf + -j [щ + faoamf] к2; B0.79)
обе величины а и C' будут просто постоянными, равными соответственно
а1 и р4, и т* не будет зависеть от квазиимпульса
т%= П2 [«1 +p1ffsm/] dr*. B0.80)
Если учесть анизотропное 1\тгнитное обменное взаимодействие [282, 283],
то для тензора эффективной массы вместо B0.80) получим (см. Родионов
и Шавров [284])
B0.81)
- 560 -

где mtj_ и т*\\ — эффективные массы соответственно «продольная» и «по-
«поперечная» относительно направления намагниченности, a R — некоторая
линейная комбинация квазикулоновских и обменных параметров магнит-
магнитного взаимодействия (иг/ я» — 1).
г. Термодинамические следствия. Для оценки влияния зависимости
эффективной массы от намагниченности и перераспределения s-электро-
нов по скоростям на термодинамические свойства ферромагнетика, сле-
следует рассмотреть какой-либо из его термодинамических потенциалов,
например, свободную энергию/". Определение/" значительно облегчается
тем, что энергия взаимодействия B0.76) — одна и та же для всех состоя-
состояний /-электронов с заданным магнитным моментом m,f. Поэтому F' можно
.записать в виде
F' =Fl{mf,T)+F[{mf,ms,T), B0.82)
где F'o (nip T) — термодинамический потенциал подсистемы /-электронов
при данных rrif и Т, вычисленный без учета s— /-обмена, a F't (иг,, ms, T)
— термодинамический потенциал подсистемы («газа») s-электронов
с учетом влияния s — /-связи, поэтому при его вычислении каждому элек-
электрону проводимости приписывается энергия B0.76). Если вспомнить,
что во всем интересующем нас интервале температур от 0° К до точки
Кюри этот «газ» почти полностью вырожден, то вместо свободной энергии
F' можно взять просто полную энергию подмагниченного газа электро-
электронов проводимости.
Обозначим число s-электронов в единице объема с правым спином
через пл., а число этих электронов с левым спином через ге_. Тогда имеем
п = п+-\-п., п+ — n. = msn, B0.83)
где п — концентрация s-электронов, a ms — средняя намагниченность
на один электрон (в магнетонах Бора). Как хорошо известно (см. гл. 11),
плотность энергии вырожденного электронного газа равна
|>+?+ + п_?_)- B0.84)
Используя формулу A1.8), "но применяя ее по отдельности для электро-
электронов с правыми и левыми спинами, и формулу B0.79), находим
2/з г /г2 / Зи_ \2/з
Здесь иг* и иг* — эффективные массы B0.78) [или B0.80)] s-электронов
соответственно с правыми и левыми спинами. В первом случае ст8нг/ = rrif,
а во втором — ОвЩ = — nif. Используя формулы B0.79), B0.80),
B0.82) — B0.85), нетрудно вычислить, с точностью до постоянных сла-
слагаемых, свободную энергию B0.82)
F'(mf,ms, T) = F'Q(mf, T) +
+ n[-f>0msmf+k(ai + f>imf)(l + msM/3 + X(al-f>imf)(l-msf3], B0.86)
где. введено сокращенное обозначение
Исходя из требований минимума для свободной энергии B0.86), можно
в принципе найти равновесные величины намагниченностей mf и ms,
т. е. определить равновесное магнитное состояние системы s + /-электро-
/-электронов. Можно также получить приближенную оценку ms без явного учета
части свободной энергии F'o в B0.86) из условия равенства предельных
энергий Ферми в B0.85). Если воспользоваться малостью отношений
Po/ai и Pi/«i ("С I)- то это Дает
B0.88)
36 С. В. Вонсовский — 561 —

где
0,1-0,01. B0.89>
Коэффициент Yi не зависит от температуры, и поэтому обе намагничен-
намагниченности mf и ms вблизи точки Кюри имеют одинаковую температурную'
зависимость.
д. Влияние s — f-связи на кинетические эффекты. Полученные выра-
выражения для эффективных масс и химического потенциала «подмагниченныга>
электронов проводимости позволяют в принципе поставить задачу опре-
определения вклада в ферромагнитные «аномалии» различных кинетических
коэффициентов, оптических постоянных и т. п., обусловленных измене-
изменением спектра электронов проводимости в ферромагнитных металлах. Для
этого мы должны определить (в случае «высоких» температур Т ^> вд,
где вд — температура Дебая металла) зависимость времени релаксации
электронного газа т (т. е. среднего времени свободного пробега) от темпе-
температуры, не только обусловленную процессами столкновения электронов
проводимости с фононами (колебаниями решетки), но и с магнитными
неоднородностями (см. работы [285—296]), а также благодаря s — f-
столкновениями [61, 297, 298] (см. также Вильсон A953)), но и зависимо-
зависимостью химического потенциала электронного газа от температуры через
намагниченность системы. Время релаксации электронного газа, как
известно [Бете и Зоммерфельд A938), Зейтц A949)], во-первых, обратно
пропорционально среднему квадрату амплитуды тепловых колебаний кри-
кристаллической решетки, что дает в случае фононного механизма рассея-
рассеяния обычную температурную зависимость (Г) и, во-вторых, обратно
пропорционально плотности состояний s-электронов вблизи граничной
энергии, которая в свою очередь обратно пропорциональна градиенту
энергии в пространстве квазиимпульсов | Vfc?fc|s=j0- Наконец, т также
обратно пропорциональна квадрату квазиимпульса (при е = ?о) ^2 (?)•¦
Окончательно получаем
т (?±) = 4" I* (?±)Г2 (v^fc)?o. B0.90)-
где в А" собраны все постоянные величины, не зависящие от Т и mf-\-ms~
Величину &(?±) можно определить по формуле A1.7), а именно:
B0.91).
Для (Vfee±) в силу B0.79) и B0.91) находим
Зл, ч Уз
)
Подставляя B0.91) и B0.92) в B0.90), получаем окончательное выраже-
выражение, для времени релаксации правых и левых s-электронов
B0.93)
где- в А' опять' собраны все постоянные величины, не зависящие от Т
(при одном фононном механизме рассеяния), mf и ms. С помощью известной
формулы Друде о± = n±e2x±(t>)/m*± для s-электронов с различными проек-
проекциями спина можно, используя вышеприведенные формулы, получить
выражение для ферромагнитной «аномалии» электросопротивления (точ-
(точнее, его фононной части) ферромагнитных переходных металлов, обуслов-
обусловленной изменением энергетического спектра электронов проводимости.
Это добавочное сопротивление равно
^. = C'(mf + msJ,' B0.94).
Ро
- 562 —

где через р0 обозначено «нормальное» фононное сопротивление, а С''¦¦¦*-
константа. Сравнение этой формулы с опытом имеет смысл производить
в совокупности с вкладом в электросопротивление, который обусловлен
дополнительным рассеянием носителей тока на магнитных неоднородно-
стях (а также, вообще говоря, и при учете s—/-переходов). Подробнее
этот вопрос будет рассмотрен в гл. 25.
Из этих же соображений удалось объяснить одну из причин ферромаг-
ферромагнитных аномалий и других свойств металлов: оптических [300], фотоэлек-
фотоэлектрических [302—304], термоэлектронных [305], поглощения звука [306,
307], рентгеновских спектров [134, 135, 151], парамагнитной восприим-
восприимчивости [308].
4. Феноменологическая трактовка s —/-обменной связи в ферромаг-
ферромагнитных полупроводниках. Полученные результаты для вычисления эффек-
эффектов «подмагниченных» электронов проводимости в ферромагнитных метал-
металлах можно обобщить и на случай ферромагнитных полупроводников-
[309, 272]. В этом случае формула B0.76) для закона дисперсии электро-
электронов проводимости означает, что энергия активации (щель А<$) и ширина!
полосы проводимости или эффективная масса носителя тока зависят
от намагниченности полупроводника, различно для разных проекций спина
носителя. Например, если состояние с к = 0 соответствует наименьшей
энергии («дну» полосы проводимости [272]), то энергия активации, сог-
согласно B0.79), равна
/, B0.95)
где Д^о — энергия активации парамагнитного состояния (wi/ = 0).
Из B0.95) видно, что независимо от знака параметра s — /-связи полоса
проводимости расщепляется на две подполосы из-за снятия спинового
вырождения носителей тока. Поэтому из самых общих соображений мож-
можно ожидать появления ферромагнитных аномалий при переходе через
точку Кюри для тех свойств полупроводника, которые зависят от вели-
величины энергии активации элементарных возбуждений. Электропроводность
ферромагнитного полупроводника в парамагнитной области зависит от Т
по формуле (см. гл. 12)
(^) B0.96)
где Ар — предэкспоненциальный множитель, слабо зависящий от Т. Ниже
точки Кюри вместо B0.96), в силу B0.95), будем иметь
где ci и с2 слабо зависят от Г и при mf = 0 ct= c2 = 1/2. Асимптотиче-
Асимптотическая формула для In р/ (р/ = о]1 — удельное электросопротивление) при
температурах значительно ниже точки Кюри (mf -> 1 и р0 ^> кБ&) имеет
вид *)
In pf = In (ApCi) + Щ^, B0.98)
где черта сверху над р означает асимптотическое значение при Т —> 0,
а в парамагнитной области (Т ^> в)
+ -^.. B0.99)
Таким образом, при переходе от B0.98) к B0.99) должно иметь место уве-
увеличение тангенса угла наклона прямой In р = / A/Г). По величине этого
*) Для определенности принято, что р0 > 0. При ро<О в выражении B0.98)
необходимо заменить с4 на с2 и р0 на | р0 I • Физический результат будет тот же.
— 563 — 36*

уменьшения А^о= — Ро можно непосредственно определить параметр
обменного взаимодействия. При достаточно большой его величине (f>0 >
> А^о) может произойти даже изменение знака температурного коэффи-
коэффициента электросопротивления, т. е. переход к металлической проводи-
проводимости. Можно произвести экстраполяцию прямолинейного участка кри-
кривой In p/, даваемого формулой B0.98), до точки Кюри в и вычесть из полу-
полученной величины In рр для той же точки; это даст
Таким образом, асимптотически на прямой B0.98), кроме излома в точке
Кюри, будет наблюдаться скачок б при сравнении с прямой In p^,. Направ-
Направление этого скачка определяется знаком выражения, стоящего в правой
части B0.100). Поскольку второй член в скобке всегда больше нуля, знак
б определяется величиной. с4. Экспериментально эти эффекты отчетливо
наблюдали Белов и др. [310] в ферритах марганца. Излом кривой lnp
вблизи точки Кюри в нескольких ферритах обнаружили ранее Комар и
Клюшин [311]. По-видимому, аномалию р, предсказанную в [272] в медно-
цинковом феррите, наблюдал также Сучков [312], а в ферромагнитных
соединениях марганца со структурой перовскита (манганатах) — Фоль-
гер [313].
Полученные формулы для ферромагнитного металла и полупровод-
полупроводника с одной магнитной подрешеткой были обобщены на случай антифер-
антиферромагнитных полупроводников атомных и полярных (см. Туров и Ирхин
[272], Ирхин [314]), а также ферритов, в которых имеется две и- более
магнитных подрешеток [314, 315]. Эти вопросы будут рассмотрены ниже
в гл. 22 и 25. (См. также работы Нагаева [528]).
§ 6. Особенности магнитных и некоторых других физических
свойств редкоземельных металлов
1.. Общие замечания *). Поскольку s — /-обменная модель лучше всего
описывает свойства редкоземельных металлов (РЗМ); то имеет смысл уде-
уделить некоторое внимание описанию результатов их экспериментальных
исследований. В атомах РЗМ происходит последовательная застройка ранее
пропущенного 4/-слоя электронной оболочки (от La, Z = 57, с конфигу-
¦ рацией 4/° до Yb, Z = 70, с конфигурацией 4/14). В большинстве химиче-
химических соединений РЗМ входят в виде трехвалентных катионов, в которых
число 4/-электронов последовательно увеличивается от 1 в Се до 14 в Lu.
В.табл. 20.3 приведены конфигурации 4/™ и некоторые другие величины,
определяющие основное состояние трехвалентных ионов РЗМ (Эллиотт
и Стивене [316]).
Долгое время считалось, что все РЗМ очень похожи по своим физико-
химическим свойствам на лантан. В таблице Менделеева это подчерки-
подчеркивалось тем, что все 14 элементов лантанидов помещались в одну клетку.
Однако, после того как научились выделять чистые элементы, оказалось,
что различия в свойствах чистых РЗМ могут быть столь же велики, как
и для металлов других групп таблицы Менделеева (Спеддинг [326]).
Электроны 4/-слоев расположены гораздо ближе к атомному ядру,
чем, например, бя-электроны. В табл. 20.1 приведены значения эффектив-
эффективных радиусов 4/-, 5d- и бя-слоев (рассчитанные по приближенному методу
Слэтера [14]) (см. также [327, 328]). Из приведенных данных видно, что
радиусы р4/ почти на порядок величины меньше радиусов pes и, кроме
того, р4/ в несколько раз меньше наименьших расстояний между атомами
в решетках кристаллов РЗМ (р4/ <С ^мин)- На рис. 20.33 показаны ра-
*) Более подробные сведения читатель может найти, например, в обзорах [317—
325], в книге Белова и др. A965), Ельяшевича A953).
- 564 —

Таблица 20.3;
Некоторые характеристики основного состояния трехвалентных катионов
редкоземельных металлов (по [3i6])
Z
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Ион
Се3+
ргз+
Nd3+
Pm3+
Sm3+
Eu3+
Gd3+
Tb3+
Dy3+
Ho3+
Er3+
Tm3+
Yb3+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
L
3
5
6
6
5
3
0
3
5
6
6
5
3
s
1/2
1
3/2
2
5/2
3
7/2
3
5/2
2
3/2
1
1/2
j
5/2
4
9/2
4
5/2
0
7/2
6
15/2
8
15/2
6
7/2
6/7
4/5
8/11
3/5
2/7
0
2
3/2
4/3
5/4
6/5
7/6
8/7
0,18
0,80
1,84
3,2
4,46
0
15,75
10,5
7,08
4,5
2,55
1,17
0,32
диальные плотности заряда 4/-, 5s-, Ър- и бя-электронов иона Gd+ (из рабо-
работы Фримена и Ватсона [329]); ясно видно, что 4/-слой действительно лежит
I ' I I I I I *~г
6S 7А
г, am. ед
Рис. 20.33. Радиальные плотности заряда Р2 (г) для /-, 5s-, 5р- и
бе-электронов в ионе Gd* как функции расстояния от центра ядра.
Р М — радиальные части волновых функций, которые имеют вид, нап-
например, для 4/-слоя: J?4/ (r) = 5j^ir* ехР (—Z^r), где Cj находятся из
5,0 5,8
г
условия нормировки, a Z. — эффективный заряд ядра; расчет ведется
по методу Хартри — Фока (Фримен и Ватсон [329]).
глубоко не только по сравнению с валентным бя-слоем, но и по сравнению
с замкнутым слоем 5s25p6. Такое «глубокое» расположение 4/-слоев исклю-
исключает их перекрытие в решетке, и поэтому 4/-электроны практически
не играют роли в химической связи в РЗМ. В первом приближении можно
считать, что 4/-электроны в кристаллах РЗМ ведут себя, как и в
свободных атомах или ионах, сохранили свои спиновые и орбитальные
моменты, что и обусловливает их яркие магнитные свойства. Однако
— 565 —

на1 '4/^электроны в кристалле их окружение оказывает все же су-
существенное влияние.
Во-первых, окружающие каждый 4/-слой в кристалле электрические
заряды создают электрическое поле, действующее на каждый ион. Это
врутрикристаллическое поле (поле лигандов, см. гл. 10) вызывает штар-
^овское расщепление энергетических уровней свободных ионов. Этот
эффект имеет особенно важное значение для случая парамагнитных солей
редкоземельных элемептов.
Во-вторых, в случае РЗМ имеет место сильное взаимодействие 4/-
сйоев с электронами проводимости, приводящее к кооперативным магнит-
магнитным явлениям — ферро- или антиферромагнетизму.
2. Кристаллическая структура РЗМ. Хотя прежняя концепция о тож-
тождественности свойств РЗМ теперь отвергнута, но можно указать на ряд
общих черт этих веществ, позволяющие считать, что они образуют опре-
определенный класс переходных металлов, и построить теорию их магнитных
и других физических свойств.
Рассматривая кристаллические структуры РЗМ, находим, что почти
rice они кристаллизуются в решетки с гексагональной плотной упаковкой
(гекс. п. у.). Исключением являются Sm, имеющий
ромбоэдрическую решетку, Ей и Yb, имеющие соответст-
соответственно о. ц. к. и г. ц. к. решетки (по-видимому, это свя-
связано с их электронными конфигурациями 4/6 и 4/13, близ-
близкими к заполнению половины 4/7 и всего слоя 4f14), и,
наконец, у Се, кроме фазы гекс. п. у. (Р~Се), существуют
а еще две устойчивые г. ц. к. модификации (у-Се при ком-
комнатных температурах и с более плотной решеткой, а-Се—
д ниже 100° К). Элементы Се, Рг и Nd имеют структуру
двойной гекс. п. у., когда период вдоль гексагональной
оси с охватывает четыре атомных слоя ABAC ABAC..., в
а противоположность обычной структуре гекс. п. у. с пери-
периодом в два слоя: АВАВ... (рис. 20.34). Поэтому в этих
РЗМ узлы в слоях типа В ж С имеют гексагональную сим-
симметрию для ближайших соседей, а узлы в слоях А — ку-
кубическую. Это очень усложняет исследование кристаллов
этих «легких» РЗМ. Элемент прометий (Рт) радиоак-
радиоактивен и поэтому до сих пор почти не исследован.
«Тяжелые» РЗМ от Gd до Lu (исключая Yb) имеют
обычную структуру гекс. п. у. с отношением осей с/а
в пределах 1,57—1,59, близких к идеальному отноше-
отношению 1,633. Плотность «тяжелых» РЗМ монотонно изме-
изменяется от 7,868 г/см3 для Gd до 9,849 г/си3 для Lu. Данные
о параметрах и типах кристаллических решеток РЗМ
приведены в табл. 20.1. Из нее видно, что минимальное межатомное
расстояние в кристаллах РЗМ приближенно постоянно; оно лишь мед-
медленно уменьшается от La к Lu (за исключением Sm, Eu и Yb). В ка-
качестве примера исследований кристаллической структуры РЗМ укажем на
работы [330—332]. В работе [333] исследованы фазовые диаграммы Рг,
Eu, Gd и Yb.
3. Парамагнитные свойства РЗМ. Переходя к рассмотрению интере-
интересующих нас магнитных свойств РЗМ, можно убедиться, что картина ока-
оказывается еще более неоднородной, чем при рассмотрении их кристалличе-
кристаллических структур. Только при повышенных температурах (выше их точек
Кюри или Нееля, см. ниже) магнитные характеристики ведут себя ана-
аналогично друг другу. Действительно, из опыта известно, что все РЗМ от
Се до Тт (кроме Yb) относятся к парамагнетикам ланжевеновского тина
(см. гл. 9), В то же время известно, что подавляющее большинство дру-
других нормальных или переходных (d-) металлов обнаруживает паулиевский
парамагнетизм. Магнитная восприимчивость РЗМ подчиняется закону
Рис. 20.34. Ти-
Типичная для РЗМ
кристаллическ а я
структура—двой-
структура—двойная гекс. п.у. А,
В и С — обозна-
обозначения для базис-
базисных плоскостей
(слоев). Вектор
<! — начало отс-
отсчета углов в пло-
плоскостях базиса
(см., например,
табл. 20.5). '
- 566 -

Кюри — Вейсса (см. гл. 6,9 и 18)
B0.101)
Атомный магнитный момент \1Эфф, определяемый из константы Кюри С,
хорошо согласуется с теоретическим значением, вычисленным по формуле
Более детальное исследование парамагнитных свойств РЗМ показало,
что восприимчивость Се [331], Ей [334, 335] и Sm [334—336] не подчиняет-
подчиняется простому закону B0.101). Однако, как показал Ван-Флек A932), эти
расхождения можно устранить, ^ ^
¦если учесть, что в указанных
РЗМ основной терм мультипле-
та с различными значениями /
(при заданных значениях спи-
спинового S и орбитального L мо-
моментов иона) удален от выше
расположенных Термов на энер-
энергетические интервалы, кото-
которые не очень велики по сравне-
сравнению со средней тепловой энер-
энергией кБТ.
Во всех «тяжелых» РЗМ
от Gd до Тт парамагнитные
точки Кюри Эпм, дающие гру-
грубую оценку величины обменной
связи, оказываются положи-
положительными, что указывает на
ферромагнитную связь между
300
250
200
/SO
100
50
атомными носителями магнит-
магнитного момента. В «легких» же
РЗМ, например Се, Nd и Sm,
величина Эпм < 0.
Если отложить значение
6ПМ в зависимости от атомного
О
I I
о 2
+ 3
I I
I I
i i I
i i l
¦+¦
±
I I I l I
La Се Рг
Pm Sm En Gd Tb Щ Ho Er Tm Yb U
Рис. 20.35. Парамагнитная точка Кюри впм РЗМ,
входящая в закон Кюри — Вейсса B0.101), как
функция атомного номера РЗМ. 1 — точка для Gd;
для нее измеренное на опыте значение подставлено
в теоретическую формулу B0.183): 2 — рассчитан-
рассчитанные после такой подстановки по этой формуле зна-
значения впм; 3 — соответствующие экспериментальные
значения вттм (де Жен [337]).
номера РЗМ (рис. 20.35), то мы
видим, что Эпм сначала растет,
достигает максимума для Gd и
затем уменьшается до нуля к концу группы РЗМ (де Жен [337])
(см. также ниже § 8, п. 1). Аналогичная зависимость наблюдается и для
парамагнитной части электросопротивления рт (см. гл. 25).
Измерения парамагнитной восприимчивости в монокристаллах РЗМ
обнаружили анизотропию парамагнитной точки Кюри [338].
4. Атомные магнитные структуры РЗМ. Более ярко индивидуальные
особенности магнитных свойств РЗМ начинают проявляться в области
низких температур (ниже точек магнитных превращений Э и QN). Отме-
Отметим следующие основные опытные факты:
1) Все «тяжелые» РЗМ от Gd до Тт (исключая Yb) ферромагнитны
в интервале температур от 0° К до Э.
2) Все «легкие» РЗМ от Се до Ей, по-видимому, антиферромагнитны
или ферримагнитны от 0° К до QN.
3) В тяжелых РЗМ (исключая, по-видимому, Gd) ферромагнетизм
при Т ^ Э сменяется не ланжевеновским парамагнетизмом, а антиферро-
антиферромагнетизмом, который существует в интервале температур Э-^ Т*C<dN-
4) Иттербий (Yb) во всем интервале температур (от 0° К до точки
плавления) относится к паулиевским парамагнетикам.
Эти опытные факты установлены на основе: 1) нейтрон-дифракцион-
нейтрон-дифракционных исследований, которые позволили обнаружить атомный магнитный
- 567 —

порядок; 2) определения максимумов (пиков) на кривых температурной
зависимости теплоемкости РЗМ, которые дали значения критических точек
Э и @N; 3) магнитных измерений при различных температурах и магнит-
магнитных полях (величины магнитного насыщения и критического поля при
изменении типа атомного
магнитного порядка); 4)
измерений температурно-
температурного хода электросопротив-
электросопротивления и эффекта Холлаг
также дающих величины
критических температур и
позволяющих установить
эффект рассеяния элект-
электронов проводимости на
магнитных неоднородно-
стях.
При знакомстве с упо-
упорядоченными магнитными
структурами в РЗМ сразу
же поражает обилие раз-
различных типов таких струк-
структур по сравнению с дру-
-_^ гими магнитно-упорядо-
^~^ ченными кристаллами.
' ' У а. Данные по нейтрон-
е' ной дифракции в РЗМ (см.
также гл. 26). Магнитные-
атомные структуры экспе-
экспериментально были уста-
установлены главным образом
в нейтронографических работах исследователей в лаборатории в Ок
Ридже *). На рис. 20.36, а — е схематически показаны основные атом-
атомные магнитные структуры тяжелых РЗМ. Обычная коллинеарная фер-
ферромагнитная (Ф) структура (рис. 20.36, е) наблюдается в Gd, Tb и Dy
при температурах от 0° К до Э. Простая спиральная структура (ПСС)
(рис. 20.36, д) соответствует антиферромагнитному состоянию в случае
Tb, Dy и Но при температурах Э -^ Т <^ QN. В этой структуре атомные
магнитные моменты в каждой из гексагональной плоскостей (А и В на
рис. 20.34) параллельны друг другу, образуя ферромагнитные атомны&
слои с магнитным моментом, перпендикулярным оси с. Магнитный момент
каждого последующего слоя повернут на некоторый угол <р0. При перехо-
переходе от плоскости к плоскости вдоль оси с конец вектора магнитного момента
занимает последовательно точки на круговой спирали (рис. 20.36, д}
с осью с и периодом
dnGG^-|^L, B0.102)
где dc — период кристаллической решетки РЗМ вдоль гексагональной
оси. Поскольку для тяжелых РЗМ период dc в два раза больше расстоя-
расстояния между ближайшими гексагональными плоскостями, то угол между
магнитными моментами в плоскостях, отстоящих друг от друга на период
dc решетки, равен 2<р0. Если для структуры ПСС ввести волновой век-
вектор
СЭ
Tb,Dy,Ho
СЭ
со сэ
СЭ
СЭ
СЭ
<3> СЭ
СЗ СЭ
Рис.0.36- Схематическое изображение неколлинеарных
атомных магнитных структур в тяжелых РЗМ. а) Антифаз-
Антифазная структура; б) СПСВ; в) СС; г) ФС; д) ПСС; е) Ф.
<7псс
2л
B0.103)
*) См. более детальное описание в книге Изюмова и Озерова A966), а также обзор
Келера [339] и гл. 26. Здесь упомянем лишь отдельные работы: по Се [340], Nd [33].
Рг [341], Ей [342], Gd [343], Tb [344], Dy [345], Ег [346], Ег [347], Tm [348].
— 568 -

то
Rn), B0.104)
B»), B0.105>
где \in — среднее значение модуля магнитного момента иона РЗМ при
данной температуре в узле с радиусом-вектором Мп.
В случае осциллирующей магнитной структуры типа «статической
продольной спиновой волны» СПСВ (рис. 20.36, б), упорядочна только-
продольная (вдоль оси с) составляющая магнитного момента, а средние-
по времени поперечные его компоненты равны нулю:
^ = ^ = °. B0.106)
Hn = HnSin(gcnGB--En). B0.107)
Следовательно, структура СПСВ имеет вид ферромагнитных гексагональ-
гексагональных плоскостей, намагниченных вдоль оси с и их магнитные моменты
изменяют свою величину по закону B0.107). Такая структура обнаружена
в Ег и Тт в антиферромагнитной области (Э <С T*C@N).
Если наряду с осциллирующими поперечными компонентами момента
структуры ПСС имеется еще постоянная продольная составляющая
(j,z — const Ф= 0, то возникает структура типа «ферромагнитной спирали»
ФС (рис. 20.36, г), являющаяся наложением структур Ф и ПСС. Эта
структура встречается в Но и Ег в температурном интервале, где имеет
место ферромагнетизм @ -^ Г<;Э).
Наложение структур ПСС и СПСВ, когда осциллируют как попереч-
поперечные, так и продольные составляющие магнитного момента, приводит к об-
образованию сложной спирали СС (рис. 20.36, в). Наконец, возможна еще-
структура так называемых антифазных доменов (рис. 20.36, а). Первый
из тяжелых РЗМ — гадолиний, имеет, по-видимому, простую ферромагнит-
ферромагнитную структуру с точкой Кюри Э = 293,2° К [342, 350]. У Gd антиферро-
антиферромагнитная область либо вообще отсутствует [343, 351—354] и он является
обычным ферромагнетиком, либо эта область очень узка, а антиферромаг-
антиферромагнетизм в ней разрушается очень слабым внешним магнитным полем
[355—357], а также Белов и др. A965)], переходя в ферромагнетизм. Ней-
Нейтронные исследования [343] подтвердили сложную температурную зави-
зависимость магнитной анизотропии Gd, обнаруженную в магнитных измере-
измерениях [351, 358]. При температурах выше 248° К ферромагнитный момент
Gd параллелен оси с. Ниже этой температуры он отклоняется от оси с,
достигая максимального отклонения, равного 75° при 195° К и снова
приближаясь к с до 30° при 4,2° К (см. также работу по нейтронографи-
ческому исследованию монокристалла Gd160 [359]).
Как уже отмечалось, в антиферромагнитной области в Tb, Dy и Но
имеем простую спиральную структуру (ПСС). Период этой спирали в каж-
каждом из этих РЗМ меняется с температурой (рис. 20.37). Волновые векторы
впес отложены по левой оси ординат (в единицах n/dc), а периоды
(в числах плоскостей базиса) по правой оси — как функции приведенной
температуры T/@N для пяти РЗМ. В случае ТЬ и Dy при значениях
9/Эдг, соответствующих левым концам кривых рис. 20.37, имеет место
переход в коллинеарную ферромагнитную структуру Ф (рис. 20.36, е)
с моментом, перпендикулярным оси с. Атомные магнитные моменты, из-
измеренные нейтронографически при 4,2° К, равны 9,0 \1Б для Dy и 9,5 \iB,
для ТЬ. В случае ТЬ наблюдается прекрасное совпадение со значением
момента для свободного иона ТЬ3+. Для Dy у свободного иона момент-
несколько больше и равен примерно 10,0}хБ.
В гольмии (см. [346]) от 0° К до Э = 20° К имеем структуру типа
<DG (или даже несколько более сложную структуру, для которой угол.
— 569 —

раствора конуса также слабо осциллирует). В интервале температур от
0 = 20° К до Эдг 132° К наблюдается антиферромагнетизм со структу-
структурой ПСС. Спонтанный момент, параллельный оси с, равен 1,7ц,Б на атом,
а момент в плоскости базиса равен 9,7(Хб на атом. Если приложить внеш-
внешнее поле вдоль оси Ъ (в плоскости базиса), то суммарный момент равен
Юц-б на атом. Угол <р0 меняется от 51° при QN до 30° при Т ^ Э. У эрбия
(см. [347]) в антиферромагнитной области температур от Э = 53,5° К до
QN = 84° К наблюдается структура типа СПВС. Ферромагнитная же
Pric. 20.37. Величина и температурная зависимость волнового век-
вектора 'q (левая ось) или периода (правая ось) магнитной структуры
тяжелых РЗМ. Волновые векторы отложены в единицах я/<2с, а
периоды — числом базисных плоскостей. В правом нижнем углу
приведена увеличенная кривая для ТЬ. Значения точек Нееля
eN: ТЬ — 230° К, Dy — 179° К, Но — 133° К, Ег — 80" К, Тт
— 56° К.
область Ег (от 0° К до 20° К) имеет структуру ФС, а от 20° К до Э =
= 53,5° К реализуется структура типа СС. При 4J20 К ферромагнитный
момент вдоль оси с равен 7,6|Хб на атом, а нормальная составляющая рав-
равна 4,1ц,Б на атом. Период <р0 в Ег постоянен E1,4°) от точки &N до 53° К.
Затем уменьшается до 20° К и далее снова остается постоянным (см.
рис. 20.37). В тулии (см. [346]) структура СПВС антиферромагнитной
области между SN = 56° К и G = 40° К (?) переходит в ферромагнитную
область, имеющую структуру антифазных доменов, представляющую собой
чередование вида -j—1-++ Н + + Н параллельно (+ )
и антипараллельно (—) оси с магнитных моментов (период этой структуры
обнимает, таким образом, семь последовательных базисных плоскостей
в решетке с гекс. п. у. Период <р0 = 51,4° в Тт постоянен во всем интер-
интервале температур от 0° К до @N (см. рис. 20.37). При 4,2° К момент каждо-
каждого атома Тт равен 7,0|хБ и направлен вдоль или против оси с. Разностный
момент антифазной структуры равен 1цБ на атом вдоль оси с.
В «легких» РЗМ нейтронографические исследования пока не столь
¦обширные, как в случае «тяжелых» РЗМ, установили все же существова-
существование магнитного порядка (кроме Рт и Sm). Уилкинсон и др. [340], [345]
исследовали поликристаллические образцы Се. Как уже отмечалось, Се
при комнатной температуре обладает двумя кристаллическими модифи-
модификациями с г. ц. к. (у-Се) и гекс. п. у. (Р~Се) структурами. При низких
температурах г. ц. к. структура у-Се, равновесная при комнатной темпе-
температуре, превращается в более плотную г. ц. к. модификацию а-Се. В фа-
фазах г. ц. к. (у-Се) и гекс. п. у. (Р~Се) ионы решетки Се трехвалентны
(Се3+) с одним 4/-электроном. Из них модификация гекс. п. у. обладает
магнитным порядком, который имеет вид ферримагнитных плоскостей
с перемежающимся положительным и отрицательным знаком намагни-
намагниченности. Критическая температура @N « 12,5° К. В низкотемператур-
- 570 —

тной г. ц. к. фазе у-Се ионы находятся в состоянии Се4+; они лишены 4/-
электрона и нескомпенсированных магнитных моментов. Поэтому эта
•фаза немагнитна. Магнитный момент Се на атом равен примерно 0,62ц,Б.
Мун и др. [33] обнаружили в Nd переход из пара в антиферромагнит-
антиферромагнитное состояние при &N = 19° К. При Э = 7,5° К происходит переход
в ферромагнитное или ферримагнитное состояние со сложной структурой.
Для Рг Кэбл и др. [341] в предварительном исследовании, по-види-
по-видимому, обнаружили точку Нееля при 25° К.
Нересон и др. [342] показали, что в Ей антиферромагнитный порядок
возникает при 91° К и он имеет вид ПС с осью вдоль одной из кубических
-осей типа [100].
В табл. 20.4 указаны области существования различных магнитных
•структур (их периоды и значения углов <р0), величины точек Кюри Э
и Нееля @N, парамагнитных точек Кюри Э
образцах и монокристаллах. (Эц р %
оси с, а Эпм^ —в плоскости базиса.) Там же указаны значения темпера-
температур ©ъ определенные по максимумам на измеренных кривых темпера-
температурной зависимости теплоемкости соответствующего РЗМ, и, наконец,
значения компопент средних атомных магнитных моментов вдоль гекса~
тональной оси (ц,ц) и в плоскости базиса (ц-jj.
Таблица 20.4
точек Кюри Эпм в поликристаллических
Э соответствуют измерениям %пм вдоль
Т
Ме-
Металл
Се
Рг
Nd
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
(Ce,
ЛЫХ
Некоторые магнитные
8 if °K
12,5C61,3621
20 [361, 362]
7,5C61,362]
14,8 [361,362]
90 [370]
—
229[371]
178,5 [372]
132 [373]
85 [374]
56 [375—377]
в, °К
—
—
—
ill
223
87
20
19,6
38
впм-
°К
—38
—
—15
—60
—
317
236
154
85
42
свойства редкоземельных металлов
ПМ II '
°К
—
—17
—
—
—
195
121
—
62
п°к
—
—И
—
—
—
239
169
88
32
3,4
вх, °к
12,5 [360]
—
19C61,362]
13,6 [363]
—
291,8[364]
12^1 [365]
174'j[366]
^g '/[367]
84-'
53,5 [368]
19,9
55 [369]
Значения среднего магнитного момента на ион (в ед. jxK
Рг, Nd, Sm и Eu) приведены
М-, М-Б
0,62
0,7-
1 0
2,3
1,8
5,9
7,55
9,34
10,20
10,34
8,0
7,0
для
по данным нейтронной дифракции,
РЗМ—из экстраполяции кривых магнитного насыщения
к 0°К,
—
—
—
—
0
0
2,0
7,2
7,0
легких
а для
ц,, и
компоненты магнитного момента на ион (параллельные и перпендикулярные
с) в цБ при 0J К.
—
—
—
—
9,0'
9,5
9,8
4,1
0
РЗМ
тяже-
Ни.-
К ОСИ
б. Данные о магнитной структуре РЗМ из других измерений. Как
уже отмечалось выше, помимо нейтронных измерений, измерения магнит-
магнитных, электрических, гальваномагнитных, тепловых и т. п. свойств РЗМ
также дают нам полезную информацию о магнитной структуре этих веществ.
Остановимся на результатах измерения теплоемкости РЗМ. Сейчас
уже накоплен достаточно большой экспериментальный материал в этой
области. Теплоемкость почти всех РЗМ измерялась в широком интервале
температур 0,4° К <Г <^ ®N и выше <dN. На рис. 20.38 в качестве
— 571 —

Но
\
10-
5 -
/?L
15
10
5
0
~Щ
15y
!
10-
1
5-
0-
мы воспользу-
из этих ре-
примера приведены данные по измерению удельных теплоемкостей Gd, Dyr
Но и Ег *). Точки температурных максимумов Эд, на подобных кривых
приводятся в табл. 20.4.
Обширные исследования теплоемкости РЗМ в интервале 0,4—4° К
провели Лунасмаа и др. [380-—382] (см. также [383, 384]). Теплоемкость
измерялась в интервале от 3 до 25° К в Gd, Tb, Dy, Но и Тт. Эти иссле-
исследования позволили разделить наблюдаемую теплоемкость РЗМ Ср на четы-
четыре части: решеточную — Среш, электронную — Сэл, ядерную Сяд и маг-
магнитную — Смаг — и определить температурный ход каждой из них. После
изложения теории магнитных
свойств РЗМ
емся некоторыми
зультатов.
О магнитных измерениях
в монокристаллах РЗМ см..
например, [385, 386], а также
имеются ссылки на многие
ранние работы.
Весьма интересны также
исследования температурного
хода электросопротивления и
гальваномагнитных эффектов в
РЗМ, которые будут рассмотре-
рассмотрены в гл. 25.
5. Электронный энергети-
энергетический спектр и поверхности
Ферми РЗМ. Как уже неодно-
неоднократно отмечалось, в изолиро-
О
!но
Ег
100
Ж 300
т,°к
Рис. 20.38. Температурная зависимость удельной
теплоемкости Gd, Dy, Но и Ег. Ось ординат для
каждого РЗМ отдельная (Паркинсон [379]).
ванных атомах РЗМ электро-
электроны их оболочек можно разделить
на четыре группы. Первая груп-
группа включает все электроны от Is2 до 4d10, образующие замкнутую оболочку
ионного остова, подобную оболочке инертного газа Хе. Ко второй группе
относятся 4/-электроны — главные носители магнетизма РЗМ. Третью
группу образует замкнутый слой 5s?p6. Этот слой следует отличать от пер-
первого замкнутого слоя ионного остова, поскольку его эффективный радиус
больше радиуса 4/-слоя (см. рис. 20.33). Поэтому эта группа электронов
существенным образом экранирует 4/-слой и дает заметный вклад
в s— /-обменную связь (см. ниже, а также работу Вонсовского и Изюмова
[387]). Четвертая группа состоит из самых внешних электронов оболочки:
6s, 6p и bd. Как видно из табл. 20.1, средние радиусы слоев для электронов
этой группы гораздо больше, чем расстояния между ближайшими сосед-
соседними узлами в решетках РЗМ. Поэтому в металлах, за редким исключе-
исключением, три внешних электрона (QsPbd1) образуют систему коллективизиро-
коллективизированных электронов проводимости.
Понимание магнитных свойств РЗМ, по-видимому, требует деталь-
детального изучения структуры электронного энергетического спектра этих
веществ. Наличие атомной магнитной структуры в редкоземельных эле-
элементах позволяет предполагать, что в них вблизи поверхности Ферми
существуют довольно сильно локализованные электронные состояния
D/). Вместе с тем, как только что отмечалось, часть электронов Ed и осо-
особенно 6s) должна быть коллективизирована, чтобы обеспечить хорошую
проводимость этих веществ. Таким образом, уже самые наивные рассуж-
рассуждения заставляют сделать вывод о большой сложности системы энергети-
*) Данные, опубликованные до 1958 г., приведены в обзоре Паркинсона [379].
Даунта [378]. Укажем также на отдельные оригинальные работы: Gd [364], Tb [365].
Dy [367], Но [366], Ег [368], Tm [369].
— 572 -

ческих полос в кристаллах РЗМ, а следовательно, и о большой трудности
проблемы ее определения.
К сожалению, в настоящее время проблема теоретического определе-
определения электронного энергетического спектра РЗМ количественно, почти
не исследована. Мы не станем здесь подробно обсуждать состояние проб-
проблемы, так как имеющиеся данные не только весьма скудны, но и представ-
представляются нам довольно спорными, а дадим лишь краткий перечень имею-
имеющейся по данному вопросу литературы.
Простейшие качественные соображения относительно поверхностей
Ферми и плотности состояний в РЗМ читатель может найти в обзоре Ка-
суйя [267]. Укажем также серию работ Диммока, Фримена и Ватсона
1105, 388—390], в которых была предпринята попытка рассчитать спектр
РЗМ с гекс. п. у. структурой, исходя из первых принципов. Работа [390]
является обзором, дающим довольно полное представление о современном
состоянии проблемы в целом. Наконец, нужно указать на недавно появив-
появившуюся работу Китона и Лукса [391], в которой рассчитаны спектр и плот-
плотность состояний Gd, Dy, Er и Lu, и на работу Флеминга, Лиу и Лукса
[392] в La, Nd и Рг (см. также [530]).
Имеющиеся в уже цитированных работах, а также в [393, 394] по-
попытки сопоставить получающиеся расчетные данные с экспериментом
не дают, однако, сколько-нибудь хорошего совпадения результатов.
6. Электроны 4/-оболочки и «ионная» модель РЗМ. В противополож-
противоположность 6s- и 5^-электронам, 5s-, bd- и 4/-электроны атомов РЗМ имеют вол-
волновые функции с эффективными радиусами, заметно меньшими расстоя-
расстояний между ближайшими соседями решетки (см. табл. 20.1 и рис. 20.33),
и поэтому эти электроны можно в некоторых отношениях рассматривать
так, как если бы они находились в изолированном атоме.
Из опытов по парамагнитному рассеянию нейтронов (см. гл. 26)
1395—397] оказалось возможным достаточно точно определить эффектив-
эффективный радиус магнитно-активного слоя электронной оболочки ионов в ре-
решетке РЗМ. В случае ионов Nd3+ и Ег3+ он оказался порядка 0,35 А.
При этом р4/ весьма слабо зависит от числа 4/-электронов в оболочке иона.
Можно было бы думать, что в металлах и ионных соединениях эффектив-
эффективный радиус р4/ различен. Однако из сравнения наблюдаемых величин
взаимодействия СТС в металлах и солях, которое зависит от протяжен-
протяженности 4/-слоя, было найдено, что это различие не превышает 10% (Кэрти
и Шафрот [398]).
Малость радиуса р4/ («0,35 А) по сравнению с наименьшими расстоя-
расстояниями между ионами — ближайшими соседями в решетках РЗМ («3,5 А)
позволяет почти полностью пренебречь перекрытием волновых функций
4/-слоев оболочек соседних ионов. Это позволяет выбрать в качестве про-
простейшей модели РЗМ «ионную» модель *), согласно которой кристалл РЗМ
можно представить как решетку трехвалентных ионов, омываемых элек-
электронами проводимости. Именно малость радиуса 4/-слоев делает в извест-
известном смысле проблему /-металлов более простой, чем d-металлов и метал-
металлов группы актинидов, где мы сталкиваемся с большими трудностями
(из-за коллективизации d-электронов).
Каждый ион РЗМ в первом приближении рассматривается изолиро-
изолированно: его квантовое состояние и уровни энергии описываются как в изо-
изолированном трехвалентном ионе с конфигурацией 4/и. Электроны прово-
проводимости рассматриваются по зонной теории как газ фермиевских частиц
с волновыми функциями B0.9). Затем по теории возмущения учитывается
обменная связь между 4/-электронами и электронами проводимости.
Квазикулоновское и обменное взаимодействие внутри 4/-слоя оказы-
оказывается гораздо более сильным, чем s — /-взаимодействие. Поэтому
*) См. работы Вонсовского и Изюмова [323, 399], де Жена [322], Турова [325],
Нагамийя [320, 321].
— 573 —

сначала можно рассматривать энергетические уровни электронов изолиро-
изолированных ионов. Электроны 4/и-конфигурации взаимодействуют в основном
с центрально-симметричным потенциалом, создаваемым внутренними
замкнутыми оболочками ионного остова. Кулоновское и обменное взаимо-
взаимодействия внутри 4/-слоя снимают вырождение, и получающиеся уровни
трехвалентного иона РЗМ можно классифицировать по квантовым числам
I/ и S (гл. 2) в соответствии с рессел-саундерсовской связью. Из-за спин-
орбитальной связи, которая в этих ионах достаточно велика, энергия
иона зависит не только от абсолютных величин векторов L и S, но и от их
взаимной ориентации, т. е. они зависят и от квантового числа / суммар-
суммарного момента иона: J = L -\- 8. Спин-орбитальное взаимодействие рас-
расщепляет уровни энергии с различными значениями /, образуя мульти-
плеты тонкой структуры терма с заданными значениями L и S. Разность
энергий между соседними уровнями мультиплета Аёсо в ионах РЗМ ока-
оказывается достаточно большой (~1000 см'1, см. гл. 10). Исключением
являются элементы Sm и Ей, у которых это расщепление гораздо меньше
из-за малости значений J = S — L « 0. -Поэтому при низких темпера-
температурах, когда Дёсо Э> к-?,Т 1 заселен лишь основной уровень мультиплета.
Основные термы конфигураций 4/" определяются согласно правилам
Хунда (гл. 2) и приведены в табл. 20.3. При максзмальном S реализуется
максимально возможное L и / = | L — S \ или | L -\- S | соответственно
для ионов С7г<^7и7г>7. Например, для Gd (n = 7) максимальное зна-
значение S =G/2) получаем, когда все семь 4/-электронов имеют одинаковые-
проекции спина, например ms = +1/2. Но тогда по принципу Паули все-
они должны находиться в разных орбитальных состояниях mL = ±3Т.
±2, ±1,0. Поэтому в этом случае S = 7/2, L = 2 ть = 0, J —
= | L — S | = 7/2 и основной терм иона Gd3+ будет 2S+1Lj —>-86r7/2-
При заданном значении /2 состояние иона еще B/ + 1)-кратно вы-
вырождено по направлению вектора /. Это вырождение полностью сни-
снимается лишь внешним магнитным полем, а частично может быть снято
и внутрикристаллическим полем лигандов (см. гл. 10). Благодаря хорошей
экранировке 4/-слоя (замкнутой оболочкой 5s25p6 и электронами проводи-
проводимости) влияние поля лигандов в РЗМ заметно меньше (на порядок вели-
величины), чем, например, в d-металлах и соединениях РЗМ. Величина его
оказывается порядка 100 см'1, т. е. на порядок меньше мультиплетного
расщепления Аёсо- Поэтому поле лигандов в РЗМ не приводит к явлению
замораживания орбитальных моментов 4/-слоя. Как показали теоретиче-
теоретические оценки (Уайт и Анделин [401]), расщепление в поле лигандов с ростом
числа электронов в 4/-слое убывает от значения в 600 см'1 для Се3+ до
100 см'1 для Yb3+. Важно заметить, что электрическое поле лигандов
в РЗМ существенным образом влияет на магнитные свойства РЗМ, по-
поскольку оно определяет магнитную анизотропию этих кристаллов (см.
ниже).
§ 7. Микроскопическая s —/-обменная модель
1. Гамильтониан s —/-обмена. В § 5 были рассмотрены основы
s — /-обменной модели, в которой не рассматривался вопрос о происхо-
происхождении магнитного порядка в кристаллах типа РЗМ, где перекрытие
4/-слоев электронной оболочки соседних ионов практически отсутствует,
и поэтому отсутствует и прямой / — /-обмен. Более детальное выяснение
вопроса о природе косвенного обмена между 4/-слоями через электроны
проводимости [о которых уже шла речь выше, см., например, форму-
формулу B0.55)] требует уже разработки микроскопической теории s — /-обме-
/-обмена. К изложению ее основ мы здесь и приступим. Как и выше, выделяем
две группы квазичастиц: в данном случае это электроны незаполненных
/-слоев и электроны проводимости. Первые описываем локализованными
(атомными) волновыми функциями, а вторые — блоховскими модулиро-
.— 574 —

ванными плоскими волнами B0.2). Оператор s — /-обменного взаимодей-
взаимодействия [см. B0.7), B0.10), B0.58) и B0.59)], согласно векторной модели
Дирака, с точностью до постоянного члена можно записать в виде
<Шв1=— 2 YiAsfirt — Hn)(SiSn), B0.108)
г, га
где Si, Vi HjSn, Hn — соответственно операторы спина и радиусы-векторы
электрона проводимости и суммарного спина парамагнитного иона в узле
п кристалла. Спин 8п складывается из спинов z неспаренных электронов
незаполненного /-слоя, так что максимальная проекция спина узла равна
S = z/2, Asf (ri — Мп) — s — /-обменный интеграл. Как и в случае
B0.66), запишем гамильтониан B0.108) в представлении вторичного кван-
квантования для электронов проводимости:
Sesf=— 22 2 8n(ko\A,i(r — Rn)s\k'a')alaak'a.. B0.109)
га к, к'
о, а'
В силу мультипликативности спиновой и координатной частей функции
B0.2), а также трансляционной инвариантности ее модулирующего факто-
фактора и (к; г) = и (к; г-\-Мп) (где JRn — любой вектор произвольного узла
кристалла), матричный элемент в B0.109) примет вид
(ко | Л/(r — Лп) | к'о') = N-1 exp[i(к/ — к) Вп) Asf (kk')(o\s\ о'), B0.110)
где ASf (kkr) — фурье-образ s — /-обменного интеграла (см., например,
[45, 46]), N — число узлов решетки. Величины (о \ sa \ о') — матрицы
Паули [а = х, у, z; см. B0.70)]. Подставляя B0.110) в B0.109) и исполь-
используя B0.70), находим *)
^s/=—iV 2 ASf(k;k')exTp[i(k' — k)Itn]{at-ak'+gn +
к, к';п
-V ял+ал'-о„ -\-(ак-ак'-— ак+ак'+) !>„}, (Л).111}
где §± = S% + §% и вместо индексов ст = ±1/2 для краткости стоит про-
просто индекс + или —. Гамильтониан s — /-обмена в формуле B0.111) впер-
впервые был получен, для s — d-обмена в работе Вонсовского и Турова [47]т
а затем независимо в работах [194, 290, 402, 403]. В гл. 19 уже отмечалось
в общем случае, что обменные гамильтонианы типа B0.108) не являются
общими, поскольку при выводе их из общего гамильтониана A9.132)
системы взаимодействующих электронов был введен ряд ограничений.
Во-первых, вводится дополнительное условие гомеополярности, т. е.
предположение о постоянстве числа /-электронов около узлов и величины
их результирующего спина. Во-вторых, очень часто интегралом движения
является не полный спин узла Sn, а полный момент Jn = Ln + 8п, где
Ln — полный орбитальный момент.
Первое из этих ограничений было частично устранено в работе Вон-
Вонсовского и Свирского [404], показавших, что обобщенный s — /-обменный
гамильтониан без ограничения условием гомеополярности можно записать
в виде
ФЬs/ ^ ФЬs/ —р ФЪ$f •) ^ZU.llZ^
где
V
<Й?<1) __ у 1 у Д /^,. J^ ) e-Sj B0 113Y
• г, га Я.= 1
г, га Я.! < Л2
*) Формула B0.111) может быть обобщена на тот случай, когда система «-электро-
«-электронов описывается по многополосной схеме (см. Касуйя [267]).
— 575 —

Здесь Kk (к = 1, 2, .•. ., v) — индексы v орбитальных состояний /-слоя
иона в узле п; v может принимать значения 2 <; v <С 2 BZ + 1), где I —
орбитальное квантовое число слоя; ^s/д (**г — -Кп) — s — /-обменный инте-
интеграл состояния Я;
8п= S «пи, in.x1iI = -8ni1—Snij. B0.115)
Я1
Из сравнения B0.113) и B0.108) видно, что <WiP совпадает при замене /
на d с обычным гамильтонианом s — d-обменной связи (в приближении
гомеополярности) при условии, что
Atf (rt - Rn) = V1 2 Atf, х (п - Лп),
я.
•а <Ш1Т эт0 часть s — /-гамильтониана, учитывающая переходы в системе
« изменением мультиплетности ионов переходных элементов *). Это имеет
общее значение. Действительно, обычно при рассмотрении обменного
взаимодействия электронов применяют выражение Дирака [см. Дирак
(I960)], выведенное для случая Sn — 1/2 к случаю Sn > 1/2. Такое «обоб-
«обобщение» не строго, поскольку при этом упускают из виду возможность изме-
изменения величины спина re-го иона 8п (предположение абсолютной «жестко-
«жесткости» спина). Гамильтониан B0.112) свободен от этих недостатков, и он
позволяет уточнить понятие «жесткости» спина /-слоя. Эта жесткость опре-
определяется не столько энергией Хунда,, как это принято считать, сколько
малостью разности обменных интегралов Asf, \ и Asfi \ , ибо при ASf, % «
г» ASf, % главную роль играет оператор St^-, куда входят суммарные
«пины ионов. Указанное обобщение может учесть влияние изменений
мультиплетности на ряд физических свойств кристаллов (см. ниже)**).
Отказ от второго из упомянутых выше ограничений (не считать, что
J — хорошее квантовое число) был проведен впервые в работе де Жена
{337], предложившего заменить в формуле B0.108) оператор вектора спина
иона 8п его проекцией на вектор полного момента «/"„, равной (gj — 1) Jn,
где gj — фактор Ланде. Поэтому гамильтониан B0.108) принимает вид
-l)J1Asf(ri-Mn)siJ^ . B0.116)
г, п
Лиу [405] первый сделал попытку доказать гипотезу де Жена. Используя
разложение волновых функций электрона проводимости по сферическим
гармоникам, Лиу получил главный член в операторе s — /-взаимодействия
в виде изотропной обменной связи B0.116). В своем расчете Лиу исполь-
использовал условие кф р4/ <С 1 (&J> — волновое число электрона проводимости
на уровне Ферми). Это условие означает, что дебройлевская длина волны
электрона проводимости больше размеров 4/-слоя (т. е. можно пренебре-
пренебрегать зависимостью волновой функции этого слоя от направлений в кри-
кристалле — предположение изотропности взаимодействия). Каплан и Лай-
¦онс [409], отметив, что критерий применимости приближения Лиу выпол-
выполняется в реальных РЗМ не очень хорошо (кф « 1,5-108 см'1, р4/ « 0,35 А,
таким образом, &фР4/ ~ 0,5), указали на необходимость учета следующих
членов разложения. В итоге в операторе s — /-обмена, кроме изотропного
первого члена типа B0.116), появились еще анизотропные добавки типа
^и^? (Р> се = х, у, z), а также обменные члены, не зависящие от операторов
*) В феноменологической трактовке обобщение работы Вонсовского и Свирского
1404] сводится к тому, что оператор B0.7) заменяется оператором &€sf = atsS -\- a2sA,
где обменный энергетический параметр % и спиновый оператор S оба симметричны от-
относительно орбитальных состояний, а параметр а2 и оператор А — оба антисиммет-
антисимметричны.
**) Наиболее полное обобщение гамильтониана / — /-, d — d- и s — /-, s — d-
обменной связи на случай нескольких электронов в /- (или d-) оболочке провел Ирхин
|406] (см. также [407, 408]).
— 576 —

спинов s- и /-электронов *), которые могут иметь существенное значение
для характера атомной магнитной структуры РЗМ. Дальнейшее обобще-
обобщение B0.116) с учетом изменения мультиплетности по квантовому числу /,
а пе S, провели Вонсовский и Свирский [410].
Во всех расчетах в выражение оператора 3?Sf входит фурье-образ
s — /-обменного интеграла ASf, я. (к, к'). В работе Вонсовского [46] для
него было получено следующее выражение:
Atf(k,k')= \ №(k;r)q>f(r')V(r-r')\t>s(k';r)<pf(r')drdr', B0.117)
где V(r — '/*') — потенциал электростатического взаимодействия пары s-
и /-электронов, ф3 (А;; т) —декартова часть волновой функции электрона
проводимости. Из этого общего вида трудно выяснить зависимость ASf
от квазиимпульсов к и к'. Однако это может быть и не очень существенно.
Ниже будет показано, что в выражения для ряда физических величин
Abf (к, к') входит при значениях А; и к', близких к фермиевским кф и кф,
из-за сильного вырождения электронов проводимости РЗМ. Если предпо-
предположить, что в РЗМ при к « кф интеграл Asf (к, к') меняется медленно,
можно в этих случаях полагать, что ASf (к, к ) « ASf (кф, кф) я* Asf @).
По различным оценкам (см. Изюмов и Носкова [411]) абсолютная величи-
величина ASf @) составляет 10~14—10~13 эрг. Поэтому условие для малого пара-
параметра теории ASf @I1, <С 1 из B0.63) хорошо выполняется (? = 10~п—
- Ю-12 эрг).
Касуйя [267] для случая Gd провел численные оценки обменного
интеграла ASf (к, к') = 2 1-пР-п (&*'-*)» гДе Рп(х) — полином Лежандра
п
п-то порядка, используя метод ортогонализованных плоских волн для
описания s-электронов, а для функции 4/ использовал расчеты Фримена
и Ватсона [329]. В результате расчета Касуйя получил
/0«3,2-10-13 эрг; /1 = 8,5-10-1* эрг; /2 = 0,3-104 эрг. B0.118)
Случай других РЗМ обсуждается лишь качественно в работах Каплана
и Лайонса [409] и Касуйя и Лайонса [412].
В рамках теории возмущения по этому параметру мы можем теперь
рассмотреть вопрос о распределении спиновой плотности s-электронов
и о косвенном взаимодействии /-электронов через электроны проводимо-
проводимости. Ради упрощения расчета будем, как правило, пользоваться прибли-
приближенным оператором B0.108) или B0.111).
2. Влияние s—/-обмена на спиновую плотность s-электронов и кос-
косвенный / — /-обмен через электроны проводимости. Для средней плотно-
плотности электронов проводимости в металле с определенной проекцией спина
ст на расстоянии /' от парамагнитного /-иона имеем
Ра (Г) = 2 <& ('% S) % (Г, *)>, B0.119)
S
где символ (...) означает усреднение по статистическому ансамблю A9.164).
Подставляя в формулу B0.119) разложение B0.67), получаем следующее
выражение для плотности B0.119):
() , q = k-k'. B0.120)
к, q
а. Общее выражение для интеграла косвенного обмена. Эффективное
косвенное взаимодействие парамагнитных ионов можно получить, пре-
преобразовывая гамильтониан B0.108) путем исключения из него электрон-
электронных операторов. В первом приближении это может быть достигнуто
*) Эти члены обусловлены обменом орбитальной составляющей вектора / с орби-
орбитальным моментом электронов проводимости (Ирхин [406]).
-37 с. В. Воксовский — 577 —

усреднением электронных операторов, а именно
s/(fc, fc + g)exp( — iqBn)Sn 2 (ff I вЮ
n k, q a, o'
B0.121)
Из B0.120) и B0.121) видно, что спиновая плотность и косвенный обмен
выражаются через один и тот же недиагональный электронный корреля-
коррелятор (afc + g> adk,o') [см. A9.166)], который удобнее всего вычислить с по-
помощью метода двухвременных функций Грина по Боголюбову — Тябли-
кову [413]. Используя спектральное представление и спектральную тео-
теорему (см. гл. 19 или Зубарев [414]), для искомого коррелятора получаем
B0.122)
где ((flfca'| afc+«, o))^ — двухвременные функции Грина в энергетическом
представлении. В B0.122) следует взять пределы е—>0 при е>0. Урав-
Уравнение для этих функций имеет вид (гл. 19)
(Ш — Вк) ((<1ко> | afc+g, a» = ^- бдобаа' —
к" а" п
где efc — энергия электрона проводимости. Интегральное уравнение B0.123)
можно решить с помощью итераций:
2 ^V+^ • • • B0-124)
Такое разложение эквивалентно обычной теории возмущений. Подставляя
разложение B0.124) в формулу B0.122), находим
nk+q^nk flB(p|'|p^ B0.125)
" ~ 8fc+g 8fc
где пи — фермиевская функция распределения A1.14) для электрона с квази-
квазиимпульсом к. Подставляя выражение B0.125) в B0.121), получаем эффек-
эффективный гамильтониан в обычной дираковской форме:
cin ^^ Л I ~гъ ~гъ \ / ?f . ?f \ ^90 1 9fiV
п, т
Косвенный интеграл обмена ^4КОсВ (-Кп — -Km) задается разложением в ряд
Фурье
, (Bn — Rm) = N-1 2 АКОСВ (q) exp [iq(Rn - Вт)], B0.127>
где фурье-компонента AK0CB(q), определяющая амплитуду рассеяния элек-
электрона проводимости на 4/-слое, имеет вид
?)= -N-^Al/ik, k + q) n^qZlk • B0.128)
k
— 578 —

В более общем случае (см. Касуйя [267], Ирхин [406]) вместо изотроп-
изотропного обмена B0.126) будем иметь сложную анизотропную обменную связь
Лосв (-«„— Rm; Ln, Lm). B0.129)
Кроме того, B0.126) можно легко обобщить на случай модели многих
полос (к -*¦ v, к) и на решетки, обладающие р атомами в единичной ячейке
п -¦*¦ п, t (t = 1, 2, . . ., р). Поэтому, например, исходя из работы [267],
формулу B0.130) в более общей записи можно представить, например,
в виде
ЛЙсв"'0 (д) = - Ж 2 А*Р (v*, v'fc') А$ (v'*', v*) X
v, v'; к
X exp [i (к —к') (Bnt - Rn'v)] K<fc<- Щк) (ev-fc- - е,*)- B0.130)
Здесь естественно еще раз вернуться к вопросу о возможности рас-
рассмотрения s — /-обменного взаимодействия B0.108) как энергии возмуще-
возмущения. Прежде всего необходимо напомнить о наличии малого безразмерного
параметра, по которому можно вычислять ряд теории возмущений. Как
уже отмечалось выше, энергетический параметр в B0.108) по порядку ве-
величины определяется двумя характерными энергиями в случае, например,
ферро- или антиферромагнитных РЗМ, а именно с точками Кюри Э или
Нееля вдг и энергией Ферми ?. Действительно, из B0.128) видно, что
интеграл косвенного обмена, величина которого и определяет температу-
температуры в или Эдг, связан с параметром ASf (г — -К„) из B0.108) или As/ (q)
из B0.111) соотношением АКОСВ « A\f (g)/?. Таким образом, имеем
Alt (9)/? ~ &б© (или kE@N) или А8/ « ]/&Бв?. Отсюда сразу следует, что
безразмерный параметр т] равен
ибо в РЗМ Э или QN « 10 -4- 100° К, а ? = №—\0ъ °К. Таким образом,
т] лежит в пределах 10~2—10 и, следовательно, может служить малым
параметром теории возмущения. См. также работу [400].
Выражение B0.128) получено в предположении, что имеется только
одна незаполненная энергетическая полоса для s-электронов. Суммирова-
Суммирование по /г в B0.128) проводится по всем волновым векторам первой зоны
Бриллюэна. Из B0.128) видно, что характер зависимости косвенного
обменного интеграла от расстояния между магнитными ионами опреде:
ляется тремя факторами: 1) законом дисперсии электронов проводимости
6fc', 2) степенью заполнения полосы и 3) зависимостью s — /-обменного
интеграла ASf (к, k+q) от изменения волнового вектора q при электрон-
электронном переходе. Строгий учет этих факторов связан с большими принци-
принципиальными трудностями. Главная из них обусловлена тем, что в выраже-
выражении B0.128) суммирование ведется не по узкому интервалу состояний
вблизи поверхности Ферми (квТ <^ ?), а по всей энергетической полосе.
Таким образом, для B0.128) существен вклад электронов, лежащих глу-
глубоко под поверхностью Ферми, где их уже незаконно считать свободными
ферми-частицами даже с произвольным законом дисперсии (см. гл. 11).
Правда, некоторую надежду на успех можно получить, если обратиться
к анализу результатов, полученных при изучении рентгеновских спектров
электронов проводимости в металлах (см., например, [323] или § 4Г
п. 6, а), которые показывают, что существует удовлетворительное каче-
качественное соответствие между наблюдаемой интенсивностью в полосах
рентгеновских спектров и плотностью электронных энергетических уров-
уровней в полосе проводимости, рассмотренной в рамках обычной зонной
модели. Тем не менее, конечно, с указанной трудностью необходимо
считаться, и она заслуживает специального подробного исследования
(см. также ниже § 8, п. 3, б).
— 579 — 37*

Представляет-трудности и третий из указанных выше факторов, ибо
нам неизвестен конкретный вид зависимости интеграла As/ (к, к -\- q) от
к, к -\-q. Поэтому обычно принимают указанную выше простейшую гипо-
гипотезу, что ASf (к, к -\- q) = Asf (q) « Asf @), где Asi @) — константа,
не зависящая от q. Эта гипотеза соответствует предположению о локаль-
локальном характере обменного взаимодействия электрона проводимости с лока-
локализованным электроном незаполненной оболочки *). Фактически замена
ASf (Q) на ASf @) означает, что поперечник рассеяния электрона прово-
проводимости на 4/-слое не зависит от величины импульса и угла рассеяния.
Для существенно анизотропного распределения электронной плотности
в 4/-слоях это приближение кажется слишком грубым. В этом приближе-
приближении интеграл косвенной связи B0.128) определяется выражением
Alf(O) ^ 8fc+g-8,
= У nA— + ~~: 1- B0-l31)
8fc+g
Обратимся теперь ко второму из указанных факторов. При слабом
заполнении полосы, когда можно приближенно принять квадратичный
закон дисперсии, сумма в B0.131) легко вычисляется (см. [267, 399]):
B0Л32,
где Ns — число электронов проводимости. Подстановка выражения
B0.132) в B0.127) приводит к осциллирующему характеру зависимости
косвенного обмена от расстояния (впервые полученного в теории сверх-
сверхтонкого взаимодействия в работе Рудермана и Киттеля [51])
), B0.133)
где
F(x)= xcosx~smx B0.134)
и использовано соотношение
N-1 ^ Ф (в) exp (iqS) =-l2n^-F BкФЩ.
ч
Такой дальнодействующий характер обменного взаимодействия суще-
существенно сказывается на свойствах кристаллов, например в сильно разбав-
разбавленных растворах парамагнитных ионов в немагнитной матрице [194],
а также в РЗМ, где наблюдаются геликоидальные магнитные структуры**).
б. Влияние заполненности энергетической полосы на величину Акосв.
Представляет существенный интерес исследовать косвенный обмен как
функцию заполнения полосы проводимости (см. Вонсовский и Изюмов
[418]). Прежце всего заметим, что для целиком заполненной полосы выра-
выражение B0.133). и косвенный обменный интеграл B0.127) обращаются
в нуль. С математической стороны это является следствием периодичности
*) В известном смысле эта гипотеза сближает рассматриваемую задачу с упоми-
упоминавшейся в п. 1 проблемой ядерной поляризации, исследованной еще Фрелихом и На-
барро [268] и Бломбергеном и Роуландом [415] с локальным фермиевским взаимодей-
взаимодействием.
**) Вопрос о физическом механизме возникновения и свойствах магнитных гели-
геликоидальных структур в диэлектрических и металлических антиферромагнетиках
детально исследовал Дзялошинский [416, 417] (см. ниже).
— 580 —

энергии электронов проводимости ек в пространстве обратной решетки,
а с физической он совершенно очевиден. Если обозначить заполненную
область /^-пространства первой зоны Бриллюэна через I, а незаполнен-
незаполненную — через II, то в силу только что высказанного утверждения, соглас-
согласно B0.131), имеем
B0.135)
где 2 и 2 означают соответственно суммирование по заполненной и
к к
свободной частям /с-пространства.
Рассмотрим теперь случай почти заполненной полосы, соответствую-
соответствующей наличию дырок в области II, где энергию электрона можно предста-
представить в перенормированном виде
гк = и-гк. B0.13C)
Здесь ей—положительная энергия дырки, a U—энергия максимального
уровня полосы. Из B0.135) имеем теперь
ф (fl) = 2" [V-4—+ 7-T—] • B0.137)
к 8fc~~~8fc-g 8fc~~~8fc—q J
Это означает, что в почти заполненной полосе с квадратичным законом
дисперсии для дырок характер косвенного обмена будет таким же, как и
для слабо заполненной полосы. В обоих случаях косвенный обменный инте-
интеграл имеет осциллирующий характер B0.133) только для почти заполнен-
заполненной полосы. Под Ns следует понимать число дырок в полосе, а под кф ра-
радиус сферы, ограничивающей незанятые состояния /с-пространства.
В тех же случаях, когда уровень Ферми проходит где-то в середине
полосы и приближение постоянной эффективной массы заведомо неприем-
неприемлемо, ситуация усложняется, и без выяснения конкретного вида выраже-
выражения B0.135) невозможно определить характер косвенного обмена. Однако
из того факта, что для целиком заполненной полосы выражение <р (q)
обращается в нуль, следует, что область /^-пространства, соответствующая
середине полосы, должна давать противоположный по знаку вклад
в ф (q) (при фиксированному), чем те области, которые соответствуют дну
или верху полосы.
Таким образом, мы приходим к выводу: когда полоса почти пуста или
заполнена почти целиком, косвенный обмен имеет одинаковый характер,
благоприятствующий появлению ферромагнетизма или геликоидального
порядка атомных магнитных моментов (Иосида, Ватабе [419]). Если поло-
полоса заполнена примерно наполовину, характер косвенного обмена резко
изменяется. Есть основание предполагать, что в этом случае возможен
антиферромагнитный порядок атомных магнитных моментов. Конечно,
точно очертить границы в полосе, разделяющие эти области, в общем виде
невозможно.
в. Обменная поляризация электронов проводимости магнитными иона-
ионами. В тесном отношении к косвенному обмену стоит вопрос о характере
обменной поляризации электронов проводимости, как собственными, так
и примесными парамагнитными ионами (парамагнетизм которых обуслов-
обусловлен наличием нескомпенсированного момента внутренних /- или d-слоев).
Как показал Иосида [194], вокруг парамагнитного иона будет возникать
неоднородная поляризация электронов проводимости. Если в форму-
формулу B0.120) подставить выражение B0.125), в котором взять только один
- 581 -

член из суммы по п и положить Rn = 0, то получим
Р± И = §- + -^М- 2 exp(iflr) {^ 2 ^+9Z"fc} . B0-138)
где ? — спин парамагнитного атома (иона).
Сравнивая выражение B0.138) с формулами B0.127) и B0.128), видим,
что пространственное распределение спиновой поляризации электро-
электронов проводимости описывается по существу тем же выражением, что
и энергия косвенного обмена. Следовательно, все выводы относительно
характера этого распределения в зависимости от заполнения полосы, сде-
сделанные для последней, автоматически переносятся на спиновую поляри-
поляризацию. В частности, когда полоса почти пуста или заполнена почти цели-
целиком, то должен быть один и тот же характер обменной поляризации элек-
электронов проводимости, и он должен существенно меняться при заполнении
полосы, примерно на половину.
Экспериментально спиновая поляризация электронов проводимости
парамагнитными ионами должна определяться на основании изучения
нейтронного магнитного форм-фактора и эффективного магнитного момен-
момента примесных парамагнитных ионов (см. гл. 21), растворенных в немаг-
немагнитной матрице нормального металла. Поскольку магнитный форм-фак-
форм-фактор [см. B0.5)] определяется фурье-компонентой нескомпенсированной
спиновой плотности, то из B0.138) легко получить выражение для эффек-
эффективного форм-фактора ^(^парамагнитного иона в металле [420], которое
имеет вид (см. также [399], Изюмов и Озеров A966) и § 2)
¦, B0.139)
2 ??
к+ q к
где F(q) — форм-фактор изолированного парамагнитного иона. Второй
член в B0.139) дает поправку к форм-фактору, обусловленному элек-
электронами проводимости. Обычно величина F(q) нормируется так, чтобы
F@) = S. Таким образом, полагая в B0.139) q = 0, получаем немедленно
эффективную величину спина парамагнитного иона (см. Изюмов и Носко-
ва [411]):
к
Выражение B0.140) можно записать также и в таком виде:
S = S[i + VoAsf(O)g(Z)], B0.141)
где g (?) — функция плотности состояний электронов проводимости
у поверхности Ферми Z, на единицу объема, даваемая формулой B0.26),
a Vo — объем элементарной ячейки кристалла. Формула B0.141) в комби-
комбинации с измерениями электронной части теплоемкости металла, опреде-
определяемой, как известно (см. гл. 11), плотностью электронных состояний
у поверхности Ферми g (?), позволяет в принципе определить s — /-обмен-
/-обменный интеграл (по крайней мере оценить порядок его величины). Из изло-
изложенного также следует, что изучение эффективного магнитного форм-фак-
форм-фактора в разбавленных сплавах (типа Мп — Си) позволит уяснить характер
косвенного обменного взаимодействия между парамагнитными ионами
в таких сплавах (см. гл. 21).
В принципе существует еще метод, с помощью которого можно было
бы определить величину энергетического параметра s — /-обменного вза-
взаимодействия, используя неупругое рассеяние нейтронов в ферромагнит-
ферромагнитном кристалле (см. гл. 26).
— 582 —

3. Последовательное квантовое рассмотрение s—/-обмена. Изложенные выше
расчеты обладают известными недостатками. Во-первых, в них не учитывается возмож-
возможность прямого обмена «магнитных» электронов и, во-вторых, они не совсем последова-
последовательны, поскольку теория возмущения в них строится лишь для состояний электронов
проводимости, операторы же спина внутренних электронных оболочек рассматрива-
рассматриваются как с-чпсла. Теперь мы откажемся от этого упрощения и будем учитывать опера-
операторный характер спина /-слоя.
а. Общие формулы. Если учесть прямой обмен, а также следуя методу Холстейна
и Примакова [246], операторы спина Sn электронных /- или d-оболочек заменить опе-
операторами вторичного квантования Ьп и S+, которые в спин-волновом приближении
удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (см. гл. 19), то гамильто-
гамильтониан s — /-системы можно представить в виде [421, 387, 399]
<%' = <g#0+#s'/, B0.142)
^;=S4<%+E8Av B0-143)
к, а . q
I/2 S Asf (fefc/) s (fe'-fe+?) DA-A+
kk'q
q) (a+k_ak, -a+^fc,+) 6J6,, B0.144)
= ~~ (~тгI/2 S
kk'
««'
где
B0.145)
B0.146)
— соответственно энергия электронов проводимости со спином а и спиновых волн
с квазиимпульсом q, возникающих в системе внутренних /-электронов под действием
прямого обмена; А — интеграл прямого обмена для узлов ближайших соседей; йсо5 =
= gs\iBH, Ь (Of = gj\iBH — зеемановские энергии, gs, gf — факторы Ланде s- и /-элект-
/-электронов; // — внешнее магнитное поле.
Диагональная часть гамильтониана B0.143) равна сумме энергий элементарных
возбуждений системы спиновых волн и электронов проводимости, причем последние
подмагничены обменным взаимодействием с намагниченными до насыщения внутрен-
внутренними /-слоями. Спектр элементарных возбуждений системы содержит, таким образом,
две ветви: фермиевскую (электроны проводимости) и бозевскую (спиновые волны).
Оператор offlsf из B0.144) описывает взаимодействие этих двух типов возбуждений.
Связь s- п /-электронов приводит в рассматриваемом приближении к двум эффектам:
1) изменению энергии электронов проводимости [см. членсЛ5у (кк) в B0.145)] и 2) вза-
взаимодействию их со спиновыми волнами, вызывающему переходы между нулевыми энер-
энергетическими уровнями системы и приводящему к затуханию элементарных возбуж-
возбуждений.
Используя, как и выше, метод функций Грина (см. гл. 19), можно пайти сред-
средние статистические от чисел заполнений (ajtuwj) и (bqbq), которые определяют рав-
равновесные функции распределения электронной ге^ и спиновой п систем. Производя
расцепление системы уравнений для соответствующих функций Грина, эквивалентное
второму порядку теории возмущений (см. [399] или гл. 19), можно найти функции рас-
распределения для электронов проводимости:
, B0.147)
где
"8fc=sfc— S Ц =f у) Asf (kk), B0.148)
а у — относительная намагниченность электронов:
0 = 1— ^v2re4' B0.149)
q
Функция распределения спиновых волн имеет вид
Bа15°)
5.83

где
А = iV-i 2 Asf (**) (" * — «л). B0.151)
к
Ра^)=-2-_2 ^s/(fc' fc~g)("fc-g~refc) B0.152)
2 Asf (к, k—q) (n\_q—n%) 6 {% — 8^ + 8^_д). B0.153)
fc
В рассматриваемом приближении B0.147) есть фермпевская функция распре-
распределения для электронов проводимости, энергия которых B0.148) изменена взаимодей-
взаимодействием с /-электронами. Выражение же B0.150) представляет суперпозицию бозевских
элементарных возбуждений с резонансной интенсивностью и затуханием у Сё), давае-
даваемым формулой B0.153).
В случае малого затухания резонансная функция под знаком интеграла B0.150)
имеет острый максимум в точке % — г , определяемой из уравнения
^g-8g-Pg(sg) —А = 0, B0.154)
и приближенно может быть заменена б (%—еЛ)-функцией. Таким образом, прене-
пренебрегая затуханием, вместо B0.150) теперь имеем обычную бозевскуго функцию рас-
распределения
Bо-155>
Следовательно, величины 8д и 8? имеют смысл энергий элементарных возбуж-
возбуждений при заданной температуре. В приближении, принятом здесь для фермиевских
гриновских функций, фермиевские возбуждения не затухают, затухание появится
лишь в следующих порядках возмущения.
б. Намагниченности /- и s-подсистем. Полученные функции распределения позво-
позволяют вычислить многие равновесные термодинамические величины металла, например
намагниченность. Оператор магнитного момента вдоль оси z имеет вид
[}—~М 2 "b^q )+1*б2 ("*-"*--"*+"*+)• B0.156)
q к
Усреднив B0.156) по статистическому ансамблю, выразим Мг через функции рас-
распределения:
Mz = (Mz) = gliBSN (l-J-V nq)+1 gliE У. (пъ-пЬ. B0.157)
Первый член дает намагниченность /-электронов ферромагнетика гейзенберговского
типа (см. гл. 19) в спин-волновом приближении. Второй член дает вклад в намагничен-
намагниченность за счет электронов проводимости. Вычисляя последнюю сумму в B0.157) и ис-
используя B0.149), можно записать B0.157) в виде
Мт^Т) B0И58)
где
— абсолютная намагниченность /-электронов. Поскольку закон дисперсии для спино-
спиновых волн при учете s — /-обмена остается квадратичным (см. ниже), то для намагни-
3 /
ченности ферромагнитного металла имеем обычный температурный «закон Т /2» (гл. 19).
в. Явный вид спектра спиновых волн. Две ветви спектра. Определим теперь явный
вид спектра спиновых волн^д из уравнения B0.154), используя B0.151) и B0.152):
«,=«,+*¦« 2 ^(fe- *) <»i-»t>+-? 2 ^*-f(:v-"*). B0Л59)
k k eq—Sk~ek~q
Найдем решение B0-159) при q = 0. В этом случае, согласно B0.146) и B0.148),
80=Йю/; е^ — s^ = to.s—2Asf (fe, k) и.
— 584 —

Далее примем приближение, что Asf (к, к) ^±Asf @); тогда уравнение B0.159)
будет квадратным и его корни равны
ео = у [ Л (ю5+ю/) + 2SAsf @) A + y) ] ±
+ 2SAsf @) A + г/5)]2-4 [Лю^ + г^Л^ @) h (cos-bco/)]}1/2, B0.160)
гДе l/s — относительная намагниченность электронов проводимости:
И{п*-п+*>- B0Л61>
В частном случае, когда gs = gf, tos = ro/ = ro0, B0.160) принимает вид
"^^ ТB' + г/5). B0.162)
Из B0.162) видно, что в ферромагнитном металле имеется две ветви спиновых волн.
В отсутствие магнитного поля (Н = 0) первая ветвь не отделена щелью от основного
состояния 80<1> = 0 *). Вторая «оптическая» ветвь спиновых волн связана с подмагни-
чиванием электронов проводимости s — /-обменным взаимодействием. Система этих
электронов имеет свой спонтанный магнитный момент, так что металл в целом стано-
становится эквивалентен ферриту с двумя магнитными подрешетками (см. гл. 22). Для фер-
феррита же характерно наличие в спектре возбуждений высокоэнергетической ветви
с энергией порядка обменного взаимодействия различных подрешеток.
Вторая «оптическая» ветвь: so<2)= 2SA®, A + ys) (при И = 0) может быть воз-
возбуждена с помощью нейтронов, что позволяет сразу оценить порядок величины энерге-
энергетического параметра s—/-обменного взаимодействия (Изюмов [423]).
Найдем теперь решение B0.159) или B0.154) для q ф 0. Поскольку sg — четная
функция q, то s тоже будет четной, поэтому решение B0.159), ответвляющееся от
8 q = Йю0, ищем в виде
!q = ha>0 + A*qi, B0.163)
где А * — эффективный параметр обменной связи. Для квадратичного закона диспер-
дисперсии s-электронов 87с = ак2 [пренебрегая различием ^-факторов для сумм, входящих
в B0.159)], после перехода в нем от сумм к интегралам получим
3SAsf@) Ns 3ysAsf@)H Ns
Д~ 2?о N + 2? N ' (t
SA*f @)
V8)= {^'(C-' ?)-гМС+< 9)h B0.165)
где
B0.166)
C±-2«ft±
,=Ъ—&\ -\- 8 fc + o.qA, (^O.lbY)
Выражение B0.165) можно разложить в ряд по степеням q2; тогда, используя для ?q.
выражение A1.8) и считая Asf(Q)<^t,Q, находим
I/3^J%2. B0.168)
*) С математической точки зрения этот результат весьма интересен. Выражение
B0.159) можно представить как результат расчета по теории возмущений. Второй член
в B0.159) будет играть роль поправки первого приближения от четверных членов опе-
оператора возмущения B0.144). Тройные его члены в первом приближении дают нуль,
ибо они не содержат диагональных матричных элементов. Третий член в B0.159) есть
поправка второго приближения от тройных членов. Для случая q = 0 она равна поправ-
поправке первого приближения с обратным знаком. Таким образом, поправка первого прибли-
приближения по s —/-взаимодействию, приводящая к появлению щели в спектре спиновых
волн, точно компенсируется поправкой второго приближения. Такой результат являет-
является следствием особой структуры оператора возмущения как обменного оператора.
Это обстоятельство было впервые отмечено в работах Бердышева и Карпенко [422].
— 585 -

Подставляя B0.168) в B0.154), видим, что величины А взаимно сокращаются,
и для эффективного обменного интеграла А* из B0.163) получим
B0.169)
Эта формула была впервые получена в работах [421, 387, 422]. Второй член в B0.169)
представляет собой параметр косвенного обменного взаимодействия, входящий в закон
дисперсии спиновых волн. Его можно получить и из общей формулы для эффективного
гамильтониана s —/-обмена B0.126), если в ней перейти от операторов спина к бозе-
•операторам и продиагонализировать возникающую при этом квадратичную форму.
Тогда для энергии спиновой волны получим
8д =25 ^ Лкосв (Вп) [1 -exp (iqRn)\, B0.170)
п
где суммирование ведется по всем узлам. Учитывая формулу B0.127) для Апосв (Rn),
находим
Ч^ B0Л71>
тдс f(q) определяется по^B0.132). Поскольку при малых q функция f(q) «к —?2/6/i;|)j
то при этих условиях и eq я? A*' (dq2), где параметр А'* точно раврн второму слагае-
слагаемому в B0.169).
Поскольку интеграл косвенного обмена всегда больше нуля, то он приводит
к ферромагнетизму. Если имеется и прямой обмен (А Ф 0), то ферромагнетизм может
быть и при А < 0, если выполняется более общее условие А* > 0.
г. Особые точки в спектре спиновых волн в металле. Из B0.171) ясно видно, что
характер закона дисперсии спиновых волн в металле определяется поведением функ-
функции/ (q). Уолл и Неттель [248] заметили, что производная / (q) в точке д=2А;ф имеет
логарифмическую расходимость. Если учесть, что вместо выражения B0.171) правиль-
правильнее писать
B0.173)
где х — вектор обратной решетки, то этот факт приводит к тому, что при значениях q,
удовлетворяющих условию | х -j- q | = 2/сф, функция eq имеет резкое нарушение
монотонности. Численные расчеты, проведенные в работе [248], показали, что величина
таких «срывов» на кривой s составляет несколько процентов. Хотя этот эффект и труд-
трудно наблюдаем, он очень интересен, так как демонстрирует влияние вида поверхности
Ферми электронов проводимости (в данном случае сферической) на спектр спиновых
волн в ферромагнитном металле *). Этот же вопрос играет существенную роль при обра-
образовании геликоидальных магнитных структур в РЗМ (см. [419, 417J, а также ниже § 8).
д. Затухание спиновых волн. Из B0.128) видно, что s —¦ /-обменная связь обус-
обусловливает взаимодействие спиновых волн с электронами проводимости, приводящее
к дополнительному затуханию yq спиновых волн по сравнению с тем, что наблюдается,
например, в ферромагнитном диэлектрике. Энергия (частота) затухания определяется
формулой B0.153); благодаря входящей в нее о-функции можно написать
Нас интересуют значения 'Л, лежащие вблизи eq, которые значительно меньше энергии
Ферми ?0, поэтому п (s? — %) можно разложить в ряд по степеням % и ограничиться
первым членом разложения. Входящую при этом производную фермиевской функции
распределения можно заменить 6-функцией. Далее, переходя в B0.153) от суммирова-
суммирования по fe к интегрированию, находим, что
где
Г 1, q>q0, ,9П ,„..
I о, я<яо, B0Л74)
4 I 8„—2SAsf@)\ _
^-—~ г кФ- B0.175)
^ to
*) На аналогичнукГсвязь между спектром фононов в металле и формой поверх-
поверхности Ферми впервые обратил внимание Кон [247J.
— 586 —

Здесь кф — некоторый «средний» квазиимпульс Ферми (^акф^а кф). Для электронов
проводимости в частном случае квадратичного закона дисперсии соотношения B0.174)
ж B0.175) примут вид
<»¦'")
Для спиновых волн в 8 <С 2SAsf @) имеем
SAsf () ф
т/^ B0Л78)
Величина параметра Asf @) равна 10~13—10~14 эрг, поэтому q0 составляет 10~2—Ю
от граничного квазиимпульса Ферми. Следовательно, спиновые волны с малыми зна-
значениями квазиимпульса не затухают *). Это связано с тем, что при малых квазиим-
¦пульсах энергия спиновой волны не может удовлетворять закону сохранения энергии
при столкновении с электроном проводимости. При таком столкновении должен менять
ориентацию спин электрона, а для этого требуется изменить его энергию на величину
-энергии подмагничивания, т. е. на величину 2SAsf @). Как только энергия спиновой
волны становится достаточной для этого, она будет затухать. Энергия затухания, как
видно из B0.176) и B0.177), по порядку величины составляет SAsf @) Sg/?0, т. е. мала
по сравненпю с собственной энергией спиновой волны. Этим и оправдывается приме-
применимость теории возмущения в данном случае. Отметим, что выражение B0.153) для yq,
¦полученное с помощью метода функций Грина, совпадает с найденными ранее значения-
значениями с помощью техники кинетических уравнений (Туров [287], Митчелл [403], Абра-
Абрахаме [402]). Однако в последних двух работах не учитывалось подмагничивание элект-
электронов проводимости, поэтому их результат формально совпадает с B0.153), где сле-
следует положить q = 0. Для малых q ф 0 результаты этих двух работ неправильны.
В этой связи Изюмов [423] рассмотрел неупругое рассеяние медленных нейтронов
на спиновых волнах и показал, что благодаря конечному времени жизни спин-волновых
возбуждений (из-за их взаимодействия с электронами проводимости), когерентный
нейтронный пик связан с поглощением или испусканием нейтроном спиновой волны,
уширяется на величину у (s4). Поэтому можно надеяться, что измерение ушпрения
нейтронных пиков, соответствующее одномагнитному рассеянию в ферромагнитном
металле, как функции квазиимпульса спиновой волны, позволит выявить скачок вели-
величины затухания и оценить по формуле B0.178) величину Asf @). Следует иметь в виду,
что фактически в ферромагнетике имеется много причин, приводящих к конечному вре-
времени жизни спиновых волн. Наиболее важными из них являются спин-спиновое и спин-
^ононное взаимодействия (см. Кащеев и Кривоглаз [424]), поэтому реальная ширина
нейтронного пика обусловлена целым рядом причин. Однако рассматриваемое здесь
s — /-обменное взаимодействие специфично лишь для металлов; более того, в металлах
оно является, по-видимому, определяющим в общем уширении линий.
е. «Сдвиг» g-фактора f-электронов и «щель» в спектре спиновых волн. Метод функ-
функций Грина, примененный в s — /-модели (Вонсовский и Изюмов [399]) позволил более
последовательно выделить элементарные возбуждения в системе электронов ферромаг-
ферромагнитного металла, учесть их затухание, определить влияние системы спинов на элект-
электроны проводимости (эффект подмагничивания) и обратное влияние электронов прово-
проводимости на систему спинов (эффективный косвенный обмен). Преимущества изложен-
изложенного метода легко усмотреть, в частности, из анализа вопроса о сдвиге g-фактора для
/-электронов, обусловленного s — /-обменом. В работах [194, 425, 426] был получен
вывод о «перенормировке» g-фактора в ферромагнетике**):
B0Л79>
С другой стороны, метод функции Грина приводит к результату g = g. Это происходит
потому, что зависящие от внешнего магнитного поля поправки в B0.159) взаимно
•сокращаются. Если пренебречь зависимостью Р (%) от магнитного поля, то остающийся
в B0.152) член приводит как раз к указанному выше сдвигу g-фактора. Таким образом,
.фиктивность этого результата обусловлена тем, что в поправке второго приближения
к энергии спиновой волны незаконно пренебрегали членом, зависящим от магнитного
поля. «Сдвиг» g-фактора не наблюдается и на опыте. Полученное Лиу [427] якобы
*) Это относится лишь к обменному взаимодействию. Учет магнитных взаимодей-
взаимодействий электронов проводимости со спин-системой /-электронов приводит к затуханию
•спиновых волн с меньшим квазиимпульсом (см. Туров [287]).
**) С точки зрения связанных уравнений движения для намагниченности s- и
^-электронов этот вопрос подробно освещен Туровым [531] (гл. V, § 8).
— 587 —

качественное согласие опытных значений ^-факторов для ряда РЗМ с рассчитанными
по формуле B0.179) является иллюзорным, поскольку при этом предполагается, что
знак s — /-обменного интеграла для РЗМ (в частности, для Gd) противоположен томуг
который получается из других опытов (см. Жакарино и др. [428]), тогда как по асбо-
лютной величине результаты близки друг к другу, причем для Gd значение Asf @) =&
<%> 2 -103 эрг [428, 292]. Отличие величины ^-фактора для этих РЗМ от 2, по-видимому,
должно объясняться другими причинами.
Метод запаздывающих и опережающих функций Грина в теории s — /-обмена был
применен также в работах Потапкова и Тябликова [429], Тахир-Кели и тер Хаара [430].
Последние обобщили работу [387] на случай Т > 0° К п работу [429] на случай S >¦
> 1/2. В работе [429] в спектре спиновых волн получена щель, пропорциональная-
третьей степени s — /-обменного интеграла. Этот вывод, по-видимому, связан с тем,,
что для получения поправки к энергии спиновой волны в третьем приближении по-
s — /-обмену следовало бы учесть функции Грина более высокого порядка, чем исполь-
использованные в работе [429]. Тогда дополнительно появляющиеся в энергии члены должны
компенсировать «щель».
ж. Некоторые другие исследования. Вопсовский и Кобелев [431] сделали попытку"
в наиболее общем виде с помощью метода одночастичных функций Грина (в форме,
данной Швингером [4321) рассмотреть спектр элементарных возбуждений двух или
более подсистем взаимодействующих электронов (существование которых постулиру-
постулируется, но происхождение их не исследуется). При этом при изучении магнитной части
спектра не используются предположения о преимущественной роли «магнетизма»
какой-либо одной из подсистем. Из этой общей схемы можно как частные случаи полу-
получить результаты всех других модельных теорий (гейзенберговской, френкель-стонеров-
ской, s — /-обменной).
Метод функций Грина был также применен в s — /-обменной теории антиферро-
антиферромагнитных металлов [433—436, 399] к расчету магнитной релаксации и резонанса в
ферро- и антиферрома1нитных металлах [436]. За подробностями отсылаем читателей
к оригинальным работам.
4. Изменение состояния системы s-электронов под влиянием s—/-, *—s-обмена
и корреляционных эффектов. Выше было показано, что обменное взаимодействие элект-
электронов проводимости с нескомпенсированными спиновыми моментами /-слоев электрон-
электронной оболочки ионов металла приводит к снятию вырождения в энергии электронов про-
проводимости по спиновому квантовому числу а. Были также вычислены равновесные
функции распределения B0.147) s-электронов в первом порядке теории возмущения
по s — /-взаимодействию, когда они имеют обычный вид, но с перенормированяой энер-
энергией s — /-обменной связи [см. B0.148)]. Можно тем же методом учесть следующее-
приближение. Используя расцепление, можно получить замкнутую систему уравнений
для функций Грина < aho\a^.o) (см. обзор [399]) и через их фурье-компоненты с по-
помощью спектральной теоремы найти функцию распределения s-электронов во втором
приближении:
l eXp
где
t2^s^^g,*)(i+j.t-»iMt)(»t+»i+«) B0Л81>
— массовые операторы, а величины
Г i= ^Щ^- 2 Alf (fc + Я, Щ ("q + <+g> {-i + n«-nJ,-q) 6 (« - 8jTg +sg) B0.182)
описывают затухание электронов под влиянием их столкновений со спиновыми волна-
волнами. При пренебрежении массовыми операторами B0.181) и затуханием B0.182), выра-
выражение B0.180) переходит в функцию распределения Ферми B0.147). Таким образом,
s — /-связь приводит не только к подмагничиванию s-электронов (эффект первого по-
порядка), но и к их затуханию (эффект второго порядка). Иначе говоря, сдвиг энергети-
энергетических подполос для противоположно направленных спинов оказывается пропорцио-
пропорциональным Asf @), а затухание — пропорционально Asf @)/?0. С другой стороны, элект-
электроны проводимости действуют на спиновые волны так, что оба эффекта: сдвиг энергии
(при наличии внешнего магнитного поля) и затухание оказываются пропорциональ-
пропорциональными Asf @)/?„. Общая теория s — /-обмена позволяет также рассчитать эффектпвное-
взаимодействие электронов проводимости через спиновые волны и влияние его на со-
состояние сверхпроводимости, а также вычислить «аномальные» кинетические коэффи-
коэффициенты ферромагнитного металла (см. гл. 25).
В гл. 11 уже было показано [см. формулу A1.147)], что слабое обменное взаимо-
взаимодействие электронов проводимости, позволяющее сохранить приближение почти сво-
- 588 —

Годных электронов (но недостаточное для появления ферромагнетизма), способствует
их парамагнетизму. Аналогичное явление должно, очевидно, иметь место и в том случае,
когда ориентирующее действие на электроны проводимости обусловлено не внешним
магнитным полем (как в случае парамагнетизма), а их обменной связью с /- или
^-электронами. Обменная s—s-связь должна способствовать их подмагничиванию из-за
s —/-обмена. Поскольку понижение энергии электронной системы кристалла, связан-
связанное с указанной поляризацией, ответственно за косвенный обмен между внутренними
./-электронами, то отсюда следует, что s — s-обмен может способствовать не только
поляризации собственных спинов s-электронов, но и ферромагнитной ориентации
внутренних /- или d-электронов. Вонсовский и Свирский [437] исследовали указанное
влияние s — s-обмена на подмагничиванпе s-электронов и на ферромагнитное упоря-
упорядочение /-металлов. Расчет показал, что s — s-обмен действительно способствует поля-
поляризации s-электронов, вызванной s — /-обменом, а также увеличивает интеграл Акосв,
-т. е. повышает точку Кюри ферромагнитного /-металла *).
§ 8. Объяснение магнитных свойств РЗМ
на основе s — /-обменной модели
Дальнодеиствующии и осциллирующий характер косвенного обменно-
обменного взаимодействия между 4/-ионами позволяет понять большую совокуп-
совокупность специфических магнитных свойств РЗМ, а также магнитных анома-
аномалий их немагнитных характеристик.
1. Парамагнитная точка Кюри РЗМ. Магнитные параметры, теорети-
теоретическая интерпретация которых наиболее проста, это парамагнитные точки
Кюри впм [320—322, 466, 467], входящие в выражение для магнитной
восприимчивости inM по закону Кюри — Вейсса и определяемые путем
линейной экстраполяции величины %пм Ддя поликристаллических образ-
образцов РЗМ при достаточно высоких температурах. Из теории парамагне-
парамагнетизма известно (см. гл. 9), что величина 0ПМ пропорциональна средней
энергии взаимодействия атомных магнитных моментов. В случае поликри-
поликристаллов всеми анизотропными взаимодействиями (поле лигандов, магнит-
магнитная анизотропия и т. п.) можно пренебречь, ограничиваясь учетом лишь
анизотропной обменной связи. Используя гамильтониан B0.126) с заменой
операторов S на (gj— 1) / и стандартный вывод теории молекулярного
поля (гл. 18), находим
2 \Вп-Лт\), B0.183)
пфт
где ns = Ns/N — число электронов проводимости на узел решетки, v0 —
атомный объем, а функция F(x) дается формулой B0.134). Сумму
в B0.183) можно вычислить (см. [337, 468, 469]). Из-за дальнодействую-
щего характера s — /-обмена эта сумма сходится сравнительно медленно.
Однако все же ее главная часть получается от суммирования по первой
координационной сфере (приближение ближайших соседей). Если рас-
рассмотреть группу «тяжелых» РЗМ (от Gd до Yb) с ns = 3, то вклад от бли-
ближайших соседей (| Rn — Jtm | « rf) в сумму формулы B0.183) равен
92 -10~4. Можно получить результат с точностью до 3% (при сравнении
с опытными значениями впм). Для этого нужно учесть в сумме B0.183)
расстояния до Id. Для них вклад в сумму равен F8 ± 2)-10~4. Эти зна-
значения наглядно количественно иллюстрируют дальнодеиствующии харак-
характер косвенного обмена. Расчет показывает, что сумма в B0.183) для РЗМ
¦ с решеткой гекс. п. у. и ns = 3 положительна. Это согласуется с опытными
данными. На рис. 20.35 приведено сравнение опытных и теоретических
значений 0ПМ. Для gj и / взяты данные для трехвалентных ионов (кроме
Ей), сумма в B0.183) вычислена, как указывалось выше, а параметры
ASf @), z и ?0 (или кф) предполагаются одинаковыми для всех РЗМ.
Из рис. 20.35 видно, что если отождествить опытную и теоретическую точ-
*) Укажем здесь еще на некоторые работы по теории s — f- (или s — d-) обмена:
;[438—465, 532, 533].
589 —

ки для Gd, выбрав для ASf @) значение 5,7 эе-А.3 и эффективную массу то*
равной Зто0 (см. Роше [466]), то получим очень хорошее согласие теории
с опытом для всех «тяжелых» РЗМ. Можно привести еще одно интерес-
интересное сравнение с опытом, если включить сплавы тяжелых РЗМ с Y. Колер
и др. [344] изучили эти сплавы с помощью нейтронной дифракции. Металл
Y немагнитен, а конфигурация валентных электронов у него такая же,,
как и у атомов тяжелых РЗМ. Кроме того, Y также имеет структуру
гекс. п. у. и параметр у него почти такой же, как у Gd. Co всеми тяжелыми
РЗМ Y образует практически непрерывный ряд твердых растворов *).
Более сложная ситуация оказывается для легких РЗМ. Здесь возни-
возникают сложности из-за неясностей с кристаллическими структурами. Кро-
Кроме того, некоторые металлы (Sm и Рт) еще плохо изучены в магнитном
отношении. У Се структура гекс. п. у., в которой наблюдается магнитный
порядок, существует в узком интервале температур и т. п. Особенно рез-
резкое несоответствие теории с опытом наблюдается как раз для Се. Теория
дает впм = 4° К, а опыт— впм = —42° К. Этот парадокс специально рас-
рассматривал Роше [466]. Он считает, что в данном случае имеет место не ме-
механизм косвенного обмена по Рудерману — Киттелю [51], а механизм*
образования виртуальных связанных 4/-состояний вблизи поверхности
Ферми по Фриделю [470] (см. также [471—473]). В свободном атоме Се-
состояния 4/-, 5d- и бя-электронов имеют очень близкие энергии. Поэтому
можно предполагать, что в трехвалентном Се уровни 4/-электронов попа-
попадают в расщепившуюся гибридизированную полосу энергий коллективи-
коллективизированных 5d- и бя-электронов. Из-за взаимодействия между электронами
4/-уровни уширяются и превращаются в виртуальные фриделевские свя-
связанные состояния. Спиновая поляризация электронов проводимости,
обусловленная такими состояниями, также приводит к косвенной обменной
связи между ионами РЗМ, но отличается по своей природе от связи Рудер-
мана — Киттеля B0.127). Роше [466] на основе этих представлений сумел
объяснить отрицательный знак впм для Се.
2. Объяснение существования спиральных магнитных структур в РЗМ
(модельная теория). Осциллирующий характер косвенного обмена через,
электроны проводимости в РЗМ см. B0.133) благоприятствует появлению-
в них спиральных геликоидальных или синусоидальных атомных маг-
магнитных структур.
а. Простейшая модель спиральной структуры РЗМ. Как уже отме-
отмечалось в § 6, п. 4, во всех тяжелых РЗМ магнитные моменты ионов одной
и той же базисной плоскости ниже QN всегда образуют ферромагнитный
порядок. Что же касается магнитного порядка между последовательными
базисными плоскостями, то здесь было обнаружено пять типов структур
(см. рис. 20.37). г
В качестве простейшего примера рассмотрим случай простой спирали
(тип ПС). Для этого используем выражение для гамильтониана косвен-
косвенной связи B0.126) и для интеграла обмена Акосв из B0.133), следуя рабо-
работам Иосида и Ватабе [419] и де Жена [322]. Будем считать величины 8п
классическими векторами (это допустимо при условии, что | Sn | ^> 1),
и примем, что их направления в кристалле изменяются по закону простой
спирали типа B0.104), и, следовательно,
Sn-Sm^^- S2 {expliqnc(Iin — Вт)]+ expl — iq-aciHn — Вт)]}- B0.184)
*) Напоминаем еще раз, что 0ПМ в РЗМ — существенно анизотропная величина.
Различие между 0ПМ ц и 0ПМ ¦ (т. е. значениями этой величины при измерениях вдоль
оси сив плоскости базиса) может достигать 50% (см., например, [338, 371—373])-
Поскольку теоретическая формула B0.183) не учитывает магнитную анизотро-
анизотропию, то для исключения влияния анизотропии необходимо брать опытные данные-
для поликристаллических образцов или же для среднего значения 0ПМ: 0ПМ =
= (®пм|| + 20ПМ jJ/3.
— 590 —

Поэтому в силу B0.184), B0.126) и B0.127) для энергии основного-
состояния будем иметь
B0.185)
1пс (впс) = - NS*AK0D* (gnc).
Из B0.185) видно, что состояние со структурой ПС с периодом е?Пс =
будет устойчиво (выгоднее коллинеарного ферромагнетизма с #пс = 0),
если Л„осз (впс) имеет максимум в точке qhc ф 0.
Явное выражение для лкосв (q) можно найти, подставив в B0.127)
выражение для лкосп (Ип) из B0.133), что дает в приближении квадратич-
квадратичного закона дисперсии
к пфт
B0.186)
где функция f (к) дана формулой B0.132); тогда, если принять, что
Asf (к) w ASf @) « const, то из вида функции / (к) следует, что макси-
максимум B0.186) будет при qnc = 0, т. е. возможна только коллинеарная фер-
ферромагнитная структура. Сама функция / (к) имеет максимальное зна-
значение, равное 2 при q = 0 и с увеличением | q | монотонно убывает
(рис. 20.39). Поэтому, если бы в процессах
рассеяния электронов проводимости на ионах
не учитывались процессы «переброса», в ко-
которых вектор рассеяния к (или q) отлича-
отличается от своего «резонансного значения» к
на произвольный вектор обратной решетки
К, то в рамках излагаемой теории миниму-
минимуму энергии всегда соответствовал бы ферро-
ферромагнетизм. Однако в сумме B0.186) имеются
члены как возрастающие, так и убывающие
с увеличением «Znc. что и обеспечивает воз-
МОЖНОСТЬ Существования максимума Л8/ КДж.)
при qnc?=0. Однако в B0.186) не учтена
явно трансляционная симметрия решетки, из
которой вытекает, что квазиимпульс опре-
определен с точностью до вектора обратной решетки К. В связи с этим рассмот-
рассмотрим последнюю двойную сумму в B0.186), в ней снимем ограничение п ф.
Ф т, учтем трансляционную симметрию кристалла и заменим радиус-век-
радиус-вектор у узла Ип на сумму Bs+rv (_BS — радиус-вектор элементарной ячей-
ячейки, rv — радиусы-векторы отдельных узлов в ней). Кроме того, умножим
каждый член суммы на единицу в виде ехр (iKRs) и просуммируем резуль-
результат по К по всей обратной решетке. В итоге всех операций получим
пфт
Рис. го.зэ. график функции /<д>
'•см- ФОРМУЛУ B0.132)]. Точка
q — 2кф имеет особенность типа
/'Bьф = — оо (коновская особен-
ность>.
B0.187)
где Ft (К) = 2 ехР [iKrv] — структурный фактор кристаллической решетки.
v
и использовано соотношение
_ 591. —

Подставляя B0.187) в B0.186), находим
B0.188)
Иосида и Ватабе [419] вычислили фурье-образ косвенного обменного инте-
интеграла B0.188) как функцию qnc- При этом они приняли, что с/а = 1,57
(случай Но, Ег и Тт; у ТЬ отношение с/а = 1,58), ns = 3 и кФ =
16152 2/) Вычисление проводилось для разности АКОСВ (q) —
— ^косв @), т. е. по отношению
к простой ферромагнитной струк-
структуре. При Asf (q) = Asf @) фак-
фактически поэтому рассчитывалась
сумма
(у ,
= 1,6152 Bл/а).
Рис. 20.4 . График выражения ~S)[f (\ К -{- q |>_
К
— / (I К | >] • Fi (К) как функции g вдоль оси с.
Ft (К) — структурный фактор кристаллической
решетки [см. формулу B0.189)]. Стрелка на оси
абсцисс показывает точку, соответствующую
коновской особенности.
-1{\K\)]-F,{K). B0.189)
В итоге была получена кривая
(рис. 20.40), из которой видно, что
максимуму выражения B0.189)
отвечают д/2кф = 0,105. Это соот-
соответствует шагу спирали ф0 = 48°
или периоду d вдоль оси с в
7,5 слоя.
Для того чтобы лучше представить себе появление максимума на кри-
кривой рис. 20.40, рассмотрим один член в B0.189) с каким-либо значением К.
Всегда существует сопряженный ему член с —К. Объединяя эти члены
(помня при этом, что / (q) = / (— q) =/(| q\), получим
/ (К+ q) + f (К- q) - 2/ (К) « /" (К) q2.
Здесь предполагается, что величина q мала и возможно разложение функ-
функции / в ряд по степеням q. Функция / (q) имеет особенность в точке q =
= 2кф, где первая производная терпит разрыв: /' Bкф) = —оо, а вто-
вторая — меняет знак: /" (q) <; 0 при q < 2кф и /" (q) > 0 при q > 2кФ. Сле-
Следовательно, если | К | < 2кф, так что вектор К/2 попадает в область внут-
внутри поверхности Ферми, то рассматриваемые два члена будут давать вклад
в B0.189), уменьшающийся с ростом q. Напротив, члены с вектором К/2,
лежащим снаружи сферы Ферми, дают растущий с q вклад. Наличие тех
и других членов и приводит к кривой с максимумом.' Мы видели, что в Ег
и Тт угол ф0 = 51°, а теория Иосида и Ватабе [419] дает фо= 48°. Согла-
Согласие получается слишком хорошее для такой грубой модели (по-видимому
оно случайно). Эта теория не учитывает влияния магнитной анизотропии,
а также ничего не говорит о природе температурной зависимости ф0 (Т).
Тем не менее даже эта грубая теория дает принципиальное объяснение
существованию спиральных структур.
б. Влияние магнитной сверхструктуры на бриллюэновские зоны РЗМ.
Во всех предыдущих рассмотрениях и, в частности, при выводе гамиль-
гамильтониана B0.126) не было учтено очень важное обстоятельство. Дело в том,
что возникновение спиральной магнитной структуры с периодом d —
= 2n/q (q\\c) изменяется длина вдоль оси z новой ячейки в ^-пространстве
электронов проводимости РЗМ. Это означает, что в точках плоскостей
k = ±1/2 (K+q) (в том числе и на плоскостях к = ± A/2) q при К =
= 0) должны появиться новые границы зон Бриллюэна, по которым про-
происходит разрыв энергии электронов проводимости как функции к. При
— 592 —

упорядочении атомов в бинарных сплавах этот эффект впервые рассмот-
рассмотрел Смирнов [50], а в антиферромагнетиках — Мрхин [49].
Точки этих плоскостей попарно имеют одинаковые энергии и связаны
условием, аналогичным условию Вульфа — Брегга
Например, в гексагональной решетке плоскость базиса является пло-
плоскостью симметрии, и поэтому невозмущенные энергии для точек
к (кх, ку, q/2) и к' (кх, ку, —q/2) одинаковы. Заметим, что s — /-обменное
взаимодействие будет снимать это вырож-
деЕше я приводить к расщеплению ранее
сплошной энергетической полосы.
Б одномерном случае эта картина рас-
расщепления в спектре электронов проводи-
e(kz)
б
-о
? О Ч
г г
а)
О
б)
Рис. Z0.41. Расщепление энергетической полосы
электронов проводимости РЗМ при возникновении
атомной магнитной структуры с периодом 2я/д
вдоль оси с (параллельной координатной оси г),
а) Пересечение ветвей спектра в точках типа а, при
h = q/2, hz = —q/2 и т. д.; б) снятие вырожде-
вырождения (расщепление спектра 2А) s — /-взаимодей-
/-взаимодействием. Нулевые точки отсчета по оси kz смеще-
смещены на графике б на а/2 по сравнению с графиком
а. Горизонтальные линии а, б я в показывают на
схеме б различное положение уровня Ферми от-
относительно щели 2Д.
0 1
6)
Рис. 20.42. Перестройка поверхности
Ферми при се самопересечении, выз-
вызванном образованием атомной магнит-
магнитной структуры с волновым вектором
q =& 2кф. а) Картина до возникновения
магнитной структуры (q > 2/гф^; б) та
же ситуация, что и на схеме а, но при
переносе начала отсчета по оси hz на
величину gr/2; в) самопересечение по-
поверхности Ферми при g< 2kz; г) устра-
устранение самопересечения поверхности
Ферми под влиянием s — /-взаимодей-
/-взаимодействия. I (на схеме б), II и III (на схе-
схеме г) — различные типы поверхностей
Ферми соответственно случаям а, б и в
расположения уровня Ферми относи-
относительно щели 2Д (см. рис. 20.41, б).
мости вблизи точек kz = + q/2 изображена па рис. 20.41. Сплош-
Сплошная кривая на рис. 20.41, а дает часть исходного невозмущенного спектра
Щ (kz). После магнитного перехода к спиральной структуре с вектором q,
параллельным оси с, период функции Ш (kz) должен стать равным q.
В точках ±?/2 будут пересекаться две ветви спектра. Однако s — /-обмен-
/-обменная связь устраняет это пересечение и приводит к расщеплению полосы
энергии с энергетической щелью 2А (рис. 20.41, б), которая, оче-
очевидно, по порядку величины определяется параметром s — /-обмена
(па рис. 20.41, б начало отсчета для kz перенесено на q/2 по сравнению
с рис. 20.41, а).
Картина изоэпергетических поверхностей (в том числе и поверхности
Ферми) при появлении магнитной сверхструктуры изменяются, если
величина q близка, но несколько больше диаметра 2кф поверхности Фер-
Ферми (произвольной формы) вдоль оси z (рис. 20.42, а). Перенося опять нача-
начало отсчета kz на q/2 (в точку О), получаем новые поверхности Ферми (см.
рис. 20.42, б), которые не касаются друг друга. Если q < 2кФ, верхняя
и нижняя части поверхности будут пересекаться (рис. 20.42, в), s — /-
взаимодействие устранит пересечение и возникнут две поверхности —
открытая и закрытая (рис. 20.42, г). Здесь возможны три случая для уров-
уровня Ферми: либо он 1) лежит ниже щели, 2) попадает в щель и 3) лежит
выше щели (см. рис. 20.41, б). Соответственно этим трем случаям
38 С. В. Вонсовский
- 593 -

реализуются поверхности Ферми типа / (рис. 20.42, б), типа // или'
типа /// (рис. 20.42, г). Переход от одного случая к другому может быть
получен и при зафиксированном уровне Ферми ?„, но при изменении
величины q, а следовательно, и энергии е (q/2).
Приведенный качественный анализ показывает, какой существенной
перестройке подвергается спектр энергий электронов проводимости при
появлении магнитной сверхструктуры в РЗМ.
в. Расчет энергии электрона проводимости при наличии магнитной сверхструк-
сверхструктуры. Из п. а мы уже видели, что особые точки спектра электронов проводимости,
попадая в область /с-пространства, близкую к поверхности Ферми, оказывают решаю-
решающее влияние на стабилизацию спиральной структуры. Существенная перестройка
спектра вблизи особых точек не может быть, естественно, определена по теории воз-
возмущения, которой мы пользовались при расчете Акосв. Поэтому возникает законное
сомнение в правильности учета вклада особых точек в косвенное обменное взаимо-
взаимодействие. На это обстоятельство одновременно обратили внимание Эллиот и Вод-
жвуд [474] и Дзялошинский [4171. Авторы работ [474] отказались от теории возму-
возмущения, но остались в рамках модельной s — /-теории, а Дзялошинский построил
свои расчеты на более общих представлениях теории фазовых переходов и зонной
теории с произвольным законом дисперсии.
Остановимся сначала на более простом подходе Эллиотта и Веджвуда [474].
который далее развил Мива [475], учтя рассмотренный де Женом [322, 476] эффект
рассеяния электронов на тепловых флуктуациях магнитных моментов ионов РЗМ.
Рассмотрим снова гамильтониан s — /-обменной связи B0.111) и заменим в нем
операторы спина Sn их средними при данной температуре значениями (приближение
молекулярного поля!), т. е. положим (Sn) = jmn, которые изменяются в пространстве
в соответствии с формулой B0.104), B0.105) или B0.106), B0.107).
Рассмотрим структуру ПС. Для нее полный гамильтониан системы B0.142)
(без учета / — /-членов) примет вид
<^= 2 le*« tPha-Vh&f @) 2 («*-«<*-/)+ +«{*-/)+«*-)]. B0Л9°)
к, а К
где / = Q + К (гармоники с п > 1 в этой модели не учитываются). Член с \inAsj @)
в B0.190) обусловлен рассеянием электронов на s — /-обменном потенциале. Бла-
Благодаря этому рассеянию электронные состояния | к+) и ((к — /)"> перестают быть
независимыми. Однако можно ввести некоторые суперпозиции этих состояний, кото-
которые уже будут независимыми.
Энергии новых состояний будут заметно отличаться от энергии невозмущенных
состояний лишь вблизи особых точек к = ±//2, через которые проходят границы
новых зон Бриллюэна. Если предположить, что вблизи каждой интересующей нас
точки поверхности Ферми проходит только одна граница, то сумму по векторам К
в B0.190) можно опустить, выбирая для каждого к такие К, чтобы вектор (К -{-q)/2
был близок к к. Тогда новые значения энергии находим путем приведения к диаго-
диагональному виду квадратичной формы
e(fe —/) a(+fc_/)-a(fc_/)-+e(fc) a+k+ak+ — pnAsf @) (aVa(fc-/r + a+fc-f)+aV). B0.190a)
Это достигается стандартным приемом с помощью унитарного линейного преобра-
преобразования операторов ato к новым операторам 6fc(J. В работах Эллиотта и Веджвуд»
[474] и Дзялошинского [417] получено для новых энергий выражение
ei, 2 (*)=-§¦ [е (*0 + е (fc-fil ± у {[e;(fe) -e (ite-/)P + [2pnAat (О)]*}1'2. B0.191)
§¦ [е (*0 + е (fc-fil ± у
Особыми точками спектра будут такие, для которых е (к) = е (к — /). Разность
энергий 2 А = е2 Aс) — е4 (к) в точке к = //2 будет давать для данного к величину
энергетической щели между двумя новыми полосами энергии. Из B0.191) легко нахо-
находим, что
A=^nAsf@). B0.192)
т. е. щель по порядку величины определяется интегралом s — /-обмена. Из B0.192)
видно, что ширина щели зависит от температуры по тому же закону, что и самопроиз-
самопроизвольный момент fin и обращается в нуль в точке Нееля.
Каждой точке нового fc-пространства должно соответствовать не два, а четыре
значения энергии (это видно и из рис. 20.41), ибо каждой из двух пересекающихся
ветвей спектра соответствует еще два значения спина. Две ветви получены в B0.191).
При выписывании из общей суммы B0.190) энергий двух связанных условием Вуль-
фа — Брегга состояний | к > и | к — /> в уравнении B0.190а) опущены члены вида
е (к) ajj_afc_ и е (к — /) atft_^+ a<u~f)+- Э™ слагаемые не перепутаны s — /-взаимо-
- 594 -

действием (вблизи точки к = //2) и, следовательно, коэффициенты перед ними дают
два других значения энергии с данным к, а именно
и e4 = e(fc—
г. Температурная зависимость периода магнитной структуры. Если
теперь вычислить полную энергию системы
+
,1n)= \ ;gt]t\ , B0-193)
то она будет зависеть, в силу B0.191), от волнового вектора q магнитной
структуры и среднего магнитного момента цп на атом при данной темпера-
температуре Т. Минимизируя B0.193) по q, мы найдем равновесный период маг-
магнитной структуры q0 (fxn), который будет функцией ц,п, что и определит его*
температурную зависимость. При сильном вырождении электронов про-
проводимости влиянием температуры на q0 через фермиевскую функцию рас-
распределения и через энтропийный член в свободной энергии можно с боль-
большой точностью пренебречь. Плотность состояний g (г) вычисляется для
четырех ветвей спектра с учетом вклада от энергетических щелей. Энергия
Ферми ?0 вычисляется из соотношения N = \ g (e) de (при кБТ <С to),
о
где N — полное число электронов проводимости C на узел решетки).
Эллиотт и Веджвуд [474] произвели численные расчеты для температур-
температурной зависимости д0 (Т) или для угла ф0 (Т) для ряда тяжелых РЗМ, исполь-
используя данные для \in (T) из нейтронографических опытов. Результаты этих
расчетов представлены сплошными кривыми на рис. 20.38. При построении
VG) A 0)
р р р
кривых q0 (TVGjv) для Asf @) взята величина в 0,55 эв, что соответствует
отношению Asf @)/?0 я* 0,07. Эта величина для ASf @) оказывается боль-
больше той, которая получается из рассмотрения других эффектов в РЗМ.
При таких значениях Asf @)/?0 Уже нельзя рассматривать независимыми
каждую новую границу зон. Несмотря на явную грубость теории, она
описывает правильную тенденцию к уменьшению ф0 при понижении тем-
температуры. Наибольшее расхождение теории и опыта наблюдаются вблизи
@N. Это и понятно, поскольку в расчете совершенно не учитываются
флуктуации, магнитных моментов (спинов) 8 — (8) и, следовательно,
рассеяние электронов проводимости на них.
В работах де Жена [322, 476] была учтена конечность значения вели-
величины свободного пробега I электронов проводимости в связи с их рассея-
рассеянием на тепловых флуктуациях магнитных моментов электронов. Для I
в точке &n для ТЬ и Dy имеем I = 5—6 А (что сравнимо с межатомными
расстояниями а № 3,6 Аис» 5,6 А), в Tm l увеличивается до 40 А.
Де Жен считает, что косвенный обменный интеграл B0.128) при конечной
длине свободного пробега электронов проводимости (I Ф- оо) изменяет
свою величину на фактор ехр (—RII). А зто в свою очередь должно ска-
сказаться на величине и температурной зависимости qu (поскольку I зависит
от Т) и в первую очередь в РЗМ типа Dy и ТЬ, где I малы.
Мива [475] учел одновременно влияние на величину и температурный
ход q0 (T) расщепления энергетических полос и рассеяния электронов про-
проводимости на магнитных флуктуациях. В его расчет, кроме ?0, входят два
параметра А и I, подбирая которые можно, казалось бы,'получить лучшее
согласие с опытом. Однако Мива, как и де Жен, полностью отказался
от учета пространственной корреляции соседних спинов в решетках
РЗМ. В результате такого пренебрежения величина qQ определяется хотя
и двумя, но зависимыми параметрами: iS.lt,» = ^nASf @)/?0 и параметром
— 595 — 38*

рассеяния на флуктуациях магнитных моментов:
Поэтому улучшить согласие теории с опытом ему не удалось.
В гл. 25 будет показано, что появление энергетических щелей (для
направлений вдоль оси с) при переходе через точку Нееля позволяет
получить принципиальное объяснение аномалий температурного хода
удельного электросопротивления РЗМ (максимум вблизи 0Л-).
д. Физическая природа и эффекты магнитной анизотропии в РЗМ.
Прежде всего обратим внимание на связь магнитной анизотропии с полем
лигандов. Факт наличия длиннопериодных спиральных магнитных струк-
структур в РЗМ обусловлен электростатической косвенной обменной связью.
Однако разновидности этих структур и их взаимные превращения
существенно определяются магнитной анизотропией. Выше неоднократно
отмечалось, что снятие вырождения состояний с различными направле-
направлениями результирующего момента J у иона РЗМ обусловлено действием
поля лигапдов (см. гл. 10). Энергия иона РЗМ в поле лигандов будет зави-
зависеть от направления J в кристалле, а это есть не что иное, как его магнит-
магнитная анизотропия. В силу этого можно сказать, что магнитная анизотропия
РЗМ создается электрическим взаимодействием иона РЗМ с лигандами *).
В этом смысле РЗМ существенно отличаются от d-металлов группы желе-
железа, в которых магпитная анизотропия возникает как следствие спип-орби-
тального, спин-спинового и других релятивистских взаимодействий.
В приближении точечных лигандных зарядов энергию иона РЗМ
в кристаллическом электрическом поле можно представить в виде разло-
разложения по сферическим гармоникам A0.26). Если рассматривать гексаго-
гексагональные решетки и интересоваться только угловой зависимостью (введя
полярный ft и азимутальный <р угол вектора ,/, отсчитываемые соответ-
соответственно от гексагональных осей с и а), то формула A0.32) дает **)
ёаниз = DP2 (cos ft) + EPt (cos ft) + FPU (cos ft) -f G sin6 ft cos 6ф, B0.194)
где Pn (x) — полином Лежандра. Мива и Иосида [479] и Нагамийя [321]
оценили порядок величины и знаки амплитуд отдельных сферических
гармоник в B0.194). Коэффициенты D, Е, F и G в B0.194) могут быть
вычислены, если известно распределение электронного заряда у окружения
иона РЗМ в гексагональном кристалле. Рассматривая, как обычно, ион
в РЗМ как точечный заряд величины +3е и учитывая взаимодействие
с ближайшими соседями (предполагая, что связь с более удаленными сосе-
соседями экранируется электронами проводимости), можно качественно опре-
определить знаки и порядок величины коэффициентов в B0.194). В табл. 20.5
схематически приведены сведения об этих коэффициентах, указывающие,
какой ориентации магнитного момента в кристалле они способствуют,
а для G даны величины углов между направлением легкого намагничива-
намагничивания и вектором ti (см. рис. 20.34). Величины коэффициентов D, Е и F
оказываются порядка 10 см'1, а для G имеем 1 см'1. Порядок величины
энергии обмена (определяемый по точке Нееля QN) лежит в интервале от
40 до 160 см'1. Поэтому энергию анизотропии нельзя рассматривать малой
по сравнению с энергий обмена. К тому же, если решается вопрос о реа-
реализации того или иного типа магнитной структуры (ПС, ФС и т. д.), то
Шакяз надо сравнивать с величиной S2 [ASf (q) — ASf @)], а при малых q
эти обе величины могут быть сравнимы.
*) При этом мы отвлекаемся от того, что магнитное (спин-орбитальное) взаимодей-
взаимодействие играет первостепенную роль в формировании самого состояния иона с данным
квантовым числом J. Поэтому лучше сказать, что в РЗМ невозможно разделить
магнитные и электрические взаимодействия.
**) См. работы: Каплан [477], Эллиотт [478], Мива и Иосида [479].
- 596 -

Таблица 20.5
Свойства коэффициентов разложения энергии
анизотропии тяжелых РЗМ в ряд по полиномам
Лежандра (см. формулу B0.J94)) (Эллиотт [319])
^^^^^ Элемент
Коэффи- ^^^^^
циент разложения ^^^^^
D
Е
F
G
ть
_L
II
II
30°
ВУ
_L
Z
0
Но
_L
Z
II
30°
Er
II
II
0
Tin
il
II
|j
30°
Символы 11 , _L и Z указывают на тенденцию кри-
кристаллического поля ориентировать магнитные моменты
соответственно параллельно, перпендикулярно или под
углом (фО или я/2) к оси с. Для коэффициента G дан
угол направления легкого намагничивания в плоскости
базиса относительно вектора *4 (см. рис. 20.34).
Перейдем теперь к выяснению роли магнитной анизотропии в форми-
формировании магнитных структур. Положительные знаки коэффициентов для
ТЬ, Dy и Но указывают, что «легчайшей» плоскостью является плоскость
базиса. Отрицательный знак коэффициента D у Ег и Тт, наоборот, ука-
указывает, что легкая ось совпадает с осью с. Появление структур с # Ф СР
или 90° обусловлено действием членов высшего порядка с коэффициентом
Е и F из B0.194). Член с G обусловливает анизотропию в плоскости
базиса.
Если энергию анизотропии B0.194) записать в обычной форме
ёаниз = Ki sin2 Ъ + К2 sin4 ¦» 4- К3 sin8 ¦» cos 6Ф + . . ., B0.195)
то можно сказать, что магнитная анизотропия стабилизирует кристалло-
кристаллографическую плоскость, где происходит поворот спинов, обусловленный
спиральным характером магнитной структуры. Можно отметить следую-
следующие общие закономерности:
1) Ki < 0 и велико по абсолютному значению — стабилизируется
структура ПС (с малой анизотропией в плоскости базиса, определяемой
константой К3). Этот случай реализуется в Tb, Dy и Но.
2) К{ > 0: при переходе через точку Нееля возникает структура
с осцилляцией продольных к оси с компонент магнитного момента —
структура типа СПСВ, наблюдаемая в Ег и Тт. Упорядочение попереч-
поперечных относительно с компонент магнитного момента происходит при более
низких температурах — структуры СС в Ег и антифазная ферромагнит-
ферромагнитная структура в Тт.
3) Если ось легкого намагничивания находится под углом д Ф 0°
или 90° к оси с, то могут стать устойчивыми структуры типа ФС или СС.
Это реализуется при определенном соотношении величин и знаков кон-
констант Ki, К2 и т. д., когда константы анизотропии более высокого порядка
становятся сравнимыми с первой константой Ki. Поскольку роль констант
высшего порядка обычно возрастает с понижением температуры, то струк-
структуры ФС и СС появляются лишь при достижении определенных низких
температур (случай Но и Ег, см. табл. 20.4).
4) Большая анизотропия в плоскости базиса (при большой константе
К3) и при одновременно большой величине Кi < 0 способствует переходу
к ферромагнетизму с моментом, лежащим в плоскости базиса. Когда угол
поворота моментов между соседними плоскостями базиса в спиральной
— 597 -

структуре ф0 < 30°, то с возрастанием константы К3 (с понижением тем-
температуры) до такой величины, что [ASf (q) — Asf (O)]fxu2 « К3, то моменты
могут «застрять» в одной из шести потенциальных ям. Тогда произойдет
переход к коллинеарному ферромагнетизму, как это и наблюдается в ТЬ
и Dy, у которых перед переходом действительно <р0 < 30°.
Магнитные свойства Gd можно описать при учете двух констант К\
и К2 при определенном соотношении их величин и знаков в зависимости
от температуры.
3. Основы теории магнитных структур по Дзялошинскому. а. Общие соображе-
соображения. В отличие от изложенных выше модельных теорий магнитных структур, наблю-
наблюдаемых в РЗМ, Дзялошинский [416, 417] развил более общую полуфеноменологиче-
полуфеноменологическую теорию, основанную на теории фазовых переходов второго рода по Ландау.
Вопрос об изменении трансляционной симметрии кристалла при фазовых переходах
второго рода впервые изучил Е. Лифшиц [480]. Однако в применении к магнитным
переходам эта теория потребовала существенных дополнений, которые и провел Дзя-
Дзялошинский. В его работах был поставлен вопрос о том, какие из магнитных атомных
структур могут в принципе осуществляться в ферро- или антиферромагнитных кри-
кристаллах. Вначале были известны примеры простейших структур, когда их периоды
совпадали с периодами кристаллохимической решетки или находились с ними в простых
кратных отношениях: 2, 3, 4. После того как опытные геликоидальные структуры были
экспериментально обнаружены и было установлено, что для них столь простые отно-
отношения не имеют места, естественно возникла задача объяснения таких структур в рам-
рамках общей теории фазовых переходов второго рода.
Дзялошинский заметил, что возможность возникновения сложных магнитных
структур вытекает из самых общих энергетических соображений. Это обусловлено
тем, что энергия, ответственная за существование магнитной структуры, меньше
энергии атомной кристаллической структуры. Действительно, первая при расчете
на атом оказывается порядка fcB0 @ — точка Кюри или Нееля), т. е. порядка 10 эв
или меньше, а вторая — %з.и порядка 1—10 эв. Поэтому возникновение магнитной
структуры можно рассм атривать как эффект малого возмущения кристаллической
решетки. Для построения теории магнитных структур поэтому можно воспользо-
воспользоваться теорией возмущения, введя безразмерный малый параметр й;Б8/$ат ^ 0,1—0,01.
Это означает, что как при температурах, близких к 0, так и далеких от них (вплоть
до 0° К), свободную энергию решетки F можно рассматривать как функцию магнит-
магнитного порядка.
Пусть магнитная структура характеризуется периодом d. Тогда, как мы уже
видели, можно ввести волновой вектор q = 2n/d, который и будет аргументом функ-
функции F (q). Рассмотрим, например, простую кубическую решетку с параметром а, состоя-
состоящую из магнитных атомов; спиновый момент в квазиклассическом приближении опре-
определяется уравнением
Sr=S0cosqz, q = —. B0.196)
Если в элементарной ячейке имеется больше одного атома, например, есть еще атом
в центре куба (о. ц. к. решетка!), то в принятом приближении надо указать еще один
угол между спинами. Однако из свойств симметрии кристалла вытекает, что, кроме
волнового вектора q, можно вводить лишь кратные ему векторы nq. Переход к ним
дискретен, непрерывно изменяется лишь сам вектор q.
Свободная энергия F зависит, конечно, не только от углов между спинами,
но и от ориентации последних в кристалле, т. е. от магнитной анизотропии.
Обычно считается, что функция F(q) полностью определяется симметрией пара-
парамагнитной фазы; это законно из-за существования малого параметра йгБв/$ат (П0~
правки на магнитострикционные деформации учитываются лишь в высших прибли-
приближениях).
Теория должна дать возможные значения q (векторы q заполняют всю обратную
решетку парамагнитной фазы подобно квазиимпульсу в зонной теории, см. гл. 11).
Функция F(q) должна быть инвариантной относительно преобразований симметрии
парамагнитной фазы. Из этого условия появляется возможность определить вид функ-
функции F(q).
Естественно, что будут осуществляться только те магнитные структуры, для
которых свободная энергия минимальна. Если предположить, что имеется некоторое
определенное значение периода магнитной структуры с волновым вектором q0, то суще-
существование минимума F(q0) будет зависеть от того, существует или нет в разложении
функции F (q) в ряд по степеням малой разности (q — q0) линейный член
F(q) = F(q0) + Ai\(q-q0)\a + A2(q-q0)za2+... B0.197)
Введение константы а (порядка межатомного расстояния) обеспечивает одинаковую
размерность коэффициентов Ах и А2. Если At Ф 0, то минимум отсутствует, если
— 598 —

_Ai = 0, то минимум есть. Функция F (q) должна быть инвариантной относительно
лгалой группы симметрии *) вектора q. Если этот вектор произвольных!, то из свойств
инвариантности следует, что линейный член в B0.197) всегда существует и минимум
отсутствует. Чтобы линейных членов в разложении B0.197) не было, вектор q0 должен
занимать очень высоко симметричное положение. Пусть, например, q0 параллелен
оси г, но с произвольной длиной. Тогда элементами симметрии обратной решетки,
•сохраняющими q0 неизменным, являются лишь оси и плоскости симметрии, прохо-
проходящие через сам вектор q0. Но это означает, что в B0.197) во всяком случае имеется
линейный член вида | qz — qOz | а, ибо оси и плоскости симметрии, параллельные
оси г, оставляют этот член инвариантным, а других элементов симметрии при выбран-
выбранном положении q0 не имеется. Таким образом, в этом случае появление магнитной
•структуры невозможчо. Ситуация, однако, сразу же изменится, если конец вектора q0
совпадает с цевтром инверсии (есть центр симметрии). В этом случае разность | qz —
— <?oz I Уже не инвариантна и переход из парамагнитной фазы в фазу со структурой
с таким q0 оказывается возможным.
Е. Лифшиц показал, что в общем случае в зависимости от типа исходной кри-
кристаллической решетки возможны лишь переходы к сверхструктурам с такими q0,
которые соответствуют увеличению периода решетки в строго целое число раз, рав-
равное лишь 1, 2, 3 или 4. Иными словами, переход к длиннопериодным магнитным струк-
структурам типа спиральных структур, для которых q0 имеет произвольную величину,
критерием Лифшнца совершенно исключен.
Дзялошинский [416] обнаружил исключение из правил, установленных Лифши-
цем. Дело в том, что наличие линейного члена в B0.197) исключает возможность суще-
существования минимума функции F (q) вблизи точки q = q0 лишь при условии, что коэф-
коэффициенты разложения Л4 и А2 одного порядка величины.
Однако возможны случаи, когда по каким-либо физическим причинам коэффи-
коэффициент Ai при линейном члене аномально мал по сравнению с А2, т. е. | Ау \ < | А2 |.
Это возможно, если член А4 обусловлен магнитными взаимодействиями, а А2 — элек-
электростатическими. Это неравенство может иметь место, и когда оба члена Л4 и А2 имеют
оба обменную электростатическую природу в силу особой структуры кристалла или
в силу, например, упорядочения нелокализованной части плотности магнитного
момента (в междоузлиях, см. Дзялошинский [417]). В этих случах F (q) имеет минимум
.при значении q^ms'> = qz0 _j- Aqz, где
т. е. не при значении q0, а при близком к нему значении д<мин>. Конкретные примеры
(см. [416]) показывают, что линейные члены в B0.197) появляются лишь при разло-
разложении вблизи векторов q0 с весьма высокой симметрией, которые соответствуют пере-
переходам (из парамагнитной в упорядоченную фазу) с изменением периода решетки Браве
в 1, 2, 3 или 4 раза (хотя эти векторы и не удовлетворяют первоначальному критерию
Лифшица [480]).
Итак, кроме типов переходов, перечисленных Е. Лифшицем, возможны пере-
переходы, сопровождающиеся появлением длиннопериодных сверхструктур. В первом
приближении в мелком масштабе (на расстояниях порядка межатомных) эта структура
-совпадает с высокосимметричной структурой с волновым вектором q0, период которой
не отличается от допустимых по Лифшицу (т. е. в 1, 2, 3 или 4 раза больше периода
парамагнитной решетки).
В следующем приближении на эту «грубую» структуру накладываются длинно-
периодные «биения» с волновым вектором Ад-С— и, следовательно, с периодом, во
.много раз превосходящим межатомные расстояния. С такими модулированными струк-
структурами мы встречались выше **).
б. Особые точки термодинамического потенциала и спиральные магнитные струк-
структуры в металле. Если бы мы захотели применить изложенную выше процедуру к РЗМ,
то это оказывается возможным, если F (q) носит аналитический характер. А как раз
в металле это условие может и не выполняться. Как мы видели (см. п. 2), взаимодей-
взаимодействие магнитных ионов с электронами проводимости приводит к тому, что в зависи-
зависимости свободной энергии F (q) от q появляются особенности и, как следствие этого,
возникают минимумы F(q), лежащие вблизи особых точек.
Положение самих особых точек определяется не свойствами симметрии кристал-
кристалла, а свойствами электронного энергетического спектра (формой соответствующих
*) Малой группой симметрии называют совокупность операций симметрии
обратной решетки, при которых вектор q0 остается неизменным или изменяется на
вектор обратной решетки К.
**) Соображения симметрии не могут исключить «случайные» магнитные структу-
структуры, возникающие, если функция F(q) имеет минимум при тех значениях q, где сим-
симметрия этого не требует. Выделить эти различные случаи можно (см. Дзялошинский
[417]), например, по результатам экспериментальных исследований температурной
.зависимости q.
— 599 —

поверхностей Ферми, амплитудами рассеяния электронов на магнитных ионах и т. п.).
Поэтому теория магнитных структур в металлических кристаллах должна носить
микроскопический характер. В п. 2 мы рассмотрели примеры таких теорий [419, 474,
475]. Однако в них допускаются столь грубые приближения, что нет ясности, что же
является адэкватным физической природе самих явлений, а что вносится самими при-
принятыми приближениями.
Дзялошинскпй [417] показал, что многие качественные представления о спираль-
спиральных магнитных структурах в металлах (в том числе и РЗМ) можно получить без всяких
грубых модельных приближений на основе общих представлении квантовой теории
металлов с произвольным законом дисперсии электронов проводимости, а также, с ис-
использованием некоторых общих соображений симметрии, изложенных в п. а.
Особенности в потенциале F возникают вблизи точек до =¦ 2/гф, в которых волно-
волновой вектор магнитной структуры становится равным какому-либо из экстремальных
диаметров поверхности Ферми. С изменением q при переходе через точку q0 изменяется
топология поверхности Фермп, как это видно из рис. 20.42. Заметная перестройка
электронного спектра (см. рпс. 20.42) происходит в небольшой области /^пространства,
где | 8 (к) — 8(/гф) | ^ А, следовательно, | к — А:ф | — | кф | А/еф. Это означает, что
особенности в потенциале F связаны только с электронами, лежащими вблизи от поверх-
поверхности Фермп в окрестности точки О (рис. 20.42). Вклад этих электронов в термодина-
термодинамический потенциал можно вычислить отдельно. Обозначим его через Focoq.
Электроны, расположенные глубоко под поверхностью Ферми, тоже дают вклад
в функцию F, но он является аналитическим (гладкая функция от q), и поэтому его
можно разложить в ряд по \ q — q0 |. Поскольку вектор q занимает произвольную
несимметричную позицию в ячейке обратной решетки парамагнитной фазы (из-за своей
произвольной длины), то, согласно п. а, это разложение начинается с линейного члена
по | q — q0 \.
Следовательно, функция F вблизи точки q = q0 распадается на сумму трех сла-
слагаемых:
F(q) = F(qo) + FocoQ(q^q0) + Al(q-q0). B0.198)
F (q0) — несущественная для рассматриваемого вопроса постоянная. Коэффициент А,
пропорционален квадрату s — /-обменного интеграла Asf, поскольку третий член
в B0.198) представляет собой среднее значение гамильтониана косвенной обменной
связи локализованных спинов B0.126), возникающего во втором порядке теории воз-
возмущения по s — /-обменному взаимодействию B0.108). Можно считать, что при усред-
усреднении учтены и флуктуации спинов (не считая их вклада в особую часть ^особ), 11Т0
важно для температур, близких к точке перехода. Коэффициент А4 зависит от темпера-
температуры. Эта зависимость имеет вид
AAj _ AT
Ai * G "
Основная задача заключается в вычислении Focoq в B0.198).' Вклад в эту вели-
величину дают электроны, близкие к поверхности Ферми, поэтому можно считать их невза-
невзаимодействующими квазичастицами с произвольным законом дисперсии 8 (к). Однако
следует иметь в виду, что при Т =» О электроны, отстоящие от поверхности Ферми
на расстояния, при которых | 8 (к) — 8 (кф) | ^С ^в, нельзя считать свободными.
Это обусловлено рассеянием электронов на флуктуациях спинов ионов, сохраняющим-
сохраняющимся и в парамагнитной области (при А = 0), которое приводит к размытию электронного
спектра на величину кБв. На такую же величину размывает спектр и тепловое дви-
движение. Поэтому последующие расчеты фактически справедливы лишь для низких тем-
температур, где эти эффекты несущественны.
Изменение спектра электронов вблизи экстремальных точек поверхности Ферми
обусловлено их взаимодействием со спинами ионов. Влияние спинов в первом прибли-
приближении можно учесть, вводя некоторое эффективное поле, действующее на электроны
со стороны среднего распределения спинов ионов вида B0.196). Как уже отмечалось,
это поле в общемслучае содержит не только гармоники вида exp (iqzz), но и все кратные
exp (inqyz) (re — произвольное нечетное целое число) с коэффициентами, вообще гово-
говоря, того же порядка величины, что и первые гармоники. Кроме того, в это поле могут
входить и гармоники вида ехр (;/>), где fz = nqz + Kz и Kz — произвольный вектор
обратной решетки. Эффикт каждой гармоники можно учитывать независимо, если
условию / г^ 2кф (для каждого конкретного экстремального диаметра поверхности
Ферми) удовлетворяет только одна гармоника. Получающийся при этом спектр был
уже найден в случае модельной теории [см. формулу B0.191)]. Следует помнить, что
е (к) теперь произвольная функция А;.
Дальнейший расчет (см. Дзялошинский [416]) отличается от расчета Эллиотта —
Веджвуда [474] и Мива [475], приведенного в п. 2, тем, что здесь предполагается выде-
выделить отдельно вклад в потенциал F, определяемый электронами, лежащими в ближай-
ближайшей окрестности к точкам +//2 и —//2, которые близки к концам экстремального
— 600 -

диаметра поверхности Ферми: / ^s 2кф. Спектр B0.191) вблизи утих точек можно-
разложить в ряд по степеням разности (к — //2). Для осп z (рис. 20.42) и для f \\z
это разложение вблизи точки 0 @, 0, q/2) имеет вид
+ («Zpl + A2)'72, B0.199)
где pi = iikt; кх, у = к±. 2, &z = k-\-f/2\ m* ни — постоянные, имеющие соответствен-
соответственно порядок величины массы свободного электрона н фермиевской скорости. Изменения
поверхности Ферми вблизи точки О с изменением / показаны на рис. 20.43.
.Для вычисления Focoq необходимо прежде всего найти изменение функции плот-
плотности состоянии электронов 6g (г) вблизи точки О на рис. 20.42, а, связанное с появле-
появлением магнитной структуры:
eg(e) = gA(e)-go(e). B0.200)
ГДС ?д (е) и go (е) вычисляются по формуле B0.26) с учетом вида еяектра B0.199)
соответственно при Д ф. 0 и Д = 0. После этого определяется изменение числа
частиц как функция химического
потенциала ?0:
e, B0.201)
здесь индекс / указывает, что опре-
определенная таким образом величина
зависит от /. Наконец, особую часть
термодинамического потенциала как
функцию Т, V и ?0 находим по
формуле
Еф
> (О-
B0.202)
в)
Рис. 20.43. Изменение поверхности Ферми в окрест-
окрестности точки О (см. рис. 20.42) в зависимости от из-
изменения вектора ч в соответствии с тремя поло-
положениями уровня Ферми по отношению к щели в
спектре 2Д (см. рис. 20.41,6): а) Случай %,„<
< г (9/2) — Д; б) случай ?„ > е. (qr/2) — Д; в) случай
U -* 8 (q/2) -f Д.
Строго говоря, в B0.202), вместо старой энергии Ферми еф должен входить новый хими-
химический потенциал ?0. Однако приближение ?0 = еф не сказывается на результате
для Foco(j (с точностью до членов порядка Д4). В B0.202) входит разность, потому что
мы разлагаем потенциал вблизи точки q = 2кф
Вычисления по указанной схеме приводят к следующему выражению для Р
0С0(,:
где а = т/2л2и, а
-в(*!ф) « у и (/-
Л — постоянная порядка энергии Ферми 8ф и
0,
Г
~ l[
tf-iftS | ж | Arch
х | ] sign х,
B0.203)
B0.204)
B0.205)
Можно показать, что функция
ности вида
(у) вблизи точек у0 = ± Д имеет особен-
особен|—Д)
5/2
B0.208)
Особенности этого типа, связанные с изменением топологии поверхности Ферми при
ее самопересечении, впервые получил (в связи с другой задачей) И. Лифшиц [481].
Согласно B0.198) к выражению B0.203) следует добавить линейный член вида
Ai (/ — /о) як А^у. Тогда полное изменение потенциала F, связанное с магнитной сверх-
сверхструктурой, вблизи точки / = 2А'ф примет вид
6F (у) = ^0С0б (у) -\-Aiy. B0.207)
Золновой вектор магнитной структуры / = nq + К определяется из условия мини-
минимума выражения B0.207) по у. Исследование показывает (см. [416]), что B0.207) имеет
минимум и максимум лишь при условии
1 '"' -А.. B0.208)
— 601 -

В остальных случаях это монотонная функция у. Минимум и максимум F располо-
расположены в симметричных точках + г/МИн> как показано на рис. 20.44. Эти точки нахо-
находим из трансцендентного уравнения
1
Х1 о-Ц(хо)=ку B0.209)
где if)'—производная функции ty из B0.205), хо = умин/А и Х = 1п (Л/2Д) + 2
¦безразмерный положительный параметр [см. формулу B0.208)].
Если теперь вспомнить, что для РЗМ А/еф =» А8//еф =к 0,1 (вдали от точки перехо-
хода 0), то, выяснив, что X — величина порядка единицы, получим умиа =а А.
Интересно исследовать случай, когда выполняется не только условие 8ф J> Л,
но и более сильное условие, которое для РЗМ, по-видимому, не выполняется:
dF(y)
lnhr)
»
B0.210)
Рис. 20.44. Максимум и минимум функции
&F (у) [см. формулу B0.207)], где у =
= (Vs) « (а — 2Лф) [см. формулу B0.204)].
Это условие может реализоваться, па-
пример, вблизи точки перехода, где Д-»-().
Тогда в уравнении B0.209) X » 1 и минимум
может быть только в области | у | J> Д, т. е.
е (-|-)-8(Лф)»Д, B0.211)
^которой, как можно показать из B0.203),
приводится к виду
1 ...,..,_ Л
\У\
B0.212)
эта особенность аналогична особенности, найденной Коном [247] для взаимодействия
электронов с фононами, а также особенности, найденной в модельной теории для фурье-
•образа рудерман-киттелевского обменного интеграла [см. B0.132)].
Решение уравнения B0.209) для этого случая или непосредственная минимиза-
минимизация B0.207) с учетом B0.212), при А^ < 0 снова дает минимум и максимум, располо-
расположенные соответственно в точках — умин и -\-уман, где
B0.213)
Надо иметь в виду, однако, что все это рассмотрение применимо лишь при условии
Умин СЛ=» 8ф. Можно предполагать, хотя бы из соображений размерности, что
по порядку величины | А\ \ =» <хД2, а следовательно, у = 1. Поэтому умин из B0.213)
может и не удовлетворять указанному условию или удовлетворять, но с очень малым
«численным запасом» (типа е J> 1).
В модельных расчетах (см. п. 2) удалось для 6F (у) получить кривую с минимумом
при учете одновременно нескольких новых границ зон Бриллюэна, соответствующих
векторам fl2={q+K)l2 с различными К, такими, что //2 =к кф. Соответственно этому
в термодинамическом потенциале F(q) фактически учитывалось одновременно несколь-
несколько особых точек типа qx = 2кф — К. Однако то обстоятельство, что несколько новых
зон с различными К оказались близкими к поверхности Ферми, связано с конкрет-
конкретным выбором этой поверхности в виде сферы, для которой все диаметры являются мак-
максимальными. Реальные поверхности Ферми в металле, как мы видели (см. гл. 11),
наверняка не обладают такими свойствами. Согласно теории Дзялошинского кривая
6F (q) может иметь минимум при наличии лишь одного вектора / = nq + К, близкого
к экстремальному диаметру поверхности Ферми. Это связано с учетом в B0.207) линей-
линейного по /—2&ф слагаемого, которое появилось в теории Дзялошинского из соображе-
соображений симметрии (см. п. а). Оно феноменологически учитывает вклад электронов, рас-
расположенных глубоко под поверхностью Ферми. В модельных расчетах (п. 2) этот вклад
учитывался по модели свободных электронов и в приближении ASf (к) ¦» ASf @),
и поэтому такого линейного члена по q — 2&ф не получилось.
Определяемые уравнениями B0.209) и B0.213) состояния, полученные с учетом
лишь одной особой точки потенциала F (q), могут оказаться метастабильными; условия
пх реализации вида B0.208) могут вообще не выполняться. Тогда необходимо учиты-
учитывать две или несколько различных границ, близких к экстремальным точкам поверх-
поверхности Ферми. Этот вопрос обсуждается в работе Дзялошинского [416]. Получающиеся
при этом структуры Дзялошинский назвал «случайными». От структур первого типа
их должна отличать более сильная температурная зависимость периода, которая также
рассмотрена качественно в его работе.
До сих пор рассматривался случай поверхности Ферми с максимальным диаметром
вдоль оси z. Дзялошинский рассмотрел также и другие поверхности Ферми типа
«шейки» (см. рис. 11.16, а), которая вдоль оси z имеет минимальный диаметр. Расчет,
602 —

•аналогичный приведенному выше [при этом получается несколько иной вид разложения
B0.199) для энергии е (к) около точки О], для этого случая дал совершенно другой
тип особенности F (q) вблизи точки qo= 2кф, чем в случае поверхности Ферми, с макси-
максимальным диаметром. В частности, оказалось, что для поверхности типа «шейки» всегда
| г/мин | < Д. Этот результат не может быть получен из обменного гамильтониана
Рудермана — Киттеля B0.128) с учетом B0.133) ни при каких соотношениях между
А ~ ASf и еф. Этот пример весьма убедительно показывает, насколько важную роль
для дальнейшего развития теории магнетизма РЗМ имеет изучение формы поверхности
Ферми этих кристаллов. В связи с этим обращаем внимание читателей на обзор Касуйя
[267], где делаются попытки обсудить различные физические свойства РЗМ и в первую
очередь магнитные свойства с учетом конкретного вида поверхности Ферми (см. также
S 6, п. 5). Укажем еще некоторые работы по магнетизму РЗМ [482—514].
§ 9. Заключительные замечания
1. Сравнение зонной и s — /обменной моделей. В заключение оста-
остановимся на сравнении этих двух основных микромоделей, используемых
для объяснения атомного магнитного порядка в переходных d- и /-метал-
/-металлах. Кратко и вместе с тем наглядно это можно представить в виде схемы,
изображенной в табл. 20.6.
2. Важнейшие проблемы, требующие своего разрешения. Приведен-
Приведенная табл. 20.6 позволяет сказать, что обе сравниваемые в ней модели пред-
предоставляют собой две стороны одной и той же медали, два различных асим-
асимптотических приближения в теории переходных металлов с атомным маг-
магнитным порядком. Задача дальнейшего развития теории заключается
в сближении обеих этих приближенных трактовок. Попытки такого прео-
преодоления недостатков традиционных зонной и s — /-обменной модели мож-
можно найти в работах [242—244, 404, 406, 410, 416, 417].
Можно сформулировать те основные вопросы в области физики пере-
переходных металлов, их сплавов и соединений, которые в настоящее время
требуют в первую очередь своего дальнейшего еще более глубокого и де-
детального экспериментального и теоретического решения.
Во-первых, необходимо продолжать все более прецизионное опреде-
определение распределения зарядовой р (г) и спиновой s (r) электронной плот-
плотности в кристаллах изучаемых веществ. Для этой цели необходимо прежде
всего усовершенствовать экспериментальные методы определения рент-
рентгеновских и нейтронных форм-факторов, а также вести дальнейшую раз-
разработку более точных методов их теоретического анализа (развитие метода
Хартри — Фока для кристаллов, более точные расчеты сечений рассея-
рассеяния, например поляризованных пучков нейтронов и т. п.). Одновременно
необходимо учитывать свойства симметрии кристаллов и влияние внутри-
кристаллического поля (эффекты кристаллического штарковского и зее-
мановского расщепления внутренних электронных уровней и т. д.). Хотя
за последнее время в этой области появились работы (см., например
исследования по расчету форм-факторов Ватсона и Фримена [17]), но точ-
точность экспериментальных измерений и в особенности теоретическая трак-
трактовка опытных данных весьма далеки еще от совершенства (достаточно
напомнить «дискуссию» в связи с результатами опытов Вейсса и де Марко
[19], см. Вонсовский [269]). Вместе с тем получение правильной картины
электронной плотности в кристалле является необходимейшей предпо-
предпосылкой для построения последовательной теории переходных металлов
и их сплавов, которая только и может до конца обнаружить все еще скры-
скрытые от нас потенциальные перспективы их практического использования.
Во-вторых, решение вопроса о «геометрическом» распределении элек-
электронов в изучаемых кристаллах должно быть тесно связано с вопросом
определения их распределения в пространстве квазиимпульсов, т. е.
с проблемами определения формы поверхности Ферми в кристаллах пере-
переходных металлов и сплавов при сложном законе дисперсии для электро-
электронов проводимости, определение аномально высоких значений электронной
плотности вблизи фермиевской поверхности и т. п. Все эти вопросы пока
— 603 —

Таблица 20Ai
Сравнение зонной и «—/-обменной моделей
Зонная модель
s—/-модель
Волновые функции
s-состояний
Энергия s-электро-
нов
Волновые функции
/-состояний
Энергия /-электронов
Распределение
спиновой плотности
в кристалле
Соотношения ши-
ширины (Д.,, A/) s- и /-
полос и пх эффектив-
эффективных масс
Достоинства моде-
модели
Недостатки модели
Области примени-
применимости модели
¦ф.? (к. г)
us (к, г) —
~ ехр Aкг);
const
Es(k, а) ^es (fc)-f-
-\-As (к) тга
if)s (к, г) ~ ехр (ikr);
uj (к. г) — const
в/(ft, a)=B/(fc) +
+ Л/ (ft) m2a
Спиновая плотность раз-
размазана по кристаллу;
средний атомный момент
на атом может быть дроб-
дробным и заметно отличается
от момента изолированно-
изолированного атома или иона
А//Д8 С
ms/mf ^
Объясняет аномалии
электронной теплоемко-
теплоемкости, парамагнитной вос-
восприимчивости, дробность
(в ед. IБ) значений атом-
атомных магнитных моментов
и носителей тока, качест-
качественно описывает рентге-
рентгеновские спектры
Игнорирует пространст-
пространственную неоднородность
в распределении электрон-
электронной плотности, не может
объяснить наблюдаемые
рентгеновские и нейтрон-
нейтронные форм-факторы и эф-
эффекты рассеяния электро-
электронов проводимости и ней-
нейтронов на магнитных не-
одиородностях
d-металлы и их сплавы
(с высокой плотностью
состояний металла-раст-
металла-растворителя у поверхности
Ферми)
if)s (A:, r) ~ exp (ikr);
us (k, r) — const
es (k, a) = e,, (fc)+Л,, (ft) m2o"
ih/ (к, г) ~ ф (r — rn);
f(k, r) « б (ft) ф (/•—/•„)
e/ (/e, ct) = E/— атомный уро-
Спиновая плотность полностью
локализована у узлов кристал-
кристалла; средний атомный момент на
атом кратен иБ и по величине
близок к его значению для изо-
лированпого атома или иона с
точностью до дробной добавки
от подмагниченньтх электрошш
проводимости
At/As = О,
iiif/m s —> оэ
Хорошо согласуется с изме-
измеренными нейтронными и рент-
рентгеновскими форм-факторами, до-
допускает простую спин-волновую
трактовку, объясняет природу
косвенного обмена через элек-
электроны проводимости и эффекты
рассеяния нейтронов и электро-
электронов на магнитных неоднородно-
стях, описывает эффект подмаг-
ничивания s-электронов и его
влияния на статические и ктшо-
тичеекпе электронные свойства
кристаллов, объясняет проис-
происхождение эффективных сильных
магнитных полей на ядрах
Постулирует две автономные
подсистемы s- и /- электронов;
не может объяснить все причи-
причины, обусловливающие дробности
(в ед. IБ) средних атомных маг-
магнитных моментов и носителей
тока; игнорирует эффекты кол-
коллективизации /-электронов
/-металлы, их сплавы и сое-
соединения, ферро- и антпферро-
мапштиые полупроводники (ме-
(металлы-растворители в сплавах
с низкой плотностью состояний
у поверхности Ферми)
— 604

находятся на самой начальной стадии исследования. Вместе с тем изуче-
изучение свойств подсистемы электронов проводимости в переходных металлах
и сплавах без решения этих фундаментальных вопросов нельзя считать
сколько-нибудь закопченным. Особый интерес эта проблема определения
поверхности Ферми будет представлять для d-металлов, не обладающих
атомным магнитным порядком (в первую очередь для начала ряда 3d-
металлов и для Ad- и 5й-металлов).
В третьих, важнейшим вопросом теории является решение проблемы
о природе обменной и металлической связей в переходных металлах,
сплавах и соединениях. Здесь также пока известно очень мало. По сути
говоря, мы только в принципе знаем, какова общая (электростатическая)
природа обменного взаимодействия и что можно говорить о прямом и кос-
косвенном обменных взаимодействиях. До сих пор нет строгой количествен-
количественной теории обменной связи в кристаллах. Весьма неясен, например, воп-
вопрос о происхождении этой связи в d-металлах. Именно поэтому для пас
остался открытым вопрос, почему большая часть d-металлов парамагнит-
парамагнитна, а меньшая часть — ферро- или антиферромагнитпа, а /-металлы, нао-
наоборот, все ферро- или антиферромагнитны. Естественно, что этот третий
основной вопрос о происхождении и величине обменного взаимодействия
находится в тесной связи с первыми двумя, ибо только при точном знании
распределения зарядовой и спиновой плотности можно поставить вопрос
о вычислении энергетических обменных параметров. В частности, знание
поверхностей Ферми позволит решить вопрос о конкуренции обменного
взаимодействия и кинетической энергии в системе коллективизированных
электронов.
С проблемой происхождения обменной связи тесно связан вопрос
о природе сил связи в переходных металлах и сплавах, определяющих
их выдающееся место в ряду прочих конструкционных материалов. Здесь
опять-таки решение всех трех перечисленных вопросов должно быть необ-
необходимым этапом разработки последовательной теории.
Естественно, что решение поставленных основных проблем и всех
вытекающих из них частных конкретных задач объяснения известных и
иредсказапных свойств должно будет идти параллельно по пути как экспе-
эксперимента, так и теории. В области эксперимента ведущую роль должны
играть сознательно поставленные моделирующие опыты, а не метод про-
простого накопления фактов. Одним из таких важных методов должен явить-
явиться метод изучения сильно разбавленных твердых растворов переходных
элементов, когда в решетке диамагнитного растворителя находится неболь-
небольшое число практически между собой не взаимодействующих парамагнит-
парамагнитных d- или /-ионов (см. гл. 21). Детальные изучения распределения элек-
электронной зарядовой и спиновой плотности, величины среднего магнитного
момента па атом, обменной связи, эффективных полей, действующих
на электронную оболочку и на ядро, и т. п.— все это необходимые элемен-
элементы, без которых нельзя решить поставленные выше основные вопросы тео-
теории. Важным элементом таких моделирующих экспериментов будут
являться также исследования упорядочивающихся сплавов с участием
переходных элементов, а также изучение влияния различных дефектов
(по возможности единичных) структуры (например, вакансии атомов внед-
внедрения и замещения, дислокаций и т. п.) на магнитные и другие физические
свойства переходных металлов и сплавов.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 20
1. Е. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 A934); Trans. Faraday Soc. 34, 678 A938).
2. G. Herring, Magnetism (ed. G. T. Rado, H. Suhl,) vol. IV, N.Y. 1966.
3. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 82, 538 A951).
4. С Herring, Phys. Rev. 85, 1003 A952).
5. A. W. О v e r h a u s e r, J. Phys. Chem. Sol. 13, 71 A960); Phys. Rev. Lett. 3,
414 A959).
— 605 -

6. A. W. О v e r h a u s e r, Phys. Rev. Lett. 4, 462 A960).
7. A. W. О v e r h a u s e r, Phys. Rev. Lett. 13, 190 A964).
8. D. R. G u s t a f s о n, G. Т. В а г n e s, Phys. Rev. Lett. 18, 3 A967).
9. A. W. О v e r h a u s e г, А. А г г о 11, Phys. Rev. Lett. 4, 226 (I960).
10. W. M. L о m e r, Proc. Phys. Soc. 80, 489 A962).
11. A. W. О v e r h a u s e r,.Phys. Rev. 128, 1437 A962).
12. D. R. H a m a n n, A. W. О v e r h a u s e r, Phys. Rev. 143, 183 A966).
13. М.Я.Амусь я, Phys. Lett. 16, 254 A965); 20, 596 A966).
14. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 36, 57 A930).
15. G. В а с о n, Neutron Diffraction, 2 Ed., Oxford, Clarendon Press, 1962; [имеется-
перевод 1-го изд. Дж. Бэкон, Дифракция нейтронов, ИЛ, 1957 и нескольких
глав 2-го изд., УФН, 81, 335 A963)].
16. R. N a t h an s, S. P i с k a r t, Magnetism (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. III.
N. Y., 1963.
17. R. E. Watson, A. J. Freeman, Acta Cryst. 14, 27 A961).
18. J. С S 1 a t e r. Phys. Rev. 35, 509 A930).
19. R. J. W e i s s, J. J. de M a r с о, Rev. Mod. Phys. 30, 59 A958); Phys. Rev. Lett
2, 148 A959).
20. B. W. В a 11 e r m a n, Phys. Rev. Lett. 2, 47 A959); Phys. Rev. 115, 81 A959).
21. B. W. В a t t e r m a n, D. R. С h i p m a n, J. J. de M a r с о, Phys. Rev. 122, 68
A961).
22. Y. К о m u r a, J. T о m i i e, R. Nathans, Phys. Rev. Lett. 3, 268 A959):
J. Phys. Soc. Japan 15, 1434 A960).
23. C. Herring, J. Appl. Phys. 31, 3S A960); перевод в сб. «Теория ферромагне-
ферромагнетизма металлов и сплавов» ИЛ, М., 1963, стр. 27.
24. R.J.Weiss, АЛ. Freeman, J. Phys. Chem. Sol. 10, 147 A959).
25. R. N a t h a n s, C. G. S h u 1 1, G. S h i r a n e, A. A n d e r s о n, J. Phys. Chem
Sol. 10, 138 A959).
26. В. С. Г о л о в к и н, В. Н. Б ы к о в, В. А. Л е в д и к, ЖЭТФ 49, 1083 A965).
27. L. Hodges, H. Ehrenreich, J. Appl. Phys. 39, 1280 A968).
28. R. E. W a t s о n, A. J. F r e e m a n, Phys. Rev. 120, 1125, 1134 A960).
29. J. H. W о о d, Phys. Rev. 117, 714 A960).
30. С S h u 1 1, Y. Y a m a d a, J. Phys. Soc. Japan, 17, Suppl. B-III, 1 A962).
31. J. H. W о о d, G. W. P r a t t, Jr., Phys. Rev. 107, 995 A957).
32. R. N a t h a n s, S. J. P i с k a r t, H. A. A 1 p e r i n, Bull. Am. Phys. Soc. 5..
455 A960).
33. R. M о о n, J. С a h 1 e, W. К о e h 1 e r, J. Appl. Phys. 35, 1041S A964).
34. H. A. M о о k, С. G. S h u 11, J. Appl. Phys. 37, 1034 A966).
35. H. A. M о о k, Phys. Rev. 148, 495 A966).
36. С Z e n e r, Phys. Rev. 81, 440; 82, 403; 83, 299 A951).
37. R. R. H e i k e s, Phys. Rev. 84, 376 A951).
38. A. T e v i о t d a 1 e, Proc. Phys. Soc. A65, 957 A952).
39. С Z e n e r, R. R. H e i k e s, Rev. Mod. Phys. 25, 191 A953).
40. E. A. T у р о в, ЖЭТФ 25, 352 A953).
41. J. О w e n, M. В г о w n e, W. D. К n i g h t, Ch. К i 11 e 1, Phys. Rev. 102, 1501
A956).
42. J. О w e n, M. В г о w n e, V. A r p, A. F. К i p, J. Phys. Chem. Sol. 2, 85 A957).
43. H. S a t о, А. А г г о 11, R. К i k u с h i, J. Appl. Phys. 30, 94 A959).
44. С. П. Ш у б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Proc. Roy. Soc. A145, 159 A934).
45. С. П. Ш у б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Sow. Phys. 7, 292 A935); 10, 348 A936)..
46. С. В. В о н с о в с к и й, ЖЭТФ 16, 981 A946).
47. С. В. В о н с о в с к н й, Е. А. Туров, ЖЭТФ 24, 419 A953).
48. Е. А. Туров, В. Г. Ш а в р о в, Труды ИФМ 20, 101 A958).
49. 10. П. И р х и н, ФММ 6, 214, 586 A958).
50. А. А. С м и р н о в, ЖЭТФ 17, 730 A947).
51. М. A. R u d e r m a n, Ch. К i 11 e 1, Phys. Rev. 96, 99 A954).
52 J. A. H о f m a n, A. P о s k i n, К. J. T a n e r, R. J. W e i s s, J. Phys. Chem..
Sol. 1, 45 A956).
53. Я. И. Ф р е н к е л ь, Zs. Phys. 49, 31 A928).
54. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 57, 545 A929).
55. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 49, 537, 931 A936).
56. E. С S t о n e r, Proc. Roy. Soc. A154, 656 A936).
57. E. С S t о n e r, Proc. Roy. Soc. A165, 372 A938).
58. E. С S t о n e r, Proc. Roy. Soc. A169, 339 A939); J. phys. Rad. 12, 372 A951)..
59. E. С S t о n e r, Rept. Progr. Phys. 11, 43 A948).
60. N. F. M о t t, Proc. Phys. Soc. 47, 571 A935).
61 N. F. M о t t, Proc. Roy. Soc. A153, 699; A156, 368 A936).
62. E. P. W о h 1 f a r t h, Phil. Mag. 42, 374 A951).
63 M. Shimizu, Proc. Phys. Soc. 84, 397 A964); 86, 147 A965).
64 E P. W о h 1 f a r t h, J. F. С о r n w e 1 1, Phys. Rev. Lett. 7, 342 A961).
65. F. I w a m о t о, К. S a w a d a, Phys. Rev. 126, 887 A962).
66. M. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan, 15, 379 A960); перевод в сб. «Теория ферро
магнетизма металлов I* сплавов», М., 1963, стр. 298.
- 606 —

67. M. S h i m i z u, Т. Т а к a li a s h i, А, К a t s u к i, J. Phvs. Soc. Janan 18, 24О
A963).
68. E. P. Wohlf arth, Phys. Lett. 3, 17 A962); J. Appl. Phys. 39, 1061 A968)
69. S. О g a w a, N. S а к a m о t o, Phys. Lett. 23, 199 A966); J. Phys. Soc. Japan
22, 1214 A967).
70. S. J. P i с к a r t , H. A. A 1 p e r i n, G. S h i r a n e, R. N a t h a n s, Phvs. Rev.
Lett. 12, 444 A964).
71. B. T. Mattias, R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. 109, 604 A958).
72. B. T. M a 11 i a s, T. H. G e h a 1 1 e, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham.
1965, p. 228.
73. A. J. F r e e m a n, N. А. В 1 u m, S. F о n e r, R. B. F r a n к e 1, E. J. Me N i f i
Jr., J. Appl. Phys. 37, 1338 A966).
74. C. H e r r i n g, R. M. В о z о r t h, A. E. С 1 a r k, T. R. Me G u i r e, J Appl
Phys. 37, 1340 A966).
75. E. D. T h о m p s о n, Adv. Phys. 14, 213 A965).
76. T. I z u у a m a, D. J. Kim, R. К u h o, J. Phys. Soc. Japan 18, 1025 A963).
77. E. D. T h о m p s о n, Ann. of Phys., 22, 309 A963).
78. D. M a t t i s, Phys. Rev. 132, 2521 A963).
79. N. F. M о 11, Adv. Phys. 13, 352 A964).
80. J. К a n a m о г i, Prog. Theor. Phys. 30, 275 A963).
81. J. H u h h a r d, Proc. Roy. Soc. A276, 238 A963).
82. J. Friedel, G. Leman, S. Olszewski, J. Appl. Phys. 32, 325S A961).
83. H. M. К г u t t e r, Phys. Rev. 48, 66 A935).
84. E. P. W о h 1 f a r t, Proc. Leeds. Phil. Soc. 5, 89 A948); Proc. Roy. Soc. A195
434 A949); Phil. Mag. 40, 703, 1095 A949); Rev. Mod. Phys. 25, 211 A953).
85. G. G. Fletcher, E. P. W о h 1 f a r t h, Phil. Mag. 42, 1061 A951).
86. G. С F 1 e t с h e r, Proc. Phys. Soc. A65, 192 A952).
87. J. С all away, Solid State Physics Vol. 7, Acad. press, N.Y. 1958 p. 100
88. J. С all away, Phys. Rev. 115, 346 A959); 120, 731 A960); 121, 1351 A961)-
140, A618 A965).
89. E. F. В e 1 d i n g, Phil. Mag. 4, 1145 A959).
90. M. A s d e n t e, J. F r i e d e 1, Phys. Rev. 124, 384 A961); 126, 2262 A962).
91. J. Yamashita, M. Fukuchi, S. Wakoh, J. Phys. Soc. Japan 18, 999A963)..
92. Дж. Кал л ay эй, Теория энергетической зонной структуры, пер. с англ.,
«Мир», 1969.
93. L. F. M a 11 h e i s s, Phys. Rev. 134, A970 A964).
94. G. S. Fleming, T. L. L о и с k s, Phys. Rev. 173, 685 A968).
95. A. C. S w i t e n d i с k, J. Appl. Phys. 37, 1022 A966).
96. E. A h a t e, M. A s d e n t e, Phys. Rev. 140, A1303 A965).
97. S. W a k о h, Y. Y a m a s h i t a, J. Phys. Soc. Japan 21, 1712 A966); 28, 1151 A970).
98. M. A s d e n t e, M. D e 1 i t a 1 a, Phys. Rev. 163, 497 A967).
99. A. V. G о 1 d, J. Appl. Phys. 39, 768 A968).
100. S. Wakoh, J. Yamashita, J. Phys. Soc. Japan 19, 1342 A964).
101. L. Hodges, H. Ehrenreich, Phys. Lett. 16, 203 A965).
102. L. Hodges, H. Ehrenreich, N. D. Lang, Phys. Rev. 152, 505 A966).
103. J. W. D. С о n n о 1 1 у, Phys. Rev. 159, 415 A967).
104. L. H о d g e s, D. R. S t о n e, A. V. G о 1 d, Phys. Rev. Lett. 19, 655 A967).
105. J.O. Dimmock, A. J. Freeman, Phys. Rev. Lett. 13, 750 A964).
106. E. С о r i n a 1 d e s i, S. H a m e, e d., Nuov. cim. 41, 139 A966).
107. P. Ф. Е г о р о в, Б. И. Р е з е р, В. П. Ш и р о к о в с к и й, ФММ 24, 49 A967).
108. S. Alexander, G. Horwitz, Phys. Rev. 164, 642 A967).
109. J. R. Schrieffer, Phys. Rev. Lett. 19, 644 A967).
110. A. K. Rajogopal, H. Brooks, N. R. Ranganathan, Nuov. Cim.
Suppl. 5, № 3, 806 A967).
111. L. M. F a 1 i с о v, J. R u v a 1 d s, Phys. Rev. 172, 498 A968).
112. S. D о n i а с h, J. Appl. Phys. 39, 751 A968).
113. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 165, 658 A968); J. Appl. Phys. 39, 761 A968).
114. J. B. R e i t z, Solid State Physics, Vol. 1, Acad. press, N.Y. 1955, p. 1.
115. H. J о n e s, N. M о 11, Proc. Roy. Soc. A157, 400 A937).
116. E. W i g n e r, F. S e i t z, Phys. Rev. 43, 804 A933); 46, 509 A934).
117. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 92, 603 A953).
118. M. M. S a f f r e n, J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 92, 1126 A953).
119. J. E. E v e 11 s, Thesis, Camhridge A962).
120. G. А. В u r d i с k, Phys. Rev. 129, 138 A963).
121. B. S e g a 1 1, Phys. Rev. Lett. 7, 154 A961).
122. B. S e g a 1 1, Phys. Rev. 125, 109 A962).
123. S. L. A 1 t m a n n, С J. В r a d 1 e y, Proc. Phys. Soc. 86, 915 A965).
124. J. F. С о r n w e 1 1, E. P. W о h 1 f a r t h, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-I,
32 A962).
125. L. van Hove, Phys. Rev. 89, 1189 A953).
126. J. С. Р h i 1 i p s, Phys. Rev. 104, 1263 A956).
127. W. E. S p i с е г, С N. В e r g 1 u n d, Phys. Rev. Lett. 12, 9 A964).
— 607 —

128. С. А. Н е м и о н о в, В. Г. 3 ы р я н о в, В. Ф. В о л к о в, ФММ 22, 375 A966).
129. М. А. Блох п н, Физика рентгеновских лучей, М, 1963.
130. С. А. Н е ы н о н о в, В. Ф. В о л к о в, В. С. С у э т п н, ФММ 21, 529 A966).
131. А. В. С о к о л о в, ЖЭТФ 28, 326 A955).
132. И. В. Боровский, К. П. Гуров, ЖЭТФ 36. 1203 A959).
133. В. В. Шмидт, ЖЭТФ 39, 1269 A960).
134. Б. П. И р х п п, ФММ И, 10 A961).
135. 10. М. Шепелева, 10. П. И р х и н, ФММ И, 313 A961).
136. В. В. Немошка лен к о, ДАН СССР 148, 78 A963).
137. В. А. Трапезников, ФММ 3, 561 A956).
138. С. А. Н е м н о п о в, К. М. Колобов, ФММ 8, 478 A959); 22, 680 A966); 25,
267 A968); 27, 1026 A969).
139. В. Н е м о ш к а л е н к о, ДАН СССР 143, 1328 A962).
140. Э. 3. К у р м и е и, А. 3. М е н ь ш и к о в, Р. И. А н п щ е п к о, С. А. Н е м и о -
нов, ФММ 20, 38 A965).
141. R. J. Weiss, J. J. de Marco, Phys. Rev. 140, 1223 A965).
142. В. Г. Зырянов, С. А. Н о м н о н о в, ФММ 27, 949 A969).
ИЗ. К. М. К о л о б о в, А. 3. М е н ь ш п к о в, С. А. Немнонов, ФММ 21, 618
A966).
144. Л. Д. Ф и н к е л ь ш т е и н, С. А. II е м п о н о в, ФММ 22, 49, 843 A966)- 25,
551 A968), 26. 481 A968).
145. Л. Д. Ф иикелыптей п, С. А. Немнонов, ФММ 26, 481 A968).
146. И. А. Б р ы т о в, С. А. Н е м н о и о в, С. А. Г р п б о в с к и и, ФММ 30, 315
A970).
147. Ch. В о n n е 1 1 е, Ann. de phys. 1, 439 A966).
148. С. А. Н е м н о и о в, М. Ф. С о р о к и н а, ФММ 23, 732 A967).
149. С. А. Н е м и о н о в, ФММ 24, 1016 A967).
150. С. А. Н е м н о п о в, Э. 3. К у р м а е в, К. М. К о л о б о в а. А. 3. М с п ь -
шик о в, ФММ 25, 1064 A968).
151. В. Ф. В о л к о в, Л. А. Р о с с о х а, ФММ 25, 1134 A968).
152. С. А. И е м н о н о в, И. А. Б р ы т о в, ФММ 26, 45 A968).
153. В. Ф. В о л к о в, М. А. Б л о х и я, ФММ 26, 376 A968).
154. J. R. С u t h i 1 1, A. J. Me A 1 i s t e r, M. L. W i 1 1 i a m s, Phys. Rev. 164, 1006
A968).
155. CS.Fodley, D. A. Shirley, Phys. Rev. Lett. 21, 980 A968).
156. C. N. В e r g 1 u n d, W. E. S p i с е r, Phys. Rev. 136, A1030 A964).
157. С N. В e r g 1 u n d, W. E. S p i с е r, Phys. Rev. 136, A1044 A964).
158. J. С Phillips, Phys. Rev. 140, A1254 A965).
159. C. N. Berglund, Optical Properties and Electronic Structure of Metals and
Alloys, Amsterdam, 1966, p. 285.
160. W. E. S p i с е r, Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys,
Amsterdam, 1966, p. 296.
161. W. E. S p i с e r, J. Appl. Phys. 37, 947 A966).
162. A. J.Blodgett, Jr., W. E. S p i с е r, Phys. Rev. Lett. 15, 29 A965).
163. A. J.Blodgett, Jr., W. E. S p i с е г (в печати) (см. ссылку в статье Спайсера
в сб. Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amster-
Amsterdam, 1966, p. 296).
164. A. Y u, W. E. S p i с е г (в печати) (см. ссылку в статье Спайсера в сб. Optical
Properties and Electronic Structure o? Metals and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 296).
165. Y. С а и с h о i s, С Honnell, Compt. rend. 245, 1230 A957).
166. J. H. Van V 1 e с k, Rev. Mod. Phys. 25, 220 A953).
167. H. Ehrenreich, Сб. Optical Properties and Electronic Structure o? Metals
and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 109.
168. Г. С. К р и н ч и к, Сб. Optical Properties and Electronic Structure of Metals and
Alloys, Amsterdam, 1966, p. 484.
169. Г. С. К p ii н ч и к, Р. Д. Н у р а л и е в, ЖЭТФ 36, 1022 A959).
170. Г. С. К р и н ч и к, А. А. Г о р б а ч е в, ФММ 11, 203 A961).
171. Н. Ehrenreick, H. R. P h i I i p p, Phys. Rev. 128, 1622 A962).
172. Н. Е h r e n r e i с h, H. R. P h i 1 i p p, D. J. О 1 е с h n a, Phys. Rev. 131, 2469
A963).
173. D. В о h m, D. P i n e s, Phys. Rev. 92, 609, 625 A953).
174. M. G e 1 1 - M a n n, К. А. В г и е с k n e r, Phys. Rev. 106, 364 A957).
175. K. Sawada, K. A. Brueckner, N. Fucuda, R. Brout, Phys. Rev.
108, 507 A957).
176. J.Huhhard, Proc. Roy. Soc. A240, 539 A957); A243, 336 A958).
177. D. P i n e s, P. N о z i e r e s, Phys. Rev. Ill, 442 A958).
178. J. С S 1 a t e r. H. S t a t z, G. F. К о s t e r, Phys. Rev. 91, 1323 A953).
179. G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 A937).
180. P. W. A n d e r s о n, Phys. Rev. 124, 41 A961).
181. J. H и h h a r d, Proc. Roy. Soc. A277, 237 A964); A281, 401 A964); Proc. Phys.
Soc. 84, 445 A964).
182. С. В. В о н с о в с к и Й, К. Б. Власов, ЖЭТФ 25, 327 A953).
- 608 —

183. С. В. Вонсовский, Труды ИФМ АН СССР, № 12, 9 A949).
184. J.Friedel, J. phys. rad. 16, 829 A955).
185. J.G. Phillips, Phys. Rev. 133, A1020 A964); Adv. Phys. 17, 79 A968).
186. M. G. Gutz wilier, Phys. Rev. Lett. 10, 159 A963); Phys. Rev. 134, A923
A964); Phys. Rev. 137, A1727 A965).
187. S. M i s a w a, Phys. Rev. 140, A1645 A965).
188. Y. N a g а о k a, Phys. Re\. 147, 392 A966).
189. L. M. Roth, Phys. Rev. 149, 306 A966); 184, 451 A969); J. Appl. Phys. 38,
1065 A967).
190. A. B. Harris, R. V. L a n g e, Phys. Rev. 157, 295 A967).
191. G. К e m e n y, Phys. Lett. 25A, 307 A967).
192. G. W. P r a t t, Jr., L. G. С а г о n, J. Appl. Phys. 39, 485 A968).
193. F. G о u t i e r, J. Phys. Chem. Solids 24, 387 A963).
194. K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 A957).
195. R.J.Weiss, Phil. Mag. 9, 361 A964).
196. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, серия физ. 16, 387 A952).
197. L. О е г t e I, Zs. Phys. 107, 758 A937).
198. N. F. М о t t, Proc. Phys. Soc. A62, 416 A949).
199. M. С. Свирский, С. В. Вонсовский, ФММ 4, 392 A957).
200. Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 251, 256 A949).
201. N. F. М о 11, Canad. J. Phys. 34, 1356 A956); Nuov. Cim. A0) 7, Suppl. 312 A958).
202. K. A r i у a m a, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. Res. 32, 103 A937).
203. В. Л. Б о н ч - Б р у е в и ч, ЖЭТФ 25, 417 A953).
204. А. Е. Глауберман, Изв. АН СССР, сер. физ. 24, 101 A960).
205. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. П. И р х и н, А. Н. К у ш н и р е н к о, Е. А. Т у -
ров, ФММ 3, 385 A956).
206. С В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 35, 1447 A958).
207. А. Е. Глауберман, А. М. М у з ы ч у к, Укр. физ. журн. 9, 178 A958).
208. А. Г. Самойлович, С. Л. Королю к, ФТТ 1, 1592 A959).
209. А. Е. Глауберман, В. В. Владимиров, И. В. Стасю к, ДАН СССР
126, 543 A959); ФТТ 2, 133 A960).
210. А. Е. Г л а у б е р м а н, И. В. С т а с ю к, ФТТ 3, 2089 A961); Укр. физ. журн.
9, 3 A964).
211. J. Seiden, Compt. rend. 251, 1062, 2311 A960); 252, 249 A961).
212. D.L.Paul, Phys. Rev. 118, 92 A960); 120, 463 A960).
213. Л. Д. Д и д у х, И. В. С т а с ю к, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 915 A966); ФММ
26, 435 A968).
214. E.D.Thompson, E. P. W о h I f a r t h, А. С. В г у a n, Proc. Phys. Soc.
¦ 83, 59 A964).
215. R. D. L о w d e, Proc. Roy. Soc. A235, 305 A956).
216. R. N. Sinclair, B. N. Brockhause, Phys. Rev. 120, 1638 A960).
217. M. S e a v e y, P. E. T a n n e n w a 1 d, J. Appl. Phys. 30, 227S A959).
218. P. E. Tannenwald, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 592 A962).
219. S. F о n e r, E. D.Thompson, J. Appl. Phys. 30, 229S A959).
220. E. W. P u g h, B. E. A r g у 1 e, J. Appl. Phys. 33, 1178 A962).
221. B. E. A r g у 1 e, S. H.Charap, J. Appl. Phys. 35, 802 A964).
222. B. E. A r g у 1 e, S. H.Charap, E. W. P u g h, Phys. Rev. 132, 2051 A963).
223. H. B. 3 а в а р и ц к и й, В. А. Ц а р е в, Proc. 8th Intern. Conf. Low. Temper.,
London, 1962, p. 260; ЖЭТФ 43,1638 A962); Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 533 A964).
224. В. А. Ц а р е в, Н. В. 3 а в а р и ц к и й, ЖЭТФ 48, 125 A965).
225. Е. М. Лифшиц, ЖЭТФ 15, 97 A945).
226. С. Н е г г i n g, С. К i t t e 1, Phys. Rev. 81, 869 A951).
227. С. Herring. Phys. Rev. 87, 60 A952).
228. D. В о h m, D. P i n e s, Phys. Rev. 82, 625 A951); 85, 338 A952).
229. D. P i n e s, Phys. Rev. 92, 626 A952); Solid State Phys. 1, 368 A955).
230. А. А. Аб рикосов, И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 35, 771 A958).
231. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 30, 1056 A956).
232. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 32, 59 A957); 35, 97 A958).
233. Т. I z u у a m a, Prog. Theor. Phys. 23, 969 A960).
234. С. В. Вонсовский, Л. Я. Кобеле в, ФММ 11, 820 A961).
235. Т. W. R u i j g r о k, Physica 28, 877 A962).
236. D.M.Edwards, Proc. Roy. Soc. A269, 338 A962).
237. F. E n g 1 e r t, M. M. A n t о п о f f, Physica 30, 429 A964).
238. J. F. С о r n w e 1 1, Proc. Roy. Soc. A279, 346 A964)'; A284, 423 A965).
239. D. С M a t t i s, J. Appl. Phys. 35, 1085 A964); Physics 1, 183 A964); Phys. Rev.
151, 278 A966).
240. T. I z u у a m a, Phys. Rev. Lett. 12, 585 A964); Phys. Lett. 9, 293 A964).
241. T. I z u у a m a, R. К u b o, J. Appl. Phys. 35, 1074 A964).
242. П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 46, 1438 A964).
243. П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 47, 1536 A964).
244. П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 50, 769 A966).
245. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 1722 A964).
39 с. В. Вонсовский — 609 —

246. Т. Н о 1 s t e i n, H. P r i m а к о f f, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
247. W. К о h n, Phys. Rev. Lett. 3, 393 A959).
248. E. J. W о 1 1, S. J. N e t t e 1, Phys. Rev. 123, 796 A961).
249. H. Y a m a d a, M. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan. 22, 1404 A967).
250. J. С S 1 a t e r, Phys. Rev. 52, 98 A937).
251. J. B. S о к о 1 о f f, Phys. Rev. 173, 617 A968).
252. M. И. К у р к и н, ФММ 14, 327 A962); 16, 808 A963); 20, 494 A963).
253. К. Kawasaki, Phys. Rev. 135, А1371 A964).'
254. G. Shiran e, R.Nathans, О. Steinsvoll, H. A. Alperin, S. J. Pi-
Pick ar t, Phys. Rev. Lett. 15, 146 A965).
255. S. D о n i а с h, E. P. W о h 1 f a r t h, Phys. Lett. 18, 209 A965).
256. J. Morkowski, Phys. Lett. 21, 146 A966); Acta phys. polon. 29,499A966)-
J. Appl. Phys. 39, 476 A968).
257. M. S h i m i z u, H. Y a m a d a, J. Phys. Soc. Japan 21, 621 A966).
258. E. A. Thompson, J. J.Myers, Phys. Rev. 153, 574 A967).
259. S. J. P i с к a r t, H. A. A 1 p e r i n, V. J. M i n к i e w i с z, R. Nathans
G. Shiran e, O. Steinsvoll, Phys. Rev. 156, 623 A967).
260. D. M. E d w a r d s, Phys. Lett. 24A, 350 A967); Proc. Roy. Soc. A360, 373 A967)
261. M. M. A n t о n о f f, J. Appl. Phys. 38, 1059 A967).
262. П. С. К о н д р а т е н к о, ЖЭТФ 54, 1844 A968).
263. J. С а 1 1 a w а у, Phys. Rev. 170, 576 A968).
264. G. S h i r a n e, V. J. M i n k i e w i с z, R. Nathans, J. Appl. Phys, 39, 383
A968).
265. F. M e n z i n g e r, G. С a g 1 i о t i, G. S h i r a n e, R. N a t h a n s, S. J. P i c-
k a r t, H. A. A 1 p e r i n, J. Appl. Phys. 39, 455 A968).
266. L. M. R " t h, J. Appl. Phys. 39, 474 A968).
267. Т. К a s u у а, в сб. Magnetism, (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. 2B, 1966, p 215
268. H. F г б h I i с h, F. R. N. N a h a r r o, Proc. Roy. Soc. A175, 382 A940).
269. С. В. В о н с о в с к и й, J. phys. rad. 20, 264 A959).
270. С. В. В о н с о в с к и й, Е. А. Т у р о в, J. Appl. Phys. 30, 9S A959).
271. E. A. T у р о в, Сб. «Ферромагнитный резонанс», Физматгиз, М., 1961, гл. III
272. Е. А. Т у р о в, Ю. П. И р х и н, ФММ 9, 488 A960).
273. Е. А. Т у р о в, Ю. П. И р х и н, Сб. «Ферриты» Изд. АН БССР, Минск, 1961,
стр. 7.
274. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. К а г а н о в, УФН 71, 533 A960)
275. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. К а г а н о в, УФН 72, 3 A960).
276. С. В. В о н с о в с к и й, Изв. АН СССР, сер. физ. 12, 337 A948).
277. С. В. В о н с о в с к и й, УФН 48, 289 A952).
278. С. В. Вонсовский, Труды института физики металлов АН СССР, 20, 13
A958).
279. С. В. Вонсовский, УФН 76, 467 A962).
280. J. Pratt, Phys. Rev. 106, 53 A957).
281. В. Л. Б е ш и д з е, ЖЭТФ 23, 55 A952).
282. С. В. В о н с о в с к и й, К. Б. В л а с о в, Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 29, 37 A955).
283. Е. А. Т у р о в, ДАН СССР 98, 945 A954).
284. К. П. Р о д и о н о в, В. Г. Ш а в р о в, ФММ 4, 385 A957).
285. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 617 A947).
286. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 18, 219 A948).
287. Е. А. Т у р о в, Изв. АН ССР, сер. физ. 19, 462 A955).
288. Е. А. Туров, ФММ 6, 203 A958).
289. Ш. Ш. Абельский, Е. А. Туров, ФММ 10, 801 A960).
290. Т. К as u у a, Prog. Theor. Phys. 16, 45, 58 A956).
291. Т. К a s u у a, Prog. Theor. Phys. 22, 227 A959).
292. J.Friedel, P. G. deGennesJ. Phys. Chem. Solids 4, 71 A958).
293. R. J. Weiss, A. S. M a r о t t o, J. Phys. Chem. Solids 9, 302 A959).
294. B. R. С о 1 e s, Adv. Phys. 7, 40 A958).
295. D. A. G о о d i n g s, Phys. Rev. 132, 542 A963).
296. I. M ann ar i, Prog. Theor. Phys. 22, 335 A959).
297. W. G. В a h e r, Proc. Roy. Soc. A158, 383 A937).
298. A. H. W i 1 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A167, 580 A938).
299. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 477 A955); 21, 854 A957).
300. С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, ЖЭТФ 19, 615 A949).
301. С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, ЖЭТФ 19, 703 A949).
302. С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, ДАН СССР 76, 197 A950).
303. С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, А. 3. Векслер, УФН 56 477
. A955).
304. А. 3. В е к с л е р, ЖЭТФ 29, 261 A955).
305. А. В. Соколов, А. 3. Векслер, ЖЭТФ 25, 215 A953).
306. А. И. Р е з а н о в, Сб. посвящен. 70-летию ак. А. Ф. Иоффе, М., 1950, стр. 474;
Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 581 A952); ДАН СССР 82, 885 A952).
307. А. И. Резанов, В. И. Черепанов, ДАН СССР 93, 441 A953).
308. К. Б. Власов, С. В. Вонсовский, ФММ 2, 403 A956).
— 610 —

309. Ю. П. И р х и н, Е. А. Т у р о в, ФММ 4, 9 A957).
310. К. П. Белов, А. А. Попова, Е. В. Т а л а л а е в а, Кристаллография 3,
733 A958).
311. А. П. Комар, В. В. К л ю ш и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 400 A954).
312. А. И. С у ч к о в, ФММ 7, 317 A959).
313. Дж. Ф о л ь г е р, Сб. «Полупроводниковые материалы» М., 1954, стр. 215.
314. Ю. П. И р х и н, ФММ 7, 3 A959).
315. М. Ш. Г и т е р м а н, Ю. П. И р х и н, ФТТ 2, 144 A960).
316. R. J. Elliott, К. W. H. Stevens, Proc. Roy. Soc. A218, 553 A953).
317. К. A. Geschneidner, The rare earths (eds F. H. Spedding and A. H. Daane)
Chap. 14, Wiley, N.Y., 1961.
318. K. Y о s i d a, Prog. Low Temp. Phys., vol. IV, ch. V, Amsterdam, 1964, p. 265.
319. R.J.Elliott в сб. Magnetism, (ed. G. T.'Rado, H. S u h 1), vol. IIA, ch. 7,
N. Y. 1965, p. 385.
320. T. Nagamiya, Recent development in the study of the magnetism of rare-
earth metals and 3d-transition metals, 1963.
321. T. Nagamiya, Solid State Physics, vol. 20, Acad. Press, N.Y., 1967.
322. P. G. de G e n n e s, J. phys. rad. 23, 510, 630 A962).
323. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. А. И з ю м о в, УФН 77, 377 A962).
324. Y. A. R о с h e r, Adv. Phys. 11. 232 A962).
325. Е. А. Туров, Магнетизм редкоземельных металлов (лекции в летней школе
в Подграде, ЧССР, 13—25. IX. 1965). Свердловск, 1966.
326. F. H. S p e d d i n g, Introduction to Collecting of Paperes of 2nd Conf. on Rare-
Earth Metals and Compounds (September 1961, Colorado, USA).
327. F. H. Spedding, A. H. Daane, K. W. Hermann, Acta Cryst. 9, 559
A956); F. H. Spedding, J. J. H a n a k, A. H. Daane, Trans. AIME 212,
379 A958).
328. С J. Me H a r g u e, H. L. Y a k e 1, Jr., L. H. J e 11 e r, Acta Cryst. 10, 832
A957).
329. A. J. Freeman, R. E. Watson, Phys. Rev. 127, 2058 A962).
330. В. В. Воробьев, Ю. Н. Смирнов, В. А. Ф и н к е л ь, ЖЭТФ 49, 1774
A965).
331. В. А. Ф и н к е л ь, Ю. Н. С м и р н о в, В. В. В о р о б ь е в, ЖЭТФ 51, 32 A966)
332. В. А. Ф и н к е л ь, В. В. Воробьев, ЖЭТФ 51, 786 A966).
333. D.R.Stephens, J. Phys. Chem. Solids 26, 943 A965).
334. R. V. С о 1 v i n, S. A r a j s, J. M. P e с k, Phys. Rev. 122, 14 A961).
335. R. M. В о z о r t h, J. H. Van V 1 e с k, Phys. Rev. 118, 1493 (I960).
336. S. A r a j s, Phys. Rev. 120, 756 A960).
337. P. G. de G e n n e s, Compt. rend. 247, 1836 A958).
338. P. M. Hall, S. L e g v о 1 d, F. H. Spedding, Phys. Rev. 117, 971 A960);
122, 827 A961).
339. W. С. К о e h 1 e r, J. Appl. Phys. 36, 1080 A965).
340. M. K. W i 1 k i n s о n, W. С. К о e h 1 e r, E. O. W о 1 1 a n, J. С a h 1 e, J. Appl.
Phys. 32, 48S A961); M. K. Wilkinson, H. R. Child, W. Koehler,
J.Cahle, E. O. Wollan, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl., B-III, 27 A962).
341. J. С a h 1 e, R. Moon, W. Koehler, E. Wollan, Phys. Rev. Lett. 12,
553 A964).
342. N. N e r e s о n, С. О 1 s e n, G. Arnold, J. Appl. Phys. 33, 1135S A962); 35.
1031S A964); Phys. Rev. 135, A176 A964).
343. G. Will, R. Nathans, H. A 1 p e r i n, J. Appl. Phys. 35, 1045S A964).
344. W. С Koehler, H. K. Child, E. O. Wollan, J. W. Cable, J. Appl.
Phys. 34, 1335 A963).
345. M. Wilkinson, H. Child, W. Koehler, J. Cable, E. Wollan,
Phys. Rev. 122, 1409 A961).
346. W. C. Koehler, J. W. Cable, E. O. Wollan, M. K. Wilkinson,
J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 32 A962).
347. J.W. Cable, E.O. Wollan, W. С. К о e h 1 e r, M. K. Wilkinson,
J. Appl. Phys. 32, 49S A961).
348. W. С Koehler, J. W. Cable, E. O. Wollan, M. K. Wilkinson,
Phys. Rev. 126, 1672 A962); J. Appl. Phys. 33, 1124S A962).
349. F. J. D a r n e 1 1, W. H. С 1 о u d, J. Appl. Phys. 35, 935S A964).
350. H. E. Nigh, S.Legvold.F. H. Spedding, Phys. Rev. 132, 1092 A963).
351. С D. G r a h a m, J. Appl. Phys. 34, 1341S A963).
352. R. V. С о 1 v i n, S. A r a j s, Phys. Stat. Sol. 4, 37 A964).
353. H. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, В. Е. Старцев, Сб. «Пробле-
«Проблемы теории и применения РЗМ», Москва, 1964.
354. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФММ 18, 26 A964).
355. К. П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, С. А. Н и к и т и н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ
40, 1562 A961).
356. К. П. Б е л о в, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ 42, 87 A962).
357. В. И. Ч е ч е р н и к о в а, И. Поп, И. В. Буров, Е. М. Савицкий,
ЖЭТФ 45, 867 A963).
— 611 - 39*

358. W. D. С о r n e r, W. С. R о е, К. N. R. Т а у 1 о г, Ргос. Phys. Soc. 80, 927 A962).
359. В. М. К у ч и н, В. А. С о м е н к о, С. Ш. Ш и л ь ш т е й н, Ю. Б. П а т р и -
к е е в, ЖЭТФ 55, 1241 A968).
360. D. H. Parkinson, L.M. Roberts, Proc. Phys. Soc. B70, 471 A957).
361. D. H. P a r k i n s о n, F. E. S i m о n, F. H. S p e d d i n g, Proc. Roy. Soe. A207,
137 A951).
362. J. M. L о с k, Proc. Phys. Soc. B70, 566 A957).
363. L. M. R о h e r t s, Proc. Phys. Soc. B70, 434 A957).
364. M. G r i f f e 1, R. E. S k о с h d о р о 1 e, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 93,
675 A954).
365. L. D. J e n n i n g s, R. M. S t a n t о n, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 27,
909 A957).
366. В. С G e r s t e i n, M. G r i f f e 1, L. D. Jennings, R. E. Miller,
R. E. S k о с h d о р о 1 e, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 27, 394 A957).
367. M. Griffel, R. E. Skochdopole, F. H. Spedding, J. Chem. Phys.
25, 75 A956).
368. R. E. Skochdopole, M. Griffel, F. H. Spedding, J. Chem. Phys.
23, 2258 A955).
369. L. D.4 e n n i n g s, E. H i 1 1, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 34, 2082 A961).
370. R. M. В о z о r t h, J. H. Van V 1 e с k, Phys. Rev. 118, 1493 A960).
371. D. E. H e у 1 a n d, S. L e g v о 1 d, F. H. Spedding, Phys. Rev. 131, 158
A963).
372. D. R. В e h r e n d t, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 109, 1544
A958).
373. D. L. Strandberg, S. Legvold, F. H. Spedding, Phys. Rev. 127,
2046 A962).
374. R. W. G г e e n, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 122, 827 A961).
375. B. L. R*h о d e s, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 109, 1547 A958).
376. D. D. Davis, R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. 118, 1543 A960).
377. W. E. H e nr y, J. Appl. Phys. 31, 323S A960).
378. J. G. Daunt, сб. Prog. Low Temper. Phys., vol. 1, Amsterdam, 1955, p. 202.
379. D. H. Parkinson, Repts. Progr. Phys. (London) 21, 226 A958).
380. O. V. L о u n a s m a a, Phys. Rev. 133, A211, A213, A502 A964); 134, A1620 A964).
381. O. V. L о u n a s"m a a, L. J. S u n d s t r 6 m, Phys. Rev. 150, 399 A966); 158,
591 A967).
382. O. V. L о u n a s m a a, G. M. К a 1 v i u s, Phys. Lett. 26A, 21 A967).
383. R. G. J о r d a n, E. W. L e e, Proc. Phys. Soc. 92, 1074 A967).
384. S. N a k a j i m a, Prog. Theor. Phys. 38, 23 A967).
385. J. J. R h у n e, S. F о n e r, E. J. Me N if f Jr., R. D о с 1 о, J. Appl. Phys. 39,
892 A968).
386. M. S с h i e b e r, S. F о n e r, R. D о с 1 о, E. J. Me N i f f Jr., J. Appl. Phys.
39, 885 A968).
387. С. В. В о н с о в с к и и, Ю. А. И з ю м о в, ФММ 10, 321 (I960).
388. J. О. Dimmock, A. J. Freeman, R. E. Watson, Proc. Intern. Collog.
Opt. Propert. a. Electr. Struct. Metals a. Alloys, Paris, 1965, North-Holland Publ.
Co., Amsterdam, 1966.
389. A. J. F r e e m a n, J. O. D i m m о с k, R. E. W a t s о n, Phys. Rev. Lett. 16, 94
A966); Phys. Rev. 167, 497 A968).
390. A. J. Freeman, J. O. Dimmock, R. E. Watson, Quant. Theor. Atoms,
Molec. a. Solid State, Acad. Press Inc., N.Y., 1966.
391. S. С. К e e t о n, Т. L. L о и с k s, Phys. Rev. 168, 672 A968).
392. G. S. F 1 e m i n g, S. H. L i u, T. L. L о и с k s, Phys. Rev. Lett. 21, 1524 A968).
393. A. J. В 1 о d g e t t, Jr., W. E. S p i с e r, A.Y.-C. Y u, Proc. Intern. Collog. Opt.
Propert. a. Electr. Struct. Metals a. Alloys, Paris, 1965, North-Holland Publ. Co.,
Amsterdam, 1966.
394. R. W. Williams, A. R. M a k i n t о s h, Phys. Rev. 168, 679 A968).
395. W. С. К о e h 1 e r, E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 92, 1380 A953).
396. G. J. Trammel, Phys. Rev. 92, 1387 A953).
397. S. Odiot, D. Saint-J ames, J. Phys. Chem. Solids 17, 117 A960).
398. N. К u r t i, R. S. S h a f г о t a, Phil. Mag. 3, 780 A958).
399. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. А. Изюмов, УФН 78, 3 A962).
400. L. R. R о b i n s о n, L. N. Ferguson, Jr. E. M i 1 s t e i n, Phys. Rev.
3B, 1025 A971).
401. R. L. White, J. P. A n d e 1 i n, Jr., Phys. Rev. 115, 1435 A960).
402. E.Abrahams, Phys. Rev. 98, 387 A955).
403. A. H. M i t с h e 1 1, Phys. Rev. 105, 1439 A957).
404. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 1354 A964).
405. S. H. L i u, Phys. Rev. 121, 451 A961).
406. Ю.*П. И р х и н, ЖЭТФ 50, 379 A966).
407. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. П. И р х и н, М. С. С в и р с к и й, Изв. АН СССР,
сер. физ. 30, 906 A966).
408. В. В. Дружинин, Ю. П. И р х и н, ЖЭТФ 51, 1856 A966).
- 612 —

409. Т. А. К а р 1 a n, D. H. L у о n s, Phys. Rev. 129, 2072 A963).
410. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 49, 682 A965).
411. Ю. А. И з ю м о в, Л. М. Н о с к о в а, ФТТ 4, 217 A962).
412. Т. К a s u у a, D. H. L у о n s, Techn. Rep. ISSP, Ser. A, № 167 A965); J. Phys.
Soc. Japan 21, 287 A966).
413. H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ДАН СССР 126, 53 A959).
414. Д. Н. 3 у б а р е в, УФН 71, 71 A960).
415. N. Bloemhergen, Т. J. Rowland, Phys. Rev. 97, 1649 A954).
416. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 46, 1420 A964).
417. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 47, 336, 992 A964).
418. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. А. И з ю м о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 406 A964).
419. К. Y о s i d a, A. W a t a h e, Prog. Theor. Phys. 28, 361 A962).
420. Ю. А. И з ю м о в, ФТТ 4, 225 A962).
421. С. В. Вонсовский, А. А. Б е р д ы ш е в, Ю. А. И з ю м о в, Б. В. Кар-
Карпенко, Ю. Я. П оляк, ДАН СССР 132, 797 A960).
422. А. А. Б е р д ы ш е в, Б. В. Карпенко, ФММ 8, 330 A959); ЖЭТФ 36, 819
A959).
423. Ю. А. И з ю м о в, ФММ 12, 480 A961).
424. В. Н. К а щ ее в, М. А. Кривоглаз, ФТТ 3, 1541 A961).
425. Ch. К i 11 e 1, Н. М i t с h e 1 1, Phys. Rev. 101, 1611 A956).
426. Е. А. Т у р о в, ФММ 4,183 A957).
427. S. H. L i u, Phys. Rev. 123, 470 A961).
428. V. Jaccarino, В. Т. Matthias, M. Peter, H. Suhl, J. H. Wer-
r i с k, Phys. Rev. Lett. 5, 251 A960).
429. H. А. П о т а п к о в, С. В. Тябликов, ФТТ 2,2733 A960).
430. R. A. T a h i r-K h e 1 i, D. ter H a a r, Phys. Rev. 130, 108 A963).
431. С. В. Вонсовский, Л. Я. Кобеле в, ФММ 12, 814 A961).
432. J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 37, 452 A951).
433. А. А. Б е р д ы ш е в, Б. В. Карпенко, ЖЭТФ 38, 925 A960).
434. Р. Б. 3 а к с, Л. М. Н о с к о в а, ФММ 9, 481 A960).
435. А. А. Б е р д ы ш е в, Э. Д. К о р ж, ФММ 12, 476 A961).
436. Ю.А.Изюмов, ФММ 11, 650 A961).
437. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ФММ 17, 168 A964).
438. Н. Hasegawa, Prog. Theor. Phys. 21, 483 A959).
439. A. J. F. Boyle, D. St. P. В a n h u г у, С Edwards, Phys. Rev. Lett. 5,
553 A960).
440. A. P a s k i n, J. Appl. Phys. 31, 318S A960).
441. R. E. W a t s о n, Phys. Rev. 139, A167 A965).
442. R. E. W a t s о n, A. J. F r e e m a n, Phys. Rev. Lett. 14, 695 A965); Phys. Rev.
152, 566 A966); 178, 725 A969).
443. H. P. van de В r a a k, W. J. С a s p e r s, Phys. Lett. 16, 212 A965).
444. A. F u r r e r, T. Schneider, W. H a 1 g, Sol. State Comm. 3, 339 A965); 4,
99 A966).
445. S. M e t h f e s s e 1, Zs. angew. Phys. 18, 414 A965).
446. В. Б. Кобылянский, А. Е. Глауберман, Изв. АН Каз. ССР, сер.
физ. № 4, 68 A966).
447. A. J. F e d г о, М. В a i 1 у n, Phys. Rev. 142, 337 A966).
448. К. Y о s i d a, H. M i w a, Phys. Rev. 144, 375 A966).
449. L. M. R о t h, H. J. Z e i g e г, Т. А. К а р 1 a n, Phys. Rev. 149, 519 A966).
450. A. J. H e e r, A. P. Klein, P. T u, Phys. Rev. Lett. 17, 803 A966).
451. M. I. Darby, K. N. R. T а у 1 о r, J. Appl. Phys. 37, 1442 A966).
452. J. S m i t, J. Appl. Phys. 37, 1445 A966).
453. H. M i w a, Y. N a g а о k a, Phys. Lett. 22, 394 A966).
454. J. M a t h о n, CS J. Phys. B16, 869 A966).
455. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ФММ 24, 793 A967).
456. V. Н е i n e, Phys, Rev. 153, 673 A967).
457. F. S р е с h t, Phys. Rev. 162, 389 A967).
458. L. С. D a v i s, S. H. L i u, Phys. Rev. 163, 503 A967).
459. F. R ys, J. S. Helman, W. Baltensperger, Phys. Kondens. Materie 6,
105 A967).
460. H. M i w a, Prog. Theor. Phys. 34, 1040 A967).
461. О. С A x т я м о в, ЖЭТФ 55, 553 A968).
462. P. R. P. S i 1 v a,- Phys. Rev. 166, 679 A968).
463. P. A. F e d d e r s, Phys. Rev. 168, 681 A968); 172, 530 A968).
464. G. Vertogen, Phys. Stat. Sol. 25, 729 A968).
465. A. J. F e d г о, Т. А г a i, Phys. Rev. 170, 583 A968).
466. Y. A. R о с h e r, J. Phys. Chem. Sol. 23, 1621 A962).
467. Y. A. R о cher, Adv. Phys. 11, 233 A962).
468. W. Baltensperger, A. M. Graaf, Helv. Phys. Acta 33, 507, 881 A960).
469. Y. A. R о с h e r, These, Paris, 1962.
470. J. F r i e d e 1, Canad. J. Phys. 34, 1190 A956).
471. A. Blandin, J.Friedel, J. Phys. rad. 19, 573 A958).
- 613 —

472. A. Blandin, J.Friedel, J. Phys. rad. 20, 160 A959).
473. А. В 1 a n d i n, J. Phys. rad. 22, 507 A961).
474. R. J. Elliott, F. H.Wedgwood, Proc. Phys. Soc. 81, 846 A963); 84, 63A964).
475. H. M i w a, Proc. Phys. Soc. 85, 1197 A965); Techn. Rep. Inst. Sol. State Phys.
(Tokyo), Ser. A, № 166 A965).
476. P. G. de G e n n e s, D. Saint-James, Sol. State Comm. 1, 62 A963).
477. Т. А. К a p 1 a n, Phys. Rev. 124, 329 A961).
478. R. J. E 1 1 i о 11, Phys. Rev. 124, 346 A961).
479. H. M i w a, K. Y о s i d a, Prog. Theor. Phys. 26, 693 A961).
480. E. M. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 11, 253, 269 A941).
481. И. М. Л и фш и ц, ЖЭТФ 38, 1569 A960).
482. C.D.Graham, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1375 A967).
483. S. G. С о h e n, N. К a p 1 a n, S. О f e r, H. Z m о г a, Phys. Lett. 7, 91 A963).
484. В. В 1 e a n e y, Proc. Roy. Soc. A276, 39 A963).
485. L. B. R о h i n s о n et al. Phys. Rev. 134, A187 A964).
486. A. Jayaraman, R. C. Sherwood, Phys. Rev. Lett. 12, 22 A964).
487. R. B. F 1 i p p e n, J. Appl. Phys. 35, 1047 A964).
488. Т. Т о n e g a w a, J. Phys. Soc. Japan 19, 1168 A964).
489. Л. И. В и н о к у р о в а, Е. И. К о н д о р с к и й, ЖЭТФ 48, 429 A965).
490. Ю. В. Е р г и н, ЖЭТФ 48, 1062 A965).
491. A. J. Freeman, R. E. Watson, Phys. Rev. 139, А1606 A965).
492. J. W. Cable, et al. Phys. Rev. 140, A1896 A965).
493. R. M. X a v i e r, X. A. da S i 1 v a, W. В a 1 t e n s p e r g e r, Phys. Rev. Lett.
15, 126 A965).
494. С E. M о n f о r t, С A. S w e n s о n, J. Phys. Chem. Sol. 26, 623 A965).
495. N. P e r a k i s, F. Kern, Phys. kondens. Materie 4, 247 A965).
496. N. F u k u d а, Т. О g a w a, T. S о d a, Prog. Theor. Phys., Extr. numb. A965).
497. К. П. Б е л о в, Ю. В. Е р г и н, ЖЭТФ 50, 560 A966).
498. К. П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, Б. К. П о н о м а р е в, ЖЭТФ 51, 1634 A966).
499. W. С. К о е h 1 е г, J. W. С a h 1 е, М. К. Wilkinson, Е. О. W о 1 1 а п,
Phys. Rev. 151, 414 A966).
500. Н. В. М о 1 1 е г, J. С. G. Н о u m a n n, Phys. Rev. Lett. 16, 737 A966).
501. J. J. Rhyne, S. L e g v о 1 d, E. T. R о d i n e, Phys. Rev. 154, 266 A967).
502. P. C. L a n d r y, Phys. Rev. 156, 578 A967).
503. W. С. К о e h 1 e r, J. W. Cable, H. R. Child, M. K. Wilkinson,
E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 158, 450 A967).
504. F. M i 1 s t e i n, L. B. Robinson, Phys. Rev. Lett. 18, 308 A967).
505. M.Rosen, Phys. Rev. Lett. 19, 695 A967).
506. J. J. R h у ne, A. E. С 1 ark, J. Appl. Phys. 38, 1379 A967).
507. M. W. S t r i n g f e 1 1 о w, C. G. Windsor, Proc. Phys. Soc. 92, 408 A967).
508. Ю. П. И p x и н, В. В. Дружинин, А. А. Казаков, ЖЭТФ 54, 1183
A968).
509. M. M. Ф а р т з и н о в, М. Б. С а г д а т к и р е е в а, ФММ 28, 208 A969),
510. Л. М. Н о с к о в а, ФММ 25, 397 A968).
511. О. К. Andersen, T. L. Loucks, Phys. Rev. 167, 551 A968).
512. R. M. White, R. L. White, Phys. Rev. Lett. 20, 62 A968).
513. J. H. Van V 1 e с k, J. Appl. Phys. 39, 365 A968).
514. T. Nagamiya, J. Appl. Phys. 39, 373 A968).
515. S. F о n e r, E. J. M с N i f f, Jr., V. S a d о g о р a n, Phys. Rev. Lett.
19, 1233 A967).
516. G. S. К n a p p, E. С о r e n z w i t, C. W. С h u, Sol. St. Comm. 8, 639
A970).
517. G. S. Knapp, J. Appl. Phys. 41, 1073 A970).
518. R. L. Jacobs, Proc. Phys. Soc. Cl, 492 A968).
519. P. M a n с a, G. M u b a, Sol. St. Comm. 7, 849 A969).
520. E. C. Snow, J. T. W a b e r, Acta Metallurgica 17, 623 A969).
521. K. J. Duff, T. P. Das, Phys. Rev. B3, 192 A971).
522. A. S a k u r a i, Prog. Theor, Phys. 39, 312 A968).
523. Л. А. Максимов, К. А. Кикоин, ФММ 28, 43 A969).
524. R. К i s h о r e, S. K. J о s h i, Phys. Rev. 186, 484 A969).
525. Д. И. X о м с к и й, ФММ 29, 31 A970).
526. А. К. Rajagopal, Nuov. cim. IB, 48 A971).
527. Л. Д. Д и д у х, ФММ 27, 1109 A969).
528. Э. Л. Нагаев, ФТТ 9, 2469 A967); 11, 2779; 3437 A969); 12, 607, 1109, 2137;
13, 41 A970); ЖЭТФ 54, 317 A968); 56, 1013; 57, 469, 1274 A969); 58. 1269; 59,
1215 A970); ФММ 29, 905 A970).
529. Е. A. S. Lewis, Phys. Rev. IB, 4368 A970).
530. С. Jackson, Phys. Rev. 178, 949 A969).
531. E. А. Туров, в сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского,
Физматгиз, 1961.
532. R. E. Watson, A. J. Freeman, S. К о i d e, Phys. Rev. 180, 625 A969).
533. G. Bambanidis, J. Phys. Chem. Solids 31, 503 A970).

