МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ 
сенпьлбр'ъ-октмбръ	1968
издательство «просвекцение»
Универсальная
координатная
доска
Рис. 1.
Рис. 2.
Координатная доска размером 1000 x 850 (рис. 1)
складывается в виде шахматной доски размером
500 X 850 (рис. 2).
Доска изготовлена из фанеры, на ней нанесены оси
координат с единицей масштаба 5 см и координатная
сетка. В точках пересечения прямых координатной
доски просверлены отверстия (0 2,5—3 мм). По краям
доски просверлены отверстия через 12,5 мм.
Для изображения прямых на плоскости применяются
цветные резинки (шляпные), связанные в виде колец.
Для изображения графиков функций у = х2, у = 2х2,
у = Зх2, у = 0,5х2, у = 0,25х2 и других графиков изго-
товляются шаблоны из проволоки сечением 3—4 мм.
Шаблоны окрашиваются в различные цвета. Ветви
параболы соединены четырьмя параллельными отрезка-
ми проволоки (отрезки расположены перпендикулярно
оси параболы), удаленными от вершины параболы
соответственно на 162,5 мм, 175 мм, 187,5 мм и 200 мм
Эти отрезки позволяют поместить шаблон в нужное
место доски. Прикрепление парабол н прямых осущест-
вляется с помощью штырьков (металлических нли дере-
вянных в виде спичек), которые вставляются в отвер-
стия плоскости. Между ними натягиваются резинки,
изображающие прямые линии, или подвешиваются па-
раболы. Все принадлежности для координатной доски
складываются внутрь ее.
С помощью доски осуществляется построение графи-
ков функций, изучаемых в школе, иллюстрация графи-
ческого решения уравнений, неравенств н систем урав-
нений. При этом, помимо резиновых и проволочных
шаблонов, для построения графиков можно применять
и мел (как иа обычной классной доске); с этой целью
поверхность доски покрывается бесцветным лаком (мел
легко стирается).
Предлагаемый вариант координатной доски успешно
применяется в работе учителей г. Ташкента.
А. И. Терновых
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
сентмдръ-О'К/пг.ябръ	1968
Научно-методический журнал Министерства просвещения СССР
Всесоюзному съезду учителей
Центральному Комитету Коммунистической пар
тип Советского Союза, Президиуму Верховного
Совета СССР, Совету Министров Союза ССР
Обращение делегатов Всесоюзного съезда учите
лей ко всем учителям, работникам народного об-
разования, родителям и общественности СССР
О присвоении звания Героя Социалистического
Труда наиболее отличившимся учителям матема-
тики нашей страны
Говорят делегаты съезда
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Дополнительные вопросы арифметики
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
3
4
4
6
10
11 И. К. Андронов, Г И
Зубелевич, В Г Кова-
ленко, А И Черватюк,
Ф Ф. Нагибин
18 Ф. Ф. Нагибин
Из рукописи пробного учебника «Математика* 30
для V класса
Комбинированные (круговые) упражнения на 36
уроках математики
«Прикидка» и ее использование при вычислениях 38
Н. А. Принцев, Л Н.
Принцева, М И Яго-
цовский
Н. М. Шапочников
Р. А. Хабиб
Из писем и заметок
Геометрическая иллюстрация некоторых нера- 4) С. И. Зетель
венств
Вычисление членов последовательностей при по- 43 П. Б. Талочкин
мощи счетной линейки
Об одном методе суммирования степеней чисел 44 М. М Тар
натурального ряда
Некоторые задачи и вопросы при изучении нуме 45 Т. А. Песков
рации в V классе
В помощь начинающему учителю
Контрольные работы по математике на I полу- 46
годие 1968/69 учебного года для IX—X классов
Г А. Ястребиненкий
Из опыта проведения факультативных занвтий
Численные методы решения уравнений	49 Г. Г. Левитас
Из опыта преподавания теории вероятностей и 57 Л Ф Пичурин
математической статистики
О проведении факультативных занятий по мате- 65 М. С. Майкин
матике в VII—VIII классах
Эксперимент
О преподавании математики в VIII (подготовн- 67
тельном) классе физико-математической школы
при Новосибирском государственном университете
А. Ж. Жафяров.
Р. С. Созоиенко
Внеклассная работа
Вторая Всесоюзная математическая олимпиада 72
1968 г.
Решения задач Всесоюзной математической олим- 74
пиады 1968 г.
Применение комплексных чисел в задачах о пра- 79
вильных многоугольниках
Н. А. Ермолаева
Н. Б. Васильев
Э А Лаудыня
Задачи
Задачи для учащихся VIII—X классов	84
Избранные задачи и специальные методы их ре-	84
шения Решения задач, помещенных в № 1 журнала за	85
1968 г. Сводка решений задач по № 1 за 1968 г.	90
Математический календарь на 1968/69	91 А. И. Бородин
учебный год
Занимательная страница	92 Б. А. Кордемский
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
О сборнике упражнений по методике математики 93 В. Л. Минковский
для заочников
ХРОНИКА
В секции средней школы Московского математи-
ческого общества (год двадцатый)
О работе Украинского республиканского научно-
методического семинара
94 А. Я. Маргулис
95 И. Е Шиманский,
3. И. Слепкань
издательство «просвещение»
Всесоюзному съезду учителей
Дорогие товарищи!
Центральный Комитет Коммунистической
партии Советского Союза, Президиум Верхов-
ного Совета СССР и Совет Министров СССР
горячо приветствуют вас, делегатов Всесоюз-
ного съезда учителей, и в вашем лице всех
работников народного образования страны.
Лучшие представители советской школы
собрались в Москве, чтобы по-деловому и глу-
боко обсудить поставленные партией задачи
по улучшению работы средней общеобразова
тельной школы, по дальнейшему улучшению
качества обучения и воспитания молодого по-
коления, подготовке учащихся к трудовой и
общественной деятельности.
За годы Советской власти под руководством
Коммунистической партии сформировались и
выросли новые кадры учителей — гордость на-
шего народа. Советское учительство, являясь
самой многочисленной частью нашей славной
интеллигенции, с беспредельной преданностью
делу Коммунистической партии отдает все си-
лы и знания делу просвещения широких на-
родных масс, вносит большой вклад в умно-
жение духовных и материальных богатств
социалистического общества.
Самоотверженная работа учителей по об}
чению и коммунистическому воспитанию мо-
лодежи дает замечательные результаты. По-
коления людей, воспитанных советской шко
лой, показывают образцы высокопроизводи-
тельного труда во всех отраслях народного
хозяйства, настойчиво добиваются успехов в
развитии науки, техники и культуры, зорко
стоят на страже завоеваний социализма. Бла
городный труд учителя пользуется искренним
уважением и признательностью всего совет
ского народа.
Центральный Комитет Коммунистической
партии Советского Союза, Президиум Вер-
ховного Совета СССР, Совет Министров СССР
высоко ценят гражданский подвиг учителей
по воспитанию молодого поколения и выра-
жают им глубокую благодарность за безза-
ветное служение народу.
Наша страна решает в настоящее время ги-
гантские по своим масштабам и значению за-
дачи коммунистического строительства. В этих
условиях значительно возрастают роль шко-
!•
лы, ответственность учителя за подготовку
людей, способных по своим идейным и мо-
ральным качествам, степени образованности
и трудовой закалки успешно продолжать дело
старших поколений, преданно служить своей
Родине, своему пароду. Важнейшая обязан-
ность школы состоит в том, чтобы в соответ-
ствии с Программой КПСС, решениями XXIII
съезда партии обеспечить осуществление все-
общего среднего образования молодежи, пол-
ностью использовать возможности социалисти-
ческого общества для всестороннего образо-
вания и гармонического развития личности
советского человека, сознательного строителя
коммунизма.
Школа должна давать каждому вступаю-
щему в жизнь полноценное общее образова-
ние. отвечающее современным требованиям
общественного и научно-технического прогрес-
са, формировать у молодого поколения ком-
мунистическое мировоззрение, воспитывать
учащихся в духе коллективизма, любви к сво-
ей Родине и социалистического интернациона-
лизма, готовить молодежь к труду на благо
общества, вырабатывать у нее умение реши-
тельно противостоять любым проявлениям
буржуазной идеологии. Неисчерпаемым ис-
точником для воспитания у молодежи комму-
нистической нравственности и идейной стойко-
сти являются марксистско-ленинское учение,
великий пример жизни и деятельности В. И.
Ленина, громадный опыт Коммунистической
партии, славные революционные, боевые и
трудовые традиции рабочего класса, всего со-
ветского народа.
Выполнение ответственных задач, стоящих
перед школой, зависит прежде всего от учи-
теля, от его идейной зрелости, научных зна-
ний, педагогического мастерства и активности
в общественно-политической жизни. Чтобы
воспитывать молодых строителей коммуниз-
ма, учителю необходимо постоянно повышать
уровень своей идейно-теоретической и про-
фессиональной подготовки, всегда и во всем
служить примером для молодежи.
Важная роль в дальнейшем улучшении ра-
боты школы и учителей принадлежит педаго-
гической науке, призванной разрабатывать
научные основы постановки народного обра-
зования, всесторонне изучать и обобщать опыт
3
лучших педагогов, открывать новые возмож
ности для повышения уровня учебно-воспи-
тательной работы.
Воспитание молодого поколения является
делом всей партии, всего советского народа.
Забота о школе, создании благоприятных ус-
ловий для работы учителя и впредь будет в
центре внимания партийных организаций, Со-
ветов депутатов трудящихся и профсоюзов.
Активно помогать школе призваны Ленин-
ский комсомол и пионерская организация.
Всестороннюю помощь школе должны оказы-
вать коллективы промышленных предприя-
тий, строек, совхозов и колхозов, деятели со-
Центральный Комитет
КПСС
ветской науки, литературы и искусства, вся
общественность страны.
Центральный Комитет Коммунистической
партии Советского Союза, Президиум Верхов-
ного Совета СССР и Совет Министров СССР
желают Всесоюзному съезду учителей успеш-
ной работы и выражают твердую уверенность
в том, чго советское учительство, все работ
ники народного образования и впредь будут
с честью выполнять свой высокий долг перед
партией и народом, отдавать свои силы и
знания, теплоту сердец и душевную энергию
делу коммунистического воспитания нашей
славной советской молодежи.
Президиум Верховного	Совет Министров
Совета СССР	СССР
Центральному Комитету Коммунистической
партии Советского Союза,
Президиуму Верховного Совета СССР,
Совету Министров Союза ССР
Всесоюзный съезд учителей от имени много-
миллионной армии работников народного об-
разования обращается со словами глубокой
благодарности к Центральному Комитету Ком-
мунистической партии Советского Союза, Пре-
зидиуму Верховного Совета СССР и Совету
Министров Союза ССР за неустанную заботу
о школе, постоянное внимание и помощь учи-
телю, высокую оценку его труда. Каждый из
нас с гордостью и великой ответственностью
сознает, что партия и народ с глубоким ува-
жением и заботой относятся к учителю, отда-
ющему свои силы и знания, всю теплоту серд-
ца обучению и воспитанию детей.
С большим воодушевлением и радостью
учительство страны восприняло приветствие
Центрального Комитета КПСС, Президиума
Верховного Совета СССР и Совета Минист-
ров СССР Всесоюзному съезду учителей, вы-
ступление на нашем съезде Генерального се-
кретаря ЦК КПСС тов. Брежнева Л. И.
В руководстве партии — источник нашей си-
лы, залог всех успехов советской школы. Пар-
тия определила пути развития школы на бли-
жайшие годы, выдвинула новые ответственные
задачи в области народного образования. На-
ши усилия направлены на успешное претворе-
ние их в жизнь.
Советская школа развивается как общеоб
разовательная, трудовая, политехническая.
В соответствии с Программой КПСС и реше-
ниями XXIII съезда партии осуществляется
переход к всеобщему среднему образованию
молодежи, что является новым завоеванием
социализма. В настоящее время последова-
тельно совершенствуется содержание школь-
ного образования, укрепляется учебно-мате-
риальная база школы, оказывается серьезная
помощь школе со стороны широкой общест-
венности.
Мы отдаем себе ясный отчет в том, как
много предстоит еще сделать по дальнейшему
улучшению работы средней общеобразова-
тельной школы.
Школа находится на переднем крае идео-
логической борьбы между социализмом и ка-
питализмом. Она и впредь должна усиливать
наступление против буржуазной идеологии,
давать решительный отпор лживой вражеской
пропаганде, систематически разоблачать ре-
акционную человеконенавистническую сущ-
ность современного империализма.
4
Воспитание молодежи — это важнейший во-
прос будущего развития советского общества.
Главный долг школы состоит в том, чтобы
под руководством партии, опираясь на по-
мощь и поддержку всего народа, растить по-
коление, достойное наших славных идеалов,—
людей политически зрелых, глубоко идейных
и сильных духом, вооруженных прочными зна-
ниями основ наук, самоотверженных и убеж-
денных борцов за коммунизм, патриотов и
интернационалистов. Нет сомнения в том, что
школа достойно выполнит свою первостепен-
ную обязанность по формированию у школь-
ников высокой коммунистической сознатель-
ности и нравственности, подготовке молодежи
к жизни, воспитанию ее на замечательных
революционных, боевых и трудовых традици-
ях советского народа.
Примером могучей силы для воспитания мо-
лодежи служит жизнь и деятельность Влади-
мира Ильича Ленина — самоотверженная, ре-
волюционная борьба, непоколебимая стойкость
и преданность делу рабочего класса, делу
коммунизма. Подготовка к столетию со дня
рождения нашего великого вождя делает всю
деятельность школы еще более целенаправ-
ленной и плодотворной. Мы приложим все
силы, чтобы к славному юбилею добиться
еще больших успехов в обучении и воспита-
нии детей, настойчиво развивать у них лю-
бовь и интерес к науке, умение самостоятель-
но приобретать и практически применять
полученные знания.
Мы отчетливо сознаем, что дальнейший
подъем народного образования улучшение
всей воспитательной работы школы зависят
прежде всего от учителя, от его идейно-поли-
тического и культурного кругозора, от уровня
его научных знаний и педагогического мастер-
ства Только будучи вооруженными передовой
теорией марксизма-ленинизма и современны-
ми научными и педагогическими знаниями,
учителя смогут успешно решать большие за-
дачи, стоящие перед школой. Советские учите-
ля будут всегда идти в ногу с жизнью, повсе-
дневно совершенствовать свои знания, овладе-
вать передовыми методами обучения и воспи-
тания, учиться на передовом опыте. Присвое-
ние большой группе наиболее отличившихся
учителей высокого звания Героя Социалисти-
ческого Труда вдохновляет всех нас на само-
отверженную, творческую работу.
В. И. Ленин на заре Советской власти на-
звал учительство главной армией социалисти-
ческого просвещения и призвал его связать
свою деятельность с партией, с социалистиче-
ской организацией общества. Мы с гордостью
можем сказать, что этот ленинский завет на-
родные учителя с честью выполняют. Они бы-
ли и остаются верными помощниками партии
в деле коммунистического воспитания совет-
ского человека, несут знания народу.
Учителя — один из самых многочисленных
отрядов советской интеллигенции — всегда бы-
ли, есть и будут вместе с рабочим классом и
колхозным крестьянством, вместе с родной
партией. Работа Всесоюзного съезда учителей
еще более сплотила ряды учительства вокруг
Коммунистической партии, ее ленинского
Центрального Комитета и Советского прави-
тельства.
Мы, участники Всесоюзного съезда учите-
лей, от имени всех работников просвещения
страны заверяем Центральный Комитет Ком-
мунистической партии Советского Союза,
Президиум Верховного Совета СССР и Совет
Министров Союза ССР, что будем всегда вер-
ны знамени Ленина, знамени Великого Ок
тября, не пожалеем своих сил, энергии и зна-
ний для коммунистического воспитания под-
растающих поколений.
Да здравствует наша социалистическая Ро-
дина!
Слава советскому народу — доблестному
строителю коммунизма, мужественному бор-
цу за мир и счастье всех людей труда!
Да здравствует Коммунистическая партия
Советского Союза — вдохновитель и организа
тор всех наших побед!
Обращение
делегатов Всесоюзного съезда учителей
ко всем учителям, работникам народного
образования, родителям
и общественности СССР
Дорогие товарищи!
Советский народ, отметив славное пятидеся-
тилетие Великой Октябрьской социалисти-
ческой революции, с огромным энтузиазмом и
неиссякаемой энергией добивается новых ус
пехов на всех участках коммунистического
строительства.
Коммунистическая партия и Советское пра-
вительство твердо и последовательно прово-
дят миролюбивую внешнюю политику, руко-
водствуясь при этом жизненными интересами
народов Советского Союза и всех социалисти-
ческих стран, интересами сплочения междуна-
родного коммунистического и рабочего дви-
жения, интересами сохранения и укрепления
мира во всем мире.
Всесоюзный съезд учителей от имени учи-
тельства страны и всех работников народного
образования целиком и полностью одобряет
и горячо поддерживает внутреннюю и внеш-
нюю политику Коммунистической партии и
Советского правительства.
В Советском Союзе под руководством Ком-
мунистической партии совершена невиданная
по глубине и размаху культурная революция.
Впервые в истории человечества создана под-
линно демократическая система просвещения,
обеспечивающая всем советским людям реаль-
ную возможность получения среднего и выс-
шего образования. Повсеместно введено обя-
зательное восьмилетнее обучение, осуществля-
ется переход к всеобщему среднему образо-
ванию.
Всесоюзный съезд учителей обсудил корен-
ные проблемы дальнейшего развития совет-
ской школы, выдвинутые Программой КПСС
и XXIII съездом Коммунистической партии
Советского Союза. Съезд подвел первые ито-
ги выполнения постановления ЦК КПСС и
Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г.
«О мерах дальнейшего улучшения работы
средней общеобразовательной школы».
Главная роль в успешном обучении и вос-
питании подрастающего поколения принадле-
жит учителю. В. И. Ленин говорил об учи-
тельской армии как аппарате, который должен
будить мысль, двигать работу, проводить идеи
партии во все слои населения. Высокое и
благородное призвание учителя состоит в ком-
мунистическом воспитании подрастающего
поколения, в проведении большой обществен-
но-политической работы среди самых широких
слоев народных масс.
Советские учителя — это крупнейший, более
чем двухмиллионный отряд интеллигенции,
это огромная идеологическая сила страны.
Долг каждого учителя — глубоко овладеть
марксистско-ленинской теорией, систематиче-
ски пополнять запас своих политических и на-
учных знаний, быть в курсе всех новых до-
стижений в области науки, техники и куль-
туры.
Широкая эрудиция учителя, весь его облик
и поступки, его общественное лицо должны
являть собой достойный пример для учащих-
ся, их родителей,, окружающего населения.
Необходимым условием успешной работы
учителя является глубокое овладение содер-
жанием новых школьных программ, рацио-
нальными, научно обоснованными методами
обучения и воспитания.
В приветствии ЦК КПСС, Президиума Вер-
ховного Совета СССР и Совета Министров
СССР Всесоюзному съезду учителей и в речи
на съезде Генерального секретаря ЦК КПСС
товарища Л. И. Брежнева дана высокая оцен-
ка труда советского учительства, начертана
широкая программа его работы на предстоя-
щий период. Полностью претворить ее в
жизнь — наш долг и первостепенная обязан-
ность.
Коммунистическая партия и Советское пра-
вительство проявляют исключительное вни-
мание и отеческую заботу о народном учите-
ле, о его нуждах, о повышении его авторите-
та, о наиболее правильном использовании его
труда. Новым проявлением этого является
присвоение высокого звания Героя Социали-
6
стического Труда большому отряду советских
учителей.
Всесоюзный съезд учителей обращается к
учителям, воспитателям, ко всем работникам
народного образования с призывом постоянно
совершенствовать формы и методы учебно-
воспитательной работы, творчески использо-
вать все ценное, что создано опытом совет-
ской школы и педагогической наукой, всемер-
но поддерживать и развивать то новое и пе-
редовое, что рождается самой жизнью, прак-
тикой коммунистического строительства.
Предметом пристального внимания и глубо-
кой заинтересованности органов народного
образования, педагогических учебных заведе-
ний должна стать подготовка молодых учите-
лей. Съезд выражает твердую уверенность в
том, что профессора и преподаватели универ-
ситетов, педагогических институтов и училищ
с еще большей любовью и эффективностью
будут учить и воспитывать своих питомцев,
готовить хороших специалистов, настоящих
педагогов.
Большие и ответственные задачи стоят пе-
ред средней школой и учителем на современ-
ном этапе коммунистического строительства.
Важнейшей из них является осуществление
всеобщего среднего образования. В условиях
стремительного научно-технического и соци-
ального прогресса всеобщее среднее образо-
вание стало объективной необходимостью и
призвано обеспечить всестороннее развитие
подрастающих поколений, подготовку достой-
ных строителей коммунизма.
В дело развития среднего образования вно-
сят также существенный вклад средние спе-
циальные учебные заведения и профессиональ-
но-технические училища.
Всесоюзный съезд учителей призывает всех
работников народного образования в содруже-
стве с общественностью приложить максимум
усилий к дальнейшему расширению сети сред-
них школ и других средних учебных заведе-
ний, к успешному осуществлению в основном
к 1970 г. в стране всеобщего среднего обра-
зования для подрастающего поколения.
Партия и правительство обращают особое
внимание советского учительства на необхо-
димость повышения уровня учебной и воспи-
тательной работы общеобразовательной, тру-
довой, политехнической школы. Каждый учи-
тель призван сосредоточить свои усилия на
решении следующих важнейших задач: воору-
жать учащихся прочными знаниями основ на-
ук; формировать у них высокую коммунисти-
ческую сознательность; готовить молодежь к
жизни, к сознательному выбору профессии, к
активной трудовой и общественной деятель-
ности. Сложность задач, стоящих перед шко-
лой, особенно переход на новые учебные пла-
ны и программы, требует от работников орга-
нов народного образования и руководителей
школ коренного улучшения стиля и методов
руководства, дальнейшего повышения уровня
всей организационно-педагогической работы,
усиления помощи учителям в совершенствова-
нии их квалификации и педагогического ма-
стерства.
Коммунистическая партия Советского Сою-
за проявляет особую заботу о воспитании но-
вого поколения, гармонически сочетающего в
себе духовное богатство, моральную чистоту
и физическое совершенство. В речи на нашем
съезде Генеральный секретарь ЦК КПСС то-
варищ Л. И. Брежнев подчеркнул, что совет-
ская школа готовит не просто образованных
людей. Она в ответе за то, чтобы из ее стен
выходили политически грамотные, идейно
убежденные борцы за дело коммунизма. Ста-
новление человека коммунистического обще-
ства требует глубокого и серьезного подхода
к характеру, методам и формам воспитатель-
ной работы в школе.
Задача дальнейшего улучшения воспитания
молодежи в духе идейной убежденности опре-
деляется и острой идеологической борьбой
между социалистической и капиталистической
системами. В современном мире противобор-
ствуют две идеологии: коммунистическая —
подлинно научная, прогрессивная, гуманная и
враждебная ей буржуазная — лженаучная,
реакционная, античеловечная. Мы глубоко со-
знаем, что в области идеологии не может
быть мирного сосуществования, как не может
быть классового мира между рабочим клас-
сом и буржуазией. Нельзя не учитывать и
того, что буржуазные пропагандисты пыта-
ются оказать тлетворное влияние на советских
людей, особенно на молодежь, стремятся ожи-
вить пережитки и предрассудки прошлого,
разжечь национализм и индивидуализм, по-
сеять вражду между народами.
Ныне неизмеримо возрастает значение об-
щественных наук в обучении и коммунистиче-
ском воспитании учащихся. Формируя миро-
воззрение учащихся в процессе преподавания
гуманитарных и естественно-математических
наук, учитель должен на конкретных фактах
и примерах, не нарушая стройности логики
предмета, убедительно показать достижения
советского народа.
Очень важно использовать все средства и
особенно опыт старших поколений, замеча-
тельные революционные и трудовые традиции
нашего народа для воспитания у детей высо-
7
кого чувства советского патриотизма. Сегод-
няшние школьники — это будущие хозяева
страны, поэтому борьба советского народа за
коммунизм должна восприниматься ими как
дело, во имя которого самим нужно самоот-
верженно трудиться. Необходимо повседневно
и неустанно воспитывать школьников в духе
животворного чувства братского единства
всех народов Советского Союза, их дружбы
с трудящимися социалистических стран, со
лидарности со всеми народами, ведущими
борьбу против колониализма и власти капита-
ла, за свободу и национальную независимость.
Первейший долг учительства — активизиро-
вать наступательную борьбу против чуждой
нам морали, пресекать малейшие факты не-
дисциплинированности, нарушения норм и
правил социалистического общежития, безот-
ветственное отношение к учебе и обществен-
но полезной работе. Надо, чтобы каждый
школьник не только усвоил сумму знаний, оп-
ределенную программой, но постоянно руко-
водствовался ими в своих делах и поступках.
Такие важнейшие нормы нашей нравственно-
сти, как коммунистическое отношение к тру-
ду и забота о сохранении общественной соб-
ственности, коллективизм и высокий дух то-
варищества, социалистический гуманизм и
воинствующий атеизм, честность и правди-
вость, непримиримость к нарушителям обще-
ственного порядка и другим проявлениям пе-
режитков прошлого, должны стать моральны-
ми убеждениями каждого молодого человека.
Школа должна всемерно укреплять связи
с производственными коллективами. Очень
важно добиваться того, чтобы ее выпускники
имели широкое представление об основах со-
временного промышленного и сельскохозяйст-
венного производства с его высокоразвитой
техникой и технологией. С помощью специали-
стов народного хозяйства необходимо прово-
дить серьезную и глубокую работу по профес-
сиональной ориентации учащихся. В целях
политехнической образованности и трудового
воспитания следует всемерно поощрять и рас
пространять техническое творчество, юннат-
скую и опытническую работу, передовой опыт
ученических производственных бригад.
Съезд считает одной из основных задач
школы дальнейшее улучшение всей внекласс-
ной и внешкольной работы, расширение раз-
личных кружков, обществ, объединений уча-
щихся по интересам, создание максимально
благоприятных условий для проявления ини-
циативы и творческих замыслов, развития
юных дарований и способностей. Приобщение
детей к сокровищам отечественной и мировой
культуры, формирование правильных эстети-
ческих взглядов и принципов, воспитание глу-
бокого уважения к памятникам культуры, на-
родному творчеству, произведениям музыки,
литературы, живописи — благородная и почет-
ная обязанность каждого учителя. Следует
широко развивать туризм и краеведение как
важнейшие средства воспитания учащихся.
Большое значение имеет физическое воспи-
тание подрастающего поколения. Физическая
культура в школе — это прежде всего забота
о развитии и здоровье всех школьников. Важ-
но активно использовать спортивные занятия
для привития детям высоких нравственных,
волевых качеств характера. В решении задачи
воспитания здорового, физически развитого
молодого поколения школа рассчитывает на
постоянную помощь со стороны работников
здравоохранения, физической культуры и
спорта.
Другом и помощником школы, учителей в
коммунистическом воспитании учащихся всег-
да был и остается Ленинский комсомол.
В рядах ВЛКСМ насчитывается около шести
миллионов школьников. Всесоюзная пионер-
ская организация объединяет в своих рядах
двадцать три миллиона юных ленинцев. Ком-
сомольские и пионерские организации в шко-
лах проводят глубоко содержательную, раз-
ностороннюю работу, воспитывают в детях
верность идеалам партии, стремление к зна-
ниям, приобщают их к труду и активной об-
щественно полезной деятельности. Учителя,
педагогические коллективы призваны повсе-
дневно опираться на помощь этих массовых
организаций учащихся, поддерживать их авто-
ритет, оказывать комсомольцам и пионерам
больше доверия, предоставлять самостоятель-
ность в решении вопросов жизни ученического
коллектива. Непременным условием успешной
работы комсомольских и пионерских органи-
заций в школе, развития их инициативы и са-
мостоятельности является глубокая заинтере-
сованность учителей в делах пионеров и ком-
сомольцев, уважение принципов, законов и
традиций самодеятельности коммунистических
организаций учащихся.
Правильная постановка воспитания детей
в семье, личный пример родителей и всех
взрослых являются одним из важнейших
средств формирования личности детей, их
взглядов, поступков, поведения в обществе.
Школа играет ведущую роль в воспитании
подрастающего поколения. Однако именно
семья дает ребенку первый жизненный опыт,
именно в семье закладываются основы харак-
тера и морального облика, именно от семьи во
многом зависит направление интересов и
склонностей подрастающего человека. Отно-
8
шения в семье могут создать условия для
полноценного и счастливого развития ребенка.
Ничто не действует на детей так результатив-
но, как сила примера, а между всеми другими
примерами никакой другой не обладает такой
силой, как пример родителей. Важно, чтобы
школа и семья были едины в воспитании де-
тей. В этих целях следует расширить пропа-
ганду педагогических знаний среди родите-
лей. Съезд призывает всех родителей стать
самыми активными помощниками школы, ор
ганизаторами разносторонней и полезной дея-
тельности учащихся во внеурочное время.
Всесоюзный съезд учителей надеется на
активную помощь деятелей науки и техники
в пропаганде новейших научных достижений
среди учащихся, в создании квалифицирован-
ных учебников, научно-популярной литерату-
ры для детей и юношества, в развитии разно-
сторонних познавательных интересов совет-
ских школьников.
Успех обучения и воспитания в значитель-
ной степени зависит от содружества и един-
ства действий учителей и ученых в области
педагогики, психологии и возрастной физио-
логии. Всесоюзный съезд учителей с удовле-
творением отмечает, что за последние годы
ученые-педагоги создали ряд работ, посвя-
щенных актуальным проблемам развития
школы Школа и жизнь предъявляют к пе-
дагогической науке новые требования — на
одно из первых мест выдвигают проблемы,
связанные с переходом общеобразовательной
школы на новое содержание образования: во-
просы трудового и политехнического обучения
учащихся в современных условиях, повышения
результативности работы школы, коммунисти-
ческого воспитания подрастающего поколения,
общей, детской и педагогической психологии,
образования взрослых. Учитель вправе на-
деяться, что ученые и органы народного об-
разования страны займутся проблемой науч-
ной организации труда педагога.
Неоценимый вклад в дело эстетического,
нравственного, идейного воспитания учащихся
призваны внести деятели советской культу-
ры— писатели, композиторы, художники, ра-
ботники театра и кино. Учителя и учащиеся
ждут новых содержательных художественных
произведений для детей и юношества, показы-
вающих величие духа, красоту и благород-
ство советского человека, воспевающих труд
и человека созидательного труда, создания
таких художественных образов, которые бы
были идеалом для советского школьника. Вы-
пуск новых фильмов, спектаклей для детей и
юношества, создание песен, музыки, ярких по
форме и глубоких по содержанию художест-
венных картин будет отличным подарком шко-
ле, детям Страны Советов.
Всесоюзный съезд учителей обращается к
работникам литературы и искусства с призы-
вом помочь школе, учителям в организации
интересной, глубокой по содержанию работо!
школьных самодеятельных студий, театров,
ансамблей, кружков, в развитии творчества
и самодеятельности, в воспитании высоких
эстетических вкусов.
Коммунистическое воспитание учащихся —
всенародное дело, требующее тесного содру-
жества школы и коллективов предприятий
промышленности, строительства и транспор-
та, колхозов и совхозов, всей советской обще-
ственности. Это содружество должно прояв-
ляться прежде всего в единстве воспитатель-
ных воздействий на подрастающее поколение.
Многие школы все еще недостаточно оснащены
техническими средствами обучения, не в каж-
дой из них можно найти необходимый комп-
лект учебных и наглядных пособий. Съезд
учителей надеется, что коллективы фабрик и
заводов, изготовляющих технические средства
обучения, работники издательств и типогра-
фий страны сделают все от них зависящее,
чтобы оснастить школу современным обору-
дованием, приборами, всеми видами учебно-
наглядных пособий.
В связи с переходом к всеобщему среднему
образованию еще большее внимание должно
быть уделено созданию материальных усло-
вий для всестороннего развития учащихся.
Поэтому строительство современных школь-
ных зданий с кабинетами, спортивными зала-
ми, столовыми, сооружение школьных интер-
натов, Домов пионеров и других внешкольных
учреждений приобретает особое значение.
Съезд учителей обращается с призывом к
строителям, архитекторам, проектировщикам
быстрее создавать новые современные проек-
ты школьных зданий, строить их в установ-
ленные сроки и только на «хорошо» и «от-
лично».
Дорогие товарищи!
Созыв Всесоюзного съезда учителей вос-
принят работниками народного образования
как новое яркое свидетельство постоянной
заботы Коммунистической партии и Совет-
ского правительства о школе, народном учи-
теле. Проведение съезда является важным
этапом в подготовке школ и органов народ-
ного образования к достойной встрече 100-ле-
тия со дня рождения В. И. Ленина.
В. И. Ленин стоял у истоков советской
школы. Он был и остается для каждого из
нас олицетворением высочайшей привержен-
ности идеям коммунизма, непоколебимой уве-
9
ренности в их торжестве. На примере жизни
и деятельности Владимира Ильича Ленина,
на ленинских идеях воспитывались и воспиты-
ваются целые поколения советских людей.
Учиться у В. И. Ленина глубокому понима-
нию сложных явлений общественной жизни,
принципиальности в идейной борьбе, умению
работать, претворять идейную убежденность
в повседневные дела — долг каждого учите-
ля, каждого советского человека!
Мы, делегаты Всесоюзного съезда, глубоко
уверены, что под руководством Коммунисти-
ческой партии Советского Союза учителя, ра-
ботники народного образования СССР в тес-
ном содружестве с родителями и всей совет-
ской общественностью обеспечат успешное
выполнение решений партии и правительства
о школе, направят все свои усилия на подго-
товку поколения идейно убежденных, трудо-
любивых, активных строителей коммунисти-
ческого общества.
Принято Всесоюзным съездом учителей
4 июля 1968 г.
О присвоении звания Героя
Социалистического Труда наиболее
отличившимся учителям математики
нашей страны
Президиум Верховного Совета СССР указом от 1 июля 1968 г.
за большие заслуги в деле обучения и коммунистического воспитания
учащихся присвоил значительной группе учителей звание Героя Со-
циалистического Труда. Среди награжденных учителей есть и учителя
математики средней школы. Приводим их имена;
1.	Александрова Таисия Ивановна — учительница средней школы
№ 11, г. Йошкар-Ола.
2.	Дагбашян Самсон Агабекович — учитель средней школы № 3,
г. Ереван.
3.	Мальцева Евдокия Федоровна — учительница средней школы
№ 12, г. Орехово-Зуево Московской области.
4.	Митьковская Татьяна Григорьевна — учительница тальменской
средней школы № 1, Тальменский район Алтайского края.
5.	Никифоров Иван Никифорович — учитель Вурнарской средней
школы, Вурнарский район Чувашской АССР.
6.	Осадчий Максим Романович — учитель средней школы № 86,
г. Макеевка Донецкой области.
7.	Столяров Александр Александрович — учитель средней школы
№ 88, г. Куйбышев.
8.	Шевелев Андрей Иванович — учитель Пышминской средней
школы, Пышминский район Свердловской области.
Горячо поздравляем учителей, удостоенных высокой награды!
Говорят делегаты съезда
Я счастлив, что был участником как I, так
и II Всесоюзных съездов учителей!
I съезд собрался в Москве 12—17 ноября
1925 г. Это было время становления нашей
советской школы
Владимир Ильич Ленин писал: «Народный
учитель должен у нас быть поставлен на та-
кую высоту, на которой он никогда не стоял
и не стоит и не может стоять в буржуазном
обществе... Надо систематически усилить ра-
боту по организации народных учителей, что-
бы сделать их из опоры буржуазного строя,
которой они являются до сих пор во всех, без
исключения, капиталистических странах, опо-
рой советского строя, чтобы отвлечь через
них крестьянство от союза с буржуазией и
привлечь их к союзу с пролетариатом» (Поли,
собр. соч , т. 45, стр. 365—366). Слова вели-
кого вождя нашли горячий отклик среди пе-
редового учительства. Н. К. Крупская писала
о том, что ленинская логика вдохнула муже-
ство в десятки тысяч учителей.
И уже во время обсуждения на XIII съезде
РКП (б) (23—31 мая 1924 г.) вопроса о на-
родном просвещении тысячи просвещенцев
Москвы пришли на Красную площадь привет-
ствовать съезд с аншлагом «Заветы Ильича
на фронте просвещения выполним!».
На I Всесоюзном съезде учителей была
поставлена задача: закрепить эту наметившу-
юся позицию передового учителя. 1 съезд со-
брался, когда учителей в Союзе было всего
около 250 тысяч, выбравших на съезд 1660
делегатов народных учителей с мест.
II Всесоюзный съезд, который проходил 2—
5 июля 1968 г., был яркой демонстрацией за-
мечательных полувековых достижений совет-
ского общества, в которых значительное место
занимает идейный труд учителей, воспитав-
ших под руководством партии детей, подро-
стков и молодежь — новых людей коммуни-
стического общества,— из которых выросли
современные советские творцы и деятели на-
учной, технической, педагогической культуры
и реалистического искусства.
Перед II Всесоюзным учительским съездом
стояла задача, как провести наиболее ра-
ционально в жизнь наметившийся в развитии
советской школы скачок от восьмилетней к
десятилетней школе с современными новыми
научно обоснованными программами, как дато
молодежи современные основы науки, техни-
ки, искусства, как воспитать учащихся на
идеях коммунизма. Эти важнейшие вопросы
и были предметом обсуждения 4000 делега-
тов съезда, избранных от 2,5 миллионов учи-
телей Союза.
На I съезде с основным большим докладом
«Советская школа» выступала Надежда Кон-
стантиновна Крупская.
Свой доклад Н. К. Крупская закончила вы-
ражением уверенности, что настоящий I учи-
тельский съезд будет съездом, который поло-
жит начало дружному, совместному строи-
тельству новой школы.
Организаторами I съезда было распростра-
нено 300 анкет среди делегатов. Нельзя не
отметить, что в 282 случаях делегатами вы-
ставлялась просьба снабдить учителя полити-
ческой и педагогической литературой Многие
делегаты явились в редакцию «Учительской
газеты». Была долгая деловая беседа о том,
как связать далекие школы с информацией, с
центром столицы.
II Всесоюзный съезд открылся в торжест-
венной обстановке.
Бурными аплодисментами делегаты и го-
сти встретили руководящих деятелей партии и
правительства, принявших участие в работе
съезда.
Съезд открыл министр просвещения СССР
М. А. Прокофьев. Было предоставлено слово
члену Политбюро ЦК КПСС Председателю
Президиума Верховного Совета СССР
Н. В. Подгорному, который огласил теплое
приветствие Центрального Комитета КПСС,
Президиума Верховного Совета СССР, Совета
Министров СССР Всесоюзному съезду учи-
телей.
Затем выступил министр просвещения СССР
М. А. Прокофьев с докладом «О состоянии и
мерах дальнейшего улучшения работы сред-
ней общеобразовательной школы».
После большого и интересного доклада на-
чались прения.
Обсуждение поднятых в докладе вопросов,
проходило как на пленарных заседаниях, так
и в 14 секциях съезда.
Я принял участие в работе секции, обсуж-
давшей вопросы издания учебников и учебной
литературы. Это секционное заседание открыл
председательствующий министр просвещения
РСФСР А И. Данилов.
Представляется важным отметить, что вы-
ступавших волновал вопрос о своевременной
подготовке учебников для средней школы, от-
вечающих высоким требованиям новой про
граммы, об организации работы по изданию
этих учебников. Здесь мы имеем некоторые
хорошие начинания, но имеются и тревожные
11
моменты. Так, например, в своем выступле-
нии я отметил, что:
1)	многие лучшие книги в прошлом писа-
лись не по заказу, а по велению сердца и
разума, по самостоятельной инициативе опыт-
ного автора. Известные книги Андрея Петро
вича Киселева писались не по заказу изда-
тельств. Многие учебники были допущены в
школе, но учителя в естественном отборе вы
брали учебники А. П. Киселева. После ряда
изданий и учета критики настоящий мастер
нашел меру между логикой науки и психоло-
гией ее передачи в учебном предмете. Все эго
способствовало тому, что такие книги стано-
вились стабильными на четверть века;
2)	нам и сейчас надо не просто создавать
учебник, а дать учебник долговечный, по
крайней мере на 10 лет, т. е. чтобы ученик
учился по принятому учебнику, который был
в I классе и по этой системе доходил до
X класса.
Существует, как нам представляется, у не-
которых работников неверная точка зрения,
которая выражается в том, что прошло время
стабильных учебников. Приводится и дока-
зательство тому: наука так быстро развивает-
ся, что учебный предмет не должен отставать
и должен меняться весьма часто.
Неужели происходят частые скачки и в
развитии, например математики, детей 7-, 8-,
9-летнего возраста! Мы уверены, что, конеч-
но, сдвиг в культуре и темпе развития имеет
значение, но нельзя здесь впадать в край-
ности;
3)	возникает одностороннее новое стремле-
ние писать учебники только коллективом ав-
торов.
Но и в наше время не только коллектив не
посредственно создает науку, технику, искус-
ство. В прошлом «Арифметика» Л. Толстого,
«Детский мир» или «Родное слово» К. Д.
Ушинского были эталоном истинного педаго-
гического труда.
Эту традицию создания учебников одним
автором нельзя отбрасывать. В ней также есть
свои сильные стороны;
4)	АПН СССР только начала свою работу.
Хотелось бы, чтобы все задачи, поставленные
перед академией, выполнялись успешно и
претворялись в жизнь.
Но успех начатой работы по созданию но
вых учебников вызывает серьезные сомнения.
Может ли одно учреждение, пусть весьма
научно и педагогически авторитетное, созда-
вать проекты, их выполнять и вести объектив
ную критику выполненного?
5)	к созданию новых учебников нужно при
влекать кафедры и преподавателей педагоги-
ческих институтов, имеющих большой опыт
экспериментальной работы в базовых школах.
Пока педагогические институты не имеют не-
обходимых условий для издания эксперимен-
тальных учебников, накопленный ими опыт
используется слабо.
Надо, чтобы издательство было по-делово-
му связано с авторитетными педагогическими
институтами, имеющими свои базовые школы.
Надо считать их основными заказчиками и
ценителями работ, подготовленных для
школы.
Быстро промелькнули заполненные напря-
женной работой дни съезда. Но в памяти всех
делегатов особенно ярким остался третий
день — 4 июля.
Продолжаются прения по докладу М. А.
Прокофьева. Вдруг под сводами дворца раз-
дались бурные продолжительные аплодисмен-
ты: слово предоставляется Генеральному се-
кретарю ЦК КПСС тов. Леониду Ильичу
Брежневу. Его речь съезд выслушивает с
большим вниманием, прерывая ее много раз
аплодисментами.
Тов. Л. И. Брежнев подчеркнул, что наш
стремительный взлет к вершинам знания и
культуры является большой заслугой совет-
ской школы, что в ряду замечательных подви-
гов советского народа стоит и труд учителя.
Навсегда запомнятся слова Л. И Брежнева:
«За этот труд спасибо советскому учителю ог
лица нашей партии, от всего советского на-
рода».
И. К. Андронов,
заслуженный деятель науки РСФСР,
профессор Московского областного
педагогического института
имени Н. К Крупской
Москва Кремль. 2 июля 1968 г. Четыре ты-
сячи учителей со всех концов нашей страны
собрались сюда, чтобы подвести итоги пяти-
десятилетней работы советской школы и на-
метить пути, по которым должна идти в даль-
нейшем наша школа.
Четыре тысячи — это небольшая часть со-
ветских учителей, которые в больших и малых
городах, во всех уголках Советского Союза
трудятся «не за страх, а за совесть». Вряд ли
можно назвать какую-либо другую профес-
сию, где бы было столько самоотверженных
энтузиастов своего дела, глубоко сознающих
ответственность перед обществом за воспи-
тание подрастающего поколения. Сейчас труд-
но найти педагогические коллективы и отдель-
ных учителей, которые не искали бы новых
методов преподавания, эффективных методов
12
воспитания молодежи, не повышали бы свою
деловую квалификацию.
Среди делегатов съезда было около двухсот
учителей математики. Выступления участии
ков съезда на пленарных заседаниях, на сек-
циях, беседы с товарищами побудили меня
поделиться мыслями о работе школы, учите-
лей, о поставленных перед школой задачах,
решить которые предстоит учителям уже в
ближайшее время. Учителя математики, как
и учителя других предметов, накопили боль
шой и ценный методический опыт, нашли не-
мало форм развития интереса учащихся к
своему предмету.
Но переживаемая нами научно-техническая
революция отражается и на основах наук,
которые являются предметом обучения в
школе. От школы и в том числе от учителя
математики требуется не только дать школь-
никам определенный объем конкретных зна-
ний, необходимых в практической работе и в
дальнейшей учебе в высшей школе, но и на-
учить их мыслить, рассуждать, приходить в
данной конкретной ситуации к правильным
выводам, «доставать» самостоятельно знания
из книг, из наблюдений. С каждым годом все
больше молодежи стремится получить по
меньшей мере полное среднее образование.
Это желание диктуется самой жизнью, бурным
ростом науки и народного хозяйства. XXI11
съезд партии поставил задачу — ввести к
1970 г. всеобщее десятилетнее образование и
перейти на новые программы. Нас волнуют
многие проблемы, связанные с решением этой
задачи От учителя требуется высокая квали-
фикация. Учитель не может отставать от раз-
вития науки н того нового, что дает методика
преподавания математики. Это зависит в зна
чительной степени от качества школьных учеб
ников и научно популярной литературы по
математике, которой—к слову сказать —ма-
ло выпускает издательство «Просвещение».
В этом году I и IV классы в ряде школ пере-
ходят на новые программы, а многие учителя
этих классов еще не познакомились с новыми
учебниками до начала занятий.
В ближайшие годы вводятся новые програм-
мы и в средней школе. Новые учебники долж-
ны быть выпущены для учителя не позднее,
чем за год до их введения в школы. Учитель
может давать серьезные знания только тог-
да, когда он сам «прочувствовал» материал,
продумал свои методы преподавания новых
для учителя тем, нашел связи их с прежними
А ведь в новой программе есть темы, с ко-
торыми многие из нас вообще не знакомы.
К таким темам относятся сведения о вычис
лительных машинах, программировании и др.
Особое значение приобретает сейчас раз-
витие интересов учащихся. Кроме ответствен-
ности учителя перед классом, перед каждым
учеником, он не может забывать о тех, кто
проявляет особый интерес к математике, лю-
бит ее. От учителя требуется знание школьной
программы (теперь уже новой) не в узких
рамках ее, а так, чтобы дать сильному учени-
ку интересную задачу, поставить перед ним
важную и посильную проблему и помочь ре-
шить ее. Для таких школьников обязательно
нужны кружки, факультативные занятия; на-
до вовлечь всех интересующихся математи-
кой учеников в разного рода внеклассную ра-
боту. Эта задача нелегкая, особенно в не-
больших школах, где один учитель математи-
ки ведет несколько параллелей, но, безуслов-
но, посильная, а главное, нужная. Для подня
тия уровня знаний, развития интереса у уча-
щихся созданы факультативные курсы, но и
здесь не все продумано. Ребята идут на эгч
занятия, относятся в ним серьезно, с полной
ответственностью. А у нас, даже учителей мо-
сковских школ, нет достаточного количества
необходимой литературы (а что на перифе-
рии?). Каждому ученику, включившемуся в
факультативные занятия, нужна книга, в ко-
торой он мог бы найти изучаемый материал,
ведь не каждый может со слов учителя во
всем сразу разобраться Нужно к тому же
приучать и самостоятельно работать с кни
гой. Важно, чтобы ребята сами умели доста-
вать знания из книг. Иногда даже у учителя
нет необходимых книг и пособий для ведения
факультативных занятий.
Не везде благополучно и с организацией
факультативных занятий. Создать в одном
классе несколько факультативов (в группе по
15 человек) часто трудно, так как интересы
наших ребят достаточно разнообразны, а бо-
лее чем в двух факультативах одному чело-
веку заниматься трудно. Нам думается, сле-
дует в таких школах разрешить объединен-
ные факультативы, например для IX—X
классов.
В отдельных школах с распределением ча-
сов факультативных занятий тоже возникли
странные ограничения. Имеются школы, в
которых не разрешают учителю вести более
одного факультатива, и потому часы, отве-
денные на факультативные занятия, пропада-
ют, хотя находятся школьники, желающие за-
ниматься сверхпрограммными вопросами.
На съезде много говорилось о начальном
образовании, об эксперименте трехлетнего обу-
чения. Безусловно, очень многое зависит от
начальной школы, значительно больше, чем
нам кажется Если в младших классах рабо-
та
тает опытный учитель, то его класс в целом
хорошо, с интересом учится до самого X клас-
са, так как умение трудиться, самостоятель-
ность уже выработаны в первые школьные
годы. Эксперимент трехлетнего начального об-
разования проводился во многих школах Со-
ветского Союза, но, пожалуй, больше всего
писалось в печати и говорилось на съезде об
эксперименте школы, директором которой ра-
ботает Герой Социалистического Труда
В. А. Сухомлинский. Эта школа прочно закла-
дывает фундамент умений и навыков ребенка
в начальном обучении, хотя не со всеми ме-
тодическими приемами этой школы можно
согласиться.
На съезде мы слушали выступления мно-
гих прекрасных учителей, энтузиастов своего
дела, людей с творческой мыслью и огонь-
ком. А еще больше учителей, не приехавших
на съезд, трудятся в различных уголках Со-
ветского Союза, прививают детям любовь к
Родине, к своему предмету, развивают твор-
ческую инициативу, поддерживают интерес ко
всему новому, приучают творчески трудиться.
И если собрать все интересные дела наших
учителей, их мысли, задумки, записать их, то
получится книга необъятного размера. Эту
«книгу» мы и постараемся изучать, т. е. изу-
чать опыт лучших учителей, ведь они рабо-
тают рядом с нами, в нашей школе, будем
постоянно улучшать методы и формы учебной
и воспитательной работы, к чему и призывает
нас Обращение делегатов Всесоюзного съезда
учителей ко всем учителям.
Съезд поставил перед всем советским учи-
тельством новые большие задачи, и они, без-
условно, будут с честью выполнены.
Г. И. Зубелевич,
учительница математики школы № 612 Москвы
Перелистывая делегатский блокнот, вновь
просматривая материалы съезда, обмениваясь
мнениями с делегатами, мы пришли к выводу,
что большой педагогический совет сосредо-
точил внимание на трех важнейших пробле-
мах: переходе к всеобщему среднему образо-
ванию, повышении научно-теоретического
уровня преподавания и качества знаний
школьников, совершенствовании коммунисти-
ческого воспитания.
Высокая оценка педагогического труда пар-
тией и правительством в речи Генерального
секретаря ЦК КПСС тов. Л. И. Брежнева
очень взволновала нас. Мы полны желания
с еще большей энергией отдаться любимому
делу.
И сейчас, творчески используя опыт передо-
вых учителей нашей страны, выступавших
на съезде, анализируя свою работу, мы наме-
чаем конкретные перспективные задачи для
решения поставленных съездом проблем.
Работать творчески, настойчиво повышать
идейно-теоретический уровень и деловую ква
лификацию.
Основное наше внимание — к уроку. На уро
ке должны быть удивление, догадка, разду-
мье, поиск доказательства. Нужно, как указы-
вал К. Д. Ушинский, чтобы дети по возмож-
ности трудились самостоятельно, а учитель
руководил этим самостоятельным трудом и
давал для него материал.
Бурное развитие науки и техники выдвину-
ло перед школой трудные задачи. Необходл
мо сообщать учащимся о новых открытиях и
проблемах современной науки, что вызывает
интерес к предмету и способствует творче-
ским поискам школьников.
Мы за техническую оснащенность класса!
Как нам представляется, универсальный про-
ектор призван омолодить «дедушку мел» с
постоянной «спутницей» — тряпкой. Это эко-
номит время и повышает культуру труда учи-
теля.
Наши планы в этом направлении: иметь два
кабинета математики, в одном из которых со-
средоточить статические модели и таблицы,
аппарат ЛЭТИ и фильмоскоп, а в другом
поставить киноаппарат, эпидиаскоп, магнито-
фон, проигрыватель, причем эпидиаскоп до-
оборудовать автоматическими протяжками
одинаковой конструкции для эпи- и диапро-
екции.
Совершенствовать методику дифференциро-
ванного обучения за счет увеличения инфор-
мации от учащегося (проводить больше прак-
тических работ, диктантов, контрольных ра-
бот (письменных и устных). Ведь справед-
ливо считается, что одной из причин неуспе-
ваемости и второгодничества является несвое-
временный эпизодический учет знаний.
Больше внимания уделять решению задач
на доказательство, формированию навыков
краткой записи решения, внедрению матема-
тической символики, самостоятельному со-
ставлению задачи, требующей применения
изученной теоремы.
Считаем возможным привлекать членов ма-
тематического кружка седьмых классов для
изготовления дидактического материала для
эпи- и диапроекций, а кружковцев старших
классов — для создания диафильмов по от-
дельным темам и разделам программы.
Намечая перспективные задачи, мы стал-
киваемся с вопросами, ответа на которые
ждем от АПН СССР;
14
1)	Как часто учитель должен контролиро-
вать ход работы ученика?
2)	На каких этапах обучения контроль бо-
лее ценен?
3)	Не лучше ли более сложный материал
контролировать отдельными порциями?
4)	Не пора ли вопросам детской и педаго-
гической психологии уделять больше внима-
ния на страницах журнала «Математика в
школе»?
Нужно решить вопрос о дифференциации
труда и оплаты работы учителя. При суще-
ствующей системе оплаты труда добросовест-
ный учитель на каждый час работы в школе
тратит больше времени, чем «урокодатель».
Такая система ориентирует на пассивное уве-
личение стажа работы, вот и выходит, что
работа на совесть не дает экономического
эффекта.
Надо обеспечить учителя разнообразным
дидактическим материалом, помочь ему ис-
пользовать в практике обучения и воспита-
ния новейшие достижения педагогики и пси-
хологии.
А мы, рядовые учителя, вдохновленные вы
сокой оценкой народом нашего труда, не по-
жалеем сил и сделаем все, чтобы «сплав зна-
ний и убеждений», о котором говорил Л. И.
Брежнев в своем выступлении на съезде, был
самого высокого качества.
В. Г. Коваленко,
учитель математики школы № 2
Кремгзс Кировоградской об л.
А. И. Черватюк,
учитель математики школы № 57 г. Киева
Всесоюзный съезд учителей для нас — деле-
гатов его, для всех работников народного про-
свещения, для всей нашей страны был боль-
шим и волнующим событием. На этом съезде
подводились итоги развития народного просве-
щения в нашей стране, обсуждались выдвину-
тые перед школой современным этапом строи-
тельства коммунизма задачи и определялись
пути их решения.
Нас, работников пединститутов, радуют ус-
пехи советской школы, так как в них есть и
доля нашего труда, но мы хорошо понимаем,
что вставшие перед нами новые ответственные
и трудные задачи потребуют для своего успеш-
ного решения больших усилий и самоотвер-
женного труда от всех работников народного
просвещения. И когда мы слушали речь Ге-
нерального секретаря ЦК КПСС товарища
Л. И. Брежнева, доклад министра просве-
щения СССР М. А. Прокофьева и выступ-
ления по докладу, каждый из нас задумывал-
ся над тем, что следует сделать ему на своем
участке работы.
Решающая роль в успешном обучении и
воспитании нашей молодежи принадлежит
учителю. Мы — работники пединститутов —
хорошо понимаем, что от уровня подготовки
и идейной зрелости наших выпускников зави-
сит успех дела народного просвещения. По-
этому мы думали и думаем больше всего о
том, что нам нужно сделать для совершен-
ствования подготовки учителей. Мне, как ма-
тематику, особенно близки и дороги интересы
подготовки учителей математики. О них я
и думал больше всего во время съезда; свои-
ми соображениями мне и хочется поделиться.
Предварительные выводы, которые я сде-
лал для себя, кратко таковы. Необходимым
условием совершенствования работы средней
школы является совершенствование нашей
работы по подготовке учителей. Нашим вы-
пускникам ближайших лет предстоит осуще-
ствить обновление школьного курса матема-
тики по его содержанию и методике. К этому
нужно их готовить и готовить основательно.
Следовательно, требует обновления и курс
математического факультета пединститута в
направлениях: 1) повышения уровня матема-
тической подготовки, большего отражения в
ней современного состояния математики, осо-
бенно основательного изучения новых вопро-
сов, вошедших в школьный курс, 2) усиления
психолого-педагогической подготовки, сохра-
нения всего ценного в накопленном педагоги-
ческом опыте и широкого распространения но-
вого, передового опыта, рождаемого педаго-
гической практикой, 3) сосредоточения вни-
мания на идейном воспитании студентов,
философского освещения проблем математи-
ки, использования учебной работы по всем
математическим курсам и личного общения со
студентами в воспитательных целях, 4) акти-
визации познавательной деятельности и твор-
ческих способностей наших студентов, воспи-
тания у наших выпускников потребности и
навыков учиться.
Необходим пересмотр учебного плана и
программ нашего факультета с целью приве-
дения их в соответствие с новыми задачами
подготовки учителей математики. Мы остро
ощущаем потребность и в новых учебниках,
особенно по таким дисциплинам, как методи-
ка математики. Однако бездействовать в
ожидании такого пересмотра и появления но-
вых учебников не следует. Многое может быть
сделано в рамках действующих учебного пла-
на и программ. До начала учебного года и
в первые недели его нашим .кафедрам пред-
стоит основательно продумать все эти вопро-
15
сы. наметить по ним конкретные мероприя-
тия и реализовать их. В число таких меро-
приятий войдут необходимые коррективы пла-
нов прохождения всех дисциплин, подготовка
и постановка новых специальных и факульта-
тивных курсов, семинаров и практикумов, пе-
ресмотр сложившейся тематики курсовых ра-
бот и так далее. При этом большое значение
для нас будет иметь тесная связь математи-
ческих кафедр с кафедрами педагогики, об-
щественных наук и другими.
Большим резервом совершенствования под-
готовки учителей математики мы считаем
усиление самостоятельной работы студентов,
являющейся основным условием, обеспечива-
ющим действенность знаний, умений и навы-
ков наших воспитанников.
Особое значение в ближайшие годы во
всей нашей работе будет иметь идейное вос-
питание студентов. Математики и раньше не
стояли в стороне от него, но сейчас необхо-
димо сосредоточение усилий в этом направле-
нии, расширение и углубление фронта этой
работы. Если в последние годы мы направля-
ли свои усилия в основном на методологиче-
скую, философскую подготовку наших студен-
тов, то теперь одного этого мало. Наши вы-
пускники будут работать на переднем крае
острой идеологической борьбы между социа-
лизмом и капитализмом. Подготовленные на-
ми учителя призваны воспитывать убежден-
ных борцов за коммунизм. Поэтому сами они
должны быть убежденными коммунистами,
способными формировать у школьников ком-
мунистическую сознательность и нравствен-
ность. воспитывать их на замечательных рево-
люционных, боевых и трудовых традициях со-
ветского народа. Нашей заботой будет воспи-
тание учителей, способных утвердить в сво-
их учениках идейную стойкость, советский
патриотизм, пролетарский интернационализм
и умение противостоять любым враждебным
нам влияниям, чуждым взглядам и нравам.
Поэтому нашей заботой в новом учебном го-
ду будет эффективное использование всех тех
возможностей идейного воспитания студентов,
которые заложены в учебной работе и во всем
нашем общении со студентами. Предстоит пе-
ресмотреть тематику нашего методологиче-
ского семинара математических кафедр в на-
правлении превращения его в идеологический
семинар; потребуется изменение тематики на-
учных студенческих кружков и курсовых ра-
бот, придется усилить наше влияние во всех
студенческих организациях, особенно в груп-
пах и общежитии, шире использовать нашу
печать. Мы понимаем, что во всей этой рабо
те очень важно хорошо знать студентов и
16
не сводить работу с ними только к проведе-
нию различных мероприятий, а вести большую
индивидуальную работу. При этом мы никак
не можем забывать о громадном значении в
воспитании студентов нашего личного при-
мера.
В этом и последующих годах особенно ак-
туальной становится задача оказания сущест-
венной помощи работающим учителям. Никог-
да раньше эта помощь не была столь нужной,
как теперь. Введение новых учебных планов,
программ и учебников предъявляет повышен-
ные требования к уровню профессиональной
подготовки учителей. Кто же поможет учи-
телю? Лучше всего это можем сделать мы —
работники педагогических институтов. Основ-
ными направлениями этой помощи будут: по-
вышение научной квалификации и совершен-
ствование методической подготовки учителей.
Нам предстоит эффективнее и полнее исполь-
зовать различные формы этой работы: курсы
повышения квалификации, различные семина-
ры и практикумы, лекции и доклады, консуль-
тации, школы передового опыта, работа в
опорных школах, шефская работа и так далее.
Одной из ближайших задач остается оказа-
ние помощи учителям математики в проведе-
нии факультативных занятий.
Наша научно-исследовательская работа и
публикации по ней нуждаются в усилении и
должны в большей степени, чем раньше, идти
в указанных направлениях. Мы призваны раз-
рабатывать не только проблемы математики,
но и научные основы обучения математике,
изучать и обобщать передовой опыт школы,
открывать новые возможности совершенство-
вания обучения математике. Той же цели сле-
дует подчинять и нашу непосредственную ра-
боту в школах: учительскую работу, проведе-
ние факультативных занятий и др. Мы не мо-
жем ослаблять и работу с учащимися сред-
них школ: юношеские математические школы,
олимпиады, кружковую работу и т. д. Заслу-
живает большего внимания и популяризация
нашей науки среди учащихся: написание по-
собий по внеклассной работе, книг для вне-
классного чтения по математике, использова-
ние юношеских газет и журналов, радио и те-
левидения.
Даже краткое и неполное перечисление
того, что предстоит сделать каждому из нас
на своем участке работы по народному про-
свещению, показывает, что, планируя, органи-
зуя и проводя все необходимое, мы никак не
можем обойтись без разработки проблем ди-
дактики и методики вузовской работы, без
научной организации нашего разностороннего
труда. Мы не можем также упустить из виду
вопросы повышения нашей научной и педаго-
гической квалификации, овладения маркси-
стско-ленинской теорией и подготовки новых
кадров работников пединститутов.
Всесоюзный съезд учителей еще больше
сплотил наши ряды вокруг Коммунистической
партии, ее ленинского Центрального Комите-
та и Советского правительства. Весь ход съез-
да был новым и ярким свидетельством забо-
ты партии и народа об учителе. Он воодуше-
вил нас на решение новых задач, и все мы не
пожалеем сил, энергии и знаний, чтобы под
руководством нашей партии успешно решить
новые, вставшие перед нами величественные
задачи по воспитанию нового поколения
строителей коммунизма.
Ф. Ф. Нагибин,
профессор Кировского педагогического
института
Из числа делегатов Всесоюзного съезда учителей 208 делегатов не-
посредственно работают в качестве учителей математики. Среди них два
Героя Социалистического Труда: КИРСАНОВА НИНА АЛЕКСАНДРОВ-
НА — учительница школы № 24 Ленинграда и ЛОКАЛОВА ХОЖА МУР-
ТАЗ АЛИЕВНА — учительница Хунзахской средней школы Дагестана. 45 че-
ловек имеют звание заслуженного учителя школы республики. 102 учи-
теля отмечены правительственными наградами. Орденом Ленина награж-
дены 6 человек, орденом Трудового Красного Знамени — 5 человек,
орденом «Знак почета» — 1 человек, орденом Славы III степени — 2 че-
ловека, орденом Отечественной войны II степени — 1 человек, орденом
Красной Звезды — 10 человек.
НАУЧНО-____
ПОПУЛЯРНЫЙ
ОТДЕЛ
ф. ф. Нагибин Дополнительные эпросы
(г. Киров)
арифметики
Эта статья имеет своей главной целью — содейство-
вать повышению квалификации учителя математики
в вопросах арифметики. Вместе с тем она может быть
использована при подготовке учителя к проведению
факультативных занятий по теме «Дополнительные
вопросы арифметики» (VIII класс). Мы надеемся, что
читатель статьи поработает с ней активно. Для этого
даем достаточно много упражнений. Эти же упраж-
нения почти полностью с успехом могут быть исполь-
зованы и при проведении факультативных занятий
с учащимися.
Основным аппаратом, который мы исполь-
зуем, являются сравнения. Метод сравнений
был разработан выдающимся немецким ма-
тематиком Карлом Фридрихом Гауссом
(1777—1855), а дальнейшее развитие он по-
лучил в докторской диссертации корифея рус-
ской математики Пафнутия Львовича Ч е-
бышева (1821—1894).
Без преувеличений можно считать метод
сравнений едва ли не единственным универ-
сальным методом теории чисел, оказываю-
щим существенную помощь почти во всех ее
областях. Этим, а также доступностью и от-
носительной простотой аппарата сравнений
объясняется желательность ознакомления с
ним и некоторыми его теоретико-числовыми
применениями учащихся на факультативных
занятиях по математике.
§ 1. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА
Известно, что, каковы бы ни были целое
число а и натуральное число т, для них су-
ществует единственная пара целых чисел q
и г (0	таких, что а = mq + г (чис-
ло q при г = 0 называется частным, а при
г 0 — неполным частным, г — остатком).
Это утверждение обычно называют теоремой
существования и единственности частного и
остатка. Простое и очень наглядное доказа-
тельство ее предложено профессором
А. И. Маркушевичем в статье «Допол-
нительные вопросы арифметики целых чисел»
(«Математика в школе», 1967, № 4).
В теории чисел и ее применениях довольно
часто бывает достаточно найти остаток от
деления, не вычисляя неполного частного.
Рассмотрим, например, задачу: «установить,
каким днем недели будет 1 января 2000 г.,
если в 1967 г. 1 января приходилось на вос-
кресенье».
Решение. Указанные в задаче даты раз-
деляют 33 года. В них всего дней 365 -33 + 8
(второе слагаемое 8 — число дней, добавляе-
мых високосными годами). Это число дней
составляет 1721 неделю и еще 6 дней. Через
1721 неделю после 1 января 1967 г. наступит
снова воскресенье, а еще через 6 дней — суб-
бота. Значит, 1 января 2000 г. приходится на
субботу.
При решении этой задачи число целых не-
дель не существенно. Суть дела свелась к на-
хождению остатка от деления 365 -33 + 8
на 7.
При решении подобных задач (с другими
датами) всего может получиться 7 остатков:
0, 1, 2, ..., 6. Соответственно этому числа
дней распадаются на 7 классов чисел, даю-
щих при делении на 7 указанные остатки.
И каждый раз решение задачи, сходной с при-
веденной, сводится к установлению, в какой
именно из этих 7 классов входит получившее-
ся число дней.
Теорема существования и единственности
частного и остатка служит основой для важ-
ного определения.
Целые числа а и b называются срав-
нимыми по модулю т (т — натуральное,
число), если а — b делится на т. (Так
18
определяли сравнения Гаусс и Чебышев.)
Сравнимость по модулю т двух чисел а и b
принято записывать так: a ss b (mod т), а са-
ма эта запись называется сравнением.
Примеры сравнений: 54 s 74 (mod 5), 37 =
= 61 (mod 12).
Определению сравнения можно придать
и иную форму, а именно: целые числа а и b
сравнимы по модулю tn (щ— натураль-
ное число), если при делении на т они
дают один и тот же остаток (а —
~-tnqx-\-r, b=-mq2-\-r, О-^г<^;п). Дей-
ствительно, если а — b делится на т, то это
значит, что а — b — mt (t — целое число),
и поэтому а = b 4- mt. Обозначим остаток
от деления b на т через г(О-<г<;т). Имеем
b -= mq 4- г и а = mq + г + mt=- т (<74-^)4~г>
т. е. остаток от деления а на т тоже равен г.
Покажем, что и обратно: если при деле-
нии а и b на т получаются равные остатки,
то а — b делится на т. Пусть а = mqx 4- г
и b — mq., г (О С г < т). Тогда а — Ь =
= mqx — mq2 = m(qx— q2) и, следовательно,
а — b делится на т.
Имея в виду второе определение сравни-
мых по модулю чисел а и Ь, можно назвать
эти числа равноостаточными по модулю т.
Упражнения.
1.	Привести примеры сравнений по моду-
лям: 4, 7, 11.
2.	Какие из сравнений: a) 173 s 5 (mod 6),
б) 57 s 38 (mod 5), в) —26 = 4 (mod 3), г) 49 =
= 0(mod 7), д) 3 = — 17 (mod 5) — верны и ка-
кие неверны? (а), в), г) и д) — верны, б) — не-
верно. |1
3.	Как можно истолковать сравнение а =
= 0(modm)? [а делится на т (остаток ра-
вен 0).]
4.	Какие верные сравнения можно записать
по разности 3 — (—17) = 20? [3 = — 17 (mod 20),
3s—17(mod5), 3 s—17(mod4) и др.]
5.	Как можно записать с помощью разности
сравнение 57 s 37 (mod 5)? [57 — 37 =-5-4.]
6.	Верно ли сравнение £ = £(mod/n) при
любом целом Л?
Сравнимость целых чисел по фиксирован-
ному модулю напоминает равенство чисел.
Как и равенство, сравнение обладает свой-
ствами: 1) рефлексивности; а = а (mod т),
2) симметричности; если а = b (mod т), то
Ь = а (mod т) и 3) транзитивности; если
а^Ь (mod т) \\b = с (mod т), то а sic (mod т).
Это сходство сравнений с равенствами оправ-
дывает их название и обозначение. Более
того, оно служит руководящей идеей теории
1 Зчесь и далее в квадратных скобках даются от-
веты.
сравнений. Не следует только забывать, что
понятие сравнимости всегда связано с опре-
деленным модулем. Числа, сравнимые по
одному модулю, могут оказаться несравни-
мыми по другому. Так: 36 = 71 (mod 7), но
36 ф 71 (mod 3) (^ — знак несравнимости).
Указанные свойства настолько очевидны,
что нет необходимости в их доказательствах.
Если бы мы все же пожелали доказать эти
свойства, то проще всего было бы восполь-
зоваться вторым определением сравнения.
Из других свойств сравнений, имея в виду
дальнейшее развитие нашей темы, представ-
ляется необходимым рассмотреть следующие.
1)	Сравнения по одному и тому же модулю
можно по частям складывать, вычитать и пе-
ремножать (это значит, что если исходные
сравнения верны, то получившееся из них
также будет верным).
Если «J = bx (mod т) и а2 = b2 (mod т),
то 4- а2 sЬх 4- b2 (mod т), ах — а2 ^sbx —
— b2 (mod т), аха2 = bxb2 (mod т).
Доказательство. Так как ах =
= bx (mod т) и а2 s b2 (mod т), то, по опре-
делению сравнения, ах~ bx = mqx и а2 — Ь2^
= mq2- Суммируя по частям эти равенства,
получаем ах-\- а2 — (Ьх 4- b2) = m (qx 4- q2).
Следовательно, ах + а2 = Ьх 4- b2 (mod т).
Аналогично можно поступить и для обо-
снования верности сравнения ах — а2^гЬх —
— b2 (mod т).
Сравнение аха2^ЬхЬ2(то<\ т) можно обо-
сновать так. Из ах—bx = mqx и а2 — Ь2 —
= mq2 следует ах = Ьх 4- mqx и а2 = Ь2 4- mq2.
Поэтому аха2 = (Ьх 4- mqx) (b2 4- mq2) = bxb2 4-
+ т (qvb2 4- q2bx 4- mqxq2), или аха2 — bxb2 =
-=m(qxb2 4- q2bx 4- mqxq2), т. e. axa2s=
= ^62 (mod m).
Очевидно, что доказанное свойство в отно-
шении сложения и перемножения по частям
двух сравнений распространяется на случай
любого числа сравнений.
2)	Если а = Ь (mod т) и k — любое нату-
ральное число, то а* = bk (mod т).
Для обоснования этого свойства следует
взять k сравнений а = Ь (mod т) и по частям
перемножить их на основании предшествую-
щего свойства.
3)	Слагаемое из одной части сравнения
можно перенести в другую часть, изменив
знак его на противоположный. Это означает,
что если верно сравнение а 4- b = с (mod т),
то верно и сравнение а~с— b (mod/n).
Действительно, если возьмем два сравнения
(а 4- Ь) = с (mod т) и — b = — b (mod т) и по
частям сложим их, то получим а =с—b (mod т).
4)	Обе части сравнения можно умножить на
одно и то же целое число.
19
Пусть a = b (mod m). Возьмем еще сравне-
ние AsA(mcdm) (k любое целое число)
и эти два сравнения почленно перемножим.
Получим ka г= kb (mod /и).
5)	Если Р (х) — многочлен от одной пере-
менной с целыми коэффициентами, то из
сравнения х == у (mod т) следует сравнение
Р (х)= Р (у) (mod т). Пусть, например, Р (л)=
= аол3 ф- ахх2 + а,х 4- а3 (а0, аъ а2, as — це-
лые числа) и л0 == у0 (mod т). На основании
предшествующих свойств имеем: айх$ =
= a0y3(mod т),	(mod т), а2х0 =
== а2Уо (mod т) и а3 = а3 (mod in). Сложение
по частям этих сравнений приводит к срав-
нению ссл34- а^х* 4- а2л04- а3 = о0у3 4- О1У0+
4- «2У0 + аз (mod т).
Это свойство может быть распространено
на многочлен от нескольких переменных.
Именно: если «, == b} (med т), а2 ss b2 (mod т),
..., ак = Ьк (mod т) и Р (лр х2,..., хк) — мно-
гочлен от переменных xt, х2, ..., хк с целыми
коэффициентами, то Р (ах, а2, ..., ак) =
= Р(ЬЪ Ь2, ..., Ьк) (mod т).
6)	Обе части сравнения можно разделить
на их общий делитель, если он взаимно
прост с модулем.
Пусть ad = bd (mod т) и (d, m)=l,
((d, m) — обозначение наибольшего общего
делителя чисел d и т). Тогда, по опреде-
лению сравнения, ad — bd делится на т или
(а — b) d делится на т. Но так как (d, т) = 1,
то а — b делится на та a^b (mod т).
Следует подчеркнуть, что если условие
взаимной простоты делителя с модулем не
выполнено ((d, /и)=И=1), то подобное сокра-
щение частей сравнения может привести к не-
верным сравнениям.
Сравнение 16 = 28 (mod 12), например, вер-
но, а полученное от сокращения его на 4
сравнение 4 = 7(niodl2) неверно. Точно так
же сравнение 45 = 27 (mod 6) верно, но, раз-
делив обе части его на 9, получим неверное
сравнение 5 = 3(mod6). Здесь мы имеем на-
рушение аналогии между сравнениями и ра-
венствами.
7)	Обе части сравнения и модуль можно
умножить на одно и то же натуральное число,
а также разделить на любой их общий на-
туральный делитель.
Ограничимся обоснованием лишь первой
части этого свойства, так как вторая часть
может быть обоснована обратными рассуж-
дениями. Пусть а = b (mod т) и d — нату-
ральное число. Это значит, что а - b делит-
ся на ш, но тогда (а~ b)d делится на md,
или ad — bd делится на md, т. е. ad =
— bd (mod md).
Упражнения.
Доказать: 1) к одной части сравнения мож-
но прибавлять или вычитать из нее любое
число, кратное модулю; 2) если одна часть
сравнения и модуль делятся на некоторое
число, то и вторая часть делится на это
число; 3) если сравнение верно по модулю т,
то оно верно и по модулю, равному дели-
телю т.
Изучение всех перечисленных свойств срав-
нений на факультативных занятиях с учащи-
мися предоставляет учителю богатые воз-
можности для активизации мышления уча-
щихся. Основной, направляющей идеей всей
этой работы может быть мысль о далеко
идущей аналогии между сравнениями и ра-
венствами, появляющаяся уже после выявле-
ния рефлексивности, симметричности и тран-
зитивности сравнений. Имея в виду эту
аналогию, учащиеся по известным им свой-
ствам равенств будут формулировать соот-
ветствующие свойства сравнений, подтвер-
ждать (или опровергать) их конкретными
примерами, обосновывать свои выводы дока-
зательствами и иллюстрировать их своими
примерами. Идея аналогии между сравне-
ниями и равенствами и постоянная опора на
определения сравнимости чисел — таковы два
положения, делающие изучение свойств срав-
нений целенаправленным, прозрачным, легко
усваиваемым и хорошо запоминающимся.
§ 2. КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ. АРИФМЕТИКА ВЫЧЕТОВ
Рассмотренная выше задача о дне недели,
на который приходится 1 января 2000 г.,
привела к тому, что все целые числа по
остаткам от деления их на 7 образуют семь
классов. В каждый из этих классов входят
те и только те целые числа, которые при
делении на 7 дают один и тот же остаток,
т. ё. сравнимые по модулю 7. Если мо-
дуль равен 5, то классов чисел, срав-
нимых по этому модулю, будет 5. Первый
из них содержит числа: ..., —10, —5, 0, 5,
10, ...; второй: ..., —9, —4, 1, 6, 11,
третий: ..., —8, —3, 2, 7, 12, ...; четвертый:
..., —7, —2, 3, 8, 13, ... и пятый: ..., —6,
— 1, 4, 9, 14, .... При модуле т таких клас-
сов будет т, так как при делении на т мо-
гут получиться лишь т остатков: 0, 1, 2, ...,
т 1.
Число а называется вычетом числа b по
модулю т, если n=6(modm). Так как
в один и тот же класс по модулю т входят
те и только те целые числа, которые срав-
нимы по модулю т, то любое число этого
класса можно считать вычетом любого дру-
20
того числа его. Так получаются классы вы-
четов по данному модулю.
И i сказанного следует, что каждый класс
вычетов по модулю вполне характеризуется
каким-нибудь одним числом его. И если мы
возьмем по одному представителю из каж-
дого класса, то получим т чисел, называе-
мых полной системой вычетов по модулю пг.
Так, классы вычетов по модулю 5 — это
классы чисел вида: 5^4-0, 5^4-1, 5^4-2,
5д 4- 3, 5д 4-4 (д — любое целое число),
а числа: 5, 6, 2, 8, 14 — полная система вы-
четов по модулю 5, так же как и числа:
0, 1, 2, 3, 4.
Обычно для характеристики классов выче-
тов по модулю т берутся наименьшие не-
отрицательные вычеты. Они получаются по
формуле тд 4* г при д = 0 и равны остат-
кам г, так что полная система вычетов по
модулю т состоит из чисел 0, 1, 2, 3, ...,
т — 1. Иногда, если это удобнее для вычис-
лений, берутся также наименьшие по абсо-
лютной величине вычеты. По модулю 5, на-
пример, это будут числа —2, —1, 0, 1, 2.
Для полной системы вычетов по данному
модулю можно установить операции сложе-
ния и умножения. Это не обычные арифме-
тические сложение и умножение, хотя они
и выполняются над обычными числами. Мож-
но обозначить эти операции над вычетами
особыми знаками: сложение — знаком @
и умножение — (х). При т = 3, например,
таблицы, задающие эти операции, будут та-
кими:
а@Ь\0
0	0 12
1	12 0
2	2 0 1
а ® b
0
1
2
0 1 2
0 0 0
0 1 2
0 2 1
Как видим, дело здесь сводится к обыч-
ным сложениям и умножениям с последую-
щим нахождением остатка от деления на 3.
На арифметике вычетов мы не будем за-
держиваться, так как далее подробно будет
рассмотрена сходная с ней (изоморфная ей)
арифметика классов вычетов.
Итак, классом вычетов по модулю т, ха-
рактеризуемым целым числом а, называется
множество всех целых чисел, сравнимых
с а по данному модулю. Будем обозначать
такой класс символом а2. Значит, класс а
содержит те и только те целые числа х,
которые удовлетворяют сравнению х =
= я (mod га). Так, например, по модулю 5
имеем: 62 £2, — 14 £1, 12£3(£ и £ — знаки
принадлежности и непринадлежности).
2 Этот символ использует А. А. Бухштаб в чеб-
нике «Теория чисел», изд. «Просвещение», М., 1966.
Следует отметить, что если число а в а
заменить каким-нибудь числом b того же
класса, то получим тот же класс: а = Ь.
Иными словами, а = b тогда и только тогда,
когда а = b (mod т).
Упражнения.
1.	а) Какие классы образуют вычеты по
модулю 7? б) Записать какую-нибудь полную
систему вычетов по этому модулю в) Запи-
сать системы наименьших неотрицательных
вычетов и наименьших по абсолютной вели-
чине вычетов по модулю 7.
2.	Какие числа входят в классы 0 и 1 по
модулю 2? [Класс 0 состоит из всех четных
чисел, класс 1 — из всех нечетных.]
3.	а) В какие классы по модулю 8 входят
числа: 14, —13, 8, 1, 27, —425? б) Какие
числа входят в классы: 0, —2, 12, 4 — по
модулю 8?
4.	Образуют ли полную систему вычетов
по модулю 3: а) 0, 1, 2; б) 10, И, 12; в) —4,
5, —5? [а) и б) образуют, в) — нет.)
§ 3. АРИФМЕТИКА КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ
Будем рассматривать множество, элемен-
тами которого являются классы вычетов по
модулю т, т. е. 0, 1, 2, ..., т — 1 (всего т
элементов). Определим в этом множестве две
операции. Суммой классов а и b (а 4-6) по
модулю т будем называть класс вычетов
а 4- F (содержащий число а 4- Ь). Произве-
дением классов а и b (a- b) назовем класс
вычетов ab (содержащий число ab). Приме-
ры: а) по модулю 7 3 4~ 2 = 5, 3-5 = 1; б) по
модулю 10 3 4-4 = 7, 3-4 = 2.
Отметим, что в арифметике классов выче-
тов, в отличие от арифметики вычетов, мы
производим операции уже не над числами,
а над объектами иной природы, над классами
чисел. Так что здесь мы имеем новые опе-
рации над новыми объектами, хотя эти опе-
рации мы и обозначили привычными для нас
знаками.
Как следует понимать введенные нами опе-
рации в множестве классов вычетов по дан-
ному модулю? Если возьмем два класса вы-
четов по модулю т а и Ь, то сумма любых
двух чисел, взятых по одному из этих клас-
сов, принадлежит одному и тому же классу
вычетов по этому модулю, характеризуемому
вычетом а 4- Ь. Аналогично для произведе-
ния классов. Так, любые два вычета из клас-
сов 4-и 5 по модулю 10 в сумме дают всег-
да вычет из класса 9, а в произведении —
вычет из класса 0.
21
Операции над классами могут быть выра-
жены таблицами с двумя входами. Для т =5,
например, мы получим такие таблицы:
аА-Ь med 5	a\b	б	1	2	3|	4 а-Ь	a\b	0|Т|2			3	4
	—					- mod 5							
	0	0	1	2	3	4	0	0	0	0	0	0
	1	1	2	3	4	0	1	б	т	2	3	4
	2	2	3	4	б	1	2	0	2	4	1	3
	3	3	4	0	1	2	3	б	3	I	4	2
	4	4	0	1	2	3	4	0	4	3	2	1
Упражнение: составить таблицы сумм
и произведений а) по модулю 2; б) по мо-
дулю 6.
Для наглядного представления введенных
нами операций можно воспользоваться гра-
фами (особыми графическими схемами). Пусть,
например, т = 5. Составим граф, иллюстри-
рующий сложение каждого из классов выче-
тов по этому модулю с классом 3 по тому
же модулю (черт. 1). Стрелки здесь пока-
Черт 1
Черт 2
зывают, в какой класс переходит данный
класс при сложении его с классом 3. Полу-
чился так называемый цикл. Из каждой вер-
шины исходит одна стрелка, и в каждую
вершину входит одна.
Построим граф, иллюстрирующий умноже-
ние любого класса вычетов по модулю 5 на
класс 4 (по тому же модулю) (черт. 2). По-
лучили три цикла: один из них нулевой, а два
другие содержат по две вершины.
Построим еще графы умножения классов
вычетов по модулю 6 на класс 4 (черт. 3)
и класс 5 (черт. 4).
Упражнение: построить графы умноже-
ния а) классов вычетов по модулю 7 на
класс 4 (по тому же модулю) и б) классов
по модулю 10 на класс 4.
Операция вычитания обычно определяется
как операция, обратная по отношению к сло-
жению. Так поступим и мы. Будем называть
разностью (а — Ъ) классов а и b вычетов по
данному модулю такой класс с, который
Черт. 3
удовлетворяет равенству с 4- b = а. Для на-
хождения разностей мы можем пользоваться
таблицами сложения, но можно поступать
и иначе. Операцию вычитания легко свести
к сложению. В самом деле, класс вычетов 0
по данному модулю играет у нас роль нуле-
вого элемента, так как сложение его с лю-
бым классом по тому же модулю дает этот
класс {а + 0 — а 4- 0 = а). Но раз это так,
то мы можем ввести понятие противополож-
ного элемента. Класс Ь будем называть про-
тивоположным классу а, если_д 4~ Ь = 0. По
модулю 5, например, классу 1 противополо-
жен класс 4, классу 2 — 3, 3 — 2, 4 — 1,_0 — 0.
В общем случае по модулю т классу а про-
тивоположен класс т — а, 0 противоположен
сам себе. Понятием противоположного эле-
мента и можно воспользоваться для вычис-
ления разности двух классов. Имеем а — Ь =
ф (— b), где — b — класс, противополож-
ный Ъ (—6 = т — Ь), т. е. а — b == а 4-
4 т — Ь = т — Ь = а — Ь. Практически
для вычисления разности двух классов а и b
достаточно взять класс а — b (и может быть,
к а — b прибавить т, если разность а—Ь
отрицательна и классы характеризуются наи-
меньшими неотрицательными вычетами).
Упражнения.
1. Найти классы, противоположные клас-
сам 3, 4, 5 по модулю 6.
2. Найти и проверить сложением разности:
а) 1 — 3 по модулю 5; б) 6 —4 подмодулю 10;
в) 0 — 3 по модулю 10. [а) 3, б) 2, в) 7.]
22
§ 4.	КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Пора оглянуться на пройденный нами путь.
Пользуясь сравнениями, мы ввели в рассмот-
рение множество, элементами которого явля-
ются классы вычетов по фиксированному мо-
дулю т. Мы их обозначили: О, 1, 2,...,т—1.
Это не числа в обычном смысле, а обозначе-
ния классов целых чисел, сравнимых (равно-
остаточных) по модулю т. Затем мы опре-
делили в этом множестве операции сложения,
умножения и операцию, обратную сложению,—
вычитание. И сейчас нам уже нет необходи-
мости все время помнить о смысле новых
символов, но и забывать о нем, конечно,
нельзя.
Каковы же свойства рассматриваемого нами
множества классов чисел по модулю т
и операций над ними?
1)	Это конечное множество, состоящее
из т элементов.
2)	Каковы бы ни были два элемента его
а и b существуют и единственны сумма аф
ф Ь и произведение а -Ь и принадлежат то-
му же множеству.
3)	Сложение и умножение обладают свой-
ствами коммутативности (переместительно-
сти): а ф b = b ф а, а-Ь = Ь а — и ассоциа-
тивности (сочетательности): (о ф b) ф с =
= а ф(b ф с), (а-Б)-с =а-(Ъ-с).
4)	Для любых двух элементов рассматри-
ваемого множества а и Ъ уравнение а ф- х—
~Ь имеет единственное решение, т. е. вы-
полнима и однозначна операция вычитания.
5)	Умножение по отношению к сложению
дистрибутивно (распределительно): a-(b +
ф с) = а -Ь ф- а-с.
Упражнение: доказать свойства 3 и 5.
Множества, обладающие такими свойст-
вами, как только что перечисленные нами
(1-е и 3-е свойства могут и не выполняться),
называются кольцами. Кольцами являются,
например: а) множество всех целых чисел
с обычными операциями сложения и умноже-
ния, б) множество всех четных целых чисел
с обычными суммой и произведением, в) мно-
жество всех рациональных чисел с обычными
суммой и произведением, г) множество всех
многочленов с рациональными коэффициен-
тами от одной переменной с алгебраическими
операциями сложения и умножения.
Наше множество (при фиксированном т)
также является кольцом, но, в отличие от
только что перечисленных, это кольцо с ко-
нечным числом элементов (при т = 2 в нем
всего 2 элемента), притом оно ассоциативно
и коммутативно.
Далее естественно возникает вопрос о вы-
полнимости во множестве классов вычетов
по данному модулю операции деления. Опре-
делим деление а на b как операцию, обрат-
ную умножению, т. е. частным от деления а
на b будем называть такой класс с, который
удовлетворяет равенству Ь-с^а.
Во всяком ли нашем множестве (при раз-
личных значениях т) операция деления вы-
полнима? Рассмотрение таблиц умножения
классов по модулям 5 и 6 приводит к сле-
дующим выводам. Во множестве {О, Л, 2, 3, 4}
(по модулю 5) деление всегда выполнимо (за
исключением деления на 0, которое и в нашей
новой арифметике невозможно) и однозначно.
Так, 4:3 = 3, 2:3 = 4, U: 2 =0. Совсем ина-
че обстоит дело, если т = 6. Во множестве
{б, Г, 2, 3, 4, 5} (по модулю 6) деление мо-
жет оказаться невыполнимым, например 3: 2^
но может оказаться и выполйимым, но неод-
нозначным, например: 4:2 имеет значения
2 и 5.
Легко сообразить, что деление в каждом
из наших множеств выполнимо и однозначно,
если модуль т — простое число. Этот вывод
следует из того, что в таблице произведений
по простому модулю в каждой строке, за
исключением нулевой, стоят все классы, без
повторений. При составном же модуле име-
ются строки с повторяющимися классами.
Любое ассоциативное и коммутатив-
ное кольцо, если в нем выполнима и одно-
значна операция деления {кроме деле-
ния на нулевой элемент), принято назы-
вать полем. Полем является, например,
множество всех рациональных чисел (с обыч-
ными операциями).
Упражнение. Показать, что .множество
всех чисел вида аф6рл2, где а и Ь — лю-
бые рациональные числа, является полем. Об-
разует ли поле множество чисел я ф 6 1^2,
где а и Ь какие угодно целые числа?
Очевидно, что любое из рассматриваемых
нами множеств классов вычетов при про-
стом т является полем.
Любое поле содержит элемент, называемый
единичным. Это такой элемент, при умноже-
нии на который каждого элемента поля по-
лучается тот же самый элемент. В наших
полях таким элементом является 1 (по дан-
ному простому модулю).
В любом поле для каждого, отличного от
нулевого, элемента имеется обратный ему
23
элемент, который при умножении на него
данного элемента дает единичный элемент.
В поле классов по модулю 5, например, об
ратны элементы 2 и 3, 3 и 2, 4 и 4, 1 и 1;
О обратного элемента не имеет.
Существование в поле для каждого, от-
личного от нулевого, элемента обратного ему
позволяет деление заменить умножением на
обратный элемент.
Упражнения.
1.	Найти частные:
а) 1:3 (mod 3), б) 1 : 4(mod 5), в) 3: 3 (mod 6),
г) 4;3(mod6), д) 1:7) (mod6). [а) 2, б) 4,
в) 1, 3, 5, г) не существует, д) 5.]
2.	Найти элементы, обратные: а) 2 (mod 5),
б) 2 (mod 6), в) 3 (mod 6), г) 4 (mod 6). [а) 3,
б), в), г) не существуют.]
3.	Привести пример поля, содержащего
только 2 элемента. (Рассмотреть множество
классов вычетов по модулю 2.)
4.	Показать, что множество всех целых
четных чисел не образует поля. Образует ли
поле множество всех целых чисел?
В алгебре верно утверждение: если ab = О,
то или а 0, и.,и 6 = 0 (не исключается, что
и а = 0 и 6=0). Верно ли это утверждение
в нашей арифметике классов вычетов?
Обратимся ко множеству классов вычетов
по модулю 6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Таблица про-
изведений для него дает нам примеры, убеж-
дающие в том, что произведение двух клас-
сов, каждый из которых отличен от 0, может
равняться 0. Так, мы имеем: 2-3 = 0, 3-4=0.
Принято называть эти элементы 2, 3, 4 де-
лителями 0. Значит, множество классов вы-
четов по модулю 6 имеет делители 0.
Упражнение: имеет ли делители 0 -мно-
жество классов вычетов по модулю 10?.
Найти их. [2, 5, 4, 6, 8].
Если обратиться к таблице произведений
классов по модулю 5, то мы обнаружим, что
нулевые элементы в ней содержатся лишь
в первой строке и в первом столбце. Значит,
это множество не имеет делителей нуля.
Можно доказать, что любое поле не имеет
делителей 0. Действительно, пусть а и 6—
элементы произвольного поля, дающие в про-
изведении 0 (й6 = 0) и а=£0. Умножим ра-
венство й6 = 0 по частям на элемент а ’,
обратный а (элемент, обратный а, принято
обозначать через а *; он существует, так
как a =f= 0). Получим последовательно а-6у
ХО 1 = 0-л *, 6-а-а~1 = 0, 6-1=0 и окон-
чательно 6 = 0. Следовательно, если а и 6 —
элементы поля и ab = 0, то либо а = 0,
либо 6 = 0, а может быть, и а = 0 и 6 = 0.
Применяя этот результат к множеству клас-
сов чисел по простому модулю, приходим
к выводу, что оно не имеет делителей нуля
Следствием отсутствия делителей 0 в лю-
бом поле является утверждение: любое (вер-
ное) равенство в произвольном поле можно
разделить почленно на обилии множитель ле-
вой и правой! частей, отличный от 0. В самом
деле, если ab = cb и 6=А0, то имеем ab —
(а — с)Ь = 0, а— с = 0 и а = с.
В частности, этим следствием можно вос-
пользоваться для нового доказательства воз-
можности сокращения членов сравнения по
простому модулю на общий множитель
(6-е свойство).
Упражнение: попытайтесь доказать, что
обе части сравнения (по составному модулю)
можно разделить на их общий множитель,
если этот множитель и модуль взаимно
просты.
§ 5. ПРИМЕНЕНИЯ ВЫЧЕТОВ К ВЫВОДУ ПРИЗНАКОВ
ДЕЛИМОСТИ И НАХОЖДЕНИЮ ОСТАТКОВ
Переходим к применениям вычетов. Они
многочисленны и разнообразны. В рамках
нашей статьи мы рассмотрим лишь некото-
рые, наиболее простые из них, и прежде
всего для нахождения остатков от деления
и вывода признаков делимости3.
Основой! этого применения может служить
5-е свойство сравнений.
Пусть натуральное число N имеет вид
7V--й0 10" + й, 10" Ч-...+ а„10° и 10" =
= rn (mod т), 10" * = r„ i (mod т), ... , 10 =
= г, (mod т), 10° = 1 (mod т), где гп, г„_1,...
..., Г]> г0 = 1 — наименьшие неотрицательные
или наименьшие по абсолютной величине
вычеты по модулю т. На основании указан-
ного свойства имеем N = ak)rn-\-airn i +
-|-... + й„г0 (mod/я), или, обозначив правую
часть этого сравнения через R
(R~ яог„ + а\гп 1 + ••• + ап\ri + ап 1)>
N = R (mod т).
Из получившегося равенства следует: а) при
делении N на т получается такой же оста-
ток, как и при делении R на т, б) N де-
лится на т тогда и только тогда, когда
R = 0 (mod т). Вместо R, разумеется, можно
3 Нахождение остатков от деления и вывод призна-
ков делимости можно изложить на «языке» классов
вычетов и на «языке» сравнений. Мы будем пользо
ваться и тем и другим способами.
24
взять любое число из класса R по моду-
лю т
Этот общий результат следует конкрети-
зировать:
1)	Возьмем т = 3. Имеем сравнения:
10 = 1 (mod 3),	102 = 1 (mod 3), . . . , 10я =
ssl(mod3),— и поэтому в данном случае
R = а0 4- О] + ... + ап. Следовательно, а) на-
туральное число N при делении на 3 дает
такой же остаток, какой получается при де-
лении «суммы цифр» этого числа на 3, б) чис-
ло делится на 3 тогда и только тогда,
когда «сумма цифр» его делится на 3.
2)	При т=9 рассуждения аналогичны.
3)	Пусть т=11. Тогда 10 = — 1 (mod 11),
102 s 1 (mod 11),	Ю3—— 1 (mod 11),	104 =
= 1 (mod 11) и т. д. R в данном случае рав-
няется разности между «суммой цифр», стоя-
щих на нечетных местах, и «суммой цифр»,
стоящих на четных местах (считая справа
налево). Для N = 4 735 058 /?=(8-|-3-(-4) —
— (5 4-57) = —2. Следовательно, данное
число на 11 не делится. Остаток от деления
равен 9 (—2 4- 11)-
В более сложных случаях записи и вычис-
ления удобно оформлять в три строчки: пер-
вая — числа а0, alt..., ап _ п ап, вторая —
г„, гп Гр 1 и третья — остатки от де-
ления произведений ak гп_к на т. Суммируя
числа третьей строчки, легко найдем иско-
мый остаток. Пусть, например, требуется
найти остаток от деления числа 4 854 673
на 7. Записи и вычисления будут в данном
случае такими:
4 8	5	4	6	7	3
15	4	6	2	3	1
4 5	6	3	5	0	3
44-54-64-34-64-3	=	5 (mod 7). Следова-
тельно, искомый остаток равен 5.
В связи с рассмотренными примерами при-
менения сравнений для вывода признаков
делимости представляется необходимым от-
метить, что каждый раз приходится нахо-
дить вычеты степеней 10 по некоторому фи-
ксированному модулю. Если начать с 10, то
вычет каждой последующей степени 10 будет
равен степени с тем же показателем выче-
та 10 (2-е свойство). Пусть, например, /п = 7.
Имеем: 10 = 3 (mod 7), 102 = З2 (mod 7), 103 =
= 33(mod7) и т. д. Практически здесь каж-
дый раз получающийся вычет приходится
умножать на 3 по модулю 7, и мы получаем
последовательность вычетов по этому мо-
дулю: 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6,.... Обра-
щает на себя внимание периодичность выче-
тов. Так и должно быть Ведь классов вы-
четов может быть лишь конечное число,
и поэтому через несколько шагов мы обяза-
тельно встретим вычет, который уже был.
Будут повторяться и следующие за ним вы-
четы, так как дело сводится к умножению
на один и тот же вычет. Возникающий здесь
вопрос о длине периода в последовательно-
сти вычетов мы не будем обсуждать.
4)	Разрабатываемую нами идею обоснова-
ния признаков делимости и вычисления остат-
ков можно несколько развить. Вернемся
с этой целью к делению на 11.
Пусть N — натуральное число. Запишем
его в системе счисления с основанием 100.
Роль «цифр» при этом будут играть дву-
значные числа. Если, например, N = 2 909 907,
то это будут числа 2, 90, 99, 7 и N = 2-10034-
4-90-ЮО2 4-99-100 4-7. Но 100 = 1 (mod 11),
1002 = 1 (mod 11), ЮО3 = 1 (mod 11) и поэтому
N = 2-1003 4- 90- ЮО2 4-99-100 4-7=2-]- 904-
4-99 4-7 (mod ll) = 0(mod 11). Следователь-
но, 2 909 907 делится на 11. Практически
можно поступать следующим образом. Дан-
ное число, например, 4 735629 разбиваем
справа налево на грани по две цифры в каж-
дой (в крайней левой грани может оказаться
и одна цифра). Находим сумму получившихся
двузначных чисел: 4 4-73 4-56 4-29= 162.
С получившимся числом 162 поступаем ана-
логично. Имеем 1 4- 62 = 63. Так как 63 =
s8(mod И), то остаток от деления 4 735 629
на 11 равен 8.
5)	Выведем этим же способом признак де-
лимости на 37. За основание системы счис-
ления в данном случае удобно взять 1000.
Роль «цифр», следовательно, будут играть
трехзначные числа. Если TV = 83 576 289, то
это будут числа 83, 576, 289 и 7V = 83- 100024-
4- 576-10004-289. Но 1000 s 1 (mod 37), 10002 =
= 1 (mod 37), 10003 = 1 (mod 37) и т. д. По-
этому
N = 83 4- 576 4- 289 (mod 37) = 23 (mod 37).
Следовательно, данное число не делится
на 37, получается остаток 23.