Глава 21
АТОМНЫЙ МАГНИТНЫЙ ПОРЯДОК В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ
СПЛАВАХ
§ 1. Классификация магнитных сплавов
В главах 19 и 20 рассматривались вопросы теории ферро- и антиферро-
антиферромагнетизма в основном чистых элементов — металлов (гл. 20) и диэлектри-
диэлектриков (гл. 19). Однако несравненно более многочисленную группу магнитно-
упорядоченных веществ составляют металлические сплавы и неметалличе-
неметаллические соединения. Их изучение представляет двоякий интерес. В научном
аспекте он связан с тем, что, изучая зависимость магнитных свойств
от состава и кристаллической структуры сплавов и соединений, можно
глубже подойти к решению проблемы возникновения магнитно-упорядо-
магнитно-упорядоченного состояния вообще. В практическом же аспекте важность этой
проблемы вполне очевидна, поскольку все технические ферро- и ферри-
магнитные материалы являются сплавами или соединениями. Здесь мы
рассмотрим вопрос об атомном магнитном порядке металлических сплавов
и интерметаллических соединений.
Классификация ферромагнитных сплавов может быть проведена по
различным признакам. Одним из таких признаков является электронная
структура атомов их компонент.
I. Сплавы переходных й- и /-элементов между собой.
а. Сплавы переходных ферромагнитных металлов (Fe — Ni, Fe — Со,
Со — Ni, Fe — Со — Ni, Fe — Gd, Gd — Dy и т. д.).
б. Сплавы переходных ферромагнитных и антиферромагнитных или
парамагнитных металлов (Fe — Cr, Fe — Mn, Fe — Pd, Ni — Ti, Co — V,
Co - Pt, Gd - V, Eu - V, Gd - Sc и т. п.).
в. Сплавы переходных антиферромагнитных металлов с парамагнит-
парамагнитными металлами (Сг — Pt, Mn — Pt и т. п.)
II. Сплавы переходных металлов с нормальными элементами.
а. Сплавы переходных ферромагнитных металлов с нормальными эле-
элементами (Ni — Си, Со — Ag, Ni — Al, Ni — Si, Fe — Si, Fe — Al,
IVi — N и т. п.).
б. Сплавы переходных антиферромагнитных d-металлов (Мп и Сг)
с нормальными элементами (гейслеровы сплавы *) Cu2MnM, где М = А1,
Ge, Zn, Sn, As, In, Sb, Bi, Ga и др.; Mn4N, ZnCMn3, AlCMn3, CuCMn3,
Mn — Au, Mn — P, Mn — As, Mn — Sb, Mn — Bi, Mn — S, Mn — Se,
Mn — Те, Mn — C, Mn — Sn, Mn — H, Mn — В и т. п.
в. Сплавы переходных парамагнитных металлов с нормальными эле-
элементами: ZrZn2 (Маттиас и Бозорт [4]), Sc3ln (точнее, в интервале составов
*) Собственно гейслеровыми сплавами называют тройные сплавы Cu2MnSn,
а также Ag2MnAl, AiiaMnAl и др. Ферромагнетизм в них был впервые открыт в сплаве
Cu2MnSn Гейслером [1] в 1898 г. Их структура была впервые исследована Брэдли
и Роджерсом [2] на примере сплава Cu2MnAl. Они имеют структуру упорядоченной
о. ц. к. E-фазы с ионами меди в вершинах куба, а ионы Мп и Al чередуются в центрах
кубов. Более подробные данные можно найти в монографиях Бозорта A956), Гудинафа
A969), а также в работах Оксли и др. [3, 354—380].
- 615 -

Sc0G62In0,238 — Sc0,758In0,242; Маттиас и др. [5]) и Au4V (точнее, в интер-
интервале составов 18,99—24,01 ат. % V; Кревелинг и др. [6] *).
Другой способ классификации связан с характером распределения
атомов различных компонент по различным типам узлов кристаллической
решетки: 1) неупорядоченные твердые растворы (Ni — Си, Ni - Co
и т. п.), 2) упорядоченные сплавы (Ni3Fe, FeAl, MnAu3, ZnCMn3, CrPt3
и т. п.) и 3) интерметаллические соединения (Fe2B, Fe3C, Fe4N, FeBe3,
MnAs, Mn2Sb, CrTe, MnP и т. п.).
Наконец, можно провести классификацию по типам кристаллохими-
ческих структур и связей: 1) сплавы с о. ц. к. структурой [Fe — Ti,
Fe — V, Fe — Co и т. п.; см., например, табл. XVII в книге Гудинафа
A969)]; 2) сплавы с кристаллической решеткой с плотной упаковкой
(г. ц. к. и гекс. п. у.) [сплавы Ni (г. ц. к.) и Со (гекс. п. у.) с Си, Ag,
Аи, Zn, Cd, Al, Sc, Ga, In, Si, Ge, Sn, P, As, Sb (г. ц. к. и гекс. п. у.)
и др.]; 3) ионные соединения с металлической проводимостью со структу-
структурой корунда (А12О3): Ti2O3, V2O3, со структурой каменной соли: TiN,
ZrN, VN, NbN, CuN, TiO и VO и некоторые другие.
Ионные соединения нормальных элементов, как правило, являются
диэлектриками (уровень Ферми лежит в запрещенной области энергий
между целиком заполненной полосой энергии и пустой; см. гл. 12). Одна-
Однако если в состав ионного соединения входят катионы переходных d-эле-
ментов, то появляется возможность электропроводности, обусловленной
d-электронами. Здесь мыслимы два случая [подробнее см. гл. III в моно-
монографии Гудинафа A969)]: Rtt > Rc и Rtt < Rc (где Rc — некоторое кри-
критическое расстояние между соседними ионами в кристаллической решетке,
a Rtt минимальной расстояние между соседними ионами переходных эле-
элементов). В первом случае имеем ионное соединение, в котором при нали-
наличии ионов переходного элемента разной валентности в эквивалентных
узлах решетки наблюдается очень низкая подвижность носителей тока,
осуществляемая процессами перескока d-электронов от иона с более низ-
низкой валентностью к иону с более высокой валентностью. Во втором слу-
случае (Rtt < Rc) в кристалле возникает частично заполненная d-полоса,
которая и приводит к металлической проводимости.
§ 2. Атомные магнитные моменты и точки Кюри
ферромагнитных сплавов
Остановимся теперь на анализе некоторых опытных фактов, касаю-
касающихся основных магнитных параметров ферромагнитных сплавов: сред-
средних атомных магнитных моментах р (в единицах цб) и точках Кюри О
и их качественных объяснениях.
1. Бинарные сплавы Fe — Ni, Fe — Со и Ni — Со. Прежде всего
приведем данные о р и в для трех бинарных систем сплавов ферромагнит-
ферромагнитных Зй-металлов: Fe — Ni [Хансен A941)], Fe — Со (Эллис и др. [7])
и Ni — Со [Бозорт A956)], которые показаны на рис. 21.1—21.6. Отме-
Отметим некоторые главные особенности этих кривых. Для сплавов Ni — Со
зависимости точки Кюри и среднего момента от состава имеют вид моно-
монотонных кривых (рис. 21.3 и 21.6). В сплавах Fe — Со (рис. 21.2 и 21.5)
картина более сложная. Кривые для ржО носят не монотонный характер
и в области составов 75—80% Со на кривой р имеется скачок, а на кривой
в — излом. Это связано с наличием на диаграмме состояний области
a -f- у. При 17% Со кривая в пересекает границу а + ^-области. В этом
*) В соединении ZrZn2 атомный магнитный момент насыщения равен р = 0,13 jiB
на молекулу ZrZn2, точка Кюри в да 35° К; в Sc3ln момент р = 0,16 jiB на молекулу
Sc3ln, в ~ 5—6° К; в Au4V7 ~ 0,41 цБ на атом V, в да 42—43° К.
- 616 -

случае (в интервале составов 20—75% Со) кривая /s (T) имеет резкий спад
до нуля (рис. 21.7). Экстраполируя кривые //G1) в область температур
выше температуры а —*- ^-превращения, Форре [8] определил более высо-
$
%
I
Ni-fe
7
+ 1
-о ,
•'.
i
:
/
А
У
,
А
X
Г"
V
L
1
и 10 Я/^JO 40 ,50 60 70
Концентрация fefam."/.
Рис. 21.1 • Значения среднего магнитного
момента р.спл (на атом сплава) для неупо-
неупорядоченных сплавов Ni — Fe, вычислен-
вычисленные по формулам B1.144), B1.148) (сплош-
(сплошная кривая), и экспериментальные точки.
1 — Шалл и Уилкинсон [34]; 2 — Кон-
дорский и Федотов [33]; з — Крэнгл и
Халлам [29]; 4 — Коллинз и др. [35]'
S — Бандо [326].
/
Fe-
\
\
Со
\
2,2
2,0
1,8
1,6
!,*
1,2
W
, 0 25 50 75 ЮО
Концентрация Zo,am.%
Рис. 21.2. Зависимость сред-
среднего атомного магнитного
момента насыщения р (в p,-g)
сплава Fe — Со от концент-
концентрации Со (в ат. %).
кие «виртуальные» точки Кюри как температуры, при которых сплав
перешел бы в парамагнитное состояние, если бы о. ц. к. а-фаза не пере-
переходила в г. ц. к. у-фазу. Еще более сложной является зависимость р и в
Р
2,0
1,6
1,2
0,4
О
Ni-Co
!00
800
-700
§3
600
500
300 У
\\
\
\
\
«\
\
\
\
Г
\
X,
Fe-Ni
1
S
. Магнитное
превращение
N
\
2S 50 75
Концентрация Со, am.'/.
Рис. 21.3. Зависимость среднего атом-
атомного магнитного момента насыщения р
(в p,g) сплава Ni — Со от концентра-
концентрации Со (в ат.%).
О 10 20 30 40 50 60 70 80
Содержание У\,вес %
SO 100
Рис. 21.4." Диаграмма фазового равновесия сплавов Fe—
Ni. Сплошные линии — границы фазовых (а-, а + у- и-
у-) областей по данным Оуэна и Салли [327]. Штриховая
линия — линия точек Кюри по данным Пешара [328] и
@ре 0j^-—точки Кюри соответственно чистых Fe и Ni).
от состава в сплавах системы Ni — Fe. Из рис. 21.4 видно, что для концен-
концентраций Ni более чем 30—36% кривая ферромагнитного превращения не-
непрерывна и однозначна (но не монотонна). Сплавы же с содержанием Ni
меньше чем 30—36% необратимые из-за явлений переохлаждения или
перегрева при структурных превращениях в этих сплавах.
- 617 —

2. Сплавы никеля и железа с нормальными металлами, а. Эмпириче-
Эмпирические зависимости. При изучении бинарных сплавов Ni с непереходными
нормальными металлами при малых концентрациях последних, когда
сплав еще ферромагнитен, Садрон [9]
обнаружил следующую эмпирическую
закономерность: замена каждого атома
Ni атомом нормального элемента woo
I
1200
5*1000
'fsoo
1
| 600
wo
200
911Г
!k
770-
Fe-Co
у (г
с
4 Магнитное
превращение
Ц.К.)
в
Heifi
р ¦.
Магнитное
превращение
\
и
1
1
\
*У \
1
1
1
/да;.
Г
Г*
t
гоо
1
-°
ч
Co-Ni
\
о ю го
30 40 SO SO 70
Содержание Со, вес. %
20
40
60
Содержание Ni, am. %
80 100
Рис. 21.5. Диаграмма фазового равновесия сплавов
Fc — Со. Сплошная и толстая штриховая линии —
границы фазовых (а-, а + у. V", У + 8- и е-) обла-
областей. Линия точек Кюри (тонкая штриховая) имеет
три участка:,а — внутри а-области, б — внутри у-
области ив — совпадает с границей а- и 7-областей.
Штрих-пунктирная линия показывает фазовый
переход между упорядоченным и неупорядоченным
сплавами.
Рис. 21.6. Зависимость точек Кюри
сплавов Со — Ni от состава сплава.
валентности v уменьшает средний атомный момент сплава />спл на величи-
величину (v/100) г; (v — ат, % примеси в сплаве), т, е.
Рспл — PNi — 77wiv'
B1.1)
В менее яркой форме это наблюдается и в сплавах на основе Со. Форму-
Формула B1.1) лучше всего оправдывается для сплавов системы Ni — Си.
го
15
\
о
1
Fe-Co
1
1
Ni-Cu
гоо
т боо во
Температура, °С
1000
Рис. 21.7. Температурная зависимость само-
самопроизвольной намагниченности (индукции
Bs = 4я1,ч) сплава Fe — Со состава 50 ат.%
Fe и 50 ат. % Со, когда линия точек Кюри
совпадает с границей а- и v-областей (см.
участок в линий точек Кюри на рис- 21.5)
(Кюльвсйн [117]).
20 40 60
Содержание Си, ат.'/.
Рис. 21.8. Зависимость среднего атомного
магнитного момента Рспл (в цд) сплава в си-
системе Ni — Си от состава. 1 — данные Аэрна
и др. [10], 2— Оливера и Сэксмйта [И], з—
Арротта [12].
На рис. 21.8 приведены данные для рспя, а на рис. 21.9 — для в в системе
Ni — Си по работам [10—13]. На рис. 21.10 и 21.11 приведены другие
примеры для сплавов Ni — Al, Ni — Si, Ni — Ge, Ni — Sb, Ni — Sn,
Ni — Zn по данным [14, 15, 9].
- 618 —

Для сплавов Fe с нормальными металлами наблюдается совершенно
другая зависимость р от концентрации примеси. Это было( впервые пока-
показано в работах Фалло [16, 17] на сплавах Fe — Al, Fe — Si, Fe — Au,
Fe — Zn, Fe — Sn, Fe — V. При малых концентрациях было найдено, что
¦средний атомный момент сплава зависит от числа атомов железа и не за-
зависит от валентности атома примеси, т. е.
B1.2)
PFe (! —
б. Феноменологическая трактовка сплавов на основе Ni. Рассмотрим
подробнее случай, описываемый формулой B1.1). Изнее следует [см. Дорф-
ман A955)], что если бы атомы примеси имели нулевую валентность (г; =
= 0), то при концентрациях v в области ее применимости величина раал
600
400
200
к
\
1
к.
\
О /
• г
Ni-Cu
\j
\
600
400
200
Hi-Sb
Hi-Si тз
и го 4о во
Содержание Си, am. %
Рис. 21.9. Зависимость точки Кюри в си-
системе сплавов Ni — Си от состава. 1 —
данные Аэрна и др. [10]; 2 — Оливера
Сэксмита [11]; 3 — Мейера и Вольфа [13].
и 3 6 9 12
Содержание Al, Sb, Ge, Si, am. %
Рис. 21.10. Зависимость точек Кюри спла-
сплавов Ni (с Al, Ge, Sb и Si) от содержания
примеси (Кронгл и Мартин [15]).
не зависела бы от концентрации немагнитных атомов примеси. Это озна-
означает, что средний атомный момент (магнитное насыщение) самого раство-
растворителя и его сплава является свойством всего кристалла в целом, а не ад-
аддитивным свойством отдельных его атомов. Второе слагаемое в B1.1)
входит со знаком минус, поэтому оно дает вклад в намагниченность, анти-
антипараллельный моменту растворителя. Следуя Крэнглю и Мартину [15],
можно чисто феноменологически с помощью B1.1) описать перестройку
в системе электронов в бинарных сплавах Ni с нормальными элементами
(со стороны концентраций, богатых Ni). Обозначим через щ число неза-
незанятых мест на узел в Зй-полосе с данной проекцией спина (+). Тогда чис-
число таких мест в сплаве с концентрацией v будет: псал = п0 A — v) — vv.
Экспериментально наблюдаемый средний момент связан с числом п соот-
соотношением р = (V2) gn, где g — фактор Ланде. Резонансные наблюдения
Стендли и Рейха [18] показали, что в системах Ni — Al и Ni — Sb, а так-
также в Ni — Си фактор g не зависит сколько-нибудь существенно от соста-
состава сплава, по крайней мере в интервале концентраций v, для которых
справедлива формула B1.1). Поэтому можно принять, что
- i_
Рспл — "о"
или
B1.3)
Для Ni по данным Стендли и Рейха [18], а также [19, 20] g = 2,20 ± 0,03.
- 619 —

Если для pfai принять значение 0,606, то п0 = 0,55. В табл. 21.1 приведе-
приведены опытные данные для dpcnjI/dv и вычисленные по B1.3) значения v для
семи никелевых сплавов (при п0 = 0,55 и g = 2,20). Ни в одном случае
v не равно валентности изолированного атома, и следовательно, не все
внешние s- и /«-электроны переходят на незанятые состояния в «магнитной»
энергетической d-полосе никеля. Значения числа S в последнем столбце
0,6
0,2
0,6
Ni-AL
Ч
0 3 6 9 12
0,2
ч
>
Ni-Sl
ч
0,6
0,4
0,2
0,6
ч
Ni-Ge
ч
ч
О 3
(I 3 В 9
0,5
о,г
Ni-
ч
ч
0,2
0,6
0,4
I 1
N
Ni-Sb
I
С
>
Об 12 18
Содержание /U,Si,Zn, am. %
0,2
Ч
Ni-Sn
ч
0 3 6 9
Содержание 6e,Sb,Zn,a/n.'/.
Рис. 21.11. Зависимость среднего атомного магнитного момента рс сплавов
Ni с Al, Ge, Si, Sb, Zn, Sn от содержания примеси (Крэнгл и Мартин [15]).
табл.''21.1 равны разности между валентностью изолированного атома
примеси и рассчитанной величиной v. Это та доля «валентных» электронов
примеси, которая не влияет на магнитные свойства сплава. По-видимому,
Таблица 21.1
Зависимость атомных магнитных моментов рСпл никелевых сплавов
с нормальным элементом от состава (концентрации примеси v),
а также значения валентности и атомов примеси в сплаве
Растворяемый
элемент
Си
Zn
Al
Si
Ge
Sn
Sb
Валентность изо-
изолированных атомов
1
2
3
4
4
4
5
dv
1,14
2,11
2,8
3,77
3,7
4,22
5,31
и*)
0,48+0,02
1,37+0,05
1,99±0,08
2,87+0,05
2,81+0,05
3,29±0,06
4,27±0,12
*) Значения v вычисляются по формуле B1.3).
**) б — разность между валентностью изолированного
значением, рассчитанным по формуле B1.3) для сплава,
б**)
С j
0,6
1,0
1,1
1,2
0,7
0,7
атома и ее
1
— 620 -

эти электроны «уходят» в систему немагнитных коллективизированных
электронов проводимости кристалла. Однако магнитные измерения сами
по себе не могут дать нам точный ответ на этот вопрос.
в. Модель «жесткой» полосы. При рассмотрении металлических спла-
сплавов весьма распространенной является модель «жесткой» полосы (rigid
band). Для ферромагнитных сплавов ее впервые применил Мотт [21].
Рспл
Fe-Al
Fe-Si
0 5 10 Ю 20 25 30
Содержание A L, от. %
Рис. 21.12- редние атомные магнитные мо-
моменты РсаП (в магнетонах Бора цв) и точ-
точки Кюри ®спл в системе сплавов Fe — А1
как функции концентрации А1 (Фалло
[16]).
О г 4 6 8 117 12 14 16 18
Содержание Si, am. %
Рис. 21.13. Средние атомные магнитные
моменты (на атом Fe) в магнетонах Бора
ИВ и точки,Кюри вспп в системе сплавов
Fe — Si как функции ' концентрации^, Si
(Парсонс и др. [23]).
1
Согласно этой модели предполагается, что в сплавах, подобных Ni — Си,
Ni — Zn и т. д., форма кривой для плотности электронных уровней g (e)
в энергетической полосе не меняется в широком интервале концентраций.
Если меняется число электронов, при-
34 \ | | | | | | | | |—| ходящихся на узел решетки, то, ко-
конечно, меняется энергия Ферми ?0.
301—|'" |™ |—\—1-/-|—^-|—|—| Поэтому модель «жесткой полосы» весь-
весьма приближенна, в особенности когда
атомы сплавляемых элементов сильно
различаются по своей электронной
структуре. Тем*не менее эта модель
¦S5 1в
к.
.10
Fe-Al

1
/
/
\
1
\
\
—о'
ю го зо 40
Содержание АI, от.'/.
Рис. 21.14. Коэффициент 7СПЛ электронно-
электронного вклада в теплоемкость в сплавах Fe —
.А1 как функция содержания А1 (в ат. %)
(Ченг и др. [24]).
5 10 15 20
Содержание Sb,Sn,Si,G8,ffiw. %
Рис. 21.15. Коэффициент 7СПЛ электронного вкла-
вклада в теплоемкость в сплавах. Fe — Sb, Fe — Sn,
Fe — Si, Fe — Ge как функция содержания ра-
растворенного элемента (в ат. %) (Гупта и др. [25]).
тможет быть использована как первое качественное описание при не
•очень больших концентрациях. Очевидно, что формула B1.1) будет нахо-
находиться в полном соответствии с моделью «жесткой полосы», если предпо-
предположить, что все лишние электроны атомов добавляемого к никелю элемен-
элемента заполняют «дырки» в его единственной незаполненной Зй-подполосе,
- 621 -

г. Феноменологическая трактовка сплавов на основе Fe. Обратимся
теперь к формуле B1.2), справедливой для сплавов Fe с нормальными
элементами. На рис. 21.12 приведены данные Фалло [16] для рспл и точек
Кюри 6Спл для сплавов системы Fe — А1. Аналогичные результаты были
также получены в работе Арротта и Сато [22]. На рис. 21.13 приведены
аналогичные результаты работы Парсонса и др. [23] для сплавов Fe — Si.
Из начальных (прямолинейных) участков кривых для рСпл на рис. 21.12
и 21.13 видно, что в этих
сплавах «лишние» электроны
алюминия и кремния в основ-
основном переходят в s-полосу и
уровень Ферми для спиновг
антипараллельных спонтан-
спонтанному моменту, не смещает-
смещается заметно «вправо» (в об-
область более высоких энер-
энергий) с ростом концентрации
Al, Si и т. д. Дополнитель-
Дополнительным подтверждением этой
гипотезы могут служить из-
"</
о
(К
Co-Mn
Ni-Mn
Xo-Ni
\
\
/ X4
<**Ni-Cr
«tco-Fe^
:M
»j(i-Mn
•'Co-Cp
e Co-Mn
\fli--Cu
\
10
11
n d (на атом)
рис. 21.16. Средний атомный магнитный момент рспл
(в магнетонах Бора jig) как функция числа 3d + 4s-
электроновп ^на атом для г.ц.к. бинарных сплавов Fe,
Со и Ni (кривая Слэтера — Полинга) Крэнгл и Халлам
[29]).
мерения электронной части
теплоемкости (Сэл = уСПЛТ}
этих сплавов (Ченг и др.
[24], Гупта и др. [25]). Дан-
Данные для 7спл по ряду сплавов
железа приведены на рис.
21.14 для Fe — Al и на рис. 21.15 для Fe — Sb, Fe — Sn, Fe — SI
и Fe — Ge. Из кривых рис. 21.15 видно, что 7спл при концентра-
концентрациях ниже 20—25% меняется весьма незначительно. Это и можно рас-
рассматривать как указание на то, что уровень Ферми слабо смещается. Рез-
Резкое изменение величины -успл в случае сплава Fe — Al (рис. 21.14) при
содержании алюминия 25% согла-
согласуется с таким же резким (а также
немонотонным!) спадом на кривых
для рспл и бспл (Рис. 21.12). Оче-
Очевидно, что при этой концентрации
и выше модель «жесткой полосы»
уже неприменима. Сато и Арротт
[26], например, считают, что с ро-
ростом содержания алюминия изме-
изменяется знак энергии обменного
взаимодействия между атомами
железа.
3. Кривая Слэтера—Полинга.
Магнитные моменты бинарных
ферромагнитных сплавов Ni, Go и
Fe между собой и с другими пере-
переходными Зй-металлами обычно
принято представлять на кривой
] за"+ 4в-электронов п^ на атом для о. ц. к. би-
Fe-Cr
nstd (на атом)
Рис. 21.17. Средний атомный магнитный момент
рспл (в магнетонах Бора jig) как функция числа-
р рд р
Слэтера [27] — Полинга [28] (рис.
21.16, 21.17). Эта кривая была
уточнена в последнее время в
работах Крэнгла и Халлама [29].
для средних атомных магнитных
с г. ц. к. решеткой в зависимости от среднего числа электронов ns+<t
на атом (т. е. от концентрации сплава!). На рис. 21.17 приведены такие же-
данные для сплавов с о. ц. к. решеткой. При этом основные данные для
нарных сплавов железа (Крэнгл и Халлам [29]).
На рис. 21.16 приведены данные
моментов рспл (в Иб) для сплавов
— 622 —

сплавов Ni — Си взяты из работы Аэрна и др. [10]. Изучались и другие
сплавы Со — Fe, Со — Ni [30]; Ni — Cr, Ni — V, Ni — Mn, Fe — Mn
[9]; Co - Cr, Co - Mn [31]; Fe - V, Fe - Cr [16], Fe - Ni [29] *).
Из рис. 21.16 видно, что в сплавах, богатых Ni, с г. ц. к. решеткой, п
меняется линейно со средним числом 3d + 4«-электронов на атом. Наклон
прямой мало отличается от единицы и одинаков для сплавов различных
2 -
*
¦
t
Co
Ni
i 1
20 W 60 80
Содержание Ni, am. %
100
Рис. 21.18. Парциальные магнитные мо-
моменты, связанные с 3<2-электронами в спла-
сплавах Fe — Ni как функции состава (Кол-
(Коллинз и Форсайт [36]). 1 — точки, полу-
полученные с помощью поляризованных нейт-
нейтронов; 2 и 3—для упорядоченных сплавов.
I
Г
I
" го ш а во юо
Содержание Ni, am. %
Рис. 21.19- Парциальные магнитные мо-
моменты, связанные с Зсг-электронами в
сплавах Ni — Co как функции состава
(Коллинз и Уилер [118]).
систем (Ni — Си, Ni — Со, Ni — Fe). Поведение среднего атомного момен-
момента п в этих системах хорошо описывается в рамках модели «жесткой поло-
полосы» (см. выше).
4. Парциальные атомные моменты компонент сплавов (по нейтроно-
графическим измерениям). На первый взгляд может показаться, что эти
«магнитные» данные находятся в противо-
противоречии с нейтронографическими результатами
Шалла и Уилкинсона [34] и других [35— ^
37] **), в которых была обнаружена прост- -
ранственная локализация магнитных мо- ^
ментов, связанных с ионами Ni, Fe и Со. |
При этом наблюдаемые парциальные магнит- >5а
ные моменты ионов отдельных компонент ^
сплавов Fe — Ni и особенно Ni — Со мало 1
отличались от их значений для чистых К
металлов (рис. 21.18 и 21.19). В случае же
сплава Со — Fe момент атома Со не меняет-
меняется, а момент атома Fe растет от 2,2(Лб для
чистого железа, до 2,9 (Лб при 50% Со и выше
го 40 60 80 W0
Содержание Со, am. %
Рис. 21.20. Парциальные магнит-
магнитЗ
ронами в сплавах Fe — Со как
функции состава (Коллинз и Фор-
Форсайт [36]).
(рис. 21.20). Однако фактически между нейт- ронамиМевТЫсплавахНьреС—а'соек1к
ронографическими данными и зонной моделью
нет противоречия, поскольку существование
локализованной зарядовой или спиновой
плотности для коллективизированных электронов в металлических
кристаллах отнюдь не «противопоказано» с точки зрения зонной модели
(см., например, обзор Вонсовского и Изюмова [38] и работу Изуяма и
ДР. [39]).
*) Эти сплавы изучались ранее в работах Пешара [32], Кондорского и Федо-
Федотова [33].
**) Этот вопрос рассмотрен в § 44 монографии Изюмова и Озерова A966).
— 623 -

5. «Аномалии» на кривой Слэтера — Полинга. Совершенно иное
«аномальное» поведение наблюдается для магнитных моментов сплавов
Ni, Go, и Fe с Сг, Мп и V, а также Fe с Со и Ni при больших концентрациях
Fe (см. рис. 21.16 и 21.17). Одно из возможных объяснений этого состоит
в том, что примесные атомы переходных элементов (V, Сг и Мп) входят
в ферромагнитную матрицу (Ni, Co и Fe) с антипараллельными момента-
моментами (т. е. что существует антиферромагнитная связь между примесными
атомами и атомами матрицы). Однако Фридель [40—42] указал еще на
один, по-видимому, более важный механизм влияния примесных атомов
на моменты соседних атомов матрицы. Он предположил, что уменьшение
спонтанного момента, например, в сплаве Ne — V связано главным обра-
образом с уменьшением моментов атомов Ni, окружающих примесный центр.
Экспериментальную проверку этого предположения для сплавов на осно-
основе Ni предприняли Лоу и Коллинз [37]. Они провели сравнительные ней-
тронографические измерения парциальных магнитных моментов в двух
нормальных (следующих кривой Слэтера — Полинга) сплавах (Ni — Fe
и Ni — Мп) и в двух аномальных (Ni — V и Ni — Сг) при концентрациях
примесей Fe, Mn, V и Сг порядка 1,5%. Эти измерения действительно
показали, что в сплавах Ni — Уи Ni—Сг имеют место заметные нарушения
в распределении магнитных моментов вокруг атома примеси. В случае же
сплавов Ni — Fe и Ni — Мп (при 1,5 ат. % Fe и Мп) таких нарушений
не наблюдалось и все изменения в атомных моментах ограничиваются са-
самим атомом примеси. При этом нейтронные измерения показали, что
в случае сплава Ni — Сг момент атома примеси (Сг) равен +0,6(лб, а его
¦ближайших соседей атомов Ni составляет +0,23(Лб. В случае сплава Ni —
V имеем соответственно — 1,2(Лб и +0,32(Лб. Эти значения согласуются
¦с величиной начального наклона кривых dpcnjdv для этих сплавов [Бо-
зорт A956)]. Согласно Фриделю [40, 41], присутствие атома примеси в мат-
матрице типа Ni или Со приводит к возникновению связанного состояния,
отщепляемого от каждого из двух Зй-подполос (с противоположной ориен-
ориентацией спинов). Эти состояния смещаются в область более высоких энер-
энергий. Расщепление между этими дискретными уровнями зависит от вели-
величины возмущения. Предполагается, что у Ni одна из Зй-подполос заполне-
заполнена целиком, а вторая — частично. Фридель [40, 41] принимает, что в спла-
сплавах, не «укладывающихся» на кривую Слэтера — Полинга, дискретный
уровень примеси, отщепленный от заполненной Зй-подполосы, смещается
вверх и оказывается выше уровня Ферми. Поэтому электрон с этого уров-
уровня переходит в частично заполненную Зй-подполосу. Если каждое состоя-
состояние пятикратно вырождено, то это приводит к уменьшению момента на
10(лб на каждый атом примеси.
В добавление к этому эффекту наблюдаются явления, связанные с эк-
экранировкой заряда вокруг примесного атома. А именно, если AZ разность
атомных номеров атомов матрицы и примеси, то следует ожидать, что
вокруг атома примеси будет на AZ электронов меньше, чем у узла решетки
невозмущенной матрицы. Поскольку эти «исчезнувшие» электроны почти
все удаляются из состояний с высокой плотностью из незаполненной
Зй-подполосы, то следует ожидать возрастания магнитного момента на вели-
величину AZ\ib- Поэтому в случае сплавов, не следующих кривой Слэтера —
Полинга, модель Фриделя предсказывает, что полное изменение момента
на каждый растворенный атом равно (AZ — 10) (Лб, что находится в пре-
прекрасном согласии с опытом. С другой стороны, в сплавах, которые сле-
следуют кривой Слэтера — Полинга, дискретные уровни примеси, соответ-
соответствующие целиком заполненной Зй-подполосе, остаются ниже уровня
Ферми (поскольку возмущение в этих системах слабее), и поэтому следует
учитывать лишь эффект экранировки.
Оба описанных механизма могут приводить к различным изменениям
пространственного распределения магнитного момента вблизи растворен-
растворенного атома примеси. Высокая плотность уровней в незаполненной 3d-
- 624 —

подполосе позволяет эффективно заэкранировать различие в заряде ядер
AZ на самом примесном узле. Вместе с тем волновые функции примесных
состояний относительно сильно размазаны по пространству, так как они
построены из ограниченного числа Зй-волновых функций. Заряд, возни-
возникающий при освобождении этих состояний, будет поэтому размазан на
большем объеме, чем тот, который связан с экранировкой.
Более сложную картину распределения плотности магнитных момен-
моментов обнаружили Коллинз и Лоу [43] в случае сплавов на основе железа
(Fe — Mn, Fe — Gr и Fe — V с 1 ат. % примесей). В случае сплава Fe —
Мп атом примеси Мп не вызывает изменения в моментах, окружающих его
атомов Fe, а сам входит с нулевым моментом. В случае же сплавов Fe —
Gr и Fe — V атомы примеси несут в себе моменты —0,7(Лв и —0,9|лБ соот-
соответственно. Атомы Fe, ближайшие соседи с атомом примеси, уменьшают
свой момент (~8% от +2,2(лв)- Однако более удаленные (~4 А) от при-
примесного центра атомы Fe, по-видимому, несколько увеличивают свой
момент (сверх нормального значения равного +2,2(Лб) *)•
Весьма ценные сведения об электронной структуре металлических
сплавов переходных металлов и их магнитных свойствах могут дать так-
также исследования их электронной теплоемкости и эффекта Мессбауэра
(см. ниже гл. 26). Наиболее детальные исследования электронной тепло-
теплоемкости сплавов проведены в США школой Бека [24, 25, 46—51]. Мы
не имеем возможности останавливаться на этом вопросе и отсылаем чита-
читателя к оригинальным статьям или обзорам [49, 52] и в особенности [129].
6. Сплавы и интерметаллические соединения редкоземельных метал-
металлов. Обращаем внимание на новую и бурно развивающуюся область изу-
изучения магнитных свойств сплавов и интерметаллическйх соединений РЗМ.
Эти исследования касаются изучения сплавов РЗМ друг с другом [52—64],
сплавов РЗМ с нормальными металлами (например, с Аи, Ag, A1 и т. п.)
[65—72], с переходными d-металлами [73—85] и в особенности с Fe, Ni
и Со [86—99], а также с актинидами [100]. Эти исследования представляют
большой теоретический интерес, поскольку в таких кристаллах может
в совершенно неожиданной форме проявиться взаимодействие недостроен-
недостроенных 4/-оболочек ионов РЗМ с ионами как нормальных, так в особенности,
переходных d-элементов. Кроме того, именно среди этих сплавов и соеди-
соединений есть реальная надежда обнаружить новые магнитные материалы
с «рекордными» магнитными параметрами (высокими значениями магнит-
магнитного насыщения, точками Кюри и Нееля, большой магнитной анизотро-
анизотропией, магнитострикцией и т. п.). Некоторые примеры таких материалов
будут указаны в гл. 23 и 25.
§ 3. Сильно разбавленные растворы парамагнитных атомов
в кристаллах
1. Основные опытные факты. В § 1 при классификации ферромаг-
ферромагнитных сплавов мы не упомянули еще один тип весьма интересных ве-
веществ — сильно разбавленных ферро- и антиферромагнитных твердых
растворов парамагнитных атомов в немагнитной матрице, о которых уже
упоминалось выше (см. гл. 20). Оуэн и др. [101—103] обнаружили впер-
впервые антиферромагнетизм (или точнее, какое-то кооперативное магнитное
превращение) в слабом растворе Мп в Си и Ag (~0,l % Мп); Бозорт и др.
[104] обнаружили ферромагнетизм в таких же слабых растворах Со и Fe
в Pd ••).
*) Обращаем также внимание читателей на интересные нейтронографические
исследования пространственного распределения магнитного момента в сплавах Fe —
Rh [44], а также в сплавах Pd с Зй-элементами [45].
**) Упомянем и более раннюю работу Кауфмана и др. [105] по изучению разбав-
разбавленных растворов Fe в Аи или Си.
40 с. В. Вонсовский — 625 —

Затем были изучены аналогичные растворы Fe и Со в Си и Аи. Раство-
Растворы Ni, Co, Fe, Mn, Сг и Gd в Pt @,5 ат. %) исследовали Циовкин и Волкен-
штейн [106, 107].
Все эти сплавы имеют следующие общие физические признаки.
1) Аномальная добавка к низкотемпературной теплоемкости ACV
сравнима по величине с теплоемкостью матрицы; она была обнаружена
в сплавах (разбавленных с концентрацией примеси ^5 ат. %) Mn, Fe, Co
в Си, Аи и Ag в работах [108—110] (см. также [146, 151, 184, 199, 264—
269]).
2) Наличие максимума на кривой температурной зависимости магнит-
магнитной восприимчивости (температура, соответствующая этому максимуму,
\юо\
Рис. 21.21. Температурная зависимость пол-
полного магнитного момента Дп0-ш на атом (из-
(измеренная в поле 17 та), d-мом'ента jid на атом
(измеренного в поле 14 к») и отрицательного
момента подмагниченных электронов прово-
прово(Ф 130])
— ДП
ектронов прово
(Филлипс L130]).
а/В
Рис. 21.22. «Топографическая карта» распреде-
распределения плотности магнитного момента в магнето-
магнетонах Бора на кубический ангстрем (цр./А3) на
плоскости A00) образца сплава Ге — Pd (Fe 1,3
ат. %). Цифры на графике дают значения (ig/A"
вдоль соответствующей «изолинии» карты, а —
постоянная решетки (Филлипс [130]).
пропорциональна концентрации примеси). Это явление наблюдали в спла-
сплавах Си - Мп [102. 103, 119, 120], Ag - Mn [102], Си - Со [112, ИЗ],
Fe, Сг и Мп в Аи [121]. Температурный ход магнитной восприимчивости
в сплавах Ni, Co, Fe, Mn, Сг и Gd в Pt исследовали Циовкип и Волкен-
штейн [106].
3) Низкотемпературные аномалии электросопротивления (см. [IZZ,
123]) Циовкин и Волкенштейн [107] наблюдали эти аномалии (при
~0,5 ат.% примеси) в растворах Sc, Ti, V, Сг, Mn, Fe, Co, Ni, Y, Zr, Nb
и Mo в Pt.
4) Характерная для ферромагнетиков температурная зависимость
остаточной намагниченности [124].
5) Аномалия термо-э. д. с. (см. книгу Макдоыальда [125]).
Для таких сильно разбавленных систем наиболее характерпьш
является то, что в них к немагнитной матрице добавляется лишь неболь-
небольшое число парамагнитных атомов. Можно считать, что только эти атомы
и обладают магнитным моментом. Поэтому в случае парамагнитного
состояния системы (при чисто диамагнитной матрице) с помощью измере-
измерения парамагнитной восприимчивости можно достаточно точно определить
магнитные моменты этих атомов в растворе и их зависимость от концентра-
концентрации сплава. Изучая характер перехода из парамагнитного состояния
в ферро- или антиферромагнитное при изменении1 концентрации сплава
- 626 -

и температуры, можно получить ценные сведения о природе взаимодей-
взаимодействия, приводящего к установлению магнитного порядка.
Вполне естественно предположить (см. гл. 20), что магнитный поря-
порядок в таких металлических системах, где прямой обмен между удаленны-
удаленными парамагнитными атомами практически отсутствуют, обусловлен кос-
косвенным обменным механизмом, в котором активное участие принимают
электроны проводимости матри-
матрицы. Особенно убедительно эта
мысль подтверждается опытны-
опытными фактами, полученными при
исследовании сильно разбавлен-
разбавленных растворов Со или Fe
(~0,1 ат. %) в Pd, которые
оказались ферромагнитными
(Бозорт и др. [104]) *). Опыты
по нейтронной дифракции с
этими сплавами [128, 129] пока-
показали, что вокруг атомов приме-
примеси (Fe) имеется сильно разма-
размазанное магнитное возмущение,
а матрица (Pd) оказывается
однородно намагниченной.
Весьма подробное исследо-
исследование распределения плотности
магнитного момента в одном из
этих сплавов провел Филлипс
[130] с помощью техники поля-
поляризованных нейтронных пуч-
пучков **). Измерения магнитных
форм-факторов позволили оп-
определить вклады от 3d- и 4s-
электронов в средний магнит-
магнитный момент на узел решетки: а
именно, были получены значе-
значения \x3d = 0,050 ± 0,006|лБ и \xid = 0,088 + 0,008|лБ. Измеренное среднее
значение магнитного момента насыщения в изучаемом сплаве равно
0,114 ± 0,004|Лб (при 4,2° К) и оказалось заметно меньше, чем значение
полного момента, определенного из нейтронных измерений и равного
0,138|лБ. Эта разница определяется отрицательной поляризацией элек-
электронов проводимости, которая давала —0,024 ± 0,011|лБ на атом. Из
температурных зависимостей амплитуды магнитного рассеяния и намагни-
намагниченности насыщения можно было определить температурный ход намагни-
намагниченности, обусловленной отрицательной поляризацией электронов прово-
проводимости, которая исчезала вблизи точки Кюри (рис. 21.21). Нейтронные
данные указывают также, что Зй-момент атома Fe и 4й-моменты окружаю-
окружающих его атомов Pd сильно связаны. Однако область поляризации атомов
Pd (т. е. размеры кластеров) определить не удалось. Наконец, по изме-
измеренным амплитудам магнитного рассеяния была определена «топографи-
«топографическая карта» распределения магнитной плотности на различных плоско-
плоскостях кристалла. На рис. 21.22 и 21.23 показано такое распределение для
Рис. 21.23. «Топографическая карта» распределения
плотности магнитного момента в магнетонах Бора
на кубический ангстрем дб/А3 на плоскости [A10)
сплава Fe — Pd (Fe 1,3 ат.%). Цифры на графике
дают значения дБ/А" вдоль соответствующей «изоли-
«изолинии», а—• постоянная решетки (Филлипс [130]).
*) Подробные магнитные исследования ферромагнетизма в богатых палладием
сплавах Fe — Pd до концентраций Fe — 1,25 ат.% провел Крэнгл [126], а до концен-
концентраций порядка 0,15% Крэнгл и Скотт [127]; в последней работе читатель найдет об-
обзор исследований по четырем системам: Pd—Fe, Pt—Fe, Pt—Co и Pd—Ni. По-видимо-
По-видимому, ферромагнитен сплав Gd—Pt (с 0,5% Gd) (Циовкин и Волкенштейн [106]).
**) Состав этого сплава Fe A,3%), Pd (98,7%), точка Кюри — 55° К, магнит-
магнитный момент насыщения на атом примеси 10,7 + 0,6 |1Б.
- 627 -

средней плотности магнитного момента соответственно на плоскостях
A00) и A10) (на рисунке показана 1/4 часть грани элементарной ячейки
г. ц. к. решетки).
2. Теоретические трактовки. Описанные выше представления качественно были
изложены в работе Оуэна и др. [102]. Однако позднее Иосида [131] утверждал, что
обменное взаимодействие между локализованными магнитными моментами атомов
примеси и электронами проводимости не приводит к однородной поляризации электрон-
электронных спинов (Шубин и Вонсовский [132], Вонсовский [133]). Спиновая поляризация
по Иосида [131] носит существенно неоднородный характер, сильно концентрируясь
вблизи локализованных моментов. Кроме того, эта поляризация быстро осциллирует
и спадает по амплитуде при удалении от примесного атома. Действительно, используя
общую формулу B0.120) для плотности электронов, а также формулу B0.125) по s — d-
обменной модели для входящего в B0.122) коррелятора и после суммирования по спи-
спиновому индексу, получаем
exp \iq(r-Bn)Asd(k, fc + g) "fc+9~"fc-^. B1.4)
Полагая Asd (fe, fc + <7) = ^sd (<7) и учитывая B0.131) и B0.132) вместо B1.4), находм
± Ns 3 Ns -ст j с Х^ с2
Как было показано еще Рудерманом и Киттелем [134].
±^ -12n^-FBk0R), B1.6)
где функция F (х) дается формулой B0.134). Поэтому, если принять приближенно,
что фурье-компопента обменного параметра Asd (q) = Asd @), т. е. не зависит от q,
то для спиновых плотностей получим окончательно выражение
Ns \ Asd @) Ns
9я / Ns \
Хотя спад спиновой плотносиГпри удалении от атома примеси и имеет место, однако
он не столь резкий [—г, см. B0.134)]. Поэтому, рассматривая спиновую поляризацию
электронов проводимости в данной точке г, необходимо учитывать влияние всех атомов
примеси, а не только самого ближайшего. Именно это обстоятельство было отмечено
в работах Абрикосова и Горькова [135], Вонсовского и Изюмова [136], Вонсовского
и Свирского [137] и Кима [138].
Легко видеть, что из формулы B1.5) сразу следует вывод об однородности поля-
поляризации электронов проводимости в чистом металле, в котором магнитные моменты
ионов ферромагнитно упорядочены, т. е. все величины 5^ одинаковы. Тогда сумма
по п примет вид
2 { — lqBn) exp (iqr) +exp (iqBn) exp ( — iqr)\ = /V6 (q) 2 cos {qr).
n
Следовательно, вместо B1.5) будем иметь
т. е. поляризация магнитно-активных ионов, например, переходного 4/-металла вызы-
вызывает однородную поляризацию электронов проводимости.
Как показали Абрикосов и Горьков [135], этот вывод оказывается справедливым
и для разбавленного раствора парамагнитных атомов, находящихся в состоянии ферро-
ферромагнитного порядка. В этом случае атомы примеси имеют отличное от нуля среднее
(по всем атомам) значение спина Sn Ф 0. Для однородной поляризации в формуле
B1.5а) важны лишь малые значения вектора q. Если атомы примеси распределены
по узлам решетки хаотически, то, заменяя в B1.5а) сумму по п интегралом по Rn.
находим
где С( — число атомов примеси на одну ячейку кристалла. Таким образом, согласно
формулам B1.8) и B1.5а), ферромагнитный порядок атомов примеси создает однородную
поляризацию спинов. Следовательно, возражение Иосида [131] против s — d-обменного
«происхождения» примесного ферромагнетизма лишено оснований. Абрикосов и Горь-
- 628 -

ков [135] далее, исходя из общего выражения для s — d-обменной связи между элек-
электронами проводимости и атомами примеси [см., например, член &9Sf (r) в B0.65)],
изучили термодинамические свойства такой модели. В частности, они нашли выражение
для точки Кюри вс:
начиная с которой (и ниже) появляется спонтанный момент электронов проводимости.
Здесь Nt — число атомов примеси в единице объема, S — спиновое квантовое число
этих атомов, %0 — парамагнитная восприимчивость электронов проводимости в отсут-
отсутствие примеси, константа а = ^ I (r) d3r. Интегрирование ведется по объему сплава.
Из B1.9) видно, что точка Кюри пропорциональна концентрации примеси.
Более детальную микроскопическую теорию ферромагнетизма разбавленных
растворов ионов d-металлов в немагнитной матрице развил Ким [168]. Он исходит
из общего выражения для гамильтониана системы электронов проводимости
где &9КШН — оператор кинетической энергии, &9КуЛ — оператор кулоновского взаи-
взаимодействия между электронами и &9S.\ — оператор обменной энергии между элек-
электронами проводимости и локализованными спинами атомов примеси *).
Далее Ким исключает s — d-обменную связь &98Л из B1.10) каноническим преоб-
преобразованием, преобразуя ее в эффективное электрон-электронное взаимодействие
(подобно тому как это делал Фрейлих [167] с электрон-фононным взаимодействием).
Полученное здесь эффективное электрон-электронное взаимодействие, однако носит
характер отталкивания, а не притяжения, как в случае теории сверхпроводимости.
Кроме того, Ким [168], в отличие от Абрикосова, Горькова [135], показал также
возможность ферромагнетизма электронов проводимости даже в том случае, когда
локализованные спины атомов примеси находятся в парамагнитном состоянии. Это
обусловлено тем, что благодаря s — d-обмену резко увеличивается взаимодействие
между электронами проводимости, что и делает в некоторых случаях возможным появ-
появление ферромагнетизма при низких температурах **).
Выше (см. гл. 20, § 7, п. 1) уже упоминалось обобщение s — d-модели, предло-
предложенное Вонсовским и Свирским [147], в котором учитывается влияние мурьтиплетно-
сти d-оболочек на взаимодействие электронов в кристалле. В этой работе, так же как
и в работе Кима, показана возможность ферромагнетизма электронов проводимости
несмотря на отсутствие ферромагнетизма спинов d-оболочек ионов примеси. При этом,
преобладающая проекция спинов электронов проводимости совпадает с проекцией
спина того орбитального состояния % [см. B0.115)], интеграл обмена которого с элек-
электронами проводимости имеет преобладающее значение. Чтобы совместить этот несколь-
несколько необычный результат с обычным представлением о том, что «подмагничивание»
электронов проводимости возникает только при ферромагнитном порядке спинов
d-оболочек, можно сказать, что в рассматриваемом случае как бы имеются две антипа-
антипараллельные магнитные подрешетки, соответствующие двум орбитальным состояниям
%i и %z, каждая из которых «подмагничивает» электроны проводимости в своем направ-
направлении, в результате чего преобладает то «подмагничивание», которое вызывается преоб-
преобладающим обменным взаимодействием. В этой связи можно говорить о своеобразном
«субантиферромагнетизме», помня, однако, что здесь узлы ориентированных антипа-
антипараллельных магнитных «подрешеток» находятся не в соседних, а в одних и тех же
узлах кристаллической решетки.
Поскольку поляризация спинов электронов проводимости сопровождается пони-
понижением энергии системы, естественно, возникает вопрос, какое упорядочение спинов
d-оболочек энергетически более выгодно — ферромагнитное или «субантиферромаг-
нитное». В работе [147] получен соответствующий критерий. Выше уже отмечалось,
что примесный ферромагнетизм появляется не во всех разведенных растворах парамаг-
парамагнитных ионов в немагнитных решетках. В случае раствора Мп в Си, по-видимому,
наблюдается антиферромагнетизм (см. [103]).
Еще нет опытных доказательств, что здесь действительно имеется обычный анти-
антиферромагнетизм. Так, например, хотя в этих сплавах и наблюдается низкотемператур-
низкотемпературный максимум магнитной восприимчивости (при 13—40° К для сплавов 1,4—-5,6 ат.%
*) Наиболее общая постановка этой задачи встречается с большими трудностями,
поскольку в системе существуют две подсистемы спинов: локализованные (на приме-
примесях) и коллективизированные (электроны проводимости). Они взаимодействуют
не только друг с другом (это описывает гамильтониан <^s(j), но существует также взаи-
взаимодействие между спинами внутри каждой подсистемы спинов, которое зависит от со-
состояния другой подсистемы. Задача в такой общей подстановке еще никем не решалась.
**) Одновременное существование косвенной (через электроны проводимости)
ферромагнитной связи между локализованными атомами примеси будет лишь способ-
способствовать магнитному порядку в сплаве.
— 629 —

Mn), что характерно для антиферромагнетика, однако обратная величина восприимчи-
восприимчивости, как функция температуры при экстраполяции «прямой» до оси температур,
пересекает ее в области положительных значений, а это, как известно, характерно
для ферромагнитного превращения. При этом среднее значение магнитного мо-
момента на ион Мп равно — 5|лБ. Поэтому высказывались также предположения, что эта
система может состоять из малых ферромагнитных доменов ориентированных анти-
ферромагнитно.
Как уже отмечалось выше, измерения Циммермана и Хоара [108] показали,
например, что в сплавах Мп — Си наблюдается заметная добавочная по сравнению
с чистой медью теплоемкость. Величина ДССПЛ не зависит от концентрации Мп
и растет линейно с температурой. То же наблюдается и в других подобных системах
(см. [108—116]).
Оверхаузер [139] предложил гипотетический механизм антиферромагнитного
упорядочения в сильно разведенных парамагнитных растворах типа систем Мп — Си.
Он считает, что такое упорядочение обусловлено статическими волнами спиновой плот-
плотности в электронном газе при учете его обменной s — ii-связи с парамагнитными ионами.
Однако эта гипотеза не нашла широкого признания (см. гл. 20). Так, например, Мар-
Маршалл [140] и Херринг [141] считают, что добавочная теплоемкость в сплавах Мп — Си
целиком объясняется косвенным обменом по Рудерману — Киттелю [134]. К такому
же выводу приходят Клейн и Броут [142]. Предполагая рудерман-киттелевское взаимо-
взаимодействие между магнитными ионами и однородное — хаотическое распределение ионов
примеси по кристаллу, эти авторы нашли, что рассматриваемые системы состоят из
групп — кластеров сильно коррелированных магнитных примесных ионов. Размер
кластера определяется длиной магнитного экранирования Лс. При Г = 0 длина Лс дк
^ 0,51c-y2d, где d — параметр решетки, с — концентрация примеси. В среднем в каж-
каждом кластере находится по три спина. Это число не зависит от концентрации примеси.
Спины внутри кластера сильно коррелированы друг с другом, но спины вне кластера
можно приближенно считать ориентированными хаотически относительно центрального
спина в кластере. Используя статистический метод Маргенау — Ватсона [143], оказа-
оказалось возможным найти распределение вероятностей Р (Нэфф) эффективного поля .Нафф,
действующего на примесь в точке 0. Это поле равно Я°фф = ZjvBj\jlj, где v0]- — про-
)
странственная часть взаимодействия Рудермана — Киттеля [см., например, формулу
B0.133)] между примесями в точке 0 и /'; \ij — соответствующий магнитный момент
примеси в узле /. С помощью вероятности Р (Нэфф) Клейн и Броут [142] получили
выражение для ДССПЛ в Мп — Си и в хорошем согласии с опытом.
Разведенные растворы Fe и Со в Си ведут себя подобно системе Мп — Си. Только
добавочная теплоемкость ДССПЛ в этих двух системах ведет себя иначе. Так, по данным
Крэна и Циммермана [111] ДСспЛ в системе Со — Си изменяется линейно с температу-
температурой и пропорционально квадрату концентрации Со. А по данным Франка и др. [110]
в сплавах Си, содержащих от 0,05 до 0,2% Fe величина ДССПЛ изменяется с концен-
концентрацией приблизительно линейно в интервале температур от 0,4 до 1,5 °К или по более
сложному закону. Клейн [144] показал, что механизм Рудермана—Киттеля одинаково
хорошо объясняет все «различия» в поведении ДСспЛ всех трех систем. Эти различия
в разных системах обусловлены разными значениями параметра s — d-обмена
в B0.133), а также различными величинами спинов примеси. Были исследованы также
системы разбавленных растворов Fe в Аи (см. например, [145, 121]), которые по своим
свойствам оказались похожи на слабые растворы парамагнитных ионов в Си. Клейн
[114] объяснил эти свойства в системе в рамках модели Клейна — Броута [142].
В своей более поздней заметке Клейн [146] приводит дополнительные выводы в
пользу модели Маршалла [140] и Клейна — Броута [142]. Вопросы о природе добавоч-
добавочной теплоемкости разбавленных растворов рассмотрены также в работе Кондо [148].
Обратим внимание также на работы Берка и Шриффера [149], Дониаха и Энгель-
сберга [150] и Кима и Шварца [151], в которых также рассмотрен механизм возраста-
возрастания электронной теплоемкости, вызванный спиновой флуктуацией вблизи магнитных
примесей.
В заключение укажем, что не исключено также, что учет влияния мультиплетно-
сти d- и /-состояний (Вонсовский и Свирский [147]) поможет в дальнейшем решить
проблему объяснения примесного антиферромагнетизма.
§ 4. Общая задача поведения атомов магнитной примеси
в металлических кристаллах
1. Вводные замечания. В связи с проблемой атомного магнитного порядка в ме-
металлических сплавах за последнее время большой интерес привлекла к себе общая зада-
задача о поведении магнитно-активных ионов в кристаллической решетке немагнитного
металла. Проблема изучения поведения магнитно-активных примесей в кристалле
в свою очередь является частным случаем более общей задачи о поведении любого при-
примесного атома в кристаллической решетке, которая имеет очень большое значение,
- 630 -

например, для теории примесных полупроводников *) [см. например, книгу Ансельма
A962), гл. V, §§1 и 2].
Для нас особую важность представляет анализ поведения магнитно-активных
атомов примесей, как в матрице-растворителе из немагнитного нормального металла,
так и из переходного металла. В ряде экспериментальных работ [152—154] было пока-
показано, что при растворении ионов переходных Зй-металлов, например Fe, почти во всех
металлах и многих сплавах 4й-переходного ряда (группа палладия) от Zr до Ag могут
возникать очень большие локальные магнитные моменты. На рис. 21.24 показано,
как в ряду 4й-сплавов при концентрации Fe около 1 ат.% появляется локальный
7 8 9 10 1!
Re Ru Rh Pd Ag
)
Число .шктпанпв N f на атпм)
Рис. 21.24. Зависимость магнитного момента
атома Fe, растворенного в различных 4d-Me-
таллах и сплавах, от числа электронов, при-
приходящихся на узел решетки кристалла сверх
заполненного 4р-слоя атомов матрицы Dd-
элемента) (Клогстон и др. [153]).
4 5 6 7 8 9 10 11
Zn Nb Mo Re Ru Rh Pd Ag
Числа электронов Н (на атам)
Рис. 21.25. Зависимость магнитного момента ато-
атома Fe, растворенного в различных сплавах 3d-
и id-металлов V — Ru, Mo — Rh, Mo — Pd от
числа электронов, приходящихся на узел решет-
решетки кристалла сверх заполненного 4р-слоя атома
матрицы D<?-элемента). Кривая 1 взята из рис.
21.24. Кривая 2 для сплава Mo — Pd не совпа-
совпадает с кривой 1 (Клогстон и др. [153])-
дюмент, величина которого зависит от числа электронов N на узел решетки сверх
заполненного 4р-слоя атомов матрицы. Из рис. 21.24 видно, что локальный момент
впервые появляется примерно при N &з 5,5 и быстро достигает значения 2,1 \iB на атом
примеси, а при N = 7 снова падает до нуля. Вновь момент возникает при N, несколько
большем 8, и достигает величины, равной 2,2 \iB при N = 9. Затем для сплавов и метал-
металлов с концентрацией электронов N, больших чем у Rh. локальный момент резко возра-
возрастает и достигает аномально большой величины (более 12 \iB) и затем опять спадает
до пуля при приближении к Ag. На рис. 21.25 также нанесены данные для локальных
моментов, наблюдавшихся в сплавах V — Ru, Mo — Rh и Mo '— Pd Клогстоном и др.
[153]. Аномально большие моменты обнаружены в растворах Mn, Fe, Co и Ni
в Pd [155], в растворах Fe в Pd [126] (см. также [127]); в растворах Со в Pd
[104], а также в растворах Mn, Fe, Со и Ni в Pd, Pt, а также Си, Ag и Rh [156].
Цповкин и Волкенштейн [106] определили магнитные моменты на атомах примеси в раз-
разбавленных (— 0,5 ат.%) растворах Ni, Co, Fe, Mn, Cr и Gd в Pt. Они нашли соот-
соответственно (из измерений парамагнитной восприимчивости) р^0 = 5,8, рре = 6,7,
= 5,7, per = 5,6 и род = 6,8 (в ед. рв). Для Ni локализованный момент, по-ви-
по-видимому, отсутствует.
2. Виртуальные связанные уровни. Для случая металлов вопрос о примесных
состояниях был подробно рассмотрен теоретически в ряде работ Фриделя [40—42, 157,
158] и его сотрудников [159, 160], которые использовали зонную модель в приближении
свободных электронов. Фридель обратил внимание на то, что когда элементы группы
Зй-металлов растворяются в нормальных металлах (например, А1, Си, Ag, Аи), то
зависимость остаточного удельного электросопротивления от разности Аи «валентно-
«валентностей» атомов прпмеси и матрицы в ряду этих растворов имеет одни или два хорошо
выявленных максимума (см. Фридель [158], Вассель [161], Даниель [162] **). Наличие
*) Однако эта задача для металлов сильно отличается от случая полупроводников,
ибо большая плотность электронов проводимости в металлах приводит к резкому повы-
повышению электронной концентрации вблизи примесного центра. В полупроводниках
жо примесное состояние может быть сильно «размазанным» по пространству.
**) Обычно этот эффект численно выражают величиной отношения Др/100с, т. е.
отношения изменения остаточного сопротивления Др к выраженной в процентах (атом-
(атомных) концентрации примеси, считая его функцией Аи разности валентностей примеси
и матрицы. Ниже, говоря об этом эффекте, мы будем писать просто Др (Аи).
- 631 -

этих максимумов с несомненностью указывает на то, что здесь имеет место резонансное
явление, обусловленное наличием виртуальных связанных уровней [см., например,
книгу Бома A965), §§ 11. 19 и 11.20].
Рассмотрим свободный электрон с энергией %, упруго рассеиваемый на «потенци-
«потенциальной яме» (атоме) и (г). В случае сферически—симметричного потенциала энергия
связанного состояния определяется двумя квантовыми числами геи/ (см. гл. 2), напри-
например для Зй-состояния ге = 3 и I = 2. Если потенциал v (r) достаточно велик, то может
возникнуть истинное связанное состояние с отрицательной энергией %'о C7li г>
(рис. 21.26). Если же потенциал будет уменьшаться, то уровень %'а iUl г, будет повы-
повышаться и перейдет в область положительных энергий непрерывного спектра. Однако
и в этом случае иногда можно считать, что возникает связанное метаст.абильное, или
виртуальное состояние с энергией %0 (п, г)- Естественно, что это состояние, налагаясь
на состояния непрерывного спектра, ком-
комбинирует (резонирует) с ними. В результате
появляются два состояния с близкими
энергиями %0 тЬ s (рис. 21.27) Оба эти
j/inf/гии
Рис. 21-26. Связанный %0 и виртуальный уро-
уровень %„ (п, I) электрона с энергией^, рассе-
рассеиваемого на изолированном атоме с потенциа-
потенциалом v (г). %о средняя энергия виртуального
уровня, L — ширина этого уровня Фридель
[40]).
Рис. 21.27. Расщепление (е) уровня энергии
%„ виртуального состояния, обусловленное
его резонансным взаимодействием с состояни-
состояниями сплошного спектра свободных электро-
электронов (Фридель [40])
состояния опять резонируют с двумя совпадающими с ними состояниями непрерывного
спектра и вновь каждое из них расщепляется на два новых и т. д. Такой процесс в конце
концов приводит к некоторой ширине Дерез уровня виртуального связанного состоя-
состояния со средней положительной энергией %0(П, ;>• Этот виртуальный уровень будет
сильно рассеивать электроны с энергиями, близкими к %0 ш< г>. Можно даже считать,
что эти электроны захватываются на некоторое время на эти уровни. Из соотношения
неопределенности энергия — время А% At « h [см., например, книгу Ландау и Лиф-
шица [1963], § 44 или книгу Бома A965), гл. 5] следует, что это время At обратно про-
пропорционально ширине уровня Де рез : At « hi Аг рез. Ширина уровня в свою
очередь тем больше, чем меньше квантовое число и больше энергия %0 (п, ;>• Например,
для 1=2 (d-состояние) Де рез « %а1Ъ.
Если атом примеси подобен атому К с пустым нестабильным Зй-слоем, то в этом
случае d-уровень лежит выше уровня Ферми %ф металла-растворителя. У Си Зй-слой
стабилен и целиком заполнен, поэтому d-уровень такой примеси лежит ниже %ф. Сле-
Следовательно, в ряду примесей Зй-элементов d-уровень обязательно должен пересечь уро-
уровень Ферми [40—42]- При этом следует ожидать максимальных эффектов рассеяния.
В сплавах Зй-металлов на основе А1 (Вассель [161]) наблюдается один широкий мак-
максимум на кривой зависимости остаточного удельного сопротивления Др, обусловлен-
обусловленного примесями переходных элементов от разности «валентности» примеси и матрицы.
Это означает, что в этих системах возникает одно виртуальное состояние 3d10, могущее
включить все электроны d-слоя, последовательно заполняемого вдоль ряда. Максимум
Др наблюдается у Сг, когда слой заполнен наполовину Cd5; %а т %ф)- Уровни d-
слоя (для противоположных спинов) заполняются одновременно, поэтому атомы приме-
примеси не обладают в этих сплавах постоянным магнитным моментом. Наблюдается лишь
увеличение парамагнетизма Паули и диамагнетизма Ландау, первое — из-за роста
плотности состояний у поверхности Ферми, а второе — из-за пространственного «раз-
«размазывания» локальных состояний.
Следует учитывать также ряд факторов, стремящихся расщепить виртуальное
Зй-состояние, созданное атомом примеси в кристалле.
Во-первых, это кристаллическое поле решетки (см. гл. 10), в зависимости от сим-
симметрии которого происходит частичное снятие вырождения Зй-уровней с расщеплением
Декрист, во-вторых, это расщепление ДеКОпр, обусловленное энергией корреляции,
возникающей из-за кулоновского взаимодействия менаду электронами одного и того
же слоя, стремящегося расщепить Зй-уровень на уровни 3d0, 3d1, 3d2...
В-третьих, это расщепление Дехунд> обусловленное энергией обменной корреля-
корреляции, т. е. энергией Хунда, расщепляющей уровень 3d10 на два уровня с противополож-
противоположными проекциями спинов электронов: 3d5 (t) и 3d5 (°|), с величиной расщепления
рДехунд- гДе Р ~ число пар d-электронов.
Существование единственного максимума на кривой Др (Аи) в сплавах Sd-метал-
лов на основе А1 можно понять, если принять, что резонансная ширина виртуального.
- 632 -

О
Зй-уровня Дерез существенно больше величины всех трех указанных расщеплений.
Именно этого и следует ожидать в таком многовалентном металле, как А1 с большой
энергией Ферми (%? ^ 13 эв), а следовательно, большой резонансной шириной
d-уровня: (ДеРез ^ A/3) %ф > 4 эв). В то же время Декрист «« 1 эв, Декорр ^ 0,5 эв
и Дехунд ^ 0,6—0,8 эв. Поэтому в сплавах Зй-элементов на основе А1 условия Дерез'С
sg Декрист, Декорр, рДехунд не выполняются и Зй-уровень не расщепляется. Наобо-
Наоборот, в металлах типа Си, где энергия Ферми меньше («а 7 эв), и поэтому меньше шири-
ширина Дерез (^ 2 эв), может иметь место хундовское расщепление, и, следовательно,
в сплаве возможно появление локализованных
магнитных моментов. Это и наблюдается в дейст-
действительности (см. выше § 3).
Количественно расчеты Фриде ля [41] сво-
сводятся к тому, что он раскладывает электронную
волну, рассеянную на примеси, на составляю
щие, соответствующие моментам количества дви-
движения с квантовыми числами I [см. например,
книгу Ландау и Лифшица A963), § 123], при этом
каждое слагаемое имеет сдвиг фазы Ьг по сравне-
сравнению с ее фазой в отсутствие примеси. Если име-
имеется истинное связанное состояние I с энергией
¦ёо<О, то 6; = я для нижнего уровня поло-
полосы проводимости с энергией % = 0 и бг —>- 0
при больших энергиях (см. кривую а рис.
21.28). Если связанного уровня нет, то бг —> 0.
Однако если возмущение способно создать вир-
виртуальное состояние I (с энергией %q, to для элек-
электронов большой энергии ход изменения сдвига фаз
бг должен мало отличаться от случая, когда име-
имеется истинный уровень. Следовательно, кривая
бг (%) для виртуального случая, совпадающая с осью абсцисс при малых %, должна
иметь подъем и соединяться с кривой а рис. 21.28 при больших энергиях (кривая б).
Подъем кривой б происходит в интервале энергий шириной Дерез = L вблизи средней
энергии %0, которая и является виртуальным уровнем. Очевидно, что плотность уров-
уровней бге (%) будет пропорциональна производной dbild% *).
3. Квантовомеханическое решение задачи. Проблема поведения атома примеси
в металле была рассмотрена другим методом в работах Костера и Слэтера [163, 164].
Клогстон и др. [165,153] показали эквивалентность методов Фриделя и Костера — Слэ-
Слэтера. В этом методе возмущенная волновая функция электрона в кристалле \р (г) ищет-
ищется в виде линейной комбинации функций Ванье [166]
Энергия S
Рис. 21.28. Сдвиг фаз 6г (%) для газа
свободных электронов как функция
анергии %: Кривая а — для связан-
связанного уровняло < 0; кривая б — для
виртуального уровня %„¦ L — шири-
ширина уровня %ь\ %~^ 0 — энергия дна
полосы проводимости (Фридель [41]).
an(r — Rj) = N
здесь tynk — блоховская функция B0.2):
п,м.
4>
nfc,
B1.11)
где п — номер энергетической полосы, Rj — радиус-вектор узла /, ип (Rj) — неизвестные
коэффициенты и энергия % кристалла с примесью ищется как решение уравнения
Шредингера
B1.12)
ty(r) = %\p (г),
где <Ш0—одноэлектронный гамильтониан невозмущенного кристалла, а &6^—оператор
энергии возмущения примесью.
Подставляя B1.11) в^B1.12) и используя ортонормировку функций Ванье
— Щ <hn {1
с = б„тб ,-
B1.13)
находим систему разностных уравнений
п, н.
B1.14)
где
Vmn(Ri, Rj)=
*) Если область, где максимум dbild% лежит в области отрицательных энергий
< ©мин = 0), то виртуальный^уровень превращается в реальный.
— 633 —

— матрица энергии возмущения, а %n(R[)— фурье-компоненты нулевой энергии
'%„ (к) (к— квазиимпульс):
%п (fe)= 2 "&п (Яг) ехр (-ЬкЩ.
Ri
Слэтер и Костер в упомянутых работах предложили решать эту систему разност-
разностных уравнений с помощью метода функций Грина [см., например, книгу Шиффа
A957), ?26 или Морса и Фешбаха A958), гл. 7]. А именно, совокупность функций Грина
уравнений B1.14) для идеального кристалла имеет вид:
Gn% (Rj--R0) = N~i 2 ехР lik (Rj- Яо)] \%т (fc)-«]-i. B1.15)
h
ибо легко показать, что
(Rl-RQ) = b (Ri — R0). B1.15a)
2
Если ограничиться приближением одной полосы и считать возмущение &Ё\ локализо-
локализованным внутри одного узла и поэтому
Vnm (R[, Rj) = V06 (Bo - Ri) б (Во — Я}),
где V0 = Vnrn(R0, Во), то уравнения B1.14) и B1.15) примут вид
2 и (Rj) % (Ri — Rj) — %u(Rl)=—u{R0) V06(Rl-R0), B1.16)
в.
г in n\ v-1 V exp[ifc(Bf —Вр)]
G% (В,-В0) = Л' 1 2j %(Н)-% • B1Л7)
к
Можно показать, разлагая ехр HkRj) по сферическим гармоникам, что сферически-
симметричное решение при % = %{к) имеет вид [если учесть B1.15а)]:
где /о — радиальная функция для 1 = 0. Другие элементарные решения для квантовых
чисел I Ф 0 остаются неизменными, поскольку /г@) = 0 при I Ф 0. Используя форму-
формулу C3.18) из книги Ландау и Лифшица A963) и асимптотическое выражение для функ-
функции B1.17), полученное Костером [164], найдем асимптотическое выражение для B1.18)
при больших Ri в виде
cos
k.Bl
где Q — атомный объем, a g (%) — плотность электронных состояний (на единицу
объема). Выражение B1.19) можно упростить. Действительно, формулу B1.17) для
Rj — Во = 0 можно записать в виде интеграла по всем состояниям в полосе
B1.20)
где I (%) — главное значение интеграла. Используя B1.20), записываем функцию
B1.19) в виде
eXPJf][] BЬ21)
где сдвиг фазы б (%) определяется выражением
Исследование выражения B1.22) позволяет выяснить природу виртуальных и связан-
связанных состояний. Представление относительно общего характера кривой / (%) можно
получить, задавшись какой-либо простой формой для кривой g {%) в полосе.
На рис. 21.29 схематически показан возможный вид типичных кривых g {%), I {%)
и б (%). При этом принято, что потенциал 7„<0и значение | Vo | достаточно велико,
чтобы прямая V~l пересекала кривую / {%) в двух точках: %0 и %^. Тогда кривая
б (%) по B1.22) будет иметь вид, показанный сплошной линией на рис. 21.29 Начиная
с левой стороны графика, б {%) возрастает, пока в точке %й не достигает значения
я/2. Затем она продолжает расти, достигая значения я и вновь уменьшается до я/2
в точке %г. Затем б (%) —>- 0. Эта кривая полностью аналогична кривой, приведенной
- 634 -

на рис. 21.28, полученной Фриделем [40—42]. Полученный ход кривой б (%) интерпре-
интерпретируется так: в области сразу справа от %0 величина б достигает значений, близких к п.
Это означает, что возмущение создает ниже этой энергии приблизительно одно состоя-
состояние, т. е. при %0, где dbjd% велико, образуется виртуальный уровень. Ширина вирту-
виртуального уровня Дерез определяется величиной плотности состояний g (%0)- Если Vo
растет, то точка пересечения %й будет
смещаться влево. Это соответствует верх-
верхней пунктирной кривой на рис. 21.29, б.
Если точка пересечения %0 окажется ниже
края полосы, то g (%0) станет очень малой,
а уровень виртуального состояния—беско-
состояния—бесконечно узким (т. е. мы будем иметь истин-
истинное связанное состояние). Наоборот, если
Vo будет уменьшаться, то виртуальное со-
состояние %0 будет смещаться в полосу впра-
вправо и его ширина будет расти. Даже если
прямая V~l вообще не будет пересекать
кривой / {%), кривая Ь{%) будет существо-
существовать (см. нижнюю штриховую кривую в
рис. 21.29, б); при этом будет происходить
накопление состояний в широком энерге-
энергетическом интервале.
Изложенные расчеты Фриделя и Слэ-
тера — Костера развили позже в своих
работах Клочстон и др., Андерсон и др.
[153, 165, 169—180].
Андерсон [169] рассматривает лока-
локализованный энергетический уровень, на-
например растворенного атома Fe, погру-
погруженного в ферми—жидкость электронов
проводимости 4й-металла или сплава. Га-
Гамильтониан задачи имеет вид
B1.23)
VI се _
i — /i ©fcrrre15
где <3?os = 2 ^капка и ^ocf = 2 ^danda — соответственно невозмущенные гамильто-
к, a da
нианы электрона проводимости и d-состояния атома примеси (оно может считаться
также вырожденным); %ка, %аа и п^, nda — соответственно энергии и числа запол-
заполнения этих электронов, к — волновой вектор, а — спиновый индекс. Для оператора
энергии отталкивания d-электронов с антипараллельными спинами Жкорр имеем
' Т
М
I/ ^
Sg S,
/Л
№)
л
я/г
о s
Рис. 21-29. Функция плотности состояний и
сдвиг фаз. а) Кривые зависимости от энергии
еплотности состояний g (%) и главного значе-
значения I (%) функции Грина, определяемой вы-
выражением B1-20); б) кривые зависимости от
энергии ^сдвига фазы, определяемого по фор-
формуле B1-22) для трех различных значений
потенциала V. Сплошная кривая 6 (%) со-
соответствует V = Vo (приведенному на графи-
графике а), верхняя пунктирная кривая для
V < Vo, нижняя — для V > Vo, когда пря-
У-1 не пересекает кривую I (%) (Клогстон
и др. [153]).
а соответствующая энергия
|2 | Фй (r2) |2
\rl 1
B1.24)
где фй (г) — собственная функция невозмущенного локализованного d-состояния,
a nd. и nd, — числа d-электронов на локальном уровне со спинами, направленными
соответственно «вверх» и «вниз» (см. гл. 20). Величина U, как мы видели, может дости-
достигать 10 эв (в то время как аналогичная энергия для электронов проводимости порядка
1 зв). Последний член в B1.23) имеет вид оператора «одноэлектронного» s — d-взаимо-
действия (отличного от рассмотренного в гл. 20)
к, а
cdocko),
B1.25)
где с* и с — операторы рождения и поглощения электрона проводимости и d-электрона
(т. е. например, пка = с%аска)- Поэтому оператор B1.25) описывает процессы перехода
электронов проводимости на d-уровни и наоборот. Этот член гамильтониана приводит
к упоминавшемуся уже выше уширению локального (виртуального) уровня в металле.
Далее Андерсон [169] в приближении Хартри — Фока с помощью метода функций
Грина находит условия возникновения локального магнитного момента примеси. Это
условие имеет вид
1
B1-26)
- 635 —

Здесь %ф — %0 — энергетическая разность между уровнем Ферми и виртуальным
уровнем. Если %0 «s %ф, то условие B1.26) принимает вид: U > я Дерез, т. е. локаль-
локальный магнитный момент возникает при условии, что электростатическое расщепление
виртуального уровня, равное величине U, больше, чем ширина этого уровня Aepe3-
Последняя тем больше, чем сильнее взаимодействие B1.25) и чем выше плотность состо-
состояний в полосе проводимости в месте, где лежит виртуальный уровень, а именно, по Ан-
Андерсону
teves = n{V%k)g{%0). B1.27)
Фактически условие B1.26) имеет весьма приближенный характер и вовсе не яв-
является достаточным. Для исследования условия появления локализованного магнит-
магнитного момента на примеси важно учесть корреляционную энергию электронов с разными
проекциями спинов на d-уровне атома примеси не в хартри-фоковском приближении
(как это было сделано в рассматриваемой теории Андерсона), а в более точном, учиты-
учитывающем так называемые корреляции электрического потенциала. Этот учет существен-
существенно изменяет критерий B1.26) и другие аналогичные критерии, основанные на прибли-
приближении Хартри — Фока. Исследованию этого вопроса посвящены работы [181—183].
Рассмотрим подробнее условие B1, 26). Величина ga (%0) имеет смысл плотно-
плотности состояний для d-электронов в окрестности резонансного уровня. Критерий B1.26)
находится в полном формальном соответствии с критерием возникновения ферромаг-
ферромагнитного состояния в зонной модели в приближении Хартри — Фока, который [см.,
например, формулу B0.12)] имеет вид
1. B1.26а)
где g (%ф) — плотность состояний электронов проводимости вблизи поверхности Ферми.
Учет корреляции приводит к изменению критерия B1.26а), который видоиз-
видоизменяется таким образом:
1, B1'266)
где С^эфф—перенормированный эффективный потенциал. В случае малой электронной
плотности, согласно Канамори [185], этот потенциал дается выражением
п U
Э*Ф—1+аС/ '
где а — положительная константа, порядка обратной величины ширины энергетиче-
энергетической полосы.
Поскольку и3фф < U, то критерий B1.266) удовлетворяется хуже, чем менее
точный критерий B1.26а). Следовательно, можно сказать, что в зонной теории ферро-
ферромагнетизма хартри-фоковское приближение переоценивает тенденцию обменного вза-
взаимодействия электронов к их спиновому упорядочению.
Аналогичное замечание можно сделать и по отношению к критерию появления
локализованного момента. Как показал расчет Шриффера и Маттиса [182], в случае
низкой электронной плотности, вместо неравенства B1.26) имеет место более жесткий
критерий
1. B1.26в)
где С^дфф = U A + bU)'1. Оказалось при этом, что константа Ь такова, что ни при
каких значениях параметра U невозможно выполнение неравенства B1.26в) в модели
Андерсона. Следует отметить, что последний критерий получен в предположении, что
состояние d-электрона в котором появляется локальный момент, не вырождено. Нали-
Наличие вырождения расширяет возможности для появления локализованного момента
на примеси.
Возможно, что с этим обстоятельством связан тот' факт, что локализованные
моменты никогда не появляются в металлах на примесях нормального металла, в кото-
котором s-состояние внешних электронов не вырождено.
Конечно, критерий B1,26в) является также приближенным и вытекает из модель-
модельной теории. Однако несомненным является тот факт, что хартри-фоковское приближе-
приближение переоценивает возможность появления локализованного момента на примеси.
Тем не менее, используя B1.26), можно легко получить качественное объяснение
части кривой рис. 21.24, а именно для N от 5 до 7 и от 8 до 9 (см. Клогстон
и др. [153]), если принять, что функция g {%) в случае 4й-металлов и сплавов имеет
вид, подобный функции, рассчитанной Штерном [400] и Вудом [401] для о. ц. к. решетки
железа. За подробностями этого объяснения отсылаем читателей к оригинальным рабо-
работам [153]. В них же дается качественное объяснение «гигантским» моментам,
наблюдаемым вблизи значений N, соответствующим Pd на кривой рис. 21.24 и 21.25.
Они связаны с эффектом поляризации соседних узлов матрицы магнитно-активным
ионом примеси (подробнее см. [153]).
Работа Вольфа [171] по своему методу отличается от работы Андерсона [169]
и ближе к первоначальным работам Фриделя [40, 41]. Вольф рассмотрел задачу рассея-
рассеяния электронов проводимости 4й-металла или сплава на возмущающем потенциале
- 636 -

единичного атома примеси, и определил максимум на кривой зависимости поперечного
сечения рассеяния от энергии эдектрона, взаимодействующего с примесью. Результаты
обоих методов (Вольфа и Андерсона) физически полностью совпадают, как это особенно
ясно показано в работах Клогстона и др. [153], а также в работе [154].
В работах Александера и Андерсона [176] и Готлиба и Суда [177] теория локали-
локализованных магнитных состояний примесных атомов обобщается на случай, когда сосед-
соседние примесные ионы испытывают прямую d — d-связь или косвенпую s — d-связь.
Ким и Нагаока [175] и Байлин [178] учли влияние обычного s — d-взаимодействия
в рассматриваемом приближении. Работу Александера и Андерсона [176] обобщил
Морийа [402] *), который рассмотрел случай взаимодействия пар атомов разного сорта,
каждый из которых обладает пятикратно вырожденными орбитами, а также учел при-
примесь ковалентной связи. Он применил это обобщение для объяснения различных магнит-
магнитных свойств переходных металлов и неразбавленных сплавов. Ему удалось объяснить,
почему пары атомов с почти наполовину заполненным Зй-слоем (Сг и Мп) дают антифер-
антиферромагнитную связь, а атомы с большим числом электронов в Зй-слое (Fe, Co и Ni)
связываются ферромагнитно. Он объяснил также правило Слэтера — Полинга для
атомных моментов сплавов.
4. Качественное описание поведения атомов магнитно-активной примеси в метал-
металлическом кристалле. С точки зрения изложенных выше теоретических соображений
относительно поведения магнитно-активных атомов примеси в кристаллической решет-
решетке металла, разбавленные системы, согласно Ломеру [187], можно условно разделить
на четыре группы:
а) Сплавы на основе немагнитной матрицы с низкой плотностью электронных
состояний у поверхности Ферми (например, сплавы на основе Си);
б) сплавы на основе растворителя с высокой плотностью электронных состояний
у поверхности Ферми (например, сплавы на основе Мп или V);
в) сплавы на основе Сг;
г) сплавы на основе ферромагнитных металлов (Fe, Co, Ni).
Мы уже видели, что в типичных сплавах группы а) (Си — Мп, Аи — Мп и т. п.)
магнитная восприимчивость следует закону Кюри — Вейсса вплоть до низких темпе-
температур. При дальнейшем охлаждении в них возникает антиферромагнитный порядок
(хотя магнитно-активные атомы примеси распределены по узлам кристаллической
решетки хаотически). Переход в это состояние происходит при температурах порядка
1—10° К. Это соответствует знечениям энергии взаимодействия пары магнитных момен-'
тов порядка 10—10~3 эв. Таким образом, при температурах выше температуры упоря-
упорядочения, согласно соотношению неопределенности энергия — время, ts.% At — %,
находим, что период «обмена» между спинами будет составлять %1А%, т. е. 1С)-11—
К)-12 сек. Поэтому выше точки Кюри локализованные моменты нельзя обнаружить
с помощью опытов, в которых наблюдаемые эффекты усредняются по большим интер-
интервалам времени. Например, невозможно обнаружить эффективные магнитные поля
на ядрах примеси с помощью эффекта Мессбауэра для радиоактивного изотопа >*7Fe
в Си, поскольку эмиссия у-кванта требует времени порядка 10~7 сек.
Близко к группе а) примыкают сплавы группы в) на основе Сг, у которого плот-
плотность электронных состояний у поверхности Ферми также мала, хотя он и антиферро-
магнитен при низких температурах. Эти сплавы теоретически исследовал Ломер [188]**
который показал, что магнитные свойства Сг—Fe и Сг—Со можно объяснить, если допу-
допустить, что атомы Fe и Со являются носителями магнитных моментов, которые очень
слабо взаимодействуют с антиферромагнитной решеткой матрицы Сг. Для температур
ниже температуры Гкр = %вз/кБ (гДе ^вз — энергия взаимодействия атомов FenC0
с электронами проводимости) магнитные моменты как и в сплаве на основе немагнит-
немагнитных металлов, будут испытывать частые столкновения с периодом, значительно мень-
меньшим длительности процессов мессбауеровского излучения при ЯМР.
В сплаве группы б) с матрицей, обладающей высокой плотностью электронных
состояний на поверхности Ферми, обычно имеют дело с типичными паулевскими пара-
парамагнетиками (см. гл. 11). В этом случае взаимодействие с электронной системой матри-
матрицы будет сильным и время жизни «локализованных» состояний оказывается меньше
ft/feB T, т. е. ширина соответствующих уровней будет больше области размытия поверх-
поверхности Ферми. Хотя такой способ рассуждения, строго говоря, неправилен (так как
при сильной связи невозможно рассматривать две подсистемы в отдельности — атом
примеси и электроны проводимости), тем не менее качественно вывод о том, что система
в целом должна вести себя как электронный газ (ферми-жидкость), вполне правдоподо-
правдоподобен. Конечно, мы при этом не можем определить, каков будет вид электронной плотно-
плотности в сплаве.
Гораздо сложнее объснить свойства сплавов группы г). Обращаем внимание
на работы Готье [191] и Чена [192], в которых исследовано увеличение остаточного
удельного сопротивления в сплавах ряда переходных элементов (от Ti до Со) в Ni,
*) См. также работу Висванатана [186], в которой рассматривается также проб-
проблема взаимодействия (динамическая корреляция электронов) локализованных момен-
моментов в разбавленных растворах.
**) По металлам группы Сг см. также работы Ломера [189] и Брандта иРайна[190].
— 637 —

Fe—Ni3, Fe—Co, Co—Ni и Nio,e Co0,4- Было обнаружено, что при переходе от Мп-
к Сг величина Ар4,2°к (остаточное электросопротивление, обусловленное примесью)
вырастает примерно на два порядка. Это связано с тем, что структура Зй-оболочки Сг
в кристаллах на основе Ni, Fe и Со резко отличается от структуры системы d-электро-
нов этих металлов.
В заключение еще раз подчеркнем важность экспериментальных и теоретических
исследований магнитных примесных состояний для всей проблемы магнитных металлов
и сплавов, поскольку изучение этой проблемы открывает большой источник полезной
информации о происхождении упорядоченных магнитных состояний электронной
системы металлического кристалла. Укажем еще работы по изучению магнитных при-
примесей [193—246].
§ 5. Теория бинарных ферромагнитных сплавов
по модели Гейзенберга
1. Вводные замечания. Остановимся на методе трактовки ферромаг-
ферромагнитных сплавов, который исходит из первоначальной модели Гейзенберга
[247] и Блоха [248] (см. гл. 19). Первая такая попытка была сделана Бпт-
тером [249], который дал квазиклассическое обобщение теории ферромаг-
ферромагнетизма на случай бинарных сплавов по схеме Изинга — Вейсса. Рудниц-
Рудницкий [250] указал на возможность построения квантовой теории ферромаг-
ферромагнетизма для бинарных сплавов путем простого введения «среднего» зна-
значения параметра обменного взаимодействия. Комар [251, 252] детально
изучил влияние концентрации и степени упорядочения атомов в кри-
кристаллической решетке па точки Кюри ферромагнитных бинарных спла-
сплавов, исходя из представлений Рудницкого о «среднем» обменном интегра-
интеграле. Вонсовский [253, 254], провел обобщение теории Гейзенберга — Блоха
на случай бинарных сплавов *). В работе Войцеховского [255] дается
обобщение результатов работ [253, 254] на случай многокомпонентных
сплавов. Ян Ши [256] произвел расчет самопроизвольной намагниченно-
намагниченности и констант магнитной анизотропии многокомпонентных ферромагнит-
ферромагнитных сплавов для температур, близких к точке Кюри, на основе схемы рас-
расчета Боголюбова — Тябликова [257] [см. также Боголюбов A949)].
Сато [258] **), а также Муто и др. [259] в ряде статей развивали пред-
представления, аналогичные работе [253]. Акулов [261] рассмотрел зависи-
зависимость самопроизвольной намагниченности и точки Кюри от состава и по-
порядка, предполагая аддитивность действий соседних атомов на данный
атом сплава. Сато и Арротт [26], Сато и др. [262] детально рассмотрели
сплавы системы Fe — А1. Вонсовский и Власов [263] учли влияние s — d-
обмена на свойства ферромагнитных сплавов. Более последовательную
статистическую теорию одновременного учета атомного и магнитного упо-
упорядочения в сплавах развили в своих работах А. А. Смирнов с сотруд-
сотрудниками [270—275]. Эту проблему также решали Белл [276, 277] и Белл
и Лэвис [278].
2. Приближение молекулярного поля. Остановимся прежде всего на
изложении результатов работ [253, 254] с учетом более поздних работ
[270—275], а затем сравним теорию с опытом.
Начнем с рассмотрения области температур, близких к точке Кюри.
В этом случае воспользуемся приближением молекулярного поля (см.
гл. 19). Ограничимся рассмотрением бинарного сплава с полным числом
атомов N, из которых Na сорта А и Nb сорта В (Na + Nb = N).
Используем формулу A9.18) для обменной энергии системы локали-
локализованных d-электронов:
= -у 2 A<*fO*o*: B1.28)
афа'
*) См. также изложение этого расчета в книге Кривоглаза и Смирнова A958),
§ 39 и Вонсовского и Шура A948), § 27.
**) Изложение основных результатов работ Сато см. также в книге Муто и Та-
каги [260].
— 638 —

Индексы а, а' пробегают номера всех N узлов кристаллической решетки.
В отличие от случая чистого металла, в сплаве интегралы Ааа', зависят
не только от номеров узлов а и а' (от расстояний между узлами), но также
и от сортов атомов, занимающих эти узлы. Поэтому сумму 2j целесооб-
разно разбить на две части, в первой из которых первый индекс относится
к узлам, занимаемым ионами А, а во второй — к узлам с ионами В. Если
законно воспользоваться тем, что интегралы Ааа> можно учитывать толь-
только для ближайших соседей (в случае короткодействующих обменных сил),
то вместо B1.28) получим
2 2
<$об- —5"[^» 2 Aaa'°aOa'±Nb 2 Ах'ОМ*'] • B1-29)
а'=1 а'--1
Здесь суммы берутся лишь по z узлам *), являющимся ближайшими сосе-
соседями узла, занятого ионом типа А (или соответственно В), но так что а'
пробегает все ближайшие соседние узлы, как у узлов А:аа', так и у узлов
Вга'Ь.
а. Случай неупорядоченных сплавов. В полностью неупорядоченном
сплаве каждый ион А имеет ближайшими соседями zNJN ионов А и
zNbIN — ионов В, а каждый ион В имеет ближайшими соседями zNJN
ионов А и zNilN — ионов В. Тогда формула B1.29) примет вид
<Шо5 - - у [z -± Aaahl + z -± Аьъа1 + 2z -^p- Aabaaabj . B1.30)
Собственное значение квадрата результирующего вектора спина всего
кристалла [см. A9.21)], если разбить сумму подобно форд1уле B1.29), равно.
B ^>J = NaOa К"Ы)+ NbOb (Оь+ 1) + ^а (Na- 1) (Оа.Оа.) +
+ Nb(Nb- 1) (аъ.аъ.) + 2NaNb{ha-hb) = а' (а' + 1), B1.31)
где а' — спиновое квантовое число всего кристалла, а аа и аь — спины
ионов сорта А и В. Собственные значения квадрата результирующего
вектора спина соответственно для узлов, занятых ионами А и В, имеют вид
2 «2
a(=a)
2 «aJ =
При этом предполагается, что магнитный момент сплава создается лока-
локализованным распределением спиновой плотности недостроенных d-слоев,
и поэтому результирующие моменты отдельных ионов с достаточным при-
приближением можно считать интегралами движения.
Сравнивая формулы B1.31), B1.32) и B1.33) и используя тот факт,
что ионные спиновые числа оа, Оъ <С °' ~ т (т — намагниченность спла-
сплава в магнетонах Бора |лБ), получаем
(аа.аъ) ~ {аа.аа.) ~ {оь.вь.) ~ ~ л; -^,
и, следовательно, из B1.30) имеем
)= —Nyz ^¦\п1Ааа-^п1Аъъ \-2папъАаЪ\, B1.34)
*) Предполагается, что для всех узлов координационное число одинаково.
— 639 —

где па = NJN, пъ = NJN (па + пъ = 1) — концентрации атомов А и
В, а г/ = to/TV — относительная намагниченность кристалла.
б. Случай упорядоченных сплавов (при заданных параметрах атомного
порядка). Если учесть ближний и дальний порядок между атомами, то
B1.34) примет иной вид [см., например, книгу Кривоглаза и Смирнова
A958)]. Ограничимся случаем бинарного сплава типа замещения, состоя-
состоящего из Na атомов А и Nb атомов В, кристаллическая решетка которого
состоит из двух типов узлов а и Ъ. Узлы а и Ъ образуют соответственно
две подрешетки; при этом iV<a> узлов первой «законны» для атомов А,
а N(b) узлов второй — для атомов В. В общем случае Na Ф iV<a> и Nb ф
Ф Nb). Относительная концентрация узлов типа a N(a>/N = 1 —
— N^/N = v в общем случае отлична от относительной концентра-
концентрации па = NJN атомов А. Обозначим через Nba), Nab\ Nlba> и Nbb) соот-
соответственно числа атомов А и В на узлах типа а и Ъ, а через
Д'(а) j\f(b)
р(а) — а (Ь) a
р() p()_5 р
априорные вероятности встретить в узлах а и fe атомы 4 и 5. Поскольку
Naa) + M? = Na, Nia) + N{bb) = Nb; N{aa) + Nba) = N(a\
Nib) + Nab) = N{hy, Na+Nb = N(a) + N(h) = N, ( ' ]
то
a I rb
Величину
„(a) „ „(Ь)_и
будем называть степенью дальнего порядка. Она равна нулю для полно-
полностью неупорядоченного сплава любого состава, ибо в этом случае pta> =
= па. При полном порядке и стехиометрическом составе (v = па = 1 —
— пъ) имеем ц = 1, так как раа) = 1, раЪ) = 0. Для нестихиометриче-
ского состава при na^Cv имеем Т1макс = njv, а соответственно при
па > v Т1макс = A — na)l(l — v). Из B1.36) и B1.38) следует, что вероят-
вероятности B1.35) можно выразить через концентрации па, v и степень даль-
дальнего порядка т]; действительно,
p(a) = na + (l — v)ti; paa) = l—reo —(I—v)T) = reb —(I —v)t);
Далее нужно ввестиЛеще степень ближнего порядка, которая характери-
характеризует среднее число атомов разного типа, окружающих атом данного сорта.
Степень ближнего порядка определяется не по отношению к разным ти-
типам узлов решетки, а по отношению к атомам разного типа. В общем слу-
случае ближний порядок можно описывать так называемыми параметрами
корреляции для различных координационных сфер (узлов, ближайших
к данному узлу, узлов, следующих за ближайшими, и т. д.). В случае
бинарного сплава эти параметры имеют вид
здесь pi" * (рй) — вероятность того, что узел типа I (а или Ь) занят атомом
А, а узел типа V (а или Ъ), находящийся от узла I на расстоянии рй (к —
— номер координационной сферы), занят атомом В. В частном случае
неупорядоченных сплавов, когда р<?) = па и р^'~> = пь, параметры
— 640 —

корреляции не зависят от типа узлов In V и B1.40) принимает более про-
простой вид
eab(pk) = Pab(pk) — папь; B1.41)
в этом случае иногда вводят еще один параметр корреляции
В случае упорядочивающихся бинарных сплавов, исходя из формулы
B1.28) мы приходим не к формуле B1.30), а к более общему соотношению
(Звов) = — (NaaAaa + NbbAbb + NabAab) -у2, B1.42)
где Naa, Nbb и Nab — числа пар атомов АА, ВВ и АВ в кристалле в при-
приближении ближайших соседей (pj). Общее число ближайших пар для
атомов А равно zNa; если из него вычесть число пар Nab различных
атомов, то получим число пар Naa, т. е.
Naa = \{zNa — Nab) B1.43)
и аналогично
Nbb = ^{zNb — Nab). B1.44)
Подставляя B1.43) и B1.44) в B1.42), находим
>= -^[z(NaAaa + NbAbb) + NabBAab-Aaa-Abb)}-y2. B1.45)
Выразим теперь Na, Nb и Nab через концентрации па, пь, степень даль-
дальнего порядка г] и параметры корреляции еаТ\ eit,b) и г(аЬ*\
Введем теперь величины #(аа) (числа пар соседних узлов сорта А)
и N (сорта В) и iV(a (числа пар соседних узлов сорта А и В), а также
Nai?\ N^ и N(abb) (числа таких пар, в которых один узел занят атомом А,
а другой — атомом В). Тогда для Nab получим
1V аЬ = 1V ab -Т^аЬ ~Г ^ аЪ — ЬГ1 fab + оГЧ раЬ -\- IX (раЬ -\- рпЬ ).
B1.46)
Используя формулы B1.40) и принимая во внимание, что
где zaa и zab — числа узлов А и В, соседних с узлом А, находим вместо B1.46)
Nab == zaaN(a) {р(аа)р{ъа) + еЙа)) + zbb (N -N(a>) (Pab>p(bb> - еТ) +
+ zabN^ (paa)p™ + e<?> + ррр!?> + е№). B1.48)
Поскольку N{aa)-\-N(ab)-\-N{bb) = zN/2 — общее число соседей, то в силу
B1.47) имеем
ZaaV + zbb(l—v) + 2zabv=z. B1.49)
Используя далее B1.39) для априорных вероятностей и учитывая равен-
равенство B1.49) и очевидное соотношение z — zaa-\-zab, получаем для B1.45)
окончательно
{z (naAaa + пьАьъ) +
+ [znanb + v A - v) (z - zaa - zbb) г]2 + 2vzab8^b) +
Sa) Sb) [2Aab-Aaa-Abb]}. B1.50)
с. В. Вонсовский — 641 —

Легко видеть, что в неупорядоченном сплаве без учета ближнего порядка,,
когда г] = 6^6= 0, формула B1.50) переходит в полученное ранее выра-
выражение B1.34).
Степень дальнего порядка г\ и параметры корреляции могут быть
приближенно определены из условий квазихимического равновесия для
чисел различных типов соседств в сплаве или каким-либо более строгим
путем. Они являются довольно сложными функциями температуры, кон-
концентрации и дальнего порядка в сплаве.
Используя любой из известных способов вычисления фазовой суммы
(гл. 19), можно определить в приближении Гейзенберга зависимость само-
самопроизвольной намагниченности от температуры, концентрации и степени
ближнего порядка сплава *). В результате получаем
Is = N\L th L' {z (паАаа + nbAbb) -х-
[Znallb + V A — V) (z — Zaa — Zbb) if + 2vZab^abb) +
ia) ibb) [2Aab-Aaa-Abb]}, B1.51a)
где (д. — средний магнитный момент на атом сплава. В случае полного-
беспорядка B1.51а) при любом составе принимает вид
- ЛГ(Г th _5 (п2аАаа + n%Abb + 2папьАаЬ). B1.516)
Из сравнения B1.516) с аналогичным выражением A8.5) для чистого
металла явствует, что вид температурной зависимости самопроизвольной
намагниченности не меняется при переходе от чистого металла к однород-
однородно неупорядоченному бинарному сплаву, и все различие сводится к иному
выражению для точек Кюри (в зависимости от обменных интегралов
и концентрации сплава), а также к иным значениям атомных магнитных
моментов.
Наиболее интересным выводом из формул B1.51а) и B1.516) является
зависимость точек Кюри в от состава сплава. В частности, для полностью
неупорядоченного бинарного сплава (при любом составе) имеем
B1.52а>
или в силу очевидного соотношения ?га-|-?гь=1
/н) _— \А 2(А А и\Tih | (у4 | Лии 2у4 ^Л ?27?1 B1 5?бY*
т. е. зависимость вну от концентрации имеет квадратичный вид.
в. Последовательное решение задач атомного и, магнитного порядка в сплаве
Только что указывалось, что главным недостатком полученных формул B1.51а)
и B1.516) является то, что в них параметры порядка не вычисляются, а задаются
заранее.
Последовательное решение статистической задачи, в котором процессы упорядо-
упорядочения атомов и спинов рассматриваются совместно, было впервые дано в работе Дани-
ленко и Смирнова [270] и далее развито в работах [271—276]. Это рассмотрение, как
и в работах [253, 254], ведется на основе модели локализованных атомных магнитных
моментов ферромагнетика, а расчет атомного упорядочения производится в приближе-
приближении Горского — Брэгга — Вильямса [см. [279, 280], а также Кривоглаза и Смирнова
A958)], не учитывающем корреляцию в расположении атомов и магнитных моментов
на узлах решетки. Предполагается, что сплавы образуют непрерывный ряд твердых
растворов с идеальной решеткой, постоянные которой не меняются с температурой
и составом сплава. Вычисления ведутся с применением метода многомерной дифферен-
дифференциальной геометрии [281].
*) Такой подход не является, однако, достаточно полным (см. [251, 253, 254]),
поскольку значения параметров порядка не определяются из самой теории, а задаются
заранее. При этом, естественно, не учитывается влияние магнитного порядка на про-
процесс упорядочивания атомов, т. е. взаимосвязь этих явлений (см. ниже п. в).
- 642 -

В качестве примера рассмотрим случай упорядочения ферро- и антиферромагнит-
ного бинарного сплава из двух ферромагнитных компонент с одинаковыми магнитными
моментами ионов с о. ц. к. решеткой типа р-латуни в приближении ближайших сосе-
соседей. Введем новые обозначения для магнитной подрешетки сплава: rt — число ионов
с «правыми», a 2j-= N/2 — rj, с «левыми» магнитными моментами в атомах первой
магнитной подрешетки, г2 и 12 = N12 — г2 — соответствующие числа во второй подре-
шетке. Предполагается, что вероятности замещения атомами с нескомпенсированной
оболочкой с «правым» и «левым» моментом узлов первой и второй подрешеток не зави-
зависят от сорта атомов, занимающих эти узлы. Конфигурационная свободная энергия Т
сплава берется в виде суммы двух слагаемых Т4 и Т2:
где %i — энергия взаимодействия атомов (без учета обменной связи), %г — энергия
обменной связи B1.34), B1.45) или B1.50),
D)' D)'
W, — —v ' ' ' —_ B1 54V
— число различных перестановок атомов на узлах решетки и
B1.55)
—число различных перестановок магнитных моментов. Используя B1.35) и B1.38)'
и формулу A6.7) из книги Кривоглаза и Смирнова A958), получаем
(+т) 1п ("ь + у) + ("ь-у) In ("ь—|)] B1-56)
где
w = 2VAB—VAA — VBB B1.57)
— энергия упорядочения, a VAA, VBB и VAB—взятые со знаком минус энергии
взаимодействия ближайших атомов АА, ВВ и АВ.
Введем относительные намагниченности подрешеток:
'("-т) 'Ь-4)
^1 = л , <т2 = _ L, B1.58)
а также априорные вероятности замещения узлов первого и 'второго типов ионами
с «правым» и «левым» моментом:
^) = 2^, ^> = 2^., Иа> = 2А, p{»=2-J., B1.59)
,(<•>+,(<•> = 1, р(Ь)+/,(ь) = 1.
Из B1.58) и B1.59) находим
^а)=у+^, 4Ь)=Т+ст2, ^°> = i—olt /f» = i—o-2. B1.60)
Из B1.34) с помощью B1.60), по аналогии с B1.50), при v = l/2, e*"''=0,
zoo=zab = 0 получаем
g2=— Nz (a0 -fi. aTJj CTl<T2) B1.61)
где
B1.62а )
а=2АаЬ — Ааа — Аьь- ¦ B1.626)
— 643 — 41*

Энтропийное слагаемое в У2 находим из B1.55), применяя формулу Стирлинга (гл. 18):
+ (т~02Iп (т^02)]- B1-63)
Введем новые переменные
z=417 y = 2oi4 ? = 2ст2, « = -g^r. B1.64)
Тогда из B1.53), B1.56) и B1.63), приравняв нулю производные дЧ/д?„ дЧ/дхп
находим уравнения равновесия
B1.65)
gi;r(;ig-^-^^=°' i
Из двух последних уравнений системы B1.65) следует, что ? = ± J/. Знак плюс соот-
соответствует ферромагнетизму D0 -f- ая2 > 0), а знак минус — антиферромагнетизму
(Ао -\- ах2 < 0). Поэтому исследование формулы B1.65) для ферро- и антиферромаг-
антиферромагнетиков можно проводить независимо. Для этих случаев вместо B1.65) будем иметь
2 « * =
-(»a-x)(»b-^ |(g = y)> B1.66)
j«c+>=ln
(«a+^)(«
3 \6w-f-ay-) x(. = u, |
B1.67)
х(~> = In ii^- + (Ао + ах*) yt = O
Уравнения B1.65) или B1.66) и B1.67) образуют сложную систему трансцендентных
уравнений, не позволяющую найти явное аналитическое выражение равновесных
функций т) (Г) ист (Г). Поэтому приходится ограничиться качественным исследованием
решений уравнений B1.65). Дело в том, что эти уравнения определяют кривую равно-
равновесия в пространстве параметров х, у, ? и t. При температурах фазовых переходов или
вблизи них на кривой равновесия появляются особые точки ветвления *). Пользуясь
методами дифференциальной геометрии можног найти ход и форму кривой именно вблизи
точек ветвления. Если выбрать в качестве параметра длину дуги кривой равновесия s
[для систем B1.66) или B1.67)], отсчитываемую от начала координат, то ее уравнение
в параметрической форме будет: х = х (s), у = у (s), t = t (s). Составляющие единич-
единичных векторов касательной и нормали в каждой точке кривой будут равны соответ-
соответственно
х, 'у, t и *(У2+У2+*?2)-1, У^г+Й+'^Г1, Ш + уЬ + 'Ф)-1,
где точкой обозначено дифференцирование по s. Составляющие вектора касательной
определяются из системы уравнений
ф(±)ж_}_фа(±)^_[_ф(±); = 0, у.(х±)'х + х(у±'>у + х<±Ч=0; х2 + »2 + ?*2 = 1. B1.68)
где индексы у ф'*' и tc^' означают дифференцирование по соответствующей переменной.
Уравнениям B1.66) и B1.67) удовлетворяют значения х .= у = t = 0. Физически это
означает, что при Т -*¦ оо порядок и намагниченность в сплаве отсутствуют. И при
t Ф 0 имеем решение с х = у = 0, т. е. неупорядоченное размагниченное состояние.
Оно будет единственным, пока на оси t не обратятся в нуль производные
*) См., например, книгу Маделунга A960), стр. 102, 106.
— 644 —

Из первого условия B1.69) находим г = ^пор = (
B1.70)
а из второго условия B1.69) t = tfагн = ± 2/А0 или
Т = умагн = ч-
2кг:
B1.71)
где Т\пор — температура фазового перехода порядок — беспорядок (точка Курнако-
ва) *) в ненамагниченном состоянии сплава, а умагн — точка Кюри (А 0 > 0) или Нееля
(А о < 0) неупорядоченного сплава. В обоих случаях особая точка (точка At
на рис. 21.30) соответствует ветвлению кривой равновесия. Одна ветвь — это продол-
продолжение оси t, а вторая лежит в плоскости у = 0. В зависимости от соотношения
параметров w из B1.57) и Ао B1.62а) и состава сплава (па и пъ) возможны два случая,
Рис. 21.30. Схематический
вид кривых равновесия, оп-
определяемых уравнениями
B1.66) и B1.67) для случая,
когда упорядочение появля-
появляется при более высоких тем-
температурах (точка А,), чем
намагниченность (точка А2)
(Даниленко и Смирнов
[270]).
'У
Рис. 21.31. Схематический
вид кривых равновесия оп-
определяемых уравнениями
B1.66) и B1.67), когда на-
намагниченность устанавлива-
устанавливается при более высоких тем-
температурах (точка Bi), чем
упорядочение (точка В2)
(Даниленко и Смирнов
[270]).
отличающиеся тем, в каком порядке при охлаждении сплава происходит магнитный
и структурный фазовый переход. Если выполняется неравенство
2nanbw>±A0, B1.72)
то сначала при уУпор [см. B1.70)] происходит фазовый переход второго рода в упо-
упорядоченное состояние парамагнитного сплава. При более низкой температуре (точка А2
на рис. 21.30)
у>магн
B1.73)
или вблизи нее происходит соответственно фазовый переход второго или первого рода
в ферро- или антиферромагнитное состояние. Значение параметра х = х при темпера-
температуре у^™ из B1.73) (в точке А2 на рис. 21.30), как показано в работе Даниленко и
Смирнова [270], определяется из первых уравнений B1.66) и B1.67), когда у = 0.
При выполнении неравенства
2nanbw<±A0 B1.74)
при охлаждении сплава сначала появляеася магнитное упорядочение (ферро- или анти-
антиферромагнитное) при температуре умагн [см. B1.71) и точку Bt на рис. 21.31] в неупо-
неупорядоченном сплаве. Только при более нпзкой температуре (точка В2 на рис. 21.31)
уупор
2АС
B1.75)
или вблизи нее происходит соответственно фазовый переход второго или первого рода
в упорядоченное состояние. Значение параметра у = у при температуре B1.75) (точ-
(точка В2 на рис. 21.31) определяется из вторых уравнений B1.66) и B1.67) (при х — 0).
Исследования свободной энергии ? из B1.53) на минимум (Ряздвинецкий [275])
показало, что на отрезках кривой равновесия А^Аг (рис. B1.30) и BJS2 (рис. 21.31),
*) См. работы Курнакова и др. [282].
- 645 —

а также на ветвлениях, выходящих из точек А2и В2, функция ? минимальна, если вет-
ветвление кривой равновесия соответствует фазовым переходам второго рода. Для пере-
переходов первого рода в окрестностях точек А2 и В2 функция ? не минимальна, она ста-
становится минимальной на некотором удалении от точек Az и В2 вдоль этих ветвлений.
Наличие ^формуле B1.73) слагаемого +2AeoS2, а в формуле B1.75) слагаемого
±(г/2Ав) папъау2 и указывает на упоминавшуюся выше взаимосвязь между структурны-
структурными и магнитными превращениями в сплавах. Отсюда видна существенная роль
параметра а в этой взаимосвязи. Последняя отсутствует при а = 0. При а > 0 упоря-
упорядочение атомов повышает точку Кюри, т. е. способствует ферромагнитному порядку и
понижает точку Нееля, т. е. препятствует антиферромагнитному порядку. Самопроиз-
Самопроизвольная намагниченность при а > 0 повышает точку Курнакова, т. е. способствует
атомному порядку, а антиферромагнитное упорядочение, наоборот, понижает эту
a>0
a<0
п„
Рис. 21.33. Диаграммы состояний
ферро- и антиферромагнитных упо-
упорядочивающихся сплавов, постро-
построенных для случая Аъъ = —Ааа =
= А > 0, АаЪ = —А/2, а =— А < 0
и w = kA. Обозначения те же,
что и на рис. 21.32. В отличие от
случая а > 0, упорядочение пони-
понижает точки Кюри и повышает точ-
точки Нееля (сравнить положение
штриховых кривых 2 и 3 по отно-
отношению к кривым 4 и 5 на рис.
21-3 2 и 21.33) (Даниленко и др.
[272]).
Рис. 21.3 2. Диаграммы состояний
ферро- и антиферромагнитных упо-
упорядочивающихся сплавов построен-
построенные для случая: Аъъ = —Ааа =
= А > 0, АаЪ = А/2, а = А > О,
w = kA (Даниленко и др. [272]).
По оси ординат отложена темпера-
температура в относительных единицах
Г/(гУп°Р)Макс, где(ГУпор)макс _
максимальное значение точек Кур-
Курнакова при па = nij = 1/2 [см.
формулу B1.70)]. По оси абсцисс
отложена концентрация па- Штри-
Штриховые участки фазовых кривых
соответствуют случаю а. = 0, а
сплошные — а ф 0. Кривые 1, 6 и
7 — линии точек Курнакова; кри-
кривые 2,4 — линии точек Кюри, а
S, а — точек Нееля.
точку, т. е. препятствует атомному порядку. При а < 0 имеется обратная взаимосвязь
процессов'магнитного и атомного упорядочения. Из B1.75) следует также, что даже
в сплавах с отрицательной энергией упорядочения (w < 0) при появлении самопроиз-
самопроизвольной намагниченности могут создаться условия, когда 2w ^к чу2 >0. Это означает,
что магнитный порядок может и при w < 0 инициировать атомное упорядочение
в сплаве (при определенной величине и знаке параметра а).
Величины А0, х и у~ зависят от состава сплава, и температуры умагн из B1.73)
при определенных концентрациях могут обращаться в нуль. Таким образом, при таком
составе, когда Ао -\- ах2 = 0 сплав переходит из ферро- в антиферромагнитное состоя-.
ние (или наоборот). Точно так же из формулы B1.75) для температуры уУц°Р следует,
что при составе, соответствующем 2w ± ау2 = 0, упорядоченные сплавы благодаря
наличию магнитного порядка переходят в неупорядоченное состояние.
Используя формулы B1.70), B1.71), B1.73), B1.75) и уравнения для определения
х и у, можно построить диаграммы состояний сплавов в случае фазовых переходов
второго рода (или выяснить их приближенный вид для переходов первого рода). Вид
этих диаграмм существенно зависит от параметра а из B1.626). Из B1.62а) имеем,
что Л о = паАаа + щАьь + апапъ. Поэтому при а = 0, т. е. когда нет взаимодей-
взаимодействия между процессами атомного и магнитного .упорядочения, линии магнитного
превращения на диаграмме состояния являются прямыми [см. формулы B1.71)
и B1.73) при а = 0], а линии атомного упорядочения — параболами, симметрич-
симметричными относительно прямой па = 1/2 [см. формулы B1.70) и B1.75)]. Если а =/= 0,
то диаграммы состояний (кроме кривой для уУпор) имеют более сложный вид. На
рис. 21.32, 21.33 в качестве примера приведены диаграммы состояний с произвольно
выбранными параметрами Аьь — —Ааа = Л > 0, а = ^ьА и w = 4А. Кривая 1
на этих рисунках — линия превращения порядок — беспорядок в ненамагниченном
состоянии. Штрихами показан участок этой кривой для ферромагнитных сплавов,
- 646 -

у
У
у
1
1
1
к
У
• у
У
у .
i
_j
i
i .
—да
1
1
г
1
- -Аг
»
у
У
• /
г 93
Рис. 21.34. Решетка типа Fe3Al, имеющая
о.ц.к. структуру. 1,2, 3 — узлы соответ-
соответственно первого, второго и третьего типов.
но при условии, что намагниченность не влияет на атомный порядок (а = 0). Кри-
Кривые 2 и 3 — это линии магнитных превращений в неупорядоченном состоянии. Штри-
Штриховые участки кривых 2 и 3 соответствуют случаю, когда сплав, закалкой от темпе-
температур Т > уУп0Р приведен в неравновеспое неупорядоченное состояние. Точка па1
соответствует концентрации компоненты А, меньше которой сплавы в неупорядочен-
неупорядоченном состоянии ферромагпитны, а больше которой они антиферромагпитны. При упо-
упорядочении точки Кюри повышаются (кривая 4), а точки Нееля понижаются (кри-
(кривая 5). Концентрация па^ разделяет области составов, соответствующие упорядо-
упорядоченным ферро- и антиферромагнитным сплавам. Намагниченность ферромагнетика
повышает точки Курнакова (кривая б), а ан-
антиферромагнитный порядок их понижает (кри-
(кривая 7). Подобные диаграммы можно постро-
построить для случая w > 0 и а < 0 или w < 0
it а 5 0 (см. Даниленко и др. [272]).
Аналогичные исследования взаимосвязи
процессов магнитного и структурного упо-
упорядочения были проведены для сплавов с
г. ц. к. решеткой типа Cu3Au (см. Данилен-
Даниленко и др. [271]), с гекс. п. у. решеткой (Рязд-
винецкий [274]), а также для бинарных спла-
сплавов с решеткой типа Fe3Al, в которых один из
металлов является непереходным [273, 275].
В этом случае при расчетах учитывалось вза-
взаимодействие атомов в двух первых координа-
координационных сферах кристаллической решетки с
тремя типами узлов. На рис. 21.34 изобра-
изображена элементарная ячейка о. ц. к. решетки
этого сплава с указанием трех типов узлов.
Оказалось, что взаимодействие атомов в пер-
тюй и второй координационной сферах по-
разпому влияет на температуру фазовых
переходов. Кроме того, учитывается возможность двух сверхструктур — по типу
Р-латуни и по типу NaCl.
Этот тип сплавов (система Fe — А1) детально исследовался в теоретической
работе Сато и Арротта [26]. В этой работе предполагается, что в сплаве существуют
два типа взаимодействия: прямая обменная ферромагнитная связь между ближай-
ближайшими соседями Fe — Fe и косвенная антиферромагнитная связь между ионами Fe
в парах, разделенных ионом алюминия Fe — Al — Fe. За подробностями отсылаем
читателя к оригинальным работам [273, 275, 26]. Этот же тип бинарных сплавов
с одной магнитной компонентой, по схеме, близкой к изложенной выше, был рассмот-
рассмотрен в работе Белла и Лэвиса [278].
3. Сравнение с опытом. При сравнении полученных теоретических
результатов с опытом необходимо помнить о принятых упрощающих пред-
предположениях. Во-первых, всюду предполагалось, что тип кристаллической
решетки и ее постоянные не зависят от состава сплава, степени атомного
порядка и от температуры. Во-вторых, предполагалось, что в силу ука-
указанных ограничений не зависит от состава и степени упорядочения
сплава энергия взаимодействия атомов B1.57) и обменные параметры
в B1.62а) и B1.626). Далее, в общей статистической теории не учитывают-
учитываются также параметры корреляции в расположении атомов и спинов [в фор-
формуле B1.50) они учитываются]. При столь грубых аппроксимациях мож-
можно надеяться лишь на качественное согласие теории и опыта.
Как мы уже видели, в развитой теории основную роль играет пара-
параметр а из формулы B1.626), определяемый соотношением величин и зна-
знаков обменных параметров Ааа, Аьь и Ааь. Поэтому следует прежде всего
по известным из опыта точкам Кюри и Нееля для чистых компонент спла-
сплавов и для самих сплавов вычислить параметры обменной связи, приняв,
что они не зависят от состава и степени дальнего порядка (и корреляций)
в сплаве. А затем определить величину и знак параметра а. Знак а мож-
можно сразу же определить из вида опытной кривой зависимости точек Кюри
и Нееля от состава сплава. Если, например, для ферромагнитных спла-
сплавов в неупорядоченном состоянии эта кривая обращена выпуклостью от
¦оси абсцисс, то а > 0, т. е. при упорядочении точка Кюри таких сплавов
растет. Если же эта кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс, то а < 0
и упорядочение в этом случае снижает точки Кюри.
— 647 —

800
Рассмотрим, например, ферромагнитные сплавы Fe — Ni, имеющие
в у-фазе г. ц. к. решетку типа Cu3Au. Зависимость точек Кюри этих спла-
сплавов от их состава по опытным данным показана на рис. 21.35. [Хансен и
Андерко A962).] Интеграл y4N;_Ni определяем по формуле B1.52а) при
Па = TlNi = 1 (пь = TlFe = 0):
л Б г\ Б СОЛ
¦^Ni—Ni — ^-^Ni —— ~^—— ОО \..
z z
Далее воспользуемся тем, что для сплавов Fe — Ni с атомными концен-
концентрациями Ni в 42% и 58% точки Кюри равны соответственно 673° К и
873° К, с помощью формулы, аналогичной
B1.71) для о. ц. к. решеток, которая для
случая г. ц. к. решетки также имеет вид
Г™агн = -gf— (nlAaa ~ п%Аъъ + 2папьАаЬ),
B1.76)
т. е. совпадает с формулой B1.52а), и под-
подставляя в нее найденное значение Лщ-ш и
опытные значения точек Кюри, получаем
два уравнения, из которых находим
обменные параметры: ^Fe-Fe=—2/гБ618,7/г
(отсюда видно, что в ^-фазе спины атомов Fe
ближайших соседей взаимодействуют анти-
ферромагнитно) и yiNi-Fe = 2&b734,6/z. Та-
Таким образом, а = 2k^219/z > 0. Зная чис-
численные значения обменных параметров, лег-
легко построить по формуле B1.76) теорети-
теоретическую кривую зависимости точек Кюри
от концентраций (см. сплошную кривую на рис. 21.35) для неупоря-
неупорядоченных сплавов; видно, что экспериментальные точки хорошо ложатся
на теоретическую кривую. Штриховые кривые на рис. 21.35 определяют
зависимость точек Курнакова от состава в намагниченном состоянии.
Поскольку в данной системе сплавов а > 0, то из теории следует, что кри-
кривая этих точек при наличии самопроизвольной намагниченности должна
несколько сместиться вверх по сравнению с аналогичной кривой для пара-
парамагнитных сплавов. Для этих сплавов заданного состава смещение можно
оценить, используя формулы
гоо
1
у
/
/
/
*"* 4
'Г
Fe-Ni
'\
\
60 80 100
Содержание \{\,ат.%
Рис. 21-35. Зависимость точки Кю-
Кюри неупорядоченных сплавов си-
системы Fe—Ni от концентрации Ni.
Сплошная кривая—теоретическая;
черными кружками показаны экс-
экспериментальные точки; штриховые
кривые получены эксперименталь-
экспериментально для точек перехода порядок —
беспорядок.
~
и уравнение равновесия
In
аналогичное третьему уравнению B1.65) для сплавов с о. ц. к. решеткой
(см. Даниленко и др. [271]). Для сплава, содержащего Ni с концентрацией
в 75 ат. %, это смещение составляет около 10%. К сожалению, опытных
данных, дающих такое смещение, нет.
На рис. 21.36 и 21.37 приведены теоретические кривые и эксперимен-
экспериментальные данные для точек Кюри ферромагнитных неупорядоченных спла-
сплавов систем Со — Pd и Со — Ni. Обменные параметры, вычисленные
по опытным данным [Хансен и Андерко A962)] и теоретическим формулам,
соответственно равны
2АБ631
z '
Ара—pd —
2fcE246
2АБ55
z '
^Со—Pd —
2АБ1400
o—Ni
2AB488
648 -

В системе Со — Ni вблизи состава CoNi3 существует упорядоченная фаза..
Так как для сплавов этой системы а > 0, то можно ожидать, что атомное-
упорядочение будет повышать точки Кюри в этих сплавах по сравнению»
с их значениями в неупорядоченном состоянии.
в, °с
1200
>
\
\
|
Co-Pd
\
\
\
4оо
" 20 40 60 80 100
Концентрация Pd, am. %
Рис. 21.36. Зависимость точки Кю-
Кюри 0 неупорядоченных сплавов
Со — Pd от концентрации pd.
Сплошная кривая—теоретическая.
Экспериментальные данные пока-
показаны черными кружками.
в,'С
1200
1000
800
600
WO
гоо\—
-4—
ч
(#№
X
4,
ч
X
20 40 60 80 100
Концентрация К\,/гт:'/.
Рис. 21.37. Зависимость точки Кю-
Кюри в неупорядоченных сплавов
Со — Ni от концентрации Ni.
Сплошная кривая—теорепическая.
Экспериментальные данные пока-
показаны черными кружками.
На рис. 21.38 приведены аналогичные графики с экспериментальны-
экспериментальными данными для неупорядоченных сплавов систем Ni — Rh [283] и Ni —
Pd [Хансен и Андерко A962)].
Влияние атомного упорядочения на точки Кюри при больших по абсо-
абсолютной величине значениях а, можно рассмотреть на сплавах Fe — Pt.
в,'С
600
400
200
\
*¦ х
р
V
.Ni-
L
\
Rh
Ni
<
-Pd
:
о
* (
N.
^*
!
Ъ '
J 20 40 60 80
Концентрация Rh г/ Pd, am. °/.
Рис. 21-38. Зависимость точки Кюри в
неупорядоченных сплавов Ni — Rh и Ni—
Pd от концентрации Rh и соответст-
соответственно Pd. Сплошные кривые — теорети-
теоретические. 1 и 2 — экспериментальные дан-
данные соответственно для N1—Rh и Ni—Pd.
100
в,'С
ЙПП
600
400
гоо
г.
/
/
о
? /
/
/
/¦ <;
>
У
j
ч,
< \
Fe-Pt
\
и го 40 во во юо>
Концентрация Pt, am. /.
Рис. 21-39. Зависимость точки Кюри в
сплавов Fe — Pt от концентрации Pt. 1 —
неупорядоченные сплавы; г — упорядо-
упорядоченные сплавы. Сплошная и пунктирная
кривые — теоретические. Крестиками и
кружками показаны экспериментальные
данные.
Для этой системы с г. ц. к. решеткой можно показать, что
e-Fe ==
Fe-Pt —
2АБ619
Pt-Pt-
06 = 4254 —>0.
Z
Поэтому, согласно теории, атомный порядок должен повышать точку
Кюри. На рис. 21.39 приведена теоретическая кривая (штрихами) дл»
-/649 -

зависимости точек Кюри в неупорядоченном состоянии, вычисленная по фор-
формуле B1.76). Кривую точек Кюри для упорядоченных сплавов можно рас-
рассчитывать, используя формулу B1.73), где х находим из уравнения, ана-
аналогичного B1.66) [см. уравнение C0) в работе Даниленко и др. [271]],
а также учитывая, что w = 896. Рассчитанная таким образом кривая
изображена на рис. 21.39 (сплошная линия). Экспериментальные данные
для этой системы сплавов взяты из книги Хансена и Андерко A962).
Согласие теории и опыта вполне удовлетворительное. Некоторое смещение
теоретической кривой вверх относительно опытных точек для упорядо-
упорядоченных сплавов можно объяснить медленностью процессов диффузии.
В результате этого максимальное упорядочение атомов, возможное при
данной температуре (а именно это предположение и используется в теоре-
теоретических формулах), фактически не успевает установиться.
В системе сплавов Ni — Pt параметры
4Ш—Ni = ¦
2АБ-631
2АБ-367,5
2кв-136,5
а параметр а = 27&b/z > 0 сравнительно мал. Поэтому в этих сплавах
•следует ожидать, что повышение точки Кюри при упорядочении будет
незначительным. На рис. 21.40 сплошная прямая соответствует точкам
в,-с
600 ->
400
200
\
\
,2
ч
\
Ni-Pt
800
600
400
200
0 20 W 60 80
Концентрация Pt, am.'/.
.Рис. 21.40, Зависимость точки Кюри 0
сплавов Ni — Pt от концентрации Pt. 1—
неупорядоченные сплавы; 2—упорядочен-
2—упорядоченные сплавы. Сплошная и штрих-пунктир-
штрих-пунктирная прямые—теоретические. Кружками и
крестиками показаны экспериментальные
данные.
ч
ч
\
\
\
\
Fe-Cr
\
\
/
20 JO 60 80
Концентрация Сг, ат. %
100
Рис. 21.41. Зависимость!—точки Кюри (слева)
иг — точки Нееля (справа) сплавов системы
Fe — Cr в неравновесной а-фазе от концентра-
концентрации Сг. Точками показаны экспериментальные
данные.
Кюри для неупорядоченных сплавов. Учитывая, что w = 1032&Б *),
можно построить теоретическую кривую для точек Кюри в упорядоченном
состоянии (штрих-пунктирная линия на рис. 21.40). Экспериментальные
точки лежат несколько выше этой прямой.
Зависимость точек Кюри и Нееля от состава сплавов со структурой
типа р-латуни можно проиллюстрировать на системе сплавов Fe — Сг
в неупорядоченной а-фазе. В области концентраций от 0 до 80 ат. % Сг
эти сплавы обладают ферромагнитными свойствами [см. Хансен и Андер-
Андерко A962), Бозорт A956)]. При составах от 80 до 100 ат. % Сг эти сплавы
¦антиферромагнитны [284]. Используя опытные данные и формулы B1.71),
можно рассчитать концентрационную зависимость точек Кюри и Нееля
(см. рис. 21.41). Экспериментальная линия точек Кюри [Хансен и Андерко
A962), Бозорт A956)] изображена штрихами; показаны также экспери-
*) Этот параметр определяется по точке Курнакова для сплава стехиометриче-
«кого состава Pt Ni.
- 650

ментальные данные для точек Нееля 1285]. Кривые на рис. 21.41 очень
похожи на приведенные ранее на рис. 21.32 и 21.33 чисто иллюстративные
кривые для неупорядоченных сплавов этого типа.
Хотя приведенное выше сравнение теории с опытом из-за грубых
приближений носит в достаточной мере условный характер, оно все же
показывает качественное согласие между теорией и экспериментом, кото-
которое наиболее точно в случае неупорядоченных сплавов. В случае упорядо-
упорядоченных сплавов совпадение хуже, что может быть обусловлено неполным
упорядочением и выделением добавочных фаз, а также, по-видимому,
.зависимостью самих обменных интегралов от степени порядка.
Нужно заметить еще, что все полученные выше формулы справедли-
справедливы, вообще говоря, только при условии законности усреднения суммы об-
обменных интегралов в B1.29) по всем узлам кристаллической решетки.
Ян Ши [256] показал, что если не делать такого усреднения, то для само-
самопроизвольной намагниченности бинарного сплава получается выражение,
отличное от B1.51) или B1.52). Оно имеет вид
где ка и Яь — величины, сложным образом зависящие от суммы парамет-
параметров обмена 2 ^сга'> Таким образом, кривая Is (T) для сплава в общем
а,а'
случае складывается из двух кривых, соответствующих, вообще говоря,
разным точкам Кюри. Поэтому в некоторых случаях можно ожидать, что
между этими «парциальными» точками Кюри на кривой /s (T) существует
некоторое «плато». Однако, как отмечается в работе [256], картина значи-
значительно усложняется из-за того, что точка Курнакова (температура упоря-
упорядочения) может лежать между этими точками Кюри, и в этом интервале
температур появляется новая фаза (упорядоченная), что также обусловли-
обусловливает «плато» на кривой /s (T). Возможность такого «перепутывания»
ферромагнитного превращения и превращения порядок — беспорядок
необходимо учитывать.
В работе Войцеховского [255] показано, что полученные выше резуль-
результаты для двухкомпонентных сплавов сравнительно легко обобщаются
на случай многокомпонентных сплавов. За подробностями отсылаем чита-
читателя к этой работе.
§ 6. Спин-волновая теория
магнитно-упорядоченных кристаллов с примесями
1. Постановка задачи. Обратимся теперь к случаю низких темпера-
температур, когда справедливо приближение спиновых волн (гл. 19). Первую
попытку обобщить эту теорию на случай бинарных ферромагнитных спла-
сплавов предпринял Вонсовский [254]. Однако в этой работе не учитывались те
существенные изменения в энергетическом спектре магнетика, которые
возникают при внесении в кристаллическую решетку «чужого» атома.
Здесь мы изложим более строгую спин-волновую теорию ферромагнитных
сплавов. Правда, пока такая теория развита лишь для случая сплавов
с очень малой концентрацией примесных атомов, когда справедливо так
называемое однопримесное приближение, т. е. когда взаимодействие меж-
между атомами примеси можно не учитывать или когда рассматривается слу-
случай атомных пар.
Задача построения спин-волновой теории ферромагнитных кристал-
кристаллов, содержащих некоторое количество магнитных атомов другого сорта,
встречается с большими трудностями, поскольку она относится к слож-
сложной проблеме расчета энергетического спектра элементарных возбуждений
в неупорядоченных кристаллах. Эти трудности связаны в первую очередь
с тем, что в таких системах отсутствует трансляционная инвариантность.
- 651 -

Поэтому энергетические уровни не могут нумероваться значениями ква-
квазиимпульса. Однако при хаотическом распределении примесей, наблю-
наблюдаемые на опыте величины представляют собой средние по всем возможным
распределениям примесей в кристалле. Это позволяет описывать нере-
нерегулярный кристалл в терминах идеального кристалла, нумеруя собствен-
собственные значения энергии в нем значениями квазиимпульса. Отвечающие им
состояния при этом уже не являются стационарными и должны характе-
характеризоваться конечным временем жизни.
В случае гейзенберговской модели ферромагнетика в приближении
ближайших соседей по обменному взаимодействию однопримесную задачу
решили Вольфрам и Каллауэй [286] и Изюмов и Медведев [287]. Они изу-
изучили спин-волновой спектр идеального ферромагнитного кристалла
с атомными спинами S и обменным параметром между ближайшими сосе-
соседями А > 0, когда в кристалле один из атомов матрицы заменен атомом
другого сорта со спином S' и обменным интегралом с соседями А'.
Если А' > 0, то спин примесного атома ориентируется параллельно
спонтанному магнитному моменту кристалла, а в случае А' < 0 анти-
параллельно. Оба эти случая требуют отдельного рассмотрения.
2. Случай ферромагнитной связи примеси и матрицы (А' > 0). По аналогии
с A9.20) обменный гамильтониан кристалла с примесью можно записать в прибли-
приближении ближайших соседей в следующем виде:
^об= -A S'^n-4+A-2^' 2 «0-*0+Д» <21-77)
п, Я А
где штрих у суммы означает, что индексы суммирования п =/= 0 и n+Д Ф 0; ив-
декс Д относится ко всем узлам, являющимся ближайшими соседями узла п = 0.
Для получения спектра слабо возбужденных состояний кристалла, описывае-
описываемого гамильтонианом B1.77), следует перейти к бозе-операторам спиновых отклонений
по формулам A9.144) и A9.146), которые в принятых обозначениях п при сохранении
первых членов в разложениях A9.151) примут вид
B1.78)
Произведя указанную замену, получаем обменный гамильтониан B1.77) в виде ква-
квадратичной формы по бозе-операторам:
+ 2SA 2 [eij-So + pbo^Abo+A —Y(&S*o+A + *o+A*»>]=lS&o-f-^, B1.79;
А
где е, р и у —безразмерные параметры, характеризующие возмущение, вносимое
в кристалл примесным атомом:
Первый член в B1.79) cSK'o представляет собой гамильтониан идеального ферро-
ферромагнитного кристалла, а второй V — оператор возмущения. Как известно (см. гл. 19).
оператор SK0 диагонализуется с помощью фурье-преобразования операторов спинового
отклонения [см. формулы A9.147)]. Собственными значениями сЙ?0 являются энергии
спиновых волн % (к). При наличии возмущающего потенциала V гамильтониан B1.79)
невозможно диагонализировать путем фурье-преобразования, поскольку оператор
<й?Об не является трансляционно-инвариантным в кристалле.
В связи с этим рассмотрим уравнение Шредингера для кристалла с примесью
= Щ. B1.81)
Будем искать решение уравнения B1.81) в виде
652 —

где | га)—волновая функция кристалла с одним перевернутым спином на узле га,
а именно:
|п) = 6+Ф0. B1.83)
Здесь Фо—функция основного состояния, отвечающая полному магнитному порядку.
Коэффициенты ф (га) удовлетворяют уравнению
[%К
{п |
т)\ ф (т) = ^ (п \ V \ т) ф (т).
B1.84)
Выражение, стоящее в квадратных скобках в левой части B1.84),
Gg1 == %Ьпт — (га | сЙ?0 | т) B1.85)
представляет собой обратную функцию Грина для спиновых волн идеального кри-
кристалла. Из формулы B1.85), переходя от функций | га) к собственным функциям
идеального кристалла, легко получить выражение для самой функции Грина
*-iV
( а b)
Заметим, что Gunm имеет ту же структуру, что и функция Грина из задачи
об одном примесном центре [см. § 4, п. 3, формула B1.17)].
Теперь уравнение B1.84) можно переписать в виде
<21-87>
2
ml
Придадим уравнению B1.87) операторную форму. Для этого набор значений
ip (га) и соответственно ф0 (га) будем изображать столбцом и обозначать их через ф
и ф0. Величины Gni ш {I \V \т) представляют собой матрицы размерности N X N.
В символической форме будем их обозначать как G9 и V. Тогда решение уравнения
B1.87) также в символической форме запишется так:
1
1-G0V
Фо-
B1.88)
Ото решение связывает состояние с одним спиновым возбуждением в идеальном
кристалле с соответствующим состоянием в кристалле с примесью. Величина
B1.89)
является важнейшей характеристикой кристалла, содержащего примесь. В част-
частности, плотность состояний в спин-волновом спектре га (%) выражается через ее зна-
значение га0 (%) для идеального кристалла с помощью известной из теории примесей фор-
формулы (см., например, Изюмов [180])
B1.90)
Матрица V, хотя формально и имеет размерность N X N, фактически же рав-
равна (г+1) X (z + 1), где z — число ближайших соседей, поскольку все остальные
элементы матрицы тождественно' равны нулю. Для решетки кубической симметрии,
как это видно из определения V [см. B1,79)], матрица имеет такой вид:
ez — у — у ... —у
— у р 0 ... 0
— у 0 р ... 0
-v 0
о
B1.91)
В частном случае п. к. решетки ее размерность равна 7x7. Такую же размер-
размерность имеет и детерминант B1.89).
Учитывая симметрию п. к. решетки, можно показать, что D (%) в этом случае
распадается на произведение следующих сомножителей:
отвечающих симметрии так называемого s-, p- и ri-типа. Или более точно, отвечающие
неприводимым представлениям Г1? Г15 и Г12 точечной группы (см. гл. 10). Эти мно-
множители выражаются через параметры возмущения B1.80) и несколько элементов функ-
функции Грина идеального кристалла B1.86) для узлов, включающих примесный атом
и z его ближайших соседей. Узлу, занятому примесью, приписан индекс 0. Узлы
- 653 -

ближайшие соседи к нему, связанные инверсией,5 нумеруются парами 1 п 2, 3 и 4,.
5 и 6. Таким образом,
5„(«), B1.93)
B1.94)
Ai («)= 1 - 2.4Sp [G°o («) + G»2 («) - 2G«3 (%)]. B1.95)
Функция плотности состояний п (?) B1.90) с учетом B1.92) разбивается на сумму
членов, отвечающих состоявиям различной симметрии:
где штрих обозначает производную по %.
Рассмотрим по отдельности вклады в B1.96); обозначим их через Ацп(Щ, где-
ji = s, p, d. Отделяя в А> ($) вещественную и мнимую части
B1.97)
находим
[ D'» (*) * ReJM(g)ImJ^(g)-ReJ;(g)Imi)(g)
Это выражение имеет максимум, когда % = %у. удовлетворяет уравнению
B1.99)
J,, то вблизи максимум,
чину ДцП (й) можно приближенно представить в виде
Если Re Ai F) разложить в ряд в окрестности точки <§jj,, то вблизи максимума вели-
где
д |Квх>Д(й1)| ;
— ширина пика.
Здесь могут возникнуть две существенно различные ситуации: 1) когда %^ лежит
внутри спин-волновой энергетической полосы идеального кристалла и 2) когда йц
лежит вне этой полосы.
В первом случае величина Г^ отлична от нуля, и вблизи ^Ji, при условии, что
Гц <С $|ii Функция п (%) имеет резкий пик в случае возбуждения для квазинепрерыв-
квазинепрерывного спектра. Это значение энергии называется виртуальным уровнем (см. § 4, п. 2).
Во втором случае Гм .=:» О, поскольку, как видно из B1.93)—B1.95), imD^ (%) = О
для значений %, лежащих вне полосы квазинепрерывного спектра. В результате выра-
выражение B1.100) для добавки Ддп (%) после предельного перехода Г^ —>- 0 принимает вид
^пев,) = Ъ{% — %1.). B1.102)
Это означает, что в системе появляется дискретный (локальный) уровень, лежа-
лежащий выше спин-волновой энергетической полосы *).
Такие локальные уровни имеют ту же природу, что и исследованные И. Лиф-
шицем [288, 289] дри анализе фононного и электронного спектра кристалла, содер-
содержащего примесный атом. Этим уровням соответствуют локальные возбуждения,
захватывающие примесный атом и его ближайшую окрестность.
В противоположность этому, состояния, отвечающие виртуальному уровню,
представляют собой искажения делокализованного состояния идеального кристалла
с той же энергией, причем это искажение возрастает при приближении к примесному
атому. Такие состояния являются квазилокальными. Состояния, соответствующие
другим областям спектра, представляют собой слабое искажение состояний идеаль-
идеального кристалла (плоских волн).
Исследование системы уравнений B1.99) [291] с величинами, даваемыми форму-
формулами B1.93) — B1.95), показало, что:
1) Энергии виртуальных р- и d-колебаний лежат только вблизи верхнего края
полосы, причем для их появления необходима достаточно сильная обменная связь
примеси с матрицей.
*) Впервые идею о возможности существования локальных состояний в спин-систе-
спин-системе вблизи точечных дефектов в кристалле высказал Бонч-Бруевич [290], который
также качественно предсказал ряд аномалий в магнитных свойствах таких кристаллов.
- 654 -

2) Виртуальные s-уровни могут лежать как у верхнего края полосы, так и вбли-
вблизи ее дна, причем при некоторых значениях параметров возможны оба уровня: вир-
виртуальный и локальный (рис. 21.42).
Чтобы объяснить эту ситуацию, рассмотрим комплекс спинов, связанных с при-
примесным узлом и его шестью соседями. В р-колебании возникают одинаковые спиновые
отклонения на паре противоположных узлов. Всего таких пар три, поэтому р-состояни&
трехкратно вырождено. Каждый из двух атомов, участвующих в колебании, окружен
пятью атомами матрицы и одним атомом примеси. Для появления локализованного
возмущения на одном атоме требуется энергия по-
порядка &/4AS
cSp^SA{z — l) + S'A', BI.103)
а для локализованного возбуждения на примеси
%s^SzA'. B1.104)
Если А' <А, то %р по порядку величины
близко к ширине полосы, a %s мало. Таким образом,
виртуальные уровни р-типа лежат вверху полосы,
а уровни s-типа могут быть расположены внизу
при малой величине интеграла А'. При возраста-
возрастании интеграла А' обе энергии смещаются к верхне-
верхнему краю полосы и могут выйти из нее.
Существует еще другое s-состояние, которое
связано с возбуждением не примесного атома, а
его z ближайших соседей. Для него
B1.105)
О
1
А
10
1
J_
/
/
^10
6-4
/
0,1
6-2 6-1 6-0,25
///"¦"
/ /У
/ //Верхний
ГТкрайполосы
6 ¦--*- -^-^-
5 ¦
4 ¦
0,5 1
1,5
2,5
А'/А
Рис. 21.42. Зависимость энергии %
однопримесного ферромагнетика (в
единицах 4AS) для состояния s-ти-
s-типа от параметра А'/А при различ-
различных значениях параметра o=S'/S.
поэтому энергетический уровень, соответствующий
этому состоянию, всегда лежит в полосе и вблизи
ее верхнего края.
Мы рассмотрели только атомы выделенного
комплекса, однако в колебаниях s-, р- и d-типа уча-
участвуют и другие атомы матрицы, но амплитуда коле-
колебаний должна быстро затухать по мере удаления от примесного центра, так чт»
качественные выводы остаются в силе.
Рассмотрим детальнее структуру спин-волновой энергетической полосы, когда-
вблизи ее дна имеется виртуальный уровень s-типа, который юявляется в случае слабо
свячанной примеси при выполнении условия
S'A'
SA
B1.106).
Можно показать, что решения уравнения B1.99) в этом случае приближенна
имеют вид
%s^2zSA'. B1.107).
Соответствующие этому уровню значения ширины Г8 [см. B1.101)] равны
B1.108)
Отсюда в силу условия B1.106) и того факта, что вблизи дна полосы n0 Ef6) 2.4
приходим к неравенству
Таким образом, мы действительно имеем узкий резонансный всплеск в распределении
плотности состояний вблизи дна полосы при наличии слабо связанной примеси. Этому
всплеску соответствует квазилокальное возбуждение s-типа. На рис. 21.43 представ-
представлена кривая для плотности состояний ферромагнитного кристалла с п. к. решеткой
при концентрации примеси с « 0,01 для трех случаев, соответствующих различным
значениям параметров.
Наличие низколежащего виртуального уровня определяет особенности термо-
термодинамических свойств ферромагнетика с малыми примесями. Действительно, темпе-
температурная зависимость термодинамических параметров ферромагнетика при низких
температурах определяется плотностью состояний в спектре одночастичных спиновых
возбуждений при низких энергиях. Если для значений % вблизи дна полосы указан-
указанного уровня s-типа нет (или если он все-таки существует, но для энергий %, меньших %s),
то можно показать, что добавка к плотности состояний за счет примеси пропорцио-
пропорциональна плотности состояний идеального кристалла. Отсюда сразу следует известный
— 655 —

закон Г3'2 Блоха (см. гл. 19) для намагниченности кристалла с примесями. Расчет
[291] приводит к следующему выражению для самопроизвольной намагниченности:
М
где Л — численная постоянная (для п. к. решетки Л л; 0,21), ув — коэффициент,
¦определяющий температурную зависимость намагниченности в идеальном кристалле.
Опытное определение температурного хода намагниченности кристалла с некоторой
концентрацией примеси в интервале температур, где справедлив закон Т '2, позволяет
при сравнении с результатами измерений для идеального кристалла определить обмен-
обменный интеграл примесь — матрица А'.
Такое повеление намагниченности ожидается, когда кБТ < %% Если кБТ > %%,
то должен интенсивно заполняться виртуальный уровень. Однако соответствующие
ему состояния заметно локализованы
на примесном атоме. Это означает,
что при температуре То такой, что
кБТ0 ж %%, происходит сильное
уменьшение магнитного момента при-
примесного атома, тогда как намагни-
намагниченность матрицы еще близка к на-
насыщению. Такое аномальное поведе-
поведение примесного атома приводит к
аномальному температурному ходу
самопроизвольной намагниченности
всего кристалла, содержащего не-
небольшую концентрацию примеси.
Этот эффект аналогичен по своей
0,4
0,3
0,2
0,1
О
"Рис. 21.43. Функция плотности состояний g F/kA.S)
•ферромагнитного кристалла при концентрации при-
примеси с = 0,01 для разных значений А'/А и о. i—
А'/А = 0,2; 0 = 0,25; 2 — А'/А = 0,2; 0 = 4;
3 — А'/А = 0,5; о = 0,25. Сплошная кривая изоб-
¦ражает плотность состояний идеального ферромаг-
ферромагнитного кристалла g0 ('S/iAS).
5 6 природе аномальному температур-
S/4AS ному изменению теплоемкости кри-
кристалла, содержащего малую кон-
концентрацию тяжелых примесных ато-
атомов, предсказанную Каганом и
Иосилевским [292].
Однако при к-БТж%% наруша-
нарушается условие применимости спин-
волнового приближения для приме-
примесного атома — малость среднего спинового отклонения. Применение к примесной
задаче техники температурных функций Грина, использованной Тябликовым A965)
для описания поведения идеального ферромагнитного кристалла в широком интер-
интервале температур, приводит [293—295J к следую- gip
щей формуле для температурной зависимости jq
примесного спина E^):
0,8
0,6
0,2
О
0,2 ОА 0,6
где Bs (х) — функция Бри^люэна (см. гл. 9), а
<з — намагниченность матрицы при данной тем-
температуре (точнее, среднее значение г-проекции
атомного спина в матрице). Таким образом, в
•случае слабой связи поведение магнитного мо-
момента примесного атома описывается в прибли-
приближении молекулярного поля матрицы.
Формула B1.111) предсказывает значитель-
значительно более быстрый спад намагниченности примес-
примесного атома с температурой, чем намагниченно-
намагниченности матрицы, при условии, что S'A' <^ SA.
Эти выводы о специфической температур-
температурной зависимости примесного спина прекрасно
подтверждаются недавними опытами с ЯМР на
атомах Мв, растворенных в Fe (при концентра-
концентрациях Мб около 1,5ат.%). Поскольку в результате
взаимодействия СТО, частота ЯМР в ферромаг-
ферромагнетике получает сдвиг, пропорциональный на-
намагниченности атома матрицы, то, наблюдая
температурную зависимость частотного сдвига резонанса на примесном атоме, можно
измерять температурный ход намагниченности этого атома.
На рис. 21.44 приведены результаты измерения средней намагниченности a/S'
атомов Мп в Fe. Кривая, проходящая через экспериментальные точки, построена по
0,8 1,0
Т/в
Рис. 21.44. Температурная зависимость
самопроизвольной намагниченности
a/S' сплава Fe — Мп (при содержании
Мп около 1,5 ат.%). Кривая построена
по формуле B1.111). Кружками пока-
показаны экспериментальные данные. Кри-
Кривая для чистого Fe приведена для
сравнения.
- 656 -

формуле B1.111) при подходящем подборе параметра А', который как раз соответствует
случаю слабо связанной примеси.
Для сплава Fe — Mn при малой концентрации Мп существование виртуального
пика на кривой плотности состояний спиновых возбуждений непосредственно дока-
доказано методом неупругого рассеяния. Дело в том, что если на кривой плотности состоя-
состояний одночастичных возбуждений существует пик, соответствующий виртуальному
уровню, то он должен существовать и в спектральной интенсивности любого одноча-
стпчного коррелятора. В частности, сечение одномагнонного рассеяния нейтронов
в таком кристалле, как функция энергии перехода, должно иметь пик при энергиях
виртуального уровня, как это было предсказано в работе Изюмова и Медведева [287].
Кро и Бата [296] измеряли неупругое рассеяние нейтронов в сплаве Fe — Мп с 3% Мп
(в котором ранее было обнаружено аномальное поведение намагниченности примесных
атомов).
3. Случай антиферромагнитной связи примеси и матрицы (А' < 0). Рассмотрим
теперь случай А' < 0, когда примесный спин располагается антипараллельно само-
самопроизвольной намагниченности кристалла. Однако его проекция на эту намагничен-
намагниченность не равна —iS', как это было бы при классическом рассмотрении векторов спина,
а меньше (по модулю) своего максимального значения. Соответственно этому умень-
уменьшаются спиновые проекции атомов матрицы, причем это уменьшение проекции при-
примесного спина равно сумме уменьшений в матрице. Это правило сумм является след-
следствием того, что полный спин системы коммутирует с обменным гамильтонианом
и поэтому является интегралом движения. Таким образом, основное состояние кри-
кристалла с антиферромагнитно связанной примесью является пространственногнеодно-
родным. Указанные уменьшения *) спиновых проекций являются чисто квантовым
следствием существования нулевых колебаний в спин-системе, которые всегда суще-
существуют, когда имеется антипараллельная ориентация спинов (в антиферро- и ферри-
магнетпках).
Исследования Изюмова и Медведева [297] показали, что в таком кристалле суще-
существует два типа спиновых возбуждений: один из них связан с уменьшением суммарного
спина кристалла на 1, как в случае А' > 0, другой — с увеличением суммарного спина
на 1, обусловленным переворотом примесного спина. Возбуждения первого типа обра-
образуют квазинепрерывный спектр, в котором могут возникнуть резонансные уровни,
а также дискретные уровни, соответствующие локальным состояниям. Возбуждения
второго типа являются локальными, причем они в значительной степени локализо-
локализованы на самом атоме примеси.
Возбуждения кристалла с примесью с антиферромагнитной связью могут быть
классифицированы по неприводимым представлениям точечной группы кристалла
(см. гл. 10), как и в случае примеси с ферромагнитной связью.
Возбуждения первого типа могут быть s-, p- и d-состояниями, причем ни при
каких значениях параметров возмущения не возникает резонансных уровней у дна
полосы.
Возбуждения второго типа являются только d-состояниями. Они представляют
собой локальные возбуждения с энергетическими уровнями, которые могут находиться
в любом участке спектра в зависимости от значений параметров возмущения. Однако
даже если этот уровень попадает в полосу квазииепрерывного спектра, он остается
дискретным, поскольку в приближении невзаимодействующих элементарных возбуж-
возбуждений это состояние не может переходить в состояние первого типа. Запрет на такие
переходы является прямым следствием того, что суммарный спин системы остается
интегралом движения.
В случае слабосвязанной примеси S' \A' | <^ SA энергия локального возбуждения
второго типа дается приближенной формулой
•&,=2zS\A'\, B1.112)
очень похожей на формулу B1.107) для энергии резонансного уровня для слабосвязан-
слабосвязанного примесного спина при ферромагнитной связи.
Термодинамическое поведение ферромагнетика, содержащего примесь с антифер-
антиферромагнитной связью, при низких температурах определяется тем, насколько близко
к дну полосы квазииепрерывного спектра возбуждений лежит уровень локального воз-
возбуждения второго типа %s. Если этот уровень лежит высоко, самопроизвольная намаг-
намагниченность кристалла изменяется с температурой по закону Г3/2 Блоха, по формуле
B1.110). Если же уровень %s при температурах, для которых кБТ « %s, лежит вблизи
дна полосы, то локальные возбуждения второго типа начинают интенсивно заполняться,
что приводит к быстрому уменьшению средней намагниченности примесного атома.
Поскольку переориентация примесного спина приводит к увеличению суммарного маг-
магнитного момента кристалла, то в рассматриваемом случае спонтанный магнитный мо-
момент кристалла ферромагнетика уменьшается с температурой медленнее, чем по зако-
закону Г3'2. При подходящей концентрации примеси возможно даже увеличение самопроиз-
самопроизвольной намагниченности при нагревании в области низких температур.
*) Для этого уменьшения употребляют термин сокращение.
42 с. В. Вонсовский — 657 —

4. Некоторые физические свойства однопримесных систем. В пп. 2'
и 3 были рассмотрены некоторые низкотемпературные термодинамические
свойства ферромагнетиков с примесями, которые зависят от виртуальных
уровней, лежащих вблизи дна энергетической полосы. Локальные уровни
спиновых возбуждений, лежащих выше верхнего края полосы, проявляют-
проявляются в кинетических свойствах ферромагнетика. Рассеяние медленных ней-
нейтронов, а также ФМР теоретически исследовали Изюмов и Медведев [298,
299] и Изюмов [300]. Они также исследовали случаи атомов примеси типа
внедрения и вакансий (или немагнитные атомы примеси типа замещения),
случаи разных типов решеток кристалла растворителя, случаи, когда
примесный атом находится в магнитном кристалле со сложной магнитной
структурой (две магнитные подрешетки), а также исследовано поведение
примесного атома во внешнем постоянном магнитном поле.
Теорию длинноволновых ферромагнонов для ферромагнетика, состоя-
состоящего из двух сортов хаотически распределенных магнитных атомов со спи-
спинами Si и ?2 и обменными интегралами Ац, Ai2, А22< при произвольных
концентрациях компонент развила Мерри [301]. В случае слабо отличаю-
отличающихся обменных параметров для атомов различных компонент, когда раз-
разности SiAn — S2Al2 и ^2^22 — SiA12 малы, спектр спин-волновых воз-
возбуждений имеет вид
A:) . c2SAn + 2c (* -с) S1S2Al2+ (I -C2) S%A22 _ 2a2k2
Х ' 5ic + 52(l —с)
Как мы видели выше, примеси в кристалле приводят к весьма сущест-
существенным изменениям свойств идеальных кристаллов. Появляющиеся эффек-
эффекты интересны сами по себе. Однако некоторые из них можно эффективно
использовать для извлечения информации о структуре состояний в самом
идеальном кристалле. К числу таких эффектов относится, в частности,
неупругое рассеяние нейтронов в ферромагнетиках, содержащих немагнит-
немагнитные примеси. Наличие примесей в кристалле приводит к некогерентному
рассеянию нейтронов. Известно, что сечение неупругого некогерент-
некогерентного рассеяния нейтронов с участием одного фонона кристалла пропор-
пропорционально плотности состояний в фононном спектре. Источником некоге-
некогерентности в этом случае является изотопический состав элементов и нали-
наличие хаотически ориентированных ядерных спинов. Таким образом, даже
идеальный в кристаллохимическом отношении кристалл приводит к пеко-
герентному неупругому рассеянию нейтронов, позволяющему определить
плотность состояний в фононном спектре.
Для получения аналогичной возможности в случае магнонного спект-
спектра ферромагнетиков в кристалл нужно внести примесные атомы, приводя-
приводящие к некогерентному рассеянию. Наиболее простая связь сечения
Снеког (Д^) с плотностью состояний в магнонном спектре идеального
кристалла п0 (Ш) возникает в случае немагнитной примеси, так как при
этом не входят параметры S' и А'. Можно показать (Изюмов, Медведев
[299]), что в случае малой концентрации примеси с для п. к. решетки рас-
рассматриваемое соотношение имеет вид
где Z, (д) зависит от импульса перехода q и определяется параметрами,,
относящимися только к идеальному кристаллу. Это соотношение откры-
открывает уникальную возможность непосредственного определения плотности
состояний в магнонном спектре.
Обращаем внимание еще на ряд оригинальных теоретических и экспе-
экспериментальных исследований по магнитным примесям [302—322], а также
на обзор Абрикосова [323] и работы Изюмова и Медведева [206].
- 658 -

§ 7. Эффекты, обусловленные взаимодействием примесей
Изложенная в § 6 однопримесная проблема может лечь в основу теории магнит-
магнитных свойств сплавов с очень малой концентрацией второй компоненты. При повышении
концентрации атомы примеси начинают взаимодействовать друг с другом, и это взаимо-
взаимодействие может приводить к принципиально новым эффектам в магнетизме сплавов.
Один из ярких случаев проявления такого рода взаимодействия дают уже упоминавши-
упоминавшиеся сплавы переходных металлов типа Ni — Mn, Ni — Fe, Pt — Mn, Pd — Fe и другие.
Все эти сплавы являются ферромагнитными в широком интервале концентраций с
второй компоненты от 0 до некоторой концентрации
с0, за пределами которой спонтанный момент в си-
системе исчезает (рис. 21.49).
Такой ход концентрационной зависимости
среднего момента объясняется не концентрационным
изменением величин атомных магнитных моментов в
сплаве, а связан, по-видпмому, с особенностями его
магнитной структуры, например, в силу необычного
сочетания знаков параметров обменной связи
B1.140).
В силу условия Ааъ > 0 при малых концент-
концентрациях компоненты Ъ ее атомные спины направлены
вдоль намагниченности / матрицы а. При боль-
больших концентрациях атомы сорта Ъ окружены не
только атомами'матрицы а, но и своими атомами
типа Ъ и, таким образом, возникает конкуренция
ферромагнитных взаимодействий Ааь, стремящихся
выстроить их спины вдоль направления I в матри-
матрице, и взаимодействий АаЬ, стремящихся ориентировать спины антипараллельно к
соседям сорта Ь.
Изюмов и Медведев [324] сделали попытку построения квантовой теории основного
состояния системы двух сортов спинов в гейзенберговской модели при условии B1.140).
Не имея возможности провести расчет для произвольной концентрации с второй ком-
компоненты, они рассмотрели один простейший элемент сплава: пару атомов сорта Ь, явля-
являющихся ближайшими соседями в ферромагнитной матрице (рис. 21.45). Оказывается
проблему основного состояния такой системы можно решить точно, а затем, используя
полученные результаты, высказать качественные соображения о структуре указанных
сплавов.
Спиновый гамильтониан кубического ферромагнитного кристалла, содержащего
два примесных атома Ь замещения (в узлах 1 а 2), запишется в виде
Рис. 21-45. Нумерация атомов при-
примесной пары A и 2—черные круж-
кружки) и их ближайших соседей ато-
атомов матрицы C—12 — белые круж-
кружки) в п. к. решетке.
2'^
A
1=1, 2 А
B1.115)
(А дает суммирование по ближайшим соседям). Здесь первый член описывает обмен
внутри матрицы за вычетом двух примесных атомов (штрихи у суммы означают, что
узлы 1 и 2 изъяты из суммирования), второй член дает зеемановскую энергию системы
в поле, а два последних учитывают обменное взаимодействие примесных атомов друг
с другом и с атомами матрицы.
Задача состоит в нахождении основного состояния системы, описываемой гамиль-
гамильтонианом B1.115). Известно, что оператор полного спина коммутирует с гамильтониа-
гамильтонианом B1.115), следовательно, основное состояние системы должно характеризоваться
помимо энергии еще и величиной z-проекции полного спина iS0. Спектр возможных зна-
значений 5° пробегает значения (N — 2) S + 25' = ?макс, ?макс — 1, Suave — 2 и т. д.
Соответственно спектр собственных значений системы можно классифицировать по соб-
собственным значениям S0. Энергию состояния с S" = ?макс (когда все спины системы
«параллельны») обозначим %0, а энергии состояний с S0 = ^макс — 1, ?макс — 2
и т. д. обозначим соответственно %±, %2, ¦ ¦ ¦ ) %
В принципе, чтобы определить энергию основного состояния, мы должны найти
собственные значения энергии %Q, %it $2, . . . и сопоставить их друг с другом. Состоя-
Состоянию с полным спином ?макс соответствует один уровень энергии %0, тогда как состоя-
состояниям с меньшим полным спином — целые энергетические полосы (например, в идеаль-
идеальном ферромагнетике — спиновые волны). Если один из уровней %\ будет ниже %q
и всех прочих уровней %ч, %з< . . ., то именно он и будет соответствовать основному
состоянию системы. Мы ограничимся тем, что вычислим энергии %а и %lt и покажем,
что при некоторых значениях параметров обменного гамильтониана один из уровней %х
может обладать энергией, меньшей чем %0. Следовательно, в некоторой области пара-
параметров основное состояние может быть с ?0 = ?макс"— 1.
- 659 —
42*

Обозначим волновые функции системы, соответствующие собственным значениям
'So, %ii • • •> через То, Yi, . . . Легко видеть, что функции То, отвечающей состоянию
с параллельными спинами, соответствует энергия
~2Abb(S'f-g\iBH [(/V -2) S + 2S']. B1.116)
Для нахождения %^ необходимо решить уравнение Шредингера
mwi=«iTi. B1.117)
Для чего разложим Ti в ряд по волновым функциям | /) одночастичных спиновых
отклонений, локализованных на узлах кристалла:
N
T1=2cjI/>- B1.118)
j=i
Функция | /> получается действием оператора Sj на волновую функцию Tg:
\j) = BSj)-1'2S--V0. B1.118а)
Поскольку | /) образуют полный набор функций, описывающих состояния системы
с S° = S°^aKC—1, разложение B1.118) для Wi является точным.
Уравнению B1.117) соответствует эквивалентная система уравнений для су.
где Sj=S для узлов матрицы н Sj=S' для узлов, занятых примесными атомами.
Таким образом, получаем, что уравнение B1.119) есть
где матричные элементы гамильтониана B1.115) могут быть вычислены с использо-
использованием определения B1.118а) для функции | /), а также определения Т^:
B1.120)
томами.
7=0, B1.121)
з Д з
где Vij—симметричная матрица возмущения с размерностью 12x12 с отличными
от нуля элементами:
Узз=^44=..-=^12,12=2Аю?р, }> B1.122)
Здесь величины е, р, у и | являются параметрами возмущения
АаЬ , „_ AafyS' АаЬ -, / $' ,
4^-1. B1.124)
Характерно, что параметры 8, р и у характеризуют взаимодействие одного из при-
примесных атомов с матрицей и совпадают с теми, которые фигурируют в теории изо-
изолированных примесей в ферромагнетиках (см. § 6) тогда как новый параметр | харак-
характеризует взаимодействие между двумя примесными спинами.
В уравнении B1.121) введено еще одно обозначение:
Cs.%=.%i — %0. B1.125)
Легко видеть, что выражение, стоящее в квадратных скобках уравнения B1.121) есть
обратная функция Грина [б°]г' одночастичных возбуждений идеального ферромагне-
ферромагнетика. Учитывая это, запишем уравнение B1.121) в компактной форме:
2 [*«>- 2б?п(«)^Л О- = 0, B1.126)
j п
где Gin C&) —гриновская функция одночастичных возбуждений идеального ферромаг-
ферромагнетика, определяемая выражением B1.86).
Спектр возможных значений энергии % в системе, находящейся в состоянии Wit
определяется нулями детерминанта системы уравнений B1.126):
D («) = det (flir-2 «?„(«) Vaj). B1.127)
П
— 660 —

Поскольку матрица VnJ- имеет размерность 12 х 12, легко видеть, что D (%) есть детер-
детерминант 12-го порядка. Для факторизации детерминанта следует использовать теорию
симметрии. Легко видеть, что двухатомная «молекула» в п. к. решетке понижает то-
точечную симметрию кристалла до группы D4ft (c центром симметрии посередине отрезка,
соединяющего атомы 1 и 2). Используя теорию симметрии, можно показать, что D (%)
разбивается на произведение множителей, отвечающих различным неприводимым пред-
представлениям группы D4ft- Оказывается, что лишь один из этих множителей (принадлежа-
(принадлежащих представлению Аги) включает в себя параметр 1, зависящий от отрицательного
обменного интеграла Аъь- Остальные множители зависят лишь от параметров 8, р и у,
так же как в случае одного примесного атома в кристалле, и дают решения для % > 0.
И только множитель Da2J^)< зависящий от Аьь < 0, может в принципе дать решение
с А% < 0, т. е. с %i < %0- В этом случае состояние с S" = Змакс — 1 было бы энер-
энергетически выгодным по сравнению с состоянием с S0 = 5макс.
Итак, изучим детальнее состояние Tj, принадлежащее неприводимому представ-
представлению А2и- Оно характеризуется следующей симметрией коэффициентов cj в разло-
разложении волновой функции Ч*! [324]:
d= — с2; сц=—С12, с3 = с4=с5 = с6= —с7= —с8= —св=—с10, B1.128)
таким образом, из 12 коэффициентов cj, определяемых на 12 узлах, включающих два
примесных атома и их ближайших соседей, независимыми в состоянии А2и являются
только три, например с4, с3 и сп. Они определяются из следующей системы уравнений,
получаемой комбинацией систем уравнений B1.126) и условий симметрии B1.128):
( Щ \(\
с3 )=2AaaS Л («) W(%) У(«) -2у р 0 с3 !, B1.129)
-у О р/\вц/
при дополнительном условии нормировки на cj
2М2 = 1. B1-130)
Здесь величины Т(%), R{%) и т. д. представляют комбинации гриновских функ-
функций G^im(%) для 12 узлов, входящих в выделенный комплекс (рис. 21.45):
X (в) = GJi («) -GU («); Y (в) = 2 (G°32 («) -Ggg (в));
Z(«) = GJ1(«)-GJlll,(«);
W («)=G
Возможные значения энергии % кристалла в состоянии Аги определяются нулями
детерминанта системы B1.129)
¦DA2u(«) = °, B1-132)
(a Da^u C&) есть как раз один из множителей общего детерминанта системы B1.126)
D (%), принадлежащий неприводимому представлению Аги). Мы видим из B1.129),
что D а (%) действительно зависит от параметра 1, который может быть отрицательным
и дать отрицательное решение уравнения B1.132). Прежде всего получим условие,
при котором один из корней % уравнения B1.132) переходит через нуль и становится
отрицательным, т. е. когда в системе только что появляется дискретный уровень,
лежащий ниже полосы. Для этого в выражение D (%) подставим У, R, . . . при значении
% = 0, взяв рассчетные значения величин 2AaaSG%m @) [324]. Тогда уравнение B1.132)
будет давать связь между всеми параметрами, определяющими решение % = 0. На
рис. 21.46 представлены результаты численного решения этого уравнения. На плоско-
плоскости Ааъ/Ааа и Аьъ1Ааа для трех значений S'/S = 4,1, 1/4 и проведены кривые, отде-
отделяющие области значений параметров обмена АаЬ/Ааа и Аьь/Ааа, при которых устой-
устойчиво состояние ?0 с S" = Змакс (эта область оказывается внизу под соответствующей
кривой). В остальной области состояние А2и с полным спином S0 = 5макс — 1 лежит
ниже по энергиям состояния с параллельными спинами. Как видно из рис. 21.46, обла-
области устойчивости состояний с S0 = 5макс очень существенно зависят от отношения спи-
спинов S'/S. Чем меньше это отношение, тем более устойчивым (при прочих равных усло-
условиях) является это состояние.
В общем случае решение уравнения B1.132) можно найти лишь численно. На
рис. 21.47 представлены результаты таких расчетов для случая S' = S = 1/2. Сплош-
Сплошные кривые показывают зависимость энергии основного состояния от параметра Аьь/Ааа
при фиксированных значениях Ааь/Ааа. Каждая кривая состоит из восходящей
и нисходящей ветвей. Восходящая ветвь (вместе с пунктирным продолжением) дает
энергию состояния с максимальным спином 5макс, рассчитываемую по формуле
B1.116). Нисходящая ветвь дает энергию %i состояния со спином 5макс — 1,
- 661 -

рассчитанную на основе решения уравнения B1.132). Видно, что при увеличении
состояние системы с S" = Змакс — 1 лежит ниже состояния с параллельными спинами,
причем разница в энергии возрастает с ростом \ Аьь I- Таким образом, точки излома
соответствуют потере устойчивости состояния с S" = 5макс Положение этих точек
10
Aab/Aaa
Рис. 21.46. Области устойчивости на пло-
плоскости параметров Ааь/Ааа и | Аьъ/Ааа ]
состояния т, с максимальным спином
системы SMaKP для различных отноше-
отношений спинов примеси и матрицы S'/S —
= 4, 1, 1/4.
5?
-6 ^-
<?-' -ib
-12
г ¦
о
-/
-3
Рис. 21.47. Энергия основного состоя-
состояния кристалла (в относительных еди-
единицах Ъ/iAaaS), содержащего примес-
примесную и двухатомную «молекулу», как
функция параметра Аъъ/Ааа Для слу-
случая S' =S = 1/2 и четырех значений
параметра АаЬ/Ааа = 0,5; 1,0; 1,5;
2,0, соответствующих четырем кривым
1, 2, 3 и 4.
на плоскости переменных Ааь/Ааа и | Аьь/Ааа | изображалось нами на рис. 21.46 (начало
отсчета энергии на рис. 21.46 соответствует величине %1 = —NAaazS2 — энергии
основного состояния идеального кристалла).
Пунктирная линия а, пересекающая продолжение прямых для энергий %0
(рис. 21.47), соответствует классической конфигурации, при которой спины примесных
атомов антипараллельны. Энергия такого классического состояния дается формулой
Пунктирная линия а на рис. 21.47 соответствует как раз этой формуле при S' = S =
= 1/2. Заметим, что энергия истинного квантово-механического состояния с полным
спином 5макс — 1 лежит существенно ниже энергии классического состояния с тем же
значением полного спина и строго антипараллельной ориентацией спинов примесной
пары. Этот результат показывает, что в данной задаче рассмотрение спинов как клас-
классических векторов не дает сколько-нибудь удовлетворительного решения проблемы
основного состояния.
Фактически мы исследовали условия, накладываемые на обменные параметры,
при которых состояние yPi энергетически более выгодно, чем состояние Ч?о с полностью
параллельными спинами. Встает вопрос теперь, каким образом в состоянии ?4 распре-
распределено по кристаллу изменение суммарного спина системы на 1 по отношению к состо-
состоянию х?0, или, другими словами, каковы средние значения z-проекций спинов отдель-
отдельных узлов ; в состоянии Т4. Легко получить, исходя из выражения B1.117), что ука-
указанное среднее выражается через коэффициенты су.
(Vi | Szj\ 4r1) = 6'J-—1 Cj-CS) |2, B1.134)
где Sj = S' для / = 1, 2 и S} = S для / Ф 1, 2.
Анализ решений уравнений B1.126), проведенный Изюмовым .и Медведевым
[324], показывает, что в состоянии Yj сокращения z-проекций атомных спинов (по от-
отношению к состоянию Ч?о с полной параллельностью спинов) локализовано вблизи
примесной пары. В пределе | \ | -»¦ оо, т. е. при Аьь -*¦ — °°, оказывается, что | ci |2 =
— I сг I2 = 1/2, тогда как на других узлах | с,- |2 = 0. Таким образом, в этом асимпто-
асимптотическом случае состояние системы с суммарным спином 5макс — 1 целиком локализо-
локализовано на обоих примесных атомах. В частности, из B1.134) следует, что при S = 1/2
среднее значение спиновой проекции на примесном атоме равно нулю, что в точности
соответствует спиновому состоянию изолированной пары. При конечных § спиновое
состояние на примеси меньше 1/2, так что при 5'= 1/2 среднее значение z-проекции
примесного спина пмеет небольшую составляющую на направление спонтанного момен-
момента кристалла, в то же время имеется небольшое отклонение спиновых проекций на бли-
ближайших к примесной паре узлах. Состояние Аги является, таким образом, сильно лока-
локализованным; при уменьшении | \ \ степень локализации его уменьшается.
В другом предельном случае, когда значение | соответствует границе появления
отрицательного дискретного уровня Аги, например, для частного случая S' — S
— 662 -

и Ааь = Ааа, имеется следующее распределение спиновых сокращений:
|С1|2 = 0,33; |с3|2 = 0,01; |с1±|2=0,02.
Суммарное сокращение на комплексе, состоящем из примесной пары и ее десяти сосе-
соседей, равно 0,78; таким образом, и в этом случае состояние Аги оказывается в значитель-
пой степени локализованным.
Полученные выше результаты исследования ферромагнитного кристалла, содер-
содержащего двухатомную примесную «молекулу», можно кратко резюмировать так: при
не слишком больших значениях обменной связи между примесными атомами | Аьь I
основное состояние кристалла соответствует максимальному значению суммарного
спина 5макс, т. е. полной «параллельности спинов примеси и матрицы. При некотором
критическом значении параметра | Аьь I (при прочих фиксированных параметрах)
такое состояние становится неустойчивым, и основное состояние системы соответ-
соответствует спину 5макс — 1. Это состояние является локализованным и характеризуется
сокращениями z-проекцпй спипов на примесных атомах и атомах матрицы вблизи
примесной «молекулы», причем суммарное сокращение спиновых проекций по кри-
кристаллу должно равняться 1. С увеличением | Аьь I степень локализации сокращения
возрастает; однако при некотором | Аьь I система в принципе может перейти в состоя-
состояния с меньшим значением спина, чем 5макс — 1. Состояние с Sjnauc —1, по-видимому,
будет оставаться основным при неограниченном росте | Аьь I лишь для S'=1/2. Можно
предполагать, что принципиальные черты основного состояния с 5макс—1 (неодно-
(неоднородное распределение сокращений спиновых проекций по кристаллу и локализация их
вблизи примесной «молекулы») будут сохраняться и в состояниях с S°< Sjvwkc — 1.
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть и другие многоатомные «моле-
«молекулы» в кристалле: «тройки», «четверки» и т. д. Результаты исследования некоторых
n:i такого рода дефектов в частной модели E' = S, Ааъ — Ааа) приведены в табл. 21.2,
Таблица 21.2
Значения параметра (Аьь/Ааа)и^, определяющие потерю устойчивости основного
состояния системы с максимальным спином для различной конфигурации
примесных комплексов (Изюмов, Медведев [324])
Конфигурация
комплекса
/ Аьь \
\ Л-аа 1 кр
• •
2
• в •
— 1,19
•
в •
1,13
:Л
—0,6
Г*
•—•
—0,1
где указаны критические значения Аьь/Ааа, при которых состояние с параллельными
спинами является неустойчивым. Эти результаты носят чисто иллюстративный харак-
характер, однако в таблице просматривается тенденция: чем больше атомов в примесном
комплексе, тем менее устойчивым является состояние с параллельными спинами.
Поскольку в кристалле Аьь (как п другие параметры) фиксированы, это означает,
что при наличии разного рода изолированных «молекул», часть из них (молекулы
с меньшим числом атомов) могут быть с параллельной ориентацией спинов, тогда как
другие соответствуют уже меньшему значению суммарного спина. Это позволяет выска-
высказать некоторые соображения о структуре сплавов типа Ni — Mn.
Когда концентрации настолько малы, что атомы второй компоненты можно счи-
считать изолированными друг от друга, их спины расположены параллельно спиновому
порядку в матрице и имеет место простой закон смешения для среднего магнитного
момента сплава, так что при S' > S средний момент сплава линейно растет с ростом
концентрации. При повышении концентрации возникает некоторое количество «двоек»,
«троек» и т. д. п если в одной из таких «молекул» условие «параллельности» спинов уже
FrapynieHO, она будет давать меньший вклад в суммарный спин кристалла (по сравне-
сравнению со случаем полной «параллельности» спинов). Таким образом, при концентрациях,
когда таких «молекул» в сплаве будет много, начнется резкое уменьшение спонтанного
магнитного момента сплава. При дальнейшем увеличении концентрации число «моле-
«молекул» с большим количеством атомов сильно возрастает, п это обеспечивает быстрый
спад среднего момента с концентрацией.
Таким образом, удается качественно объяснить характер кривой рис. 21.49 в рам-
рамках гейзенберговской модели ферромагнетизма, не предполагая концентрационного
изменения атомных магнитных моментов, а учитывая лишь уменьшение квантовоме-
ханических средних проекций атомных спинов на направление спонтанного момента
кристалла. Величина проекции атомного спина в сплаве меняется от атома к атому
и зависит от окружения, в которое попадает данный атом (т. е. от того, входит ли он в
состав «двойки», «тройки» и т. д.). Средние квантовомеханические от перпендикулярных
— 663

проекций атомных спинов при этом обращаются в нуль. Конечно, при высоких кон-
концентрациях второй компоненты изолированных «молекул» в сплаве выделить нельзя
и наилучшим описанием спинового состояния такого сплава являлось бы статистиче-
статистическое. Именно такой подход осуществлен в работах Сидорова и Дорошенко [325] (см.
§ 10 этой главы), что позволило им выразить'концентрационную зависимость среднего
момента сплава указанного типа через феноменологический параметр—концентрацию с0.
Таким образом, указанные сплавы обладают коллинеарной магнитной структурой, но
с неоднородным распределением z-проекций атомных спинов по кристаллу, зависящим
от концентрации. Спонтанный момент кристалла задает единственную для всех атомных
спинов сплава ось квантования в системе.
§ 8. Случай линейных и плоских дефектов
В § 6 было показано, что наличие примеси в ферромагнитном кристал-
кристалле приводит к тому, что в спиновой ветви энергетического спектра появ-
появляются отдельные локальные уровни. Предположим теперь, что в ферро-
ферромагнетике имеется одномерная или даже двумерная совокупность из 7V
примесных атомов.
Если эти примесные атомы находятся столь далеко друг от друга,
что их взаимодействием можно пренебречь, то любой волновой функции,
описывающей отклонение спина на каждом из примесных узлов, будет
соответствовать одно и то же дискретное значение энергии. Таким образом,
имеется iV-кратное вырождение. При сближении примесных атомов, взаи-
взаимодействие между ними приводит к тому, что вырождение снимается
(см. § 7) и вместо отдельного локального уровня возникает квазинепре-
квазинепрерывная полоса локальных состояний. Энергия и волновые функции этих
состояний будут зависеть от волнового вектора ^-одномерного (в случае,
если примеси образуют прямую линию) или двумерного (в случае, если
примеси образуют плоскую совокупность). Это связано с тем, что пере-
переход к представлению волновых векторов можно осуществить, если пря-
прямая решетка обладает трансляционной инвариантностью. При наличии
прямолинейной или плоской совокупности примесных атомов трансля-
трансляционная инвариантность не нарушается лишь вдоль указанной линии
и вдоль плоскостей, параллельных плоскости, образованной примесными
узлами. В связи с этим можно осуществить переход лишь к одномерному
или двумерному обратным пространствам, в которых задан одномерный^
или двумерный волновой вектор к соответственно.
Рассмотренные совокупности ферромагнитных примесей можно трак-
трактовать как частный случай линейного и плоского дефекта. Приведенные
соображения позволяют считать, что при наличии в ферромагнетиках
любых других линейных и плоских дефектов также должны возникать
целые полосы локализованных спиновых возбуждений. Эти возбуждения
носят характер плоских волн в плоскости, параллельной поверхности
дефекта (плоский дефект) или вдоль линии дефекта, и амплитуда их убы-
убывает при удалении от дефекта.
В качестве линейного дефекта можно рассматривать, например, ди-
дислокацию, а в качестве плоского — поверхность кристалла, дефекты упа-
упаковки, границы блоков и т. д.
Изучению локальных и квазилокальных состояний спиновой системы
ферромагнитного кристалла, содержащего дислокации, посвящены работы
Пикалева и Савченко [329] и Пушкарова и др. [330]. В работе [330] был
рассчитан спектр локальных и квазилокальных колебаний и дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния нейтронов на этих колебаниях.
Спиновые возбуждения при наличии плоских дефектов теоретически
были изучены в работах Филиппова [331], Уоллиса и др. [332], Миллса
[333], Миллса и Марадудина [334].
Ограничимся далее рассмотрением спиновых возбуждений вблизи
поверхности ферромагнитного кристалла. Аналогичная задача, но для
колебательного спектра решетки решалась Лифшицем и Розенцвейгом
[335]. В работах Филиппова [331] эта задача решалась, как и в случае-
— 664 -

локализованных примесей см. (§§ 6 и 7), в рамках теории локальных
возмущений. Здесь, однако, имеется своя специфика, поскольку плоский
дефект может считаться локализованным лишь в одном направлении.
Предположим, что обменное взаимодействие между атомами, лежа-
лежащими на поверхности кристалла, характеризуется обменным интегралом
А', а внутри кристалла — интегралом А. Для энергии % спиновых воз-
возбуждений, локализованных вблизи поверхности кристалла @10) п. к.
решетки, совпадающей с координатной плоскостью xz, в гармоническом
приближении имеем
— coskx —
где ради краткости введены обозначения
? 1
е= — 2?B — coskx-coskz), % = i—A'/A,
кх и kz — компоненты безразмерного двумерного волнового вектора к
(измеряемого в единицах параметра решетки а). Выражение для энергии
Ш справедливо при е ^ 0 и при
е^-2. Величина | служит мерой
отклонения обменного взаимодейст-
взаимодействия вблизи поверхности кристалла
от такового же в объеме кристалла.
Видно, что если Л' = А, то второе
слагаемое в выражении для Ш выпа-
выпадает и Щ будет совпадать с частным
видом энергии спиновых волн иде-
идеального ферромагнетика с кубиче-
кубической решеткой. Таким образом, все
отличие найденного спектра спино-
спиновых волн от спектра идеального без-
безграничного кристалла связано со
вторым слагаемым или в конечном
счете с различием обменного взаимо-
взаимодействия внутри и па поверхности
ферромагнетика.
На рис. 21.48 представлена за-
зависимость %I1AS от кх (при kz = 0)
при разных значениях параметра |.
Видно, что при каждом данном кх
энергия найденных возбуждений всегда меньше соответствующей энергии
спиновых волн идеального ферромагнитного кристалла (верхняя кривая
при I = 0).
Волновая функция найденных возбуждений, например при е ¦< 0,
имеет вид
о
Рис. 21,48. Зависимость энергии (в относи-
относительных единицах 6/2AS) спиновых возбуж-
возбуждений, локализованных вблизи поверхности
кристалла @10) с п.к. решеткой от проекции
волнового вектора he (в единицах параметра
решетки а и при kz = 0) для различных зна-
значений параметра | = 1— А'/А, ? = 0 — верх-
верхняя кривая соответствует идеальному фер-
ферромагнетику.
Фп, у =
— -|-j , г/>0,
B1.135)
где б = 1/1п | 1 — е | имеет смысл глубины проникновения волн внутрь
от поверхности кристалла, п — радиус-вектор (в единицах постоянной ре-
решетки а), определяющий положение спина в плоскости, параллельной
поверхности кристалла, у — координата (дискретная) спина вдоль нор-
нормали к поверхности, ф0 — постоянный нормирующий фактор. Из B1.135)
видно, что при увеличении у, т. е. при удалении от поверхности кристал-
кристалла волновая функция фЯ) у убывает, в то же время она имеет вид плоской
волны в плоскости, параллельной поверхности кристалла, т. е. найденные
возбуждения представляют собой поверхностные спиновые волны. В слу-
случае антиферромагнетиков поверхностные спиновые волны исследованы
в работе [381].
- 665 —

В связи с вопросом о влиянии дислокаций на ферромагнитные свой-
свойства кристаллов упомянем исследования Шарпа и др. [397, 398], которые
наблюдали в чистых монокристаллах NaCl при гелиевых температурах
ферромагнитные свойства. С целью объяснения своих экспериментальных
результатов авторы высказали предположение, что щелочно-галоидные
кристаллы типа NaCl могут обладать ферромагнетизмом, целиком обуслов-
обусловленным находящимися в реальных кристаллах дислокациями. По этой
гипотезе в каждой элементарной ячейке, находящейся на дислокации,
имеется нескомпенсированный электронный спин, обменная связь которо-
которого со своими «соседями по дислокации» описывается положительным инте-
интегралом обмена, оценка которого дает для точки Кюри сотни градусов.
Теоретический анализ простейшей модели, построенной по гипотезе Шар-
Шарпа и Эвери, а именно периодической плоской сетки, состоящей из линей-
линейных цепочек спинов, провели Косевич и Шкловский [399]. За подробно-
подробностями отсылаем читателей к цитированным оригинальным работам.
§ 9. Зависимость среднего атомного магнитного момента сплава
от состава и степени порядка по s — й-модели
Рассмотрим теперь зависимость среднего атомного магнитного момен-
момента ферромагнитных бинарных сплавов от состава и степени дальнего поряд-
порядка в рамках приводимых выше представлений, но с учетом влияния систе-
системы электронов проводимости, по схеме, принятой в работе Вонсовского
и Власова [263] [см. также Дорфман A955)]. Используя s — d-обменную
модель (Вонсовский [133]), приводящую к выводу о «подмагничивании»
электронов проводимости в переходных ферромагнитных металлах, мож-
можно, как мы видели (см. гл. 20), объяснить дробные значения средних атом-
атомных магнитных моментов даже в чистых ферромагнитных металлах. Сво-
Свободная энергия ферромагнетика рассчитывается в предположении, что
энергия s — d-связи мала (по сравнению с энергией Ферми и прямым
d — d-обменом). Тогда из условий минимума полной свободной энергии
относительно парциальных намагниченностей внутренних и внешних
электронов можно найти равновесное значение намагниченностей и, сле-
следовательно, средний атомный магнитный момент.
Для определения обменной энергии взаимодействия электрона про-
проводимости с внутренними применялся метод Смирнова [336], согласно
которому при вычислении волновых функций и энергии электрона прово-
проводимости сплав заменяется чистым металлом, состоящим из эффективных
атомов со средней потенциальной энергией электрона, а частично упоря-
упорядоченный сплав заменяется полностью упорядоченным сплавом из соответ-
соответственно подобранных атомов. В результате расчета для среднего магнит-
магнитного момента в случае неупорядоченного сплава была получена формула
Цепл=Ц<г+и1х8. B1.136)
где ца и \is — средние атомные моменты соответственно внутренних и внеш-
внешних электронов, вычисленные в первом приближении по правилу смеше-
смешения, а к—-отношение двух квадратичных функций концентраций одной
из компонент сплава па:
, = 4*Йт- B1.137)
где величины а, а', C, Р' ж у, у' в рассматриваемом приближении
не зависят от состава. По порядку величины х определяется соотноше-
соотношением интеграла s—d-обмена Asa к энергии Ферми ?:
x«-i^i« 0,01 —0,1. B1.138)
- 666 -

Знак % определяется знаком параметра Asd- Из B1.137) вытекает общий
физический вывод о неприменимости правила простого смешения к ц спл,
что согласуется с опытом (см. начало настоящей главы).
Для упорядоченных сплавов с о. ц. к. решеткой и стехиометрического
состава типа Р-латуни параметр к квадратично зависит от степени даль-
дальнего порядка т) [см. B1.38)]:
и = 4! +ВД. B1.139)
В связи с изложенным здесь и выше заметим, что дробность атомных маг-
магнитных моментов как чистых металлов, так и сплавов и отклонение их
концентрационной зависимости от линейной (соответствующей правилу
смешения) могут быть связаны не только с s — d-обменной связью, но
и с другими причинами (см. выше §§ 2 и 3). Из реальных оценок вели-
величины к по B1.138) следует, что s — d-обмен не может приводить к очень
большим изменениям Asd\i величин атомных магнитных моментов. По-ви-
По-видимому, как правило, Asd\i =€J ОДцв-
§ 10. Средний магнитный момент сплава с обменными
взаимодействиями разных знаков
Одна из причин, приводящих к дробности \хспл и нарушению правила
смешения, была рассмотрена в интересных работах Сидорова и Дорошенко
[325, 337—341]. Эти авторы обратили внимание на то, что если рассмат-
рассматривать спины атомов компонент и соответствующие им магнитные моменты
ца и \ib как классические векторы, то при энергетических параметрах
обменного взаимодействия для пар ближайших соседей [см. B1.30)], удов-
удовлетворяющих условиям
Ааа>0, АаЬ>0 И АЪЬ < 0, B1.140)
в сплаве возможно неколлинеарное расположение атомных магнитных
моментов, которое и приводит к нарушению простого правила смешения.
Физически этот вывод можно понять из следующих простых рассуж-
рассуждений. Следуя Сидорову и Дорошенко, рассмотрим совершенно неупорядо-
неупорядоченный бинарный сплав. Атомы сорта Ъ (например, атомы Мп в сплаве
системы Ni — Мп) в количестве Nnb (на 1 см3) образуют A/2) Nzn% пар
Ъ — Ъ ближайших соседей (пь — концентрация атомов сорта b, N —
число атомов обоих сортов в единице объема, z — первое координационное
число). Поскольку по условию B1.140) Abb < 0, то моменты ць в каждой
такой паре должны взаимодействовать антиферромагнитно, т. е. стре-
стремиться ориентироваться антипараллельно. Однако каждый из атомов Ъ
в среднем окружен z A — пь) атомами сорта а, которые [по условию
B1.140) Ааь > 0] будут стремиться ориентировать векторы \ib параллель-
параллельно самопроизвольной намагниченности сплава, ибо их собственные маг-
магнитные моменты ца испытывают такое же ориентирующее влияние (Ааа >
> 0) со стороны ближайших z A — nb) соседних атомов того же сорта а.
В итоге этих двух противоположных тенденций — антиферро- и ферромаг-
ферромагнитной ориентации — магнитные моменты атомов сорта Ь, входящих
в каждую из A/2) Nzn% пар Ъ — Ъ, не полностью скомпенсируются, по-
поскольку угол между ними будет меньше я. Таким образом, для вклада ато-
атомов сорта Ъ в намагниченность сплава имеем
Hb(nb) = [Nnb-NznlXb(nb)]iib, B1.141)
тде коэффициент Хь(пь), зависящий от состава сплава, очевидно, удовле-
удовлетворяет условиям
0<А,ь(пь)<1. B1.142)
- 667 —

Если | Аъь | Э" I Aab I и I Aaa \ , то Ль (щ) ->¦ 1, поскольку неколлинеар-
неколлинеарность антипараллельных моментов в парах Ъ — Ъ будет очень мала.
При произвольных конечных параметрах | АЬь | , | АаЬ | и | Ааа | вели-
величина Яь (щ) < 1 и стремится к нулю при | Аъъ \ -*¦ 0. Векторная сумма
магнитных моментов Nzribkb (щ) атомов Ъ равна нулю. Поскольку каждый
из них вследствие условия Ааь > 0 стремится ориентировать магнитные
моменты ближайших атомов сорта а, количество которых в среднем равно
z A — пь), параллельно собственному моменту, то Nznp^b (nb) z A — nb)
X Яа(«ь) атомов сорта а также скомпенсируют свои моменты. Здесь
z A — пь) Ха (пь) имеет смысл среднего эффективного числа атомов сор-
сорта а, ориентирующих свои магнитные моменты параллельно магнитному
моменту каждого из Nznp^b {пъ) атомов Ъ. Поэтому для вклада атомов
сорта а в намагниченность сплава получим
а, B1.143)
где Xa(»b)>0. Складывая B1.141) и B1.143) и деля сумму на N, нахо-
находим для среднего атомного магнитного момента неупорядоченного бинар-
бинарного ферромагнитного сплава следующее выражение:
Цспл (Пъ) = [ 1 — ПЬ — Z2n% A—Пь) Ка (Пъ) ЯЬ (пЬ) ] Jla +
+ [nb-znlXb(nb)]\ib. B1.144)
Поскольку ца > 0 и ць > 0 по определению, то отрицательные зна-
значения коэффициентов при jxa и \хь в B1.144) не имеют физического смысла.
Поэтому (хспл (иь) может равняться нулю, если эти коэффициенты по от-
отдельности равны нулю. Отсюда следует, что
K(n°b)Xb(n0b) = z-2(n0b)-2; ЯьК) = 2-1К)-1; Xa(n°b) = kb(n°b), B1.145)
где п% —концентрация атомов сорта Ъ, при которой цспл (пь) = 0. Из B1.145)
и B1.142) находим, что
-<ng<l. B1.146)
Z
Величина пь не зависит от ца и \ib и определяется соотношением модулей
параметров из B1.140). Сидоров и Дорошенко [325] рассмотрели прибли-
приближенно реальный неупорядоченный сплав, заменив его моделью с эффек-
эффективными вероятностями окружения атомов:
Pbb(nb) = nb+6(nb), Pba(nb) = l-nb-5(nb). B1.147)
Если учесть B1.147), то для хаотического распределения атомов ком-
компонент неупорядоченного сплава находим выражение
где
Можно показать, что параметр б (пь) может быть положительным, отри-
отрицательным и равным нулю. При пь = 0 и nb=nb
z(rc9J+rc9 i
б@) = 0; 6(ng)= bJ Л, b • B1.150)
ъ
Если б(иь)^0, то из B1.150) получаем
nl=-
— 668 —

Если 6(пь)^С0, т. е. равно нулю или принимает только отрицатель-
отрицательные значения, то
6Ы= ~42 P*<v' "b)v, B1.151)
v=0
где параметр х = 1, 2, . . ., z, Pz (v, щ) — вероятность того, что атом
сорта Ъ имеет среди z ближайших соседей v атомов того же сорта Ъ. Веро-
Вероятность Рz (v, пь) подчиняется биномиальному распределению
Р/„, „ \ z- „v/Л », \(z—v) /о» л cos
z IV, Пь) = —г; ГТ-ИМ1—Пь) • (Zl.lO^)
Таким образом, из B1.151), B1.148) и B1.144) видно, что теоретически
зависимость среднего атомного магнитного момента неупорядоченного
бинарного сплава из компонент с магнитно активными атомами может
быть определена с помощью одного-единственного параметра, а именно
концентрации nl компоненты Ь, при которой сплав переходит в парамаг-
парамагнитное (антиферромагнитное) состояние. Как эта концентрация зависит
от параметров Ааа, Аъъ и АаЬ, рассматриваемая феноменологическая тео-
теория, конечно, не может предсказать.
Для сравнения теории с опытом Сидоров и Дорошенко [325] восполь-
воспользовались случаем подробно изученной системы неупорядоченных сплавов
Ni — Мп, дополнив их своими измерениями (см. также работы [9, 342—
345]). В этих сплавах п% « 27 ат.% Mn, z = 12 (решетка г. ц. к.) и поэто-
поэтому б (пь) < 0. Из B1.148) и B1.144) находим в этом случае
X
X {Z [ 1 — ПМп — б ( ПМп) ] XN1XMn^Ni + ^Mn^Mn} • B1.153)
Первые два слагаемых дают изменение среднего атомного момента за счет
простого замещения атомов Ni атомами Мп, т. е. по правилу смешения.
Третий член в B1.153) дает уменьшение момента сплава за счет появления
пар Мп — Мп. В B1.153), кроме цуц и цмп, входит только один неизвест-
неизвестный параметр х, который определяет функцию б (пь) по B1.151) и коэффи-
коэффициенты Xni и Ямп по B1.149). Значение nl, необходимое для их вычисле-
вычисления, находим после подстановки B1.150) в B1.151):
IS;:'. B4.154,
v=0 b
Графическое решение уравнений B1.154) позволяет вычислить значение
п% для всех х (х = 1, 2, . . ., z = 12). В частности, для случая х = 3
получаем п% = 27 ат.%. Для неупорядоченных Ni — Мп сплавов значе-
значение пущ по данным Кайи и Куссмана [342] равно 26,8 ат.%, а по данным
Хана и Кнеллера [344] равно 27,2 ат.%, что хорошо согласуется со значе-
значением пь, рассчитанным для х = 3. Для х = 3 находим
=0,27, в(в})= -0,043, Ха=0,294, Яь =
1 B1155)
. )
Предполагая, что piNi и jj,Mn с достаточной точностью не зависят от соста-
состава сплава (как мы видели выше в ряде случаев нейтронные измерения это
подтверждают *), естественно принять ц№ = 0,6}Хб (т. е. значение для
*) Укажем, однако, что в принципе могут быть случаи, когда магнитные момен-
моменты атомов отдельных компонент в сплаве могут существенно зависеть от его состава,
от характера окружения атомов ближайшими соседями и т. п. Поэтому схема расчета,
предложенная Сидоровым и Дорошенко [325], имеет смысл лишь в тех случаях,
когда зависимость ца и ць от состава и т. п. не очень существенна либо известен закон
изменения атомных магнитных моментов (например, по нейтронным измерениям).
- 669 —

чистого никеля) и цМп = 3,2цБ (по данным Шалла и Уилкинсона [34]
для упорядоченного сплава Ni3Mn). На рис. 21.49 сплошной кривой
изображена зависимость цспл (пь), вычисленная для указанных значений
M-Ni и piMn по формуле B1.153) с использованием B1.155) при х = 3.
На рис. 21.49 также приведены экспериментальные значения, проэкстра-
полированные к Т = 0° К из работ [9, 325, 342—345]. Пунктирная пря-
прямая на рис. 21.49 соответствует правилу простого смешения, не учитываю-
учитывающему влияния пар Мп — Мп.
Из рис. 21.49 видно, что теория хорошо описывает опыт. Небольшие
отклонения при иМп > 20 ат. % можно объяснить ошибками при экстра-
экстраполяции магнитных измерений на Т = 0° К или зависимостью цуц и цмп
от состава сплава. Например, по нейт-
ронографическим данным Шалла и
Уилкинсона [34] в упорядоченном
сплаве Ni3Mn момент цш = 0,Зцб-
В другой работе Сидоров и Доро-
Дорошенко [337] провели подобное же срав-
сравнение теории с опытом для неупорядо-
неупорядоченных сплавов системы Ni — Fe с
г. ц. к. решеткой (от 0 до 70 ат. % Fe).
Экстраполяция Цш-Fe (п^е) на ось кон-
центраций по данным Кондорского и
Федотова [33], Крэнгла и Халлама [29]
показывает, что jiNi-Fe = 0 при пре ~
«74ат. %. Есть основания полагать*)
(см. Кондорский [347], Хатерли и др.
[348]), что в этих сплавах также вы-
выполняется условие B1.140) С ^Ni-Ni > 0.
^Ni-Fe > 0 И A-pe-Fe < 0. В даННОМ
случае расчет дает, что при п°ре = 0,744
параметр х = 12. На рис. 21.1 при-
приведена теоретическая кривая для
jj,Ni-Fe (n$e) и результаты измерений из
работ [29, 33—35]. По данным работ
[34—36] момент ц^е в сплавах Fe—Ni
практически постоянен, a jxni несколь-
несколько возрастает с ростом п$е- Для расчета принято цш = 0,604цв и \iye = •
= 2,8цв- Согласие теории с опытом и в данном случае очень хорошее.
Из сравнения рис. 21.49 и 21.1 видно, что «загиб» кривой, обуслов-
обусловленный «неколлинеарностью» из-за взаимодействия пар Fe — Fe, в слу-
случае сплавов Fe — Ni происходит при заметно больших концентрациях
Fe, чем для Мп в случае сплавов Ni—Мп. Это, по-видимому, связано
с тем, что параметр | ^Fe-Fe I значительно меньше двух других (см. выше).
В итоге можно сказать, что в неупорядоченных сплавах, где выполняет-
выполняется условие B1.140) и магнитные моменты атомов компонент не очень
существенно зависят от состава сплава, наличие антиферромагнитно взаи-
взаимодействующих пар атомов одной из компонент приводит к своеобразному
ферримагнетизму для концентраций, меньших nl, и к особому типу «не-
«неупорядоченного» антиферромагнетизма при пь > п%; характерной осо-
особенностью его является то, что компенсация магнитного момента проис-
происходит не в пределах элементарной ячейки, а по всему объему неупорядо-
неупорядоченного сплава.
Сидоров и Дорошенко [338, 340] обобщили свои расчеты и для случая
упорядочивающихся сплавов. При этом характер формул B1.144), B1.148)
8 iz w го гк гв
Концентрация Ш.ат '/,
Рис. 21.49. Значения среднего магнитно-
магнитного момента |аспл (иа а^ом сплава) для
неупорядоченных сплавов Ni — Мп, вы-
вычисленные по формуле B1.153) (сплош-
(сплошная кривая) и экспериментальные точки:
1 — Кайя и Куссман [342]; г — Садрон
[9]; 3 — Пирси и Морган [343]; 4 — Хан
и Кнеллер [344]; 5 — ван Эльст и др.
[345]; в — Сидоров и Дорошенко [325].
*) Абрагамс и др. [346], используя нейтронографический метод, показали, что
г. ц. к. железо обладает антиферромагнетизмом с точкой Нееля в^ да 8° К.
- 670 —

и B1.151) остается прежним, но вместо концентрации пь в качестве аргу-
аргумента функций (хспл (щ), Ха {пь), К (пь), о (пь), характеризующих для
совершенно неупорядоченного сплава вероятность ближайшего соседства
Ъ — Ъ, во все формулы войдет вероятность рьь, которая определяет бли-
ближайшее окружение атома & и в общем случае зависит от щ, степени даль-
дальнего порядка т) и корреляции в сплаве гьь. Рассуждая аналогично тому,
как это сделано при выводе формулы B1.144), и приняв во внимание, что
число пар Ъ — Ъ равно A/2) Nznbpbb, а среднее число атомов а, ближай-
ближайших к каждому атому Ъ, равно zpba, получим для среднего магнитного
момента на атом сплава с любым состоянием упорядочения выражение
Цспл (Ръь) = [1 — пЬ — Z2nbpbbpbaXa (pbb) ХЬ (рьь)] Ца +
4- [ПЬ — ZTlbPbb^b (Pbb)] ЦЬ> B1 -I56)
где pbb — функция трех переменных пь, т), ebb. Значение параметра х
для конкретного сплава может быть определено, если известно п% для
определенного состояния упорядочения. Сравнение экспериментальных
и расчетных значений (хспл для максимально упорядоченных сплавов (Ni —
Мп) (см. работы Сидорова и Дорошенко [338—341]) позволило предска-
предсказать ряд структурных особенностей упорядоченных сплавов Ni — Мп.
Дальнейшие нейтронографические исследования упорядоченных спла-
сплавов Ni — Мп подтвердили эти выводы (см. [338—340]).
На основе представлений, развитых в этом параграфе, удалось коли-
количественно описать концентрационные зависимости (д,спл упорядоченных
сплавов Pt — Мп (Сидоров и Дубинин [349]; см. также [353]) и тройных
сплавов Fe (Рс^Р^-^з (Сидоров и др. [350], а также [351, 352]) и объяс-
объяснить особенности перехода от ферро- к антиферромагнитному состоянию,
имеющему место при изменении концентрации этих сплавов.
Успех изложенной здесь феноменологической теории, оперирующей
с атомными моментами как с классическими векторами, связан с тем, что
в конечные формулы для (хопп входят средние значения проекций атомных
моментов на направление самопроизвольной намагниченности. По мере
увеличения в сплаве отрицательных обменных взаимодействий, связан-
связанных с ростом числа пар Ъ — Ь, средние проекции ца и ць убывают, обра-
обращаясь в нуль при ni.
На квантовомеханическом языке этому процессу соответствует «сокра-
«сокращение» z-проекции суммарного спина ферромагнитного кристалла, содер-
содержащего примесь в виде пары антиферромагнитно взаимодействующих
между собой атомов. Решение задачи об основном состоянии такого кри-
кристалла и вытекающие из него качественные следствия для намагничен-
намагниченности сплава, удовлетворяющего условиям B1.140), описано выше в § 7.
§ 11. Заключительные замечания
Вопрос об атомных магнитных моментах в металлах и сплавах металлов детально'
рассмотрен также в ряде работ Гудинафа [382, 383] [см. также Гудинаф A969)]. Он
исходит из следующего основного предположения: для внешних электронов атома,
характеризующихся квантовыми числами п, I, можно указать некоторое критическое
межъядерное расстояние двух таких атомов Дс (п, I). Если фактическое расстояние
между атомами ближайшими соседями Ддс < Дс (п, I), то соответствующие электроны
можно описывать в кристалле по коллективизированной модели; если же Ддс > Дс (п,
I), то применима модель локализованных электронов. Далее Гудинаф считает, что для
внешних s- и р-электронов всегда Ддс < Дс (ге, I), а для 4/-электронов всегда Д<5С >
> Дс D/). Поэтому s- и р-электроны хорошо описываются коллективизированной
моделью, а 4/-электропы — локализованной (см. выше гл. 20). В случае же З^-электро-
нов могут осуществляться оба неравенства: R^c g Дс (п, I), и поэтому в кристалле могут
одновременно присутствовать как коллективизированные, так и локализованные 3d-
электроны. Эта возможность, по-видимому, связана с резкой анизотропией прострап-
ственного распределения электронной плотности в d-состояниях. В случае Ы- и 5d-
электронов в металлах практически всегда Ддс < Дс (id), Дс Ed), т. е. имеет место'
- 671 -

коллективизация d-электронов. Используя теорию кристаллического поля (поля лиган"
дов, см. гл. 10). Гудинаф [383] [см. также Гудинаф A969)] проводит конкретный модель-
модельный анализ зонной структуры (энергетический спектр и кривые плотности состояний
в подполосах и т. п.) на основании которого делает оценки атомных магнитных моментов
в металлах и сплавах. За подробностями отсылаем читателя к цитированным выше ори-
оригинальным работам [382, 383] и монографии Гудинафа A969).
Хотя современная теория ферромагнетизма и позволяет качественно понять мно-
многие свойства металлических сплавов, количественная сторона теории еще очень далека
от?завершения. В связи с этим представляет интерес работа Биби [384], в которой
делается попытка строго статистического подхода к квантовой трактовке электронной
структуры сплавов вообще и сплавов с участием d-металлов в частности. См. также
работы [385—396].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 21
1. F. H e u s 1 е г, Verhandl. Deut. Phys. Ges. 5, 219 A903).
2. A. J. Bradley, J. W. Rodger s, Proc. Roy. Soc. A144, 340 A934).
3. D. P. О x 1 e y, R. S. T e b Ы е, К. С Williams, J. Appl. Phys. 34, 1362
A963).
4. B. T. Mattias, R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. 109, 604 A958).
5. B. T. Matthias, A. M. С 1 о g s t о n, H. J. Williams, E. Coren-
z w i t, R. D. S h e г w о о d, Phys. Rev. Lett. 7, 7 A961).
6. L. С г e v e 1 i n g, H. L. L u o, G. S. К n a p p, Phys. Rev. Lett. 18, 851 A967).
7. W. С Ellis, E. S. G e i n e r, Trans. Am. Soc. Metals, 29, 415 A941).
8. F. Forrer, J. phys. rad. 1, 49 A930).
9. С S a d г о n, Ann. de phys. 17, 371 A932).
10. S. A. Ahem, M. I.Martin, W.Sncksmith, Proc. Roy. Soc. A248, 145
A958).
11. D. J. Oliver, W. S u с k s m i t h, Proc. Roy. Soc. A219, 1 A953).
12. A. A r г о t t, Carnegy Inst. Thech. Rep. A954).
13. A. J. P. Meyer, С Wolff, Compt. rend. 246, 576 A958); J. phys. rad. 19,
60S A958).
14. V. M a r i a n, Ann. de phys. 7, 459 A937).
15. J. С r a n g 1 e, M. J. С M a r t i n, Phil. Mag. 4, 1006 A959).
16. M. F a 1 1 о t, Ann. de phys. 6, 305 A936).
17. M. F a 1 1 о t, Ann. de phys. 7, 420 A937); 10, 29 A938).
18. K. J. S t a n d 1 e у, К. Н. Reich, Proc. Phys. Soc. 68, 713 A955).
19. A. J. P. M e у е r, Compt. rend. 235, 1382 A952).
20. С F. В a g g 1 e y, Proc. Roy. Soc. A221, 549 A955).
21. N. F. M о t t, Proc. Phys. Soc, 47, 571 A935).
22. A. A r г о t t, H. S a t o, Phys. Rev. 114, 1420 A959).
23. D. Parsons, W. Sucksmith, J. E. Thompson, Phil. Mag. 3, 1174
A958).
24. С H. С h e n g, K. P. G u p t a, C. T. W e i, P. А. В е с k, J. Phys. Chem. Sol.
25, 759 A964).
25. K. P. G u p t а, С. Н. С h e n g, P. А. В е с k, Phys. Rev. 133, A203 A964).
26. H. S a t о, А. А г г о t t, Phys. Rev. 114, 1427 A959).
27. J. С S 1 at er, J. Appl. Phys. 8, 385 A937).
28. L. P a u 1 i n g, Phys. Rev. 54, 899 A938).
29. J. С r a n g 1 e, G. С H a 1 1 a m, Proc. Roy. Soc. A272, 119 A963).
30. P. W e i s s, R. F о г г е r, Ann. de phys. 12, 297 A929).
31. J. С г a n g 1 e, Phil. Mag. 2, 659 A957).
32. M. P e s с h a r d, Rev. Met. 22, 490, 581, 663 A925).
33. E. И. К о н д о р с к и й, Л. Н. Федотов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 432
A952).
34. С. G. Shu 11, М. К. Wilkinson, Phys. Rev. 97, 304 A955).
35. М. F. С о 1 1 i n s, R. V. J о n e s, R. D. L a u d e, J. Phys. Soc. Japan 17, В-Ш,
19 A962).
36. M. F. Collins, J. B. F о г s у t h, Phil. Mag. 8, 401 A963).
37. G. G. E. Low, M. F. Collins, J. Appl. Phys. 34, 1195 A963).
38. С. В. В о и с о в с к и й, Ю. А. И з ю м о в, УФН 77, 377 A962).
39. Т. I г и у a m a, D. J. Kim, R. К u b о, J. Phys. Soc. Japan 18, 1025 A963).
40. J. F г i e d e 1, J. Phys. Rad. 19, 573 A958).
41. J. F г i e d e 1, Nuov. cim., Suppl. № 2, 7, 287 A958).
42. J. F r i e d e 1, J. phys. rad. 23, 692 A962).
43. M. F.Collins, G.G. Low, I.de phys. 25, 596 A964).
44. G. S h i r a n e, R. N a t h а и s, С W. Chen, Phys. Rev. 134, A1547 A964).
45. J. W. С а Ы e, E. O. W о 1 1 a n, W. С. К о e h 1 e r, Phys. Rev. 138, A755 A965).
46. С H. Cheng, С T.Wei, P.A. Beck, Phys. Rev. 120, 426 A960).
47. С. Т. W e i, С. Н. С h e n g, Phys. Rev. 124, 722 A961).
48. K. P. G и p t а, С. Н. С h e n g, P. А. В е с k, J. phys. rad. 23, 721 A962).
- 672 -

49. П. А. Б е к (ред.), Сб. «Электронная структура переходных металлов и химия пх
сплавов», Изд-во «Металлургия», М., 1966.
50. К. P. G u p t а, С. Н. С h e n g, Р. А. В е с k, J. Phys. Chem. Sol. 25, 1147 A964).
51. К. P. G u p t а, С. Н. С h e n g, Р. А. В е с к, J. Phys. Chem. Sol. 25, 73 A964).
52. N.F.Mott, Adv. Phys. 13, 352 A964).
53. J. W. С а Ы e, W. С. К о e h 1 e r, E. 0. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 136, A240 A964).
54. R. M. В о z о г t h, J. C. Suits, J. Appl. Phys. 35, 1039 A964).
55. R. M. В о z о г t h, R. J. G a m b i n o, Phys. Rev. 147, 487 A966).
56. A. Jayaraman, R. С Sherwood, H. J. Williams, E. Coren-
zwit, Phys. Rev. 148, 502 A966).
57. D. B. Me Whan, A. L. Stevens, Phys. Rev. 154, 438 A967).
58. R. M. В о z о г t h, J. Appl. Phys. 38, 1366 A967).
59. E. 0. W о 1 1 a n, J. Appl. Phys. 38, 1371 A967).
60. G. В usch, J. Appl. Phys. 38, 1386 A967).
61. С. Е. О 1 s e n, G. Arnold, N. N e г e s о n, J. Appl. Phys. 38, 1395 A967).
62. R. M. В о z о г t h, R. J. G a m b i n o, A. E. Clark, J. Appl. Phys. 39, 883
A968).
63. B. Lebech, Sol. State Comm. 6, 761 A968).
64. H. W. de Wijn, K. H. J. Buschoer, A. M. van D i e p e n, Phys. stat. sol.
30, 759 A968).
65. K. S e к i z a w a, K. Y a s u к о с h i, Phys. Lett. 11, 216 A964); J. Phys. Soc.
Japan 21, 684 A966).
66. J. В i j v о e t, B. de H о n, J. A. D e к к e r, F. van В e e k, Sol. State Comm. 3,
289 A965).
67. J. Pierre, R. P a u t h e n e t, Compt. rend. 260, 2739 A965).
68. H. R. Kirchmayer, K. H. S с h i n d 1, Zs. angew. Phys. 19, 517 A965).
69. D. G a i n о n, P. D о n z e, J. S i e r r o, Sol. State Comm. 5, 151 A967).
70. В. В a r b a r а, С. В ё с 1 e, R. L e m a i r e, R. P a u t h e n e t, J. Appl. Phys.
39, 1084 A968).
71. R. E. В о d n a s, H. S t e i n f i n k, K. S. V. L. N a r a s i m h a n, J. Appl.
Phys. 39, 1485 A968).
72. M. A t о j i, J. Chem. Phys. 48, 560 A968).
73. W. С T h о b u r n, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 110, 1298
A958).
74. S. A r a j s, D. S. M i 1 1 e r, J. Appl. Phys. 31, 213 (I960).
75. E. A. N e s b i t t, H. J. W i 1 1 i a m s, J. H. W e r n i k, R.C.Sherwood,
J. Appl. Phys. 33, 1674 A962).
76. S. W e i n s t e i n, R. S. Craig, W. E. Wallace, J. Appl. Phys. 34, 1354
A963).
77. D. S h a 1 t i e 1, J. H. Wernick, V. Jaccarino, J. Appl. Phys. 35, 978
A964).
78. H. E. N i g h, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, B. J. В e a n d r y, J. Chem.
Phys. 41, 3799 A964).
79. В. И. Ч е ч е р н и к о в, И. П о п, И. А. М а р к о в а, ЖЭТФ 47, 1257 A964);
ФММ 19, 290 A965).
80. И. Поп, В. И. Ч е ч е р н и к о в, О. П. Н а у м к и н, Е. М. Савицкий,
ФММ 19, 467 A965).
81. J. Р о р р 1 w е 1 1, А. М. Harris, R. S. T e b Ы s, Proc. Phys. Soc. 85, 347 "
A965).
82. Y. A 1 1 a i n, J. В a n n e г о t, В. С u г о 1 i, В. С о g b 1 i n, R. J e с s e r,
G. RaphaeU.de phys. 28, 98 A967).
83. К. П. Белов, P. 3. Левитин, С. А. Никитин, Л. И. Солнцева,
ЖЭТФ 54, 384 A968).
84. Н. R. Child, W. С. К о е h I e r, Phys. Rev. 174, 562 A968).
85. R. V i j а у а г a g h a v a n, S. К. М а 1 i k, V. U. S. R а о, Phys. Rev. Lett. 20,
106 A968).
86. L. V. Cherry, W. E. Wallace, J. Appl. Phys. 33, 1515 A962).
87. E. A. Skrabek, W. E. Wallace, J. Appl. Phys. 34, 1356 A963).
88. J. W. R о s s, J. С r a n g 1 e, Phys. Rev. 133, A509 A964).
89. S. С Abrahams, J. L. Berkstein, R. С Sherwood, J. H. Wer-
Wernick, H. J. Williams, J. Phys. Chem. Sol. 25, 1069 A964).
90. M. M a n s m a n n, W. E. Wallace, J. Chem. Phys. 40, 1167 A964).
91. В. И. Че черни к OB, H. M. Сперанский, В. Ф. Терехова,
Р. С. Р о ж к о в а, ФММ 20, 157 A965).
92. В. И. Ч е ч е р н и к о в, Н. М. С п е р а н с к и п, Э. В. М а с л о в а, В. Ф. Т е -
р е х о в а, ФММ 20, 299 A965).
93. Н. В а г t h о 1 i n, В. van Laar, R. Lemaire, J. Schweizer, J. Phys.
Chem. Sol. 27, 1287 A966).
94. R. Lemaire, R. Pauthenet, J. Schweizer, I. S. Silwera, J.
Phys. Chem. Sol. 28, 2471 A967).
95. R. Lemaire, D. P а с с a r d, R. Pauthenet, Compt. rend. 263, B1280
A967).
43 С В. Вонсовский — 673 —

96. J. Laforest, R. Lemaire, D. Paccar d, R. Pauthenet, Compt.
rend. 264, B677 A967).
97. D. Paccard, R. Pauthenet, Compt. rend. 264, B1056 A967).
98. R. Lemaire, D. Paccard, R. Pauthenet, J. Schweizer, J. Appl.
Phys. 39, 1092 A968).
99. H. К at sur aki, S. Y о s h i i, J. Phys. Soc. Japan 24, 1171 A968).
100. H. R. С h i 1 d, W. С. К о e h 1 e r, A. H. M i 1 1 h о u s e, J. Appl. Phys. 39, 1329
A968).
101. J. Owen, M. Browne, A. F. Kip, Phys. Rev. 100, 965 A955).
102. J. Owen, M. Browne, W. D. Knight, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 102,
1501 A956).
103. J. О w e n, M. В г о w n e, V. A r p, A. F. К i p, J. Phys. Chem. Sol. 3, 324 A957).
104. R. M. В о z о r t h, P. A. W о 1 f f, D. D. Davis, V. В. С о m p t о n,
J. H. W e r n i с к, Phys. Rev. 122, 1157 A961).
105. A. R. К a u f m a n n, S. T. P a n, J. R. С 1 a r k, Rev. Mod. Phys. 17, 87 A945).
106. Ю. Н. Ц и о в к и н, Н. В. В о л к е н ш т е й н, ФММ 19, 133, 367 A965).
107. Ю. Н. Циовкин, Н. В. Волкенштейн, ФТТ 7, 543 A965); ЖЭТФ 48
796A965); Л. А. У г о д н и к о в а, Ю. Н. Циовкин, ФММ 28, 223 A969).
108. J.E.Zimmerman, F. E. Hoar e, J. Phys. Chem. Sol. 17, 52 A960).
109. L. Т. Crane, J. E. Zimmerman, J. Phys. Chem. Sol. 21, 310 A961).
110. J. P. Franc k, F. D. Manchester, D. L. Martin, Proc. Roy. Soc. A263,
494 A961).
111. L. T. Crane, J. E. Zimmerman, Phys. Rev. 123, 113 A961).
112. R. Tournier, L. Weil, J. phys. rad. 23, 522 A962).
113. R. Tournier, J.J.Veyssie, L. Weil, J. phys. rad. 23, 672 A962).
114. M. W. К 1 e i n, Phys. Rev. 136, A1156 A964); J. Appl. Phys. 35, 944 A964).
115. L. Т. С г a n e, Phys. Rev. 125, 1902 A962).
116. J. de Nobel, F. J. du С h a t e n i e r, Physica 25, 969 A959).
117. H. Kuhlewein, Wiss. Verof. Simens Konz. II, Hf. 1, 124 A932).
118. M. F. Collins, D. A. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 A963).
119. I. S. Jacobs, R. W. S с h m i t t, Phys. Rev. 113, 459 A959).
120. R. W. S с h m i t t, I. S. J а с о b s, Canad. J. Phys. 34, 1285 A956); J. Phys.
Chem. Sol. 3, 324 A957).
121. O. S. Lutes, I. L. S с h m i t t, Phys. Rev. 134, A676 A964).
122. T. Van Peski-Tinbergen, A. J. Dekker, Physica 29, 917 A963).
123. G. J. Van den Berg, J.de Nobel, J. phys. rad. 23, 665 A962).
124. J.S. Kouvel, J. Phys. Chem. Sol. 24, 795 A963).
125. D. К. М а с Donald, Thermoelectricity, Wiley, N. Y., 1962.
126. J. С r a n g 1 e, Phil. Mag. 5, 335 A960).
127. J. Crangle, W. R. Scott, Phys. Rev. Lett. 12, 126 A964); J. Appl. Phys.
36, 921 A965).
128. J. Cable, E. W о 1 1 a n, W. К о e h 1 e r, J. Appl. Phys. 34, 1189 A963).
129. F. Heiniger, E. Bucher, J. Muller, Phys. kondens. Materie, 5, 243
A966).
130. W. С Phillips, Phys. Rev. 138, A1649 A965).
131. K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 A957).
132. С. П. Шубин, С. В. В о н с о в с к и й, Phys. Zs. UdSSR 7, 292 A935),
133. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 A946).
134. М. A. R u d e r m a n, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 96, 99 A954).
135. А. А. Абрикосов, Л. П. Г о р ь к о в, ЖЭТФ 43, 2230 A962).
136. С. В. В о и с о в с к и й, 10. А. И з ю м о в, УФН 78, 3 A962).
137. С. В. Вонсовский, М. С. С в и р с к и й, ФММ 15, 316 A963).
138. D. J.Kim, Prog. Theor. Phys. 31, 921 A964).
139. A. W. Overhauser, Phys. Rev. Lett. 3, 414 A959); J. Phys. Chem. Sol, 13,
71 A960).
140. W. M a r s h a 1 1, Phys. Rev. 118, 1520 A960).
141. C. Herring, Частное сообщение.
142. M. W. К 1 e i n, R. В г о u t, Phys. Rev. 132, 2412 A963).
143. H. Marge nau, W. Watson, Rev. Mod. Phys. 8, 22 A936).
144. M. W. К 1 e i n, Phys. Rev. Lett. 11, 408 A963).
145. R. J. В о r g, R. В о о t h, С. Е. V i о 1 e t, Phys. Rev. Lett. 11, 464 A963).
146. M. W. К 1 e i n, Phys. Rev. Lett. 16, 127 A966).
147. С. В. Вонсовский, М. С. С в и р с к и й, ЖЭТФ 47, 1354 A964).
148. J. К о n d о, Prog. Theor. Phys. 33, 575 A965); Phys. Rev. 154, 644 A967).
149. N. F. Berk, J. R. S с h r i e f f e r, Phys. Rev. Lett. 17, 433 A966).
150. S. Doniach, S. Engelsberg, Phys. Rev. Lett. 17, 750 A966).
151. D. J. Kim, B. B. Schwartz, Phys. Lett. 24A, 77 A967).
152. B. T. Matthias, M. Peter, H. J. Williams, A. M. С 1 о g s t о n,
E. Corenzwit, R. С Sherwood, Phys. Rev. Lett. 5, 542 A960).
153. A. M. С 1 о g s t о n, B. T. M a t t h i a s, M. P e t e r, H. W i 1 1 i a m s, E. С о -
renzwit, R.Sherwood, Phys. Rev. 125, 541 A962); J. Phys. Soc. Japan,
Suppl. B-I, 17, 115 A962).
- 674 —

154. Н. К e i t e r, J. С. К i m b a 1 1, I и tern. J. Magnetism 1, 233 A971).
155. D. Gerstenberg, Ann. de phys. 2, 236 A958).
156. R. M. Bozorth, D. D. Davis, J. H. Wernick, J. Phys. Soc JaDan
Suppl., B-l, 17, 112 A962). ' F '
157. J. F г i e d e 1, Adv. Phys. 3, 446 A954).
158. J. F г i e d e 1, Canad. J. Phys. 34, 1190 A956).
159. P. de Faget, deCasteljau, J. Friedel, J. phys. rad. 17, 27 A956t
160. A. Blandin, J. Friedel, J. phys. rad. 19, 273 A958). ''
161. С R. V a s s e 1, J. Phys. Chem. Sol. 7, 90 A958).
162. E. D a n i e 1, J. Phys. Chem. Sol. 23, 975 A962).
163. G. F. К о s t e r, J. С Slater, Phys. Rev. 95, 1167 A954): 96, 1208 Г1954Ч
164. G. F. К о s t e r, Phys. Rev. 95, 1436 A954). v ''
165. A. M. С 1 о g s t о n, Phys. Rev. 125, 439 A962).
166. G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 A937).
167. H. F г о h 1 i с h, Proc. Roy. Soc. A215, 291 A952).
168. D. J. К i m, Phys. Rev. 149, 434 A966); J. Appl. Phys. 39, 702 A968)
169. P. W. A n d e r s о n, Phys. Rev. 124, 41 A961).
170. P. W. Anderson, Prog. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham 1965
171. P. A. W о 1 f f, Phys. Rev. 124, 1030 A961).
172. P. W. Anderson, A.M. С 1 о g s t о n, Bull. Am. Phys. Soc. 6 124 A961}
173. J. A. White, A. M. С 1 о g s t о n, J. Appl. Phys. 34, 1187 A963).
174. H. S u h 1, D. R. F r e d к i n, Phys. Rev. 131, 1063 A963).
175. D. J. Kim, Y. N a g а о к a, Prog. Theor. Phys. 30, 743 A963).
176. S. Alexander, P. W. Anderson, Phys. Rev. 133, A1594 A964)
177. P. Gottlieb, H. S u h 1, Phys. Rev. 134, A1586 A964).
178. M. Bailyn, Phys. Rev. 137, A1914 A965); Adv. Phys. 15, 179 A960).
179. K. Y о s i d a, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1965
180. Ю. А. И з ю м о в, Adv. Phys. 14, 569 A965).
181. A. C. Hews on, Phys. Rev. 144, 420 A966).
182. J. R. Schrieffer, D. С. М a t t i s, Phys. Rev. 140, A1412 A965)
183. D.J. Ki m, Phys. Rev. 146, 455 A966).
184. B. Kjollerstrom, D. J. Scalapino, J. R. Schrieffer Phvs
Rev. 148, 665 A966). '
185. J.Kanamori, Prog. Theor. Phys. 30, 275 A963); J. Appl. Phys. 36, 929 A965)
186. K. S. Viswanathan, Phys. kondens. Materie 6, 1 A967)
187. W. M. L о m e r, Brit. J. Appl. Phys. 12, 535 A961).
188. W. M. L о m e r, Austr. J. Phys. 13, 451 A960).
189. W. M. L о m e r, Proc. Phys. Soc. 80, 489 A962); J. phys. rad. 23, 716 A962)
190. G.B.Brandt, J. A. Rayne, Phys. Rev. 132, 1945 A963).
191. F. G о u t i e r, J. Phys. Chem. Sol. 24, 387 A963); Ann. de phys. 10, 275 A965)
192. С W. С h e n, Phys. Lett. 7, 16 A963).
193. A. M. С 1 о g s t о n, Phys. Rev. 136, A1417 A964); Phys. Rev. Lett. 19 583 A967)
194. S. Alexander, Phys. Lett. 13, 6 A964).
195. В. Н. К а щ е е в, Acta phys. polon. 26, 257, 271 A964).
196. И. Г. Р а т и ш в и л и, ФТТ 7, 2933 A965); 8, 311, 3062 A966); ФММ 25 390
A968).
197. Ю. Г. Р у д о й, ФММ 20, 812 A965).
198. F. G a u t i e r, P. L о n g I a r t, Phys. Rev. 139, А705 A965).
199. E.Engelsberg, Phys. Rev. 139, A1194 A965).
200. J. des С 1 о i z e a u x, Phys. Rev. 139, A1531 A965).
201. S. D. S i 1 v e r s t e i n, Phys. Rev. Lett. 14, 140 A965).
202. A. P. К 1 e i n, A. J. H e e g e r, Phys. Rev. Lett. 15, 786 A965); Phys. Rev 144
458 A966); J. Appl. Phys. 37, 1346 A966).
203. M. F. Collins, G. G. Low, Proc. Phys. Soc. 86, 535 A965).
204. H. S u h 1, Physics 2, 39 A965); Phys. Rev. Lett. 17, 1140 A966); 19, 442 A967V
J. Appl. Phys. 39, 1294 A968).
205. I. S у о z i, Prog. Theor. Phys. 34, 189 A965).
206. Ю. А. Изюмов, М. В.Медведев, ФТТ 8, 2117 A966); ФММ 22, 506, 641,
801 A966).
207. J. R. Schrieffer, P. A. Wolff, Phys. Rev. 149, 491 A966).
208. G. Kemeny, Phys. Lett. 21, 137 A966); Phys. Rev. 150, 459 A966)- 156,
740 A967).
209. D. С L a n g r e t h, Phys. Rev. 150, 516 A966).
210. D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett. 16, 937 A966).
211. L. D w о г i n, Phys. Rev. Lett. 16, 1042 A966); Phys. Rev. 164, 818, 841 A967).
212. P. W. A n d e r s о n, Phys. Rev. Lett. 17, 95 A966); Phys. Rev. 164, 352 A967).
213. T. H. G e b a 1 1 e, B. T. Matthias, A. M. С 1 о g e s t о n, H. J. W i 1 1 i-
a m s, R. С S h e r w о о d, J. P. M a i t e r, J. Appl. Phys. 37, 1181 A966).
214. A. C. Hewson, M. J. Zuckermann, Phys. Lett. 20, 211 A966).
215. A. E. K. D о w s о n, Phys. Lett. 21, 374 A966).
216. B. Giovaunini, R. Paulson, J. R. Schrieffer, Phys. Lett. 23, 517
A966).
- 675 - 43*

217. S. Doniach, A. P. M u г a n i, Sol. State Comm. 4, 525 A966).
218. Ю. А. И з ю м о в, Proc. Phys. Soc. 87, 505 A966).
219. P. Lederer, А. В 1 a n d i n, Phil. Mag. 14, 363 A966).
220. С. В. Т я б л и к о в, В. К. Федянив, ФММ 23,999 A967).
221. М. S. Fullenbaum, D. S. F а 1 k, Phys. Rev. 157, 452 A967).
222. С. P. Flynn, G. W. S t u p i a n, Phys. Rev. Lett. 19, 572 A967).
223. Sang Boo Nam, J. Wing Fai Woo, Phys. Rev. Lett. 19, 649 A967).
224. J. A. Appelbaum, J. Kondo, Phys. Rev. Lett. 19, 906 A967).
225. D. С. М a t t i s, Phys. Rev. Lett. 19, 1478 A967).
226. N. К u m a r, K. P. S i n h a, Phys. Lett. 24A, 161 A967); Proc. Phys. Soc. 92
426 A967).
227. К. К u m e, Phys. Lett. 24A, 743 A967); J. Phys. Soc. Japan 23, 1226 A967).
228. T. L u к e s, M. R о b e г t s, Phys. Lett. 25A, 508 A967).
229. D. J. W. G e 1 d а г t, Phys. Lett. 26A, 31 A967).
230. G. Horwitz, M. F i b i с h, Sol. State Comm. 5, 859 A967).
231. S. Doniach, E. P. W о h 1 f а г t h, Proc. Roy. Soc. A296, 442 A967).
232. B. V. Thompson, D. A. L a v i s, Proc. Phys. Soc. 91, 645 A967).
233. M. I n о u e, Т. М о г i у a, Prog. Theor. Phys. 38, 41 A967).
234. В. Е. Найш, О. Б. Соколов, ФММ 25, 193; 26, 224 A968).
235. К. Yosida, Phys. Rev. 164, 879 A968).
236. J.A.Appelbaum, Phys. Rev. 165, 632 A968).
237. R. M. W h i t e, С. М. Н о g a n, Phys. Rev. 167, 480 A968).
238. M. L e v i n e, H. S u h 1, Phys. Rev. 171, 567 A968).
239. A. J. H e e g e r, L. B. Welch, M. A. Jensen, G. Gladstone, Phys.
Rev. 172, 302 A968).
240. M. E. R e n s i n k, Phys. Rev. 174, 744 A968).
241. D. J. Kim, B. Schwartz, Phys. Rev. Lett. 20, 201 A968); 21, 1744 A968).
242. V. Jaccarino, J. Appl. Phys. 39, 1166 A968).
243. А. В 1 a n d i n, J. Appl. Phys. 39, 1285 A968).
244. B. Coqblin, G. Tonlouse, J. Phys. Chem. Sol. 29, 463 A968).
245. H. A. Brown, W. F. P a r u s, Phys. Stat. Sol. 27, K17 A968).
246. В. С о q Ы i n, А. В 1 a n d i n, Adv. Phys. 17, 281 A968).
247. W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 49, 619 A928).
248. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 61, 206 A930).
249. F. В i t t e r, Phys. Rev. 54, 79 A938).
250. В. Е. Рудницкий, ЖЭТФ 10, 63 A940).
251. А. П. К о м а р, Изв. АН СССР, сер. физ. И, 497 A947).
252. А. П. К о м а р, Труды ИФМ УФАН 12, 50 A949).
253. С. В. В о н с о в с к и й, ДАН СССР 26, 364 A940).
254. С. В. Вонсовский, ЖТФ 18, 131 A948).
255. К. Ф. Войцеховский, ФММ 7, 445 A959).
256. Ян Ш и, ФММ 7, 161 A959).
257. Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 257 A949).
258. Н. Sato, Proc. Phys. Soc. Japan 3, 1, 8, 16 A948); Section Repts Japan Inst.
Mat. II, 1 A949); Japan Inst. Met. Sendai 13, 3 A949); Sci. Repts. Res. Inst. To-
hoku Univ. 1, 71 A949); A3, 13 A951); A4, 1, 160 A952); J. Phys. Soc. Japan 6,
65 A951).
259. T. M u t o, T. E g u с h i, M. S h i b u у a, J. Phys. Soc. Japan 3, 277, 284 A948).
260. T. Mut o, Y. T akagi, Solid State Physics, vol. 1, Acad. press, N. Y., 1955, p. 193
(пер. «Теория явлений упорядочения в сплавах», ИЛ, М., 1959).
261. Н. С. Акулов, ДАН СССР 66, 361 A949).
262. Н. S a t о, А. А г г о t t, R. К i k u с h i, J. Phys. Chem. Sol. 10, 19 A959).
263. С. В. Вонсовский, К. Б. Власов, ЖЭТФ 25, 327 A953).
264. F. J.duChatenier, J. de Nobel, Physica 28, 181 A962).
265. H. J о n e s, Phys. Rev. 134, A958 A964); Proc. Roy. Soc. A285, 461 A965).
266. A. D. В о a r d m a n, N. H. M a r с h, J. Phys. Chem. Sol. 25, 1435 A964).
267. P. E. В 1 о о n f i e 1 d, D. R. H a m a n n, Phys. Rev. 164, 856 A967).
268. G. Chouteau, R. Fourneaux, R. Gobrecht, R.Tournier, Phys.
Rev. Lett. 20, 193 A968).
269. J. Solyom, A. Zawadowski, Phys. State Sol. 25, 473 A968).
270. В. М. Даниленко, А. А. Смирнов, ФММ 14, 337 A962).
271. В. М. Даниленко, Д. Р. Р я з д в и н е ц к и й, А. А. Смирнов, ФММ
15, 194 A963).
272. В. М. Даниленко, Д. Р. Ряздвинецкий, А. А. Смирнов, ФММ
16, 3 A963).
273. Д. Р. Р я з д в п н е ц к п й, УФЖ 9, 218 A964).
274. Д. Р. Р я з д в и н е ц к и й, УФЖ 9, 309 A964).
275. Д. Р. Ряздвинецкий, Сб. «Вопросы физ. металлов и металловедения»,
№ 19, стр. 102 A964).
276. G. М. В о 1 1, Proc. Phys. Soc. 72, 649 A958).
277. G. М. В ell, Trans. Farad. Soc. 49, 122 A953).
278. G. M. В e 11, D. A. L a V i s, Phil. Mag. 11, 937 A965).
- 676 -

279. В. С. Горский, Phys. Zs. UdSSR 8, 443 A935).
280. W. L. Bragg, E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. A145, 699 A934).
281. В. В. Г е й ч е н к о, В. М. Д а н и л е н к о, А. А. С м п р н о в, ФММ 13, d21
A962).
282. Н. С. Курнаков, С. Ф. Жемчужный, М. И. Заседателе в, Изв.
СПБ политехнич. ин-та, 22, 487 A914); ЖРХО 47, 871 A915); J. Inst. Metals 15,
305 A916).
283. J. Crangle, D. Parson, Proc. Roy. Soc. A255, 509 A960).
284. В. Н. Гриднев, А. К. Б у т ы л е н к о, ФММ 19, 205 A965).
285. R. О. Williams, Trans. Met. Soc. AIME 212, 457 A958).
286. Т. Wolfram, J. Callaway, Phys. Rev. 130, 2007 A963).
287. Ю. А. Из юмов, М. В. Медведев, ЖЭТФ 48, 574 A965).
288. И. М. Л и ф ш и ц, Nuov. cim. 3, 716S A956).
289. И. М. Л и ф ш и ц, УФН 83,.617 A964).
290. В. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 2, 215 A956).
291. Ю. А. И з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 49, 1887 A965).
292. Ю. М. Каган, Я. И о с и л е в с к и й, ЖЭТФ 45, 819 A963).
293. Ю. А. И з ю м о в, М. В. М е д в е д е в, ФТТ 8, 2117 A966).
294. Т. W о 1 f r a m, W. Н а 1 1, Phys. Rev. 143, 284 A966).
295. D. Hone, H. С а 1 1 e n, L. Walker, Phys. Rev. 144, 283 A966).
296. N. К г о o, L. В a t a, Physics Lett. 24A, 22 A967).
297. IO. А. И з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 51, 517 A966).
298. Ю. А. И з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 48, 1723 A965).
299. Ю. А. И з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 51, 1423 A966).
300. Ю. А. И з ю м о в, Proc. Phys. Soc. 87, 521 A966).
301. G. A. M u г г а у, Proc. Phys. Soc. 89, 87, 111 A966).
302. A. J. Freeman, Phys. Rev. 130, 888 A963).
303. D. A. Goo dings, В. М о z e r, Phys. Rev. 136, A1093 A964).
304. J. Crangle, Phys. Rev. Lett. 13, 569 A964).
305. T. A. Kitchens, W. A. St eyert, R. D. Taylor, Phys. Rev. 138, A467 A965).
306. W. Kohn, С Majumdar, Phys. Rev. 138, A1617 A965).
307. S. A r a j s, Phys. Stat. Sol. 11, 121 A965).
308. С E. V i о 1 e t, R. J. В о г g, Phys. Rev. 149, 540 A966).
309. J. S 6 1 у о m, Phys. Lett. 23, 305 A966).
310. T. J. В a s t о w, Proc. Phys. Soc. 88, 935 A966).
311. B. D. D u n 1 a p, J. G. D а с h, Phys. Rev. 155, 460 A967).
312. S. H. L i u, Phys. Rev. 157, 411 A967); 163, 472 A967).
313. M. A. J e n s e n, Phys. Rev. Lett. 18, 997 A967).
314. M. P. M a 1 e y, R. D. T а у 1 о r, J. L. T h о m p s о n, J. Appl. Phys. 38, 1249
A967).
315. A. D. С a p 1 i n, Phys. Lett. 26A, 46 A967); Proc. Phys. Soc. 92, 731 A967).
316. G. Horwitz, S. Alexander, M. Fibich, Phys. Rev. 168, 495 A968).
317. M. Fibich, G. Horwitz, Phys. Rev. 168, 508 A968).
318. H. U. Everts, B. N. Ganguly, Phys. Rev. 174, 594 A968).
319. Т. А. К i t с h e n s, W. L. T г о u s d a 1 e, Phys. Rev. 174, 606 A968).
320. S. Engelsberg, W. F. Brinkman, S. Daniach, Phys. Rev. Lett.
20, 1040 A968).
321. A. D. С a p 1 i n, С L. F о i 1 e s, J. P e n f о 1 d, J. Appl. Phys. 39, 842 A968).
322. I. A. Campbell, J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.) 1, 687 A968).
323. А. А. А б р и к о с о в, УФН 97, 403 A969).
324. Ю. А. И з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 55, 1123 A968).
325. С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, ФММ 18, 811 A964).
326. Y.Bando, J. Phys. Soc. Japan 19, 273 A964).
327. E. A. Owen, A. H. S u 1 1 e y, Phil. Mag. G) 31, 314 A941).
328. M. Peschard, Compt. rend. 180, 1475, 1836; 181, 99, 854 A925).
329. Э. М. П и к а л е в, М. А. Савченко, Тезисы докладов 14-го Всесоюзного
совещания по физике низких температур, IV—8, стр. 80, Харьков, 1967.
330. X. И. Пушкаров, М. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 54,
571 A968); X. И. Пушкаров, ФММ 27, 1031 A969).
331. Б. Н. Филиппов, ФТТ 9, 1339 A967); ФММ 24, ИЗ A967); ЖЭТФ 55, 208
A968); ФММ 29, 1131 A970), Б. Н. Филиппов, Л. Б. Партенский,
ФММ 28, 761 A969).
332. R. F. W а 1 1 i s, A. A. M a r a d u d i n, I. P. I p a t о v a, A. A. Klochik-
h i n, Sol. State Comm. 5, 89 A967).
333. D. L. M i 1 1 s, J. Phys. Chem. Sol. 28, 2245 A967).
334. D. L. M i 1 1 s, A. A. M a r a d и d i n, J. Phys. Chem. Sol. 22, 1855 A967).
335. И. М. Л и ф ш и ц, Л. Н. Р о з е н ц в е Й г, ЖЭТФ 18, 1012 A948).
336. А. А. С м и р н о в, ЖЭТФ 17, 730 A947).
337. С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, ФММ 19, 786 A965).
338. С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, ФММ 20, 44, 850 A965).
339. С. К. Сидоров, А. В.Дорошенко, Phys. Stat. Sol. 16, 737 A966).
340. А. В. Дорошенко, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1965.
- 677 -

341. А. В. Дорошенко, С. К. Сидоров, ФММ 21, 156 A966).
342. S. К а у а, А. К u s s m a n, Zs. Phys. 72, 293 A931).
343. G. R. Piercy, E. R. Morgan, Canad. J. Phys. 31, 529 A953).
344. R. H a h n, E. К n e 1 1 e r, Zs. Metallkunde, 49, 8, 426, 480 A958).
345. H. С van E 1 s t et al, Physica 28, 1297 A962).
346. S. С A b г a g a m s et al., Phys. Rev. 127, 2054 A962).
347. E. И. К о н д о р с к и й, ЖЭТФ 37, 1819 A959).
348. М. Н a t h е г I у, К. Н i г a k a w a, R. D. Lowde, I. F. М а 1 1 о t t,
М. W. S t г i g f e 1 1 о w, Proc. Phys. Soc. 84, 55 A964).
349. С. К. Сидоров, С. Ф. Дубинин, ФММ 24, 859 A967).
350. С. К. Сидоров, В. В. К е л а р е в, А. Г. Козлов, ФММ 26, 776 A968).
351. В. В. Илюшин, В. В. К е л а р е в, И. Я. Гетман, В. Е. А р х и п'о в,
С.К.Сидоров, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 968 A966).
352. В. В. К е л а р е в, С. К. Сидоров, В. В- К л ю ш и н, Р. 3. Абдулов,
Phys. stat. sol. 24, 385 A967).
353. С. Дубинин, С. Сидоров, А. Вохмянин, ФММ 27, 360 A969).
354. R. G. Butters, H. P. Myers, Phil. Mag. 46, 895 A955).
355. A. J. P. M е у е г, Compt. rend. 242, 2315 A956).
356. A. J. Р. М еу ег, P. T a g I a n g, J. phys. rad. 17, 457 A956).
357. L. H о w e,- H. Myers, Phil. Mag. 2, 554 A957).
358. H. 3. M и р я с о в, А. П. П а р с а н о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 23, 285
A959); Вестн. МГУ, № 1, 43 A959).
359. D. Morris, R. Preston, J. Williams, Proc. Phys. Soc. 73, 520 A959).
360. E. O. H a 1 1, Phil. Mag. 4, 730 A959).
361. S. T e z u к a, S. S а к a i, Y. N а к a g a w a, J. Phys. Soc. Japan 15, 931 A960).
362. K. Yasukochi, K. Kanamatsu, J. Phys. Soc. Japan 15, 932 (I960).
363. A. J. P. Meyer, M. J. В е s n u s, Compt. rend. 253, 2651 A961).
364. R. К i m u г а, Т. О h о у a m а, К. Е n d o, J. Phys. Soc. Japan 16, 1266 A961).
365. D. M о r r i s, G. D a v i e s, C.Price, J. Phys. Chem. Sol. 23, 109 A962).
366. D. P. M orris, С D. Pri ce, J. L. Hu ghes, Acta Cryst. 16, 839 A963).
367. D. P. Morris, C. D. Price, Proc. Phys. Soc. 81, 1074 A963).
368. T. H i г о n e, Т. К a n e к о, К. К о n d о, J. Phys. Soc. Japan 18, 65 A963).
369. E. W. С о 1 1 i n g s et al. Phil. Mag. 10, 159 A964).
370. K.Sato, Japan J. Appl. Phys. 5, 851 A966).
371. P. J. Webster, R. S. T e b bl e, Phil. Mag. 16, 347 A967).
372. B. van L a a r, Phys. Rev. 156, 654 A967).
373. S. О g a w a, Phys. Lett. 25A, 516 A967).
374. P. J. Webster, R. S. T e b Ы e, J. Appl. Phys. 39, 471 A968).
375. А. А. Г а л к и н и др. Письма ЖЭТФ 9, 646 A968).
376. Е. Кгёп, G. К a d a r, L. Р а 1, J. S 6 1 у о m, P. S z a b о, T.Tarnoczi,
Phys. Rev. 171, 579 A968).
377. L. С r e v e 1 i n g, Jr., H. L. L u o, Phys. Rev. 176, 614 A968).
378. G. B. Johnston, E. O. H a 1 1, J. Phys. Chem. Sol. 29, 193 A968).
379. R. H. F о r s t e r, G. B. J о h n s t о n, D. A. W h e e 1 e r, J. Phys. Chem. Sol.
29, 855 A968).
380. E. Нестеренко, И. Осипенко, С. Фирстов, ФММ 27, 135 A969).
381. R. E. DeWames, T. Wolfram, Phys. Rev. Lett. 22, 137 A969).
382. J.B.Goodenaugh, J. Appl. Phys. 29, 513 A958).
383. J. B. Goodenaugh, Phys. Rev. 120, 67 A960).
384. J. L. В e e b y, Phys. Rev. 135, A130 A964); Proc. Phys. Soc. 90, 779 A967).
385. P. P. С г a i g, В. М о z e r, Phys. Rev. Lett. 14, 895 A965).
386. J.Yamashita, Sh. Wakoh, S. Asano, J. Phys. Soc. Japan 21, 53 A966).
387. H. Kimura et al. J. Phys. Soc. Japan 21, 307 A966).
388. K. Y о s i d a, Phys. Rev. 147, 223 A966).
389. W. M. В г e e n, F. W о о t e n, Т. Н u e n, Phys. Rev. 159, 475 A967).
390. R. S e g n a n, Phys. Rev. 160, 404 A967).
391. A. E. Балабанов, Н. П. Делягин, А. Л. Ерзнанян, В. П. Пар-
Парфенова, В. С. Шпинель, ЖЭТФ 55, 2136 A968).
392. Л. Д. Д и д у х, И. В. С т а с ю к, ФММ 26, 582 A968).
393. С. В. Тябликов, В. К. Федянин, ФММ 26, 589 A968).
394. F. Leoni, С. Natoli, Nuov. cim. 55, В21 A968).
395. A. A. G о m ё s, I. А. С a m p b e 1 1, J. Phys. С. (Proc. Phys. Soc.) 1, 253 A968).
396. R. E. Walstedt, J. H. Wernick, Phys. Rev. Lett. 20, 856 A968).
397. T. A d a i r, E. S h a r p, С S q u i r e, J. Chem. Phys. 44, 3650 A966).
398. E. I. S h a r p, D. A. A v e r y, Phys. Rev. 158, 511 A967).
399. A. M. Косевич, В. А. Шкловский, ЖЭТФ 55, 1131 A968).
400. F. S t e r n, Phys. Rev. 116, 1399 A959).
401. J. H. W о о d, Phys. Rev. 126, 517 A962).
402. Т. М о r i у a, Prog. Theor. Phys. 33, 157 A965); 34, 329 A965); Tech. Rep. ISSP,
ser. A, № 153 A965).

Глава 22
ТЕОРИЯ АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМА И ФЕРРИМАГНЕТИЗМА *)
§ 1. Вводные замечания
При описании различных типов ферромагнитных веществ (см. гл. 17
и 19) уже отмечалось, что, кроме классических типов ферромагнетиков
Зй-металлов и их сплавов, имеется еще больший класс ферро- и антифер-
антиферромагнитных соединений **), во многих случаях обладающих одновре-
одновременно и полупроводниковыми свойствами. Наиболее типичными пред-
представителями этого класса веществ являются металлические окислы, так
называемые ферриты с кристаллографической структурой типа шпине-
шпинели, граната, перовскита и т. п. Для них общепринят термин ферримагне-
тики, а особый характер их ферромагнитного состояния называют фер-
римагнетизмом.
В ферримагнетиках обменное взаимодействие между магнитно актив-
активными ионами отрицательно (в противоположность ферромагнитным 3d-
металлам и сплавам, в которых оно имеет положительный знак). В области
температур от 0° К до некоторой критической точки 6lV (точка Нееля)
эта отрицательная обменная связь способствует антипараллельному атом-
атомному магнитному порядку. Если при этом результирующий магнитный
момент кристалла (или магнитной элементарной ячейки) равен нулю, то
имеет место скомпенсированный ферримагнетизм, или антиферромагне-
антиферромагнетизм. Если компенсация отсутствует и в кристалле при Т ^ 9^ сущест-
существует самопроизвольная намагниченность, то имеет место нескомпенсиро-
еанный антиферромагнетизм, или ферримагнетизм.
В антиферро- и ферримагнитных кристаллах (как и в ферромагнит-
ферромагнитных металлах и сплавах) для возникновения атомного магнитного порядка
необходимо выполнение ряда условий: наличие незаполненных 3d- или
4/-слоев в электронных оболочках ионов, определенные значения отноше-
отношений араметра решетки к радиусу этих слоев. Кроме того, ферри- и
антиферромагнитные состояния обладают следующими важными специ-
специфическими особенностями (см., например, [4]).
а) Между ближайшими соседними магнитно активными ионами имеет-
имеется отрицательная обменная связь, приводящая к «антипараллельному»
магнитному порядку ***). Это упорядочение сводится к появлению системы
магнитных подрешеток (Ландау [5], Неель [6, 7]), число и симметрия
*) См. по этим вопросам обзоры и монографии: Нагамийя и др. [1]; Лабхарт [2],
Боровик-Романов [3], Смит и Вейн A962), Туров A963), Гудинаф A969).
**) Помимо соединений, сюда относятся некоторые чистые металлы из переход-
переходной 4/-группы, из Зй-грулпы (Мп, Сг), некоторые сплавы (например, Мп — Сг, Мп —
Аи), а также ионные соединения с металлической проводимостью (см. гл. 21), напри-
например окислы и нитриды Ti, V и Сг.
***) Наряду с отрицательной обменной связью в этих кристаллах может быть
одновременно и положительная связь (для других типов пар ионов). Однако отрица-
отрицательная связь должна быть превалирующей и приводить к антиферромагкитному
порядку.
— 679 —

которых находятся в определенной связи с кристаллохимической при-
природой соединения *).
б) Обменная связь в ферримагнетиках (как отрицательная, так
и положительная) носит косвенный характер. В этом типе связи существен-
существенное участие принимают наружные электроны магнитно нейтральных
ионов кислорода, серы и т. п., расположенных между магнитно активными
ионами (не являющимися ближайшими соседями в кристаллической решет-
решетке ферриматнетиков).
в) Кристаллы антиферро- и ферримагнетиков, как правило, относят-
относятся к ионным кристаллам, в которых среди анионов обязательно присут-
присутствуют ионы элементов переходных групп. В основном состоянии @° К)
эти тела (исключая случаи металлов, сплавов и некоторых ионных соеди-
соединений) не имеют электронов проводимости и являются полупроводниками
или изоляторами. Однако наличие ионов с недостроенной оболочкой и воз-
возможность так называемого электронного упорядочения (см. ниже и [8—
И]) ионов различной валентности приводят к ряду особенностей в элек-
электрических и диэлектрических свойствах этих тел.
г) Наличие в антиферро- и ферримагнетиках наряду с электроста-
электростатической обменной связью релятивистских (магнитных) взаимодействий
приводит к появлению определенных направлений в таких кристаллах —
направлений антиферромагнетизма, играющих роль осей квантования,
вдоль которых ориентируются самопроизвольные намагниченности под-
решеток в отсутствие внешнего магнитного поля и напряжений. Магнит-
Магнитные силы могут в некоторых случаях приводить также к неколлинеарно-
неколлинеарности намагниченностей подрешеток (см. Яфет и Киттель [12]). В случае
антиферромагнетизма индуцированная магнитным взаимодействием некол-
неколлинеарность **) приводит к явлению так называемого слабого ферро-
ферромагнетизма (см. Дзялошинский [13, 14] и ниже).
§ 2. Проблема основного состояния
1. Вводные замечания. В квантовомеханической теории ферри-
и антиферромагнетиков возникает большая трудность в связи с определе-
определением энергии их основного состояния. В случае обычных ферромагнетиков
(с одной магнитной подрешеткой) такой трудности нет, ибо в них основно-
лгу состоянию отвечает максимально возможное значение магнитного
насыщения, т. е. полный параллельный порядок атомных магнитных
моментов (если пренебречь малым возмущающим влиянием магнитного
взаимодействия между электронами). Трудность определений основного
состояния ферри- и антиферромагнетизма заключается в том, что состоя-
состояние с антипараллельным (типа шахматного) упорядоченным расположе-
расположением спинов по узлам кристаллической решетки, обычно принимаемое за
основное состояние (Неель [7]), не только не соответствует минимуму
энергии системы взаимодействующих спинов, но вообще не может быть
строго реализовано, согласно законам квантовой механики, если система
описывается гейзенберговским гамильтонианом. Действительно, если
рассматривать, например, антиферромагнетик с двумя подрешетками,
то оператор обменной энергии по Гейзенбергу имеет вид (см.,
*) Обычные ферромагнетики можно рассматривать как частный случай ферри-
ферримагнетиков с одной-единственной магнитной подрешеткой, совпадающей с кристалло-
кристаллохимической решеткой металла или сплава. В тех случаях, когда намагниченности Ist
всех подрешеток либо параллельны, либо антипараллельны друг другу, мы имеем дело
с коллинеарным типом ферримагнетизма. Если же углы между векторами Ist в подре-
шетках отличны от нуля или л, то имеет место неколлинеарный тип ферримагнетизма
(см. ниже).
**) Угол а, характеризующий неколлинеарность, определяется величиной отно-
отношения магнитной энергии 'Ймагн к обменной энергии %0§, т. е. а ~ %1%
Как уже неоднократно отмечалось, в типичных случаях отношение
порядка 10—Ю-3-
- 680 -

например, гл. 19)
с$?об = .2 | Ajh \8j-8hta\A\ S 8j8h, B2.1)
где |-4 j& | — модуль обменного интеграла между узлами — ближайшими
соседями для двух различных магнитных подрешеток, и сумма берется по
всем парам номеров / и к соседних узлов. С другой стороны, полная z-я
проекция спина подрешетки / равна 2 (sj)z ~ (S[j))noim- Легко видеть,
з
что операторы 3?0б и (^3))полн не коммутируют и, следовательно, полный
спин (или магнитный момент) подрешетки не является интегралом дви-
движения *). Точно так же в синглетном состоянии молекулы водорода (см.
гл. 19) нельзя говорить, что один из атомов молекулы имеет «правый»,
а другой — «левый» спин. Можно говорить лишь о среднем значении
правого или левого спина. В случае молекулы «обмен» правого и левого
спинов происходит со столь большой частотой (А/% ~ 1014 сек'1), что
говорить о спиновых подрешетках в молекуле не имеет никакого смысла.
В случае же кристалла, как показал Андерсон [18, 19], среднее значение
полного спина подрешетки очень мало отличается от полного спина под-
подрешетки, рассчитанного в предположении шахматного антипараллель-
антипараллельного порядка **).
Андерсон [18], исходя из простых соображений, показал также, что
истинная энергия основного состояния антиферромагнетика Що заклю-
заключена в сравнительно узком интервале значений энергий, нижний и верх-
верхний пределы которого могут быть точно определены. Действительно,
если принять модель магнитных подрешеток, то из вида оператора B2.1)
следует, что энергия основного состояния в этой модели равна
%4m)=-\Nz\A\s\ B2.2)
где N — полное число узлов, z — координационное число и s — спиновое
квантовое число иона в узле кристаллической решетки антиферромагнети-
антиферромагнетика. Поскольку B2.2) можно получить из оператора B2.1), взяв от него
диагональный матричный элемент с помощью «неелевских волновых
функций»
ГЫ Ц B2.3)
которые соответствуют идеальному шахматному порядку в двух подрешет-
подрешетках с узлами / и к и антипараллельными z-проекциями их результирую-
результирующих спинов +5 и —S (т. е. не истинным собственным волновым функциям
системы), то по известной вариационной теореме, согласно которой диаго-
диагональные матричные элементы оператора меньше или равны его собствен-
собственным значениям, энергия B2.2) дает верхний предел для Шо- Нижний пре-
предел можно найти, если представить оператор B2.1) в виде такой суммы:
<Ж,б=2Л S?} = \A\^sjsk. B2.4)
з ft
Сумма по к в B2.4) охватывает все атомы подрешетки к, являющиеся
соседями /-го атома подрешетки /', а сумма по / — все N12 узлов под-
подрешетки /. Предположим теперь, что мы знаем квантовомеханическое
представление, которое делает оператор 3?„5 диагональным
*) Это обстоятельство было отмечено в работах Вонсовского [15] и Рудницкого
[16] в связи с обсуждением теории магнитных подрешеток в металлических ферромаг-
ферромагнитных сплавах по Биттеру [17].
**) Например, для конкретной модели Андерсон [18, 19] нашел, что (Eг)П0ЛН) =
= {N12) (S — 0,078), где S — спиновое квантовое число подрешетки (S > 1).
— 681 —

Таким образом, матрица (сШоб)аа'. диагональна, но матрицы (у)
недиагональны. Опять-таки, согласно общей вариационной теореме для
эрмитовых матриц, при этом даже наименьший матричный элемент опе-
оператора Зв], больше, чем его наименьшее собственное значение. Последние
известны, например, из работы Вейсса [20] и равны —\A\s(zs -\- \).
Таким образом, (S?jjaa' > — | A \s(zs + 1) (для всех а, а') и, следовательно
2 (<$J)<ха = (сШоб)аа>-4-| A \s(zs+ 1) (для всех а). B2.5)
3
Но в нашем случае (а$Об)аа СУТЬ собственные значения оператора B2.4),
и поэтому все они, включая и наинизшие, меньше чем — {N/2) \ А. \ s {zs-{-1).
Сравнивая B2.2) и B2.5), находим окончательно
±) B2.6)
Из B2.6) видно, что ошибка в определении энергии основного состояния
в модели магнитных подрешеток не столь уж велика. Например, в част-
частном случае антиферромагнитного кристалла типа MnF2 с z = 8 и s = 5/2
она не превышает 5% [как видно из формулы B2.6)].
При спин-волновой трактовке Андерсон [19] показал, что в случае
двух- и трехмерных спиновых решеток *) волновые функции истинного
основного состояния напоминают неелевские функции B2.3), которым
соответствует дальний магнитный порядок. При этом в одной из подреше-
подрешеток среднее значение z-слагающей спина равно (S z) = +aS, а в другой
(S z) = — aS, где а да A—1/2 zs). Фишер [23] несколько уточнил оценки
Андерсона, аппроксимируя волновую функцию основного состояния
антиферромагнетика, соответствующую гамильтониану B2.1), простой
линейной комбинацией функций, которые получаются из волновой функ-
функции неелевского идеализированного состояния при переходах небольшого
числа спиновых возбуждений между соседними узлами решетки. Полу-
Получающаяся волновая функция очень близка к собственной функции опера-
оператора B2.1); соответствующее ей собственное значение равно —[1 +
+ Bzs — I)]! A \zs2N/2 и близко к тому, которое получено в спин-вол-
спин-волновой теории, а для коэффициента у среднего спина подрешетки лежит
почти наполовину между значениями, даваемыми спин-волновой теорией
и единицей.
2. Введение стабилизирующих факторов. Трудность квантовомеханической трак-
трактовки основного состояния антиферромагнетика связана с тем, что, например, неелев-
ская волновая функция B2.3) не является собственной функцией гейзенберговского
гамильтониана B2.1) (см. [18]). Поэтому обычно считается, что хотя основное состояние
антиферромагнетика не совпадает с состоянием, описываемым функцией B2.3), тем
не менее оно отличается от последнего не очень сильно (см. выше), и B2.3) может слу-
служить исходным пунктом для применения метода спиновых волн ([19], [24]) или других
[23] при приближенной трактовке антиферромагнетизма. Это основное предположение
не было доказано, и о его законости судили лишь по его самосогласованности. Однако
последняя наверняка отсутствует, если ограничиться рассмотрением гамильтониана
B2.1). Это обусловлено тем, что функции, незначительно отличающиеся от
B2.3), предполагают наличие большой z-проекции результирующего спина каждой
подрешетки, в то время как оператор B2.1) приводит к «вращению» спинов подрешеток
в пространстве (формально это выражается в расходимости амплитуд движения попе-
поперечных Sx и Sy составляющих результирующего спина подрешеток, см. f 19]). Указанное
обстоятельство заставило вводить в рассмотрение вместе с оператором B2.1) добавоч-
добавочные (стабилизирующие!) гамильтонианы &?i, обычно связываемые с энергией магнит-
магнитной анизотропии кристалла. Так, в работе [19] (см. также [25, 26]) полагалось, что опе-
оператор
3ViK = K [2 (^ + 5»3.) + 2 <5ik+5S*>] B2.7)
з к
соответствует энергии магнитной анизотропии с аксиальной симметрией. Оказалось,
что уже при малых значениях параметра К по сравнению с интегралом обмена А из
*) В линейной цепочке магнитный порядок всегда отсутствует (см. гл. 19, а так-
также работы Бете [21] и Хюльтена [22]).
- 682 —

B2.1) расходимость амплитуд движения поперечных слагающих спина Sx и Sy устра-
устраняется. Поэтому параметр К, казалось бы, можно рассматривать как фактор сходимо-
сходимости, обеспечивающий устойчивость основного антиферромагнитного состояния (а не
только снимающего вырождение по направлению намагниченностеи подрешеток в кри-
кристалле).
Такой же результат был получен в работе Займана [24], в которой оператор энер-
энергии <#! вводился в другой форме:
SiA = - 2 gHESjzHA exp (iwRj), B2.8)
з
где множитель ехр (iwRj) меняет знак при переходе от одного узла решетки к соседнему
(из другой магнитной подрешетки), так что эффективное внутреннее магнитное поле Нд
направлено в каждом узле параллельно проекции спина в состоянии B2.3).
3. Связь основного состояния с неопределенностью мультиплетности. Может,
сложиться впечатление, что введение энергии магнитной анизотропии позволяет полу-
получить самосогласованность теории, использующей предположение о близости волновой
функции основного состояния антиферромагнетика к виду B2.3). Однако такой вывод
оказывается неверным. Дело в том, что в работе Вонсовского и Свирского [27] было
показано, что появление антиферромагнетизма в системе из четного числа атомных
носителей магнитного момента с одинаковыми спинами предполагает неопределенность
ее мультиплетности. С точки зрения этого критерия недостаточность гейзенберговского
гамильтониана B2.1) для описания антиферромагнитного состояния обусловлена тем,
что его собственные функции описывают состояния с определенной мультиплетностью.
Кроме того, в работе [27] было установлено, что гамильтонианы B2.7) и B2.8) имеют
различное значение для стабилизации антиферромагнетизма. А именно, поскольку
гамильтониан B2.7) коммутирует с оператором обращения знака времени, то его добав-
добавление к оператору B2.1) с невырожденным основным состоянием не может привести
к антиферромагнетизму. Противоположный вывод работы [19] связан с использованием
в ней предположения
B2.9)
Условие B2.9) эквивалентно постулированию малости отклонения антиферромагнит-
антиферромагнитного состояния от состояния, описываемого неелевской волновой функцией B2.3).
Указанные выводы работы [19] являются простым следствием предположения B2.9),
принимаемого без доказательства.
Гамильтониан B2.8) не коммутирует с оператором обращения знака времени,
и поэтому, независимо от предположения B2.9), он может привести к стабилизации
основного антиферромагнитного состояния. При этом, однако, неправильно считать
[см. [24] или Киттель A967)], что оператор B2.8) играет лишь вспомогательную роль
и при На -*¦ 0 магнитные подрешетки сохраняются. В работе [27] доказано, что при
НА ->- 0 антиферромагнетизм исчезает.
Для установления связи между антиферромагнетизмом и неопределенностью
мультиплетности рассмотрим, следуя [27], кристалл с двумя подрешетками I и II,
оператор вектора полного спина которого S определяется суммой операторов спинов
подрешеток <Sj и §ц:
S = SI + SII. B2.10)
В антиферромагнитном состоянии (при Н = 0) результирующая самопроизвольная
намагниченность равна нулю, но намагниченности подрешеток, определенные средними
значениями z-проекций спинов подрешеток (Siz) и (<Sn2), отличны от нуля. Таким
образом, антиферромагнитное состояние требует одновременного выполнения условий:
<4> = 0, B2.11)
(Sl2> ф 0, (SIl2> ф 0. B2.12)
Из B2.10) — B2.12) следует, что
<Sb> = -<SIl2>. B2.13)
Введем в рассмотрение антисимметричный оператор (см. [28, 29])
1 = ^—Su. B2.14)
- 683 —

Из B2.10) и B2.14) следует
^Ф SU=±-(S-A), B2.15)
а из B2.11), B2.13) и B2.15) следует, что в антиферромагнитяом состоянии
Ei2> = y(i2>, <5Ш>=—2<А2). B2.16)
Таким образом, в антиферромагнитном состоянии должно выполняться неравенств»
(А) ф 0, B2.17>
которое и представляет собой необходимое условие реализации антиферромагнетизма,
определенного соотношениями B2.11) и B2.12).
Для выяснения физического смысла условия B2.17) заметим, что оператор А
переводит состояние кристалла со спином S только в состояния о спинами
S' = S±1 B2.18)
пли
S' = S, B2.19).
При этом в случае B2.19) имеет место равенство [см. Ландау и Лифшиц A963)]
(S,Sz\Az\S,Sz)=jt%Sz, B2.20)
где коэффициент Jt| не зависит от Sz, Равенство B2.20) можно применить к рассмотре-
рассмотрению тех состояний, в которых S и Sz имеют определенные значения.
Предположим сначала, что в антиферромагнитном состоянии это имеет место-
(нет неопределенности мультиплетности). В этом случае из B2.11) следует, что
52=0. B2.21)
Подставляя B2.21) в B2.20), получаем (Л2) = 0, что нарушает необходимое условие
B2.17). Отсюда следует, что в состояниях с определенной мультиплетностью и ее зна-
значением Sz = 0 антиферромагнетизм не может реализоваться.
Этот результат указывает на несостоятельность обычного утверждения, что
антиферромагнетизм есть состояние с определенным спином и Sz = 0, например син-
глетное состояние.
Допустим теперь, что в кристалле Sz не имеет определенного значения. Тогда
из B2.11) формула B2.21) не вытекает. Если, однако, спин S имеет определенное значе-
значение, то имеет место равенство
(S | А\ | S) = ^ I (S, Sz | S) | 2 {s, Sz | Az | S, Sz), B2.22)
Sz
где (S, Sz | S) — коэффициенты в разложении волновой функции | S) по состояниям
| S, Sz), Можно показать (см. [271), что в системах с любым четным числом центров
с одинаковыми спинами или в системах из пар центров с одинаковыми по величине
спинами матричные элементы в правой части B2.22) исчезают для ;зсех возможных зна-
значений Sz (для двух центров это было показано в работах [28, 29]). Но тогда из B2.22)
следует, что
(S\AZ\S)=Q, B2.23)
Этим самым доказано, что если система состоит из четного числа центров или из пар
центров с одинаковыми спинами, то, независимо от определенности проекции спина
Sz, условие B2.19) исключается, так что оператор Az является оператором возбужде-
возбуждения мультиплетности такой системы. Из сравнения B2.23) и B3.17) следует, что в сис-
системе из четного числа узлов с одинаковыми спинами антиферромагнетизм возможен
лишь в состояниях с неопределенной мультиплетностью.
Этот вывод можно теперь использовать для анализа гейзенберговского оператора
B2.1). Последний коммутирует с оператором S2 и поэтому описывает состояние с опре-
определенной мультиплетностью и, следовательно, непригоден для описания антиферромаг-
антиферромагнетизма. В работе [27] показано, что если при А > 0 основное состояние еще к тому же
и синглетное, то можно получить другое более общее доказательство отсутствия анти-
антиферромагнетизма, не связанное с формулой B2.20). Синглетное состояние с целочислен-
целочисленным спином невырожденное, А тогда можно показать, что если гамильтониан системы
коммутирует с оператором обращения знака времени, то в любом невырожденном
состоянии с целочисленным значением спина (Az) = 0, а потому антиферромагнетизм
невозможен [см. B2.17)]*).
*) Качественный вывод об отсутствии дальнего антиферромагнитного порядка,
определенного величиной (>Si2>, в невырожденном основном состоянии гамильтониана,
инвариантного относительно обращения знака времени, был получен в работе Пратта
[30] (см. также работу [31]).
- 684 —

Далее можно показать (см. [27]), что оператор B2.7) не может стабилизировать
¦антиферромагнитное состояние. Действительно, если этот оператор является малым
возмущением, то энергия основного состояния гамильтониана B2.1) лишь сместится
и состояние останется невырожденным. А поскольку гамильтониан ?&0 -\- е&щ коммути-
коммутирует с оператором обращения знака времени, то, согласно сказанному выше, в основном
состоянии этого гамильтониана имеет место равенство (Л2) = 0 и по условию B2.17)
антиферромагнетизм реализоваться не может. Противоположный вывод, полученный,
например, в работе [19], является прямым следствием постулирования о выполнении
равенств B2.9).
Рассмотрим теперь гамильтониан спиновой системы в виде
2 & B2.24)
где р = | ёЦБНъ ехр (г, wR^) |. Гамильтониан B2.24) содержит нечетный относительно
обращения знака времени оператор Az. Отсюда можно полагать, что лишь при р Ф О
в системе возможен антиферромагнетизм. Действительно, оператор B2.24) удовлетворяет
соотношению коммутации
S+Ж! — <#?+ = — рА+, B2.25)
где S ± = Sx ± iSy, А± = АХ± iAy, С другой стороны,
S+A-—A-S+ = 2AZ. B2.26)
Из B2.25) получаем
<Т„ | ?+ | Wm) (%n-%n) = p(Vn I i+ | Vm), B2.27)
где Yn и Ч?т—собственные функции гамильтониана B2.24), а %п и %т — соответ-
соответствующие энергии. Вместе с тем из B2.26) следует
<Чгп \Аг | Чг„> = у 2 №п I S+ | Ут) Wm \ A~ | Yn)-{Yn | А~ \ Ут) (Ут \ 5+ | Уп)]. B2.28)
т
Из B2.27) и B2.28) находим
^ ¦*—' От—Ъп
т
Полагая вB2.29) р = 0 и замечая, что в силу B2.27) члены с %т = %п не дают вклада
в (Az), а при $т ф%п знаменатели в правой части B2.29) определяются в случае
р ->¦ 0 не равным нулю обменным интегралом А , получаем (Az) = 0, что означает отсут-
отсутствие антиферромагнетизма. Таким образом, на коэффициент р (связанный с полем На)
нельзя смотреть как на фактор сходимости в пределе, стремящемся к нулю. Только
конечные значения р могут привести к конечной намагниченности каждой из подреше-
ток и соответственно к антиферромагнетизму.
В основном состоянии (п = 0) для энергии %й имеет место при всех т Ф 0 нера-
неравенство %т — %й > 0. Поэтому из B2.29) следует
sign (Л>оо= —sign (p),
это означает, что при р > 0 намагниченность подрешетки I направлена против оси г,
а подрешетки II — по оси г. При р < 0 эти намагниченности имеют противоположные
направления.
Представляет интерес выяснить возможные причины появления в гамильтониане
спиновой системы члена типа pAz, Одной из таких причин является например спин-
орбитальная связь. Действительно, гамильтониан этой связи для двух частиц со спи-
спинами >§! и ^2 и орбитальными моментами 1У и 1г может быть представлена в виде
С (Ml + Ma) = у (h + h) 8 +-| (ii- l2) A, B2.30)
где t — параметр спин-орбитальной связи, S = <Si + >S2 и A = S4 — S2. Появление
в B2.30) оператора А, связанного с изменением мультиплетности, и показывает, что
спин-орбитальное взаимодействие может играть существенную роль в стабилизации
антиферромагнитного состояния. Следует, однако, учесть, что в случае оператора
B2.30) векторный параметр р = -|- A% — 12) оказывается функцией орбитальных
моментов, и поэтому произведение рА в целом инвариантно относительно обращения
знака времени. Последнее означает, что условие B2.17) может выполняться только
для вырожденного состояния. Таким образом, стабилизированное антиферромагнитное
состояние, к которому может привести спин-орбитальная связь, вырождено. Это понят-
понятно, так как в случае pz = -|- (llz — l2z) при заданной ориентации оси г нельзя
— 685 -

говорить об определенном знаке pz, и, следовательно, оба возможных направления
намагниченности подрешеток связаны с одинаковой энергией. Снять это вырождение
по направлению может (так же как и в случае ферромагнетизма) магнитное поле.
Такие локальные магнитные поля могут возникать и не только из-за спин-орбитальной
связи. Например, в случае реальных кристаллов, построенных с участием ионов d- или
/-металлов, это может быть разделение роли различных d- и /-электронов в установ-
установлении атомного магнитного порядка (см., например, работу [32]).
§ 3. Нейтронографические исследования антиферромагнетиков *)
Теоретические представления о магнитных атомных структурах
в антиферро- и ферримагнетиках получили свое прямое опытное подтвер-
подтверждение после того, как были проведены нейтронографические исследова-
исследования в работах Шалла и др. [33, 34]. Изучая картину дифракции медлен-
медленных нейтронов на антиферро- и ферримагнитных кристаллах, при темпера-
температурах ниже точек Нееля, соответствующих каждому из исследованных
100
во.
SO'
40
го
о
юо
'во
60
40
го:
о
-(III) C11) —C31)-E11)
t t
МпО
Т=8О'К c/ms=8,65A
A00) A10) A11) U
(зЮ
МпО
10
го зо
Угол рассеяния,
40
50
Рис. 22.1. Нейтронограммы МпО. а) При 80° К; б) при 293° К.
На нейтронограмме а видны четыре магнитных пика, соответ-
соответствующие отражению от плоскостей A11), C11), C31) и E11).
По оси ординат отложены значения интенсивности нейтронного
пучка в единицах: чилло нейтронов/см'мин,
веществ, эти авторы обнаружили, помимо «ядерных» дифракционных
максимумов, обусловленных когерентным рассеянием нейтронов на
периодически расположенных в пространстве атомных ядрах веществ,
появление также дополнительных «магнитных» максимумов, возникающих
из-за периодического распределения магнитных моментов. На рис. 22,1, а,
б приведены нейтронограммы, полученные для образцов МпО в работе [33],
иллюстрирующие только что сказанное.
Нейтронограмма, снятая при 293° К (рис. 22.1, б), показывает магнит-
магнитное диффузное рассеяние и дифракционные пики ядерного рассеяния
для отражений от плоскостей A11) и C11) решетки МпО (типа NaCl).
На нейтронограмме, снятой при 80° К (рис. 22,1, а), появляются, кроме
упомянутых пиков, еще дополнительные магнитные пики, не индицируе-
индицируемые для элементарной химической ячейки кристалла с длиной ребра
d0 = 4,43А. Эти пики легко индицируются, если за элементарную куби-
кубическую ячейку принять ячейку, длина ребра которой вдвое больше, т. е.
равна <2маг = 8,85 А. Для нее все магнитные пики индицируются для
*) Подробнее о методах магнитной нейтронографии см. гл. 20 и 26 и моногра-
монографию Изюмова и Озерова A966).
- 686 -

плоскостей A11), C11), C31) и E11). Магнитный пик C11) накладывается
на ядерный пик A11), как видно из асимметрии этого отражения.
На рис. 22.2 и 22.3 показана температурная зависимость высоты
магнитного пика типа A11), которая воспроизводит температурный ход
самопроизвольной намагниченности магнитных подрешеток. Помимо
соединения МпО, магнитная сверхструктура была обнаружена в работах
Шалла и др. [33] для соединений FeO, CoO, NiO и a-Fe2O3n Эриксона [35]
для серии фторидов MnF2, FeF2, CoF2 и NiF2.
В настоящее время имеется уже обширный опытный материал по ис-
использованию метода нейтронной дифракции для определения атомных
магнитных структур в различных веществах.
Обычно принято считать, что результаты упругого дифракционного
рассеяния нейтронов однозначно доказывают реальное существование
/20
80
*°
МпО
Т=80'К
Ш~1А°
T-IWK
w/,4'
Т'Ш 'X
и Ю 12 Ю 12 10 12
Угол рассеяния, град
Рис. 22.2. Антиферромагнитный пик на нейтроно-
грамме типа A11) для кристалла МпО, снятый при
различных температурах ниже точки Нееля в^.
w — полуширина пика. Вблизи &^ видно замет-
заметное увеличение w.
40
гоо
80 120 160
Температура, 'К
Рис. 22.3. Температурная зависимость высо-
высоты магнитного пика на нейтронограмме МпО.
Стрелками 1 и 2 указаны температуры т? и
Г" , соответствующие максимумам на кривых
температурного хода теплоемкости С и маг-
магнитной восприимчивости %.
неелевских магнитных подрешеток. В связи с этим обращаем внимание на
работу Пратта [30], который показал, что если основное состояние кри-
кристалла невырожденное и гамильтониан инвариантен относительно опера-
операции обращения знака времени (см. выше § 2), поперечное сечение упругого
рассеяния нейтронов при дифракции оказывается таким же, как и для
неелевского состояния с магнитными подрешетками. В связи с этим Пратт
делает вывод, что «нет необходимости и неверно утверждать на основании
результатов упругого рассеяния нейтронов, что в основном состоянии
антиферромагнетика существует дальний порядок». Фактически такой
порядок существует, и его устойчивость связана с неопределенностью
мультиплетности, как это показано в работе [27] (см. § 2).
§ 4. Косвенная обменная связь в неметаллических соединениях
1. Схема Крамерса — Андерсона. Остановимся теперь на проблеме
косвенного обмена. В подавляющем большинстве ферри- и антиферромагне-
антиферромагнетиков (МпО, NiO, Fe2O3, Fe3O4, FeF2, MnF2 и т. д.) магнитно активные
катионы переходных металлов не являются ближайшими соседями. Меж-
Между ними расположены магнитно нейтральные анионы О2", F2~, S2" и т. п
(рис. 22.4 и 22.5). Поэтому расстояние между соседними катионами
в антиферро- и ферримагнетиках значительно больше, чем в ферромагнит-
ферромагнитных металлах. Например, в FeO расстояние между соседними ионами
Fe2+ равно 4,28 А, а в чистом a-железе оно составляет всего 2,86 А, т. е.
67% от первого. Тем не менее обменная связь (величина которой
- 687 —

определяется точкой Нееля, т. е. | А \ да kE®N) в этих соединениях почти
такого же порядка величины, как и в металлических ферромагнетиках,
где магнитные ионы — ближайшие соседи. С другой стороны, если в ионных
соединениях в выражении B2.1) под величиной A]h подразумевать обыч-
обычный интеграл обмена между магнитными ионами, то величина его должна
быть по крайней мере на 2—3 порядка меньше. Отсюда с неизбежностью
вытекает, что в обменной связи ионных кристаллов существеную роль
играют электроны немагнитных анионов. В общем случае в ионных кри-
кристаллах следует различать два типа обменной связи: катион-катионную
и катион-анион-катионную (или даже катион-анион-анион-катионную)
[см. книгу Гудинафа A969)].
Первый расчет косвенного обменного взаимодействия для случая
солей Туттона и квасцов был, по предложению Ф. Блоха, проведен Кра-
мерсом [36], который пытался объяснить результаты известных опытов по
Рис, 22,4, Магнитная структура МпО
(стрелки указывают направление спи-
спинов). Подобную магнитную структуру
имеют окислы и других d-металлов.
Рис, 22.5. Магнитная структура фторидов
переходных элементов; MnF2,FeF2, CoF2, M—
магнитный ион d-элемента, F — ион фтора,
а, с и d — параметры решетки; кристаллохи-
мическая и магнитная решетки совпадают.
адиабатическому размагничиванию (см. гл. 16). Эти опыты указывали на
существование обменной связи между магнитными ионами, разделенными
одной или несколькими диамагнитными группами (ионы галоидов, кристал-
кристаллизационная вода и т. п.). Затем Бисетт [37] и Неель [38] указали на
возмоншость косвенного обмена и для антиферромагнетиков типа окислов
МпО, NiO, FeO, ферритов и т. п. Андерсон [39—41] и другие [42—55]
распространили и детальнее развили первоначальный расчет Крамерса
на эти случаи. Были также предложены и отличные от крамерсовского
механизмы косвенного обмена в работах [41, 56—63]. См. также обзоры
по теории косвенного обмена в неметаллах Андерсона [64, 65], Вонсов-
ского и Карпенко [66] и работы [67—91].
Крамере [36] предположил, что в косвенной обменной связи сущест-
существенную роль играют «виртуальные» возбужденные парамагнитные состоя-
состояния анионов. В качестве простейшего примера можно рассмотреть анти-
антиферромагнитный ионный кристалл Мп2+О2~ с кристаллической решеткой
типа NaCl. Следуя Андерсону [39], для анализа косвенной связи выделим
один ион кислорода и два соседних магнитных катиона марганца. Катио-
Катионы Мп2+ имеют в незаполненном Зй-слое пять электронов, их спины по
правилу Хунда параллельны друг другу, а анион О2"" — шесть 2р-элек-
тронов с нулевым суммарным спином. Для упрощения качественного
рассмотрения примем, что у катионов в нормальном состоянии имеется по
одному <2-электрону, а у аниона по два р-электрона с противоположными
проекциями спинов (синглетное состояние). Кроме такого чисто ионного
состояния MnBt) d 0B) р Mnff) d, в этой четырехэлектронной системе с тремя
центрами необходимо учитывать примесь состояния, в котором один из
— 688 —

(g) f о2" J (g)
/;-электронов аниона О2~ переходит в 3d- или 4$-состояние катиона Мп2+.
Последний изменяет свою валентность (на Мп+), а анион О"" становится
одновалентным и парамагнитным: Mii(l) <j O7i>pMnB) d,s и может уже участво-
участвовать в «магнитных» (обменных) взаимодей- ^
ствиях с другим своим соседом Мп2+.
Это основное предположение крамерсов-
ской теории косвенного обмена получило
свое опытное подтверждение в измерениях
ЯМР в MnF2, проведенных Тинкхэмом [92]
(на связь этой работы с проблемой крамер-
совского обмена указал Блини [93]), Шуль-
мапом и Жаккарино [94, 95]. В этих опы-
опытах было обнаружено и измерено сверхтон-
сверхтонкое взаимодействие ядерного спина диамаг-
диамагнитных лигандов (см. гл. 10), окружающих
магнитный ион в кристалле, с их возникаю-
возникающими в процессе обмена «магнитными» элект-
электронами. Это взаимодействие и доказывает
наглядно, что в электронных состояниях ди-
диамагнитных лигандных ионов имеется за-
заметная «примесь» магнитных состояний. Так
Шульман и Жаккарино [94] оценили, что р-
электроны иона F2~ около 2,5% времени проводят на d-уровне иона
Мп2+, поэтому на ядро F и действует сильное магнитное поле собственного
неспаренного ставшего «магнитным» р-электрона.
Существуют два возможных расположения аниона кислорода и двух
соседних с ним катионов марганца: при первом все три иона лежат на
Рис. 22,6, Основные типы катион-
анионных соседств в МпО и других
окислов d-металлов. а) Соседство
180°-типа; б) соседство 90°-типа.
п2-
Мп' О
¦ CEXD
d, p> p a
Основное состояние
а)
,г+
Мп* О"
¦ » CXD
с/, с/* d dt
II г l
Возбужденное состояние
б)
Мпг+
\
О2"
О
OXD
' Р' Р *
Основное состояние
Мп'
I
Мп+ 0" Mrf Mn:
ti/ CXD ¦ \
/ / г 2 /
Возбужденное состояние
в) г)
Рис. 22,7. Схема, иллюстрирующая косвенную обменную связь типа
Крамерса,
одной прямой (рис. 22.6, а; взаимодействие 180°-типа), а при втором —
прямые линии, соединяющие два иона марганца с ионом О2", составля-
составляют прямой угол (рис. 22.6, б; взаимодействие 90°-типа). Хотя ближайшее
соседство между ионами Mn2+ (Z90° = a]^2) соответствует второму распо-
расположению (90°-связи), тем не менее, как будет показано ниже, основной
косвенный обмен осуществляется не между этими ближайшими соседя-
соседями Мп2+, а между более удаленными (Zi8o° =2a) ионами при расположении
первого типа, т. е. при 180°-связи. Как следует из «аномалии» гиромагнит-
гиромагнитных отношений, орбитальные моменты в кристаллах рассматриваемого
типа «заморожены». Можно предполагать, что в нормальном состоянии
в ионе О2"" два электрона образуют замкнутую р-оболочку с гантелевидным
распределением электронной плотности (рис. 22.7, а) вдоль 180°-связи
всех трех ионов. Андерсон [39], используя обобщение векторной модели
44 С. В. Вонсовский
— 689 —

Дирака, данное Сербером [96], рассмотрел задачу теории возмущения
для подобной четырехэлектронной задачи с тремя силовыми центрами
(ионами- Мп2+ —О2" —Мп2+)*). Как только что отмечалось, наряду
с основным состоянием (рис. 22.7, а), в котором имеется два р-электрона
иона О2" и два электрона dl и d2 у катионов марганца на d-орбите, Андер-
Андерсон учел еще одно возбужденное состояние. Из-за большой удаленности
ионов Мп2+ в 180°-расположении волновые функции их dr и й2-состояний
практически не перекрываются. Однако в силу взаимного перекрытия
гантелевидного облака р-электронов с ^.г-орбитами ионов марганца
возможна сильная связь между ионом О2" и ионами Мп2+. А именно,
возможен, например, переход одного из р-электронов (р ) иона U
в ион Мп2+ в состояние d[ (рис. 22.7, б). При этом необходимо предполо-
предположить что этот р'-электрон, перешедший в ^-состояние, будет сильно
связан с d.-электроном, уже имеющимся в ионе Мп2+. Эта связь зависит от
спина поскольку^она обменная, и приводит к расщеплению энергетиче-
энергетического'уровня, а именно, энергии пары электронов d,и dx в синглетном
и триплетном состояниях оказываются различными: Шп (du dx) ф |п (й1т
d') Таким образом, в «основном» — чисто ионном состоянии в приближе-
приближении ортогональных орбит нет расщепления между синглетным и триплет-
ным состояниями, поскольку анион О2" имеет замкнутую оболочку,
а катионы Мп2+ из-за удаленности не взаимодействуют. Напротив, в воз-
возбужденном состоянии четырехэлектронной системы имеет место расщепле-
расщепление между синглетной и триплетной конфигурациями спинов, ибо в этом
случае может быть заметное обменное взаимодействие между оставшимся
некомпенсированным р-электроном в ионе О" и ^-электроном во втором
ионе Мп2+ (рис. 22.7, в), а также между электронами dt и dx в первом
ионе Мп+ как только что отмечалось. Окончательно, в основном состоя-
состоянии (рис 22 7, г) спины d-электронов в ионах Мп2+ (в состояниях d и d2
оказываются обратными по сравнению с исходным состоянием (рис. ZZ.7, а).
Волновая функция системы в основной г|зося и возбужденной г|зВО8б кон-
конфигурациях имеет вид
Фосн = Ъ*1 A) IV B) % C) fe D), 1
^A)^B)^C)^D) /
Оператор энергии возмущения, который связывает эти состояния, удобно
представить в виде суммы двух частей
e, B2.32)
гттр у. _ одноэлектронная часть возмущения, состоящая из кинетиче-
гкпй чнеюгии и энергии взаимодействия с ионным остовом, не зависящая
пт гттинов а V — кулоновское взаимодействие. Очевидно, что зависящая
от спинов'обменная поправка к энергии рассматриваемой системы четырех
э^ектроновГот возмущения B2.32) будет отлична от нуля только в третьем
приближении, если еще при этом считать, что одноэлектронные функции
?22 Заочно ортогональны. Этот расчет провел Андерсон [391, а в не-
несколько иной форме онТбыл проделан также в работах Ван-Флека [421
и Нагамийя и др [1]. Мы не будем на нем останавливаться, а приведем
лишь окончательный результат. Обменная энергия, зависящая от спи-
спинов dj и d2 электронов, имеет вид
Wkocb, об = — 2^косв (Sdj- 8da),
ГД6 a. B2.33)
часто встречается также катион-анион-катионная связь с проме-
S^ SPKrwsrsfflsr™"угол еоетавлявт
- 690 -

Здесь Шп и ftt—соответственно разности энергии при переходе из чисто
ионного состояния в синглетное и триплетное состояния двух электронов
dt и d[ в ионе Мп2+. Для величины Ъ имеем
Это интеграл переноса электрона из аниона О2" в первый катион Mn2+, a
(rt) i>p (r2) Ve% (n) 4'd2 (r2) drt dr2
= J
— обычный интеграл обмена между электронами аниона О~ и второго
катиона Мп2+.
В частном случае, если триплетное состояние в возбужденном ионе
Mnfi исключено принципом Паули, можно считать, что Ш\\-^-оо, и знак
А^осв определяется знаком обычного интеграла обмена А. В противо-
противоположном случае сильной хундовской связи в ионе Мп2+ спины электро-
электронов di и d[ будут параллельны, и поэтому Ш^ -*¦ °°; тогда знак АЦЦ
будет обратным знаку А. Поскольку можно ожидать заметного перекры-
перекрытия электронных облаков ионов О2" и Мп2+, то знак обменного интегра-
интеграла А будет отрицательным. Если в магнитном ионе Зй-слой заполнен
больше чем наполовину (пять или более Зй-электронов), то спин d[ элек-
электрона, перешедшего из аниона, согласно принципу Паули, должен быть
антипараллелен спину катиона (при этом можно считать, что Щ^ —>¦ оо).
В этом случае следует ожидать антиферромагнетизм. Наоборот, если
Зй-слой магнитного иона заполнен меньше чем наполовину (менее пяти
Зй-электронов), то по правилу Хунда спин d'x электрона должен быть
параллелен спину катиона (при этом можно положить Л"ц —>¦ оо) и, сле-
следовательно, по B2.33) связь должна быть ферромагнитной. Действительно,
из опыта известно, что, например, сульфиды, хлориды, фториды и окислы
Зй-металлов Ni, Co, Fe и Мп антиферромагнитны. Весьма показательными
также являются теллуриды марганца и хрома: первый антиферромагни-
тен, а второй — ферромагнитен. Соединения VC12, CrCl2 и СгО2 ферро-
магнитны, а МпС12 и FeCl2 антиферромагнитны. Однако, как указал
Шимицу [43], ряд соединений (Ca2+Mn4+0*-, Sr2+Mn4+0|-, Ba2+Mn4+0|-,
Cr2+S2", Cr2+Sb2-, Cr!|+OJ- и Мп4+О2-), у которых Зй-слой магнитных ионов
заполнен менее чем наполовину, антиферромагнитны, а не ферромагнит-
ны, как это казалось бы должно вытекать из только что приведенного рас-
рассуждения. Это расхождение между теорией Крамерса — Андерсона
и опытом указывает на грубость количественного расчета, который исполь-
используется при выводе формулы B2.33).
2. Уточнение схемы Крамерса — Андерсона, а. Поляризационный механизм.
Были предложены различные усовершенствования этого расчета. Слэтер [56] обратил
внимание на то, что косвенная антиферромагнитная связь между электронными спина-
спинами катионов может быть стабилизирована деформацией (поляризацией) зарядового
облака внешнего слоя электронной оболочки немагнитного иона. Согласно Слэтеру,
благодаря эффекту обмена (по правилу Хунда) потенциальная энергия электрона
с положительным спином понижается, когда он расположен в области пространства,
где имеется плотность заряда других электронов также с положительными спинами,
по сравнению с тем состоянием, когда такой электрон находится в таком же распреде-
распределении заряда электронов с отрицательными спинами. Поэтому, когда, например, в груп-
группе Мп — О — Мп спин электрона одного иона Мп2+ антипараллелен спину другого,
то каждый из двух электронов иона О2" смещается к тому из ионов Мп2+, у которого
d-электрон имеет ту же ориентацию спина. Таким образом, ион О2~ поляризуется
и этим стабилизирует антиферромагнитную связь ионов Мп2+. При ферромагнитной
связи подобная стабилизация отсутствует. '
б. Учет анизотропии распределения плотности d-электронов. Гудинаф и Леб
[60] обратили внимание на то, что в работах Крамерса [36] и Андерсона [39—41] не учи-
учитывался анизотропный характер Зс^-орбит магнитно активных ионов (см. гл. 10). Учи-
Учитывая условия симметрии и принимая явно во внимание расщепление уровней ани-
анизотропных Зс^-орбитальных состояний в поле лигандов, Гудинаф [58] сформулировал
полуэмпирические правила связи между магнитно активными катионами [ем. также-
Гудинаф A969)], а также подчеркнул (см. [59]) важность 90°-катион-катионного
— 691 — 4.4*

косвенного обмена. Правила Гудинафа [58] были также обсуждены в работе Кана-
мори [50].Правила Гудинафа — Канамори учитывают степень заполнения d-уровней
и требований теории лигандов. В изложении Андерсона [64] эти правила формулируются
следующим образом.
I. Когда у двух угонов «лепестки» электронных волновых функций магнитных
орбитальных состояний направлены навстречу друг другу, так что интеграл перекры-
перекрытия велик, то обмен будет антиферромагнитным. Здесь возможны три подслучая:
1) Когда «лепестки» состояний с2B^-типа (см. гл. 10) катионов в ортоэдрических
узлах образуют «180°-расположение», при котором эти «лепестки» направлены прямо
на лигандный ион п друг к другу, возникает особо сильный косвенный обмен.
2) Когда состояния с^^-типа магнитных катионов находятся в «180°-располо-
женип», то они могут взаимодействовать с рл-орбитами лигандного иона, и, следова-
следовательно, снова возникает антиферромагнетизм.
3) Если реализуется «90°-расположение» относительно лигандного иона, .когда
у одного иона занято d(z2), а у другого — ^сЖу)-состояние и орбита лигандного иона рп
для одного катиона является орбитой ра для другого, то можно также ожидать сильного
перекрытия и поэтому осуществления антиферромагнитной связи *).
II. Когда орбиты ионов расположены так, что они находятся в контакте, но не
дают отличного от нуля интеграла перекрытия (d(z2) и с^^у-функции при «180°-распо-
ложении», когда перекрытие отсутствует по соображениям симметрии), правило пред-
предсказывает ферромагнитную связь (однако обычно не столь сильную, как антиферро-
антиферромагнитная).
Проиллюстрируем эти правила, следуя Канамори [50], на примере антиферро-
антиферромагнитного соединения СаМпО3 с кубической структурой перовскита (рис. 22.8),
анализируя свойства симметрии орбитальных волновых функций катионов Мп4+
г-
з
О
Рис. 22.8. Структура перовскита
АВОз или ABF3. А, В — катио-
катионы. 1—катионы, занимающие узлы
типа В в вершинах куба; 2—катио-
2—катионы, занимающие узлы типа А в цент-
центре куба; з — анионы, занимающие
узлы в середине ребер куба.
Рис. 22.9. Характер симметрии
d- и р-орбит. а) 1 — d-орбита
симметрии B , 2 — р0-орбита;
б) 1 — d-орбита симметрии е ,
2 — Рл~орбита.
и анионов О2" (см. Уоллен и Келлер [97]). Каждый ион Мп4+ окружен октаэдрически
ионами О2-; каждый ион О2" находится в середине прямой, соединяющей два соседних
иона Мп4+. Последний находится под воздействием кристаллического поля кубиче-
кубической симметрии, в котором наинизшее состояние iF свободного иона Мп4+ расщепляется
на три подуровня. Наинизший из них не вырожден с конфигурацией, при которой
Каждое из Зс2-состояний (dixyi, diyz) и d(zx)) занято одним электроном. Известно
(см. гл. 10), что в октаэдрическом окружении кубического поля ^-уровень (с волновы-
волновыми функциями dixy), do/zi и dizx)) лежит ниже, чем eg-уровень (с волновыми функциями
d,V2 ц, d,« г тм_„г0'. Внешние электроны иона О2~ занимают р-уровень, р<гс)о-орбита
(% —у )> (,zz —л -\-у )
которого имеет гантелевидную форму и направлена «лепестками» к иону Мп4Т.
Из рис. 22.9 видно, что р(ж)а-орбита не меняет знака при вращении вокруг оси х
на 180°, тогда как занятая М-орбита f2g иона Мп4+ меняет при этом свой знак. Отсюда
следует, что орбитальная функция р0 ортогональна 3d функции tZg. Незанятое состоя-
состояние eg иона Мп*+, так же как и р<ЖH) не меняет своего знака при повороте вокруг осп х
на 180°. Поэтому парциальная ковалентная связь, включающая р<ж)о-орбиту может
образовываться с eg-орбитой. В силу этого электрон из ро-состояния может перехо-
переходить только в е„-состояние, но не в ?2§-состояние. Кроме того, обменные интегралы
между состоянием ра и занятым состоянием t2g (из-за их взаимной ортогональности)
положительны, т. е. ферромагнитны. Поэтому электрон, переходящий в ион Мп4+
*) Этот случай был добавлен Андерсоном [64].
— 692 —

из ро-состояния, будет иметь спин, параллельный спину электрона в этом ионе. А р-
электрон с неспаренным спином, оставшийся на ионе О", будет также ферромагнитно
связан со спином второго соседнего иона Мп4+. Результирующее косвенное взаимодей-
взаимодействие будет антиферромагнитным.
в. Механизм двойного обмена. В случае соединений типа манганптов со смешанной
валентностью и структурой перовскита (Ьа!_жСаж) (Mnfij Mn4^) O3, исследованных
экспериментально Йонкером и Ван Сантеном [98] для объяснения косвенного обмена
Зинер [61] предложил механизм «двойного обмена». Эти окислы при предельных соста-
составах (х = 0 и х = 1) — типичные изоляторы и антиферромагнетики. При промежуточ-
промежуточных составах, когда х лежит в интервале 0,2—0,4, электропроводность возрастает
на несколько порядков величины, вещество становится ферромагнитным и наблюдается
какая-то корреляция между точкой Кюри и удельной электропроводностью.
г. Механизм Андерсона — Хасегавы. Андерсон и Хасегава [62] произвели коли-
количественный расчет для этого случая, который был уточнен в работе Де Жена [63] (см.
также обзор Андерсона [64]). Механизм двойного обмена между ионами Мп3+ и Мп4+
заключается качественно в следующем. Рассмотрим, как и прежде, систему трех ионов
Mn3+(dj, d[) — 02-(р, р') — Mn*+(d2) (конфигурация I),
причем предположим, что анион О2" имеет два спаренных р-электрона, катион Мп3+
имеет два d-электрона {d1, d'j) с параллельными спинами (по правилу Хунда), а катион
Мп4+ обладает одним d-электроном (d2) со спином, параллельным спинам &^ и d'x. Из кон-
конфигурации I получается
Mn3+(db d[) — О- (р)— Mn3+(d2, d'2) (конфигурация II)
при переходе р-электрона из О2~ к катиону Мп4+ с одним электроном d2. Затем
из конфигурации II получается
Mni+O^) — О2" (р, р') — Mn3+(d2, dj) (конфигурация III)
при переходе электрона d^ от Мп3+ к иону О~. Существенно заметить, что двойной
обмен тесно связан с переносом электронного заряда (от Мп3+ к Мп4+) и тем самым
с явлением электропроводности.
3. Некоторые критические замечания. Все перечисленные выше механизмы кос-
косвенного обмена имеют весьма приближенный модельный характер. Остается необходи-
необходимость в более строгой теории. За последнее время наметились две линии развития
теории.
Во-первых, оставляя в силе основную идею работы Крамерса [36], пытаются подой-
подойти к проблеме косвенного обмена с позиций более последовательной многоэлектронной
трактовки кристалла, которая была уже намечена в этой работе Крамерса. Такой под-
подход был уже частично использован в работах Шимицу [43], Ямашпта [44], Ямашита
и Кондо [46], Кеффера и Огучи [51]; Вонсовский и Сеидов [45] и Сеидов [55], используя
полярную многоэлектронную модель кристалла Шубина — Вонсовского [99] и Бого-
Боголюбова — Тябликова [100] [см. также Боголюбов A949)], показали в общем случае,
что в системе взаимодействующих электронов ионного кристалла между магнитными
ионами возникает косвенное обменное взаимодействие. В отличие от трехионной
модели Андерсона [39] это взаимодействие возникает не в третьем, а в четвертом при-
приближении теории возмущений. Безразмерным параметром малости, по которому ведет-
ведется разложение гамильтониана кристалла, является интеграл неортогональности атом-
атомных волновых функций соседних узлов кристаллической решетки. Для эффективного
интеграла обмена получается весьма сложное выражение, которое лишь при специаль-
специальных частных предположениях переходит в выражение B2.33). Аналогичные расчеты
по многоэлектронной схеме (в конфигурационном представлении) были проведены Яма-
шита и Кондо [46].
Во-вторых, Андерсон [41, 64,.65] предложил новый подход к проблеме косвенного
обмена; он отметил следующие трудности трактовки Крамерса.
1) Обменные эффекты появляются в 3-м и даже 4-м приближении теории возмуще-
возмущения, и их относительно большая величина указывает на то, что в используемом расчете
ряды теории возмущения сходятся медленно и «немагнитные» члены более низкого
порядка оказываются достаточно большими.
2) В работах Вонсовского и Сеидова [45], Ямашита и Кондо [46], Кеффера и Огучи
[51] указан ряд других вполне отличных (от крамерсовского) эффектов возмущения,
которые нет оснований не учитывать, поскольку все они того же знака и близки между
собой по порядку величины. Вместе с тем небольшие изменения волновых функций часто
переводят один из этих эффектов в другой. Все это указывает на то, что сам физический
эффект фактически гораздо проще, чем предсказывает изложенная выше теоретическая
схема крамерсовского обмена.
3) Проблема ортогональности и выбора волновых функций решается неудовлет-
неудовлетворительно, поскольку обычно используют волновые функции свободных ионов.
Однако при нормальных плотностях эти волновые функции соседних ионов заведомо
перекрываются. Последнее необходимо, чтобы вообще получить антиферромагнитную
связь.
— 693 —

Неортогональность очень сильно усложняет все расчеты, а кроме того, исполь-
использование волновых функций свободных ионов, строго говоря, некорректно, так как они
испытывают в кристалле существенные изменения.
4. Новый метод Андерсона, а. Общие положения. Андерсон [41, 64, 65] предло-
предложил обойти все эти трудности, рассмотрев проблему косвенного обмена в изоляторах
с совершенно иной точки зрения, а именно выделить в решении проблемы следующие
два этапа.
Первый этап. В рамках теории поля лигандов (см. гл. 10) определяется локализо-
локализованная волновая функция магнитного иона, окруженного диамагнитной кристалличе-
кристаллической средой с решеткой, без учета обменных взаимодействий с другими магнитными
ионами. Экспериментальное определение взаимодействий СТС в одних и тех же солях
в разбавленном и концентрированном состояниях (Клогстон и др. [101]) как в парамаг-
парамагнитной, так и в антиферромагнитной температурных областях (см. [94, 95]) показали,
что обменные эффекты действительно не влияют на волновые функции поля лигандов.
В последнем нас убеждает также согласие в величинах параметров поля лигандов и об-
обменных интегралов в концентрированных и разбавленных системах [102, 103]. Поэтому,
по крайней мере на основе экспериментальных данных, можно утверждать, что каждый
магнитный ион обладает вполне определенной волновой функцией, которая не изме-
изменяется заметным образом его магнитным окружением. Следовательно, есть основания
считать, что расчет энергетических уровней и волновых функций отдельных магнит-
магнитных ионов можно вести на основе теории поля лигандов.
Второй этап. Рассчитать взаимодействие двух магнитных ионов, состояния
которых определены в первом этапе. Это более сложная задача, поскольку здесь вновь
всплывает проблема ортогональности и т. п. Однако принятое в первом этапе представ-
представление о диамагнитной решетке облегчает вычислительную часть второго этапа. Расчет
взаимодействия ведется между самими магнитными ионами без участия промежуточных
анионов (их влияние учтено в первом этапе расчета). Поскольку возмущение здесь дей-
действительно малое, то можно использовать теорию возмущений, причем сходимость
рядов будет хорошей. Рассмотрение непосредственного перекрытия волновых функций
только магнитных ионов снимает различие между тем, что принято называть «прямым»
и «косвенным» обменом *).
Остановимся несколько подробнее на количественной стороне определения состоя-
состояния изолированной спиновой d-квазичастицы в диамагнитной среде. Будем считать
ради упрощения, что на каждый магнитный ион кристалла приходится один d-электрон
и что каждый такой ион окружен такими же ионами, но лишенными d-электронов.
Поэтому «магнитный» электрон может свободно распространяться по решетке в виде
блоховской волны. Все «немагнитные» электроны находятся в замкнутых магнитно
нейтральных оболочках ионных остовов, волновые функции которых считаются задан-
заданными и не испытывают заметных изменений при магнитных возбуждениях. Тем не ме-
менее эти функции играют важную (хотя и пассивную) роль. 1) волновые функции маг-
магнитного электрона весьма существенны для расчета самосогласованного поля в кристал-
кристалле и 2) они должны быть ортогональны ко всем волновым функциям ионного остова.
В связи с последним Андерсон [64] указывает, что волновые функции d-электрона нель-
нельзя считать блоховскими волнами в приближении сильной связи, построенными из атом-
атомных функций, ортогональных к р-функциям. Волновые функции остовов, например,
у таких ярко выраженных ковалентных лигандных ионов, как О2~, имеют такой вид,
что способствуют образованию частично ковалентной связи с магнитными ионами.
Поэтому магнитные электроны лишь номинально описываются d-функциями. Фактиче-
Фактически эти волновые функции, оставаясь ортогональными ко всем функциям ионных осто-
остовов, образуют так называемую антисвязующую (см. гл. 10) смесь d-функций с волно-
волновыми функциями ионов типа О2" (Ван-Флек [104]; Оуэн [105]). Эта примесь р-функции
в магнитной волновой функции и имеет определяющее значение для механизма косвен-
косвенного обмена через намагниченные ионы (т. е. механизма Крамерса!). Таким образом,
мы видим, что косвенный обмен может иметь относительно большую величину даже
при сильном разведении магнитных ионов прежде всего потому, что реальные волновые
функции магнитных электронов в кристалле «размазаны» на достаточно большие рас-
расстояния и это размазывание является следствием ковалентной связи магнитных элект-
электронов с электронами ионных остовов.
б. Количественный расчет. Задача об изолированной спиновой квазичастице.
Математически задача с изолированной спиновой квазичастицей сводится к вычисле-
вычислению возмущенной многоэлектронной функции кристалла и ее преобразованию к пред-
представлению локализованных функций **).
В качестве базисной системы одноэлектронных функций возьмем полную систему
ортопормированных блоховских волн (см. гл. И) ф5™> (г), где /• — радиус-вектор, к —
*) В связи с этим могут возникнуть терминологические недоразумения. Поэтому
Гудинаф A969) для обменной связи в ионных непроводящих соединениях предлагает
пользоваться уже приводившимися выше терминами: катион-катионная и катион-
анион-катионная связь. Можно еще указать угол между линиями, соединяющими ядра
крайних ионов со средним A80°, 90° и промежуточный типы).
**) Мы приведем эту часть вывода, так как в обзорных статьях она обычно
отсутствует.
- 694 —

квазиимпульс, п — номер полосы. Тогда вторично квантованная (операторная) функ-
функция электронного поля г|зо (г) (а — спиновый индекс) запишется в виде
% И = 2 {2 с ioq4 (г) + 'с 1Ук (г) + 2 31Ук (г)}. B2.34)
к f с
Здесь (ска)+ и 'ска (п = /, d, e) —фермиевские операторы соответственно рождения
и уничтожения отдельных электронов в одноэлектронном состоянии ц>к (г). При этом
операторы cf действуют на функции целиком заполненных полос /, се — на функции
целиком пустых полос е, а оператор cd на функции одной d-полосы (хотя фактически
их пять).
Невозмущенная волновая функция изолированной спиновой d-квазичастицы
имеет вид по определению
Х?ко= 6L)+ *о= (°L)+ [ П ^L'V] ^вак- B2.35)
fka'
Здесь ^вал — волновая Гфункция вакуумного состояния, Yo—функция чисто диамаг-
диамагнитной решетки. Возмущенная функция
Т — Ч'+б'Р, . B2.36)
где
6Т = [«о—<&0]-i-V4>, B2.37)
%q и (Й'о—энергия и гамильтониан певозмущенного состояния, а
V = -j\ drdr'%{r)e2\r-r' Г'^И^И^М B2.38)
оператор энергии взаимодействия (кулоновское отталкивание) в'представлении вторич-
вторичного квантования. В рассматриваемой задаче нас интересует только та часть возмуще-
возмущения, которая приводит к спиновой поляризации, когда электрон г' переходит из d-no-
лосы в пустую е-полосу, а электрон г переходит из заполненной /-полосы в d-полосу-
Для этого в формуле B2.38) следует, оставить члены с операторами cf в г?о, cd в фо,
¦с» в aj)S' и cd в afa,. Тогда интересующая нас часть оператора B2.38) будет иметь вид
е, f, a'
k't k", к'»
'о')+ ("c к„а)+ с кос fk.a-a (fc, *:', &", fc'", e, /). B2.39)
Используя перестановочные соотношения для ферми-операторов
e, f, is'
k\ к", к»'
с помощью формул B2.39) и B2.35) легко найти, что
VV=- 2 а (fc- fc'- fc"> fc"'- e- /) («*-a)+ (Sfc"O)+ «fc'a'^o. B2.40)
fc', к", к'"
Подействуем теперь на сумму B2.40) оператором (%0 — (Ш0)-х, учитывая, что %0 =
= е?, а оператор с^о «выбрасывает» также в знаменателе энергии е? соответствующие
ферми-операторам, 'стоящим в формуле B2.40). В итоге получаем
=- 2 a(fc-fc'-fc"-fcw-e' f)&k»'+4"-zfk'-4]tUr"cfk'o'tek,,,a)+Vo-
e, f, o'
Jr', к", к"
B2.41)
Поскольку функции <рк в B2.34) имеют блоховский вид cpfc(r) = exp (ikr) uhn (r) для
•а (fc, к', ...) получим
а (к, к', к", к, е, f) = 6 (k« + k"—k'—k)Jк(е, /, к', к"). B2.42)
— 695 —

Поэтому, согласно B2.37), B2.41) и B2.42), имеем
fc'f'fc"'
+ 4'—4' — 41 (с fc"O')+ с ^ (с fc+fc,_fc»)+ fо- B2.43)
Выражение B2.43) и дает основную часть возмущения для спиновой поляризации.|Это
возмущение заключается в виртуальном переходе d-электрона с неизменным спином
в пустую е-полосу, с заменой его не зависящим от спина возбуждением из /-полосы в d-
полосу. Подставляя в B2.36) выражения B2.35) и B2.43) для многоэлектронной функ-
функции отдельной спиновой d-квазичастицы с квазиимпульсом fc и спином а (с учетом спи-
спиновой поляризации), окончательно получаем
Ч" (fc, a) = (S dka)+ ?<,, B2.44)
где (Sdkay — эффективный ферми-оператор рождения, связанный, согласно B2.43)
и B2.35), с обычными ферми-операторами формулой
в, /, а'
fc', fc"
fc',' q
B2.45>
где
Для того чтобы подчеркнуть квазилокализованный характер d-квазичастиц (узкие
полосы), целесообразно ввести функции Ванье [106]
cd(R, o)=iV-1/2 2exp( — ikR)cda.
к
Такой переход в B2.45) дает
[Sd (В, а)]+= N~lh 2 exp (ikB) (S dba)+ =
fc
' ^LJ fc ^ ' ' ' '
fc, fc', fc"
Можно сделать некоторые заключения относительно зависимости интеграла
Jk(e, /, fc', fc") от векторов fc, fc', fc". Для этого введем также преобразования Ванье
и для блоховских функций
ф? (r)= 7V-1 2 exp ( — ikB) fd (r —В). B2.47)
в
Подставляя B2.47) в Jк (е, /, fc', fc") [см. также B2.39)] и производя там замену
г' (и оставляя члены с R'— R" — приближение локализованное™), находим
Jk(e, /; fc', k") = N~i ^ \
В'В"
X [fd (г-Л')]+ /<* (r'-Д') [Фв*._*_*. (г')]+ ф1. (г)
i(fc" — fc) Д'] X
fcV^(r) = /(e, /; fc"-fe, &'). B2.48>
Для квазилокализованных частиц также имеем
е?„ —е?«0. B2.49>

Подставляя B2.48) и B2.49) в B2.46), находим
[S<HBo)]+ = [cd(Ro)]++ 2 /(?- Л fc'-fc- fc'> t^'+t-fc''-^']-1 X
fc', fc"—fc
X exp [-i (fc"-fc) Д] И (Л, s')]+ (« ^+Jt_fc., o)+ e W" B2-50
Операторы 5 из B2.45) или B2.50) определяют кинетическую энергию спиновых
d-квазичастиц
«fc=2e<*>5*,aS*.a- B21>
fc, о
Строго говоря, сумма в B2.51) должна браться для всех пяти d-полос.
Если е (fc) « const, то подходящей совокупностью исходных квантованных одно-
электронных функций являются локализованные функции Ванье, образованные с по-
помощью операторов B2.46). Даже если зависимость е от fc слаба по сравнению с таковой
для других энергий, входящих в расчет (очень узкая d-полоса), что фактически имеет
место, то локализованные функции могут служить хорошим исходным приближением.
Зависимость е от fc можно при этом трактовать как малое возмущение. Оно мало, так
как происходит не из-за перехода электрона от диамагнитного иона к парамагнитному,
а от эффектов более высокого порядка малости — переходов разнообразных типов
от катиона к катиону. Здесь, как уже отмечалось, проявляется одно из преимуществ
рассматриваемой трактовки, В этих локализованных функциях уже включены все
взаимодействия d-электронов с электронами диамагнитных остовов, которые априори
могут быть сильными. В качестве возмущения используется лишь перекрытие волновых
функций катионов, которое всегда мало в рассматриваемых соединениях.
Другое удобство локализованных d-квазичастиц заключается в том, что, прене-
пренебрегая членами e.d (к) в большом энергетическом знаменателе [см., например, B2.49)],
входящем в рассматриваемые многоэлектронные функции, можно сильно упростить
выражение для спиновой поляризации [см.. B2.50)]. Последняя принимает вид почти
такой же, как и при расчете спиновой поляризации около парамагнитных атомных
ядер (Рудерман — Киттель [107]).
Для получения полного ряда пяти локализованных d-функций, суммы в B2.46)
должны фактически распространяться по пяти полосам. Эти пять локализованных
функций образуют в общем случае приводимое представление точечной группы ионного
кристалла (см. гл. 10). В случае кубических кристаллов функции можно сгруппировать
в виде двух неприводимых совокупностей: ?2g — с симметрией типа ху, yz, zx и eg-
типа у2 — х2, 2z2 — х2 — г/2. Введем новый индекс п для этих двух неприводимых пред-
представлений Sn (Ra). Бегущую волну спиновой d-квазичастицы /-й ветви d-полосы можно
тогда записать в виде
(По)+=^~1/22а».? 2exp(-ifciJ)[Sn(K<7)]+- B2.52)
п II
Подставляя выражение B2.52) в B2.51), находим
«л = лг 2 e.(k,i)\anJmsn(R,o)]+Sn(R
п, в, fc, о, з
Sn(Ra).
n, n'\B=f=B')
fc, o, j
Если ввести обозначения
«сп = ЛГ 2 s W) I anJ I2' B2-53)
bBU-B' = N~1 2 e(fc') exp[ —ifc(iJ —Д')] anja+,-, B2.54>
fcj
то для энергии квазичастицы находим
^fc= 2 'ScnS^ (Ra)Sn(Ra)Jr 2 ъвП-в-^п (Ra) <V (-В'0)- B2.55)
n, о, В n, n'
ВфВ', а
Здесь %сп из B2.53) — уровни энергии в кристаллическом поле, несколько большие
по величине, чем постоянные Ъв—В', играющие роль интегралов переноса зонной теории
в приближении сильной связи. В принципе обе эти величины можно получить фурье-
преобразованием из коэффициентов anj и спектра е (fc) Практически же их вычисляют
или измеряют по свойствам локализованных функций и рассматривают как основные
параметры теории. Тогда итогом всего изложенного рассмотрения является следующее.
— 697 —

Совокупность многоэлектронных функций B2.44) описывает локализованные спины
на катионах с единственными отличными от нуля недиагональными матричными эле-
элементами полного гамильтониана задачи, равными интегралам переноса B2.54). Таким
-образом, за исключением этих интегралов переноса, все остальные величины характе-
характеризующие свойства спинов катионов должны определяться истинно многоэлектронны-
многоэлектронными эффектами взаимодействия.
в. Взаимодействие магнитных квазичастиц. Перейдем теперь ко второй части
проблемы, т. е. рассмотрим взаимодействие между магнитными электронами. Наиболь-
Наибольшее взаимодействие испытывают магнитные электроны, находящиеся в одном узле
решетки. Здесь можно указать два типа связи:
1) Квазикулоновское электростатическое отталки-
отталкивание двух электронов в одном и том же ионе. Его легко найти из выражения B2.38),
подставляя туда вместо квантованных функций B2.34) функции Ванье
В итоге находим
^отталк = у 2 Unn'K' iR' <*') S+ (Я, °) Sn (В, о) §„• (В, о'), B2.56)
Л; п, n
о, о'
тде
Um.= jdrdr'|/n(r)|2|/B.(r')|2e2|r_r'|-i; B2.57)
здесь Unn, — энергия кулоновского отталкивания электронов в одном ионе (в случае
свободного иона эта энергия порядка 15 эв). В кристалле эта величина несколько мень-
меньше из-за диэлектрической поляризации. В грубом приближении можно пренебречь
зависимостью энергии B2.57) от индексов п и п', положив Unn, « U. Зависимость U
от п и п' определяется так называемыми интегралами Слэтера, характеризующими
в свободном ионе взаимную ориентацию орбитальных моментов. Они имеют существен-
существенное значение при расчете параметров кристаллического поля. Энергия U способствует
локализации электронов в решетке. Действительно, если в каждом ионе имеется т
электронов, то полная энергия отталкивания в /V узлах равна {N12) т (то — 1) U.
Если же в одном из узлов будет то + 1, а в другом то —1 электронов, то полная энер-
энергия равна
у(то — 1)(то-2)— то (то —1I U = ~m(m—l)U+U.
Поэтому в нулевом приближении можно считать, что все электроны локализованы
v своих узлах и всякое нарушение локализации связано с затратой большой энергии
U. Учет энергии B2.56) не дает расщепления по спину. Это сразу видно, если записать
выражение B2.56) в несколько иной форме, используя перестановочные соотношения
для ферми-операторов
$п (Во) Sn, (Да') = - Sn, (Да') Sn (Да), S+ (Во) Sn, (До') =
-а также произведя замену
где пп (В) — оператор числа квазичастиц. В итоге находим
^отталк = —2~ 2 U™n» <Д> +Т 2 Unn'nw (В) *п (Ю- B2.58)
Rn Rnn'
2) Обменная энергия d-ъ лектронов внутри иона по аналогии
с B2.56) имеет вид
= у 2 Jn« Ч' («. «) Sn (В, о) Sn. (В, о) Sn (В, о'),
2
R; пфп'
а, а'
где
'!.!.'= j drdr'ft(r)f+.(r')f'n(r)fn(r')eZ\r-r'\^ B2.59)
— обычный интеграл обмена.
—.: 698 —

Эта энергия возникает только для параллельных спинов и имеет характер притя-
притяжения: два электрона в состояниях с подобными волновыми функциями имеют тенден-
тенденцию избегать друг друга благодаря образованию «фермиевской дырки», которая возни-
возникает, когда спины параллельны и они испытывают меньшее электростатическое отталки-
отталкивание. Поэтому всегда, когда это возможно, спины внутри ионов параллельны (правило
Хунда, см. гл. 2).
Теперь рассмотрим взаимодействия между электронами соседних ионов. Во-пер-
Во-первых, это квазикулоновское отталкивание
у 2 2 Um. (R-R1) Sp (R', а') 5+ (В, a) Sn (В, о) Sn, (B\ о'),
' n, п'
аа'
где
U
пп, (В-В')= j drdr' | /„ (г-В) |2 | fn, (г'-В') |2?2 | г-г' |-1. B2.60)
Выражение B2.60) слабо зависит от п и п'. Поскольку в состояниях нулевого порядка
распределение электронов однородно, то энергия B2.60) лишь несколько снижает
-энергию, необходимую для перехода электрона из узла В в узел R'. Для типичных
расстояний между катионами (— 4 А) эта энергия порядка 6 эе (что меньше энергии
U да 15 ее).
Наибольший интерес для нас представляет обменная связь между электронами
различных ионов. Будем решать эту задачу в рамках теории возмущений в операторной
«форме, предложенной Боголюбовым и Тябликовым [100] [см. также Боголюбов A949)
и [108]). В качестве малого безразмерного параметра е выбирается интеграл перекры-
перекрытия волновых функций магнитных электронов. Тогда оператор энергии системы ищется
в виде ряда по степеням е, а именно
-Здесь оператор <lfcQ по B2.55) и B2.58) имеет вид
п-у U) n(R) + ~
[см. формулу G.26) в обзоре Вонсовского [108]], а оператор <й?1 в силу B2.55) имеет
вид (индексы п и п' опускаем)
^1= 2 ЬЯЛ.$+(В, a)S(R', a).
Ri=R", a
Задача сводится к приближенному решению уравнения Шредингера:
где С — искомая волновая функция. Пусть %0—наинизший уровень нулевого при-
приближения о&оС0= %оСо, где Со—волновая функция нулевого приближения. Введем
¦оператор проекции Р, определяемый равенством
Тогда уравнения теории возмущения для определения энергии системы в первом,
втором и третьем приближении соответствевно будут иметь вид
$ B2.61)
C0, B2.62)
B2.63)
где
e
Жз B2.61) для первого приближения имеем
~ . bBB.PS+(R, a)S(R', o)P = (
ч\ а
— 699 —

поскольку [см. G.53) в обзоре [108]] всегда выполняется условие
PS+(R, a)S(R\ а)Р = 0 (R ф R'). B2.64}
Таким образом, первая поправка к энергии равна нулю: A5fi=0. Для вычис;
ления второй поправки из B2.62) с учетом B2.64) находим
О2
XPS+ (Ri, <Jt) S (R[, <Jt) (<?&„_ $0)-i S+ (R2, <j2) S (ijj, <J2) P. B2.65)
Для упрощения B2.65) используем соотношения теории возмущений
a2)P,
[см., например, формулу G.60) обзора [108]], а также равенство
PS+ (Rh <Jt) S (Щ, <Jt) S+ (R2, <J2) S (iJj<J2) P =
Полагая далее в B2.65) е=1 и опуская оператор Р, находим окончательно для
поправки энергии во втором приближении
д (Д| д>) 5+ (Д, а) 5 (В', а) Л1 + (Д', a') S (R, а'). B2.66>
о, о'
Нам осталось найти смысл энергии Д (R, R') [и перейти к спиновым операторам1
в узлах R и R'. Согласно Боголюбову A949), величина Д = <§S?o—$оимеет смысл при-
прироста энергии, когда в узле R появляется дырка, т. е. ге(_В) = 0, а в узле R' — двойка,-
т. е. ге(Д') = 2. Как было показано выше, эта энергия равна U. Таким образом,
Д (R, R') « U. B2.67)
Используя далее условие квазигомеополярности (т. е. условие того, что каждое
состояние п всегда занято одним электроном)
?+ (Д+) Sn (Д+)+ Ч (Д") *n (R~) = пп (В+) + пп (Д~) = 1,
легко находим связь между ферми-операторами и операторами спиновых проекций
B2.68)
-) Sn (Д+)= 5!5 (Д) = 52 (R)-iS% (R). J
Подставляя B2.67) в B2.66) и переходя от ферми-операторов к операторам спина
по B2.68), находим вместо B2.66) окончательное выражение для косвенного обмен-
обменного взаимодействия (по Андерсону [41])
^ (±) B2.69>
ВфВ'
Роль эффективного косвенного интеграла обмена играет величина
Из B2.69) сразу же видно, что если спины в узлах R и R' параллельны, то энергия
А%° равна нулю (при этом нет уменьшения, т. е. выигрыша энергии системы в этом
приближении). Наоборот, при антипараллельных спинах имеем выигрыш в энергии:
Д$° = —2| Ъ |2/t/. Поэтому при наполовину заполненных орбитальных состояниях
в узлах R и R' мы всегда имеем дело с отрицательной антиферромагнитной связью.
Антиферромагнитный характер этого косвенного обменного эффекта следует из того
факта, что интеграл переноса bR_R, связан с переходом электрона без изменения спина.
В силу того, что перекрывающиеся орбитальные состояния заполнены наполовину,
а принцип Паули позволяет в каждом орбитальном состоянии находиться только
одному электрону с данной ориентацией спина, переход может осуществляться, только
если электроны в узлах RmR' антипараллельны. По приближенным оценкам интеграл
— 700 —

3 b I порядка 0,2—0,5 вв. Поскольку энергия U порядка 5—10 эв, то для косвенного
¦обменного интеграла имеем: 1/10—1/150 эв или 1000—200° К для соответствующих точек
Нееля, например во фторидах и оксидах. Подчеркнем (см. Андерсон [64, 65]), что теория
возмущений при выводе формулы B2.69) хорошо оправдывается, поскольку величина
| Ь \IU « 1/10. Кроме того, в данном случае хорошим приближением является и гей-
гейзенберговский гамильтониан с учетом только члена, пропорционального скалярному
произведению SBSB,. Член следующего (четвертого) порядка, пропорциональный
'^в^В'J' бУДет порядка Ъ'Чи3, т. е. составляет всего лишь 10~2 от B2.70), и поэтому им
можно пренебрегать, хотя такие эффекты высшего порядка теперь наблюдаются в мик-
микроволновых спектрах растворенных пар магнитных ионов (см. Статс и др. [109]).
Проведенный выше расчет для случая одной d-полосы можно легко обобщить
на более сложный случай пяти d-полос, когда появляется много эффективных обменных
интегралов данного типа между каждой парой занятых орбитальных состояний.
По аналогии с выводом B2.69) получаем во втором приближении теории возмущений
I Ьпп' 12
I °В—R' I
и
' п, п'
Можно также вычислить поправку к энергии в третьем приближении, используя урав-
уравнение B2.63). Проводя здесь вычисления, аналогичные тем, которые делались при
выводе B2.70), но гораздо более трудоемкие, мы приходим в итоге к выражению
!= 2 2 [-Y
Ж~ Jnn" [у+25„ (В) §п„
п, п' п'(фп') ВфВ'
где Jnnt дается формулой B2.59). Следовательно, в третьем приближении возникает
положительное ферромагнитное косвенное обменное взаимодействие с эффективным
¦обменным интегралом
фф =
3 косв ?/2 • (Л.П)
Интеграл B2.71) меньше интеграла B2.70) в JnnJUраз и составляет от него 1/5—1/10
.долю. Поэтому этот ферромагнитный эффект возникает лишь в том случае, если отсут-
отсутствует антиферромагнитный эффект B2.69) или при условии больших Ь или малых U.
Этот эффект, кроме того, может осуществляться лишь при условии, что взаимодейст-
взаимодействуют узлы, в одном из которых орбитальное состояние занято наполовину, а в другом
-оно пустое или целиком заполненное. Действительно [см. Гудинаф A969)], предполо-
предположим, что состояние га в ионе R заполнено наполовину, а га' и 22' полностью свободно.
Простой, не зависящий от спина переход в этом случае возможен, если в ионе R'
имеется неперекрывающееся (или ортогональное) частично занятое состояние га". Если
в ионе R' имеется частично занятое состояние га", то интеграл переноса будет больше,
если спин переносимого электрона параллелен спину в состоянии га", благодаря обмен-
обменной связи внутри иона в R', пропорциональной внутреннему обменному интегралу
Jп'п" = ^пнутр- Это и приводит к записанному выше ферромагнитному эффекту третье-
третьего порядка B2.71). Если орбитальное состояние га в R заполнено наполовину, а состоя-
состояние га' в R' заполнено целиком, возможен лишь переход из R' в R и обратно. Спин
переносимого электрона должен быть антипараллелен спину в R. Если состояние га"
в R' занято частично, обменная связь внутри иона в R' благоприятствует переходу
электрона га', который имеет антипараллельный спин га". Поэтому, переносимый
электрон имеет спин, антипараллельный полному спину в обоих ионах R и R', а атом-
атомные моменты связаны ф ер р о магнитно. Это тот же эфЦюкт третьего порядка, даваемый
в B2.71). Имеются еще другие обменные эффекты. Среди них наиболее заметным явля-
¦ ется истинный прямой обмен. Энергия этого обмена имеет вид
=-у 2
п, п'
где по аналогии^с интегралом внутреннего обмена Jnn. из B2.59)
JT-B'= j drdr' Гп (г—В) fn. (r-R>) /+, (г'-В') In (r'-R) e* \ r-r' |-i. B2.72)
Интеграл B2.72)"всегда'положителен. Поскольку функции fn(r—R) в B2.72) имеют
:ВИД
fn
— 701 —

интеграл B2.72) из-за малости перекрытия функций tyd может быть взят только с функ-
функциями лигандных ионов. Поэтому по порядку величины J^La' *** &i^nn'> гДе ^пп' ~'
» A/10) Ry. С другой стороны, | Ъ | ~ е2 Л Ry и U » 1 Ry, следовательно,
Все остальные обменные взаимодействия оказываются еще меньше. Более подроб-
подробно об этом можно прочесть в оригинальной статье Андерсона [41] и его обзорах [64, 65].
Там же можно найти обсуждение результатов сравнения теории с опытом [см. также
обзор Вонсовского и Карпенко [66]]. Вопрос о косвенном взаимодействии в ферро-
и антиферромагнитных-полупроводниках, где возможно участие не только локализо-
локализованных электронов немагнитных анионов, но и «свободных» носителей заряда в толще
проводимости (электроны и дырки), детально рассмотрен в фундаментальном обзоре
Метфесселя и Маттиса [110] (см. также работы Карпенко и Бердышева [180] и Нагае-
Нагаева (см. ссылку [528] к гл. 20), к которым мы и отсылаем читателей.
Отметим здесь также, что Андерсон [64, 65] показал, что энергия косвенной обмен-
обменной связи, определяющая магнитный порядок в диэлектриках, непосредственно связа-
связана с параметрами перекрытия и ковалентности, которые измеряются в опытах по ЯМР
(см., например, [111, 112]). В работе Петрова и
Смоленского [113] показано, что в случае диэ-
диэлектрического антиферромагнетика NaNiF3 име-
имеется хорошее качественное согласие с теорией
косвенного обмена по Андерсону [41]. Дальней-
Дальнейшее развитие теории косвенного обмена см. в ра-
работах [70—91, 114—118, 566—569], а также в об-
обзорах [64, 65, 66, 110].
§ 5. Квазиклассическая теория
антиферромагнетизма (приближение
молекулярного поля)
1. Общие замечания. Перейдем теперь
к рассмотрению общей теоретической
трактовки явления антиферромагнетизма.
Здесь, как и в случае ферромагнетизма
(гл. 19), целесообразно начать с квази-
квазиклассической трактовки по методу, экви-
эквивалентному теории вейссовского молеку-
молекулярного поля *). Ограничимся при этом
рассмотрением простейшего случая ко-
линеарного расположения магнитных мо-
моментов атомов в узлах кристаллической
решетки.
В гл. 17 уже были указаны типичные-
магнитные характеристики антиферромаг-
антиферромагнетиков (см. рис. 17.5 и 17.6) **). Фактиче-
Фактически первые опытные исследования магнит-
магнитной восприимчивости антиферромагнитных
соединений выполнили еще в 1911—1915 гг. Вейсс и Фуа [134], Ишивара
[135], Хонда и Соне [136], Хлндаи Ишивара [137], однако первое исследова-
исследование^ котором было по существу экспериментально открыто явление анти-
антиферромагнетизма, относится к 1938 г. и принадлежит Бисеттуи др. [138].
Один из результатов их исследований для МпО для образца из прессован-
прессованного порошка приведен на рис. 17.5. В более поздней работе Бисетта
и Тсаи [139] был исследован монокристалл антиферромагнитного-
рис. 22.10. Антиферромагнитный по-
порядок в о. ц. к. решетке, о) Порядок
первого типа с узлами решетки сорта
А и В; б) порядок второго типа с уз-
узлами решетки сорта Аи Аг, Ви Вг.
Кружки означают узлы кристалличе-
кристаллической решетки, занятые магнитно ак-
активными ионами. Знаки + и — в круж-
кружках показывают соответственно две ан-
антипараллельные ориентации проекций
атомных магнитных моментов ионов.
*) Первые работы в этом направлении принадлежат Ландау [5], Неелю [6, 7,
38], Ван-Флеку [119], Дресснандту [120], Рудницкому [121] и Канеру [122]. См. также
более поздние работы [40, 123—133], а также обзоры Боровика-Романова [3], Андер-
Андерсона [64, 65] и монографии Смита и Вейна A962), Гудинафа A969), Турова A963) и
Смарта A968).
**) Полная сводка (на начало 1970 г.) точек Кюри и Нееля практически всех (до 350О
веществ) упорядоченных магнетиков и библиография даны в таблицах Конолли в
Копенхавера [565].
— 702 —

Таблица 22.Г
Некоторые свойства антиферромагнитных (неметаллических) соединений
Соедине-
Соединение
1
MnO
FeO
CoO
NiO
a-MnS
P-MnS
MnS2
MnF2
FeF2
CoF2
NiF2
MnO2
FeS
FeCl2
CoCl2
NiCl2
a-Fe2O3
a-Cr2O3
FeCO3
CuF2
Тип
туры'
2
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
ZnS
FeS2
TiO2
(рутил)
TiO2
TiO2
TiO2
TiO2
NiAs
CdCl2
CdCl2
CdCl2
A12O3
A12O3
CaCO3
TiO2
(иска-
(искаженный
рутил)
*) Соседние
(Гудинаф A969), Нагамия
Симмет-
Симметрия при
T>eN
3
Кубиче-
Кубическая
То же
ь »
» »
» />
» »
» »
Тетраго-
Тетрагональная
(с/а < 1)
То же
» »
» »
» »
Гексаго-
Гексагональная
Триго-
нальная
То же
» »
ь »
» »
» »
Моно-
Моноклинная
Структура
решетки
магнит-
магнитных ка-
катионов
4
г. ц. к.
» » »
» » »
» » »
» » »
» » »
» » »
о. ц. тет-
рагональ-
рагональная
То же
ь »
» »
» ь
Простая
гексаго-
гексагональная
Слоистая
из пло-
плоскостей
[111]
То же
Сложная
слоистая
То же
о. ц. три-
гональ-
ная
о. ц. мо-
ноклин-
ноклинная
Зна-
Значения
Р. М.Б
5
5,95
4,6
5,1
4,6
5,6
5,82
6,30
5,7
5,6
5,13
3,5
—
5,25
5,36
5,26
3,3
5,92
3,73
5,3
—
Q, ОТ/"
N'
6
122
198
291
520
130
160
77
72
79
37
78,5—
83
84
600
24
25
50
953
307
20-35
78
и др.
впм
®iV
7
5,0
1,0
1,1
5,0
3,1
6,1
8
1,6
1,5
1,4
2,0
—
1,9
—2,0
-1,5
-1,4
2,1
1,6
0,4-
0,7
[1])
Тип атомно-
ного порядка
8
Рис. 22.11, в
То же
» »
» »
» »
Рис. 22,11,6
То же
Рис. 22,12, а
То же
» »
» »
АФС
Рис. 22.13, г
(I)
То же
» »
» »
Рис. 22.13, б
Рис. 22,13, а
*)
Зна-
Значения
Р, М.Б
в маг-
магнитно-
упоря-
дочен-
доченном
состоя-
состоянии
9
5,0
3,3
3,8
2,0
5,0
5,0
5,0
5,0
4,64
3,0
2,0
—
4,0
4,5
3,1
5,0
—
5,0
Лите-
ЛЧТТ7Т1Я
JJcaI у JJгХ
10
[33,143,
144]
[33,
145-
147]
[33, 145,
148]
[145,
149—
153]
[33,143,
144]
[33,143,
144]
[154]
[145, 351
[145, 35]
[35,155]
[35,155,
158]
[145, 35,
159]
[160—
164]
[165,
166]
[165,
166J
[165,
1671
[33,
168—
173)
[!74—
177]
[145,
178, 179J
[156,
157J
магнитные моменты ионов вдоль оси [0001] последовательно
антипара лле льны.
— 703 —

соединения MnF2 и обнаружена резкая анизотропия магнитной воспри-
восприимчивости (см. рис. 17.6).
В работах Стоута и Адамса [140] и Миллара [141] были обнаружены
характерные аномалии удельной теплоемкости в MnF2 и МпО с максиму-
максимумами вблизи точек Нееля QN (см. также гл. 18). Аномалии вблизи QN
наблюдаются и для других физических свойств антиферромагнетиков.
В качестве примера можно указать, что рентгеноструктурные измерения
показали, что кристаллическая решетка некоторых антиферромагнети-
антиферромагнетиков испытывает небольшую деформацию при переходе через точку
Нееля в ходе их охлаждения. Например, окислы МпО, FeO и NiO,
имеющие г.ц.к. решетку ниже QN, испытывают сжатие или расширение
вдоль нормали к ферромагнитным плоскостям A11), становясь слабо
ромбоэдрическими (см., например, Уиллис и Руксби [142]).
В табл. 22.1 приведены некоторые характеристики типичных анти-
антиферромагнитных соединений.
1
О ]
\i
a)
Ik
У *
i
A
iIflit
У °
1 '
О |
•
Тип/
Tunll
Рис. 22.12. Тоже, что и н рис. 22.11. а)
о. ц. к. решетка—перйый тип; б) о. ц. к
второй тип; в) о. ц. к. — третий тип; г)
решетки Mn2Sb I и II с катионами (J),
имеющими тетраэдрическую и катионами
B) — октаэдрическую координацию [Гуди-
наф A969)].
е)
Рис. 22.11. Различные типы коллинеар-
ных антиферромагнитных атомных струк-
структур. 1 — узлы с проекциями магнитных мо-
ментоп ионоп одного направления (+) и
2 — узлы с проекциями магнитных момен-
моментов ионов противоположного направле-
направления (—). о) г. ц. к. решетка — первый
тип; б) г. ц. к. — третий тип; в) г. ц. к—
второй тип I; г) г. ц. к. — второй тип II;
а) г. ц. к.—четвертый тип I и е) г. ц. к. —
четвертый тип II. На схемах д и е показан
вид сверху на две соседние плоскости ти-
типа A00)—сплошные белые и черные круж-
кружки соответствуют узлам, лежащим на верх-
верхних гранях кубов, а пунктирные (белые
и штрихованные) — узлам, лежащим на
соседней плоскости, проходящей через
центры боковых граней куба [Гудинаф
A969)].
В антиферромагнитном кристалле с п.к. или о.ц.к. решеткой можно
без труда выделить две коллинеарные, антипараллельные намагниченные
магнитные подрешетки (рис. 22.10, а) А и В, причем каждый узел подре-
шетки А будет иметь ближайшими соседями только узлы второй подре-
подрешетки (В) и наоборот. Но может быть и другой случай, когда антифер-
антиферромагнитный порядок устанавливается в самих этих подрешетках
(рис. 22.10, б). В г.ц.к. решетке нельзя произвести такое простое раз-
разбиение на подрешетки [40], ибо среди узлов ближайших соседей к данному
— 704 —

имеются также ближайшие соседи между собой. В этом более сложном
случае вводят не две простые кубические подрешетки, а целых четыре,
и возможно антиферромагнитное упорядочение двух типов (см. рис. 17.4).
Тип/
Рис. 22.13. То же, что и на рис. 22.11. а) Ре-
Решетка корунда с магнитной структурой типа I;
б) с магнитной структурой типа II; в) п. к.
решетка с различными типами магнитных
структур — А, С, Е, G и смешенная струк-
структура СЕ — с шахматным расположением це-
цепочек элементарных кубов со структурами С
и Е вдоль оси [010]; г) гексагональная решет-
решетка со структурами типа I и типа II [Гудинаф
A969)].
Рис. 22.14. То же, что и на рис. 22.11.
а) Решетка с гекс п. у. — третий тип маг-
магнитного порядка (см. рис. 22.13, г); б)
структура ильменита, три типа магнитно-
магнитного порядка I, II и III. Буквами В, А и С
обозначены соседние в решетке базисные
плоскости различного типа [Гудинаф
A969)].
На рис. 22.11—22.14 приведены [Гудинаф A969)] различные типы колли-
неарных антиферромагнитных структур, найденных с помощью нейтрон-
нейтронной дифракции.
2. Случай двух подрешеток. Рассмотрим подробнее случай антифер-
антиферромагнитного монокристалла с двумя подрешетками, являющегося систе-
системой кристаллохимически эквивалентных ионов. В гамильтониан системы
входит изотропное электростатическое обменное взаимодействие магнит-
магнитных ионов, их энергия во внешнем постоянном магнитном поле Н, направ-
направленном вдоль оси z (Нх = Ну = О, Н2 = 0), и внутренние магнитные
взаимодействия, снимающие вырождения по направлению (в кристалле)
намагниченностей подрешеток. Учет магнитного анизотропного взаимо-
взаимодействия в антиферромагнетиках не является тривиальным. Как и в слу-
случае ферромагнетиков, это более слабое, чем изотропный обмен, взаимо-
взаимодействие в значительной степени определяет магнитное поведение анти-
антиферромагнетиков во внешних полях, т. е. вид их кривых намагничивания.
Кроме того, магнитные взаимодействия могут влиять и на взаимную ориен-
ориентацию и величину атомных магнитных моментов, например привести
к слабой неколлинеарности магнитных моментов подрешеток, к наруше-
нарушению компенсации их магнитных моментов (см. ниже). Вопрос о происхо-
происхождении и учете магнитной анизотропии в антиферромагнетиках рассматри-
рассматривался многими авторами (см., например, [7,1, 123, 124, 129, 130, 181]).
45 с. В. Воисовсклй
- 705 —

Оставляя пока рассмотрение вопроса о происхождении анизотропии,
примем лишь сам факт ее существования *). Введем в выражение для
гамильтониана, согласно методу Боголюбова — Тябликова [100] **),
вместо изотропного параметра (интеграла) обменного взаимодействия
Ааа- («) а' — номера магнитных ионов) анизотропный параметр
Ааа' (] = х, у, z). Тогда обменный гамильтониан [см., например, B2.1)]
в «анизотропном обобщении» и с учетом энергии во внешнем поле Н,
примет вид
— — 1 V Л} ,rrj ст3' 1 V
— V А] fsj ctj — V ист3' Н — V ист3 Н A1 73>
i, ai, a2 i, ai 3, ой
Здесь аь o^ и а2, &'г — номера магнитных ионов соответственно для
первой и второй магнитных подрешеток, аа (о?, ст^, <Ja) — оператор
единичного вектора спина, ц (^х, [iy, \iz) — вектор магнитного момента
иона. Определим вначале основное состояние антиферромагнетика (при
Т = 0° К) в классическом приближении в зависимости от величины
и направления внешнего магнитного поля. Операторы спинов в B2.73)
заменим классическими векторами с условиями нормировки:
SKJ=1 (j = x,y,z). B2.74)
i
Ограничимся простейшим случаем одноосной магнитной анизотропии.
Единственную ось анизотропии направим вдоль оси z. Тогда, следуя
Аматуни [181], будем иметь
K.a' = AVaa- = Aaa-, Ааа- = Ааа- + ААаа-, \ix = ц„ = \it ф \iz. B2.75)
Если пренебречь поверхностными эффектами, то можно ввести следую-
следующие обозначения:
i 2 4v: = t S А«к=АЛ; | 2
2Л — О Л /2.
яаш! — ^-«¦12-' о'
O.VX2
1 ^ N V! B2.76)
Здесь для удобства введены безразмерные параметры обмена А^ — А2 —
= А и А12 и безразмерные константы анизотропии Bi = В2 = 5 и Bi2
соответственно «внутри» каждой из двух эквивалентных подрешеток
A и 2) и «между подрешетками» (А12 и Bi2); Io — намагниченность насы-
насыщения подрешетки.
Ради упрощения выкладок предположим, что векторы намагниченно-
стей подрешеток A<ра) и внешнего поля компланарны и лежат в плоско-
плоскости yz (Нх = ог„ = 0). Далее введем углы Фа между векторами /Ооа
и осью z и обозначения
= ag (a = 1,2). B2.77)
*) См. обзор Канамори [182].
**) См. также работу Аматуни [181].
- 706 -

Тогда гамильтониан B2.73) в классическом приближении примет вид
- const- AIl(g + ?+ril+-rfi-2Ai2Il(r\ir\2+Z&2)-
-Io(Zi + Z2)Hz. B2.78)
3. Изотропный случай (явления опрокидывания магнитных подреше-
подрешеток и разрушения антиферромагнитного порядка). Рассмотрим сначала
самый простой случай практически изотропного антиферромагнетика,
когда можно считать, что В/A, Bi2IAi2 я* 0, и направим поле Н вдоль
оси z {Ну = О, Нг = Н). Тогда B2.78) примет вид
Же = const - АР0 (SI + 3 + Л? + Л» - 2АЛ2 (Л 1Л2 + Sib) -
-/о (Si+ &0#. B2.79)
При Н = 0 минимуму о%?°б будет соответствовать антипараллельная ориен-
ориентация намагниченностей подрешеток: ?4 = — ?2> Л1 — — Лг> если
Л12<0 и Л>0. B2.80)
Таким образом, в данном случае критерием антиферромагнетизма
является условие отрицательности параметра обмена А12 < 0 между ионами
разных подрешеток и положительность этого параметра (А > 0) внутри
каждой подрешетки. Легко видеть, что условие А > 0 не является необ-
необходимым для энергетической выгодности антиферромагнитного состоя-
состояния *). Следует также помнить, что в силу короткодействующего харак-
характера обменных сил и, как правило, заметно больших расстояний между
ионами ближайшими соседями внутри одной подрешетки, чем между
ионами двух разных подрешеток, мы имеем | ^4121 Э> | А \ . Равновесное
значение 3?°оъ и соответствующие ориентации векторов намагниченности
подрешеток при заданной величине поля Н находим из обычных условий
минимума B2.79) при добавочных условиях B2.74), которые принимают
вид: ^ + г\\ — Й + Ц\ — 1- Вводя лагранжевы множители Kt и Х2,
получаем следующие условия экстремума функции B2.79) {dM%ldt
= 0; d&eidd^i = 0, i = 1, 2):
BAP0 + ki) & + 2Ai2I%2 = - I0H,
BAP0+k1)r]l+2Ai2Ilr]2=0, < [ " ;
Решения уравнений B2.81) в предельном случае очень слабых полей
имеют вид
%+Л2=0, Si = S2=S=4|^||/o , X1 = X2 = 2(A12-~A)Il. B2.83)
Таким образом, в случае слабых полей (Н < А\А12\10), т.е. когда энер-
энергия магнитных моментов относительно внешнего поля гораздо меньше,
чем обменная связь между соседними ионами разных подрешеток, и ког-
когда магнитная анизотропия исчезающе мала, намагниченности подрешеток
поворачиваются в поле Н так, что вектор их разности /0 (at — о2)**)
ориентируется перпендикулярно вектору Н (см. рис. 22.15). Это явление
*) Различные комбинации знаков и соотношений абсолютных величин обменных
интегралов были подробно исследованы, например, в работах Нееля [38].
**) Этот вектор коллинеарен с векторами <Ti и <г2 лишь при Н = 0. Ориентация
вектора (ffj — <Гг) в плоскости ху остается при этом неопределенной в силу обычного
вырождения при изотропной энергии взаимодействия в этой плоскости. Это вырожде-
вырождение снимается при учете магнитной анизотропии в этой плоскости.
— 707 — 45*

поворота намагниченности подрешеток в магнитном поле принято называть
опрокидыванием подрешеток антиферромагнетика в магнитном поле
(spin-flopping).
С ростом поля векторы намагниченностей подрешеток начинают пово-
поворачиваться в направлении поля *). Это явление называют разрушением
антиферромагнитного поряд-
! ] ка или охлопыванием маг-
магнитных подрешеток. Резуль-
Результирующая намагниченность
вдоль оси z растет с полем
а)
Рис. 22.15. Явление опрокидывания магнитных подре-
подрешеток в анизотропном антиферромагнетике. Внешнее
поле Я: а) меньше поля опрокидывания Не; б) больше
поля Но.
линейно:
с восприимчивостью,
п 1
1
B2.84)
равной
энергии через температуру
U « Ю2 гс, N ж 1023, |Л12|
у
Нееля: | А12 | I2JN
Порядок величины %j_ легко
определить, если вспомнить
обычную оценку обменной
10~15 эрг,
1°~4. что
| 12 | J
Ю4 и, следовательно, %°L
качественно согласуется с данными опыта (см.
измерение %_l на монокристалле MnF2 [139],
а также рис. 17.6).
В предельном случае очень сильных полей
(при Т « 0° К)
- 1 или #> Б
4 \А__ | /0
М'Эфф
ИЛИ 11 _^> — — 11 Е,
B2.85)
где НЕ—эффективное поле обменного взаимо-
взаимодействия, а [хЭфф Я4 Iq/N — величина порядка
атомного магнитного момента, имеем
Я1=Я2= -10Н-2(А12+А)Р0.
Таким образом, в очень сильных полях
(Н ^> |^12|/0 ~ Ю6 э) все магнитные моменты
ионов антиферромагнетика могут быть направ-
направлены вдоль внешнего поля (намагниченности
подрешеток «схлопнулись»), и кристалл будет
10
Иг
Вг2-'
+H2D
\
\
\
\
\
\
\
" ОМ 1,0 1М 2,0 2М
Т,'Н
Рис. 22.16. Фазовая диаграмма
Нв (Т) для МпВг2-4Н2О.
подобен ферромагнитному домену, намагниченному до насыщения.
Эффективное поле обменной связи НЕ та ^б©я-/^эфф является вторым **)
критическим полем, разрушающим антиферромагнетизм (т. е. самопро-
самопроизвольную намагниченность подрешеток), оно определяется из условия
равенства k_sQN я* ц.эфф#е< Очевидно, что с ростом температуры величи-
величина НЕ будет уменьшаться, стремясь к нулю при Т -»- QN. Эксперимен-
Экспериментально эта зависимость была исследована в работах Генри [183, 184],
Гийсмана и др. [185]. На рис. 22.16 для МпВг2'4Н2О (по данным Генри
[184]) приведена фазовая диаграмма с кривой НЕ(Т), которая выделяет
из плоскости Н, Т область антиферромагнетизма (Н ¦< Нв (Т), Т ¦< 8W)
*) Наглядно это можно представить себе как закрывающийся «зонтик», ручка
которого лежит вдоль оси z.
**) Первое критическое поле Нс соответствует опрокидыванию подрешеток. В от-
отсутствие магнитной анизотропии оно равно нулю (Н,. = 0).
- 708 —

от парамагнитной области (при Н = 0). Теоретически эта фазовая диаг-
диаграмма антиферромагнетизма была рассмотрена в работах Власова [123],
Гортера и ван Пески-Тинбергена [186] и Нееля [187] (см. ниже).
4. Влияние анизотропии *). а. Случай Н = 0. Выясним теперь, как
изменится формула B2.78) при учете магнитной анизотропии (В, В±2ф
Ф 0). Рассмотрим сначала случай Н = 0 и определим равновесную есте-
естественную ориентацию намагниченностей подрешеток, обусловленную
внутренними магнитными силами. Принимая условие B2.80) и решая
задачу по определению экстремума B2.78) при Н = 0 и добавочных свя-
связях B2.74), находим два возможных антиферромагнитных ссостояния.
Первое состояние:
т)«>=т)«>=о, а» = - й", i й1у i=i й" i=1. к1у=w=
= 2(А12-А)Р0 + 2(В12-В)Р0,
<ШЖ.аНшг = 2(А12-А-В12-В) B2.86)
и второе состояние:
?«> = ?«> = (), т)«>=-т)<», K>|=|V22>| = 1. ^=^=2(^12-^)^,
е№аниз = 2(Л12-Л). B2.87)
Решение B2.86) реализуется, если соответствующее ему значение энергии
меньше, чем для решения B2.87), т. е. при условии
В12-В<0 или В>В12. B2.88)
При этом предполагается, что всегда \А12\ ^> \В\ и |Bi2|, поскольку
электростатические силы больше магнитных. Решению B2.86) отвечает
такое расположение намагниченностей подрешеток, когда они коллинеар-
ны и вектор их разности L = (at — о2) параллелен оси z (io||^z)- Направ-
Направление вектора i0, определяемое силами магнитной анизотропии антифер-
антиферромагнитного кристалла, называют направлением (осью) антиферромагне-
антиферромагнетизма **) или естественной кристаллографической осью. Решение B2.87)
отличается от решения B2.86) тем, что для него ось антиферромагнетизма
не параллельна, а перпендикулярна оси z, т. е. i0 -L О». В этом случае
вместо B2.88) имеем другое условие
В-В12<.0 или В12>В.
Направление оси Хо в плоскости ху не может быть определено, поскольку
мы не учитываем анизотропии в этой плоскости***). Соотношения знаков
и абсолютных величин В и Bi2 могут быть самыми различными, поскольку
они определяются конкретными кристаллохимическими и магнитными
свойствами антиферромагнетика.
Детальное исследование различных частных случаев расчета основ-
основного состояния антиферромагнитного одноосного кристалла при учете
анизотропии и в присутствии внешнего поля (Н Ф 0) провели Неель [187],
Туров и Ирхин [188], Каганов и Цукерник [189, 190] (см. также обзор
Вонсовского [191]).
б. Случай Н Ф 0. В случае Н Ф 0 надо различать ориентацию Н отно-
относительно i0, а также тип «нулевого» решения — B2.86) или B2.87).
Следуя Турову и Ирхину [188], целесообразно ввести в выражение B2.78)
вместо величины ?а и г\а (а = 1, 2) [см. B2.77)] новые переменные
*) См. также работу Канамори [182].
**) В случае ферромагнетизма аналогичную роль играет ось легчайшего намаг-
намагничивания.
***) В данном случае можно говорить не об оси, а о плоскости антиферромагне-
антиферромагнетизма. В случае ферромагнетика в аналогичной ситуации имеем плоскость легчайшего
намагничивания.
— 709 -

(рис. 22.17): угол ty между вектором L = а{ — о2 и осью z и угол ф, на
который векторы ot и о2 отклоняются от оси антиферромагнетизма L.
Прежние углы ¦&„ связаны с новыми углами соотношениями
B2.90)
B2.89)
Угол ф определяет также величину суммарной намагниченности анти-
антиферромагнетика (при Г = 0°К и НфО), т. е.
^0 | °1 + °2 I = 2^о sin ф-
Для проекции намагниченности на ось z имеем
Из B2.77) и B2.89) получаем ?t и ?2:
?t = cos dj = cos i|> cos ф 4- sin i|) sin ф; % = sin ¦&! =
= sin ij) cos ф — cos i|) sin ф,
?2 = cos ¦&2 = — cos i|) cos ф -f- sin ij) sin ф; т]2 = sin ^ =
— — sin i|) • cos ф — cos i|) • sin ф.
B2.91)
Подставляя B2.91) в B2.78), вынося за скобки величину 2А12Р0, обозначая
члены, не зависящие от 1|з и ф через
const, а также вводя новые обозначения:
В12 , В ,. , н
-=Ъ,
- = Ь, й =
2Ai2I0 '
А12 ^ "«' Ai
вместо B2.78) получим
&В%6. аниз = const - 2А12Р0 {sin2 ф [1 +
+ (Ъ12+Ь) sin2 Ц]-
— cos2 ф [ 1 + (Ь12 — b) cos21|з] +
+ 2hz sin ij) sin ф — 2hv cos ij) sin ф} =
= const — 2А12Р0Ф(у>, Ф). B2.92)
Исследование задачи об отыска-
НИИ МИНИМума Выражения B2.92) ПО-
ДОбное проведенному ВЫШе ДЛЯ более
простого случая Н=0, дает возможность
определить равновесные Ориентации
намагниченностей двух подрешеток ан-
антиферромагнетика при любых направлениях и величинах внешнего
магнитного поля. При равновесном антиферромагнитном состоя-
состоянии с ХоЦО« по-прежнему должны выполняться равенства B2.88).
Зависимость B2.92) от внешнего поля Н оказывается существенно раз-
различной для различных ориентации последнего по отношению к Lo. В свя-
связи с этим целесообразно рассмотреть два крайних случая: Я"||О*||?0
||
<т, и <т2 для намагниченностей подрешеток
равлен2„е IZ^tl^oS^STITel
личину результарующей^ намагниченности
||0
в. Различные ориентации поля в кристалле, а) Случай Н |
Если ввести обозначения
то в этом случае (hy=0, hz = h) величина ФA|з, ф) из B2.92) примет вид
Ф(ы, v) = 2bu2v2 + (bi2 — b)u2+B + b12 — b)v2 + 2huv—(l + b12 — b). B2.93)
Значения переменных и и v заключены в пределах
0<ы, у<1. B2.94)
— 710 —

Таким образом, задача по отысканию минимума B2.92) сводится к реше-
решению следующей системы уравнений:
дф г*
—— = чЬии2-\- 2 (b,9 — b) u-f- 2hv = 0,
ди . \ iz / i i
~- = Abu2v+2B-j-b12-b)v + 2hu = 0,
npii условии
(<Э2Ф \ i д2Ф \ I <Э2Ф \ п
¦ 1 ( 1 — I 1 !> U.
du2 ) \ dv2 ) \ аи ди j
Кроме того, всякий раз надо исследовать наименьшее значение функции Ф
на границах области дозволенных значений переменных миг;, определяе-
определяемой неравенствами B2.94). Не излагая деталей элементарных, но громозд-
громоздких вычислений, приведем лишь некоторые их результаты. При решении
задачи на минимум B2.93) естественным образом определяются величины
двух характерных для антиферромагнетика «критических» полей, в интер-
интервалах между которыми имеет место особый тип зависимости энергии
и ориентации намагниченностей подрешеток от величины и направления
магнитного поля *):
НЕ=210B\А12\ + Б-В12). B2.95)
Физический смысл критических полей #ц и Н^ выяснится ниже. Можно
еще ввести эффективное поле магнитной анизотропии
НА&1О(В-ВК), B2.95а)
и тогда будем иметь
#И = У2НАНЕ. . B2.956)
Относительно знаков констант анизотропии необходимо различать две
возможности В < О и В > 0.
Первая возможность: В < 0, т. е. Н\ > Н\\. Здесь в свою очередь
следует отдельно рассмотреть различные интервалы полей.
Первый интервал полей
0<Я<Яц;
решение:
В этом интервале полей (слабые поля) ось антиферромагнетизма L = Lo,
т. е. она сохраняет свое естественное направление (г|з = 0), и намагничен-
намагниченности подрешеток сохраняют свою связь с, этим направлением i0, обус-
обусловленную магнитной анизотропией. Такое состояние удобно обозначать
символом (z, ||), где первый индекс указывает ориентацию поля Н, а вто-
второй— взаимное расположение Н и L. Магнитное поле при Н *СН\\ еще
слишком слабо, чтобы начать поворачивать эти намагниченности в более
выгодное направление по отношению к направлению поля, как это было
в рассмотренном выше случае В = В12 = 0 [см. решение B2.83)].
Второй интервал полей
#ц<#<#±;
решение:
*) Второе критическое поле (поле разрушения антиферромагнетизма) НЕ уже
было определено выше в B2.85) при В = Bi2 = 0.
— 711 -

В этом интервале полей (средние поля) мы имеем состояние типа (z, tj)),
в котором ось антиферромагнетизма L уже не совпадает со своей «нуле-
«нулевой» ориентацией LQ (г|з Ф 0), и намагниченности подрешеток также откло-
отклоняются от направления JL (ф ^ 0). При этом ось L на протяжении данного
интервала полей от Н\\ до Н\ испытывает быстрый *), но непрерывный
(без скачка) поворот от начального направления (io || Os) гр ^= 0 при Н =
= Н__\ до ij) = я/2 (L J. Lo, Os.) при Н = Н±. При этом становятся понятны-
понятными обозначения характерных полей: при Н^сНц поле Н и Zпараллельны,
при достижении полем значения Н± ось антиферромагнетизма L повора-
поворачивается в направление, перпендикулярное к полю И. При критическом
поле Н±_ происходит упоминавшееся уже так называемое «опрокидывание»
намагниченностей подрешеток в магнитном поле (см., например, обзор
Боровика-Романова [3]), поле Н± обозначают также через Нс. Это явление
впервые предсказал Неель [7]. На опыте его впервые наблюдали Пулис
и Хардеман [192] с помощью ЯМР, и ван ден Хандель и др. [193] путем
измерения магнитной восприимчивости на антиферромагнитных моно-
монокристаллах СиС12 '2Н2О. Намагниченности подрешеток поворачиваются
как вместе с осью L, так и по отношению к ней (ф Ф 0) от ф = 0 при Н =
= /Гц до БШф = Н^/НЕ при Н = Н± (согласно вышеприведенной оценке
этот угол ф х Н11НЕ также, как правило, очень мал). Намагниченность
антиферромагнитного кристалла, вдоль оси z (Iz) будет изменяться в этом
интервале линейно с полем, согласно B2.84),
ф
4
по формуле
Н — Н
I/
НЕ
Ни Н.
2Тп
•=-5^. («lO-i).
Намагниченность Iz изменяется от 0 при
/Г = /Г|| до Iz (Н±) = 2/0 -уг=- ¦ Отношение
21 п
2-10-2,
Рис. 22.18. Кривые намагничива-
намагничивания одноосного антиферромагнети-
антиферромагнетика при 0° К. а) Намагничивание
вдоль естественной оси антиферро-
антиферромагнетизма (ось z) при В < 0; б)
намагничивание вдоль оси z при
В > 0.
= я/2, sin ф = Н/НЕ
т. е. намагниченность на границе интервала
может достигать нескольких процентов от
величины насыщения.
Третий интервал полей
решение:
%= -т]2 = A-
В этом интервале полей ось антиферромагнетизма все время перпендику-
перпендикулярна полю: L _L Н; осуществляется состояние (z, j_). Намагниченность
меняется с нолем линейно (как и во втором интервале полей)
но с другим (меньшим) значением восприимчивости
- -
*) Интервал
Ю-4 а, ибо /„ «
\Н
,
•2Гц|«
1 гс, а
У |В,2|//0 V"
4J | очень узок, около 10"
2 « A02/Ю5I/2 « A/3) Ю-1.

По порядку величины yjf* ~ 10~4. На границе этого интервала полей при
Н = НЕ намагниченность антиферромагнетика достигает насыщения
IT (НЕ) = 2/0.
Четвертый интервал полей
решение: _ _ _ _„ .,„_„.
Это состояние насыщения. На рис. 22.18 приведена кривая намагни-
намагничивания Iz (H) для рассмотренного случая.
Вторая возможность В > 0, т. е. Н± < Н\\. В интервале полей
Н^^СН <; Н\\ возможны метастабильные состояния. Поэтому при намаг-
намагничивании антиферромагнитного одноосного мо-
монокристалла должен наблюдаться гистере-
гистерезис, аналогичный гистерезису процессов вра-
вращения в ферромагнетике (см. гл. 23). Неель
[187], а также Туров и Ирхин [188] показали,
что если осуществляются лишь устойчивые
состояния, то при увеличении поля от Н = О
до Н = НЕ будут проходиться следующие со-
состояния (см. рис. 22.18, б):
Состояние типа (z, ||):
'у
Bin
н>
Рис. 22.19. Кривая намагничи-
намагничивания одноосного антиферро-
антиферромагнетика при 0° К для поля
перпендикулярного естествен-
естественной оси антиферромагнетизма L.
Состояние типа (z, _L): НС*СН *СНЕ;
Состояние насыщения вдоль оси z : Н !> НЕ.
Следовательно, в данном случае (В >- 0) при пороговом значении
поля Нс происходит скачкообразное изменение ориентации оси антиферро-
антиферромагнетизма (от ty = 0 до ty =
= я/2) и проекции магнитного
момента Iz. Благодаря сущест-
существованию метастабильных состо-
состояний может наблюдаться гисте-
гистерезис; а именно, при увеличе-
увеличении магнитного поля переход
из начального состояния (z, ||) в
состояние (z, _L) (абсолютный
минимум для которого наступа-
наступает при Н = Нс < Н\\), может
задержаться до большего поля
Н\\. Наоборот, при убывании
поля от НЕ переход из состоя-
состояния (z, J_) в состояние (z, ||)
может произойти не при равно-
равновесном значении порогового
поля Нс, а задержаться до бо-
более слабого поля Н± <; Нс.
Следует однако напомнить, что
интервал полей (Н^ — Н\\)
относительно очень узок
Н.кз
Рис. 22.20. Зависимость намагниченности 1 от поля Н
для СиС12-2Н2О. 1 — Т = 4,1° К, И \\ а„ (X..); 2 —
Т = 4,1° К, И || с„ (X_l); 3— Т = 3,02° К, Н || а0 (Ху);
4 — Т = 3,02° К, ЯЦсо(х_|_); 5— Т = 1,57° К,
НЦ«, (х„); 6 — Т = 1,57° К, Я||г0 (x_L),roe а0 и
<"о — единичные векторы вдоль кристаллографиче-
кристаллографических осей о и с. Ось антиферромагнетизма направ-
направлена вдоль оси а.
|±ц|±(|12||12|)
хЮ~3. Поэтому наблюдать явле-
явление гистерезиса при намагничи-
намагничивании антиферромагнитного кри-
кристалла весьма затруднительно.
Р) Случай Н 1 О». В этом
случае [й„ = й, hz = 0, см. B2.92)]
поведение системы не зависит от знака константы анизотропии В. Здесь имеется всего
лишь одно характерное поле
Н'Е=210B\А12\+В-В12), B2.96)
713 —

поскольку ось антиферромагнетизма Lo сохраняет свою ориентацию при всех значениях
поля, когда Н ± Lo.
В интервале полей 0 < Н < Н'Е, t]j = т]2 = т] = Н/Н'в, ?1 =— t,2 = A —т]2I^2,
это состояние (j/, J.) и
, =2/ _Н_ = 1 1__
у *1^' Х B|Л12| + ?-?12) * 2|Л12| *
В интервале полей Н > Не, х\\ = ц2 = 1, ?i = ?2 = 0, /,, = 2/0 (рис. 22.19).
Все приведенные расчеты относились к случаю Т = 0° К. При Т > 0° К необхо-
необходимо учесть влияние теплового движения. В первом приближении это можно сделать,
если принять во внимание температурную зависимость констант анизотропии В (Т)
и jBJ2 (Г), а также намагниченности насыщения /0 {Т). Для области высоких темпера-
температур зависимость от Т можно учесть в рамках термодинамического метода молекуляр-
молекулярного поля, а при низких температурах методом спиновых волн. На рис. 22.20 приве-
приведены кривые зависимости намагниченности антиферромагнитного монокристалла
СиС12-2И2О по данным Ван ден Ханделя и др. [193] для двух ориентации поля
Н || Lg и Н jl Lo. Из кривых видно, что опыт хорошо подтверждает теорию. Для
данного случая Н, « 6 кэ.
§ 6. Термодинамическая теория антиферромагнетизма
Термодинамическая теория молекулярного поля для антиферромаг-
антиферромагнетиков была развита в работах Нееля [6], Ландау [5], Биттера [17],
Дреснандта [120], Ван-Флека [119] и др. [40, 123, 127, 188—190]. Оста-
Остановимся весьма кратко на изложении схемы этой теории, следуя в ос-
основном работам [119] и [1]. Ограничимся рассмотрением случая двух подре-
шеток, когда у каждого узла в первой координационной зоне ближайших
соседей имеются лишь узлы из другой подрешетки. Назовем одну под-
решетку положительной (спины «+»), а вторую — отрицательной (спины
«—») с антипараллельными намагниченностями соответственно /+ и /_.
Тогда для «молекулярных полей», действующих на спины в этих подре-
шетках со стороны их намагниченностей, будем иметь
Д"мол= - ееJ.-PJ+, B2.97)
_Н"М0Л= -ccl+-pj_, B2.98)
где а^Р — постоянные молекулярного поля. Если а>0 и |а|^>|Р|,
то, как мы видели выше, в отсутствие внешнего поля Н = 0 намагни-
намагниченности 1+ и Х_ будут антипараллельны, т. е.
J+o + J-o=O. B2.99)
В отсутствие внешнего поля Н или без учета магнитной анизотропии их
общее направление, т. е. вектор антиферромагнетизма Lo = 1+ — I- не
определен в кристалле. Допустим вначале, что направление Lo закреплено
в кристалле силами магнитной анизотропии, эффектом которых на вели-
величину полей пока пренебрежем, и рассмотрим опять два простейших слу-
случая, когда внешнее поле Н параллельно или перпендикулярно Lq.
1. Случай H\\L0. Здесь на спины будут действовать соответственно
поля | _Н"мол + -Н" | и | if йол + Н |. Для средних статистических намагни-
намагниченностей подрешеток, согласно A8.9) или (9.5), имеем
[у±), B2.100)
где
и
'^Sy~~iscth^S B2.102)
714 -

— функции Бриллюэна. Если спиновое квантовое число S = 1/2, то
Вi/2 (у) = thy, в классическом же случае (при S -»- оо) имеем В^ (у) =
=Loo (г/) = cthy — 1/г/, т. е. функцию Ланжевена. При Н = 0 формулы
B2.100) дают температурную зависимость самопроизвольной намагничен-
намагниченности каждой из подрешеток, если использовать формулы B2.97 — 22.99):
| и yo = (a-f,)IoSgiiE/kET. B2.103)
Легко видеть, что B2.103) дает такое же уменьшение 70 с температурой,
как и в случае ферромагнетика. Из B2.103) следует, что /0 = 0 при тем-
температуре Нееля, равной '
Ng^S^+ !)(*-& С(д-р)
= 2 ' B2.104)
где С =-- Ng2[i%S E+1 )/3/сб — константа Кюри *).
При Н = 0 также можно определить магнитную восприимчивость
выше точки Нееля (Т > ew), т. е. в парамагнитной области, где /+ и /~
параллельны Н и малы и где поэтому, используя разложение Bs (г/),
опять имеем
/± = ^т[Я-(сс-р)/±]. B2.105)
Из уравнения B2.105) находим
/+=.-/- = СН
2[Г-С
и для парамагнитной восприимчивости Хпм='(-^+ + 1~IН получаем
у ___?__. й
Апм— 7т_|_с, ? "пм—
1 ~Т ип
Из B2.106) видно, что кай и в случае ферромагнетизма (см. гл. 18), пара-
парамагнитные точки Кюри 0ПМ и точки Нееля не равны между собой [если
учесть добавку в молекулярных полях B2.97)—B2.99) от второй координа-
координационной зоны, т. е. при р Ф 0]. Начальная восприимчивость хп ниже точ-
точки Нееля (Т < 6W) может быть получена из общей формулы B2.100),
если функцию Bs (г/*) разложить в ряд по степеням Н и ограничиться
членом первой степени, а также считать, что поля Лмол соответственно
параллельны и антипараллельны полю Н. Находим
J+ — J- 3SB'f,(yn)C а
Н
Величина хц -*-0 при Т -*- 0, она растет с повышением температуры и при
Т > 0jv стремится к парамагнитной восприимчивости B2.106).
2. Случай Н _L Xo. В этом случае векторы 1± имеют одинаковую вели-
величину и наклонены симметрично к Н («зонтик»). При каждом значении
внешнего поля момент вращения, действующий на намагниченности
подрешеток со стороны полного поля Д"мол + -Н", должен быть равен
*) Действительно, разлагая В$ (j/o) в ряд по степеням у0, при малых г/о (т- е-
малых /о) имеем
Bs (г/о) * "з" —j—' s/o+ • • •;
тогда B2.103) дает в первом приближении
откуда для Г = 0№ сразу следует B2.104).
- 715 -

нулю. Таким образом, например для 1+ имеем
откуда
27+ sin Ф = -i- Я,
B2.108)
где ф —угол между J+ и ?0. Согласно B2.90) правая часть B2.108) дает
величину суммарной намагниченности вдоль поля, и, следовательно, для
восприимчивости получаем
X± = 4- = const- B2.109)
Таким образом, Xj_ не зависит от температуры и при Т = QN совпадает
__ - ^q^j _ ^а_ Измерения хп и Xj_
на одноосных антиферромагнит-
антиферромагнитных монокристаллах (напри-
(например, в MnF2) по данным Гриф-
феля и Стоута [194], Стоута и
Матарессе [195] и Бисетт и Тоаи
[139] качественно хорошо согла-
согласуются с выводами изложенной
теории, как это видно из кри-
кривых рис. 22.21 (см. также
рис. 17.6).
3. Сравнение с опытом.
Интересно также провести срав-
сравнение теоретических и опытных
значений для отношения пара-
парамагнитной точки Кюри и точки
Нееля
с парамагнитной восприимчивостью
30
20
10
/
MnF2
50
100
150
Т,°Н
0
пм __
Рис. 22.21. Температурная зависимость молярной
магнитной восприимчивости монокристалла MnF2.
Кривая с экспериментальными точками по данным
работы L139], кривая без точек по данным работы
при р = 0 впм/в№ = 1, при р > 0 Snw/@N > 1, что и дает опыт (см.
табл. 22.1). Из B2.109) следует, что отношение QnM/0w может стремиться
к бесконечности @пм/0лг-»- оо), если Р ~>- а. Однако, как показал Андер-
Андерсон [40] (см. также Ван-Флек [42]), необходимо учесть, что модель двух
подрешеток законна лишь для ограниченной области относительных вели-
величин параметров молекулярного поля аир. Мы не будем задерживаться
на более подробном анализе этого вопроса, отсылая читателя к ориги-
оригинальным работам и обзорам по антиферромагнетизму. Заметим только,
что, например, в случае о.ц.к. решетки при р > а/2 энергетически выгод-
выгодно другое разбиение на подрешетки (см. рис. 12.10, б). В случае же кри-
кристалла с г. ц. к. решеткой, как показал Андерсон [40], в зависимости от
выполнения неравенства р ^ За/4, могут быть два типа упорядочения,
изображенные на рис. 17,4, а, б.
Учет магнитной анизотропии, а также анизотропии ^-фактора поз-
позволяет уточнить выводы теории молекулярного поля. Наиболее подробное
изложение такого уточненного расчета дано в работах Власова [123,
124] (см. также обзор Нагамийя и др. [1]).
4. Общая термодинамическая трактовка антиферромагнетизма. В слу-
случае антиферромагнетизма, как и для ферромагнетизма, можно развить
общую термодинамическую трактовку [см. Боровик-Романов [3], Туров
A963)]. Если мы ограничимся коллинеарной магнитной структурой, то
можно ввести две магнитные подрешетки (два магнитных иона в элемен-
элементарной магнитной ячейке) с суммарными моментами соответственно Mt
и М2- Вектор антиферромагнетизма определяется равенством
L=Mi — Mz. Г22.111)
- 716 —

Его относительная величина
1 = -%- B2.112)
является мерой дальнего магнитного порядка, Lo — величина вектора L
при 0° К, равная удвоенной величине магнитного насыщения Мо каждой
из подрешеток: Lo — 2М0.
Суммарный магнитный момент кристалла будет равен
M = Mt + M2. B2.113)
Если коллинеарный антиферромагнетизм допускается симметрией
кристалла, то вектор L при всех операциях симметрии соответствующей
пространственной группы должен преобразовываться сам через себя.
При этом, если при данной операции симметрии происходит перестановка
атомов внутри одной и той же магнитной подрешетки, то вектор L преоб-
преобразуется, как обычный аксиальный вектор. Если же происходит переста-
перестановка атомов между двумя магнитными подрешетками, то вектор L будет
испытывать дополнительное изменение знака соответственно формуле
B2.111), в которой при этом произойдет перестановка индексов 1 и 2.
Очевидно, что суммарный магнитный момент М всегда преобразуется, как
аксиальный вектор.
Строго скомпенсированным антиферромагнетиком будем называть
такой, у которого М = 0 при U = 0. (Могут, однако, быть случаи, когда
из свойств симметрии кристалла при Ь^0иД=0с неизбежностью
следует, что и М Ф> 0. Этот случай мы рассмотрим ниже, см. § 11.)
Ограничимся рассмотрением одноосного (гексагонального, тетраго-
тетрагонального или ромбоэдрического) с локализованными атомными магнит-
магнитными моментами антиферромагнитного кристалла с осью симметрии z.
Тогда плотность энергии такого кристалла при 0° К с точностью до квад-
квадратичных членов по намагниченностям подрешеток (при условии их одно-
однородности во всем объеме кристалла) будет иметь вид
36о=—5~тп2 + ~2 mz + ~2 II — т^> B2.114)
где первый член — обменная энергия, второй и третий — энергии магнит-
магнитной анизотропии, а четвертый — энергия во внешнем магнитном поле,
B2.115)
Из условия
М\ = М\=(^-У", B2.116)
справедливого при 0°К, имеем
т2 + Р=1. B2.117)
Минимизация выражения B2.114) при h = 0 и при условиях B2.117)
показывает, что антиферромагнетизм (т = 0, I = 1) имеет место при А <;
< 0 (отрицательная обменная энергия!). Ось антиферромагнетизма (опре-
(определяемая вектором I) будет параллельна оси симметрии z при Ъ > 0
и перпендикулярна к ней при Ъ < 0. Далее можно провести тот же анализ
всех частных случаев, который был проведен выше в модельной теории.
Как и в модельной теории здесь при определении основного состоя-
состояния мы совершенно не учитывали квантовых поправок, связанных с энер-
энергией нулевых колебаний (см. ниже § 7).
Проведенный здесь расчет можно также обобщить и на случай темпе-
температур, отличных от нуля. При этом придется отказаться от условий
B2.116) и B2.117). Более детально с расчетами для этого случая можно
ознакомиться по обзору Боровика-Романова [3].
¦ - 717 —

Обращаем внимание еще на интересную работу Дзялошинского
и Манько [196]. В ней в рамках общей термодинамической трактовки рас-
рассмотрены нелинейные эффекты в антиферроматнетиках. Дело в том, что
в разложении М (Н) по Н появляются (в отличие от парамагнетиков)
квадратичные и другие четные степени Н, поскольку группа магнитной
симметрии антиферромагнитного кристалла может не содержать элемен-
элемента R (обращение времени), если он входит в комбинации с другими
элементами:
На основании общих физических соображений авторы оценивают коэф-
коэффициенты btki и cthirn в выражении для зависимости момента М от поля Н.
и рассматривают конкретные примеры антиферромагнетиков (UO2, FeCC>3
и a-Fe2O3). В этой же работе доказана возможность существования фер-
ферромагнетиков, обладающих своеобразным «скрытым» антиферромагнетиз-
антиферромагнетизмом. В таких кристаллах средние магнитные моменты ионов различаются
как по величине, так и по направлению, хотя, в отличие от обычных фер-
римагнетиков, все магнитные ионы в нем одинаковы и расположены
в эквивалентных кристаллографических позициях. Наличие скрытого
антиферромагнетизма проявляется в иной температурной зависимости
самопроизвольной намагниченности вблизи точки Кюри (подробнее см.
оригинальную работу [196]).
§ 7. Теория спиновых волн в антиферромагнетиках
1. Наглядное квазиклассическое описание. Одной из важнейших
проблем антиферромагнетизма является расчет и экспериментальное опре-
определение магнитной ветви элементарных возбуждений кристалла антифер-
антиферромагнетика в области низких температур (Т <^ вл). В связи с этим
рассмотрим микроскопическую теорию спиновых волн для антиферромаг-
антиферромагнетиков. Как и в гл. 19, начнем с квазиклассического описания спиновых
волн в антиферромагнетике.
Следуя Кефферу и др. [197] (см. гл. 19), рассмотрим цепочку из
атомов, расположенных в узлах 2, 2, 3, 4, 5, 6, ... с расстоянием а между
соседними атомами (рис. 22.22). Пусть внешнее слабое поле Но направлено
вдоль оси z. Если спиновое квантовое число атомов равно S, то спиновый
магнитный момент равен g[iB YS (S + 1)- В основном состоянии, когда
нет спиновых волн (fe = 0), все спины в цепочке прецессируют в фазе
вокруг направления поля Но с максимальным значением слагающей
Sz = S и частотой | со01 = g\iBHJ%. В отличие от случая ферромагнетиков
(когда все спины параллельны), здесь будут две возможные прецессии по
часовой стрелке и против с частотами со0 = ± g\y^,HJ%.
В случае спиновых волн с к Ф 0 прецессия отдельных спинов будет
совершаться уже в разных фазах. Однако для нормальных типов движе-
движений *) сдвиг фаз должен быть постоянным и между соседними спинами для
линейной цепочки он равен (ка). На рис. 22.22, а приведен «моментальный
снимок» картины прецессирующих спинов в цепочке атомов антиферро-
антиферромагнетика. На рис. 22.22, б представлен вид сверху на окружность пре-
прецессии, описываемую в пространстве концами векторов спиновых момен-
моментов в плоскости ху. На кружках вдоль окружности точками показаны фазо-
фазовые положения спинов 1, 2, 3, 4 та их положения при обратном движении:
—1, —2, —3, —4. «Нечетные» спины прецессируют по большой окруж-
окружности радиуса R (для спинов, направленных вверх на рис. 22.22, а),
а «четные» спины — по меньшей окружности радиуса Р. Вид сбоку при-
приведен на рис. 22.22, в: ф4 — угол между направлением четного спина 2
*) Существование таких движений следует из того факта, что обменные силы
оставляют момент, действующий на каждый спин, интегралом движения.
— 718 — ¦

и соседних нечетных 1 и 3, а ф2 — угол между нечетным спином 3 и чет-
четными соседями 2 и 4, причем ф2 > q>i. Для наглядности разности фаз
на рисунках, как и в случае рис. 19.2, значительно увеличены. Движение
второго нормального типа можно изобразить теми же рис. 22.22, г — в,
если их повернуть на 180° вокруг горизонтальной оси и не учитывать, что
-3
Рис. 22.22. Полуклассическая картина движений спиновых моментов
нормального типа для спиновых волн в антиферромагнетике. Спины,
направленные вверх, прецессируют по окружности радиуса R, а вниз—
по окружности радиуса Р (Р < Я), а) «Мгновенный снимок» спиновых
волн для шести узлов A, 2, S, 4, 5 и 6) в линейной цепочке с пара-
параметром а; б) вид сверху, показывающий фазовые соотношения для со-
соседних спинов; в) вид «сбоку». Фазы ф, и ф2 определяются из соотно-
соотношений
8Шф, = x[S (S+ 1)]~1/2; sin ф2 = у [rS(S+ I)]/2-
Отрезки х и у показаны на схеме б, a S — спиновое квантовое число
магнитного иона. н„ — внешнее магнитное поле.
при Н Ф 0 оба эти типа движений становятся несколько иными, чем при
Н = 0. При Н = 0 оба нормальных типа оказываются вырожденными.
Для нормального типа движений необходимо, чтобы угловые скорости
прецессии спинов обоих магнитных подрешеток были одинаковы. Урав-
Уравнение движения в виде A9.54) или A9.57) для спинов примет вид
^ B2.118)
Поле -Н"Эфф можно определить из гамильтониана отдельного спина [см.,
например, B2.66)] при Н = 0
а.'(фа.)
суммирование по а' производится по z ближайшим соседям (в случае
цепочки z = 2) и, следовательно,
Нзфф = -^г2юа,. B2.119)
а'
По уравнению B2.118) и выражению B2.119) легко найти величину
вращательного момента для спинов, направленных вверх (Т+) и вниз (Т_):
= g\iB
2 /5E+1) sin ф2 = 2Л5E+ 1) sin ф2,
Т_ =
719 —

Из схемы на рис. 22.22, в видно, что sinqI = :r/[,S(,S+1)]1/2, siiKp2 =
= y/[S(S+l)llh, поэтому
T+ = 2AyVS(S+i), T. = 2AxVS(S+l). B2.120)
Из той же схемы следует, что
X = R-P-J*™. и y = R_p^J^L.. B2.121)
Далее, поскольку уравнение движения для момента B2.118) можно
записать через угловую скорость со:
то для вращательного момента имеем
T+ = hw+R, Т_ = П(о_Р. B2.122)
Поскольку для нормальных движений со+=со_, то, подставляя в B2.122)
выражения B2.120) и используя равенство угловых скоростей, находим
-?- = 7Г B2.123)
Из B2.121) и B2.123) получаем
р±?];'2 B2.124)
4—b = ka P + R B2.125)
PR 2 V2 (Л2+ р2) *¦ '
Ограничиваясь случаем малых ка ( <^ 1), т. е. длинных волн, можно
в B2.125) положить RtxP, и, следовательно, вместо B2.125) будем
иметь
±.&±.ж±Ы. B2.126)
Поэтому для закона дисперсии спиновых волн в антиферромагнетике при
Н = 0 получаем не квадратичный, как у ферромагнетиков, а линейный закон
hw±=A[S(S + l)]V2ka. B2.127)
2. Более строгий расчет. Рассмотрим эту же задачу в более общей квазиклас-
квазиклассической трактовке. Будем исходить снова из уравнения движения B2.118)
««« = -[*« 2 A«M B2-128)
а.'(Фа)
Из B2.128) видно, что движение спинов определяется системой нелинейных уравне-
уравнений. Если существует устойчивое равновесное распределение, в котором все враща-
вращательные моменты равны нулю, то, линеаризуя уравнения для состояний, близких
к этому основному, можно определить малые колебания системы. Рассмотрим модель
двух подрешеток а и 6 и ограничимся учетом взаимодействий лишь ближайших
соседей. При антиферромагнитном упорядочении, когда <Sa = -Sa в подрешетке а
и Sa = Sb в подрешетке Ь, вращательные моменты равны нулю. Если |<Sa| = |.S{,|
(антиферромагнетик), то -Sa + Sj, = O; в случае | Sa \ Ф | <Sj, | имеем более общий слу-
случай ферримагнепгика. Для слабо возбужденных состояний полагаем
подставляя эти выражения в B2.128) и, сохраняя лишь линейные по 6S члены,
получим
~ %, аад,
B2.129)
— 720 -

Решение ищем в виде
2л ехр [ — г
а
Из B2.130) и B2.129) получаем
2 VV,- ' B2Л30)
*<?*= - 2 Л Iе*» s«i+2 ло ехр f-J' (ft» p)i i-8*- ^ь B2-131)
Q Q
где р —радиусы-векторы между данным узлом решетки и его ближайшими соседями.
Выберем ось z в направлении вектора Sa и будем рассматривать спиновые отклонения
6S как х- и г/-слагающие векторов спинов. Как и в гл. 19, введем новые перемен-
переменные
тогда B2.131) можно записать в виде
h t vfcW), B2Л32)
-Tfc5*5S), B2.133)
где введены сокращенные обозначения
яшо= 2 ло> уь= 2 ло ехр i±l (fc-p)i/ 2 ло- B2Л34)
Q Q Q
Рассмотрим два случая.
а. Антиферромагнетизм: Sq=—iS| = iS. В этом случае имеем*)
1/ B2.135)
При Я = 0 имеем двукратное вырождение. При малых ftp величину ук из B2.134)
можно разложить в ряд по степеням ftp; это дает
и 1 — ук « — а2&2, B2.136)
где
4а2-^~- <22-137>
Q
Таким образом, для дисперсионного соотношения получаем, как и в B2.127), линей-
линейный закон **)
B2.138)
6. Ферримагнетизм: Sa ф Sb. В этом случае S^ = Sa, Sb = — Sb. Подставляя
это в B2.133), получаем вместо B2.135) другой дисперсионный закон
^k^-f-iUSa + Sb^-iSaSbyl^z^Va-Sb)}. B2.139)
Здесь вырождение снимается, и при Н — 0 имеем две ветви спектра спиновых волн.
При малых ftp формула B2.139) дает
(pftJ,
*) Решение B2.132) и B2.133) ищем в виде В^ =В%0 ехр [± icofci]; C% =
= С^0 ехр [± iwfct]; из условий разрешимости получающихся при этом однородных
алгебраических уравнений находим закон дисперсии B2.135).
**) Термодинамические свойства антиферромагнетиков, которые можно рассчи-
рассчис помощью этого закона дисперсии, рассмотрим ниже (см. § 10).
тать
46 С. В. Вонсовский — 721 —

т. е. квадратичный закон дисперсии, как и в случае ферромагнетиков *). Только в ис-
исключительном случае в ферритах может быть линейный закон дисперсии типа B2.138),
а именно, когда Sa = Sb, т. е. имеет место равенство спиновых (механических) момен-
моментов ионов подрешеток, но различны их ^-факторы: ga Ф g^> и поэтому нет компенсации
магнитного момента **). Более строгая теория ферримагнетиков будет изложена в § 10.
3. Результаты модельной теории спиновых волн и ее сравнение с опы-
опытом. Модельная теория спиновых волн в антиферромагнетиках развива-
развивалась многими авторами ***).
Во всех работах получены более или менее аналогичные результаты:
для спектра спиновых волн в антиферромагнетиках имеет место линейный
закон дисперсии. При учете магнитной анизотропии возникает отно-
относительно большая энергетическая щель. Спин-волновой спектр имеет
в антиферромагнетике две ветви. В присутствии внешнего магнитного
поля эти ветви оказываются различными в зависимости от направления
магнитного поля в кристалле.
Рассмотрим одноосный антиферромагнетик с направлением анти-
антиферромагнетизма вдоль оси z и с двумя магнитными подрешетками. При
наличии внешнего поля, параллельного этой оси, в основном состоянии
будем иметь
*1х=*2х = * ly = -l2v = V, ilz= —V2z = -'o>
где /0 — намагниченность насыщения подрешеток при 0°К. Для энерге-
энергетического спектра получаем (см., например, [188J) следующее диспер-
дисперсионное соотношение:
elt 2 = [\i22HAHE + (кБвсу (ак)*]1/2 ± pHz.
Здесь е — энергия спиновых волн, к — квазиимпульс, (д, — атомный маг-
магнитный момент (~(д,Б), НА — эффективное поле энергии магнитной ани-
анизотропии (см. 22.95а), НЕ — эффективное поле обменной связи [сад.
B2.85)], вс — величина порядка температуры Нееля ©N, a — постоян-
постоянная решетки. Упоминавшееся выше поле опрокидывания магнитных под-
подрешеток [см. [22.956)] равно
Нс « у 2НА • Не 5
поэтому формула для спектра справедлива при HZ<C.HC.
Если внешнее магнитное поле перпендикулярно оси z и направлено-
вдоль оси х, то в основном состоянии имеем
Спектр спиновых волн в этом случае имеет тоже две, но уже несим-
несимметричные ветви:
НЕ+ (кБвсJ (akfi'\
е2 = [2у?НАНЕ+ (оЯхJ + (кввсJ (akf\4\
Зная закон дисперсии спиновых волн можно определить часть термог
динамического потенциала, определяемого этими возбуждениями кри-
кристалла, т. е. бозе-газом спиновых волн (антиферромагнонов), как это было
уже проделано в гл. 19 для ферромагнетиков, а затем определить все
*) Этот результат впервые получил Каплан [198] в квазиклассическом прибли-
приближении; строгое квантовое решение дали Кондорский и др. [199, 200], Шиклош [201],
Тябликов [202] и Туров [203] [см. также Туров A963)]. См. также обзоры Кранендонка
и Ван-Флека [204], Вонсовского и Турова [205], Кеффера [206], Ахиезера и др. [207]
[См. также Ахиезер и др. A967)].
**) Впервые такой линейный закон дисперсии для ферритов получен в работе
Вонсовского и Сеидова [208] (См. также обзор [205]).
***) См. работы [19, 24—26, 202, 204, 209—242, 570—572] и обзор [206].
- 722 —

интересующие нас термодинамические величины (магнитный вклад в теп-
теплоемкость Смагн, температурную зависимость намагниченности подреше-
ток / (Г), магнитные восприимчивости %ц и зо. и т. п.).
Как и в случае ферромагнетиков, спин-волновое приближение спра-
справедливо в области низких температур, т. е. при
т < ес« ву.
Кроме того, здесь оказывается, что температурные зависимости физиче-
физических величин будут существенно различными в зависимости от того,
находимся ли мы ниже некоторой температуры ТАЕ или выше нее. Эта
температура ТАЕ определяется величиной поля опрокидывания под-
решеток:
Так, например, для магнитной теплоемкости получаем (см. Боровик-
Романов [3])
С - 2Д (тле\3 ( ТАЕ \V2 / ТА
° магн — -|/о~ \ ~~G— / \ —Т— / \ Г
для магнитной восприимчивости
JL
L (
а яу^ «^Б0с \ в
{Т<ТАЕ),
— =Г± при 1 =|
/ Г \2
\ес/ '
с
1 U2 / Т7 \ 2 j v АШ ^^ ^^ ^и/?
Л/ . _ _^_ * I ^_^_, 1 I
Б с * с * /
и, наконец, для самопроизвольных намагниченностей подрешеток
G1 < ТАЕ),
Эти формулы для СМагн Хц> Х± и I (T) и должны служить предметом
опытной проверки. В них входят три постоянные вс, ТАЕ и а = i\_.
Величина критической температуры ТАЕ определяет величину энергети-
энергетической щели в спектре спиновых волн. Легко видеть, что величину этой
щели и ее зависимость от Н можно экспериментально определить с по-
помощью антиферромагнитного резонанса:
Йсо = е.
Ширину щели в поле Нс определили резонансным методом Пулис и др.
[243] и Уббинк и др. [244] на монокристалле СиС12-2Н2О, оказалось что
поле опрокидывания Нс та 6—8 кэ. Так же были исследованы антиферро-
антиферромагнетики CuBr2-2H2O [245] и МпВг2-2Н2О [246]. Эти антиферромагне-
антиферромагнетики «удобны» для резонансных опытов, поскольку у них очень низка
точка Нееля и поэтому не очень велики резонансные частоты. Фонеру
[247] удалось определить поле Нс и для одноосных антиферромагнетиков
MnF2 Fjv = 67,5° К) и Cr2O3 (&n = 307° К), где эти поля соответственно
равны Яс(МпР2) = 97 кэ и #С(Сг2о3) — 60 кэ.
— 723 — 46*

Гораздо сложнее обстоит дело с проверкой формул, описывающих
температурную зависимость теплоемкости, восприимчивости и намагни-
намагниченности подрешеток. Из приведенных выше формул мы видели, что при
условии Т <<^ ТАЕ все термодинамические величины должны изменяться
с температурой экспоненциально (сильное влияние энергетической щели
в спектре спиновых волн). Однако в большинстве известных антиферро-
антиферромагнетиков Тае не превышает 10—20° К. Поэтому гелиевая область тем-
температур B—4° К) не обеспечивает выполнения условия Т <^ ТАЕ, где
только и выполняется экспоненциальная зависимость. Кроме того, изме-
изменения, например, магнитных восприимчивостей могут сильно затруднять-
затрудняться из-за наличия диамагнетизма и парамагнитных примесей.
Во второй области температур ТЛЕ >С Т <^ вс теория предсказывает
квадратичную зависимость восприимчивостей от температуры для CoSO4,
NiSO4 и MnF2. Это фактически и наблюдали Стоут и Гриффель [248],
Боровик-Романов и др. [249] и Крейнес [250]. Однако в более точных опы-
опытах по определению температурной зависимости намагниченноетей подре-
подрешеток методом ЯМР во фторидах переходных металлов Жаккарино и др.
[95, 251, 252] получили результаты, не согласующиеся с выводами сущест-
существующей теории спиновых волн. Кроме того, остается неясным вопрос,
можно ли сравнивать полученные экспериментальные результаты для
Т < 0,2 &N с выводами спинволновой теории, поскольку для антиферро-
антиферромагнетиков отсутствует пока анализ, подобный тому, который дал Дайсон
[253] для ферромагнетиков (см. гл. 19). (Впрочем, см. работы [268, 269].)
В связи с только что изложенным Боровик-Романов [254] указал,
что все отмеченные трудности можно исключить, если исследовать одно-
одноосные антиферромагнетики, в которых намагниченности подрешеток
направлены не вдоль главной оси кристалла, а перпендикулярно к ней.
Он и Туров [255] независимо произвели расчет энергетического спек-
спектра спиновых волн для этого случая. Результаты их расчета изложены
ниже в § 11.
Укажем еще дополнительную литературу по теории спиновых волн
в антиферромагнетиках [270—282, 570—572].
§ 8. Квазиклассическая теория ферримагнетизма
Выше неоднократно отмечалось, что явление ферримагнетизма отно-
относится к случаю нескомпенсированного антиферромагнетизма. Поэтому, так
же как и в случае скомпенсированного антиферромагнетизма, можно
считать, что ферримагнетики состоят из магнитных подрешеток. Неель
[38] предложил трактовку ферримагнетизма с помощью дальнейшего
обобщения метода молекулярного поля, с успехом применяемого ранее
в случае ферро- и антиферромагнетизма. Здесь будут изложены основные
результаты этой трактовки, а также ее дальнейшее развитие.
1. Кристалло-химическая структура типичных ферримагиитиых соединений.
Прежде всего остановимся кратко на описании кристаллической структуры наиболее
типичных ферримагнетиков. Выше уже отмечалось, что они, как правило, являются
довольно сложными неметаллическими соединениями — окислами, сульфидами и т. п. —
переходных элементов, г Из них наиболее изучены ферриты, в которых магнитный
порядок сочетается с высоким значением удельного электросопротивления (от 10~3
до 101а ом-см), т. е. с полупроводниковыми и диэлектрическими свойствами. Поэтому
эти материалы широко используются в СВЧ-технике. Наиболее известны семь типов
ферритов: (см. обзор Пахомова и Смолькова [256]):
1) ферриты со структурой шпинели (MgAl2C>4);
2) ферриты со структурой гаусманита (Мп3О4);
3) ферриты редких земель и иттрия со структурой граната (СазА12(8Ю4)з);
4) ферриты с искаженной структурой перовскита (СаТЮ3) — ортоферриты;
5) ферриты щелочноземельных элементов со структурой магнетоплумбита
<PbFela0le);
6) литиевые ферриты со структурой NaCl;
7) ферриты Са и В с орторомбической структурой.
- 724 —

а. Структура шпинели. Наиболее характерной и изученной является первая из
этих структур (структура шпинели), на кратком описании которой мы и остановимся.
Кристалл шпинели имеет г. ц. к. решетку, в узлах которой расположены большие
анионы О2-, а в междоузлиях между ними меньшие — двух-, трех- и четырехвалентные
катионы переходных металлов: >,Fe2+,
Fe3+, Fe4+ и т. п. На ряс. 22.23 и 22.24
изображена элементарная ячейка г. ц. к.
решетки шпинели. В вершинах куба и в
О Октаэдричесние междоузлия
С) Тетраэдричесние междоузлия
(Q) Ионы О2"
Рис. 22.23. Элементарная ячейка г. ц. к. решет-
решетки шпинели.
А Тетраэдрические междоузлия
В Октаэдрические междоузлщ
I Ионы 02+
Рис. 22.24. Элементарная ячейка г. ц. к.
решетки шпинели с показанным окруже-
окружением тетраэдрических и октаэдрических
междоузлий.
центрах граней расположены анионы О2". Октаэдрические междоузлия В находятся в
центре ребер и центре куба, их приходится по четыре на ячейку и каждое из них ок-
окружено шестью анионами О2". Тетраэдрические междоузлия А находятся в центре
октантов куба, их приходится по восемь на ячейку и каждое из них окружено че-
четырьмя анионами Оа~. Поскольку в
решетке шпинели катионами заняты
не все междоузлия (рис. 22.25), то
элементарная ячейка имеет вид куба
с удвоенным ребром. Поэтому крат-
кратность позиций в ней увеличена в 8 раз
по сравнению с ячейкой рис. 22.24,
т. е. число узлов равно 32 (вместо 4),
октаэдрических междоузлий 32 (вме-
(вместо 4) и тетраэдрических междоузлий
—64 (вместо 8). Из 32 октаэдриче-
октаэдрических междоузлий В занято катиона-
катионами лишь 16, а из 64 тетраэдрических
междоузлий А всего 8 мест. Таким
образом, элементарная ячейка шпи-
шпинели содержит восемь молекул
XY2O4, где X и Y — химические сим-
символы катионов металлов, по крайней
мере один из которых принадлежит
к группе переходных элементов.
В зависимости от валентности кати-
катионов и занимаемых ими междоузлий
шпинели делятся на
Х2+у|+01~ B—3) шпинели,
D—2) шпинели.
ф Октаэдрические междоузлия
ф Тетраэдричесние междоузлия
(§) Ионы О2"
Рис. 22.25. Элементарная ячейка шпинели о заня-
занятыми междоузлиями.
Кроме того, рентгенографические ис-
исследования Вервея и Хайльманна
[10] показали, что, например, в шпи-
шпинелях B—3) возможны три типа распределения катионов по междоузлиям В и А:
1) нормальные шпинели: катионы Ха+ в тетраэдрических междоузлиях А и ка-
катионы Y3+ в октаэдрических В Ха+ [YJJ+] О|- (например, ZnFe2O4, CdFe2O4);
— 725 —

2) обращенные шпинели: все катионы Ха+ в октаэдрических междоузлиях В,
одна половина катионов Y3+ з тетраэдрических А, а вторая в октаэдрических В
уз+[Х2+уз+]О|- (например, Fe3O4, MgFe2O4, CoFe2O4, NiFe2O4, CuFe2O4,
Li0,5Fe2,5O4).
3) Между этими двумя модификациями существует непрерывный ряд промежу-
промежуточных структур.
Шпинели D—2) практически всегда обращенные. Более подробные сведения
о структуре шпинелей можно найти в обзорах Пахомова и Смолькова [256], Гортера
[257], Сироты [258] и монографиях Ормонта A950) и Бокия A960).
б. Структура граната. Теория молекулярного поля может быть распространена
и на другие типы ферримагнетиков, имеющих структуру, отличную от структуры шпи-
шпинели. Среди них следует указать уже упоминавшиеся выше ферриты со структурой
гаусманита, граната, перовскита, магнетоплумбита, некоторые кристаллы со струк-
структурой никель-арсенидной решетки и др. В основном схема расчета сохраняется такой
же, как и в случае шпинельных структур. Весьма детальное экспериментальное иссле-
исследование ферритов иттрия и редких земель со структурной формулой (граната) 5Fe2O3 \
х ЗМе2О3 *), где Me = Y, Cd, Tb, Dy, Ho, Er, Tm, Yb и Lu произвел Потене [262, 263].
Во всех случаях, кроме иттриевого граната, магнитно активными ионами являются
ионы Fe3+ и Ме3+, которые расположены в трех подрешетках A6 октаэдрических
узлов а с Fe3+, 24 тетраэдрических узла d с Fe3+ и 24 узла в двенадцатигранниках «с»
с ионами Ме3+). По схеме Нееля — Потене при полном замораживании орбитальных
моментов магнитный момент на «молекулу» 5Fe2O3-3Me2O3 будет равен в случае иттрие-
иттриевого феррита 2[Зт0Рез+ — 2торе3+] = 2т0Рез+ = ЮцБ и в случае редкоземельного
2-Зт0Мез+ — 2[Зт0Рез+ — 2т0Ре3+] = 6тОМе,+ — 10|дБ. В табл. 22.2 дано сравнение
теоретических и опнтных данных для атомных магнитных моментов. Полное согласие
наблюдается только в случае систем cMe = Y, Gd, Lu (для которых орбитальное кван-
квантовое число ? = 0) и Tm (с L = 5). Расхождение, наблюдаемое для Me = Tb, Dy,
Но, Ег и Yb, по мнению Потене, можно объяснить сильной спин-орбитальной связью.
Возможно также, что имеет место какая-либо другая не коллинеарная магнитная
структура.
Таблица 22.2
Теоретические и экспериментальные значения моментов
насыщения р ферритов со структурой граната
5Fe2O3-3Me2O3 (Потене [263])
\. Me
L
S
p = &(L +
+ 25)-
— 10
Рэксп
~p = 12S—
— 10
Y
0
0
10
9,44
10
Значения
соответственно
ницах К).
Gd
0
7/2
32
30,3
32
ть
3
6/2
44
31,4
26
Dy
5
5/2
50
32,5
20
Но
6
4/2
50
27,5
14
Ег
6
3/2
44
23,1
8
Tm
5
2/2
32
2,0
2
Yb
3
1/2
14
0
4
р даны в магнетонах Бора (цБ); L
орбитальный и спиновый моменты (в
Lu
0
0
10
8,32
10
и S
еди-
2. Теория двухподрешеточных обращенных шпинелей по Неелю.
Рассмотрим в качестве примера феррит типа МеО -РегОз с обращенной
структурой B—3):
8 16 32
здесь Ме2+ — немагнитные ионы металла, а ха — относительные числа
магнитных ионов железа Fe3+ в тетраэдрических междоузлиях А и хь —
*) Эти соединения впервые синтезировали Берто и Форра [259] и Геллер и Джил-
лео [260] [см. обзоры Белова и Зайцевой [261], Пахомова и Смолькова [256], а также
книгу Белова и др. A965)].
— 726 -

==1 — xa — их относительные числа в октаэдрических междоузлиях В,
соответственно рассчитанные на одну «молекулу». Между ионами Fe3+,
находящимися в узлах типа А и В и не являющихся ближайшими соседя-
соседями, возникает сильная косвенная отрицательная обменная связь при
активном участии немагнитных анионов О2~, находящихся между ними.
Согласно Неелю [38], суммарную намагниченность ферримагнетика
(на грамм-ион) с двумя неэквивалентными подрешетками а и Ъ можно
записать в виде
I = xala+xblb, B2.140)
где 1а и 1ъ — намагниченности (на грамм-ион) соответственно для под-
решеток а и Ъ. Молекулярные поля, действующие на ионы этих под-
решеток, по аналогии с B2.97) и B2.98), равны
B2.141)
B2.142)
где е — + 1, п, аи р — положительные постоянные; величины п, па
и «р связаны линейно с обменными интегралами типа Ааа, АаЬ и Аъъ.
Отметим, что картина косвенного обмена между магнитными ионами
железа и других металлов в решетке типа шпинели, граната, перовскита
г _ Шт
В плоскости: ~~A00) A10) (НО) ~A10)
в 'плоскости-. (ШО)
г
(ПО)
(ПО)
Ш
Октаэдричесние катионы
ч О Тетраэдрические катионы
В плоскисти.~C00)
Рис. 22.26. Некоторые «треугольные» конфигурации Me — О — Me, встречающиеся в кристал-
кристаллической решетке шпинели. Кратчайшие расстояния Me — О распадаются на группу ближайших
соседств, обозначенных р и q, и группу более далеких расстояний, обозначенных г, s и t (все осталь-
остальные расстояния еще больше). На рисунке приведены конфигурации, для которых расстояние
Me — О равно р или q, а второе расстояние Me — О равно р, q, r, s или t. Десять показанных
конфигураций имеют пять различных расстояний Me — Me: ь, с, d, e и /. Цифры над каждым тре-
треугольником (или полное число начерченных там ионов кислорода) указывают, сколько раз дан-
данный тип треугольника встречается между двумя отдельными катионами. Числа в круглых скобках
у каждого катиона указывают количество соседних катионов, с которыми первый образует тре-
треугольник данного типа. Плоскость кристалла, в которой или вблизи которой лежат треугольники,
^указаны ниже их.
и др. конечно, гораздо сложнее, чем в приведенном выше случае антифер-
антиферромагнитного соединения типа МпО (§ 4). Так, например, на рис. 22.26
изображены треугольные конфигурации Me—О—Me, встречающиеся
в решетке шпинели (см. Гортер [257]), по крайней мере с одним кратчайшим
расстоянием Me — О (р или q) и другими расстояниями не длиннее, чем
т-, s и t. При косвенном обмене расстояния Me — Me (b, с, d, e, f) не играют
существенной роли, поскольку эта связь определяется расстоянием
Me — О (т. е. р, q, r, s, t) и углами ф для треугольной конфигурации
Me — О — Me. Связь АВ между подрешетками наиболее сильная для
соседств типа pqc (рис. 22.26). Косвенные связи внутри подрешеток
— 727 -

и ВВ, как правило, должны быть слабее связи АВ либо из-за «неблаго-
«неблагоприятной» величины угла ф, сильнее отличающегося от я, чем в конфигу-
конфигурации pqc (например, в конфигурации ppb), либо из-за больших расстоя-
расстояний Me — О (например, в конфигурациях ptb, psb, psf). Если связи АА
и ВВ становятся сравнимыми с АВ, то картина усложняется и может
произойти дальнейшее разбиение подрешетки и нарушение коллинеарно-
коллинеарности их парциальных намагниченностей (см. ниже).
При вычислении парциальных намагниченностей предположим, что на
каждый магнитный ион действует эффективное поле, равное сумме внеш-
внешнего поля if и молекулярного поляДаили Нь. Если сначала рассмотреть
парамагнитную область, то по ана-
ана22105
ру
логии с B2.105) получим4
B2.143)
Из B2.140)—B2.143) можно получить
выражение для J при различных зна-
значениях концентрации ионов железа в
подрешетках (ха или хь — 1 — ха), а так-
также при различных значениях парамет-
дв?хшдрешеточвдтоИферр°и<м1гнетикГ ^по Ы П, В, а И 0, характеризующих об-
неелю [38]. менную связь между подрешетками и
внутри них. Прежде всего рассмотрим
случай е = —1, т. е. отрицательной (антиферромагнитной) связи меж-
между двумя подрешетками а и Ъ.
а. Случай е — — 1, ха Ф хь. Исключая из пяти уравнений B2.140) —
B2.143) четыре величины Ха, 1Ь, На и Нь, найдем связь между резуль-
результирующей намагниченностью J и внешним полем Н:
Рис. 22.27. Температурная зависимость
обратной восприимчивости х-1 (Т)
ф
С [Т — Спхахъ
— Сп
(а|3
Н.
B2.144)
Отсюда для обратной величины атомной парамагнитной восприимчивости
получаем
V- B2.145)
я#—1 [ Л/Т -
Л /~> 1 Л0 т1 /н) '
где приняты следующие сокращенные обозначения:
II1 = пBхахь — ах*а— Р^ь), B2.146)
-Р)]2, B2.147)
B2.148)
Формула B2.148) отличается от обычной формулы для закона Кюри —
Вейсса в ферромагнетиках [см., например, F,6) или A8.11)] благодаря
последнему слагаемому al(T — Oj), из-за которого зависимость ^-1 (T)
становится не прямолинейной, а гиперболической (рис. 22.27). Это доста-
достаточно хорошо согласуется с опытом по данным Серр [264], Фалло и Моро-
Морони [265] *). Асимптота гиперболы B2.145) дается уравнением
Зп^-^+ЗСо-1- B2.149)
Некоторые количественные расхождения между опытными кривыми у^1 (Т)
(Т) Неель [38] пытался объяснить температурной зависимостью констант п
(или п, аи Р). Однако это вряд ли имеет смысл делать, так как такое расхождение
между опытом и теорией указывает лишь на неприменимость грубой трактовки моле-
молекулярного поля для детальных количественных сравнений с данными опыта.
- 728 —

Из экстраполяции этой нривой до оси Т находим так называемую асимпто-
асимптотическую точку Кюри феррита (см. рис. 22.27)
ва= --?-. B2.150)
%а
Точку пересечения гиперболы B2.145) с осью Т находим из условияД = 0
^L Va}. B2.151)
В тех случаях, когда в^> 0, это будет ферримагнитная точка Нееля, ниже
которой в кристалле имеется самопроизвольная намагниченность в под-
решетках. Если ®N < 0, то кристалл остается парамагнитным вплоть
до 0° К. Из B2.151) видно, что в^ = 0,
если выполняется равенство
сф = 1. B2.152)
Таким образом, на «фазовой плоскости»
величин обменных параметров (— со < а,
Р < + оо), определяющих связь магнитных
моментов в одной и той же подрешетке, мож-
можно выделить две области для в^ % 0, кото-
которые разделяются отрицательной ветвью гипер-
гиперболы B2.152) (ACSB) (рис. 22.28): область
®jv>0 B части плоскости а, р, включающая
начало координат О (область ферримагнетиз-
ма) и область в^<0 с другой стороны от
гиперболы (область парамагнетизма). В ча-
частном случае а — р = 0 (начало координат)
QN — 2Cnxaxb, и поэтому вторым условием
ферримагнетизма является принятое выше
условие ге>0и (е = —1), т. е. отрицатель-
отрицательная обменная связь между разными подре-
шетками.
Перейдем к рассмотрению ферримагнит-
ной области. В этом случае (при Н = 0) для
самопроизвольных парциальных намагниченностей подрешеток B2.143),
по аналогии с B2.100), получаются уравнения
м
а ^
в
¦'L'
F
Р Г
-1/ 0
\ /1 /
,'s\ -/
V
в\
р
N E
V
н
м
Рис. 22.28. Диаграмма, показываю-
показывающая различные области на фазовой
плоскости параметров аире раз-
различными видами температурного-
хода результирующей самопроиз-
самопроизвольной намагниченности двухпод-
решеточных ферритов при отрица -
тельном взаимодействии между под-
решетками е = —1) и при отно-
отношении концентраций ха/хь = 2/3
(Неель [38]).
Jas-NgliBSBs
+ exblbs)) , B2.153)
B2.154)
где Has и Hbs отличаются от соответствующих величин из B2.141)-
и B2.142) заменой Ja, ь на IaSlbs. Абсолютная величина результирующей
самопроизвольной намагниченности при условии коллинеарности векто-
векторов Tas и Jbs равна
B2.155)
Из B2.153), B2.154) можно вычислить температурный ход самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности феррита. Кривые /s (T) для ферритов при разных
значениях параметров а, р, а также концентраций ха и хь обнаруживают
очень большое разнообразие форм. Неель [38] указал путь для установле-
установления классификации этих форм. Эта классификация была усовершенство-
усовершенствована и подвергнута экспериментальной проверке в работах Яфета и Китте-
ля [12], Лотгеринга [266] и Джекобса [267]. Неель использовал при этой
классификации, во-первых, значение /s при 0° К,
S = xalo, (IbsH = xbNg\iBS = xbI0 B2.156)
- 729 -

и, во-вторых, сравнение значений Jo при 0° К с их значениями вблизи QN,
и, наконец, температурную зависимость /s (T) вблизи 0° К.
Значения самопроизвольных намагниченностей при 0° К определя-
определяются по минимуму энергии молекулярного поля Шм011:
Suon = 2'(xaIas'Ha-\-XbIbs-Hb)-
Учитывая B2.141) и B2.142) и антипараллельность векторов Jas, Ibs,
имеем
?мол - —f (xlaPas+2xaxbIasIbs+ х$Ры). B2.157)
Существуют четыре решения для IaS и Ibs, дающих минимум выражения
B2.157), а именно:
(II) (/а.)о = Г0, (Д.)о = h, (^мол)п = - ^ («4 + 2
(III) (IasH = /0, а (/6,H определяется из условия дШшол/д (IbsH = 0, что
дает
(IV) (/6,)о = /01 а ^as)o определяется из условия дШшол/д (/asH = 0, что дает
Простой анализ дает возможность определить решения для данного значе-
значения ха, которое соответствует минимуму ^мол как функции параметров a
и р. Обратимся к рис. 22.28, на котором ветвь гиперболы ACSB, отделяет
область G, которой соответствует решение (I), т. е. парамагнитное состо-
состояние. Далее мы видим, что условием «смыкания» решений (III) и (IV)
с решением (II) являются соответственно уравнения 1= —хь/аха и 1 ==
== —ха/$хь, которые на плоскости рис. 22.28, например при условии
ха < Хь *)> дают две прямые CF (а = —хь/ха) и СЕ ф = — ха1хь).
Легко проверить, что гипербола AC SB и прямые CF, СЕ делят плоскость
а, р рис. 22.28 на четыре области: GASB, FCE, ECSB и ACF соответ-
соответственно четырем полученным выше решениям. Существенную роль играет
также условие р — —1 (ибо при этом /s может обращаться в нуль),
которое на плоскости а, Р рис. 22.28 дает прямую SH, выходящую из
вершины гиперболы AC SB.
Рассмотрим температурный ход самопроизвольных намагниченностей
вблизи точки Нееля. В этом случае Ias и Ibs — малы, и поэтому выраже-
выражения B2.153) и B2.154) можно разложить в ряд
&S(Za,b) — —§?—za, b qq^ %а, Ъ + • • • » (Z
где
za = [Ion (xaalas + xblbs)] (RT)~\ zb = [Ion (x$Ibs + xjas)] (RT)'1 B2.159)
и R = kBN.
Подставляя B2.158) и B2.159) в B2.153) и B2.154) и вводя сокра-
сокращенные обозначения
? , и = -^(х$1ы + ха1ав), B2.160)
*) Случай хь > ха не дает ничего принципиально нового. Для этого нужно
лишь произвести замену a;t р.
- 730 -

получаем два уравнения
v — Pu хаСи xaDu3
1 — ар Т Гз ' 1_-ар
где
B2.161)
Если Г—>в№ то отношение u/v стремится к некоторому пределу ки
который является решением двух уравнений B2.101) без правых частей
1 — p/ct xaCki ^ kj — axbC
l-сф 6N ~~U' l-сф Gjv ""U' ^
Aj будет положительным корнем уравнения, получаемого путем исклю-
исключения в^ из B2.163)
хак21 + фхь-аха)к1-хь = 0. B2.164)
При температуре Т ниже точки Нееля 9^, но близкой к ней, можно
положить
T = eN-AT, -|- = А1 + ДА1, B2.165)
где А Г и Aki — малые величины. Подставляя B2.165) в уравнения B2.161)
и пренебрегая членами высшего порядка относительно AT, получаем
два линейных однородных уравнения относительно AT, Akt и v2. Исклю-
Исключая из них A&J и принимая во внимание B2.164), находим
Если пренебречь величиной (АТ)У\ то из B2.160), B2.163) и B2.164)
получаем
- [xa Vb—^) ¦ B2-167)
Исключая v из B2.167) и B2.166), окончательно имеем
I s — Xalas — XlJbs =
Из B2.168) видно, что результирующая намагниченность совпадает по
знаку с /as, если разность б = (ха V^ki — xb/\fki) > 0. При б < 0 вели-
величина Is совпадает по знаку с Ibs. При к1 — xjxb разность б меняет знак.
Внося это значение kt в B2.164), находим, что изменение знака б происхо-
происходит при условии
хьф + 1) = 0. B2.169)
При постоянных ха и хь уравнение B2.169) на плоскости a, P дает прямую
DS (см. рис. 22.28), проходящую через вершину гиперболы ACSB с на-
наклоном ха/хь. Следовательно, в верхней области ACSB величина б > 0,
а в нижней области DSB имеем б < 0. Сравнивая это со значениями Is
при 0° К, находим, что в области ASD (рис. 22.28) намагниченность /s
всегда (от 0° К до в^) параллельна /bs; в области BSH, наоборот, нама-
намагниченность Is всегда параллельна IaS. В треугольной области HSD
наблюдается очень интересное явление: при 0° К /s совпадает по направ-
направлению с /bs, а вблизи ®N — с /as. На рис. 22.29 схематически показан
температурный ход xalas, Xblbs и /s = xalas — Хь1ы для этого случая.
Легко видеть, что существует такая температура в^, лежащая в интервале
— 731 —

О < ®k <¦ ®n, при которой парциальные намагниченности xalas и xblbs:
подрешеток феррита точно компенсируются и результирующая намаг-
намагниченность /s равна нулю. Температуру Qk принято называть точкой
компенсации. Точка компенсации была обнаружена на опыте при иссле-
исследовании намагниченности твердых растворов шпинельных систем
Li0,5Fe2,5O4 — Li0,5Fe0,5Cr204 [257, 286—288], NiFe2_KAlK04 [289], а также
в ферритах-гранатах Er3Fe5012, Gd3Fe5012, Tb3Fe5012, Dy3Fe5O12,Ho3Fe5O12
и т. д. [290, 263] (см. рис. 22.30 и 22.31).
Выясним температурный ход /0 вблизи 0° К (см. рис. 22.32). Здесь
следует различать два случая: 1) когда намагничена до насыщения (/0)
одна подрешетка [решения типа
(III) и (IV)] или 2) намагничены обе
подрешетки. В первом случае на- fs\
чальный ход кривой Is (T) зависит
Рис. 22.29. Температурная зависимость
парциальных xalas, xblbs и результи-
результирующей (Is = Xalas+xblbs) самопро-
самопроизвольных намагниченностей ферри-
магнетиков с двумя ппдрешетками,
когда существует точка компенсации 0^.
Рис. 22.30. Самопроизвольная намагничен-
намагниченность Is в зависимости от температуры для
трех ферритов со структурой граната (Берто,
Потене [290]). Пунктирная кривая — теоре-
теоретическая (по Алеонарду [564]). 0^ — точка
компенсации.
от соотношения величин парциальных намагниченностейха(/а8H и xb (IbsH.
при 0° К. Естественно, что температурные изменения самопроизвольной
намагниченности подрешетки, намагниченной до насыщения при 0° К
[например, (Ibs)o — ^ol будут значительно слабее, чем у подрешетки,
намагниченной не до насыщения при 0° К (например, (/as)o= — (хь/ахаIо)-
Поэтому и температурный ход /s будет определяться температурным
ходом намагниченности второй подрешетки ((/as)o<-^o)- Отсюда следует,
что в областях ACF и BSH, т. е. в областях М рис. 22.28, где парциаль-
парциальная самопроизвольная намагниченность не намагниченной до насыщения
подрешетки ниже абсолютного значения парциальной намагниченности
подрешетки, намагниченной до насыщения, результирующая намагничен-
намагниченность Is начинает расти с температурой (ибо растет величина разности
| xalas — xblbs |), см. кривую М на рис. 22.32. Наоборот, в области
ECSH (области V и R, рис. 22.28), где парциальная самопроизвольная
намагниченность намагниченной до насыщения подрешетки выше по
абсолютному значению, чем намагниченность подрешетки, намагничен-
намагниченной до насыщения, Is начинает резко падать с температурой, ибо
уменьшается величина разности | xalas — Xblbs | (см. ¦ кривые V и R на
рис. 22.32).
Во втором случае, когда обе подрешетки намагничены до насыщения
при 0° К, можно воспользоваться разложением Bs (z) --1 —S'1 exp (—z/S),
справедливым вблизи 0° К. Если не учитывать зависимость от Т молеку-
молекулярных полей (взяв их значения для Т = 0° К), то имеем
nlo (оиса -(- хь) 1 хь Г nlo фхь — х
D/Тт I О~ eXp I TJT
?11 I О 1_ til
/s=--/0 |жь —xa + ^-
B2.170)
— 732 —

Аргументы у экспонент в B2.170) равны, если
а. B2.171)
Уравнение B2.171) на плоскости а, р (см рис. 22.28) дает прямую СК
( р 1 й SD)
р
(проходящую через точку а = р = 1
Легко видеть, что в области FCK (т. е
с температурой вблизи 0° К
(см. кривую Р на рис. 22.32),
а в области КСЕ (т. е. обла-
«тях Q и N рис. 22.28) /, (Т)
падает, но в обоих областях
касательная к кривой Is (T)
при 0° К горизонтальна *). См.
кривые Q и N на рис. 22.32.
Теперь мы можем свести в
¦одну схему различные типы
кривых Is (T) для рассмотрен-
рассмотренного вида ферритов с двумя
подрешетками. На рис. 22.32
IS(T)/IO
и параллельную прямой SD).
области Р рис. 22.28) /s растет
Рис. 22.31. Самопроизвольная намаг-
намагниченность как функция температуры
в ферримагнетиках Li0 6Fe2 5_жСгх°4
(Гортер L286J, Ван Вир'инген [287]).
/,
Т
Рис. 22.32. Схематическая картина основных
возможных типов — М, V, Q, R, P, N, L (см.
рис. 22.28) температурной зависимости самопро-
самопроизвольной (результирующей) намагниченности Is
и обратной восприимчивости х-1 в двухподреше-
точных ферритах (Неель [38]).
и 22.33 схематически показаны кривые /s для различных соотношений
между ха, хь, а и р. Из B2.155) видно, что при 0° К, когда (/<,,H =
= (Дз)о == ^о h изменяет знак при ха1хь = 1. При Т > 0° К 1а, — Ibs,
только если На = Нъ, а это имеет место лишь при а — р, и тогда /, = 0
во всей области температур от 0° К до QN, т. е. получаем случай антифер-
антиферромагнетизма (скомпенсированного). При а Ф р /„, (Т) Ф lbs (T) (за
исключением Т = 0° К) и /, (Т) имеет вид кривой L на рис. 22.32. Из
B2.169) мы видели, что вблизи в^ наклон кривой /, (Т) (т. е. dIJdT)
меняет знак при ха/хь = A + Р)/A + ее). Но при таком значении ха/хь
намагниченность Is не равна нулю при 0° К, поэтому Is вблизи в^ имеет
другой знак, чем при 0° К (существует точка компенсации). Такого рода
кривые, лежащие в области V и N (см. рис. 22.28), ограниченной
*) С изменением пар значений ха и хь прямые, ограничивающие различные
области на плоскости а, |3 рис. 22.28, занимают различное положение (кроме прямой
Р = — 1 : SH), и поэтому распределение различных областей изменяется.
— 733 —

пределами 4 <(ха/хь)<A + Р)/A + а), изображены кривыми V и N на
рис. 22.32. Из B2.171) мы находим условие ха1хъ = A — Р)/A — а), при
котором производная dl JdT меняет знак при 0° К *). Таким образом,
при ха1хь в пределах от 1 до A — Р)/A—а) (область Р на рис. 22.28) Is (T)
имеет вид, изображенный кривой Р на рис. 22.32. Для отношений ха/хь,
более далеких от их значений для кривых Q и N (рис. 22.32), получаются
кривые Is (Т) с более быстрым температурным спадом (при низких тем-
температурах), чем у нормальных ферромагнетиков (см. кривые V и R на
рис. 22.32).
В случае положительного взаимодействия между подрешетками
(е = + 1) в парамагнитной области результаты качественно сохраняются
те же, что и в случае е = —1, только изменятся выражения для коэффи-
коэффициентов B2.146) — B2.148). В ферромагнитной области сохраняются
только кривые Is (Т) типа Q и R (см. рис. 22.32).
б. Сравнение с опытом. Напомним здесь еще раз, что главными пред-
предсказаниями феноменологической теории ферримагнетизма с двумя кол-
линеарными магнитными подрешетками (Неель [38]) являются: а) нели-
нелинейная зависимость обратной восприимчивости зс в парамагнитной
области (выше точки Нееля) от температуры; б) то, что величина намаг-
намагниченности насыщения при Т — 0° К, равна /s0 — I°as — /gs, где I%=
= Njgj[iESj — насыщение /-й подрешетки, Nj — число узлов, gj —
фактор Ланде и Sj — спин магнитного иона в ней (если таких ионов в ней
несколько, то следует писать сумму 2 NmjSmj);B) особый вид температур-
m
ного хода Is (T) с возможностью точки компенсации.
Эти выводы теории Нееля в области ее применимости качественно
хорошо согласуются с опытом для ряда ферритов. Согласие наблюдается
как для величины атомного магнитного момента (см., например, табл. 22.3),
так и для формы температурных кривых I'„ (Т) и %лм (Т), вплоть до
значений точек компенсации ®к. Самое непосредственное доказательство
качественной справедливости модели подрешетки Нееля было получено
с помощью нейтронной дифракции. Эти опыты провели для Fe3O4 [33,
291], NiFe2O4 [292], MgFe2O4 [293], Zn0,5Nio,5Fe204 [294], CoFe2O4 [295],
Y3Fe5012 [296], LaFeO3 [297], MnFe2O4 [298]. Теоретически вопрос о рас-
рассеянии медленных нейтронов в ферримагнетиках был рассмотрен в работах
Барьяхтара и Малеева [300], Кочинского [301], Изюмова и Меня [302].
Таблица 22.3
Опытные и теоретические значения молекулярных магнитных моментов
некоторых ферритов со структурой шпинели
Феррит
FeFe2O4
MnFe2O4
CoFe2O4
NiFe2O4
CuFe2O4
MgFe2O4
Lio,5Fe2,304
ZnFe2O4
CdFe2O4
]
A
Fe3+
Fe3+
Fe3+
Fe3+
Fe3+
Fe3+
Fe3+
Zn2+
Cd2+
[Годрешетки
В
Fe2+ + Fe3+
Mn2++Fe3+
Co2++Fe3+
Ni2+ + Fe3+
Cu2++Fe3+
Mg2++Fe3+
0,5Li++l,5Fe3+
Fe3+ + Fe3+
F63+ + Fe3+
(p= 2л2S)
D+5) —5 = 4
E+5) —5 = 5
C + 5) —5=3
B + 5) —5=2
A + 5) —5 = 1
@ + 5) —5 = 0
0 + 7,5—5 = 2,5
E—5) —0=0
E—5) —0 = 0
Опытные
V Р.Б
4,03—4,08
4,40-5,00
3,30—3,94
2,22—2,40
1,30—1,70
0,86—2,20
2,47—2,60
0
0
Литература
[309]
[310]
[307, 308]
[257, 303]
[311, 312]
[311, 312]
[304]
[305, 306]
[313]
*) Как указал Неель [38], в этом случае кривая IS(T) для феррита с двумя под-
подрешетками по виду совпадает с кризыми IS{T) для обычных ферромагнетиков.
— 734 —

См. также монографию Изюмова и Озерова A966). Для наглядного срав-
сравнения теории Нееля с опытом рассмотрим данные измерения намагничен-
ностей смешанных ферритов Znl+Me^Fe'+Of с Me = Mn, Fe, Co, Ni, Cu,
Mg и комплекс (Li+Fe3+). Эти
шпинели имеют частично об-
обращенную структуру
ZnS+Felt, [МеГ-.Fer+J О\~.
При х — 0 магнитные моменты
ионов железа Fe3+ E(Д-б) ком-
компенсируют друг друга и /0==
-- Л^'^МеМ-Б^Ме» Щ6 N' — ЧИСЛО
«молекул» в единице объема.
'-О
0,6
02
1,0
О
0,6 Q4
0,2 0,4 0.6
Концентрации
02
0,8
О Me FesO4
f.O Zn Fe,G.
MLO
Ч
1
\
0,2 ОЛ
Об
0.8
1,0
Рис. 22.33. Магнитные моменты насыщения п (на
молекулу в р,Б) твердых растворов MeFe2O4 —
ZnFe2O4 в зависимости от концентрации компонент
MeFe2O4 и ZnFe2O4 для различных Me (= Mn, Fe,
Со, Li0 5Fe0 5, Ni, Cu, Mg). По данным работ
[257, 303—306].
Рис. 22.34. Температурная зависимость
самопроизвольной намагниченности нике-
никелевого феррита. Сплошные кривые — тео-
теория [38], белые кружки — эксперименталь-
экспериментальные данные по работам [307—309].
При х > 0 немагнитный ион Zn2+, замещая магнитный ион Ме2+, на-
нарушает эту компенсацию ионов железа в подрешетках 4иВи намагни-
намагниченность насыщения возрастает
/о = N' [A - X) ^МеМ-Б^Ме+ 2Х Eц,Б)] = ЛГ'ЦБ [?ме?ме+ X A0 -gMeSMe)].
B2.172)
Например, на рис. 22.33, по данным работ [257, 303—306], приведены
кривые магнитных моментов насыщения для ряда твердых растворов
указанных ферритов от их состава. Пунктирные прямые, касательные
к начальным участкам опытных кривых рис. 22.33, точно соответствуют
теоретической формуле B2.172) и дают для n — I0/N'[iE при х = 1 теоре-
теоретически предсказанную величину n(x=i) = 10. Опытные кривые откло-
отклоняются от пунктирных прямых, достигают максимума при х « 4—5
и затем показывают спад п с дальнейшим ростом х. Это объясняется тем,
что при больших концентрациях ионов Zn2+ начинают играть роль вза-
взаимодействия внутри подрешеток В us. А, которые не учитывались при
выводе формулы B2.172). Из пересечения кривых п (х) при х = 0 с осью
ординат можно определить фактор спектроскопического расщепления gMe-
Однако следует иметь в виду, что величина щх=а) весьма чувствительна
к способу приготовления образцов этих ферритов (зависит от способа
закалки, отжига и окружающей атмосферы при термообработке и т. п.).
— 735 —

О
0,2
Рис. 22.35. Температурная зависимость
самопроизвольной намагниченности магне-
магнетита A) и кобальтового феррита (г).
Сплошные кривые — теория [38], белые
кружки — экспериментальные данные по
работам [307—Ь09].
Так, например, п для MnFe2O4 по данным Гортера [257], равен 5,0 по дан-
данным [305—306]—4,60, Потене и др. [307, 309]—4,40 и Викхема и др.
[314J—4,5.
В качестве второго примера на рис. 22.34 и 22.35 приведено сравнение
температурной зависимости самопроизвольной намагниченности ферри-
ферритов Ni, Co и Fe, измеренной в работах Потене [307—309] и рассчитанной
по теории Нееля [38]. Совпадение тео-
теории и опыта достаточно удовлетвори-
удовлетворительное.
3. Обобщение теории Нееля.
а. Учет неколлинеарных структур. Од-
Однако в ряде случаев (см. ниже) атомные
магнитные моменты ферритов со струк-
структурой шпинели имеют заметно более
низкое значение, чем предсказывает
модель Нееля с двумя коллинеарными
подрешетками *). В связи с этим Яфет
и Киттель [12] допустили возможность
неколлинеарности намагниченностей
подрешеток в тех случаях, когда анти-
антиферромагнитная обменная связь А —А
л В — В внутри подрешеток сравнима
с взаимодействием А — В между подре-
подрешетками или даже больше него. При
этих условиях подрешетка А или В
разбивается на две или более подреше-
подрешеток с неколлинеарными намагниченно-
стями, но их суммарный момент при
этом антипараллелен результирующей намагниченности другой основной
подрешетки (В или ^4). С помощью модели Яфета и Киттеля [12], Гортер
[257] и Лотгеринг [266] пытались объяснить магнитные свойства ферритов
со структурой нормальных шпинелей (MnCr2O4, FeCr2O4). Были прове-
проведены также нейтронографические исследования на СиСг2О4 [315], которые
согласуются с треугольным распределением намагниченностей подреше-
подрешеток. Эти результаты подтвердили Натане и др. [31-6]. Магнитные и рентгено-
рентгенографические исследования соединений МпСг2_жА1жО4 [317] как будто
бы согласуются с выводами теории Яфета — Киттеля — Лотгеринга.
Трудности в расшифровке опытных данных, косвенный характер
и неоднозначность в их теоретической трактовке с позиций треугольного
распределения привели к попыткам иного объяснения наблюдаемых низ-
низких значений самопроизвольной намагниченности в ряде ферритов по
сравнению с выводами простой неелевской модели. Так, например, Балт-
зер и Войтович [318] высказали идею, что причиной низких атомных
моментов в хромитах является эффект замораживания спина у ионов Сг34",
вызванный нарушением правильной октаэдрической симметрии кристал-
кристаллического поля, действующего на эти ионы со стороны соседних ионов
(эффект типа Яна — Теллера, см. гл. 10). В связи с трудностями опытной
проверки теории Яфета — Киттеля [12], Джекобе [267] указал на одно
прямое следствие неколлинеарности магнитной структуры, которое
может быть непосредственно проверено на опыте. В феррите, например,
с «треугольным» распределением по Яфету — Киттелю [12] намагничен-
намагниченности подрешеток в области очень сильных внешних магнитных полей
(при которых уже исчезает доменная структура) должно наблюдаться
линейное возрастание суммарной намагниченности, которое должно отсут-
отсутствовать при коллинеарном распределении. Джекобе [267, 319] экспери-
г *) Отметим еще, что при расчетах по модели Нееля [38]'в ряде случаев возникает
противоречие с теоремой Нернста: например, (dIs/dT)T^Q ок Ф 0.
- 736 —

ментально наблюдал в импульсных полях до 140 кэ при 4,2° К такой
линейный рост Is в ряде манганитов (Меа.Мп1_ж)Мп204 (где Me — Mn,
Со, Zn или Mg, а также в Мп [Сг2]О4 и Mn [FeCr]O4, см. рис. 22.36). в
Модель Нееля [38], а также модель Яфета — Киттеля [12] основы-
основываются на предположении о некоторой заданной конфигурации подрешеток
(коллинеарной или неколлинеарной). При строгой постановке задачи
необходимо методами вариационного ис-
исчисления определить распределение маг-
магнитных моментов ионов, отвечающее истин-
истинному минимуму энергии. Метод решения
такой задачи с квазиклассическим гамиль-
гамильтонианом гейзенберговского типа B2.1)
был предложен в работах Латтинджера
и др. [127, 320]. Затем этот метод был
обобщен в ряде работ Каплана и др.
[321-328].
б. Обобщение на случай трех магнит-.
ных подрешеток. Для объяснения осо-
особенностей температурной зависимости са-
самопроизвольной намагниченности редко-
редкоземельных ферритов со структурой гра-
граната Неель [329] и Потене [262, 263] произ-
произвели простое обобщение неелевской теории
ферримагнетизма на случай трех магнит-
магнитных подрешеток.
Более строгую квантовомеханическую
теорию ферритов с тремя подрешетками
развили Гусеви Пахомов [330—332]. Исхо-
Исходя из общего гейзенберговского обменного
гамильтониана, для локализованных спи-
спинов получена система уравнений, которые
определяют температурный ход намаг-
ничепностей подрешеток. Получен также обобщенный закон Кюри — Не-
Нееля для температурной зависимости парамагнитной восприимчивости
трехподрешеточного феррита. Помимо этого, были найдены термодинами-
термодинамически равновесные конфигурации намагниченностей подрешеток магнит-
магнитно-изотропного феррита, зависимость этих конфигураций и результирую-
результирующего магнитного момента от величины внешнего магнитного поля. В каче-
качестве параметров теории входят обменные интегралы, определяющие связь
между подрешетками (при этом делаются различные предположения
о величинах и знаках этих интегралов). В итоге были найдены критиче-
критические значения магнитных полей, при которых происходит изменение
магнитной структуры феррита. В работе Роде и Ведяева [333] была начата
проверка результатов теории Гусева — Пахомова.
4. Общий вариационный метод. Изложим кратко общую схему расчета по обоб-
обобщенному методу Латтинджера — Тисса [320], развитому Лайонсом, Капланом и др.
[324—326], а также Гудинафом A969).
Пусть v означает номер одного из р неэквивалентных узлов (v = 1, 2, . . ., р)
в ге-й примитивной элементарной ячейке кристалла (п = 1, 2, . . ., N). Общее число
узлов, занятых локализованными спинами Snv, очевидно, равно Np, а их радиусы-
векторы
iJnv = iJn+pv, B2.173)
где Rn — вектор решетки. В этом случае гамильтониан обменной энергии B2.1)
примет вид
: — У\ Anv, mVLSnvSmli. B2.174)
80 100 120 /40
Н.нз
Рис. 22.36. Зависимость самопроиз-
самопроизвольной намагниченности от внешнего
поля для различных ферритов. Насы-
Насыщение достигается при Н = 20 кэ для
образца с коллинеарной структурой
подрешеток (при Т = 77° К) (верхняя
кривая). В случае неколлинеарных
структур (средняя и нижняя кривые)
насыщение не достигается при 4,2° К и
при 140 кэ (Джекобе [319]).
Рассматривая выражение B2.174) квазиклассичсски, будем искать его минимум
при дополнительных «жестких» условиях фиксированных величин каждого из р
47 с. В. Вонсовский
- 737 —

векторов спинов в ячейке
Snv'Snv=sl. B2.175)
Вместо этих «жестких» условий можно сформулировать более «мягкие» условия
постоянства суммы
2 ^v*nv*nv= 2 anv55- B2Л76>
71, V 71, V
где anv — вещественные числа, не равные нулю. Можно доказать следующую обоб-
обобщенную теорему Латтинджера—Тисса(см. [324]). Если решение вариационной задачи
для выражения B2.174) с «мягкими» условиями B2.176) удовлетворяет также
и «жестким» условиям B2.175), то это решение является строгим решением с усло-
условиями B2.175).
Для того чтобы использовать преимущества трансляционной симметрии кри-
кристалла, переменные Snv и a^v представим в виде
Snv=2exp(ifc-iJnv)Qftv, B2.177)
к
a7lv= 2 ехР («fc'-Bnv) «v №). B2.178)
к
где к— приведенные векторы обратной решетки в первой зоне Бриллюэна. Далее
имеем
^nv> mp, = y4vn (-Bm — Вп) = A^v \Rn — -Вщ)-
Поэтому при заданных периодических граничных условиях энергия на одну при-
примитивную единичную ячейку равна
8=4-=s s L^{k) otvOfcix- <22л79>
ft vp,
где
?vn(ft)=— 2 exp[ifc(iJmtl — -Bnv)]'^vn(-Bm--Bn) = [inv(ft)]*- B2.180)
«Мягкие» условия B2.175) имеют теперь вид
2 2^v(ft-ft')G*fevQfe'v=2 ^v@M-2v. B2.181)
к, к' v v
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, можно показать, что s
будет минимальным при выполнении условий B2.181), если для всех к имеет место
соотношение
2Lvn(*H*n=*.2^v(ft-ft'Hfc.V' B2-182)
ц к-
где ^—параметр, не 'зависящий от к. Подставляя B2.182) и B2.181) в B2.179),
находим
е = А. 2A>@)Sv. B2.183)
V
Из выражения B2.183) видно, что минимуму е соответствует значение X, которое
удовлетворяет уравнению B2.182).
Во всех применениях обычно принимается, что anv = av, т. е. можно считать,
что anv не зависит от номера ячейки. В этом случае Av(k —к') =а^6кк,, и уравне-
уравнения B2.181) —B2.183) примут вид
22 B2.181а>
vfe v
2?vn(ft)^V = ^fcv B2.182а>
и
e = A,2av6'v; B2.183а>
V
здесь Pkv = avQkv, Lvil (k) = fivfiilLvil (k); pv = a-!. Таким образом, задача свелась
к отысканию наименьшего собственного значения X матрицы LVil (к). Пусть к0 — зна-
значение к, соответствующее минимуму энергии с решениями ^ = {tyj, i|52, . . ., typ}
- 738 —

и ty*. Тогда для декартовых компонент P3kv (/ = х, у, z) имеем
0 (ft ф ± к0) Л
crtv (ft = ft0) >. B2.184)
^* (ft=-fc0) J
Коэффициенты ej удовлетворяют условию B2.181а)
2 2Ы2=2°Ф^> B2.185)
э v
а в остальном они произвольны. Из B2.177), B2.184) и определения P^v находим
Snv = Pv S xi Ic^v exP («fto-Bnv) + c*^ exp ( — ikQBnv)]. B2.186)
э"
Если выбрать cx=c/2i, cv = c/2 и ez = 0, a i|jv = | i|jv | exp (i(pv), то «мягкие» условия
удовлетворяются и выражение B2.186) принимает вид
-S7lv = <>Pv| tyvl [x sin (fto-Bn + <Pv) + У cos(ft0iJn + 9v)]. B2.187)
Таким образом, мы получаем в общем случае р спиралей с «шагом» (| ft0 I)-1 в каждой
из v подрешеток со своей фазой q>v. Необходимо затем проверить, что найденные реше-
решения удовлетворяют «жестким» условиям B2.175). Однако не удалось получить доказа-
доказательств, что такое решение всегда существует.
Далее можно рассмотреть частные случаи. Если р = 1 (решетка Браве), то все
спины эквивалентны. В этом случае, согласно B2.187), магнитные структуры всегда
спиральные. Как частный случай здесь возможен обычный коллинеарный ферромагне-
ферромагнетизм при fto = O, т. е. когда все спины параллельны друг другу. Антиферромагнетизм
возможен как со спиралью (ft0 ф 0), так и коллинеарный при условии, что ак0 = я,
где а — вектор трансляции между ближайшими соседями. Ферримагнетизм в этом слу-
случае невозможен *). К этому случаю относится, по-видимому, МпОг **) и MnAu2 ***).
Возможно также, что к этому классу магнитных структур можно отнести антифер-
антиферромагнитные металлы Сг и Мп, а также антиферро- и ферромагнитные структуры ред-
редкоземельных металлов (см. ниже).
В случае ферритов со структурой шпинели (кубическая решетка) коллинеарная
модель Нее ля была бы всегда справедливой, если бы существовала лишь одна отрица-
отрицательная обменная связь А дв между тетраэдрической А и октаэдрической В подрешетка-
ми. Однако фактически присутствуют также связи Ааа и АБв, которые значительно
усложняют всю задачу. В качестве примера рассмотрим случай кубической симметрии
с двумя типами антиферромагнитной связи А — В и В — В. Здесь можно ввести (см.
[324]) один обменный параметр u=^AAbb^b/^Aab^a- Тогда гамильтониан B2.1) примет
вид
| f «л +4 и ^ «f «ft } , B2.188)
э, ь э, ft
где Аав==—^ab $aSb > 0, a S^ и SB—единичные векторы спинов соответственно
в междоузлиях А и В, суммирование в B2.188) ведется по парам ближайших АВ и ВВ
соседей. При коллинеарной структуре Нееля [38] sf'<Sjf = —1, что дает минимум первой
суммы, a <S^-<Sj^ = + l приводит к максимуму для второй суммы в B2.188). Поэтому
при и > 0 вопрос о конфигурации спинов в основном состоянии остается неясным.
Для неелевской конфигурации гамильтониан B2.188) в случае ферритов со структурой
шпинели дает
3
«(Неель)=^р-=48^ в-lj. B2.189)
Здесь N — число примитивных единичных ячеек, каждая из которых содержит два
междоузлия типа А и четыре типа В (рис. 22.37). Из B2.189) видно, что неелевская
коллинеарная структура не может быть устойчивой при и ;> 8/3.
Яфет и Киттель [12] (далее сокращенно ЯК) предложили структуру из шести
магнитных подрешеток по числу междоузлий катионов А и В. Каждый спин в подре-
шетках В составляет угол ф с осью спинов подрешетки А, поэтому вместо B2.188)
будем иметь
-^ cosepl =-^~6и> B2.190)
*) Появление слабого ферромагнетизма связано с наличием в гамильтониане
B2.1) анизотропных членов (см. ниже).
**) Теоретически это предсказал Иошимори [159], а экспериментально это>
согласуется с опытами по нейтронной дифракции (см. Эриксон [35, 334]).
***) Виллен [327] указал, что спиральная структура с «шагом винта» в 3,5 с
(с — параметр решетки вдоль оси с о. ц. тетрагональной структуры) согласуется с дан-
данными Эрпена и Мериэля [335] по измерению нейтронной дифракции.
— 739 — 4Т*

ибо cos(f=u-1 минимизирует 3(ЯК). Для и > О, %RK < % шеельь если и > 1,
как видно из рис. 22.38. При и < 1 конфигурация ЯК совпадает с неелевской.
Андерсон [336] показал, что в случае ЛАв = 0 между спинами в октаэдрических
узлах В не может быть дальнего порядка при наличии только одних обменных сил. При
Аав =?= 0 возникает ближний «треугольный» порядок, но без дальнего порядка для сла-
слагающих спинов, перпендикулярных результирующему моменту. Затем Каплан [322,
323] выяснил, что при Аав > 0 конфигурация ЯК вообще не дает минимума энер-
энергии B2.188) при любых значениях параметра и. Он также показал, что неелевская
структура локально стабильна при ц
и <; и0 = 8/9 и неустойчива при и > и0. п / 2 4 6 8 Ю J2 Ш
Лайонс и Каплан [325] показали,
что нееловская структура является
i У
У\ , /1/
х! i АЛ
i i
i [
^—
У
i i
 U
-IT
\у
1
1
1
у'
а
У '6
оА
Рис. 22,37. Расположение катионных узлов в
примитивной ячейке шпинели с кубической
структурой (с = а). 1 — октаэдрические уз-
узлы А и 2 — тетраэдрические узлы В. Анионы
О2- не показаны (см. рис. 22,25).
Рис. 22.38. Зависимость онергии % = ???oa/NA,
°т параметра и = ltAJ^BSB/SAABSA для трёх
типов магнитных структур в кубических кристал-
кристаллах шпинели. 1 — структура Нееля; 2 — струк-
структура Яфета — Киттеля; з — спиральная струк-
структура. По осям отложены относительные (безраз-
(безразмерные) единицы; к0 = 8/9, ut = 1,298.
истинным основным состоянием, когда она локально устойчива. Хотя сходимость рядов
теории возмущений в работе Каплана [323] при и > и0 вызывает сомнения, было
строго показано [325], что в основном состоянии все компоненты спинов обладают
определенным дальним порядком, по крайней мере для малых и — щ. В рамках обоб-
обобщенного метода Латтинджера — Тиссы было показано [325, 324], что существует
класс структур — магнитных спиралей '*), даваемых формулой типа B2.187)
cos
B2.191)
где ж, у, z — единичные векторы в декартовой системе координат, fe = fc0 — волновой
вектор, q>v — половинный угол раствора конуса спирали, a yv — фазовый угол. В ра-
работе Лайонса и др. [326] показано, что
3=— Y4.
Из рис. 22.38 видно, что конфигурации B2.191) совпадают с неелевской при и < и0.
Энергия магнитной спирали заметно меньше энергии конфигурации ЯК (см.
рис. 22.38). Нет еще строгого доказательства, что магнитная спираль при и > и0 со-
соответствует истинному основному состоянию. Можно лишь показать, что эта конфигу-
конфигурация локально устойчива при и0 <J и <J щ,тррщ = 1,298... и неустойчива при и > щ.
К сожалению, пока нет достаточно убедительных опытных доказательств существова-
существования именно таких магнитных спиральных структур. Опыты по нейтронной дифракции
на кристаллах МпСг2О4 [337] как будто бы подтверждают выводы изложенной теории.
Однако в исследуемом соединении и (=1,6) > щ. Надо думать, что фактически основ-
основное состояние в МпСг2О4 может иметь и более сложную неколлинеарную магнитную
структуру. Лайонс и др. [326] рассмотрели не только основное состояние, но также
и область, близкую к точке Кюри (Нееля). В приближении молекулярного поля для
энергии ферримагнетика (см. гл. 18) имеем
mp,
*) При q>v = я/2 (конус с углом при вершине, равным я) мы имеем дело с антифер-
антиферромагнитной спиралью (АФС), а при 0 < q>v < л/2 с ферромагнитной спиралью (ФС)
(при cpv = 0 будем иметь коллинеарный ферромагнетизм в v-й подрешетке) (см. также
гл. 20, § 8).
¦— 740 —

вместо B2.174). Эффективное молекулярное поле
Поэтому при Н = 0 и высоких температурах
a<Sv = 2j Anv,mtlSlx,
ту*,
где параметр k~@N. Используя B2.177), находим
В случае кубических шпинелей наинизшее собственное значение а этого уравнения
соответствует неелевской структуре при и < 2,2 и простой АФС при и > 2,2 [324, 326].
Это означает, что даже если при Т = 0° К основное состояние обладает сложной маг-
магнитной структурой, то вблизи точки Кюри (Нееля) она становится коллинеарной при
и < 2,2. Это, например, было установлено для MnCr2O4 (с 1,4 < и < 1,7) [337]. Кап-
лан и др. [324] рассмотрели также ферриты со структурой шпинели с тетрагональными
искажениями. Для описания взаимодействия ближайших соседей в этом случае необ-
необходимо ввести пять магнитных параметров Ааа< Аав> Алв, Авв и Abb- Если ограни-
ограничиться случаем Ааа « 0 и считать, что в среднем А — В связь отрицательна *) (т. е.
антиферромагнитна), то можно ввести три основных параметра
и=2(Авв + А'вв) SB/BAAB + A'AB) SA,
v=A'BB/(ABB-\-A'BB), I B2.192)
J
Дальше задача сводится к установлению границ различных областей в трехмерном про-
пространстве параметров в,я», подобно тому как это делалось для плоскости а, р в кол-
линеарной модели Нееля (см. выше). За подробностями отсылаем читателя к ориги-
оригинальной работе [см. также гл. II монографии Гудинафа A969) и экспериментальные
работы по нейтронной дифракции в CuCr2O4 [315, 316]].
§ 9. Теория магнитных структур в антиферромагнетиках
неметаллах по Дзялошинскому **)
Изложенный выше метод расчета равновесных магнитных структур, основанный
на отыскании наименьшего собственного значения квадратичной формы B2.174), был
подвергнут серьезной критике в работе Дзялошинского [338]. Дело в том, что квадра-
квадратичная форма B2.174) есть классический предел квантового гейзенберговского гамиль-
гамильтониана, справедливый лишь при очень больших спинах (S Э" 1)- Однако при S ф 1/2
квантовый спиновый гамильтониан не является квадратичным по спинам (в него будут
входить степени скалярных произведений <Sj -<S2, которые в классическом пределе могут
быть сколь угодно большими). Коэффициенты при этих членах разной степени (обмен-
(обменные интегралы!) будут априори одного порядка величины. Поскольку в рассмотренной
выше теории (Каплана и др.) обменные параметры для 1-й, 2-й и 3-й координационных
сфер считаются величинами одного порядка, то нет оснований пренебрегать тройными,
четверными и т. д. взаимодействиями вида («Sj-^) (^-^з) и т. п.
Таким образом, вместо весьма упрощенного и поэтому, вероятно, далекого от дей-
действительности модельного подхода с квадратичной формой B2.174) задача отыскания
магнитных структур основного состояния (Т = 0° К) сводится к исследованию общего
вида функционала от спиновой плотности ,Sfr) = y! Sb (r — rj) ***) (j— номер магнит-
3
ного иона). Решение вопроса о возможности данной плотности спина (т. е. данного типа
магнитной структуры) в качестве основного состояния системы можно найти лишь
из соображений симметрии. Такой подход к теории фазовых переходов второго рода
в упорядочивающихся сплавах предложил Ландау [340] и развил Лифшиц [341] [см.
также Ландау и Лифшиц A964)]. К магнитным переходам он был применен Вонсовским
[342] и Гинзбургом [343] ****), а в наиболее развитой форме Дзялошииским [13, 14,
338, 344].
*) В том смысле, что величина Аав — {^Аав-\-А ав)/3 < 0 .
**) См. также гл. 20, § 8, п. 3, где изложена теория Дзялошинского для металлов.
***) Фактически вместо б (r—rj) здесь входит функция / (г — rj) с острым мак-
максимумом при r = rj, т. е. форм-фактор магнитного иона. Однако в тех задачах, где
важно лишь само наличие острого максимума, можно пользоваться б-функцией.
****) Результаты этих работ обобщили затем Вонсовский и Шур A948), а наиболее
подробно они изложены и развиты в монографии Белова A959).
- 741 —

Общий феноменологический подход с использованием свойств симметрии развили
также Вонсовский и Туров [205, 203, 188, 345, 346] [см. также Туров A963)]. Этой
проблеме посвящен также цикл работ Берто [328, 347, 348], который применяет общий
теоретико-групповой метод Ландау — Лифшица, но использует при этом конкретный
гейзенберговский гамильтониан. Вопрос о связи магнитных структур со свойствами
симметрии кристаллов рассмотрен также в работе Диммока [349]. Ошибочность сом-
сомнений, высказанных в этой работе относительно правильности некоторых выводов
Лифшица [341], была ясно показана в работе Дзялошинского [338].
Как неоднократно отмечалось, основная идея теории Ландау и Лифшица заклю-
заключается в том, что если в магнитном кристалле в точке Кюри или Нееля происходит
фазовый переход второго рода, то магнитная структура упорядоченной фазы должна
преобразовываться как базисная функция одного какого-то неприводимого представ-
представления (см. гл. 10) кристаллографической группы симметрии парамагнитной фазы. Это
накладывает определенные ограничения на возможные в каждом типе кристаллов маг-
магнитные структуры без всяких предположений относительно вида обменных взаимодей-
взаимодействий, ответственных за сам магнитный порядок. Число возможных структур для каж-
каждого вещества фактически оказывается очень небольшим, что связано со своеобразной
неустойчивостью большинства фазовых переходов [341]. Фазовые переходы оказыва-
оказываются возможными с изменением периодов решетки Бравэ только в 1, 2, 3, 4 раза.
Однако, как убедительно показал Дзялошинский [338] [см. также примечание на стр. 521
в монографии Ландау и Лифшица A964)], помимо этих типов переходов, в случае маг-
магнитных структур в неметаллических кристаллах возможны фазовые переходы, сопро-
сопровождающиеся появлением структур с периодом, во много раз превосходящим период
исходной решетки. При этом в большинстве случаев (нет доказательства, что всегда)
кристалл в атомных масштабах имеет магнитную структуру, допустимую по Лифшицу
[341], т. е. с изменением решетки Бравэ в 1, 2, 3, 4 раза (например, коллинеарные анти-
антиферромагнитные шдрешетки). На эту «грубую» структуру налагается сверхструктура,
представляющая собой своего рода биения в основной структуре с периодом всегда
во много раз превосходящим межатомные расстояния.
Мы не имеем возможности остановиться на более подробном изложении этой
интересной проблемы и отсылаем читателя к оригинальным работам [341, 33] (см. также
гл. 20, § 8).
Хотя теоретико-групповой подход, строго говоря, применим лишь для узкого
интервала температур в непосредственной близости к точке фазового перехода, его
можно в известном смысле распространить и на область температур вдали от точки
перехода [338]. В этом случае можно поставить вопрос об устойчивости магнитной струк-
структуры, которая предсказывается каким-либо микроскопическим расчетом или согла-
согласуется приближенно с нейтронографическими данными. Для этой цели на основании
соображений симметрии надо выяснить, не существует ли какой-нибудь другой маг-
магнитной структуры, которая соответствовала бы меньшему значению термодинамиче-
термодинамического потенциала Ф. Последний можно рассматривать как функционал плотности
магнитного момента т (г) и считать, что вид функционала и его явная температурная
зависимость определяются свойствами парамагнитной фазы. Это предположение оправ-
оправдано малостью обменного («магнитного») взаимодействия (характеризуемого величи-
ной^в или кБ@к на атом) по сравнению с энергией сцепления атомов в кристалле
(измеряемой величиной &Б 0ПЛ на атом *), т. е.
где впл — точка плавления.
§ 10. Феноменологическая трактовка ферримагнетизма
Изложим теперь наиболее общую феноменологическую трактовку проб-
проблемы ферримагнетизма **).
1. Общие соображения. Состояние ферримагнетика определяется
заданием функции точки г плотностей Ij (r) магнитного момента каждой
магнитной подрешетки j. Поэтому каждая точка ферримагнитной среды
при ее феноменологической трактовке в квазинепрерывном приближении
характеризуется столькими магнитными плотностями, сколько имеется
магнитных подрешеток. Число последних определяется числом неэквива-
неэквивалентных магнитных ионов в элементарной ячейке кристалла. Неэквива-
*) При этом можно законно считать, что в нулевом приближении расположе-
расположение атомов и взаимодействия между ними остаются такими же, как и в парамагнитной
фазе, а небольшие смещения атомов типа магнитострикционных деформаций можно
учитывать уже через функциональную зависимость Ф от т.
**) См. Туров и Ирхин [188], Каганов и Цукерник [189], Ахиезер и др. [207],
Ахиезер и др. A967), Туров [203], Туров A963) и Кеффер [206].
- 742 -

лентными мы будем считать не только химически различные магнитные
ионы или ионы, расположенные в разных узлах кристаллической решетки,
но также и магнитные ионы, имеющие различные величины или направле-
направления магнитных моментов (различные g-факторы, подрешетки с неколли-
неарным расположением моментов и т. п.).
Принимается, что в основном состоянии функции Ij (r) однородны
{не зависят от г) *), т. е. Ij0 (г) = Ij0. Такое однородное распределение
магнитных моментов по объему образца соответствует полностью упоря-
упорядоченному распределению атомных моментов по узлам решетки, занятым
магнитными ионами.
Слабым возбуждениям системы будут соответствовать малые колеба-
колебания плотностей векторов магнитного момента подрешетки около их равно-
равновесных значений: ДIj (г) = Ij (г)—Ij0. Малость этих колебаний, как
и в формулах A9.32), A9.33), определяется условиями
\AIj(r)\<tIj0 и Ifttl%. B2.193)
Для решения конкретных задач теории нужно знать уравнения дви-
движения (классические или квантовые) для плотностей магнитного момента.
Прежде всего требуется найти гамильтониан $? (Ij) (в случае высоких тем-
температур термодинамический потенциал) системы как функцию этих плот-
плотностей. При его определении следует использовать общие результаты
квантовой теории магнетизма (существование обменного взаимодействия
и т. п.) и опытные данные о кристаллохимической и атомной магнитной
структуре изучаемых веществ, которые можно почерпнуть из результа-
результатов рентгенографических и нейтронографических исследований.
Как неоднократно указывалось, в этом гамильтониане есть два типа
членов: во-первых, члены, обусловленные изотропным электростатиче-
электростатическим обменным взаимодействием, которые определяют само существование
упорядоченной магнитной структуры, а также температурной интервал
ее существования (величина точек Кюри или Нееля); во-вторых, члены,
обусловленные анизотропными магнитными (релятивистскими) взаимо-
взаимодействиями. Эти взаимодействия на 2—4 порядка слабее электростатиче-
электростатических, поэтому их почти всегда можно рассматривать как малые возмуще-
возмущения. Они определяют ориентации намагниченностей Ij в кристалле,
а также поведение магнетика под влиянием различных внешних воздей-
воздействий (внешние магнитные и упругие поля и т. п.), и, наконец, могут слу-
служить причиной слабой неколлинеарности намагниченностей подрешеток,
обусловливающей явление слабого ферромагнетизма (см. ниже § 11).
2. Условия осуществления магнитного порядка. При установлении
конкретного вида феноменологического гамильтониана необходимо исполь-
использовать свойства симметрии магнитных кристаллов (см. гл. 18). Напомним,
что если известна атомная симметрия кристаллической решетки, то можно
теоретически найти все упорядоченные магнитные состояния, допускае-
допускаемые этой симметрией [350, 351]. Элементы симметрии кристаллической
решетки должны содержать элементы симметрии каждого такого состо-
состояния. Число элементов магнитной симметрии не может превышать числа
элементов атомной симметрии. Зная явный вид гамильтониана 38 {Ij)
и его минимум, можно определить условия, при'которых осуществляется
то или иное упорядоченное магнитное состояние.
а) Функция SB (Ij) должна оставаться инвариантной при всех пре-
преобразованиях симметрии кристаллической решетки. В этом случае магнит-
магнитная структура не должна приниматься в расчет; ибо^ при всех операциях
симметрии (включая и R) парамагнитного состояния все узлы и оси
решетки переходят в эквивалентные. Поэтому и каждый магнитный момент
*) Это предположение справедливо, конечно, если форма образца (эффект раз-
размагничивающего действия поверхности) или его доменная магнитная структура не на-
нарушают этой однородности (в статическом смысле).
- 743 —

переходит в эквивалентный узел и ориентируется вдоль эквивалентной
оси. Таким образом, нет никаких причин для изменения энергии SB
кристалла.
б) Трансляция на расстояния, кратные периоду магнитной элементар-
элементарной ячейки, оставляют все Ij инвариантными. Поэтому такие операции
можно вообще исключить из рассмотрения, так как они ничего не дают
для определения вида функции SB (Ij)- Таким образом, следует рассматри-
рассматривать инвариантность SB (Ij) лишь по отношению к поворотным и винтовым
осям, зеркальным плоскостям скольжения и Л-операции.
в) Необходимо знать правила преобразования различных Ij как
аксиальных векторов (число которых v определяется структурной магнит-
магнитной элементарной ячейки) при всех операциях симметрии. Также необ-
необходимо знать правила перестановки Р A, 2, . . ., v), производимой каждой
операцией симметрии среди индексов j = 1, 2, 3, . . ., v различных плот-
плотностей Ij *).
г) Функция SB (Ij) должна быть четной функцией парциальных намаг-
ниченностей Ij (r), т. е. не должна изменяться при одновременной замене
всех Ij на —Ij (операция RI).
д) При наличии неоднородностей магнитных плотностей Ij (»•) функ-
функция SB (Ij) будет зависеть также и от пространственных производных
V-Tj (r). Следует различать два типа связей, увеличивающих энергию
магнетика из-за неоднородностей плотностей Jj (r). Во-первых, это близко-
близкодействующие (обменные) связи, для которых плотность энергии неодно-
неоднородностей в данной точке пространства определяется значениями произ-
производных VIj только в этой же самой точке. Во-вторых, это дальнодействую-
щие связи (типа квазиклассических дипольных, квадрупольных и т. п.
взаимодействий), для которых увеличение плотности энергии в каждой
точке обусловлено действием распределения неоднородностей Ij (r) по
всему объему образца.
3. Общее выражение для гамильтониана задачи. В наиболее общей форме, без
конкретизации типа кристаллической структуры магнетика, плотность энергии ffl(
как функция всех Ij и их пространственных производных имеет вид
B2.194)
По всем индексам а, р, у, б, /, /', . . ., встречающимся дважды в различных членах
B2.194), предполагается суммирование. Здесь А^, В^у^, ^aPv'e' "> " " • —тенз°ры
размерности плотности энергии, обусловленные их изотропным электростатическим
или анизотропным магнитным взаимодействиями; число независимых компонент этих
тензоров определяется симметрией крийталла [см. условие а)]. В качестве иллюстрации
выделим изотропные члены из первых двух слагаемых в B2.194):
.4»' /jta/3'a д»' аУ  Bljg д1Уа
аа /л/3-о ' аау6 fio 75'0 Эгу дг6 И" Т- Д-
Отсюда видно, что изотропные члены представляют собой попарные скалярные произ-
произведения векторов намагниченности Jj и их градиентов VIj, ибо изотропное взаимодей-
взаимодействие не зависит от ориентации этих векторов по отношению к кристаллографическим
осям. Анизотропные члены в B2.194) не сворачиваются в скалярные произведения,
и их вид существенно зависит от симметрии кристаллической решетки. Эти члены малы
*) Дзялошинский [13] первый указал, что эти перестановки есть результат пере-
перестановки магнитных ионов между узлами решетки при соответствующей операции
симметрии. Прежде ошибочно считалось, что различные Ij преобразуются только неза-
независимо друг от друга при всех операциях симметрии. Поэтому принималась во внима-
внимание лишь тождественная перестановка. Все другие перестановки (при которых Ij->-
->- Iy, где j фУ) не рассматривались, что могло приводить к потере существенных
членов в &€ (Ij) (см. ниже § 11).
- 744 —