6)	На факультативных занятиях по допол-
нительным вопросам арифметики желательно
обосновать признаки делимости на а) 2 и 5,
б) 4 и 25, в) 8 и 125. Это может быть сде-
лано просто. В случае а) данное число сле-
дует записать по основанию 10, и так как 102
и все последующие степени 10 сравнимы с 0
по модулям 2 и 5, то R — число, выражаемое
последней цифрой данного числа. Поэтому
данное число делится на 2(5) в том и только
в том случае, если число, выражаемое по-
следней цифрой, делится на 2 (5). В случае б)
данное число следует записать в системе
25
i основами'- » ICO и провести рассужя* ,у.я,
аналогичные случаю а). В случае в) за осно-
вание удобно принять 1000.
Перейдем к упражнениям на вычисление
остатков от деления. Руководящей идеей
здесь может быть такая: каждый раз доста-
точно установить, в какой класс вычетов по
модулю, равному делителю, входит данное
число, и взять наименьший неотрицательный
вычет, характеризующий этот класс.
При этом следует пользоваться понятием
степени класса вычетов. Именно, если а —
некоторый класс вычетов по модулю т н п —
ратуральное число, то ап означает класс вы-
1 етов, которому принадлежит число ап. Ана-
огично можно ввести понятие кратного класса
1 ычетов и пользоваться им.
Пример ы.
1.	Найти остаток от целения числа З100
па 7.
Решение. Найдем классы вычетов по мо-
дулю 7, содержащие числа З2, З3, З4, З6.
Получаем: 2, 6, 4, 1. Поэтому З100 = (З6)16 х
X З4С 116-4 =4, и, следовательно, искомый
< статок равен 4.
2.	Найти остаток от деления числа 225
на 13.
Решение Нетрудно обнаружить, что по
модулю 13 212= 1, так как22 == 4, 26= (22)3=
= 12, 212=(26)2 = 1. Следовательно, 224 =
- 1, и поэтому 22Б = 224-2 € 1 • 2 =2, т. е.
искомый остаток равен 2.
3.	Найти остаток от деления на 3 числа
13’6 — 225-515.
Решение. Заменив основания степеней
содержащими их классами вычетов по моду-
лю 3, получаем I16 — 22Б-2,Б=1—2-2= 1 —
— 1=0, т. е остаток равен нулю (данное
число делится на 3).
У пражнения.
1.	Найти остаток от деления 142Б6 на 17.
[ 1416= Т, 14256 = (1416)16 = I.]
2.	Вычислить остаток от деления (116 +
+ 1717)-21 на 8 [l.j
3.	Найти остаток от деления на 1 числа 7У=
= 222БББ + 55 5222. [дг £ 5555 + 2222. Через каж-
дые 6 членов в последовательностях 21,22,
23, ... и 51, 52, 53, ... классы повторяются
и поэтому 5БББ = 53 = 6 и 2222 = 2° = 1, а 6+
+ 1 = 0. N делится на 7.]
4.	Доказать, что при любом неотрицатель-
ном целом п число 4П + 15л — 1 делится на 3.
[Тп + б • п — 1 ~ 0 -]
5.	Доказать, что при любом натуральном п
10" I 2
выражение ----5-----целое число. {Следует
О
воспользоваться признаком делимости на 3.|
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ К РЕШЕНИЮ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
Вначале следует рассмотреть две важные
теоремы теории сравнений. Первую из этих
теорем обычно называют малой теоремой
Ферма. Французский математик Пьер Фер-
ма (1601 —1655) установил: если р— простое
число и натуральное число а не делится на р,
то ар~1—1 делится на р. Например, 810—1
делится на 11. Доказательство этой теоремы,
данное самим Ферма, неизвестно. Первое
известное доказательство было дано немец-
ким математиком Лейбницем (1646—1716).
Позднее были опубликованы и иные доказа-
тельства.
Воспользуемся доказательством теоремы
Ферма, изложенным в интересной книге
Е. Б. Дынкина и В. А. Успенского «Матема-
тические беседы» (Гос. изд. техн.-теор. лит.,
М,—Л., 1952).
Рассмотрим, прежде всего, ранее построен-
ные нами графы умножения классов вычетов.
Обратим внимание на то, что если модуль,
по которому берутся вычеты, простой, то
граф умножения на любой класс (отличный
от 0) распадается на циклы одинаковой
длины (не считая нулевого цикла). (Это можно
строго обосновать, но мы ограничимся сде-
ланным нами наблюдением.) И если (при про-
стом р) длина каждого ненулевого цикла k,
а число их /г, то kn = р — 1.	_
Пусть модуль р — простое число jd а € а
(а + 0). Граф умножения классов 0, 1, 2,...
..., р— 1 по модулю р на класс а, как толь-
ко что было отмечено, распадается на нуле-
вой цикл и п циклов, каждый длиной k. Так
как д=1«, а-^а-а, а? *= а?  а,..., ak ~
= ак ~ 1 а, то ак содержится в том же цикле,
что и 1, и получается из нее умножением
k раз на а (черт. 5, k =» 6), т. е. совпадает
с 1: ак=1. Возведя получившееся равенство
почленно в п-ю степень, получим акп «= 1.
Но kn == р — 1 и поэтому ар^1= 1, т. е. все
числа класса ар~' при делении на р дают
в остатке 1, или иначе — 1 делится на р.
Л. Эйлер (1707—1783) доказал более об-
щее утверждение, частным случаем которого
является рассмотренная нами теорема Ферма.
Чтобы разобраться в теореме Эйлера, нужно
ввести в рассмотрение функцию Эйлера <р(/я)-
26
Принято через ср(т) обозначать число нату-
ральных чисел, не превосходящих т и взаимно
простых с т. Чтобы найти, например, ср (12),
выпишем все натуральные числа от 1 до 12
и вычеркнем числа, имеющие общие делите-
ли (отличные от 1) с числом 12. Остаются
числа: 1, 5, 7, 11; их 4, следовательно,
<Р(12) = 4.
Упражнения.
1. Найти: <р(3), ср (5), <р(10), ср (18), ср (30).
[2, 4, 4, 6, 8.]
2. Построить график функции ср(п) для
2<п< Ю.
Теорема Эйлера формулируется так; для
любого модуля т и любого натурального
числа а, взаимно простого с т, верно
сравнение а'?'-"" — 1 (mod т). Доказывать эту
теорему мы не будем4. Отметим только, что
при проведении факультативных занятий по
дополнительным вопросам арифметики уча-
щимся может быть предложена интересная
тема для реферата «Функция Эйлера, теоре-
мы Эйлера и Ферма и некоторые применения
их».
Теоремой Ферма, как и теоремой Эйлера,
удается пользоваться для нахождения остат-
ков от деления. Так, упражнения 1 и 2 (§ 5)
проще выполнить с помощью теоремы Ферма.
Упражнение: воспользоваться теоремой
Эйлера для нахождения остатка от деле-
ния 317259 на 15. |ср(15) =8; 259=32-8 + 3;
317259£225э (in0(j 15) _. g (mod 15); остаток ра-
вен 8.|
Вернемся к многократно использованной
нами выше аналогии между равенствами
и сравнениями. Мы хорошо знаем, что равен-
ства бывают тождествами и уравнениями.
Нельзя ли это различие распространить и на
сравнения?
Как и в случае равенств, следует разли-
чать тождественные сравнения и сравнения,
содержащие неизвестные. Сравнения первого
* С доказательством теоремы Эйлера рекомендуется
познакомиться по книге [1J. См. список литературы
в конце статьи.
вида либо вовсе не содержат букв, либо
удовлетворяются любыми целыми значениями
входящих в них букв. Таковы, например,
сравнения: 96 == 8 (mod 11), (а + b)2 ==a2(modb).
Сравнения второго вида содержат буквы
и удовлетворяются лишь при некоторых зна-
чениях их. Примером может служить х2 + 1 ==
= 0(mod 10).
Сравнение а0 хп + ах л"-1 + ... + а„_[ х +
an = 0(modm) (где а0, alt..., ап — целые чис-
ла) называется алгебраическим сравнением
n-й степени. В силу 5-го свойства непосред-
ственно видно: если число л0 удовлетворяет
этому сравнению, то и любое число х, срав-
нимое с х0 по модулю т, также удовлетво-
ряет ему. Это значит, что корни алгебраи-
ческого сравнения составляют классы выче-
тов по данному модулю. Поэтому решением
алгебраического сравнения по модулю т на-
зывается класс вычетов по этому модулю,
удовлетворяющих данному сравнению, а чис-
лом решений называется число таких классов.
Рассмотрим сравнение первой степени ах =
= 6(mod/n). Пусть а и т взаимно просты.
Если переменное х пробежит полную систему
вычетов по модулю т, то соответствующие
произведения ах, что нетрудно доказать,
образуют также полную систему вычетов по
этому модулю и, значит, среди них будет
одно и только одно сравнимое с Ь. В этом
случае наше сравнение имеет одно и только
одно решение. Возьмем, для примера, срав-
нение 2х = 3 (mod 5). Его можно записать
в виде такого равенства в арифметике классов
вычетов по модулю 5: 2-х = 3. Найдем про-
изведение 2-х при всевозможных значениях л:
2-0 = 0, 2-7 = 2, 2-2=4, 2-3 =Т, 2-4- 3-
Следовательно, класс 3 получается при х =
= 4, а это означает, что данное сравнение
имеет своим решением класс 4 по модулю 5.
Конечно, в данном случае решение сравнения
мы могли бы сразу же записать как частное
классов х = 3 : 2.
Как мы видим, решение сравнения ах =
= 6(modm) в рассматриваемом случае может
быть (при небольшом т) найдено способом
проб. Однако можно воспользоваться и тео-
ремой Эйлера. Имеем аУ <га> = 1 (mod т). Умно-
жением обеих частей на Ь получаем 6-a*(m)s
= 6(modm), или a (b • av <т) ~1) ~ b (mod т).
Тепеоь очевидно, что х = 6а* (т> ~1 (mod т).
Практически для небольших модулей срав-
нения могут решаться также способом пре-
образования коэффициентов. Допустимо за-
менять коэффициенты сравнения их вычета-
ми по данному модулю, прибавлять к ним
27
кратные модуля и пользоваться другими
свойствами сравнений.
Рассмотренный нами случай включает
в себя сравнения по простому модулю (так
как а не должно делиться на т). Значит,
сравнение ах = b (med т) по простому мо-
дулю всегда имеет в точности одно реше-
ние.
Мы установили, что сравнение первой сте-
пени ах = b (mod га) при а и т взаимно про-
стых (в частности, при т простом) имеет
одно решение — класс чисел х, для которых
это сравнение удовлетворяется. Но исход-
ное сравнение мы можем записать в виде
ах — Ь = О (mod т). Это значит, что исход-
ному сравнению удовлетворяют все числа х,
для которых ах — b делится на т, т. е.
ах _ h — ту (у — целое число). Поэтому за-
дача решения сравнения ах s b (mod т) эк-
вивалентна задаче решения в целых числах
неопределенного уравнения ах — 6 = ту, или
ах — ту = Ь. И мы можем полученный нами
основной результат, относящийся к сравне-
ниям первой степени, перенести на неопре-
деленное уравнение ах—ту = Ь. Сделав
это, мы получаем: при а и т взаимно про-
стых уравнение ах — ту — Ь может быть
решено в целых числах, и если (х0, у0) —
какое-нибудь решение, то все решения вы-
ражаются формулами х = х04- tnk, у = у0 +
-yak, где k — любое целое число. Вторая
часть этого утверждения становится очевид-
ной, если учесть, что все значения х обра-
зуют класс х по модулю т, а подстановка
х и у в уравнение приводит к тождеству.
Вернемся к сравнению ах = 6 (mod т).
Пусть теперь (a, га) = с!^>1, т. е. НОД а
и т больше 1. Тогда открываются две воз-
можности: 1) b не делится на d и 2) b де-
лится на d.
В первом случае сравнение решений не
имеет, так как общий делитель одной части
(равнения и модуля должен быть также де-
лителем второй части. Действительно, в этом
случае a = axd. т= nixd и ах —b-у nit,
или a{dx = b у mxdt, т. е. b должно делить-
ся на d.
Во втором случае имеем: а = axd, b — bxd
л m — mxd, — поэтому по 7-му свойству по-
лучаем сравнение ахх ^(med тх) и (ах,
mI)=l. Новое сравнение, равносильное ис-
ходному, имеет единственное решение, так
как (ах, тх) = 1, но это будет класс выче-
тов по модулю тх. Чтобы найти классы вы-
четов по исходному модулю, удовлетворяю-
щие исходному сравнению, поступим так.
Пусть решение сравнения ахх = ^(modтх)
есть X] по модулю тх. Это все числа вида
X] -|- nixz, где z — любое целое число. Оче-
видно, числа этого класса х„ хх 4- тх, хх 4-
4- 2тъ ..., X] (d — 1) тх будут все разных
классов по модулю т, а дальше пойдут по-
вторения:	хх dmx = х0 4- т € x^mod т),
хх + {d 4- 1)«! = хх-ут 4- т1=х1-У rajmod т)
и т. д. Это значит, что один класс вычетов
по модулю тх распадается на d классов по
модулю т. Следовательно, в данном случае
по исходному модулю т сравнение имеет d
решений хх, хх-у т„ .... хх 4- (d — 1) тх.
Пример. Возьмем сравнение 15х = 35
(mod 55). Разделив обе части и модуль
на 5, получаем 3x = 7(mod 11). Это вспомо-
гательное сравнение имеет решение 6 (mod 11),
и, следовательно, исходное сравнение имеет
5 решений: 6, 17, 28, 39, 50 по модулю 55.
Только что полученные результаты не-
трудно переформулировать для неопреде-
ленного уравнения.
Объединение всего установленного нами по
решениям неопределенного уравнения приво-
дит к следук щему выводу: пусть в уравне-
нии ах — ту — Ь, (a, m) = d. Тогда, если b
делится на d, то данное уравнение имеет
бесконечно много целых решений и все они
получаются из какого-либо одного (х0, у0)
по формулам х = х04-Л -^, y = y0+k~.
Если же b не делится на d, то данное урав-
нение целых решений не имеет.
Пример. Найдем решения уравнения
ЮОх — 84у = 68. Здесь (100,84) = 4 и 4/68
(4 делитель 68). Исходное сравнение ЮОх =
ее 68 (mod 84) после упрощений переходит
в сравнение 25х — 17 (mod 21), которое можно
переписать так: 4х = 17 (mod 21). Решение
получившегося сравнения, как нетрудно со-
образить, есть 20, и поэтому х0 = 20. Из
соотношения 100-20 — 84у0 = 68 или 25-20 —
— 21у0 = 17 находим у0=23 Следовательно,
данное уравнение имеет решения, выражае-
мые формулами х = 20 4- 21 k, у = 23 4~25Л,
где k — любое целое число.
Дополнительные упражнения.
1.	Верны ли сравнения: 30 = 15 (mod 5) и по-
лучающееся из него делением по частям на 5
6 = 3(mod5). Дать объяснение, можно ли
члены и модуль сравнения 30= 15 (mod 5)
разделить на 5.
2.	Вывести признаки делимости на г — 1
и г 4- 1 числа 7V, записанного по основанию
системы счисления г:
N = аагп + ахгп~1 4- •   + а„ хг 4- ап.
3.	Вывести признак делимости числа N
в десятичной системе счисления на числа
28
вида 10m 4- 1 и их делителей. (Указание:
данное число представить в виде 7V =
= /Zj 10'" 4- /z2 = /z1(10m + 1) -f- /г2 — /Zj).
4.	Проиллюстрировать примерами свойство
функции Эйлера (/zr/z2) = ? (/z,) • (zz2).
5.	Проиллюстрировать примерами формулу
для вычисления <р(т) = т (1 — ^-)(1 —
...(1 — где А- А- •••> Рп~все различ-
ные между собой простые делители числа т.
6.	Найти остаток от деления на 7 числа
(11 -18 2322 13 -19). [6.]
7,	Найти остаток от деления 15325—1
на 9. [4.J
8.	Найти последние две цифры числа
2100. [76.|
9.	Решить сравнения: a) 5xs6(mod7),
б) Зх - 1 (mod 5), в) Зх = 1 (mod 13), г) 6х =
= 5 (mod 9), д) 8х = 3 (mod_14), е) Зх =
= 5 (mod 11). fa) 4, б) 2, в) 9, г) и д) реше-
ний нет, е) 9.]
10.	Найти решения сравнения Wx = 15
(mod 35). [5, 12, 19, 26, 33 по модулю 35.]
11	Путем подстановки полной системы
вычетов найти решения сравнений: а) 5х2—
- 15х + 22 ss 0 (mod 3), б) х2 + 2х 4- 2 = 0
(mod 5), в) х2 — 2^0 (mod 5). |а)	1, 2;
б) I; 2; в) 3.J
12.	Решить в целых числах уравнения:
а) Зх 4- 4у = 13, б) 8х — 13у = 63, в) 39х —
— 22у = 10. fa) х = 3 + 4t, у = 1 — 3/; б) х =
= 3 4- 13/, v = — 3-J-8/; в) х = 20 4- 22/; у —
= 35 4-39/.]
13.	Для перевозки зерна имеются мешки,
вмещающие 60 кг и 80 кг. Сколько нужно
тех и других мешков для перевозки 440 кг
зерна? [х=2—4/, у = 4-|-3/, решения за-
дачи получим при / = 0 и / = —1, 2 и 4,
6 и l.j
14.	Сколько билетов по 30 коп. и по 50 коп.
можно купить на 14 р. 90 к.? [х = 3 —5/,
у = 28 + 3/, для / нужно взять значения: 0,
-1, -2, .... -9.]'
15.	Доказать, что для любого простого
числа р число N = (р— 1)! 4- 1 делится на
р (теорема Вильсона). [Можно рассмотреть
произведение классов вычетов по модулю р
1 - 2-3-^... (р — 3) (р — 2)-(/> —_1). Докажите,
чти 2-3- ... (р — 3)-(р — 2) = 1.]
16.	Сколько целых точек (с целыми коор-
динатами хну) лежат на прямой 8х — 13у 4-
4-6 = U между точками с абсциссами — 100
и 150? (19 точек.]
17.	Сколько целых точек лежат на кон-
туре треугольника с вершинами: (2,1), (20,7),
(8,15)? (12].
18.	Привести пример прямой линии (напи-
сать ее уравнение), не проходящей ни через
одну целую точку. [Следует составить не-
определенное уравнение вида ах 4- by =. с,
не имеющее целых решений].
В заключение очень кратко рассмотрим
некоторые вопросы методики факультатив-
ных занятий по дополнительным вопросам
арифметики.
Материал для таких занятий следует ото-
брать ограниченный и целеустремленный.
Возможны два основных варианта. Первый
из них, более традиционный, в центре вни-
мания может иметь решение неопределенных
уравнений. Сравнения здесь будут играть
вспомогательную роль. Другой, более мо-
дернистский, вариант может заключаться
в более раннем введении «замечательных
арифметик», сначала для отдельных кон-
кретных модулей, и последующем переходе
от них к полю классов чисел по данному
модулю. В отношении неопределенных урав-
нений и сравнений в этом варианте можно
ограничиться случаем простого модуля. Зато
второй вариант может включать в себя ин-
дексы (аналог логарифмов).
Литература
1.	А. Я. X и н ч и н, Элементы теории чисел. Энцик-
лопедия элементарной математики, книга 1, Гостехиз-
дат, М.—Л., 1951.
2.	В. Г. Болтянский и Б. А. Кордемский,
Необыкновенная арифметика. Детская энциклопедия,
т. 3, М., 1959.
3.	Е. Б. Д ы н к и н, В А Успенский, Матема-
тические беседы, Гостехиздат, М.—Л., 1952.
4.	В. У. Грибанов, П И. Титов, Сборник
упражнений по теории чисел, изд. «Просвещение»,
М., 1964.
5.	А. А. Б у х ш т а б, Теория чисел, изд. «Просвеще-
ние», М., 1966.
6	Ш. К. Михелович, Теория чисел, изд «Выс-
шая школа», М., 1967.
7	И. В. Арнольд, Теория чисел, Учпедгиз, М.,
1939.




М ЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
Из рукописи пробного учебника
«Математика» для V класса 1 * *
В настоящей статье приводится несколько
параграфов, относящихся к разделу об ум-
ножении дробных чисел, поскольку изложе-
ние этого раздела отличается от традици-
онного.
Авторы полагают, что используемое здесь
определение произведения обыкновенных дро-
бей вполне доступно детям, а объем изло-
жения при таком подходе значительно умень-
шается. После выработки навыка в вычисле-
нии произведения дробей показывается прак-
тическое значение этого определения: все
задачи, решаемые умножением во множестве
натуральных чисел, решаются тем же дей-
ствием и во множестве положительных дроб-
ных чисел
§ 38. УМНОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДРОБНЫХ
ЧИСЕЛ
1. Изучая умножение положительных де-
сятичных дробей, мы пользовались таким оп-
ределением: произведением двух дробей
называется дробь, у которой числитель
равен произведению числителей, а зна-
менатель — произведению знаменателей
данных дробей. Этим определением поль-
зуются и при умножении положительных
обыкновенных дробей.
Примеры:
.23______2-3 _ 6
5’7 “ 5.7“ 35 ;
о 7 3	7-3	7	7
12 20 — 12-20 ~ 4-20	80'
1 Учебник подготовлен авторским коллективом в со-
ставе Н. А. Принцева, Л. Н. Принцевой,
М. И. Ягодовского.
7*3
В этом примере дробь сократили на 3,
а затем вычислили окончательный результат.
2 3 10 __ 2-3-10	2-2 = 4
9 ’ 5 ’ 3 ~ 9-5-3 °" 9 “ 9 ’
,,	, 2-3-10
Числитель и знаменатель дроби у- - со-
держат множитель 3, на этот множитель
можно сократить дробь. Множители 10 и 5
имеют общий делитель 5, следовательно,
дробь можно сократить на 5.
Итак, чтобы умножить дроби, надо про-
изведение их числителей разделить на
произведение их знаменателей.
В общем виде произведение двух дробей
можно записать так:
а Ь   ab
т п	тп ’
2. Чтобы умножить натуральное число на
дробь (или дробь на натуральное число),
можно использовать то же определение, что
и для умножения дроби на дробь.
Для этого достаточно записать натураль-
ное число в виде дроби со знаменателем
единица, а затем выполнить умножение.
Примеры:
п 9 3	2 3	2-3	. 1
5	1 ' 5 — 5 “ 1 5 ’
ох 5 in 5	1°	5-10	5-5	„ 1
Рекомендуется не записывать натуральное
число в виде дроби, а мысленно представить
его в таком виде и выполнить умножение:
2._3	2_3=1_1_	* .ю=5-™	8-L
5	5	5	6	6	3
Из этой записи следует такой вывод: что-
бы умножить натуральное число на дробь
30
или дробь на натуральное число, доста-
точно умножить числитель на натуральное
число и полученное произведение разде-
лить на знаменатель.
Это правило можно записать в виде фор-
мул:
а	ап	а	ап
~'п	ь~=	V	ь~-
Все законы умножения остаются справедли-
выми и для произведения дробных чисел:
a	b	b	а	_	a	b с	_	а	/ b	с	\ .
п	т	т	п	’	п	т	’ р	п	\ т '	р	/'
(а	b	\	с	_ а с	b	с
п	' т	)'	р	п	' р	'	т	' р '
Задание 34
1. Чему равны числовые значения выраже-
ний:
п 3 7	7 3
Ч 14 * 10 и 10 ’ 14
2) 244 к 2.(44)?
Л । 3 \ 2	.2,32^
3) (4+ -gj-y и 4--у + -у-у?
2. Как умножить одну обыкновенную дробь
на другую? Как вычислить произведение
обыкновенной дроби и натурального числа?
Привести примеры.
Упражнения
279. Вычислить произведения:
144=2) 4-4=3> 44= 4> 44=
5> 44= 6) 44= 7> 4-2= 8) 4-4:
9)4‘5= Ю) -jL.8; 11) А.1; 12) ^.0; 13) 5х
। а\	у 2 . 1 г\	9	5 в	। pv 3	9
X 8 . 14)	7- 15 , 15) g ,	16)	-g	yj-;
17)44=18) 44= 19> 43= 2°) 4-6=
21) -у-8; 22)	23) Ю--|-; 24) 12--^-;
2S) ЗО-ет-
280. Вычислить:
1) — .-L- 2) —• 3) — - §_• 41 Z. V-
Ч 25 9 ’	15 32 ’ °' 16 15 9 ’ V 10Х
Х 20‘153 = 5) Тоб'11; 6) 24'13= 7) liT’35’
9>4'21: 10) 4-Ю; 11) 4 16;
191 I7 ЯД.- 141 22 21 . 1	17 16 . .11
12) 1000'84, 3) 35 ' 44 ’ 14) 100 ‘ 51 ’ 15) 24 Х
v_L А 21- 1R1 15 8 14 39
Х 35 ’ 9 ’ 40 ’	49 " 13 ’ 15 " 64 ’
§ 39. ВЫРАЖЕНИЕ СМЕШАННОГО ЧИСЛА
НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБЬЮ. УМНОЖЕНИЕ СМЕШАННЫХ
ЧИСЕЛ
1. Если надо 3-у выразить в виде непра-
вильной дроби, то сначала выразим нату-
ральное число 3 в седьмых долях, их будет
7-3, т. е. 21 такая доля, да в смешанном
числе содержится еще 4 седьмых, а поэтому
всего будет 25 седьмых;
о 4	7-3 4-4	25
J 7 ~	7	= 7 '
Чтобы, смешанное число выразить не-
правильной дробью, надо знаменатель
умножить на натуральное число и к
произведению прибавить числитель; ре-
зультат будет числителем неправиль-
ной дроби, а знаменателем ее будет
знаменатель дроби смешанного числа.
Примеры:
П41- 411 -I-2 - 46 •
Ч * н — и — н ’
п,о 6	8-6 4-5	53
2) о у =	§	= -у.
Желательно вычисления выполнять устно и
сразу записывать окончательный результат.
1	49
Например, 6-у = -у.
2. Чтобы умножить смешанные числа,
достаточно выразить их неправильными
дробями, а затем выполнить умноже-
ние этих дробей.
Примеры:
1) 4 2 2*	® п-ь
™ п 3 49	38-49	19-7	133 _ 8
° 7 ' 50 °" 7-50	25 = 25 —й 25 =
3) 2 -А- - 6_= )— =14 2
3) 2 11 Ь И 11	14 11 •
Используя распределительный закон умно-
жения, можно выполнять умножение смешан-
ного и натурального чисел иначе:
2-п-6-(2 + 4)-6-2-6 + 4.6 =
-12 + ТГ“12 + 2-П—"-Л-
Запись вычисления стедует упростить, умно-
жая устно целую и дробную части смешан-
ного числа на натуральное число:
2 — .6 — 12 — = 14 ~
z 11 lz 11 14 11 •
Чтобы умножить смешанное число на
натуральное число, достаточно умножить
отдельно целую часть и дробь смешанно-
31
го числа на натуральное число и полу-
ченные произведения сложить.
Задание 35
Вычислить:
1) З-рф; 2)5-f-.*;3) 2-р; 4) АХ
Х24: 5) 2-1.А.6; 6) -1_.2-T.124.
Упражнения
281. Вычислить:
D24-4; 2)4-34-; 3) 204-1-^;
4)104-94; 5) 154-104;6)4А.54х
Х-А; 7) 84.5-l-lA; 8) 5 2-2-; 9) 9 х
хз-А 10) п-7-г; п) 16’84: 12) 24х
282. Выполнить действия:
о ~8+ ,зт'4:2) «т''6-!'4'’.
3) 74'5+б|.|2; 4) 9^-12-15^-4;
5) 224.5-171.6+9.И; 6)	13^-12+
+ -,V>3; ?)	16)-5;8) (4+1 ^)х
X9;9)(2j-I ;|)-25; 10)(|1A_82)x
X 16.
§ 40 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
И КВАДРАТА
Задачи, которые решались действием ум-
ножения, когда данные выражались нату-
ральными числами, решаются тем же дейст-
вием, когда данные выражены обыкновенными
дробями.
В этом и следук щем параграфах мы рас-
смотрим несколько таких задач.
Задача о вычислении площади
прямоугольника
Одну из сторон прямоугольника называют
основанием. Другую сторону, образующую
с основанием прямой угол, называют высо-
той прямоугольника (рис. 34)
Площадь прямоугольника S вычисляется
по формуле
S = ah,
где основание а и высота А выражены в од-
них и тех же единицах длины.
Площадь квадрата S вычисляется по
формуле
5 = а\
где а - длина стороны квадрата (рис. 35).
Покажем, что эти формулы можно исполь-
зовать и для вычисления плсщади такого
прямоугольника, у которого основание (дли-
на) и высота (ширина) выражены дробными
числами.
Решим задачу: «Вычислить плсщадг пря-
2	.	4
моугольника, если а = -у- лг, п — — м»
J	1	О	О*
Вычисление по формуле дает такой ре-
зультат:
2	4	8
-3—Г = Тб Кв' М
На рисунке 36 изображен (в уменьшенном
виде) квадрат, площадь которого 1 кв. м,
внутри его заштрихованный прямоугольник
2	4
со сторонами м и — м. Этот квадрат
О	О
и прямоугольник разделены на прямоуголь-
1	1D
ники со сторонами -=- м и — м. В квадра-
О	О
те содержится 15 таких прямоугольников.
Следовательно, площадь каждого из них
равна 4* кв. м. В заштрихованном прямо-
угольнике содержится 8 таких прямоуголь-
8
ников, а потому его площадь равна м.
Подобные рассуждения показывают, что
формулы для вычисления площадей квад-
рата и прямоугольника остаются справед-
ливыми и для дробных чисел.
Задание 36
1. Вычислить площадь прямоугольника,
5	2
если его основание 5-^ дм, а высота 2— дм.
О	о
32
2. На сколько больше площадь квадрата
„ . 1 -.
со стороной 4 — дм, чем площадь прямо-
угольника, указанного в предыдущей задаче?
У пражнения
283, В таблице указаны значения основа-
ния и высоты пяти прямоугольников. Вычис-
лить площадь S каждого из них.
№ прямоуголь- ников	1	2	3	4	5
Основание а	со |оо со	У 12 м	. 3 12 5 м	о 9 8 20 м	8,5 м
Высота h	4 дм	дм	15з"л	1 12-^ дм	7,03 м
Длина
284. Вычислить произведения:
1) 14-4; 2) 5-^-8; 3) 12 -Z--12;
4)10^-15; 5) 41 А. 12; 6)35^-36;
7)28^.70; 8)22^.75.
285. Выполнить действия:
nAj.lL о\ ill 4- 8 Л
4 6 "г 14 18*	12	21 32’
Рис. 37
Если длина, ширина и высота прямоуголь-
ного параллелепипеда измерены одной и той
же единицей длины и выражены натуральны-
ми числами, то для вычисления его объема
R 20 - 1 о 3	- 3	5
°’ 81 ’° 16	20	d 20 ’ 13’
„ . _9_ 35	5 _	1	65
4 10 ' 36 ' 7	6 15 ’ 69’
286. Куплено 5 м сукна по 7 -L руб. за 1 м
з
и 9 м по 15 -у руб. за 1 м. Сколько стоит
вся покупка?
§ 41. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И КУБА
Такие предметы, как коробки, ящик, пенал,
кирпич и т. п., имеют форму прямоугольного
параллелепипеда (рис. 37). Прямоугольные
параллелепипеды отличаются друг от друга
длинами ребер.
Если все ребра равны, то такой прямо-
угольный параллелепипед называют кубом.
Прямоугольный параллелепипед ограничен
шестью прямоугольниками. Они называются
гранями. Две противоположные грани назы-
ваются основаниями, остальные четыре — бо-
ковыми гранями; боковое ребро называют вы-
сотой прямоугольного параллелепипеда.
достаточно перемно-
жить эти числа.
Произведение выра-
жает число кубов,
на которые можно
разбить параллеле-
пипед. Объем каж-
дого куба равен
1 куб. единице. На
рисунке 38 изобра-
жен (в уменьшен-
ном виде) прямо-
угольный параллеле-
пипед, у которого
длины ребер равны
3 дм, 2 дм и 4 дм.
Его можно разбить
на 24 куба, ребро
каждого из которых
равно 1 дм, а объем
равен 1 куб. дм. Сле-
довательно, объем
прямоугольного па-
раллелепипеда ра-
вен:
3-2-4 = 24 куб. дм.
Остается ли указан-
ное правило верным
для таких прямо-
угольных параллеле-
пипедов, ребра которых
ми числами?
выражаются дробны-
2 Математика в школе № 5
33
Чтобы ответить на этот вопрос, решим
задачу: «Вычислить объем прямоугольного
параллелепипеда, если его ребра равны
3	2	1
-g- м, -у м и -4- м».
Такой параллелепипед изображен (в умень-
шенном виде) на рисунке 39 вверху, он раз-
бит на 6 параллелепипедов, ребра которых
равны м, -у- м и м. Один из них
изображен отдельно. Чтобы определить объем
каждого из этих параллелепипедов, разобьем
куб с ребром в 1 м на такие параллеле-
пипеды. На рисунке 39 внизу изображен
в уменьшенном виде этот куб. Он содержит
60 таких параллелепипедов, следовательно,
объем каждого из них равен куб. м.
Но в параллелепипеде, о котором говорится
в задаче, содержится 6 таких параллелепи-
педов, а поэтому его объем равен:
1 „ 1
60	— 10 кУб- м-
Этот результат можно получить посредством
умножения числовых значений длин его ребер.’
3 2 1	3-2-1	1	, „
"5" ‘ 3 * 4 = 5-3-4 = 10 Куб' М'
Отсюда следует, что для вычисления объема
параллелепипеда, у которого длины ребер
выражаются дробными числами, можно поль-
зоваться прежним правилом.
Чтобы вычислить объем прямоугольного
параллелепипеда или куба, надо измерить
или выразить одной и той же единицей
длину, ширину и высоту, а затем пере-
множить их числовые значения. Результат
умножения будет выражать объем в соот-
ветствующих кубических единицах. Если
длины ребер прямоугольного параллелепи-
педа обозначить буквами а, b и с, а его
объем буквой V, то предыдущее правило
можно записать в виде формулы
V = аЬс.
Произведение аЬ равно площади основа-
ния S, а поэтому формулу можно записать
иначе:
V = Sc.
Объем прямоугольного параллелепи-
педа равен произведению площади его
основания на высоту.
Если длину ребра куба обозначить бук-
вой а, то его объем выражается формулой
1/ = а3.
Задание 37
1.	Вычислить объем куба, ребро которого
о 1
равно 2-5- м.
2.	Вычислить объем прямоугольного парал-
лелепипеда, если его измерения равны
1 с ,2
3 м, 5 м и 1 -тг м.
о	3
3.	Какие другие размеры могут иметь па-
раллелепипеды того же объема, что и парал-
лелепипед в предыдущей задаче?
Упражнения
287. В таблице указаны размеры пяти пря-
моугольных параллелепипедов. Вычислить
объем каждого из них.
№ паралле- лепипеда	1	2	3	4	5
Ребро а	1 8-у см	5-у дм	4 2O5 Л	5 lO-g- км	3 30~г см о
Ребро Ь	15 см	3 If дм	21-4 м	40 км	1 4-у см
Ребро с	3 5 сМ	1 7у дм	9 16 м	4 125 км	2 мм
288. Вычислить:
1)т-7 + т-8; 2’(тг + т
3>4-12+-5-8;
’	4	. 3 /. 3	17\
4) 15 7 —4 8 -^1 7	18J,
5) "35 '5 4*
34
6)(40-^-29^).28-2б4;
7)^'6—И"7;
8>(3т+1-й>)-14 + 6#:
9) 2^.26 + 74'7;
10) (si-s4). (и-!—io4).i-i-.
§ 42. НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ЧИСЛА
Рассмотрим две задачи на нахождение
дроби числа.
Задача 1. В школе 1225 учащихся.
Из них составляют девочки. Сколько де-
вочек учится в школе?
17
Для решения задачи надо найти от 1225.
Решим задачу, используя определение дроби:
4 от 1225 составляет 1;; = 35;
оЭ	оэ
17
от 1225 составит в 17 раз больше, т. е.
35-17 = 595.
Этот же результат получится, если 1225
17
умножить на —:
>994 17	1225-17	245-17
’ 35 =--35----=	= 35 -17 = 595.
Задача 2. Средняя скорость поезда
48 -до- км в час. Какое расстояние пройдет
2
поезд за -у часа?
Решение. За -1 часа поезд пройдет
в 3 раза меньше, чем за 1 час, т. е. 16 км.
2
За у часа он пройдет в 2 раза больше,
т. е. 1б4--2 = 324- км.
Этот же результат мы получим, если
48 уу умножим на
4r_L	2 :	489-2
10	3	10-3
163 „о 3
— = 32— км.
Итак, задачу на нахождение дроби числа
проще решать действием умножения: чтобы
найти дробь числа, достаточно это
число умножить на данную дробь.
Задание 38
1.	Сколько минут составляют -2у часа?
Решить задачу двумя способами.
2.	Длина стола 180 см, а ширина состав-
7
ляет -д- длины. Какова ширина стола? Каким
действием можно решить задачу?
О О	4	3
3.	Вычислить от уу.
4.	Скорость самолета 720 км/ч. Сколько
3	11
он пролетает за -у- часа; за часа; за
1 1	а
1 -т- часа?
4
Упражнения
289. Найти
1) -1- от 9:	2) "Г от 121 3) 4 от 42;
т	О	о
4) 4" от 25; 5) от 21; 6) -|- от 24;
7) от 48; 8) от 30; 9) от -|-;
10) др от 12’ V от ТУ’ 12) То от 'ТУ ’
13) 4 от 1А; 14) ±от 2±;
15)4 от 4 А; 16) 4г от 5 А-.
290.	Длина Волги 3700 км, а длина Дуная
7
составляет — длины Волги. Вычислить дли-
ну Дуная (результат округлить до сотен
километров).
291.	Норма высева озимой пшеницы на 1 га
составляет 2 -у ц, а озимой ржи----- это-
го количества. Нужно засеять пшеницей
125 га и рожью 215 га. Сколько потребуется
ржи и пшеницы?
292.	Вычислить:
1)5 4-6+12 4'9;
2>474-7У6 + 3У:
3> 824 + 3т1'9-6^-ч
4) 24 4+ 5 4'6-
293.	Средняя скорость мотоциклиста соста-
вила 78 км/ч. Какое расстояние он проехал
3	1 1	о 5	1
за -у часа; за 1-у часа; за 2-у часа?
294.	Расстояние между двумя городами
равно 353-у км. Из них выходят одновре-
менно навстречу друг другу два поезда.
Средняя скорость одного поезда составляет
1	3
58-у км/ч, а другого —60-у км!ч. Каково
35
будет расстояние между поездами через
1 -д часа?
295.	Из двух автостанций навстречу друг
другу выехали два легковых автомобиля:
первый шел со скоростью 72 км/ч, а вто-
з
рой — 60 км/ч. Известно, что первый
,	3
автомобиль отправился на часа раньше,
чем второй, и что они встретились через
4 -у- часа после выезда первого автомобиля.
Чему равно расстояние между автостан-
циями?
296.	При укладке пути узкоколейки про-
тяженностью 12 -i- км в 1-й день сделано
3	2
25 работы, а во 2-й день —ц- остатка.
Сколько километров пути осталось уложить?
297.	Два поезда выходят одновременно
навстречу друг другу с двух станций. Пер-
вый поезд может пройти все расстояние
за 40 мин., а второй за 25 мин. На какую
часть расстояния между станциями сблизятся
поезда за 3 мин., за 5 мин.?
298.	КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Вариант 1
1) Моток электропровода длиной 60 м
разрезали на 3 части. Длина первой части
составила всего провода, длина второй
з
части остатка. Какова длина третьей
части?
3) Решить уравнение: — 2-~--х = 1 -g- .
Вариант 2
1)	Участок площадью 72 га вспахали
за 3 дня. В первый день вспахано — поля,
5
во второй—14" остатка. Сколько гектаров
вспахали в третий день?
2)	+
5	5
3)	Решить уравнение: Jt-f-3-g- = — 4
н. м. шапочников Комбинированные (круговые)
(г. Одесса)
упражнения на уроках математики
В настоящее время трудно встретить такой
педагогический печатный орган, в котором не
выдвигались бы на обсуждение вопросы, от-
носящиеся к проблеме повышения эффектив-
ности методов преподавания. Основное вни-
мание при этом чаще сосредоточивается на
методике сообщения учащимся новых знаний.
Вопросы же, относящиеся к методике прове-
дения уроков — упражнений, закреплений,—
не подвергаются такому же широкому обсуж-
дению, хотя от правильного их решения во
многом зависит возможность повышения
уровня знаний учащихся по математике.
В данной статье дается описание опыта
применения комбинированных круговых
упражнений на уроках математики в V—
VIII классах.
После повторения действий с целыми чис-
лами, зависимости между компонентами дей-
ствий учитель предлагает учащимся решить
несколько занумерованных примеров (урав-
нений) следующего вида:
№ 1. 2000: (2 х + 510) = 2;
№ 2. 601 — (3 х + 1) • 60 = 1;
№ 3. [(8 х— 12) - 15 + 20]: 8 = 10;
№4. (49 х + 11) • 5 — 293 = 7;
№ 5. (5 х + 70) : 120 + 2 = 3;
№ 6. (6 х — 35) -35 = 245.
Учитель объясняет ученикам, что все эти
упражнения связаны между собой так, что
значение х любого из этих упражнений есть
число, стоящее в правой части одного из
предложенных уравнений. Так, решая при-
мер № 1, находим х = 245, т. е. правую часть
в № 6.
Решая упражнение № 6, ученик находит
х = 7, это число находится в правой части
уравнения № 4. Продолжая решение данных
уравнений, ученик от № 4 перейдет к № 2, за-
тем к Ks 5, от № 5 к № 3 и наконец к № 1.
36
После того как ученик решит все примеры,
он записывает последовательность решений,
указывая порядковые номера в соответствую-
щем порядке: № 1; № 6; № 4; № 2; № 5;
№ 3; № 1.
Для того чтобы обеспечить самостоятель-
ность в работе учащихся во время контроль-
ной работы, состоящей из 4—6 примеров, учи-
тель может получить 4—6 различных вариан-
тов выполнения этой контрольной следующим
образом: ученики, пишущие первый вариант,
начинают решение с примера № 1 до послед-
него в такой последовательности, как указано
выше. Ученики, пишущие второй вариант, на-
чинают решение с примера № 2. Ученики, пи-
шущие третий вариант, начинают решение с
примера № 3 и т. д. Тогда в решениях распо-
ложение порядковых номеров примеров будет
различное. Таким образом учитель составля-
ет только один вариант работы.
В чем же заключается преимущество, по-
лезность и эффективность круговых комбини-
рованных упражнений?
а)	Конструкция таких упражнений обеспе-
чивает самоконтроль учащихся. В случае не-
правильного решения ученик не найдет отве-
та в последующих упражнениях и, конечно,
будет искать свою ошибку.
б)	Получив работы учащихся, учитель про-
сматривает расстановку порядковых номеров
и сразу же определяет верность решения, за-
тем уж обращает внимание на другие сторо-
ны выполнения работы.
в) Пользуясь системой круговых комбини-
рованных упражнений, учитель имеет воз-
можность чаще проводить кратковременные
контрольные работы, тем самым тщательнее
следить за вычислительной техникой, за на-
выками в тождественных преобразованиях, в
решении уравнений, чаще включать повтори-
тельные упражнения.
г) Наша практика показала, что учащиеся
с интересом относились к такой форме кон-
трольных работ.
Ниже приводятся примеры комбинирован-
ных упражнений по некоторым разделам про-
граммного материала для V—VIII классов.
V—V! КЛАССЫ
Упражнения на обыкновенные дроби
М, 1.(8-2- + л):5+124-4Д--1О;
№2- '4— <Э+4>Ч— +
№ 3. (20 - 2х):3-|- + 6	= 7
№ 4.[5Д.-(ЗХ+Д)]:2_2Д;
№ 5. (х-бф) + (54--54).7-1Х
№ 6. 4-х+ 7 + 114- п 3 = g 1
о '	‘ t>	5	5
Решение: № 1; № 5; № 3; № 6; № 4; № 2; № 1.
Упражнения на совместные действия
с дробями
№ 1. (-J-+0,4-5):2,25-х = 0,8;
№ 2. -у- + (х — 0,02): 7,8 = 0,3;
№ 3. -*±°’7. +0,11-4 = 0,54;
№ 4. (х+1-|-):0,7 —2,9 = 0,1;
№ 5. —7л :00,027 + °’5 - 7,3 = 0,2;
№ 6. 4"+ 0,125-8-1,065 +х = 0,6.
Решение: № 1; № 5; № 4; № 6; № 3; № 2; № 1.
VI КЛАСС
Упражнения на пропорции
Значение х в каждой из данных пропорций
является последующим членом второго отно-
шения.
№ 1. з4-х:19-}| =з4-:94;
о	lb	9	5
№2. З^- : 41 х =7,2:9;
оО 35
№ 3. 0,6х: 4,2 = 1,8:2;
№ 4. -|-х:	1,5:7,5;
№ 5. 4-:0,125 = 0,7х:6,3;
№ 6. f х:3,75-+ +
Решение: № 1; № 3; № 5; № 2; № 4; № 6; № 1.
VII КЛАСС
Решение уравнений
№ 1. х
№ 2.
(6х — 2)-4"
-----4-^ = 5;
37
8-— r
№ 3. (6x+J?=i).4-+—+
20 —Зх
x~----5---
№ 4. x + 1 +-----------
Юх — 4x
Решение: № 1; № 4; № 2; № 3; № 1.
Преобразование алгебраических дробей
№ ’’(л + 1	й‘+1+ а* —с + |)х
№2(гтг + т^1 + ^и)х
х(^г + ^г-Лт)—3=
м> 3 6(а2 —62 —с2—26с)(а + 6 —с) _	_
(а -г b + с) (а2 — Ь2 + с2 — 2ас)
№ 4 ( 2д8 + 3а _ Зд + 2 > 4й~/ у
\ 4а2 4-12а + 9 2а + 3 2а + 3J 24
2а + 3 .	.
* 2а — 3 + Л ~ 4-
Решение: № 1; №4; № 2; № 3; № 1.
VIII КЛАСС
Простейшие иррациональные уравнения
№ 1. 5у У7х - 13 - 10 ]/ х - 1 -g- -
~4тУ 343х —637 =6;
О
№ 2. У 140х - 24 4- 4]/ 8,75х — 1,5 —
— 3 У 35л — 6 = 8;
№ 3. /45х + 36— 1,5 У 20л + 16 +
+ 2 У 1,25л + 1 = 7;
№ 4. К125л- 400 — 9 ]/	~ 1 V ~
—	/5л- 16 = 2;
№ 5. ~ /4 л + 40 4- /л4- 10 —
_1 /9л+ 90= 4;
О
№6. 13 4-/Ил —7 + 5~ /Ил— 7 —
О	о
—	35 -|~ /2,75 л- 1,75 = 9.
Решение: № 1; № 3; № 6; № 2; № 4; № 5; № 1.
Такие круговые комбинированные упраж-
нения может составить каждый учитель
математики, но большое облегчение препо-
давателю было бы, если бы такие комбини-
рованные упражнения заняли соответствую-
щее место в школьных задачниках по мате-
матике.
р а. хабиб «Прикидка» и ее использование
(г. Ташкент)
при вычислениях
Получение приблизительных результатов
вычислений основано на идее замены точных
чисел их приближенными значениями. Пред-
положим, решается пример на деление целых
чисел: 3451 : 17. Заменим делимое числом 3400,
более удобным для деления; это даст сразу
же необходимую оценку частного: 3400 : 17 =
= 200. Этот приближенный результат помо-
жет ученику избежать вычислительной ошиб-
ки. Например, получив ответ 23, ученик вы-
нужден искать причину такого резкого откло-
нения вычисленного ответа от заранее най-
денного приблизительного результата.
В таком виде прикидка является более об-
щим приемом, чем прикидка с помощью ок-
ругления.
Прикидка результатов арифметических дей-
ствий может применяться как при точных вы-
числениях, так и приближенных. Прикидка
дает возможность 1) предвидеть примерный
результат вычислений, 2) найти границы ожи-
даемого ответа, 3) быстро выявить наличие
грубой ошибки в решении примера, не произ-
водя повторных вычислений. Однако вопро-
сам использования прикидки, в частности, в
приближенных вычислениях в методической
литературе не уделено достаточного внима-
ния. Между тем умение выполнять прикитку
резко снижает процент вычислительных
ошибок.
В настоящей статье освещается опыт рабо-
ты по использованию прикидки в связи с раз-
38
личными видами вычислений. Приближенная
проверка вычислений — прикидка — становит-
ся для школьников обязательной.
Рассмотрим применение прикидки на ряде
примеров.
При делении чаще всего встречаются такие
грубые ошибки, как пропуск нулей в частном
и использование остатков, больших делителя.
Этих ошибок можно избежать, если при помо-
щи прикидки ввести правило нахождения
числа цифр целой части ожидаемого част-
ного.
Требуется вычислить 829 819:318. Отделя-
ем в делимом (слева) штрихом такое число,
которое при делении на делитель даст одно-
значное число (первую цифру частного):
829 819:318;
829 тысяч : 318	2 тысячи.
Таким образом, в частном будет 2 тысячи
единиц и еще три разрядных единицы (по
числу оставшихся цифр делимого); их отмеча-
ем тремя точками:
829 819 : 318 = 2 ...
Прикидка позволяет также определить чис-
ло цифр произведения:
7152-5304	7-1000-5• 1000 = 35-1 000 000
(произведение имеет столько цифр, сколько
их в обоих сомножителях вместе):
2194-131 ^2-1000-1-100 =2-100 000
(произведение имеет на одну цифру меньше,
чем оба сомножителя вместе).
При изучении умножения десятичных дро-
бей полезно познакомить учеников с таким
способом постановки запятой в значении
произведения, который получит свое примене-
ние при вычислениях с помощью логарифми-
ческой линейки. Выполняя прикидку, находят
число цифр целой части произведения (или
разряд первого отличного от нуля десятично-
го знака). Например:
7,5-0,75^8-1 = 8,
поэтому, вычислив произведение 75-75, отде-
ляем запятой одну цифру целой части, что
дает ответ : 7,5-0,75 = 5,625.