по сравнению с изотропными (релятивистские поправки!). Порядок их малости опре-
определяется числом пар слагающих/7-а, не сворачивающихся в скалярные произведения;
пу — постоянные размерности длины, равные по порядку величины постоянной
решетки, а, р, у, 6, . . .=х, у, z; /, у", . . . =1, 2, . . ., v; v —число магнитных под-
решеток; Ija—a-слагающая вектора Ij. Члены с пространственными производными
в B2.194) описывают эффект отклонений от однородной намагниченности в системе.
В случае длинноволновых отклонений можно ограничиться учетом только члена вто-
второго порядка в этих производных. Отношения Ijalljo Для каждой подрешетки дают
направляющие косинусы вектора Ij относительно оси а. Вблизи температур Кюри или
Нееля разложение B2.194) ведется фактически по малым параметрам /j-a//j0. При низ-
низких температурах эти отношения могут быть немалыми (~1). В этом случае возникают
две добавочные задачи: определение основного состояния системы (ее «вакуума»)
и выбор элементарных возбуждений системы, отношение числа которых, например,
к числу узлов решетки играет роль малого параметра в теории.
Магнитное поле Hj описывает эффект дальнодействующей части магнитных вза-
имодействпй, которые не включены в тензоры А, В, С, ... В общем случае поля Hj
могут быть найдены из уравнений Максвелла (Херринг и Киттель [352]). Однако в пре-
пренебрежении токами смещения, поля Hj являются решениями уравнений магнитоста-
магнитостатики (в отсутствие токов проводимости, см. гл. 5).
rotJTj=0 и divJTj=— 4jtdiv_ry. B2.195)
Если в первом приближении учесть только дипольное взаимодействие, то для поля Hj,
согласно D.18) и D.19), получаем
Здесь первый член описывает внутреннее размагничивающее поле объемных магнитных
«зарядов», а второй — размагничивающее поле поверхностных магнитных «зарядов»
(п0 — единичный вектор нормали к поверхности разрыва). ¦
Последний член в B2.194) равен сумме магнитных энергий подрешеток относи-
относительно внешнего поля Н.
Выражение B2.194) в принципе позволяет решить поставленную задачу опреде-
определения спектра собственных и вынужденных колебаний намагниченности кристаллов
с магнитным атомным упорядочением любой кристаллохимической и магнитной сим-
симметрии. Для иллюстрации метода применим B2.194) к конкретному типу симметрии.
С этой целью рассмотрим здесь простейший случай магнитно-упорядоченного кристал-
кристалла с двумя магнитными подрешетками (v = 2) и одноосной симметрией, т. е. кристалл
с одной гексагональной или тетрагональной осью. Будем также считать, что ни при
одном из допустимых преобразований симметрии не происходит перестановки индек-
индексов у намагниченности подрешеток. Противоположный случай будет рассмотрен в § 11.
Тогда из B2.194) находим
У), B2.197)
где
т}=^-1 B2.198)
—относительная намагниченность подрешетки /. Раскрывая суммы в B2.197) и учи-
учитывая, что Aiim?=Aii [в силу B2.193)] не зависит от распределения намагничен-
намагниченности, для случая низких температур получаем
= Л<12> (иг-!• т2) + -|- Ваьа2 (Vmia ¦ Vmla) + ^ ?<22>аз (Vm2a. Vm
(Vmla-Vm2a)+-|- A™m\z +1 A^m
dz dz ' 2 2 " az * "ez '  ^ dz ЬТ
2
^ hj(ry)Uioi + xm2)-a. B2.199)
i, j'=l
Члены с Л33 и А<12>описывают обменное (изотропное) взаимодействие внутри и между
подрешетками. Члены В1:>п и В<12> описывают эффект неоднородностей намагничен-
— 745 —

ности (Vmja Ф 0). Члены А^3'1 и Л?Х2> определяют магнитную анизотропию. Члены
5z ) и Bl12> описывают вклад релятивистских взаимодействий, связанный с неодно-
родностями намагниченности.
В области высоких температур, т. е. вблизи точек Кюри или Нееля, B2.197) дает
разложение термодинамического потенциала &S(m,j) в ряд по степеням малых парамет-
параметров mja. Используя метод Ландау для приближенной трактовки фазовых переходов
второго рода (см. гл. 18), можно получить феноменологическое описание магнит-
магнитных свойств кристалла вблизи температуры фазового перехода. Это уже было сделано
в гл. 18.
4. Спинволновое приближение. Случай низких температур рассматривался
в гл. 19. Приведем здесь общую схему расчета дисперсионных соотношений для соб-
собственных и вынужденных колебаний намагниченности в магнитно-упорядоченных кри-
кристаллах в области слабых возбуждений, когда выполняются условия B2.193).
Основное состояние и энергетический спектр слабовозбужденных состояний
системы, описываемой гамильтонианом B2.194), или в частном случае выражением
B2.199), могут быть получены либо с помощью
уравнений движения A9.57), либо из определения
собственных значений оператора B2.194). Равновес-
Равновесные положения векторов Ij0 можно найти из усло-
условий dIj/dt = O или из минимума гамильтониана
B2.194). Затем, полагая, что Ij = Ijo-\-hIj, и ли-
линеаризуя систему уравнений A9.57) по отношению
к малым отклонениям hlj, ищем их решение в ви-
виде AIj ~ exp [I (<s>t~\-kr)], где со — частота, a fe —
вектор квазиимпульса собственных колебаний. Дис-
Дисперсионный закон со (fe) находим из условия ра-
равенства нулю определителя однородной системы
алгебраических уравнений для амплитуд отклонений
Д_Г, к которым сводится система уравнений A9.57).
Более удобным методом (особенно в кванто-
вомеханическом случае) является метод вторичного
квантования (см. гл. 19). Записывая оператор
B2.194) через бозе-операторы вторичного квантова-
квантования [см., например, A9.80)] и далее, линеаризуя
его относительно квадратичных членов в этих опе-
операторах и, наконец, приводя эти квадратичные члены к диагональной форме, мы приб-
приближенно представляем оператор B2.194) в виде суммы операторов элементарных осцил-
осцилляторов некоторого эффективного «квантованного» поля бозевских элементарных воз-
возбуждений с известными собственными значениями энергии [см., например, A9.82)
и A9.83)].
Остановимся подробнее на схеме этого расчета для случая кристалла с несколь-
несколькими магнитными подрешетками. В данном случае вместо трех перестановочных соот-
соотношений A9.77) для одной подрешетки будем иметь 3v таких соотношений:
IjyHirx(r')^Ijrx(r')Ijy(r) = ih^Ijz(r'Njyb(r-r') и т.д. B2.200)
Вместо операторов проекций намагниченностей подрешеток Ija (r) вводятся опера-
операРис. 22.39. К переходу от системы
координат каждой }-& магнитной
подрешетки х-, у ¦, z ¦ (жирная
стрелка — ось г ¦) к общей системе
координат ж, у, г, связанной с осями
кристалла.
торы вторичного квантования
LX/2 -
)j и (br)j [353]:
= (-6-/
xj \ 2 3
¦( П R Г
=';о-%Сь+Ъ
-]
1/2
B2.201)
2 ю /уо J ' ' ' ' ' J
В B2.201) для каждой подрешетки введена своя собственная координатная система xj,
yj, zj, ось Zj которой параллельна оси квантования вектора Ij (т. е. равновесному
направлению классического вектора 1}0). Средние значения отклонений намагниченно-
намагниченности малы
по условию слабости возбуждения системы B2.193). Поэтому можно приближенно счи-
считать, что /v « 1. Подставляя B2.201) в B2.200), легко показать, что операторы (bt)j
и (br)j при выполнении соотношений B2.200) подчиняются бозевским перестановочным
соотношениям
к).
B2.202)
— 746 -

Для того чтобы выразить гамильтониан B2.194) через бозе-операторы (br)j и (br)j,
необходимо прежде всего найти связь между компонентами векторов Ij в одной общей
¦системе координат xyz (связанной с осями кристалла) и компонентами этих же векторов
в системах координат каждой подрешетки xj, yj, zj. Этот переход можно совершить,
пользуясь таблицей направляющих косинусов аа^- (а = х, г/, z; Ру= xj, г/у, zj)
В развернутом виде преобразование B2.203) можно представить так: переход от ся-
¦стемы xyz к системе xjyjZj можно совершить сначала поворотом вокруг оси у на угол фу,
а затем поворотом вокруг оси z на угол фу, где Фу и фу — соответственно полярный
и азимутальный (отсчитываемый от оси х в плоскости ху) углы оси zy в системе xyz
<рис. 22.39). Следовательно,
'ix = 7ixy cos ®J cos ФУ — Ijy. sin Ф/ + JjZj sin *У cos ФУ')
rJv = 7ixy cos *i sin ФУ + 7j^ cos ФУ + ^ sin ®i sin 4>j> > B2.204)
hz = —/3Xj Sin 0,- + I:]Z_ COS fl'y. j
В частном случае, когда все векторы JTyo и Н лежат в одной плоскости (напри-
(например, xz), втфу = 0, совфу=1 (для всех /) и формулы B2.204) принимают более
простой вид
ri*/tf« 1
простой вид
" ' '" ""J '"'""' " B2.205)
т]у = sin Фу, ?,j = cos '
Используя B2.201) и B2.204) или B2.205), а также вводя компоненты Фурье (bt)j
и (bk)j операторов (br)j и (br)j [см. A9.80)], полный гамильтониан кристалла
&в = \ (Й1 (г) dr может быть представлен в виде ряда по степеням операторов (fefc)y
B2.206)
где &6п — член «-го порядка относительно величин (fefc)y и (bk)j.
Основное состояние системы определяется равновесными значениями направляю-
направляющих косинусов вар из выражения B2.203) или углов тЭ^ и ср°] из B2.204) при Т = 0° К.
Оно находится минимизацией по этим величинам члена нулевого порядка ?№0 в B2.206),
который не зависит от операторов (Ьь)у и (fefc)y. При Фу = Hj и фу = ф^ член первого
порядка в B2.206) тождественно обращается в нуль (&?i (b°j, ф?) = 0)*). Поэтому основное
¦состояние можно также найти из условия <Й?4 = 0. Квадратичный по (Ь u)j и (bk)j член So2
в B2.206), как отмечалось выше, после приведения его к диагональной форме имеет
вид суммы энергий отдельных осцилляторов — элементарных возбуждений, т. е. спи-
спиновых волн.
В общем случае до диагонализации оператор &92 после всех указанных операций
принимает вид
B2.207)
где
bt = (bk)it+iy2 при *=1, 3, 5, ..., Bv-l), |
bt = (b_k)t/2 при г = 2, 4, 6, ...,2v**). j
а а((,, Р;;/ — матрицы порядка 2v, удовлетворяющие условию air = a.ri и РГ( = Р^(,
¦(в силу эрмитовости оператора &5ь)- Пртиедение к диагональному виду
*) Это соответствует обращению в нуль момента сил, действующих на каждую
из намагниченностей _Гу в состоянии равновесия и определяемых правой частью урав-
уравнения A9.57).
**) Например, в случае кристалла с одной магнитной подрешеткой (v = 1)
имеем bi — Ьк при t = 1 и Ь2 = Ь_к при t = 2.
- 747 —

осуществляется с помошью линейного унитарного преобразования к новым опера-
операторам*):
ьг = 2 &suts + ltv*s)> b^^d+ufs+lsVts)- B2.209)
S S
Коэффициенты преобразования B2.209) ufS и vts являются решениями системы одно-
однородных уравнений
:,,.„-1
B2.210).
V Т )
Эти уравнения получаются из квантовых уравнений движения для операторов bt
и &J" [см. Блохинцев A961)], которые имеют вид
dbt » » - » *> . -
^Й—-— = Ь/сЯ?ь — Sfdbbt и —?й—;—=М~ё%'ь — oKbb't. B2.211V
at at l l
Используя для bt и Щ бозевские перестановочные соотношения типа B2.202), вместо
B2.211) находим
dbt v л *^ V
v V
Заменяя bt и Ъ^ п0 B2.209) через |s и |+ и учитывая, что в силу B2.212)
вместо B2.212) получаем B2.210). Уравнения B2.210) удовлетворяют следующим
условиям ортонормировки:
2("^?S'-^wS')=sSS', j
' \ B2.213)
2 (utsvts' — uis,vts)=0. j
Эти условия находим из уравнений B2.210), умножая почленно первое уравнение на
u*s', и второе на v%', беря от произведений сумму по 4и складывая эти суммы. Затем
берем комплексно сопряженные уравнения B2.210), в которых индекс s заменен на s',
умножаем их соответственно на щ8 и vts, суммируем опять по t и складываем. Из раз-
разности полученных выражений получаем первое из условий ортонормировки B2.213).
Аналогичным образом можно получить и второе из этих условий.
Энергия %s определяется из требования существования нетривиальных (ненуле-
(ненулевых) решений системы однородных уравнений B2.210), т. е. из условия равенства нулю
детерминанта этой системы. В результате преобразования B2.209) квадратичная форма
B2.207) принимает вид
<* * = - 2 %^к) Iv^ i2+S ^ (fe) ?&• <22-214)
U s
Используя B2.202), переход к фурье-компонентам (b\) и (bk)j, B2.209) и B2.213),
можно показать, что операторы |f и |s также являются бозе-операторами, т. е.
Ut'-it'ls = ^s' и т. д. B2.215),
Поэтому числа заполнений «?(fe) = |f|s могут иметь значения 0, 1, 2, 3, ... и соб-
собственное значение оператора &въ примет вид
s(le)ns(k), B2.216)
2i
sfc
где
А%0= -2«.(*)|»««|2. B2.217)
tsk.
— энергия квантовых «нулевых» колебаний системы, %s (к) — энергия элементарного
возбуждения сорта s с квазиимпульсом fe, а ns (к) — число таких возбуждений.
Энергия %s (к) и определяет в первом приближении интересующие нас собствен-
собственные частоты нормальных типов связанных колебаний намагниченностей I]. Члены
*) Этот метод диагонализации был предложен Тябликовым [см. гл. IV в моно-
монографии Боголюбова A949)].
— 748 —

более высокого порядка в сумме B2.206) (<Ш3 и т. д.) по аналогии с ангармоническими
членами, появляющимися в теории упругих колебаний кристаллических реше,ток (фоно-
нов), можно рассматривать как члены, описывающие процессы взаимодействия меж-
между спиновыми волнами (или столкновения между квазичастицами— ферромагнонами
и т. п.). Это открывает возможность для последовательной квантовомеханической трак-
трактовки различных кинетических и релаксационных процессов в кристаллах с магнит-
магнитным атомным упорядочением (см. ниже гл. 24, 25).
Для более подробного ознакомления с результатами конкретных расчетов отсы-
отсылаем читателей к работам [203, 205, 206, 207] и монографиям Турова A963) и Ахиезера
и др. A967), в которых также приведено сравнение теории спиновых волн в ферримагне-
тиках с данными эксперимента (см. также ниже § 11).
Легко видеть, что все результаты, полученные выше (см. гл. 19—21), могут быть
без труда получены с помощью только что изложенной общей схемы расчета.
Теория спиновых волн и расчет температурной зависимости самопроизвольной
намагниченности ферримагнетика в модельной теории рассматривалась рядом авторов.
Каплан [198] впервые рассмотрел квазиклассическую теорию спиновых волн по схеме,
предложенной Херрингом и Киттелем [352]. Вонсовский и Сеидов [208] использовали
для решения этой задачи метод Холстейна и Примакова [353], развитый в работах
Андерсона [19] и Кубо [210]. Аналогичный подход был использован в работах Шикло-
ша [201], Кондорского и др. [199, 200], Каплана [321]. Наиболее строгое и общее реше-
решение проведено в двух работах Тябликова [202] [см. также Тябликов A965)].
В упомянутых работах [198—201, 321] для температурного хода спонтанной
намагниченности ферритов получен, как и для ферромагнетиков, «закон Т3^2». В работе
Вонсовского и Сеидова [208] получен другой результат Д/г ~ аТ2. Тябликов [202]
•объяснил различие этих результатов тем, что указанные авторы исходили из различ-
различных предпосылок. В работе [208] предполагалось, что обе магнитные подрешетки экви-
эквивалентны, а магнитные моменты узлов подрешеток различны (т. е. NfSi = N2Sz
и gi ф Sii CM- также Вонсовский и Туров [205]). В других работах считалось, что маг-
магнитные моменты узлов различных подрешеток равны, но подрешетки не эквивалентны
§ И. Слабый ферромагнетизм
1. Общие замечания. Рассмотрим теперь случай упорядоченной атом-
атомной структуры с магнитными подрешетками, намагниченности которых
неколлинеарны благодаря релятивистским взаимодействиям.
Как отмечалось выше, в кристаллах cc-Fe2O3, MnCO3, CoCO3, MnF2,
а также в орторомбических кристаллах со структурой редкоземельных
¦ортоферритов состава MeFeO3 *) наблюдается слабый ферромагнетизм,
величина самопроизвольной намагниченности которого составляет лишь
весьма малую часть A0~2—10~5) от максимальных намагниченностей
с номинальным спиновым моментом магнитных ионов в этих соединениях.
Впервые слабый ферромагнетизм в природном монокристалле гематита
(cc-Fe2O3) обнаружил Смит [356]. Вначале слабый ферромагнетизм
пытались связать с какой-либо неидеальностью в кристаллической решет-
решетке соответствующих веществ (примеси, нарушения стехиометрического
состава, намагниченность в граничных слоях антиферромагнитных доменов,
см., например, работу Ли [357] и т. п.). Однако магнитные исследования
Нееля и Потене [173, 358], нейтронографические исследования [33, 175,
169], исследования магнитного резонанса на кристаллах ct-Fe2O3 [359],
измерения магнитострикции [360], а также исследования Боровика-Рома-
Боровика-Романова и Орловой [361] магнитных свойств в весьма чистых образцах карбо-
карбонатов МпСО3 и СоСО3 показали, что эти вещества, наряду с основной
антиферромагнитной структурой, обладают слабым ферромагнетизмом,
присущим самим кристаллам и не являющимся следствием каких-либо
чшарушений правильности» их решеток. Впервые такая мысль была выска-
высказана Шевалье [362], однако она не была подкреплена достаточно ясными
экспериментальными результатами и теоретическими расчетами. Более
отчетливо это было сформулировано в работе Матареса и Стаута [363]
и особенно Боровиком-Романовым и Орловой [361]. Для объяснения слабо-
слабого ферромагнетизма, обнаруженного ими в этих веществах, эти авторы
*) Здесь Me — символ металла — пробегает весь ряд элементов от Sm с Z = 62
до Lu с Ъ = 71; в качестве Me могут быть взяты Nd, Pr, La и Y, a Fe может быть
заменено на V или Сг, см. [354, 355].
— 749 —

предложили модель антиферромагнетика, в котором имеется небольшая
степень неколлинеарности намагниченностей подрешеток.
Последовательное теоретическое обоснование этой идеи впервые дал
Дзялошинский [13, 14, 344]. Используя строгий теоретико-групповой
термодинамический подход, он показал, что слабый ферромагнетизм явля-
является внутренним свойством идеальных антиферромагнитных структур
определенного класса симметрии, в которых действительно возникает
небольшая неколлинеарностъ намагниченностей подрешеток основной
антиферромагнитной структуры под влиянием слабых релятивистских
(магнитных) взаимодействий.
Наиболее полные нейтронографические исследования, доказавшие-
особый характер атомной магнитной структуры в слабых ферромагнетиках-
карбонатах и фторидах переходных Зй-металлов, были проведены в рабо-
работах Алиханова [158, 178, 364]. Развитию теории и детальному исследова-
исследованию различных физических свойств слабого ферромагнетизма посвящено
большое число работ, укажем некоторые из них [3, 347, 351, 111, 365—377].
В особенности отмечаем теоретические исследования Турова с сотрудника-
сотрудниками [345, 346, 378—383] (см. также Туров A963)). Все эти исследования
позволили сделать вывод, что слабый ферромагнетизм представляет собой
весьма распространенное явление (см. табл. 22.4). Оказалось, что оно
возникает во многих кристаллах с антиферромагнитной структурой с той
же необходимостью, как, например, кубическая магнитная анизотропия
в ферромагнитных кубических кристаллах и т. п. Детальное описание
теоретикогрупповой трактовки этого вопроса читатель может найти
в монографии Турова A963). Ниже будет дано лишь краткое описание.
К настоящему времени, кроме «классического» вещества гематита ct-Fe2O3,
существование слабого ферромагнетизма твердо установлено в большом
числе соединений, часть из которых приведена в табл. 22.4, где указана
и литература. Во всех случаях спонтанный магнитный момент составляет
Таблица' 22.4
Вещества, в которых обнаружен слабый ферромагнетизм
Вещество
a-Fe2O3
МпСО3
CrF3
NiF2
Ортоферриты Ме=Уи РЗМ
MeFeO3
MeCrO3
MeVO3
p-NaFeO2
Mn(C2H3O2J-4H2O
KMnFe3
Fe3(PO4J.4H2O
Ni(IO3J-2H2O
MnTe
CaMnO3
Литература
[173, 356,
358]
[361, 384—
386]
[387]
[363, 384,
388, 389]
1 [370, 355,
f 390—396]
J
[397]
[398]
[374, 399]
[391]
[400]
[401]
[402]
Вещество
BiFe03-Pb(Feo,5Nbo,5H3
Mn(NH4J(SO4J-6H2O
Co(NH4J(SO4J-6H2O
FeTiO3—Fe2O3
NiTiO3-Fe2O3
CoIO3
BiFeO3—LaCrO3
Mn3Ge
BiFeO3
o-MJ+FeJ+Fel+i.ejOa
Cr —Rh
GdPO4
UO2
Fe2Ti04
NaNiFe3
Mn(HCOOJ-2H2O
Ca2Fe205
Литература
[403]
[404, 405]
[404, 405]
[406]
[407]
[408]
[409]
[410, 411]
[412]
[413]
[414]
[415]
[416]
[417]
[418]
[419]
[420]
750

тысячные или сотые доли от номинального. Например, в a-Fe2O3 получено
1,4-10-*, в МпСо3 и СоСО3 от 2-10-3 до б-Ю, в CrF3 - 1-10 и т. п.
2. Термодинамическая теория. Прежде всего выясним условия суще-
существования слабого ферромагнетизма.
а. Случай магнетита. В качестве конкретного примера выберем
полуторную окись железа Fe2O3. Это соединение обладает полиморфизмом.
Нас будет интересовать низкотемпературная сс-фаза a-Fe2O3, называемая
гематитом, обладающая ромбо-
ромбоэдрической решеткой. Каждый ион
Fe3+ окружен шестью ионами О2~
(нерегулярный октаэдр, поскольку
из шести соседей три более близкие
и три более удаленные). Каждый
ион О2" окружен четырьмя ионами
Fe3+ (нерегулярный тетраэдр).
Ионы Fe3+ и О2~~ расположены
в плоскостях, перпендикулярных
к ромбической оси [111]. На
рис. 22.40 изображена элементар-
элементарная ячейка кристалла cc-Fe2O3
и изоморфного с ним кристалла
Сг2О3, в которой расположено че-
четыре магнитных катиона Fe3+ или
Сг3+ вдоль оси [111]. Из опыта
известны [33,421] два магнитных
превращения в a-Fe2O3 при 250° К
и 950° К. При этом в интервале
0° К < Т < 250° К имеет место
коллинеарный антиферромагне-
антиферромагнетизм, а в интервале 250° К ^ Т $С 950° К — неколлинеарный анти-
антиферромагнетизм, т. е. слабый-ферромагнетизм. При Т ~^> 950° К кристалл
парамагнитен. Для выяснения возможных магнитных упорядоченных
структур необходимо принять
во внимание, что этим кристал-
-[///] лам соответствует пространст-
пространственная группа Did (см. гл. 18),
и поэтому парамагнитному со-
состоянию отвечают следующие
Рис. 22.40. труктура ромбоэдрических окислов,
а) Кристаллографическая структура; б) магнит-
магнитная структура a-Fe2O3; в) магнитная структура
Сг2О3. Малые кружки — катионы Fe3+ или Сг3+,
большие кружки — анионы О2-.
U,
операции симметрии:
2С3, Зи2, I, 2
Рис. Т1ЛХ. Ромбоэдрический кристалл a-Fe2O3 (или
Сг2Оа). а) Схема элементарной ячейки, б) элементы
симметрии; с — точки пересечения осей симметрии
и2 с осью [HI], d — точки инверсии и пересечения
плоскости отражения для осей Se с осью [111].
2Se, 3od, R.
B2.218)
Здесь С3 — оси третьего поряд-
порядка, параллельные [111], и2 — оси
второго порядка, перпендику-
перпендикулярные [111] и пересекающие
эту ось в точках с; I и S6 —
соответственно инверсии и зер-
зеркально-поворотная ось шестого
порядка по отношению к точкам d на оси [111]; ad — плоскости скольже-
скольжения с трансляцией на половину периода вдоль оси [111] и перпендикуляр-
перпендикулярные оси и2 (рис. 22.41).
Нейтронографические исследования [33, 175, 421] показали, что маг-
магнитная элементарная ячейка в данном случае совпадает с кристаллохими-
ческой, а также установили существование двух антиферромагнитных
(АФМ) структур соответственно для Сг2О3 (рис. 22.40, в) и a-Fe2O3
(рис. 22.40, б). На рис. 22.42, а, б в показаны различные типы АФМ
структур.
- 751 ~

Рис- 22.42. Возможные типы антифер-
антиферромагнитных структур. а) Сг2О3
б) a-Fe2O3, в) не обнаружена.
Совокупность элементов симметрии для данного типа магнитной
структуры должна тождественно преобразовывать распределение магнит-
магнитных моментов в элементарной ячейке. Например, если в ячейке имеется
результирующий момент m = 2 (&i)t, то он должен оставаться инвари-
i
антным при всех этих преобразованиях. Для всех АФМ структур типа
а и Ъ (рис. 22.42) среди допустимых преобразований имеется одна состав-
составная операция IR. Применяя ее к т, мы получим — т; в силу требований
инвариантности это приводит к условию т—-—чи, откуда однозначно
следует, что т = 0. Следовательно, в АФМ
структурах типа а и Ъ ферромагнетизм не-
невозможен. Это согласуется с наблюдаемыми
свойствами Сг2О3, в которых слабый фер-
ферромагнетизм не обнаружен. Требования
симметрии допускают три возможных
модификации в АФМ структуре типа б
(рис. 22.43):
1) Ось АФМ совпадает с [111].
2) Ось АФМ лежит в плоскости сим-
симметрии Оа (ориентация оси в оа опреде-
определяется из условий минимума гамильто-
гамильтониана).
3) Ось АФМ совпадает с одной из
осей и2, нормальных к [111] (рис. 22.43).
В случае A) элементы симметрии (за
исключением R) даются выражениями
B2.218). Предположим, что в элементарной ячейке имеется результиру-
результирующий момент т=/= 0. Вектор т можно разложить на две составляю-
составляющие: ni\\ — параллельную оси [111] и т^ — нормальную к ней; т± и т\\
соответственно не инвариантны по отношению к преобразованиям С3 и и2.
Поэтому инвариантность »* = ?Юц-j-m_L г,-л г.,л г..л
(по отношению к С3 и и2) возможна лишь
при -ж. = 0. Итак, в АФМ структуре A)
ферромагнетизм невозможен (рис. 22.43).
Этот случай как уже отмечалось, наблю-
наблюдается в действительности в cc-Fe2O3
в области температур 0° К<;7т<;250о К.
В случае B) элементы симметрии суть
7, od и и2 B2.219)
(ось и2 здесь направлена перпендикулярно
к плоскости рис. 22.43). Эти операции
допускают повороты пар моментов 5Ь 54
и S2, S3 навстречу друг другу из плоско-
плоскости рис. 22.43. Этот поворот приводит к ре-
результирующему моменту т =/= 0 вдоль оси
и2 в плоскости A11). Следовательно, для
такой АФМ структуры (рис. 22.43, б) возможен слабый ферромагнетизм
и, как мы видели, он наблюдается в cc-Fe2O3 в интервале температур
250° К < Т < 950° К.
Структура C) обладает элементами симметрии
u2R, 7, ddR. B2.220)
Эти элементы допускают повороты моментов Sj (на одинаковые углы), что
приводит к появлению результирующего момента m =/= 0 в плоскости Оа-
В a -Fe2O3 эта структура не осуществляется (рис. 22.43, в).
б) Случай карбонатов. Изоморфные кристаллы карбонатов FeCO3,
МпСО3 и СоСО3 обладают также ромбоэдрической симметрией, но в эле-
г
п
>г
т
б)
в)
Рис. 22.43. Три возможных типа
ориентации оси антиферромагнетизма
в структуре a-Fe2O3 (см. рис. 22.42, б).
— 752 —

ментарной ячейке находится всего лишь два магнитных иона: Мп2+ и Fe2+
(или Со2+) (рис. 22.44). Операции симметрии для парамагнитного состоя-
состояния вновь даются выражением B2.218). Оси и2 пересекают ось [111]
в точках с (рис. 22.44). Опера-
ЦИИ / И 56 ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТЬСЯ | j
по отношению к точкам d. Тран- / ! ? ' /
—®—ф—®—i—
d с d с d
Рис. 22.44. Расположение магнитных ионов A, 2)
вдоль оси [111] в кристалле МпСО3 (или FeCO3,
СоСОз). Здесь буквой с обозначены точки пересе-
пересечения осей симметрии и2 с осью [111], а буквой d —
точки инверсии и пересечения плоскостей отраже-
отражения для осей S» с осью [111].
[]
Л
г
I
(и
—Ь2
(Ш)
сляция на половину периода
вдоль оси [111] соответствует
плоскости скольжения — Оа (от
узла 1 к узлу 2). В данном слу-
случае возможна лишь одна АФМ
структура с тремя возможными
типами ориентации АФМ осей
(рис, 22.45, / — ///). По анало-
аналогии с рассмотренным выше случаем a-Fe2O3 можно доказать, что для
структуры рис. 22.45, / ферромагнетизм невозможен, а для АФМ струк-
структуры рис. 22.45, // и /// он возможен. Первая стрктура реализуется
в FeCO3, а вторая наблюдается как слабый ферромагнетизм в МпСО3
и СоСО3 [361].
Таким образом, мы видим, что теоретико-групповой анализ позволяет
весьма просто определить возможность осуществления того или иного типа
I///] I7//1 [///"I неколлинеарной АФМ структуры в веще-
веществе с данной кристаллохимической струк-
структурой.
Вопрос о том; когда реализуется фак-
фактически та или иная конкретная магнитная
структура, может быть решен уже с при-
привлечением вариационного метода на основе
гамильтониана B2.194).
Рассмотрим снова случай одноосных
ромбоэдрических кристаллов FeCO3,
МпСО3 и СоСО3 (это справедливо и для
cc-Fe2O3).
До сих пор мы рассматривали кри-
кристаллы с магнитным атомным упорядоче-
упорядочением, в которых все операции симметрии переводили намагниченности
каждой из подрешеток Ij саму в себя. В рассматриваемом случае это уже
не так. Здесь необходимо принимать во внимание перестановку индексов Р
A, 2, ... v) номеров v магнитных подрешеток /, которую производят эти
операции симметрии. Учет этого обстоятельства и позволил Дзялошинско-
му [13] дать количественное объяснение явлению слабого ферромагнетизма.
в) Общий расчет. Магнитные свойства кристаллов карбонатов могут быть в самом
общем виде описаны на языке двух магнитных подрешеток (два магнитных иона в эле-
элементарной ячейке). Некоторые из элементов симметрии, даваемые формулой B2.218),
будут переставлять местами магнитные подрешетки, а некоторые нет, а именно:
С3: 1-»-1, 2-»-2; и2. 1=«±2; S6, 7: 1-^1, 2-»-2; ad: 1=**2. B2.221)
Используя B2.221), мы видим, что к гамильтониану B2.199) следует добавить допол-
дополнительный инвариантный член вида
D(mlxm2y — m2xmly). B2.222)
Этот член магнитный (релятивистский) по своей природе. Он, как мы увидим, и будет
определять собой все свойства слабого ферромагнетизма. В случае высоких температур
B2.199) вместе с B2.222) дает разложение термодинамического потенциала Ф в ряд
по степеням малых параметров mja вблизи точки фазового перехода из парамагнит-
парамагнитного в упорядоченное магнитное состояние.
Следуя Дзялошинскому [13], вместо Jj и 12 целесообразно ввести два новых век-
вектора
m = J1-j--T2, l = Ii — I2. B2.223)
Вектор т характеризует ферромагнитное состояние, а I — антиферромагнитное
Рис. 22.45. Три возможных типа I,
II, III ориентации оси антиферромаг-
антиферромагнетизма в антиферромагнитных струк-
структурах МпСОз и СоС03.
48 с. В. Вонсовский
— 753 —

состояние, а также ось антиферромагнетизма Л. Используя B2.223), а также опуская
члены с V/ja и div It и пренебрегая размагничивающим эффектом поверхностей образ-
образца (Div I] = 0), из B2.199) и B2.222) получаем *)
Y^T^iTmi~{m'H)- B2-224>
Коэффициенты a, b, d просто связаны с коэффициентами А, Б из B2.199) и D из B2.222).
Члены сей/ дают обменные инварианты четвертого порядка по отношению к!ит.
В «главных» обменных членах в B2.224) в парамагнитном состоянии а и в, > 0. Поэто-
Поэтому там нет магнитного порядка и минимуму Ф соответствует т = I = 0. Мы полу-
получим чисто антиферромагнитную структуру (т — 0, I фО при Н = 0), если коэффи-
коэффициент а изменит знак, а а1 останется равным нулю в точке фазового перехода (и ниже)
и если пренебрежем членом с d. Если этот член принять во внимание, то минимуму Ф,
кроме чисто антиферромагнитной структуры, может соответствовать и структура
с т ф 0, т. е. слабый ферромагнетизм релятивистской природы. Действительног
минимум Ф при заданном I (и при Я = 0 и е = / = 0) определяется уравнениями
Xlz; \
z = 0; J ^
где X —лагранжев множитель. Система B2.225) имеет решения:
A) т = 0, 1х = 1у==0- B2.226)
B) Zz = 0, тг = 0, тх=~1у, ту = -^-1х. B2.227)
В состоянии A) спины ионов направлены по оси [111] и ферромагнетизм отсутствует
(т = 0). В состоянии B) спины лежат в плоскости A11) (ибо lz = mz = 0) и в этой
плоскости возникает самопроизвольная намагниченность т, перпендикулярная оси
антиферромагнетизма I, величины т = (| d |/a4) I (at > 0); \d \ — релятивистская
энергия, а at — обменная (электростатическая), поэтому т/1 « | d |/a4 « 10~2 —10~5;
это подтверждается на опыте. Для определения ориентации I и т в плоскости A11)
необходимо принять во внимание инварианты более высокого порядка в 1Х и 1у, кото-
которые определяют магнитную анизотропию в плоскости A11).
Наоборот, если в точке фазового перехода коэффициент а1 меняет знак, а а > О
в обоих фазах, то минимуму Ф соответствует ферромагнитное состояние (т Ф 0, I = 0)
обычного обменного типа, если не учитывать член с d. Если же его учитывать, то можно
ожидать примесь слабого антиферромагнетизма релятивистского типа. Действительног
в этом случае вместо B2.226) и B2.227) будем иметь решения:
A) 1 = 0; тж=тг/ = 0; B2.226а)
B) тг = гг=0, lx=.-±-mv, ly = -^-mx, B2.227а)
если определять минимум B2.224) при данном т и при Д"=е = / = 0. В состоянии A)
мы имеем ферромагнетизм с осью легкого намагничивания вдоль [111] без примеси сла-
слабого антиферромагнетизма. В состоянии B) ось легкого намагничивания лежит в пло-
плоскости A11) (ее ориентация в этой плоскости может быть определена при учете членов
высокого порядка относительно тх и ту), но намагниченности подрешеток /4 и 12
несколько неколлинеарны. Практически этот эффект сводится лишь к тому, что он
может служить одной из причин неравенства самопроизвольной намагниченности свое-
своему номинальному значению.
Фактически из двух структур A) и B) реализуется та, для которой Ф имеет наи-
наименьшее значение. Подставляя решение B2.226) и B2.227) в B2.224), получаем
y^^ т^х/4- B2-228>
Определяя минимум этих выражений по Z2, находим
Ь B2-229)
*) В связи с введением члена B2.222) заметим, что, например, поворот вокруг
оси м2, принятой за ось х, переставляет индексы подрешеток 1 и 2, кроме того, этот
поворот изменяет знаки т1у и т2у- Поэтому в целом выражение B2.222) при этой опе-
операции симметрии остается инвариантным. Аналогично обстоит дело и по отношению
к другим операциям симметрии. Ось z направлена вдоль [111].
— 754 —

Поскольку b^sd^a, aj,.To в первом приближении имеем
Таким образом, реализация того или иного состояния определяется знаком «константы»
анизотропии b (в данном случае а < 0). Сравнивая этот вывод с данными опыта, мож-
можно сказать, что в интервале 250° К <J T <J 950° К Ъ > 0 и имеет место решение B)
со слабым ферромагнетизмом, а при 0° К <J Т <Г. 250° К Ъ <. 0 и имеет место случай
чистого антиферромагнетизма.
Вблизи точки Нееля 0дг температурная зависимость а имеет вид а « а (Т — 0N)
(см. гл. 18) и, следовательно,
у/2 Ш(АI/2у2 B2.231)
Дзялошинский [13] исследовал также температурную зависимость I и m во всем интер-
интервале от 950° К до 250° К, а также и фазовый переход из состояния слабого ферромагне-
ферромагнетизма в состояние чистого антиферромагнетизма при 250° К, который оказывается
фазовым переходом первого рода.
Учитывая член с Я" в B2.224), Дзялошинский исследовал поведение a-Fe2O3
в магнитном поле.
Дополнительный член B2.222) в гамильтониане был введен чисто феноменологи-
феноменологически. Было определено два возможных физических механизма, лежащих в основе
взаимодействия, описываемого этим оператором энергии. Первый из них предполагает
наличие в кристалле двух неэквивалентных узлов, занятых магнитными ионами. Поле
лигандов для них будет различным. Тогда это поле вместе со спин-орбитальной связью
создаст, как правило, две непараллельные оси кристаллической анизотропии для ионов
в этих двух узлах. Согласно Мориа [368, 369], этот случай реализуется, например,
в кристалле NiF2.
Второй механизм возникает из комбинации эффектов спин-орбитальной и косвен-
косвенной обменной связи. Расчет для кристаллов с низкой симметрией [368, 369, 422] при-
приводит к появлению анизотропной связи спинов типа
D[SVS2], B2.222а)
совпадающего с B2.222), где D — векторный энергетический параметр. По мнению
Тревеса [423] это антисимметричное косвенное взаимодействие, по-видимому, ответ-
ответственно за слабый ферромагнетизм в a-Fe2O3 и в некоторых ортоферритах. Обоим этим
типам связи благоприятствует существование высокой точки Нееля, т. е. сильно элек-
электростатической обменной связи.
Вонсовский и Свирский [28] обратили внимание на то, что косвенное обменное
взаимодействие типа B2.222) связано с изменением мультиплетности магнитно актив-
активных ионов (см. также работы Эрдёша [424] и Цинадера [425]).
Имеется ряд работ по переходу из антиферромагнитного в слабоферромагнитное
состояние (см., например, Цинадер и Штрикман [426]) *).
3. Спиновые волны в слабых ферромагнетиках. Боровик-Романов
[365J и Туров [255] обобщили теорию спиновых волн (гл. 19) на случай
слабого ферромагнетизма. В работе Боровика-Романова и Орловой [361]
была также отмечена возможность другого типа слабого ферромагнетизма,
обусловленного слабой неполной компенсацией коллинеарных намагни-
ченностей подрешеток основной антиферромагнитной структуры. Это
может иметь место в ферримагнитных соединениях с магнитными подрешет-
ками, построенными из магнитных ионов различной природы таким
образом, что NiSi = N2S2, но gt Ф g2 (здесь Nj — число ионов, Sj —
спин и gj — g-фактор иона подрешетки j = 1, 2). То же может иметь место
и при одинаковых ионах, g-факторы которых тем не менее различны, если
эти ионы в разных подрешетках занимают неэквивалентные узлы с различ-
различным «окружением». Этот случай слабого ферромагнетизма можно назвать
«продольным'» слабым ферромагнетизмом (Туров [255]), поскольку здесь
т || I || А, , в отличие от рассмотренного ранее «поперечного» слабого
ферромагнетизма, возникающего из-за неколлинеарности намагниченно-
стей подрешеток (ж ± I \\ А).
Теорию спиновых волн для одноосного «поперечного» слабого фер-
ферромагнетизма можно построить по общей схеме (см. § 10), используя
*) Вопрос о фазовом переходе из слабого ферромагнитного в антиферромагнитное
•состояние рассмотрен также в работах Кацера и Шальниковой [427], Фландерса
и Штрикмана [428] и др. [429—438].
- 755 — 48*

гамильтониан B2.199) с добавлением члена B2.222). Выберем ось z вдоль
оси симметрии кристалла, подрешетки будем считать эквивалентными
(?<ш = 5<22> = В; А{^=--А{2т = Ах)' и опустим члены с #_,• и
(i, к = 1, 2); тогда при выполнении условий
и при поле Н, лежащем в базисной плоскости (ху), основному состоянию
системы, которое находим из условия минимума $?§, соответствуют одно-
однородные намагниченности подрешеток /10 и J2o- Они лежат в той же плос-
плоскости почти антипараллельно друг другу и лишь немного отклоняются
от оси антиферромагнетизма Д = J10 — /2о- Это отклонение характери-
характеризуется углом •&, определяемым соотношением
B2-232)
В числителе B2.232) стоят малые магнитные энергии D и /0Я, а в знаме-
знаменателе — большая обменная энергия Ааг>; поэтому угол ¦§ действительно
мал. Поскольку в гамильтониане B2.199) не учтены «магнитные» члены,
описывающие магнитную анизотропию в плоскости базиса, то положение
оси антиферромагнетизма Д определяется внешним полем Н, которое
параллельно вектору т и перпендикулярно 11| А, Из B2.232) следует,
что величина вектора т равна (при Т = 0° К)
m @, Я) = 2 sin ¦& = 2 я^+я , B2.233)
где НЕ = 2Aai>/I0 — эффективное поле обменного взаимодействия («106—
—107 э) Нд = DII0 — эффективное поле (Дзялощинского) внутренних
магнитных взаимодействий («103—104э), которое и определяет в данном
случае существование самопроизвольной намагниченности (при Н = 0
и Т = 0° К), равной
ms@) = 2^- B2.234)
п Е
и составляющей 0,01—1% от величины намагниченности /0 подрешеток
основной антиферромагнитной структуры.
Рассматривая слабые колебания намагниченностей подрешеток
/\Jj = Ij — Ijo (/ = 1,2) около своих равновесных положений, можно по
общей схеме получить [255, 365] энергии для двух ветвей спиновых волн:
gw (к) = {\i2 (Яд +Н)Н + А2Щ1/2, B2.235)
%Ы (к) = {pi2 [Щ + Яд (Яд + Н)] +А***}1/2, B2.236)
где *) ц=-гцБ, ^2 = 2Л<12> (В-ВЧ*>)у*/Р0, Яо= [2А«*> (Аг-А™)\Ч*Ц0.
Любопытно отметить, что между этими двумя ветвями имеется отли-
отличие, а именно в отсутствие внешнего поля (Я = 0) в ветви B2.235) нет
энергетической щели (Д^^^о) ~ 0) **), а во второй ветви щель есть
ДЩЯ Я))
^М д))
Используя законы дисперсии B2.235) и B2.236), можно определить
термодинамический потенциал спиновых волн О, [см., например A9.111)]
и вычислить термодинамические величины спин-системы слабых ферро-
ферромагнетиков поперечного типа. Стандартный расчет для области темпера-
температур цЯ0 < квТ < къвн дает
B2.237)
*) Поле #0 является также характеристическим полем (наряду с НЕ и Яд)
порядка 104—105 э, которое равно среднему геометрическому из поля обменных сил
НЕ и поля магнитной анизотропии На =* (Az — 4<Х2>)//0, т. е. Hq = ~[/HEHj^.
**) Конечно, при учете анизотропии в базисной плоскости и в первой ветви
спектра при И = 0 появится энергетическая щель, но ее величина будет по крайней
мере на один-два порядка меньше, чем A^jf/я=о) * ^ ^° ^ ^)
- 756 —

где для самопроизвольной намагниченности Is (T) имеем
/,(Г) = 2/0^A-^), а = -^§-, B2.238)
а для магнитной восприимчивости % (Т):
^-{1-аТ2). B2.239)
Если поле Но велико: \iH0 ^> k&T ^> \iH, \iHr, to в формуле B2.238)
коэффициент а заменяется на а/2.
Из B2.238) мы видим, что /s (T) в случае слабого ферромагнетизма
«поперечного» типа в области низких температур подчиняется закону Т2,
а не Г3/2. Тем же путем можно получить формулу для магнитной тепло-
теплоемкости [см. A9.116)], которая в данном случае подчиняется закону Т3.
Боровик-Романов и Орлова [361] для поликристаллов МпСОз и СоСО3
и Боровик-Романов [365] для монокристаллов МпСО3 измерили темпера-
температурную зависимость Is (T) и % (Т). Эти опыты подтвердили справедли-
справедливость теоретического закона Т2 для /s (T) по B2.238). Однако для % (Г)
пока еще не было получено согласия с теоретическим предсказанием
B2.239) *). При более детальной проверке теории необходимо распро-
распространить измерения на область более низких температур для совместного
измерения /s, %, Cm и резонансных частот на одном и том же образце **).
Теория процессов намагничивания в слабых феромагнетиках ромбиче-
ромбической симметрии рассмотрели Мицек и Колмакова [439].
4. «Продольный слабый ферромагнетизм». Рассмотрим еще случай
«продольного» слабого ферромагнетизма. Следуя работе Турова [255],
рассмотрим сначала общий случай ферромагнетика с двумя магнитными
подрешетками (/10 ф /20) с коллинеарным расположением намагничен-
ностей Ij0. Гамильтониан такой системы без учета магнитных членов,
согласно B2.199), имеют вид
= А<12> (т, • ш2) + у ВМсР (Vmla • Vmja) + i- В^а2 (Vm2a ¦ Vm2a)
(Vmla • Vm2a) - (/#, + I20m2) ¦ H. B2.240)
Результирующая намагниченность пг = Ilo — _Г20 направлена вдоль поля
H при Т = 0° К, если Аа2) >0и /10 > /20. Спектр спиновых волн фер-
римагнетика с двумя подрешетками, рассчитанный стандартным спосо-
способом [см. Туров A963), а также B2.139)] имеет вид
_ e22J1/2 ± J^iZ^L, B2.241)
где
е} = М- (Л<12> + S(")yt2) + (- l)i''\ij Ш), е19 =
'Ю'го
B2.242)
Легко видеть, что линейный закон дисперсии (Ш ~ к) для спиновых волн
(при /Г = 0) будет иметь место при выполнении условия
i"- = Jll, B2.243)
*) Возможно, что это есть результат недостаточной точности измерений %(Т).
Высказываются также предположения [365], что расхождение в коэффициентах тем-
температурной зависимости в формулах для /8 (Л и X (Л есть следствие неудовлетвори-
неудовлетворительности теории спиновых волн. Согласно высказыванию Дзялошинского (см. ука-
указание в работе [365]), в излагаемой феноменологической теории антиферромагнетизма
содержится неявное модельное предположение о независимости абсолютных величин
векторов Ijo от внешнего магнитного поля, которое лишь «поворачивает» эти векторы
относительно их равновесных положений в кристалле, соответствующих «естественно-
«естественному» состоянию при Н = 0.
**) В работе Турова и Найша [380] развита теория слабого ферромагнетизма для
редкоземельных ортоферритов (случай магнитно-многоосных кристаллов), экспери-
экспериментально исследованных Бозортом и др. [355] (см. также [573 — 578]).
- 757 —

характерного для обычного антиферромагнетика. Это равенство допускает
наличие самопроизвольной намагниченности
/s@) = /10-/20 = -^/0, B2.244)
где Дц = A/2) (\xt — ц2), ц=A/2) (м^ + Ца) и /0 = A/2) (Ло+^о)- Таким
образом, с одной стороны, мы имеем дело со скомпенсированным антифер-
антиферромагнетизмом, ибо //o/fi/ = NjSj и, следовательно, согласно B2.243),
NiSi = N2S2- С другой стороны, имеет место слабый «продольный»
ферромагнетизм, обусловленный неравенством g-факторов магнитных
ионов разных подрешеток (gt =/= g2)- Если ограничиться для простоты
случаем ?(")= Б<22), то закон дисперсии B2.241) примет вид
-^-НЕН + (^~У Н*\ + А*к2у/2 ± рН. B2.245)
Как следует из теории обычного антиферромагнетизма, рассмотренное вы-
выше состояние с Н || А устойчиво лишь в полях #<;(Д^/ц,)#Е. Это усло-
условие изменится, если учесть энергию магнитной анизотропии ~\у,НА.
Стандартный расчет температурной зависимости намагниченности
при къТ > [цДц#Е#]х/2 дает
B2.246)
где
^[(^)] B2.247)
и восприимчивость % (аналогичная Х|| в обычных антиферромагнетиках)
равна
%(Г)= **м?* • B2-248)
Следовательно, в случае продольного слабого ферромагнетизма, как и для
поперечногоч случая, IS(T) подчиняется закону Т2, а не закону J3/2.
Заметим, что часть намагниченности B2.247), зависящая от Т,
должна изменять знак при поле Н = (^^
5. Пьезомагнетизм и магнетоэлектрический эффект в антиферромаг-
антиферромагнетиках. Возможность существования или отсутствия слабого ферромаг-
ферромагнетизма в антиферромагнетиках одного и того же кристаллографического
класса зависит от магнитной симметрии. Поэтому упругая деформация
антиферромагнитного кристалла (не обладавшего ранее слабым ферро-
ферромагнетизмом), приводящая к изменению его магнитной симметрии, может
в принципе привести к появлению самопроизвольного магнитного момен-
момента, т. е. будет наблюдаться пьезомагнетизм. Возможность существования
пьезомагнетизма и магнетоэлектрического эффекта (т. е. возникновение
намагниченности под влиянием электрического поля) в некоторых кристал-
кристаллах, обладающих атомной магнитной структурой и поэтому не имеющих
среди элементов симметрии элемента R (т. е. изменения знака времени) *),
отмечали Ландау и Лифпшц A957) и Тавгер и Зайцев [350]. Дзялошин-
ский [441, 442] рассмотрел несколько конкретных примеров антиферро-
антиферромагнитных веществ, в которых может возникнуть пьезомагнетизм или
магнетоэлектрический эффект. Тавгер [443] и Ле Корре [444] нашли тен-
тензоры пьезомагнетизма для всех классов магнитной симметрии антифер-
ромагнети.ков.
*) Фохт [440] определил все кристаллографические классы, в которых, по его
мнению, из соображений симметрии возможен пьезомагнетизм. Однако его рассмотре-
рассмотрение оказалось ошибочным, так как он не учитывал элемента симметрии R.
— 758 —

Пьезомагнетизм впервые был экспериментально обнаружен Борови-
Боровиком-Романовым [445] в кристаллах GoF2 и MnF2. В этих работах была
развита также термодинамическая теория пьезомагнетизма, подобная
теории Дзялошинского для слабого ферромагнетизма. Расчет пьезомагнит-
ного коэффициента для GoF2 провел Мориа [446]. Андрацкий и Боровик-
Романов [447] наблюдали пьезомагнетизм также в cc-Fe2O3, Филлипс
и др. [448] в GoF2 и в cc-Fe2O3, Грейфер в ферритах [449].
Ландау и Лифшиц A957) указали, что если магнитная симметрия
кристалла допускает в термодинамическом потенциале смешанные члены
порядка Н -Е, где Н и Е — соответственно векторы магнитного и элек-
электрического поля, то при помещении такого кристалла в электрическое
или магнитное поле в нем соответственно должен возникнуть пропорцио-
пропорциональный полю магнитный или электрический момент. Дзялошинский [442]
нашел, что такими свойствами из известных пока антиферромагнети-
антиферромагнетиков обладает лишь кристалл Сг2О3. Действительно, Астров [450],
Фолен и др. [451, 452] обнаружили магнетоэлектрический эффект в
Сг2О3.
Несколько позднее Альшин и Астров [453] нашли этот эффект также
в антиферромагнетике Ti2O3, Фонер и Ханабуса [454] — в Сг2О3 — А12О3,
Радо [455] — в ферромагнитных соединениях системы Ga2_xFex05. Штрик-
ман и Тревес [456] нашли магнетоэлектрический эффект в поликри-
поликристаллических образцах Сг2О3, охлаждая образец через точку Нееля
в присутствии параллельных магнитного и электрического полей. Эффект
был также обнаружен в ЫМпРО4 [457], ТЬА1О3 [458]. О'Делл [459],
используя технику магнитных импульсов для измерения этого эффекта
в керамических дисках из окиси хрома, показал возможность использо-
использования магнетоэлектрических материалов как элементов памяти в элект-
электронных вычислительных машинах. Вопросы теории магнетоэлектрического
эффекта рассмотрены также в работах [460—467].
Самохвалов [468], Фанг и Броуэр [469] наблюдали аномалию в темпе-
температурном ходе диэлектрической проницаемости Сг2О3 вблизи точки Нееля.
По мнению Лала и др. [470], эта аномалия вызвана магнетоэлектрическим
эффектом. Атомный механизм этого эффекта рассмотрен в работах
Радо [471], а также в работе Дате и др. [472]. За подробностями отсылаем
читателя к цитированным выше оригинальным работам (см. также [473, 474]).
§ 12. Антиферромагнетики со слоистой структурой
и метамагнетизм
1. Кристаллы со слоистой структурой. Среди антиферромагнитных
веществ можно выделить особый класс соединений, в первую очередь
безводные галогениды переходных d-металлов. Эти вещества обладают
слоистой кристаллографической структурой, которая имеет вид после-
последовательно чередующихся двумерных слоев ионов d-металлов и галлои-
дов. При этом между двумя ближайшими слоями металлических ионов
расположены по два слоя галоидов. Обменная d — d-связь в плоскости
металлического слоя носит ферромагнитный характер, поэтому слои ионов
d-металлов представляют собой двумерные ферромагнетики. Между
собой соседние слои связаны гораздо более слабыми магнитными диполь-
ными или обменными силами антиферромагнитного типа или и теми
и другими. Связь между двумя соседними слоями галоидов заметно слабее
связи соседних галоидного и металлического слоев, а также связей внутри
слоев (Пинскер [475]). В бромидах и иодидах нормально к плоскости слоев
направлена ось шестого порядка, а в хлоридах — ось третьего порядка.
Ландау [5] впервые высказал идею о существовании такой магнитной
структуры и развил термодинамическую теорию подобных антиферромагне-
антиферромагнетиков. Позднее нейтронографические исследования подтвердили сущест-
— 759 —

ФМ
\
¦ 1,0
1,5
2,0
Рис. 22.46. Фазовая диаграмма для критических
полей антиферромагнетика на плоскости а = ИА/НЕ,
ад=Н/НЕ при 0° К. АФМ — область антиферромаг-
антиферромагнитной фазы; ФМ — ферромагнитной и ОР — оп-
опрокидывания подрешеток.
вование таких магнитных структур: например, в МпВг2 [476], в Mnl2 [477],
в FeBr2, FeCl2, GoBr2 и GoGl2 [166], в MnCl2 [478], в СоС13 и FeCl3 [470].
В FeGl3, FeBr2 и GoGl2, GoBr2 имеется самая простая структура —
магнитные моменты соседних металлических слоев антипараллельны.
В других соединениях наблюдаются более сложные структуры. В FeCl2
и FeBr2 магнитные моменты ионов направлены вдоль гексагональной
оси кристалла, а в СоС12 и СоВг2 моменты лежат в плоскости слоя.
Физические свойства слоистых антиферромагнетиков на поликристал-
поликристаллических образцах впервые исследовали Трапезникова и Шубников [480,
481] и Шалыт [482]. Они обнаружили аномалии теплоемкости и максимум
восприимчивости при переходе
в антиферромагнитное состоя-
состояние. Затем были начаты иссле-
исследования на монокристаллах,
позволяющие выяснить многие
тонкие черты в магнитных свой-
свойствах этих веществ (см., напри-
например, работы [483, 484]).
Благодаря слабой связи
между слоями и не очень боль-
большой магнитной анизотропии
в плоскости самих слоев, от-
относительно малые внешние
магнитные поля могут легко
превратить слоистый антифер-
антиферромагнитный «сэндвич» в одно-
однородно нагманиченный ферромагнетик. Благодаря этой особенности эти
вещества (не совсем обоснованно) иногда называют метамагнетиками.
Детальную теорию для слоистых антиферромагнетиков СоС12 и NiCl2
с использованием техники функций Грина развил Лайнес [227, 485]
(см. также работу [486]).
2. Метамагнетизм. В настоящее время термин матамагнетизм приме-
применяется к веществам, магнитные свойства которых удовлетворяют более
жестким условиям, чем просто принадлежность к группе слоистых анти-
антиферромагнетиков. Метамагнетиками называют такие вещества, в которых
выполняется условие
НА>НЕ. B2.249)
Это условие означает, что эффективное поле магнитной анизотропии равно
или больше эффективного поля обменного взаимодействия. Благодаря
этому условию в тех веществах, где оно выполняется, отсутствует явление
опрокидывания магнитных подрешеток. На рис. 22.46 представлена
фазовая диаграмма в координатах (а = НА1НЕ и ан = Н1НЕ) при 0° К
(см. Неель [487], Канамори [488] и Кеффер [206]). Из графика видно, чта
при а < 1 (т. е. при НА < НЕ) всегда существует фаза с опрокинутыми
подрешетками — ОР (между фазовыми линиями 1 и 3). Переход из анти-
антиферромагнитной фазы АФМ в ОР-фазу может задержаться. Это явление
аналогично перегреву при фазовом переходе первого рода, например
при плавлении. Также может задержаться и переход из ОР в АФМ.
На рис. 22.46 это показано соответственно линиями 2 и 4. При а > 1,
т. е. когда выполнено условие B2.249), фаза ОР отсутствует. С ростом
внешнего поля при ан ^ 1 АФМ-фаза превращается в ФМ-фазу, т. е.
в ферромагнетик (во внешнем поле). Таким образом, на фазовой диаграмме
рис. 22.46 область с a ^> 1 является областью существования метамагнит-
ного состояния.
Типичное поведение для метамагнетиков во внешнем магнитном поле
иллюстрируется кривыми намагничивания, приведенными на рис. 22.47
для метамагнетика FeBr2 по данным работы Джекобса и Лауренса [489].
- 760 —

120
100
80
60
40
20
/
—f*—
. /
2
FeBr2
120
160 200
Н0,пэ
Рис. 22.47. Кривые намагничивания FeBr2. l — в
метамагнитном состоянии (при 4,2° К) иг — в.
парамагнитном состоянии (при 20,4° К).
Видно, что при внешнем поле Н « 40 кэ (при 4,2° К) в FeBr2 быстро, но
без скачка достигается ферромагнитное состояние. Кривая, снятая при
20,4° К (выше точки Нееля 0^ = 11° К), имеет вид, типичный для пара-
парамагнетика. Быстрый рост намагниченности на кривой для Т = 4,2° К,
очевидно, наступает при ан = 1. когда фазовая кривая 5 на рис. 22.46
пересекается с кривой 2. В этом 1гс
случае магнитный гистерезис не на- '"" ~
блюдается.
Метамагнетизм твердо уста-
установлен в FeCl2 [165, 490, 491], в
FeBr2 [489], в FeCO3 [492]. Возмож-
Возможно, что к этому классу магнетиков
принадлежат соединения СоС12,
ШС12 и Ni(NO3J -2H2O [493], а так-
также СоС12.2Н2О,СоВг2.2Н2О [494,
495] и NaNiO2 [496]. Наконец, к
этому классу можно отнести неко-
некоторые редкоземельные соединения,
например GdN, TbN, DyN, HoN,
ErN, TbAs, DyAs, HoAs, ErAs,
DyP, HoP, DySb, HoSb [497-499],
а также MnP [500, 501], MnAu2 [502—504] и магнетит [505]. Самохвалов
и др. [506] (см. также [507]) установили метамагнитные свойства
в Еи3О4 (с ®N = 5,3° К). Кристалл Ёи3О4 имеет ромбическую ячейку
(пространственная группа DmPnam); вдоль оси с линейные цепочки спи-
спинов ионов Еи2+ связаны ферромагнитно (по-видимому имеет место прямой
d — d-обмен между 5й-слоями). Эти цепочки связаны между собой анти-
ферромагнитно либо диполь-дипольной связью, либо косвенным обменным
взаимодействием через анионы кислорода. Метамагнетизм обнаружен
также в ЕгО3 [508], RbFeF3 [509], AgCr2S4 [510], TbA103 [511].
Теорию метамагнетизма развивали Неель [187, 487, 512], Канамори
[488] и Хип [513] (см. также работы [584 — 587] и обзор Фогта [514]).
§ 13. Антиферромагнитные металлы
Среди антиферромагнитных веществ особую группу занимают анти-
антиферромагнетики с маталлической проводимостью. В гл. 20 и 21 мы уже
касались этого вопроса. Здесь будет дана краткая сводка важнейших
сведений об этой группе антиферромагнетиков. Ее в свою очередь можно
разбить на следующие подгруппы:
1. Чистые антиферромагнитные d-металлы (например, Cr, a-Mn, ^-Fe).
2. Чистые антиферромагнитные /-металлы (например, Се, Nd, Pr).
3. Интерметаллические соединения (например, MnAu2).
4. Сильно разбавленные сплавы d- и /-металлов в диамагнитных
матрицах (Си, Ag, Аи и т. п.).
Магнитные свойства редкоземельных 4/-металлов рассмотрены в гл. 20,
а разбавленных растворов d- и /-ионов в диамагнитных матрицах — в гл. 21,
поэтому мы не будем на них останавливаться. Затронем лишь вопрос
о чистых антиферромагнитных d-металлах.
В группе d-металлов антиферромагнетизм определенно обнаружен
только в двух случаях — в Сг и а-Мп.
При изучении Сг обнаружено [515], что его парамагнитная восприим-
восприимчивость имеет небольшой положительный температурный коэффициент до
достаточно высоких температур (см. гл. 11), что как будто бы указывала
на наличие антиферромагнетизма. Затем были найдены аномалии различ-
различных физических величин Сг *) (теплоемкость, электросопротивление, теп-
*) Подробную сводку литературных источников см. в обзоре Арротта [516J
и монографии Сулли [517].
- 761 —

ловое расширение, термо-э.д.с, затухание механических колебаний и др.)
вблизи Т = 312° К. Эту температуру и следует считать точкой Нееля для
чистого кристалла Сг. Сначала некоторое время в этом не было уверенно-
уверенности, и различные, например нейтронографические, исследования приводи-
приводили к разным результатам. Это, как потом оказалось, было связано с резкой
чувствительностью магнитных свойств Сг ко всяким нарушениям идеаль-
идеальности его кристаллической структуры (примеси, дислокации, внутренние
напряжения и т. п.).
Нейтронографические исследования на монокристаллах, проведен-
проведенные Быковым и др. [518], а также Корлиссом и др. [519], дали независимо
согласующиеся результаты, а именно величину 0^ = 312° К и очень малую
намагниченность подрешеток («0,5 ^в/атом), примерно в 10 раз мень-
меньшую номинальной. В этих работах также наблюдались расщепления
магнитных пиков на нейтронограммах. Это указывало на то, что магнит-
магнитная структура хрома имеет геликоидальный вид (см. гл. 20). Согласно
Оверхаузеру [520] (см. также [521—524] в Сг реализуются статические
волны спиновой плотности, о которых речь уже шла выше (см. гл. 11, 20,21).
К сожалению, пока еще нет полной ясности в вопросе об истинной приро-
природе магнитной структуры Сг.
Не менее сложным является вопрос о магнитной структуре антифер-
антиферромагнитного а-Mn (см. обзор Арротта [516]).
Кондорский и Седов [525] измеряли температурный ход %пм аусте-
нитной стали со структурой у-?е и нашли максимум %пМ при Т « 40° К,
который свидетельствует об антиферромагнитном переходе. На основании
этого результата авторы пришли к заключению, что если бы можно было
переохладить ^-фазу Fe до весьма низких температур, то в ней также был
бы обнаружен антиферромагнетизм. Еще одним подтверждением этого
вывода может служить работа Абрагамса и др. [526], в которой с помощью
нейтронной дифракции при температуре жидкого гелия исследовались
когерентные выделения у-?е в монокристалле сплава Си — Fe. Было най-
найдено два магнитных пика и по их температурной зависимости в интер-
интервале 1,3—4,6° К экстраполяцией была определена точка Нееля 6^ = 8° К,
для атомного магнитного момента получено значение порядка 0,7 ^,Б.
В заключение укажем, что, помимо гипотезы Оверхаузера о сущест-
существовании волн спиновой плотности в антиферромагнитных d-металлах,
Дзялошинский [527] отметил возможность иной природы неколлинеарной
магнитной структуры. В этой работе рассмотрен механизм образования
длиннопериодных винтовых магнитных сверхструктур в антиферромагне-
антиферромагнетиках, связанный с тем, что средняя плотность спинового магнитного
момента может благодаря каким-то физическим причинам оказаться
«нелокализованной», т. е. иметь максимумы не только в узлах, занятых
магнитными ионами. Большая величина периода сверхструктуры обус-
обусловлена тем, что в реальных антиферромагнитных d-металлах «нелокали-
зованная» часть плотности магнитного момента всегда мала по сравнению
с ее «локализованной» частью.
Дзялошинский [339] также указывает, что электронный магнетизм
типа волн спиновой плотности, если бы он возник за счет обменных вза-
взаимодействий, то точка Нееля для него определялась бы энергией порядка
энергии вырождения ?0. Поскольку наблюдаемые ®N ^ ?0/&б, то, по мне-
мнению Дзялошинского, этот механизм не реализуется в реальных d-металлах.
§ 14. Ферромагнетизм и антиферромагнетизм
соединений элементов группы урана
В гл. 20 рассматривались магнитные свойства 4/-металлов, в гл. 21 —
их сплавов, а в гл. 22— их соединений. За последнее время внимание
исследователей привлекают также магнитные свойства соединений актини-
актинидов и в первую очередь соединений U. Особые магнитные свойства этих
- 762 -

веществ обусловлены наличием в атомах группы актинидов недостроенных
5/- и 6й-слоев электронной оболочки. Здесь, однако, нельзя ожидать пол-
полной аналогии с 4/-металлами, поскольку 5/-слой, особенно для атомов
.элементов начала семейства актинидов, гораздо слабее экранирован наруж-
наружными электронными слоями оболочки, чем 4/-слой в РЗМ.
Наиболее полный обзор исследований магнитных свойств урановых
-соединений дал Тржебьятовский [528] (см. также [529]), где приведена
также библиография оригинальных работ до начала 1957 г.
Из опыта известно, что чистый металлический U является типичным
паулиевским парамагнетиком с %пм » 1,7«10~в и с d%nM/djT > О [530].
Ферромагнетизм в соединениях U впервые наблюдали в a-UH3,
P-U3H3 и в p-UD3 со структурами типа BiF3 и |3-W (Тржебьятовский
и др. [531—534, 536]). Ферромагнетизм был также обнаружен в гидридах
и дейтеридах Ри [535].
В качестве примера приведем некоторые данные для соединений U
-с элементами VA группы и VL4 группы, которые имеют структуру решет-
решетки типа NaCl и являются соответственно антиферро- и ферромагнитными
.(см. табл. 22.5).
Таблица 22.5
Магнитные свойства соединений урана (структура типа NaCl)
Соедине-
Соединение
UC*)
UN
UP
UAs
USb
UBi
US
USe
UTe
•)E
U—U
расстоя-
расстояние, Л
4,16
,3,45
U,8835
3,94
4,08
4,38
4,55
f 3,88
I -
{ =
4,06
4,35
Эффективный
магнитный
момент, цд
2,95
2,96
3,00
3,31
3,56
3,54
3;85
4,06
2,46
2,25
2,22
2,51
2,87
епм- °к
-2,35
—205
—310
+36
+3
+32
+95
+115
+173
+185
+188
+105
соединении UC обнаружен лишь i
0, °К
—
—
—
—
180
178
182
178
180
183
105
0,v, "К
52±1
53+2
130
123
182
213
290
—
—
—
Литера-
Литература
[536, 537]
[538]
[539]
[540]
[541]
[542]
[543, 544]
[543]
[545]
[540]
[541]
[547]
[548]
[549]
[550]
[551]
таулиевский парамагнетизм.
Кроме соединений урана и плутония, исследовались также магнит-
магнитные свойства соединений тория [552—555], нептуния [556].
За всеми подробностями о магнитных и других физических свойствах
отсылаем читателей к цитированной оригинальной литературе (см. так-
также [557-561]).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 22
1. Т. N a g a m i у a, R. Ku bo, К. Y о s i d a, Adv. Phys. 4, 1 A955).
2. H. L a b h а г t, Zs. angew. Math. Phys. 4, 1 A953); перевод в сб. «Антиферромаг-
«Антиферромагнетизм», ИЛ, 1956, под ред. С. В. Вонсовского.
¦3. А. С. Боровик-Романов, «Антиферромагнетизм», Сб. «Итоги науки»,
вып. 4, стр. 7, Изд-во АН СССР, 1962.
- 763 -

4. С. В. В о н с о в с к и й, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 312 A954).
5. Л. Д. Ландау, Phys. Zs. UdSSR 4, 675 A933).
6. L. N ё е 1, Ann. de phys. 17, 61 A932).
7. L. N ё e 1, Ann. de phys. 5, 232 A936).
8. E.J.W. Verwey, Nature 144, 327 A939).
9. E.J.W.Verwey, J.H.deBoe r, Rec. trav. Chim. Pays. Bas. 55, 531 A936),
10. E. J. W. V e г w e y, E. L. H e i 1 m a n n, J. Chem. Phys. 15, 174 A947).
11. E. I.W.Verwey, P. W. H a a i j m a n, E. С Romeijn, J. Chem. Phys.
15, 181 A947); Phillips Techn. Runds. 9, 239 A947).
12. Y. Y a f e t, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 87, 290 A952).
13. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 32, 1547 A957).
14. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 33, 1454 A957).
15. С. В. В о н с о в с к и й, ДАН СССР 26, 364 A940).
16. В. Е. Рудницкий, ЖЭТФ 10, 63 A940).
17. F. В i t t e r, Phys. Rev. 54, 79 A938).
18. P. W. A n d е г s о n, Phys. Rev. 83, 1260 A951).
19. P. W. A n d e г s о n, Phys. Rev. 86, 694 A952).
20. P.Weiss, Phys. Rev. 74, 1493 A948).
21. H. В е t h e, Zs. Phys. 71, 205 A931).
22. L. Hulthen, Ark. Mat. Astr. Fys. 26A, № 1 A938).
23. J. С Fisher, J. Phys. Chem. Sol. 10, 44 A952).
24. J. M. Z i m a n, Proc. Phys. Soc. 65, 540, 548 A952).
25. W. Marshall, Proc. Roy. Soc. A232, 48, 69 A955).
26. J. T e s s m a n, Phys. Rev. 88, 1132 A952).
27. С. В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, ЖЭТФ 57, 251 A969).
28. С. В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, ЖЭТФ 47, 1354 A964); Письма?
ЖЭТФ 6, 697 A967); J de phys. 32, Cl-83 A971).
29. С. В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, ФММ 24, 793 A967), J. AppL
Phys. 39, 649 A968).
30. G. W. Р г a t t, Jr., Phys. Rev. 122, 489 A961).
31. D. J. T h о u 1 e s s, Proc. Phys. Soc. 90, 243 A967).
32. E. O. W о 11 a n, Phys. Rev. 117, 387 A960).
33. С G. S h u 1 1, W. A. S t г a u s e r, E. O. W о 11 a n, Phys. Rev. 83, 333 A951).
34. С G. S h u 11, E. O. W о 11 a n, W. С. К о e h 1 e r, Phys. Rev. 84, 912 A951).
35. R. A. E г i с k s о n, Phys. Rev. 90, 779 A953).
36. H. А. К г a m e г s, Physica 1, 182 A934).
37. H. В i z e t t e, Ann. de phys. 1, 87 A946).
38. L. N e e 1, Ann. de phys. 3, 137A948).
39. P. W. A n d e г s о n, Phys. Rev. 79, 350 A950).
40. P. W. A n d e г s о n, Phys. Rev. 79, 705 A950).
41. P. W. Anderson, Phys. Rev. 115, 2 A959).
42. J. H. Van V 1 e с k, J. phys. rad. 12, 262 A951).
43. M. S h i m i z u, Prog. Theor. Phys. 8, 416 A952).
44. J. Y a m a s h i t a, J. Phys. Soc. Japan 9, 339 A954); Prog. Theor. Phys. 12, 80&
A954).
45. С. В. В о н с о в с к и й, 10. М. Сеидов, ДАН СССР 107, 37 A956).
46. J. Y a m a s h i t a, J. К о n d о, Phys. Rev. 109, 730 A958).
47. J. К ondo, Prog. Theor. Phys. 18, 541 A957).
48. J. К о n d o, Prog. Theor. Phys. 22, 41, 819 A959).
49. J. К a n a m о г i, Prog. Theor. Phys. 17, 177, 197 A957).
50. I.Kanamori, J. Phys. Chem. Sol. 10, 87 A959).
51. F.Keffer, T.Oguchi, Phys. Rev. 115, 1428 A959).
52. S. К о i d e, K. P. S i n h a, Y. T a n a b e, Prog. Theor. Phys. 22, 647 A959).
53. R. R: N e s b e t, Ann. of Phys. 4, 87 A958).
54. R. R. Nesbet, Phys. Rev. 119, 658 A960).
55. Ю. М. С е и д о в, ДАН СССР 160, 803 A965).
56. J. С. S 1 a t е г, Quart. Prog. Rept. Res. Lab. Electronics, MIT, July 15, 1953, p. 1.
57. G. W. P г a t t, Jr., Phys. Rev. 97, 926 A955).
58. J. B. Goodenaugh, Phys. Rev. 100, 564 A955); J. Phys. Chem. Sol. 6,
287 A958).
59. J. B. Goodenaugh, Phys. Rev. 117, 1442 A960).
60. J. B. Goodenaugh, A. L. L о е b, Phys. Rev. 98, 391 A955).
61. С Z e n e r, Phys. Rev. 82, 403 A951).
62. P. W. Anderson, H. H a s e g a w a, Phys. Rev. 100, 675 A955).
63. P. G. de G e n n e s, Phys. Rev. 118, 141 A960).
64. P. W. Anderson, Exchange in Insulators, Сб. «Magnetism» (ed. by G. T. Rado,
H. Suhl) vol I, N.Y., 1963, p. 25.
65. P. W. Anderson, Сб. Solid State Physics vol. 14, Acad. press, N.Y. 1963,
p. 99.
66. С. В. В о н с о в с к и й, Б. В. Карпенко, Handbuch der Phys. Bd. 18/1,
Springer, Berlin, 1968, S. 265.
67. V. H a 1 p e r n, Proc. Roy. Soc. A291, 113 A966).
- 764 —

«8. R. N. Stuart, W. Marshall, Proc. Phys. Soc. 87, 749 A966).
-69. K. I. G о n d a i г a, Y. T a n a b e, J. phys. Soc. Japan, 21, 1527 A966).
70. K. W. Blazey, G. В u г n s, Phys. Rev. Lett. 15, 117 A965).
71. D. T r e v e s, M. E i b s с h ii t z, P. С о р р е n s, Phys. Lett. 18, 216 A965).
72. A. M. de Graaf, R. M. Xavier, Phys. Lett. 18, 225 A965).
73. P. M. L e v y, Phys. Rev. 147, 311 A966).
74. J. F. J a n ak, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1571 A966).
75. I. N о v i k, S. О f e r, Phys. Rev. 153, 409 A967).
76. N. L. Huang, R. О г b а с h, Phys. Rev. 154, 487 A967); J. Appl. Phys. 39,
42fi A968).
77. E. D. J о n e s, J. E. H e s s e, Phys. Rev. 154, 527 A967).
78. N. L. H u a n g, Phys. Rev. 157, 378 A967); 164, 636 A967).
79. K. Dwight, N. M e n у u k, Phys. Rev. 163, 435 A967).
:80. J. J. Pearson, G. F. Herrmann, J. Appl. Phys. 38, 1067 A967).
SI. S. K. D a y, Phil. Mag. 16, 1097 A967).
82. G. В u s с h, Helv. Phys. Acta 40, 812 A967).
83. Г. А. С м о л е н с к и й, М. П. П е т р о в, Р. В. М о с к а л е в, В. С. Л ь в о в,
В. С. Касперович, Е. В. Жирков а, ФТТ 10, 1305 A968).
84. Л. Д. Д п д у х, И. В. С т а с ю к, ФММ 26, 435 A968).
85. Ф. И. Муфтахова, И. Г. К а п л а н, А. Н. М е н ь, ДАН СССР 178, 815
A968).
86. G. М. В е 11, D. A. L a v i s, Phys. Rev. 168, 543 A968).
87. J. R. С u 11 e n, E. С a 11 e n, A. H. Luther, Phys. Rev. 170, 733 A968);
J. Appl. Phys. 39, 1105 A968).
.88. J. M. Baker, R. J. В i r g e n e a n, M. T. H u t с h i n g s, J. D. R i 1 e y,
Phys. Rev. Lett. 21, 620 A968).
89. M. B. A 11 e n s о n, K. N. R. T а у 1 о r, J. Appl. Phys. 39, 1094 A968).
¦90. R. Fatehally, N. P. Sastry, R. Nagarajan, Phys. stat. sol. 26, 91
A968).
-91. F. Hartmann-Boutron, J. Phys. 29, 212 A968).
«2. M. T i n k h a m, Proc. Roy. Soc. A236, 535, 549 A956).
•93. В. В. В 1 e a n y, Phys. Rev. 104, 1190 A956).
¦94. R. G. Shulman, V. J а с с a r i n o, Phys. Rev. 103, 1126 A956); 108, 1219
A957)
95. V. Jaccarino, R. G. Shulman, Phys. Rev. 107, 1196A957).
•96. R. S e r b e r, Phys. Rev. 45, 461 A934).
97. E. O. W oil an, W. С. К о e h 1 e r, Phys. Rev. 100, 544 A955).
98. G. H. Jonker, J. H. van S a n t e n, Physica 16, 337, 559 A950); 19,120
A953).
99. С. П. Ш у б и н, СВ. В о н с о в с к и й, Proc. Roy. Soc. A145, 159A934);
Phys. Zs. UdSSR 7, 292 A935); 10, 348 A936).
00. H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 251, 256 A949).
101. А. М. Clogston, J. P. Gordon, V. Jaccarino, M. Peter,
L. R. W a 1 k e r, Phys. Rev. 117, 1222 A960).
102. J. H. E. Griffiths, J.Owen, J. G. Park, M. E. Partridge, Proc.
Roy. Soc. A250, 84 A959).
103. J. W. S t о u t, J. Chem. Phys. 31, 709 A959).
104. J. H. Van V 1 e с k, J. Chem. Phys. 3, 843 A935).
105. J.Owen, Proc. Roy. Soc. A227, 183 A955).
. 106. G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 A937).
107. M. A. Ruderman, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 96, 99 A954).
108. С. В. Вонсовский, УФН 48, 289 A952).
109. Н. S t a t z, L. R i m a i, M. J. W e b e r, G. A. de, M a r s, G. F. К о s t e r, J.
Appl. Phys. 32, Suppl. 218S A961).
'110. S. M e t h f e s s e 1, D. С M a t t i s, Handb. d. Phys. Bd. 18, т. 1, Springer, Ber-
Berlin, 1968, S. 389.
111. R. G. Shulman, Phys. Rev. 121, 125 A961).
112. R. G. Shulman, S. S u g a n o, Phys. Rev. 130, 517, 506 A963).
113. M. П. Петров, Г. А. Смоленский, ЖЭТФ 50, 871 A966).
114. I. A d a w i, Phys. Rev. 146, 379 A966).
115. E. S i m a n e k, M. T а с h i k i, Phys. Letts 21, 625 A966).
116. D. В 1 о с h, J. Phys. Chem. Sol. 27, 881 A966).
'117. J. F. J a n a k, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1571 A966).
118. Z. S г о u b e k, Phys. stat. sol. 16, 405 A966).
119. J. H. V a n V 1 e с k, J. Chem. Phys. 9, 85 A941).
120. H. D r e s s n a n d t, Zs. Phys. 115, 369 A940).
121. В. Е. Рудницкий, ЖЭТФ 12, 542 A942).
122. Э. К а н е р, ЖЭТФ 10, 67, 407 A940).
123. К. Б. В л а с о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 339 A954).
124. К. Б. В л а с о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 481 A955).
125. G. H.Wannier, Phys. Rev. 79, 357 A950).
•126. Yin-Yuan Li, Phys. Rev. 80, 457 A950); 84, 721 A951).
— 765 —

127. J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 81, 1015 A951).
128. С J.Gorter, J. Haantjes, Physica 18, 285 A952).
129. T. N a g a m i у a, Prog. Theor. Phys. 6, 342 A952).
130. K. Y о s i d a, Prog. Theor. Phys. 6, 691 A951).
131. С G. G а г г e t t, J. Chem. Phys. 19, 1154 A951).
132. J. M. Z i m a n, Proc. Phys. Soc. A64, 1108 A951).
133. J. S. S m а г t, Phys. Rev. 86, 968 A952); 90, 55 A953); Rev. Mod. Phys. 25, 327
A953); J. Chem. Phys. 11, 97 A959).
134. P. W e i s s, G. F о ё x, J. Phys. 1, 274, 744, 805 A911).
135. T. I s h i w а г a, Sci. Rept. Tohoku Univ. 3, 303 A914).
136. K. Honda, T. S о n e, Sci. Rept. Tohoku Univ. 3, 223 A914).
137. K. Honda, T. I s h i w а г a, Sci. Rept. Tohoku Univ. 4, 215 A915).
138. H. В i z e t t e, С Squire, В. Т s a i, Compt. rend. 207, 449 A938).
139. H. Bizette, B.Tsai, Compt. rend. 238, 1575 A954).
140. J. W. Stout, H. S. Adams, J. Am. Chem. Soc. 64, 1535 A942).
141. R. W. M i 11 a r, J. Am. Chem. Soc. 50, 1875 A928).
142. B. T. Willis, H. P. R о о к s b у, Acta Cryst. 6, 827 A953).
143. J. J. Benewicz, R. F. Heidelberg, Phys. Rev. 117, 736 A960).
144. L. M. С о г 1 i s s, N. E 11 i о t t, J. M. H a s t i n g s, Phys. Rev. 104, 924 A956).
145. H. В i z e t t e, J. phys. rad. 12, 161 A951).
146. Y. Mashiyama, E. Uchida, H. Kondoh, Busseiron Kenkyu (Res. or*
Chem. Phys.) 71, 9 A954).
147. L. W. R о t h, Phys. Rev. 110, 1333 A958); 111, 772 A958).
148. J. R. S i n g e r, Phys. Rev. 104, 929 A956).
149. С H. La В 1 a n с h e t a i s, J. phys. rad. 12, 765 A951).
150. N. P e г а к i s (частное сообщение) A963).
151. Y. Shimomura, I. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan, 9, 19 A954).
152. M. K. W i 1 к i n s о n, H. R. С h i 1 d, J. W. С а Ы e, W. С Koehler,
E. О. W о 11 a n, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-IH, 27 A962).
153. M. K. Wilkins on, H. R. Child, J. W. С а Ы e, E. O. Wollan,
W. С. К о e h 1 e r, J. Appl. Phys. 31, 358S A960).
154. J. M. Hastings, N. Elliott, L.M.Corliss, Phys. Rev. 115, 13 A959).
155. H. Bizette, Ann. de phys. 1, 306 A946).
156. С Billy, H. M. Haendler, J. Am. Chem. Soc. 79, 1049 A957).
157. С. Г. С а л и х о в, ЖЭТФ 34, 39 A958).
158. Р. А. А л и х а н о в, ЖЭТФ 37, 1145 A959).
159. A. Yoshimori, J. Phys. Soc. Japan 14, 807 A959).
160. A. F. A n d e г s e n, Acta Chem. Scand. 14, 919 (I960).
161. R. В e n о i t, J. chim. phys. 52, 119 A955).
162. S. S. Sidhu, D. Meneghetti, Phys. Rev. 91, 435 A953).
163. S. S. S i d h u, L. H e a t о n, M. H. M u e 11 e r, J. Appl. Phys. 30, 1323 A959).
______
Phys. 31, 356S A960).
164. J. T. Sparks, W. Mead, A. J.Kirschbaum, W. Marshall, J. AppL
,c
165. С S t а г г, F. В i t t e r, A. R. К a u f m a n n, Phys. Rev, 58, 977 A940).
166. M. K. Wilkinson, E. O. Wollan, W. С. К о e h 1 e r, J. W. С а Ы e-
Phys. Rev. 113, 497 A959).
167. I. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 2109 A960).
168. H. Bizette, R. С h e v a 1 1 i e г, В. Т s a i, Compt. rend. 236, 2043 A953).
169. L. M. С о г 1 i s s, J. M. Hastings, J. E. Goldman, Phys. Rev. 93, 893.
A954).
170. К. Е n d 6, Sci. Repts. Tohoku Univ. 25, 879 A937).
171. С G u i 1 1 a u d, J. phys. rad. 12, 489 A951).
172. F. J. M or i n, Phys. Rev. 78, 819 A950).
173. L. Neel, R. Pauthenet, Compt. rend. 234, 2172 A952).
174. S. S. В h a t n a g а г, А. С a m e г о n, E. H. H а г b a n d, P. L. Rapar,
B. Prakash, J. Chem. Soc. № 9, 1433 A939).
175. B. N. В г о с k h a u s e, J. Chem. Phys. 21, 961 A953).
176. J. J affray, J. V i 1 о t e a u, Compt. rend. 226, 1701 A948).
177. T. R. Me G u i г e, E. I. S с о t t, F. H. G г a n n i s, Phys. Rev. 102, 1000 A956).
178. P. А. А л и х а н о в, ЖЭТФ 36, 1690 A959).
179. S. J. P i с к а г t, Bull. Am. Phys. Soc. 5, 59 A960).
180. Б. В. Карпенко, А. А. Б е р д ы ш е в, ФТТ 5, 3397 A963).
181. А. Ц. Аматуни ФММ 6, 395 A958).
182. J. К a n a m о г i, Сб. «Magnetism» (ed. G. Т. Rado, H. Suhl), vol. 1, N. Y. 1963-
p. 127.
183. W. E. H e n г у, Phys. Rev. 90, 492 A953); 92, 844 A953).
184. W. E. Henry, Phys. Rev. 94, 1946 A954).
185. H. M. G i i s m a n, N. J. P о u 1 i s, J. van den Handel, Physica 25, 954
A959).
186. С J. Gorter, T. van Peski-Tinbergen, Physica 22, 273 A956).
187. L. Neel, Nuov. cim. 6, Suppl. № 3, 942 A957); Изв. АН СССР, сер. физ. 21-
890 A957).
— 766 —

188. Е. А. Т у р о в, Ю. П. И р х и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168 A958).
189. М. И. Каганов, В. М. Ц у к е р н и к, ЖЭТФ 34, 524 A958).
190. М. И. Каганов, В. М. Цукерник, ЖЭТФ 35, 474 A958).
191. С. В. В о н с о в с к и й, J. phys. rad. 20, 264 A959).
192. N. J. Poulis, G. E. Hardeman, Physica 18, 201, 315 A952).
193. J. Van den Handel, H. M. G i j s m a n, N. J. Poulis, Physica 18, 862
A952).
194. M. Griff el, J. W. Stout, J. Chem. Phys. 18, 1455 A950).
195. J. W. Stout, L. M. M a t а г е s s e, Rev. Mod. Phys. 25, 338 A953).
196. И. Е. Дзялошинский, В. И. М а н ь к о, ЖЭТФ 46, 1352 A964).
197. F. К е f f е г, Н. Kaplan, Y. Y a f e t, Am. J. Phys. 21, 250 A953).
198. H. К а р 1 a n, Phys. Rev. 86, 121 A952).
199. E. И. Кондорский, А. С. Пахомов, Т. Шиклош, ДАН СССР 109,
931 A956).
200. Е. И. Кондорский, А. С. Пахомов, Т. Шиклош, Радиотехника и
электроника 2, 334 A957).
201. Т. Shiklosh, Кандидатская диссертация, МГУ, 1955; Acta phys. Hung. 7,
141 A957).
202. С. В. Т я б л и к о в, ФММ 2, 193 A956); 3, 3 A956).
203. Е. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», гл. Ill, M., 1961.
204. J. van Kranendonk, J. H. Van Vleck, Rev. Mod. Phys. 30, 1 A958).
205. С. В. В о н с о в с к и й, Е. А. Туров, J. Appl. Phys. 30, 9S A959).
206. F. Keffer, Handbuch d. Phys., Bd. 18/2, Springer, Berlin, 1966, S. 1.
207. А. И. A x и е з e p, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. Каганов, УФН 71, 533;
72, 3 A960).
208. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. М. Сеидов, Изв. АН СССР, сер. 'физ. 18, 319-
A954).
209. R. К u b о, Phys. Rev. 86, 929 A952); Rev. Mod. Phys. 25, 344 A953).
210. R. К u b о, Phys. Rev. 87, 568 A952).
211. T. Nakamura, Prog. Theor. Phys. 7, 539 A952).
212. С. В.Тябликов, ФММ 8, 154 A959).
213. С. В. Т я б л и к о в, А. Ц. А м а т у н и, ДАН СССР, 108, 69 A956).
214. А. Ц. А м а т у н и, ФММ 3, 411 A956).
215. А. Ц. А м а т у н и, ФММ 4, 17 A957).
216. Н. С о f t a, Acta Phys. Polon. 15, 481 A957); 23, 333 A963); Phys. Lett. 1, 12J
A962).
217. R. О r b а с h, P. P i n с u s, Phys. Rev. 113, 1213 A959).
218. Пу Ф у-ч о, ДАН СССР 130, 1244 A960); 131, 536 A960).
219. Ю. А. Изюмов, ФММ 11, 650 A961).
220. P. Pincus, J.Winter, Phys. Rev. Lett. 7, 269 A961).
221. J. К о г г i n g a, Phys. Rev. 125, 1972 A962).
222. D. ter H a a r, M. E. L i n e s, Phil. Trans. Roy. Soc. 225, № 1049, 1 A962).
223. J. des Cloizeaux, J. J. Pearson, Phys. Rev. 128, 2131 A962).
224. J.Czerwonko, Acta phys. Polon. 22, 445 A962); 23, 23 A963); ФТТ 5, 214f
A963).
225. A. Joshimori, Phys. Rev. 130, 1312 A963).
226. M. E. Lines, Proc. Roy. Soc. A271, 105 A963); Phys. Rev. 135, A1336 A964);
139, A1304 A965).
227. M. E. L i n e s, Phys. Rev. 131, 540 A963).
228. R. L о n d о n, P. P i n с u s, Phys. Rev. 132, 673 A963).
229. K.Tani, Prog. Theor. Phys. 30, 580 A963).
230. H. В г о о k s, J. Appl. Phys. 35, 798 A964).
231. Y. L. W a n g, H. В. С a 1 1 e n, J. Phys. Chem. Sol. 25, 1459 A964); Phys. Rev.
148, 433 A966).
232. A. C. H e w s о n, D. ter H a a r, Physica 30, 890 A964).
233. M. Tanaka, К. Т о m i t a, Prog. Theor. Phys. 32, 968 A964).
234. A. C. H e w s о n, D. ter H a a r, M. E. Lines, Phys. Rev. 137, A1465 A965).
235. В. И. О ж о г п н, ЖЭТФ 48, 1307 A965).
236. S. H. L i u, Phys. Rev. 141, 267 A966).
237. М. Е. L i n e s, E. D. J о n e s, Phys. Rev. 141, 525 A966).
238. Y. L. Wang, S. S h t r i k m a n, H. С a 11 e n, Phys. Rev. 148, 419 A966).
239. T. Tonegawa, J. Kanamori, Phys. Lett. 21, 130 A966).
240. С G. Windsor, R. W. H. Stevenson, Proc. Phys. Soc. 87, 501 A966).
241. D. A. Pink, W. О р е с h о w s k i, Physica 32, 1019 A966).
242. R. А. С owl ey, P. M о r t e 1, R. W. H. S t e v e n s о n, Phys. Rev. Lett.
18, 162 A967).
243. N. J. Poulis, J. van den Handel, J. U b b i n k, J. A. P о u 1 i s,
С J. G о г t e r, Phys. Rev. 82, 552 A951).
244. J. U b b i n k, N. J. P о u 1 i s, H. J. G e r r i t s e n, С J. G о г t e r, Physica
18, 361 A952); 19, 928 A953).
245. M. D a t e, Phys. Rev. 104, 623 A956).
246. В. В о 1 g e r, Conf. phys. bases temp., Paris, 1965, p. 146.
— 767 —

247. S. F о п е г, J- phys. rad. 20, 336 A959).
248. J. W. S t о u t, M. G г i f f e 1, Phys. Rev. 76, 144 A949).
249. А. С. Боровик-Романов, В. Р. Караси к, Н. М. Крейнес, ЖЭТФ
31, 18 A956).
250. Н. М. Крейнес, ЖЭТФ 35, 1391 A958).
251. V. J а с с а г i n о, R. G. S h u I m a n, J. L. D e v i s, J. W. S t о и t, Bull. Am.
Phys. Soc. 3, 41 A958).
252. V. J а с с а г i n o, L. R.Walker, J. phys. rad. 20, 341 A959).
253. F. Dyson, Phys. Rev. 102, 1217 A956).
254. А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 36, 75 A959).
255. E. A. T у р о в, ЖЭТФ 36, 1254 A959).
256. А. С. П а х о м о в, Н. А. С м о л ь к о в, Сб. «Антиферромагнетизм и ферриты»,
т. 4 из серии «Итоги науки», Физико-математические науки, Изд-во АН СССР,
М., 1962.
257. Е. W. G о г t е г, Philips Res. Rep. 9, 295, 321, 403 A954); перевод УФН 57, 279,
435 A955).
258. Н. Н. Сирота, Сб. докладов III Всесоюзного совещания по ферритам,июнь
1959 г. Минск, 1960, стр. 50.
259. Е. F. В е г t a u t, F. F о г г a, Compt. rend. 242, 382 A956).
260.<S. G e 11 е г М. A. G i 11 е о, Acta Cryst. 10, 239 A957).
26I.3К. П. Белов, М. А. Зайцева, Дополнение к переводу монографии Смита
и Вейна A959), 1962, стр. 457—498.
262. R. Pauthenet, Compt. rend. 242, 1859 A956); 243, 1499, 1737 A956).
263. R. Pauthenet, Ann. de phys. 3, 424 A958).
264. A. S e г г e s, Ann. de phys. f7, 53 A932).
265. M. F a 1 1 о t, P. M о г о n i, J. phys. rad. 12, 256 A951).
266. F. K. L о t g e г i n g, Philips Res. Rep. 11, 190, 337 A956).
267. I. S. J а с о b s, J. Phys. Chem. Sol. 11, 1 A959).
268. R. P. К е n a n, Phys. Rev. 159, 430 A967).
269. J. Szaniecki, Acta phys. Polon, 32, 271 A967).
270. A. W. R e v a n Jr., A. C. Daniel, R. J. Mahler, Phys. Lett. 25A, 555
A967).
271. Г. А. Смоленский, М.П.Петров, Р.В. П и с а р е в, J. Appl. Phys. 38,
1269 A967).
272. R. De Batist, R. Gevers, M. Vershneren, Phys. Stat. Sol. 19, 77
A967).
273. В. Г. Барьяхтар, Е. В. Зарочинцев, В. А. Попов, ФММ 25, 1
A968).
274. R. А. С о w 1 e у, G. D о 11 i n g, Phys. Rev. 167, 464 A968).
275. J. S a k u г a i, W. J. L. Buyers, R. A. Cowley, G. Dolling, Phys.
Rev. 167, 510 A968).
276. H. U m e b а у s h i, В. С F г a z e г, D. E. Cox, G. S h i г a n e, Phys. Rev.
167, 519 A968).
277. J. F e d e г, Е. Р у t t e, Phys. Rev. 168, 640 A968).
278. D.L. Mills, W.M.Saslow, Phys. Rev. 171, 488 A968).
279. D.B.Abraham, Phys. Rev. 171, 572 A968).
280. R. J. Elliott, M. F. Thorpe, G. F. I n b u s h, R. L о u d о n, J. Par-
Parkinson, Phys. Rev. Lett. 21, 147 A968).
281. А. В. Н а г г i s, Phys. Rev. Lett. 21, 602 A968).
282. S. T. D e m b i n s k i, Canad. J. Phys. 46, 1435 A968).
283. D. E. Ellis, A. J. Freeman, J. Appl. Phys. 39, 424 A968).
284. J.Czaniecki, Acta phys. Polon. 33, 499 A969).
285. J. Czerwonko, Bull. Acad. Polon., Serie de phys. 16, 421 A968).
286. E. W. Gorter, J. A. S с h u 1 k e s, Phys. Rev. 90, 487 A953).
287. J.S. van Wieringen, Phys. Rev. 90, 488 A953).
288. К. П. Белов, К. М. Б о л ь ш о в а, Т. А. Е л к и н а, М. А. Зайцева,
Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1282 A958).
289. Т. R. McGui г, Phys. Rev. 93, 682 A954).
290. Е. F. Bertaut, R. Pauthenet, Proc. Inst. Elec. Engrs., Suppl. B104,
261 A957).
291. A. M. Me Reynolds, T. R i s t e, Phys. Rev. 95, 1161 A954).
292. J. M. Hastings, L. M. Corliss, Rev. Mod. Phys. 25, 114 A953).
293. G. E. В а с о n, F. F. R о b e г t s, Acta Cryst. 6, 57 A953).
294. V. С Wilson, J. S. Rasper, Phys. Rev. 95, 1408 A954).
295. E. Prince, Phys. Rev. 102, 674 A956).
296. F. Bertaut, F. Forrat, A. Herpin, P. Mercel, Compt. rend. 243,
898 A956).
297. W. С. К о e h 1 e r, E. O. W о 11 a n, J. Phys. Chem. Sol. 2, 100 A957).
298. J. M. Hastings, L. Corliss, Phys. Rev. 104, 328 A956).
299. Ю. 3. H о з и к, И. Н. Я м з и н, Кристаллография, 6, 923 A961).
300. В. Г. Барьяхтар, С. В. Малеев, ЖЭТФ 39, 1430 A960).
301. J. Kocinski, Acta phys. Polon. 19, 691 A960).
— 768 -

302. Ю. А. И з ю м о в, А. Н. М е н ь, Кристаллография 7, 358 A962).
303. Ch. Guillaud, M. R о u x, Compt. rend. 229, 1133 A949). •
304. Ch. Guillaud, H. С г e v e а и x, Compt. rend. 230, 1256, 1458 A950).
305. Ch. Guillaud, J. phys. rad. 12, 239 A951).
306. Ch. G и i 1 1 а и d, M. S a g e, Compt. rend. 232, 944 A951).
307. R. Pauthenet, Compt. rend. 230, 1842 A950).
308. R. Pauthenet, Ann. de phys. 7, 710 A952).
309. R. Pauthenet, L. Bochirol, J. phys. rad. 12, 249 A951).
310. E. W. Gorter, Compt. rend. 230, 192 A950); Nature 165, 798 A950).
311. P. W e i s s, R. F о г г е г, Ann. de phys. 12, 279 A929).
312. E. W. Gorter, Adv. Phys. 6, 336 A957).
313. G. O. Jones, F. F. Roberts, Proc. Phys. Soc. 65B, 390 A952).В
314. D. G. W i с к h a m, E. R. W h i p p 1 e, E. G. L a r s о n, J. Inorg. Nuclear Chem
14, 217 A960).
315. E. P г i n с e, Acta Cryst. 10, 554 A957).
316. R.Nathans, S. I. Pickart, A. Miller, Bull. Am. Phys. Soc. A1) 6 54
A961).
317. P.L.Edwards, Bull. Am. Phys. Soc. 3, 43 A958).
318. P. K. Baltzer, P. J. Wojtowicz, J. Appl. Phys. 30, 27S A959)
319. I. S. J а с о b s, J. Phys. Chem. Sol. 15, 54 A960).
320. J. M. Luttinger, L. T i s z a, Phys. Rev. 70, 954 A946).
321. Т. А. К a p 1 a n, Phys. Rev. 109, 782 A958).
322. Т. А. К a pi an, Phys. Rev. 116, 888 A959).
323. Т. А. К a p 1 a n, Phys. Rev. 119, 1460 A960); 124, 329 A961); J. Phys Soc Ja-
Japan, 17, Suppl. B-l, 3 A962); J. Appl. Phys. 34, 1339 A963).
324. T.A. Kaplan, K.Dwight, D.H.Lyons, N.Menyuk,J. Appl. Phvs
32, 13S A961).
325. D. H. L у о n s, Т. А. К a p 1 a n, Phys. Rev. 120, 1580 A960).
326. D. H. Lyons, T. A. Kaplan, K. D w i g h t, N. M e n у и к, Phys Rev
126, 540 A962). . '
327. J. V i 1 1 a i n, J. Phys. Chem. Sol. 11, 303 A959).
328. E. F. Bertaut, в сб. «Magnetism», (ed. by E. T. Rado, H. Suhl) vol. Ill
N. Y., 1963, p. 149.
329. L. N ё e 1, Compt. rend. 239, 8 A954).
330. А. А. Г у с е в, А. С. П а х о м о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 25, 1327 A961).
331. А. А. Гусев, А. С. П а х о м о в, Кристаллография 8, 63 A963).
332. А. С. П а х о м о в, А. А. Г у с е в, ФММ 18, 156 A964).
333. В. Е. Р о д е, В. Е. В е д я е в, ЖЭТФ 45, 414 A963).
334. R. А. Е г i с к s о n, Phys. Rev. 85, 745 A952).
335. A. Her pin, P. M ё г i e 1, Bull. Am. Phys. Soc. A1) 5, 457 A960).
336. P. W. A n d e г s о n, Phys. Rev. 102, 1008 A956).
337. J. M. H a s t i n g s, L. M. С о г 1 i s s, Phys. Rev. 126, 556 A962); J. Appl Phvs
33, 1138 S A962). HP * "
338. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 46, 1420 A964).
339. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 46, 1722 A964).
340. Л. Д, Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 19 A937).
341. Е. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 11, 253, 269 A941).
342. С. В. В о н с о в с к и й, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 485 A947)
343. В.Л.Гинзбург, ЖЭТФ 17, 833 A947).
344. И. Е. Дзялошинский, J. Phys. Chem. Sol. 4, 241 A958).
345. Е. А. Т у р о в, Compt. rend. 252, 3420 A961).
346. Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 42, 1582 A962).
347. E.F. Bertaut, J. Phys. Chem. Sol. 21, 256 A961).
348. E. F. В e r t a u t, J. Phys. Chem. Sol. 21, 295 A961).
349. J. D i m m о с k, Phys. Rev. 130, 1337 A963).
350. Б. А. Т а в г e p, B. M. 3 а й ц е в, ЖЭТФ 30, 564 A956).
351. Б. А. Т а в г е р, Кристаллография 3, 339 A958).
352. С. H e r r i n g, Ch. К i t t e I, Phys. Rev. 81, 869 A951).
353. T. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
354. S. G e 1 1 e r, E. A. W о о d, Acta Cryst. 9, 563 A956).
355. R. M. В о z о r t h, H. J. Williams, D. W a 1 s с h, Phys. Rev. 103 572
A956).
356. T. S m i t h, Phys. Rev. 8, 721 A916).
357. Y i n- Y u a n Li, Phys. Rev. 101, 1450 A956).
358. L. N ё e 1, Rev. Mod. Phys. 25, 58 A953).
359. P. W. Anderson, F. R. M e r r i t t, J. P. R e m e i k a, W. A. Yager
Phys. Rev. 93, 717 A954). '
360. H. M. A. U r q u h a r t, J. E. Goldman, Phys. Rev. 101, 1443 A956).
361. А. С. Б о р о в и к - Р о м а н о в, М. П. О р л о в а, ЖЭТФ 31, 579 A956)
362. R. С h e v a 11 i e r, J. phys. rad. 12, 171 A951).
363. L. M. M a t a r e s s e, J. W. Stout, Phys. Rev. 94, 1792 A954)
364. P. А. А л и х а н о в, ЖЭТФ 39, 1481 A960).
49 с. В. Вонсовский — 769 —

365. А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 36, 766 A959).
366. А. С. Боровик-Романов, В. И. Ожоги н, ЖЭТФ 39, 27 A960).
367. Т. Moriya, Phys. Rev. 117, 635 A960).
368. Т. Moriya, Phys. Rev. 120, 91 A960).
369. Т. Moriya, сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 1, N. Y., 19E3
p. 86.
370. R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. Lett. 1, 362 A958).
371. Н.М.Крейне с, ЖЭТФ 40, 702 A961).
372. A. T a s a k i, Sh. J i d a, J. Phys. Soc. Japan 15, 1535 A961); 16, 1697 A961).
373. К. П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, С. А. Н п к и т и н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ
40, 1562 A961).
374. A. J. Н е е g е г, О. В е с k m а п, А. М. Р о г t i s, Phys. Rev. 123, 1652 A961).
375. С. К u г о d a, T. Miyadai, A. N a e m u г a, N. N i i г е к i, H. T а к a t a,
Phys. Rev. 122, 446 A961).
376. R. Orbach, Phys. Rev. 115, 1189 A959).
377. P. P i n с u s, Phys. Rev. Lett. 5, 13 A960).
378. E. A. T у р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 25, 1315 A961).
379. Е. А. Туров, Н. Г. Гусейнов, ЖЭТФ 38, 1326 A960).
380. Е. А. Т у р о в, В. Е. Н а й ш, ФММ 9, 10 A960).
381. Н. Г. Г у с е й н о в, Е. А. Т у р о в, Изв. АН Азерб. ССР, сер., физ.-мат. и техв
наук, № 4, 85 A960).
382. В. Е. Н а й ш, Е. А. Т у р о в, ФММ 11, 161, 321 A961).
383. Н.Г.Гусейнов, ФТТ 6, 852 A964).
384. Н. J. Fink, Phys. Rev. 130, 177 A963).
385. Н. Fink, D. S h a 1 t i e 1, Phys. Rev. 136, A218 A964); 139, 627 A965).
386. D. S h a 1 t i e 1, Phys. Rev. 142, 300 A966).
387. W. N. Han sen, M. G г i f f e 1, J. Chem. Phys. 30, 913 A959).
388. A. H. С о о k e, К. A. G e h г i n g, R. L a z e n b y, Proc. Phys. Soc. 85, 967
A965).
389. H. J. F i n k, Phys. Rev. 133, A1322 A964).
390. M. A. G i 11 e o, J. Chem. Phys. 24, 1239 A956).
391. R. M. Bozorth, V. Kramer, J. phys. rad. 20, 393 A959).
392. R. M. Bozorth, V. Kramer, J. P. R e m e i k a, Phys. Rev. Lett. 1, 3
A958).
393. R. W о 1 f e, R. D. Pierce, S. E. H a s z k o, J. P. R e m e i k a, Appl. Phys.
Lett. 11, 245 A967).
394. D. Treves, S. Alexander, J. Appl. Phys. 33, 1133S A962).
395. G. Gorodetsky, D. Treves, Phys. Rev. 135, A97 A964).
396. F. F. Wang, M. К е г t i g i a n, Phys. Stat. Sol. 25, 119 A968).
397. H. W a t a n a b e, M. F u k a s e, J. Phys. Soc. Japan 16, 1181 A961).
398. R. B. F 1 i p p e n, S. A. F r i e d b e r g, Phys. Rev. 121, 1591 A961).
399. V. Minkiewiez, A. Nakamura, Phys. Rev. 143, 356 A966).
400. J. C. Burgiel, V. Jaccarino, A. L. Schawlow, Phys. Rev. 122, 429
A961).
401. J. D. Wasscher, Sol. State Comm. 3, 169 A965).
402. В. М. Ю д и н, А. И. Г а в р и л и ш и н а, М. В. Артемьева, М. Ф. Б ры-
рыжина, ФТТ 7, 2292 A965).
403. Г. А. Смоленский, В. М. Юдин, ФТТ 6, 3668 A964).
404. N. U г у u, J. Phys. Soc. Japan 16, 2139 A961).
405. Т. Nakamura, N. U г у u, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 493 A962).
406. J. Ishikawa, S. Anim'oto, J. Phys. Soc. Japan 12, 1083 A957).
407. J. Ishikawa, J. Phys. Soc. Japan 12, 1165 A957).
408. H. С Meje r, J. van den Handel, Physica 30, 1633 A964).
409. IO. E. Рогинская, Ю. Н. Веневцев, ФТТ 7, 400 A965).
410. В. Н. Н о в о г р у д с к и й, И. Г. Ф а к и д о в, В. В. Семенов, ФТТ 7,
2863 A965).
411. Э. А. Завадский, И. Г. Ф а к и д о в, ЖЭТФ 51, 1317 A966).
412. В.М.Юдин, ФТТ 8, 267 A966).
413. С. W. Searle, A. H. Morrish, J. Appl. Phys. 37, 1141 A966).
414. J. G. В о о t h, J. Appl. Phys. 37, 1332 A966).
415. F. F. J. W a n g, Phys. stat. sol. 14, 193 A966).
416. P. D. Hambourger, J. A. Marcus, Phys. Rev. 157, 438 A967).
417. P. W. R e a d m a n, W. O' R e i 1 1 y, S. К. В a n e r j e e, Phys. Lett. 25A,
466 A967).
418. В. И. Юдин, А. Б. Ш е р м а н, Phys. state sol. 20, 759 A967).
419. K. Yamagato, J. Phys. Soc. Japan 22, 582 A967).
420. T. Takeda, Y. Yamaguchi, S. Tomiyoshi, M. Fukase, M. S u-
g i m о t о, Н. Wat an a be, J. Phys. Soc. Japan 24, 446 A968).
421. L. M. Corliss, J. M. Hastings, J. R. Goldman, Phys. Rev. 83, 843
A951).
422. F. К е f f e r, Phys. Rev. 126, 896 A962).
423. D. T r e v e s, Phys. Rev. 125, 1843 A962).
— 770 —

424. P. E r d 6 s, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1705 A966).
425. G. Cina-de r, Phys. Rev. 155, 453 A967).
426. G. Cinader, S. Shtrikman, Sol. State Comm. 4, 459 A966).
427. J. Kaczer, T. Shalnikova, Proc. Int. Con. on Magnetism, Nottingham
. 1965, p. 589.
428. P. J. Flanders, S. Shtrikman, Sol. State Comm. 3, 285 A965).
429. G. H a i g h, Phil. Mag. 2, 877 A957).
430. A. H.Morrish,G.B. Johnston, N.A.Curry, Phys. Lett. 7, 147 A963)
431. CM. I s e r e n t a n t, G. G.Robbrecht, R. J. Dodo, Phys. Lett. 11 14
A964).
432. Т. К a n e к о, S. A b e, J. Phys. Soc. Japan 20, 2001 A965); 21, 451 A966).
433. P. Novotny, J. Kaczer, Тезисы докладов 10-й Международной конфер.
• по физике низких температур, LT — 10, Москва, 1966, стр. 365.
434. Р. А. В о с к о п я н, Р. 3. Л е в и т и н, В. А. Ш у р о в, ЖЭТФ 53, 459 A967)
435. R. С. Wayne, D. H. Anderson, Phys. Rev. 155, 496 A967).
436. D. S с h г а е е г, R. С. N i n i n g е г, Jr., Phys. Rev. Lett. 19, 632 A967).
437. T. G. W о r 1 t о n, R. В. В e n n i о n, R. M. В г u g g e r, Phys. Lett. 24A, 653
A967).
438. N. К a w a i, F. О п о, К. Hirooka, J. Appl. Phys. 39, 712 A968).
439. А. И. М и ц е к, Н. П. Коп маков а, ФММ 22, 161 A966); Phys. stat sol
25, 787 A968).
440. W. V о i g t, Lehrbuch der Magneto- und Electrooptik, Leipzig — Berlin, 1908
441. И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, ЖЭТФ 33, 807 A957).
442. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 37, 881 A959).
443. Б. А. Т а в г е р, Кристаллография 3, 342 A958).
444. Y. LeCorre, J. phys. rad. 19, 750 A958).
445. А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 38, 1088 A960); 36, 1954 A959).
446. Т. М о г i у a, J. Phys. Chem. Sol. 11, 73 A959).
447. В. П. Андрацкий, А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 51, 1030A966)
448. Т. G. Phillips, R. L. Townsend, Jr., R. L. W h i t e, Phys. Rev. Lett
18, 646 A967); Phys. Rev. 162, 382 A967).
449. A. P. Greifer, J. Appl. Phys. 35, 1065 A964).
450. Д. Н. А с т р о в, ЖЭТФ 38, 984 A960); 40, 1035 A961).
451. V. J. F о 1 e n, G. Т. R a d о, E. W. S t a 1 d e r, Phys. Rev. Lett. 6, 607 A961)
452. G. T. Rado, V. J. F о 1 e n, Phys. Rev. Lett. 7, 310 A961); J. Appl. Phvs
33, 1126S A962).
453. В. И. А л ь щ и н, Д. Н. Астров, ЖЭТФ 44, Ш5 A963).
454. S. Foner, M. H a n a b u s a, J. Appl. Phys. 34, 1246 A963).
455. G. Т. R a d о, Phys. Rev. Lett. 13, 335 A964).
456. S. Shtrikman, D. Treves, Phys. Rev. 130, 98b A963).
457. M. M e г с i e r, J. G а г е g t e, Sol. State Comm. 5, 139 A967).
458. M. Mercier, В. С и г s а и х, Sol. State Comm. 6, 207 A968)
459. Т. Н. O'D ell, Phil. Mag. 10, 899 A964).
460. T. I z и у a m a, G. W. Pratt, Jr., J. Appl. Phys. 34, 1226 A963)
461. А. И. М и ц е к, В. Г. Ш а в р о в, ФТТ 6, 210 A964).,
462. В. Г. Ш а в р о в, ЖЭТФ 48, 1419 A965).
463. S. Alexander, S. Shtrieman, Sol. State Comm. 4, 115 A966).
464. R. Hornreich, S. Shtrikman, Phys. Rev. 161, 506 A967).
465. W. F. Brown, Jr., R. M. Hornreich, S. Shtrikman, Phys. Rev 168
574 A968).
466. T. H. O'D e 11, Phil. Mag. 16, 487 A967).
467. E. As cher, Phil. Mag. 17, 149 A968).
468. А. А. Самохвалов, ФТТ З, 3593 A961).
469. P. H. F a n g, W. S. В г о w e r, Phys. Rev. 129, 1561 A963).
470. H. B. Lai, R. S r i v a s t a v a, K. G. S r i v a s t a v a, Phys. Rev. 154 505
A967).
471. G. T. R a d o, Phys. Rev. Lett. 6, 609 A961); Phys. Rev. 128, 2546 A962).
472. M. D a t e, J. К a n a m о r i, M. T а с h i k i, J. Phys. Soc. Japan 16, 2589 A961).
473. Д. Н. Астров, Б. И. А л ь ш и н, Р. В. Зорин, Л. А. Дробышев
ЖЭТФ 55, 2122 A968).
474. В. Н. Любимов, ФТТ Ю, 3502 A968).
475. 3. Г. П и н с к е р, Изв. АН СССР, сер. хим. 6, 415 A943).
476. Е. О. W о 11 a n, W. С. К о е h 1 е г, М. К. Wilkinson, Phys Rev 110
638 A958). У '
477. J. W. С able, М. К. Wi Ik ins on, Е. О. Wo 11 an W С Koehler
Bull. Am. Phys. Soc. 3, 194 A958).
478. W. С Koehler, M. K. Wilkinson, J. W. Cable, E. О W oil an
J. phys. rad. 20, 180 A959).
479. J. W. Cable, M. K. Wilkinson, E. O. W о 11 a n, Bull. Am. Phvs Soc
4, 184 A959).
480. О. Н. Трапезникова, Л. В. Шубников, Phys. Zs. UdSSR 6, 66,
— 771 — 49*

481. О. Н. Трапезникова, Л. В. Шубников, Г. Н. Милютин, Phys.
Zs. UdSSR 7, 237 A936).
482. С. С. Ш а л ы т, ЖЭТФ 8, 515 A938); 9, 1071 A939).
483. R. В. Меггау, L. D. Roberts, Phys. Rev. 100, 1067 A955).
484. Н. В i z e t t е, Т. Т е г г i е г, В. Т s a i, Compt. rend. 243, 1295 A956); 245, 507
A957); J. phys. rad. 20, 421 A959).
485. M. E. Lines, Phys. Rev. 131, 546 A963); 133, A841 A964).
486. G. K. Wertheim, H. J. Guggenheim, H. J. Levinstein,
D. N. E. В u с h a n a n, R. С S h e г w о о d, Phys. Rev. 173, 614 A968).
487. L. N ё e 1, Inst. Intern. Phys. Solvay, Conseil. Phys. 10e, Brussels, 1955, p. 251.
488. J.Kanamori, Prog. Theor. Phys. 20, 890 A958).
489. I. S. Jacobs, P. E. Lawrence, J. Appl. Phys. 35, 996 A964).
490. I. S. Jacobs, P. E. Lawrence, Phys. Rev. 164, 866 A967).
491. H. В i z e t t e, С Terrier, В. Т s a i, Compt. rend. 243, 895 A956).
492. I. S. Jacobs, J. Appl. Phys. 34, 1106 A963).
493. L. Berger, S. A. F r i e d b e r g, Phys. Rev. 136, A158 A964).
494. A. N a r a t h, Phys. Lett. 13, 12 A964).
495. A. N a r a t h, J. E. S с h i r b e r, J. Appl. Phys. 37, 1124 A966).
496. P. F. Bongers, U. E n z, Sol. State Comm. 4, 153 A966).
497. G. В u s с h, P. J u n о d, O. V о g t, F. H u 11 i g e r, Phys. Lett. 6, 79 A963).
498. G. В u s с h, O. V о g t, F. H u 11 i g e r, Phys. Lett. 15, 301 A965).
499. G. Busch, P. S с h w о b, 0. V о g t, Phys. Lett. 23, 636 A966).
500. J. Forsyth, S. Piekart, P. Brown, Proc. Phys. Soc. 88, 333 A966).
501. E. Hirahara, T. Suzuki, Y. Matsumura, J. Appl. Phys. 39, 713
A968).
502. L. N ё e 1, Compt. rend. 242, 1549 A956).
503. A. J. P. M e у е r, Compt. rend. 244, 2028 A957).
504. J. H. Smith, J. Appl. Phys. 39, 675 A968).
505. P. J. Flanders, Phil. Mag. 14, 1 A966).
506. А. А. С а м о х в а л о в, Н. В. В о л к е н ш т е й н, Т. Д. 3 о т о в, 10. Н. М о-
розо в, М. И. Симонова, А. Л. Афанасьев, ЖЭТФ 54, 1341 A968).
507. L. Holmes, M. S с h i e b e r, Phys. Rev. 167, 449 A968).
508. J.M. Moreau, J.Mareschal, E. F. Bertaut, Sol. State Comm. 6, 751
A968).
509. L. R. Testardi, H. J.Levinstein, H. J. Guggenheim. Phys. Rev.
Lett. 19, 503 A967).
510. J.M. Hastings, L. M. Corliss, J. Phys. Chem. Sol. 29, 9 A967).
511. L. Holmes, R. Sherwood, L. G. Van U i t e r t, J. Appl. Phys. 39, 1373
A968).
512. L. N ё e 1, Nuov. cim. 6, № 3, Suppl. 942 A957).
513. B. R. H e a p, Proc. Phys. Soc. 80, 248 A962).
514. E. V о gt, Zs. ang. Phys. 14, 177 A962).
515. T. R. Me G u i г е, С J. К г i e s s m a n, Phys. Rev. 85, 452 A952).
516. A. Arrott, Сб. «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. IIB, N.Y. 1966,
p. 296.
517. A. H. Sully, «Chromium», Ch. 3, London, 1954.
518. В. Н. Быков, В, С. Головкин, Н. В. А г е е в, В. А. Л е в д и к,
С. И. Виноградов, ДАН СССР 128, 1153 A959).
519. L.Corliss, J. Hastings, R.Weiss, Phys. Rev. Lett. 3, 211 A959).
520. A. W. Overhauser, Phys. Rev. Lett. 3, 414 A959); 4, 462 A960); 13, 190
A964); J. Phys. Chem. .-ol. 13, 71 A960); Phys. Rev. 128, 1437 A962); J. Appl.
Phys. 34, 1437 A963),
521. A. W. Overhauser, A. Arrott, Phys. Rev. Lett. 4, 226 A960).
522. D. R. H a m a n n. A. W. Overhauser, Phys. Rev. 143, 183 A966).
523. P. A. F e d d e г s, P. С Martin, Phys. Rev. 143, 245 A966).
524. D. R. P e n n, M. H. С о h e n, Phys. Rev. 155, 468 A967).
525. E. И. К о н д о р с к и й, В. Л. Седов, ЖЭТФ 35, 1579 A958).
526. S. С. A b r a g a m s, L. G u t t m a n, J. S. К a s p e r, Phys. Rev. 127, 2052
' A962).
527. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 992 A964).
528. W. Trzebiatowski, Magnetismus, Struktur und Eigenschaften magneti-
scher Festkorper, VEB Deutschen Verlag, Leipzig, 1967, p. 88.
529. J. G r u n z w e i g, M. К u z n i e t z, J. Appl. Phys. 39, 905 A968).
530. L. F. Bates, D. Hughes, Proc. Phys. Soc. B67, 28 A954).
531 W. Trzebiatowski, A. Sliwa, B.Stalirtski, Rocznini Chem. 26,
110 A952); 28, 12 A954).
532. D. M. G r u e n, J. Chem. Phys. 23, 1708 A955).
533. W. H e n r y, D. M. G r u e n, Phys. Rev. 98, 1200 A955).
534. S. T. L i u, A. R. К a u f m a n, Phys. Rev. 102, 640 A956).
535. С. О 1 s e n, T. S a n d a u e r, B.Matthias, J. Appl. Phys. 34, 1358 A963).
536. W. Trzebiatowski, R. Tro6, J. Leeiejewicz, Bull. Acad. Polon.
Sci., Ser. sci. chim. 10, 395 A962).
— 772 —

537. L. F.Bates, R. P. Unstaed, Brit. J. Appl. Phys. 15, 543 A964).
538. С DeNovion, P. Costa, R. Lallement, F. Asellin, N. Loreen-
z e 11 i, Colloque Int. «Derive Semimetalliques» Orsay, 1965.
539. R. Troc, W. Trzebiatowski, не опубликовано.
540. M. A 11 b u t t, A. R. J u n r i s о n, R. M. D e 11, Proc. Int. Symp. on Сотр. of
Interes in Nucl. Res. Techn., Boulder, Colorado, 1964, pp. 65—81.
541. M. A 11 b u t t, A. R. J u n k i s о n, R. M. D e 11, Met. Soc. Am. Inst. Mining.
Met. Petrol, Engrs, Inst. Metals, Div. Spec. Rept., Ser. 10, 63 A964).
542. W. Trzebiatowski, R. Troc, Bull. Acad. Polon, Sci., Ser. sci. chim. 11,
661 A963); 12, 258 A964).
543. W. Trzebiatowski, A. Sepichowski, A. Zygmunt, Bull. Acad.
Polon., Sci., Ser. sci. chim. 12, 687 A964).
544. R. Troc, A. Morasik, A. Zygmunt, J. Leciejewicz, Phys. Stat.
Sol. 23, K123 A967).
545. W. Trzebiatowski, A. Zygmunt, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. chim.
14, 495 A966).
546. A. Ditchenko, F. С Gortsewa, Inorg. chem. 2, 1079 A963).
547. W. Trzebiatowski, W. Suski, Rocznini Chem. 37, 117 A963).
548. M. А. К a n t e г, С W. К a z m i e г о w i с z, Bull. Am. Phys. Soc. Ser. 11, 7;
566 A962).
549. D. E. С о x, G. S h i r a n e, В. С F r a z e г, С. Е. О 1 s e n, Bull. Am. Phys. Soc,
Ser. II, 11, 255 A966).
550. W. Trzebiatowski, W. Suski, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. chem.
10, 395 A962).
551. W. Trzebiatowski, W. Suski, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. chem.
8, 457 A960).
552. J. H. Weriiick, H. J. Williams, D. S h a 1 t i e 1, R. С Sherwood,
J. Appl. Phys. 36, 982 A965).
553. В. И. Чечерников, Т. М. Шавишвили, В. А. Плетюшкин,
В. К. Славянских, Г. В. Э л л е р т, ЖЭТФ 54, 1715 A968).
554. В. И. Чечерников, Т. М. Шавишвили, В. А. Плетюшкин,
В. К. Славянских, ЖЭТФ 55, 151 A968).
555. J. В. С о m 1 у, J. Appl. Phys. 39, 716 A968).
556. J.W.Ross.D. J.Lam.J. Appl. Phys. 38, 1451 A967).
557. S. S. Si dhu et al., J. Phys. Chem. Sol. 27, 1197 A966).
558. H. U. Rahman, W. A. R u n с i m a n, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1833 A966).
559. J. Przystawa, W. Suski, Phys. Stat. Sol. 20, 451 A967).
560. J. Przystawa, Phys. Stat. Sol. 24, 313 A967).
561. A. P. С г а с k n e 1 1, M. R. Daniel, Proc. Phys. Soc. 92, 705 A967).
562. J.Lecieijewicz, A. Murasik, R. Troc, Phys. stat. sol. 30, 157 A968).
563. O. N о g a i, J. Phys. Soc. Japan 22, 947 A967).
564. R.Aleonard, J. Phys. Chem. Sol. 15, 167 A960).
565. T. F. Connoly, E. D. Copenhaver, Bibliography of Magnetic Mate-
Materials and Tabulation of Magnetic Transition Temperatures, ORNL—RMiC (Rev. 2)
Oak Ridge National Lab., Oak Ridge, Tennessee, USA, July 1970.
566. А. А. Бердыше в, Б. М. Летфулов, ФММ 28, 582 A969).
567. P. M. Levy, Sol. St. Comm. 7, 1813 A969).
568. К. П. Белов, Л. И. Королева, ФММ 29, 180 A970).
569. N. F u с h i k a m i, J. Phys. Soc. Japan 28, 871 A970).
570. В. Г. Барьяхтар, В. А. Попов, ФТТ 10, 773 A968).
571. J. P. T i m b i e, R. M. White, Sol. State Comm. 8, 513 A970).
572. P. D. L о 1 у, Р. М i k u s i k, Phys. Rev. IB, 3204 A970).
573. G. G о г о d e t s k у et al., Phys. Rev. 187, 637 A969).
574. G. G о г о d e t s k y, J. Phys. Chem. Sol. 30, 1745 A969).
575. M. R о b b i n s, G. K. W e r t b e i m, A. M e n t h, R. С Sherwood,
J. Phys. Chem. Sol. 30, 1823 A969).
576. J. D. Cashiok, A. H. С о о k e, D. M. M a r t i k, M. R. Wells,
J. Appl. Phys. 41, 1193 A970).
577. L. G. van U i t e r t, R. C. Sherwood, E. M. G у a r g e y, W.V. Gi-
Giro d i k i e w i с z, Appl. Phys. Lett. 10, 84 A970).
578. S. Mori, J. Phys. Soc. Japan 28, 44 A970).
579. Ю. М. Г у ф а н, Письма ЖЭТФ 8, 271 A968).
580. R. L. Townsend, Т. G. P h i I 1 i p s, R. L. White Sol. State Comm.
6, 603 A968);
581. T. S. G. Krishnamurty, P. Gopalakrishnamurty, Acta
Cryst. A25, 332 A969).
582. Л. Н. Булаевский, В. М. Ф а й н, Письма ЖЭТФ 8, 208 A968).
583. R. M. Hornzeich, J. Appl. Phys. 41, 950 A970).
584. D. J. S i m k i n, Phys. Rev. 177, 1008 A969).
585. M. T i n k h a m, Phys. Rev. 188, 967 A969).
586. M. A t о j i, J. Phys. Soc. Japan 26, 1321 A969).
587. V. A. S h m i d t, S. A. F r i d b e r g, Phys. Rev. IB, 2250 A970).

лава 23
ТЕОРИЯ КРИВЫХ НАМАГНИЧИВАНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
§ 1. Введение
П. Вейсс [1] на основе высказанной им гипотезы областей самопро-
самопроизвольной намагниченности — доменов (см. гл. 17) пытался построить
теорию кривых намагничивания ферромагнетиков. Однако его попытки
носили чисто качественный характер. Построение современной теории
этих кривых стало возможным после накопления достаточного количества
опытных данных о свойствах анизотропии ферромагнитных монокристал-
монокристаллов и их теоретического объяснения. Исторически первые эксперименты,
установившие магнитную анизотропию ферромагнитных монокристаллов,
были проведены еще в 1904—1905 гг. Вейссом [2] на естественных кристал-
кристаллах магнетита и пирротина. Изучение этого явления на искусственно
приготовленных монокристаллах Fe—Si впервые (в 1918 г.) провел Бек [3].
Анизотропию монокристаллов Fe изучали Вебстер [4], Хонда и Кайя [5],
Хонда и Мазияма [6], Герлах [7]; Ni исследовали Сексмит и Поттер [8],
Сексмити др. [9], Кайя [10], а Со — Кайя [11]. Теоретическая интерпрета-
интерпретация этих кривых была впервые дана в известных работах Акулова [12—
16] (см. также книгу Акулова A939) и работы Махаяни [17], Беккера [18]
и Гейзенберга [19]). Установленное на основании соображений симметрии
и классических микроскопических расчетов универсальное соотношение
для энергии магнитной анизотропии позволило создать общую феномено-
феноменологическую теорию кривых намагничивания ферромагнитных монокри-
монокристаллов в области процессов вращения (см. ниже § 11).
Важнейшим этапом в развитии теории кривой намагничивания яви-
явилась работа Ландау и Лифшица [20], в которой было дано теоретическое
обоснование вейссовской гипотезе доменов, а также процессам смещения
границ между ними, обнаруженным в опытах Сикстуса и Тонкса [21—23].
В этой главе будет дана краткая сводка современного состояния
теории кривой намагничивания ферромагнетиков *).
§ 2. Основные типы взаимодействий в ферромагнитном кристалле
Основная задача теории кривой намагничивания ферромагнетиков
заключается в расчете этой кривой и определении ее зависимости от различ-
различных внешних воздействий и внутренних свойств ферромагнитного мате-
материала. Прежде всего теория должна дать обоснование гипотезе доменов,
являющихся причиной самого, существования кривой. Для решения этого
вопроса требуется знать взаимодействия между элементарными но-
носителями магнитных моментов, управляющие процессами намагничи-
намагничивания.
*) Более подробное изложение этой проблемы можно найти в монографиях Аку-
Акулова A939), Беккера и Дёринга A939), Вонсовского и Шура A948), Бозорта A956),
Кнеллера A962), Чикацуми A964), Морриша A965), Крейка и Теббла A965) и в обзо-
обзорах Киттеля [24] и Киттеля и Галта [25].
- 774 —

Полный термодинамический потенциал F ферромагнитного кристалла
во внешнем магнитном поле можно приближенно представить в виде суммы
Р — Роб + ^аниз ~Г ^упр + Рм. упр + Ра + ^разм + Рн,
где отдельные слагаемые имеют следующее значение: Foe — энергия обмен-
обменного взаимодействия, FaHIi3 — энергия кристаллографической ммгнитной
анизотропии, Fjnv — внутренняя упругая энергия кристалла, FM, упр —
энергия магнитоупругого взаимодействия, Fo — энергия внешних напряже-
напряжений, связанная с магнитострикцией, Fpa3M — энергия размагничивающего
поля образца и FH — энергия намагниченного образца во внешнем магнит-
магнитном поле.
1. Обменное взаимодействие. Выше уже подробно описывались обмен-
обменные силы, приводящие в известных условиях к существованию само-
самопроизвольной намагниченности (гл. 18—22). Здесь нас будут интересовать
лишь отклонения от равновесного значения энергии этих сил, даваемые
формулой A9.29) и возникающие при нарушении однородности самопро-
самопроизвольной намагниченности. Эта добавка к энергии существенно положи-
положительна (А > 0), поэтому обменные силы противятся всякому нарушению
однородности намагниченности.
Из формулы A9.29) для плотности обменной энергии находим (см.
[20]) для п.к. решетки
^ П B3.1)
где / = A/2S2 — перенормированный обменный параметр, S — спиновое
квантовое число атома, Va, (i = z, у, z) — градиенты направляющих
косинусов вектора самопроизвольной намагниченности относительно
координатных осей. Следует еще раз подчеркнуть, что выражение B3.1)
имеет гораздо большую общность, чем гейзенберговская модель локализо-
локализованных спинов [26], как это показано в работе Ландау и Лифшица [20],
Лифшица [27, 28] и Херринга и Киттеля [29]. Для оценок очень полезна
квазиклассическая формула для обменной энергии пары соседних спинов
в решетке [см. A7.7) или A9.29а)], когда угол ф между ними очень мал
(coscp да 1 - ф2/2):
Шоб = — 2JS2 cos ф да const + JS2q>2. B3.2)
Связь параметра / с экспериментальными величинами может быть полу-
получена, например, при помощи статистических расчетов по теории молеку-
молекулярного поля *) (см. гл. 18 и 19, а также работы [30—33]). Для Fe при
S = 1 это дает (см, Киттель [24]).
/=160АБ. B3.3)
Более корректное определение параметра / предложил Лифшиц [27, 28],
используя связь / с экспериментально наблюдаемой константой в бло-
ховском законе Тъ>2 A9.118). Если воспользоваться формулой Мёллера
[34] для коэффициента С перед Т3^2 в этом законе.
С =
0,0587
(w):
25
то для Fe из опытов Фалло [35] находим С = 3,5-10~в и при 5=1
получаем
/=205&в, B3.5)
что находится в хорошем согласии с первой оценкой B3.3). Таким
образом, можно принять с достаточной точностью, что коэффициент
*) Используя при этом равенство (для энергии в единице объема) 2JS4v/2a3 =
= A/2) NWIS, где z — число ближайших соседей, а v — число узлов в элементарной
ячейке кристалла, Nw — постоянная вейссовского молекулярного поля. Таким
образом, в этом методе используют для определения / (или А) значения точек Кюри
(или Nw) и Is.
— 775 —

в B3.1) по порядку величины равен (в случае железа при S — 1)
2 ¦ 10~6 эРг1см- <23-6>
4l0fci?
В случае Ni и Со соответствующие величины равны 0,07 -Ю и 1,5 X
X 10~6 эрг-см'1. Сиви и Танненвальд [36] предложили метод определения
обменного параметра путем использования данных по измерению спин-
волнового резонанса (см. гл. 24). При наложении сильного постоянного
внешнего магнитного поля, перпендикулярного ферромагнитной пленке,
и радиочастотного поля в ее плоскости в пленке возникает неоднородная
прецессия спинов по толще образца в виде стоячих спиновых волн.
Поскольку при этом происходит некоторое нарушение параллельности
соседних спинов, то это приводит к увеличению обменной энергии. Поэто-
Поэтому параметр А (или /) будет входить в дисперсионное соотношение для
спиновых волн:
w0 ^ ni 2А тя
1 да ?1 -\ у— К .
У Is
Задавая частоту со0 внешнего поля постоянной, добиваются резонанса,
варьируя поле Н. Параметр А определяют из приведенного выше уравне-
уравнения. Величина волнового вектора | к | при этом равна: к = nn/L, где
L — толщина пленки, an — номер резонансного пика (см. гл. 24). Для
Ni Кимура и Нозе [37] нашли, что А = 0,75-10~6 эрг/см; Фрайт и Ондрис
[38] дают А = 0,9 -10~6 эрг/см; для Со по данным Танненвальда и Вебе-
ра [39] имеем 1,3 -10~в эрг/см; для Fe Фрайт и Ондрис [38] дают 2,0 X
X 10~е эрг/см. Для ряда сплавов данные для А приведены в обзорах
Фрайта [40] и Дёринга [41]. Оба указанных метода определения парамет-
параметра А основаны на использовании дисперсионного соотношения со (к):
первый для термически возбуждаемых спиновых волн, а второй для спи-
спиновых волн, возбуждаемых микроволновым полем. Метфессель и др. [42]
предложили еще один метод, в котором параметр А определяется сравне-
сравнением характерной длины бгр = (A/KIJ2 (см. ниже § 4, п. 2), где К —
энергия магнитной анизотропии, с геометрическими размерами тонкого
ферромагнитного образца. Этот метод основан на влиянии неоднородного
магнитного поля, создаваемого электрическим током, протекающим по
образцу, на его намагниченность. Для пленки пермаллоевого сплава
80% Ni — 20% Fe эксперимент дал А = 0,55 -10~6 эрг/см. Наконец,
параметр А можно определить по толщине граничного слоя между доме-
доменами или по размерам доменов (см. ниже § 4, п. 2). Так, например, Кацер
и др. [43] определили параметр А для тонкой пленки бариевого феррита
и нашли, что А = 0,61 «10~6 эрг/см при 20е С и уменьшается до А =
= 0,24 -Ю-6 эрг/см при 300° С.
2. Энергия магнитной кристаллографической анизотропии. Из ана-
анализа кривых намагничивания ферромагнитных монокристаллов вытекает,
что они обладают резко выраженной магнитной кристаллографической
анизотропией (гл. 7), в основном сводящейся к тому, что в ферромагнит-
ферромагнитном монокристалле имеются оси легкого и трудного намагничивания (см.,.
например, рис. 23.1—23.3).
Физическую причину этой анизотропии впервые выяснил Акулов [12],
который показал, что ответственным за нее является магнитное взаимо-
взаимодействие между элементарными магнитиками. Минимум свободной энер-
энергии магнитной кристаллографической анизотропии *) FaHH3 (ax, ay, az)
*) Следует различать свободную энергию ^^3 ПРИ постоянных напряжениях
— ПРИ постоянных деформациях. Как правило, эти энергии мало различаются.
иГможно принять приближенно, что F^H3 я» ^^из = ^аниз (см- ниже). Кроме того,
свободная энергия F зависит от температуры, поэтому все константы (К, X, с^ ит.д.,
см. ниже), которые входят в различные слагаемые F, также зависят от Т.
— 776 —

ферромагнитного кристалла, как функции направляющих косинусов
углов вектора Is относительно осей кристалла, достигается, когда намаг-
намагниченность направлена вдоль осей легчайшего намагничивания *).
Опыт показывает, что всегда необходимо затрачивать работу внешних сил,
чтобы вывести векторы Js из этих легчайших осей. Эта работа равна^раз-
ности свободной энергии Д/^аниз начального и конечного состояния фер-
ферромагнитного кристалла.
Поскольку релятивистские — магнитные взаимодействия малы (ибо
их энергия пропорциональна отношению v2lc2), то свободная энергия
/,гс
то
1200
f
Fe
[too
1 .
— J
Й27
ЛЙ?
/^^
Рис. 23.1. Кривые намагничива-
намагничивания кубических монокристаллов Fe
для трех главных кристаллогра-
кристаллографических осей [100], [НО] и [111];
К2 > 0 (Хонда и Кайя [5]).
Рис. 23.2. Кривые намагничивания
кубических монокристаллов Ni для
трех главных кристаллографиче-
кристаллографических осей [100], [НО] и [111];
К2 < 0 (Кайя [10]).
получаемая по теории возмущений, будет в общем случае"иметь
вид ряда по возрастающим степеням этого взаимодействия, содержащего
спин (спин-спиновая и спин-орбитальная связи). Поэтому FaKVL3 запи-
записывается в форме ряда по возрастающим степеням компонент спина^т. е.
вектора намагниченности Js или его направ-
направляющих косинусов аг: №
^аниз— лпх, пу, п-р-х у z V""-'/
Здесь показатели степени пх, пу, nz — целые
числа такие, что пх + [пу + nz = In — чет-
четное число (поскольку энергия не должна
меняться при изменении знака времени, а
слагающие вектора Js при этом меняют знак);
по дважды встречающимся индексам произ-
производится суммирование. Набор отличных от
нуля (тензоров) констант анизотропии
1
/^[0001]
/
/Со
/\о1о
/torn]
2000 4000 6000
Н.э
, n n порядка n = T {nx
Пу + Пг) ОП- гексагональных
Рис. 23.3. Кривые намагничивания
монокристаллов
Co для двух главных кристал-
ределяетСЯ сижие/npueu феррОМаГНИТНОГО КрИ- лографических осей [0001], [1010]
сталла, а их величина, знак, температурный (Кайя [н]>.
ход и т. п. зависят от природы кристалла.
Так, например, в случае кубических кристаллов Fam/a равна линейной ком-
комбинации инвариантов преобразования симметрии кубического кристалла,
каждый из которых есть однородная функция степени 2ге. Этот случай
детально проанализирован в работе Виглина [44], который показал чта
*) Осью легчайшего намагничивания называется та из легких осей, при ориен-
ориентации вдоль которой вектора Is свободная энергия достигает абсолютного минимума.
при ориентации Js вдоль прочих легких осей F достигает одного из относительных
минимумов.
- 777 —

в Fajm3 входит по одному независимому инварианту от п = 2 до п = 5 *).
Обычно FKJ^ записывается в виде
Э.ИИЗ
F%L = К К«2 + *У* + °М + Кг^Р^\ + К, (а%2 + а^ + а^сф* + ...
B3.8)
Однако, как показали Туров и Мицек [45] [см., также Туров A963)], такая
запись не всегда удобна (см. ниже), выгоднее вести разложение FanW3 по
гармоническим инвариантам /„, удовлетворяющим уравнению Лапласа
Д/„ = 0. B3.9)
Для кубического кристалла получаем [45]
L = К2 [а* + а? + а* - 3 (а?а? + а^ + сфф] +
+ Кг [а^ аб + аб + Ц (aW + аЭД + а*а| + сфх* + а^а* + а*а|) +
- 14 (а^а^ + а^ + aea
^ав) + 35 (a^af + а^а*^ + aW)]. B3.10)
Обычная запись /'аниз Для одноосных (гексагональных с осью z) кристал-
кристаллов имеет вид (без учета анизотропии в базисной плоскости):
Р1Ш>а = К1 (al+al) + K2(a*x + alf+ ... B3.11)
а через гармонические инварианты (с учетом анизотропии в базисной
плоскости)
^аниз (гарм) = К, (а% + а\ - 2а») + К2 [(а| + а§J - 8 (а% + aj) a\ + -| а*] +
B3Л2)
Подробная сводка опытных данных до 1962 г. дана в монографии Кнел-
лера A962) (см. также п. 7).
3. Упругая и магнитоупругая энергии. Исходя из общих соображений
симметрии, можно определить общую форму зависимости энергии магнит-
магнитного (релятивистского) взаимодействия от ориентации намагниченности
в кристалле, от компонент тензора упругих деформаций решетки и от
внешних упругих напряжений (Акулов [13], Махаяни [17], Гейзенберг [19],
Ганс [46], Ганс и Черлинский [47]).
При возможных изменениях ориентации самопроизвольной намагни-
намагниченности в кристалле изменяются равновесные расстояния между узлами
решетки. Поэтому возникают самопроизвольные магнитпостприкционные
деформации. В частном случае кубического кристалла в отсутствие
внешних напряжений свободная энергия магнитного и упругого взаимо-
взаимодействия (с точностью до шестых степеней в направляющих косинусах
вектора Js и вторых степеней тензора магнитострикционных напряжений
uik) будет складываться из трех выражений, а именно:
1) свободной энергии естественной магнитной анизотропии недефор-
мированного кристалла B3.8);
2) свободной энергии упругих напряжений кристалла (без учета маг-
магнитных эффектов), которая для кубических кристаллов имеет вид
л
¦^"упр = ~2 С и (Uxx + и\у + u\z) + Сi2(uxxUyy -f- UyyUzz + UzzUxx) "Г
B3.13)
*) Член св=1 содержит тривиальный инвариант а% + a2v + a| = 1 и поэто-
поэтому исключается. Вместе с тем наличие такого инварианта делает неоднозначной запись
^аниз в кубических кристаллах, поскольку можно исключать из рассмотрения те или
иные допускаемые симметрией инварианты, используя условие а% -\- а| -\- а\ = 1.
- 778 —

где Сп, С^ и С44*) — модули упругости кристаллов кубической системы,
a uth (i, к = х, у, z) — тензор упругих деформаций;
3) свободной энергии магнитострикционных напряжений, которая
для кубических кристаллов имеет следующий вид**):
m. упр
= а0 {Uxx + Щу + Uzz) +
2a2 (axayuxv -\- avazuyz + axazuxz) + a3 (uxx + uvy + wzz) s +
ж + ("s + y^-y) мад + (a* +j«--3) wz
2a6 (a^a^aluaij, + a2xayazuyz + axa2vazuzx), B3.14)
%, at (i= 1, 2, 3, 4, 5) — константы магнитоупругой
ориентации самопроизвольной намагниченности
где s — a%al-\-a^a
связи.
При неизменной
(a; = const) компоненты тензора магнитострикционных деформаций
находим из условий минимума суммарной свободной энергии B3.8),
B3.13) и B3.14)
(^ + ^+^ упр) = 0 (i, k = X,y,z).
7
uih
Подставляя найденные компоненты
свободной энергии, получим
в выражение для суммарной
B3.15)
где ***)
Си — Сл
(Сц-<
3 (Cl2—С12)
3a0a3DCi2 —Си)
К'з = Кз — ~
2a|
4a2a5
— C
l2
— C
12
44
44
— К
4
B3.16)
В зависимости от соотношения величин и знаков результирующих
констант магнитной анизотропии К'2, К'3 и К\ в монокристалле возникают
те или иные оси легчайшего намагничивания, для которых B3.15) имеет
минимальное значение; так, например, в Fe или пермаллое К'2 и К'3 ;> О,
поэтому осями легчайшего намагничивания являются оси типа [100],
а в Ni имеем К'2 < 0, поэтому эти оси суть направления типа [111].
Зная равновесные магнитострикционные деформации uffe'c, можно по-
получить, как впервые показал Акулов [12], выражение для относительного
*) Для Fe (Кимура и Оно [48]):
Cti = 2,41 -1012 эрг/см3, Ci2 = 1,46.1012 и С44 = 1Д2Л012;
для Ni (Бозорт и др. [49]):
Сц = 2,5-1012, С12 = 1,6-1012, С44 = 1,185-Ю12.
Все значения получены при комнатной температуре C00° К).
**) Туров и Мицек [50] отметили, что FM_ упр удобнее также записывать через
гармонические инварианты.
***) Физическое различие между К{ и Ki заключается в том, что Kt определяют
энергию анизотропии при постоянном объеме, а Кг — при постоянных напряже-
напряжениях. Практически всегда осуществляется второй случай (см. примечание на стр. 776).
— 779 -

удлинения ферромагнетика:
-r)L-2 "&*<«')&& (t,k = x,y,i).
11 i, ft
Здесь рж, Pj,, pz — направляющие косинусы направления удлинения
a cca-a^o^ — направляющие косинусы вектора Js.
В результате элементарных вычислений, с точностью до членов квад-
квадратичных относительно at-, например для кристаллов кубической сим-
симметрии, получаем
xfiy -\-a,yaz$y$z + о^а^Ря), B3.17)
где
^ и Л
— константы магнитострикции соответственно для осей [100] и [111] при
переходе от размагниченного состояния кристалла к его насыщению вдоль
этих осей *).
4. Энергия внешних напряжений. В присутствии внешних напряже-
напряжений, описываемых тензором oik, к энергиям B3.8), B3.13) и B3.14) надо
добавить еще член
S (i,k = x,y,z), B3.18)
ift
где ulk — тензор упругих деформаций, вызванных и магнитострикцией
и внешними напряжениями. Определяя опять равновесные значения и1к
и подставляя их в выражение полной свободной энергии, найдем добавоч-
добавочную к свободной энергии B3.15) часть, вызванную внешними напряжения-
напряжениями. При однородных напряжениях в случае кубического кристалла имеем
а-1к=--аугук (i,k = x,y,z),
где a — величина внешнего однородного напряжения, а y-t — его направ-
направляющие косинусы относительно осей кристалла. Эта добавка к свободной
энергии, с точностью до членов, квадратичных относительно ah выра-
выражается формулой
Fo = — — [Я100 (a.xyl + <4y» + a'Y') + 2^in (ахауухуу + c(.ya.zyyyz + yzaxyzyx)].
B3.19)
Энергия B3.19) имеет особенно существенное значение при сильных
напряжениях (kso ^> К) или при незначительной естественной магнитной
анизотропии. В этом случае результирующая магнитная анизотропия
практически целиком обусловливается внешними напряжениями. В част-
частности, при слабой анизотропии магнитострикции, когда Х1Оо ~ ^ш ~ Я8,
выражение B3.19) приобретает весьма простой вид:
FG= —|^cos2cp, B3.20)
где cos ф = а.хух + ссууу + a.zyz, q> — угол между вектором Js и на-
направлением однородного напряжения.
*) Например [25], для Fe:
Я100 = 19,5- 10-е и Яш=— 18,8-10-в;
а1 = —2,9-Ю7 эрг/см3, а2 = 6,4.107 эрг/см?;
для Ni:
кт=— 46-10-6, Яш=—25-10-e, a- = 6,2-107 эрг/см? и а2 = 9,0-107 эрг/смК
— 780 —

5. Физическая природа естественной магнитной анизотропии. Хотя
магнитное взаимодействие является малой поправкой к электрическим
обменным силам, обусловливающим самопроизвольную намагниченность,
тем не менее они играют решающую роль во всем сложном комплексе
явлений технического намагничивания. Поэтому выяснение физической
природы магнитного взаимодействия в ферромагнетиках имеет не только
теоретическое значение, но необходимо и для ясного понимания механизма
тех физических процессов, которые обусловливают всю практическую
ценность явления ферромагнетизма.
В первых работах Акулова [12, 13] магнитное взаимодействие в фер-
ферромагнитных кристаллах с микроскопической точки зрения трактовалось
чисто классическим путем. Квантовомеханическая трактовка была дана
в работах Блоха и Джентиля [51], Вонсовского [52], Ван-Флека [53],
Ван Пайпа [54], Брукса [55], Карра [56] и Тессмана [57]. Классическую
теорию температурной зависимости констант магнитной анизотропии раз-
развили Акулов [58] и Зинер [59], исходя из представления о том, что около
каждого узла решетки можно выделить области ближнего магнитного
порядка с не зависящими от температуры локальными константами анизо-
анизотропии. Локальные мгновенные намагниченности этих областей из-за
теплового движения распределены хаотически и образуют среднюю нама-
намагниченность всего кристалла. Отсюда удается определить связь между тем-
температурным ходом констант анизотропии и намагниченности в виде
Кп(Т)
где п — порядок константы (см. выше). Таким образом, мы приходим
к универсальной зависимости К\ ~ II и К2 ~ 11°. В работе Карра [56]
было показано, что результат B3.21) получается в приближении теории
молекулярного поля (см. гл. 18). Микроскопические трактовки этой про-
проблемы даны в работах Ван-Флека [53], Тябликова [60], Тябликоваи Гусе-
Гусева [61], Пала [62], Кеффера [63], Касуйя [64], Бреннера [65], Кеффера
и Огучи [66], Потапкова [67], Каллена [68], Тер Хаара и Лайнеса [69],
Рыбарска [70], обзорах Ван-Флека [31, 71] и Канамори [72].
В основе всех расчетов по микроскопической теории магнитной ани-
анизотропии лежит учет магнитного взаимодействия между спиновыми
и орбитальными магнитными моментами электронов, принимающих уча-
участие в ферромагнетизме. В общем случае оператор магнитной энергии
складывается из трех членов.
Ф 17 4-Г7 -4-77 - V еП [Vl}V}] a I V е2 1Г1Г' 2vi'-vl]a ,
i.i гз Ш'
}ФУ "'
где Ui — оператор, соответствующий движению электронов относительно
ионов решетки,— спин-орбитальная энергия; U2 — оператор магнитной
энергии, возникающей вследствие относительного движения самих элек-
электронов, —орбитальная энергия; U3 — оператор энергии магнитного
взаимодействия спиновых магнитных моментов электронов — спиновая
энергия (в первом приближении имеет вид дипольного взаимодействия).
Эту часть энергии называют иногда псевдодипольной *) или анизотроп-
анизотропной обменной. Индекс пробегает номера всех ионов заряда Ze; / и /' —
номера всех электронов; Vj — оператор вектора скорости; о,- — спин
*) В высших приближениях теории возмущений появляются еще квазиквадру-
польные члены ~ (ff/r^,J (ff^r^,J.
- 781 —

электрона j. В общем случае коэффициенты е2/2тс2 в суммах B3.22)
заменяются некоторыми неизвестными параметрами *).
Эффект орбитального взаимодействия ZJ\ и U2, проявляющийся в слу-
случае изолированных атомов в образовании тонкой структуры спектральных
линий приводит к появлению «внутренних магнитных полей» порядка
10Б з. С другой стороны, «эквивалентное магнитное поле» анизотропии фер-
ферромагнетиков, определяемое величиной поля, при котором достигается
насыщение в монокристалле вдоль труднейших направлений намагничи-
намагничивания (см. рис. 23.1), оказывается порядка 102 э и лишь в редких случаях
(Со, пирротин) достигает 103—104з. Объяснение этого несоответствия заклю-
заключается в том, что в отличие от атомов, где орбитальные моменты отличны
от нуля (за исключением S-coстояний), в ферромагнитных кристаллах
(например, в й-металлах и сплавах), как показывают измерения гиро-
гиромагнитного эффекта, средний орбитальный магнитный момент по кристал-
кристаллу почти всегда практически равен нулю. Поэтому в первом прибли-
приближении эффект спин-орбитальных энергий U\ и U2 также равен нулю. От-
Отличный от нуля эффект получается лишь во втором и более высоких при-
приближениях.
Что же касается спиновой части магнитного взаимодействия U3, кото-
которая хотя и дает отличный от нуля эффект в первом приближении, но тем
не менее не обеспечивает наблюдаемый на опыте порядок величины эффек-
эффективных «полей» благодаря своей малости **).
Несмотря на отсутствие законченной квантовой трактовки магнитного
взаимодействия в ферромагнетиках, в этой области имеются известные
успехи. Так, например, удалось объяснить правильный порядок величи-
величины констант магнитной анизотропии. В частности, без всяких дополни-
дополнительных соображений из теории следует, что в кубических кристаллах
(Fe, Ni) константы анизотропии должны быть меньше по абсолютной
величине, чем в случае гексагональных кристаллов (Со, пирротин). Это
вытекает из свойств симметрии кубических кристаллов, в которых первое
приближение для дипольной энергии U3 и второе приближение для орби-
орбитальных энергий Ui и U2 не приводит к зависимости свободной энергии
кристалла от ориентации его намагниченности относительно кристалло-
кристаллографических осей. Для получения этой зависимости надо рассматривать
следующие приближения, в то время как в гексагональных решетках
анизотропия получается и в первом приближении для Uz, и во втором
для Ui и U2.
Остановимся несколько подробнее на микромеханизме явления есте-
естественной кристаллографической магнитной анизотропии. Поскольку
в создании самопроизвольной намагниченности ферро- и антиферромагне-
антиферромагнетиков основную роль играют электронные спины, то микроскопическая
энергия, ответственная за магнитную анизотропию, должна зависеть от
состояния этих спинов в кристалле, а также отражать симметрию рас-
распределения спиновой и зарядовой (орбитальной) плотности в кристалле.
Наиболее простым является механизм магнитного дипольного взаимо-
взаимодействия спинов (см., например, [73]).
К сожалению, однако, учет лишь дипольного межэлектронного вза-
взаимодействия не может, как правило, объяснить наблюдаемую на опыте
величину энергии магнитной анизотропии.
*) Детальное квантовомеханическое исследование магнитного взаимодействия
электронов в ферромагнитных кристаллах проведено в работе Вонсовского, Власова
и Турова [73].
**) В недеформированной кубической решетке взаимодействие U3 магнитных
диполей не дает анизотропии. Учет спонтанных магнитострикционных деформаций
(Беккер [18]) кубической решетки дает лишь очень слабую анизотропию, а именно,
около 1/1000 от наблюдаемой в Fe или Ni. To же самое имеет место и в одноосных кри-
кристаллах, где дипольная энергия может обеспечить лишь около 1% от наблюдаемой
величины энергии Falm3.
— 782 —

Другой из упомянутых выше механизмов заключается в связи между
спином и орбитальным движением электронов [например, описываемой
членами U^ и Uz гамильтониана B3.22)].
Киттель и Галт [25] дают следующее наглядное объяснение физиче-
физического механизма магнитной анизотропии из-за спин-орбитальной связи.
В основу своего объяснения они кладут общепризнанное положение, что
само появление этой анизотропии обусловлено совместным действием
спин-орбитальной связи, частичного замораживания орбитальных момен-
моментов неоднородными кристаллическими полями и орбитальным обменным
взаимодействием соседних атомов (см. гл. 10). Таким образом, самопроиз-
самопроизвольная намагниченность кристалла «чувствует» ионную решетку через
орбитальное движение магнитных электронов. Спины, участвующие
в намагниченности, взаимодействуют с орбитальным движением с помо-
помощью спин-орбитальной связи, а орбитальное движение связано с решеткой
полем лигандов *),
Микроскопическая энергия, возникающая благодаря этому механиз-
механизму, может быть в свою очередь двух типов:
1) спин-орбитальная связь, которая зависит от спиновых состояний
двух или более ионов-носителей магнитного момента (парная модель
магнитной анизотопии);
2) связь, зависящая от спинового состояния только отдельных ионов
(одноионная модель магнитной анизотропии; см., например, работы Вольфа
[75], Войтовича [76], а также [77, 78]). Последний механизм оказывается
наиболее близким к реальной ситуации, которая имеет место в неметал-
неметаллических антиферро- и ферримагнетиках, в которых магнитноактивные
ионы находятся в окружении магнитно нейтральных анионов. Под дей-
действием поля лигандов, симметрия которого определяется типом кристалла,
происходит расщепление уровней магнитного иона. В результате основ-
основному состоянию в зависимости от структуры кристаллической решетки
будут соответствовать различные типы уровней, что приводит к магнит-
магнитной анизотропии кристалла с магнитным порядком.
6. Температурная зависимость магнитной анизотропии. Вопрос о тем-
температурной зависимости магнитной анизотропии в области низких темпе-
температур в рамках наиболее последовательной феноменологической трактов-
трактовки спиновых волн дали Туров и Мицек [45] (см, также Киттель и Ван-
Флек [79], Е. Каллен и Г. Каллен [80], Пикин [81]). Они показали, что при
обычных формах записи /^низ [например B3.8), B3.11) и т. п.] температур-
температурное изменение констант анизотропии порядка п может существенно зави-
зависеть от величины отношения последующих констант к данной при 0° К.
Общее выражение для /^низ (Т) имеет вид [45]
= 2 {l—|--^р-[2»Bга+1) + Ло]}/п@); B3.23)
где
Аа = д/д КJ + д/д (ayf + д/д (а2J,
/п@)= 2 КПхПуП2@)апххапу"ап/, B3.23a)
здесь /„ @) — однородный полином степени 2га, A/s (Т) = /в0 — IS(T) —
температурное изменение самопроизвольной намагниченности.
Если энергия Fami3 записана в форме
= 2 К'п (Т) (а?"+ а*" + О, B3.24)
*) Более детальное обсуждение этого вопроса можно найти в обзорах Ван-Фле-
ка [31], Канамори [72] и Иосида [74], а также в книге Чикацуми A964).
— 783 —

то в случае кубических кристаллов для констант имеем место соотно-
соотношение
К'п(Т) = К'п@) {l-
B3.25)
Из B3.23) видно, что константы анизотропии различных порядков
в'формулах типа B3.25) не будут перепутываться лишь в том случае, если
энергию Fam:3 представить в виде разложения по однородным гармониче-
гармоническим полиномам — решениям уравнения Лапласа (Да/п = 0). В этом случае
для кубических кристаллов вместо B3.25) находим
B3.26)
Соотношение приближенно (при A/s (Т) < /s0) совпадает с формулой
Акулова — Зинера B3.21), но лишь при условии использования разло-
разложения FaHli3 по гармоническим инвариантам. Прецизионные эксперимен-
экспериментальные исследования температурной зависимости констант анизотропии
с одновременным определением A/s (T) в свете формулы B3.23) имеют
Таблица 23.1
Константы анизотропии некоторых ферромагнитных монокристаллов
Константы К2 и К3
Веществ о
Fe
Ni
Со
Fe3O4
Co0,8Fe2,2O4
Co1,1Fe1,9O4
Co0,3Zn0,2Fe2,2O4
Co0,3Mn0l4Fe2O4
Mn0,45Zn0,55Fe2O4
MnFeO4
Mn0,98Fei,8eO4
Nio,8Fe2,204
Nio,7Coo,oo2Fe2,204
Ni0,7Coo,oo4Fe2,204
Тип
решетки
О. Ц. К.
г. ц. к.
г. ц. к.
кубич.
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
Ю5 эрг/см*
4,8
—
—0,049
—9
-0,0135
39
18
15
И
—0,038
—0,28
—0,34
-0,39
-0,8
-0,10
к3,
105 эрг/смЗ
0,714
0,041
—2
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Температура
измерения,
°К
293
293
293
4,2
293
293
293
293
293
293
293
293
293
293
293
¦^аниз'
9
560
560
205
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Литера-
Литература
[94]
[95]
[96, 97]
[96, 97]
[983]
[102]
[102]
[102]
[102]
[103]
[102]
[102]
[102]
[102]
[102]
Константы К^ и К2
Вещество
Со
Gd
СгВг3
MnBi
ТЬ
.Dy
Тип
решетки
гекс.п.у.
» » »
» » »
» » »
» » »
» » »
Ki,
105 эрг/смз
43
—8,5
9,4
91
270+Ю
190±80
К2,
Ю5 эрг/см.3
12
25
—
26
—
—
Температура
измерения,
°К
293
4,2
1,5
293
105
116
аниз'
э
9500
—
6850
—
—
—
Литера-
Литература
[98]
[99]
[100]
[101]
[984]
[984]
— 784 —

принципиальное значение, ибо они позволяют проверить основы совре-
современной теории ферромагнетизма *). Мицек [93] также учел влияние тепло-
теплового расширения на температурную зависимость констант магнитной кри-
кристаллографической анизотропии ферромагнетиков (см. также Карр [56]).
Туров и Мицек [50] на основе той же феноменологической теории
спиновых волн исследовали температурную зависимость линейной (ани-
(анизотропной) и объемной (изотропной) магнитострикции (см. обзор [25],
а также работы Киттель и Ван-Флек [79], Е. Каллен и Г. Каллен [80]).
7. Опытные значения констант магнитной анизотропии. Константы
магнитной анизотропии играют существенную роль во всех процессах
технического намагничивания ферромагнетиков. Поэтому естественен инте-
интерес, который проявляется к измерениям этих констант в различных мате-
материалах. Основные экспериментальные методы определения этих констант
следующие: измерение работы намагничивания для главных кристалло-
кристаллографических направлений, сравнение опытных и теоретических кривых
12
10
Mn-Bi
/
/
/
/
/
1
/
/
Y
-Ж 0 200
Рис. 23.4. Температурная зависимость констант маг-
магнитной анизотропии К2 и К3 монокристаллов Fe.
Для сравнения приведена кривая Is(T) (Киренский
[107], Возорт [108]).
-2
О 60 160 240 320
Т,°Н
Рис. 23.5. Температурная зависимость
констант анизотропии К = Kt + Кг мо-
монокристалла сплава Mil — Bi (Гийо
[138]).
намагничивания монокристаллов, определение нормальной слагающей
намагниченности в монокристаллах, определение констант из измерений
кривых намагничивания поликристаллов в области очень сильных полей
и из измерений частот ферромагнитного резонанса [см. гл. 24; подробнее
см. книгу Кнеллера A962)]. В табл. 23.1 приведены числовые данные для
К2 (Ki) и К3 (К2) типичных материалов. Знак константы может быть
различным. Как уже отмечалось выше, важно знать температурную зависи-
зависимость констант анизотропии, так как она в значительной степени опреде-
определяет температурный ход всей совокупности «технических» свойств ферро-
ферромагнетиков. Опыт и теория показывают, что эта зависимость более
резкая, чем температурная зависимость самопроизвольой намагниченности
/s (Г). На рис. 23.4 приведены данные Киренского [107] и Бозорта [108]
для К2 (Т) и К3 (Т) монокристалла Fe в сравнении с кривой Is (T). Тем-
Температурную зависимость К2 для Fe подробно исследовали Титов [109],
Киренский [107] и Грэхэм [94, 110, 111]; для Ni измерения провели
Брюхатов и Киренский [112], Вильяме и Бозорт [113], Рейх [114], Пузей
*) По вопросу о температурной зависимости констант магнитной анизотропии
см. также работы: Карра [82], Е. Каллена и Г. Каллена [80, 83, 84], Чарапа [85],
Дрокина и Слободского [86], Клейна и Кнеллера [87], а также работы [88—92]. Вопрос
о применимости формулы B3.21) для антиферромагнитных кристаллов рассмотрен в ра-
работе [80], где показано, что квантовые поправки к энергии основного состояния вно-
вносят в нее изменения.
50 С. В. Вонсовскпй
— 785 —

го
О
-\
-
-
-
-
-
1
\
\
1
1
/
\
\
1
1
(ттриеЬ
грант
ый
77
-
-
-
1 °
150 250 350 450 550
[115]; для Со — Хонда и Мазумото [116], Сексмит и Томпсон [117], Род-
белл [96, 97]. В случае Со при температуре около 500° К константа меняет
знак. Это находит свое теоретическое объяснение в работе Вонсовского
[52]. Тарасов [118], Холл [119], Араис и др. [120] измерили константу
анизотропии важных технических сплавов Fe — Si (трансформаторное
железо), а Шубина [121] — ее температурную зависимость, которая ока-
оказалась похожей на температурную зависимость констант анизотропии Fe
(см. также Грэхэм [94]). Подробное ис-
исследование констант анизотропии раз-
различных ферромагнитных металлов и
сплавов произвели Займовский [122],
Альтгаузен [123], Акулов и Пузей
[124], Киренский [125], Пузей [126,
127], Холл [119] см. также [128—
137]. Весьма своеобразным оказался
ход температурной зависимости кон-
константы анизотропии сплава Mn — Bi
(рис. 23.5) по измерениям Гийо [138] и
Вильямса и др. [101]. Эта константа от-
отрицательна при очень низких темпера-
температурах (—2-Ю6 эрг/см3 при 0° К), при
80° К проходит через нуль и затем
монотонно круто возрастает, достигая
при 20° С величины 1,2-107 эрг/см3. За
последнее время появились многочис-
многочисленные исследования констант анизот-
анизотропии ферромагнетиков со структурой
шпинели и граната [139—148], а также
редкоземельных металлов [149] и их
соединений [150—153] *). Обращаем внимание на работу Ирхина и др.
[269], в которой развивается квантовая теория анизотропии редкоземель-
редкоземельных металлов.
Что касается проверки теоретической температурной зависимости
B3.21), то для типичных кубических металлов Fe и Ni хорошего согласия
между теорией и опытом не получается. Например, в случае Fe Грэхэм
[110] для К2 (Г) получил 8-ю степень, для Ni согласие еще хуже. Возмож-
Возможно, это объясняется тем, что формула B3.21), строго говоря, справедлива
для ферромагнитных диэлектриков (с локализованными моментами), хотя
например, измерения Родбелла [96, 97] для Со с г.ц.к. решеткой показали,
что в интервале температур от 4,2° К до 800° К этот ферромагнетик под-
подчиняется «закону 10-й степени». Вместе с тем для неметаллических ферро-
и ферримагнетиков, а также для редкоземельных металлов согласие между
теорией и опытом, как правило, очень хорошее. В качестве примера на
рис. 23.6 приведена кривая К2 (Т) для иттриевого граната по данным
Родриге и др. [154].
8. Энергия размагничивающего поля. Для определения равновесного
распределения самопроизвольной намагниченности важно знать также
энергию размагничивающего поля поверхностных (ffm = Div Is) и объем-
объемных (рт = div Ts) «магнитных зарядов». Плотность этой энергии равна
Рис. 23.6. Температурная зависимость
константы анизотропии иттриевого гра-
граната. Сплошная кривая — теоретическая,
кружками показаны экспериментальные
точки (Родриге и др. [154]).
г разм
B3.27)
В случае образца из однородного материала в форме эллипсоида, когда
можно ввести постоянный размагничивающий фактор N, т. е. /fo= — NI,
*) Особенно интересны в смысле своих магнитоанизотропных свойств сплавы
РЗМ с d-металлами, в особенности с Со. Эти сплавы обладают очень большой анизо-
анизотропией и поэтому могут быть исключительно важными как материалы для постоянных
магнитов (см. ниже, а также работы [281—283]).
_ 786 —

то энергия B3.27) принимает вид
1
' разм — ~2~ ¦*' * s>
B3.28)
для эллипсоидов с полуосями а, Ь, с при произвольной ориентации
вектора I (аа, <у.ь, ссс) имеем
= \ I2
Nbal
B3.29)
где а{ (i = a, b, с) — направляющие косинусы вектора I, Na, Nb, Nc —
размагничивающие факторы вдоль осей; при этом Na + Nb +NC = 4я.
Таблица 23.2
Размагничивающие факторы для эллипсоидов
вращения с полярной полуосью а
и экваториальной полуосью 6; д = а/Ь
(Стонер [157])
9
0,01
0,02
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
N
_Л-104
in
9845
9694
9262
8608
7505
6614
5882
5272
4758
4321
3944
3618
9
1,0
1,1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
N
_?.1О4
in
3333
3083
2861
2488
2187
1941
1736
1563
1417
1291
1182
1087
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
12,0
14,0
N
—2- 10В
in
8965
7541
6445
5582
4889
4323
3461
2842
2382
2029
1530
1200
9
16
18
20
25
30
35
40
45
50
60
80
100
N
_2-10в
in
9692
8013
6749
4671
3444
2655
2116
1730
1443
1053
637
430
Формула B3.28) или B3.29) дает выражение для энергии анизотропии
формы. Рассмотрим случай эллипсоида вращения (а > bJ= с, Nb =
= Nc, Na + 2Nb = 4я). Тогда B3.29) примет вид *)
= \ II (Na COS2 ф + Nb Sin2 ф) =
= const + -|- Ps (Nb — Na)sin2 ф.
B3.30)
В табл. 23.2 приведены по Стонеру [157] размагничивающие факторы
Na/in для различных отношений осей q = a/b эллипсоидов вращения.
Из B3.30) видно, что эффективная константа анизотропии формы равна
\l\ (Mb-Na). B3.31)
В зависимости от выполнения условия Nb ^ Na имеем ЛГэ||м ^ 0. Мак-
Максимальная величина ^э|фМ получается для сильно вытянутого (Na <C Nb)
или сильно сплющенного (Na Э" Nb) эллипсоида, когда Na или Nb я*
» 2я и, следовательно, | ЛГэ||м | «* я/?. Например, для Fe (/s ~ 1700 гс)
находим, что | ЛГэ|фМ | » 9 -106 эрг/см3, т. е. величину, заметно превышаю-
превышающую как естественную кристаллографическую анизотропию A/3 К2 я*
»1,5'10Б эрг/см3), так и анизотропию напряжений [по B3.20) 3/2 А<т«
« 3-104 эрг/см3, при Я « 2-10-6 и а « 109 дин/см3].
Стонер и Вольфарт [158] рассмотрели задачу намагничивания эллип-
эллипсоида произвольной формы. Браун и Морриш [159] показали, что частицы
*) Полагая а -+ оо (Na -*¦ 0), получаем размагничивающий фактор эллиптиче-
эллиптического цилиндра, намагниченного вдоль осей 6 или с: Nb = 4яс/F + с), Nc =
= 4я6/F + с). По вопросу о размагничивающих факторах образцов других форм см.г
например, работы [155, 156].
787 —
50*

произвольной формы (когда обменные силы способствуют их однородной
намагниченности) ведут себя подобно эллипсоидам, если их размеры
достаточно малы. Однако когда форма частиц сильно отличается от эллип-
эллипсоида, приходится прибегать к специальным расчетам (см., напри-
например, [160]).
При расчетах доменных структур очень важно знать энергию магнит-
магнитных полюсов на поверхности кристалла и, в частности, образцов, разби-
разбитых на домены. Например, Киттель [24, 161] и Неель [162, 163] (см. также
Кацер и Гемперле [164]) рассчитали энергию магнитного поля системы
ъ
Рис. 23.7. Распределение магнитных
полюсов (на плоскости Ь, с) в образце
ив однородно намагниченных (вдоль и
против оси а) плоекопараллельных
пластинок.
Рис. 23.8. Схема к расчету эффективной проницаемости
М,*, обусловленной магнитной анизотропией и размагни-
размагничивающим действием поверхности ферромагнитного мо-
монокристалла с доменной структурой (Шокли [165]).
плоскопараллельных однородно намагниченных пластинок с антипарал-
антипараллельными моментами у соседних пластинок (рис. 23.7), заполняющих
прямоугольный параллелепипед со сторонами а, Ь и с (число пластинок п,
их толщина вдоль оси Ъ равна D = Ып). Эта энергия равна
. — = 2.0,8525/2Z>1S',
B3.32)
где ? = be—поверхность с полюсами. Если заменить пластины прямо-
прямоугольными призмами, то
разм
¦ 2.0,5'SPDS
B3.33)
При определении энергии магнитных полюсов на поверхности анизотроп-
анизотропного ферромагнитного кристалла необходимо учитывать конкуренцию двух
энергий /^аниз и -^разм- На рис. 23.8 показана модель плоскопараллель-
плоскопараллельных слоев для подобного расчета (по Шокли [165]). Если считать, что
¦^аниз Э> -^разм, и принять, что векторы I лежат вдоль легких осей ([100]
для железа), и если •& — угол между осью [100] и ребром образца у (см.
рис. 23.8), то плотность энергии полюсов, согласно B3.32), будет
Если же
из. Т0. как показал расчет Шокли [165],
/разм = 0,8525/2Z> sin2 ^
B3.34)
B3.35)
Где jj,* — эффективная проницаемость домена для направления, нормаль-
нормального к легкой оси, обусловленная анизотропией и при малых углах ¦&
— 788 —

равная
^~. B3.36)
В железе при комнатных температурах К2 » 4,6-Ю6 эрг/см3, I ж 1700 гс
и, следовательно, \и* » 41. Таким образом, из-за «}1*-поправки» энергия
/разм оказывается примерно в 20 раз меньше, чем это дает формула B3.35).
Плотность энергии ферромагнетика относительно внешнего поля равна
FH= — {Н1)= — Я/cosu, ' B3.37)
где й — угол между векторами Н и JT.
Иногда производят перенормировку энергии B3.37), начиная ее
отсчет от состояния '& = 0, т. е. берут свободную энергию в виде
F'H = HIA — cos*). B3.37a)
9. Свободная энергия взаимодействующих магнитных диполей. Таким
образом, из магнетостатики следует, что свободная энергия магнитного
образца во внешнем магнитном поле будет зависеть от его формы. Микро-
Микроскопической причиной этой зависимости является дальнодействующая
диполь-дипольная связь между элементарными носителями магнитного
момента. При расчетах часто пренебрегают этой релятивистской энергией,
поскольку она мала, например, по сравнению с обменной энергией. Но
вместе с тем она приводит, как это уже отмечалось, к таким важным эффек-
эффектам в реальных ферромагнетиках, как доменная структура. В некоторых
же материалах дипольная энергия оказывается сравнимой или даже боль-
больше, чем обменная энергия, и поэтому оказывается весьма существенной
при низкотемпературных магнитных фазовых переходах. Это имеет место,
например, в некоторых солях редкоземельных элементов (этилсульфат
Dy [487], GdCl3 [488], DyAl — гранат [489], редкоземельные гидроокиси
Re (ОНK, где Re-Nd, Gd, Tb, Dy, Но и Ег [490]). Теоретически этот вопрос
рассматривался в ряде работ [49#—496]. Наиболее полно он рассмотрен
в работе Гриффитса [497], который показал в строгой форме, что система
спинов в кристаллической решетке с магнитным диполь-дипольным взаимо-
взаимодействием, обменными силами и силами магнитной анизотропии обладает
определенной суммарной свободной энергией, не зависящей от формы
образца в термодинамическом пределе (т. е. с точностью до статистических
флуктуации) при условии, что внешнее магнитное поле равно нулю.
Доказательство проведено для классической и квантовой систем с произ-
произвольным тензором g-фактора и не зависит от каких-либо дредположений
о наличии или отсутствии магнитного порядка в магнитной фазе, сходи-
сходимости рядов теории возмущений и т. п. За подробностями отсылаем к ори-
оригинальной работе [497].
§ 3. Другие типы магнитной анизотропии
Естественная кристаллографическая магнитная анизотропия и анизотропия на-
напряжений не являются единственными типами анизотропии в ферромагнитных кри-
кристаллах. Имеется еще ряд источников, приводящих к магнитной анизотропии, связан-
связанных с внутренними процессами в кристалле (диффузия, процессы упорядочения ато-
атомов в сплавах, влияние поверхности и т. п.), так и с внешними воздействиями (терми-
(термическая и механические обработки, внешние магнитные поля и т. п.). Ниже кратко
рассматриваются наиболее важные из этих типов анизотропии.
1. Диффузионная анизотропия. Прежде всего, этот тип анизотропии возникает
в ферромагнитных сплавах в связи с особенностями явления упорядочения атомов
(направленное упорядочение). Для того чтобы представить себе яснее физический меха-
механизм этого явления, рассмотрим энергию взаимодействия w отдельной пары соседних
атомов в кристаллической решетке ферромагнитного сплава. Естественно предполо-
предположить, что w зависит от угла между локальной намагниченностью и осью, соединяющей
атомы. При температурах ниже точки Кюри, но еще достаточно высоких, чтобы шла
интенсивная диффузия атомов, благодаря тепловому движению магнитные моменты
пары одинаковых соседних атомов будут стремиться ориентироваться так, чтобы
- 789 —

энергия w была минимальной (например, чтобы их моменты были направлены вдоль ло-
локальной намагниченности). Тепловые флуктуации противодействуют этому направлен-
направленному упорядочению. С помощью внешнего однородного магнитного поля можно ориен-
ориентировать все локальные намагниченности вдоль одной оси по всему кристаллу и, сле-
следовательно, в нем моменты всех соседних пар атомов будут ориентированы взаимно
параллельно. Охлаждением образца можно «заморозить» эту упорядоченную ориен-
ориентацию и таким образом создать в веществе одноосную магнитную анизотропию. Тео-
Теорию этой наведенной диффузионной анизотропии ферромагнитных веществ незави-
независимо развили Неель [166—169], Танигучи и Ямамото [170] [см. также работы [171—173],
обзоры Грэхэма [111], Слончевского [174] и монографии Кнеллера A962) и Чикацуми
A964)].
Связь между термомагнитной обработкой (ТМО) и процессами упорядочения
в сплавах магнитно-мягких материалов детально исследовалась в работах Шура
и Глазера [175, 176]. Эти работы показали, что благодаря отжигу в магнитном поле
в ферромагнитных мягких материалах возникает особое структурное состояние,
отличное как от обычного упорядоченного состояния, так и от неупорядоченного
состояния. Можно полагать, что в образовании такого структурного состояния при-
принимает участие небольшое число атомов, поскольку при ТМО разупорядоченных
сплавов намагниченность насыщения не изменяется и образование магнитной одно-
осности при ТМО происходит быстрее (т. е. с меньшим временем релаксации), чем
обычное атомное упорядочение в сплавах. Это особое структурное состояние и являет-
является, по-видимому, наведенной диффузионной анизотропией Нее ля — Танпгучи —
Ямамото.
Представляют интерес также работы Шура и др. [177, 178] по исследованию
влияния ТМО на доменную структуру монокристаллов кремнистого железа.
Термомагнитная обработка приводит к одноосной магнитной анизотропии
и в высококоэрцитивных сплавах типа альни и альнико, как впервые показано в рабо-
работе Оливера и Шеддена [179]. В работах Нееля [180], Шубиной и Шура [181], Киттеля
и др. [182] было дано объяснение этого эффекта: в результате ТМО анизотропные по
форме выделения магнитной фазы выстраиваются по направлению магнитного поля,
приложенного при ТМО. Электронно-микроскопические исследования (см., напри-
например, [183]) подтвердили эти представления. В работе Нееля [180] и Зийлстра [184]
высказывалось, кроме того, предположение, что анизотропия формы выделений сильно-
сильномагнитной фазы сплава есть результат стремления к минимуму суммы магнитостати-
ческой энергии и энергии поверхностного натяжения выделения. Однако при этом
не учитывается энергия упругой деформации выделений, а также анизотропия свойств
кристалла. Детальные исследования Ермоленко, Шура и др. [185, 186] показали, что,
механизм ТМО высококоэрцитивных сплавов сложнее, чем это следует по теории
Нееля [180].
Кроме создания магнитной анизотропии методом ТМО, известен еще метод тер-
момеханической обработки, заключающийся в охлаждении ферромагнетика при нало-
наложении внешних односторонних напряжений. Такую обработку впервые независимо
произвели Нишина [187] и Шур и Хохлов [188]. Не имея возможности подробнее оста-
останавливаться на описании этого явления, укажем работы Шура и др. [189—193], в ко-
которых оно детально изучено.
2. Магнитная анизотропия, наведенная холодной механической обработкой
(прокаткой). Сикс и др. [194] обнаружили, что при холодной прокатке образцов сплава
Fe — Ni возникает сильная одноосная магнитная анизотропия. При этом ось легчай-
легчайшего намагничивания всегда ориентируется под определенным углом (для данного
сплава) к направлению прокатки. В частности, в случае сплава Fe E0 ат.%) — Ni
E0 ат.%) ось легчайшего намагничивания направлена перпендикулярно направлению
прокатки. Это явление подробно исследовали Конрадт и др. [195] и Ратенау и Снук
[196], Неель [167, 168] и Танигучи и Ямамото [170] высказали предположение, что
механизм возникновения магнитной анизотропии при холодной прокатке такой же,
как при диффузионной анизотропии (см. выше). Дальнейшие исследования проводились
в работах [197—207].
3. Обменная (односторонняя) анизотропия. Важным типом анизотропии являет-
является так называемая обменная или односторонняя анизотропия, открытая Майклджо-
ном и Бином [208—213] в малых (размером порядка 200 А) ферромагнитных частицах
Со, покрытых с поверхности антиферромагнитной окисью (СоО). Выше точки Нееля
F^ = 293° К) окиси эта система ведет себя как обычный ферромагнитный Со (поскольку
точка Кюри Со G > &n)- При Т < ©jy между чистой сердцевиной частиц Со и пленкой
СоО вблизи поверхности их соприкосновения возникает сильное обменное взаимодей-
взаимодействие (рис. 23.9, а), которое препятствует изменению направления вектора _TS в ферро-
ферромагнитной фазе системы и приводит к явлению односторонней анизотропии, проявляю-
проявляющемуся в первую очередь в смещении кривых намагничивания и петель гистерезиса
относительно оси I (рис. 23.9, б).
Если антиферромагнетик обладает незначительной кристаллографической ани-
анизотропией, то его магнитная структура будет «поворачиваться» вслед за намагничен-
намагниченностью ферромагнитной фазы при ее перемагничивании в обратном поле. Поэтому сме-
смещения ферромагнитной петли гистерезиса при этом не произойдет. Однако Майклджон
B13] показал, что вещество будет обладать ненулевым вращательным гистерезисом
— 790 -

в сильных магнитных полях. Возможно, что система NiO — Ni может служить при-
примером такого явления.
Таким образом, обменная анизотропия — это эффект, вызванный существованием
поверхности соприкосновения между двумя магнитными веществами, находящимися
в антиферромагнитном и ферромагнитном состояниях. В общем случае магнитная
анизотропия монокристаллов опре-
определяется трансформационными свой-
свойствами псевдовектора намагнпченно- , , , , ] +
стп, меняющего знак при инверсии |ТТТ|Т|Тт
§| t t t f
|M t t t
4 1111
\ t I
11 I
I t I
H
H
Рис- 23.9. К вопросу о возникновении обменной
(однонаправленной) анизотропии, а) Соседство фер-
ферро- и антиферромагнитной фаз; б) смещение гиете-
резиеной петли вследствие обменной анизотропии.
времени. Поэтому термодинамиче-
термодинамический потенциал ферромагнетиков, не
обладающих магнитной структурой,
должен быть четной функцией на-
намагниченности I. Вследствие этого
свойства ферромагнетиков не зависят
от того, как направлен вектор
I — вдоль данного кристаллографи-
кристаллографического направления пли против.
Однако в некоторых веществах
при определенных условиях (как,
например, в упомянутых выше ча-
частицах Со — СоО) два направления одной п той же кристаллографической оси могут
стать неэквивалентными в магнитном отношении. В этом случае можно говорить, что
в этих веществах в данных условиях реализуется состояние односторонней анизо-
анизотропии. К проявлениям односторонней анизотропии следует отнести явления сла-
слабого ферромагнетизма антпферромагнетиков и, в частности, пьезомагнптный эффект
(см. гл. 22, § 11).
Односторонняя анизотропия может возникнуть и в ферромагнетиках сложного
состава, в структуре которых можно выделить две слабо взаимодействующие с осталь-
остальными подрешетки, которые можно было бы рассматривать как антпферромагнитную
подсистему. В этом случае наличие двух магнитных фаз не обязательно, и можно
предполагать, что магнитные векторы ферро- и антиферромагнитной подсистемы рас-
распределены в пространстве непрерывно.
Система, обладающая односторонней анизотропией, может находиться в состоя-
состояниях, когда магнитный момент антипараллелен намагничивающему полю. Естественно,
что такое состояние метастабильно, оно отделено от термодинамически равновесного
состояния потенциальным барьером, ширина и высота которого определяются энергией
магнитной анизотропии антиферромагнитной подсистемы, а также, вообще говоря,
энергией, ответственной за внутреннее поле однонаправленной анизотропии, в частно-
частности слабого ферромагнетизма.
Первоначальную теорию этого явления дали Майклджон и Вин [208, 209] и разви-
развили Майклджон [213] и Кувел [214]. Наиболее общую феноменологическую теорию
гетерогенных веществ с сосуществующими ферро- и аптиферромагнитными фазами
разработали Власов и Мицек [215], (см. также работы [216, 217]).
Предположим, что в нулевом приближении магнитную систему вещества, обла-
обладающего односторонней анизотропией, можно разбить на две магнитные подсистемы —
ферромагнитную или ферримагнитную с намагниченностью I и антиферромагнитную,
которая характеризуется векторами антиферромагнетизма I и намагниченности т.
Взаимодействие между подсистемами, рассматриваемое как возмущение, может опре-
определяться как обменными силами (в металлах, возможно, дальнодействующим s — d-
обменным взаимодействием), так и дальнодействующими магнитными силами. В наи-
наиболее общем виде энергия взаимодействия будет иметь вид разложения по степеням
векторов I, I и т, инвариантного относительно общих элементов симметрии, принадле-
принадлежащих парамагнитным группам обеих подсистем. В первом приближении энергия
взаимодействия в случае произвольной симметрии подсистем имеет вид
1
77"
—Diklimk)
(i, /, к — х, у, 2).
Ограничимся рассмотрением кубического ферро-антифферромагнетика, предпо-
предполагая, что симметрия обеих подсистем одинакова. Термодинамический потенциал Ф
равен сумме энергий магнитной анизотропии подсистем
и энергии системы относительно внешнего магнитного поля И:
где у, и Хц — компоненты тензора магнитной восприимчивости в системе координат,
связанной с вектором антиферромагнетизма, и энергии взаимодействия %^3, в которой
- 791 -

следует положить Сг7- = Сбг7-. Ниже для простоты пренебрегаем вторым членом в вы-
выражении %¦$&¦ Поведение системы зависит от знака КАФ^.
Критерием односторонней анизотропии будет неравенство q < 1, где величина q
определяется соотношениями
АФМI
Физический смысл условия q < 1 состоит в том, что связь вектора I с кристалли-
кристаллической решеткой сильнее, чем взаимодействие между ферро- и антиферромагнитной
подсистемами.
Процессы вращения вектора I можно описать эффективной энергией магнитной
анизотропии
а^з= ~ки cos О+-| Ки ,
где Ки = С/([ — <?2) — константа односторонней анизотропии. Эффективное поле одно-
односторонней анизотропии Ни = Ки/1.
Угол О отсчитывается от направления вектора I, поэтому в случае КАфи > О*
направлением легкого намагничивания будет направление типа [100], а в случае
ЛГафм < 0 — направление типа [111].
Доменная структура в веществах с односторонней анизотропией стабилизируется
энергией %BS, которая в случае непрерывного распределения векторов 1 и I по объему
уже не носит характер поверхностной энергии, а является объемной. Доменная струк"
тура в таких веществах должна быть весьма устойчивой, вследствие чего возрастает
роль процессов вращения в области малых Н.
Так как односторонняя анизотропия определяется магнитной структурой, то она,
в общем случае, является метастабильной и под влиянием внешних воздействий (доста-
(достаточно сильных магнитных полей, температуры, упругих напряжений и т. п.) может
изменяться с изменением магнитной структуры. Односторонняя анизотропия зависит
от магнитной группы, описывающей антиферромагнитную подсистему, в частности
от направления вектора I, и может изменяться при изменении его направления.
В ферро-антиферромагнетике, обладающем односторонней анизотропией (q < 1)
в полях, больших пороговых полей антиферромагнитной подсистемы, может изме-
изменяться магнитная симметрия антиферромагнитной подсистемы.
Поведение одноосного ферро-антиферромагнетика в сильных магнитных полях
существенно отличается от поведения магнитно-многоосных, в частности, кубических
ферро-антиферромагнетиков, где ситуация гораздо сложнее. За дальнейшими подроб-
подробностями отсылаем к цитированным выше работам [215, 216].
В настоящее время известен широкий класс веществ, в которых наблюдалось
явление обменной анизотропии. К нему относится, например, система Fe — FeO (Майкл-
джон [210]), сплавы системы Ni — Мп [218—221а], сплавы Си — Мп и Ag — Мп [222,
222а, 223], соединения Mn^Cr^Sb [224]; сплавы Со — Мп [225], сплавы (NiFeKMn.
[226], смешанные манганиты [2271; мелкие частицы г. ц. к. Со в матрице гекс. п. у. Со-
[228], различные смешанные ферриты [229—232], сплавы (Мп, FeKSn [2331, система
Ni — NiO [234], тонкие двухслойные пленки *) [236—241] (см. также работы [243—251])
В качестве иллюстрации приведем результаты исследования упорядочивающегося-
сплава РПзМп из работы Турчпнской и Фридман [221]. На рис. 23.10 приведены петли
гистерезиса образцов этого сплава с различными степенями атомного порядка S, ох-
охлажденные до 1,3 °К в магнитном поле (пунктирные кривые) и без поля (сплошные-
кривые). Из этих петель видно, что обменная анизотропия в этом сплаве максимальна
в неупорядоченном сплаве и отсутствует в полностью упорядоченном.
4. Поверхностная магнитная анизотропия. Необходимо еще упомянуть о поверх-
поверхностной анизотропии, связанной с особым состоянием атомных магнитных моментов
на поверхности ферромагнитного тела по сравнению с атомами его внутренних частей
(из-за изменения симметрии связей с соседями). Этот вопрос подробно исследовал
Неель [167, 169] [см. книгу Кнеллера A962)].
По Неелю эта энергия в первом приближении для кристаллов г. ц. к. симметрии
для поверхностей типа A11) и A00) имеет вид
ys = Kscos*®, B3.38)-
где О — угол между направлениями самопроизвольной намагниченности и внешней
нормали к поверхности. Константы анизотропии Ks имеют величины от 0,1 да
1,0 эрз/сма. Эти оценки показывают, что энергия B3.38) имеет существенное значение
при расчете магнитного состояния частиц мелких ферромагнитных порошков (с диамет-
диаметром не более 100 А) и в мелкодисперсных ферромагнитных фазах высококоэрцитпвных
сплавов (см. ниже).
*) Исследовались пленки пермаллоя, напыленные на слой марганца в магнитном
поле. По-видимому, между пленками образуется антиферромагнитный слой в резуль-
результате взаимной диффузии атомов Fe, Ni и Мп (см. Глазер и др. [235, 242]).
— 792 —

Поверхностная магнитная анизотропия играет существенную роль при наблюде-
наблюдении спин-волнового резонанса в тонких ферромагнитных пленках. Еще Киттель [252J
предсказал возможность возбуждения однородным высокочастотным полем спиновых
волн с волновым вектором НфО. Это обусловлено тем, что из-за поверхностной маг-
магнитной анизотропии спины на поверхности пленки, будучи в совершенно иных усло-
условиях, чем в толще материала, могут быть закреплены. Вопрос о закреплении спиновой
S-1,0
-паю
Рис. 23.10. Петли гистерезиса монокристаллов сплава Ni3Mn с различными степе-
степенями атомного порядка (S). Образцы охлаждались до 1,3° К в магнитном поле
(пунктирные кривые) и без поля (сплошные кривые) (Турчинская и Фридман [221]).
системы рассматривался в работах Киттеля [252], Суху [253, 254] и наиболее подробно
Филипповым [255] (см. также гл. 21, § 8). За подробностями отсылаем читателя к этим
работам. Помимо указанной выше, по-видимому, существует еще одна физическая при-
причина поверхностной анизотропии, связанная с иной симметрией окружения спинов на
поверхности (Неель [169]), а именно образование антиферромагнптного поверхностного
слоя, приводящего к односторонней поверхностной анизотропии (см. Суху [254]).
§ 4. Распределение самопроизвольной намагниченности в кристалле
1. Общие положения. Определив основные типы взаимодействий в фер-
ферромагнитном кристалле, можно поставить вопрос о характере распределе-
распределения в нем самопроизвольной намагниченности Если бы действовали одни
обменные силы и ферромагнетик был бы однородным по структуре, то на
первый взгляд кажется, что он должен намагнититься до насыщения,
соответствующего данной температуре, в направлении, отвечающем
минимальному размагничивающему фактору. Этот вопрос, однако, не
столь прост, поскольку из-за анизотропии кристалла могут возникнуть
периодическое (например, спиральное) изменение ориентации векторов Is
(см. гл. 22). Такое распределение соответствовало бы минимуму энергии
обмена B3.1). Однако можно представить себе энергетически более выгод-
выгодное распределение Is, при котором размагничивающее поле вообще отсут-
отсутствует и оказывается минимальной энергией B3.27). Это будет в том
случае, если весь объем ферромагнитного образца разобьется на отдельные
малые области с таким распределением ориентации векторов Is в них, что
результирующая намагниченность всего образца в целом равна нулю, т. е.
2
(по образцу)
vi = о,
B3.39)
где Vi — объем ?-й области.
Общим термодинамическим критерием для отыскания равновесного
распределения самопроизвольной намагниченности Is в ферромагнетике
(как при Ш = 0, так и при Н =?= 0) является требование минимума его пол-
полного термодинамического потенциала. Последний весьма сложно зависит
от внешних условий — температуры Г, упругих напряжений и внешних
электромагнитных полей (определяющих величину основных магнитных
параметров Is, К, Я и т. п.), а также от структурного состояния образца,
- 793 -

«го формы и размеров. Современная теория ферромагнетизма не дает
возможности определить термодинамический потенциал в общем случае.
Она лишь может предсказать общий характер доменной структуры равно-
равновесного квазиразмагниченного состояния. Сложность решения общей зада-
задачи частично преодолевается с помощью последовательного решения
частных задач по расчету отдельных «элементов» доменной структуры
(граничных слоев между доменами, замыкающих областей вблизи дефек-
дефектов и т. п.).
Тот факт, что в естественном термодинамическом равновесном состо-
состоянии ферромагнитный образец конечных размеров при Н = 0 практически
всегда лишен результирующей намагниченности, объясняется тем, что,
помимо обменного взаимодействия, стремящегося намагнитить тело, суще-
существуют магнитные силы, для которых наличие результирующего момента
образца термодинамически невыгодно. Дело в том, что, как правило, при
отличной от нуля результирующей намагниченности в конечном образце
на его наружной поверхности возникают поверхностные магнитные заря-
заряды (Div Is -ф- 0), связанные со скачком нормальной слагающей намагни-
намагниченности. Эти заряды создают размагничивающее поле Но с положитель-
положительной энергией B3.28). Поэтому намагниченное состояние при И = 0
оказывается неравновесным и возникает тенденция к процессу саморазмаг-
саморазмагничивания ферромагнитного образца, переводящего его из состояния
максимальной результирующей намагниченности I, которой можно достичь
лишь в сильном магнитном внешнем поле, в квазиразмагниченное состоя-
состояние с минимумом термодинамического потенциала. В ходе этого процесса
саморазмагпичивания действия обменного и магнитного взаимодействия
противоположны. В результате «борьбы» этих противоположных тенден-
тенденций устанавливается некоторое равновесное (компромиссное) состояние.
Природа его определяется особенностями двух борющихся сил. Обменное
взаимодействие оказывается более близкодействующим, чем магнитное.
Именно поэтому в образце конечных размеров возникает такое равновесное
пространственное распределение самопроизвольной намагниченности Is,
когда во всем объеме тела, за исключением небольшой его части, практи-
практически сохраняется параллельность атомных магнитных моментов и вме-
вместе с тем удовлетворяется требование минимума магнитных взаимодействий
(Div Ts ж 0, div Is ж 0). Интуитивно это и предсказал в 1907 г. в гипотезе
доменов Вейсс [1]. Теоретическое обоснование эта гипотеза получила
в работах Дорфмана [256], Френкеля и Дорфмана [257], Блоха [258]
и, наконец, в фундаментальном исследовании Ландау и Лифшица [20].
Итак, мы видим, что любые нарушения однородности ферромагнит-
ферромагнитного образца (к ним относятся как внешняя граница, так и любые внут-
внутренние дефекты — чужеродные включения, неоднородности состава, дис-
дислокации, трещинки и пустоты, границы зерен в поликристаллах, блоки
мозаики в монокристаллах, неоднородности внутренних напряжений
и т. п.) вызывают тенденцию к образованию местных замыканий магнитно-
магнитного потока внутри образца, при котором на любой «поверхности» нормаль-
нормальная слагающая намагниченности в идеале должна исчезать AШ = 0).
В этом случае в подавляющей части объема выполнено требование мини-
минимума энергии обмена (однородность /s), а также отсутствуют магнитные
заряды (DivJTs = 0, div Is = 0). Однако при возникновении локальных
замкнутых магнитных потоков, неизбежно появляются границы раздела
между доменами. При этом появляется положительная энергия, связанная
с существованием этих границ. Поскольку опыт показывает, что, несмотря
на это обстоятельство, именно такое квазиразмагниченное состояние
естественно для ферромагнитного образца, то отсюда напрашивается
вывод, что поверхностная энергия границ между доменами меньше, чем
объемная энергия размагничивающего поля B3.27). Лишь при намаг-
намагничивании образца вдоль направления с нулевым размагничивающим
фактором (однородный тор, намагниченный вдоль оси) можно ожидать
- 794 -

~"j
отсутствия доменов. В реальных кристаллах картина усложняется из-за
наличия магнитной анизотропии, структурных и химических неодно-
родностей.
Френкель и Дорфман [257] рассчитали размеры доменов с учетом лишь
конкуренции между обменными силами и размагничивающим действием
поверхности. Было установлено, что линейные размеры доменов I зави-
зависят от размеров образца L по формуле
I ~ VI. B3.40)
В частности, для тел средних размеров (L ж 1 см) I ж 10 см, т. е.
вполне макроскопические размеры. Последнее оправдывает «классичес-
«классический» термодинамический подход к решению задачи об областях самопро-
самопроизвольной намагниченности.
Строгую количественную теорию ферромагнитных доменов построили
Ландау и Лифшиц [20, 27, 28], которые учли влияние энергии магнитной
анизотропии. Намагниченность в доменах
ориентируется вдоль осей легчайшего
намагничивания. В случае однородного од-
ноосного ферромагнитного кристалла (ко-
(кобальт или любой материал, подвергну-
подвергнутый сильным односторонним напряжени-
ям) домены, как правило, должны иметь
форму плоскопараллельных слоев с по-
верхностями, параллельными оси легчай-
шего намагничивания. Равновесную тол-
щину доменов d можно найти по формуле
типа B3.40) и с коэффициентом, который
определяется отношением энергии обмена
к энергии магнитной анизотропии
(-^¦(А/КаI/*) *). Вблизи поверхности фор-
форма доменов становится такой, чтобы умень-
уменьшить эффект размагничивания (рис.
23.11) даже ценой увеличения энергии
анизотропии в поверхностных замыкающих областях, которые имеют фор-
форму трехгранных призм и где намагниченность направлена перпендикуляр-
перпендикулярно оси легчайшего намагничивания, но параллельно поверхности образца.
При плоской, но наклонной к легчайшей оси поверхности образца форма
граничных замыкающих областей несколько усложняется. Таким обра-
образом, распределение самопроизвольной намагниченности, отвечающее мини-
минимуму свободной энергии, имеет характер распределения с замкнутым
магнитным потоком. На рис. 23.12 приведена микрофотография, получен-
полученная с помощью так называемых полос Биттера — Акулова (см. ниже, § 8).
которая наглядно доказывает существование подобной структуры доменов
для случая монокристалла Fe — Si, поверхность которого совпадает
с кристаллографической плоскостью A00). Одна из осей легкого намагни-
намагничивания совпадает с нормалью к поверхности монокристалла, перпендику-
перпендикулярной к плоскости рисунка, а две другие лежат в плоскости рисунка
(одна совпадает с направлением Is в основных доменах, а другая —
с направлением Is в замыкающих областях). Если отказаться от трех-
трехгранных областей, замыкающих магнитный поток (рис. 23.11) (в одно-
одноосных кристаллах в этих областях вектор Is совпадает с направлением
труднейшего намагничивания), то на поверхности монокристалла
появляются магнитные полюсы с переменным знаком: DivJT = ± /s. Эти
полюсы будут создавать магнитное поле, обладающее энергией B3.33).
Отношение энергии структуры с замкнутым потоком к энергии структуры
Рис. 23.11. Структура ''плоскопарал-
''плоскопараллельных доменов в магнитном одноос-
одноосном кристалле с трехгранными приз-
призматическими замыкающими областями
у поверхности образца.
*) Величина я имеет размерность длины и порядок постоянной кристалличе-
кристаллической решетки, а К — константа эффективной магнитной анизотропии.
- 795 -

с разомкнутым потоком будет в основном определяться отношением кон-
константы магнитной анизотропии К к квадрату насыщения II (К определяет
энергию замыкающих областей, а II, согласно B3.28), энергию размагничи-
размагничивающего поля). Таким образом, в случае, например, Со отношение КЦ\ 5s 1Г
и поэтому энергия подоб-
подобной структуры хотя и с
замкнутым потоком боль-
больше, чем с разомкнутым.
В материалах же с K/Il<Cl
имеет место обратное соот-
соотношение. Более детальный:
расчет Лифшица [27, 28]i
показал, что по мере
роста поверхностных трех-
трехгранных замыкающих об-
областей энергетически вы-
выгодным становится их рас-
расщепление с появлением
клинообразных областей
(рис. 23.13) и «магнитных»-
зарядов на поверхностях
соприкосновения замыка-
замыкающих областей между со-
собой и с основными до-
доменами (последнее нару-
нарушает условие полного ис-
исчезновения размагничива-
размагничивающего поля На = 0). По-
видимому, именно такая
структура реализуется в монокристаллах (см. ниже) (см. также [260]).
2. Проблема граничного слоя между доменами. Ландау и Лифшиц [20]
определили также закон изменения ориентации намагниченности в бло-
ховской границе *), т. е. в граничном слое между доменами, эффективную
толщину этого слоя бгр и зависи-
зависимость плотности поверхностной
энергии 7гР этого слоя от различ-
различных магнитных параметров. А
именно, для толщины получена
общая формула
Рис. 23.12. Микрофотография полос Биттера—Акуло-
Биттера—Акулова на поверхности монокристалла сплава Fe — Si. На-
Наблюдаемая доменная структура находится в полном
соответствии с теоретической схемой Ландау — Лиф-
Лифшица, показанной на рис. 23.11 (Вилльямс, см. обзор
[25]).
Jrp
/ А \У2 / Л
B3.41а)
Рис. 23.13. Образование «клинообразных» замы-
замыкающих областей у поверхности магнитно-одно-
магнитно-одноосного монокристалла (Лифшиц [27, 28]).
где А (или /) — параметр обмена,
¦^эфф — эффективная константа
магнитной анизотропии. В слу-
случае Fe численная оценка при
комнатной температуре дает для
бгр величину порядка 300 А.
Из B3.41а) видно, что чем менее анизотропен материал, т. е. чем мень-
меньше КЭфф, тем толще граничный слой, а значит, менее резко оформлены
отдельные домены. Кроме того, как указывалось выше, по мере роста
температуры -Йчэфф сильно падает; это также приводит к тому, что грани-
граница теряет свою резкость по мере приближения к точке Кюри, где домены
*) Задача о граничном слое была решена Блохом [258], отсюда и общепринятый
термин — блоховская граница.
- 796 -

вообще исчезают. Плотность свободной поверхностной энергии оказывает-
оказывается равной
AK,
\ a )
V2
1/2
B3.416)
Тр
тр-
Формулы B3.41а) и B3.416) можно получить из простых энергетических
оценок. Из выражения B3.2) видно, что энергия обмена соседних спинов
в двух соседних плоскостях кристалла, самопроизвольные намагничен-
намагниченности которых «повернуты» на угол ф, пропорциональна Аср2. Если через
•& обозначить угол между Is в
атомной плоскости переходного
слоя и легчайшей осью, то ф=
=adftldx (a — величина порядка
лараметра решетки, ось х нап-
направлена перпендикулярно гра-
границе). Если полный (на 180°)
поворот вектора Is происходит
на полной толщине слоя б,
вдоль оси х, то d'&ldx да я/б
Число спинов на единицу пло-
площади граничного слоя, участ-
участвующих в нарушении однород-
однородности намагниченности, про-
пропорционально бгр, а энергия
~Ф2, приходящаяся на каждую
пару спинов, будет обратно про-
пропорциональна бгр. Поэтому
полная положительня энергия
-обмена на единицу поверхности границы (в которой находится а~2 штук
пар) пропорциональна Л/абгр, т. е в бгр/а раз меньше, чем при резком
повороте направления Is на длине а на 180°, когда эта энергия была бы:
пропорциональна Ala2. Отсюда видно, что обменные силы стремятся
сделать граничный слой между доменами по возможности более плавным,
увеличивая его толщину бгр. Однако последнее невыгодно для энергии
магнитной анизотропии, которая растет пропорционально толщине слоя
•бГр, ибо векторы Is в слое направлены не по легчайшей оси. Таким образом,
полная плотность энергии утр равна
Рис. 23.14. Два типа «90°-соседств» доменов в маг-
магнитно-многоосных кристаллах, а) Первый тип 90°-
соседства — вращение вектора /s в граничном слое
происходит, в плоскостях, параллельных плоскости,
в которой лежат векторы ls в соседних доменах;
б) второй тип 90°-соседства — вращение вектора в
граничном слое происходит по поверхности конуса
с образующей, составляющей угол 45° с направле-
направлениями векторов Is соседних доменов.
Тгр = Тоб + Таниз = -Г~ -
тр,
B3.42)
где а и р — постоянные, не зависящие от бгр и соответственно пропор-
пропорциональные параметру обмена А и эффективной константе анизотро-
анизотропии КЭфф. Из условия минимума выражения B3.42)
ииГР °р'
легко находим оценочные формулы B3.41а) и B3.416).
Из формулы B3.416) видно, что чем менее анизотропен материал, тем
меньше величина утр. Численные оценки показывают, что, например,
к ©
в случае Fe при комнатной температуре (К2 да 4,6 -105 эрг/см3, А да ~- да
да 0,3 -К)-13 эрг, S = 1, а = 2,9 -10~8 см) величина плотности энергии —
порядка 4,0 эрг/см2 и бгр да 0,5 -Ю см. Ниже мы увидим, что характер
и величина неоднородностей энергии утр в материале в основном и опре-
определяет процессы намагничивания в области слабых магнитных полей.
Расчет Ландау и Лифшица [20] обобщили Широбоков [259]
и Холоденко [261], которые учли присутствие внешнего магнитного поля
(см. также Неель [162]). Последняя задача была рассмотрена также
— 797 —

в работах Дёринга [262], Гемперле и Зелени [263] и Мицека [264]. Обоб-
Обобщение этого расчета на случай кристалла с несколькими осями легчайшего
намагничивания произвели Широбоков [259], Лифшиц[27, 28], Неель [265],.
1'ис. 23.15. Двт основных типа граничных слоев между доменами в тонких пленках:
а) блоховский, б) неелевский. 6rD —толщина слоя, D — толщина пленки.
Вонсовский [266] [см. также монографию Вонсовского и Шура A948)],
Киттель [24] и особенно Лилли [267] (см. также монографию Кнеллера
A962) и обзор Дёринга [41] и Кронмюллера [268]). В этом случае при
некоторых условиях возникает возможность не только существования
антипараллелытых или 180°-соседств между доменами (рис. 23.12), но
и два типа соседств со вза-
взаимно перпендикулярной ори-
ориентацией намагниченности
(90°-соседства) (рис. 23.14).
Как указал Лифшиц[27, 28],
здесь необходимо учитывать
не только энергию магнит-
магнитной анизотропии, но и маг-
нитоупругую энергию, так
как из-за явления магнито-
стрикции равновесное рас-
распределение самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности суще-
существенно зависит от упругих
напряжений.
Более сложны соседства
в случае кристаллов Ni,
где оси легкого намагничи-
намагничивания совпадают с триго-
нальными осями типа [111]
и возможны три типа соседств
с углами между I sb соседних
доменах: 180°, 109,47° и 70,53°.
Как было уже ясно из работы Ландау и Лифшица [20] и как это было
установлено Неелем [265] и Вонсовским [266], характер изменения ориен-
ориентации Is в граничном слое различных типов должен удовлетворять усло-
условию div Is = 0 (или условию Div Is = 0 или nlsi = nls2, где п — единич-
единичный вектор нормали к плоской границе, a I si и Js2 — самопроизвольные
намагниченности соседних доменов). Однако возможны случаи, когда это
условие нарушается, например в тонких ферромагнитных пленках (см.
[284—287]), и, тогда мы имеем дело не с блоховским граничным слоем,
а с неелееским слоем, в котором вращение вектора Is происходит не в пло-
плоскостях, параллельных плоскости граничного слоя, а в перпендикулярной
ему плоскости (рис. 23.15). При такой структуре слоя на участках поверх-
поверхности кристалла, где выходят слои, магнитные заряды не образуются
(ср. рис. 23.15, а и 23.15, б; см. также работы [300—303]).
Исследования порошковых осадков на тонких пленках (толщиной
100—300 А) проводили Вильяме и Шервуд [288], Гардо и Унатогава [289],.
Рис. 23.16. Порошковые осадки типа «цепочки» (верх-
(верхняя часть фотографии) и типа «тире» (нижняя часть)
(Мун [291]).
- 798

Н©М <8> И ©И <8> И© И б
Миддельхук [290]. На пленках с толщинами от 300 А до 1000 А наблюдались
(см., например, работу Муна [291]) весьма своеобразные типы граничных
слоев между доменами, изображенные на рис. 23.16,— типа цепочки
(«chain») и типа тире («cross-line»). Хубер и др. [292] и Метфессель и др.
[293] предложили специальную мо-
модель для объяснения этих типов
осадков, которая изображена в виде
схем на рис. 23.17 *).
Квантовомеханическая трактов-
трактовка проблемы граничного слоя рас-
рассмотрена в работах Херринга [294],
Огучи [295] и др. [296—299].
В реальных кристаллах из-за
неизбежных структурных неоднород-
ностей картина, конечно, значитель-
значительно усложняется. Но во всяком слу-
случае можно сказать, что граница
между доменами располагается так,
чтобы вызванное ею увеличение сво-
свободной энергии ферромагнитного
кристалла было минимальным. По-
Поэтому в общем случае граница не
обязательно будет плоской. В случае
антипараллельных соседств границы
располагаются, как правило, по ме-
местам с минимумом остаточных внут-
внутренних напряжений, где величина
Кэфф ~ аК + Р^о минимальна, а
следовательно, по B3.416) минималь-
минимальна и энергия 7гр- В случае же 90°-
соседств граница располагается в местах изменения знака внутренних
напряжений (так как именно из-за изменения знака а оси легчайшего
намагничивания соседних областей различны **).
3. Микромагнетизм (общая постановка проблемы). В работе Ландау и Лифшица
[20] была впервые сформулирована общая программа теории ферромагнитных доменов
и проведен расчет для частного случая одномерной задачи с простейшими граничными
условиями. Уравнения этой задачи в наиболее общей постановке получил Броун [361,
362] (см. также его книги [156, 360], а также обзоры [365, 366] и обзоры Штрикмана
и Тревеса[363] и Деринга[41]); в развитой им теории микромагнетизма (micromagnetics).
В трактовке Броуна намагниченность определяется выражением I = Isv (Is — посто-
постоянная величина вектора I, а его направление определяется вектором v = vxlx-\-
-j- Vyly -\- vzlz, где lx, ly, lz — единичные векторы вдоль осей х, у и z, a vx (r),
vy (r) и vz (r) — направляющие косинусы вектора v (относительно этих осей) изме-
изменяется непрерывно от точки к точке (в связи с этой задачей см. также [260]).
В статической задаче микромагнетизма домены вначале не должны постулиро-
постулироваться. Функция v (х, у, z) ищется как решение вариационной задачи путем миними-
минимизации суммарной потенциальной энергии системы W, равной сумме:
1) обменной энергии
с
J+ (VvzJ] dx.
Рис. 23.17. Схема границ типа «цепочки» (а)
и типа «тире» (б). Стрелки показывают нап-
направление намагниченности, а плюсы и мину-
минусы — знаки магнитных полюсов. Эта схема
поясняет происхождение порошковых осадков,
показанных на фотографиях рис. 23.16 (Мет-
(Метфессель и др. [293]).
где С—параметр обмена;
2) энергии эффективной магнитной анизотропии
где функция
-^аниз = ) ША (г, v) dx,
обладает симметрией кристалла;
*) Подробнее о граничных слоях в пленках (например, о «двойных слоях»
и т. п.) см. в книге Крейка и Теббла A965), а также в работах [304—327].
**) Обстоятельный обзор современного состояния вопроса о распределении намаг-
намагниченности в доменных границах дали Дёринг [41] и Кронмюллер-,[268] (см. также
работы [328-359]).
— 799 —

3) собственной магнитной энергии (размагничивающих полей)
1С 1С
где _НО определяется из уравнения магнитостатики div.Ho = —4я div (-Tsv);
4) энергии взаимодействия с внешними полями
FH=— \ IsvHdx.
Кроме того, необходимо еще добавить граничные условия (в общем случае следует
учесть также поверхностную анизотропию). При обобщении задачи на динамический
¦случай [364] необходимо также еще учесть инерционный член (кинетическую энергию)
•и диссипативные члены (затухание, релаксация границ и т. п.).
Вариационная процедура приводит к системе нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных (см. [361, 367, 156, 360, 41]), которые в векторной
записи имеют вид
[^ ]|0, B3.43)
и к граничным условиям
где
dv dvx x^ dvy v^ dvz "
а д/дН означает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверхности образца.
Поскольку уравнения Броуна B3.43) нелинейны, то их можно проинтегрировать лишь
численно, либо если ставить задачу найти аналитическое решение, следует применить
какую-нибудь процедуру линеаризации. Аналитическое решение можно получить
также в случае идеального эллипсоида в однородном внешнем поле (Броун [367]),
бесконечного кругового цилиндра (Аарони и Штрикман [368], Аарони [369], Штрикман
и Тревес [370]). Эти задачи представляют особый интерес при расчете магнитного со-
«тояния малых ферромагнитных частиц, к рассмотрению которых мы и переходим.
§ 5. Малые (однодоменные) ферромагнитные частицы *)
В связи с проблемой доменов получила большое развитие и проблема
магнитных свойств малых ферромагнитных частиц и тонких пленок. Для
того чтобы ясно представить себе значение этого вопроса, нужно уточнить,
что мы должны понимать под малыми ферромагнитными частицами
и тонкими пленками. Массивные ферромагнитные образцы, с которыми
обычно имеют дело на практике, содержат очень большое число доменов **).
Если уменьшать размеры образца, например, дробя его в мелкий порошок,
то размеры его частиц постепенно могут стать соизмеримыми с равновес-
равновесными размерами домена. Основной причиной этого является то, что при
уменьшении размеров частицы удельный вес поверхностной энергии гра-
граничных слоев между доменами возрастает, и она становится сравнимой
или даже большей, чем объемная энергия собственного магнитного поля
образца, лишенного структуры областей с замкнутым потоком. Таким
образом, в результате дробления материала наступает такой момент, когда
весь объем образца занимает один домен, а это означает, что возникает
однодоменное состояние, т. е. частица превращается в миниатюрный посто-
постоянный магнит. На возможность этого явления впервые было указано
в работе Френкеля и Дорфмана [257]. В настоящее время изучение этого
явления приобрело актуальный интерес в связи с проблемой высококоэр-
цитивных сплавов (см. ниже).
*) По этому вопросу имеется весьма обстоятельный обзор Кнеллера [371].
**) В качестве исключения можно указать на случай замкнутых монокристал-
монокристаллических рамок (см. ниже), в которых размеры доменов соизмеримы с размерами
образца.
- 800 -

В работе Френкеля и Дорфмана энергия граничного слоя была перео-
переоценена почти на два порядка величины, что, естественно, завысило
и величину критического размера частиц, ниже которого наступает одно-
доменное состояние. Более точные расчеты были проделаны Киттелем [161],
Неелем [372, 373], Стонером и Вольфартом [374, 158]. Строгое решение
этой проблемы дано в работах Кондорского [375, 376], Броуна [367],
а также Фрея и др. [377]. Кондорский установил «критерий абсолютной
однодоменности» *) и дал теорию магнитных свойств мелкодисперсных фер-
ферромагнетиков. Он указал, что в предшествующих работах при расчете
критических размеров ферромагнитных частиц не рассматривались состо-
состояния, соответствующие минимуму энергии, и не определялось влияние
магнитного поля на рас-
распределение намагниченности
внутри частицы, из-за чего
не учитывалась возможность
нарушения «однодоменности»
в процессе перемагничива-
ния.
Условие однородности
намагниченности в частице
сводится к требованию, что-
чтобы приращение свободной
энергии AF при любом на-
нарушении однородности ока-»
зывалось положительным
Рис. 23.18. Один из возможных типов распределения
ЧгтРСЬ AF к AF AF самопроизвольной намагниченности в малой «однодомен-
идо1лэ iji Oo, i_w аниз» *-" разм ной» ферромагнитной частице эллипсоидальной формы.
И Аг я — соответственно при- На схеме о) показано вращение компоненты Jj_ в пло-
пятттртп/пг nfiiwpTiTinTT чнрпгтгтг скостях, перпендикулярных оси z. О А — направление
ращения ООМеннОИ энергии, легчайшей ?.„ (Г> ф'). На схеме б) то же для вектора
Энергии МаГНИТНОИ аНИЗОТрО- Is и его компонент Iz и ij_ (Кондорский [376]).
пии, энергии собственного
поля магнитных зарядов частицы и энергии относительно внешнего маг-
магнитного поля, возникающие при нарушении распределения самопроиз-
самопроизвольной намагниченности в частице с замкнутым магнитным полем.
Например, для частиц в форме вытянутых цилиндров или эллипсоидов
вращения, согласно Кондорскому, осуществляется такое распределение
намагниченности, при котором слагающая I z вдоль большой оси образца z
остается однородной, а поперечная слагающая /j_ вращается в плоскости,
перпендикулярной оси z (рис. 23.18). (Возможны, конечно, и иные способы
распределения намагниченности.) В плоскости, проходящей через ось z
(рис. 28.18, б), направление Is определяется постоянным углом ¦&, кото-
который образует Js с осью z, а само положение'этой плоскости определяется
азимутом ф, отсчитываемым от оси х, который является функцией только
z и меняется в пределах от —ф0 до +ф0 **).
Расчет критических размеров частицы, при котором она становится
абсолютно «о дно доменной», заключается в определении компонент векто-
вектора намагниченности 1Х (х, у, z), Iv (х, у, z), Iz (x, у, z), соответствующих
минимуму полной свободной энергии F частицы.
*) Термин «однодоменность» означает, что весь объем ферромагнитной частицы
занят одним доменом.
**) Это означает, что ось х выбрана так, что в среднем поперечном относительно
z сечении образца она совпадает с I, (ф = 0); ось легкого намагничивания в общем
случае не совпадает ни с осью z, ни с осью х и определяется углами О' и ср'
(см. рис. 23.18, а).
51 с. В, Воисовский
— 801 —

Задача определения распределения намагниченности, удовлетворяю-
удовлетворяющего минимуму F, решается при условии постоянства величины само-
самопроизвольной намагниченности Is (исключается парапроцесс), постоянства
константы магнитной анизотропии К и параметра обменной энергии А.
Если задачу о распределении I (х, у, z) удастся решить, то следует попы-
попытаться также найти критический размер частицы.
Пусть частица имеет форму эллипсоида с большой полуосью L и малой
полуосью R; пусть ось L совпадает с единственной осью легкого намаг-
намагничивания (случай одноосного кристалла) и вдоль нее направлено внеш-
внешнее поле Н. Тогда, по Кондорскому, частица будет абсолютно однодомеи-
ной, если
R 0,95,/ ЮсА ,„„ ,,,
<i?0 = —]/ ^-, B3.45)
где NR — размагничивающий фактор вдоль малой оси частицы, а0 —
параметр решетки, с = 1/2; 1, 2 соответственно для п. к., о. ц. к и г. ц. к.
решетки.
Следует различать случай слабой и сильной анизотропии. В первом
случае ширина граничного слоя бгр, согласно B3.41а), велика и может
значительно превосходить критические размеры частицы (бгр ^> i?0).
Расчеты Броуна [367], Фрея и др. [377] приводят к формуле, подобной
B3.45):
/^Г- B3-46>
Постоянная с меняется от 2,60 (для цилиндра с NR = 2л) до 2,95 (для
сферы с Nr = 4л/3). Например, в случае сферической частицы Fe (А я^
^0,8-10-в эрг/см, Is = 1 700 гс) имеем Ro = 0,78 -Ю см, а бгр =
= 5 -10-6 см. В случае больших энергий анизотропии имеем обратное
неравенство: Ro ^> бгр, и тогда расчет дает
* = B3.47)
Например, в случае MnBi имеем угр « 12 эрг/см2, Is = 600 гс и й0 «
« 2,5 -10~5 см, в то время как бгр я^ 10~6 см, т. е. Ro ^> бгр.
Опытное доказательство однородности намагниченности в мелких
ферромагнитных порошинках дали впервые Антик и Кубышкина [378]
в связи с изучением ферромагнитных амальгам ртути. Хауль и Шоон [379],
Бейшер и Винкель [380], Винкель и Хауль [381] обнаружили однородно-
однородности намагниченности в аэрозолях б = Fe2O3 и Ni при средних размерах
порядка 100—200 А, что хорошо согласуется с теоретическими оценками.
Элмор [382] и Хипс [383] обнаружили подобное явление на ферромагнит-
ферромагнитных коллоидах. Неель [384] исследовал вопрос о влиянии тепловых флук-
флуктуации на намагниченность очень мелких ферромагнитных частиц и пока-
показал, что устойчивость намагниченности обеспечивается при размерах час-
частиц не меньше чем 50 А.
Киттель и др. [385] произвели весьма наглядный опыт, который пока-
показывает, что магнитные свойства тонких ферромагнитных порошков опре-
определяются свойствами одного домена. Можно рассчитать магнитные поля Hs,
требуемые для насыщения ферромагнитного образца, состоящего из сус-
суспензии магнитных частиц, вкрапленных в немагнитную матрицу (когда
степень растворения велика и магнитным взаимодействием между части-
частицами можно пренебречь). Киттель установил, что в случае однодоменных
частиц значение поля Нs будет значительно меньше, чем в случае много-
многодоменных частиц. Наблюдения на никелевом порошке (размеры частиц
порядка 200 ± 50 А) показали, что для однодоменных частиц Нs я^
х 550 ± 50 э, а для многодоменных Нs т& 2100 + 100 э. Теория дает соот-
— 802 —

ветственно Нs = 2KIIs та 150 э (при слипании однодоменных частиц это
значение может быть заниженным) и Нs —- 4jt/s/3 та 2100 э.
Может возникнуть вопрос о том, что произойдет со свойствами малых
ферромагнитных частиц, если мы будем продолжать уменьшать размеры
частиц значительно ниже критических размеров, определяемых формулой
типа B3.46) или B3.47). Как показал Вонсовский [386] (см. также Вон-
совский A953)), в случае металлов или сплавов необходимо считаться
с квантовым характером кооперативного явления ферромагнетизма. Если
линейные размеры ферромагнитного образца будут равны некоторой
величине б0, то, согласно соотношению неопределенностей квантовой
механики, импульс р электрона (который свободно распространяется
в этом объеме) обладает неопределенностью, определяемой из соотноше-
соотношений неопределенности Гейзенберга:
Др»у-. B3.48)
Тогда энергия Ае0 электрона, обусловленная тем, что электрон как бы
«чувствует» границы того объема, в который он заключен, станет равной
До
Если в формулу B3-49) подставить %2 та 1,2-10~54, т = 9,1 • 10~2S, to получим
Приравнивая эту «нулевую энергию» B3.50) энергии обмена А та кБ&,
которая является энергией магнитного упорядочения, можно легко опре-
определить критический линейный размер б0 ферромагнитного образца, при
котором в силу разупорядочивающего действия нулевой энергии (аналогич-
(аналогичного действию теплового движения) ферромагнетизм исчезает при всех
¦температурах. Из этого сравнения мы видим, что для обычных ферромаг-
ферромагнетиков с высокой точкой Кюри (порядка 500—1000° К) эти критические
размеры составляют
60 « 10А, B3.51)
т. е. порядка нескольких межатомных расстояний. Упомянутые выше опы-
опыты с аэрозолями, а также наблюдения Кёнига [387], который с помощью
эффекта Фарадея показал, что ферромагнетизм в железе исчезает, когда
размеры частиц просвечиваемой пленки не превышают 10—12 А, под-
подтверждают вышеприведенную теоретическую оценку. Более подробно
с теорией магнитной структуры мелких частиц можно познакомиться
в обзорах Пейна [388], Штрикмана и Тревеса [363], Кнеллера [371].
Шур и его сотрудники *) методом порошковых фигур изучили домен-
доменную структуру малых частиц сплава Mn — Bi и обнаружили, что переход
из многодоменного состояния (в сравнительно крупных частицах с диаме-
диаметром 100 А) в однодоменное состояние (в очень мелких частицах sg 50 А)
происходит через состояние с переходной магнитной структурой, которая
наблюдается в частицах с размерами несколько больше критических.
В состоянии с переходной магнитной структурой в пределах частицы
есть только один основной домен и вблизи поверхности сохраняются лишь
замыкающие области (рис. 23.19).
Весьма интересен вопрос о поведении отдельной однодоменной частицы,
а также их совокупностей во внешнем магнитном поле. Нет оснований
считать, что однодоменность не может быть нарушена в присутствии внеш-
внешнего поля. Если же такого нарушения нет, то перемагничивание одно-
*) Эти исследования описаны в обзорных статьях Шура [389, 390] и в его ори-
оригинальных работах с сотрудниками [391—408].
— 803 — 51*

w
V
?¦
in
доменной частицы происходит путем только одного процесса вращения *)
(подробнее см. ниже § 11 и 13). В общем случае процесс перемагничивания
будет определяться анизотропией формы частиц, кристаллографической
и магнитной анизотропией (по этому вопросу см. работы [409—411]).
В случае совокупности однодоменных частиц, рассматривая процесс
перемагничивания, весьма важно учитывать их магнитное взаимодействие.
Этот учет представляет собой очень слож-
сложную задачу. Расчеты обычно проводятся
для упрощенных моделей (см. работы
[373, 24, 369, 412—416]).
Влияние межчастичного взаимодейст-
взаимодействия учитывается введением коэффициента
упаковки, определяемого средним рассто-
расстоянием между центрами частиц и их сред-
средними размерами и формой. Следует иметь
в виду, что взаимодействие в порошках
однодоменных частиц может также изме-
изменить и условия для их критических раз-
размеров B3.45). На это впервые указал
Кондорский [376] (см. также Аарони [369]
и Уэрринг [418]). Опытное доказательст-
доказательство этого факта дано в работе Морриша
и Уатта [417]).
При рассмотрении процесса враще-
вращения в однодоменной частице мы предпо-
предполагали выше, что ее намагниченность
остается однородной и после начала этого
процесса во внешнем поле. Однако, как
это следует из работ Кондорского [375,
376], а также Броуна, Морриша и др.
[159, 366, 367, 377, 369, 371], при некото-
некотором поле, которое иногда называют полем
зарождения (nucleation-field), намагничен-
намагниченность становится неоднородной, а вращение некогерентным. Однако пока
еще нет достаточно убедительного и непосредственного сравнения теории
с опытом. Дело в том что все теоретические расчеты проводятся для тел
правильной формы (эллипсоид, цилиндр и т. п.), а опыты ведутся на
частицах неправильной формы, например на «усах» и т. п. (см. работу
Люборского и Морелока [419]).
Джекобе и Бин [212], Джекобе и Люборский [420] указали, что неко-
некогерентного вращения можно ожидать также в системе связанных в цепочки
однодоменных частиц. Каждая из частиц намагничена однородно, а между
частицами действуют дипольные магнитные силы, что и приводит к неод-
неоднородному вращению по цепочке в целом. На рис. 23.20 показаны раз-
различные типы процессов перемагничивания в отдельных частицах цилин-
цилиндрической формы и их цепочек.
Достаточно убедительным опытным доказательством существования
однодоменного состояния в ферромагнитных порошках может служить,
например, наблюдаемая зависимость коэрцитивной силы Нс от средних
размеров частиц порошка**). На рис. 23.21 приведены данные [419] для
этой зависимости для порошков Fe, Co, Mn — Bi и некоторых ферритов
и 50 WO 150 200 250
Muarfemp частицы, мк
Рис. 23.19. Связь диаметра частиц
сплава Mn — Bi с коэрцитивной силой
и схемы доменных структур, А — мно-
многодоменная структура, Б — многодо-
многодоменная без поверхностных замыкаю-
замыкающих областей, В — переходная струк-
структура, Г — однодоменное состояние
(Шур [389])-
*) Эту проблему подробно рассмотрели Стонер и Вольфарт [158]. См. также
обзор Кнеллера [371].
**) Другие эксперименты описаны в работах Киттеля и др. [421], Вейля [422],
Морриша и Ию [423], (см. также [424—432]). В частности, в работе [423] с помощью
очень чувствительной аппаратуры была снята прямоугольная петля с отдельной малой
частицы, что может служить непосредственным доказательством однодоменности. Одна-
Однако при этом остается неясным вопрос о когерентности необратимого вращения.
— 804 —

(см. также рис. 23.19). Вначале с уменьшением средних размеров частиц
порошка Нс начинает возрастать, достигает максимума (при разме-
размерах 3* ЮО А), а затем падает, стремясь к нулю в области суперпарамаг-
суперпарамагнитного состояния (см. ниже § 6). Заметим, что наблюдаемый максимум Нс
заметно ниже предсказываемого теорией. Это расхождение, по-видимому,
Рис. 23.20. Различные типы процессов перемагничивакия в одно-
доменных частицах (о) однородное вращение, б) изгибание, в) за-
завихрение) и в их цепочках (г) параллельное, д) веерообразное
вращение).
связано с влиянием взаимодействия между частицами, а также с некоге-
рентными процессами перемагничивания, обусловленными неоднородно-
неоднородностью намагниченности частиц. Это же расхождение можно, наоборот,
W /0г W3 /0* . 10s - 106
Средний размер частицы, А
Рис. 23.21. Зависимость коэрцитивной силы Нс от средних разме-
размеров частиц различных ферромагнитных порошков (в логарифмиче-
логарифмическом масштабе) (Люборский и Морелок [419J).
рассматривать как косвенное доказательство существования некогерент-
некогерентных процессов перемагничивания в ферромагнитных мелких частицах.
Укажем еще некоторые работы по однодоменным частицам^ [433—455].
§ 6. Суперпарамагнетизм
1. Мелкие ферромагнитные частицы. При уменьшении размеров одно-
доменных частиц и при сохранении в них самопроизвольной намагничен-
намагниченности (если температура остается ниже точки Кюри) начинает расти веро-
вероятность тепловых флуктуации в направлениях магнитного момента М
частицы; на этот тип броуновского вращения момента впервые указал
Неель [384], а для состояния таких частиц Бин [426] ввел термин супер-
суперпарамагнетизм. Момент М стремится ориентироваться вдоль направления
легчайшего намагничивания, определяемого суммарной магнитной анизо-
анизотропией частицы. Для поворота вектора М из этого направления необходи-
необходимо преодолеть энергетический барьер величиной Ka$$V, где КЭфф —
константа суммарной анизотропии, а V — объем частицы.
— 805 -

Энергия одноосной однородно намагниченной частицы равна
Ш = УКэфф sin2 Ф - VMH cos (# - Ф),
где ф и Ф — углы между осью легчайшего намагничивания и соответству-
соответствующими векторами М и Н. В полях, меньших критического: Нh = 2КЭ^11 s
существуют две равновесные ориентации вектора М в частице: с ф4 = О
и ф2 = л. Оба эти состояния разделяет энергетический барьер с Шыакс-
Вероятность перехода из состояния с ф4 в состояние с фг дается формулой
(см. работу Броуна [456])
Щг = /12 ехр [ — (gMaKc — Mi)/kBT],
W2i = /21
Здесь fu (i, j — Л, 2) — слабо зависящий от Т частотный фактор, который
в первом приближении равен частоте прецессии магнитного момента
частицы в эффективном внешнем поле
i —' V П ~i
где y/2jt = 2,8-10s сек'1 э'1 (при g = 2,00). Отсюда для времени релак-
релаксации т0 находим
Для того чтобы частица вела себя как суперпарамагнитная, необходимо,
чтобы отношение времени, необходимого для наблюдения t', ко времени
релаксации удовлетворяло условию t'/r0 > 1. Из вышеприведенных фор-
формул этому условию можно придать форму:
1<1пB*7о) VIsIIk ¦
Отсюда видно, что если частица при данном объеме V, температуре Т
и времени t' (или частоте измерительного поля 2nlt') находится в супер-
суперпарамагнитном состоянии, то при другой измерительной частоте (с мень-
меньшим t') она может вести себя как обычная однодоменная частица с момен-
моментом, не испытавшим термических флуктуации ориентации. Поэтому мож-
можно ввести критический объем для супер парамагнитно го состояния
2квТ In B*'/o)
F
(см. Шуэле и др. [457]).
Тепловые флуктуации направлений момента М становятся весьма
вероятными, когда средняя тепловая энергия квТ делается сравнимой
или большей энергии анизотропии КЭффУ (к^Т 5й -й^эфф^)- В типичных
ферро- или ферримагнитных веществах КЭфф я^ 107—103 эрг/см3, поэтому
при Т « 100° К (кБ ~ Ю6 эрг/град), когда кБТ « 10~14 эрг, тепловые
флуктуации становятся заметными в частицах, объем которых меньше
чем 10~21—10~17 см6 или линейные размеры меньше чем 10—100 А. При
этих условиях совокупности таких частиц ведут себя по отношению к воз-
воздействию внешнего магнитного поля Н и температуры подобно парамагнит-
парамагнитному газу молекул с той лишь разницей, что в газе в результате тепловых
флуктуации (столкновений) изменяют ориентацию сами молекулы вместе
со своими магнитными моментами, а однодоменные частицы остаются
неподвижными, меняется лишь ориентация их магнитного момента Ж под
действием тепловых флуктуации. Несмотря на это различие, качественно
эффект оказывается в обоих случаях одинаковым. Это и дало Бину [426]
основание ввести особый термин суперпарамагнетизм для поведения
систем однодоменных частиц в поле (при выполнении условия кБТ ^
— 806 —

3й КэффУ) *)¦ В суперпарамагнетиках элементарными носителями магне-
магнетизма являются не отдельные молекулы, а их совокупности — макрочас-
макрочастицы, содержащие до 103—106 атомов **). Зависимость намагниченности
суперпарамагнетика / от температуры описывается формулой Ланжевена
(см. гл. 9) (при условии K3^V С квТ)
)&] B3.52)
где п — число суперпарамагнитных частиц в единице объема. Из B3.52)
можно получить две приближенные формулы
/ЖЯ }
ЪкъТ
b iS»1) B3-54>
Из B3.52) — B3.54) следует, что ИМ однозначная функция MHIT. Если
принять, что объем суперпарамагнитных частиц V практически не зави-
зависит от температуры Т, и поскольку магнитный момент частицы М зависит
от Т через самопроизвольную намагниченность /s (T) вещества частиц:
М (Т) = VIs (T), то для температурной зависимости намагниченности
суперпарамагнетика имеем, например, из B3.53)
П^ъ^Шн. B3.55)
Из-за больших значений М в суперпарамагнетике весь ход функции
B3.52) можно найти в легко достижимых полях (~103 э) и не при очень
низких температурах (—'50—200° К). Из измеренного начального накло-
наклона кривой B3.52), равного М/Зк^Т, определяют М, а следовательно,
и средний размер частиц. Можно также экспериментально найти времена
релаксации результирующего магнитного момента системы.
Типичными примерами систем с супермагнетизмом являются малые
частицы кобальта, выделяющиеся при распаде твердого раствора Си — Со
(—'2ат.% Со) (см. Беккер [461]), мелкие выделения железа в р-латуни
(с примесью 0,1 ат. % Fe) (см. Берковитц и Шуэле [462]), суспензия тонких
частиц Fe в ртути (Бин и Джекобе [463]) и др. Более подробные сведения
можно почерпнуть из обзоров Бина и Ливингстона [464], Джекобса
и Бина [212] и в особенности Кнеллера [371], где имеется большая библио-
библиография (см. также работы [465—472]). В работах [473—477] для исследо-
исследования суперпарамагнетизма использовано измерение эффекта Мессбауэра.
2. Мелкие антиферромагнитные частицы. Неель [478—480] показал,
что очень мелкие частицы антиферромагнетиков (~ 50 А) также обладают
особыми магнитными свойствами, похожими на суперпарамагнетизм,
поскольку в них происходит нарушение полной компенсации моментов
магнитных подрешеток и они ведут себя при этом как ферримагнитные
частицы в состоянии суперпарамагнетизма. Кроме того, Неель указал
еще на одно явление в не слишком мелких антиферромагнитных ча-
частицах (—'100 А), отличное от суперпарамагнетизма, которое проявляется
*) Впервые суперпарамагнетизм на коллоидальной суспензии наблюдал Элмор
[458, 382].
**) Если мы имеем дело с суспензией однодоменных частиц, то в ней равновесное
распределение частиц в жидкой матрице может быть достигнуто путем вращения
самих частиц благодаря их броуновскому движению (Элмор [458, 382]). В этом случае
время релаксации т должно существенно зависеть от вязкости жидкости. Наконец,
возможны еще квантовомеханические изменения ориентации намагниченности частиц
(туннельные переходы). Теоретических расчетов этого эффекта не производили. Опыт
дри низких температурах (~4° К) дает для т очень малые величины, как этого тре-
требует теория процессов термической активации (см. Вейль [459], Кнеллер и Любор-
ский [460]).
— 807 —

в заметном увеличении их магнитной восприимчивости. В этих частицах
еще не возникает нарушения полной компенсации моментов подрешеток,
и их поверхность имеет вид хорошо развитых кристаллографических плоско-
плоскостей. Если частица имеет поверхностные грани, у которых все узлы при-
принадлежат к одной из подрешеток (ферромагнитная плоскость), то возни-
возникает любопытное свойство, зависящее от числа этих плоскостей в частице,
параллельных этой грани. Если это число нечетное, то такие частицы будут
суперпарамагнитными, как и очень мелкие частицы, упомянутые выше.
Если же это число четное, то начальная антиферромагнитная восприим-
восприимчивость (при Н —*¦ 0) возрастает вдвое по сравнению с ее значением для
массивного образца и стремится к нормальному значению с ростом внеш-
внешнего поля. Это явление Неель назвал суперантиферромагнетизмом.
Теоретические предсказания Нееля были подтверждены в опытах Коэна
и др. [481] (для частиц антиферромагнетика NiO, имеющих размеры от
20 до 600 А).
3. Практические применения суперпарамагнетизма. Суперпарамагне-
Суперпарамагнетизм интересен не только как специфическое магнитное явление и как
способ независимых измерений магнитных параметров, например темпе-
температурной зависимости самопроизвольной намагниченности Is (T) (Бин
и Джекобе [482]) или точки Кюри (Томас [483]), но он открывает новые
возможности для тонких структурных исследований, например в диспер-
сионно-твердеющих сплавах, поскольку исследования суперпарамагнит-
суперпарамагнитных свойств позволяют разрдботать весьма чувствительные неразрушающие
методы определения размеров, распределения размеров, формы, количе-
количества и состава частиц выпадающей магнитной фазы в начальных ста-
стадиях ее зарождения и роста *). Суперпарамагнетизм находит также при-
применение при изучении магнетизма горных пород (см. обзор [371]).
§ 7. Тонкие ферромагнитные пленки
1. Общие замечания. Наряду с исследованием мелких ферромагнитных
частиц в последнее время уделяется очень большое внимание изучению
тонких ферромагнитных пленок (ТФП) **). Этот интерес вызван двумя
причинами. Во-первых, чисто научный, поскольку тонкая пленка —
весьма любопытный объект физического исследования: самопроизвольная
намагниченность и точка Кюри ТФП зависят от толщины; весьма специ-
специфична структура доменов в ТФП, граничные слои которых пронизывают
всю толщу пленки, и характер их магнитной структуры отличен от тако-
такового в массивных образцах. Не менее интересна своеобразная магнитная
(одноосная) анизотропия ТФП, и влияние на свойства ферромагнитной
пленки ее неферромагнитной подложки (эпитаксиальные пленки). В по-
последнее время большой интерес вызывает изучение свойств многослойных
ТФП (см., например, [498]), и т. п. Во-вторых, повышенный интерес к ТФП
вызывается большими и многообещающими перспективами их практиче-
практического применения в качестве наиболее совершенных элементов памяти
в вычислительных счетнорешающих устройствах, поскольку скорость
перемагничивания, например, пермаллоевых ТФП на два-три порядка
выше, чем в аналогичных элементах из ферритов, применяемых в настоя-
настоящее время. Поэтому применение ТФП в счетно-решающих устройствах
(электронных вычислительных машинах ЭВМ), возможно, приведет
к значительному увеличению быстродействия математических машин.
*) Знаменский и Факидов [223, 484, 485] обнаружили суперпарамагнитное
состояние в закаленном сплаве Си — Мп B2,8 ат.% Мп), а Ворончихин, Завадский
и Факидов [486] — в аустенитных сталях.
**) Под ТФП понимают пленки ферромагнитных металлов и сплавов с толщина-
толщинами порядка 1000 А и меньше. Детальный обзор теории и свойств ТФП дан в коллектив-
коллективной монографии Андре и др. (см. сборник, цитированный в [505]) в книгах Суху A967),
Праттона A967).
— 808 —

Пока широкому внедрению ТФП мешает нестабильность их свойств во
времени. По всей вероятности, они найдут свое применение в каких-то
определенных типах ЭВМ наряду с ЭВМ, работающими на ферритах.
Имеются различные способы получения ТФП. Наиболее распростра-
распространенным является метод напыления в вакууме. Изучению подвергались
пленки чистых ферромагнитных элементов Fe, Co и Ni, а также различных
двойных, тройных и более сложных сплавов. Пожалуй, наибольшее вни-
внимание было уделено бинарным сплавам Fe — Ni типа пермаллой (с 79—
82% Ni). В этих сплавах очень мала магнитострикция, что делает их
магнитные свойства мало чувствительными к внешним и внутренним
напряжениям. Это имеет важное значение для технических применений
пленок.
Здесь будут кратко перечислены лишь некоторые основные результаты
теоретических и экспериментальных исследований ТФП. Детальную
информацию по этому вопросу читатель может найти, например, в кол-
коллективных монографиях Нейгебауера и др. [499], в книгах Суху A967)
и Праттона A967), сборнике указанном в [505], а также в обзорах Гудинафа
и Смита [500], Джекобса и Бина [212] и Д. Смита [501].
2. Основные положения теории. Тонкую плоскую пленку можно рассматривать
как трехмерное тело, у которого размер вдоль одного из измерений Gx (по нормали х
к плоскости пленки) существенно меньше размеров по двум другим измерениям (лежа-
(лежащим в плоскости пленки) Gz и Gy , т. е. Gx < Gz, Gy. Клейн и Смит [5021 обобщили теорию
спиновых волн Холстейна — Примакова [503] на этот случай для простой кубической
решетки, а для о. ц. к. и г. ц. к. решеток этот расчет проведен в работе Гласса и Клейна
[504]. Конечные размеры пленки вдоль нормали к плоскости учитываются условием
периодичности Борна — Кармана, а изменение числа соседних атомов на поверхности
пленки не принималось в расчет. Характер кривой температурной зависимости намаг-
намагниченности отличается от закона Tsh для массивных образцов и носит характер линей-
линейной зависимости, по крайней мере в наиболее тонких пленках. Можно ожидать также
падения точки Кюри с уменьшением толщины пленки. Для области высоких темпера-
температур (вблизи точки Кюри) Валента [505] обобщил теорию молекулярного поля на слу-
случай ТФП, используя идею о магнитных подрешетках (см. гл. 22). Этот расчет дает зави-
зависимость /s и в от толщины пленки. Расчеты Клейна и Смита [502] уточнил Дёринг [506],
который учел реальные граничные условия на поверхностях пленки (уменьшение числа
соседей у краевых атомов). Его результаты близки к результатам Валенты. Дальнейшее
развитие расчетов произвели Корчиовей [507] и Корчиовей и Гика [508], которые исполь-
использовали метод Кирквуда [509].
ХотЯдВначале и казалось, что результаты теории, по крайней мере качественно,
подтверждаются опытом, однако более тщательные эксперименты Нейгебауера [510}
и Гофмана [511] показали, что намагниченность ТФП существенно зависит, например,
от их окисления воздухом. Было установлено, что если изготовление пленок и измере-
измерение на'них производятся в сверхвысоком вакууме (~10~9 мм ртутного столба и ниже),
то в области температур до 77° К пленки толщиной до 20 А ведут себя в магнитном
отношении как массивные материалы. Поэтому, если отличие этих свойств в ТФП от
свойств массивных материалов и существует, то оно должно проявиться при еще мень-
меньших толщинах, что находится в противоречии с теорией Клейна и Смита [502], но со-
согласуется с выводами Валенты [505] и Корчиовея [507]. Гелленталь [512] сделал по-
попытку обобщить теорию на более реальный случай зернистых пленок (в предыдущих
работах авторы рассматривали модель идеально однородных и геометрически правиль-
правильных пленок). В его теории отдельные зерна трактуются как малые частицы в случае
суперпарамагнетизма (см. выше § 6).
Большой интерес представляет проблема магнитной анизотропии в ТФП. Преж-
Прежде всего в них возникает резкая анизотропия формы, обусловленная большой энергией
размагничивания B3.28) —4я/у при намагничивании в направлении, нормальном
к плоскости пленки. Благодаря этому намагниченность в ТФП имеет тенденцию лежать
в ее плоскости, ибо в таком случае магнитостатическая энергия равна нулю. Если еще
при этом пленка находится в однодоменном состоянии, то отсутствует и обменная энер-
энергия, связанная с неоднородностями намагниченности. Вместе с тем в самой плоскости
ТФП может существовать также большая магнитная анизотропия. Прежде всего —
это естественная магнитная кристаллографическая анизотропия. Ее можно наблюдать
в монокристаллических ТФП, когда они отделены от подложек. Опыт показывает (под-
(подробнее см. Малек и Шюппель [513]), что, как правило, константы магнитной анизо-
анизотропии ТФП практически не отличаются от значений для массивных образцов и не за-
зависят от толщины пленки. Для пленок, скрепленных с подложкой, из-за сильных внут-
внутренних напряжений возникает связанная с ними наведенная магнитная анизотропия.
Кроме того, в ТФП может быть создана наведенная магнитная анизотропия, если
— 809 —

в процессе их изготовления прикладывать в их плоскости внешнее магнитное поле.
Однако одноосная анизотропия в ТФП наводится, по-видимому, не полем, а связана
с самопроизвольной намагниченностью отдельных доменов в пленке (см. Андре и др.
[514] или Смит [515]). Приложенное внешнее поле лишь образует и сохраняет однодо-
менную структуру во время роста пленки и создает, таким образом, одинаковую ориен-
ориентацию легкой оси во всем объеме пленки. Наконец, следует еще упомянуть о специфи-
специфической для ТФП анизотропии, обусловленной наклонным напылением пленки на под-
подложку. Причина этой анизотропии при наклонном напылении пленки под малыми угла-
углами, по-видимому, лежит в возникновении упорядочения кристаллов в виде цепочек,
перпендикулярных плоскости падения
атомов на подложку, образование кото-
которых связано с тем, что при осаждении
атомов кристаллиты затеняют лежащее
-f,o
— —
V
0,2
-F-
_—¦
',0
У
-1,0
0
r
——¦
— —
1,0 hz
Рис. 23.22. Семейство петель гистерезиса Рис. 23.23. Кривая намагничивания
тонкой ферромагнитной пленки. Компонен- тонкой пленки [зависимость I /I =
ты намагниченности вдоль легкой оси 1г =/(н /Н,,)! вдоль оси трудного
как функция продольного поля/iz=Hz/H,, ' v *' K'J , ., .„ :
^ r ' и. намагничивания (см. рис. 23.22) (Гуди-
(приложенного вдоль той же оси) при раз- на(Ь и Смит [500])
личных значениях поперечного поля hx =
= Нх/Н{? (по осям координат отложены от-
относительные величины Iz/Is и ha = На/Н^
(а = х, z), где HK=2X/Is — поле анизо-
анизотропии) (Гудинаф и Смит [500]).
за ними пространство (подробнее см. Смит и др. [515, 516], Кнорр и Гоффмаи [517]).
Вторым механизмом анизотропии ТФП при больших углах напыления может быть
образование удлиненных в плоскости падения игл или пор (подробнее см. Камбер-
ский и др. [518]). Вопрос о природе одноосной анизотропии ТФП рассмотрен также в
интересных работах Шура и др. [519, 520] *).
Для энергии одноосной магнитной анизотропии ТФП имеем
где Ф — угол между вектором намагниченности I и легчайшей осью z, лежащей в пло-
плоскости пленки. В общем случае к пленке прикладывают два независимых поля. Одно
из них (продольное) направлено вдоль легкой оси Hz, а другое (поперечное) — вдоль
нормали к плоскости пленки Нх. Энергия, связанная с этими полями,
FH = —Нх I sin © — Hz cos ¦&.
Минимум полной энергии ^аниз
Из иервого условия имеем
-jT- sin
Здесь введены обозначения
И, у ^^
HK
= F находим из условий dF/dft = 0 и д%Р/д№ > 0.
hx cos © + hz sin ft = 0.
2K
h
нк '
*) Шур и др. считают, что теория «ориентированной сверхструктуры» Нееля —
Танигучи [169, 172] (см. § 3, п. 1), объясняющая, возникновение магнитной анизотро-
анизотропии в массивных образцах многокомпонентных сплавов при их термомагнитной обра-
обработке, неприменима в обычном виде к тонким ферромагнитным пленкам, поскольку ани-
анизотропия наблюдается и в однокомпонентных пленках. На основе своих измерений они
пришли к выводу, что причиной одноосной анизотропии в тонких поликристаллцче-
ских пленках является, по-видимому анизотропия формы однодоменных зерен, отде-
отделенных друг от друга менее магнитной межкристаллитнои границей. Поперечник зерна
при этом должен быть порядка сотен ангстрем и объем межкристаллитных границ
соизмерим с объемом зерен. Отсюда авторы делают вывод, что наблюдаемая в пленках
¦одноосная индуцированная анизотропия не связана с их малой толщиной и может
наблюдаться в принципе и в массивных мелкозернистых образцах.
- 810

Из этой формулы видно, что в случае пленки, когда поле Нх обычно поддерживается
постоянным, а поле Hz изменяется, угол ф между вектором результирующего поля
Н = Нх + Hz (И = [Их 4- Яг]1/B) п легчайшей осью меняется при намагничивании.
При этих условиях, как показали Гудинаф и Смит [500], семейство петель гистерезиса
для / (hz) при различных значениях hx приведено на рис. 23.22. Заметим, что крити-
критическое поле, при котором происходит необратимое (когерентное!) вращение намагни-
намагниченности пленки, определено из условий 6FI&& = d2F/dW = 0, которое имеет вид
Кривая в трудном направлении / (Нх) при Hz = 0 имеет вид безгистерезисной прямой
(рис. 23.23). В реальных пленках наблюдаемая коэрцитивная ¦сила обычно меньше
теоретического значения для критического поля необратимого вращения (в большин-
большинстве пленок поле Нк порядка нескольких эрстед) Нс < Нц. Это, по-видимому, может
быть связано с наличием зародышей перемагничивания и их необратимым ростом при
полях Н < Нц. Наблюдаются также случаи, когда Нс > Нц. Это, по всей вероятности,
связано с тем, что в пленке направление легкой оси меняется от точки к точке и при
перемагничивании возникает неоднородное необратимое вращение, требующее более
высоких полей, чем Н.к (критическое поле когерентного вращения).
Для практического использования пленок важно, чтобы время их перемагничи-
перемагничивания было очень малым. Это возможно, если перемагничивание осуществляется путем
необратимого вращения. Опыт показывает, что времена перемагничивания в реальных
случаях порядка 10~9 сек.
Интересная информация может быть получена при изучении структуры доменов
и граничных слоев между доменами в ТФП (см. монографию Крейка и Теббла A965),
а также статью Шюппеля и Камберского [521]. См. также работы [523—553] и отчеты
конференций [554—556]).
В, нес
§ 8. Экспериментальные доказательства существования доменов
Основными опытными доказательствами существования доменов явля-
являются: 1) скачкообразный характер кривых намагничивания в области
слабых полей (вблизи наиболее крутого подъема кривой), так называемый
эффект Баркгаузена и 2) непосредственное определение неоднородности
распределения намагниченности на поверхности и внутри ферромагнитного
кристалла.
1. Эффект Баркгаузена. Как показали детальные исследования, кри-
кривые намагничивания ферромагнетика имеют ступенчатый характер
(рис. 23.24). Вертикальные уча-
участки кривой соответствуют скач-
скачкообразному изменению намаг-
намагниченности, которое происходит
при постоянном внешнем маг-
магнитном поле из-за быстрого
изменения ориентации намагни-
намагниченности в части отдельных до-
доменов, намагниченных первона-
первоначально не в направлении внеш-
внешнего магнитного поля. Этот
эффект открыл Баркгаузен [557].
Аркадьев [558] разработал очень
простой акустический метод ре-
регистрации этих скачкообразных изменений намагниченности. Изучать скач-
скачки можно также с помощью осциллографа и определить при этом средний объ-
объем области, перемагничивающейся за один скачок [559—563]. Определен-
Определенный таким способом объем согласуется с теоретической оценкой средних
размеров домена. С помощью воздействий па материал (упругое растяже-
растяжение и т. п.) можно произвольно увеличивать величину скачков, придавая
петле гистерезиса в пределе резко выраженную прямоугольную форму
(см. ниже). Не следует думать, что каждый отдельный скачок соответ-
соответствует всегда перемагничиванию одного целого домена. Как правило, от-
отдельные скачки соответствуют перемагничиванию лишь отдельных участков
нескольких доменов. Из более поздних исследований эффекта Баркгаузена
Рис. 23.24. Ступенчатый характер кривой намаг-
намагничивания ферромагнетика (Хауворт [985]).
- 811

можно указать работы [564—577, 580—596] и книгу Кнеллера A962),
Вильяме и Шокли [597] наблюдали скачки Баркгаузена при внезапных
смещениях границы между доменами в монокристальной рамке. Скачко-
Скачкообразные изменения намагниченности возможны также и при необрати-
необратимом вращении в однодоменных частицах.
2. Визуальные наблюдения доменной структуры, а. Общие замечания.
Для теории магнитной доменной структуры ферромагнетиков, наряду
с изучением эффекта Баркгаузена, большое значение приобретают разно-
разнообразные методы непосредственного наблюдения этой структуры при
различных внешних условиях.
В настоящее время известно несколько таких методов. Конечной
целью всех их является определение топографии пространственного рас-
распределения намагниченности Is в ферромагнитном образце. В качестве
активного агента в этих опытах используют магнитное поле, создаваемое
самой доменной структурой. Различают два типа таких полей.
Во-первых, в силу существования самопроизвольной намагниченно-
намагниченности Is в ферромагнетике в каждом домене всегда существует сильное
усредненное магнитное поле, равное магнитной индукции: В (г) =
= Н (г) + 4nls (г) (здесь Н (г) = Не (г) + _йГо (г) — результирующая
напряженность магнитного поля, равная сумме внешнего Не и размагни-
размагничивающего Но полей). Даже в том случае, когда магнитное поле И (г) = 0г
индукция в доменах при Т < в отлична от нуля: В (г) = Anls (г) Ф 0.
В различных доменах ориентация Is (r) может существенно различаться,
что и может быть определено экспериментально с помощью подходящего
индикатора.
Во-вторых, в ферромагнетике всегда существуют магнитные поля
рассеяния, возникающие из-за несовершенства в замкнутости локальных
магнитных потоков доменной структуры. Эти поля очень неоднородны
и максимум их находится в местах «стыков» доменов друг с другом и с за-
замыкающими областями вблизи поверхностей разрывов и других дефектов,
а также на наружной поверхности образца. Определив с помощью какого-
нибудь индикатора эти места, можно наглядно «окантовать» отдельные
домены и замыкающие области и получить всю картину доменной струк-
структуры. Различные методы ее определения сводятся к различному выбору
индикаторов, определяющих либо ориентации магнитного поля внутри
областей, либо неоднородные поля рассеяния.
Известно, что магнитное поле оказывает пондермоторное действие на
магнитный момент магнетика или на движущийся электрический заряд,
а также может взаимодействовать с внешним электромагнитным полем
(например, световым или радиочастотным). Эти взаимодействия и лежат
в основе всех экспериментальных методов непосредственного определения
магнитной доменной структуры. Остановимся кратко на перечислении
таких методов, известных в настоящее время *).
б. Метод порошковых фигур. Этот метод достаточно хорошо разработан
и нашел уже широкое применение. Исторически первая работа, в которой
он был применен, принадлежит Гамосу и Тиссену [602]. Однако фактиче-
фактически первое наблюдение доменной структуры произвел Биттер [603}
и несколько позже независимо Акулов и Дехтяр [604], которые показали,
что мелкий ферромагнитный порошок (например, магнетит), взвешенный
в жидкости, при оседании на хорошо отполированную поверхность фер-
ферромагнитных кристаллов образует характерные фигуры (полосы). Была
также показана зависимость расположения этих полос от магнитного
состояния образца. После открытия метода порошковые фигуры на моно-
монокристаллах исследовали Акулов и Дехтяр [604] (Fe), Акулов и Раевский
*) Более подробное описание можно найти в обзорах Киттеля [24], Киттеля
иГалта [25], Стюарта [598], Вильямса и Шервуда [599], Крейка и Теббла A965) и [600],
Диллона [601]. См. также Сб. переводов под ред. Вонсовского [618, 618а].
— 812 —

[605] (Ni), Миллер и Штейнберг [606] (Fe3O4), Акулов и Базурина [607]
(Со). Исследования порошковых осадков, проведенные позже Элмором
[608, 458, 382, 609], показали не только качественное, но и количественное
согласие с теоретическими оценками размеров доменов. На рис.. 23.25
приведены примеры типичных порошковых фигур на поверхностях отдель-
отдельных кристаллитов крупнозернистого образца кремнистого железа, в пло-
плоскости поверхности которых лежит тетрагональная ось. У границ зерен
Рис. 23.25. Выявление доменной структуры в отдельных зернах поли-
поликристалла сплава Fe—Si (Вилльямс — см. обзор Киттеля^[24]).
видна вторичная структура осадка (рис. 23.25), связанная с возникнове-
возникновением" клинообразных областей, предсказанных Лифшицем [28].
Наиболее детальный анализ порошковых фигур был произведен
я экспериментальных исследованиях Вильямса и др. [610], Бейтса и др.
[611,612], Бозорта [613], Ямамото и
Ивата[614],Шураи др. [389, 390,
615-617]. На рис. 23.26-23.33
, <,кшн^^^ж1^мгдо1^^ш«|до<в«к«.4 приведено несколько типичных
)Рис. 23.26. Порошковые фигуры, выявляющие
вторичную структуру типа «елочек».
Рис. 23.27. К объяснению образования вторич-
вторичной доменной структуры в виде «елочек» (см.
рис. 23.26) (Вилльямс и др. [610]).
картин порошковых фигур, полученных в различных работах. Если поверх-
поверхность ферромагнитного кристалла, например сплава Fe—Si, слегка накло-
наклонена к плоскости A00), в которой лежат оси легчайшего намагничивания, то
простая картина порошковых фигур (рис. 23.12 или рис. 23.25) усложняет-
усложняется. В этом случае около полос, разделяющих домены, начинают расти
клинообразные отростки, и вся картина напоминает «елочки» (рис. 23.26).
На рис. 23.27 показана схема распределения самопроизвольной намаг-
намагниченности в основных доменах и в ветвях- таких елочек. Как показали
— '813 —

расчеты Вильямса и др. [610], появление такой сложной структуры ведет
к частичному замыканию магнитного потока и, следовательно, к уменьше-
уменьшению свободной энергии кристалла. С ростом угла наклона картина осадка
еще заметно усложняется (явление «перекрытия» елочек).
На рис. 23.28 показано (по данным Шура и др. [615]) смещение 180°-
границ между доменами монокристалла Fe — Si при его намагничивании
вдоль направления [100] в плоскости рисунка при взаимодействии грани-
границы со встречающимися на ее пути смещения дефектами. Из рисунков
видно, что граница «зацепляется» за дефект
г через вторичную магнитную структуру. На
; . рис. 23.29 показаны порошковые фигуры по
данным Ямамото и Ивата [614] на поверхно-
поверхности, параллельной плоскости @11) монокри-
монокристалла сплава Со — Ni F0 ат. % Со), в кото-
котором лежат четыре из восьми направлений лег-
легкого намагничивания [111]. Здесь же приведена
схема расшифровки этих плос и показаны уг-
углы между осями.
В работе Вильямса и др. [610] был предло-
предложен простой и наглядный метод определения на-
направления намагниченности в доменах на поверх-
Рис. 23.28. Задержка дефектом
структуры смещения границы
доменов в ферромагнитном кри-
кристалле (стрелки указывают на-
направление намагниченности).
Рис. 23.29. Порошковые фигуры на поверхности [011] кубиче-
кубического монокристалла сплава Со — Ni F0 ат. % Со) с осями
легкого намагничивания типа [ill] и схема соответствующих
доменов.
ности ферромагнетика: метод царапин (рис. 23.30—23.31). Суть метода
заключается в том, что если царапина на поверхности проведена парал-
параллельно направлению намагниченности в кристалле, то из-за отсутствия
нормальных слагающих намагниченности на поверхностях канавки цара-
царапины вблизи нее не возникает магнитных полей рассеяния и коллоидный
осадок не собирается у ее краев. Если же царапина проведена под углом,
отличным от 0° или 180° к направлению намагниченности, то на ее краях
возникают магнитные заряды, что приводит к появлению полос колло-
коллоидальных осадков. На рис. 23.31 показаны порошковые фигуры типа
елочек (см. рис. 23.26), причем на поверхности кристалла в вертикальном
(относительно рисунка) направлении делительной машиной были нанесены
- 814 -

6)
параллельные царапины. Внутри ветвей елочек эти царапины перпендику-
перпендикулярны к намагниченности, и поэтому они ясно проявляются коллоидаль-
коллоидальным осадком. На поверхности образца вне этих
ветвей царапины параллельны намагниченно-
намагниченности, а поэтому там нет продолжения полос с
осадком. Очень важным является также опыт
Вильямса и Шокли [597], который позволяет
установить непосредственную связь между из-
изменением намагниченности и перемещением
границ между доменами (рис. 23.32). В этих
же опытах была обнаружена тонкая структура
доменов, возникающая вокруг пустот или вклю-
включений в ферромагнитном материале (см.
рис. 23.33, а также 23.28), предсказанная Нее-
лем [619а] и Кондорским [619].
Дальнейшее развитие методики порошко-
порошковых фигур (замена воды маслом в суспензиях,
использование сухих порошков, наблюдение
осадков с помощью электронного микроскопа
и т. д.) связано с работами Андре [620], Крейка
и др. [621-623].
Несмотря на большую наглядность и про-
простоту метода порошковых фигур, ему присущ
и ряд недостатков. Во-первых, с его помощью
можно изучать доменную структуру лишь с по-
поверхности образца, поэтому судить о доменной
структуре всего объема образца можно лишь в
случае достаточно тонких образцов, когда основ-
основные домены распространяются на всю их толщу.
Во-вторых, этот метод имеет ограниченную разрешающую способ-
способность, определяемую размерами частиц порошка, а также механизмом
образования самих порошковых фигур в местах полей рассеяния у поверх-
поверхности образца. Теорию образования порошковых фигур разработал Кит-
тель [24, 624] (см. также статью Бергмана [625]). Мы не всегда, например,.
Рис. 23'30. Иллюстрация мето-
метода «царапин» для определения
направления намагниченности в
доменах с помощью порошковых
фигур. Направление «царапины»
перпендикулярно плоскости ри-
супка. а) Схематическое изобра-
изображение магнитных силовых ли-
линий, когда намагниченность пер-
перпендикулярна царапине; б) то
же в случае, когда намагничен-
намагниченность параллельна царапине
(магнитные силовые линии
перпендикулярны плоскости
рисунка).
Рис- 23.31. Иллюстрация метода «царапин»"— порошковые фигуры на поверхности моно-
монокристалла со структурой областей типа «елочка». Видны нанесенные делительной маши-
машиной царапины (вертикальные черточки на «ветвях» елочки).
можем установить связь между шириной порошкового осадка и эффек-
эффективной шириной граничного слоя между доменами и т. п. Вообще с помо-
помощью порошковых фигур можно наблюдать доменные структуры лишь
масштабов, заметно превышающих размеры частиц порошка. Наконец,
в-третьих, этот метод применим лишь в сравнительно узком температур-
температурном интервале с нижней границей, определяемой температурой затверде-
затвердевания суспензии, а верхней — температурой ее кипения. В связи с этим
— 815 -

весьма полезна техника сухих порошков и масляных суспензий (с более
высокой точкой кипения, чем у воды). При наблюдении с помощью порош-
порошковых фигур динамики процессов перестройки доменной структуры
в переменных магнитных полях, серьезным препятствием служит инер-
инерция порошка, Упомянем также о необходимости сложной специальной
Рис. 23.32. Вычисление намагниченности Dя1 = В — Я) монокристальной рамки (см.
вис. 23.43) при различных (а, б, в) положениях 180°-границы между доменами (Вилльямс
и Шокли [597]).
Рис. 23.33. Опытное обнаружение (Вилльямс и Шокли [597]) тонкой структуры ферромаг-
ферромагнитных областей около пустот и включений (Неель [619а] и Кондорский [619]).
подготовки поверхности образцов перед получением порошковых фигур.
Необходимо исключить появление всевозможных структурных искаже-
искажений поверхности, могущих привести к искажению естественной доменной
структуры.
в. Магнетооптические методы. Указанные недостатки метода порош-
порошковых фигур привели к разработке других методов наблюдения доменной
структуры. В первую очередь упомянем о магнетооптических методах,
— 816 —

получивших уже заметное распространение. В основе этих методов лежит
известное физическое явление вращения плоскости поляризации света
при отражении от намагниченного ферромагнетика (эффект Керра) или
при прохождении через толщу образца (эффект Фарадея) в прозрачном
ферромагнетике (см. гл. 15 и 25). Поскольку в различных доменах направ-
направления Is различны, углы вращения тоже будут различны, и поэтому,
Нн7
о'.
i ^-^^т^гт
Й
..: ..___ 4
Рис. 23.34. Формирование доменной структуры. Порошковые фигуры на монокристаллах сплава
Fei— Si, поверхности которых совпадают (серия фотографий a = 0°) или близки (серии а = 2°
и а = 6°) кристаллографической плоскости A00), при уменьшении внешнего магнитного поля
(направленного вдоль оси [010] вправо) от своего максимального значения в 180 э (верхние фото-
фотографии а) через промежуточные значения (фотографии 6сН= 120 э, фотографии в с Н = 80 э и фо-
фотография г с Н = 40 э) до полного выключения (Н = 0 — фотография 9). Стрелки указывают направ-
направление намагниченности в отдельных областях. Снизу показаны ориентации осей [001] и [010] кри-
кристалла, магнитного поля Н и указан масштаб (Драгошанский и Шур [684]).
анализируя отраженный от ферромагнетика или прошедший через него
поляризованный свет, можно получить «снимок» доменной структуры.
Впервые эту технику (с использованием эффекта Керра) применили
Вильяме и др. [626] на кристаллах Со. Методика эффекта Керра удобна
52 с. В, Вонсовский
— 817 -

потому, что она применима в широкой области температур и внешних
полей и может использоваться в динамических опытах. Недостатком этого-
метода является малая величина угла вращения Керра в большинстве
ферромагнетиков. Однако здесь наметились пути искусственного усиления
эффекта путем нанесения диэлектрического покрытия на ферромагнитное
зеркало (эффект усиления открыл Носков [627], а практически использо-
использовал Кранц [628]).
Эффект Фарадея используется для изучения доменной структуры
в прозрачных ферромагнитных диэлектриках (ферриты-гранаты и т. п.)
или в очень тонких металлических пленках (см. Фаулер и Фрир [629],
а также [659, 694]). Кроме того, Диллон [630] предложил матод наблюде-
наблюдения доменной структуры в проходящем свете с помощью двойного луче-
лучепреломления.
г. Другие методы. Для изучения доменной структуры используется
также электронномикроскопическая техника, как на просвет (см. Фуллер
и Халле [631]), так и на отражение от образца (Майер [632]). Спивак
с сотрудниками [633—637] разработали оригинальный метод исследования
доменной структуры с помощью вторичной электронной эмиссии. Еще
в 1942 г. П. И. Лукирский высказал предположение [см. Вонсовский
и Шур A948)], что с помощью скользящих электронных пучков можно
изучать магнитные поля рассеяния доменной структуры. Независимо эту
идею реализовали Джермер [638] и Блэкман и Грюнбаум [639].
Кацер [640] предложил метод пермаллоевых зондов для измерения
магнитных полей рассеяния доменной структуры у поверхности ферро-
ферромагнитных образцов. Костышин и др. [641] разработали метод измерения
этих полей с помощью холловского датчика. Мерц [642] наблюдал ферро-
ферромагнитные домены в монокристалле феррита Соо.гз^По.о^ео^оРе^збС^ с ано-
аномально большой магнитострикцией с помощью рентгеновской двухкри-
стальной дифрактометрической техники, поскольку из-за магнитострик-
ции в доменах с разной ориентации намагниченности существенно меня-
меняли параметр решетки. Используя более совершенную экспериментальную
технику, Полкарова и Ланг [643] провели аналогичные измерения на
материале с нормальной магнитострикцией (монокристалл сплава Fe — Si
с 3,5 ат. % Si). Диллон и Ремейка [644] наблюдали дифракцию света на
доменной структуре ионного ферромагнитного соединения СгВг3. Наконец,
Шур и Ширяева [645, 646а] установили связь между ферромагнитным
резонансом и доменной структурой. Теоретически этот вопрос рассмот-
рассмотрен в работах Власова и Оноприенко [646] и Оноприенко, Ширяевой
и Шура [647].
д. Заключение. В табл. 23.3 перечислены все известные методы изу-
изучения доменной структуры с указанием их преимуществ и ограничений
(см. Диллон [601]).
Опытные исследования доменной структуры можно систематизиро-
систематизировать по типам изучаемых магнитных веществ, а именно: 1) магнитно-
одноосные материалы, 2) железо и железоподобные кристаллы, 3) никель,
и никелеподобные кристаллы, 4) сплавы и высококоэрцитивные матери-
материалы, 5) ферриты-шпинели и ферриты-гранаты, 6) тонкие пленки. Оста-
Остановимся в качестве примера на кратком описании некоторых из них.
Магнитно-одноосные материалы. Одноосные мате-
материалы имеют простую доменную структуру, состоящую из двух магнит-
магнитных фаз, намагниченных антипараллельно, и 180°-граничных слоев. Более
сложна структура замыкающих областей у поверхности образца или от-
отдельных кристаллитов (в поликристаллах). Из одноосных материалов
изучались бариевый феррит [659, 663], магнетоплюмбит [656—658, 660—
662, 664] и ортоферриты — материалы с низким значением магнитного
насыщения, а также кобальт [611, 665—681] — материал с высоким
значением насыщения. В ортоферритах и других ферримагнетиках был
обнаружен новый тип доменов: цилиндрические (см. например [578, 579])..
— 818 —

Таблица 23.3
Экспериментальные методы наблюдения доменной структуры ферромагнетиков
(Диллон [601])
Метод
1. Порошковые фигуры:
а) водный раствор
б) коллоидный раствор в целаколе
(celacol)
в) коллоидный раствор в лаке
г) коллоидный раствор в масле
д) сухой порошок
2. Керр-эффект:
а) уменьшение помех при фото-
фотографировании
б) усиление эффекта диэлектри-
диэлектрической пленкой
в) детектирование с помощью мо-
модуляции света
3. Эффект Фарадея (магнитное вра-
вращение):
а) видимый свет
б) инфракрасное излучение
4. Магнитное двойное преломление
Наблюдаемая
физическая
величина *)
»
»
»
»
»
Движущаяся
граница
»
Исследуемые ферро-
ферромагнитные вещества
Все, кроме веществ
с малой магнитной
анизотропией
Все
»
»
Все простые до-
доменные структуры
Прозрачные
(включая металли-
металлические пленки)
Некоторые образ-
образцы толщиной в не-
несколько мм
Прозрачные
Образцы **)
Плоская поверхность
» »
Допустимы отклонения от пло-
плоской поверхности
Плоская поверхность
Отклонение от плоской поверх-
поверхности нежелательно
Плоская поверхность
» »
Плоская поверхность, покрытая
пленкой из ZnS
Без специальной обработки
Две полированные параллельные
поверхности
» » »
То же
Интервал температур
0—50° С
0—100° С
0—100° С
до 400° С
Без ограничений
То же
» »
До температур
начала помутне-
помутнения пленки ZnS
Без ограниче-
ограничений
То же
» »
» »
» »
Литература
[25]
[291]
[621], [622]
[623]
'[620]
[648]
[626], [649]
[650]
[628], [651]
[652]
[629], [653]
[654], [655]
[630]

Продолжение табл. 23.
Метод
5. Электронный микроскоп на просвет:
а) без объектива
б) слабый объектив
в) острие ножа в фокальной пло-
плоскости
г) электростатическое усиление
6. Электронный микроскоп на отра-
отражение
7. Эмиссионный электронный мик-
микроскоп
8. Электронный пучок
9. Пермаллоевый датчик
10. Холловский датчик
11. Двойной кристаллический рентге-
рентгеновский дифрактометр
12. Дифракция света
13. Ферромагнитный резонанс
Наблюдаемая
физическая
величина *)
»
Я'
»
»
»
»
Постоянная
решетки
Периодич-
Периодичность В / ||
Радиоча-
Радиочастотная маг-
магнитная про-
проницаемость
*) Н'—поле рассеяния; / — намагниченность; /ц
пучку света.
Исследуемые ферро-
ферромагнитные вещества
Все
»
»
»
»
»
»
»
»
С большой маг-
нитострикцией
СгВг3
Fe, Ni
Образцы **)
Пленки, толщиной 100 —1000 А
То же
» »
» »
Гладкая, проводящая поверхность
Образец—катод
Острие ножа
Плоская поверхность
» »
Без специальной обработки
Толщина порядка 250 А
Без специальной обработки
Интервал температур
Температура,
допускаемая для
электронного
микроскопа
То же
» »
» »
» »
» »
Без ограниче-
ограничений
То же
» »
» »
» »
» »
Литература
[631а]
[631а]
[6316]
[6316]
[632]
[633]
[638], [639]
[640]
[641]
[642]
[644]
[645]
и /i—компоненты намагниченности соответственно параллельная и перпендикулярная
**) Все методы для надежных наблюдений требуют ненаклепанных полированных поверхностей. Фигуры травления всегда должны быть четкими.

В качестве примера укажем на работу [668], в которой исследовалась
зависимость магнитной структуры монокристалла кобальта от его размера
и было показано, что теоретическая формула, предсказывающая пропор-
пропорциональность ширины домена корню квадратному из толщины кристалла,
выполняется для образцов малых толщин (sg200 ц). При больших толщи-
толщинах обнаружены некоторые отклонения от этой закономерности из-за
сложной картины порошковых осадков на поверхности образца. Особый
интерес представляют исследования поведения доменной структуры
магнетоплюмбита и кобальта во внешнем магнитном поле и, в частности,
возникновение и рост зародышей перемагничивания при различных ориен-
тациях магнитного поля относительно гексагональной оси кристалла
(см. [661, 669, 674, 675, 678, 682]). Шур и Глазер [683] с помощью магнето-
оптического эффекта Керра исследовали температурную зависимость
доменной структуры монокристаллов Со в интервале температур +20—
+ 250° С и сплава MnBi в интервале от +20 до —180° С. В обоих случаях
намагниченность насыщения практически не меняется, а постоянная
магнитной кристаллографической анизотропии резко уменьшается вплоть
до нуля. Опыты показали, что равновесные размеры доменов увеличивают-
увеличиваются (в Со при нагреве, в сплаве MnBi при охлаждении). Это объясняется
тем, что с уменьшением константы анизотропии гораздо легче осущест-
осуществляется замыкание магнитного потока на базисной плоскости магнитно-
одноосных кристаллов, не требующее образования очень тонких доменов.
О доменной структуре в кристалле Со см. также работы [697—699].
Железо и железоподобные кристаллы. Остано-
Остановимся здесь на некоторых работах по изучению доменной структуры в кри-
кристаллах сплава Fe — Si (с 3 ат. % Fi) и на сверхчистых монокристаллах
железа («усах» и пленках).
Драгошанский и Шур [684] детально исследовали с помощью порош-
порошковых осадков формирование доменной структуры в кристаллах Fe — Si
при уменьшении напряженности внешнего магнитного поля, предвари-
предварительно доводящего кристалл до магнитного насыщения. Опыты показали,
что образованию доменов, намагниченность которых ориентирована обрат-
обратно исходной магнитной фазе, всегда предшествует появление доменов
с поперечной (к полю) ориентацией намагниченности (рис. 23.34), что
соответствует требованию минимума энергии размагничивающего поля
и энергии относительно внешнего поля. В другой работе (Шур, Драго-
Драгошанский [685]) был детально изучен вид замыкающих областей монокри-
монокристаллов Fe — Si, поверхности которых близки к поверхности типа A10).
Изучение таких образцов, обладающих сквозной доменной структурой,
позволило предложить обоснованную модель замыкающих областей для
многоосного ферромагнетика. В работе Старцевой, Глазера и Шура
[686] на образцах Fe — Si C ат. % Si) с помощью продольного магнето-
оптического эффекта Керра была исследована температурная зависи-
зависимость доменной структуры. В экспериментальных работах Андре [687]
и Кацера [688] эта зависимость оказалась гораздо меньше, чем предска-
предсказывала теория, а в работе Киренского и Дегтярева [689] она вообще не
наблюдалась. Однако, Шур и Старцева [690] (см. также [696]) при цикли-
циклическом изменении температуры обнаружили в кристаллах Fe — Si тем-
температурный гистерезис (см. ниже) доменной структуры. Поэтому можно
было ожидать при исключении этого гистерезиса (приводя образец при
каждой температуре в равновесное состояние), лучшего согласия теории
с опытом. Это и было фактически показано в упомянутой работе [686].
Весьма интересным объектом для исследования простейших доменных
структур являются наиболее чистые и совершенные по кристаллографи-
кристаллографической структуре монокристаллы железа, так называемые «усы», получае-
получаемые путем восстановления из некоторых галлоидных соединений Fe
в атмосфере водорода при 700—800° С. Таким способом можно получить
монокристаллы длиной до 1 см и в поперечнике до нескольких сот микрон.
QO1

h
Эти кристаллы имеют также совершенную поверхность, которая обычно
совпадает с одной из главных кристаллографических плоскостей, напри-
например A00). В размагниченном состоянии в таком монокристалле квадратно-
квадратного сечения с четырьмя боковыми поверхностями типа A00) обычно наблю-
наблюдают (Колеман и Скотт [691, 692]) два антипараллельно намагниченных
домена, разделенные одной 180°-границей и с
двумя замыкающими доменами на торцах
(рис. 23.35, а). При приложении и снятии
магнитного поля, перпендикулярного оси кри-
кристалла возникает структура, показанная на рис.
23.35, б. При включении продольного поля с ро-
ростом его напряженности объем поперечно на-
намагниченного домена уменьшается, а 180°-
граница смещается, как это показано на рис.
23.35, в — е. А при поле Н да 200 э доменная
структура вообще исчезает (рис. 23.35, ж). На
конце кристалла доменная структура более
сложная. Схема такой структуры показана на
рис. 23.36 (см. работу Фаулера и др. [693]).
Исследования доменной структуры «усов» про-
проводились также в работе [700].
Де Блуа провел весьма тонкие исследова-
исследования по изучению доменной структуры не толь-
только «усов», но также и тонких монокристаль-
монокристальных пленок чистейшего Ni и его сплавов
(Ni — Со, Ni — Fe) с почти совершенной кри-
кристаллической структурой [701—706]. Эти пле-
пленочки получались восстановлением в водороде
из бромидов, хлоридов и т. п. и имели толщины
в интервале от 500 А до 10 ц A05 А). Они
имели обычно форму прямоугольников или
прямоугольных треугольников (по двум дру-
другим измерениям), плоскости которых совпадали
с плоскостями типа @01), ребра — с направле-
направлениями типа [100], а по линейным размерам
эти ребра лежали в интервале от нескольких ц,
до 3 мм. Совершенство их внутренней структу-
структуры, как и «усов», гладкость их поверхности и
резкость их ребер и простота их геометриче-
геометрической формы делают эти пластинки идеаль-
идеальными образцами для изучения доменной струк-
структуры и процессов смещения граничных слоев в
самых тонких деталях, а следовательно, и
для почти количественной проверки теории
ферромагнитных доменов и ее дальнейшего раз-
развития. Совершенство структуры этих образцов
позволяет замечать обратимые смещения гра-
граничных слоев между доменами в полях, мень-
меньших 10~2 э. Опыты с пленками позволили изу-
изучить структуру граничных слоев блоховского,
неелевского и промежуточного типа, двойных
граничных слоев, тонкую структуру областей
на краях образцов (например, в их «углах»),
взаимодействие граничных 180°-слоев с ребрами
образца, процесса насыщения и зарождения в «углах» образцов и т. п.
Особенно удобными для исследования оказались пластинки сплава
Ni — Со (с составом от 4 до 18 ат.% Со), поскольку они имеют положитель-
Рис. 23.35. Порошковые.-фигу-
ры на поверхности, параллель-
параллельной плоскости A00) монокри-
монокристалла (типа «усов») Fe. а) Раз-
Размагниченное состояние (Н = 0);
б) с помощью приложения и за-
затем выключения внешнего поля,
нормального к оси кристалла,
вблизи его центра создан домен
кубической формы, образующий
замкнутый магнитный поток.
При приложении к этой струк-
структуре продольного внешнего маг-
магнитного поля вдоль оси кри-
кристалла в этой центральной его
части происходят очень простые
смещения границ доменов, по-
поскольку они не связаны с гра-
граничными условиями на концах
кристалла. В продольном поле
200 » (см. фотографию ж) в цент-
центральной области кристалла до-
достигается насыщение. Фотогра-
Фотографии с, 9 и е показывают про-
промежуточные структуры при зна-
значениях продольного поля 0 <
< Н < 2П0 э (Скотт и Колеман
[692]).
— 822 -

ную константу магнитной анизотропии (К2 > 0) и поэтому более простую
доменную структуру (подобную кристаллам Fe и Fe — Si), чем в чистом
Ni. Очень интересными являются исследования доменной структуры
в пермаллоевых пленках (см. [703]) (с 81 ат. % Ni) с нулевой магнитострик-
цией. Все эти исследования имеют большой принципиальный интерес
для проблемы ТФП, поскольку такое детальное
изучение доменной структуры в обычных пленках
невозможно из-за их структурных несовершенств,
а вместе с тем простота наблюдаемых доменных
структур в монокристальных пленках может
дать очень многое для понимания структуры и
поведения ТФП.
В качестве иллюстрации на рис. 23.37—23.39
показаны фотографии порошковых фигур [703]
простейшей возможной доменной структуры с
замкнутым магнитным потоком и ее изменения
при наложении внешнего магнитного поля в пря-
прямоугольной пластинке A50 X 120 ц2) толщиной
3000 А сплава Ni — Со с К2 > 0 *). Рис. 23.37, а,б
дают две возможные структуры при Н = 0. Эти
структуры имеют минимум суммарной энергии
Fаниз + Fh> поскольку векторы Is лежат вдоль
легчайших осей [100] и [010] и отсутствуют маг-
магнитные полюсы по краям образца, кроме мест
выхода на поверхность граничных слоев, где на
расстояние порядка 1000 А вектор Is поворачива-
поворачивается из одного направления в другое (в соседних
доменах). Несколько большая длина граничных
¦слоев у структуры рис. 23.37, б по сравнению
с рис. 23.37, а, по-видимому, в какой-то сте-
степени компенсируется соответствующим уменьшением магнитострикцион-
ной энергии. Появление той или иной из этих структур зависит от предва-
предварительной магнитной истории образца. В слабых внешних полях границы
Рис. 23.36. Схемы доменной
структуры в железных
«усах» на поверхности, па-
параллельной плоскости A00)
и на торце кристалла (Фау-
лер_и др. [693]).
Рис. 23.37. Простая картина порошковых фигур на монокристальной прямоугольной
пленке сплава Ni — Со (размеры 150 X 120 ц,2 и 3000 A) cf?K2> 0. Ребра пленки
параллельны осям кристалла [100] и [010]. а) и б) Две альтернативные доменные структуры
с замкнутым магнитным потоком в нулевом поле; в) изменение порошковых фигур струк-
структуры а после приложения внешнего магнитного поля Н = 36 э, ориентированного вдоль
горизонтальных ребер вправо (между вершинами двух треугольных областей с основания-
основаниями на вертикальных ребрах имеется очень бледный осадок, разделяющий два антипа-
раллельно намагниченных (вдоль горизонтальных ребер) домена); г) изменение порош-
порошковых фигур структуры а после приложения внешнего поля Н = 3,9 » вдоль верти-
вертикальных ребер вверх (де Блуа [703]).
смещаются обратимо. На рис. 23.37, в показано изменение структуры
рис. 23.37, а при приложении поля Н — 3,6 э вправо, а на рис. 23.37, г —
поля Н = 3,9 э вверх. Отметим при этом две особенности: доменные гра-
*) Гемперле [707] наблюдал такие структуры в пленках Fe.
— 823 —

граничный слой
и возвращается
ницы выходят на ребра только в «углах» пластинки и границы искривля-
искривляются, образуя дуги окружностей (см. ниже). В поле Н = 4,1 э происходит
необратимая перестройка доменной структуры (рис. 23.38). Любопытно,
что в еще большем поле (Н = 5,2 э, рис. 23.39) происходит прижимание
180°-граничного слоя к краю образца.
При снижении поля
«отлипает» от ребра
в прежнее положение внутри образца.
Этот процесс имеет важное значение
для понимания явления поверхностной
анизотропии и зародышеобразования.
На рис. 23.40 приведена фотография
порошковых фигур [703] у «угла» пле-
пленочки Ni в поле Н = 10 э, направлен-
направленном вправо. А на рис. 23.41 и 23.42 по-
показаны порошковые фигуры [702] еще
одного образца пленки сплава Ni — Со,
толщиной 5500 А прямоугольной формы
A12 х 35 ц2).
Из этих иллюстраций видно, какой
прогресс уже достигнут в визуальных
наблюдениях доменной структуры в со-
совершенных по структуре ферромагнит-
ферромагнитных монокристаллах и в открываю-
возможностях для количественной разра-
Рис. 23.38. Изменение порошковых фи-
фигур рис. 23.37,в после увеличения внеш-
внешнего магнитного поля Н до 4,1 э. Между
вершинами треугольных областей имеется
почти невидимый осадок на 180°-границе
между антипараллельно намагниченными
доменами (де Блуа [703]).
щихся в связи с этим
ботки доменной структуры.
Высококоэрцитивные материалы. г "> Начиная
с 1950 г. в ряде работ [389, 708—718] было показано, что в высококоэр-
высококоэрцитивных сплавах (ВКС) типа альнико, а также в порошковых материалах
для постоянных магнитов (с удлиненными однодоменными частицами,
запрессованными в немагнитной матрице, см., например, Люборский и др.
[719], а также ниже § 13) могут наблюдаться макроскопические домены,
размер которых во много раз превышает размер структурных составляю-
составляющих этих материалов, являющихся однодоменными. Эти однодоменпые
Рис. 23.39. Верхняя часть фотографии порошковых осадков на поверхности пленки
(фотографии с которой приведены па рис. 23.37 и 23.38) в еще большем (чем на
рис. 23.38) внешнем магнитном поле Н= 5,2 э, ориентированном вправо. Здесь 180 -граница
между вершинами треугольных доменов из прямолинейной превратилась в дугу окружности
и в средней части «прижалась» к ребру образца (де Блуа [703]).
образования вследствие анизотропии формы обладают магнитпой~одно-
осностью и разделены немагнитными прослойками. После термомагнитной
обработки (охлаждение в присутствии внешнего однородного магнитного
поля) в этих материалах может возникнуть магнитная текстура — длин-
длинные оси однодоменных образований частиц выстраиваются вдоль действую-
— 824 —

щего при охлаждении поля. Крейк и Исаак [714] высказали предположе-
предположение, что наблюдаемые с помощью метода порошковых фигур крупные
домены представляют собой области в объеме ВКС, в которых вследствие
магнитного взаимодействия оказываются одинаково ориентированными
Рис. 23.40. Возможная структура замыкающих областей и зародышей в «углу» никелевой
пленки во внешнем поле Н — 10 э, направленном по диагонали. Намагниченность в двух
доменах в самом углу образца направлена влево, антипараллельно полю (де Блуа [703]).
Рис. 23.41. Порошковые фигуры на по-
поверхности прямоугольной A12 х 35 ц,2)
пленки сплава Ni — Со толщиной 5500 А.
а) Замкнутый магнитный поток при ма-
магнитном поле н = 0; б) фигуры при поле
Н = 5,1 э, направленном вправо. 180°-гра-
ница имеет форму дуги окружности ; в) фи-
фигуры после необратимого изменения струк-
структуры при поле н= В,0 э (де Блуа [702]).
Рис. 23.42. Порошковые фигуры на по-
поверхности прямоугольной A12 х 35 ц2)
пленки сплава Ni—Со толщиной 5500А .
а) Фигуры (см. рис. 23.41) в поле, умень-
уменьшенном до значения Н = 1,8 э; б) то же со
вторичными иглообразными областями в
поле Н = 1,4 э; в) в поле Н = 1,4 » после
«прорастания» игл; г) метастабильная кар-
картина порошковых фигур в нулевом поле
(де Блуа [702]).
магнитные моменты однодоменных частиц *). Граница между этими доме-
доменами ВКС, в отличие от обычной доменной границы в мягких материалах,
резкая, поскольку в ее образовании не участвуют обменные силы. Эти
*) Можно сказать, что эти домены в ВКС отличаются от доменов мягких ферро-
ферромагнитных веществ тем, что в этих крупных доменах роль электронных спинов играют
результирующие макроскопические магнитные моменты однодоменных частиц. Поэто-
Поэтому эти домены ВКС напоминают известные модели ферромагнетика Юинга [720] с маг-
магнитными стрелками.
- 825 —

домены принято называть доменами магнитного взаимодействия. Наиболее
детальное исследование этих доменов в сплавах альнико и викалой про-
проведено в работах Шура, Лужинской и др. [721—724], Ивата [725], а в спла-
сплаве Мп — А1 в работе Шура, Кандауровой и Гусельниковой [726],
к которым мы и отсылаем читателя.
§ 9. Процессы намагничивания
Сам факт существования доменов позволяет установить типы процес-
процессов намагничивания в ферромагнетиках. Как уже упоминалось, фер-
ферромагнитный образец в естественном состоянии, в отсутствие внеш-
внешнего магнитного поля, не имеет результирующей намагниченности.
Поэтому
2 Isvt cos ®1 = О,
где Vi— объем ?-го домена, dj — угол между вектором намагниченности
г-го домена и любым зафиксированным направлением в образце. Если
включить внешнее магнитное поле Н, то образец начинает намагничивать-
намагничиваться и вдоль направления Н появляется отличный от нуля результирующий
магнитный момент Ын тела. Этот момент в общем случае складывается
из двух частей:
bIH = Is^iCos^i8vi+Is 2y«6(cosftj). B3.56)
i i
Первое слагаемое обусловлено ростом объемов доменов, векторы Is
которых направлены относительно Н энергетически более выгодно, за
¦счет доменов, намагниченных энергетически менее выгодно. Эти процессы
идут путем смещения границ между доменами и поэтому называются
процессами смещения. Второе слагаемое правой части B3.56) обусловлено
изменением направления вектора Is в доменах. Эти процессы принято
называть процессами вращения. Впервые эти представления сформулирова-
сформулировали Акулов [12—16], Беккер [18, 727, 728], Гейзенберг [19], Блох [258],
Сикстус и Тонкс [21, 22]. Идеи о существовании процессов смещения
высказал в устной беседе Лангмюр в 1930 г. (см. замечание об этом в пер-
первой работе Сикстуса и Тонкса [21]). Таким образом, восприимчивость фер-
ферромагнетика можно представить в виде суммы восприимчивостей двух
типов процессов — смещения и вращения:
Анализ кривых намагничивания реальных материалов показывает,
что в области слабых полей основную роль играют процессы смещения
{)С'см Э> ЗСвр)- В полях больших, чем поле, соответствующее максимуму
на кривой % (Н), наоборот, основную роль играют процессы враще-
яия (fop > %см).
Оба эти типа процессов в свою очередь могут быть обратимыми
и необратимыми. Последний тип процессов определяет собой все явления
магнитного гистерезиса (см. ниже § 13).
§ 10. Обратимые процессы смещения
1. Общая теория. Рассмотрим сначала обратимые процессы намагни-
намагничивания и в первую очередь обратимые процессы смещения. Эти процессы
обусловливают важные магнитные параметры — начальную и обратимую
магнитную восприимчивость ферромагнетиков. Количественную теорию
этих процессов впервые дал Блох [258] и в более развернутом виде Кон-
дорский [729, 730] и Браун [731].
- 826 -

Вопрос о реальном существовании процессов смещения в настоящее
время не вызывает сомнений. Однако при попытках построения количест-
количественной теории возникают существенные трудности. Строение граничных
слоев между доменами и процессы их смещения зависят сложным образом
от структурного состояния ферромагнитного кристалла. Отсутствие доста-
достаточных сведений об этом состоянии и его резко «индивидуальный» харак-
характер для каждого данного образца делают затруднительным построение
количественной теории кривой намагничивания в слабых полях. Именно
поэтому установление общих закономерностей, не зависящих от случай-
случайных свойств отдельного образца, представляет интерес для развития
количественной теории.
Каждому стационарному (или метастабильному) состоянию ферро-
ферромагнетика соответствует определенное распределение доменов. Располо-
Расположение границ между ними определяется из условия минимума поверхно-
поверхностей энергии угр [см. B3.416)] этих границ, магнитоупругой энергии
доменов и энергии внутренних магнитных полей рассеяния.
Смещение граничной зоны Ski между соседними доменами или магнит-
магнитными «фазами» к и I может произойти, если по разные стороны от границы
плотность свободной энергии внешних сил Fe будет различна. Если на
данном элементе dSki граничной поверхности смещение равно btihi, то
полная работа внешнего давления по всей границе равна
J [{Fe)i-{Fe)b]bnkidSki. B3.58)
Часть работы идет на покрытие увеличения внутренней свободной энер-
энергии Ft, связанной с силами магнитоупругой анизотропии; это увеличе-
увеличение равно
f [{Fl)k-{Fi)i]bnkidSki. B3.59)
Другая часть работы B3.58) идет на компенсацию изменения поверхно-
поверхностной энергии между фазами
б f ykidSki. B3.60)
f
В общем случае изменение B3.60) может происходить в силу следую-
следующих трех причин:
1) локальные изменения поверхностной энергии ум, вызванные сме-
смещением граничного слоя в новые места кристалла
B3.60а)
2) изменения величины площади поверхности Sui, вызванные изме-
изменением ее кривизны при смещении
^) B3.606)
где /?! и R2—главные радиусы кривизны;
3) изменение величины площади поверхности, вызванное деформацией
ограничивающего ее контура Tki'.
klkldThi. B3.60в)
— 827 —

При обратимом смещении границ должно выполняться условие мини-
минимума полной свободной энергии тела F. Суммарное изменение 8F при
смещениях границ между всеми соседними магнитными фазами должно
быть равно нулю (при произвольных bnui). Решение этой вариационной
задачи смешанного типа в общем виде весьма сложно. Однако ее можно
значительно упростить, допустив, что структура доменов имеет такую
«геометрию», при которой величина площади границ не меняется заметно
в процессе смещения. В реальных условиях это может осуществляться,
например, если домены имеют форму, близкую к плоскопараллельным
слоям (см. рис. 23.37—23.42). В этом случае материал должен быть
гомогенным по своей структуре и по возможности лишенным включений.
При наличии включений границы между магнитными фазами при смеще-
смещении принуждены «обтекать» включения и могут при этом заметно изменять
величину своих поверхностей. Таким образом, в случае гомогенного
материала процесс смещения границ между фазами практически полно-
полностью регулируется локальными изменениями плотности свободной энергии
B3.59) и граничной энергии B3.60а) и B3.606). Величиной B3.60в) при
этом можно пренебречь. Наоборот, для гетерогенных материалов при
наличии большого числа включений процесс смещения границ между
магнитными фазами почти целиком определяется формулой B3.60в).
Приближение для «гомогенного» случая можно назвать «теорией напря-
напряжений» (Кондорский [730], а для «гетерогенного» случая —«теорией вклю-
включений» (Керстен [732]).
В случае гомогенных материалов по схеме теории напряжений [при
последовательном пренебрежении величиной B3.60в)] минимум полной
свободной энергии F достигается при условии
{Fe)l-{Fe)k = {Fi)k-{Fi)l + ^ + ykl (± + ±)ы. B3.61)
Равновесие границы будет устойчивым, если правая часть B3.61)
возрастает с ростом внешних сил, в противном случаем мы переходим
в область необратимых смещений. Из B3.61) для полного изменения
объема к-й магнитной фазы находим
bnh= ^ J Ch$We)i-(Fe)h\dShu B3.62)
где величина, обратная Сщ, означает градиент внутренней энергии, т. е.
Формула B3.62) дает принципиалное решение всей задачи обратимого
смещения границ в рамках теории напряжений и в пренебрежении магнит-
магнитными полями рассеяния. Основная трудность применения формулы B3.62)
к конкретным случаям заключается в определении градиентов B3.62а),
которые зависят от структурного состояния образца. Если смещение гра-
границ между магнитными фазами вызвано внешним магнитным полем Н, то
б [(Fe)l - (Fe)h] = Is (hk - hi) Ш, B3.63)
где hk и hi — косинусы углов векторов" Is в фазах к и I с направлением
вектора изменения магнитного поля Ы? (которое в общем случае может
и не совпадать с направлением вектора Н).
При смещении границ между магнитными фазами, вызванном измене-
изменением однородного напряжения ба, имеем
о
^ (PI—Р?) ба для оси легчайшего нама-
гничивания типа [100], B
—Р!)ба для оси легчайшего нама-
намагничивания типа [111].
— 828 -

Здесь pft и (}г — косинусы углов между направлением напряжения 6а
и намагниченностями фаз к и I. При одновременном действии магнитного
поля и напряжений обратимое изменение объема к-й магнитной фазы
равно
MP*pWdSw, B3.65)
где %s = Я,[юо] в случае Fe, Xs = Я,[Ш] в случае №.
Из B3.65) видно, что при малых обратимых смещениях границ эффек-
эффекты магнитного поля и напряжений аддитивны. Однако, как только начи-
начинают играть роль необратимые смещения, эта аддитивность исчезает.
В частности, величины 6nk будут зависеть от последовательности включе-
включений поля и напряжений, от способа их включений и изменения и т. п.
(см. ниже).
В настоящее время имеется очень большой опытный материал по
визуальному и косвенному наблюдению смещения граничных слоев меж-
между доменами. В качестве иллюстрации непосредственного наблюдения
можно указать результаты исследований порошковых фигур на моно-
монокристальных пленочках Де Блуа [702, 703], представленные на рис. 23.37 —
23.39, 23.41 и 23.42. В частности отметим, что на рис. 23.37, в, г наблю-
наблюдается искривление смещенных под действием внешнего поля границ.
Согласно B3.606) для результирующего поля, действующего на границу
(принимаем, что эта граница часть окружности радиуса R), имеем
или Я=^-
соответственно для 90°- или 180°-граничного слоя. Для R = 275 тц
(рис. 23.37, в) и в пренебрежении свободными магнитными полюсами на
кривой границе, возникающими в силу нарушения условия div Is = 0,
получаем для полей соответственно Н = 3,6 и 600 э, 790° ~ 0,2 эрг-см-2
и Yi80° » 0,09 эрг- см'2. Укажем некоторые работы по определению скорости
смещения доменных границ в различных ферромагнитных веществах
(в том числе и в таких пленках) [733—741].
2. Обратимая восприимчивость. На основе общего соотношения B3.65)
Кондорский [730] получил формулы для обратимой восприимчивости %Т,
обусловленной обратимыми процессами смещения границ между доменами.
Эта величина складывается аддитивно из обратимых смещений 180°-гра-
ниц %\\ г и 90°-границ %j_r *); при этом
ХЦ, = Щ 2 Гi - ~^1 (п, -г- n{f Щ. B3.66)
= Щ 2 Гi - ~^1 (п, -г- n
Если антипараллельно намагниченные области группируются в блоки,
то B3.66) примет несколько иной вид:
Х||г = х, 2 Г1-(-^^\] („, + ?,)&!. B3.67)
Для %j_T имеем
2 -2(nt-m) (nk+ nh) fifa], B3.68)
где множители xt и х2 определяются через градиенты внутренних сил
B3.62а) и, следовательно, зависят от структурных свойств материала,
И; концентрация i-й магнитной фазы с положительным направлением
намагниченности, а тгг- — то же для фазы с отрицательным направлением
*) Смещения 90°-границ впервые теоретически рассмотрел Беккер [727]
[см. также книгу Беккера и Дёринга A939)].
- 829 —

Рис. 23.43. Доменная структура при
Н<= 0 ферромагнитной монокристаль-
монокристальной рамки, стороны которой параллель-
параллельны осям легчайшего намагничивания ти-
типа [100].
вектора Is. Из B3.67) и B3.68) видно, что обратимая восприимчивость
зависит 1) от структурных свойств решетки через постоянные Xi и х2;
2) от магнитной структуры, т. е. от соотношения концентрации nt различ-
различных магнитных фаз *); 3) от ориентации намагниченности в кристалле.
Эта последняя зависимость приводит к анизотропии %Т, поскольку она
становится зависимой от направляющих косинусов ht.
Из теории Кондорского [730] следует, что при равномерном распре-
распределении магнитных фаз (все nt одинаковы) анизотропия %г отсутствует.
В случае же резко выраженной магнит-
магнитной текстуры (концентрации nt силь-
сильно отличаются друг от друга) можно
ожидать значительной анизотропии %г.
В частности, Кондорский [730] па этой
основе объяснил результаты опытов
Вильямса [742], который нашел, что
начальные магнитные восприимчивости
в монокристаллах Fe — Si, имеющих
форму замкнутых плоских рамок со
сторонами, параллельными главным
кристаллографическим осям [100],
[110] и [111], относятся соответствен-
соответственно Как Хот [100] : Хаг [НО] :Хаг[111] =
= 6:3:2. При этом надо лишь пред-
предположить, что в образцах в силу их пло-
плоской формы имеется резкая анизотропия
размагничивающего фактора, которая приводит к ярко выраженной магнит-
магнитной текстуре. Изучение процессов смещения границ в образцах в форме ра-
рамок представляет принципиальный интерес, так как в данном случае эти
процессы можно наблюдать непосредственно с помощью метода порошковых
осадков. Дело в том, что в этих образцах размеры доменов соизмеримы
с размерами образца (рис. 23.43) и границы между ними имеют прямо-
прямолинейную форму. На рис. 23.32 показана картина осадка коллоидов на
прямолинейной границе между доменами при различных ее положениях
(а, б, б) в процессе намагничивания рамки. Опыты Вильямса и Шокли
[743] показали, что измеренная намагниченность рамки при различных
расположениях линий осадка в точности соответствует намагниченности,
рассчитанной из соотношения объемов доменов, намагниченных вдоль
и против поля (см. рис. 23.32). В связи с этими опытами обращаем внима-
внимание на работу Гольдмана, Дружинина и Януса [744], получивших иные
результаты для анизотропии начальной восприимчивости, по-видимому,
из-за иной магнитной текстуры в образцах.
Обобщая расчет Кондорского [730], Вонсовский [745] получил зависи-
зависимость магнитной восприимчивости от внешних упругих напряжений, кото-
которая качественно подверждается опытами Шура и Мишина [746], Мишина
и Кудрявцева [747] и Морковского 748].
Из-за резкой структурной зависимости начальной проницаемости
(jia7. = 4яхаг) теория в ее настоящем состоянии не может дать численных
значений Xar- В реальных материалах эти значения изменяются в широ-
широких пределах от нескольких единиц или десятков (например, у никеля
цат да 30) до десятков тысяч (например, сплав альсифер Al — Si — Fe
имеет цат да 35 000, Мазумото [749]). Из теории, однако, следует общее
качественное утверждение, что чем материал менее магнитоанизотропен,
чем он чище, и чем менее искажена его кристаллическая решетка, тем
выше его начальная проницаемость. Далее из теории следует, что струк-
структурно чувствительные величины щ и х2, которые входят в выражения
*) При резко неоднородном распределении этих концентрации мы имеем явление
магнитной текстуры.
- 830 —

B3,66)—B3,68), изменяются соответственно обратно пропорционально'
неоднородностям граничной энергии у [т. е, Хщ ~ (VYrp)] или произве-
произведению константы магнитострикции на среднюю амплитуду внутренних
напряжений [х2 ~ (kgO)*1], Поэтому при прочих равных условиях для?
получения материала с максимальным значением цаг необходимо доби-
добиваться уменьшения магнитострикционных деформаций. Например, этого-
можно добиться присадками к металлу или сплаву каких-либо добавочных
1,0
0,8
0,6
ОЛ
0,2
О
1
УУ
А
(\
гоо
100
и wo гоо зоо т
Температура, °С
Рис. 23.44. Температурная зависимость
начальной восприимчивости (эффект Гоп-
кинсона).
ч
1
\
0,3 ОЛ 0,6 0,8 W
Рис. 23.45. Температурная зависимость
обратимой восприимчивости по Гансу [763]
для мягкого железа (сравнение теории с
опытом).
элементов. Опыт показывает, что, действительно, такими свойствами
обладают сплавы с малой магнитострикцией, например сплав 1040 из^
системы Fe — Ni — Си — Mo (Ауверс и Нейман [750]) и сплав альсифер.
Подробные исследования по влиянию величины магнитострикции на вели-
величину начальной восприимчивости производил Займовский [751]; см.
также монографию Сноека A949).
Весьма своеобразна температурная зависимость начальной вос-
восприимчивости. Вблизи точки Кюри кривая %а имеет резкий максимум
(рис. 23.44) — эффект Гопкинсона. Это явление тщательно исследовали
многие авторы: Займовский [751], Хонда и Нишина [753], Дехтяр и Андрю-
шин [754], Киркхэм [755], Кахан [756], Тиссен [757], Дрожжина и Шур
[758], Шур и Баранова [759]. Однако современное состояние теории
технической кривой намагничивания не позволяет еще дать количествен-
количественного объяснение этой зависимости. Дёрингу [760] удалось, используя
теорию спиновых волн, дать качественное объяснение теоретически непо-
непонятному до сих пор температурному ходу начальной восприимчивости
растянутого Ni [см. ниже формулу B3.75)].
Керстен [732], развивая упомянутую выше «теорию включений», так-
также получил формулу для начальной восприимчивости, которая имеет вид
Таким образом, температурная зависимость %ат определяется лишь
температурной зависимостью самопроизвольной намагниченности,! Is
и константы анизотропии КЭфф. Однако зависимость множителя с от тем-
температуры и его величина остаются в рамках этой теории пока совершенно
неопределенными. Кондорский [619] подверг критике эту теорию Керсте-
на [732]. Детальный теоретический и опытный анализ кривых %ar (T)-
дали Кнеллер [761] и Керстен [762].
Как показал еще в начале века Ганс [763], обратимая восприимчи-
восприимчивость %Т ферромагнетиков (которая определяется как предел отношения
изменения намагниченности образца Д/ к изменению магнитного поля Aff
— 831 —

при его уменьшении (АН <0) и при | АН\ -*¦ 0) во многих случаях ока-
оказывается универсальной функцией намагниченности *). В параметриче-
параметрической форме эта зависимость имеет вид
— = Л- гт-. 4- = cthar——. B3.70)
Хат х* sh* х ' /s x v I
На рис. 23.45 приведены теоретическая кривая B3.70) для мягкого
железа и данные измерений. Однако были обнаружены и резкие отклоне-
отклонения от закона B3.70). Это наблюдали, например, Самуэль [764] для Со,
Гольдшмит [765] и Шубина [см. цит. Вонсовский и Шур A948), стр. 398]
в Fe — Si. Общая теория Кондорского [766] позволяет понять природу этих
отклонений, связанную с явлением магнитной текстуры. Броун [731]
на основе выводов из теории Кондорского показал, что эмпирическое
соотношение B3.70) может быть принципиально оправдано лишь при
весьма специальных предположениях о характере внутренних напряже-
напряжений в материале и его мегнитиой текстуре. Морковский [748] исследовал
влияние внешних напряжений на обратимую восприимчивость.
Кондорский [767] впервые отметил, что начальная восприимчивость
может не совпадать, как это считается обычно, с начальной обратимой
восприимчивостью (%а > %аг)- Уже в сколь угодно слабом поле может
наступать необратимое смещение границ. Исследуя намагничивание фер-
ферромагнетиков (сплав Fe — Ni с 15 ат.% Ni), подвергнутых натяжению,
в зависимости от характера возрастания магнитного поля, Кондорский
[767, 768] нашел, что неравенство %а> %ат имеет место в образцах, раз-
размагниченных без нагрузки, а затем подвергнутых натяжению и намагни-
намагничиваемых при плавном увеличении поля. Это происходит потому, что
здесь границы в исходном состоянии находятся в неустойчивом равно-
равновесии, и поэтому необратимое намагничивание начинается в более слабых
полях, чем при размагничивании образца под нагрузкой, когда образу-
образуются домены, устойчивые при данных условиях.
Изменения начального участка кривой намагничивания можно ожи-
ожидать во всех случаях, когда почему-либо произошло изменение исходного,
например, размагниченного распределения магнитных фаз.
В частности, как показал Дехтяр [769], начальная восприимчивость
монокристаллов метеоритного железа существенным образом зависит от
последовательности наложения упругих напряжений и включения магнит-
магнитного поля, а также от условия размагничивания кристаллов. Дрожжина
и Шур [770] провели всесторонннее изучение влияния условий размагни-
размагничивания, последовательности наложения и снятия упругой нагрузки
и включения магнитного поля на начальный участок кривых намагничи-
намагничивания поликристаллических образцов Fe, Ni и сплава Fe — Si. Они отме-
отметили, что возрастание восприимчивости, вызванное «упругой волной»
при нагрузке или разгрузке образца, имеет своим верхним пределом
восприимчивость так называемой безгистерезисной (идеальной) кривой
намагничивания.
Величина намагниченности в слабых магнитных полях существенно
зависит от температурной предыстории образца и от способа включения
магнитного поля Этот эффект объясняется: 1) температурным гистерези-
гистерезисом структурных превращений в кристаллической решетке гетерогенных
ферромагнитных материалов и 2) температурным магнитным гистерези-
гистерезисом, присущим самим процессам технического намагничивания.
Явление неоднозначной температурной зависимости намагниченности
при заданной величине магнитного поля в начальном участке кривой / (Н)
уже давно используется, например, для так называемого температурного
остаривания постоянных магнитов (последовательное нагревание и охла-
охлаждение остаточно намагниченных образцов) или при получении безгисте-
*) См. Вонсовский и Шур A948), § 31, п. 5и§ 56,
- 832 -

резисных (идеальных) кривых намагничивания. Однако начало современ-
современному изучению температурного магнитного гистерезиса положили работы
Дрожжиной и Шура [758, 771], которые в качественной форме устано-
установили связь температурного магнитного гистерезиса с процессами техни-
технического намагничивания.
Дальнейшее развитие этих исследований в магнитно-мягких мате-
материалах дано в работах Шура и Барановой [759], Киренского, Лаптея,
Дрокина и Смолина [772]. Шур, Баранова и Зайкова [773] обнаружили
температурный магнитный гистерезис (ТМГ) в высококоэрцитивных спла-
сплавах альнико. В работе Барановой и Шура [774] было доказано на приме-
примере Ni, подвергаемого упругому растяжению, что ТМГ имеет место только
при наличии процессов смещения. На примере сплава Fe — Si Шур
и Старцева [690] показали, что ТМГ возникает вследствие происходя-
происходящей при изменении температуры ферромагнетика перестройке доменной
структуры. Шур и др. [775] обнаружили ТМГ в высококоэрцитивном спла-
сплаве Со — Pt. Авторы считают, что причиной ТМГ в этом случае являются
необратимые процессы перестройки магнитной структуры этого сплава,
происходящие при изменении температуры. В упорядоченном состоя-
состоянии этот сплав имеет большую константу анизотропии и в нем атомные
магнитные моменты ориентируются вдоль легких осей. В неупорядоченной
фазе с малой анизотропией магнитные моменты будут отклоняться от
легких осей, располагаясь таким образом, чтобы уменьшить плотность
магнитных зарядов в ферромагнетике. При изменении температуры из-за
сильной температурной зависимости постоянной анизотропии упорядочен-
упорядоченной фазы и происходят необратимые изменения магнитной структуры,
приводящие к ТМГ. См. также работы [776, 777].
§ 11. Обратимые процессы вращения*)
1. Общий расчет. Завершение процессов смещения в ферромагнитных
кристаллах должно приводить к техническому насыщению последних
вдоль одной из осей легчайшего намагничивания, ближайших к направ-
направлению намагничивающего поля. Дальнейшее увеличение поля вызывает
процесс вращения вектора Is, который заканчивается, когда векторы Ig
и Ш становятся параллельными друг другу. Такое резкое разбиение
кривой намагничивания на два различных участка, отличающихся по
своей природе, конечно, носит лишь относительный характер. Можно
только утверждать, что, как уже указывалось, в области слабых полей
ЗСсм ^> )Свр! а в средних полях (от поля максимума -на кривой % (Н) и до
насыщения) %BV Э> 1см- В наиболее резком виде такое разграничение
процессов намагничивания наблюдается на кривых намагничивания
ферромагнитных монокристаллов (см. рис. 23.1—23.3).
Закон магнитной анизотропии Акулова [12] позволяет рассчитать
теоретически кривую намагничивания для любого монокристалла и для
любого направления в нем в области полей, где %вр ^> %см. Расчет этих
кривых (Акулов [15, 16], Гейзенберг [19], Беккер [727, 728], Ганс и Чер-
линский [47]) сводится к определению минимума суммарной свободной
энергии монокристалла, складывающейся из энергии магнитной анизо-
анизотропии B3.15) и энергии относительно внешнего поля B3.37) **). В каче-
качестве примера приведем расчет кривой намагничивания для монокристал-
монокристалла кубической симметрии, имеющего форму проволоки, ось которой
совпадает с направлением [110] (диагональ грани куба), как показано
*) Более подробно этот вопрос освещен, например, в книге Вонсовского и Шура
A948), Акулова A939).
**) Строго говоря, к энергии внешнего поля следует добавить энергию размагни-
размагничивающего поля .Рразм! определяемую формой образца (см., например. Шлехтвег
[778]). Но для образцов в форме длинных проволок или замкнутых рамок энергия
F не является существенной..
53 с. В. Вонсовскнй — 833 —

на рис. 23.46. Согласно B3.15) и B3.37) плотность свободной энергии
кристалла равна
F = K2a\a\- HIs cos ft. B3.71)
В состоянии, соответствующем излому на кривой намагничивания,
существуют всего лишь две магнитные фазы с намагниченностями Is.
параллельными осям [100] и [010], которые составляют одинаковый угол
в 45° с осью проволоки и направлением поля Н. Так как расположение Is
относительно Н в обеих фазах совершенно одинаково, то весь расчет
можно провести с одной фазой, положив условно,
[//#]||# что вся намагниченность направлена вдоль оси [100].
Обозначим через ft угол между 1,иЯ (см. рис. 23.46);
тогда
at = cos D5° — ft) = 2~l/2 (cos ft + sin ft),
a2 = cos D5°+ ft) = 2~l/2 (cos ft — sin ft),
и, вводя относительную намагниченность / = cosft =
= I/IS получаем из B3.71)
Рис. 23.46. К расчету
процесса вращения в мо-
монокристаллической про-
проволоке с осью вдоль на-
направления [НО].
Условие термодинамического равновесия dF/dj ¦=
= 0 дает
Н =
B3.72)
О
Формула B3.72) и является уравнением кривой на-
намагничивания, обусловленной процессами вращения
векторов Is в кубическом кристалле для оси [110]. Эта кривая изобра-
изображена на рис. 23.47. При Н = 0 ,(если полностью исключить процессы
смещения) j = 1/2, т. е. в точке излома на
экспериментальной кривой намагниченность
/ должна равняться IJV 2, что и наблюдается
в действительности (см. рис. 23.1). Поле насы-
насыщения Hs [но] = 2K2/IS- Например, в случае
железа(Я2«4.105,/8«1,7-103)#8[110]«470
э, что также соответствует опытным данным.
Аналогичное соответствие между теорией
и опытом наблюдается и в других случаях.
Дальнейшее развитие методов расчета кри-
кривых намагничивания в монокристаллах дано
в работах Нееля [162], Лаутона и Стюарта
[779], Лаутона [780] (см. также работы [790]
[791]), Туров и Ирхин [781], используя об-
общую феноменологическую трактовку в тео-
теории спиновых волн произвели расчет зависи-
зависимости намагниченности одноосного ферромаг-
ферромагнитного кристалла от поля и температуры,
когда вектор Ш лежит в плоскости, перпен-
перпендикулярной легкой оси и при условии кв& ^> квТ^> ЦвН,
При этом они нашли, что
м
V
s\tio]
F
Рис. 23.47. Теоретическая кри-
кривая намагничивания ферромагнит-
ферромагнитного кубического кристалла вдоль
оси [110], рассчитанная в предпо-
предположении, что все намагничивание
идет путем процесса [вращения
(Акулов [15]).
/х (Т, Н) = /os [l - 0,06 -^ (^f Г'] , Н> Hi (б),
L i0s \ ^* / J
- 834 —

где IOs — намагниченность насыщения при 0° К, А ~ кв© — параметр
обменной связи, Наниз — эффективное поле магнитной анизотропии (при
0° К). Поле анизотропии Нк, разделяющее случаи (а) и (б) в B3.73),
зависит от Т. Эта зависимость описывает изменение с температурой равно-
равновесного положения оси квантования вектора I, связанное с аналогичным
изменением константы анизотропии. Подробнее об этом расчете см. рабо-
работу [781], а также обзор [782] и книги Турова A963) и Ахиезера, Барьяхта-
ра и Пелетминского A967).
Акулов [783] произвел расчет кривых намагничивания поликристал-
поликристаллов (для полей, где %вр > %см), усредняя данные для монокристаллов
при определенном распределении направлений осей отдельных кристал-
кристаллитов поликристаллического образца. Теоретические расчеты Акулова
были подтверждены опытами Жигадло и Сидельникова [784]. Однако
эти расчеты не учитывают магнитное взаимодействие между отдельными
кристаллитами (см. ниже), которое прежде всего «смазывает» резкий
переход между участками кривой для процессов вращения и смещения
(задержка завершения процессов смещения и одновременное «развязы-
«развязывание» интенсивного вращения векторов Is). Поэтому использование
результатов расчета кривых / (Н) для монокристаллов в случае поликри-
поликристаллических образцов допустимо лишь при достаточно высоких полях,
где процессы смещения практически отсутствуют (см. ниже, а также
работу [792]).
2. Измерение нормальной к полю компоненты намагниченности. Для
изучения ферромагнитных монокристаллов в области интенсивных про-
процессов вращения удобно использовать нормальную (к полю) компоненту
намагниченности /j_. Измерения 1^, про-
проводимые обычно на монокристаллических \0'0\
дисках, в гораздо меньшей степени зависят
от размагничивающего фактора образца, чем
измерения кривых /ц (Н). Поэтому эти изме-
измерения можно с успехом использовать для
точного определения констант магнитной
анизотропии.
При помещении монокристаллического
диска во внешнее однородное поле Н
(рис. 23.48), параллельное его поверхности,
на вектор намагниченности Is (при закреп-
закрепленном ДИСКе) СО СТОРОНЫ внешнего ПОЛЯ Рис. 23.48. К расчету нормальной
будет действовать ВращатеЛЬНЫЙ МОМеНТ слагающей намагниченности моно-
J r кристаллического диска.
tH= — #/s sin Ф,
а в силу магнитной анизотропии возникает также вращательный момент
В состоянии равновесия tH=tj{ и, следовательно, при ориентации диска,
показанной на рис. 23.48, для нормальной компоненты намагниченности
(в плоскости диска) будем иметь
1Х = /s sin (ф! — ф) = -j^r sin 4ф.
Акулов [15, 16] впервые рассчитал кривые Ij_ (H, (р{). Метод измере-
измерения Iх_ или tn Для определения магнитной анизотропии нашел широкое
практическое применение. Акулов и Брюхатов [785] разработали враща-
вращательный магнетометр для определения /j_, а также для определения по кри-
кривым tH (ф, Н) кристаллографической текстуры в дисках, вырезанных
из поликристаллических образцов. Эти исследования привели к созданию
особого практического метода магнитного контроля текстуры изделий
(главным образом из листовых материалов), так называемого магнитного
— 835 — 53*

текстурного анализа. Развитие этого метода дано, например, в работах
[785-789].
Более детальное исследование кривых /j_ {H, ф) обнаружило наличие
ряда отклонений от первоначально полученных формул. Однако, как
показали анализ и измерения Тарасова [118], Бозорта и Вильямса [793],
Киренского [794] и Шубиной [121], эти отклонения могут быть объяснены
той же теорией Акулова [15, 16], если только принять во внимание влия-
влияние размагничивающего фактора диска и более точно учесть энергию
магнитной анизотропии. Поэтому изучение кривых 1^ и их практическое
использование являются блестящим доказательством правильности тео-
теории магнитной анизотропии.
3. Влияние напряжений. Как уже указывалось, анизотропия ферро-
ферромагнитных кристаллов зависит от внешних и внутренних напряжений.
В частности, при очень сильных напряжениях (Xsq ^> К2) последние
практически и определяют всю анизотропию кристалла. Поэтому кривые
намагничивания в области процесса вращения также весьма чувствитель-
чувствительны к напряжениям. Акулов [795], Ганс [796] и другие (см. [797]) произвели
расчет кривых для монокристаллов с учетом внешних напряжений. Аку-
Акулов и Киренский [798] рассчитали кривые намагничивания поликристал-
поликристаллов вблизи насыщения для диффузного распределения напряжений при
одноосной упругой деформации. Эти расчеты дают возможность опреде-
определить константы магнитострикции и магнитной анизотропии, а также
величину внутренних напряжений из измерений над поликристаллами.
Аналогичную работу проделал Яншин [799].
В качестве иллюстрации рассмотрим на основе работы Беккера
и Керстена [797] расчет кривых намагничивания в области процесса вра-
вращения при очень сильных напряжениях (Ksa ^> К2). В этом случае сво-
свободная энергия кристалла в силу B3.20) и B3.37) равна
F= —-|Vtcos2 ® — HIscos*, B3.74)
где ft — угол между векторами Н и Is. Напряжения при этом одно-
односторонние и параллельны вектору Н. Из условия термодинамического
равновесия dF/dft — O находим по B3.74)
s 3lsa
и, следовательно*),
Из B3.75) следует, что при очень сильных растяжениях (а > 0)
в материалах с отрицательной (Xs < 0) магнитострикцией (например, Ni)
кривые намагничивания имеют вид прямых, наклон которых зависит
от /s, ks и а и определяется по B3.75). Соответствующие измерения на Ni
производили Беккер и Керстен [797]. Эти измерения (рис. 23.49) показали
лолную справедливость формулы B3.75). Грабовский [800] исследовал
кривые намагничивания растянутого Ni при низких температурах с целью
определения хода этих кривых при резком возрастании копстапт кри-
кристаллографической магнитной анизотропии. При этом оказалось, что
в отличие от комнатных температур при —183° С прямолинейные кривые
•намагничивания сильно растянутого Ni (а да 17 кг/мм2) имеют в началь-
начальном участке заметный излом. Это соответствует тому, что при низких
температурах условие ksa ^> К2 нарушается и в слабых полях наряду
с процессами вращения начинают играть заметную роль процессы
смещения.
*) Как уже упоминалось выше, эта формула была уточнена Дёрингом [262]
на основе теории спиновых волн.
— 836 —

Горелик и др. [801, 802] и Любина [803] исследовали влияние напря-
напряжений на кривые намагничивания в области процесса вращения при нало-
наложении двух взаимно перпендикулярных магнитных полей. Эти исследо-
исследования имеют существенное значение для практического применения
(при конструировании высокочувстви-
высокочувствительных магнетометров).
Помимо рассмотренных случаев
намагничивания ферромагнетиков пу-
путем процесса вращения, упомянем еще
один случай такого процесса, который
может иметь место в материалах, об-
обладающих сильными внутренними на-
напряжениями аг с беспорядочным рас-
распределением их ориентации (например,
стали, закаленные на мартенсит). Можно
допустить, что в небольших объемах
внутри образца напряжения о-г одно-
однородны, но по границам этих объемов
(где может происходить изменение
ориентации о,) имеются «пикю^напря- Рис 23.49. Влияние одностороннего уп-
жеНИИ ИЛИ «Сетка» ВКЛЮЧеНИИ, ЧТО, ругого растяжения а на кривые намаг-
по-видимому, имеет место в высокоэр- ничиваниякПерЛГ^ерС™еЛнИ[797])О.го Ni (Бек"
цитивных сплавах (см. ниже). Эти нару-
нарушения однородности создают очень высокий потенциальный барьер, задер-
задерживающий процессы смещения при намагничивании материала. Если сред-
средние размеры отдельных объемов с однородными напряжениями соизмеримы
с равновесными размерами доменов, то естественно предположить, что
в каждом таком объеме поместится один домен. В силу этого, заметного
развития достигают только процессы вращения, а процессы смещения
и в области слабых полей практически полностью затормаживаются.
Поэтому в таких материалах начальная восприимчивость будет целиком
определяться процессами вращения, а не смещения, как это имеет место
в мягких материалах. Как уже упоминалось выше, общее решение задачи
вычисления кривой намагничивания при таких условиях дали Беккер
[727] и Акулов и Киренский [798]. В настоящее время сведения о величине
и распределении внутренних напряжений в реальных материалах доста-
достаточно скудны. Поэтому магнитные измерения на материалах с сильными
внутренними напряжениями могут принести некоторую пользу для опре-
определения величины и дисперсности внутренних напряжений. Наи-
Наиболее удобной величиной для этого определения является началь-
начальная восприимчивость, которая связана с ot формулой
где а — численный фактор порядка единицы, a (cTi1) — среднее значение
обратной величины амплитуды внутренних напряжений в поликристал-
поликристаллическом материале. Формула B3.76) и лежит в основе магнитного метода
определения внутренних напряжений. Экспериментальное определение
at по магнитным измерениям было предметом ряда работ [804, 805, 757]
(см. также книгу Акулова A939)).
Теоретическое обоснование этого практически важного метода тре-
требует дальнейшего уточнения путем учета магнитного взаимодействия
между доменами, неизбежной «примеси» процессов смещения и вли-
влияния магнитной текстуры. Обращаем внимание на работу Кестера [806],
в которой дается анализ величины «внутренних напряжений», входящей
в теорию ферромагнетизма (см. также работы [761, 807, 808] и обзоры
[268, 809]).
- 837 -

§ 12. Приближение к насыщению *)
При построении теории технической кривой намагничивания очень трудно учесть
существенное влияние структуры материала на процессы намагничивания, заключаю-
заключающееся в том, что это влияние носит индивидуальный характер от образца к образцу,
тогда как теория стремится прежде всего установить некоторые универсальные зако-
закономерности явления. С этой точки зрения интересно исследовать ход кривой намагни-
намагничивания ферромагнетиков в предельном случае очень сильных полей **), где намагни-
намагниченность можно представить в универсальной форме («закон приближения к насыще-
насыщению») :
ai Я2 аЗ \
g—g?- ж- ¦¦¦)
Работа Акулова [161 дает начало современной теории закона приближения к насыще-
насыщению. Если допустить, что в области очень высоких полей намагничивание осуществ-
осуществляется лишь с помощью процесса вращения, то член с а2 в B3.77) целиком опреде-
определяется энергией кристаллографической анизотропии Рапиз и энергией упругих напря-
напряжений Fo. Как показано в работе [16],
1^0' B3'78)
где черта означает среднее значение квадрата градиента энергии ^аниз + F<j по °^ъ"
ему образца, а индекс ф —>- 0 указывает, что расчет ведется в сильных полях, когда угол
между векторами // и Is по всему объему образца можно считать малой величиной.
Из B3.78) можно получить связь между величиной аг, определяемой из опыта, и кон-
константами магнитной анизотропии и магнитострикции. Эта связь лежит в основе упо-
упомянутого выше метода определения констант магнитной анизотропии. Многочисленные
экспериментальные исследования [см., например, Вонсовский и Шур A948)] показали
справедливость теории Акулова, так как определенные таким образом (из измерений
над поликристаллами) копстанты анизотропии совпадают с константами, измеренными
в опытах с монокристаллами. Холстейн и Примаков [810], а также Неель [811, 812]
уточнили формулу для а2, учтя в общем виде магнитное взаимодействие между кри-
кристаллитами поликристалла. Это еще добавочно улучшило совпадение между теорией
и опытом.
Член с aj ***) в B3.77), как показано в работе Беккера и Полли [8161, определяет-
определяется пластическими деформациями кристалла. Браун [361, 362, 817] развил теорию для
этого случая. Он показал, что нарушения идеальности кристалла типа дислокаций
вносят возмущение в однородное распределение электронных спинов в гораздо большем
объеме, чем занимают сами эти искажения, что и позволяет заметить отклонения на-
намагниченности от насыщения, вызвапные этой причиной. Формула Брауна, в отличие
от B3.77), имеет вид
а-^-^1 ...1, B3.79)
#2 № У
-1 -?- 1 -^-^1
#1/2 И #3/2 #2 №
где член с а{ соответствует точечной локализации напряжений, а\ — линейной, а'" —
поверхностной. Парфенов и др. [818—822] исследовали закон приближения к насыще-
насыщению в большом числе магнитных материалов как мягких, так и жестких и обнаружили,
что закон B3.79) и, в частности, члены с а[ и а"{ имеют смысл. Дальнейшие уточнения
теории получила в работах Зеегера и Кронмюллера [808, 823, 268] (см. также обзор
[809]). Акулов и Мирясов [825] исследовали закон приближения к насыщению в поли-
поликристаллическом Ni и указали способ определения знака констант магнитной анизот-
анизотропии. Киренский и Слободской [826] произвели расчет величин аг и а3 в формуле B3.79)
с учетом второй константы анизотропии в выражении для свободной энергии B3.8)
и показали, что выбор ограничений в числе членов ряда формулы B3.79) существенно
зависит не только от величины магнитного поля Н, но и от значения констант анизо-
анизотропии, величина которых зависит от температуры. Поэтому, например, в случае Ni
член а3/Я3 должен играть существенную роль в области низких температур из-за силь-
сильного роста постоянной К2 в B3.8). Киренский и Слободской [827] исследовали также
влияние упругих диффузных напряжений на закон приближения к насыщению B3.79)
при учете члена ajH3. Эти же авторы в работе [828] учли влияние направленных напря-
напряжений на ход кривой намагничивания в сильных полях. Акулов и Болыпова [829]
исследовали закон приближения к насыщению в мартенсите, а Болынова [830] — в ря-
ряде сплавов на основе Fe.
*) См. Вонсовский, Шур A948), Кнеллер A962), а также [268, 809].
**) Для частного случая монокристаллов эту задачу теоретически рассмотрели
Акулов [16], Ганс [46] и Беккер и Дёринг A939). Формулу с одним квадратичным чле-
членом предложил впервые в 1910 г. Вейсс [813]. Первые исследования проведены в рабо-
работах Штейнхауза и Гумлиха [814], Вейсса и Форрера [815].
***) Величину ai иногда называют коэффициентом магнитной жесткости.
— 838 -

Неель [811] считает, что одной из возможных причин появления члена а'[Щ
в B3.79) является наличие в реальных ферромагнитных материалах пустот или не-
немагнитных включений. В связи с законом приближения к насыщению обращаем вни-
внимание также на работы [832—844].
§ 13. Магнитный гистерезис
1. Общие замечания. Необратимые изменения намагниченности ферро-
ферромагнетиков при их намагничивании и перемагничивании приводит к явле-
явлению магнитного гистерезиса, т. е. к неоднозначной зависимости (отстава-
(отставанию) намагниченности ферромагнетиков от внешнего поля.
В самом общем случае физические причины этого явления можно
объяснить следующим образом. Характер магнитной доменной структуры
ферромагнетика зависит как от внутренних его свойств, так и от внешних
условий и в первую очередь от внешнего магнитного поля. В очень силь-
сильных полях *) любой ферромагнитный образец стремится перейти в абсо-
абсолютно устойчивое термодинамически равновесное состояние с минимумом
соответствующего термодинамического потенциала. В этом состоянии
образец ферромагнетика обладает однородной намагниченностью, направ-
направленной вдоль внешнего магнитного поля. В отсутствие же внешнего поля
или в случае слабых и средних полей существует, как правило, много
равновесных (метастабильных) состояний, обладающих различными зна-
значениями термодинамического потенциала (соответствующего его относи-
относительным минимумам). Переход между состояниями условных минимумов
затруднен наличием энергетических барьеров (т. е. максимумов термо-
термодинамического потенциала, разделяющих относительные минимумы меж-
между собой). Высота этих потенциальных барьеров при не очень высоких
температурах обычно заметно больше средней тепловой энергии атомных
масштабов, т. е. ~к-вТ. Поэтому тепловые флуктуации не могут вызвать
спонтанных переходов системы между различными метастабильными
состояниями и перевести систему в состояние абсолютного равновесия.
Такие переходы становятся сколько-нибудь вероятными, когда в силу
изменения внешних условий начальное распределение намагниченности
становится абсолютно неустойчивым (т. е. система попадает на максимум
термодинамического потенциала). Тогда осуществляется переход в дру-
другие равновесные состояния (не обязательно абсолютно равновесные),
которым соответствует меньшая энергия. Эти переходы, как правило,
являются необратимыми, ибо при восстановлении исходных внешних
условий система не возвращается в свое первоначальное состояние.
В этом и заключается основная общая причина магнитного гистерезиса
ферромагнитных веществ.
Можно указать три основных механизма гистерезиса **):
1) гистерезис, обусловленный необратимыми процессами вращения
(в отсутствие зародышей перемагничивания);
2) гистерезис, обусловленный задержкой роста зародышей пере-
перемагничивания;
3) гистерезис, обусловленный задержкой смещения границ между
доменами.
Рассмотрим подробнее эти три механизма гистерезиса с теоретической
и экспериментальной точек зрения.
2. Необратимые процессы вращения. Если в ферромагнитном материале исклю-
исключена возможность возникновения зародышей перемагничивания (т. е. объемов с само-
самопроизвольной намагниченностью обратного направления по отношению к основной
ориентации намагниченности насыщения образца), то в нем вообще исключены про-
*) Под сильными полями в данном случае следует понимать поля, по величине
сравнимые или превышающие все внутренние эффективные поля #к> Яо и т. д.
**) Акулов A939), Беккер и Дёринг A939), Вонсовский и Шур A948), Кнеллер
A962), Бозорт A956), Чикацуми A964), Морриш A965). См. также обзоры
[268, 809].
- 839 -

цессы смещения и перемагничивание может осуществляться лишь с помощью процесса
вращения векторов Is *). Такое перемагничивание ферромагнетика впервые теорети-
теоретически рассмотрел Акулов [783, 845]. Его теория может быть наглядно проиллюстриро-
проиллюстрирована уже рассмотренным выше случаем намагничивания монокристаллической про-
проволоки с осью, параллельной кристаллографической оси [110]. Уравнение кривой на-
намагничивания дается формулой B3.72). На рис. 23.47, на котором дан график этой
кривой, видно, что участок EOF термодинамически неустойчив д2 {FaHB3 -{-Fji)/dj2 <
< 0; участки EDC и HGF устойчивы и соответствуют двум минимумам свободной энер-
энергии (^аниз+^я) > разделенным потенциальным барьером. Поля, соответствующие
границам этого двузначного участка, при котором энергетический барьер исчезает
вместе с одним из минимумов (FaHVSS-\-Fn), определяются из условия dH/dj = 0.
В силу B3.72) это дает для коэрцитивной силы выражение
В общем случае при произвольной ориентации поля для поликристаллических образ-
образцов и при наложении внешних напряжений -Кдфф ~ K2-\-aXso выражение для Нс
дается по порядку величины формулой
ЯС~^. B3.80)
Если анизотропия напряжений мала по сравнению с естественной кристаллографиче-
кристаллографической анизотропией (ouscr<C К2), то, например, для чистого железа (Кг—5-Ю5 эрг/см3,
Is ~ 1,7-103гс) Нс^500э, для Ni (Кг ~ 4-104 эрг/сма, Is ~ 500 гс) Нс ^ 150 а,
а для Со (Кг ~ 4 -10е эрг/см3, Is ~ 103 гс) Нс » 6000 а. Уже из этой оценки видно, что
коэрцитивные силы реальных мягких материалов, для которых опыт дает величины,
не превышающие 10 а, не связаны с этим механизмом гистерезиса.
Коэрцитивная сила за счет одной лишь анизотропии напряжений равна по поряд-
порядку величины
#с~а-^-, B3.81)
где числепный коэффициент а%3. Если напряжения малы (ст < К), то коэрцитивная
сила тоже мала. Однако в ферромагнитных веществах, имеющих доменную структуру,
процессы перемагничивания осуществляются гораздо легче (см. ниже) путем процес-
процессов смещения границ между доменами и роста зародышей перемагничивания. В случае
же высококоэрцитивных сплавов сЯс5- 500 э, согласно B3.81), необходимо допустить
очень большие внутренние напряжения a 5s 200 кг/мм2.
Еслп в образце магнитная анизотропия исчезающе мала {К -f- aXse як 0) и в то
же время исключена возможность появления зародышей перемагничивания, то про-
процесс вращения будет определяться анизотропией размагничивающего фактора. Напри-
Например, в случае образца в форме удлиненного эллипсоида вращения, у которого вдоль
оси вращения размагничивающий фактор равен TVj, а вдоль любого направления в пло-
плоскости, перпендикулярной этой оси, равен iV2 (причем iVj -С-Л^К коэрцитивная сила
оказывается равной **).
Яс=|^2-УУ1|/8 B3.82)
В случае очень длинного образца JVj ~ 0, iV2 — 2я, п, следовательно, для Fe,
Со и Ni соответственно получаем Нс = 10 700, 8800 и 3150 а (см. ниже). Реальные слу-
случаи, в которых гистерезис может быть обусловлен необратимым вращением векторов Is,
суть следующие: 1) высококоэрцитивные гетерофазные ферромагнитные сплавы,
2) тонкие ферромагнитные пленки и порошки, 3) коллоидные ферромагнитные микро-
микропримеси внутри неферромагнитной матрицы. Во всех такого рода материалах коэрци-
коэрцитивная сила действительно имеет аномально большие значения (сотни, а иногда и тыся-
тысячи эрстед). Опытные данные и теоретические исследования последних лет дают уже
много доказательств того, что в этих материалах перемагнпчивание осуществляется,
по-видимому, с помощью процесса вращения.
Гистерезис, обусловленный необратимыми процессами вращения вектора Is
в последнее время начал усиленно изучаться в связи с проблемой создания высококо-
высококоэрцитивных порошковых ферромагнитных материалов [см. Вольфарт [847, 848], Пейн
[388] и книгу Кнеллера A962)]. Как уже отмечалось выше, процесс перемагничивания
частиц в однодоменном состоянии может происходить не только путем когерентного
вращения векторов Is во всем объеме частицы (Стонер и Вольфарт [158, 374]), но также
и с помощью более сложного процесса некогерентного вращения (см. работы Джекобса
и Вина [212], Брауна [367], Кондорского [376], Фрея и др. [377] и обзоры Вольфарта
[430, 847, 848] и Пейна [388]). Необходимо также учитывать возможность: 1) переходной
*) Этот тип гистерезиса частично рассмотрен выше, когда речь шла о перемаг-
ничивании одно доменных частиц (см. § 5).
**) Это впервые отметил Ваард [846].
— 840 -

доменной структуры (Шур [389]), т. е. возникновение замыкающих доменов у поверх-
поверхности частицы, 2) поверхностной анизотропии (Неель [166, 169], см. также обзор Дже-
кобса и Вина [212]) и, наконец, 3) обменной анизотропии (Майклджон и Вин [208]).
Зависимость коэрцитивной силы частиц сплава Mn—Bi от размеров и доменной струк-
структуры частиц наглядно иллюстрируется кривой рис. 23.19 (по Шуру [389]). В случае
большой совокупности однодоменных ферромагнитных частиц магнитные свойства
зависят не только от свойств отдельных частиц, но также от их взаимных расстояний
и расположения (см. Неель [373], Кондорский [849, 376], а также книгу Кнеллера A962);
см. также работы [852, 853]). Создание магнитной текстуры в конгломерате однодомен-
однодоменных частиц, когда оси легчайшего намагничивания частиц выстроены вдоль одного
направления (оси текстуры) приводит к резкому возрастанию коэрцитивной силы
и остаточной намагниченности материала (см., например, работы Шура и др. [850, 393—
396, 400, 403, 404, 851]).
3. Задержка роста зародышей перемагничивания. Второй механизм
гистерезиса, обусловленный задержкой роста зародышей, имеет место
в той или иной степени во всех ферромаг-
ферромагнетиках, и реальность его существования
с несомненностью доказана опытом. В чи-
чистом виде этот механизм гистерезиса легко
исследовать (и сознательно управлять им)
в образцах с так называемой прямоуголь-
прямоугольной петлей гистерезиса. Такие образцы
можно искусственно приготовить, напри-
например, из поликристаллического материала
(обычно в форме проволоки) с высоким
пределом текучести, подвергая его очень
сильным односторонним внешним растя-
растяжениям о (Прейзах [854]). В этом случае
(Kso > К) вся магнитная анизотропия
образца практически определяется напря-
напряжениями и ось растягиваемой проволоки
становится (при hs > 0) единственной осью
легчайшего намагничивания. На рис. 23.50
в качестве примера приведены петли ги-
гистерезиса для проволоки из сплава
Fe — Ni при отсутствии растяжения и при
о = 92 кг/мм2, иллюстрирующие процесс "образования прямоугольной
петли гистерезиса.
Кроме того, прямоугольную петлю можно получить с помощью тер-
термомагнитной обработки некоторых сплавов (например, в пермаллое-65
[855] или в кольце из перминвара D3 ат.% Ni, 34 ат. % Fe, 23 ат. % Со)
[856]). Бозорт и Диллинджер [857] наблюдали также прямоугольные пет-
петли в тонкой проволоке из чистого железа, в которой одноосность опре-
определялась формой образца. В монокристальных рамках большой скачок
Баркгаузена наблюдали Стюарт [858], Вильяме и др. [859] (в Fe — Si),
Бозорт [108] в Fe, Галт и др. [860, 861] в ферритах.
При прямоугольной форме петли процесс перемагничивания осущест-
осуществляется одним-единственным скачком *), механизм которого заключаете»
в том, что в каком-то месте образца создается зародыш перемагничивания,
который при некоторой величине магнитного поля (поле старта Hs)
начинает с конечной скоростью расти и в конце концов поглощает весь
объем образца. Механизм этих больших скачков перемагничивания тща-
тщательно изучен многими исследователями [854, 21, 22, 863, 864—870].
Важность этих исследований заключается в том, что они, во-первых, дали
непосредственное доказательство реального существования процессов
смещения границ между доменами (в особенности необратимых смещений)
и, во-вторых, позволили проследить в деталях кинетику процесса пере-
перемагничивания. В этих опытах было обнаружено существование двух
*) Впервые такие скачки наблюдал Форрер [862] на сложным образом деформи-
деформированных проволоках Ni.
Рис. 23.50. Образование прямоуголь-
прямоугольной петли гистерезиса при растяжении
проволоки из сплава Ре — Ni A4% Ni)
(Прейзах [854])
- 841 -

характерных значении магнитного поля, определяющих кинетику пере-
магничивания. Одно из этих значений—«поле старта» Hs — определяет
собой начало процесса перемагничивания; оно нужно для создания в ка-
какой-то небольшой области образца зародыша перемагничивания в раз-
размерах, которые делают его дальнейший рост энергетически более выгод-
выгодным, чем его исчезновение («испарение»!). Однако после того, как однаж-
однажды поле старта Нs было достигнуто и зародыш начал расти с конечной
скоростью, этот рост может продолжаться при более слабом критическом
поле Но (<^HS). Это поле нужно поддерживать для того, чтобы граница
перемагничивающейся области при своем движении преодолевала все потен-
потенциальные барьеры, возникающие из-за неоднородностей материала образца.
Теорию поля старта подробно разработал Дёринг [866, 871], который,
исходя из общих представлений о процессах технического намагничива-
намагничивания, получил теоретически условия роста зародышей перемагничивания.
В частности, он получил формулу для поля старта
Hs=H0+a^±, B3.83)
где а — численная постоянная порядка единицы, ут1> — плотность сво-
свободной энергии граничного слоя, окружающего зародыш перемагничива-
перемагничивания, d — диаметр поперечного сечения зародыша в сантиметрах (пред-
(предполагается, что зародыш имеет форму удлиненного эллипсоида враще-
вращения). В опытах с большими скачками перемагничивания удалось «замо-
«замораживать» зародыши в процессе их роста и затем с помощью травления
проволок извлекать их из толщи материала и определять магнетометри-
чески направление их магнитного момента, получая тем самым непосред-
непосредственное доказательство их реального существования и возможность
количественной проверки теории. Формула B3.83) имеет особенно сущест-
существенное значение потому, что она дает способ наиболее простого определе-
определения величины граничной энергии утр. Действительно, величины Нs,
Но, Is и d определяются из опыта, поэтому величина утр и может быть
найдена с точностью до численного множителя а порядка единицы и срав-
сравнена с теоретической формулой B3.416) по теории Ландау и Лифшица
[20]. Так, например, из B3.83) для проволоки сплава Fe — Ni получаем
Yrp « 2,7 эрг/см2, а из формулы B3.416) утр « 2,1 эрг/см2. Принимая
во внимание оценочный характер этих соотношений, совпадание полу-
получается очень хорошее.
Кинетику роста зародышей в деталях исследовали Мирошниченко
[864], Хааке [868] и Грейнер [870], и опыт полностью подтвердил пред-
предсказания теории.
Во всей теории поля старта остается неясным один весьма важный
вопрос — как происходит само зарождение области перемагничивания
до начала ее роста. Здесь, во-первых, может оказаться, что в ферромагне-
ферромагнетике даже при насыщении остаются небольшие участки прежних доменов
с направлением Is, противоположным направлению магнитного поля,
вызывающего перемагничивание. При этом надо предположить, что кри-
критическое поле Но таких участков превышает величину поля, доводящего
предварительно образец до насыщения *). Во-вторых, на процесс обра-
образования зародышей может оказать существенное влияние размагничиваю-
размагничивающее поле, создаваемое внутренними неоднородностями образца, посто-
посторонними включениями в металле или пустотами и, наконец, его внешней
поверхностью. Эти поля могут сделать внутреннее поле в небольших
•объемах образца вблизи таких искажений обратным по отношению к внеш-
внешнему полю **). Наконец, в-третьих, причиной возникновения зародышей
*) На эту возможность впервые обратил внимание Браун [872], а также Вон-
совский и Шур A948).
**) Этот механизм аналогичен влиянию частиц пыли или ионов на конденса-
1цию перенасыщенного пара.
- 842 -

перемагничивания могут явиться тепловые флуктуации. Однако расчет
вероятности этого процесса для создания зародыша критического размера
(обладающего способностью к дальнейшему росту) показывает, что эта
причина вряд ли может играть очень существенную роль *) (см. Экштейн
и Джильберт [873], Аарони [874], Дёринг [41], а также Дикстра [875]).
Теория образования зародышей еще весьма несовершенна. Для
своего возникновения зародыш требует затраты определенной энергии
AFS, идущей на создание граничного слоя между зародышем и окружаю-
окружающей его средой, в котором намагниченность изменяет свое направление
на обратное. Эта энергия пропорциональна квадрату линейного размера
зародыша: AFS « txrjj, константа а определяется свойствами ферромаг-
ферромагнетика и формой зародыша. Энергия AFS должна компенсироваться
уменьшением магнитной объемной энергии относительно внешнего поля
AFH, благодаря чему и возникают зародыши перемагничивания. Эта
энергия пропорциональна кубу линейного размера: AFh « Р?,; C —
постоянная, определяемая также свойствами образца и формой зародыша.
При выполнении неравенства | AFH I > I AFS | появляется возможность
роста зародыша, т. е. процесса перемагничивания, путем смещения гра-
границ между зародышем и его окружением. Из неравенства следует, что
рост возможен при г0 ^ <х/C. Следовательно, отношение <х/C и определяет
минимальные размеры зародыша (а также поле старта Hs), очень чув-
чувствительные к ничтожным вариациям внутренних свойств образца и формы
зародыша. Поэтому размеры зародышей меняются в больших пределах
от долей микрона до нескольких миллиметров. Кроме Сикстуса и Тонкса
[21], изучавших большие скачки Баркгаузена, процесс зарождения и роста
зародышей перемагничивания в материалах с многодоменной магнитной
структурой, наблюдали с помощью метода порошковых фигур Бозорт
[613], Вильяме и Гертц [856], Бейтс и Мартин [876], Шур и Абельс [616],
Грейнер [877], де Блуа [878], Шур и Кандоурова [660], Шур и Драго-
шанский [674] и др. [879—881]. См., например, рис. 23.34, где показано
образование зародышей перемагничивания у поверхности образца (моно-
(монокристалл Fe — Si). Проблему возникновения зародышей теоретически
рассматривал Гудинаф [882], который пришел к выводу, что местами воз-
возникновения зародышей являются главным образом границы зерен и вся-
всякие «пластинчатые» выделения в кристалле [см. также книгу Вонсовского
и Шура A948)]. Этот вопрос в более точной математической, но более
упрощенной физически модели рассматривали Штрикман и Тревес [883],
Браун [884], Аарони [874, 836], Кэрри и Исаак [885], Аарони и Нееман
[886], Абрагам [887], Мицек [888]. Ратенау и др. [889] [см. также Вонсов-
ский и Шур A948)] высказали мысль, что зародыши могут возникать в тех
местах ферромагнитного образца, где понижена энергия анизотропии.
Эту идею количественно разработал (для упрощенной модели) Аарони
[369, 890, 874] (см. также [891]). Однако в этих расчетах поле для обра-
образования способного к росту зародыша перемагничивания хотя и меньше
поля начала необратимого вращения (~0,092ii7/s), но все еще на один-
два порядка выше наблюдаемых значений коэрцитивных сил в типичных
ферромагнетиках. Это указывает на грубость модели, положенной в основу
теоретического расчета.
*) Третья причина (тепловые флуктуации) может оказаться существенной
в малых частицах и для процессов магнитной вязкости (см. гл. 24), а также для всех
типов материалов при высоких температурах, близких к точке Кюри. При комнатных
температурах, например, в веществах типа Fe оценка Дёринга [41] дает для энергии
спонтанного образования зародыша перемагничивания во внешнем поле Н « 1 э
величину порядка 2-Ю эрг, т. е. в 1010 раз большую, чем средняя тепловая энергия
к^Т при Т ж 300° К. По оценке Дёринга энергия образования зародыша пропорцио-
пропорциональна Н~5/2. Поэтому лишь в полях Н ^ 1000 э можно было бы ожидать спонтанного
образования зародыша. Однако уже при более низких полях однородная намагничен-
намагниченность образца Fe становится абсолютно неустойчивой и процесс перемагничивания
осуществляется, например, путем необратимого вращения.
- 843 -

Как уже отмечалось выше, вблизи неферромагнитных включений
и пустот возникает вторичная тонкая структура замыкающих областей
(см., например, рис. 23.33), которые впервые наблюдал с помощью порош-
порошковых фигур Вильяме [892]. Поэтому можно говорить о двух различных
критических полях образования зародышей: первое (меньшее) критиче-
критическое поле, при достижении которого возникают замыкающие области
вблизи «дефекта», снижающие энергию локального размагничивающего
поля, существующего при однородной намагниченности вокруг дефекта
(поскольку нарушается условие Div Is = 0); второе критическое поле
Рис. 23.51. Порошковые фигуры однодоменной прямоугольной
пленки Ni (толщиной 1100 Л и размерами 106 х 117 ц,2).
о) Состояние насыщения (стрелка Ы) в обратном поле
Я = —15 э, направленном по диагонали образца влево вниз;
б) картина фигур после перемагничивания (стрелка М) в поле
Я = —22 э (де Блуа [703]).
соответствует дальнейшему росту одной из замыкающих областей и пре-
превращению ее в зародыш нового домена.
Различные варианты расчета рассмотрены в работах Гудинафа [882}
[см. также работы Филиппова [894] и Мюллера [895]].
Ввиду важности проблемы зародышеобразования остановимся более
подробно на описании очень тонких экспериментов де Блуа [704], в кото-
которых с помощью порошковых фигур наблюдался процесс зародышеобразо-
зародышеобразования на углах и ребрах прямоугольных пленок Ni и Ni — Со, Ni — Fe
сплавов. Основным предположением существующей теории ферромаг-
ферромагнитных зародышей является предположение о полном магнитном насы-
насыщении образца в исходном состоянии [872, 874]. Однако остается интри-
интригующим вопрос, все ли зародыши обратной намагниченности уничто-
уничтожаются в каждом из экспериментов. Так, например, Фоулер и др. [693}
наблюдали сохранившимися в усах с резкими углами в намагничивающих
полях до 6000 э, т. е. в поле, заметно превышающем то значение, при кото-
котором обычно считается, что образец намагничен до насыщения. Точно так
же в ряде других работ были обнаружены такие изменения в доменной
структуре после приложения сильных намагничивающих полей, которые
дают косвенные указания на то, что при этом не все зародыши были
уничтожены (см., например, работы [398, 675, 699, 716, 879—881]).
На рис. 23.51, а приведена фотография прямоугольной пленки Ni
(с размерами 106 X 117 ц2 и толщиной 1100 А) в поле Н = 15 э, направ-
направленном по диагонали пленки влево вниз. Предварительно образец
намагничивался в поле Н = 240 э по диагонали вправо вверх, а затем
поле уменьшалось до нуля и увеличивалось в обратном направлении
до Н = —15 э. Намагниченность при этом сохраняла свое направление
вдоль диагонали вверх вправо. Осадок порошка на углах указывает
на сильное изменение направления намагниченности, которая стремится
повернуться так, чтобы быть параллельной ребрам в углах, остава-
оставаясь антипараллельной полю внутри образца. При поле Н = —22 &
— 844 —

(рис. 23.51, б) возникают зародыши (возможно, в правом нижнем углу,
поскольку видны остатки доменной структуры в противоположном верх-
верхнем левом углу) и образец перемагничивается. На рис. 23.52 показано
увеличенное изображение угла этой же пленки с образованным у угла
Рис. 23.52. Порошковые фигуры доменной структуры у угла
прямоугольной пленки Ni толщиной 1100 А в поле Н = 3 э.
направленного вправо. Пленочка насыщалась полем в 240 э, поле
образования зародышей перемагничивания Я = —22 э (де Блуа
[703]).
зародышем обратной намагниченности, окруженным структурой, которая
образовалась после возникновения зародыша. Рис. 23.53 дает некоторую
информацию о процессе зарождения доменов на ребре пленки Ni,
а также влияние зародышей, возникших у ребра, на уменьшение маг-
нитостатической энергии поверхностных зарядов. На рис. 23.53, а поле
Рис. 23.53. Порошковые фигуры у ребра пленки Ni. а) В умень-
уменьшенном поле Н = 30 э, направленном вдоль легкой оси [110];
б) картина фигур при дальнейшем уменьшении поля до Н = 12 э.
Виден рост зародышей (от ребра вниз в виде «кинжалов», а так-
также «вмятины» в осадке порошка на ребре образца у оснований
«кинжалов» (де Блуа [703]).
Н = 30 э направлено по легкой оси [110] под углом 45° к ребру вдоль
оси [100]. Предварительно поле доводилось до значения Н = 60 э, когда
зародыши у ребра не наблюдались (или были невидимы). На рис. 23.53, а
видно, что у оснований зародышей па ребре имеются утоныненияв жирной
полосе осадка. На рис. 23.53, б видны порошковые фигуры при поле,
- 845 —

уменьшенном до Н — 12 э, когда картина фигур зародышей становится
очень четкой и более ясным становится уменьшение интенсивности маг-
магнитных полюсов на ребре образца.
Кондорский [768] показал, что площадь петли гистерезиса и величина
коэрцитивной силы могут зависеть от формы образца, если гистерезис
частично обусловлен задержкой в росте зародышей или необратимым вра-
вращением. Если этой зависимости нет, то прямоугольная петля обуслов-
обусловлена в основном задержкой процессов смещения границ. Независимость
коэрцитивной силы от формы у большинства поликристаллических фер-
ферромагнетиков Кондорский объясняет либо только что упомянутой при-
причиной, либо тем, что вследствие структурных неоднородностей и раз-
различия направления осей легкого намагничивания в отдельных участках
образца коэрцитивная сила зависит уже не от формы ферромагнетика,
а от формы отдельных участков, достаточно однородных и с одним направ-
направлением легчайшего намагничивания.
4. Теория напряжений и включений. Общая формула для критиче-
критического поля Но может быть получена из условий максимума разности
свободных энергий B3.61). В случае 180°-смещений (Fi)k — {Fi)i « 0
и если учесть, что кривизна границ между доменами мала (Rjl -\- R~l) «
« 0, то, согласно Кондорскому [729], Но по порядку величины, в силу
B3.61) и B3.63), равно
4D) • B3-84)
кс v '
J,ls \ дп /
где черта означает среднее значение (<9угр/<9гг)макс по граничной поверх-
поверхности. Если, кроме локальных изменений энергии угр, при смещении
границ имеет место заметное увеличение площади их поверхности (напри-
(например, при росте зародышей или при обтекании препятствий), то в B3.84)
вместо угр надо подставить произведение yrpS, где S — средняя величина
площади граничной поверхности, и все выражение поделить на S. Таким
образом, критическое поле по теории включений (при относительно сла-
слабых локальных неоднородностях дутр/дп) дается формулой (Кер-
стен [732])
(™\ . B3.85)
акс v ;
Н
2ISS
Кондорский [729] показал, что в случаях, когда (dS/dn)Mai{C
"С (дугр/дп)макс, величина Но определяется в основном градиентами
внутренних напряжений. Действительно, из формулы B3.416) для угр
следует, что
Л с да
¦ As огп ——.
дп
и поэтому
±р^,ёЗ\ 23>86>
0 /s \ дп I макс ч '
В более общем случае формула B3.86) может быть по Керстену
[893] записана в форме
^о = Ро2771. B3-87)
где Да — среднее значение флуктуации внутренних напряжений, а мно-
множитель р0 зависит от отношения толщины бгр граничного слоя между
ферромагнитными областями к средней длине «волны» внутренних напря-
напряжений 1а; в случае 1а ^> бгр имеем р0 т 6rp/Za, а при 1а <^ бгр соответ-
соответственно р0 « Za/6rp, поэтому наибольшего значения Но надо ожидать
при 1а « бгр.
— 846 —

Таким образом, из теории напряжений Кондорского для критиче-
критического поля мягких материалов, лишенных заметных включений, следует
два важных вывода: 1) критическое поле растет пропорционально увели-
увеличению средней амплитуды внутренних напряжений Да и 2) Но имеет
наибольшее значение, когда дисперсность этих напряжений сравнима
с толщиной граничных слоев между доменами (la m бгр). Огромное коли-
количество опытного материала целиком подтверждает эти два основных
качественных вывода теории. Количественное сравнение теории с опы-
опытом, к сожалению, невозможно из-за резкой структурной чувствитель-
чувствительности явления магнитного гистерезиса.
Для материалов с большим числом включений справедлива форму-
формула B3.85). Эта формула для частного случая правильного распределения
шарообразных включений примерно
одинакового размера (например, для
зернистого цементита в углеродистой
стали) принимает вид (Керстен [893])
B3.88)
I/,
а)
Рис. 23.54. Возникновение магнитных зарядов
на поверхности [немагнитных включений или
пустот, о) Сферическое включение диаметра d
не касается граничного слоя 6Г„ между доме-
доменами; б) включение пересекается граничным
слоем.
где .ЙГэфф — эффективная постоянная
магнитной анизотропии, C — кон-
концентрация примесей, п — показатель
степени, равный 1, 2/3, 4/3 и т. п.,
множитель р\ зависит от отношения
толщины граничного слоя бгр и диа-
диаметра включений d: при бгр <^ d име-
имеем pi т& бгр/й, а при бгр ^> d имеем
р^ т d/8rp. Таким образом, Но растет
с ростом концентрации включений
и имеет наибольшее значение при
определенной их дисперсности (когда бгр т& d). Из B3.88) следует, что
температурная зависимость Но определяется в основном зависимостью-
для .КЭфф и /s (в pi анизотропия Кэфф входит через бгр), что может быть
использовано при проверке теории с помощью измерений температур-
температурной зависимости коэрцитивной силы в таких материалах. Детальные
расчеты по теории включений проведены в работах Дикстра и Верта [894а].
Несмотря на простоту изложенных выше теорий напряжений и вклю-
включений и некоторую согласованность их с опытом, обе эти теории, осо-
особенно вторая, обладают тем существенным недостатком, что в них совер-
совершенно не учитывается магнитное взаимодействие. При всех расчетах
молчаливо предполагается, что магнитные заряды полностью отсутствуют
(div I = Div J = 0). Вместе с тем из расчетов Керстена [893] прямо сле-
следует, что на поверхности включений должны появиться магнитные заряды
(Div I = 0) и связанное с ними магнитное поле рассеяния (рис. 23.54).
Это обстоятельство отметил Неель [265, 619а] и независимо от него Кон-
дорский [619, 413] и Вонсовский [см. в книге Вонсовского и Шура A948),
стр. 396].
Кондорский [619] дал более точное решение этой задачи, на котором
мы сейчас и остановимся. Прежде всего он отметил, что формулы, полу-
полученные Керстеном [893], строго говоря, справедливы лишь для ограни-
ограниченного числа специальных случаев, когда включения имеют вид «игл»,
вытянутых вдоль направления поля, или когда линейные размеры вклю-
включений d < бгр, где бгр ширина граничного слоя между ферромагнитными
фазами. В большинстве же случаев необходимо учитывать энергию раз-
размагничивающего поля, вызванного существованием включений произ-
произвольной формы и величины. Еще в своих прежних работах по теории
гистерезиса Кондорский [768] считал, что наиболее вероятными местами
нахождения зародышей новых магнитных фаз при перемагничивании
- 847 -

являются места пустот и включений в ферромагнитном материале
(см. выше). При полях больше поля старта зародыш может прекратить
свой рост, если его граница наткнется на включения,' линейные размеры
d которых меньше критических размеров ds зародыша. При «прохожде-
«прохождении» через включение должно произойти изменение свободной энергии,
во-первых, для увеличения поверхности граничной зоны на величину
AS да nd2/4 и, во-вторых, для перераспределения магнитных зарядов
на поверхности включения. Эти свободные энергии, согласно оценке
Кондорского [619], соответственно равны
(при
где с — численные коэффициенты порядка единицы, а N — размагничи-
размагничивающий фактор включения. Таким образом, при б^бгр [см., например,
выражение для угр в формуле B3.416)] имеем
0 л (гр эфф гр
NI\d ~ NI\
B3.89)
Из B3.89) следует, что при d ^> бгр имеем Ш2 Э> Ши и лишь при
бгр да d значения Ш\ и %г могут быть одного порядка величины. Таким
образом, из B3.89) видно, что при d > бгр главной причиной задержки
граничного слоя на включениях является не уменьшение величины поверх-
поверхности границы, а уменьшение энергии магнитного поля самого включения.
Сравнение свободной энергии g2 с энергией относительно внешнего
поля позволяет определить порядок величины критического поля, вызван-
вызванного магнитным действием включения при условии бгр < d < ds, т. е.
при условии, что на пути растущего зародыша встречаются лишь вклю-
включения с размерами, меньшими критических размеров зародышей (ds),
способных к росту. Величина этого критического поля
з, B3.90)
где г/ — объемная концентрация включений при бгр < d < ds.
Сравнение формулы B3.90) с опытом показывает, что в мягких сталях
достаточно малыми размерами обладает лишь незначительная часть при-
примесей, т. е. что г/ <^ v (где v — полная объемная концентрация примесей).
Так, например, в случае сплава Fe — Si D ат.% Si), содержащего углерод
A ат.% С) в виде графита (v да 0,036), из B3.90), принимая N m 4, /s «
« 1600, получаем
(^K3. B3.91)
Следовательно, при г/ да v поле HKV, \ должно было бы равняться
180 э. Но при этом размеры почти всех включений должны быть меньше
ds (г/ да v). Величину ds можно оценить: при Н да 180 э имеем ds та
да 0,2-10 см.
В действительности опыт дает в несколько раз большую величину,
соответствующую Нs да 10 э. Таким образом, в рассматриваемом случае
уже при полях порядка 10 э большинство включений является центрами
роста зародышей и, следовательно, объемная концентрация включений
с d < ds будет мала, т. е. г/ ^ г;. Полагая в B3.91) HKpi да 10 э, полу-
получаем v'/v л: 10. Таким образом, вопрос о дисперсности примесей в этой
теории играет весьма существенную роль. •
Далее Кондорский приводит выражения для критического поля:
1) в ферромагнетике с мелкими примесями и 2) для мягких сталей с круп-
- 848 —

ными включениями. В первом случае (дисперсная структура, v
Yrp
Н
кр1
<Hs{d)
.5'
v)
B3.92)
где d — средний диаметр основной массы включений. Величина /7Kpi
в этом случае может быть весьма значительной (максимум достигается'
при d та бгр и может превосходить критическое поле чистого вращения,
т. е. величину taNIs\). Температурная зависимость коэрцитивной силы
в этом случае такая же, как и температурная зависимость намагничен-
намагниченности насыщения. Во втором случае Н s (d) <С N1 sv2/3/A и v' <<^ v. При
Н < Н s (d) включения задерживают рост зародышей, возникших на вклю-
включениях с d > d. Если поле достигает величины Hs (d) + Но (о) (здесь
Но (о) — часть критического д
поля, зависящая от неодно- I
родностей материнской фер- ,А i i А | I Т
ромагнитной фазы), то начи- ill I Д Т I
пается рост зародышей от Г j /|l
большинства включений и
происходит перемагничива-
ние. Таким образом,
B3.93)
а)
В
Рис. 23.55. Вторичная структура ферромагнитных
доменов вблизи включения (заштрихованная область),
а) Включение пересекается 180°-граничным слоем
АВ между доменами; б) включение вне граничного
слоя АВ; е) «прилипание» граничного слоя А В
к включению.
Температурная зависи-
зависимость коэрцитивной силы в
этом случае обусловлена маг-
магнитной анизотропией и про-
пропорциональна #э±ф (см-> на-
например, [896]).
В связи с расчетом Кондорского [619] возникает задача более деталь-
детального исследования распределения намагниченности Is вблизи включений.
В частности, при d > ds можно представить себе такое распределе-
распределение намагниченности у поверхности включения, при котором достаточно
точно выполняются условия Div Js = 0, т. е. практически нет магнит-
магнитных зарядов.
Эта задача, как указывалось выше, была решена в работах Нееля
[619а] и Кондорского [413]. Как следует из опытов Вильямса и Шокли
[597] (см. рис. 23.28, 23.33), в кристаллах с тремя осями легкого намаг-
намагничивания вокруг включений образуется структура «кинжалообразных»
доменов. Граница между доменами, перемещаясь в процессе намагничи-
намагничивания образца, может переходить через включения и вызывать образо-
образование вторичных структур доменов типа «шлейфа» (см. рис. 23.23). Если
граница не может перейти через включение, то перемагничивание осу-
осуществляется путем роста зародышей внутри домена, ограниченного такими
включениями, и, следовательно, коэрцитивная сила определяется в основ-
основном полем старта Нs [см. формулу B3.83)]. В том случае, когда граница
может перейти через включения, коэрцитивная сила определяется кри-
критическим полем Но. Кондорский [413] рассматривает два типичных слу-
случая: 1) ферромагнетик с одной осью легчайшего намагничивания и 2) фер-
ферромагнетик с тремя осями легчайшего намагничивания, причем в обоих
случаях существуют относительно крупные включения. В случае 1) (одна
легчайшая ось) вокруг включений возникают структуры, изображенные
на рис. 23.55. При переходе от структуры а) к структуре б) критическое
(б)
поле Щф равно
п{6)
-Икр
Yrp
I
Т
'з,
B3.94)
54 с. В. Вонсовский
849 —

где lad — полудлина и диаметр поперечного сечения области со вто-
вторичной структурой доменов типа б), аи — объемная концентрация
включений. При переходе от структуры а) к структуре в) имеем
#№ « __?**. vv3. B3.95)
' S
Значение поля старта находим по формуле B3.83). В случае Со (КЭфф «
« 8 -106 эрг/см3) или в случае магнитно-одноосных образцов Ni или спла-
сплавов Fe — Ni (когда величина энергии внешних напряжений, создающих
эту магнитную анизотропию, порядка энергии естественной кристалло-
кристаллографической анизотропии, т. е. 3Xsa/2 яа КЭфф) при угр « 1 эрг1смг
и v > v0 « 10~4, имеем
И кр !> ИКр Z> a s-
Следовательно, в таких одноосных материалах включения задерживают
смещения границ и величина коэрцитивной
силы определяется суммой поля старта и кри-
критического поля, созданного напряжениями
[см. B3.86)]. Неель [619а] показал, что в слу-
случае очень малых включений (d < бгр) пере-
переход граничных слоев через эти включения
возможен, и тогда критическое поле убывает
с уменьшением размеров включений.
В случае 2) (три легчайших оси) при
переходе границы через включение образу-
образуются кинжалообразные домены (рис. 23.28 и
23.56). Перемещение граничного слоя на
Да; увеличивает магнитную энергию на вели-
величину
Рис. 23.56. Образование струк-
структуры »шлейфа при смещении Vupttwuphwp ттпрргптпгтипй чирпгт™
границ между доменами (по увеличение поверхностной энергии
Неелю — Кондорскому). д р __„ d'Ax
Самопроизвольное перемещение границы (т. е. необратимый скачок)
начинается еще до ее отрыва от шлейфа при поле
H>E*=i&vt*- B3-96)
Формула B3.96) совпадает с формулой теории «включений» B3.88), полу-
полученной без учета структуры шлейфа у включений. Из сравнения B3.96)
и B3.83) находим, что при v < v0 « 0,5 имеем Hk < Hs. В случае мягких
сталей v <С 0,5, поэтому их коэрцитивная сила определяется по B3.96)
и, следовательно, результаты теории включений, полученные даже в пре-
пренебрежении магнитными полями рассеяния, сохраняют свое значение.
В ряде работ Висена [896а] развил эти расчеты, учтя эффект упругих
и пластических напряжений. Этот вопрос также рассмотрен в работах
[897—907]. Укажем также на работы Гудинафа [882], Керстена [908]
и Пфеффера [909], в которых теоретически исследуется вопрос о коэр-
коэрцитивной силе.
Кондорский [910] построил также теорию кривых намагничивания
и петель гистерезиса для поликристаллических материалов. Основная
трудность при построении такой теории связана с учетом магнитного
взаимодействия внутри ферромагнитного образца. Тем не менее рассмат-
рассматривая предельные случаи, поддающиеся расчету (поликристалл с вытя-
вытянутыми зернами и поликристалл с плоскопараллельными зернами), он дал
теоретические асимптотические формулы для нулевых кривых намагни-
намагничивания, для максимальных петель гистерезиса и для петель частных
циклов в случае идеальных кривых намагничивания. Он же впервые
получил формулу зависимости потерь от амплитуды поля и формулу,
850 —

связывающую кривые намагничивания и перемагничивания поликри-
поликристалла; см. также работу Шура и др. [522] по доменной структуре
в переменном поле в связи с проблемой электромагнитных потерь.
5. Гистерезис в слабых полях (релеевская область). Теория Кондорского [910]
углубила и значительно развила более ранние теоретические трактовки кривых намаг-
намагничивания и петель гистерезиса изотропных ферромагнитных веществ. Общую теорию
этих явлений для случая слабых намагничивающих полей впервые еще в 1887 г. пред-
предложил Релей [911]. Он установил следующие универсальные формулы для начального
участка кривой намагничивания О А (рис. 23.57):
(знак плюс соответствует Н > 0, а минус— #<0), для нисходящей ветви петли
гистерезиса (ABA' на рис. 23.57);
и для восходящей ветви (А'В'А рис. 23.57):
где Нт — максимальное значение поля, соответст-
соответствующее насыщению. Для остаточной намагничен-
намагниченности имеем
Ь
и для гистерезисных потерь (за цикл)
— л» Рис. 23.57. Кривая намагничивания
п и петля гистерезиса в области ела-
Элвуд [912] показал, что эти «законы Релея» удо- бых полей <по Релею)-
влетворяются для большого числа материалов, а
Кахан [756] — что для Fe, Ni, Со и сплава Fe — А1 эти законы справедливы при всех
температурах вплоть до точки Кюри. Упомянем также и другие экспериментальные
работы по изучению релеевской области [913—918].
Первая попытка теоретически объяснить формулы Релея на основании современ-
современных представлений о механизме технического намагничивания принадлежит Прейзаху
[919]. Для объяснения квадратичного члена ЪН2 в фор-
формулах Релея он предположил, что каждый ;-й домен
ферромагнетика в необратимой части своего намагни-
намагничивания характеризуется прямоугольной петлей гисте-
гистерезиса, которая определяется значением критического
поля HOj и поля смещения Hi,] (рис. 23.58). Это смеще-
смещение вызвано неоднородностями внутреннего поля в фер-
ферромагнетике, что в свою очередь является следствием
магнитного взаимодействия между доменами. Система
доменов, т. е. магнитная структура ферромагнетика
определяется распределением значений параметров HOj
и Ны- Расчеты, основанные на такой модели, позволили
Кондорскому [920] (а также Неелю [921]) вывести за-
законы Релея. См. также работы [922—925].
Неель [926] предложил в развитие этих расчетов
модель двух взаимодействующих доменов с прямоуголь-
прямоугольными петлями. При этом он предсказал два новых явле-
явления. Одно из них назвали «качанием» *). Оно заклю-
заключается в положительном или отрицательном изменении намагниченности в поле На,
вызванном многократным периодическим изменением поля в интервале от На до Нв
и обратно. Второе явление называется «ползучестью» **). Оно заключается в постепен-
постепенном смещении петли гистерезиса при возрастании числа циклов перемагничивания (в ин-
интервале от НА до Яя). В работе Нгуэ Ван Данга [926а] эти эффекты были обнаружены
на опыте (см. также гл. 24).
6. Анизотропия магнитного гистерезиса. Явление магнитного гисте-
гистерезиса обнаруживает сильную анизотропию [см. Вонсовский и Шур
A948), Кнеллер A962)]. Тщательное опытное исследование этого вопроса
*) По английски tilting, по французски bascule.
**) По английски creep, по французски reptation.
0
h
к \
т П
Рис. 23.58. К теоретическому
объяснению закона Релея
(Прейзах [919]).
- 851
54*

на монокристаллических дисках кремнистого железа, проведенное Шуром
[927], показало, что величина коэрцитивной силы монокристалла зависит
от кристаллографических направлений. Минимальные значения Нс полу-
получаются для тех направлений в плоскости диска, для которых значение
энергии магнитной анизотропии минимально. Теоретический анализ этих
опытов, данный Вонсовским [928], показал, что наблюдаемая анизотро-
анизотропия Нс в монокристаллах ферромагнетиков определяется в основном влия-
влиянием формы образца (размагничивающим действием поверхностей осно-
основания дисков). Учет влияния процессов вращения в доменах на угловую
зависимость коэрцитивной силы в магнитно-одноосных ферромагнитных
монокристаллах проведен в работе Шура, Кандауровой, Оноприенко
[929]. См. также работы [930—935] и особенно Дунаева и Иванченко [931].
7. Температурная зависимость гистерезиса. Магнитный гистерезис
ферромагнитных тел существенно зависит от температуры. С ростом тем-
температуры коэрцитивная сила, как правило, уменьшается. Потери на гисте-
гистерезис также уменьшаются с температурой. Современная теория может
дать лишь качественное объяснение этому уменьшению с ростом темпе-
температуры значений магнитных параметров, характеризующих гистерезис
ферромагнетиков *).
В гл. 5 и 18 мы рассмотрели обратимые процессы выделения и погло-
поглощения тепла, связанные с процессами намагничивания веществ. В области
слабых полей, когда в ферромагнетиках протекают необратимые процессы
смещения границ между доменами, на обратимый магнетокалорический
эффект накладываются необратимое выделение тепла. Границы доменов,
смещаясь с конечной скоростью, создают вихревые токи, которые ведут
к выделению необратимого джоулева тепла в ферромагнитном металле.
Этот эффект впервые в 1881 г. наблюдал Варбург [936], который устано-
установил, что количество выделенного тепла за цикл перемагничивания равно
магнитной работе (?;Гг = —Ж Hdl. Затем, начиная с работы Адельсбергера
[937], было проведено множество опытных исследований по определе-
определению Qirr, главным образом Бейтса с сотрудниками (см., например,
[938-942]).
8. Остаточная намагниченность. Теория весьма интересного метаста-
бильного состояния остаточной намагниченности ферромагнетиков нахо-
находится еще в далеко неразработанном виде. Ганс [46] впервые вычислил
для идеально изотропных поликристаллических материалов величину
относительной остаточной намагниченности jR = IR/Is, предполагая,
что участок ветви петли гистерезиса от насыщения /s до IR определяется
исключительно процессами вращения. Для кубических кристаллов с лег-
легчайшими осями типа [100] (Fe) величина jR = 0,83; в случае, если легчай-
легчайшими являются оси типа [111] (Ni), то jR = 0,86; в случае одноосных кри-
кристаллов (Со): /я = 0,50. Однако фактически наблюдаемые значения jR
могут заметно отличаться от этих теоретических предсказаний. Причиной
этих расхождений может быть не только анизотропия (текстура) реаль-
реальных поликристаллов, но также магнитное взаимодействие между кристал-
кристаллитами, а также процессами смещения границ между доменами, возникно-
возникновением структуры замыкающих областей у поверхности кристаллитов,
около дефектов и т. п. Обращаем внимание на работу Гримеса [960] и в осо-
особенности на исследования устойчивости остаточной намагниченности
и непосредственного наблюдения в этом состоянии доменной структуры,
проведенные Шуром и Старцевой [961, 962], см. также работы [399,
966—972].
*) За подробностями отсылаем к книгам Вонсовского и Шура A948), Кнеллера
A962), Чикацуми A964) и обзору Трейбла [809] (см. также оригинальные работы
[943—959]).
- 852 -

§ 14. Магнитные материалы
Остановимся кратко на описании технических ферромагнитных мате-
материалов. Эти материалы играют в современной технике необычайно важную
роль. Они составляют существенный элемент в конструкциях множества
машин и приборов, используемых в промышленности, на транспорте
и в бытовых целях. Магнитные материалы обеспечили современное широ-
широчайшее развитие электротехники, радиоэлектроники, измерительных при-
приборов, счетно-решающих машин и т. п. Ежегодно во всем мире произво-
производится много миллионов тонн электротехнической стали и других маг-
магнитных материалов. Наибольшего развития производство магнитных
материалов достигло за последние 20—30 лет. Над проблемами произ-
производства высококачественных магнитных материалов работают металлур-
металлурги, металловеды и физики во всем мире.
При классификации магнитных материалов следует исходить из двух
основных требований, которые предъявляются к ним со стороны техники.
Необходимо иметь материалы, с помощью которых можно создавать мак-
максимальный магнитный поток при минимальном внешнем магнитном
поле и при минимальных потерях энергии (это возможно при условии,
что намагниченность в материале «легко следует» за всеми изменениями
внешнего поля), а также материалы, которые без участия внешних под-
магничивающих источников сами являются источниками сильного и ста-
стабильного (по отношению к внешним полям, температуре и т. п.)
магнитного потока. Такие материалы предварительно намагничиваются
с помощью внешних источников поля, а затем используются в состоянии
остаточной намагниченности, т. е. в качестве постоянных магнитов.
Первому требованию удовлетворяют мягкие магнитные материалы,
а второму — жесткие, или высококоэрцитивные.
1. Мягкие магнитные материалы. Мягкий магнитный материал дол-
должен иметь кривую намагничивания с большой проницаемостью (харак-
(характеризующую крутизну подъема кривой), достигаемой в очень слабых
полях, и очень узкую петлю гистерезиса с ничтожно малой коэрцитивной
силой. Желательно также, чтобы эти материалы обладали высоким насы-
насыщением, высокой точкой Кюри и были плохими проводниками электри-
электрического тока, что обеспечивает малость потерь на токи Фуко при пере-
магничивании. В качестве примера предельного по «мягкости» материала
может служить сплав супермаллой (сплав Fe — Ni с добавками Мо
с начальной порницаемостью \ia я» 105 гс/э, максимальной проницаемо-
проницаемостью ц,Макс ~ Ю6 гс/э и коэрцитивной силой Нс ~ 0,002 э.
Важнейшее значение мягких магнитных материалов в экономике
страны видно, например, из той роли, которую играют в ней трансфор-
трансформаторное и динамное листовое железо. Количество этих материалов и их
качество определяют возможности энерговооружения страны, а следова-
следовательно, и ее экономическую мощь в целом. Годовое производство этих мате-
материалов во всем мире исчисляется многими миллионами тонн. Отсюда
вытекает огромная важность задачи создания электротехнических маг-
магнитных материалов самого высокого качества. Чтобы подчеркнуть госу-
государственное значение проблемы улучшения свойств этих магнитных
материалов, достаточно вспомнить, что при многокаскадной передаче
электроэнергии от электростанций к потребителю в генераторах, моторах,
электродвигателях и трансформаторах теряется много энергии на пере-
магничивание и токи Фуко. Следует помнить, что эта передача связана
с многокаскадным трансформированием. Повышение качества электро-
электротехнического материала не только дает экономию за счет снижения потерь,
но также позволяет значительно уменьшить габариты машин и трансфор-
трансформаторов, что влечет за собой большую экономию цветных металлов и дру-
других дефицитных материалов. Таким образом, проблема улучшения каче-
качества даже только трансформаторного и динамного листового железа,
- 853 —

особенно в связи с планами стремительного роста энергетики, будет
приобретать все большую актуальность. Не случайно, что над этой про-
проблемой работают весьма интенсивно в сотнях лабораторий мира.
Кроме листовых электротехнических магнитных материалов, про-
промышленность всех стран с каждым годом потребляет все больше других
высококачественных мягких магнитных материалов, в основном железо-
никелевых сплавов типа пермаллоя. Следует особо отметить важнейшие
мягкие магнитные материалы полупроводникового класса — ферриты,
которые благодаря своему высокому электрическому сопротивлению
являются незаменимыми материалами для СВЧ техники. Ферриты играют
также важнейшую роль в технике электронных вычислительных машин
(ЭВМ), поскольку из ферритов делают магнитные запоминающие устрой-
устройства. Последнее время большое внимание уделяется разработке новых
магнитных материалов — тонких ферромагнитных пленок (толщиной
порядка 1000 А), в основном из пермаллоя, которые сулят большие пер-
перспективы для дальнейшего улучшения работы ЭВМ, поскольку скорости
их перемагничивания на 2—3 порядка больше, чем у ферритовых тороидов.
Это в принципе делает возможным настолько же увеличить быстродей-
быстродействие ЭВМ (при условии достижения таких же скоростей в других немаг-
немагнитных узлах машины).
По своему химическому составу, технологическим методам изготов-
изготовления и областям применения мягкие магнитные материалы разделяются
на группы.
1) Технически чистое Fe (армко-железо) — самый простой и дешевый
материал, к нему же можно присоединить его заменители — низкоугле-
низкоуглеродистые стали (содержащие не более 0,04 вес. % С). Основные магнитные
характеристики технического Fe такие [Бозорт A956)] ,(при 20° С): Is =
= 1714 гс, В s = 4я/8 = 21 580 гс; типичные значения максимальной
проницаемости и.маке = 5000, наивысшее значение и.макс = 350 000 гс/э,
коэрцитивная сила рядовых образцов Нс = 0,9 э, наименьшее значение
Нс = 0,01 э. Области применения: в магнитопроводах электромагнитных
приборов и аппаратов постоянного тока (реле, электромагниты, полюсные
наконечники и т. п.). В переменноточной аппаратуре не используется
из-за высокой электропроводности (большие потери на вихревые токи).
Из термообработок, резко улучшающих свойства технического Fe, упо-
упомянем рафинирующий отжиг при Т m 1500° С в атмосфере Н [Бозорт
1956)]. При нагреве образцов технического Fe до температур порядка
150° С наблюдается явление магнитного старения, приводящего к умень-
уменьшению проницаемости. Это явление связано с выпадением небольших
количеств карбидов и нитридов при нагреве (см., например, [973]).
2) Листовое электротехническое кремнистое железо с добавками Si
от 0,5 до 5% обладает повышенным значением электросопротивления
по сравнению с Fe, что значительно снижает потери на вихревые токи,
правда при некотором небольшом снижении величины насыщения (Is =
= 1590 гс при 3% Si). Эти сплавы используются как материал для изго-
изготовления статоров и роторов электрических машин, сердечников транс-
трансформаторов, мембран телефонов, деталей реле и т. п. Их можно исполь-
использовать и в переменноточной технике не только обычных промышленных
частот (порядка 50 гц), но и для частот порядка нескольких десятков кгц.
За последнее время горячекатаное кремнистое железо начинает вытес-
вытесняться холоднокатаным и, в частности, текстурованным листовым мате-
материалом [см. Бозорт A956)].
3) Сплавы высокой проницаемости (Fe — Ni — пермаллои от 36
до 85% Ni; Fe — Ni — Со — перминвары). Наиболее высокие значения
проницаемости имеют пермаллои состава с 50—85% Ni (пермаллои с 36—
50% Ni уступают высоконикелевым пермаллоям по величине [х, но имеют
большие значения /s). Они относятся к классу упорядочивающихся
сплавов и имеют наилучшие характеристики как мягкие магнитные мате-
— 854 —

риалы после закалки от 600° С (пермаллоевая обработка), приводящей
к разупорядоченному состоянию. В чистых Fe — Ni сплавах наилучшим
по магнитным свойствам является сплав с 78,5% Ni G8,5-пермаллой);
у него начальная проницаемость (ха я» 8000 гс/э, максимальная проницае-
проницаемость ц,маКс = ЮО 000 гс/э и коэрцитивная сила Нс = 0,05 э. Недостатком
чистых пермаллоев является низкое значение их удельного электросопро-
электросопротивления р, что ограничивает область их применения только для постоян-
ноточных приборов. Повышения р добиваются легированием пермал-
пермаллоев добавками Мо, Сг, Си и т. п. Среди них особенно выдающимися
•свойствами обладает супермаллой (см. табл. 23.4). Пермаллои широко
Таблица 23.4
Некоторые свойства типичных мягких магнитных материалов
Материал
Fe техническое
Fe чистое
Кремнистое же-
железо
Кремнистое же-
железо (текстуро-
ванное)
45-пермаллой
Гайперник
78-пермаллой
Мо-пермаллой
Сг-пермаллой
Муметалл
Сплав 1040
Супермаллой
Пермендьор
Пермендюр вана-
ванадиевый
Перминвар (ТМО)
Альсифер
Ni — Zn-феррит
Mg—Mn-феррит
Химический состав,
вес.%
0,2 (примеси)
0,05 (примеси)
96Fe; 4Si
96,7Fe; 3,3Si
55Fe; 45Ni
50Fe; 50Ni
21,5Fe; 78,5Ni
17Fe; 79Ni; 4Mo
18Fe;78,2Ni;3,8Cr
17Fe;76Ni;5Cu;2Cr
HFe; 72Ni; 14Cu;
3Mo
16Fe; 79Ni; 5Mo
50Fe; 50Co
49Fe; 49Ni; 2V
34Fe; 43Ni; 23Co
85Fe; lOSi; 5A1
48,5Fe2O3;35,5ZnO;
16ШО
37,8Fe2O3;28,lMgO,
34,lMnO
ца, гс/э
200
25 000
650
1500
2 500
4 000
8 000
20 000
12 000
20 000
40 000
100 000
800
800
2 500
30 000
5 000
4,8
^макс
гс/э
6 000
350 000
7 000
40 000
25 000
100 000
100 000
100 000
62 000
100 000
100 000
1 000 000
5 000
4 500
427 000
120 000
7 560
500
нс, э
0,9
0,01
0,5
ОД
0,3
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,02
0,002
0,2
1,6—
2,0
0,03
0,05
0,05
1,4
гс
21600
21600
19 700
20 000
16 000
16 000
10 800
8 700
8 000
8 000
6 000
7 900
24 600
24 000
15 500
10 000
1965
1900
р- Юв,
ом- см.
10
10
60
47
45
35
16
55
65
62
56
60
7
26
19
60
108
1Q12
0, °С
770
770
690
740
440
500
580
420
420
430
290
400
980
950
715
500
130
130
используются в магнитных усилителях, в слаботочных трансформаторах
и катушках индуктивности в различной аппаратуре техники связи
и автоматики, в трансформаторах тока и т. п.
Перминвары (после длительного отжига при Т ш 450° С с последую-
последующим медленным охлаждением) обладают постоянной (не зависящей
от поля) магнитной проницаемостью в слабых полях и петлей гистерезиса,
стянутой у начала координат. Их магнитная проницаемость возрастает
и петля гистерезиса становится прямоугольной (с отношением BR/Bs ~*-
-н>-41) после охлаждения в присутствии магнитного поля (термомагнитной
- 855 —

В, да
«V.
-6 -4 -2
6
Н,э
-16-
Рис. 23.59. Петли гистерезиса
сплава перминвара. а) После от-
отжига при 1000° С (без магнитного
поля) —«перетянутая» петля; б) по-
после отжига в магнитном поле —
прямоугольная петля с В^/В& ->• 1
(Вильяме и Гертц [856]).
обработки) (см. рис. 23.59). Так например, перминвар состава 34% Fe,
43% Ni, 23% Со имеет такие свойства: Нс = 0,03 э, fxMaKc = 427 000 гс1э
и BRIBS = 0,995. Перминвары используются в радиоэлектронике и тех-
технике связи для изготовления магнитопроводов. Ленточные сердечники
из тонкого листового'перминвара (с толщиной ленты менее 10 ц,), прошедшие
термомагнитную обработку, используются как элементы памяти ЭВМ.
4) Сплавы Fe — Со (с 35—50% Со) с высоким магнитным насыщени-
насыщением — перминдюры. Эти сплавы обладают самым большим значением
намагниченности (индукции) насыщения /s
среди всех мягких магнитных материалов.
Чистые перминдюры очень мало пластичны,
поэтому их используют почти исключитель-
исключительно в магнитных цепях электромагнитов. Не-
Небольшие добавки (порядка 2%) V, Mo, W
и Ti улучшают пластические свойства пер-
миндюра. Эти легированные сплавы исполь-
используются для магнитопроводов электрических
машин и приборов, работающих при высо-
высоких значениях индукции, а также для те-
телефонных мембран.
5) Порошковые магнитно-мягкие материа-
материалы — из карбонильного железа, молибдени-
стого пермаллоя и сплава альсифер E% А1,
10% Si и 85% Fe) с успехом используются
в технике СВЧ (о их свойствах см. табл. 23.4).
6) Полупроводниковые мягкие ферромаг-
ферромагнитные материалы — ферриты — нашли ши.-
рочайшее применение в современной ВЧ и
СВЧ-технике. (О их составах и свойствах
см. табл. 23.4, а также обзор [974].)
7) Магнитно-мягкие материалы со специальными свойствами — к их
числу относятся магнитострикционные материалы (см. обзор [975]), тер-
термомагнитные сплавы и т. п.
Подробные сведения о химическом составе, способах обработки
и свойствах магнитно-мягких материалов можно найти, например, в кни-
книгах Кнеллера A962), Чикацуми A964), Бозорта A956), Вонсовского
и Шура A948), Займовского и Чудновской A957), Поливанова A957),
Рабкина (I960).
В табл. 23.4 в качестве иллюстрации приведены основные характери-
характеристики некоторых важнейших магнитно-мягких материалов.
2. Высококоэрцитивные материалы. Жесткий магнитный материал
для выполнения своего назначения стабильного источника сильного маг-
магнитного поля должен обладать максимально широкой петлей гистерезиса,
т. е. максимальными коэрцитивной силой и остаточной индукцией. Основ-
Основное применение этих материалов — постоянные магниты. Они широко
используются в самых разнообразных областях техники и особенно в при-
приборостроении: в электроизмерительных приборах, репродукторах, зву-
звукозаписи, телефонах, электрических генераторах, магнитных линзах
электронных микроскопов, электронных осциллографах, магнитных ком-
компасах и т. д. Основные магнитные свойства, определяющие качество
постоянного магнита, характеризуются размагничивающим участком пет-
петли гистерезиса (рис. 23.60), описывающим ход индукции в размагничи-
размагничивающем поле от состояния остаточной индукции BR до нулевой (В = 0)
при обратном поле, равном коэрцитивной силе Н — —Йс. Фактически
остаточная индукция формы Ва (так называемая рабочая точка открытой
магнитной цепи) меньше, чем BR; ее величина определяется точкой пере-
пересечения кривой размагничивания с прямой сдвига В = A — AnN'1) H,
тангенс угла наклона которой по отношению к оси В (tg а на рис. 23.60)
— 856 —

равен размагничивающему фактору N/An магнита. При заданном N, оче-
очевидно, тот материал будет наилучшим, который будет иметь не только
наибольшие значения Вя и ВНС, но и наиболее близкую к прямоугольной
форму размагничивающей петли (кри-
(кривая 3 на рис. 23.60).
Качество материала для постоян-
постоянного магнита лучше всего характе-
характеризуется кривой магнитной энергии
В'Н — f (В), вычисляемой для раз-
различных точек размагничивающей кри-
кривой (см. рис. 23.60). Из этих кривых
магнитной энергии видно, что наилуч-
наилучшие условия работы будут достиг-
достигнуты в том случае, если прямая «сдви-
«сдвига» пересечет кривую В (Н) в точке,
которая одновременно соответствует
(ВН)макс.
Магниты служат обычно для соз-
создания поля в воздушном зазоре между
полюсами. При этом надо иметь в ви-
виду, что поле, созданное постоянным
магнитом внутри него самого, направ-
направлено противоположно вектору его
намагниченности и поэтому размаг-
размагничивает его, снижая остаточную
индукцию до Bd величины, определя-
определяемой пересечением размагничивающей
ветви с прямой сдвига. Чем больше за-
зазор, тем сильнее этот эффект размаг-
размагничивания и, следовательно, мень-
меньше индукция магнита. Этот эффект
иллюстрируется рис. 23.61 (см. [982])
для магнитов из сплава альнико5
для разных отношений длины магнита к диаметру его поперечного сече-
сечения lid. Рабочая точка открытой цепи (Bd) уменьшается почти от значения
~ для очень длинного магнита почти до нулевого значения для очень
д игс коротких магнитов. Поэтому выбор маг-
магнита должен быть строго согласован
с его формой. На рис. 23.62 приведены
размагничивающие участки нисходящей
ветви петель гистерезиса некоторых
ВКС; там же приведены кривые энер-
энергии размагничивания BH = f(B). На
рис. 23.63 показаны эквивалентные
объемы постоянных магнитов из пяти
разных ВКС при их работе в точках с
максимальной энергией. Из этого срав-
сравнения видно, как можно уменьшить
габариты аппаратуры за счет уменьше-
уменьшения объема магнитной цепи,используя
ВКС материалы с большим значением
(ВН)Ш&КС. Такое сравнение размеров
постоянных магнитов станет еще рази-
разительнее, если они используются в виде
дисков (т. е. для наименее выгодной
в смысле размагничивания формы).
Если, например, сравнить сплав Со — Pt и кобальтовую сталь, то из-за
высокой коэрцитивной силы сплава Со — Pt диск из этого материала
Рис. 23.60. Типичные кривые «размагничива-
«размагничивания» жестких магнитных материалов (слева
от оси в вдоль отрицательной оси абсцисс
отложены значения магнитного поля Я) ¦ и
кривые магнитной энергии (справа от оси В
вдоль положительной оси абсцисс отложены
значения магнитной энергии ВН). Кривые (J)
относятся к материалу с большой остаточной
индукцией BRn и малой коэрцитивной силой
ВЯ<1>. Кривые B) — к материалам с меньшей
Вп, но большей ВЯ<2). Кривые C) относятся
к материалу с «промежуточными» значениями
Вд" и ВЯ?3> по отношению к материалам (J>
и B), но с более «выгодной» формой кривой
В (Я), что приводит к росту энергии (ВЯ)„.„„
Прямая сдвига о А, идущая под углом а к оси
В, определяет эффект размагничивания в от-
открытой магнитной цепи. Ее пересечение с кри-
кривыми В (Я) дает «рабочие точки» магнита:
В(Д В<,2)и В </>¦
-0,7-0,6 -0,5-0,4 -OJ -0,2-0,1
Н,кэ
Рис. 23.61. К нахождению рабочих точек
(определяемых точками пересечения кривой
В (Я) с прямыми сдвига) магнитов изаль-
нико 5. Прямые соответствуют трем различ-
различным значениям отношения длины магнита
I к диаметру его поперечного сечения d:
l/d = 2; 5; 8, которым отвечают размагни-
размагничивающие факторы JV/4n = 0,143; 0,041;
0,013 (см. табл. 23.2) (Беккер и др. [982]).
- 857 -

диаметром 2 мм и толщиной 0,05 мм производит тот же магнитный эф-
эффект, что и диск из кобальтовой стали диаметром 16 мм и толщиной
. WO 200 О 1 2 3 4 S
Н,э (НВ)-106,гсэ
Рис. 23.62. Кривые "намагничивания В (Я) и магнитной энергии ЯВ = / (Я) неко-
некоторых типичных высококоэрцитивных материалов.
0,4 мм. Таким образом, различие в объемах достигает 550. Отсюда видно,
что улучшение качества высококоэрцитивных материалов в ряде случаев
может резко способствовать прогрессу тех-
техники, когда необходимо создавать миниатюр-
миниатюрные технические устройства, например при
использовании магнитов в радиоэлектронных
устройствах, в космической технике и т. п.
Перед физикой высококоэрцитивных мате-
материалов стоят большие и трудные задачи по
созданию новых материалов с энергией
размагничивания (BH)waKC > Ю7 гс-э и с
Нс > 5000 э, в состав которых не входили бы
дефицитные материалы, подобные Pt *).
Развитие производства ВКС определя-
определялось созданием материалов со все большим
значением коэрцитивной силы. И если первый
материал для постоянных магнитов (из кото-
которых изготовлялись, например, магнитные
компасы) — высокоуглеродистая сталь обла-
обладала весьма скромными магнитными харак-
характеристиками: ВНС = 40 э, BR = 9000 гс и
(ВН)макс, = 0,15-106 гс-э, то один из лучших
современных ВКС — сплав альнико 5—7
имеет BR = 13 000 гс, сплав CoPt имеет
ВНС = 4500 э, сплав Co5Sm — ВНС = 5130 э
и монокристалл сплава альнико 8 имеет
(ВН)макс =13-106 гс-э. Отсюда видно, что
остаточная индукция возросла примерно
в 1,5 раза, а магнитная энергия и коэрци-
коэрцитивная сила — больше чем в 100 раз.
Основной причиной, определяющей
столь высокие значения ВНС, как мы видели
выше, является задержка процессов смеще-
смещения, однодоменное состояние, высокая кристаллографическая магнитная
анизотропия и анизотропия формы (анизотропия размагничивающего
*) В работе [976] указано, что в сплаве Co5Sm получено рекордное значение
(ВН) ~~ '"" '
Рис. 23.63. Размагничивающие
участки петель гистерезиса некото-
некоторых высококоэрцитивных сплавов,
максимальные магнитные энергии
этих сплавов (о), их эквивалентные
•объемы F) при работе в точке
(ВЯ)макс:' A) Кобальтовая сталь,
(ВЯ) = 0,65-10е гс-э', B) ба-
бариевый феррит (текстурованный),
<ВЯ)макс = 3,5-10в гс-э; C) аль-
альнико (текстурованные), (ВЯ)мак0 =
= 8,6-10е гс-э; D) тиконал 20
<текстурованный), (ВЯ)макс =
= 11,0 х 10" гс-э; E) сплав Pt—
Со, (ВЯ) = 11.7-10" гс-э.
'мако
= 20-Ю6 гс-э (см. также [963—965]).
- 858 -

¦фактора). Две последние причины дают следующие оценочные формулы
для коэрцитивной силы (#зыч)аниз и (Щыч)форм:
твычч а&
с ) аниз — /
B3.97)
о
а>
Рис. 23.64. Сравнение рассчитанных значений
коэрцитивных сил Нвыч по формуле B3.97) с мак-
максимальными наблюдаемыми значениями
(a — численный коэффициент порядка от 0,5 до 2, зависящий от струк-
структуры кристалла и формы частиц),
/ТТВЪ1Ч\ Rtt Т /9Q OQ\
\ Cj^/фОрМ P»"'JS) \*-*0.\jo)
где р — тоже численный коэффициент порядка от 0,5 до 1,0. Последняя
формула справедлива, если в частице перемагничивание осуществляется
путем однородного вращения. Для неоднородного вращения имеет место
более сложная формула (см. Штрик-
ман и Тревес [363], Люборский и
Морелок [419]). На рис. 23.64 срав-
сравниваются рассчитанные по формуле
B3.97) и обнаруженные экспери-
экспериментально максимальные значения
коэрцитивной силы (предполага-
(предполагается, что основной причиной высо-
высоких значений последней является
кристаллографическая анизотро-
анизотропия). Хотя точного соответствия
между расчетом и экспериментом
нет, но качественное соответствие
безусловно наблюдается. Имеется
ряд причин, которые приводят
к тому, что наблюдаемые значения
Нс меньше вычисленных по фор-
муле B3.97). Это могут быть раз- различных материалов (в виде ОДнодоменных час-
ЛИЧНЫе неоднородности Материала, тиц). Черные точки соответствуют измеренным и
приводящие К НеКОГеренТНОМу вра- ча^Т^лыГк™^ ^"туГованных
щеНИЮ векторов /„ В ЧаСТИЦаХ. частиц. Прямая линия соответствует точному
Наличие отрицательных вкладов со™нию нТп = *снабл <Б™ и *•• [982]).
в величину от анизотропии другой
природы, флуктуации состава, приводящие к флуктуациям величин -ЙГЭфф
и /з, дефекты кристаллической структуры, вызывающие местные измене-
изменения величины константы анизотропии. Наконец, это может объясняться
различием в структуре или химическом составе вещества мелких частиц
и массивного материала. '
Жесткие магнитные материалы можно условно разбить на семь групп:
1) стали, закаливаемые на мартенсит (углеродистые легированные
стали);
2) диффузно твердеющие жесткие магнитные сплавы (упорядочиваю-
(упорядочивающиеся сплавы со смешанной структурой) на основе тройной системы
Fe — Ni — А1 с добавкой Со, Си, Ti и др. Среди этой группы особо выде-
выделяется подгруппа анизотропных сплавов, подвергающихся термомагнит-
термомагнитной обработке;
3) дисперсионно твердеющие жесткие магнитные сплавы, подвергаю-
подвергающиеся холодной или горячей механической обработке давлением (системы
Fe - Со - Mo, Fe - Ni - Си, Fe - Со - V);
4) прессованные магниты из порошков, металлокерамические и спе-
спеченные сплавы;
5) жесткие магнитные сплавы с участием благородных металлов типа
Со - Pt, Fe - Pt, Ag - Mn - Al, MnBi;
6) высококоэрцитивные ферриты (кобальтовые, бариевые);
- 859

7) высококоэрцитивные сплавы d- и /-металлов (например, Co5Re-
и т. п.).
В табл. 23.5 приведены основные характеристики некоторых важ-
важнейших магнитно-жестких материалов.
Таблица 23.5-
Некоторые свойства типичных высококоэрцитивных материалов
А. Сплавы
Материал
Углеродистая сталь
» »
Вольфрамовая сталь
Хромистая сталь
Кобальтовая сталь
Альни
Альнико 2
Магнико
Альнико 5
Тиконал 20
Кунифе 1
Кунико 2
Викаллой 2
Железо — платина
» »
Кобальт—платина
Платинакс 2
MnBi
S111C05
Химический состав, вес.%
(остальное Fe)
0,65С; 0,85Мп и др.
1.00С; 0,50Мп и др.
0,7С; 6W; 0,ЗСг; 0,ЗМп и др.
0,9С; 3,5Сг; 0,4Мп и др.
35Со; 0,9С; 5 —6W; 6 —ЗСг
12А1; 25Ш
12А1; 18Ni; 13Co; 6Cu
8А1; 13,5Ni; 24Co; ЗСи
8А1; 14Ni; 24Co; ЗСи; 0,3Ti
7А1; 15Ni; 34Co; ЗСи; 5Ti
20Ni; бОСи
24Ni; 41Co; 35Cu
52Со; 13V
77,8Pt
40 Pt
23,ЗСо; 76,7Pt
50Со; 50Pt
—
—
BR, гс
10 000
9 500
10 500
9 800
10 000
7 000
7 300
13 300
12 700
11800
5 400
5 300
10 400
5 830
6 000
4 500
6 400
4 300
5 780
ВНс>
9
42
51
65
70
250
500
560
580
650
1315
550
450
570
1570
1900
2700
4800
3400
5130
<вя>максХ
ХЮ<5, гс-э
0,18
0,20
0,30
0,285
1,0
1,40
1,70
4,50
5,50
11,0
1,5
1,0
4,2
3,07
3,3
4,0
9,2
4,3
20,0
Б. Ферриты и прессованные
Материал
Кобальтовый фер-
феррит
Бариевый феррит
(изотропный)
Стронциевый
феррит тексту-
рованный
Порошок железа
Порошок желе-
железо— кобальт
Химический состав
CoFe2O4
BaO-6Fe2O3
SrO-6Fe2O3
Fe
70Fe; ЗОСо
порошки
BR, гс
4 000
2 200
4 000
5 700
10 800
ВНс
Э
500
1850
2 200
770
980
<вя>максХ
ХЮ6, гс- э
0,95
1,00
3,70
1,60
6,50
Более подробно с изготовлением, свойствами и применениями мягких
и жестких магнитных материалов читатель может познакомиться в спе-
специальных монографиях и обзорах *).
*) Беккер и Дёринг A939), Вонсовский и Шур A948), Займовский и Чудновская
A957), Бозорт A956), Лившиц A946), Поливанов A957), Вольфарт [848], Ситадзе
и Сато A964), Рабкин A960), Рейнбот [977] и [847, 978—986].
- 860 —

В современной технике используются самые разнообразные магнит-
магнитные материалы с различными физическими свойствами. Это вполне естест-
естественно, так как весьма разнообразны и задачи, которые решаются в тех-
технике с помощью магнитных материалов. В качестве иллюстрации этого
разнообразия можно, во-первых, указать на то, что диапазон коэрци-
коэрцитивных сил в уже используемых техникой магнитных материалах распро-
распространяется от 10~3 до 104 э, а максимальных проницаемостей — от 1 до
5-Ю6 гс/э. Вторым ярким примером может служить сравнение миниатюр-
миниатюрных магнитных узлов ЭВМ и гигантского магнитопровода ускорителя
элементарных частиц на энергии в 1000 Мэв.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 23
1. P. W e i s s, J. phys. rad. 6, 661 A907).
2. P. W e i s s, J. phys. rad. 3, 194 A904); 4, 469, 829 A905); Arch. Sci. Phys. Nat.
19, 213, 937 A905).
3. К. В е k, Zurich Natur-Forsch. Ges. 63, 116 A918).
4. W.L.Webster, Proc. Roy. Soc. A107, 496 A925); A109, 250, 570 A925).
5. K. Honda, S. К а у a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 15, 721 A926).
6. K. Honda, Y. M a s i у a m a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 15, 755 A926).
7. W. Gerlach, Zs. Phys. 38, 828 A926); 39, 327 A926); 64, 502 A930).
8. W. Sucksmith, H. H. Potter, Nature 118, 730 A926).
9. W. Sucksmith, H. H. Potter, L. Broadway, Proc. Roy. Soc. A117,
471 A928).
10. S. К а у a, Sci. Rep. Tohoku. Univ. 17, 639 A928).
11. S. К а у a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 17, 1157 A928).
12. Н.С.Акулов, Zs. Phys. 52, 389 A928).
13. H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 54, 582 A929).
14. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 59, 254 A930).
15. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 67, 794 A931).
16. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 69, 278, 822 A931).
17. G. M a h a j a n i, Trans. Roy. Soc. A228, 63 A929).
18. R. Becker, Zs. Phys. 62, 253 A930).
19. W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 69, 287 A931).
20. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 A935).
21. К. J. S i x t u s, L. Т о n k s, Phys. Rev. 37, 930 A931).
22. K. J. S i x t u s, L. T о n k s, Phys. Rev. 42, 419 A932).
23. K. J. S i x t u s, Phys. Rev. 44, 46 A933).
24. Ch. К i t t e 1, Rev. Mod. Phys. 21, 541 A949) (перевод см. сб. [618]).
25. Ch. К i t t e 1, J. Gait, Solid State Phys., vol. 3, N.Y. 1956, p. 437 (перевод
части статьи см. сб. [618а]).
26. W. Heisenberg, Zs. Phys. 49, 619 A928).
27. Е. М. Л и ф ш и ц, J. Phys. USSR 8, 337 A944).
28. Е. М. Л и фш и ц, ЖЭТФ 15, 97 A945).
29. С. Н е г г i n g, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 81, 869 A951).
30. J. H. V a n V 1 e с k, Rev. Mod. Phys. 17, 27 A945).
31. J. H. Van Vleck, Ann. de Inst. H. Poincare 10, 57 A947).
32. P. W e i s s, Phys. Rev. 74, 1493 A948).
33. H. A. Brown, J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 100, 685 A955).
34. С M 6 1 1 e r, Zs. Phys. 82, 559 A933).
35. M. F a 1 1 о t, Ann. de phys. 6, 305 A936).
36. M. S e a v e y, P. E. T a n n e n w a 1 d, J. Appl. Phys. 30, 227S A959).
37. R. К i m u r a, H. Nose, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 604 A962).
38. Z. F r a i t, M. О n d r i s, Phys. stat. sol. 2, 185 A962).
39. P. E. Tannenwald, R. Weber, Phys. Rev. 121, 715 A961).
40. Z. F r a i t, Phys. stat. sol. 2, 1417 A962).
41. W. D or ing, Hand. d. Phys., B. XVIII/2, Springer-Verlag, Berlin, 1966,
p. 341.
42. S. Methfessel, S. Middelhoek, H. Thomas, J. Phys. Soc. Japan
17, B-l, 607 A962).
43. J. Kaczer, R. Gemperle, M. Zeleny, J.Paces, P. Suda, Z. Fra-
i t, M. О n d r i s, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 530 A962).
44. А. С. В и г л и н, ФТТ 2, 331 A960).
45. Е. А. Т у р о в, А. И. М и ц е к, ЖЭТФ 37, 1127 A959).
46. R. G a n s, Ann. der Phys. 15, 28 A932); Phys. Zs. 33, 929 A932).
47. R. Gans, E. С z e r 1 i n s k y, Ann. der Phys. 16, 625 A933).
48. R. К i m u г а, К. О h n o, Sci. Rep. Tohoku Univ. 23, 359 A934).
49. R. M. В о z о r t h, W. P. Mason, H. J. Me S k i m i n, J. G. W a 1 n e r,
Phys. Rev. 75, 1954 A949).
— 861 —

50. Е. А. Т у р о в, л. И. М и ц е к, ЖЭТФ 38, 1847 A960).
51. F. В 1 о с h, G. G e n t i I e, Zs. Phys. 70, 395 A931).
52. С. В. Вонсовскии, ЖЭТФ 8, 1104 A938).
53. J.H.Van V 1 е с k, Phys. Rev. 52, 1178 A937).
54. W. F. V a n P e у р е, Physica 5, 465 A938).
55. H. Brooks, Phys. Rev. 58, 909 A940).
56. W. J. С arr, Phys. Rev. 108, 1158 A957); 109, 1971 A958).
57. J. R. Tessman, Phys. Rev. 96, 1192 A954).
58. H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 100, 197 A936).
59. С. Z e n e r, Phys. Rev. 96, 1335 A954).
60. С. В. Т я б л и к о в, ЖЭТФ 20, 661 A950).
61. С. В. Т я б л и к о в, А. А. Г у с е в, ФММ 2, 385 A956).
62. L. Р а 1, Acta Phys. Ac. Hung. Sci. 3, 287 A954).
63. F. К e f f e r, Phys. Rev. 100, 1692 A955).
64. Т. К a s u у a, J. Phys. Soc. Japan 11, 944 A956).
65. R. Brenner, Phys. Rev. 107, 1539 A957); Zs. angew. Phys. 12, 107 A960); Zs.
Naturforsch. 17a, 150 A962).
66. F. К e f f e г, Т. О g u с h i, Phys. Rev. 117, 718 A960).
67. H. А. П о т а п к о в, ДАН СССР 118, 269 A958).
68. E. R. С а 1 1 e n, J. Appl. Phys. 31, 149S A960).
69. P. t e r H a a r, M. E. L i n e s, Phil. Trans. Roy Soc. A254, № 1046, 1 A962).
70. В. Р ы б а р с к а, ДАН СССР 166, 333 A966).
71. J.H. V a n V 1 e с к, J. phys. rad. 20, 124 A959).
72. J. Kanamori, Сб. «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. I, Acad. Press,.
N.Y.1963, p. 127.
73. С. В. Вонсовскии, ЖЭТФ 10, 762A940); СВ. Вонсовскии,
К. Б. В л а с о в, Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 29, 37 A955).
74. К. Yosida, J. Appl. Phys. 39, 511 A968).
75. W. P. W о If, Phys. Rev. 108, 1152 A957).
76. P. J. W о j t о w i с z, J. Appl. Phys. 33, 1121S A962).
77. K. Adachi, J. Phys. Soc. Japan 16, 2187 A961); J. phys. rad. 24, 72S
A963).
78. K. A d а с h i, K. S a t o, J. Appl. Phys. 39, 1343 A968).
79. Ch. К i t t el, J. H. V an V 1 e с k, Phys. Rev. 118, 1231 A960).
80. H. В. С a 1 1 e n, E. R. С a 1 1 e n, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1271 A966).
81. С. А. П и к и н, ФТТ 10, 1735 A968).
82. W. J. С а г г, J. Appl. Phys. 29, 436 A958); 31, 69 A960).
83. Е. R. С а 1 1 е п, Н. В. С а 1 1 е n, J. Phys. Chem. Sol. 16, 310 A960).
84. Н. В. С а 1 1 е n, E. R. С а 1 1 е n, Phys. Rev. 129, 578 A963); 132, 99 A963).
85. S. Н. С h a r a p, J. Phys. Chem. Sol. 20, 315 A961).
86. А. И. Дрокин, Л. И. Слободской, ЖЭТФ 51, 1023 A966).
87. Н. Р. К 1 е i п, Е. К п е 1 1 е г, Phys. Rev. 144, 372 A966).
88. И. М. П у з е й, В. И. Г о м а н ь к о в, ФММ 23, 636 A967).
89. А. И. Б е л я е в а, В. Н. П а в л о в, А. В. А н т о н о в, ФТТ 10, 683 A968).
90. Б. Е. Рубинштейн, ФТТ 10, 1715 A968).
91. R. R. В i r s s, P. M. W а 1 1 i s, J. Appl. Phys. 39, 1347 A968).
92. H. Gengnagel, U. Hofmann, Phys. stat. sol. 29, 91 A968).
93. А. И. М и ц е к, ФТТ 5, 1800 A963).
94. С. D. G r a h a m, Jr., J. Appl. Phys. 31, 150S A960).
95. H. Sato, B. S. С h a n d r a s e k h a r, J. Phys. Chem. Sol. 1, 228 A957).
96. D. S. R о d b e 1 1, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 313S A962).
97. D. S. R о d b e 1 1, J. Appl. Phys. 33, 1126 A962); Physics 1, 279 A965).
98. R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. 96, 311 A954).
99. С D. G r a h a m, Jr., J. Appl. Phys. 34, 1341S A963).
100. J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. Appl. Phys. 33, 1191S A962).
101. H. J. Williams, R. С Sherwood, O. L. В о о t h b y, J. Appl. Phys..
28, S445 A957).
102. R. M. Bozorth, E. F. T i 1 d e n, H. J. Williams, PJiys. Rev. 99, 1788-
A955).
103. J. K. G a 1 t, W. A. Y a ge r, J. P. R e m e i k a, F. R. M e r r i t, Phys. Rev.,
81, 470 A951).
104. W. A. Y a g e r, J. K. G a 1 t, F. R. M e r r i t, E. A. W о о d, Phys. Rev. 79, 391
A950).
105. Т. О k a m u r a, Y. К о j i m a, Phys. Rev. 86, 1040 A952).
106. G. T. R a d o, V. J. F о 1 e n, W. H. Emerson, Proc. IEE, № 2188S A956)..
107. Л. В. Киренский, ЖЭТФ 7, 879 A937).
108. R.M.Bozorth, J. Appl. Phys. 8, 575 A937).
109. E. Ф. Т и т о в, Phys. Zs. Ud. SSR 10, 337 A936).
НО. С D. G r a h a m, Jr., Phys. Rev. 112, 1117 A958).
111. С D. Graham, Jr., J. Appl. Phys. 30, 317, 391 A959); Сб. «Магнитные свойства
металлов и сплавов» (перевод с англ., ред. С. В. Вонсовскии), ИЛ, М., 1961.
112, Н. А. Б р ю х а т о в, Л. В. Киренский, ЖЭТФ 8, 198 A938).
— 862 —

113. H. J. Williams, R. M. Bozorth, Phys. Rev. 56, 837 A939).
114. К. Н. Reich, Phys. Rev. 101, 1647 A956).
115. И. М. П у з е й, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1088 A957).
116. К. Honda, H. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. 20, 323 A931).
117. W. Sucksmith, J. E. Thompson, Proc. Roy. Soc. A225, 362 A954)-
118. L. P. T a r a s о v, Phys. Rev. 56, 1245 A939).
119. R. С Hall, J. Appl. Phys. 30, 816 A959); 31, 157S A960).
120. S. Ar ais, H. Chessin, D. S. M il ler, J. Appl. Phys. 32, 857 A961).
121. Л. А. Ш у б и н а, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 527 A947); ДАН СССР 57, 45S
A947).
122. А. С. Займовский, Качественная сталь, № 6, 35 A935).
123. О. Н. Альтгаузен, ЖЭТФ 8, 1014 A938).
124. Н. С. А к у л о в, И. М. П у з е й, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 533 A947).
125. Л. В. Киренский, ДАН СССР 64, 53, 191 A949); 74, 209 A950).
126. И. М. П у з е й, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 317S A962); ЖТФ 19, 653 A949).
127. И. М. П у з е й, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 549 A952); 21, 1094 A957);
ФММ 9, 279 A960); 11, 525, 686; 12, 453 A961); 15, 29; 16, 179 A963); Изв. АН
СССР, сер. физ. 27, 1469 A963).
128. J. J. Becker, E. M. S у m e s, J. Appl. Phys. 36, 1000 A965).
129. A. Blanchard, V. Turavan, Compt. rend. 261, 2852 A965).
130. К. А о g a g i, Japan J. Appl. Phys. 4, 551 A965).
131. Y. T a w a r a, J. Phys. Soc. Japan 21, 237 A966).
132. А. Д. С к о к о в, ФММ 24, 240 A967).
133. К. А. В 1 о т, О. В е с k m a n, M. Richardson, Sol. State Comm. 5, 977
A967).
134. U. Hofmann, Zs. angew, Phys. 22, 106 A967).
135. А. Д. Скоков, Г. В. П ш е ч е н к о в а, ФММ 26, 560 A968).
136. G.Aubert, J. Appl. Phys. 39, 504 A968).
137. О. V о g t, В. R. С о о p e r, J. Appl. Phys. 39, 1202 A968).
138. Ch. Guillaud, Diss. Strassburg A943); Ann. de phys. 4, 671 A949).
139. P.Novak, Czech. J. Phys. 16, 723 A966).
140. T. I i z u k a, Sh. I i d a, J. Phys. Soc. Japan 21, 222 A966).
141. G. E 1 b i n g e r, Phys. stat. sol. 21, 303 A967).
142. J. A. White, Proc. Phys. Soc. 90, 1095 A967).
143. H. Л. Б р ю x а т о в, Н. Л. П а х о м о в а, В. А. Козлов, ФТТ 10, 1878.
A968).
144. Ю. А. М а м а л у й, Ю. А. Н и к о л е н к о, ФММ 25, 449 A968).
145. Т. Tsushima, Y. Kino, S. Funahashi, J. Appl. Phys. 39, 626 A968)..
146. G. A. Sawatsky, F. van der Wonde, A. H. Morris h, J. Appl. Phys.
39, 1204 A968).
147. R. F. Pearson, A. D. A n n i s, J. Appl. Phys. 39, 1338 A968).
148. R.E.Michel.F.W. Chapman, R. P. Poplawsky.J. Appl. Phys. 39,
1603 A968).
149. P. H. В 1 у, W. D. С о r n e r, K. N. T а у 1 о r, M. I. D a r 1 y, J. Appl. Phys.
39, 1336 A968). F
150. N. M i у a t a, B. E. A r g у 1 e, Phys. Rev. 157, 448 A967).
151. M. С Franzblau, G. E. Everett, A. W. Lawson, Phys. Rev. 164,
716 A967).
152. R.F.Brown,A,W. Lawson, G.E.Everett, Phys. Rev. 172, 559 A968).
153. L. Holms, M. S с h i e b e r, J. Appl. Phys. 39, 1200 A968).
154. G. P. R о d r i g u e, H. M e у e r, R. V. J о n e s, J. Appl. Phys. 31, 376S A960).
155. P. Rohdes, G. Rowlands, Proc. Leeds Phil. Lit. Soc. 6, 191 A954).
156. W. F. Brown, Jr., Magnetostatic Principles in Ferromagnetism, North-Holland
Publ. Сотр., Amsterdam, 1963.
157. E. С S t о n e r, Phil. Mag. 36, 803 A945).
158. E. С S t о n e r, E. P. W о h If a r t h, Phil. Trans. Roy. Soc. A240, 599 A948).
159. W. F. Brown, Jr., A. H. M о г г i s h, Phys. Rev. 105, 1198 A957).
160. F. E. L u b о r s k y, J. Appl. Phys. 32, 171S A961).
161. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 70, 965 A946).
162. L.Neel, J. phys. rad. 5, 241 A944).
163. L. Neel, J. phys. rad. 5, 265 A944).
164. J. Kaczer, R. Gemperle, Czech. J. Phys. Bll, 510A961).
165. W. S h о с k 1 e y, Phys. Rev. 73, 1246 A948).
166. L. Neel, Compt. rend. 237, 1468 A953).
167. L. Neel, Compt. rend. 237, 1613 A953).
168. L. N ё e 1, Compt. rend. 238, 305 A954).
169. L. Neel, J. phys. rad. 15, 225 A954).
170. S. T a n i g u с h i, Y. Yamamoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. A6, 330
A954).
171. S. T a n i g u с h i, Sci. Rep. Tohoku Univ. A7, 269 A955).
172. S. Taniguchi, Sci. Rep. Tohoku Univ. A8, 173 A956).
173. S. С h i k a z u m i, Т. О о m u r a, J. Phys. Soc. Japan 10, 842 A955).
- 863 -

174. J. С. S 1 о n с г е w s к i, Сб. «Magnetism» (ed. G. Т. Rado, H. Suhl), vol. Ill,
Acad. Press, N. Y., 1963, p. 205.
175. Я. С. Ш у p, А. А. Г л а з е р, ФММ 5, 355 A957).
176. А. А. Г л а з e p, Я. С. Ш у p, ФММ 6, 52 A958).
177. В. А. 3 а й к о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 23, 642 A967).
178. И. Е. С т а р ц е в а, Я. С. Ш у р, ФММ 23, 849 A967).
179. D. A. Oliver, J. W. S h e d d e n, Nature 142, 209 A938).
180. L. N ё е 1, Compt. rend. 225, 109 A947).
181. Л. А. Шубин а, Я. С. Ш у р, ЖТФ 19, 88 A949).
182. Ch. К i t t e 1, E. A. N e s b i t t, W. Shockley, Phys. Rev. 77, 839 A950).
183. H. Fahlenbrach, Naturwiss. 42, 64 A955).
184. H. J. Z i j 1 s t r a, Zs. angew. Phys. 14, 251 A962).
185. А. С. Е р м о л е н к о, Я. С. Ш у р, ФММ 14, 348 A962).
186. А. С. Е р м о л е н к о, Э. Н. М е л к и ш е в а, Я. С. Ш у р, ФММ 18, 540 A964).
187. Т. N i s h i n a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 28, 225 A939).
188. Я. С. Ш у p, A. C. X ox л OB, ЖЭТФ 10, 1113 A940); 16, 1011 A946).
189. Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 570 A947).
190. Я. С. Ш у р, Ф. Н. Д у н а е в, ДАН СССР 72, 293 A950); Изв. АН СССР, сер.
физ. 16, 640 A952); Труды Ин-та физики металлов АН СССР, вып. 15, 29 A954).
191. Я. С. Ш у р, М. Г. Л у ж и н с к а я, Л. А. Ш у б и н а, ФММ 4, 60 A957).
192. М. Г. Л у ж и н с к а я, Я. С. Ш у р, ФММ 4, 239 A957).
193. М. Г. Л у ж и н с к а я, Я. С. Ш у р, Н. Н. Я г о в к и н а, ФММ 8, 531 A959).
194. W. Six, J. L. S n о е k, W. G. Burgers, Ingenieur 49, E195 A934).
195. H. W. С о n r a d t, O. D a h 1, K. I. S i x t u s, Zs. Metallkde 32, 231 A940).
196. G. W. R a t h e n a u, J. L. S n о е k, Physica 8, 555 A941).
197. S. Chikazumi, J. Appl. Phys. 29, 346 A958); 31, 158S A960).
198. S. Chikazumi, K. Suzuki, Phys. Rev. 98, ИЗО A955).
199. S. Chikazumi, K. Suzuki, H. Iwata, J. Phys. Soc. Japan 12, 1259
A957); 15, 250 A960).
^00. H. J. В u n g e, H. G. M ii 1 1 e r, Wiss. Z. Hochsliule Vert. Dresden 5, 327 A957).
201. H. J. В u n g e, Zs. Metallkde 49, 40 A958).
202. T..Mitui, J. Phys. Soc. Japan 15, 929 A960).
203. T. M i t u i, M. S a t 6, T. S a m b о n g i, J. Phys. Soc. Japan 17, 639 A962).
204. N. Tamagawa, Y. Nakagawa, S. Chikazumi, J. Phys. Soc. Japan
17, 1256 A962).
205. R. D. E n о с h, Brit. J. Appl. Phys. 16, 1519 A965).
206. T. M i t u i, M. S a t'6, J. Phys. Soc. Japan 18, 740 A963).
207. A. R. v о n N e i d a, G. Y. С h i n, A. T. E n g 1 i s h, J. Appl. Phys. 38, 997
A967); 39, 610 A968).
208. W. H. M e i k e 1 e j о h n, С. Р. Bean, Phys. Rev. 102, 1413 A956).
209. W. H. M e i k e 1 e j о h n, С. Р. Bean, Phys. Rev. 105, 904 A957).
210. W.H.Meikelejohn, J. Appl. Phys. 29, 454S A958).
211. W. H. M e i k e 1 e j о h n, J. Appl. Phys. 32, 274S A961).
212. I. S. Jacobs, С P. Bean, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl),
vol. Ill, Acad. Press, N. Y., 1963, p. 271; Phys. Rev. 100, 1060 A955).
213. W. H. M e i k e 1 e j о h n, J. Appl. Phys. 33, 1328S A962).
214. J.S. Kouvel, J. Phys. Chem. Sol. 24, 795 A963).
215. К. Б. В л а с о в, А. И. М и ц е к, ФММ 14, 487, 998 A962).
216. К. Б.Власов, Н.В.Волкенштейн, С.В.Вонсовский, А. И. М и -
цек, М. И. Турчинская, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 423 A964).
217. А. И. М и ц е к, В. К. 3 в е з д и н, ФТТ 7, 1057 A965).
218. J. S. К о u v е 1, С. D. G r a h a m, J. Appl. Phys. 28, 340 A957); 30, 312S A959);
J. Phys. Chem. Sol. 11, 220 A959).
219. H. В. В олкенштейн, М. И. Турчинская, Изв. АН СССР, сер. физ.
27, 1505 A963).
220. Н. В. Волкенштейн, Э. В. Галошина, М. И. Турчинская,
Г. В. Федоров, Ю. Н. Циовкин, Укр. физ. журн. 8, 306 A963).
221. М. И. Турчинская, С. Л. Фридман, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 994
A966).
221а.А. С. Ермоленко, М. И. Турчинская, ФММ 21, 305 A966).
222. J. S. К о u v e I, J. Appl. Phys. 30, 313S A959); 31, 142S A960); J. Phys. Chem.
Sol. 21, 57 A961).
222a.J. S. К о u v e 1, С D. G r a h a m, I. S. J а с о b s, J. phys. rad. 20, 198 A959).
223. Б. В. Знаменский, И. Г. Факидов, ФММ 21 281 A966).
224. R. H. Pry, J. S. К ou v e 1, E. M iks eh, J. Appl. Phys. 31, 162S A960).
225. J.S. Kouvel, J. Phys. Chem. Sol. 16, 107 A960).
226. J.S. Kouvel, J. Phys. Chem. Sol. 16, 152 A960).
227. I. S. J а с о b s, J. S. К о u v e 1, Phys. Rev. 122, 412 A961).
228. С W. В e r g h о u t, J. Phys. Chem. Sol. 24, 507 A963).
229. L. W. Roth, F. E. L u b о r s k y, J. Appl. Phys. 35, 966 A964).
230. S. К. В a n e r j e e, W. O' R e 1 1 y, Phys. Lett. 15, 25 A965).
231. T. Iizuka, Sh. lid a, J. Phys. Soc. Japan 21, 810 A966).
- 864 -

232. H. S e n n о, Y. T a w a r a, Japan J. Appl. Phys. 6, 509 A967).
233. J.S. Kouvel, J. Appl. Phys. 36, 980 A965).
234. A. E. Berkowitz, J. H. Greiner, J. Appl. Phys. 36, 3330 A965).
235. А. А. Г л а з e p, А. П. Потапов, Р. И. Т а г и р о в, Л. Д. У р я ш е в а,
Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 31, 735 A967).
236. W. D. D о у 1 е, J. E. R u d i s i 1 1, S. S h t r i к m a n, J. Appl. Phys. 33, 1162S
A962).
237. 0. Massenet, R. Montmory, Compt. rend. 258, 1752 A964).
238. А. А. Г л а з е р, А. П. П о т а п о в, Р. И. Т а г и р о в, Изв. АН СССР, сер. физ.
30, 1059 A966).
239. А. А. Г л а з е р, А. П. П о т а п о в, Р. И. Т а г и р о в, Я. С. Ш у р, ФТТ 8,
3022 A966). Phys. stat. sol. 16, 745 A966).
240. R. W. Sharp, P. С Archibald, J. Appl. Phys. 37, 1462 A966).
241. J. H. Greiner, J. Appl. Phys. 37, 1474 A966).
242. А. А. Г л а з е р, Р. И. Т а г и р о в, А. П. П о т а п о в, Я. С. Ш у р, ФММ 26,
289 A968).
243. N. Sakamoto, J. Phys. Soc. Japan 17, 99 A962).
244. R. F. S о о h о о, J. Appl. Phys. 35, 927 A964).
245. J. С Met thews, N. Morton, Proc. Phys. Soc. 85, 343 A965).
246. D. Paccar d, С Schlenker, O. Massenet, R. Montmory, A. Ye-
1 о n, Phys. stat. sol. 16, 307 A966).
247. F. B. H a g e d о r n, J. Appl. Phys. 38, 3641 A967).
248. С Schlenker, D. Paccar d, J. de phys. 28, 611 A967).
249. Y. N а к a m u г a, N. M i у a t a, J. Phys. Soc. Japan 23, 223 A967).
250. P. W. Bellarby, J. Crangle, J. Appl. Phys. 39, 463 A968).
251. С Schlenker, Phys. stat. sol. 20, 507 A968).
252. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 1295 A958).
253. R. F. Soohoo, J. Appl. Phys. 32, 148S A961).
254. R. F. S о о h о о, Phys. Rev. 131, 594 A963); J. Appl. Phys. 34, 1149 A963).
255. Б. Н. Филиппов, ФММ 21, 809 A966).
256. Я. Г. Д о р ф м а н, Nature, 119, 353 A927).
257. Я. И. Френкель, Я. Г. Д о р ф м а н, Nature, 126, 274 A930).
258. F. В 1 о с h, Zs. Phys. 74, 295 A932).
259. М. Я. Ш и р о б о к о в, ДАН СССР 24, 426 A939); ЖЭТФ 15, 57 A945); 16, 61
A946).
260. И. А. П р и в о р о ц к и й, ЖЭТФ 56, 2129 A969).
261. Л. П. X о л о д е н к о, ЖЭТФ 17, 698 A947).
262. W. D о г i n g, Zs. Naturforsch. За, 373 A948).
263. R. Gemperle, M. Z e 1 e n у, Phys. stat. sol. 6, 839 A964).
264. А. И. М и ц е к, ФТТ 7, 1979 A965); ФММ 20, 653 A965); Изв. АН СССР, сер. физ.
30, 947 A966).
265. L. N ё е 1, Cahiers phys. № 25, 1 A944).
266. С. В. Вонсовский, УФН 26, 64 A944).
267. В. A. Lilley, Phil. Mag. 41, 792 A950).
268. Н. Kronmuller, «Modern Probleme der Metallphysik», Bd. 2, Chemische
Bindung in Kristallen und Ferromagnetismus, Springer-Verlag, Berlin, 1966, p. 24.
269. Ю. П. И p x и н, В. В. Дружинин, А. А. Казаков, ЖЭТФ 54, 1183
A968).
270. P. M. Levy, Phys. Rev. 147, 320 A966).
271. B. R. С о о р е г, Phys. Lett. 22, 244 A966).
272. W. D. Corner, W. С Roe, K. N. R. Taylor, Proc. Phys. Soc. 80, 927
A962).
273. К. П. Б е л о в, 10. В. Е р г и н, Р. 3. Л е в и т и н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ
47, 2080 A964).
274. К. П. Б е л о в, Ю. В. Е р г и н, ЖЭТФ 50, 560 A966).
275. C.D.Graham, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1375 A967).
276. J. J. Rhyne A. E. Clark, J. Appl. Phys. 38, 1379 A967).
277. R. M. В о z о r t h, R. J. G a m b i n о, А. Е. Clark, J. Appl. Phys. 39, 883
A968).
278. M. S с h i e b e r, S. F о n e r, R. D о с 1 о, E. J. M с N i f f, Jr., J. Appl. Phys.
39, 885 A968).
279. J. J. R h у n e, S. F о n e r, E..J. Me N i f f, Jr., J. Appl. Phys. 39, 892 A968).
280. R. Lemaire, D. Paccar d, R. Pauthenet, J.Schweizer, J. Appl.
Phys. 39, 1092 A968).
281. G. Busch, P. Schwob, O. V о g t, Phys. Lett. 23, 636 A966).
282. G. H о f f e r, K. S t.r a n a t, J. Appl. Phys. 38, 1377 A967).
283. H. К a t s u r a k i, S. Y о s h i i, J. Phys. Soc. Japan 24, 1171 A968).
284. L. N e e 1, Compt. rend. 241, 533 A955).
285. J. К a z e r, Czech. J. Phys. 7, 557 A957).
286. H. Stephani, Wiss. Zs. Schiller Univ. Jena 7, 373 A957/1958).
287. H. D. D i e t z e, H. T h о m a s, Zs. Phys. 163, 523 A961).
288. H.Williams, R.Sherwood, J. Appl. Phys. 28, 548 A957) (см. [618a]).
289. Y. Gardo, Z. F. Unatogawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 112 6 (I960).
55 С. В. Вонсовский — 865 —

290. S. Middelhoek, Thesis, Univ. Amsterdam, 1961.
291. R. M. M о о n, J. Appl. Phys. 30, 82S A959).
292. E. E. H u b e r, D. 0. S m i t h, J. B. G о о d e n о u g h, J. Appl. Phys. 29 294
A958).
293. S. Methfessel, S. Middelhoek, H. Thomas, IBM J. Res Develop
4, 96 A960); J. Appl. Phys. 31, 302S A960).
294. С Herring, Phys. Rev. 85, 1003 A952); 87, 60 A952).
295. Т. О guchi, Prog. Theor. Phys. 9, 7 A953).
296. M. W. M u 1 1 e r, S. D a w s о n, J. Math. Phys. 3, 800 A962).
297. W. Z i § t e k, Acta phys. Polon. 21, 175 A962); 22, 37, 127 A962); 25, 117 A964V
Bull. Acad. Polon. (Phys.) 11, 27, 187 A963); 10, 451 A962); Post^py fiz. 14 407
A963).
298. J. F. J anak, Phys. Rev. 134, A411 A964); Appl. Phys. Lett. 9, 225 A966)- J
Appl. Phys. 38, 1789 A967).
299. A. Pawlikowski, Acta phys. Polon. 27, 545 A965).
300. H. W e i k, P. M. H e m e n g e r, Phys. Lett. 13, 210 A964).
301. E. T о г о к, A. L. Olson, H. N. О r e d s о n, J. Appl. Phys. 36, 1394 A965)
302. A. L. О 1 s о n, H. N. О r e d s о n, E. J. T о г о к, J. Appl. Phys. 38, 1349 A967)"
303. R. Kirchner, W. Doring, J. Appl. Phys. 39, 855 A968).
304. J. Kaczer, J. Appl. Phys. 29, 569 A958).
305. R. E. В e h r i n g e r, J. Appl. Phys. 29, 1380 A958).
306. H. Rubinstein, R. J. Spain, J. Appl. Phys. 31, 306S A960).
307. M. P r u t t о n, Phil. Mag. 5, 625 A960).
308. Y. G о m i, Y. О d a n i, J. Phys. Soc. Japan, 15, 535 A960).
309. Y. Gondo, Z. Funatogawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 1126 A960).
310. S. Middelhoek, IBNJ 6, 140 A962); 10, 351 A966); J. Appl. Phys 37, 1276.
A966).
311. J. B. Puchalska, R. J. Spain, Compt. rend. 254, 2937 A962).
312. M. Prut ton, K. D. Leaver, Phys. Lett. 6, 15 A963).
313. E. Feldtkeller, E. F u с h s, Zs. angew. Phys. 18, 1 A964).
314. В. А. Бурав и хин, В. И. Попов, ДАН СССР 164, 1028 A965).
315. W.F. Brown, Jr., A. E. L а В о n t e, J. Appl. Phys. 36, 1380 A965).
316. L. R e i m e r, Zs. angew. Phys. 18, 373 A965).
317. А. Г. Ш и ш к о в, В. А. Б у р а в и х и н, В. Г. К а з а к о в, ФММ 22, 361 A966).
318. J. С. Sloczewski, J. Appl. Phys. 37, 1268 A966).
319. R. P. Hunt, A. A. J aecklin, J. Appl. Phys. 37, 1272 A966).
320. A. Aharon i, J. Appl. Phys. 37, 3271 A966).
321. P. В. Т е л е с н и н, Е. Н. Ильичева, Н. Г. К а н а в и н а, А. Г. Шиш-
Шишков, Phys. stat. sol. 14, 363 A966).
322. F. Biragnet, J.Devenyi et al., Phys. stat. sol. 16, 569 A966).
323. S. M i d d e 1 h о e k, D. W i 1 d, Nature 211, 1169 A966).
324. J. С Slonczewski, IBM J. Res. Developm. 10, 377 A967).
325. N. P i s u t о v a, Zs. angew. Phys. 24, 86 A967).
326. Г. М. Родичев, П. Д. Ким, Л. А. Богатырева, ФММ 25, 240, 767
A968).
327. L. Dobrosaklevic, Compt. rend. 266, В-42 A968).
328. С. Р. В е а п, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1183 A957).
329. C.D.Graham, Jr., J. Appl. Phys. 29, 1451 A958).
330. J. Kaczer, Чехосл. физ. журн. 8, 278 A958).
331. Л. В. К и р е н с к и й, В. В. В е т е р, ДАН СССР 125, 526 A959); Изв. вузов,
физика, № 4, 183 A960).
332. L. Т. Bates, P. F. Davis, Proc. Phys. Soc. 74, 170 A959).
333. G. R i e d e r, Zs. Naturforschg 14a, 96 A959).
334. T. H a r a d a, E. T a t s u m о t o, J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 23, 195 A959).
335. M. P a u 1 u s, Compt. rend. 250, 1213 A960).
336. L. Spacek, Ann. der Phys. 5, 217 A960).
337. J. Kaczer, M. Zebny, ЧС Физ. журн. 10, 561 A960).
338. J. Kaczer, R. Gemperle, Чехосл. физ. журн. И, 157 A961).
339. W. F. Brown, Jr., S. Shtrikman, Phys. Rev. 125, 825 A962).
340. R. Aleonard, P. Brissonneau, Compt. rend. 254, 2933 A962).
341. Л. Н. Булаевский, В. Л. Гинзбург, ЖЭТФ 45, 772 A963).
342. М. К. Савченко, В. И. Синегубов, ФММ 15, 339 A963).
343. Б. В. М о л о т и л о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1464 A963).
344. R. Aleonard, P. Brissonneau, L. N ё е 1, J. Appl. Phys. 34, 1321
A963).
345. E. Kratochvilova, Phys. stat. sol. 3, K397. A963).
346. А. И. Д р о к и н, В. И. Синегубов, ЖЭТФ 49, 713 A965).
347. J. Rlamut, W. Z i § t e k, Proc. Phys. Soc. 82, 264 A963).
348. R. С a r r y, E. D. I s a a c, Brit. J. Appl. Phys. 16, 1513 A965); 17, 279 A966).
349. J. Klamut, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. phys. 14, 563 A966). .
350. A. Wachniewski, Acta phys. Polon. 29, 437 A966); 30, 647 A966); 33, 923'
A968).
— 866 —

351. J.A. Baldwin, Jr., J. Appl. Phys. 38, 501 A967).
352. E. 0. Schuber, Du Bois, J. Appl. Phys. 38, 2948 A967).
353. A. Aharoni, J. Appl. Phys. 38, 3196 A967); 39, 861 A968).
354. G. Bonnet, J. de phys. 28, 919 A967),
355. M. M a f 1 a k, A. Wachniewski, Acta phys. Polon. 32, 959 A967).
356. F. F. Y. W a n g, J. Appl. Phys. 39, 864 A968).
357. В. А. Игнатченко, Ю.В.Сахаров, J. Appl. Phys. 39, 867 A968).
358. G. L. H о u z e, Jr., J. Appl. Phys. 39, 1089 A968).
359. A. Wachniewski, W. J.ZiQtek, Acta phys. Polon. 33, 581 A968).
360. W. F. Brown, Jr., «Micromagnetics», ed. H. E. Marshak, J. Wiley et Sons,
N. Y., 1963.
361. W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 58, 736 A940).
362. W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 60, 139 A941).
363. S. S h t r i k m a n, D. T r e v e s, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl),
vol. Ill, Acad. Press, N. Y., 1963, p. 395.
364. W. F. В г о w n, Jr., Phys. Rev. 75, 1959 A949).
365. W. F. В г о w n, Jr., J. phys. rad. 20, 101 A949).
366. W. F. В г о w n, Jr., J. Appl. Phys. 30, 62S A959).
367. W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 105, 1479 A957).
368. A. Aharoni, S. Shtrikman, Phys. Rev. 109, 1522 A958).
369. A. Aharoni, J. Appl. Phys. 30, 70S A959).
370. S. S h t r i k m a n, D. T r e v e s, J. phys. rad. 20, 286 A959); J. Appl. Phys.
31, 58S A960).
371. E. К n e 1 1 e r, Hand. d. Phys. B. XVIII/2, Springer, Berlin, 1966, p. 438.
372. L. Neel, Compt. rend, 224, 1488 A947).
373. L. Neel, Compt. rend. 224, 1550 A947).
374. E. С S t о n e r, E. P. W о h If a r t h, Nature 160, 650 A947).
375. E. А. Кондорский, ДАН СССР 70, 215 A950); 74, 213 A950).
376. E. И. Кондорский, ДАН СССР 80, 197 A951); 82, 365 A952); Изв. АН
СССР, сер. физ. 16, 398 A952).
377. Е. Н. F r e i, S. Shtrikman, D. T r e v e s, Phys. Rev. 106, 446 A957); J,
Appl. Phys. 30, 443 A959).
378. И. Антик, Т. К у б ы ш к и н а, Уч. записки МГУ 2, 143 A934).
379. R. Haul, Th. S с h о о n, Zs. Elektrochem. 45, 663 A939).
380. D. Beischer, A. W i n k e 1, Naturwiss. 25, 420 A937).
381. A. W i n k e 1, R. Haul, Zs. Elektrochem. 44, 823 A938).
382. W. С. Е 1 m о г e, Phys. Rev. 54, 1092 A938).
383. С W. H e a ps, Phys. Rev. 57, 528 A940).
384. L. Neel, Compt. rend. 228, 664 A949); Ann. geophys 5, 99 A949).
385. Ch. К i t t e 1, J. K. Gait, W. E. Campbell, Phys. Rev. 77 725 A950).
386. С. В. В о н с о в с к и й, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 387 A952).
387. Н. К о n i g, Naturwiss. 33, 71 A946).
388. Т. П е й н, Сб. «Магнитные свойства металлов и сплаво перевод с англ., ИЛ,
М., 1961, стр. 198.
389. Я. С. Ш у р, Труды Ин-та физики металлов, АН СССР, вып. 20, 111 A958).
390. Я. С. Ш у р, J. phys. rad. 20, 113 A959).
391. Я. С. Ш у р, Г. С. К а н д а у р о в а, Е. В. Ш т о л ь ц, Л. В. Б у л а т о в а,
ФММ 3, 191 A956).
392. Я. С. Ш у р, Е. В. Ш т о л ь ц, Г. С. К а н д а у р о в а, Л. В. Б у л а т о в а,
ФММ 5, 234 A957).
393. Я. С. Ш у р, Е. В. Ш т о л ь ц, Г. С. К а ндау р о в а, Изв. АН СССР, сер. физ.
21, 1215 A957).
394. Я. С. Шур, Е. В. Штольц, Г. С. К а н д а у р о в а, ФММ 5, 421 A957).
395. Я. С. Шур, Е. В. Штольц, Г. С. К а н д а у р о в а, ФММ 6, 420 A958).
396. Я. С. Шур, Е. В. Штольц, Г. С. К а н д а у р о в а, Л. В. Р е д н е в а,
ФММ 8, 678 A959).
397. Я. С. Ш у р, Е. В. Ш т о л ь ц, А. А. Г л а з е р, ФММ 8, 685 A959).
398. Я. С. Шур, Е. В. Штольц, В. И. М а р г о л и н а, ЖЭТФ 38, 46
A960).
399. Я. С. Шур, А. А. Г л а з е р, Е. В. Штольц, ФММ 14, 523 A962).
400. Г. С. К а н д а у р о в а, Я. С. Шур, Е. В. Штольц, ФММ 6, 229 A958)-
401. Г. С. К а н д а у р о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 10, 37 A960).
402. А. А. Г л а з е р, Е. В. Ш т о л ь ц, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 26,
266 A962).
403. Е. В. Штольц, Я. С. Шур, Г. С. К а н д а у р о в а, ФММ 5, 412 A957).-
404. Е. В. Штольц, Я. С. Шур, Г. С. К а н д а у р о в а, Изв. АН СССР, сер..
физ. 22, 1269 A958).
405. Е. В. Ш т о л ь ц, А. А. Г л а з е р, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 25,.
1445 A961).
406. Е. В. Ш т о л ь ц, Я. С. Ш у р, ФММ 13, 359 A962).
407. Я. С. Ш у р, Г. С. К а н д а у р о в а, Л. М. М а г а т, Н. Н. Б ы х а н ©.в,. ФММ
22, 39 A966).
— 867 — 55*

408. Е. В. Штольц, М. Я. Ген, И. В. Еремина, Е. А. Федорова,
А. В. Д е р я г и н, ФММ 24, 220 A967).
409. Е. P. Wohlfarth, D. G. Tonge, Phil. Mag. 2, 1333 A957).
410. С. E. J о h n s о n, W. F. Brown, Jr., J. Appl. Phys. 30, 320 A959).
411. С. Е. Johnson, J. Appl. Phys. 33, 2515 A962).
412. L. Neel, Appl. Sci. Res. B-4, 13 A954).
413. E. И. Кондорский, ДАН СССР 68, 37 A949).
414. E. P. W о h If a r t, Proc. Roy. Soc. A232, 208 A955).
415. E. H. С a r m a n, Brit. J. Appl. Phys. 6, 426 A955).
416. F. E. L u b о r s k y, L. I. Mendelsohn, Т. О. Р a i n e, J. Appl. Phys.
28, 344 A957).
417. A. H. Morrish, L. A. Watt, Phys. Rev. 105, 1476 A957).
418. R. K. W a r r i n g, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1005 A967).
419. F. E. L u b о r s k у, С R. M о r e 1 о с k, J. Appl. Phys. 35, 2055 A964).
420. I. S. Jacobs, F. E. L u b о r s k y, J. Appl. Phys. 28, 467 A957).
421. Ch. К i t t e 1, J. K. Gait, W. E. Campbell, Phys. Rev. 25, 302 A950).
422. L. Weil, J. phys. rad. 12, 437 A951).
423. A. H. M о r r i s h, S. P. Y u, J. Appl. Phys. 26, 1049 A955); Phys. Rev. 102, 670
A956).
424. W. H. M e i k 1 e j о h n, Rev. Mod. Phys. 25, 302 A953).
425. T. O. Paine, L. I. Mendelsohn, F. E. L u b о r s k y, Phys. Rev. 100,
1055 A955).
426. С. Р. В e a n, J. Appl. Phys. 26, 1381 A955).
427. Г. С. Кандаурова, ФММ 4, 548 A957).
428. A. H. M о r r i s h, L. A. W a t t, J. Appl. Phys. 29, 1029 A958).
429. K. Torkar, O. Scheikl, H. Egghart, Arch. Eisenhuttenwes. 29, 139
A958).
430. E. P. W о h If a r t h, J. Appl. Phys. 30, 1465 A959).
431. F. E. Luborsky, T. O. Paine, J. Appl. Phys. 31, 68S A960).
432. H. J. В a n e r, O. R u с z k a, Zs. angew. Phys. 21, 18 A966).
433. С J. J о h n s о n, W. F. Brown, Jr., J. Appl. Phys. 29, 313 A958).
434. F. E. Luborsky, E. F. F u 1 1 a m, D. S. H a 1 1 g r e n, J. Appl. Phys. 29,
989 A958).
435. A. Knappwost, Naturwiss. 46, 65 A965); Zs. Elektrochem. 69, 965 A965).
436. F. E. Luborsky, T. O. Paine, J. Appl. Phys. 31, 66S A960).
437. L. A. K. W a t t, A. H. M о r r i s h, J. Appl. Phys. 31, 71S A960).
438. S. Shtrikman, D. Treves, J. Appl. Phys. 31, 72S A960).
439. W. F. В г о w n, Jr., Am. J. Phys. 28, 542 A960).
440. P. J. Flanders, S. Shtrikman, J. Appl. Phys. 33, 216 A962).
441. F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 33, 1909 A962).
442. С D. M ее, J. С J es chke, J. Appl. Phys. 34, 1271 A963).
443. A. A h a r о n i, Phys. Rev. 135, A447 A964).
444. И. А. Дерюгин, М. А. Сигал, ФММ 21, 510 A966); 22, 335, 529 A966);
25, 555 A968).
445. J. L. Neuringer, Phys. Rev. 145, 64 A966).
446. E. Kneller, F. J. Friedlaender, W. Puschert, J. Appl. Phys. 37,
1162 A966).
447. E. W. Lee, J. E. L. Bishop, Proc. Phys. Soc. 89, 661 A966).
448. D. J. С r a i k, R. L a n e, Brit. J. Appl. Phys. 18, 1269 A967).
449. R. A b 1 e 1, Zs. angew. Phys. 22, 296 A967).
450. T. Tanaka, N. Tamagawa, Japan J. Appl. Phys. 6, 1096 A967).
451. J. А. В a 1 d w i n, Jr., J. Appl. Phys. 39, 217 A968).
452. R.J.Towner, D.M. Pavlovic, K. Deter t, A. S. Buffer d, J. Appl.
Phys. 39, 601 A968).
453. D. J. Craik, D. A. Me I n t у r e, J. Appl. Phys. 39, 871 A968).
454. W. F. В г о w n, Jr., J. Appl. Phys. 39, 993 A968).
455. A. E. В e r k о w i t z, W. J.Schuele, P. J. Flanders, J. Appl. Phys. 39,
1261 A968). ¦
456. W. F. В г о w n, Jr., Trans. Soc. Rheology 9 A), 357 A965).
457. W. J. S с hu e 1 e, S. S h t r i k m a n, D. Treves, J. Appl. Phys. 36, 1010
A965).
458. W. С. Е 1 m о г e, Phys. Rev. 54, 982 A938).
459. L. W ei 1, Rev. Mod. Phys. 25, 324 A953); J. Chem. Phys. 51, 715 A954).
460. E. Kneller, F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 34 656 A963).
461. J.J.Becker, Trans. Am. Inst. Mining. Met. Petrol. Enghs. 209, 59 A957).
462. A. E. Berkowitz, W. Schuele, J. Appl. Phys. 30, 134S A959).
463. С P. Bean, I. S. Jacobs, J. Appl. Phys. 27, 1448 A956).
464. С. Р. В e a n, J. D. L i v i n gs t о n, J. Appl. Phys. 30, 120S A959).
465. A. H a h n, Phys. Kondens. Materie 4, 20, 25 A965).
466. E. К n e 1 1 e r, Zs. angew. Phys. 21, 16 A966).
467. E. Kneller, G. Trippel, J. Appl. Phys. 38, 993 A967).
468. W. F. В г о w n, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1017 A967).
— 868 —