Место запятой в частном также можно оп-
ределить при помощи прикидки. Значение
указанных приемов повышается вследствие
того, что они могут быть использованы в даль-
нейшем не только при вычислениях с лога-
рифмической линейкой, но и при нахождении
результатов по таблицам произведений.
Систематическое применение прикидки при-
дает целевую направленность устному счету.
Его можно проводить на примерах задачника.
Полезно иногда вычислять погрешность при-
кидки, используя для этой цели ответы задач-
ника. Этим подготавливается почва для изу-
чения правил подсчета цифр.
1)	Объяснить, как проще вычислить при-
ближенные ответы:
а)	733 4- 4- 37 4- ~ 733 + 37 = 770;
б)	156^-4-23^-^156 + 24== 180;
в)	356-4-— 179 -4- — 356— 179= 177;
г)	2554-- 156 4-^256 - 156 = 100.
'о	о
2)	Используя приближенные ответы преды-
дущего упражнения, вычислить «поправки»
к ним и найти точные результаты. Например,
ответ первого примера находится как сумма
приближенного ответа и дробей =- и -=, ко-
о о
торыми мы вначале пренебрегли.
3)	Ответы примеров, очерченных прямо-
угольником, записаны вокруг прямоугольника.
Найдите при помощи прикидки значения а,
Ь, с, d:
7
199==
202^-
4	1
а - 372 -g- — 178-4- 4- 5
„	17	7
b = 263 -yg 4- 39 -J2 — 99
с — 266 — -|4~ — 68 -др
„ 34	97	8
d “ 128 35 ~ 105 + 73 8
204-^-
ОО
19
197105
4)	В скобках записаны три числа, одно из
которых является точным ответом данных
примеров. Найти эти ответы.
а) 177 Д-89 + (2«+-; 91-Д; 881).
в) 177 4+894(88f; 266< ;253§).
5)	Заполнить следующую таблицу:
Примеры	Прикидка	Точный ответ
17	1 1)33 -is +18-9- 7	17 2)64 38-2? 24		
Большинство приведенных упражнений
можно предложить учащимся для устного
39
счета, записав предварительно их текст на пе-
реносной доске. Аналогичные примеры можно
предложить на материале целых чисел и деся-
тичных дробей.
Приведу несколько таких примеров, кото-
рые можно решить очень быстро, если предва-
рительно подумать, с какой точностью следу-
ет вести вычисления и какую точность могут
дать данные приближенные числа. Предвари-
тельно целесообразно рассмотреть два упраж-
нения:
а) Написать такую сумму двух приближен-
ных чисел, чтобы она была равна одному из
слагаемых, причем второе слагаемое не
должно быть 0. (Например, по правилам под-
счета цифр 2,7 + 0,029 « 2,7.)
б)	Написать такое произведение двух
приближенных чисел, которое было бы равно
одному из сомножителей, причем второй сом-
ножитель не должен быть равен 1.
Произвести действия над приближенными
числами, применяя правила подсчета цифр:
1. а) 212+0,082—0,0039; б) 3,5-8,0+0,97 X
X 0,083; в) 9,8-2,0 - 5,7: 6306; г) 4,2: 6,0 -
- (2,65 - 2,15): (513 + 97); д) 0,0039-4,51 +
+ 952; е) 24,5:97,2 + 42-58 - 0,0956.
2. а) 8,3-1,0076; б) 8,3:1,0076; в) 63 X
X (1,0 + 0,0037); г) 7,4 : (0,0074 + 1); д) 5,012х
X (0,0065+2)-4,7; е) 7,0032-4,0-(2,0011 +
+ 3,0008).
Эти упражнения носят несколько искусст-
венный характер, но они имеют целью повы-
сить «коэффициент полезного действия» пра-
вил подсчета цифр, увеличить роль рацио-
нальных способов вычислений.
Правила подсчета цифр позволяют опреде-
лить точность результата прикидки.
Обычно при вычислениях известны прибли-
женные данные определенной точности. В про-
цессе прикидки точные компоненты мы заме-
няем приближенными числами, упрощающи-
ми расчеты. Остается, исходя из точности та-
кой замены по правилам подсчета цифр, опре-
делить точность результата вычислений. На-
пример, вычисляя таким образом частное
(компоненты всех рассматриваемых ниже
действий являются точными числами):
45,2:29,95^45:30 = 1,5,
можно утверждать, что этот результат имеет
точность в две значащие цифры. В самом де-
ле, делимое и делитель мы заменили прибли-
женными значениями, имеющими две знача-
щие цифры (точные значения компонентов нам
здесь известны!), следовательно, по правилу
деления приближенных чисел частное должно
иметь две значащие цифры.
Прикидку целесообразно использовать при
совместных действиях с десятичными и обык-
новенными дробями. Например:
27,84-0,33333^27,84-4-= 9,28
О
Зная, что -д =0,111 ..., можно использовать
это равенство при вычислении частного 35,2 :
: 0,112:
35,2 : 0,112	35,2-9 =316,8^317.
Аналогичную работу можно продолжить
на уроках алгебры и геометрии. Например,
вычисляя значение выражения |/ 9,04+ 0,876,
где данные числа являются приближенными,
сразу же получаем ответ 81. Для этого
стоит лишь при помощи прикидки устано-
вить, что значением второго слагаемого
можно пренебречь.
К читателям журнала
Дорогие товарищи!
В связи с составлением перспективного плана работы на 1969—1970 гг. редакции
важно знать Ваше мнение и пожелания по следующим вопросам:
1.	Содержание каких вопросов новой программы Вы рекомендуете изложить
на страницах нашего журнала в 1969 г.?
2.	Какие материалы по факузьтативным занятиям было бы желательно напеча-
тать в журнале дополнительно к ранее опубликованным статьям?
3.	Какие из опубликованных в 1967—1968 гг. научно-популярных статей Вам
наиболее понравились? Какие темы желательно осветить в этом отделе?
4.	Какие статьи из «Методического отдела» Вам особенно помогли в работе?
Освещение каких методических вопросов Вы хотели бы увидеть на страницах журна-
ла в 1969 и 1970 гг.?
5.	Оказывает ли Вам помощь «Отдел задач»? Как конкретно вы используете
этот материал?
6.	Удовлетворяет ли Вас содержание отделов «Внеклассная работа», «Математи-
ческий календарь»?
Кроме ответов на перечисленные вопросы, просьба сообщить в редакцию
и другие Ваши замечания и пожелания, способствующие улучшению содержания
журнала.
Редакция
ИЗ ПИСЕМ
И ЗАМЕТОК
с.	и. зетель Геометрическая иллюстрация
(Москве)
некоторых неравенств
Среди упражнений на доказательство не-
равенств обычно рассматриваются следую-
щие:
аг + i2
где а > 0 и b > 0.
В книге Я. Беккенбаха и Р. Веллма-
на «Введение в неравенства»1 дана геомет-
рическая иллюстрация этих неравенств.
I. Пусть дана трапеция ABCD, ее основа-
ния АВ == а и DC = b. В ней проведены че-
тыре отрезка (концы их находятся на боко-
вых сторонах трапеции) параллельных осно-
ваниям (см. черт.).
1) Отрезок Н F, проходящий через точку О
пересечения диагоналей, изображает среднее
гармоническое а и Ь:
Авторы дают доказательства свойств этих
отрезков, но не приводят их построений.
Не повторяя этих доказательств, дадим
краткое обоснование свойств 1—4, значи-
тельно изменив лишь доказательство четвер-
того положения.
1) Д ABDco & HOD и Д ABC со &OFC,
следовательно.
HD
того, что = -gC
= -^-HF.
A ADC co f\ AHO, следовательно,
HF _ AD — DH _ .	DH
2b ~ AD	~ 1	AD ‘
™	HF , HF	,.
Теперь имеем = 1---------откуда HF =
2
НО	HD	OF	FC	,,
a	AD	а	ВС
FC , следует НО = OF =
HF =
2
2)	Отрезок GK, делящий данную трапецию
на две подобных, изображает среднее гео-
метрическое а и b\ GR = lAab.
3)	Средняя линия трапеции MN — а~Ь —
среднее арифметическое а и Ь.
4)	Отрезок QR, делящий данную трапе-
цию на две равновеликих, это среднее квад-
ратическое а и b: QR = 1/- Ь .
1 Я- Беккенбах, Р. Веллман, Введение в не-
равенства. Пер. с англ. Р. А. Лукацкой, под ред.
И. М. Яглома. Изд. «Мир», М., 1965.
41
2)	Из определения подобия многоуголь-
ников следует cr.GK — GK'.b, откуда GK =
= V ab.
3)	Свойство средней линии трапеции рас-
сматривается в школьном учебнике.
4)	Если продолжить непараллельные стороны
трапеции DA и СВ до пересечения в точке
Г, получим £\АТВ. Обозначим его площадь
через Sx, а площадь трапеции ABCD — че-
рез S, тогда, по свойству площадей подоб-
Sx	а1
ных треугольников, имеем — = -р-, от-
„ a2S ...
куда Sx =	. 1 ак как по условию
QR делит трапецию на две равновеликих и
так как Л QTR DTС, то
Sx + -у S QR2
Sx+S ~ b* •
Заменяя в этой пропорции Sx его выраже-
нием через а, b и S, найдем
II.	Легко видеть, что GK делит не только
данную трапецию ABCD. но и трапецию
HFNM на две подобные трапеции.
Действительно: если GHFK MGKN, то
HF-.GK = GK:MN. но HF=~ 2 у ,
MN
огда
Итак, среднее геометрическое двух вели-
чин остается неизменным, если одну из этих
величин заменить их средним арифметиче-
ским, а другую — их средним гармоническим.
Отсюда получается возможность усиления
неравенства у ab -С-2-- заменой неравен-
, <—г	+ b ab
ством УаЬ<—т~ + т^Ь-
III.	Покажем, что построение отрезков
НF, GK, MN и QR может быть выполнено
на одном чертеже.
Отложим на большем основании трапеции
DC ~ b, DNX = MN ~	; тогда NXC -=
= ——. Проведем TVjZ. I DC и отложим
NjL — NXC. В прямоугольном треугольнике
DNXL гипотенуза
да -	- у^.
На DN { как на диаметре построим полу-
окружность, затем хорду
В прямоугольном треугольнике DNXP катет
Построив DZ — проекцию катета DP =
, г~~т	г.»г а + b
= yab на гипотенузу DNX =——> найдем
DP2 = DNX-DZ. Отсюда
DP* ab-2 2
— DNt ~ a+b = J.
а b
Итак:
_	2
DZ = -j----,-катет,
—+ 4-
а Ь
DP == У^ab -— гипотенуза Д DZP
DP = ab — катет,
£Wi =	---гипотенуза Д DNХР.
DNX =	--катет,
DL = "J/ —- ^ 6--гипотенуза Д DNXL.
Отсюда
Справедливость неравенств видна также из
расположения точек Z, Рх, Nx, Lx на от-
резке DC.
Рассматриваемые средние будут равны
между собой, если а = Ь, тогда трапе-
ция ABCD превращается в параллелограмм,
а отрезки HF, GK, MN, QR сольются
в один, проходящий через точку пересечения
диагоналей и равный а=Ь.
IV.	Построение отрезков HF и MN не
представляет затруднений. Построив MN,
можно—как видно из чертежа — построить
отрезки GK и QR, т. е. разделить трапецию
на две подобных и па две равновеликих.
П. Б. ТАЛОЧКИН
(Московская область)
Вычисление членов последователь-
ностей при помощи счетной линейки
В объяснительной записке к новой програм-
ме по математике рекомендуется применять
счетную линейку на более раннем обучении
(с VI класса). Известны опыты введения
счетной линейки уже в V классе, после того
как учащиеся приобретают навыки умноже-
ния и деления десятичных дробей. Тогда к
VII—VIII классам школьники хорошо овладе-
вают счетной линейкой и пользуются ею при
решении задач на вычисление с получением
приближенных результатов.
В данной статье предлагаются примеры
упражнений по теме «Числовые последова-
тельности», которые частично можно пред-
лагать в VII классе (при изучении алгебраи-
ческих дробей), а главным образом в VIII.
Для каждой последовательности задаются
формулы общих членов, учащимся предлага-
ется вычислить некоторые члены последова-
тельности, выразив их десятичными дробями
с точностью, доставляемой линейкой. Полез-
но также получать от учащихся ответы на
такие вопросы: Возрастают или убывают чле-
ны последовательности с возрастанием их но-
мера? Можно ли предполагать, что члены
последовательности, возрастая (убывая, ко-
леблясь), приближаются к какому-либо
числу?
В отдельных упражнениях можно предло-
жить изобразить члены последовательности
точками на числовой прямой или строить гра-
фик (точечный) в прямоугольной системе ко-
ординат.
Подобные упражнения, по нашему мнению,
будут хорошим материалом для того, чтобы
учащиеся «воспринимали общий член после-
довательности, как функцию его номера»
(см. объяснительную записку к программе,
«Математика в школе», 1968, № 2).
Результаты произведенных таким образом
вычислений дадут хороший материал в
IX классе при изучении темы «Бесконечные
последовательности и пределы».
По образцу предложенных примеров учи-
тель может составить различные упражнения,
изготовить карточки для устного опроса,
а также для 10—15-минутных контрольных
работ, выполняемых при помощи счетной
линейки. Можно предложить и самим уча-
щимся составлять формулы общего члена
последовательности и затем ставить те или
иные вопросы в отношении этой последова-
тельности
Упражнения
,	п
1.	ап= 2,2___з • наити аю> аи> ai2’ а13’
°25> °50> °75, а100-
л	Зп — 1
2-	2п + 1 ’ НаИТИ °5’ °6’ °7’ °8’ °9>
а10’ °20> «30-
3-	Ь"= и" + З5 ’ НаЙТИ *7’	*9, *17> Ь27,
^37-
.	Зп — 5
4-	сп— п + ! ; наити с8, с9, С1О, с30, с40,
с50 и сравнить с предыдущим упражнением.
5.	хп= п + 2 " ’ наити пеРвые о членов и
^28» -^38’ X4S-
г.	п2 + Зп Ч- 2
6-	Уп = 2п»-п-3~; наити Уэ> У10’ У11. Уз9*
у99 и сравнить с упражнением 1. Сократить
данную дробь, вычислить те же члены.
—	14 — 5п	..	г-
7.	z„ = -=-z—; наити первые о членов и
п 5п 6
2100> 2юз-
о	5 + (—2)"	„	с
8.	уп = ——Зп ’ наити первые 6 членов
и Ую> Уи-	п
9.	Sn = 2-|l— (----2”)]’ на*1ти первые
5 членов и Sj0, Sn.
10.	ип = 3-£1—(“I-)]’ найти первые
7 членов.
В задачах II—15 имеются в виду правиль-
ные n-угольники. Их центральные и внешние
углы обозначены через ап, внутренние — 0П,
радиус описанной окружности — /?, сторо-
ны — ап, периметры — р„, апофемы — kn, пло-
щади sn, стороны описанных правильных
n-угольников около окружности радиуса
R — bn.
Значения и рп вычисляются в градусах
с десятыми, сотыми, ... долями; значения ли-
нейных величин и площадей с точностью,
доставляемой счетной линейкой, значения
тригонометрических функций берутся из таб-
лиц Брадиса (в этом случае углы вычисляют-
ся в градусах и минутах).
11.	Найти а) ап = и б) 180° —
43
при л — 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,
384 и при л —4, 12, 36, 108, 324, 972.
12.	Найти а) ап = 27?  sin и б) рп =
= пап при п. = 9, 18, 36, 72, 144, 288 и 7? =
= 5,60 см.
13.	Найти £„ = /? cos  при л — 10, 20,
40, 80, 160 и 7? = 12 см.
14.	Найти s„ = 0,5л/?2-sin— при л = 9,
18, 36, 72, 144, 288 и 7? = 10 см.
15.	Найти a) bn = 2R • tg и б) Рп =
== nbn при л = 9, 18, 36, 72, 144, 288 и
7? = 5,60 см. Сравнить с результатами вычис-
лений задачи 12.
м. м. тар Об одном методе суммирования
(г. Киев)
степеней чисел натурального ряда
Рассмотрим один из методов нахождения
суммы
Sk (л) — 1* + 2* + 3* + ... + л»,
k — целое, не меньшее 1. Задача сводится
к треугольной системе k линейных уравне-
ний.
Для данного k составим систему уравне-
ний
С1+1хи+1 + Clfcxk = С\
+	= C2k
4" “Ь 4~
C*++{xk+l + C*xk + Cl~\xk ^ + ... +
+ c;x1 = q,
где столбцы коэффициентов при неизвестных
являются строками треугольника Паскаля
без первых членов C°t = 1 (/= 1, 2, 3, —, ^4-1).
Так как диагональные коэффициенты
С) (/ = 1, 2, 3, ..., k -|- 1) не равны нулю, то
система имеет единственное решение
xfe+1 = -Tlft+i, xk = Ak, ..., xt = Др
Разность
Sk (m) — (Дл+1лг*+1 + Д*лг* + ... + Д^)
обозначим через Qk(m), где т — натураль-
ное число.
Тогда будем иметь
Sk (п) - (Дй+1лл+* + Aknk +
4*—4-Д,л) = Qk (л),	(2)
5,(л + 1) - [Д*+1 (л + 1)*+1 + Ak(n+ 1)*+
+ ... + Д1 (л 4- 1)] = Qk (п 4~ !)•	(3)
Вычтем почленно равенство (3) из (2)
Д*+1|(л4-1)*+1-л*+>]4-Д*[(«4- 1)*-л*]4-
4-Д*_11(л4- I)*-1 — лЛ114-	4-
4- Д,- (л 4- 1)* - Qk (л) - Qfe (л +-1).
Собирая коэффициенты при одинаковых
степенях л, получаем
+ 1 Д— C°k) п>г + (^fe + l А/г + 1 +
4- C[Ak - С>) л*-* + (С^+1ДА+1 4- C\Ak 4-
4-	С2) л* 2 4- ... 4-
4- (-А-н 4- Ak 4- • - - 4- А £*) ~
= Qft(«)-QU«4-l).
Так как Ду (/=•!, 2,3, ..., # 4~ О являет-
ся решением системы (1), то все выражения
в скобках равны нулю.
Следовательно, Q* (л) = Qk 4- 0 Для про-
извольного л.
Отсюда следует, что
Qft(n) = Q4D -$»0) -
— (A+i 4- А 4- - - • 4- -41) = 0.
Таким образом, мы показали, что
Sk (л) = Ak+1nk+1 4- Aknk 4---F Д^,
т. е. искомая сумма Sk(n) есть многочлен
степени k 4- 1 относительно л, без свобод-
ного члена, с коэффициентами Д7-(у= 1,2, 3,...
1), не зависящими от л, которые
определяются из треугольной системы урав-
нений (1).
Из уравнений системы (1) получаем
л__________L_ • л_____—• А ~
^k+i	~ 2’	12’
44
и т. д.
Примеры
1)	Для k => 2 имеем
л   1 . д_____L • д _. _1_
Лз~ з > У|2 — 2 ’	6 *
S2 (п) = п3 + ~ п2 + -g- п =
п(п + 1)(2п + 1)
6
2)6=3; Л4 = -^; Лз=4: Д2=-Г*
Так как сумма коэффициентов Лу(/ =
= 1, 2, 3, ..., 61) равна единице то полу-
чаем Tlj = 0.
о /..X	1 „а I 1 „з I 1 «9 П2(п + I)2
^3 («) = 7Г п + ~2~ + ~Г п---------4----- •
Аналогично можно получить формулы
и для больших k. Например, при 6 = 8 после
несложных вычислений получаем
5В (я) =	(10п8 + 45п7 + 60п6 —
—42n4 -J- 20п2 — 3).
т. а. песков Некоторые задачи и вопросы
(г. Уфа)
при изучении
нумерации в V классе
Ниже мы даем примеры задач и вопросов,
по образцу которых учитель может составить
и многие другие— аналогичные.
1.	К какому трехзначному числу нужно при-
бавить единицу, чтобы получить четырех-
значное?
2.	Какое число получится, если от наимень-
шего пятизначного числа отнять единицу?
3.	К какому числу нужно прибавить 11, что-
бы получить миллион?
Говоря о больших числах, учитель сообща-
ет, что за классом миллиардов идут триллио-
ны, затем квадрильоны, квинтильоны и т. д.
Однако число, записанное большим количест-
вом цифр, читать трудно, поэтому принята
другая запись. Население СССР в 1968 г. со-
ставляет 238 млн. человек, в Индии — 472 млн.
человек, в Китае — 690 млн. человек, на всем
земном шаре 3 млрд. 280 млн. человек.
В математике, в физике, в химии для запи-
си больших чисел используются степени: 106,
1024 и т. п.
Большое ли число миллион? Сколько, на-
пример, времени понадобится, чтобы написать
1 млн. раз букву «и»? Как ответить на этот
вопрос? Учитель предлагает 10 ученикам в
течение 1 минуты писать букву «и». Выяснит-
ся, что в среднем (допустим) ученик пишет
50 букв. Затем находят, что для написания
«и» 1 млн. раз понадобится около 330 часов.
Можно предложить подсчитать, сколько
приблизительно букв в одном из школьных
учебников или какой-либо другой книге. Ре-
шение рассмотренных задач показывает уча-
щимся практику подсчета очень больших со-
вокупностей.
Ученикам предлагается подсчитать, сколь-
ко часов (минут) прожил каждый из них.
Может ли человек прожить миллион дней;
миллион часов?
Какое расстояние занял бы миллион чело-
век (это меньше, чем шестая часть населения
Москвы), если их поставить в один ряд, счи-
тая на каждого человека 60 см?
Выразить длину экватора Земли в милли-
метрах.
Выразить 1 триллион миллиметров в кило-
метрах.
Вот еще примеры больших чисел, смысл ко-
торых нетрудно разъяснить учащимся V клас-
са и которые могут быть использованы учи-
телями как при изучении нумерации, так и в
примерах на превращение одних мер в
другие.
Расстояния от Земли до Луны 384 тыс. км,
до Венеры 38 млн. км, до Марса 57 млн. км,
до Солнца 149 млн. км.
Свет проходит в 1 секунду 300 000 км.
Скольким километрам равен световой год
(т. е. сколько километров пробегает частица
света за 365 дней)? Расстояние от ближайшей
звезды до Земли более 4 световых лет. Выра-
зить это расстояние в триллионах километров.
Каждый учитель выбирает для иллюстра-
ции больших чисел те примеры, те задачи, ко-
торые он считает наиболее подходящими.
45
В помощь начинающему учителю
Контрольные работы по математике
на I полугодие 1968/69 учебного года
для IX — X классов1
ДЕВЯТЫЙ КЛАСС
2. Решить систему неравенств
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
№ 1 (на 20—25 мин.]
1.	Построить график уравнения ах 4- Зу=5,
если ему принадлежит точка (1; 1). Поль-
зуясь графиком, ответить, при каких значе-
ниях х у — 0, у > 0, у < 0.
2.	Решить уравнения относительно х:
а)	тх + 6 = х п т2 * 4- 5m.
б)	(а2 — 1) х = (а + 1) (а — 2).
№ 2
12. Решить уравнение относительно х
а +1	Зах — 5	__ 4
а (х + 3)	а (х2 + 2х — 3) х — 1 ‘
Ответ. При а == 0 уравнение не имеет
1	1	5
смысла; при а = -g-, а —-----g- и а =	—
не имеет решений; при всех остальных зна-
4 —13л
чениях а х = -=----=—.
6а — 1
2. Доказать, что при а~^>—1,5
2а 4~ 3	,	4	. „
4	"* 2л + 3
3. Решить уравнение х -|- 2у = 6.
№ 3
1. а) Решить уравнение относительно х
2m — 5_______3_________Зх 4-4
(т — 1) (х + 2) х 4- 1 Xs + Зх 4- 2 ‘
б) При каких значениях т его корень
удовлетворяет условию х<^1?
Ответ, а) При т = 1 уравнение не имеет
смысла; при т = 0,25 — не имеет решений;
5—8 m
при всех остальных значениях т х==
б) х<С1 при т>-0,5, кроме т=1, и при
т<0,25.
• Работы составлены Г. А Ястребинецким.
2 Упражнения такого рода здесь и в дальнейшем
сопровождаются полным ответом, так как в практике
их решения учащиеся нередко не проводят исчерпы-
вающего исследования в зависимости от параметра.
3*. Решить неравенство относительно х
(т — 1) х < т 4- 2.
Ответ. Если го=1, то х — любое дей-
ствительное число. Если тп>1, то х<^
ли 4- 2	m 4- 2
<С—Н-; если же m< 1, то х>------г.
^т — 1	т — 1
№ 4 (на 15—20 мин.]
Решить системы аналитически и графи-
чески:
( х 4- у = 3	( 2х у — 5=0
L \х-у=1. 2' I 4х 4-2у-3=0.
(Зу = х 4- 6
|3х — 9у— —18.
№ 5
1.	Решить систему относительно х и у
I (Л 4~ 2) х -{- у = 3
I (8— Л) х4-(£ — 2) у=—18.
2.	Найти т, если известно, что графики
уравнений 2х 4- у ==• 4 и тх 4- 2у = 5 парал-
лельны.
3.	Решить неравенство
(х —5)8(х —1)
X —8
№ 6
1.	При каких значениях т уравнение
Л~4- = -—-г не имеет смысла и не имеет
m 4- 1 х — 4
действительных корней?
Ответ. При т =—1 уравнение не имеет
смысла, при — 2<Zm<— 1 уравнение не име-
ет действительных корней.
2.	Решить уравнение относительно х
2лх-(л-1)(л4-2) _
х—1	Х'
Ответ. При а= — 1 единственный корень
х - - — 2; при а = 2 также только один
46
корень х = 4; при a=f= — 1 и а=/=2 два
корня: Xj — а — 1, х2 = а + 2.
3.	При каких значениях а корни уравне-
ния 2 удовлетворяют условию — 1 х 3?
№ 7
1.	При каких целых значениях k уравне-
ние х2 — 4х +	— 7А-|-14 — 0 имеет дей-
ствительные корни?
2.	Найти область определения функции
2	6
3№ + 8х —11 (х + 5)(х — 7) •
3.	Построить график и указать свойства
функции
у = — х2 + Зх.
№ 8 (на 20—25 мин.]
Решить уравнения:
1.	/8-Зх = 3.
2.	/ х + 7 + У Зх - 10 = - 5.
3.	2/2х— 1 - VIУ 1 — 2х = х —0,5.
4.	j/x —3 + Ух2 — Зх = О.
5.	|/Зл + 9-|/1 - х +2 = 0.
№ 9
1. Решить уравнение
У Зх + 1 — 2/5Г=П =2.
2. Решить системы:
2х _у______И
у + х	3
2х2 + у2 = 22.
а)
(ху + 2х — 2у = 8
(ху — 4 (х — у) = 2.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
1. Сторона квадрата ABCD равна Ь. Сере-
дины его сторон последовательно соединены
отрезками.
а) Определить вид получившегося четы-
рехугольника и вычислить его площадь.
б) Соединив середины сторон второго
четырехугольника, построить третий и вы-
числить его площадь.
в) Продолжая неограниченно процесс
построения четырехугольников и вычисления
их площадей, получим последовательность
площадей. Написать несколько ее членов
начиная с первого и указать некоторые ее
свойства.
2. Последовательности {ап} и {Ьп} заданы
,	2n + 1	,	Зп— 5
их общими членами а„ =------ и л =—-—.
" п п 2п
Пользуясь определением предела беско-
нечной последовательности, доказать, что
каждая из данных последовательностей имеет
пределы: первая 2, вторая 1,5.
Вычислить lim (ап -f- bn) двумя способами:
1) на основании теоремы о пределе суммы
последовательностей и 2) образовать после-
довательность {ап + Ьп} и найти ее пр дел,
пользуясь определением предела.
№ 2
1. Дан равносторонний треугольник АВС
со стороной а. Построить окружность,
касающуюся его стороны АС и продолже-
ния сторон В А и ВС. Пусть К — точка каса-
ния окружности с АС, М — с продолже-
нием В А.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
отрезками AM и АК и меньшей дугой МК-
2. Диаметр круга АВ точками Др Л2, Д3, ...
..., Дп-! разделен на п равных частей. На
каждом из полученных отрезков AAlt AtA2,
А2А3,..., An^i В, как на диаметре, построен
круг. Найти сумму площадей этих кругов
и сумму длин их окружностей, если AB=d.
№ 3 (на 20—25 мин.)
1. В одной из граней куба дана прямая.
Постройте в плоскости противоположной
грани прямую, параллельную данной. Сколько
решений имеет задача?
Существуют ли такие прямые в плоскости
грани, пересекающей данную? Если суще-
ствуют, то при каком условии и сколько?
2. При каком условии можно построить,
две взаимно параллельные плоскости, каждая
из которых проходит через одну из двух
данных прямых?
Дать краткое описание построения.
№ 4
1. ABCDAlBlClD1— прямой параллелепи-
пед. ООА — отрезок, соединяющий точки
пересечения диагоналей оснований паралле-
лепипеда ABCD и A^B'CiDf Построить
сечение параллелепипеда плоскостью а, про-
ходящей через AD и точку К, принадле-
жащую ООр
Исследовать положение линии пересечения
плоскости а с плоскостью Ay^CjDy, если
2* Продолжить исследование для случая:
-i- ОО1 ОК ОС>1 и для ОК ООг.
47
NS S (на 20—25 мин.)
1.	Дана плоскость а и вне ее прямоуголь-
ный равнобедренный треугольник АВС(^С =
= 90°), в который вписан круг. АВ || пл. а.
К — точка пересечения прямой АС с пло-
скостью а; Д, проекция точки А на пло-
скость а (точки К и Д1 различные!.
Построить проекцию на плоскость а тре-
угольника АВС и вписанного в него круга
(направление проектирования определяется
прямой ДА).
2*. Доказать: отношение проекций двух
параллельных отрезков или отрезков, лежа-
щих на одной прямой, равно отношению про-
ектируемых отрезков.
ДЕСЯТЫЙ КЛАСС
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
№ 1
1. Дано tga = a<0. Вычислить значение
выражения К = slna_cosa~ •
Какому условию удовлетворяет а?
Решить уравнения:
sin2 2х — sin 2х = 0.
sin2 х — 3 sin х cos х 4- 2 cos2 х = 0.
При каких значениях х, принадлежа-
имеет смысл
2 ’
cos x
знаки чисел: sin 2, ctg 1,3,
2.
а)
б)
3.
щих промежутку I -
функция у =	* 1 2 3
4.	Указать
sin 2,3— sin 3, 7.
№ 2
1.	Вычислить sin (а-|-Р) и cos (а — р), если
sin а = 0,6 и-^-<а<я, tg Р— — 2 и — л<
2.
3.
1
Упростить выражение
1 4- sin £ 4- sin (270° — Р)
1-t- sin р — sin (270° + РГ
Решить уравнения:
a)	sin х — cos х = 0,5 И2.
б)	sin 2х + cos 2х- ctg х = — J/3.
№ 3
Представить в виде суммы
4cos 1,5-sinf-^- + ~} • sinfy-------
2.	Решить уравнение
sin х -f- sin 2х 4- sin Зх = 0.
3.	Упростить выражение
у — 1^2 (1 — cos Р) — 2 sin
при различных значениях р.
Ответ. у = 0 при 4лп р 2л (2п + Й;
у = — 4 sin ~ при 2к (2п — 1) < р < 4лп.
4*. Найти наибольшее и наименьшее зна-
чения суммы 3 sin х 4- 4 cos х.
№ 4
1.	Дана функция f (х) = — 2 sin	—2х) .
а)	Найти область определения, область из-
менения, период, корни, наибольшее и наи-
меньшее значения функции.
б)	Построить график данной функции.
в)	Как изменяется функция при возраста-
3	3
нии аргумента от------g-w до
г)	При каких значениях а уравнение f (х) = а
имеет корни и сколько корней?
2.	Решить уравнение tg == cos х  tg .
№ 5
1. Доказать тождество
1 4- cos (я — 2а) — cos ( у 4- 2а )
-----7з7-----
1 —sin (у 4- 2а 1 4- sin (я — 2а)
2. Решить уравнения:
а) 2 sin2 х 4~ sln22x = 2.
б) 4 sin2 х 4- 2 sin х - cos х == 3.
в) ]Z3sinx — cos x =• 1^2.
3*. Решить уравнение
4cos®y
	----- sin x.
X	X
ctg у — tg —
№ 6
1. Построить график функции у = 2 х-
Пользуясь графиком: а) объяснить, как из-
меняется у при возрастании х от —2 до 1;
(1	2
у) (с точностью до 0,1).
2. Решить уравнение 0,5х*-2ЗЛГ =0,252.
3. Найти область определения функции
/ ЗХ—1	’
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
Сторона основания правильной четырех-
угольной пирамиды равна а. Боковая грань
составляет с плоскостью основания угол в 60°.
48
а)	Построить сечение пирамиды плоскостью,
делящей двугранный угол при основании по-
полам.
б)	Найти площадь сечения.
№ 2
Основанием пирамиды служит равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник, его гипоте-
нуза равна с. Боковая грань, проходящая
через гипотенузу, перпендикулярна плоскости
основания, а две другие грани образуют
с основанием углы в 45°.
Найти а) полную поверхность пирамиды
и б) углы наклона боковых ребер к плоскости
основания.
№ 3
Основанием прямой призмы, объем которой
равен ц, служит трапеция, в которую впи-
сан круг радиуса г. Через большее основа-
ние трапеции и середи чу противоположного
бокового ребра проведена плоскость, обра-
зующая с плоскостью основания угол а.
Найти а) площадь сечения и б) площадь
боковой поверхности призмы.
№ 4
Основанием пирамиды SABC служит тре-
угольник АВС, в котором АВ = ВС,
угол АВС равен а. Каждое боковое ребро
пирамиды составляет с плоскостью основа-
ния угол <р.
На ребре АВ дана точка К, причем ВК =
= -^-АВ.
а)	Построить сечение пирамиды плоско-
стью, проходящей через точку К и парал-
лельной АС и SB.
б)	Приняв площадь сечения за Q, найти
объем пирамиды.
Из опыта проведения факультативных
занятий
Г. Г. ЛЕВИТАС
(Москва)
Численные методы решения уравнений
Одна из тем по выбору преподавателя для
факультативных занятий в IX классе — «Чис-
ленные методы решения уравнений» — рассчи-
тана на 12 часов. Включение этой темы в курс
средней школы (хотя бы и факультативный) —
полезный шаг к улучшению вычислительной
подготовки наших выпускников. Однако, на
наш взгляд, изучая численные методы реше-
ния уравнения, нельзя ограничиться методом
итераций и методом касательных (как это
предусмотрено программой), не затрагивая
метода проб и метода хорд.
Важность частного случая метода проб —
метода половинного деления — общеизвестна:
это метод доказательства многих теорем ма-
тематического анализа и вычислительной ма-
тематики. Знакомство с ним учащихся при
решении уравнений осуществить гораздо лег-
че, чем на более абстрактном материале ана-
лиза, а изучению анализа в школе или в вузе
это знакомство очень поможет. Практиче-
ская ценность метода половинного деления —
в его простоте.
Решим уравнение lgx=x—1,5 методом
половинного деления.
По графику (черт. 1) видно, что это урав-
нение имеет два действительных корня. Один
из них лежит между 0 и 1. второй—между
1,5 и 2. Найдем, например, значение боль-
шего корня с точностью до 0,1. Для этого
образуем функцию у = 1g х — х + 1,5. Точка,
в которой эта функция меняет знак, есть
корень нашего уравнения. В точке х=1,5
функция положительна, в точке х = 2 она
отрицательна, что легко усмотреть из гра-
фика на чертеже 1. Разделим отрезок [1,5; 2]
пополам и найдем у (1,75) с помощью лога-
рифмической линейки: у (1,75) =0,24 — 1,75-f-
4-1.5 = — 0.01. Таким образом, функция ме-
49
няет знак на отрезке [1,5; 1,75]. Делим этот
отрезок пополам и ищем у (1,62) = 0,21 —
— 1,62 + 1,5 •= 0,09. Корень принадлежит от-
резку |1,62; 1,75]. В его середине у (1,68) =
= 0,23 — 1,68	1,5 = 0,05. Следовательно,
корень лежит на отрезке |1,68; 1,75] и его
значение с точностью до 0,1 равно 1,7.
Решение указанного (или другого, выбран-
ного учителем) уравнения сразу дает пред-
ставление ученикам о методе половинного
деления. Достаточно предложить им для
самостоятельного решения еще одно уравне-
ние, и можно считать знакомство учащихся
с этим методом состоявшимся. Опыт пока-
зывает, что именно к нему охотнее всего
обращаются школьники, если им приходится
выбирать численный метод решения урав-
нения.
Метод половинного деления — это частный
случай метода проб с последовательным су-
жением границ. Другой вариант метода
проб — десятичное разбиение отрезка, содер-
жащего корень уравнения. Десятичное раз-
биение отрезка также используется в теоре-
тических вопросах, например при построении
теории измерения с точностью до 10 " еди-
ницы. Рассмотрим его на том же примере
уравнения 1g х = х — 1,5. Функция у = 1g х —
— л-f-1,5 в точке х = 1,5 принимает поло-
жительное, а в точке х = 2 отрицательное
значение. Если перед нами встала задача
найти этот корень с точностью до 0,1, то
уместно применить десятичное разбиение от-
резка [1; 2] (или пятиричное разбиение от-
резка [1,5; 2]), испытывая точки 1,6; 1,7;
1,8; 1,9:
у (1,6) = 1g 1,6— 1,6+ 1,5 = 0,20-0,1 >0;
у (1,7) = 1g 1,7- 1,7+ 1,5 = 0,23-0,2 >0;
у (1,8) = 1g 1,8— 1,8+ 1,5 = 0,26 —0,3 <0;
у (1,9) = 1g 1,9— 1,9+ 1,5 = 0,28 —0,4 <0.
Перемена знака состоялась на отрезке
[1,7; 1,8] (вычисление у (1,9) было лишним).
Для выяснения значения х с точностью до
0,1 нам теперь достаточно испытать х = 1,75:
у(1,75)<0, и поэтому х=1,7.
Метод половинного и метод десятичного
деления не следует противопоставлять друг
ДРугу. Их полезно варьировать в зависимости
от конкретных условий.
Идея метода хорд легко воспринимается
учащимися благодаря яркой иллюстративно-
сти. На чертеже 2 показан график функции
у — f (х), непрерывной на fa; Л], имеющей
на отрезке fa; bf ровно один корень и при-
нимающей на концах этого отрезка значения,
противоположные по знаку. Для уточнения
значения корня проведем отрезок, соединяю-
Черт. 2
щий точки с координатами (a; f (а)) и (Ь;
/(b)), найдем точку с пересечения этого от-
резка с осью абсцисс и вычислим значение
функции в этой точке. Затем выясним, на
какой из двух частей отрезка fa; bf (на fa; с]
или на ]с; bf— см. черт. 2) функция меняет
знак. Тем самым происходит уточнение кор-
ня, которое может идти до достижения не-
обходимой точности. Если состав учащихся
не очень силен, то можно этим и ограничить
рассуждения о методе хорд, дополнив чер-
теж новыми хордами (черт. 3), и затем пе-
рейти к решению уравнения. При этом сле-
дует указать, что метод хорд, как правило,
Черт. 3
быстрее метода половинного деления приво-
дит к получению нужной точности результа-
та, хотя и связан с более громоздкими вы-
числениями. Проиллюстрируем применение
этого метода на примере решения уравнения
1g х = х — 1,5. Вычисление корня, лежащего
между 1,5 и 2, снова приводим с точно-
стью до 0,1.
За а примем левый конец отрезка [1,5; 2],
за b — его правый конец: а = 1,5, Ь=='2. Вы-
числим значения функции y = lgx— х+1,5
в этих точках: у (1,5) — 0,18, у (2) = — 0,20.
Уравнение прямой, проходящей через точки
с координатами (1,5; 0,18) и (2; —0,20), най-
,	у + 0,20 х — 2 Г7
дем по формуле 0 18 + 6>2о = 13=2 - Под-
ставив в нее у = 0, находим точку пересе-
чения прямой с осью абсцисс: х = 1,74. Под-
считаем у (1,74) = 0,0001, что близко к нулю.
Поэтому округленное значение х=1,7— ко-
рень (с точностью до 0,1). Все вычисления
ведутся на логарифмической линейке.
В группе с сильным составом нужно до-
вести изучение метода хорд до формулы,
а при совсем благоприятных условиях дока-
50
зать его сходимость *. Сильный ученик дол-
жен почувствовать необходимость такого до-
казательства. Метод половинного или деся-
тичного деления на каждом шагу приближает
нас к корню уравнения, заключая его в вдвое
или вдесятеро меньший отрезок, так что нам
обеспечено получение корня с любой наперед
заданной точностью (последовательности длин
отрезков уг и , где I — длина первона-
чального отрезка, стремятся к нулю). Но так
ли обстоит дело с отрезками, получаемыми
при использовании метода хорд? Ниже дан
один из возможных путей доказательства
сходимости метода хорд.
Изучение метода касательных и метода ите-
раций предполагает знакомство учащихся с
производной. В слабых по составу группах
можно ограничиться лишь сообщением фор-
мул и решением нескольких уравнений по
этим формулам, разъясняя существо методов
на чертежах. В сильных группах сходимость
методов должна быть доказана. Метод ите-
раций, условия и доказательство его сходи-
мости учитель найдет в книге «Элементы
вычислительной математики», написанной
С Б. Н о р к и н ы м, Р. Я. Б е р р и, И. А. Ж а-
б и н ы м, Д. П. Полозковым, М. И. Ро-
зенталем и X. Р. Сулеймановой под
редакцией С. Б. Норкина, выпущенной
двумя изданиями в 1960 и 1963 гг. издатель-
ством «Высшая школа» и, по-видимому, чис-
то случайно не вошедшей в список литерату-
ры, приводимый в программе факультатив-
ных занятий 1 2.
Метод касательных состоит в замене гра-
фика функции касательной к графику, кото-
рая проведена в конце отрезка, содержащего
единственный корень функции. Точка пересе-
чения касательной с осью абсцисс окажется
внутри этого отрезка, если функция на этом
отрезке дифференцируема дважды, если пер-
вая и вторая производные функции не меняют
на этом отрезке знака и при этом касатель-
ная проводится через тот конец отрезка, в
котором функция имеет знак произведения
первой и второй производных. В группе, не
очень сильной по составу, достаточно пока-
зать это на чертежах (см. черт. 4) и прове-
сти решение нескольких уравнений методом
касательных. В более сильной группе необхо-
димо доказать сходимость метода касатель-
ных к корню; доказательство приводится
ниже.
1 В этом последнем случае мы считаем нужным упо-
требить на изучение метода хорд два часа учебного
времени.
2 См.: «Математика в школе», 1967, № 2.
Приведем решение уравнения lgx=x —1,5
этим методом. Найдем значение большего
корня, лежащего на отрезке [1,5; 2]. Обра-
зуем функцию у = 1g х — х -f- 1,5. Ее первая
производная у' = -----1 на этом огрезке от-
рицательна. Вторая производная у" = —
всюду отрицательна. Поэтому касательные
проводятся через правые концы отрезков,
содержащих корень. Вычисление идет по фор -
муле
*„+1 = хп -	, где Xt = 2.
У \лп)
Определим корень с точностью до 0,1:
л- 9 У(2) _____9	0,20
2 ~ F(2) “	-0.78 :
= 2 — 0,26= 1,74	1,7,
что, как нам уже известно, является иског
мым. То же самое мы получили бы и при
дальнейших вычислениях: х, = х9 —	=
= 1,74 — 0,000= 1,74; и два соседних прибли-
жения корня совпали.
Ту же задачу решим методом итераций.
Поскольку производная функции у = 1g х-}-1,5
на отрезке [1,5; 2| по модулю меньше еди-
ницы, образуем уравнение х = 1g х -ф 1,5. За
первое приближение корня возьмем х1 = 1,5.
Тогда х2 = 1g х, + 1,5 = 1g 1,5 -f- 1,5 = 1,68,
*з = ,£л2 + 1.5 = 1g 1,68 4- 1,5= 1,73, и два
последовательных приближения корня с точ-
ностью до 0,1 совпали: х = 1,7.
Мы видим, что методы хорд, касательных,
итераций гораздо быстрее привели нас к це-
ли, чем метод проб. Для того чтобы пока-
зать это более выпукло, вычислим всеми
этими методами больший корень уравнения
lgx = x—1,5 с еще большей точностью:
до 0,01 (можно пользоваться логарифмической
линейкой). Поскольку вычисления будут бо-
лее длинными, располагаем их в таблицы.
51
Метод проб
Таблица 1
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
л	хп	Л."1-5	*8 *п	знак у (хл) = = (4) - (3)	положение корня	Хл-Н
					(1,5; 2)	
1	1,9	0,4	0,28	—	(1,5; 1,9)	1,8
2	1,8	0,3	0,26	—	(1,5; 1,8)	1,7
3	1,7	0,2	0,23	+	(1,7; 1,8)	1,75
4	1,75	0,25	0,24	—	(1,7; 1,75)	1,74
5	1,74	0,24	0,241	+	(1.74; 1,75)	1,745
6	1,745	0,245	0,242	—	(1,74; 1,745)	
Ответ: х т 1,74.
В данном случае можно пользоваться на
каждом шаге вычислений одной и той же
формулой:
хя+1 = 2-у(2). у(2^у"(Лл) > где Xj=l,5;
хорд
у (х) = Igx - х + 1,5; у(2)= —0,199.
Поэтому
^„+1— 2	0,199- о ]99+-"(Хя) •
Таблица 2
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)
п	хп	*п - «	1g	у (х„) = = (4) - (3)	2 - (2)	0,199 + (5)	°,199.-1|1	хп+1 = = 2 - (8)
1	1,5	0	0,176	0,176	0,5	0,375	0,265	1,735
2	1,735	0,235	0,239	0,004	0,265	0,203	0,260	1,740
3	1,740	0,240	0,2401	0,0001	0,260	0,1991	0,260	1,740
Ответ: х^1,74.
Отметим, что последнюю строку таблицы можно было бы довести лишь до колонки (5).
Метод касательных
Пользуемся формулой хя+1 — хп
У (Хи)
У'(хп) ’
причем принимаем х,=2. y(x) = lgx — х+
. , с- ,	0,434	,
4-1,5; у' = -4----1.
Таблица 3
(1)	(2)	(3)	(4)	(5>	(6)	(7)	(8)
Л	хп			У (хл) = (4) - (3)	,	0.434 У ~ (2)	*	(5) (б)	
1	2	0,5	0,301	—0,199	—0,783	0,254	1,746
2	1,746	0,246	0,242	—0,004	—0,752	0,005	1,741
3	1,741	0,241	0,241	0,000			
Дальше можно не продолжать, х 1,74.
52
Метод итераций
Здесь представлены оба варианта решения: при Х!=1,5 и при xt=2. хп + j = lg хп + 1,5.
Таблица 4
(1)	(2>	(3)	(4)
п	хп	'gxn	хп + 1 ~ = (3) г 1.5
1	1,5	0,176	1,676
2	1,676	0,224	1,724
3	1,724	0,237	1,737
4	1,737	0,240	1,740
5	1,740	0,240	1,740
(1)	(2)	(3)	(4)
п	хп	1g X h п	лл+« — = (3) + 1,5
1	2	0,301	1,801
2	1,801	0,255	1,755
3	1,755	0,244	1,744
4	1,744	0,242	1,742
5	1,742	0,241	1,741
6	1,741	0,241	1,741
Поскольку два последовательных прибли-
жения совпали, корень найден: x~l,743.
Мы видели, что методы половинного и де-
сятичного делений полезно объединить. То же
можно сказать и о методах хорд и касатель-
ных. Если функция такова, что для отыска-
ния ее корня можно использовать метод ка-
сательных, то и применение метода хорд
упрощается — используется одна и та же ре-
куррентная формула для отыскания новых
приближений корня. При этом оказывается,
что если последовательность приближений
метода касательных убывает, то последова-
тельность приближений метода хорд возра-
стает, и наоборот (сравните, например, чер-
тежи 3 и 4). Тем самым, применяя одновре-
менно оба метода, мы «зажимаем» корень
с обеих сторон во все более узкие отрезки.
Это, между прочим, снимает вопрос об оты-
скании погрешности такого вычисления корня.
Не следует в школе вводить вычисления
объединенным методом хорд и касательных:
таблица получается очень громоздкой. Но
объяснить, почему этот объединенный метод
хорд и касательных часто употребляется на
практике, нужно.
Приведем теперь доказательство сходимо-
сти метода касательных и метода хорд.
Теорема о сходимости метода
касательных. Если функция у = f (х)
дважды дифференцируема на отрезке [«;
И f (а)	f'{x) и f" (х) не меняют
на [а: Ь\ знака, то эта функция имеет
на [а; 6] единственный корень, и он мо-
жет быть вычислен с любой наперед за-
данной точностью по формуле хп + 1 =
f (х )
= хп — р у - г&е — тот конец отрез-
ка ]а; Ь[, в котором f(x) имеет тот же
знак, что и произведение f'(x)f"(x).
Первая часть этой теоремы — существова-
’ Уравнение хп + , — lg хп + 1,5 удовлетворяется
числом хп + 1 — хп — 1,74.
ние корня на \а; Ь] — есть не что иное, как
теорема о существовании на отрезке корня
непрерывной функции, принимающей на кон-
цах отрезка разные знаки. Ее доказательство
можно найти в любом вузовско,м курсе мате-
матического анализа (непрерывность данной
функции следует из ее дифференцируемости).
Вторая часть — о единственности корня —
следует из того, что первая производная не
меняет знака на данном отрезке и, значит,
функция на этом отрезке либо возрастает,
либо убывает (в зависимости от знака первой
производной).