469. G. P. W i r t z, M. E. Fine, J. Appl. Phys. 38, 3729 A967).
470. A. A. von den Giessen, J. Phys. Chem. Sol. 28, 343 A967).
471. H. Danan, H. G e n g n a g e 1, J. Appl. Phys. 39, 678 A968).
472. К. К г о p, J. M i z i a, Acta phys. Polon. 34, 347 A968).
473. W. Ktindig, H. Bommel, G. Constabaris, R. H. Lindquist,
Phys. Rev. 142, 327 A966).
474. J.F. Boas, B.Window, Austr. J. Phys. 19, 573 A966).
475. M. Eibschiitz, S. Shtrikman, J. Appl. Phys. 39, 997 A968).
476. R. H. Lindquist, G. Constabaris, W. Ktindis, A. M. Portis,
J. Appl. Phys. 39, 1001 A968).
477. U. Gonser, H. W i e d e r s i с h, R. W. Grant, J. Appl. Phys. 39, 1004
A968).
478. L. Neel, Compt. rend. 252, 4045 A961); 253, 9, 203, 1286 A961).
479. L. N ё e 1, Compt. rend. 254, 598 A962).
480. L. Neel, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 672 A962).
481. J. Cohen, K. M. Creer, R. Pauthenet, K. Srivastava, J. Phys.
Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 685 A962).
482. С. Р. В e a n, I. S. J а с о b s, J. Appl. Phys. 30, 127S A959).
483. H. T h о m a s, Zs. angew. Phys. 15, 201 A966).
484. Б. В. 3 н а м е н с к и й, И. Г. Ф а к и д о в, ФММ 14, 391 A962); 23, 767
A967).
485. Б. В. Знаменский, И. Г. Факидов, Укр. физ. журн. 8, 320 A963).
486. Л. Д. Ворончихин, Э. А. Завадский, И. Г. Фикидов, ФММ 20,
792 A965).
487. А. Н. С о о k e, D. Т. Е d m о n d s, С. В. Р. Г i n n, W. P. W о 1 U. Phys. Soc.
Japan 17, Suppl. B-l, 481 A962).
488. W. P. W о 1 f, M. J. M. L e a s к, В. M a n g u m, A. F. W у a t t, J. Phys. Soc.
Japan 17, Suppl. B-l, 487 A962).
489. P. M. Levy, D. P. L a n a u, J. Appl. Phys. 39, 1128 A968).
490. W. P. Wolf, H. M e i s s n e г, С. А. С a t a n e s e, J. Appl. Phys. 39, 1134
A968).
491. J. A. S a u e r, Phys. Rev. 57, 142 A940).
492. J. M. L u t t i n g e r, L. T i s z a, Phys. Rev. 70, 954 A946); 72, 257 A947).
493. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 82, 965 A951).
494. B. J. Hi ley, G. S. Joyce, Proc. Phys. Soc. 85, 493 A965).
495. P. M. L e v y, Phys. Rev. 170, 595 A968).
496. H. H о г n e r, Phys. Rev. 172, 535 A968).
497. R. B. G r i f f i t h s, Phys. Rev. 176, 655 A968).
498. J. С. В ruyere, J. D evenyi, O. Massenet, R. M ont mory, L. N eel,
Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham A964), 1965, p. 789.
499. C. A. Neugebauer, J.B. Newkirk, D. A. Vermilyc a, Structure and
properties of thin films, N. Y., 1959.
500. Дж. Г у д и н а ф, Д. Смит, Сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов»,
перевод с англ., ИЛ, М., 1961, стр. 153.
501. D. О. S m i t h, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, Acad.
Press, N. Y., 1963, p. 485.
502. M. J.Klein, R.S. Smith, Phys. Rev. 81, 378 A951).
503. T. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
504. S. J. G 1 a s s, M. J. К 1 e i n, Phys. Rev. 109, 288 A958).
505. L. V a 1 e n t a, Czech. J. Phys. 7, 127, 136 A957); Phys. stat. sol. 2, 112 A962);
Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 879 A957); Сб. «Тонкие ферромагнитные пленки»,
перевод с нем. под ред. Р. В. Телеснина, изд-во «Мир», М., 1964, стр. 27.
506. W. D б г i n g, Zs. Naturforsch. 16a, 566 A961).
507. A. Corciovei, Czech. J. Phys. B10, 568, 917 A960); Acta phys. Polon. 24, 91
A963); Phys. Rev. 130, 2223 A963).
508. A. Corciovei, G. G h i k a, Czech. J. Phys. B12, 278 A902).
509. J. С. К i r k w о о d, J. Chem. Phys. 6, 70 A938).
510. С A. Neugebauer, Phys. Rev. 116, 1441 A959); J. Appl. Phys. 31, 152S
A960); Zs. angew. Phys. 14, 182 A962).
511. H. Hoffmann, Zs. angew. Phys. 13, 149 A961).
512. W. H e 1 1 e n t h a 1, Zs. angew. Phys. 13, 147 A961).
513. 3. Малек, В. HI ю п п е л ь, Сб. «Тонкие ферромагнитные пленки», перевод
с нем. под ред. Р. В. Телеснина, изд-во «Мир», М., 1964, стр. 61.
514. W. A n d г a, Z. М а 1 е k, W. Schiippel, О. Stemme, J. Appl. Phys. 31,
442 A960).
515. D. О. S m i t h, J. Appl. Phys. 32, 70S A961).
516. D. O. S m i t h, M. S. С о h e n, J. Appl. Phys. 31, 1755 A960).
517. I. G. Knorr, K. W. Hoffman, Phys. Rev. 113, 1039 A959).
518. V. К a m b e r s к у, Z. Malek, Z. F г о i t, M. О n d r i s, Czech. J. Phys.
Bll, 171 A961).
519. Я. С. Шур, А. А. Г л а з e p, P. И. Т а г и р о в, А. П. Потапов, Изв.
АН СССР, сер. фнз. 29, 706 A965).
— 869 —

520. Я. С. Шур, Р. И. Т а г и р о в, А. А. Г л а з е р, А. П. Потапов, Изв.
АН СССР, сер. физ. 31, 729 A967).
521. В. Ш ю п п е л ь, В. К а м б е р с к и й, Сб. «Тонкие ферромагнитные пленки»,
перевод с нем. под ред. Р. В. Телеснина, изд-во «Мир», М., 1964, стр. 105.
522. Я. С. Шур, В. А. 3 а й к о в а, Е.Б.Хан, ФММ 29, 770 A970); 31, 286,
538 A971).
523. В. Г. Казаков, П. И. Круковер, Л. В. Ущановский, ФММ 23,
953 A967).
524. Ю. М. Солнцева, ФММ 24, 234 A967).
525. Р. В. Телеснин, ФММ 24, 882 A967).
526. С. R е а 1 е, Phys. Lett. 25, А358 A967).
527. A. Corciovei, G. Costache, Phys. Lett. 25, A458 A967).
528. T. S u s u k i, С H. W i 1 t s, J. Appl. Phys. 38, 1356 A967); 39, 1151 A968).
529. F. E. L u b о r s k y, J. Appl. Phys. 38, 1445 A967); IEEE, Mag-4, № 1, 19 A968).
530. L. N ё e 1, Ann. de phys. 2, 61 A967); Compt. rend. 264, 1002 A967).
531. А. Л. Фрумкин, ФММ 25, 1021 A968).
532. Л. С. П а л а т н и к, Л. И. Лукашенко, ФММ 26, 55 A968).
533. Ю. М. Солнцева, В. Э. О с у х о в с к и й, ФММ 26, 257 A968).
534. В. Ф. У д а л о в, А. И. Игнатов, Ю. М. Суслов, ФММ 26, 473 A968).
535. С. Г. Р у с о в а, В. Г. П ы н ь к о, А. А. П о ц е л у й к о, ФММ 26, 562 A968).
536. В. П. Д з е к а н о в с к а я, Н. А. Е р о х о в, Г. В. Давыдов, ФММ 26,
729 A968).
537. В. Г. Клепарскпй, В. П. Дзекановская, Н. А. Ерохов, ФММ 26,
737 A968).
538. Л. В. К и р е н с к и й, Г. П. П ы н ь к о, В. Г. П ы н ь к о, J. Appl. Phys. 39,
745 A968).
539. F. E. L u b о г s k у, W. D. В u r b e r, J. Appl. Phys. 39, 746 A968).
540. K. J.Harte, D. O. Smith, R.M. Anderson, R. С Johnston, J.
Appl. Phys. 39, 749 A968).
541. E. К n e 1 1 e r, J. Appl. Phys. 39, 945 A968).
542. M. P r a t t о n, J. Appl. Phys. 39, 1153 A968).
543. E. F e 1 d t k e 1 1 e r, J. Appl. Phys. 39, 1181 A968).
544. С H. Wilts, F. B. Humphrey, J. Appl. Phys. 39, 1191 A968).
545. A. Corciovei, D. Vamanu, J. Appl. Phys. 39, 1381 A968).
546. K. J. H a r t e, J. Appl. Phys. 39, 1503 A968).
547. A. Corciovei, IEEE, Mag-4, № 1, 6 A968).
548. J. С Slonczewski, IEEE, Mag-4, № 1, 15 A968).
549. H.Hoffmann, IEEE, Mag-4, № 1, 32 A968).
550. L. Valenta, W. Hanbenreisser, W. Brodkorb, Phys. stat. sol.
26, 191 A968).
551. L. W о j t с z a k, Bull. Acad. Polon Sci, ser. math., astr., phys. 16, 535 A968).
552. Y. Murayama, J. Phys. Soc. Japan, 23, 510 A968).
553. L. N. L i e b e r m a n n, D. R. F r e d k i n, H. B. S h о г e, Phys. Rev. Lett. 22,
539 A969).
554. Отчет конференции по тонким ферромагнитным пленкам. Иена, ГДР, 25—28.04,
1966, Phys. stat. sol. 16, № 2 A966).
555. Отчет конференции Intermag —1967, IEEE, Mag-3, № 3, 1967.
556. Тезисы международной конференции по тонким ферромагнитным пленкам,
Иркутск, 1968.
557. Н. Barkhausen, Phys. Zs. 20, 401 A919).
558. В. К. Аркадьев, Электричество, 8, 255 A927); ДАН СССР, стр. 277 A927).
559. Е. Р. Т. Т у n d a I I, Phys. Rev. 24, 439 A924).
560. R. М. В о z о г t h, Phys. Rev. 34, 772 A929).
561. R. M. В о z о r t h, J. F. D i 1 1 i n g e r, Phys. Rev. 35, 733 A930).
562. K. Murakawa, Proc. Phys. Math. Soc. Japan 19, 715 A937).
563. F. F 6 r s t e r, H. W e t z e 1, Zs. Metallkde 33, 115 A941).
564. Б. Ф. Цомакион, В. Ф. И в л е в, ДАН СССР 76, 205 A951).
565. В. Ф. Ивпев, В, Л.Ильюшенко, Л. И, Асеева, Изв. АН СССР, сер.
физ. 21, 1250 A957).
566. Н. D. Bush, R. S. Tebble, Proc. Phys. Soc. 60, 370 A948).
567. R. S. Tebble, I. C. S k i d m о r e, W. D. Corner, Proc. Phys. Soc. A63,
739 A950).
568. R. S. T e b Ы e, Proc. Phys. Soc. B68, 1017 A955).
569. Th. Hofbauer, К. М. Koch, Zs. Phys. 130, 409 A951).
570. H. S a w a d a, J. Phys. Soc. Japan 7, 564, 571, 575 A952).
571. D. I. G о г d о n, Rev. Mod. Phys. 25, 56 A953).
572. K. Wotruba, Чехосл. физ. журн. 4, 375, 377 A954); 6, 468 A956); Изв.
АН СССР, сер. физ. 21, 1246 A957).
573. Ф. Д. Б у н к и н, ЖТФ 26, 1782, 1790 A956); Рад. Электрон. 4, 1913 A959).
574. К. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 A957).
575. А. М. Родиче в, В. А. Игнатченко, ФММ 9, 903 A960).
576. P. M a z z e t t i, G. M о n t a 1 e n t i, J. Appl. Phys. 34, 3223 A963).
- 870 —

577. L. Storm, С. Н e i d e n, Zs. angew. Phys. 17, 161 A964).
578. A. H. В о b e с k, Bell Syst. Tech. J. 46, 1901 A967).
579. A. A. T h i e 1 e, J. Appl. Phys. 41, 1139 A970); Bell Syst. Teehn. J. 48, 3287
A969).
580. E. П. Д з а г а н п я, ФММ 20, 204 A965).
581. А. Л. Л о г у т к о, А. М. Р о д и ч е в, Н. М. С а л а н с к и й, Р. П. С м о л и н,
ФММ 20, 306 A965).
582. В. М. Р у д я к, ДАН СССР 164, 782 A965).
583. A. Ferro, R. Mazzetti, G. Montalenti, Appl. Phys. Lett. 7, 118'
A965); Nuov. cim. 56, Bill A968).
584. K. Stierstadt, W. В о е с k h, Zs. Phys. 186, 154 A965).
585. E. P f r e n g e r, K. S t i e r s t a d t, Zs. Naturforsch. 20a, 492 A965); Zs. angew.
Phys. 23, 20 A967).
586. S. K. S r i n i v a s a n, Nuov. cim. 41, 101 A966).
587. А. А. Г р а ч е в, ДАН СССР 85, 741 A952).
588. Y. Tawara, H. S e n n 6, Japan. J. Appl. Phys. 5, 747 A966).
589. A. M a r a i s, M. P о r t e, Compt. rend. 265, B12 A967).
590. K. Stierstadt, E. P r e n s s, Zs. Phys. 199, 456 A967).
591. K. Stierstadt, J. G. Kohl, Zs. angew. Phys. 22, 486 A967).
592. А. К о 1 1 e r, Zs. angew. Phys. 24, 164 A968).
593. Б. В. Васильев, А. П. Горелов, Письма ЖЭТФ 4, 412 A966).
594. В. М. Рудяк, Ю. Н. Харитонов, ДАН СССР 178, 331 A968).
595. P. Y. Argues, J. phys. 29, 369 A968).
596. A. Z e n t k о, V. H a j k о, Czech. J. Phys. 18, 1026 A968).
597. H. J. Williams, W. Shoekley, Phys. Rev. 75, 178 A949) (см. [618]).
598. К. H. S t e w a r t, Forromagnetic domain, Cambridge Univ. Press, London, 1954.
599. H. J. Williams, R. С Sherwood, Сб. переводов «Магнитные свойства
металлов и сплавов» ИЛ, М., 1961, стр. 61.
600. D. J. Craik, R. S. Tebble, Repts. Prog. Phys. 24, 116 A961).
601. J. F. Dillon, Jr., «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. Ill, Acad.
Press, N.Y., 1963, p. 413.
602. L. H a m о s, P. A. T h i e s s e n, Zs. Phys. 71, 442 A931).
603. F. Bitter, Phys. Rev. 38, 1903 A931).
604. H. С. Акулов, М. В. Д е х т я р, Ann. der Phys. 15, 750 A932).
605. Н. С. Акулов, С. Раевский, Ann. der Phys. 20, 113 A934).
606. Н. И. М и л л е р, Д. С. Ш т е й н б е р г, Tech. Phys. USSR 1, 205 A934).
607. Н. С. А к у л о в, И. А. Б а з у р и н а, ЖЭТФ 8, 745 A935).
608. W.C.Elmore, Phys. Rev. 51, 982 A937).
609. W. С. Е 1 m о г е, Phys. Rev. 62, 486 A942).
610. Н. J.Williams, R.Bozorth, W. Shoekley, Phys. Rev. 75, 155 A949).
611. L. F. В ates, J. phys. rad. 12, 322 A951).
612. L. F. В a t e s, F. E. N e a 1, Physica 15, 220 A949); Proc. Phys. Soc. 63, 374 A950).
613. R. M. В о z о r t h, J. phys. rad. 12, 308 A951).
614. M. J a m a m о t о, Т. I w a t a, Phys. Rev. 81, 807 A951).
615. Я. С. Ш у р, В. Р. А б е л ь с, ДАН СССР 102, 499; 104, 209; 105, 469 A955);
ФММ 6, 556 A958).
616. Я. С. Ш у р, В. Р. А б е л ь с, ФММ 1, И A955).
617. Я. С. Ш у р, В. Р. А б е л ь с, В. А. 3 а й к о в а, Изв. АН СССР, сер. физ. 21,
1162 A957).
618. Сб. переводов «Физика ферромагнитных областей», переводы с англ. и франц.
под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, М., 1951.
618а.Сб. переводов «Магнитная структура ферромагнетиков», перевод с англ. и нем.,
под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, М., 1959.
619. Е.И. Кондорский, ДАН СССР 63, 507 A948).
619а.L. N ё е 1, Cahiers phys. № 25, 21 A944); Ann. Univ. Grenoble, Sect. Sci. Math.
Phys. 22, 299 A946); J. phys. rad. 12, 437 A951).
620. W.Andra, Ann. der Phys. 3, 334 A959).
621. D. J. С r a i k, Proc. Phys. Soc. B69, 647 A956).
622. D. J. Craik, P. M. Griffiths, Brit. J. Appl. Phys. 9, 279 A958).
623. W. Schwartz e, Ann. der Phys. 19, 322 A957).
624. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 70, 1527 A949).
625. W. В е г g m a n n, Zs. angew. Phys. 8, 559 A956).
626. H. J. W i 1 1 i a m s, F. G. F о s t e r, E. A. W о о d, Phys. Rev. 82, 119 A951).
627. M. M. Носков, ЖЭТФ 17, 964 A947).
628. J. К г a n z, Naturwissenschaft. 43, 370 A956).
629. С A. F о w 1 e r, E. M. F г у е r, Phys. Rev. 104, 552 A956).
630. J. F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 29, 1286 A958).
631. H. W. Fuller, M. E. Hale, J. Appl. Phys,. 31, 238, 1699 A960).
632. L. M ay er, J. Appl. Phys. 28, 975 A957).
633. Г. В. Спивак, Н. Г. Канавина, Н. С. Сбитникова, Т. Н. Д о м -
бровская, ДАН СССР 105, 706 A955).
634. Г. В. С п и в а к, И. Н. П р и л е ж а е в а, В. К. А з о в ц е в, ДАН СССР 105,
965 A955).
— 871 -

635. Г. В. С п и в а к, Н. Г. К а н а в и н а, И. С. С б и т н и к о в а, И. Н. П р и -
лежаева, Т. Н. Домбровская, В. К. Азовцев, Изв. АН СССР,
сер. физ. 21, 1177 A957).
636. Г. В. С п и в а к, И. А. П р я м к о в а, Э. И т р и с, Изв. АН СССР, сер. физ.
23, 729 A959).
637. И.' С. С б и т н и к о в а, Г. В. С п и в а к, И. М. С а р а е в а, Изв. АН СССР,
сер. физ. 23, 734 A959).
638. L. H. Germer, Phys. Rev. 62, 295 A942).
639. М. Blackman, E. Griinbaum, Proc. Roy. Soc. A241, 508 A957); A245,
408 A958).
640. J. К а с z e r, Czech. J. Phys. 5, 239 A955).
641. В. К о s t у s h у n, J. E. В г о p h y, I. О i, D. D. R о s h о n, Jr., J. Appl.
Phys. 31, 772 A960).
642. K. M. M e r z, J. Appl. Phys. 31, 147 A960).
643. M. P о 1 с а г о v a, A. R. Lang, Appl. Phys. Lett. 1, 13 A962).
644. J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. P. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 34, 637 A963).
645. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р я е в а, ЖЭТФ 39, 1596 A960).
646. К. Б. Власов, Л. Г. Оноприенко, ФММ 15, 45 A963).
646а.Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р я е в а, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 1012 A966); ЖЭТФ
51, 1001 A966).
647. Л. Г. О н о п р и е н к о, О. И. Ш и р я е в а, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер.
физ. 28, 504 A964).
648. W. A n d r a, E. S с h w a b e, Ann. der Phys. 17, 55 A955).
649. С. A. F о w 1 е г, Jr., E. M. Fryer, Phys. Rev. 86, 426 A952).
650. С. A. F о w 1 е г, Jr., Е. М. F г у е г, Phys. Rev. 94, 52 A954); J. Opt. Soc. Am.
44, 256 A954).
651. M. P r u t t о n, Phil. Mag. 4, 1063 A959).
652. E. W. L e e, D. R. С a 1 1 a b у, А. С L у n с h, Proc. Phys. Soc. 72, 233 A958).
653. J. F. Dillon, Jr., Bull. Am. Phys. Soc. 2, 238 A957).
654. С. К о о у, Philips Tech. Rev. 19, 286 A958).
655. H. J.Williams, B.C.Sherwood, J. P. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 29,
1772 A958).
656. L. F. Bates, D. I. С r a i k, P. M. Griffiths, E. D. Isaac, Proc. Roy.
Soc. A253, 1 A959).
657. E. D. I s a a c, Proc. Phys. Soc. 74, 786 A959).
658. M. Paul us, Compt. rend. 250, 2332 A960).
659. H. К о j i m a, K. Goto, J. Phys. Soc. Japan 16, 1483 A961); 17, 584 A962).
660. Я. С. Ш у р, Г. С. К а н д а у р о в а, ФММ 16, 158 A963).
661. Г. С. К а н д а у р о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 16, 310 A963).
662. R. Gemperle, Е. V. S h t о 1 t z, M. Z e 1 е п у, Phys. stat. sol. 3, 2015
A963).
663. M. Rosenberg, С. Tanasoiu, Phys. stat. sol. 3, 1790 A963); 10, 613
A965).
664. Г. С. Кандаурова, ФТТ 10, 2311 A968).
665. W. A n d r a, Ann. der Phys. 15, 135 A954); 17, 233 A956).
666. E. O. H a 1 1, Proc. Phys. Soc. B70, 254 A957).
667. К. Н. von Klitzing, A. Pietzcker, Ann. der Phys. 4, 50 A959); Zs.
angew. Phys. 17, 164 A964).
668. Г. С. Кандаурова, Я. С. Шур, Ф. В. Масленникова, ЖЭТФ 38,
60 A960).
669. Г. С. К а н д а у р о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 15, 839 A963).
670. R. Gemperle, A. Gemperle, I. Bursuc, Phys. Stat. Sol. 3, 2101 A963).
671. В. Wyslocki, Phys. stat. sol. 3, 1333 A963); Acta phys. Polon. 34, 327 A968).
672. P. J. Grundy, R. S. T e b Ы e, J. Appl. Phys. 35, 923 A964).
673. J. К 1 a m u t, Acta Phys. Polon. 25, 711 A964).
674. Я. С. Шур, Ю. Н. Д р а г о ш а н с к и й, ФММ 19, 536 A965).
675. Г. С. К а н д а у р о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 20, 673 A965); Изв. АН СССР, сер.
физ. 30, 1030 A966).
676. J. P. J akubovics, Phil. Mag. 14, 881 A966).
677. P. J. Grundy, Phil. Mag. 14, 901 A966).
678. Я. С. Ш у р, Г. С. К а н д а у р о в а, ФММ 23, 627 A967).
679. Ю. Н. Д р а г о ш а н с к и й, В. А. 3 а й к о в а, Я. С. Шур, ФММ 25, 289
A968).
680. A.Hubert.J. Appl. Phys. 39, 444 A968).
681. С. A. Fowler, Jr., E. M. Fryer, Phys. Rev. 95, 564 A954).
682. Г. С. Кандаурова, Я. С. Шур, Н. И. Гусельников а, ФММ 18
530 A964).
683. Я. С. Ш у р, А. А. Г л а з е р, ФММ 14, 632 A962).
684. Ю. Н. Драгошанский, Я. С. Шур, ФММ 21, 678 A966).
685. Я. С. Шур, Ю. Н. Драгошанский, ФММ 22, 702 A966).
686. И. Е. С т а р ц е в а, А. А. Г л а з е р, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ.
26, 262 A962).
— 872 —

687. W. A n d r a, Ann. der Phys. 17, 78 A956).
688. Я. К а ц е p, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1170 A957).
689. Л. В. Киренский, И. Ф. Дегтярев, ЖЭТФ 35, 584 A958).
690. Я. С. Ш у р, И. Е. С т а р ц е в а, ЖЭТФ 39, 566 A960).
691. R. С о 1 е m a n, G. S с о t t, Phys. Rev. 107, 1276 A957); J. Appl. Phys. 29, 526
A958).
692. G. G. Scott, R. V. С о 1 e m a n, J. Appl. Phys. 28, 1512 A957).
693. С A. Fowler, E. M. Fryer, D. Treves, J. Appl. Phys. 31, 2267 A960);
32, 296S A961).
694. R. С Sherwood, J. P. Remeika, H.J.Williams, J. Appl. Phys. 30,
217 A959). ¦
695. M. L a m b e с k, Zs. Phys. 179, 161 A964).
696. И. Е. С т а р ц е в а, Я. С. Ш у p, ФММ 25, 298 A968).
697. В. W у s 1 о с k i, W. J. Z i § t e n, Acta phys. Polon. 35, 117 A969).
698. B. Wyslocki, Acta phys. Polon, 35, 179 A969).
699. Z. Jirak.M. Zeleny, Czech. J. Phys. 19, B44 A969).
700. R. W. de В 1 о i s, С D. Graham, J. Appl. Phys. 29, 528, 931 A958).
701. R. W. de В 1 о i s, J. Appl. Phys. 36, 1647 A965).
702. R. W. de В 1 о i s, J. Vac. Sci. Tech. 3, 146 A966).
703. R. W. de В 1 о i s, Final report. AFCRL-67-0107, Bedford, Mass., March 1967.
704. R. W. de Blois, Techn. Inform. Series, General Electric, Schenectady, N.Y.
67-C-326, August 1967.
705. R. W. de В 1 о i s, Final report AFCRL-68-0414, Bedford, Mass. Sept. 1968.
706. R. W. de В i о i s, J. Appl. Phys. 39, 442 A968).
707. R. G e m p e r 1 e, Phys. stat. sol. 14, 121 A966); Czech. J. Phys B2, 89 A971).
708. E. A. Nesbitt, H. J. Williams, Phys. Rev. 80, 112 A950).
709. L. F. Bates, D. H. Martin, Proc. Phys. Soc. B68, 537 A955).
710. А. К u s s m a n n, J. H. W о 1 1 e n b e r g e r, Zs. angew. Phys. 8, 213 A956).
711. W. Andra, Ann. der Phys. 19, 10 A956).
712. Y. К i m u r a, R. R. H a s i g u t i, Metal. Phys. 3, 36 A957).
713. K. J. К г о n e n b e r g, R. T e n z e r, J. Appl. Phys. 29, 299 A958).
714. B. J. ;Craik, E. D. Isaac, Proc. Phys. Soc. 76, 100 A960).
715. L. F. Bates, D. J. С r a i k, E. D. I s a a k, Proc. Phys. Soc. 79, 970 A962).
716. Я. С. Ш у р, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 776.
717. M. Г. Л у ж и н с к а я, Я. С. Ш у р, ЖЭТФ 48, 814 A965).
718. К. J. Kronenberg, J. Appl. Phys. 33, 1326S A962).
719. F. E. L u b о r s k y, T. O. Paine, L. I. Mendelsohn, Powder Metallurgy
4, 57 A959).
720. J. A. E w i n g, Magnetic Induction in Iron and other Metalls, Electrician, 3d ed.,
London, 1900.
721. Я. С. Шур, М. Г. Л ужине к а я, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 1022
A966).
722. Н. Н. Я г о в к и н а, М. Г. Л у ж и н с к а я, Я. С. III у р, ФММ 23, 487 A967);
25, 439 A968).
723. М. Г. Л у ж и н с к а я, Т. 3. П у з а н о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 23, 495 A967);
25, 191 A968).
724. М. Г. Л у ж и н с к а я, Т. 3. П у з а н о в а, А. А. К р а л и н а, Я. С. Шур,
ФММ 25, 278 A968).
725. Y. I w a t a, Trans. Japan Inst. Metal 9, 273 A968).
726. Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова, Н. И. Гусельников а, ФММ 22, 132
A966).
727. R. Becker, Phys. Zs. 33, 905 A932); Wiss. Veroff. Simenswerke 11, 10 A932).
728. R.Becker, Magnetismus, Leipzig, 1933, p. 82.
729. E. И. Кондорский, ЖЭТФ 7, 1117 A937).
730. E. И. Кондорский, ДАН СССР 19, 397, 401 A938).
731. W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 55, 568 A939).
732. M. К e r s t e n, Phys. Zs. 44, 63 A943).
733. R. W. de В 1 о i s, J. Appl. Phys. 29, 459 A958).
734. N. С F о r d, J. Appl. Phys. 31, 300S A960).
735. U. E n z, Helv. Phys. Acta 37, 245 A964).
736. W. B. H a t f i e 1 d, J. Appl. Phys. 37, 1934 A966).
737. D. J. С r a i k, M. J. W о о d, Phys. stat. sol. 16, 321 A966).
738. П. Д. К и м, Г. М. Р о д и ч е в, ФММ 23, 935 A967).
739. D i Chen, J. Appl. Phys. 38, 1309 A967).
740. G. A s t i, M. С о 1 о m b о, M. G i u d i с i, J. Appl. Phys. 38, 2195 A967).
741. E. F e 1 d t k e 1 1 e r, Phys. stat. sol. 27, 161 A968).
742. H. J. W i 1 1 i a m s, Phys. Rev. 52, 747, 1004 A937).
743. H. J. Williams, W. S h о с k 1 e y, Phys. Rev. 78, 341 A950).
744. А. Л. Г о л ь д м а н, В. В. Д р у ж и н и н, Р. И. Я н у с, ЖТФ 20, 571 A950).
745. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 17, 1094 A947).
746. Я. С. Ш у р, Д. Д. М и ш и н, ДАН СССР 87, 543 A952); Изв. АН СССР, сер.
физ. 16, 634 A952).
— 873 —

747. Д. Д. М и ш и н, И. П. К у д р я в ц е в, ФММ 3, 439 A956).
748. J.Morkowski, Acta phys. Polon. 17, 435 A958).
749. H. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. K. Honda Annivers vol., 1936,
p. 388.
750. 0. V. Auwers, H. Neumann, Wiss. Veroff. Siemenswerke, 14, 93 A935).
751. A. C. 3 а й м о в с к и й, Вюлл. ВЭИ, № 2, 1 A941).
752. J. Hopkinson, Trans. Roy. Soc. A176, 455 A885).
753. К. Honda, H. N i s h i n a, Zs. Phys. 103, 728 A936).
754. M. В. Дехтяр, Н. Андрюшин, ЖЭТФ 10, 1402 A940).
755. D. К i r k h a m, Phys. Rev. 52, 1162 A937).
756. Т. К a h a n, Ann. de phys. 9, 105 A938).
757. G. T h i e s s e n, Ann. der Phys. 38, 153 A940).
758. В. И. Д р о ж ж и н а, Я. С. Шур, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 539 A947).
759. Я. С. Ш у р, Н. А. В а р а н о в а, ЖЭТФ 20, 183 A950).
760. W. D о г i n g, Zs. Phys. 124, 501 A947).
761. Е. К n e 1 1 е г, В сб. «Beitrage zur Theory des Ferromagnetismus und des Magne-
tisierungskurve», Berlin, 1956, p. 82.
762. M. К e r s t e n, Zs. angew. Phys. 8, 382 A956).
763. R. G ans, Ann. der Phys. 27, 1 A908); 29, 301 A909); Phys. Zs. 11, 988 A910);
12, 1053 A910).
764. M. Samuel, Ann. der Phys. 86, 798 A928).
765. R. Goldschmidt, Phys. Zs. 31, 1059 A930).
766. E. И. Кондорский, ДАН СССР 18, 325 A938).
767. E. И. К о н д о р с к и й, ДАН СССР 20, 117 A938).
768. Е. И. Кондорский, ЖЭТФ 10, 420 A940).
769. М. В. Д е х т я р, ЖЭТФ 9, 438 A939); 8, 1124 A938).
770. В. И. Д р о ж ж и н а, Я. С. Шур, ЖЭТФ 11, 116 A941).
771. Я. С. Ш у р, В. И. Д р о ж ж и н а, ЖЭТФ 17, 607 A947).
772. Л. В. К и р е н с к и й, Д. А. Лаптей, А. И. Д р о к и н, Р. П. Смолин,
ФММ 5, 337 A960).
773. Я. С. Ш у р, Н. А. Б а р а н о в а, В. А. 3 а й к о в а, ДАН СССР 81, 557 A951).
774. Н. А. Баранова, Я. С. Шур, ДАН СССР 94, 825 A954).
775. Я. С. Ш у р, Д. Д. М и ш и н, Ф. Н. Д у н а е в, В. Г. П л е щ е е в, ФММ 20,
939 A965).
776. О. Y a m a d a, Compt. rend. 251, 662 A960).
777. N. Andreescu, E. Labusca, Rev. Roman Phys. 10, 297 A965).
778. H. Schlechtweg, Ann. der Phys., 27, 573 A936).
779. H. Lawton, R. H. Stewart, Proc. Roy. Soc. A193, 72 A948).
780. H. Lawton, Proc. Cambr. Phil. Soc. 45, 145 A949).
781. E. A. T у р о в, Ю. П. И р х и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168 A958).
782. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. Каганов, УФН 71, 533;
72, 3 A960).
783. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 64, 817 A930).
784. А. Жигадло, С. Сидельников, Уч. записки МГУ, вып. 2 A934).
785. Н. С. Акулов, Н. Л. Б р ю х а т о в, Ann. der Phys. 15, 741 A932).
786. Г. М. Аксенов, К. В. Г р и г о р о в, Качественная сталь, № 2, 19 A938);
№ Ю, 44 A935).
787. Е.Титов, ЖТФ 7, 2084 A937); ЖЭТФ 5, 817 A935).
788. Д. И. В о л к о в, ЖЭТФ 5, 952 A935).
789. Н. Kussmann, H. Schlechtweg, Ann. der Phys. 32, 290 A938).
790. Л. Г. Оноприенко, ФММ 13, 149 A962).
791. L. Neel, R. Pauthenet, G. Rimet, V. S. Giron, J. Appl. Phys. 31,
27S A960).
792. J. Pospiech, Acta phys. Polon. 33, 171 A968).
793. R. M. В о z о r t h, H. J. Williams, Phys. Rev. 59, 827 A941).
794. Л. В. Киренский, Изв. АН СССР, сер. физ. 12, 327 A948).
795. Н. С. Акулов, А. Г е л ь ф е н б е й н, Н. Бычков, Zs. Phys. 78, 808
A932).
796. R. G ans, Ann. der Phys. 24,. 680 A935).
797. R. В е с k e г, М. К e r s t e n, Zs. Phys. 69, 660 A930).
798. H. С. Акулов, Л. В. Киренский, ЖЭТФ 9, 1145 A939).
799. И. Яншин, ЖЭТФ 10, 786 A940).
«00. М. А. Грабовский, ЖЭТФ 9, 180 A939); Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 553
A947).
801. Г. С. Г о р е л и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 8, 172 A944).
802. Г. С. Горелик, К. А. Горонина, И.С.Жукова, ДАН СССР, 44, 257
A944).
803. А. Г. Л ю б и н а, Кондидатская диссертация, Горький, 1946.
804. М. К erst en, Zs. Phys. 71, 553 A931); 76, 505 A932); 82, 723 A933); 85, 708
A933); Zs. Metallkde 27, 100 A935).
¦805. F. Forster, K. S t a m b k e, Zs. Metallkde 33, 97 A941).
806. W. К 6 s t e r, Zs. Phys. 124, 455 A948).
— 874 —

807. L. R e i m e r, Zs. angew. Phys. 7, 282, 332 A955).
808. A. Seeger, H. Kronmuller, J. Phys. Chem. Sol. 12, 298 A960).
809. H. T r a u b 1 e, Modern Probleme der Metallphysik, «Bd. II, Chemische Bindung
in Kristallen und Ferromagnetismus, Spinger, Berlin, 1966, p. 157.
810. T. Hoist ein, H. P r i m а к о f f, Phys. Rev. 59, 388 A941).
811. L. Neel, J. phys. rad. 9, 184 A948).
812. L. Neel, J. phys. rad. 9, 193 A948).
813. P. W e i s s, J. phys. rad. 9, 373 A910).
814. W. Steinhaus, E. Gumlich, Verhand. deutsch physik. Geselschaft, 17,
271 A915).
«15. P. W e i s s, R. F о г г е r, Ann. de phys. 12, 279 A929).
816. R. Becker, H. P о 1 1 e y, Ann. der Phys. 37, 534 A940).
817. W. F. В г о w n, Jr., Phys. Rev. 82, 94 A951).
818. В. В. Парфенов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 601 A952); ДАН СССР, 93,
435 A953); 121, 1327 A957); ФММ 16, 827 A963).
819. В. В. П а р ф е н о в, Н. В. III у м к о в, ФММ 1, 427 A955).
820. В. В. Парфенов, В. П. Ворошилов, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1334
A957); ФММ 13, 340, 502 A961).
«21. В. В. П а р ф е н о в, Ю. А. Л о б а с т о в, ФММ 14, 503 A962); 16, 334 A963).
«22. В. В. П а р ф е н о в, Ю. А. Л о б а с т о в, Л. В. Ш и м о л и н, ФММ 14, 503
A962).
823. Н. Kronmuller, A. S e e g e r, J. Phys. Chem. Sol. 18, 93 A961).
824. Н. Kronmuller, Zs. Phys. 157, 574 A959).
825. Н. С. Акулов, Н. 3. М и р я с о в, ДАН СССР 66, 28 A949).
826. Л. В. Киренский, Л. И. Слободской, ДАН СССР 69, 639 A949).
827. Л. В. Киренский, Л. И. Слободской, ДАН СССР 70, 809 A950).
828. Л. В. Киренский, Л. В. Слободской, ДАН СССР 74, 457 A950).
829. Н. С. А к у л о в, К. М. В о л ь ш о в а, ДАН СССР 71, 633 A950); Вестник МГУ
№ 9, 79 A950).
830. К. М. Б о л ь ш о в а, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 590 A952); ЖЭТФ 23, 349
A952).
831. S. Т. Р a n, Acta Sci. Sinica 1, 133 A952).
832. S. T. Pan, Acta Sci. Sinica 9, 15 A953).
«33. H. D a n a n, Compt. rend. 246, 73, 401, 1822 A958).
«34. W. A n d r a, H. D a n a n, Compt. rend. 254, 1225 A962).
835. H. 3. M и р я с о в, ФММ 16, 146 A963).
«36. A. Ah aroni, Phys. Rev. 131, 1478; 132, 105 A963); J. Appl. Phys. 34, 2434;
35, 913 A964).
837. L. P a 1, T. T a r n о с z i, Acta Phys. Hung. 6, 225 A956); Изв. АН СССР, сер.
физ. 21, 1055 A957).
«38. G. F о ё х, Compt. rend. 242, 748 A956).
«39. G. H. Dietrich, E. К n e 1 1 e r, Zs. Metallkde 47, 672 A956).
840. R: Perthel, Monatsberichte deut. Acad. Wiss. Berlin, 7, 348 A965).
841. Б. П. X p о м о в, ФММ 22, 833 A966).
«42. R. Vergne, Phys. stat. sol. 14, 143 A966); J. phys. 27, 309 A966).
843. H. Gessinger, E. Koster, H. Kronmiiller, J. Appl. Phys. 39, 986
A968).
«44. A. H о 1 z, H. Kronmuller, Phys. stat. sol. 28, 755 A968).
845. H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 81, 790 A933).
«46. R. H. d e W a a r d, Phil. Mag. 4, 641 A927).
847. E. P. W о h If a r t h, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, Acad.
Press, N.Y., 1963, p. 351.
848. Э. П. В о л ь ф а р т, Магнитно-твердые материалы, Перевод с англ., Госэнерго-
издат, М.— Л., 1963.
«49. Е. И. К о н д о р с к и й, Сб. «Проблемы ферромагнетизма и магнетодинамики»,
Изд. АН СССР, М., 1946.
«50. Е. В. Ш т о л ь ц, Я. С. Ш у р, ДАН СССР 45, 781 A954).
«51. О. А. Иванов, Я. С. Шур, Е. В. Штольц, ФТТ 9, 1098 A967).
852. М. S a t о, Т. М i t u i, J. Phys. Soc. Japan 19, 5 A964).
853. R. К. Т e n z e r, J. Appl. Phys. 34, 1267 A963).
«54. F. Preisach, Ann. der Phys. 3, 739 A929); Phys. Zs. 33, 913 A932).
855. R. M. Bozorth, J. F. D i 1 1 i n g e r, G. А. К e 1 s a 1 1, Phys. Rev. 45, 742
A934).
«56. H. J. Williams, M. G о e r t z, J. Appl. Phys. 23, 316 A952).
«57. R. M. Bozorth, J. F. D i 1 1 i n g e r, Nature 127, 777 A931).
858. K. H. S t e w a r t, Proc. Phys. Soc. A63, 761 A950); J. phys. rad. 12, 325 A951).
859. H. J. W i 1 1 i a m s, W. S h о с k 1 e у, С h. К i t t e 1, Phys. Rev. 80, 1090 A950).
«60. J. K. Gait, Phys. Rev. 83, 208 A951); 85, 664 A952); Bell Syst. Techn. J. 33,
1023 A954); 34, 439 A955).
«61. J. K. Gait, J. A n d r u s, H. G. Hopper, Rev. Mod. Phys. 25, 93 A953).
«62. R. F о r r e r, J. phys. rad. 7, 109 A926).
«63. Д. С. Штеинберг, Phys. Zs. UdSSR 2, 227 A932); 7, 155 A935).
— 875 —

864. Ф. Д. Мирошниченко, Phys. Zs. UdSSR 10, 540 A940).
865. К. С и к с ту с, УФН 22, 631 A939).
866. В. Д е р и н г, УФН 22, 78 A939).
867. W. D о г i n g, H. H a a k e, Phys. Zs. 39, 865 A938).
868. Н. Н а а к е, Zs. Phys. 113, 218 A939).
869. S. О g a w a, Sci. Rep. Tohoku Univ. Al, 53 A949).
870. Ch. G r e i n e r, Ann. der Phys. 12, 89 A953).
871. W. D 6 r i n g, Zs. Phys. 108, 137 A938).
872. W. F. В г о w n, Jr., Rev. Mod. Phys. 17, 15 A945).
873. H. E к s t e i n, T. Gilbert, Phys. Rev. 79, 214 A950).
874. A. A h a r о n i, Rev. Mod. Phys. 34, 227 A962); J. Appl. Phys. 33, 1324S A962).
875. L. J. Dijkstra, Thermodynamics in Physical Metallurgy, Cleveland, 1950,.
p. 271.
876. L. F. Bates, D. H. Martin, Proc. Phys. Soc. A66, 162 A953).
877. Ch. G r e i n e r, Ann. der Phys. 16, 176 A955).
878. R. W. de В 1 о i s, J. Appl. Phys. 32, 1561 A961).
879. Ch. G u i 1 1 a u d, J. phys. rad. 12, 492 A951).
880. Я. С. Ш у р, А. А. Г л а з е р, Ю. Н. Д р а г о ш а н с к и й, В. А. 3 а й к о в а,
Г. С. Кандаурова, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 553 A964).
881. Н. К о j i m а, К. Goto, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, Sept.,
1964, Inst. Phys. and Phys. Soc, London A965), p. 727.
882. J. Goodenough, Phys. Rev. 95, 917 A954) (перевод в сб. «Магнитная струк-
структура ферромагнетиков», ИЛ, М., 1959, стр. 19).
883. S. Shtrikman, D. Treves, J. Appl. Phys. 31, 147S A960).
884. W. F. В ro wn, Jr. Phys. Rev. 124, 1348 A961); J. Appl. Phys. 33, 3022, 302&
A962); 35, 2102 A964).
885. R. С a r r y, E. D. I s a a c, Brit. J. Appl. Phys. 15, 551 A964).
886. A. Aharon i, E. Neeman, Phys. Lett. 6, 241 A963).
887. С Abraham, Phys. Rev. 135, A1269 A964); 140, A144, A480 A965).
888. А. И. М и ц е к, ФММ 22, 481 A966).
889. G. W. R a t h e n a u, J. S m i t, A. L. S t u у t s, Zs. Phys. 133, 250 A952).
890. A. A h a r о n i, Phys. Rev. 119, 127 A960); J. Appl. Phys. 32, 245S A961).
891. С Abraham, A. A h a r о n i, Phys. Rev. 120, 1576 A960); Rev. Mod. Phys.
34, 227 A962).
892. H. J. Williams, Phys. Rev. 71, 646 A947).
893. M. Kersten, Grundlagen einer Theorie der ferromagnetischen Hysterese und
der Koerzituvkraft, Leipzig, 1944; Zs. Phys. 124, 714 A948).
894. Б. Н. Ф и л и п п о в, ФММ, 22, 343 A966).
894a.L. J. Dijkstra, С. W e r t, Phys. Rev. 79, 979 A950); 81, 312 A951).
895. M. W. M u 1 1 e r, J. Appl. Phys. 38, 2413 A967).
896. Б. К. Вайнштейн, Б. Г. Л и ф ш и ц, ЖТФ 19, 871 A949).
896a.F. Vicena, Чехосл. физ. журн. 4, 110, 419 A954); 5, 11, 480 A955).
897. Z. М а 1 е к, Чехосл. физ. журн. 7, 335 A957).
898. К. Wotruba, Чехосл. физ. журн. 7, 568 A957).
899. И. Я. Д е х т я р, Э. Г. М а д а т о в а, УФЖ 3, 659 A958).
900. И. Я. Д е х т я р, Д. А. Л е в и н а, ФММ 12, 30 A961).
901. Е. Г. К р и в о н о с о в а, Б. Г. Л и ф ш и ц, ФММ 15, 497 A963).
902. Z. Si gut, Чехосл. физ. журн. 14, 717 A964).
903. В. Ф. Н о в и к о в, Д. Д. М и ш и н, ФММ 19, 796 A965).
904. Д. Д. М и ш и н, Р. М. Г р е ч и ш к и н, В. Г. П л е щ е в, ФММ 22, 140 A966).
905. Д. Д. М и ш и н, В. Ф. Н о в и к о в, В. Г. К у р д ю м о в, ФММ 24, 175 A967).
906. В. Ф. Новиков, ФММ 26, 732 A968).
907. R. H. G e i s s, J. S i 1 с о х, J. Appl. Phys. 39, 982 A968).
908. M. Kersten, Zs. angew. Phys. 7, 397 A955); 8, 496 A956).
909. К. Н. Pfeff er, Phys. stat. sol. 21, 857 A967).
910. E. И. Кондорский, ДАН СССР 30, 598 A941).
911. J. W. R а у 1 e i g h, Phil. Mag. E) 23, 225 A887).
912. W. B.Ellwood, Physics 6, 295 A935).
913. O. Y am a da, Compt. rend. 250, 4313 A960); 253, 403 A961); 255, 70 A962).
914. L. В r u g e 1, Compt. rend. 255, 3135 A962).
915. W. H a m p e, Zs. angew. Phys. 14, 498 A962).
916. O. Yamada, T. Nagashima, Compt. rend. 257, 2423 A963).
917. O. Yamada, T. Katayama, Compt. rend. 263, 889B A966).
918. A. Roller, E. Pfrenger, K. Stierstadt, J. Appl. Phys. 39, 869
A968).
919. F. P r e i s а с h, Zs. Phys. 94, 277 A935).
920. E. И. Кондорский, J. Phys. USSR 6, 93 A942).
921. L. N ё e 1, Cahiers Phys. 12, 1 A942); 13, 18 A943).
922. G. В i о г с i, D. P e s с h e t t i, Nuov. cim. 7, 829 A958).
923. J. Bounefous, Compt. rend. 256, 5069 A963).
924. R. Straubel, D. Robaschik, Phys. stat. sol. 16, 237 A966).
925. D. W i d m a n n, Zs. angew. Phys. 20, 516 A966).
— 876 —

<926. L. Neel, Compt. rend. 246, 2313 A958); J. phys. rad. 20, 215 A959).
•926a.N gugen van Dang, J. phys. rad. 20, 222 A959).
¦927. Я. С. Ш у р, ЖТФ 8, 1817 A938).
¦928. С. В. В о н с о в с к п й, ЖТФ 8, 1805 A938); 9, 1151 A939).
929. Я. С. Шур, Г. С. К а н д а у р о в а, Л. Г. О н о п р п е н к о, ЖЭТФ 48, 442
A965).
930. В. В. Д р у ж и н п н, Р. И. Я н у с, ЖТФ 22, 848 A952).
931. Ф. Н. Д у н а е в, С. Н. Иванченко, ФММ 31, 836 A971).
932. В. Р. А б е л ь с, ФММ 10, 305 A960).
933. В. Р. А б е л ь с, Е. Л. Николаева, ФММ И, 851 A961).
934. Е. Г. К р и в о н о с о в а, Б. Г. Л и ф ш и ц, ФММ 14, 930 A962).
935. J. P о s p i e с h, Acta phys. Polon. 34, 111 A968).
936. К. Warburg, Ann. der Phys. 13, 141 A881).
937. U. Adelsberger, Ann. der Phys. 83, 184 A927).
938. L. F. В a t e s, J. C. W e s t о n, Proc. Phys. Soc. 53, 5 A941).
939. L. F. Bates, D. R. Healey, Proc. Phys. Soc. 55, 188 A943).
940. L. F. Bates, G. Marshall, Rev. Mod. Phys. 25, 17 A953).
941. L. F. Bates, N. P. R. Sherry, Proc. Phys. Soc. B68, 642 A955).
942. L. F. В a t e s, H. С 1 о w, J. phys. rad. 20, 93 A959).
943. Я. С. Ш у р, В. Я. Б а р а н о в с к и й, А. И. П о п о в, ЖЭТФ 9, 1512 A939).
«44. Я. С. III у р, ЖЭТФ 17, 238 A947).
945. Я. С. Ш у р, К. Б. В л а с о в, ДАН СССР 69, 551, 647 A949).
946. К. Б. В л а с о в, Я. С. Ш у р, ДАН СССР 66, 1081 A949); ЖЭТФ 21, 39 A951).
947. К. Б. Власов, В. А. Коршунов, ЖТФ 23, 441 A953).
948. М. Rosenberg, Studi si Cercetari de Fizica 8, 321 A957).
949. С W. Chen, J. Appl. Phys. 29, 1337 A958).
950. A. v о n К i e n 1 i n, Arh. Eisenhiittenwes. 29, 661 A958).
951. В. Н. Z i t k а, Чехосл. физ. журн. 8, 375 A958).
952. W. H e 1 1 e n t h a 1, Zs. Naturforschg. 14a, 722 A959); Zs. Phys. 177, 215 A964).
953. В. В. Дружинин, Н. И. М о к р у ш и н а, ФММ 9, 498 A960).
954. D. Krause, Zs. Phys. 168, 239 A962).
955. L. F. В at es, A. J. P acey, Brit. J. Appl. Phys. 15, 1391 A964).
¦956. J. P. H a n t о n, A. H. M о r r i s h, J. Appl. Phys. 36, 1007 A965).
957. H. В i 1 g e r, H. T r a u b 1 e, Phys. stat. sol. 10, 755 A965).
958. H. В i 1 g e r, Phys. stat. sol. 18, 207 A966).
959. А. Т. Е n g 1 i s h, Acta Metal. 15, 1573 A967).
960. D. M. G r i m e s, J. Phys. Chem. Sol. 3, 141 A957).
961. Я. С. Шур, И. Е. С т а р ц е в а, ФММ 2, 568 A956); 6, 614 A958); Изв. АН
СССР, сер. физ. 21, 1240 A957).
962. И. Е. С т а р ц е в а, Я. С. Шур, Труды ИФМ АН СССР, вып. 20, 125 A958);
Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1189 A958).
963. Е. Tatsumoto et al., J. phys. 32, С—1, 550 A971).
964. К. S t r n a t et al., J. phys. 32, C—1, 552 A971).
965. A. E. R ay et al. J. phys. 32, C—1, 554 A971).
966. A. A h a r о n i, Phys. Rev. 123, 732 A961).
967. R. M. В о z о г t h, Zs. Phys. 124, 519 A948).
968. M. К о r n e t z k i, Zs. angew. Phys. 14, 164 A962).
969. O. H e n k e 1, Phys. stat. sol. 6, 365 A964).
970. И. С. Любу тин, ФТТ 7, 1397 A965).
971. D. Pavlovic, K. Foster, J. Appl. Phys. 36, 1237 A965).
972. R. S. Carmichael, Japan J. Appl. Phys. 7, 1247 A968).
973. M. A s a n u m a, S. О g a w a, J. Phys. Soc. Japan 12, 955 A957).
974. F. R. So oh oo, IEEE. Mag.-4,118 A968).
•975. Y. К i k u с h i, IEEE, Mag.-4,107 A968).
976. D. K. Das, Intermag. Conf., Amsterdam, 15—18, April 1968.
977. H. R e i n b о t h, Technologie und Anwendung Magn. Werkstoffe, Berlin, 1958.
978. А. Л. М и к а э л я н, Теория и применение ферритов на СВЧ, ГЭИ, М. 1963.
979. R. J. Parker, R. J.Studdere, Permanent Magnets and their Applications,
Wiley, N.Y. 1962.
980. D. H a d f i e 1 d, Permanent Magnets and Magnetism, Wiley, N.Y., 1962.
981. F. E. L u b о r s k y, J. Appl. Phys. 37, 1091 A966).
982. J. J. В е с k e r, F. E. L u b о r s k y, D. L. M a r t i n, IEEE, Mag.-4, 84 A968).
983. H. W i 1 1 i a m s, M. G о e r t z, R. В о z о г t h, Phys. Rev. 91, 1107 A953).
984. К. П. Белов, P. 3. Левитин, Б. К. Пономарев, J. Appl. Phys. 39,
3285 A968).
985. H. H a w о г t h, Bell Labor. Record 9, 167 A930).
986. G. Hoffer, K. S t r n a t, IEEE Trans. Magnetics, Mag-2, 487 A966).
987. K. J. S t r n a t, Cobalt, 36, 133, Sept. 1967.
988. W. A. J. J. V e 1 g e, К. Н. R u s с h о v, Conf. Magn. Materials and Their Appli-
Applications, London, Sept. 26—28, 1967.
989. K. Strnat, G. Hoffer, J. Olson, W. Ostertgard, J. Becker,
J. Appl. Phys. 38, 1001 A967).

Глава 24
МАГНИТНО-УПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЕЩЕСТВА
В ПЕРЕМЕННЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
И ВРЕМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ
Магнитные свойства ферромагнетиков существенно зависят от вре-
времени. Эта зависимость проявляется как при квазистатическом намагни-
намагничивании, так и при.намагничивании с конечной скоростью в переменных
полях. Исследование временной зависимости магнитных свойств имеет
большое практическое значение в связи с широким применением ферро-
ферромагнитных материалов. Важна также стабильность магнитных свойств
во времени. Теоретическое изучение временной зависимости магнитных
характеристик имеет и принципиальный интерес, позволяя глубже рас-
раскрыть физический механизм процессов намагничивания.
Среди разнообразных временных явлений в ферромагнетиках можно
выделить в качестве основных следующие: а) дисперсия магнитной про-
проницаемости, б) ферромагнитный резонанс и в) магнитное последействие
и старение, возникающие в ферромагнетиках в переменных полях раз-
различной частоты и связанные с изменениями их магнитной и кристалли-
кристаллической структуры в результате структурных и химических превращений.
Все эти эффекты в той или иной степени наблюдаются также в ферри-
и антиферромагнетиках.
§ 1. Дисперсия магнитной проницаемости
(феноменологическая трактовка)
1. Учет магнитной вязкости и скин-эффекта. Необратимые процессы
намагничивания в ферромагнетиках вызывают отставание изменений
намагниченности от изменений магнитного поля (магнитный гистерезис),,
даже если эти изменения бесконечно медленные (квазистатические}.
С увеличением скорости изменений поля (периодических и апериодиче-
апериодических) сдвиг фаз между намагниченностью I и магнитным полем Н воз-
возрастает, и запаздывание намагниченности I обусловливается не только
«статическим» гистерезисом, но и конечностью скорости изменения поля
Н. Это добавочное запаздывание называют магнитной вязкостью. В релеев-
ской области очень слабых полей (см. гл. 23, § 13, п. 5) при их квазиста-
квазистатическом изменении ферромагнитную среду можно феноменологически
описывать с помощью обычной электродинамики с постоянными магнит-
магнитной (\л) и диэлектрической (е) проницаемостями. Однако с увеличением
скорости изменений поля Н такое описание делается слишком грубым,
и обычная система уравнений электродинамики требует обобщений,
учитывающих магнитную вязкость.
Такое обобщение для вязких ферромагнитных сред впервые дал
Аркадьев [1, 2] *), предложивший обобщенный закон электромагнитной
индукции. В дифференциальной форме (для синусоидально изменяющихся
величин) это обобщение имеет вид
-^^-, B4.1)
*) См. также двухтомную монографию Аркадьева A934, 1936) и сборники под,
его редакцией [3—5].
— 878 -

где р — магнитная проводимость, характеризующая влияние магнитной
вязкости на э. д. с. индукции в ферромагнетике. Если векторы Е и Н
записать в комплексной форме
Е* = Ео exp [i (at + 6t)] и Н* = Н0 exp [i (cost + б2)],
то
_ i дН*_ Т дН* 2, 2
где со— циклическая частота, а Г=2л;/(о — период электромагнитных
колебаний. Подстановка B4.2) в B4.1) дает
М. B4.3)
Введем сокращенные обозначения:
B4.4)
И- — ёр' = |*', B4.5)
где \i' — комплексная проницаемость. Если \л и р' не зависят от времени,
то B4.3) можно записать в виде
^ill^L B4.6,
и определить комплексную магнитную индукцию
В* = \л'Н*, B4.7)
где
B* = Boex-p[i(ad + 63)]. B4.8)
Из сравнения B4.5), B4.8) и B4.7) находим выражение для сдвига
фаз между полем и индукцией и связь между амплитудами индукции
и поля
tgF3-62) = -?-, B0=VWW2H0. B4.9)
Аркадьев A936) величину ц, называет упругой проницаемостью; она
определяет запас обратимой магнитной энергии ферромагнетика
Wh = vl^, B4.10)
которая возвращается при его размагничивании; величина р' именуется
вязкой проницаемостью и определяет величину необратимых потерь на
гистерезис,
WrBCT=p'^-; B4.11)
наконец, величину
называют полной или амплитудной проницаемостью. Эта феноменологи-
феноменологическая теория получила дальнейшее развитие в работах Аркадьева A936),
Розовского [6], Тихонова [7], Беккера [8], Хинце [9] и др. Была учтена
зависимость проницаемостей \л, р' от напряженности магнитного поля.
Например, в случае слабых изменений поля можно по Релею (см. гл. 23)
ввести
A = 11,, +е'Я и р' = Ь#. B4.13)
Введенский [10], учитывая эффект вихревых токов, но не рассматри-
рассматривая магнитной вязкости, решил задачу о намагничивании ферромагнит-
ферромагнитного цилиндра в периодическом и апериодическом магнитном поле.
— 879 —

Эффект вихревых токов в проводящих ферромагнитных веществах
представляет собой одну из основных причин, обусловливающих сдвиг
•фаз между намагниченностью и внешним переменным магнитным полем.
По закону индукции Фарадея всякое изменение магнитного потока в про-
проводящей среде создает в ней э. д. с, которая в свою очередь создает
электрические вихревые токи (токи Фуко). По правилу Ленца магнитное
поле этих токов направлено против вызвавшего их внешнего поля. Поэто-
Поэтому токи Фуко оказывают экранирующее действие и амплитуда внешнего
переменного поля (и соответствующая намагниченность) быстро затухает
с удалением от поверхности внутрь металлического образца (скин-эффект).
Можно ввести некоторую характерную длину, так называемую глубину
скин-слоя бскин, на которой амплитуда поля уменьшается в е раз. В слу-
случае бесконечной плоскопараллельной пластины при частоте поля со и по-
постоянной проницаемости вещества \i для глубины скин-слоя получаем
6скин= (шо|г) '
В предельном случае низких частот Fскин3г1, d — толщина пластинки)
потери на токи Фуко можно вычислить интегрированием величины ру2
по объему пластины (/ — плотность тока):
где а = jtd2/3p и Во ¦= \лН0.
Если учесть формулы B4.13) и B4.11), то для полных потерь Wa0}lH
находим
В2 — 4[х3
здесь с — не зависящая от Во и со величина. Это полуфеноменологиче-
полуфеноменологическое уравнение довольно хорошо описывает потери в проводящих фер-
ферромагнетиках (см., например, [11]).
Исследования Введенского [10] дополнил Тихонов [7], который учел
влияние магнитной вязкости. Дивильковский и Филиппов [12, 13] про-
произвели расчет эффекта вихревых токов для ферромагнитного шара. Они
дали также новый метод определения проницаемости в переменных полях
с помощью измерения нагревания ферромагнитного шарика под действием
вихревых токов (и отчасти гистерезиса), возникающих при помещении
шарика в переменное поле. Рытов [14] разработал новый способ прибли-
приближенного расчета поверхностного эффекта по методу малых возмущений.
Маш и Енушков [15] и Маш [16] использовали метод Дивильковского
для измерений проницаемости железа в переменных полях с длиной волны
Л, от 4 до 20 м и обнаружили монотонный рост ц, с увеличением К. Снук
[17] учел влияние размагничивающего действия поверхности ферромаг-
ферромагнитного образца на возникающие в нем при намагничивании вихревые
токи.
2. Частотная зависимость магнитной проницаемости. Опыт показы-
показывает, что проницаемость ферромагнетиков падает с увеличением частоты
намагничивающего поля. В области частот видимого и инфракрасного
света (для длин волн Я та 30 \л или частот v = 107 Мгц = 1013 сек'1),
как показали Хаген и Рубенс [18], ферромагнетики теряют свои характер-
характерные магнитные свойства и их восприимчивость оказывается при этих
частотах такой же, как и у обычных металлов, т. е. [х « 1. Из опыта также
известно, что в области низких частот (до v « 102 Мгц = 108 сек'1) про-
проницаемость ферромагнетиков меняется сравнительно мало. Таким обра-
образом, основной спад проницаемости происходит в интервале частот от 102
до 107 Мгц. На неизбежность существования такого спада впервые указал
Аркадьев [19]. Опыты Аркадьева и его школы [20—23], а также работы
[24—27] по измерению магнитной проницаемости большого числа ферро-
— 880 —

магнетиков в широком интервале частот внешнего поля полностью под-
подтвердили теоретические предположения Аркадьева о дисперсии магнит-
магнитной проницаемости *). На рис. 24.1 приведена общая схематическая
картина магнитного спектра ферро-
ферромагнетиков по Аркадьеву [5]. Из этой
схемы видно, что со стороны длин-
длинных волн (низких частот) на кривой
упругой проницаемости \i(v) име-
имеются «ступеньки» и соответствующие
им размытые максимумы на кривой Ю " 10\" се
вязкой проницаемости p'(v), отве-
отвечающие ПОЛОСаМ ПОГЛОЩеНИЯ. СоГЛаС- ^мт™м^п^%?ттва*
НО Аркадьеву [5], ПРИЧИНОЙ ЭТОГО гой» (ц) и «вязкой» (р') прошщаемостей пона-
ПОГЛОЩеНИЯ МОГут ЯВЛЯТЬСЯ Вихревые *ано распределение шлос магнитной дисперсии
токи и магнитная вязкость. Со сто-
стороны коротких волн (высоких частот) наблюдается магнитный резонанс:
аномальная дисперсия на кривой ц, (v) и резкий максимум на кривой
р' (v). Аркадьев [5] дал феноменологическое описание наблюдаемых
на опыте магнитных спектров. Эти работы получили дальнейшее развитие
в исследованиях Кирко [28], Каткова и Поливанова [29], Фоменко [30],
§ 2. Влияние доменной структуры на дисперсию
магнитной проницаемости
1. Случай идеального кристалла (без учета потерь на гистерезис).
Аркадьев [31] первый указал, что причиной дисперсии магнитной про-
проницаемости могут явиться «микроскопические» вихревые токи, вызванные
перемагничиванием доменов. Позже [32] он качественно разработал эту
идею.
Ландау и Лифшиц [33] впервые дали количественный расчет диспер-
дисперсии магнитной проницаемости на основе современных представлений
о механизме процессов намагничивания, для простейшего случая магнит-
магнитно-одноосного идеального кристалла (лишенного гистерезиса). В случае
изолированного элементарного магнитного момента его поведение при
намагничивании определяется только внешним магнитным полем. В фер-
ферромагнетике имеется сильная связь между атомными магнитными момен-
моментами. Приближенно эту связь можно описать «эффективным полем»:
B4.14)
где А — интеграл обмена, & a — постоянная кристаллической решетки,
I"s — вторая производная намагниченности насыщения, Isz — z-компо-
нента намагниченности (внешнее поле Н \\Oz), К — константа магнит-
магнитной анизотропии, п — единичный вектор в направлении оси z. Поле /
не может вызвать поворота вектора Is, вызывая лишь его прецессию
вокруг направления/согласно уравнению
где g' = elmc [см. B.6)]. Поворот вектора I s к направлению/может быть
вызван лишь магнитным взаимодействием. Последнее мало по сравнению
с электрической обменной связью, поэтому в первом приближении урав-
уравнение движения для Is будет иметь вид
B4.15)
*) Относительно специфических особенностей оптических свойств упорядочен-
упорядоченных веществ в микроволновой, инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой области
см. гл. 25.
56 с. В Вонсовский —~ 881 —'

Второй член в правой части B4.15) является вектором, направленным,
от Is к /. Коэффициент гт — малый параметр, определяющий величину
слабых (релятивистских) магнитных сил, имеет размерность намагни-
намагниченности (em.<^ /s). Решение уравнения B4.15) для случая граничного
слоя двух плоскопараллельных доменов A80°-соседство) дает [33] для
скорости смещения слоя v выражение
„^(JI+bSJ DI/2Я. B4.16)
При этом для комплексной проницаемости при намагничивании вдоль
легкой оси найдено
где бгр — эффективная толщина граничного слоя между доменами, d —
средний линейный размер образца, со — круговая частота внешнего маг-
магнитного поля. При такой ориентации намагничивающего поля резонанса
нет, и мы имеем чистое затухание. Из B4.17) и B4.5) находим, что \i — 1
и р' ~ со; тогда при со ->- 0 р' -*¦ оо. Это безграничное возрастание
вязкой проницаемости объясняется тем, что при выводе B4.17) не учтен
магнитный гистерезис и вихревые токи.
Когда поле перпендикулярно оси легчайшего намагничивания, тео-
теория- [33] дает
?^ B4-18>-
где
соо = ?'-^ B4.19>
—«собственная» круговая частота смещающихся границ между доменами,
у = g'Kem/Il — декремент затухания этих смещений. Если принять
К да 5 -105 эрг/см3, a /s да 103 гс и g' = | е | /тс да 5 -107, то получим
v0 = (o0/2n = 1,5 «104 Мгц и Яо = 2jtc/co0 « 12,6 см; вблизи частоты соо,
наблюдается аномальная дисперсия (резонанс) на кривой ц,' (со), как
это ранее показал Аркадьев A934). При малых частотах (со <^ со0) фор-
формула B4.18) в пределе дает статическую проницаемость \л^_ = 1 + Anil/К
(см. гл. 23), а при очень больших частотах (со ^> соо) проницаемость
jij_-»-l.
2. Учет магнитных неоднородностей и потерь. Р. Беккер [34, 35]'
(см. также [36—40]), используя идею Аркадьева, рассчитал зависимость
проницаемости от частоты по той же схеме, что и Ландау и Лифшиц [33],
но для более простой модели (без учета деталей распределения спонтанной
намагниченности /s в граничном слое). Однако Беккер учитывал неод-
неоднородности в материале (конечность \л\\ при со = 0) и необратимые смеще-
смещения границ. Этот учет приводит к тому, что в выражении для [х[| появ-
появляется собственная частота
-^. B4.20).
где а — удельная электропроводность, d — линейные размеры доменов,
с — скорость света, %а — статическая начальная восприимчивость, кото-
которая у Ландау и Лифшица принимается равной бесконечности. Эта частота
©oji определяет собой начало заметного спада проницаемости с частотой.
Оценка (й0ц/2я по формуле B4.20) дает величину 2-109 гц (Хоц да 15 см),
т. е. такого же порядка, как и для (о0 в B4.19). Величины со0 и со0|| зави-
зависят от размеров доменов (d), а следовательно, в силу B3.40) могут зависеть
и от размеров образцов.
Беккер определил также вторую критическую частоту (Ооц, связан-
связанную с @оц соотношением
сооц да 0,01@оц.
— 882 —

Частота со'оjt обусловлена необратимыми смещениями и связана с нача-
началом интенсивного «исключения» необратимых процессов смещений. Таким
образом, надо ожидать, что необратимые процессы начинают затухать
при более низких частотах. Этот вывод теории находится в хорошем
согласии с опытом.
Дёринг [41] в несколько иной форме повторил вычисления [33—35]
и ввел понятие эффективной массы тгр граничного слоя:
°
B4.21)
где п — число элементарных магнитных моментов в единице объема, у0 —
плотность энергии неподвижного граничного слоя между доменами,
а д — угол половинного раствора конуса, образованного векторами Is
граничного слоя. Численная оценка дает ттр ж 6 • 101 г/см2. Для резонанс-
резонансной частоты сооц смещения границ Дёринг получил несколько иное выраже-
выражение, чем Беккер, а именно:
<*o\\ = H(<Whvd)~1'2, B4.22)
которое дает значение (о0ц/2я = 3,5 -109 гц. Существенное отличие B4.22)
от B4.20) заключается в том, что в формулу B4.22) не входит удельная
электропроводность. Эти же результаты более простым и наглядным
способом получил Беккер [36, 37] *).
Радо и др. [45, 46], производя измерения на магниевом феррите,
сумели выделить проницаемость, обусловленную одними процессами
смещения [%см, см. формулу B3.57)]. Благодаря малости эффектов зату-
затухания в этом материале им удалось наблюдать инерциальный член в %см,
обусловленный эффективной массой. Вопросы динамики смещения домен-
доменных границ детально рассмотрены в обзоре Киттеля и Галта [47]. Там же
можно найти более полную библиографию до 1956 г.
Поливанов [48, 49, 5] показал, что наблюдаемые изменения магнит-
магнитной проницаемости не всегда являются истинными характеристиками
вещества. Макроскопическая неоднородность намагниченности или маг-
магнитная вязкость могут привести к кажущейся зависимости проницаемо-
проницаемости от частоты внешнего поля. Истинная зависимость ц, (со) может быть
вызвана лишь существованием доменов. Поливанов подробно исследовал
простую модель ферромагнетика с плоскопараллельными доменами и полу-
получил кривые \л (со) и р'(со), качественно полностью согласующиеся с опыт-
опытными данными **). Он также указал, что при расчете кривой ц, (со) надо
принимать во внимание не только «микроскопические» вихревые токи
(которые учитывал Беккер), но и обычные макроскопические.
Аналогичные расчеты провел также Киттель [55]. При частотах
выше 100 Мгц глубины проникновения переменного поля в толщу ферро-
ферромагнитного металла в общем случае меньше, чем равновесные линейные
размеры доменов A0~3 — 10~4 см). Поэтому при таких частотах обычные
представления о квазистатическом механизме намагничивания неприме-
неприменимы, так как приложенное переменное магнитное поле не в состоянии
действовать на весь объем домена. В связи с этим Киттель [55], следуя
*) Перекалина и др. [42] рассчитали эффективную массу и резонансные частоты
доменной границы в феррите по методу Дёринга [41], который пользовался прибли-
приближением К/2л13 <^1, ав [42] рассмотрен противоположный случай: K/2nIs ^> 1. Резуль-
Результаты различаются лишь численными коэффициентами. Эффективная масса и резонанс-
резонансные частоты получены в работе Уинтера [43], посвященной проблеме ЯМР в доменной
границе (см. гл. 26). В диссертации Оноприенко [44] показано, что результат [43]
совпадает с результатами Дёринга и Беккера. Спектр частот колебаний намагничен-
намагниченности ферромагнетика с периодической доменной структурой (модель Широбокова)
приведен в [590].
**) Аналогичные расчеты провели Неель [50] и Брувер [51]. Опытная, проверка
теории проведена в работах [52—54].
— 883 — 56*

Аркадьеву A936) и повторяя более упрощенный расчет Поливанова [48],
вычислил эффективную магнитную проницаемость. Обычное определение
проницаемости как отношения индукции к полю не соответствует при
высоких частотах величинам, наблюдаемым на опыте. В области маг-
магнитной дисперсии это отношение может изменяться от точки к точке
внутри образца как по амплитуде, так и по фазе. Детальное определение
этого своеобразного «поля проницаемости», даже если бы это было воз-
возможно, практически было бы менее полезно, чем введение эффективной
проницаемости. Один из приемов введения эффективной проницаемости
заключается в том, что с помощью уравнений электромагнитного поля
вычисляется комплексная величина полного сопротивления образца
переменному току (импеданс)
ZTeOp(M-, СО) = Яте0р(М<. СО)-НХтеор(М<. СО) B4.23)
при заданных значениях частоты внешнего поля со и проницаемости \л.
Предположим, что опыт дает
(СО) = Дзксп (СО) + ^зксп (©). B4.24)
B4.25)
Тогда эффективная проницаемость цЭфф определяется из условия
^теор (М-эфф* СО) = Z8KCn (CO).
Из B4.25) находим [гЭфф в виде комплексной функции частоты со. Таким
образом, для определения р,эфф требуется измерить как омическую (R),
так и индуктивную (X) часть
импеданса. Вещественную эф-
эффективную проницаемость \iR
можно также
уравнения
Лтеор (.Ur, СО) =
определить из
и
(СО) B4.26)
аналогично проницаемость
о) из уравнения
, Со)= Хэксп(со). B4.27)
Частота- ?,Мгц
Рис 24.2. Сравнение теоретических кривых для про-
ницаемостей nR(v) и nb(v) (соответственно определяе-
определяемых через омическую и индуктивные слагаемые им-
импеданса) с опытными данными для Fe, l—[56],
2—[57], 3—[58], 4—[59], 5—[60], 6—[61], 7—[62]
(Киттель [55]).
Отсюда видно, что между
и \ir с \jll не существует про-
простой связи. Киттель [55] провел
расчет для простой модели доме-
доменов в тонком ферромагнитном
образце и получил удовлетвори-
удовлетворительное качественное согласие
между своими вычислениями и
общим ходом опытных кривых
для \jlr (со) и \iL (со) по данным различных авторов [56—62]. Результаты этого
сравнения для случая образцов Fe приведены на рис. 24.2. Существенно,
что теория предсказывает, что кривая \х,ь (со) должна идти ниже кривой
R (со). Такой же ход кривых теоретически впервые предсказал Аркадьев
, 2] и обнаружил его на опыте [см. также Аркадьев A936)].
На дисперсию проницаемости, кроме вихревых токов, оказывает
заметное влияние форма образцов (размагничивающий фактор) и энергия
магнитной анизотропии, а также форма доменов.
3. Случай ферромагнитных полупроводников. Частотную зависи-
зависимость начальной проницаемости проще всего изучать в ферромагнитных
полупроводниках — ферритах, ибо в них из-за малости удельной элек-
электропроводности можно пренебречь влиянием вихревых токов даже в микро-
микроскопическом смысле. Согласно B3.57) полная восприимчивость склады-
складывается из восприимчивости, обусловленной процессами вращения (%вр)
и процессами смещения (%см)- В общем случае для квазистатического
— 884 -

намагничивания поликристаллического материала
xSp»-^, B4-28)
где К — константа магнитной анизотропии. Частотная зависимость может
быть получена из формулы Ландау и Лифшица [33] B4.15). Согласно
Киттелю [63], если пренебречь эффектом размагничивания поверхности
образца, то решение уравнения B4.15) имеет вид
Хвр V»)
7
Авр
и резонансная частота
co0 = g'^ = ^- B4.30)
's dXBp
определяется по формуле B4.19). В предельном случае em^Is имеет
место резонанс
Хвр И 1
а при em 5> Is релаксация
Хвр N
Хвр
Снук [64] исследовал дисперсию проницаемости и поглощения в фер-
ферритах в той же области частот. Результаты своих опытов он объясняет
по теории Ландау и Лифшица как особый тип резонанса при процессах
намагничивания в виде чистого вращения. Он получил также формулу
для величины критической частоты со0, совпадающую с B4.30).
Для вычисления восприимчивости смещения %см заметим, что в ква-
квазистатическом режиме при намагничивании магнитно-одноосного кри-
кристалла вдоль легкой оси смещение граничного слоя Ах, вызванное изме-
изменением поля АН, равно
Ах = -^- АН,
где 7г — «квазиупругий коэффициент» граничной энергии слоя [подробнее
см. Вонсовский и Шур A948)] и, следовательно,
4/2
ЗЙ" = 1Г5'' B4'31)
где S — величина поверхности границ между доменами в единице объема
ферромагнетика. Используя формулу B4.16), можно получить результат
рующее уравнение для смещения границы в переменном поле
B4.32)
Отсюда по аналогии с B4.31) получаем
^г -- . B4.33)
21,Sv
Таким образом, зависимость восприимчивости процессов смещения
от частоты (для одноосного кристалла!) носит релаксационный характер
— 885 —

2IsSv
,-"¦
—"^
1
ч
1
\
I
г
\
:
1
- MgO ¦ Fb203
Л
\
1°
\
f
I
J
1
Рис. 24.3. Зависимость магнитной проницаемости ц
(вещественной части) от частоты v внешнего магнит-
магнитного поля для магниевого феррита (Уелч и др. [65]).
с частотой релаксации
B4.34)
численная оценка сорел по Киттелю [63] (при /s ~ 103 гс, S ~ 103 см2,
%см ~ Ю2 гс'в~г и vH~x ~ 103 см-сек'1) дает величину co/2jt ж 107 гц.
В материалах с очень высокой проницаемостью %?м частота релаксации
(Орел может быть и меньше 106 гц. Измерение частотной зависимости
восприимчивости в ферритах
^дп\ j.^i | i | | | | | произвели, например, Уелч и
др. [65] (см. рис. 24.3). Обзор
работ по магнитным спектрам
ферритов до 1958 г. дан в рабо-
работе Фоменко [30] [см. также
книгу Кнеллера A962) и работу
Ахиезера и Пелетминского [86]].
§ 3. Ферромагнитный резонанс,
_д^\ | III I I 'I II однородные магнетостэтические
' 10 20 50 /00 200 500 1000 2000 5000 WOOD колебания *)
Частота V, Мгц
1. Общие замечания. В на-
начале гл. 13 уже отмечалась воз-
возможность избирательного (резо-
(резонансного) поглощения энергии
электромагнитного поля электронной системы веществ, связанного с кван-
квантовыми переходами в этой системе между дискретными зеемановскими
уровнями энергии, возникающими в присутствии магнитного поля. Там
же был рассмотрен случай электронного парамагнитного резонанса (ЭПР).
Здесь мы рассмотрим аналогичное явление в ферро- и антиферромагнети-
антиферромагнетиках: электронный ферромагнитный резонанс (ЭФР) и электронный анти-
антиферромагнитный резонанс (ЭАФР).
При изучении ЭФР, так же как и в случае ЭПР, используется следую-
следующая методика: с помощью постоянного магнитного поля ферромагнитный
образец намагничивается до насыщения и исследуется намагниченность,
создаваемая наложенным радиочастотным микроволновым переменным
полем, обычно с небольшой амплитудой. Впервые идею о ферромагнит-
ферромагнитном резонансе высказал в 1911 г. Аркадьев (см. [1, 2, 3]), развивший клас-
классическую теорию .этого явления. Теоретическому и опытному исследова-
исследованию ЭФР посвящены последующие работы Аркадьева [74, 75], а также
работа Дорфмана [76]. Акулов [77] впервые рассмотрел вопрос о влиянии
параллельного и перпендикулярного подмагничивающего полей на маг-
магнитные спектры ферромагнетиков. Начало современной теории явления
ферромагнитного резонанса с учетом структуры доменов было положено
работой Ландау и Лифшица [33]. В настоящее время ферромагнитный
резонанс является предметом детальных теоретических и эксперимен-
экспериментальных исследований. Завойский [78] получил резонансные кривые
на Ni, сплавах Fe — Si и альни. На рис. 24.4 приведена типичная кривая
резонанса, снятая для Ni. По оси ординат отложена производная dQIdH^
поглощения (наблюдаемого на опыте) по переменному полю (с длиной вол-
волны X — 8,62 см), а по оси абсцисс — величина постоянного поляризую-
поляризующего магнитного поля Н. Аналогичные резонансные пики наблюдал
также Гриффите [79]. Снук [64] обнаружил ферромагнитный резонанс
в ферритах.
*) См. обзоры Радо [66], Уокера [67], Фонера [68], Деймона [69], Хааса и Кал-
лена [70], Кеффера [71] и книгу Ахиезера, Барьяхтара и Пелетминского A967) и сб.
«Ферромагнитный резонанс» [72].
— 886 —

ЦэЛ
Особенности резонансных явлений в ферро- и антиферромагнетике
определяются прежде всего тем, что в этих веществах имеют дело не с изо-
изолированными атомами или со сравнительно слабо взаимодействующими
ионными моментами обычных парамагнитных тел, а со сложной системой
сильно взаимодействующих электронов. Обменный характер этой связи
приводит к возникновению в кристаллической решетке ферро- или анти-
антиферромагнитного атомного порядка. Хотя само обменное (электростати-
(электростатическое) взаимодействие при условии однородной намагниченности кри-
кристалла и не оказывает непосредственного влияния на резонанс, но оно
создает большую результирующую на-
намагниченность (или намагниченность
подрешеток), а с ней и большое внутрен-
внутреннее магнитное поле. При изменениях
величины и ориентации намагниченно-
намагниченности I всего кристалла или в подрешет-
ках могут возникнуть такие ситуации,
которые способны существенно изменить
условия резонанса A3.57). В простей-
простейшем случае учет влияния внутренних
взаимодействий сводится к замене в
формуле A3.57) внешнего поля Н0 неко-
некоторым эффективным полем ?ГЭфф [см.
A3.57а)]. При этом уже нельзя опреде-
определить фактор у по формуле A3.57) через
внешнее поле Н0 и частоту <аре1}, посколь-
поскольку величина эффективного поля НЭфф за-
заранее может быть неизвестна (в тех слу-
случаях, когда вообще можно ввести Н3$$).
2. Классическая теория ферро-
ферромагнитного резонанса*). Формула A3.57)
носит классический характер, поэтому и задачу магнитного спино-
спинового резонанса в первом приближении можно рассматривать класси-
классически, как задачу об «опрокидывании» магнитного волчка, для которого
магнитный и механический моменты связаны классическим уравнением
движения
— =-у[1-Н] (Н = Н^ + Н0) B4.35)
под действием высокочастотного магнитного поля Н„, перпендикулярно-
перпендикулярного оси прецессии (т. е. к постоянному полю Но). Это опрокидывание про-
происходит, когда частота со поля Н_ совпадает с частотой ларморовской
прецессии со0, определяемой формулой A3.57). Вблизи этой частоты маг-
магнитная восприимчивость магнетика должна зависеть от частоты пере-
переменного поля (дисперсия), а также должен наблюдаться максимум погло-
поглощения энергии. Если ограничиться случаем слабых переменных полей
Н~ <С Но, то легко показать, что намагниченность, созданная перемен-
переменным полем, будет линейно расти с увеличением амплитуды этого поля
(линейное приближение).
Считая эффект переменного поля слабым, можно принять
Рис. 24.4. Резонансная кривая для № за-
зависимости SQ/SH_ — производной погло-
поглощения Q по переменному полю Н^ от ве-
величины постоянного поляризующего поля
Я (Завойский [78]).
Статическая намагниченность 10 параллельна подмагничивающему полю
Но, а вектор высокочастотной (ВЧ) намагниченности т — малая гармо-
гармонически изменяющаяся величина. Тогда из B4.35) в первом приближении
{по т и Н,.) находим
-5T=-V
-т lmH0].
*) См. Скроцкий и Курбатов [121].
— 887 —

Решение этого уравнения относительно т имеет вид
или
где динамическая восприимчивость
определяются соотношениями
I, B4.35a)
fX (#-)», rnz = Q, B4.356)
и вектор гирации G (см. гл. 15)
Хо
1-(@/@0J '
„ ХоТ
1-(со/со0J
где зСо — восприимчивость в постоянном поле Но (при ,ff_ = 0). Следова-
Следовательно, в скрещенных постоянном Н0 и переменном if _ магнитных полях
изотропный ферромагнетик становится гиротропным. Из B4.356) видно,
что вектор ВЧ намагниченности т вращается в
плоскости ху, нормальной к полю Но (рис.
24.5). Опытное доказательство этого вывода
впервые получил Бельжерс [80]. Обращение
% в бесконечность при резонансе (со = со0)
означает лишь, что не учтены процессы зату-
затухания (релаксации), связанные с внутренними
взаимодействиями магнитной системы. Учет
затухания в уравнении B4.35) приводит к тому,
что в линейном приближении восприимчивость
% будет комплексной величиной
&. B4.37)
Рис. 124.5. Прецессия вектора
намагниченности I = 1„ -\- т в
статическом магнитном поле Л„
и высокочастотном магнитном
поле Л
Мнимая составляющая восприимчивости %2
пропорциональна синусу разности фазовых уг-
углов переменного поля и намагниченности, она
характеризует скорость поглощения [см. B4.5I
переменного поля магнитной системой, т. е.
мощность поглощения (Р = <й%2Н%). Учет
затухания обусловливает не только конечную
ширину резонансной линии, но также приводит'к некоторому смеще-
смещению максимума этой линии, т. е. к смещению резонансной частоты.
Типичные ферромагнетики обладают большой самопроизвольной
намагниченностью (порядка 103 гс), поэтому магнитное резонансное
поглощение в них особенно велико. Действительно, оно пропорционально
восприимчивости и поэтому по крайней мере на три порядка величины
больше, чем в парамагнетиках. Важным влияющим на ЭФР фактором
является существование в ферромагнетиках сильных внутренних полей
магнитной анизотропии. Благодаря этому эффективное поле Д^фф зависит
от симметрии кристалла, от формы образца, от намагниченности I, от ее
направления и направления внешнего магнитного поля Но по отношению
к кристаллографическим осям и к поверхностям, ограничивающим
образец.
Наряду с анизотропией ЭФР, связанной с кристаллографической
анизотропией ферромагнетиков, возникает еще анизотропия, связанная
с формой образца. Конечность размеров образца, как правило, приводит
к неоднородностям намагниченности и, следовательно, к неоднородно-
стям условий резонанса в разных участках объема образца. Первый тип
этих неоднородностей связан с наличием доменов в ненасыщенном образце.
Доменная структура может оказать существенное влияние на условия
резонанса (см. § 8).
Обычно ферромагнитный резонанс исследуется в состоянии магнит-
магнитного насыщения, когда внешнее поле разрушает доменную структуру
и весь образец обращается в один домен. Однако такое однодоменное
— 888 —

100
50
10
5
состояние образца не может еще означать, что достигнута полная одно-
однородность намагниченности по всему объему. При произвольной форме
образца размагничивающее поле поверхности может быть неоднородным,
что и приводит ко второму типу неоднородности намагниченности в фер-
ферромагнетике. Лишь в частных случаях, когда образец ограничен поверх-
поверхностями второго порядка (эллипсоид, сфера, бесконечный круговой
цилиндр и т. п.),, размагничивающее поле, а вместе с ним намагниченность
ферромагнетика* в однодоменном состоянии ^
при однородном внешнем поле Но также
однородна.
Заметим, что внутреннее магнитное поле
в ферромагнетике может быть обусловлено
не только кристаллографической магнитной
анизотропией и размагничивающим действием
поверхностей, но также упругими напряже-
напряжениями, поскольку из-за явления магнито-
стрикции ориентация самопроизвольной на-
намагниченности в ферромагнитном кристалле
может сильно зависеть от величины и ориен-
ориентации внешних и внутренних упругих напря-
напряжений.
3. Особенности резонанса в металлических об-
образцах. Существенное влияние на условия резонанса
в металлических ферромагнетиках может оказать
скин-эффект, который, так же как и размагничиваю-
размагничивающий эффект поверхности образца, будет приводить
к неоднородности ВЧ поля. В случае полей санти-
сантиметрового диапазона (СВЧ) в металлах глубина про-
проникновения поля равна всего лишь Ю—10 см.
Поэтому переменное магнитное поле может быть
однородным по объему ферромагнитного металла,
только если образец состоит из очень мелких частиц.
В связи с этим проводились измерения ЭФР на ме-
металлических коллоидальных суспензиях (Баггли
[81]). Однако большинство измерений ЭФР в метал-
металлах проводилось на образцах в виде пластин или дисков, которые, как правило, пред-
представляют собой часть стенки резонансной полости. На рис. 24.6 приведена типичная
резонансная кривая (по измерениям Ягера [82]) для металлического образца (супер-
маллоя) для «кажущейся» проницаемости и.г (Я), связанной с обычной комплекс-
комплексной проницаемостью |л* = |л -\- sp' B4.5) формулой
Цг=(ц2+р'2I/2+р,. B4.38>
Именно эта величина |лг и интересует нас, поскольку поглощаемая мощность пропор-
пропорциональна |ЛГ.
Действительно, из электродинамики известно, что энергия поглощения в плоском
металлическом образце пропорциональна вещественной части входного импеданса Z,
который определяется для плоской волны, распространяющейся по нормали z к пло-
плоскости образца, как Z = —Еу/Нх. Импеданс вычисляется из уравнений Максвелла.
В случае металлов с большой удельной электропроводностью а можно пренебречь током
смещения е (dEldt). Тогда, применяя операцию rot к уравнению rot H = с^ЫаЕ
и используя уравнение rot Е = —(ц/с) (dH/dt), находим:
4000
ШО 8000
Н,э
Рис. 24.6. Резонансная кривая за-
зависимости эффективной магнитной
проницаемости цг супермаллоя от
напряженности постоянного магнит-
магнитного поля Я при фиксированной
частоте переменного поля (v =
= 23,9 Мгц) (Ягер [82]).
если принять, что зависимость от времени имеет вид exp (swi). Решение этого уравне-
уравнения имеет вид волны, магнитное поле в которой затухает по закону exp (—kz). Тогда
для у-комцоненты векторного уравнения rot H = с~хЫоЕ имеем
дНх
dz
Отсюда для импеданса получаем
Z =
1/2
— 889 -

Подставляя сюда комплексную проницаемость из B4.5), находим для поверхно-
поверхностного импеданса
откуда и следует формула B4.38) для |ЛГ.
Из рис. 24.6 видно, что кривая поглощения имеет не только максимум, но и ми-
минимум. Последнему соответствуют условия так называемого антирезонанса. В ндеаль-
вом случае антирезонанс возникает, когда высокочастотный магнитный поток вдоль
осей жиг равен нулю, т. е. равны нулю компоненты проницаемости в плоскости ху.
Проблема ЭФР в металлах рассмотрена в работах Амента и Радо [83], Турова [84],
Вонсовского и Изюмова [85] и в обзоре Кеффера [71]. Отметим еще некоторые работы
по ЭФР в металлах [87—99] и, в частности, в тонких металлических пленках [100—112],
мелких частицах и усах [113—115].
Более простой являлась бы задача исследования резонансных явлений в ферро-
ферромагнитных диэлектриках. Однако известно лишь небольшое число таких веществ.
Резонансные исследования были проведены, например на ионном соединении СгВг3
(Диллон [116]). Более многочисленны исследования на ферритах со структурой шпине-
шпинели и гранатах, но в этих случаях мы имеем дело не с ферро-, а с ферримагнитным
резонансом (см. ниже § 9).
4. Учет формы и магнитной анизотропии. Расчеты Ландау и Лифшица [33]
детально развил применительно к новым опытным фактам Киттель [117—119] и Полдер
[120]. Киттель подчеркнул, что в ферромагнетике необходимо учесть магнитную анизо-
анизотропию и размагничивающее влияние поверхностей образца, т. е. размагничивающего
поля ЛГО = —N1. Если учесть эти эффекты в уравнении B4.35), то для монокристалла
при резонансной частоте со0 вместо A3.57) получим
»о=^{[^+(^ж + ^г)/8 + ф1][Я, + (^-^г)/8-ЬФ2]}1/2, B4.39а)
где <pi и ф2—сокращенные обозначения для выражений, которые учитывают поправки
от эффекта энергии магнитной анизотропии *). Если плоскость xz совпадает с пло-
плоскостью кристалла @01), то
2^ <p2 = -|^-C+cos4#), B4.396)
где ft — угол между осями г и [100]. Эти поправки на анизотропию точны, лишь когда
подмагничивающее поле достаточно велико, так что можно приближенно считать, что
намагниченность совпадает с направлением Hz, следовательно, необходимо, чтобы
выполнялось неравенство Нг ^> K/Is. Формула B4.39а) для поликристаллических
образцов (ф4 » ф2 » 0) различной формы была проверена в ряде экспериментальных
работ (см., например, библиографию в статье Скроцкого и Курбатова [121]. Большим
успехом теории является не только то, что она правильно предсказывает положение
резонансных максимумов, но и то, что она дает очень точно совпадающий с опытом ход
дисперсионных кривых для проницаемости. Для определения формы этих кривых необ-
необходимо развить теорию не для свободных, а для вынужденных колебаний, когда
в уравнении B4.35) наряду с внутренними силами учитывается и внешнее возбуждаю-
возбуждающее переменное поле Н„=к?с exp (swi). Решение в этом случае, по Киттелю [117], имеет
вид
где
Сравнение теоретической формулы B4.40) с опытом предполагает использование ана-
анализа измерений с волноводами, которые широко применяются в радиочастотной изме-
измерительной технике.
Как указывалось выше, в случае монокристаллов резонансная частота должна
быть анизотропной [см. B4.39а)]. Опыты Кипа и Арнольда [122] полностью подтвердили
теоретические формулы для монокристаллов Fe — Si. Это дает новый способ опреде-
определения константы магнитной анизотропии по измерениям резонансной частоты. В част-
частности, таким способом Бикфорд [123] определил температурную зависимость константы
магнитной анизотропии К\ для магнетита (рис. 24.7); Рейх [124] определил константу
анизотропии для никеля К1 = —4,6 -10* эрг/см3 в хорошем согласии со статическими
наблюдениями (см. гл. 23). Для монокристаллов Fe — Si также получено хорошее
согласие резонансных и статических измерений (см., например, [122, 125]).
*) При этом предполагается, что образец имеет форму эллипсоида с главными ося-
осями вдоль х, у и z и что его размеры малы по сравнению с глубиной проникновения высо-
высокочастотного поля и с длиной волны поля в материале, так что переменное поле одно-
однородно в объеме образца и его фаза там практически постоянна.
— 890 —

5. Квантовая теория ферромагнитного резонанса. Наряду с классическими рас-
расчетами Киттеля [117—119], Ван-Флек [126], Латтинджер и Киттель [127], Ричардсон
[128], Полдер [120] произвели квантовомеханические расчеты, которые подтвердили
я тем самым обосновали классические вычисления. Вместо оператора энергии обменного
взаимодействия A9.20) в данном случае исходят из оператора энергии магнитных сил,
который складывается из двух частей: оператора энергии относительно внешнего маг-
магнитного поля
<^внеш=?|АБЯ 2 (og)z, B4.41)
где g—магнетомеханическое отношение, a (aq)z — оператор г-компоненты спинового
момента атома q (в единицах К) и опера-
6,0
тора внутреннего магнитного взаимодей-
взаимодействия дипольных сил
9>а'
х (Rqq-aq)(Rqq>°q')]. B4.42)
и спин-орбитальных (квадрупольных) сил
4,0-
-Sft -
-Щ
-12,0
Fe0-Fez03
(магнетит)
S, -
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20
Температура, 'С
О SO
Рис. 24.7. Температурная зависимость кон-
константы магнитной анизотропии к, магнетита,
определенная из измерений ферромагнитного
резонанса. 1 — данные для выращенных
кристаллов, 2 — для естественных
лов (Бикфорд [123]).
X (<fqRqq'J(aq,Rqq,J, B4.43)
(' = 8*РУНЧ9', Q и q' — номера узлов
кристаллической решетки, Rqq, — расстоя-
расстояние между узлами q и q', aq—оператор век-
вектора спинового момента атома q (в единицах
Л)' Жqq> — постоянная спин-орбктального
взаимодействия. Квантвомеханическое уравнение движения для полного спино-
спинового момента в единице объема or = Z.ia имеет вид
— — — (JP " * чр
(?? ^ ^ " М&ГН МЙГНл \?i4..4.?l}
здесь (Й'магн — сумма выражений B4.41), B4.42) и B4.43). Как показал Ван-Флек
[126], решение уравнения B4.44) при некоторых упрощающих предположениях *)
приводит к уже известному классическому результату B4.38). Оператор B4.42) учи-
учитывает влияние размагничивающих полей, а B4.43) — магнитной анизотропии. Сле-
Следует, впрочем, заметить, что оператор спин-орбитальной энергии в виде B4.43) является
весьма грубым приближением к действительности. В этом смысле феноменологиче-
феноменологический учет влияния магнитной анизотропии, сделанный Киттелем [117] при выводе
B4.38), обладает значительным преимуществом благодаря своей «термодинамической
универсальности». Вместе с тем для выяснения детальных черт явления ферромагнит-
ферромагнитного резонанса, конечно, необходимо развить микроскопическую теорию, которая
более точно учитывала бы магнитное взаимодействие ферромагнитных электронов.
Дальнейшее развитие квантовой теории ЭФР см. в работах [129—140].
§ 4. Неоднородные магнетостатические колебания *)
До сих пор рассматривался простейший случай однородного ВЧ поля
(длина волны которого велика по сравнению с линейными размерами
образца). Такое поле может возбуждать лишь спиновые волны с нулевым
волновым вектором (квазиимпульсом), т. е. с бесконечной длиной волны.
В данном случае резонансная частота будет равна классической частоте
однородной прецессии магнитного момента, определяемой по формуле
A3.57). Для возбуждения неоднородных типов колебаний магнитного
*) А именно, пренебрегаем операторами типа (aq)x (aq.)y по сравнению
* (aq)x (oq.)z, поскольку спины в основном направлены вдоль оси z, а в последнем про-
произведении {aq.)z заменяется средним значением I/g^N, где N — число атомов в 1 см3.
**) См. Туров [141], Барьяхтар и Каганов [142], Уокер [67], Кеффер [71], Ахиезер
я др. A967).
— 891 -

момента, т. е., например, спиновых волн с ненулевыми квазиимпульсами,
следует в каком-то смысле нарушить однородность ВЧ поля. Это можно-
реализовать, либо просто используя неоднородное ВЧ поле, либо учиты-
учитывая граничные условия для полей и намагниченности на поверхности
образцов. В последнем случае
имеем дискретный спектр соб-
ственныхчастот так называемых
шагнитостатических» или уо-
уокеровских (Уокер [143], см. так-
также обзоры [142, 67]) неоднород-
неоднородных колебаний («мод») анало-
аналогичных собственным колеба-
колебаниям упругих стержней или
мембран. Экспериментально та-
такие неоднородные моды в фер-
ритовых сферических образцах
обнаружили Уайт и др. [144,.
145], а в ферритовых дисках —
Диллон [146]. Он также обна-
обнаружил эти моды в сфериче-
сферических образцах' и дисках и
стержнях иттриевого граната
[147, 148]. Пример спектра
для иттриевого граната по-
поданным измерений Диллона [148] приведен на рис. 24.8.
Для того чтобы теоретически понять появление уокеровских модг
рассмотрим простейшую задачу для образца в форме эллипсоида враще-
вращения; пусть постоянное поле направлено вдоль оси вращения (влиянием
энергии анизотропии будем пренебрегать). Из магнетостатических урав-
уравнений Максвелла тогда следует
Рис. 24.8. Спектр уокеровских мод иттриевого грана-
граната (образец в форме диска) в однородном радиочастот-
радиочастотном поле и в постоянном поле, нормальном к плос-
кости диска (Диллон [148])
где FMarH— магнитный потенциал. Используя B4.356) для объема внутри
эллипсоида, получаем уокеровское уравнение
дх*
ду*
и для пространства вне эллипсоида
' f ' магн — "•
x* ду* ~г
Граничные условия на поверхности образца сводятся к требованию
непрерывности потенциала FMarH и нормальной слагающей индукции
h-\-4nm. Кроме того, если эллипсоид расположен далеко от стенок резо-
резонансной полости, то можно считать, что на бесконечности FMarH -*- 0.
Таким образом, задача сводится к проблеме определения собственных
значений с решениями для FMarH> которые имеют вид произведений при-
присоединенных полиномов Лежандра первого (Р™ (т))) и второго (Q% (i|))
рода на показательную функцию ехр (imVwaTH), где ?, т) и ф — эллипсои-
эллипсоидальные координаты *). Обычно модам придают три целочисленных
индекса п, т, г, где пшт указывают на периодичность переменной состав-
Эллипсоидальные координаты определяются соотношениями:
: = (а2 —62)
1/2
2I/2A_тJI/2С08ф)
а и Ъ — полуоси эллипсоида: (ж2 + г/2)/а2 + г2/62 = 1.
— 892 —

ляющей намагниченности соответственно вдоль координатных осей z
и ф, а г — корень характеристического уравнения, определяющего резо-
резонансную частоту. В этих обозначениях однородная прецессия имеет
индексы A10). При более точном расчете необходимо учесть эффекты
магнитной анизотропии и пространственную дисперсию (см. [149—151]).
Измерения Флетчера и др. [152] показали хорошее согласие с теорией
[143, 153]. Диллон и др. [154], пропуская свет через прозрачный ферро-
диэлектрик СгВг3, наблюдали уокеровские моды визуально. Любопытно
заметить, что магнетостатические моды наблюдаются в парамагнетиках,
например в CuSO4-5H2O и CuK2(SO4J -6H2O [155].
§ 5. Спин-волновой резонанс
Важное значение приобрело за последнее время изучение законо-
закономерностей ферромагнитного резонанса в области низких температур,
¦близких к 0° К. Основному состоянию ферромагнетика соответствует
максимальное значение самопроизвольной намагниченности и при этом
однородное (с точностью до эффектов, связанных с размагничивающими
полями образца). Возбужденным состояниям будет уже соответствовать
меньшее значение намагниченности за счет появления некоторых «естест-
«естественных» неоднородностей. При достаточно низких температурах возбуж-
возбуждения малы, также малы и соответствующие им неоднородности намагни-
намагниченности. С большой точностью, как было показано в гл. 19, последние
можно представить как совокупность плоских волн спиновых возбужде-
возбуждений — спиновых волн (ферромагнонов). Спиновые волны могут возбуж-
возбуждаться и внешним высокочастотным полем. Последнее и приводит к связи
явления ферромагнитного резонанса с проблемой спиновых волн (спин-
волновой резонанс) (см. обзор Турова [84]).
Так же как и в случае атомных спектров, для переходов в спектре
¦спиновых волн' должны выполняться определенные правила отбора:
последние существенно зависят от соотношения амплитуд переменного
та постоянного магнитного поля при резонансе, а также от соотношения
длины волны ВЧ поля и геометрических размеров образца, от степени
однородности полей и т. п.
Рассмотрим кратко в рамках феноменологической теории спиновых
волн возбуждение ферромагнонов ВЧ магнитным полем *). Энергия взаи-
взаимодействия поля Н~ = HI exp (iat) с намагниченностью / (г) образца,
согласно B3.37), имеет вид
Шн^= -^ H~{r)-I(r)dr. B4.45)
При малых амплитудах ВЧ поля (Hi < Яо) энергию B4.45) можно счи-
считать малым возмущением, инициирующим переходы между энергетиче-
энергетическими уровнями в спин-волновом спектре. В случае образца ферромаг-
ферромагнитного диэлектрика, когда длина волны ВЧ поля велика по сравнению
с размерами образца (к^Ь), можно считать, что Hi не зависит от коор-
координат. Тогда после введения операторов рождения Ьк и уничтожения Ь%
(если Н_ направлено вдоль оси х) вместо B4.45) находим
), B4.46)
следовательно, однородное ВЧ поле, как видно из B4.46) и A9.81а),
может возбуждать или поглощать ферромагноны с нулевым квазиимпуль-
квазиимпульсом fc = 0, т. е. правила отбора имеют вид
B4.47)
*) См. Вонсовский, Туров [156], Туров [141], Ахиезер и др. A967).
— 893 —

откуда следует (как уже отмечалось), что без учета граничных условий
однородное ВЧ поле может вызвать только однородную прецессию маг-
магнитного момента образца. Из B4.45) видно, что возбуждения неодно-
неоднородных типов колебаний, т. е. спиновых волн с к Ф О могут возникнуть
1) под действием неоднородного ВЧ поля или 2) при учете конечности
образца и граничных условий на поверхности. Первая возможность реали-
реализуется в металлических ферромагнетиках, в которых из-за скин-эффекта
ВЧ поле неоднородно по объему. Киттель и Херринг [157] обратили вни-
внимание на то, что при радиочастотных измерениях в силу скин-эффекта,
вызывающего неоднородность на-
намагниченности, оператор энергии
обменного взаимодействия не ком-
коммутирует с неоднородной намагни-
намагниченностью. Это приводит к релак-
релаксационным явлениям при резо-
резонансе.
Этот вопрос рассмотрели затем
Амент и Радо [83], Ахиезер и др.
[158]. Подробно он освещен в об-
обзоре Турова [141].
Возможность возбуждения
спиновых волн с к Ф О однород-
однородным ВЧ полем рассмотрел Кит-
Киттель [159] *), который предполо-
предположил, что в поверхностном слое
образца на намагниченность дей-
действуют столь большие силы поверхностной анизотропии (см. гл. 23), что
на поверхности образуются узлы спиновых волн. Если образец имеет вид
тонкой пленки толщиной L и поле Н0 перпендикулярно его поверхно-
поверхности, то при этих граничных условиях для нормальных типов колебаний
намагниченности в толщине пленки L должно укладываться целое число
полуволн, т. е. L = п (XJ2) = nnlkz или кг = гая/L, где п — целые
числа. Значения кх и ку при однородном ВЧ поле должны подчиняться
прежним правилам отбора B4.47), т. е. кх = ку = 0, а кг должно быть,
таким, чтобы мгновенный магнитный момент образца не был равен нулю.
Для этого п должны быть нечетными целыми числами. Полагая в A9.69) кх =
= ку = О и kz = nn/L, для резонансных частот получим
/1
12
14
Магнитное поле Но, кэ
Рис. 24.9. Резонанс спиновых волн в пленке пер-
пермаллоя толщиной L=5= 3900 А. Числа вверху —
порядковые номера возбужденных спиновых волн
(и) (Сиви и Танненвальд [161]).
^Ыу_1пп_
+уно,
B4.48)
где у = g\e\/2mc, n = 0 для главного пика —однородной прецессии, п =
= 1, 3, 5, ... для резонанса спиновых волн. Теоретическая формула
B4.48) в пленках пермаллоя проверялась экспериментально Сиви и Тан-
ненвальдом [161] (рис. 24.9). Более подробное изложение этого вопроса
читатель может найти в цитированных выше обзорах [84, 142, 71], а также
книгах Морриша A965) и Ахиезера и др. A967).
Изучение спин-волнового спектра в тонких ферромагнитных пленках
представляет существенный интерес по следующим причинам:
1) Это случай наиболее непосредственного наблюдения спиновых волн.
2) Измерения на пленках позволяют наиболее точно получить числен-
численные значения энергетического обменного параметра (см. гл. 23, а также
работу Сирла и Морриша [162]).
3) Как показали Вебер и Танненвальд [163], измерения на пленках
дают возможность определить изменения обменного параметра и намаг-
намагниченности с температурой (и, в частности, установить интервал темпе-
температур, в котором выполняется закон Г3/2).
См. также. Сирл и др. [160].
— 894 —

4) Данные измерения позволяют исследовать взаимодействие между
ферромагнонами и фононами (см., например, Куй [164]). Эти вопросы
также детально рассмотрены в работах Суху [165] [см. также Суху
A967)]. Укажем еще работы по магнетостатическим модам, спин-волново-
спин-волновому резонансу (в том числе и в пленках) [166—182].
§ 6. Связи ферромагнитного резонанса
с магнетомеханическими эффектами
В связи с проблемой ферромагнитного резонанса совершенно по-ново-
по-новому встал вопрос о магнетомеханическом отношении g (фактор Ланде)
для ферромагнетиков. Важность этого вопроса в теории ферромагнетизма
связана с тем, что решение его позволяет сделать определенные высказы-
высказывания о природе элементарных носителей магнитного момента в ферро-
ферромагнетиках. Одним из способов определения магнетомеханического отно-
отношения являются гиромагнитные опыты (см. гл. 17), в которых отноше-
отношение g определяется из уравнения
* B
где / — намагниченность, a 5W — механический момент количества движе-
движения единицы объема. В силу закона сохранения момента количества дви-
движения полное изменение ASDl = O, т. е.
Диполи = А EШреш + 2Яспин + $Морб) = О
на опыте наблюдается
где 501Спин и $Лорб — соответственно спиновый и орбитальный механи-
механические моменты. Точно так же
А-1 полн = А (-1 реш -\~ -L спин -г -*орб)?
но в этом случае А-Греш ~ 0. Как известно, для случая свободных спинов
?гиро = 2 и для свободных «орбит» #°иро = 1. В ферромагнетиках в на-
намагниченности наряду со спиновыми магнитными моментами участвуют
в небольшой доле и орбитальные моменты. Поэтому можно приближенна
считать
где хсо — малый параметр (иСо<С1)- Таким образом, из B4.49) получаем
в первом приближении с точностью до членов порядка хсо
?гиро»2->ссо. B4.50)
В опытах по ферромагнитному резонансу, определяя экспериментально
резонансную частоту со0, можно также определить магнето-механическое
отношение с помощью формул типа
К®о = ?РезМ<БЯэфф, B4.51)
где Н3фф — эффективное поле, действующее на прецессирующие моменты,
а магнетомеханическое отношение gpe3, в отличие от grap0, называется
фактором спектроскопического расщепления. В данном случае также
получается
_
Ъпс
Только в этом случае, как указал впервые Полдер [120] и показали Кит-
тель [119] и Ван-Флек [126], gpe3 Ф ?Гиро- А именно, из общих законов
квантовой механики имеем Д$01Полн = Й, с помощью волновых функций
- 895 —

первого приближения с учетом спин-орбитального взаимодействия как
возмущения можно найти Д$01спин=Й и А5Шорб= Исо^, поэтому
и, следовательно,
е Д Сспин "Г ¦" орб)
~Ъпс ~ ДЗИспин '
а так как /орб = ИссЛшш, то
а ~ 9 Ху 194 ci9\
Из сравнения B4.50) и B4.52) находим теоретическое отношение между
фактором спектроскопического расщепления и магнетомеханическим
Таблица 24.1
Сравнение фактора
спектроскопического расщепления
gpe3 с магнетомеханическим
отношением grHpo Для различных
ферромагнетиков
(из обзора Скотта [184])
Ферромагнетик
Ш
Со
Fe
FeNi
CoNi
Сплав Гейс-
Гейслера
(Cu2MnAl)
Пермаллой-78
Супермаллой
MnSb
NiFe2O4
?рез
2,21
2,25
2,10
2,12
2,18 '
2,01
2,07—2,14
2,09
2,10
2,19
^гиро
1,84
1,85
1,92
1,91
1,84
1,99
1,91
1,91
1,98
1,85
отношением
9 9 /9/ ЕчО\
6*рез ^*^ ё'гиро- \?^.оо)
Опыты качественно подтверждают это
соотношение. В табл. 24.1 приведены
опытные данные по измерению gTVLp0
и gpe3 для различных ферромагнитных
веществ.
Детальное сравнение данных
табл. 24.1 с формулой B4.53) показы-
показывает, ЧТО обычно (gpea — 2) > B —
—ётиро)- Величинахс0,которая, согласно
[119], [126] определяет долю орбиталь-
орбитального момента в полной намагниченно-
намагниченности ферромагнетика, может быть вы-
выражена формулой
и™ = — <
Aci) B4.54)
где С — численная постоянная поряд-
порядка 1, Хс0 — постоянная спин-орбиталь-
спин-орбитальной связи и А — расщепление энерге-
энергетических уровней иона. Постоянная Яс0
может иметь как положительный, так
и отрицательный знаки. Киттель считает, что Кс0 > 0 для тех ионов переход-
переходных металлов, у которых Зй-полоса заполнена меньше чем наполовину,
и ^со < 0, если она заполнена больше чем наполовину. Следовательно, по
этой гипотезе Яс0 < 0 для всех веществ, которые приведены в табл. 24.1.
В случае сплава Гейслера Cu2MnAl значения gpe3 и#гироочень близки друг
к другу. Если считать, что ответственными за ферромагнетизм являются ионы
Мп, то отсюда следует, что они имеют наполовину заполненную электронную
Зй-полосу. Используя s — d-обменную модель ферромагнетика (см. гл. 20
и [183]), учитывающую обменное взаимодействие между электронами
проводимости и ферромагнетизма, можно качественно объяснить нару-
нарушение теоретической формулы B4.53) в сплавах Гейслера. Вместо B4.52)
имеем
b
и вместо B4.50)
ьгиро ¦
2 — ис0 + Ъ,
где Ъ — величина, зависящая от обменного интеграла s — d-модели
(см. гл. 20) и самопроизвольной намагниченности. Если исо>0, &>0
и |Ь|<|хС0|, то
(*р«-2)>B-*ГИРо).
Таким образом, сравнение gpe3 и grHpo может дать дополнительную цен-
ценную информацию о внутренних взаимодействиях в системе электронов
ферромагнитных кристаллов (см. также [591]).
— 896 —

§ 7. Ферромагнитные релаксационные процессы
и проблема ширины резонансной линии *)
Важной физической проблемой является вопрос о ширине и форме
линий резонансного поглощения. Здесь теория ферромагнитного резонан-
резонанса встретилась с большими трудностями. Под шириной спектральной
линии следует понимать расстояние Av по шкале частот при Hz = const
или по шкале полей АН при v = const между ветвями резонансного пика
на половине его высоты. Эта ширина оказывается весьма значительной
QfllOOl
100 200 300 400
Тямперптура, °С
500
Рис. 24.11. Температурная зави-
зависимость ширины резонансных
линий Д\> в Ni и супермаллое
(Блумбержен [187]).
Рис. 24.10- Резонансные кривые
(в полулогарифмическом мас-
масштабе) эффективной магнитной
проницаемости \ir супермаллоя
в зависимости от напряженно-
напряженности постоянного магнитного по-
поля Но при постоянной частоте
микроволнового поля (v =
=24 000 Мгц) и различных тем-
температурах. Значения темпера-
температур в °С указаны цифрами у каж-
каждой кривой) (Блумбержен [187]).
(Av ж 109 — 1010 гц; AHZ « 102 — 103 э). Блумбержен [187] эксперимен-
экспериментально исследовал температурную зависимость фактора gpe3 и ширину
резонансной линии для никеля и супермаллоя от 28° С до точки Кюри
C58° С в Ni и 400° С в супермаллое). Вид резонансных кривых для супер-
супермаллоя приведен на рис. 24.10, а кривые температурной зависимости
ширины линий Ni и супермаллоя — на рис. 24.11. В точке Кюри никаких
аномалий не наблюдалось, и кривые Av (T) лишь монотонно возрастали
с повышением температуры. Весьма существенно, что из кривых рис. 24.11
видно стремление ширины линий к постоянному «остаточному» значению
при 0° К. Фактор gpe3 практически не зависит от температуры с точностью
до 2%. Расчет Ахиезера [188] спин-спиновой и спин-решеточной релак-
релаксации, основанный на учете магнитного дипольного взаимодействия
B4.42) между ферромагнитными электронами, дает релаксационные часто-
частоты (величина, обратная времени релаксации), значительно меньше наблю-
наблюдаемых, и температурную зависимость ширины резонансных линий
другую, чем дает опыт.
*) По этому вопросу см. обзоры Каганова [185], Турова [186, 84], Хааса и Кал-
лена [70], Кеффера [71] и книгу Морриша A965).
57 с. в. Вонсовский
- 897 —

За ферромагнитную релаксацию могут быть ответственны как взаимо-
взаимодействия между самими атомными носителями магнетизма (например,
магнитное дипольное взаимодействие в спин-си-
спин-системе), так и взаимодействия между спин-систе-
спин-системой и другими подсистемами ферромагнетика
(фононами, электронами проводимости, диэлект-
диэлектрической поляризацией в ионных соединениях
и т. п.). Формально все эти эффекты можно
учесть, вводя в правую часть уравнения движе-
движения B4.35) релаксационный член, описываю-
описывающий затухание
Рис. 24.12. Схематическое изо-
изображение затухания прецессии
вектора намагниченности в от-
отсутствие ВЧ поля.
гШ
причем Rl{—у) — суммарный момент неких «сил
трения». Таким образом, конец вектора намаг-
намагниченности под действием вращательных мо-
моментов поля и сил трения, движется по спирали,
приближаясь к своему равновесному положе-
положению (рис. 24.12).
Конкретный вид феноменологического учета
затухания, т. е. релаксации, а следовательно, конечности ширины ли-
линии ЭФР может быть проведен так же, как в случае ЭПР это предложил
Блох [189] (см. гл. 13). Впервые это сделано в работе Блумбержена [187].
Однако гораздо раньше несколько иначе учет релаксации провели Ландау
и Лифшиц [33] [см., например, формулу B4.15)]. И, наконец, Джильберт
[190] предложил третью форму для учета ферромагнитной релаксации,
аналогичную релеевской диссипативной функции в классической меха-
механике, а именно
dl
I # -
I
Для слабых высокочастотных полей, когда можно принять, что 1z » Is
уравнения Блоха — Блумбержена, Ландау — Лифшица и Джильберта
эквивалентны. Форма линий поглощения во всех случаях лорентцевская.
Исключением является случай феррита с точкой компенсации, где, как
показано в работах Вангнесса [191, 192], применение разных форм урав-
уравнений приводит к различным результатам. В сильных высокочастотных
полях, где уже сказываются нелинейные эффекты (см. ниже § 8), лишь
на основании опыта можно отдать предпочтение тому или иному из пере-
перечисленных уравнений. Следует также указать, что во всех этих уравнениях
не учитывается взаимодействие намагниченности ферромагнетика с полем
излучения. Учет этого эффекта, как показал Файн [193], приводит к сдви-
сдвигу резонансной частоты, а кроме того, увеличивает радиационную ширину
линии поглощения (Скроцкий и Кокин [194]).
Мы не имеем возможности детально рассматривать микроскопи-
микроскопический механизм ферромагнитной релаксации и отсылаем читателей
к цитированным выше обзорам, а также к оригинальным работам
[195-228].
§ 8. Нелинейные эффекты и некоторые другие эффекты
1. Нелинейные эффекты. Выше уже отмечалось, что при условии малости ампли-
амплитуды высокочастотного поля по сравнению с величиной напряженности постоянного
поля комплексная магнитная восприимчивость определяет линейную связь между
переменными составляющими поля и намагниченности. Для полного поля и намаг-
намагниченности ферромагнетика всегда имеет место существенно нелинейная связь (кривая
намагничивания!). В линейном приложении по ВЧ полю это сказывается на том,
что тензор магнитной восприимчивости зависит от величины постоянного подмагни-
— 898 —

чивагощего поля Яо. Линейность по отношению к ВЧ полю сама по себе приближен-
приближенная. При больших амплитудах ВЧ поля возникает нелинейность и между перемен-
переменными составляющими намагниченности и поля. Это, конечно, ведет к существенному
усложнению как самого явления ферромагнитно-
ферромагнитного резонанса, так и его теоретической интерпре-
интерпретации.
До сих пор мы пользовались линейным 1,0
приближением для зависящих от времени ком-
компонент намагниченности тх и ту (в 24.35а)
и предполагали, что % = 0 и /г % /0. Если те-
теперь предположить, что поперечное ВЧ поле Я_ ^
велико, то для Iz и %" для резонанса из соот-
соответствующих формул для ЭПР A3.66) и A3.68)
находим
X" @)
о
ш
\
\
L
'о
Х"Ш
ю
/о'
10'
10"
Н1,эг
Из этого уравнения следует, что Iz и %" должны Рис. 24.13. Зависимость воспримчиво-
уменыпаться, когда величина произведения у^Н2 сти % (отношения зс"(Н~)/ЗС"(О)) и отно-
гтянпвится гпяншгапй с крлитанпй Гт т I сительной намагниченности насыщения
становится сравнимой с величиной ixcp xccj . (iz/i0) в пике основного резонанса как
функции Н__в монокристалле никеле-
никелевого феррита (NlFe,O4) (Блумбершеи
[187]).
Поскольку тср я= тсс =& у-1 АН, где ЛЯ — ширина
резонансной линии, то этот спад должен наблю-
наблюдаться, когда Я„ ?х ЛЯ. Измерения на никеле-
никелевом феррите [229, 230] показали совсем иное по-
поведение величин IZ{HJ) и %" (HJ) (рис. 24.13); величина %" начинает, резко умень-
уменьшаться, когда Я^. <С ЛЯ, а величина Iz при этом остается практически неизменной
и близкой к /0 (т. е. угол прецессии не возрастает заметным образом с ростом H_J). Кроме
того, при больших ВЧ полях при более низкой частоте, чем частота ЭФР, появляется
добавочное поглощение с очень широкой линией. Видно, что здесь обычная теория
релаксации неприменима и что необходимо какое-то новое приближение. Это и было
проведено впервые в работах Сула [231, 232].
Весьма важным нелинейным эффектом при ЭФР является автопараметрическое
возбуждение колебаний магнитного момента при больших амплитудах ВЧ поля. Спин-
волновые колебания можно считать квазинезависимыми лишь в линейном прибли-
приближении. Нелинейность движения намагниченности делает эти колебания взаимодей-
взаимодействующими — возникает обмен энергии между ними. Интересно, что в этих условиях
нелинейности спин-волновые колебания не всегда затухают. Если присутствует какое-
нибудь внешнее переменное во времени воздействие с достаточно большой амплитудой
(выше определенного порогового значения) и частотой со, то может возникнуть неустой-
неустойчивость спиновых волн с частотами о); и а2 (связанными в простейшем случае с со
соотношением a>f + (о2 = со). Их амплитуды будут расти во времени, пока не войдут
в игру какие-нибудь другие нелинейные эффекты более высоких порядков и система
не перейдет в новое равновесное состояние (предельный цикл).
Как показал Сул [231], при наличии однородной прецессии магнитного момента
при ЭФР в нелинейном режиме одна из спиновых волн изменяет характер этой пре-
прецессии, создавая эффективное поле, действующее на другую спиновую волну. Одно-
Однородная прецессия осуществляет тем самым косвенное взаимодействие между спин-
волновыми колебаниями. Если при этом выполняются определенные соотношения
фаз между однородной прецессией намагниченности и спин-волновыми модами, то
указанное взаимодействие может усиливать и возбуждать спин-волновые колебания
за счет энергии однородной прецессии, созданной в свою очередь внешним ВЧ
полем. Этот эффект представляет собой типичный пример автопараметрического
резонанса, являющегося следствием нелинейности спин-системы ферро- или фер-
римагнетика *).
Однородная прецессия, представляя собой колебание подкачки, модулирует на
своей частоте параметры ферромагнитной среды, в которой возбуждаются спин-волновые
колебания. Естественно, что подкачка может осуществляться не только однородной
прецессией магнитного момента, но и непосредственно внешним электромагнитным
полем, упругими колебаниями (фононами) и самими же спин-волновыми колебаниями.
Более детальное микроскопическое рассмотрение суловской неустойчивости основы-
основывается на 3- и 4- фононных процессах распада ферромагнонов (по Ахиезеру [188]).
Подробнее всего они рассмотрены в обзоре Хааса и Каллена [70].
Можно также рассмотреть нелинейные эффекты в продольном ВЧ поле (парал-
(параллельная накачка). Идею и разработку такой постановки проблемы независимо и одно-
*) Явление авто парамагнитно го резонанса было детально изучено еще
в 30-е годы школой академика Л. И. Мандельштама (см., например, Л. И. Мандель-
Мандельштам [233]).
— 899 —
57*

временно предложили Моргенталер [234] и Шлеман и др. [235], а также Каганов
и Цукерник [236] *).
Нелинейные параметрические эффекты при ЭФР открыли большие возможности
для изучения магнитно-упорядоченных сред и в чисто практическом аспекте. В част-
частности, метод возбуждения монохроматических когерентных спин-волновых коле-
колебаний большой амплитуды позволяет изучить природу взаимодействий как внутри
самой спин-системы, так и спин-фононное взаимодействие. Связь нелинейных эффектов
с процессами релаксации при ЭФР дает новый источник информации о параметрах
релаксации спиновых волн, например, через измерения пороговых значений подкачки
(что является более удобным, чем оценка параметров релаксации по ширине резонанс-
резонансных пиков).
Нелинейные эффекты, присущие ЭФР, открывают богатые возможности для прак-
практического использования этого явления в современной радиоэлектронике, а именно
в технике СВЧ. Главное внимание при этом, конечно, уделяется использованию явле-
явлений ЭФР в полупроводниковых ферромагнетиках — ферритах, в которых малы потери
на вихревые токи, весьма интенсивные в полях СВЧ в металлических ферромагнети-
ферромагнетиках. Среди возможностей (далеко еще не исчерпанных) использования нелинейных
эффектов при ЭФР в полях СВЧ упомянем следующие: детекторы, умножители и пре-
преобразователи частоты, ограничители мощности, усилители и генераторы СВЧ коле-
колебаний и т. п. Подробности этих интересных вопросов читатель может найти в обзорах
Гуревича [244], Моносова и Вашковского [245], Даймона [69], Кеффера [71], в книге
Морриша A965), в диссертации Старобинца [246] (см. также [247—276]) и, в особен-
особенности в монографии Моносова [589].
2. Ферромагнитный резонанс в ненасыщенных образцах. Резонансное поглоще-
поглощение ВЧ магнитного поля довольно детально исследовалось в ферромагнитных диэлект-
диэлектриках, обладающих доменной структурой. При этом наблюдаются две области магнит-
магнитной дисперсии. Одна из них, обусловленная однородной прецессией намагниченности
доменов, о которой шла речь выше, и которая изучалась, например, в работах
[277—281]. Другая была обнаружена в области радиочастот [42, 45, 282, 283] и свя-
связана с колебаниями доменных границ (см. § 2).
Наиболее полно эту задачу решили Власов и Оноприенко [284], которые, исполь-
используя динамические свойства граничных слоев, путем введения эффективной массы
единицы площади границы по Дёрингу [41], произвели расчет собственных частот
связанных колебаний, обусловленных прецессионным движением намагниченности в до-
доменах и колебаниями границ между доменами, в магнитно-одноосных монокристалличе-
монокристаллических эллипсоидальных образцах ферромагнетиков. Они показали для этого случая
существование трех собственных частот и нашли
Упругие / / их зависимость от величины и направления по-
волны ~у / стоянного подмагничивающего поля относи-
/ тельно кристаллографических осей. Теоретиче-
Спиновые ское (по методу Власова — Оноприенко) и экспе-
волны риментальное исследование связанных колеба-
колебаний намагниченности в доменах и доменных гра-
Спиновые j/S ницах в кубических монокристаллах ферритов
§,
I-
с отрицательной константой магнитной анизо-
Связанные тропии произвели Дудкин и Пильщиков [285].
тагнитоупругие Теоретические и экспериментальные исследова-
волны ния резонанса доменных границ и независимо
резонанса намагниченности в доменах прово-
другие волны 286-295Т°Г1ШИ аВТ°РаМП [42' 9°' 106' 283'
3. Спин-фононное взаимодействие. В свя-
. Сф взаимдействие. В свя
Волновое число Л, усл. ед. зи с проблемой ЭФР большой интерес вызывает
Рис. 24.14. «Перепутывание» энергетиче- ВОПРОС ° сшш-фоноином взаимодействии и о
ских спектров спиновых волн и фоно- вызываемых им связанных магнитоупругих вол-
нов, ^обусловленное магнитоупругик вза- нах. Поскольку обменное и магнитное взаимо-
имодействиек. действия зависят от межатомного расстояния, то
модуляция этого расстояния при колебаниях.
решетки приводит, как впервые показал Ахиезер [188], к ферромагнон-фононному
взаимодействию. В случае1, антиферромагнетиков этот вопрос рассмотрели Пинкус
и Винтер [296].
Благодаря магнитоупругому взаимодействию [см. B3.14)] появляется связь между
магнитными колебаниями электронной системы и акустическими колебаниями кри-
кристаллической решетки. Это впервые установили Туров и Ирхин [297] и затем развили
Ахиезер и др. [298], Киттель [299], Шлеман [300], Шлеман и Джозеф [301], Ишмухаме-
тов [302]. На рис. 24.14 показано, как «перепутывается» энергетический спектр спи-
спиновых волн и фононов из-за магнетоупругой связи, которая и приводит к появлению
участка спектра со связанными магнитоупругими волнами. В настоящее время начали
усиленно экспериментально изучать эти колебания (см., например, [303—316]).
*) Это поглощение было обнаружено в иттриевом гранате в работах [237—239],
см. также [240—243].
- 900 —

§ 9. Ферримагнитный и антиферромагнитный резонанс
1. Резонанс в ферримагнетиках. Особенности магнитного резонанса
в ферримагнетиках обусловлены наличием двух или более магнитных
подрешеток. Для определения влияния этой структуры на резонансные
частоты собственных колебаний необходимо совместное решение уравне-
уравнений B4.35) для каждой подрешетки
где Ht — эффективное поле в i-ft подрешетке. Оно складывается из внеш-
внешнего поля Н — JT0 + H„, эффективного поля анизотропии НА и внут-
внутреннего молекулярного поля НЕ [см. B2.141) и B2.142)], обусловлен-
обусловленного обменной связью подрешеток (при конечных размерах образцов,
строго говоря, необходим учет размагничивающих полей поверхностных
полюсов). В простейшем случае двухподрешеточного ферримагнетика
(i = 1, 2) получаем четыре однородных уравнения типа B4.35а) для
поперечных компонент намагниченностей подрешеток niix, т2х, т±у, т2у.
Отсюда получаем секулярную задачу для определения резонансных
частот. Впервые эту проблему рассмотрели Каплан и Киттель [317], затем
Вангснесс [318] и Броун и Парк [319]. Предположим для упрощения, что
поля анизотропии НА и —НА, действующие на антипараллельные намаг-
намагниченности двух подрешеток, совпадают по направлению с осью z. Тогда
решение секулярного уравнения будет иметь вид
соь 2 = y+#0 -f У-На + y Nl2 ("^i + Y1/2) ±
± {(У+НА + у_Н0) [у+НА + y_#0-Ni2 (Y2/, -
где y± = (yi ± Y2)/2, a Ni2 — постоянная молекулярного поля НЕ (обо-
(обозначенная в B2.141) и B2.142) через пхъ и пха). Поскольку НЕ ^> Но
и НА, то выражение для со12 можно разложить в ряд по параметрам мало-
малости HjNuIi и HA/Ni2li- Пренебрегая членами разложения, малыми отно-
относительно N^1, мы сильно упрощаем задачу. Из уравнения для со12 тогда
получаем частоты двух типов колебаний — низкочастотных и высоко-
высокочастотных.
а. Низкочастотный тип колебаний. В этом случае при НА = 0 полу-
получаем обычную для ферромагнитного резонанса частоту (см. 24.36)
Отличие от обычного ферромагнитного случая заключается в том, что
параметр у заменяется эффективным магнетомеханическим отношением
„ _ • IJ1+J2I _ I yiSi+y2s21
Уэфф —
Yi ' Y2
где Si и S2 — моменты количества движения подрешеток.
Связанные сильным обменным взаимодействием прецессирующие
намагниченности подрешеток при этом типе колебаний остаются строго
антипараллельными ([JiJ2] = 0), как это видно из рис. 24.15, а. Из фор-
формулы для YэФФ следует, что эффективный фактор спектроскопического
расщепления #Эфф = уЭфф2тс/\ е | зависит от температуры и состава
образца. Поэтому его измерение в ферримагнетике вместе с результирую-
результирующей намагниченностью J = Jt + I2 дает информацию о распределении
ионов по подрешеткам (см. Гортер [320], Смарт [321]).
— 901 —

ченностей подрешоток в феррите, а) Низ-
Низкочастотный тип колебаний; б) высокоча-
высокочастотный тип колебаний.
б. Высокочастотный (или «обменный») тип колебаний. Этот тип коле-
колебаний, для которого H1I2] ф 0 (см. рис. 24.15, б) определяется молеку-
молекулярным полем НЕ. На принципиальную возможность резонансного
поглощения, связанного с внутренним обменным полем, впервые указал
еще Дорфман [322]. Если ЯЕ>Я0, НА,
то резонансная частота со2 этого типа
становится равной
со2 = соЕ = Ni21 yzlt +yilz I = Ni2y1Y218 \,
где 8 = Si + S2. Частота соЕ ^> co4.
Каплан и Киттель [317] отмечали, что
типичные значения соЕ должны лежать
в инфракрасной области частот. А имен-
именно, для ферримагнетиков с &N > 100° К
частота vE = '—- ж 1011 — 1012 гц, т. е.
она находится в миллиметровой или
субмиллиметровой области.
Приведенная выше схема расчета
для двух подрешеток была обобщена
Рис. 24.15. Прецессия векторов намагни- На произвольное ИХ ЧИСЛО (Вангнесс
[323]), а также для неколлинеарных маг-
магнитных структур (см., например, Ван-
Вангнесс [324]).
Вангнесс [325] первый обратил внимание на важность точек компен-
компенсации при ферримагнитном резонансе, когда обращается в нуль либо
результирующая намагниченность Ii — 12 = 0 (магнитная компенсация),
либо механический момент Si — S2 = 0 (компенсация момента количест-
количества движения). Обе эти области близки к предельному случаю антиферро-
антиферромагнетизма. Вангнесс показал, что в областях компенсации величина
обменной резонансной частоты резко падает и она может попасть в ту же
микроволновую область, где лежит частота обычного резонанса coi.
Экспериментально обменный тип ферримагнитного резонанса наблю-
наблюдали в литиевом феррите-хромите [326], в феррите-гранате гадолиния
[327—330]. Эти измерения позволяют определить константу молекуляр-
молекулярного поля. Укажем еще ряд работ по изучению ЭФР в ферритах [331 —
367] и, в частности, в ферритах со структурой граната [368—399]. Инте-
Интерес именно к этому типу ферритов обусловлен исключительной узостью
резонансного пика, что имеет большой интерес для практических при-
применений.
2. Резонанс в антиферромагнетиках. Теория электронного антиферро-
антиферромагнитного резонанса (ЭАФР) была развита в работах Киттеля [400],
Нагамийя [401—403] (см. также [404—407]). Детальное изложение этого
явления можно найти в обзорах Нагамийя и др. [408], Фонера [68],
Кеффера [71] в книге Морриша A965), к которым мы и отсылаем чи-
читателей. Здесь мы дадим лишь самое краткое изложение сути теории этого
явления.
Теоретическое рассмотрение ЭАФР было начато раньше, чем ферри-
ферримагнитного резонанса. Но для нас удобнее рассмотреть ЭАФР как пре-
предельный случай последнего. Ограничиваясь опять случаем двух одина-
одинаковых подрешеток у4 = у2 = Y> HAi = НА2 = Да и считая, что при 0° К
Ii = /2 = /s (когда поле приложено вдоль направления антиферромаг-
антиферромагнетизма) для собственных частот находим
copeV - + Y# + Y [HA (Ha + 2iV12/s)]1/2;
два типа корня соре'з и сорё3 соответствуют внешнему полю Н, направлен-
направленному вдоль и против J4. Поскольку подрешетки физически эквивалентны,
следует рассматривать лишь один корень, например соре'з = сорез- В отсут-
- 902 —

ствие внешнего поля имеем
сорез - ± у [Яа (НА + 2NIZ1S)]1/2.
Поэтому для антиферромагнетика при Н = 0 имеет место вырождение
резонансных частот. При Н Ф 0 это вырождение снимается *), но пре-
прецессия, как и при Н = О, происходит в противоположных направлениях
вокруг направления поля, пока один из корней не обращается в нуль при
Н= [НА (Ha+2N12Is]1/2 « BtfAiV12/sI/2 = B#А#ЕI/2.
Из B2.956) следует, что при этом поле происходит опрокидывание под-
решетки. Естественно, что при этом значении поля и выше него условия
для резонансных частот ЭАФР меняются — имеет место ориентационный
резонанс (см. Нагамийя [402]).
Далее можно рассмотреть различные случаи взаимной ориентации
подмагничивающего поля Но и оси антиферромагнетизма z и т. п. За под-
подробностями отсылаем читателя, например, к обзору Фонера [68].
Имеется уже большая литература по экспериментальному определе-
определению резонансных частот в антиферромагнетиках, а также в слабых ферро-
ферромагнетиках [409—418]. Численные данные можно найти в обзорах Фонера
168] и Кеффера [71]. См. также оригинальные работы [419—503].
§ 10. Магнитная вязкость
Уже очень давно при изучении ферромагнитных явлений было обна-
обнаружено явление магнитного последействия или магнитной вязкости
(Юинг [504]; Релей [505]). На первый взгляд казалось, что причиной маг-
магнитного последействия являются
вихревые токи. Действительно,
начальная стадия временного
спада намагниченности, как по-
показали тщательные исследова-
ния Введенского [506], воинов-
ном определяется вихревыми то-
токами. ТелеСНИН И др. [507—514] Рис. 24.16. Временной спад намагниченности (Д1 в
ИССЛеДОВаЛИ явление магНИТНОГО полученнаяДдля^учая наличия обоих'ме^анизмов3^
ттпрттоттойртпист па лтаалткау кпи- вихревых токов и вязкости; б — кривая для случая,
ПОСЛедеИСТВИЯ на участках кри ког?а спад целиком определяется действием вихревых
ВОЙ намаГНИЧИВаНИЯ железа, СО- токов (Телеснин и др. [513]).
ответствующих максимальной
проницаемости. В этих исследованиях! была разработана методика,
гарантировавшая возможность наблюдения изменений намагничен-
намагниченности в течение промежутков времени порядка 10~в сек. Миткевич
[515] в ряде работ показала, что эффекты последействия нельзя
целиком объяснить одним задерживающим действием вихревых токов.
Наряду с этим играет существенную роль своеобразная «магнитная вяз-
вязкость», природа которой связана с процессами технического намагничи-
намагничивания. К этим же выводам привели и указанные работы Телеснина.
На рис. 24.16 показана кривая временного спада намагниченности
(в условных единицах) в сплаве Fe — Ni по измерениям Телеснина и др.
[513]. Кривая б на рис. 24.16 соответствует случаю, когда изменение
намагниченности вызывается лишь задерживающим действием вихревых
токов. Эта кривая рассчитывалась по теории Введенского [506]. Исследуя
магнитную вязкость в растянутых проволоках из двух Fe — Ni-сплавов
(с 43 и 78,5 ат. % Ni), Телеснин и др. [513] обнаружили новое явление —
запаздывающие скачки намагниченности, которые могут происходить
*) Оно может быть снято и при Но = 0, например, в антиферромагнетике с орто-
ромбической решеткой, когда эффективные поля анизотропии вдоль осей х и у будут
различны: Яа ' ф НТ (см. Накамура [407]).
— 903 —

через интервалы времени до 5 минут после окончания основного спада
намагниченности. Это явление связано с тем, что под действием наложен-
наложенных внешних упругих натяжений в материале возникают неустойчивые
(метастабильные) состояния граничных слоев между доменами, которые
начинают смещаться после того, как исчезнет небольшой потенциальный
барьер, задерживающий границу в положении, соответствующем относи-
относительному минимуму свободной энергии.
Рихтер [516] обнаружил очень резкую зависимость магнитного после-
последействия от температуры. Исследуя магнитные временные свойства мягко-
мягкого магнитного материала (карбонильное железо), он обнаружил, что при
температуре —12° С спад намагниченности продолжается в течение десят-
десятка минут, а при +100° С весь эффект магнитного последействия завер-
завершается за 10~2 сек.
Резкая температурная зависимость магнитной вязкости с такими
же временами релаксации, как и для механического последействия в том
же материале, позволяет высказать предположение, что оба эти явления
тесно связаны между собой. При намагничивании ферромагнетика в обла-
области слабых полей (где, как правило, и наблюдается магнитная вязкость)
мы имеем в основном процессы смещения границ между доменами. При
смещении границ из-за магнитострикции возникают внутренние напря-
напряжения. Их равновесное распределение устанавливается не сразу, а бла-
благодаря механическому последействию, с конечной скоростью. В более
пластичных материалах с большим временем релаксации для механиче-
механического последействия следует ожидать и более развитого явления магнит-
магнитного последействия. При этом на условия равновесия границ между доме-
доменами могут оказывать влияние такие процессы, как диффузия примесей,
распад твердых растворов, явление упорядочения атомов в кристалличе-
кристаллической решетке сплавов и т. п. Температурная зависимость магнитного
последействия исследована также в работах [517, 518].
Магнитное последействие может приводить не только к изменению
величины намагниченности «вязкого» ферромагнетика со временем,
но и к изменению характера процессов намагничивания. Наиболее ярко
это проявляется в так называемом спаде магнитной проницаемости или
дезаккомодации.
Снук [519] развил феноменологическую теорию временного спада
проницаемости, в которой он постулирует существование времени релак-
релаксации, не связывая его с магнитными и механическими параметрами кри-
кристалла. Он основывался на предположении о связи этого явления с упру-
упругим последействием. Границы между доменами после размагничивания
попадают в какие-то «свежие» места кристаллической решетки металла.
Из-за неоднородности намагниченности в этих граничных слоях возни-
возникают заметные градиенты магнитострикционных напряжений. Как пока-
показал Горский [520], в такие места кристалла с большими градиентами напря-
напряжений должна идти заметная диффузия примесей в кристалле. Эта диф-
диффузия вызывает заметное перераспределение внутренних напряжений,
и можно ожидать, чтб граница между доменами «продавит» себе со време-
временем более глубокую «потенциальную яму». Для смещения границы из этой
«ямы» требуются большие поля, что приводит к уменьшению проницае-
проницаемости со временем.
Снук [521] предложил общую теорию магнитного последействия,
которая дает возможность в единой схеме учесть и временное изменение
намагниченности и временной спад проницаемости. Согласно Снуку, вре-
временные эффекты в ферромагнетике можно условно разделить на ионные
и электронные. Первые связаны со структурными изменениями в кристал-
кристаллической решетке, а вторые — с перераспределением электронной плот-
плотности 3d- и 4«-электронов.
Янус и Дрожжина [522] исследовали временной спад проницаемости
в Fe — Si и обнаружили, что его рафинирующая термообработка не ослаб-
— 904 —

ляет временного спада проницаемости, в противоположность теории
и опытам Снука [519, 521] с карбонильным железом, где аналогичная
обработка (отжиг в водороде и затем в вакууме) полностью уничтожила
временной спад. Кроме того, кривые, полученные в опытах Януса и Дрож-
жиной, не всегда совпадают с теоретическими кривыми Снука. Это ука-
указывает, что существующая теория временного спада проницаемости
требует дальнейшего уточнения.
По экспериментальному изучению спада магнитной проницаемости
имеется довольно обширная литература; упомянем, например, [523—536].
Теория этого явления рассмотрена в работе Дитца [537].
Сильный эффект временного спада проницаемости наблюдается в маг-
магнетите. Этот случай, как показали опыты Януса и др. [538], в общем охва-
охватывается теорией Снука. Снук [521] для временного спада проницаемости
наблюдал очень большие времена релаксации в смешанных марганцово-
цинковых ферритах. Существование большого эффекта при низких тем-
температурах, когда процессы диффузии ионов практически не происходят,
наводят на мысль, что этот эффект магнитного последействия обусловлен
перестройкой электронной плотности. Однако до сих пор нет еще доста-
достаточной ясности в теории магнитной вязкости в ферритах. Упомянем
лишь ряд экспериментальных исследований явления магнитной' вязкости
в ферримагнетиках-ферритах, а именно Крупичка и др. [539—542], Пли-
кетта [543], Брагинского [544], Акаши и Окада [545], Телеснина и Мака-
Макарова [546], Мерсерона [547], Розенбаума [548], Болыповой и Андрее-
Андреевой [549].
Стритт и Уолли [550] и Стритт и др. [551] развили формальную
теорию магнитной вязкости, предположив, что она связана с актива-
ционно-энергетическими процессами. На некоторой стадии намагничи-
намагничивания ферромагнетиков, следующей за внезапным изменением величины
намагничивающего поля, векторы самопроизвольной намагниченности
некоторого числа доменов находятся в «метастабильном» состоянии.
Под влиянием тепловых флуктуации эти домены переходят из метаста-
бильного состояния в термодинамически устойчивое, что и приводит
к временному изменению результирующей намагниченности. Нарастание
намагниченности А/ со временем t происходит при этом по закону
M(t) = Aorfo($)kET\nt, B4.55)
где Аот — среднее изменение намагниченности при отдельной флуктуации
в одном домене, а /0 {Ш) — функция распределения (для начального
момента времени) числа доменов по величине энергии активации %, необ-
необходимой для изменения их намагниченности. Для скорости изменения
намагниченности получается формула
)kET
[l-exp(-rf)]. B4.56)
Эту формальную схему авторы применили для объяснения явлений маг-
магнитной вязкости в высококоэрцитивном сплаве альнико *) и в ферритах.
Их теория носит чисто формальный характер, как и упомянутая выше
теория Снука, и не объясняет физического механизма явления.
Телеснин [556] показал, что из B4.55) и B4.56) следует обнаруженное
им ранее на опыте соотношение (см. [507—509, 512]) между временем
релаксации магнитной вязкости т и величиной дифференциальной вос-
восприимчивости %d, которое имеет вид
г = А-Ц-, B4.57)
*) Изучению магнитной вязкости сплава альнико посвящены также исследова-
исследования Булгакова и Кондорского [552, 553], Филлипса и др. [554]; см. также [555].
— 905 —

тде Т — абсолютная температура, а А — постоянная. Таким образом,
согласно B4.57), время релаксации прямо пропорционально %<* и обратно
пропорционально температуре. Это соотношение Телеснин назвал первым
правилом магнитной вязкости.
Измерения Телеснина [556] на образцах Ni с резко различными зна-
значениями %d и при Т = const показали, что коэффициент А (коэффициент
магнитной вязкости) остается приблизительно постоянным. Но если изме-
изменить величину упругих натяжений, то, величина А изменяется, что
связано, по-видимому, с изменением функции распределения /0 (Ш)
из B4.56), которая входит в выражение для А.
Кроме того, Телеснин обнаружил, что т не зависит от величины
изменения магнитного поля АН, которое производится перед изме-
измерением, а целиком определяется конечным состоянием ферромагнетика.
Этот опытный факт Телеснин назвал вторым правилом магнитной
вязкости. Отклонения от этого правила наблюдаются лишь при малых
значениях т.
Телеснин [510, 511], а также Таока [557], исследуя магнитную вяз-
вязкость ферромагнитного сплава Ш3Мп, а также ряда высококоэрцитивных
сплавов (викаллой, альнико и магнико), обнаружили для нисходящей
ветви петли гистерезиса (между /г и / = 0) очень большие значения времен
релаксации, например до 180 сек в частично упорядоченном сплаве Ni3Mn.
Эту аномально большую вязкость он назвал «сверхвязкостью» и пред-
предположил, что это явление обусловлено кинетикой процессов упорядоче-
упорядочения в этих сплавах. См. также по этому поводу работы Телеснина и Кури-
Курицыной [558—560], Ремизова [561], Вайля [562].
Влияние диффузионных процессов на магнитную вязкость иссле-
исследовано в работах Бриссоно [563], Клейна [564]. См. также работы Биорчи
и др. [565].
Неель [566] (см. также Бриссоно [567]) развили теорию магнитного
последействия для случая очень слабых полей (область Релея), меньших
чем величина коэрцитивной силы. В основу теории положено предполо-
предположение, что тепловые флуктуации позволяют граничным слоям между
доменами преодолевать препятствия, характеризуемые критическим полем
HKVi ПОД действием внешнего поля Н, меньшего HKV. Действие тепловых
флуктуации оказывается в общем эквивалентным действию затухающего
переменного магнитного поля. На основе этих предположений получены
•формулы для ряда магнитных величин (зависимость начальной проницае-
проницаемости и остаточной намагниченности от внешнего поля Н, времени и нагре-
нагрева образца). Выводятся выражения для обратимой восприимчивости,
потерь в слабых переменных магнитных полях и т. п. Измерения Барбье
[568], Пескетти и Барбье [569], Либурти [570] и Лейнхоса [571] каче-
качественно подтвердили основные выводы теории Нееля.
Влияние упругих и пластических деформаций высокого давле-
давления на магнитную вязкость исследовано соответственно в работах
Б осман а и Броммера [572], Крингса [573] (см. также [574]), Босмана
и др. [575].
Связь магнитного последействия с дислокационной структурой иссле-
исследована в работах Биорчи и др. [565, 576], со скачками Баркгаузена —
в работе Биттела и Вестербура [577], а влияние облучения нейтронами
на магнитное последействие изучалось в работах Мозера и До-
треппа [578] и быстрыми электронами — в работе Перетто и др. [581],
Зеегера и др. [579] и Вальца [580]. Белов и др. [582] исследовали маг-
магнитную вязкость редкоземельных металлов, а Ламбек [583] — тонких
пленок.
О дальнейшем развитии исследований по магнитной вязкости см.
обзоры Ратенау [528, 584], книгу Кнеллера A962), а также работы Крато-
хвиловой [585], Ноулса [586], Кронмюллера и др. [587] и, наконец, еще
обзорную работу Кронмюллера [588].
— 906 —

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 24
1. В. К. А р к а д ь е в, ЖРФХО, часть физ. 45, 103 A913).
2. В. К. А р к а д ь е в, ЖРФХО, часть физ. 45, 312 A913).
3. Сборник «Проблемы электротехнического металла», ОТН АН СССР, ред.
В. К. Аркадьев, Изд. АН СССР, М., 1938.
4. Сборник «Практические проблемы электромагнетизма», ред. В. К. Аркадьев,
Изд. АН СССР, М.— Л., 1939.
5. Сборник «Проблемы ферромагнетизма и магнетодинамики», ред. В. К. Аркадьев,
Изд. АН СССР, М.—Л., 1946.
6. М. Р о з о в с к и й, ЖЭТФ 14, 402 A944).
7. А. Н. Т и х о н о в, ЖЭТФ 7, 138 A937).
8. R. Becker, Ann. der Phys. 27, 123 A936).
9. E. H i n z e, Ann. der Phys. 19, 143 A934).
40. Б. А. Введенский, ЖРФХО, часть физ. 58, 241 A926).
И. W. В. Ell wood, V. Е. Legg, J. Appl. Phys. 8, 351 A937).
12. M. А. Д и в и л ь к о в с к и й, М. И. Филиппов, ЖЭТФ 5, 508 A935); 6,
2 A936).
13. М. А. Д и в и л ь к о в с к и й, ЖТФ 8, 433 A939).
14. С. М. Р ы т о в, ЖЭТФ 10, 180 A940).
15. Д. И. М а ш, П. Е н у ш к о в, ЖТФ 8, 1986 A938).
16. Д. И.Маш, ЖТФ 9, 339 A939).
17. L. S n о е k, Physica 8, 426 A941).
18. Е. Hag en, H. Rubens, Ann. der Phys. 1, 352 A900); 8, 1 A902); 11, 873
A903).
19. В.К.Аркадьев, ЖРФХО, часть физ. 58, 159 A926).
20. О. И. В е л е ц к а я, ЖЭТФ 5, 322 A935); 6, 5 A936).
21. К. А. Волкова, Zs. Phys. 74, 388 A932).
22. О. И. Велецкая, В. М. Гойтанников, Сб. «Практические проблемы
электромагнетизма», Изд. АН СССР, М., 1939, стр. 73.
23. Н. Н. М а л о в, Журн. прикл. физ. 6, 26 A929); Zs. Phys. 74, 431 A932).
24. Р. Н е г m a n n, Zs. Phys. 84, 565 A933).
25. R. G о 1 d s с h m i d t, Helv. Phys. Acta 9, 40 A935).
26. К. К r e i s с h e i m e r, Ann. der Phys. 17, 203 A933).
27. M. S t r u t t, К. К n о 1 1, Physica 7, 635 A940).
28. И. М. К и р к о, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 561 A952).
29. Н. Г. Катков, К. М. Поливанов, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 419
A954).
30. Л. А. Фоменко, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1310 A957); УФН 64, 669
A958); ФММ 8, 150 A959).
31. В. К. А р к а д ь е в, Ann. der Phys. 58, 105 A919).
32. В. К. Аркадьев, ДАН СССР 8, 204 A935).
33. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 A935).
34. R. Becker, Phys. Zs. 39, 856 A938).
35. R.Becker, Ann. der Phys. 36, 340 A939).
36. R. Becker, J. phys. rad. 12, 332 A951).
37. R. Becker, Zs. Phys. 133, 134 A952).
38. G.T.Hado, Phys. Rev. 83, 82 A951).
39. G. T. R a d o, Rev. Mod. Phys. 25, 81 A953).
40. H. С. А к у л о в, Г. С. К р и н ч и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 523 A952).
41. W. D б г i n g, Zs. Naturforsch. За, 373 A948).
42. Т. М. Перекалина, А. А. Аскочинский, Д. Г. Санников, ЖЭТФ
40, 441 A961).
43. I.H. Winter, Phys. Rev. 124, 452 A961).
44. Л. Г. Оноприенко, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1965.
45. G. Т. R a d о, R. W. W r i g h t, W. H. E m e r s о n, Phys. Rev. 80, 273 A950).
46. G. T. R a d o, R. W. W r i g h t, W. H. E m e r s о n, A. T e p p i c, Phys. Rev.
88, 909 A952).
47. Ch. Kittel, J. K. Gal t, Solid State Physics, vol. 3, Acad. Press Inc., N.Y., 1956,
p. 439.
48. К.М.Поливанов, ДАН СССР 32, 3, 181 A941).
49. К. М. Поливанов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 449 A952).
50. L. N ё е 1, Ann. Inst. Fourier 3, 301 A951).
51. G. В г о u w e r, J. Appl. Phys. 26, 1297 A955).
52. R. В о 1 1, Zs. angew. Phys. 12, 212 A960).
53. J. В en о it, E. N a s с h k e, Compt. rend. 238, 2292, 2404 A954).
54. E. N a s с h k e, J. phys. rad. 17, 330 A956).
55. Ch. Kittel, Phys. Rev. 70, 281 A946).
56. K. F. L i n d m a n, Zs. techn. Phys. 19, 159 A938).
57. В. К. А р к а д ь е в, J. Phys. USSR 9, 373 A945).
58. В.К.Аркадьев, Ann. der Phys. 58, 105 A919).
59. J. В. Н о a g, H. J о n e s, Phys. Rev. 42, 571 A932).
- 907 —

60. G. Р о t a p e n к о, R. S a n g e r, Naturwiss. 21, 818 A933).
61. G. P о t a p e n к о, R. S a n g e r, Zs. Phys. 104, 779 A937).
62. J. В. Н о a g, N. G о t t 1 i e b, Phys. Rev. 55, 410 (L) A939).
63. Ch. Kittel, Phys. Rev. 80, 918 A950); J. phys. rad. 12, 291 A951).
64. L. S n о е к, Physica 14, 207 A948).
65. A. J. E. Welch, P. F. Nicks, A. F a i г w e a t h e r, F. F. Roberts,
Phys. Rev. 77, 403 A950).
66. G. T. R a d o, Advances in Electronics, vol. II, Acad. Press N.Y., 1950.
67. L. R. W a 1 к е г, Сб. «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I, Acad. Press,
N.Y., 1963, p. 299.
68. S. F о n e г, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I, Acad. Press, N. Y.,
1963, p. 384.
69. R. W. D a m о n, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I, Acad. Press,
N.Y., 1963, p. 552.
70. С W. H a a s, H. В. С a 1 1 e n, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I,.
Acad. Press, N.Y., 1963, p. 450.
71. F. К ef f er, Hand, der Phys., Bd. XVIII/2, hsg H. P. J. Wijn, Springer-Verlag,
Berlin, 1966, p. 1.
72. Сборник «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ,
М., 1961.
73. В. К. А р к а д ь е в, ЖРФХО, часть физ. 44, 165 A912).
74. В. К. А р к а д ь е в, ДАН СССР 1, 12 A927).
75. Сборник «Современные проблемы электромагнетизма», под ред. В. К. Аркадьева,
М., 1931.
76. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 17, 98 A923).
77. Н. С. А к у л о в, ЖРФХО, часть физ. 58, 577 A926).
78. Е. К. 3 а, в о й с к и й, ЖЭТФ 17, 883 A947).
79. J. H. E. Griffiths, Nature 158, 670 A946).
80. Н. G. В е 1 j e r s, Physica 17, 269 A951).
81. D. M. S. В a g g u 1 е у, Proc. Phys. Soc. A66, 765 A953); Proc. Roy. Soc. A228,
549 A955).
82. W. A. J a g e r, Phys. Rev. 78, 316 A949).
83. W. S. A m e n t, G. T. R a d o, Phys. Rev. 97, 1558 A955).
84. E. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского.
ГИФМЛ, М., 1961, стр. 170.
85. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. А. И з ю м о в, УФН 78, 3 A962).
86. А. И. А х и е з е р, С. В. П е л е т м и н с к и й, ФТТ 10, 3301 A968).
87. К. S u g i h a r a, J. Phys. Soc. Japan 15, 1712 A960).
88. Z. F r a i t, B. H e i n r i с h, M. О n d r i s, Phys. Lett. 3, 276 A963).
89. Z. F r a i t, H. M а с F a d e n, Phys. Rev. 139, A1173 A965).
90. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р я е в а, ЖЭТФ 51, 1001 A966).
91. J. I. К а р 1 a n, Phys. Rev. 143, 351 A966).
92. D. M. S. В a g g u 1 е у, J. L i e s e g a n g, J. Appl. Phys. 37, 1220 A966).
93. F. С R о s s о 1, B. R. С о о p e r, R. V. J о n e s, J. Appl. Phys. 36, 1209 A965);
37, 1227 A966).
94. H. W. de W i j n, J. J. H. F r a n s e, Phys. Lett. 21, 9 A966).
95. J. L. Stanford, R. С J о u n g, Phys. Rev. 157, 245 A967).
96. R. L. Cooper, E. A. U e h 1 i n g, Phys. Rev. 164, 662 A967).
97. D. M. S. В a g g u 1 e y, M. H e a t h, Proc. Phys. Soc. 90, 1029 A967).
98. S. M. В h a g a t, L. L. Hirst, Phys. Rev. 151, 401 A966).
99. S. M. В h a g a t, J. R. Anderson, L. L. Hirst, Phys. Rev. Lett. 16, 1099
A966).
100. A. van Itterbeek, G. Forrez, J.Smits, J.Witters, J. phys. rad. 21,
81 A960).
101. Z. F r ai t, Чехосл., Физ. Журн. И, 360 A961).
102. М. О n d r i s, Z. F r a i t, Чехосл. Физ. Журн. И, 883 A961).
103. Н. N о s ё, J. Phys. Soc. Japan 16, 342, 838 A961).
104. E. В i 1 1 e г, С Schwink, Zs. angew. Phys. 14, 219 A962).
105. T. G. P h i 1 1 i p s, H. M. R о s e n b e r g, Phys. Rev. Lett. 11, 198 A963).
106. E. Т. Н a s t y, J. Appl. Phys. 35, 1434, 1486 A964).
107. K. G о s e r, Zs. angew. Phys. 18, 511 A965).
108. А. Л. Ф р у м к и н, ФММ 23, 234 A967).
109. L. W о j t e z a k, Acta phys. Polon. 34, 441 A968).
110. S. Matsuyama, Y. Nakayawa, J. Phys. Soc. Japan 24, 207 A968).
111. В. Е. Ш а п и р о, ФТТ 10, 1265 A968).
112. В. А. Игнатченко, ЖЭТФ 54, 303 A968).
113. J. С. A n d e r s о n, Proc. Phys. Soc. 75, 33 A960).
114. Ю. И. Петров, Б. А. Русин, Ю. И. Федоров, ФММ 23, 504 A967).
115. Z. F r a i t, Чехосл. Физ. Журн. 10, 546 A960).
116. J. F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 33, 1191 A962).
117. Ch. Kittel, Phys. Rev. 71, 270 A947).
118. Ch. Kittel, Phys. Rev. 73, 155 A948).
— 908 —

119. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 76, 743 A949).
120. D. Polder, Phil. Mag. 40, 99 A949).
121. Г. В. С к р о ц к и й, Л. В. Курбатов, Сб. «Ферромагнитный резонанс»,
под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 25.
122. A. F. К i р, R. D. А г п о 1 d, Phys. Rev. 75, 1556 A949).
123. L. R. В i с k f о г d, Phys. Rev. 78, 449 A950).
124. К. Н. R e i с h, Phys. Rev. 101, 1647 A956).
125. G. S. Barlow, K. J. S t e n d 1 e y, Proc. Phys. Soc. B69, 1052 A956).
126. J. H. V a n V 1 e с k, Phys. Rev. 78, 266 A950).
127. J. M. L u t t i n g e r, Ch. К i t t e 1, Helv. Phys. Acta 21, 480 A948).
128. J. M. Richardson, Phys. Rev. 75, 1630 A949).
129. E. И. Я к о в л е в, ФММ 8, 165 A959).
130. Ю. А. И з ю м о в, ФММ 8, 807 A959); 9, 662 A960); 12, 20 A961).
131. С. В. Тяб ликов, ФТТ 2, 361 A960); ФММ 20, 293 A965).
132. Ю. А. И з ю м о в, Ю. Я. П о л я к, ФММ 10, 641 A960).
133. Т. Oguchi, A. H о n m a, J. Phys. Soc. Japan 16, 79 A961).
134. A. R. Ferchmin, Phys. Lett. 1, 281 A962).
135. С. В. Т я б л и к о в, Т. Ш и к л о ш, Acta Phys. Hung. 14, 331 A962).
136. О. А. Ольхов, Б. Н. Провотворов, ЖЭТФ 44, 514 A963); Phys. Rev.
140, А1296 A965).
137. О. А. О л ь х о в, ФТТ 5, 2448 A963).
138. В. R. Cooper, R. J. Elliott, Phys. Rev. 131, 1043 A963).
139. W. Haubenreiser, Phys. Lett. 6, 43 A963).
140. А. И. М и ц е к, ФММ 24, 998 A967).
141. E. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского,
ГИФМЛ, М., 1961, стр. 98.
142. В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. Каганов, Сб. «Ферромагнитный резонанс»,
под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 266.
143. L. R. Walker, Phys. Rev. 105, 390 A957).
144. R. L. W h i t e, I. H. S о 1 t, J. Е. М е г с е г е a u, Bull. Am. Phys. Soc. 1, 12
A956).
145. R. L. W h i t e, I. H. S о 1 t, Phys. Rev. 104, 56 A956).
146. J. F. D i 1 1 о n, Bull. Am. Phys. Soc. 1, 125 A956).
147. J. F. D i 1 1 о n, Phys. Rev. 112, 59 A958).
148. J. F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 31, 160S A960).
149. R. L. W h i t e, J. Appl. Phys. 31, 86S A960).
150. I. H. Solt, Jr., P. С Fletcher, J. Appl. Phys. 31, 100S A960).
151. P. P i n с u s, J. Appl. Phys. 33, 553 A962).
152. P. С Fletcher, I. H. Solt, R. O. Bell, Phys. Rev. 114, 739 A959).
153. L. R. Walker, J. Appl. Phys. 29, 318 A958).
154. J. F. Dillon, H. К a m i m u г a, J. R. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 34, 1240
A963).
155. G. S e i d e 1, I. S v а г e, Paramagnetic Resonance, ed. W. Low., vol. II, N. Y.
1963, p. 408.
156. С. В. В о н с о в с к и й, Е. А. Туров, J. Appl. Phys. 30, 9S A959).
157. Ch. К i t t e 1, С. Н е г г i n g, Phys. Rev. 77, 572 A950).
158. А. И. A x и е з e p, В. Г. Б а р ь я x т а р, М. И. К а г а н о в, ФММ 6, 932 A958).
159. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 1295 A958).
160. С W. S e а г 1 e, A. H. M о г г i s h, R. J. P г о s e n, Physica 29, 1219 A963).
161. M. H. S e a v e y, P. E. T a n n e n w a 1 d, Phys. Rev. Lett. 1, 168 A958).
162. С W. Searle, A. H. M о г г i s h, Phys. Lett. 7, 229 A963).
163. R. Weber, P. E. Tannenwald, J. Phys. Chem. Sol. 24, 1357 A963).
164. С F. К о о i, Phys. Rev. 131, 1070 A963).
165. R. F. S о о h о о, J. Appl. Phys. 32, 148S A961); 34, 1149 A963); Phys. Rev. 131,
594 A963).
166. M. Sparks, Phys. Rev. IB, 3831, 3856, 3869 A970).
167. H. Puszkarski, Acta Phys. Polon, A38, 297, 899 A970).
168. M. И. К а г а н о в, ЖЭТФ 39,158 A960).
169. J. R. Eshbach, R. W. Damon, Phys. Rev. 118, 1208 A960).
170. В. Д. Кривченков, А. И. Пильщиков, ЖЭТФ 43, 573 A962).
171. W. В. R i b b e n s, J. Appl. Phys. 34, 2639 A963).
172. A. M. P о г t i s, Appl. Phys. Lett. 2, 69 A963).
173. P. W i g e n, M. Shanabarger, С. К о о i, Phys. Lett. 7, 109 A963).
174. Z. F г a i t, Чехосл. Физ. Журн. 13, 535 A963).
175. J. Loos, Чехосл. Физ. Журн. 14, 501 A964).
176. Е. Н i г о t о, J. Phys. Soc. Japan 19, 1 A964).
177. R. Weber, P. E. Tannenwald, Phys. Rev. 140, A498 A965).
178. D.E.Kaplan, Phys. Rev. Lett. 14, 254 A965).
179. E. Schlomann, J. Appl. Phys. 36, 1193 A965).
180. T. G. Philips, Phys. Lett. 17, 11 A965); Proc. Roy. Soc. A292, 224 A966)
181. С. А. П и к и н, ЖЭТФ 54, 1851 A968).
182. В. К. Cooper, Phys. Rev. 169, 281 A968).
- 909 —

183. В. Л. Б е ш и д з е, ЖЭТФ 23, 55 A952).
184. G. G. S с о t t, Rev. Mod. Phys. 34, 102 A962).
185. M. И. К а г а а о в, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского,
ГИФМЛ, М., 1961, стр. 152.
186. Е. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского,
ГИФМЛ, М., 1961, стр. 215.
187. N. Bloembergen, Phys. Rev. 78, 572 A950).
188. А. И. А х и е з е р, J. Phys. USSR 10, 217 A946).
189. F. В 1 о с h, Phys. Rev. 70, 460 A946).
190. Т. L. Gilbert, Phys. Rev. 100, 1243 A955).
191. R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. Ill, 813 A958).
192. R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. 113, 771 A959).
193. В. М. Ф а й н, ЖЭТФ 36, 798 A959).
194. Г. В. С к р о ц к и й, А. А. К о к и н, ЖЭТФ 37, 802 A959); Изв. вузов, Радио-
Радиофизика 3, 650 A960).
195. Ch. К i t t e 1, Е. Abrahams, Rev. Mod. Phys. 25, 233 A953).
196. R. W. D a m о n, Rev. Mod. Phys. 25, 239 A953).
197. E. A. T у р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 462 A955).
198. Г. В. С к р о ц к и й, В. Т. Шматов, ЖЭТФ 34, 742 A958).
199. Г. В. С к р о ц к и й, Л. В. Курбатов, ЖЭТФ 35, 216 A958); ФММ 10, 335
A960).
200. А. И. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. Каганов, ФММ 6, 932
A958).
201. В. Г. Б а р ь я х т а р, ЖЭТФ 37, 690 A959).
202. В'. Г. Б а р ь я х т а р, Г. И. У р у ш а д з е, ЖЭТФ 38, 1253 A960).
203. Ю. А. И з ю м о в, ФММ 10, 140 A960).
204. R. С. F 1 е t с h e г, R. С. Le Craw, E. G. Spencer, Phys. Rev. 117, 955
A960); J. Appl. Phys. 31, 95S A960).
205. E. Schlomann, Phys. Rev. 121, 1312 A961).
206. M. Sparks, R. London, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 122, 791 A961).
207. P. P i n с u s, M. S p а г k s, Phys. Rev. 124, 1015 A961).
208. H. С a 1 1 e n, J. Appl. Phys. 32, 738 A961).
209. J. Morkowski, Acta phys. Polon. 22, 173 A962); 23, 469 A963); J. Phys.
Chem. Sol. 25, 1183 A964).
210. Мэн С я н ь-ч ж е н ь, ФТТ 5, 1988 A963).
211. Мэн Сянь-чжень, Л. А. Давыдов, ФТТ 5, 2627 A963).
212. R. M. White, M. Sparks, Phys. Rev. 130, 632 A963).
213. М. Т a n a k а, К. Tomita, Prog. Theor. Phys. 29, 651 A963); 33, 1 A965).
214. M. T a n a k a, Prog. Theor. Phys. 31, 177 A964).
215. Г. М. Г е н к и н, Н. Г. Г о л у б е в а, ФТТ 7, 989 A965).
216. О. А. О л ь х о в, ФТТ 7, 2282 A965).
217. Ю. М. Я к о в л е в, ФММ 23, 420 A967).
218. Е. Ф. Кондратьев, Е. И. Черненко, ФММ 24, 1131 A967).
219. S. М. В h a g a t, J. R. A n d e г s о n, N. W u, Phys. Rev. 155, 510 A967).
220. W. L. В а г г e t t, R. L. С о о р е г, E. A. U e h 1 i n g, Phys. Rev. 159, 382 A967).
221. M.Sparks, Phys. Rev. 160, 364 A967); 161, 497 A967); Ferromagnetic Relaxa-
Relaxation Theory, Me Grow-Hill Book Сотр. Inc., N.Y., 1964.
222. C. E. P a t t о n, C. H. W i 11 s, J. Appl. Phys. 38, 3537 A967).
223. В. Г. Барьяхтар, М. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 54,
1603 A968).
224. Е. А. Т у р о в, Ю. Н. С к р я б и н, ФТТ 10, 3271 A968).
225. Л. К. А м и н о в, Б. 3. М а л к и н, ФММ 26, 426 A968).
226. В. Н. К а щ е е в, Изв. АН Латв. ССР, № 3, 32 A968).
227. S. М. В hag at, E. О. Stevens, J. Appl. Phys. 39, 1067 A968).
228. J. Villain, J. de phys. 29, 321 A968).
229. N. Bloembergen, R. W. Damon, Phys. Rev. 85, 699 A952).
230. N. Bloembergen, S. Wang, Phys. Rev. 93, 72 A954).
231. H. Suhl, Proc. IRE 44, 1270 A956); Phys. Rev. 101, 1437 A956).
232. H. S u h 1, J. Phys. Chem. Sol. 1, 209 A957); 4, 278 A957); J. Appl. Phys. 28, 1225
A957); 29, 416 A958).
233. Л. И. Мандельштам, Поли. собр. трудов, том IV, Изд. АН СССР, М., 1955.
234. F. R. Morgenthaler, J. Appl. Phys. 31, 95S A960); 36, 3102 A965).
235. Е. Schlomann, J.J. Green, U. Milan о, J. Appl. Phys. 31, 386S A960).
236. M. И. К а г а н о в, В. М. Ц у к е р н и к, ЖЭТФ 37, 587 A960); 38, 952 A960).
237. С. P. H a r t w i g, J.J. Green, R. I. Joseph, E. Schlomann, J. Appl.
Phys. 36, 1265 A965).
238. E. Schlomann, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 406 A962); J. Appl. Phys.
33, 527 A962); 35, 1998 A964).
239. Э. Ш л е м а н, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 454 A964).
240. Т. Kohane, E. Schlomann, J. Appl. Phys. 34, 1544 A963).
241. R. J. Joseph, E. Schlomann, R. M. White, J. Appl. Phys. 34, 2686
A963).
- 910 —

242. W. Haubenreisser, Zs. angew. Phys. 18, 432 A965).
243. Л. В. К и т а е в, ФТТ 10, 3385 A968).
244. А. Г. Г у р е в и ч, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского,
ГИФМЛ, М., 1961, стр. 285.
245. Я. А. Моносов, А. В. Вашковский, Сб. «Ферромагнитный резонанс»
под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 318.
246. С. С. Старобинец, Диссертация, Л., 1966.
247. А. Г. Гуревич, С. С. Старобинец, ФТТ 3, 1995 A961); Изв. АН СССР,
сер. физ. 25, 1357 A961).
248. С. С. Старобинец, ФТТ 5, 2707 A963).
249. С. С. Старобинец, Б. М. Лебедь, А. Г. Гуревич, Phys. stat. sol.
17, К7 A966).
250. R. С. Le С г a w, Е. G. S р е п с е г, С. S. Р о г t е г, J. Appl. Pbys. 29. 326 A958).
251. Е. Schlomann, Phys. Rev. 116, 828 A959).
252. E. Schlomann, J. J. Green, Phys. Rev. (L) 3, 129 A959).
253. P. E. Seiden, H. J. Shaw, J. Appl. Phys. 31, 432, -225S A960).
254. J. I. Masters, J. Appl. Phys. 31, 41S A960).
255. M. J. W e i s s, J. Appl. Phys. 31, 103S, 778 A960).
256. T. S. P e t t e г s e n, J. Appl. Phys. 31, 382S A960).
257. H. S u h 1, Phys. Rev. Lett. 6, 174 A961).
258. J. Loos, Чехосл. Физ. Журн. 11, 490 A961).
259. А. П. Александров, Г. М. Генки н, Г. Л. Гуревич, В. И. Дуби-
Дубинин, ФТТ 5, 2766 A963).
260. E.Schlomann, R.I.Joseph, J. Appl. Phys. 34, 672 A963), 38,1238 A967)-
261. Я. А. М о н о с о в, ЖЭТФ 51, 222 A966).
262. М. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 51, 482 A966).
263. И. А. Д е р ю г р н, Г. А. М е л к о в, ФТТ 8, 3079 A966).
264. А. А. Т у л а й к о в а, Я. А. Моносов, ФТТ 8, 3377 A966).
265. В. М. Г е н к и н, Г. М. Г е н к и н, В. М. Ф а й н, ФТТ 8, 3662 A966).
266. И. А. Д е р ю г и н, В. В. 3 а п о р о ж е ц, Г. А. М е л к о в, Письма ЖЭТФ 5,
352 A967).
267. А. Б. Петровский, ФММ 24, 595 A967).
268. С. Р. Н а г t w i g, J. Appl. Phys. 38, 1220 A967).
269. H. Le G a 1 1, B. L e m a i г e, J. Appl. Phys. 38, 1236 A967).
270. P. H. Cole, W. E. Courtney, J. Appl. Phys. 38, 1278 A967).
271. Я. А. Моносов, В. В. С у р и н, В. И. Щеглов, Письма ЖЭТФ 7 315
A968).
272. И. А. Д е р ю г и н, В. В. 3 а п о р о ж е ц, Письма ЖЭТФ 8, 145 A968)
273. Л. В. Китаев, И. Г. Федосеева, ФТТ 10, 1198 A968).
274. Ю. М. Я к о в л е в, ФТТ 10, 243 A968).
275. S. Dixon, Jr., E. G. Spencer, J. Appl. Phys. 39, 722 A968).
276. Я. А. Моносов, Р. В. Л и з о в с к и й, В. В. С у р и н, J. Apnl Phvs 39
1081 A968). У ' '
277. J. S m i t, H. G. В e 1 j e г s, Philips Res. Rept. 10, 113 A955).
278. J. O. Artmann, Phys. Rev. 102, 1008 A957); 105, 62, 74 A957)
279. T. N a g a m i у a, Prog. Theor. Phys. 10, 72 A953).
280. Л. Г. Оноприенко, ФММ 13, 151 A962).
281. J. D. Holm, A. H. M о г г i s h, J. Appl. Phys. 35, 894 A964).
282. P. A. M i 1 e s, W. B. W e s t p h a 1, A. von H i p p e 1, Rev. Mod. Phys. 29, 279
(Iyo7).
283. В. И. Шахов, Е. И. К о н д о р с к и й, ФТТ 4, 29 A962).
284. К. Б. Власов, Л. Г. Оноприенко, ФММ 15, 45 A963).
285. В. И. Д у д к и н, А. И. П и л ыц и к о в, ЖЭТФ 52, 677 A967); 53, 56 A9671
286. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р я е в а, ЖЭТФ 39, 1596 A960).
287. Л. Г. О н о п р и е н к о, О. И. Ш и р я е в а, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР сеп
физ. 28, 505 A964). Р"
288. В. И. Дудкин, А. И. Пильщиков, ФТТ 8, 2182 A966).
289. А. И. Пильщиков, В. И. Дудкин, ФТТ 8, 3626 A966).
290. А.А.Мануйлова, Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1460 A963); ФТТ 5, 2847
A963).
291. А. А. Мануйлова, Л. П. Богданова, ФТТ 6, 2703 A964)
292. Т. W. М о о г е, D. S. R о d b е 1 1, J. Appl. Phys. 35, 906 A964)
293. R. С. Le Craw, E. G. Spencer, J. Appl. Phys. 28, 399 A957)."
294. Б. М. Л е б е д ь, Л. Я. М у х а, ФТТ 5, 2963 A963).
295. W.Hampe, Zs. angew. Phys. 20, 201 A966).
296. P. Pincus, J. Winter, Phys. Rev. Lett. 7, 269 A961).
297. E. A. T у р о в, Ю. П. И р х и н, ФММ 3, 15 A956).
298. А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, ЖЭТФ
35, 228 A958).
299. Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 836 A958).
300. E.Schlomann, J. Appl. Phys. 31, 1647 A960).
301. E. Schlomann, R. I. Joseph, J. Appl. Phys. 35, 2382 A964).
— 911 —

302. Б. X. Ишмухаметов, ФММ 17, 323 A964).
303. Н. Bommel, К. D г a s f e 1 d, Phys. Rev. Lett. 3, 83 A959).
304. H. Bommel, K. D г a s f e 1 d, Bull. Am. Phys. Soc. A1), 5, 58 A960).
305. А. Г. Г у р е в и ч, ФТТ 6, 2376 A964).
306. R. W. Damon, H. van der V а а г t, Proc. IEEE 53, 349 A965). .
307. Г. А. Смоленский, А. Насыров, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 998
A966).
308. А. Г. Гуревич, Б. М. Лебедь, С. А. Миронов, С. С. Староби-
н е ц, А. Г. Титова, К. В. Ш е в е л я г и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 30,
1002 A966).
309. А. Г. Гуревич, Б.М.Лебедь, С. А. Миронов, С. С. Старобинец,
К. В. Ш е в е л я г и н, ФТТ 8, 2958 A966).
310. А. Г. Г у р е в и ч, Б. М. Л е б е д ь, С. А. М и р о н о в, К. В. Ш е в е л я г и н,
ФТТ 9, 1209 A967).
311. А. Г. Г у р е в и ч, Б. М. Л е б е д ь, С. А. М и р о н о в, С. С. С т а р о б и н е ц,
К. В. Ш е в е л я г и н, ФТТ 9, 661 A967).
312. J. M i e I n i с k i, J. Appl. Phys. 39, 487 A968).
313. Е. К. К i г с h n е г, F. A. Olson, G. E. Bennett, J. Appl. Phys. 39, 489
A968).
314. R. Weber, J. Appl. Phys. 39, 491 A968).
315. J. W. Shaner, E. B. R о у с e, J. Appl. Phys. 39, 492 A968).
316. В. А. Игнатченко, Е. В. Кузьмин, ЖЭТФ 49, 787 A965); ФММ 22,
623 A966); J. Appl. Phys. 39, 494 A968).
317. J. К a p 1 a n, Ch. К i t t e 1, J. Chem. Phys. 21, 160 A953).
318. R. K. Wangsnese, Phys. Rev. 91, 1085 A953); 93, 68 A954).
319. E. Brown, D. Park, Phys. Rev. 93, 68 A954).
320. E. W. Gorter, Nature 173, 123 A954).
321. J. S. Smart, Phys. Rev. 94, 847 A954).
322. Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. UdSSR 3, 366 A933).
323. R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. 97, 831 A955). ,
324. R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. 121, 472 A961).
325. R. K. W angsness, Phys. Rev. 98, 1200 A955); Am. J. Phys. 24, 60 A956).
326. T. R. McG u i r e, Phys. Rev. 97, 831 A955).
327. S.Geschwind, N.R.Walker, D.F. Linn, J. phys. rad. 20, 344 A959).
328. S. Geschwind, N. R. Walker, J. Appl. Phys. 30, 163 A959).
329. J.Pauleve, B. Dreyfus, J. phys. rad. 20, 355 A959).
330. A. J. Sievers, M. T i n k h a m, Phys. Rev. 129, 1995 A963).
331. H. S u h 1, Phys. Rev. 97, 555 A955).
332. M. T. Weiss, P. W. Anderson, Phys. Rev. 98, 925 A955).
333. P. E. Tannenwald, Phys. Rev. 99, 463 A955); 100, 1713 A955).
334. R. K. Wangsness, Phys. Rev. 119, 1496 A960).
335. S.Krupicka, Чехосл. Физ. Журн. 6, 458 A956); 7, 344 A957).
336. R. V au tier, W. К a g a n, Compt. rend. 244, 3040 A957).
337. H. И. К ри в к о, ЖТФ 28, 1703 A958).
338. Т. М. Перекалина, А. А. Аскоченский, ЖТФ 28, 511 A958).
1 1 h Ill 1476 A958)
ерек
i 1 1 о n,
l
р,
339. J. F. D i 1 1 о n, Phys. Rev. Ill, 1476 A958).
340. М. J.Pauleve, J. Appl. Phys. 29, 259 A958); J. phys. rad. 19, 51S A958).
341. E. S с h 1 о m a n n, J. R. Z e e n d о r, J. Appl. Phys. 29, 341 A958).
342. E. Schlomann, J. Phys. Chem. Sol. 6, 242, 253 A958).
343. Я. А. Моносов, А. В. Вашковский, Рад. электрон. 4, 1632 A959).
344. P. С. Fletcher, R. О. Bell, J. Appl. Phys. 30, 687 A959).
345. S. L. Blum, M. H. S i r v e t z, J. Appl. Phys. 30, 795 A959).
346. H. Yonemitsu, J. Phys. Soc. Japan 14, 23, 688 A959).
347. К. П. Б е л о в, В. Ф. Б е л о в, А. А. П о п о в а, ЖЭТФ 38, 1908 A960).
348. J. С. Anderson, В. Donovan, Proc. Phys. Soc. 75, 149 A960).
349. Y. Torizuka, Y. Kojima, T. Okamura, Physica 26, 175 A960).
350. P. A. M i 1 e s, Phys. Rev. 124, 1143 A961).
351. P. С Fletcher, N. Silence, J. Appl. Phys. 32, 706 A961).
352. Z. F r a i t, Чехосл. Физ. Журн. И, 1 A961).
353. W. В. Nash, К. J. S t a n d 1 е у, Proc. Phys. Soc. 79, 981 A962).
354. К. А. Н e m p e 1, Zs. angew. Phys. 14, 488 A962).
355. В. И. Чечерников, А. И. Кашлинский, Вестн. МГУ, 5, 49 A963).
356. H. 3. M и р я с о в, В. А. С е м к и н а, ФТТ 6, 313 A964).
357. В. Н. Glaree, R. W. Teale, J. Appl. Phys. 35, 892 A964).
358. S. Miyamoto, N. T a n a v a, S. I i d a, J. Phys. Soc. Japan 20, 753 A965).
359. T. M i у a d a i, S. M i у a h a r a, J. Phys. Soc. Japan 20, 980 A965).
360. D. A. L e p о r e, R. F. В e 1 t, J. W. N i e 1 s e n, J. Appl. Phys. 38, 1421 A967).
361. L. M. S i I b e r, E. T s a n t e s, P. A n g e 1 o, J. Appl. Phys. 38, 5315 A967).
362. Ю. М. Яковлев, Ю. Р. Ш и л ь н и к о в, Н. Н. Агапова, ФТТ 10, 942
A968).
363. Л. В. Курбатов, В. К. Г у р ы л е в, ФТТ 10, 519 A968).
364. Т. П. В е л и ч к о, М. А. С и г а л, ФТТ 10, 2528 A968).
— 912 —

365. A. J. Kerecman, M. Tauber, T. R. Aucan, R. О. S'avage, I. Appl.
Phys. 39, 726 A968).
366. A. K. Goswami, M. R о s e n b 1 о о m, R. W. T e a 1 e, J. Appl. Phys. 39,
828 A968).
367. J. J. Stickler, H. J. Zeiger, J. Appl. Phys. 39, 1021 A968).
368. J. F. Dillon, Jr., Phys. Rev. 105, 759 A957); 127, 1495 A962).
369. J. P au 1 e v e, Compt. rend. 244, 1908 A957); 245, 408, 1604 A957).
370. E. G. S p e n с e r, R. С Le С г a w, С S. P о г t e r, J. Appl. Phys. 29, 429 A958).
371. R. V. J о n e s, G. P. R о d r i g u e, W. P. W о 1 f, J. Appl. Phys. 29, 434 A958).
372. Л. А. Малевская, Г. М. Нурмухамедов, ЖЭТФ 36, 1600 A959).
373. К. П. Белов, М. А. Зайцева, Л. А. Малевская, ЖЭТФ 36, 1602
A959).
374. А. Г. Г у р е в и ч, И. Е. Г у б л е р, ФТТ 1, 1847 A959).
375. Ch. Kittel, Phys. Rev. 115, 1587 A959); 117, 681 A960); J. Appl. Phys. 31,
US (I960).
376. P. G. de G e n n e s, Ch. Kittel, A. M. P о г t i s, Phys. Rev. Lett. 3, 449
A959); Phys. Rev. 116, 323 A959).
377. J.F.Dillon, I. W.Nielsen, Phys. Rev. Lett. 3, 31 A959); Phys. Rev. 120,
105 A960); J. Appl. Phys. 31, 43S A960).
378. S. G e 1 1 e r, M. A. G i 1 1 e o, J. Phys. Chem. Sol. 9, 235 A959).
379. M. R. Stiglitz, F. R. Morgenthales, J. Appl. Phys. 31, 37S A960).
380. T. M i у a d a i, H. T a k a t a, Y. S h i с h i j o, J. Phys. Soc. Japan 15, 1354
A960).
381. J. H. V an V 1 e с k, Phys. Rev. 123, 58 A961); J. Appl. Phys. 35, 882 A964).
382. A. J. Sievers III, M. T i n k h a m, Phys. Rev. 124, 321 A961).
383. J. F. Dillon, Jr., L. R. Walker, Phys. Rev. 124, 1401 A961).
384. T. Miyadai, J. Phys. Soc. Japan 17, 870, 1829 A962).
385. С W. Haas, T. J. Matcovich, H. S. Belson, N. Goldberg, Phys.
Rev. 132, 1980 A963).
386. J. H. Van Vleck, R. Orbach, Phys. Rev. Lett. 11, 65 A963).
387. Т. О k a d a, H. Sekizawa, Sh. I i d a, J. Phys. Soc. Japan 18, 981 A963).
388. Б. Е. Рубинштейн, А. Г. Титова, Б. Л. Л а п о в о к, ФТТ 6, 3538
A964).
389. F. Hartman-Boutron, J. Appl. Phys. 35, 889 A964); Cs. Cas. Fys. 17, 387
A967).
390. J. D. Holm, A. H. M о г г i s h, J. Appl. Phys. 35, 894 A964).
391. Ho Yu-ping, Meng Xian-zhen, Sci. Sinica 13, 1057, 1075 A964).
392. В. И. Соловьев, А. Г. Г у р е в и ч, ФТТ 7, 1761 A965).
393. В. L u t h i, Appl. Phys. Lett. 6, 234 A965).
394. Б. М. Л е б е д ь, Л. Я. М у х а, В. И. М о с е л ь, А. Г. Т и т о в а, ФТТ 8, 1533
A966).'
395. J. H. Judy, J. Appl. Phys. 37, 1328 A966).
396. R. С. LeCraw, E. M. G у а г g у, L. G. V a n U i t e г t, Appl. Phys. Lett. 9,
90 A966).
397. J. F. D i 1 1 о n, Jr., I. P.R emeika, L. R.Walker, J. Appl. Phys. 38, 2235
A967).
398. D. J. Epstein, L. T о с с i, Appl. Phys. Lett. 11, 55 A967).
399. B.H.Clarke, Brit. J. Appl. Phys. 18, 727 A967).
400. Ch. Kittel, Phys. Rev. 82, 565 A951).
401. T. N a g a m i у a, Prog. Theor. Phys. 6, 342 A951).
402. T. N a g a m i у a, Prog. Theor. Phys. 11, 309 A954).
403. T. N a g a m i у a, Prog. Theor. Phys. 15, 306 A956).
404. F. К e f f e r, Ch. Kittel, Phys. Rev. 85, 329 A952).
405. K. Y о s i d a, Prog. Theor. Phys. 7, 25, 425 A952).
406. J. Ubbink, Phys. Rev. 86, 567 A952); Physica 19, 9, 919 A953).
407. T. Nakamura, Prog. Theor. Phys. 7, 539 A952).
408. T. N a g a m i у a, R. К u b o, K. Y о s i d a, Adv. Phys. 4, 1 A955).
409. P. W. Anderson, F. R. M e г г i t t , J. P. R e m e i k a, W. A. Yager,
Phys. Rev. 93, 717 A954).
410. H. Kumagai, H. Abe, K. Ono, I. Hayashi, J.Shimoda, K. Iwa-
n ag a, Phys. Rev. 99, 1116 A955).
411. E. А. Туров, Н. Г. Гусейнов, ЖЭТФ 38, 1326 A960).
412. P. P i n с u s, Phys. Rev. Lett. 5, 13 A960).
413. H. J. F i n k, Phys. Rev. 130, 177 A963); 133, A1322 A964).
414. S. J. Williamson, S. Foner, Phys. Rev. 136, A1102 A964).
415. H. J. Fink, D. S h a 1 t i e 1, Phys. Rev. 139, 627 A965).
416. С. В.Миронов, В. И. Ожоги н, Е. Г. Рудашевский, В. Г. Ш а п и -
р о, Письма ЖЭТФ 7, 417 A967).
417. С. N. Searle, S. Т. Wang, J. Appl. Phys. 39, 1025 A968).
418. P. R. El list on, G. J. T г о u p, Proc. Phys. Soc. 1, 169 A968).
419. E. Trounson, D. Bleil, R. Wangsness, L. Maxwell, Phys. Rev.
79, 542 A950).
58 С. В. Вонсовский — 913 —

420. К. W. H. S t e v e n s, Phys. Rev. 81, 1058 A951).
421 Т. О к a m u г a, Y. T о г i z u к u, Y. К о j i m a, Phys. Rev. 82, 285 A951).
422. N. T s u у a, Y. Ichikawa, Phys. Rev. 83, 1065 A950).
423 J Ubbink, N. J.Poulis, H. J. Gerritsen, С I. Gorter, Physica
' 18, 361 A952); 19, 928 A953).
424. R. K. Wangsness, Phys. Rev. 89, 142 A953).
425 С J. G о г t e r, Rev. Mod. Phys. 25, 277 A953).
426 L. R.Maxwell, T.R. Me G u i г e, Rev. Mod. Phys. 25, 279 A953).
427 G E. G. Hardeman, N. J. Poulis, Physica 21, 728 A955).
428 M Date, Phys. Rev. 104, 623 A956); J. Phys. Soc. Japan 12, 1168 A957); 14,
1244 A959).
429 F M. J о h n s о n, A. H. N e t h e г 1 о t, Phys. Rev. 104, 847 A956); 114, 705
A959).
430 M Garber, H. J. Gerritsen, Physica 22, 189, 197, 213 A956).
431 H J G e г г i t s e n, M. G а г b e r, Physica 22, 481 A956).
432 E Dayhoff, Phys. Rev. 107, 84 A957).
433' S F о n e r, Phys. Rev. 107, 683 A957); 130, 183 A963).
434 E. S. D а у h о f f, J. Appl. Phys. 29, 344 A958).
435 Ю М. С е и д о в, А. А. Б е р д ы ш е в, ФММ 7, 298 A959); 8, 147 A959).
436. Ю. М. С е и д о в, ФММ 7, 443 A959).
437 R. С. Ohlmann, M. T i n к h a m, Phys. Rev. 123, 425 A961).
438 D. H. D о u g 1 a s s, Jr., M. W.P. Strawdbery, Physica 27, 1 A961).
439. R. J. J о е n k, Phys. Rev. 126, 565 A962).
440 D T. Teaney, M. J.Freises, R. W. H. Stevenson, Phys. Rev. Lett.
' 9, 212 A962).
441. H. Mori, K. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 28, 971 A962).
442 А С Боровик-Романов, Н. М. Крейне с, Л. А. Прозорова,
' ЖЭТФ 45, 64 A963).
443 М А. С а в ч е н к о, В. Г. Б а р ь я х т а р, ФТТ 5, 2747 A963).
444 М J.Freiser, P. E. Seiden, J. J eaney, Phys. Rev. Lett. 10, 293 A963).
445' м' D a t e, К. N a g a t a, J. Appl. Phys. 34, 1038 A963).
44б' G F Herrmann, J. Phys. Chem. Sol. 24, 597 A963).
4471 H Mori, Prog. Theor. Phys. 30, 578 A963).
448 E Г Р уд ашев ский, ЖЭТФ 46, 134 A964).
44Э1 И. Е. Ч у п и с, ЖЭТФ 46, 307 A964).
450 В. И. О ж о г и н, ЖЭТФ 46, 531 A964).
451. А. С. Боровик-Романов, Л. А. Прозорова, ЖЭТФ 46, 1151 A964).
452 Е Г Рудашевский, Т. А. Шальникова, ЖЭТФ 47, 886 A964);
' Письма ЖЭТФ 4, 57 A966).
453 В Г Барьяхтар, М. А. Савченко, В. В. Ганн, П. В. Рябко,
ЖЭТФ 47, 1989 A964).
454 М. О. К о с т р ю к о в а, И. Л. С к в о р ц о в а, ЖЭТФ 47, 2069 A964).
455. А. С. Боровик-Романов, Е. Г. Рудашевский, ЖЭТФ 47, 2095
A964).
456 Г М Генки н, Н. Голубев а, В. М. Цукерник, ФТТ 6, 818 A964).
457.' е'. В. 3 а р о ч е н ц е в, В. А. П о п о в, ФТТ 6, 2489 A964).
458. Л. Л. Б у и ш в и л и, Н. П. Г и р о г а д з е, Г. А. X а р а д з е, ФТТ 6, 2921
A964).
459 М И К а г а н о в, И. Е. Ч у п и с, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 741 A964).
460' м! А. С а в ч е н к о, ФТТ 6, 864 A964).
461' М А Савченко, В. В. Г анн, П. В. Рябко, УФЖ 9, 283 A964).
462 R* Е. N е t t I e t о n, Phys. Rev. 135, А1023 A964).
463' м' А Ь к о w i t z, А. Н о n i g, Phys. Rev. 136, A1003 A964).
464 H Kamimura, J. Appl. Phys. 35, 844 A964).
465 P L. R i с h а г d s, J. Appl. Phys. 35, 850 A964).
46б'. J.'C. Burgiel, A. Strandberg, J. Appl. Phys. 35, 852 A964).
467* В Г. Барьяхтар, М. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 49,
944 A965).
468 А С Боровик-Романов, В. А. Тулин, Письма ЖЭТФ 1, 18 A965).
469' Р* L.' R i с h а г d s, Phys. Rev. 138, A1769 A965).
470' M И Каганов, Р. П. Янкелевич, ЖЭТФ 51, 1703 A966).
471* и' М Фарзтдинов, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 938 A966).
472' D' Е Ъ е е m a n, H. J. F i n k, D. S h a I t i e I, Phys. Rev. 147, 454 A966).
473' р' Н. С о 1 е, W. J. I n с е, Phys. Rev. 150, 377 A966).
474. D. E. E astman, R. J. J oenk, D. T. Teaney, Phys. Rev. Lett. 17, 300
475 B9H e t h i, J. Appl. Phys. 37, 999 A966).
476 W J. I n с e, J. Appl. Phys. 37, 1132 A966).
477! J. R. Shane, R. W. К e d z i e, M. К e s t i g i a n, J. Appl. Phys. 37, 1134
478 ^e' В e e m a n, J. Appl. Phys. 37, 1136 A966).
479.' м'. R. D a n i e 1, Phys. Lett. 22, 131 A966).
- 914 --.

480. В. И. Ожоги н, В. Г. Шапиро, Письма ЖЭТФ 6, 467 A967); ЖЭТФ 54, 96
A968); 55, 1737 A968).
481. J. J. S t i с к 1 е г, S. К е г n, A. W о 1 d, G. S. Н е 1 1 е г, Phys. Rev. 164 765
A967).
482. D. E. Eastman, M. W. S h a f е г, J. Appl. Phys. 38, 1274 A967).
483. J. R. S h a n e, D. H. L у о n s, M. К e s t i g i a, J. Appl. Phys. 38, 1280 A9671
484. P. H. С о 1 e, Appl. Phys. Lett. 10, 272 A967). ''
485. P. R. E 1 1 i s t о n, G. J. T г о u p, Proc. Phys. Soc. 92, 1040 A967).
486. H. Yamazaki, M. Date, J. Phys. Soc. Japan 23, 737 A967).
487. M. Motokawa, M. Date, J. Phys. Soc. Japan 23, 1216 A967).
488. Д. Богомолов, Ю.Ф. Игонин, Л. А. Прозорова, Ф. С. Русин
ЖЭТФ 54, 1069 A968).
489. Л. А. Прозорова, А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 55, 1727 A968).
490. А. С. Боровик-Романов, В. Ф. Мещеряков, Письма ЖЭТФ 8 425
A968).
491. А. Я. Бланк, П. С. Кондратенко, Письма ЖЭТФ 8, 103 A968)
492. Ю. М. Я к о в л е в, ФТТ 10, 1214 A968).
493. Ю. М. Яковлев, Ю. Н. Б у р д и н, ФТТ 10, 1622 A968).
494. В. М. Г е н к и н, Г. М. Г е н к и н, ФТТ 10, 2187 A968).
495. Ю. М. Сеидов, М. С. Г а с а н о в, Изв. АН АзССР, № 1, 3 A968)
496. J. H. В аггу, Phys. Rev. 174, 531 A968).
497. F. В. Hagedorn, E. M. G у о г g у, Phys. Rev. 174, 540 A968).
498. I. S. J acobs, S. Roberts, S. D.Silverstein, J. Appl. Phys 39 816
A968).
499. А. Г. Г у р е в и ч, Е. И. Г о л о в е н ч и ч, В. А. С а н и н a, J. Appl PhVs
39, 1023 A968). 3 '
500. J. R. Shane, M. К e s t i g i a n, J. Appl. Phys. 39, 1027 A968).
501. J. W. Battles, G. E. Everett, Sol. State Comm. 6, 569 .A968)
502. M. Date, M. M о t о k a n o, J. Phys. Soc. Japan, 22, 165 A968).
503. К. К a t s u m о t о, М. Date, J. Phys. Soc. Japan 22, 751 A968)
504. I.A.Ewing, Proc. Roy. Soc. A46, 269 A889).
505. J. W. R а у 1 e i g h, Phil. Mag. E), 23, 225 A887).
506. Б. А. Введенский, ЖРФХО, часть физ. 55, 1 A923).
507. P. В. Т е л е с н и н, ЖЭТФ 7, 117 A937).
508. Р. В. Т е л е с н и н, ДАН СССР 20, 649 A938).
509. Р. В. Т е л е с н и н, J. Phys. USSR 5, 213 A941).
510. Р. В. Т е л е с н и н, ДАН СССР 59, 887 A948).
511. Р. В. Т е л е с н и н, Вестник МГУ № И, 111 A948).
512. Р.-В. Телеснин, ЖЭТФ 19, 970 A949).
513. Р. В. Т е л е с н и н, Л. О. Р у д а я, М. И. Ч у л к о в а, Вестник МГУ 1 117
A947).
514. Р. В. Телеснин, Е. Ф. Курицына, ДАН СССР 75, 797 A950).
515. А. В. М и т к е в и ч, Электричество, № 10 A933): ДАН СССР 1 53 H934V 3
36, 426 A934); 2, 25 A935). V h '
516. G. R i с h t e г, Ann. der Phys. 29, 605 A937).
517. J. H. Philips, J. С W о о 1 1 e у, R. Street, Proc. Phys. Soc. B68, 345
A955).
518. L. A 1 b e г t s, W.-P. van Ryneveld, P. E.Viljoen, Nuov. cim 32 64 A9641
519. J. L. S n о е k, Physica 5, 663 A938); 6, 161 A939). ' ''
520. В. С. Горский, Phys. Zs. UdSSR 8, 457 A935).
521. J. L. S n о е k, Physica 15, 214 A949).
522. P. И. Янус, В. И. Д р о ж ж и н а, ЖТФ 9, 1960 A939)
523. S. M a e d a, J. Phys. Soc. Japan 7, 369 A952).
524. J. К г a n z, Zs. Phys. 139, 619 A954).
525. О. Y a m a d a, Zs. Phys. 142, 225 A955).
526. O. Y a m a d a, H. D. H a h 1 b о h m, Zs. angew. Phys. 8, 205 A956).
527. A. J. В о s m a n, P. E. В г о m m e r, H. J. van D a a 1, G. W Rathenau
Physica 23, 989, 1001 A957).
528. G.W. Rathenau, J. Appl. Phys. 29, 239 A958).
529. K. Tsushima, M. Asonamo, S. Miyahara, J. Phys. Soc Janan 14
1253 A959). v
530. С. К u г о d a, J. Phys. Soc. Japan 15, 1898 A960).
531. E. В a 11 h e s e n, Phys. stat. sol. 3, 2321 A963).
532. E. Klugmann, Z. Rozkwitalski, Acta phys. Polon. 25 155 M9641
533. E. A d 1 e r, Zs. Metallkde 56, 249 A965). ''
534. E. A d 1 e r, Ch. R a d e 1 о f f, Zs. angew. Phys. 18, 482 A965).
535. Ю. В. П и г у з о в, В. Д. В е р н е р, В. Г. О л е н и ч е в а, ФММ 24, 1136
\\ У О if,
536. J. W. Moron, J. R a s e k, Acta phys. Polon. 33, 899 A968)
537. H. D. D i e t z e, Phys. Stat. Sol. 3, 2309 A963).
538. P. И. Я н у с, Я. С. Ш у р, В. В. Д р у ж и н и н, А. М. В ь ю х и н а, ЖТФ 17
129 A947).
- 915 - 58»

539. S. К г u p i с к а, Чехосл. Физ. Журн. 7, 769 A957).
540. S. К г u p i с к а, Чехосл. Физ. Журн. 11, 457 A961).
541. S. К г u p i с к a, F. V i I i m, Чехосл. Физ. Журн. 7, 723 A957).
542. S. К г u p i с а, К. Z a v ё t a, J. Appl. Phys. 39, 930 A968).
543. F. P 1 i q u e t t, Ann. de phys. 7, 211 A961).
544. A. Braginski, Phys. stat. sol. 11, 603 A965).
545. Т. А к as hi, Т. О к a d a, J. Phys. Soc. Japan 16, 1641 A961).
546. P. В. Т е л е с н и н, К. Т. Макаров, ФММ 20, 349 A965).
547. Th. M e г с е г о n, Ann. de phys. 10, 121 A965).
548. Л. Б. Р о з е н б а у м, ФТТ 8, 2197 A966).
549. К. М. Б о л ь ш о в а, Т. Б. Андреева, ФТТ 8, 2313 A966).
550. R. S t r e e t, J. С. W о о 1 1 е у, Ргос. Phys. Soc. A62, 562, 743 A949); А63, 509
A950).
551. R. S t г е е t, J. С. W о о 1 1 е у, Р. В. S m i t h, Proc. Phys. Soc. B65, 461, 679
A952).
552. H. Булгаков, Е. И. Кондорский, ДАН СССР 69, 325 A949).
553. H. Булгаков, ДАН СССР 69, 627 A949).
554. J. H. Phillips, R. Street, J. С. W о о 1 1 е у, Phil. Mag. 45, 505 A954).
555. Я. С. Шур, Н. А. Баранова, ДАН СССР 74, 225 A950).
556. Р. В. Т е л е с н и н, Вестник МГУ № 10, 33 A950).
557. Т. Т а о k a, J. Phys. Soc. Japan 11, 537 A956).
558. Р. В. Т е л е с н и н, Е. Ф. Курицына, ДАН СССР 84, 477 A952).
559. Е. Ф. К у р и ц ы н а, ДАН СССР 84,45, 687 A952); Изв. АН СССР, сер. физ. 16,
471 A952).
560. Р. В. Т е л е с н и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 465 A952).
561. А. Н. Р е м и з о в, ДАН СССР 104, 389 A955).
562. Ю. С. В а й л ь, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1281 A957).
563. P. Brissonneau, Compt. rend. 244, 868, 1174, 1341 A957).
564. М. V. К 1 е i n, Phys. stat. sol. 2, 881 A952).
565. G. Biorci, A. Ferro, G. Montalenti, J. Appl. Phys. 31, 212 A960);
32, 630 A961); Phys. Rev. 119, 653 A960).
566. L. N ё e 1, Ann. geophys. 5, 99 A949); Compt. rend. 228, 1210 A949); 224, 2441
A957); J. phys. rad. 11, 49 A950); 12, 339 A951).
567. P. Brissonneau, J. Appl. Phys. 29, 249 A958); J. Phys. Chem. Sol. 7, 22
A958); J. phys. rad. 19, 490 A958).
568. J. С. В а г b i e г, Compt. rend. 230, 1040 A950); 234, 415 A952); 252, 79 A961);
J. phys. rad. 12, 352 A951); Ann. de phys. 9, 84 A954).
569. D. Pescetti, J. С. В а г b i e г, Compt. rend. 243, 1740 A966).
570. L. L 1 i b о u t г у, Compt. rend. 230, 1042 A950); Ann. de phys. 6, 731 A951).
571. H. L e i n h о s, Phys. stat. sol. 7, 905 A964).
572. A. J. Bosman, P. E. В г о m m e r, Physica 23, 1001 A957).
573. F. J. К г i n g s, Phys. stat. sol. 24, 163 A967).
574. R. M. R u s n a k, B. D. С u 1 1 i t y, J. Appl. Phys. 39, 984 A968).
575. A.J.Bosman, P.E.Brommer, L. С H. Eijkelenboom, С J.Schin-
k e 1, G. W. R a t h e n a u, Physica 26, 553 A960).
576. G. Biorci, A. Ferro, G. Montalenti, J. Appl. Phys. 30, 1732 A959).
577. H. Bittel, J. Westerboer, Ann. der Phys. 4, 201 A959).
578. P. M о s e r, D. D a u t г e p p e, J. de phys. 24, 516 A963)
579. A. Seeger, F. Walz, H. Kronmtiller, J. Appl. Phys. 38, 1312 A967).
580. F. W a 1 z, Phys. Stat. Sol. 29, 245 A968).
581. P. Peretto, P. Moser, D. Dautreppe, Compt. rend. 258, 499 A964).
582. К. П. Б е л о в, С. А. Н и к и т и н, К. Г. Г у р т о в о й, ЖЭТФ 55, 157 A968).
583. М. Lambeck, J. Appl. Phys. 39, 741 A968).
584. G. W. R athenau, Сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перевод
с англ., ИЛ, М., 1961, стр. 226.
585. Е. Kratochvilova, Чехосл. Физ. Журн. 15, 901 A965).
586. J.E. Knowles, A. Broese, van G i a e n о n, Phys. stat. sol. 14, 91 A966).
587. H. Kronmtiller, H. E. Schaefer, H. Rieger, Phys. stat. sol. 9, 863
A965).
588. H. К г о n m ti 1 1 e г, Сб. «Modern Probleme der Metallphysik», Bd. 2, hsg. A. See-
Seeger, Springer-Verlag, 1966, S. 24.
589. Я. А. М о н о с о в, Нелинейный ферромагнитный резонанс, изд. «Наука», М.,
1971.
590. М. М. Ф а р з т д и н о в, Е. А. Т у р о в, ФММ 29, 458 A970); Е. А. Туров,
М. М. Фарзтдинов, ФММ 30, 1064 A970).
591. S.P.Heims, E.T. Joynes, Rev. Mod. Phys. 34, 143 A962).

Глава 25
ВЛИЯНИЕ АТОМНОГО МАГНИТНОГО ПОРЯДКА
НА НЕМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА *)
Существование самопроизвольной намагниченности /s в ферромагне-
ферромагнетиках проявляется, как уже отмечалось выше, не только в их своеобраз-
своеобразном магнитном поведении. Вообще все их свойства благодаря наличию Ia
в той или иной степени отличаются от свойств неферромагнитных тел.
Существенно, что все эти особенности проявляются независимо от внеш-
внешнего магнитного состояния ферромагнетика (т. е. имеют место как в раз-
размагниченном, так и в намагниченном состояниях). Здесь будут рассмот-
рассмотрены ферромагнитные аномалии тепловых, механических, электрических,
гальваномагнитных и оптических свойств.
§ 1. Тепловые свойства
Изменения тепловой энергии, сопровождающие процессы намагничи-
намагничивания и перемагничивания ферромагнетиков, могут быть обратимыми
и необратимыми.
1. Магнетокалорический эффект. Из общих термодинамических сооб-
соображений следует, что в ферромагнетике при адиабатическом намагничи-
намагничивании имеет место обратимое изменение температуры — магнетокалори-
магнетокалорический эффект (см. гл. 18). Этот эффект открыли Вейсс и Пиккар [3]
(см. также [4]). Формулу A8.15) можно обобщить, если учесть эффект
магнитной анизотропии. Свободная энергия последней для кубических
кристаллов, согласно B3.15), дает для энтропии выражение
Н 2 «*** U> к = Х'У' *>' B5Л)
i=jfcfc
С другой стороны, изменение энтропии определяется равенством
AS = CP,H-^. B5.2)
Поэтому, выбирая за независимые переменные Я, р, а* для сильных
полей (где I-xIs) из B5.1) и B5.2) находим
1фк
B5.3)
О величине ATW речь уже шла в гл. 18. Величину же ДГаниз предсказали
и обнаружили Акулов и Киренский [5]. Они исследовали изменение
температуры монокристаллического диска ферромагнетика при его вра-
вращении в сильном постоянном магнитном поле в области'низких температур
(где практически отсутствует парапроцесс). На рис. 25.1 приведены
результаты их измерений ДГаниз на монокристалле никеля. Вонсов-
ский [6] предсказал возможность наблюдения изменения величины тепло-
теплоемкости при различных ориентациях намагниченности в ферромагнитных
*) См. монографию Белова A957) или обзоры Мотта [1] и Карра [2].
— 917 -

монокристаллах из-за слагаемого типа B5.1) в энтропии. В области
температур порядка 100° К оценка разности теплоемкостей, измеренных
в монокристаллах при его намагничивании до насыщения вдоль гексаго-
гексагональной оси и в плоскости базиса дает
(ACCi н)аниз «* Ю4 — Ю5 эрг/г ¦ град.
Полное значение удельной теплоемко-
теплоемкости Со при этой температуре равно
10е—107 эрг/г -град. Таким образом, речь
идет об отклонениях порядка 10%, что
вполне возможно заметить на опыте.
Однако до сих пор подобные измерения
не проводились.
2. Необратимое выделение тепла
при перемагничивании ферромагнетика.
Большое количество исследований, на-
начиная с работы Варбурга [7], посвящено
изучению необратимых изменений тепла
Qitt, вызванных гистерезисом при пе-
ремагничивании.ферромагнетиков *). Ве-
Величина QiTT (в эргах) определяется площадью петли гистерезиса
dI. B5.4)
Опыты позволили разделить наблюдаемый суммарный тепловой эффект
на две части: 1) необратимую — связанную с необратимыми процессами
смещения, и 2) обратимую — связанную с обратимыми процессами вра-
вращения.
Рис. 25.1. Кривая, характеризующая ани-
анизотропию магнетокалорического эффекта
ДТаниз в монокристалле Ni. Угол ф, опре-
определяющий направление постоянного маг-
магнитного поля и, отсчитываемый в плоско-
плоскости (НО) (Акулов и Киренский [5]).
§ 2. Магнитострикция и магнитоупругие свойства ферромагнетиков
1. Эффекты Виллари и Джоуля. Из опыта известно, что кривые намаг-
намагничивания могут очень резко изменять свою форму, если ферромагнетик
подвергнут действию внешних напряжений (эффект Виллари [9]).
В 68-пермаллое (рис. 25.2) одностороннее растяжение увеличивает
проницаемость в слабых полях и приводит к более быстрому достижению
магнитного насыщения, чем в нерастянутом образце. В Ni (рис. 25.3)
такое растяжение производит обратное действие. В Fe растяжение уве-
увеличивает проницаемость в слабых полях и уменьшает ее в более сильных
(рис. 25.4). Такая зависимость формы кривых намагничивания ферро-
ферромагнетиков от внешних напряжений есть следствие магнитострикции
(эффекта Джоуля [10]). Общее термодинамическое описание явления маг-
магнитострикции уже было дано выше [см. формулы B3.14) — B3.20)].
Здесь лишь заметим, что магнитострикция в ферро- и антиферромагнетике
может быть обусловлена как обменным взаимодействием, так и магнит-
магнитными силами. Изотропное обменное взаимодействие зависит только
от абсолютной величины намагниченности. Поэтому «обменная» магни-
магнитострикция может быть связана лишь с изменением величины /8во внеш-
внешнем магнитном поле при парапроцессе. Хотя этот эффект и слабый,
но поскольку обменная энергия велика по сравнению с энергией анизо-
анизотропии, то оба эффекта магнитострикции — обменный и магнитный —
могут быть одного порядка. В частности, в одноосных (гексагональных)
кристаллах (с ЛГЭфф ~ 107 эрг/смя) заметный магнитный эффект возникает
в полях Я « (Кэфф/Ц) I « A07/10в) / « 10/, а парапроцесс становится
существенным в полях «4я/, т. е. обе области полей совпадают. В куби-
*) Библиографию работ по этому вопросу см., например, в книгах Вонсовского
и Шура A948) и Кнеллера A962), обзор Бейтса [8], а также см. гл. 23, § 13.
— 918 —

ческих кристаллах, где анизотропия на 1—2 порядка меньше, магнито-
магнитострикция играет заметную роль в более слабых полях, где изменением
абсолютной величины /s с полем можно практически пренебречь.
нес
14
/г
to
8
6
4
1
1 1
1 /
V
/
/
66-ni
PMOJiJlL
L—
7U
6-0
0
В,кгс
6
/
//
p
у
Q
Ni
.——
ff
Н,э
Рис. 25.2. Влияние одностороннего
упругого расстяшения сг на кривую
намагничивания 68-перемаллоя;[см.
Бозорт A956)].
Н,3
Рис. 25.3. Влияние одностороннего уп-
упругого растяжения (а=2 кг/мм?) и сжа-
сжатия (а = —0,65 кг/мм2) на кривую на-
намагничивания никеля [см. Бозорт
A956)].
2. Кривые линейной самопроизвольной магнитострикции. Акулов
[11] первый дал микроскопическое квазиклассическое объяснение явле-
явлению магнитострикции. При охлаждении ферромагнетика ниже точки
Кюри в нем возникают самопроизвольные де-
деформации (самопроизвольная магнитострикция), .Мс
связанные с появлением самопроизвольной на-
намагниченности, изменяющей условия равнове-
равновесия между узлами кристаллической решетки
[12]. Магнитострикционные деформации про-
происходят в каждом домене. Они анизотропны и,
например, в кубических кристаллах характери-
характеризуются в первом приближении двумя постоян-
постоянными А,1Оо и Кщ [см. B3.17)]. В ненамагничен-
ном ферромагнитном кристалле самопроизволь-
самопроизвольная магнитострикция обнаруживается лишь
при процессах технического намагничивания.
Кривые магнитострикции (рис. 25.5) дают
изменение длины ферромагнетика вдоль направ-
направления намагничивающего поля при изменении
в нем распределения самопроизвольной намаг-
намагниченности. В области процесса вращения
закон анизотропии Акулова B3.17), позволяет
рассчитать эти кривые.
В области слабых полей, где основную роль
играют процессы смещения границ доменов,
расчет кривых магнитострикции представляет
большие трудности. Акулов [13] и Гейзенберг [14] разработали схему
статистического расчета (статистику доменов) изменений концентраций
различных магнитных фаз, которую они применили к расчету кривых
магнитострикции. Этот метод развили далее Акулов и Кондорский [151,
учтя влияние внешних упругих напряжений *), а также объяснили ано-
*) Экспериментально эти расчеты подтвердил Джиренчин [16] (см. также
работы [17, 18]).
— 919 —
Рис. 25.4. Влияние односторон-
одностороннего упругого растяжения (а>0)
на кривую намагничивания Fe
(магнитострикция меняет знак с
ростом поля) [см. Бозорт A956)].