Докажем третью часть теоремы — о стрем-
лении последовательности, задаваемой рекур-
рентной формулой, указанной в условии тео-
ремы, к корню функции. Пусть, для опре-
деленности /(й)<Д, /(6)>0, /'(*)> О
на [a; б}, f"(x)<^0 на [а; б}. Тогда в каче-
стве хг следует принять а, поскольку именно
на этом конце отрезка функция принимает
отрицательное значение, так же как произ-
ведение первой и второй производных. Итак,
рассматривается последовательность + j-=
f(x)
= х —~ , где Xi = а. Докажем вначале,
J (Хп)
что эта последовательность монотонная и ог-
раниченная, а значит имеет предел. Каж-
дый член этой последовательности не боль-
ше, чем корень рассматриваемой функции:
ведь точки оси абсцисс с координата-
ми хъ х2,... имеют пулевые ординаты и ле-
жат на касательных к графику функции у -=
== f (х); поскольку вторая производная отри-
цательна, функция у = / (х) выпукла вверх
и, значит, ни одна точка касательной не мо-
жет лежать под точкой графика; значит,
в этих точках функция не может быть положи-
тельной и в силу ее возрастания все эти точки
не могут превосходить корень функции. Итак,
мы доказали ограниченность нашей последо-
вательности. Заодно выяснилось, что ни в од-
ной точке этой последовательности функция
53
не положительна. Теперь уже нетрудно до-
казать монотонность этой последовательно-
сти: х +1 — хп = — и так как, по до-
J \Хп)
казанному, f (х„) <10 и, по условию (хлХ>0,
то х„ + | — хл^>0. Ограниченность и монотон-
ность последовательности доказаны. Обозна-
чая предел последовательности через А, пе-
реходим к пределу в последнем равенстве:
Д —Д = —-4^-, откуда /(Д) = 0, т. е.
j (л)
предел последовательности оказывается кор-
нем функции f (х) на [а; Ь\. Теорема дока-
зана.
Теорема о сходимости метода
хорд. Если функция f(х) монотонна
и не меняет выпуклости на отрезке [а; Ь],
непрерывна на этом отрезке и имеет
на его концах значения, разные по зна-
ку, то эта функция имеет на [а; Ь} един-
ственный корень, причем он может быть
найден с любой наперед заданной точно-
стью по формуле
+ 1 = с — / (с) /(х")-/(с)'
где хх и с — концы отрезка [а; Ь].
За х, нужно принять а, а за с принять Ь,
если f (х) возрастает и выпукла вниз или
если она убывает и выпукла вверх. В про-
тивном случае роли а ; и b меняются4.
Доказательство. И здесь существо-
вание и единственность корня доказываются
ссылкой на непрерывность и монотонность
f(x), имеющей в точках а и Ь разные по
знаку значения. Остается доказать сходи-
мость к корню последовательности, о кото-
рой говорится в теореме. Пусть снова f (х)
на [а; Ь] возрастает и выпукла вверх. Тогда
хх = b и с = а, т. е. последовательность за-
писывается таким образом:
где
-Ci \	~
+ 1 = « - / («) /(х„)-/(«)’
хх = Ь.
Прежде всего х2^> а, поскольку
-/ (°> /Д;->°-
Одновременно х2<^Ь, так как
= -^>w5W<°-
4 Если бы вдобавок f (х) была на [а; 6] дважды
дифференцируема, то из условия следовало бы по-
стоянство знака у каждой из ее производных; тогда
xt было бы тем концом отрезка fa; 6], на кото
ром f (х) имеет знак, противоположный знаку произ-
ведения этих производных, а с — другим концом от-
резка [a; Ц.
Так что х2 С (а; Ь).
Покажем, что х2 не меньше корня функ-
ции f (х), лежащего на fa; Ь]. Так как х2
изображается точкой оси абсцисс, ее орди-
ната равна нулю; а так как это точка хорды
выпуклой вверх функции, х2 лежит не выше
графика f (х), т. е. f (х2)>-0. Но / (х) воз-
растает на [а; Ь]. Отсюда и получаем, что х2
не меньше корня (это же относится ко всем
хп). Теперь уже нетрудно индукцией дока-
зать убывание и ограниченность рассматри-
ваемой последовательности. Обозначив ее
предел через В, осуществим предельный пе-
реход в ее записи:
В=^а — f (a) f(B) — f(ay
(23 — й) / (Z?) = О,
и, поскольку х не меньше корня f (х) на [а; Ь],
большего, чем число а, Нт хп = В а. Зна-
чит, В — а =/= 0, откуда /(/?) = О, т. е. В —
корень / (х) на [а; Ь\. Теорема доказана.
Рассмотрим, наконец, вопрос о примени-
мости методов проб, хорд, касательных и ите-
раций. Все они применяются для уточне-
ния значения корня, о существовании кото-
рого на {a; Ь\ уже известно. Понятно, что
в школе предварительный поиск корня нужно
вести графическим методом, с чего мы и на-
чинали решение уравнения lgx = x—1,5
в этой статье. Но вот отрезок [а; Ь] с един-
ственным на нем корнем функции / (х) най-
ден. Любой ли из рассмотренных методов
можно применить для уточнения корня?
Метод проб действует безотказно, лишь бы
f (х) была непрерывна на [о; Ь] и меняла на
нем знак.
Что касается метода итераций, то для его
использования нужно представить уравне-
ние f(x)~ 0 в виде х = <р(х), причем тре-
буется, чтобы на [а; й] выполнялось нера-
венство |<р'(х)|<1. Если же |<р' (х)|>1, то
уравнение переписывают в виде х = ф(х),
где ф (х)—обратная функция для <р (х), и поэто-
му ее производная меньше единицы по модулю.
Например, для уточнения этим методом мень-
шего корня уравнения lgx = x—1,5 при-
шлось бы его переписать не в виде х = 1g х +
1,5, а в виде х = 10х- 1,5 и решать по фор-
муле х„ + , = 10х»-1,5 . Решение смотрите
в" конце статьи.
Метод касательных можно использовать,
если / (х) дважды дифференцируема на [а; 6],
причем /'(х) и f" (х) не меняют на [а; Ь\
знаков. Примерно для тех же условий дока-
зана сходимость метода хорд.
Отметим, что если производные функ-
ции f (х) ведут себя подходящим образом
54
лишь на части отрезка [а; й], то для исполь-
зования методов итераций и касательных
приходится отыскивать эту часть отрезка.
Для этого приходится решать неравенство
|//(х)|<^1, если мы хотим воспользоваться
методом итераций, и систему
//(х)=0,
=о,
если мы хотим использовать метод касатель-
ных. В случае, когда решение последней си-
стемы несложно, так следует поступать и при
использовании метода хорд. Отметим, что
это необходимо и для решения уравнения
комбинированным методом хорд и каса-
тельных.
Однако метод хорд оказывается пригодным
для отыскания корня любой функции, непре-
рывной на [а; Ь\ и имеющей на нем единст-
венный корень с переменой в нем знака. Мы
сейчас докажем эту более сложную, чем
предыдущие, теорему. Рекомендуем ее до-
казать при работе с сильной группой. В не
очень сильной группе при наличии времени
эту теорему имеет смысл проиллюстрировать
на чертеже.
Итак, пусть функция f (х) непрерывна на
отрезке [а; £|, принимает в его концах раз-
ные по знаку значения (для определенности
положим /(«)<С0.	и имеет на [а;
единственный корень. Докажем, что и в этих
общих условиях метод хорд дает нам после-
довательность, сходящуюся к корню.
Найдем а?! по формуле
X, = « - / («)/(6)_/(fl) .
Мы доказали уже, не ссылаясь ни на моно-
тонность, ни на постоянство характера вы-
пуклости f (х), что х1 € (а; Ь). Вычислим / (х,).
Если /(Xj) = 0, то корень найден; если
/(х,)<0, то обозначим xt через если
/рС1)>0, то обозначим хг через Ьх. Далее,
найдем х2, рассматривая вместо [а; Ь\ тот из
отрезков [a; xj и [xt; £], на котором функ-
ция f (х) меняет знак, и т. д. Либо мы за
конечное число шагов придем к случаю
/(хп)=>0, и работа на этом окончена, либо
последовательность {хп} окажется бесконеч-
ной. При этом мы получаем две подпоследо-
вательности последовательности {хп}:{afe}
и {£,„}. Нетрудно доказать индукцией, что
{ак} не убывает, а {Ьт} не возрастает и что
каждый член первой подпоследовательности
меньше любого члена второй последоватечь-
ности.
Если {хп] бесконечна, то могут предста-
виться две возможности:
1) в последовательности {х„} лишь одна
из подпоследовательностей {ак} и {Ьт} бес-
конечна;
2) в последовательности {х„} обе подпосле-
довательности {ак} и {£Л1} бесконечны.
Рассмотрим каждую из этих возможностей.
1) Пусть, для определенности, {ак}— ко-
нечная подпоследовательность, а {&т} — бес-
конечная подпоследовательность последова-
тельности {х„}. Тогда {£т}, являясь огра-
ниченной монотонной последовательностью,
имеет пределом некоторое число В. По исчер-
пывании в последовательности {хп} всех чле-
нов подпоследовательности {ак} можно поль-
зоваться формулой
Хп + 1 ;
где ак — последний член подпоследователь-
ности {ак}. Переходя к пределу, получим:
11m х„ = В = ак - f (ак}
или (В — ак) f (В) = 0.
Но В ак, так как f (В) == lim	0,
в то время как /(«*)<0. Следовательно,
f (В) = 0 и {хп} сходится к корню f (х)
на [а; £|.
2) Если {ак} и {£т} — бесконечны, то они
обе имеют пределы как монотонные ограни-
ченные последовательности. Обозначим пре-
дел последовательности {ак} через Л, а предел
последовательности {£т} через В. Очевидно,
А^В. Докажем, что А = В.
Пусть, напротив, А В. Тогда /(Д)<;0<;
f (В), (причем допущение А<^В не позво-
ляет предположить, что /(Д)=0 = /(Д),
так как в этом случае на [а; оказалось бы
два различных корня функции /(х)). Далее
рассматривается случай f (А) <Д<;/(Д).
В силу непрерывности / (х), для любого е > С)
найдутся такие натуральные числа М и К,
что
/(Д)~ е </(#,„)</(Д) + £ при дд>А7,
/(Д) —е </(«*) </(Д) +£ при k~>K,
и, значит, /(Д) —/(Д) - 2е	-f{ak)<
f (Д) — / (А) + 2е при т > 7И и k > К.
Кроме того, известно, что Ьт В, ак А,
т. е. Ьт — ак^- В — А. Выбирая е<С — /(Д),
будем иметь:
-77Г^77акГ>~ (/(А} +
J \°гп) J \ak)
+ е) /(В)-/(у1) + 2с — е1>°-
Но при k>Kx значения А — ак окажутся
меньшими, чем е,. Значит, при т^>М и k
> max {Д'; Д’]} выполняется неравенство
хп — ак =• — f (ak) — v- = ei>	ak,
п * у \ л/ /(М —/(«*)	*
откуда хя> Л.
Аналогично доказывается, что при доста-
точно больших k и т хп оказывается мень-
ше, чем В. Итак, члены последовательно-
сти {хя}, начиная с некоторого п, попадают
внутрь отрезка [A; В] Однако каждый член
последовательности [хп] является либо членом
подпоследовательности либо членом под-
последовательности {йш}. Ни для одного из
них поэтому не может выполняться неравен-
ство А<^хп<^В. Мы пришли к противоре-
чию, опровергающему допущение, что А В.
Итак, А = В, откуда сразу получается,
что 11m хп существует и равен корню / (х)
на [а; й].
Таким образом доказано, что метод хорд
имеет столь же универсальное применение,
как и метод проб.
В заключение приводим таблицы с вычис-
лением меньшего корня уравнения 1g х —
= х—1,5 (с точностью до 0,01). Отметим,
что нам мало знать о его расположении на
отрезке [0; 1], так как функция y = lgx —
— х+ 1.5 в нуле не определена Поэтому
начинаем мы в каждом случае с уточнения
корня методом проб (табл. 5): у(1) = 0,5>0,
У (0,1) = 0,4 > 0, у (0,01) = — 0,51 <0, — так
что корень лежит внутри отрезка [0,01; 0,1].
На этом отрезке 1, у"<0, поэтому ре-
шение методом хорд (табл. 6) ведется по
формуле
X. ♦ , - 0,01 - у (0,01)	. где
х, = 0,1;
решение методом касательных (табл. 7) —
по формуле
хп+1=х-^}, где х1 = 0,01;
решение методом итераций (табл. 8) — по
формуле
лп + 1=10'"-,л
(приведены оба варианта: для х, = 0,01 и для
Xj-0,1).
Метод проб	Таблица 5
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
п	хп	х„_1,5	1g х„	знак у (хп) = = (4) - (3)	положение корня	хи+1
					(0; 1)	
1	0,1	— 1,40	—1 ,£00	+	(0; 0,1)	0,01
2	0,01	—1,49	—2,000	—•	(0.01; 0,1)	0,05
3	0,05	—1,45	—1,301	+	(0 01; 0,05)	0,02
4	0.02	—1,48	—1,699	—	(0,02; 005)	0,03
5	0,03	—1,47	—1,523	—	(0,03; 0,05)	0,04
6	0,04	—1,46	—1,398	+	(0,03; 0,04)	0,035
7	0,035	—1,465	—1,456	+	(0,03; 0,035)	
И так как, 0,03 <1 х <0,035, х^О.ОЗ.
Таблица 6
Метод хорд
Xn+i = 0,01 + 0,51  у^п)^’ф51 W У - 1g х— х 4- 1,5; х, — 0,1.
(0	(2)	(3)	(4)	(5)	(б)	(7)	(8)	(9)
п	хп	хя-1,5	1g хя	у (Х„) = = (4) - (3)	(2) — 0,01	(5) + 0,51		Xn + l = = 0,01 + (8)
1	0,100	— 1,400	—1	0,400	0,090	0,910	0,050	0,060
2	0.060	—1,440	—1,222	0,218	0,050	0,728	0,035	0,045
3	0,А)45	—1,455	—1,347	0,108	0,035	0,618	0,029	0,039
4	0,039	— 1,461	—1,409	0,052	0,029	0,562	0,026	0,036
5	0,036	—1,464	— 1,444	0,020	0,026	0,530	0,025	0,035
6	0.035	—1,465	—1,456	0,009	0,025	0,519	0,025	0,035
Так как два последовательных значения хп совпали, корень найден: х=у0,03.
56
Метод касательных
Таблица 7
v (х„)
x„+t - х„ - у'(Хп)~- гДе У = Igx — х 4- 1,5; х, - 0,01.
(1>	(2)	(3)	(4)	(5)	(б)	(7)	(8)
п	хп	хп ~ ’-З	хп	у (Х„) = = (4) - (3)	.	°.434 , У (Хл’ =-(2Г-1	(5) (6)	хп+1 = = (2) - (7)
1	0,010	—1,490	—2,000	—0,510	42,4	—0,012	0,022
2	0,022	—1,478	—1,658	—0,180	18,7	—0,0096	0,032
3	0,032	—1,468	—1,495	—0,027	12,6	—0,0021	0,034
Два последовательных приближения совпали с требуемой точностью: х^О.ОЗ.
Метод итераций
Таблица 8
(вариант	II вариант						
(1)	(2)	(3)	(4)	(1)	(2)	(3)	(4)
п	хп	х„ - 1,5	хл + 1 »	" 1,5	хп	хп ~ ’-5	х =	“ 1,5
1 2	0,010 0,032	—1,490 —1,468	0,032	1 0,034	2 3 4	0,100 0,040 0,035 0,034	—1,400 —1,460 —1,465 —1,466	0,040 0,035 0,034 0,034
Ответ: х ~ 0,03.
Из опыта преподавания
л. Ф. пичурин те°Рии вероятностей
(г. Томск) и математической статистики
Наша средняя школа пока не имеет опыта
преподавания темы «Начала теории вероят-
ностей» и поэтому может представить интерес
описание попытки изложения курса «Элемен-
ты теории вероятностей и математической
статистики», осуществленной в юношеской
математической школе при Томском педин-
ституте. Возможно, в какой-то степени это
описание послужит отправной точкой для ор-
ганизации факультативных занятий по мате-
матике.
Курс, состоявший из четырех частей, читал-
ся автором настоящей заметки в течение
18 часов (один раз в неделю по одному часу)
учащимся десятых классов, второй год зани-
мавшихся в IOMUI.
На первом уроке была дана краткая исто-
рическая справка и сообщен план курса, пос-
ле чего изучались элементы комбинаторики.
Методика преподавания этой части традици-
онна, содержание же несколько изменено и
сводится к следующему.
Для всей дальнейшей работы исходным
пунктом является понятие множества. Это по-
нятие относится к числу неопределяемых
(аналогично понятиям «точка», «прямая»,
«плоскость» в геометрии). Мы понимаем, что
множество состоит из элементов некоторой
природы, нас не интересующей. Нас интере-
сует лишь одно — принадлежит данный объ-
ект множеству или не принадлежит. Мы мо-
жем говорить о множестве учащихся данного
57
класса, о множестве деревьев в лесу, о мно-
жестве точек прямой и т. д. Сразу же замечу,
что и здесь и в дальнейшем важно не запо-
минание каких-либо фактов, определений
и т. д., а понимание сущности дела, поэтому
пет необходимости приводить много приме-
ров— задача учителя в том, чтобы услышать
эти примеры от учащихся.
Далее выясняются понятия бесконечного,
конечного и пустого множеств. Ближайшая
цель--изучение некоторых операций над ко-
нечными множествами. Операции эти заклю-
чаются в составлении различных под-
множеств из элементов данного множества.
Самая простая из этих операций — упорядо-
чение множества, под которым понимается
установление отношения «следовать за...».
Ввести ее можно на простом примере. Имеет-
ся набор из четырех шариковых карандашей:
красного (к), зеленого (з), синего (с) и чер-
ного (ч). Надо раскрасить ими диаграмму из
четырех столбцов так, чтобы каждый столбец
был окрашен в определенный цвет. Возника-
ют два вопроса: как это сделать и сколькими
способами это можно сделать? Нетрудно убе-
диться, что это можно сделать только сле-
дующими	24 способами:		
кзсч	зксч	скзч	чкзс
кзчс	зкчс	скчз	чксэ
ксзч	зскч	сзкч	43 КС
ксчз	зсчк	сзчк	чзск
кчзс	зчкс	счкз	чсзк
кчсз	зчск	счзк	чскз
Действительно,		первым по	порядку может
быть любой из элементов. Следовать за ним
может любой из оставшихся после выбора
первого, следовать за вторым может любой
из оставшихся после выбора второго, следо-
вать за третьим может любой из оставшихся
(в нашем примере остается один) элементов.
Других способов нет, число же способов ока-
зывается равно произведению 4-3-2-1=24.
Очевидно, если множество содержит не 4, а
п элементов, то рассуждение лишь удлиняет-
ся, не меняясь по существу.
Вводится определение: Упорядочен-
ное множество, составленное из всех п эле-
ментов данного множества, называется пере-
становкой п элементов. Число всех возмож-
ных перестановок элементов данного множе-
ства обозначается символом Рп и может быть
найдено по формуле Рп = п!, где п\ есть со-
кращенная запись произведения п натураль-
ных сомножителей от 1 до п (читается п фак-
ториал).
Метод математической индукции не исполь-
зуется ни здесь, ни далее, ибо некоторая по-
теря строгости доказательства (всегда отно-
сительной!) компенсируется выигрышем во
времени и простотой и убедительностью рас-
сказа учителя, более всего апеллирующего к
наглядной интерпретации излагаемых фактов.
Вторая операция — образование упорядо-
ченных подмножеств данного множества.
Пусть при тех же исходных условиях требу-
ется раскрасить диаграмму из двух столбцов.
Возникают те же два вопроса. Здесь первым
по порядку в любом из подмножеств может
быть любой из четырех элементов. Следовать
же за ним может любой из оставшихся трех
элементов. Значит, задача имеет 12 решений,
ибо на втором шаге работа по составлению
подмножеств заканчивается. Существенно,
что теперь в подсчетах участвуют 2 числа —
число элементов данного множества и число
элементов его упорядоченного подмножества.
С целью экономии места здесь не приводятся
дальнейшие рассуждения, приводящие к фор-
муле для вычисления количества размещений
из п элементов по k элементов в каждом.
Совершенно аналогично на том же примере
вводятся сочетания как неупорядоченные
подмножества данного множества, содержа-
щие ровно k элементов, и формула
гк	п(п — 1).. .(п — k 4- 1)
Pk	k\
Формулы
=	С;=1,	=
били введены в качестве упражнений.
Изучение этих вопросов заняло 2 урока,
следующие же 2 урока были посвящены изу-
чению некоторых свойств биномиальных
коэффициентов.
Прежде всего составляется треугольная
таблица, элементами которой служат числа
всех возможных сочетаний, взятых из данных
п элементов, сначала по 0, затем по 1, по 2,
по 3 и т. д. до п. В первой строке п = 0, во
второй п = 1, в третьей п = 2 и т. д. В вычис-
лениях, разумеется, используются полученные
на предыдущем уроке формулы.
q;=i
С°=1 С[ 1
q=l С’=2 q=l
с° 1 с* = з q=3 сз=1
c«=i q = 4 q = 6 сз = 4 q=i
Для дальнейшего интересно изучение некото-
рых свойств этой таблицы, поэтому целесо-
образно выписать в том же порядке сами чис-
58
ла без соответствующих им символов. В ре-
зультате получается треугольник Паскаля:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
Легко заметить, что числа каждой последую-
щей строки треугольника получаются сложе-
нием соответствующих пар чисел предыду-
щей строки. Но этим не исчерпываются лю-
бопытнейшие свойства треугольника, из кото-
рых отмечаются лишь 3, необходимые в даль-
нейшем. Во-первых, число элементов строки
равно увеличенному на 1 числу элементов
исходного множества. Во-вторых, сумма чи-
сел п-й строки равна 2”. Третье свойство свя-
зано с совершенно другой областью алгеб-
ры — возведением в степень двучлена. Дей-
ствительно, при возведении в степень суммы
чисел р и q получаются следующие резуль-
таты:
(р + v)° =
(р + <7)‘ = Р + <?:
(Р + <7)2 = Р~ + %pq + q2',
(Р + q)3 = Р3 + 3p2q + 3pq'2 + q3;
(p + qY = Рл + ^P3q + bp2q2 +
+ ^pq3 + q\
Закон изменения показателей степеней чисел
р и q очевиден, нетрудно заметить и то, что
коэффициентами являются члены соответ-
ствующих строк треугольника Паскаля. Те-
перь можно записать вообще
(р + <7)" = С°пРп + C'npn~'q + ... +
+ V + • - • + C^pq"-' + C«v".
Полученная формула (конечно, не доказан-
ная, но вполне убедительно объясненная)
носит название формулы бинома Ньютона.
Остается рассмотреть геометрическую
интерпретацию треугольника Паскаля, заклю-
чающуюся в следующем. Пусть нулевой стро-
ке треугольника соответствует прямоуголь-
ник с основанием АВ и высотой АС. Интер-
претацией первой строки будут два прямо-
АВ
угольника с основаниями и высотами
2-С?-ЛС	2-С\-АС
---2i---- и —2?  (получается тот же пря-
моугольник). Вторая строка порождает три
АВ
прямоугольника с основаниями —у и высо-
ЗС2-АС 3-С2-АС	3-С22-АС
тами—™------, -—да  и —os-----• Третьей
строке соответствует ступенчатая фигура из
АВ
четырех прямоугольников с основаниями —~
4-Cg-AC 4-С^АС 4-Cl-AC
и высотами —2S------» ----’ ~~2S---------’
4-Cl-AC
---~— (черт. 1). Вообще, п-й строке соот-
Черт. 1
ветствует фигура, состоящая из п -f- 1 пря-
АВ
моугольника с основаниями, равными п у
(п + 1)-С*-ЛС
и высотами, равными --------------. Практи-
чески построение в классе доводится до
п = 8, так как дальнейшая работа становит-
ся затруднительной. Учителю же следует
подготовить иллюстрацию для достаточно
большого п, например, для п — 12 (черт. 2).
Черт. 2
В этом случае ломаная начинает приобре-
тать весьма характерный вид — «палаточную»
форму. Важно отметить, что при таком по-
строении площадь ступенчатой фигуры не за-
висит от п и остается постоянной при не-
ограниченном увеличении п. А если п—*-оо?
К этой мысли придется вернуться позднее,
а пока можно считать законченной подгото-
вительную работу к изучению теории веро-
ятностей.
Основной раздел темы занимает 6 уроков и
начинается с классического определения ве-
роятности, вводимого на классическом при-
мере с бросанием монеты. Бросается вверх
монета. При падении она может оказаться в
двух положениях — либо гербом вверх, либо
гербом вниз, причем, так как на движение мо-
неты действует ряд причин, которые заранее
учесть невозможно, то невозможно и указать
заранее, какое положение будет иметь место
при очередном подбрасывании. Твердо можно
заранее утверждать лишь то, что какое-то од-
но из положений (событий) будет иметь ме-
сто. Обозначим появление герба знаком р,
непоявление герба — знаком q. При одном
бросании возможны два события:
Р и <7-
Если же бросать монету 2 раза, то возможны
следующие результаты:
рр, pq, qp, qq.
События pq и qp аналогичны и поэтому, если
еще договориться, что повторное появление
герба обозначается символом р2, а повторное
непоявление символом q2, то четыре исхода,
возможные при двух бросаниях монеты, мож-
но записать так:
р2, 2pq, q2.
Если бросать монету 3 раза, то возможны
уже 8 событий:
ppp, ppq, pqq, qqq,
pqp. qpq,
qpp, qqp,
t. e.
p3, 3p2<7, 2>pq2, q3.
В случае четырех бросаний получим
р4, 4p3q, 6p2q2, 4pq3, q\
Все это очень напоминает треугольник Паска-
ля и бином Ньютона. Попытаемся глубже
разобраться в сущности наблюдаемых яв-
лений.
Рассмотрим множество всевозможных ре-
зультатов опыта. Произвольный набор ре-
зультатов опыта назовем событием. Событие,
в которое входят все результаты опыта, назо-
вем достоверным событием, событие, в кото-
рое не входит ни один результат опыта, назо-
вем невозможным событием.
Множество, состоящее из всех событий, на-
зывается полем событий, а его элементы —
случайными событиями. В последнем примере
опытом является четырехкратное бросание
монеты, случайными же событиями являются,
например, выпадение герба 4, 3 (в четырех
возможных перестановках), 2, 1 и ни одного
раза.
Естественна постановка следующего вопро-
са: как часто появляется то или иное собы-
тие? Часто ли, например, при трех бросаниях
монеты 2 раза выпадет герб? На этот вопрос
можно ответить следующим образом. Из
8 результатов опыта ни один не обладает
преимуществом перед другими, иными слова-
ми, результаты опыта равновозможны. Зна-
чит, ответом на интересующий нас вопрос мо-
жет служить дробь 3/8 (из 8 возможных слу-
чаев в 3 произойдет интересующее нас
событие). Отсюда определение: Вероят-
ностью события А называется отношение чис-
ла возможных результатов опыта, благопри-
ятствующих этому событию, к числу всех
возможных результатов опыта. Вероятность
невозможного события равна 0, вероятность
достоверного события равна 1, вероятности
всех иных событий ограничены этими числа-
ми, т. е., если обозначить вероятность собы-
тия А символом Р(А), то
О С Р(А) < 1.
Затем в классе было решено несколько
упражнений на непосредственный подсчет ве-
роятностей по определению, причем уровень
трудности этих упражнений очень невысок, о
нем можно судить по наиболее трудному
упражнению следующего содержания: на од-
ной полке расставлены наудачу 12 книг.
Определить вероятность того, что при этом
3 нужные некоторому читателю книги оказа-
лись поставленными рядом.
Решается эта задача следующим образом.
Всего возможно 121 способов расставить
12 книг. 3 книги можно расставить 3! спо-
собами, остальные 9 книг можно расставить
9! способами. Интересующие нас книги могут
быть поставлены между какими-то из 9
остальных или справа (слева) от них еще
10 способами. Таким образом, число резуль-
татов, благоприятствующих интересующему
пас событию, выражается числом
10 • 9! • 31,
следовательно, искомая вероятность
р 10-9S-3!	1
12!	22'
Теорема сложения вероятностей вводится
также на конкретном материале. Пусть тре-
буется определить, какова вероятность при
трехкратном подбрасывании монеты иметь не
60
менее 2 раз выпадение герба. Вероятность
точно двукратного выпадения герба равна 3/8,
но здесь благоприятным событием является
также трехкратное выпадение герба, вероят-
ность которого равна */8. Таким образом, бла-
гоприятных возможностей оказывается 1 + 3,
а равновозможных остается 8, искомая веро-
ятность оказалась равной сумме вероятностей.
Отсюда вероятность события, состоящего из
нескольких несовместных событий, равна сум-
ме вероятностей этих событий.
Следующий шаг — изучение теоремы умно-
жения вероятностей.
Задача. Замечено, что из каждых деся-
ти выстрелов по мишени стрелок Л1 дает 7 по-
паданий, а стрелок N — 6 попаданий. Стреля-
ют оба. Какова вероятность, что обе пули по-
падут в мишень?
По определению вероятности, вероятность
поражения мишени первым стрелком равна
7/ю, вторым ®/]0. Знаменатели дробей — числа
равновозможных исходов для каждого из ис-
пытаний (выстрелов). Каждому исходу 1-го
может соответствовать любой из исходов 2-го,
следовательно, число всех равновозможных
исходов равно произведению знаменателей
дробей-вероятностей (в рассматриваемом при-
мере 10 • 10 = 100). Число же благоприятных
исходов равно произведению числителей дро-
бей (7-6 = 42). Искомая вероятность равна
0,42, она могла быть найдена умножением
вероятностей отдельных независимых друг от
друга событий — вероятности попадания 1-го
стрелка на вероятность попадания 2-го стрел-
ка. Это рассуждение приводит к формулиров-
ке следующей теоремы умножения веро-
ятностей: Вероятность совместного появления
независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий.
С целью экономии места я не буду приво-
дить содержание тех упражнений, которые
были решены для закрепления изученного
раздела, кроме последнего, приводящего к
схеме Бернулли.
Задача. В сосуде имеется 5 белых и
15 черных шаров. Испытание заключается в
том, что вынимается наудачу шар, записы-
вается его цвет и шар вновь опускается в со-
суд. После этого шары перемешиваются и
испытание повторяется. Какова вероятность
того, что при трех испытаниях будут вынуты
2 черных и 1 белый шар?
Пусть б — событие, состоящее в появлении
белого шара, его вероятность р = 'Д. ч — со-
бытие, состоящее в появлении черного шара,
его вероятность q = 15/2о = 3А, или 9=1 —
— */< = J/4- При трех испытаниях возможны
следующие исходы: ббб ббч бчб чбб ччб чбч
бчч ччч. Их вероятности есть вероятности
сложных событий, и вычислять их надо по
теореме умножения, а так как условию зада-
чи отвечают 3 исхода, то отыскиваемая ве-
роятность будет суммой трех слагаемых.
Итак, отыскиваемая вероятность
р = 3/?192 = 3~('-^-¥ =
/ v 4 \ 4 /	64
Вообще говоря, рассмотренная задача при-
водит к следующей, часто встречающейся
ситуации. Пусть некоторое событие А имеет
вероятность Р(А) = р, противоположное со-
бытие в этом случае имеет вероятность
9=1 — р. Вероятность того, что при п испы-
таниях событие А произойдет ровно х раз, мо-
жет быть найдена по формуле
P„(x) = C-pV <
Совокупность Рп(х) при х = 0, 1, 2,.... п на-
зывается биномиальным распределением ве-
роятностей или распределением Бернулли,
а выполненное выше рассуждение — схемой
Бернулли, по имени выдающегося швейцар-
ского математика Якоба Бернулли.
Схема Бернулли является важнейшим раз-
делом всей изучаемой темы не только по су-
ществу, но и из чисто педагогических сообра-
жений, ибо здесь мы имеем замечательный
синтез всего ранее изученного материала:
элементов комбинаторики с биномом Ньюто-
на и треугольником Паскаля, определения
понятия вероятности, двух важнейших тео-
рем о сложении и умножении вероятностей.
На этом стоит задержать внимание учащихся,
поставив, например, следующие вопросы. Ка-
кому числу равна сумма всех Рп(х)’> В чем
вероятностный смысл равенства этой суммы
единице? А если отвлечься от теории вероят-
ностей и взглянуть на эту сумму с чисто ариф-
метической точки зрения, то как можно объ-
яснить этот ответ? Каким образом этот факт
согласуется с постоянством площади изучен-
ной ранее ступенчатой фигуры?
Еще одна задача. Установлено, что око-
ло 30%' женщин носят обувь 36 размера.
В магазин npt шло 290 покупательниц. Найти
вероятность того, что 75 из них потребуется
именно 36 размер.
Вероятность того, что одной покупательни-
це потребуется 36 размер р = 0,3, вероятность
противоположного события 9 = 0,7. От зада-
чи, приведшей нас к распределению Бернулли,
эта задача отличается лишь фабулой, поэтому
искомая вероятность может быть найдена по
формуле:
Р290 (75) = С^|0-0,375-0,7215.
61
К сожалению, ответ на вопрос задачи выра-
жен через факториалы столь значительных
чисел, что вычисление становится затрудни-
тельным. На помощь можно привлечь форму-
лу вычисления факториалов, носящую имя
английского математика Джемса Стир-
линга:
п\^(^уу2кп.
Эта формула дает хорошие приближения для
п\ уже при малых значениях п. Попробуем
применить формулу Стирлинга для вычисле-
ния 6!
In п\ л (In л — 1) + ~ (In п + In т In 2).
Применяем таблицы:
6 (In 6 — 1) = 6-0,7918 = 4,7508
0,5 In 6 = 0,5-1,7918 = 0,8959
0,5 In « = 0,5-1,1447 = 0,5724
0,5 In 2 = 0,5 -0,6931 =0,3465
In 6!^
6,5656
Отсюда 61^712, ошибка составляет 1,1%.
С ростом п относительная ошибка приближен-
ной формулы становится еще меньше. Реше-
ние задачи о покупательницах теперь стано-
вится возможным и составляет прекрасный
материал для домашней работы, в классе же
следует отметить, что и по формуле Стирлин-
га вычисления не слишком легки, особенно
потому, что применение формулы никак не
облегчило возведение вероятностей в высо-
кие степени.
Оказывается, есть еще один путь — вычис-
ление вероятностей по следующей формуле:
У ZTtCJ
где с = ~\Г пpq (р1 называется дисперсией),
а = пр (а называется математическим ожи-
данием). Для функции
составлены специальные таблицы. С помощью
таблиц можно довести до конца решение по-
следней задачи:
1	_ (75—290-0,3)а
Р290 (75) ~-----7— Л	• е 2-290-0,7-0,3 =
290	'	/2л/290-0,7-0,3
1 1 _.<75-?7)а- 1
= —— • —— е	2-51 = —7=^ х
у 01	/2л	/61
х —• е~ 4- ‘-1'54’’ 0,016.
/2л
В чем смысл столь незначительной вероят-
ности? Действительно, здравый смысл под-
сказывает, что очень маловероятно, что имен-
но 75 покупательницам понадобится заранее
указанный размер обуви. В связи с этой за-
дачей было бы интересно поставить и дру-
гую — какова вероятность, что обувь 36 раз-
мера потребуется не более, чем 75 покупатель-
ницам? На этот вопрос можно ответить двумя
Х=75
путями. Либо найти У Р2^{х), что доволь-
но утомительно (на первый взгляд кажется,
что надо найти сумму 76 слагаемых, в дей-
ствительности более 40 из них практически
равны нулю, но все же вычислений слишком
много), либо воспользоваться вновь специаль-
ными таблицами. В классе эти вычисления
не выполняются, хотя результат их (вероят-
ность оказывается порядка 6%) желательно
сообщить и, что особенно важно, объяснить
его практическое значение.
Учащиеся сами устанавливают свойства
функции f (х).
а)	Область определения функции есть мно-
жество действительных чисел.
б)	Функция принимает только положитель-
ные значения, причем наибольшее из них до-
стигается при х = 0, оно равно )— = 0,399.
у 2л
в)	Если л = то *0-
г)	При —со</х<0 функция возрастает,
при 0 < х < со — убывает
д)	Функция четна, непериодична.
Черт. 3
62
Остается построить график (черт. 3), составив для этого следующую таблицу:
X	0	±0.5	±1.0	±1.5	±2,0	±2.5	±3,0
хг	0	0,25	1,0	2,25	4,0	6,25	9,0
0,5 Xs	0	0,125	0,500	1,125	2,000	3,125	4,500
	— X1 е 2	1	0,882	0,606	0,325	0,135	0,044	0,011
/(х)	0,399	0,352	0,242	0,130 j	0,054	0,018	0,004
Порядок заполнения первых трех строк
таблицы очевиден, значения 4-й получены из
таблиц функции е~х (она имеется в боль-
шинстве справочников по математике), зна-
чения 5-й строки получаются на счетной ли-
нейке (одной установкой!).
Строить график следует на миллиметровой
бумаге со строгим соблюдением масштаба
по обеим осям (на доске целесообразно взять
масштаб по оси ординат в 8—10 раз больший,
чем по оси абсцисс, чтобы подчеркнуть ха-
рактерную форму кривой). Используя милли-
метровую бумагу как палетку, можно убе-
диться, что площадь фигуры, ограниченной
осью абсцисс и кривой / (х), равна единице
площади (следствие из интеграла Пуассона
I е 2 с?х=У2т:). Необходимо также обра-
— со
тить внимание на тот факт, что при х=3
f (х) практически равна нулю («правило За»).
Вот теперь-то и надо вернуться к ступенча-
той фигуре, иллюстрирующей треугольник
Паскаля. Оказывается, график функции f (х)
и представляет собой предельную конфигу-
рацию этой фигуры при п—»оо. В курсе ма-
тематического анализа будет дано строгое
обоснование этого интересного соответствия,
сейчас же этим пояснением придется ограни-
читься.
Остается выяснить аналитический смысл
параметров а и а. Впрочем, смысл а очеви-
ден — это сдвиг по оси абсцисс (полезно срав-
нить с функциями (х — a)2, sin (х — а) и т. д.).
Сложнее с параметром а. С одной стороны,
1
а входит в множитель /._ , значит, с ро-
у
стом а кривая становится равномерно более
«низкой». С другой стороны (и это в неко-
тором смысле главное), а входит в выраже-
1 х*
ние е 2 а’ . Для больших а показатель
Ха	и
— гг-г- становится по абсолютной величине
2а2
1 х2
меньшим и кривая е 2 qS трансформируется
в неравномерно более «высокую». Это двой-
ное влияние параметра а на характер кривой
окончательно сказывается в том, что при
больших а кривая будет более «расплющен-
ной», а при малых — более «выпуклой».
Только что приведенное рассуждение, не
выдерживающее критики со стороны ревни-
телей математической строгости, обязатель-
но подкрепляется вычислениями и построе-
ниями кривых для а = 0,5 и а = 2,0.
С выяснения физического смысла парамет-
ров а и а начинается третий раздел темы —
элементы математической статистики.
Изученная функция обладает еще одним
замечательным свойством — она с высокой
степенью точности описывает явления, проис-
ходящие при измерении величин, причем из-
мерение понимается здесь в самом широком
смысле.
Что характерно для обычного, «нормально-
го» процесса измерения, выполняемого в боль-
шинстве случаев с ограниченной степенью точ-
ности? Произведя достаточно большое число
(п) измерений неизвестной величины х, полу-
чают п значений (xj) этой величины, вообще
говоря, отличных друг от друга. Эти значе-
ния, расположенные в неубывающем или не-
возрастающем порядке
Xi Ха х3 ...	xn—i	xn>
составляют вариационный ряд. За наиболее
близкое к истинному значению измеряемой
величины обычно (не всегда!) принимают
число
х, 4- х2 4- х, 4- ... + x„-i 4- хп
п
(среднее арифметическое). Разность между
результатом отдельного измерения и средним
арифметическим х,- — а называют отклонением
или ошибкой отдельного измерения. Нетруд-
но заметить, что для вариационного ряда, воз-
никающего при измерении, выполняются три
закономерности.
63
а)	Ограниченность — можно указать наи-
большее и наименьшее значение, иными сло-
вами, можно указать наибольшую ошибку.
б)	Симметричность — ошибки, одинаковые
по абсолютной величине, ио противополож-
ные по знаку, встречаются одинаково часто.
в)	Неравномерность — меньшие ошибки
встречаются чаще, чем большие.
В качестве первого примера вариационного
ряда целесообразно взять какие-либо опуб-
ликованные данные, так как результаты не-
посредственных измерений, выполненных в
классах 30—40 учащимися, могут оказаться
неубедительными из-за малого их количества.
Вот один из возможных примеров (заим-
ствован из книги В. Ю. Урбаха «Матема-
тическая статистика для биологов и медиков»,
изд. АН СССР, М.. 1964).
В результате измерения длин 100 взятых
наудачу зерен пшеницы получен следующий
вариационный ряд:
5,18 5,33	5,38	5,42	5,44	5,46	5,49	5,54	5,62
5,23 5,33	5,39	5,42	5,44	5,46	5,50	5,54	5,64
5,24 5,34	5,39	5,42	5,44	5,46	5,50	5,54	5,66
5,26 5,34	5,39	5,43	5,45	5,47	5,50	5,55	5,69
5,26 5,35	5,40	5,43	5,45	5,47	5,50	5,55
5,28 5,36	5,40	5,43	5,45	5,47	5,51	5,55
5,28 5,36	5,40	5,43	5,45	5,47	5,51	5,57
5,29 5,36	5 0	5,43	5,45	5,47	5,52	5,58
5,30 5,37	5,41	5,44	5,45	5,47	5,52	5,58
5,31 5,37	5,41	5,44	5,45	5,48	5,52	5,59
5,32 5,37	5,41	5,44	5,46	5,48	5,52	5,60
5,32 5,38	5,42	5,44	5,46	5,48	5,53	5,61
Здесь п = 100, Xj — 5,18, х100 = 5,69, а = 5,44.
Легко убедиться, что все три закономерности,
отмеченные выше, здесь выполняются. Но,
оказывается, можно пойти гораздо дальше.
Разобьем вариационный ряд на произвольное
число частей (обычно нечетное, порядка
7—13), например, на 11 частей, начав с числа,
меньшего хь и закончив числом, большим
х1Оо- Здесь удобно начать с 5,175 и закончить
числом 5,725, тогда ширина каждого интерва-
ла будет составлять 0,05. В каждый интервал
будет попадать некоторое количество резуль-
татов измерений («вариант»), а именно: в ин-
тервал 5,175—5,225— 1 варианта, 5,225—
—5,275 — 4 варианты, 5,275—5,325 — 7 ва-
риант и т. д. Результат этого разбиения и
подсчета можно проиллюстрировать графиче-
ски, если по оси абсцисс отложить в некото-
ром масштабе значения вариант и отметить
границы интервалов, и на каждом интервале
построить прямоугольник, высота которого
пропорциональна количеству вариант, попав-
ших в этот интервал. Получившаяся фигура
носит название гистограммы (черт. 4). По
форме она очень напоминает уже встречав-
шуюся ступенчатую фигуру, иллюстрировав-
Черт 4
шую биномиальное распределение вероятно-
стей. Но биномиальное распределение при
больших п описывалось функцией Р(х).
Во многих случаях распределение ошибок
ведет себя аналогично: гистограмма хорошо
аппроксимируется «нормальной кривой рас-
пределения»
1 (х-ау
g (х) = е 2»>
у Z7TG
(см. черт. 3). В таких случаях остается на-
учиться определять параметры а и о.
При х = а Р(х) имеет максимум. Гисто-
грамма же имеет максимум при х=-~
Это число тоже обозначено буквой а. Иначе
говоря, первый параметр вычисляется как
арифметическое среднее результатов отдель-
ных измерений.
Параметр а характеризует форму кривой,
значит вычисление его должно быть как-то
связано с качеством измерения, ибо именно
оно влияет на форму гистограммы — чем точ-
нее измерение, тем компактнее, уже, выше
будет гистограмма и тем, соответственно,
должно быть меньше значение о, и наоборот.
Качество же измерения, величина рассеива-
ния результатов измерения обычно характе-
ризуется числом
- а?.
1=1
Принято обозначать это число символом а2
и называть его дисперсией (по латыни disper-
sio — рассеяние). Корень квадратный из дис-
персии (о) называется средним квадратиче-
ским отклонением. В рассматриваемом при-
мере а2 = 0,0086 и о = 0,093. Уравнение кри-
вой, «сглаживающей» неровности гистограм-
мы, теперь можно записать в виде
1	_ (у-5-44)’
Р (х) — ------— е 2-0,0086
0.093у' 2г.
График этой функции наносится учителем на
гистограмму.
64
Итак, теперь имеется метод обработки ре-
зультатов измерений, позволяющий решать
разнообразные практические задачи. Даль-
нейшее изучение вопросов статистики и сво-
дится к решению практических задач по об-
работке результатов реально выполненных
экспериментов. Такими результатами являют-
ся данные лабораторных измерений по физи-
ке и химии, данные измерения отрезков и пло-
щадей. Полезно решение задач антропометри-
ческого характера — распределение роста и
веса юношей и девушек класса (отдельно),
размаха их рук, спортивных достижений
и т. д. Очень интересны задачи биологическо-
го характера—оценка средних размеров зе-
рен, распределение веса различных продуктов
сельскохозяйственного производства. Короче
говоря, количество упражнений здесь неогра-
ничсно, материал для них — вокруг нас.
В четвертый раздел темы были включены
вопросы, очень интересные сами по себе, но,
несомненно, выходящие за рамки желатель-
ной для школы программы: сравнение вариа-
ционных рядов, критерий Стьюдента, довери-
тельные интервалы, распределение Пуассона,
логнормальное распределение и его приложе-
ние к анализу структуры текста произведений
художественной литературы.
О проведении факультативных
м с мацкин занятий по математике в VII-
(Волгоград) VIII классах
В настоящей заметке я хочу поделиться
опытом проведения факультативных занятий
по математике в VII и VIII классах средней
школы № 8 Волгограда.
В соответствии с учебными планами на фа-
культативные занятия по математике в
VII классе было выделено 35, в VIII классе —
70 учебных часов.
В VII классе изучался следующий мате-
риал:
1)	Дополнительные вопросы ариф
метики целых чисел	— 15 час.
2)	Первоначальные понятия ма-
тематической логики	— 6 »
3)	Решение задач из различных
разделов математики	— 14 »
В VIII классе рассматривались следующие
темы:
1)	Дополнительные вопросы ариф-
метики целых чисел	— 17 час.
2)	Действительные числа	— 8 »
3)	Вопросы измерения геометри-
ческих величин	— 12	»
4)	Множества и операции над
ними	— 6	»
5)	Решение задач повышенной
трудности	— 27	»
Тема «Дополнительные вопросы арифмети-
ки целых чисел» в VII и VIII классах рас-
сматривалась в соответствии с рекомендация-
ми профессора А. И. Маркушевнча (см.:
«Математика в школе», 1967, № 4). Указан-
ный материал с интересом воспринимался
учащимися. В VIII классе изучение темы бы-
ло завершено обзорной лекцией «О некоторых
нерешенных проблемах теории чисел» (была
использована книга известного польского ма-
тематика Вацлава Серпинского «Сто простых,
но одновременно и трудных вопросов арифме-
тики», Учпедгиз. 1961). Материал, изученный
в теме «Дополнительные вопросы арифмети-
ки целых чисел» в VIII классе, был использо-
ван при изучении следующей темы «Действи-
тельные числа».
В VII классе учащиеся с большим интере-
сом воспринимали первоначальные понятия
и символику математической логики. Озна-
комлению школьников с терминами и симво-
лами математической логики предшествовало
решение ряда задач с помощью логических
рассуждений. Затем учащиеся познакомились
с основными логическими операциями (дизъ-
юнкцией, конъюнкцией, отрицанием) и их
свойствами. При введении каждой логиче-
ской операции давалось ее физическое истол-
кование. Учащиеся познакомились с преобра-
зованиями логических формул, научились до-
казывать эквивалентность логических формул
как с помощью составления таблиц истинно-
сти, так и с помощью преобразования фор-
мул. После этого решали задачи с помощью
аппарата математической логики. В частно-
сти, рассматривались и некоторые задачи, ре-
шавшиеся ранее путем проведения логиче-
ских умозаключений.
3 Математика и школе № 5
65
Учащиеся поняли, что методы математиче-
ской логики облегчают решение многих за-
дач
В VIH классе было уделено большое вни-
мание изучению темы «Действительные чис-
ла». Для того чтобы подготовить восьмикласс-
ников к введению иррациональных чисел, к
понятию действительного числа, повторялась
тема «Рациональные числа». В процессе по-
вторения учащиеся познакомились с понятием
числового поля и убедились в том, что множе-
ство всех рациональных чисел образует чис-
ловое поле (с понятием числового кольца уче-
ники познакомились при изучении предыду-
щей темы).
Было выяснено, что всякое рациональное
число можно представить единственным обра-
зом в виде бесконечной периодической деся-
тичной дроби (если не рассматривать перио-
дические дроби с девяткой в периоде). После
этого были определены действия сложения и
умножения рациональных чисел, записанных
в виде бесконечных периодических дробей,
так как это обычно делается для сложения и
умножения действительных чисел. Было по-
казано, что вновь определенные действия
сложения и умножения приводят к тем же
результатам, что и определенные обычным
образом действия над соответствующими
обыкновенными дробями
Большое внимание было уделено подбору
примеров.
После того как была рассмотрена необхо-
димость введения новых чисел, определение
иррациональных чисел как бесконечных непе-
риодических десятичных дробей не вызвало
у учащихся никаких трудностей. Приятно от-
метить, что учащиеся почти самостоятельно
давали определения сравнения действитель-
ных чисел и действий сложения и умножения,
чему содействовала подготовительная работа,
проведенная при повторении рациональных
чисел.
Сравнение действительных чисел и действия
над действительными числами определя-
лись вначале для положительных, а затем и
для любых действительных чисел.
Учащимся было сообщено, что множество
всех действительных чисел образует числовое
поле. Отмечалось, что во множестве действи-
тельных чисел справедливы основные зако-
ны арифметических действий.
После введения действительных чисел уча-
щиеся вернулись к задаче об измерении от-
резков Было сформулировано, что значит из-
мерить отрезок, и указано, что действитель-
ных чисел достаточно для решения этой зада-
чи. Учащиеся познакомились с аксиомами
Архимеда и Кантора, на основании которых
устанавливается взаимно однозначное соот-
ветствие между множеством действительных
чисел и множеством точек прямой линии.