'рмоллой
200
Ni
Рис, 25.5. Кривые линейной магнито-
магнитострикции поликристаллических образ-
образцов 68-пермаллоя, Fe и Ni [см. Вон-
совский A953)].
малии упругих свойств ферромагнитных кристаллов *): явление меха-
нострикции **) и АЕ-эффект.
Акулов, Мазин и Фельдштейн [19] развили теорию магнитной анизо-
анизотропии модуля Юнга в ферромагнитных монокристаллах, вызванную
механострикцией.
Владимирский [20] на основе статисти-
статистического метода произвел более точный ма-
математический расчет кривых магнитострик-
магнитострикции поликристаллов. (См. также работы
[21-27].)
Для магнитострикции ферромагнети-
ферромагнетиков имеет место также явление гистере-
гистерезиса. На рис. 25.6 приведена типичная
петля гистерезиса для магнитострикции
никеля [27]. Это явление впервые обна-
обнаружил Розинг [28].
3. Анизотропия магнитострикции на-
насыщения. Наряду с кривыми магнито-
магнитострикции представляет интерес зависи-
зависимость магнитострикции насыщения Ks от
направления вектора Is в монокристалле.
На рис. 25.7 приведено сравнение теоре-
теоретической кривой Xs (ф), рассчитанной по
формуле B3.17) с двумя постоянными (Кю0
и Кщ), а также и по более точной формуле
с четырьмя постоянными [см. Беккер и
Дёринг A939) или Вонсовский и Шур A948)], с опытными данными для
монокристалла Ni при намагничивании в плоскости A00), по данным
Машияма [29]. Для исключения влияния начального распределения
самопроизвольной намагниченно-
намагниченности данные приведены для раз-
разности одновременно измеренных
продольной и поперечной магнито-
магнитострикции. Совпадение получается
очень хорошим. Титов [30] произ-
произвел аналогичное сравнение для
монокристаллов Fe. Расчет шести
констант магнитострикции Fe про-
проведен в работе [31], см. также ра-
работы [32, 119-125].
4. Зависимость от температуры
и химического состава. Константы
магнитострикции, так же как и кон-
константы маГНИТНОЙ аНИЗОТрОПИИ,
весьма сильно зависят от температу-
ры. Согласно квазиклассическому
расчету Акулова [11] и Беккера [33] константы магнитострикции должны за-
зависеть от температуры как Л. Однако в ряде случаев (см. [34—50]) опыт не
подтверждает такой простой зависимости. Квантовый расчет Вонсовского
[12] для области средних и относительно высоких температур дает более
сложную зависимость Xs (T), качественно подтверждаемую опытом. Этот
вопрос был рассмотрен и в работах Зинера [51], Турова и Мицека [52].
Квантовая теория магнитострикции для области низких температур была
*) Экспериментально проверку дал Бычков [см. Акулов A939)].
**) Под механострикцией понимается дополнительная упругая деформация,
возникающая в ферро- и ферримагнитных телах при наложении механических напря-
напряжений. Д?-эффект — изменение модуля упругости этих тел при помещении их в маг-
магнитное поле.
-120 -8
-40
О
80
Н,з
120
/)
/л
/
-и
-32
\
V
Ni
„
рис. 25.6. Петля гистерезиса магнитострикции N
(Ш B7^
— 920 —

о.
Ni
Щ [НО] Щ
предложена в работах Гусева [53] (см. также работы [54—58] и обзор
Канамори [59]). В работе Г. Каллена и Э. Каллена [56] делается попытка
объяснить наблюдаемый на опыте макси-
максимум постоянной Л-ioo У Fe ниже точки
Кюри путем учета эллиптичности в законе
дисперсии ферромагнонов, приводящей к
уменьшению свободной энергии ферро-
ферромагнитного кристалла при его деформации.
Константы магнитострикции ферро-
ферромагнитных сплавов весьма сложно зависят
от состава. (См. работу Карра [60], а
также работы [61—72].) На рис. 25.8 при-
приведена такая зависимость от состава для
констант А,100 и %ш в сплавах системы
Fe — Ni. Изрис.г25.8 видно, что правило
простой аддитивности в этом случае не
выполняется. Квантовый расчет [12] позво-
позволяет в принципе получить зависимость
констант "ks от состава и степени порядка
сплава. В первом приближении для не-
неупорядоченных сплавов получается квад-
квадратичная зависимость от концентрации
компонент. Теорию магнитострикции в
сплавах Ni в рамках зонной теории d-ме-
таллов развил Бергер [73]. Зависимость
констант магнитострикции от степени
порядка в бинарных ферромагнитных
сплавах системы Fe — Со D5 и 50% Со)
экспериментально определили Гольд-
ман и Смолуховский [74], давшие и
классическую теорию наблюдаемого эффекта (см. также [75—77]).
Влияние упорядочения на константы магнитострикции обнаружено так-
также в сплавах системы Fe — Si при составах И ат. % Si и в сплавах Fe — Ni
и Fe — А1 (составов FeNi3 и Fe3Al) [78,
79], а также в сплавах Ni — Mn [80]. Од-
Однако эти исследования носили весьма
предварительный и неполный характер.
В них измеряются константы %а лишь
для закаленных и отожженных образ-
образцов, т. е. для неупорядоченного и пол-
полностью упорядоченного состояний; со-
состояния частичного упорядочения не ис-
исследовались.
Акулов, Ализаде и Белов [81] (см.
также [82, 83]) исследовали магнитострик-
цию в бинарных системах Fe — Pt, Fe — Pd,
Ni — Pd, Ni — Mn, Ni — Sb в зависимости
от состава сплавов. Было обнаружено [64],
что при 54% Pt и 46% Fe магнитострик-
- 80 90 1OJ ция насыщения достигает весьма больших
Содержание Жх,ат% значений (%s ъ 5-10-5). Рост степени по-
порядка в сплаве еще больше увеличивает
значения Ks. Кривые зависимости Ks от
состава сплава качественно описываются
формулами работы [12].
5. Связь с магнитной текстурой. Шур и Хохлов [84] (см. также Вон-
совский и Шур A948)) впервые указали на важность исследования кривых
магнитострикции для определения магнитной текстуры ферромагнетиков.
Рис. 25.7. Разность продольной и по-
поперечной магнитострикции насыщения
Ni в зависимости от направления на-
намагниченности. 1 — опытные данные
Машияма [29]; 2 — теоретическая кри-
кривая, вычисленная по формуле с четырь-
четырьмя постоянными; 3 — то же с двумя
постоянными (Xiaa и Хщ); 4 — то же
с одной константой Xs (анизотропия от-
отсутствует) [Беккер и Дёринг A939)].
Рис. 25.8. Зависимость констант маг-
магнитострикции ^1„„ и Л,ш от состава
сплава в системе Fe — Ni [Беккер
и Дёринг A939)].
— 921 —

Эти кривые являются одним из наиболее чувствительных индикаторов
распределения концентрации магнитных фаз в ферромагнетике. Действи-
Действительно, например, если материал полностью магнитно текстурован, т. е.
в нем имеются всего лишь две магнитные фазы (антипараллельно намагни-
намагниченные), то магнитострикция отсутствует [кривая К (Н), снятая вдоль
направления /, совпадает с осью абсцисс]. Наоборот, для перпендикуляр-
перпендикулярного направления магнитострикция максимальна и равна Ks. Таким обра-
образом, величина Xs, в отличие от /s, существенно зависит от распределения
намагниченности в исходном состоянии ферромагнитного образца. Иссле-
Исследование этого вопроса проведено в работе Шура и Дунаева [85]. Связь
кривых магнитострикЦии с доменной структурой для монокристаллов
Fe — Si детально исследовалась в работе Зайковой и Шура [86]. В ра-
работах Булычевой и др. [87—89] показана возможность получения вы-
высокой магнитострикции за счет создания в сплаве системы Fe — А1
соответствующей кристаллографической текстуры.
Приближение к насыщению кривых магнитострикции в ферромаг-
ферромагнитных моно- и поликристаллах исследовал Дьяков [90, 91]. Он учел
также влияние диффузных напряжений^ См. также работы [92, 93].
Расчет кривых магнитострикции труднее, чем кривых намагничива-
намагничивания по той причине, что сама магнитострикция насыщения Xs — струк-
структурно чувствительная величина. Этот вопрос рассмотрен Ли [94], и осо-
особенно Зайковой и Шуром [95]; они выяснили физический механизм
зависимости кривых магнитострикции от состояния кристаллической
структуры на примере кристаллов Fe — Si C% Si).
6. Объемная магнитострикция. Кроме линейной магнитострикции
в ферромагнетиках наблюдается также объемная магнитострикция (изме-
(изменение объема при намагничивании). Как и линейная магнитострикция,
этот эффект имеет место и при истинном и при техническом намагничива-
намагничивании ферромагнетиков. Как показал теоретически Беккер [96] и подтвер-
подтвердил на опыте Корнецкий [97], объемная магнитострикция зависит от
формы намагничиваемого ферромагнитного образца. Подробное теоретиче-
теоретическое исследование объемной магнитострикции дал Симоненко [98], кото-
который, используя формулу Акулова B3.17), без добавочных предположе-
предположений, вводимых в [96], определил ход объемной магнитострикции для
всей кривой намагничивания. Объемную магнитострикцию Fe и Fe — Si
исследовали Дунаев й Калинин [99], см. также [100—112]. Спонтанную
магнитострикцию-термострикцию при низких температурах рассчитали
Туров и Мицек [52]; [см. также Туров A963)].
7. Магнитострикция парапроцесса. В области больших полей, когда
становится заметной истинная намагниченность (парапроцесс), возникает
истинная магнитострикция, обусловленная тем, что под действием внеш-
внешнего магнитного поля устанавливается параллельная ориентация атомных
магнитных моментов, изменяющая условия равновесия между узлами
кристаллической решетки и тем самым приводящая к магнитострикцион-
ным деформациям. Более подробно этот вопрос рассмотрен в обзоре Карра
[60], а также в работах [113—118].
В ряде ферромагнитных сплавов истинная магнитострикция пара-
процесса имеет аномально большое значение даже при низких темпера-
температурах (вдали от точки Кюри) [126]. Эти ферромагнитные сплавы относятся
к группе так называемых инварных сплавов. Подробное изучение маг-
магнитострикции этих сплавов в области парапроцесса произвел Белов
[127] [см. также Белов A957)]. Из термодинамических соображений легко
показать [см. Вонсовский и Шур A948)], что
))
\ан)р,т~\др)в.т~ в \дт )Р,н дР ¦ ^°-о>
Из B5.5) видно, что магнитострикция парапроцесса определяется вели-
— 922 —

чиной dIJdT, а также зависимостью точки Кюри 9 от давления р или,
иными словами, в силу формулы A8.6), зависимостью интеграла обмена
от межатомных расстояний. Белов A957), анализируя опытные данные
для сплавов системы Fe — Ni и Fe — Ni — Со, а также результаты соб-
собственных измерений для сплавов системы Fe — Pt и Fe — Ni — Сг,
пришел к выводу, что причиной высокой магнитострикции $тих сплавов
является аномально большая величина д0/др, т. е. резкая зависимость
интеграла обмена от постоянной решетки. То, что величина (dlJdT)v я
в B5.5) не играет существенной роли, подтверждается опытами Белова
по измерению магнитострикции парапроцесса в сплавах Fe — Си с низ-
низкой точкой Кюри. В этих сплавах была найдена нормальная небольшая
магнитострикция парапроцесса, несмотря на то, что точка Кюри у них
лежит в области 100° С. Наоборот, сплавы Fe — Ni D0—55ат.% Ni) имеют
точки Кюри более высокие, чем у Ni, и тем не менее они обладают
большой магнитострикцией парапроцесса, тогда как у чистого Ni она
ничтожная. Неясно, почему в инварных сплавах величина д@/др оказы-
оказывается аномально большой. В связи с этим Белов A957) обращает внима-
внимание на то, что составы этих сплавов всегда расположены на диаграмме
состояний вблизи границы между а- и у-фазами (а +±. у), протекающих
с большим температурным гистерезисом и имеющим у-решетку.
8. Магнитострикция редкоземельных металлов и ферритов. В послед-
последнее время начали уделять внимание изучению магнитострикции редко-
редкоземельных металлов (РЗМ). В них магнитострикция может достигать
больших величин (Al/l » 10~3), а ее анизотропия и температурный ход
имеют сложный характер, обусловленный большой спин-орбитальной
связью, неколлинеарной магнитной структурой и анизотропией магнит-
магнитного и обменного взаимодействия. Наиболее подробно изучена магнито-
магнитострикция Dy и Gd. Поликристаллы Dy исследовались в работах [128—
131], а монокристаллы — в работах [132—134], поликристаллы Gd —
в работах [135, 128], а монокристаллы — в работах [135—139]. Магни-
Магнитострикция других РЗМ изучена менее подробно: поликристаллы ТЬ
исследованы в работах [128, 140], а монокристаллы — в работе [141];
поликристаллы Но исследовал Никитин [140], а монокристаллы — Лег-
волд и др. [132]. Более подробно см. Белов и др. A965), а также работы
[142, 143]. Сильная связь магнитных моментов 4/-слоя с решеткой
обусловливает резкую зависимость упругих констант и скорости зву-
звука РЗМ от намагниченности [739].
Не меньшее внимание начинают уделять исследованию магнито-
магнитострикции ферритов, как со структурой шпинели, так и граната. Сведения
по этому вопросу читатель может найти в монографиях Белова A957)
и Белова и др. A965), а также в работах [144—149] по шпинелям и [150—
161] по гранатам.
Теория магнитострикции ферритов и РЗМ также развивалась в целом
ряде исследований (см. обзор Канамори [59]). Выше в гл. 10 и 23 при
обсуждении вопроса об энергии магнитной анизотропии речь шла как
о парных спин-орбитальных и спин-спиновых анизотропных (и обменных)
взаимодействиях, так и об одноионной энергии. Для учета магнетоупру-
гих явлений в том числе и магнитострикции, необходимо вычислить
первые производные различных энергий по компонентам тензора упругих
деформаций ei}: д/дехх = хд/дх и т. д. и д/деху = A/2) (уд/дх — хд/ду)
и т. д., где х, у, z означают компоненты расстояния между заданной парой
(ближайших) ионов. Как уже упоминалось выше, в классическом вариан-
варианте этот расчет провели Акулов [И] и Беккер [33], а в квантовом — Вон-
совский [12] и другие. Для ферритов этот расчет провели Тцуя [162]
и Слонщевский [163]. Теория магнитоупругой связи была разработана
Э. Калленом и Г. Калленом в общем случае для кубических кристаллов
[56], а также для Fe и иттриевого граната (YIG), они же обобщили эту
теорию и на случай кристаллов произвольной симметрии.
— 923 —

-200 -WO
О 100 200 300
Температура Т, °С
Рис. 25.9. Температурная зависимость отношения
изменения самопроизвольной намагниченности AIs
к величине вызвавшего это изменение одностороннего
напряжения р в Ni, сплаве Fe — Ni (инвар), Ni —
Си и Fe — Pt [Белов A957)]. Содержание компо-
компонентов дано в ат. %.
Представляют интерес также исследования магнитострикции тонких
пленок [178—180].
9. Влияние растяжения на точку Кюри и намагниченность насыщения.
Систематическое изучение смещения точки Кюри и влияния растяжения
на намагниченность насыщения ферромагнитных сплавов предпринял
Белов A957). Он впервые обнаружил изменение намагниченности насы-
насыщения при упругом одноосном растяжении, а также нашел в соответ-
соответствии с термодинамической формулой B5.5), что величина (dIs/dp)H, T
имеет аномально большое значе-
значение как раз в тех ферромагнит-
ферромагнитных сплавах, которые обладают
большой магнитострикцией па-
рапроцесса. На рис. 25.9 приве-
приведены данные измерений Белова
A957) для двух сплавов инвар-
ной группы (Fe — Pt, 44% Fe;
Fe — Ni, 36% Ni), а также для
сплавов системы Ni — Си
(80% Ni) и для чистого Ni. В по-
последних двух случаях,как видно
из кривых рис. 25.9, изменение
/s с растяжением исчезающе
мало и может быть обнаружено
лишь в непосредственной бли-
близости к точке Кюри, где доста-
достаточно велика производная
dIJdT [см. B5.5)].
Белов A957) (см. также [164]) впервые отчетливо показал, что все
имевшиеся попытки определить на опыте смещение точки Кюри под влия-
влиянием всестороннего давления или одностороннего растяжения [165]
не дали достоверных результатов из-за неудачного выбора объектов
исследования. Обычно исследовались Ni и сплавы системы Ni — Си,
обладающие ничтожной магнитострикцией парапроцесса. Белов [164]
показал, что только в сплавах инварного типа можно ожидать боль-
большие на порядок величины значения для д@/др. Так, например, если
в Ni эта величина составляет 1,47 «Ю град-см2/кг2, то в инва-
рном сплаве системы Fe — Со — Ni C1% Ni, 5% Со) она равна
+ 16,8-Ю град'см2/кг2. Опыт показал, что в РЗМ эффект всестороннего
давления на точку Кюри имеет большое значение, что, по-видимому, связа-
связано с резкой зависимостью обменного взаимодействия от межатомных рас-
расстояний в этих кристаллах вдоль гексагональной оси [подробнее см. ра-
работу Лиу [166] и книгу Белова и др. A965)]. Имеются также исследования
по влиянию упругих и пластических напряжений на магнитострикцию
ферромагнетиков (см. работы [167—169], а также гл. 18, § 3, п. 1 и 2).
10. Аномалия теплового расширения. Существование самопроизволь-
самопроизвольной магнитострикции проявляется также в аномалиях теплового расши-
расширения ферромагнетиков. Ферромагнетики с отрицательной магнитострик-
магнитострикцией имеют несколько меньшие размеры ниже точки Кюри, а с положитель-
положительной — большие, чем это соответствует обычному тепловому расширению.
Вблизи точки Кюри, где исчезает самопроизвольная намагниченность
и сопровождающая ее самопроизвольная деформация, с повышением
температуры уменьшение результирующего расширения уменьшается
(при X > 0) или увеличивается (при X < 0) по сравнению с ферромаг-
ферромагнитными кристаллами. По этой же причине в точке Кюри наблю-
наблюдается острый минимум (X > 0) или максимум (К < 0) термического
коэффициента расширения а (Т). На рис. 25.10 для иллюстрации при-
приведены опытные кривые температурной зависимости коэффициента а (Т)
для Fe — Ni-сплавов с различными знаками магнитострикции (Шева-
— 924 —

а(Т)-Ю6
19
200 400 600
Температура Т, °С
Рис. 25.10. Температурная зависимость коэф-
коэффициента теплового расширения а(Т) в спла-
сплавах системы Fe — Ni при различном содер-
содержании Ni (в ат.%) (Шевенар [170]).,
нар [170]). Аномалии теплового расширения наблюдаются также в фер-
ферритах [см. Белов A957)] и в РЗМ [см. [133, 136, 141] и Белов и др. A965)],
см. также работы [171—173].
Аномалия коэффициента теплового расширения нашла техническое
применение при разработке магнитных материалов с заданным темпе-
температурным ходом а (Т). Так, например, в инварах «аномальная часть»
коэффициента а в некотором интервале температур точно компенсирует
обычную «немагнитную» часть. Та-
Такой сплав впервые обнаружил Гийом
[174] в системе Fe — Ni C5% Ni).
Акулов A939) на основе своей теории
четных эффектов связал величину
ферромагнитной части коэффициента
термического расширения с ферро-
ферромагнитной частью теплоемкости. Раз-
Развитие теории и экспериментальное ис-
исследование ферромагнитных сплавов
типа инвар принадлежит Белову
A957) [175, 176] (см. также [177]).
11. Магнитострикционные коле-
колебания. В ферромагнетиках при их пе-
периодическом намагничивании из-за
магнитострикции возникают меха-
механические колебания. С другой сторо-
стороны, при наложении на ферромагнетик
периодически меняющихся со вре-
временем внешних напряжений в нем,
опять-таки в силу на магнитострик-
магнитострикции, происходят обратимые и необра-
необратимые смещения границ доменов и процесс вращения намагниченности.
Поэтому величина декремента затухания в размагниченном или не дове-
доведенном до насыщения ферромагнитном образце оказывается во много
раз больше, чем в неферромагнитных телах. Этот рост затухания связан
с возникновением вихревых токов, обусловленных местными изменения-
изменениями намагниченности за счет процессов вращения и смещения границ
доменов. В состоянии магнитного насыщения или при температурах выше
точки Кюри эта магнетомеханическая аномалия исчезает и декремент
затухания механических колебаний оказывается таким же, как и в нефер-
неферромагнитных телах. Магнитострикционные колебания широко приме-
применяются в технике (ультраакустические магнитострикционные вибраторы
и т. п.) см. Беккер и Дёринг A939), Белов A957), Бозорт A956), а также
работы [181—185].
§ 3. Электрические свойства ферромагнетиков
1. Общие замечания. Электрические, гальваномагнитные, термоэлек-
термоэлектрические и другие кинетические свойства ферро- и антиферромагнитных
металлов имеют ряд специфических особенностей. Во-первых, все они
имеют аномальный температурный ход. Во многих случаях в точке Кюри
или Нееля наблюдается резкий максимум или минимум температурного
коэффициента соответствующего кинетического явления (электропровод-
(электропроводности, теплопроводности и т. п.), что и указывает на определенную связь
этих явлений с самопроизвольной намагниченностью. Во-вторых, вели-
величина этих эффектов зависит от ориентации намагниченности в кристалле
и от распределения концентраций различных магнитных фаз по объему
ферромагнетика, т. е. от результирующей намагниченности.
В качестве первого примера рассмотрим типичное кинетическое яв-
явление — электропроводность. В табл. 25.1 приведены значения удельного
— 925 —

Таблица 25.1
Удельное электросопротивление р переходных (d- и /-) и некоторых
Тип
метал-
металла
3d
нормальных
Элемент
и его атом-
атомный номер Z
Са
Sc
Ti
V
Сг
Mn
Fe
Со
Ni
Си
Sr
Y
Zr
Nb
Mo
Те
Ru
Rh
Pd
Ag
Ba
20
21*
22*
23
24
25
26
27*
28
29
38
39*
40*
41
42
43
44
45
46
47
56
p»
Примечание
п. у., монокристаллы
приведенные
10-6 <ш
4,3
73,0
45,7
22,9
12,9
144,0
10,2
5,86
7,04
1,55
24,8
64,6
47,4
14,9
5,55
18,4
7,40
7,79
10,6
1,47
24,2
металлов при комнатной
см
Литера-
Литература
[186]
187]
188]
188]
188]
189]
188]
188]
188]
[188]
1190]
[191]
[188]
[1881
188]
1921
188]
188]
188]
188]
193]
Тип
метал-
металла
4/
у
Эй
температуре
Элемент
и его атом-
атомный номер Z
La
Се
Рг
Nd
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
Au
. Звездочкой отмечены металлы
57
58
59
60
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71*
72*
73
74
75
76
77
78
79
р, 10-6 ом- см
82,0
93,0
68,0
81,0
92,0
83,0
132,0
122,0
96,0
80,0
86,0
77,0
33,0
62,0
33,6
13,1
5,38
18,9
9,22
5,10
10,32
2,01
Литера-
Литература
[194]
195]
196]
197]
198]
197]
199]
197]
217]
2001
1 [196]
j и[200]
[199]
[479]
[188]
, имеющие решетку гекс.
которых обладают резкой анизотропией
здесь значения
р (см. табл. в
тексте);
р относятся к поликристаллическим образцам.
сопротивления переходных d- и /-металлов при комнатной темпе-
температуре. Из приведенных данных можно сделать определенные выводы
об особых свойствах переходных металлов. Прежде всего бросаются
в глаза большие значения р у редкоземельных металлов, на 1—2 порядка
превышающих значения р одновалентных нормальных металлов Си,
Ag и Аи. Далее р скачком уменьшается после заполнения d-слоя. При-
Примером может служить переход от Ni к Си G,04 ->¦ 1,55), от Pd к Ag
A0,6-v 1,47), от Pt к Аи A0,32 ->¦ 2,01). Аналогичный «скачок» наблю-
наблюдается и вначале d-рядов, например при переходе от Са к Sc D,3 ->¦ 73,0),
Sr к Y B4,8 ->• 64,6), Ва к La F0,0 ->• 82,0), от Yb к Lu C3,0 ->• 62,0).
Заметим, что металлы с решеткой гекс. п. у. обладают значительной
анизотропией р; ниже в качестве примера приведены данные измерений р
на монокристаллах вдоль гексагональной оси (рц) и в плоскости базиса
(Р±) Для пяти металлических кристаллов с такой структурой. Значения р
в табл. 25.1 для этих металлов (отмеченных звездочкой) соответствуют
результатам измерений на поликристаллических образцах. Эта анизо-
анизотропия р связана с анизотропией рассеяния носителей тока в кристалле
й- и /-металлов (см. ниже).
Элемент и его
атомный
номер
Со 27
Y 39
Tb 65
Dy 66
Er 68
Р j| ,
10,28
36,5
94,0
80,0
60,0
10-6 ом- см
5,544
74,6
122,0
108,0
95,0
Лите-
Литература
[201]
[202)
[203)
[2041
[205]
— 926 —

Переходные металлы с атомным магнитным порядком отличаются
специфическим (по сравнению с нормальными металлами или переход-
переходными, но лишенными магнитного порядка) температурным ходом р(Т)
в интервале температур 0° К < Т <! в (или @N). Это иллюстрируется
кривыми рис. 25.11—25.26. На рис. 25.12 для сравнения нанесена кривая
. . .
У
s
Hi
Л<Р°"
/'наги
2BJ Ш
600 600 1000 1В00
Температура Т, 'К
Рис. 25.11, Температурная зависимость пол-
полного удельного электросопротивления Рполн
для Ni; приведены также магнитная Рмагн
и фононная Рфон части для чистого Ni (Вейсс
и Маротта [285]).
_
Pd
—
Pd
и '
?
\
/
/
i
Ni
9
€
i
-3°
>
к
-we ш ш ш ш ш
Температура Т 'С
Рис. 25.12. Сравнение температурной
зависимости относительного удельного
сопротивленца Ni и Pd [Беккер и Дё-
ринг A939)].
p (T)/pNi (©) неферромагнитного палладия, совмещенная с такой же кри-
кривой для никеля при температурах выше точки Кюри (Т > Э). Из этого
рисунка видно, что в ферромагнетике при Т < в происходит более резкий
Iff
/
/
V
/
•ч»
Рис. 25.13. Температурная зависимость пол-
полного удельного электросопротивления Рполн
для Fe; приведены также магнитная РмЭгн
и фононная Рфон части (Вейсс и Маротта
[384]).
" 'W 200 300 №
Температура Т, 'К
Рис. 25.14. Температурный ход удель-
удельного сопротивления Сг (Араис и Дюн-
майер [219]).
спад р при охлаждении, чем у переходных металлов без магнитного атом-
атомного порядка. То же можйо увидеть из сравнения кривой р (Т) для пара-
парамагнитного металла Yb (рис. 25.26) с аналогичными кривыми для боль-
большинства редкоземельных металлов (см., например, рис. 25.18—25.24).
В точках Кюри или Нееля наблюдается более или менее ярко выражен-
выраженный излом кривой р (Т) с максимумом производной др/дТ.
На графиках рис. 25.11 и 25.13 суммарное удельное электросопро-
электросопротивление рполн приводится вместе с фононным вкладом в него рфОН1 а так-
также магнитным сопротивлением рмагн- Фононное сопротивление рассчи-
рассчитывается по интерполяционной формуле Грюнайзена [см. Бете и Зом-
мерфельд A938) или Вильсон A953)]
вд/Г
- 927

150
I юо
I 50
I
Mn
wo гоо
Температура Т, °К
300
Рис. 25.15. Температурный ход удель-
удельного сопротивления Мп (Уайт и By
[218]).
X
/
/
г
Рг
и 100 200^ 300
Температура Т, 'К
Рис. 25.16. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Рг (Волкен-
штейн и Носкова [196]).
100 \
¦ч
\40
I
I
и юо гоо зоо
Температура Т, "К
Рис. 25.17. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Nd (Вол-
кенштейн и др. [197].)
у
/
/
м
Nd
100
/
1
к
Sm
%го
%
и юо гоо зоо w
Температура Т, "К
Рис. 25.18. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Sm (Араис
и Дюнмайер [198]).

100
180
t
Г'
1
Ей
и юо гоо зоо
Температура Г, °Н
Рис. 25.19. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Ей (Вол-
кенштейн и др. [197]),
140
¦да
г
1
J
/
г
/
/
Gd
/оо гоо зоо
Температура Т, °Л
4оо
Pi с. 25.20. Температурный ход удель-
Н( го электросопротивления Gd (Вол-
кенштейн и др. [199]).
120
<юо
Ьо
I
«, 40
j
}
/
/
г
¦
ть
и юо гоо зоо 4оо
Температура Т„ 'К
Рис. 25.21. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления ТЬ (Вол-
кенштейн и др. [197]).
и юо гоо
Температура Т, "К
Рис. 25.22. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Dy (Вол-
кенштейн и др. [217]).
59 с. В. Вонсовский

во -
4 л?
I
$го
Но
L
Г
100
wo . гоо
Температура Т, 'К
300
Рис. 25.23. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Но (Кол-
вин и др. [200]'.
1
60
1
/
Ег
40
го
и wo гоо зоо
Температура Т, °Н
Рис. 25.24. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Ег (Вол-
кенштейя и Носкова [196]).
¦ 50
Уо
I
"го
(
J
/
Tm У
j
I
0 wo гоо зоо
Температура Т, °К
Рис. 25.25. Температурный ход удель-
удельного электросопротивления Tm (Вол-
кенштейн и Носкова [196]).
40
Yb
щ и 100 гоо хп
Температура Т, "К
Рис. 25.26. Температурный ход удельного
электросопротивления Yb (Волкенштейн
и др. [199]).

87,5
87,4
87,3
"К
-
л
Co
у
/
I
1
87,2
871
Температура Т,
Рис. 25.27. Температурная зависимость удельного
электросопротивления Со при температурах ниже; 7° К
ро= 87,13- Ю-» (Радхакришна и Нильсен [212]).
где вд — характеристическая температура Дебая, а А — постоянная для
данного металла, очень слабо зависящая от Т при Т < 0Д. Магнитное
электросопротивление рассчитывается по формуле
Рмагн = Рпо лн Рфон Ро >
где ро — остаточное сопротивление, определяемое рассеянием на приме-
примесях (предполагается, что оно практически не зависит от температуры).
Из табл. 25.1 видно, что по
мере заполнения ^-состояний р
более или менее плавно умень-
уменьшается с ростом атомного номера
в каждом ряду переходных 3d-,
Ш- и 5й~металлов. Из этого пра-
правила выпадает только Мп, со-
сопротивление которого на поря-
порядок больше, чем у соседних эле-
элементов (Сги Fe). Однако из кри-
кривой р(Т) для Мп (рис. 25.15)
видно, что его точка Нееля
(вдг да 100° К) много ниже ком-
комнатной температуры, и поэтому
если из рполн вычесть значение
рмагн *)> т0 для сопротивления
р — рмагн У Мп получим величи-
ну, близкую к значениям р C00° К) для Сг и Fe, приведенным в табл. 25.1.
Точно так же, аномально большие значения р C00° К) почти у всех РЗМ,
как и в случае Мп, объясняется тем, что их точки Кюри и Нееля лежат
много ниже комнатной температуры. Из рис. 25.16—25.26 видно также, что
по характеру зависимости РЗМ можно разбить на три группы.
К первой группе относятся: Се, Рг, Nd и Yb, для которых во всем
исследованном интервале температур не наблюдается линейной зависи-
зависимости р ~ аТ, характерной для нормальных металлов. Ко второй группе
относятся: металлы от Sm до Тт (исключая Ей), для которых ярко выра-
выражен излом при переходе из парамагнитного в антиферро- или ферромаг-
ферромагнитное состояние и линейный ход р (Т) в парамагнитной области (если
экстраполировать этот участок кривой в область низких температур,
то пересечение ее с осью ординат дает аномально высокое значение «маг-
«магнитного ОСТаТОЧНОГО» СОПрОТИВЛеНИЯ рмагн)-
Особое место в ряду РЗМ занимает Ей (рис. 25.19), у которого в точке
Т = @N наблюдается не только излом, но и максимум, кроме того, при
Т > ®N обнаружен нелинейный ход р(Т). Это, по-видимому, связано
либо с изменением энергетического спектра носителей тока с температу-
температурой, либо с малостью энергетического интервала между основным и пер-
первым возбужденным уровнями иона Ей по сравнению с квТ. Поэтому этот
возбужденный уровень принимает «активное участие» в формировании
энергетической зонной структуры электронов кристалла Ей. Следует
здесь также напомнить, что у Ей «рыхлая» о. ц. к. решетки (а не гекс. п. у.)
и, кроме того, изолированные атомы и ионы Ей имеют в основном состоя-
состоянии нулевой суммарный магнитный момент (/ = 0).
Температурный ход р (Т) в ферромагнитных переходных металлах
детально исследовался также в области низких (до гелиевых) температур
[188, 206—217, 730]. В отличие от нормальных металлов, темпера-
температурный ход р (Т) у переходных металлов в этой области следует
не «закону ТН, а зависимости типа а^Т + а2Т2. В качестве примера
на рис. 25.27 приведена кривая р (Т) для Со при Т < 10° К.
*) Максимум Рмаш — магнитное остаточное сопротивление — можно получить
экстраполяцией участка кривой для Т > в (или вдг) до оси ординат; эта часть сопро-
сопротивления обусловлена процессами рассеяния электронов проводимости на беспорядоч-
беспорядочно распределенных парамагнитных моментах d- или /-слоев при Т > в или вдг-
— 931 —
59*

Аномалии температурного хода р (Т) обнаружены также у антифер-
антиферромагнитных металлов [188, 189, 218, 219] и антиферро- и ферромагнит-
ферромагнитных полупроводников — ферритов [220—231] (см. также гл. 20).
2. Элементарная теория электросопротивления переходных металлов.
Теория должна объяснить 1) более высокие значения р по сравнению
с нормальными металлами, 2) температурные аномалии р (Т). На первый
вопрос качественный ответ можно получить из элементарной формулы
электропроводности Друде — Зинера (см. гл. 20), предположив, что
в переходном металле имеется два типа носителей тока: s- и d-электроны.
Тогда проводимость
где па и ns — концентрации, t<j и xs — времена релаксации и пг* и пг* —
эффективные массы соответственно й- и s-электронов. На первый взгляд
кажется, что электропроводность переходного металла больше, чем нор-
нормального, поскольку в первом больше носителей тока: n<j ^> ns. Но это
не так, поскольку у d-электронов из-за узости d-полосы может быть
велика эффективная масса m% Э> т*- Кроме того, заметно меньшими
оказываются средние времена свободного пробега t<j и т8, поскольку
в переходном металле гораздо больше возможностей для рассеяния элек-
электронов проводимости. Эти дополнительные механизмы рассеяния и обу-
обусловливают в основном наблюдаемые «аномалии» электросопротивления
в ферро- и антиферромагнетиках, а также и парамагнитных переходных
d- и /-металлах *). Частично этот вопрос был уже рассмотрен в гл. 20.
Кроме того, в ферромагнитных металлах и сплавах даже в отсутствие
внешнего магнитного поля в объеме каждого домена при Т < в всегда
существует магнитная индукция В = 4яХ8, достигающая при комнатных
температурах, например, в железе 22 кгс. Как показали эксперименты
по де Гааз— ван Альфен эффекту в Ni [237, 238] и Fe [242] и теоретическое
рассмотрение [243], эффективное поле, действующее на носителей тока
в ферромагнетике, равно имеющемуся в нем полю магнитной индукции В.
Поэтому фактически в ферромагнетиках при Т < в мы всегда имеем
дело с измерением не удельного сопротивления, а магнепгосопроживления
во внутреннем магнитном поле В — 4rtJs [215, 244].
3. Электронные .ч — d-переходы. Специфика электропроводности й- и /-металлов
заключается, таким образом, в том, что у них на поверхности Ферми имеются d-no-
добные участки (см. гл. 20) с высокими значениями плотности электронных состояний.
Если эффективная масса d-электронов велика, то их вкладом в электропроводность
можно приближенно пренебречь. Однако большая плотность свободных уровней в d-поло-
се может оказать существенное влияние и на вклад s-электронов, которые при столкнове-
столкновениях с фононами переходят не только на уровни s-полосы (s — s-переходы), но главным
образом в более многочисленные свободные уровни d-полосы (s — d-переходы). Описан-
Описанный механизм впервые предложил Мотт [245] (см. также Мотт и Джонс A936) и [1].
Этот механизм, по-видимому, дает основной вклад psd в сопротивление парамагнитных
переходных d-металлов. Как показал Вильсон [246, 247] [см. также Вильсон A953)
и Зейтц A949)] при низких температурах **) psd ~ Т3, а при температурах выше деба-
евской (Г>вд) pS(j ~ Т, поэтому трудно разделить суммарное р на слагаемые psd
и pss (последнее также линейно растет с Т). Можно лишь предполагать, что отношение
Psd/Pss paBH0 отношению плотности свободных уровней у поверхности Ферми для d-
*) Эти аномалии также могут частично объясняться зависимостью энергетиче-
энергетического спектра и распределения по скоростям носителей тока от самопроизвольной
намагниченности ферромагнетика и через нее от температуры ([231—236], см. также
гл. 20).
**) При очень низких температурах по Вильсону оказывается, что psd «s
as exp [— в'/Т], где квв' = % |fc^s) — fc^d) | uaB =[h \q \ u3B, u3B — скорость звука,
a | fe^ — fci1^ | = | 9 | — минимальный квазиимпульс фонона между пересекающимися
s- и d-подобными поверхностями Ферми [см. рис. 259 в книге Зейтца A949)]. Такая зави'
симость не наблюдается. До тех пор, пока не будет достаточно подробных сведений
о форме s- и d-подобных участков поверхностей Ферми, невозможно установить истин-
истинную зависимость pS(j (T) в области очень низких температур.
— 932 —

и s-полосы: psd/pss sa nd (?)/ng (?) [см. Займан A962-[) При низких температурах могут
играть роль и столкновения s-электронов с коллективизированными d-электронами.
Этот механизм впервые исследовал Бабер [248], показавший, что вклад в psd от этих
Столкновений изменяется пропорционально Г2. Однако оценить его абсолютное значение
пока не удалось.
В ферромагнитных переходных d-металлах эффект s — d-рассеяния можно каче-
качественно определить для температур, близких к точке Кюри [см. Фрёлих A936); Займан
A962)]. Обменная связь в ферромагнитном d-металле смещает d-полосы для электронов
с противоположными проекциями спинов (см. рис. 20.8). Поэтому для d-электронов
одной из двух спиновых ориентации число свободных мест в соответствующей подполосе
может значительно уменьшиться или даже стать равным нулю (если уровень Ферми
лежит выше потолка данной подполосы). В силу этого s-электроны с такой же ориента-
ориентацией спина будут рассеиваться слабее или даже совсем не рассеиваться в d-полосу и,
таким образом, сопротивление psd ферромагнитного металла будет меньше, чем у не-
неферромагнитного. Если закон дисперсии d-электронов имеет квадратичную форму,
то зависимость плотности уровней от средней намагниченности / в первом приближе-
приближении описывается фактором [1 Я1 (Wo)l ^3. где /0 — намагниченность при 0° К. Сле-
Следовательно,
1=F—j
Можно было бы предполагать, что результирующая проводимость о ^= +\
Однако это не так, поскольку ферромагнетик в размагниченном состоянии разбивается
на домены, в каждом из которых намагниченность имеет определенное направление.
Поэтому s-электрон с данной проекцией спина при своем движении в кристалле нахо-
находится то в окружении d-электронов того же спина, то противоположного. В итоге по-
появится среднее удельное электросопротивление
Если вблизи точки Кюри разложить выражение B5.6) в ряд по малому параметру ///0,
то для относительного уменьшения электросопротивления ферромагнитного переходно-
переходного металла Армагн/р0 по сравнению с неферромагнитным (см. рис. 25.12) получим
АРмагн 1 II\\ B57
Ро 9 \ /0 / v '
Зависимость АрМагн от ? оказывается такой же, как и в случае B0.94), где оценивался
эффект зависимости эффективной массы s-электрона от магнитного момента ферро-
ферромагнетика.
4. Рассеяние на магнитных неоднородностях. Как впервые отметил Шубин *),
кроме s — d-переходов в ферромагнитных переходных d- и /-металлах необходимо
учитывать еще один важный механизм рассеяния электронов проводимости на неодно-
неоднородностях магнитной подсистемы (спиновых волнах при низких температурах и флук-
туациях магнитного момента при высоких). Дальнейшее развитие эта теория получила
в работах Турова [255—257] и других [258—270]; см. также обзоры [1, 195].
а. Низкие температуры. В этой области справедливо спин-волновое приближе-
приближение (гл. 19). Как показал Туров [256, 257], добавочное электросопротивление ферро-
ферромагнитного металла, вызванное взаимодействием носителей тока со спиновой магнитной
подсистемой, может быть представлено в виде суммы двух слагаемых
Рмагн^а^ + агУ2, B5.8)
где постоянные at и а2 не зависят от Т. Линейный по Т член в B5.8) возникает при учете
процессов рассеяния, обусловленных электромагнитным взаимодействием тока элект-
электронов проводимости с магнитным полем спиновых волн, т. е. спин-орбитальной связью
s- и d-электронов **). Линейный член в рмагн был обнаружен в опытах Кондорского
и др. [211]. Однако оценка значения коэффициента at в B5.8), полученная Туровым
[257], показала, что спин-орбитальное взаимодействие дает для at величину в 1000 раз
меньшую, чем дает опыт. Второй член в B5.8) обусловлен электростатической s — d-
обменной связью ***). Эта зависимость должна наблюдаться в интервале температур,
ограниченном не только сверху: Т < в, но и снизу: Т > То. Здесь То — критическая
температура, ниже которой процессы рассеяния, обусловленные механизмом s — d-
*) Это впервые отмечено в работе [249], где сказано, что s — d-обменное взаимо-
взаимодействие оказывает влияние на кинетические эффекты в ферромагнетиках. См. также
работы Вонсовского [232, 233] и в особенности [250], а также работы [251—254].
**) В первоначальной работе Вонсовского [250] было получено: рмагн ~ Т3.
Этот вклад в рмагю как установил позже Туров [257], обусловлен спин-спиновым маг-
магнитным взаимодействием s- и d-электронов и очень мал по своей величине.
***) Эта зависимость была получена также в работах [255, 256], а затем в [260—262,
— 933 —

обмена, становятся неэффективными вследствие невозможности одновременного
выполнения законов сохранения энергии и квазиимпульса при столкновениях электро-
электронов проводимости и спиновых волн. В приближении эффективной массы (Туров [257])
для первых имеем
(J B5.9)
где Лф — граничный волновой вектор при энергии Ферми ?, Asd — интеграл s — d-
обмена, а — постоянная решетки *). При Т < То соответствующая часть электро-
электросопротивления стремится к нулю, как ехр (—То/Т).
Абельский и Туров [259] развили теорию рмаГ11, использовав для энергии элект-
электронов проводимости изотропный, но произвольный (т. е. неквадратичный) закон дис-
дисперсии с учетом обменного подмагничивания электронов проводимости ферромагнетика
[см. B0.76)]. В качестве энергии возмущения берется недиагональная часть s — d-
обменного взаимодействия — первые два слагаемых формулы B0.111). Это и означает,
что за нулевое приближение выбрано состояние подмагниченных электронов прово-
проводимости и электронов незаполненных слоев с учетом их обменного взаимодействия.
При этом учитываются лишь неупругпе (одномагнонные) процессы рассеяния, связан-
связанные с флуктуащшмп «поперечных» слагающих намагниченности E*). Эффект «упругих»
двумагнонных процессов рассеяния, связанных с флуктуациями продольной состав-
составляющей намагниченности E*) см. третье слагаемое в формуле B0.111), независимо
рассмотрен в работах Хартмана-Бутрона [271] и Рёслера [268] **), которые нашли, что
соответствующий вклад в рмагн изменяется пропорционально Г7^2 и по величине очень
мал по сравнению с квадратичным членом из B5.8) (обусловленным одномагнонными
процессами), и поэтому им можно пренебречь.
Расчет Рмагп в работе [259] проведен по методу Кубо [273] в приближении
Накано [274]. Этот метод предполагает существование одного-единственного времени
релаксации для всех электронов проводимости. Только при этом условии он
дает правильный результат, совпадающий с результатом, полученным любым другим
корректным методом. Однако рассеяние электронов проводимости на магнонах неупру-
неупругое и различно для носителей тока с разными знаками проекции спина. Поэтому заве-
заведомо не существует одного-единственного времени релаксации, и метод Накано может
привести даже к качественно неправильным результатам. С помощью этого метода
опасно делать какие-либо заключения о коэффициентах а4 и а2 в формуле B5.8).
Детальный анализ вопроса о магнитной части электросопротивления ферро-
ферромагнетиков при низких температурах дали Туров и Волошинский [272]. Они
обсуждали три возможных механизма появления линейного члена в формуле B5.8).
Одной из возможных причин является, как уже указывалось, рассеяние подмагнпчон-
ных электронов проводимости на спиновых волнах. При этом знак коэффициента а4
зависит от вида закона дисперсии электронов проводимости и может быть любым
(>0 плп <0). Если этот механизм фактически осуществляется в ферромагнитных 3d-
металлах, то можно определить знаки первой и второй производных энергии электронов
проводимости по волновому числу на поверхности Ферми. Второй возможной причи-
причиной появления члена atT может быть рассеяние электронов проводимости спиновыми
волнами, но не за счет я — d-обменной связи, а благодаря спип-орбптальному взаимо-
взаимодействию спина «магнитных» электронов с «орбитой» электронов проводимости. Впер-
Впервые на эту возможность указал Туров [256], который без учета анизотропии получил
линейный член а^Т. В работе [272] учтена анизотропия матричных элементов спин-
орбитального взаимодействия и вычислен тензор электросопротивления ***). Зависи-
Зависимость р от угла О между вектором намагниченности и током в образце имеет вид
B5.10)
при 0=0, рЭфф = ргг = ри н при О = я/2, рЭфф = рхх = р±. По оценке в [272]
(Pj — PiiVPii ~ °,1 и р in pn ~ Т.
*) Появление То связано со «смещением» энергетических полос электронов
проводимости ферромагнетика с противоположными проекциями спина. Величина ДА
дает минимальное значение изменения волнового числа электрона проводимости, когда
его спин меняет знак; ДА — р'кф, где р' — степень поляризации полосы проводимости
Р' ~ Asd>'? (см- гл- 20). При малых р' приближенно имеем То ~ р'2©, что совпадает
с формулой B5,9) для То.
**) В работе Рёслера [268] в выражении рмагн B5.8) линейный член был получен,
однако знак его строго отрицателен. Это вызвано, видимо, тем, что автор не разли-
различает волновых векторов на поверхности Ферми для электронов с разными проекци-
проекциями спина. Если учесть это различие, то знак линейного члена будет зависить от
отношения знаков первой и второй производной энергии носителей тока по квазиим-
квазиимпульсу на поверхности Ферми (см. работу Турова и Волошинского [272]). .
***) Подробный расчет дали Волошинский и др. [731]. См. также работу Ву-дннь
Кы [275].
— 934 —

Эта анизотропия может быть использована для разделения указанных
двух механизмов опытным путем, поскольку вклад в р, обусловленный s — d-обмен-
пой связью, изотропен. Измерять анизотропию линейного члена в р желательно
при условиях, когда кристаллографическая анизотропия р не проявляется, например
в случае кубической симметрии либо в базисной плоскости гексагонального
кристалла.
Имеется еще один «магнитный» механизм рассеяния электронов проводимости
в ненасыщенных ферромагнетиках, связанный с существованием в нем доменных гра-
границ. Винтер [276], рассматривая в качестве основного состояния ферромагнитный
кристалл со 180°-доменной границей,
показал, что в нем существуют воз- '
буждения двух типов, В толще домена
возникают обычные «трехмерные» спи-
спиновые волны. Внутри же граничного
слоя также имеются спиновые волны,
но «двумерного» типа. Туров и Воло-
шинский [272] рассмотрели рассеяние 1
электронов проводимости как на са- ^
мих границах, так и на этих «двумер- *
ных» спиновых волнах. Для соответ- ,1
ствующего вклада в р (при хаотиче-
хаотическом распределении границ *)) было <
получено выражение
Ргр=
гр
( — лк
Ф'
B5.11)
Ni
(Г °
У
Z
о
.0
10
го
Тг,Юг('К)г
30
Рис, 25,28, Температурный ход удельного электро-
электросопротивления Ni [р (Г) — р A,4° К)]/Г2. 1 — при
нулевом поле (Н = 0); 2 — при нулевой индукции
(В = 0) Шверер и Силкокс [215]).
где б—эффективная толщина гранич-
граничного слоя между доменами, frp — от-
относительный объем границ, кф —фер-
мпевское волновое число, а0 и а3/2 —
постоянные. Первый член в B5.11)
отвечает рассеянию на статических
доменных границах. Он очень мал,
и им можно пренебречь, поскольку величина я/Сфб порядка 102—103. Второй член возни-
возникает от рассеяния носителей тока на «двумерных» спиновых волнах. Поскольку он зависит
от числа доменных границ, то он должен сильно уменьшаться с ростом поля при намаг-
намагничивании образца (когда происходит изменение числа и объема различных доменов)
и быть анизотропным при ориентации тока вдоль н поперек намагниченности.
Приближенно член а3/оГ3/2 можно аппроксимировать также двучленной формулой
типа B5.8).
б. Сравнение с опытом. Опытная проверка теоретических соотношений B5.8),
B5.10) и B5.11) в случае ферромагнитных d- п /-металлов представляет значительные
трудности. Во-первых, это было связано с отсутствием достаточно чистых кристаллов
этих веществ. Только в последнее время появились образцы Ni [214, 215] и Fe [213]
с отношением р =к/'Р4 2 °К ^ 2000. Во-вторых, поскольку на электроны проводимости
действует поле магнитной индукции В = Н -)- 4nJs, а не приложенное поле Н [242],
электросопротивление, измеряемое обычно при Н = 0, включает вклад, обусловленный
обычным эффектом магнетосопротпвленпя [244, 277], связанным с самопроизвольной
намагниченностью 4я_Г8 (в Ni это 6400 гс). Поэтому при сравнении опытных данных
с теорией возникает необходимость найти р (В = 0, Т). Шверер и Сплкокс [215] пред-
предложили метод нахождения р (В = 0) (используя правило Колера, см. гл. 14) и пока-
показали, что кривые р (В = 0, Т) и р (Н = 0, Т) заметно отличаются (рис. 25.28).
Зависимость р от Т дается формулой at2 -f- ЬТ4. Уайт и Таннш [214] для чистого Ni
получили кривые типа р (Т) -- const -f- aT2, причем в интервале от 5 до 20° К значение
а = 26-Ю2 ом -см/град2, а ниже 4° К соответственно а= 34-Ю2 ом -см/град2. В фун-
фундаментальной работе Тейлора п др. [213] определено р (Т) в монокристаллах Fe (усах).
В интервале температур от 1 до 4,2° К уверенно наблюдена линейная зависимость,
причем величина коэффициента а4 [см. B5.8)] оказалась на порядок больше, чем в дру-
других работах [206—208]. В ходе измерений тщательно контролировалось постоянство
магнитного состояния образца во всем исследованном интервале температур. При нару-
нарушении этого контроля появлялась кажущаяся квадратичная зависимость. Авторы счи-
считают, что их результаты дают хорошее подтверждение теории Вонсовского [250, 258]
II Турова [255—257].
Данные по Со были получены в работах [209, 212]. На рис 25.27 приведена кри-
кривая из работы Радхакршпна и Нильсена [212], в которой измерялось электросопротив-
электросопротивление полпкрпсталлического Со при температурах от 1,2° К до 6° К и были получены
*) Если границы расположены взаимно параллельно, но на различных'расстоя-
различных'расстояниях друг от друга, то ргр анизотропно.
- 935 —

следующие результаты:
р
р0 = 87,1304-10-9 ом-см, а, < 3,13-Ю2 ом-см/град *)
и а2 = 0,9892-Ю-11 ом-см/град2.
Оценка коэффициента а2 по теоретической формуле работы [264] дает: а2 =
= 1,45-Ю2 ом-см/град2, т. е. величину, меньшую экспериментального значения для
а2. Используя результаты работ [248, 278], находим а2 = 16,76-Ю2 ом-см/град2.
Учитывая приближенность этих оценок, можно сказать, что, вероятно, вклад в р
от Рмаг составляет примерно около 10% от вклада, вносимого электрон-электронным
рассеянием. Большой интерес представляет работа Дякиной и Волкенштейна [279],
проведенная на изотропном образце поликристаллического Ni с Р2930 к/'Р4 2° к *** ^00
в магнитных полях до 7,4 кэ (поле насыщения было 2 кэ) и в интервале температур
от 1,77 до 4,2° К. В этой работе было показано, что опытные данные хорошо описы-
описываются формулой
р(Т)=а1Т + а312Т3/2 + а2Т*, B5.12)
где коэффициенты а4 и а2 не зависят от поля, at обладает анизотропией, предсказывае-
предсказываемой формулой B5.10), по величине равной (а1 ¦ — а4 „ )/а4 „ = 0,13, что хорошо согла-
согласуется с теоретической оценкой 272. Коэффициент а3, > 0 анизотропен, сильно умень-
уменьшается с ростом магнитного поля и стремится к нулю при насыщении образца.
Зависимость члена ai от поля видимо обусловлена влиянием упомянутого выше
внутреннего поля. Его учет на основе правила Колера и определения р (В = 0, Т) (см.
[215, 732]) показали, что член ai в основном связан с магнетосопротивлением. Поэтому
теорию [256, 272] следует сравнивать не с р (_ff = 0, Т), а с р(В = 0,Т).
Вопрос об интерпретации наблюдаемого члена а2Т2 вызывает большие трудности,
поскольку в него может входить и магнитный вклад от s — d-обмена, а также от s — й-
переходов и межэлектронных столкновений. В связи с этим необходимо учесть заме-
замечание Гудингса [267], о том, что во многих работах рассматриваются процессы рас-
рассеяния электронов проводимости в предположении, что имеется одна s-нолоса прово-
проводимости, внутри которой и происходит рассеяние (s — s-переходы). Однако можно
предполагать, следуя Мотту [280], что процессы рассеяния носителей тока в ферро-
ферромагнитных d-металлах, инициируемые s — d-обменом, могут происходить не только
в s-нолосе, но и в d-нолосе (учитывая участие в проводимости d-электронов), а также
возможны переходы из s- в d-полосу. Двузонную модель с квадратичными законами
дисперсии для s- и d-электронов и предложил Гудингс [267]. В качестве параметров
теории входят эффективные массы s- и d-электрона: (mj ;§> m*) и вместо одного пара-
параметра s — rf-обмена As$ (Ic) входят три параметра Gss, Gd(j и Gs(j. Температурная зави-
зависимость рмагн определяется отношением эффективных масс mpm% и «параметром щели»
а\ кф8 — кфа Ь гДе ^Фв и ^Фй — соответственно радиусы ферми-сфер для s- и d-полосы
ж а — параметр решетки. При достаточно низких температурах E=20° К) рассеяние
происходит в основном внутри s-полосы и для Рмагн получаются результаты, совпа-
совпадающие с рассмотренными выше {~Т2). В некоторой области температур, ширина
и положение которой сильно зависят от параметра а \кф& — А;ф(г |, становится заметным
число спиновых волн с величинами волновых векторов, достаточными для перекрытия
щели между s- и d-полосой. Тогда s — d-переходы, которые при более низких темпе-
температурах были неэффективны из-за невозможности удовлетворения закона сохранения
квазиимпульса, начинают быстро становиться существенными и эффекты от этих
переходов доминируют над эффектами рассеяния в одной полосе. Температурная зави-
зависимость рмагп по-прежнему остается квадратичной, только величина рмаП1 становится
на порядок величины больше, чем в низкотемпературной области, где эффективны
только s — s-переходы **).
В работе Хасегава и др. [281] была предложена гибридизированная зонная
модель; авторы специально рассмотрели Ni, для которого поверхность Ферми в ферро-
ферромагнитном состоянии можно считать состоящей из трех частей [282, 283]: поверхность
s-электропа с отрицательными спинами, поверхность s-электрона с положительными
спинами и поверхность d-электроиов с положительными спинами. Первая из этих
поверхностей весьма напоминает поверхность Ферми меди. Для второй — волновые
функции близки к d-функциям. А третья — типичная d-нолоса. При низких темпе-
температурах, рассматривая обменный механизм рассеяния электронов проводимости d-
полосы с противоположной проекцией спина, было найдено, что р — Т2. Оценка
*) Таким образом, в этой работе линейный член оказывается малым по сравнению
с квадратичным, в противоположность результату работы [209].
**) В связи с s — d-переходами d-полосу можно рассматривать как резервуар,
в котором рассеиваются электроны проводимости; испытавший переход в d-полосу
s-электрон приобретает большую эффективную массу и в этом состоянии практически
уже не вносит вклада в электрический ток. Иными словами, s — d-переходы оказы-
оказываются весьма эффективными для ограничения среднего свободного пробега в полосе-
проводимости.
— 936 —

абсолютной величины теоретического значения р показывает, что она лишь при-
примерно в 4 раза превышает опытное значение Уайта и Вудса [188].
Вопрос о зависимости р (Т) в области низких температур {Т < в) еще далеко не-
решен (по причинам недостаточной прецизионности измерений и отсутствия точной
теорип). Вместе с тем он продолжает привлекать к себе большое внимание. Это обус-
обусловлено тем, что прецизионное экспериментальное определение р (Т) при Г<6и срав-
сравнение этой зависимости с предсказаниями теории может быть, однако, одним из весьма
строгих способов контроля правильности (или по крайней мере степени приближен-
приближенности) квантовой теории ферромагнетизма металлов (см. [738]).
в. Высокие температуры. В области вблизи точки Кюри вопрос об аномалиях
электропроводности ферромагнетиков теоретически рассматривали Касуйя [261],
де Жен и Фридель [263] (см. также [265, 270, 284]). В приближении молекулярного
поля для магнитной части электросопротивления вблизи в имеем
т{{S+SZ)(s-
ехр
квт
B5.13)
где s — максимальная проекция спина узла кристаллической решетки, V — объем
кристалла, N — число узлов в нем, Ш — постоянная молекулярного поля. Выше точки
Кюри (Т > в) постоянная 91 ->¦ 0 и, следовательно, последние множители в обоих сла-
слагаемых в фигурных скобках в B5.13) равны единице. Кроме того, в парамагнитной
области (Sz) = 0 и
Рй
sd
B5.14)
100
90
ВО
Ц70
J ВО
е. Рммгн постоянно и не зависит от температуры. В ферромагнитной области вдали
от точки Кюри, когда {Szy — s фор-
формула B5.13) дает очень малую до-
добавку к сопротивлению ферромагне-
ферромагнетика, обращающуюся в нуль при
Т -*¦ 0, хотя в этой_области температур
2 4 6 8 10 12 14
16 18
30
го
10
F?
/
/Сг
(Cu(
Ni с
/f
Ai
Jlw
Er
F?/
Jal
/
n
i3Mn
,Mn
1,8 %Mn)
/
Mn
¦
Gd
140
120
'00%
80%
40 J
^7
./ 2 3
6 7 8 9
Рис. 25.29. Высокотемпературная магнитная часть
удельного электросопротивления d-металлов, некото-
некоторых их сплавов и РЗМ в зависимости от величины
Г| = ZPjSj (Sj + 1) (р ¦—концентрация атомов сорта
j со спинами Sj в сплаве). Стрелки указывают распо-
расположение осей координат графика для той прямой,
вблизи которой они показаны (Вейсс и Маротта [285]).
, Gd Tb Dy Но Ег Tm Yb
64 65 66 67 68 69 70
.Атомный.^номеп_ Z
Рис. 25.30. Магнитный вклад в удельное
электросопротивление «тяжелых» РЗМ в
парамагнитной области (при Г > 0). 1 —
экспериментальные точки; г — вклад от
рассеяния электронов проводимости на
квадрупольных моментах 4/-ионов; з —
вклад от обменного рассеяния (Кондо [286]).
эта формула уже неприменима. В области же температур, близких к в, она
дает правильное качественное описание рмагн (Т). Оценка численного значения
Рмагн по B5.13) также удовлетворительно согласуется с опытными данными. Полагая
m у Ю-2' г, I % Ю-12 эрг, N/V ^ 1022 см-3 и ^sd я* К)-14 эрг, из B5.14) в парамагнит-
парамагнитной области (при s>l) имеем рмагн « 10~5 ом-см, т. е. как раз ту величину, которая
наблюдается на опыте (см. работу [285]). Из формулы B5.13) также следует, что рмагн
с ростом спина незаполненноп электронной оболочки атома растет квадратично, т. е.
пропорционально s (s -j- 1), что также согласуется с опытом (см. [195, 285]), как это^
видно из рис. 25.29. В работе Кондо [286], наряду с s — /-взаимодействием учтена
— 937 —

также рассеяние на электрических квадрунольных моментах 4/-ионов. Это дает попра-
поправочный член к B5.14). На рпс. 25.30 приведено сравнение теории с опытом, нз которого
нидно, что согласие хорошее и что за исключением Yb и Тт квадрупольное рассеяние
относительно очень мало.
г. Влияние ближнего магнитного порядка. В работах [261, 263, 265, 287, 288]
изучалось влияние на рмагп ферромагнитных металлов ближнего магнитного порядка,
сохраняющегося и в парамагнитной области при Т > в. При этом в [263, 265, 288]
были рассмотрены ферромагнетики с короткодействующей обменной связью (в при-
приближении ближайших соседей), а в работах [261, 287] — с дальнодействующим косвен-
косвенным обменом через электроны проводимости. Эти исследования показали, что ближ-
ближний магнитный порядок приводит к заметной температурной зависимости, в отличие
от формулы B5.14), в которой учитывался только дальний магнитный порядок. В част-
частности, может наблюдаться некоторый спад сопротивления при Т ^ в. Это, по-видимо-
по-видимому, и происходит в случае монокристалла Gd (см. [287]) для гексагональной осп [0001]
в интервале температур от в = 293,2±0,2° К до Т = 340° К.
д. «Магнитное остаточное» сопротивление. Мотт и Стивене [290] указали на раз-
различную природу температурной зависимости р (Т) в ферромагнитных металлах Ni
и Fe, которое проявляется в том, что если нроэкстранолировать участок кривой р (Т)
для Т > в к Т = 0' К, то для N1 получается «остаточное» сопротивление значительно
меньшее, чем для Fe (см. рис. 25.11 и 25.13). Причина этого заключается в том, что
в N1 практически отсутствует эффект от рассеяния электронов проводимости на неупо-
неупорядоченных магнитных моментах d-электронов, а в Fe он значителен. Аномалия электро-
электропроводности в Ni по моттовской двузонной модели объясняется изменением характера
поверхности Ферми с повышением температуры. При низких температурах (Т <С Э)
для электронов проводимости с проекцией спина, параллельной самопроизвольной
намагниченности, переходы в d-полосу запрещены, поскольку все уровни с такими
проекциями спина в этой полосе Ni заняты (см. гл. 20). Поэтому для электронов прово-
проводимости с такой проекцией еппиа средняя длина свободного пробега заметно больше,
чем у носителей тока с противоположной проекцией спина. Однако при Т 5* в нз-за
появления свободных мест в d-полосе для положительных спинов в силу тепловых воз-
возбуждений все s — d-переходы разрешаются, и поэтому в рамках этой модели Ni по сво-
своим электрическим свойствам в этой области температур должен быть подобен неферро-
магнпгному Pd (его гомологу в таблице Менделеева). Это полностью подтверждается
опытом (см. рис. 25.12). Таким образом, в Ni рассеяние электронов проводимости на
спиновых неоднородностях, по-видимому, не является заметным эффектом по сравне-
сравнению с механизмом Мотта — Бабера. Наоборот, в Fe главную роль играет механизм
рассеяния на этих неоднородностях, что п приводит к большому «магнитному оста-
остаточному» сопротивлению (см. рис. 25.13). Мотт п Стивене [290] предложили независи-
независимый метод проверки изложенной точки зрения. Приближенно суммарное электросо-
электросопротивление ферромагнитного металла можно представить как сумму магнитной рмагн
и фононной РфОн частей, каждую из которых можно представить как произведение
двух сомножителей:
, B5.15)
где Рs и Рт — факторы, обусловленные свойствами соответственно спиновой и фонон-
фононной систем, a F — фактор, зависящий от свойств электронов проводимости (их кон-
концентрации и эффективной массы, плотности уровней в электронном спектре п т. п.).
В Fe при Т < О основной вклад в температурную зависимость дает фактор Р$, фактор F
при этом практически постоянен. В Ni, наоборот, фактор Рs ^Оп температурная зави-
зависимость рмаГ1| обусловлена в основном фактором F из-за изменения поверхности Фер-
Ферми с температурой. Представим теперь себе, что мы включили еще один механизм рас-
рассеяния, например, вводя в металл малые прпмесп. Тогда в B5.15) добавится новое сла-
слагаемое, которое запишем в виде PAF. В случае Fe ни РА, ни F не зависят от Т, поэтому
эта добавка будет одинаковой п при низких и при высоких температурах. В случае
же Ni, у которого РА тоже не зависит от Т. a F сильно меняется с ростом Т, добавочное
сопротивление сплава будет расти с ростом Т. Опыты Колса [195] с твердыми раствора-
растворами Ru — Fe A% Ru) u Pd — Ni A% Pd) полностью подтвердили предсказание Мотта
и Стпвенса [290] (такие добавки были выбраны, чтобы минимально изменять зонную
структуру матрицы сплава).
е. Особенности магнитного сопротивления РЗМ. На первый взгляд при сравнении
опытных кривых для d-металлов п РЗМ (см, рис. 25,11—25,26) может показаться, что
природа аномального электросопротивления у них одинакова и все различие носит
лишь чисто количественный характер. Однако фактически это на так. Различная при-
природа s — d-электронной системы d-металлов us — /-системы /-металлов приводит
к качественным различиям и в аномалиях пх кинетических коэффициентов, в том
числе п электросопротивления. Можно указать на три особенности в механизмах
рассеяния электронов проводимости в РЗМ по сравнению с d-металлами. Одна из них
связана с резко локализованным состоянием 4/-слоев в РЗМ, Вторая определяется
особенностями их атомной магнитной структуры (неколлпнеарные структуры). И, на-
наконец, третья связана с большой магнитной анизотропией РЗМ.
Первую особенность рассмотрел Эллиотт [291], по которому добавочное электро-
электросопротивление в РЗМ обусловлено двумя причинами, каждая пз которых дает эффект
— 938 —

одного и того же порядка и с той же температурной зависимостью. Во-первых, элект-
электроны проводимости могут неупруго рассеиваться на 4/-ионах, изменяющих при этом
¦свою энергию между их штарковскими уровнями, возникающими в поле лпгандов
(см, гл. 10). Во-вторых, при конечных температурах 4/-ионы в этих различных энер-
энергетических состояниях будут распределяться случайным образом по узлам кристалли-
кристаллической решетки, с числами заполнения, определяемыми распределением Больцмана.
Поскольку 4/-ионы в этих состояниях имеют различные поперечные сечения для рас-
рассеяния электронов проводимости, то электросопротивление будет меняться с изме-
изменением заселенности, т. е, с изменением температуры, Для добавочного сопротивления
от этих двух механизмов Эллиотт получил выражение Др — sch (Д/2&БГ), где Д —
штарковское расщепление между основным состоянием и первым возбужденным штар-
ковсгаш уровнем 4/-иона. При разумных оценках величины Д (Д/&Б =^ 150° К для
Рг п Д/&Б % 15° К для Nd) теоретическая формула хорошо описывает эксперименталь-
экспериментальные кривые [196, 197, 292] для Рг и Nd *).
Вторая особенность РЗМ рассматривалась в работах [294—296]. Как уже отме-
отмечалось выше (гл. 20), тяжелые РЗМ от ТЬ до Тт имеют сложную неколлннеарную маг-
иптную структуру. В точках Нееля Эд» при охлаждении они испытывают переход
из парамагнитного в антнферромагнптное состояние с неколлинеарной магнитной
структурой. При более низких точках Кюри в наблюдается переход в ферромагнитное
состояние. Эллпотт [297], Канлан [298], Иосида п Мпва [299] п в особенности Дзяло-
пшнскнй [300] показали, что периоды магнитных структур в РЗМ определяются взаи-
взаимодействием электронов проводимости с магнитными нонами (см. гл. 20), а также
большой анизотропией, вызванной кристаллическим полем. Опыты Легвольда п др.
|200, 204, 205] показали, что эти сложные магнитные структуры очень резко могут
сказаться на виде температурной зависимости электросопротивления РЗМ. В точках
Нееля наблюдается подъем кривых р (Т), затем при понижении температуры дости-
достигается максимум, а в точках Кюри происходит резкий спад. Эти эффекты обладают
резко выраженной анизотропией. Они наблюдаются заметным образом только при
трке, текущем вдоль гексагональной осп. В плоскостях базиса, перпендикулярных
этой оси, температурный ход р (Т) в РЗМ такой Же, как и в случае rf-металлов Fe n Ni.
Последнее связано с тем, что в плоскостях базиса имеет место ферромагнитное упоря-
упорядочение магнитных моментов 4/-нонов. Все периодические изменения в магнитной
структуре происходят при переходе от одной базисной плоскости к соседней. Периодич-
Периодичности магнитных структур отличаются от периодичности ионных решеток РЗМ, по-
поскольку первые определяются величиной диаметров экстремальных сеченпй поверх-
поверхностей Ферми для электронов проводимости в них. Благодаря этому различию в перио-
периодичности в кристалле РЗМ возникают новые границы зон Брпллюэна (перпендикуляр-
(перпендикулярных гексагональной оси), что приводит к искажению поверхностей Фермп. Последнее
сказывается на сечениях рассеяния и, следовательно, на электросопротивлении и дру-
других кинетических свойствах. Поскольку магнитная структура в интервале от точки
Нееля до точки Кюри меняется с температурой, то при этом будут меняться п времена
релаксации электронов проводимости, что и приводит к специфическому температур-
пому ходу электросопротивления в этом интервале. Сравнение теоретических кривых,
рассчитанных Эллиоттом п Веджвудом [296], с опытными кривыми [200, 204, 205, 301]
показывает неплохое качественное согласие теории с опытом. Отклонения связаны
с недостатком данных об электронной и магнитной подсистемах в РЗМ.
Переходим к третьей особенности р (Т) в РЗМ. При налпчгш в спектре спиновых
волы заметной энергетической щели Д, обусловленной, например, большими значе-
значениями энергии магнитной анизотропии в магнптноодноосных (гексагональных) ферро-
ферромагнитных РЗМ кристаллах, во всех термодинамически равновесных величинах и кине-
кинетических коэффициентах появляется экспоненциальный фактор ехр (—Д/&БГ) (см,
[302]). Макинтош [303] на основе формулы для р = рмаг„ -у- РфОш исправленной на
влияние- щели Д, получил
B5.16)
и используя значение Д/кБ^ 20° К, получил хорошее согласие для Tb, Dy и Но-
В случае Dy измерения Волкенштейна и др. [217] на гораздо более чистом образце
также подтвердили, что в области низких температур р (Т) достаточно хорошо под-
подчиняется зависимости B5.16).
В Gd, как показано в [302], закон дисперсии для спиновых волн носит линейный
характер. Последнее приводит к тому, что вместо закона Т3^г намагниченность под-
подчиняется закону Г2, а электросопротивление, вместо Г2 будет меняться по закону Г4.
Для намагниченности такой ход был найден при Т <: 50° К в работе [289], а для электро-
электросопротивления в [304] найдено, что в интервале от 51 до 15° К р (Т) = АТп, где га %
^ 3,73 ±-_ 0,03, что близко к значению га = 4, предсказанному Макинтошем [303].
Уменьшение га по сравнению с га = 4 может быть объяснено вкладом в р от электрон-
*) Вонсовскпй и Свпрскнй [293] (см. также гл. 21) обратили внимание на воз-
возможную зависимость р (Т) в РЗМ от механизма, связанного с возбуждением муль-
типлетностп 4/-оболочек.
— 939 —

электронного рассеяния, пропорциональным Т2, или фононного. Однако в работе Вол-
кенштейна и Старцева [216] при температурах от 1,5 до 4,2° К р (Т) имеет вид B5.8)*
с надежно определяемым линейным членом
<25-17>
где А я» 21,8-Ю град-1, В za 5,1 -Ю град'2. При температурах ^20° К результаты
работ [216] и [304] полностью согласуются *).
5. Случай ферромагнитных сплавов. Машаров [308] в рамках s — d-обменной
модели в области низких температур, где справедливо спин-волновое приближение,
рассчитал электросопротивление бинарных ферромагнитных сплавов (для случая
близких по свойствам атомов обоих компонент). Согласно этим расчетам процессы
неупругого рассеяния электронов проводимости на спиновых волнах без сохранения
квазиимпульса дают вклад в P^pHi пропорциональный Т3^2. Часть электросопротив-
электросопротивления сплава, зависящая от температуры, связанная с упругим рассеянием электро-
электронов проводимости, растет с понижением температуры по закону р0 A — аТ3/г), где
а > 0, и достигает наибольшего значения р0 при Т -* 0° К. В работе [309] Машаров
обобщил свои расчеты на случай антиферромагнитных сплавов, а в работе [310] учел
эффект магнитного увлечения. К сожалению, пока нет прецизионных измеренпй р (Т)
на ферромагнитных сплавах, которые можно было бы сравнить с полученной Машаро-
вым формулой. Обращаем внимание на работы [311—315], в которых исследуется р (Т)-
в сплавах РЗМ.
§ 4. Теплопроводность
Другим примером кинетического эффекта может служить теплопроводность.
Этот вопрос иселедовался теоретически в работах Касуйя [262], Абельского и Турова
[259] и Колкуитта [316]. Во второй из них рассчитано теплосопротивление ферромаг-
ферромагнитного металла, связанное с рассеянием электронов проводимости на спиновых волнах
для области температур в *^> Т ^> То в приближении квадратичного закона дисперсив
для электронов, когда в формуле B5.8) для электросопротивления рмагн основную
роль играет член, пропорциональный Т2. Расчет проводился в обычной схеме кине-
кинетического уравнения с использованием метода Кролля [317]. В результате было полу-
получено, что магнитный вклад в теплопроводность не зависит от температуры. Это получено
другим методом и в работе Касуйя [262]. Кроме того, примечательно, что величина
теплосопротивления WMaTYl фактически определяется тем же самым коэффициентом а2,
который входит в формулу для электросопротивления. Поэтому появляется возмож-
возможность двух независимых экспериментальных способов определения константы д2
по измерению р и W. Если коэффициент а2 оценить по опытным данным для р [212}
(а2 **s 10~12 ом-см/град2 % 10~24 сек/см) и подставить в формулу WMarH пз [259], то
получим WMaTH «s 10~7 град -см-сек-эре. Это значение сравнимо по порядку величины
с экспериментальными данными для Fe при Т « 4,2 °К [318]. Данные этой работы
показывают, что теплосопротивление многих металлов обычно хорошо аппроксими-
аппроксимируется формулой
W = a^-\-^-. B5.18)
Первое слагаемое обусловлено рассеянием электронов на фононах, второе — на при-
примесях. При низких температурах основную роль играет второе слагаемое в B5.18).
В случае ферромагнетика в правую часть B5.18) следует добавить еще не зависящее
от Т слагаемое WMarH. Поэтому можно надеяться обнаружить И^магн в очень чистых
ферромагнетиках, когда примесный член будет сравним или меньше WMarH. В опытах
Уайта и Вудса [188] показано, что температурная зависимость W (Т) для ферромаг-
ферромагнитных переходных d-металлов аналогична такой же зависимости для парамагнитных
d-металлов в интервале температур от 20° К до вд/2, возрастая при нагревании пропор-
пропорционально Т2. Однако выше ©д/2 кривая W (Т) для парамагнитных металлов изменяет
наклон и W становится практически постоянной, достигая максимального значения
при вд. С другой стороны, W(T) для Fe, Co и Ni хотя и испытывают изменение наклона
вблизи Т лв ©д/2, но потом W устойчиво сохраняет прежнюю температурную зависи-
зависимость вплоть до ©д. Для более высоких температур пока нет достаточно точных данных.
Как отмечено в [316], это различие в поведении W (Т) для ферромагнитных и парамаг-
парамагнитных d-металлов может быть объяснено наличием в первых добавочных механизмах
рассеяния электронов проводимости на спиновой системе. Для рассмотрения вопроса
о сохранении характера температурной зависимости в интервале от в д/2 до вд можно
взять величину ДИ7 = [W (вд) — W (8^/2)]/W (вд/2). Опыт показывает, что в пара-
*) Электросопротивление Ей и Yb измерялось в работе [305]. Теории р (Т) в РЗМ
посвящены также работы [306, 307].
— 940 —

¦магнитных металлах AW « 0,05, а в ферромагнитных AW & 0,3. Как мы уже видели
сгри учете рассеяния электронов проводимости на спиновых неоднородностях в одно-
зонной модели по [259], WMarH не зависит от температуры, поэтому такой механизм
не может объяснить упомянутую выше аномалию в интервале температур вд/2 < Т <
< 0д. В связи с этим Колкуитт [316], используя схему, аналогичную схеме Гудингса
4267] при расчете рмагн (см. выше) показал, что индуцированные магнонамп межзонные
s — d-переходы дают удовлетворительное описание указанной выше аномалии. За под-
подробностями отсылаем читателя к работе [316]. По вопросу теплопроводности ферро-
ферромагнетиков см. также работы [319—333].
§ 5. Гальваномагнитные и термомагнитные четные эффекты
1. Магнетосопротивление. Впервые наиболее подробно магнетоСо-
противление и термомагнитные явления в ферромагнетиках исследовали
в 1888 г. Гольдгаммер [334] и в 1891 г. Бахметьев [335]. Гольдгаммер
установил в ряде ферромагнетиков, что вблизи точки Кюри имеет место
простая связь между Дря/ро и намагничен-
намагниченностью / ферромагнетика:
гР, B5.19)
Ро
где а — постоянная, а Аря изменение р под
действием внешнего поля Н, создающего в •<>.
¦образце намагниченность /. Позднее эти опы- ^
ты повторили Герлах [336], Шнейдерхан и "^
Герлах [337], Энглерт [338] и Поттер [339],
которые указали способ определения вели-
величины и температурной зависимости самопро-
самопроизвольной намагниченности с помощью изме-
измерения величины Аря- При температурах,
•близких к точке Кюри и выше нее, появ-
появляется истинное намагничивание, которое и
вызывает, согласно B5.6), уменьшение сопро-
сопротивления, пропорциональное Р. Однако тип
кривых Аря = / (Р) выше и ниже точки _ „„„„„
Кюри, Как ЭТО ВИДНО ИЗ рИС. 25.31, СуЩеСТ- ной^намагниченности при соответ-
Рис. 25.31. Схематическая зависи-
зависимость относительного магнетосопро-
тивления Дрд/ро ферромагнетика
при 17= const от квадрата его на-
намагниченности р при температурах
выше точки Кюри 0 (Т > в), в самой
точке Кюри (т = в) и при темпе-
температурах ниже точки Кюри (Тг <
< Ti < в). Пересечение последних
двух кривых с осью абсцисс дает
значения ^квадратов самопроизволь-
самопроизвольой
ствующих температурах:
Is (Tt).
(ТО и
венно различный. При Т > 9, т. е. в па-
парамагнитной области кривые Аря=/(/2) (изо-
(изотермы) проходят через начало координат с уг-
угловым коэффициентом, возрастающим с температурой. Для 71<6 кривые
пересекают ось Р при Р Ф 0. Таким образом, при Т < в изотермическое
уменьшение электросопротивления в силу истинного намагничивания
оказывается пропорциональным разности между квадратом результи-
результирующей намагниченности Р и некоторым начальным значением, величина
которого растет с уменьшением температуры. Это начальное значение,
согласно Герлаху [336], и будет пропорционально квадрату самопроиз-
самопроизвольной намагниченности
B5.19а)
Этот вывод полностью подтверждается совпадением значений Ia (Т),
полученных из кривых рис. 25.31, со значениями Is (T), полученными
из измерений магнетокалорического эффекта (см. гл. 18).
Итак, опыт показал, что при намагничивании ферромагнетика во внеш-
внешнем магнитном поле его электросопротивление меняет свою величину.
При этом можно интересоваться или изменением сопротивления, когда
ток и поле параллельны (продольный эффект Арц), или изменением сопро-
сопротивления при взаимно перпендикулярной ориентации тока и поля (попе-
(поперечный эффект Apj_). На рис. 25.32 приведены типичные кривые Арц (Н)
— 941 —

го
15
to
[
Ni
to
-5
15 20
Н,кз
Рис. 25.32. Зависимость иагне-
тосопротивления от величины
магнитного поля в Ni (продоль-
(продольный (Др/р)м и поперечный
(Др/р)_]_ эффекты) (Факидов и
Гражданкина [340]).
и Др_[_ (Я) по данным работы [340], из которых видно, что продольный
эффект в области технического намагничивания имеет положительный
знак, а поперечный — отрицательный. В области сильных полей, гд&
существует парапроцесс, обе кривые практи-
практически одинаково спадают с ростом истинной
намагниченности (см. рис. 25.32), как и следует
ожидать по формуле B5.14).
2. Правила четных эффектов. Связь магне-
тосопротивления с теорией намагничивания
установил Акулов [341], который показал, что
полученная им формула B3.17) для расчета
магнитострикции ферромагнитных кристаллов
в области процесса вращения может быть при-
применима для расчета любых так называемых чет-
четных эффектов (не зависящих от знака поля или
намагниченности) — гальваномагнитных, галь-
гальваноупругих, термомагнитных, термоупругих и
т. п. В области слабых полей, где намагни-
намагничивание осуществляется с помощью процессов
смещения, Акулов применил разработанный им
упоминавшийся в § 2, п. 2 статистический метод
[13]. Если в законе анизотропии ограничиться
членами разложения не выше биквадратичных
(относительно направляющих косинусов вектора
самопроизвольной намагниченности) и не при-
принимать во внимание парапроцесс, то можно, как
показал Акулов A939), сформулировать два общихправила четных эффектов:
1. В области процессов смещения изменение величины четных эффек-
эффектов при слабых деформациях пропорционально, в первом приближении,
первой степени внешних напряжений, а при намагничивании — пропор-
пропорционально квадрату намагниченности. Отношение постоянной каждого
упругого эффекта к постоянной соответствующего магнитного эффекта
есть величина приближенно постоянная для всех эффектов. Она равна
произведению начальной восприимчивости материала на константу маг-
магнитострикции насыщения, измеренную вдоль оси легкого намагничивания.
2. Сумма результатов измерений любого четного эффекта по трем
произвольным взаимно перпендикулярным направлениям (в отсутствие
парапроцесса) равна нулю. Если же имеет место парапроцесс, то эта
сумма растет пропорционально квадрату изменения результирующей
намагниченности (~8/2) *).
Штейнберг и Мирошниченко [343] исследовали влияние ориентации
самопроизвольной намагниченности на сопротивление Ni, Fe и сплавов
Fe — Ni. Одновременно они исследовали, как на этот эффект влияет
растяжение и кручение, и показали, что смещения 180°-границ не влияют
на изменение электросопротивления ферромагнетиков. Проведенное Хра-
Храмовым и Львовой [344] исследование термомагнитного и термоупругого
эффектов и Феденева [345] по изучению изменения электросопротивления
в Fe и Ni под действием магнитного поля и слабых упругих напряжений,
подтвердили правила четных эффектов. Белов [346] проверил теорию при
одновременном действии поля и напряжений на термоэлектродвижущую
силу в ферромагнетиках. Акулов и Аннаев [347, 348] исследовали ани-
анизотропию термо-э. д. с. в кристаллах Fe и другие аномалии термо-э. д. с.
в ферромагнетиках. Аннаев исследовал влияние процессов упорядочения
*) Феноменологическая теория четных эффектов подробно изложена в моногра-
монографии Акулова A939). Обращаем внимание также на обзор Яна [342], в котором собрана
подробная библиография экспериментальных работ по измерению Дрд/р0 в ферромаг-
ферромагнетиках.
- 942 -

в ферромагнитных сплавах системы Ni — Mn и термомагнитные эффекты
Томсона — Нернста [348], а также эффект Гольдгаммера [349]. Кроме
того, он установил влияние распределения теплового потока на термо-
термомагнитный эффект [350]. Феденев и Усков [351] нашли, что линейная
связь между изменением электросопротивления и квадратом намагни-
намагниченности имеет место при всех температурах. Волков [352], изучая тер-
термоупругие и термомагнитные эффекты, обнаружил новую возможность
исследования внутренних напряжений по их влиянию на эти эффекты.
Белов и Волков [353] произвели дальнейшие исследования в этом направ-
направлении для гальваноупругого эффекта. Феденев и Вампилов [354] и Белов
[355] исследовали влияние упругих напряжений на четные эффекты и на
гистерезис этих эффектов. Акулов, Волков и Белов [356] обнаружили,
что при растяжении железной проволоки, по которой предварительно
был пропущен электрический ток, на концах ее возникает электрическая
разность потенциалов. Появление этой разности потенциалов происходит
в результате изменения остаточной циркулярной намагниченности (соз-
(созданной током) под влиянием растяжения. Капица [357] исследовал маг-
нетосопротивление в ферромагнетиках в очень сильных магнитных полях.
3. Феноменологическая теория анизотропии четных эффектов. Анизо-
Анизотропия четных эффектов в ферромагнитных кристаллах феноменологи-
феноменологически описывается формулой, аналогичной формуле B3.17) для магнито-
стрикции. Обозначая величину любого четного эффекта через а, а направ-
направляющие косинусы углов вектора Is и вектора плотности электрического
тока j и т. п. с тетрагональными осями кристалла {100} соответственно
через cci, а2, аз и Рь Рг> Рз> будем иметь для кристаллов кубической сим-
симметрии
4
B5,20
где Ki и и2—постоянные анизотропии четных эффектов, определяемые
из соотношений
2
~з~х1 и
где <2ц [юо] и а\\ [in] — соответственно продольные четные эффекты, изме-
измеренные вдоль осей [100] и [111]. Формула B5.20) позволяет рассчитать
при известных и4 и и2 зависимость а от ориентации поля (или намагни-
намагниченности при насыщении) в кристалле. При этом направление тока
и направление измерения совпадают и не меняются. Опыты на монокри-
монокристаллах Fe и Ni, проведенные для гальваномагнитного эффекта Вебстером
[358] и Кайя [359] и для термомагнитного эффекта Аннаевым [348], нахо-
находятся в хорошем согласии с формулой B5.20). Последнюю в некоторых
случаях можно использовать (после усреднения) и для описания четных
эффектов в поликристалле (при условии, что у них нет магнитной и кри-
кристаллографической текстуры). Усреднение по направлениям кристалли-
кристаллитов дает:
з. B5.21)
где
at= — jgXi— |x2, а2=-|Х1+"И2- B5.22)
Отсюда для продольного (#==0) и поперечного (#=я/2) эффектов полу-
получаем соответственно
2/2 \ 1/2 \
a II = at +a2= — у l-jHi+H2) ', а± = -g" (~з~х1 +^2) >' а = а \\ — а± sin2 #
B5.23)
или й\\ = —2йи , т. е, удовлетворяется второе правило четных эффектов.
— 943 —

Однако в ряде случаев наблюдалось отклонение от второго правила
четных эффектов для магнетосопротивления. Например, измерения
на сплавах Гейслера (Поттер [360]), высококоэрцитивных сплавах и крем-
кремнистом железе (Шур и Дрожжина [361], Комар и Портнягин [362]
и Бейтс [363]) показали, что Apj_ и Арц имеют одинаковый знак в области
технического намагничивания. Эти отклонения, как указал Вонсовский
[364], определяются в исследованных веществах членами более высокого
порядка относительно направляющих косинусов в формуле B5.20),
которые обычно не учитывались при выводе второго правила четных
эффектов. Действительно, например, формула для изменения электро-
электросопротивления в магнитном поле, с учетом членов не только второго,
но и четвертого порядка относительно направляющих косинусов cci, а2, аз
[см. Ганс и Харлём[[365], Дёринг [366], Вонсовский и Шур A948)], имеет вид
+ «4 [oIPJ + o«p» + o*p; + ¦§ (alal + alal + ojoJ) - у ] +
+ 2x5 (а1а2сф1р2 + а2а3сф2р3 + OsOjoJPsPi). B5.24)
•Формула B5.24) справедлива для монокристаллов Ni; в случае Fe в скобке
при и3 следует опустить слагаемое «—1/3». Для идеального поликристалла,
лишенного кристаллографической и магнитной текстуры, после усред-
усреднения по углам получаем снова B5.21), но вместо B5.23) имеем
1/2 , .2 ,4 . 1 \ 1 / „, . 2
( + у Хз + У *« + Тх0 = -Т \К +Т
„, 2 .
К =уИ1-
Отсюда для продольного и поперечного эффектов опять получаем B5.23).
Если Из = 0, то второе правило четных эффектов выполняется. Если же
и3=/=0 и, например, и3>0, то при условии
/Г>0 B5.26)
продольный и поперечный эффекты будут иметь одинаковый знак. Воз-
Возможные типы кривых для Apj_ и Арц в зависимости от соотношения величин
и знаков констант и3 и К' приведены в работе ван Эльста [367].
Полученное Вонсовским [364] неравенство B5.26) для констант ани-
анизотропии магнетосопротивления, которое должно осуществляться при
появлении одинаковых знаков Apj_ и Арц подтвердили на опыте Зотов
и Шур [368]. Факидов, Гражданкина и А. Кикоин [369] исследовали
продольный и поперечный эффект Гольдгаммера в сплаве Сг — Те,
а Факидов и Гражданкина [370] — в сплаве Mn — Sb и обнаружили, что
оба эффекта имеют одинаковый знак и не подчиняются второму правилу
четных эффектов. Точка Кюри ферромагнитного сплава Сг — Те очень
низкая (+60° С), и поэтому парапроцесс играет большую роль уже при
комнатных температурах. Белов [371] показал, что если учесть парапро-
парапроцесс, то можно количественно объяснить результаты вышеупомянутых
опытов для сплава Сг — Те. Белов и Панина [372] приводят данные изме-
измерений эффекта Гольдгаммера в Ni вблизи точки Кюри, которые также
объясняются с учетом парапроцесса. Аналогичные отклонения от второго
правила четных эффектов, имеющие место и для продольной и попереч-
поперечной магнитострикции в ферромагнетиках с сильно выраженным парапро-
щессом, наблюдались для сплава инварной группы. C0% Ni, 70% Fe)
— 944 —

Беловым [371], а для сплава Ni — Mn (при составе Ni3Mn, при котором
и имеет место большой парапроцесс) Волковым и Зубовым [373].
В сплаве Mn — Sb измерения Факидова и Гражданкиной [340] пока-
показали, что продольный и поперечный эффекты имеют не только одинако-
одинаковый знак, но в области парапроцесса оказываются положительными.
Хотя в других случаях в рбласти парапроцесса всегда, как правило,
наблюдалось уменьшение сопротивления. Детальные исследования ани-
анизотропии магнетосопротивления на сплавах Ni с неферромагнитными
металлами в интервале температур от 300° К до 14° К провел ван Эльст
[367]. Халилеев [374] исследовал изменение электросопротивления есте-
естественного магнетита в магнитном поле при низких температурах (от 80
до 120° К). Он показал, что электросопротивление магнетита в магнитном
поле убывает. Относительное уменьшение электросопротивления Ар/ро
имеет резко выраженный максимум при Т = 111,4° К, достигая (в поле
9000 э) 8% от исходной величины. Этот результат, как уже указывалось,
связан с тем, что при Т = 111,4° К магнетит претерпевает своеобразное
фазовое превращение второго рода.
До сих пор речь шла в основном о четных эффектах в ферромагнитных
образцах, намагниченных до насыщения, и рассматривалась зависимость
эффекта от ориентации намагниченности насыщения Is в кристалле. Рас-
Рассмотрим теперь кратко случай слабых полей, когда результирующая
намагниченность образца меньше насыщения: / < /s, т. е. зависимость
четных эффектов от процессов технического намагничивания. По первому
правилу четных эффектов Акулова A939) в области процессов смещения
любой четный эффект а должен быть пропорциональным квадрату намаг-
намагниченности образца. Впервые это было установлено в опытах Гольдгам-
мера [334], а затем Герлаха [336]. Измерения термомагнитного эффекта
в поликристаллическом Ni (Волков [352]) показали, что четный эффект
линейно зависит от квадрата намагниченности при / < Is. При некотором
значении намагниченности на прямой а (Р) наблюдается довольно резкий
излом, который соответствует книку на кривой намагничивания, т. е. тому
'значению намагничивающего поля, когда завершаются процессы смеще-
смещения границ доменов и начинаются процессы вращения вектора _TS отно-
относительно направления внешнего поля (см. гл. 23). Такой резкий излом
наблюдается лишь в образцах, в которых нет заметных структурных
искажений и внутренних напряжений. Если это условие не выполнено, то
переход на кривых а (Р) от области процессов смещения к области про-
процессов вращения «размазывается». Наклон прямой а (Р) в области про-
процессов смещения заметно ниже, чем в области процессов вращения. Это
объясняется тем, что для четных эффектов имеют значение лишь смеще-
смещения границ между областями с соседствами, отличными от соседств
180° типа. Угол наклона начального участка кривой а (Р) будет тем мень-
меньше, чем больше доля 180°-соседств, т. е. угол будет зависеть от магнитной
текстуры образца.
Эту зависимость можно очень наглядно наблюдать, если изменять
магнитную текстуру, например, с помощью внешних напряжений. Так
в случае Ni, обладающего отрицательной магнитострикцией, достаточно
сильное растяжение образца ориентирует Jsbo всех доменах в плоскости,
перпендикулярной к направлению растяжения. Поэтому процессы сме-
смещения при намагничивании вдоль направления растяжения вообще будут
практически исключены. При возрастании растяжения участок кривых,
соответствующий процессам смещения, практически исчезает. При рас-
растяжении образцов ферромагнетика с положительной магнитострикцией,
наоборот, можно создать совершенную магнитную текстуру только
с 180°-соседствами, и тогда четный эффект при намагниченностях, меньших
насыщения (обусловленный процессами перераспределения самопроиз-
самопроизвольной намагниченности в образце), вообще будет отсутствовать. Для
термомагнитного эффекта это, например, показал Белов [355], а для
60 С.' В. Вонсовский — 945 —

гальваномагнитного — Штейнберг и Мирошниченко [343]. Влияние напря-
напряжений на четный гальваномагнитный эффект исследовался также в рабо-
работах Мак Кихана [375], Энглерта [338], см. также Беккер и Дёринг A939).
Влияние магнитной текстуры на четные эффекты исследовал Зайцев [3761.
Шур и Дрожжина [361] (см. также Дрожжина и др. [377]) впервые ука-
указали на то, что исследование кривых магнетосопротивления Ар/ро = / (//)
является одним из удобных и чувствительных способов определения маг-
магнитной текстуры ферромагнетиков.
Производились также исследования температурной зависимости чет-
четных эффектов. В качестве примера упомянем исследования температур-
температурной зависимости магнетосопротивления в нитевидных кристаллах Fe
(усах), проведенные Ишином и Колеманом [378] в интервале температур
от 4,2 до 300° К. При 300° К авторы наблюдали обычный положительный
эффект, связанный с процессами намагничивания, и при более сильных
полях также обычное понижение электросопротивления (см., например,
рис, 25.32). При низких температурах в начальном участке полей, наобо-
наоборот, наблюдался спад электросопротивления, а после достижения мини-
минимума (при 4,2° К для продольного и поперечного эффектов этот минимум
лежал соответственно при 400—1000 э и 1—6 кэ) быстрое возрастание
электросопротивления. Этот рост, по-видимому, не специфичен для фер-
ферромагнетиков и может быть связан с действием лоренцевой силы на носи-
носители тока, когда средняя длина свободного пробега достаточно велика,
так что сонт 3= 1; «H — циклотронная частота, а т — время релаксации
(см. гл. 14). Однако окончательного объяснения этому эффекту еще не дано.
Исследуемые образцы были очень совершенны по своей структуре и чистоте
(отношение сопротивлений при 300° К и 4,2° К рзоо° к/р4,2°к колебалось
в пределах от 200 до 2000), и поэтому условие «нт 3= 1 хорошо выпол-
выполнялось в полях Н 3= 5 кэ (см. также работы [397, 403]). Такое поведение
магнетосопротивления в сильных полях при низких температурах
было типичным для компенсированных металлов, что детально обсужда-
обсуждалось в работ еЛифшица и др. [379] и Фосетта и Рида [380] (см. также [401]
и гл. 14), В последней работе была сделана попытка использовать изме-
измерения магнетосопротивления с целью получения информации о виде
поверхности Ферми в ферромагнитных металлах.
Весьма интересны также температурные исследования магнетосопро-
магнетосопротивления в РЗМ — Dy, Tb и Gd, проведенные Беловым и др. [223, 381],
а также Макинтошем и Спейном [382] в Но — Бабушкиной [395], в Gd —
Волкенштейном и Дякиной [396] и в тонких пленках Gd, Dy и Tb —
в работе Шюлера [402]. Температурный ход Ар/ро в этих металлах оказы-
оказывается не монотонным, что связано со сложными неколлинеарными маг-
магнитными структурами этих ферромагнетиков, Теорию гальваномагнитпых
эффектов дали Абельский и Ирхин [400].
Характерным для всех четных эффектов в ферромагнетиках, исклю-
исключая область парапроцесса, является то, что они практически не зависят
от величины внешнего намагничивающего поля, а целиком определяются
результирующей намагниченностью образца; коэффициенты, которые
входят в закон анизотропии четного эффекта, и зависят от самопроизволь-
самопроизвольной намагниченности, Это уже иллюстрировалось выше на примере маг-
нитострикции. Четные эффекты в области парапроцесса обусловлены
обменными силами между электронами проводимости и спиновой системой
ферромагнетика. Наиболее детально эти явления исследовал Белов A957),
в монографии которого читатель может найти подробное описание и ссылки
па литературу.
И. К. Кикоин и Игошева [383] произвели анализ своих опытных дан-
данных по измерению магнетосопротивления в сплавах Ni — Си, Mn — Sb,
Сг — Те [384] и данных других авторов для Fe и Ni [см. Белов A957),
Вейсс и Форрер [4], Поттер [360, 385]] и пришли к выводу, что магнето-
сопротивление ферромагнетиков определяется изменением «магнитной»
— 946 -

части его электросопротивления рмагн во внешнем магнитном поле, то есть
Ар = (рЫагн)н — (Рмагн)о. где (рмагн)н — значение магнитной части
электросопротивления в магнитном поле. Далее они предположили, что
(рмагн)н и (рмагн)о определяются соответственно полной / и самопроиз-
самопроизвольной /s намагниченностями (при данной температуре Т), т.е. (рМагн)н =
= а (Но — Р) и (рмагн)о = а (Ло — Л), где /s0 — значение Is при 0° К,
а — постоянная, не зависящая от Т и Н. В итоге для магнетосопротивле-
ния находим
ДРя _. (/*~П) B527)
(Рмагн)о
/2 Л2
'SO '8
Формула B5.27) в принятых предположениях не зависит от вещества фер-
ферромагнетика. На рис. 25.33 приведена зависимость B5.27) для перечис-
перечисленных выше ферромагнетиков, построенная на основании указанных
0,/00
0,075
^0,050
А
7
/
а
с
о
о»°9
А* .
ъ
' п /
д 2
9 3
в 4
' о S
л. В
ш 7
у. 8
о '
О
у.
1
0,05
0,10
.0,15
Рис. 25.33. Зависимость Дря/( ДрмагнH от (Is.— Is)/(ilo — Is) для
некоторых ферромагнетиков. Сплавы системы Ni— Си с концентрацией
Си (ват. %): 1 — 23,4; 2 — 28; 3—31,6:4—36,8; 5 — 42,4; 6 — соедине-
соединение Мп — Sb; 7 — Сг — Те; s — чистое железо (по данным работы
Кикоина и Игошевой [383]).
экспериментальных величин Дрн/А(рмагн)о; и (I2 — Л)/(Ло — /1). Из
рис. 25.33 видно, что линейный ход выполняется достаточно хорошо,
однако угловой коэффициент оказался равным не единице [как следует
из формулы B5.27],) а примерно 0,5, следовательно, формула B5.27)
принимает вид
Д(?магп)о
_ л
CIo-'Э
А «0,5 ±0,1.
B5.28)
Возможно, что отличие коэффициента А от единицы связано с тем, что
принятая гипотеза о том, что магнетосопротивление образца безразлично
к тому, меняется ли самопроизвольная намагниченность под действием
температуры или внешнего поля, слишком груба. Этот вопрос остается
открытым.
— 947 —
60*

В работе Клейнера [386] по теории пространственно-временной сим-
симметрии кинетических коэффициентов показано, что обычные соотношения
взаимности Онзагера, вообще говоря, неприменимы к случаю магнитных
кристаллов. Клейнер дает соответствующее обобщение онзагеровских
соотношений. Он показал, что все существующие в количестве 1651 трех-
трехмерные пространственные группы (с учетом обращения времени, т. е. вклю-
включая и магнитные группы) распадаются на три категории: а) 230 групп,
содержащих обращение времени как' элемент симметрии (случай немаг-
немагнитных кристаллов), б) 230 групп, не содержащих среди элементов сим-
симметрии обращения времени и в) 1191, содержащая обращение времени
в комбинации с пространственными преобразованиями симметрии. Кате-
Категории б) и в) относятся к магнитным кристаллам. Соотношения Онзагера
в своей обычной форме применимы к кристаллам, относящимся к кате-
категории а), вообще неприменимы к кристаллам категории б) и в модифици-
модифицированной форме применимы к категории в). За подробностями отсылаем
к работе Клейнера, где приведены таблицы для обобщенных соотноше-
соотношений взаимности для случая термогальваномагнитных коэффициентов.
4. Микроскопическая теория магнетосопротивления. Первая попытка построе-
построения квантовой теории магнетосопротивления в ферромагнетиках была сделана в работе
Вонсовского и Родионова [387] (см. также Вонсовский, Кобелев, Родионов [388],
Вонсовский, Родионов [389], Родионов [390], Родионов, Шавров [391]). В этих расчетах
на основе s — d-обменной модели переходных металлов (Вонсовский [232]) учитывалось
спин-спиновое взаимодействие между электронами и спиновой d-системой. При этом
принимался во внимание эффект, обусловленный только изменением энергетического
спектра носителей тока, вызываемым тепловыми или полевыми изменениями намагни-
намагниченности ферромагнетика. В результате расчета была получена теоретическая формула
B5.24) для кубических кристаллов и соответствующая формула для кристаллов гекса-
гексагональной симметрии (см. Родионов [390]). Постоянные* х;- (/ = 1, 2, 3, 4, 5) в первом
приближении в области температур, близких к точке Кюри, изменяются с температурой
как /|, и теоретическая оценка дает для них величину порядка 10—10, что нахо-
находится в достаточно удовлетворительном согласии с опытом (Дёринг [366], Зотов и Шур
[368]). В работе Вонсовского, Кобелева и Родионова [388] был дан полуфеноменологи-
полуфеноменологический вывод обобщенного закона Ома из кинетического уравнения при наличии маг-
магнитного спин-спинового и спин-орбитального взаимодействия (в приближении эффектив-
эффективного внутреннего поля). Получены также формулы для анизотропии четных эффектов.
Независимо квантовомеханическую теорию магнетосопротивления в ферромаг-
ферромагнетиках развивал Смит [392]. Его рассмотрение основывалось на моттовском объясне-
объяснении электросопротивления переходных металлов (Мотт [245]) и на предположении, что
только спин-орбитальная связь ответственна за магнетосопротивление. В связи с уче-
учетом спин-орбитального взаимодействия необходимо принимать во внимание отмечен-
отмеченное Вонсовским обстоятельство [6] (см. также Латтинджер [393]), что в силу чисто
мнимого характера оператора спин-орбитальной связи линейные поправки к энергии
электронов проводимости исчезают. Поэтому расчет следует проводить до второго
приближения для энергии и до первого для волновых функций. Расчет Смита [392]
не дал правильного описания анизотропии магнетосопротивления. Последнее удалось
получить Марсоччи [394], который обобщил расчет Смита. Однако достаточно разра-
разработанной квантовомеханической теории магнетосопротивления в ферромагнетиках пока
еще не существует. По этому вопросу см. также работы [404—413].
§ 6. Нечетные кинетические эффекты
Рассмотрим теперь нечетные эффекты в ферромагнетиках *).
1. Эффект Холла, а. Общие замечания и экспериментальные факты.
Совершенно особый характер носит поперечный нечетный гальваномаг-
гальваномагнитный эффект Холла (см. гл. 14) в ферромагнетиках. Уже в первой работе
по изучению холл-эффекта в Fe, Co и Ni Кундт [414] обнаружил, что
эффект Холла определяется не внешним магнитным полем, а скорее намаг-
намагниченностью. Он установил, что э. д. с. Холла в ферромагнетиках про-
пропорциональна углу вращения в эффекте Фарадея, а последний в свою очередь
пропорционален намагниченности образца. Эти исследования затем были
продолжены в работах А. Смита [415]. Вебстер [358] на монокристаллах
*) Обращаем внимание на обзорную статью Яна [342], книги Белова A957),
Белова и др. A965).
— 948 —

Иногда используются другие варианты этой формулы:
железа обнаружил анизотропию эффекта. Смит и Сире [416], Пью [417],
Пыо и Липерт [418], и наконец, в весьма детальном исследовании Кикоин
[419], см. также Дорфман и И. К. Кикоин A933) *) установили, что
зависимость холловского сопротивления рхол (гл. 14) от величины магнит-
магнитной индукции В в образце может быть представлена общей формулой
. B5.29)
B5.29a)
где коэффициенты Ro, Rs и Д7 связаны соотношением
4nR0 + R. = Ri. B5.296)
На рис. 25.34 показано, как экспериментально определяются эффектив-
эффективный обычный коэффициент Холла Ro и необычный или спонтанный коэф-
коэффициент Холла Rs. Первое слагаемое в пра-
правой части формулы B5.29) также называется
обычным, а второе — спонтанным или необыч-
необычным эффектом Холла. Из формулы B5.29)
видно, что с точностью до парапроцесса, ко-
который обычно очень слабый, при достиже-
достижении магнитного насыщения (I = Is) второй
член в правой части B5.29) приближенно по-
постоянен и равен RSIS. Графически его можно
определить, экстраполируя ветвь DF кривой
Рхол(-В) до оси ординат (см. рис. 25.34).
Тогда ордината OG приближенно дает вели-
величину RSIS. Экстраполяция начального уча-
участка кривой ОС до пересечения в точке Е с
прямой GEDF дает для этой точки абсциссу
со значением В = Hs + 4я/8 (Нs — поле
насыщения, которое обычно не очень велико,
Hs < 4я/8) и ординату ОК, равную /?0#s +
+ Dя/?0 + Rs) Is- Пренебрегая Hs по сра-
сравнению с /s, получаем для ординаты ОК
величину Rils. Таким образом, из графика рис. 25.34 и формулы
B5.296) видно, как можно по экспериментальным данным опреде-
определить коэффициенты Ro и Rs (или Д;). Так, например, в работе [423] по дан-
данным измерений Смита [415] для Ni найдена величина (типичная для немаг-
немагнитных <2-металлов)
Д(ОК1>=,_6,1-Ю-13 ом-см/э. B5.30)
Для коэффициента /?lNl) в Ni находим (при комнатных температурах)
R^i} = — 7,49-10'11 ом-см/гс, B5.30а)
а в Fe
Рис. 25.34. К экспериментальному
определению коэффициентов эффек-
эффекта Холла: обыкновенного йои спон-
спонтанного Rs (или Rj). Абсцисса OL
соответствует значению В я?. Hs -\~
+ inls; ордината OG прибли-
приближенно дает величину RSIS, я ОК —
величину Rjlg, Hs и Is — соот-
соответственно поле и намагниченность
насыщения.
)=+10,11-К)1 ом-см/гс.
B5.306)
Таким образом, постоянные Rs при комнатных температурах оказываются
на один-два порядка больше Ro. Весьма интересна температурная зави-
зависимость Rovl Rs. Кикоин [424] показал, что в парамагнитной области при
Т > в холловская разность потенциалов в основном также определяется
по формуле B5.29). Используя данные Камерлинг-Оннеса и др. [425]
*) Именно поэтому этот эффект в ферромагнетиках иногда называют эффектом
Холла — Кикоина. В работах [417, 419] была использована специальная методика
измерения эффекта Холла в ферромагнетиках, предложенная Пью [420]. В дальней-
дальнейшем ее усовершенствовали Волкенштейн и Федоров [421] (см. также [421а, 422]).
— 949 —

по измерениям магнитной восприимчивости и эффекта Холла на Pd, а также
свои измерения для сплавов Си — Ni и Pd — Ni при Т > в, он показал,
что коэффициент Холла
дВ
-R,
д! дН
дН
B5.31)
-500
-W
^-200
-100
о
Gd
/
/
>о—о—'
/
' в
1
1
1
1
1
t—
!
100 200 300
Температура Т, 'К
Рис. 25.35. Температурная зависимость
обыкновенного (До) и спонтанного (fis)
коэффициентов Холла Gd (Волкеп-
штейн и Федоров [451]).
где для восприимчивости dlldH использована формула Кюри —
Вейсса F.5).
Дальнейшие опытные исследования эффекта Холла в ферромагнит-
ферромагнитных d-металлах при различных температурах были проведены, например,
в работах [378, 384, 426-445]. Наиболее
детальные исследования в Fe, Co и Ni в
интервале температур от 4,2° К до «300° К
с одновременным измерением на тех же
образцах электросопротивления провели
Волкенштейн и Федоров [444]. Для Fe
результаты этого исследования позже по-
повторил и в основном подтвердил Дир [397]
на очень чистых монокристаллах (усах).
В Fe коэффициенты /?о и Rs положительны
во всем интервале температур, причем Rs
резко уменьшается с понижением темпера-
температуры. При водородных температурах оба
коэффициента становятся одинаковой ве-
величины и Rs при 40° К имеют минимум.
В Ni коэффициенты Ro и Rs отрицательны
и Rs имеет экстремум при 30° К. В Со при
комнатной температуре Rs > 0, a Ro < 0
и | Ro | > | Rs |. При Т < 200° К коэффи-
коэффициент Rs становится отрицательным и по
величине сравнимым с Ro- Экстремум Rs
лежит при Т ^ 80° К.
Анизотропию эффекта Холла в монокристаллах Ni и Со впервые
наблюдали Волкенштейн, Федоров и Широковский [446], а на усах Fe —
Дир [397]. Для г. ц. к. кристалла Ni анизотропия наблюдалась только
для Ro, которая при Т ->- 0° К исчезает. В кристалле Со с гекс. п. у.
решеткой оба коэффициента Ro и Rs анизотропны вплоть до 4,2° К. Опыт-
Опытные результаты качественно объясняются из общих соображений симме-
симметрии (см. [446]).
За последнее время были начаты систематические исследования эффек-
эффекта Холла в РЗМ. Первые работы [447, 448] были в основном проведены
в парамагнитной области и без одновременного измерения электросопро-
электросопротивления. Только в исследованиях Волкенштейна с сотрудниками [196,
197, 449—457] были проведены исследования в широком интервале тем-
температур (от 4,2° К до Т > 300° К) и в ряде случаев на монокристаллах Gd
[455] и Dy [457] (см. также работы [458—460].)
В качестве примера приведем некоторые результаты измерений Ro
и Rs для Gd [451]. Из рис. 25.35 видно, что с повышением температуры
Rs (T) непрерывно растет до точки Кюри. Выше 310—315° К постоянная
R™ равна —384 -102 ом.см/гс; она не меняется с температурой, но меньше
величины Rs при точке Кюри, полученной из области низких температур
(рис. 25.35) и равной —515 -10~12 ом-см/гс. При уменьшении температуры
ниже 310° К и приближении к точке Кюри («289° К) R™ резко возра-
возрастает, но расчеты дают большой разброс величин, и поэтому этот участок
на кривой рис. 25.35 показан пунктиром. Из рис. 25.36 видно, что
в.интервале температур 60—275° К имеется линейная связь между Rs
— 950 -

и квадратом самопроизвольной намагниченности
rls ~- ОС [Is \у) — *s(',)]' (^O.O^J
Из рис. 25.37 видно, что примерно в том же интервале температур
зависимость Bs (T) можно представить в виде
-р0J, B5.32а)
'Рту
\
\
Gd
\
\
WO
Рис. 25.36. Зависимость спон-
спонтанного коэффициента Холла
I Rs | в Gd от квадрата самопро-
самопроизвольной намагниченности 1§
(Волкенштейн и Федоров [451]).
где р — полное удельное электросопротивление,
а р0 — остаточное электросопротивление. Срав-
Сравнение этих данных с теорией будет проведено
ниже.
2. Теория. Общие замечания *). Аномалия
эффекта Холла в ферро- и антиферромагнетиках
с точки зрения классических представлений
остается совершенно непонятной. На первый
взгляд кажется, что в ферромагнетиках общее
выражение для поля Холла должно иметь
вид (см. гл. 14)
где /?aPv — обычный тензор коэффициентов
Холла, т. е. все отличие заключается в том,
что в выражении для силы Лоренца вектор на-
напряженности магнитного поля Н заменяется
вектором индукции li. Вместе с тем вся сово-
совокупность экспериментальных фактов показывает, что коэффициенты
у Н и 4я/ в B5,33) существенно различаются (во многих случаях
отношение коэффициентов Rs/R0 из формулы B5.29) порядка 102) и имеют
резкую температурную зависимость и при этом совершенно иную, чем
в немагнитных веществах. Феноменологическую
теорию анизотропии «нечетных» кинетических
эффектов в ферромагнетиках развил Акулов
[462] (см. также работу [388]). Наиболее общее
выражение для э. д. с. Холла в магнитно-упо-
магнитно-упорядоченных кристаллах имеет вид
Р / т> ТГ Т\ DO D 7 I DS(Q^M) 7" 7 р |
Л-/?з(афм)Г ,• /«г о/\
где L — вектор антиферромагнетизма (см. гл. 22),
а -R«g7' -^ap*M) и -^aPv*M' — соответственно коэф-
коэффициенты (тензоры) обычного спонтанного фер^
ромагнитного и антиферромагнитного эффекта
Холла [формула B5.29) есть частный случай
общего выражения B5.34)].
Таким образом, задача микроскопической
теории заключается в выяснении физической
природы параметров Rsa$M) и Rsapy^M)- Коэффи-
Коэффициент Ra$y имеет обычное лоренцевское про-
происхождение, но и он имеет некоторые особенности, связанные со специ-
спецификой электронной системы в магнитно-упорядоченных кристаллах.
В работе [388] на основании общих полуфеноменологических сообра-
соображений для температур, близких к точке Кюри, было получено
где Say (i = 1, 2, 3, 4) — тензоры, зависящие от Т и от кф, agv — пара-
*) Этот вопрос подробно изложен в диссертации Ирхина [461].
О
о
ШО'К
/
/
У
Рис. 25.37. Связь между спон-
спонтанным коэффициентом Холла
Ва и идеальным удельным элек-
электросопротивлением (р — р0) в
Gd. п — показатель степени в
(Р—I
— 951 -

метр внутреннего магнитного (спин-орбитального) взаимодействия,.
т — средняя относительная величина самопроизвольной намагничен-
намагниченности. Опять-таки из общих соображений в рамках s — d-обменной модели
(см. гл. 20) можно считать, что по порядку величины
еял .. юз _ П2
до ~ в 103
где вэл — температура вырождения электронов проводимости. Из срав-
сравнения с ходом электросопротивления р (Т) ферромагнетиков ниже точки
Кюри [см., например, B5.13)], можно предполагать, что знаки Say и Sa%r
с одной стороны, и Say и Say — с другой, противоположны. Поэтому
по крайней мере вблизи точки Кюри (Т ^ 9), где т2 сильно растет с пони-
понижением Т, величины i?ap7 и -ffagy должны уменьшаться.
Впервые Шубин (устное сообщение) в 1936 г. высказал предположе-
предположение, что особенности эффекта Холла в ферромагнетиках обусловлены
спин-орбитальной связью магнитных электронов и электронов проводи-
проводимости. Рудницкий [463] сделал попытку объяснить аномалию эффекта,
исходя из простейшего предположения об отклонении намагниченных
электронов проводимости в магнитном поле самого тока. Однако в сле-
следующей своей работе Рудницкий [464] показал, что этот эффект в 103 раз
меньше наблюдаемого. В этой работе Рудницкий сделал вывод о возмож-
возможности объяснить эффект механизмом спин-орбитальной связи магнитных
d-электронов в поле ионов решетки (по аналогии с ранее предложенным
Хулмом [465] механизмом для объяснения эффекта Фарадея в ферромаг-
ферромагнетиках). Величина эффективного магнитного поля, необходимого для
объяснения эффекта (порядка 10' э) соответствует энергии спин-орбиталь-
спин-орбитальной связи: [ХбЯэфф да 10~13 эрг (при Ядфф » Ю7 э).
Существенным моментом в работе [464], как показало дальнейшее
развитие теории, было указание на важность вопроса об усреднении спин-
орбитальной силы по объему кристалла и на возможность обращения
в нуль ее среднего значения. Однако в работе [464] не было дано объяс-
объяснения зависимости /?3типа B5.31), обнаруженной на опыте [419,421, 424].
Кроме того, в [464] поле #эфф вводилось на основании чисто классических
представлений без учета квантовой природы ферромагнетизма. Более
строгое решение в рамках s — d-обменной модели [249, 232] проведено
в работах Самойловича и Конькова [466] и Патрахина [467]. Однако в этих
исследованиях не учитывались свойства симметрии матричных элементов
оператора спин-орбитального взаимодействия, как это выяснилось в после-
последующих работах; из-за чистой мнимости этого оператора линейные
поправки к нему и к электронной функции распределения наинизшего
порядка по рассеянию отсутствуют *). Фактически это означает, что
результаты работ [466, 467] тождественно обращаются в нуль.
Несмотря на эту трудность, в настоящее время уже ни у кого не вызы-
вызывает сомнения, что физическая природа нечетных аномальных эффектов
в ферромагнитных металлах связана именно со спин-орбитальной связью
носителей тока в них. Обменное взаимодействие, приводящее к магнит-
магнитному порядку, независимо от того, вызвано оно прямой или косвенной
обменной связью элементарных магнитных моментов в кристалле, благо-
благодаря своей электростатической природе не может привести к «искривле-
«искривлению траектории носителей тока» (ларморовскому или холловскому «закру-
«закручиванию»).
Наличие трансляционной симметрии идеальных кристаллов приводит
к специфическим особенностям полосчатого энергетического спектра
носителей тока в металлах. Боккарт, Смолуховский и Вигнер [4681
*) На это обстоятельство было указано еще в работе [6],
— 952 —

с помощью теории групп показали, что в произвольных общих направле-
направлениях в пространстве волновых векторов электронов проводимости энерге-
энергетические полосы не вырождены. Вырождение наблюдается только в неко-
некоторых, особых направлениях, совпадающих, например, с осями симметрии
кристалла. Если предположить, что различные направления волновых
векторов электронов проводимости играют в кинетических явлениях
примерно одинаковую роль, то можно пренебречь эффектами от осевых
направлений и считать энергетические полосы в металлах невырожден-
невырожденными. На основе такого предположения Карплус и Латтинджер [469]
показали, что для ферромагнитных кристаллов с центрами инверсии
и невырожденной структурой энергетических полос не возникает линей-
линейных поправок от спин-орбитальной связи к энергии электронов проводи-
проводимости. Поэтому все нечетные эффекты, которые можно считать линейными
по спин-орбитальной связи, должны быть обусловлены соответствующими
изменениями волновых функций электронов проводимости.
Этот результат работы [469] является исходным для всей современной
микроскопической трактовки нечетных аномальных явлений в ферро-
ферромагнитных металлах. В самой этой работе были рассмотрены поправки
к энергии электрона во внешнем электрическом поле (т. е. к полевому
члену), возникающие при учете межполосных матричных элементов спин-
орбитального взаимодействия. Этот результат чисто динамический,
вызванный изменением действия электрического поля на магнитные
носители тока из-за спин-орбитальной связи. Поэтому возникающая
недиагональная компонента проводимости (см. гл. 14) оху не зависит
от механизма рассеяния. Направляя ток по оси х, а намагниченность
вдоль оси z, по определению имеем
Д.= —/- Чх\{4 . B5.35V
Обычно aXy <C °xx', тогда, учитывая, что аху ~ Is, находим
Rs = a'p%x, B5.36).
где а' — коэффициент, не зависящий от температуры.
Однако работа [469] весьма неполная и носит, кроме того, искусствен-
искусственный характер. Поправки к полевому члену кинетического уравнения
имеют весьма высокий (нулевой) порядок по амплитуде рассеяния носи-
носителей тока. В то же время вклады от членов столкновений в ток обратно
пропорциональны квадрату этой амплитуды. Поэтому следующие порядки
после борновского приближения в теории рассеяния могут дать вклады
в эффект Холла большие, чем полученный в работе [469] *).
3. Механизм рассеяния на примесях (немагнитных). Дальнейший прогресс был
достигнут Коном и Латтинджером [472], предложившими методику вывода кинетических
уравнений из уравнения движения матрицы плотности **). Используя разложение по
амплитуде рассеяния и итерационную процедуру, впервые был дан строгий вывод
кинетического уравнения для случая рассеяния на примесях, включая члены второго
порядка по амплитуде рассеяния. В работе Латтинджера [393] этот метод был применен
для расчета Rs при рассеянии подмагниченных носителей тока на примесях с малой кон-
концентрацией. При этом появились члены столкновения и для Rs была получена формула
B5.37>
*) Это утверждение справедливо для всех механизмов рассеяния (примеси, фоно-
ны, магнитные неоднородности). В работах Смита [392] высказывалось предположе-
предположение (как оказалось позже, ошибочное), что результат вычислений [469] должен точно
компенсироваться вкладом от членов столкновений, обращая тем самым весь эффект
в нуль. См. также критику работы [469] Адамсом и Блаундом [470], и работу [471]
**) Матричная запись уравнения для матрицы плотности со сложными гамиль-
гамильтонианами очень громоздка при учете приближений выше борновского. В связи с этим
Каган и Максимов [473] предложили изящную операторную запись уравнений, что
позволило резко упростить все расчеты. Этот же метод затем был использован в ра-
работе [474].
— 953 —

где р0 — примесное остаточное электросопротивление. В формуле B5.37) второе
слагаемое оказывается много меньше первого. Поэтому в первом приближении Rs ли-
линейно зависит от р0. Линейный член в B5.37) в более детальной записи имеет
следующий вид:
^РфФ^Ф Рожж ,9Г по.
18лД2 /s @) ' ^-° '
где А"ф — фермиевский волновой вектор, ф — средняя величина примесного потенциала
(т. е. отклонение от периодичности, вызванное примесным атомом), Д — величина
щели между электронными энергетическими полосами в кристалле, Рдфф — эффектив-
эффективная плотность энергетического заряда, обусловливающая спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие носителей тока [461]. Все эти величины усреднены по всей совокупности
энергетических полос, участвующих в переносе тока. Знак Л"рим зависит не только
от знака носителей и от знака спнн-орбнтальиого взаимодействия, но и от знака при-
примесного потенциала. Поэтому из B5.38) следует возможность изменения знака Л"рим
при изменении знака заряда ионов примеси. Кроме того, влияние примесей на Л"рпм
сильнее, чем на электросопротивление р07 поскольку Л"рим содержит амплитуду рас-
рассеяния в 3-й степени, а не во 2-й, как в р0. Величина Л"рим также очень чувствительна
к фермиевскому радиусу Дф. Заметим также, что механизм рассеяния на немагнитных
примесях может давать значительный вклад в спонтанный эффект Холла только из-за
сшш-орбитальной связи носителей тока, которая в свою очередь пропорциональна
после усреднения самопроизвольной намагниченности самих носителей. В d-металлах
этот механизм может играть существенную роль для заметно коллективизированных
rf-электронов, дающих существенный вклад в эффекты переноса. См. также [733].
4. Механизмы рассеяния на фононах. Рассеяние на примесях — весьма специаль-
специальный частный случай. Более важную роль в формировании величины и температур-
температурного хода Ло и Л„ могут играть другие механизмы рассеяния и в первую очередь
фононный механизм. Ирхпн и Шавров [475] исследовали этот механизм и показали,
что в связи с неупругим характером рассеяния, в отличие от рассеяния на примесях,
основную роль играет квадратичная зависимость Л8 от удельного электросопротив-
электросопротивления. Гуревич и Яссиевич [476] использовали фейнмановскую диаграммную тех-
технику и получили ту же зависимость; см. также работу [477]. В случае фононов,
как ц в случае примесей, кинетическое уравнение в борновском приближении не со-
содержит линейных по спин-орбитальному взаимодействию членов (кроме членов,
соответствующих некоторым симметричным точкам fe-пространства, в которых имеется
вырождение). Поэтому необходимо решать кинетическое уравнение в более высоких
порядках по амплитуде рассеяния. Рассмотрение асимметрии электроп-фоношюго
взаимодействия 7Эф [в 475—477] непоследовательно, ибо там использован оцпофопон-
ный гамильтониан. В [734] (см. также [735]) в операторе 7Эф учитывались и двуфо-
нопные члены. При учете одиофонопных членов Л*ои появится в 4-м порядке по 1'Эф.
При учете еще и двуфононных процессов рассеяния эффект появится уже в 3-м по-
порядке. На основе интерполяции грюнейзеновского типа (для р) для Л^1011 нашли:
вд/Г вд/Г
1 f Г
\ dx- \ dy
J J
0 0
X
ехр (* + ;/)-1 + ехр
где Р(х, г/)=A—х2) A —!/2) A_(-Зх2 + Зг/2 —7х2г/2). Из B5.39) следует, что при
Т > вд Л*ов ^ (Г/вдJ, а при Г « вд Л*он ^ (Г/вд)Ю. Кривая Л8 (Т) по B5.39)
хорошо описывает опытные данные для Fe, Ni и Gd для 0,25вд < Т < 0. Если это
рассматривать как указание на «фоионное» происхождение Л5, то для объяснения
постоянства Л8 при Т > в надо считать, что аномальный эффект Холла имеет раз-
различную природу выше и ниже точки Кюри.
5. Механизм рассеяния на магнитных неоднородностях. Как и в случае электро-
электросопротивления магнитно-упорядоченных металлов (см. § 3, п. 4), в спонтанном эффекте
Холла важную роль может играть механизм рассеяния носителей тока на магнитных
неоднородностях и магнитных примесях. Первый расчет этой задачи провели Абельский
и Ирхнн [478]. Они считали, что носители тока не подмагничены, а аномальная холлов-
ская э. д. с. возникает за счет анизотропного рассеяния при взаимодействии орбиталь-
орбитальных моментов носителей со спинами магнитно-активных электронов. Однако в рабо-
работе [478] не был получен основной линейный по магнитному сопротивлению член
в Л^агн ~ рмаГН из-за неточности использованного приближения (преждевременного
— 954 —

расцепления корреляторов). Кондо [286] решал такую же задачу в рамках s — d-мо-
дели [232], но с учетом лишь собственной спин-орбитальной связи локализованных
магнитно-активных электронов. Эта работа скорее относится к эффекту Холла в РЗМ.
Однако он не учитывал неупругой части рассеяния и оперировал с незамороженными
орбитальными моментами, произвольно предполагая существование невырожденного
основного орбитального состояния магнитно-активных электронов в переходных
d-металлах.
Результаты Кондо [286] были пересмотрены в другой работе Ирхина и Абельского
[480], решивших эту задачу в рамках s — d-модели с учетом двух основных типов спин-
орбптальной связи: собственного сппи-орбитального взаимодействия и взаимодействия
орбитального движения носителей тока со спинами магнитных электронов. Последние
при этом считались коллективизированными (но с очень узкой энергетической полосой,
чтобы их вкладом в проводимость можно было пренебречь), что автоматически приво-
приводило к замораживанию их орбитальных моментов (на это впервые указал Брукс [481]).
Эта задача также рассматривалась Каганом п Максимовым [473], а эффект от рассеяния
на парамагнитных примесях исследовали Гуревич и Яссиевич [482].
Особый интерес представляет исследование механизма рассеяния на магнитных
неодиородностях в области низких температур, где нельзя пользоваться приближени-
приближением с одним временем релаксации н где справедливо приближение спиновых волн. Пер-
Первая попытка расчета RfRrn в этом приближении принадлежит Волошиискому [483],
который учитывал лить взаимодействие орбитальных моментов носителей тока со спи-
спинами магнитно-активных электронов. Затем этот расчет был улучшен в работе Кагана
п Максимова [473]. В этих работах были получены различные результаты. В работе
[483] Л™агн ~ Г2, а в [473] Rf3TH ~ Г\ В работе Ирхина и Постовалова [487], в рам-
рамках работы [483], было рассмотрено рассеяние на спиновых волнах с учетом собствен-
собственной сшш-орблтальной связи магнитно-активных электронов и снова был получен другой
результат: RfaTH ~ Т3. Наиболее последовательно задачу решили Ирхин, Волошин-
ский и Абельский [474], которые выяснили причины расхождения между результатами
работ [483] и [473] (из-за ошибки в знаке в одном из членов кинетического уравнения
в работе [483]), а также обнаружили еще один вклад в Д^агн, связанный с учетом зави-
зависящих от энергии поправок к линейной по полю функции распределения. Окончатель-
Окончательный результат работы [474] дает: Д^аги — аТ3 -j- ЬГ4, где an b пропорциональны соот-
соответственно несобственной (между «магнитными» электронами и электронами проводи-
проводимости) и собственной (внутри системы «магнитных» электронов) спин-орбитальной
связи. Из этой формулы следует возможность немонотонного температурного хода
дмаш ПрП дцзкцх температурах, что наблюдалось и на опыте [444, 488] в Ni, Co и Fe
и некоторых их сплавах (Ni — Fe, Ni — Со и Ni — Си). Делались попытки одновре-
одновременного рассмотрения нескольких механизмов с учетом их возможной интерпретации
[476, 489, 490].
Для области температур, близких к точке Кюри (Г sg; 0), выражение для спон-
спонтанного коэффициента Холла имеет вид [474]
Рмагн (Т^в), B5.40)
Е МО)
где л°ФФ — эффективный параметр спин-орбитальной связи, ? — энергия Ферми.
В B5.40) знак плюс соответствует электронной, а минус — дырочной проводимости.
Формула B5.40) может быть представлена также в виде B5.31). Это согласуется
с B5.27), B5.28) и B5.14), B5.15) пли в более общей форме
Д*1агн = аGа_/2)! B5.41)
где 7 —средняя намагниченность, а /2 — среднее от ее квадрата.
В случае низких температур (сшш-волновое приближение) в работе [474] для
дмагп П0ЛуЧена следующая формула:
_з*_п_, A.d у — а Уе/ — Уе,
512 е'2кф У kde(k)/dk )к=кф (кае(к),Щк=кф/8@) ' ^°^>
где а и V — соответственно параметры собственного спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия магнитно-активных электронов п взаимодействия орбиты электронов проводи-
проводимости со спинами магнитно-активных электронов, Asd— интеграл s— d-обменного
взаимодействия.
6. Роль различных механизмов рассеяния и сравнение с опытом. Теоретический
анализ различных механизмов рассеяния в спонтанном эффекте Холла и его температур-
температурной зависимости открыли принципиальную возможность выяснить относительный
вклад каждого из этих механизмов. Кроме того, появилась добавочная возможность
также выяснить степень делокализации магнитно-активных электронов в кристаллах
с/-металлов. Механизм рассеяния на немагнитных примесях (см. п. 3) или фононах (п. 4)
дает существенный вклад в спонтанный эффект Холла лишь из-за собственной
— 955 —

спин-орбитальной связи носителей тока. Поэтому эти механизмы могут играть заметную»
роль лишь у ферромагнетиков с сильно коллективизированными магнитными электро-
вами. Наоборот, рассеяние на спиновых неоднородностях и магнитных примесях (п. 5>
в основном определяет эффект при локализованных магнитных электронах, например
н рамках s — d- или s — /-модели.
Кондорский [491] теоретически исследовал спонтанные эффекты Холла и Нернста
— Эттингсгаузена с добавочным учетом спин-орбитального взаимодействия носителей
тока с локализованными магнитными моментами ионов (аналогично работам [478]
и [480]). При этом автор полагает, что знак эффекта Нернста — Эттингсгаузена зависит
от того, какой из типов спин-орбитальной связи является главенствующим. В экспе-
экспериментальной работе [492] делается вывод, что магнитные электроны Fe, Co и Ni при-
принимают в токе активное участие. Однако не следует упускать из внимания и то обстоя-
обстоятельство, что знак эффекта зависит также от знака заряда носителей тока (дырки или
электроны), что вносит трудности в однозначность выводов о степени локализации
магнитных электронов *).
В общем случае (в пренебрежении интерференцией различных механизмов)
спонтанный коэффициент Холла можно записать в виде такой суммы:
Д8 = дприм + Дфон_|_дмагн1 B5.43)
где отдельные слагаемые даются соответственно формулами B5.38), B5.39) и B5.40)
(для Т s? в), или B5.42) (для Т < в).
Можно получить оценку порядков величины слагаемых в B5.43), если подставить
в перечисленные выше формулы значения универсальных постоянных, а для других.
величин принять следующие разумные оценки:
&ф.
СЛ1-1
108
Z, ярг
5-10-12
Д, эрг
10-12
Ф, эрг-cms
10-12.10-23 = 10-35
п, слг-з
1022
md
10
t
5
г.эФФ. эрг
Ю-"
Asd*
10-1
п_ч Рмагн
0
B5.44),
где р0, р и рМагн в ом-см, Is в гс; тогда Rs будет иметь размерность ом-см/гс; заме-
заметим, что размерность множителя [Ю-26 рэфф] = <ш-1 -см'1. По данным работы [440}
в случае чистого никеля р0 =к 0,07-Ю-6 ом-см и Д"рим «s 0,4-102 ом-см/гс. Для
согласия теоретической оценки B5.44) с этими данными требуется принять, что рэфф =в
яв 6-Ю26 см~3. Если теперь эту величину подставить в Л*он в B5.44) и использовать-
опытные значения Is @) яв 103 гс п р C00° К)=к 7 -Ю'6 ом -см для никеля, то получим
R$*0H =s 10-12 ом-см/гс при экспериментальном значении Rs C00° К) яв — 6-10~12
ом -см/гс. Хотя теоретическое значение Rf0H почти на порядок величины меньше опыт-
опытного, но это еще нельзя рассматривать как доказательство малости фононного вклада
в Rs из-за грубости проведенных выше оценок.
Оценка RfaTH при высоких температурах в случае Ni, если принять, что рмагн
в этой области температур составляет примерно 30% от полного сопротивления р, дает
Лмагн ^ 10-3-2-10-в/103 =к 2-Ю2 ом-см/гс, что также меньше опытного значения.
Таким образом, приведенные оценки не дают возможности выделить главный для спон-
спонтанного эффекта Холла механизм рассеяния при Т ^ 0.
Более уверенное разделение вкладов различных механизмов может дать сравне-
сравнение предсказываемого теорией температурного хода Rf0H и Л^агн с опытными данными
для Rs (T). Хугьенан и Ривье [488] нашли, что на чистом Ni и его разбавленных спла-
сплавах с Fe и Со хорошо выполняется закон линейной связи между Rs и р2, что как-будто
говорит за преобладание фононного механизма. Однако Волков и Козлова [494] в обла-
области высоких температур определили Rs (Т) для сплавов Ni — Mo и нашли, что зави-
зависимость B5.31) или B5.41) имеет место в большем интервале температур, чем зависи-
зависимость B5.39). Последняя была также найдена в работах И. К. Кикоина с сотрудниками
[383, 384]. Это указывает, что механизм спинового рассеянпя играет существенную роль.
*) Кондорский [493] предложил еще один метод разделения вклада фононного
и магнитного рассеяния в Rs по их различной зависимости от величины внешнего маг-
нитног поля (парапроцесс).
— 956 —

"Как уже отмечалось выше (п. 1), в случае Gd по данным работы [451], зависимости
<25.31) или B5.41) и B5.32) или B5.39) трудно различимы.
Более надёжное разделение вклада фононного и магнитного рассеяния можно
получить из измерений Rs (T) в парамагнитной области, поскольку рмагн = const
при Т > в, а полное сопротивление пропорционально Т, и поэтому Л*он ~ Г2. Попыт-
Попытки такого исследования для Ni имеются еще в работе И. К. Кикоина [424], а также в ра-
работе [495] и для Gd в работе [451]. Однако для окончательного доказательства постоян-
постоянства Rs при Т > 8 необходимо произвести измерения в более широком интервале
температур (Т > в), чтобы исключить влияние аномалий Rs (T) вблизи точ-
точки Кюри.
В области низких температур (Г < G) теория [см. B5.42)] предсказывает возмож-
возможность немонотонной зависимости RS(T) и даже изменение знака эффекта. Это наблю-
наблюдается и на опыте, например, для чистых металлов Ni, Co, Fe [440, 444] и для разбав-
разбавленных растворов Ni с Fe и Со [488] Rs (T) имеет экстремум, в то время как р (У) изме-
изменяется монотонно. Поэтому можно предполагать, что по крайней мере при Т < 0,
фононный механизм не является определяющим, ибо формула B5.39) качественно
справедлива и в этой области температур *). Формула B5.42) при разных знаках по-
постоянных собственной и несобственной спин-орбитальной связи А, и А/, действительно,
дает кривую Л^агн (Г) с экстремумом. Температура, отвечающая этому экстремуму,
может быть использована для количественных оценок этих связей, i
Весьма перспективным является дальнейшее развитие теории и эксперименталь-
экспериментальных исследований гальваномагнитных явлений в РЗМ (см. работы [484—486]).
7. Спонтанный эффект Холла в ферромагнитных полупроводниках. В работах
Абельского и Ирхина [499] развита теория спонтанного эффекта Холла для ферромаг-
ферромагнитных полупроводников. Как и в случае металлов, рассмотрены примесный, фонон-
ный и спиновый (магнитный) механизмы рассеяния для невырожденных полупровод-
полупроводников. При расчетах предполагается применимость кинетического уравнения (большая
длина свободного пробега), наличие носителей лишь одного типа и отсутствие вырож-
вырождения. Основным результатом является вывод, что температурный ход Rs (T) в полу-
полупроводниковых ферромагнетиках в основном определяется экспоненциальной зависимо-
зависимостью с той же энергией активации, что и удельное электросопротивление (т. е. Д"рим ~
~ ро, Rf0H ~ р и RfarH ~ рмагн, а не Rs (Г) ~ р2, как в случае металлов и как это
ошибочно предполагалось в работе [500]). Теория предсказывает также соотношения
для определения подвижности по опытным данным для Rs (T), Ro (T) и р (Г). Деталь-
Детальная проверка этих соотношений была бы весьма полезна не только для подтверждения
самой теории аномального эффекта Холла, но также для выяснения механизма прово-
проводимости в ферромагнитных полупроводниках и о существовании поляронного механиз-
механизма в эффектах переноса в них. Теория удовлетворительно согласуется с опытными
данными, полученными в работах [500—502] и отчасти в [503] для некоторых ферритов,
в тех случаях, когда выполняются указанные выше условия.
Туров, Щавров и Ирхин [504] исследовали температурную зависимость спонтан-
спонтанного эффекта Холла в ферритах с точкой компенсации (см. гл. 22). Обращаем внимание
также на работу Лемана [505], в которой исследовался эффект Холла в ферромагнит-
ферромагнитных примесных полупроводниках CdCr2Se4 p- и тг-типа и наблюдался ряд необычных
аномалий. Об исследовании эффекта Холла в ферритах см. также работы [506—510].
8. О коэффициенте обычного эффекта Холла JB0 в ферромагнетиках. В п. 2 ука-
указывалось, что хотя коэффициент R°a^y из B5.33) и B5.34) обычного эффекта Холла
в ферромагнетиках и имеет простое лоренцевское происхождение (см. гл. 14), но в фер-
ферромагнетиках он может обладать некоторыми особенностями, связанными со специфи-
спецификой электронной системы в магнетоупорядоченных твердых телах. Это обстоятельство
было отмечено еще в работе [388], а также в [440, 511]. Качественно его можно понять,
например, если воспользоваться простыми соображениями полярной модели Шубина
и Вонсовского [249] (см. гл. 20) [см. также [233, 234, 512] и Вонсовский A953)] об изме-
изменении числа электронов проводимости в зависимости от самопроизвольной намагни-
намагниченности.
Полярные состояния характеризуются числом квазичастиц «двоек»; среднее зна-
значение числа этих двоек s и играет роль добавочного эффективного числа электронов
проводимости в этой модели. Свободная энергия ферромагнетика в полярной теории
зависит от числа двоек, от числа ферромагнонов и от температуры. Равновесные значе-
значения эффективного числа электронов проводимости и самопроизвольной намагниченности
находится из условий минимума полной свободной энергии. Приближенно свободную
энергию можно представить в виде суммы двух членов — (pj (s) свободной энергии
электронов проводимости, зависящего от их числа s, и члена Ф2 (s, m) — свободной
энергии ферромагнетизма, зависящей от самопроизвольной намагниченности m =
= IS/ISO, числа электронов проводимости и обычных термодинамических параметров
(температура, давление), от которых, конечно, зависит и Ф1. Выше точки Кюри второй
*) Следует учесть, что э. д. с. Холла при низких температурах — нелинейная
функция индукции В [496] и важный вклад могут дать электронные столкновения
.(см. [735]).
- 957 —

член равен нулю, а равновесное значение числа электронов проводимости определяется
из условий минимума первого, слагаемого
Ф1Ы=0, ФП«о)>О. B5.45)
Ниже точки Кюри минимум свободной энергии имеет место при условии
Ф'1(г) + Ф'2G,т) = 0. B5.46)
Для температур, близких к точке Кюри, можно считать, что число электронов
проводимости мало отличается от своего равновесного значения выше точки Кюри,
и поэтому условие минимума B5.45) можно разложить по степеням разности As = s —
— s0, а тогда, если воспользоваться известным выражением Ф2 (см. гл. 18) для темпера-
температур, близких к точке Кюри, легко получить, что
акф
B5-47)
где а > 0 — постоянная, определяемая из A8.57), кБ — постоянная Больцмана. Таким
образом, с понижением температуры и с ростом самопроизвольной намагниченности
растет и число электронов проводимости As > 0.
Из элементарной теории металлов или соображений размерности легко показать
(см. гл. 14), что коэффициент Холла
Ro^~, B5.48)
где п* — эффективное число электронов проводимости. Заменяя в B5.48) п* на ге0 -+-
+ As, где ге0 — число электронов проводимости в ферромагнетике выше точки Кюри,
a As — изменение этого числа ниже точки Кюри (но близко к ней), в силу B5.47) для
постоянней Ло находим
Ло « *— • B5.49)
( + А2)
Таким образом, величина Ло должна убывать с ростом самопроизвольной намагничен-
намагниченности, т. е. с понижением температуры, что и наблюдается на опыте [постоянная А > 0,
см. B5.47)].
Более строгую количественную теорию обычного коэффициента Холла для о.ц.к.
решетки железа при температурах ниже 100° К на основе двухполосной зонной модели
развили Коттам и Стинчкомб [513]. Им удалось достаточно хорошо объяснить опытные
данные, полученные Волкенштейном и Федоровым [444], Диром [397], также Фнва-
цем [514] по резкой и немонотонной зависимости коэффициента Л^о от температуры
и концентрации примесей. За подробностями отсылаем читателя к оригинальной рабо-
работе. Хотя в этой работе все расчеты проделаны для случая Fe, в принципе эта двухполос-
двухполосная трактовка может быть с успехом использована для всех переходных d-металлов,
а возможно и для 4/-металлов (РЗМ). В этом расчете используется конкретный вид
поверхностей Ферми переходных металлов. В частности, в работе [513] используется
структура полосы и поверхность Ферми, рассчитанная для о. ц. к. Fe Вако и Яма-
шита [515]. Связь нечетных эффектов Холла, Нернста — Эттингсгаузена с формой
поверхности Ферми в d-металлах исследовал Кондорский [516]. Особенности кинети-
кинетических эффектов в антиферро- и ферримагнетиках рассмотрены в работах [408, 504,
593, 736].
Обращаем внимание также на работы Ву-динь Кы [517], в которых исследован
случай так называемого плоского эффекта Холла.
§ 7. Оптические, магнетооптические *) и некоторые
другие свойства ферромагнетиков
1. Общие замечания. При изучении оптических свойств ферромагнит-
ферромагнитных металлов, обусловленных взаимодействием их электронных систем
со светом, был также обнаружен ряд характерных аномалий. В частности,
в случае Fe [521] и Ni [522] температурный коэффициент отражательной
(или испускательной) способности в инфракрасной области спектра имеет
характерную для ферромагнетика аномалию с максимумом в точке
Кюри **).
*) Эти вопросы нашли освещение в монографии А. В. Соколова A961), а также
в сборнике [518] и обзорах [519, 520].
**) В работах [521, 522] лишь качественно показано существование этих анома-
аномалий, поскольку в этих работах не обращалось должного внимания на подготовку
поверхностей исследуемых образцов (см. [523, 524]).
- 958 —

Из аномалий ыагнетооптических эффектов в ферромагнетиках следует
упомянуть об эффекте Фарадея (вращение плоскости поляризации света
при прохождении его через вещество) и магнетооптическом эффекте
Керра (вращение плоскости поляризации света при отражении его от
поверхности намагниченного ферромагнетика).
Классическая электронная теория магнетооптических эффектов
(Гольдгаммер [525], Друде [526], Лорентц [527]) не дала возможности
понять механизм этих эффектов. Попытка построения квантовомеханиче-
ской теории этих эффектов Хулмом [465] на основе обменной теории ферро-
ферромагнетизма страдает существенным недостатком, так как в ней не учиты-
учитывается важное обстоятельство — поглощение света, без учета которого
нет уверенности в правильности результата всего расчета.
2. Оптические свойства ферромагнетиков в длинноволновой области
спектра. Первая попытка построения квантовой теории оптических по-
постоянных ферромагнетиков была сделана Вонсовским и Соколовым [528].
Из общей макроскопической оптики известно, что основные оптические
характеристики — показатели преломления и поглощения, отражатель-
отражательная и излучательная способности — определяются через диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость и удельную электропроводность *). Поэтому первой
задачей микроскопической теории оптических свойств вещества является
вычисление диэлектрической проницаемости и удельной электропроводно-
электропроводности для случая переменных полей. Этот расчет естественнее всего начать
для случая далекой инфракрасной области спектра по методу Друде —
Зинера [см., например, Вильсон A953)], но с учетом s — d-обменной
модели [232], т. е. рассматривая систему внешних (оптически наиболее
активных) электронов в ферромагнетике как смесь двух ферми-газов,
квазичастицы которых отличаются направлением своего спина и имеют
различную эффективную массу, зависящую от намагниченности внутрен-
внутренних d-электронов. Пусть число s-электронов с «правой» ориентацией спи-
спинов равно N+, их эффективная масса т+ и среднее время свободного
пробега т+ и соответственно для s-электронов с «левыми» спинами (JV_,
/и_ и т_). Тогда, согласно [232], для расчета диэлектрической проницае-
проницаемости е и удельной электропроводности а, как функций частоты света со
(так называемой световой проводимости), в рассматриваемом случае
длинных волн (инфракрасная область спектра), где можно учитывать
лишь «ускоряющий» эффект переменного поля на электроны проводимости
в металле (сот < 1 и /гсо < квТ) и с учетом s — d-обмена будут справедли-
справедливы обобщенные формулы Друде — Зинера
5] B5-50)
i) J. B5-51>
1, т+
где введено обозначение
Y± = t?. B5.52)
Величины т±, N± и т± даются соответственно формулами B0.80), B0.83)
и B0.93). Если ограничиться областью температур, близких к точке Кюри,
то можно считать самопроизвольную намагниченность у ферромагнетика
малой у = IJIso <C 1 (для относительной подмагниченности s-электро-
s-электронов у' = кху будем иметь у' <^ 1) и во всех расчетах пренебрегать степе-
степенями у и у' выше второй. Если воспользоваться известной связью между
*) Обычно зависимостью от магнитной проводимости даже в ферромагнетиках
в оптической области спектра, уже начиная с длинноволновых инфракрасных лучей,
можно практически пренебречь, так как при таких частотах магнитная проницаемость
мало отличается от единицы.
— 959 —

оптическими постоянными
где п — показатель преломления, к — коэффициент поглощения, R —
отражательная и I — излучательная способности; со, % и а — величины,
характерные для инфракрасной области спектра, где выполняется неравен-
неравенство со <^ у± = TjT и для хорошо проводящих металлов, у которых
<т/со ^> 1 и а/со ^> Ш, то в итоге получаем *)
2| \ . B5.54)
где ^4' и ^2 — постоянные, не зависящие от температуры и намагничен-
намагниченности.
В области температур, где проявляется ферромагнитная аномалия
(у =?. о^ дЛЯ длинноволнового излучения опытные результаты [521] каче-
качественно согласуются с полученными теоретическими формулами.
Дальнейшее развитие квантовая теория оптических свойств ферро-
ферромагнетиков получила в работах Волошинского и Болотина [529] и Воло-
шипского [530]. В этих работах с учетом влияния спин-орбитального
взаимодействия на механизм электрон-фононного и электрон-магнонного
рассеяния вычислен тензор комплексной световой проводимости ферро-
ферромагнитного металла. Эти расчеты показали, что, например, при рассмот-
рассмотрении процессов рассеяния электронов проводимости ферромагнонами
при не слишком низких температурах возможно ввести универсальное
время релаксации и поэтому сохранить формулы Друде — Зинера [типа
B5.50) и B5.51)], только под частотой затухания у± нужно понимать сум-
суммарную частоту затухания, зависящую от намагниченности. Через эту
зависимость и определяются «аномалии» оптических постоянных ферро-
ферромагнетиков в инфракрасной области.
3. Оптические свойства ферромагнетиков в видимой и ультрафиолето-
ультрафиолетовой области спектра. В области видимого и ультрафиолетового света
основную роль начинают играть эффекты, связанные не с ускорением
электронов проводимости в поле, а с квантовыми переходами. Вонсов-
ский и Соколов [см. § 23 в монографии Соколова A961)] сделали первую
попытку обобщения формул дисперсии света для оптических частот,
полученных в наиболее строгой форме для случая неферромагнитных
металлов Сергеевым и Черниховским [531], Шубиным [532] и Сергее-
Сергеевым [533].
Точно так же как в случае изолированных атомов и молекул, оптиче-
оптические спектры могут раскрыть нам структуру энергетических уровней; так,
оптические спектры металлических и полупроводниковых кристаллов
могут дать ценную информацию о структуре энергетических полос системы
коллективизированных электронов. В отличие от случая изолированных
атомов, здесь возникает ряд дополнительных существенных трудностей.
Например, все оптические исследования оказываются весьма чувстви-
чувствительными к качеству поверхности исследуемых образцов (из-за сильно
развитого скин-эффекта в области частот видимого света) и т. д. Эти
трудности пока не дали возможности получить для всех наблюдаемых
свойств однозначного объяснения. Однако в связи с общим прогрессом
теории металлов и новым переосмысливанием зонной теории (см. гл. 11),
оптические эксперименты в совокупности с другими (такими, например,
как эффект де Гааза—ван Альфена, циклотронный резонанс, магнетосопро-
тивление и т. п.) могут быть в принципе весьма ценным источником инфор-
информации о структуре электронного энергетического спектра в кристалле.
*) Подробнее см., например, Соколов A961).
— 960 -

Квантовые междуполосные оптические переходы в металлах наступа-
наступают при достаточно больших частотах, когда энергия кванта света стано-
становится сравнимой с шириной энергетических щелей А% между полосами
в области разрешенных правилами отбора переходов (Яш 3s АЩ при сот > 1
и ft со > квТ). Поглощая энергию кванта электромагнитного поля, кол-
коллективизированные электроны переходят на свободные уровни энерге-
энергетических полос, расположенных выше уровня Ферми, т. е. имеет место
внутренний фотоэффект. На опыте такие межполосные переходы обнару-
обнаруживаются по резкому возрастанию высокочастотной проводимости. При
обычном ускоряющем «внутриполосном» эффекте эта проводимость [см.,
например, формулу B5.51)] монотонно убывает с ростом со. Коэффициент
поглощения, отражательные и излучательные способности также обнару-
обнаруживают соответствующие особенности в своей зависимости частоты.
Несмотря на указанные выше технические трудности в оптических экспе-
экспериментах с металлами, они получают широкое развитие отчасти в связи
с появлением теоретических работ по расчету энергетического спектра
металлов, а главным образом в связи с открытием прозрачных ферро-
ферромагнитных диэлектриков, прозрачных не только в радио- и СВЧ-диапа-
зонах, но и для инфракрасного и видимого света *). В связи с этим появи-
появилась возможность сопоставления наблюдаемых особенностей оптических
спектров поглощения со структурой энергетических полос. Начало тако-
такому оживлению дали работы Эренрайха и др. [534, 535], в которых изме-
измерялись оптические свойства благородных металлов Си, Ag и Аи и прово-
проводилось сравнение результатов измерения с теоретическими расчетами
энергетических полос [536]. В этих работах, кроме внутри- и межполосных
переходов, учитывалось также возможное влияние от возбуждения плаз-
плазменных колебаний в электронной системе металла. Оптические свойства
ферромагнитных металлов в указанном плане были вперые исследованы
в работе Эренрайха и др. [537] (см. также обзор Эренрайха [538]). Фил-
липс [539] детально обсудил вид поверхности Ферми ферромагнитного Ni
на основе оптических данных. Ланхэм и Треерне (см. стр. 196 в работе [518])
провели измерение вещественной и мнимой частей комплексной диэлек-
диэлектрической проницаемости в ряду переходных d-металлов (Ti, V, Cr, Мп, .
Fe, Co, Ni, Zr, Nb, Mo, Pd, Hf, Та W, Pt) в интервале длин волн от 0,35,
до 12,0 мкм. Наиболее подробное исследование оптических свойств
переходных 3d- и ^-металлов (Ti, Zr, V, Nb, Cr, Mo, Fe, Co, Rh, Pd)
проведено в работах Кирилловой и др. [541—548]. В этих работах была
изучена частотная дисперсия диэлектрической проницаемости металлов
в инфракрасной, видимой и ультрафилетовой области спектра с энергиями
фотонов от 0,06 до 12 эв. Было обнаружено, что при энергиях, больших
0,3—0,7 эв, оптические свойства переходных металлов, в том числе
и ферромагнитных, в основном обусловлены межполосными переходами.
По особенностям частотной дисперсии высокочастотной проводимости
в инфракрасной области спектра при Йа « 0,05 — 0,5 эв обнаружены
низкоэнергетические квантовые переходы, свидетельствующие о наличии
узких энергетических щелей между полосами электронного спектра.
Из-за интенсивных межполосных переходов возбуждение плазмонов
в электронной системе переходных d-металлов происходит не на плазмен-
плазменной частоте свободных электронов, а при энергиях hu> я* 5—12 эв. В по-
последнее время при оптических исследованиях ферромагнитных d-металлов
начали испльзовать некоторые специальные экспериментальные методики,
сводящиеся, например, к измерениям изменения коэффициента отражения
металла при наложении периодически изменяющихся электрических по-
полей, упругих напряжений или температуры. Эти эффекты в известном смыс-
ле аналогичны магнетооптическим явлениям и дают дополнительно цен-
ценную информацию об электронном энергетическом спектре ферромагнитных
*) Подробнее см. обстоятельный обзор Кринчика и Четкина [519].
61 СВ. Вонсоеский —

металлов. Например, в работе Хануса и др. [549] при исследовании
спектра термоотражения ферромагнитного никеля при температуре жидко-
жидкого азота обнаружен ряд резонансных пиков в длинноволновой области
спектра, что позволило прецизировать модель поверхности Ферми никеля.
Начато также исследование оптических свойств РЗМ (см., например,
статьи Шюлера [550], Блоджетта и др. [551]).
Остановимся очень кратко на проблеме прозрачных ферромагнетиков
(см. обзор [519]). Синтезирование достаточно совершенных кристаллов
ферромагнитных диэлектриков (ферритов с различными кристаллографи-
кристаллографическими структурами, типа шпинели, граната и т. д.) и их широкое прак-
практическое применение привели к интенсивному развитию и физических
исследований этих веществ, что позволило обнаружить их особые опти-
оптические свойства, в частности их прозрачность и для видимого света (см.
одну из первых работ по этому вопросу [552]). К числу ферромагнитных
соединений, имеющих так называемые окна прозрачности (для области
частот, для которых глубина проникновения равна или более соответ-
соответствующих длин волн электромагнитного излучения), можно отнести
такие ферромагнитные диэлектрики: EuO, EuSe, CrBr2, СгС13, Сг13,
а также ферримагнетики: иттриевый феррит-гранат Y3Fe5012, редкоземель-
редкоземельные ферриты-гранаты B3Fe50i2 (R — символ трехвалентного иона РЗМ),
ферромагнетики с магнитно активными Зй-ионами RbNiF3, RbFeF3r
CdCr2Sn, CdCr2Se4 и, наконец, слабые ферромагнетики редкоземельные
ортоферриты RFeO3. Например, наиболее совершенный кристалл Y3Fe5012
в интервале длин волн 1,2—5 мкм (ближняя инфракрасная область) коэф-
коэффициент поглощения не превышает 0,07 см'1 [553, 554].
В ходе исследований прозрачных ферро- и ферримагнетиков было>
обнаружено и изучено много интересных физических явлений: анизотро-
анизотропия обменного расщепления и существование неэквивалентных мест
ионов РЗМ в кристаллах ферритов со структурой граната, бигиротроп-
ность *) прозрачных ферродиэлектриков [558], возможность магнетоопти-
ческого определения ориентации намагниченностеи магнитных подрешеток
[559], смещение края собственного поглощения ферродиэлектриков под
влиянием изменений температуры и внешнего магнитного поля [560],
изменение частоты ЭФР под действием инфракрасного излучения [561],
изучение характера обменной связи для отдельных соседств в кристалле
ферродиэлектрика (путем введения небольшого количества ионов РЗМ
и изучения тонкой структуры их спектра поглощения) [562].
Прозрачные ферродиэлектрики должны найти широкое применение
в технике, например, в управляющих устройстах типа гираторов, модуля-
модуляторов, оптических вентилей, модуляторов лазерного излучения и т. п.
4. Магнето оптические явления (эффекты Фарадея и Керра). В гл. 15
уже были подробно рассмотрены магнетооптические явления в магнитно-
неупорядоченных средах. Подробное описание магнетооптических явле-
явлений в ферромагнетиках и их феноменологической теории читатель найдет
в монографии Соколова A961); там же изложены элементы квантовой
теории (см. также его обзор [563]). Кроме того, обращаем внимание на
более ранние обзоры Шютца [564] и Лауэ [565]. Наиболее последователь-
последовательная феноменологическая теория магнетооптических эффектов в ферро-
ферромагнетиках развита в работах Соколова [563, 566], Болотина и Соколова
[567, 568], Кринчика с сотрудниками [569, 570].
Феноменологическое описание магнетооптических эффектов в магнит-
магнитно-упорядоченных телах производится в рамках электромагнитной теории
Максвелла. Особенностью этой задачи является то, что векторы D и В
связаны с Е и Н тензорными уравнениями
D=\\b'\\E и .В = || ц || JT, B5.55)
*) То есть одинаковый по величине вклад тензоров диэлектрической и магнитной
проницаемости в фарадеевское вращение.
— 962 —

где ||е'|| и || \i || — тензоры соответственно диэлектрической и магнитной
проницаемости, которые имеют вид
(
*е'& е' О I, ||>|| = tvQ2 V- 0 , B5.56)
о о е;/ \ о /
где е' = е — г4яа/а> — комплексная диэлектрическая проницаемость,
Qi — первый магнето оптический параметр (комплексная величина),
зависящий от намагниченности / (при (?i = 0 недиагональные элементы
тензора || е' || обращаются в нуль: г'12 = — е'21 = 0 и е' = г'о, т. е. тело
становится изотропным); jx = jx' + гju," — комплексная магнитная прони-
проницаемость, Qi — второй магнетооптический параметр (комплексная вели-
величина), также зависящий от / (при Q2 = 0 тело изотропно). Неравенство
нулю недиагональных элементов г[2 = —е'21 Ф 0 приводит к гироэлек-
трическим магнетооптическим эффектам, а |и,^2 = —р,'21 ф 0 — к гиро-
гиромагнитным 'магнетооптическим эффектам. Можно в самом общем виде
показать, что оптические и магнетооптические эффекты зависят от пара-
параметров Qi и (?2, от которых также зависят величины е' (Qi) и ц (Q2).
Последняя зависимость, а также частотная и температурная зависимость
могут быть определены лишь из микроскопической теории.
Вонсовский и Соколов [571] на основе s — d-обменной модели впервые
сделали попытку дать квантовомеханическое объяснение магнетооптиче-
ских явлений в ферромагнитных металлах. Они показали, что магнето-
магнетооптические характеристики — фарадеевское и керровское вращение
плоскости поляризации света, а также эллиптичность отраженного и про-
проходящего света, во-первых, пропорциональны результирующей намагни-
намагниченности, а во-вторых, коэффициенты пропорциональности, помимо того,
что они зависят от частоты света и температуры, являются функциями
самопроизвольной намагниченности. Теория также приводила к ряду
конкретных выводов о температурной зависимости и дисперсии магнето-
оптических явлений в ферромагнетиках.
Магнетооптические эффекты Фарадея и Керра в ферромагнетиках
являются частотными аналогами эффекта Холла (на это впервые в отчет-
отчетливой форме указал еще Дарвин [572]). Для частот видимого и ультра-
ультрафиолетового диапазона, при которых механизм внутриполосного ускоре-
ускорения носителей тока в кристалле не играет заметной роли, наиболее
последовательный квантовый расчет в рамках зонной модели предложил
Аргирес [573]. Учитывая влияние собственного спин-орбитального взаимо-
взаимодействия на волновые функции электронов, Аргирес получил замкнутые
выражения недиагональной компоненты тензора комплексной световой
проводимости. Эти выражения вполне аналогичны вкладам от межполос-
межполосных переходов в обычную световую проводимость. Поэтому без знания
законов дисперсии электронов различных энергетических полос и струк-
структуры последних, а также не имея информации о вероятностях соответ-
соответствующих переходов, не удается вычислить в явном виде дисперсию эффек-
эффектов Фарадея и Керра. Теория лишь указывала на немонотонную зависи-
зависимость этих эффектов от частоты, дала правильную оценку порядка их
величины и объяснила пропорциональность намагниченности. Купер [574]
приняв квадратичный закон дисперсии для электронов в энергетических
полосах и введя некоторые упрощающие предположения о вероятностях
межполосных переходов, получил явный вид для дисперсии эффектов
Керра. Структура энергетических полос при этом была взята для случая
Ni из работ [537 и 575]. При этом оказалось, что в соответствии с измере-
измерениями Кринчика с сотрудниками [576—580] и Мартина и др. [581], луч-
лучшее согласие получается с моделью Филлипса. По этому вопросу см. так-
также работы Доньяха [582, 583].
— 963 — 61*

Для инфракрасной области спектра, где, с одной стороны, еще нет
квантовых переходов, а с другой стороны, несущественна анизотропия
магнитной проницаемости, теория магнетооптических эффектов была
рассмотрена в работах Волошинского и Болотина {584], Волошинского
[585], Волошинского и Гусева [586], Гуревича и Яссиевич [587]. В этих
работах, используя представления, изложенные в § 6 о природе аномаль-
аномального эффекта Холла, были получены в явном виде дисперсии эффектов
Фарадея и Керра, а также их температурная зависимость для всех основ-
основных типов рассеивателей (фононы, примеси, магнитные неоднородности).
Дальнейшее уточнение теории с распространением на область больших
частот, проведено в работах Ведяева и Кондорского [588] (см. также [589]).
Эксперименты Афанасьевой и др. [590] (см., также [591, 592]) по изучению
дисперсии эффекта Керра в Ni в далекой инфракрасной области спектра
(до 20 мкм), по-видимому, указывает на преобладание вклада от электрон-
фононного взаимодействия. В работе [585] было также показано, что по-
поскольку спин-орбитальное взаимодействие обладает трансляционной
симметрией, то оно не может вызвать нарушения трансляционной
инвариантности, т. е. привести к циклотронному резонансу.
В заключение можно сказать, что магнетооптические явления магнит-
магнитно-упорядоченных сред представляют собой весьма важный раздел оптики
твердых тел, в которых остается еще много нерешенных проблем *).
5. Поглощение и рассеяние света магнитными возбуждениями кристаллов. За по-
последние годы появились интересные исследования новых оптических процессов в маг-
магнитных кристаллах, связанные с магнонами (магнонные, магнон-фононные и магнон-
экситонные процессы **). Здесь можно упомянуть следующие оптические процессы
в антиферромагнетиках: двухфононное поглощение света (см., например, [614, 615]); маг-
магнонные побочные полосы (или полосы спутники — side bands) [616, 617]; магнон-фонон-
ное поглощение [618—620]; рассеяние света с рождением одного или двух магнонов
[621, 622]. В настоящее время исследовано около тридцати побочных полос примерно
в десяти различных веществах: MnF2 [616, 617, 623—629], FeF2 [617, 630]; NiF2
[620, 631]; CoFe2, CoO [617, 632—636]; FeCO3 [637]; MnCO3 [638]; KMnF3 [639—642];
RbMnF3 [640-642]; CsMnF3 [643]; KNiF3 [644]; Cr2O3 [645].
Типичные магнонные побочные полосы (спин-волновые или экситон-магнонные
переходы) наблюдаются в кристаллах, в которых ионы расположены в центрах симмет-
симметрии. В этом случае, как известно, чисто электронные электрические дипольные перехо-
переходи запрещены в силу симметрии и часто наблюдаются магнитные дипольные переходы
с относительно слабой интенсивностью. Упомянутые 'выше побочные полосы соответ-
соответствуют электрическим дипольным переходам. Это обстоятельство совершенно анало-
аналогично обычным фононным побочным полосам. Известно (см., например, [646]), что нечет-
нечетные колебания решетки могут нарушить симметрию инверсии для распределения плот-
плотности электронного заряда в кристалле и поэтому вызвать возможность электрических
дипольных фононных побочных полос. В рассматриваемом случае можно несколько
упрощенно сказать, что магноны нарушают симметрию инверсии, и поэтому снимается
запрет на электрические дипольные переходы, интенсивность которых гораздо больше,
чем у чисто электронных магнитных дипольных переходов.
С появлением мощных лазерных источников света возникла реальная возможность
наблюдать рассеяние света на магнитных возбуждениях. Теория спин-волновых побоч-
побочных полос также получила уже некоторое развитие. Она основывается на двух главных
предположениях: 1) элементарные возбуждения в магнитно-упорядоченных кристаллах
имеют нелокальный характер (спиновые волны, экситоны Френкеля и т. п.). и 2) побоч-
побочные полосы возникают благодаря взаимодействию между двумя магнитными ионами.
*) Мы не имели возможности остановиться на особенностях этих явлений в обла-
области микрорадиоволн (см., например, работы [549, 594, 595]), в РЗМ и их соединениях
(см., например, работы [596—601]), а также на весьма интересных практических
применениях магнетооптических явлений в современной радиоэлектронике (см., напри-
например, работы [602, 603]), для исследования ферромагнитных доменов [см. гл. 23 в книге
Соколова A961)], структуры поверхностного слоя металлических образцов [см. рабо-
работу [604] и книгу Соколова A961)], для быстродействующих запоминающих элементов
с оптической и магнетооптической записью и считыванием информации [605]. Весьма
интересны исследования магнетооптических явлений в прозрачных ферромагнитных
кристаллах (например, в RbNiF3, см. работу Смоленского и др. [606]), а также в гра-
гранатах (см., например, [607, 608]).
**) Для подробного ознакомления с этим вопросом можно рекомендовать следую
щис обзоры: Еременко и др. (в сб. [613]), Селл [610], Флёри и Порто [611], Мориа
[612] (см. также работу Мюллер-Хартмана и Циттарда [609].
— 964 —

Теория оптических спектров в магнитно-упорядоченных диэлектриках была также рас-
рассмотрена Поповым [647]. Одновременно была также развита теория рассеяния света
спиновыми волнами. Басе и Каганов [648] первые рассмотрели задачу рассеяния света
спиновыми волнами, учитывая прямую связь магнона с магнитным полем фотона.
Однако этот механизм дает меньший поперечник рассеяния и иные правила отбора,
чем наблюдаемые на опыте. Эллиотт и Лоудон [649] предположили, что фотоны кос-
косвенным образом взаимодействуют с магнонами через спин-орбитальную связь. Этот
механизм был более подробно развит в работе Сена и Бломбержена [650]. Такой рама-
новский механизм рассеяния связывает электрические дипольные переходы для погло-
поглощения падающего фотона и испускания рассеянного фотона с необходимостью смеши-
смешивания волновых функций ? разными спиновыми квантовыми числами, обусловленного
спин-орбитальной связью. Более подробно с теорией и экспериментальными резуль-
результатами можно ознакомиться в упомянутых обзорах (см. также обзор Лаудона [651])
и цитированных оригинальных работах.. Здесь только отметим, что магнонные побоч-
побочные полосы обычно идентифицируются с помощью следующих четырех способов:
1) изучения формы линий поглощения и их поляризации; 2) изучения поведения
этих полос во внешних магнитных полях; 3) изучения поведения полос под влиянием
внешних напряжений; 4) исследования температурной зависимости.
6. Фотоэффект в ферромагнетиках. Кардуэлл [652] впервые провел исследования
фотоэлектрических и термоионных свойств ферромагнитного Ni и Fe. Он установил,
что: 1) вблизи точки Кюри наблюдается аномальный ход фотоэлектрического тока с тем-
температурой (излом кривой фототок — температура); эта аномалия не может быть объясне-
объяснена существующей теорией; 2) работа фотоэлектрического выхода растет с температурой.
Вонсовский и Соколов [653] показали, используя s — d-обменную модель, что
фотоэлектрический ток ферромагнетиков должен зависеть от величины их самопроиз-
самопроизвольной намагниченности. Вблизи температуры ферромагнитного превращения эта
зависимость носит простой квадратичный характер. Кроме того, они получили зави-
зависимость эффективной работы выхода фототока от величины самопроизвольной намагни-
намагниченности и ее ферромагнитную аномалию.
Дальнейшее развитие эта теория получила в работе Векслера [654] [см. также
[655] и монографию Соколова. A961)]. Исследования фотоэффекта в ферромагнетиках
были проведены также в работах [656—659].
7. Термо-э. д. с. в ферромагнетиках. Термоэлектрические явления в ферромаг-
ферромагнетиках исследовали Дорфман. Янус и Кикоин [661], а также Дорфман, Янус, Григо-
ров и Черниховский [660]. Квантовомеханическую теорию этих явлений на основе
s — d-модели для случая температур, близких к точке Кюри, дал Резанов [236]. В рабо-
работах [662] была развита теория термо-э. д. с. в ферромагнетиках, связанная с рассея-
рассеянием электронов проводимости на равновесных магнонах, а в работе [663] учтен эффект
увлечения электронов магнонами и взаимного увлечения электронов и магнонов.
§ 8. Сверхпроводимость в металлах с магнитными ионами
и влияние на нее магнитного порядка
1. Общие замечания. В гл. 21 подробно рассмотрен вопрос о влиянии магнитно
активных примесей в кристаллах на магнитные свойства. Здесь же будет выяснено их
влияние на сверхпроводимость и обычную электропроводность нормальных металлов.
Магнитно активные ионы переходных d- и /-металлов могут влиять на сверхпроводи-
сверхпроводимость металлов, во-первых, своим магнитным полем и, во-вторых, в результате обмен-
обменного взаимодействия с электронами проводимости.
Влияние внутреннего магнитного поля впервые рассмотрел Гинзбург [664] при
обсуждении возможности сосуществования сверхпроводимости и ферромагнетизма.
Согласно [664] появление сверхпроводимости в ферромагнетике можно ожидать только
при условии 4я/8 < Нкм, где //км — критическое магнитное поле массивного образца
(см. гл. 8). Большая самопроизвольная намагниченность Fe, Co, Ni и Gd препятствует
обнаружению в них сверхпроводимости. Поэтому в ферромагнетиках со значительной
величиной 7S (см. гл. 23), появления сверхпроводимости можно ожидать только в тонких
образцах, у которых Н^ > Нкм.
Важность учета s — d- и s — /-обменного взаимодействия при рассмотрении сверх-
сверхпроводимости в металлах, содержащих ионы переходных или редкоземельных элемен-
элементов, была указана Вонсовским и Свирским [665]. Возникновению сверхпроводимости
в Fe, Со и Ni, согласно [665], препятствует также их — d-обменное подмагничиванио
электронов проводимости, которое затрудняет образование синглетных куперовских
пар (см. гл. 8) из электронов проводимости с антипараллельными проекциями спина.
Поэтому сосуществования сверхпроводимости и ферромагнетизма можно ожидать
только при выполнении неравенства А8ц <С ^Шд *), гДе ^sd — энергетический пара-
параметр s — d-обмена, а Юд — частота Дебая.
*) Последующие, оценки [666, 667] показали необходимость малости As<i по срав-
сравнению с е0 @) = йюд ехр [—i/g (?) V], где е0 @) — величина энергетической щели
по теории БКШ при Т = 0° К (см. гл. 8), g (?) — плотность состояний у поверхности
Ферми, V — параметр электрон-фононного взаимодействия.
— 965 —

2. Опытные факты. Экспериментально влияние s — /-обмена на сверхпроводи-
сверхпроводимость было впервые о.бнаружено в работе [668] при изучении влияния примеси редко-
редкоземельного металла A ат. %) на критическую температуру вс11 сверхпроводящего лан-
лантана (рис. 25.38). Авторы предполагали обнаружить понижение всп, обусловленное
влиянием магнитного поля редкоземельных ионов. Однако наблюдаемое понижение
\
\
\
1
1
1
L
I
s
1
S
\
А
La
/
/
1/
|
/
/
/
1
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Ц Ho Er Tm Vb Lu
57 58 59 60 61 61 63 S4 65 66 67 68 69 70 71
Атомный номер Z
12
10
0
к
Г
/
7
/
(
r—i
/
)
\
X
1
J
s
)
I
1
1
1
\
j
I
\
\
/
f
и
\
A
\
\
V
\
[f
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\\
7/2
1/2
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dp Ho Er Tm Vb Lu
57 5S 59 60 61 62 B3 64 65 66 67 68 69 70 7/
Атомный номер Z
О
Рис. 25.38. Изменение критической темпера-
температуры сверхпроводящего перехода всп у La при
введении в кристалл 1 ат% примеси РЗМ
(Маттиас и др. [668])-
Рис. 25.39. Рассчитанные эффективные магнит-
магнитные моменты Иэфф (кривая I) и спины S (кри-
(кривая II) редкоземельных элементов.
вСп коррелирует с величиной спина 4/-оболочкп (кривая II рис. 25.39), а не с величи-
величиной ее эффективного магнитного момента Иэфф- Это привело к выводу, что в данном слу-
случае главным фактором, вызывающим понижение 6СП, является s — d-обменное взаи-
взаимодействие между электронами проводимости лантана и электронами недостроенных
^ 4/-оболочек растворенных редко-
16
Ш4
Ш3
О
V
\
\
La-Gd
У
I
9 10
земельных ионов.
В работе [668] было также
рассмотрено влияние на всп лан-
лантана концентрации примеси Gd.
При увеличении этой концентра-
концентрации от 0 до 1 ат.% всп раствора
уменьшается линейно вплоть до
температуры 1° К (рис. 25.40).
Начиная с 2,5 ат.% Gd был об-
обнаружен ферромагнетизм раство-
раствора *) La — Gd, точка Кюри ко-
которого в повышается с ростом
концентрации Gd (рис. 25.40).
Магнитный порядок в этом раство-
растворе обусловлен, очевидно, s — /-об-
/-обменом, так как волновые функ-
функции различных 4/-оболочек прак-
практически не перекрываются.
С другой стороны, имеются
факты, показывающие, что в системах, электронная конфигурация которых благо-
благоприятна для возникновения сверхпроводящего состояния, в то же время имеются
условия, благоприятные для появления магнитного порядка, обусловленного s — /-об-
/-обменом. И наоборот, в системах, не обладающих сверхпроводимостью, оказывается
затрудненным и возникновение магнитного порядка. Так, например, согласно [668],
добавление 10 ат.% Gd к Y, не являющемуся сверхпроводником, не приводит к фер-
ферромагнетизму. Однако добавление Gd к сверхпроводнику Тп приводит к возникно-
возникновению ферромагнетизма. Германиды и рутениды редких земель оказываются либо фер-
ферромагнетиками, либо сверхпроводниками. С другой стороны, в силицидах редких зе-
земель (за исключением PrSi2) не обнаруживается ни то ни другое явление (см.
табл. 25.2). Таким образом, хотя в германидах и рутенидах РЗМ оба явления и не
реализуются одновременно, тем не менее ясно, что в одних и тех же соединениях име-
имеются условия, благоприятные для возникновения или того или другого явления, или
их обоих.
2 3 4 S 6 7 8
Концентрация Gd, ат.%
Рис. 25.40. Температуры сверхпроводящего перехода 0„
(кривая I) и точки Кюри В (кривая II) твердых раство-
растворов Gd в La (Маттиас и др. [668])-
*) В работе [669] было высказано предположение, что в растворе La—Gd упо-
упорядочение носит не ферромагнитный, а антиферромагнитный характер. Однако Клейн
[670] оспаривает это.
966 -

Сосуществование сверхпроводимости и ферромагнетизма было обнаружено в рабо-
работе [671] в системе (CeRu2 — GdRu2). Из рис. 25.41 видно, например, что в сплаве с 8%
¦GdRu2 при температуре 5° К возникает ферромагнетизм, а при понижении температуры,
вблизи 3° К наблюдается переход в сверхпроводящее состояние при налиичии феррома-
ферромагнетизма. Пересечение кривых всп и в и соответственно область сосуществования
Таблица 25.2
Температуры сверхпроводящего
перехода всп п точки Кюри в °К
рутенидов редкоземельных металлов,
Sc и Y
(из работ Маттиаса и др. [668])
¦обоих состояний были обнаружены также в
системе Y^x Cdx Os2 [671].
Несмотря на экспериментальное обнару-
обнаружение области составов сплавов, в которой од-
одновременно реализуются сверхпроводимость
и ферромагнетизм, результаты работы [671]
не позволяют решить вопрос, реализуются ли
эти состояния в одних и тех же элементах объе-
объема образца или, наоборот, в различных сосед-
соседних элементах объема (что соответствовало бы,
например, «криптоферромагнитной» структуре
[673] со спиральной волной спиновой плотно-
плотности с периодом порядка 50 А [674, 675]). Более
¦определенную информацию дают калориметри-
калориметрические и магнитные [676] исследования, со-
согласно которым в сверхпроводящих ферромаг-
ферромагнетиках сверхпроводимость не связана с от-
отдельными мелкими участками, а охватывает,
по-видимому, весь образец.
Влияние s — d-обмена на сверхпроводимость исследовано, например, в работах
1677—680]. В работе [677] рассмотрено влияние примесей Cr, Mn, Fe, Co и Ni на всп
титана. Предполагалось, что добавление атомов с недостроенными Зй-оболочками
приведет, по аналогии со случаем атомов с недостроенными 4/-оболочками, к пониже-
понижению <ЭСП растворителя. Однако в действительности было обнаружено значительное
повышение всп. Аналогичный рост всп был обнаружен также в работе [678] при
растворении Fe, Co и Ni в кристалле Zr. Одно из возможных объяснений этого явления
Сверхпро-
Сверхпроводники
ScRu2
YRu2
LaRu2
CeRu2
®сп
1,67
1,52
1,63
4,9
Ферромаг-
Ферромагнетики
PrRu2
NdRu2
ErRu2
e
40
35
13
^ " 1 2 3 if 5 6 7 3 9 Ю
Концентрация GdRu2, am. %
Рис. 25.41. Зависимость температуры сверхпрово-
сверхпроводящего перехода (кривая 1) и точки Кюри в (кри-
(кривая II) твердых растворов (Се, Gd) Ru2 от кон-
концентрации GdRu2 (в ат.%) (Маттиас и др. [671]).
J
¦^
—7~
(Ce,Gd)Ru
s
У
г
<
4
У
—
х
\
\
\
к
---
с.
V
____
t
/
V
'-120
Т1 V Сг Mn Fe Co N1 Си
ZZ 23 2k 25 26 27 28 29
Атомный номер лримеш1
Рис. 25.42. Значение производной decn/dc
(всп — температура сверхпроводящего пере-
перехода) для V при добавлении к нему приме-
примесей (с концентрацией в 1 ат.%) других пе-
переходных з<г-металлов (Мюллер [679]).
заключается в предположении об увеличении числа валентных электронов при рас-
растворении парамагнитных или ферромагнитных примесей. Однако примеси Re, Ru и Rh,
обладающие таким же количеством валентных электронов, как и Mn, Fe и Со.
но не имеющие заметного магнитного момента, дают меньшее увеличение всп, чем Мп,
Fe п Со. Поэтому в работе Маттиаса [677] было высказано мнение, что дополнительное
повышение всп обусловлено особым, отличным от индуцированного фононами взаимо-
взаимодействием электронов проводимости, специфическим для систем, содержащих магнит-
магнитные ионы.
При добавлении Fe, а также других переходных Зй-элементов к V было обнаруже-
обнаружено [679] линейное уменьшение 0СП с ростом концентрации примеси. Значения произ-
производной d@cn/dc (с — концентрация) при добавлении Ti, Cr, Mn, Fe, Co, Ni и Си к V
изображены на рис. 25.42. Поскольку экспериментальные точки ложатся на кривую
с минимумом, напоминающую кривую рис. 25.38 для случая s — /-связи, можно было
предположить, что причиной понижения d@cn/dc (дополнительного по сравнению
с пунктирной прямой рис. 25.42) является s — d-обменная связь между электронами
проводимости V и локализованными Зй-электронами. Однако это предположение было
•отвергнуто в работе [681] в связи с тем, что даже при больших концентрациях Fe в V,
Ti или Nb не была обнаружена температурная зависимость магнитной восприимчиво-
восприимчивости, которая указывала бы на наличие локализованных магнитных моментов.
— 967 —

3. Теоретическая интерпретация. Первое качественное объяснение обнаруженно-
обнаруженного в [668] понижения всп у сверхпроводящего La при добавлении примесей редкозе-
редкоземельных элементов предложил Херринг [682], который считал, что s — /-обменная связь
приводит к «подмагничиванию» электронов проводимости вблизи ионов магпитной
примеси и соответственно к понижению свободной энергии системы. Это понижение
оказывается более значительным для нормального, чем для сверхпроводящего состоя-
состояния, так как последнее более устойчиво (благодаря наличию энергетической щели)
по отношению к переходам электронов проводимости под влиянием внешнего возмуще-
возмущения. Поэтому разность свободных энергий нормального и сверхпроводящего состояний
уменьшается с ростом концентрации магнитных примесей, что должно привести
к уменьшению всп.
Количественно гипотеза Херринга [682] была рассмотрена в работах [683, 684],
где выяснилось, что, несмотря на простоту этого объяснения, оно связано с рядом труд-
трудностей. В частности, Сул и Маттиас [683] получили квадратичную зависимость для спада
всп с ростом концентрации примеси с (при малых с), что противоречит, например,
результатам экспериментов работы [668], где, как указывалось выше, наблюдалось
линейное уменьшение всп вплоть до 1° К. Линейную зависимость уменьшения всп от с
получил при малых с Бальтеншпергер [684]. Однако его рассмотрение, так же как
и в [683], приводило к выводу, что переход из нормального в сверхпроводящее состоя-
состояние должен быть первого рода при наличии магнитных примесей, что находится в про-
противоречии с результатами опыта [674].
Другой подход к проблеме влияния магнитных примесей на веп, основанный
на учете времени релаксации т, обусловленного обменным рассеянием электронов про-
проводимости спинами d- (или /-) оболочек, дали Абрикосов и Горьков [685]. Они считают,
что s — d-обменное или s — /-обменное взаимодействие приводит к конечной величине
времени жизни куперовских пар из электронов проводимости с антипараллельными
проекциями спина, что ослабляет сверхпроводящую корреляцию и соответственно
уменьшает всп. С ростом концентрации магнитных примесей происходит уменьшение
величины т, что приводит к уменьшению вСп с увеличением с. При малых значениях с
уменьшение всп происходит, согласно [685] и в соответствии с экспериментами [668],
линейно; для больших с падение всп происходит быстрее, и когда время релаксации
т достигает некоторого критического значения ткр, при котором величина ?i/tkp стано-
становится равной половине ширины энергетической щели чистого сверхпроводника
(экстраполированной на Т = 0е К), то величина всп обращается в нуль *).
Важным следствием работы [685] является вывод о возможности «безщелевой»
сверхпроводимости, т. е. сверхпроводимости при нулевой щели в энергетическом спек-
спектре возбуждений, но при отличном от нуля параметре сверпроводящего порядка.
Согласно [685] «безщелевая» сверхпроводимость появляется при концентрации с0 я«
«« 0,91 скр, где скр — концентрация парамагнитной примеси, при которой ширина
щели обращается в нуль. Такой сверхпроводник может поглощать кванты любой энер-
энергии и его теплоемкость должна линейно зависеть от Т. Этот вывод был качественно под-
подтвержден в работе [686], где было обнаружено, что энергетическая щель In уменьшает-
уменьшается с ростом концентрации Fe значительно быстрее, чем критическая температура
(рис. 25.43). При этом, как видно из рисунка, эксперименты по методу тунельной кон-
константы [686] указывают на исчезновение энергетической щели при с0 як 0,8 ат.% Fe,
в то время как измерения электрического сопротивления указывают на обращение всп
в нуль при большей концентрации скр «к 2 ат.% Fe. Хотя отношение со/скр оказывается
при этом меньше значения 0,91, вытекающего из теории [685], тем не менее, учитывая
экстраполяционный характер оценок работы [686], согласие теории с экспериментом
следует считать вполне удовлетворительным также и в количественном отношении.
Кроме того, Фульде и Маки [687] считают, что это расхождение объясняется, по-ви-
по-видимому, магнитным упорядочением моментов примесных атомов (см. также [737]).
Теории [682—685] не дают объяснения обнаруженному в [677] росту вС11 титана
при добавлении к нему примеси переходных элементов. Как указано выше, для интер-
интерпретации результатов опыта [677] оказалось необходимым допустить существование
дополнительного взаимодействия электронов проводимости, специфического для метал-
металлов, содержащих парамагнитные ионы. Дополнительное взаимодействие может воз-
возникать, например, при наличии ферро- или антиферромагнитного упорядочения
спинов d- или /-оболочек путем испускания и поглощения электронами проводимости
виртуальных спиновых волн. В случае синглетных куперовских пар электронов про-
*) Соответствующее уравнение для всп можно привести к виду
Это уравнение при т ->- оо переходит в выражение, полученное в теории БКШ (см. гл. 8)г
и дает обычное значение для всп чистого сверхпроводника. При т < оо для постоян-
постоянства левой части этого уравнения необходимо, чтобы с уменьшением т уменьшалась
и величина критической температуры всп. При Ь/ткр = A/2) е0 @) величина всгь
в правой части этого уравнения обращается в нуль.
— 968 —

2
0
водимости взаимодействие, индуцированное виртуальными спиновыми волнами,,
имеет как для ферромагнетика [688], так и для антиферромагнетика [689] характер-
отталкивания и, следовательно, препятствует сверхпроводимости. В случае триплет-
ных пар электронов проводимости взаимодействие, индуцируемое виртуальными спи-
спиновыми волнами может, согласно [690] носить характер притяжения и, следовательно,
способствовать сверхпроводимости. В этой связи в [691] было высказано предположе-
предположение, что рост всп титана может быть обусловлен притяжением триплетных пар элек-
электронов проводимости, индуцированным виртуальными спиновыми волнами. Однако
в условиях опыта [677] при концентрации 3d-
ионов, достигающей 30%, ферромагнитное
упорядочение не возникало. Поэтому в опыте
[677], по-видимому, отсутствовала возмож-
возможность взаимодействия электронов проводи-
проводимости посредством спиновых волн.
Другой механизм взаимодействия элект-
электронов проводимости, не связанный с наличием
дальнего ферро- или антиферромагнитного по-
порядка, предложили Вонсовский и Свирский
[692]. Согласно [692, 693] виртуальные воз-
возбуждения мультиплетности (т. е. величины
спина или полного момента количества движе-
движения) d- или /-оболочек индуцируют отталки-
отталкивание синглетных пар электронов проводимо-
проводимости и тем самым способствуют понижению всп.
Этим можно, в частности, объяснить, каким
образом примесь Ей, у которого в основном
состоянии полный момент количества движе-
движеч
ч
ч
А
О
ч
1
г
ч
In
ч
S—Si
Ч
ч
0,2 ОЛ 0,6
Концентрация Fe
¦
ч
0
ч
8
О 1
J
W
ния равен нулю, понижает всп лантана на-
Рис. 25.43. Температура сверхпроводящего,
перехода всп (прямая 1) и энергетическая
щель Д (прямая 2) пленок In при различ-
различных концентрациях примеси Fe (Рейф-
и Вольф [686]).
равне с другими редкоземельными примесями
(рис. 25.39), в которых в основном состоя-
состоянии этот момент отличен от нуля. В случае
триплетных пар электронов проводимости возбуждения мультиплетности d- или /-обо-
/-оболочек могут, согласно [692, 693], индуцировать их притяжение и тем самым способ-
способствовать росту всп.
Следует, однако, учесть, что образование триплетных пар электронов проводимо-
проводимости может в ряде случаев оказаться энергетически менее выгодным, чем образование
синглетных пар электронов проводимости (так как переходы синглетных пар определя-
определяются четными, в то время как переходы триплетных пар определяются нечетными
матричными элементами). В этих случаях дополнительное притяжение синглетных пар
электронов проводимости может индуцироваться виртуальными возбуждениями уров-
уровней d- или/-оболочек, расщепленных кристаллическим полем [694]. По рассмотренной,
здесь проблеме см. также обстоятельный обзор Абрикосова [695].
§ 9. Эффект Кондо
1. Опытные данные. В ряде экспериментальных исследований начала 30-х годов
[696—699] было обнаружено, что в нормальных и благородных металлах Аи, Ag, Си,
Mg, Zn удельное электросопротивление как функция температуры р (Т) довольно часто
имеет ясно выраженный минимум в области достаточно низких температур D,2—20° К)
ниже которого иногда наблюдается максимум. Достаточно подробное описание экспе-
экспериментальных данных можно найти в специальных обзорах по этому вопросу Ван дев
Берга [700], к которым мы и отсылаем читателей. Зависимость р (Т) и магнитосопротив-
ления Ар/рр = / (Л измерялись в разбавленных растворах переходных 3d-(Cr, Mn,
Fe, Со и Ni), Ad- (Mo, Ru, Rh, Pd) и 5d-(Ta, Ir, Os, Re) металлов в Си, Ag и Аи.
Алексеевский и Гайдуков [701] на основе своих измерений на образцах Аи с исключи-
исключительно малой примесью Fe установили для большого интервала температур эмпириче-
эмпирическую формулу
B5.57>
где р4 (Г) — нормальная зависимость (^ р0 + аТ% А- ЬТЪ), а р2 — некоторая постоян-
постоянная. При более низких температурах р приближается к конечному пределу р0 (может
также проходить через максимум).
2. Теоретическая интерпретация. Повышение величины р с понижением темпера-
температуры указывало на существование какого-то специфического механизма рассеяния,
интенсивность которого растет с понижением Т. Вначале поиски этого механизма были
безуспешны. Только в 1964 г. Кондо [702] впервые высказал мысль, что указанная
низкотемпературная аномалия [минимум на кривой р (Т)] в нормальных металлах
обусловлена наличием в их кристаллической решетке парамагнитных примесей. Позд-
Позднее эта идея была проверена экспериментально измерениями электросопротивления:
— 969 —

металлов с контролируемыми добавками магнитно активных примесных атомов
{см. [700], а также [703, 704]).
Предположение Кондо было основано на результатах расчета затухания электро-
электронов проводимости "Ут вызванного рассеянием их на примеси в высших приближениях
по s — d-обмену. Если s — d-взаимодействие рассматривать по теории возмущения
(с параметром малости Asd/?, <C 1), то в первом неисчезающем порядке для -у (е) полу-
получается выражение -yoi не зависящее от энергии электрона е:
yo = Aldg(QS(S+l), B5.58)
где ASd — интеграл s — d-обмена, g (?) — функция плотности состояний у поверхно-
поверхности Ферми, S — спин примеси. Затухание "Уо определяет вклад в электросопротивление
металла, не зависящий от температуры — р°<2, который был давно известен (см.,
например, обзор [270]); при этом казалось вполне естественным, что учет более высоких
приближений (относительно параметра ASd/Z) не может дать сколько-нибудь суще-
существенной «аномальной» температурной зависимости для s — d-обменного вклада в сопро-
сопротивление pS(; (Т).
Однако Кондо [702] провел вычисления для -у в следующем порядке теории возму-
возмущения и получил неожиданный результат:
^ B5.59)
В формуле B5.59) энергия электрона е отсчитывается от уровня Ферми ?, поэтому
поправочный член в B5.59) неограниченно возрастает при е ->- 0, иначе говоря, элек-
электроны в состояниях у поверхности Ферми испытывают очень сильное рассеяние на па-
парамагнитной дримеси. Результат B5.59) сразу же приводит к следующей формуле для
удельного электросопротивления:
Psd (Т) = Р$ [ 1 -iAedg @ Ь -Дг] • B5.60)
Из B5.60) видно, что при Asd < 0 (т. е. при антиферромагнитной s — d-связи) с умень-
уменьшением Т величины pg(j логарифмически возрастает. Это возрастание электросопротив-
электросопротивления является одним из наблюдаемых проявлений сильного s — d-обменного рассея-
рассеяния электронов проводимости на парамагнитных примесных ионах, которое, собствен-
собственно, и носит название эффекта Кондо. Из сравнения формул B5.60) и B5.57) видно, что
теория Кондо находится в известном качественном согласии с экспериментом.
Расходимость поправки, полученной Кондо для у в B5.59) при е ->- 0 указывала
на то, что могут расходиться также и поправки в следующих приближениях. Это,
по-видимому, указывало на резонансный характер эффекта вблизи поверхности Ферми.
Абрикосов [705], используя особую диаграммную технику квантовой теории поля для
спиновых операторов, просуммировал бесконечный ряд расходящихся членов, содер-
содержащих все степени In (?/e), и получил следующий результат:
- B5-61)
Если второе слагаемое в знаменателе правой части формулы B5.61) меньше единицы,
то все выражение можно разложить в ряд, и тогда первые два члена ряда совпадают
с формулой B5.59), полученной Кондо [702].
Характерным теперь является существенная зависимость затухания у (г) от знака
интеграла s — d-обмена. Если Asd > 0, то никакой особенности в выражении B5.61)
не будет, но при Asd < 0 величина у (е) расходится при некоторой энергии е = ек,
где
[J] B5.62)
Величину ек принято называть анергией Кондо, а соответствующую ей температуру
rK = i^, B5.63)
— температурой Кондо. Таким образом, при температурах порядка или ниже Гк или
энергиях порядка или ниже ек приближение, лежащее в основе вывода формулы
B5.60), уже недостаточно, Таким образом, условием ее применимости являются
| е | > ек, пли Т > Тк. B5.64)
В связи с этим возникает вопрос, как себя ведут электроны, энергия которых
лежит вблизи самой поверхности Ферми, т. е. при | е | ^С ек, иначе, каковы же осо-
бености поведения электросопротивления и других кинетических коэффициентов при
Для ответа на этот вопрос были предприняты многочисленные исследования,
состоящие главным образом в попытках найти адэкватный математический аппарат.
— 970 —

Можно указать два направления в этих исследованиях. Одно из них было начато Сулом
G06, 707], Малеевым [708] и Гинзбургом [709]. В нем используется аппарат формальной
теории рассеяния и решение приводится с помощью соотношений аналитичности и уни-
унитарности амплитуды рассеяния. Используя только эти общие свойства, авторы этого
«унитарного» направления получили формулы для амплитуды рассеяния (затухания)
и для электросопротивления, пригодные (даже при AS(i < 0) при температурах ниже
Гк. При этом оказалось, что сечение рассеяния а электронов проводимости на примеси
'[тесно связанное с затуханием -у (е)] плавно возрастает с приближением к поверхности
•Ферми и достигает (при AS(i < 0) на поверхности Ферми своего максимального значе-
значения, так называемого унитарного предела:
где /сф — импульс на поверхности Фермп. Это означает, что при понижении темпера-
температуры сопротивление перестает увеличиваться и подходит к конечному пределу при
Т -»- 0. Измерения сопротивления, проведенные Дайбеллом и Стейертом [703] в сплавах
Си — Fe и Си — Сг дают при экстраполяции Т ->- 0° К результаты, подтверждающие
соотношение B5.65). Таким образом, теория «унитарного» направления дает, что резо-
резонансное рассеяние электронов проводимости на парамагнитной примеси, как оно пони-
понимается обычно, отсутствует.
Поэтому, согласно Малееву [710], наиболее последовательно развивающему кон-
концепцию унитарного подхода, особенность в рассеянии электронов проводимости на па-
парамагнитной примеси соответствует так называемым «пороговым» особенностям, кото-
которые хорошо известны в теории рассеяния и возникают при упругом рассеянии вблизи
порога неупругого канала. Отсюда следует вывод, что физический механизм эффекта
Кондо нельзя интерпретировать в обычных терминах притяжения или отталкивания
рассеиваемых частиц.
Второе направление в теории эффекта Кондо связано с работой Нагаока [711]
и развивалось далее в работах [712—718]. Идея этого направления состоит в том, что
поведение амплитуды рассеяния при As(i < 0 похоже на поведение амплитуды рассея-
рассеяния электронов друг на друге в случае, когда их взаимодействие является притяжени-
притяжением. Однако хорошо известно, что для электронов это является признаком неустойчиво-
неустойчивости основного состояния и соответствует сверхпроводимости. Естественно и в случае
эффекта Кондо предположить возникновение квазисвязанного состояния электрона
с локализованным спином, причем речь идет не о связи самого заряда электрона с при-
примесным спином, а о связи спиновой плотности электронов проводимости вблизи атома
примеси с его локализованным спином. Поскольку такое явление может возникнуть
при A sd < 0, т. е. при антиферромагнитном взаимодействии электронного и примесного
спинов, эффективный момент локализованного спина ниже Тк должен уменьшаться.
В ряде работ (см., например, [719]) показано, что при S = 1/2 локализованный момент
полностью компенсируется ниже Гк. В связи с этим Шриффер [720] высказал идею,
что все примеси переходных металлов в немагнитных металлах имеют локализованный
спин, но у некоторых металлов температура Кондо выше точки плавления, а при более
низких температурах электронное облако полностью экранирует спин примеси. В этом
вопросе о связанном магнитном состоянии, возникающем ниже Гк,нет еще полной яс-
ясности и он находится в стадии интенсивного исследования (см., например, обзор [695]).
3. Эффект Кондо и магнитный порядок. Эффект Кондо экспериментально наблю-
наблюдается в разбавленных растворах при малых концентрациях парамагнитной компонен-
компоненты в отсутствие атомного магнитного порядка. Известно, однако, что даже при низких
концентрациях такие сплавы могут быть ферро- или антиферромагнитными. Возникает
•естественный вопрос, как изменится эффект Кондо, если концентрация примесей будет
увеличена настолько, что температура Кюри 0 окажется выше температуры Кондо
Гк? Этот вопрос исследовался в работах Абрикосова [721], Изюмова и Кассан-Оглы
[722], в которых показано, что магнитный порядок подавляет эффект Кондо.
Действительно, в отсутствие упорядочения локализованный спин имеет дискрет-
дискретный вырожденный уровень в металле и может быть ориентирован в кристалле любым
•образом. При магнитном порядке все парамагнитные примеси связаны косвенным
обменным взаимодействием через электроны проводимости, отдельному спину соответ-
соответствует тогда не один дискретный уровень, а целая (спин-волновая) полоса уровней
шириной порядка /сб 0. Это должно приводить к «размазыванию» эффекта Кондо.
Однако следы его будут наблюдаться, если ширина спин-волновой полосы достаточно
мала (она пропорциональна концентрации раствора). Если для спиновых волн и для
электронов проводимости принять квадратичный закон дисперсии, то Изюмов и Кас-
Кассан-Оглы [722] показали, что эффект Кондо не исчезает с повышением концентрации
парамагнитной примеси до тех пор, пока не возникает ферромагнитное упорядочениеt
если только эффективная масса спиновой волны л^фф волн) и электрона m не удовлетво-
удовлетворяют неравенству
(СП. ВОЛН)
— 971 —

Условие B5.66) одновременно является условием и для концентрации. Действи-
Действительно, температура Кюри 0 (следовательно, и ширина спин-волновой полосы энер-
энергий) пропорциональна концентрация примеси с, причем
откуда имеем
(СП. ВОЛН)
B5.67)
где а — некоторый численный параметр, зависящий от величины локализованного-
спина. Подставляем выражение B5.67) в B5.66), получаем условие для концентрации
a exp —
¦ = cK, B5.68)
при которых эффект Кондо не исчезает в ферромагнитных разбавленных сплавах (если
он имел место при более низких концентрациях парамагнитных примесей в отсутствие
магнитного порядка). При самых больших значениях па-
параметра | As(i | g (t), еще совместимых с условием!
I Asd | g (t) <^ 1 (это вообще условие применимости
теории эффекта Кондо), ск оказывается весьма малой
2,0
1,9
1
Мо
! г
Температура Т, °К
величиной (^1%). Практически, по-видимому, кон-
концентрация ск оказывается меньше той, при которой
в разбавленном сплаве 0 > Гк. Из приведенного рас-
рассмотрения ясно, что эффект Кондо не может наблю-
наблюдаться в обычных ферромагнитных переходных металлах-
и их сплавах друг с другом.
4. Эффект Кондо и сверхпроводимость. В § 8 до-
достаточно подробно рассмотрен вопрос о влиянии пара-
парамагнитных примесей на сверхпроводимость. Здесь мы
кратко, отметим, что имеется интересная связь между
эффектом Кондо, обусловленным s — d-связью электро-
электронов проводимости с парамагнитными ионами и сверх-
сверхпроводимостью таких систем. Среди работ, посвящен-
посвященных этой проблеме, укажем на исследование Фаулера
и Маки [723]. Абрикосова [724] и Гинзбурга [725]. В пер-
первых двух работах показано, что если Т^ < 0С11 (где ®са
относится к чистому сверхпроводнику), то связанные
состояния не могут возикнуть. Если >кехГк > ®сп- т(>
в присутствии эффекта Кондо 0СП снижается. В работе
же Гинзбурга [725], основанной на унитарном подходе,
получено, что в случае если Тк <0СП, то 0СП растет при
наличии примесей. Экспериментально сосуществование
эффекта Кондо и сверхпроводимости наблюдали Вол-
кенштейн и Старцев [726], измерявшие электро-
электросопротивление монокристалла Мо с очень неболь-
небольшой примесью Fe (порядка 2-10~4%) в области температур от 0,38 до 2,3° К.
На рис. 25.44 показан график зависимости электросопротивления от температуры,
из которого видно, что электросопротивление Мо возрастает с уменьшением темпера-
температуры вплоть до перехода в сверхпроводящее состояние (при 0СП ^ 0,7° К). Интересно'
провести также исследования о зависимости функции р (Т) при сосуществовании эффек-
эффекта Кондо и сверхпроводимости от концентрации примеси, величины внешнего магнит-
магнитного поля, а также выяснить влияние возбуждений мультиплетности (см. ниже п. 5}
парамагнитной примеси на рассматриваемое явление.
5. Возбуждение мультиплетности парамагнитных ионов и эффект Кондо. Еще
до появления работы Кондо [702] в работе ван Пески-Тинбергена [727] была высказана
гипотеза, что низкотемпературный минимум в разбавленных растворах d-металлов
в нормальных металлах вызван возбуждением мультиплетности пар соседних парамаг-
парамагнитных ионов, связанных обменным взаимодействием. Однако Лиу [728] установил,
что для этих пар температура То, при которой наблюдается минимум на кривой р (Т),
пропорциональна с1^3 (с — концентрация парамагнитной примеси). Этот теоретический!
вывод находился в резком противоречии с результатами эксперимента, согласно кото-
которым То ~ с1/6. Однако в работе Вонсовского и Свирского [693] было показано, что если-
рассматривать возбуждения мультиплетности отдельных парамагнитных ионов (а не
их обменно связанные пары), то для То теория дает правильную зависимость от концен-
концентрации примеси: То — с1/'. Вонсовский и Свирский, используя введенный ими обоб-
обобщенный (с учетом возбуждений мультиплетности) гамильтониан, получали для вклада
Рис. 25.44. Температурная за-
зависимость удельного электросо-
электросопротивления монокристалла Мо
вблизи температуры сверхпро-
сверхпроводящего перехода (Волкен-
штейн и Старцев [726]).
— 972 —

•от s — d-обмена в электросопротивление psd следующее выражение [692, 693]:
ехр ЩкБТ)
1 + 3 ехр (А/кБТ) +
ехр (А/с-оГ)
B5.69)
где т, е, п, кф — масса, заряд, концентрация, волновой вектор электронов проводимости
яа поверхности Ферми, А — энергия возбуждения мультиплетности *) | дф | = | к'ф —
— кф | — модуль изменения волнового вектора электрона проводимости у поверхности
«Ферми, рассеиваемого на парамагнитной примеси, Asd (?ф) и Asd (дф) — соответствен-
соответственно симметричные и антисимметричные (по отношению к орбитальным состояниям)
«фурье-образы интеграла s — d-обмена на поверхности Ферми.
В области «высоких» температур по отношению к энергии А, когда А//сБ Т <^ 1,
из B5.69) следует, что
+ [ Msd(?o)l2 — |^48<г(?ф) I2] (Д/4АБГ)}« B5.70)
Из B5.70) видно, что при условии
I Asd (?ф) \>\Asd (дф) | B5.71)
;Psd уменьшается с ростом Т. Добавляя к выражению B5.70) обычный фононный
вклад в электросопротивление РфОн — ^5 (для Т «^ вд), получаем для полного электро-
электросопротивления р
P=Pc(>oH4-Psd =а^54~Р + ~5г) B5.72)
¦.где а, Р и у — некоторые постоянные. Выражение B5.72) имеет минимум при То =
= (у/ЬаI^. Из B5.70) следует, что у — с, поэтому То — с1/', что согласуется с резуль-
результатами эксперимента. Таким образом, проведенный расчет устраняет трудность, имею-
имеющуюся в работе [727], а также отличается и от модели типа Кондо (см. выше), в которой
минимум р должен быть только для Asd < 0. В модели, основанной на учете возбужде-
возбуждений мультиплетности парамагнитных примесей, минимум р возможен при любом знаке
Asd, поскольку в формулу B5.69) входит квадрат модуля этого параметра.
В области температур, которые ниже А, т. е. когда А/квТ ^> 1, электросопротив-
электросопротивление имеет максимум. Согласно B5.69) последний наблюдается, если выполняется
неравенство
I Asd (дф) | > б1'2 | Asd (дф) |. B5.73)
Это неравенство предполагает, что неравенство B5.71) тем более выполняется. Поэтому
при понижении температуры на кривой р (Т) сперва наблюдается минимум, а затем
максимум. Далее при Т ->- 0° К выражение B5.69) преобразуется в обычную формулу
для s — d-модели без учета возбуждений мультиплетности типа B5.57), а именно
1 . , ..„„.„,.. B5.74)
Мы видим, таким образом, что предсказанное теорией [693] поведение электросо"
¦противления полностью согласуется с экспериментальными результатами для разбав
ленных сплавов парамагнитных ионов в нормальных металлах. Однако следует заме"
тить, что если А означает внутри атомную обменную энергию изолированного атома,
то условие «высоких» температур А//сБ Т <^ 1 дает Т S* 10 000° К. Это, конечно, не имеет
отношения к объяснению низкотемпературного минимума электросопротивления спла-
сплавов, наблюдаемого при То =*s 10° К. Но если учесть, что ионы переходного элемента
находятся в поле кристаллической решетки, то для А получаем совершенно другую
оценку. Расщепление мультиялета в лигандном поле кубической симметрии, с одной
стороны, дает расщепления больших масштабов A0 000° К для d-элементов и 100° К
для /-элементов). С другой стороны, отклонения от кубической симметрии, обусловлен-
обусловленные спин-орбитальной или спин-спиновой связью, приводит к добавочному смещению
и расщеплению энергетических уровней обычно гораздо меньших. Например, для
иона Сг3+ в кристалле рутила по экспериментальным данным (см., например, книгу
[729] находим для величины расщепления 0,5 см,-1, т. е. Т як 0,5° К и для иона Fe3+
*) Расчет относится к случаю, когда в d-слое имеется всего два электрона, и поэ-
-тому изменение мультиплетности сводится только к триплет-синглетным переходам.
— 973 —

расщепление 1,5 см~\,т. е. Т «к 1,5° К. Поэтому, если принять, что величина расщеп-
расщепления в лигандном поле А порядка 1° К, то температура То будет порядка 10° К.
Кроме того, можно такой анализ распространить и на систему, состоящую из d-слояг
и ядра. В случае атома величина Д будет уже порядка расщепления СТС, т. е.
А//сБ~ 0,01° К. В этом случае при То я? 10 °К условие А/квТ0 <^ 1 заведомо выполняется.
Для окончательного решения вопроса о влиянии возбуждений мультиплетности-
на электросопротивление сшшов при низких температурах необходимы более деталь-
детальные экспериментальные определения величин Л с привлечением различных — резонан-
резонансных, рентгеноспектральных, оптических и т. а. методов.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 25
1. N. F. Mott, Adv. Phys. 13, 325 A964).
2. W. J. Carr, Jr., Hand. Phys., Bd. 18/2, Springer-Verl. Berlin A966).
3. P. W e i s s, H. P i с с а г d, Compt. rend. 166, 352 A918).
4. P. Weiss, R. F о г г е r, Compt. rend. 178, 1347 A924); Ann. de phys. 5, 153:
5. H. С. А к у л о в, Л. В. К и р е н с к и й, J. Phys. USSR 9, 31 A940).
6. С. В. В о н с о в с к и й, ЖЭТФ 8, 1104 A938).
7. E.Warburg, Ann. der Phys. 13, 141 A881).
8. L. F. В a t e s, J. phys. rad. 12, 459 A951).
9. E. V i 1 1 a r i, Aim. phys. chem. 126, 87 A865).
10. J. P. Joule, Ann. Electr. Magn. Chem. 8, 219 A842); Phil. Mag. 30, 76, 225>
A847).
11. H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 52, 389 A928).
12. С. В. В о н с о в с к и й, ЖЭТФ 10, 762 A940).
13. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 67, 794; 69, 278, 822 A931).
14. W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 69, 287 A931).
15. H. С. Акулов, Е. И. К о н д о р с к и и, ЖЭТФ 3, 109 A933).
16. Б. К. Д ж и р е н ч и н, Phys. Zs. UdSSR 10, 689 A936).
17. Б. А. Введенский, С. Симонов, Zs. Phys. 38, 202 A926).
18. Н. К i г с h n e r, Ann. der Phys. 27, 49 A936).
19. Н. С. А к у л о в, И. П. М а з и н, Я. И. Ф е л ь д ш т е й н, ДАН СССР 71, 851
A950).
20. К. В. Владимирский, ЖЭТФ 11, 313 A941); ДАН СССР 41, 11 A943).
21. W. P. M a s о n, Phys. Rev. 82, 715 A951).
22. Е. W. L e e, Rep. Prog. Phys. 18, 184 A955).
23. E. W. L e e, Proc. Phys. Soc. 72A, 249 A958).
24. R. R. В r i s s, Adv. Phys. 8, 252 A959); Proc. Phys. Soc. 75, 8 A960); 70B, 109$
A957).
25. H. В. С a 1 1 e n, N. G о 1 d b e r y, J. Appl. Phys. 36, 976 A965).
26. С Holt, J. E. Thompson, Proc. Phys. Soc. 81, 148 A963).
27. Я. С. Ш у р, Докторская диссертация, Казань, 1942.
28. Б. Л. Р о з и н г, ЖРФХО 26, 253 A894).
29. L. M a s i у a m a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 17, 1945 A928).
30. E. T и т о в, ЖЭТФ 8, 1132 A938).
31. С. R a d е 1 о 11, Zs. angew. Phys. 17, 247 A964).
32. W. D 6 r i n g, G. S i m о n, Ann. der Phys. 5, 373 A960).
33. R. Becker, Zs. Phys. 62, 253 A930).
34. Д. А. Ш т у р к и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 661 A947).
35. S. К а у а, Н. Т а к а к i, J. Hokkaido Univ. 1, 227 A935).
36. D. К i г к h a m, Phys. Rev. 52, 1162 A937).
37. H. T а к а к i, Zs. Phys. 105, 92 A937).
38. Г. П. Д ь я к о в, Изв. АН СССР, сер. физ. И, 667 A947).
39. Д. И. В о л к о в, В. И. Ч е ч е р н и к о в, ЖЭТФ 27, 208 A954).
40. W. D. Corner, G. H. Hunt, Proc. Phys. Soc. 684, 133 A955).
41. L. R. В i с к f о r d, Jr., J. P a p p i s, J. L. S t u 1 e, Phys. Rev. 99, 1210 A955).
42. А. Я. В л а с о в, В. А. С а ф о н о в, И. Я. С а ф о н о в, Изв. Сиб. отд. АН СССР,
№ 2, 15, A959).
43. А. Я. В л а с о в, И. Л. Г у с ь к о в а, Изв. Сиб. отд. АН СССР № 3, 3 A959).
44. А. Я. Власов, И. Л. Г у с ь к о в а, ФММ 11, 207 A961).
45. Ф. Н. Дунаев, М. К. Кузнецова, ФММ 12, 652 A961).
46. N. М i у a t a, Z. Funatogawa, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 279*
A962).
47. E. T a t s u m о t о, Т. О k a m о t o, J. Phys..Soc. Japan 14, 1588 A959).
48. R. G e r s d о r f, J. H. M. S t о e 1 i n g a, G. W. R a t h e n a u, J. Phys. Soc.
Japan 17, Supl. B-l, 342 A962); Physica 27, 381 A961).
49. H. von К e m p e n, К. К о h 1 h a a s, H. L a n g e, Zs. Naturforsch, 21a, 1512.
A966).
50. Г. А. П е т р и к о в с к и й, Э. М. С м о к о т и н, Письма ЖЭТФ 5, 231 A967).
51. С. Z e n e r, Phys. Rev. 96, 1335 A954).
— 974 —

52. Е. А. Т у р о в, А. И. М и ц е к, ЖЭТФ 38, 1847 A960).
53. А. А. Гусев, ДАН СССР 98, 749 A954); ЖЭТФ 29, 81, 895 A955).
54. G. С. F 1 е t с h е г, Proc. Phys. Soc. 68A, 1066 A955).
55. Ch. Kittel, J. H. Van Vleck, Phys. Rev. 118, 1231 A960).
56. H. В. С a 1 1 e n, E. R. С a 1 1 e n, Phys. Rev. 129, 578; 132, 991 A963); 139, A455
A965).
57. W. F. Brow n, Jr., J. Appl. Phys. 39, 994 A965).
58. H. B.Callen, J. Appl. Phys. 39, 519 A968).
59. J. К a n a m о r i в сб. «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. I, Acad. press,
N. Y. 1963, p. 127.
60. В. К а р p, в сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перевод с англ. под
ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, М., 1961, стр. 267.
61. Д. И. Волков, Д. И. Леонтьев, ДАН СССР 97, 995 A954).
62. Н. Т а к а к i, Y. N а к a m u r a, J. Phys. Soc. Japan 9, 507, 748 A954).
63. Е. W. L e e, Proc. Phys. Soc. A68, 65 A955).
64. В. В. Дружинин, IO. А. Лазарев, ФММ 5, 164 A957).
65. H. G e n g n a g e 1, Naturwiss. 45, 81 A958).
66. E. J. L a n g h a m, Brit. J. Appl. Phys. 14, 16 A963).
67. В. И. Николаев, А. И. К а р ч е в с к и й, В. Г. Ц и н о е в, Б. В. Ва-
Васильев, ЖЭТФ 45, 480 A963).
68. Ф. Н. Д у н а е в, В. М. К а л и н и н, ФММ 12, 619 A961); 15, 170 A963).
69. Ф. Н. Дунаев, В. М. Калинин, В. В. Дружинин, ФММ 15, 652
A963).
70. К. Н. von К lit zing, Zs. Naturforschg. 18a, 1011 A963).
71. H. S. В a 1 s о n, J. Appl. Phys. 38, 1327 A967).
72. J. Kranz, K. E. W e d e m a n n, Zs. Metallkde 58, 188 A967).
73. L. В e r g e r, Phys. Rev. 138, A1083 A965).
74. J. E. Goldman, R. Smoluchowski, Phys. Rev. 75, 140 A949).
75. Г.П.Дьяко в, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1254 A958).
76. И. М. П у з е й, Б. М о л о т и л о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1244 A958).
77. С. И. В о с к о б о й н и к о в, ФММ 6, 1011 A958).
78. W. J. Carr, R. Smoluchowski, Phys. Rev. 83, 1236 A951).
79. R. S m о 1 и с h о w s k i, J. phys. rad. 12, 389 A951).
80. M. Y a m a m о t o, T. N a k a n i с h i, J. Phys. Soc. Japan 13, 228 A958); 17r
588 A962).
81. H. С. А к у л о в, 3. И. А л и-3 а д е, К. П. Б е л о в, ДАН СССР 65, 815 A949).
82. А. К u s s m a n n, G. R i t t e n b e r g, Ann. der Phys. 7, 173 A950).
83. Д. И. В о л к о в, ДАН СССР 97, 809 A954).
84. Я. С. Ш у р, А. С. X о х л о в, J. Phys. USSR 10, 540 A946); И, 77 A947).
85. Я. С. Ш у р, Ф. Н. Д у н а е в, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 640 A952).
86. В. А. 3 а й к о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 14, 785 A962).
87. 3. Н. Б у л ы ч е в а, Н. Н. Б о р о д к и н а, Я. П. С е л и с к и й, ФММ 9, Зг
390 A960).
88. 3. Н. Булычева, М.М. Бородкина, В. Л. Сандомирская, ФММ
19, 152 A965).
89. 3. Н. Булычева, М. М. Бородкина, Сб. трудов УНИИЧМ, вып. 25,
146 A962).
90. Г. П. Д ь я к о в, ДАН СССР 68, 33 A949), 76, 201 A951); 82, 867 A952); ЖЭТФ
23, 525 A952); Вестник МГУ № 9, 43 A949); № 5, 31, № б, 45 A951); № 3, 235
A958); Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1133 A957); ФММ 6, 168 A958).
91. Г. П. Д ь я к о в, А. А. К о з л о в, ФММ 6, 576 A958).
92. Н. S a t о, J. Appl. Phys. 29, 456 A958).
93. Д. И. В о л к о в, Вестник МГУ № 3, 52 (I960).
94. Е. W. L e e, Proc. Phys. Soc. 67A, 381 A954).
95. В. А. 3 а й к о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 16, 614 A963).
96. R. Becker, Zs. Phys. 87, 547 A933).
97. М. К о г n e t z k i, Zs. Phys. 87, 560 A933).
98. Д. Л. С и м о н е н к о, ЖЭТФ 7, 170 A937).
99. Ф. Н. Д у н а е в, В. М. К а л и н и н, ФММ 15, 170 A963).
100. K.Azumi, I.E. Goldman, Phys. Rev. 93, 630 A954).
101. И. П у з е й, Б. М о л о т и л о в, А. Р о д ь к о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 22.
1251 A958).
102. Н. S a t о, Phys. Rev. 109, 802 A958).
103. Т. К a n e k о, J. Phys. Soc. Japan 15, 463 A960).
104. Ф. Н. Дунаев, Ю. Н. Я р о ш е н к о, ФММ 12, 620 A961).
105. J. Nakamura, J. Nakajima, H. Takaki, J. Phys. Soc. Japan 16, 840
A961).
106. Ф. H. Дунаев, В. М. Калинин, ФММ 13, 153; 14, 462 A962),
107. Ф. Н. Дунаев, В. М.Калинин, В. В. Сериков, ФММ 14, 781 A962).
108. J. H. M. S t о е 1 i n g a, G. de V г i e s, J. du С h a t e n i e r, Phys. Lett. 14,
6 A965).
109. W. D б r i n g, P. К г a n s e, Zs. angew. Phys. 22, 309 A967).
110. R. R. В r i s s, S. R. A d a m s о n, Brit. J. Appl. Phys. (J. Phys. D) 1, 63 A968).
— 975 -

111. R. R. В r i s s, В, С. H e g a r t у, Brit. J. Appl. Phys. (J. Phys. D) 1, 789 A968).
112. Y. T i n о, Т. М a e d o, J. Phys. Soc. Japan 24, 729 A968).
113. Т. Т su j i, J. Phys. Soc. Japan 13, 1310 A958).
114. R. С H a 1 1, J. Appl. Phys. 30, 1459 A959).
115. И. Я. Д e x т я p, Д. А. Левина, Укр. физ. журн. 8, 315 A963).
116. J. A. J. L о u r e n s, L. Alberts, Sol. State Comm. 2, 141 A964).
117. J. H. M. Stoelinga, R. Gersdorf, G. deVries, Physica 31, 349 A965).
118. E. Fawcett, G. K. White, J. Appl. Phys. 38, 1320 A967).
119. Y. N a k a m u r a, J. Phys. Soc. Japan 10, 937 A955).
120. H. С. Акулов, ДАН СССР 106, 31 A956).
121. L. Alberts, H. L. Alberts, Phil. Mag. 8, 2101 A963); Physica 31, 1063
A965).
122. J. A. J. L о u r e n s, P. E. V i 1 j о е n, Physica 32, 1177 A966).
123. G. N. В e n n i n g e r, A. S. P a v 1 о v i c, J. Appl. Phys. 38, 1325 A967).
124. G. M. W i 1 1 i a m s, A. S. P a v 1 о v i c, J. Appl. Phys. 39, 571 A968).
125. E. К 6 s t e r, Phys, Stat. Sol. 30, 455 A968).
126. H. Ebert, A. Kussmann, Phys. Zs. 38, 437 A937).
127. К. П. Б е л о в, ДАН СССР 61, 807 A948); ЖТФ 19, 661, 1032 A949); ЖЭТФ 20,
54 A950).
128. К. П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, С. А. Н и к и т и н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ
40, 1562 A961).
129. К. П. Б е л о в, Е.П.Свирина, О. А. М а л и к о в а, ФТТ 4, 2829 A962).
130. Р. 3. Л е в и т и н, С. А. Н и к и т и н, ФММ И, 848 A961).
131. Е. L e e, L. А 1 b e r t s, Proc. Phys. Soc. 79A, 997 A962).
132. S. L e g v о 1 d, J. A 1 s t e d, J. R h у n e, Phys. Rev. Lett. 10, 509 A963).
133. A. E. С 1 a r k, R. M. В о z о r t h, B. F. de S a v a g e, Phys. Lett. 5, 100 A963).
134. A. E.Clark, B.F. deSavage, R. M. Bozorth, Phys. Rev. 138, A216
A965).
135. W. D. Corner, F. Hutchinson, Proc. Phys. Soc. 75, 781 A960).
136. R. M. В о? о r t h, Т. W a k i у a m a, J. Phys. Soc. Japan 18, 97 A963).
137. J. K. A 1 s t e d, S. L e g v о 1 d, J. Appl. Phys. 35, 1752 A964).
138. К. П. Б е л о в, Ю. В. Е р г и н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ 49, 414 A965).
139. W. С о 1 е m a n, A. P a v 1 о v i с, J. Phys. Chem. Sol. 26, 691 A965).
140. С. А. Н и к и т и н, ЖЭТФ 43, 31 A962).
141. J. J. R h у n e, S. Legvold, Phys. Rev. 138, А507; 140, А2143 A965).
142. К. П. Белов, Р. 3. Левитин, Б. К. Пономарев, ЖЭТФ 49, 1733
A965).
143. P. de V. du P 1 е s s i s, L. A 1 b e r t s, Sol. State Comm. 3, 251 A965).
144. N. Goldberg, W. McC a n n, J. Appl. Phys. 35, 1026 A964).
145. Б. Я. Пи нес, Н. М. Гумен, Phys. State Sol. 8, 751 A965).
146. А. В. S m i t h, R. V. J о n e s, J. Appl. Phys. 37, 1001 A966).
147. P. А. В и с к а н я н, Р. 3. Л е в и т и н, В. А. Ш у р о в, ЖЭТФ 54, 790 A968).
148. Г. А. П е т р а к о в с к и й, Э. М. С м о к о т и н, ЖЭТФ 55, 2083 A968).
149. С. П. К у н ц е в и ч, Ю. А. М а м а л у й, А. С. М и л ь н е р, ФТТ 10, 3495
A968); ФММ 26, 610 A968).
150. А. Е. С 1 ark, В. F. de S a v age, W. Colem ал, E. R. С all en, H. В. С al-
1 e n, J. Appl. Phys. 34, 1296 A963).
151. A. E. С 1 a r k, B. F. de S a v a g e, E. R. С a 1 1 e n, J. Appl. Phys. 35, 1028
A964).
152. В. П. К и р ю x и н, В. И. Соколов, ЖЭТФ 51, 428 A966).
153. К. П. Б е л о в, В. П. К и р ю х и н, В. И. С о к о л о в, Письма ЖЭТФ 3, 329
A966).
154. К. П. Б е л о в, В. И. С о к о л о в, Письма ЖЭТФ 4, 186 A966); 6, 586 A967).
155. D. E. Eastman, Phys. Rev. 148, 530 A966).
156. Т. G. P h i 1 1 i p s, R. L. W h i t e, Phys. Rev. Lett. 16, 650 A960); J. Appl.
Phys. 38, 1222 A967).
157. A. E. С 1 a r k, B. F. de S a v a g e, N. T s u у a, S. К a \v a k a m i, J. Appl.
Phys. 37, 1324 A966).
158. P. J. F 1 a n d e r s, R. F. P e a r s о n, J. L. P a g e, Brit. J. Appl. Phys. 17, 839
A960).
159. R. С о m s t о с k, J. J. Raymond, J. Appl. Phys. 38, 3737 A967).
160. S. I i d a, J. Phys. Soc. Japan 22, 120 A967).
161. A. E. С 1 a r k, J. J. R h у n e, E. R. С a 1 1 e n, J. Appl. Phys. 39, 573 A968).
162. N. T s u у a, Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. 8, 161 A957); J. Appl. Phys. 29,
449 A958).
163. J. С S 1 о n с z w s k i, J. Appl. Phys. 30, 310S A9.59); J. Phys. Chem. Sol. 15,
335 A960); Phys. Rev. 122, 1367 A961).
164. К. П. Б ел о в, ЖЭТФ 19, 346 A949).
165. A. Michel s, A. Jasper e, J. de Boer, J. Strepland, Physica 4, 1007
A937).
166. S. H. Liu, Phys. Rev. 127, 1889 A962); J. Appl. Phys. 35, 1087 A964).
167. H. Takaki, J. Hayashi, J. Phys. Soc. Japan 13, 703 A958).
— 976 —

168. Н. Е. Stauss, J. Appl. Phys. 30, 1648 A959).
169. I.Paces, P. S u d а, Чехосл. Физ. Журн. 11, 439, 602 A961).
170. P. Chevenard, Rev. met. Mem. 14, 610 A917).
171. К. П. Белов, А. В. 3 а л е с с к и й, Кристаллография 3, 388 A958).
172. К. A n d r e s, Phys. Rev. 168, 708 A968).
173. L. A 1 b e r t s, P. de V. du P 1 е s s i s, J. Appl. Phys. 39, 581 A968).
174. С E. G u i 1 1 a u m e, Compt. rend. 125, 235 A897).
175. К. П. Б е л о в, Изв. АН СССР сер. физ. 11, 649 A947).
176. К. П. Б е л о в, О. И. А г о с я н, Изв. АН СССР сер. физ. 11, 654 A947).
177. Е. И. К о н д о р с к и й, В. Л. Седов, J.'Appl. Phys. 31, 331S (I960).
178. R. С о n t a r z, H. R a t a j с z a k, P. S u d a, Phys. stat. sol. 6, 909 A964).
179. J. P. R e e k s t i n, J. Appl. Phys. 38, 1449 A967).
180. Т. С P a n n, F. G. W e s t, J. Appl. Phys. 38, 2060 A967).
181. Я. С. Шур, М. Г. Л у ж и н с к а я, К. Б. Власов, О. И. Ширяева,
В. А. 3 а й к о в а, Изв. АН СССР сер. физ. 22, 1259 A958); Труды ИФМ АН
СССР, № 20, 131 A958).
182. Л. Г. И п а т о в, ЖТФ 29, 602 A959).
183. В. Е. Кузнецов, ФММ 20, 199 A965).
184. Л. В. К и р е н с к и й, В. Е. Кузнецов, В. У. У с а т о в, ФММ 20, 221
A965).
185. И. Я. К о р н б л и т, ФТТ 8, 2579 A966).
186. Н. А. Доронин, Металлургия кальция, Металлургиздат, М., 1959.
187. Н. В. Волкенштейн, Э. В. Галошина, ФММ 16, 298 A963).
188. G. К. White, S. В. Woods, Phil. Trans. Roy. Soc. A251, 273 A958).
189. G. T. M e a d e n, P. Pellou x-G e r v a i s, Cryogenics 5, 227 A965).
190. Б. В. С и н и ц и н, Стронций (Обзор литературы), Металлургиздат, М., 1962.
191. J. К. А 1 s t e d, R. V. С о 1 v i n, S. L e g v о 1 d, Phys. Rev. 123, 418 A961).
192. S. Т. S e k u 1 a, R. H. К e r n о h a n, G. R. L о у е, Phys. Rev. 155, 364 A967).
193. M. П. Славинский, Физико-химические свойства элементов, Химиздат, М.
1952.
194. J. К. А 1 s t e d, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 121, 1637 A961).
195. B. R. С о 1 e s, Adv. Phys. 7, 40 A958).
196. H. В. Волкенштейн, Л. М. Носков а, Труды ИФМ АН СССР,
вып. 27, Свердловск 1968, стр. 130.
197. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, В. Е. Старцев, Изв. АН
СССР, сер. физ. 28, 540 A964).
198. S. A r a j s, G. R. Dun my re, Zs. Naturforsh. 21a, 1856 A966).
199. H. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, Э. В. Галошина,
В. Е. Старцев, Вопросы теории и применения редкоземельных металлов,
Изд. «Наука», М., 1964.
200. R. V. С о 1 v i n, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 120, 741 A960).
201. H. Masumoto, H. S a i t о, М. К i k u с h i, Sci. Rept. Res. Inst. Tohoku
Univ. A18, Suppl. 84 A966).
202. P. M. H a 1 1, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 116, 1446 A959).
203. D. E. H e g 1 a n d, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 131, 158 A963).
204. P. M. H a I 1, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 117, 971 (I960).
205. R. W. G r e e n, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 122, 827 A961)
206. А. И. С у д о в ц е в, Е. Е. С е м е н е н к о, ЖЭТФ 31, 525 A956).
207. Е. Е. Семененко, А. И. Судовцев, ЖЭТФ 42, 1022 A962).
208. Е. Е. Семененко, А. И. Судовцев, А. Д. Швец, ЖЭТФ 42, 1488
A962).
209. Е. Е. Семененко, А. И. Судовцев, Н. В. Волкенштейн, ЖЭТФ
45, 1387 A963).
210. Е. И. Кондорский, О. С. Галкина, Л. А. Черникова, Изв. АН
СССР, сер. физ. 21, 1123 A957).
211. Е. И. Кондорский, О. С. Галкина, Л. А. Черникова, ЖЭТФ 34.
1070 A958).
212. P. Radhakrishna, M. Nielsen, Phys. stat. sol. 11, 111 A965).
213. G. R. T а у 1 о г, С. I s i n, R. V. С о 1 e m a n, Phys. Rev. 165, 621 A968).
214. G. K. White, R. J. T a i n s h, Phys. Rev. Lett. 19, 165 A967).
215. F. С S с h w e r e r, J. S i 1 с о x, Phys. Rev. Lett. 20, 101 A968); J, Appl. Phvs
39, 2047 A968).
216. H. В. Волкенштейн, В. Е. Старцев, ЖЭТФ 46, 457 A964).
217. H. В. Волкенштейн, В. П. Дякина, В. А. Новоселов,
В. Е. С т а р ц е в, ФММ 21, 674 A966).
218. G. К. W h i t e, S. В. Wood s, Canad. J. Phys. 33, 58 A955); 35, 346 A957).
219. S. Arajs, G. R. D u n m у r e, J. Appl. Phys. 36, 3555 A965).
220. А. П. К о м а р, В. В. К л ю ши н, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 400 A954).
221. К. П. Б е л о в, А. А. Попова, Е. В. Т а л а л а е в а, Кристаллография 3
733 A958).
222. К. П. Б е л о в, С. А. Н и к и т и н, ЖЭТФ 42, 403 A962).
62 с.В. Еоисовский — 977 —

223. К. П. Б е л о в, С. А. Н и к и т и н, ФММ 13, 43 A962).
224. К. П. Б е л о в, А. Н. Г о р я г а, Н. В. В о л к о в а, ФТТ 7, 474 A965).
225. К. П.Белов, М. А. Зайцев, А. М. Кадомцева, Т. Л. Овчинни-
Овчинникова, ФТТ 7, 477 A965).
226. Е. U с h i d a, J. Phys. Soc. Japan 11, 27 A956).
227. А. И. С у ч к о в, ФММ 7, 317 A959).
228. И. Г. Ф а к и д о в, А. Я. Афанасьев, ФММ 6, 176 A958).
229. Y. S h i m о m u r a, I. J. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan 9, 19 A954).
230. M. Rosenberg, P. Nicola u, J. Bunget, Phys. stat. sol. 4, K125-
A964).
231. J. V о 1 g e r, Semiconducting materials, Butterworths, London, 1951, p. 162_
232. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 A946).
233. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 617 A947).
234. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 12, 337 A948).
235. С. В. Вонсовский, УФН 48, 289 A952).
236. А. И. Р е з а н о в, ДАН СССР 82, 885 A952).
237. A. S. Joseph, А. С. Thorsen, Phys. Rev. Lett. 11, 554 A963).
238. D.C.Tsui, Phys. Rev. 164, 669 A967).
239. J. R u v a 1 d s, L. M. F a 1 i с о v, Phys. Rev. 172, 508 A968).
240. R.W. Stark, D.C.Tsui, J. Appl. Phys. 39, 1056 A968).
241. E. I. Z о r n b e r y, Sol. State Comm. 6, 729 A968).
242. J. R. A n d e r s о n, A. V. Gold, Phys. Rev. Lett. 10, 227 A963).
243. Ch. К i 11 e 1, Phys. Rev. Lett. 10, 339 A963).
244. L. В e r g e, A. R. de V г о о m e n, J. Appl. Phys. 36, 2777 A965).
245. N. F. M о t t, Proc. Roy. Soc. A153, 699; A156, 368 A936).
246. A. H. W i 1 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A167, 580 A938).
247. A. H. W i 1 1 s о n, Proc. Cambr. Phil. Soc. 49, 292 A953).
248. W. G. В a b e r, Proc. Roy. Soc. A158, 383 A937).
249. С. П. Ш у б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Phys. Zs. UdSSR 7, 292 A935).
250. С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 18, 219 A948).
251. А. И. Р е з а н о в, ДАН СССР 92, 935 A953).
252. А. И. Резанов, В. И. Черепанов, ДАН СССР 93, 441 A953).
253. А. А. Бердыше в, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1954.
254. А. А. Бердыше в, С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 18_
328 A954).
255. Е. А. Т у р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 462 A955).
256. Е. А. Т у р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 474 A955).
257. Е. А. Т у р о в, ФММ 6, 203 A958).
258. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 447 A955).
259. Ш. Ш. А б е л ь с к и й, Е. А. Туров, ФММ 10, 801 A960).
260 А. А. Юдин, Вестник МГУ, сер. мат., мех., астр., физ. № 3, 81; № 4, 89
A958).
261. Т. К a s u у a, Prog. Theor. Phys. 16, 58 A956).
262. Т. К a s u у a, Prog. Theor. Phys. 22, 227 A959).
263. P. G. de G e n n e s, J. F r i e d e 1, J. Phys. Chem. Sol. 4, 71 A957).
264. I. M a n n a r i, Prog. Theor. Phys. 22, 335 A959).
265. I. M a n n a r i, Prog. Theor. Phys. 26, 51 A961).
266 T. van P e s k i-T i n b e r g e n, A. J. D e k k e r, Physica 29, 917 A963).
267. D. A. G о о d i n g s, Phys. Rev. 132, 542 A963); J. Appl. Phys. 34, 1370 A963)_
268. M. Rosier, Phys. stat. sol. 5, 583 A964); 9, K27, K31 A965).
269. С. В. Вонсовский, Ю. А. И з ю м о в, УФН 77, 377 A962).
270. С. В. Вонсовский, 10. А. И з ю м о в, УФН 78, 3 A962).
271. F. H a r t m a n п-В о u t r о n, Phys. konden. Materie 4, 114 A965).
272. Е. А. Т у р о в, Н. А. В о л о ш и н с к и й, Труды 10 Международной конферен-
конференции по физике низких температур (LT-10) т. IV, А 16, ВИНИТИ, М., 1967,
стр. 105.
273. R. К u b о, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 A957).
274. Н. N a k a n о, Prog. Theor. Phys. 17, 145 A957).
275. Ву-динь К ы, ЖЭТФ 51, 476 A966).
276. J. M. W i n t e r, Phys. Rev. 124, 452 A961).
277. A. I. S с h i n d 1 е г, В. С. La R о у, J. Appl. Phys. 37, 3610 A966).
278. J. A p p e 1, Phil. Mag. 8, 1071 A963).
279 В. П. Д я к и н а, Н. В. В о л к е н ш т е й н, ФММ 26, 628 A968).
280. N. F. М о 11, Proc. Phys. Soc. 47, 571 A935).
281. H. Hasegawa, S. W a k о h, J. Y a m a s h i t a, J. Phys. Soc. Japan 20,
1865 A965).
282 J. Y a m a s h i t a, M. M a k u с h i, S. W a k о h, J. Phys. Soc. Japan 18, 999-
A963).
283. S. W a k о с h, J. Y a n a s h i t a, J. Phys. Soc. Japan 19, 1342 A964).
284 Ш. Ш. А б е л ь с к и й, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1964.
285. R.J.Weiss, A. S. Marotta, J. Phys. Chem. Sol. 9, 302 A959).
286. J. К о n d о, Prog. Theor. Phys. 27, 772 A962). %| ^
— 978 —

287. D. J. К i m, Prog. Theor. Phys. 31, 921 A964).
288. В. Н. К а щ е е в, ФММ 21, 296 A966).
289. H. E. N i g h, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 132, 1092 A963).
290. N. F. M о 11, K. W. H. Stevens, Phil. Mag. 2, 1364 A957).
291. R. J. E 1 1 i о 11, Phys. Rev. 94, 564 A954).
292. R. N. J e m e s, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 88, 1092 A952).
293. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 1354 A964); 49, 682
A966); J. Appl. Phys. 39, 649 A968).
294. A. R. М а с k i n t о s h, Phys. Rev. let. 9, 90 A962).
295. H.Miwa, Prog. Theor. Phys. 28, 208 A962).
296. R. J. Elliott, F. H. Wedgwood, Proc. Phys. Soc. 81, 846 A963).
297. R. J. Elliott, Phys. Rev. 124, 346 A961).
298. T. A. Kaplan, Phys. Rev. 124, 329 A961).
299. K. Y о s i d a, H. M i w a, Prog. Theor. Phys. 26, 693 A961).
300. И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 992 A964).
301. S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, H. J. В о r n, J. Appl. Phys. 32, 2543 A961)-
302. K. N i i r a, Phys. Rev. 117, 129 A960).
303. A. R. M а с k i n t о s h, Phys. Lett. 4, 140 A963).
304. R. V. С о 1 v i n, S. A r a j s, Phys. stat. sol. 4, 37 A964).
305. M. А. С u r r y, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 117, 953 (I960).
306. J. S e i d e n, Compt. rend. 252, 1922, 3550; 253, 812 A961).
307. B. L ii t h i, H. R о h r e r, Sol. State Comm. 3, 257 A965).
308. С. И. М а ш а р о в, ФММ 21, 481 A966).
309. С. И. М а ш а р о в, Phys. stat. sol. 21, 747 A967).
310. С. И. М а ш а р о в, ФММ 26, 577 A968).
311. С. W. Chen, Sol. State Comm. 3, 231 A965); J. Appl. Phys. 37, 1026 A966).
312. С. С. С h а о, J. Appl. Phys. 37, 2081 A966).
313. D'. T. P e t e r s о n, D. F. P a g e, R. B. R u m p, D. K. F i n n e m о г e, Phys.
Rev. 153, 701 A967).
314. J. A. Mydosh, M. P. Kawatra, J. I. Budnick, Phys. Lett. 24A, 421
A967).
315. J. P о p p 1 e w e 11, P. G. A r n о 1 d, P. M. D a v i e s, Proc. Rhys. Soc.r92, 177
A967).
316. L.Colquitt, Jr., Phys. Rev. 139, A1857 A965).
317. W. К г о 1 1, Zs. Phys. 80, 50 A933); 81, 425 A933).
318. M. Rosenberg, Phil. Trans. Roy. Soc. A247, 441 A955).
319. N. G. В а с k b u n d, J. Phys. Chem. Sol. 20, 1 A961).
320. K. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 29, 801 A963).
321. P. И. Г у р ж и, ЖЭТФ 46, 719 A964).
322. S. H. S h a r a p, Phys. Rev. Lett. 13, 237 A964).
323. F. Richter, R. К о h 1 h a a s, Zs. Naturforschg. 19a, 1632 A964).
324. Я. М. Б е к к е p, ФТТ 7, 1545 A965).
325. H. Г. А л и е в, Н. В. В о л к е н ш т е й н, ФТТ 7, 2560 A965), ФММ 19 793
A965).
326. Л. Э. Г у р е в и ч, Г. А. Р о м а н, ФТТ 8, 525 A966).
327. A. W. Jo ski, К. P. S i n h a, Proc. Phys. Soc. 88, 985 A966).
328. М. S. R. С h a r i, Phys. Stat. Sol. 19, 169 A967).
329. J.T. Schriempf, Phys. Rev. Lett. 20, 1034 A968).
330. В. А. Ц а р е в, Письма ЖЭТФ 8, 656 A968).
331. В. В. Т а р а с е н к о, ФТТ 10, 1486 A968).
332. В. Е. 3 и н о в ь е в, Р. П. К р е н ц и с, П. В. Г е л ь д, ФММ 25, 1137 A968).
333. В. Е. 3 и н о в ь е в, Р. П. К р е н ц и с, Л. Н. П е т р о в а, П. В. Г е л ь д,
ФММ 26, 60 A968).
334. Д. А. Гольдгаммер, Учен, записки МГУ, № 8 A889); Учен, записки Каз
ун-та, кн. 4, 109 A899).
335. П. И. Б а х м е т ь е в, Wied. Ann. 43, 723 A891).
336. W. G e r 1 а с h, Ann. der Phys. 8, 649 A931); 12, 849 A932).
337. W. Gerlach, H. Schneiderchan, Ann. der Phys. 6, 772 A930).
338. E. Englert, Ann. der Phys. 14, 589 A932); Zs. Phys. 74, 748 A932).
339. H. H. P о t t e r, Proc. Phys. Soc. 49, 671 A937).
340. И. Г. Фикадов, Н. П. Гражданкина, ДАН СССР 76, 847 A950).
341. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 59, 254 A930); 80, 693 A933).
342. J.-P. Jan, Solid State Physics, vol. 5, Acad. press, N. Y., 1957, p. 1.
343. Д. С. Штейнберг, Ф. Мирошниченко, Phys. Zs. UdSSR 3, 92, 602
A933); 5, 241 A934).
344. П. X p а м о в, Л. Л ь в о в a, Zs. Phys. 89, 443 A934).
345. Д. Ф е д е н е в, ЖЭТФ 5, 886 A935); 23, 828 A953).
346. К. П. Б е л о в, ЖЭТФ 5, 396 A935); 8, 453 A938).
347. Н. С. А к у л о в, Р. Г. А н н а е в, ЖЭТФ 8, 334 A938).
348. Р. Г. А н н а е в, J. Phys. USSR 2, 289 A945); ЖЭТФ 15, 529 A945); ДАН СССР
60, 639; 61, 1009 A948); 67, 41 A949).
349. Р. Г. А н н а е в, ДАН СССР 64, 45 A949); 66, 107 A949).
— 979 — g2*

350. Р. Г. Анн а ев, Изв. туркм. фил. АН СССР № 4, 86 A950).
351. Д. Феде не в, А. У с к о в, Techn. Phys. USSR 5, 309 A938).
352. Д. И. В о л к о в, ЖЭТФ 9, 444, 798 A939).
353. К. П. Б е л о в, Д. М. Волков, ЖТФ 9, 1529 A939).
354. Д. Ф е д е н е в, И. В а м п и л о в, ЖЭТФ 9, 994 A939).
355. К. П. Б е л о в, ЖЭТФ 9, 685, 695 A939). .
356. Н. С. А к у л о в, Д. И. В о л к о в, К. П. Б е л о в, ЖЭТФ 5, 946 A935).
357. П. Л. Капица, Proc. Roy. Soc. A119, 358 A928); А123, 292 A929).
358. W.L.Webster, Proc. Roy. Soc. A109, 250, 570 A925); Proc. Camb. Phil. Soc.
23, .800 A925).
359. S. К а у a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 17, 1027 A928).
360. H. H. P о 11 e r, Phil. Mag. 13, 233 A931); Proc. Roy. Soc. A132, 560 A932).
361. Я. С. Ш у р, В. И. Д р о ж ж п н а, ЖТФ 18, 149 A948).
362. А. П. Комар, И. И. П о р т н я г и н, ДАН СССР 60, 569 A948).
363. L. В a t e s, Proc. Phys. Soc. 58, 153 A946).
364. С. В. Вонсовский, ЖТФ 18, 145 A948).
365. R. Gans, J. Harlem, Ann. der Phys. 15, 516 A932).
366. W. D 6 r i n g, Ann. der Phys. 32, 259 A938).
367. H. С Van Elst, Physica 24, 173 A958); 25, 708 A959).
308. Т. Д. З о т о в, Я. С, Ш у р, ДАН СССР 86, 267 A952).
369. И. Г. Факидов, Н. П. Гражданкина, А. К. Кикоин, ДАН СССР
68, 491 A949).
370. И. Г. Фикадов, Н. П. Гражданкина, ДАН СССР 75, 19 A950).
371. -{. П. Б е л о в, ДАН СССР 71, 261 A950).
372. К. П. Б е л о в, П. К. П а н и н а, ЖЭТФ 21, 809 A951).
373. Д. И. Волков, В. В. Зубов, ДАН СССР 71, 863 A950).
374. П. А. X а л и л е е в, Phys. Zs. UdSSR 7, 108 A935).
375. L. W. М с К е е h a n, Phys. Rev. 36, 948 A930).
376. В. И. Зайцев, ЖЭТФ 19, 95 A949).
377. В. И. Д р о ж ж и н а, М. Г. Л у ж и н с к а я, В. М. М о р о з о в а, Я. С. Ш у р,
Труды Ин-та физики металлов АН СССР № 15, 42 A954).
378. A. I s i n, R. V. С о 1 1 е m a n, Phys. Rev. 137, А1609 A965); 142, 372 A966);
J. Appl. Phys. 37, 1028 A966).
379. И. М. Л и ф ш и ц, М. Я. А з б е л ь, М. И. Каганов, ЖЭТФ 30, 220
A955).
380. Е. F a w с е 11, W. A. R e e d, Phys. Rev. Lett. 9, 336 A962); Phys. Rev. 131,
2463 A963).
381. К. П. Б е л о в, И. В. Б у р о в, Ю. В. Е р г и н, А. В. П е д ь к о, Е. М. С а -
в и ц к и й, ЖЭТФ 47, 860 A964).
382. A. R. Mackintosh, L. E. S p a n e, Sol. State Comm. 2, 383 A964).
383. И. К. Кикоин, Т. Н. И г о ш е в а, ЖЭТФ 46, 67, 1923 A964).
384. И. К. К и к о и н, Н. А. Б а б у ш к и н а, Т. И. И г о ш е в а, ФММ 10, 4, 488
A960).
ЗЯ5. Н. Potter, Proc. Rog. Soc. A146, 362 A934).
386. W. H. Kleiner, Phys. Rev. 142, 318 A966).
387. С. В. Вонсовский, К. П. Родионов, ДАН СССР 75, 643 A950).
388. С. В. Вонсовский, Л. Я. К о б е л е в, К. П. Родионов, Изв. АН
СССР, сер. физ. 16, 569 A952).
389. С. В. Вонсовскпй, К. П. Родионов, Труды Ин-та физики металлов,
АН СССР № 15, 3 A954).
390. '{. П. Р о д и о н о в, Труды Ин-та физики металлов АН СССР № 15, 10 A954).
391. К. П. Р о д и о н о в, В. Г. Ш а в р о в, ФММ 4, 385 A957).
392. J. Smit, Physica 16, 612 A951); 21, 877 A955); 24, 39 A958); Thesis, University
of Leiden A95G).
393. J. Luttinger, Phys. Rev. 112, 739 A958).
394. V. A. M а г s о с с i, Phys. Rev. 137, A1842 A965).
395. H. А. Бабушкина, ФТТ 7, 2540 A965).
396 H. В. Волкенштейн, В. П. Дякина, Письма ЖЭТФ 4, 396 A966).
397. Р. N. D h e e r, Phys. Rev. 156, 637 A967).
398. J. Е. С h r i s t о р h e n, A. I s i n, R. V. С о 1 1 e m a n, J. Appl. Phys. 38,
1322 A967).
399. R. H. W a 1 d e n, R. F. С о t e 1 1 e s a, J. Appl. Phys. 38, 1335 A967).
400. III. Ш. А б е л ь с к и й, Ю. П. И р х и н, ФТТ 10, 2245 A968).
401. W. A. Reed, E.Fawcett, J. Appl. Phys. 35, 754 A964).
402. С. S с h ii 1 e r, Zs. angew. Phys. 15, 218 A963).
403. Ч. Б а з а н, Acta phys. Polon. 28, 777 A965).
404 В. Г. Ш а в р о в, ФММ 13, 663 A962).
405. H. И. Д а в и д е н к о, ФТТ 4, 3396 A962).
406. F. D a n n h a u s e r, Zs. Phys. 166, 519 A962).
407. Y. Toyozawa, Techn. Rep. ISSP, Ser. A, № 37 A962).
408. E. A. T у р о в, В. Г. Ш а в р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1487 A963).
409. А. А. Аб д у р а х м а н о в, Изв. АН АзССР 1, 79 A964).
— 980 —

410. L. В е г g e r, Physica 30, 1141 A964).
411. В у-динь К ы, Phys. stat. sol. 15, 739 A966); ФММ 23, 400 A967).
412. Л. Н. П е т р.о в а, ФТТ 10, 12 A968).
413. Л. А. Шишкин, ФММ 26, 399 A968).
414. А. К u n d t, Wied. Ann. 49, 257 A893).
415. A. W. S m i t h, Phys. Rev. 30, 1 A910).
416. A. W. S m i t h, R. W. S e а г s, Phys. Rev. 34, 1466 A929).
417. E. M. P u g h, Phys. Rev. 36, 1503 A930).
418. E. M. P u g h, T. W. L i p p e г t, Phys. Rev. 42, 709 A932).
419. И. К. К и к о и н, Phys. Zs. UdSSR 9, 1 A936).
420. Е. М. Р u g h, Phys. Rev. 32, 824 A928).
421. H. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФММ 2, 377 A956).
421 а.А. П. Комар, Н. В. Волкенштейн, ДАН СССР 60, 785 A948).
422. Н. В. Волкенштейн, М. И. Турчинская, ПТЭ № 4, 159 A959).
423. Е. М. Р u g h, N. R о s t о k e г, A. I. S с h i n d 1 e r, Phys. Rev. 80, 688 A950).
424. И. К. Кикоин, ЖЭТФ 10, 1242 A940).
425. H. Kammerling h-0 nnes, E. Osterhuis, Leid. Comjn., № 139e
A936).
426. В. В. П а р ф е н о в, В. Р. А б е л ь с, ДАН СССР 82, 877 A952); Изв. АН СССР,
сер. физ. 16, 597 A952).
427. Е. М. Р u g h, N. R о s t о к е г, A. I. S с h i n d 1 e г, Phys. Rev. 83, 208 A951).
428. J. P. J a n, H. M. G i j s m a n, Physica 18, 339 A952).
429. A. I. S с h i n d 1 e r, E. M. P u g h, Phys. Rev. 89, 295 A953).
430. S. F о n e r, E. M. P u g h, Phys. Rev. 91, 20 A953).
431. E. M. P u g h, N. Rostoker, Rev. Mod. Phys. 25, 151 A953).
432. J. P. J a n, Helv. Phys. Acta 25, 677 A955).
433. С. К о о i, Phys. Rev. 95, 843 A954).
434. A. I. Schindler, E. I. S a 1 k о v i t z, Phys. Rev. 99, 1251 A955).
435. S.Foner, Phys. Rev. 88, 955 A952); 99, 1079 A955); 101, 1648 A956); 107, 15d3
A957).
436. E. A. A s с h e r, Helv. Phys. Acta 28, 667 A955).
437. F. E. Allison, E. M. P u g h, Phys. Rev. 102, 1281 A956); 107, 103 A957).
438. А. В. Черемушкина, ФММ 6, 268 A958); Вестн. МГУ, сер. мат., мех.,
физ. № 1, 121 A958).
439. D. R i vier, Helv. Phys. Acta 30, 474 A957); 35, 262 A962).
440. H. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, С. В. В онсовский, ЖЭТФ
35, 85 A958).
441. Н. С. Акулов, А. В. Черемушкина, ДАН СССР 98, 35 A954); 102,
45 A955); ЖЭТФ 31, 152 A956); 35, 518 A958).
442. И. К. К и к о и н, Е. М. Б у р я к, Ю. А. М у р о м к и н, ДАН СССР 125, 1011
A959).
443. А. И. К а р ч е в с к и й, В. И. Николаев, ФММ И, 519 A961); 12, 372
A961).
444. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ЖЭТФ 38, 64 A960).
445. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, И. К. Григорова, ФММ 19,
633 A965).
446. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, В. П. Широковский,
ФММ И, 152 A961).
447. С. Kevane, S. Legvold, F. Spedding, Phys. Rev. 91, 1372 A953).
448. G. Anderson, S. Legvold, F. Spedding, Phys. Rev. Ill, 1257 A958).
449. H. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, Изв. АН СССР сер. физ. 25, 1379
A961).
450. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ЖЭТФ 44, 825 A963).
451. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФММ 18, 26 A964).
452. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, В. Е. Старце в, Э. В. Гало-
Галоши н а, Сб. «Вопросы теории н применения редкоземельных металлов», Изд.
«Наука», М., 1964, стр. 79.
453. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФММ 20, 508 A965).
454. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФТТ 7, 3215 A965).
455. Н. В. Волкенштейн, И. К. Григорова, Г. В. Федоров ЖЭТФ
50, 1505 A966).
456. Н. В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФТТ 8, 1895 A966).
457. Н. В. Волкепштейн, И. К. Григорова, Г. В. Федоров ЖЭТФ
51, 780 A966).
458. R. S. L e e, S. L e g v о 1 d, Phys. Rev. 162, 431 A967).
459. Н. А. Б а б у ш к и н а, ФТТ 7, 3026 A965).
460. J. J. Rhyne, Phys. Rev. 172, 523 A968).
461. Ю. П. И р х и н, Докторская диссертация, Свердловск. 1968.
462. Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 87, 788 A934).
463. В. Е. Рудницкий, ЖЭТФ 9, 262 A939).
464. В. Е. Рудницкий, ЖЭТФ 10, 744 A940).
465. R.Hulme, Proc. Roy. Soc. A135, 237 A932).
— 981 —

466. А. Г. Самойлович, Б. Л. Коньков, ЖЭТФ 20, 783 A950).
467. Н. П. П а т р а х и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 604 A952).
468. L. Bouckaert, M. Smoluchowski, E. Wigner, Phys. Rev. 50, 58
A936).
469. R. Karplus, J. M. L u t t i n g e r, Phys. Rev. 95, 1154 A954).
470. E. N.Adams, E. I. В 1 о u n d, J. Phys. Chem. Sol. 10, 286 A959).
471. С S t г а с h a n, A. M. Murray, Proc. Phys. Soc. 73, 435 A959).
472. W. Kohn, J. M. Luttinger, Phys. Rev. 108, 590 A957).
473. IO. M. К а г а н, Л. А. М а к с и м о в, ФТТ 7, 530 A965).
474. Ю. П. Ирхин, А. Н. Волошинский, Ш. Ш. Абельский, Phys.
stat. sol. 22, 309 A967).
475. Ю. П. И р х и н, В. Г. Ш а в р о в, ЖЭТФ 42, 1233 A962).
476. Л. Э. Гуревич, И. Н. Яссиевич, ФТТ 4, 2854 A962); 5 2622
A963).
477. Н. R. L e r i b a u х, Phys. Rev. 150, 384 A966).
478. Ш. Ш. Абельский, Ю. П. Ирхин, ФММ 14, 641 A962).
479. Н. В. Волке н штейн, В. А. Новоселов, В. Е. Старцев а,
ЖЭТФ 60, 1078 A971).
480. Ю. П. Ирхин, Ш. Ш. Абельский, ФТТ 6, 1635 A964).
481. Н. В г о о k s, Phys. Rev. 58, 909 A940).
482. Л. Э. Г у р е в и ч, И. Н. Я с с и е в и ч, ФТТ 7, 582 A965).
483. А. Н. Волошинский, ФММ 18, 492 A964).
484. J. К о n d о, Thechn. Rept. ISSP, ser. A, № 45 A962).
485. Д. И. Волков, Т. М. Козлова, Г. А. Шафигуллина, ФММ 26, 1101
A968).
486. Д. И. Волков, Т. М. Козлова, Г. А. Шафигуллина, ФММ 27, 67
A969).
487. Ю. П. И р х и н, В. Г. П о с т о в а л о в, ФТТ 8, 437 A966); 9, 1262 A967).
488. R. Huguenan, D. Rivier, Helv. Phys. Acta 34, 770 A961); 38, 900 A965).
489. А. А. Абдурахманов, Вестн. МГУ, сер. физ., астр., № 2, 67 A964).
490. М. Р е t e r et al., Helv. Phys Acta 44, 345 A971).
491. E. И. Кондорский, ЖЭТФ 45, 511 A963).
492. E. И. Кондорский, Р. П. Васильева, ЖЭТФ 45, 401 A963).
493. Е. И. Кондорский, ЖЭТФ 48, 506 A965).
494. Д. И. В о л к о в, Г. М. К о з л о в а, ЖЭТФ 48, 65 A965); ФММ 20, 355 A965).
495. Г. М. К о з л о в а, Вестн. МГУ 20, сер. III, № 5, 24 A965).
496. А. С. Е h г 1 i с h, R. Hugnenin, D. Rivier, J. Phys. Chem. Sol. 28, 253
A967).
497. F. E. M a r a n z a n a, Phys. Rev. 160, 421 A967).
498. V. Christoph, Phys. stat. sol. 26, K17 A968); Ann. der Phys. 22, 219 A969).
499. III. Ш. Абельский, Ю. П. Ирхин, ЖЭТФ 44, 230 A963); ФММ 19, 282
A965).
500. J. La vine, Phys. Rev. 114, 482 A959); 122, 1273 A961).
501. К. П. Белов, Е. П. Свирина, ЖЭТФ 37, 1212 A959).
502. E. П. С в и р и н а, ФТТ 6, 3378 A964).
503. Т. Okamura, J. Torizuka, Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. A3, 352
A950).
504. E. A. T у р о в, В. Г. Ш а в р о в, Ю. П. И р х и н, ЖЭТФ 47, 298 A964).
505. H.W.Lehmann, Phys. Rev. 163, 488 A967); J. Appl. Phys. 39, 666 A968).
506. А. А. Самохвалов, И. Г. Факидов, ФММ 4, 249 A957).
507. W. M a n n, Ann. der Phys. 2, 122 A959).
508. Е. П. С в и р и н а, М. А. М а л и к о в а, ФТТ 6, 3626 A964), Вестн. МГУ, 20,
сер. III, № 4, 94 A965).
509. Е. П. С в и р и н а, О. А. М а л и к о в а, М. А. М а л и к о в а, ФТТ 8, 1599
A966).
510. F. Wang, R. Gravel, M. R e s t i g i a n, J. Appl. Phys. 38, 1131 A967).
511. С. В. В о н с о в с к и й, Ю. П. Ирхин, Е. А. Туров, В. Г. Ш а в р о в,
Тезисы доклада на VI Всесоюзном совещании по физике низких температур,
Свердловск, 1959, стр. 9.
512. С. В. Вонсовский, Труды Ин-та физики металлов, № 12, 9 A949).
513. М. G. С о t t a m, R. В. S t i n с h с о m b e, J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.) 1. 1052
A968).
514. R.C.Fiva z, J. Appl. Phys. 39, 1278 A968).
515. S. Wakoh, J. Yamashita, J. Phys. Soc. Japan 21, 1712 A966).
516. E. И. Кондорский, ФММ 22, 168 A966); ЖЭТФ 55, 558, 2367 A968).
517. В у-д и н ь К ы, ЖЭТФ 50, 1218 A966); 54, 762 A968); Phys. stat. sol. 26, 565
A968).
518. Сб. «Optical properties an electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles,
North.-Holl. Publ. Сотр. Amsterdam, 1966.
519. Г. С. К р и н ч и к, М. В. Ч е т к и н, УФН 98, 3 A969).
520. В. В. Еременко, А. И. Беляева, УФН 98, 27 A969).
521. W. Gerlach, Ann. der Phys. 25, 209 A936).
— 982 —

522. L. О г n s t e i n, J. van der V e e n, Physica 3, 289 A936); 6, 439 A939).
523. H. К 6 n i g, J. Opt. Soc. Amer. 3, 101 A948).
524. L. G. S с h u 1 z, Adv. Phys. 6, 102 A957).
525. Л. А. Гольдгаммер, Wied. Ann. 45, 71 A892).
526. P. D r u d e, Wied. Ann. 46, 353 A892); 48, 122; 49, 690 A893).
527. Г. Л о р е н т ц, Теория электронов, Гостехиздат, М., перевод с англ., 1965.
528. С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, ЖЭТФ 16, 615 A949).
529. А. И. Волошинский, Г. А. Болотин, ФММ 17, 481 A964).
530. А. И. Волошинский, ФММ 18, 10 A964).
531. М. И. Сергеев, М. Г. Ч е р н и х о в с к и й, ЖЭТФ 4, 235 A934).
532. С. П. Ш у б и н, ДАН СССР 3, 15 A935).
533. М. И. С е р г е е в, ЖЭТФ 18, 948 A938).
534. Н. Е h r e n r e i с h, H. R. P h i I i p p, Phys. Rev. 128, 1622 A962).
535. В. R. С о о р е г, Н. Е h r e n r e i с h, H. R. P h i 1 i p p, Phys. Rev. 138, А494
A965).
536. В. S e g a 1 1, Phys. Rev. 125, 109 A962).
537. H. E h r e n r e i с h, H. R. P h i 1 i p p, D. J. О 1 e с h n a, Phys. Rev. 131, 2469
A963).
538. H. Ehrenreich, Сб. «Optical properties and electronic structure of metals
and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Сотр., Amsterdam, 1966, p. 109.
539. J. С P h i 1 1 i p s, Phys. Rev. 133, A1020 A964); J. Appl. Phys. 39, 755 A968).
540. G. А. В u r d i с k, Phys. Rev. 129, 138 A963).
541. M. M. К и р и л л о в а, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1968.
542. М. М. Кириллова, Б. А. Ч а р и к о в, ФММ 15, 315 A963); 19, 495 A965).
543. Л. А. Афанасьева, М. М. Кириллова, ФММ 23, 472 A967).
544. Л. А. Афанасьева, М. М. Кириллова, М. М. Носков, ФММ 24,
617 A967).
545. Г. А. Болотин, М. М. Кириллова, Л. В. Номерованная,
М. М. Н о с к о в, ФММ 24, 617 A967).
546. М. М. К и р и л л о в а, Г. А. Б о л о т и н, В. М. М а е в с к и й, ФММ 24, 95
A967).
547. М. М. Кириллова, М. М. Носков, ФММ 26, 952 A968).
548. М. М. Кириллова, Л. В. Номерованная, Г. А. Болотин,
В. М. М а е в с к и й, М. М. Носков, М. С. Болотина, ФММ 25, 459
A968).
549. J. H a n u s, J. F e i n 1 e i b, W. J. S с о u 1 e r, J. Appl. Phys. 39, 1273 A968);
Phys. Rev. Lett. 19, 16 A967).
550. С S с h ii 1 e г, Сб. «Optical properties and electronic structure of metals and alloys»,
ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Сотр., Amsterdam, 1966, p. 221.
551. A. J. Blodgett Jr., W. E. S p i с e r, A. Y. Y u, Сб. «Optical properties and
electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Сотр.
Amsterdam, 1966, p. 246.
552. С S. Porter, E. G. Spenser, R. С L e Crow, J. Appl. Phys. 29, 495
A958).
553. R. С Le С г о w, D. L. W о о d, J. F. D i 1 1 о n, J. P. R e m e i k a, Appl. Phys.
Lett. 7, 27 A965).
554. D. L. W о о d, J. P. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 38, 1038 A967).
555. M. Tinkham, Phys. Rev. 124, 311 A961); J. Appl. Phys. 33, 1248S A962).
556. A. J. S i e v e r s, M. Tinkham, Phys. Rev. 124, 321 A961).
557. K. A. W i с k e r s h e i m, R. L. W h i t e, Phys. Rev. Lett. 4, 123 A960).
558. Г. С. Кринчик, М. В. Четкий, ЖЭТФ 41, 673 A961).
559. Г. С. К р и н ч и к, М. В. Ч е т к и н, ЖЭТФ 40, 729 A961).
560. G. В u s с h, В. Magyar, P. Wachter, Phys. Lett. 23, 438 A966).
561. R. W. Те ale, D. W. Temple, Phys. Rev. Lett. 19, 904 A967).
562. K. A. W i e k e r s h e i m, R. A. Buchanan, J. Appl. Phys. 38, 1048 A967).
563. А. В. Соколов, УФН 50, 161 A953).
564. W. S с h u t z, Hand. Experim. Phys. 16, 1 A936).
565. M. von L a u e, Hand. Experim. Phys. 18, 189 A928).
566. А. В. С о к о л о в, ФММ 3, 208 A956).
567. Г. А. Болотин, А. В. Соколов, ФММ 12, 493, 625, 785 A961).
568. Г. А. Болотин, Диссертация, Свердловск, 1968.
569. Г. С. Кринчик, Вестник МГУ 12, G1 A955).
570. Г. С. К р и н ч и к, М. В. Ч е т к и н, ЖЭТФ 36, 1924 A959); Оптика и спектро-
спектроскопия 6, 703 A959).
571. С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, ЖЭТФ 19, 705 A949).
572. С, G. Darwin, Proc. Roy. Soc. A 151, 512 A935).
573. P. N. A r g у г е s, Phys. Rev. 97, 334 A955).
574. B. R.Cooper, Phys. Rev. 139, A1504 A965).
575. J. С Phillips, L. F. Mattheiss, Phys. Rev. Lett. 11, 556 A963).
576. Г. С. К р и н ч и к, Р. Д. Н у р а л и е в а, ЖЭТФ 36, 1022 A959); 42, 1442 A962).
577. Г. С. К р и н ч и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1293 A957); 28, 481 A964).
578. Г. С. Кринчик, Г. М. Н у р м у х а м е д о в, ЖЭТФ 48, 34 A965).
- 983 -

579. Г. С. К р и н ч и к, В. А. А р т е м ь е в, J. Appl. Phys. 39, 1276 A968).
580. Г. С. К р и н ч п к, Сб. «Optical properties and electronic structure of metals
and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Сотр., Amsterdam, 1966, p. 484.
581. D. H. M а г t i n, S. D о n i а с h, K. J. N e a 1, Phys. Lett. 9, 224 A964).
582. S. D о n i а с h, J. Appl. Phys. 39, 751 A968).
583. S. D о n i а с h, Сб. «Optical properties and electronic structure of metals and
alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Сотр., Amsterdam, 1966, p. 471.
584. A. H. Волошинский, Г. А. Болотин, ФММ 17, 481 A964).
585. A. H. Волошинский, ФММ 18, 10 A964).
586. А. Н. Волошинский, В. С. Гусев, ФММ 19, 660 A965).
587. Л. Э. Г у р е в и ч, И. Н. Я с с и е в и ч, ФТТ 6, 3341 A964).
588. А. В. В е д я е в, Е. И. К о н д о р с к и й, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 9201
A966); ФММ 24, 193 A967).
589. Е. И. К о н д о р с к и й, А. В. В е д я е в, J. Appl. Phys. 39, 559 A968).
590. Л. А. Афанасьева, А. Н. Волошинский, М. М. Носков, ФММ
21, 288 A966).
591. Л. А. Афанасьева, М. М. Носков, ФММ 22, 787 A966).
592. Л. А. Афанасьева, Г. А. Болотин, М. М. Носков, ФММ 22, 828
A966).
593. В. Г. Ш а в р о в, Е. А. Туров, ЖЭТФ 45, 349 A962).
594. Н. П. Непримеров, Изв. АН СССР, сер. фпз. 21, 1288 A957).
595. Г. В.Скроцкий, В. Ф. Захарченко, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1297
A957).
596. М. J. M. L e a s k, J. Appl. Phys. 39, 908 A968).
597. Н. Schuchert, S. Hufner, R. Fanlhaber, J. Appl. Phys. 39, 1137
A968).
598. M. В. Ч е т к и н, А. Н. Ш а л ы т, ЖЭТФ 52, 882 A967); J. Appl. Phys. 39, 561
A968).
599. А. М. S t о f f e 1, J. Appl. Phys. 39, 563 A968).
600. Г. С. К р и н ч и к, М. В. Четкий, ЖЭТФ 38, 1643 A960).
601. М. В. Четкий, ФТТ 6, 3753 A964).
602. R. G. Wheeler, F.M. Reames, E. J.Wachtel, J. Appl. Phys. 39, 915
A968).
603. J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. Appl. Phys. 39, 922 A968).
604. A. H. Л е в к о в, М. М. Носков, Изв. вузов, Физика, № 3, 76 A958).
605. G. Y. Fan, J,H. Greiner, J. Appl. Phys. 39, 1216 A968).
606. Г. А. Смоленский, Р. В. Писарев, М. П. Петров, В. В. Моска-
Москале в, И. Г. Синий, Р. М. Юдин, J. Appl. Phys. 39, 568 A968).
607. J, F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 29, 539 A958).
608. R. W. С о о p e r, W. А. С г о s s 1 e y, J. L. P a g e, R. F. P e a r s о n, J. AppL
Phys. 39, 565 A968).
609. E. M ii 1 1 e r - H a r t m a n, J. Zittard, Phys Rev. Lett. 26, 428 A971).
610. D. D. S e 1 1, J. Appl. Phys. 39, 1030 A968).
611. P. A. F 1 e u r y, S. P. S. P о r t o, J. Appl. Phys. 39, 1035 A968); см. перевод УФН
98, 71 A969).
612. Т. М о r i a, J. Appl. Phys. 39, 1042 A968); см. перевод УФН 98, 81 A969).
613. Сб. «Спектроскопия и магпетооптика магнитоупорядоченных кристаллов», ч. 1Г
Антиферромагнетики; ч. II, Ферриты и ферромагнетики, Харьков, 1966.
614. J. W. Hal ley, I. S i 1 v e r a, Phys. Rev. Lett. 15, 654 A965).
615. S. J. A 1 1 e n, Jr., R. L о u d о n, F. L. Richards, Phys. Rev. Lett. 16, 463
A966).
616. R. L. G r e e n e, D. D. S e 1 1, W. M. Y e n, A. L. S с h a w 1 о w, R. M. W h i -
t e, Phys. Rev. Lett. 15, 656 A965); J. Appl. Phys. 37, 1229 A966).
617. P. Russell, D. M с С 1 u r e, J. Stout, Phys. Rev. Lett. 16, 176 A966).
618. R. Newman, R. M. С h e r e n n o, Phys. Rev. 114, 1507 A959).
619. A. T a u с h i d a, J. Phys. Soc. Japan 21, 2497 A966).
620. А. И. Беляева, В. В. Еременко, Н. Н. Михайлов, В. Н. Пав-
Павлов, С. В. Петров, ЖЭТФ 50, 1472 A966).
621. P. A. F 1 е и г у, S. P. S. Р о г t о, L. Е. С h e e s m a n, H. J. G u g g e n h e i m,
Phys. Rev. Lett. 17, 84 A966).
622. P. A. F 1 e и г у, S. P. S. P о r t о, R. L о и d о n, Phys. Rev. Lett. 18, 658
A967).
623. А. И. Беляева, В. В. Еременко, ЖЭТФ 44, 469 A963).
624. В. В. Еременко, А. И. Беляева, ФТТ 5, 2877 A963).
625. В. В. Еременко, 10. А. Попков, Ю. Г. Л и т в и н е н к о, ЖЭТФ 47,
1733 A964).
626. В. В. Еременко, Ю. А. Попков, Phys. Stat. Sol. 12, 627 A965).
627. В. В. Е р е м е н к о, Ю. А. П о п к о в, Л. Т. X а р ч е н к о, Письма ЖЭТФ Зг
233 A966).
628. В. В. Еременко, Э. В. Матюшин, Укр. физ. журнал 11, 902 A966).
629. L.F. Johnson, R.E.Dietz.H. J. Guggenheim, Phys. Rev. Lett. 17,
13 A966).
— 984 —

s ^ з -ё ? i s i ; | gs g* g
00 CD . ^ SCO M П ¦* S " O3 ^00 SS2 LO J?
эт о03 s я ° - '• • ет OT ^ Й
Ш Рн .Я . ^ ^«С? 51 _• 2 ^ § f . S!» ? ' f O= §i S. ^-Д 2.Й а Й МОЮ S
и . -й» ^ S S oq 2 Д? d Й-^ ^ | SS "- ?> SS ^- Я оз с,и« оз
» а юн>е<- н ^-f^^H Я §? -тзй§2B .-<; . »M-o|oh к ю.н «s^^g *>- . So» .~ э и й"
-¦¦?«" ffl B!:Sl-»^o-5^:.d .»-s'-ss» i^-i. ^V,i*" R=n =-.," „-о,-«.е,и?яго
® H S Q. u « - вот .w . aS# . Sn-o "-1 м BP-2. * . К ,,-._,-,._•"""
khcow со 2сЯн^-^^ыл»°рсоСг^соЭОса»ш »Jom- -ec r^*° =*fi ^^«^<rt- - - - -•*-_..
1яя<<^<^д'Йя^ь42«я'й«^^'«я©'«!н«<о<о^«й«¦<¦<« oCcS.44mdddmQ"S-SQco<P4i-4zi-i§.Qrtm
CO CO COCOCOCO CD CD CD CO CO COCO CD CO CD CO CD CO CD CO CD CO CD CO CD COCO CD CO CD CD CO CO CO CD CO S CD CD ? S ? CD cS IS cS CD CD CO CD CD CD CO CD CO

686. F. R ei f, M. W olf, Phys. Rev. Lett. 9, 315 A962); Rev. Mod. Phys. 36, 238
A964); Phys. Rev. 137, A557 A965).
687. P. F u 1 d e, К. М а к i, Phys. Rev. 141, 275 A966).
688. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 40, 1677 A961).
689. Б. В. Карпенко, ФММ 9, 794 A960).
690. А. И. Ахиезер, И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 36, 859 A959).
691. А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, ЖЭТФ 43, 2208 A962).
692. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 182 A964).
693. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 49. 682 A965); J. Appl.
Phys. 39, 649 A968).
694. Б. Т. Г е й л и к м а н, ЖЭТФ 48, 1194 A965).
695. А. А. А б р и к о с о в, УФН 97, 403 A969).
696. J. О. L i n d e, Ann. der Phys. 10, 52 A931); 14, 353; 15, 219 A932).
697. W. J. de H a a s, J. deBoer, G. J. van den В е г g, Physica 1, 1115 A933/34)
Comm., Leiden № 233b.
698. W. J. de H a a s, G. J. van den В е г g, Physica 3, 440 A936); 4, 603 A937); Comm.
Leiden № 241d, 249d.
¦699. G. J. van den Berg, Thesis, Leiden Univ., 1938.
700. G. J. van den Berg, Low Temp. Phys., vol. 4, ed. С J. Gorter, North-Holl. Publ.
Сотр., Amsterdam, 1964, p. 194; Proc. 9 Int. Conf. Low Temp. Phys., Plenum
Press, N.Y., 1965, p. 955.
701. H. E. Алексеевский, Ю. И. Гайдуков, ЖЭТФ 31, 947 A956); 32,
1589 A957).
702. J. К о n d о, Progr. Theor. Phys. 32, 37 A964).
703. M. D. D а у b e 1 1, W. A. S t e у е г t, Phys. Rev. Lett. 18, 398 A967); 20, 195
A968).
704. К. К u m e, J. Phys. Soc. Japan 22, 1116, 1309 A967); 23, 1226 A967).
705. А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 48, 992 A965); Physics 2, 21 A965).
706. H. S u h 1, Phys. Rev. 138, A515 A965), Physics 2, 39 A965).
707. H. S u h 1, D. W о n g, Physics 3. 17 A967).
708. С. В. М а л е е в, ЖЭТФ 51, 1940 A966); 53, 1038 A967).
709. С. Л. Гинзбург, Письма ЖЭТФ 6, 766 A967); ЖЭТФ 54, 1455 A968).
710. С. В. Малеев, ФММ 29, 1121 A970).
711. Y. N a g а о k a, Phys. Rev. 138, А1112 A965); Progr. Theor. Phys. 37, 13 A967).
712. D. R. H a m a n n, Phys. Rev. 158, 570 A967).
713. R. В 1 о о m f i e 1 d, D. R. H a m a n n, Phys. Rev. 164, 856 A967).
714. K. Y о s i d a, Phys. Rev. 147, 223 A966); Progr. Theor. Phys. 36, 875 A966).
715. А. А. А б р и к о с о в, ЖЭТФ 53, 1078, 2105 A967).
716. P.W.Anderson, Phys. Rev. 164, 352 A967).
717. J. К о n d о, Progr. Theor. Phys. 36, 429 A966); Phys. Rev. 154, 644 A967).
718. J. A. Appelbaum, J. К о n d o, Phys. Rev. Lett. 19, 906 A967).
719. H,. I s h i i, K. Y о s i d a, Progr. Theor. Phys. 38, 61 A967).
720. J. R. S с h r i f f e r, J. Appl. Phys. 38, 1143 A967).
721. А. А. А б р и к о с о в, Physics 2, 71 A965).
722. Ю. А. И з ю м о в, Ф. А. Касса н-0 г л ы, Препринт ОИЯИ, Р4-4359, Дубна,
1969.
723. М. F о w 1 е г, К. М а к i, Phys. Rev. 164, 484 A967).
724. А. А. А б р и к о с о в, ЖЭТФ 55, 380 A968).
725. С. Л. Гинзбург, ФТТ 54, 380 A968).
726. Н. В. Волкенштейн, В. Е. Старцев, Письма ЖЭТФ 7, 426 A968).
727. Т. van P e s k i-T i n b e r g e n, A. J. D e к к е r, Physica 29, 917 A963).
728. S. H. L i u, Phys. Rev. 132, 589 A963).
729. В. Н.Файн, Я. Д. Х анин, Квантовая радиофизика, «Наука», 1965, стр. 579.
730. С. W. Truss el, Jr. E. Christopher, R. V. Coleman, J. Appl. Phys.
41, 1424 A970).
731. A. H. Вол ошински й, Е. А. Т у ров, Л. Ф. Савицкая, ФТТ 22, 3141
A970).
732. Н. В. Волкенштейн, В. П. Д як и на, ФММ 31, 773 A971).
733. А. Н. Волошинский, А. Д. Коваленко, ФММ 31, 13 A971).
734. A. Luther, W. J. Emery, Phys. Rev. Lett. 27, 142 A971).
735. E. А. Туров, А. Н. Волошинский, Явления переноса в ферромагнитных
металлах, Препринт ИФМ АН СССР, Свердловск 1971. См. также Summer School
on the Theory of Magnetism of Metals, vol. II, Warszawa, 1970.
736. E. А. Туров, В. Г. Шавров, ЖЭТФ 43, 2273 A962).
737. А. И. Русинов, ЖЭТФ 56, 2047 A969).
738. P.W.Shumate, Jr., R. W. С о 1 е m a n, R. С. F i v a z, Phys. Rev. IB,
394 A970).

лава 26
ЯДЕРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ;В МАГНЕТИЗМЕ
§ 1. Введение
Ядерные методы исследований в физике конденсированных веществ
вообще и в физике твердого тела, в частности, имеют два различных
аспекта.
Во-первых, при взаимодействии атомных ядер твердого тела с элек-
электронами (в том числе и с электронами — носителями магнетизма кристал-
кристаллов) они проявляют специфические свойства, отличные от свойств изоли-
изолированных ядер. Здесь речь идет прежде всего о взаимодействиях СТС
(см. гл. 3). Изучая эти свойства, можно получить добавочную ценную
информацию о физическом состоянии электронной системы твердого тела
и, в частности, о его магнитных свойствах. Наиболее ярко эта специфика
свойств самих атомных ядер в твердом теле проявляется в двух явлениях:
ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и эффекте Мессбауера.
Во-вторых, экспериментальные методы ядерной физики и особые
свойства атомных ядер в кристаллах могут быть непосредственно исполь-
использованы как средства очень тонкой информации для изучения электронных
свойств твердого тела. Конечно, при этом опять используется взаимо-
взаимодействие СТС между ядрами самого твердого тела или пучками нуклонов
(например, нейтронов), с одной стороны, и электронами кристалла,
с другой. Наиболее типичными и богатыми по своим результатам являют-
являются методы структурной и магнитной нейтронографии (дифракция нейтро-
нейтронов в кристалле), а также измерения, связанные с ЯМР и эффектом Месс-
Мессбауера.
Оба эти аспекта применений методов ядерной физики в физике твер-
твердого тела удобнее всего проследить при конкретном описании и обсужде-
обсуждении следующих трех явлений: а) нейтронной дифракции, б) ядерного
магнитного резонанса {ЯМР) и в) эффекта Мессбауера.
Ниже эти явления будут рассмотрены лишь как методы исследования
свойств магнитно-упорядоченных веществ или веществ без магнитного
порядка, но с магнитно активными (парамагнитными) примесями. При
рассмотрении нейтронной дифракции мы также ограничимся только слу-
случаем магнитного рассеяния нейтронов магнитно активными электронами
кристаллов (магнитная нейтронография).
§ 2. Магнитная нейтронография
1. Общие замечания *). Явление дифракции нейтронов тесно свя-
связано с их волновой природой. Успех применения метода нейтронной диф-
дифракции для изучения атомной и в особенности магнитной структуры кри-
кристаллов обусловлен по крайней мере четырьмя «счастливыми» обстоя-
обстоятельствами.
Во-первых, длина волны Я.всякого излучения, которое можно исполь-
использовать для исследования расположения атомов в кристаллах, должна
*) См. монографии Бэкона A957), Изюмова и Озерова A966), Турчина A963),
обзоры [1—6], а также гл. 20 и 22.
— 987 —

быть порядка минимального межатомного расстояния в них. т. е. постоян-
постоянной решетки d. Так, например, широкое использование в рентгенографии
характеристического рентгеновского излучения Си с длиной волны
ЯСи = 1,54 А объясняется как раз хорошим выполнением условия Яси ~
л; d. Для нейтронов с массой тп и импульсом р = mnv (v — скорость)
длина волны Хп по формуле де Бройля равна
Яп = —. B6.1)
mnv v '
Достаточно интенсивные пучки нейтронов, с которыми практически воз-
возможны дифракционные исследования кристаллов, получаются в ядерных
реакторах. Нейтроны перед выходом из реактора проходят через замед-
замедлитель — тяжелую воду (или графит), находящуюся в изотермических
условиях при температуре Т. В результате многочисленных столкновений
с атомами замедлителя скорость нейтронов пучка снижается до некоторого»
значения и. Поэтому при тепловом равновесии будем иметь
^ = ^кБТ. B6.2>
Из B6.1) и B6.2) следует, что
к=г?&- <26-3>
Обычно температура реактора и замедлителя лежит в интервале от 0° С
до 100° С. Поэтому длины волн Яп, соответствующие средним скоростям
нейтронов, находящихся в тепловом равновесии в этом интервале темпе-
температур, согласно B6.3), лежат в интервале 1,55—1,33 А, т. е близки к ти-
типичным значениям параметров кристаллических решеток d. Таких
нейтронов на выходе из реактора оказывается больше всего. Это и являет-
является первым «счастливым» обстоятельством, обеспечивающим успех прак-
практического применения нейтронной дифракции в физике твердого тела.
Во-вторых, у нейтрона отсутствует электрический заряд. Это обеспе-
обеспечивает (из-за отсутствия потерь энергии на ионизацию электронных
оболочек и т. п.) большую (по сравнению с параметром решетки d) сред-
среднюю длину свободного пробега нейтрона в кристаллах.
В-третьих, у нейтронов имеется магнитный момент [см. формулу C.3)].
Это делает нейтроны незаменимыми в дифракционных исследованиях,
магнитной электронной структуры кристаллов.
Нейтроны, попадая в кристалл, испытывают не только магнитное
рассеяние на электронах: они также испытывают рассеяние на атомных
ядрах, благодаря ядерному взаимодействию между нейтроном пучка
и нуклонами ядер. Амплитуда этого ядерного рассеяния изменяется
весьма нерегулярно с изменением атомного номера Z (в противополож-
противоположность рентгеновским лучам, амплитуда рассеяния которых растет пропор-
пропорционально Z), поэтому амплитуды нейтронного ядерного рассеяния для
соседних элементов в таблице Менделеева могут сильно различаться.
Это позволяет с успехом применять структурную нейтронографию для
изучения атомной структуры упорядочивающихся сплавов, например
из системы типа Fe — Ш, Fe — Со и т. п. *).
И, наконец, в-четвертых, сечение ядерного рассеяния нейтронов
оказалось того же порядка A0~24 см3), что и магнитного. Это обстоятель-
обстоятельство весьма существенно, так как позволяет одновременно с одинаковой,
точностью снимать магнитные и структурные нейтронограммы.
Пучки нейтронов формируются в реакторе с помощью коллиматора.
В выходящем из реактора пучке нейтроны имеют максвелловсКое распре-
*) Вопрос о применении ядерного рассеяния нейтронов для изучения явления
упорядочения в сплаве впервые был рассмотрен в работе [7].

.деление по скоростям, т. е. пучок оказывается не монохроматическим.
Его можно искусственно сделать таким, если отразить его под брэгговским
углом ¦&, удовлетворяющим условию
nK = 2dcos® (га=1, 2, 3, ...), B6.4)
от монокристалла (например, Со, Си и т, п.), поставленного на пути пуч-
пучка (рис. 26.1) *).
В общем случае информация о
структуре кристалла (ядерной и маг-
магнитной) содержится как в угловом, так
и в энергетическом распределении
нейтронов. Рассеяние может быть
упругое и неупругое. Оба эти
случая мы сейчас кратко и рассмот-
рассмотрим.
2. Упругое ядерное и магнитное
рассеяние, а. Определение магнит-
магнитных структур **). Заметим прежде
всего, что при упругом рассеянии
информация о кристалле получается
из углового распределения нейт-
нейтронов.
Интенсивность упругого рас-
рассеянного монохроматического пуч-
пучка нейтронов от атомных ядер кри-
кристалла, как функция угла рассея-
рассеяния, имеет вид кривой с рядом ост-
острых пиков (см. рис. 22.1, а). Каж-
Каждый из таких пиков соответствует отражению нейтронной волны от
некоторой кристаллической плоскости с миллеровскими индексами
(hkl) под углом Брэгга ¦&(№), определяемым условием Вульфа —Брэгга
B6.4), которое для п — 1 в общем случае имеет вид
sin ®
Рис. 26.1. Схема получения монохроматиче-
монохроматического отраженного пучка нейтронов, а — па-
падающий пучок, выходящий из ядерного реак-
реактора А (максвелловспое распределение ско-
скоростей); Ь — монохроматический пучок нейт-
нейтронов после отражения от кристалла монох-
роматора ВС с параметром решетки d. Длина
волны нейтрона в пучке равна X = 2dsmO,
где О — угол падения и отражения пучка
относительно поверхности кристалла; DE —
коллиматор.
где d
B6.5)
¦ расстояние между плоскостями с миллеровскими индексами
(hkl) [см., например, Китайгородский
A950)]. Равенство B6.5) можно записать
в векторной форме
к' —к —г при |&'| = |fc|, B6.6)
где к ж к' — соответственно волновые
векторы падающего и рассеянного нейтро-
нейтрона (т. е. | к | =
(hkl)
Рис. 26.2 К выводу формулы Вуль-
Вульфа — Брэгга B6.8), к, к' — волновые
векторы падающего и отраженного
пучка нейтронов; х/2л—вектор обрат-
обратной решетки; О,^, — угол падения и
отражения по отношению к плоскости
кристалла (hhl); a — угол между век-
векторами к и к'.
р р
\ \к'\ = 2я/Я„), направле-
направление вектора к совпадает с направлением
распространения волн, т. е. с направле-
направлением импульса падающего нейтрона
p,t/2n — вектор обратной решетки
(рис. 26.2). Экспериментальное определе-
определение углов 'в'(ййг) совместно с формулой B6.5) позволяет определить
атомную структуру вещества.
*) Обычно пользуются только отражением первого порядка (га = 1). В отражен-
отраженном от монокристалла пучке наблюдается разброс по длинам волн порядка 0,05 А,
что заметно превышает разброс в монохроматических пучках рентгеновских лучей.
Следует также помнить, что интенсивность нейтронных пучков значительно меньше,
чем рентгеновских. Несмотря на это, нейтронная дифракция имеет другие указанные
выше преимущества перед рентгеновской, а в области магнитных дифракционных изме-
измерений она вообще не имеет конкурентов.
**) См. также гл. 22, § 3.
- 989 —

Если кристалл имеет упорядоченную магнитную структуру, то
возникает дополнительные брэгговские отражения от плоскостей, занятых
атомами с одинаковой ориентацией магнитных моментов (образующих
одну магнитную подрешетку, см. гл. 22). В случае ферромагнетика, состо-
состоящего из атомов одного сорта (и образующих, следовательно, одну подре-
подрешетку), магнитные брэгговские отражения совпадают с ядерными. В слу-
случае более сложной магнитной структуры могут возникать новые (магнит-
(магнитные) пики при упругом рассеянии нейтронов. Их положение определяется
теми же условиями B6,5) или B6,6), что и для пиков ядерного рассеяния.
Только под т нужно подразумевать вектор обратной магнитной решет-
решетки. Например, в случае антиферромагнетика с двумя коллинеарными
антипараллельно намагниченными подрешетками магнитная электронная
ячейка может оказаться вдвое больше кристаллохимической (гл. 22).
Это приводит, очевидно, к тому, что любой из векторов обратной магнит-
магнитной подрешетки вдвое меньше соответствующего вектора обратной кри-
кристаллохимической решетки. Как видно из соотношения B6.5), это приве-
приведет к появлению магнитного отражения в области малых углов. В каче-
качестве примера можно привести антиферромагнитное соединение МпО,
в котором происходит удвоение элементарной магнитной ячейки по всем
трем основным векторам (рис. 22.2, а).
Дальнейшие сведения, результаты конкретных исследований и ссыл-
ссылки на литературу см. гл. 22, § 3, а также обзоры [1—6].
б. Определение магнитных форм-факторов. В гл. 20, § 2 уже рас-
рассматривался вопрос о магнитном (нейтронном) форм-факторе в связи
с проблемой определения распределения зарядовой и спиновой электрон-
электронной плотностей в кристалле. Для s-состояния, когда у атома нет орбиталь-
орбитального момента, амплитуда магнитного рассеяния нейтрона на атоме /т
дается формулой *)
B6.7)
где r0 = e2l2mc2 — электромагнитный радиус электрона, у — —1,913—
величина нейтронного магнитного момента в единицах |ляд [см. C.3)],
S — атомное спиновое квантовое число, F (q) — нейтронный магнитный
форм-фактор [см. B0,5)]. Здесь
q = р' — р
вектор изменения импульса — нейтрона при рассеянии. В случае
сферически-симметричного распределения спиновой плотности величина
F (q) зависит лишь от модуля вектора q, т. е. от q = DяА) sin (a/2). Об
определении форм-факторов и через них распределения спиновой плот-
плотности и индивидуальных атомных магнитных моментов см. гл. 20, § 2,
книгу Изюмова и Озерова A966), а также работы [12—14].
в. Определение магнитных моментов атомов в сплавах из диффузного-
магнитного рассеяния нейтронов. Магнитное рассеяние нейтронов открыло
интересную возможность определения индивидуальных магнитных момен-
моментов атомов различных компонент в ферромагнитных сплавах по диффуз-
диффузному магнитному рассеянию нейтронов [см. §§ 43, 44 в книге Изюмова
и Озерова A966)]. Этот метод особенно интересен в случае полностью
неупорядоченных или частично упорядоченных сплавов **). Именно в этом
случае используются результаты измерений упругого некогерентного
диффузного рассеяния нейтронов. Не имея возможности подробно
*) В силу явления замораживания орбитального момента в кристаллах d-метал-
лов и их соединений формула B6,7) применима для этих случаев. Для РЗМ необходи-
необходимо обобщить эту формулу [см. Изюмов и Озеров A966) и работы [8—10]]. Из экспери-
экспериментальных работ по определению магнитных форм-факторов в РЗМ (ТЬ) см. [11].
**) В чистых металлах или полностью упорядоченных сплавах индивидуальный
атомный момент можно определить из обычного анализа когерентного упругого рас-
рассеяния нейтронов (см. п. б).
- 990 —

остановиться на этом вопросе, напомним, что некоторые результаты уже
были приведены выше в гл. 21, § 2, п. 4, а также укажем некоторые ори-
оригинальные работы [15—22]. Этот метод представляет также интерес для
определения распределения магнитного момента вокруг атомов примесей
в разбавленных растворах (см. работы [23—25] и обзор Лоу [26]).
3. Неупругое рассеяние нейтронов *). При неупругом рассеянии
нейтрона в кристалле энергия рассеянного нейтрона % (р') может быть
меньше или больше энергии падающего нейтрона Ш (/>) соответственно
из-за потери энергии на рождение или возбуждение, например, фонона или
магнона в кристалле с энергией ^ВОзб (р-возь) или из-за приобретения этой
энергии при ее поглощении нейтроном от кристалла. Для этих энергий,
а также для соответствующих импульсов нейтрона р' и р и и квази-
квазиимпульса возбужденной решетки рВ03б должны выполняться законы
сохранения
B6.8)
B6.9)
Неупругое рассеяние нейтронов интересно именно тем, что при его
изучении открывается возможность экспериментального определения
законов дисперсии тех возбуждений решетки, которые участвуют в этом
рассеянии. Эта возможность связана с
тем, что в энергетическом распределе-
распределении неупруго когерентно рассеянных
нейтронов в любом направлении появ-
появляются пики, положение которых в
силу законов сохранения B6.8) и B6.9)
однозначно связано с энергией одного
испущенного или поглощенного кванта
возбуждения кристалла (фонона или
магнона) при этом процессе рассеяния.
Не вдаваясь в детали этого метода,
приведем лишь в качестве иллюстра-
иллюстрации несколько результатов по опреде-
определению спин-волнового спектра ферро- и
антиферромагнетиков.
?;Эд
0,06
А
А.
У
/
Fe3O4
-
02 04 Off
as
qd/гя
На рис. 26.3 приведена диспер- Рис 2б_3- дисперсионные кривые Е (а)
СИОНнаЯ кривая ДЛЯ ТИПИЧНОГО ферри- ферромагнонов (е — энергия, q — boj
• г " ^ гг вой вектор ферромагнона), полученн:
волно-
ые с
помощью неупругого рассеяния нейтронов
Белые кружки — экспериментальные дан-
данные (Брокхауз и Ватанабе) [27]). Кри-
Кривые были также рассчитаны теоретически
(Каплан [28]).
магнетика — магнетита, полученная .
и пяботе Бпокхауза и Ватанабе [271 для g |i [ooi], при 24° с. а, в— оптиче-
В раооте юрикхауаа ы uaianavc i^ii Ская, С — акустическая ветви спектра.
из исследований неупругого рассея- "— - —
ния нейтронов. Там же приведены
теоретические кривые, рассчитанные
Капланом [28] для акустической
ветви спектра и одной из оптических ветвей (см. гл. 22). Закон дисперсии
для спиновых волн типичного антиферромагнетика MnF2, полученный
по данным нейтронографической работы Лоу и др. [29] для двух направле-
направлений квазиимпульса, показан на рис. 26.4. Там же приведены теоретические
кривые из работы Займана [30]. При разумных значениях обменных энер-
энергетических параметров получается весьма хорошее совпадение между
теорией и экспериментом.
Наконец, упомянем еще, что неупругое рассеяние нейтронов позво-
позволяет определить важную для теории ферромагнетизма температурную
зависимость энергии спиновых волн (см. гл. 19) через температурную
зависимость ширины пиков диффузионного рассеяния. На рис. 26.S
*) См. гл. 4 в книге Изюмова и Озерова A966).
gg/

приведены результаты для магнетита [27]. Следует упомянуть также еще
некоторые работы [31—39] по неупругому рассеянию нейтронов в магнит-
магнитно-упорядоченных кристаллах.
4. Магнитное критическое рассеяние нейтронов. Опыт показал (см.
[40—44]), что магнитное рассеяние нейтронов в ферро- и антиферромагне-
антиферромагнетиках резко увеличивается при углах рассеяния, лежащих вблизи углов
•брэгговских магнитных отражений при температурах, близких к точкам
Кюри или Нееля (ниже и выше их). Это явление полностью аналогично
рассеянию света в жидкости вблизи критического состояния (критическая
опалесценция). Отсылая читателей за подробностями к специальной лите-
литературе [см., например, §§ 20 и 48 в книге Изюмова и Озерова A966)],
100
75
50
У
/
MnF2
0,25 0,50 0,75 1,00
Рис. 26.4. Дисперсионные кривые е (q)
ферромагнонов в антиферромагнитиом кри-
кристалле (е — энергия, q — волновой вектор
ферромагнонов), определенные по неупру-
неупругому рассеянию нейтронов для двух на-
направлений вектора q. 1—[001] и 2—[100]
при 4,2° К (Лоу и др. [29]). Кривые бы ;и
рассчитаны также теоретически (Займан
[30]).
Рис. 26.5. Температурная зависи-
зависимость относительной намагничен-
намагниченности (II1„) магнетита Fe,O4-
¦в ы—точка Нееля. На шкале спра-
справа показаны пропорциональные на-
намагниченности значения величины
а (Т) = е/<?2 (где е — энергия фер-
ромагнока, q—его волновой вектор;
а — в единицах А2). Белые пружки
и вертикальные отрезки линий (по-
(показывающие разброс измеренных
значений) — экспериментальные
данные (Брокхауз и Ватанабе [27]).
¦отметим, что из нейтронных измерений можно при критическом рассеянии
определить радиусы корреляции спиновых моментов в кристалле, кото-
которые находятся в прямой связи с его магнитными характеристиками.Так,
например, в приближении молекулярного поля обратные значения радиу-
радиусов корреляций в парамагнитной области ki и эти значения для попереч-
поперечной kj_ и продольной к ц спиновой слагающей по отношению к внешнему
полю связаны с соответствующими магнитными восприимчивостями
следующими соотношениями:
B6.10)
1 Хпм ^ х±
Отсюда видно, что магнитное критическое рассеяние представляет боль-
большой интерес для теории магнитных переходов, поскольку, измеряя
на опыте температурную зависимость параметров корреляции, можно найти
температурный ход восприимчивости и сравнить его с теорией (см. гл. 19).
На рис. 26.6 показана температурная зависимость параметра к\, опреде-
определенная экспериментально по данным работ [45, 46]; там же приведена
теоретическая кривая, рассчитанная в [45, 46]. Дальнейшим исследова-
исследованиям в этой области посвящены работы [47—58].
— 992 —

/
5. Парамагнитное рассеяние. Как мы видели в п. 4, в ферро- и анти-
антиферромагнетиках в парамагнитной области выше точек Кюри или Нееля
имеет место критическое рассеяние
нейтронов на «остатках» магнитного
порядка. Однако, помимо этого, в
парамагнетиках будет еще один эф-
эффект чисто парамагнитного рассеяния
(при практическом отсутствии даже
остатков магнитного порядка), обус-
обусловленного обменным взаимодейст-
взаимодействием между атомными спинами, кото-
которое приводит к некоторой неупругости
рассеяния. Теорию этого рассеяния
дали Ван-Флек [59] и де Жен [60].
Их расчет предсказал зависимость
ширины линии рассеянных нейтронов
от парамагнитной точки Кюри 0ПМ ,
входящей в закон Кюри — Вейсса,
и сечения от коэффициента диффузии
спинов. Первые опыты провел Брок-
хауз [61] на соединениях MnSO4 и
Мп2О3; более детальное исследование
принадлежит Крибье и Жакро [62]
в MnF2, Деницу и др. [63] в МпО.
Дальнейшим исследованиям парамагнитного рассеяния в различных
металлах, сплавах и соединениях посвящены работы [64—76].
Fe
у
/
5
го
40 60
(т-в), -с
80
Рис. 26.6- Температурная зависимость обрат-
обратных значений квадрата радиуса корреляции
kf для Fe. Радиус корреляции — величина,
пропорциональная обратному значению па-
парамагнитной восприимчивости kf ~ Хдм [см.
формулу B6.12)]. Температура отсчитывается
от точки Кюри в (Жакро и др. [45], Пас-
сель и др. [46]).
§ 3. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
в магнитно-упорядоченных веществах
1. Общие замечания. Ядерный магнитный резонанс — резонансное
поглощение энергии электромагнитного поля в веществе, обусловленное
магнетизмом ядер (см. гл. 3), представляет собой один из самых тонких
методов получения информации о локальном пространственном распре-
распределении зарядовой и спиновой плотностей в электронной системе твердого
тела. Это прежде всего обусловлено тем, что магнитноактивное атомное
ядро представляет собой практически точечный зонд в электронной систе-
системе кристалла. Здесь мы ограничимся лишь кратким изложением важней-
важнейших особенностей ЯМР в ферро-, ферри- и антиферромагнетиках *),
В качестве источников соответствующих сигналов при резонансных
опытах могут служить магнитноактивные ядра как диамагнитных ионов,
так и ионов элементов переходных d-групп и РЗМ.
Развитию методики ЯМР для исследования магнитно-упорядоченных
сред было положено начало в 1953 г. работой Пулиса и Хардемана [79],
в которой был открыт протонный резонанс в антиферромагнитном вещест-
веществе СиС12'2Н2О. На ядрах переходных элементов ЯМР наблюдался Гос-
Госсардом и Портисом [80] в кристалле кобальта на ядрах Со69.
2. Локальные магнитные поля на ядрах. С помощью ЯМР в магнитно-
упорядоченных кристаллах прежде всего оказывается возможным изме-
измерить локальные магнитные поля, создаваемые на ядрах кристалла его
электронной системой.
Магнитная связь между отдельным ядром и электронной оболочкой
иона в твердом теле осуществляется взаимодействием типа сверхтонкой
структуры (СТС), описываемой гамильтонианом C.13). Последнему можно
придать вид [см. Абрагам A963)] скалярного произведения оператора
*) Более подробные сведения по этому вопросу см. в обзорах [77, 78] и в особен-
особенности в книге Турова и Петрова A969).
63 с. в. Вонсовский
— 993 —

локального магнитного поля едоЭл на оператор спинового магнитного
момента ядра ^яд |ляд I- Согласно C.13), имеем
] B6.11)
Как и в C.13), первый член называется фермиевским контактным полем,
а второй и третий дают поля, создаваемые точечным магнитным диполем
gj\iBS и круговым током электронов ионной оболочки с угловым момен-
моментом L. Расчет квантовомеханического среднего от оператора B6.11) тре-
требует знания распределения электронных зарядовой и спиновой плотности
в кристалле. Обычно такие расчеты проводятся методом Хартри — Фока
с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Подробно-
Подробности о способах вычисления и о природе локальных магнитных полей
на ядрах можно найти, например, в обзорах [81, 82]. Здесь мы ограничимся
лишь кратким перечнем основных результатов.
В кристаллах локальные поля на ядре иона элемента группы железа
с недостроенным магнитно активным Зй-слоем в основном определяются
фермиевским контактным взаимодействием. Последнее отлично от нуля
только для s-электронов, волновая функция которых не имеет узлов
на ядре. Напротив, для s-электронов два последних дипольных члена
в B6.11) равны нулю. Таким образом, фермиевскому контактному взаимо-
взаимодействию можно сопоставить эффективное магнитное поле, которое [см.
C.14)] равно
^эФф = -^№з*|гМ0)|2, B6.12)
где | i|js @) |2 == ps @)—плотность s-электронов в точке, занятой ядром.
Опыт показывает, что во многих магнитных веществах знак .й^фф оказы-
оказывается отрицательным по отношению к электронной намагниченности
кристалла. Анализ данных по измерению ЯЭфф для Зй-металлов, ферритов-
шпинелей, редкоземельных ферритов со структурой граната, а также ряда
солей, позволил Ватсону и Фримену [81], в противоположность прежним
высказываниям, например в известной работе Маршалла [83], утверждать,
что основной вклад в /Гэфф почти всегда дает обменная поляризация
s-электронов ионных остовов кристаллической решетки со спиновой плотно-
плотностью неспаренных d- или /-электронов. Как впервые было указано в рабо-
работе [83], кроме вклада ЯЭфф из B6.12), в эффективное поле входит еще
локальное магнитное поле Нлок, которое состоит из внешнего поля, раз-
размагничивающего поля поверхности образца и поля Лорентца (in/3)I,
и поправки к нему для случая некубических кристаллов (поправка
составляет не более 10~3 части от поля Лорентца). Помимо этих полей,
следует еще учитывать: 1) поле от контактного взаимодействия с эле-
электронами проводимости, поляризованными их обменной связью с d-
или /-электронами; 2) поле от контактного взаимодействия с электро-
электронами проводимости, частично гибридизированными с d-электронами;
3) поле, обусловленное магнитным дипольным взаимодействием d-электро-
нов; 4) поле от незамороженной части орбитальных моментов d- или
/-электронов. Могут быть также еще и другие вклады в НЭфф (см. [81]).
Рассмотрим в качестве примера эффективное поле на ядрах в металли-
металлическом Fe. Основной отрицательный вклад здесь дают подмагниченные
2s- и 35-слои ионного остова (^400 кэ). Положительный вклад (порядка
100 кэ) дают подмагниченные электроны проводимости, как это и предпо-
предполагалось в [83]. Но вместе с тем, как показали Андерсон и Клогстон [84],
может возникнуть отрицательное эффективное поле, возникающее из-за
ковалентной связи электронов проводимости с электронами незаполнен-
незаполненной Зй-полосы.
В ферромагнитных сплавах Зй-металлов могут быть добавочные источ-
источники внутреннего поля на ядрах растворенных веществ. Электроны про-
- 994 —

водимости (в основном бывшие 4х-электроны) могут подмагничиваться
Зй-электронами ионов матрицы и примеси. Переходы Зй-электронов меж-
между ионами матрицы и примеси могут также вызывать поляризацию замк-
замкнутых 2s- и Зх-слоев. Резонансные измерения величины внутренних полей
на ядрах как диа-, так и парамагнитных ионов примесей указывают на
существенный вклад в поле поляризации электронов проводимости
[85—87]. В случае редкоземельных элементов недостроенный 4/-слой
электронной оболочки имеет гораздо меньший радиус, чем Зй-слой в эле-
элементах группы железа. Кроме того, орбитальный момент у них не заморо-
заморожен. Есть основания считать, что локальное поле на ядрах в РЗМ в основ-
основном определяется орбитальными и дипольными полями электронов
4/-слоя. Поля на ядрах могут достигать 106—107 э.
Металлическая связь в совокупности с примесью ковалентной связи
переходных d-металлов обусловливает появление сильных локальных
полей (до 104—105 э) также на ядрах примесных немагнитных ионов
в магнитно-упорядоченной матрице. Химическая связь, например кова-
лентная связь и перекрытие электронных оболочек, также приводит
к магнитной поляризации оболочек немагнитных ионов в химических
соединениях с участием магнитно активных ионов, а это в свою очередь
может приводить к появлению локальных магнитных полей (порядка
104 э) на ядрах немагнитных ионов в таких соединениях. Впервые такие
поля были обнаружены в работах Самойлова, Скляревского и Степано-
Степанова [366, 367].
Обычно все перечисленные выше локальные магнитные поля, связан-
связанные с взаимодействием магнитного момента ядра с электронной оболочкой
«своего» иона (даже если он «подмагничен» соседними магнитно активными
ионами), и называют сверхтонкими полями (или полями взаимодействия
СТС). Их следует отличать от локальных магнитных полей на ядрах,
созданных прямым взаимодействием моментов ядер с электронными обо-
оболочками «чужих» магнитных ионов и обычно обусловленных в основном
диполь-дипольной магнитной связью. Величина соответствующих диполь-
ных полей не превышает нескольких сот тысяч эрстед. Конкретные данные
по измерениям полей на ядрах см. ниже в табл. 26.2.
Оператор энергии взаимодействия СТС ядерного / и электронного S
спина магнитного иона имеет вид
с^стс = АСТС81, B6.13)
где Лете — константа взаимодействия- СТС, 8 — суммарный спин иона,
который в случае ионов РЗМ надо заменить полным моментом J = 8 + L.
Постоянная Лете в кристаллах некубической симметрии в общем случае
является тензором, отражающим симметрию данного кристалла.
В случае ядер немагнитных ионов оператор B6.13) для взаимодей-
взаимодействия СТС, вызванного поляризацией внутренних заполненных слоев
(в основном s-слоев) по аналогии с B6.13), имеет вид
^стс=3^стс(^)*Д, B6.14)
3
где суммирование проводится по узлам / ближайших магнитных ионов.
Если ввести электронную и ядерную намагниченности магнитных подреше-
ток /; (г) и m-t (r), то формулы B6.13) и B6.14) можно записать в обычном
виде для макроскопической трактовки. Тогда выражение для плотности
энергии взаимодействия СТС в ?-й подрешетке примет следующий вид:
($?стс И = A°CTCIi (r) пы (г), B6.15)
где Acre = ЛстсАЛ^ёядЙ2» N — число магнитных ионов данной под-
решетки в единице объема.
- 995 - 63*

Таким образом, для части локального поля на ядрах от взаимодей-
взаимодействия СТС получим
еИ= -%gf^= -^TCti(r). B6.16)
Формула B6.16) справедлива как для ферромагнетиков (одна подрешетка),
так и для антиферро- и ферримагнетиков (две или более подрешетки).
Экспериментальные исследования показали, что в большинстве слу-
случаев векторы Нлок С**) и I (**) антипараллельны, т. е. Лете > 0 (и поэтому
^4стс>0).Тепловое движение создает разброс магнитных моментов атомов,
а обменные и другие взаимодействия между ними приводят к усреднению
момента каждого отдельного атома. В итоге на ядерный момент действует
среднее статическое поле B6.16):
<#„«*> = -^ctc(J). B6.17)
Частота ЯМР, равна частоте ларморовской прецессии в суммарном
статическом магнитном поле, действующем на ядерный магнитный
момент:
Г>|, B6.18)
где И—сумма ^внешнего поля и всех дипольных добавок (см. выше).
В парамагнитной области (при температурах выше точки Кюри или
Нееля) A) = %пмН. Следовательно, по B6.18) имеем
)#. B6.19)
В этом случае локальные поля (Нлок) на ядрах приводят лишь
к небольшому сдвигу резонансной частоты
¦^¦=^т«ЯЬ«<1. B6.20)
ШЯМР
Этот сдвиг аналогичен сдвигу Найта [88] (обусловленному взаимодействи-
зм электронов проводимости металлов с ядерными магнитными моментами),
но больше последнего для диамагнетиков. Кроме того, следует помнить,
что в общем случае Лете и %пм — тензоры.
В случае магнитно-упорядоченных веществ модуль средней намаг-
намагниченности по порядку совпадает с намагниченностью насыщения соот-
соответствующей подрешетки \(I)\ « /s. Таким образом, в силу B6.17) имеем
(Нлок"> « A°CTCIS, B6.21)
т. е. величина локального поля при Т, близких к 0° К, будет близка
к своему мгновенному (т. е. среднему квантовомеханическому) значению.
3. Особенности ЯМР магнитно-упорядоченных веществ, а. Усиление
ЯМР. Резонансная частота и сигнал ЯМР в магнитно-упорядоченных
веществах оказываются очень большими. Например, измерения частот
ЯМР показывают, что они на два-три порядка больше, чем в этих же
кристаллах в парамагнитной области во внешних полях порядка 103—
10* э. Точно так же измерения насыщения резонансной линии в кобальте
с г. ц. к. решеткой показали, что эффективное радиочастотное поле на
ядрах в 103 раз больше, чем приложенное переменное поле [89]. Можно
указать две наиболее очевидные причины этих «усилений» ЯМР в фер-
ферромагнетиках.
Первая из них связана с продольной статической составляющей
локального поля
(Haoldz^-A°CTCIS, B6.22)
где z — направление оси квантования электронных моментов в том месте,
где расположено ядро. Согласно B6.17) для циклической частоты ЯМР
— 996 —

в этом поле имеем
«ЯМР=|ёРяд(Алок)г|- B6.23)
В противоположность парамагнитной области, основной вклад в соямр
будет давать член B6.22) от взаимодействия СТС. В случае ферри-
и антиферромагнетиков с противоположно намагниченными подрешетками
поле B6.21) будет векторной суммой полей всех подрешеток.
Вторая причина связана с поперечной динамической составляющей
(•Нлок)_1_- Резонансные квантовые переходы ядерных спинов индуцируют-
индуцируются не внешним радиочастотным полем hx с частотой со « соямр> а перемен-
переменной слагающей внутреннего поля СНЛОк>1> создаваемой этим внешним
полем hx. Действительно, поперечная переменная составляющая поля
равна по B6.17)
Д B6.24)
Рассмотрим однодоменную ферромагнитную частицу, намагниченную
до насыщения вдоль легкой оси, в которой под действием внешнего
радиочастотного поля намагниченность вращается когерентно. Тогда
^ %Bphx, B6.25)
где ¦& — максимальный угол, который составляет вектор Is с легчайшей
осью z в результате процесса вращения (предполагается, что этот угол
мал: sin й ж ¦&), %Bp = Is/(H + Наниз) магнитная восприимчивость про-
процесса вращения по отношению к радиочастотному полю hx < Н + Наниз,
где Н — внешнее статическое поле, а Нанпз — эффективное магнитное
поле анизотропии (см. гл. 23). Если размагничивающий фактор образца
вдоль оси z равен Nz, то он также вносит вклад в поле анизотропии Няиш
величиной NZIS (см. гл. 23). Подставляя B6.25) в B6.24), находим, что на
ядерный спин, кроме поля hx, действует внутреннее переменное поле
<-Нлок>± ~ — ^стсЪрй* = т)n0Mhx. B6.26)
Величину
„ лО ЛСТ(/з (Длок)г /9fi 971*
принято называть коэффициентом усиления ЯМР в однодоменном образце.
Его величина при полях (-НГЛ0К>х ~ Ю6 — 106 э и Н-\~Наниз л^Ю3—Ю* э
лежит в интервале
т)дом « 10 -г- 1000. B6.28)
Усиление ЯМР на ядрах, расположенных внутри доменов, наблюдает-
наблюдается, например, в чистых ферромагнитных металлах Fe, Co и Ni [90], в маг-
магнетите Fe3O4 [91] и антиферромагнетиках [92].
Еще большее усиление ЯМР происходит в том случае, когда ядро
расположено в граничном слое между доменами ферромагнетика. Это
объясняется тем, что в многодоменном ферромагнетике намагничивание
в слабом переменном поле идет в основном путем обратимых смещений
граничных слоев между доменами. При этих смещениях особенно силь-
сильное вращение испытывает локальная намагниченность внутри граничного
слоя. Угол вращения й намагниченности в центре слоя при его смещении р.ч.
полем hx на расстоянии Az равен ¦& = Az/6, где 26 — эффективная толщина
слоя. Az можно выразить через изменение намагниченности А/ж = Xcuhx =
= 2IsAz/L, где L — толщина домена, 5ССМ восприимчивость смещения.
В результате процессы смещения дают для усиления
т,гр ~ Ac™h& = - -^ А0СТСхСи B6.29)
в граничном слое и нуль вне его.
— 997 —

Величина т)гр обычно столь большая, что интегральный сигнал ЯМР
от ядер граничных слоев значительно превосходит таковой от ядер в до-
доменах, несмотря на то, что объем слоев мал по сравнению с объемом
доменов. Действительно, поглощаемая при ЯМР мощность пропорцио-
пропорциональна квадрату амплитуды р. ч. поля, действующего нд ядерные момен-
моменты, так что интегральная мощность равна
^дом ~ (Т)домйжJ, B6.30)
-х-. B6-31)
Следовательно, коэффициенты усиления по мощности равны
Т]дом (Р) = Т]дом= (^СТСЪрJ, B6.32)
т]гр (Р) = л?Р ^- = Yb (^стсХсмJ. B6.33)
Поскольку Хсм>5Свр и L > б, то обычно т)гр (Р) > т)дом (Р). Это под-
подтверждается тем, что в сильных полях, разрушающих доменную струк-
структуру, интенсивность сигнала ЯМР резко спадает (см. [80, 93 — 95]). При
выводе формулы B6.33) пренебрегалось зависимостью резонансной часто-
частоты (и ширины линии) от координаты по толщине граничного слоя, учет
этого несколько усложнит картину явления (см. [394, 395).
По вопросу о ЯМР в доменных границах см. также [96—109, 394, 395].
б. Косвенное взаимодействие ядерных спинов через спиновые волны.
Спиновые волны благодаря взаимодействию СТС тоже связаны с ядерны-
ядерными моментами. Через эту связь осуществляется косвенное взаимодействие
между ядерными спинами, обусловленное виртуальными процессами испу-
испускания (поглощения) спиновой волны магнона одним ядром с последую-
последующим поглощением ее другим ядром. Оператор этого косвенного взаимо-
взаимодействия ядерных моментов имеет вид
ACH(Ml2)I:It, B6.34)
где /± = 1Х ¦+ Ну — поперечные компоненты ядерных спинов, Асн (-К12) —
параметр взаимодействия, зависящий от расстояния Itiz между ядерными
спинами *). Продольные компоненты спинов Iz также взаимодействуют
между собой. Однако при температурах, не очень близких к точкам Кюри
или Нееля, оно заметно слабее взаимодействия B6.34). Последнее, таким
образом, анизотропно, т. е. зависит от ориентации ядерных спинов отно-
относительно физически выделенного направления z, определяемого направ-
направлением намагниченности или осью антиферромагнетизма. Эта особенность
отличает связь B6.34) от изотропной косвенной обменной связи, например
типа Рудермана — Киттеля (см. гл. 20), имеющую вид АРК (-ffJ2) -Л/г-
Взаимодействие B6.34) приводит в силу своего нескалярного харак-
характера к отличному от нуля второму моменту линии ЯМР (см. гл. 13)
и, следовательно, вносит вклад в ширину линии. При заметной концен-
концентрации магнитноактивных ядер этот механизм уширения может быть
одним из главных.
Более тонким является эффект, связанный с корреляцией движения
ядерных спинов на расстояниях порядка эффективного радиуса взаимо-
взаимодействия B6.34). Он заключается в сдвиге частоты ЯМР при очень низких
температурах по сравнению с ее значением B6.23) при средних темпера-
температурах. Этот динамический сдвиг частоты пропорционален средней ядерной
намагниченности (т) при данной температуре и его величина растет
с понижением температуры, поскольку (т > ~ ТяД, где Т„д — темпера-
температура ядерной спин-системы [113].
*) Это взаимодействие было введено и рассмотрено в работах Сула [110] и Нака-
мура [111] (см. также [112, 113]). Поэтому в литературе появился термин «сул-нака-
муровское взаимодействие».
— 998 —

С этим же связан и обратный эффект сдвига электронной резонансной
частоты, обусловленный эффективным полем
т=
определяющим действие ядерной подсистемы на электронную [114].
Эти низкотемпературные сдвиги резонансных частот особенно замет-
заметны в антиферромагнетиках с анизотропией типа «легкая плоскость» (см.
гл. 22), например в MnCO3, CrMnF3 и в слабоанизотропных (кубических)
антиферромагнетиках типа RbMnF3 и KMnF3. В них при температурах
порядка 1° К связь колебаний ядерных и электронных моментов стано-
становится столь сильной, что необходимо рассматривать единые колебания
в целом всей ядерно-электронной спин-системы (см. [113, 115—117]).
Здесь можно наблюдать ряд нелинейных интересных эффектов типа
зависимости частоты и формы линий ЯМР и ЭПР от мощности радиочас-
радиочастотного поля, двойной электронноядерный резонанс и т. п. (см. [114,
118, 119]).
в. Зависимость от температуры ЯМР и релаксация. Во многих опы-
опытах определялась температурная зависимость частоты соямр! а следова-
следовательно, и поля (НП0К). Поскольку, согласно B6.17), это поле пропорцио1-
нально A > и можно считать, что постоянная Астс в B6.17) не зависит
от Т, то измерения температурного хода соямр могут дать информацию
о температурной зависимости средней намагниченности отдельных ионов.
Подобные измерения были проведены на Fe [93], на некоторых сплавах
[85, 87], на ионах Мп2+ в подрешетке шпинели MnFe2O4 [120], на ионах
Fe2+ в обоих подрешетках железо иттриевого граната [121] (см. также
работу [122]). Интересно отметить, что опыты по измерению ЯМР в Fe
при различных внешних давлениях [123] показали, что величина Астс
в B6.17) все же зависит от температуры (~Г2), что может быть связано
с возбуждением электронов в Зй-полосу.
Времена спин-спиновой и спин-решеточной релаксаций были измере-
измерены во многих магнитно-упорядоченных веществах. При этом была обна-
обнаружена диффузия спинов, подобная наблюдаемой в жидкостях [124].
Механизм спин-решеточной релаксации связан, по-видимому, с взаимо-
взаимодействием с электронами проводимости [89, 90]. В процессах релаксации
при ЯМР большое значение имеет уже упомянутое выше сул-накамуров-
ское взаимодействие, которое, например, ответственно за ширину линий
ЯМР, наблюдаемых в антиферромагнетиках с неколлинеарной магнитной
структурой, подобных KMnF3 [125]. Этот механизм, по-видимому приво-
приводит также к смещению резонансной частоты [113, 126, 127]. По вопросу
о ядерной релаксации в ферро- и антиферромагнетиках см. также рабо-
работы [128-144].
4. Основная информация о свойствах ферро- и антиферромагнетиков,
получаемая с помощью ЯМР. Как мы видели выше, из измерений частот
ЯМР можно определить величину и знак локального магнитного поля
на магнитно активных ядрах. По распределению этого поля в решетке
можно судить о распределении спиновой плотности, т. е. локальной
намагниченности электронной подсистемы кристалла. Знание последней
имеет первостепенное значение для создания детальной теории манитно-
упорядоченных веществ.
В некоторых случаях ЯМР позволил выяснить тот или иной вид
магнитной структуры. Так, например, был открыт слабый ферромагне-
ферромагнетизм в антиферромагнетике NiF2 [92, 94]. В ферримагнитном хромите
марганца МпСг2О4 со сложной магнитной структурой изучение ЯМР
позволило определить угол конуса, по которому располагаются векторы
магнитных моментов этого кристалла [145].
В различных магнитно-упорядоченных соединениях измерение
локальных магнитных полей на ядрах как магнитно активных, так
- 999 —

в особенности немагнитных ионов позволяет получить ценную информацию
об участии в химической связи различных групп электронов [146—148].
В металлических сплавах, изучая с помощью ЯМР изменение распре-
распределения спиновой плотности в зависимости от состава сплава, можно про-
проследить, как возникают магнитно-упорядоченные состояния. В случае
сильно разбавленных сплавов ЯМР имеет интереснейшую область при-
применения для исследования характера локализации магнитных моментов
примесных атомов и, в частности, природы гигантских магнитных момен-
моментов некоторых примесей (см. гл. 21, а также [149, 150]).
Выше уже отмечалось, что измерения частот ЯМР можно использовать
для прецизионного измерения температурной зависимости намагничен-
намагниченности ферромагнетика или намагниченностей подрешеток ферри- или
антиферромагнетика. Более того, если в кристалле имеется несколько
различных ядер, то по соответствующей резонансной частоте ©ямр мож-
можно найти температурный ход среднего магнитного момента каждого сорта
ионов, на ядрах которых наблюдается ЯМР. Частоты могут различаться
не только для разных ядер, но и для одинаковых ядер, находящихся
в различных (в кристаллохимическом смысле) узлах кристаллической
решетки. В случае примесных ядер было, например, обнаружено, что
температурная зависимость магнитного момента, локализованного около
этих ядер, может быть совсем иной, чем такая зависимость у самопроиз-
самопроизвольной намагниченности матрицы (см. измерения в работе Жаккарино
и др. [151], а также теоретический расчет Изюмова и Медведева [152]).
В области низких температур указанные измерения температурной
зависимости намагниченности с помощью ЯМР имеют важное значение
для проверки теории спиновых волн (см. гл. 19, а также [78]). Здесь под-
подразумевается не только проверка предсказываемого теорией температур-
температурного хода / (Т), но также и выяснение существования такого чисто кван-
квантового эффекта, обусловленного нулевыми квантовыми колебаниями спи-
спинов, и заключающегося в том, что в ферритах и антиферромагнетиках
(Sz > — S ф 0 даже при Т -^ 0° К.
Форма и ширина линий ЯМР, как мы видели выше, может существен-
существенно зависеть от свойств системы спиновых волн. Поэтому измерения ЯМР
в этих случаях дают ценные сведения о свойствах спин-волновой системы
(см. Туров и др. [153, 154]).
Для высоких температур наибольший интерес представляют измере-
измерения в непосредственной окрестности у точек Кюри или Нееля, поскольку
они имеют большое значение для развития теории фазовых переходов
второго рода (см. [155—158]).
Очень важным применением ЯМР в исследовании ферро- и антиферро-
антиферромагнетиков является изучение с его помощью доменной структуры
и особенно, как уже отмечалось выше, граничных слоев между доменами
(см. гл. 23, 24, а также [96—109, 159—192]).
§ 4. Эффект Мессбауера и его применение
в исследованиях магнетизма
В 1958 г. Мессбауер [193] открыл явление резонансного поглощения
и испускания у-квантов без отдачи атомными ядрами твердого тела, полу-
получившее название эффекта Мессбауера или ядерного гамма-резонанса
(ЯГР) *). Этот эффект нашел широчайшее применение в ядерной и общей
физике. Особенно много ценных и важных результатов было получено
в физике твердого тела и, в частности, в изучении магнитных свойств
*) Теория эффекта Мессбауера и его многочисленные применения подробно изло-
изложены в обзорах [194—199, 213] и монографиях [200—202], а также в сборнике перево-
переводов оригинальных работ под редакцией и со вступительной статьей Ю. М. Кагана [203].
См. также обзоры [389 и 390].
- 1000 —

кристаллов. Метод ЯГР также находит большое применение в химии,
биологии и технике (см. обзор Гонзера [199] и Гольданского [198], а так-
также монографию последнего [202]). Мы здесь лишь очень кратко изложим
принцип метода ЯГР и его основные применения для изучения магнитно^
упорядоченных веществ.
1. Основные черты эффекта Мессбауера. Рассмотрим прежде всего
характер излучения 7"кванта энергии Щу = %щ свободным ядром атома
массы М. Если ядро до излучения покоилось, то после излучения
по закону сохранения импульса суммарный импульс ядра Mv и кванта Шу1с
должен равняться нулю: Шу1с + Mv = 0, где v — скорость отдачи ядра,
равная по величине
v =
Me'
Следовательно, энергия отдачи Mr равна
'2Мс*
B6.36>
Для характеристики излучения необходимо также знать время жизни
возбужденного состояния т и связанную с ним соотношением неопределен-
неопределенности энергия — время ширину уровня Г? = %1%. Отношение ширины
спектральной линии Гг к энергии излученного кванта Ту/Му называют
остротой резонанса. Очень важными характеристиками также являются
отношения энергии отдачи Шв к энергии кванта Шл/Шу и к ширине уров-
уровня %-r /Гт.
Таблица 26.1
Сравнение основных параметров излучения оптического
фотона (jD-линия Na) и укванта (возбужденного ядра n9Sn)
Основные параметры
Энергия кванта <^ = й(о, эв
Время жизни возбужденного
состояния т, сек
Естественная ширина уровняГ, эв
Острота резонанса Г/g
Энергия отдачи излучателя $r, эв
Отношение энергии отдачи
к энергии кванта: Sr/S
Отношение энергии отдачи к ши-
ширине уровня <?н/Г
Атом (Д-
линия Na)
2,1
1,5-10-8
4,4-10-8
2,1-10-8
10-Ю
5 • Ю-"
2,3-10-3
Ядро nesn
23 800
2,7-Ю-8
2,4-10-8
Ю-12
2,5-10-з
ю-'
105
В табл. 26.1 сравниваются эти основные параметры излучения для:
оптического фотона, возникающего при квантовом переходе в электрон-
электронной оболочке атома (Д-линия оптического линейчатого спектра Na) и для
7-кванта, излучаемого возбужденным ядром119 Sn. Из таблицы видно, что
поскольку ширина линий Гт для излучения оптического фотона и "^-кван-
"^-кванта одинаковы, а энергия последнего на 4 порядка больше, избиратель-
избирательность ядерного резонанса в десятки тысяч раз больше атомного. Доста-
Достаточно изменить энергию излучаемого или поглощаемого кванта на 10~12
(одну триллионную) часть, чтобы полностью нарушить условия резонанса.
Отсюда и следует необычайная заманчивость перспективы использования
такой исключительной избирательности. Однако именно по этой причине
и большой энергии отдачи долгое время ЯГР не был обнаружен. Дей-
Действительно, линии испускания и поглощения смещаются от своего поло-
положения, которое определялось бы разностью AM между энергией возбуж-
— 1001 -

денного (ei) и основного (Щй) состояния излучателя. По закону сохра-
сохранения энергии имеем
Л А С?> (?)
= А©— ©я,
или
\ СУ) Cg eg »»ИЗЛ I
ii©'— ©i — ©o=©y ~T ©Я
а поглощаемый -р-квант, который возбуждает ядро, должен также сооб-
сообщить ему энергию отдачи, т. е.
йоПОГЛ a eg I eg
Таким образом, линия излучения смещена относительно линии погло-
поглощения на величину удвоенной энергии отдачи (рис. 26.7)
Поскольку ширина линий Г? на пять порядков меньше энергии отдачи
(см. последнюю строку в табл. 26.1), то ЯГР на свободных ядрах практи-
практически наблюдать нельзя. Только в 1951 г.
был предложен и осуществлен первый экспе-
эксперимент [204] по резонансному поглощению
7-квантов путем компенсации потери энер-
энергии на отдачу допплеровским сдвигом энер-
энергии испускаемых квантов.
Однако настоящий расцвет ЯГР стал
возможен после открытия в 1958 г. Месс-
бауером [193] ядерного 7-Резонанса вообще
без отдачи. В своем опыте этот автор на
Рис. 26.7- Смещение линии излу-
излучения % излуч = Д % — % д относи-
относительно линии поглощения $Н0ГЛ=
= Д % _[- %r при 0ТДаче ядРа с
энергией %R. A% — разность меж-
между энергией возбуждения и основ-
основного состояния ядра; Г — естест-
естественная ширина линии. Если энер-
энергия 2^д заметно больше ширины
линии Г, то резонансное поглоще-
примере изотопа 191 Ir (для 7~лУчеи с энер-
ние невозможно.
гией квантов в 129 кэв) осуществил такие
условия, когда ядра излучатели и поглоти-
поглотители были сильно связаны химическими си-
силами со своими соседями в кристалле. Энер-
Энергии отдачи A0~3 эв) недостаточно для разру-
разрушения химической связи. Если при этом еще
не оказывается возможным возбудить коле-
колебания решетки (т. е. излучать фононы, если
энергия 7-кванта меньше дебаевской энер-
энергии /еввд), то отдачу будет испытывать вся
решетка *). А поскольку в выражение энергии отдачи [см. B6.36)] масса М
тела, испытывающего отдачу, входит в знаменатель, то энергия Шв будет
в этом случае исчезающе малой и будет иметь место неравенство %R < Гт.
Поэтому при этих условиях отдача уже не мешает наблюдению резонанс-
резонансных явлений с 7-квантами **).
Одним из наиболее удобных для мессбауеровских опытов является
ядерный переход изотопа 57Fe с энергией 7-квантов в 14,4 кэв. Изотоп Fe57
является удобным объектом экспериментов в силу того, что энергия
7-кванта сравнительно мала, время жизни возбужденного состояния этого
перехода (т = 1,45-10 сек) относительно велико, также велик полупери-
полупериод распада B70 дней) материнского изотопа 57Со. Для магнитных иссле-
исследований изотоп 57Fe обладает преимуществами в силу того, что Fe
*) Как при выстреле судового орудия, жестко связанного с судном, испытывает
отдачу весь корабль.
**) Аналогичная ситуация в теории резонансного захвата медленных нейтронов
в кристаллах была развита Лембом еще в 1939 г. [205]. Квантовый расчет для случая
¦у-лучей был впервые проведен в работах Мессбауера [193] (см. также [206—209]).
Несмещенная линия в спектре ЯГР для атомных ядер в кристалле будет, очевидно,
существовать всегда. Интенсивность несмещенной линии может быть больше или мень-
меньше в зависимости от интенсивности возбуждения фононов. Во всяком случае с ростом
температуры, когда число фононов растет, растет и вероятность их возбуждения (как
это имеет место в статистике Бозе), и поэтому вероятность эффекта Мессбауэра всегда
уменьшается с ростом температуры.
— 1002 -

В
является ферромагнетиком и входит во многие ферро-, ферри- и антифер-
антиферромагнитные вещества. Естественное распространение изотопа 57Fe
составляет 2,14%. Однако можно получить образцы, обогащенные этим
изотопом. Вообще же уже изучено несколько десятков изотопов, для
которых наблюдался эффект Мессбауера (см., например, список изотопов
в обзорах [194, 213]).
Для наблюдения и применений эффекта Мессбауера, кроме изото-
изотопа " Fe, использовалось уже свыше 30 изотопов. Среди них упомяняем
изотоп U9Sn, впервые использо-
использованный в работах [210, 211]
(Ъ(оу = 23,8 кэв, т « 1,8 -10"8 сек,
# П if) i*«"l /"¦«•• Q/ "K^fi T f**s Q 4- • \ C\ ~"^ f*P1?
f ,j XX I / <- VUaj /"^/ %J^ FVisv щ I; /"^/ %J щ ^X" A. \_/ [stsFV
и с минимальным отношением
Ту/Шу яа 5-10~16, см. работу
[212]), а также изотопы 197Аи,
161Dy, 187Re и т. д.
Естественно, возникает воп-
вопрос: как же проще всего осу-
осуществить на практике наблюде- ~^У -о
ние и измерение ЯГР. Для
этого необходимо иметь излу-
излучатель с возбужденными ядра-
ядрами и резонансный поглотитель
7-квантов со стабильными ядра-
ядрами того же самого изотопа. Кроме того, необходимо регулируемым спосо-
способом варьировать величину энергии излучаемого 7-кванта- Для это-
этого проще всего воспользоваться эффектом Допплера, т. е. зависи-
излучаемого кванта от скорости движения источ-
источника. Благодаря чрезвычайной
остроте 7-резонанса (см. табл. 26.1)
необходимы очень малые скорости
движения поглотителя относитель-
относительно источника. А именно, для этой
Рис. 26.8. Принципиальная схема установки для
измерения ЯГР (эффекта Мессбауера). А — источник
у-квантов (неподвижный); В — поглотитель (под-
(подвижный); С — детектор (v-счетчик); ±v — скорость
поглотителя относительно источника.
мостью частоты
скорости v имеем
3 it
и, мм/сек
Рис. 26.9. Типичная кривая скорости счета про-
прошедших через поглотитель Y-квантов в зависи-
зависимости от скорости v поглотителя относительно
источника (см. рис. 26.8). 6 — изомерный сдвиг
линии (Фримен и Ватсон [82]).
-2-10 12
Например, для 119Sn отноше-
отношение Ту/Шу « 10~12 и, следовательно
(с = 3-1010 см/сек),
v ж 3-10~2 см/сек.
На рис. 26.8 приведена схема
измерительной установки, а на рис. 26.9 — кривая скорости счета
7-квантов (т. е. спектр ЯГР) от скорости движения поглотителя
(или источника). Пик на кривой рис. 26.9 отвечает минимуму чис-
числа отсчетов 7-квантов в секунду, т. е. максимуму поглощения в окрест-
окрестности определенной скорости движения *). Таким образом, при измерении
спектра ЯГР энергия испускаемого 7-кванта смещается благодаря эффек-
эффекту Допплера. Когда эта энергия 7-кванта совпадает с одним из возможных
переходов в ядре поглотителе, то происходит резонансное поглощение,
которое и обнаруживается каким-либо подходящим детектором (напри-
(например, сцинтилляционным или пропорциональным счетчиком).
*) На рис. 26.9 указан также изомерный сдвиг линии ЯГР, который обусловлен
изменением конечного радиуса ядра при ядерном ^-переходе из возбужденного состоя-
состояния в основное. Этот сдвиг равен 6 = А [р0 @) — р4 @)], где А —константа, опреде-
определяемая свойствами ядра, а р0 @) и р4 @) — соответственно значения электронной плот-
плотности у ядра излучателя и ядра поглотителя (см., например, 213]).
— 1003 —

Детальная квантовая теория эффекта Мессбауера и в первую очередь
величины вероятности эффекта и его зависимости от температуры, связь
этой зависимости со спектром частот колебаний кристалла, влияние при-
примесей и т. п. была развита в работах Кагана с сотрудниками [214—217].
Некоторые другие вопросы теории эффекта рассмотрены в работах
[218-222].
2. Применение эффекта Мессбауера для изучения магнитных свойств
кристаллов. Энергетические уровни ядра расщепляются под действием
магнитного поля (эффект Зеемана см. гл. 3). Обычные внешние магнитные
поля, с которыми имеют дело в лабораториях (порядка 104 э), слишком
слабы, чтобы дать хорошо разрешимые спектры ЯГР. Но здесь приходят
т.
¦+3/2
-t/2
-±3/2
-±1/2
-±//г
Рис. 26.10. Расщепления и смещения энергетических уровней СТС ядра "Fe
(% о—основной, %i—возбужденный уровни) и v-переходы между этими уровнями (пока-
(показаны вертикальными стрелками), т. — магнитное квантовое число, а) В магнитном
поле; б) под влиянием градиента электрического поля (квадрупольное расщеп-
расщепление); в) изомерный сдвиг (для случая, когда радиус ядра в основном состоянии
больше радиуса ядра в возбужденном состоянии, т. е. ДдДн > R^O
«на помощь» сильные локальные магнитные поляна ядрах,о которых речь
шла уже выше в § 2 (см. также детальный обзор Фримена и Ватсона [82]).
Сразу после открытия эффекта Мессбауера многие авторы независи-
независимо предложили использовать этот эффект для исследования СТС и ядер-
ядерного эффекта Зеемана (см., например, работы [223—226]). Помещая ядра
со спином / и магнитным моментом ц в магнитное поле Н, мы получаем
расщепление вырожденного по спину энергетического уровня ядра на
2/ -\- 1 компоненту, с энергиями (отсчитываемыми от центра мультиплета)
Д?магн= -т^Н, B6.37)
где Шх — одно из 2/+1 магнитных квантовых чисел, определяющих про-
проекцию спина на направление поля
mx=-i, -(/-1), ..., (/-1),/.
Расщепление ядерных уровней может быть следствием не только
действия магнитных, но и электрических полей. В ядрах со спином / >
> 1/2 распределение плотности заряда не является сферически-симмет-
сферически-симметричным и в силу этого возникают квадруполъные электрические моменты.
Поэтому энергия ядра во внешнем электрическом поле может зависеть
от ориентации ядра относительно поля, что в свою очередь вызывает
расщепление энергетических уровней для разных квантовых чисел m,j
(при наличии градиента электрического поля). На рис. 26.10 показаны
схемы расщепления СТС энергетических уровней в ядре изотопа 57Fe:
а) в магнитном поле, б) под влиянием градиента электрического поля
и в) под влиянием изомерного сдвига. Из схемы расщеплений на
рис. 26.10, а видно, что для дипольного излучения правила отбора раз-
разрешают шесть мессбауеровских переходов. На рис. 26.11 приведены
в качестве иллюстрации данные Кистнера и Саньяра [227] для линии
14,4 кэв 57 Fe в поглотителе из Fe2O3 (излучатель — радиоактивные ядра
"Со вводились путем диффузии в образец нержавеющей стали). Линии на
— 1004 —

рис. 26.11 имеют неодинаковые интенсивности, поскольку последние зави-
зависят от угла между направлением магнитного поля и направлением испу-
испускания, а также и от других факторов, например толщины образца
-10 -8
10
-5 -4 -3 -2
-1
Аё, 10'7эв
Рис. 26.11. Зеемановское расщепление в спектре ЯГР для линии 14,4 кэв ядра "Fe,
входящего в состав кристалла Fe2O3, при облучении последнего т>"квантами излу-
излучения от нерасщепленной линии в 14,4 кэв. По оси ординат отложена относитель-
относительная скорость счета, по оси абсцисс — скорость источника (относительно поглоти-
поглотителя) v и соответствующее этой скорости изменение энергии h% = Rсо (и/с) (Кист-
нер и Саньяр [227]).
поглотителя и т. п. Получающиеся спектры ЯГР показывают сильную
•температурную зависимость. Впервые это наблюдал Нэгль и др. [228].
На рис. 26.12 показана температурная зависимость относительного поля
СТС Нэфф (Т)/Нэфф @), полученная
в более поздней работе [229]. Из
графика видно, что эффективное по-
.ле на ядре равно нулю выше точки
Кюри в. При Т < в наблюдается
пропорциональность между Нэфф
и /. Однако даже в простом случае
Fe, как показало сравнение с данны-
данными по измерению ЯМР [230—232],
коэффициент пропорциональности А
между Нэфф и / зависит от темпера-
температуры
'эфф щ-ае
0,4
0,2
О
•
-
-
-
К
г)[1„ -
\
0,2 0,4
/7/
т/в
Выше температуры Кюри G73° С)
спектр Fe сливается в одну линию.
Направление эффективного поля оп-
определяют, исследуя величину внеш-
внешнего магнитного поля (около 20 кэ)
и положение линий в спектре ЯГР
[234]. Во многих случаях эти иссле-
исследования обнаружили, что эффектив-
эффективное поле антипараллельно намагни-
намагниченности (т. е. #Эфф < 0).
Эффект Мессбауера весьма интен-
интенсивно используется для определе-
определения эффективных полей на ядрах для очень широкого класса магнитных
материалов — как в магнитно-упорядоченном, так и в парамагнитном
состояниях. В табл. 26.2 (частично взятой из обзора [82] с добавлением
результатов более поздних работ) приведены некоторые данные и указаны
.литературные источники. Можно указать еще некоторые работы, в которых
— 1005 -
Рис. 26.12. Температурная зависимость эффек-
эффективного магнитного поля Нэфф (Т) на ядрах
67Fe BFe (в относительных единицах Ндфф(Т)/
/Нэфф @) от Г/0, где 0 — точка Кюри Fe).
Точки — экспериментальные данные из рабо-
работы Престона и др. [229]. Сплошная кри-
кривая — температурная зависимость намагни-
намагниченности Fe (I (T)/I @), см. [391]). Верхняя
пунктирная кривая — температурный ход
частоты ЯМР в этом же материале (со (Т)/со @),
см. [392, 393]). Нижняя пунктирная
кривая показывает температурную зависи-
зависимость Ндфф (Г)/ЯЯфф @) вблизи точки Кюри
(масштаб для этой кривой по оси абсцисс
увеличен в 10 раз).

Таблица 26.2
Эффективные магнитные поля Дэфф на атомных ядрах в различных магнитно-
упорядоченных веществах, полученные по измерениям мессбауеровских спектров *)
Ядро
5?ре
57Fe
5?Fe
«Fe
5?Fe
57pe
5?Fe
57pe
57Fe
57pe
57pe
57Fe
«Fe
57Fe
57Fe (в верши-
вершинах куба)
57Fe (в верши-
вершинах куба)
57Fe (в цент-
центрах граней)
57Fe (в цент-
центрах граней)
57Fe (в цент-
центрах граней)
57ре
57Fe
57Fe
57Fe
57pe
57pe
57Fe
57Fe
57Fe
57Fe
57Fe
57Fe
57pe
57pe
57Fe
57Fe
57pe
Матрица
Fe
Fe
Co
Co
Co (монокристалл)
Co
Ni
Ni
Fe0,3Co0,7
Feo,5Pdo,5 (упорядочен-
(упорядоченный)
Feo,5Pdo,5 (неупорядо-
(неупорядоченный)
Feo,27Pdo,73
FeCr2S4
Rb2FeF4
(Fe3,eNi0,4)N
Fe4N
(Fe3,6Ni0,4)N
Fe4N
(Fe3Ni)N
FeSn
Fe2Ti
Fe2Ti
Fe2Zr
Y-FeMn
Feo,5Rbo,5
Zro,9Tio,iFe2
2го,5ио,5ре2
Zro,8Uo,2Fe2
Zro,6Uo,4Fe2
Zro,4Uo,6Fe2
Zro,2Uo,8Fe2
UFe2
SmFe2, DyFe2, HoFe2,
ErFe2, TmFe2
CeFe2
YFe2
YxHOl_xF2
г=0,25; 0,50; 0,75
T, °K
0 2)
300 3)
0
300
77
300
0
0
0
300
300
300
61
4,2
300
300
300
300
300
77
78
300
300
4,2—20
300
300
300
85
85
85
85
85
78
78
300
300
нэфф- кэ
-342
330
312
—310
323,2+2,5
316,6+2,5
283
280+5
365
267,9+J
320+J
285,5+J
203
364+.2
363+J5
345+10
220+15
215+Ю
205+15
160
92
5±3
190+10
20-40
267
194
191
185+.4
17+4
85±4
49+4
37+4
230+5
312+4
188
200
Литература
[229, 234, 235]
[229, 234, 235]
[236]
[237, 238]
[239]
[239]
[236, 240]
[241]
[242]
[243]
[243]
[243]
[244]
[245]
[246]
[246]
[246]
[246]
[246]
[247]
[248]
[249]
[248—250]
[251]
[252]
[248]
[248]
[250]
[250]
[250]
[250]
[250]
[253]
[248, 253]
[248]
[248]
- 1006 —

Продолжение табл. 26.2
Ядро
57ре
5?ре
<"Fe
5?Fe
57pe
57pe
57pe
5?Fe
57Fe |
57Fe
"Fe
57Fe
57Fe
57Fe
57Fe
57pe
57pe
57pe
57Fe
57pe
57Fe
57Fe
57pe
57Fe
57pe
57pe
57pe
57pe
57pe
57pe
57F2+(H) 4)
57p3t(H)
57Fe3+(II)
57Fe(I) «)
57Fe(I)
57Fe(I)
57Fe(II)
57Fe(II)
"Fe(II)
"Fe(I),
57Fe(I)
57Fe(II)
57Fe(II)
Матрица
FeF2
feOI9eZno,O4F2
Fe0,782Zno,23gF2
РеО,5152По,48бР2
FeO,259Zno,74jF2
LaFeO3
PrFeO3
NdFeO3
SmFeO3
EuFeO3
GdFeO3
TbFeO3
DyFeO3
YFeO3
HoFeO3
ErFeO3
TmFeO3
YbFeO3
LuFeO3
Соо,озР^О,97
СОо,08Р^О,92
Соо.ОвР^о.дг
Co0,i5Pd0,85
Coo,3oPd0,70
Cuo,o5Nio,95
Cu0,lNi0,9
Cuo,2Nio,8
Cuo,3Nio,7
Cuo,45Nio,55
Feo,8Po,i25Co,o75 (аморф-
(аморфный)
Fe3O4
Fe3O4
Fe3O4
РезА1 (упорядоченный)
Fe3Al »
Fe3Al »
Fe3Al »
Fe3Al »
Fe3Al »
Fe3Si
Fe3Si
Fe3Si
Fe3Si
г, °к
78,2
78,2
58,4
39,7
19,3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4,2
4,2
88
4,2
80
0
0
0
0
0
4,2
30, 85, 300
300
30,85
300
30
4,2
300
30
4,2
85
300
85
300
нэфф. кэ
330,5
326,5
316
302
290
564
559
557
552
552
551
550
548
549
548
546
545
546,5
543,5
—310±9
—315±4
330
-296±8
—305±10
276±3
280±3
273±3
266±3
246±4
281 ±1
470±20
470±20
510±20
229±10
246±10
242
299+10
336±10
334
320
305 ±10
205
195±10
Литература
[254]
[254]
[254]
[254]
[254]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[255]
[237]
[237]
[228]
[237]
[237]
[240]
[240]
[240]
[240]
[240]
[297]
[256—259]
[256-259]
[256—259]
[260, 261]
[260]
[261]
[260, 261]
[260]
[261]
[262]
[262]
[262]
[262]
— 1007 —

Продолжение табл. 26.2
Ядро
"Fe(I)
«Fe(II)
57Fe(I)
«Fe(II)
57рез+
57рез+
57ре3+
57ре3+
57ре3+
57ре3+
57ре3+
57fe3+
57Fe3+
57ре3+
57реЗ+
57рез+
57Fe2+
57ре2+
57ре2+
57Fe2+
57Fe2+
57Fe3+
57рез+
57pe2+
57pe2+
57рез+
57pe2+
57pe2+
57Fe2+
57pe2+
57Fe2+
57Fe2+
57Fe2+
57Fe2+
57Fe2+
57Fe2+
57Fe3+ (тетра-
ЭЛЫ
57рез+ (тетра-
(тетраэдр)
57Fe3+ (окта-
ЭДТЛ
57Fe3+ (окта-
(октаэдр)
Матрица
Fe5Si3
Fe5Si3
Feo,52Rbo,48
Feo,52Rho,48
NiFe2O4
(Lio,5Fe2,5H4 (упоря-
(упорядоченный)
(Li0,5Fe2,5)O4 (неупоря-
(неупорядоченный)
a-Fe2O3
a-Fe2O3
a-Fe2O3
Y-Fe2O3
Y-Fe2O3
CoO
CoO
CoO
CoO
CoO
CoO
CoO
CoO
FeF2
FeF3
FeTiO3
FeTiO3
NiO
NiO
(Fe0,77Alo,23J03
(Fe0,77Al0,23JO3
(Feo,5Cro,5J03
(Fe0,5Cro,5J03
(Fe0,5Vo,5J03
(Fe0,5Vo,5J03
NiO
NiO
MnO
MnO
YFeG 5)
YFeG 5)
YFeG 5)
YFeG 5)
T, °K
85
85
300
300
300
300
300
0
78
300
85
300
298
243
169
78
298
243
169
78
0
4,2
300
20
300
300
0
300
0
300
0
300
4,2
300
4,2
90
85
300
85
300
нэфф' кэ
230
130
277
384 •
510+20
508+20
510±20
535
525±5
520
515+20
496+20
0
426±5
544±6
557±6
0
169+3
200+3
180+10
340
622+6
520
70
471+5
221+4
520
495
540
435
540
430
55
216
97
170
460+15
392±5
535±15
485+15
Литература
[262]
[262],
[263]
[263]
[256]
[264]
[264]
[265]
[266]
[227, 258, 265,
266]
[256]
[256, 264]
[266]
[266]
[266]
[266]
[266]
[266]
[266]
[266]
[236, 267]
[268]
[269]
[269]
[270]
[270]
[265]
[265]
[265]
[265]
[265]
[265]
[271]
[271]
[271]
[271]
[272]
[236, 273]
[272]
[272]
— 1008 —

Продолжение табл. 26.2
Ядро
57Fe3+ (окта-
(октаэдр)
57Fe3+ (тетра-
(тетраэдр)
57Fe3+ (тетра-
(тетраэдр)
57Fe3+ (окта-
(октаэдр)
57Fe3+ (окта-
(октаэдр)
5?Со
eiNi
i«Sn
i"Sn
ii^Sn
i«Sn
n9Sn
121Sb
148Nd
148Nd
i5°Sm
15» Sm
i5°Sm
isosm
i53Sm
"lEu
"lEu
isiEu
"I Eu
isiEu
151EU
151EU
155Gd
155Gd
i6"Dy
leiDy
leiDy
i66Ho
i6s>Tm
184\Y
184\V
184\V
186\V
186\V
Матрица
YFeG 5)
DyFeG 6)
DyFeG 6)
DyFeG 6)
DyFeG 6)
Fe
Ni
Mn2Sn
Mn4Sn
Feo,99SnoiO1
COo,99Sn0,ol
Nio,99SnO,Ol
MnSb
Fe
Co
Ni
Fe
Co
Ni
Gd
Eu
Eu
Euo,92Ybo>O8
Еио,О8^Ьо,92
Euo,9Bao,i
Euo,5Bao,5
Eu
EuO
EuS
Gd
Gd
DyFe2
DyFeG 6)
DyFeG 6)
Er (монокристалл)
TmFe2
Fo
Co
Ni
Fe
Co
T, °K
300
85
300
85
300
4,5
300
0
0
0
0
0
4,2
300
300
300
300
300
300
300
20
0
0
0
0
0
4,2
4,2
4,2
4,2
80
't,2
85
300
4,2
0
300
300
300
300
300
яэфф- кэ
474±7
460+2
395+15
540+2
485+20
-300±2
-75
-200
-45
—8J+4
—20+1,5
18,5
97
1680+290
!1OO±19O
107±J8
1400
1119+64
352+13
—295+30
600
265+5
258+5
160+9
249+6
206+6
264+8
296
328
1000
10
6500
3500
750
7780
7222
—438+53
-320+38
-57+7
—473+56
-341+41
Литература
[236, 273]
[272]
. [272]
[272]
[272]
[274, 275]
[276]
[277-280]
[277—279]
[281, 282]
[282]
[282]
[283]
[284]
[284]
[284]
[285]
[285]
[285]
[285]
[2861
[287]
[287]
[287]
[287]
[287]
[288, 289]
[288]
[288]
[290]
[291]
[292]
[293, 294]
[293—295]
[296]
[307]
[284]
[284]
[284]
[284]
[284]
1/г 64 с. В. Врнсовсний
1009

Ядро
186\Y
1890s
195pt
195pt
195pt
19spt
195pt
195pt
195pt
195pt
195pt
IS'Au
«7Au
«7Au
»7Au
«7Au
197AU
197AU
«7Au
«7Au
Матрица
Ni
Fe
Feo,7Pto,3
Рео^РЧоз
СОо,97Р*0,03
NiO,97PtO,O3
Рео,97Р*О,ОЗ
Feo,ooPto,io
Feo,75Pto,25
Feo,7oPto,3o
Feo,5oPto,5O
Fe
Fe
Ni
Co (г. ц. к.)
Co (гекс. п. у.)
Feo,995Auo,oO5
COo,99Au0,oi
Nio,99AuO,Ol
Ni0,99Au0,01
г, °к
300
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2
Продолжен
НЭфф' КЭ
—64+8
1100±2
4300
1190+40
860+40
360+40
1260+100
1260+100
1240+100
1380+120
1100
1280
—1420+180
—340+60
—990+120
—980+120
1460+160
1180+120
530+160
420+120
ие табл. 26.2
Литература
[284]
[297]
[298]
[299]
[299]
[299]
[300]
[300]
[300]
[300]
[300]
[301]
[302, 303]
[302—304]
[303]
[302—304]
[305, 3061
[306]
[306]
[306]
Примечания:
х) Настоящая таблица составлена в основном по данным обзора [82]
с добавлением результатов более поздних работ
чены
чены
ядро
2) В этом столбце 0 повсюду означает, что
экстраполяцией на 0° К.
3) В этом столбце цифра 300 означает, что
при комнатной температуре, т.
4) Символы (I) и (II) повсюду
запимает различные типы узлов
ва типа А3В.
5) Иттриевый железный грапат
приведенные
приведенные
e. в интервале 295—300°
соответствуют тому, что
в кристаллической г. ц. к.
6) Диспрозиевый железпый гранат.
данные полу-
полуданные пол\г-
К.
радиоактивное
решетке спла-
также определялось //Эфф с помощью различных изотопов в кристаллах
Fe [289, 309-315], Ni [241, 284, 311, 316, 317], Со [284, 318], метал-
металлических сплавах [243, 300, 319—326], интерметаллических соединениях
[327—330], гейслеровых сплавах [243, 331—333], редкоземельных метал-
металлах, их сплавах и соединениях [285, 292, 334—340], сильно разбавленных
металлических сплавах ^-металлов [341—345], антиферро- и ферромагнит-
ферромагнитных соединениях со структурой шпинели [346—351], граната [352—356]
и других [357—360] высококоэрцитивных материалах [361], текстурован-
ных образцах [362], на /"-центрах в ионных кристаллах [363].
В работе [364] обсуждается новый метод прямого наблюдения создава-
создаваемых на ядрах дырками в /f-оболочке атома, а в работе [365] исследуется
мессбауеровский эффект Фарадея.
Как видно из табл. 26.2, большие эффективные поля наблюдаются не
только на ядрах атомов переходных d-элементов, но также и немагнитных
атомов, например Sn и Аи. Впервые эти ноля были обнаружены в работах
Самойлова и др. [366—369] по анизотропии \-излучения поляризованных ядер.
Любопытно, что спектры ЯГР наблюдались и в парамагнитной матрице
(см., например, работу Обеншайна и др. [370] по наблюдению спектра ЯГР
на ядрах Fe в парамагнитной соли FeNH4(SO4J'12H2O в полях от 12 до
— 1010 —

24 ка\ (см, также [371, 372, 373]). Объяснение этому эффекту дали Ван дер Уоуд
и Деккер [374], которые связали появление спектра ЯГР в этом случае с флук-
туациями магнитного поля на ядрах с частотой, сравнимой с частотой пре-
прецессии ядра. В работе [3731 в парамагнитной соли NH4(Fe, Al) (SO4J -12H2O
найдено Я3фф = —572 ± 7 кв.
Интересны также исследования ЯГР в ферромагнитных сплавах (см.,
например, работы [240, 319, 375, 376]). В этих работах исследовалась зави-
зависимость величины Нэфф от концентрации сплава. Выло найдено, что Дэфф
в основном следует изменению величины среднего атомного магнитного момен-
момента сплава (см. кривую Слэтера — Полинга в гл. 21).
Спектры ЯГР применяются также для изучения влияния высоких давле-
давлений на свойства ферро- и антиферромагнетиков (см. [377—379]).
Представляет также интерес исследование изомерного сдвига в спектрах
ЯГР, поскольку это дает добавочную информацию о деталях распределения
электронной плотности в кристаллах (см., например, работы [380, 381]).
Измерения ЯГР позволяют определить параметры внутрикристаллического
электрического поля (поля лигандов) (см. [382, 383]).
Косвенное обменное взаимодействие между d-ионами через электроны
проводимости в разбавленных растворах с немагнитной матрицей также иссле-
исследуется с помощью ЯГР (см. [368—370, 384—386]). В иттрвевых ферритах-грана-
ферритах-гранатах на введенных в них ядрах диамагнитного олова {Y3_xCslx} {вп^Рег-ж} Fe3OJ
были обнаружены поля ЯЭфф> индуцированные косвенным магнитным
взаимодействием. Оказалось, что неспаренный d-электрон иона Fe через две
химические связи Fe—О и О—Sn поляризует за счет этой косвенной обменной
связи внутренние s-электроны иона Sn, что и объясняет обнаруженное поле
Яэфф на ядре Sn (см. [387, 388]).
Из приведенного хотя и весьма краткого описание применений ЯГР
в физике магнитных явлений уже становится очевидной вся «мощь» этого
метода для получения очень ценной и детальной количественной информации
о микроскопическом состоянии как электронной, так и ядерно-ионной под-
подсистем в конденсированных телах.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 26
1. Р. П. О з е р о в, УФН 45, 481 A951); 47, 445 A952).
2. Г. С. Ж д а н о в, Р. П. О з е р о в, УФН 76, 239 A962).
3. С. S h u I I, E. W о 1 1 а п, Сб. Solid State Physics, vol. 2, Acad. Press. N.Y.,
1956, p. 138.
4. Ю. А. И з ю м о в, УФН 80, 31 A963).
5. P. de G e n n e s, Сб. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press,
N.Y., 1963, p. 115.
6. R. Nathans, S. Pickart, Сб. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill
Acad. Press, N.Y., 1963, p. 211.
7. А. А. Смирнов, С. В. Вонсовский, J. Phys. USSR, № 5, 263 A941).
8. G. T г a m m e 1 1, Phys. Rev. 92, 1387 A953).
9. S. Odiot, D. Saint-James, J. Phys. Chem. Sol., 17, 117 A960).
10. M.Blum e, A. Freeman, R. Watson, J. Chem. Phys. 37, 1345
A962).
11. O. Steinsvoll, G. Shiran e, R.Nathans, M.Blum e, H. A. Alpe-
r i n, S. J. Pickart, Phys. Rev. 161, 499 A967).
12. R. M. M о о n, W. С. К о e h 1 e r, A. L. T г e g o, J. Appl. Phys. 37, 1036 A966).
13. L. Hodges, N. D. Lang, H. Ehrenreich, A. J. Freeman, J. Appl.
Phys. 37, 1449 A966).
14. P. D. De С i с с о, А. К i t z, Phys. Rev. 162, 486 A967).
15. M. С о 1 1 i n s, J. F о г s у t h, Phil. Mag. 8, 401 A963).
16. M. С о 1 1 i n s, R. J о n e s, R. L о w d e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-lll,
19 A962).
17. А. А. Л о ш м а н о в, ФММ 18, 178 A964); Кристаллография 9, 377 A964).
18. А. Р а о 1 е t t i, F. R i с с i, J. Appl. Phys. 34, 1571 A963).
19. G. Low, M. Collins. J. Appl. Phys. 34, 1195S A963).
20. В. И. Г о м а н ь к о в, А. А. Л о ш м а н о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 444
A964).
21. И. М. П у з е й, В. И. Г о м а н ь к о в, А. А. Л о щ м а н о в, Изв. АН СССР
сер. физ. 28, 440 A964).
22. М. Collins, D. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 A963).
23. М. С о 1 1 i n s, G. L о w, J. de phys. 25, 596 A964); Proc. Phys. Soc. 86, 535
A965).
24. I. А. С a m p b e 1 1, Proc. Phys. Soc. 89, 71 A966).
25. W. M а г s h a 1 1, Proc. Phys. Soc. 1, С 88 A968).
26. G. L о w, J. Appl. Phys. 39, 1174 A968); Zs. angew. Phys. 24, 254 A968).
- 1011 - 64*

27. В. Brockhouse, H. Watanabe, Inelastic Scattering of Neutrons in So-
Solids and Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
28. Т. К a p 1 a n, Phys. Rev. 109, 782 A958).
29. G. Low, A. Okazaki, R. Stevenson, K. Turberfield, J. Appl.
Phys. 35, 998 A964).
30. J. M. Z i m a n, Proc. Phys. Soc. 65, 540 A952).
31. M. H a t h e г 1 у, К. H i г а к a w a, R. L о w d e, F. M a 1 1 e t t, Phys. Rev.
86, 318 A952).
32. G. A. F e г g u s о n, Jr., A. W. Saenz, S. Podger, J. Appl. Phys. 37, 1050
A966).
33. H. B. M о 1 1 e r, J. С G у 1 d e n — H о u m a n, A. A. M а с к i n t о s h,
Phys. Rev. Lett. 19, 312 A967); J. Appl. Phys. 39, 807 A968).
34. E. D. T h о m p s о n, Phys. Rev. Lett. 19, 635 A967).
35. T. Riste, R. M. Moon, W. С. К о e h 1 e r, Phys. Rev. Lett. 20, 997
A968).
36. N. К г о 6, L. P a 1, J. Appl. Phys. 39, 453 A968).
37. H. J. Guggenheim, M. T. H u t с h i n g s, B. D. R a i n f о г d, J. Appl.
Phys. 39, 1120 A968).
38. G. A. T. A 1 1 a n, D. D. В e t t s, Canad. J. Phys. 46, 799 A968).
39. P. M а г t e 1, R. A. Cowely, R. Stevenson, Canad. J. Phys. 46, 1355
A968).
40. H. P a 1 e v s к y, D. H u g e s, Phys. Rev. 92, 202 A953).
41. G. S q u i г e s, Proc. Phys. Soc. A67, 248 A954).
42. A. Me Reynolds, T. Riste, Phys. Rev. 95, 1101 A954).
43. R. L о w d e, Rev. Mod. Phys. 30. 69 A958).
44. M. W i 1 к i n s о n, S. S h u 1 1, Phys. Rev. 103, 516 A956).
45. B. Jacrot, J. Konstantinovic, G. Parette, D. Cribier, Inela-
Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
46. L. P a s s e 1 1, К. В 1 i n о w s к i, Т. В r u n, P. N i e 1 s e n, Proc. Intern. Conf.
Magnetism, Nottingham, 1964, p. 99.
47. С D о m b, M. S у к е s, Phys. Rev. 128, 168 A962).
48. J. Gam me 1, W. Marshall, L. Morgan, Proc. Roy. Soc. A275, 257
A962).
49. M. J. Cooper, R. Nathans, J. Appl. Phys. 37, 1041 A966).
50. D. Bally, B. G r a b с e v, M. P о p о v i с i, M. T о t i a, A. M. L u n g u,
Д-* • J—* 1A X X J f X-* • *—• л. ЩЛ. *J \J ч^ Чу J-TX • X. \J yt \J T
J. Appl. Phys. 39, 459 A968).
T. Riste, J. Appl. Phys. 39, 528 A968).
L. P a 1, E. К г ё n, G. К a d a r, R. S z a
О Л Кол / A f\r* t~\\
51
52. L. P'a 1, E.' К r en, G.Kad'ar, R. Szabo, T. Tarnocz i, J. Appl. Phys.
39, 538 A968).
53. Y. H a m a g u с h i, Y. T s u n о d a, N. К u n i t о m i, J. Appl. Phys. 39, 1227
A968).
54. J.Als-Nielsen.O. W. Dietrich, W. Marshall, P. A. Lindgard,
J. Appl. Phys. 39, 1229 A968).
55. G. P ar et t e, K. Deniz, J. Appl. Phys. 39, 1232 A968).
56. R. Nathans, F. M e n z i n g e r, S. J. P i с к a r t, J. Appl. Phys. 39. 1237
A968).
57. J. К о с i n s к i, Acta phys. Polon. 33, 13 A968).
58. J. К о с i n s к i, L. W о j t с z a k, Acta phys. Polon. 35, 61 A969).
59. J. H. V a n V 1 e с к, Phys. Rev. 55, 924 A939).
60. P. de G e n n e s, J. Phys. Chem. Sol. 4, 223 A958).
61. В. В г о с к h о u s e, Phys. Rev. 99, 601 A955).
62. P. Cribier, B. Jacrot, Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liqu-
Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
63. K. U. Deniz, G. Venkataraman, N.S.Satyanuerthy, B.A. Dasa-
unacharya, P. K. Iyengar, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham,
1964, p. 322.
64. J. W. Cable, E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 140, 2003 A A965).
65. K.D wight, N. M e n у и к, Т. A. Kaplan, J. Appl. Phys. 36, 1090
A965)"
66. M. F. Collins, R. Nathans, J. Appl. Phys. 36, 1092 A965).
67. M. F. С о 1 1 i n s, Proc. Phys. Soc. 86, 973 A965); J. Appl. Phys. 39, 533 A968).
68. E. A. Friedman, A. N. G о 1 a n d, Phys. Rev. 147, 457 A966).
69. G. С a g 1 i о t i, M. J. Cooper, V. J. M i n к i e w i с z, J. Appl. Phys. 38,
1245 A967).
70. J. W. С а Ы e, R. D. L о w d e, С G. W i n d s о r, A. D. B. W о о d s, J. Appl.
Phys. 38, 1247 A967).
71. H, R. Child, R. M. Moon, L. J. Raubenheimer, W. С Koehler.
J. Appl. Phys. 38, 1381 A967).
72. V. F. S e a r s, Canad. J. Phys. 45, 2923 A967).
73. Т. Н. К w о n, H. A. G e r s с h, Phys. Rev. 167, 458 A968).
74. Т. М. Н о 1 d e n, В. М. Р о w e 1 1, A. D. B. Wood s, J. Appl. Phys. 39, 457
A968).
— 1012 -

75. A. D. В. W о о d s, Canad. J. Phys. 46, 1499 A968).
76. С G. W i n d s о г, G. А. В г i g g s, M. К e s t i g i a n, J. Phys. С (Proc. Phys.
Soc.) 1, 940 A968).
77. A. M. P о г t i s, R. H. L i n d q u i s t, Сб. «Magnetism», vol. 2A, ed. T. Hado,
H. Suhl, Acad. Press, N.Y., 1965, p. 357.
78. V. J а с с а г i n о, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. IIA, Acad.
Press, N.Y., 1965, p. 307.
79. N. J. Poulis, G. E. G. H а г d e m a n, Physica 19, 391 A953).
80. A. G. G о s s а г d, A. M. P о г t i s, Phys. Rev. Lett. 3, 164 A959).
81. R. E. Watson, A. J. Freeman, Phys. Rev. 123, 2027 A961).
82. A. J. F г e e m a n, R. E.Watson, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl)
vol. IIA, Acad. Press, N.Y., 1965, p. 167.
83. W. M a r s h a 1 1, Phys. Rev. 110, 1280 A958).
84. P. W. Anderson, A. M. С 1 о g s t о n, Bull. Am. Phys. Soc. 6, 124 A961).
85. T. Kushida, A. H. Silver, Y. Koi, A. Tsujimura, J. Appl. Phys.
33, 1079 A962).
86. V. J а с с a r i n o, J. Appl. Phys. 32, 1023 A961); Proc. Intern. Conf. Magnetism,
Nottingham, 1964, p. 377.
87. L. H. Bennett, R. L. S t r e e v e r, J. Appl. Phys. 33, 1093 A962).
88. W. D. Knight, Phys. Rev. 76, 1259 A949).
89. A. M. P о r t i s, A. C. G о s s a r d, J. Appl. Phys. 31, 205S A960).
90. M. Weger, E. L. H a h n, A. M. Portis, J. Appl. Phys. 32, 124S A961).
91. E. L. В о у d, J. С. Slonczewski, J. Appl. Phys. 33, 1077 A962).
92. R. G. S h u 1 m a n, Phys. Rev. 121, 125 A961).
93. J. I. Bud nick, L. J. Bruner, R. J. Blume. E. L. Boyd, J. Appl. Phys.
32, 120S A961).
94. R. G. S h u 1 m a n, J. Appl. Phys. 32, 126S A961).
95. R. L. S t r e e v e r, L. H. В e n n e t t, R. С L a Force, G. F.Day, J. Appl.
Phys. 34, 1050 A963).
96. J. M. W i n t e r, Phys. Rev. 124, 453 A961).
97. P. de G e n n e s, F. H ar tmann-B oution, Compt. rend. 253, 1662 A961).
98. Z. S г о u b e к, Чехосл. Физ. Журн. И, 764 A961).
99. М. W. M u 1 1 е г, A. S h e r, Phys. Rev. Lett. 8, 85 A962).
100. А. С. G о s s a r d, V. J а с car i n о, J. P. R emei ka, J. Appl. Phys. 33, 1187 S
A962).
101. J. S e i d e n, Compt. rend. 254, 1774 A962).
102. D. I. P au 1, Phys. Rev. 131, 178 A963).
103. E. S i m a n e k, CS J. Phys. B13, 732 A963).
104. J.Herve, LeDang Khoi, Phys. Lett. 13, 208 A964).
105. M. Rubinstein, G. H. S t a u s s, Phys. Lett. 14, 277 A965).
106. You-Hing Tchao, LeDang Khoi, Compt. rend. 260, 3886 A965).
107. LeDang Khoi, Compt. rend. 261, 1807, 2848 A965).
108. В. А. Игнатченко, Ю. А. Куденко, ФТТ 8, 3677 A966).
109. M. В. S t e a r n s, Phys. Rev. 162, 486 A967).
110. H. S u h 1, Phys. Rev. 109, 606 A958); J. phys. rad. 20, 333 A959).
111. T. Nakamura, Prog. Theor. Phys. 20, 542 A958).
112. P. G. de G e n n e s, J. phys. rad. 23, 510 A962).
113. P. G. de G e n n e s, P. A. P in cu s, F. H a r t m ann-Boutroii, J.M. W in-
inter, Phys. Rev. 129, 1105 A963).
114. A. J. Heeger, A. M. Portis, D. T. T e a n e y, G. L. W i t t, Phys. Rev.
Lett. 7, 308 A961).
115. E. A. T у р о в, В. Г. К у л о е в, ЖЭТФ 49, 248 A965).
116. Л. Г. Оноприенко, ФММ 19, 481 A965).
117. Т. G. В 1 о с k e r, Phys. Rev. 154, 446 A967).
118. К. Lee, A. M. Portis, L. G. Witt, Phys. Rev. 132, 144 A963).
119. А. С. В о р о в и к-Р ома но в, В. А. Тулин, Письма ЖЭТФ 1, 18 A965).
120. A. J. Heeger, Т. Houston, J. Appl. Phys. 35, 836 A964): Proc Intern.
Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 395.
121. С Robert, Compt. rend. 251, 2685 A960).
122. E. D. J о n e s, J. E. Hess e, J. Appl. Phys. 38, 1159 A967).
123. G. В. В e n e d e k, J. Armstrong, J. Appl. Phys. 32, 106S A961)-
124. A. M. Portis, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 81 A962).
125. A. N a k a m u r a, V. M i n k i e w с z, A. M. P о r t i s, J. Appl. Phys. 35, 842
A964).
126. A. M. Portis, G. Witt, A. J. Heeger, J. Appl. Phys. 34, 1052 A963).
127. A. J. Heeger, D. Т. Т e a n e y, J. Appl. Phys. 35, 846 A964).
128. A. H о n m a, Phys. Rev. 142, 306 A966).
129. M. A b k о w i t z, I. J. L о w e, Phys. Rev. 142, 333 A966).
130. P. P i n с u s, Phys. Rev. Lett. 16, 398 A966).
131. A. N a r a t h, A. T. V г о m h о 1 d, Jr., Phys. Rev. Lett. 17, 354 A966).
132. N. Kaplan, R. L о u d о n, V. J а с с а г i n о, Н. J. Guggenheim,
D. В e e m a li, P. Pincns, Phys. Rev. Lett. 17, 357 A966).
- 1013 -

133. Т. Mizogucbi, M. I n о u e, J. Phys. Soc. Japan 21, 1310 A966).
134. J. А. С о w e n, С. Е. Т а у 1 о г, Phys. Lett. 24A, 373 A967).
135. Л. А. Вуишвили, М. Д. Цвиададзе, Phys. Lett. 24A, 634 A967).
136. D. В е е m a n, J. Appl. Phys. 38, 1276 A967).
137. R. H. T a n с г е 1 1, R. V. Joner, J. Appl. Phys. 38, 1283 A967).
138. D. В e e m a n, P. P i n с u s, Phys. Rev. 166, 359 A968).
139. E. Fukushima, E. A. U e h 1 i n g, Phys. Rev. 173, 366 A968).
140. P. M. R i с h а г d s, Phys. Rev. 173, 581 A968).
141. A. C. D a n i e 1, A. W. В e v a n, Jr., R. J. Mahler, J. Appl. Phys. 39, 49H
A968).
142. С E. Taylor, J. А. С о w e n, J. Appl. Phys. 39, 498 A968).
143. N. К a p 1 a n, V. J а с с a r i n o, R. T. L e w i s, J. Appl. Phys. 39, 500 A968).
144. D.Sherrington, J. Appl. Phys. 39, 502 A968); J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.)
1, 748 A968).
145. T. W. Houston, A. J. H e e g e r, Phys. Lett. 10, 29 A964).
146. R. G. S h u 1 m a n, S. S u g a n o, Phys. Rev. 130, 506 A963).
147. К. К n о x, R. G. S h u 1 m a n, S. S u g a n o, Pbys. Rev. 130, 512 A963).
148. S. Sugano, R. G. S h u 1 m a n, Phys. Rev. 130, 517 A963).
149. Sh. E h а г a, J. Phys. Soc. Japan 19, 1313 A964).
150. S. К о b а у a s h i, J. I. I t о h, J. Phys. Soc. Japan 20, 1741 A965).
151. V. J а с с а г i n o, L. R. W a 1 к e r, G. K. W e r t h e i m. Phys. Rev. Lett. 13,
752 A964).
152. Ю. А. И з ю м о в, М. В. Медведев. ФТТ 8, 2117 A966).
153. Е. А. Т у р о в, М. И. К у р к и н, О. Б. С о к о л о в, ФММ 23, 786 A967).
154. Е. А. Т у р о в, М. И. К у р к и н, ФММ, 24, 27 A967).
155. Р. Н е 1 1 е г, G. В. Benedek, Phys. Rev. Lett. 8, 428 A962); 14, 71 A965);
Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 97.
156. J.J.van Loef, Sol. State. Comm. 4, 625 A966).
157. S. D.Senturia, G. B. Benedek, Phys. Rev. Lett. 17, 475 A966).
158. M. Ebschitz, S.Strikman, D. Treves, Sol. State Comm. 4, 141 A966).
159. T. Muto, S. Kobayashi, H. Hayakawa, J. Phys. Soc. Japan 20, 388
A965).
160. Я. С Ill у р, В. В. С е р и к о в, ФММ 21, 298 A966).
161. Л. Л. Буишвили, Л. В. Ватова, Н. Гиоргадзе, ФТТ 8, 1309 A966).
162. М. И. К у р к и н, Н. Г. Парфенова, ФТТ 8, 1839 A966).
163. R. E. Gegewarth, J. I. В u d n i с k, S. S k a 1 s k i, J. H. Wernick,
J. Appl. Phys. 37. 1244 A966).
164. E. A. T у р о в, Н.И.Тимофеев, ФММ 24, 769 A967).
165. J. М. В г е t t e 1 1, Н. J. H e e g e г, Phys. Rev. 153, 319 A967).
166. N. К. apian, P. Pincus, V. J а с с а г i n о, J. Appl. Phys. 37, 1239 A966).
167. I. A m i t y, D. S h a 1 t i e 1, Phys. Rev. 159, 473 A967).
168. D. S. W о 1 1 a n, H. J. S t a p Г е t о n, Phys. Rev. 163, 207 A967).
169. O. J. Lumpkin, Phys. Rev. 164, 324 A967).
170. J. E. Templeton, D. A. S h i г 1 у, Phys. Rev. Lett. 18, 240 A967).
171. E. F. Mendis, L. W. Anderson, Phys. Rev. Lett. 19, 1434 A967).
172. D. Gill, D. Shaltal, J. Appl. Phys. 38, 765 A967).
173. M. B. S t e а г n s, J. Appl. Phys. 38, 1141 A967).
174. К. С. В г о g, W. H. J о n e s, Jr., J. G. В о о t h, J. Appl. Phys. 38, 1151 A967).
175. T. W. Houston, A. J. Heeger, J. Appl. Phys. 38, 1285 A967).
176. J. P. К о p p, D. S. S с h г e i b e r, J. Appl. Phys. 38, 1373 A967).
177. R. H i г a k a w a, S. К a d о t a, J. Phys. Soc. Japan 23, 756 A967).
178. В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, Э. Г. Петров, ФТТ 10,
785 A968).
179. В. Б. Устинов, С. П. Р е п н и к о в, Э. О. Сааков, В. А. Г е р я е в,
ФТТ 10, 1589 A968).
180. Е. А. Т у р о в, М. И. К у р к и н, ФТТ 10, 3222 A968).
181. R. L. S t г е е v e г, Phys. Rev. 173, 591 A968).
182. R. L. M e 1 с h e г, D. I. В о 1 e f, R. W. H. Stevenson, Phys. Rev. Lett.
20, 453 A968).
183. H. В e n о i t, J.-M. Drocourt, J.P. Legrand, J.P. Renard, J. Appl.
Phys. 39, 1015 A968).
184. N. M. W a 1 с о t t, R. L. F a 1 g e, Jr., L. H. Bennett, R. E. Watson.
Phys. Rev. Lett. 21, 546 A968).
185. J. P. R e n а г d, J. de phys. 29, 767 A968).
186. R. E. W a b s t e d t, R. С Sherwood, J. H. Wernick, J. Appl. Pliys.
39, 555 A968).
187. S. В. В е г g e r, J. I. В u d n i с k, T. J. В u г с h, J. Appl. Phys. 39, 658 A968).
188. J. E.Schriber, D. H. A n d e г s о n, J. Appl. Phys. 39, 1010 A968).
189. S. W i t t e k о e k, N. J. P о u 1 i s, J. Appl. Phys. 39, 1017 A968).
190. J. I t о h, S. К о b а у a s h i, N. S a n o, J. Appl. Phys. 39, 1325 A968).
191. T.W. Houston, A. J. Heeger, J. Phys. Chem. Sol. 29, 1085 A968).
192. R. D. S p e n с e, P. A. von D a 1 e n, Acta Cryst. A24, 494 A968).
- 1014 —

193. H.L.Mossbauer, Zs. Phys. 151, 124 A958); Naturwiss. 45. 538 A958); Zs.
Naturforschg. 14a, 211 A959).
194. Г. Н. Белозерский, 10. А, Нем и л о в, УФН 72, 433 A960).
195. Р. М е с с б а у е р. УФН 72, 658 A960).
196. Р. Паунд, УФН 72, 673 A960).
197. Ф. Л. Ш а п и р о, УФН 72, 685 A960).
198. В. И. Г о л ь д а и с к и й, УФН 89, 333 A966).
199. U. G о n s е г, Zs. Metallkunde 57, 85 A966).
200. Г. Фрауенфельдер, Эффект Мессбауера перевод с нем., Атомиздат, М.,
1964.
201. Г. Вертгей м, Эффект Мессбауера — принципы и применения, перевод
с англ., «Мир», 1966.
202 В. И. Г о л ь д а и с к и и, Эффект Мессбауера и его применения в химии, Изд.
АН СССР, М., 1963.
203. Сборник переводов «Эффект Мессбауера», под ред. Ю. М. Кагана, ИЛ, М.. 1962.
204. Р.В.Мооп, Ргос. Phys. Soc. 64, 76 A951).
205. W. E. L a m b, Jr., Phys. Rev. 55, 190 A939).
206. W. M. V i s s с h e r, Ann. of Phys. 9, 194 A960).
207. H. J. Lipkin, Ann. of Phys. 9, 332 (i960); 18, 182 A962); Phys. Rev. 123, 63
A961).
208 K. S. Singwi, A. S j б 1 a u d e r, Phys. Rev. 120, 1093 A960).
209. С. Т z а г a, J. phys. rad. 22, 303 A961).
210. А. И. А л п x а н о в, В. А. Любимов, Изв. АН СССР, сер. физ. 24, 1076
A960).
211. R. Barloutaud, E. Cotton, J.-L. Picon, J. Q u i d о г t, Сотр. rend.
250, 319 A960).
212. P. P. С v a i g, D. E. N a g 1 e, D. R. F. С о с h г a n, Phys. Rev. Lett. 4, 561
A960).
213. M. А. Кривоглаз, Эффект Мессбауера и его применение в физике твердого
тела, Сб. «Итоги науки», Физика твердого тела (теория твердого тела), Институт
научной информации, М., 1965, стр. 5.
214. 10. М. Каган, ЖЭТФ 40, 312; 4t, 659 A961).
215. Ю. М. К а г а н, В. А. М а с л о в, ЖЭТФ 41, 1296 A961).
216. Ю. М. Каган, Я. А. И о с и л е в с к и й, ЖЭТФ 42, 259 A962); 44, 284
A963).
217. А. М. А ф а н а с ь е в, 10. М. Каган, ЖЭТФ 45, 1660 A963); 47, 1108 A964);
48, 327 A965); 50, 271 A966); Письма ЖЭТФ 2, 130 A965); 8, 620 A968).
218. М. И. П о д г о р е ц к и й, А. В. Степанов, ЖЭТФ 40, 561 A961).
219. М. А. К р и в о г л а з, ЖЭТФ 40, 1812 A961).
220. М. В. К а з а р н о в с к и й, А. В. С т е п а н о в, ЖЭТФ 42, 489 A962).
221. И. П. Д з ю б, А. Ф. Л у б ч е н к о, ФТТ 3, 2275 A961); Изв. АН СССР, сер. физ.
25, 901 A961); ДАН СССР 136, 66 A961).
222. М. В. К а з а р н о в с к и и, ЖЭТФ 38, 1652 A960).
223. R. V. Pound, G. A. R e b k a. Phys. Rev. Lett. 3, 554 A959).
224. J. P. S chiiier, W. Marshall, Phys. Rev. Lett. 3, 556 A959).
225. И. Я. В а р и т, М. И. П о д г о р е ц к и й, Ф. Л. Ш а п и р о, ЖЭТФ 38, 301
A960).
226. В. А. Любимов, А. И. А л и х а н о в, ЖЭТФ 38, 1912 A960).
227. О. С. К i s t 11 е г, A. W. S a n у а г, Phys. Rev. Lett. 4, 412 (I960).
228. D. E. Nagle, H. Frauenfelder, R. D. Tayler, D. R. Г. Cochran,
В. Т. М a t t h i a s, Phys. Rev. Lett. 5, 364 A960).
229. R. S. P r e s t о n, S. S. H a n n a, J. H о b e r 1 e, Phys. Rev. 128, 2207 A962).
230. С Robert, J. M. Winter, Compt. rend. 250, 3831 A960).
231. J. S. К о u,v e 1, R. H. Wilson, J. Appl. Phys. 32, 435 A961).
232. Ф. Гальперин, С. Ларин, А. Шишков, ДАН СССР 89, 419 A963).
233. F. van der W о u d e, G. A. S a w a t z k у, А. Н. Morrish, Phys. Rev. 167,
533 A968).
234. S. S. H a n n a, J. H e b er 1 e, G. J. P e r 1 о \v, R. S. P r es t о n, D. H. Vin-
Vincent, Phys. Rev. Lett. 4, 513 A960).
235. S.S. Hanna, J. Heberle,C. Littlejohn, G. J.Perlow, R. S.Pre-
S.Preston, D. H.Vincent, Phys. Rev. Lett. 4. 177 A960).
236. G. K. W e r t h e i m, J. Appl. Phys. 32, 110S A961).
237. D. Nagle, H. Frauenfelder, R. D. Taylor, D. R. F. Cochran,
В. Т. М a t t h i a s, Phys. Rev. 125, 490 A962).
238. G. K. W e r t h e i m, Phys. Rev. Lett. 4, 403 A960).
239. G. J. Peiiow, С E. Johnson, W. Marshall, Phys. Rev. 140, A875
A965).
240. G. K. Wertheim, J. H. Wernick, Phys. Rev. 123, 755 A961).
241. J. G. D a s h, B. D. D u n 1 a p, D. G. H о w a r d, Phys. Rev. 141, 376 A966)-
Phys. Rev. Lett. 15, 624 A965).
242. С E. J о h n s о n, M. S. R i d о u t, Т. Е. С г a n s h a w, Proc. 2nd Intern. Moss-
bauer Conf., 1961, Wiley, New York, 1962, p. 142.
- 1015 —

243. G. Longworth, Phys. Rev. 172, 572 A968).
244. G. R. Hoy, K. P. Singh, Phys. Rev. 172, 514 A968).
245. G. K. W e г t h e i m, H. J. Guggenheim, H. J. Levinstein.
D. N. E. В u с h a n a n, R. C. S h e г w о о d, PHys. Rev. 173, 614 A968).
246. G. Shirane, W. J. Take i, S. L. Rub y, Phys. Rev. 126, 49 A962).
247. E. A. Friedman, D. Nicholson, Bull. Am. Phys. Soc. B) 7, 402
A962).
248. W. E. Wallace, L. M. Epstein, J. Chem. Phys. 35, 2238 A961).
249. С W. К о cher, P. J. Brown, J. Appl. Phys. 33, 1091S A962).
250. S. К о m u г a, N. S h i к a z о n o, J. Phys. Soc. Japan 18, 323 A963).
251. С Kimball, W. D. Gerber, A. Arrott, Bull. Am. Phys. Soc. B) 7, 27S
A962).
252. F.E.Obensliain, L.D.Roberts, H.H.F.Wegener, Bull. Am. Phys.
Soc. B) 8, 43 A963).
253. G. K. Wertheim, J. H. W e г n i с к, Phys. Rev. 125, 1937 A962).
254. G. K. Wertheim, D. N. E. Buchanan, H. J. Guggenheim, Phys.
Rev. 152, 527 A966).
255. M. Eibscbutz, S. Shtrikmdn, D. Treves, Phys. Rev. 156, 562
A967).
256. R. В a u m i n g e r, S. G. С о h e n, A. M а г i n о v, S. О f e r, E. S e g a 1, Phys.
Rev. 122, 1447 A961).
257. A. I t о, К. О n o, Y. Ishikawa, J. Phys. Soc. Japan 18, 1465 A963).
258. К. О n o, Y. Ishikawa, A. I t o, J. Phys. Soc. Japan 17, 125S A962).
259. I.Solomon, Compt. rend. 251, 2675 A960).
260. О. К a z u s, Y. I s h i к a w a, A I t o, J. Pbys. Soc. Japan 17, 1747 A962).
261. C. E. Johnson, M.S. R i d о u t, Т. Е. С г а и s h a w, Proc. Phys. Soc. 81.
1079 A963).
262. S. T e г u у a, Y. Naomoto, N. Shikazono, J. Phys. Soc. Japan 18, 797
A963).
263. G. Shirane, С W. Chen, P. A. Elinn, B.Nathans, Phys. Rev. 131.
183 A963).
264. W.H.Kelly, V.J.Folen, M. Hass, W.N.Scheiner, G.B.Beards,
Phys. Rev. 124, 80 A961).
265. G. S h i г a n e, D. E. С о x, S. L. Ruby, Phys. Rev. 125, 1158 A962).
266. G. K. Wertheim, Phys. Rev. 124, 765 A961).
267. G.K.Wertheim, Phys. Rev. 121, 63 A961).
268. D. N. E. Buchanan, G. K. Wertheim, Bull. Am. Phys. Soc. B) 7, 227
A962).
269. G. S h i г a n e, D. E. С о x, W. J. T а к e i, S. L. R u b y, J. Phys. Soc. Japan
17, 1598 A962).
270. V. G. В hide, G. K. S h e n о у, Phys. Rev. 143, 309 A966).
271. J. D. S i e g w а г t d, Phys. Rev. 155, 285 A967).
272. R. Bauminger, S. G. Cohen, A. Marinov, S. Ofer, Phys. Rev. 122.
743 A961).
273. С A Iff, G. K. Wertheim, Phys. Rev. 122, 1414 A961).
274. J. G. D a s h, R. D. T а у 1 о г, D. E. N a g 1 e, P. P. С г a i g, W. M. V i s s с h e r.
Phys. Rev. 122, 1116 A961).
275. J. G. D a s h, R. D. T а у 1 о г, Р. Р. С г a i g, D. E. N a g 1 e, D. R. F. С о с h
г a n, W. E. V e 1 1 e г. Phys. Rev. Lett. 5, 152 A960).
276. F. E. Obenshain, H. H. F. Wegener, Phys. Rev. 121, 1344 A961); Zs.
Phys. 163, 17 A962).
277. L. Meyer- Schiitzmeister, R. S. Preston, S. S. Hanna, Phys.
Rev. 122, 1717 A961).
278. S. S. H anna, L. M e у e г-S с h tit z m e i s t e r, R. S. P г e s t о n, D. H. V i n-
c e n t, Phys. Rev. 120, 2211 A960).
279. S. S. Hanna, J. Heberle, J. D i a z, R. W. Ren o, Rev. Mod. Phys. 36.
№ 1, Part II, 407 A964).
280. A. J. Boyle, D. St. Bunbury, С Edwards, Proc. Phys. Soc. 77, 1062
A961).
281. О. С. К i s t n e r, A. W. S u n у a r, J. B. S i v a n, Phys. Rev. 123, 179 A961).
282. A. J. F. Boule, D. St. Bunbury, С Edwards, Phys. Rev. Lett. 5, 553
A960).
283. S. L. Ruby, G. M. К a 1 v i u s, Phys. Rev. 155, 353 A967).
284. P. G i 1 a d, G. С о 1 d r i n g, R. К a 1 i s h, R. H. H e r b e r, Phys. Rev. 151.
281 A966).
285. D. E. Murnick, L. Grodzins, J. D. Bronson, B. Herskind.
R. R. В о г с h e r s, Phys. Rev. 163, 254 A967).
286. U. A t z m о и y, A. M u a 1 m, S. Ofer, Phys. Rev. 136, B1237 A964).
287. S. Hufner, J. H. W e r n i с к, Phys. Rev. 173, 448 A968).
288. D.A.Shirley, R.B.Frankel, Ы. H. Wickman, Rov. Mod. Phys. 36.
№ 1, Part. II, 392 A964).
289. P. H. Barrett, D. A. Shirley, Phys. Rev. 131, 123 A963).
— 1016 —

290. С. Littlejohn, L. Herzenberg, L. Meyer-Schutzmeister,
L. L. L e e, Jr., S. S. H a n n a, Bull. Am. Phys. Soc. B) 7, 39 A962).
291. L. Meyer-Schutzmeister. Proc. 2nd Intern. Conf. Mossbauer Effect,
1961, Wiley, New York, 1962, p. 190.
292. R. L. Cohen, Phys. Rev. 137, A1809 A965).
293. R.Bauminger, S. G. Cohen, A. Marino v, S. Ofer, Phys. Rev. Lett.
6, 467 A961).
294. R.Bauminger, S. G.Cohen, A. Marino v, S. Ofer, Proc. 2nd Intern.
Conf. Mossbauer Effect, 1961, Wiley, New York, 1962, p. 177.
295. S. Ofer, P. Aviv i, R. Bauminger, A. Marino v, S. G. Cohen,
Phys. Rev. 120, 406 A960).
296. R. A. Reese, R. G. Barnes, Phys. Rev. 163, 465 A967).
297. B.Persson, H. Blumberg, M. Bent, Phys. Rev. 174, 1509 A968).
298. G. W. Rothbery, N. Benczer-Koller, J. K. Harris, Proc. 3d
Intern. Conf. Mossbauer Effect, Rev. Mod. Phys. 36, № 1, Part II, 1964, p. 357.
299. D. Agresti, E. Kankeleit, B. Persson, Phys. Rev. 155, 1339
A967).
300. А. В u у r n, L. G г о d z i n s, N. A. Blum, J. W u 1 f f, Phys. Rev. 163, 286
A967).
301. R. L. Cohen, Phys. Rev. 171, 343 A968).
302. D. A. S h i r 1 e у, М. К a p 1 a n, P. A x e 1, Phys. Rev. 123, 816 A961).
303. R. W. Grant, M. Kaplan, D. A. Keller, D. A. Shirley, Bull. Am.
Phys. Soc. B), 7, 601 A962); Rev. Mod. Phys. 36, № 1, Part II, 352 A964); Phys.
Rev. 133, A1062 A964).
304. L. D. R о b e r t s, J. О. Т h о m p s о n, Bull. Am. Phys. Soc. B) 6, 230 A961).
305. L. D. Roberts, J. O. Thompson, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 350,351
A962).
306. L. D. Roberts, J. O. Thompson, Phys. Rev. 129, 664 A963).
307. R. L. Cohen, Rev. Mod. Phys. 36, № 1, Part II, 393 A964); Phys. Rev. 134,
A94 A964).
308. С. С. T s u e i, G. L о n g w о r t h, S. С. Н. L i n, Phys. Rev. 170, 603 A968).
309. А. В. К о г а н, Е. И. Н и к у л и н, ФТТ 8, 3410 A966).
310. А. В. Коган, В. Д. Кульков, Л. П. Никитин, ФТТ 8, 3555
A966).
311. R. J. Но Hi day, D. A. Shirley, N. J. Stone, Phys. Rev. 143, 130
A966).
312. H. de W a a r d, S. A. D r e n t j e, Phys. Lett. 20, 38 A966).
313. G. С P r a m i 1 a, S. G. Cohen, L. G г о d z i n s, Phys. Lett. 24A, 7
A967).
314. 1. Campbell, A. A. Comes, Sol. State Comrn. 6, 395 A968).
315. K. Johansson, E. Karlsson, L. O. N о r 1 i n, P. N. T a n d о n,
H. С J a i n, Ark. Fys. 37, 453 A968).
316. V. G. В h i d e, G. K. S h e n о у, J. Phys. Soc. Japan 21, 625 A966).
317. D. A. Shirley, S. S. R о s e n Ы u m, Phys. Rev. 170, 363 A968).
318. A. P. Jain, Т. Е. С г a n s h a w, Phys. Lett. 25A, 421 A967).
319. G. В e m s k i, X. A. La S i 1 v a, J. Appl. Phys. 35, 1081 A964).
320. H. E. Алексеевский, В. Н. Анищенко, А. Л. Ерзнакян,
В. П. П а р ф е н о в а, В. С. Ш п и н е л ь, Письма ЖЭТФ 3, 318 A966).
321. М. Rubinstein, G. H. S t r a u s s, М. В. S t e a r n s, J. Appl. Phys. 37,
1334 A966).
322. J. I. Budnick, J. Lechaton, S. Skalski, Phys. Lett. 22, 405 A966).
323. F. W. D. W о о d h a m s, R. E. M e a d s, J. S. С a r 1 a w, Phys. Lett. 23, 419
A966).
324. A. P. Jain, Т. Е. С г a n s h a w. Phys. Lett. 25A, 425 A967).
325. A. E. В а л а б а н о в, Н. Н. Д е л я г и н, А. Л. Е р з н а к я н, В. П.Пар-
П.Парфенова, В. С. Шпинель, ЖЭТФ 55, 2136 A968).
326. Л. И. Винокурова, В. И. Николаев, Е.В.Мельников, ФММ 26,
317 A968).
327. R. F. J а с k s о n, R. G. S с h u г 1 о с k, D. В. U t t о n, E. M. W г а у, Proc.
Phys. Soc. 85, 127 A965).
328. А. В. А н ф и с о в, В. И. Николаев, Письма ЖЭТФ 4, 315 A966).
329. В. Dreyfus, P. Stetenko, D. Thoulouze, Phys. Lett. 24A, 454
A967).
330. В. D. D u n 1 a p. J. B. D u r b y, Jr., С W. К i m b a 1 1, Phys. Lett. 25A, 431
A967).
331. P. H. Кузьмин, Н. С. Ибрагимов, Г. С. Жданов, ЖЭТФ 50, 330
A966).
332. В. В. Ч е к и н, Л. Е. Д а н и л е н к о, А. И. К о п л и е н к о, ЖЭТФ 51, 711
A966).
333. В. С а г о 1 i, А. В 1 a n d i n, J. Phys. Chem. Sol. 27, 503 A966).
334. S. Hufner, P. Kienle, W. Wiedemann, H. Eicher, Zs. Phys. 182,
499 A965).
65 c . в. Вонсовский — 1017 —

335. Н. Н. Делягин, Хуссейн Эль С а и с, В. С. Шпинель, ЖЭТФ 51, 95-
A966).
336. И. И. Лукашевич, В. В. Скляревский, К. П. Алешин, Б. Н.Са-
Н.Самойлов, Е. П. Степанов, Н. И. Филиппов, Письма ЖЭТФ 3, 81
A966).
337. Н. Н. Wickman, I. Nowik, J. H. W e r n i с k, D. A. Shirley,
R. B. F г a n k e 1, J. Appl. Phys. 37, 1246 A966).
338. D. Bosch, F. Pobeil, P. К i e n 1 e, Phys. Lett. 22, 262 A966b
339. R. E. Geguwarth, J. I. В u d n i с k, S. S k a 1 s k i, J. H. Wernickv
Phys. Rev. Lett. 18, 9 A967).
340. E. R. S e i d e 1, G. К a i n d 1, M. J. С 1 a u s e r, R. L.Mossbauer, Phys.
Lett. 25A, 328 A967).
341. N. В 1 u m, L. G г о d z i n s, Phys. Rev. 136, A133 A964).
342. D. T. Edmonds, G. V. H. Wilson, Phys. Lett. 23, 431 A966).
343. M. F. С г а с k n e 1 1, J. С G a 11 о p, G. V. H. W i 1 s о n, Phys. Lett. 24A, 719-
A967).
344. R. J.Borg, R. Booth, L. Himmel,D.N.Pipkork,C. E.Violet,
Phys. Lett. 25A, 141 A967).
345. I. R. Williams, G.V. H. Wilson, B. Window. Phys. Lett. 25A, 144
A967).
346. В. И. Гольданский, М.Н. Девишева, Е.Ф. Макаров, Г. В.Но-
В.Новиков, В. А. Трухтанов, Письма ЖЭТФ 4, 63 A966).
347. D. Kedem, T. Rothem, Phys. Rev. Lett. 18, 165 A967).
348. J. F. Ullrich, D. H. Vincent, Phys. Lett. 25A, 731 A967).
349. E. Ф. М а к а р о в, А. С. М а р ф у н и н, А. Р. Мкртьян, В. А. Новиц-
Новицкий, Р. А.Стукан, ФТТ 10, 913 A968).
350. В. А. Боков, Г, В, Новиков, О. В.Проскуряков, Ю. Г. С а к с о-
н о в, В. А. Трухтанов, С. И. Ю с ц у к, ФТТ 10, 1080 A968).
351. G. A. Fat sear, R. К г i s h n a n, J. Appl. Phys. 39, 1256 A968).
352. К. П. В е л о в, И. С. Л ю б у т и н, ЖЭТФ 49, 747 A965).
353. И. С. Л ю б у т и н, ФТТ 8, 643 A966).
354. И. С. Л ю б у т и н, В. А. М а к а р о в, Е. Ф. М акаров, В. А. Новиц-
Новицкий, Письма ЖЭТФ 7, 370 A968).
355. И. С. Любутин, Е. Ф. Макаров, В. А. Новицкий, ФТТ 10, 534
A968).
356. J. J. van L о ef, J. Appl. Phys. 39, 1258 A968).
357. П. Н. Стеценко, Ю. И. Авксентьев, ЖЭТФ 47, 806 A964).
358. М. П. Петров, Г. А. Смоленский, ЖЭТФ 50, 871 A966).
359. S. S. H a f n е г, В. J. Evans, G. М. К о 1 v i о n s, Sol. State Comm. 5, 17
A967).
360. U. Be-'telsen, J. M. К n u d s e n, H. К г о g h, Phys. stat sol. 22, 59
A967).
361. J. S. van Wieringen, J. G. Rensen, Sol. State Comm. 4, 1 A966).
362. E. E. Ю р ч и к о в, А. 3. М е н ь ш и к о в, В. А. II у р и н, А. В. К а л а ш-
н и к о в а, ФММ 26, 487 A968).
363. Н. П. Варан, М. Ф. Д е й г е н, С. С. И щ е н к о, М. А. Рубан,
В. В. У д о д, ФТТ 10, 1250 A968).
364. В. И. Гольданский, Письма ЖЭТФ 7, 357 A968).
365. R. M. Housley, U. Gonser, Phys. Rev. 171, 480 A968).
366. В. Н. Самойлов, В. В. Скляревский, Е. П. Степанов, ЖЭТФ
36, 644, 1944 A959); 38, 359 A960).
367. В. Н. Самойлов, В. В. Скляревский, В. Д. Горбоченк о, ЖЭТФ
41, 1783 A961).
368. А. В. Коган, В. Д. Кульков, Л. П. Никитин, Н. М. Р е й н о в,
И. А. Соколов, М. Ф. Стел ьм ах, ЖЭТФ 40, 109 A961).
369. N. J. S t о п е, В. G. T u г г е 1 1. Phys. Lett. I, 39 A962).
370. F. E. Obenshain, L. D. Roberts, С F. Coleman, D. W. Forster,
J. O. Thomson, Phys. Rev. Lett. 14, 365 A965).
371. H. H. Wickman, M. P. Klein, D. A. Shirley, Phys. Rev. 152, 345
A966).
372. S. Hufner, H. H. Wickman, С. Е. Wagner, Phys. Rev. 169, 247
A968).
373. L. E. Campbell, S. de В e n e d e t t i, Phys. Rev. 167, 556 A968).
374. F. Van der Woude, A. J.Dekker, Phys. stat. sol. 9, 775 A965); Sol.
State Comm. 3, 319 A965).
375. E.A. Fridman, W. J.Nicholson, J. Appl. Phys. 34, 1048 A963).
376. A. I. В о у 1 e, H. E. H a 1 1, Rep. Prog. Phys. 25, 441 A962).
377. С. К. Edge, R. I n g a 1 1 s, P. D e b г u n n e r, H. G. D г i с k a m e r,
H. Frauenfelder, Phys. Rev. 138, A729 A965).
378. D. L. R a i m о n d i, G. Jura, J. Appl Phys. 38, 2133 A967).
379. W. H. S о u t h w e 1 1, D. L. Decker, H. B. V a n f 1 e e t, Phys. Rev. 171».
354 A968).
- 1018 —

, , , y ,
A964).
R. J. В о г g, R. В о о t h, С. Е. V i о 1 e t, Phys. Rev. Lett. 11, 463 A963).
P. P. Craig, W. A. Steyert, Phys. Rev. Lett. 13, 802 A964).
M B Stearns S S Wilson Phys Rev Lett 13 313 A964)
380. S. Alexander, D. Treves, Phys. Lett. 20, 134 A966).
381. R. S. P г e s t о n, Phys. Rev. Lett. 19, 75 A967).
382. D. L. U h rich, R. G. Barnes, Phys. Rev. 164, 428 A967).
383. D. L. U h г i с h, D. J. G e n i n, R. G.Barnes, Phys. Lett. 24A, 338
A964).
384.
385. g, y, y , ()
386. M. B. Stearns, S. S. Wilson, Phys. Rev. Lett. 13, 313 A964).
387. В. И. Г о л ь д а н с к и й, В. А. Т р у х т а н о в, М. Н. Д е в и ш е в а,
В. Ф, Б е л о в, Письма ЖЭТФ 1, 31 A965).
388. К. П. Белов, И. С. Л ю б у т и н, Письма ЖЭТФ 1, 26 A965).
389. G. К. W e r t h e i m, Science 144, 253 A964).
390. J. S. van W i e r i n g e n, Philips Techn. Rev. 28, 33 A967).
391. H. H. P о t t e r, Proc. Roy. Soc. A146, 362 A934).
392. С Robert, J. M. Winter, Compt. rend. 250, 3831 A960).
393. Y. К о i, A. T s u j i m u r a, T. H i h a r а, Т. К u s h i d a, J. Phys. Soc. Japan
16, 1040 A961).
394. E. А. Туров, А. П. Т а н к е е в, М. И. К у р к и н, Изв. АН СССР, сер.
физ. 34, 382 A970).
395. Ё. А. Туров, А. П. Танкеев, М. И. К у р к и н, ФММ 28, 385 A969);
29, 747 A970). ;
65*

ЛИТЕРАТУРА
I. ОБЩАЯ ЛИТЕРАТУРА
Абрагам A963) (A. Abragam), Ядерный магнетизм, дерев, с англ., ИЛ.
Абрикосов А. А., Халатников И. М. A958), УФН 66, 177.
Абрикосов, А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. A962),
Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, М.
Акулов Н. С. A939), Ферромагнетизм, ГИТТЛ, М.— Л.
Альтшулер С. А., Козырев В. М. A961), Электронный парамагнитный
резонанс, Физматгиз, М.
А н с е л ь м А. И. A962), Введение в теорию полупроводников, Физматгиз, М.—Л.
Аркадьев В. К. A934), Электромагнитные процессы в металлах, т. I, ОНТИ,
М.—Л.
Аркадьев В. К. A936), Электромагнитные процессы в металлах, т. II, ОНТИ,
М.—Л.
Ахиезер А. И., Верестецкий В. В. A959), Квантовая электродинамика,
изд. 2-е, Физматгиз, М.
Ахиезер А. И., Варьяхтар В. Г., Пелетминский СВ. A967),
Спиновые волны, «Наука», М.
Бальхаузен A964) (С. J. Ballhausen), Введение в теорию поля лигандов, перев.
с англ., «Мир», М.
Бардин, Шриффер A962) (J. Bardeen, J. Schriffer), Новое в изучении сверхпро-
сверхпроводимости, перев. с англ., Физматгиз, М.
Беккер, Дёринг A939) (R. Becker, W. Doring), Ferromagnetismus, Springer
Verlag, Berlin.
Белов" К. П. A957), Упругие, тепловые и электрические явления в ферромагнети-
ферромагнетиках, Гостехиздат, М.
Белов К. П. A959), Магнитные превращения, Физматгиз, М.
Белов К. П., Велянчикова М. А., Левитин Р. 3., Никитин С. А.
A965), Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики, «Наука», М.
Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. A968),
Релятивистская квантовая теория, часть 1 (из серии Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-
Лифшиц, Теоретическая физика, том IV), изд-во «Наука», М.
Бете A935) (Н. Bethe) Квантовая механика простейших систем, перев. с нем.,
ОНТИ, М.
Бете, Зоммерфельд A938) (Н. A. Bethe, A. Sommerfeld), Электронная теория
металлов, перев. с ном., ОНТИ, М.
Бете, Моррисон A958) (Н. A. Bethe, Ph. Morrison), Элементарная теория ядра,
перев. с англ., ИЛ, М.
Бете, Солпитер A960) (Н. A. Bethe, E. E. Salpeter), Квантовая механика ато-
атомов с одним и двумя электронами, перев. с англ., Физматгиз, М.
Вир A963) (А. С. Beer), Galvanomagnetic Effects in Semiconductors, Acad. Press,
London.
Блатт, Вайскопф A954) (J. M. Blatt, V. F. Weisskopf), Теоретическая ядерная
физика, перев. с англ., ИЛ, М.
Блатт A963) (J. M. Blatt), Теория подвижности электронов в твердых телах, перев.
с англ., Физматгиз, М.— Л.
Блатт A964) (J. Blatt), Theory of Superconductivity, Acad. Press, New York, London.
Блекмор A964) (J. S. Blackmore), Статистика электронов в полупроводниках,
перев. с англ., изд-во «Мир», М.
Блин-Стойл A967) (R. J. Blin-Stoyle), Theories of nuclear moments, Oxford Univ.
Press, Oxford.
Блох A934) (F. Bloch), Молекулярная теория магнетизма, перевод с немецкого-
научно-технич. изд-во Украины, Харьков — Киев.
— 1020 —

Блохинцев Д. И. A961), Основы квантовой механики, 3-е изд., изд-во «Высшая
школа», М.
Боголюбов Н. Н. A949), Лекцп з квантово1 статистики, «Радянська школа»,
Кшв.
Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Щирков Д. В. A958), Новый
метод в теории сверхпроводимости, Изд-во АН СССР, М.
Б о з о р т A956) (R. M. Bozorth), Ферромагнетизм, перев. с англ., ИЛ, М.
Б о к и й Г. Б. A960), Введение в кристаллохимию, Изд-во МГУ, М.
Б о м A965) (D. Bohm), Квантовая теория, 2-е изд., Физматгиз, М.
Б о м A964) (D. Bohm), Общая теория коллективных переменных, перев. с англ..
«Мир», М.
Бонч-Бруевич В. Л., Т я б л и к о в С. В. A961), Метод функций Грина в ста-
статистической физике, Физматгиз, М. ¦
Б о р н A937) (М. Born), Оптика, перев. с нем., ОНТИ, Харьков — Киев.
Бэкон A957) (J. Bacon), Диффракция нейтронов, перев. с англ. ИЛ, М.
В а н-Ф л ек A932) (J. H. Van Vleck), Theory of electric and magnetic susceptibilities.
Oxford Univ, Press, Oxford.
В а н-Ф л е к A940), Le Magnetism, vol. Ill, Proceedings on the Strasburg Congress on
Magnetism, 1939, pp. 103—151.
Введенский Б. А., Ландсберг Г. С. A929), Современное учение о маг-
магнетизме, ОГИЗ, М.
В и г н е р A961) (Е. Wigner), Теория групп, перев. с англ. ИЛ, М.
Вильсон A953) (А. Н. Wilson), Theory of metals, 2d ed. Cambridge, Univ. Press.
Cambridge [см. перевод 1-го издания: А.Вильсон, Квантовая теория метал-
металлов, перев. с англ., Гостехиздат, 1941].
Волькейнштейн М. В. A951), Молекулярная оптика, Гостехиздат, М.
Вонсовский СВ. A953), Современное учение о магнетизме, Гостехиздат, М.
Вонсовский С. В., Шур Я. С. A948), Ферромагнетизм, Гостехиздат, М.
Гайтлер A956) (W. Heitler), Квантовая теория излучения, перев. с англ., ИЛ, М.
Герцберг A948) (G. Herzberg), Атомные спектры и строение атомов 2-е изд..
перев. с англ., ИЛ, М.
Гинзбург В. Л. A946), Сверхпроводимость. Изд-во АН СССР, М.
Г о м б а ш A952) (P. Gombas), Проблема многих частиц в квантовой механике, перев.
с нем., ИЛ, М.
Г о р т е р A949) (С. J. Gorter), Парамагнитная релаксация, перев. с англ., ИЛ, М.
Гугенгольц A967) (N. M. Hugenholtz), Квантовая теория систем многих тел.
перев. с англ., «Мир», М.
Г у д и н а ф A969) (J. В. Goodenough), Магнетизм и химическая связь, перев. с англ.,
«Металлургия», М.
Давыдов А. С. A958), Теория атомного ядра, Физматгиз, М.
Да н л э п A959) (W. С. Dunlap), Введение в физику полупроводников, перев.
с англ., ИЛ, М.
Джонс A968) (Н. Jones), Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кри-
кристаллах, перев. с англ., «Мир», М.
Дирак A960) (P. A. M. Dirac), Принципы квантовой механики, 4-е изд., перев,
с англ., Физматгиз, М.
Дорфман Я. Г. A948), Магнитные свойства атомного ядра, Гостехиздат, М.
Дорфман Я. Г. A955), Магнитные свойства и строение вещества, Гостехиздат, М.
Дорфман Я. Г. A961), Диамагнетизм и химическая связь, Физматгиз, М.
Дорфман Я. Г., Кикоин И. К. A934), Физика металлов, ГТТИ, М.—Л.
Ельяшевич М. А. A953), Спектры редких земель, Гостехиздат, М.—Л.
3 айман A962) (J. M. Ziman), Электроны и фононы, перев. с англ., ИЛ, М.
3 айман A966) (J. M. Ziman), Принципы твердого тела, перев. с англ., «Мир», М.
Займовский А. С, Чудновская Л. А. A957), Магнитные материалы.
Госэнергоиздат, М.
3 е й т ц A949) (F. Seitz), Современная теория твердого тела, перев. с англ., Гостех-
Гостехиздат.
3 оммерфельд A956) (A. Sommerfeld), Строение атома и спектры, тт. I, II, перев.
с нем. Гостехиздат, М.
Изюмов Ю. А., Озеров Р. П. A966), Магнитная нейтронография, «Наука», М.
И н г р а м A958) (D. J. E. Ingram), Free Radicals as Studied by Electron Resonance,
London.
И н г р а м A961) (D. J. E. Ingram), Электронный парамагнитный резонанс в свобод-
свободных радикалах перев. с англ., ИЛ, М.
Иоффе А. Ф. A957), Физика полупроводников, Изд-во АН СССР, М.— Л.
К а с п е р с A964) (W. J. Caspers), Theory of spin relaxation, Interscience, New York.
Каллауэй A970), (J. Callaway), Теория зонной энергетической структуры, пер.
с англ., изд. «Мир», М.
Китайгородский А. И. A950), Рентгеноструктурный анализ, Гостехиздат, М.
Кпржниц А. А. A963), Полевые методы теории многих частиц, Атомиздат, М.
К и т т е л ь A963) (Ch. Kittel), Введение в физику твердого тела, 2-е изд., перев.
с англ., Физматгиз, М.
— 1021 —

К и т т е л ь A967) (Ch. Kittel), Квантовая теория твердых тел, перев. с англ.,
«Наука», М.
К н е л л е р A962) (Е. К п е 1 1 е г), Ferromagnetismus, Springer Verlag, Berlin.
К о з м а н A960) (W. Kausmann), Введение в квантовую химию, перев. с англ.,
ИЛ, М.
Компанеец А. С.-A957), Теоретическая физика, 2-е изд. Гостехиздат, М.
Кондон иШортли A949) (Е. V. Condon, G. Shortley) Теория атомных спектров,
перев. с англ., ИЛ, М.
Копферман A960) (Н. Kopfermann), Ядерные моменты, перев. с нем., ИЛ, М.
Коулсон A965) (Ch. A. Coulson), Валентность, перев. с англ., «Мир», М.
Кракнелл A968) (А. Р. Cracknell), Applied Group Theory, Pergamon Press Ltd,
Oxford.
Крейк, Теббл A965) (D. J. Craik, R. S. Tebble), Ferromagnetism and ferromagnetic
domains, North Holland Publ. Co., Amsterdam.
Кривоглаз М. А., Смирнов А. А. A958), Теория упорядочивающихся спла-
сплавов, Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. A957), Электродинамика сплошных сред, Гос-
Гостехиздат, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A958), Механика, Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A960), Теория поля, 3-е изд., Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A963), Квантовая механика (нерелятивистская
теория), 2-е изд., Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A964), Статистическая физика, «Наука», М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A965), Теория упругости, «Наука», М.
Ландау Л. Д., Смородинский Я. А. A955), Лекции по теории атомного
ядра, Гостехиздат, М.
Лившиц Б. Г. A946), Физические свойства металлов и сплавов, Машгиз, М.
Лифшиц И. М., А з б е л ь М. Я., К а г а н о в М. И. A971), Электронная
теория металлов, «Наука», М.
Л орентц A934) (Н. Lorentz), Теория электронов, перев. с англ. Гостехиздат, М.
Л оу A962) (W. Low), Парамагнитный резонанс в твердых телах, перев. с англ., ИЛ, М.
Любарский Г. Я. A957), Теория групп п ее применение в физике, Гостехиздат, М.
Маделунг A960) (Е. Madelung), Математический аппарат физики, перев. с англ.,
Физматгиз, М.
М а т т и с A967) (D. С. Mattis), Теория магнетизма (Введение в изучение кооператив-
кооперативных явлений), перев. с англ., «Мир», М.
Мендельсон К. A963) (Mendelson), Физика низких температур, перев. с англ.,
ИЛ, М.
М и г д а л А. Б. A965), Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер,
«Наука», М.
М о р р и ш A965) (А. Н. Morrish), The Physical Principles of Magnetism, John Wiely
et Sons, Inc., N. Ym.
Морс, Фешбах A958) (P. M. Morse, H. Feshbach), Методы теоретической физики,
т. I, перев. с англ., ИЛ, М.
Морс, Фешбах A960) (P. M. Morse, H. Feshbach), Методы теоретической физики,
т. II, перев. с англ., ИЛ, М. >
Мотт, Джонс A936) (N. F. Mott, H. Jones), The theory of the properties of Metals
and Alloys, Oxford univ. press, Oxford.
Нокс, Голд A970) (R. S. Knox, A. Gold), Симметрия в твердом теле, перев. с англ.,
«Наука», М.
Ормонт Б. Ф. A950), Структура неорганических веществ, Гостехиздат, М.
П а й е р л с A956) (R. Peierls), Квантовая теория твердых тел, перев. с англ., ИЛ, М.
II айне A955) (D. Pines), Solid State Physics, Vol. I, Acad. Press, N.Y.
Пайнс A963) (D. Pines), Проблема многих тел, перев. с англ., ИЛ, М.
Пайнс, Нозьер A967) (D. Pines, Ph. Nozieres), Теория квантовых жидкостей.
Нормальные ферми-жидкости, перев. с англ., «Мир», М.
П ей к A965) (G. E. Pake), Парамагнитный резонанс, перев. с англ., «Мир», М.
Поливанов К. М. A957), Ферромагнетики, Госэнергоиздат, М.—Л., М.
П р а т т о н A967), (М. Prutton), Тонкие ферромагнитные пленки, перев. с англ.,
изд-во «Судостроение», Л.
Р а б к и н Л. И. A960), Высокочастотные ферромагнетики, Физматгиз, М.
Р а м з е й A953) (N. F. Ramsey), Nuclear Moments, Wiley, New York.
P а м з е й A960) (N. F. Ramsey), Молекулярные пучки, перев. с англ., ИЛ, М.
Реймс A963) (S. Raimes), The wave mechanics of electrons in metals, North-Holland
Publish. Сотр., Amsterdam.
Селвуд A958) (P. Selwood), Магнетохимия, перев. с англ., ИЛ, М.
Ситадзе, Сато A964) Ферриты, перев. с япон., «Мир», М.
С м а р т A968) (J. S. Smart), Эффективное поле в теории магнетизма, перев. с англ,,
«Мир», М.
Смит A957) (К. F. Smith), статья из сб. «Progress Nuclear Physics» 6, 52—107.
Смит, Вейн A962) (J. Smit, H. P. J. Wijn), Ферриты (физические свойства
и практические применения), перев. с англ., ИЛ, М.
— 1022 -

С не д дон A955) (I. Sneddon), Преобразования Фурье, ИЛ, М.
С н о е к (Снук) A949) (J. L. Snoek), Исследования в области новых магнитных мате-
материалов, перев. с англ., ред. и дополнения С. В. Вонсовского, ИЛ, М.
Соколов А. В. A961), Оптические свойства металлов, Физматгиз, М.
Собельман И. И. A963), Введение в теорию атомных спектров, Физматгиз, М.
С т о н е р A964) (Е. Stoner), Magnetism and matter, Methuen a.' Co., London.
С у x у A967) (R. F. Soohoo), Магнитные тонкие пленки, перев. с англ., «Мир», М.
Тамм И. Е. A956), Основы теории электричества, изд. 6-е, Гостехиздат, М.
Т аул ее A963) (D. Thouless), Квантовая механика систем многих частиц, перев.
с англ., ИЛ, М.
Тер-Х а а р A961) (D. Тег Нааг), Введение в физику систем многих частиц, перев.
с англ., ИЛ, М.
Туров Е. А. A963), Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов,
Изд-во АН СССР, М.
Туров Е. А., Петров М. П. A969), Ядерный магнитный резонанс в ферро-
и антиферромагнетиках, «Наука», М.
Т у р ч и н В. Ф. A963), Медленные нейтроны, Госатомиздат, М.
Тябликов СВ. A965), Методы квантовой теории магнетизма, изд-во «Наука» М.
Фрезер A931) (R. G. S. Fraser), Molecular Rays, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
Ф р ё л и х A936) (H. Frohlich), Elektronentheorie der Metall, Springer Verlag, Berlin.
Френкель Я. И. A956), Собрание избранных трудов, т. I, Электродинамика,
(Общая теория электричества), Изд-во АН СССР, М.— Л.
Френкель Я. И. A935), Электродинамика, Т. II, ОНТИ, М.—Л.
X амермеш A966) (М. Hamermesh), Теория групп и ее применений к физическим
проблемам, перев. с англ., «Мир», М.
X а н с е н A941) (М. Hansen), Структура бинарных сплавов, тт. I и II, перев. с англ.,
Металлургиздат, М.
Хансен, Андерко A962) (М. Hansen, К. Anderko), Структура двойных сплавов,
перев. с англ., Металлургиздат, М.
Харрисон A968) (W. A. Harrison), Псевдопотенциалы в теории металлов, перев.
с англ., «Мир», М.
Хартрп A960) (D. R. Hartree), Расчеты атомных структур, перев. с англ., ИЛ.
Хвольсон О. Д. A923), Курс физики, т. 5, Госиздат РСФСР, Берлин.
X е й н е A963) (V. Heine), Теория групп в квантовой механике, перев.'с англ., ИЛ.
X у н д A927) (F. Hund) Linienspektren und periodishen Sistem der Elemente, Springer
Verlag, Berlin.
Цидильковский И. М. A960), Термомагнитные явления в полупроводниках
Физматгиз, М.
Чикацуми A964) (S. Chikazumi), Physics of magnetism, Wiley, New York.
Шенберг A955) (D. Shoenberg), Сверхпроводимость, перев. с англ., ИЛ, М.
III и ф ф A957) (L. I. Schiff), Квантовая механика, 2-е изд., перев. с англ., ИЛ, М.
III о к л и A953) (W. Shockley), Теория электронных полупроводников, перев. с англ..
ИЛ, М.
Шпольский Э. В. A963), Атомная физика, изд. 5-е, т. I, Физматгиз, М.
III п о л ь с к и й Э. В. A950), Атомная физика, изд. 3-е, т. II, Гостехиздат, М.
Ш ю тц A936) (S. W. Schiitz), Magnetooptik (ohneZeeman-effekt), Handb. Experimental
Physik, Bd. 16/1, Springer Verlag, Berlin.
Ю ц и с А. П., Левинсон И. В., В а к а г а с В. В. A960), Математический
аппарат теории момента количества движения, Госполитнаучиздат, Литовской
ССР, Вильнюс.
Ю ц и с А. П., Бандзайтис А. А. A965), Теория момента количества движения
в квантовой механике, изд-во «Минтис», Вильнюс.
П. СБОРНИКИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
А. ОТДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МАГНЕТИЗМА
Современные проблемы электромагнетизма, ред. В. К. Аркадьев, Изд-во АН СССР,
М., 1931.
Проблемы электротехнического металла, ОТН АН СССР, ред. В. К. Аркадьев, Изд-во
АН СССР., М, 1938.
Практические проблемы электромагнетизма, ред. В. К. Аркадьев, изд-во АН СССР
М.— Л., 1939.
Le Magnetism, Vol. 2, Vol. 3, Strassbourg, 1940.
Проблемы ферромагнетизма и магнетодинамики, ред. В. К. Аркадьев, Изд-во
АН СССР, М.— Л., 1946.
Проблемы современной физики, серия 3, вып. 5, «Ферромагнетизм», ИЛ, М., 1951.
Проблемы современной физики, 4-й год изд., вып. 5, «Ферромагнетизм I», ИЛ, 1952.
Проблемы современной физики, 5-й год изд., вып. 2, «Ферромагнетизм», ИЛ, 1953.
Проблемы современной физики, 6-й год изд., вып. 6, «Ферромагнетизм», ИЛ, 1954.
Проблемы современной физики, вып. 8, ИЛ, 1958.
- 1023 -

Beitrage zur Theory des Ferromagnetismus und des Magnetisierungs kurve, Springer
Verlag, Berlin, 1956.
High Magnetic Fields, New York, 1962.
Парамагнитный резонанс, ред. С. А. Альтшулер и Б. М. Козырев, изд. Казанского
ун-та, Казань, 1960.
Ферромагнитный резонанс, ред. С. В. Вонсовский, Физматгиз, 1961.
Антиферромагнетизм и ферриты, вып. 4 из серии «Итоги науки», Физико-математиче-
Физико-математические науки, Изд-во АН СССР, М. 1962.
Micromagnetics, Ed. P. E. Marshak, Interscience publ. (J. Wiley et sons, Inc.), New
York, 1962.
Magnetic and electric resonance and relaxation (Proc. of the 10th colloque Amperee,
Einethven, July 2—7, 1962), ed. J. Smidt, North-Holland Publishing Company,
Amsterdam, 1963.
Paramagnetic Resonance, ed. W. Low, vol. II, Acad. Press, New York, 1963.
Paramagnetische Elektronenresonans in Halbleitern, Festkorper Probleme II. Braun-
Braunschweig, 1963.
Magnetism, vol. I, Magnetic Ions in Insulators, their Interactions, Resonances and Opti-
Optical Properties, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1963.
Magnetism, vol. IIA, Statistical Modele, Magnetic Symmetry, Hyperfine Interactions and
Metals, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1965.
Magnetism, vol. IIB, Interactions and Metals, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press,
New York, 1966.
Magnetism, vol. Ill, Spin Arrangements and Crystal Structure, Domains and Micromag-
Micromagnetics, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1963.
Magnetism, vol. IV, С Herring, Exchange Interactions among Itinerent Electrons, ed.
G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1966.
Тонкие ферромагнитные пленки, перев. с нем., ред. Р. В. Телеснин, «Мир», 1964.
Парамагнитный резонанс, изд. Казанского Гос. ун-та, Казань, 1964.
Спектроскопия и магнетооптика магнитоупорядоченных кристаллов, ч. I, Антиферро-
Антиферромагнетики; ч. II, Ферриты и ферромагнетики, Харьков, 1966.
Magnetismus, Structur and Eigenshaften magnetischen Festkorpers, VEB Deutsch, Ver-
Verlag fur Grundstoffindustrie, Leipzig, 1967.
Б. СБОРНИКИ ПЕРЕВОДОВ
Физика ферромагнитных областей, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1951.
Ферромагнитный резонанс и поведение ферромагнетиков в переменных магнитных
полях, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1952.
Антиферромагнетизм, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1956.
Магнитная структура ферромагнетиков, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1959.
Магнитные свойства металлов и сплавов, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1961.
Теория ферромагнетизма металлов и сплавов, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1963.
Электронная структура переходных металлов и химия их сплавов, под ред.
Я. С. Уманского, Р. А. Суриса, «Металлургия», 1966.
В. СБОРНИКИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ПРОБЛЕМАМ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
СОДЕРЖАЩИЕ ОТДЕЛЬНЫЕ ОБЗОРЫ ПО ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
Труды Института физики металлов, АН СССР, вып. 12, Изд-во АН СССР, М.,
1949.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 15, Изд-во АН СССР, М.,
1954.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 20, изд-во РИСО УФАН, Сверд-
Свердловск, 1958.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 22, изд-во ИФМ АН СССР, Сверд-
Свердловск, 1959.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 27 (некоторые вопросы магнетизма
и прочности твердых тел), изд-во ИФМ АН СССР, Свердловск, 1968.
Симметрия и структура кристаллов Изд-во АН СССР, 1949.
Thermodynamics in Physical Metallurgy, Cleveland, 1950.
Сборник, посвященный 70-летию акад. А. Ф. Иоффе, Изд-во АН СССР, 1950.
Сборник памяти С. И. Вавилова, Изд-во АН СССР, 1952.
Сборник памяти Г. С. Ландсберга, Изд-во АН СССР, 1959.
Вопросы теории и применения редкоземельных металлов, «Наука», 1964.
Итоги науки, Физика твердого тела (теория твердого тела), Изд-во АН СССР, Инсти-
Институт научной информации, 1965.
Справочник по симметрии и физическим свойствам кристаллических структур, изд-
МГУ, 1966.
Спектроскопия кристаллов, «Наука», 1966.
— 1024 —

Reports on Progress in Physics, vol. 16, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc.
Reports on Progress in Physics, vol. 18, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc.
Reports on Progress in Physics, vol. 21, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc.
Reports on Progress in Physics, vol. 23, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc.
Reports on Progress in Physics, vol. 28, Publ. Inst. Phys, and Phys. Soc.
Г. СБОРНИКИ ПЕРЕВОДОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ ПРОБЛЕМАМ
ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
СОДЕРЖАЩИЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ И ОБЗОРЫ
ПО ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
Сдвиг уровней атомных электронов, под ред. Д. Д. Иваненко, ИЛ, 1950.
Полупроводниковые материалы, под ред. В. М. Тучкевича, ИЛ, 1954.
Новейшее развитие квантовой электродинамики, под ред. Д. Д. Иваненко, ИЛ,
1954.
Электрофизические свойства германия и кремния, под ред. А. В. Реканова, «Советское
радио», 1956.
Проблемы физики полупроводников, под ред. В. Л. Бонч-Бруевича ИЛ, 1957.
Вопросы квантовой теории многих тел, под ред. В. Л. Бонч-Бруевича, ИЛ, 1959.
Физика низких температур, под ред. А. И. Шальникова, ИЛ, 1959.
Теория сверхпроводимости, под. ред. Н. Н. Боголюбова, ИЛ, 1960.
Эффект Мессбауера, под ред. Ю. М. Каган, ИЛ, 1962.
Лазеры, оптические когерентные квантовые генераторы и усилители, под ред.
И. Е. Жаботпнского, Т. Н. Шмаонова, ИЛ, 1963.
Д. ЗАРУБЕЖНЫЕ СБОРНИКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ
И ОБЗОРЫ ПО РАЗЛИЧНЫМ ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА,
А ТАКЖЕ ОТДЕЛЬНЫЕ ТОМА ПРОДОЛЖАЮЩИХСЯ ИЗДАНИЙ
Semiconducting materials, Butterwortbs Sci. Publ. Ltd, London, 1951.
Defects in Crystalline Solids, Bristol, 1954.
Adv. in Electronics, vol. 2, Acad. Press, New York, 1950.
Advances in Electronics and Electron Physics, vol. 6, Acad. Press, New York, 1954.
Reports on Progress in Physics, vol. 15, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc, London, 1952.
¦ - ' ' ,,-._. , _. ~ Londoll) 1953
London, 1955.
London, 1958.
London, 1960.
London, 1965.
Reports on Progress in Physics, vol. 29, p. I, II, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc, Lon-
London, 1966.
Reports on Progress in Physics, vol. 30, p. I, II, Publ. Inst. Phys. and Phys. Soc, Lon-
London, 1967.
Solid State Physics, Bd. I, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1955.
Solid State Physics, Bd. 2, Bd. 3, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press New York, 1956.
Solid State Physics, Bd. 5, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1957.
Solid State Physics, Bd. 11, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1960.
Solid State Physics, Bd. 13, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1962.
Solid State Physics, Bd. 14, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1963.
Solid State Physics, Bd. 17, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1965.
Solid State Physics, Bd. 20, ed. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehenreich, Acad. Press, New
York, 1967.
Solid State Physics, Bd. 21, ed. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehrenreich, Acad. Press, New
York, 1968.
Solid State Physics, Bd. 22, ed. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehrenreich, Acad. Press, New
York, 1968.
Solid State Physics, Supplement 4, ed. F. Seitz, D. Turnbull, A. C. Beer, Galvanomagne-
tic Effects on semiconductors, Acad. Press, New York, 1963.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 1, ed. С Gorter, North Holland Publ. Сотр.,
Amsterdam, 1955.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 2, ed. С Gorter, North Holland Publ. Сотр.,
Amsterdam, 1957.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 3, ed. С Gorter, North Holland Publ. Сотр.;
Amsterdam, 1961.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 4, ed. С Gorter, North Holland Publ. Сотр.,
Amsterdam, 1964.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 5, ed. С Gorter, North Holland Publ. Сотр.,
Amsterdam, 1967.
Handbuch der Physik, ed. S. Flugge, Bd. 16, Springer Verlag, Berlin, 1958.
Handbuch der Physik, ed. S. Flugge, Bd. 18/2, Springer Verlag, Berlin, 1966.
Handbuch der Physik, ed. S. Flugge, Bd. 18/1 Springer Verlag, Berlin, 1968.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. lr
Heywood Sci. Book, London, 1956.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 4, Hey-
Heywood Sci. Book, London, 1959.
— 1025 —

Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 5. Hey-
wood Sci. Book, London, 1960.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 6, Hey-
wood Sci. Book, London, 1962.
The Fermi Surface, ed. W. A. Harrison, M. B. Webb, J. Wiley a. Sons, Inc., New York,
London, 1960.
Progress in very high pressure research, Acad. Press, New York, 1961.
The Rare Earths, ed. F. H. Spedding, A. H. Daane, Wiley, New York, 1961.
Inelastik Scattering of Neutrons in Solids and Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
Modern Probleme der Metallphysik, Herausgegeben von A. Seeger, Bd. 1 und 2, Sprin-
Springer Verlag, Berlin, 1966.
III. ВСЕСОЮЗНЫЕ И МЕЖДУНАРОДНЫЕ КОНФЕРЕНЦИИ
ПО РАЗЛИЧНЫМ ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
Свердловск A946), Изв. АН СССР, сер. физ. 11, № 5, 463—579; № 6, 593—700
A947).
Гренобль A950), J. phys. rad. 12 № И A951).
Свердловск A951), Изв. АН СССР, сер. физ. 16, № 4, 387—520; № 5, 523—620 A952).
Вашингтон A952), Rev. Mod. Phys. 25, № 1, 1—351 A953).
Ленинград A954), Изв. АН СССР, сер. физ. 18, № 3, 307—416; № 4, 419—520 A954).
Харьков A954), Изв. АН СССР, сер. физ. 19, № 4, 387—488 A955).
Казань A955), Изв. АН СССР, сер. физ. 20, № 11, 1199—1356 A956).
Москва A956), Изв. АН СССР, сер. физ. 21, № 6, 787—904; № 8, 1038—1212; № 9,
1215—1336 A957).
Ленинград A957), Изв. АН СССР, сер. физ. 22, № 10, 1159—1292 A958).
Вашингтон A957), J. Appl. Phys. 29, 237—545 A957).
Гренобль A958), J. phys. rad. 20, 70—442 A959).
Филадельфия A958), J. Appl. Phys. 30, № 2, Suppl. 1 S — 323 S A959).
Кливленд A958), Сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перев. с англ., ИЛ,
М. A961).
Детройт A959), J. Appl. Phys. 31, № 2, Suppl., I S — 419 S A960).
Казань A-959), Сб. «Парамагнитный резонанс», Изд-во Казанского ун-та, Казань
A960).
Минск A959), Сб. «Ферриты», Изд-во АН БССР, Минск A960).
Нью-Йорк A960), J. Appl. Phys. 32, № 3, Suppl. I S — 399 S A961).
Ленинград A961), Изв. АН СССР, сер. физ. 25, № 11, 1314—1432; № 12, 1434—1536
A961).
Феникс A961), J. Appl. Phys. 33, № 3, 1019—1387 A962).
Киото A961), J. Phys. Soc. Japan 17, BI, 1—718; В III, 1—71 A962).
Орсей A962), J. phys. rad. 23, 449—577 A962).
Питтсбург A962), J. Appl. Phys. 34, 1005—1390 A963).
Атлантик-Сити A962), J. Appl. Phys. 35, 737—1106 A964).
Ноттингем A964), Proc. Int. Conf. Magnetism. Inst. Phys. and Phys. Soc, London
A965).
Миннеаполис A964), J. Appl. Phys. 36, 877—1280 A965).
Свердловск A965), Изв. АН СССР, сер. физ. 30, № 6, 906—1084 A966).
Нью Йорк A965), J. Appl. Phys. 37, 939—1490 A966).
Вашингтон A966), J. Appl. Phys. 38, 913—1530 A967).
Бостон A967), J. Appl. Phys. 39, 363—1390 A968).
Иркутск A968), Сб. «Физика магнитных пленок», Иркутск, 1968.
Нью-Йорк A968), J. Appl. Phys. 40, 915—1608 A969).
Филадельфия A967), J. Appl. Phys. 41, 847—1442 A970).
Гренобль A970), J. phys. rad. 32, № 2—3, CI, 1—1189 A971).
Красноярск A971), Изв. АН СССР, сер. физ. 36, № 5—6 A972).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическое размагничивание 374,
375, 688
Азбеля — Канера резонанс 21, 266, 267
— — — на наклонных орбитах 275, 276
Акцепторы 229, 230
Альфвена гидродинамические волны 361
Ампера гипотеза 18, 43
— закон 43
— теорема 18
— — обобщенная 48
Аномалия спина электрона 24, 32, 39,
157
Антиферромагнетизм 10, 389, 398, 679
— нескомпенсированный 391, 398
— скомпенсированный 398
—, теория квазиклассическая 702—714
—, — термодинамическая 714—718
Антиферромагнетизма направления 680
Антиферромагнетики 17, 61, 64, 389,
680 и д.
—, магнитоэлектрический эффект 758,
759
—, оптические процессы 964
—, пьезомагнетизм 758, 759
—, слабый ферромагнетизм 680, 749—
759
—, —, — продольный 757, 758
—, — —, спиновые волны 755—757
— слоистые 759, 760
— —, метамагнетизм 760, 761
—, теория спиновых волн 718—724
Антиферромагнитные металлы 761, 762
Антиферромагнитный порядок 61, 65,
391, 398, 679
— — нескомпенсированный 61, 391, 398
— — скомпенсированный 61, 398
— резонанс 902, 903
Антиферромагноны 722
Атомное ядро, магнетомеханическое от-
отношение 38
— —, магнитные моменты 36, 37, 38
Барнета опыт 394—396
— эффект 393—396
Бина опыты 99
Био и Савара закон 4i
Блоха закон Г3/2 для намагниченности
475, 655
— уравнение 296
— функция 189
Возе — Эйнштейна статистика 468, 475
Больцмана кинетическое уравнение 257,
263, 320, 336
— статистика 360
Бора магнетон 24, 32, 58, 375
Бора магнетон эффективный 212
— правила квантования 197
— ядерный магнетон 36, 58, 375
Браве решетка 190
Бриллюэна зона 190, 192, 206, 214, 229
— — первая {приведенная) 190, 193, 489
— функция 109, 123, 500, 686
Ван-Леевен — Терлецкого теорема 20,
54, 70, 170
Вейсса молекулярное поле 391, 400, 409
— — —, постоянная 402
Вещества сильномагнитные 60
— слабомагнитные 60
Вигнера интерполяционная формула 202
— теорема 140
Вика теорема 500
Водорода молекулы теория 456
Восприимчивость диамагнитная металлов
206
— — электронного газа 177, 178
— динамическая 278, 280
— измеренная 166
— парамагнитная 107, НО, 216, 220
— — ионов редких земель 121
— — молекул 128
— — переходных металлов 217
— — полупроводника 246
— — щелочных металлов 203
— — электронного газа 171
— полупроводника 235, 247, 251
— постоянная 166
— чистого парамагнитного металла 166
Вульфа — Брегга условие 594, 989
Гайтлера — Лондона — Гейзенберга мо-
модель 459, 544
Гальваномагнитные явления 313, 316 •
Гаусманит 724, 726
Гаусса теорема 42, 44
Гейзенберговский обменный интеграл 459
Гейслеровы сплавы 615, 1011
Геликоны 360—362
Гиперзвук 301
Гирации вектор 348
Гиромагнитное отношение 24
— — в парамагнетике 162, 163
— — — переходных металлах 222, 223
— — — сверхпроводнике 103
Гиромагнитный эффект в диамагнетиках
76, 103
— — — парамагнетиках 163
— — — сверхпроводниках 102
— — — ферромагнетиках 393, 455
Гиротропная среда 348, 350
— 1027 —

Гранат 64, 418, 679, 724, 726 и д.
Грина функций метод 492—498, 578, 587,
588
Группы, непересекающиеся классы сопря-
сопряженных элементов 138
— представлений 134
— —, базис 134
— — неприводимые 135—140, 151
— — приводимые 135
— —, размерность 134
— —, характер 138
— сопряженный элемент 138
Движение инфинитное 195, 196
— финитное 195, 197
Двухзонная модель 325
Дебаевская длина волны 188
— температура 326, 931
— частота колебания решетки 93
Де Бройля длина волны 194
Де Гааза — ван Альфена эффект 63, 183,
198, 199, 207—215, 274, 302, 359
— — — в переходных металлах 214, 223
— — — и диамагнетизм 209
, теория 181, 182, 207
Дейтерон 36
—, магнитный момент 37
Диаграммная техника 215, 499—503
Диамагнетизм 16, 69
— атомов 77
— газов 62
— жидкостей и кристаллов 63
— ионных остовов 62, 187
— ионов 78—80, 161
— молекул 80—82
— переходных металлов 219
— поляризационный 71
— прецессионный 71, 75, 111
— сверхпроводников 63
— электронов проводимости металлов и
полупроводников 63
Диамагнетики 45, 58, 71
—, кривая намагничивания 46
Диамагнитные металлы 103, 104
Диамагнитный эффект 16, 35, 58, 69
— — ядерный 69
Дирака монополь 33, 41
— —, масса покоя 33
Дислокации 246
Диссипативные силы 466
Домены 19, 388, 774 и д.
—, блоховская граница 796
—, гипотеза Вейсса 20, 774
—, границы раздела 794
—, граничный слой 796—799
—, микромагнетизм 799
Доноры 229, 230
Дорфмана опыт 392
Дрессельхауза опыт 201, 259
Друде — Зинера формулы 959, 960
ДРУДе — Лорентца электронная теория
9, 254
Дырки в металлах 332
Есаки эффект 335
Зеемана эффект 84, 283, 355, 1004
— — аномальный 24
— — на примесных уровнях 357
— — — экситонах 357
— — ядерный 1004
Зеемановские уровни 254, 281, 285, 292,
300
Зеемановский сдвиг энергии 157
Зеемановское расщепление уровней 29 —
32, 57, 280, 292
Зонная структура 672
— теория 189—201, 220, 223, 229
— — одноэлектронная 187
Изотопический спин 94
Интерметаллические соединения 1011
Капицы линейный закон 324, 327, 333
Квантовая жидкость 92
— —, заряженная ферми-жидкость 92
— —, незаряженная бозе-жидкость 92
Квантовое число главное 25
— — магнитное орбитальное 25
— — — спиновое 24, 25
— — орбитальное 25
Кварков гипотеза 10, 15, 36
Керра магнетооптический эффект в фер-
ферромагнетиках 359, 360, 817, 959,
962—964
Кинетические эффекты 313, 562, 563
Колера правило 325, 326
— —, диаграмма Юсти — Колера 326
Компенсация в металлах 332
Кондо температура 970
— эффект 969—974
— — и магнитный порядок 971, 972
— — — сверхпроводимость 972
, теория 969—971
Континуальное интегрирование 440
Косвенная обменная связь в ферри- и
антиферромагнетиках 687—702
— — —, схема Крамерса — Андерсона
687-691
Коэрцитивная сила 46, 840
Коэффициент размагничивания 47
Крамерса — Гейзенберга дисперсионная
формула 355
Крамерса — Кронига соотношение 278-
Крамерса теорема 152, 153
Криомагнитные аномалии 125
Кронекера символ 157, 467
Кубо метод 120
— — в теории парамагнитного резонанса
120
Куперовские пары 93, 95, 99, 102, 440,
965
Кюри — Вейсса закон 62, 124, 373, 404
и д.
Кюри закон 19, 62, 117, 120, 124, 174,
373 и д.
— постоянная 62
— точка 19, 46, 60—64, 387, 401 и д.
— •— антиферромагнитная 390
— —, влияние давления 419, 420
— —, критические явления 431—438
— — парамагнитная 62, 371, 412, 413
— — •— редкоземельных металлов 567,
589
— — ферромагнитная 412, 413
Лазер 293, 360
Ландау диамагнетизм 10, 175 и д.
— критерий 92, 93
— теория ферромагнитных превращений
422-427
— уровни 175—177, 180 и д.
— формула 186
Ланде фактор 27 и д. 576
— — для ферромагнетиков 895
— 1028 —

Ланжевена функция 108, 122, 178
— — обобщенная 109
Ланжевена — Дебая формула 111
Лапласа уравнение 155
— преобразования 182
Ларморова частота 32, 39, 70, 107, 289
Лемб-ризерфордовское смещение 32
Ленца правило 16
Лигандное поле 131, 132, 133, 143, 148,
283, 672
— — в редкоземельных металлах 574
— —, гамильтониан 132
Лорентцевская поправка 162
Лоренца сила 65, 176, 215, 390
— уравнение 195, 196
Магнетики 16, 58, 59, 166
— с обменной анизотропией 64
Магнетоакустические явления в метал-
металлах 302
— — — —, акустический циклотрон-
циклотронный резонанс 302
— — — —, магнетоакустические ос-
осцилляции 302
— — — —, пространственный магне-
тоакустический резонанс 302
— — — —, спин-акустический резо-
резонанс в парамагнитных металлах 303
Магнетокалорический эффект 368, 372,
378, 404—407
— — в ферромагнетиках 917, 918
Магнетомеханическое отношение 24, 895
-¦- — орбитальное 25
Магнетооптические явления 346—363
— •— в металлах 360
— — — полупроводниках 357—360
— —, эффект Коттона •— Мутона (Фох-
та) 346, 351—359
, — Фарадея 346, 351—359
— —, — •— полярный отражательный
360
— —, — —, постоянная Верде 351
Магнетоплазменные явления 278, 359
Магнетоплумбит 724, 726
Магнетосопротивление 43, 258, 316, 318,
320, 323, 941
Магнитная восприимчивость 45, 47
— — атомная 45
— — диамагнитная 70, 71
— — —, анизотропия 73, 76
— — — атомов 74
— — — инертных газов 78, 79
— •— — ионов 75
— — — молекул 76
— — — ртути 78
— — дифференциальная 46
— — —, кривая Столетова 46
— — максимальная 46
— •— молекулярная 45
— — начальная 46
— — тела 47
— вязкость 878—881, 903—906
— —, дезаккомодация 904
— —, сверхвязкость 906
— индукция 45—48
— нейтронография 10, 21, 397, 398, 686,
987—993
— — антиферромагнетиков 686, 687
•— •— в редкоземельных металлах 568—
571
— —, рассеяние нейтронов критическое
992
Магнитная нейтронография, рассеяние
нейтронов неупругое 991, 992
— —, — •— парамагнитное 993
, упругое 989—991
— проницаемость 47
— — тела 47
Магнитное насыщение 386
— охлаждение 368—380
— —, магнетокалорический эффект 368,
372, 378
— —, метод адиабатического размагни-
размагничивания 374, 375
— —, — — —, время релаксации 375
— — ядерное 374—376
— поле 16, 18
— — эффективное 60
— экранирование 83
Магнитной проницаемости дисперсия
878—881
— •— —, влияние доменной структуры
881-886
Магнитные материалы 853—861
— — высококоэрцитивные 823, 853,
856—861
— — мягкие 853—856
— примеси в кристаллах 630—638
— — — —, взаимодействие примесей
659—664
— — — —, спин-волновая теория 651 —
658
— фазовые переходы второго рода -417—
430, 438—440
, теория 438, 439
— — — — —, термодинамика 417
Магнитный диполь 43, 44
— заряд 43
— момент 16, 43, 44, 48
— — атома 115
•— — орбитальный оболочки многоэлек-
многоэлектронного атома 25
— — — — — — результирующий 27
— — — одноэлектронного атома 25
•— — парамагнитный 16
— потенциал 44
— пробой 214, 215
— — и геликоны 215
— — — магнетоакустическое затухание
215
— — — циклотронный резонанс 215
— резонанс 254
— •— плазмы 259
Магнитострикции константы 780, 919
920
— кривые 919
— —, связь с магнитной текстурой
921
Магнитострикционные деформации 773,
У1У
— колебания 925
Магнитострикция парапроцесса 922, 933
Магноны 964, 965
Магнитофононный резонанс 338 339
Мазер 293
Максвелла — Больцмана статистика 169,
170, 337, 340, 341
функция распределения 232, 469
Малые электронные группы 207
Мейсснера эффект 63, 91, 94—97, 101
Мессбауэра эффект 10, 21, 637, 987,
1000-1011
, спектры 1004—1010
Металлические сплавы слабые 166
— 1029 —

Металлы переходные, характеристики
.515, 516
— слабомагнитные 166
— — нормальные 166, 206
переходные 166, 204, 216
— — —, диамагнетизм 219
— — —, эффект де Гааза — ван Аль-
фена 214
Метамагнетики 760
Механострикция 920
Молекулярное поле, метод Бете — Пай-
ерлса — Вейсса 415
— —, феноменологическая теория 400—
404 •
Мотта двухзонная модель 218
Найта смещение 175, 996
Намагниченность 44, 45, 107
— остаточная 46
— самопроизвольная 386, 387
Намагничивание истинное 386
— техническое 386
Напряженность магнитного поля 17
— — — токов 48
Нееля точка 63, 64, 390 ид., 729
— —, влияние давления 419, 420
Нейтрон 36
—, длина волны де Бройля 988
—, магнитный момент 36
—, сечение ядерного рассеяния 988
Неопределенности соотношения 189
Нернста теорема 369, 736
— эффект 316
Нернста — Эттингсгаузена эффект 317
— — спонтанный эффект 956, 958
Нулевые колебания 93
Обменная энергия 397, 456—458
Обменное электростатическое взаимодей-
взаимодействие 61, 65, 187, 203, 289, 392, 434,
463
Обменной энергии оператор по Гейзен-
бергу 460, 680
Обменносвязанные пары в диамагнетике
162
Обменный интеграл 458
Обратная решетка 195
Обратной решетки вектор 189
— — пространство 190
Онзагера соотношения 314, 315, 339,
340, 948
Орбитальные моменты, замораживание
123, 124, 130, 148—150, 157, 222, 574
— —, размораживание 149, 156, 157
Ортоферриты 724
Осциллятор линейный гармонический 176
Осцилляции магнетооптических эффект
357
Осцилляционные эффекты 10, 21, 197 —
199, 215, 338
— — термомагнитные 340, 341
Пайерлса формула 204
Парамагнетизм 107
— ванфлековский 35, 71, 75, 83, 111
— — в переходных металлах 222, 223
— — индуцированный 85, 161
— — собственный 86
— газов 62
— ионный в конденсированной фазе 62
— ионных остовов в кристаллах 63
— кислорода 72
Парамагнетизм молекул 126
— ориентационный 35, 71, 111
— паулиевский электронов проводимо-
проводимости 170—174, 206, 314
— — в переходных металлах 222
—, теория Ланжевена 107
—, — квантовомеханическая (Ван-Фле-
ка) 110
— электронов проводимости 63
Парамагнетики 17, 45, 58, 71 и д.
—, кривая намагничивания 46
Парамагнитное насыщение 122
Парамагнитные газы 121, 130
— кристаллы 130
Парамагнитный эффект 17, 19, 34, 58,
59, 69, 107
Паскаля правило 82
Паули матрицы 153
— принцип 29, 169 и д., 484
Пашен — Бака эффект 117
Перовскит 679, 724, 726, 727
Пиппарда случай 95
— уравнение 95
Плазмоны 188
—, плазменная частота 188, 259, 360
Поверхностный ток 313
Полуметаллы 230, 231
Полупроводник атомный 231
—, восприимчивость 235, 247, 253
— вырожденный 230
—, дырки 229, 230, 235, 261—265
—, закон действующих масс носителей
тока 234
— примесный ге-типа 230, 231, 234
р-типа 230, 231, 234
— — смешанного типа 231
—, примесные уровни 229
— с валентной связью 231
— — ионной связью 231
—, электронная структура 229
—, электроны проводимости 229, 235,
261, 263, 265
—, энергетический спектр 229, 230
—, — —, валентная полоса 229
—, — —, полоса проводимости 229
Полупроводника проводимость собствен-
собственная 229
Полупроводников примесных теория 630
Полярон 253, 254, 300
Порядок антиферромагнитный нескомпен-
сированный 61, 391, 398
— — скомпенсированный 61, 398
— атомный магнитный 61, 65, 398
— ферримагнитный 391
— ферромагнитный 61, 65, 385, 392, 398
Постоянная тонкой структуры 32, 33
Протон, магнитный момент 36
—, спин 36
Пуассона распределение 245
— уравнение 201
— формула 208
Рассеяние света на магнитном поле 363
Редкоземельные металлы 564—566
— —, атомные магнитные структуры
567-572
— —, гальваномагнитные эффекты 572
— —, ионная модель 573, 574
— —, парамагнитная точка Кюри 589,
590
— —, парамагнитные свойства 566, 567
— —, поверхность Ферми 572 573,
600-603
— 1030 —

Редкоземельные металлы, s — /-модель
564, 574—589
— —, спиральная магнитная структура
590—592, 599, 600
— —, сплавы 625
— —, фазовые переходы второго рода
598
— —, электронный энергетический
спектр 572, 573
Релаксации время 278, 287, 291, 313
Релаксация парамагнитная 279, 280
спин-решеточная 279, 286, 288,
290, 430
спин-спиновая 279, 286, 430
— —, физический механизм 287—291
Риги — Ледюка эффект 317
Ридберг 203
Сверхдиамагнетик 63, 91
Сверхпроводимость 89, 92, 93
— в металлах с магнитными ионами
965-969
, теория 968, 969
— и ферромагнетизм 965, 966
—, разрушение током 101
' -*-, теория Абрикосова 99
—, — Бардина, Купера, Шриффера 93—
95, 98
—, — Гинзбурга — Ландау 98, 99
Сверхпроводник 89
— второго рода (жесткий) 91, 98—101
— — —, петли гистерезиса 100
—, гиромагнитное отношение 103
гиромагнитный эффект 102, 103
доменная структура 96
кривая индукции 91, 95, 96
— намагничивания 91, 95, 96, 100
критическая температура 89, 93
критическое магнитное поле 89
— первого рода (мягкий) 91, 98, 99, 101
Сверхтекучесть 92
Сверхтонкая структура спектральных ли-
линий 39, 132, 161, 372, 380, 993—996,
1004, 1005
— — — —, гамильтониан взаимодей-
взаимодействия 39
— — — —, эффективное магнитное по-
поле 40, 994
— —, фермиевское контактное поле 40,
994
Связь химическая ван-дер-ваальсовская
155
ионная 81, 82, 85, 115
ковалентная 81, 82, 85, 145, 146
Сексмита гиромагнитные опыты 164
Секулярное уравнение 158
Силсби гипотеза 101
Симметрия кристалла 420
— •—, пространственная группа 421
— —, точечная группа 420
Слабомагнитные тела 90
Специальный принцип относительности
45
Спин-гамильтониана метод 159
Спин-магнитофононный резонанс 339
Спин-слой 256 и д.
, глубина 266, 880
Спин-эффект 293 и д., 878, 880
— — аномальный 266 и д.
Спиновая волна 467
Спиновые волны полярные 552
— комплексы 503
Спиновых волн теория квантовая в фер-
ферромагнетике 472—483
— — — —, гамильтониан Гейзенберга
486-488
— •— — —, Холстейна — Примакова
формализм 488—490
Сплавов классификация 615, 616, 625
Сплавы гейслеровы 615
— ферромагнитные 615
— —, кривая Слэтера — Полинга 622,
624
— —, теория бинарных сплавов 638—651
, точки Кюри 616—621
Стоячие волны спиновой плотности 222
Тензор обратной эффективной массы фер-
миоиа 192
— эффективного фактора спектроскопи-
спектроскопического расщепления 159, 160
Теплового магнетосопротивления эффект
Тепловой ключ 377, 378
Термодинамики необратимых процессов
соотношения 314
Термодинамический потенциал фермионов
178, 179
Термомагнитные явления 313, 317
Ток проводимости 314
Тонкая структура спектра 27, 39
Фактор спектроскопического расщепле-
расщепления 31, 131, 158, 164, 895
Фарадея закон индукции 16, 18, 91, 880
— эффект 300, 817, 819; 959, 962—964
Ферми-газ 168, 174, 188, 200, 207
— —, магнитная восприимчивость 182
Ферми — Дирака статистика 169 и д.
— — функция распределения 172 и д.
Ферми-жидкости теория 188
Ферми-поверхность 168—171 и д.
— — в металле 537
— — — переходных металлах 223
— —, топологические свойства 192, 204
Ферми-энергия 169, 170 и д.
Ферримагнетизм 10, 21, 391, 398, 679
Ферримагнетики 46, 61, 64, 391, 679
—, кристалло-химическая структура
724-726
— с двумя подрешетками 727—736
— — тремя подрешетками 737
Ферримагнитный резонанс 890, 901
Ферриты 391, 418, 678, 724, 884
Ферромагнетизм 20, 21, 314, 408
— переходных металлов 512—562
— — —, зонная модель 533, 552, 603
— — —, обменная модель 544—548
•— — •—, полярная модель 553—564,
603, 604, 629
— соединений урана 763
Ферромагнетизма критерий 221, 459, 527,
542
— теория 388, 455
, модель Гейзенберга 459, 486, 638,
659
— —, — коллективизированных элек-
электронов 455, 456, 525, 526
— —, — локализованных электронов
456
— —, формализм Холстейна — Прима
кова 488
Ферромагнетик, анизотропия 774, 833
—, •—, закон Акулова 833
— 1031 —

Ферромагнетик, магнетооптические явле-
явления 962—964
—, магнитная текстура 832, 837
—, магнитный гистерезис 839—850
—, — текстурный анализ 836
—, магнитострикция 919—925
—, — истинная 922
—, — объемная 922
—, — редкоземельных металлов и фер-
ферритов 923
—, — самопроизвольная 919
—, —, эффект Виллари 918
—, —, — .Джоуля 918
—, начальная восприимчивость 826, 830,
831
—, — —, эффект Гопкинсона 831
—, нечетные кинетические эффекты 948
—, обратимая восприимчивость 826,
829—833
—, оптические свойства 958—962
—, основные .свойства 385, 388
— прозрачный 962
—, теплопроводность 940, 941
—, термоэлектрические явления 965
—, фотоэффект 965
—, электрические свойства 925—940
Ферромагнетика магнетосопротивление
932, 941
— —, микроскопическая теория 948
— —, правила четных эффектов 942
— —, теория анизотропии четных эф-
эффектов 943—948
— намагничивание, закон приближения
к насыщению 838, 839
— —, процессы вращения 826
— —, обратимые 833—837
— —, — смещения 826
— —, обратимые 833—837
Ферромагнетики 17, 46, 58, 61, 64, 385,
680
—, кривая намагничивания 46, 385, 774
—, магнитный гистерезис 826 и д.
—, наблюдение доменной структуры
812—826
—, — — —, магнетооптические методы
816-818
—, — — —, метод порошковых фигур
795, 812—825
—, петля гистерезиса 46
—, эффект Баркгаузена 811, 812
Ферромагнитные пленки тонкие 808—811,
854, 894
— — —, анизотропия 809
— превращения 416
— —, теория Ландау 422—427
— частицы малые 800
— — —, однодоменное состояние 800—
805
Ферромагнитные частицы малые, супер-
суперантиферромагнетизм 808
— — —, суперпарамагнетизм 805—808
Ферромагнитный резонанс 397, 886—891
— —, квантовая теория 891
— —, классическая теория 887—889
— —, релаксация 898
Ферромагноны 462, 512, 893
Флюксоид 102
Фононы 93, 188, 257 и д.
Фотомагнитный эффект (Кикоина — Но-
скова) 279, 362, 363
Холла эффект 196 и д., 948—958, 963
— — спонтанный 949 и д.
Холла — Кикоина эффект 949
Хунда правила 28 и д.
Циклотронная частота 175, 194 и д.
Циклотронный резонанс 215, 250, 255—
265 и д.
— — в металлах 265—278
— — — полупроводниках 256—265
— —, магнетоплазменные явления 278
Черенкова эффект 335
Шенфлиса обозначения 139, 421
Шмидта диаграммы 38
Шпинель 64 и д., 724—727 и д.
Штарка эффект 84, 130, 148, 150, 265, 372
Штерна — Герлаха опыт 20, 120
Шубникова — де Гааза эффект 21, 198,
274, 338, 339
Эйнштейна соотношение 314, 340
Эйнштейна — де Гааза опыт 103, 394,
395
эффект 393—396
Экситон 253, 300, 964
Электрический метод охлаждения 368
— — —, пьезокалорический эффект 368
— — —, электрокалорический эффект
368
Электронный акустический парамагнит-
парамагнитный резонанс 300, 301
— антиферромагнитный резонанс 254
— магнетизм 58
— парамагнитный резонанс 10, 21, 32,
162 и д.
Энергетическая зона 190, 229
— полоса 190, 229
Эттингсхаузена эффект 316
Ядерный магнетизм 36, 58, 62
— магнитный резонанс 10, 21, 38, 82 и д.
Яна—Теллера эффект 131 и д.