Вопросы измерения площадей многоуголь-
ников и измерения объемов многогранников
рассматривались по единому плану. Вначале
формулировалась задача, что значит устано-
вить измерение площадей многоугольников
(или объемов многогранников). По аналогии
с измерением отрезков учащиеся формулиро-
вали эти задачи почти самостоятельно.
Далее учащимся сообщалось, что соответ-
ствующая задача может быть решена и при-
том единственным образом при выбранной
единице измерения (это можно доказать). За-
тем обосновывались формулы для вычисления
площадей отдельных видов многоугольников.
Прежде всего был повторен вывод формулы
для площади прямоугольника, когда измере-
ниями его являются любые положительные
рациональные числа, и подробно рассмотрено
доказательство справедливости полученной
формулы для случая, когда измерениями пря-
моугольника являются любые положительные
действительные числа. Далее выводились из-
вестные учащимся формулы для вычисления
площадей многоугольников в порядке, не-
сколько отличном от традиционного (площадь
прямоугольного треугольника, любого тре-
угольника, любого многоугольника, и в част-
ности параллелограмма, ромба, трапеции).
При изучении объемов многогранников уча-
щиеся вспомнили вычисления объема прямо-
угольного параллелепипеда с рациональными
измерениями, затем остановились на вычисле-
нии объема прямоугольного параллелепипеда
с любыми действительными измерениями. Да-
лее были получены формулы для вычисления
объема прямой призмы (сначала такой приз-
мы, у которой в основании лежит прямоуголь-
ный треугольник, затем произвольный тре-
угольник и, наконец, произвольный много-
угольник). Особое внимание было уделено
выводу формулы для вычисления объема пи-
рамиды без использования понятия предела
(используется явно лишь аксиома Архимеда).
Этот вывод с интересом воспринимается и лег-
ко усваивается учащимися.
После того как была установлена формула
для вычисления объема пирамиды, появилась
возможность находить объем любого много-
гранника, разбивая его на тетраэдры, что
позволяет, в частности, получить формулу для
вычисления объема наклонного параллелепи-
педа и произвольной наклонной призмы. Бы-
ла выведена формула для вычисления объема
усеченной пирамиды.
66
В нашем опыте элементы теории множеств
изучались в очень небольшом объеме. Уча-
щиеся познакомились только с основными
операциями над множествами и понятием
счетного множества. Было доказано, что мно-
жество всех рациональных чисел является
счетным. Возможно, что тему «Множества и
операции вад ними» следовало бы изучать в
начале учебного года и выделять на ее изуче-
ние несколько больше времени.
ЭКСПЕРИМЕНТ
А. Ж. ЖАФЯРОВ,
Р. С. СОЗОНЕНКО
(г. Новосибирск)
О преподавании математики в VIII
(подготовительном) классе
физико-математической школы при
Новосибирском государственном
университете
За последние десятилетия математика в
своем развитии достигла столь высокого уров-
ня, что овладеть накопленным ею фактиче-
ским материалом даже в какой-то узкой об-
ласти можно лишь за многие годы, а то и
целые десятилетия активной работы. К тому
же много еще и нерешенных проблем, а жизнь
ставит перед наукой, в частности перед мате-
матикой, новые и все более сложные задачи.
Все это вызывает необходимость привлечения
в математику молодых сил и создания усло-
вий, при которых они смогут начать самостоя-
тельную творческую деятельность как можно
раньше.
Школа и вуз призваны возможно скорее
решить эту задачу. Для этого необходимо
перестроить учебные программы, выработать
новые, усовершенствованные методы обуче-
ния, создать учащимся необходимую учебно-
творческую атмосферу.
Важную роль в поисках пути разрешения
этих проблем могут сыграть специализирован-
ные физико-математические школы, специали-
зированные классы, вечерние и заочные мате-
матические школы. Можно с удовлетворением
отметить, что в какой-то мере эти школы уже
успешно ведут работу с учащимися IX—X
классов, отобранными на олимпиадах.
Однако процент ребят из сельских школ,
обучающихся в физико математических шко-
лах и вузах, еще довольно низок, хотя и там
(в сельской местности) много талантливой
молодежи.
По решению Ученого совета специализиро-
ванной физико-математической школы при
Новосибирском университете в прошлом учеб-
ном году были созданы восьмые (подготови-
тельные для поступления в ФМШ) классы
для ребят из сельской местности.
В этой статье мы ограничимся изложением
содержания программы и некоторых методов
обучения математике в восьмых эксперимен-
тальных классах. Возможно, опыт работы, по-
лученный в этих классах, был бы полезен на
первоначальном этапе перехода общеобразо-
вательной школы к новой программе.
Было открыто три класса для ребят, про-
явивших интерес к точным наукам, но не все-
гда обладающих соответствующей подготов-
кой. В эти классы принимались школьники в
основном по результатам собеседования, на
котором предлагались несложные задачи, не
требующие систематических знаний.
Приведем некоторые из них.
1.	В пунктах А и В, расстояние между ко-
торыми S м, находятся две черепахи, а посе-
редине— комар. Черепахи движутся навстре-
чу друг другу, а комар летит сначала навстре-
чу одной из них, долетев, поворачивает и ле-
тит навстречу другой, затем опять к первой и
так до тех пор, пока черепахи не встретятся.
Какой путь проделает комар, если скорости
3*
67
черепах равны vt м]ч, скорость комара —
v2 м/ч и все трое начинают движение одно-
временно?
2.	Найти центр круга, имея в распоряжении
лишь чертежный (прямоугольный) треуголь-
ник и карандаш.
3.	Доказать, что если в треугольнике две
высоты равны, то треугольник равнобедрен-
ный.
2  • X
4.	При каком значении х дробь —3—
положительна?
5.	В мешке находится 1967 орехов. Двое
игроков поочередно берут от 1 до 13 орехов
по желанию (каждый раз можно брать раз-
личное количество). Выигрывает тот, кто за-
берет последние орехи. Как должен играть
первый игрок, чтобы выиграть?
6	По гипотенузе прямоугольного треуголь-
ника скользит точка М. При каком положе-
нии точки М расстояние между ее проекциями
на катеты будет наименьшим?
В основу программы была положена идея
функциональной зависимости.
В курсе алгебры понятие функции дается
через понятие отображения одного множества
на другое. Достаточно подробно изучаются
линейная функция, дробно-линейная и квад-
ратичная вида у = ах2 -\-Ьх + с, а также неко-
торые частные случаи степенной функции.
Изучение функций сопровождается геометри-
ческой иллюстрацией их свойств, решением
соответствующих уравнений, систем уравне-
ний и неравенств как аналитическим спосо-
бом, так и на графике по координатному прин-
ципу.
Должное внимание уделяется исследованию
решений уравнений, систем уравнений и нера-
венств с параметрами, а также с неизвестны-
ми величинами, находящимися под знаком
модуля.
Тема «Множества» изучается не концентри-
рованно, не как отдельная самостоятельная
тема, а на протяжении всего курса алгебры:
соответствующие понятия и определения
даются попутно при изучении того или друго-
го вопроса. Например, при изучении темы
«Равносильность уравнений» даются понятия
объединения, пересечения и разности мно-
жеств; понятие об отображении одного мно-
жества на другое — при знакомстве с функ-
цией и ее графиком, при геометрических пре-
образованиях плоскости.
Основные навыки по умножению и делению
чисел при помощи счетной линейки приобре-
таются на уроках физики и химии (по дого-
воренности с учителями).
ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ
1.	Множества. Понятие множества. Конеч-
ные и бесконечные множества. Подмножество,
включение. Операции над множествами: объ-
единение, пересечение, разность. Отображения
одного множества на другое.
2.	Понятие функции. Постоянные и пере-
менные величины. Функциональная зависи-
мость, аргумент и функция. Способы задания
функции. Область определения и область зна-
чений функции. Четные и нечетные функции.
Понятие о явных, неявных и обратных функ-
циях. Монотонные функции. Экстремальное
значение функции. Однозначные и многознач-
ные функции. Вогнутость и выпуклость функ-
ций.
3.	Линейная функция. Геометрический смысл
коэффициентов. Теорема (прямая и обрат-
ная). «График линейной функции есть пря-
мая». Построение графиков с модулями типа
|z/| = 2|пх + й|.
4.	Линейные уравнения. Равносильность
уравнений. Системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными. Определители второго
порядка. Равносильность систем уравнений.
Геометрическая интерпретация. Графическое
решение систем уравнений.
5.	Линейные неравенства. Равносильность
линейных неравенств. Системы линейных не-
равенств. Неравенства и системы неравенств
с модулями. Графическое решение неравенств,
систем неравенств.
6.	Функция y — ~jp и дробно-линейная.
Графики этих функций.
7.	Действия с графиками. Сложение, вычи-
тание, умножение, деление графиков.
8.	Счетно-логарифмическая линейка.
Умножение и деление чисел на линейке.
9.	Функции у = х2; у = х3; (у = хп). Гра-
фики этих функций. Вычисление квадратов
и кубов чисел по таблицам и при помощи
счетной линейки.
10.	Квадратный корень и его арифме-
тическое значение. Понятие об арифмети-
ческом корне п степени. Графики функций
3 _	п _
у = у = х; (у = Их)- Извлечение квад-
ратного и кубического корней по таблице и
при помощи счетной линейки.
11.	Квадратный корень из произведения,
дроби и степени. Вынесение множителя из-под
знака квадратного корня и внесение его под
знак корня. Приведение подкоренного выра-
жения к целому виду.
12.	Квадратная функция у = ах2 Ьх -ф с.
Корни квадратного трехчлена. Полные и не-
68
полные квадратные уравнения. Решение квад-
ратных уравнений. Теорема Виета. Разложе-
ние квадратного трехчлена на линейные мно-
жители График квадратного трехчлена, знак,
промежутки возрастания и убывания, наи-
меньшие или наибольшие значения. Графиче-
ское решение квадратного уравнения. График
квадратного трехчлена с модулями типа
|z/| — ах2 + 6|х| + с. Решение задач, приво-
дящих к квадратным уравнениям. Биквадрат-
ное уравнение. Теорема Виста для биквадрат-
ного уравнения. Простейшие трехчленные
уравнения. Решение систем уравнений, содер-
жащих одно уравнение первой степени и одно
уравнение второй степени, их графическое ре-
шение.
13.	Квадратные неравенства. Решение за-
дач на максимум и минимум.
Дополнительные темы. 1. Метод математи-
ческой индукции. 2. Необходимость и доста-
точность.
По геометрии программа отличается от
программы общеобразовательной школы толь-
ко тем, что в начале темы «Пропорциональ-
ные отрезки» рассматриваются вопросы:
Общая мера двух отрезков (алгоритм Евкли-
да). Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.
Теорема о несоизмеримости диагонали квад-
рата с его стороной. Мера отрезка. Понятие
о действительном числе. После темы «Про-
порциональные отрезки» рассматриваются
геометрические преобразования: параллель-
ный перенос, осевая и центральная симмет-
рии, вращение. А после темы «Подобие фи-
гур» рассматривается гомотетия как метод
построения подобных фигур, дается понятие
о группе преобразований.
Достаточно внимания уделялось решению
задач на построение методом подобия, нахож-
дению геометрических мест точек — через по-
нятие множества, в частности построению
геометрического места точек, отношение рас-
стояний которых до двух данных точек из-
вестно (окружность Аполлония), и следствию
из этой задачи.
В основу изучения элементов тригонометрии
была также положена идея функциональной
зависимости, причем изучались функции чис-
лового аргумента.
Тригонометрические функции изучались по
следующей программе:
Векторы. Модуль вектора. Единичный век-
тор Равенство векторов. Проекция векторов
на ось
Обобщение понятия угла. Радианное изме-
рение углов. Переход от градусной меры угла
к радианной и обратный переход. Единичная
окп’ежность.
Теорема: Отношение проекции вектора на
ось к длине вектора не зависит от длины век-
тора, а зависит от угла, образованного этим
вектором с положительным направлением оси.
Определения тригонометрических функций.
Четность и нечетность. Изменение тригоно-
метрических функций. Значения тригономет-
рических функций для углов: 0, +	’
+ “4” • ±“з-> i“2~>	Ч~~к~ zf, 2тс. Таб-
лицы тригонометрических функций. Основ-
ные тригонометрические тождества. Нахож-
дение тригонометрических функций одного
и того же угла по данному значению одной
из них. Периодичность и графики. Построе-
ние угла по данному значению тригономет-
рической функции и запись общего вида
углов с использованием обозначений: arc sin tn,
arc cos m, arctg/тг, arcctgzzz.
Решение простейших тригонометрических
уравнений и неравенств:
sin xV | sin л |	; sin2 2л =-у-,
sin | ах + о | = —; <Z sin x < —y
и T. д.
Решение прямоугольных треугольников с по-
мощью таблиц и счетной линейки.
В начале учебного года на повторение и
углубление школьного материала за VI—VII
классы отводится полтора месяца.
Изложенная программа, по нашему мне-
нию, может быть усвоена в классе с матема-
тическим уклоном в любой средней школе.
Однако само по себе усвоение учащимися этой
или более содержательной программы помо-
жет решить только две задачи: 1) выявить
способных учащихся; 2) привить им интерес
к математике.
Более полное развитие своих творческих
способностей эти учащиеся смогут осущест-
вить, работая под руководством ученых, об-
щаясь с ними, находясь в той творческой ат-
мосфере обмена и взаимного влияния, рожде-
ния и обсуждения научных идей, которая
окружает ученых и их учеников, подлинных
энтузиастов творческого труда. Такие условия
для способных ребят пока можно создать
только в физико-математических школах при
крупных научных центрах.
Отмечено, например, что из числа студентов
Новосибирского университета, активно участ-
вующих в работе научных семинаров и спец-
курсов, 90% составляют выпускники Новоси-
бирской физико-математической школы.
69
Поэтому происходит как бы перераспреде-
ление целей и задач между физико-математи-
ческими Школами на местах и при крупных
научных центрах.
Первые призваны как можно раньше раз-
будить и развить интерес и способности уча-
щихся, т. е. осуществить первоначальную фа-
зу формирования будущего творчески рабо-
тающего специалиста.
Вторую, более высокую, ступень формиро-
вания будущего математика, физика, химика,
биолога из числа наиболее способных уча-
щихся местных физико-математических и хи-
мических школ должны осуществить физико-
математические школы и вузы при крупных
научных центрах.
Поэтому создание местных ФЛ1Ш и специа-
лизированных классов не заменяет ФМШ при
крупных научных центрах, а, наоборот, спо-
собствует их развитию, ставит перед послед-
ними задачи, усложняющиеся с развитием
сети школ первой фазы.
Между школами первой и второй фаз
должна осуществляться надежная связь в
виде обмена идеями, советами, критическими
замечаниями. Первые должны «питать» вто-
рых своими лучшими учениками, не проявляя
местничества, руководствуясь интересами
страны. Вторые — активно помогать первым
литературой, консультациями, советами.
Для ознакомления с уровнем наших требо-
ваний к учащимся приведем тексты некото-
рых контрольных работ (двухчасовых).
Контрольная работа по теме
«Линейная функция»
1.	Н аписать уравнение прямой, прохо-
дящей через точки: а) (3; 2) и (—2; 1);
б) (а; Ь) и (с\ d).
2.	Доказать, что координаты любой
точки (плоскости), лежащей на прямой,
проведенной через две точки (0; Ь) и
(---; о) , удовлетворяют уравнению
у = ах + Ъ.
3.	Построить график уравнения
|2у + 5| = |х-3|-|2х+11.
4.	Как будут меняться значения функ-
ции у — kx + Ь, если значения аргумен-
та: а) равномерно увеличиваются (умень-
шаются) на величину d; б) увеличи-
ваются . уменьшаются) в d раз?
Контрольная работа по теме
«Линейные неравенства»
1.	Нечетная функция у =- f (х) опре-
делена на всей числовой прямой. Из-
вестно, что для х>-0 она убывает. До-
казать, что эта сбункция для х<Д)
тоже убывает.
2.	При каких значениях k решения
[Зл — ky = 1,
системы <	__ удовлетворяют ус-
(гьЛ OV — *
(х >• — 1
ловию (	, ,
1у<1?
3.	Решить не равенство
’У т Г<1» где k>2-
4.	На прокормление нескольких лоша-
дей и коров отпускали ежедневно 162 кг
сена; на каждую лошадь — по 9 кг, а на
каждую корову — по 6 кг в день. Если бы
число коров увеличилось на -g-, а число
лошадей на первоначального количе-
ства голов, то при той же норме приш-
лось бы отпускать ежедневно свыше
208 кг сена. Сколько было лошадей и
сколько было коров? •
Контрольная работа по теме
«Пропорциональные отрезки в нруге»
1.	Зная сумму а двух неизвестных от-
резков х и у и отрезок Ь = \Еху, по-
строить отрезки х и у.
2.	Дан прямоугольный треугольник с кате-
тами 3 см и 4 см. На одном из катетов, как
на диаметре, построена окружность. На какие
части делится гипотенуза этой окружностью?
3.	Диаметр, перпендикулярный к хорде MN,
пересекает ее в точке А. Хорда ВС пересекает
MN в точке D. Доказать, что сумма AD2+
-\-BD-CD не зависит от положения точки D.
4.	(Дополнительная.) На одной из сторон
острого угла АВС даны две постоянные точки
А и В. Третья точка С скользит по другой
стороне этого угла. Найти такое положение
точки С, при котором угол АС В будет наи-
большим.
Учебный процесс был организован следую-
щим образом: с 9 утра до 13.30 — 5 уроков и
с 15.30—еще 2 урока, в субботу — 6 уроков
с утра, четверг — свободный, так называемый
День здоровья. В этот день учебных занятий
нет; ребята занимаются спортом, ходят в по-
ходы, одним словом, отдыхают от умственно-
го труда.
Всего в неделю было 8 часов математики:
2 лекционных и 6 практических. Мы считаем,
что лекционно-практический метод — наибо-
лее эффективная форма учебных занятий, так-
как за 45 минут (в первом полугодии восьми-
классникам читались 45-минутные лекции)
70
можно дать более целостное представление о
рассматриваемом вопросе, сообщить интерес-
ные выводы, проследить связь изучаемой
темы с другими. При таком методе легче
поддержать интерес учащихся к математике.
Часто лекции носят характер беседы:
школьники активно участвуют в доказательст-
ве каких-либо математических предложений,
решают и сами придумывают примеры к тео-
ремам, пытаются участвовать в научных поис-
ках. Ко II полугодию учащиеся приобретают
некоторые навыки слушания и восприятия
лекций, а в конце года уже сами умеют выде-
лить главную мысль для записи. Таким обра-
зом, еще в школе можно в достаточной степе-
ни подготовить учащихся к восприятию лек-
ций в вузе.
На практических занятиях ребята решали
задачи, учились работать с книгой, грамотно
излагать свои мысли. Много внимания уде-
лялось выработке у них самостоятельности,
приобретению навыков упорного труда. Для
этого, например, некоторые вопросы предла-
галось изучить самостоятельно, причем иног-
да различным группам ребят предлагалась
различная литература по одному и тому же
вопросу. Затем в классе коллективно обсуж-
дались преимущества того или иного способа
доказательства. Часто ребята предлагали
свои, нередко весьма оригинальные, способы
доказательств. Уроки в форме дискуссии по-
вышают интерес к математике, воспитывают
логическое мышление, развивают инициативу
ребят.
Кроме некоторого обязательного минимума
задач по данной теме, желающим предлага-
лись задачи повышенной трудности, олимпи-
адного характера.
При системе обучения 7 уроков в день вся
учебная работа проводилась в классе под
наблюдением учителя, домашних заданий не
было. На первых порах (но не весь год) это
было необходимо, так как позволяло своевре-
менно заметить возможную ошибку и помочь
найти правильный путь решения, а также
давало возможность научить ребят правильно
анализировать данные и искомые величины
задачи; более полно, с исследованием решать
задачи, самостоятельно работать с книгой.
Так как домашних заданий не было, то в
неучебное время учащиеся могли заниматься
интересующим их делом, посещать спецкурсы
и кружки по математке, физике, химии, био-
логии, искусству и т д.
Для восьмиклассников были организованы
следующие спецкурсы: 1) элементы теории
множеств; 2) элементы алгебры логики;
3) начала математического анализа. Работа-
ли кружки по решению задач на построение,
решению олимпиадных задач.
По отдельным темам систематически прово-
дились письменные контрольные работы и
устные зачеты. Два раза в год учащиеся сда-
ют письменный экзамен по решению задач
(4 часа) и устный зачет по теории.
Письменная работа в январе
1.	Выполнить умножение и упростить
_ 1 _3_ ]/ 8 -1—£ -
46s 1 / ТбЬд’Л / 1 1 , ~Г\
5а Г & ) \	2 I 2д2/‘
2.	Построить график уравнения
|2у+	1|-|Зл + 2|.
3.	Найти область определения функ-
ции
f (х) = J + у 2|хд 1|-|2л- 1
V х+—
4.	Стороны треугольника относятся,
как 4:2:5. Найти стороны ему подоб-
ного т реугольника, у которого сумма
квад ратов меньшей и большей сторон
равна 116 см2.
5.	Построить отрезок
_ 2 а У аг + ьг
5 ' у Нс ’
6.	Через точку внутри треугольника
проведены три разреза, параллельные
сторонам. В результате треугольник
распался на части, среди которых
имеются три треугольника. Обозначим
их площади через S2, 53, площадь дан-
ного треугольника — через S. Доказать,
что J/Sj +
Из трех восьмых классов (90 чел.) полу-
чили неудовлетворительные оценки 12 чело-
век.
Письменная работа в мае
1.	Произведение цифр двузначного числа
вдвое больше суммы его цифр. Если из этого
числа вычесть 27, то получится число, напи-
санное прежними цифрами, но в обратном по-
рядке. Найти число.
2.	Для какого k оба корня уравнения
(1 —k)x2 + 2kx + (k + 3) = 0 положительны?
3.	В основании прямой призмы лежит пря-
моугольный треугольник с площадью, равной
2 м2, а высота призмы равна гипотенузе осно-
вания. Какими должны быть стороны основа-
11
ния, чтобы боковая поверхность призмы была
наименьшей?
4.	Через три данные точки провести парал-
лельные прямые так, чтобы расстояния между
соседними прямыми относились, как 1 : 2.
5.	Площадь равностороннего треугольника,
построенного на гипотенузе прямоугольного
треугольника, вдвое больше площади послед-
него. Найти отношение катетов прямоуголь-
ного треугольника.
6.	Показать, где расположены на плоскости
точки, координаты которых удовлетворяют за-
висимости:
У + 1
С этой работой не справились три чело-
века.
В заключение следует сказать, что основная
цель нашего эксперимента — пробудить у ре-
бят интерес к математике, желание самостоя-
тельно разобраться в трудном вопросе, стрем-
ление к строгому доказательству. Ведь при
наличии интереса проблема перегрузки реша-
ется значительно легче.
Нашу работу в очень большой степени об-
легчало именно это обстоятельство: к нам
попали ребята, интересующиеся математикой.
Мы были довольны их вниманием и огромным
трудолюбием, и мы глубоко благодарны их
прежним учителям, пробудившим у своих вос-
питанников интерес к математике.
*л,3.12б#3о т
.Об’70 * 013-?".
ВНЕКЛАССНАЯ
РАБОТА
Вторая Всесоюзная математическая
Н. А. ЕРМОЛАЕВА
(Москва)
олимпиада 1968 г.
С 19 по 22 апреля в Ленинграде был проведен за-
ключительный тур Всесоюзной математической олим-
пиады школьников. От каждой области, края, авто-
номной республики, от городов Москвы и Ленингра-
да, от союзных республик без областного деления на
соревнования были направлены по четыре ученика,
победители областной или республиканской олимпиа-
ды Кроме того, в IV, заключительном туре участво-
вали команды физико-математических школ-интернатов
при университетах Москвы, Ленинграда, Новосибирска,
Киева, Еревана, Тбилиси, победители I Всесоюзной
олимпиады и команда школ Министерства путей сооб-
щения. Как и прежде, выпускники школ преобладали:
из 572 участников их было 239 человек, учеников де-
вятых классов—191 и VII—VIII классов—142.
Программа пребывания школьников в Ленинграде
была очень насыщенной: это не только соревнования
и лекции ведущих преподавателей математико-механи-
ческого факультета университета, но и знакомство
с памятниками истории и искусства города, его герои-
ческим прошлым и настоящим, местами, связанными
с именем вождя революции В. И. Ленина, встречи
с ленинградскими школьниками.
Нынешняя олимпиада отличалась от предыдущих
Всероссийских и I Всесоюзной наличием устного тура.
В нем участвовали школьники, решившие на письмен-
ном туре хотя бы одну (в X классе), две задачи из
пяти. На устном туре каждую из предложенных пя-
ти задач нужно было не только решить, но и обосно-
вать решение или указать общий ход рассуждений,
доказательств
Работу жюри, очень напряженную в связи с сокра-
щением сроков олимпиады и наличием дополнительно-
го устного тура, возглавил член корреспондент Ака-
демии наук СССР, профессор Ленинградского госу-
дарственного университета Дмитрий Констан гиновнч
Фаддеев Четко и оперативно организовали про-
верку работ, разбор задач с участниками и их руко-
водителями н подведение итогов члены жюри:
М. И. Башмаков — кандидат фнзнко-математичес-
ких наук, доцент Ленинградского университета, Н. Б. В а-
сильев — научный сотрудник Московского университе-
та, Ю. И. Ионин — преподаватель Ленипгратского уни-
верситета, С. С. Валландер — студент III курса
математико-механического факультета Ленинградского
университета.
Как и в прошлом году, в неофициальном командном
зачете первые два места присуждены ленинградцам —
командам физико-математической школы-интерната
№ 45 и города. И немалая заслуга в этом преподава-
телей Ленинградского университета, много времени
уделяющих работе с ребятами в школе-интернате,
в юношеской математической школе при университе-
те, в школьных математических кружках. Хорошо вы-
ступили команды учащихся Харьковской области, фи-
зико-математических школ городов Новосибирска, Кие-
ва, Москвы. 195 участников заключительного гура
олимпиады награждены грамотами, ценными подарка-
ми, книгами, а 17 выпускникам средней школы, полу-
чившим вторые-третьи премии, даны рекомендации
в вуз. Специальными призами награждены Соболев
Сергей — ученик X класса физико-математической шко-
лы при Новосибирском университете, за лучший ре-
зультат в своем классе в течение трех лет, Сафонов
Михаил — ученик VII класса Можарской школы Янти-
ковского района Чувашской АССР, за лучший резуль-
тат среди сельских школьников. Воронцов Виталий —
ученик VIII класса пос. Кипа Мурманской области.
72
за лучший результат среди школьников Северо-Запа-
да, Френкель Игорь — ученик школы Ns 239 Ленингра-
да, за лучший результат среди ленинградских школь-
ников — специальный приз Ленинградского универ-
ситета.
Приводим список победителей олимпиады;
VIII	КЛАСС
I премией награжден Климов Аркадий —
школа № 2 г Арзамаса.
II премией награждены: Бабичев Андрей —
школа № 429 Ленинграда, Кабанов Владимир — шко-
ла № 87 г. Нижнего Тагила, Сафонов Михаил— Мо-
жарская школа Янтиковского района Чувашской
АССР
III премией награждены: Воронцов Вита-
лий — школа пос. Кица Мурманской области. Зябко
Евгений — школа № 11 Целинограда, Ковтун Ми-
хаил — школа № 5 г. Новороссийска, Комаров
Игорь — физико-математическая школа-интернат при
КГУ (Киевском государственном университете), Ли-
пецкий Александр — школа № 27 г. Харькова, Овсиен-
ко Сергей—физико-математическая школа-интернат
при КГУ, Столин Александр — шьола № 27 г. Харько-
ва, Темпляков Владимир — школа № 6 г. Г родно, Хо-
дулев Андрей (VII класс)—школа № II г. Калинина,
Эппель Марк — школа № 10 г. Ангарска
Похвальным отзывом I степени на-
граждены Безрядин Сергеи — Приреченская сред-
няя школа Зольского района Кабардино-Балкарской
АССР, Быстров Александр —- школа № 32 г. Курган-
ска, Дубровин Николай — школа № 20 г. Владимира,
Енюков Анатолий- школа № 10 г. Астрахани, Ковар-
ский Леонид — школа № 8 г. Вильнюса, Левинтович
Игорь — школа № 19 г. Липецка, Макаров Алек-
сандр-школа № 2 г. Пскова, Нестеренко Влади-
слав — Зеленоградская школа Московской области,
Пидкуйко Сергей — школа Ns 8 г. Чирчика Ташкент-
ской области, Пухов Сергей — школа № 1 г. Иванова,
Рикун Анатолий—школа Ns 134 г. Баку, Фосс Сер-
гей— физико математическая школа-интернат прн
НГУ, Чернусс Анна — школа Ns 8 г. Чирчика Ташкент-
ской области
Похвальным отзывом II степени на-
граждены. Агаханов Назав (VII класс)—школа
№ 6 г. Ашхабада, Ананьин Александр — школа № 178
г. Новосибирска, Ахунзянов Рустем — школа № 2
г. Мензелинска Татарской АССР, Барский Илья — шко-
ла Ns 31 г. Челябинска, Вайнштейн Наталья — школа
Ns 8 Волгограда, Виноградова Галина (VII класс) —
школа Ns 78 г. Ростова на Допу, Воловик Юлия —
школа Ns 49 г. Днепропетровска, Донченко Алексей —
школа Ns 29 г. Усть-Каменогорска Казахской ССР,
Дужин Сергеи (VI класс) — школа Ns 23 г. Могилева,
Елизаров Александр — великолукская школа Ns 3
Псковской области, Калмыков Сергей (VII класс) —
школа № 5 г. Благовещенска, Коган Андрей
(VI класс)—школа Ns 129 г. Ташкента, Копылов Па-
вел — школа № 58 г Воронежа, Мостовой Зиновий —
Кобзаривская школа Тернопольской области, Пантю-
хин Валерий — школа Ns 1 г. Краснокамска Пермской
области, Попов Евгений — школа Ns 10 г. Астрахани,
Розенгауз Аркадий — школа Ns ПО г. Ташкента, Ро-
зов Юрий — школа N° 4 г. Елгавы Латвийской ССР,
Сахно Людмила — школа Ns 7 г. Магадана, Сыроид
Василий — Корчинская школа Радеховского района
Львовской области, Тугамбаев Аскар — школа Ns 56
г. Алма-Аты, Устюжанин Георгий — школа № 37 г Тю-
мени, Фарафонав Виктор — школа Ns 22 г. Кирова,
Фелыитын Александр — школа № 20 г. Хмельницкого,
Юданов Александр — школа № 6 г. Гродно, Яценко
Андрей (VII класс)—школа Ns 9 г. Фрунзе.
IX	КЛАСС
I премией награжден Берзиньш Айвар —
физико-математическая школа-интернат при ЛГУ.
II премией награждены: Дришрельд Влади-
мир— школа № 27 г Харькова, Суворов Павел — фи-
зико-математическая школа-интернат при ЛГУ, Френ-
кель Игорь — физико-математическая школа интернат
при ЛГУ.
III пр ем и ей награждены. Атаев Мурад —
школа Ns I г. Чоршанга Туркменской ССР, Гершкович
Владимир — физико математическая школа-интернат
при ЛГУ, Кипоть Леонид — школа № 131 г. Казани,
Неклюдова Елена — школа Ns 7 Москвы, Немец Алек-
сандр - школа Ns 12 г. Первомайска Николаевской об-
ласти, Письменный Виктор — школа Ns 24 г. Люберцы
Московской области, Прасолов Андрей — школа Ns 50
г. Минска, Харченко Владислав — физико-математиче-
ская школа-интернат при НГУ.
Похвальным отзывом I степени на-
граждены: Бурштейн Михаил — школа № 42 г. Тби-
лиси, Карпуля Алексей — шосткннская школа № 7 Сум-
ской области, Кочерыгин Александр — школа Ns 7
г. Смоленска, Лебедев Вячеслав — школа № 40 г. Сим-
ферополя, Львов Анатолий — школа № 25 г. Рязани,
Маркус Анатолий — школа № 3 г. Дзержинска Донец-
кой области, Мишачев Николай — школа № 44 г. Ря-
зани, Озол-Калнынь Валерий — школа Ns I г. Риги,
Попов Георгий—школа имени В. Маяковского г. Ере-
вана, Рахманов Евгений — школа № 444 Москвы, Ры-
тое Александр — физико-математическая школа-интер-
нат при МГУ, Сизиков Виктор—физико математиче-
ская школа-интернат при НГУ, Соловьев Сергей — ко-
ломийская школа Ns 9 Ивано-Франковской области.
Похвальным отзывом П степени на-
граждены: Арделян Владимир — школа Ns 17
г. Хмельницкого Украинской ССР, Бурштейн Алек-
сандр — школа Ns 116 г. Одессы, Валюкевичус Гинта-
рас — школа имени Алексоннса г. Каунаса, Гелимсон
Лее — сумская школа Ns 8 Украинской ССР, Джане-
лидзе Георгий — физико-математическая школа-интер-
нат г. Тбилиси, Доронина Людмила — школа № 7
г. Намангана Узбекской ССР, Курбатов Виталий —
физико-математическая школа-интернат при МГУ, Кац
Борис — школа № 131 г Казани, Родман Валерий —
школа Ns 2 г. Тирасполя Молдавской ССР, Сепюк
Александр — школа Ns 5 г. Ростова-на-Дону, Симаков
Михаил — школа Ns 58 г. Воронежа, Симонов Генна-
дий — Хотынецкая школа Орловской области, Сайгин
Юрий — школа № 17 г Саранска Соловьев Алек-
сандр — школа N° 1 г Кош-Тегермена Киргизской ССР,
Султанов Салех — школа № 134 г. Баку, Токарь Васи-
лий — школа Ns 4 г. Черкассы Украинской ССР, Шур
Юрий — коммунарская школа Ns 1 Луганской обла-
сти, Казаков Александр — школа № 1 г. В. Солды
Свердловской области.
X	КЛАСС
I премия не присуждена.
II премией награждены. Белый Геннадий —
физико-математическая школа-интернат при КГУ, Дол-
матов Сергей — физико-математическая школа-интернат
при НГУ, Курчанов Павел—физико-математическая
школа-интернат при МГУ, Кумарин Виктор — физико-
математическая школа-интернат при ЛГУ, Пономарен-
ко Владимир — физико-математическая школа-интернат
при МГУ, Соболев Сергей - физико математическая
школа-интернат прн НГУ, Федотов Валерий — школа
Ns 239 Ленинграда.
III премией награждены: Аракчеев Сергей —
школа № 5 г. Луганска Украинской ССР, Блюдзе Ми-
73
хайл—физико-математическая школа-интернат при
ЛГУ, Ваксман Леонид — школа № 70 г. Харькова,
Евдокимов Сергей — физико-математическая школа-ин-
тернат при Л ГУ, Заманский Геннадий — школа № 88
г. Горловки Донецкой области, Кановей Владимир —
шосткинская школа № 7 Сумской области, Лапицкий
Виктор — физико-математическая школа-интернат при
ЛГУ, Макарычев Владимир — школа № 239 Ленингра-
да, Мирзоян Юрий — физико-математическая школа-
интернат № 1 г. Еревана, Радюшкин Анатолий — шко-
ла № 21 г. Ферганы.
Похвальным отзывом I степени на-
граждены: Берхин Павел — школа Xs 42 г. Бар-
наула, Бородин Олег — школа № 42 г. Новосибирска,
Дурмашкина Ева — школа № 9 г. Львова, Головин-
ский Илья — школа Xs 38 г. Ульяновска, Жижин Алек-
сандр— физико математическая школа интернат при
НГУ, Золотарев Владимир—школа Xs 4 г. Хотнка
Черновицкой области, Игнатов Виктор — дятьковская
школа Xs I Брянской области, Калугина Татьяна —
черниговская школа Xs 1 Украинской ССР, Каримов
У мед — школа Xs 1 г. Душанбе, Левин Александр —
школа Xs 10 г Куйбышева, Немытое Александр —
физико-математическая школа-интернат при МГУ, Ро-
ганов Юрий — физико-математическая школа-интернат
при КГУ, Романов Владимир—школа Хе 24 Кирово-
града Рубин Юрий — школа Xs 35 Волгограда, Салы-
чев Алексей — школа Xs 29 г. Тамбова, Сорокин
Александр — школа Xs 1 г. Дрослава Орловской обла-
сти, Ставинский Алексей — школа Xs 4 г. Дубны
Московской области, Фарбер Михаил — школа Хе 134
г. Баку, Филоненко Вячеслав — школа X» 17 г. Калуги,
Фогель Сергей — школа Хе 239 Ленинграда, Хамитов
Габдулла — школа Xs I г. Мелеуза Башкирской АССР,
Химинашвили Георгий — школа Хе 42 г. Тбилиси,
Штиль Юрий — школа Хе 4 г Коростени Житомирской
области, Энтин Ефим — школа Хе 239 Ленинграда.
Похвальным отзывом II степени на-
граждены: Абрамов Александр — школа Хе 2 г Ха-
баровска, Айрапетян Рубен — физико-математическая
школа-интернат г. Еревана, Анджан Агнис—школа
Xs 1 г. Риги, Асмолова Валентина—школа Хе 2 г. Ни-
колаева Украинской ССР, Атамукас Марк — школа
имени Венуолиса г. Вильнюса, Безымянный Влади-
мир — школа Xs 1 г. Намангана Узбекской ССР, Бо-
рисюк Роман — школа Хе 1 г Орска Оренбургской об-
ласти, Бухмиллер Григорий — Башантинская школа
Городовиковского района Калмыцкой АССР, Васильев
Юрий — школа X® 1 г Красноярска, Г авралов Васи-
лий — опочепкая школа Хе 3 Псковской области, Ген-
кин Григорий — школа Хе 34 Кировограда, Гильман
Евгений — школа Хе 42 г. Саратова, Гирин Алек-
сандр — школа Хе 10 г. Житомира Украинской ССР,
Гичев Виктор — школа Хе 88 г. Омска, Греков Евге-
ний — школа Хе 11 г. Бердичева Житомирской области,
Губарени Надежда — школа Xs 2 г. Ирпеня Киевской
области, Гудинас Прапас—школа имени Венуолиса
г. Вильнюса, Дизендорф Виктор — школа Xs 14 г. Ки-
селевска Кемеровской области, Доброславский Алек-
сандр — школа Xs 7 г. Перми, Еговкин Сергей — шко-
ла Хе 15 г. Сарапула Удмуртской АССР, Зайтман Гри-
горий—-школа Хе 145 г. Киева, Казачков Николай —
школа Хе 3 г. Ярославля, Канунцев Александр — старо-
бешевская школа Хе 5 Донецкой области, Киселев
Владимир—школа Хе 29 г. Тамбова, Коршня Тенгиз —
физико-математическая школа-интернат г. Тбилиси,
Корытный Александр — школа Хе 15 г. Камчатска, Кот-
лярова Галина — школа Хе 17 г. Архангельска, Крас-
нов Яков — школа Хе 2 г. Актюбинска, Кузьминых
Александр — школа Хе 27 г. Новосибирска, Кынев Ми-
хаил— школа Хе 12 г Сыктывкара, Ланцев Вален-
тин — школа X® 1 г. Валдая Новгородской области,
Пихтарников Андрей — школа Хе 2 г. Хабаровска, Ля-
пин Сергей — школа Xs 1 Калининграда, Ляпунов Ми-
хаил — школа X® 69 г Перми, Майер Виктор — школа
Хе 1 г. Ханты-Мансийска Тюменской области, Малахов
Владимир — школа Хе 6 г. Нижнего Тагила, Марков
Сергей — школа Хе 444 Москвы, Марцинковский Алек-
сандр — школа X® 50 г. Минска, Осин Михаил — школа
Хе 15 г. Таллина, Пааль Сергей—школа Хе 15 г. Тал-
лина, Петрович Александр — школа Хе 3 г. Одессы,
Поляков Валерий — школа Хе 7 г. Смоленска, Пухов
Виталий — школа Хе 40 г. Петропавловска Казахской
ССР, Разумов Владимир — физико-математическая
школа-ннтернат при ЛГУ, Салтан Валерий — школа
Хе 34 г. Кишинева, Секержицкий Владимир — школа
Хе 2 г. Жабинка Брестской области, Синицына Гали-
на — школа X® 50 г Минска, Славутский Семен —
школа X® 13 г. Саратова, Соболев Сергей — школа Хе 8
г. Владимира, Соколова Татьяна — школа X® 3 г. За-
волжья Горьковской области, Сонкин Марк-—школа
Xs 5 г. Калуги, Старосельский Борис—-школа Хе 4
г. Гомеля, Тевзадзе Гурам — школа Хе 42 г. Тбилиси,
Урсу Борис — Липникская школа Дондюшанского рай
она Молдавской ССР, Фирсов Алексей — школа Хе 11
г. йошкар Ола, Христодулли Александр — школа X» 2
г. Нальчика, Шадрин Сергей — школа X® 64 г Иване
ва, Шашков Владимир — Бакшеевская школа Шатур-
ского района Московской области, Шмаков Игорь —
школа X® 34 Шурчинского района Сурхан-Дарьинскои
области, Шманьков Валерий — школа Хе 31 г. Челя-
бинска, Яновер Владимир — школа X® I г. Жданова.
Решения задач
Всесоюзной математической
Н Б ВАСИЛЬЕВ
(Москва) олимпиады школьников 1968 г.
ЗАДАЧИ ПИСЬМЕННОГО ТУРА
1 (VIII) 1 В восьмиугольнике все углы равны, а длины
всех сторон целые числа. Доказать, что противопо-
ложные стороны восьмиугольника равны между собой.
Решение. Пусть аг, .... ая—последователь-
ные стороны восьмиугольника. Прямые, на которых
1 В скобках после номера задачи указан класс, для
которого предлагалась эта задача.
74
лежат л,, ая, ая и а7, образуют прямоугольник. Про-
тивоположные стороны прямоугольника равны, по-
этому (черт. 1)
уА2	>^2
ai + g	“ й» + 2~^а> *" а«)-
Но я,, аг, — — целые числа, а число 2 иррацио-
нальное, поэтому равенство
(а, — ая) /2 — ая + at - аг — ав
может выполняться только в том случае, когда обе его
части равны нулю, в частности at = а$. Равенства а2 —
= Се. а3 = а7, а4 = as доказываются аналогично.
2 (VIII) Какое из чисел больше: 3111 или 17“?
Решение. 31“ < 32“ = 255 < 256 = 16й < 17“
3 (VIII). На клетчатой бумаге со стороной клетки
I см нарисована окружность радиуса 100 см, не прохо-
дящая через вершины клеток и не касающаяся сторон
клеток. Сколько клеток она может пересекать (указать
все значения)?
Решение. Из прямых, разбивающих плоскость на
клетки, окружность диаметра 200 см пересекает 199 го-
ризонтальных и 199 вертикальных прямых, причем каж-
дую — два раза (здесь и ниже рассматриваются окруж-
ности «общего положения», т. е. такие, которые не про-
ходят через вершины клеток и не касаются их сторон).
На окружности расположено, таким образом, всего
398 точек пересечения, которые делят ее на 398 частей.
Если идти по окружности, то каждый раз, проходя
через точку пересечения с какой-то прямой, мы попа-
даем в новую клетку. Исключение составляет особый
случай, который мы рассмотрим ниже. В «не особом»
случае окружность пересекает 398 клеток. (До этого
места решение довели многие, но аккуратно разобраться
в тонкостях, о которых пойдет речь ниже, не удалось
почти никому из участников олимпиады.)
На чертеже 2 а изображен особый случай, когда две
части окружности попадают в одну и ту же клетку.
Легко видеть, что такая окружность дважды пересекает
некоторую сторону клетки (на чертеже сторону АВ) и
что это может случиться только вблизи самой верхней,
самой нижней, самой левой и самой правой точки
окружности — в том смысле, что эта точка лежит меж-
ду двумя точками пересечения окружности со стороной
клетки
Черт. 2а
Докажем, что одновременно не может быть более
одной особенности. Для этого ответим на вопрос: где
должен быть расположен центр О окружности, чтобы,
скажем, отрезок АВ пересекал окружность дважды?
Для этого необходимо и достаточно, чтобы расстояния
от О до Л и В были больше 100 см, расстояние от О
до стороны АВ— меньше 100 см. Таким образом, иско-
мое множество точек О — криволинейный треугольник,
ограниченный отрезком CD и дугами окружностей
радиуса 100 см с центрами в А и В (черт. 2 6), причем
граница треугольника этому множеству не принадле-
жит. Ясно, что два гакнх треугольника, расположенных
у разных сторон клеток, не пересекаются.
Ответ: Окружность может пересекать 398 или
397 клеток
4 (VIII—X). Среди студентов, поступивших в универ-
ситет, ровно 50 человек знают английский язык, ровно
50 знают французский язык и ровно 50 — испанский
язык. Доказать, что студентов можно разбить на пять
(не обязательно равных) групп так, чтобы в каждой
группе было ровно 10 человек, знающих английский
язык, ровна 10 человек, знающих французский язык,
и ровно 10 человек знающих испанский язык. (Предпо-
лагается, что некоторые из студентов могут знать по
нескольку из этих языков, некоторые — один или ни
одного.)
Решение. Докажем следующее утверждение: если
среди студентов ровно п человек знают каждый из трех
языков, то можно выбрать из этих студентов такую
группу, в которой каждый язык знают ровно двое.
Будем обозначать через аф студента, знающего
английский и французский языки (ио не знающего
испанского), через а—студента, знающего только
английский язык, и т п.; через Na#— число студентов,
знающих английский и французский языки, через
Na — число студентов, знающих только английский,
и т. п.
Если все три числа Nan, Na$. N фа отличны от ну-
ля, то утверждение очевидно: достаточно выбрать
группу из трех студентов {аи, иф, фа}.
Пусть теперь одно из чисел Nou, Nu&, N&a равно
0, скажем: Naa — 0, ф 0, N$n=h®. Тогда, оче-
видно, Na^(> и Na=^d, п достаточно выбрать груп-
пу {иф, фа, а, и].
Наконец, если Nau = Nфа = 0,	0, то можно
выбрать группу {иф, а, аиф], если Ыаиф ' 1; {иф, а,
иф, я}, если Naurp — 0 и IVu,£>2; {иф. а. а, и. ф},
если А/аиф " 0 и иф 1-
В случае Naa — N фа — Миф — 0 всегда можно вы-
брать группу {аиф, аиф], {а, и, ф. а. и, ф{ или
{аиф, а, и, ф{.
Таким образом, наше утверждение доказано.
Остальное просто: выбирая 5 раз по группе, в кото-
рой ровно 2 человека знают каждый язык, мы получим
первую группу, в которой каждый язык знают 10 чепо-
век; затем точно так же выберем другую такую же
группу и т. д
Вообше, если л—любое и р — четное натуральное
число, то всегда можно выбрать из студентов, среди
которых ровно п знают каждый из трех языков, такую
группу, в которой каждый язык знают ровно р человек.
(Условие, что р четно, необходимо.)
5 (VIII) Доказать тождество
2	4	6	,	_	20
х2 — 1 + х= — 4 + х3 — 9 + • • - + Ю0 =
Г 1	(	1
“ 11 [(х - 10) (х + 1) + (х —9)(х + 2) + "’ +
+ (х—1)(х + 10)]’
Решение Каждое слагаемое в левой части тож-
дества расписать так:
2Л	1	1
X2--k2 X — k X + k ’
75
в правой части так:
11 1 1
(х — 11 +й)(х + £) = х — 11 X + k
(здесь k=l, 2, ..,10). Остальное ясно.
6 (IX) В правильном п-угольнике (л > 5) разность
между наибольшей и наименьшей диагональю равна
стороне. Найти п.
Решение. Пусть Dn, dn, а„ — наибольшая и наи-
меньшая диагонали и сторона правильного л-уголь-
ника, вписанного в окружность радиуса 1. п — 6
и л — 7 не годятся. Чтобы убедиться в справедливо-
сти этого утверждения, достаточно написать неравен-
ство АС 4- CD > AD (черт. 3, л и 3, б). Для правиль-
ных л-угольников при л = 8 и л = 9 (черт. 3, я и 3, г)
АЕ — BD =- 2 А А'; по условию 2АК = АВ^==^.-<ВАК—
— 60°<—=» л — 9. Числа л, большие 9, не годятся, по-
скольку Dn > De, d„ < d9, ап < at, и, следовательно,
Ds — d, = а9 => Dn — dn > an при л > 9.
Ответ: л — 9.
7	. (IX). Последовательность а,, а,. а*. обра-
зована по следующему правилу
1	I
а, =- I; а2 а, 4-	, а3 = а.г -|-	,
-
Доказать, что а,0„ > 14.
Решение. Поскольку для л > 1
4 = an-i + 2 + -Д— >an-i + 2.
ип— I
а^ - 1	>2л — I =>й^00>199 =4>a,0(, > 14
7а (X). Для той же последовательности дока-
зать, что 14 < а100 < 18.
Решение. Задача решается аналогично предыду-
щей с помощью неравенства
ап “ йп-1 + 2 + ~2	< ап-1 + 3-
“л-1
8	. (IX). Внутри остроугольного треугольника
АВС взята точка О, внутри остроугольного тре-
угольника А’В'С — точка О' Из точки О опу-
щены перпендикуляры. ОА, на сторону ВС, ОВ
на сторону СА и ОС, на сторону АВ. Точно
так же из точки О' опущены перпендикуляры
О'А', на В'С, О' В, на С А' и О'С\ на А'В' Ока-
залось, что СМ[||ОМ', ОВ,\\О' В', ОС, ЦО' С О А, X
X О'А' = ОВ,0'В' = ОС, О'С. Доказать, что
О' А{ || О А, О'В,'\\ОВ, О'С'ЦОС и О'А[-ОА = О'В{ X
К.ОВ = О'С1-ОС. (Значок || в этой задаче понимается
так- прямые параллельны или совпадают.)
Решение. Сдвинем ДА'В'С параллельно само
му себе так, чтобы точка О' совпала с О (ниже мы
вместо О' пишем О). Тогда по условию О А' и OB’
пойдут соответственно по ОД, и ОВ,, т. е. ^А'ОВ' —
— ^А,ОВ,. причем
ОА, ОВ,
ОВ' - ОА' ’
Л
Л А,ОВ, оо Д В'ОА’,
^ОА,В, - ^ОВ'А' и ^ОВ,А, = О А'В'.
Поскольку четырехугольник ОА,СВ, вписанный
(с диаметром ОС), то В,СО =- О А,В, и	А,СО =
^_ОВ,А,. Следовательно, прямоугольные треуголь-
ники подобны: Д А,ОС ю Д С{ОА' и Д В,ОС сл
юДСрВ',— откуда следует, что ОС, лежит на
той же прямой, что и ОС, и ОС-ОС, =-ОА,-О'А' =~
=-ОВ,О'В'.
Аналогично рассматриваются треугольники В’ОС
и С'ОА'
9	(IX—X). Доказать, что любое натуральное
число, не превосходящее п!, можно представить
как сумму не более л натуральных чисел, среди
которых нет двух одинаковых и каждое является
делителем числа п!.
Решение. Индукция по л. Пусть а <.(л-|- 1)’.,
тогда (разделим а на л 4- 1 с остатком) а — (л 4- 1) х
X d 4- г, где 0 <г < л 4 1 и d л1.
По предположению индукции, d =• d, 4- ... 4- dk,
где Л < л, л! ; di для всех i и dt =/=dj при 1 < Z <
<_/<& Тогда
a =(n 4 l)<Ii + - - • 4- (л 4- l)rfj 4 г —
требуемое представление для а, очевидно, что все
Слагаемые различны и являю,ся делителями числа
(л 4- 1)! (последнее слагаемое меньше остальных и де-
лит (п 4- 1)!, поскольку r<_n I).
10	(X) В треугольнике АВС взяли точку D на
АВ и точку Е на АС. При этом оказалось, что
DE\\ ВС, AD = DE = AC, BD — АЕ. Доказать, что
BD равно стороне правильного десятиугольника,
вписанного в окружность радиуса АС.
Решение. Передвинем треугольник ADE парал-
лельно самому себе так, чтобы точка D попала в точ-
ку В, тогда A ADE займет положение Д KBL, где
К € Т £ ВС. КТ || АС и, кроме того, К.В = LB =
=• АС, АК = КТ =• ТС. Последовательно докажем,
что если с КАТ = а, то г^КТА-ау <^ВКТ=‘2ау
ВАС = ВС А =- 2а; Д ACT — Д BKL по двум
сторонам и углу 2а между ними; АТС =— 2а; а =
тт	и
= -g-; ТАС — ~g- ; ТС BD, г. е. отрезок ТС ра-
вен стороне правильного десятиугольника, вписанного
в окружность радиуса АС.
(Существует и простое решение этой задачи с по-
мощью тригонометрии, которое предложило боль-
шинство учащихся.)
76
11	(X). На ребрах АВ, AC, AD тетраэдра ABCD
построены, как на диаметрах, шары. Доказать,
что эти шары целиком покрывают тетраэдр.
Решение. Опустим из точки А перпендикуляр
АО на плоскость BCD и из точки О на этой плоско-
сти опустим перпендикуляры OK, 0L, ОМ на прямые
ВС, CD и DB. Три четырехугольные пирамиды
АВКОМ, ACLOK и ADMOL покрывают наш тетра-
эдр, и каждая из них покрывается соответствующим
шаром с диаметром АВ, АС и AD. Действительно,
все вершины пирамиды АВКОМ лежат на поверхно-
сти шара с диаметром АВ, поскольку АОВ =
= АКВ — АМВ = 90°, следовательно, вся пира-
мида покрыта этим шаром
ЗАДАЧИ УСТНОГО ТУРА
12	(VIII—IX). В клетках квад ратной таблицы
4X4 расставлены знаки «плюс» и «минус», как
показано на рисунке.
Разрешается одновременно менять знак во всех
клетках, расположенных в одной строке, в одном
столбце или на прямой, параллельной какой-ни-
будь диагонали. (В частности, можно менять знак
в любой угловой клетке.) Доказать, что, сколь-
ко бы мы ни произвели таких перемен знака, нам
не удастся получить таблицу из одних плюсов.
Решение. Из восьми клеток, заштрихованных на
чертеже 4, каждая прямая, параллельная сторонам
или диагоналям квадрата, пересекает четное число
клеток (две или ни одной), поэтому при указанных
операциях четность числа минусов в этих клетках
не может измениться.
12а (X) На всех клетках шахматной доски 8X8 рас-
ставлены плюсы, кроме одной не угловой, где стоит
минус. Разрешается одновременно менять знак во
всех клетках одной вертикали, одной горизонтали или
одной диагонали (ь частности, в любом углу). Дока-
зать, что, сколько бы мы ни произвели таких перемен
знака, нам не удастся получить доску из одних плюсов.
Решение, На доске 8X8 можно нарисовать доску
4X4. на которой минус расположен так же, как в
задаче 12 (около кран, но не в углу), после чего ут-
верждение этой задачи следует из предыдущей.
13	(VIII—IX) Медианы разбивают треугольник
АВС на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из
окружностей, вписанных в эти шесть треугольников,
равны. Доказать что треугольник АВС правильный.
Решение. Шесть маленьких треугольников, на ко-
торые данный треугольник АВС разбивают медианы.
всегда имеют равные площади, поэтому если радиусы
вписанных окружностей каких-то двух из них равны,
то и их периметры равны.
Из четырех треугольников, периметры которых, как
мы выяснили, равны, два обязательно примыкают к
одной стороне, скажем АВ (черт. 5). Тогда, поскольку
AM + МК + ЛК = ВМ + МК + ВК (К — середина АВ,
М точка пересечения медиан), AM = МВ, следова-
тельно, СК — медиана и высота в А АСВ, т. е. АС =
= СВ. Из четырех остальных треугольников какие-то
два имеют такой же периметр, как периметры треуголь-
ников I и 2. Либо периметр треугольника 3 равен пери-
метру треугольника 1, и тогда сами треугольники рав-
ны, поскольку треугольники имеющие равные перимет-
ры, площади и основания, как можно показать, равны.
Либо периметр треугольника 5 равен периметру треу-
гольника 2, откуда нетрудно вывести равенство
27.С + 2х = 2КВ + 2х, где х — длина отрезка касатель-
ной, проведенной к той и другой окружностям из точки
М (L — середина /1С). В обоих случаях мы получаем,
что АВ = АС, т. е. А АВС — равносторонний.
14	(VIII) Доказать, что уравнение х2+ х + 1 = ру
имеет решения в целых числах (х, у) дгя бесконечного
числа простых чисел р.
Решение. Если предположить, что уравнение име-
ет решения (х. у) в целых числах для конечного числа
р и р„ (m-е простое число) — наибольшее из них, то
для х = р\р2 .. . рт число х2 + х + 1, очевидно, не имее.1
делителей pi. р2. . , рвд, поэтому joho должно делиться
на некоторое простое число рп, п>т, т. е. уравнение
х2 -|- х -|- 1 = р, у разрешимо в целях (х, у).
(Это доказательство напоминает известное доказа-
тельство бесконечности числа простых чисел. Аналогич-
но доказывается более общий факт, что сравнение
f(x) Е 0(modp), где f(x)—произвольный многочлен с
целыми коэффициентами, имеет решение для бесконеч-
ного числа простых р )
15	(VIII). После выступлений 20 фигуристов каждый
из 9 судей распределяет по своему усмотрению места с
первого по двадцатое Оказалось, что у каждого фигу-
риста места присвоенные ему разными судьями, отли-
чаются не более чем на 3 Подсчитаем суммы мест,
полученных каждым фигуристом, и расположим их в
порядке возрастания: С| + С2 + С3+ ... + С20. Какое
наибольшее значение может иметь С,?
Решение. Наибольшее возможное значение Ct рав-
но 24. Если первые места присуждены одному человеку
(всеми девятью судьями), то Ct =9. Если первые места
присуждены всего двум фигуристам, то один из них
получил не менее 5 первых мест и остальные четыре
полученных им места не вьшр четвертого, поэтому
С, + 5 • 1+4-4 = 21. Если первые места получили
трое, то, поскольку остальные полученные ими места
не выше четвертого, и четвертых мест всего девять, то
сумма мест всех этих трех фигуристов не больше
I • 9 + 3 • 9 +4 • 9 = 72, следовательно, хотя бы у
одного из них сумма мест не больше 24, т. е С|^24.
Если таких спортсменов четверо, то сумма их баллов
не больше 1-9-|-2-9+3-9 + 4- 9 = 90, следовательно,
сумма баллов некоторого из них не больше 22. Случай,
когда первое место получили пять и более человек,
невозможен, поскольку на них не хватит очков от 1 до
4 (этих очков всего 9-4 = 36). Пример, когда Ct = 24,
подсказан нашим решением: каждый из девяти лучших
фигуристов получил места 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4. 4, 4;
каждый из девяти следующих — 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6, 6, 6
(здесь возможны и другие варианты), остальные — про-
извольно
16	(IX). На столе у учителя стоят весы. На чашках
весов стоят гири не обязательно одного веса. На каж-
дой гире написаны фамилии одного или нескольких
учеников. Входя в класс, ученик переставляет на дру-
гую чашку весов каждую гирю, на которой написана
его фамилия. Доказать, что можно впустить в класс
таких учеников, чтобы в результате перевесила не та
чашка весов которая перевешивала вначале. (Форму-
лировка, предложенная на олимпиаде, возникла при
обсуждении этой задачи на заседании жюри. Перво-
начальная формулировка такова: «Доказать, что для
любого ненулевого многочлена f(xi,..., хп) с веществен-
ными коэффициентами без свободного члена, в записи
которого все х,(<=1, 2, .... п) входят не более чем в
первой степени, неравенство f(xt, ..., х„) < 0 имеет
решение, в котором каждое из х, равно +1 или —1».
Мы предлагаем читателям восстановить соответствие
между двумя формулировками и перевести решение на
математический язык.)
Решение. Докажем это утверждение индукцией по
числу учеников я. Для п = 1 утверждение задачи три-
виально
Пусть учеников п + 1. Снимем на время все гири, на
которых написана фамилия какого-то одного ученика Д.
Либо при этом сразу перевешивает не та чашка весов,
которая перевешивала вначале, либо можно (по пред-
положению индукции) впустить таких учеников, что
после проведения ими операций, указанных в задаче,
перевесит не та чашка, что вначале. Впустим этих
учеников.
Теперь положим на весы только те из лежавших там
первоначально гирь, на которых написана фамилия А.
Ученика А мы впустим в комнату в том и только в том
случае, если при этом перевешивает та же чашка весов,
что и вначале.
Ясно, что если впустить указанных учеников, то тре-
бование задачи будет выполнено.
17	(IX). Город имеет в плане вид прямоугольника,
разбитого на клетки: п улиц параллельны друг другу,
m остальных пересекают их под прямым углом. На
улицах города, но не на перекрестках, стоят милиционе-
ры. Каждый милиционер сообщает номер проходящего
мимо него автомобиля, направление его движения и
время, когда он проехал Какое наименьшее число
милиционеров нужно расставить на улицах, чтобы по
их показаниям можно было однозначно восстановить
путь любого автомобиля, едущего по замкнутому
маршруту по улицам города (маршрут не проходит по
одному и тому же участку дважды)?
Решение. Если расставить милиционеров на всех
улицах одного направления, кроме крайней, по очному
между двумя перекрестками, то общее число милицио-
неров будет (zn— 1)(л—1), и, очевидно, это располо-
жение удовлетворяет требуемым условиям (черт 6).
Докажем, что меньшим числом милиционеров обойтись
нельзя.
Пусть милиционеры расставлены каким-то произволь-
ным образом. Выбросим те отрезки улиц, на которых
78
они стоят. От сетки, изображенной на чертеже 6, оста-
нется тогда /г^1 связных кусков, причем в каждом нз
них можно пройти из одной точки в любую другую
только одним способом, поскольку замкнутых маршру-
тов быть не может. Если в таком куске оста-
лось р перекрестков (считая «концы»), то отрезков в
нем, как нетрудно доказать, р—1. Возьмем теперь
сумму по всем k кускам. Перекрестков всего
шп, значит, число отрезков, свободных от милиционе-
ров, равно тпп — ksSZrun~l Общее число отрезков
2тп + т -f- п. значит, число отрезков, занятых мили-
ционерами, не меньше тп—т—п+1—(т—1) (п—1).
18	(VIII—X). И звестно, что среди чисел а,. аг,_,
ап встречаются по разу все числа 1. -у, -g-, —,
и среди чисел bt, Ьг, .... Ьп тоже Кроме того,
известно, что
Qi -Е Е, >	+ *г > «з + лз >   - Е Ьп.
4
Доказать, что ат+Ь,п для всех т от 1 до п.
Решение. Пусть т целое, 1 <1 ст п. Нс ме-
нее чем в половине пар (ak, btl), I ^k<m, выполнено
одно из неравенств	или	Пусть, на-
ст
пример, не менее чем в -%- парах	Тогда, по-
скольку среди этих пар найдется по крайней мере
т	1
-у разных чисел вида — (д—натуральное) в роли
z	д
by, то наименьшее из этих £»* будет не больше
2
поэтому, поскольку ау^Ьу,
4
<2* + by <	—
и, поскольку k^m,
4
ат +	-р б* т •
^Это. пожалуй, наиболее красивая задача олимпиа-
ды. Попробуйте обобщить ее на случай произволь-
ной последовательности а, а,	ап вместо 1,
_L	JL )
2 ..... п ' )
19	(X). Вписанная в треугольник АВС окруж-
ность касается стороны АС в точке К Дока-
зать, что прямая, соединяющая середину сторо-
ны АС с центром вписанной окружности, делит
отрезок ВК пополам.
Решение. Пусть KL — диаметр вписанной ок-
ружности; тогда прямая BL пересекает АС в такой
точке Е, что ЕС = АК (чтобы доказать это, доста-
точно, например, построить вневписанную окруж-
ность треугольника, которая касается стороны АС
в точке Е, и заметить, что АК -Е АЕ и СК -Е СЕ
равны отрезкам прямых ВА и ВС между точками
касания с двумя окружностями)
Теперь, если D — середина АС, а О—центр впи-
санной окружности, то очевидно, что KD = DE
и KO—OL, поэтому OD^BE и OD делит отрезок
КВ пополам.
20	(X). Дан выпуклый четырехугольник ABCD,
длины всех сторон и диагоналей которого рацио-
нальны. Пусть О— точка пересечения его диаго-
налей. Доказать, что длина отрезка АО — рацио-
нальное число.
Решение. Пусть R — множество рациональных
чисел. Обозначим АВС	ABD — ₽,. DBC —
— ₽2. Поскольку АО -t- ОС g R, то достаточно дока-
зать, что -QQ- С R. Но
АО АО ВС АВ sin Р, АВ
ОС " АВ ’ ОС ’ ВС ~ sin ₽2 ’ ВС ’
sln f1' г о п
Приме-
Л АВС и Л DBC,
что достаточно доказать, что 
теоремы косинусов к Л ABD,
так
няя
мы докажем, что cos р, cos р и cos р2 рациональны,
поэтому sin pj-sin р2 -= cos p,-cos pg — cos р С R. а так-
же sin’ р2 — 1 — cos’ р2 £ R следовательно.
sinp^sinp, sin р,
sin’ р2 “°" sin p2
21	(X). Последовательность чисел at, a,..an
удовлетворяет следующим условиям.
с, - 0, | Л, | - | д2 + 11, | a3 | - | c2 + 11,
| j — | <z3 -f- 1 |, ..| an [ “ | an— i + 11-
a, + a2 -j- ... + an 1
Доказать, что ------------------ —~Y‘
Решение 1. Возвысим обе части каждого равен-
ства, указанного в условии задачи (от а± — 0 до
| «п+11 — | ап + 1 j), в квадрат и все сложим После
упрощений получим
ап+1 = (flj + — + а„) + п,
п
«1 + — + ап + 2
Решение II. Индукция по п. При п <2 утверж-
дение очевидно. Пусть о,.....ап — такая последова-
тельность чисел, ак— наименьшее из них, тогда мож-
но считать, что ак < 0,	——ак— 1 и, если
3<fe<n— 1, то | aft_2 + 1 | - — ak — 1, | ak+11 =
•= | ak -t- 11 — — ak — 1. Теперь заметим, что
ak + i __________1_
2	“	2 ’
и если исключить йа—,, ак из нашей последователь-
ности, то оставшаяся последовательность п—2 чисет
снова удовлетворяет требуемым условиям (|я*—2+1| =
— I Да+11)- Среднее арифметическое ее членов, по пред-
положению индукции, не меньше — -ту-, следователь-
но, это имеет место и для всей последовательности
Д1, • - *, ап.
Э. А. ЛАУДЫНЯ
(г. Даугавпилс)
Применение комплексных чисел в задачах
о правильных многоугольниках
Многие планиметрические задачи с помощью комп-
лексных чисел решаются проще, чем другими мето-
дами. Опыт работы в Юношеской математической
школе при Ярославском пединституте показал, что
вопросы приложения комплексных чисел к геометрии
посильны ученикам старших классов.
В настоящей статье мы ограничиваемся применением
комплексных чисел в задачах о правильных много-
угольниках. Но сначала, в § 1, напоминаем отдельные
факты о комплексных числах (см.: С. И. Н о в о с е-
л о в, Алгебра и элементарные функции, Учпедгиз,
1956, а также 3. А. Скопец, Приложение комплекс-
ных чисел к задачам элементарной геометрии, «Ма-
тематика в школе», 1967, № 1).
§ 1 Геометрическая интерпретация комплексного
числа и действий над комплексными числами
1 Всякое комплексное число межет быть представ-
лено в алгебраической и тригонометрической формах:
г — х A- iy, z — р (cos <р 4- I sin tf),
где x, у, p и <f — действительные числа, р>-0.
Каждой паре чисел (х, у) или (р, ср) соответствует
единственное комплексное число. Если даны х и у, то
модуль р комплексного числа г определяется одно
значно, а его аргумент <р может принимать бесконеч-
ное множество значении, отличающихся друг о г
друга на число, кратное 2л. Модуль и аргумент обо
значают соответственно так:
Р“ l-H. <p = Argz.
Если 0<<р < 2л, то- <р называется главным значе-
нием аргумента комплексного числа л: <р — arg г
Очеви дно,
Arg z — arg z + 2kn (k -= 0, ± 1 + 2,...).	(1)
Между точками плоскости и комплексными числами
можно установить взаимно однозначное соответствие
Для этого необходимо на плоскости выбрать декар-
тову или полярную систему координат. Тогда комп-
лексному числу
z — х + ly — р (cos tp + I sin tp)	(2)
соответствует точка M с декартовыми координата-
ми (х, у) или с полярными координатами (р, <р) и об-
ратно (черт. 1).
Черт. 1
При фиксированной точке О каждая точка М пло-
скости определяет некоторый вектор ОМ Поэтому
комплексные числа можно рассматривать как векторы
соответствующих им точек
Модуль комплексного числа равен расстоянию от
соответствующей точки до начала координат:
_ ОМ - | ОМ |.
(3)
Угол, образованный вектором ОМ с положительным
направлением действительной оси, равен Argz.
79
Числом
г = — х — ly — р [cos (ср 4- я) 4- I sin (<р 4- я)| (4)
изображается точка, симметричная М относительно
начала координат. Числом
~z = x — ly — p[cos(—<p)4-Zsin(—ср)]	(5)
изображается точка, симметричная М относительно
действительной оси. Очевидно,
1)	1^| = | —z| - |z|; 2)[z\2-zz;
3)	Arg( — z) = Arg г +(2fe 4- 1)я;	(6)
4)	Arg z = — Arg z + 2Ля.
Для главных значений аргумента (черт. 2) имеем:
arg( — г) = arg z 4- я, если 0<<arg2,<it.
arg(—z) = argz — я, если я<Са^.г<2я.
Отсюда
arg( — z)— arg z = + я.
Если arg z 0, то
arg г — 2я— arg z.
(7)
(8)
(9)
В дальнейшем комплексные числа, соответствующие
точкам А, В, С, ... , будем обозначать буква-
ми а, Ь, с,...; иногда этими же малыми буквами бу-
дут обозначены и сами точки.
2.	Алгебраическому сложению и вычитанию комп-
лексных чисел соответствует геометрическое сложе-
ние и вычитание векторов (черт. 3).
Если комплексным числам а и b соответствуют
точки А и В, то числу с = а 4- b соответствует такая
точка С, что ОС = О А 4-ОВ. Отсюда
I с I | а 4- b К | а | 4-1 Ь |.
Равенство имеет место только тогда, когда векторы
точек а и b сонаправлены:
arg а - arg 6	| а 4-* | = |д| 4-1В |.	(10)
Если же векторы точек а и b противоположно на-
правлены. то
arga — arg b — 4-я а 4- В| <= Е (| а | — | b |). (11)
Вычитание определяется как действие, обратное
сложению. Если с = а — Ь, то а = b 4- с, т. е. комп-
лексному числу с = а — b соответствует такая точ-
ка С, что ОА=ОВ±ОС, но ОА = ОВ + ВА, по-
этому ОС = В А (черт. 4). Модуль разности |а — 6|
равен расстоянию между точками А и В.
Черт. 4
Для любых комплексных чисел
| а —	>|а| —1£|.
Равенство имеет место только тогда, когда векторы
точек а и b сонаправлены. т. е.
arg а = arg b <—=4 | а — b | — + (| а | — р | ).	(12)
Если же векторы точек а и b противоположно на-
правлены, то
arg а — arg 4 = 4 я | а — b | = | а | 4- | 61. (13)
3.	Для геометрической интерпретации действий ум-
ножения и деления пользуемся тригонометрической
формой комплексного числа. Пусть даны две точки
гх = Pi (cos <р, 4- i sin <pt), z2 = p, (cos <рг 4-1 sin ?2).
Вектор точки
z - г, z2 - Р, р2 [cos (<Р, 4- <р2) 4- I sin (<р, 4- ?2)]
можно получить из вектора точки zx умножением
его на р2 и вращением его около начала координат
на угол ?2. Очевидно,
lz,-zsj^jz,l |z2|,
Arg(z,-z2) = Arg а, 4- Arg z2 4- 2йя.
Умножению комплексного числа z на комплексное
число е, модуль которого равен 1, соответствует по-
ворот вектора точки z около начала координат
на arg е.
Аналогично, если
г, р,
z = ~ - — [cos(<p2— tp2) 4- I sin (у, — <f>2)],
Pa
ro
1371 - Ixr Arg "S’=Arg 2t ~Arg 23 + 2kn-
zt
Вектор точки г= - можно получить из вектора
1
точки г умножением его модуля на —— и враще-
нием около начала координат на угол — уа.
При вычислении произведения или частного длин
отрезков, выраженных посредством модулей, следует
пользоваться следующими тождествами:
arg а = arg b Ф==4
arg а—argb = + я <==>
|а |-| b | — ab = ab,
|а [	а	И4)
ТьТ~~ь~'
| а | • | b | = —ab — —ab,
|д| а	(15)
1*1 = ~ ь •
4.	Выполняя действия над модулями комплексных
чисел, следует проверить, применимы ли форму-
лы (10 -15), т. е. коллинеарны ли векторы точек а
и Ь. В случае, если векторы точек а и Ь не коллине-
арны, то, чтобы применить формулы (10—15), враще-
нием вектора одной из точек около начала коорди-
нат преобразуем их в коллинеарные. Вращению век-
тора точки z около начала на угол а соответствует
80
умножение комплексного числа г на е — cos а 4-
4~ * sin а.
5.	Решая задачи, часто приходится устанавливать
зависимость между комплексными числами а, Ь, с и d
для различных взаимных расположений хорд АВ
и CD. Легко доказать, что для хорд АВ и CD ок-
ружности с центром в начале координат справедливы
следующие эквивалентности:
ab = cd £==> АВ || CD.	(16)
ab + cd = 0 <==? АВ Л CD.	(17)
6.	Решая с помощью комплексных чисел задачи
о правильных многоугольниках, удобно декартову
или полярную систему координат выбирать так, чтобы
числа 0 и 1 соответствовали их центру и одной из
вершин. В таком случае вершинам Д, Д, As,.. .,Лл_,
соответствуют комплексные числа
гк = cos —— 4- I sin ——, (k — 0, 1, 2 п—1), (18)
являющиеся корнями уравнения zn—1-0. Так как
гк — zf, то можно считать, что вершинам Д, Л,. А2.
..., Лп_t соответствуют числа 1, г, г3,...,гп—1.
Применяя формулу
АВ3 — (а — Ь)(а — b)	(19)
к вершинам правильного многоугольника, следует
учесть, что zk — гп ~к.
Если п — 2k, то гк — —1 и вершинам правильного
п- угольника соответствуют числа 1, г,..., гк — *, —1
—г.....—zk—1 и гт~	~—гк~т.
§ 2. Вычисление длин сторон и диагоналей
правильных многоугольников
Для правильного а-угольника Д	— впи-
санного в единичную окружность zz — 1, имеем
Д Л| =-(*/, —l)(z* — l).
После преобразований, учитывая, что — 1, полу-
чим:
A, A2 - 2-(zk + zk).	(20)
Здесь г* — корень уравнения гп — 1—0 и zk zk =
Нахождение длины хорды А0Ак сводится, таким
образом, к вычислению суммы г^ 4- zk. Обозначим ее
через и/,. Поскольку г^ — корень уравнения гп — 1 — 0.
отличный от 1, то он удовлетворяет уравнению
гп —1 4- гл — а + ... -j- z3 + г + 1 — 0.
Так как
git — k ~~z&
то при нечетном п это уравнение равносильно урав-
нению
п — 1 п — 1
z + z2+...+z2 +z 2 + ... -)- z3 + г 4- 1 =0,
или
/ л — 1 п — 1 \
U 2 + z 2 )+...
... 4- (г2 4- *3) 4- (г 4- г) 4- 1 = 0.
Обозначим
тогда
-г2 4- г3 — и3 - 2, г3 4- г3 — и3 — Зи и т. д.
~ п — 1
Следовательно, получим уравнение степени —2—
п — 1
относительно и, решая которое, получим —%—
различных значений и. Подставляя эти значения в фор-
мулу (20), найдем длины хорд Д Д, ДД,..., Л0Лт,
п — 1
где т — ——"•
Если п — 2т, то уравнение гп — 1—0 равносильно
уравнению (гт— 1) (гт 4- 1) = 0. Так как корни урав-
нения гт —1=0 соответствуют четным вершинам,
а корни уравнения гт 4- 1 = 0 — нечетным вершинам
правильного а-угольника, то, вычисляя сумму гк 4- zk
из возвратного уравнения гт 4- 1 = 0 и подставляя
в формулу (20), найдем длины хорд АОАЪ А0А3..
Предложенный способ для вычисления сторон и диа-
гоналей правильного многоугольника проиллюстри-
руем для п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12.
1)	Если п = 3, то г 4- г 4- 1 — 0, или г -|- г = —1,
и A0At = /3 -
2)	Если л-4, то z- —г и ДД = / 2.
3)	Если п — 5, то (•/ + г3) 4- (г 4- г) 4- 1 = 0. Пусть
г 4- г = и, тогда г3 4- г3 = и3 — 2, и получим уравне-
ние
и’4-и-1=0,
1 / -
решая которое находим а12 — —-g- (1 4- у 5).
2йл
Так как uk — z* 4- zk — 2cos—g— и a, — z1-|-г, =
2тс	_
— 2 cos — >0, и2 — -р z2 =* 2 cos у < 0, то ut «
-—^-(1-/5) и a,----------у(14-/б). Отсюда
ДД - 4- /10 — 2/5 , А„Аг = К10 4-2/5 .
4)	Если а — 6, то г3 4- 1 = 0, и если z/ — 1, то
г3 — г 4- 1 = 0, или — г — г 4- 1 - 0. Отсюда z + г =
— 1 и ДД = 1.
5)	Если а = 8, то z4 4- 1 = 0, или г3 4-	=. о, или
г3 4- z2 — 0.
Отсюда а2 — 2 = 0, а = + /2 и
ДД-/2-/2, ДД -/г 4- /2.
6)	Если а = 10, то z5 4- 1 — 0. Пусть z=fc — 1, тогда
z4 — г3 4- z3 — z 4-1=0, или —z 4- г3 4- г3—^4-1=0,
и относительно а = z 4-z получим уравнение и3_
— а 4- 1 —0 с корнями а-^(1 ± /б). Отсюда
ДД“4-(»<5-1), ДД-4-(/54-1).
7)	Если а = 12, то z6 4-1 = 0, или z’ 4- г3 — 0 От-
сюда а3 — За = 0, а, = /3, и, =0, as = —- /3. Сле-
довательно, ДД - /2 — /3, ДД - /2, ДД -
- /2 4- /3.
81
Задачи
1.	Доказать, что для всякдй тдчки Р, лежа'
щей в плоскости правильного треугольника АВС-
РА2 + РВ3 + PC2 - 3 (R2 + d2),
где d — расстояние точки Р до центра описанной
окружности.
Решение Пусть R — 1 и точкам А, В, С, Р со-
ответствуют комплексные числа 1, z, г2, а, тогда
аа — d2 и
РА2 + РВ2 + PC2 — (1 — а) (1 — аТ 4-
+ (z — о) (z2 — a) +(z2 — a)(z — a) —
— 3 -J- d2 — a(l -f- z + z2) — a (1 -f- z -J- z2}.
Так как z1 ± z + 1 — 0 и Я - 1, то
PA2 + PB2 + PC2 - 3 (R2 + d2).
2.	Доказать, что сумма квадратов расстоя-
ний всякой точки плоскости до вершин правиль-
ного п-угольника равна n(R2 4- d2), где d — расстоя-
ние данной точки до центра описанной окруж-
ности. (Обобщение предыдущей задачи; решение
аналогично.)
3.	Доказать, что сумма квадратов расстояний
произвольной точки описанной окружности до
вершин правильного п-угольника равна 2nR2.
4.	Доказать, что для правильного многоуголь-
ника с четным числом сторон сумма квадратов
расстояний произвольной точки плоскости до вер-
шин правильного многоугольника с четными но-
мерами равна сумме квадратов расстояний этой
точки до нечетных вершин.
5.	Доказать, что сумма квадратов всех сто-
рон и всех диагоналей правильного п-угольника
равна n2R2.
Решение. Пусть R— 1. Если S — сумма квадра-
тов всех сторон и диагоналей правильного п-уголь-
ника A^Ai.^An—i, то
S — (A-^i 4- А0А% + ... 4- А-^л—1) ~2~«
или
П
S - -g - [(z — 1) (z«-> - 1) 4- {z2 - 1) (z«-2 -1)4-
4- ... 4-1) (*-Di-
rt _
— 2	(z 4- z2 4- z3 4- —4- г"—')] —
n
---2~ [2(n—1) 4-2] — n2.
6. Доказать, что расстояние всякой точки
дуги окружности, описанной около правильного
треугольника, стягиваемой какой-нибудь из его
сторон, до противолежащей вершины равно сум-
ме расстояний той же точки до остальных
вершин.
Решение. Пусть вершинам правильного треуголь-
ника соответствуют комплексные числа I, z, z2(z3— 1)
и произвольной точке дуги (1, г) соответствует комп-
лексное число а (черт. 5). Следует доказать, что
\х2 — al —|z — п | 4-11 — а |.
Хорды г, а и 1, а не параллельны. Одну из них по-
вернем на такой угол, чтобы они стали параллель-
ными. В данном случае г— а умножаем на г, т. е.
вектор точки z — а поворачиваем на 120°:
I * — а | 4* | 1 — a I — I г2 — za | 4- 11 — а | —
- jz2 — га 4- 1— а I - |(z2 4-1) — яЛг4-1)| —
— |— * 4- z2a I — I z — z2a 11 z 1 — I z2 — a |..
При решении воспользовались свойством, что z3— 1
и z2 4- г 4- 1 - 0.
7.	Доказать, что сторона правильного девя
тиугольника Р„ равна разности его наибольшей
и наименьшей диагоналей.
Решение. Следует доказать, что
|г-1| - |z4- l|-|z2-l|.
Для имеем г°— 1 — 0, или г* 4- г3 4- 1 = 0. Следо-
вательно,
|z4—1 |—|z2—1 | - |z4—1 | —|z’—z| =
-|z4 — 1 — z3 4-z | — |(z3 4-l)(z — 1)|»
— | —z‘(z —1)| — |z —1 |.
8.	Доказать, что апофема правильного девя-
тиугольника равна сумме расстояний от его цент-
ра до наибольшей и наименьшей его диагоналей.
Решение. Следует доказать, что
|z 4- 11 — |z4 4-11 4-jz2 4-11.
Преобразуя правую часть, получим:
|z*4-114-1^4-1|- I z4 4~ 11 4-I zs 4-z | —
- | z4 4- 1 4- z3 4- z | - | (z3 4- l)(z 4- DI -
— | —z‘11 z 4-11 — |z 4-11.
9.	Доказать, что в правильном двенадцати-
угольнике Р1Э(АА-. .Дп)
АА 4- АА — 2г.
Решение. Для Р1г имеем z’ — —1, или z4 — z2 4-
4-1—0, следовательно,
АА +АА — |z—l|4-|z’—l| —
= |z2 — z|4-|z3—1| — |z2—z4-z’—1| —
_|(z2-1)(z4-1)| = |z2-1||z+1|-
— |z4 I |z 4-11 — |z 4-1 j — 2г.
10.	Доказать, что для правильного 15-угольника
Р 1б (А • - - Ав)
ДО.А — л40-А — A0At,
Решение. Для Р1й имеем z6 * * * 10 4- z5 4- 1 — 0, следо-
вательно.
А А — А А = I z’ — 11 — | z4 — 1 | —
— |z* — 1 I — |z5 — z | = |z’ — 1 — z54- z| —
- |(z— l)(z» 4- 1) I — |z-l||z54-l| —
-|z—1|| —z,0|-|z—1| AA-
11.	Доказать, что если as, a5, a10 и аюсоответ-
ственно стороны правильных простых и звездча-
тых многоугольников, вписанных в окружность
радиуса R, то
1) яю аю —
z) р — / -	, >
X а10 а5
82
4)	a 10 Ojq — a- a5 — i^5 A2,
5)	a25 — a2w - a's — a'o - R2,
6)	aj0 + a'w - 3R2,
7)	a2- + a'* —SR2.
Решение. Докажем некоторые из этих формул.
Предположим, что R — 1. Пусть z10 = 1 или г5 — — 1,
т. е. г* — z3 4- z2 — z + 1 — 0.
1) а'о — а10 — | z3 — 1 j—| z — 1 | = | г3 — 1 |—|z2— z\ —
- | г3 — z2 4-г — 1 | - | г4 | = 1 - R.
5) a'5 — <г'о — (z‘—1)(— z— 1) — (z3 — 1)(— z3 — 1) —
------------(z4 — z3 4- z2 — z) = 1 - R2.
7) ai 4- a5 — (z2 — 1) (— z’ — 1) 4- (z4 — 1) (— z—1)=
— 4 — (z“ — z’ 4- z2 — z) — 4 4- 1 - 5R2
12.	Доказать, что в правильном семиугольнике
1 1 1
AA-.-A Ло-41 - дод2	л„д,-
Решение. Докажем, что
^o-^i Др Д]
А0~Аг + Д Д "" "
Преобразуя левую часть, получим:
13. Доказать, что в правильном 15-угольнике
1 1 1 1
Л5(Д - • • А*) Д0Л, “ Л0Ла + ДЛ4 Л0Д/
Решение. Для Р1Ъ zIS — 1. Обозначим
1	1	А 1	1	С
ДЛ,	Д0А	Д	АОАВ Л" Д0Д4	£)
Тогда
А 1	1	|z’ —1| — |z —1|
В “|z— 1|	|z’ —1|= |z — lj|z’ — 1| "
| z1 — 1 | — | z4 — z3 j | z’ — 1 — z4 4- z31
“	|z-l||z’-l|	- |z-l||z’-l| “
| z4 4-1 11 z3 — 1 |
~ |z —l||z’ —1| •
C 1	1
D ~ lz2 — ll + |z4 —1| “
| z4 — 1 | 4-| z2 — 1 |	jz4-l[4-|z3-z|
“	|z2—lj|z4—1|	“ |z2-lfp-i| •-
| г4 — 1 4- г3 — z |	| z3 — 1 11 z -f- 1 j
“ l^-l||z*-l| “ I z2- 111 Z4 - 11 ’
AD — |z8 — 111 z2 — 1 11 z’— 11,
B-C = |z7— l||z2 — l||z« —1|.
Так как | z8 — 11 = | z’ — 11, то A-D — B C, или
А С
В ~ D'
14. Доказать, что если в окружность вписан
правильный п-угольник ЛОЛ1...Л2Й с нечетным чис-
лом сторон, то сумма расстояний от любой
точки дуги АвАгк до вершин с четными номерами
равна сумме расстояний от этой же точки до
вершин с нечетными номерами.
Решение. Следует доказать, что
| 1 — a j 4- | Z2 — а | 4* • • • 4- I Z2k — а | —
-|z — a|4-|z’ — а|4- ... 4-И*-* —а|.
где а—комплексное число, соответствующее произ-
вольной точке дуги А0Аак. Преобразуем левую часть:
S = | 1 — а | 4- I z2 — а | 4- ... 4-jz2* — а j —
— | z* — zka | 4- I z*+’ — z*—’а | 4- ... 4- | z2ft — а | -
= | zft — zfto 4- zft+* — Zft—’о 4- ... 4- z2ft — а I —
= |(zft 4- zA+’ 4- ... 4- z2*) —(zft 4- z*-1 4- ... 4- l)a|.
Но так как
z2k 4- z2ft-'1 4- ... 4- zft+* 4- zA 4- zk~1 4-
4- ... 4- z 4- 1 - 0,
TO
S - I — (zk-‘ 4-ze—2 4- ... 4- z 4-1) 4-
4- (zft+* 4- zk+2 4- ... 4- z2k) и j =
- |(z*-‘ 4- zk-2 4- ... 4- z 4- 1) —
_ (z*+i 4- z*+2 4. ... 4- z2*) a j
_ |(1 _ Z2ka) 4- (z — z2k-'a) 4- ... 4- (zk-' — Z*+'a) I.
Так как хорды (1, z2*a), (z, z2*—’a).(zk—1, zk+'u)
сонаправлены, то
S — | 1 — z2ka I 4- |z —z2k~’a I 4* ... 4- I zk—' — z*+’a|.
Умножая каждое из слагаемых соответственно на [ z |.,
|Z2|,..., | гк | и учитывая, что z2k+l — 1, получим:
S~|z — a| 4-|zs— a I 4- ... 4-|z2*-’—a|.
Решение этой задачи для конкретных значений п,
напримео п — 5, 7, 9 и т. д., не составляет трудностей.
9999999999999999999
••••••••••••••••••в
Задачи для учащихся
VIII —X классов
521.	Решить у равнение
xyztzy 4- zyxyzt = yxyztz.
Т. Г. Мишакова (г. Тирасполь)
522.	Освободить от иррациональности знамена-
тель дроби
2
— 3 — 3 — ’
Г + 2 /2 — /3 — > 9
Стоян М. Анчев (Болгария)
523.	Доказать, что если т и п —нашу ральные
числа и корни у равнения х2 — т (п 4-1) х + т + п +
+ 1=0— также нашуральные числа, то тп^\2.
И. А. Кушнир (г. Киев)
524.	Не решая системы у равнений
( ах2 4 by2 = х — у,
I ах 4- by - т,
доказать, что она имеет действительные реше-
ab 1
если Т+Ь<2^'
А. Н. Смоляков (г. Затеречный Ставропольского края)
525. Доказать, что при а^> с и b~> d имеет
место не равенство
(а + b + с 4- d)2' 8 (ad 4- be).
М. Ш. Готлер (г. Вильнюс)
526 Доказать, что если 0 < А <	0 < В <	,
71
0 < С < -g- и А + В 4- С - я, то
1 1 1
cos А cos В * cos С 6'
Л. Е. Скворцова (г. Йошкар-Ола)
527. Доказать, что для остроугольного треугольника
справедливо неравенство
tg24 + tg2B + tg2C^9.
М. Ш. Готлер (г. Вильнюс)
528 В треуголонике через центр вписанной окружно-
сти радиуса г проведены прямые, параллельные сто-
ронам треугольника. Доказать, что сумма квадратов
длин отрезков этих прямых, заключенных внутри
треугольника, не менее 16г2
Ю И. Герасимов (Новосибирская обл.)
529.	Даны сфера и две точки вне ее. Найти геометри-
ческое место точек касания со сферой тех окружностей,
которые проходят через две данные точки.
530.	Доказать, что если стороны косого четырехуголь-
ника касаются круговой конической поверхности или
круговой цилиндрической поверхности, то точки касания
расположены в одной плоскости.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Избранные задачи и специальные методы их решения
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
531.	Доказать, что для всякого натурального п,
взаимно простого с числом 10, найдется число вида
10101...01, кратное п.
С. Г. Губа (г. Вологда)
ВЕРОЯТНОСТЬ
532.	Доказать, что произведение вероятностей п не-
зависимых событий, образующих полную систему, не
1
превосходит
В. Г. Потапов (г. Хабаровск)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
533.	Доказать, что произведение четырех отра-
жений относительно биссектрис внутренних углов
описанного четырехугольника есть тождествен-
ное преоб ризование.
Р. Г. Носик (г. Оренбург)
534.	Доказать, что произведение четырех отра-
жений от сторон вписанного четырехугольника
есть параллельный перенос. Найти вектор этого
переноса.
Р. Г. Носик (г. Оренбург)
ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
535.	Доказать, что расстояние от центра
окружности ш(О, R), описанной около треуголь-
ника АВС, до точки ДСергона М треугольника
A-iB-fii, образованного касательными к окружно-
сти ш в точках А, В и С, вычисляется по формуле
™ ЗАВ2 ВС2 С А2
ОМ -R — (АВ2 всг + СА2-2-.
(Точка Жергона — это точка пересечения прямых, сое-
диняющих вершины треугольника с точками касания
84
его сторон, противолежащих вершинам, со вписанной
окружностью.)
Э. А. Лаудыня (г. Даугавпилс)
536.	Доказать, что если точка Р лежит в пло-
скости правильного п-угольника ДОЛ,...ДП_1
с центром О, то РА^ 4- РА\ + ... + PA^_t =
- п [OP* + 4-ОР2Я2 +
Э. А. Лаудыня (г. Даугавпилс)
ВЕКТОРЫ
537.	В каждой из четырех граней тетраэд ра вы-
берем произвольным образом точку и построим
точку, симметричную выб ранной относительно
центроида грани, в которой она расположена.
Показать, что центроид системы четырех исход-
ных точек и центроид системы четырех построен-
ных точек симметричны относительно центроида
тетраэд ра
А. М. Лопшиц (Москва)
538.	Через точку М, лежащую внутри трех-
гранного угла S, проведена плоскость, пересекаю-
щая его ребра в точках А, В, С Доказать, что
отношение
т/2
_____________________v SАВС_______
v АВ MS V BCMS'VcAMS
не зависит от выбора плоскости
3. А. Скопец (г. Ярославль)
ЭКСТРЕМУМЫ
539 Найти максимум и минимум функции
tg3x	к
у tg’jc’ °<% < 2 '
В. И. Гридасов (г. Воронеж)
СУММИРОВАНИЕ
540 Доказать тождество
''	k	П
2 S (2п — 2й 4- 1) (2п — й 4- 1) = S 7Г-
ft=i	fe=i
С. Г. Губа (г. Вологда)
Решения задач, помещенных в № 1 журнала
за 1968 Га
441. Доказать, что сумма двух простых чисел
делится на 12, если их разность равна 2, а мень-
шее число больше 3.
Решение. Простое число, большее, чем 3, можно
представить в виде 6й + 1. Если меньшее из двух
простых чисел было бы 6й 4- 1, то большее было бы
6й + 3 = 3(2й и- 1), т. е. не было бы простым. Значит,
меньшее число равно 6й — 1, большее равно 6й 4- 1,
а их сумма 12й делится на 12.
442. Дана функция
f(x) -
3 + х, х 0;
3 — х, х > 0.
Найти функцию f (f (%)) и построить ее график
Решение. Функцию и =/(%) можно написать
в виде и = 3 — | х |. Следовательно
У — f (f (*)) = / (и) = 3 — I и I = 3 — I 3 — I д-1|
443. Решить уравнение	4
Решение. Положим х 4- 1 - —2г. Тогда
622+*
222 + 6«+* — 2	- 1 - 0,
или
22z — 1 4- 622+* — Зм+* 2г+* = 0.
Далее,
(22 — 1) (2г + 1) + 32Z4-,.2z+1 (2г — 1) = 0,
(22 — 1)(2г + 1 + 6- 18г) = 0.
Так как 2Z + 6-182 4- 1 / 0, то 2г—1=0. Отсюда
г = 0 и х = — 1.
444.	Доказать справедливость не равенства
При л -С — 3,
при —3 < х < 0,
при 0 х 3;
при х 3,
у = 6 + х\
У - — х\
у - х;
у = 6 — х (черт. 1).
(п — натуральное число)
Решение 1. Предложенное неравенство справед-
ливо при п = 2.
Пусть неравенство справедливо при некотором п >2.
Покажем, что оно справедливо при п 4- 1. Действи-
тельно,
Общность неравенства доказана; знак равенства имеет
место для п = 1.
85
Решение 2. Очевидно,
Отсюда
т. е. ^2— "Ti-)	Равенство имеет место при п — 1.
445.	Доказать, что
(а 4- Ь)зк 4- азк 4- Ьзк
делится на а3 4- ab 4- Ь3, если k — натуральное
число, не делящееся на три.
Решение. Пусть а — отличный от единицы комп-
лексный корень уравнения х3 — 1. Рассмотрим функцию
f(x) = (1 + х)зк т + 1-
Черт. 2	Черт.
Черт. 4
ка АВС и Л4С1 = МС. Итак, точка М — середина вы-
соты СС,.
447. Стороны треугольника составляют ариф-
метическую прогрессию. Доказать, что биссек-
триса среднего по величине угла треугольника
есть геометрическое место точек, расположен
ных внутри треугольника, сумма расстояний
которых до сторон треугольника (или их про-
должений) постоянна.
Решение. Пусть В — средний по величине угол
и Л4 — точка на биссектрисе угла В (черт. 3). Её рас-
стояния до сторон а п с равны х, а до стороны
b — у.
Вычислим двойную площадь треугольника АВС
2S = Ыгь — (а 4- с) х 4- by Ь (2х + у),
ибо а 4- с — 2Ь. Отсюда 2х 4- у — йь.
Возьмем теперь точку Л4 не на биссектрисе угла В
(черт. 4). Проведем через М отрезок KL, параллель-
ный биссектрисе угла В. KL лежит на биссектрисе
угла В' треугольника А'В' С, поэтому сумма расстоя-
ний точки М до сторон треугольника А'В'С равна hb
(h'b — высота треугольника А'В'С, опущенная на 6'),
а сумма расстояний точки М до сторон треуголь-
ника АВС так же постоянна и равна ht, — d, где
d — расстояние между АВ и А'В'. Поэтому форму-
лировка теоремы требует уточнения. Справедлива
Как легко видеть,
/(’) - (1 +=)’* 4-о!* + 1 - (— а3)зк + <г!к + 1-
- (а3)к ак + ask + 1 =- азк 4- ак 1 -
(а’)* — 1
Аналогично,
/(а2) -(14- а2)2* 4-	4- 1 = а*к 4-®4-1 “О.
Следовательно, функция a3kf(x) делится на
а3 (х — а) (х — а2) — а3 (х3 4- х 4- 1), а=£0.
При х — Ь;а получаем, что (а 4- Ь)зк 4- азк 4- Ьзк де-
лится на а3 4- ab 4- Ь3.
446.	Внутри прямоугольного треугольника дана
точка М, из которой на его стороны опущены
перпендикуляры МА,, МВ, и МС, (Л„ В„ С, — осно-
вания перпендикуляров). Построить такую точ-
ку М, чтобы она явилась точкой пересечения ме-
диан треугольника А,В,С,.
Решение. Пусть Св—середина отрезка
(черт. 2). Согласно условию, точки С,, М, Со колли-
неарны, причем МС, — 2МС0. Но точка Со лежит на
диагонали МС прямоугольника А,СВ,М, при этом
2МС„ — МС. Поэтому точки С, М и С, коллинеарны,
т. е. точка М лежит иа высоте СС, треуголыш-
такая теорема: биссектриса среднего по величине угла
треугольника, стороны которого составляют арифме-
тическую прогрессию, есть геометрическое место точек,
сумма расстояний которых до сторон треугольника
равна высоте, опущенной па среднюю сторону.
448. Пусть О„ О„ О, — центры правильных тре-
угольников, построенных соответственно на сто-
ронах ВС, С А, АВ треугольника АВС вне его.
Из вершин этого треугольника опущены на сто-
роны треугольника 0,0,0, пе рпендикуля ры АА,.
ВВ„ СС, (Л,. В,. С, — основания перпендикуляров
соответственно на 0,0,, 0,0,, 0,0,). Доказать,
что
О,С, 4- О,А, 4- О,В, = О,В, 4- О,А, + О,С,.
Решение. Пусть а, b и с — стороны треуголь-
ника АВС. Треугольник О,О,О„ как известно, равно-
сторонний, пусть сторона его и (черт. 5).
Из треугольника О,СО, выражаем отрезок О,С,.
а	Ь Ь3 а3
Так как О,С ~ —=, О,С = —то — — + и3 —
I 3	г 3	3	3
1 / а3—Ь3\
—2мО,С„ О,С, »	{и3 4---3—) 
Черт 5
Таким же образом получаем
1 / Ь3 — с3 \
+ з ).
Отсюда
1	, з
OjC71 + О2Д1 4* О2Д, “ 2и2
Поэтому и
3
OtBt + О, Л, 4- О2С, - — и.
449 Зная, что т, п, р — различные числа, свя-
занные с данными числами а, Ь, с, d(a^O, d=£0)
соотношениями
ат3 -р bin3 4- ст 4- d — О,
ап3 -ь Ьп3 4- сп 4- d — О,
ар3 4- Ьр3 4- ср + d — 0.
вычислить сумму
1	I 1
т	п + р '
Решение. Из условия имеем, что т, п, р — корни
уравнения
at3 4- bt3 4- ct 4- d — 0.
Поэтому
1	1	1 пр 4- mp 4- mn
~m	p ~ mnp
c /	rf \	_£_
” a ' \	a J "" d '
450. Решить уравнение
tg (x 4- 15°) tg (x 4- 75°) tg (% 4- 135°)-xf 3.
Решение. Пусть x 4* 75° — а. Тогда имеем
tg (a — 60°) • tg a • tg (nt 4- 60°) — — Z3,
или
tg(60° — a)-tgo-tg (60° 4~ a) == 1^3,
или
tg 3a — >7° 3.
Таким образом,
a - 20° 4- 60°-k,
x------------55° 4-60°-fe - 5° 4-60°-m.
451. Доказать справедливость тождества
2 tils' •  Im *= m_i (Is > Ч)-
--+lm=n
Решение. Докажем справедливость тождества
методом математической индукции. Пусть
3^2 — 1т ~ S^j.
При т — 1
i=n
Пусть S"n =	при ms^k'. докажем что
сл Х-2Л4-1
и cn + fe ’
Множитель /*4-! может принимать значения 1,2,3,...
..., п — k. Поэтому
S2+I -= IS"-1 4- 2S"-2 4- 3S"-1 4- ---4-(л-*) Skk ,
или, согласно индукционному предположению,
СП	1 У-.2Й — 1 ; Q «~*2Л— 1	,
°* + 1 — 1 с« + *-2 Т-- cn + ft_3 -t-
+ ЗСп+д,^ 4- - • • 4- (п — й) C^z‘.
Обозначив для краткости п — k — г, 2k — 1 =. р,
имеем
S"ft+I - 1 C₽+f_t 4- 2С₽+г_2 4- - 4- гС₽ - а₽
Пр 1 г = 1 имеем = Срр =- 1 =- Ср+г-
<1= 1С"+Г 4-2С₽+г_14-ЗС₽+г_24---4-(г4-1)С₽=
- (СР+г + CP+r-t + С^+г-2 +	+-^)4- а₽.
Но, как известно,
C£ + Cpp+1 +-+с₽+г_1 + с₽+г -с^+1.
Поэтому, предположив, что ар = Ср^+1 , получаем
-Р _ r₽+1	4- с₽+2	ср+2
°r+l ^р+г + 1 ^^р+г + 1	^р+г+2
Таким образом, формула ар = Ср^+1 верна, т. е.
сП	x^2ft+l
'•’ft+i = en+fe •
Следовательно, формула	также
верна.
452. Дано семейство кривых у = хп (п — целое,
отличное от нуля). В точках с абсциссой а про-
ведены касательные к каждой кривой семейства.
Доказать, что последовательность абсцисс точек
пересечения касательных с осью Ох ограниченна,
немонотонна и имеет пределом а.
Решение. 1) Составим уравнение касательной
к кривой у = хп в точке (а\ ап)
у — ап у' (а) (х — а),
или
у — ап = пап—1 (х — а).
2)	В уравнении касательной положим у = 0
— ап - пап~3 (х — а).
Отсюда
).
3)	При п < — 1 имеем 1 —-у— <2. а при п>1 имеем
Следовательно.
I хп I 21 а ].
4)	При п < 0 последовательность [хп) возрастает
и при п > 0 последовательность {-"Сп} также возрастает
(а > 0).
S7
Однако
х_, = 2а, х, •= О,
значит х—, > х,.
Поэтому последовательность {лсп} немонотонна.
5)	Найдем предел последовательности {-*>}
lim хп — 11m a lim Г1 — “Z"') — а (1 — 0),
п—>ОО	п—>ОО л—>оо \	Ч J
Нт хп — а.
П—гсо
453. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
!/ (л-2)= + 4
У- У ~ Х‘+ 4 
Решение 1. Функции у и г = у2 имеют одни
и те же точки экстремума.
Находим,производную функции г
Z' = (Х2 + 4)2 [2 (х — 2) (х2 + 4] — 2х (х2 - 4х + 8)],
или
4
г' ~ (х2 + 4)2 {х‘ — 2х~ 4)-
Приравниваем к нулю производную г'
х2 — 2х — 4 = 0.
Отсюда
А', = 1 — /5 , хг — 1 4- /5 (х, и хг — точки экстре-
мума).
При х < х, и х > х2 г' > 0. Поэтому при х — xt
функция z имеет максимум, а при х = хг — минимум.
Имеем
2	(/ 4- 1)2	/54-1
а) Утах	4	’ Утах —	2
2	(/5=Л)2	/5—1
°) Ут1п —	4	’ УтТп "	2
Решение 2. Подкоренное число положительно
при всех вещественных значениях х. Кроме того,
у>0 как арифметическое значение корня. Поэтому
данное равенство равносильно следующему:
(х2 4- 4) у2 - х2 — 4х + 8,
или
(у2 — 1)х2 4- 4х + 4у2 — Ь = 0.
Решая квадратное уравнение, получим
— 2 + । 4 — 4у4 + 12у2 — 8
х~	У2 — 1	~
— 2 ±2 у ’ — у4 -ь Зу2 - 1
у2-1
Так как х — вещественное число, то
— у4 4- Зу2 — 1 >0,
у4 —Зу2 4- 1 <0,
3-/5	. 3+ /5
2	<У“<	2
Но у > 0. Поэтому
/3— /5 -a f 3 4- у' 5
2	<У< |/	2
ИЛИ
/ 5— 1	v 5 + 1
2	<У<	2
Из этого следует, что
/5- 1
Ут1п =	2 при
/ .5*+ 1
Утах ~	2 ПРИ
X = 1 4 У 5,
х - 1 — / 5.
454.	На продолжениях сторон АВ, ВС, СА тре~
угольника АВС взяты точки М, N, Р, так что
ВМ — АВ, CN — ВС, АР — С А. Вычислить отно-
шение суммы квадратов сторон треугольни-
ка PMN к сумме квадратов сторон треуголь-
ника АВС.
Реш гние. Рассмотрим векторы, показанные на
чертеже 6.
Черт. 6
Очевидно, а 4- b 4 с — 0. Отсюда
(а 4 Ь 4 с)2 — а2 4- Ь2 + с2 4-
4- 2аЬ 4- 2ас 4- 2Ьс — 0
п2 _р Ь2 4 с2 — — 2 (ab 4- ас 4- be ).	(1)
Для треугольника MNP имеем
т — 2Ь — а,
п — 2с — Ь,
р =- 2а — с-
Далее,
т2 4- п2 4- р2 — (26 — л)2 + (2с — 6)2 4- (2а — с)2 —
— 462 — 4аЬ + а2 4- 4с2 — 46с 4- 62 4- 4о2 — 4ас +• с2 —
=- 5(а2 4 62 4- с2) — 4 (<2.6 4- ас + Ъс)
Учитывая (1), получим
т2 4- п2 4- Р2 - 5(д2 4 62 4- с2) 4- 2(а2 4- 62 4 с2) -
— 7 (а2 4- 62 4- с2).
Следовате льно,
т2 4- п2 4- р1
а2 4- 62 4- с2 “ 7
455.	Дан четырехугольник ABCD. Найти геомет-
рическое место точек М, удовлетворяющих соот-
ношению
(АМВ) 4- (CMD) - (ВМС) 4- (DMA)
(Символ (АВС) обозначает площадь ориентированного
треугольника АВС.)
Решение 1. Воспользуемся косым произведением
векторов Пусть К, L — середины АС и BD. Имеем
~МВ°МА 4 -4“ MDcMC —
- 4" МСс~МВ -г МА^Шд
МВ°(МА 4 7ЙС) т Л№°(МС 4 МА) - 0,
мксла-о
88
Следовательно, векторы Л4К и ML коллинеарны; но
эти векторы имеют общую точку, поэтому точка Л4
лежит на прямой KL. Таким образом, искомое гео-
метрическое место есть прямая, проходящая через
середины диагоналей четырехугольника.
Если точки К и L совпадают, то векторы МК
и ML коллинеарны для любой точки М. Следова-
тельно, в случае, когда ABCD — параллелограмм,
точка М — любая точка плоскости.
Решение 2. Пусть точки A (%f, у,). В (л2; у2),
С(х3; уз) £)(л4; у4), М(г; у) заданы в декартовой
системе координат. Тогда
2 (АМВ) -
х у 1
Уг 1
X, У, 1
По условию имеем
1 х у
1
1
получаем
Сложив определители в скобках.
л	у	1
хг	у2	1
X,	4- X,	У1 +	Уз	2
У	*
У4	1
Ут 4- Уз 2
или
У 1
Уг + У4 2
У1 + Уз 2
0.
Полученное уравнение показывает, что искомым
геометрическим местом точек М является, вообще
говоря, прямая, проходящая через середины диаго-
налей четырехугольника ABCD.
Если, однако, х2 4- х, = %, 4 х3 и уг 4 у4 = у, 4- у3.
то последний определитель обращается тождественно
в нуль Но это имеет место только для параллело-
граммов, у которых середины диагоналей совпадают.
В этом случае М — любая точка плоскости.
456.	И зоб разить кривую
(х2 4- у2)2 4- 2 (х2 4- у2) (х 4 у) — (х — у)2 = 0,
отнесенную к прямоугольной декартовой системе
координат.
Решение. Применим формулы преобразования
координат при повороте на угол а:
х — Xcos а — К sin а,
у — X sin а + У cos а.
При а — 225° получим
У—
В новой системе координат уравнение кривой при-
мет вид
(Хг + Г2)2 —2(Х2 4- Г2)	2 Г2	0,
или
(X2 4 Г2 - /2Х)2 = 2(№ + Г2).
Данная кривая — кардиоида. В полярных координа-
тах ее уравнение принимает вид
р =	2 cos <р 4- 1^2.
Радиус окружности, с помощью которой строится
457.	Прямая проведенная через фокус гиперболы,
пересекает касательные к гиперболе в ее верши-
нах в точках Р и Q. Доказать, что окружность,
построенная на диаметре PQ, касается гипер-
б олы.
Решение. Прямая у = k(x — с) пересекает каса-
тельные х = а и х =•—а, проведенные в вершинах
гиперболы
-у2 . У2 1
а2 Ь2 = *’
в точках Р(а; k(a — с)) н Q(—a\ — k (а 4- с))
(с2 = а2 4 Ьг). Тогда £ (0; —kc) — центр окружности.
Уравнение этой окружности
(% - О)2 4- (У + Ас)2 - (а — О)2 4 \k (а — с) 4-Ас]2,
или
х2 4 (У 4- Ас)2 =(14 А2) а2.
Исключим х2 из уравнения окружности и гипер-
болы. После преобразований получим
(су 4 А2А)2 = 0.
Следовательно, окружность касается гиперболы
в двух точках, симметричных относительно оси Оу.
458.	На окружности даны точки А и В. Найти
геометрическое место точек М пересечения рав-
ных между собой хорд АС и BD, где С и D—пе-
ременные точки окружности.
Решение. Применим комплексные числа. Пусть
центр окружности совпадает с нулевой точкой плос-
кости, а радиус окружности равен 1. Как известно,
— (а 4 с) — (А 4 d)
т ~~ ас — bd
Поскольку хорды АС и BD равны, то
(«-с) (4- - 4-) =	(4* - 4-)-
89
Из этого равенства после преобразований получаем
(ad — be} (ab — cd) = 0.
be
1) Пусть ad = be. Тогда d = и
c + a
(a + b) c '
Ввиду того, что преобразование с tn дробно-ли-
нейное, а точка С описывает окружность, то точка М
описывает окружность ш или прямую g. Если a -р b=f=<\
то m=f=co и точка Л4 описывает окружность. Дуга
этой окружности, расположенная внутри данной
окружности, принадлежит искомому геометрическому
месту точек. Если а + b == 0, то точки Л и В диамет-
рально противоположны и точка М описывает пря-
мую g. Отрезок этой прямой, расположенный внутри
данной окружности, принадлежит искомому геометри-
ческому месту точек. Очевидно, что при с = — а по-
лучим tn = 0, т. е. дуга полученной окружности « или
хорда проходит через нулевую точку т = 0. Далее,
если с — Ь, то т *- с. Это значит, что окружность “
или прямая g проходит через точку В (а значит, и
через Д).
2) Пусть ab = cd. Тогда d - — и т =	’
Очевидно, что прн с = —b получим tn = то. Это
значит, что искомое геометрическое место точек со-
держит отрезок прямой gv Поскольку при с = — а
имеем т = 0, то прямая g2 проходит через начало.
Итак, искомое геометрическое место при a -j- b=/-0
есть дуга окружности АОВ и диаметр, перпендику-
лярный к ЛВ; прн а + b = 0 искомое геометрическое
место Ъочек есть диаметр АВ и перпендикулярный
к нему диаметр.
459. В окружность с центром О вписан тре-
угольник АВС. Доказать, что построение хорды
DE, параллельной АВ и при этом такой. Чтобы
хорда DC была перпендикулярна диаметру ОЕ,
есть задача, не разрешимая циркулем и линейкой.
Решение. Пусть zz = 1 — уравнение окружности.
Точкам Л, В, С, D, Е соответствуют комплексные чис-
ла а, Ь, с, d, е. Из условия параллельности прямых DE
и АВ (черт. 8) имеем
(а — b)(d — е) = (а — b) (d — е).
Из условия перпендикулярности CD и ОЕ имеем
(о — е)(с — d) -- (о — е) (с — d) = 0.
1
Заменив всюду z через получаем
(а — b)(e — d) (b — a)(d — е)
de = ab ’
с — d с — d
е " cd ’
нлп	( de = ab,
1 ег = cd.
Отсюда находим для е кубическое уравнение р2 = abc<
что доказывает невозможность в общем случае построе-
ния хорды DE циркулем и линейкой (задача трисек-
ции угла).
460. Две кривые второго порядка (в частности,
окружности), расположенные в различных плоско-
стях, имеют две общие точки. Доказать, что
одну из этих кривых можно центрально (или па-
раллельно) спроектировать в другую кривую.
Решение. Пусть окружности ш, н <о2 пересекаются
в точках Л и В. Касательные к этим окружностям в
точке Л определяют плоскость а, а касательные в точ-
ке В — плоскость ₽. Предположим, что эти плоскости
пересекаются по прямой т. Проведем через т плос-
кость р., пересекающую первую окружность в точках
Mt и TV,, а вторую—в точках Л12 и Л’2. Нетрудно
доказать, рассматривая гармонические четверки точек
па прямых ЛДА^ и Л42Д\, что прямые A4jA12 и Ar,Ar2
пересекаются на прямой т в некоторой точке Sj (эта
точка может оказаться и несобственной). Проектируя
из S] окружность <л2 на плоскость окружности <о,, по-
лучим кривую второго порядка, которая касается
в точках Л н В и проходит через точки М, и АГ,.
Это значит, что проекция окружности ш2 совпадает
с со,.
Точно так же точка S2 пересечения прямых M,N2
и Л42Л\ принадлежит прямой т. Точка S2 есть второй
центр проекции, из которого со2 можно центрально
спроектировать в со,.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1968 Г.
Аляев А. В. (г. Пачелма Пензенской обт.)—441—450,
453, 454. Арзуманян Г. М. (Гадрутский р-н Азербайд-
жанской ССР) —441—444, 447—450, 453. Ахвердов Г. Б.
(Ленинград) — 441—447, 449—454, 457. Базаров К. Б.
(г. Ходжейли Кара-Калп. АССР)—441—444, 447—450,
452—454, 456. Бакмбетов С. А (г. Ходжейли Кара-
Калп. АССР)—441, 443, 444, 446, 452— 454, 457, 458.
Букобаев Н. (Восточно-Казахстанская обл.)—441—
444, 446—450, 453, 454. Вайнман Б. Ш. и Вайнман С. М.
(г. Киев)—441—447, 449. 450, 453, 454. Ветров К. В.
(г. Братск) — 441 450, 453, 457. Владимиров А. С.
(г. Асбест Свердловской обл.) —441—460. Волков А. Л.
(с. Сусанине Костромской обл.)—441—447, 449, 450.
452—454. Герасимов Ю. И. (Новосибирская обл.) —
441—450, 453, 454. Головачев Е. А. (Белгородская
обл.) — 441—459. Гордон В О. (г. Петровск-Забайкаль-
ский) — 441—450, 452—455, 457—459. Готлер М. Ш.
(г. Вильнюс) - 441—459. Григоривкер Б. М. (г. Хер-
сон) — 441 -450, 453, 454. Давыдов У. С. (г. Гомель) —
441—460. Данилова Е Д., Лифанов С. В., Якушин Л.
(г. Жигулевск Куйбышевской обл.) — 441—450, 452,
453. Деконтас А. А. (г. Ионава Литовской ССР) —
441—450, 452—456. Зубнлин Н. И. (ст. Нарышкино Ор-
ловской обл.) — 441—450, 453—455, 458. Калиничен-
ко Ю. В. (г. Запорожье) — 441 —457, 460. Кановей В.
(г. Шосгка Сумской обл.) - 441 -454, 456, 458, 459.
Кушнер Б. С. (г. Жигулевск Куйбышевской обл.) —
441, 442, 444—450, 452 454, 456—458. Математический
кружок учащихся десятых классов Вологодской школы
(руководитель Рыко В С.) — 441— 444, 446 450.
Математический кружок учащихся средней школы № 2
имени Кирова г. Петропавловска Северо-Казахстанской
обл. — 441—450, 453, 456 Молибога И. Н. (Луганская
обл.) — 441- 450, 452—457, 459. Никитин В. В.
(Пронский р-н Рязанской обл.) — 442—448, 450.
Падун А. М. (г. Любеч Черниговской обл.)—441—450,
452—456, 458. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск Став-
ропольского края) — 441—450, 453, 454, 456, 457.
90
Пекарскас В (г. Каунас) — 452—454. 456, 457.
Попов Л. Н (г. Уфа) — 441—450, 452 —460. Сефпбе-
ков С. Р. (Дагестанская АССР) — 441—444, 448, 453,
454 Суконннк Я. Н. (г. Киев) — 44-444, 446—450,
452—454, 456, 457. Сысуев Г Я- (прииск Херпучи Хаба-
ровского края)	441—445, 447—449 452, 454. Тасму-
ратов С. С. (Астоаханская обл ) — 441—450, 452—457,
460 Харченко Л. Е. (Хмелоницкая обл ) — 441—443,
446, 447, 449, 450. Цхай Т. Т (г. Андижан) — 441—459.
Чепкасов Г. С (г. Краснодар) — 441—450, 453, 454.
Черепинскнй И. Д. н Черепннскнй О. Д. (г. Черкас-
сы) — 441—450, 452—458.
В сводке решений задач по № 5 за 1967 г. пропу-
щены: Кушнер Б. С. (г. Жигулевск Куйбышев-
ской обл.)—401—406, 408—414, 417, 420. Васнль-
чук О. И. (г. Брест)—412, 414 — 418.
Математический календарь на 1968/69 учебный год
НОЯБРЬ
2 ноября—65 лет со дня рож-
дения советского математика и
общественного деятеля, заслу-
женного деятеля науки и техни-
ки академика АН Грузинской ССР
Виктора Дмитриевича К у п р а д-
з е. В Д. Купрадзе родился в Ку-
таиси, в 1924 г. окончил Тбилис-
ский университет. С 1933 г. рабо-
тал в различных вузах и научно-
исследовательских институтах Ле-
нинграда, Москвы, Тбилиси.
С 1936 г.—профессор Тбилисско-
го университета (был ректором).
В 1944—1953 гг. был министром
просвещения Грузинской ССР. С
1955 г. — председатель Верховно-
го Совета Грузинской ССР. Ос-
новные труды В. Д. Купрадзе по-
священы теории дифференциаль-
ных и интегральных уравнений,
математической физике и матема-
тической теории упругости (см.:
Биографический словарь деятелей
естествознания и техники, т. 1,
М., 1958; Г велисмани. Мате-
матик (об академике В. Д. Куп-
радзе), «Литературная Грузия»,
1965, № 9; Труды Грузинского по-
литехнического института, 1963,
№	(93); Труды Тбилисского уни-
верситета. Серия мех.-мат., 1965,
т 110).
4 ноября—60 лет со дня рож-
дения советского математика
Виктора Владимировича В а г н е-
р а. В. В. Вагнер родился в Сара-
тове. В 1930 г. заочно окончил
Московский университет и в
1935 г. — аспирантуру там же.
В 1938 г. он представил к защите
диссертацию «О неголономной ге-
ометрии», за которую ему была
присуждена сразу степень докто-
ра физико-математических наук.
С 1935 г. работает в Саратовском
университете. Основные работы
Вагнера относятся к геометрии и
вариационному исчислению. За
работы по геометрии неголоном-
ных пространств был удостоен
премии имени Н. И. Лобачевско-
го (см.: Успехи математических
наук, 1958, вып. 6, т. 13).
8 ноября — 125 лет со дня рож.
дения немецкого математика Мо-
риса Паша (1843—1930). Паш ро-
дился в Бреслау, был профессо-
ром Гессенского университета.
Он одним из первых положил на-
чало современным исследованиям
по основаниям геометрии. Впер-
вые разработал группу аксиом
порядка (см,: Биографический
словарь деятелей естествознания
и техники, т. 2, М, 1959).
15 ноября — 175 лет со дня
рождения знаменитого француз-
ского математика, члена Париж-
ской АН, почетного члена Петер-
бургской АН и члена почти всех
академий и научных обществ в
Европе и Америке Мишеля Ш а-
ля (1793—1880). Окончил Политех-
ническую школу в Париже. Стал
профессором Политехнической
школы (1841—1850) и Парижско-
го университета (с 1846 г.).
Важнейшие работы Шаля отно-
сятся к геометрии и истории ма-
тематики. Его геометрические ис-
следования способствовали раз-
работке проективной геометрии;
в этой области особенно важным
является его «Трактат по высшей
геометрии» (Изд. 1, 1852; изд. 2,
1880). Его исторический обзор
происхождения и развития гео-
метрических методов (1837, рус-
ский перевод 18ВЗ) способствовал
установлению зависимости между
отдельными исследованиями и вы-
яснению исторической связи на-
учных идей в этой области. За
свои научные достижения Шаль
был прозван современниками
«императором геометрии». Следу-
ет отметить также, что Шаль был
большим патриотом своей роди-
ны. Он дважды защищал Париж:
первый раз — в 1814 г., будучи
учеником Политехнической шко-
лы, второй раз —в 1870 г. добро-
вольцем, хотя он был уже в пре-
клонном возрасте (см.: Ф.
Клейн, Лекции о развитии мате-
матики в XIX столетии, М.—Л.,
1937; Г. Вилейтнер, История
математики от Декарта до сере-
дины XIX столетия, М., 1966).
ДЕКАБРЬ
3 декабря — 80 лет со дня рож-
дения советского геометра Нила
Александровича Глаголева
(см.: «Математика в школе», 1946,
№ 1; 1963, № 6).
5 декабря —100 лет со дня
рождения немецкого физика и
математика Арнольда Иоганна
Вильгельма Зоммерфельда
(186В—1951). Зоммерфельд ро-
дился в Кенигсберге (ныне Кали-
нинград), окончил Кенигсбергский
университет. Основные работы от-
носятся к механике, теории диф-
ференциальных уравнений, рас-
пространению электромагнитных
волн вдоль проводов, диффрак-
ции рентгеновских лучей, кванто-
вой механике, теории спектров и
электронной теории металлов. На
русский язык переведен целый
ряд книг Зоммерфельда, и среди
них «Дифференциальные уравне-
ния в частных производных»
(М, 1950), «Механика» (М., 1947)
и др. (см.: Биографический сло-
варь деятелей естествознания и
техники, т. 1, М., 1958; Рефера-
тивный журнал математики, 1955,
№ 2).
18 декабря — 120 лет со дня
смерти знаменитого чешского ма-
тематика, философа и логика
Бернардо Больцано (см.: «Ма-
тематика в школе», 1961, № 5).
20 декабря — 125 лет со дня
рождения французского историка
математики и астрономии Поля
Т а н н е р и (1843—1904). П. Танне-
ри получил образование в Поли-
технической школе в Париже.
В 1884—1885 гг. читал курс исто-
рии математики в Парижском уни-
верситете; с 1892 г.—профессор
греческой и латинской филосо-
фии.
П. Таннери является автором
ряда работ по истории физико-
математических наук. Принимал
участие в издании трудов Ферма,
Декарта и Диофанта. Пользуется
известностью его «Исторический
очерк развития естествознания в
Европе» (с 1300 по 1900 г.), пере-
веденный на русский язык (ГТТИ,
М.—Л., 1934).
А. И. Бородин
mnninmnmni mim
: ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ
• •»••••••••••»*••«••••••••»• C l РАНИЦА
ТРИ ОТКРЫТИЯ ДВУХ «ОДЕРЖИМЫХ» ЮНОШЕЙ
1.	«Великолепная семерка» простых чи-
сел:
31, 331, 3331, 33 331, 333 331, 3 333 331, 33 333 331.
Варшавянин Анджей Маковский обнаружил, что вся
эта семерка простых ч> сел получается последовательно
из одной формулы
= 4" (ЮА - 7)
при k -= 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
Но при k 16т 4- 9, где т = 0, 1,2..... это	же
число ak непременно делится на 17.
2.	Памяти В. П. Ермакова. В 1884 г. в «Жур-
нале элементарной математики» профессором В. П. Ер-
маковым была опубликована формула
А	С я -f* b	D — а — b	В
D + с — d	В — а — с	А + а — с	С + с + d
В — с 4 d	D — а А- с	С й -f' £	А — с — d
С	А + а - Ь	В — а + Ь	D
лающая магический квадрат при произвольных значе-
ниях вписанных восьми букв. По поводу того, как
подобрать эти 8 значений, чтобы клетки квадргта
оказались заполненными целыми числами от 1 до 16,
В П Ермаков пишет: «Мы не знаем простого реше-
ния этого вопроса и предоставляем читателю найти
таковое».
Математическим задачам свойственно не умирать
в веках. А поиски числовых закономерностей — стихия
Юрия Стасевича. Естественно, что информация
о задаче профессора Ермакова не оставила равнодуш-
ным и Ю. Стасевича. Он не только находит требуемое
решение: А = 1, В = 4, С = 13, D — 16, а = 1, Ь = 0,
с= —4, d = 0, но и предлагает свою формулу магиче-
ского квадрата
а	Ь	с
2y~t	2t — х	2	2х — у
2г-у	2x—z	2у — х	t
X	2г —t	2t-y	2у-г
2t — z	У	2x — t	2г — х
а.	сг
дающую при х — 7, у = 6, г — 10 и t — И магиче
ский квадрат для чисел 1—16.
Магический квадрат Стасевича при тех же значе-
ниях букв оказывается еще и панмагическим («дья-
вольским»), т. е. таким, в котором сохраняется равен-
ство сумм чисел, расположенных не только вдоль
строк, столбцов и диагоналей, но и вдоль так назы-
ваемых разломанных диагоналей (пары параллельных
отрезков: Аа, и aiA1; Bb и Ь,В,, Сс и с,Ср. с А, и Ас,;
!’В, и ВЬ,; аС, и Са,).
3.	Оригинальный «синтез» некоторых р.
«Алгебраической поэмой» назвал «Теорию колец»
К. Жевлакова член-корреспондент АН СССР С. Нови-
ков и пояснил: «Если бы то, что сделано молодым ма-
тематиком из Hoboci бирска К. Жевлаковым, удалось
перевести на язык литературных образов, я уверен,
мы увидели бы рождение новой поэмы, яркой, высоко-
художественной».
Несомненно придет свой час для появления и теоре-
тико-числовой поэмы. И тогда, как знать, не вспомнит
ли творец поэмы, как в наше время «синтезировал»
простые числа простой рабочий Юрий Стасевич:
Два последовательных простых
числа.
21 +2-2 + 1 = 7
41 + 1-4 + 1 = 29
4! + 2-4—1 = 31
41 + 3-4 + 1 = 37
4! + 4-4 + 1 = 4£ .
6! + 1-6+1-727
6! + 2-6 + 1 - 733
6! + 3-6 + 1 = 739
61 +4-6—1 = 743
61 +5-6+1 -751
6! + 6-6 + 1 = 757.
Четыре последовательных про
стых числа.
Шесть последовательных
простых числа
Автор этих красивых соотношений предлагает же-
лающим подтвердить или опровергнуть его предполо-
жение об общности подмеченной закономерности
Для всякого четного n — q — 1, где q — любое про-
стое число, формула
. , ( kn + 1, когда kn + 1 — простое число
*“ п ' | kn— 1, когда kn — 1 — простое число
k = 1, 2...........п
дает совокупность простых чисел. Эта совокупность
состоит из т — п последовательных простых чисел,
если неодновременно kn + 1 — составные числа. Если
же одновременно kn + 1 — составные числа, то т < п.
Б. А, Кордемский
92
КРИТИКА_______
И БИБЛИОГРАФИЯ
О сборнике упражнений по методике
В. л. МИНКОВСКИЙ
(г. орел) математики для заочников
«Сборник вопросов и упражнений по методике пре-
подавания математики» Н. Г. Федина и В. И. Ми-
шина (издательство «Просвещение», М., 1967) являет-
ся пособием для студентов-заочников педагогических
институтов. Создание такого пособия является делом
сравнительно новым.
Основное содержание книги Н. Г. Федина и
В. И. Мишина посвящено разнообразным упражнениям
по общей методике математики восьмилетней и сред-
ней школы.
Выход нового сборника вопросов и упражнений по
методике математики можно только приветствовать.
Многие материалы книги достойны внимания и доста-
точно широкого использования.
Естественно, что первые опыты создания сборника
вопросов и задач не лишены недостатков. На некото-
рых из них мы остановимся, желая привлечь внимание
к повышению культуры методических изданий.
В ряде случаев в сборник включены упражнения, не
имеющие прямого отношения к курсу методики мате-
матики. Именно в этой части авторы допускают неточ-
ности и отдельные ошибки при изложении историко-ма-
тематического и историко-методического материала.
Стр. 6. «Кто из великих отечественных ученых знал
эту книгу наизусть..?»
Знать «наизусть» весь текст математического учеб-
ника, хотя бы и «Арифметики» J1. Ф. Магницкого,
никому не требуется. Трудно поверить, чтобы человек,
ставший гениальным ученым (М. В. Ломоносов),
занимался таким скучным и абсолютно бесполезным
делом.
Стр. 6. «Сочинение называлось «Китаб ал-джеби
ва-л-мука-бала».
Это не соответствует действительности. Алгебраиче-
ский трактат ал-Хорезми не имеет названия, но в пре-
дисловии он именуется «Краткой книгой об исчислении
алгебры и алмукабалы».
Стр. 7. «В 1770 г. Л. Эйлер написал учебник «Ал-
гебра» («Универсальная арифметика»)...»
Это не так. «Универсальная арифметика» была про-
диктована слепым Л. Эйлером мальчику-слуге в 1767 г.
и издана в переводе Иноходцева и Юдина с немецкой
рукописи на русский язык в Санкт-Петербурге
в 1768—1769 гг. (том I—1768 г., том II—1769 г.).
Стр. 10. «Существенные изменения в учебник по ал-
гебре А. П. Киселева внес Н А. Глаголев, на-
чиная с 23-го издания, под влиянием появившихся в то
время передовых идей К. Ф Л е б е д н и ц е в а».
Н. А. Глаголев (1888—1945) никаких изменений
в учебник «Алгебры» Киселева никогда не вносил.
А. В. Ланков, на которого ссылаются Н. Г. Феднн и
В. И. Мишин, утверждает, что «особенно существенные
изменения внесены (самим А. П. Киселевым.— В. М.)
в 23-е издание — под влиянием новых идей, развитых
в работах Лебединцева, Глаголева и других авторов...»
(«К истории развития передовых идей в русской мето-
дике математики», М., 1951, стр. 112).
Здесь есть резонная ссылка на Глаголева, но не на
Ннла Александровича, а на его отца Александра Ни-
колаевича Глаголева (1853—1906), выдающегося мето-
диста, автора оригинальных учебников арифметики,
алгебры и геометрии.
Стр. 10. «Л. Н. Толстой мечтал издать написанный
им учебник арифметики».
Написанный Л. Н. Толстым учебник арифметики был
издан в Петербурге в начале ноября 1872 г. Ои со-
ставил арифметический отдел «Азбуки» великого писа-
теля, изданной тиражом в 3600 экземпляров.
Не во всех случаях формулировки авторов обладают
должной отчетливостью и определенностью.
Стр. 23. «Является ли индукция (неполная), или ин-
дуктивный метод, в преподавании математики строгим
методом доказательства или этот метод только вероят-
ностный, гипотетический, убедительный?»
Строгий метод доказательства противопоставляется
методу убедительному.
Стр. 24. «Перед доказательством теорем учителя час-
то предлагают учащимся проверить справедливость
предложения путем измерений, непосредственных вы-
числений, т. е. прибегают к неполной индукции, по-
могающей убедить учащихся, что теорема верна, а за-
тем уже строго логически, дедуктивно доказывают
теорему».
Это принципиально неверное положение, имеющее
довольно широкое претворение в практике преподава-
ния математики, авторами не критикуется. Учнтелю-
заочннку не разъясняется, что надо не убеждать уче-
ника до доказательства в справедливости того нлн
иного утверждения, а, наоборот, разнообразными при-
емами вызывать у него потребность в доказательстве.
Стр. 26. «Одним из методов доказательства теорем
в школьном курсе математики является метод полной
индукции (совершенной или аристотелевой)».
На той же странице. «Метод доказательства, осно-
ванный на принципе (аксиоме) математической индук-
ции, называется методом математической (совершен-
ной) индукции».
Трудно понять, почему авторы не придерживаются
с должной строгостью установившейся к настоящему
времени в нашей методико-математической литературе
четкой терминологии: полная индукция, математическая
индукция.
Оценка книги в целом нами была высказана в нача-
ле настоящей рецензии. Но эта оценка не противоречит
требованию о необходимости более тщательного редак-
тирования литературной продукции для заочников.
93
«ХЯШК»
А. Я. МАРГУЛИС
(Москва)
В секции средней школы
Московского
математического общества
(год двадцатый)
Секция средней школы Московского математичес-
кого общества отметила свое двадцатилетие.
Членами секции являются преподаватели средних
школ, педагогических и других вузов. На заседаниях
заслушиваются доклады на методические, методоло-
гические и математические темы, проводятся обсуж-
дения программ, опыта проведения факультативных
и внеклассных занятий, осуществляется обзор и кри-
тика учебной литературы. На секции с докладами
и в дискуссиях выступают учителя школ и крупные
ученые страны. Лучшие доклады по рекомендации
секции печатаются в журнале «Математика в школе».
14 сентября 1967 г., на внеочередном заседании
секции, выступил профессор Брюссельского универ-
ситета директор Бельгийского центра преподавания
математики Ж. П а п и с сообщением об опыте мо-
дернизации школьного курса математики за рубе-
жом (см.: «Математика в школе», 1967, № 1,
стр. 39—42).
21 сентября 1967 г. А. И. Маркушевич расска-
зал о факультативных занятиях по математике в сред-
ней школе (см.: «Математика в школе», 1967,
№ 3, 4).
19 октября 1967 г Е. А. М о р о з о в а и И. С. Пет-
раков доложили об итогах IX Международной ма-
тематической олимпиады (Югославия, 1967). Выступи-
ли лауреаты олимпиады М. Бошерницан,
И. Кричевер, В. Турчанинов (см.: «Математи-
ка в школе», 1967, № 6, стр. 70—76).
16 ноября 1967 г. с докладом «Математика в СССР
за 50 лет» выступил Б. В. Гнеденко (см. «Мате-
матика в школе», 1967, № 6, стр. 5—13).
12 и 19 декабря 1967 г. секция организовала в По-
литехническом музее лекции для преподавателей ака-
демика А. Н. Колмогорова «Элементы теории
вероятностей и комбинаторики» (материал для фа-
культативных занятий в школе, см.: «Математика
в школе», 1968, № 2, стр. 63—72).
Заседания 21 декабря 1967 г. и 15 февраля 1968 г.
были посвящены обсуждению опыта проведения фа-
культативных курсов по математике (см.: «Математи-
ка в школе», 1968, № 2, стр. 96).
18 января 1968 г. А. Я. Маргулис выступил
с докладом «Линейное программирование — школь-
нику». В докладе говорилось о возможности модер-
низации преподавания математики в средней школе
в различных направлениях. Ряд разделов современной
математики допускает в своей элементарной части по-
пулярное (и без вульгаризации) изложение, пригод-
ное для школы. К таким разделам принадлежит
и линейное программирование, очищенное от затем-
няющих суть дела алгоритмов, полезных вычислите-
лю, но не нужных школьнику.
21 марта 1968 г. В. И. Левин рассказал о некото-
рых задачах гениального индийского математика — са-
94
мородка Рамануджана (см.: В. И. Левин, Рамануд-
жан, изд. «Знание», 1968).
1В апреля 1968 г. Р. С. Черкасов рассказал
о перспективном плане работы журнала «Математи-
ка в школе». Основная задача журнала — оказание
практической помощи учителю в учебной работе
и повышение его научно-методической квалифика-
ции. Поэтому журнал намерен основное внимание
уделить разработке содержания школьного курса ма-
тематики и методике его преподавания, освещению
передового опыта учителей всех союзных республик
Были раскрыты содержание и задачи всех разделов
журнала.
На этом же заседании А. Я. Маргулис высту-
пил с сообщением «Исследование системы двух урав-
нений первой степени с двумя неизвестными».
С этого заседания и началось третье десятилетие
в жизни секции.
16 мая 1968 г. было заслушано сообщение
Н. X. Розова «Опыт приемных экзаменов по ма-
тематике в МГУ». Речь шла о главных, узловых про-
блемах преподавания математики, о тех основных во-
просах школьной программы, на которые падает
большинство ошибок поступающих. Это, во-первых,
решение уравнений и неравенств, исследование об-
ласти допустимых значений и последовательный ана-
лиз проделываемых в ходе решения операций с точ-
ки зрения их влияния на сохранение эквивалентности.
Вторым крупным недостатком подготовки учащихся
является слабая логическая подготовка. Это особенно
проявляется в решении стереометрических задач, где
учащиеся не могут достаточно ясно проводить необ-
ходимую цепочку рассуждений. Недостаточное вни-
мание на логическую сторону дела обращается
и в алгебре, где поступающие не всегда отличают
определения от теорем.
При обсуждении были высказаны пожелания и кри-
тические замечания по поводу системы приемных эк-
заменов в вузы.
20 июня 1968 г. В. Г. Болтянский рассказал о
«комплексе учебного оборудования по теме «Объем
прямоугольного параллелепипеда» (IV класс). Есть две
крайние точки зрения в вопросе об использовании на-
глядных пособий в преподавании математики. Одна —
полное пренебрежение ими, стремление преподавать, не
пользуясь ничем, кроме доски и мела. Другая —
стремление насытить все, что можно, средствами
наглядности, вплоть до изготовления модели к каж-
дой задаче, к каждой теореме. На заседании речь
шла о создании оптимального комплекса учебного
оборудования — оптимального в том смысле, что при
сравнительно небольшой стоимости и трудоемкости
в изготовлении он дает максимальный (или почти мак-
симальный) педагогический эффект.
Автор доклада вместе с сотрудниками руководимой
им лаборатории математики НИИ ШОТСО (школьного
оборудования и технических средств обучения) вы-
двинул принцип комплексного создания учебного обо-
рудования по каждой теме. Это означает, что коллек-
тив авторов работает сообща, создавая сразу весь
комплекс предметов учебного оборудования, прони-
занный единой идеей, общими методическими уста-
новками, согласованными в последовательности изло-
жения и дидактических особенностях. Был создан пер-
вый такой комплекс, в который вошли: пять кинофраг-
ментов, диафильм, серия диапозитивов, каркасный куб,
арифметический ящик с набором ступенчатых тел, на-
бор геометрических тел, два штампа, серия таблиц,
тетрадь на печатной основе (индивидуально для каж-
дого учащегося), серия карточек с заданиями. Над
комплексом работали М. Я. Антоновский,
В. Г. Болтянский, Э. Ю. Красс и Г. Г. Л ев и-
т а с. Проведенный в трех школах эксперимент пока-
зал большую эффективность созданного оборудо-
вания.
Создание оптимальных комплексов учебного обору-
дования — важная современная задача народного об-
разования.
Завершая это, последнее в учебном году, заседа-
ние, Б. В. Гнеденко рассказал о поездке в Ита-
лию.
О работе Украинского республиканского
И. Е. ШИМАНСКИЙ, 3. И. СЛЕПКАНЬ
(г. киев) научно-методического семинара
В 1967/68 учебном году при кафедре методики мате-
матики Киевского государственного педагогического
института имени А. М. Горького работал научно-мето-
дический семинар по вопросам методики преподавания
математики в школах и пединститутах.
На первом заседании руководитель семинара профес-
сор И. Е Шиманский в докладе «Пути модерниза-
ции преподавания математики в средней школе» рас-
крыл намечающиеся пути модернизации школьного
преподавания математики и изложил первоочередные
проблемы, над которыми должны работать преподава-
тели пединститутов в содружестве с учителями школ.
Интересное обсуждение вызвали доклады профессора
И. К. Андронова «Международное развитие учеб-
ного предмета математики. Практика и теория матема-
тического образования», доцента А. А. Столяра
«Исходные предпосылки научной подготовки матема-
тиков», профессора Н. А. Чайковского «Эстетиче-
ское воспитание в курсе математики студентов педин-
ститутов», доцента Ю. М Гайдука «Реформа пре-
подавания математики в средних школах основных
капиталистических стран» и другие.
С результатами экспериментальной проверки новых
школьных программ в начальных классах познакомили
участников Л. И Фока (Запорожский пединститут) и
Е. С. Дубинчук (Институт педагогики УССР).
С докладами по теме диссертационных работ высту-
пили: И. Е. Побережник (Винницкий пединститут)
«Методика ознакомления учащихся X класса с аксио-
матическим методом на алгебраическом материале»,
Я. М. Ж о в н и р (Харьковский пединститут) «Програм-
ма преподавания геометрии в VI классе по фузионист-
ской системе». А. П. Войцеховский (Вннницкнй
пединститут) «Узловые вопросы анализа в школьном
курсе математики», П. Я. К а с яр ум (Черкасский
пединститут) «О профессиональной подготовке учителя
математики средней школы в пединституте» и другие.
Всего за год заслушано на семинаре двадцать
докладов.
В будущем учебном году наш научно-методический
семинар продолжит свою работу.
Замеченные опечатки в № 4 за 1968 г.
Страница и колонка	Строка	Напечатано	Следует читать
40, левая	2 снизу	и ОС = OD	и на прямой b ОС = OD
57, правая	12 сверху	Баранникова	Бровикова
На стр. 83 задача «Четыре семьи за одним столом» представлена Б. А. Кор-
демским.
Принимается подписка на 1969 г.
на журналы издательства «Просвещение»
Наименование журналов	Периодичность в год	Подписная плата на	
		6 месяцев	12 месяцев
«Народное образование»	.	...
«Советская педагогика»	.
«Семья и школа» ...	.	.
«Начальная школа»............... ..............
«Биология в школе»..............
«Вечерняя средняя школа» .	.
«Вопросы психологии» .	.........
«География в школе»..........
«Дошкольное воспитание» . .
«Иностранные языки в школе»
«Литература в школе» . ........................
«Математика в школе»...................
«Преподавание истории в школе» ...
«Русский язык в национальной школе» ....
«Русский язык в школе» ....	....
«Физика в школе».............
«Физическая культура в школе»
«Химия в школе».............................
«Воспитание школьников» ...........................
«Школа и производство».............................
«Советский школьник» (для слепых детей, печатается
точечным шрифтом) .................................
12	3—60	7—20
12	3—60	7—20
12	1—50	3—00
12	0—90	1—80
6	1—35	2—70
6	1—35	2—70
6	3—00	6—00
6	1—35	2—70
12	1—50	3—00
6	1—80	3—60
6	1—35	2—70
6	1—35	2—70
6	1—50	3—00
	1—05	2—10
6	1—35	2—70
6	1—35	2—70
12	1—80	3—60
6	1—35	2—70
6	1—35	2—70
12	1—80	3—60
12	0—60	1—20
Подписка принимается в пунктах подписки «Союзпечати», отделениях связи,
городских й районных узлах связи, почтамтах, а тактце общественными распространи-
телями печати на предприятиях, в школах, учреждения.’^ н организациях.
Издательство «П росвещение»
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С Черкасов	Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В Гн денко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, О. П. Оре-
шина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева	Корректор В. Н. Рейбекелъ
Технический редактор А. А. Шлихт	Художественный редактор Б. Ф. Рябое
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., д. 8. Телефон редакции: 245-04-53.
	Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР
А-10С11 Сдано в производство 21/VIII 1968 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 11,45
Цена 45 коп. Заказ 422 Тираж 300 420 экз. Бумага 84 X 108'/i6. Подп. к печ. 30/IX 1968 г.
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовскии пер., д. 30.
Прибор для графической иллюстрации
решения системы неравенств1
На чертеже изображен учебный прибор, который
позволяет давать графическую интерпретацию решения
системы двух линейных неравенств.
Для этого в корпус 1 вмонтирована шкала 2, пред-
ставляющая собой матовую пластину с нанесенной на
ней числовой осью н освещаемая источником света.
Лампа дневного света, освещающая шкалу, закреплена
иа задней стенке корпуса. Над шкалой установлены
две выдвижные прозрачные лииейки 4 и 5, располо-
женные одна над другой, одна ив которых предназна-
чена для закрывания на шкале множества решений
одного неравенства, а вторая — решений второго не-
равенства. Лииейки, заштрихованные под разными
углами так, что прн их наложении штриховки образуют
«решетку», перемещаются в пазах кронштейнов 6.
Примеры использования учебного прибора:
1. При решении некоторой системы двух неравенств
получили для первого неравенства х < 7 и для второго
1 Прибор сконструировал учитель средней школы
№ 145 г Киева И. Г. Г а б о в и ч.
х > —2. Требуется найти те значения х, которые
удовлетворяют обоим неравенствам.
Включив лампу, освещают шкалу. Выдвигают одну
нз линеек влево так, чтобы ее правый конец совпал
с делением 7 на числовой оси шкалы. Затем выдвигают
другую линейку вправо так, чтобы ее левый конец
совпал с делением —2.
Прн этом часть числовой осн (между числами —2
н 7) окажется покрытой «решеткой». Это будет озна-
чать, что системе удовлетворяют значения —2 < х < 7.
2. При решении системы неравенств получили для
одного неравенства х < —4, а для другого 1,5
(масштаб шкалы позволяет откладывать числа с точ-
ностью до 0,1).
Выдвигают одну из линеек влево так, чтобы ее пра-
вый конец совпал с делением —4. Затем другую линей-
ку выдвигают вправо так, чтобы ее левый конец нахо-
дился против деления шкалы, соответствующего
числу 1,5.
Прн этом никакая часть шкалы не будет покрыта
«решеткой». Это значит, что данная система не имеет
решения.
Цена 45 коп.
o.W
73246
«Математика; кибернетика»
Немало интересного ждет подписчиков и читателей этой серии научно-популяр-
ных брошюр, выпускаемой издательством «Знание» в 1969 г.
Математика в наше время — это мощнейший инструмент исследований и расче-
тов в самых различных отраслях знания. Без математических методов исследевания,
без математических расчетов не мыслима ни одна современная отрасль науки, ни
одна отрасль техники.
Ныне математика стала чрезвычайно разветвленной наукой, в которой все
время появляются новые самостоятельные области, новые направления исследований.
О том, что представляет собой современная математика и какое место она занимает
в мире, будет рассказано сборнике статей «Математика в современном мире».
Авторы — ведущие специалисты математики.
Внимание специалистов самых различных областей знания — физиологов, пси-
хологов, врачей и даже философов — издавна привлекает творчество как объект
изучения. А ч последнее время свой вклад в эту область знания внесла и киберне-
тика. О том, что представляют собой кибернетические модели творчества и. какое
практическое применение они находят при изучении различных видов творчества,
читатели узнают из брошюры кандидата технических наук И. Б. Г у т ч и н а, посвя-
щенной этой теме.
На рубеже XIX—XX вв. один из крупнейших математиков нашего времени Гиль-
берт, выступая на математическом конгрессе, сформулировал ряд проблем, стоящих
тогда перед математикой. Некоторые из этих проблем не решены до сих пор, ждут
своих первооткрывателей. В брошюре С. С. Демидов t «Великие проблемы
Гильберта» будет освещена история этих знаменитых проблем, поставленных е 1900 г.
К числу классических в математике относится задача о коммивояжере. Решение
<ае в общем виде долгое время не было известно. В простейшем случае такая задача
сводится к нахождению кратчайшего пути через определенное число пунктов, рас-
положенных на некотором расстоянии друг от друга. В настоящее время общее
решение этой задачи найдено и математическая модель этого типа находит много-
численные применения в практике. О примерах использования такой модели и о том,
для каких целей это необходимо, рассказывается в брошюре доктора технических
наук В. И. М у д р о в в.
Науке известны удивительные примеры надежности живых организмов, создан-
ных природой. Одна из систем твкого рода — человеческий мозг. Известен, напри-
мер, случай, когда металлический стержень дивметром в 3 см пронзил нвсквозь
головной мозг человека и человек после этого жил еще двенадцать лет, не обнару-
живвя ни нарушения психики, ни потери памяти.
Определение природы столь удивительной надежности, воспроизведение на
основе полученных данных искусственных систем высокой надежности—одна из
задач современной кибернетики. Об этом будет рассказано в брошюре кандидата
технических наук В. М. Рахвальского «Нвдежность кибернетических систем».
Советская школа алгебраической геометрии с успехом продолжила и развила
основные идеи этой науки, изложенные з работе Гаусса, Римана, Вейля и других
знаменитых математиков прошлого. О том, что представляет собой современная
алгебраическая геометрия и в каком направлении она получила развитие i работах
наших математиков, рассказывается в брошюре кандидата физико-математических
наук А. Б. Жижченко «Алгебраическая геометрия в работах советских мвте-
матиков».
Представление о бесконечности — одна из проблем, которая волнует ученых
и мыслителей с глубокой древности. Этой теме и посвящена брошюра кандидата
философских наук Э. М. Чудинова «Бесконечность в математике».
Квалифицированную информацию—точную, доступную, интересную — можно
получать регулярно, оформив подписку любом отделении «Союзпечати». Индекс
серии «Математика, кибернетика» в каталоге «Союзпечати» — 70 096. Подписная цена
на год — 1 руб. 08 коп.
Т. Ф. Петровская

>ooooovoo: